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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS – UNICAMPCENTRO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CESET

ST302 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

PROF. MILTON GIACON JÚNIOR

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Apresentação.

Estas notas de aula, têm a finalidade de auxiliar ao aluno, no acompanhamento damatéria de Resistência dos Materiais no dia a dia da escola. Nela procuramos apresentar a matéria deuma forma resumida e clara. Constam resumos da teoria e alguns exemplos de exercícios resolvidos Nãoé nossa pretensão apresentar aqui um tratado sobre a matéria, mas simplesmente tentar derrubar aquelaimagem corrente, que coloca Resistência dos Materiais como complicada e de difícil compreensão. O queocorre é que devido ao despreparo do aluno nas matérias básicas, fica de fato difícil ao aluno acompanharo desenrolar da matéria sem uma devida dedicação, pois são necessários conceitos firmes nas áreas deFísica e Matemática, principalmente, além de uma boa dose de atenção e bom senso.

A finalidade de uma boa escola, é desenvolver no aluno a capacidade de se virarsozinho e não ficar dependente de professores, ou se ater somente àquilo que há nos cadernos e livros ounos exemplos resolvidos em sala, mas prepará-lo para o dia a dia profissional, onde todos os dias suacapacidade será testada na solução de problemas inesperados que se apresentem diariamente e cujasolução dependa exclusivamente da sua própria iniciativa e onde o profissional deve às vezes estudarmatérias que se apresentam até publicadas em outras línguas .

Juntos nós chegaremos lá.

Boa Sorte.

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Antes de começarmos a matéria propriamente dita, vamos rever rapidamente alguns conceitosbastantes importantes para nós.FORÇA : É uma grandeza vetorial, caracterizada pôr sua direção, intensidade e sentido.

MOMENTO : De uma força F em relação a um ponto O é um vetor tal que a sua intensidade é igualao produto do módulo da força pela sua distância ao ponto º

BINÁRIO :

RESULTANTE DE FORÇAS :

MOMENTO RESULTANTE :

∑∑M = 5 x 2 – 4 x 2 – 4 x 1 = - 2 tfm

Z

F

0 2 1 2 10

o

ZZ2

M = F.z - F .z M = F( z - z )= F.z

o

F

Z

M = F . zM = F . z

oZ

F

F1

F2 3

F 4F

2F

F1 F3

4FR

5t4t

4

1n

2m 2m0

4

CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO :

∑Fx = 0∑Fy = 0 ⇒ ∑F = 0∑M = 0

Todos estes conceitos apresentados acima, já devem ser do conhecimento da maioria dos alunosque já os viram em Física ou Matemática, porém os que se apresentam a seguir, já são de umconhecimento mais restrito à área técnica e portanto devemos nos ater mais a eles, pois se tratam deconceitos novos e com os quais os alunos devem já ir se habituando.

Vejamos então alguns deles:

BARRA : Elemento da estrutura que transmite apenas esforços de tração e compressão.CHAPA : Elemento que serve para transmitir todos os esforços existentes nas estruturas.NÓ : É uma articulação através da qual , unem-se duas ou mais barras pela extremidade.VÍNCULO : Apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou com a chapa terra

Veremos no transcorrer do curso que barras e chapas são desenhadas de maneiras distintas.Porém os nós e os vínculos recebem a mesma representação, devendo ficar bem claro que a diferença é ofato de uma une peças sujeitas somente esforços de tração e compressão e a outra peças sujeitas a todos ostipos de esforços que ocorram na estrutura.

Com a utilização das peças descritas acima, poderemos representar através de um desenho,qualquer tipo de estrutura, devendo porém tomar cuidado de utilizar as representação específica para cadacaso.

Vejamos então a representação das ligações das estruturas com o solo (chapa terra ), que porligarem chapas denominam-se VINCULOS .

VINCULAÇÃO DAS ESTRUTURAS:

1. APOIO MÓVEL

2. APOIO FIXO.

0 X

Y

F2

3F

F41F

R

O U O U

R

RO U

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3. ENGASTE:

Vejamos como funciona :

Exemplo : Calcule os valores das rações de apoio.1) 2)

3)

Ficando claro como as estruturas se ligam e como ocorrem as ligações entre elas , deveremosestudar agora quais os efeitos que as cargas externas provocam internamente nas estruturas e para issovamos estudar os esforços solicitantes, que são o resultado interno das cargas externas.

ESFORÇOS SOLICITANTES

Suponhamos, uma viga (chapa ) sujeita a varias cargas e suportada por dois apoios, um fixo eoutro móvel como no desenho abaixo.

M

H

P

3tf

3m 2m

PnP4P32PP1

R3

1R 2R

3tf

3tf

3tf

2m2m2m2m

2m

2m

4 24tf

45°

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Se no traço indicado, seccionarmos a peça, ela evidentemente cairá, o que não ocorria antes doseccionamento, indicando ocorrerem ali esforços que não permitiam a separação da mesmas. Estesesforços, denominam-se ESFORÇOS SOLICITANTES e representam aqueles esforços que ocorreminternamente às peças e são devidos à interação entre as partículas dos materiais que a compõe; interaçãoesta que não permite a separação das partes sem que haja sobre elas um força de elevado valor.

Na realidade, ocorrem ali, esforços atuando em todas as direções e que devem ser agrupadossegundo algum critério para facilitar o nosso entendimento. Assim, agrupou-se estes esforços em váriascategorias , associando-se a elas um tipo de carga específico, como vemos abaixo.

FORÇA NORMAL : N é a resultante das forças horizontais que atuam na secção.FORÇA CORTANTE : Q é a resultante das forças verticais que atuam na secção.MOMENTO FLETOR : Mf ou M é a resultante dos momentos fletores atuando na secçãoMOMENTO TORÇOR: Mt é a resultante dos momentos torçores que atuam na secção.

SIMPLIFICAÇÃO NO CASO PLANO: Com a finalidade de facilitar nosso trabalho, vamos agruparas cargas, conforme o plano em que atuam e estudá-las . Verificamos que os esforços Mf, Q e N atuam noplano de cargas ( do papel ) e Mt no plano perpendicular a ele. Estudaremos inicialmente os trêsprimeiros e oportunamente Mt.

Deveremos ainda separá-las conforme os tipos de apoios, vejamos portanto aCLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS:

Para a equação B = 3C + 2N onde B - no. de barras da estrutura C - no. de chapas da estrutura N - no. de nós da estrutura.Quando ocorrer:

B < 3C + 2N ⇒ Estrutura HipostáticaB = 3C + 2N ⇒ Estrutura IsostáticaB > 3C + 2N ⇒ Estrutura Hiperestática

ESTRUTURA HIPOSTÁTICA: Quando o numero de reações de apoio é menor que o número deequações de equilíbrio

R3

1R

P1 4PP2P 3

2R

Pn

N

Q

Mt

Mt

F1 2

F

R1

R1

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ESTRUTURA ISOSTÁTICA : Quando o número de reações de apoio é igual que o número de equações.

ESTRUTURA HIPERESTÁTICA : Quando o número de reações de apoio e maior que o numero deequações( este caso será estudado em Estática)

Trabalharemos, por enquanto, somente com problemas isostáticos, veremos os casoshiperestáticos oportunamente.

Para a resolução das equações, deveremos seguir os seguintes passos:1. Identificar os tipos de vínculos;2. Isolar o sistema, locando forças e reações;3. Escrever e montar as equações de equilíbrio estático da estrutura;4. Efetuar os cálculos;5. Substituir os valores numéricos das equações;6. Efetuar a verificação dos cálculos;7. Desenhar os diagramas.

Vejamos como se escrevem as equações que serão utilizadas para o desenho dos diagramas.

FORÇA CORTANTE E MOMENTO - EQUAÇÕES

A viga está em equilíbrio sob a ação de P1 e P2 e das reações de apoio R1 e R2. Seccionando-sea viga em a-a, distante x de R1 deveremos introduzir Q e M para que haja equilíbrio.

Assim:

1R4R2R R 3

aP

1

x

R 1

Q

MM

1R

L - x

P2

b

1R R

2

2F1

F2

F

3R

R 21R

X

P2

P1

Ya

a

a

c

x

L

3R

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MOMENTO FLETOR (M): O momento M da figura é chamado Momento Fletor da secção a-a, (seuvalor é obtido com a utilização da equação da estática M=0). O seu valor é produzido por todos osesforços que atuam na parte da viga, que se conservou em equilírio, depois que se abandonou a outraparte e que produzem momento em a-a . Deve-se sempre considerar apenas uma parte da viga , àesquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de M.

Neste caso o momento é calculado: Mc= R1.x – P1.(x-a) ou Mc= R2.(1-x) – P2.[(1-x) – b]CONVENÇÃO DE SINAIS:M > 0 tração nas fibras inferiores. M < 0 tração nas fibras superiores.

FORÇA CORTANTE ( Q ): A força cortante Q é chamada Força Cortante da secção a-a ( seu valor éobtido com a utilização da equação da estática Fv = 0). O seu valor é obtido com a somatória de todasas componentes verticais que atuam à esquerda ou à direita de a-a . Aqui, também deveremos considerarapenas uma parte da viga, à esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de Q. Fv = 0 -Q + R1 – P1 = 0 Q = R1 – P1

CONVENÇÃO DE SINAIS:Exercícios: Escrever as equações para : ( desprezar o peso próprio)

1) 2)

3)

Vamos ver as aplicações práticas.Traçar os diagramas de M, N e Q. para:1) 2)

3)

+ _

X

L

q

X P1 2

X

3tf

3m 2m

4 24tf

45°

3tf

3tf

3tf

2m2m2m2m

2m

2m

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FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - RELAÇÕES DIFERENCIAIS

Quando vamos representar os diagramas, é usual que apareçam cargas distribuídas, devendo-se entãolançar mão das relações diferenciais para que se entenda o procedimento.

Equilibrando-se o elemento vem:

∑Fv = 0 Q – ( Q+ dQ) – pdx = 0. E daí - dQ – pdx = 0 de onde vem p = - dQ_ I dx

∑Mx = 0 M – ( M + dM ) + pdx . dx + ( Q + dQ).dx 0 2 0

M – M – dM + pdx2+ Qdx + dQdx Q = dM II 2 dx

Derivando-se II em relação a x teremos :

d2M = dQ = -p d2M = -p dx dx dx

Obs.: Quando M é máx. ⇒ dM = 0 ⇒ Q=0. dx

MOMENTO ESTÁTICO

Momento estático: O momento estático de um elemento de área em relação a um eixo, situado no mesmoplano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixoconsiderado.

dMx = ydS dMy = xdS

Momento estático: O momento estático de uma superfície de área em relação a um eixo, situado nomesmo plano que a superfície considerada, é a integral dos momentos estáticos de todos os elementos deuperfície finita.

Mx = ∫dMx = y.dS My = ∫d My = xdS

dx

X dxX

L

pdx

QM

XX

Q+dQ

M+dM

YX

Y

X0

0 X

YX

Y

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CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA SUPERFICIE PLANA

Mx = y.S ⇒ y = Mx = 1 . ∫yds S S

Exemplos :1) Calcular a posição do C.G. 2)

3) 4)

5)

30

5

5 25

5

3

4

6

5

5

10

6

1 2

2

6 2

50

555

4 5

5

5

520

5

5

3 0

5

5

5 30

1 5

5

1 7