apostila mat

GGEEOOMMEETTRRIIAA

PROFESSORA: MÁRCIA AURÉLIA STOPASSOLI

GEOMETRIA – Oficina Ofertada 05/12/05 – NEEM - 2 -

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 3

FLEXIHEXI 4

CALEIDOCICLO 8

CALEIDOSCÓPIO 11

POLIEDROS DE PLATÃO 13

BIBLIOGRAFIA 15


INTRODUÇÃO

Há muito tempo, a natureza desperta a admiração do homem por sua beleza plástica, harmonia de

cores e perfeição das formas, incentivando o homem a estudar essas formas encontradas e compreender

suas relações perfeitas.

No início, as formas geométricas da natureza eram imitadas apenas pelos pintores. Com o passar

do tempo, o homem começou a imitar a natureza em suas próprias construções, produzindo assim,

edificações cada vez mais rígidas e perfeitas.

Apesar de sua importância, a Geometria no sistema regular de ensino tem sido deixada de lado

em relação aos outros ramos da Matemática como afirma BIEMBENGUT (1996, p. 7): “A Geometria, ora

aparece como anexo da disciplina de Educação Artística, ora no final do programa de Matemática, além de,

tratada sob uma certa forma teórica, ter se tornado árida e sem sentido para boa parte dos alunos e até dos

professores”.

A Geometria desenvolve o pensar geométrico ou o raciocínio visual. Se essa matéria é deixada de

lado, alguns transtornos podem ser causados no dia-a-dia do próprio aluno, pois, mesmo não querendo, as

pessoas em seu cotidiano devem ter noção de paralelismo, perpendicularismo, medição (comprimento,

perímetro, área, volume), simetria – seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão ou na

comunicação oral.

A seguir, serão apresentados alguns materiais didáticos que podem auxiliar o aluno a construir os

conceitos geométricos fundamentais.


FLEXIHEXI

O flexihexi é um “brinquedo” matemático muito interessante, que consiste de dobrar, em tiras de

papel, triângulos eqüiláteros. Não se tem conhecimento da sua origem. A palavra dobradura provém do

termo origami, ou seja, ori = dobrar, gami = papel, que se denomina a arte de dobrar papéis, atribuindo-lhes

as mais diversas formas. A técnica de dobrar papéis vem sendo utilizada desde o século VI, em rituais

religiosos, mas desenvolveu-se em meados do século XIX.

CONSTRUÇÃO DO FLEXIHEXI

1. Construa a figura ao lado utilizando triângulos eqüiláteros. Recorte a figura no pontilhado.

2. Pinte a 3ª e 6ª linhas transversais em cores diferentes.

3. Dobre para frente e para trás cada uma das linhas transversais.

4. Dobre para trás ao longo da 1ª linha transversal pintada para fazer esta figura geométrica.

5. Gire a figura para você ver a letra A e coloque a linha pintada na horizontal.

6. Dobre a parte de cima, de modo que a 2ª linha transversal pintada fique escondida (para o lado de dentro).

7. Encaixe o triângulo B sobre o triângulo A.

8. Dobre o triângulo C para trás do triângulo A.

9. Cole cuidadosamente. Espere até a cola secar.

10. Seu Flexihexi deve ficar como este.


11. Use sua criatividade para colorir um dos lados do Flexihexi como este abaixo.

DESAFIO A PARTIR DO FLEXIHEXI CONSTRUÍDO Após a pintura de um dos lados, movimente o flexihexi: tentando deixá-lo totalmente do lado não

pintado. (em branco).

CONCEITOS MATEMÁTICOS QUE PODEM SER TRABALHADOS COM O FLEXIHEXI �� Ângulos: Ao se observar a malha do flexihexi, percebe-se que há 10 triângulos eqüiláteros, ou seja, os

10 com os três ângulos de mesma medida. Os ângulos internos destes triângulos correspondem a 60°

(denominado ângulo agudo, pois é menor que 90°).

Definição de ângulo: chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas

numa mesma reta (não-colineares).

Classificação de ângulos:

�� Ângulo agudo – é o que mede menos de 90°.

�� Ângulo de uma volta - é o que mede 360°.

�� Ângulo obtuso: é o que mede mais de 90° e menos de 180°.

�� Ângulo raso – é aquele que mede 180°.

�� Ângulo reto – é aquele que mede 90°.

Bissetriz de um ângulo:

Uma semi-reta OC interna a um ângulo COA^

é bissetriz de um ângulo COA^

se e somente

se, COBCOA^^

= .

A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que

divide em dois ângulos congruentes. No flexihexi pode-se obter diversas bissetrizes para cada uma das

figuras geométricas que definirmos no seu interior.

�� Simetria:

Hermann Wiyl define que em uma figura simétrica tudo que existe de um lado do eixo de simetria

também existe, idêntico, do outro lado. Há simetria em diversas figuras geométricas, algumas têm mais de

um eixo de simetria.

No flexihexi, em cada triângulo eqüilátero existem três retas (as bissetrizes dos ângulos internos

que coincidem com as mediatrizes dos lados), que são os eixos de simetria. O mesmo se dá no trapézio

isósceles, onde encontramos os três eixos de simetria (conforme desenho).


�� Área: é a medida de uma superfície. Pode-se calcular área do triângulo eqüilátero, do paralelogramo, do

hexágono regular e do trapézio.

Área do triângulo eqüilátero : 4

32l

Área do paralelogramo: hb ⋅

Área do hexágono regular: 4

36

2l⋅

Área do trapézio: 2

)( hbB ⋅+

�� Frações: Na linguagem comum, fração significa parte. Na matemática, deve-se ter um todo que será

dividido em partes iguais, das quais uma ou mais são consideradas. A fração representa então, a

quantidade do todo que foi considerado. Por exemplo, no flexihexi, temos 10 triângulos, tomando três deles,

a fração será igual a 3/10, onde o 10 é denominador (indica quantas partes do todo foi dividida) e o 3 é o

divisor (indica quantas partes foram consideradas).

�� Quadriláteros

Sejam A,B,C,D pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos

CDBCAB ,, e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um

quadrilátero.

Todo quadrilátero convexo tem duas diagonais, soma dos ângulos internos e externos igual a 360°.

Quadriláteros notáveis: são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os

quadrados. No flexihexi, encontramos alguns destes quadriláteros notáveis: trapézio, paralelogramo e

losango.


Trapézio: Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se, possui dois lados paralelos. ABCD

é trapézio ( CDAB // ou BCAD // ).

Paralelogramo: Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo, se e somente se possui os lados

opostos paralelos.

ABCD é paralelogramo CDAB // e BCCD // .

Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.

Losango: Um quadrilátero plano convexo é um losango se e somente se, possui os 4 lados congruentes.

ABCD é losango DACDBCAB === .


CALEIDOCICLO O caleidociclo é montado por uma malha na forma retangular com vários triângulos. Esse

material é muito útil para a apresentação de algumas figuras geométricas aos alunos, como retângulo,

triângulo e losango, bem como a exploração de suas características quanto a forma.

CONSTRUÇÃO DO CALEIDOCICLO Material: - Régua

- Esquadro

- Tesoura

- Lápis

- Borracha

- Cola

- Cartolina

Sobre a cartolina desenhe esta malha de triângulos:

Nesta construção a precisão é importante. Observe que, com exceção de alguns, os triângulos da malha

são isósceles, de base a, e altura relativa à base é a também. Os demais triângulos são retângulos, tendo

catetos iguais a a e 2a .

O valor de a depende do pedaço de cartolina disponível. Não convém, por razões práticas, fazer a menos

do que 4 cm.

Recorte segundo a linha de traço forte.

Nas linhas de traço fino você fará dobraduras.

Nas linhas verticais dobre o desenho para dentro

e nas inclinadas para fora.

Após as dobras, a parte hachurada do

desenho receberá cola, ficando, por isso,

dentro do caleidociclo. Cole A’ sobre A,

B’ sobre B e C’ sobre C.

Assim procedendo você obtém um conjunto de seis tetraedros em cadeia. Eles se ligam por uma aresta em

comum.

Agora forme um elo, articulando o primeiro tetraedro com o último. Cole D’ sobre D e E’ sobre E. Está pronto

o seu caleidociclo. Espere a cola secar antes.

a a a a a a a

2a

a

a


CONCEITOS MATEMÁTICOS QUE PODEM SER TRABALHADOS COM O CALEIDOCICLO �� Conceitos básicos de geometria

Aresta: segmento de reta que une duas faces.

Vértice: ponto de encontro das arestas.

Faces: cada uma das regiões poligonais que limitam o poliedro.

�� Ângulos: Ao se observar a malha do caleidociclo, percebe-se que há triângulos retângulos, os quais

possuem um ângulo de 90o e os outros dois ângulos menores que 90o e existem triângulos isósceles, que

possuem ângulos que medem menos que 90o. Além disso, pode-se observar que, na malha, a união de dois

triângulos isósceles forma um losango, o qual possui dois ângulos obtusos e dois ângulos agudos.

Definição de ângulo: chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas

numa mesma reta (não-colineares).

Classificação de ângulos:

�� Ângulo agudo – é o que mede menos de 90°.

�� Ângulo de uma volta - é o que mede 360°.

�� Ângulo obtuso: é o que mede mais de 90° e menos de 180°.

�� Ângulo raso – é aquele que mede 180°.

�� Ângulo reto – é aquele que mede 90°.

�� Triângulos:

Sejam três pontos não colineares A, B e C, a união dos segmentos BCAB, e CA chamamos de triângulo. Classificação dos triângulos quanto aos lados:

- Triângulo escaleno: possui os três lados diferentes.

- Triângulo isósceles: possui dois lados iguais.

- Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos:

- Triângulo retângulo: possui um ângulo reto, ou seja, de 90o.

- Triângulo Acutângulo: todos os ângulos medem menos que 90o.

- Triângulo Obtusângulo: possui um ângulo de mais de 90o.

Na construção da malha do caleidociclo há triângulos isósceles e acutângulos e também triângulos

retângulos e escalenos:

�� Tetraedro

Triângulo isósceles e acutângulo

Triângulo escaleno e retângulo


a

A B

C D

Tetraedro é uma pirâmide cuja base é um triângulo.

Tetraedro regular é uma pirâmide formada por triângulos eqüiláteros.

O caleidociclo é formado por seis tetraedros que são colados por uma aresta comum.

�� Quadriláteros

Sejam A,B,C,D pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos

CDBCAB ,, e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um

quadrilátero.

Todo quadrilátero convexo tem duas diagonais e a soma dos ângulos internos e externos é igual a

360°. Existem alguns quadriláteros chamados de notáveis. São eles: os trapézios, os paralelogramos, os

retângulos, os losangos e os quadrados. No caleidociclo, encontramos alguns destes quadriláteros

notáveis: retângulo e losango.

Retângulo: é um paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (retos).

ABCD é retângulo ⇔ Â ≡ B ≡ C ≡ D .

Losango: Um quadrilátero plano convexo é um losango se e somente se, possui os 4 lados congruentes.

ABCD é losango DACDBCAB === . �� Área

É a medida de uma superfície. Pode-se calcular área do triângulo, do retângulo, do hexágono e do

losango:

Área do triângulo: 2

hb ⋅

Área do retângulo: hb ⋅

Área do hexágono: 2

6hb ⋅⋅

Área do losango: 2

dD ⋅


CALEIDOSCÓPIO COM RÉGUA

Caleidoscópio é uma palavra formada dos termos gregos, kalós, que quer dizer belo; eidos, que

significa forma e skopein, cujo sentido é forma. Portanto, caleidoscópio é o objeto formado para ver belas

formas.

É originário da China, mas foi aperfeiçoado na Inglaterra no ano de 1816, período em que o físico

Isaac Newton desenvolvia suas experiências com prismas e a decomposição da luz.

O caleidoscópio produz com freqüência desenhos de singular beleza, que podem servir

perfeitamente de motivos ornamentais para tapeçaria, desenhos para tecidos, etc.

São reconhecidas suas propriedades cromo terapêuticas quando observados sistematicamente. Estimula

nos adultos e crianças a capacidade de abstração, percepção sensorio-motora e a inteligência espacial,

trazendo-lhes a paz e a tranqüilidade através da magia de suas infinitas cores. Experimentando assim,

através desse ponto de convergência, resultados semelhantes as demais práticas da meditação.

CONSTRUÇÃO DO CALEIDOSCÓPIO (Ver referências bibliográficas 5)

Material

• 3 (30cm) réguas de acrílico transparente

• Papel alumínio e filme plástico transparente

• Canudos coloridos cortados em pedacinhos, miçangas, vidrilhos ou pedacinhos de papel colorido

bem miudinhos.

Prefira os materiais transparentes.

• Cartolina, papel crepom colorido e adesivos para decoração.

• Tesoura, cola e durex.


CONCEITOS MATEMÁTICOS QUE PODEM SER TRABALHADOS COM O CALEIDOCICLO

�� Simetria

No caleidoscópio, as figuras formadas pelos espelhos, são todas simétricas, com pelo menos tr~es eixos de simetria. �� Prismas

São sólidos, ou poliedros, cujas bases são figuras planas congruentes e as faces laterais são

quadriláteros congruentes, de modo que as bases são sempre paralelas.

As primas formadas no caleidoscópio têm base triangular.

Área total do prisma: lb AA 32 + ou Hbhb

At ⋅+⋅= 32

2

Volume do prisma: hAb ⋅ ou Hhb

V ⋅⋅=2

�� Ângulo:

Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas numa mesma reta

(não-colineares).

Dependendo ao ângulo que os espelhos são colocados, irão se formar imagens diferentes.

TABELA DE ÂNGULOS DOS ESPELHOS

60 graus = 6 imagens e estrela de 3 pontas



30 graus= 12 imagens e estrela de 6 pontas

27,5 graus = 14 imagens e estrela de 7 pontas

22,5 graus= 16 imagens e estrela de 8 pontas

20 graus= 18 imagens e estrela de 9 pontas


16,8 graus = 22 imagens e estrela de 11 pontas



POLIEDROS DE PLATÃO

Na geometria plana, dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados são

congruentes e todos os seus ângulos são congruentes.

Daí, então, um poliedro convexo se diz regular se duas faces são regiões poligonais regulares,

todas com mesmo número de lados, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de

arestas.

Nesta condições, há somente cinco poliedros regulares, chamados de Poliedros de Platão. Platão

(428 ou 427 a.C. – 348 ou 347 a.C.), filósofo grego que era apaixonado por geometria, a tal ponto que

acima das portas de sua escola se lia: “Que ninguém que ignore a geometria entre aqui.”.

Chama-se poliedro de Platão todo poliedro que satisfaz as seguintes condições:

- todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas;

- de todos os vértices parte o mesmo número (m) de arestas;

- é euleriano, isto é, verifica a relação de Euler, ou seja, V – A + F = 2.

Os cinco poliedros de Platão são:

- o tetraedro (4 faces), o octaedro (8 faces) e o icosaedro (20 faces), cada um deles possuindo apenas

faces triangulares;

- o hexaedro (6 faces), que só possui faces quadradas;

- o dodecaedro (12 faces), que só possui faces pentagonais.

Então temos que:

Nome m n A V F Tetraedro 3 3 6 4 4 Hexaedro 3 4 12 8 6 Octaedro 4 3 12 6 8 Dodecaedro 3 5 30 20 12 Icosaedro 5 3 30 12 20

POLIEDROS DE PLATÃO REGULARES PLANIFICADOS Tetraedro Hexaedro


Ocatedro Dodecaedro Icosaedro


BIBLIOGRAFIA 1. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. 2. BIEMBENGUT, M. S. et al. Ornamentos X Criatividade: uma alternativa para ensinar

geometria plana. Blumenau: FURB, 1996. 3. DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. 2ª ed. São Paulo: Ática, 2000. 4. DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. 4ª ed.

São Paulo: Atual, 1985. 5. http://www.fabricadebrinquedos.com.br/caleidos.htm 6. http://www.cadernofeminino.com.br/andrea/caleidoscopio.htm 7. http://www.elbufon.com.br/Elbufon/historico.html 8. http://novaescola.abril.com.br/index.htm?ed/166_out03/html/faca

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