apostila de_civ 107.pdf
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Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
CIV – 107
Resistência dos Materiais e Estruturas
Geraldo Donizetti de Paula
Jaime Florencio Martins
Ouro Preto, Agosto/ 2014
ALFABETO GREGO
Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas
Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ ∆ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta θ Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma σ Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω
ALFABETO GREGO
Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas
Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ ∆ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta θ Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma σ Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω
1
Capítulo 1 – Estática Fundamental
1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e
deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas.
A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou
Mecânica dos Sólidos.
Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos.
Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos
tomam a forma do recipiente em que está colocado.
1.2- Histórico da Resistência dos Materiais
Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados
pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de
árvores sobre os rios ou vales.
Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O
ferro fundido oxida com facilidade.
Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o
teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada
ferro fundido.
Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os
romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam,
freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas
(baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides.
Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas
foi perdido durante a idade média.
Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei
foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método
experimental e da Resistência dos Materiais.
1.3 – Definições:
a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se
romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce
(aço de construção), alumínio.
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b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com
pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à
compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz.
c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos.
d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação.
e) Barra - placa – bloco
Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando
comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas.
Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas
dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas.
Bloco: quando: L ≅ h ≅ b
f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de
pontos dos centróides das seções transversais.
g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante.
1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às
cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e
fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a
economia e a segurança.
1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático.
• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no
espaço:
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0Fz
3
• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:
∑ = 0Fx ; ∑ = 0M x
∑ = 0Fy ; ∑ = 0M y
∑ = 0Fz ; ∑ = 0M z
1.6 - Apoios
Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e
três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas
direções dos movimentos impedidos.
• Apoios do primeiro gênero
• Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de
liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação.
• Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o
deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.
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1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano
Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições
necessárias e suficientes para o equilíbrio são três:
∑ = 0Fx ; ∑ = 0Fy ; ∑ = 0M
Para estas estruturas três casos podem ocorrer com relação à estabilidade e
estacidade:
1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável.
2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da
estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável.
3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável.
São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio,
então, a viga é duas vezes hiperestática.
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As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as
reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são
necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma
(para impor condições de deslocamento e/ou de rotação).
Observação: Casos particulares:
A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro
reações e o equilíbrio também é instável.
1.8 – Sistema de Unidades
Unidades básicas do Sistema Internacional
m (metro): para comprimento
quilograma (kg): para massa
segundo (s): para tempo
Unidades de força no SI (unidade derivada)
1 N = 1 kg.m/s2
Sistema inglês 1 polegada = 1 in = ||1 = 2,54 cm
1 pé (foot) = 1 ft = |1 = 12 in = 30,48 cm
1 libra = 453,59 gramas
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1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser:
a) Concentrados
b) Distribuídos
Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso
específico (γ) pela área da seção transversal (A).
c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o
tempo. Ex.: peso próprio de vigas.
d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito
do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.
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1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em
número de quatro.
• Força normal (N)
• Força cortante (V)
• Momento fletor (M)
• Momento de torção ou torque (T)
• Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode
ser de tração ou compressão.
Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N|
N = esfoço externo e N| = esforço interno
• Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal.
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• Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra.
Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M|
M = esfoço externo e M| = esforço interno
Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo
(traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor
negativo (traciona em cima).
• Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção
em uma barra.
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Não existe convenção de sinais para o momento de torção.
1.11 – Exemplos de estruturas
a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas
e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais
estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão).
OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por
exemplo, a ação do vento.
Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração.
Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.
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b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante.
Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio.
Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornam-
se externos e devem equilibrar a parte recortada.
c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão
solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero).
No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes
hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a
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mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação.
Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não
transmitem momento fletor.
c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas
estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a
zero).
1.12 – Exemplos de vigas isostáticas
12
1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante
de onde: Vdx
dM0VdxdM =→=+−
qdx
dV0)dVV(qdxV0FY −=→=+−−→=⊕↑ ∑
Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se:
qdx
Md
dx
dV
dx
Md2
2
2
2
−=→=
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Capítulo 2 – Tensão e deformação
2.1 – Tensão normal (σ):
Por definição:
σA
F= (2.1)
onde: σ : tensão normal dada em N/m2 (no Sistema Internacional) F : Força normal axial
A : área da seção transversal da barra
Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa.
Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra
é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal.
A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1
N/m2. Então: 1 MPa = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 mm)2 ⇒ 1 m2 = 106 mm2. Então: 226 mm/N1m/N10MPa1 ==
• Tensão admissível (__
adm ou σσ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança.
SCR
adm
σ=σ
onde: σR = Tensão de ruptura SC = Coeficiente de segurança ( SC > 1,0)
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• Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela
equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões
normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita deve-
se usar a definição matemática de tensão normal:
A
F
0A ∆∆=σ
→∆
dA
dF=σ→ (2.2)
2.2 – Deformação linear específica (ε):
Por definição:
L
L∆=ε (2.3)
ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação
específica ou deformação normal.
• Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.
2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal
é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção
transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é
chamada coeficiente de Poisson (ν):
allongitudindeformação
lateraldeformação=ν
x
y
εε
−=ν
O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na
expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e vice-
versa.
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Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em
todas as direções. Em um material isotrópico:
x
'z
x
z
x
y
εε
−=εε
−=εε
−=ν
2.4 – Diagrama tensão - deformação
2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono)
Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos
pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico.
O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas
dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)).
Pσ → Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que
pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a
deformação (ponto a).
Yσ → Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta
sem que haja acréscimo de tensão (ponto c).
Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d).
Uσ → Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida
como resistência do material (ponto e).
Rσ → Tensão de ruptura: (ponto f).
Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há
deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b.
Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é,
surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à
proximidade da ruptura.
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Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade ( Pσ ) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência. Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis.
Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra. 2.4.2 - Alumínio
No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de escoamento σY.
2.4.3 - Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.
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2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado
2.5 - Lei de Hooke
Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à
força ou F = Kx ). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem
pêndulo.
Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve
estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à
deformação”, ou seja: εΕ=σ .
onde: σ → tensão normal
ε → deformação linear específica
Ε → constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou
módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2
No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 2329 mm/N10m/N10GPa1 ==
Exemplos: Εaço = 200 GPa; Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa.
Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade.
tg α = εσ → σ = tgα × ε ; então: Ε = tgα
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Capítulo 3 - Tração e Compressão
3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente
A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial
constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke:
σ = Ε × ε
Lembrando que: A
F=σ e que: L
L∆=ε , tem-se:
L
LE
A
F ∆⋅=
de onde:
EA
FLL =∆
A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que σP.
Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial
variável tem-se que usar o conceito de integral:
)x(EA
dx)x(Fdx=∆ → ∫∫ =∆
L
0 )x(EA
dx)x(Fdx → ∫=∆
L
0 )x(EA
dx)x(FL
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Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se
determinar a expressão do alongamento (∆L) da barra produzido pela ação de seu peso
próprio.
∫=∆→=∆L
0 )x(AE
dx)x(FL
)x(AE
dx)x(Fdx
Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se:
x.A.)x(F γ=
Então:
∫∫ ⋅γ=⋅γ=⋅
⋅⋅⋅γ=∆L
0
L
0
2L
0 2
x
Edxx
EAE
dxxAL
Portanto:
E2
LL
2γ=∆
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3.2- Princípio da superposição dos efeitos
Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos
referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados
correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças.
∑=
=∆n
1i ii
ii
AE
LFL
3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados
Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para
calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias
outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura.
3.4 – Efeitos da variação da temperatura
A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal
somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver
impedido.
tLL t ∆α=∆ (fórmula empírica)
onde
tL∆ : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C) L : comprimento inicial (m)
t∆ : variação da temperatura ( 0C) Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas:
tLL t ∆α=∆ ; EA
FLL =∆ ;
A
F=σ
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Capítulo 4 – Cisalhamento Puro
4.1 – Força cortante (V)
A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força
cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo
sentido da força.
4.2 – Cisalhamento Puro
Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro.
4.3 – Teorema de Cauchy
Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares
entre si.
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AFA
F ×τ=→=τ
0dydx1dxdy10M xy0 =×××τ−×××τ→=∑
Portanto: yx τ=τ
4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento
Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre
a tensão e a deformação de cisalhamento.
γτ=αtg → ( ) γ×α=τ tg
Chamando de α= tgG , tem-se a lei de Hooke no cisalhamento:
τ = γ⋅G
onde: τ → tensão de cisalhamento em N/m2
G → módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento
em N/m2 γ → distorção (deformação de cisalhamento) em radianos
Relação entre E , G e ν
Pode-se demonstrar que:
( )ν+=
12
EG
+
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4.5 – Ligações parafusadas
Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção
transversal do parafuso.
Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a
outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por:
A
Fméd =τ
onde A é a área da seção transversal do parafuso.
Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de
áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas
áreas de corte).
É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão
cisalhante (τ) no parafuso.
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Capítulo 5 − Torção
5.1. Introdução - A torção ocorre:
• Na ação do vento em edifícios altos
• Nos eixos de transmissão
• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião.
5.2 - Momento de inércia à torção (J ) para barras com seção circular vazada
α dα
r dr
di de
Por definição: dA r J
A
2∫=
onde: dr d rdA α=
∫∫πα=
2
0
r
r
3 d dr r Je
i
πα= 20
r
r
4
. 4
rJ
e
i
( )0 - 2 . rr 4
1J
4
i4
e π
−=
( )4i
4e rr
2J −
π=
Ou em função dos diâmetros externo e interno: ( )4i
4e dd
32J −
π=
Particularizando para seções cheias: ( )0di = : ( )4d32
Jπ
=
5.3 – Hipóteses:
• As deformações são pequenas; • É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G );
• O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ );
• As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta
hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular).
Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção
2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.
25
5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção
T
T γ
θ R B
B’
L T B
B’
R θ
Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo
Da figura acima, têm-se as expressões:
L
BB tg
′=γ≅γ e
R
BB tg
′=θ≅θ
Portanto: γ =L
Rθ
dAdF ⋅τ= e rdA dT ⋅τ=
∫ τ=A
dA r T ou: ∫ τ=A
2
dA r
rT
Onde rτ é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio),
então:
dA rr
TA
2∫
τ=
Por definição: dA rJA
2∫= , então:
J r
Tτ
=
De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção
transversal circular:
J
r T=τ
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A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo:
J
TRmáx =τ
Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G ) na superfície do eixo, tem-se:
L
RG
J
TR θ=
de onde tem-se o giro relativo ( )θ entre duas seções transversais:
GJ
TL=θ
5.5 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante
Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal
t: espessura
Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também
invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média médτ é dada por:
At2
Tméd =τ
e o ângulo de torção (θ) é dado por:
tGA4
TLP2
=θ
onde: A: área limitada pela linha do esqueleto
P: perímetro da linha do esqueleto
L: comprimento longitudinal
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Capítulo 6 – Flexão Simples
6.1 – Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas
6.2 – Introdução à flexão
Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta.
6.3 - Flexão pura
A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P.
Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal.
(a) Viga e carregamento
(b) Diagrama de momento fletor
(c) Diagrama de esforço cortante
Figura 6.1 - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)
28
y z x
P
P
Figura 6.2 – Viga em perspectiva Hipóteses: 1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção.
2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais.
3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: .0VT == Estes dois esforços
provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas depois de aplicado o carregamento.
4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke.
5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são iguais.
6- O carregamento é aplicado sem impacto.
Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.
A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, temos deformação específica ε. Portanto, podemos afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca a variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD.
O arco CD é dado por:
CD r= .θ
29
a a L - 2a
P P
y x y C
E D F
Figura 6.3
y
r
E C
F D
θ
O
M M
Figura 6.4
O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por:
( )EF r y= + ⋅ θ
É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana.
Por definição: L L∆=ε
Então, a deformação específica ε de EF é:
ε EF
EF CD
CD= −
Ou ( )
εθ θθEF
r y r
r=
+ ⋅ − ⋅⋅
Simplificando-se a expressão anterior, tem-se:
r yEF =ε
O → centro da curvatura da superfície neutra.
r → raio de curvatura da superfície neutra.
30
Utilizando-se a lei de Hooke, σ ε= ⋅E , pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF:
r
yEEF ⋅=σ (6.1)
A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida.
y
z
P
NL
Figura 6.5
Vamos impor a condição que:
σ ⋅ =∫ dAA
0
Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que σ ⋅ =dA dF, a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:
E y
rdA
A
⋅ ⋅ =∫ 0
Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
E
ry dA
A⋅ ⋅ =∫ 0
Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que:
y dAA
⋅ =∫ 0
A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal. A outra condição a ser imposta é que:
σ ⋅ ⋅ =∫ y dA MA
Linha neutra → Intersecção da superfície neutra com a seção transversal
31
Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ ⋅ =y dA dM e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:
E y
ry dA M
A
⋅ ⋅ ⋅ =∫
Ou
E
ry dA M
A⋅ ⋅ =∫
2 (6.2)
Por definição:
y dA I zA
2 ⋅ =∫
O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia I z , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide.
Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma:
ME
rI z= ⋅
Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se:
rE I
Mz=
⋅
Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se:
σ = ⋅⋅
E yE I
Mz
Ou:
σ = ⋅M y
I z
(6.3)
Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal.
6.4 – Flexão simples
A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.
32
P P
y x
C D
dx g f
g f
A B g f
dx
g f M + dM M
Figura 6.6
O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões:
σ = ⋅M y
I z
e ( )
σ =+ ⋅M dM y
I z
A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, tem-se força resultante em uma área genérica |A . A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela expressão:
∫ ∫⋅=⋅σ=
| |A Az
dAI
yMdAF
e a força resultante dFF+ dada por:
( )∫
⋅+=+|A
Z
dAI
ydMMdFF
NL
dx |A dx
|A.
F
F + dF
(a) (b)
Figura 6.7
Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).
33
dx
F
F + dF
τ
dx
F + dFF
Figura 6.8
O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão:
( ) 0dFFdxbF =+−⋅⋅τ+
onde b representa a largura da seção transversal.
Colocando-se as expressões de F e de dFF+ na equação acima, tem-se:
( )0dA
I
y dMMdx b dA
I
y M|| A
zA
z
=+−τ+ ∫∫
Simplificando a expressão anterior, tem-se:
0dA I
y dMdx b
|Az
=−τ ∫
O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
∫ ⋅⋅⋅⋅
=τ|A
z
dAydx
dM
Ib
1
A integral acima é, por definição, o momento estático da área |A em relação ao eixo z. A derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então:
τ = ⋅⋅
V Q
b I z
z (6.4)
Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.
dx
b
Figura 6.9
Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.
34
(a) (b)
Figura 6.10
Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que:
L
h≥ 5
Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas.
OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ = F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4).
6.5 – Distribuição das tensões de cisalhamento
A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático.
• Seção transversal retangular O momento estático de uma área |A é dado por:
Q A y= ⋅|_
Onde _
y é a distância do centróide da área |A até o centróide da figura. Uma vez que o momento estático tem variação parabólica a tensão cisalhante também varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma:
A2
V3máx =τ
Figura 6.11 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
35
• Seção transversal em forma de "I"e"T"
c τmáx
τ σ
c
τ
τmáx
σ
Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão ( W )
Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por:
d
IM
I
dM máxmáxmáx =
⋅=σ
onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um
ponto localizado na superfície da viga. Por definição:
d
IW =
Então: W
M máxmáx =σ
Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que: is WW ≠ .
Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ): [ ]3L
Para vigas com seção transversal retangular, tem-se:
2
h12
bh
WW
3
is == → 6
bhWW
2
is ==
Para vigas de seção transversal circular, tem-se:
2
D64
D
WW
4
is
π
== → 32
DWW
3
is
π==
Para uma viga com seção transversal em forma de “ T ”, com as dimensões mostradas na figura
abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então:
36
217,0
10x15,6W
3
s
−
= 32s m10x83,2W −=→
383,0
10x15,6W
3
i
−
= 32i m10x61,1W −=→
6.7 – Deformações na flexão
Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o eixo da viga
depois de aplicado o carregamento. P
x
v
vd
d
d’
o
linha elástica
Onde:
dv : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d).
A deflexão é uma função da coordenada x.
Métodos de cálculo
Método da integração direta
Método da energia
Métodos numéricos
Outros métodos.
Hipóteses
• Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões;
• As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da viga (base,
altura e comprimento);
• É válida a Lei de Hooke.
37
Método da integração direta
Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-se o
sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se:
)x(M)x(vIE || −=
Condições de contorno (ou condições de extremidade s)
Exemplos de deflexões (flechas) de vigas isostática s com ΕΕΕΕΙΙΙΙ constante
0vv | ==
0v =
38
Contra-flecha
Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido
contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este
procedimento é chamado de contra-flecha .
39
Capítulo 7 – Solicitações compostas
7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ
e τ) provocadas pelos quatro esforços internos :MeT,V,N
Força normal ( N ): A
N=σ
Força cortante ( V ): A
V=τ (cisalhamento puro) ou bI
VQ=τ (flexão simples: M + V)
Momento de torção ( T ): J
Tr=τ onde ( )4i
4e DD
32J −π= (Observação: fórmula válida
para barras que tem seção transversal circular)
Momento fletor ( M ) : I
yM=σ
• Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M)
• Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V
• Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força
normal ou momento fletor + momento de torção
Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração
Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão
Flexo-torção: momento fletor + torção
• Equação da flexão composta para vigas solicitadas por força normal axial e por
momento fletor Mz:
+=σA
Nx
z
z
I
y.M
40
Capítulo 8 − Flambagem 8.1 − Introdução
Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força
atinge um valor crítico (Pcr) .
Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões
da seção transversal.
Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a
ordem”.
Teoria de 1a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite
confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas.
Teoria de 2a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da
estrutura para calcularem-se os esforços internos.
8.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental)
v (x)
v
x
P
P
L
Então: )x(v.P)x(EIv || −= ou: 0)x(v.P)x(EIv || =+
Dividido-se a expressão acima por ,IE tem-se:
0)x(vEI
P)x(v || =+
E I v | | (x) = − M (x) M (x) = P . v(x)
41
Chamando-se de EI
Pk 2 = , tem-se:
0)x(vk)x(v 2|| =+ → equação diferencial de segunda ordem homogênea
Solução: v(x) = C. xeβ , onde: ki=β
ou: v(x) = kx cos B kx sen A +
A equação da linha elástica v(x) = kx cos B kx sen A + tem que satisfazer as
condições de contorno:
1ª) para x = 0 → v = 0; v = 0 = A sen k.0 + B cos k.0; 0 = A.0 + B.1 → B = 0
2ª) para x = L → v = 0; v (L) = 0 = A sen k.L;
Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem.
Então: sen k.L = 0
A solução é: n = 1, 2, 3 ,4...
Lembrando que: →=EI
Pk 2
EI
Pk = →
L
n
EI
P π= → 2
22
L
n
EI
P π= → EIL
nP
2
22π=
Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1:
2
2
cr L
EIP
π=
Pcr → é chamada de carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de
equilíbrio. Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente.
8.3 – Tensão crítica (σcr)
AL
EI
A
P2
2cr π=
AL
EI2
2
cr
π=σ
Por definição, o raio de giração i é dado por: AIi2 = [i = m, cm, mm]
kL = nπ n = ...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...
42
Então: 2
22
cr L
Eiπ=σ
Chamando de: i
L=λ , onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional,
tem-se:
2
2
crE
λ
π=σ
Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer
flambagem, ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor inércia:
AIi minmin =
8.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação
A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem
LKLfl = :
2fl
min2
cr L
EIP
π= e
2
2
crE
λ
π=σ onde
min
fl
i
L=λ
K = 1,0
L
K = 2,0 K = 0,7 K = 0,5
43
8.5 – Validade da fórmula de Euler
O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade:
pcr σ≤σ
Por exemplo: Aço CA – 25 : Ε = 205 x 109 N/m2
pσ = 210 x 106 N/m2
2
2
crE
λ
π=σ →
2
926 10.205.
10.210λ
π= → 6
92
10.210
10.205.π=λ = 16,98
44
Capítulo 9 – Introdução ao estudo das tensões 9.1 – Introdução • Determinar as tensões que atuam nos planos inclinados (σθ e τθ); • Determinar as tensões normais extremas e as direções dos planos onde atuam • Determinar a maior tensão de cisalhamento. 9.2 – Análise de tensões em uma barra solicitada por força axial
σx
FF
Fx
O
y
F F
σx Fσx =
FA
Retirando-se um ponto da barra tracionada:
xO
y
σx σx
θ
90-θ
Aθ
Aθ sen θ
σx Aθ sen θ
τθ Aθ
σθ Aθ
θσx
σθ τθ
∑ =σθ 0F
0)90cos(.senA.A. x =θ−°θσ−σ θθθ
θσ=σθ2
x sen.
∑ =τθ 0F
0)90sen(.senA.A. x =θ−°θσ+τ θθθ
θθσ−=τθ cossen.x
Obs.: 1) xmáx σ=σ
2) cálculo de máxτ
)cossen(0d
d 22x θ+θ−σ−==
θ
τθ θ=θ cossend
θ−=θ sencosd
0cossen 22 =θ+θ− → θ = 450, 1350, 2250 e 3150
⇒ ( ) ( )°°σ−=τ 45cos.45senxmín → 2
xmín
σ−=τ
45
⇒ ( ) ( )°°σ−=τ 135cos.135senxmáx → 2
xmáx
σ=τ
σx σx
45º
135º
Em uma barra tracionada (ou comprimida) τ é máximo nos planos que formam um
ângulo de 45º com OX.
9.3- Tensões normais em duas direções perpendiculares
σx σx
θ
θ
σy
σy
90-θ
Aθ
Aθ sen θ
σx Aθ sen θ
τθ Aθ
σθ Aθ
θ
Aθ cos θ
x
O
y
∑ =σθ 0F
0coscosAsensenAA yx =θθσ−θθσ−σ θθθθ
θσ+θσ=σθ2
y2
x cossen
∑ =τθ 0F
0sencosAcossenAA yx =θθσ−θθσ+τ θθθθ
( ) θθσ−σ=τθ cossenxy
9.4 - Estado geral de tensões planas É caracterizado por: 0;0;0 xyyx ≠τ≠σ≠σ
0yzxzz =τ=τ=σ
• Convenção de sinais:
σ → positiva de tração e negativa de compressão;
τ θ → positiva quando tende girar o elemento no sentido horário;
τ xy → positiva quando possui o sentido indicado na figura abaixo;
46
x
O
y
σx σx
θ
σy
σy
τxy
τxy
τxy
τxy
Aθ
τθ Aθ
σθ Aθ
θ
σx
σy
∑ =σθ 0F
0sencosAsencosAcosAsenAA xyxy2
y2
x =θθτ−θθτ−θσ−θσ−σ θθθθθθ
θθτ+θσ+θσ=σθ sencos2cossen xy2
y2
x (9.1)
∑ =τθ 0F
0coscosAsensenAsencosAcossenAA xyxyyx =θθτ+θθτ−θθσ−θθσ+τ θθθθθθ
( ) ( )θ−θτ+θθσ−σ=τθ22
xyxy cossencossen (9.2)
Exercício: Calcule as tensões σθ e τθ nos planos que formam ângulos de 45o e 135o com o eixo Ox. Mostre os resultados em um elemento orientado.
Para θ = 45o (ou para θ = − 135o ) têm-se as tensões:
→−++−=σθooo2o2 45cos45sen)25(245cos5045sen80 MPa40−=σθ
)45cos45)(sen25(45cos45sen)8050( o2o2oo −−++=τθ MPa65=τ→ θ
Para θ = 135o (ou θ = − 45o ) têm-se: σθ = 10 MPa e τθ = − 65 MPa.
47
9.5 − Circunferência de Mohr As equações de σθ e τθ constituem uma equação paramétrica da circunferência. Da
trigonometria, têm-se as seguintes equações:
θ=θθ 2sencossen2
( )cos cos2 1
21 2θ θ= +
( )sen cos2 1
21 2θ θ= −
Com as expressões acima, σθ e τθ podem ser reescritas da forma:
( ) ( ) θτ+θ+σ+θ−σ=σθ 2sen2cos12
12cos1
2
1xyyx
ou:
σσ σ σ σ
θ τ θθ −+
=−
+x y y x
xy2 22 2cos sen (a)
( ) ( ) ( )
θ+−θ−τ+θσ−σ=τθ 2cos12
12cos1
2
12sen
2
1xyxy
ou:
τσ σ
θ τ θθ =−
−y x
xy22 2sen cos (b)
Elevando-se as expressões (a) e (b) ao quadrado e somando-as, tem-se:
( )
( ) θτ+θτθσ−σ−θ
σ−σ
+θτ+θτθσ−σ+θ
σ−σ=τ+
σ+σ−σ θθ
2cos2cos.2sen2sen2
2sen2sen.2cos2cos22
22xyxyxy
22
xy
22xyxyxy
22
xy22
yx
Donde:
2xy
2
xy2
2
yx
22τ+
σ−σ=τ+
σ+σ−σ θθ
Convenção de sinais para a circunferência de Mohr:
• τxy e τθ são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário;
• θ é positivo quando o giro é realizado no sentido anti-horário.
48
Dado um estado plano de tensão onde as tensões σx, σy e τxy são conhecidas pode-se
construir a circunferência de Mohr. Para esta demonstração, sem perder a generalidade,
supõe-se que yx σ>σ .
σ1 e σ2 são as tensões normais extremas e conhecidas como tensões principais
σ1 é a maior tensão normal e σ2 é a menor tensão normal
2xy
2yxyx
1 22τ+
σ−σ+
σ+σ=σ σ
σ σ σ στ2
2
2
2 2=
+−
−
+x y x y
xy
O ponto P é o pólo: origem de todos os planos
tg xy
x
θτ
σ σ11
=−
σ−στ
−=θ2x
xy2tg
θ1 direção do plano onde atua a maior tensão normal
θ2 direção do plano onde atua a menor tensão normal
θ1 e θ2 são chamadas direções principais. Da circunferência conclui-se que: 021 90=θ+θ
2xy
2yx
máx2
τ+
σ−σ=τ ou:
2
21máx
σ−σ=τ ;
σ−στ+τ
−=θ5,0)(
tgyx
xymáx3
θ3 direção do plano onde atua a maior tensão de cisalhamento.
máxτ , calculada pela fórmula acima, refere-se à maior tensão de cisalhamento do plano
das tensões (plano XOY). Pode existir tensão de cisalhamento maior em outro plano.
49
9.6 – Elipse de tensões
xO
y
σx σx
θ
Aθ
Aθ sen θθ
σy
σy
Y
Xσx
σy
Aθ cos θ
∑ = 0Fh → 0senAXA x =θσ− θθ θ=σ
→ senX
x
∑ = 0Fv → 0cosAYA y =θσ− θθ θ=σ
→ cosY
y
θ+θ=σ
+σ
222y
2
2x
2
cossenYX
⇒ 1YX
2y
2
2x
2
=σ
+σ
→ Elipse de Lamé
9.7 – Análise de tensões em três dimensões
Pelo teorema de Cauchy: ijji τ=τ
A Figura (b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura (a), onde X, Y e Z são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções x, y e z,
respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auxílio de um vetor →N
perpendicular a esse plano. Chamando-se de θx, θy e θz os ângulos que o vetor →N forma,
50
respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, tem-se os co-senos diretores
m,l e n que determinam a direção do vetor →N .
zyx cosn;cosm;cosl θ=θ=θ=
A área do plano BCD é chamada Aθ e as outras três áreas do tetraedro são obtidas em função dos co-senos diretores e de Aθ. O equilíbrio de forças na direção do eixo Ox fornece a expressão:
0nAmAlAXA zxyxx =τ−τ−σ− θθθθ
Simplificando-se o termo comum Aθ e fazendo-se raciocínio análogo para as direções y e z:
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=
• Tensões principais:
São calculadas determinando-se as raízes da seguinte equação do terceiro grau:
+στ−τ−τ−σσ+σσ+σσ+σσ+σ+σ−σ )()( 2xy
2yz
2xzzxzyyx
2zyx
3
0)2( 2xyz
2xzy
2yzxxzyzxyzyx =τσ+τσ+τσ+τττ−σσσ−
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões
principais σ1, σ2 e σ3 do estado geral de tensões.
A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma
equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte
forma:
0cbXaXX 23 =+++
As três raízes são: 3/aYX 11 −=
3/aYX 22 −=
3/aYX 33 −=
onde:
)3/cos(P2Y1 θ⋅=
)3/240cos(P2Y 02 θ+⋅=
)3/120cos(P2Y 03 θ+⋅=
sendo:
51
)P/Qarccos( 3=θ
P e Q são dados por:
Pa b= −2 3
9 ; Q
ab a c= − −9 2 27
54
3
Sendo σ1, σ2 e σ3 raízes reais, tem-se as propriedades:
zyx321 σ+σ+σ=σ+σ+σ
2xy
2yz
2xzzxzyyx133221 τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=σσ+σσ+σσ
)2( 2xyz
2xzy
2yzxxzyzxyzyx321 τσ+τσ+τσ+τττ−σσσ−−=σσσ
• Círculo de Mohr para tensões em três dimensões
Para o caso geral de tensões não existe representação gráfica. Entretanto, para um
elemento solicitado por três tensões principais pode ser feita a representação gráfica. A
convenção adotada é:
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
1
3
2
σ1
σ3
σ2
σ1 σ
τ
σ2 σ3 O
231
máx
σ−σ=τ
• ESTADO HIDROSTÁTICO:
P
P
P
σ1 ≡ σ2 ≡ σ3 = - P σ
τ
Em todas as direções de um estado hidrostático: σθ = − P e τθ = 0
52
9.8 Lei de Hooke generalizada
σx
σz
σy
τzy
τzx τxz
τxy τyz
τyx
x
z
y
Material isotrópico: é um material que possui as mesmas propriedades físicas em todas as
direções.
Superposição dos efeitos: Aplicando-se a tensão normal σx (de tração), têm-se as componentes de deformação εx, εy e εz:
xxE σ=ε → E
xx
σ=ε
xzyx
z
x
y νε−=ε=ε→εε
−=εε
−=ν E
xzy
σν−=ε=ε→
Fazendo-se raciocínio análogo quando aplicam-se as tensões normais de tração σy e σz e
somando as três componentes de deformação têm-se a lei de Hooke generalizada:
( )[ ]zyxx E
1 σ+σν−σ=ε
( )[ ]zxyy E
1 σ+σν−σ=ε
( )[ ]yxzz E
1 σ+σν−σ=ε
• A Lei de Hooke Generalizada é demonstrada para tensões normais de tração. Se alguma
tensão for de compressão troca-se o sinal da tensão.
• Porque não se leva em consideração as tensões de cisalhamento no cálculo da
deformação ε? Porque as tensões de cisalhamento provocam distorção γ .
γ=τ G
G;
G;
G
yzyz
xzxz
xyxy
τ=γ
τ=γ
τ=γ → Extensão da lei de Hooke
53
9.9 Dilatação cúbica específica
,dx dy e dz → comprimentos iniciais
dxdx ∆+ , dydy ∆+ e dzdz ∆+ → comprimentos finais
dz
dy
dx
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV ∆+∆+∆+=∆+
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV zyx ε+ε+ε+=∆+
( ) ( ) ( )zyx 1dz1dy1dxVV ε+ε+ε+=∆+
( ) ( )zyxyx 11dxdydzVV ε+εε+ε+ε+=∆+
( )zyx1VVV ε+ε+ε+≅∆+
( )zyxVVVV ε+ε+ε+≅∆+
Portanto: zyxV
V ε+ε+ε≅∆ (dilatação cúbica específica)
• Caso particular de um elemento solicitado por três tensões iguais de tração
σ
σ
σ
( )[ ]σ+σν−σ=εE
1x → ( )νσ−σ=ε=ε=ε 2
E
1zyx → ( )ν−
σ=ε=ε=ε 21
Ezyx
( )ν−σ≅∆21
E
3
V
V
0210V
V≥ν−→≥
∆ → 1212 ≤ν⇒−≥ν−
5,00 ≤ν≤ → válido na fase elástica-linear.
σx = σy = σz = σ
V → volume inicial
V + ∆ V → volume final
dzdydxV ⋅⋅=
54
Capítulo 10 – Critérios de escoamento 10.1 – Introdução O objetivo dos critérios de escoamento é informar se um componente estrutural está escoando quando submetido a diferentes solicitações. Por exemplo, uma barra tracionada não estará escoando enquanto a tensão normal estiver abaixo da tensão de escoamento Yσ ,
sendo que a tensão Yσ é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de mesmo material que a barra tracionada. Esta comparação entre a tensão solicitante e a tensão
Yσ é o critério utilizado para julgar se uma barra tracionada está escoando. No entanto, pela comparação direta com os ensaios de laboratório, torna-se inconveniente investigar se um componente estrutural solicitado por um estado de tensões mais geral está escoando, uma vez que inúmeras combinações de tensões podem ocorrer. Com base em teorias e ensaios de laboratório, existem vários critérios para analisar tais casos, são os chamados critérios de escoamento . Um determinado critério pode ser comprovado experimentalmente para um material e não aceito em um outro com características diferentes. Sendo assim, em função da variedade de materiais usados na engenharia, não se pode adotar um único critério. Um material elástico-plástico idealizado é aquele que segue a lei de Hooke até a tensão de proporcionalidade e, então, inicia-se o escoamento sob tensão constante. Na Figura abaixo,
Yσ representa a tensão de escoamento do material.
σ
σY
Y
ε No caso de um material elástico-plástico idealizado três casos podem ocorrer quando compara-se a tensão atuante σ e a tensão de escoamento :Yσ
Se σ < :Yσ a barra não está escoando;
Se σ = :Yσ a barra está escoando.
Se σ > :Yσ corresponde a uma situação física impossível, uma vez que a maior tensão que
pode ser aplicada à barra é .Yσ
Uma vez que nem sempre se trabalha com material elástico-plástico ideal estas três situações são reduzidas em duas:
Se σ < :Yσ a barra não está escoando;
Se σ :Yσ≥ a barra está escoando. 10.2 – Energia de deformação )U( O trabalho realizado por uma força externa em uma estrutura quando esta se deforma é total ou parcialmente convertido em energia de deformação (U).
Material elástico-plástico idealizado.
55
σ
σYσp
fe fp
ε
10.3 – Energia específica de deformação )U( e
Por definição, )U( e é a relação entre a energia de deformação )U( e o volume )V( :
V
UUe =
Pode-se demonstrar que para um estado geral de tensões, )U( e é dada por:
( )[ ]zyxzyx2z
2y
2x
e 2E2
1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= + ( )2
yz2xz
2xy
G2
1τ+τ+τ
σx
σz
σy
τzy
τzx τxz
τxy τyz
τyx
x
z
y
Uma vez que eU é a energia por unidade de volume, pode-se determinar esta energia usando-se as tensões principais :)e,( 321 σσσ
( )[ ]32312123
22
21
e 2E2
1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= (a)
eU pode ser dividida em duas partes: ed
eV
e UUU +=
onde: evU é a parte da energia referente à variação de volume e e
dU referente à distorção
1
3
2
σ1
σ3
σ2
=σ
σ
σ
+
Tensão esférica Tensões desviadoras
σ'1
σ'3
σ'2
σp → tensão de proporcionalidade
f.e → fase elástica
fp → fase plástica
Na fase elástica: ie WW = ; ou: UWe =
56
11 σ′+σ=σ onde:
22 σ′+σ=σ 3
321 σ+σ+σ=σ
33 σ′+σ=σ
321321 3 σ′+σ′+σ′+σ=σ+σ+σ
Portanto: 0321 =σ′+σ′+σ′
Dilatação cúbica específica das tensões desviadoras: 321V
Vε+ε+ε=
∆
Onde: ( )[ ]3211E
1σ′+σ′ν−σ′=ε
( )[ ]3122E
1σ′+σ′ν−σ′=ε
( )[ ]2133E
1σ′+σ′ν−σ′=ε
( ) ( ) 0E
21321321 =σ′+σ′+σ′ν−
=ε+ε+ε ⇒ ( ) ( ) 0
E
21
V
V321 =σ′+σ′+σ′ν−
=∆
ou seja: 0V
V =∆
• Tensões desviadoras: distorcem o elemento sem variar o volume; • Tensões esféricas: variam o volume sem produzir distorções.
Determina-se evU por meio da substituição das tensões esféricas na equação (a):
( )[ ]σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= 2E2
1U 222e
v
( ) ( )[ ]22ev 323
E2
1U σ⋅ν−σ=
( ) ( )2321
ev
E6
21U σ+σ+σ
ν−=
Mas ev
eed UUU −= , assim, colocando-se as expressões de e
ve UeU , tem-se:
( )[ ] ( ) ( )232132312123
22
21
ed
E6
212
E2
1U σ+σ+σ
ν−−σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2113
23
2332
22
2221
21
ed 222
E6
1U σ+σσ−σ+σ+σσ−σ+σ+σσ−σ
ν+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]213
232
221
ed E6
1U σ−σ+σ−σ+σ−σν+=
57
10.4 – Critério da máxima energia de distorção (von Mises) Critério utilizado para materiais dúcteis. Baseia-se na observação de que o escoamento dos materiais dúcteis é provocado por tensões de cisalhamento.
45ºσYσY
( )2Y
2Y
edY
E6
)1(U σ+σ⋅
ν+= . Se e
dYed UU < → não há escoamento
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2Y
213
2
322
21 2E6
1
E6
1σ⋅
ν+<
σ−σ+σ−σ+σ−σν+
Ou: ( ) ( ) ( ) 2Y
213
232
221 2σ<σ−σ+σ−σ+σ−σ (11.1)
Particularizando-se o critério para estados planos de tensão e chamando-se de aσ e
bσ as tensões principais não nulas:
( ) ( ) ( ) 2Y
2a
2b
2ba 200 σ<σ−+−σ+σ−σ
2Y
2b
2a
2bba
2a 22 σ<σ+σ+σ+σσ−σ → 2
Y2bba
2a σ<σ+σσ−σ
σb
σa
σY
-σY
-σY
σY
Observação: O critério da máxima energia de distorção, equação (11.1), pode ser colocado em função de tensões não principiais, ou seja, em função de σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz. Usando-se o primeiro e o segundo invariantes de tensão, pode-se demonstrar que a equação (11.1) assume a seguinte forma:
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ
Particularizando para estados planos de tensão: σx ≠ 0; σy ≠ 0; τxy ≠ 0; σz= τxz = τyz = 0:
2Y
2xyyx
2y
2x 3 σ<τ+σσ−σ+σ
Particularizando para cisalhamento puro: τxy ≠ 0; σx = σy = σz = τxz = τyz = 0, tem-se:
2Y
2xy3 σ<τ →
3Y
xy
σ<τ
σ1 = σY
σ2 = σ3 = 0
Elipse de von Mises
58
10.5 – Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) Usado para materiais dúcteis.
τY σYσY
2Y
máx
σ<τ ⇒
22
Y31 σ<
σ−σ ⇒ Y31 σ<σ−σ
• Particularizando o critério de Tresca para o estado plano de tensões (σa e σb tensões
principais não nulas).
σb
σa
σY
-σY
-σY
σY
σb
σa
σY
-σY
-σY
σY
(a) Hexágono de Tresca (b) Comparação entre os dois critérios
10.6 – Critério da máxima tensão normal (Rankine) Usado para materiais frágeis.
Para que não ocorra ruptura: U1 σ<σ .
Ou: U3 σ<σ , onde: Uσ → tensão última
10.7 – Critério de Mohr
Usado para materiais frágeis.
τ
σ
2
31máx
σ−σ=τ
2Y
Y
σ=τ
envoltória de Mohr
zona sem ruptura
zona de ruptura
zona de ruptura
59
10.8 – Critério de Mohr-Coulomb É o mais usado na Mecânica dos solos. Baseia-se no fato de que os solos rompem por cisalhamento. A envoltória de Mohr é substituída pela reta de Coulomb.
τ → reta de Coulomb (resistência ao cisalhamento dos solos) φ → ângulo de atrito c → coesão
τ
σ φ φ c
c τ = c + σ tg φ
zona sem
ruptura
τ
σ φ φ
τ = σ tg φ
zona sem
ruptura
(a) solo coesivo (b) solo não coesivo • Interpretação do critério de Mohr-Coulomb: Impõe-se uma reta tangente ao círculo de Mohr
correspondente às tensões normais extremas (σ1 e σ3). Calcula-se um ângulo α para que isto ocorra e compara-se com o valor do ângulo de atrito φ: se α < φ: não vai haver ruptura; se α = φ o elemento está na iminência da ruptura; se α > φ o elemento vai romper.
τ
σ φ
c tg φ L =
τ
σ α
c tg φ L =
r
σ3 σ1
σ1 - σ3 2 r =
(a) (b)
Da figura (b) acima, tem-se a expressão: rL
rsen
3 −σ−=α
Ou:
2tg
c2sen
313
31
σ−σ−σ−
φ
σ−σ
=α
Ou ainda:
φσ+σ−φσ−σ
=αtg)(c2
tg)(sen
31
31
60ANEXO
ΙΙΙΙ – Propriedades de áreas planas
ΙΙΙΙ.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um
elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por:
• Dimensão de Q: [ L ] 3
• O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo.
ΙΙΙΙ.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide (__
y;z ) de uma área são dadas por:
• Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo
centróide é nulo.
61ΙΙΙΙ.3 – Momento de inércia ( ΙΙΙΙ): Por definição:
• O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]4
Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em
relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que
passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.
62
Resumo das equações de M(x) e V(x) dos carregamentos mais usados na Engenharia
Carregamento )x(M )x(V
M−
0
xP−
P−
2
xq 2
−
xq−
L6
xq 3
−
L2
xq 2
−
L6
xq
2
xq 32
+−
L2
xqxq
2
+−
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009.
PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995.
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984.
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973.
TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.