apostila empuxos de terra - 2

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ESTRUTURAS DE CONTENOEMPUXOS DE TERRA CONTEDO1. Empuxos de Terra ........................................................................................................................2 1.1. Definio de Empuxo...........................................................................................................2 1.1.1. Empuxo no Repouso ....................................................................................................2 1.1.2. Empuxo passivo x empuxo ativo .................................................................................5 1.2. Estados de Equilbrio Plstico..............................................................................................6 1.2.1. Estados de Equilbrio Plstico Localizados .................................................................9 1.2.2. Condies de Deformao ...........................................................................................9 1.2.3. Mobilizao dos estados ativo e passivo ...................................................................12 2. Teoria de Rankine (1987) ..........................................................................................................13 2.1. Hipteses e Formulao Geral ...........................................................................................13 2.2. Macio com superfcie horizontal......................................................................................15 2.3. Empuxo total ......................................................................................................................17 2.3.1. Solo No coesivo .......................................................................................................17 2.3.2. Solos coesivos ............................................................................................................18 2.4. Casos com sobrecarga uniforme (c=0) ..............................................................................21 2.5. Macios estratificados........................................................................................................22 2.6. Macios com nvel fretico ................................................................................................24 2.7. Macios com superfcie inclinada......................................................................................26 2.7.1. Face do muro inclinada ..............................................................................................30 3. Teoria de Coulomb (1776).........................................................................................................31 3.1. Influencia do Atrito Solo-Muro .........................................................................................31 3.2. Hipteses e Formulao Geral ...........................................................................................34 3.2.1. Estado de Equilbrio Limite .......................................................................................35 3.3. Empuxo Ativo ....................................................................................................................36 3.3.1. Solo coesivo ...............................................................................................................38 3.3.2. Presena de gua ........................................................................................................40 3.3.3. Resumo ......................................................................................................................41 3.3.4. Sobrecarga..................................................................................................................42 3.4. Empuxo passivo .................................................................................................................48 3.5. Mtodo de Culmann...........................................................................................................49 3.5.1. Mtodo de Culmann empuxo ativo (c=0) ...............................................................49 3.5.2. Mtodo de Culmann empuxo passivo (c=0; < )............................................51 3 3.5.3. Ponto de aplicao em superfcies irregulares ...........................................................52 3.6. Mtodo do circulo de atrito................................................................................................53 3.6.1.1. solo no coesivo (c=0) .......................................................................................54 3.6.1.2. Solo coesivo (c 0) ............................................................................................55

Estruturas de Conteno Junho 2007

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1. EMPUXOS DE TERRA1.1. Definio de Empuxo Entende-se por empuxo de terra a ao horizontal produzida por um macio de solo sobre as obras com ele em contato. A determinao do valor do empuxo de terra fundamental para a anlise e o projeto de obras como muros de arrimo, cortinas de estacas-prancha, construo de subsolos, encontro de pontes, etc. O valor do empuxo de terra, assim como a distribuio de tenses ao longo do elemento de conteno, depende da interao solo-elemento estrutural durante todas as fases da obra. O empuxo atuando sobre o elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez, alteram o valor e a distribuio do empuxo, ao longo das fases construtivas da obra. 1.1.1. Empuxo no Repouso O empuxo no repouso definido pelas tenses horizontais, calculadas para condio de repouso. Neste caso para a condio de semi-espao infinito horizontal, o empuxo produto do coeficiente de empuxo lateral no repouso (ko) e da tenso efetiva vertical, acrescido da parcela da poropresso.

ko =

'h ' v

h = k o 'v + u 123' honde:h = tenso principal horizontal efetiva; v = tenso principal vertical efetiva.

ko = coeficiente de empuxo no repouso u = poropresso

O valor de ko depende de vrios parmetros geotcnicos do solo, dentre os quais pode-se citar: ngulo de atrito, ndice de vazios, razo de pr-adensamento, etc.). A determinao do coeficiente de empuxo no repouso pode ser feita a partir ensaios de laboratrio e ensaios de campo, teoria da elasticidade ou correlaes empricas A determinao experimental pode ser feita atravs das seguintes tcnicas de ensaio: i) ensaio com controle de tenses, tal que h=0. Este ensaio pode ser feito medindo-se as deformaes axial e volumtrica e alterando as tenses tal que axial=vol. Alternativamente pode-


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaesse medir as deformaes horizontais da amostra atravs de

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instrumentao

e,

conseqentemente, corrigir as tenses; ii) ensaios de campo (pressiometro, ensaio de fratura hidrulica) iii) instrumentao de campo (clulas de presso) Ensaios triaxiais (mantendo-seh =0), realizados por Bishop, em areias uniformes (n = 40%) mostraram que (Figura 1) i) ko constante no 1 carregamento em solos normalmente adensados constanteii)

ko

no descarregamento ko variavel podendo atingir valores superiores a 1 em solos pre-adensados no h como estimar ko se OCR varia ao logo do perfilKo tambm varia

1,7

ko

1,2

descarreg.

0,43

1 carreg.

2 carreg.

v

Figura 1. Variao de ko

No entanto, a determinao experimental de ko torna-se difcil principalmente por dois fatores: alterao do estado inicial de tenses e amolgamento, provocados pela introduo do sistema de medidas. Estes dois fatores tambm influenciam o comportamento de amostras utilizadas em ensaios de laboratrio. Ass proposies empricas (Tabela 1 valem para solos sedimentares. Solos residuais e solos que sofreram transformaes pedolgicas posteriores, apresentam tenses horizontais que dependem das tenses internas da rocha ou do processo de evoluo sofrido. Nestes solos o valor de ko muito difcil de ser obtido.


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e FundaesTabela 1. Correlaes empricas para estimativa de koAutor Equao Observaes

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x = y = 0Teoria da elasticidadeKo =

'x = ' z (1 )

Anderson Borghetti Soares = coeficiente de Poisson TE: 0,25 0,45 0,33 ko 0,82

Jaky (1944)1

2 1 sen ' K o = 1 + sen ' . 3 1 + sen ' forma simplificada:

K o = 1 sen 'Brooker e Ireland (1965)3

Areias Argilas normalmente adensadas Bishop (1958)2 = ngulo de atrito efetivo Argilas normalmente adensadas = ngulo de atrito efetivo

K o = 0,95 sen '

Apud Frana (1976) 4

Apud Ferreira (1982)5 Alpan (1967)6 Massarsch (1979) extenso da frmula de Jaky

1 sen 2 ' 1 + 2 sen 2 ' ' K o = tg 2 45 3 K o = 0,19 + 0,11e Ko =

= ngulo de atrito efetivo

K o = 0,04 + 0,75e

e = ndice de vazios Ip = ndice de plasticidade Ip = ndice de plasticidade

K o = 0,19 + 0,233 log I p 100 K o = (1 sen ' )(OCR )sen 'forma simplificada:

K o = 0,44 + 0,42

Ip

K o = 0,5(OCR )0,5 K o (OC) = K o ( NC).OCR

Argilas pr-adensadas OCR = razo de pr-adensamento Argilas pr-adensadas Ko (OC) = Ko do material pr-adensado; Ko (NC) = Ko do material normalmente adensado; = constante, em regra entre 0,4 e 0,5

Alpan (1967)

Jaky, J. (1944) The Coefficient of Earth Pressure at Rest. Journal of Society of Hungarian Architects and Engineers, Budapest, Hungary, pp. 355-358 2 Bishop, A W. (1958) Test Requeriments for Measuring the Coeficiente of Earth Pressure at Rest. In Proceedings of the Conference on Earth Pressure Problems. Brussels, Belgium, vol.1, pp 2-14. 3 Brooker, E.W. e Ireland, H. (1965) Earth Pressures at Rest Related to Stress History. Canadian Geotechnical Journal, vol.2, n 1, pp 1-15. 4 Frana, H. (1976) Determinao dos Coeficientes de Permeabilidade e Empuxo no Repouso em Argila Mole da Baixada Fluminense. Dissertao de Mestrado. PUC-Rio. 5 Ferreira, H.N. (1982) Acerca do Coeficiente de Impulso no Repouso. Geotecnia, n 35, pp 41-106.Alpan, I. (1967) The Empirical Evaluation of The Coeficient Ko and Kor . Soil and Foundation, Jap. Soc. Soil Mech. Found. Eng., vol.7, n 1, pp 31-40.6

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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes1.1.2. Empuxo passivo x empuxo ativo

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Nos problemas de fundaes, a interao das estruturas com o solo implica a transmisso de foras predominantemente verticais. Contudo, so tambm inmeros os casos em que as estruturas interagem com o solo atravs de foras horizontais, denominadas empuxo de terra. Neste ltimo caso, as interaes dividem-se em duas categorias. A primeira categoria verifica-se quando determinada estrutura construda para suportar um macio de solo. Neste caso, as foras que o solo exerce sobre as estruturas so de naturezaativa. O solo empurra a estrutura, que reage, tendendo a afastar-se do macio. Na Figura 2

esto apresentadas diversas obras deste tipo. Na segunda categoria, ao contrrio, a estrutura que empurrada contra o solo. A fora exercida pela estrutura sobre o solo de natureza passiva. Um caso tpico deste tipo de interao solo-estrutura o de fundaes que transmitem ao macio foras de elevada componente horizontal, como o caso de pontes em arco (Figura 3). Em determinadas obras, a interao solo-estrutura pode englobar simultaneamente as duas categorias referidas. o caso da Figura 4, onde se representa um muro-cais ancorado. As presses do solo suportado imediatamente atrs da cortina so equilibradas pela fora Ft de um tirante de ao amarrado em um ponto perto do topo da cortina e pelas presses do solo em frente cortina. O esforo de trao no tirante tende a deslocar a placa para a esquerda, isto , empurra a placa contra o solo, mobilizando presses de natureza passiva de um lado e presses de natureza ativa no lado oposto. O cmputo da resultante e da distribuio das presses, quer as de natureza ativa, quer as de natureza passiva, que o solo exerce sobre a estrutura, assim como do estado de deformao associado, quase sempre muito difcil. Contudo, a avaliao do valor mnimo (caso ativo) ou mximo (caso passivo) um problema que usualmente ser resolvido por das teorias de estado limite.

(a) Muros de gravidade

(b) Muro de proteo contra a eroso superficial

Figura 2. Exemplos de obra em que os empuxos so de natureza ativa


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Figura 3. Exemplos de obra em que os empuxos so de natureza passiva

Figura 4. Muro-cais ancorado caso em que se desenvolvem presses ativas e passivas.

1.2. Estados de Equilbrio Plstico

Diz se que a massa de solo esta sob equilbrio plstico quando todos os pontos esto em situao de ruptura Seja uma massa semi-infinita de solo seco, no coesivo, mostrada na Figura 5. O elemento est sob condio geosttica. e as tenses atuantes em uma parede vertical, imaginaria ser calculada com base em:

' ho = k o .' vo = k o ..z


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaesonde:ho = tenso efetiva horizontal inicial;

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vo = tenso efetiva vertical inicial;

ko = coeficiente de empuxo no repouso; = peso especfico do solo;

z = profundidade do ponto considerado Como no existem tenses cisalhantes, os planos vertical e horizontal so planos principais. Supondo que haja um deslocamento do diafragma, haver uma reduo da tenso horizontal (h), sem que a tenso vertical sofra qualquer variao. Se o deslocamento do diafragma prosseguir, a tenso horizontal at que ocorra a condio de ruptura. Neste caso, dizse que a regio esta em equilbrio plstico e h atingir seu limite inferior (condio ativa).

v h

z

diafragmaFigura 5. Estado de equilbrio plstico Caso o diafragma se desloque em direo oposta a tenso horizontal ira aumentar at atingir seu valor mximo na ruptura (condio passiva). Neste caso haver rotao de tenses principais ; isto :h = 1 v = 3

A Figura 6 mostra os estados limites em termos de crculos de Mohr e a Figura 7 apresenta as trajetrias de tenses efetivas correspondentes mobilizao dos estados limites ativo e passivo.estado limite ativo: mantendo-se a tenso efetiva vertical constante e diminuindose progressivamente a tenso efetiva horizontal ; estado limite passivo: mantendo-se a tenso efetiva vertical constante e

aumentando-se progressivamente a tenso efetiva horizontal.


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Planos de ruptura

Figura 6. Crculos de Mohr representativos dos estados limites e de repouso

Figura 7. Trajetrias de tenses efetivas associadas aos estados ativo e passivoEstruturas de Conteno Junho 2007 8

Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes1.2.1. Estados de Equilbrio Plstico Localizados

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No desenvolvimento apresentado anteriormente, a massa de solo foi considerada semiinfinita. O movimento do diafragma gerava um estado de equilbrio plstico que em toda a massa de solo. Este quadro no acontece na pratica, a menos que seja originado por foras tectnicas. No caso de muros, os movimentos so localizados e s produzem mudanas nas vizinhanas da estrutura. A regio afetada ser funo do tipo de movimento e das condies de contorno do problema. No caso de muro liso e solo seco, a superfcie de ruptura atende aquelas mostradas na Figura 6 (Figura 8).

Figura 8. Estados plsticos ao longo da parede

1.2.2.

Condies de Deformao

Resultados experimentais mostraram que os estados de equilbrio plstico se desenvolvem quando o deslocamento do muro uniforme ou quando h rotao pela base (Figura 9).


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Por outro lado, se a rotao for pelo topo haver possibilidade de formao de uma superfcie no planar, sem que toda regio atinja equilbrio plstico.

45+/2

45+/2

(a) deslocamento

(b) rotao pela base

Figura 9. Condies de deformao compatveis com estados plsticos

Regio no plastificada Regio plastificada 45+/2

(a) deslocamento

(b) rotao pela base

Figura 10. Rotao pelo topo

O tipo de deslocamento afeta a forma da superfcie de plastificao e conseqentemente interfere na distribuio de tenses. A mostra os diagramas de empuxo para o caso de solos no coesivos, para diferentes condies de deslocamento. Observa-se que sempre que a superfcie for plana a distribuio tambm linear. Para outros casos a distribuio de empuxos passa a ter a forma parablica.


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(a) deslocamento

passivo ativo

=45-/2 =45+/2

h

(

(b) rotao pela baseh

ko ka ativo passivo ativo passivo

(c) rotao pelo topoFigura 11. Distribuio de empuxos


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes1.2.3. Mobilizao dos estados ativo e passivo

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Resultados experimentais indicaram que as deformaes associadas trajetria ativa so significativamente menores que as observadas em trajetrias passivas. A Figura 12 mostra resultados de ensaios aonde observa-se que:estado limite ativo so necessrias deformaes muito pequenas, da ordem de 0,5% deformaes horizontais da ordem de 0,5% so necessrias para mobilizar metade da resistncia passiva; estado limite passivo so necessrias deformaes da ordem de 2%r

=0,5%

50% Ep =0,5%

Figura 12. Ensaios triaxiais em uma areia compacta sob trajetrias de tenses do tipo ativo e passivo (Lambe e Whitman, 1969) Resultados deste tipo so caractersticos de solos granulares compactos. Em solos fofos, as deformaes correspondentes mobilizao da resistncia ao cisalhamento so ainda mais elevadas. De certa forma, as deformaes necessrias para mobilizar o estado ativo so menores do que as necessrias para mobilizar o estado passivo. No estado ativo, o solo sofre uma solicitao de trao. No estado passivo, ocorre a compresso do solo. Os solos possuem resistncia


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compresso, mas no suportam esforos de trao. Sendo assim, basta um pequeno alvio de tenses horizontais para que ocorra a ruptura do solo por trao. importante observar, portanto, que para atingir os estados limites ativo e passivo necessrio haver deslocamento da estrutura. A Tabela 2 apresenta as deformaes mnimas necessrias para a mobilizao dos estados plsticos.

Tabela 2. Deformaes mnimas para mobilizao dos estados plsticosSOLO ESTADO Ativo Areia Argila media Argila rija Passivo Ativo Ativo

MOVIMENTO (Figura 13) Translao Rotao do p Translao Rotao do p Translao Rotao do p Translao Rotao do p

/H (%) 0,1 a 0,5 5,0 > 10 0,4 1a2 2a5

(a) translao

(b) rotao do p

Figura 13. Tipo de movimento

2. TEORIA DE RANKINE (1987)2.1. Hipteses e Formulao Geral

De acordo com a teoria de Rankine, o deslocamento de uma parede ir desenvolver estados limites, plsticos. No momento da ruptura surgem infinitos planos de ruptura e ocorre a plastificao de todo o macio; Em resumo, o mtodo de Rankine (1857) considera o solo em estado de equilbrio plstico e baseia-se nas seguintes hipteses:Solo isotrpico; Solo homogneo; Superfcie do terreno plana; A ruptura ocorre em todos os pontos do macio simultaneamente;


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e FundaesA ruptura ocorre sob o estado plano de deformao; Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: = 0) paralelamente superfcie do terreno A parede da estrutura em contato com o solo vertical

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os empuxos de terra atuam

No caso do afastamento da parede, haver um decrscimo de h, sem alterao de v; as tenses verticais e horizontais continuaro sendo as tenses principais, mxima e mnima, respectivamente. Este processo tem um limite (Figura 6) , que corresponde situao para a qual o macio entra em equilbrio plstico e, por maiores que sejam os deslocamentos da parede, no possvel reduzir mais o valor da tenso principal menor (ha). Neste caso, o solo ter atingido acondio ativa de equilbrio plstico. Nesta condio, a razo entre a tenso efetiva horizontal e

a tenso efetiva vertical definida pelo coeficiente de empuxo ativo, ka, ou seja:

ka =

' ha ' v

Com o deslocamento da parede de encontro ao macio, se observar um acrscimo de h, sem alterao de v. O ponto B se deslocar para a direita, mantendo-se fixo o ponto A (Figura 6). Em determinado instante, a tenso horizontal se igualar tenso vertical, instalando-se no macio um estado de tenses hidrosttico ou isotrpico. Nos estgios seguintes, a tenso

principal maior passa a ser horizontal, ou seja, ocorre uma rotao das tenses principais. Com a continuidade do movimento, a tenso h aumentar at que a razo h/v atinja o limite superior e, consequentemente, a ruptura. Neste caso, o solo ter atingido a condio passiva de equilbrio plstico. Nesta condio, a razo entre a tenso efetiva horizontal e a tenso efetiva vertical definida pelo coeficiente de empuxo passivo, kp, ou seja:

kp =

' hp ' v

A Figura 6 permite ainda determinar as direes das superfcies de ruptura nos estados de equilbrio limite ativo e passivo, ou seja, as direes dos planos onde a resistncia ao cisalhamento do solo integralmente mobilizada. Em ambos os casos, as superfcies de ruptura fazem um ngulo de (45- /2) com a direo da tenso principal mxima (que no caso ativo a tenso vertical e no caso passivo a tenso horizontal).


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes2.2. Macio com superfcie horizontal

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Para o caso de macio com superfcie horizontal, as tenses na ruptura so calculadas (Figura 14) por: = = 1 3 cos ' 2 1 + 3 1 3 sen ' 2 2

Substituindo em = c '+ ' tan ' , chega-se a1 3 + 3 1 3 sen ' cos ' = c '+ 1 sen ' . cos ' 2 2 2 1 3 + 3 1 3 cos ' = c'+ 1 sen ' . tan ' 2 2 2 Multiplicando por cos : 1 3 + 3 = c '. cos '+ 1 2 2 sen '

1 2.c '. cos ' (1 sen ' ) + 1 (1 sen ' ) = c. cos '+ 3 (1 + sen ' ) 3 = 2 2 1 + sen ' (1 + sen ' )

Assumindo v = 1 e h = 3 caso ativo:

h ativo = v

1 sen 1 sen 2c 1 + sen ' h = ' v .k a 2c' k a 1 + sen 4 4 4 1 2 3 14 244 3Ka Kac

Assumindo v = 3 e h = 1 caso passivo: 1 + sen 'h = ' v .k p + 2c ' k p 1 + sen hpassivo = v + 2c 1 sen 4 244 14sen 1 24 3 14 3Kp Kpc


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= c '+' tan '

f 3 f (1-3)/2 1

Figura 14. Circulo de Mohr para solo coesivo

A Tabela 3 resume as equaes associadas Teoria de Rankine Tabela 3. Equaes da Teoria de RankineCaso Equaes Planos

Ativo

hativo = vK a 2c K ac

ka =

1 sen ' ' = tan 2 45 1 + sen ' 2

= 45o +

K ac K akp =

2

Passivo

hpassivo = vK p + 2cK pc

' 1 + sen ' = tan 2 45 + 1 sen ' 2 Kp

= 45 o

K pc =

2

Na Tabela 4 indicam-se valores de ka e kp para diferentes valores de ngulo de atrito. (kp = 1/ka). Observa-se que quanto maior o ngulo de atrito, maior o valor de kp e menor o valor de ka Verifica-se tambm que se =0, os coeficientes de empuxo so iguais a 1 e a equao reduz-se a :

hativo = v 2su

e

passivo = v + 2su

onde Su a resistncia no drenada

Tabela 4. Valores de ka e kp 0 30 45 60 ka 1,00 0,33 0,17 0,07 kp 1,00 3,00 5,83 13,90


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Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes2.3. Empuxo total 2.3.1. Solo No coesivo

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O Empuxo total calculado a partir da integral da distribuio de tenses horizontaisE = h dz0

z

No caso mais simples, considerando um solo homogneo, seco, com c=0 , valor do empuxo ativo total Ea igual a rea do tringulo ABD (Figura 15) e pode ser obtido pela expresso:E a = k a ..z.dz =o h

h 2 .k a 2

(a) ativo

(b) passivo Figura 15. Distribuio de Empuxos (c=0)

Admitindo-se agora, que a parede se desloque contra o terrapleno (Figura 15b). Para que se produza o deslizamento, o empuxo dever ser maior do que o peso do terrapleno. Assim, a tenso principal maior ser horizontal. Neste caso, valor do empuxo ativo Ep igual a rea do tringulo ABD e pode ser obtido pela expresso:E p = k p ..z.dz =o

h

h 2 .k p 2

(16)

Em ambos os casos, o ponto de aplicao do empuxo, caso o macio seja homogneo estar a uma profundidade de 2/3h.17


Faculdade de Engenharia Departamento de Estruturas e Fundaes2.3.2. Solos coesivos

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No caso de solos coesivos, as tenses horizontais (ha e hp) representativas do estados ativo e passivo, podem ser obtida a partir das expresses:

h ativo = v K a 2cK ac h passivo = v K p + 2cK pcNo caso ativo, a distribuio de empuxos se anula a uma determinada profundidade Zo , As tenses horizontais sendo acima dessa profundidade so negativas, conforme mostra a Figura 16. Como o solo no resiste a tenses trativas, surgem trincas nesta regio.

h

ativo

= 0 vK a 2cK ac = 0 Ka

zoK a = 2c K a z o = 2c2. c'.kac Zo Diagrama aproximado H

Zo

H

Zona ativa

ka. .H

Figura 16. Distribuio de empuxos ativos (c0) O empuxo ativo total dado, portanto, por:

h 2K a E a = (k a . v 2cK ac ).dz = (k a .h 2cK ac ).dz = 2chK ac 2 o oh hPelo fato da regio superficial apresentar tenses negativas (Z

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