GAMAESCOLA TÉCNICA PROFISSIONALIZANTE

Curso Técnico em Segurança do Trabalho

MANUAL DE MATEMÁTICA

Professor: Renato César do Carmo Canesso

I Módulo

1º Semestre de 2013 1. Introdução

A Estatística é uma ciência cujo campo de aplicação estende-se a muitas áreas do conhecimento humano. Entretanto, um equívoco comum que deparamos nos dias atuais é que, em função da facilidade que o advento dos computadores nos proporciona, permitindo desenvolver cálculos avançados e aplicações de processos sofisticados com razoável eficiência e rapidez, muitos pesquisadores consideram-se aptos a fazerem análises e inferências estatísticas sem um conhecimento mais aprofundado dos conceitos e teorias. Tal prática, em geral, culmina em interpretações equivocadas e muitas vezes errôneas... Em sua essência, a Estatística é a ciência que apresenta processos próprios para coletar, apresentar e interpretar adequadamente conjuntos de dados, sejam eles numéricos ou não. Pode-se dizer que seu objetivo é o de apresentar informações sobre dados em análise para que se tenha maior compreensão dos fatos que os mesmos representam. A Estatística subdivide-se em três áreas: descritiva, probabilística e inferencial. A estatística descritiva, como o próprio nome já diz, se preocupa em descrever os dados. A estatística inferencial, fundamentada na teoria das probabilidades, se preocupa com a análise destes dados e sua interpretação. A palavra estatística tem mais de um sentido. No singular se refere à teoria estatística e ao método pelo qual os dados são analisados enquanto que, no plural, se refere às estatísticas descritivas que são medidas obtidas de dados selecionados. A estatística descritiva, cujo objetivo básico é o de sintetizar uma série de valores de mesma natureza, permitindo dessa forma que se tenha uma visão global da variação desses valores, organiza e descreve os dados de três maneiras: por meio de tabelas, de gráficos e de medidas descritivas. A tabela é um quadro que resume um conjunto de observações, enquanto os gráficos são formas de apresentação dos dados, cujo objetivo é o de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. Para ressaltar as tendências características observadas nas tabelas, isoladamente, ou em comparação com outras, é necessário expressar tais tendências através de números ou estatísticas. Estes números ou estatísticas são divididos em duas categorias: medidas de posição e medidas de dispersão.

2. Conceitos Fundamentais

A estatística trabalha com dados, os quais podem ser obtidos por meio de uma população ou de uma amostra, definida como: População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da população que podem ser animados ou inanimados. Amostra: subconjunto de elementos de uma população. Este subconjunto deve ter dimensão menor que o da população e seus elementos devem ser representativos da população. A seleção dos elementos que irão compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhecimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis. A estatística inferencial é a área que trata e apresenta a metodologia de amostragem. Em se tratando de conjuntos-subconjuntos, estes podem ser: Finitos: possuem um número limitado de elementos. Infinitos: possuem um número ilimitado de elementos. Segundo Medronho (2003), elemento significa cada uma das unidades observadas no estudo. Após a determinação dos elementos pergunta-se: o que fazer com estes? Pode-se medi-los, observá-los, contá-los surgindo um conjunto de respostas que receberá a denominação de variável. Variável: é a característica que vai ser observada, medida ou contada nos elementos da população ou da amostra e que pode variar, ou seja, assumir um valor diferente de elemento para elemento. Não basta identificar a variável a ser trabalhada, é necessário fazer-se distinção entre os tipos de variáveis: - Variável qualitativa: é uma variável que assume como possíveis valores, atributos ou qualidades. Também são denominadas variáveis categóricas. - Variável quantitativa: é uma variável que assume como possíveis valores, números. Cada uma dessas variáveis pode ser subclassificada em: - Variável qualitativa nominal: é uma variável que assume como possíveis valores, atributos ou qualidades e estes não apresentam uma ordem natural de ocorrência.

Exemplo: meios de informação utilizados pelos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da escola: televisão, revista, internet, jornal. - Variável qualitativa ordinal: é uma variável que assume como possíveis valores atributos ou qualidades e estes apresentam uma ordem natural de ocorrência. Exemplo: estado civil dos alunos da disciplina Estatística do curso de Estatística da escola: solteiro, casado, separado. - Variável quantitativa discreta: é uma variável que assume como possíveis valores números, em geral inteiros, formando um conjunto finito ou enumerável. Exemplo: número de reprovas, por disciplina, dos alunos da disciplina Estatística do curso de mineração: 0, 1, 2, ..... - Variável quantitativa contínua: é uma variável que assume como possíveis valores números, em intervalos da reta real e, em geral, resultantes de mensurações. Exemplo: peso (quilogramas) dos alunos da disciplina Estatística do curso de metalurgia: 58, 59, 63.....

3. Nivelamento: cálculos básicos

3.1. Arredondamento

Nos trabalhos relacionados à Estatística, Matemática Financeira entre outras situações cotidianas relacionadas ao uso de números, usamos algumas técnicas de arredondamento. Para efetuarmos o arredondamento de um número podemos utilizar as seguintes regras: 

Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a cinco, acrescentamos uma unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua esquerda.  Se o algarismo a ser eliminado for menor que cinco, devemos manter inalterado o algarismo da esquerda. 

Exemplos Vamos arredondar os números a seguir, escrevendo-os com duas casas à direita da vírgula: 

a) 9,756 → o número a ser eliminado será o 6 e é maior que cinco, então somamos à casa da esquerda uma unidade, dessa forma o número pode ser escrito da seguinte maneira: 9,76 b) 10,261 → o algarismo eliminado será o 1 e é menor que cinco, então não devemos modificar o numeral da esquerda. Portanto o número deverá ser escrito assim: 10,26 Nos casos de arredondamentos sucessivos, as regras continuam valendo, por exemplo, escrever o número decimal 2,36935 das seguintes maneiras:Quatro casas decimais: eliminaremos o algarismo 5 e acrescentaremos uma unidade à casa da esquerda: 2,3694 Três casas decimais: eliminaremos o algarismo 4 e não modificaremos o número da esquerda: 2,369 Duas casas decimais: eliminaremos o algarismo 9 e acrescentaremos uma unidade à casa da esquerda: 2,37 Em algumas áreas de conhecimento, como a Metrologia, ciência que provê a utilização de técnicas que permitem que grandezas físicas e químicas sejam quantificadas, os arredondamentos seguem uma normativa do IBGE, pois nessa ciência qualquer valor, por menor que seja, pode provocar alterações consideráveis. Veja a tabela de arredondamento de valores:

3.2. Notação Científica

A notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. O segredo é multiplicar um numero pequeno por uma potência de 10.A forma de uma Notação científica é: m . 10 e, onde m significa mantissa e e significa ordem de grandeza. A mantissa SEMPRE será um valor em módulo entre 1 e 10.

TransformandoPara transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:200 000 000 000 » 2,00 000 000 000, note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, então em notação cientifica este numero fica: 2 . 1011.Para com valores muito pequenos, é só mover a vírgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza: 0,0000000586 » movendo a virgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 . 10-8

3.3. Regra de Três e Porcentagens

Algumas situações envolvendo porcentagem podem ser resolvidas utilizando a regra de três simples. Entendemos por porcentagem uma razão centesimal (fração com denominador igual a 100) que é denominada taxa percentual, a qual é representada pelo símbolo % (por cento). Por exemplo, se temos 45%, podemos representá-lo das seguintes formas: 

45% = 45/100 ou 9/20 ou 0,45 

Sempre que utilizarmos a regra de três no intuito de determinar porcentagens, devemos relacionar a parte do todo com o valor de 100%. Alguns exemplos demonstrarão como devemos proceder a uma regra de três envolvendo cálculos percentuais. 

Obs.: Nas situações envolvendo porcentagens realizamos a multiplicação cruzada, por ser uma grandeza diretamente proporcional. 

Condições Procedimentos Exemplos

< 5O último algarismo a permanecer fica inalterado.

53,24 passa a 53,2

> 5Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer.

42,87 passa a 42,9

25,08 passa a 25,1

53,99 passa a 54,0

Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer.

2,352 passa a 2,4

25,6501 passa a 25,7

76,250002 passa a 76,3

= 5

Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

24,75 passa a 24,8

24,65 passa a 24,6

24,7500 passa a 24,8

24,6500 passa a 24,6

Exemplo 1 

Determine o valor de 95% de R$ 105,00

100% ---- 10595% ---- x

100x = 95*105 100x = 9975 x = 9975/100 x = 99,75 reais 

Portanto, 95% de R$ 105,00 é igual a R$ 99,75. 

Exemplo 2 

Em uma sala de 40 alunos foi realizada uma pesquisa, a qual apontou que 30 alunos gostam de praticar esportes. Qual é a porcentagem de alunos que gostam de esportes? 

100% ----- 40 x ----- 30

40x = 100 * 30 40x = 30000 x = 3000/40 x = 75% 

Temos que 75% dos alunos dessa classe gostam de esportes. 

Exemplo 3

Uma conta de restaurante, incluindo os 10% de serviço, ficou em R$ 143,00. Qual o valor da conta sem a taxa de serviço? 

100% ----- x110% ----- 143

110x = 143 * 100 110x = 14300 x = 14300/110 x = 130 

A conta sem o valor do serviço é de R$ 130,00. 

Exemplo 4 

Considerando que a população de um país é de cerca de 180 milhões de habitantes, e que 38 milhões são considerados fumantes, qual a porcentagem de fumantes no país referido?

100% ----- 180 x ----- 38 

180x = 3800 x = 3800/180 x = 21,1 

A porcentagem de fumantes no país referido é de aproximadamente 21,1%.

A regra de três é usada nas situações de proporcionalidade utilizando de três valores dados para o cálculo do quarto valor. A regra de três é muito utilizada na Física e na Química para o cálculo de conversão de grandezas: velocidade, massa, volume, comprimento, área. A regra de três pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente proporcional. Além disso, constantemente é aplicada nos cálculos estatísticos, desde os mais básicos até aqueles mais elaborados. Exemplo:

4. Medidas Estatísticas Para Dados Não Agrupados

4.1. Média Aritmética

A média aritmética é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. Surge do resultado da divisão do somatório dos números dados pela quantidade de números somados. 

ExemploDeterminar a média dos números 3, 12, 23, 15, 2. Ma = (3+12+23+15+2) 5Ma = 55 5Ma = 11 A média dos números é igual a 11. 

4.2. Média Ponderada

Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias diferentes.Na média simples os valores são somados e divididos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.

ExemploNa escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0 2º Bimestre: 6,03º Bimestre: 8,0 4º Bimestre: 7,5

 A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

4.3. Média Geométrica

Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:

4.4. Média Harmônica

A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados:

Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média harmônica de 2, 6 e 8:

Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado. Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.

4.5. Moda

Estatística trabalha com diversas informações que são dispostas por meio de gráficos e tabelas e com diversos números que representam e caracterizam um determinado grupo. Dentre todas as informações, podemos retirar valores que representem, de algum modo, todo o grupo. Esses valores são determinados de “valores de tendência central”.Entre estes valores temos a moda. Moda é uma medida de tendência central, definida como o valor mais frequente de um grupo de valores, ou seja, o valor de maior ocorrência dentre os valores observados. A representação da moda é dada por Mo.Compreender tudo isso apenas pela teoria não é muito interessante, portanto, vejamos alguns exemplos para que possamos melhor compreender a definição de moda.

Exemplo

Os dados a seguir remetem à idade dos alunos de uma sala de aula.12-11-13-12-12-12-11-10-13-13-12-13-11-12-12-12

Vejamos a quantidade de alunos para cada idade.10 anos – 1 aluno11 anos – 3 alunos12 anos – 8 alunos13 anos – 4 alunos.

Com isso, temos que Mo=12, ou seja, a moda da idade dos alunos é 12 anos.

4.6. Mediana

A mediana é caracterizada pelo termo do meio em uma sequência crescente de valores. Para estabelecer a mediana precisamos levar em conta o número par ou ímpar de elementos. Caso o número de elementos seja par, devemos somar os dois elementos centrais e realizar a divisão por dois, obtendo o valor da mediana. Nas situações em que o número de elementos é ímpar, basta escolher o elemento central.

ExemplosNúmero de elementos é Par

Observe a altura, em centímetros, de oito crianças: 119, 120, 121, 121, 123, 124, 124, 128. 

 

Termo central: 121 + 123 = 122 cm 2Número de elementos é Ímpar

Os 17 alunos do 8º ano de uma escola obtiveram as seguintes notas: 71, 40, 86, 55, 63, 70, 44, 90, 37, 68, 53, 55, 57, 60, 82, 91, 62.

4.7. Variância e Desvio Padrão

Observe as notas de três alunos em avaliações de estatística:

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0 Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0 Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0 

Ao calcular a média das notas dos três alunos iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos mesmos. Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise. 

Variância A variância é calculada subtraindo o valor observado do valor médio. Essa diferença é quanto um valor observado se distância do valor médio. Observe os cálculos: 

Aluno A

Aluno B

Aluno C 

Desvio PadrãoÉ calculado extraindo a raiz quadrada da variância.

Aluno A √2,667 = 1,633 

Aluno B √ 0,667 = 0,817 

Aluno C √2 = 1,414 

Podemos notar que o aluno B possui uma melhor regularidade nas notas.

5. Representações Gráficas

Os vários tipos de representação gráfica constituem uma ferramenta importante, pois facilitam a análise e a interpretação de um conjunto de dados. Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação (jornais, revistas, internet) e estão ligados aos mais variados assuntos do nosso cotidiano.Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos interpretar as informações. Os dados coletados e distribuídos em planilhas

podem ser organizados em gráficos e apresentados de uma forma mais clara e objetiva.Várias instituições financeiras espalhadas pelo mundo (Bovespa, BM&F, Down Jones, Nasdaq, Bolsa de Nova York, Frankfurt, Hong-Kong, etc.) fazem uso dos gráficos para mostrar a seus investidores os lucros, os prejuízos, as melhores aplicações, os índices de mercado, variação do Dólar e do Euro (moedas de trocas internacionais), valorização e desvalorização de ações, dividendos, variação das taxas de inflação de países e etc.O recurso gráfico possibilita aos meios de comunicação a elaboração de inúmeras ilustrações, tornando a leitura mais agradável.

Gráfico de segmentos

Observe a tabela que mostra a venda de livros de uma livraria no primeiro semestre de determinado ano:

O gráfico de segmento é utilizado principalmente para mostrar crescimento, decréscimo ou estabilidade.

Gráfico de Barras e de colunas

A tabela a seguir mostra o desempenho em Matemática dos alunos de uma determinada série:

Gráfico de setores

6. Erro Padrão da Estimativa

Ao se obter uma amostra qualquer de tamanho n, calcula-se a média aritmética populacional. Provavelmente, se uma nova amostra aleatória for realizada, a média aritmética obtida será diferente daquela da primeira amostra. A variabilidade das médias é estimada pelo seu erro padrão. Assim, o erro padrão avalia a precisão do cálculo da média populacional.O erro padrão é dado pela fórmula:

Onde,Sx → é o erro padrãos → é o desvio padrãon → é o tamanho da amostra

Observação: quanto melhor a precisão no cálculo da média populacional, menor será o erro padrão. 

Exemplo 1. Numa população obteve-se desvio padrão de 2,64 com uma amostra aleatória de 60 elementos. Qual o provável erro padrão?

Solução:

Isso indica que a média pode variar 0,3408 para mais ou para menos.

Exemplo 2. Numa população obteve-se desvio padrão de 1,32 com uma amostra aleatória de 121 elementos. Sabendo que para essa mesma amostra obteve-se uma média de 6,25, determine o valor mais provável para a média dos dados.

Solução: Para determinarmos o valor mais provável da média dos dados devemos calcular o erro padrão da estimativa. Assim, teremos:

Finalizando, o valor mais provável para a média dos dados obtidos pode ser representado por:

7. Tabela de Frequência

Uma distribuição de frequência é um método de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem) de dados em cada classe. Com isso, podemos resumir e visualizar um conjunto de dados sem precisar levar em conta os valores individuais. Uma distribuição de frequência (absoluta ou relativa) pode ser apresentada em tabelas ou gráficos.

Construindo uma distribuição de frequênciaAdotemos o conjunto de dados que represente a população e ordene em ordem crescente ou decrescente.

Determine a Quantidade de classes (k)Regra de Sturges (Regra do Logaritmo): k = 1 + 3,3log(n)

Calcule a amplitude das classes (h)

L = Xmáx – Xmín

Calcule a amplitude (largura) da classe: h = L / k

Organização da Tabela de Frequência

1ª Coluna: número de classes.2ª Coluna: intervalo das classes (fechado à esquerda e aberto à direita)3ª Coluna: Ponto Médio (X máximo – X mínimo)

24ª Coluna: Frequência Simples: contagem de quantos elementos se enquadram em cada intervalo.5ª Coluna: Frequência Simples Relativa: frequência simples dividida pelo total da amostra (n).6ª Coluna: Frequência Simples Relativa Percentual: frequência simples relativa multiplicada por 100.7ª Coluna: Frequência Acumulada: somatório das frequências simples (adição em diagonais para baixo).8ª Coluna: Frequência Acumulada Relativa: frequência acumulada dividida por n.9ª Coluna: Frequência Acumulada Relativa Percentual: frequência acumulada relativa multiplicada por 100.10ª Coluna: ponto médio vezes a frequência simples de cada classe.11ª Coluna: quadrado de Xifi (Xi

2fi).

A tabela será sempre organizada dessa maneira:

Observações:

Deve-se arredondar a amplitude de classe sempre que necessário; Em alguns casos faz-se necessário adicionar mais uma classe, ainda que K tenha sido igual a um valor menor consecutivo; O limite superior da última classe nunca poderá ser menor ou igual ao maior valor da amostra, utilizando o limite exclusive à direita.

8. Medidas Estatísticas Para Dados Agrupados

8.1. Média

Legenda e Procedimento:

8.2. Mediana

Legenda e Procedimento:

8.3. Moda

Legenda e Procedimento:

8.4. Variância e Desvio Padrão

Legenda e Procedimento:

8.5. Coeficiente de Variação

Legenda e Procedimento:

8.6. Erro Estimado

Legenda e Procedimento:

8.7. Decil

Legenda e Procedimento:

8.8. Quartil

Legenda e Procedimento:

8.9. Percentil

Legenda e Procedimento:

8.10. Amplitude Semi-interqualítica

Legenda e Procedimento:

8.11. Curtose

Legenda e Procedimento:

8.12. Assimetria

Legenda e Procedimento:

Considerações Sobre Média, Moda e Mediana

Média: Dada uma população constituída de N elementos, X1, X2, ..., XN sua média, denotada por μ , mede o valor médio do conjunto de dados, sendo expressa na mesma unidade

VANTAGENS E DESVANTAGENS DA MÉDIA1. É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores de um conjunto de dados, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas. Ou seja, é grandemente influenciada pelos valores extremos (grandes) do conjunto.2. Não pode ser calculada para distribuições de frequências com limites indeterminados (indefinidos).3. É o promédio mais conhecido e de maior emprego.4. É facilmente calculável.5. Pode ser tratada algebricamente (ver propriedades).6. Serve para compararmos conjuntos semelhantes.7. É particularmente indicada para séries (conjuntos) que possuem os valores simétricos em relação a um valor médio e de frequência máxima.8. Depende de todos os valores do conjunto de dados.

Moda: Dado um conjunto de valores, a moda, denotada Mo, é o valor que ocorre com maior frequência, ou seja, é o valor mais frequente do conjunto de dados. A moda de um conjunto de dados pode não existir (figura a) A moda de um conjunto de dados pode não ser única (figura c)

VANTAGENS E DESVANTAGENS DA MODA1. Não depende de todos os valores do conjunto de dados, podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns deles.2. Não é influenciada por valores extremos (grandes) do conjunto de dados.3. Pode ser calculada para distribuições com limites indeterminados (indefinidos) na maioria dos casos.

Mediana: Considere uma série (conjunto de dados) ordenada, constituído de n valores. A mediana, denotada Md, é o valor que divide o conjunto em duas partes iguais ( isto é, em duas partes de 50% cada).

PROPRIEDADES DA MEDIANA A mediana não é influenciada por valores extremos (grandes) de uma série ou conjunto de dados.

A mediana de uma série de dados agrupados de classes extremas indefinidas pode ser calculada.

1. Classifique as variáveis (qualitativa nominal, qualitativa ordinal, quantitativa discreta, quantitativa contínua):a) Vitamina (A, B1, B2, B6, B12)b) Quantidade de caloria na batata frita. c) Desfecho de uma doença (curado, não curado)d) Classificação de uma lesão (lesão fatal; severa; moderada; pequena).e) Grupo sanguíneo (A,B,AB,O).f) Paridade (primeira gestação, segunda gestação, terceira...).g) Estado geral de um paciente (bom, regular, ruim).h) Número de nascidos vivos em certo hospital em junho/99.i) Idade.j) Concentração de flúor na água.k) Atividade esportiva preferida.

2. Classifique as variáveis abaixo:a) Tempo para fazer um teste.b) Número de alunos aprovados por turma.c) Nível socioeconômico d) QI (Quociente de inteligência).e) Sexof) Gastos com alimentação.g) Opinião com relação à pena de morteh) Religião i) Valor de um imóvelj) Conceitos em certa disciplinak) Classificação em um concurso.

3. Assinale a assertiva correra em cada questão:

I. População ou Universo é:( ) Conjunto de pessoas.( ) Conjunto de indivíduos apresentando uma característica especial.

( ) Conjunto todos os indivíduos apresentando uma característica comum objeto de estudo.

II. A variável é discreta quando:( ) Dados dois valores reais, podemos encontrar pelo menos um valor entre eles.( ) Dados dois valores reais, não podemos encontrar valores entre eles.( ) Dados dois valores reais, a diferença entre eles é zero.

III. As fases principais do método estatístico são:( ) Coleta dos dados, amostragem, apresentação tabular e apresentação gráfica e definição dos problemas.( ) Amostragem, apresentação tabular, apuração dos dados, interpretação dos dados e planejamento.( ) Definição do problema, planejamento, coleta dos dados, apuração, apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados.

IV. A séria Estatística é chamada cronológica quando:( ) O elemento variável é o tempo. ( ) O elemento variável é o local.( ) Não tem elemento variável.

V. A amplitude total é:( ) A diferença entre dois valores quaisquer de um conjunto de valores.( ) A diferença entre o maior e o menor valor observado da variável dividido por 2.( ) A diferença entre o maior e menor valor observado da variável.

VI. Para obter o ponto médio de uma classe:( ) Soma-se ao seu limite superior metade de sua amplitude.( ) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude.( ) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude e divide-se o resultado por 2.

VII. Frequência simples absoluta de um valor da variável é:( ) O número de repetições desse valor.( ) A porcentagem de repetições desse valor.( ) O número de observações acumuladas até esse valor.

Exercícios – Parte I

VIII. Frequência total é:( ) O número de repetições de um valor da variável.( ) A soma das frequências simples absoluta.( ) A somadas frequências relativas menos as frequências absolutas.

4. Considerando os conjuntos de dados abaixo, calcule a média aritmética, a mediana e a moda.a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7.c) 51.6, 48.7, 50.3, 49.5, 48.9.d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14.

5. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de uma faculdade:

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161161 162 163 163 163 164 165 165 165 166166 166 166 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 168 168 168 168 169 169169 169 169 169 169 170 170 170 170 170170 170 171 171 171 171 172 172 172 173173 173 174 174 174 175 175 175 175 176176 176 176 177 177 177 177 178 178 178179 179 180 180 180 180 181 181 181 182182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Determine:

a) a amplitude amostral;b) o número de classes;c) a amplitude de classes;d) os limites de classes;e) as frequências absolutas das classes;f) as frequências relativas;g) os pontos médios das classes;h) as frequências acumuladas;i) o histograma e o polígono de frequência;j) o polígono de frequência acumulada;

6. Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente.a) Para avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação no Estado de São Paulo, mães de recém-nascidos durante o primeiro semestre de 2005, foram perguntadas a respeito da última vez que vacinaram seus filhos;b) Para verificar a audiência de um programa de TV no Brasil, indivíduos foram entrevistados com relação ao canal em que estavam sintonizados;c) A fim de avaliar a intenção de voto para presidente do Brasil, pessoas foram entrevistadas em cidades brasileiras.

7. Classifique o tipo de variável para os itens abaixo.a) Marca de antitérmico preferida;b) Grau de satisfação com um produto alimentício;c) Peso de grãos exportados;d) Renda familiar;e) Grau de escolaridade;f) Número de computadores em um laboratório de informática.

8. Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de contabilidade de uma empresa, fornecendo os dados apresentados na tabela. Pede-se: Classifique cada uma das variáveis dada na tabela.

9. Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa (nominal/ordinal) ou quantitativa (discreta/contínua).a) Intenção de voto para presidente (possíveis respostas são os nomes dos candidatos, além de não sei);b) Grau de satisfação de clientes com relação ao serviço prestado por uma empresa de consultoria (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito);c) Volume de petróleo extraído por hora de uma jazida.

10. Você foi contratado para ser coordenador de uma equipe de profissionais com a missão de realizar uma pesquisa eleitoral. Que informações de ordem qualitativa e quantitativa você acha necessário? Cite algumas.

11. Classifique as variáveis abaixo em qualitativas nominais (N), qualitativas ordinais (O), quantitativas contínuas (C), ou quantitativas discretas (D). a) Cor dos olhos das alunas do 2º C... ( )b) Índice de liquidez nas indústrias capixaba... ( )c) Produção de café no Brasil... ( )d) Número de defeitos em aparelhos de TV... ( )e) Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa... ( )f) O ponto obtido em cada jogada de um dado... ( )g) Grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa... ( )h) Sexo ( ) i) Idade ( )j) número de alunos ( )k) salário ( )l) grau de escolaridade ( )m) temperatura ( )n) religião ( )o) raça ( )p) estatura ( )q) nível sócio econômico ( )r) parasitos em um peixe (quantidade) ( )

12. A mediana da série de dados { 1, 3, 8, 15, 10, 12, 7 } é : a) igual a 15 b) igual a 10 c) igual a 8 d) igual a 3,5 e) não há mediana, pois não existe repetição de valores.

13. Segundo o site de VEJA na Internet, 28% da população brasileira é de origem africana, 32% de origem portuguesa, 20% de origem italiana e 20% de outras origens. Qual é a moda quanto à origem?

a) 32% b) 20% c) 32% da população. d) origem portuguesa. e) não podemos identificar a moda por falta de dados.

14. Na série de dados formada por { -1 , -2 , 3 , 4 }: a) a mediana está entre -2 e 3. b) a mediana é 0,5. c) as questões a e b estão corretas. d) a mediana é 2. e) não existe mediana, pois não há dados repetidos.

15. Na série de dados formada por { 3 , 1 , 2 , 3 , 6 }: a) mediana > moda > média. b) moda < média < mediana. c) moda = mediana = média. d) mediana = média e não há moda. e) média > mediana e não há moda

16. Quando desejamos o ponto médio exato de uma distribuição de frequência, basta calcular: a) o desvio médio. b) a média. c) a moda. d) a mediana. e) qualquer medida de posição

17. Considere uma amostra com 2351 dados (elementos). A “posição” da mediana é representada pelo: a) 1175º elemento. b) 1176º elemento. c) ponto médio entre o 1175º e o 1176º elemento. d) 1175,5º elemento. e) impossível resolução, pois não há identificação dos elementos.

18. Qual medida de tendência central deve ser usada para representar amostras que possuem dados muito discrepantes (diferentes) entre si? a) moda b) medianac) média d) amplitude e) nenhuma delas

19. As notas finais de uma prova da disciplina estatística foram:

7,5,4,5,6,3,8,4,5,4,6,4,5,6,4,6,6,3,8,4,5,4,5,5,6

Separe os dados em dois grupos, os aprovados (>=5) e os reprovados.a) Organize os dados, calcule a média, a mediana e a moda dos dois grupos;b) Compare o desvio padrão do conjunto de dados dos dois grupos.

20.Estabeleça quais dos dados seguintes são discretos e quais são contínuos:a) Número de ações vendidas na bolsa de valoresb) Temperaturas registradas a cada meia hora em um posto de meteorologiac) Meia vida média das amostras de medicamentosd) Diâmetros de 1000 parafusos produzidos por uma fábricae) Quantidade de pessoas no carnaval de Olindaf) Cor dos cabelosg) Número de filhosh) Comprimento de peças produzidas por certa máquina

21. O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 320 meninas e 280 meninos deseja passar um questionário socioeconômico para uma amostra correspondente a 10% da clientela. Qual é o número de elementos componentes da amostra?

22. Classifique as série de acordo com a característica modal, indicando os valores. a) 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19b) 56, 58, 60, 60, 60, 62, 6521c) 47, 45, 90, 90, 47, 90, 47, 45, 41, 45

23. Para as amostras abaixo, determine média, mediana, moda, ponto médio, desvio médio, variância e desvio padrão. Compare os desvios padrão. a)

b)

24. Utilizando as regras de arredondamento em duas casas decimais, em qual das alternativas o arredondamento está INCORRETO? a) 68,485 = 68,49 b) 131,999 = 132,00 c) 187,775 = 187,78 d) 74,445 = 74,44

25. Considerando o conjunto de informações Z = {0, -1, -2, 5, 4, -3, -7, 2, -4, 6}, é correto afirmar: a) A média é 3,4 e a variância 16. b) A média é zero e a variância 17,9. c) A média é zero e a variância 16. d) A média é 3,4 e a variância 4.

26. Transforme em notação científica:a) 0,000012 (com apenas uma casa decimal)b) 134,876 (com apenas duas casas decimais)c) 13 (com apenas uma casa decimal)d) 1234 (com quatro casas decimais)

Agora, determine o produto:

0,000012 x 134,876 x 13 x 1234

27. Passe os número abaixo para notação científica fazendo os arredondamentos necessários para duas casas após a vírgula: a) 8.240,004 b) 0,5806 c) 9.001 d) 0,00009008x103 e) 6980x10-6

28. Efetue as operações abaixo observando as regras de arredondamento: a) 5,42 + 3,2 b) 0,680 + 96,0000 c) 42,310 – 22,6 d) 10,5 x 3,072 e) 9,8012 0,94 f) 62,58 x 876,0002

29. Escreva os números abaixo em notação cientificaa) A distância média entre o Sol e a Terra é de 149 600 00 Km.b) A massa do Sol é de aproximadamente1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kg.c) O diâmetro do Sol é 1 390 000 Km.d) A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000 000 m/s.e) O raio de um átomo é de 0,00000000005 mm.

30. 41.000 × 10-5 + 3 × 10-4 é igual:a) 0,4013. b) 0,4103. c) 0,0413. d) 0,44. e) 0,044.

31. Efetue as seguintes operações, colocando as respostas em notação científica:a) b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

32. Escreva os seguintes números em notação científica: a) =b) =c) =d) =e) =f) =g) =

h) =

i) =

j) =

k) =

l) =

1. Uma escola faz uma pesquisa sobre o tempo, em horas, que os estudantes dedicam ao estudo durante o dia, fora da aula. Com uma amostra aleatória de 60 estudantes, obtiveram-se os dados da tabela de frequência a seguir. Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão e classifique a assimetria da distribuição de frequência obtida. Determine, também, o coeficiente de curtose e a classificação da curva.

2. O termo refratário é atribuído a um grupo de materiais, em sua maioria cerâmicas, capazes de suportar altas temperaturas sem perder suas propriedades físico-químicas, entre elas, resistência, alta condutividade térmica e condutividade elétrica. Usualmente são encontrados em fornos industriais, de laboratórios de pesquisa e ensino, caldeiras, fornos domésticos e churrasqueiras (tijolo refratário), entre outras aplicações.

Abaixo são dadas variáveis relativas às temperaturas (em 1000 ºC) suportadas por 50 refratários distintos da indústria metalúrgica em que você é o técnico em metalurgia responsável pelos dados estatísticos necessários às inferências técnicas necessárias. As anotações, num período qualquer, foram registradas:

5 5 5 6 6 6 7 7 7 7

7 8 8 8 8 8 8 8 9 9

10 10 10 10 10 11 11 11 11 12

12 12 12 12 12 12 12 12 13 14

14 14 14 14 14 14 15 16 19 22

Com base nessas informações, construa a tabela de frequências para essa amostra e responda às questões que seguem:

a) Classifique a variável abordada e justifique sua resposta.

b) Sabe-se que para se calcular a moda em uma tabela de frequência, considera-se a classe com maior frequência e aplica-se a seguinte fórmula dada abaixo, onde Mo é a moda, li é o limite inferior da classe com maior frequência, h é a amplitude de classe. Sendo assim, qual a porcentahem de máquinas que suportam temperaturas inferiores ao valor modal?

3. Complete a tabela de frequência abaixo:

Exercícios – Parte II

Explique: o que implica ao usarmos o espaço intervalar da forma que é mostrada na tabela de frequência ( )?

4. Complete a distribuição de frequência abaixo:

5. Dada a tabela de distribuição de frequência abaixo, complete a coluna faltosa e acrescente as duas colunas necessárias de modo que seja possível calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação:

6. Explique qual o primeiro passo ou procedimento que deve ser efetuado quando pretende-se calcular a mediana de uma amostra com dados agrupados. Explique, também, o que ocorre quando é coincidente o valor encontrado nessa etapa com uma das frequências acumuladas.

7. Dado o rol abaixo, faça o que se pede:

a) Sabe-se que trata-se de uma variável quantitativa. Com base apenas nos dados apresentados, pode-se dizer que a variáel é discreta? Justifique sua resposta.

b) Calcule o número de classes da distribuição de frequência para essa amostra (APRESENTE A FÓRMULA COMPLETA):

c) Calcule a amplitude das classes (APRESENTE A FÓRMULA COMPLETA):

d) Construa a tabela de frequência.

e) Determine as medias de posição, dispersão e separatrizes. 8. Construa tabelas de frequência simples para os dados abaixo:

5 5 5 6 6 6 7 7 7 7

7 8 8 8 8 8 8 8 9 9

10 10 10 10 10 11 11 11 11 12

12 12 12 12 12 12 12 12 13 14

14 14 14 14 14 14 15 16 19 22

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161161 162 163 163 163 164 165 165 165 166166 166 166 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 168 168 168 168 169 169169 169 169 169 169 170 170 170 170 170170 170 171 171 171 171 172 172 172 173173 173 174 174 174 175 175 175 175 176176 176 176 177 177 177 177 178 178 178179 179 180 180 180 180 181 181 181 182182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

9. Para cada tabela construída no exercício anterior, faça o histograma, polígono de frequência simples e acumulada para cada uma.

10. O histograma abaixo refere-se a uma amostra em que analisou-se o diâmetro (em mm) de algumas peças metálicas circulares produzidas por uma determinada indústria. Analise-o e faça o que se pede:

1. Construa a tabela de frequência completa;2. Calcule a média;3. Calcule a moda;4. Calcule a mediana;5. Calcule o desvio padrão;6. Calcule o coeficiente de variação;7. Calcule os Q1, Q2 e Q3;

8. Calcule P3 e P35;9. Esboce o polígono de frequência;10. Determine quantos por centro da amostra está acima do valor médio e modal, simultaneamente.

11. Pretende-se organizar uma amostra de tamanho 63 numa distribuição de frequências agrupadas. a) Quantas classes devem ser usadas? b) Se os valores mínimo e máximo forem respectivamente 61,1 e 83,7 qual deve ser o valor do comprimento da classe. c) Quais os limites extremos da primeira classe.

12. Organize o seguinte conjunto de dados numa distribuição de frequências, ordenando-o primeiramente (ordem crescente):

3,4 3,4 3,3 5,2 3,6 2,5 3,62,4 2,1 5,3 3,4 6,3 5,7 4,94,4 1,4 7,6 3,5 1,4 5,5 3,84,2 8,2 6,2 8,5 4,6 5,3 1,6

13. Analise o histograma abaixo:

a) Sabendo que trata-se de um gráfico de frequências simples, qual o tamanho da amostra, ou seja, qual o valor de n ou ∑fi?b) Trace, no próprio histograma, o polígono de frequência.c) Observando o polígono, pode-se afirmar que essa amostra é simétrica ou assimétrica? d) Quais os possíveis valores para As? ( ) = 0 ( ) < 0 ( ) > 0

14. Ao calcularmos mediana, decil, quartil e percentil utilizamos uma fórmula que demanda o mesmo raciocínio matemático, ou seja, o mecanismo é parecido, muito embora as fórmulas se diferenciem em detalhes. Sendo assim, escreva a fórmula de cada uma dessas medidas e indique, em cada uma delas, o que devemos resolver primeiro. Resolvendo essa parte da fórmula, qual o próximo passo?

15. A moda é a medida que denota o valor que mais se repete na distribuição, ou seja, a maior frequência simples registrada. Sendo assim, explique como devemos proceder para calcularmos a moda.

16. Analisando os gráficos apresentados, responda:a) Classifique a curtose das curvas A, B e C. Para isso, observe o grau de achatamento de cada uma. b) Sabendo que a constante C = 0,263 é o que nos norteia para classificarmos uma amostra em relação à curtose, como classificamos as amostras A, B e C? (no primeiro espaço utilize =, < ou > e no segundo mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica)A ____ 0,263 _________________________B ____ 0,263 _________________________C ____ 0,263 _________________________c) Observando os gráficos, podemos dizer que em A o valor da assimetria é menor que zero? Justifique.

17. Com base nas informações dadas abaixo, calcule o coeficiente de curtose para cada amostra:

18. Em algumas ocasiões em que a média não pode ou não deve ser usada, a mediana é empregada como medida de tendência central. Para manter a coerência, usam-se medidas de dispersão ligadas à mediana e não à média. A mais comum, mesmo mais do que o desvio médio em relação à mediana, é chamada amplitude semi-interquartílica. Sabendo que a fórmula de amplitude interqualítica é :

Determine Q para as amostras A, B e C do exercício anterior.

19. Com base na tabela de frequência que você construiu na questão 2, calcule as medidas pedidas abaixo:

Média Moda Mediana

Curtose Assimetria Erro

Desvio Padrão Amplitude Semi-interqualítica

D5

20. Para a tabela de frequência da questão 2, também, construa o polígono de frequência simples e acumulada:

21. O histograma a seguir representa dados de uma determinada amostra, sendo que, no eixo horizontal, estão representados os pontos médios das classes, todas com a mesma amplitude e, no eixo vertical, as frequências relativas. Sendo assim, qual o valor da amplitude de classe dessa amostra? Quantas classes essa amostra apresenta?

22. Um curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte. Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo intervalo de idades.

b) o número total de alunos é 19.c) a média de idade das meninas é 15 anos.d) o número de meninos é igual ao número de meninas.e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas nesse mesmo intervalo de idades.

23. Analise os dois gráficos abaixo:

Responda:

a) Qual gráfico representa as frequências acumuladas? Por quê?

b) Qual o valor da amplitude de classe do primeiro gráfico? É possível determinar a amplitude total apenas com os dados gráficos apresentados? Explique.

c) Sabendo que os dois gráficos são de uma mesma amostra, qual o valor de n?

24. As figuras apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativo a cinco máquinas industriais de lavar roupa, comercializadas no Brasil. 

Sendo assim, complete as lacunas faltosas:Conclui-se que o consumo médio de energia das máquinas é ______________ e o a média de consumo de água é ____________. Além disso, pode-se dizer a amostra I é ______________________, pois os comparando os valores da média e da mediana, nota-se que eles são _______________________. Em relação à moda, as duas amostras são _____________________. O desvio padrão para a amostra I é igual a __________ e para a amostra II é __________.

Álgebra

1. Expressões Numéricas

1) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R:9)b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R:29)c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R:49)d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R:17)e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R:71)f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R:79)g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R:3)h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R:73)i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R:64)

2) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)m) 3 + 2 . [(3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)] + 1 = (R: 22)

3) Calcule as expressões:a) 7 – ( 1 + 3) = (R:3)b) 9 – ( 5 – 1 + 2) = (R: 3)c) 10 – ( 2 + 5 ) + 4 = (R: 7)

d) ( 13 – 7 ) + 8 – 1 = (R: 13)e) 15 – ( 3 + 2) – 6 = (R: 4)f) ( 10 – 4 ) – ( 9 -8) + 3 = (R: 8)g) 50 – [ 37 – ( 15 – 8 ) ] = (R: 20)h) 28 + [50 – (24 – 2) -10 ] = (R: 46)i) 20 + [ 13 + (10 – 6) + 4] = (R: 41)j) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4)]} = (R: 29)l) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = (R: 39)m) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = (R:18)n) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = (R: 41)o)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = (R:54)p) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = (R:93)q)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = ( R:36)r) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = (R::28)s) 25-[10 + (7 - 4)] = (R:12)t) 32+ [10-(9-4)+8] = (R:45)u)45-[12-4+(2+1)] = (R:31)v)70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56)x) 28 + {13 - [6 -(4 + 1) + 2] - 1 } = (R:37)z) 53-{20-[30-(15-1+6) + 2 ]} = (R:45)

4) Calcule as expressões:a) [-7+14 : (5 - √ 49 ) ] : 7b) [ -13 + 13 . ( -1 -3 . 2²)] : 14c) -5 – [ (-5}² - (-2 -√9 ). 5 ] : 10d) (-2)² - [ -2³ - √16 . ( 2³ - 10) ] : 171e) 2 .[10-(3²- 4 . 5) - √9] : 18f) 10 – [ 3º - (-2)³ - ( 4 – 8 : 2)] - √4g) [(13 – 3 .4)³ - ( 18 – 4 . 5)³] : 3h) 100 – {[25 + ( -2 – 1 )³] : 2 + √49} : 3i) 100 – {[30 – ( 5 + 1)²] : 6 + √81 } : 8j) 72. [ 4³ - ( √121 + 2 .26)]l) 42 . [ 4. ( 32 – 4 . √49 ) -1 ] : 63m) -5 + 2 .3² + 2 . √4n) -6 + 2 . (-2)³ + 5 . 7ºo) 10 + 2 . 2² - 5 . √49p) √100 + 3 .(-3)³- 2

5) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = (R:-17)b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = (R:16)c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = (R:17)d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = (R:-4)e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = (R:16)

6) Efetue as subtrações:

a) (+5/7) – (+2/3) = (R: 1/21)b) (+2/3) – (+1/2) = (R: 1/6)c) (+2/3) – (+4/5) = (R: -2/15)d) (-7/8) – (-3/4) = (R: -1/8) e) (-2/5) – (-1/4) = (R: -3/20)f) (-1/2) – (+5/8) = (R: -9/8)g) (+2/3) – ( (+1/5) = (R: 7/15)h) (-2/5) – ( +1/2) = (R: -9/10)

7) Calcule

a) -1 – ¾ = (R: -7/4)b) (-3/5) + (1/2) = (R: -1/10)c) 2 – ½ -1/4 = (R: 5/4)d) -3 -4/5 + ½ = (R: -33/10)e) 7/3 + 2 -1/4 = (R: 49/12)f) -3/2 + 1/6 + 2 -2/3 = (R: 0)g) 1 – ½ + ¼ - 1/8 = (R:5/8)h) 0,2 + ¾ + ½ - ¼ = (R:6/5)i) ½ + (-0,3) + 1/6 = (R:11/30)j) 1/5 + 1/25 + (-0,6) = (R: 1/10)

2. Funções

Função do 1º Grau

Uma função é chamada de função do primeiro grau quando apresenta a seguinte lei de formação: f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a diferente de zero. Observação: Nesta função, a e b são chamados de coeficientes e x é a variável independente. 

Exemplos: f(x) = x + 2                   a = 1 e b = 2y = -2x + 6                   a = -2 e b = 6  

Relembrando: f(x) = y. 

ZERO OU RAIZ DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU O zero ou a raiz de uma função do primeiro grau é o valor que, substituído no lugar de x, faz com que f(x) seja igual a zero. Encontramos a raiz dessa função igualando ax + b a zero. Veja os exemplos: f(x) = 2x – 42x – 4 = 02x = 4x = 2 (raiz) y = -3x + 7-3x + 7 = 0-3x = -7 (-1) 3x = 7 x = 7/3 (raiz) 

Dica: Com base no princípio apresentado, também podemos calcular a raiz diretamente pela fórmula: x = -b / a GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU Inicialmente, vamos representar graficamente uma função do primeiro grau atribuindo valores arbitrários para x e obtendo suas respectivas imagens. Observe os dois casos: 

a) f(x) = 2x + 4                                   b) f(x) = - x + 3 f(x) = 2.(-2) + 4 = 0                                   f(x) = - (-2) + 3 = 2 + 3 = 5f(x) = 2.(-1) + 4 = 2                                   f(x) = - (-1) + 3 = 1 + 3 = 4f(x) = 2.(0) + 4 = 4                                     f(x) = - (0) + 3 = 3f(x) = 2.(1) + 4 = 6                                     f(x) = - (1) + 3 = 2f(x) = 2.(2) + 4 = 8                                     f(x) = - (2) + 3 = 1 

De acordo com os pares ordenados obtidos, temos os gráficos abaixo:f(x) = 2x + 4

 

f(x) = - x + 3 

 CONCLUSÕES DA ANÁLISE GRÁFICA Perceba que no primeiro exemplo (f(x) = 2x + 4), à medida que os valores de x no domínio aumentam, aumentam também os valores de f(x) na imagem. Já no segundo exemplo (f(x) = -x + 3), à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem. Assim, concluímos que a função do primeiro exemplo é crescente, e a do segundo exemplo, decrescente. De modo geral, o que determina se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente é o coeficiente a. Se tivermos a > 0, a função será crescente; a < 0, a função será decrescente. A reta de uma função do primeiro grau toca o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto correspondente ao coeficiente b, pois quando x for zero, f(x) = b. Assim, sempre haverá o ponto (0, b). A reta de uma função do primeiro grau toca o eixo x (eixo das abscissas) no ponto correspondente à sua raiz, pois esta é o valor de x que torna f(x) igual a zero. Assim, sempre haverá o ponto (-b/a, 0).

Função do 2º Grau

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a  0.Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 GráficoO gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a  0, é uma curva chamada parábola.Exemplo:Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Observação:Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equação do 2º GrauChama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a  0, os números reais x tais que f(x) = 0.Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

                    ObservaçãoA quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor

obtido para o radicando  ,  chamado discriminante, a saber:- quando   é positivo, há duas raízes reais e distintas;- quando   é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);- quando   é negativo, não há raiz real.

Exercícios

1) Dada a função f(x) = –2x + 3, determine f(1).

2) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7.

3) O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$7.500,00 e que, depois

de 6 anos de uso, é R$ 1.200,00, qual seu valor após 4 anos de uso, em reais?

4) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 5x – 3.a) Verifique se a função é crescente ou decrescente b) O zero da função;c) O ponto onde a função intersecta o eixo y;d) O gráfico da função;

5) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine:

a) f(1) b) f(0) c) d)

6) Considere a função do 1º grau f(x) = - 3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha:a) f(x) = 0 b) f(x) = 11c) f(x) = - ½ d) f(x) = 2

7) Esboce o gráfico para as funções do exercício anterior.8) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A)  (B) 

(C)  (D) 

(E)