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Apostila sobre Pilar

Lançamento de Pilar

Para os pilares de canto, deve-mais carregada, observe nos diagramas de cortante das vigas. Para os pilares de borda, deve-se lançar o lado maior do pilar na direção da viga que não tem continuidade, pois ele não tem travamento, esse esforço solicitará mais do pilar. Para o pilar interno, deve-se lançar sempre obedecendo as restrições da arquitetura, a fim de evitar “dentes” na alvenaria.

se lançar o lado maior do pilar na direção da viga

2

3.1- Introdução3.2- Características Geométricas3.3- Classificação dos Pilares3.4- Excentricidade de 1ª Ordem3.5- Esbeltez Limite3.6- Excentricidade de 2a Ordem3.7- Detalhamento de Pilares3.8- Dimensionamento de Pilares3.9- Situações de Projeto e de Cálculo3.10- Roteiro para Dimensionamento

3.1- Introdução

Pilares são elementos estruturais lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical;As ações preponderantes que atuam nos pilares são forças normais de compressão;Função principal é receber as ações atuantes nos diversos pavimentos e conduzi-las até as fundações;Os pilares, juntamente com as vigas, formam os pórticos, que são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura.

3

3.2- Características Geométricas

Dimensões mínimas:A seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm.Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional γn:

)( qgF cnd +⋅⋅= γγ

sendo “b” a menor dimensão da seção transversal do pilar (cm)

bn ⋅−= 05,095,1γ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Dimensões mínimas:As recomendações referentes aos pilares são válidas nos casos em que h ≤ 5b.Quando esta condição não for satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilar-parede.Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².

4


Comprimento equivalente:Para pilar vinculado em ambas extremidades, o comprimento equivalente “le” é o menor dos valores:

Onde:l o – distância entre as faces internas

dos elementos que vinculam o pilar;

h – altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

l – distância entre os eixos dos elementos aos quais o pilar estávinculado.

⎩⎨⎧ +

≤l

hlle

0

Pro

f. R

omel

Dia

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ande

rlei


Comprimento equivalente:Para pilar engastado na base e livre no topo: lle ⋅= 2

Raio de Giração:

I é o momento de inércia da seção transversal;A é a área de seção transversal.

AIi=

5


Para o caso em que a seção transversal éretangular:

ile=λ

12

1212

2

3

hihbh

bh

AIi =⇒===

Índice de Esbeltez:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

3.3- Classificação dos Pilares

Quanto as solicitações iniciais:

6


Quanto as solicitações iniciais:Pilares internos - aqueles submetidos a compressão simples, ou seja, que não apresentam excentricidades iniciais.Pilares de borda - as solicitações iniciais correspondem a flexão composta normal, ou seja, há excentricidade inicial em uma direção. Para seção quadrada ou retangular, a excentricidade inicial ocorre na direção perpendicular àborda.Pilares de canto - são submetidos a flexão oblíqua. As excentricidades iniciais ocorrem nas direções das bordas.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Quanto a esbeltez:Pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ λ1

Pilares de esbeltez média → λ1 < λ ≤ 90Pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140Pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200

sendo:

onde αb será detalhado adiante.

A NBR 6118:2003 não admite, em nenhum caso, pilares com índice de esbeltez λ superior a 200.

b

he

αλ

1

1

5,1225 ⋅+=

7

3.4- Excentricidade de 1ª Ordem

Excentricidade inicial:É oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas;Ocorre em pilares de borda e de canto;A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo, na base e intermediária são obtidas pelas expressões:

d

topotopoi N

Me =,

d

basebasei N

Me =,d

meiomeioi N

Me =,

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Excentricidade inicial:

d

topotopoi N

Me =,

d

basebasei N

Me =,

d

meiomeioi N

Me =,

8


Excentricidade inicial:Cálculo do momento atuante no topo e na base do pilar:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

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rlei


Excentricidade inicial:Pode ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações:

infsupinf

inf

supsupinf

sup

supinf

supinf

3343 ___pilar doinferior ramo

3343

___pilar dosuperior ramo

33433

__________________

MMrrr

rT

MMrrr

rT

MMrrr

rrViga

engviga

engviga

vigaengviga

=⋅++

=⋅++

=⋅++

+

onde:12

M e 2

englp

lIri

ii

⋅==

9


Excentricidade acidental:Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos:

Imperfeições globaisImperfeições locais

Pro

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omel

Dia

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rlei


a) Imperfeições GlobaisDeve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura:

2

11

1001

1a

1

n

l

+=

=

θθ

θ

10


onde:l é a altura total da estrutura (em metros);n é o número total de elementos verticais contínuos;

2001

locais esimperfeiçõ e móveis nós de estruturas para

3001

fixos nós de estruturas para 4001

,1

min1,

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

máxθ

θ

Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento.Entre vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o que provoca o maior momento total na base de construção.

Pro

f. R

omel

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b) Imperfeições LocaisDeve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar.

11


b) Imperfeições LocaisNos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade ésuficiente:

2 1ale ⋅= θ

Para pilar em balanço, obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo:

le 1a ⋅= θ

Pro

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omel

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Momento Mínimo:O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído pela consideração do momento mínimo de 1ªordem dado por:

( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=

Nd - força normal de cálculo;h - altura total da seção transversal na direção considerada (em

metros);ei,min - excentricidade mínima igual a 0,015+0,03·h (em metros).

12


Momento Mínimo:Admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo.A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem.No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.

Pro

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omel

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rlei

3.4- Excentricidade de 1ª OrdemExcentricidade de forma:

Quando os eixos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma.As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento dos pilares.

13

3.4- Excentricidade de 1ª OrdemExcentricidade suplementar:

Leva em conta o efeito da fluência.A consideração da fluência é complexa, pois o tempo de duração de cada ação tem que ser levado em conta.É obrigatório em pilares com índice de esbeltez λ > 90.Valor aproximado dessa excentricidade:

Euler) de flambagem de (força 10

1718,2

2e

ccie

NNN

aQP

QPc

lIEN

eNM

e QPe

QP

⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

ϕ

MQP, NQP - esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente;ea - excentricidade acidental devida a imperfeições locais;ϕ - coeficiente de fluência; (Tabela 8.1 da norma, pg. 21)Eci = 5600 fck

½ (MPa);Ic - momento de inércia no estádio I; le - comprimento equivalente do pilar.

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3.5- Esbeltez Limite

Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2a ordem começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar.Os principais fatores que influenciam o valor da esbeltezlimite são:

excentricidade relativa de 1a ordem e1/h;vinculação dos extremos do pilar isolado;forma do diagrama de momentos de 1a ordem.

14


Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λfor menor que o valor limite λ1, que pode ser calculado pelas expressões:

9035 e 5,1225

1b

1

1 ≤≤⋅+

= λαα

λb

he

sendo:e1/h a excentricidade relativa de 1a ordem, não incluindo a excentricidade acidental;αb um coeficiente que depende da distribuição de momentos no pilar.

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O valor de αb pode ser obtido de acordo com as seguintes situações:

a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

4,00,1 : 40,040,060,0 ≥≥≥⋅+= bA

Bb sendo

MM αα

MA e MB são os momentos solicitantes de 1a ordem nas extremidades do pilar.

15

3.5- Esbeltez LimiteAdota-se para MA o maior valor absoluto entre os dois momentos de extremidade.Adota-se o sinal positivo para MB, se este tracionar a mesma face que MA (curvatura simples), e negativo em caso contrário (curvatura dupla).

Pro

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b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:

0,1=bα

0,10,85 : 85,020,080,0 ≤≤≥⋅+= bA

Cb sendo

MM αα

c) Para pilares em balanço:

MA é o momento fletor de 1a ordem no engaste;MC é o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em balanço.

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d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo:

0,1=bα

Pro

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3.6- Excentricidade de 2a Ordem

A força normal atuante no pilar, sob as excentricidadesde 1a ordem (excentricidade inicial), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2a ordem.A determinação dos efeitos locais de 2a ordem em barras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados.A consideração da fluência é obrigatória para índice de esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1a

ordem M1d a parcela relativa à excentricidade suplementar ec.

17

3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem

Método GeralO método consiste na análise não-linear de 2a ordem

efetuada com:Discretização adequada da barra;Consideração da relação momento–curvatura real em cada seção;Consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.

O método geral é obrigatório para λ > 140.

Pro

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rlei


Métodos AproximadosA NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidades física e geométrica.

18


PILAR PADRÃO:Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha “a” dada por:

base

e

baser

lrla ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

110

4,022

Pro

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Dia

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rlei


PILAR PADRÃO:Elástica do pilar padrão:

2

2

2

2

22

)(1

:se- temmédia, seção a Para

1

:Como

e cos

:setemAssim,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=′′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−=′

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

== l

ayr

dxyd

r

xl

senl

ayxll

ay

xl

senay

ll

xx

π

ππππ

π

19


PILAR PADRÃO:Assim, a flecha máxima pode ser:

2

12

2

lxrla

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

π

Para o caso de pilar em balanço, tem-se:

10 que em 110

22

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= π

base

e

rl

a

Pro

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rlei


PILAR PADRÃO:Obtendo-se a flecha máxima, pode-se obter também o momento de 2a ordem pode ser obtido facilmente pela equação:

base

ebase

base

rl

NM

aNM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

⋅=

110

2

,2

,2

20


Método do pilar-padrão com curvatura aproximada :Este método aplica-se somente ao caso de flexão composta normal;É permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo;Pode ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90;A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a configuração deformadada barra seja senoidal;A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

Pro

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omel

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rlei


Método do pilar-padrão com curvatura aproximada :A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por:

rle e 110

2

2 ⋅=

1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão:

( ) hhr005,0

5,0005,01

≤+

=ν

h é a altura da seção na direção considerada;ν é a força normal adimensional.

cdc

sd

fAN⋅

=ν

21


Método do pilar-padrão com curvatura aproximada :O momento total máximo no pilar (soma do momento de 1° ordem com o momento de 2° ordem) é dado por:

Ade

dAdbtotd Mr

lNMM ,1

2

,1,1

10≥⋅⋅+⋅= α

Sendo:M1d,A ≥ M1d,min

M1d,A é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA

MA é o maior valor absoluto entre os dois momentos de extremidade

Pro

f. R

omel

Dia

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rlei


Exercício:Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo, com dimensão igual a 40 cm na direção x e dimensão 25 cm na direção y. Na direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. Usar o Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, considerando concreto C20 (γc = 1,4).

22


Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada :Este método pode ser aplicado em pilares submetidos àflexão composta normal e flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente.É permitido para λ ≤ 90;Em pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do comprimento;A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal;A não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez.

Pro

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Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:O momento total máximo no pilar (soma do momento de 1° ordem com o momento de 2° ordem) é dado por:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

⋅−

⋅=

min,1

,12

,1,

1201 d

AdAdbtotd M

MMM

νκ

λ

α

Sendo κ a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:

νκ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅=d

totd

NhM ,5132

23


Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ énecessário para o cálculo de Md,tot, e para o cálculo de κutiliza-se o valor de Md,tot.Assim, a solução somente pode ser obtida por tentativas.Usualmente, duas ou três iterações são suficientes.

Pro

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Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:Para o cálculo interativo, pode-se adotar o seguinte procedimento:

Adotar um κinicial dado por:

Adotar, sequencialmente, valores de κ próximos da média obtida entre κ arbitrado e o κ resultante da tentativa;Nunca usar o κ resultante de uma tentativa para a próxima, a convergência pode ser perdida.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅>

100

5132

2

,1

νλ

νκ d

Ad

inicialNh

M

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Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:É possível considerar uma solução única para cálculo do Md,tot, portanto sem a necessidade de iterações;Substituindo a expressão κ em Md,tot, temos:

[ ]

19200

0384019200384019200 ,1,,122

,

÷

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅ AddbtotdAdbddtotd MNhMMNhNhM ααλ

02,019200

2,0 ,1,,1

22

, =⋅⋅⋅⋅−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

⋅⋅−⋅⋅+ AddbtotdAdb

ddtotd MNhMMNhNhM ααλ

Pro

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Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:Fazendo:

acabbM totd ⋅⋅⋅−+−

=2

42

,

Resulta em:

2

22 12 sendo

hle ⋅=λ

Addb

Adbd

d

MNhc

MNhNhb

a

,1

,1

2

2,019200

2,0

1

⋅⋅⋅⋅−=

⋅−⋅⋅

−⋅⋅=

=

α

αλ

25


Exercício:Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo, com dimensão igual a 40 cm na direção x e dimensão 25 cm na direção y. Na direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. Usar o Método do Pilar Padrão com Rigidez κAproximada , considerando concreto C20 (γc = 1,4).

Pro

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Método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r :Para pilares com λ ≤ 140;A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal;A não-linearidade física é levada em conta utilizando-se, para a curvatura da seção crítica, valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.

26


Método do pilar padrão para pilares da seção retangular submetidos à flexão oblíqua composta :

Para λ < 90 nas duas direções principais, precisa ser aplicado o processo aproximado do pilar padrão com rigidez κaproximada em cada uma das duas direções.

Pro

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Exercício:Determinar os valores de Mxd,tot e Myd,tot para o pilar abaixo, com dimensão igual a 20 cm na direção x e dimensão 40 cm na direção y. Usar o Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da Rigidez κ Aproximada).

27

3.7- Detalhamento de Pilares3.7.1- Dimensões mínimas:

A seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm.Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional γn:

)( qgF cnd +⋅⋅= γγ

sendo “b” a menor dimensão da seção transversal do pilar (cm)

bn ⋅−= 05,095,1γ

Pro

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3.7- Detalhamento de Pilares3.7.2- Cobrimento das armaduras

Cobrimento mínimo (cmin) é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado.Para garantir o cobrimento mínimo, o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (Δc).

As dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela, para Δc = 10 mm.

cccnom Δ+= min

28

3.7- Detalhamento de Pilares3.7.2- Cobrimento das armaduras

Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo.O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra:

barranomc φ≥

A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode superar em 20% o cobrimento nominal, ou seja:

nommáx cd ⋅≤ 2,1

Pro

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3.7.3- Armadura Longitudinal

Deve atender não só à função estrutural como também às condições de execução, particularmente com relação ao lançamento e adensamento do concreto.Os espaços devem permitir a introdução do vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do pilar.Colaboram para resistir à compressão, diminuindo a seção do pilar, e também resistem às tensões de tração.Também têm a função de diminuir as deformações do pilar, especialmente as decorrentes da retração e da fluência.

29


3.7.3.1- Diâmetro das barrasO diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal:

810 bmm l ≤≤ φ

Pro

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omel

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3.7.3.2- Taxa geométrica de armaduraDefine-se taxa geométrica (ρ) de armadura longitudinal do pilar pela seguinte relação:

c

s

AA

=ρ

sendo:As - soma das áreas das seções transversais das barras

longitudinaisAc - área da seção transversal do pilar.

30


3.7.3.2- Taxa geométrica de armaduraA área mínima de armadura longitudinal (As,mín) édeterminada pela seguinte expressão:

ccyd

dmíns AA

fNA ⋅=⋅≥⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= %4,0004,015,0,

Portanto, a taxa geométrica mínima de armadura é igual a ρmín = 0,4%.

Pro

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3.7.3.2- Taxa geométrica de armaduraA máxima área de armadura (As,máx) possível em pilares, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura em regiões de emenda, deve ser de 8% da área da seção transversal:

cmáxs AA ⋅= %8,

Portanto, a taxa geométrica máxima de armadura é igual a ρmáx = 8%.Para que isso ocorra, a taxa geométrica máxima na região fora da emenda deve ser igual a ρmáx = 4%.

31


3.7.3.3- Número mínimo de barrasEm seções poligonais, dentre as quais estão incluídas as seções retangulares, deve existir pelo menos uma barra em cada canto ou vértice do polígono.Em seções circulares, deve existir pelo menos seis barras, distribuídas ao longo do perímetro.

Pro

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3.7.3.4- Espaçamento das barras longitudinaisO espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅≥

.,2,1

20

agremáx

l

d

mma φ

Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por traspasse

32


3.7.3.4- Espaçamento das barras longitudinaisO espaçamento máximo (amáx) entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção (b), sem exceder 40 cm, ou seja:

⎩⎨⎧ ⋅

≤cmb

amáx 402

Pro

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3.7.4- Armadura Transversal

Deve ser constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares;Deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes;Os estribos devem ser fechados, geralmente em torno das barras de canto, ancorados com ganchos que se transpassam, colocados em posições alternadas.Funções dos estribos:a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das

barras longitudinais;b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais;c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou

dúctil.

33


3.7.4.1- Diâmetro dos estribosO diâmetro dos estribos (φt) em pilares não pode ser inferior a 5 mm ou 1/4 do diâmetro da barra longitudinal:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

4

5

lt

mmφφ

Pro

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omel

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ande

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3.7.4.2- Espaçamento máximo dos estribosDeve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores, medido na direção do eixo do pilar :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅

≤

25 -CA para 2450 -CA para 12

seção da dimensãomenor 20

l

lt

cm

s

φφ

Pode-se adotar o diâmetro dos estribos φt menor que φl/4, desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

MPa) em f (com 190000 yk

2

,ykl

tmáxt f

s ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=φφ

34


Resumo das principais recomendações da NBR 6118:2003 a respeito do espaçamento das armaduras em pilares:

.agreg,máx

L

d,

mma

21

20φ≥

Pro

f. R

omel

Dia

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ande

rlei


3.7.4.3- Estribos SuplementaresOs estribos poligonais impedem a flambagem das barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, desde que nesse trecho de comprimento 20φt não existam mais de duas barras, não contando a do canto.Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou barras fora dele, deve haver estribos suplementares.

35


3.7.4.3- Estribos Suplementares

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


3.7.4.3- Estribos SuplementaresSe constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal.Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deverá ser indicado no projeto de modo bem destacado.Essa amarra garantirá contra a flambagem essa barra encostada e mais duas no máximo para cada lado, não distantes dela mais de 20φt.Para essas amarras, é necessário prever um cobrimentomaior.

36


3.7.4.3- Estribos Suplementares

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


3.7.4.3- Estribos SuplementaresNo caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares.Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.

37

3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais

Em função do processo construtivo, as barras longitudinais dos pilares precisam ser emendadas.As emendas das barras podem ser:

por traspasse;por luvas com preenchimento metálico ou rosqueadas;por solda.

A emenda por traspasse é empregada por seu menor custo, além da facilidade na montagem das barras da armadura na construção.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


A emenda por traspasse não é permitido para:Diâmetros de barras maiores que 32mm;Tirantes e pendurais (elementos inteiramente tracionados).

O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas é determinado pela expressão:

min,, ocnecboc lll ≥=

sendo que:lb,nec é o comprimento de ancoragem necessário;loc,min é o maior valor entre 0,6·lb, 15φ e 200mm;lb é o comprimento de ancoragem básico.

38


Comprimento básico de ancoragem:bd

ydb f

fl ⋅=

4φ

sendo que:

onde:

ctdbd ff ⋅⋅⋅= 321 ηηη

3221,0 e ,

32mm para 100

13232mm para 0,1

aderência má de situações para 7,0aderência boa de situações para 0,1

50)-(CA nervuradas barras para 25,260)-(CA entalhadas barras para 4,1

25)-(CA lisas barras para 0,1

infinf,

3

2

1

ckctk,c

ctkctd ff

ff ⋅==

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

<=

⎩⎨⎧

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

γ

φφφ

η

η

η

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Comprimento de ancoragem necessário:

min,,

,1, b

efs

calcsbnecb lAA

ll ≥⋅⋅=α

onde:

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⋅

≥

⎩⎨⎧

=

mm

ll

b

b

10010

3,0

gancho; com as tracionadbarras para 7,0gancho; sem barras para 0,1

min,

1

φ

α

39


Em resumo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅≥=⋅⋅=

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅≥≥⋅⋅=

mm

llll

mm

ll

AA

ll

b

bbnecb

b

befs

calcsbnecb

10010

3,00,10,1

10010

3,0

,

min,,

,1,

φ

φα

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅≥≥=

mm

llll

b

ocnecboc

20015

6,0

min,, φ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Onde:

32

32

3375,0

21,00,10,125,2

321

ckbd

c

ckbd

ctdbd

ff

ff

ff

⋅=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

γ

ηηηbd

ydb f

fl ⋅=

4φ

32

32 35,13375,04 ck

yd

ck

ydb f

ff

fl

⋅⋅=

⋅⋅= φφEntão:

40


Logo:

e

⎩⎨⎧

≥=mm

ll boc 20015φ

3235,1 ck

ydb f

fl

⋅⋅= φ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Emenda por traspasse das barras longitudinais em pilares:

41

3.8- Dimensionamento de Pilares3.8.1- Seção de concreto armado submetida a flexão oblíqua

Pro

f. R

omel

Dia

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ande

rlei

3.8- Dimensionamento de Pilares

3.8.2- Condições de segurançaDefinir as solicitações de cálculo como NSd, MSd,x e MSd,y de modo que:

y. eixo do tornoem momento x.eixo do tornoem momento

→×=→×=

ySdSyd

xSdSxd

eNMeNM

A condição de segurança (estado limite último) resulta:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≤

≤

RydSyd

RxdSxd

RdSd

RdSd

MM

NN ,,N ,,NS

MMMMRMM RydRxdSydSxd

42


3.8.2- Condições de segurançaSendo:

∑∫∫

∑∫∫

∑∫∫

=

=

=

⋅⋅+⋅⋅=×=

⋅⋅+⋅⋅=×=

⋅+=

n

isisisi

AyxcyRdRyd

n

isisisi

AyxcxRdRxd

n

isisi

AyxcRd

yAddyeNM

xAddxeNM

AddN

c

c

c

1

1

1

σσ

σσ

σσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Superfície de interação:

43

3.8- Dimensionamento de Pilares3.8.2- Condições de segurança

Diagramas de interação mais usados:Hormigón armado – Ábacos Montoya, P. J.; Meseguer, A.G.; Cabré, F.M, 1978.Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto Armado Solicitadas à Flexão Reta, de W. S. Venturini, 1987;Ábacos para Flexão Obliqua, de L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, 1994.

Programas computacionais (M. F. F. de Oliveira e C. A. W. Zandona – UFPR, 2001):

Normal 1.3 . Flexão Composta Reta;Obliqua 1.0 . Flexão Composta Obliqua.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


3.8.3- Equacionamento adimensional

44


3.8.3- Equacionamento adimensionalFlexão Normal Composta:

armadura de mecânica Taxa

aladimensionfletor Momento

aladimension normal Força

2

→⋅

⋅=

→⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

→⋅

=⋅⋅

=

cdc

yds

cdc

d

cd

d

cdc

d

cd

d

fAfA

heν

fhAeN

fhbM

fAN

fhbN

ω

μ

ν

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Ábacos para Flexão Normal Composta:

45

3.8- Dimensionamento de PilaresÁbacos para Flexão Normal Composta:

A posição 1 representa uma seção dimensionada com segurança, porém com excesso de material (concreto ou aço);A posição 2 corresponde à condição limite de segurança, sem excesso de material;A posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de segurança, devendo ser alterada em suas dimensões ou na quantidade de armadura.

Ábacos Montoya FNC

Ábacos Venturini (1987)

Normal 1.3 - Flexão Composta Reta

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Exercício:Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar

submetido ao carregamento abaixo indicado.Considerar: concreto C25 e aço CA-50.

Nd = NSd = 1289 kNe = 20 cm

Normal 1.3 - Flexão Composta Reta

46


3.8.3- Equacionamento adimensionalFlexão Composta Oblíqua:

armadura de mecânica Taxa



aladimension normal Força

→⋅

⋅=

→⋅=⋅⋅

=

→⋅=⋅⋅

=

→⋅

=⋅⋅

=

cdc

yds

y

y

ycdc

ydy

x

x

xcdc

xdx

cdc

d

cdyx

d

fAfA

he

νhfA

Mheν

hfAM

fAN

fhhN

ω

μ

μ

ν

Pro

f. R

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Dia

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rlei


Ábacos para Flexão Composta Oblíqua:

47

3.8- Dimensionamento de PilaresÁbacos para Flexão Composta Oblíqua:

A posição 1 representa uma seção dimensionada com segurança, porém com excesso de material (concreto ou aço);A posição 2 corresponde à condição limite de segurança, sem excesso de material;A posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de segurança, devendo ser alterada em suas dimensões ou na quantidade de armadura.

Ábacos Montoya FCO

Ábacos Pinheiro (1994)

Obliqua 1.0 - Flexão Composta Obliqua

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Exercício:Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar

submetido ao carregamento abaixo indicado.Considerar: concreto C25 e aço CA-50.

Nd = 573 kN (NSd)ex = 5 cmey = 15 cmhx = 20 cmhy = 40 cmd’x = 4 cm (0,20 hx)d’y = 4 cm (0,10 hy)

Obliqua 1.0 - Flexão Composta Obliqua

48

3.9- Situações de Projeto e de Cálculo

As situações de projeto dependem apenas de sua posição em relação à estrutura e dos esforços iniciais:

Pilares intermediários – compressão centrada;Pilares de extremidade – flexão normal compostaPilares de canto – flexão oblíqua composta.

Nas situações de cálculo, além das excentricidades iniciais da situação de projeto, devem estar consideradas as excentricidades que levam em conta efeitos adicionais:

Imperfeições geométricas (ea);Efeitos de 2.ª ordem (e2);Efeitos da fluência do concreto (ec para λ>90).

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

3.9- Situações de projeto e de cálculo

3.9.1- Seção de extremidade e seções intermediárias de pilares

Precisam ser analisadas as seções das extremidades e as seções intermediárias do pilar.Considerar uma estrutura de nós indeslocáveis. Em uma seção intermediária do pilar existem deslocamentos de 2.ª ordem, que precisam ser considerados no projeto.

49


3.9.1- Seção de extremidade e seções intermediárias de pilaresAs excentricidades iniciais nas seções intermediárias são menores que as das seções extremas (pois os momentos solicitantes são menores).As situações de cálculo nas seções de extremidade e na seção intermediária precisam ser consideradas separadamente.Nas seções de extremidade não se incluem os efeitos de 2ª ordem, devendo considerá-los apenas na seção intermediária.As áreas de armadura das seções transversais são as maiores entre as verificações das várias seções.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Pilares curtos: λ ≤ λ1Os efeitos locais de 2ª ordem podem ser desprezados na direção em questão.Somando-se as excentricidades inicial e a acidental, geram-se as situações de cálculo.

Pilares medianamente esbeltos: λ1 < λ ≤ 90Os efeitos locais de 2ª ordem precisam ser, obrigatoriamente, considerados.A determinação dos efeitos de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o método do pilar padrão.Os efeitos da fluência do concreto podem ser desprezadosnos pilares medianamente esbeltos (λ1< λ ≤90).Nas seções de extremidade não se incluem os efeitos de 2ª ordem, devendo considerá-los apenas na seção intermediária.

50

Situação de projeto e de cálculo em pilares curtos – seções intermediárias

Pro

f. R

omel

Dia

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rlei

Situação de projeto e de cálculo em pilares medianamente esbeltos – seções intermediárias

51


Pilares esbeltos: 90 < λ ≤ 140É obrigatória a consideração dos efeitos da fluência do concreto, efetuada por meio de uma excentricidade ec.A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica valores obtidos dos diagramas de momento fletor, força normal e curvatura específica para o caso.

Pilares muito esbeltos: 140 < λ ≤ 200Deve-se recorrer ao Método Geral, que consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretizaçãoadequada da barra, considerando a relação momento-curvatura real em cada seção e a não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

3.10- Roteiro para Dimensionamento

1- Características geométricasComprimentos equivalentesÍndice de esbeltez

2- ExcentricidadesInicial (ei,x; ei,y) – Base e topo do pilarAcidental (ea,x; ea,y) – Seção intermediária:

Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín)Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:

Esbeltez limite (λ1)Efeitos de 2ª ordem: Métodos aproximados

3- Situações de cálculoSeção de topoSeção de BaseSeção Intermediária

52


4- Dimensionamento das armadurasSituação mais desfavorávelEquações adimensionaisEscolha do ábacoTaxa mecânica de armadura (ω)Área de aço

5- DetalhamentoArmadura Longitudinal

Diâmetro das barrasTaxas mínimas e máximas de armadura longitudinalNúmero mínimo de barrasEspaçamentos para armadura longitudinal

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


5- DetalhamentoArmadura transversal

DiâmetroEspaçamentos para armadura transversalProteção contra flambagem localizada das armadurasComprimento dos estribosComprimento dos estribos suplementaresNúmero de estribosNúmero de estribos suplementaresDesenho da seção transversal

Comprimento das esperasComprimento total das barras longitudinais

6- Desenhos

SUMÁRIO

1 – Dimensões ............................................................................................................................ 1

1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares .................................................. 1

1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares ................................................................................ 1

2 – Cálculo das solicitações nos pilares ..................................................................................... 4

2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis ........................................................... 4

2.2 – Contraventamento ............................................................................................................. 5

2.3 – Imperfeições geométricas ................................................................................................. 5

2.4 - Elementos isolados ............................................................................................................ 8

2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem ............................................ 8

2.5.1 - Parâmetro de instabilidade ............................................................................................. 8

2.5.2 - Coeficiente z .................................................................................................................. 8

2.6 - Análise de estruturas de nós fixos ..................................................................................... 9

2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios 10

3 - Análise de elementos isolados .............................................................................................. 12

3.1 – Generalidades ................................................................................................... 12

3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem ........................................................... 12

3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem .................................................................... 13

3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão .......................................................................... 13

3.3.2 - Método exato .................................................................................................................. 13

3.3.3 - Métodos aproximados .................................................................................................... 13

3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada .................................................... 13

3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez aproximada .................................................... 14

3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r ............................................ 14

3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão

composta oblíqua ....................................................................................................................... 14

3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2014 para verificação de pilares esbeltos ....... 15

4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua ................................................... 15

5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares ....................................................... 16

5.1 - Proteção contra flambagem das barras .............................................................................. 16

5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares ...................................................... 17

5.2.1 – Introdução ...................................................................................................................... 17

5.2.2 - Armaduras longitudinais ................................................................................................ 17

5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura ......................................................................... 17

5.2.2.2 - Distribuição transversal ............................................................................................... 18

5.2.2.3 – Comprimento de espera .............................................................................................. 18

5.2.3 - Armaduras transversais .................................................................................................. 19

5.2.4 – Detalhamento dos pilares .............................................................................................. 19

6 – Exemplos ............................................................................................................................. 21

Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 34

PARTE 2

Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 1

1 – Dimensões

Os pilares dos edifícios correntes, com estrutura em concreto armado, têm, em geral,

seções transversais constantes de piso a piso (concreto e aço). As seções transversais podem

apresentar a forma quadrada, retangular, circular ou de uma figura composta por retângulos

(seções L, T, U).

1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares

As dimensões mínimas da seção transversal de pilares são fixadas no item 13.2.3 da

NBR6118:2014. Conforme este item, a seção transversal de pilares não deve apresentar

dimensão menor que 19 cm.

Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm,

desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um

coeficiente adicional n, de acordo com o indicado na tabela abaixo. Em qualquer caso, a

norma não permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2.

Tabela – Valores do coeficiente adicional n

b (cm) 19 18 17 16 15 14

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

Nesta tabela, b é a menor dimensão da seção transversal do pilar e n = 1,95 – 0,05 b é

um coeficiente que deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando

do dimensionamento.

1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares

Segundo o item 6 da NBR6118:2014 (diretrizes para durabilidade das estruturas de

concreto), as estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as

condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado

em projeto, conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o prazo

correspondente à sua vida útil.

A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que

atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações

volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento

das estruturas de concreto.


Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada

de acordo com o apresentado na seguinte tabela e pode ser avaliada, simplificadamente,

segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes.

Tabela - Classes de agressividade ambiental

Classe de

agressividade

ambiental (CAA)

Agressividade Classificação geral do tipo de

ambiente para efeito de projeto

Risco de

deterioração da

estrutura

I Fraca Rural

Submersa Insignificante

II Moderada Urbana

1), 2) Pequeno

III Forte Marinha1)

Industrial1), 2) Grande

IV Muito forte Industrial1), 3)

Respingos de maré Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para

ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos

residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de

clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva

em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias

de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

No item 7 da NBR6118:2014, são apresentados os critérios de projeto visando a

durabilidade das estruturas de concreto. No item 7.4, são referenciados os critérios relativos à

qualidade do concreto e cobrimento da armadura.

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e

da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de

desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em

projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido

à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante,

a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos

mínimos expressos na tabela seguinte.


Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Concreto Tipo Classe de agressividade (tabela 1)

I II III IV

Relação

água/aglomerante

em massa

CA 0,65 0,60 0,55 0,45

CP 0,60 0,55 0,50 0,45

Classe de

concreto

(NBR 8953)

CA C20 C25 C30 C40

CP C25 C30 C35 C40

NOTAS:

CA - Componentes e elementos estruturais de concreto armado

CP - Componentes e elementos estruturais de concreto protendido

O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo

de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Para garantir o

cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal

(cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c). Assim as

dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais,

estabelecidos na tabela abaixo para c=10 mm.

Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver

um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das

medidas durante a execução pode ser adotado o valor c = 5 mm, mas a exigência de controle

rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto.

Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura

externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra

deve sempre ser maior ou igual ao seu próprio diâmetro.

cnom barra

A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode

superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

dmax 1,2 cnom


Tabela- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

para c=10mm

Tipo de estrutura

Componente ou

elemento

Classe de agressividade ambiental

I II III IV3)

Cobrimento nominal

mm

Concreto armado

Laje2)

20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50 Elementos

estruturais em

contato com o solo 4)

30 40 50

Concreto protendido1)

Laje 25 30 40 50

Viga/Pilar 30 35 45 55 1)

Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os

cobrimentos para concreto armado. 2)

Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos

finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de

elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser

substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal 15 mm. 3)

Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de

esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura

deve ter cobrimento nominal 45mm. 4)

No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter

cobrimento nominal ≥ 45 mm.

2 – Cálculo das solicitações nos pilares

Conforme o item 15.4 da NBR6118:2014, sob a ação das cargas verticais e

horizontais, os nós da estrutura de um edifício deslocam-se horizontalmente. Os esforços de

segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem.

Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm

retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam principalmente os

esforços solicitantes ao longo delas.

2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis

As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os

deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª

ordem são desprezáveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas

estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem.

As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são

pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10%

dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os

esforços de 2ª ordem globais como os locais.


2.2 - Contraventamento

Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas

que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços

decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de

contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são

chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós

fixos ou de nós moveis.

2.3 – Imperfeições geométricas

Segundo o item 11.3.3.4 da NBR6118:2014, na verificação do estado limite último das

estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos

elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em

dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais.

a) Imperfeições globais

Na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser

considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo.

Figura - Imperfeições geométricas globais

sendo:

1min = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;

1máx 1/200.

A sobreposição de vento e desaprumo não é necessária quando o menor valor entre

eles não ultrapassar 30% do maior valor. Essa comparação pode ser feita com os momentos

totais na base da construção e em cada direção e sentido da aplicação da ação do vento. Nesta

comparação, deve-se considerar o desaprumo correspondente a θ1, não se considerando θ1mín.

Quando a superposição for necessária, deve-se combinar com o vento o desaprumo

correspondente a θ1, não se considerando θ1mín. Se o efeito de desaprumo for predominante, o

valor do ângulo deve atender θ1mín. Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações

atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação de vento, portanto como

carga variável, artificialmente amplificada para cobrir a superposição.


b) Imperfeições locais

No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento,

usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar

contraventado (figura a). No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o

efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar (figuras b e c,

respectivamente).

Figura - Imperfeições geométricas locais

Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do

lance de pilar seja suficiente.

c) Momento mínimo

O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido

dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:

M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h)

onde:

h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja

atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser

acrescidos os momentos de segunda ordem.

Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada

a favor da segurança, de acordo com a figura abaixo.


Figura – Envoltória mínima de primeira ordem

Neste caso, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando,

no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória

mínima de primeira ordem.

Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das

direções do pilar, a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória

mínima com 2ª ordem. Para pilares de seção retangular, quando houver a necessidade de

calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação do momento mínimo pode ser considerada

atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que

englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados a partir dos

momentos mínimos de 1ª ordem.

A consideração desta envoltória mínima pode ser realizada através de duas análises à

flexão composta normal, calculadas de forma isolada e com momentos fletores mínimos de 1ª

ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direções principais.

Figura - Envoltória mínima com 2ª ordem


2.4 - Elementos isolados

São considerados elementos isolados (item 15.4.4 – NBR6118:2014), os seguintes:

a) os elementos estruturais isostáticos;

b) os elementos contraventados;

c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos;

d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos

esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os

determinados por análise global de 2ª ordem.

2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem

Os processos aproximados, apresentados a seguir, podem ser utilizados para verificar a

possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, ou seja, para

indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo

rigoroso.

2.5.1 - Parâmetro de instabilidade

Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu

parâmetro de instabilidade for menor que o valor 1 conforme a expressão:

)I/(ENH ccsktot

sendo:

1=0,2+ 0,1n se: n 3

1=0,6 se: n 4

onde:

n é o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco

deslocável do subsolo;

Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível

considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico;

EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada; o valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares.

2.5.2 - Coeficiente z

O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é

válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a

partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem.

O valor de z para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:


1

1

,,1

,

dtot

dtot

z

M

M

onde:

M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças

horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da

estrutura;

Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na

combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de

seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem;

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: z 1,1.

2.6 - Análise de estruturas de nós fixos

Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento

comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos

estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura

efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser

realizada de acordo com o estabelecido no item 15.8 da NBR6118:2014.

O comprimento equivalente e do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em

ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:

e = 0 + h

e =

onde:

0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que

vinculam o pilar;

h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;

é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.


2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de

edifícios

Para efeitos de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados em três

categorias: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto. Os pilares

intermediários estão basicamente submetidos a cargas axiais de compressão. Como as vigas e

lajes, que se apoiam nestes pilares, não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitem-se

como desprezáveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de

projeto para os pilares intermediários é, portanto, a de compressão centrada.

Os pilares de extremidade, em princípio, estão submetidos a flexão normal composta.

A flexão decorre da interrupção sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada. No

caso dos pilares de canto, em virtude da interrupção das vigas situadas nas duas bordas, existe

uma situação de projeto de flexão oblíqua composta.

Em todos os casos considerados, é importante observar que as situações de projeto

levam em conta somente os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de 1ª ordem

decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estrutura. Para o dimensionamento dos pilares,

devem ser consideradas as excentricidades mínimas, que são também excentricidades de 1ª

ordem, bem como, no caso de pilares esbeltos, as excentricidades de 2ª ordem.

Figura – Arranjos estruturais dos pilares de edifícios (P.B.Fusco, Estruturas de Concreto – Solicitações Normais)


Segundo o item 14.6.6.1 da NBR6118:2014, pode ser utilizado o modelo clássico de

viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais. Quando

não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve

ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento

perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes equações:

- no tramo superior do pilar:

supr

infr

vigr

supr

- no tramo inferior do pilar:

supr

infr

vigr

infr

onde:

ri é o coeficiente de rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado

na figura abaixo.

Figura - Aproximação em apoios extremos

Os coeficientes de rigidez são calculados através das expressões

vig

vig

vig

Ir

Ir

Ir ;

2;

2

sup

sup

sup

inf

infinf

onde Iinf e Isup são os momentos principais centrais de inércia das seções transversais dos

trechos inferior e superior do pilar e Ivig é o momento principal central de inércia da seção

transversal da viga, considerando a contribuição das lajes.


3 - Análise de elementos isolados

3.1 - Generalidades

As recomendações do item 15.8 da NBR6118:2014, que serão apresentadas a seguir

são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e armadura constante ao longo

de seu eixo, submetidos a flexo-compressão. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou

igual a 200 ( 200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,10fcdAc, o

índice de esbeltez pode ser maior que 200.

Para pilares com índice de esbeltez superior a 140, na análise dos efeitos locais de 2ª

ordem, deve-se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente

adicional γn1 = 1 + [0,01.(λ – 140) / 1,4].

3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem

Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando

o índice de esbeltez for menor que o valor limite 1 estabelecido neste item.

O índice de esbeltez deve ser calculado pela expressão:

= e/i

sendo e o comprimento equivalente do pilar e i o raio de giração mínimo da seção

transversal.

O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:

- a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h;

- a vinculação dos extremos da coluna isolada;

- a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

O valor de 1 pode ser calculado pela expressão:

he

b

/5,1225 11

sendo:

9035 1

onde o valor de b para pilares biapoiados, sem cargas transversais, deve ser calculado por:

40,040,060,0 A

Bb

M

M

Os momentos MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser

adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal

positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. Se o pilar

apresentar momentos menores do que o momento mínimo, estabelecido no item 11.3.3.4.3 da

NBR6118:2014, b deve ser tomado igual a 1.


3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem

3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão

O cálculo pode ser feito pelo método exato ou por métodos aproximados. A

consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de

esbeltez > 90.

3.3.2 - Método exato

Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da

barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-

linearidade geométrica de maneira não aproximada. O método exato é obrigatório para

>140.

3.3.3 - Métodos aproximados

A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados

como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.

3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada

Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com 90, seção constante e

armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é

considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A

não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na

seção crítica.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

A1d,

2

edA1d,btot d M

r

1

10 N M M

,

onde, 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada:

hhr

005,0

)5,0(

005,01

sendo:

= Nd / (Ac fcd)

e

M1d,A M1d,min

onde, h é a altura da seção na direção considerada.

O momento M1d,A e o coeficiente b têm as mesmas definições do item 3.2, sendo

M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA.


3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez aproximada

Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com 90, seção retangular

constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

min1d,

A1d,

2

A1d,

,M

M

/ 1201

M

b

totdM

sendo o valor da rigidez adimensional dado, aproximadamente, pela expressão:

d

totd,

h.N

M 5 1 32

As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas no item anterior. Usualmente

duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo.

Este procedimento recai na formulação direta dada abaixo:

Adbd

Adbed

dtotdtotd

MhNC

MhN

NhB

hA

ondeCMBMA

,1

2

,1

22

,

2

,

...

...5320

..

.5

:,0..

A

CABBM totd

.2

..42

,

3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r

A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com 140 pode ser feita

pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da

seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.

3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão

composta oblíqua

Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta

oblíqua for menor que 90 (<90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo


aproximado descrito no item 3.3.3.1, 3.3.3.2 e 3.3.3.3 simultaneamente em cada uma das duas

direções.

A obtenção dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende de

valores distintos de rigidez e esbeltez.

Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em

cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses

momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura

escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B

e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas

duas direções (x e y).

3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2014 para verificação de pilares esbeltos

As exigências feitas pela NBR6118:2014, para a verificação da segurança de pilares

esbeltos, estão resumidas no quadro abaixo.

f

Consideração

dos efeitos de

2a ordem

PROCESSO DE CÁLCULO

Consideração

da fluência

Exato

Aproximado

(diagramas

M, N, 1/r) Simplificado

1

1,4

dispensável - - - -

90

obrigatória

dispensável permitido

permitido dispensável

140

não

permitido obrigatória

200 1,4+0,01(λ – 140) obrigatório não

permitido

NÃO É PERMITIDO EMPREGAR > 200

4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua

Conforme o item 17.2.5 da NBR6118:2014, nas situações de flexão simples ou

composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação:


1 = M

M +

M

M

yy,Rd

y,Rd

xx,Rd

x,Rd

onde:

MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua

composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um

esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Estes são os

valores que se deseja obter;

MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos

em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são calculados a

partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;

é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a

forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado

=1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares pode se adotar =1,2.

5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares

5.1 - Proteção contra flambagem das barras

De acordo com o item 18.2.4 da NBR6118:2014, sempre que houver possibilidade de

flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem

ser tomadas precauções para evitá-la.

Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas

em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20t do canto, se

nesse trecho de comprimento 20t não houver mais de duas barras, não contando a de canto.

Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos

suplementares.

Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele

deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra

longitudinal.

Figura - Proteção contra flambagem das barras


No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do

concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais

se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra

longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo

poligonal.

5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares

5.2.1 - Introdução

As exigências, que seguem (item 18.4 da NBR6118:2014), referem-se a pilares cuja

maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são

válidas para as regiões especiais. Quando a primeira condição não for satisfeita, o pilar deve

ser tratado como pilar parede, aplicando-se o disposto no item 18.5 da NBR6118:2014.

5.2.2 - Armaduras longitudinais

5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura

O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8

da menor dimensão transversal.

A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos

especificados no item 17.3.5.3 da NBR6118:2014. Conforme este item, a taxa de armadura

deve ter o valor mínimo, expresso a seguir:

%,,,

min 400f

f150

A

A

yd

cd

c

míns

sendo:

= Nd/(Ac.fcd)

onde é o valor da força normal adimensionalizada.

A tabela abaixo fornece valores para min, com o uso de aço CA-50 e considerando c

= 1,4 e s = 1,15.

Tabela - Taxas mínimas de armadura de pilares

Valores de mín

fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

0,1 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400%

0,2 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,419% 0,444%

0,3 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,407% 0,444% 0,481% 0,518% 0,554% 0,591% 0,628% 0,665%

0,4 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,444% 0,493% 0,542% 0,591% 0,641% 0,690% 0,739% 0,789% 0,838% 0,887%

0,5 0,400% 0,400% 0,400% 0,431% 0,493% 0,554% 0,616% 0,678% 0,739% 0,801% 0,863% 0,924% 0,986% 1,047% 1,109%

0,6 0,400% 0,400% 0,444% 0,518% 0,591% 0,665% 0,739% 0,813% 0,887% 0,961% 1,035% 1,109% 1,183% 1,257% 1,331%

0,7 0,400% 0,431% 0,518% 0,604% 0,690% 0,776% 0,863% 0,949% 1,035% 1,121% 1,208% 1,294% 1,380% 1,466% 1,553%

0,8 0,400% 0,493% 0,591% 0,690% 0,789% 0,887% 0,986% 1,084% 1,183% 1,281% 1,380% 1,479% 1,577% 1,676% 1,774%

Para aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15


A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se

inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda.

As, máx = 8,0% Ac

5.2.2.2 - Distribuição transversal

As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a

garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo

menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao

longo do perímetro.

O espaçamento livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção

transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes

valores:

- 20 mm;

- o diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 1,2 vezes a dimensão máxima do agregado graúdo.

Para feixes de barras, deve-se considerar o diâmetro do feixe: √ .

Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.

Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura

lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a

passagem do vibrador.

O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve

ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 400

mm.

5.2.2.3 – Comprimento de espera

Conforme o item 9.5.2.3 da NBR6118:2014, o comprimento de espera das barras da

armadura longitudinal dos pilares deve ser calculado por

min,0

,

,

0 c

efs

calcs

bcA

A

sendo 0c, min o maior valor entre 0,6 b , 15 e 200mm.

O valor b é o comprimento de ancoragem básico. Este comprimento é definido como

o comprimento reto de uma barra de armadura necessário para ancorar a força limite Asfyd

nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e

igual a fbd. O comprimento de ancoragem básico é dado por:

25f

f

4 bd

yd

b


A resistência de aderência, para barras nervuradas, pode ser calculada pela expressão

m,ctbdf125,1f

- para concretos de classe até C50:

MPaf3,0f3/2

ckm,ct

- para concretos de classes de C50 até C90:

MPaf11,01ln12,2f ckm,ct

Para o aço CA-50, o comprimento de ancoragem básico pode ser obtido, em função do

valor característico da resistência à compressão do concreto, da tabela abaixo.

fck [MPa] 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ≥60

b 53 44 38 34 30 28 26 26 26 25

5.2.3 - Armaduras transversais

A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por

grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua

colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do

diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura

longitudinal.

O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para

garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura

das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor

dos seguintes valores:

200 mm;

menor dimensão da seção;

24 para CA-25, 12 para CA-50.

Pode ser adotado o valor t</4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo

tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

290 t

yk

máxf

GPas

5.2.4 – Detalhamento dos pilares

A figura abaixo ilustra a forma que deve ser apresentado o detalhamento de um trecho

de pilar, compreendido entre dois pavimentos consecutivos.


75

25

70

20

19 estr. 6,3 s=20

=199

20

95 estr. 6,3 s=20

=39

3o. ANDAR

2o. ANDAR

181

6 =4

50

80

Figura – Detalhamento de um pilar

Figura – Continuidade das armaduras junto a lajes de piso

Para realizar as emendas por traspasse junto a lajes de piso, basta, em geral, dobrar

ligeiramente a parte superior das barras de canto inferiores, a fim de absorver os momentos.

Nos locais de dobra, o esforço devido à mudança de direção das barras, agindo de dentro para

fora, deve ser absorvido por estribos. Quando os pilares diminuírem de seção, recomendam-se

os detalhes das figuras acima.

0c

0c

h

<h/2

0c

h

h/2

0c

+ h/2


As barras da armadura longitudinal que não terão prolongamento no tramo superior do

pilar devem ser adequadamente ancoradas. Conforme o item 9.4.2.5 da NBR6118:2014, o

comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,b

ef,s

calc,s

bnec,bA

A

sendo b, min o maior valor entre 0,3 b , 10 e 100 mm.

6 - Exemplos

seção retangular: hx = 30 cm; hy = 40 cm

C25 fck = 2,5 kN/cm2 fcd = 1,786 kN/cm

2

CA50 fyk = 50 kN/cm2 fyd = 43,48 kN/cm

2

d' = c + t + 2 = 2,5 cm + 0,5 cm + 1,25 cm = 4,25 cm 5 cm

mm

1/8 hx = 30/8 = 3,75 cm (hx é a menor dimensão da seção)

Exemplo 1:

N = 1500 kN

Mx = 0 e1x = Mx/N = 0

My = 0 e1y = My/N = 0

ℓe = 2,6 m

46,3

h

12

h

hb

12

hb

A

Ii

i

3

e

5,2240

26046,3

h46,3

0,3030

26046,3

h46,3

h46,3

y

ey

x

ex

e

e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h

1e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 eb

1yymín1y ,

1xxmín1x,

35

9035

25

h/e5,1225

1

1

b

11

curtopilar0e

0e

y21y

x21x


- primeira situação de cálculo:

cm21,8AA

cm5'd;cm25d;cm30h;cm40b

m.kN364,21500eNM

kN1500N

22s1s

mín,x1x

- segunda situação de cálculo:

- detalhamento (primeira alternativa):

adotando-se para a armadura longitudinal )cm64,19(254 2 , deve-se verificar, inicialmente,

se a envoltória resistente engloba a envoltória mínima solicitante:

- envoltória mínima de 1ª. ordem (curva vermelha):

1 m.kN5,40

M +

m.kN36

M =

M

M +

M

M2

y,mín,1

2

x,mín,1

2

yy,mín,1

y,mín,1

2

xx,mín,1

x,mín,1

- envoltória resistente (curva azul):

1 = m.kN56,65

M +

m.kN51,46

M=

M

M +

M

M2,1

y,R

2,1

x,R

2,1

yy,R

y,R

2,1

xx,R

x,R

Como a envoltória resistente engloba a envoltória mínima de 1ª. ordem, a armadura adotada é

suficiente.

- adotando-se estribos de 5 mm, têm-se

cm185,2

5,0

5,0

90

f

GPa90mm25,64/mm5como

cm305,21212

cm30h

cm20

s22

t

ykt

x

t

resultando estribos .cm18/c5

cm18,7AA

cm5'd;cm35d;cm40h;cm30b

m.kN5,407,21500eNM

kN1500N

22s1s

mín,y1y


* espaçamento das barras:

.OKcm5,2cm195,225,025,2230e

cm3,29,12,1d2,1

cm5,21

cm2

e

máx

.OKcm40cm5,315,25,025,2240s

cm60h2

cm40s

x

* taxa de armadura longitudinal:

.OK)2(%8

.OK%604,0980,048,43

786,115,0

980,0786,14030

15004,1

fA

N

%40,0f

f15,0

%64,14030

64,19

A

A

máx

mín

cdc

d

yd

cd

mín

c

s

* comprimento de espera:

cm20

15

6,0

A

Ab

ef,s

cal,sbc0

cm80836,05,23882,9

18,7,

82,9

21,8máxx38c0

- detalhamento (segunda alternativa):

adotando-se para a armadura longitudinal )cm61,20(164204 2 , deve-se verificar,

inicialmente, se a envoltória resistente engloba a envoltória mínima solicitante:


- envoltória mínima de 1ª. ordem (curva vermelha):

1 m.kN5,40

M +

m.kN36

M =

M

M +

M

M2

y,mín,1

2

x,mín,1

2

yy,mín,1

y,mín,1

2

xx,mín,1

x,mín,1

- envoltória resistente (curva azul):

1 = m.kN45,51

M +

m.kN64,36

M=

M

M +

M

M2,1

y,R

2,1

x,R

2,1

yy,R

y,R

2,1

xx,R

x,R

Como a envoltória resistente não engloba a envoltória mínima de 1ª. ordem, a armadura

adotada é insuficiente. Adota-se, então, para a armadura longitudinal )cm14,25(208 2 .

- envoltória resistente (curva verde):

1 = m.kN98,61

M +

m.kN02,44

M=

M

M +

M

M2,1

y,R

2,1

x,R

2,1

yy,R

y,R

2,1

xx,R

x,R

Como a envoltória resistente passa a englobar a envoltória mínima de 1ª. ordem, a nova

armadura adotada é suficiente.

- adotando-se estribos de 5 mm, têm-se

.OKmm54/mm5como

cm2421212

cm30h

cm20

s

t

x

t



.OKcm3,2cm92

235,025,2230e

cm3,29,12,1d2,1

cm21

cm2

e

máx

.OKcm40cm162

25,025,2240s

cm60h2

cm40s

x


* taxa de armadura longitudinal:

.OK)2(%8

.OK%604,0980,048,43

786,115,0

980,0786,14030

15004,1

fA

N

%40,0f

f15,0

%10,24030

14,25

A

A

máx

mín

cdc

d

yd

cd

mín

c

s

* comprimento de espera:

cm20

15

6,0

A

Amáx,

b

ef,s

cal,sbc0

cm66871,023843,9

18,7,

43,9

21,8máx38c0

* proteção contra flambagem:

direçõesduasnaslementaressupestribos

cm105,02020cm162

25,025,2240s

cm105,02020cm112

25,025,2230s

ty

tx

Exemplo 2:

N = 1200 kN

Mx = ± 56 kN.m cm67,41200

5600ee B

x1A

x1

My = 0 e1y = My/N = 0

ℓe = 2,6 m

5,2240

26046,3

h46,3

0,3030

26046,3

h46,3

h46,3

y

ey

x

ex

e


- direção x:

0e4,6730

)9035(4,6740,0

30

67,45,1225

h

e5,1225

40,040,020,067,4

)67,4(40,060,040,0

e

e40,060,0

cm67,4e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

x2x1x

x1bx

x

x1

x1

bxbxAx1

Bx1

bx

1xxmín1x,

- direção y:

0e355,22

359035como251

40

05,1225

h

e5,1225

10e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

y2y1y

y1y1by

y

y1

y1

by1yymín1y ,

- primeira situação de cálculo:

cm4,2

0e

ecm67,4ee

kN1200N

y

mín,x1x1x

- segunda situação de cálculo:

cm7,2ee

cm67,4ee

kN1200N

mín,y1y

x1x

A primeira situação de cálculo é mais favorável do que a segunda e não precisa ser verificada.

- situação de dimensionamento de flexo-compressão oblíqua:

cm5'd;cm40h;cm30h

m.kN40,327,21200M

m.kN04,5667,41200M

kN1200N

yx

y

x


- dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118

(2014):

.OK99,001,102

40,32

92,71

04,56254

23,148,84

40,32

18,60

04,56224

1Myy

My

Mxx

Mx

2,12,1

2,12,1

2,12,1

solução adotada: 425

- dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua:

* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 17,92 cm2 (solução adotada: 425)

* armadura igual nas quatro faces: As,total = 20,62 cm2

Exemplo 3:

N = 1000 kN

Mx = ± 40 kN.m cm41000

4000ee B

x1A

x1

My = ± 60 kN.m cm61000

6000ee B

y1A

y1

ℓe = 2,6 m

5,2240

26046,3

h46,3

0,3030

26046,3

h46,3

h46,3

y

ey

x

ex

e

- direção x:

0e7,6630

)9035(7,6640,0

30

45,1225

h

e5,1225

40,040,020,04

)4(40,060,040,0

e

e40,060,0

cm4e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

x2x1x

x1bx

x

x1

x1

bxbxAx1

Bx1

bx

1xxmín1x,


- direção y:

0e2,675,22

)9035(2,6740,0

40

65,1225

h

e5,1225

40,040,020,06

)6(40,060,040,0

e

e40,060,0

cm6e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

y2y1y

y1by

y

y1

y1

bybyAy1

By1

by

1yymín1y ,

- como e1x > e1x,mín e e1y > e1y,mín, a situação de projeto é a única situação de cálculo.

cm5'd;cm40h;cm30h

m.kN6061000M

m.kN4041000M

kN1000N

yx

y

x

- dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118

(2014):

.OK00,170,103

60

32,73

40224

1Myy

My

Mxx

Mx

2,12,1

2,12,1

solução adotada: 422 (4 x 3,801 = 15,20 cm2)


* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 13,40 cm2 (solução adotada: 422)

* armadura igual nas quatro faces: As,total = 15,97 cm2

- armadura transversal:

adotando-se para a armadura longitudinal )cm20,15(224 2 e estribos de 5 mm, têm-se

cm5,202,2

5,0

5,0

90

f

GPa90mm5,54/mm5como

cm4,262,2x1212

cm30h

cm20

s22

t

ykt

x

t


Exemplo 4:

N = 1400 kN

Mx = 0 e1x = Mx/N = 0

My = 0 e1y = My/N = 0


ℓe = 4 m

6,3440

40046,3

h46,3

1,4630

40046,3

h46,3

h46,3

y

ey

x

ex

e

e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h

1e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 eb

1yymín1y ,

1xxmín1x,

35

9035

25

h/e5,1225

1

1

b

11

esbeltopilar0e

0e

y21y

x21x

- determinação dos efeitos locais de segunda ordem para :90

aproximadarigidezcom

aproximadacurvaturacompadrãopilardométodo

(a) curvatura aproximada:

fA

N

15,0com,h5,0

005,0

10e

ee

eeee

cdc

d

x

2e

x2

mín,x1x1

x1x2x1bxx

cm4,2e

cm29,489,14,2eee

cm89,1305,091,0

005,0

10

400e

91,04,1/5,24030

14004,1

cm4,2ee

x1

x2x1bxx

2

x2

mín,x1x1

(b) rigidez aproximada:

h

e5132

e

/1201

ee

x

x

x12x

x1bxx


- procedimento iterativo: arbitra-se, inicialmente, que ex = e1x = 2,4 cm

- primeira iteração:

cm97,3

80,44120

1,461

4,2e;80,44

30

4,25132

2x

- segunda iteração:

cm60,3

17,53120

1,461

4,2e;17,53

30

97,35132

2x

- terceira iteração:

cm67,3

20,51120

1,461

4,2e;20,51

30

60,35132

2x

- quarta iteração:

cm66,3

57,51120

1,461

4,2e;57,51

30

67,35132

2x

- solução direta:

724,2.1.30e..hC

39680,14,2.1.53840

30.1,4630e..5

3840

h.hB

5A

:onde,0Ce.Be.A

x1bxx

2

x1bxx

2

xxx

2

x

cm66,35.2

)72(.5.439680,139680,1

A.2

C.A.4BBe

22

x

- situação de cálculo:

cm7,2ee

cm66,3eee

mín,y1y

x2x1x

cm5'd;cm40h;cm30h

m.kN80,377,21400M

m.kN24,5166,31400M

kN1400N

yx

y

x


* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 22,67 cm2

* armadura igual nas quatro faces: As,total = 25,22 cm2 (adotado: 820 8x3,142=25,14 cm

2)

- detalhamento:

adotando-se para a armadura transversal estribos de 5 mm, têm-se


.OKmm54/mm5como

cm242x1212

cm30h

cm20

s

t

x

t



.OKcm3,2cm92

235,025,2230e

cm3,29,12,1d2,1

cm21

cm2

e

máx

máx,

* proteção contra flambagem:

direçõesduasnaslementaressupestribos

cm105,02020cm162

25,025,2240s

cm105,02020cm112

25,025,2230s

ty

tx

Exemplo 5:

N = 366,9 kN

cm109,366

3669em.kN69,36M

Ax

A

x1

cm5,29,366

917em.kN17,9M

Bx x1

B

cm259,366

9173em.kN73,91M

Ay

A

y1

cm39,366

1101em.kN01,11M

By x1

B

ℓe = 7,5 m

9,6440

75046,3

h46,3

5,8630

75046,3

h46,3

h46,3

y

ey

x

ex

e


- direção x:

)esbeltopilar(0e3,585,86

)9035(3,5850,0

30

105,1225

h

e5,1225

50,040,050,010

)5,2(40,060,040,0

e

e40,060,0

cm10e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

x2x1x

x1bx

x

Ax1

x1

bxbxAx1

Bx1

bx

A1xxmín1x,

- rigidez aproximada:

h

e5132

e

/1201

ee

x

x

x12x

x1bxx

- solução direta:

15010.5,0.30e..hC

455,5310.5,0.53840

30.5,8630e..5

3840

h.hB

5A

:onde,0Ce.Be.A

x1bxx

2

x1bxx

2

xxx

2

x

cm135.2

)150(.5.4455,53455,53

A.2

C.A.4BBe

22

x

)eextremidaddeseção(cm10

)ermediáriaintseção(cm13

e

e

x1

x

- direção y:

)esbeltopilar(0e7,599,64

)9035(7,5955,0

40

255,1225

h

e5,1225

55,040,055,025

)3(40,060,040,0

e

e40,060,0

cm25e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e

y2y1y

y1by

y

Ay1

y1

bybyAy1

By1

by

A1yymín1y ,


- rigidez aproximada:

h

e5132

e

/1201

ee

y

y

y12y

y1byy

- solução direta:

55025.55,0.40e..hC

6251,7225.55,0.53840

40.9,6440e..5

3840

h.hB

5A

:onde,0Ce.Be.A

y1byy

2

y1by

y

2

y

yy

2

y

cm02,205.2

)550(.5.46251,726251,72

A.2

C.A.4BBe

22

x

)eextremidaddeseção(cm25

)ermediáriaintseção(cm02,20

e

e

y1

y

duas situações de projeto:

- seção intermediária:

cantosquatronosigualarmaduracm61,14A

m.kN45,7302,209,366M

m.kN70,47139,366M

kN9,366N

2

total,s

y

x

-seção de extremidade:

cantosquatronosigualarmaduracm44,15A

m.kN73,91259,366M

m.kN69,36109,366M

kN9,366N

2

total,s

y

x

solução: 425 (19,64 cm2)


ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)

Tabela 1 – Características das barras

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

6,3 0,312

8,0 0,503

10,0 0,785

12,5 1,227

16,0 2,011

20,0 3,142

22,0 3,801

25,0 4,909

32,0 8,042

40,0 12,566

Tabela 2 – Características dos fios

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

2,4 0,045

3,4 0,091

3,8 0,113

4,2 0,139

4,6 0,166

5,0 0,196

5,5 0,238

6,0 0,283

6,4 0,322

7,0 0,385

8,0 0,503

9,5 0,709

10,0 0,785

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