apostila - derivada1
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DERIVADAS
Derivada como taxa de variação
Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x.
A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y
x0 → f(x0 ) ∆ x = h x
y
∆
∆= taxa de variação da grandeza y
x0 + h → f(x0 +h) ∆ y = f((x0 +h) - f(x0 ) em relação à grandeza x
Se lim x
y
∆
∆existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y
∆ x 0→ em relação à grandeza x.
Fixemos um valor de x = x0
lim x
y
∆
∆= lim
h
x f h x f )()( 00 −+.
∆ x 0→ h→ 0
Esse limite é chamada de derivada de f(x) no ponto de abscissa x = x0 e indicamos por:
f’(x0) = limh
x f h x f )()( 00 −+
h→ 0
Exemplo: Encontre a derivada de f(x) = x2 no ponto de abscissa x = 4
f’(4) = limh
f h f )4()4( −+= lim
h
h 22 )4()4( −+= lim
h
hh 16816 2−++
= limh
hh )8( += 8
h→0 h→0 h→0 h→0
Exercícios:
Calcule a derivada de f(x) no ponto indicado:
1) f(x) = x2 ; x = -2
2) f(x) = 3x + 4 ; x = 4
3) f(x) = 2x – x2 ; x = -2
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4) f(x) = x3 ; x = -1
Derivada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa
x = x0
Significado geométrico da derivada
A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de
derivada.
x
y
∆
∆
= tangente do ângulo que
f(x0 + h) – f(x0) a reta forma com o eixo x
)
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela
tangente à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico da função no ponto x0.
m = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x = x0
lim x
y
∆
∆= mt = f’(x0) = lim
h
x f h x f )()( 00 −+
∆ x 0→ h →0
Inclinação = taxa média de
variação
f
x
f(x)
0 x
X0 + h
h
B
A
Inclinação = taxa instantânea de
variação
x
f(x)
a
B
A
B
B
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Exemplo: Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2
no ponto P(-1, f(-1))
x0 = -1 → f( x0) = f(-1) = (-1)2
= 1. Assim P( -1,1)
m = f’(-1) = limh
f h f )1()1( −−+−= lim
h
h 22 )1()1( −−−= lim
h
hh 1122−+−
= limh
hh )2( −= -2
h →0 h →0 h →0 h →0
m = -2, isto é, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2
no ponto P é igual a (-2).
Podemos também escrever a equação dessa reta tangente utilizando a expressão: y – y0 = m( x – x0)em que x0 e y0 são as coordenadas do ponto P e m é o coeficiente angular.
No exemplo acima, a equação da reta tangente é : y -1 = -2( x +1)
y -1 = -2x -2 ou y = -2x -1
Exercícios.
Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto indicado:1) f(x) = x
2+ x + 1 ; P( 2, f(2))
2) f(x) = x3
– x ; P( -2, f(-2))
Função Derivada
A derivada de uma função f é a função f’ definida por f’(x) = limh
x f h x f )()( −+, desde que o limite exista
h→0
Regras de derivação:
1) Derivada de uma função constante:
f(x) = c
f’(x) = 0
A derivada de uma constante é nula.
2) Derivada de uma função potência:
f(x) = xn
f’(x) = n x
n-1
3) Derivada do produto de uma constante por uma função :
f(x) = c . g(x)
f’(x) = c . g’(x)
4)Derivada de uma soma
f(x) = g(x) + h(x)
f’(x) = g’(x) + h’(x)
5) Derivada de uma diferença:
f(x) = g(x) – h(x)
f’(x) = g’(x) – h’(x)
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6) Derivada de um produto:
p(x) = f(x) . g(x)
p’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)
7) Derivada de um quociente:
q(x) =)(
)(
xg
x f
q’(x) =)(
)(').()(').(2 xg
xg x f x f xg −
Lista de exercícios:
1) Usando a definição de derivada , calcule as derivadas das funções seguintes, para os respectivos valores de x
indicados:
a) f(x) = 3x + 2 ; x = 2
b) f(x) = 5x2- 4x ; x= -1
c) f(x) = 4 – 2x ; x = 1
d) f(x) = 3 – 2x2; x = -1
e) f(x) = x3
; x = 2
f) y= x ; x = 4
2) Seja f(x) = x. Usando ainda a definição ,mostre que f’(x) =1 para todo x real
3) A posição s de um ponto que se move em uma reta é dada por s(t) = 4 t2
+ 3t ( s em metros e t em segundos).
Determine a velocidade de P em t = 1
4) ) Calcule o coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto P(a,f(a)):
a) f(x) = x2
; P(4,f(4))
b) f(x) = 2x3- x
2; P(1,f(1))
c) f(x) = x2
– 1 ; P(1,f(1))
d) f(x) = x3
; P(-1,f(-1))
5) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto indicado:
a) f(x) = 3x2
+ x : P(-1,f(-1))
b) f(x) = x2
– 3x ; P(1, f(1))
c) f(x) = x3
– x2
; P( -1,f(-1))
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6) Utilizando as regras de derivação, calcule f’(x) de cada função dada:
a) f(x)= - x
2
+ 3
b) f(x) = x2
+ x +8
c) f(x) =3
3 x-
42
2 x x+
d) f(x) = x x
532−
e) y = -2t
-1
+ 2
4
t
f) y = ( 3-x2) ( x
3–x +1)
g) f(x) = ( x -1) ( x2
+ x +10)
h) f(x) = ( x2-1) ( x + 5 + )
1
x
i) f(x) =
5,0
42
+
−
x
x
j) y =23
52
−
+
x
x
k) y = ( 1 – t) ( 1+ t2)
-1
7) Usando as regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em P
a) f(x) =21
5
x+P(-2,1)
b) f(x) = 3x2
– 2 x P( 4,44)
8) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t3
-6t2
+ 9t +5.
a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo no instante t R: v(t) = 3t2
-12t +9 ; a(t) + 6t - 12
b) Em que instante o corpo está estacionário? t=1 e t = 3
9)Esboce o gráfico da função f(x) = x2- 4x -5.Use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é
mínima. R: (2,-9)
10)Determine dois números a e b tais que o mínimo da função f(x) = ax2
+ bx seja o ponto (3,-8) R: a = 8/9 e b = -16/3.
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11)Esboce o gráfico de f(x) = 3-2x –x2
e use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é
máxima.
REGRA DA CADEIA
Função Composta;
Sejam f e g funções tais que para todo x do domínio A de g, g(x) está no domínio de f. Define-se a
composta de f e g , indicada por f0g como sendo a função de domínio A, dada por:
(f0g)(x) = f(g(x))
Se g é derivável em x, f é derivável em g(x) e f0g está definida, então
(f0g)’ = f’(g(x)). g’(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) ,então:
ondedu
dyé calculada em u = g(x)
Exemplos:
y = 9x4 + 6x2 +1 = (3x2 +1 )2 é a função composta de y = u2 e u = 3x2 + 1
Calculando as derivadas, temos :
dxdu
dudy . = 2u. 6x = 2(3x2+1) . 6x = (6x2+2 ).6x = 36x2+ 12x
Exercícios:
Encontre as derivadas das seguintes funções:
1) f(x) = (2x+1)5
2) f(x) = ( 4
2
)18 x
x x −+
dx
du
du
dy
dx
dy.=
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3) f(x) = t −3
4) f(x) = (4x+3)4(x+1)-3
Derivadas de ex e lnx
f(x) = ex f(x) = ln x
f’(x) = ex f’(x) = x
1
lim (1+h) h
1
= e e≅ 2,718281
h→0
Exemplos:
1) Encontre a derivada de y = xe x
x+
2(1
)
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = lnx no ponto de abscissa x = 1
3) Calcule a derivada de :
a) ln ( 2x+6)
b) ln ( x2+4)
c) ln ( )1+ x
x
Derivadas das funções trigonométricas:
1) A derivada da função seno é a função cosseno.
f(x) = sen x
f’(x) = cos x
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2) A derivada da função cosseno é o oposto da função seno
f(x) = cos x
f’(x) = - sen x
Derivadas de outras funções trigonométricas:
(tg x)’= sec2
x
(cotg x)’ = - cossec2
x
(sec x)’ = sec x . tg x
(cossec x )’ = - cossec x . cotg x
Exemplos:
Calcule as derivadas das seguintes funções:
1) y = x2
– sen x
2) y = 4 cos x
3) y = t – t2
cos t
4) y= t3
sen t
5) y =3x sen x
6) y = x
senx
7) y = 5 ex
+ cos x
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8) y =senx
x
−1
cos
Lista de exercícios:
1) Calculedx
dyno ponto x = -1 para y = u
3– 3u
2+ 1 e u = x
2+2 R: 6x
3(x
2+2)
2) Calculedx
dyno ponto x = 1 para y =
1+u
ue u = 3x
2-1 R: 2/3
3) Calcule a derivada da função f(x) = 232++ x x R:
232
32
2
++
+
x x
x
4) Calcule a derivada de f(x) =5)32(
1
+ xR: -
6)32(
10
+ x
5) Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta:
a) f(x) = (2x+1)4
R: 8( 2x+1)3
b) f(x) = (x5
– 4x -7)8
R: 8x2( x
5- 4x
3-7)
7(5x
2-12)
c) f(t) =265
12
+− t t R:
22 )265()35(2
+−
−−
t t t
d) f(x) = (x+2)3(2x-1)
5R: ( x+2)
2((2x-1)
4(16x+17)
e) f(x) =4
5
)1(
)1(
x
x
−
+R:
5
4
)1(
)9()1(
x
x x
−
−+
f) f(x) = x
x
41
13
−
+R:
2
3
)41(
65
x
x
−
−
g) f(x) = sen(x2+2) R: 2x cox(x
2+2)
h) f(x) = cos ( 5 x3) R: -15 x
2. sem( 5x
3)
6) Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto indicado pelo valor
de x:
a) f(x) = (3x2+1)
2; x = -1 R; y = -48x -32
b) f(x) = (x + )1 x
; x = 1 R: y = 32
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c) f( x) =6)12(
1
− x; x = 1 R: y = -12x +13
7) Determine todos os valores de x para os quais a reta tangente à função dada é horizontal:
a) f(x) = (x2+ x)
2R: x = 0; x = -1; x = -1/2
b) f(x) = 2)23( − x
xR: x = -2/3
c) f(x) = 542+− x x R: x = 2