apostila_de_fisica_para_o_ensino_medio.pdf

Tpico 01

FSI

CA I

NOTAO CIENTFICA

Para expressar mais facilmente nmeros muito grandes ou muito pequenos, utiliza-se o recurso das potncias de dez. Desta forma, o nmero 0,00000345 pode ser expresso na forma: 3,45.106.

Na notao cientca, deve-se usar um nmero entre 1 e 10 como multiplicador da potncia de 10. No exemplo acima, utilizou-se 3,45 (que est entre 1 e 10).

Uma grandeza fsica dita escrita na notao cientca quando expressa na forma de potncia de dez, m.10n, onde:

n um nmero inteiro e 1 m < 10.

Ordem de Grandeza Associada aos Fenmenos Naturais

Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas fsicas, no h necessidade ou interesse em conhecer, com preciso, o valor da grandeza. Nesses casos, suciente conhecer a potncia de 10 que mais se aproxima de seu valor.

Essa potncia denominada ordem de grandeza do nmero que expressa sua medida, isto , ordem de grandeza de um nmero a potncia de 10 que mais se aproxima deste nmero.

Por exemplo: a ordem de grandeza de 789 103, pois 789 um valor compreendido entre 100 e 1000, porm mais prximo de 1000. Por outro lado, a ordem de grandeza de 214 102 pois este est mais prximo de 100.

Podemos extrair esta informao se escrevermos a grandeza fsica na notao cientca.

Obs.: A ordem de grandeza uma avaliao sem limites xos, porm h duas consideraes necessrias para uma preparao para provas ou exames de vestibulares.

Considera-se o 5,5 como o valor intermedirio entre a ordem de grandeza 100=1 (inferior) e 101=10 (superior) de uma grandeza, por vrias bancas examinadoras em vestibulares (por exemplo, na UFPE).Portanto, para estas bancas examinadoras, um valor de 501 tem a ordem de grandeza inferior, ou seja, est mais prxima de 100 do que de 1000.Por se tratar de potncia de dez, o valor limtrofe entre duas ordens de grandeza deveria ser 100,5 = 3,16, ou seja, o valor 501 deveria ter a ordem de grandeza 103, uma vez que 501 = 102,7, portanto mais prximo de 103.Porm, h duas consideraes a serem feitas: a primeira que ordem de grandeza uma avaliao subjetiva que tem por fun-o dar uma noo do valor da grandeza em estudo e, sendo assim, estes valores limtrofes no fazem sentido, de modo que vlido tanto um quanto o outro; a segunda que, por questo de divergncia de opinies entre vrios autores em livros sobre fsica, quanto a estes valores limtrofes, os examinadores em provas de vestibular no colocam questes que envolvam valores compreendidos entre 3,16 e 5,5 a m de evitar polmica.Portanto, no caso de uma grandeza ter o valor de 560, deve-se adotar a ordem de grandeza 103 e, caso uma grandeza tenha o valor de 298, deve-se adotar 102 como sua ordem de grandeza.

Algarismos Significativos

Nas medidas de grandezas fsicas, nunca podemos tratar com uma preciso absoluta os valores obtidos atravs de equipamentos ou aparelhos de medio. Em primeiro lugar, devemos comparar a medida

obtida com um padro pr-estabelecido; em segundo lugar, a preciso do aparelho que estamos utilizando determinante no grau de exatido da grandeza mensurada.

Vejamos os exemplos abaixo onde um observador v duas medidas obtidas atravs de uma rgua milimetrada:

Exemplo 1

Exemplo 2

Observador

Observador

cm

cm

No exemplo 1, acima, o observador verica que o valor da mensurao maior que 4,0cm e inferior a 4,1cm. Portanto, ele tem certeza do algarismo 4 e do algarismo 0, logo aps o 4, porm o segundo algarismo aps a vrgula ele no sabe, ele pode e deve, ter uma noo de qual seja, porm no tem certeza.

Uma avaliao razovel seria o valor intermedirio entre 4,0 e 4,1, ou seja, 4,05. Verique que o algarismo 5 apenas uma conjectura, porm mesmo sendo uma hiptese este algarismo tem um signicado, como veremos adiante.

No exemplo 2, a situao ainda um pouco mais difcil, pois o observador tem certeza do algarismo 4, mas o segundo algarismo parece ser exatamente o 5, ento uma avaliao razovel seria ele ponderar que o valor da medida poderia ser expresso por 4,50. O algarismo zero um algarismo duvidoso. Esta medida poderia ser, de fato, 4,49 ou 4,51, isto seria plenamente satisfatria dentro do grau de preciso com o qual o observador est trabalhando. necessrio criar-se um intervalo vlidopara o qual temos agora certeza que a medida se encontra.

Nos procedimentos mais usuais, utiliza-se como variao na preciso de uma medida a metade do menor intervalo de uma escala. Nos nossos dois exemplos, a medida milimetrada, portanto, a varia-o de erro na medio no ultrapassa 0,5 mm , ou seja, 0,05 cm. Portanto, uma maneira adequada de expressar o resultado : para o primeiro exemplo: M1 = 4,05 cm 0,05 cm; e para o segundo exemplo: M2 = 4,50 cm 0,05 cm.

Nas medidas fsicas, o ltimo algarismo, numa medio deste tipo linear (analgica) deve ser sempre avaliado e , obviamente, sempre duvidoso, ainda que seja signicativo, pois d-nos uma idia do nmero provvel e o intervalo no qual, com certeza, a medida de nossa grandeza est. Acrescentar algarismos aps o duvidoso totalmente incoerente e desnecessrio, portanto, todos algarismos numa medida aps o algarismo duvidoso no so signicativos.

Em aparelhos digitais, onde no possvel fazer-se uma avaliao do tipo acima mencionado, o problema da preciso forneci-da pelo fabricante do equipamento. Nele vem estabelecido em termos percentuais o erro da medida exibida pelos dgitos e com isso possvel construir o intervalo seguro para o resultado da medida.

Os algarismos signicativos so os alga-rismos que temos certeza em nossa medio acompanhado de um duvidoso, que tambm signicativo, por dar-nos uma idia de qual seria o prximo algarismo na medida.

Arredondamento

Por vezes, conhecemos algumas medidas com mais sig-nicativos que os necessrios a determinado m. Em tais casos, conservamos apenas os signicativos desejados e abandonamos os demais. Por exemplo, a medida 47,238 m possui cinco sig-nicativos. Se, por acaso, bastarem trs, escreveremos 47,2 m; havendo necessidade de quatro, escrevere-mos 47,24 m.

Prof. Srgio Torres Fsica(As questes esto comentadas no final de cada frente) cad 1 de 4

1 2

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Questes Resolvidas

Questes Propostas

Questes de Vestibulares

L = 17,25 cmD = 0,750 cm

10 2 3 4

FSI

CA I

Como vemos, foramos o algarismo da segunda casa decimal de 3 para 4. Eis a razo: se tivssemos usado 47,23 m, estaramos cometendo um erro, por falta, igual a 47,238 m 47,23 m = 0,008 m.Usando 47,24 m, estamos cometendo um erro, por excesso, menor:47,24 m 47,238 m = 0,002 m.

Por esta razo, ao arredondar um nmero, devemos ter em mente a seguinte regra: o ltimo algarismo de um nmero, obtido por arredondamento, deve ser acrescido de uma unidade, caso o algarismo seguinte seja igual ou superior a cinco.

Dalton Gonalves

Operaes Com Algarismos Significativos

Adio e subtrao

Na adio ou subtrao de grandezas fsicas, o resultado deve conter o mesmo nmero de casas decimais do termo que possuir menor nmero de casas decimais.Exemplo:S = 32,5 + 0,02 + 77,25 = 109,77 S = 109,8

Multiplicao ou diviso

Na multiplicao ou diviso de grandezas fsicas, o resultado deve conter o mesmo nmero de algarismos signicativos do termo que contm o menor nmero de algarismos signicativos, sendo tolervel um algarismo signicativo a mais que o mnimo.Exemplo:1732,83 m X 0,25 m = ?No caso, usaremos o primeiro fator com trs signicativos e sabemos que o resultado dever conter dois algarismos signicativos:(1,73 X 103) (0,25)m2 = 4,3 X 102 m2

Obs.: Numa expresso para o clculo de rea de um tringulob h

2

,

o algarismo 2 no foi obtido atravs de uma medio e, portanto,no entra na avaliao do nmero de algarismos signicativos resultantes da operao. Este conceito se aplica a todas operaes semelhantes onde os nmeros que constam na operao so provenientes das frmulas e no obtidos atravs de medidas.

01. Escreva em notao cientca e d a ordem de grandeza dasmedidas abaixo:

a) 130m b) 0,130m c) 13.104md) 100m e) 0,100m

Soluo:a) 130m possui trs algarismos signicativos. 130m = 1,30.102m e a

potncia de dez que mais se aproxima da medida 102m. Portanto da ordem de 102m.

b) 0,130m possui trs algarismos signicativos. 0,130m = 1,30.101m ea potncia de dez que mais se aproxima da medida 101m. Portanto da ordem de 101m.

c) 13.104m possui dois algarismos signicativos. 13.104m = 1,3.103m ea potncia de dez que mais se aproxima da medida 103m. Portanto,a ordem de grandeza de 103m

d) 100m possui trs algarismos signicativos. 100m = 1,00.102m. A potncia de dez que mais se aproxima da medida 102m. Portanto aordem de grandeza 102m.

e) 0,100m possui trs algarismos signicativos.0,100m = 1,00.101m e a potncia de dez que mais se aproxima damedida 101m. Portanto a ordem de grandeza 101m.

01. (UPE) O lpis da gura teve seu comprimento medido com uma rguamilimetrada (17,25 cm) e o seu dimetro com um paqumetro (0,750 cm). Utilizando a teoria dos algarismos e as regras de arredondamento, marque a alternativa que representa a rea lateral do lpis, considerando-o como um cilindro.(considere = 3)

a) 38,8125cm2 b) 38,0cm2 c) 39,0cm2

d) 38,8cm2 e) 39cm2

02. Adicionando 1,74.105cm3 de gua a 2,3.103cm3 deste mesmolquido, o volume total obtido ser melhor expresso por:a) 1,97.105cm3 b) 1,97.103cm3 c) 1,97.108cm3d) 1,76.105cm3 e) 1,76.103cm3

03. (ITA) A massa inercial mede a diculdade em se alterar o estadode movimento de uma partcula. Analogamente, o momento de inrcia de massa mede a diculdade em se alterar o estado de rotao de um corpo rgido.

No caso de uma esfera, o momento de inrcia em torno de um eixo que

passa pelo seu centro dado por 22I MR5

= , em que M a massa da esfe-

ra e R seu raio. Para uma esfera de massa M = 25,0kg e raio R = 15,0cm, a alternativa que melhor representa o seu momento de inrcia :a) 22,50 102kg m2 b) 2,25kg m2 c) 0,225kg m2d) 0,22kg m2 e) 22,00kg m2

02. Analise a medio re-presentada na gura, onde, a escala est em centmetros. Represente a medida em notao cientca e d a sua ordem de grandeza em metros.

Soluo: Pela gura temos certeza que a medida est situada entre 3 e 4 centme-tros. Uma avaliao do segundo algarismo signicativo seria algo em torno de 0,8cm. Portanto a medida ca 3,8cm (dois algarismos signicativos). Em notao cientca em metros temos: 3,8.102m.A ordem de grandeza para esta medida pode ser 102m ou 101m.

03. Qual a ordem de grandeza, em km/h, da velocidade orbital daTerra em torno do Sol ? A distncia mdia da Terra ao Sol 1,5 x 108 km.

Soluo Velocidade a relao entre a distncia e o tempo. A distncia percorrida pela Terra em um ano aproximadamente: D = 2. .R D = 2 . . 1,5.108 km O tempo de translao em horas pode ser calculado por T = 365 . 24 h

Ento temos: 8

5D 2 1,5 10V 1,07.10 km/ht 365 24

p = =

Portanto a ordem de grandeza 105km/h.

01. (UFPE/UFRPE) Em um bairro com 2500 casas, o consumomdio dirio de gua por casa de 1000 litros. Qual a ordem de grandeza do volume que a caixa dgua do bairro deve ter, em m3, para abastecer todas as casas por um dia, sem faltar gua?a) 103 b) 104 c) 105 d) 106 e) 107


3 4


DB

A

E

C

Tpico 02

FSI

CA I

02. (UFPE/UFRPE) A UNESCO declarou 2005 o Ano Internacional daFsica, em homenagem a Albert Einstein, no transcurso do centenrio dos seus trabalhos que revolucionaram nossas idias sobre a Natureza. A equivalncia entre massa e energia constitui um dos resultados importantes da Teoria da Relatividade. Determine a ordem de grandeza, em joules, do equivalente em energia da massa de um pozinho de 50g. a) 109 b) 1011 c) 1013 d) 1015 e) 1017

03. (UNIFOR) Duas pores de p de caf tm massas de 0,0515 kge 0,206 kg, medidas em balanas diferentes. A soma das duas massas MELHOR representada, em kg, por:a) 2,58 b) 2,58 x 10-2 c) 2,58 x 10-1

d) 2,575 x 10-2 e) 2,575 x 10-1

04. (UFPE/UFRPE) O fluxo total de sangue na grande circulao,tambm chamado de dbito cardaco, faz com que o corao de um homem adulto seja responsvel pelo bombeamento, em mdia, de 20 litros por minuto. Qual a ordem de grandeza do volume de sangue, em litros, bombeado pelo corao em um dia?a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 106

05. (UPE) A gura apresenta medidas de uma mesa efetuadas cominstrumentos de precises diferentes. A relao de medidas est apre-sentada a seguir. Escolha a mais precisa.a) A= 2,5cmb) B= 35,0 mmc) C= 135 cmd) D= 15 mme) E= 1,15m

06. (UFRGS) Um corpo metlico possui cerca de 1027 tomos. Aosofrer um polimento supercial foram retirados 1019 tomos. A ordem de grandeza do nmero de tomos do corpo aps o polimento :a) 103 b) 1019 c) 1020 d) 1023 e) 1027

07. (UFPB) A ordem de grandeza da massa de litro de gua, emgramas, : (dado: densidade da gua 1g/cm3)a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

08. (UFC) A prxima gerao de chips da Intel, os P7, estar saindo dafbrica dentro de dois anos, reunindo nada menos do que dez milhes de transistores num quadradinho com quatro ou cinco milmetros de lado.

(Revista ISTO , n 1945, pgina 61).

Tendo como base a informao acima, podemos armar que cada um dos transistores ocupa uma rea da ordem de:a) 10-2 m2 b) 10-4 m2 c) 10-8 m2

d) 10-10 m2 e) 10-12 m2

09.(UPE) Com base na teoria dos algarismos signicativos, com autilizao da rgua centimetrada (gura a seguir), correto armar que o comprimento da barra acima da rgua

a) 7,30cm b) 7,35cm c) 7,3cmd) 73,0mm e) 7,40cm

Imagine-se em um pomar observando uma macieira, quando, de repente, uma ma se desprende do galho e cai. Formulamos ento as seguintes perguntas:

Qual a altura da queda? Qual o tempo gasto para a ma atingir o solo? Por que a ma caiu?

Podemos perceber que as duas primeiras perguntas procuram descrever o movimento de queda da ma, enquanto a terceira pergunta procura obter a causa desse movimento.

As duas perguntas iniciais so cinemticas: elas buscam a descrio do movimento sem levar em conta suas causas.

Cinemtica a parte da Mecnica que descreve os movimentos sem se preocupar com suas causas.

Ponto Material

Ao analisarmos um movimento, muito importante sabermos qual a inuncia exercida pelo tamanho do corpo sobre esse movimento.

Assim, o comprimento de um automvel que se desloca por uma rodovia entre duas cidades vizinhas no interfere no estudo de seu movimento, j que pode ser considerado desprezvel quando comparado com o comprimento da estrada. Satisfeita essa condio, podemos dizer que o automvel um ponto material.

Um corpo chamado de ponto material quando suas dimen-ses no interferem no estudo de um determinado fenmeno.Um corpo considerado corpo extenso quando suas dimenses so relevantes para o estudo do seu movimento, ou seja, quando as dimen-ses do corpo no podem ser desprezadas.

Referencial

Os movimentos de um mvel devem ser analisados em relao a um sistema de referncia, tambm chamado referencial.

O referencial est, geralmente, associado a outro corpo. Um corpo em relao ao qual medimos as distncias percorridas pelos outros corpos denomina-se referencial.

Repouso e Movimento

Sabemos que voc j tem boas noes sobre o que signica um corpo estar em movimento ou em repouso. Porm, vamos ampliar seus conhecimentos sobre um corpo em movi-mento ou em repouso, conceituando-os de maneira bastante rigorosa.

Imaginemos a seguinte situao: um passageiro encontra-se sentado na poltrona de um nibus. A seu lado est outro passageiro, tambm sentado. L fora tudo parece agitado: pessoas, veculos, rvores, postes cam para trs passagem do nibus.

Em relao a um observador xo margem da rodovia (uma pessoa, por exemplo), o passageiro vai se distanciando, ou seja, sua posio vai mudando no decorrer do tempo. O passageiro est em movimento em relao a esse observador. Porm, em relao a um observador xo no interior do nibus (o outro passageiro, por exemplo), sua posio no muda no decorrer do tempo. O passageiro est em repouso em relao a esse observador.

Obs.: quando o referencial no mencionado, subtende-se que o referencial seja a TERRA.

CINEMTICA

A cinemtica se dedica descrio geomtrica do movimento dos corpos atravs do seu equacionamento. As duas grandezas bsicas da cinemtica so o comprimento e o tempo.


6


5

Pv

C

P

(S)

km 140km 120

km 100

km 160

s (km)

v > 0

Progressivo

km 140km 120

km 100

km 160

s (km)

v < 0

Retrgrado

FSI

CA I

Trajetria

a linha imaginria determinada pelas diversas posies ocupa-das pelo corpo em movimento no espao no decorrer do tempo, em relao ao observador e ao referencial adotado. Logo, a trajetria um conceito relativo.

Suponha um avio voando com velocidade constante. Se num certo instante ele abandonar uma bomba, ela cair segundo uma trajetria vertical em relao s pessoas do avio. Porm, para um observador parado na Terra, vendo de lado o avio, a trajetria ser parablica.

Trajetriaretilnea emrelao ao piloto

Trajetria Curvilnea em relao ao solo

solo

Exemplos:Vamos analisar a trajetria do movimento de um corpo aban-

donado em queda livre dentro de um trem com ar condicionado, que caminha com velocidade constante em relao ao solo.

O trem possuir ar condicionado signica que o mesmo her-meticamente fechado e isolado de correntes de ar externas.Como a trajetria depende do referencial, podemos considerar dois referenciais: um xo no trem (T), um passageiro, por exemplo; outro, xo no solo (S), um observador qualquer. Em relao ao (T) no trem, o corpo cai verticalmente; em relao ao referencial (S) no solo, o corpo descreve uma curva. Essa curva um ramo de parbola se desprezarmos a resistncia do ar.

(s)

Vamos analisar a trajetria do movimento de um ponto P da periferia de uma roda que gira em torno de um eixo C. A rotao de P uniforme e o eixo C se desloca horizontalmente com velocidade constante. A trajetria depende do referencial: em relao ao referencial (E) no eixo da roda, a traje-tria uma circunferncia .

Em relao ao referencial (S) no solo, a tra-jetria uma curva mais complexa chamada ciclide.

Posio

o valor algbrico da distncia medida sobre a trajetria entre o mvel e a origem dos espaos estabelecida. A posio indica apenasonde est o mvel na trajetria.

Os valores das posies no indicam distncias percorridas, mas apenas os pontos ocupados pelo mvel.

Deslocamento Escalar (x)

a diferena algbrica entre a posio nal e a posio inicial, ou seja, f ox x x = , indicando as mudanas de posio do mvel sobre uma trajetria.

Distncia percorrida (d)

a soma dos mdulos dos deslocamentos parcias ao longo da trajetria, levando-se em conta o modo como a trajetria foi percorrida. a distncia efetivamente percorrida.

Velocidade Escalar Mdia (vm)

Seja um eixo orientado, onde O a origem dos espaos.

x1 x2

t2t10

O

No instante t1, o mvel encontra-se na posio x1. No instante t2, o mvel encontra-se na posio x2. Chamamos de x=x2x1(deslocamento escalar) e t = t2 t1 (o intervalo de tempo gasto pelo mvel para ir de x1 a x2).

A velocidade escalar mdia a razo entre o deslocamento escalar e o intervalo de tempo gasto para este deslocamento.

mx

vt

=

Como t > 0, podemos concluir que:

Se x2 > x1 x > 0 vm > 0.Se x2 < x1 x < 0 vm < 0.Se x2 = x1 x = 0 vm = 0.

Velocidade Escalar Instantnea

Suponha que os pontos x1 e x2 so muito prximos e que o intervalo de tempo entre os dois instantes seja muito prximo de zero. Nesta situao, temos a velocidade instantnea do mvel.

t 0

xv lim

t =

As unidades no SI para a velocidade m/s. Porm, existem outras unidades utilizadas no dia-a-dia: km/h; cm/s; m/h, etc.

Obs.:Converso de unidades: (Regra Prtica)

3,6

.3,6km /h m/ s

Movimento Progressivo e RetrgradoClassicao quanto ao sentido do percurso:

Uma VELOCIDADE POSITIVA indica que o movimento coinci-dente com a orientao positiva da trajetria. Suas posies cres-cem algebricamente no decurso do tempo e o movimento dito PROGRESSIVO.

Uma VELOCIDADE NEGATIVA indica que o movimento se d contra a orientao positiva da trajetria. Suas posies decrescem algebricamente no decurso do tempo e o movimento chamado RETRGRADO.

Movimento Uniforme (MU)

Nos movimentos uniformes, os mdulos dos deslocamentos escalares e da distncia percorrida so iguais, para intervalo de tempos iguais, pois o mdulo da velocidade escalar constante. Quando isto ocor-re, dizemos que o mvel est animado de movimento uniforme (MU).Dizemos ento que os valores da velocidade escalar instantnea e o valor da velocidade escalar mdia so os mesmos.

MU: mx

v cte 0 v vt

= = =


7 8


Questes Resolvidas

x

x0

t

Automvelv

Ferrovia

Rod

ovia 200 m 120 m

20 m/s

Trem

d

hx

d

H

Questes Propostas

AB


t (h)

H (m)

1,50

1,00

0,50

0

0 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0 11,0

FSI

CA I

Obs.: Caso a trajetria seja uma RETA, temos um MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME (MRU)

Funo Horria da Distncia no MU

2 1x x x = para o instante inicial igual a to=0 temos:

0x x x = e 0t 0

0t t t t t= = =

Ento: 00 0

x xxv v t x x x x v t

t t= = = = +

onde:x a posio do mvel no instante tx0 a posio inicial do mvel no instante t0=0

v a velocidade do mvel

t o tempo

01. (CESGRANRIO) Uma cena, lmada originalmente a uma veloci-dade de 40 quadros por segundo, projetada em cmara lenta a uma velocidade reduzida de 24 quadros por segundo. A projeo dura 1,0 minuto. Qual a durao real da cena lmada?

Soluo:O comprimento do lme, ou nmero de quadros, o mesmo em ambos

os casos ento a velocidade inicial ca t

xv

= e a velocidade em

cmera lenta ca L

L tx

v

= ento v t = vL tL

Substituindo os valores temos:s36

40s6024

tmin124t40 ===

02. O motorista de um autom-vel, moo muito distrado, dirige seu veculo com velocidade constante v pela rodovia representada na gura.Um trem de 120 m de comprimento, com velocidade constante de 20 m/s, move-se pela ferrovia, que cruza com a rodovia sem nenhuma sinalizao. Num determinado instante, o autom-vel e o trem esto nas posies indicadas. Para que valores v do automvel no haver acidente? Considere o automvel um ponto material.

Soluo:Para que o automvel no colida com o trem, esse deve passar antes do trem ou depois do trem.Calculamos dois instantes ento: o instante que o trem chega no cruzamento e o instante que este sai do cruzamento. O primeiro instante temos.

1200

t 10s20

= = e o segundo instante 2200 120

t 16s20+= =

Portanto o automvel deve percorrer a distncia d em menos de 10s ou aps 16s. A velocidade do veculo, para no ocorrer acidente ca:

1 2d d

V ou V 10 16

> 0 movimento aceleradoa . v < 0 movimento retardado

No ponto em que o mvel muda o sentido de seu desloca-mento, a velocidade zero e, portanto, a tangente curva, no grco do deslocamento pelo tempo, paralela ao eixo do tempo, indicando que a velocidade neste ponto nula.

tt0

x

v=0

Mdulo da velocidade

diminui

Mdulo da velocidade aumenta

v > 0 e o movimento

acelerado

v < 0 e o movimento

retardado

a>0

v < 0 e o movimento

acelerado

tt0

v=0

Mdulo da velocidade

diminui

Mdulo da velocidade aumenta

v > 0 e o movimento

retardado

a

Questes Resolvidas

50

30

10

0 4 6 t(s)

x(m)

8,0

2,0

-8,0

4,0 6,0 t(s)

v (m/s)

+

-

642

8

-8

0 10

100

v2 (m2.s-2)

s(m)

FSI

CA I

tt0

v

v0

V=0 mvel pra

a>0 retardado

a>0 v>0

acelerado progressivo

a>0 e constante

v

1200

1000

800

x y z

600

400

200

00 5 10 15 20 25 30 35 t(s)

x(m)

y

x

z


Questes Propostas

-30

-20

-10

0

10

20

30

t(s)1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

a(m/s2)

1 2 3 4

1

2

t(s)

A

B

0

v(m/s)

vA

vB

3,0 6,00 t(s)

x(m) FSI

CA I

Determine:a) a posio em t0 = 0.b) a acelerao escalar.c) a velocidade escalar em t = 3 s.

Soluo:Como o vrtice encontra-se no eixo s isto signica que v0= 0, em t = 0.

Pela funo horria temos x = x0 + 0v t

0

at2

+

substituindo valores nos dois pontos dados temos:

2 0 0

0

0 0

a 1 a48 x 48 x +

at 2 2x = x +a 22

57 x 57 x 2a2

= + = = + = +

Resolvendo este sistema de duas equaes e duas incgnitas, temos: x0 = 45 m, a = 6m/s

2

A velocidade escalar em 3s dada por:v = v0 + atv0 = 0v = 6 3 = 18m/s

Portanto as respectivas respostas so:

a) x0 = 45 m b) a = 6 m/s c) v(3) = 18 m/s

05.(UFPE/UFRPE) O grco ao ladorepresenta a velocidade de um ciclista, em funo do tempo, em um determina-do percurso retilneo. Qual a velocidade mdia do ciclista, em km/h, no percurso considerado?a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Soluo:

A velocidade mdia dada por: mx

Vt

=

Vemos pelo grco que t = 3,0h. Para

acharmos x, calculamos as reas, no grco vxt, do movimento progressivo e retrgado e os subtramos.

1b B h (1,5 1,0) 30

A 2,5 15 37,5 km.2 2

+ + = = = =

2(B b) h (1 0,5) 10

A 7,5km2 2

+ + = = =

Portanto x = A1 A2 = 37,5 7,5 = 30 km.

h/km10vhkm10

h0,3km30

tx

v mm ====

57

48

0 1 2 t(s)

s(m)

t(h)

v(km/h)

-10

0,0

10

20

30

1,0 2,0 3,0

30

20

10

0,0

-101,0 2,0 3,0 t (h)

v (km/h)

A1

A2

02. (UFPE/UFRPE) O grcoao lado mostra a posio, em funo do tempo, de trs carros que se movem no mesmo sentido e na mesma estrada retilnea. O intervalo de tempo que o carro Z leva entre ultrapassar o carro X e depois ultrapassar o carro Y de:a) 10 s b) 15 s c) 20 s d) 25 s e) 30 s

03 . (FCMSC) No grficoesto representadas as veloci-dades escalares va e vb de dois carrinhos A e B, em funo do tempo (t). Os carrinhos se movem, no mesmo sentido, em trilhos paralelos. No instante t=0s, os carrinhos esto na po-sio x = 0. Entre os instantes t=0s e t = 4,0 s passam um pelo outro duas vezes, respectivamente, nos instantes t1 e t2. Dos valores seguintes, qual o que mais se aproxima da diferena (t2 t1)?a) 1,0 s b) 1,6 s c) 2,0 s d) 2,7 s e) 3,0 s

01. (UPE) Um ponto material dotado de acelerao constante, partindodo repouso, percorre 12m nos primeiros 4s de movimento. No m dos 6 primeiros segundos ter percorrido a distncia de:

02. (UFSCAR) Em um piso horizontal um menino d um empurro em seucaminhozinho de plstico. Assim que o contato entre o caminhozinho e a mo do menino desfeito, observa-se que em um tempo de 6 s o brinquedo foi capaz de percorrer uma distncia de 9 m at cessar o movimento. Se a resistncia oferecida ao movimento do caminhozinho se manteve cons-tante, a velocidade inicial obtida aps o empurro, em m/s, foi dea) 1,5 b) 3,0 c) 4,5 d) 6,0 e) 9,0

03. (UFPE/UFRPE modicada) Ogrco ao lado representa a largada de um grande prmio de frmula 1, onde Schumacher e Barrichello saem da mes-ma linha de largada. Barrichello iniciou a corrida 3,0 s antes de Schumacher. Ambos avanam com acelerao constante e aps 6,0 s da largada de Barrichello, o mesmo ultrapassado por Schumacher. a) Obtenha a razo Vs/Vb entre as velocidades dos carros de Schumacher

e Barrichello, respectivamente, no momento da ultrapassagem.b) Obtenha a razo as/ab entre as aceleraes dos carros de Schumacher

e Barrichello, respectivamente, no momento da ultrapassagem

04. (UFSCAR) Uma partcula se move em uma reta com aceleraoconstante. Sabe-se que no intervalo de tempo 10 s ela passa duas vezes pelo mesmo ponto dessa reta, com velocidade de mesmo mdulo, v = 4,0m/s em sentidos opostos. O mdulo do deslocamento e o espao percorrido pela partcula nesse intervalo de tempo so respectivamente:a) 0,0 m e 10 m. b) 0,0 m e 20 m. c) 10 m e 5,0 m.d) 10 m e 10 m. e) 20 m e 20 m.

01. (UFPE/UFRPE) A gura mostrao grco da acelerao em funo dotempo para uma partcula que realiza um movimento composto de movimen-tos retilneos uniformemente variados. Sabendo que em t = 1,0 s a posio x= + 50 m e a velocidade v = + 20 m/s, calcule a posio da partcula no instante t=5,0 s, em metros.

Prof. Srgio Torres Caderno - 01 - Com Resolues das Questes Fsica

17 18


t(s)

v (m/s)

6,04,02,00,0

-2,0-4,0-6,0

20 4 6 8 10 12 14

B

A

x (km)

t (h)0

13,5

9,0

4,5

0,0 0,1 0,2 0,3

Tpico 04

yg

origem

v0

FSI

CA I

05. (UFSC) Uma partcula, realizando um movimento retilneo, desloca-se segundo a equao x = 2 4t + 2t2, onde x medido em metros e t, em segundos. Qual o mdulo da velocidade mdia, em m/s, dessa partcula entre os instantes t = 0 s e t = 4 s?

06. (UFAL) Um mvel descreve um movimento retilneo obedecendo funo horria: e = 40 + 10t 2,5t2, onde e o espao do mvel medido em metros e t, o tempo em segundos. Qual o espao do mvel, em metros, ao mudar de sentido?

07. (FEI) Um mvel parte de um certo ponto com um movimento queobedece lei horria S = 4t2, vlida no Sl. S a abscissa do mvel e t o tempo. Um segundo depois parte outro mvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetria. Qual a menor velocidade que dever ter esse segundo mvel, a m de encontrar o primeiro?

08. (UFPE/UFRPE - modicada) Um mergulhador deixa cair uma caixahermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m.a) Qual a acelerao da caixa, em m/s?b) Qual a profundidade do lago, em metros, se a caixa atinge o fundo do

lago 4,0 s depois do incio de sua queda?

09. (UFSM) No grco represen-tam-se em funo do tempo, as velocidades de um corpo que se desloca numa trajetria retilnea. Pode-se, ento, armar que o mdulo da acelerao do corpo:a) aumenta no intervalo de 0 s a 10 s.

b) maior no intervalo de 20 s a 40 s do que no de 0 s a 10 s.c) o mesmo nos intervalos de 0 s a 10 s e de 20 s a 40 s.d) diferente de zero no intervalo de 0 s a 10 s do que de 20 s a 40 s.e) menor no intervalo de 0 s a 10 s do que de 20 s a 40 s.

10. (UFPE/UFRPE) O grcorepresenta, aproximadamente, a velocidade de um atleta, em funo do tempo, em um trecho de um percurso retilneo. No instante em que ocorreu a mu-dana no sentido do movimento, a quantos metros da sua posio inicial (em t= 0s) se encontrava o atleta?a) 12 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42

11. (UFPE/UFRPE- modicada) A guraao lado ilustra as posies de dois carros que se movem no mesmo sentido, ao longo de estradas retilneas e paralelas. O carro A tem movimento uniforme, enquanto B desloca-se com movimento uniformemente variado, partindo do repouso em t = 0s. Qual a velocidade de B, em km/h, no instante em que ele alcana o carro A ?

Galileu vericou que durante a queda os corpos cam sujeitos a uma resistncia, devida ao ar, e isto retarda os seus movimentos; e que o efeito dessa resistncia mais acentuado sobre os corpos mais leves, isto , retarda mais os corpos de menor peso. Percebeu tambm que, se fosse possvel eliminar essa resistncia, dois corpos quaisquer, abandonados simultaneamente de mesma altura, chegariam juntos ao cho.

Hoje possvel vericar experimentalmente tal armao, uti-lizando-se o chamado tubo de Newton - um cilindro oco, onde se coloca dois objetos de pesos diferentes (por exemplo, a pena e a pedra) e do qual se retira praticamente todo o ar. Virando-se o tubo de modo que os objetos caiam de uma extremidade a outra, verica-se que tanto a pedra quanto a pena adquirem o mesmo movimento e chegam juntas extremidade oposta.

O movimento de queda de um corpo no vcuo chamado movimento em queda livre. esse tipo de movimento que passaremos a estudar.

Um corpo em queda no ar pode ser considerado em queda livre se obedecer s seguintes condies:1. O percurso deve ser curto. Durante o movimento do corpo,

as variaes de altura devem ser pequenas. Dessa forma, aacelerao da queda poder ser considerada constante e omovimento ser considerado uniformemente variado.

2. Corpos de pequenas dimenses e de grande densidade tornama resistncia do ar desprezvel.

3. A forma geomtrica do corpo deve ser tal que reduza os efeitosda resistncia do ar.

Leis da Queda Livre

1 Lei: Diferentes corpos, em queda livre em um local perto da superfcie da Terra, encontram-se submetidos mesma acelerao. Essa acelera-o denominada de acelerao gravitacional terrestre, sendo devido fora da atrao que a Terra exerce sobre os corpos.2a Lei: Diferentes corpos, abandonados de uma mesma altura no mesmo local da Terra, gastam o mesmo tempo para cair.

O valor considerado normal da acelerao medido na latitude de 45o, ao nvel do mar, e vale: g = 9,80665 m/s2 Usualmente, adota-se g = 9,8 m/s2

Na resoluo de problemas, comum utilizar g = 10 m/s2 para facilitar os clculos.

Lanamento Vertical para Baixo

Lanando-se verticalmente para baixo um corpo, com uma velocidade di-ferente de zero, num local onde se possa desprezar a resistncia do ar, ou mesmo no vcuo, e prximo da superfcie terrestre, podemos resolver este problema montan-do-se as equaes de movimento.

Equaes do Movimento

Equaes Lanamento vertical para baixo

Equao horria da velocidade v = v0 + gt

Equao horria da posio y = v0t + 12

gt2

Equao de Torricelli v2 = 20v + 2g(y)

30

t (s)0

10

10 20 40

v (m/s)

QUEDA LIVRE E LANAMENTOS VERTICAIS

Movimento em queda livre

Galileu foi o primeiro a perceber que havia algo mais a ser considerado se quisssemos estabelecer uma lei para queda dos corpos. Ele percebeu que o meio no qual os corpos se movem - no caso o ar - exerce um papel importante sobre o seu movimento de queda.


1920


gorigemy0

v0

y

Questes Resolvidas FSI

CA I

Lanamento Vertical Para Cima

Lanando-se verticalmente para cima um corpo, com uma veloci-dade diferente de zero, num local onde se possa desprezar a resistncia do ar, ou mesmo no vcuo, e prximo da superfcie terrestre, verica-se que:1. Durante a subida o movimento retilneo retardado. Ao atingir o pico

da trajetria sua velocidade se anula, invertendo-se o movimento.2. Aps atingir o pico da trajetria o corpo inicia seu movimento de

descida em queda livre. Tem-se movimento retilneo acelerado.3. A velocidade de subida em mdulo igual a velocidade de descida,

para uma mesma altura do projtil.

Equaes do Movimento

Equaes Lanamento vertical para cima

Equao horria da velocidade v = v0 gt

Equao horria da posio y = y0 + v0t - 12

gt2

Equao de Torricelli v2 = 20v - 2g(y - y0)

Tempo de Subida tsub= v0/g

Altura Mxima HMX= v02/2g

Grcos do Lanamento Vertical para cima a partir do Solo no Vcuo(referencial orientado para cima)

+

-

v0

0 ttTOTALtsubida

v

Velocidade X Tempo

y

y0

0

v = 0

tsubida tTOTAL t

y

Posio X Tempo

01. Um projtil lanado verticalmente para cima com velocidade20m/s de uma altura de 25m em relao ao solo. Desprezando a resis-tncia do ar e adotando g = 10m/s2 , determine:a) a funo horria da posio;b) o grco da posio versus tempo;c) a funo horria da velocidade;d) o grco da velocidade versus tempo;e) a altura mxima atingida;f) o instante que o projtil atinge o solo;g) a velocidade com que ele atinge o solo.Soluo:a) Sendo v0 = 20 m/s e y0 = 25 m, temos:

V0= 20m/sy0 = 25m

v0t0 = 0

g

0

y = y0 + v0t - 12

gt2 y = 25 + 20t - 5,0t2

b) Atribuindo valores a t, obtemos os correspondentes valores de y econstrumos o grco:

t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0y(m) 25 40 45 40 25 0

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

10

20

30

40

t(s)

y(m)

c) v = v0 gt v = 20 10t

d) Atribuindo valores a t, obtemos os valores de v e construmos o grco:

t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0v(m/s) 20 10 0 -10 -20 -30

-1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

10

20

t(s)

v(m/s)

-20

-10

-30

e) A altura mxima ser o valor de y para o qual v = 0. Ento:

v2 = 20v - 2g( y y0) 02 = 202 2 10(y 25) 0 = 400 20y + 500 20y = 900 y = 45 m

f) Quando o projtil atinge o solo, y = 0; ento:y = 25 + 20t 5t2 0 = 25 + 20t 5t2

Resolvendo essa equao, obtemos os valores: t = - 1,0s e t = 5,0s.Este ltimo o instante em que o projtil atinge o solo.

g) Sendo t = 5s, temos:v = 20 10t v = 20 10 5,0 v = - 30m/sou fazendo y = 0:

v2 = 20v - 2g( y y0) v2 = 202 2 10(0 25) v2 = 400 + 500 v = - 30 m/s

02. Uma criana joga uma pedra verticalmente para o alto e observaque ela volta s suas mos depois de 4,0s. Desprezando a resistncia do ar e admitindo g = 10 m/s2, responda:a) Com que velocidade ela lanou a pedra?b) Qual a altura mxima atingida pela pedra?c) Em que instantes a pedra est a 15 m de altura?d) Com que velocidades a pedra passa pela altura de 15 m?

Soluo:a) O tempo que a pedra para atingir a altura mxima :

totalH max

tt

2= tHmax = 2 s v = v0 g t temos:

0 = v0 10 2 ou seja v0 = 20m/s

b) A altura mxima ser aquela no instante 2s portanto:y = y0 + v0 t g t

2 ymax = 0 + 20 2 10 22 ymax = 20m

c) Como y = y0 + v0 t g t2 temos: 15 = 0 + 20 t 10 t2

resolvendo esta equao do segundo grau obtemos:t2 4 t + 3 = 0 t1 = 1s (subindo) e t2 = 3s (descendo)


21 22


Questes Propostas

0

d(m)

2 4 t(s)


FSI

CA I

t(s)

v(m/s)

0

20

1 2 3 4

10

-20

-10

6 Piso

Trreo

12 Piso

Considere g=10m/s2 onde for necessrio

01. (UFPE/UFRPE) Uma pulga pode dar saltos verticais de at 130vezes sua prpria altura. Para isso, ela imprime a seu corpo um impulso que resulta numa acelerao ascendente. Qual a velocidade inicial necessria para a pulga alcanar a altura de 0,2 m?a) 2m/s b) 5m/s c) 7m/s d) 8 m/s e) 9m/s

02. (UFPE/UFRPE) Uma pedra lanada para cima, a partir do topo deum edifcio de 60 m com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resis-tncia do ar, calcule a velocidade da pedra ao atingir o solo, em m/s.

03. (UFSM) O grco ao lado representaa velocidade de um objeto lanado vertical-mente para cima, desprezando-se a ao da atmosfera.Assinale a armativa INCORRETA.a) O objeto atinge, 2 segundos aps o lanamento,

o ponto mais alto da trajetria.b) A altura mxima atingida pelo objeto

20 metros.c) O deslocamento do objeto, 4 segundos aps o lanamento, zero.d) A acelerao do objeto permanece constante durante o tempo obser-

vado e igual a 10 m/s2.e) A velocidade inicial do objeto igual a 20 m/s.

04. (UFSC) Uma pequena bola lanadaverticalmente para cima, sob a ao somente da fora peso, em um local onde a acelerao da gravidade igual a 10 m/s2. O grco a seguir representa a posio da bola em funo do tempo.

Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).(01) No instante 2,0 s a bola atingiu a altura mxima e a acelerao

atuante sobre ela nula.(02) No instante 2,0 s a velocidade da bola e a fora resultante sobre

ela so nulas.(04) A velocidade inicial da bola igual a 20m/s.(08) A fora resultante e a acelerao permanecem invariveis durante

todo o movimento.(16) No instante 2,0 s a velocidade da bola nula, mas a acelerao e a

fora resultante que atuam sobre ela apresentam valores diferentes de zero.

(32) O movimento pode ser descrito pela funo d = 20t - 5t2. (64) A acelerao varivel e atinge o seu valor mximo no instante t = 4,0 s.

02.(MACKENZIE) Da janela de um apartamento,situado no 12 piso de um edifcio, uma pessoa abandona uma pequena pedra do repouso. Depois de 2,0 s, essa pedra, em queda livre, passa em fren-te janela de um apartamento do 6 piso. Admitindo que os apartamentos possuam mesmas dimenses e que os pontos de viso nas janelas esto numa mesma vertical, meia altura de cada uma delas, o tempo total gasto pela pedra, entre a janela do 12 piso e a do piso trreo, aproximadamente:a) 8,0 s b) 4,0 s c) 3,6 s d) 3,2 s e) 2,8 s

03. (UFRGS) Um projtil de brinquedo arremessado verticalmentepara cima, da beira da sacada de um prdio, com uma velocidade inicial de 10 m/s. O projtil sobe livremente e, ao cair, atinge a calada do prdio com uma velocidade de mdulo igual a 30 m/s. Indique quanto tempo o projtil perma-neceu no ar, supondo o mdulo da acelerao da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando os efeitos de atrito sobre o movimento do projtil.a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s

04. (UFC) Partindo do repouso, duas pequenas esferas de ao come-am a cair, simultaneamente, de pontos diferentes localizados na mesma vertical, prximos da superfcie da Terra. Desprezando a resistncia do ar, a distncia entre as esferas durante a queda ir:a) aumentar. b) diminuir. c) permanecer a mesma.d) aumentar, inicialmente, e diminuir, posteriormente.e) diminuir, inicialmente, e aumentar, posteriormente.

05. (PUC-PR) Em um planeta, isento de atmosfera e onde a aceleraogravitacional em suas proximidades pode ser considerada constante igual a 5 m/s2, um pequeno objeto abandonado em queda livre de determinada altura, atingindo o solo aps 8 segundos.Com essas informaes, analise as armaes:I. A cada segundo que passa a velocidade do objeto aumenta em 5 m/s

durante a queda.II. A cada segundo que passa, o deslocamento vertical do objeto igual

a 5 metros.III. A cada segundo que passa, a acelerao do objeto aumenta em 4 m/s2

durante a queda.IV. A velocidade do objeto ao atingir o solo igual a 40 m/s.a) Somente a armao I est correta.b) Somente as armaes I e II esto corretas.c) Todas esto corretas.d) Somente as armaes I e IV esto corretas.e) Somente as armaes II e III esto corretas.

06. (UFV) Uma bola solta de uma altura de 45,0 m e cai verticalmente.Um segundo depois, outra bola arremessada verticalmente para baixo do mesmo ponto. Sabendo que a acelerao da gravidade no local 10,0 m/s2 e desprezando a resistncia do ar, a velocidade com que a ltima bola deve ser arremessada, para que as duas atinjam o solo no mesmo instante, :a) 12,5 m/s b) 7,50 m/s c) 75,0 m/sd) 1,25 m/s e) 0,75 m/s

07. (FGV) Freqentemente, quandoestamos por passar sob um viaduto, observamos uma placa orientando o motorista para que comunique polcia qualquer atitude suspeita em cima do viaduto. O alerta serve para deixar o motorista atento a um tipo de assalto que tem se tornado comum e que segue um procedimento bastante elaborado. Contando que o motorista passe em determinado trecho da estrada com velocidade constante, um assaltante, sobre o viaduto, aguarda a pas-sagem do pra-brisa do carro por uma referncia previamente marcada

d) Como temos dois instantes que a pedra passa pela posio 15mdevemos calcular a velocidade para t1 = 1s e t2 = 3s:v = v0 g t v1 = 20 10 1 = 10m/s e v2 = 20 10 3 = 10m/s

Obs.: o sinal positivo de v1 signica que a pedra est subindo, en-quanto o sinal negativo de v2 signica que a pedra est descendo.

01. (UFPE/UFRPE) Numa experincia grosseira para determinar omdulo da acelerao da gravidade, uma bola lanada verticalmente para cima e sua altura de elevao medida. Se ela subir 4,5m e o tempo entre a partida e o retorno for 2,0s, qual o valor de g, em m/s2, que pode ser determinado nesta experincia?a) 8,9 b) 9,0 c) 9,2 d) 9,4 e) 9,8

c

7,2 m


23 24


Tpico 05

FSI

CA I

na estrada. Nesse momento, abandona em queda livre uma pedra que cai enquanto o carro se move para debaixo do viaduto. A pedra atinge o vidro do carro quebrando-o e forando o motorista a parar no acosta-mento mais frente, onde outro assaltante aguarda para realizar o furto. Suponha que, em um desses assaltos, a pedra caia por 7,2 m antes de atingir o pra-brisa de um carro. Nessas condies, desprezando-se a resistncia do ar e considerando a acelerao da gravidade 10 m/s2, a distncia d da marca de referncia, relativamente trajetria vertical que a pedra realizar em sua queda, para um trecho de estrada onde os carros se movem com velocidade constante de 120 km/h, est a

a) 22 m. b) 36 m. c) 40 m. d) 64 m. e) 80 m.

08. (UPE) Do alto de um edifcio abandona-se uma bola de ferroque durante o ltimo segundo percorre 25m. A altura do edifcio vale, em metros:a) 45 b) 40 c) 35 d) 80 e) 125

09. (UFC) Um chuveiro, situado a uma altura de 1,8m do solo, indevi-damente fechado, deixa cair pingos de gua a uma razo constante de 4 pingos/segundo. No instante de tempo em que um dado pingo toca o solo, o nmero de pingos, atrs dele, que j esto a caminho (use o valor da acelerao da gravidade, g=10m/s2):a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

10. (PUC) Um objeto em repouso largado do alto de um prdio dealtura H, e leva um intervalo de tempo T para chegar ao cho (despreze a resistncia do ar e considere que g = 10,0 m/s2). O mesmo objeto largado de H/4 chega no cho em um intervalo de tempo de (T - 3,0 s), ou seja, 3,0 segundos a menos que o objeto largado do alto.a) Calcule o valor de T. b) Calcule a altura H.

11. (UPE) Um objeto em queda livre percorre no ltimo segundo de quedaa altura correspondente a 8/9 da altura total. O tempo de queda vale:a) 1,2s b) 1,5s c) 1,8s d) 2s e) 2,5s

12. (UPE) Com referncia aos dados da questo anterior, a altura dequeda vale, em metros:a) 7,20 b) 11,25 c) 16,20 d) 40,00 e) 45,00

CINEMATICA VETORIAL

VETOR

As grandezas fsicas vetoriais so representadas por vetores, que so segmentos de reta orientados.

Uma grandeza vetorial perfeitamente denida quando se conhece o seu mdulo (intensidade), a unidade fsica, a direo e o sentido. Para algumas grandezas vetoriais faz-se necessrio identicar o ponto onde esta grandeza fsica est inuenciando determinado fe-nmeno fsico.

Caractersticas de um Vetor

Normalmente uma grandeza vetorial representada por um vetor escrita em negrito ou com uma seta em cima do smbolo que representa a grandeza fsica. (Exemplo: velocidade v

ou v)

Mdulo: valor do vetor (em mdulo) com a unidade fsica;

Direo: a direo da reta suporte do vetor;Sentido: o sentido determinado pela seta do vetor

Sentidodireo

s a b c d= + + +

Vetores iguais e vetores opostos

vetores

iguais sentidos opostos

Um vetor igual ao outro quando tem a mesma intensidade, direoe sentido.

Vetores opostos tm a mesma direo (reta suporte), intensidade,mas sentidos opostos.

Adio de Vetores:

Existem vrias regras para a adio de vetores. Vamos analisar os casos imediatos e duas regras de adio, a regra do polgono e a regra do paralelogramo.

Regra do Polgono

Aplicvel para qualquer nmero de vetores.Ligamos a extremidade de um vetor origem de outro vetor,

em qualquer seqncia at contemplar todos os vetores da soma

a b

dc

a b

cd

s

O vetor soma aquele que parte da origem do primeiro vetor extremidade do ltimo vetor.

Regra do Paralelogramo

S pode ser aplicada para dois vetores.Passos

a

sb

1 Ligamos as origens dos dois vetores;2 Traamos paralelas a um vetor a partir da extremidade do outro vetor;3 O vetor soma encontrado ligando o ponto de encontro das paralelas

origem coincidente dos dois vetores

O vetor soma substitui os efeitos dos demais vetores, simulta-neamente.

Mdulo do vetor soma

Podemos obter o mdulo do vetor soma para qualquer ngulo formado entre os vetores. Assim, vamos demonstrar a expresso do mdulo do vetor soma.

a

sb y

xA

C

ED


25 26


Questes Resolvidas

FSI

CA I

Substituindo a equao ( II ) em ( I ), obtm-se: s2 = a2 + 2ax + b2 (III)Da geometria da gura, pode-se identicar no tringulo DEC:

xcos (IV)

b =

Substituindo a equao ( III ) em ( IV ), obtm-se:

s2 = a2 + b2 + 2ab cos

Casos especiais:

Se = 0 vetor soma tem mesmo sentido e direo dos vetores ( s = a + b ) Se = 90 ( s2 = a2 + b2 ) Se = 120 e a = b (mdulos iguais) s = a = b Se = 180 Supondo a > b, o vetor soma tem mdulo igual subtrao dos mdulos dos vetores a e b ( s = a b )

Intervalo do mdulo do vetor soma:

a b s a b + Mdulo vetor soma mxima: a + bMdulo vetor soma mnima: a b

Subtrao de vetores

Pode-se obter direto o vetor subtrao a partir da lei dos cossenos aplicando na gura.

d2 = a2 + b2 - 2ab cos

Mas uma forma fcil de obter o vetor subtrao transformar em vetor soma:

d a b a ( b)= = +

Produto de um nmero real por um vetor

O produto de um vetor a

por um nmero real n um vetor demesma direo de a

. Apresenta o mesmo sentido que a

se n for um

nmero positivo e sentido contrrio ao de a

se n for negativo.

O mdulo deste novo vetor n a

.

n0

an.a an.

Decomposio de um vetor

Dado um vetor v

e um sistema cartesiano Oxy, as projees

Xv

e Yv

do vetor v

sobre os eixos Ox e Oy denominam-se componentesdo vetor em relao a esses eixos.

VVy

0Vx

A

B

y

x

Para calcular as componentes ortogonais do vetor, utilizamos o ngulo de inclinao do vetor em relao ao eixo Ox.

Obs.: tanto o eixo Ox quanto o eixo Oy devem estar na mesma escala.

Para o tringulo OAB, valem as relaes trigonomtricas:

yy

vsen v v sen

v = =

ento, yv

o mdulo da componente

vertical do v

.Com mesmo raciocnio temos:

xx

vcos v v cos

v = =

e portanto, xv

o mdulo da componente

horizontal de v

.

Com isso podemos representar o vetor v

como a soma vetorial de x yv v+

, ou seja, x yv v v= +

.

Notao 1: ( )x yv v ,v=

onde Vx e vy so os mdulos das compo-nentes octogonais do vetor v

.

Vetores unitrios

Considere a gura a seguir, o vetor i

perpendicular ao vetor j

, e i j 1= =

.

Cada quadriculado tendo medida igual a 1. Os vetores i

ej

so chamados vetores unitrios.

Podemos representar qualquer vetor em funo dos vetores unitrios. Seja a

um vetor qualquer indicado na gura a seguir. Fazendo a decomposio de a

nas direes dos vetores i

e j

, obtemos 1a

e 2a

, como 1a 2 i=

e 2a 3 j=

, podemos escrever 1 2a a a= +

ento a 2 i 3 j= +

.

a

j

i

a

j

i

a1

a2

Notao 2: x yv v i v j= +

i

j

Teorema de Pitgoras aplicado ao tringulo AEC:s2 = (a + x)2 + y2 = a2 + 2ax + x2 + y2 (I)

Teorema de Pitgoras aplicado ao tringulo DEC: b2 = x2 + y2 (II)

a

d

b

a

d

-b

01. Dados os vetores a =2i 2j, b = 3i j e c = 4i 4j, onde i e j sovetores ortogonais e unitrios, resolva a equao: c 3b = 2a 3x

Soluo: Seja c 3b = 2a 3x (I).Escrevendo na equao (I) as componentes dos vetores, temos:(4i - 4j) - 3 (-3i - j) = 2 (2i - 2j) - 3x

Isolando x, obtemos 3x = 4i+4j +3(3ij) + 2(2ij) 3x =4i+4j9i3j+4i2j

3x = 9i j j31

i3x =


27 28


FSI

CA I

Questes Propostas

vA = 10 m/svB = 4 m/s

vA = 2 m/svB = 3 m/s

vA = 15 m/svB = 7 m/s

05. (UNIFESP) Na gura so dados os vetores ceb,a .Sendo u a unidade de medida do mdulo desses vetores, pode-se armar que o vetor cbad += tem mdulo:

ua b c

a) 2u, e sua orientao vertical, para cima.b) 2u, e sua orientao vertical, para baixo.c) 4u, e sua orientao horizontal, para a direita.

d) 2 u, e sua orientao forma 45 com a horizontal, no sentidohorrio.

e) 2u, e sua orientao forma 45 com a horizontal, no sentido anti-horrio.

06. (FCC) Qual a relao entre os vetores ReP,M,N , represen-tados abaixo?

a) 0RPNM =+++ b) NRMP +=+

c) NMRP +=+ d) NMRP =

e) MNRP =++

01. Dene-se velocidade relativa de um mvel A em relao a ummvel B pela equao vetorial AB A Bv v v=

, sendo:

ABv

a velocidade de A em relao a B

Av

a velocidade de A em relao Terra

Bv

a velocidade de B em relao Terra

Determine ABv

nos seguintes caso:

a) VBVA

b) VA VB

c)

60

VA

VB

02. Calcule o mdulo do vetor soma dosvetores a

, b

e c

indicados na gura.Dados: a = 20cm; b = 10cm; c = 10cm; sen 60 = 0,80; sen 45 = cos 45 = 0,7

03 . A f igura mostra seis vetores,FeE,D,C,B,A que formam um hex-

gono. De acordo com a gura, podemos armar que:a) A6FEDCBA =+++++b) FEDCBA =++c) A3FEDCBA =+++++d) FEDCBA +=++e) 0CBA =++

04. (UEL) Duas foras, uma de mdulo 30N e outra de mdulo 50N,so aplicadas simultaneamente num corpo. A fora resultante R cer-tamente tem mdulo R, tal que:a) 20N R 80N b) R > 50N c) R = 80Nd) R > 30N e) 30N R 50N

02. Um jogador de golfe necessita de quatrotacadas para colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos esto representados na gura. Sen-do d1=15m, d2=6,0m, d3=3,0m e d4=1,0m, a distncia inicial da bola ao buraco era, em metros, igual a:a) D=5,0 b) D=11 c) D=13d) D=17 e) D=25

Soluo :Vericando as distncias percorridas ortogonalmen-te temos a sua representao na gura ao lado:

Utilizando Pitgoras temos: d2 = 122 + 52 d = 13m

ALTERNATIVA C

.

..d2

d3

d1

d4

buraco

.

..d2

d3

d1

d4

d

6-1=5m

15-3=12m

15m

6m

3m

1m

buraco

4560

b a

cx

y

C D

B E

FA

M

N

R

P


01. (UNB) Considere um relgio com mostrador circular de 10cmde raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no cen-tro do relgio e direo varivel. O mdulo da soma dos trs vetores determinados pela posio desse ponteiro quando o relgio marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por m, 12 horas e 40 minutos , em cm, igual a:

a) 30 b) 20 c) 10(1 + 3 )d) zero e) 25

02. (UNB) Ao se determinar a resultante de seis vetores de mesmo m-dulo k, pelo mtodo do polgono, foi obtido um hexgono regular dando resultante nula. Se trocarmos o sentido de trs deles, altermadamente, qual o mdulo da nova resultante?

03. (UFS) No esquema a seguir estorepresentadas duas foras aplicadas em um ponto P. Qual o mdulo da resultante dessas duas foras? (Neste esquema, um segmento de 1 cm de comprimento representa uma fora de mdulo igual a 1 unidade.)

04. (UFMG) Dois vetores perpendiculares entre si tm mdulos 6cme 8cm, respectivamente, determine o mdulo da soma vetorial.

05. (UFPE/UFRPE) Se a resultante de duas foras de mesmo m-dulo menor que cada componente, conclumos que o ngulo entre as componentes :

a) zero b) entre 30 e 60 c) igual a 60d) igual a 90 e) entre 120 e 240

P

1cm

1cm


29 30



FSI

CA I

06. (UFC) A gura mostra o mapa deuma cidade em que as ruas retilneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteiro mede 100 m. Voc caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, at a casa de sua av, na esquina B. Dali segue at sua escola, situada na esquina C. A menor distncia que voc caminha e a distncia em linha reta entre sua casa e a escola so, respectivamente:a) 800 m e 1.400 m. b) 1.600 m e 1.200 m.c) 1.400 m e 1.000 m. d) 1.200 m e 800 m.e) 1.000 m e 600 m.

07. (UFC) Analisando a disposio dos vetores BA , EA , CB , CD e DE

, conforme gura abaixo, assinale a alternativa que contm a

relao vetorial correta.

a) CB CD DE BA EA+ + = +

b) BA EA CB DE CD+ + = +

c) EA DE CB BA CD + = +

d) EA CB DE BA CD + =

e) BA DE CB EA CD = +

08. (UFPB) Conforme a gura ao lado, um barco, puxado por doistratores, navega contra a corrente de um trecho retilneo de um rio. Os tratores exercem, sobre o barco, foras de mesmo mdulo (F1 = F2), enquanto a corrente atua com uma fora cF cujo mdulo 1,92 104N. Sabendo-se que o barco e os tratores movem-se com velocidades constantes, que sen = 0,80 e cos = 0,60, ento o valor de F1

a) 1,20 104Nb) 1,60 104Nc) 1,92 104Nd) 2,40 104Ne) 3,84 104N

09. (MACKENZIE) Na gura esto repre-sentados cinco vetores de mesma origem e cujas extremidades esto sobre os vrtices de um hexgono regular cujos lados medem k unidades. Calcule o mdulo da resultante desses vetores.

10. (UFAC) Da soma de dois vetores, obteve-se um vetor resultantecujo valor 5u. Determine o ngulo formado entre os dois vetores, sabendo que um deles tem mdulo 4u e o outro tem mdulo 6u.

a c

e

db

Tpico 06

VETOR POSIOVamos partir do seguinte exemplo: um astrnomo deseja es-

tudar o movimento de um cometa recm descoberto. Como descrever a posio desse cometa? Ser possvel utilizar a grandeza espao, da mesma forma que se localiza um carro em uma estrada?

Lembramos que a posio de um ponto material a distncia entre o ponto e a origem, medida sobre a trajetria. Ora, se o cometa acaba de ser descoberto, no se conhece sua trajetria. Portanto, no se pode localiz-lo por esse processo.

Um mtodo mais abrangente para se localizar um ponto ma-terial o vetor posio, que vai de um ponto de referncia at o ponto material

O vetor posio de um ponto P em relao a um ponto O de referncia o vetor r

, cujo mdulo o comprimen-to do segmento OP, a direo a da reta suporte OP e o sentido de O para P.

x y zr r r r= + +

ou x y zr r i r j r k= + +

Vetor Deslocamento

Prosseguindo com o exemplo do cometa, o astrnomo quer obter o deslocamento entre duas posies sucessivas P1 e P2. Para isso,ele determina os vetores posio 1r

e 2r

, correspondentes a essas

posies.O vetor deslocamento entre P1 e P2 o vetor r

, obtido peladiferena vetorial entre 1r

e 2r

.

rSolVetor posio r

P

0

P2

P1

r1

r2

P2

P1

r1

r2 r

P2

P1r

Observe que r

tem origem em P1 e extremidade em P2.O vetor deslocamento entre duas posies sucessivas P1 e P2 aquele cujo mdulo a distncia em linha reta entre P1 e P2 , a direo a da reta suporte de P1P2 e o sentido de P1 para P2.

O mdulo do vetor deslocamento dado pela diferena entre os vetores posio 1r

e 2r

.

O mdulo do vetor deslocamento a menor distncia entre os pontos P1 e P2.

Velocidade Vetorial Mdia

Sendo o deslocamento uma grandeza vetorial, vamos denir

velocidade vetorial mdia como a relao: mr

vt

=

onde r

o deslocamento e t o intervalo de tempo necessrio paraefetuar esse deslocamento.

r1

r2r

x

trajetria

P2(t2)

P1(t1)

O mdulo do vetor deslocamento sempre menor ou igualao mdulo do deslocamento escalar, a igualdade ocorrendono caso de uma trajetria retilnea.

Em movimento retilneo, a velocidade escalar mdia , emmdulo, igual velocidade mdia.

A direo do vetor mv

a mesma do vetor r

, portantosecante trajetria.

100m

C

D

B

A

B

AE

D

C


31 32


ac

v

FSI

CA I

Velocidade Vetorial Instantnea

Considere o movimento de um mvel do ponto P1 para o ponto P2, sobre a curva da gura. Quanto mais prximo o ponto P2 estiver do ponto P1, o vetor r

tende a car tangente trajetria pelo ponto P1.

P1(t1) P2(t2)P2(t2)

P2(t2)

Trajetria

Portanto, para t tendendo a zero (o instante t2 praticamen-te igual ao instante t1), o vetor velocidade mdia denominado vetor velocidade instantnea e indicada apenas por v

.

tr

limv0t

=

e r xt t

=

quando t 0

A direo do vetor velocidade instantnea sempre tangente trajetria;

O sentido do vetor v

o sentido do movimento; O mdulo do vetor velocidade instantnea igual ao mdulo do vetor

velocidade escalar instantnea.

Acelerao Vetorial Mdia

Dene-se como acelerao vetorial mdia o quociente entre a variao da velocidade do mvel entre dois instantes quaisquer.

2 1m

2 1

v v va

t t t = =

Acelerao Vetorial Instantnea

A acelerao vetorial instantnea a acelerao de um mvel num determinado instante.

tv

lima0t

=

Trajetria Retilnea

O vetor acelerao instantnea a

tem a mesma direo da trajetria e a acelerao vetorial tem o mesmo mdulo da acelerao escalar.

v va a

+ +

Trajetria Curvilnea

Neste caso o vetor a

aponta para dentro da curva e pode ser decomposto em dois vetores: acelerao tangencial t(a )

e acelerao

centrpeta c(a )

, onde t ca a a= +

.

.tange

nte

a

at

ac

normal

trajetria

Como a acelerao tangencial perpendicular acelerao centrpeta, por Pitgoras, temos:

2 2 2t ca a a= +

A acelerao tangencial aquela responsvel pelo aumento do mdulo do vetor velocidade.

O mdulo do vetor acelerao tangencial igual ao mdulo da acelerao escalar do mvel.

Movimento Acelerado

at v

Movimento acelerado

Movimento Retardado

atv

Movimento retardado

Acelerao centrpeta

A acelerao centrpeta a componente da acelerao que surge devido a uma mudana na direo do movimento.Em movimentos retilneos, como no h mudana na direo do mo-vimento temos: =

cpa 0 .

Para o caso de movimentos curvilneos temos uma acelerao centrpeta que aponta para o centro da curvatura a cada instante.

O mdulo da acelerao centrpeta dado por: cpv

aR

=

C

acp

R

v

Trajetriade raio R ecentro C

01. A distncia da Terra Lua apro-ximadamente 3,8.108m e o perodo de translao da Lua em torno da Terra de 28 dias (aproximadamente 2,4.106s). Supondo que na gura, o satlite natural da Terra, encontra-se inicialmente na sua fase de Lua nova. Determine:

a) a velocidade escalar da Luab) a acelerao centrpeta da Luac) as velocidades mdias da Lua ao atingir suas quatro fases :c.1) quarto crescentec.2) Lua cheiac.3) quarto minguante c.4) Lua nova

Soluo

a) 8

36

x 2 3,8 10v 10 m/ s

t 2,4 10 = =

b) ( )232 3 2

C 8

10va 2,6 10 m/ s

R 3,8 10= =

Questes Resolvidas


3334


vFSI

CA I

03. A gura representa a velocidade vetorial ve a acelerao vetorial a

, de uma partcula que se

move em trajetria circular de centro O, num mesmo instante t.

Sabendo que =30, v 6,0m/ s=

e 2a 4,0m/ s=

, calcule:a) o raio da trajetria neste instanteb) o mdulo da acelerao tangencial no instante t.

04. (UFPE/UFRPE-modicada) Uma partcula num movimento circulartem sua funo posio escalar em torno da circunferncia descrita por x = 10 + 8.t 2,0.t2, onde x est em metros e t em segundos. O mdulo do vetor velocidade mdia da partcula ( em m/s) entre os instantes t=0 e t = 2s aproximadamente: (dado r = 5,1m e =3,14)

a) 1,8 b) 3,6 c) zero d) 2 e) 3

c.1) Ao atingir o quarto crescente temos o deslocamento ilustrado na gura a seguir:

Onde: 2 2 2

1 1d R R d R 2= + =

821

1 6

d 3,8 10 2v 8,95 10 m/ s

t 2,4 10 / 4 = =

c.2) Ao atingir a fase de Lua cheia, o satlite natural estar do lado di-ametralmente oposto fase inicial. Portanto, d = 2R

822

6

d 2 3,8 10v 6,33 10 m/ s

t 2,4 10 / 2 = =

c.3) o clculo semelhante ao realizado em c.1.

Portanto,8

233 6

d 3,8 10 2v 8,95 10 m/ s

t 2,4 10 / 4 = =

c.4) Ao retornar fase de Lua nova o deslocamento zero e portanto a velocidade vetorial mdia tambm zero.

02. Consideremos um relgio cujo ponteiro dos minutos tem compri-mento igual a 20 cm e seja P a extremidade mvel desse ponteiro. Calcule o mdulo da velocidade vetorial mdia de P, para o intervalo de tempoque vai de t1 = 8 h at t2 = 8 h 10 min do mesmo dia.Soluo:Em 10min o ponteiro dos minutos percorreu 1/6 da hora.Portanto, perfazendo um ngulo entre o instante inicial e o instante nal de 360/6 = 60. O deslocamento est representado na gura a seguir.

Onde o tringulo CAB equiltero.

Portanto: mr 20cm

v 2,0cm/mint 10min

= = =

R

vd1R

60

A

B

C20 cm

r

Questes Propostas

01. Uma partcula movimenta-se numa trajetria circular de raio igual a50 m. Em 5 s, ela percorre um quarto da circunferncia. Determine a sua velocidade escalar mdia e o mdulo do vetor velocidade mdia.

02. Considere as armaes a seguir e coloque (V), se for verdadeira;ou (F), se for falsa.I. ( ) Em um movimento retilneo a acelerao centrpeta nula.II. ( ) Em um movimento curvilneo a acelerao centrpeta pode ser nula.III. ( ) Se a acelerao tangencial for nula o movimento uniforme,

podendo ser retilneo ou curvilneo.IV. ( ) A acelerao a das equaes de MVU.

v = v0 + at

s = s0 + v0t +2at

2v2 = 20v + 2a s a acelerao tangencial.

V. ( ) A soma vetorial da acelerao tangencial e centrpeta a acele-rao vetorial.

v

a

0


01. (UNICAMP) A gura a seguir re-presenta um mapa da cidade de Vectoria o qual indica a direo das mos dotrfego. Devido ao congestionamento, os veculos trafegam com a velocidade mdia de 18km/h. Cada quadra dessa cidade mede 200 m por 200 m (do cen-tro de uma rua ao centro de outra rua). Uma ambulncia localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em B, sem andar na contramo.a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?b) Qual o mdulo do vetor velocidade mdia (em km/h) entre os pontos

A e B?

02. Uma partcula descreve uma circunferncia de raio 20 cm percor-rendo 1/6 da mesma em 8 segundos. Qual, em cm/s, o mdulo do vetor velocidade mdia da partcula no referido intervalo de tempo?a) 1,8 b) 2,0 c) 2,5 d) 2,8 e) 3,5

03. (UERJ)

Adaptado de O Globo, 37/03/2002

A velocidade vetorial mdia de um carro de Frmula 1 (em km/h), em uma volta completa do circuito, corresponde a:a) 0 b) 191 c) 240 d) 180 e) 220

04. (FEI) Sabendo-se que a acelerao total (resultante) de um mvel nula, pode-se armar que:a) sua velocidade nula.b) seu movimento circular e uniforme.c) seu movimento uniforme, qualquer que seja sua trajetria.d) seu movimento s pode ser retilneo uniforme.e) nenhuma das anteriores correta.

A

B


35 36


FSI

CA I

05. (UFU) As informaes do movimento de um mvel so:A acelerao tangencial nula; A intensidade da acelerao centrpeta constante e no nula.Por isso, pode-se armar que:a) a direo da velocidade constante.b) o movimento retilneo uniforme.c) o movimento circular uniforme.d) o mdulo da velocidade no constante.e) o mdulo e a direo da velocidade no so constantes.

06. (UNIFOR) A gura abaixo representa umapartcula em movimento ao longo da trajetria t. O vetor que melhor representa a velocidade da partcula ao passar pelo ponto O :

a) A

b) B

c) C

d) D

e) E

07. (ESAL) O movimento retilneo uniformemente acelerado tem asseguintes caractersticas:a) acelerao normal nula; acelerao tangencial constante diferente de

zero e de mesmo sentido que a velocidade.b) acelerao normal constante diferente de zero; acelerao tangencial nula.c) acelerao normal nula; acelerao tangencial constante diferente de

zero e de sentido oposto ao da velocidade.d) acelerao normal constante diferente de zero; acelerao tangencial

constante diferente de zero e de mesmo sentido que a velocidade.e) as aceleraes normal e tangencial no so grandezas relevantes ao

tratamento deste tipo de movimento.

08. (UNIRIO) Um ponto se move sobre uma curva no espao segundoa lei s = a + bt + ct2, em que s o arco sobre a curva, medido a partir de uma origem conhecida, t o tempo e a, b e c so constantes. Podemos armar que:a) a acelerao escalar constante.b) a acelerao vetorial tem mdulo constante.c) a acelerao vetorial em cada ponto tangente curva.d) a acelerao vetorial em cada ponto normal curva.

e) a acelerao tem mdulo dado pela frmula2v

R

09. (UPE) Um mvel se desloca sobre uma circunferncia de 3 m deraio com velocidade escalar constante de 2 m/s. A acelerao tangencial do mvel , em m/s2, igual a:a) 2/3 b) 4/3 c) 3/2 d) 0 e) 3/4

10. (FEI) Um automvel realiza uma curva de raio 20m com velocidadeconstante de 72km/h. Qual a sua acelerao durante a curva? a) 0 m/s b) 5 m/s c) 10 m/s d) 20 m/s e) 3,6 m/s

Tpico 07

VELOCIDADE RELATIVA

Certamente, voc j deve ter observado que um carro que se desloca para a frente parece se deslocar para trs quando voc o ultrapassa. Em geral, quando dois observadores medem a velocidade de um objeto que se move, eles obtm resultados diferentes se um observador se move em relao ao outro. A velocidade medida por um dos observadores denomina-se velocidade relativa ao observador considerado, ou simplesmente velocidade relativa.

t

0

A B

C

DE

1,0 m/s

A

BP

Velocidade Relativa em Uma Direo

Uma mulher caminha com velocidade de 1,0 m/s no interior de um trem que se move com velocidade de 3,0 m/s (Figura), qual a velocidade da mulher?

Trata-se de uma questo bastante simples, mas que no possui uma resposta nica. Em relao a um passageiro sentado no trem, ela se move a 1,0 m/s. Uma pessoa parada em relao Terra v a mulher se deslocar com velocidade 1,0 m/s + 3,0 m/s = 4,0 m/s. Um observador em outro trem movendo-se em sentido oposto daria ainda outra resposta.

necessrio especicar a velocidade relativa a um obser-vador particular. A velocidade da mulher em relao ao trem 1,0 m/s, sua velocidade relativa ao observar parado em Terra 4,0 m/s e assim por diante. Um sistema de referncia um sistema de coordenadas acrescido de uma escala de tempo. Vamos designar por A o sistema de referncia do observador em Terra e por B o sistema de referncia do trem (Figura).

Para um movimento retilneo, a posio de um ponto P em relao ao sistema de referncia A dada pela distncia rPA (posio de P em relao a A), e a posio em relao ao sistema de referncia B dada pela distncia rBA (posio de B em relao a A).

P

A

B

Portanto: t

rt

rt

rrrr BAPBPABAPBPA

+

=

+= , ou seja,PA PB BAv v v= +

.

Onde:

PAr

o deslocamento da moa em relao Terra.

PBr

o deslocamento da moa em relao ao trem.

BAr

o deslocamento do trem em relao Terra.

PAv

a velocidade da moa em relao Terra.

PBv

a velocidade da moa em relao ao trem.

BAv

a velocidade do trem em relao Terra.

Ento, temos que a velocidade da moa em relao Terra a soma vetorial entre a sua velocidade em relao ao trem e a velocidade do trem em relao Terra.

Velocidade Relativa em Duas ou Trs Direes

Podemos, ento, estender o conceito de velocidade relativa para incluir movimento em um plano ou no espao mediante o uso da regra da soma vetorial para as velocidades.

Suponha que a mulher na gura a seguir em vez de se mover ao longo do eixo do trem esteja se movendo lateralmente dentro do trem com velocidade de 1,0 m/s.

Podemos descrever a po-sio da mulher P em relao a dois sistemas de referncia, o sistema A para o observador parado no solo e B para o trem em movimento.

BAPBPABAPBPA

BAPBPA vvvtr

tr

tr

rrr +=

+

=

+=

No caso acima, como as velocidades so perpendiculares, pode-se facilmente determinar o mdulo da velocidade relativa da moa em relao ao solo, aplicando Pitgoras diretamente:

2 2 2

PA PB BAv v v= +


37 38


FSI

CA I

Composio de movimentos

Considere o movimento de um corpo A em relao a um refe-rencial B (com velocidade ABv

) e um segundo movimento, o do referencial

B em relao a outro referencial C (com velocidade BCv

). Compondo-se os dois movimentos apresentados, resulta o

movimento do corpo A em relao ao referencial C, cuja velocidade resultante ACv

determinada pela soma vetorial: AC AB BCv v v= +

.

Por exemplo, um barco que navega num rio apresenta a velocida-de relativa BAv

(do barco em relao gua) e a velocidade resultante BTv

(do barco em relao Terra); para relacion-las, preciso que se considere tambm a velocidade de arrastamento ATv

(da gua em relao Terra).

A

Cvarr

vrelvres

Barco gua Terra

Movimento resultante BT

Mov. BA Mov. AT

ACBCAB ttt ==

Ento: BT BA ATv v v= +

ou r rel arrv v v= +

Onde:

rv

a velocidade resultante

relv

a velocidade relativa

arrv

a velocidade de arrastamento

A seguir, as principais situaes de um barco num rio e logo em seguida como se relacionam os mdulos dos vetores velocidades.

vAT

.

Correnteza

vAT

vAT

vBAvBA

vBT vBT

vBAvBT

vBAvBT

vAT

Trajetria do barcoem relao Terra

1 2 3 4

Margem direita

Margem esquerda

Situao 1 Barco descendo o rio

BT BA ATV V V= +

Situao 2 Barco subindo o rio

BT BA ATV V V=

Situao 3 Travessia em tempo mnimo

2 2 2

BT BA ATV V V= +

Situao 4 Travessia em distncia mnima

2 2 2

BA BT ATV V V= +

Princpio de simultaneidade de Galileu

Na composio de movimentos, cada um dos movimentos com-ponentes pode ser estudado independentemente um do outro e os intervalos de tempo medidos em cada um dos movimentos so iguais entre si.

O

3

42

1

v

v

v

v

rotao

O

3

42

v

v

v

1

vv

translao

O

3

42

v3

v4

1

v0

v2

v1 = 0

mov. resultante

Assim, por exemplo, no caso do barco que se movimenta mantendo seu eixo perpendicular margem do rio, o tempo gasto no movimento prprio igual ao tempo gasto no movimento resultante e tambm igual ao tempo gasto no movimento de arrastamento.

Obs.: Ao deduzirmos as equaes para as velocidades relativas, imaginamos que todos os observadores usavam escalas de tempo iguais. Esse o ponto em que a teoria da relatividade de Einstein difere da fsica de Newton e de Galileu. Quando as velocidades so prximas da velocidade da luz, designada por c, a equao de composio das velocidades relativas deve ser modicada.

Caso a mulher do exemplo do trem, anteriormente exposto, pudesse andar na direo do eixo do trem com velocidade 0,30c e o trem se movesse com velocidade 0,90c, ento sua velocidade em relao ao solo no seria 1,20c, mas, sim, 0,94c; nada pode se deslocar com velocidade maior do que a velocidade da luz! Estudaremos a teoria da relatividade especial posteriormente.

Rolamento Sem Escorregamento

Uma roda de um automvel rola sem escorregar sobre o solo horizontal; seu centro O mantm a velocidade de mdulo v em relao Terra (portanto, v tambm o mdulo da velocidade do automvel em relao ao solo); observe-se, ento, a seguinte composio de movimen-tos: o de rotao (dos pontos da roda em torno do centro O) com o de translao (da roda em relao Terra).

Vamos analisar a composio de movimento de quatro pontos interessan-tes no rolamento sem escorregamento. Observe a gura a seguir.

Todos os pontos perifricos tm rotao com a mesma velocidade escalar v em relao ao centro O.

Toda a roda deve sofrer translao com velocidade escalar v, juntamente com o centro O, em relao ao solo.

Cada ponto da roda tem a sua prpria velocidade resultante em relao ao solo.

O mdulo dos vetores resultantes nos pontos 1,2,3 e 4 so respectiva-mente dados por:

Ov v=

1v v v 0= =

2vvvv22

2 =+=

3v v v 2v= + =

2 24v v v v 2= + =


39 40


FSI

CA I

Questes Resolvidas

30

v2

v21

v1

N

LO

S

01. Um barco viaja na direo oeste-leste, sentido leste com a velocidade de 10km/h. Qual deve ser a velocidade de um segundo barco com a direo 30 a leste da direo sul-norte no sentido nordeste, caso este segundo barco, esteja sempre diretamente ao norte em relao ao primeiro?

SoluoV1 = velocidade do primeiro barco em relao Terra; V2 = velocidade do segundo barco em relao Terra.Seja V21 a velocidade relativa do segundo barco em relao ao primeiro. Ento: V2 = V21 + V1 (veja a gura), onde V21 deve ter orientao norte. Portanto v2.sen30 = v1 = 10km/h, ento: v2=20km/h

02. A bssola de um avio mostra que ele se desloca do sul parao norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele est semovendo no ar com velocidade igual a 240 km/h. a) Se existe um vento de 100 km/h de oeste para leste, qual a veloci-

dade do avio em relao Terra?b) Em que direo o piloto deve inclinar o avio para que ele siga de

sul para o norte? Qual seria, ento, sua velocidade em relao Terra?

Soluo

a) Aqui temos a seguinte soma vetorial: AT AV VTv v v= +

onde:

ATv

a velocidade do avio em relao Terra

AVv

a velocidade do avio em relao ao vento

VTv

a velocidade do vento em relao Terra

Em composio de movimentos de rotao com translao, podemos raciocinar a partir do conceito do centro instantneo de rotao (CIR) que seria o ponto 1 na gura a seguir.

Mov. Rel.1

Mov. Arrast.1

Mov. Arrast.

V

2V

O

1

Ponto 3: v3 = 2RPonto O: vO = Rv3 = 2vO

RO

R

3

1(CIR)

W

V3

V0

Questes Propostas

Como as componentes so ortogonais, podemos calcular diretamente utilizando Pitgoras:

2 2 2 2 2AT AV VT ATv v v v 240 100 260km/h= + = + =

b) A direo em relao direo sul-norte determinada pelo ngulo. Observe a gura a seguir:

Ento temos que:VT

AV

v 100sen 25

240v = =

Para determinar a velocidade do avio em relao Terra, utilizamos a mesma soma vetorial: AT AV VTv v v= +

Aplicando Pitgoras temos:

N

L O

S

vAT

vAV =240 km/h,

com ngulo

vVT =100 km/h,leste

,norte

2 2 2 2 2AV AT VT ATv v v v 240 100 218km/h= + =

01. (VUNESP) Um homem, em psobre uma plataforma que se move horizontalmente para a direita com velocidade constante v= 4,0m/s, observa que, ao inclinar em 45 um tubo cilndrico oco, permite que uma gota de chuva, que cai verticalmente com velocidade c constante em rela-o ao solo, atravesse o tubo sem tocar em suas paredes. Determine a velocidade c da gota da chuva, em m/s.

02. (UFPE/UFRPE) Um barco de comprimento L = 80 m, navegandono sentido da correnteza de um rio, passa sob uma ponte de largura D = 25 m, como indicado na gura. Sabendo-se que a velocidade do barco em relao ao rio v

B = 14 km/h, e a velocidade do rio em relao

s margens vR= 4 km/h, determine em quanto tempo o barco passa

completamente por baixo da ponte, em segundos.

03. (UFPE/UFRPE) Dois trens idnticos trafegam em sentidoscontrrios na mesma linha frrea retilnea e horizontal, em rota de coliso. Um trem partiu da estao A, e outro saiu da estao B. Ambos partiram do repouso no mesmo instante. A distncia entre as estaes D = 4 km, e o intervalo de tempo at a coliso t = 5 minutos. Supondo que as resultantes das foras que atuam nos trens so constantes e tm mdulos iguais, determine a velocidade relativa de aproximao dos trens, no instante da coliso, em km/h.

N

LO

S

vATvAV =

240 km/h,norte

vVT =100 km/h,leste


41 42


FSI

CA I


01. (CESGRANRIO) Uma roda de bicicleta semove, sem deslizar, sobre um solo horizontal, com velocidade constante. A gura apresenta o instante em que um ponto B da roda entraem contato com o solo. No momento ilustrado na gura, o vetor que representa a velocidade do ponto B, em relao ao solo, :a) b) c) d) e) vetor nulo

02. (FEI) Sabe-se que a distncia entre as margens paralelas de um rio de 100m e que a velocidade da correnteza, de 6m/s, constante, com direo paralela s margens. Um barco parte de um ponto x da margem A com velocidade constante de 8m/s, com direo perpendicular s mar-gens do rio. A que distncia do ponto x o barco atinge a margem B? a) 100 m b) 125 m c) 600 m d) 750 m e) 800 m

03. (UFSM) Um rio de larguraL atravessado por um barco de maneira perpendicular margem, com velocidade constante vb . O tempo que o barco leva para atravessar o rio :

vr = velocidade da gua do rio em relao s margens;vb = velocidade gerada pelo motor do barco em relao s margens do rio.a) maior quando a velocidade vr aumenta.b) menor quando a velocidade vr aumenta.c) independente da velocidade vr .d) maior quando a velocidade vr diminui.e) menor quando a velocidade vr diminui.

B

L

vb

vr

04. (FUVEST) Num vagoferrovirio que se move com velocidade 0v 3m/ s=

com

relao aos trilhos, esto dois meninos A e B que correm um em direo ao outro, cada um com velocidade v = 3 m/s com relao ao vago. As velocidades dos meninos A e B, com relao aos trilhos, sero, respectivamente:a) 6 m/s e 0 m/s b) 3 m/s e 3 m/s c) O m/s e 9 m/sd) 9m/s e 0m/s e) 0 m/s e 6 m/s

05. (UFPE/UFRPE) Uma escadarolante liga dois pisos A e B, moven-do-se com velocidade ascendente e constante v1 = 0,5 m/s, como ilustra a gura ao lado. Descendo, uma pessoa gasta 10 segundos para ir do piso B ao piso A.a) Qual a velocidade da pessoa em relao ao solo?b) Qual a velocidade da pessoa em relao escada?

06. (VUNESP) Gotas dechuva que caem com velo-cidade V = 20m/s so vistas atravs da minha vidraa formando um ngulo de 30 com a vertical, vindo da esquerda para direita. Quatro automveis esto passando pela minha rua com as velocidades de mdulos e sentidos indicados. Qual dos motoristas v atravs do vidro traseiro, a chuva caindo na vertical?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Nenhum

07. (UNIFOR) Um homem caminha horizontalmente com velocidadede 1,2m/s sob a chuva que cai verticalmente. Para resguardar-se o melhor possvel, ele inclina o guarda-chuva a 45 em relao vertical. A velocidade da chuva em relao ao solo :

a) 0,6m/s b) 1,2m/s c) 1,2. 2 m/s d) 0,6. 2 m/s e) 2 m/s

08. (FEI - moidicada) A roda de raio R = 20cm,da gura, rola sem escorregar, paralelamente a um plano horizontal xo. O centro C da roda tem velocidade constante vC=5m/s. Qual o mdulo da velocidade do ponto B no instante em que o dimetro AB faz um ngulo de 30 com o plano de rolamento?

09. (ITA) Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em 2,0 horas e sobe o mesmo trecho em 4,0 horas. Quanto tempo levar o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado?a) 3,5 horas b) 6,0 horas c) 8,0 horasd) 4,0 horas e) 4,5 horas

10. (FMT) Um homem tem velocidade, relativa a uma esteira, de m-dulo 1.5 m/s e direo perpendicular da velocidade de arrastamento da esteira. A largura da esteira de 3,0 m e sua velocidade de arrastamento, em relao ao solo, tem mdulo igual a 2,0 m/s. Calcule:a) o mdulo da velocidade da pessoa em relao ao solo;b) a distncia percorrida pela pessoa, em relao ao solo, ao atravessar

a esteira.

11. (MAPOFEI) Uma roda de raio R = 0,25m rola sem escorregarsobre um plano horizontal. Um ponto p de seu eixo geomtrico tem ve-locidade constante v, com intensidade constante de 4,5m/s. O ponto A

6 m

B

A

v2

v1

8 m

1

3

2

4

11 hkm4,62v

=

13 hkm0,36v

=

12 hkm0,36v

=

14 hkm4,62v

=

Minha janela

esquerda direita

04. (UFPE/UFRPE) Os remadores A e B da gura esto inicialmenteseparados por uma distncia de 90 m. A velocidade do rio em relao margem 0,5 m/s, para a direita. O remador A desloca-se para a direi-ta, e o B para a esquerda, com 1,5 m/s e 3,0 m/s, em relao gua, respectivamente.

Qual a distncia, em metros, percorrida pelo remador A em relao margem, no instante em que os remadores se encontram?

05. (UFPE/UFRPE) Os gr-cos representam os sucessivos valores (expressos em metros) das distncias hor izontal x(t) e vertical y(t) percorri-das por uma bala disparada por um canho. Se no instante t=5s a distncia, em metros, da bala para o canho vale R, qual o valor numrico de seu quadrado, R2?a) 1 x 104 b) 2 x 104 c) 3 x 104

d) 4 x 104 e) 5 x 104

200

150

100

50

00

x (t)

y (t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

(m)

vcA

B

C


43 44


FSI

CA I

da periferia xo em relao roda e, no instante t = 0s, coincide com o ponto O (origem do sistema de eixos cartesianos ortogonais xOy),sendo Ox horizontal e Oy vertical.Calcule a intensidade da velocidade escalar A em relao ao sistema xOy no instante t=3t/4, sendo t o t

apostila_de_fisica_para_o_ensino_medio.pdf

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