Anlise Combinatria

Anlise Combinatria

Um motivo to mundano quanto os jogos de azar que acabou levando ao desenvolvimento da Anlise Combinatria. A necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos mtodos de contagem. Grandes matemticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar - de uma forma indireta - o nmero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condies.

A Anlise Combinatria um conjunto de procedimentos que possibilita a construo, sob certas circunstncias, de grupos diferentes formados por um nmero finito de elementos de um conjunto.

Dois conceitos so fundamentais para a anlise combinatria: Fatorial de um nmero e o Princpio Fundamental da Contagem (rvore de possibilidades).

Os trs tipos principais de agrupamentos so as Permutaes, os Arranjos e as Combinaes. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetio ou circulares.

Princpio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, ento o nmero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, dado por: T = k1. k2.k3....kn

Exemplo1 O princpio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os nmeros de opes entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peas, somente multiplicamos as opes:

monitores teclados CPU 3 x 4 x 3 = 36 Ento, tm-se 36 possibilidades de configuraes diferentes.Exemplo2 ( FGV - SP ) Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120Saladas carne bebidas sobremesas

2 x 4 x 5 x 3 = 120

rvore das possibilidades: digrama que tem por objetivo visualizar as diversas opes da contagem de um acontecimento, um mtodo direto de contagem

Exemplo1: Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido ?

Escolha da salada Escolha da Carne

Exemplo 2 Joo e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras:I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou trs em qualquer ordem.II - em caso de empate, o vencedor ser declarado atravs sorteio.O nmero de resultados possveis nesta competio :A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

Soluo:

Seja J a vitria de Joo e P a vitria de Paulo. Verificamos que so dez os resultados possveis.

Os trs tipos principais de agrupamentos

1-Arranjos simples :Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posio dos seus elementos(a ordem que os elementos ocupam dentro do grupo tem importncia ). Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros nmeros mpares (1; 3. 5;7; 9) teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim sucessivamente. Se invertermos a posio dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 351. Temos ento um ARRANJO de 5 nmeros (1; 3;5;7;9) em grupos de trs (centenas). Representando o nmero total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte frmula:

Resolvendo o problema das centenas temos: A5,3 = 5!/(5-3)! A5,3 = 5!/2! A5,3 = 5.4.3.2!/2! A5,3 = 5.4.3 = 60 Logo, utilizando apenas os cinco primeiros nmeros impares, podemos formar 60 centenas de algarismos diferentes. 2-Permutao Simples: um caso particular de arranjo simples. o tipo de

agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Exemplo 1 Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Exemplo2 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou no significado na linguagem comum. Os possveis anagramas da palavra REI so: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o nmero de anagramas da palavra MUNDIAL. A Palavra MUNDIAL tem 7 letras ento o seu anagrama : P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

2-1 Permutao com elementos repetidos

a, b, c,... etc representam a quantidade de repetio de uma letra Exemplo1 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes) P = 5!/2! = 5.4.3 = 60

Exemplo2:Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA. (no considere o acento)Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida duas vezes, a letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo P o nmero de anagramas, podemos escrever: P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.Exemplo3 Quantos so os anagramas da palavra CANDIDATA ?Soluo : J sabemos que um anagrama corresponde a uma permutao das letras da palavra. CANDIDATA- 9 letras, sendo 3 A, 2 D, 1 C, 1 N, 1 I , 1 TO nmero de anagramas : P9 3 , 2 = = = 30.240Exemplo4. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete trs vezes). P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

3 - Combinaes simples : Temos uma combinao quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posio dos seus elementos(a ordem em que os elementos ocupam no grupo no tem importncia). Perceba que se houver cinco pessoas(Joo, Pedro, Lus, Gilberto e Ana) , entre as quais desejamos formar grupos de trs, o grupo formado por Joo, Pedro e Lus o mesmo grupo formado por Lus, Pedro e Joo. Temos, ento, uma combinao de cinco elementos em grupos de trs. Representando por Cn,k o nmero total de combinaes de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte frmula:

Resolvendo o problema dos grupos de 5 pessoas para escolher 3, temos: C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!] => C5,3 = 5!/[(2!.3!]

C5,3 = 5.4.3!/[2.3!] C5,3 = 20/2 = 10 Podem ser formados 10 grupos Exemplo2:Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 formas diferentes. Exemplo3. Um coquetel preparado com trs bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados?

C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35 Exemplo4. Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construdas passando por estes 9 pontos? C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36 retas

Exerccios tcnica de agrupamento

Grupo das Permutaes

1- Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experincia sem que haja repetio das posies? a) 456749 b) 2348695 c)362880

2- Quantos so os anagramas da palavra CANDIDATA? a)30240 b)35678 c)23.8345

3- Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:

a) comeam com vogal; b)T e R aparecem juntas nessa ordem; c) comeam com DE

4) Considere os nmeros obtidos do nmero 2341 efetuando-se todas as permutaes de seus

algarismos. Quantos nmeros maiores que 2000 podemos escrever?

5) Considere os nmeros obtidos do nmero 302403 efetuando-se todas as permutaes

de seus algarismos. Quantos nmeros distintos podemos escrever?

Grupo dos arranjos

1-O quadrangular final de um torneio de Vlei disputado por 4 selees:Brasil, Canad, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os trs primeiros colocados(1,2 e 3) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16

2- Considere os nmeros obtidos do nmero 2,3,4,1; Quantos nmeros de 3 algarismos

distintos podemos escrever; Quantos desses nmeros so maiores que 200?

3- Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos

colocar 5 delas em um fusca?

Grupo das combinaes

1-Num colgio, h 5 bons esportistas. O prof. De Educao fsica vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas so as possibilidades dessa escolha. a)10 b) 20 c) 15

2- Um coquetel preparado com trs bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40

3-Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construdas passando por estes 9 pontos?a)36 b) 18 c)29 d)40

4- Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes? a) 3450 b) 3003 c)3045

5- Quantas so as diagonais de um decgono

6- So dados 8 pontos em um plano, dos quais no existem mais do que 2 que esto alinhados. Quantos tringulos distintos podem ser formados .

7-Uma organizao dispe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comisso com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?

Exerccios

1. ( ITA - SP ) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80

2- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 palets e 6 calas diferentes, usando sempre uma calca, uma palet e um par de sapatos ? a)52 b)86 c)24 d)32 e)48

3) Num colgio, h 5 bons esportistas. O prof. De Educao fsica vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas so as possibilidades dessa escolha.

a) 10 b) 20 c) 15 d) 7

4) O quadrangular final de um torneio de Vlei disputado por 4 selees:Brasil, Canad, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os trs primeiros colocados(1,2 e 3) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16

Atividade para avaliao tcnica de contagem

1-Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5 e 9 ?2- H 4 meios de transportes entre as cidades A e B e trs meios de transportes entre B e C. Calcule o n de modos de fazer o percurso de A at C , passando por B.

3-O vago de um trem possui 7 portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou ?

4- Numa festa h 7 moas e 5 rapazes. Quantos casais podem ser formados?5-Um artista tem 3 cartolas, 4casacos e 2 bengalas, todos diferentes.Quantas apresentaes ele pode fazer sem repetir as trs mesmas peas.

6- Quantos so os anagramas da palavra PATO, escreva 6 desses anagramas

7-Uma moeda lanada 4 vezes. Qual o nmero de seqncias possveis de cara e coroa?

8- Com 4 pontos distintos num plano, no tendo mais do que dois numa mesma reta, quantas retas podemos traar por esses 4 pontos

9-Com 4 pontos distintos num plano, no tendo mais do que dois numa mesma reta, quantos tringulos podemos traar por esses 4 pontos

10-Uma determinada viagem pode ser feita de avio, nibus, navio ou trem. De quantos modos pode-se escolher o meio de transporte se no for usado na volta o mesmos meio de transporte da ida ?

11- Deseja-se pintar uma bandeira, com 3 faixas verticais, dispondo de 3 corres, sem que se tenha 2 faixas consecutivas da mesma cor. De quantas maneiras isto possvel.

12- Um torneio de Vlei disputado por 4 selees:Brasil,Canad,Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os trs primeiros colocados(1,2 e 3).

13-Um restaurante oferece no cardpio 2 tipos pratos de entrada e 4 tipos de saladas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer o seu pedido, contendo um prato de entrada e um tipo de salada?

14- Numa urna esto 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas, uma aps a outra, sem reposio. De quantas formas diferentes isso possvel?

14- Quantas so as diagonais de um Quadrado Exerccio 1

1-Em uma biblioteca existem 5 portas. Calcule o n de modos que uma pessoa pode entrar e sair dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?

2- Quantos n mpares de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,

3- Quantas so as diagonais de um pentgono

4- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 3 palets e 2 calas diferentes, usando sempre uma calca, uma palet e um par de sapatos ?

Exercicio2

1-Em uma biblioteca existem 6 portas. Calcule o n de modos que uma pessoa pode entrar e sair dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?

2- Quantos n mpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,

3-Numa urna esto 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas,

uma aps a outra, sem reposio. De quantas formas diferentes isso possvel?

4-Com 4 pontos distintos num plano, no tendo mais do que dois numa mesma reta,

quantos tringulos podemos traar por esses 4 pontos

5- Um torneio de Vlei disputado por 5 selees:Brasil,Canad, Chile,Cuba e EUA. De

quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1,2)

6- Quantos so os anagramas da palavra GATO7- H 4 meios de transportes entre as cidades A e B e trs meios de transportes entre B e C.

Calcule o n de modos de fazer o percurso de A at C , passando por B.

8 Quantas peas tem um jogo de domin comum 0 a 6)9- Numa confeitaria h 5 sabores de picols e 3 tipos de salgados. Supondo que Maria s tenha permisso para chupar um picol e comer um salgado. Quantas so os possveis pedidos que Maria possa fazer .10- Se quantas formas diferentes podemos dispor numa fila 4 bolas; Uma vermelha ,uma verde , uma branca e uma azul.

04. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 1. PAIVA, Manoel. MATEMTICA , vol. nico. Editora Moderna, 2. http://www.terra.com.br/matematica/arq3-1.htm

3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/conline/progs/fatorial.htm 4. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/205/mod205.htm 5. http://tatooine.fortunecity.com/stephenson/51/matematica/ancomb.html 6. Matemtica CINCIAS e Aplicaes, vol 2 Editora Atual Iezzi,Gelson

Exerccios de arranjo e combinao para o 2A e 2C

Entregar na quarta-feira 16/09 02 alunos * usar as frmulas 1. ( ITA - SP ) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80

2- Um torneio de Vlei disputado por 5 selees:Brasil,Canad, Chile,Cuba e EUA.

de quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1,2)

3) Num colgio, h 5 bons esportistas. O prof. De Educao fsica vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas so as possibilidades dessa escolha.

a) 10 b) 20 c) 15 d) 7

4-- Um coquetel preparado com trs bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40

5-Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construdas passando por estes 9 pontos? a)36 b) 18 c)29 d)40

6- Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes? a) 3450 b) 3003 c)3045

7- Quantas so as diagonais de um decgono

8- So dados 8 pontos em um plano, dos quais no existem mais do que 2 que esto alinhados. Quantos tringulos distintos podem ser formados .

9-Uma organizao dispe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comisso com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?

10- Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 0, 1, 3, 5, 6, e 911-Com 7 pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar

4 delas em um veculo ?12-Com um grupo de 7 homens e 5mulheres, quantas comisses de 5 pessoas

podemos formar se em cada uma deve haver 2 homens e 3 mulheres?

13- Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2,3,6,7,9, de modo que sejam pares

14- Considere os nmeros obtidos do nmero 2,3,4,5,1; Quantos nmeros de 3

algarismos distintos, maiores que 300 podemos escrever ? 15- A senha de um carto formada por duas letras distintas acompanhadas de 3

nmeros distintos. Quantas senhas podem ser formadas com 10 letras e 7nmeros ? 16--Sobre uma circunferncia so marcados 7 pontos distintos. Quantas retas podem ser

construdas passando por dois desses 7 pontos?17- Num galpo esto 8 lmpadas, apenas 3 devem ficar acesas. Quantos grupos

diferentes de 3 lmpadas acesas podemos ter?peixe

Salada de alface

8 possibilidades diferentes

franco

carne cozida

Salada de tomate

Lingia

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