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APOSTILA

PMR 5215 – OTIMIZAÇÃO APLICADA AO PROJETO DE

SISTEMAS MECÂNICOS

Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva

Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos

Escola Politécnica da USP

Otimização em Engenharia Mecânica Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva

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1. INTRODUÇÃO

Para entendermos a importância de se estudar otimização, vamos considerar um problema de engenharia estrutural em que se deseja maximizar a rigidez da asa de um avião. Suponhamos que os parâmetros que possam ser alterados sejam a espessura das nervuras (e1, e2), momento de inércia das longarinas (I), distância entre as nervuras (L1 e L2), distância entre as longarinas (L3 e L4), espessura da chapa em diferentes pontos (h1,h2), material da estrutura (E), totalizando 10 parâmetros. Suponha ainda que cada parâmetro possa assumir 10 valores definidos devido a restrições de fabricação e que será usado um software de elementos finitos (MEF) para a simulação da estrutura da asa. Vejamos duas abordagens para a solução desse problema. A primeira abordagem, mais conhecida por todos, seria construir um modelo parametrizado de elementos finitos da asa com os parâmetros acima e rodar várias análises de MEF considerando as diversas combinações dos parâmetros acima. Para cada resultado de análise (obtido para uma combinação de parâmetros), calcula-se o valor correspondente da rigidez da asa. De posse dos valores de rigidez da asa para as diferentes combinações de parâmetros, podemos plotar vários gráficos dessa rigidez em função dos diversos parâmetros e analisando esses gráficos tomar uma decisão sobre a combinação ótima dos valores desses parâmetros. Essa abordagem é denominada abordagem de análise. No entanto, essa abordagem apresenta uma grande limitação. Suponha que tivéssemos apenas 3 parâmetros (dos 10 acima) para considerar no projeto da asa. Como cada parâmetro pode assumir 10 valores, teríamos 103 combinações possíveis para serem analisadas. Se cada análise de MEF demora 0,1s (supor um modelo simples de MEF) o tempo total para analisar essas 1000 combinações seria 100s. Agora, considerando os 10 parâmetros, teríamos 1010 combinações de parâmetros para serem analisadas, e considerando agora que cada análise de MEF demora 10s, o tempo total passa a ser 1011s, ou seja, 3200 anos!! Quer dizer, essa abordagem é inviável para o problema acima. Deve-se ainda computar os tempos de construção do modelo pelo software e a interpretação dos dados (cálculo da rigidez, etc.) o que aumenta ainda mais os tempos anteriores. Assim, a abordagem de análise somente faz sentido quando temos um número muito reduzido de casos a serem estudados. Para as dimensões do problema acima deve ser utilizado uma segunda abordagem, denominada de síntese ou otimização. Nessa abordagem, é realizado uma busca racionalizada da solução através de algoritimos numéricos de otimização, o que reduz drasticamente o tempo para encontrar a solução ótima. Embora a discussão do problema acima possa parecer óbvia, muitas pessoas ainda confundem o conceito da abordagem de análise com a otimização (ou síntese). Por exemplo, é comum se encontrar trabalhos em congressos em que o título se refere a otimização de uma peça mecânica ou um sistema (mecânico ou elétrico). Lendo o trabalho observa-se muitas vezes que o que o autor realmente fez foi desenvolver um algoritimo de análise sofisticado para aquele problema e de posse desse algoritimo propôs algumas alterações na solução inicial. Logicamente que, o fato de se possuir um algoritimo sofisticado de análise para algum problema (mecânico ou elétrico), nos permite ter um bom conhecimento do comportamento do problema, e portanto nos ajuda a tomar algumas decisões de como melhorar o resultado final. No entanto, a verdadeira otimização consistiria em se realizar uma busca sistemática da solução ótima dentro de várias


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configurações possíveis, através de um algoritimo numérico de otimização, tornando assim o resultado independente do analista. Certamente esse algoritimo numérico de otimização deve trabalhar em conjunto com o algoritimo de análise que tem um papel fundamental nesse processo, pois ele vai certificar se a solução proposta pelo primeiro é realmente melhor ou não. No entanto, esse "mau uso" da palavra otimização não é culpa dos autores, mas sim de uma cultura que predominou nas décadas de 60 e 70 em que os olhos dos cientistas e engenheiros da área de estrutura estavam principalmente voltados para o desenvolvimento dos softwares de análise de CAE (“Computer Aided Engineering”), enquanto a otimização era considerada uma área secundária. Nessa época, a otimização tinha grande atuação em áreas como Economia e Engenharia de Produção (gestão da produção), quando foram desenvolvidos os vários algoritimos numéricos de otimização que são usados atualmente. Já na área estrutural a sua aplicação era restrita na indústria. Contudo, essa situação mudou muito nas décadas de 80 e 90 (principalmente) nos Estados unidos, Japão e Europa, onde cursos sobre otimização estão presentes agora não somente na pós-graduação, mas principalmente na graduação (com abordagem mais básica) com o objetivo de iniciar a cultura de síntese ou otimização nos alunos. Nesses cursos, o aluno não se limita a analisar um sistema (por exemplo, estrutura) previamente fornecido, mas a projetá-lo de uma forma sistemática, segundo especificações de objetivo e limitações iniciais, utilizando conceitos de otimização. Uma das áreas da engenharia em que a otimização tem sido intensivamente estudada desde o século XIX e a área de otimização estrutural. O objetivo básico é reduzir o peso da estrutura mantendo o seu desempenho (rigidez, freqüência de ressonância, etc..). A maior parte das contribuições na otimização de sistemas mecânicos foram desenvolvidas na área de otimização estrutural. Por essa razão a maior parte dos exemplos discutidos nesse curso serão na área estrutural. A seguir um breve histórico sobre a otimização estrutural é apresentado.

1.1 Breve Histórico da Otimização Estrutural O primeiros problemas de otimização estrutural foram resolvidos por Maxwell em 1872 e posteriormente por Michell em 1904. Consistiam essencialmente em inicialmente calcular o campo de tensão mecânicas principais, usando teoria da elasticidade, de uma força aplicada num ponto de um domínio infinito que está sujeito a restrições de deslocamento em outros pontos. Obtidas as linhas de isotensão principais, a idéia básica então, era propor nesse domínio uma estrutura formada por barras (treliça), em que cada barra (elemento de treliça) estivesse alinhada com as direções principais de tensão calculadas no domínio. Ou seja, a estrutura ótima (em que o material fosse melhor aproveitado) seria aquela em que os elementos estariam sujeitos apenas a tração e compressão e não há momentos fletores. Embora simples, esse tipo de critério de projeto fornece o mesmo resultado que o critério de máxima rigidez com mínimo volume de material e atualmente já é provado que a configuração ótima para esse critério é uma estrutura de treliças. Ou seja, mesmo partindo-se de um meio contínuo a estrutura com melhor aproveitamento de material, segundo o critério máxima rigidez e menor peso, é uma estrutura de barras de treliça. Assim utilizando-se do conceito de alinhar as barras com as tensões principais no domínio, Michell obteve resultados surpreendentes de estruturas de treliça como mostrado nas Figs.1.1.1, 1.1.2 e 1.1.3 para domínios bi e tridimensionais. Nessas figuras apenas uma parte das linhas de isotensão principais estão representadas para facilitar a visualização, no entanto o leitor deve imaginar que existem infinitas linhas de isotensão principais conectando a força aos suportes. Note que essas linhas devem ser perpendiculares no ponto de intersecção.


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Fig.1.1.1: Exemplos de estruturas de treliça obtidas por Michell em 1904. As barras seguem as linhas

de isotensão principais. A linha pontilhada indica compressão e a cheia tração.

Fig.1.1.2: Exemplos de estruturas de treliça obtidas por Michell em 1904. As barras seguem as linhas

de isotensão principais.

Fig.1.1.2: Exemplo de estrutura de treliça num domínio tridimensional sujeita à carregamento de

torção. A linha pontilhada indica compressão e a cheia tração.

Embora surpreendentes, esses resultados ficaram esquecidos por um bom tempo por serem considerados na época resultados apenas acadêmicos sem aplicação prática. Esses resultados foram reproduzidos novamente na década de 90 em domínios de dimensões finitas com o uso de métodos computacionais baseados em otimização topológica. Atualmente, esses resultados são inclusive usados para aferir ("benchmarks") os softwares de otimização estrutural que se propõem a sintetizar estruturas, como é o caso da otimização topológica.

Após os resultado de Michell em 1904, não houve praticamente evolução na otimização estrutural até a década de 60. Durante esse período eram apenas estudados problemas acadêmicos em estruturas simples (vigas, treliças) sem aplicação prática (mas que não seguiam a linha dos resultados de Michell). Na década de 60 com o surgimento dos computadores e do MEF, problema práticos de otimização estrutural passam a ser estudados usando otimização paramétrica, ou seja, alterando-se apenas as dimensões (ou as razões de dimensão da estrutura). Assim, por exemplo, é desenvolvido o método Simplex para a solução de problemas de programação linear. Na década de 70 são implementados vários algoritimos de otimização para problemas não-lineares de otimização bastante usados atualmente. Na verdade a formulação


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teórica de alguns algoritimos já havia sido desenvolvida anteriormente, no entanto somente com o desenvolvimento das linguagens de programação, eles foram implementados. É implementado também o método de otimização de forma, além de métodos probabilísticos como os algoritimos genéticos. Na década de 80 aparecem os primeiros softwares comerciais de otimização estrutural e alguns softwares de elementos finitos passam a incluir módulos de otimização no seu pacote. É iniciado o desenvolvimento na área acadêmica do método de otimização topológica (MOT). Na década de 90, o MOT é implementado em softwares comerciais tendo grande repercussão na indústria automotiva e aeronáutica nos Estados Unidos, Japão, e Europa.

Existem atualmente basicamente três abordagens em otimização estrutural: otimização paramétrica, otimização de forma e otimização topológica. Na otimização paramétrica são otimizadas as dimensões (ou a razão das dimensões) da estrutura, mantendo-se a sua forma pré-definida. Na otimização de forma são alterados os contornos (internos e externos) da estrutura. Finalmente na otimização topológica são encontrados novos "buracos" de forma ótima no domínio estrutural. A redução do peso na estrutura e melhora do objetivo desejado é crescente na seqüência descrita dos métodos. Note que a otimização de forma apenas altera os contornos da estrutura não permitindo encontrar novos "buracos" nesta.

Atualmente as pesquisas de otimização estrutural se concentram no desenvolvimento dos métodos de otimização de forma para aplicações como forjamento e estampagem, e do MOT para as diversas áreas da engenharia (não somente a estrutural).


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2. DEFINIÇÕES BÁSICAS

Na formulação de um problema de otimização estão presentes os seguintes conceitos: váriaveis de projeto, função objetivo, restrições e domínio viável e inviável que serão descritos a seguir. 2.1 Variáveis de Projeto

Essencialmente, as variáveis de projeto são os parâmetros do problema que podem ser alterados para otimizar o sistema. Por exemplo, no caso de uma estrutura podem representar uma certa dimensão que será alterada, área da seção de uma viga, ou o valor de uma propriedade do material de que é feita (por exemplo, o módulo de elasticidade). As variáveis de projeto são classificadas em variáveis contínuas e discretas. As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor, já as variáveis discretas estão limitadas a valores isolados. Assim, por exemplo, o diâmetro de uma viga tubular seria uma variável discreta já que encontramos apenas alguns diâmetros de tubo disponíveis no mercado, já o seu comprimento pode ser uma variável contínua, uma vez que podemos cortar o tubo em qualquer comprimento. No entanto se temos a liberdade de fabricar o tubo com qualquer diâmetro, então o diâmetro passa a ser uma variável contínua. Variáveis que indicam valores de materiais também são em geral discretas, já que temos um número limitado de materiais disponíveis. Problemas de Otimização que envolvem variáveis discretas são resolvidos utilizando métodos baseados na teoria de programação inteira. São em geral algoritimos complexos e os problemas são de difícil solução. A princípio podemos ficar tentados a inicialmente tratar uma variável discreta como contínua e ao final da otimização adotar o valor isolado mais próximo da solução obtida. Entretanto, quando os valores da variável discreta estão muito espaçados, esse procedimento nem sempre funciona, pois podemos nos afastar muito da optimalidade da solução ou desrespeitar alguma restrição imposta no problema de otimização. Nesses casos deve-se utilizar os algoritimos específicos para variáveis discretas. As variáveis contínuas podem ainda serem classificadas em parâmetro distribuído e parâmetro discreto. A variável do tipo parâmetro distribuído é representada por uma função. Assim, podemos definir a função área A(x) que representa como a área da viga varia ao longo de seu comprimento. Nesse caso a variável seria a função em si e não somente o valor de uma incógnita. Ou seja, queremos saber qual é a variação de área ao longo do comprimento da viga para otimizá-la segundo um critério. A solução de um problema de otimização em que uma função é a incógnita é obtida através da teoria de cálculo variacional. Em geral, os problemas dessa natureza que podem ser resolvidos sem utilização de métodos numéricos se limitam a casos simples de estrutura, como a otimização da geometria de uma viga, por exemplo, tendo interesse mais acadêmico. No entanto, todas as teorias de otimização são (e devem ser) fundamentadas através do cálculo variacional que será discutido adiante.


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Para a solução de problemas práticos em engenharia são usados métodos numéricos, que exigem, por exemplo, a discretização em elementos finitos de um domínio estrutural, inicialmente contínuo. Assim, passamos a ter, por exemplo, ao invés de uma distribuição contínua da área da seção da viga ao longo do comprimento, valores de áreas dos elementos discretos que compõe a viga, sendo que a variável área do elemento é uma variável contínua, pois pode assumir qualquer valor. Essa variável é denominada variável contínua do tipo parâmetro discreto. Nesse curso estaremos trabalhando somente com esse tipo de variável. Devido à classificação das variáveis acima, podemos classificar o sistema mecânico a ser otimizado em três tipos: • Contínuo: sistema em que a variação de seus parâmetros é representada por uma função

contínua que é a variável de projeto. A otimização desse tipo de sistema é obtida através de cálculo variacional. Como exemplo são ilustradas estruturas contínuas na figura 2.1.1.

A(x), I(x)x

x A(x), I(x)

Fig.2.1.1: Exemplos de sistemas (estruturas) contínuos.

• Discreto: sistema em que a variação de seus parâmetros é representada por uma função

discreta que é a variável de projeto em geral. Como exemplo, no caso estrutural temos estruturas de treliça ou pórticos, que são constituídas de elementos discretos de treliça ou viga, respectivamente. As variáveis de projeto são em geral as áreas ou momento de inércia dos elementos, ou as coordenadas dos nós.

Fig.2.1.2: Exemplo de sistema (estrutura) discreto.

• Contínuo tratado como discreto: ocorre, por exemplo, quando discretizamos uma estrutura

contínua em elementos finitos para poder resolvê-la utilizando métodos numéricos. Nesse


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caso, as variáveis de projeto estão em geral associadas com os elementos (espessura, área, dimensões, etc.).

A2A1 A3 A4 A5A6

Fig.2.1.3: Exemplos de sistemas (estruturas) contínuos tratados como discretos.

A escolha das variáveis de projeto é crítico para o sucesso da otimização. Considere o exemplo da Fig.2.1.4 em que a distribuição de espessura de uma placa foi otimizada. Embora a discretização seja suficiente para uma análise de CAE (elementos finitos) da placa com espessura constante, ela não é adequada para representar a solução final da otimização. Assim uma malha mais fina é necessária.

Fig.2.1.4: Distribuição ótima de espessura numa placa.

A Fig.2.1.5 ilustra a situação em que a escolha das variáveis de projeto influencia o resultado final da otimização. O resultado da Fig.2.1.5a é uma solução ótima local que não é interessante, e que é obtida devido à escolha das variáveis h1, h2, h3, h4 e h5. Mudando-se a definição das variáveis para h1, ∆h2, ∆h3, ∆h4, ∆h5, como mostrado na Fig.2.1.5b uma outra solução ótima local é obtida apresentando uma configuração mais interessante para ser fabricada.


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h1 h2 h4h3 h5

h1 ∆h2 ∆h3 ∆h4 ∆h5

Fig.2.1.5: Problema de distribuição ótima de espessura numa viga.

A Fig.2.1.6 mostra a otimização da forma de um furo numa placa para reduzir a concentração de tensão. Como variáveis de projeto foram utilizadas as coordenadas dos nós no contorno do furo. Novamente a discretização do modelo de CAE (elementos finitos) não é suficiente pra representar o resultado da otimização. Além disso, os elementos próximos ao contorno foram muito distorcidos comprometendo o resultado da análise numérica. Para evitar essa distorção poderiam também serem escolhidos como variáveis as coordenadas dos outros nós próximos ao contorno do furo.

Fig.2.1.6: Otimização da forma de um furo numa placa.

2.2 Função Objetivo

A função objetivo (ou "objective function") deve quantificar o que queremos otimizar e será função das variáveis de projeto escolhidas. A função objetivo deve ser usada como uma medida da eficiência o projeto. A função objetivo pode ser classificada em simples ou multiobjetivo (ou multicritério). A função é dita simples quando temos apenas um objetivo e é denominada multiobjetivo quando queremos otimizar vários objetivos de uma só vez. O sucesso da otimização vai depender também da formulação da função objetivo. Assim, é importante se perder um tempo para encontrar uma expressão matemática (deslocamento, freqüência de ressonância, rigidez, etc.) adequada que quantifique corretamente a eficiência do

a)

b)


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projeto. Isso muitas vezes não é fácil, por exemplo, como quantificar a dirigibilidade de um automóvel? A dirigibilidade em si é um conceito relativo que varia de pessoa pra pessoa (um piloto de fórmula um tem uma expectativa diferente de quem está aprendendo a dirigir, por exemplo), assim o problema de otimizar o projeto de um automóvel para melhorar a sua dirigibilidade torna-se complexo pela dificuldade de se quantificar a dirigibilidade. Em problemas de otimização com multiobjetivos (multicritério) a principal dificuldade é a definição da função multiobjetivo que será discutido adiante. A função multiobjetivo deve consistir numa expressão matemática que combina todos os objetivos do problema. É importante chamar atenção para algumas equivalências clássicas de função objetivo que podem tornar o problema matematicamente mais simples. Assim, maximizar f é a mesma coisa que minimizar -f ou 1/f (a menos da singularidade em f=0), ou maximizar k*f (onde k é uma constante) e maximizar |x| pode ser substituído por maximizar x2, o que evita singularidades na derivada da função objetivo.

2.3 Restrições Essencialmente, as restrições são as limitações impostas para se obter a solução otimizada. São classificadas em 3 tipos: laterais, igualdade e inegualdade. Considerando um conjunto de variáveis de projeto n321 x,...,x,x,x=x , uma restrição lateral é do tipo:

n1,...,i xxxii maximin =≤≤ ,

uma restrição de inegualdade é uma equação do tipo: gj n1,...,j ,0)(g =≥x ,

e uma restrição de igualdade é do tipo: ek n1,...,k 0,)(h ==x .

As restrições de igualdade são em geral complexas de se implementarem em alguns algoritimos não-lineares de otimização e podem serem transformadas em

0)(h e 0)(h kk ≥≤ xx .

Outro ponto importante e a normalização das restrições. É muito comum termos restrições cujas ordens de grandeza dos valores são diferentes. Assim, enquanto o valor de uma restrição de tensão mecânica é da ordem de MPa, o valor de uma restrição de deslocamento é da ordem de centésimos de milímetro. A presença de valores tão distantes num algoritimo de otimização pode gerar problemas de condicionamento numérico prejudicando o resultado final da otimização. Assim, devemos normalizar a restrição como mostrado abaixo:

01-)(g1g

)(gg)(g j

max

jmaxj

j

j≤⇒≤⇒≤ x

xx .

Em geral, os softwares de otimização fazem internamente uma normalização automática das restrições, no entanto, isso deve ser verificado antes de utilizá-lo. Deve-se evitar, na medida do possível, um grande número de restrições no problema, pois isso encarece consideravelmente o custo computacional da otimização.


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Além da classificação acima, as restrições ainda são classificadas como locais e globais. Restrições locais se referem a um ponto localizado no domínio. Como exemplo, temos as restrições de tensão mecânica e deslocamento num ponto. A restrição global se refere a estrutura como um todo. Como exemplo, temos as restrições de volume e freqüência de ressonância. O problema da restrição local surge quando tem que ser definida num grande número de pontos, como por exemplo ocorre com a tensão mecânica, o que pode aumentar consideravelmente o número de restrições. Isso pode ser contornado utilizando a técnica de eliminação de restrições, discutida no capítulo 7. Com relação ao estado, a restrição é classificada em ativa e inativa. Uma restrição está ativa quando:

0)(g j =x , e uma restrição está inativa quando:

0)(g j >x . No final da otimização espera-se que todas as restrições estejam ativas, caso contrário, as que estão inativas não seriam, a princípio, necessárias no problema de otimização, pois não influenciam o problema. Por outro lado, existem restrições que se tornam ativas durante o processo de otimização e depois ficam inativas ao final, dessa forma é muito difícil saber de antemão, quais as restrições que influenciam ou não o resultado da otimização e assim, todas devem ser consideradas. Um conceito importante é o multiplicador de Lagrangre ( iλ ) associado a cada restrição e que será discutido em detalhe na seção 3.2. Essencialmente, o valor do multiplicador de Lagrange está relacionado com a importância da restrição. Assim, se 0=iλ a restrição i é inativa (não sendo necessária), e se 0≠iλ , a restrição i é ativa (sendo necessária). Finalmente, definido as variáveis de projeto, função objetivo e restrições, um problema de otimização é formulado como:

Minimizar f(x) x

tal que ek n1,...,k 0,)(h ==x gj n1,...,j ,0)(g =≥x

O fato de formular o problema como uma minimização ao invés de uma maximização, ou utilizar 0)(g j ≥x ao invés de 0)(g j ≤x , é apenas uma questão de notação e não altera em nada os conceitos que serão apresentados. Nesse curso utilizaremos a notação acima, que é a mais comumente utilizada nos livros de otimização. Um problema de otimização é dito linear se a função objetivo e restrições são lineares, ou seja:


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Minimizar ;xc...xcxc)(f nn2211 +++=x x

tal que gnn2211k n1,..,j ,0xb...xbxb)(h ==+++=x

enn2211j n1,...,j ,0xd...xdxd)(g =≥+++=x

caso contrário, o problema de otimização é não-linear. Se o problema de otimização é linear, pode ser resolvido com o método denominado programação linear. Como exemplo de formulação de um problema de otimização, considere a minimização da massa da treliça da Fig.2.3.1 sujeita ao carregamento mostrado e com restrições de tensão mecânica em cada barra. As variáveis de projeto são as coordenadas das bases das barras x1, x2, x3 e as áreas A1, A2 e A3.

x1x2

x3

Pu

v

A1

A2 A3

Fig.2.3.1: Estrutura de treliça.

Assim, o problema de otimização fica:

Min

tal que

( )332211 LALALA29,0m ++=

0)vL,x,(Ak)uL,x,(Ak010.000)vL,x,(Ak)uL,x,(Ak

iii22iii12

iii12iii11

=+=−+

1,2,3i 00,1A030.000)L,xv,(u,0)L,xv,(u,30.000

i

iii

iii

=≥−≥+≥−

σσ

Equações de equilíbrio

Restrições deTensões Mecânicas

321 A,A,A

onde 100xL 2ii += e além das restrições mecânicas, são incluídas as restrições de equilíbrio para

garantir que o equilíbrio da estrutura seja respeitado quando as variáveis de projeto são alteradas, e restrições de valor mínimo para as áreas.

, x1, x2, x3


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2.4 Domínio Viável e Inviável Definido o problema de otimização, o próximo conceito é discutir a região de localização da sua solução. A parte do domínio em que as restrições são respeitadas é denominada domínio viável, enquanto que a parte do domínio em que alguma restrição não é respeitada é denominada domínio inviável. A Fig 2.4.1 ilustra esse conceito para um espaço bidimensional.

0h1 =

1cf =

0h2 =0h4 =

0h3 =

2cf =

3cf =

0h,h,h,h 4321 ≥

domínioinviáveldomínio

viável

x2

x1O

Fig.2.4.1: Regiões de domínio viável e inviável.

Mediante o estudo desse gráfico bidimensional, podemos entender a influência das restrições na localização da solução ótima. Na Fig.2.4.2 são plotadas as curvas de nível da função f, com a seta indicando o sentido em que f decresce. Nota-se que devido a função restrição especificada surge o conceito de mínimo local e mínimo global. O mínimo local aparece numa “cavidade secundária”, e possue um valor de função objetivo f maior do que o mínimo global. Essa situação é comum em muitos problemas de otimização, fazendo com que os algoritimos estacionem no mínimo local. A confirmação se o mínimo encontrado é global, somente é possível para problemas denominados convexos, que serão discutidos na seção 4.3.2.3. Nos demais tipos de problema a dúvida persiste, não sendo possível ou muito difícil, em geral, provar matematicamente se o mínimo é local ou global.

mínimolocal

mínimoglobal

x1

x2

↓f

o

Fig.2.4.2: Conceito de mínimo local e global.


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A Fig.2.4.3 mostra uma situação muito comum em que a solução ótima encontra-se na intersecção de duas restrições, indicando que estão ativas no final da otimização. As demais restrições estão inativas.

x2

x1

xopt

↓f

o

Fig.2.4.3: Solução ótima na instersecção de duas restriçãoes ativas.

A Fig. 2.4.4 ilustra a situação em que a solução ótima é obtida com todas as restrições inativas, ou seja, o problema é equivalente a um problema de otimização sem restrição.

x2

x1

xopt

o

Fig.2.4.4: Solução ótima com todas as restrições inativas. A Fig.2.4.5 mostra a situação em que a curva de nível da função f é tangente a curva de uma restrição, com a solução ótima no ponto de tangência. Essa situação pode apresentar uma sensibilidade numérica com uma grande variação na obtenção da solução ótima devido a pequenos erros no cálculo da função objetivo ou restrições, e no caso mais crítico apresentar uma solução degenerada, ou seja, possue inúmeras soluções, o que ocorre, por exemplo, se a curva de nível de f for “paralela” à curva de restrição.


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xopt

x2

x1

↓f

o

Fig.2.4.4: Solução ótima no ponto tangente à restrição.

2.5 Função Multiobjetivo e Conceito de Ótimo-Pareto

Consideremos um problema de multicritérios em que se deseja otimizar vários objetivos de uma única vez. Para resolver o problema devemos definir uma única função que combina todos esses objetivos denominada função multiobjetivo. No entanto, a formulação dessa função não é óbvia. Consideremos o exemplo da treliça acima em que temos a princípio quatro objetivos: massa (m) e tensão mecânica em cada uma das três barras (σ1, σ2, σ3). Esse problema pode ser formulado de várias maneiras. A primeira delas consistiria em definir uma única função objetivo que combine os quatro objetivos, por exemplo da seguinte forma:

Minimizar 3322110 ccmcF(x) σσσ +++= c ,

onde c0, c1, c2 e c3 são pesos atribuídos. O problema agora seria definir o valor dos pesos. Por exemplo se escolhermos um valor para c1 muito maior que os demais, o algoritimo de otimização irá minimizar principalmente σ1 em relação aos demais. Ou seja, qual a influência dos pesos no resultado final da otimização? Uma outra forma de formular o problema é selecionar um dos objetivos como função objetivo e transformar os demais em restrições, como por exemplo:

Minimizar m tal que max3max22max11 ;; σσσσσσ <<< ,

ou

Minimizar σ1 tal que max3max22max ;; σσσσ <<< mm .

A questão que surge é qual dos objetivos deve ser escolhido e como isso influe no resultado final, ou seja, diferentes formulações do problema de otimização levam a diferentes resultados?


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Muitas vezes a escolha dependerá do algoritimo de otimização a ser utilizado. Para alguns algoritimos é melhor que a função objetivo seja linear e as restrições não-lineares ou vice-versa. Considere um outro exemplo em que os objetivos são massa (m) e deslocamento num ponto da estrutura (wmax). Podemos formular o problema definindo uma função multiobjetivo do tipo:

Minimizar max21 wcmcf += ,

ou podemos formular dois tipos de problema:

Minimizar m ou Minimizar w tal que maxww < tal que maxmm <

Uma questão comum que surge é se ambas as formulações levam ao mesmo resultado. Nesse caso especial, como o problema é convexo (ver adiante), demonstra-se matematicamente que ambas as formulações levam a mesma solução ótima. Mas para maior parte dos problemas, essas não são questões com respostas óbvias. Em geral estamos diante de uma solução de compromisso, o que se ganha numa formulação se perde com a outra, mas podemos analisar o que acontece em alguns casos. Vamos analisar inicialmente a formulação de uma função multiobjetivo do tipo combinação linear com pesos. Sejam F1=x e F2=4-2x dois objetivos plotados na Fig.2.5.1.

Fig.2.5.1: Plotagem das funções F1(x) e F2(x).

Considere um problema de otimização formulado como:

Minxtal que

(x)Fw(x)FwF(x) 2211 +=

2x1 ≤≤

Se:


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1xx4F(x)1 We 3W

x4F(x)1 We 2W2xx4F(x)1 We 1W

*21

21

*21

=⇒+=⇒==

∀⇒=⇒===⇒−=⇒==

onde x* indica a solução ótima. Assim, a solução ótima depende da escolha dos pesos W1 e W2, e a função de maior derivada (incluindo o fator peso) domina o resultado. O efeito é menos pronunciado com funções não-lineares, mas também pode levar a resultados imprevisíveis. Dessa forma, deve-se ter cautela na utilização da formulação acima. Consideremos outro problema, como exemplo, em que se deseja minimizar a área e a tensão de cisalhamento na seção de viga mostrada na Fig.2.5.2 tendo-se como variáveis de projeto as dimensões w e h da seção.

5h5,05w5,0

≤≤≤≤

h

w Fig.2.5.2: Seção de viga.

As duas funções objetivos são expressas por: whAf1 == e wh23f2 == τ .

Nota-se de imediato que temos uma solução de compromisso, pois a minimização de uma função implica na maximização da outra. Vamos analisar as diferentes formulações para esse problema. Inicialmente calculando a solução ótima considerando cada função objetivo separadamente, temos:

0,06f5hwfmin

0,25f0,5hwfmin

2*

2*

2*

2

1*

1*

1*

1

=⇒==⇒

=⇒==⇒

Considerando agora uma função multiobjetivo do tipo combinação linear: ,2wh

3whF +=

temos: 1,225f e 1,225f,2251hwFmin 21

** ==⇒=⇒ , onde a solução é dada em função do produto wh (área). Vamos definir agora uma função multiobjetivo que visa reduzir a distância entre a solução ótima obtida e a solução ótima individual de cada função (fi

*). Assim, temos: 2

22

1ii

22

1i

2

i*

i*

i

0,06

0,062wh

3

0,250,25whd

ff)(fF

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∑∑

==

x ,

pois f1*=0,25 e f2

*=0,06. e minimizando F: 0,6f e 2,5f2,5hwFmin 21

** ==⇒=⇒ .


17

Finalmente consideremos a formulação em que f1 é objetivo e f2 é restrição:

1fmin tal que 5,0f2 ≤

0,5f e 3,0f3,0hw 21*** ==⇒=

e vice-versa:

2fmin tal que 5,0f1 ≤

3,0f e 0,5f0,5hw 2*

1** ==⇒=

A plotagem de wh versus a tensão de cisalhamento, para todas as soluções é mostrada na Fig.2.5.3 e é denominada curva de eficiência do problema.

Ten

são

deci

salh

amen

to

Fig.2.5.3: Curva de eficiência.

Assim, ao mudarmos a formulação do problema caminhamos sobre essa curva, minimizando mais área ou a tensão de cisalhamento. Não podemos dizer que uma solução é melhor que as outras, todas estão corretas, apenas cabe a nós decidirmos qual delas nos atende melhor. Por exemplo, se tivermos uma restrição extra no valor da área, a solução w*h*=25 pode ser descartada, ou eventualmente deseja-se uma tensão de cisalhamento baixa. Em problemas mais complexos, algumas soluções da curva de eficiência, embora matematicamente corretas, não são interessantes do ponto de vista da engenharia pois não podem ser implementadas, sendo as respectivas formulações do problema de otimização descartadas.

O conceito da curva de eficiência apresentado é denominado conceito de Ótimo-Pareto. Assim, quando não se consegue especificar intuitivamente a importância relativa das diferentes formulações de otimização se realiza estudo das diversas soluções Ótimo-Pareto.

2.6 Métodos de Solução de Problemas de Otimização

Entre os principais métodos para solução de problemas de otimização temos os métodos analíticos, métodos numéricos e métodos gráficos. Entre os métodos analíticos temos o cálculo diferencial e o cálculo variacional. Os métodos analíticos permitem, em geral, somente a solução de problemas simples de otimização como por


18

exemplo, estruturas de geometria simples, como uma viga ou treliças. No entanto, permitem analisar conceitos importantes da otimização como existência e unicidade da solução ótima ou condições necessárias e suficientes da solução ótima, tendo por isso grande interesse acadêmico. Além disso permitem validar a solução de métodos numéricos que são aplicados em problemas genéricos. O cálculo diferencial permite trabalhar somente com funções simples e exige em geral, várias simplificações. No cálculo variacional a incógnita é uma função (ao contrário de variáveis no cálculo diferencial), ou seja, deseja-se determinar a função área A(x) ou momento de inércia I(x) ao longo da viga, ou a espessura h(x,y) ao longo da placa. Para isso, o cálculo variacional trabalha com a formulação integral do problema. Os métodos numéricos serão descritos na seção 3 em detalhe, entretanto é interessante classificá-los de antemão em dois tipos: específicos e gerais. Entre os métodos específicos podemos citar o critério de optimalidade ("optimality criteria"). Trata-se de um método numérico de base empírica para a solução de problemas de otimização. Em geral, uma formulação específica deve ser desenvolvida para cada problema, o que faz com que o critério de optimalidade tenha aplicação restrita a alguns problemas de otimização estrutural, uma vez que para cada novo tipo de problema uma nova formulação empírica deve ser desenvolvida. No entanto, são mais eficientes computacionalmente do que os métodos numéricos genéricos (descritos adiante). Como atualmente, a área de otimização tem se estendido para várias áreas da engenharia, além da estrutural, e com o desenvolvimento dos computadores, a aplicação desses métodos tem sido limitada e a tendência é que sejam abandonados no futuro com a utilização de métodos genéricos. Já os métodos genéricos consistem nos métodos numéricos implementados nos softwares de otimização em geral, e que são baseados na chamada teoria de programação matemática, sendo descritos em detalhe no capítulo 3. São genéricos porque podem ser aplicados a qualquer problema de otimização, estrutural ou não. Devido ao grande número de métodos disponíveis atualmente devem ser adotados critérios para a escolha do método numérico. Entre os critérios deve-se levar em conta: software disponível, ou seja, é preferível utilizar um software já disponível do que implementar um novo algoritimo; número de iterações necessárias, pois se um método numérico é utilizado na análise, deseja-se obter a solução da otimização em poucas iterações para reduzir o custo computacional; informação disponível sobre a função objetivo, como por exemplo suas derivadas, pois dependendo do método serão necessárias as primeiras ou até as segundas derivadas das funções objetivo e restrições. Os métodos gráficos consistem em se obter a solução através da construção de gráficos da função objetivo, restrições e domíno viável. Somente permitem a solução de problemas de otimização com até duas variáveis de projeto, no entanto são muito úteis na fase de aprendizagem, permitindo ilustrar os conceitos da otimização. Além disso, existem outros métodos de programação matemática que são aplicados em áreas específicas da engenharia como o método de programação dinâmica, programação geométrica, técnicas de controle ótimo, etc. que não serão abordados nesse curso. Finalmente, uma importante consideração para o projetista atualmente é prover uma interface entre um software CAE e um software de otimização. Essa interface ilustrada na Fig.2.6.1 inclue conceitos importantes como a formulação do problema de otimização, o cálculo da sensibilidade e a aproximação das funções objetivo e restrições, como será visto adiante. Dentre esses conceitos a sensibilidade ou as derivadas das funções objetivo e restrição em relação às


19

variáveis de projeto exercem um papel fundamental, devendo ser calculadas de forma eficiente e precisa, caso contrário levam a resultados errados na otimização.

Software de Otimização

Sensibilidade(gradientes)

Software de Análise CAE Resposta

• extremamente importante;• obtenção deve ser eficiente e precisa;

Fig.2.6.1: Interface entre um software CAE e de otimização.


20

3. MÉTODOS ANALÍTICOS CLÁSSICOS EM OTIMIZAÇÃO

Entre os métodos analíticos, será apresentado o cálculo diferencial e o cálculo variacional, que ajudam na introdução dos conceitos básicos de otimização. Inicialmente será abordado o cálculo diferencial. Será estudado o problema de encontrar o valor mínimo de uma função sem restrições, em que os conceitos aplicados para uma função de uma variável são estendidos para uma função multivariável. Na etapa seguinte são incluídas restrições no problema de minimização e o conceito de multiplicadores de Lagrange é introduzido. Finalmente, discute-se a solução de um problema do tipo MinMax, muito comum em otimização. 3.1 Otimização Usando Cálculo Diferencial

Vamos considerar inicialmente um problema de otimização sem restrição que consiste simplesmente em achar o valor mínimo de uma função de uma única variável. Sabemos do cálculo diferencial que a condição necessária para obter o valor mínimo é:

0dxdf

=

Entretanto, essa condição não é suficiente já que pode ocorrer tanto para um ponto de máximo como de mínimo. A condição suficiente é dada pela segunda derivada:

mínimo0dx

fd*x

2

2

⇒> e máximo0dx

fd*x

2

2

⇒<

No caso de uma função multivariável )x,...,x,x,f(x n321 a condição para x* ser um "ponto estacionário", ou seja, mínimo ou máximo, é:

0xf...

xf

xf

xf

**** n321

=∂∂

==∂∂

=∂∂

=∂∂

xxxx

,

ou seja, que todas as derivadas parciais da função f em relação às variáveis de projeto, sejam nulas. Assim como no caso unidimensional, a condição suficiente exige um estudo das segundas derivadas. No entanto, como temos uma função multivariável a informação das segundas derivadas é combinada numa única matriz denominada matriz Hessiana da função f, apresentada a seguir:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2n

2

1n

2

22

2

12

2n1

2

21

2

21

2

xf........

xxf

....x

fxx

fxxf....

xxf

xf

MOMM

MH

Agora, a condição suficiente é dada por: • Se H* (avaliada no ponto ótimo) é positiva-definida, o ponto x* é um mínimo;


21

• Se H* (avaliada no ponto ótimo) é negativa-definida, o ponto x* é um máximo; O conceito de matriz positiva-definida e negativa-definida é apresentado a seguir. Supondo a matriz H simétrica, seja HxxTQ = . H será positiva definida se x∀> ,0Q e

0x =⇔= 0Q , e analogamente será negativa-definida se x∀< ,0Q e 0x =⇔= 0Q . Mediante a definição anterior, demonstra-se que que outra forma de determinar se a matriz H é positiva definida é verificar se det(Hi)>0 (i=1,2,...n), onde det indica determinante e as matrizes His são submatrizes definidas como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

****

************

L

MOMMM

L

L

L

H

, ou seja, são submatrizes quadradas definidas de forma a englobar os termos da diagonal principal da matriz H a partir do canto superior esquerdo. Se det(H1)<0 e det(Hi) (i=2,...n), alternarem os sinais entre positivo e negativo, então a matriz H é negativa-definida. Além disso, ainda baseado nas definições anteriores, uma terceira forma, até mais prática, de se determinar se a matriz é positiva-definida é através dos autovalores αi da matriz H. Os autovalores αi e autovetores xi são calculados resolvendo-se o problema:

[ ] [ ] 0det0 =−⇒=− IHxIH iii αα Pré-multiplicando a equação acima por xi

T :

[ ] 00 >=⇒=⇒=−i

Ti

iT

iii

Tiii

Tiii

Ti xx

HxxHxxxxxIHx ααα

Assim, como xiTxi é sempre positivo, pela definição anterior, se a matriz H é positiva-definida

todos os seus autovalores αi serão positivos. Analogamente, se a matriz C for negativa-definida, todos os seus autovalores serão negativos. Se x∀≥ ,0Q H é positiva-semidefinida e demonstra-se de forma análoga anterior que os autovalores 0i ≥α . Nesse caso, serão necessárias derivadas de alta ordem para estabelecer condições de suficiência para um mínimo ou máximo. Analogamente, se x∀≤ ,0Q ou 0i ≤α H é negativa-semidefinida. Se ,0<Q x∀> ,0Q ou 0i <α , 0i >α H é indefinida, e nesse caso o ponto não é de máximo nem de mínimo e sim um ponto "sela" (ou "saddle point") que será explicado na seção 4.3.2.4. Como exemplo, consideremos a minimização do peso (ou massa) da treliça da Fig.3.1.1 tal que as barras apresentem tensão mecânica máxima σ0, ou seja:


22

Min Peso h1,h2

tal que

min

0i

AA1,...,9i ,

≥== σσ

Fig.3.1.1: Treliça a ser otimizada.

Aparentemente o problema apresenta restrições de igualdade. As restrições de área mínima somente serão consideradas se forem desrespeitadas. Solução: Como a estrutura e isostática as forças nas barras de treliça independem das áreas e podem ser facilmente calculadas sendo dadas por:

( )P

2hLhh

F ;P2h

LhF 0;F ;

2PF ;P

hhhF

1

2221

51

222

4321

211

+−−=

+==−=

−=

Para cada barra estar completamente tracionada com tensão σ0 as áreas devem valer:

1,...,9i ,F

A0

ii ==

σ

e sendo F3=0, a área A3=Amin. Como a densidade é a mesma para todas as barras, a minimização da massa (ou peso) é obtida minimizando-se o volume, que é dado por:

05421

*2

*1

1

2

022

1

2

21

22

01

1

2

1

22

210

55442211

9

1iii

2PAAAA L

31h e L

32h

0h

2h1-P2hV e 0

hL

hh1P2

hV

hL

hhhhP2L2AL2AL2ALALAV

σ

σσ

σ

====⇒==⇒

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

∂∂

⇒

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=+++== ∑

=

obtendo-se os valores ótimos das áreas. Vamos verificar agora, a condição de suficiência da solução através da análise da matriz Hessiana. A matriz Hessiana vale:

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

=12/1

2/11L3P2

2/h/h2h/h2hLh2/hP2

0

*

12

12

212

222

31

0 σσHH


23

onde H* é H avaliada no ponto ótimo. Os autovalores são iguais a: L3P e

L3P3

02

01 σ

ασ

α ==

Como ambos são positivos, H é positiva-definida, provando a condição de suficiência de optimalidade do resultado.

3.2 Método dos Multiplicadores de Lagrange Consideremos agora um problema de minimização de uma função multivariável com restrições de igualdade. Para uma função com duas variáveis o resultado pode ser obtido através do método de eliminação de variáveis ou substituição direta, que consiste basicamente em se isolar uma das variáveis da equação de restrição e substituir na função objetivo, reduzindo-a a uma função de uma variável. Assim:

Min f(x1,x2) tal que ]x),(xf[h)(xfMin )(xhx)x,h(x 22c2r2c121 =⇒=⇒

Para uma função com mais de três variáveis é usado o método de Multiplicadores de Lagrange. Considerando o problema:

Min f(x)tal que hj(x)=0, j=1,..,ne ne<n x=(x1,...,xn)T

onde o número de restrições de igualdade (ne) deve ser menor do que o número de variáveis (n) para que exista solução. O valor mínimo de f ocorre quando:

0dxxf...dx

xfdx

xfdx

xfdf n

n3

32

21

1 ****

=∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

=xxxx

Se não houvesse a restrição de igualdade, df=0 é obtido quando todas as derivadas parciais forem nulas, como já comentado anteriormente. Mas, isso somente é verdade porque as variáveis x1,x2,…,xn são independentes uma das outras, o que não ocorre quando temos as equações de restrição. Com as equações de restrição as variáveis de projeto passam a depender uma das outras (e portanto dx1, dx2,…,dxn) e a hipótese de que as derivadas parciais de f devem ser nulas para obter o mínimo de f não é mais válida.

Seja uma restrição 0dxxh...dx

xhdx

xhdx

xhdh0)h( n

n3

32

21

1 ****

=∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

=⇒=xxxx

x

Multiplicando dh por uma constante λ (incógnita extra) e somando a df, temos:

0xh

xf

xh

xf

xh

xf

0dxxh

xf...dx

xh

xfdx

xh

xfdhdf

******

******

nn2211

nnn

222

111

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

⇒

⇒=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=+

xxxxxx

xxxxxx

λλλ

λλλλ

e: h(x)=0


24

Agora temos um sistema de equações com n+1 incógnitas (incluindo λ) e n+1 equações (incluindo h(x)=0) que pode ser resolvido encontrando λ ,x,...,x,x,x n321 . Portanto, o problema de otimização com restrição foi transformado no problema de otimização sem restrições:

Min f+λh

A nova função f+λh é chamada de Lagrangeano (L) do problema de otimização, e a constante λ é denominada Multiplicador de Lagrange associado à restriçao de igualdade. Considerando ne restrições de igualdade teremos um multiplicador de Lagrange λj associado a cada uma delas, e nesse caso o Lagrangeano fica:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∂∂

=

==∂∂

⇒+= ∑=

ej

j

in

1jjjj

n1,..,j 0L)(h

n1,..,i 0xL

h)f(),L(e

λ

λλx

xx

onde, como mostrado acima, as condições de estacionaridade (derivadas nulas em relação a cada variável no ponto ótimo) fornecem o sistema de equações de n+ne incógnitas e n+ne equações a ser resolvido. Note que a derivada de L em relação ao multiplicador de Lagrange λj recupera a equação da restrição de igualdade correspondente. Como exemplo, consideremos novamente um problema de minimização de peso de uma treliça descrita na Fig.3.2.1, mas agora, sujeito a uma restrição de deslocamento máximo ∆ no nó B (wB). As variáveis de projeto são as áreas das barras e a formulação do problema de otimização fica:

Min Ai

tal que

∑=

=n

1iiiLA)V(A

∑=

=∆−n

1ii

ii

ii 0LEAFf

wB

P3

P1

P2

∆

B

Fig.3.2.1: Treliça a ser otimizada.

Solução: Abaixo o Lagrangeano é montado, as condições de estacionaridade são obtidas e o sistema resultante é resolvido obtendo-se o valor das áreas ótimas. O multiplicador de Lagrange da restrição e o volume final ótimo (relacionado com a massa) também são calculados.


25

2

j

21

n

1j j

jj

i

iij

21

n

1j j

jj*i

n

1ii

21

i

ii21

i

iii

n

1ii

ii

ii

ii

2i

iii

in

1ii

ii

iin

1iii

LEFf1*V

EFfL

EFf1AL

EFf1

EFfA

0LEAFfL

0LEA

FfLAL

LEAFfLA),L(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=⇒=⇒

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∆−=∂∂

=−=∂∂

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−+=

∑∑∑

∑∑∑

===

=

==

λλ

λ

λλλA

Restrições de Inegualdade

Vamos considerar agora m restrições de inegualdade, ou seja: m1,...,j 0,)(g j =≤x A solução é obtida convertendo-se inicialmente a restrição de inegualdade numa restrição de igualdade utilizando-se uma função auxiliar tj(x) através da expressão:

m1,...,j ,0)(t)(g 2jj ==− xx

Assim o novo Lagrangeano fica:

( ) ∑=

−+=m

1j

2jjjjj )t(gft,,L λλx

onde tj(x) atuam como variáveis extras. Escrevendo as condições de estacionaridade em relação às variáveis jj t,,λx , temos:

( ) 0t2tL ;n1,..,j 0tgL n);1,..,(i 0

xL

jjj

e2

jjji

=−=∂∂

==−=∂∂

==∂∂ λ

λ

Da última equação temos que: 0g0 tque vezuma 0g0t jjjjjj =⇔==⇒= λλ . A equação 0g jj =λ é denominada "condição de complementaridade", e nos diz que:

⎩⎨⎧

=⇒≠≠⇒=

ativa)ou crítica é (restrição 0g 0 seativa)ou crítica é não (restrição 0g0 se

ii

ii

λλ

3.3 Otimização Usando Cálculo Variacional Como já comentado há problemas em que a variável é uma função que se deseja encontrar, como por exemplo, a função que representa a distribuição contínua de área ao longo de uma viga. A solução desse tipo de problema é obtida usando cálculo variacional. Embora os problemas que possam ser resolvidos sejam limitados com relação à complexidade, o conceito de cálculo de cálculo variacional é fortemente utilizado para dar embasamento teórico a métodos de otimização baseados em métodos numéricos. Além disso, a teoria de cálculo variacional também é aplicada em outras áreas de conhecimento, como mecânica analítica, método dos elementos finitos, etc.. Dessa forma o objetivo desta seção é introduzir o conceito de cálculo variacional e como se aplica em otimização. Inicialmente vamos definir um Funcional (J) como:

( )∫ ′=b

a

dx(x)yy(x),x,FJ(y(x)) onde dx

dy(x)(x)y =′ e y(a)=ya, y(b)=yb


26

onde y(a)=ya, y(b)=yb são as chamadas condições de contorno cinemáticas do problema. Pelo fato de serem constantes o problema é dito de extremidades fixas. Muitas leis da Física são definidas como extremo de um funcional. Assim por exemplo, o equilíbrio de um sistema ocorre quando a sua energia potencial for mínima. O objetivo do cálculo variacional é encontrar uma função y(x) apropriada que extremize (maximize ou minimize) o funcional definido acima. Vejamos a solução desse problema. Seja a função y*(x) a função que, por exemplo, minimize o funcional J e satisfaça y*(a)=ya, y*(b)=yb. Podemos escrever que

y(x)y(x)(x)yy(x) ** εδεη +=+= onde ε tem valor pequeno e: 0(a)y(a) == ηδ e 0(b)y(b) == ηδ para satisfazer as condições de contorno y(a)=ya, y(b)=yb. A idéia básica do cálculo variacional é que partindo-se de uma função y(x), altera-se a forma dessa função (mas mantendo as extremidades fixas) através da soma de uma função εη(x) ou εδy(x) até encontrar a função y*(x) que extremize o funcional. A figura 3.3.1 ilustra a “variação” da função y(x). A variação de y(x) pode ser obtida variando-se o escalar ε, por exemplo.

x

y

a b

y(x)y*(x)

o

ya

yb

Fig. 3.3.1: Variação da função y(x).

Substituindo a função y(x) no funcional obtém-se:

( )∫ ′+′+==b

a

** dxy,yx,F))J(y(x,)J( ηεεηεε

Dessa forma o objetivo se traduz em encontrar o valor ótimo de ε que minimize o funcional. Note que o mínimo ocorre para ε=0 e a condição necessária para que o extremo de J, ou o mínimo de J ocorra em ε=0 é:


27

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′∂

∂+

∂∂

== ∫==

=

b

a 00*yy

dxdyd

yF

ddy

yF

ddJJδ

εε εεεε

0dxyyFy

yFb

a 0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′∂

∂+

∂∂

∫=ε

δδ

O operador δ é denominado operador variacional, sendo várias de suas propriedades similares ao do operador diferencial d. Uma propriedade importante do operador variacional é que:

( ) y′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= δδδ

dxdy

dxyd

Assim, utilizando-se da propriedade acima e integrando por partes a última equação para reduzir o termo δy' para δy:

0yyFydx

yF

dxd

yFJ

b

a 0*yy

=′∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

∂∂

= ∫=

=

b

a

δδδε

onde o termo em destaque é nulo pois, 0y(a)y(b) == δδ . Assim:

0ydxyF

dxd

yFJ

b

a 0*yy

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

∂∂

= ∫=

=δδ

ε

Mas como δy(x) é arbitrário dentro do espaço admissível de funções, podemos afirmar que a integral acima será nula se e somente se:

0yF

dxd

yF

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

∂∂

A equação obtida é denomimada Equação de Euler-Lagrange. Em geral, as equações que descrevem o comportamento dinâmico de sistemas mecânicos são do tipo da equação de Euler-Lagrange, pois são obtidas da teoria de mecânica analítica (ou vibrações) sendo derivadas da minimização de um funcional,em geral a energia potencial total do sistema. Ela nos permite obter a função y(x) que extremiza o funcional J. Assim, num problema de otimização em que se deseja encontrar a função y(x) que minimiza um funcional, basta simplesmente escrever a equação de Euler-Lagrange definida acima para encontrá-la. No caso de 0y(b)δ ≠ e 0y(a)δ ≠ , então devemos ter:

0yF

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂

=ax

e 0yF

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂

=bx

que são chamadas de “condições de contorno naturais”. Por exemplo, no caso de um estrutura mecânica uma condição de deslocamento nulo é uma condição de contorno cinemática, enquanto uma condição de força ou momento nulo seria uma condição de contorno natural.


28

Vejamos alguns casos mais genéricos de funcionais. No caso do funcional também depender de derivadas de alta ordem, temos:

( )∫ ′′′=b

a

(n) dx(x)y(x)...,y(x),yy(x),x,FJ(y(x))

e:

1)(nb

1)(nbbb

1)(na

1)(naaa

y(b)y;...;y(b)y;y(b)y;yy(b)

y(a)y;...;y(a)y;y(a)y;yy(a)−−

−−

=′′=′′′=′=

=′′=′′′=′=

Seguindo o mesmo procedimento descrito acima, obtém-se a equação de Euler-Lagrange correspondente:

0yF

dxd1)(...

yF

dxd

yF

dxd

yF

(n)n

nn

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

∂∂

No caso do funcional depender de várias funções incógnitas y(x)=y1(x),y2(x),…,yn(x)T, temos:

( )∫ ′′′=b

a

(n) dx(x)(x)...,(x),(x),x,F(x))J( yyyyy

e:

1)(nb

1)(nbbb

1)(na

1)(naaa

(b);...;(b);(b);(b)

(a);...;(a);(a);(a)−−

−−

=′′=′′′=′=

=′′=′′′=′=

yyyyyyyy

yyyyyyyy

Seguindo o mesmo procedimento descrito acima, obtém-se a equação de Euler-Lagrange correspondente:

( ) ( ) ( ) 0Fdxd1)(...F

dxdF

dxdF (n)yn

nn

y2

2

yy =∇−++∇+∇−∇ ′′′

onde: T

m21y y

F,...,yF,

yFF ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇

Como exemplo inicial consideremos a dedução da equação de equilíbrio da viga mostrada na figura 3.3.2 que está sujeita a um carregamento distribuído p(x).


29

p(x)

w(x)

Fig.3.3.2: Viga sujeita a um carregamento distribuído.

Solução: Sabemos que a condição de equilíbrio da viga ocorre quando a sua energia potencial for mínima. O objetivo é encontrar a função deslocamento w(x) que minimize a energia potencial, ou seja:

Min Π(x) w(x)

Trata-se portanto de um problema de cálculo variacional, onde a energia potencial é dada pelo seguinte funcional:

∫∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Π

L

0

L

0

2

2

2

p(x)w(x)dxdxdx

wdEI(x)21

Energia Elástica Trabalho ExternoEnergia

Potencial onde E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia. Para encontrar a função w(x) que minimize, bastaria escrever a equação de Euler-Lagrange e resolvê-la. No entanto, para efeitos didáticos vamos repetir o procedimento de “variacionar”o funcional e igualar a zero de forma a obter o seu mínimo. Portanto:

( ) +′′=−′′′′=Π⇒=Π ∫∫∫=

L

0

"L

0

L

0*ww

wdxwEIwdxpdxwwEI0 δδδδδ

( ) 0wwEIwwEIwdxpL

0

'L

0

L

0

=′′−′′′+− ∫ δδδ

onde foi utilizada a técnica de integração por partes para reduzir δw" e δw' para δw. Considerando as condições de contorno cinemáticas e naturais, temos:

( ) 0wou 0wEI

0wou 0wEI L0, xpara '⎩⎨⎧

==′′=′=′′

=δδ


30

e sendo δw arbitrário (mas admissível), a integral restante será nula se e somente se:

( ) p(x)wEI " =′′ que é a equação de equilíbrio da viga, a qual na verdade nada mais é do que a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional da energia potencial. De forma análoga, as equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico dos sistemas mecânicos são equações de Euler-Lagrange associadas a funcionais relacionados com a energia total do sistema. Restrições Para a inclusão de restrições no problema de otimização é usado o conceito (já apresentado) de multiplicadores de Lagrange, no caso, estendido para o cálculo variacional.

O caso mais simples é uma restrição integral dada por: c=∫b

a

g[y(x)]dx , onde c é uma constante

e g é uma função. Se desejamos agora minimizar o funcional J associado a essa restrição de igualdade, podemos através do conceito de multiplicador de Lagrange, definir um novo funcional, denominado funcional lagrangeano, dado por

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫

b

a

c-g[y(x)]dxJL λ

onde o multiplicador λ é uma constante. No caso de uma restrição ponto-a-ponto (“point-wise”), ou seja:

m1,...,i ,0xy

,...,xy

,y,...,y,x,...,xhn

p

1

1p1n1i ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

basta estender o conceito do multiplicador de Lagrange localmente para cada restrição, ou seja:

dv)h(v)h(v

iii1i

ii ∫∑ ⇒∆∞

=

xx λλ

onde nesse caso o multiplicador de Lagrange passa a ser uma função de x. Portanto, sendo o funcional ∫=

V

fdvJ , o funcional lagrangeano será definido como:

dv)h(fdv)h(JLv 1

ii1

ii ∫ ∑∑∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+=

==

m

i

m

i V

xx λλ


31

Como exemplo, consideremos o problema mostrado na figura 3.3.3, cujo objetivo consiste em encontrar a distribuição de área ao longo da viga de forma a minimizar o seu volume, de forma que o deslocamento em uma dada posição ξ se mantenha igual à ∆.

p(x)

w(x)

∆ξ h(x)

b(x)

Fig.3.3.3: Viga sujeita a um carregamento distribuído e com restrição de deslocamento em x=ζ.

Solução: Trata-se de um problema de otimização com restrição. A restrição de deslocamento é uma restrição local, que pode ser expressa na forma integral, usando o teorema de Castigliano (veja em resistência dos materiais), e portanto pode ser tratada como uma restrição integral. Assim temos:

Min A(x)

tal que

∫=L

0

A(x)dxV

0)(w =∆−ε

Pelo teorema de Castigliano: ∫=L

0

dxEI(x)

M(x)m(x))(w ε , onde E é o módulo de elasticidade, I é o

momento de inércia, M(x) é o momento fletor ao longo da vida e m(x) é o momento fletor devido à carga auxiliar ao longo da viga. Assim, usando a teoria apresentada acima podemos definir o funcional lagrangeano a ser otimizado:

Min ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+= ∫∫

L

0

L

0

-dxEI(x)

M(x)m(x)A(x)dx)L(A, λλ

No entanto, nos defrontamos com um novo problema. Embora a variável de projeto seja a função área A(x), o funcional também depende do momento inércia I(x). Para poder resolver o problema é necessário definir uma relação entre I(x) e A(x), caso contrário teremos duas funções a determinar, A(x) e I(x). Essa é uma limitação exigida para simplificar o problema, pelo fato de estarmos lidando com um método analítico. Assim, para efeito de simplificação podemos considerar a relação entre I(x) e A(x) é do tipo:


32

[ ] ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==⇒=

==⇒=

===⇒=

=

32

332

22

223

n

Ab121hb

b121I3n

A12b

hbh12b

hI2n

A12hbh

12h

12bhI1n

A(x)I(x) α

Note que para n=1, h é mantido constante e b varia. No caso de n=2 a relação h/b é mantida constante e no caso n=3, b é mantido constante e h varia. Nesse exemplo vamos considerar n=1. Assim, variacionando-se o funcional lagrangeano (L) para obter o seu mínimo:

0dxEI(x)

M(x)m(x)Adx(x)EA

M(x)m(x)1LL

0

L

02 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫ ∫δλδ

αλδ

Sendo δA arbitrário entre as funções admissíveis. Como δA e δλ são independentes, para δL ser nulo é necessário que ambas as integrais associadas à δA e δλ sejam nulas. Impondo que a integral associada à δλ seja nula recupera-se a restrição de igualdade. Já impondo que a integral associada à δA seja nula obtém-se a equação:

21

21

2 EMmA(x)0

(x)EAM(x)m(x)1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=−

αλ

αλ

Para encontrar λ, substituimos a expressão acima na restrição de igualdade:

dxE

Mm10)(wL

0

21

21

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=⇒=∆−

αλε

Substituindo novamente em A(x) obtemos a função ótima A*(x) e também o volume ótimo associado V*(x):

( ) ( )

( )2L

0

21

21L

0

21

*

d))m(M(E1*V

M(x)m(x)d))m(M(E1)x(A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=⇒

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∆=

∫

∫

ηηηα

ηηηα

Consideremos agora a presença de restrições de inegualdade ponto-a-ponto, ou seja:

m1,...,i ,0xy

,...,xy,y,...,y,x,...,xg

n

p

1

1p1n1i =≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

Inicialmente vamos transformar a restrição de inegualdade ponto-a-ponto numa restrição de igualdade ponto-a-ponto usando uma função auxiliar ti:


33

m1,...,i ,0)(txy

,...,g 2i

n

pi ==−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂xx

Dessa forma, a função lagrangeana será dada por: dv)t(gf),,L(m

1i

2iii∫ ∑

Ω =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= λλyx

Impondo a condição de estacionaridade do funcional L temos:

( ) ( )[ ] 0dvtt2dvydvLn

1iiiiiyy * =−+= ∑ ∫∫∫

=ΩΩΩ=

δλδλδδ LL

Dado que δy, δλi e δti são independentes para que a expressão acima seja zero é necessário que cada uma das integrais associadas a esses termos sejam nulas. No caso estamos interessados apenas no termo δti, e portanto temos:

0dvtt2 iii =− ∫Ω

δλ

Como δti é arbitrário e admissível a integral acima será nula se e somente se:

0)g0(t 0g0t iiiiii =⇔==⇒= λλ que é a condição de complementaridade já definida: Como exemplo, consideremos o problema mostrado na figura 3.3.4, cujo objetivo consiste em encontrar a função área A(x) ao longo do elemento de treliça que minimize a massa de forma que a tensão mecânica ao longo da treliça não supere o valor máximo σ0. Além disso, o valor mínimo que a área pode assumir em qualquer ponto é A0. A treliça possui um peso W na sua extremidade cujo valor é inferior à A0σ0. A equação de equilíbrio do problema é dada por:

WP(L) 0AP ==+′ ρ onde P é a força normal, A a área e ρ a densidade do material.

00AW σ≤

x

L

Fig. 3.3.4: Elemento de treliça com peso na sua extremidade.


34

Solução: Trata-se de um problema de otimização com restrição de igualdade ponto-a-ponto representada pela equação de equilíbrio e uma restrição de inegualdade ponto-a-ponto representada pela restrição de tensão mecânica e de área mínima ao longo da treliça. Assim o problema de otimização pode ser definido como:

MinA(x)

tal que

W) P(L0AP0A-A

0P(x)A(x)

0

0

==+′≥

≥−

ρ

σ

∫ =L

00VA(x)dx

A equação de equilíbrio é considerada nas restrições para garantir que seja respeitado o equilíbrio para uma dada função A(x). A função lagrangeana definida para esse problema e sua correspondente condição de estacionaridade são dadas por:

++= ∫∫L

001

L

0321 P)dx-(AA(x)dx),,P(x),L(A(x), σλλλλ

( )

( )∫∫∫

∫∫∫∫

+′++′++

++=⇒+′++

L

03

L

03

L

02

L

001

L

0

L

03

L

002

dxAPA)dxP(dxA

P)dx-A(AdxLA)dxP(dxA-A

ρδλρδδλδλ

δσδλδδρλλ

junto com as condições de complementaridade: ( )( )⎩

⎨⎧

==−0A-A

0PA

02

01

λσλ

δλ1 e δλ2 não foram representados pois já foi considerada a teoria para restrições de inegualdade deduzida acima. Integrando por partes para converter δP’ em δP e isolando os termos e δA e δP, obtém-se:

(2) 0)P(L) :(pois 0(0) 0 :P(1) 01 :A

331

3201

===′+=+++

δλλλδρλλσλδ

Aparentemente temos mais incógnitas do que equações, entretanto o que ocorre é que alguns desses multiplicadores serão nulos. Para identificá-los devemos estudar o problema com mais detalhe. Analisando o problema percebe-se que a função área deve apresentar o seu menor valor na extremidade inferior onde o peso suportado é menor. Assim se considerarmos a condição limite

0AA 20 =⇒> λ ao longo da barra devido à condição de complementaridade. Portanto, substituindo λ1 de (2) em (1) obtém-se:


35

( )

eAA(x)A)A(x e 0AAA(x)P(x)

010(0) e 01

0

t

00

xx

00t00

10

x

1

x

33303

σρ

σρ

σρ

ρσσ

λσ

λρ

λλρλσλ

−

=⇒==+′⇒=⇒

⇒≠⇒−=⇒−

=⇒==+′−ee

para x<xt. Note que como λ1 não é zero a equação de complementaridade foi usada (Aσ0-P=0). Além disso a área apresenta um decaimento exponencial, possuindo o maior valor na extremidade superior. xt é o comprimento que marca o ponto em que a área atinge o seu valor mínimo A0 (ver figura 3.3.5). Quando a área atinge seu valor mínimo permanece nesse valor até a extremidade inferior, assim usando a equação de equilíbrio:

( )0

00t0 A

WALxAxLWPρσρ −

−=⇒−+=

Note que xt pode ou não ocorrer dentro do comprimento L da treliça dependendo do valor de σ0 e W. O resultado obtido para o problema de otimização é resumido abaixo sendo ilustrado na figura 3.3.5.

( )

t0

t

xx

0

x xpara AA(x)x xpara eAA(x) 0

t

>=<=

−σ

ρ

A0

W

xt

Fig.3.3.5: Resultado da otimização da treliça.


36

3.4 Problema MinMax Consideremos o problema clássico de minimizar a tensão mecânica na barra de treliça formada por duas barras de áreas de seção A1 e A2 e carregada com um peso W na sua extremidade, mostrado na Fig.3.4.1. A variável de projeto é somente a área A2.

A2

A1

W

L2

L1

x1

x2

Fig.3.4.1: Barra de treliça com duas seções.

Desejamos minimizar o valor máximo de tensão ao longo da barra de comprimento L=L1+L2, assim o problema pode ser formulado como:

Min Max A2

(x)σLx0 ≤≤

Os valores máximos de tensão ocorrem no ponto em que há mudança de seção e no ponto de fixação da barra no teto. No entanto, vejamos o que acontece com esses valores de tensão mecânica a medida que variamos a área A2. Para isso, as expressões matemáticas desses valores de tensão foram obtidas como descrito abaixo e plotadas no gráfico da Fig.3.4.2.

ρσρρσ 22

211

221 x

AW e x

ALAW

+=++

=

Discontinuidade naderivada

21,σσ1σ

2σ

2A Fig.3.4.2: Variação dos valores máximos de tensão com A2.

Assim nota-se que o valor máximo de tensão muda de σ2 para σ1 a medida que aumentamos a área A2. Isso justifica a formulação do problema como "Minimizar Max σ ao longo da barra", uma vez que o valor máximo da tensão muda de posição a medida que alteramos a variável de projeto. Essa mudança de posição do valor máximo de tensão gera uma descontinuidade na derivada no mínimo da função "Max σ" como mostrado na Fig.3.4.2, fazendo com que a mesma não possua condição de estacionaridade. Devido a essa descontinuidade na derivada, esse

Descontinuidade da derivada


37

problema não pode ser resolvido numericamente como formulado acima utilizando a função "Max σ". Esse problema ocorre em qualquer outra estrutura de forma complexa, toda vez que desejamos minimizar (ou maximizar) o máximo (ou o mínimo) de uma quantidade de natureza local, como tensão mecânica e deslocamento, por exemplo. A definição de Max σ apresenta uma descontinuidade na sua natureza, pois o ponto de valor máximo se desloca a medida que alteramos a estrutura. Vejamos formulações alternativas que permitem a solução desse problema numericamente. Se caso o problema tenha sido formulado juntamente com uma restrição de volume de material, ou seja:

Min Max A(x)

tal queLx0 ≤≤

(x)σ

0VV(x) ≤,

pode ser reformulado colocando a restrição de volume como função objetivo (tornando-a uma função de derivadas contínuas) e a tensão mecânica como restrição de inegualdade, ou seja:

Min V(x) A(x)

tal que 0(x) σσ ≤,

onde nesse caso o valor de σ0 deve ser corretamente escolhido (através de tentativa e erro) de forma que V*=V0. Mas nem sempre a restrição de volume está presente, como, por exemplo, num problema de reduzir a concentração de tensões numa placa infinita ou de grandes dimensões (ex.: asa de uma avião). Nesse caso, a seguinte formulação alternativa pode ser usada:

Min βA(x), β

tal que Lx0 ,(x) ≤≤≤ βσ onde β é um limite não conhecido que tentamos manter o menor possível. Nesse caso a restrição de volume não é mais necessária. Essa formulação é muito utilizada na solução de problemas do tipo MinMax.

Como exemplo de solução de um problema MinMax utilizando a formulação β apresentada acima consideremos o problema mostrado na figura 3.4.3 que consiste em minimizar a tensão mecânica máxima ao longo da barra sujeita a uma força de compressão distribuída p0, mantendo o seu volume igual à R. Como variáveis de projeto temos as áreas A1 e A2.


38

A2A1

L2

L1

x

p0p0

Fig.3.4.3: Barra sujeita à força de compressão distribuída. Solução: O problema originalmente posado na forma:

Min Max A1,A2

tal que21 LLx0 +≤≤(x)σ

RV(x) = consiste num problema MinMax de difícil solução. No entanto, podemos convertê-lo num problema equivalente usando a formulação β:

Min βA1, A2, β

tal que ( )

( ) 0EA 0pEA

RLA

EA

)LL(0'

2

1ii

21=′=+′

=

′=≤′

+

=∑

ηη

ησβη

i

onde a variável extra β foi introduzida no problema. A condição de contorno 0EA

)LL( 21=′

+η

nos diz que não há força normal aplicada em x=L1+L2. Pelo fato do problema possuir uma geometria simples a solução pode ser obtida de forma intuitiva. Note que a deformação η máxima (e portanto tensão máxima) sempre ocorrerá em x=0 ou x= L1. Assim, integrando-se a equação de equilíbrio entre x e L1+L2, podemos obter a deformação η(x) e tensão σ(x) em x=0 e x= L1. De acordo com a formulação β, a condição de optimalidade é que, no caso, os valores de deformação η(x) máxima sejam iguais simultaneamente ao valor β, assim:

Equações de equilíbrio


39

( ) ( ) ( )

( )( )

ERLLLLpRLALA

ELpA

ELLpA

Lp)L(EA)(LL xemLLp)0(EA(0)0 xem

xpLLpEA0pEA

2221

210

221120

2

1201

201211

120101200

'

++=⇒=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒

+=⇒

⎩⎨⎧

⇒=′=⇒=⇒+=′=⇒=

⇒−+=′⇒=+′

β

β

β

ησησ

ηη

e portanto obtém-se os valores ótimos das áreas.

Outros exemplos de problema MinMax que podem ocorrer é por exemplo quando se deseja minimizar o máximo deslocamento ao longo de uma estrutura, ou a máxima temperatura ao longo de um corpo, ou o máximo potencial elétrico ao longo de um corpo, etc.., ou seja, o valor máximo dessas grandezas se deslocam ao longo do domínio do corpo a medida que sua geometria é alterada durante a otimização. Portanto, restrições ponto-a-ponto levam a problemas do tipo MinMax que são de difícil tratamento. Dessa forma, deve-se toda vez que possível substituí-las por restrições integrais. Assim por exemplo, um problema em que se deseja que o máximo deslocamento na estrutura (em qualquer ponto) não seja maior do que um certo valor, ou seja:

[ ] maxL0,xyy(x) max ≤

∈

pode ser substituído por:

∫L

0

p(x)y(x)dx

que é a definição de flexibilidade onde p(x) é uma carga distribuída, ou por

( ) [ ]

suficiente o grande pL0, x0y(x)

para ydx(x)yL1

max

L

0

p1

p

⎩⎨⎧ ∈≥

≤∫

No caso de um problema envolvendo freqüência de ressonância podemos usar a sua forma integral ao invés da sua forma diferencial:

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ′′

=

=+′′

∫∫ integral) (forma

dxAy

dxyEImin

l)diferencia (forma 0yAyEI

L

0

2

L

0

2

admissível y(x)

2"

ρω

ρω


40

∫Ω

p(x)u(x)dx

3.5 Condições de Optimalidade em Problemas Clássicos em Engenharia Mecânica

Existem dois problemas clássicos de otimização em engenharia que valem a pena discutir com mais detalhe: minimização da flexibilidade (ou maximização da rigidez) e maximização da freqüência de ressonância. 3.5.1 Minimização da flexibilidade (ou maximização da rigidez) Trata-se de um problema clássico nas indústrias metal-mecânica como automotiva e aeronáutica. O problema de maximização de rigidez é equivalente ao problema de minimização de flexibilidade, no entanto, matematicamente é mais fácil definir a flexibilidade. Considere o corpo genérico mostrado na figura 3.5.1 sujeito a um carregamento p(x).

x1

x3

Domínio de Projeto(Corpo Elástico)

p(x)

Fig.3.5.1 - Corpo genérico sujeito a um carregamento.

A flexibilidade é definida como: Dessa forma, seu conceito é similar ao do trabalho realizado pela carga p(x). Para um p(x) fixado, a minimização da quantidade acima é obtida minimizando-se a função deslocamento u(x), o que equivale a maximizar a rigidez da estrutura para o carregamento p(x). Como a flexibilidade é definida na forma de uma integral de volume, garante-se a maximização da rigidez média na direção u(x) para o carregamento p(x). Se for desejado maximizar a rigidez local em algum ponto específico da estrutura é necessário utilizar uma restrição local. Dessa forma o problema de minimização de flexibilidade para o caso de uma barra em compressão ou tração é definido como:

onde a variável de projeto é a função área A(x). Note que a maximização da rigidez é antagônica à minimização do volume, assim a restrição de volume definida no problema sempre estará ativa ao final da otimização.

Min A(x), u(x)

tal que

∫Ω

p(x)u(x)dx

( )

∫Ω

≤−

≥−=−′

0RAdx

0AA(x) contorno de condições e 0puEA

min

'

Min A(x), u(x)

tal que

∫Ω

p(x)u(x)dx

( )

∫Ω

≤−

≥−=−′

0RAdx

0AA(x) contorno de condições e 0puEA

min

'


41

( )∫Ω

=′′⇒= 0dxp-uEAuv ηη

( ) ∫∫∫ΩΩΩ

′=⇒=′⇒= dxuEApudx0dxpu-uEAu 22η

( )

( )( ) Ω+Ω=Ω

⎩⎨⎧

>⇒=ΩΛ=⇒≠Ω−Λ

=′⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Λ+−+′=Λ∴ ∫∫∫

ΩΩΩ

AminA

minAAA2

minA2

A

e AA0 em AA0 em

uE:A

RAdxdxAAdxuEA),,L(A(x)

λλλ

δ

λλ

O problema acima ainda pode ser simplificado se conseguirmos impor de forma implícita a condição de equilíbrio, que agora é definida no problema por uma equação diferencial, na função objetivo. Para isso, consideremos a dedução da equação de equilíbrio do corpo. Como já visto em problema anterior, a equação de equilíbrio é obtida minimizando-se a energia potencial do sistema, assim no caso de uma barra: onde η(x) é arbitrário entre as funções admissíveis. A forma da equação de equilíbrio acima obtida na sua forma integral é denominada formulação fraca do problema. No equilíbrio: Como η(x) é arbitrário: Note que no equilíbrio a flexibilidade é igual ao dobro da energia elástica da estrutura. Assim o novo problema de minimização de flexibilidade pode ser escrito na forma: onde nesse caso a condição de equilíbrio está implícita no fato de que deve ser utilizada a função deslocamento u(x) de equilíbrio no cálculo da energia elástica. Dessa forma a restrição referente à equação de equilíbrio não precisa mais ser imposta. Para a solução do problema, consideremos a variação da sua função Lagrangeana e isolando os termos em δA:

Min A(x)

tal que

∫Ω

′ dxuEA 2

∫Ω

≤−

≥−

0RAdx

0AA(x) min

Min A(x)

tal que

∫Ω

′ dxuEA 2

∫Ω

≤−

≥−

0RAdx

0AA(x) min

( )

( )∫

∫∫∫

Ω

ΩΩΩ

=′′⇒

⇒=′′⇒=Π⇒−′=Π

0dxp-vEA

0dxvp-vvEA0pvdxdxvEA21 2

ηη

δδδ


42

[ ]

∫

∫

∫

∫ ′′=

′′== L

0

2

L

0

2n

L

0

2

L

0

2

cinética

elástica

dxA(x)w

dxwA(x)E

dxA(x)w

dxwEI(x)

EEQR

ρ

α

ρ

( )QRMin w(x)

2 =ω

( ) [ ] contorno de condições e 0AwwEI0QR 2" =−′′⇒= ρωδ

O termo que multiplica δu recupera a equação de equilíbrio na sua forma diferencial não sendo mostrado. Note que a restrição de área mínima é uma restrição local e portanto λa=λa(x), enquanto a restrição de volume é global e portanto Λ=cte. Assim, o resultado acima diz que a solução ótima para o problema máxima rigidez com o menor volume deve possuir energia elástica específica (Eu´2) constante. 3.5.2 Maximização da freqüência de ressonância Em geral quando a freqüência de operação de um sistema mecânico aproxima-se de sua freqüência de ressonância, o mesmo inicia uma vibração intensa. Quando isso acontece, e dado que a freqüência de excitação em geral não pode ser alterada, é necessário alterar a freqüência de ressonância do sistema. A alteração da freqüência implica na alteração simultânea de massa e rigidez ao longo da estrutura o que não é um problema trivial. Dessa forma, esse problema é muito estudado em otimização. Segundo a teoria de vibrações, a freqüência de ressonância é obtida minimizando-se o quociente de Rayleigh que é a razão entre a energia cinética e a energia elástica. Assim, por exemplo, no caso de uma viga, temos: Essa razão será mínima quando o perfil de deslocamento for igual a um dos modos de vibrar da estrutura e nesse caso o valor de QR será igual à freqüência de ressonância correspondente ao modo de vibrar. Cada modo de vibrar representará um mínimo local. Assim, a freqüência de ressonância é obtida através de um problema de minimização, portanto variacionando-se QR e isolando o termo em δw, obtém-se: A equação acima representa a equação dinâmica da viga que pode ser encontrada nos livros sobre teoria de vibrações. Assim o problema de maximização da freqüência de ressonância pode ser definido na forma:

Max A(x)

tal que

0AA(x)

VAdx

min

L

00

≥−

=∫

( )QRMin w(x)

2 =ωMax A(x)

tal que

0AA(x)

VAdx

min

L

00

≥−

=∫

( )QRMin w(x)

2 =ω


43

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]0AdxAdxw

dxAw

dxwAE

dxAw

AdxwAnEwdxAw

dxAw

dxwAE2

dxAw

dxwwAE2

0LVAdxdxAw

dxwAE),A(x)L(w(x),

L

0

L

0

22L

0

2

L

0

2n

L

0

2

L

0

21-nL

02L

0

2

L

0

2n

L

0

2

L

0

n

0

L

0L

0

2

2L

0

n

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

′′−

+′′

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

′′−

′′′′⇒

⇒=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

′′=∴

∫∫∫

∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

δλδρ

ρ

α

ρ

δαδρ

ρ

α

ρ

δα

δλρ

αλ

onde nesse caso a condição de equilíbrio está implícita no quociente de Rayleigh. A solução do problema acima é obtida variacionando-se o Lagrangeano do problema: Integrando por partes e coletando os termos em δw e δA, obtém-se:

Note que, como esperado, o termo em δw nos fornece a equação de equilíbrio. O termo em δA fornece a chamada condição de optimalidade do problema. O mesmo problema de maximização da freqüência de ressonância pode ser definido de outras formas alternativas como mostrado abaixo:

No capítulo 6 esses problemas serão discutidos novamente sob o ponto de vista de implementação numérica.

[ ][ ][ ]

.ctewwAnE :deOptimalida de Condição

0wAEou 0w0wAEou 0w :Contorno de Condições

0AwwAE :Movimento de Eq.

2221-n

n

'n

2"n

=−′′

=′′=′=′′=

=−′′

ρωα

αδαδ

ρωα[ ][ ][ ]

.ctewwAnE :deOptimalida de Condição

0wAEou 0w0wAEou 0w :Contorno de Condições

0AwwAE :Movimento de Eq.

2221-n

n

'n

2"n

=−′′

=′′=′=′′=

=−′′

ρωα

αδαδ

ρωα

[ ]

0AA(x)

VAdx

contorno) de condições (e 0AwwEI

min

0

L

0

2"

2

≥−

=

=−′′

≥

∫

ρω

βω

Max βA(x), β

tal que [ ]

0AA(x)

VAdx

contorno) de condições (e 0AwwEI

min

0

L

0

2"

2

≥−

=

=−′′

≥

∫

ρω

βω

Max βA(x), β

tal que

Min A(x)

tal que ∫L

0

Adx

[ ]

( )0AA(x)

QR Minou contorno) de condições (e

0AwwEI

min

w(x)

2

2"

≥−

=

=−′′

ω

ρω

Min A(x)

tal que ∫L

0

Adx

[ ]

( )0AA(x)


0AwwEI

min

w(x)

2

2"

≥−

=

=−′′

ω

ρω

Min A(x)

tal que ∫L

0

Adx

[ ]

( )0AA(x)


0AwwEI

min

w(x)

2

2"

≥−

=

=−′′

ω

ρω

apostila pmr 5215 – otimizaÇÃo aplicada ao …sites.poli.usp.br/d/pmr5215/a1-5215.pdfengenharia...

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