APOSTILA DE ENGENHEIRO DE PETRÓLEO

PEROBRÁS 2008

LÓGICA Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada. A validade lógica é a relação entre as premissas e a conclusão. O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística. Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade. Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa. A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963. Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira. Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.

No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica. No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas. A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente. Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz. Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos. HISTÓRIA As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética. Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria,

foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides. Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras. No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole. Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes. Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos. O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade. No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações. Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes

avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo. Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos. O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.

CONJUNTOS Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que

satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à

equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}

b. N={1,2,3,4,...} c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x é uma vogal} b. N={x: x é um número natural} c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

A B = { x: x A B e x A B }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=A B. 2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de

diferença simétrica. Usar o ítem anterior. 3. A diferença simétrica é comutativa. 4. A diferença simétrica é associativa. 5. A A=Ø (conjunto vazio). 6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:

A (B C) = (A B) (A C) 7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta

inclusão é própria, isto é:

A B (A C) (B C)

RELAÇÕES E FUNÇÕES

Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os

lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...

Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores

O Plano Cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem

do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

Quadrante sinal de x sinal de y Ponto não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro - - (-3,-7) Quarto + - (7,-2)

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): x A e y B }

Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Relações no Plano Cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relações Inversas

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.

Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:

R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.

Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z)R então (x,z) R.

Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) } Relação de equivalência

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Funções no Plano Cartesiano

Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:

f:A B

Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:

� O domínio A da relação. � O contradomínio B da relação. � Todo elemento de A deve ter correspondente em B. � Cada elemento de A só poderá ter no máximo um

correspondente no contradomínio B.

Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo: A circunferência definida por

R={(x,y) R²: x²+y²=a²}

é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].

Relações que não são funções

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }

não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais

Funções afim e lineares

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos:

1. f(x)=-3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos:

1. f(x)=-3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).

Função Identidade

É uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funções constantes

Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos:

1. f(x)=1 2. f(x)=-7 3. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

Funções quadráticas

Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x² 2. f(x)=-4 x² 3. f(x)=x²-4x+3 4. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Funções cúbicas

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Exemplos:

1. f(x)=x³ 2. f(x)=-4x³ 3. f(x)=2x³+x²-4x+3 4. f(x)=-7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função

só poderá ser o intervalo [0, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.

1. f:R R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, )

2. f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

3. A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:

Funções injetoras

Uma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:

x1 x2 implica que f(x1) f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1)=f(x2) implica que x1=x2

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

2. A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

Funções sobrejetoras

Uma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.

2. A função f:R (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.

3. A função f:R R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

Funções bijetoras

Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

Funções Pares e Ímpares

Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.

Funções Compostas

Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:

(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10

Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:

(g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10

Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.

Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:

(f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2

Funções Inversas

Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:

g©f=IA e f©g=IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x).

Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A B definida por f(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

Obtenção da inversa: Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

Operações com Funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

� (f+g)(x) = f(x)+g(x) � (f-g)(x) = f(x)-g(x) � (f.g)(x) = f(x).g(x) � (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0.

Funções Polinomiais

Uma função polinomial real tem a forma

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao

sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f.

Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.

Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.

LOGARITMOS

A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

1. Ln(1)=0 2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y) 3. Ln(xk)=k.Ln(x) 4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405) 2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0 3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9) 3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3) Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como "logaritmo do número real u na base e".

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?

Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

1. Log(1)=0 2. Log(0) não tem sentido 3. Log(10)=Log(101)=1 4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1 5. Log(100)=Log(10²)=2 6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2 7. Log(1000)=Log(10³)=3 8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3 9. Log(10n)=n 10. Log(10-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e se, e somente se, x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

� Define-se o logarítmo em função da exponencial; � Define-se a exponencial em função do logaritmo.

Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210 8192=213<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

Intervalo Valores Média 1<2 <10 0<Log(2)<1 0,500 1<2²<10 0<Log(2)<1/2 0,250

10<24<10² 1/4<Log(2)<2/4 0,375 10<25<10² 1/5<Log(2)<2/5 0,300 10<26<10² 1/6<Log(2)<2/6 0,250 10²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/8 0,313 10³<210<104 3/10<Log(2)<4/10 0,350 10³<211<104 3/11<Log(2)<4/11 0,318 10³<212<104 3/12<Log(2)<4/12 0,292 10³<213<104 3/13<Log(2)<4/13 0,269 104<214<105 4/14<Log(2)<5/14 0,321 104<215<105 4/15<Log(2)<5/15 0,300 104<216<105 4/16<Log(2)<5/16 0,282 105<217<106 5/17<Log(2)<6/17 0,393 105<218<106 5/18<Log(2)<6/18 0,306 105<219<106 5/19<Log(2)<6/19 0,289 106<220<107 6/20<Log(2)<7/20 0,325

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x - (1/2) x² + (1/3) x³ - (1/4) x4 + (1/5) x5 + ...

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + ... ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206 2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309 3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412 4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515 5. Log(2n)=n.Log(2) 6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103 7. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206 8. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309 9. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412 10. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515 11. Log(2-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699 2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778 3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903 4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840 Característica e mantissa de um logaritmo na base 1 0

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

Número Logaritmo Característica Mantissa 0,002 ¯ 3,30103 -3 0,30103 0,02 ¯ 2,30103 -2 0,30103 0,2 ¯ 1,30103 -1 0,30103 2 0,30103 0 0,30103

20 1,30103 1 0,30103 200 2,30103 2 0,30103 2000 3,30103 3 0,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.

¯ 3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.

TRIGONOMETRIA

O papel da trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.

Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.

Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de

dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795...

Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)= comprimento do arco(AB)

comprimento do raio

= 12

8

Portanto m(AB)=1,5 radianos

Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:

m(AB)= comprimento do arco(AB)

comprimento do raio

= 2 r

r

= 2

Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,

2 rad=360 graus

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho

Grau 90 180 270 360

Grado 100 200 300 400 Radiano /2 3 /2 2

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2 rad …………… 360 graus R rad …………… G graus

Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,

R

=

G

180

Exemplos

1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

R

=

60

180

2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida

1 radiano, fazemos:

1 =

G

180

4. Asim 1 rad=180/ graus.

CÁLCULO VETORIAL E MATRICIAL Exemplos de subespaços vetoriais

1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.

2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.

3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.

4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².

5. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto

H = {x=(x1,x2,…,xn)t Rn: A.x = ö}

é um subespaço (hiperplano) de Rn.

6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se n<m.

7. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).

8. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um subespaço de Mn(R).

9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.

10. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.

11. O conjunto P={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.

12. O conjunto Q={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.

13. O conjunto Cº(R)={f:R R: f é contínua} é um subespaço de F(R,R).

14. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].

15. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um subespaço de P[R].

16. O conjunto F'={f:(a,b) R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}.

17. O conjunto C[A]={X Mn(R): AX=XA} das matrizes que comutam com A, é um subespaço de Mn(R).

18. O conjunto S={X M2(R): det(X)=0} das matrizes singulares, não é um subespaço de M2(R).

19. O conjunto Id={X M2(R): X²=X} das matrizes idempotentes, não é um subespaço de M2(R).

Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.

Combinações lineares

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,kn K tal que

v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn

Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que

(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)

Exercício: Determinar escalares p,q,r R tal que:

(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1) Conjunto gerado

Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o conjunto gerado por S, denotado por <S>, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S.

Exemplos de conjuntos gerados

(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2), pois:

<(1,2)> = {t(1,2): t em R}

= {(x,y) em R²: x=1t,y=2t, t real}

= {(x,y) em R²: x/1=y/2}

= {(x,y) em R²: y=2x}

(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R², pois:

<u,v> = {w=xu+yv em R²: x,y em R}

= {w=x(1,0)+y(0,1): x,y em R}

= {w=(x,0)+(0,y): x,y em R}

= {w=(x,y): x,y em R} = R²

(3) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2,3) de R³ é a reta que passa pela origem de R³ e possui a direção do vetor v=(1,2,3), pois:

<(1,2,3)> = {t(1,2,3): t real}

= {(1t,2t,3t): t real}

= {(x,y,z): x=1t,y=2t,z=3t,t real}

= {(x,y,z) em R³: x/1=y/2=z/3}

(4) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0) e v=(0,1,0) de R³ é o plano z=0 em R³, pois:

<u,v> = {w=xu+yv em R³: x,y em R}

= {w=x(1,0,0)+y(0,1,0): x,y em R}

= {w=(x,0,0)+(0,y,0): x,y em R}

= {w=(x,y,0): x,y em R}

= {w=(x,y,z) em R³: z=0}

(5) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0), v=(0,1,0) e w=(0,0,1) de R³ é todo o espaço R³, pois:

<u,v,w> ={xu+yv+zw em R³: x,y,z em R}

={x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1): x,y,z em R}

={(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z): x,y,z em R}

={(x,y,z): x,y,z em R} = R³

Em todas as situações acima, os conjuntos gerados sempre apresentaram subespaços como resultados.

Propriedades dos conjuntos gerados

Sejam S e T subconjuntos de um espaço vetorial V e <S> e <T> os seus respectivos conjuntos gerados. É possível mostrar que

1. <S> é um subespaço de V. 2. <S>={ö}, onde ö é o vetor nulo de V. 3. S está contido em <S>. 4. Se S está contido em T então <S> está contido em <T>. 5. S=<S> se, e somente se, S é subespaço de V. 6. <<S>> = <S>.

Soma de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de todos os vetores da forma v=u+w, onde u U e w W, isto é:

U+W = { u+w : u U; w W }

Proposição: Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, então a soma U+W é um subespaço de V.

Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.

1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö e segue que U+W não é vazio pois contém o vetor nulo ö = öU + öW.

2. Se v'=u'+w' U+W e v"=u"+w" U+W, então:

v'+v" = (u'+w') + (u"+w") = (u'+u") + (w'+w") U+W 3. Se v=u+w U+W e k K (corpo), então:

k v = k (u+w) = k u + k w U+W

Exemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): x R, y R} W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R }

O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue que U+W=R³.

Exercício: Sejam os subespaços de R³ definidos por:

U=<(1,0,0)> = { x (1,0,0) : x R } W=<(0,1,0)> = { y (0,1,0) : y R }

Mostrar que U+W é o plano z=0, isto é, o subespaço de R³ tal que:

U+W={(x,y,z) R³: z=0} Interseção de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços de U e W, denotada por U W, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é:

U W = {v: v U e v W }

Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção U W é um subespaço de V.

Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.

1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö, assim U W é não vazio.

2. Se v' U W e v" U W, então v' U, v1 W, v" U e v" W, assim v'+v" U e v'+v" W e segue que v'+v" U W.

3. Se k K e v U W, então v U, v W, logo k.v U e k.v W o que garante que k.v U W.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): x R, y R } W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R }

O conjunto U W é um subespaço de R³ e observamos que U W ={ö} o subespaço nulo.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<{(1,0,0),(0,1,0)}>={(a,b,0): a R, b R } W=<{(1,0,0),(0,0,1)}>={(c,0,d): c R, d R }

Mostrar que U W é o subespaço vetorial de R³, conhecido como o Eixo OX.

Exercício: Se V é um espaço vetorial, exiba subespaços vetoriais U e W de V cuja reunião nao seja um subespaço vetorial de V.

Soma direta de subespaços

Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, definimos a soma direta de U e W, denotada por U W, como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos de uma forma única v=u+w, onde u U e w W.

Teorema caracterizando a soma direta: Sejam U e W subepaços de um espaço vetorial V. V=U W se, e somente se, V=U+W e U W ={ö}.

Exemplo: Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, S o subespaço de V das matrizes simétricas, isto é, as matrizes da forma:

s = | | x y y z

| |

e T o subespaço de V das matrizes anti-simétricas, que têm a forma geral:

t = | | 0 w-w 0

| |

Assim V=S T, pois V=S+T e S T={ö}.

Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de ordem 2, pode ser decomposta, de forma única, na soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem 2, então é possível obter uma matriz simétrica M' e uma matriz anti-simétrica M", dadas por:

M' = ½(M + Mt) e M" = ½(M - Mt)

de modo que existe uma decomposição única para M, isto é, M=M'+M".

Exercício: Seja F={f:R R} o espaço vetorial de funções, F" o subespaço de F das funções pares e F' o subespaço de F das funções ímpares, isto é,

F' = { f F: f(-x)=-f(x), x R } F" = { f F: f(-x)= f(x), x R }

Então, F=F" F', pois F"+F'=F e F" F'={0}.

Sugestão: Se f=f(x) F, escreva f(x)=g(x)+h(x) e mostre que g(x)=½(f(x)+f(-x)) e h(x)=½(f(x)-f(-x)). Mostre depois que g=g(x) é par e que h=h(x) é ímpar.

Matrizes Semelhantes

Duas matrizes A e B são semelhantes, se existe uma matriz inversível P tal que

A = P–1B P

Em muitas situações, a matriz P é formada pelos autovetores da matriz A, postos em colunas.

Exercício: Seja a matriz A do exemplo anterior:

A = | | |

0 1 1 –1 2 1–1 1 2

| | |

1. Construa uma matriz P que tem como colunas os autovetores u, v e w da matriz A.

2. Obtenha a inversa da matriz P. 3. Calcule a matriz D=P–1AP semelhante a A. 4. Conclua algo sobre a posição dos autovalores na matriz D. 5. Verifique que traço(D)=traço(A). 6. Verifique que det(D)=det(A).

Exercício: Considere uma matriz A definida por:

A= | | |

1 2 –10 0 1 1 1 0

|||

1. Mostre que o polinômio característico de A é dado por:

f(µ)=µ³–µ²–1. 2. Para obter os autovalores complexos de A, resolva a

equação f(µ)=0, cujos zeros são:

µ1=1.46557, µ2=–0.23279+0.79255 i, µ3=–0.23279–0.79255 i 3. Obtenha os autovetores da matriz A. 4. Construa uma matriz P que tem como colunas os

autovetores u, v e w da matriz A. 5. Obtenha a inversa da matriz P. 6. Calcule a matriz D=P–1AP semelhante a A. 7. Conclua algo sobre os autovalores na matriz D. 8. Mostre que traço(D)~traço(A), onde ~ significa que o cálculo

é aproximado. 9. Mostre que det(D)~det(A).

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução à Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um

número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp. Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!. Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter

a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma

dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1

No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades

1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ...

m-2 3 m-1 2 m 1

No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM, OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos , assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com

repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø

(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p) Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:

(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4 (a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1

(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k

= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]

= a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk] +b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]

= ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk +akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1

= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

= ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k

E assim podemos escrever:

(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3 +(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1

que é o resultado desejado.

PROGRESSÕES

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão .

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r| . Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.

ÁLGEBRA LINEAR

autoespaço O autoespaço associado ao autovalor c de uma matriz A é o núcleo da matriz A-cI. O autoespaço é um subespaço vetorial de Rn.

autovalor Um autovalor de uma matriz quadrada A é um escalar c tal que Av=cv é verdadeiro para algum vetor v não nulo.

autovetor Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo V tal que Av=cv é verdadeiro para algum escalar c.

base Um conjunto de vetores {v1,...,vk} contido em um subespaço W é uma base para W, se:

a. {v1,...,vk} é linearmente independente

b. {v1,...,vk} gera W.

combinação linear Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, ..., vk se existem escalares a1, ..., ak tal que

v = a1v1 +...+ akvk

complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subespaço S de Rn é o conjunto de todos os vetores v Rn que são ortogonais a todos os vetores de S.

conjunto ortogonal Um conjunto de vetores em Rn é ortogonal se o produto escalar de quaisquer dois vetores deste conjunto é zero.

conjunto ortonormal Um conjunto de vetores em Rn é ortonormal se é um conjunto ortogonal de vetores e cada vetor tem comprimento 1.

consistente Um sistema de equações lineares é consistente se tem pelo menos uma solução. Ver: inconsistente.

coordenadas relativas a uma base Se u Rn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de uma base {v1,...,vn} de Rn

u = a1v1 +...+ anvn

os coeficientes a1,...,an são as coordenadas do vetor u relativo a esta base {v1,...,vn}.

dependência linear Uma relação de dependência linear para um conjunto de vetores {v1,...,vk} é uma equação da forma

a1v1 +...+ akvk = Ö

em que nem todos os escalares a1,..., ak são nulos.

diagonalizável Uma matriz é diagonalizável se ela é semelhante a uma matriz diagonal.

dimensão A dimensão de um subespaço W é o número de vetores em qualquer base de W. Se W é o subespaço nulo, dizemos que a sua dimensão é 0.

espaço coluna O espaço coluna de uma matriz é o subespaço gerado pelas colunas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço linha o espaço linha de uma matriz é o subespaço gerado pelas linhas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço vetorial Espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V de objetos (denominados vetores), munido de duas operações binárias: adição e multiplicação por escalar, satisfazendo às seguintes propriedades:

a. Associativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que (u + v) + w = u + (v + w)

b. Comutativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que u + v = v + u

c. Elemento neutro Existe um elemento Ö V tal que para todo vV

Ö + v = v

d. Elemento oposto Para cada v V, existe -v V tal que v + (-v) = Ö

e. Produto pelo escalar 1 Para todo v V, tem-se que 1.v = v

f. Distributiva da adição pelo escalar Para todo escalar c K e para todos v V e w V, vale:

c.(v+w) = c.v + c.w

g. Distributiva dos escalares pelo vetor Para todos os escalares c K e d K e para todo v V, vale:

(c+d).v = c.v + d.v

h. Associatividade mista Para todos os escalares c K e d K e para todo v V, vale:

(c.d).v = (d.c).v = c.(dv)

forma escalonada por linhas Uma matriz está na forma escalonada por linhas, se:

1. Linhas nulas: Todas as linhas que são totalmente nulas são colocadas juntas na parte de baixo da matriz;

2. Pivot: O primeiro elemento não nulo (contado da esquerda para a direita) em cada linha não nula aparece em uma coluna à direita da primeiro elemento não nulo da linha anterior (se existir algum na linha anterior).

forma reduzida escalonada por linhas Uma matriz está na forma reduzida escalonada por linhas se:

1. Forma da matriz: escalonada por linhas;

2. Unitário: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o número 1, isto é, o pivot é , e

3. Unicidade do pivot: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o único elemento não nulo nesta coluna.

gera Um conjunto de vetores {v1,...,vk} gera um subespaço S se todo vetor de S pode ser escrito como combinação linear de v1,...,vk.

gerado O subespaço gerado por um conjunto de vetores {v1,...,vk} é o subespaço S de todas as combinações lineares de v1, ..., vk. Afirmamos que este subespaço S é gerado pelo conjunto de vetores {v1,...,vk} e que este conjunto de vetores gera S.

homogêneo Um sistema de equações lineares Ax=b é homogêneo se b=Ö. Se b é diferente de Ö, o sistema é denominado não-homogêneo.

identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são iguais a zero. Ver matriz identidade.

imagem de uma transformação linear A imagem da transformação linear T é o conjunto de todos os vetores T(v), onde v dom(T) = domínio de T.

inconsistente Um sistema de equações lineares é inconsistente se ele não possui qualquer solução. Ver: consistente.

inversa Uma matriz B é uma inversa para uma matriz A se

A B = B A = I

inversível Uma matriz é inversível se ela tem uma inversa. Uma palavra sinônima é não-singular.

linearmente dependente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente dependente se a equação

a1v1 +...+ akvk = Ö

tem uma solução, sendo que nem todos os escalares a1,...,ak podem ser nulos, isto é, se {v1,...,vk} satisfaz uma relação de dependência linear.

linearmente independente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente independente se, a única solução para a equação

a1v1 +...+ akvk = Ö

é a solução onde todos os escalares a1,...,ak são nulos, isto é, se {v1,..., vk} não satisfaz qualquer relação de dependência linear.

matriz elementar É uma matriz que pode ser obtida por operações elementares por linhas sobre a matriz identidade.

matriz identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros escalares são nulos.

matriz ortogonal Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, isto é:

A-1 = At

matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é:

A = At

matrizes linha equivalentes Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações elementares por linhas.

multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica do autovalor c de uma matriz A é o número de vezes que o fator (t-c) ocorre no polinômio característico de A.

multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica de um autovalor c de uma matriz A é a dimensão do autoespaço de c.

não-singular Uma matriz quadrada A é não-singular se a única solução para a equação Ax=Ö é x=Ö. Uma palavra sinônima é inversível. Ver: singular.

núcleo de uma matriz O núcleo de uma matriz A de ordem m×n é o conjunto de todos os vetores x Rn tal que Ax=Ö.

núcleo de uma transformação linear O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores v do domínio de T tal que T(v) = Ö.

nulidade de uma matriz Nulidade de uma matriz é a dimensão do núcleo dessa matriz.

nulidade de uma transformação linear Nulidade de uma transformação linear é a dimensão do núcleo dessa transformação.

operações elementares por linhas Operações elementares por linhas realizadas sobre uma matriz são:

a. Trocar duas linhas;

b. Multiplicar linha por escalar não nulo;

c. Somar múltiplo de linha com outra linha.

polinômio característico Polinômio característico de uma matriz quadrada A de ordem n é o polinômio na variável t definido por

p(t) = det(A - t In)

posto de uma matriz É o número de linhas não nulas quando a mesma está escrita na forma reduzida escalonada por linhas. O posto de uma matriz coincide com a dimensão do espaço linha da matriz.

posto de uma transformação linear O posto de uma transformação linear (e também de uma matriz pensada como uma transformação linear) é a dimensão da imagem da transformação linear. Observação: Há um teorema que afirma que as duas definições de posto de uma matriz são equivalentes.

semelhante As matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz quadrada inversível P tal que

P-1A P = B

solução por mínimos quadrados Uma solução por mínimos quadrados para um sistema de equações lineares Ax=b é um vetor x que minimiza o comprimento do vetor Ax-b.

singular Uma matriz quadrada A é singular se a equação Ax=Ö tem uma solução não nula para x. Ver: não-singular.

sistemas equivalentes Dois sistemas de equações lineares em n incógnitas são equivalentes se, eles têm o mesmo conjunto de soluções.

subespaço vetorial Um subconjunto W de Rn é um subespaço de Rn:

a. se x W e y W implica que x+y W e

b. se x W e k K (corpo de escalares), implica que kx W.

O vetor nulo (Ö) sempre pertence a todo subespaço vetorial.

transformação linear Uma transformação linear T:V W é uma aplicação T que associa a cada vetor de V um vetor no espaço vetorial W, tal que:

a. para todos os vetores u V e v V T(u+v) = T(u) + T(v)

b. para todo vetor v V e todo k no corpo K T(kv) = k T(v)

transformação linear ortogonal Uma transformação linear T:V W é ortogonal se T(v) têm o mesmo comprimento que v, para todo v V, isto é:

|T(v)|=|v|

vetor nulo Vetor nulo ou vetor zero de um espaço vetorial, denotado neste trabalho por Ö.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O conceito de limite e continuidade é um conceito importante na definição de derivada e integral. Neste capítulo trabalhamos com limite, continuidade, derivada e integral utilizando os comando do Mathematica. Abordamos também a derivada de ordem superior, derivada parcial, derivada das funções implícitas e integração múltipla.

4.2 Conceito de limite

Iniciamos este capítulo com o cálculo de limites. O comando utilizado em Mathematica para este cálculo é "Limit[expressão,x->x0]" . Também utilizamos a opção "Direction" , o que permite o cálculo de limites laterais, isto é, à direita e à esquerda. Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 4.1

Calcular os seguinte limites:

a) , onde ;

b) ;

c) , onde f(x) é dada como em a).

Resolução

Utilizamos o comando "Limit" para resolver estes exemplos:

a) In[ ]:= f[x_]:=( −−−− 5+3 x+4 x^2)/(10−−−− 5 x+8 x^2) Limit[f[x],x->5]

Out[ ]=

b) In[ ]:= Limit[(1+x)^(1/x),x->0] Out[ ]= E

c) In[ ]:= Limit[f[x],x->Infinity]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• = ;

• = e;

• = .

A seguir apresentamos exemplos de cálculo de limites à direita e à esquerda.

Exemplo 4.2

Calcular os seguintes limites à direita e à esquerda:

a) ;

b) .

Faça a visualização gráfica de cada uma destas funções.

Resolução

Para calcular os limites direcionados utilizamos a opção "Direction" juntamente com o comando "Limit" :

a) In[ ]:= f[x_]:=(4−−−− x^2)/(2−−−− x)

In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction-> −−−−1] Out[ ]= 4

In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction->1] Out[ ]= 4

Assim, concluímos que

• ;

isto é,

• .

Veja a seguir, o gráfico da função dada:

In[ ]:= Plot[(4−−−− x^2)/(2−−−− x),{x,0,3}]

Out[ ]= -Graphics-

b) In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> −−−−1] Out[ ]= Infinity

In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> 1] Out[ ]= -Infinity

Assim, concluímos que

• e

isto é,

•

não existe.

A visualização gráfica desta função é obtida usando o comando "Plot" .

In[ ]:= Plot[1/x,{x,−−−− 1,1}]

Out[ ]= -Graphics-

Observamos no gráfico acima que o limite da função no ponto x = 0 não existe.

O exemplo a seguir nos leva a definir o conceito de derivada utilizando o aspecto de limite.

Exemplo 4.3

Calcular , onde

a) f1(x) = 4x3 2x2 − x 3;

b) f2(x) = .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para calcular os limites desejados:

a) In[ ]:= Clear[f1] f1[x_]:=4 x^3+2 x^2−−−− x+3

In[ ]:= k1=Simplify[(f1[x+h] −−−− f1[x])/h] Out[ ]= −1+2 h + 4 h2 + 4 x + 12 h x + 12 x2

In[ ]:= Limit[k1,h->0] Out[ ]= −1 + 4 x + 12 x2

b) In[ ]:= Clear[f2] f2[x_]:=(x^2+1)/x

In[ ]:= k2=Simplify[(f2[x+h]-f2[x])/h]

Out[ ]=

In[ ]:= Limit[k2,h->0]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• ;

• .

O exemplo acima nos leva a definir o conceito de derivada de uma função, o que veremos na próxima seção.

4.3 Cálculo diferencial

Seja uma função diferenciável f(x), isto é, que tem derivada, definida por

O Mathematica poderá computar sua derivada de pelo menos duas formas, desde que a função f(x) tenha sido definida de maneira adequada. Inicialmente calculamos a derivada usando a definição.

Seguem abaixo alguns comandos para se calcular derivadas:

• O comando "f’[x]" computa a derivada de f(x) em relação a x.

• O comando "D[f[x],x]" também computa a derivada de f(x) e relação a x.

• O comando "D[f[x],{x,n}]" computa a n-ésima derivada de f(x) em relação a x.

• O comando "D[expressão,variável]" computa a derivada da expressão em relação a variável.

Exemplo 4.4

Calcular a derivada da expressão 7x − 9x2 8x3.

Resolução

Para se calcular a derivada da expressão 7x − 9x2 + 8x3, podemos derivar diretamente ou podemos definir uma função f(x) = 7x − 9x2 + 8x3. Os comandos abaixo calculam a derivada da mesma função de três formas diferentes:

1a forma

In[ ]:= D[7 x−−−− 9 x^2+8 x^3,x]

Out[ ]= 7 − 18 x + 24 x2

2a forma

In[ ]:= Clear[h] h[x_]:=7 x−−−− 9 x^2+8 x^3

In[ ]:= h'[x] Out[ ]= 7 − 18 x + 24 x2

3a forma

In[ ]:= D[h[x],x] Out[ ]= 7 −−−− 18 x + 24 x2

Observe que tanto "h’[x]" quanto "D[h[x],x]" produziram o mesmo resultado.

Assim, concluímos que

• (7x − 9x2 8x3)′ = 7 − 18x 24x2.

Exemplo 4.5

Calcular a derivada das seguintes funções

a) f(x) = x2 sen x; b) f(x) = ln(3x4 4); c) f(x) = (5x 3)(2x3 − 3x 4)2.

Resolução

Resolvemos estes exemplos utilizando os comando "D" dado no exemplo acima.

a) In[ ]:= D[x^2 Sin[x],x] Out[ ]= x2 Cos[x] + 2 x Sin[x]

b) In[ ]:= D[Log[3 x^4 + 4],x]

Out[ ]=

c) In[ ]:= D[(5 x+3)(2 x^3−−−− 3 x+4),x] Out[ ]= (3 + 5 x)(− 3 + 6 x2) + 5(4 − 3 x + 2 x3)

Assim, concluímos que

• (x2 sen x)′ = x2 cos(x) 2x sen(x);

• (ln(3x4 4))′ = ; • ((5x 3)(2x3 − 3x 4)2)′ = (3 5x)(− 3 6x2) 5(4 − 3x 2x3).

Exemplo 4.6

Calcular f′ (x), f′ ′ (x) e f′ ′ ′ (x) para as seguintes funções:

a) f(x) = x4 − 3x3 5x2 3x 1;

b) f(x) = .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para resolver estes exemplos:

a) In[ ]:= Clear[f] f[x_]:= x^4−−−− 3 x^3+5 x^2+3 x+1

In[ ]:= D[f[x],x] Out[ ]= 3 + 10 x − 9 x2 + 4 x3

In[ ]:= D[f[x],{x,2}] Out[ ]= 10 − 18 x + 12 x2

In[ ]:= D[f[x],{x,3}] Out[ ]= −18 + 24 x

Assim, concluímos que

• f′ (x) = 3 10x − 9x2 4x3; • f′ ′ (x) = 10 − 18x 12x2; • f′ ′ ′ (x) = − 18 24x.

b) In[ ]:= Clear[f] f[x_]:=(Sin[4 x])/x

In[ ]:= D[f[x],x]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x],{x,2}]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x],{x,3}]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• f′ (x) = ;

• f′ ′ (x) = ;

• f′ ′ ′ (x) = .

4.3.1 Derivadas da função implícita

Utilizando os comandos do Mathematica podemos calcular a derivada da função implícita f(x,y) = 0. Os principais comandos são os seguintes:

• O comando "Dt[equação,x]" computa a diferencial em relação a variável x.

• A expressão encontrada durante a computação representa a derivada de y em relação a x, isto é, "Dt[expressão,variável]" computa a derivada total.

• "Dt[expressão]" computa a diferencial total "d(expressão)".

Veja os exemplos a seguir, sobre os cálculos de derivadas das funções implícitas. A expressão "Dt[y,x ]" , encontrada durante a computação, representa a derivada de y em

relação a x, isto é, Dt[y,x] = . Utilizamos o comando "Solve" para encontrar os resultados desejados.

Exemplo 4.7

Calcular para as funções implícitas dadas a seguir:

a) x2 y2 = 4;

b) .

Resolução

Resolvemos estes exemplos utilizando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Dt[x^2+y^2==4,x] Out[ ]= 2 x + 2 y Dt[y, x] == 0

In[ ]:= Solve[Dt[x^2+y^2==4,x],Dt[y,x]]

Out[ ]= {{Dt[y, x] -> − ( )}}

b) In[ ]:= Solve[Dt[Exp[−−−− (x^2+y^2)]==Log[x],x],Dt[y,x]]

Out[ ]= {{Dt[y, x] -> }}

Os mesmos resultados acima, podem ser obtidos utilizando o comando "D" do Mathematica se declararmos que y é uma função de x, isto é, se escrevemos y=y[x]. Veja os cálculos abaixo:

a) In[ ]:= D[x^2+y[x]^2==4,x] Out[ ]= 2 x + 2 y[x] y'[x] == 0

In[ ]:= Solve[D[x^2+y[x]^2==4,x],y'[x]]

Out[ ]= {{y'[x] -> − ( )}}

b) In[ ]:= Solve[D[Exp[−−−− (x^2+y[x]^2)]==Exp[ −−−− x],x],y'[x]]

Out[ ]= {{y'[x] -> }}

Assim, concluímos que

• , onde x2 y2 = 4;

• , onde .

4.3.2 Derivada parcial

Derivadas parciais são calculadas utilizando o mesmo comando que foi utilizado para calcular a derivada, isto é, "D" ou "Derivative" . Seja f(x,y) uma função diferenciável em relação às variáveis x e y. Utilizamos os seguintes comandos para os cálculos das derivadas parciais.

• O comando "D[f(x,y),variável]" computa a derivada parcial de f(x,y) em relação a variável x ou y.

• O comando "D[f(x,y),{variável,n}]" calcula a n-ésima derivada parcial de f(x,y).

• O comando "D[f(x,y),x,y]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relação a y e depois em relação a x. O comando "D[f(x,y),y,x]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relação a x e depois em relação a y.

• O comando "Derivative" também pode ser usado para calcular a derivada parcial da função.

• O comando "Derivative[1,0][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relação a x e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

• O comando "Derivative[0,1][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relação a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

• O comando "Derivative[n,m][f][a,b]" calcula a n-ésima derivada parcial da f em relação a x e depois a m-ésima derivada parcial de f em relação a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

Veja alguns exemplos a seguir:

Exemplo 4.8

Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = ln(3x3 y) sen(x 3y3) em relação a x e y.

Resolução

Utilizamos o comando "D" para calcular a derivada parcial. Podemos também derivar expressões que possuem variáveis independentes entre si. Assim sendo, assumimos que em

"D[Log[3x 3+y]+Sin[x+3y3],x]" , y é independente de x, isto é, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x é obtida utilizando o seguinte comando:

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],x]

Out[ ]=

Analogamente, a derivada da f(x,y) em relação a y é obtida por

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],y]

Out[ ]=

Observe que se y for dependente de x, podemos utilizar a forma funcional explícita y[x] e damos o seguinte comando:

In[ ]:= D[Log[3 x^3+y[x]]+Sin[x+3 y[x]^3],x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• ;

• .

Exemplo 4.9

Seja f(x,y) = (x3 y3)3/5. Calcular

a) ;

b) ;

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos:

In[ ]:= Clear[f] f[x,y]:=(x^3+y^3)^(3/5)

a) In[ ]:= D[f[x,y],x]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x,y],y]

Out[ ]=

In[ ]:= D[f[x,y],y,x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• ;

• ;

• .

b) In[ ]:= Clear[f] f[x,y]:=(x^3+y^3)^(3/5)

In[ ]:= D[f[x,y],{x,2}]

Out[ ]=

In[ ]:= Together[%]

Out[ ]=

In[ ]:= Together[D[f[x,y],{y,2}]]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• = ;

• = .

Exemplo 4.10

Seja f(x,y) = log(x2 y2) cos(x y). Calcular as seguintes derivadas parciais:

a) , , e ;

b) e ;

c) e .

Resolução

Utilizamos o comando "Derivative" para calcular as derivadas parciais desejadas. Em alguns casos achamos o mesmo resultado aplicando o comando "D" . Inicialmente, definimos a função f(x,y).

In[ ]:= Clear[f] f[x_,y_]:= Log[x^2+y^2] Cos[x+y]

a) In[ ]:= Derivative[1,0][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],x]

Out[ ]=

In[ ]:= Derivative[0,1][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],y]

Out[ ]=

In[ ]:= Derivative[1,1][f][x,y]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],x,y]

Out[ ]= −−−−

In[ ]:= Derivative[1,1][f][y,x]

Out[ ]=

ou

In[ ]:= D[f[x,y],y,x]

Out[ ]= −−−−

Assim, concluímos que

• ;

• ;

•

;

•

.

b) In[ ]:= Derivative[2,0][f][x,y]

Out[ ]=

In[ ]:= [Derivative[0,2][f][x,y]]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

•

;

•

.

c) In[ ]:= Derivative[2,1][f][Pi,Pi/2]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%] Out[ ]= -2.86925

In[ ]:= Derivative[1,2][f][Pi,Pi/2]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%] Out[ ]= − 2.67472

Assim, concluímos que

• = − 2.86925;

• = − 2.67472.

4.4 Cálculo integral

Iniciamos esta seção com a computação de integrais definidas e indefinidas. Apresentamos também exemplos de cálculo de integrais duplas e triplas. Vamos ver os comandos que serão utilizados para estes cálculos:

• O comando "Integrate[f[x],x]" calcula a integral indefinida .

• O comando "Integrate[f[x],{x,x1,x2}]" calcula a integral definida .

• O comando "Integrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]" calcula a integral dupla

definida .

• O comando "Integrate[f[x,y,z],{x,x1,x2},{y,y1,y2}],{z,z1,z2}]" calcula a integral

tripla definida .

Quando "Integrate" não consegue produzir o resultado exato da expressão numa forma adequada, usamos "NIntegrate" ; ou, simplesmente, utilizamos "N[%]" para achar o valor exato da expressão anterior. "NIntegrate" também é usado nos cálculos das integrais, onde "Integrate" não consegue calcular o valor da integral.

Exemplo 4.11

Calcular as seguintes integrais:

a) ;

b) .

Resolução

Utilizamos os seguintes comandos para resolver as integrais:

a) In[ ]:= Integrate[x^3+5 x^2+3 x−−−− 5,x]

Out[ ]=

b) In[ ]:= Integrate[Log[x]/x^2,x]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• = ;

• = .

Exemplo 4.12

Calcular as seguintes integrais definidas:

a) ;

b) ;

c) .

Resolução

As integrais são resolvidas usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[Cos[x],{x,0,Pi}] Out[ ]= 0

b) In[ ]:= Integrate[(Sqrt[x^2+4])/x^3,{x,1,3}]

Out[ ]=

In[ ]:= N[%] Out[ ]= 1.12235

c) In[ ]:= Clear[f] f[x_]:=(2+3 x+5 x^2)/((1+x^2)(4+9 x^2)) NIntegrate[f[x],{x,0,2}] Out[ ]= 0.788964

Resolvemos a mesma integral utilizando o processo de frações parciais:

In[ ]:= Apart[f[x]]

Out[ ]=

In[ ]:= Integrate[%,{x,0,2}]

Out[ ]=

O valor numérico da integral calculada acima é obtido utilizando o comando "N[%]"

In[ ]:= N[%] Out[ ]= 0.788964

Assim, concluímos que

• = 0;

• = 1,12235;

• = 0,788964.

Exemplo 4.13

Calcular as seguintes integrais duplas:

a) ;

b) ;

c) .

Resolução

Para resolver integrais duplas sabemos que

.

Partindo desta observação, calculamos as integrais usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[y Cos[x]−−−− x Cos[y],{x,0,Pi/2},y,0,Pi}]

Out[ ]= .

In[ ]:= N[%] Out[ ]= 4.9348

b) In[ ]:= Integrate[x^2 y,{y,0,3},{x,1−−−− 2 y,y^2}]

Out[ ]=

c) In[ ]:= NIntegrate[Cos[Exp[x y]],{x,0,1},{y,0,1}] Out[ ]= 0.245001

Assim, concluímos que

• = ;

• = ;

• = 0,245001.

Exemplo 4.14

Calcular as seguintes integrais triplas:

a) ;

b) ;

Resolução

Para resolver integrais duplas sabemos que

.

Partindo desta observação, calculamos as integrais triplas usando os seguintes comandos:

a) In[ ]:= Integrate[x y z,{x,1,2},{y,0,1},{z,1,3}] Out[ ]= 3

b) In[ ]:= Integrate[y Exp[z],{y,1,2},{x,0,y^2}, {z,0,Log[x]}]

Out[ ]=

Assim, concluímos que

• = 3;

• = .

Observação

• No cálculo de integrais duplas e triplas deve-se cuidar na colocação dos limites das integrais nos comandos, isto é, quando uma variável está dependendo de outra, primeiro deve-se colocar os limites independentes e depois as variáveis dependentes. Veja a seguir os comandos:

• = Integrate[f(x,y,z),{x,a,b},{y,y(x1),y(x2)}, {z,z(y1),z(y2)}]

• = Integrate[f(x,y),{x,a,b},{y,y(x1),y(x2)}]

PROBABILIDADE

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras. A Estatística , de modo geral, constitui um valioso instrumento para tomada de decisões.

Outra característica da Estatística é o uso de modelos. Estes são formas simplificadas de algum problema ou situação real. A característica fundamental dos modelos é o fato de reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais compreensíveis. Neste curso, daremos ênfase a teoria da probabilidade como ferramenta para tomada de decisão. PROBABILIDADE “As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos( No Brasil Bingos) e os esportes organizados. todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje muitas organizações(públicas ou privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.” O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios. Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico. Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno. Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas. Podemos considerar como experimentos aleatórios os fenômenos produzidos pelo homem. Exemplos: a) lançamento de uma moeda; b) lançamento de um dado; c) determinação da vida útil de um componente eletrônico; d) previsão do tempo. A cada experimento aleatório está associado o resul tado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório. Um cojunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral. PROBABILIDADE DE UM EVENTO A probabilidade de um evento A, denotada por por P(A), é um número de 0 a 1 que indicaa chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0. As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.

GEOMETRIA PLANA

Introdução

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura

original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10

Undecágono 11 Dodecágono 12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

1. Os lados opostos são congruentes; 2. Os ângulos opostos são congruentes; 3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o; 4. As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

GEOMETRIA ESPACIAL

Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).

2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.

3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto. 4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe. 5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe. 6. Duas retas concorrentes. 7. Dois segmentos de reta concorrentes.

Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R3.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.

2. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

3. Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

GEOMETRIA ANALÍTICA

A geometria analítica foi criada cerca de 1628 pelo francês René Descartes a fim de estabelecer relações entre a álgebra e a geometria e métodos que auxiliam a resolução de vários problemas. Através da geometria analítica, pode-se estudar as propriedades de uma figura através de processos algébricos. Perpendicularismo Duas retas não-verticais são perpendiculares entre si, se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.

Se r ┴ s, então m1 . m2 = -1 Distância entre dois pontos A distância d entre os pontos A e B é a medida do segmento . Como o triângulo destacado é retângulo e é sua hipotenusa, aplicando o teorema de Pitágoras temos:

Alinhamento de Três Pontos O mesmo determinante que permite o cálculo da área do triângulo, nos permite verificar se os dados do mesmo estão ou não alinhados. Temos: A = ( xa, ya), B = (xb, yb), C = (xc, yc). Se A, B e C estão alinhados, D = 0.

Ângulo entre duas retas Quando as retas formam dois ângulos sendo α e β, adjacentes e suplementares, um ângulo é agudo e o outro obtuso. Pode então ocorrer dois casos: Quando α é agudo e β é obtuso;

Quando α é obtuso e β é agudo;

Para o ângulo agudo de r e s, é válida a fórmula . Se uma das retas for perpendicular ao eixo x, ela não terá o coeficiente angular. Pode-se observar dois casos:

α 1 é agudo:

α 1 é obtuso:

A fórmula usada onde temos tg α > 0 é: Distância entre ponto e reta

Para calcularmos a distância de um ponto a uma reta, usamos a fórmula:

Equação Geral da Reta A equação que determina o segmento da reta é: x - 2y + 2 = 0. Dessa forma, qualquer par (α,β) que não satisfaça essa equação não pertence à reta AB.

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

Materiais sólidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando submetidos a solicitações mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suportá-los nas condições previstas de utilização.

Fig 01

A Figura 01 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos: (a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma. (b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da mesma. (c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. (d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às outras. (e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. (f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais. Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente.

Tensão normal e tensão transversal

Seja, por exemplo, uma barra cilíndrica de seção transversal S submetida a uma força de tração F. É evidente que uma outra barra de seção transversal maior (por exemplo, 2 S), submetida à mesma força F, trabalha em condições menos severas do que a primeira. Isso sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha relação com força e área, de forma que os esforços possam ser comparados e caracterizados para os mais diversos materiais. Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa superfície. Ou seja, tensão = força / área. Por essa definição, a unidade de tensão tem

dimensão de pressão mecânica e, no Sistema Internacional, a unidade básica é a mesma da pressão: pascal (Pa) ou newton por metro quadrado (N/m2).

Fig 01 Na Figura 01 (a), uma barra de seção transversal S é tracionada por uma força F. Supondo uma distribuição uniforme de tensões no corte hipotético exibido, a tensão σ, transversal ao corte, é dada por σ = F / S #A.1#. Obs: no caso de barras lisas tracionadas, as tensões se distribuem de modo uniforme se os pontos de aplicação das forças estão suficientemente distantes. Em outros casos, as tensões podem não ser uniformes e o resultado dessa fórmula é um valor médio. Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 01 (b), é considerada uma seção hipotética, fazendo um ângulo α com a vertical, em uma barra tracionada por uma força F. E a força atuante nessa seção pode ser considerada a soma vetorial força normal (F cos α) + força transversal (F sen α). Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo σ. Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo τ.

TEORIA DA ELASTICIDADE

Elasticidade é o ramo da física que estuda o comportamento de corpos materiais que se deformam ao serem submetidos a ações externas (forças devidas ao contato com outros corpos, ação gravitacional agindo sobre sua massa, etc.), retornando à sua forma original quando a ação externa é removida.

Até um certo limite, dependente do material e temperatura, as tensões aplicadas são aproximadamente proporcionais às deformações. A constante de proporcionalidade entre elas é

chamada módulo de elasticidade ou módulo de Young. Quanto maior esse módulo, maior a tensão necessária para o mesmo grau de deformação, e portanto mais rígido é o material. A relação linear entre essas grandezas é conhecida como lei de Hooke.

A elasticidade linear, entretanto, é uma aproximação; os materiais reais exibem algum grau de comportamento não-linear.

A teoria da elasticidade estuda de forma rigorosa a determinação das tensões, deformações e da relação entre elas para um sólido tridimensional.

Aplicação

O projeto de estruturas na construção civil usa as equações derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as colunas, vigas e lajes. De acordo com o peso que esses elementos vão suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados (concreto ou aço), as máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de escoamento . Como ilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nas perfis estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 36 kgf/mm2.Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a ele pesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após ser liberado da carga.

Na construção mecânica, principalmente na aviação, onde não se pode abusar do recurso de superdimensionar os elementos estruturais para aumentar sua resistência, (o avião ficaria desnecessariamente pesado e portanto anti-econômico), o cálculo preciso é fundamental. Como as formas muitas vezes são complexas e difíceis de equacionar matematicamente, a solução é o uso da aproximação pelo método dos elementos finitos. Com o crescente poder de computação, esse método passou a ser largamente utilizado pela indústria a partir do final do século XX.

Inelasticidade

Acima de uma determinada tensão, conhecida como limite elástico ou limite de escoamento , a relação entre tensões e deformações se quebra. Além deste limite, o sólido pode deformar-se

irreversivelmente, exibindo um comportamento plástico. O início da deformação plástica significa normalmente o colapso de uma estrutura.

Além disso, não só os sólidos exibem elasticidade. Alguns fluidos não-Newtonianos, como os fluidos viscoelasticos, também vão exibir elasticidade em certas condições.