Matemtica Financeira aDepartamento de Matemtica - UFJF a Notas de aulas

Wilhelm Passarella Freire (Colaborao: Andr Arbex Hallack) ca e Maro/2009 c

Indice

1 Conceitos bsicos e simbologia a 1.1 1.2 1.3 1.4 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Tipos de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluxos de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 8 11 11 12 15 19 19 20 24 27 27 27 30 32 34 34

2 Juros simples 2.1 2.2 2.3 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Juros compostos 3.1 3.2 3.3 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Taxas de juros 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Juros simples - Taxas proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Juros compostos - Taxas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Taxa Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Taxa Bruta X Taxa L quida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Per odo de capitalizao fracionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a i

4.7

Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 37 38 41 42 45 46 47 48 51 52 57 57 58 60 63 63 68 71 71 72 74 77

5 Descontos 5.1 5.2 5.3 Desconto Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desconto Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Sries uniformes e 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Sries Postecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Sries Antecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie Perptua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Valor Presente L quido e Taxa Interna de Retorno 7.1 7.2 7.3 Valor Presente L quido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Taxa Interna de Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Planos equivalentes de nanciamento 8.1 8.2 Introduo e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Inao ca 9.1 9.2 9.3 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referncias e

Cap tulo 1 Conceitos bsicos e simbologia a1.1 Introduo ca

A MATEMATICA FINANCEIRA o ramo da Matemtica que estuda o comportamento e a do dinheiro no tempo. A operao bsica da Matemtica Financeira a operao de emprstimo: algum que ca a a e ca e e dispe de um CAPITAL (C), tambm chamado PRINCIPAL (P ) ou VALOR PREo e SENTE (V P ou P V ), empresta-o a outra pessoa por um certo per odo de tempo (dias, meses, anos, etc.). Aps esse per o odo, recebe seu capital de volta acrescido de uma remuneraao pelo c emprstimo chamada JUROS (J). e

A soma C + J chamada MONTANTE (M ) ou VALOR FUTURO (V F ou F V ). e JUROS a taxa de crescimento do capital, dita TAXA DE JUROS (i), e CAPITAL sempre referida ao per e odo da operao e indica a PORCENTAGEM do capital representada ca pelos juros. A razo a

1

2 Exemplo 1.1

CAP ITULO 1

Pedro pegou um emprstimo de R$ 100,00. Dois meses depois pagou R$ 140,00. e Calcule os juros e a taxa de juros pagos por Pedro.

E muito importante observar que Pedro e quem lhe emprestou o dinheiro concordaram que R$ 100,00 no in do bimestre em questo tm o mesmo valor que R$ 140,00 no nal daquele cio a e bimestre. Esse pensamento nos leva ` principal noo da matemtica nanceira: a ca a

O VALOR DE UMA QUANTIA DEPENDE ` DA EPOCA A QUAL ELA SE REFERE.No Exemplo 1.1, quantias diferentes (R$100,00 e R$140,00) referidas a pocas diferentes e tm o mesmo valor. e

So ERROS comuns em racioc a nios nanceiros : Achar que, por exemplo, R$ 140,00 valem sempre mais que R$ 100,00 : R$140,00 tm maior valor que R$100,00 se referidos ` mesma poca. Referidos a pocas e a e e diferentes, R$140,00 podem ter o mesmo valor que R$100,00 ou at mesmo valor inferior. e Achar que, por exemplo, R$100,00 tm sempre o mesmo valor : e R$100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui a um ano. Somar quantias referidas a pocas diferentes : e Pode no ser verdade, como veremos mais adiante, que comprar em 3 prestaes de R$21,00 a co seja melhor que comprar em 2 prestaes de R$32,00 , embora tenhamos que co 21 + 21 + 21 = 63 < 64 = 32 + 32 .

Conceitos bsicos e simbologia a

3

Capitalizao caDenomina-se CAPITALIZACAO ao processo que calcula o valor futuro a partir do valor presente adicionando-se a este os juros.

Exemplo 1.2 Suponha que voc aplique R$ 1.000,00 em um banco que paga 13,5% de juros ao ano. e Quanto voc ter ao nal de um ano? e a

1.2

Tipos de juros

Quando so considerados vrios (mais de um) per a a odos de tempo consecutivos, os juros podem ser calculados de duas maneiras diferentes. Por este motivo, os juros so geralmente a classicados em SIMPLES ou COMPOSTOS. JUROS SIMPLES: Os juros de cada per odo so calculados sempre em funo do a ca capital inicial.

Exemplo 1.3.a Evoluo de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao ano durante 4 anos: ca ano 1 2 3 4 in do ano cio 100,00 110,00 120,00 130,00 juros 10,00 10,00 10,00 10,00 m do ano 110,00 120,00 130,00 140,00

4

CAP ITULO 1

JUROS COMPOSTOS: Os juros de cada per odo so calculados sempre em funo a ca do saldo existente no in do per cio odo correspondente.

Exemplo 1.3.b Evoluo de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano durante 4 anos: ca ano 1 2 3 4 in do ano cio 100,00 110,00 121,00 133,10 juros 10,00 11,00 12,10 13,31 m do ano 110,00 121,00 133,10 146,41

1.3

Fluxos de Caixa

Diagrama de Fluxo de CaixaO Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) a representao grca das operaes nanceiras e ca a co em uma linha de tempo crescente a partir da data inicial da operao. ca Representa-se as entradas de capital por setas verticais apontadas para cima e as sa das de capital por setas verticais apontadas para baixo.

Exemplo 1.4 Uma aplicao nanceira de R$ 1.000,00 realizada pelo prazo de 4 meses permitiu resgatar ca R$ 1.080,00. Pede-se desenhar o DFC.

Exemplo 1.5 Represente o DFC das seguintes operaes nanceiras: co a) Um investidor aplicou R$ 30.000,00 e recebeu 3 parcelas trimestrais de R$ 18.000,00, sendo a 1a aps 6 meses da aplicao. o ca

Conceitos bsicos e simbologia a

5

b) Uma pessoa, durante um ano, fez depsitos de R$ 10.000,00 em caderneta de poupana, o c sempre no in de cada ms, que renderam, ao nal de um ano R$ 200.000,00. cio e

c) Uma pessoa, durante 6 meses, fez depsitos de R$ 2.500,00 uma caderneta de poupana, o c sempre no in de cada ms. Nos 3 meses que se seguiram, cou sem o emprego e foi obrigada cio e a fazer saques de R$ 6.000,00 tambm no in de cada ms, tendo zerado seu saldo. e cio e

Valor Presente e Taxa de DescontoQuando calculamos valor futuro, estamos respondendo a perguntas do tipo: quanto teremos daqui a 10 anos se investirmos R$ 1.000,00 hoje a uma taxa de juros de 8% ao ano? Entretanto, vamos supor que desejamos saber quanto devemos investir hoje a m de alcanarmos um certo objetivo em uma data futura. c Por exemplo, se precisamos de R$ 12.000,00 para uma viagem daqui a 2 anos, quanto precisamos aplicar agora? Para responder a este tipo de pergunta preciso calcular o valor e presente de um determinado montante. O valor presente de um uxo de caixa o valor monetrio na data zero da escala de tempo e a igual ` soma dos capitais futuros quando calculados na data zero com uma certa taxa de juros. a

Calcular valores presente chama-se DESCONTAR e o oposto de calcular valores futuros. e Dizemos que os capitais futuros foram descontados para o ponto zero e a taxa de juros utilizada denominada taxa de desconto. e O desconto em Finanas muito diferente do desconto no varejo. No varejo, signica c e reduzir o preo a m de vender mais mercadorias e em Finanas signica calcular o valor c c presente de uma ou mais quantias futuras de dinheiro.

6 Exemplo 1.6

CAP ITULO 1

Determinar o valor presente do uxo de caixa abaixo, criado considerando-se uma taxa de juros de 10% ao ano (juros compostos) 100 0 50 1 30 2

Equivalncia de Fluxos de Caixa (a juros compostos) eDois ou mais uxos de caixa so ditos EQUIVALENTES, a uma determinada taxa de juros a (compostos), se seus valores presentes (VP), calculados com essa mesma taxa, so iguais. a A equivalncia de uxos de caixa depende, necessariamente, da taxa de juros utilizada para e descontar os capitais futuros. Assim, se dois ou mais uxos de caixa forem equivalentes a uma certa taxa de juros, podero a deixar de ser se a taxa for alterada. Se os uxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada taxa de juros, ento seus valores futuros (VF) aps n per a o odos, calculados com essa taxa, sero iguais. a Logo, a equivalncia de uxos de caixa no precisa ser analisada obrigatoriamente no ponto e a zero, podendo ser vericada no nal de qualquer per odo n, desde que n seja o mesmo para todos os uxos de caixa.

Conceitos bsicos e simbologia a Exemplo 1.7

7

Uma loja oferece duas opes para a compra de uma TV cujo preo R$ 1.000,00: co c e 1) ` vista com desconto de 10%. a 2) em duas prestaes iguais de R$ 500,00 sendo a primeira no ato da compra e a segunda co 30 dias aps a compra. o Se uma determinada aplicao nanceira remunera o capital aplicado com uma taxa de ca 25% ao ms, determine qual a melhor opo para o pagamento. e ca

Exemplo 1.8 Resolva o Exemplo 1.7 considerando as seguintes taxas : a) 20% am

8 b) 30% am

CAP ITULO 1

Obs.: Nos cap tulos seguintes escreveremos am para indicar ao ms, ab para indicar ao e bimestre, at para indicar ao trimestre, as para indicar ao semestre, aa para indicar ao ano, etc. Assim, 10% am signica 10% ao ms, 25% aa signica 25% ao ano, etc. e

1.4

Exerc cios

1.1) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em um banco que remunera seus depsitos com o uma taxa de 5% am, no regime de juros simples. Mostre o crescimento desse capital nos prximos 3 meses e calcule o montante a ser resgatado no nal do 3o ms. o e 1.2) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em um banco que remunera seus depsitos com o uma taxa de 5% am, no regime de juros compostos. Mostre o crescimento desse capital nos prximos 3 meses e calcule o montante a ser resgatado no nal do 3o ms. o e 1.3) Preciso de R$ 12.000,00 para uma viagem daqui a 2 anos. Se uma determinada aplicao nanceira remunera a uma taxa de 7% as (juros compostos), qual a quantia m ca nima que devo aplicar hoje para que possa resgatar os R$ 12.000,00 que necessito daqui a 2 anos ? 1.4) Voc quer comprar um carro novo e recebe as seguintes ofertas do vendedor para e quitar o negcio em 2 anos: o a) Uma entrada e mais duas parcelas anuais de R$ 21.000,00. b) Duas parcelas anuais de R$ 32.000,00, a primeira delas daqui a 1 ano (sem entrada). Se voc tem a garantia de que consegue o rendimento de 15% aa em aplicaes nanceiras e co (juros compostos), qual a melhor forma de pagamento ? Quanto dinheiro voc precisa ter hoje para poder cumprir com o pagamento do melhor e (para voc) dos planos acima ? e

Conceitos bsicos e simbologia a

9

Respostas1.1) ms e 1 2 3 1.2) ms e 1 2 3 1.3) R$ 9154,75 1.4) A segunda forma de pagamento (letra b) a melhor, pois daqui a 2 anos (por exemplo) e ter amos: V Fa = R$ 72.922,50 e V Fb = R$ 68.800,00. in do ms cio e 1.000,00 1.050,00 1.102,50 juros 50,00 52,50 55,12 m do ms e 1.050,00 1.102,50 1.157,62 in do ms cio e 1.000,00 1.050,00 1.100,00 juros 50,00 50,00 50,00 m do ms e 1.050,00 1.100,00 1.150,00

Precisaria de R$ 52.022,69 hoje.

10

CAP ITULO 1

Cap tulo 2 Juros simples2.1 Conceitos bsicos a

No regime de JUROS SIMPLES, os juros de cada per odo so calculados aplicando-se a a taxa de juros sempre sobre o capital inicial, produzindo o mesmo valor dos juros em todos os per odos.

Evoluo de um capital P ` taxa i aps n per ca a o odosper odo 1 2 3 . . . n in cio P P + Pi P + 2P i . . . P + (n 1)P i juros Pi Pi Pi . . . Pi m P + P i = P (1 + i) P + 2P i = P (1 + 2i) P + 3i = P (1 + 3i) . . . P + nP i = P (1 + ni)

Aps n per o odos de capitalizao no regime de juros simples, os JUROS so dados por ca a J = nP i

e o MONTANTE (ou VALOR FUTURO) por M = P + J = P + nP i = P (1 + ni)

11

12

CAP ITULO 2

2.2

Exemplos

Exemplo 2.1 Um capital de R$ 2.000,00 cou aplicado ` 2% am no regime de juros simples, por 24 meses. a Calcule o montante acumulado.

Exemplo 2.2 Qual o principal necessrio para se obter um montante de R$ 10.000,00 daqui a 6 meses a a uma taxa de de 12% am no regime de juros simples ?

Exemplo 2.3 Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 2% am ?

Juros simples Exemplo 2.4

13

Qual a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 1.000,00 se transformar em um montante de R$ 1.500,00 em 20 meses ?

Exemplo 2.5 Um equipamento de som vendido ` vista por R$ 10.000,00 ou por R$ 2.000,00 de entrada e a e R$ 8.800,00 aps 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja ? o

14 Exemplo 2.6

CAP ITULO 2

A quantia de R$ 4.500,00 foi tomada como emprstimo a 4,9% am de juros simples, durante e 6 meses. Como ser paga a d a vida se : a) o capital e os juros forem pagos no nal do prazo ? b) os juros forem pagos no nal de cada ms e o capital for pago no nal do prazo ? e c) os juros forem pagos antecipadamente e o capital for pago no nal do prazo ? Neste caso, qual a taxa mensal realmente paga pelo devedor ?

Exemplo 2.7 Um capital de R$ 500,00 cou aplicado durante 1 ano a juros simples. Inicialmente foi aplicado a 1,6% am e, depois de um tempo, foi somado aos juros e o montante foi aplicado a 3% am, rendendo R$ 113,40 de juros. Por quanto tempo o capital cou aplicado a 1,6% am ?

Juros simples

15

2.3

Exerc cios

2.1) Determine os juros simples correspondentes a uma aplicao de R$ 25.000,00 a 16% ca as, durante 2 anos. 2.2) Um capital de R$ 3.000,00 foi colocado a 5,7% at durante 1 ano, 3 meses e 20 dias. Qual o montante obtido ? 2.3) Para garantir um emprstimo de R$ 5.000,00, Jos assina uma promissria no valor e e o de R$ 7.150,00 com vencimento em 300 dias. Qual a taxa mensal de juros simples que Jos e est pagando ? a 2.4) Qual a taxa mensal de juros simples necessria para um capital triplicar em 1 ano ? a 2.5) Durante quanto tempo (meses e dias) deve car aplicado um capital ` 11% am para a que os juros se igualem ao capital ? 2.6) Uma loja vende um televisor, cujo preo a vista R$ 1.100,00, com uma entrada de c e R$ 500,00 e mais 1 pagamento de R$ 744,00 em 60 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja ? 2.7) Voc deseja comprar uma calculadora cujo preo R$ 75,00. Pagando a vista, voc e c e e obtm 5% de desconto. Se quiser um prazo de 60 dias, o preo ser R$ 78,75. Determine se e c a e melhor pagar a vista ou em 60 dias. 2.8) Uma loja atacadista concede 5% de desconto em suas vendas a vista e cobra 15% de juros nas vendas com prazo de 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada por essa loja ? 2.9) Uma pessoa pegou um emprstimo de R$ 2.000,00 para, aps 8 meses, pagar o capital e o mais os juros simples de 4% am. Dois meses antes da data do pagamento da d vida, procurou o credor e props um pagamento imediato de R$ 1.480,00 mais R$ 1.076,00 dois meses depois. o Pergunta-se : a) quanto o devedor deveria pagar ao m dos 8 meses ? b) se o credor aceitar a proposta, ao pagar os R$ 1.480,00, quanto a pessoa car devendo ? a c) qual a taxa de juros paga sobre o saldo devedor ? 2.10) No ano passado emprestei R$ 3.000,00 a um amigo, que me prometeu pag-los aps a o 180 dias com juros simples de 2% am. Na data do pagamento, pediu-me mais R$ 2.000,00 emprestados, comprometendo-se a pag-los juntamente com o montante anterior, com juros a de 2,5% am, aps 60 dias, o que realmente cumpriu. Quanto meu amigo me pagou ? o

16

CAP ITULO 2

2.11) O preo de um fogo R$ 260,00 e a loja d 5% de desconto para pagamento a c a e a vista. O pagamento a prazo exige uma entrada de 40% e R$ 160,00 aps 60 dias. Um cliente o tem dinheiro para comprar o fogo a vista mas poder compr-lo a prazo e aplicar o restante a a a a 4% am. Qual a melhor opo para esse cliente ? ca 2.12) Apliquei R$ 20.000,00 a 2,5% am no banco A e R$ 18.000,00 a 3% no banco B. Depois de quanto tempo os 2 montantes sero iguais ? a 2.13) Apliquei a tera parte do meu capital em letras de cmbio, que renderam 28% em c a um ano. O restante apliquei em caderneta de poupana que rendeu 31% no mesmo per c odo. Meu capital aumentou em R$ 27.000,00. Qual o capital inicialmente aplicado e quanto foi aplicado em cada investimento ? 2.14) A nanceira A empresta a juros simples de 10% am e cobra, no ato do emprstimo, e 4,5% do valor emprestado como taxa de servio. A nanceira B cobra juros de 12% am mas c somente 1,5% de taxa de servio, tambm no ato de emprstimo. c e e a) para emprstimos de 1 ms, quais as taxas realmente cobradas ? e e b) e para emprstimos de 6 meses ? e c) estabelea frmulas que do as taxas realmente cobradas pelas nanceiras em prazos de n c o a meses. d) para que prazo as taxas reais de ambas seriam iguais ? 2.15) Uma rma comprou a prazo um equipamento cujo preo a vista R$ 116.000,00. c e Pagou R$ 50.000,00 de entrada, R$ 40.000,00 aps 3 meses e saldou a d o vida com uma terceira parcela 6 meses aps a compra. Se a taxa de juros 3% am, qual o valor da terceira parcela ? o e (Considere os saldos devedores em cada pagamento)

Juros simples

17

Respostas2.1) R$ 16.000,00 2.2) R$ 3.893,00 2.3) 4,3% am 2.4) 16,6667% am 2.5) 9 meses e 3 dias 2.6) 12% am 2.7) Se a taxa do mercado for maior que 5,2632% am melhor comprar ` prazo. e a Caso contrrio, melhor comprar ` vista. a e a 2.8) 7,0175% am 2.9) a) R$ 2.640,00 2.10) R$ 5.628,00 2.11) Taxa da loja = 5,9441% am Melhor comprar ` vista. a 2.12) 4 anos e 2 meses 2.13) C=R$ 90.000,00 2.14) a) iA =15,1832% am b) iA =11,2565% am 45 + 100n c) iA = 955n d) 1 ms e 26 dias e 2.15) R$ 34.814,60 Letras de Cmbio=R$ 30.000,00 a iB =13,7056% am Poupana=R$ 60.000,00 c Taxa de mercado = 4% am b) R$ 1.000,00 c) 3,8% am

iB =12,4365% am 15 + 120n iB = 985n

18

CAP ITULO 2

Cap tulo 3 Juros compostos3.1 Conceitos bsicos a

No regime de JUROS COMPOSTOS, os juros de cada per odo so calculados aplicando-se a a taxa de juros sobre o saldo existente no in do per cio odo.

Evoluo de um capital P ` taxa i aps n per ca a o odosper odo 1 2 3 . . . n in cio P P (1 + i) P (1 + i)2 . . . P (1 + i)n1 juros Pi P (1 + i)i P (1 + i)2 i . . . P (1 + i)n1 i m P + P i = P (1 + i) P (1 + i) + P i(1 + i) = P (1 + i)2 P (1 + i)2 + P i(1 + i)2 = P (1 + i)3 . . . P (1 + i)n1 + P i(1 + i)n1 = P (1 + i)n

Aps n per o odos de capitalizao no regime de juros compostos, MONTANTE (ou VALOR ca FUTURO) dado por e M = P (1 + i)n

e os JUROS so dados por a J = M P = P [(1 + i)n 1]

19

20

CAP ITULO 3

3.2

Exemplos

Exemplo 3.1 Calcule o montante produzido por um capital de R$ 250.000,00 que cou aplicado durante 1 ano e 2 meses ` taxa 7,5% am no regime de juros compostos. a

Exemplo 3.2 Qual o capital que aplicado a 8,2% am durante 6 meses no regime de juros compostos produz um montante de R$ 200.000,00 ?

Exemplo 3.3 Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em t tulos que lhe proporcionaram um resgate de R$ 397.535,00 aps 90 dias. A que taxa mensal de juros compostos estava aplicado o capital ? o

Juros compostos Exemplo 3.4

21

Em quanto tempo um capital de R$ 15.000,00 atinge o montante de R$ 15.916,30 se for aplicado ` taxa 0,7% am de juros compostos ? a

Exemplo 3.5 Pedro tem 2 opes de pagamento para a compra de um eletrodomstico : 3 prestaes co e co a mensais de R$ 50,00 ou 5 prestaes mensais de R$ 31,00. Em qualquer caso a 1 prestao co ca e paga no ato da compra. Se Pedro pode aplicar seu dinheiro a 5% am (juros compostos), qual a melhor opo de compra ? ca

22 Exemplo 3.6

CAP ITULO 3

O Sr. Fumanchu contraiu um emprstimo de R$ 9.000,00 para ser pago em 2 prestaoes e c a a com vencimentos 3 e 5 meses depois. Se a 2 prestao o dobro da 1 e os juros so de 2% ca e a am, determine o valor das prestaes. co

Exemplo 3.7 Certa loja oferece a seus clientes 2 formas de pagamento : a) pagamento unico 1 ms aps a compra e o b) 3 prestaes mensais iguais sendo a 1a no ato da compra co Se voc fosse cliente dessa loja, qual seria sua opo ? e ca

Juros compostos Exemplo 3.8

23

Regina tem 2 opces para o pagamento de um vestido : o ` vista com x% de desconto a) A b) em 2 prestaes mensais iguais sem juros, vencendo a 1a um ms aps a compra. co e o Supondo que Regina pode aplicar seu dinheiro a 5% am, para que valores de x ela preferir a a a 1 alternativa ?

24

CAP ITULO 3

3.3

Exerc cios

3.1) Determinar o montante acumulado em 6 trimestres, com taxa de 1,2% am, a partir de um principal de R$ 10.000,00. 3.2) Qual principal deve ser aplicado para produzir um montante de R$ 20.000,00, em um prazo de 2 anos, com taxa de 12% as ? 3.3) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 e, aps um ano, recebeu R$ 11.200,00. Determinar o a taxa de rentabilidade mensal dessa aplicao. ca 3.4) Determinar o nmero de meses necessrios para triplicar um capital aplicado a uma u a taxa de 1% am. 3.5) Em quanto tempo um capital dobra se for aplicado ` 10% am : a a) em regime de juros compostos ? b) em regime de juros simples ? 3.6) Apliquei uma quantia ` 4% am. Aps 5 meses, a taxa foi elevada para 12% am e meu a o capital cou aplicado por mais 3 meses, quando, ento, retirei o montante de R$ 170.930,97. a a) qual o capital inicial ? b) a que taxa mdia esse capital esteve aplicado ? e 3.7) Uma pessoa tomou emprestados R$ 10.000,00 obrigando-se a pag-los em 3 parcelas a a mensais iguais,com juros de 5% am. Qual o valor das parcelas se a 1 vencer a 90 dias do emprstimo ? e 3.8) Faltando 3 pagamentos mensais de R$ 50.400,00 para o trmino de um contrato, e o o devedor deseja liquid-lo na data em que deveria efetuar o 1 desses pagamentos. Quanto a dever pagar se a taxa de 3% am ? a e 3.9) Uma loja est anunciando uma geladeira por R$ 480,00 ` vista ou em 3 pagamentos a a o mensais e iguais a R$ 160,00, sendo o 1 no ato da compra. Considerando uma taxa de 6% am, qual o desconto que essa loja poderia dar para o pagamento ` vista ? a 3.10) Certo capital esteve aplicado por um ano da seguinte forma : nos 6 primeiros meses a 2% am, nos 3 meses seguintes a 2,5% am e nos 3 ultimos meses a 3% am. A que taxa anual esteve aplicado esse capital ? 3.11) Um banco empresta dinheiro a 3% am. No ato do emprstimo cam retidos 5% a e t tulo de seguro. Uma pessoa quer pegar um emprstimo para aplicar o capital ` 4,5% am. e a a) se o emprstimo for por 60 dias ser bom negcio ? Justique. e a o b) se o emprstimo for por 120 dias ser bom negcio ? Justique. e a o c) a partir de qual prazo comea a valer a pena essa operao ? c ca

Juros compostos

25

3.12) Uma empresa tem 2 pagamentos de R$ 150.000,00 para efetuar no m de 2 e 4 meses. Em vez disso, prope pagar em 3 parcelas iguais no m de 3,4 e 5 meses. Calcule o o valor dessas parcelas considerando a taxa de 3,8% am. 3.13) Um investidor deseja fazer uma aplicao ` taxa de 1,5% am para garantir uma ca a retirada de R$ 10.000,00 ao nal de 6 meses e outra de R$ 20.000,00 ao nal de 12 meses. Calcule o menor valor a ser aplicado ? 3.14) Uma empresa deseja pagar uma nota promissria de R$ 10.000,00 vencida h 3 meses o a e antecipar o pagamento de outra de R$ 50.000,00 a vencer daqui a 5 meses. Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essa notas promissrias o considerando a taxa de 1,2% am. 3.15) Uma empresa contraiu um emprstimo ` taxa de 1,2% am para liquid-lo em um e a a ano, com 2 pagamentos semestrais iguais de R$ 100.000,00. Esse emprstimo, entretanto, pode e ser quitado com um unico pagamento de R$ 197.755,00. Determinar no nal de que ms deve e ser feito esse pagamento. 3.16) Um banco realiza suas operaes de nanciamento cobrando uma taxa (efetiva) de co 12% am em 2 parcelas, da seguinte forma : (i) uma parcela antecipada no ato do nanciamento. (ii) 8% am cobrados no nal do prazo. Determine a parcela a ser cobrada antecipadamente para um nanciamento que ser liquidado a 6 meses aps a liberao dos recursos. o ca

26

CAP ITULO 3

Respostas3.1) R$ 12.395,08 3.2) R$ 12.710,36 3.3) i=0,9489% am 3.4) 110 meses e 13 dias 3.5) a) 7 meses e 9 dias 3.6) P=100.000,00 3.7) R$ 4.048,47 3.8) R$ 146.838,87 3.9) 5,5536% 3.10) 32,5209% aa 3.11) a) mau negcio o 3.12) R$ 103.824,06 3.13) R$ 25.873,17 3.14) R$ 57.469,38 3.15) 8 meses 3.16) 19,6% b) bom negcio o c) 3 meses e 17 dias b) 10 meses i=6,9307% am

Cap tulo 4 Taxas de juros4.1 Introduo ca

At agora temos trabalhado com taxas de juros cuja unidade de tempo coincide com a e unidade de tempo dos per odos de capitalizao. ca Essas so chamadas TAXAS EFETIVAS de juros. Por exemplo: 2% ao ms capitalizaa e dos mensalmente, 3% ao trimestre capitalizados trimestralmente, 10% ao ano capitalizados anualmente, etc. Nesses casos, costuma-se simplesmente dizer 2% ao ms, 3% ao trimestre, 10% ao ano, etc. e Iniciaremos este cap tulo relacionando taxas efetivas com unidades de tempo diferentes. So a as taxas proporcionais (no regime de juros simples) e as taxas equivalentes (juros compostos). Veremos ento as TAXAS NOMINAIS (cujas unidades de tempo no coincidem com as a a unidades de tempo dos per odos de capitalizao) em contraposio `s taxas efetivas. ca ca a Encerraremos o cap tulo estudando per odos de capitalizao fracionrios. ca a

4.2

Juros simples - Taxas proporcionais

TAXAS PROPORCIONAIS so taxas de juros com unidades de tempo diferentes que, aplia cadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros simples.

O exemplo a seguir ilustra bem a situao, exibindo 3 taxas de juros que se mostram ca proporcionais.

27

28 Exemplo 4.1

CAP ITULO 4

Determinar os montantes acumulados no nal de n anos, a partir de um principal de P, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: a) 12% aa b) 6% as c) 1% am

Relao entre taxas proporcionais caSejam ia = taxa de juros anual is = taxa de juros semestral it = taxa de juros trimestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diria a

Vamos deduzir inicialmente a relao entre as taxas proporcionais mensal e anual. ca Suponhamos um principal P aplicado por 1 ano ` taxa ia e por 12 meses ` taxa im . Da a a denio de taxas proporcionais temos ca P (1 + ia ) = P (1 + 12im ) 1 + ia = 1 + 12im Portanto ia = 12im Analogamente, obtemos ia = 2is = 4it = 12im = 360id

Taxas de juros Exemplo 4.2 Determinar as taxas semestral, mensal e diria proporcionais a 24% aa. a

29

Exemplo 4.3 Um cliente de um certo banco utilizou R$ 1.000,00 do cheque especial por 17 dias. Sendo a taxa de juros do cheque especial de 7,55% am, calcule os juros pagos pelo cliente.

30

CAP ITULO 4

4.3

Juros compostos - Taxas equivalentes

TAXAS EQUIVALENTES so taxas de juros com unidades de tempo diferentes que, aplia cadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros compostos.

Exemplo 4.4 Determinar os montantes acumulados ao nal de n anos, a partir de um principal P, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros: a) 12,6825% aa b) 6,15202% as c) 1% am

Relao entre taxas equivalentes caSejam, como antes, ia = taxa de juros anual, is = taxa de juros semestral, etc. Vamos deduzir inicialmente a relao entre as taxas equivalentes mensal e anual: ca Suponhamos um principal P aplicado por 1 ano ` taxa ia e por 12 meses ` taxa im . Da a a denio de taxas equivalentes temos ca P (1 + ia ) = P (1 + im )12 Portanto 1 + ia = (1 + im )12 Analogamente, obtemos 1 + ia = (1 + is )2 = (1 + it )4 = (1 + im )12 = (1 + id )360

Taxas de juros Exemplo 4.5 Determinar as taxas semestral e anual equivalentes a 3% at.

31

Exemplo 4.6 Resolva o exemplo 4.3 no regime de juros compostos.

32

CAP ITULO 4

Obs.: Comparao entre taxas anuais proporcionais e equivalentes caTaxa Efetiva Mensal Taxa Anual Proporcional 1% 12% 3% 36% 5% 60% 7% 84% 10% 120% 12% 144% 15% 180% 20% 240% Taxa Anual Equivalente 12,68% 42,58% 79,59% 125,22% 213,84% 289,60% 435,03% 791,61%

4.4

Taxa Nominal

TAXA NOMINAL a taxa de juros cuja unidade de tempo no coincide com a unidade de e a tempo dos per odos de capitalizao. ca A taxa nominal geralmente fornecida em termos anuais. e So exemplos de taxas nominais : 12% aa capitalizados mensalmente, 24% aa capitalizados a trimestralmente, 18% aa capitalizados diariamente, etc. A taxa nominal bastante utilizada no mercado e no representa uma taxa efetiva. Por e a isso devemos ter cuidado nos clculos dos juros compostos que envolvem taxas nominais. a

Toda taxa nominal traz uma taxa efetiva impl cita, que a taxa de juros a ser aplicada em e cada per odo de capitalizao no regime de juros compostos. ca Nos exemplos acima as taxas efetivas impl citas so calculadas do seguinte modo: a 12% aa capitalizados mensalmente = 12%aa = 1% am (taxa efetiva impl cita) 12 meses 24%aa = 6% at (taxa efetiva impl cita) 4 trimestres

24% aa capitalizados trimestralmente =

18% aa capitalizados diariamente =

18%aa = 0,05% ad (taxa efetiva impl cita) 360 dias

Taxas de juros Exemplo 4.7

33

Vernica pegou um emprstimo com taxa de 6% aa com capitalizao mensal. Qual a taxa o e ca de juros anual que Vernica est pagando por esse um emprstimo ? o a e

Exemplo 4.8 Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 9% aa com os seguintes per odos de capitalizao : ca a) mensal b) trimestral c) semestral

34

CAP ITULO 4

4.5

Taxa Bruta X Taxa L quida

Chama-se taxa bruta de uma aplicao nanceira a taxa de juros obtida considerando-se ca o valor da aplicao nanceira e o valor de resgate sem o desconto do imposto de renda. ca Quando o desconto do imposto de renda considerado, a taxa denominada taxa l e e quida.

4.6

Per odo de capitalizao fracionrio ca a

Em regime de juros compostos, quando o per odo fracionrio, h trs modos de se calcular e a a e os juros de uma operao nanceira. ca Tais possibilidades so convenes que dependem do tipo de operao. a co ca

Conveno dos per ca odos inteirosS sero calculados os juros dos per o a odos inteiros, no havendo remunerao na parte a ca fracionria. a Exemplo 4.9 Um poupador aplica R$ 1.000,00 em caderneta de poupana a 10% am e retira o dinheiro c 8 meses e 15 dias depois. Qual o montante retirado ?

Conveno Exponencial caRemunera-se o capital considerando todo o per odo (inteiro e fracionrio). a Exemplo 4.10 Resolva o exemplo 4.9 utilizando a conveno exponencial. ca

Taxas de juros

35

Conveno Linear caNa parte inteira do per odo, o capital remunerado a juros compostos. Obtido o montante e correspondente ` parte inteira, calcula-se os juros simples que esse montante rende na parte a fracionria. O montante nal a soma dessas parcelas. a e Exemplo 4.11 Resolva o exemplo 4.9 aplicando conveno linear. ca

Obs.: H casos em que juros simples rendem mais que juros compostos. a Podemos vericar esse fato atravs dos exemplos 4.3 e 4.6, 4.10 e 4.11 e Vemos que isso acontece quando o per odo de capitalizao menor que 1. ca e

4.7

Exerc cios

4.1) Determinar as taxas mensal e diria proporcionais a 3,6% at. a 4.2) Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes a 9% aa. 4.3) Determinar as taxas trimestral e anual equivalentes ` taxa nominal de 11,4% aa com a capitalizao mensal. ca 4.4) Uma aplicao de R$ 1.000,00 proporcionou uma retirada de R$ 1.025,56 aps 23 ca o dias. Calcule as taxas de juros diria e mensal dessa operao (juros compostos - conveno a ca ca exponencial). 4.5) Uma instituio nanceira remunera suas aplicaes com uma taxa de 1,2% ao ms, ca co e no regime de juros simples. Determinar os valores de resgate e as taxas efetivas mensais no regime de juros compostos de uma aplicao de R$ 10.000,00, nas seguintes hipteses para o ca o prazo de operao: (a) 10 dias e (b) 60 dias. ca

36

CAP ITULO 4

Respostas4.1) 1,2% am. e 0,04% ad. 4.2) 0,7207% am. e 2,1778% at. 4.3) 2,8772% at. e 12,0149% aa. 4.4) 0,1098% ad. e 3,3468% am. 4.5) (a) R$ 10.040,00 e 1,2048% am. ; (b) R$ 10.240,00 e 1,1929% am.

Cap tulo 5 DescontosChama-se t tulo de crdito o documento comprobatrio de uma d e o vida. Como exemplo de t tulos de crdito podemos citar a nota promissria, a duplicata, letras de cmbio, cheque, e o a aes, etc. co O valor declarado no t tulo, chamado valor nominal, valor de face ou valor de resgate corresponde ao valor que pode ser recebido pelo t tulo na data de seu vencimento. Alguns t tulos de crdito podem sofrer a operao de DESCONTO, que consiste em o e ca portador resgatar o t tulo antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data do vencimento. O valor antecipado recebido pelo portador chama-se valor atual e representa a diferena c entre o valor nominal e o desconto.

O desconto corresponde aos juros cobrados pela antecipao do pagamento. ca Existem dois tipos de desconto : o desconto comercial e o desconto racional. DESCONTO COMERCIAL: tambm chamado DESCONTO POR FORA, calcue e lado sobre o valor nominal do t tulo. DESCONTO RACIONAL: tambm chamado DESCONTO POR DENTRO, cale e culado sobre o valor atual do t tulo. E o desconto comercial que se utiliza nas instituies comerciais e bancrias, como o prprio co a o nome indica. Entretanto, s costume descontar t o e tulos quando o prazo que antecede seu vencimento curto pois, sendo o desconto comercial calculado sobre o valor nominal do t e tulo, se o prazo for longo, o portador poder receber um valor menor do que o investido no t a tulo.

37

38

CAP ITULO 5

5.1

Desconto Simples

Desconto Comercial SimplesSupondo que faltam n per odos para o vencimento de um t tulo de valor nominal N e que a instituio nanceira que vai descont-lo utiliza a taxa i de desconto comercial, temos : ca a

Dcs = N in O valor atual dado por : e Acs = N Dcs Exemplo 5.1 O portador de uma nota promissria de R$ 60.000,00 procurou uma agncia bancria 60 o e a dias antes do vencimento a m de resgat-la. O banco fez o desconto comercial com taxa de a 8% am. Calcule o valor do desconto e a quantia recebida pelo portador.

Exemplo 5.2 Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de cmbio com vencimento para 180 dias e a renda xada em 5% am a juros simples. a) Calcule o valor nominal do t tulo. b) Se o t tulo for descontado 150 dias antes do vencimento quanto o investidor receber a por ele se o desconto for comercial com taxa de 5% am ?

Descontos Exemplo 5.3

39

Um t tulo de R$ 10.000,00 vai ser descontado 8 meses antes do vencimento em um banco que utiliza desconto comercial com taxa de 13% am. E poss efetuar esse desconto ? vel

Exemplo 5.4 Determine o prazo mximo de antecipao para que seja poss efetuar o desconto coa ca vel mercial com taxa i.

Desconto Racional SimplesSupondo que faltam n per odos para o vencimento de um t tulo de valor nominal N , que a instituio nanceira que vai descont-lo utiliza a taxa i de desconto racional e que seu valor ca a atual Ars temos : e Drs = Ars in (*)

Na prtica no poss calcular o desconto racional com essa expresso pois para calcular a a e vel a o valor atual Ars preciso calcular o desconto. Mas e Ars = N Drs

40 Substituindo essa expresso em (*) obtemos a

CAP ITULO 5

Drs = (N Drs )in = Drs = N in Drs in = Drs (1 + in) = N in Portanto Drs = N in 1 + in

Agora, podemos calcular o valor atual : N in N = Ars = 1 + in 1 + in

Ars = N

Exemplo 5.5 Calcule o valor recebido pelo investidor do Exemplo 5.2 se o desconto for racional com taxa de 5% am.

Exemplo 5.6 Resolva o Exemplo 5.3 utilizando desconto racional

Descontos

41

5.2

Desconto Composto

Desconto Comercial CompostoSuponhamos que um t tulo de valor nominal N vai ser descontado comercialmente n per odos antes do vencimento com taxa i :

D1 = N i D2 = A1 i = N (1 i)i D3 = A2 i = N (1 i)2 i Aps n per o odos

= = =

A1 = N D1 = N N i = N (1 i) A2 = A1 D2 = N (1 i) N (1 i)i = N (1 i)2 A3 = A2 D3 = N (1 i)2 N (1 i)2 i = N (1 i)3

Acc = N (1 i)n

e

Dcc = N Acc

Desconto Racional CompostoSuponhamos que um t tulo de valor nominal N vai ser descontado racionalmente n per odos antes do vencimento com taxa i :

D1 = A1 i e A1 = N D1 D2 = A2 i e A2 = A1 D2 D3 = A3 i e A3 = A2 D3 Aps n per o odos Arc =

= = =

D1 = D2 = D3 =

Ni 1+i Ni (1 + i)2 Ni (1 + i)3

= = =

A1 = A2 = A3 =

N 1+i N (1 + i)2 N (1 + i)3

N (1 + i)n

e

Drc = N Arc

42 Observaes: co

CAP ITULO 5

1. Ao realizar uma operao de desconto, algumas vezes a instituio inclui despesas adica ca cionais, denominadas despesas administrativas, calculadas sobre o valor nominal. Neste caso, o desconto chamado desconto bancrio e pode ser tratado como um desconto comercial, e a adicionando uma parcela correspondente `s despesas administrativas na taxa de desconto. a 2. O desconto comercial simples (desconto simples por fora) amplamente utilizado no e Brasil, enquanto que o desconto racional simples (desconto simples por dentro) praticamente inexiste. Por outro lado, o desconto comercial composto (desconto composto por fora) no a possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilizao prtica conhecida. Quanto ao desconto ca a racional composto (desconto composto por dentro), podemos dizer que ele nada mais do e que a operao inversa da capitalizao no regime de juros compostos. ca ca

5.3

Exerc cios

5.1) Uma pessoa aplicou R$ 100.000,00 em Letras de Cmbio que lhe proporcionariam a uma renda de 36% aps um ano. Entretanto, 10 meses aps a aplicao a pessoa resolveu o o ca resgatar as letras com desconto comercial de 3% am. a) Quanto recebeu pelas letras ? b) A que taxa de juros compostos esteve empregado seu capital durante os 10 meses ? c) Qual seria a taxa mensal obtida se as letras fossem resgatas em seu vencimento ? 5.2) Joo possui um t a tulo de R$ 60.000,00 com vencimento para daqui a 4 meses. Um empresrio amigo de Joo, necessitando de dinheiro, prope que Joo desconte o t a a o a tulo comercialmente com taxa de 3% am e lhe empreste o dinheiro pelo mesmo prazo. Qual deve ser a taxa m nima cobrada pelo emprstimo para que Joo no tenha preju ? e a a zo 5.3) Um banco descontou uma nota promissria de R$ 50.000,00 para um cliente 90 dias o antes do vencimento e depositou R$ 45.000,00 em sua conta corrente. E costume do banco cobrar, por esse servio, uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do t c tulo. Qual a taxa de desconto comercial cobrada pelo banco ? 5.4) Uma empresa, necessitando de dinheiro, possui 2 alternativas : a) Descontar um t tulo de R$ 10.000,00 que vence daqui a 5 meses com taxa de 2,5% am. (desconto comercial simples) b) Pegar um emprstimo de R$ 8.750,00 pelo mesmo per e odo pagando 2,7066% am. (juros compostos) Qual a melhor alternativa para a empresa ?

Descontos

43

Respostas5.1) (a) R$ 127.840,00 ; (b) 2,4865% am. ; (c) 2,5955% am. 5.2) 13,6364% em 4 meses 5.3) 3,2% am. 5.4) Tanto faz !

44

CAP ITULO 5

Cap tulo 6 Sries uniformes e Uma SERIE UNIFORME um conjunto de capitais de mesmo valor que ocorrem em ine tervalos de tempo iguais.

Nas sries uniformes a distribuio dos capitais pode ser de dois tipos : e ca Capitais Postecipados : os capitais ocorrem no nal de cada per odo.

Capitais Antecipados : os capitais ocorrem no in de cada per cio odo.

45

46

CAP ITULO 6

6.1

Sries Postecipadas e

Valor Presente de uma Srie Postecipada (V Pp ) eRp Rp Rp + + ... + 1 + i (1 + i)2 (1 + i)n Rp Rp + ... + (1 + i) (1 + i)n1

V Pp =

... (1)

V Pp (1 + i) = Rp + Fazendo (2)-(1), temos

... (2)

V Pp (1 + i) V Pp = Rp

Rp = V Pp i = Rp [1 (1 + i)n ] n (1 + i) 1 (1 + i)n i

V P p = Rp

Valor Futuro de uma Srie Postecipada (V Fp ) eUma vez determinado o valor presente V P p = Rp 1 (1 + i)n i

o valor futuro de uma srie postecipada pode ser calculado por e V Fp = V Pp (1 + i)n Portanto V Fp = Rp (1 + i)n 1 i

Sries uniformes e

47

6.2

Sries Antecipadas e

Valor Presente de uma Srie Antecipada (V Pa ) ePara obtermos o valor presente de uma srie antecipada basta observarmos que e Rp = Ra (1 + i) Substituindo essa relao na expresso do valor presente para sries postecipadas obtemos ca a e 1 (1 + i)n i

V Pa = Ra (1 + i)

Valor Futuro de uma Srie Antecipada (V Fa ) eUma vez determinado o valor presente de uma srie antecipada e 1 (1 + i)n V Pa = Ra (1 + i) i o valor futuro pode ser calculado por V Fa = V Pa (1 + i)n Portanto (1 + i)n 1 i

V Fa = Ra (1 + i)

48

CAP ITULO 6

6.3

Exemplos

Exemplo 6.1 Um banco nancia a venda de equipamentos em um prazo de 2 anos com taxa de 3% at. Determine o valor das prestaes trimestrais de um equipamento cujo preo ` vista R$ 20.000,00. co c a e

Exemplo 6.2 O preo ` vista de um produto R$ 11.400,00. Uma loja o est anunciando por R$ 1.400,00 c a e a de entrada e mais 4 prestaes mensais de R$ 2.580,00. Determinar a taxa de juros mensal co cobrada pela parte nanciada.

Sries uniformes e Exemplo 6.3

49

Um nanciamento de R$ 1.000,00 deve ser amortizado em 5 prestaes mensais iguais. co Sabendo-se que a taxa de juros 1% am, determinar o valor das prestaes nas seguintes e co hipteses : o ca e o ca a) Pagamento da 1a prestao 1 ms aps a liberao dos recursos. a b) Pagamento da 1 prestao no ato da liberao dos recursos. ca ca

Exemplo 6.4 Em certa loja de eletrodomsticos, as vendas de dezembro podem ser quitadas com o 1o e pagamento em abril. A taxa de juros cobrada de 1,5% am. Um cliente realizou em dezembro e compras no valor de R$ 1.000,00 e pagou em 4 prestaes mensais iguais. Determinar o valor co das prestaes nas seguintes hipteses : co o a a) Pagamento da 1 prestao em janeiro. ca a b) Pagamento da 1 prestao em abril. ca

50 Exemplo 6.5

CAP ITULO 6

Uma instituio nanceira remunera seus depsitos a 1,5% am. Um investidor efetua 6 ca o depsitos mensais iguais a R$ 800,00, ocorrendo o 1o depsito no nal de janeiro e o ultimo no o o nal de junho. determinar os saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano : a) Final de junho, aps o depsito do ms. o o e b) Final de setembro.

Exemplo 6.6 Um banco remunera seus depsitos a 1% am. Um investidor efetua 6 depsitos mensais o o o e iguais sendo o 1 no nal de janeiro e o ultimo no nal de junho. Determinar o valor dos depsitos que produzem R$ 5.000,00 no nal de dezembro. o

Sries uniformes e

51

6.4

Srie Perptua e e

Existem situaes em que o nmero de capitais de uma srie uniforme tende a innito, co u e constituindo o que chamamos de SERIE PERPETUA. Para obtermos o valor presente de uma srie perptua basta fazermos n nas frmulas e e o que fornecem o valor presente das sries uniformes. e Assim, para uma srie postecipada e

V P = lim Rn

R 1 (1 + i)n = i i

Se a srie for antecipada e

V P = lim R(1 + i)n

1 (1 + i)n 1+i = R i i

Exemplo 6.7 As aes preferenciais de uma determinada empresa pagam dividendos anuais de R$ 5,00 co por ao. Determinar o valor da ao preferencial desta empresa sabendo que a taxa de juros ca ca utilizada no mercado de 8% aa. e

52

CAP ITULO 6

6.5

Exerc cios

6.1) Um emprstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago em 12 prestaes mensais iguais. Dee co terminar o valor das prestaes se a taxa de juros cobrada 12% aa, capitalizados mensalmente, co e a ca o ca e a 1 prestao ocorre 30 dias aps a liberao dos recursos. 6.2) Um capital de R$ 10.000,00 deve ser pago em 4 prestaes semestrais iguais. Calcular co o valor das prestaes para uma taxa de 1,5% am. co 6.3) Um equipamento de R$ 25.000,00 ser nanciado em 12 prestaes mensais iguais a co com taxa de juros de 12% aa, capitalizados mensalmente. Determinar o valor que deve ser dado de entrada para que as prestaes quem limitadas a R$ 1.700,00, supondo que a 1a co ocorra 30 dias aps a liberao dos recursos. o ca 6.4) Um cliente de uma agncia de automveis comprou um ve e o culo nanciado em 24 prestaes de R$ 1.500,00 com taxa de 1% am. No nal de 1 ano esse cliente procurou a co agncia para vender o ve e culo, e a agncia ofereceu R$ 30.000,00 para pagamento ` vista. e a Calcule quanto deve ser pago ao cliente para que a agncia readquira esse ve e culo assumindo o restante do nanciamento com a mesma taxa de 1% am. 6.5) Um nanciamento de R$ 10.000,00 ser pago em 10 prestaes mensais iguais com a co taxa de 1,2% am. Determine o valor das prestaes nas seguintes hipteses : co o a a) Pagamento da 1 prestao 30 dias aps a liberao dos recursos. ca o ca a b) Pagamento da 1 prestao no ato da a liberao dos recursos. ca ca c) Pagamento da 1a prestao 120 dias aps a liberao dos recursos. ca o ca 6.6) Um nanciamento de R$ 10.000,00 ser pago em 12 prestaes mensais e iguais a a co R$ 900,00. Calcular a taxa de juros desse nanciamento nas seguintes hipteses : o a) A 1a prestao ocorre 30 dias aps a liberao do principal. ca o ca a b) A 1 prestao ocorre na mesma data da liberao do principal. ca ca 6.7) Um emprstimo de R$ 100.000,00 deve ser pago em 10 anos com os 2 primeiros anos e de carncia. Sabendo que a taxa de juros 10% aa, calcule o valor das 8 prestaes anuais e e e co o iguais que devero ser pagas a partir do in do 4 ano, nas seguintes hipteses : a cio o a) Os juros dos 2 primeiros anos so pagos no nal de cada ano. a b) Os juros dos 2 primeiros anos no so pagos mas sim capitalizados. a a 6.8) Um investidor efetuou 10 depsitos mensais de R$ 2.000,00 em um banco e retirou o imediatamente aps a efetivao do ultimo depsito R$ 21.000,00. Calcule a taxa de remuo ca o nerao desses depsitos. ca o 6.9) Uma empresa pegou um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser pago em 25 prestaoes e c a mensais iguais, com juros de 3% am. Aps o pagamento da 8 prestao a empresa renegoo ca

Sries uniformes e

53

ciou o prazo do emprstimo de forma a liquid-lo em 30 prestaes mensais adicionais iguais. e a co Determinar o valor das novas prestaes, mantendo-se a taxa de 3% am. co 6.10) Um aplicador efetuou 6 depsitos trimestrais de R$ 5.000,00 em uma caderneta de o poupana que oferece uma taxa de 12% aa capitalizados trimestralmente. O 1o depsito feito c o e no ato da deciso do aplicador e os outros 5 no nal de cada um dos prximos trimestres. a o Determine o saldo acumulado, nas seguintes ocasies : o a) Imediatamente aps o ultimo depsito. o o o o b) No nal do 2o trimestre aps o ultimo depsito. 6.11) Uma caderneta de poupana que remunera seus depsitos com taxa de 15% aa c o capitalizados trimestralmente, recebeu de um cliente 6 depsitos trimestrais de mesmo valor. o Determinar o valor desses depsitos sabendo que o cliente retirou a quantia de R$ 20.000,00 o o o o no nal do 4 trimestre aps o ultimo depsito. 6.12) Em um determinado ano, um empresrio efetuou 4 depsitos mensais iguais em um a o banco que paga taxa de 1,2% am. No nal de dezembro deste ano o total acumulado por esse empresrio foi R$ 100.000,00. Determine o valor dos depsitos nas seguintes hipteses : a o o o a) O 1 depsito ocorre no nal de janeiro. o b) O 1o depsito ocorre no nal de abril. o 6.13) Suponha que no problema 6.12 os depsitos tenham sido efetuados em meses alo o ternados. Assim, se 1 depsito ocorreu no nal de janeiro, os outros ocorreram no nal de o maro, maio e julho. c 6.14) Um nanciamento de R$ 100.000,00 deve ser pago em 24 parcelas mensais e iguais, a partir de 30 dias da liberao do dinheiro. Sabendo que a taxa efetiva desse nanciamento ca 1% am, calcule : e a) O valor das parcelas mensais. b) O valor dos juros e da amortizao do principal contidos na 1a parcela. ca c) O valor dos juros e da amortizao do principal contidos na 20a parcela. ca d) O saldo devedor imediatamento aps pagamento da 12a parcela. o 6.15) Um banco de investimentos realiza suas operaes de nanciamento com uma taxa co efetiva de 15% aa, cobrada em 2 parcelas : (1) Uma parcela antecipada cobrada no ato da liberao dos recursos. ca (2) Uma parcela de 10% aa cobrada ao longo do contrato. Determine o percentual que deve ser cobrado antecipadamente nos seguintes casos : a) Liquidao do nanciamento com um unico pagamento no nal de um ano. ca b) Liquidao do nanciamento em 4 pagamentos trimestrais de mesmo valor, ocorrendo o ca o o ca 1 pagamento 90 dias aps a liberao dos recursos.

54

CAP ITULO 6

6.16) Uma loja nancia suas vendas em 4 vezes sem juros, mediante pagamentos mensais e e iguais, a partir do 30o dia da data da venda. Determinar o percentual de acrscimo que essa loja deve aplicar em seus preos ` vista para que possa obter um taxa efetiva de 1,5% am em c a seus nanciamentos. 6.17) Uma instituio nanceira que opera com taxa de 1% am, oferece a seus clientes os ca seguintes planos de nanciamento : a) Plano Mensal : 12 prestaes mensais iguais, ocorrendo a 1a prestao 30 dias aps a co ca o data da operaao. c b) Plano Trimestral : 4 prestaes trimestrais iguais, ocorrendo a 1a prestao 90 dias aps co ca o a data da operao. ca Um cliente deseja pegar R$ 100.000,00 para ser pago parte pelo plano mensal e parte pelo plano trimestral. Determinar a parte de cada plano de modo que a parcela trimestral seja o dobro da mensal. 6.18) Um autor de um livro tem um contrato de edio, em carter perptuo, com uma ca a e editora que paga 10% do preo de cada livro vendido. O volume de vendas do livro de 3.000 c e exemplares por ano e o preo R$ 50,00 cada. Determine o valor presente desse contrato, c e considerando uma taxa de 10% aa.

Sries uniformes e

55

Respostas6.1) R$ 1.776,98 6.2) R$ 3.110,05 6.3) R$ 5.866,37 6.4) R$ 13.117,38 6.5) (a) R$ 1.067,18 ; (b) R$ 1.054,53 ; (c) R$ 1.106,06 6.6) (a) 1,2043% ; (b) 1,4313% 6.7) (a) R$ 18.744,40 ; (b) R$ 22.680,73 6.8) 1,0794% am 6.9) R$ 3.857,58 6.10) (a) R$ 32.342,05 ; (b) R$ 34.311,68 6.11) R$ 2.618,77 6.12) (a) R$ 22.319,61 ; (b) R$ 23.132,79 6.13) (a) R$ 22.716,50 ; (b) R$ 23.544,15 6.14) (a) R$ 4.707,35 ; (b) J=R$ 1.000,00 A=R$ 3.707,35 ; (c) J=R$ 228,47 A=R$ 4.478,88 ; (d) R$ 52.981,59 6.15) (a) 4,3478% ; (b) 2,7003% 6.16) 3,7779% 6.17) Pm =R$ 60.239,35 ; Pt =R$ 39.760,65 6.18) R$ 150.000,00

56

CAP ITULO 6

Cap tulo 7 Valor Presente L quido e Taxa Interna de Retorno7.1 Valor Presente L quido

O VALOR PRESENTE L IQUIDO (VPL) de um uxo de caixa dado pela soma do valores e presente dos capitais futuros com o capital colocado na data zero.

Exemplo 7.1 Determinar o VPL do uxo de caixa abaixo com taxa de 8% aa. data valor 0 -100 2 +121

57

58

CAP ITULO 7

7.2

Taxa Interna de Retorno

A TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) de um uxo de caixa a taxa de juros utilizada e para calcular os valores presente dos capitais futuros que faz com que o valor presente l quido seja zero.

Exemplo 7.2 Calcular o VPL do uxo de caixa do Exemplo 7.1 com taxa de 12% aa e a TIR.

Exemplo 7.3 Suponha que um projeto de investimento apresente o uxo de caixa a seguir. Calcule a TIR do projeto e analise sua viabilidade se: a) A taxa de juros i do mercado satisfaz i > TIR. b) A taxa de juros i do mercado satisfaz i < TIR. data valor 0 -1.000,00 1 1.100,00

Valor Presente L quido e Taxa Interna de Retorno

59

Exemplo 7.4 O estudo de viabilidade econmica de um projeto resultou no uxo de caixa abaixo. Deo termine a TIR desse uxo de caixa. data valor 0 -11500 1 2350 2 1390 3 3350 4 4275 5 5350

60

CAP ITULO 7

7.3

Exerc cios

7.1) Determinar o valor presente de cada um dos uxos de caixa abaixo, para uma taxa de 1% am.

a)

data 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

valor -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -2.000,00 -2.000,00 -2.000,00 -2.000,00

b)

data 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

valor -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00

c)

data 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

valor -2.000,00 -2.000,00 -2.000,00 -2.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00

d)

data 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

valor -50,00 -50,00 -50,00 -50,00 -50,00

e)

data valor 0 1 2 3 -50,00 4 -50,00 5 -50,00 6 -50,00 7 -50,00 8 -50,00 9 -50,00 10 -100,00

Valor Presente L quido e Taxa Interna de Retorno

61

7.2) Para cada um dos investimentos representados pelos uxos de caixa a seguir, determinar o valor presente l quido com taxa de 1% am e a taxa interna de retorno. data valor 0 -4.000,00 1 500,00 2 500,00 3 500,00 4 500,00 5 500,00 6 500,00 7 500,00 8 1.000,00 data valor 0 -4.500,00 1 800,00 2 800,00 3 800,00 4 5 800,00 6 800,00 7 800,00 8 800,00

a)

b)

7.3) Determine o valor presente l quido com taxa de 2% am e a taxa interna de retorno do projeto de investimento representado pelo uxo de caixa abaixo. data valor 0 -14.000,00 1 5.250,00 2 4.350,00 3 3.000,00 4 2.850,00 7.4) A tabela abaixo mostra os valores presente l quidos do uxo de caixa de um investimento em funo de diversas taxa de desconto : ca taxa mensal 0,0% 0,5% 0,8% 1,0% 1,2% 1,5% 2,0% VPL 255,00 127,18 51,71 0,00 -47,54 -120,94 -241,38

Pergunta-se, com base na tabela : a) Qual a TIR desse investimento ? b) Voc desaplicaria seus recursos que esto rendendo 1,5% am para realizar esse investie a mento ?

62

CAP ITULO 7

Respostas7.1a) VP=R$ 13.147,14 7.1b) VP=R$ 852,93 7.1c) VP=R$ 12.344,54 7.1d) VP=R$ 235,60 7.1e) VP=R$ 420,31 7.2a) VPL= + R$ 287,58 ; TIR=2,4754% am 7.2b) VPL= + R$ 852,56 ; TIR=5,0676% am 7.3) VPL= + R$ 788,07 ; TIR=4,5899% am 7.4) (a) TIR=1% ; (b) No ! a

Cap tulo 8 Planos equivalentes de nanciamento8.1 Introduo e exemplos ca

Relembremos, do 1o cap tulo, que dois ou mais uxos de caixa so EQUIVALENTES, a a uma determinada taxa de juros, se seus valores presentes (VP) (calculados com essa mesma taxa) forem iguais. Diremos, ento que DOIS OU MAIS PLANOS DE FINANCIAMENTO SAO EQUIVAa LENTES quando seus uxos de caixa forem equivalentes. Para entendermos melhor o conceito, vamos considerar um nanciamento com os seguintes parmetros: P = R$ 1.000, 00 ; i = 8% ao ano ; n = 4 anos. a Apresentaremos quatro planos equivalentes para liquidar esse nanciamento:

Plano A / Pagamento no nal Pagamento de uma unica parcela no nal do 4o ano Capitalizao de juros no nal de cada ano caano saldo no inicio do ano 1.000,00 1.080,00 1.166,40 1.259,71 juros saldo no m do ano antes do pagamento 1.080,00 1.166,40 1.259,71 1.360,49 juros 0,00 0,00 0,00 360,49 pagamentos amortizao ca 0,00 0,00 0,00 1.000,00 total 0,00 0,00 0,00 1.360,49 saldo no m do ano aps pagamento o 1.080,00 1.166,40 1.259,71 0,00

1 2 3 4

80,00 86,40 93,31 100,78

Exemplos : operaes de capital de giro, operaes de desconto de t co co tulos, aplicaes em t co tulos de renda xa.

63

64

CAP ITULO 8

Plano B / Pagamento peridico de juros o Os juros de cada ano so pagos no nal do respectivo ano a No nal do 4o ano, alm dos juros, o principal integralmente pago e eano saldo no inicio do ano 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 juros saldo no m do ano antes do pagamento 1.080,00 1.080,00 1.080,00 1.080,00 juros 80,00 80,00 80,00 80,00 pagamentos amortizao ca 0,00 0,00 0,00 1.000,00 total 80,00 80,00 80,00 1.080,00 saldo no m do ano aps pagamento o 1.000,00 1.000,00 1.000,00 0,00

1 2 3 4

80,00 80,00 80,00 80,00

Exemplos : Leasing, operaes em t co tulos de renda peridica. o

Plano C / Prestaes iguais - Modelo Price co O nanciamento liquidado pelo pagamento de 4 prestaes anuais calculadas da seguinte e co forma : 1 (1 + 0, 08)4 1.000, 00 = R = R = 301, 92 0, 08 As prestaes de cada ano so subdivididas em 2 parcelas : juros do ano + amortizao co a ca do principal dada pela diferena entre o valor da prestao (301,92) e os juros do ano c caano saldo no inicio do ano 1.000,00 778,08 538,40 279,56 juros saldo no m do ano antes do pagamento 1.080,00 840,33 581,48 301,92 juros 80,00 62,25 43,07 22,36 pagamentos amortizao ca 221,92 239,67 258,85 279,56 total 301,92 301,92 301,92 301,92 saldo no m do ano aps pagamento o 778,08 538,40 279,56 0,00

1 2 3 4

80,00 62,25 43,07 22,36

Exemplos : nanciamento imobilirio e de crdito direto ao consumidor. a e

Plano D / Sistema de Amortizaes Constantes (SAC) co O nanciamento liquidado pelo pagamento de 4 prestaes subdivididas em 2 parcelas: e co amortizao do principal calculada pela razo entre o principal e o prazo da operao ca a ca (1.000,00/4=250,00) + juros do anoano saldo no inicio do ano 1.000,00 750,00 500,00 250,00 juros saldo no m do ano antes do pagamento 1.080,00 810,00 540,00 270,00 juros 80,00 60,00 40,00 20,00 pagamentos amortizao ca 250,00 250,00 250,00 250,00 total 330,00 310,00 290,00 270,00 saldo no m do ano aps pagamento o 750,00 500,00 250,00 0,00

1 2 3 4

80,00 60,00 40,00 20,00

Exemplos : nanciamento imobilirio e nanciamento de longo prazo. a

Planos equivalentes de nanciamento

65

Observaes: co Os quatro planos de pagamento apresentados so absolutamente equivalentes a 8% ao a ano pois todos tm o mesmo valor presente de R$1.000,00 se descontados a essa mesma taxa. e E erro grosseiro analisar planos de nanciamento pelo valor total pago: plano total pago A 1.360,49 B 3x80,00+1.080,00=1.320,00 C 4x301,92=1.207,68 D 330,00+310,00+290,00+270,00=1.200,00 Aparentemente, o plano D o melhor para quem tomar esse nanciamento e o plano A e e o pior. O erro neste racioc nio que no plano A o principal nanciado s foi devolvido ao nal e o do 4o ano, sendo portanto remunerado durante os quatro anos, juntamente com os juros que foram sendo capitalizados. J no plano D, o principal foi sendo pago ao longo do prazo da a operao e, portanto, apenas o principal remanescente (saldo) foi remunerado. ca Outra forma de analisar a situao calcular as reaplicaes a 8% ao ano dos valores que ca e co caram disponiveis em cada plano, antes do nal do 4o ano: Plano A : nenhum valor a reaplicar Plano B : reaplicao de 3 parcelas de R$80,00 ca Plano C : reaplicao de 3 parcelas de R$301,92 ca Plano D : reaplicao das parcelas de R$330,00 , R$310,00 e R$290,00 ca As diferenas entre os totais pagos nos quatro planos so compensadas pelas receitas de c a reaplicaes a 8% ao ano das parcelas recebidas antes do nal do 4o ano: co plano total pago receitas de reaplicaes co A 1.360,49 0,00 B 1.320,00 40,49 C 1.207,68 152,81 D 1.200,00 160,49 montante acumulado no m do 4o ano 1.360,49 1.360,49 1.360,49 1.360,49

O valor de R$1.360,49 corresponde ao valor futuro de cada um dos quatro planos, no nal do 4o ano, com taxa de 8% ao ano.

66 Exemplo 8.1 Um banco realiza seus nanciamentos nas seguintes condies : co prazo de 6 anos, com amortizao do principal a partir do nal do 3o ano ca amortizao do principal pelo modelo Price ou SAC ca taxa de juros de 10% ao ano

CAP ITULO 8

Determinar os uxos de caixa de uma empresa que nanciou R$ 100.000,00 , nas seguintes hipteses: o a) Pagamento de juros durante os dois anos de carncia e amortizao pelo modelo Price e ca a partir do 3o ano b) Juros capitalizados durante os dois anos de carncia e amortizao pelo modelo Price a e ca o partir do 3 ano c) Pagamento de juros durante os dois anos de carncia e amortizao pelo SAC a partir e ca o do 3 ano d) Juros capitalizados durante os dois anos de carncia e amortizao pelo SAC a partir e ca o do 3 ano

Soluo ca

a) Juros pagos nos dois anos de carncia: e J = 100.000, 00 10% = 10.000, 00 Prestao: ca 100.000 = R 1 (1 + 0, 1)4 = R = 31.547, 08 0, 01

b) Saldo acumulado no nal do 2o ano: M = 100.000 (1 + 0, 1)2 = 121.000 Prestao: ca 121.000 = R 1 (1 + 0, 1)4 = R = 38.171, 97 0, 01

Planos equivalentes de nanciamento c) Juros pagos nos dois anos de carncia: e J = 100.000, 00 10% = 10.000, 00 Amortizao anual: ca A= 100.000, 00 = 25.000, 00 4

67

d) Saldo acumulado no nal do 2o ano: M = 100.000 (1 + 0, 1)2 = 121.000 Amortizao anual: ca A= 121.000, 00 = 30.250, 00 4

FLUXOS DE CAIXA:

68

CAP ITULO 8

8.2

Exerc cios

8.1) Verique se os uxos de caixa A e B abaixo so equivalentes a uma taxa de 1% am: a data 0 1 2 3 4 5 6 A 208,10 208,10 208,10 208,10 208,10 B 250,00 250,00 200,00 344,34

8.2) Calcular o valor de x para que os uxos caixa abaixo sejam equivalentes a uma taxa de 1,2% am: data 0 1 2 3 4 5 6 A 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 B 400,00 x 600,00 600,00 900,00

8.3) Construa a tabela de pagamentos para um nanciamento de R$ 1.000,00 em 5 anos com taxa de 10% aa, que tem as seguintes caracter sticas : a) os juros de cada ano so calculados sobre o saldo devedor do in do ano. a cio b) a prestao de cada ano obtida pela diviso do saldo devedor no nal do respectivo ano ca e a pelo nmero de prestaes que ainda faltam ser pagas. u co 8.4) Calcule o valor das prestaes de um nanciamento de R$ 10.000,00 com taxa de co juros de 1% am que deve ser pago no prazo de 10 meses, pelo modelo Price e pelo SAC. 8.5) Um emprstimo de R$ 100.000,00 com taxa de 10% aa deve ser pago pelo SAC em 6 e anos, com o 2 primeiros anos de carncia. Construa a tabela de pagamentos desse emprstimo e e nos seguintes casos : a) Os juros dos 2 primeiros anos no so pagos, mas sim capitalizados. a a b) Os juros dos 2 primeiros anos so pagos no nal de cada ano. a

Planos equivalentes de nanciamento

69

8.6) Uma instituio nanceira oferece a seus clientes os seguintes planos equvalentes de ca nanciamento : a) Plano mensal sem carncia : 12 prestaes mensais iguais, sendo a 1a prestao 30 dias e co ca aps a liberao dos recursos. o ca ca b) Plano mensal com carncia : 9 prestaes mensais iguais, sendo a 1a prestao 120 dias e co aps a liberao dos recursos. o ca c) Plano semestral : 2 prestaes semestrais de mesmo valor com pagamentos no nal do co o o e e 6 ms e do 12 ms. Determinar o valor das prestaes desses planos para um nanciamento de R$ 10.000,00 co com taxa de 1% am. 8.7) Um nanciamento de R$ 10.000,00 com taxa de 1,2% am deve ser pago em 2 anos. Sabendo que a 1a prestao vence 30 dias aps a liberao dos recursos, calcule : ca o ca a) O valor de cada uma das 24 prestaes mensais e iguais. co b) O valor da prestao mensal se, no nal de cada trimestre, for paga uma parcela adicional ca de R$ 1.000,00. c) O valor dessa parcela trimestral adicional, se a prestao mensal for xada em R$ 300,00. ca 8.8) Um banco nancia 80% do valor ` vista de qualquer equipamento e cobra juros 1% a am. Um empresrio deseja comprar um equipamento de R$ 25.000,00 para ser pago em 1 ano. a Determinar: a) O valor das prestaes mensais, sabendo que a 1a ocorre 30 dias aps a liberao dos co o ca recursos. b) O valor da prestao mensal se forem pagas 2 parcelas adicionais de R$ 5.000,00, sendo ca a o a 1 no nal do 3 ms e a 2a no nal do 9o ms. e e c) O valor da prestao mensal na hiptese das parcelas de R$ 5.000,00 inclu ca o rem as prestaes do 3o ms e do 9o ms. co e e 8.9) Um nanciamento de R$ 100.000,00 deve ser pago em 12 prestaes mensais iguais co e mais 2 prestaes semestrais adicionais. Determinar o valor dessas prestaes, sabendo que: co co i) A taxa de juros 1,4% am. e a ii) A 1 prestao ocorre 30 dias aps a liberao do capital. ca o ca iii) As parcelas semestrais ocorrem no nal do semestre e tm valor igual ao dobro da e parcela mensal. 8.10) Um nanciamento de R$ 100.000,00 deve ser pago em 9 prestaes mensais, ocorco rendo a primeira 30 dias aps a liberao dos recursos. As 3 primeiras prestaes devem ser o ca co iguais a R$ 10.000,00 e as 3 seguintes a R$ 12.000,00. Determinar o valor das 3 ultimas prestaes sabendo que elas so iguais e que a taxa de juros 1,3% am. co a e

70

CAP ITULO 8

Respostas8.1) 8.2) 8.3)ano saldo no inicio do ano 1.000,00 880,00 726,00 532,40 292,82 juros saldo no m do ano antes do pagamento 1100,00 968,00 798,60 585,64 322,10 juros 100,00 88,00 72,60 53,24 29,28 pagamentos amortizao ca 120,00 154,00 193,60 239,58 292,82 total 220,00 242,00 266,20 292,82 322,10 saldo no m do ano aps pagamento o 880,00 726,00 532,40 292,82 0,00

VPA = VPB = R$ 1.000,00 x = R$ 530,88

1 2 3 4 5

100,00 88,00 72,60 53,24 29,28

8.4) Modelo Price : P = R$ 1055,82 Modelo SAC : P1 = R$ 1.100,00, P2 = R$ 1.090,00, P3 = R$ 1.080,00, P4 = R$ 1.070,00, P5 = R$ 1.060,00, P6 = R$ 1.050,00, P7 = R$ 1.040,00, P8 = R$ 1.030,00, P9 = R$ 1.020,00, P10= R$ 1.010,00. 8.5) (a) P1 = 0 ; P2 = 0 ; P3 = R$ 43.250,00 ; P4= R$ 39.325,00 P5 = R$ 36.300,00 ; P6 = R$ 33.275,00 ; (b) E a letra (c) do Exemplo 8.1 8.6) (a) P = R$ 888,49 (b) P = R$ 1.202,78 (c) P = R$ 5.465,85 8.7) (a) P = R$ 482,02 (b) P = R$ 152,65 (c) PT = R$ 552,64 8.8) (a) P = R$ 1.776,98 (b) P = R$ 939,61 (c) P = R$ 1.128,62 8.9) 12 prestaes mensais de R$ 6.892,57 e 2 semestrais de R$ 13.785,14 co 8.10) R$ 13.679,94

Cap tulo 9 Inao ca9.1 Conceitos bsicos a

INFLACAO o aumento generalizado dos preos de bens e servios. e c c CORRECAO MONETARIA o reajuste dos capitais envolvidos em operaes nanceiras e co com o objetivo de anular ou, pelo menos atenuar, os efeitos da inao. ca Na prtica, a taxa de juros efetiva utilizada nos clculos nanceiros inclui os efeitos ina a acionrios durante o prazo das operaes nanceiras. Por exemplo, uma parcela da taxa de a co juros da poupana se refere ` inao do per c a ca odo. Se tirarmos os efeitos da inao da taxa de juros efetiva obtemos a TAXA DE JUROS ca REAL da operao. ca O objetivo deste cap tulo mostrar como incluir (em uma taxa real) ou excluir (de uma e taxa efetiva) os efeitos da inao. ca

Taxa de Juros RealSe em um determinado per odo de tempo a taxa de inao for I, um capital P corrigido ca por essa taxa ser a M1 = P (1 + I) Se neste mesmo per odo aplicarmos a taxa de juros real r ao capital corrigido obtemos M2 = M1 (1 + r) = P (1 + I)(1 + r) A taxa de juros efetiva i a taxa que aplicada ao capital inicial P produz o mesmo efeito e conjunto das taxas real r e de inao I. ca 71

72 Assim, temos P (1 + i) = P (1 + I)(1 + r) ou 1 + i = (1 + I)(1 + r)

CAP ITULO 9

9.2

Exemplos

Exemplo 9.1 Uma loja constatou que uma determinada mercadoria estava a 6 meses em estoque. Sabendo que a inao do per ca odo foi de 5% e que a margem de lucro da loja de 10%, calcule o novo e preo da mercadoria se o preo antigo R$ 100,00. c c e

Exemplo 9.2 Uma loja vende certo produto por R$ 120,00 ` vista. A direo da loja decide vender este a ca produto em 6 prestaes mensais iguais. A taxa de inao est estimada em 6% am. Qual o co ca a valor de cada prestao se a direo pretende um ganho real de 4% am. ca ca

Inao ca Exemplo 9.3

73

Uma loja cobra juros de 18% ao trimestre. Em um certo trimestre a inao chegou a 12%. ca Qual o ganho real da loja ?

Exemplo 9.4 No ultimo ms uma carteira de investimentos apresentou um rendimento total de 1,89%. e Se a inao foi 2,2%, qual a taxa real no ms ? ca e

74

CAP ITULO 9

9.3

Exerc cios

9.1) A inao em um certo ms foi 1,73% e, no mesmo per ca e odo, a caderneta de poupana c rendeu 2,10%. Calcule a taxa real. 9.2) Um aplicador exigiu de um banco uma taxa real de 0,8% am. Se a inao est ca a estimada em 1,75% am, calcule a taxa de juros efetiva. 9.3) Uma aplicao rendeu 2,44% em um certo ms. Um aplicador percebeu que a taxa ca e real desta aplicao foi 1%. Calcule a taxa de inao neste ms. ca ca e 9.4) Joo tinha R$ 1.000,00 para comprar uma geladeira, mas preferiu aplicar o dinheiro a a prazo xo que, ao m de 2 meses, permitiu que Joo resgatasse R$ 1.017,45. Ao voltar ` loja, a a Joo constatou que o novo preo da geladeira era R$ 1.018,97. Calcule a inao do per a c ca odo e a taxa real da aplicao. ca

Inao ca

75

Respostas9.1) 0,3637% 9.2) 2,5640% 9.3) 1,4257% 9.4) -0,1492%

76

CAP ITULO 9

Referncias e[1] Puccini, Abelardo de Lima, Matemtica Financeira (Objetiva e Aplicada), Editora a Saraiva [2] Puccini, Abelardo de Lima & Puccini, Adriana, Matemtica Financeira (Edio a ca Compacta), Editora Saraiva [3] Morgado, Augusto Cesar & Outros, Progresses e Matemtica Financeira, IMPA o a (Projeto Vitae)

77