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Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Desenho Técnico
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Muitas vezes palavras e gestos não são suficientes para explicar o que temos na
cabeça. Tem horas que a melhor maneira de conseguirmos fazer uma
representação do que temos em mente é utilizando o desenho.
Com isso podemos afirmar que o desenho é também uma forma de representar
ideias e de se comunicar.
Desde épocas muito antigas, o desenho é utilizado como forma de comunicação.
Sabemos da existência de desenhos desde a Pré-história.
DESENHO ARTÍSTICO E DESENHO TÉCNICO
Qual a diferença?
No Desenho Artístico, os artistas transmitem suas ideias e sentimentos, cada um
ao seu modo, dependendo do gosto e sensibilidade de quem o criou, depois cada
observador interpreta o desenho ou obra a sua maneira.
Mulher Chorando - Picasso
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Já o Desenho Técnico deve transmitir com exatidão todas as características do
que foi desenhado, pois ele deve ser interpretado da mesma maneira, por qualquer
profissional da área.
Para isso, os Desenhos Técnicos devem seguir Normas Técnicas específicas, ou
seja, devem ser normatizados, para que possam ser interpretados com facilidade.
No Brasil, a entidade responsável pelas Normas Técnicas é a ABNT (Associação
Brasileira de Normas Técnicas).
O Desenho Técnico é considerado como uma área especializada do desenho, e é
caracterizado por sua normatização (como visto acima) e pela apropriação que ele
faz das regras da Geometria Descritiva que veremos mais para frente.
Em todos os Desenhos Técnicos, independente de qual área seja como:
Arquitetura, Marcenaria ou Mecânica, as representações são feitas por meio de
traços, símbolos, números e indicações escritas, tudo de acordo com as Normas
Técnicas.
MODALIDADES DO DESENHO TÉCNICO
Como afirmado anteriormente, para cada área de trabalho existe uma
especialização de Desenho Técnico, normalmente envolvendo normatizações
específicas.
Alguns exemplos são os que se seguem:
Desenho Arquitetônico: Voltado para projetos de arquitetura, desenho urbano,
paisagístico, etc.
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Desenho Mecânico: Voltado para projetos de
máquinas, motores, peças mecânicas, etc.
O tipo de Desenho Técnico que aprenderemos é o
Desenho Técnico Mecânico Manualístico, que é o
desenho feito de forma manual com o uso de
instrumentos tradicionais como lapiseiras, par de
esquadros, régua, borracha e etc.
Este tipo de Desenho Técnico está baseado nos
Princípios da Projeção Ortográfica também
conhecida como Projeção Ortogonal, princípios esses
que veremos em breve, e que tiveram o início do seu
desenvolvimento no Século XVII através do
matemático francês GASPAR MONGE, que é
considerado o pai da Geometria Descritiva.
Antes de GASPAR MONGE, os métodos de representação gáfica que existiam, não
conseguiam passar a idéia completa da forma dos objetos, mas com MONGE tudo
mudou pois ele criou um método que permitiu representar com total precisão as
dimensões do objeto desenhado, e o que é funadmental, é que esta representação
é feita em uma superfície plana que é a folha de papel que só tem duas dimensões.
REVISÃO
Desenho é uma forma de representar ideias.
Desenho Artístico é diferente de Desenho Técnico.
Desenho Técnico precisa obedecer Normas Técnicas.
SEGUNDA PARTE
FORMAS GEOMÉTRICAS
Basta olhamos à nossa volta para percebermos que estamos rodeados de objetos
que tem formas geométricas:
Gaspar Monge
Janela
Lâmpada
Lousa
Pneu
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RECORDANDO A GEOMETRIA FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTARES
O PONTO
A marca deixada por uma ponta de lápis quando pressionada a um papel é um
Ponto.
O Ponto é a Figura Geométrica mais simples que existe. Ele não tem dimensão,
pois não tem comprimento, largura e altura.
No desenho, o Ponto é determindo pelo cruzamento de duas linhas.
Para identificar um Ponto em um desenho, utilizamos “letras maíusculas” do nosso
alfabeto, como por exemplo:
ponto A ponto B ponto C
LINHA
É a união de Pontos, ou seja, é a sucessão de vários Pontos. Pode-se considerá-la
como um conjunto infinito de Pontos colocados um ao lado do outro como os
gomos de uma corrente de bicicleta.
Linha também pode ser entendida como um deslocamento de um Ponto, o rastro
que ele deixa é uma Linha.
Desta maneira podemos concluir que a Linha só tem uma dimensão: o
comprimento.
A Linha pode ser curva ou reta.
Esticando uma Linha nós temos uma Linha Reta, mais conhecida como Reta.
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RETA
Linha Reta ou simplesmente Reta, não tem início ou fim: ela é ilimitada, por isso
as mesmas possuem setas em suas extremidades indicando que a Reta continua
infinitamente nos dois sentidos.
Toda a Reta deve ser identificada por uma “letra minúscula” do nosso alfabeto.
SEMI-RETA
Tomando um Ponto qualquer de uma Reta, dividimos a mesma em duas partes,
temos com isso duas Semi-retas.
A Semi-reta sempre tem um ponto de origem mas nunca tem um fim.
SEGMENTO DE RETA
Tomando dois Pontos distintos sobre uma Reta, obtemos um pedaço limitado de
Reta. A esse pedaço de Reta limitado por dois Pontos damos o nome de
Segmento de Reta.
Os Pontos dos Segmentos de Reta são chamados de extremidades.
Os Pontos B e C (extremidades) determinam o Segmento de Reta .
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PLANO
Podemos ter uma idéia do que é um Plano observando uma parede ou um tampo
de mesa.
Outra maneira de imaginar um Plano é se colocar um conjunto de Retas uma ao
lado da outra, porém todas na mesma direção.
Também dá para imaginar um Plano, como o deslocamento de uma Reta em uma
mesma direção.
O Plano é ilimitado, isto é, não tem começo nem fim, apesar disso, no desenho,
costuma-se representá-lo delimitando-o por linhas fechadas.
Para identificar o Plano utilizamos “letras gregas”.
O Plano tem duas dimensões: comprimento e largura.
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Uma Figura é Plana, quando seus pontos situam-se no mesmo Plano.
Obs: As Figuras Planas com três ou mais lados, são chamadas de Polígonos.
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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Como foi explicado anteriormente, todos os pontos de uma Figura Plana
localizam-se no mesmo Plano. Quando uma Figura Geométrica tem pontos
situados em diferentes Planos, temos um Sólido Geométrico.
Analisando a ilustração a seguir, entenderemos bem a diferença entre Figura
Plana e Sólido Geométrico.
FIGURA GEOMÉTRICA SÓLIDO GEOMÉTRICO
TIPOS DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS COM SUPERFÍCIES PLANAS
PRISMAS
Prisma é um Sólido Geométrico limitado por Polígonos.
Pode-se imaginá-lo como uma pilha de polígonos iguais muito próximos uns dos
outros, como mostra a ilustração:
O prisma pode também ser imaginado como o resultado do deslocamento de um
polígono:
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O sólido geométrico é constituído de vários elementos. Para quem lida com
desenho técnico é muito importante conhecê-los bem. Vejamos:
Note que a base do Prisma tem a forma de um retângulo. Por isso ele recebe o
nome de Prisma Retangular.
O Prisma que apresenta as seis faces formadas por quadrados iguais é conhecido
como Cubo.
Exemplos de Prismas:
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PIRÂMIDES
É também um Sólido Geométrico limitado por Polígonos.
Pode ser imaginado como o resultado do empilhamento de semelhantes Polígonos,
porém de tamanhos cada vez menores.
É importante conhecer também os elementos da Pirâmide:
Exemplos de Pirâmides:
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Alguns sólidos geométricos, chamados sólidos de revolução, podem ser formados
pela rotação de figuras planas em torno de um eixo. Rotação significa ação de
rodar, dar uma volta completa. A figura plana que dá origem ao sólido de revolução
chama-se figura geradora. A linha que gira ao redor do eixo formando a superfície
de revolução é chamada linha geratriz.
O cilindro, o cone e a esfera são os principais sólidos de revolução.
CILINDRO
Sólido Geométrico que pode ser imaginado como resultado da rotação de um
Retângulo.
CONE
Sólido Geométrico que pode ser imaginado como resultado da rotação de um
Triângulo Retângulo.
ESFERA
Sólido Geométrico que pode ser imaginado como resultado da rotação de um
Semicírculo.
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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS
São chamados de Sólidos Geométricos Truncados os Sólidos que foram cortados
em um Plano.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS VAZADOS
São chamados Sólidos Geométricos Vazados os Sólidos que apresentam partes
ocas.
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COMPARANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS COM OBJETOS DA MECÂNICA
Há casos em que os objetos têm formas compostas ou apresentam vários
elementos. Nesses casos, para entender melhor como esses objetos se relacionam
com os sólidos geométricos, é necessário decompô-los em partes mais simples.
Analise cuidadosamente os próximos exemplos. Assim, você aprenderá a enxergar
formas geométricas nos mais variados objetos.
Examine este rebite de cabeça redonda:
Imaginando o rebite decomposto em partes mais simples, você verá que ele é
formado por um cilindro e uma calota esférica (esfera truncada).
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EXERCÍCIOS
Escreva o nome destes sólidos geométricos, nos espaços indicados.
Ligue cada sólido geométrico à figura plana que lhe deu origem:
Observe a guia representada a seguir e assinale com um X os sólidos geométricos
que a compõem.
Escreva o nome dos sólidos geométricos em que pode ser decomposto da peça
abaixo:
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Que sólido geométrico foi retirado deste bloco em forma de prisma retangular?
REVISÃO:
Figuras Geométricas Elementares: Ponto, Reta.
Figuras Geométricas Planas: Cilindro, Quadrado, Triângulo.
Sólidos Geométricos Planos: Prisma Triangular, Prisma Retangular, Cubo.
Sólidos Geométricos com Superfícies Curvas: Cone, Esfera.
Sólidos Geométricos Truncados: Sólido que foi cortado em um Plano.
Sólidos Geométricos Vazados: Sólido que apresenta partes ocas.
CLASSIFICAÇÃO E EMPREGO DAS LINHAS
As linhas empregadas no Desenho Técnico dividem-se em: Grossa, Média e Fina,
sendo uma a metade da espessura da outra.
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Normas Básicas para o traçado das linhas:
1) Deve ser mantida a espessura da linha determinada.
2) As linhas contínuas não devem ultrapassar e nem deixar de encontrar a outra
linha contínua que lhe for perpendicular.
3) As linhas tracejadas devem possuir seus traços iguais e eqüidistantes.
Certo errado
4) Se duas ou mais linhas tracejadas possuem um vértice comum, elas devem
se encontrar nesse ponto. Caso não possuam pontos em comum, devem ser
interrompidas no cruzamento.
5) Toda linha traço-ponto deve começar e terminar por uma reta.
6) Quando duas ou mais linhas paralelas estão próximas, devem ser evitados
traços iguais lado a lado. Deve-se alterar ligeiramente esse posicionamento.
certo errado
7) Se uma linha contínua for limite de uma tracejada, esta deve tocá-la. No
caso de cruzamento, a linha tracejada não toca a contínua.
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ESPESSURAS E DUREZAS DAS GRAFITAS OU DA GRAFITE
ESPESSURAS
DUREZAS
MUITO DURO MACIO MUITO MACIO
A Grafita ou a grafite é uma forma alotrópica do carbono.
H: Hard (Mina Dura)
B: Black (Mina Mole)
Mina: Mistura da Gratite (ou da Grafita), Barro e Água.
POSICIONAMENTO CORRETO DO LÁPIS / LAPISEIRA NA RÉGUA
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PROCESSO PARA TRAÇAR PRALELAS A UM SEGMENTO DE RETA
1° passo:
Posicionar um dos
esquadros
alinhando ao
segmento e firmá-
lo.
2° passo:
Posicionar o outro
esquadro em um
das laterais do
anterior de modo a
deixar a reta
descoberta.
3° passo:
Firmar o segundo
esquadro e mover o
primeiro para cima
e para baixo,
sempre apoiado no
outro, traçando as
paralelas.
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PROCESSO PARA TRAÇAR PERPENDICULARES A UM SEGMENTO DE RETA
1° passo:
Posicionar um dos esquadros
alinhando ao segmento e firmá-
lo.
2° passo:
Posicionar o outro esquadro em
um das laterais do anterior de
modo a deixar a reta
descoberta.
3° passo:
Firmar o segundo esquadro e
mover o primeiro para
baixo,apoiado no outro,
deixando o desenho livre..
4° passo:
Firmar o esquadro paralelo ao
segmento, retirar o segundo da
lateral e posicioná-lo sobre o
primeiro, formando um ângulo
reto (90°).
Movimentando o esquadro
superior para as laterais,
sempre apoiado no inferior,
traçamos as perpendiculares.
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Exercícios
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CALIGRAFIA TÉCNICA
A Caligrafia Técnica surgiu como uma necessidade para a padronização da
linguagem escrita, a fim de facilitar a comunicação entre os profissionais da área.
Esse tipo de caligrafia é simples e composto por caracteres sóbrios para que a
comunicação seja fácil e precisa.
As letras e os algarismos usados em legendas ou anotações podem ser verticais ou
inclinados (75° a esquerda), seguindo um único estilo adotado (vertical ou
inclinado).
Para se garantir uma uniformidade nas alturas das letras, deve-se traçar antes de
iniciar o letreiro, duas linhas auxiliares (finas e fracas), limitando a parte superior e
inferior das letras.
Exercício de caligrafia técnica
Escrever nas linhas abaixo as letras do nosso abecedário utilizando o padrão do tipo
vertical e inclinada:
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Formato dos papéis
Os papéis a serem utilizados em desenho técnico deverão corresponder a um dos
formatos da ABNT. Todos os formatos desta série que iremos conhecer derivam do
formato A0, que possui as dimensões de 841 x 1189 mm (que tem área igual a
1,00 m²). Assim sendo, ao dividir-se ao meio o maior lado de um formato,
encontra-se o formato imediatamente abaixo.
PROJEÇÃO ORTOGÁFICA
A projeção ortográfica ou projeção ortogonal é uma forma de representar
graficamente objetos tridimensionais em superfícies planas, de modo a transmitir
suas características com precisão e demonstrar sua verdadeira grandeza.
Os métodos de representação de um objeto em uma superfície plana são
fundamentalmente três:
a) Projeção ortogonal;
b) Projeção axonométrica e oblíqua;
c) Perspectiva cônica.
Em desenho técnico mecânico, utiliza-se quase sempre as projeções ortográficas.
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Projeção ortogonal
Na projeção ortogonal, o sólido a ser projetado tem contornos que são paralelos e
perpendiculares ao plano de projeções.
Projeção axonométrica ortogonal
Nesta projeção, o sólido não possui contornos nem paralelos nem perpendiculares
ao plano de projeção. As projetantes são perpendiculares ao plano de projeção e
oblíquas em relação ao sólido.
Projeção oblíqua
Na projeção oblíqua, o sólido tem contornos que são paralelos e perpendiculares ao
plano de projeção. As projetantes são oblíquas em relação ao plano de projeção.
PROJEÇÃO ORTOGÁFICA
É o método que tem como objetivo, mostrar as três dimensões de um objeto na
sua forma e medida exata.
Para entender bem como é feita a projeção ortográfica você precisa conhecer
três elementos: o modelo, o observador e o plano de projeção.
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Modelo
É o objeto a ser representado em projeção ortográfica. Qualquer objeto pode
ser tomado como modelo: uma figura geométrica, um sólido geométrico, uma
peça de máquina ou mesmo um conjunto de peças.
Veja alguns exemplos de modelos:
Observador
É a pessoa que vê, analisa, imagina ou desenha o modelo.
Para representar o modelo em projeção ortográfica, o observador deve analisá-lo
cuidadosamente em várias posições.
As ilustrações a seguir mostram o observador vendo o modelo de frente, de cima e
de lado.
Em projeção ortográfica deve-se imaginar o observador localizado a uma distância
infinita do modelo. Por essa razão, apenas a direção de onde o observador está
vendo o modelo será indicada por uma seta, como mostra a ilustração abaixo:
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Plano de projeção
É a superfície onde se projeta o modelo. A tela de cinema é um bom exemplo
de plano de projeção:
Os planos de projeção podem ocupar várias posições no espaço.
Em desenho técnico usamos dois planos básicos para representar as projeções de
modelos: um plano vertical e um plano horizontal que se cortam
perpendicularmente.
Esses dois planos, perpendiculares entre si, dividem o espaço em quatro regiões
chamadas diedros.
Diedros
Cada diedro é a região limitada por dois semiplanos perpendiculares entre si.
Chamaremos o semiplano vertical superior de plano vertical. O semiplano horizontal
anterior passará a ser chamado de plano horizontal.
Os diedros são numerados no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao
do movimento dos ponteiros do relógio.
Uma analogia simples ao diedro seria tentar visualizar um livro aberto tendo as
suas páginas um ângulo de 90º.
O método de representação de objetos em dois semiplanos perpendiculares entre
si, criado por Gaspar Monge, é também conhecido como método mongeano.
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Atualmente, a maioria dos países que utilizam o método mongeano adotam a
projeção ortográfica no 1º diedro. No Brasil, a ABNT recomenda a representação no
1º diedro.
Entretanto, alguns países, como por exemplo os Estados Unidos e o Canadá,
representam seus desenhos técnicos no 3º diedro.
Neste curso, você estudará detalhadamente a representação no 1º diedro, como
recomenda a ABNT.
Das projeções ortogáficas surgem as seguintes conclusões:
Toda a superfície paralela a um plano
de projeção se projeta neste plano
exatamente na sua forma e em
verdadeira grandeza.
Quando uma superfície é perpendicular
ao plano de projeção, a projeção
resultante é uma linha.
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As arestas resultantes das interseções
de superfícies, são representadas por
linhas.
Como utilizar as projeções ortográficas
Como os sólidos são constituídos de várias superfícies, as projeções ortográficas
são utilizadas para representar as formas tridimensionais através de figuras planas.
A projeção de um só plano (conforme figura abaixo) mostra a aplicação das
projeções ortográficas na representação de superfícies que compõem,
respectivamente, um cilindro, um paralelepípedo e um prisma de base triangular.
Pode-se observar que as projeções resultantes são constituídas de figuras iguais,
desta forma, não é possível identificar as formas espaciais representadas, pois cada
uma das projeções pode corresponder a qualquer um dos três sólidos.
Isto acontece porque a terceira dimensão de cada sólido não esta representada por
esta projeção ortográfica. Para fazer aparecer a terceira dimensão, é necessário
fazer uma segunda projeção ortogonal olhando os sólidos por outro lado.
Na figura abaixo, vemos os três sólidos anteriores sendo projetados nos planos
vertical e horizontal e fazendo-se o rebatimento do plano horizontal até a formação
de um único plano na posição vertical.
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Os desenhos resultantes das
projeções nos planos vertical e
horizontal da figura ao lado, resultam
na representação do objeto visto por
lados diferentes e as projeções
resultantes, desenhadas em um único
plano, representam as mesmas
dimensões do objeto.
Na projeção feita no plano vertical, aparecem o comprimento e a altura do objeto, e
na projeção feita no plano horizontal, aparecem o comprimento e a largura do
mesmo objeto.
Assim sendo, pode-se concluir que duas vistas, apesar de representarem as três
dimensões, podem não ser suficientes para representar a forma do objeto
desenhado.
Como pôde ser visto
anteriormente (e na figura ao lado),
duas vistas podem não definir a
forma de uma peça, podendo a
projeção resultante corresponder a
formas espaciais completamente
diferentes, pois apesar de termos a
representação das três dimensões do
objeto, não se tem a garantia da
representação da forma da peça.
Desta forma se conclui que é
necessário a utilização da terceira
projeção.
Logo a utilização de um plano lateral para a obtenção de uma terceira projeção se
faz necessário.
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Desdobrando
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Definindo as Vistas
A projeção feita no plano frontal é considerada a principal vista e deve ser
executada de maneira a procurar mostrar a peça em sua posição de trabalho.
Esta vista também deve ser a que melhor caracterize a peça, mostrando o maior
número de detalhes.
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Exercícios:
Desenhe manualmente as três vistas das peças abaixo.
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Escalas
O desenho de uma peça, por diversas razões, nem sempre poderá ser executado
com as dimensões reais da mesma.
Tratando-se de uma peça grande, teremos que desenhá-la menor, conservando a
sua proporção, com igual redução de todas as medidas. Esta relação entre peça e
desenho tem o nome de escala e sempre é indicada nos desenhos.
Escala natural: ocorre quando a peça e desenhada em suas próprias dimensões, é
também conhecida como escala 1:1.
Escala de redução: é necessária quando é preciso produzir um desenho de uma
peça de tamanho grande. As normas técnicas recomendam as seguintes escalas de
redução:
1:2 1:20 1:200
1:2,5 1:25 1:250
1:5 1:50 1:500
1:10 1:100 1:1000
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Escala de ampliação: utilizada para ampliar pequenas peças difíceis de interpretar
e cotar em escala natural. São empregadas principalmente as seguintes escalas de
ampliação:
2:1 100:1
5:1 200:1
10:1 500:1
20:1 1000:1
Dimensionamento
O desenho técnico, além de representar dentro de uma escala a forma
tridimensional, deve conter informações sobre as dimensões do objeto
representado.
Estas dimensões irão definir as características geométricas do objeto, dando
valores de tamanho a referida peça.
A forma mais utilizada em desenho técnico é a definição através de cotas que são
constituídas de linhas de chamada (ou linhas de aproximação), linhas de cota, setas
e valor numérico em uma determinada unidade de medida.
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As cotas devem ser distribuídas pelas vistas e devem informarr todas as dimensões
necessárias para viabilizar a construção do objeto desenhado.
OBS.: Deve-se ter cuidado para não se colocar cotas desnecessárias.
As cotas devem ser colocadas de uma única vez em qualquer uma das vistas que
compõem o desenho, localizadas no local que representa mais claramente o
elemento que esta sendo cotado.
Todas as cotas de um desenho ou de um conjunto de desenhos de uma mesma
máquina ou de um mesmo equipamento devem ter os valores expressos em uma
mesma unidade de medida, sem indicação do símbolo da unidade de medida
utilizada.
OBS.: Normalmente a unidade de medida mais utilizada no desenho técnico é o
milímetro.
Quando houver necessidade
de utilizar outras unidades, além da
que esta se utilizando, o símbolo da
unidade deve ser indicado ao lado do
valor da cota.
As linhas de chamada assim
como as linhas de cota, são linhas
contínuas e feitas com traço fino.
As linhas de chamada devem
ultrapassar levemente as linhas de
cota, e também deve haver um
pequeno espaço entre a linha e o
elemento dimensionado, porém não
se pode esquecer de manter o
paralelismo entre si.
As medidas são escritas acima das linhas de cota, quando estas são horizontais ou
inclinadas; e à esquerda, quando são verticais.
OBS.: A base dos algarismos deve estar junto a linha de cota.
Quando o espaço a cotar for pequeno de modo que não permita desenhar as setas
e algarismos, as setas podem ser invertidas e colocadas exteriores à medida, na
direção da linha de cota. Os algarismos podem ser deslocados para junto da seta
direita externa ou para mais distante, desde que ligadas ao espaço medido por uma
pequena seta referencial.
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Os elementos cilíndricos
sempre são dimensionados pelos seus
diâmetros e localizados pelas suas
linhas de centro conforme figura ao
lado.
Deve-se evitar colocar cotas dentro dos desenhos e principalmente cotas alinhadas
com outras figuras do desenho, conforme figura ao lado.
certo não recomendado errado
Outro cuidado que se deve ter para facilitar a interpretação do desenho é se evitar
o cruzamento de linha de cota com qualquer outra linha. As cotas de menor valor
devem ficar por dentro das cotas de maior valor, para se evitar o cruzamento de
linhas de cota com as linhas de aproximação, conforme demonstrado abaixo:
certo não recomendado
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Sempre que possível, as cotas devem ser colocadas alinhadas, como por exemplo:
certo não recomendado
certo não recomendado
Símbolos convencionais de simplificação
Sinais indicativos de diâmetro e quadrado: as cotas de diâmetro e de lados de
um quadrado devem ser precedidas dos símbolos de e , respectivamente,
exceto nos casos em que o desenho esclarece, sem possibilidade de dúvidas que o
desenho representa um círculo ou um quadrado.
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Exercícios:
Desenhe em folha A4 as Projeções ortogáficas das figuras abaixo e coloque as suas
dimensões:
Perspectiva Isométrica
Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As
partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes
aparentam ser menores.
A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano,
pois transmite a idéia de três dimensões: comprimento, largura e altura.
O desenho, para transmitir essa mesma idéia, precisa recorrer a um modo especial
de representação gráfica: a perspectiva. Ela representa graficamente as três
dimensões de um objeto em um único plano, de maneira a transmitir a idéia de
profundidade e relevo.
Existem diferentes tipos de perspectiva. Veja como fica a representação de um
cubo em três tipos diferentes de perspectiva:
perspectiva cônica perspectiva cavaleira perspectiva isométrica
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Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito. Comparando as três formas
de representação, você pode notar que a perspectiva isométrica é a que dá a ideia
menos deformada do objeto.
Iso significa mesma; métrica significa medida. A perspectiva isométrica mantém
as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto
representado. Além disso, o traçado da perspectiva isométrica é relativamente
simples. Por essas razões, neste curso, você estudará esse tipo de perspectiva.
Em desenho técnico, é comum representar perspectivas por meio de esboços, que
são desenhos feitos rapidamente à mão livre. Os esboços são muito úteis quando
se deseja transmitir, de imediato, a idéia de um objeto.
Ângulos
Para estudar a perspectiva isométrica, precisamos saber o que é um ângulo e a
maneira como ele é representado.
Ângulo é a figura geométrica formada por duas semi-retas de mesma origem. A
medida do ângulo é dada pela abertura entre seus lados.
Uma das formas para se medir o ângulo consiste em dividir a circunferência em 360
partes iguais. Cada uma dessas partes corresponde a 1 grau (1º).
A medida em graus é indicada pelo numeral seguido do símbolo de grau.
Exemplo: 45º (lê-se: quarenta e cinco graus).
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Eixos isométricos
O desenho da perspectiva isométrica é baseado num sistema de três semi-retas
que têm o mesmo ponto de origem e formam entre si três ângulos de 120°.
Veja:
Essas semi-retas, assim dispostas, recebem o nome de eixos isométricos.
Cada uma das semi-retas é um eixo isométrico.
Os eixos isométricos podem ser representados em posições variadas, mas sempre
formando, entre si, ângulos de 120°. Neste curso, os eixos isométricos serão
representados sempre na posição indicada na figura anterior.
O traçado de qualquer perspectiva isométrica parte sempre dos eixos isométricos.
Linha isométrica
Agora você vai conhecer outro elemento muito importante para o traçado da
perspectiva isométrica: as linhas isométricas.
Qualquer reta paralela a um eixo isométrico é chamada linha isométrica.
Observe a figura a seguir:
As retas r, s, t e u são linhas isométricas:
r e s são linhas isométricas porque são paralelas ao eixo y;
t é isométrica porque é paralela ao eixo z;
u é isométrica porque é paralela ao eixo x.
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As linhas não paralelas aos eixos isométricos são linhas não isométricas. A
reta v, na figura abaixo, é um exemplo de linha não isométrica.
Verificando o entendimento
Analise a posição das retas p, q, r e s em relação aos eixos isométricos.
p:......................................................
q:......................................................
r:......................................................
s:......................................................
A resposta correta é: q (paralela ao eixo y) e s (paralela ao eixo x).
Papel reticulado
Você já sabe que o traçado da perspectiva é feito, em geral, por meio de esboços à
mão livre.
Para facilitar o traçado da perspectiva isométrica à mão livre, usaremos um tipo de
papel reticulado que apresenta uma rede de linhas que formam entre si ângulos de
120º. Essas linhas servem como guia para orientar o traçado do ângulo correto da
perspectiva isométrica.
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Traçando a perspectiva isométrica do prisma
Para aprender o traçado da perspectiva isométrica você vai partir de um sólido
geométrico simples: o prisma retangular.
Prisma retangular
Dimensões básicas:
c = comprimento
l = largura
h = altura
O traçado da perspectiva será demonstrado em cinco fases apresentadas
separadamente. Na prática, porém, elas são traçadas em um mesmo desenho.
Aqui, essas fases estão representadas nas figuras da esquerda. Você deve repetir
as instruções no reticulado da direita. Assim, você verificará se compreendeu bem
os procedimentos e, ao mesmo tempo, poderá praticar o traçado. Em cada nova
fase você deve repetir todos os procedimentos anteriores.
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1ª fase - Trace levemente, à mão livre, os eixos isométricos e indique o
comprimento, a largura e a altura sobre cada eixo, tomando como base as medidas
aproximadas do prisma representado na figura anterior.
2ª fase - A partir dos pontos onde você marcou o comprimento e a altura, trace
duas linhas isométricas que se cruzam. Assim ficará determinada a face da frente
do modelo.
3ª fase - Trace agora duas linhas isométricas que se cruzam a partir dos pontos
onde você marcou o comprimento e a largura. Assim ficará determinada a face
superior do modelo.
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4ª fase - E, finalmente, você encontrará a face lateral do modelo. Para tanto,
basta traçar duas linhas isométricas a partir dos pontos onde você indicou a largura
e a altura.
5ª fase (conclusão) - Apague os excessos das linhas de construção, isto é, das
linhas e dos eixos isométricos que serviram de base para a representação do
modelo. Depois, é só reforçar os contornos da figura e está concluído o traçado da
perspectiva isométrica do prisma retangular.
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Exercício 1
Escreva nas lacunas as letras que indicam as linhas isométricas do modelo
abaixo.
As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo x.
As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo y.
As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo z.
Perspectiva isométrica de modelos com elementos paralelos e oblíquos
Observe o modelo a seguir:
Trata-se de um prisma retangular com um elemento paralelo: o rebaixo.
O rebaixo é um elemento paralelo porque suas linhas são paralelas aos eixos
isométricos: a e d são paralelas ao eixo y; b, e e g são paralelas ao eixo x; c e f
são paralelas ao eixo z.
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Perspectiva isométrica de elementos paralelos
A forma do prisma com elementos paralelos deriva do prisma retangular.
Por isso, o traçado da perspectiva do prisma com elementos paralelos parte da
perspectiva do prisma retangular ou prisma auxiliar.
Para facilitar o estudo, este traçado também será apresentado em cinco fases.
Mas lembre-se de que, na prática, toda a seqüência de fases ocorre sobre o mesmo
desenho. O traçado das cinco fases será baseado no modelo prismático indicado a
seguir:
Acompanhe as instruções:
1ª fase - Esboce a perspectiva isométrica do prisma auxiliar utilizando as
medidas do comprimento, largura e altura do prisma com rebaixo.
Um lembrete: aproveite o reticulado da direita para praticar.
2ª fase - Na face da frente, marque o comprimento e a profundidade do rebaixo e
trace as linhas isométricas que o determinam.
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3ª fase - Trace as linhas isométricas que determinam a largura do rebaixo.
Note que a largura do rebaixo coincide com a largura do modelo.
4ª fase - Complete o traçado do rebaixo.
5ª fase (conclusão) - Finalmente, apague as linhas de construção e reforce os
contornos do modelo.
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Verificando o entendimento
Este exercício o ajudará a fixar as fases do traçado da perspectiva de modelos com
elementos paralelos. Tente esboçar sozinho a perspectiva isométrica do prisma com
dois rebaixos paralelos representado a seguir.
Perspectiva isométrica de elementos oblíquos
Os modelos prismáticos também podem apresentar elementos oblíquos.
Observe os elementos dos modelos abaixo:
Esses elementos são oblíquos porque têm linhas que não são paralelas aos
eixos isométricos.
Nas figuras anteriores, os segmentos de reta: AB, CD, EF, GH, IJ, LM, NO, PQ e
RS são linhas não isométricas que formam os elementos oblíquos.
O traçado da perspectiva isométrica de modelos prismáticos com elementos
oblíquos também será demonstrado em cinco fases.
O modelo a seguir servirá de base para a demonstração do traçado. O elemento
oblíquo deste modelo chama-se chanfro.
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Como o modelo é prismático, o traçado da sua perspectiva parte do prisma auxiliar.
Aproveite para praticar. Use o reticulado da direita!
1ª fase - Esboce a perspectiva isométrica do prisma auxiliar, utilizando as medidas
do comprimento, largura e altura do prisma chanfrado.
2ª fase - Marque as medidas do chanfro na face da frente e trace a linha não
isométrica que determina o elemento.
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3ª fase - Trace as linhas isométricas que determinam a largura do chanfro.
4ª fase - Complete o traçado do elemento.
5ª fase - Agora é só apagar as linhas de construção e reforçar as linhas de
contorno do modelo.
Verificando o entendimento
Para aprender é preciso exercitar! Esboce a perspectiva do modelo prismático
abaixo obedecendo à seqüência das fases do traçado. Utilize o reticulado da direita.
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Considere correto seu exercício se sua perspectiva estiver parecida com o desenho
da esquerda.
Exercício 1
Ordene as fases do traçado da perspectiva isométrica do modelo escrevendo de 1 a
5 nos círculos.
Exercício 2
Na seqüência abaixo a 3ª fase do traçado da perspectiva isométrica está
incompleta. Complete-a.
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Exercícios 3
Esboce, na coluna da direita, a perspectiva isométrica do modelo representado à
esquerda.
Exercício 4
Na seqüência abaixo complete, à mão livre, o desenho da 4ª fase do traçado da
perspectiva isométrica.
Exercício 5
Ordene as fases do traçado da perspectiva isométrica, escrevendo de 1 a 5 nos
círculos.
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Exercício 6
Na seqüência abaixo, desenhe as fases que faltam para chegar ao traçado completo
da perspectiva isométrica.
Perspectiva isométrica de modelos com elementos diversos
Algumas peças apresentam partes arredondadas, elementos arredondados ou
furos, como mostram os exemplos abaixo:
Mas antes de aprender o traçado da perspectiva isométrica de modelos com essas
características você precisa conhecer o traçado da perspectiva isométrica do
círculo. Dessa forma, não terá dificuldades para representar elementos circulares e
arredondados em perspectiva isométrica.
Perspectiva isométrica do círculo
Um círculo visto de frente, tem sempre a forma redonda. Entretanto, você já
observou o que acontece quando giramos o círculo?
É isso mesmo! Quando imprimimos um movimento de rotação ao círculo, ele
aparentemente muda, pois assume a forma de uma elipse.
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O círculo, representado em perspectiva isométrica, tem sempre a forma parecida
com uma elipse. O próprio círculo, elementos circulares ou partes arredondadas
podem aparecer em qualquer face do modelo ou da peça e sempre serão
representados com forma elíptica.
Quadrado auxiliar
Para facilitar o traçado da perspectiva isométrica você deve fazer um quadrado
auxiliar sobre os eixos isométricos da seguinte maneira: trace os eixos isométricos
(fase a); marque o tamanho aproximado do diâmetro do círculo sobre os eixos z e
y, onde está representada a face da frente dos modelos em perspectiva
(fase b); a partir desses pontos, puxe duas linhas isométricas (fase c), conforme
mostra a ilustração abaixo:
Traçando a perspectiva isométrica do círculo
O traçado da perspectiva isométrica do círculo também será demonstrado em cinco
fases.
Não se esqueça: use o reticulado da direita para aprender e praticar!
1ª fase - Trace os eixos isométricos e o quadrado auxiliar.
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2ª fase - Divida o quadrado auxiliar em quatro partes iguais.
3ª fase - Comece o traçado das linhas curvas, como mostra a ilustração.
4ª fase - Complete o traçado das linhas curvas.
5ª fase (conclusão) - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do
círculo.
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Você deve seguir os mesmos procedimentos para traçar a perspectiva isométrica do
círculo em outras posições, isto é, nas faces superior e lateral.
Observe nas ilustrações a seguir que, para representar o círculo na face superior, o
quadrado auxiliar deve ser traçado entre os eixos x e y. Já para representar o
círculo na face lateral, o quadrado auxiliar deve ser traçado entre o eixo x e z.
Perspectiva isométrica de sólidos de revolução
O cone e o cilindro são sólidos de revolução que têm as bases formadas por
círculos. Portanto, o traçado da perspectiva isométrica desses sólidos parte da
perspectiva isométrica do círculo.
É importante que você aprenda a traçar esse tipo de perspectiva, pois assim será
mais fácil entender a representação, em perspectiva isométrica, de peças cônicas e
cilíndricas ou das que tenham partes com esse formato.
Traçando a perspectiva isométrica do cone
Para demonstrar o traçado da perspectiva isométrica tomaremos como base o cone
representado na posição a seguir.
Cone
h = altura
d = diâmetro
Para desenhar o cone nessa posição, devemos partir do círculo representado na
face superior.
O traçado da perspectiva isométrica do cone também será demonstrado em cinco
fases. Acompanhe as instruções e pratique no reticulado da direita.
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1ª fase - Trace a perspectiva isométrica do círculo na face superior e marque um
ponto A no cruzamento das linhas que dividem o quadrado auxiliar.
2ª fase - A partir do ponto A, trace a perpendicular AB.
3ª fase - Marque, na perpendicular AB, o ponto V, que corresponde à altura
aproximada (h) do cone.
4ª fase - Ligue o ponto V ao círculo, por meio de duas linhas, como mostra a
ilustração.
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5ª fase - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do cone.
Atenção: a parte não visível da aresta da base do cone deve ser representada com
linha tracejada.
Traçando a perspectiva isométrica do cilindro
O traçado da perspectiva isométrica do cilindro também será desenvolvido em cinco
fases. Para tanto, partimos da perspectiva isométrica de um prisma de base
quadrada, chamado prisma auxiliar.
A medida dos lados do quadrado da base deve ser igual ao diâmetro do círculo que
forma a base do cilindro. A altura do prisma é igual à altura do cilindro a ser
reproduzido.
O prisma de base quadrada é um elemento auxiliar de construção do
cilindro. Por essa razão, mesmo as linhas não visíveis são representadas por linhas
contínuas.
Observe atentamente as fases do traçado e repita as instruções no reticulado da
direita.
1ª fase - Trace a perspectiva isométrica do prisma auxiliar.
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2ª fase - Trace as linhas que dividem os quadrados auxiliares das bases em quatro
partes iguais.
3ª fase - Trace a perspectiva isométrica do círculo nas bases superior e inferior do
prisma.
4ª fase - Ligue a perspectiva isométrica do círculo da base superior à perspectiva
isométrica do círculo da base inferior, como mostra o desenho.
5ª fase - Apague todas as linhas de construção e reforce o contorno do cilindro. A
parte invisível da aresta da base inferior deve ser representada com linha
tracejada.
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Perspectiva isométrica de modelos com elementos circulares e
arredondados
Os modelos prismáticos com elementos circulares e arredondados também podem
ser considerados como derivados do prisma.
O traçado da perspectiva isométrica desses modelos também parte dos eixos
isométricos e da representação de um prisma auxiliar, que servirá como elemento
de construção.
O tamanho desse prisma depende do comprimento, da largura e da altura do
modelo a ser representado em perspectiva isométrica.
Mais uma vez, o traçado será demonstrado em cinco fases. Acompanhe
atentamente cada uma delas e aproveite para praticar no reticulado da direita.
Observe o modelo utilizado para ilustrar as fases:
Prisma com elementos arredondados
c = comprimento
l = largura
h = altura
Os elementos arredondados que aparecem no modelo têm forma de semicírculo.
Para traçar a perspectiva isométrica de semicírculos, você precisa apenas da
metade do quadrado auxiliar.
1ª fase - Trace o prisma auxiliar respeitando o comprimento, a largura e a altura
do prisma com elementos arredondados.
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2ª fase - Marque, na face anterior e na face posterior, os semiquadrados que
auxiliam o traçado dos semicírculos.
3ª fase - Trace os semicírculos que determinam os elementos arredondados, na
face anterior e na face posterior do modelo.
4ª fase - Complete o traçado das faces laterais.
5ª fase - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do traçado.
Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Introdução a Lógica de Programação
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1 Introdução Nesta apostila estudaremos Lógica de Programação e, para isto, é importante ter
uma visão geral do processo de desenvolvimento de programas (softwares), visto
que o objetivo final é ter um bom embasamento para a prática da programação de
computadores [MAR03].
Para o desenvolvimento de qualquer programa, deve-se seguir basicamente as
seguintes etapas, conhecidas como Ciclo de Vida do Sistema [BUF03]:
1) Estudo da Viabilidade (Estudos Iniciais)
2) Análise detalhada do sistema (Projeto Lógico)
3) Projeto preliminar do sistema (Projeto Físico)
4) Projeto detalhado do sistema (Algoritmos)
5) Implementação ou Codificação do sistema (na Linguagem de Programação
escolhida)
6) Testes do sistema
7) Instalação e Manutenção do sistema
No desenvolvimento de um sistema, quanto mais tarde um erro é detectado, mais
dinheiro e tempo se gasta para repará-lo. Assim, a responsabilidade do
programador é maior na criação dos algoritmos do que na sua própria
implementação, pois quando bem projetados não se perde tempo tendo que refazê-
los, reimplantá-los e retestá-los, assegurando assim um final feliz e no prazo
previsto para o projeto [BUF03].
Pode-se encontrar na literatura em informática várias formas de representação das
etapas que compõem o ciclo de vida de um sistema. Essas formas de representação
podem variar tanto na quantidade de etapas quanto nas atividades a serem
realizadas em cada fase [MAR03].
Como pode-se observar, nesse exemplo de ciclo de vida de um sistema (com sete
fases) apresentado acima, os algoritmos fazem parte da quarta etapa do
desenvolvimento de um programa.
Na verdade, os algoritmos estão presentes no nosso dia-a-dia sem que saibamos,
pois uma receita culinária, as instruções de uso de um equipamento ou as
indicações de um instrutor sobre como estacionar um carro, por exemplo, nada
mais são do que algoritmos.
Um algoritmo pode ser definido como um conjunto de regras (instruções), bem
definidas, para solução de um determinado problema. Segundo o dicionário
Michaelis, o conceito de algoritmo é a "utilização de regras para definir ou executar
uma tarefa específica ou para resolver um problema específico."
A partir desses conceitos de algoritmos, pode-se perceber que a palavra algoritmo
não é um termo computacional, ou seja, não se refere apenas à área de
informática. É uma definição ampla que agora que você já sabe o que significa,
talvez a utilize no seu cotidiano normalmente.
Na informática, o algoritmo é o "projeto do programa", ou seja, antes de se fazer
um programa (software) na Linguagem de Programação desejada (Pascal, C,
Delphi, etc.) deve-se fazer o algoritmo do programa. Já um programa, é um
algoritmo escrito numa forma compreensível pelo computador (através de uma
Linguagem de Programação), onde todas as ações a serem executadas devem ser
especificadas nos mínimos detalhes e de acordo com as regras de sintaxe da
linguagem escolhida.
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Sintaxe: segundo o dicionário Aurélio, é a parte da gramática que estuda a
disposição das palavras na frase e a das frases no discurso, bem como a relação
lógica das frases entre si. Cada Linguagem de Programação tem a sua sintaxe
(instruções, comandos, etc) que deve ser seguida corretamente para que o
programa funcione. O conjunto de palavras e regras que definem o formato das
sentenças válidas chama-se de sintaxe da linguagem.
Um algoritmo não é a solução de um problema, pois, se assim fosse, cada
problema teria um único algoritmo. Um algoritmo é um 'caminho' para a solução de
um problema e, em geral, existem muitos caminhos que levam a uma solução
satisfatória, ou seja, para resolver o mesmo problema pode-se obter vários
algoritmos diferentes.
Nesta disciplina estudaremos os passos básicos e as técnicas para a construção de
algoritmos através de três métodos para sua representação, que são alguns dos
mais conhecidos. O objetivo ao final da disciplina, é que você tenha adquirido
capacidade de transformar qualquer problema em um algoritmo de boa qualidade,
ou seja, a intenção é que você aprenda a Lógica de Programação dando uma base
teórica e prática suficientemente boa, para que você domine os algoritmos e esteja
habilitado a aprender uma Linguagem de Programação posteriormente [BUF03].
Para resolver um problema no computador é necessário que seja primeiramente
encontrada uma maneira de descrever este problema de uma forma clara e precisa.
É preciso que encontremos uma sequência de passos que permitam que o problema
possa ser resolvido de maneira automática e repetitiva. Esta sequência de passos é
chamada de algoritmo [GOM04].
A noção de algoritmo é central para toda a computação. A criação de algoritmos
para resolver os problemas é uma das maiores dificuldades dos iniciantes em
programação em computadores [GOM04].
Uma das formas mais eficazes de aprender algoritmos é através de muitos
exercícios. Veja na Tabela 1 algumas dicas de como aprender e como não aprender
algoritmos:
O aprendizado da Lógica é essencial para a formação de um bom programador,
servindo como base para o aprendizado de todas as Linguagens de Programação,
estruturadas ou não. De um modo geral esses conhecimentos serão de supra
importância, pois ajudarão no cotidiano, desenvolvendo um raciocínio rápido
[COS04].
2 Formas de Representação de Algoritmos Os algoritmos podem ser representados de várias formas, como por exemplo:
a) Através de uma língua (português, inglês, etc.): forma utilizada nos manuais
de instruções, nas receitas culinárias, bulas de medicamentos, etc.
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b) Através de uma linguagem de programação (Pascal, C, Delphi, etc.): esta
forma é utilizada por alguns programadores experientes, que "pulam" a
etapa do projeto do programa (algoritmo) e passam direto para a
programação em si.
c) Através de representações gráficas: são bastante recomendáveis, já que um
"desenho" (diagrama, fluxograma, etc.) muitas vezes substitui, com
vantagem, várias palavras.
Cada uma dessas formas de representar um algoritmo, tem suas vantagens e
desvantagens, cabe a pessoa escolher a forma que melhor lhe convir. Nesta
disciplina serão apresentadas três formas de representação de algoritmos (que são
algumas das mais utilizadas), são elas:
Diagrama de Nassi-Shneiderman (Diagrama de Chapin)
Fluxograma (Diagrama de Fluxo)
Português Estruturado (Pseudocódigo, Portugol ou Pseudolinguagem)
Não existe consenso entre os especialistas sobre qual é a melhor maneira de
representar um algoritmo. Eu aconselho a utilização do Diagrama Nassi-
Shneiderman, mais conhecido como Diagrama de Chapin, por achar que é a forma
mais didática de aprender e representar a lógica dos problemas e durante a
disciplina usarei esse diagrama nos exemplos e exercícios. Mas, fica a critério de
cada um escolher a forma que achar mais conveniente ou mais fácil de entender.
Nos próximos capítulos são apresentadas breves explicações sobre cada uma
dessas três formas de representar algoritmos e alguns exemplos.
2.1 Diagrama Nassi-Shneiderman Os Diagramas Nassi-Shneiderman, também conhecidos como Diagramas de Chapin,
surgiram nos anos 70 [YOU04] [SHN03] [CHA02] [NAS04] como uma maneira de
ajudar nos esforços da
abordagem de
programação estruturada.
Um típico diagrama Nassi-
Shneiderman é
apresentado na Figura 1 ao
lado. Como você pode ver,
o diagrama é fácil de ler e
de entender, cada
"desenho" representa uma
ação (instrução) diferente.
A ideia básica deste
diagrama é representar as
ações de um algoritmo
dentro de um único
retângulo, subdividindo-o
em retângulos menores, que representam os diferentes blocos de sequência de
ações do algoritmo. Para saber mais sobre o histórico desses diagramas e conhecer
os seus criadores acesse o site:
http://www.cs.umd.edu/hcil/members/bshneiderman/nsd/. Para ter acesso ao
primeiro artigo elaborado pelos autores do Diagrama de Chapin, escrito em 1973,
acesse o seguinte endereço onde você pode fazer o download do artigo:
http://fit.faccat.br/~fpereira/p12-nassi.pdf.
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2.2 Fluxograma Os Fluxogramas ou Diagramas de Fluxo, são uma
representação gráfica que utilizam formas
geométricas padronizadas ligadas por setas de
fluxo, para indicar as diversas ações (instruções) e
decisões que devem ser seguidas para resolver o
problema em questão.
Eles permitem visualizar os caminhos (fluxos) e as
etapas de processamento de dados possíveis e,
dentro destas, os passos para a resolução do
problema. A seguir, na Figura 2, é apresentado
um exemplo de fluxograma [GOM04] [MAR03].
2.3 Português Estruturado O Português Estruturado, é uma forma especial de
linguagem bem mais restrita que a Língua
Portuguesa e com significados bem definidos para
todos os termos utilizados nas instruções
(comandos).
Essa linguagem também é conhecida como
Portugol (junção de Português com Algol [ALG96]
[PRO04]), Pseudocódigo ou Pseudolinguagem. O Português Estruturado na verdade
é uma simplificação extrema da língua portuguesa, limitada a pouquíssimas
palavras e estruturas que têm significado pré-definido, pois deve-se seguir um
padrão. Emprega uma linguagem intermediária entre a linguagem natural e uma
linguagem de programação, para descrever os algoritmos.
A sintaxe do Português Estruturado não precisa ser seguida tão rigorosamente
quanto a sintaxe de uma linguagem de programação, já que o algoritmo não será
executado como um programa [TON04].
Embora o Português Estruturado seja uma linguagem bastante simplificada, ela
possui todos os elementos básicos e uma estrutura semelhante à de uma
linguagem de programação de computadores.
Portanto, resolver problemas com
português estruturado pode ser uma tarefa
tão complexa quanto a de escrever um
programa em uma linguagem de
programação qualquer só não tão rígida
quanto a sua sintaxe, ou seja, o algoritmo
não deixa de funcionar porque esquecemos
de colocar um ';' (ponto-e-vírgula) por
exemplo, já um programa não funcionaria.
A Figura 3 apresenta um exemplo de
algoritmo na forma de representação de
português estruturado.
3 Conceitos Importantes Neste capítulo são apresentados e explicados três conceitos fundamentais para a
construção de algoritmos, são eles: Constante, Variável e Atribuição.
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3.1 Constantes São chamadas de constantes, as informações (dados) que não variam com o
tempo, ou seja, permanecem sempre com o mesmo conteúdo, é um valor fixo
(invariável). Como exemplos de constantes pode-se citar: números, letras, palavras
etc.
3.2 Variáveis O bom entendimento do conceito de variável é fundamental para elaboração de
algoritmos e, consequentemente de programas. Uma variável, é um espaço da
memória do computador que "reservamos" para guardar informações (dados).
Como o próprio nome sugere, as variáveis, podem conter valores diferentes a cada
instante de tempo, ou seja, seu conteúdo pode variar de acordo com as instruções
do algoritmo.
As variáveis são referenciadas através de um nome (identificador) criado por você
durante o desenvolvimento do algoritmo. Exemplos de nomes de variáveis:
produto, idade, a, x, nota1, peso, preço, etc. O conteúdo de uma variável pode ser
alterado, consultado ou apagado quantas vezes forem necessárias durante o
algoritmo. Mas, ao alterar o conteúdo da variável, a informação anterior é perdida,
ou seja, sempre "vale" a última informação armazenada na variável. Uma variável
armazena 'apenas' um conteúdo de cada vez.
Uma variável pode ser vista como uma caixa com
um rótulo (nome) colado nela, que em um dado
momento guarda um determinado objeto. O
conteúdo desta caixa não é algo fixo,
permanente. Na verdade, essa caixa pode ter seu
conteúdo alterado diversas vezes. No exemplo
abaixo, a caixa (variável) rotulada como FATOR,
contém o valor 5. Em outro momento essa caixa
poderá conter qualquer outro valor numérico.
Entretanto, a cada instante, ela conterá um, e
somente um, valor [TON04].
3.2 Atribuição A atribuição é uma notação utilizada para atribuir um valor a uma variável, ou seja,
para armazenar um determinado conteúdo em uma variável. A operação de
atribuição, normalmente, é representada por uma seta apontando para a esquerda,
mas existem outros símbolos para representar a atribuição, depende da forma de
representação do algoritmo. Na Tabela 2 a seguir, são apresentados alguns
exemplos de atribuições possíveis:
Uma observação importante a ser feita em relação a atribuições é que na parte
esquerda (a que vai "receber" algo) não pode haver nada além da variável, ou seja,
é só variável que "recebe" algum conteúdo, não é possível ter um cálculo por
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exemplo, ou uma constante, recebendo alguma coisa. Veja por exemplo, esta
notação:
Esta operação apresentada acima não é possível, não está correta esta atribuição.
4 Instrução Escrever Existem basicamente duas instruções principais em algoritmos (e em programação
em geral) que são: Escrever e Ler. Neste capítulo veremos como funciona a
instrução Escrever.
A instrução Escrever é utilizada quando deseja-se mostrar informações na tela do
computador, ou seja, é um comando de saída de dados. Para simplificar, usa-se a
instrução Escrever, quando necessita-se mostrar algum dado para o usuário do
algoritmo (e posteriormente do programa).
Tanto no Diagrama de Chapin quanto em Português Estruturado representa-se a
saída de dados através da palavra Escrever (ou Escreva). Já em Fluxogramas a
representação da saída de dados é feita através de uma forma geométrica
específica [GOM04] [MAR03].
Exemplos:
1) Escreva um algoritmo para armazenar o valor 20 em uma variável X e o
valor 5 em uma variável Y. A seguir, armazenar a soma do valor de X com o
de Y em uma variável Z. Escrever (na tela) o valor armazenado em X, em Y
e em Z. (Capítulo 17: Respostas dos Exemplos).
2) Escreva um algoritmo para armazenar o valor 4 em uma variável A e o valor
3 em uma variável B. A seguir, armazenar a soma de A com B em uma
variável C e a subtração de A com B em uma variável D. Escrever o valor de
A, B, C e D e também escrever a mensagem 'Fim do Algoritmo'.
Observação: Note que quando queremos escrever alguma mensagem na tela
(letra, frase, número etc.) literalmente, devemos utilizar aspas para identificar o
que será escrito, pois o que estiver entre aspas no algoritmo, será exatamente o
que aparecerá na tela do computador. Diferente de quando queremos escrever o
conteúdo de uma variável, pois neste caso não utiliza-se aspas.
5 Operadores Aritméticos Muitas vezes, ao desenvolvermos algoritmos, é comum utilizarmos expressões
matemáticas para a resolução de cálculos. Neste capítulo são apresentados os
operadores aritméticos necessários para determinadas expressões. Veja a Tabela 3
a seguir.
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Nas linguagens de programação e, portanto, nos exercícios de algoritmos que
iremos desenvolver, as expressões matemáticas sempre obedecem às regras
matemáticas comuns, ou seja:
As expressões dentro de parênteses são sempre resolvidas antes das
expressões fora dos parênteses. Quando existem vários níveis de
parênteses, ou seja, um parêntese dentro de outro, a solução sempre inicia
do parêntese mais interno até o mais externo (de dentro para fora).
Quando duas ou mais expressões tiverem a mesma prioridade, a solução é
sempre iniciada da expressão mais à esquerda até a mais à direita.
Desta forma, veja os seguintes exemplos e os respectivos resultados:
ExemploA: 2 + (6 * (3 + 2)) = 32
ExemploB: 2 + 6 * (3 + 2) = 32
6 Instrução Ler Como vimos no capítulo 4 Instrução Escrever, existem basicamente duas instruções
principais em algoritmos (e em programação em geral) que são: Escrever e Ler. No
capítulo 4, foi apresentada a instrução Escrever, agora, neste capítulo, veremos
como funciona a instrução Ler.
A instrução Ler é utilizada quando deseja-se obter informações do teclado do
computador, ou seja, é um comando de entrada de dados. Para simplificar, usa-se
a instrução Ler, quando necessita-se que o usuário do algoritmo digite algum dado
(e posteriormente do programa).
Tanto no Diagrama de Chapin quanto em Português Estruturado representa-se a
entrada de dados através da palavra Ler (ou Leia). Já em Fluxogramas a
representação da entrada de dados é feita através de uma forma geométrica
específica [GOM04] [MAR03].
Exemplo 3:
Escreva um algoritmo para ler dois valores e armazenar cada um em uma variável.
A seguir, armazenar a soma dos dois valores lidos em uma terceira variável.
Escrever o resultado da soma efetuada.
7 Horizontalização Para o desenvolvimento de algoritmos que possuam cálculos matemáticos, as
expressões aritméticas devem estar horizontalizadas, ou seja, linearizadas e
também não esquecendo de utilizar os operadores corretamente. Na Tabela 4 a
seguir, é apresentado um exemplo de uma expressão aritmética na forma
tradicional e como deve ser utilizada nos algoritmos e em programação em geral
(linearmente).
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As expressões matemáticas na forma horizontalizada não são apenas utilizadas em
algoritmos, mas também na maioria das linguages de programação.
8 Algoritmos com Seleção Até agora estávamos trabalhando com algoritmos puramente sequenciais, ou seja,
todas as instruções eram executadas seguindo a ordem do algoritmo
(normalmente, de cima para baixo). Neste capítulo começaremos a estudar
estruturas de seleção. Uma estrutura de seleção, como o próprio nome já diz,
permite que determinadas instruções sejam executadas ou não, dependendo do
resultado de uma condição (teste), ou seja, o algoritmo vai ter mais de uma saída,
uma opção que será executada de acordo com o teste realizado.
Exemplo 4:
Escreva um algoritmo para ler um valor. Se o valor lido for igual a 6, escrever a
mensagem 'Valor lido é o 6', caso contrário escrever a mensagem 'Valor lido não é
o 6'.
Quando estivermos utilizando algoritmos com seleção, podemos utilizar dois tipos
de estruturas diferentes, dependendo do objetivo do algoritmo, chamadas de
"Seleção Múltipla", cujos tipos são:
Estrutura Aninhada e Estrutura Concatenada. Os capítulos 8.1 e 8.2 a seguir,
apresentam estas duas estruturas com suas características.
8.1 Estrutura de Seleção Aninhada A estrutura de seleção aninhada normalmente é utilizada quando estivermos
fazendo várias comparações (testes) sempre com a mesma variável. Esta estrutura
é chamada de aninhada porque na sua representação (tanto em Chapin quanto em
Português Estruturado) fica uma seleção dentro de outra seleção.
Vamos utilizar a resposta do exercício número 27 da nossa lista de exercícios como
exemplo destes dois tipos de estruturas. Abaixo é apresentada a resposta do
exercício 27 em Chapin utilizandose a estrutura aninhada:
8.2 Estrutura de Seleção Concatenada A estrutura de seleção concatenada normalmente é utilizada quando estivermos
comparando (testando) variáveis diferentes, ou seja, independentes entre si. Esta
estrutura é chamada de concatenada porque na sua representação (tanto em
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Chapin quanto em Português Estruturado) as seleções ficam separadas uma da
outra (não existe o lado "falso" do Chapin, ou o "Senão" do Português).
Abaixo é apresentada a resposta do exercício número 27 da nossa lista de
exercícios, utilizando a estrutura de seleção concatenada em Chapin:
Como pode ser observado nessas duas respostas apresentadas para o exercício 27
(estrutura aninhada e estrutura concatenada), existe uma grande diferença entre
as duas estruturas, ou seja, uma característica de execução do algoritmo. Você
saberia dizer qual é esta diferença?
9 Operadores Relacionais Operações relacionais são as comparações permitidas entres valores, variáveis,
expressões e constantes. A Tabela 5 a seguir, apresenta os tipos de operadores
relacionais.
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A seguir, na Tabela 6, são apresentados alguns exemplos de comparações válidas:
10 Operadores Lógicos Os operadores lógicos permitem que mais de uma condição seja testada em uma
única expressão, ou seja, pode-se fazer mais de uma comparação (teste) ao
mesmo tempo. A Tabela 7 a seguir, apresenta os operadores lógicos que
utilizaremos nesta disciplina.
Note que a Tabela 7 acima, apresenta os operadores lógicos já ordenados de
acordo com suas prioridades, ou seja, se na mesma expressão tivermos o operador
ou e o operador não, por exemplo, primeiro devemos executar o não e depois o ou.
De uma forma geral, os resultados possíveis para os operadores lógicos podem ser
vistos na Tabela 8 abaixo, conhecida como Tabela Verdade:
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Exemplos de Testes utilizando Operadores Lógicos:
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Exemplo utilizando Operadores Lógicos em Chapin:
5) Escreva um algoritmo para ler um valor e escrever se ele está entre os números
1 e 10 ou não está.
Ao verificar as respostas (errada e correta) do exemplo número 5 acima, pode-se
constatar que quando precisamos fazer mais de um teste ao mesmo tempo, deve-
se utilizar os operadores lógicos apresentados neste capítulo na tabela 7.
11 Algoritmos com Repetição Nos exemplos e exercícios que vimos até agora, sempre foi possível resolver os
problemas com uma sequência de instruções que eram executadas apenas uma
vez. Existem três estruturas básicas para a construção de algoritmos, que são:
algoritmos sequenciais, algoritmos com seleção e algoritmos com repetição. A
combinação dessas três estruturas permite-nos a construção de algoritmos para a
resolução de problemas extremamente complexos [MAR03]. Nos capítulos
anteriores vimos a estrutura puramente sequencial e algoritmos com seleção
(capítulo 8). Neste capítulo veremos as estruturas de repetição possíveis em
algoritmos e existentes na maioria das Linguagens de Programação.
Uma estrutura de repetição permite que uma sequência de instruções (comandos)
seja executada várias vezes, até que uma condição (teste) seja satisfeita, ou seja,
repete-se um conjunto de instruções sem que seja necessário escrevê-las várias
vezes. As estruturas de repetição também são chamadas de Laços ou Loops
[MAR03].
Para sabermos quando utilizar uma estrutura de repetição, basta analisarmos se
uma instrução ou uma sequência de instruções precisa ser executada várias vezes,
se isto se confirmar, então deve-se utilizar uma estrutura de repetição. As
estruturas de repetição, assim como a de decisão (seleção), envolvem a avaliação
de uma condição (teste). Então as estruturas de repetição permitem que um trecho
do algoritmo (conjunto de instruções) seja repetido um número determinado (ou
indeterminado) de vezes, sem que o código correspondente, ou seja, as instruções
a serem repetidas tenham que ser escritas mais de uma vez [TON04].
Exemplo 6:
Escreva um algoritmo para comer um cacho de uva.
Na solução do exemplo 6 apresentada na Seção de Respostas dos Exemplos
(Capítulo 17), não foi utilizada uma ‘estrutura de repetição’, por isto o algoritmo
não está correto. Nesse exemplo número 6 é necessária uma estrutura de
repetição, pois a instrução "comer 1 uva" precisa ser repetida várias vezes.
Existem três tipos de estruturas de repetição: Repita-Até, Enquanto-Faça e Para-
Até-Faça, cada uma com suas peculiaridades e apropriada para cada problema,
normalmente é possível resolver um mesmo problema usando qualquer uma das
estruturas de repetição, mas, na maioria das situações, haverá uma mais
adequada. Neste capítulo veremos as características de cada uma destas
estruturas.
Mas antes, veja a resposta do exemplo número 6 utilizando uma estrutura de
repetição (Repita-Até):
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11.1 Estrutura de Repetição: REPITA-ATÉ Na estrutura Repita-Até as instruções a serem repetidas são executadas, no mínimo
uma vez, já que o teste (a condição) fica no final da repetição. Nesta estrutura, a
repetição é finalizada quando o teste for Verdadeiro (V), ou seja, o algoritmo fica
executando as instruções que estiverem dentro do laço até que o teste seja
verdadeiro. Nas Figuras 5 e 6 abaixo, é apresentada a forma geral da estrutura
RepitaAté em Chapin e em Português Estruturado, respectivamente.
Observações da estrutura de repetição REPITA-ATÉ:
1) A repetição (o laço) se encerra quando a condição (teste) for verdadeira.
2) As instruções a serem repetidas são executadas pelo menos 1 vez, porque o
teste é no final da repetição.
Pergunta: No exemplo 6 anterior, utilizando uma estrutura de repetição, que no
caso utilizou-se a estrutura Repita, o algoritmo ficou correto?
11.2 Estrutura de Repetição: ENQUANTO-FAÇA Na estrutura Enquanto-Faça as instruções a serem repetidas podem não ser
executadas nenhuma vez, pois o teste fica no início da repetição, então a execução
das instruções (que estão "dentro" da repetição) depende do teste. Nesta estrutura,
a repetição é finalizada quando o teste é Falso (F), ou seja, enquanto o teste for
Verdadeiro as instruções serão executadas e, quando for Falso, o laço é finalizado.
Veja nas Figuras 7 e 8 abaixo a forma geral da estrutura Enquanto-Faça em Chapin
e em Português Estruturado.
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Observações da estrutura de repetição ENQUANTO-FAÇA:
1) A repetição (o laço) se encerra quando a condição (teste) for falsa.
2) As instruções a serem repetidas podem nunca ser executadas, porque o
teste é no início da repetição.
Atenção: Resolva o exemplo 6 anterior, utilizando a estrutura de repetição
Enquanto-Faça!
11.3 Estrutura de Repetição: PARA-ATÉ-FAÇA A estrutura de repetição Para-Até-Faça é um pouco diferente das outras duas
(Repita-Até e EnquantoFaça), pois possui uma variável de controle, ou seja, com
esta estrutura é possível executar um conjunto de instruções um número
determinado de vezes. Através da variável de controle, define-se a quantidade de
repetições que o laço fará.
Exemplo 7:
Escreva um algoritmo para escrever 5 vezes a palavra FACCAT na tela.
Funcionamento da estrutura PARA:
Na resposta do exemplo 7 acima, o X é a variável de controle, ou seja, uma
variável qualquer (com qualquer nome) que vai determinar o número de repetições
do laço. O valor 1 é o valor inicial que será atribuído à variável X e o valor 5 é o
valor final atribuído à variável X, com isto, tem-se 5 repetições da instrução (ou das
instruções) que estiver dentro do laço.
Cada vez que a variável é incrementada (aumenta +1) as instruções de dentro da
repetição são executadas, então a variável, no caso o X, inicia com o valor 1 e a
cada execução (repetição) ele aumenta +1 (é incrementado) até chegar ao valor
final, que também é determinado (no caso é o 5).
ATENÇÃO: Você saberia dizer qual é a grande diferença entre a estrutura de
repetição Para e as estruturas Repita e Enquanto?
12 Dizer SIM para Continuar ou NÃO para Finalizar
Exemplo 8:
Escreva um algoritmo para ler dois valores. Após a leitura deve-se calcular a soma
dos valores lidos e armazená-la em uma variável. Após o cálculo da soma, escrever
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o resultado e escrever também a pergunta 'Novo Cálculo (S/N)?'. Deve-se ler a
resposta e se a resposta for 'S' (sim), deve-se repetir todos os comandos
(instruções) novamente, mas se a resposta for 'N' (não), o algoritmo deve ser
finalizado escrevendo a mensagem 'Fim dos Cálculos'.
13 Contadores e Acumuladores Em algoritmos com estruturas de repetição (Repita, Enquanto ou Para) é comum
surgir a necessidade de utilizar variáveis do tipo contador e/ou acumulador. Neste
capítulo são apresentados esses conceitos detalhadamente.
13.1 Contadores Um contador é utilizado para contar o número de vezes que um evento (uma
instrução) ocorre, ou seja, contar a quantidade de vezes que uma instrução é
executada.
Forma Geral: VARIÁVEL VARIÁVEL + CONSTANTE
Exemplo:
Explicação: um contador é uma variável (qualquer) que recebe ela mesma mais um
valor (uma constante), no caso do exemplo acima, a variável X está recebendo o
valor dela mesma mais 1.
Normalmente a constante que será somada no contador é o valor 1, para contar de
1 em 1, mas pode ser qualquer valor, como por exemplo 2, se quisermos contar de
2 em 2.
Observações dos Contadores:
1) A variável (do contador) deve possuir um valor inicial conhecido, isto é, ela deve
ser inicializada.
Normalmente inicializa-se a variável do contador com zero, ou seja, zera-se a
variável antes de utilizá-la. Para zerar uma variável basta atribuir a ela o valor
zero:
2) A constante (que é geralmente o valor 1) determina o valor do incremento da
variável (do contador), ou seja, o que será somado (acrescido) a ela.
Exemplo 9:
Escreva um algoritmo para ler a nota de 10 alunos e contar quantos foram
aprovados, sendo que, para ser aprovado, a nota deve ser maior ou igual a 6,0.
Escrever o número de aprovados.
ATENÇÃO: Se quiséssemos contar o número de reprovados também, no exemplo 9
acima, o que deveria ser feito?
13.2 Acumuladores (ou Somadores)
Um acumulador, também conhecido como Somador, é utilizado para obter
somatórios
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Explicação: um acumulador (somador) é uma variável (qualquer) que recebe ela
mesma mais uma outra variável, no caso do exemplo acima, a variável X está
recebendo o valor dela mesma mais o valor da variável Y. A variável Y representa o
valor a ser somado, acumulado na variável X.
Observações dos Acumuladores:
1) A variável1 (do acumulador) deve possuir um valor inicial conhecido, isto é,
ela deve ser inicializada. Normalmente inicializa-se a variável do acumulador
com zero, ou seja, zera-se a variável antes de utilizá-la. Para zerar uma
variável basta atribuir a ela o valor zero:
2) A variável2 indica o valor a ser acumulado, somado e armazenado na
variável1.
Exemplo 10:
Altere o exemplo 9 para calcular também a média geral da turma e, depois de
calculada, escrever a média.
ATENÇÃO: Normalmente inicializa-se as variáveis que serão utilizadas como
contador ou como acumulador com o valor zero, mas pode-se inicializá-las com o
valor que desejarmos de acordo com a necessidade.
14 Determinação do MAIOR e/ou MENOR valor em um
Conjunto de Valores Em muitos algoritmos surge a necessidade de determinarmos qual o maior ou o
menor valor dentro de um conjunto de valores e, para isto, não existe uma
estrutura especial, apenas utilizamos os conhecimentos que já aprendemos, como
mostrado no exemplo a seguir.
Exemplo 11:
Escreva um algoritmo para ler a nota de 10 alunos e escrever a nota mais alta, ou
seja, a maior nota entre as 10 notas lidas.
IMPORTANTE: Quando sabe-se os limites dos valores possíveis, ou seja, por
exemplo com as notas sabemos que os valores serão de 0 a 10, então sabe-se
quais são os valores limites (o valor mínimo e o valor máximo), não teremos nota
menor que 0 e nem nota maior que 10. Nesses casos é mais fácil descobrir o maior
ou o menor valor, pois pode-se inicializar a variável Maior, por exemplo, com o
valor 0 e a variável Menor com o valor 10 que funcionará perfeitamente. Acontece
que se não sabe-se os valores dos limites aí complica um pouco, pois não sabemos
com que valor vamos inicializar as variáveis para comparação. Então temos que
inicializar tanto a variável Maior quanto a Menor com o “primeiro valor lido” e
depois vamos comparando os próximos valores lidos com o primeiro! (os nomes
“Maior” e “Menor”, são apenas exemplos, pode-se denominar as variáveis que
serão usadas para os testes como quiser).
15 Repetição Aninhada Assim como vimos que é possível ter uma Seleção dentro de outra, também
podemos ter uma Repetição dentro de outra, dependendo do problema a ser
resolvido. Pode ser necessária uma estrutura de Repita dentro de um Enquanto, por
exemplo, ou vice-versa. Ou um Repita dentro de outro Repita, enfim, as
combinações são inúmeras. A seguir veremos um exemplo de uma estrutura de
repetição Para dentro de outro Para, que é bastante utilizado para leitura e escrita
de Matrizes, por exemplo.
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Exemplo 12:
Dado o algoritmo a seguir (Figura 9), representado em Chapin, diga o que ele faz,
ou seja, o que seria escrito na tela ao ser executado.
Funcionamento de "um PARA dentro de outro PARA":
1) A execução inicia pelo Para de fora (mais externo), depois desvia para o Para de
dentro e só volta para o Para de fora quando terminar toda execução do Para de
dentro (quando a variável de controle chegar no valor final).
2) Um Para fica "parado" enquanto o outro Para é executado, ou seja, enquanto
sua variável de controle varia até chegar no valor final determinado para ela.
16 Vetores Podemos definir um Vetor como uma variável dividida em vários "pedaços", em
várias "casinhas", onde cada pedaço desses é identificado através de um número,
referente à posição de uma determinada informação no vetor em questão. O
número de cada posição do vetor é chamado de índice.
Conceito: Vetor é um conjunto de variáveis, onde cada uma pode armazenar uma
informação diferente, mas todas compartilham o mesmo nome. São associados
índices a esse nome, que representam as posições do vetor, permitindo assim,
individualizar os elementos do conjunto.
Podemos imaginar que na memória do computador o vetor seja mais ou menos da
seguinte forma:
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Exemplos de Manipulação de Vetores:
16.1 Como LER um Vetor (Preencher) Para Ler um vetor, ou seja, para preencher um vetor com informações (dados)
(armazenar informações em um vetor) é necessária uma estrutura de repetição,
pois um vetor possui várias posições e temos que preencher uma a uma. A
estrutura de repetição normalmente utilizada para vetores é o Para-Até-Faça,
então veja no exemplo abaixo como preencher (ler) um vetor de 10posições:
Na Figura 11, acima, está demonstrado como preencher um vetor chamado A de 10
posições, ou seja, serão lidas 10 informações (valores, nomes, letras, etc.) e cada
uma será armazenada em uma posição do vetor A. Sendo que utiliza-se a própria
variável da repetição Para para representar a posição (índice) do vetor.
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16.2 Como ESCREVER um Vetor Para Escrever um vetor, ou seja, para escrever o conteúdo de cada posição de um
vetor, também precisamos utilizar uma estrutura de repetição, já que os vetores
possuem mais de um conteúdo (mais de uma posição). Como explicado no capítulo
anterior (16.1 Como Ler um Vetor), normalmente utiliza-se a estrutura Para-Até-
Faça também para escrever o vetor. Veja no exemplo abaixo, como escrever um
vetor de 10 posições, isto é, como escrever o conteúdo de cada uma das 10
posições do vetor:
Na Figura 12, acima, está demonstrado como escrever um vetor chamado A de 10
posições, ou seja, ao executar essa instrução seria escrito o conteúdo de cada uma
das 10 posições do vetor A na tela do computador.
Exemplo 13:
Escreva um algoritmo para ler a nota de 30 alunos, calcular a média geral da turma
e escrever quantos alunos tiveram a nota acima da média calculada.
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17 Respostas dos Exemplos Neste capítulo são apresentadas as respostas de todos os exemplos encontrados no
decorrer da apostila.
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Referências Bibliográficas Para elaboração e construção desta apostila foram consultados vários tipos de
materiais, como por exemplo: livros, outras apostilas, páginas web etc. Algumas
das referências consultadas estão apresentadas neste capítulo, mas grande parte
do material disponibilizado na apostila, como exemplos e exercícios foram utilizados
das aulas que tive na disciplina de Algoritmos e Programação durante a faculdade
de Análise de Sistemas, na UCPel - Universidade Católica de Pelotas, com o Prof.
Ricardo Andrade Cava (http://lp.ucpel.tche.br, http://cpu.ucpel.tche.br,
http://graphs.ucpel.tche.br).
[ALG96] The ALGOL Programming Language. Disponível em: http://www.engin.umd.umich.edu/CIS/course.des/cis400/algol/algol.html. Acesso em: Jun. 2006.
[BUF03] BUFFONI, Salete. Apostila de Algoritmo Estruturado - 4ª edição. Disponível em:
http://www.saletebuffoni.hpg.ig.com.br/algoritmos/Algoritmos.pdf. Acesso em: Mar. 2004.
[CHA70] CHAPIN, Ned. Flowcharting with the ANSI Standard: A Tutorial. ACM Computing
Surveys, Volume 2, Number 2 (June 1970), pp. 119-146.
[CHA74] CHAPIN, Ned. New Format for Flowcharts, Software—Practice and Experience. Volume 4, Number 4 (October-December 1974), pp. 341-357.
[CHA02] CHAPIN, Ned. Maintenance of Information Systems. Disponível em: http://www.iceis.org/iceis2002/tutorials.htm. Acesso em: Jun. 2006.
[COS04] COSTA, Renato. Apostila de Lógica de Programação - Criação de Algoritmos e Programas. Disponível em: http://www.meusite.pro.br/apostilas2.htm. Acesso em: Jun.
2006.
[GOM04] GOMES, Abel. Algoritmos, Fluxogramas e Pseudo-código - Design de Algoritmos.
Disponível em: http://mail.di.ubi.pt/~programacao/capitulo6.pdf. Acesso em: Jun. 2006.
[KOZ06] KOZAK, Dalton V. Técnicas de Construção de Algoritmos. Disponível em: http://minerva.ufpel.edu.br/~rossato/ipd/apostila_algoritmos.pdf. Acesso em: Jun. 2006.
[MAR03] MARTINS, Luiz E. G.; ZÍLIO, Valéria M. D. Apostila da Disciplina Introdução à Programação. Disponível em: http://www.unimep.br/~vmdzilio/apostila00.doc. Acesso em:
Jun. 2006.
[NAS73] NASSI, Ike; SHNEIDERMAN, Ben. Flowchart Techniques for Structured Programming. ACM SIGPLAN Notices, Volume 8, Number 8 (August 1973), pp.12-26.
[NAS04] NASSI, Ike. Ike Nassi's Home Page. Disponível em: http://www.nassi.com/ike.htm . Acesso em: Jun. 2006.
[PRO04] Programming Languages. Disponível em:
http://www.famed.ufrgs.br/disciplinas/inf_med/prog_ling.htm. Acesso em: Mar.2004.
[SAN04] SANTANA, João. Algoritmos & Programação. Disponível em: http://www.iesam.com.br/paginas/cursos/ec/1ano/aulas/08/joao/APunidade-1.pdf. Acesso em: Mar. 2004.
[SHN03] SHNEIDERMAN, Ben. A short history of structured flowcharts (Nassi-Shneiderman Diagrams). Disponível em: http://www.cs.umd.edu/~ben/ Acesso em: Jun. 2006.
[TON04] TONET, Bruno; KOLIVER, Cristian. Introdução aos Algoritmos. Disponível em:
http://dein.ucs.br/napro/Algoritmo/manuais/Manual 20Visualg.pdf. Acesso em: Mar. 2004.
[YOU04] YOURDON, Ed. Ed Yourdon's Web Site. Disponível em: http://www.yourdon.com/books/msa2e/CH15/CH15.html. Acesso em: Mar. 2004.
Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Física Aplicada
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FÍSICA
Física é a ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais. O termo
vem do grego φύσις (physiké), que significa natureza. Atualmente, é dificílimo
definir qual o campo de atuação da física, pois ela aparece em diferentes campos
do conhecimento que, à primeira vista, parecem completamente
descorrelacionados.
Como ciência, faz uso do método científico. Baseia-se essencialmente na
matemática e na lógica quando da formulação de seus conceitos.
O que faz a Física
A física estuda a natureza. Entretanto, outras ciências também o fazem: a Química,
a Biologia, a Geologia, a Economia (ainda que seja a natureza humana), etc. Como
definir a área de atuação de cada uma delas? Esta é uma pergunta difícil, sem
resposta consensual. Ainda mais quando áreas interdisciplinares aparecem aos
montes: Físico-Química, Biofísica, Geofísica, Econofísica, etc.
Alguns dizem que físicos estão interessados em determinar a natureza do espaço,
do tempo, da matéria, da energia e das suas interações. Esta definição excluiria
certas áreas mais novas da física que trabalham com a biologia, por exemplo.
Outros dizem que Física é a única ciência fundamental e que estas divisões são
artificiais, ainda que tenham utilidade prática. Seu argumento é simples: a Física
descreve a dinâmica e configuração das partículas fundamentais do universo. O
universo é tudo que existe e é composto destas partículas. Então todos os
fenômenos, eventualmente abordados em outras ciências, poderiam ser explicados
em termos da física destas partículas. Seria como dizer que todos os resultados das
outras ciências podem ser derivados em bases físicas. Isso já contece com
explicações de fenômenos antes demonstrados pela Química e hoje explicados pela
Física (Veja Química Quântica). Entretanto, ainda não é muito fácil explicar a
grande maioria dos fenômenos de outros ramos da ciência, pois isto envolve
campos ainda não explorados e uma matemática muito elaborada.
Com base nisso, alguns chegam a sugerir que até mesmo o cérebro um dia poderá
ser descrito por uma equação ou um conjunto de equações matemáticas (muito
provavelmente envolvendo muitos argumentos de probabilidade).
Há os que argumentam que as divisões da ciência têm origem social e histórica e
que definições de física são forjadas para tentar reunir todas as pessoas que são
aceitas como físicos pela sociedade.
Talvez quem esteja certo seja quem acredite na máxima:
Físicos são pessoas diferentes, em lugares diferentes, fazendo coisas diferentes.
Divisões
Como outras ciências, a Física é dividida de acordo com diversos critérios. Em
primeiro lugar há uma divisão fundamental entre física teórica, física experimental
e física aplicada. (Os dois primeiros ramos se reúnem sob a denominação pesquisa
básica.)
* A física teórica procura definir novas teorias que condensem o conhecimento
advindo das experiências; também vai procurar formular as perguntas e os
experimentos que permitam expandir o conhecimento.
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* A física experimental conduz experimentos capazes de validar ou não teorias
científicas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas teorias.
* A física aplicada trata do uso das teorias físicas na vida cotidiana.
Uma outra divisão pode ser feita pela magnitude do objeto em análise. A física
quântica trata do universo do muito pequeno, dos átomos e das partículas que
compõem os átomos; a física clássica trata dos objetos que encontramos no nosso
dia-a-dia; e a física relativística trata de situações que envolvem grandes
quantidades de matéria e energia.
Mas a divisão mais tradicional é aquela feita de acordo com as propriedades mais
estudadas nos fenômenos. Daí temos a Mecânica, quando se estudam objetos a
partir de seu movimento ou ausência de movimento, e também as condições que
provocam esse movimento; a Termodinâmica, quando se estudam o (calor), o
trabalho, as propriedades das substâncias, os processos que as envolvem e as
transformações de uma forma de energia em outra; o Electromagnetismo quando
se analisam as propriedades elétricas, aquelas que existem em função do fluxo de
elétrons nos corpos; a Ondulatória, que estuda a propagação de energia pelo
espaço; a Óptica, que estuda os objetos a partir de suas impressões visuais; a
Acústica, que estuda os objetos a partir das impressões sonoras; e mais algumas
outras divisões menores.
UNIDADES DE MEDIDAS
Para melhor conhecer as grandezas que interferem num fenômeno, a Física recorre
a medidas.
Unidade de medida é uma quantidade específica de determinada grandeza física
e que serve de padrão para eventuais comparações, e que serve de padrão para
outras medidas.
Sistema internacional de unidades (SI): Por longo tempo, cada região, país
teve um sistema de medidas diferente, criando muitos problemas para o comércio
devido à falta de padronização de tais medidas. Para resolver o problema foi criado
o Sistema Métrico Decimal que adotou inicialmente adotou três unidades básicas:
metro, litro e quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento tecnológico e científico exigiu um sistema padrão de
unidades que tivesse maior precisão nas medidas. Foi então que em 1960, foi
criado o Sistema Internacional de unidades(SI). Hoje, o SI é o sistema de medidas
mais utilizado em todo o mundo.
Existem sete unidades básicas do SI que estão na tabela abaixo:
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma q
Tempo segundo s
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Corrente Elétrica Ampère A
Temperatura kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Segue abaixo as grandezas Físicas e suas unidades no sistema internacional. São
grandezas cujas unidades são derivadas das unidades básicas do SI.
Grandeza Unidade Símbolo Unidade
sintética UnidadesBásicas
Área — m² — —
Volume — m³ — —
Densidade — Kg/m³ — —
Concentração — mol/m³ — —
Aceleração — m/s² — —
Campo magnético — A/m — —
Velocidade — m² — —
Velocidade angular — Rad/s Hz 1/s
Aceleração angular — Rad/s² Hz² 1/s²
Calor específico — J/kg.K N.m/K.Kg m²/(s².K)
Condutividade térmica — W/m.K J/s.m.K Kg.m/
Momento de Força — N/m — Kg.m²/s²
Força Newton N — Kg.m/s²
Freqüência Hertz Hz — 1
Ângulo radiano rad m/m 1
Pressão Pascal Pa N/m² Kg/(m.s²)
Energia Joule J N.m Kg.m²/s²
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Potência Watt W J/s Kgm²/s³
Carga elétrica Coloumb C — A.s
Tensão elétrica Volt V W/A Kg.m²/s³.A
Resistência elétrica Ohm Ώ V/A Kg.m²/(s³.A²)
Capacitância Farad F A.s/V A².(s^4)/kg.m²
Indutância Henry H Wb/A Kg.m²/(s².A²)
Fluxo magnético Webwe Wb V.s Kg.m²/s².A
Densidade do Fluxo mag. Tesla T Wb/m² Kg/s².A
Prefixos do Sistema Internacional: os principais prefixos são:
Nano(n): 10^-9
Micro(μ):10^-6
Mili(m): 10^-3
Kilo(k): 10^3
Mega(M): 10^6
Giga(G): 10^9
TRABALHO ENERGIA E POTENCIA
Energia é a capacidade que um corpo, uma substância ou um sistema físico têm
de realizar trabalho.
1) Trabalho de uma força
O trabalho de uma força é a sua componente, na direção do movimento,
multiplicado pela distância percorrida.
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trabalho será positivo se a componente da força for no mesmo sentido do
movimento e negativo se for no sentido contrário.
gráfico de uma força variável em função da distância
trabalho da força peso
trabalho da força elástica
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2) Potência
3) Energia
TRABALHO
Para se colocar algum objeto em movimento, é necessária a aplicação de uma força
e, simultaneamente, uma transformação de energia. Quando há a aplicação de uma
força e um deslocamento do ponto de aplicação dessa força, pode-se dizer que
houve uma realização de trabalho.
Note que, para realizar-se um trabalho, existe a necessidade de um deslocamento.
Caso algum objeto esteja sob a ação de uma força, mas em repouso, não haverá a
realização de trabalho. As forças que atuam sobre uma pessoa parada segurando
uma mala não realizam trabalho pois não há deslocamento do ponto de aplicação
dessas forças.
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Considere um objeto que está submetido a uma força e, devido a essa força,
esse objeto sofre um deslocamento , como se vê abaixo:
A força pode ser dividida em dois componentes, e , como se mostra a
seguir:
Observe que o componente de que realiza o trabalho é , pois é o que tem a
mesma direção do deslocamento. O componente não realiza trabalho, pois é
perpendicular ao deslocamento e, por isso, não interfere diretamente no
movimento.
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O trabalho é definido como sendo o produto do componente pelo deslocamento
sofrido pelo objeto e como , teremos a seguinte definição matemática
para o trabalho:
No Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule (J).
No exemplo citado, a força mostrada é causadora do movimento do objeto, mas
existem casos em que a força é de oposição ao movimento, como por exemplo o
atrito. Nessas situações o trabalho será negativo. Observe o quadro abaixo:
Uma força que merece uma atenção especial, ao realizar trabalho, é a força da
gravidade. Considere um corpo que é abandonado de certa altura. Durante o
movimento de queda temos um deslocamento para baixo e uma força, a gravidade,
que também é direcionada para baixo. Sabemos que, se há uma força e um
deslocamento do ponto de aplicação, haverá a realização de trabalho. Nesse caso o
trabalho será determinado pelo produto da força da gravidade pela altura de queda
do objeto:
É importante salientar que o trabalho da força da gravidade independe da trajetória
descrita durante o movimento e por isso ela é classificada como força conservativa.
A força da gravidade também é conhecida como força peso que é constante quando
se está próximo da superfície da Terra e é calculada com o produto da massa do
objeto pela a aceleração da gravidade local.
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Em uma descida, o trabalho da força da gravidade é positivo, pois ela está
contribuindo com o movimento, mas, em uma subida, o trabalho da força da
gravidade será negativo, pois agora ela é de oposição ao movimento.
é o vetor que indica deslocamento.
ENERGIA CINÉTICA
Considere um corpo inicialmente em repouso, como por exemplo, uma bicicleta.
Para colocá-la em movimento será necessária a aplicação de uma força e, com isso,
a realização de trabalho. Se essa força for paralela ao deslocamento, o trabalho
será determinado pelo produto da força pelo deslocamento.
A força aplicada é determinada pela Segunda lei de Newton, ou seja:
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Considerando que a força aplicada foi constante e que a bicicleta partiu do repouso,
então a ela realizará um movimento uniformemente variado e o seu deslocamento
e a sua velocidade serão determinadas da seguinte forma:
Substituindo as equações de força e deslocamento na definição de trabalho,
teremos:
Lembre que v = a.t e então chegaremos à equação que determina o trabalho
realizado pela força aplicada a essa bicicleta, para que ela atinja a velocidade v.
A expressão acima é definida como energia cinética, e expressa a capacidade de
um corpo em movimento para realizar trabalho.
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ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Estamos todos submetidos a uma força da gravidade e essa força é praticamente
constante quando se está próximo à superfície do planeta. Agora, imagine-se
segurando uma pedra a certa altura do solo. Para fazê-la entrar em movimento,
basta largá-la e durante a queda haverá a realização de trabalho pela força
gravitacional.
Observe que quanto maior for a altura inicial da pedra, tanto maior será o trabalho
realizado pela força da gravidade, pois maior será o deslocamento realizado por ela.
É importante perceber que a pedra entra em movimento espontâneo, ou seja, você
não precisa forçar o movimento. Se isso ocorre, é porque na pedra existe uma
energia armazenada que será utilizada na realização de trabalho. Essa energia é
definida como energia potencial e, no caso descrito, isto é, em que a força da
gravidade realiza trabalho, essa energia é definida como energia potencial
gravitacional.
A energia potencial depende da posição do objeto. No caso da energia potencial
gravitacional a posição é definida pela a altura em que o objeto se encontra de um
nível horizontal definido como nível de referência.
Para determinar o valor da energia potencial gravitacional, basta sabermos o valor
do trabalho realizado pela força peso, ou seja, a energia potencial gravitacional é
numericamente igual ao trabalho da força peso.
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ENERGIA MECÂNICA
Considere novamente um corpo em queda. Durante esse movimento, observamos
que, ao longo do trabalho realizado pela força peso, ocorre um aumento da energia
cinética, pois há um aumento de velocidade. O trabalho da força peso realizado
durante esse movimento pode ser determinado pela variação da energia cinética,
ou seja:
A expressão matemática anterior é conhecida como o Teorema da Energia Cinética.
Observe também, que durante a queda, a energia potencial do corpo diminui, pois
se tomarmos como nível de referência o solo, a altura do corpo em relação ao
mesmo, está diminuindo. Nesse caso, o trabalho realizado pela força peso pode ser
determinado pelo decréscimo da energia potencial, isto é:
As duas equações mencionadas aqui são usadas para o mesmo fim, que é a
determinação do trabalho da força peso, e por isso elas são iguais. Igualando a
primeira equação com a segunda, teremos:
Isolando os termos de energia cinética dos termos de energia potencial, chegamos
ao seguinte resultado:
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A soma da energia cinética com a energia potencial é definida como energia
mecânica, e a expressão anterior mostra a sua conservação durante qualquer
movimento sob ação exclusiva de forças conservativas, como por exemplo, na
mecânica, a força peso e a força elástica. Sistemas físicos que se encontram sob
essa situação são definidos como sistemas conservativos.
No nosso dia-a-dia, é muito difícil encontrarmos um sistema conservativo. Em uma
queda real existe o atrito com o ar e isso fará com que a energia mecânica inicial
seja diferente da energia mecânica final, e tal diferença ocorre porque o atrito
provoca a dissipação em forma de calor. Essa energia dissipada tem o seu valor,
em módulo, igual à diferença da energia mecânica inicial pela energia mecânica
final.
CENTRO DE GRAVIDADE
Quando um objeto encontra-se numa região onde atua um campo gravitacional,
este sofre a ação da força peso, dada pelo produto de sua massa m pela respectiva
aceleração gravitacional local, g. Geralmente, usa-se o módulo da aceleração
gravitacional, uma vez que se sabe, a exemplo da Terra, que a aceleração
gravitacional tem direção radial e nos sistemas de referências utilizados as
grandezas positivas apontam do centro da Terra para fora, consequentemente, o
campo gravitacional g é negativo para baixo. Desta forma temos,
matematicamente, o módulo do peso do objeto dado pela equação:
P = m.g
Se considerarmos um objeto sobre uma superfície plana, teremos para cada
partícula que constitui o referido corpo, uma força peso atuante. É o que expressa a
equação:
ΣF = Σmi.g
Temos vários corpos de massa m. Mas podemos fazer o somatório de todas as
forças que atuam sobre o corpo, e deste modo teremos uma equação para a força
total atuante sobre o corpo em termos de sua massa total e a aceleração
gravitacional local, expressa a seguir:
ΣF = g.Σmi = M.g
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Para que este corpo esteja em equilíbrio estático, é necessário que esteja suspenso
por uma tração T em algum ponto, ou com sua base apoiada sobre uma superfície,
ou seja, apoiada vários pontos, conforme mostra a figura 01.
Deste modo, na vertical, o somatório das forças seria nulo. Para um objeto sobre
uma superfície teremos:
ΣF = N – g.Σmi = N – M.g = 0
E para o caso de um objeto suspenso por uma força de tração teremos:
ΣF = T – g.Σmi = T – M.g = 0
O torque resultante sobre o corpo é dado por:
Στ = Σ(ri x mi.g) = Σ(mi.ri x g) = M.rcm x g = rcm x Mg
A quantidade mi.ri , expressa em função das massas das partículas que constituem
o corpo, mi, e das respectivas posições ocupadas por cada uma, ri, pode ser escrita
em função da massa total M e da posição do centro de massa rcm conforme
mostrado na figura 02.
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Para uma condição de equilíbrio o somatório dos torques em relação ao centro de
massa tem de ser nulo. Ou seja, matematicamente, teremos:
Στ = rcm x Mg = 0
Desta forma, todas as porções de massa que estiverem fora da base de apoio,
aplicarão um torque sobre em torno extremidade da respectiva base de apoio.
Para determinar o centro de massa rcm de um objeto plano é muito simples: basta
suspendê-lo em um ponto, por uma força de tração criada por um fio, por exemplo
e riscar desde o ponto de suspensão até a extremidade inferior do objeto, como
para determinar o centro de gravidade. Depois, escolhe-se outro ponto de
suspensão em um dos lados, esquerdo ou direito do corpo, aproximadamente à
meia altura. Novamente, risca-se na vertical. Na intersecção entre os dois riscos,
ou seja, no cruzamento das linhas, localiza-se o centro de massa do objeto,
mostrado na figura 03.
Se for um objeto ao qual seja necessário considerar as três dimensões, é
necessário efetuar mais um risco, perpendicular aos outros dois, num terceiro eixo
de coordenadas considerado para aquele objeto. Neste caso, teremos um ponto
localizado no interior do objeto, dependendo de sua forma. Para alguns casos, o
centro de massa está fora do volume preenchido pelo objeto. Por exemplo, o centro
de gravidade de um objeto de determinada substância e em forma de anel é
localizado aproximadamente no centro, na região vazia.
CINEMÁTICA ESCALAR
É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos, sem se preocupar com
as causas destes movimentos.
CONCEITOS
Ponto material: na cinemática, em geral, não levamos em conta as dimensões do
corpo cujo movimento está em estudo e assim esse corpo é denominado ponto
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material. Um automóvel é um ponto material em relação à Terra, que é um ponto
material em relação ao Universo.
Movimento: um corpo está em movimento quando sua posição varia em relação a
um referencial à medida que o tempo passa. Do contrário, o corpo está em
repouso.
Referencial: é o ponto ou conjunto de pontos usado para estudar o movimento de
um corpo. Exemplo: o motorista de um veículo numa estrada está em movimento
em relação à uma pessoa parada no acostamento, mas está parado em relação ao
banco do carro. Dependendo do referencial, o corpo pode estar em movimento ou
não. Daí dizermos que o movimento de um corpo é relativo ou dependente do
referencial.
Móvel: é o corpo que está em movimento
Trajetória: é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no
decorrer do tempo. A trajetória também depende do referencial. Por exemplo, um
objeto lançado por um avião, cai numa trajetória parabólica para um observador
terrestre, mas para um observador dentro do avião a trajetória é vertical.
Geralmente, o estudo dos movimentos contempla trajetória retilínea (linha reta) e
curvilínea (curva, incluindo o circular)
Distância percorrida (d): é o comprimento do percurso que um móvel realiza
num dado movimento.
Posição (x ou s – nós vamos usar a letra s para descrever a posição do corpo): é
uma medida que fornece a distância entre o ponto da trajetória em que o corpo
está e o ponto escolhido como referência). A unidade internacional de distância é o
metro (m).
Deslocamento: é a medida do segmento que representa a distância entre a
posição inicial e a posição final do movimento estudado.
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Exercícios
A) Observe a figura e responda
Qual a posição do corpo no instante t=1h? e no instante t=2h? Qual ponto
representa a origem das posições ou dos espaços? Um carro partiu da origem
s0=0Km, foi até a posição s1=5km, voltou à origem e foi até a posição s2=-3Km.
Responda: a) qual a distância percorrida? B) qual o deslocamento realizado?
B) Um garoto percorre os lados de um terreno retangular de dimensões 40m e
80m. Qual a distância percorrida em duas voltas completas? Qual a distância
percorrida e o deslocamento no percurso
Velocidade Escalar Média: é a divisão do espaço percorrido pelo tempo gasto no
percurso. Exemplo: um atleta corre 18 Km em 1h e 30 min. Qual sua velocidade
escalar média? V=18 1,5 =12 Km/h. No Sistema Internacional de Medidas a
velocidade é dada em m/s. Calcule no exemplo acima a velocidade do atleta em
m/s.
Conversão de Km/h em m/s -> divide pelo fator 3,6 e para converter de m/s
em km/h multiplica por 3,6.
A fórmula clássica da velocidade escalar média é:
Vm=Δ𝑺 Δ𝒕=𝑺𝟐−𝑺𝟏 𝒕𝟐−𝒕𝟏 ,
onde ΔS é o espaço percorrido e Δt é o tempo gasto no percurso
Exercícios:
A) Um atleta percorre uma milha terrestre em 5 minutos. Sabendo que uma milha
terrestre equivale a 1609m, qual a velocidade escalar média desse atleta em:
milhas/hora? Em Km/h? Em m/s?
B) Quando se diz que a velocidade de um navio é 10 nós, queremos dizer que a sua
velocidade é de 10 milhas marítimas por hora. Sabendo-se que uma milha marítima
é igual a 1852m, qual a velocidade desse navio em km/h? e em m/s?
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C) Um veículo percorre, inicialmente, 40 Km de uma estrada em 0,5h. A seguir
percorre mais 60Km, em 1h e 30 min. Determine a velocidade escalar média do
veículo, em km/h, durante todo o percurso.
D) A Figura representa a trajetória de um caminhão de entregas que parte de A, vai
até B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminhão mantém uma velocidade
escalar média de 30Km/h; na volta, de B até A gasta 6,0 minutos. Qual o tempo
gasto pelo caminhão para ir de A até B? Qual a velocidade escalar média do
caminhão quando vai de B para A?
Aceleração Escalar (a): é uma grandeza que representa a variação da
velocidade dividida pelo tempo em que esta variação acontece. É calculada por
a = Vinicial Vfinal
t
Exemplo: a) Uma aceleração de 2m/s2 significa que a velocidade do móvel
aumenta 2 m/s a cada segundo de movimento. Se ele parte do repouso, em dois
segundos sua velocidade será de 4m/s. E em 5s? b) Se um móvel possui uma
velocidade inicial de 20m/s e, de repente, passa a ter uma aceleração constante de
5 m/s2, podemos dizer que, em um segundo, a nova velocidade é de 25 m/s.
DINÂMICA - LEIS DE NEWTON
PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA: na ausência de
forças, um corpo em repouso permanecerá em repouso e um corpo em movimento
estará se movimentando em linha reta e com velocidade constante.
Exemplos: Um ônibus lotado com velocidade de 120Km/h. De repente ele pára. Os
passageiros são atirados para a frente como se uma força os empurrasse. Na
realidade, não há força atuando. O que ocorre é que os passageiros estavam com a
velocidade de 120 Km/h e a tendência deles é continuar nessa velocidade. Dizemos
que a tendência é manter-se em movimento. Isso se chama inércia. Os passageiros
somente irão parar se uma força atuar sobre eles, no caso o choque com a pessoa
da frente ou com os assentos do ônibus.
SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DAS MASSAS: a aceleração de um
corpo é proporcional à resultante das forças nele aplicada e tem a mesma direção e
sentido que esta resultante.
Então: F=m.a (onde F é a resultante das forças, m é a massa do corpo e a é a
aceleração).
A unidade de força no S.I é Newton (N), a massa é dada em Kg(quilogramas) e a
aceleração em m/s2.
Peso e massa: Peso ou força gravitacional é a força que o planeta aplica sobre os
corpos, puxando-os para baixo. O peso depende da aceleração da gravidade (g) no
local onde está o corpo. É uma grandeza vetorial cuja direção e sentido dirigem-se
ao centro de gravidade do corpo responsável pela gravidade. No caso da Terra, o
Peso sempre é aplicado no centro da Terra.
Peso=massa (Kg).aceleração da gravidade(m/s2) ou P=m.g
TERCEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO: sempre que
um corpo exerce uma força (ação) sobre outro, este exerce sobre o primeiro uma
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força de mesmo valor em módulo, mesma direção e sentido contrário ao da força
original (reação). Algumas coisas a serem lembradas sobre os pares ação-reação:
As forças de ação e reação nunca se anulam pois são aplicadas em corpos
diferentes
Tem o mesmo valor numérico
Possuem sempre a mesma direção, mas sentidos contrários
Exemplos: Quando chutamos uma bola, ela exerce uma força igual em módulo no
nosso pé. Nos aviões a propulsão a jato, os gases saem pelas turbinas num sentido
(ação) e o avião se movimenta no sentido oposto (reação). Quando caminhamos
exercemos uma força sobre o chão e este exerce uma força igual em nossos pés. A
Terra atrai a Lua com uma força de intensidade igual à que a Lua atrai a Terra.
Exercícios:
A) Qual a aceleração adquirida por um móvel de 12Kg, submetido a uma força
constante de 45N?
B) Um corpo de massa 10Kg com movimento retilíneo e velocidade inicial de 3m/s
adquire em 5s a velocidade de 45 m/s. Qual o valor da força aplicada?
C) Num corpo colocado sobre uma superfície sem atrito, atuam duas forças, F1 e
F2, que valem respectivamente 12N e 4N. Sabendo-se que a massa do bloco vale
2Kg, calcular:
a. A força resultante
b. A aceleração do sistema
D) Considere dois blocos m1 e m2, respectivamente , com massas iguais a 6Kg e
4Kg, colocados num plano horizontal da figura. Sabendo-se que a força F aplicada
vale 50N, calcular:
a. A aceleração do sistema
b. A tensão no cabo que une os dois blocos
E) Na figura m1 e m2 valem, respectivamente, 8Kg e 2Kg. Sabendo-se que não
existe atrito, calcular:
a. A força resultante
b. A aceleração do sistema
c. A tensão da corda que une os blocos
F) Qual seria o peso de uma pessoa que tem massa de 60 Kg
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SMS – Segurança, Meio Ambiente e Saúde
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Histórico
Quando estudamos documentos relacionados à Segurança do Trabalho vemos algumas
referências aos riscos profissionais. Hipócrates, quatro séculos antes de Cristo, fez menção à
existência de moléstias entre mineiros e metalúrgicos. Plínio, o Velho, no início da Era Cristã,
descreveu moléstias do pulmão e envenenamento entre mineiros, pelo manuseio do enxofre e
do zinco. Galeno, no século II, citou moléstias profissionais entre trabalhadores das ilhas do
Mediterrâneo.
Georgius Agrícola (forma latina de Georg Bauer). Médico, era estudioso de todos os aspectos
da mineralogia e da indústria metalúrgica e iniciou um estudo de 25 anos que culminou na sua
obra-prima publicada postumamente: “De re metallica” (1556), um tratado de mineralogia e
metalurgia. O tratado, com doze capítulos, inclui 292 gravuras em madeira cuidadosamente
entalhadas e estuda problemas relacionados à extração e à fundição da prata e do ouro. A
obra discute acidentes do trabalho e doenças comuns entre mineiros, destacando-se a “asma
dos mineiros”, provocada por poeiras que Agrícola denominava “corrosivas”. A descrição dos
sintomas indica que se tratava de silicose.
Ainda no século XVI, Paracelso escreveu a primeira monografia sobre a relação entre trabalho
e doença: “Von Der Birgsucht Und Anderen Bergrank Heiten”. Nela foram mostrados os
sintomas da intoxicação pelo mercúrio.
Em 1700 publicou-se na Itália “De Morbis Artificum Dia Triba” do médico Bernardino
Ramazzini, “o pai da medicina do trabalho”. Nessa obra foram descritas cerca de cem
profissões e os riscos específicos de cada uma delas. Descrições baseadas nas observações
clínicas do autor que sempre perguntava aos pacientes: ”Qual a sua ocupação ?”.
Com a invenção da máquina de fiar, ocorreu na Inglaterra a Revolução Industrial. Até aí, o
artesão era dono dos seus meios de produção. O alto custo das máquinas não mais permitiu
que o artesão as possuísse. Quando os capitalistas viram as chances de lucro, decidiram
comprar máquinas e empregar pessoas para fazê-las funcionar. Surgiram assim as primeiras
fábricas de tecidos e, com elas, o Capital e o Trabalho.
Com o advento das máquinas a vapor, a indústria, que não precisava mais dos rios para fazer
as máquinas movimentarem-se, veio para as cidades, onde havia farta mão-de-obra. No
crescimento desenfreado das fábricas não havia cuidados quanto à saúde da mão-de-obra,
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constituída de homens, mulheres e crianças. Chegou-se ao cúmulo de se vender crianças para
suprir a mão de obra. No final do século XVIII, a indústria inglesa ofereceu melhores salários
mas causou problemas ocupacionais sérios: altos índices de acidentes e de moléstias
profissionais eram causados pelo trabalho em máquinas sem proteção, pelo trabalho
executado em ambientes fechados onde a ventilação era precária e o ruído atingia limites
altíssimos e pela inexistência de limites de horas de trabalho.
Em 1802 o Parlamento Britânico aprovou a 1ª lei de proteção ao trabalhador: a “Lei de Saúde e
Moral dos Aprendizes”, que estabeleceu o limite de 12 horas de trabalho por dia, proibiu o
trabalho noturno, obrigou os empregadores a lavar as paredes das fábricas duas vezes por ano
e tornou obrigatória a ventilação destas.
Três décadas mais tarde, uma comissão parlamentar de inquérito sobre doenças do trabalho
elaborou um relatório que concluía: “Diante desta Comissão desfilou longa procissão de
trabalhadores - homens e mulheres, meninas, abobalhados, doentes, deformados, degradados
na sua qualidade humana. Cada um deles era a evidência de uma vida arruinada, um quadro
vivo de uma crueldade humana do homem para com o homem, uma impiedosa condenação
daqueles legisladores que, quando em suas mãos detinham poder imenso, abandonaram os
fracos à capacidade dos fortes”.
A denúncia da Comissão fez com que, em 1833, surgisse a 1ª lei realmente eficiente de
proteção ao trabalhador: a “Lei das Fábricas” (Factory Act). Criava restrições às empresas
têxteis em que fosse usada a força hidráulica ou a vapor; proibia o trabalho noturno aos
menores de 18 anos e limitava as horas de trabalho destes a 12 por dia e 60 por semana; as
fábricas eram obrigadas a ter escolas, que seriam freqüentadas pelos trabalhadores menores
de 13 anos; a idade mínima para o trabalho era de 9 anos, e um médico devia atestar que o
desenvolvimento físico da criança correspondia à sua idade.
Em 1867 incluiu-se nesta lei mais moléstias e estipulou-se a proteção das máquinas e a
ventilação mecânica para o controle de poeiras; proibiu-se a ingestão de alimentos nos
ambientes sob atmosferas nocivas da fábrica. Foi na Grã-Bretanha onde primeiro foram
registradas medidas em atenção à boa saúde do trabalhador. Lá foi criado o 1º órgão
fiscalizador do Ministério do Trabalho para apurar doenças profissionais e realizar exames
médicos pré-admissionais e periódicos.
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A evolução da Revolução Industrial resultou no aparecimento dos serviços de saúde
ocupacional em vários países europeus. Na França, em 1946, tornou-se obrigatória a existência
de serviços de saúde ocupacional em estabelecimentos, industriais ou comerciais, onde
trabalhassem mais de dez pessoas. Mais recentemente, na Espanha e em Portugal, outras leis
obrigaram à criação de serviços de saúde ocupacional em empresas com mais de quinhentos
trabalhadores.
Nos Estados Unidos os serviços de saúde ocupacional não existiam até a entrada em vigor de
leis sobre indenizações em casos de acidente de trabalho. Por isso, os empregadores
estabeleceram, no início deste século, os primeiros serviços de saúde ocupacional com o
principal objetivo de reduzir o custo das indenizações.
Em meados do século a importância da proteção dos trabalhadores atingiu a Organização
Internacional do Trabalho (OIT) e a Organização Mundial de Saúde (OMS). Assim, a 43ª
Conferência Internacional do Trabalho estabeleceu a “Recomendação para os serviços de
saúde ocupacional, 1959” que determinava serem objetivos dos serviços de saúde ocupacional
instalados em um estabelecimento de trabalho, ou em suas proximidades:
1) Proteger os trabalhadores contra riscos à sua saúde, que possam decorrer do seu
trabalho ou das condições em que este é realizado.
2) Contribuir para o ajustamento físico e mental do trabalhador, obtido especialmente
pela adaptação do trabalho aos trabalhadores, e pela colocação destes em atividades
profissionais para as quais tenham aptidões.
3) Contribuir para o estabelecimento e a manutenção do mais alto grau possível de bem-
estar físico e mental dos trabalhadores.
No Brasil as estatísticas sobre doenças profissionais e sobre acidentes do trabalho eram tão
alarmantes que o Governo Federal baixou a portaria 3.237, de 17 de julho de 1972, que tornou
obrigatória a existência de Serviços de Medicina do Trabalho e de Engenharia de Segurança do
Trabalho em todas as empresas com mais de cem trabalhadores. A Lei nº 6.514, de 22 de
dezembro de 1977 e as normas regulamentadoras aprovadas pela portaria nº 3.214, de 8 de
junho de 1978 dão continuidade à legislação de proteção ao trabalhador brasileiro.
Atualmente são trinta e cinco as normas regulamentadoras do trabalho:
NR – 01 - Disposições GeraisNR – 02 - Inspeção Prévia NR – 03 - Embargo ou interdição
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NR – 04 - Serviços Especializados em Engenharia de Segurança e Medicina do Trabalho – SESMT NR – 05 - Comissão Interna de Prevenção de Acidentes – CIPA NR – 06 - Equipamento de proteção Individual – EPI NR – 07 - Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional – PCMSO NR – 08 - Edificações NR – 09 - Programa de prevenção de riscos ambientais – PPRA NR – 10 –Segurança em instalações e serviços em eletricidade NR – 11 - Transporte, movimentação, armazenagem e manuseio de materiais NR – 12 –Segurança no trabalho em máquinas e equipamentos NR – 13 - Caldeiras e vasos de pressão NR – 14 - Fornos NR – 15 - Atividades e operações insalubres NR – 16 - Atividades e operações perigosas NR – 17 - Ergonomia NR – 18 - Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção. NR – 19 - Explosivos NR – 20 - Líquidos combustíveis e inflamáveis NR – 21 - Trabalho a céu aberto NR – 22 – Segurança e saúde ocupacional na mineração NR – 23 - Proteção contra incêndios NR – 24 - Condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho NR – 25 - Resíduos industriais NR – 26 - Sinalização de segurança NR – 27 - Registro profissional do técnico de segurança do trabalho no Ministério do Trabalho NR – 28 - Fiscalização e penalidades NR – 29 – Segurança e saúde no trabalho portuário NR - 30 – Segurança e saúde no trabalho aquaviário NR – 31 – Segurança e saúde no trabalho na agricultura, pecuária, silvicultura, exploração florestal e aquicultura NR – 32 – Segurança e saúde no trabalho em serviços de saúde NR – 33 – Segurança e saúde nos trabalhos em espaços confinados NR – 34 – Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção civil e reparação naval NR – 35 – Trabalho em altura
ACIDENTES DO TRABALHO
2.1 - ACIDENTES DO TRABALHO
Os acidentes no trabalho causam, em qualquer comunidade, prejuízos que são um sério
obstáculo ao desenvolvimento sócio-econômico de um país porque debilitam o trabalhador,
restringem a sua capacidade de produção além de poderem causar danos às máquinas,
equipamentos e instalações de uma empresa.
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Para se determinar e combater as causas dos acidentes do trabalho é necessário,
primeiramente, conhecermos as definições de acidente do trabalho.
2.1.1 - CONCEITO LEGAL
No Brasil, o Decreto nº 61.784 de 28 de novembro de 1967, em seu Art. 3º assim define
acidente de trabalho:
2.1.2 - CONCEITO PREVENCIONISTA
De acordo com o conceito prevencionista: Ex.: A queda de um objeto do empilhamento mal
feito, sem vítima. No conceito legal o legislador se interessou em definir o acidente para
proteger o trabalhador acidentado garantindo-lhe o pagamento do salário enquanto estiver
impossibilitado de trabalhar, ou indenizando-o quando houver lesão incapacitante
permanente. O conceito prevencionista, alertanos que o ferimento é apenas uma das
conseqüências do acidente, pois o acidente pode ocorrer sem provocar lesões.
Estatísticas mostram que em cada 300 acidentes do trabalho, 272 são acidentes sem lesões, 27
são acidentes que causam lesões leves e apenas 1 causa lesões graves.
Acidente do Trabalho será aquele que ocorrer pelo exercício do trabalho, a serviço da empresa,
provocando lesão corporal, perturbação funcional ou doença que cause a morte ou a perda ou
redução permanente ou temporária, da capacidade para o trabalho.
Acidente do Trabalho é um fato inesperado, não planejado, que interrompe ou interfere num
processo normal de trabalho, resultando em lesão e/ou danos materiais e/ou perda de tempo.
Como não podemos prever se de um acidente vai resultar, ou não, uma lesão no trabalhador,
concluímos que devemos tentar evitar todo e qualquer tipo de acidente.
2.1.3 - CASOS CONSIDERADOS COMO ACIDENTES DO TRABALHO
O acidente sofrido no local e no horário do trabalho em consequência de:
ato de agressão, sabotagem ou terrorismo praticado por terceiros ou companheiros de
trabalho;
ofensa física intencional, inclusive de terceiro, por motivo de disputa relacionada ao
trabalho;
ato de imprudência, de negligência ou de imperícia de terceiros ou de companheiro de
trabalho;
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ato de pessoa privada do uso da razão;
desabamento, inundações, incêndio e outros casos fortuitos ou decorrentes de força
maior;
A doença proveniente de contaminação acidental do empregado no exercício de sua
atividade;
O acidente sofrido pelo segurado, ainda que fora do local e horário de trabalho:
na execução de ordem ou na realização de serviço sob a autoridade da empresa;
na prestação espontânea de qualquer serviço à empresa para lhe evitar prejuízo ou
proporcionar proveito;
em viagem a serviço da empresa, inclusive para estudo quando financiada por estar
dentro de seus planos para melhor capacitação da mão-de-obra, independentemente
do meio de locomoção utilizado, inclusive veículo de propriedade do segurado;
no percurso da residência para o local de trabalho ou deste para aquela, qualquer que
seja o meio de locomoção, inclusive veículo de propriedade do segurado.
Entende-se como percurso o trajeto usual da residência ou do local de refeição para o
trabalho, ou deste para aqueles, locomovendo-se o empregado a pé ou valendo-se de
transporte da empresa ou próprio ou da condução normal. O Decreto estabelece ainda, que no
período destinado à refeição ou descanso, ou por ocasião de satisfação de outra necessidade
fisiológica, no local ou durante o horário de trabalho, o empregado será considerado a serviço
da empresa.
Para fins legais, equipara-se ainda ao acidente do trabalho:
doença profissional, assim entendida a produzida ou desencadeada pelo exercício do
trabalho peculiar a determinada atividade e constante da relação elaborada pelo
Ministério do Trabalho e da Previdência Social.
doença do trabalho, assim entendida a adquirida ou desencadeada em função de
condições especiais em que o trabalho é realizado e com ele se relacione diretamente.
Segundo a legislação em vigor, doença profissional é aquela inerente a determinado ramo de
atividade. Podem ser relacionadas como doenças do trabalho, resultantes das condições
especiais em que a atividade se realiza: a epilepsia, quando decorre de um acidente de
trabalho; a lepra, quando o trabalho obriga o contato permanente com hansenianos; o câncer,
quando o trabalhador está sujeito às poeiras ou trabalho em ambiente cancerígeno; a neurose,
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quando a sua manifestação ocorre ao tempo do trabalho ou é atribuída às condições em que
ele se realiza.
A doença profissional ou do trabalho, para que se equipare a o acidente do trabalho, deverá
acarretar incapacidade temporária ou permanente para o trabalho.
Não são consideradas como doença do trabalho:
a doença degenerativa;
a inerente ao grupo etário;
a que não produza incapacidade laborativa;
a doença endêmica adquirida por segurado habitante de região em que ela se desenvolva
salvo comprovação de que é resultante de exposição ou contato direto determinado pela
natureza do trabalho.
IMPORTANTE: Todo o acidente do trabalho, por mais leve que seja, deverá ser comunicado à
empresa, que providenciará a CAT - Comunicação de Acidente do Trabalho, até o primeiro dia
útil seguinte ao da ocorrência e, em caso de morte, de imediato.
A CAT deverá ser preenchida em seis vias, com a seguinte destinação:
1ª via - ao INSS;
2ª via - à empresa;
3ª via - ao segurado ou dependente;
4ª via - ao sindicato de classe do trabalhador;
5ª via - ao Sistema Único de Saúde-SUS;
6ª via - à Delegacia Regional do Trabalho.
A entrega das vias da CAT compete ao emitente da mesma, cabendo a este comunicar ao
segurado ou seus dependentes em qual Agência da Previdência Social foi registrada. A
Comunicação de Acidente do Trabalho deverá ser feita pela empresa, ou na falta desta o
próprio acidentado, seus dependentes, a entidade sindical competente, o médico assistente
ou qualquer autoridade pública.
No caso de doença profissional ou do trabalho, considera-se como dia do acidente a data da
comunicação desta à empresa ou, na sua falta, a da entrada do pedido do benefício no INSS, a
partir de quando serão devidas as prestações cabíveis.
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No final deste capítulo, você encontrará um formulário de CAT
2.1.3.1 - DIFERENÇA ENTRE DOENÇA E ACIDENTE DO TRABALHO
Entre o acidente do trabalho e a doença profissional há uma tênue diferença que, muitas
vezes, é impossível descobrir.
O acidente pode ser provocado intencionalmente pelo empregado.
O acidente acontece de modo instantâneo e violento.
A doença pode ser simulada mas não pode ser criada pelo empregado. Tem uma duração.
Não aparece num momento, provocando a lesão corporal, ou a perturbação funcional, ou
a morte. Ela se apresenta internamente num processo silencioso.
A causa do acidente-tipo é externa.
2.2 – CAUSAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO
Do ponto de vista prevencionista, causa de acidente é qualquer fator que, se fosse eliminado,
teria evitado o acidente. As causas dos acidentes podem decorrer de fatores pessoais ou
materiais.
O reconhecimento das causas pode ser fácil, como no caso de um degrau quebrado de uma
escada, ou difícil, quando se precisa determinar as causas de uma sequência em cadeia que
originaram o acidente. Pode-se dizer que a maioria dos acidentes tem mais de uma causa.
As causas fundamentais dos acidentes do trabalho são classificadas como atos inseguros,
condições inseguras e fatores pessoais de insegurança.
2.2.1 – ATOS INSEGUROS
Atos inseguros são as ações ou omissões, maneiras pelas quais o trabalhador se expõe,
voluntariamente ou não, a riscos de acidentes.
Responsáveis por 80% dos acidentes, os atos inseguros mais comuns são:
Brincadeiras em serviço (ofender, distrair, assustar, discutir, jogar objetos, gritar, etc.);
Desconhecimento das regras de segurança ou dos métodos seguros de trabalho;
Emprego incorreto das ferramentas ou de ferramentas sabidamente defeituosas;
Excesso de confiança dos que se julgam imunes a acidentes;
Fadiga física ou mental, que pode prejudicar os reflexos normais do trabalhador.
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Falta de habilidade para o desempenho da atividade (pode ocorrer por treinamento
insuficiente);
Levantamento de cargas de forma imprópria;
Negligência, como no caso do trabalhador que não usa os EPI’s recomendados;
Permanecer sob cargas suspensas ou em locais perigosos, junto a máquinas ou à passagem
de veículos;
Remover dispositivos de proteção ou alterar o seu funcionamento, tornando-os
ineficientes;
Realizar operações para as quais não esteja devidamente autorizado;
Trabalhar, sem necessidade, com equipamento em movimento ou perigoso (manutenção,
reparo e lubrificação de máquinas em movimento e realização de trabalhos em
equipamentos elétricos energizados);
Usar vestimentas inadequadas (salto alto, mangas compridas, gravatas soltas, cabelos
compridos soltos, anéis, pulseiras, etc.);
Uso inadequado de equipamentos (sobrecarregar veículos, andaimes, etc.);
Velocidades perigosas (operar máquinas em suas velocidades limites ou em velocidades
inseguras, pular de locais elevados, atirar materiais ao invés de transportá-los, etc.).
Não são considerados como atos inseguros os que emanarem da chefia ou as ações realizadas
em obediência às instruções de superiores. Estes casos devem ser considerados como
condições inseguras.
2.2.2 – CONDIÇÕES INSEGURAS
São responsáveis por 18% dos acidentes.
Exemplos de condições inseguras:
Condições inseguras de um ambiente de trabalho são as falhas, defeitos, irregularidades
técnicas, carências de dispositivos de segurança, e outras que põem em risco a integridade
física ou a saúde do trabalhador ou a própria segurança das instalações e equipamentos.
Arranjos físicos e arrumações perigosas (empilhamento perigoso, armazenagem irregular
ou perigosa, passagens obstruídas, etc.);
Condições defeituosas dos equipamentos (grosseiro, cortante, corroído, fraturado, de
qualidade inferior, etc.);
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Condições precárias das instalações físicas (escadas, tubulações, rampas, instalações e
pisos escorregadios, corroídos, sobrecarregados, mal conservados ou quebrados);
Construções ou projetos inseguros;
Equipamentos de proteção defeituosos ou mal sinalizados (extintores descarregados ou
com a carga vencida);
Iluminação ou ventilação incorreta ou inadequada;
Má distribuição de horários e tarefas;
Material mal identificado ou não identificado;
Proteção mecânica ou elétrica inadequada (falta de aterramento em instalações elétricas);
Operações e processos perigosos;
Riscos naturais provenientes de irregularidades e instabilidades dos solos, intempéries,
animais selvagens (nos trabalhos externos ou “a céu aberto”).
Importante: Não devemos confundir a condição insegura com o risco inerente de certas
operações industriais. Por exemplo: a corrente elétrica é um risco inerente aos serviços que
envolvem eletricidade. Instalações elétricas mal feitas ou improvisadas, fios expostos, etc., são
condições inseguras.
2.2.3 – FATOR PESSOAL DE INSEGURANÇA
A caracterização do fator pessoal de insegurança não é fácil, exigindo o exame apurado das
circunstâncias em que ocorreu o acidente. O fator pessoal de insegurança, como o ato
inseguro, não é necessariamente causado pelo trabalhador acidentado, podendo ser
provocado por terceiros.
Os fatores pessoais de insegurança predominantes são:
Alcoolismo ou uso de substâncias tóxicas ou de drogas;
Conhecimento ou treinamento insuficiente;
Defeito físico ou incapacidade física para o serviço executado (principalmente órgãos do
sentido);
Desconhecimento do risco ou de práticas seguras para a execução do serviço;
Desrespeito às instituições e normas de segurança;
Falta de interesse pela atividade que desempenha;
Má interpretação do perigo;
Nervosismo ou excesso de confiança;
Preocupação com outros problemas;
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Problemas de saúde não tratados (mentais e nervosos);
Problemas diversos de ordem social;
Problemas familiares.
Fator pessoal de insegurança é a característica mental ou física que leva o trabalhador à
prática do ato inseguro.
2.3 - CONSEQÜÊNCIAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO
Muitas vezes, pior que o próprio acidente são as suas consequências. Todos perdem. Perde o
empregador, com a perda da mão-de-obra, de material, de equipamentos, de tempo, e,
consequentemente, com a elevação dos custos operacionais. Perde o governo, com o número
crescente de inválidos e dependentes da Previdência Social. Perde o empregado, que fica
incapacitado temporária ou permanentemente para o trabalho, de forma total ou parcial, e a
sua família que passa a ter o padrão de vida afetado pela falta dos ganhos normais.
Um acidente do trabalho pode levar o trabalhador a se ausentar da empresa por apenas
algumas horas, quando é chamado de acidente sem afastamento. É o que ocorre, por
exemplo, quando o acidente resulta num pequeno corte no dedo, e o trabalhador retorna em
seguida. Outras vezes, um acidente pode deixar o trabalhador impedido de realizar suas
atividades por dias seguidos, ou meses, ou de forma definitiva. Se o trabalhador não retornar
ao trabalho imediatamente ou até a jornada seguinte temos o chamado acidente com
afastamento, que pode resultar:
a) Na incapacidade temporária, que é a perda da capacidade para o trabalho por um
período limitado de tempo, após o qual o trabalhador retorna às suas atividades
normais.
b) Na incapacidade total e permanente, que é a invalidez para o trabalho.
c) Na incapacidade parcial permanente, que é a diminuição, para o resto da vida, da
capacidade física total para o trabalho desenvolvido. É o que acontece, por exemplo,
quando ocorre a perda de um dedo ou de uma vista.
2.3.1 - PREJUÍZOS IMEDIATOS PARA O GOVERNO
a) Pagamento, através do INSS, de benefícios previdenciários ao trabalhador acidentado
ou a seus dependentes.
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b) pagamento de despesas médico-hospitalares no tratamento do acidentado, inclusive
com o fornecimento de próteses.
c) despesas com a reabilitação profissional do trabalhador acidentado.
d) assistência reeducativa e readaptativa profissional: Reeducativa quando, depois da
assistência, o funcionário retorna para a mesma função; Readaptativa quando, após a
assistência, o funcionário vai para outra função.
Os principais benefícios concedidos pela Previdência Social, através do INSS quando da
ocorrência de acidentes do trabalho são: (Regulamento dos “Benefícios da Previdência Social”
aprovado pelo decreto no. 2.172, de 05/03/97)
Reabilitação Profissional: Serviço que o INSS coloca à disposição de seus segurados,
inclusive aposentados e dependentes. Tem como objetivo proporcionar aos segurados e
dependentes incapacitados (parcial ou totalmente), os meios indicados para a
(re)educação e (re)adaptação profissional e social, de modo que possam voltar a participar
do mercado de trabalho. O atendimento é feito por uma equipe multidisciplinar, que
envolve médicos, assistentes sociais, psicólogos, sociólogos, fisioterapeutas, entre outros.
O serviço é extensivo aos dependentes, de acordo com as disponibilidades técnico-
financeiras do INSS.
Auxílio-doença: Beneficio previdenciário devido ao segurado que ficar temporariamente
incapacitado para o seu trabalho ou atividade habitual por mais de 15 dias consecutivos. A
empresa paga os primeiros 15 dias de afastamento. O INSS paga a partir do 16° dia de
afastamento. O valor do auxílio doença acidentário corresponde a 91% do salário de
benefício.
O auxílio-doença deixa de ser pago:
quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;
quando este benefício se transformar em aposentadoria por invalidez;
quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia do INSS;
quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho.
OBS.: Não são devidas as prestações relativas ao acidente do trabalho:
ao empregado doméstico;
ao contribuinte individual;
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ao facultativo.
Auxílio-acidente: benefício que é concedido, como indenização, ao segurado empregado,
trabalhador avulso, segurado especial e ao médico residente que estiver recebendo
auxílio-doença, quando a consolidação das lesões decorrentes de acidente de trabalho
resultarem em sequela definitiva que implique redução da capacidade para o trabalho
e/ou impossibilite o desempenho da atividade exercida na época do acidente. O auxílio-
acidente será devido a partir do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença. O seu valor
corresponde a 50% do salário de benefício que deu origem ao auxílio doença do segurado,
corrigido até o mês anterior ao do início do auxílio acidente e será devido até a véspera de
início de qualquer aposentadoria ou até a data do óbito do segurado.
Aposentadoria por invalidez: É o benefício a que tem direito o segurado que, estando ou
não recebendo auxílio-doença, for considerado incapaz para o trabalho e não sujeito à
reabilitação para o exercício de atividade que lhe garanta a subsistência. Não é concedida
aposentadoria por invalidez ao segurado que, ao filiar-se ao Regime Geral de Previdência
Social, já era portador da doença ou da lesão que geraria o benefício, salvo quando a
incapacidade decorreu de progressão ou agravamento dessa doença ou lesão.
A aposentadoria por invalidez começa a ser paga:
A contar do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença, caso o segurado o esteja
recebendo.
Para o segurado que não recebe auxílio-doença:
para o segurado empregado a partir do 16º dia de afastamento da atividade ou a partir da
data da entrada do requerimento, se entre o afastamento e a entrada do requerimento
decorrerem mais de 30 dias.
para os demais segurados a partir da data do início da incapacidade ou;
a partir da data da entrada do requerimento, quando requerido após o 30º dia do
afastamento da atividade.
A aposentadoria por invalidez deixa de ser paga:
quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;
quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho;
quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia médica do INSS.
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O valor da aposentadoria por invalidez é 100% do salário de benefício, caso o segurado não
estivesse recebendo auxílio-doença. Se o segurado necessitar de assistência permanente de
outra pessoa, a critério da perícia médica, o valor será aumentado em 25% a partir da data de
sua solicitação.
Aposentadoria especial - É o benefício a que tem direito o segurado, que tiver trabalhado
durante 15, 20 ou 25 anos, conforme o caso, sujeito a condições especiais que
prejudiquem a sua saúde ou integridade física. O segurado deverá comprovar, além do
tempo de trabalho, efetiva exposição aos agentes nocivos químicos, físicos, biológicos ou
associação de agentes prejudiciais a saúde ou integridade física, pelo período equivalente
ao exigido para a concessão do benefício.
Considera-se tempo de trabalho, os períodos correspondentes ao exercício de atividade
permanente e habitual (não ocasional nem intermitente), durante toda a jornada de trabalho.
A comprovação da efetiva exposição do segurado aos agentes nocivos será feita em formulário
próprio do INSS, preenchido pela empresa ou seu preposto com base em laudo técnico de
condições ambientais de trabalho, expedido por médico do trabalho ou engenheiro de
segurança do trabalho, nos termos da legislação trabalhista.
O INSS exige carência para este benefício:
180 contribuições mensais para o segurado inscrito a partir de 25.07.91;
Os inscritos até 24.07.91 devem obedecer a uma tabela progressiva de carência.
A aposentadoria especial começa a ser paga:
Para o segurado empregado:
a partir da data do desligamento do emprego, quando requerida até 90 dias após o
desligamento.
a partir da data da entrada do requerimento, quando não houver desligamento do
emprego ou quando for requerida após 90 dias do desligamento.
Para o trabalhador avulso:
a partir da data da entrada do requerimento.
O valor da aposentadoria especial é 100% do salário de benefício. O aposentado por tempo de
contribuição, especial ou idade pelo Regime Geral de Previdência Social que permanecer ou
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retornar à atividade sujeita a este regime, não fará jus a prestação alguma da Previdência
Social em decorrência do exercício dessa atividade, exceto ao salário família, salário
maternidade e à reabilitação profissional.
Pensão por morte: É o benefício a que têm direito os dependentes do segurado que
falecer.
Há três classes de dependentes:
Classe I: o cônjuge, a companheira, o companheiro e o filho não emancipado, de qualquer
condição, menor de 21 anos ou inválido;
Classe II: os pais;
Classe III: o irmão, não emancipado, de qualquer condição, menor de 21 anos ou inválido.
Observações: Por determinação judicial proferida em Ação Civil Pública também fará jus a
pensão por morte quando requerida por companheiro ou companheira homossexual.
A condição de invalidez do dependente maior de 21 anos deverá ser atestada pela perícia do
INSS. Enteados e tutelados equiparam-se a filhos. Havendo dependentes de uma classe, os
dependentes da classe seguinte perdem o direito à pensão por morte. Também perde o direito
ao benefício o dependente que passar à condição de emancipado.
A pensão por morte começa a ser paga:
a partir da data do óbito do segurado, se requerida até 30 dias do falecimento;
a partir da data do requerimento, se requerida após 30 dias do falecimento;
a partir da data da decisão judicial, quando se tratar de morte presumida.
A pensão por morte deixa de ser paga:
Pelo falecimento do pensionista;
Pela extinção da cota do último pensionista;
Se quem recebe a pensão é o filho ou o irmão, o benefício deixa de ser pago quando esse
dependente se torna emancipado, ou completa 21 anos (a menos que seja inválido);
Se quem recebe a pensão é inválido, o benefício deixa de ser pago cessar a invalidez.
O valor da pensão por morte corresponde a 100% do valor da aposentadoria que o segurado
recebia quando faleceu ou 100% da aposentadoria por invalidez a que teria direito na data do
óbito.
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Todos os benefícios baseiam-se no salário-beneficio (SB) que é igual:
à média aritmética simples dos 80% maiores salários de contribuição, corrigidos
monetariamente, a partir do mês 07/94 - para os inscritos até 28/11/99
à média aritmética simples dos maiores salários de contribuição correspondentes a 80% de
todo o período contributivo - para os inscritos a partir de 29/11/99
Observação: O trabalhador que sofrer acidente de trabalho tem garantia da manutenção do
contrato de trabalho até 12 meses após a cessação do acidente do trabalho.
2.3.1.1 – A DOENÇA E O ACIDENTE DO TRABALHO NO CONTRATO DE
EXPERIÊNCIA E NO AVISO PRÉVIO
Se, durante o contrato de experiência o empregado adoecer, a empresa pagará os primeiros
15 dias e ele entrará em auxílio-doença no INSS, do qual não sairá antes de vencidos os 90 dias
do contrato.
Se, a doença se aparecer no 80° dia do contrato, a empresa deverá pagar apenas os 10 dias
que faltam para o contrato terminar. O doente desempregado deverá passar a receber, de
imediato, o auxílio-doença.
De acordo com o Pleno do Tribunal Superior do Trabalho “O contrato por prazo determinado
não tem seu termo prorrogado em virtude de licença médica do empregado, salvo se houver
prévia estipulação das partes contratantes” (AC-TP 1975/85, DOU de 8/11/85).
Se, o empregado adoecer ou se acidentar no 20º dia do aviso prévio, a empresa deverá pagar-
lhe os 10 dias restantes e o contrato ficará rescindido. O INSS deverá, de imediato, conceder-
lhe o auxílio-doença. Porém, se a doença se apresentar no 10° dia do aviso prévio, a empresa
pagará os primeiros 15 dias e o empregado entrará em auxílio-doença. No trigésimo dia do
aviso prévio o contrato estará rescindido de acordo com o artigo 489 da CLT.
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RISCOS AMBIENTAIS
Como visto no capítulo anterior, os riscos de operação, como por exemplo, máquinas
desprotegidas, pisos escorregadios e empilhamentos precários são chamados de condições
inseguras.
As condições inseguras relativas ao ambiente de trabalho, como por exemplo, a presença de
vapores tóxicos no processo de trabalho, o calor intenso ou o frio excessivo, são chamados de
riscos ambientais. Assim, definimos:
Estes riscos podem afetar o trabalhador de imediato ou a longo prazo, provocando acidentes
com lesões ou doenças do trabalho. A ocorrência das doenças do trabalho dependerá sempre
da ação simultânea de fatores relativos ao agente ambiental, à atividade profissional e a
susceptibilidade do indivíduo ao agente ambiental. Por causa disto, estes três fatores deverão
ser sempre estudados em conjunto para uma análise real do risco que os agentes ambientais
oferecem à saúde dos trabalhadores.
A legislação obriga que os riscos ambientais sejam eliminados ou minimizados em sua
intensidade ou exposição e assegura aos trabalhadores a percepção de adicionais por
insalubridade de até 40% sobre o salário mínimo sempre que a concentração, a intensidade ou
a exposição aos agentes nocivos exceder os limites de tolerância determinados na NR-15-
Atividades e Operações Insalubres.
3.1 – AGENTES AMBIENTAIS
Os fatores que originam as doenças do trabalho são chamados agentes ambientais e são
classificados, de acordo com a sua natureza e forma de atuação no organismo humano como
agentes físicos, agentes químicos, agentes biológicos, agentes ergonômicos e os riscos de
acidentes (mecânicos).
3.2 - RISCOS FÍSICOS
Os riscos físicos, causados pelos AGENTES FÍSICOS, normalmente estão relacionados com os
equipamentos utilizados no processo produtivo. São
RISCOS AMBIENTAIS são os riscos existentes nos ambientes de trabalho capazes de causar
danos à saúde do trabalhador em função de sua natureza, concentração ou intensidade e
tempo de exposição.
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São eles: os ruídos, as vibrações mecânicas, as radiações ionizantes e as não ionizantes, o frio
ou o calor extremo, as pressões anormais e a umidade.
3.2.1 - O Ruído
Embora seja o risco profissional mais freqüente na indústria, nem sempre recebe a atenção
que merece. O ruído produz redução da capacidade auditiva do trabalhador e sua exposição
intensa e prolongada atua desfavoravelmente sobre o estado emocional do indivíduo.
3.2.2 - As Vibrações Mecânicas
De relativa freqüência na indústria, a vibração mecânica é subdividida em duas categorias:
vibrações localizadas e vibrações de corpo inteiro. As vibrações localizadas são características
de operações com ferramentas manuais elétricas ou pneumáticas e podem produzir, a longo
prazo, alterações neuro-vasculares nas mãos dos trabalhadores, problemas nas articulações
das mãos e braços além da osteoporose (perda da substância óssea).
As vibrações de corpo inteiro, a que estão sujeitos os operadores de grandes máquinas e
motoristas de caminhões e tratores, podem produzir problemas na coluna vertebral, dores
lombares, além de haver suspeita de causarem lesões nos rins.
3.2.3 - As Radiações ionizantes e não-ionizantes
As radiações são chamadas ionizantes porque produzem, nos materiais sobre os quais incidem,
a subdivisão de partículas inicialmente neutras em partículas eletricamente carregadas. São
provenientes de materiais radioativos como os raios Alfa, Beta e Gama ou são produzidas
artificialmente em equipamentos como o de raios X. A sua manipulação deve obedecer a
rigorosas normas de segurança e de proteção individual.
Os raios Alfa e Beta possuem menor poder de penetração nos organismos e oferecem menor
risco; mas os raios X e Gama, de natureza eletromagnética, possuem alto poder de penetração
e podem causar a anemia, a leucemia, o câncer e outras alterações genéticas que podem
comprometer fisicamente gerações futuras.
As radiações não-ionizantes são as de natureza eletromagnética e os seus efeitos dependem
de fatores como a duração, a intensidade de exposição, o comprimento de onda, etc.
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Como exemplo temos:
Radiação infravermelha, ou calor radiante. É encontrada em siderúrgicas, metalúrgicas, na
fabricação do vidro e em trabalhos ao ar livre onde os operários ficam expostos à radiação
solar. Além da sobrecarga térmica imposta ao trabalhador pode causar queimaduras e
catarata.
A radiação ultravioleta é encontrada em operações com solda elétrica, fusão de metais e
no controle de qualidade de peças com lâmpadas especiais. Além de estar relacionada ao
câncer de pele, pode causar queimaduras, eritema e conjuntivite.
A radiação laser é utilizada largamente na indústria, nos trabalhos topográficos e
geodésicos, na medicina e nas telecomunicações. Os principais efeitos são as queimaduras
na pele e nos olhos que variam de gravidade de acordo com a intensidade e a duração da
exposição.
As micro-ondas são produzidas em instalações de radio transmissão e de radar e utilizadas
em telecomunicações, alguns processos de secagem de materiais. De acordo com a
intensidade das estações de transmissão ou com a energia liberada nos processos de
secagem, os operadores podem estar sujeitos à catarata, ao superaquecimento dos órgãos
internos, hipertensão, alterações no sistema nervoso central, aumento da atividade da
glândula tireoide, etc.
3.2.4 - Temperaturas extremas
São as condições térmicas rigorosas em que são realizadas diversas atividades profissionais.
O calor extremo é responsável por uma série de problemas que afetam a saúde e o
rendimento do trabalhador como a intermação ou insolação, a prostração térmica, a
desidratação e as câimbras de calor.
O frio intenso pode provocar o enregelamento dos membros, a hipotermia (queda da
temperatura do núcleo do corpo) além de lesões na epiderme do trabalhador, conhecidas
como ulcerações de frio.
3.2.5 - Pressões Anormais
Encontradas em trabalhos submersos ou realizados abaixo do nível do lençol freático. Dos
problemas que mais comumente afetam os trabalhadores sujeitos a pressões elevadas, está a
embolia. As principais medidas de controle aos riscos físicos são os Equipamentos de Proteção
Coletiva (EPC’s) e Individual (EPI’s) a sinalização eficiente.
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3.3 - RISCOS QUÍMICOS
Os riscos químicos são causados por AGENTES QUÍMICOS, encontrados nas formas sólida,
líquida ou gasosa e que penetram no corpo humano por três vias básicas: a via respiratória, a
cutânea e a digestória.
O grau de toxidade de um agente químico vai depender do seu estado físico, da sua
solubilidade, do seu PH e da via de penetração no organismo. Algumas substâncias são
inflamáveis ou apresentam risco de explosão quando em determinada proporção no ar
atmosférico, ameaçando a integridade física do trabalhador.
Quanto ao seu estado físico, os agentes químicos podem ser:
Sólidos, como as poeiras, de origem mineral (a de sílica produz a silicose), vegetal (a fibra
de algodão produz a bissinose) ou animal, como as provenientes do pelo ou do couro de
animais.
Os agentes em estado líquido, constituídos por ácidos e solventes. Podem causar danos ao
sistema respiratório quando em suspensão no ar, além de queimaduras e irritações
quando em contato com a pele.
A maioria das exposições aos agentes químicos na indústria se dá quando estes se
encontram na forma gasosa. Os agentes mais comuns são o dióxido de enxofre, os óxidos
de nitrogênio, o monóxido de carbono e os vapores de solventes. De efeitos bastante
diversos, chegam a causar a morte, mesmo em pequenas concentrações, como no caso do
ácido cianídrico.
Quando em suspensão ou dispersão no ar, são chamados de contaminantes atmosféricos e são
classificados em:
Aerodispersóides, como são chamadas as poeiras, os fumos, as fumaças, as névoas e as
neblinas;
Gases;
Vapores.
Segundo a reação causada no organismo humano podemos dividir, a grosso modo, os
contaminantes atmosféricos em:
1) Irritantes, os que têm a propriedade de produzir inflamação nos tecidos com os quais
entram em contato (amônia, ácido sulfídrico e cloro);
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2) Anestésicos, que apresentam ação depressiva no sistema nervoso central (acetona,
éteres e álcoois);
3) Asfixiantes, que podem provocar asfixia por reduzir a concentração de oxigênio no ar
ou por interferir no processo de absorção de oxigênio no sangue ou tecidos (Metano,
Hélio, Cianuretos, Hidrogênio e Nitrogênio);
4) Intoxicantes Sistêmicos, que tanto causam as lesões agudas como as crônicas:
a. podem causar lesões nos órgãos (tetracloreto de carbono e cloreto de vinila),
b. lesões no sistema formador do sangue (benzeno, tolueno e xileno),
c. lesões no sistema nervoso (álcoois metílico e etílico);
5) Compostos tóxicos inorgânicos, que são sais de não metais (cianureto de sódio ou de
potássio, compostos de arsênico, e fluoretos) e metais tóxicos, que podem produzir
dermatoses, alterações no sistema nervoso central, câncer, além de intoxicações
graves (chumbo, mercúrio, cádmio, manganês, cromo, etc).
6) Material particulado, que são as poeiras, fumos e névoas que não foram classificadas
como contaminantes sistêmicos. Podem ser classificadas como:
a. Poeiras produtoras de fibroses, que causam endurecimento e perda de
flexibilidade dos tecidos pulmonares como a poeira de sílica, que causa a
silicose, e a poeira de amianto, causadora de asbestose.
b. Poeiras inertes, as que ficam retidas nos pulmões e só apresentam problemas
quando presentes em grandes concentrações, como a dos sais complexos de
alumínio e a do carvão.
c. Partículas alergizantes e irritantes, podem atuar na pele, como a poeira da
caviúna, de partículas de óleo de castanha de caju, de cromatos, etc., ou no
sistema respiratório como pólens, e as poeiras das sementes de mamona.
Como principais medidas de controle temos a mudança de processo, a mudança de matérias-
primas, o enclausuramento do processo, a ventilação local adequada, os exames médicos
frequentes, os Equipamentos de Proteção Coletiva e Individual e a sinalização eficiente.
3.4 - RISCOS BIOLÓGICOS
Causadores dos riscos biológicos, os AGENTES BIOLÓGICOS são microrganismos invisíveis a
olho nu que podem estar presentes na atmosfera do ambiente de trabalho ou podem ser
transmitidos por outros seres vivos. Provocam doenças, mau cheiro, deterioração de
alimentos, etc.
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São eles os Vírus, as Bactérias, os Protozoários, os Fungos, os Parasitas e os Bacilos.
Entre as doenças profissionais causadas por agentes biológicos estão a tuberculose, a
brucelose, o tétano, a malária, a febre tifoide, a febre amarela e o carbúnculo.
As medidas de controle mais comuns nos ambientes onde há o risco biológico são a vacinação;
a esterilização; o confinamento do processo; a rigorosa higiene pessoal, das roupas e dos
ambientes de trabalho; os Equipamentos de Proteção Coletiva; a ventilação adequada e o
controle médico permanente.
3.5 - RISCOS ERGONÔMICOS
Os RISCOS ERGONÔMICOS são aqueles relacionados a fatores fisiológicos e psicológicos.
Dentre eles destacamos o esforço físico intenso; o levantamento e o transporte manual de
cargas; a necessidade de posturas inadequadas; a atenção, a preocupação e a
responsabilidade; os controles rígidos de produtividade; os ritmos excessivos de trabalho; os
trabalhos em turnos e os noturnos; as jornadas de trabalho prolongadas; a monotonia; a
repetitividade além de outras situações causadoras de fadiga física e/ou psíquica.
Das medidas de controle no caso dos riscos ergonômicos citamos a conscientização dos riscos,
o projeto de máquinas e equipamentos perfeitamente adaptados ao operário, o treinamento
adequado, a assistência médico psicológica do empregado, a adoção de ritmos e posições
adequadas de trabalho, as pausas durante a jornada de trabalho, etc.
3.6 - RISCOS DE ACIDENTES
Os RISCOS DE ACIDENTES (mecânicos) estão relacionados aos equipamentos utilizados e às
condições físicas do local de trabalho, como por exemplo:
Arranjo físico inadequado,
A eletricidade,
Probabilidade de incêndio ou explosão,
Armazenamento inadequado,
Sinalização inadequada ou deficiente,
Animais peçonhentos e outras situações de risco que poderão contribuir para a ocorrência
de acidentes.
Para controlar os riscos de acidentes devemos estudar arranjos físicos mais adequados, utilizar
Equipamentos de Proteção Coletiva, só utilizar ferramentas na função para a qual elas foram
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projetadas e eliminá-las quando defeituosas, determinar os níveis ideais de iluminamento de
cada ambiente de trabalho, treinar o pessoal no combate aos princípios de incêndio, além de
manter uma sinalização de segurança eficiente.
4.5 – PPRA - PROGRAMA DE PREVENÇÃO DE RISCOS AMBIENTAIS
A NR-09 obriga a elaboração do Programa de Prevenção de Riscos Ambientais – PPRA, através
da antecipação do reconhecimento, da avaliação e do controle da ocorrência de riscos
ambientais existentes, ou que venham a existir, no ambiente de trabalho, considerando a
proteção do meio ambiente e dos recursos naturais.
O PPRA é desenvolvido sob a responsabilidade do empregador, com a participação dos
trabalhadores e sua profundidade depende das características dos riscos e das necessidades
de controle.
A NR-09 considera riscos ambientais os agentes físicos, químicos e biológicos, existentes nos
ambientes de trabalho, que causam danos à saúde do trabalhador. Consideram-se agentes
físicos as formas de energia a que possam estar expostos os trabalhadores, como vibrações,
pressões anormais, temperaturas extremas, ruído, radiações ionizantes e não ionizantes, infra-
som e ultra-som.
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Consideram-se agentes químicos as substâncias, compostos ou produtos que penetram no
organismo pela via respiratória, nas formas de poeiras, fumos, névoas, neblinas, gases ou
vapores, ou que sejam absorvidos através da pele ou por ingestão.
Consideram-se agentes biológicos as bactérias, fungos, bacilos, parasitas, protozoários, vírus,
entre outros. O PPRA deve conter a seguinte estrutura:
a) planejamento anual com metas, prioridades e cronograma indicando os prazos para
desenvolvimento das etapas e cumprimento das suas metas;
b) estratégia e metodologia de ação;
c) forma de registro, manutenção e divulgação dos dados;
d) periodicidade e forma de avaliação do seu desenvolvimento.
Deve ser efetuada, pelo menos uma vez ao ano, uma análise global do PPRA para avaliação do
desenvolvimento e estabelecimento de novas metas e prioridades.
O PPRA deve estar descrito num documento-base, cujas alterações e complementações são
discutidas na CIPA. O PPRA inclui as seguintes etapas:
a) antecipação e reconhecimento dos riscos;
b) estabelecimento de prioridades e metas de avaliação e controle;
c) avaliação dos riscos e da exposição dos trabalhadores;
d) implantação de medidas de controle e avaliação de sua eficácia;
e) monitoramento da exposição aos riscos;
f) registro e divulgação dos dados.
A elaboração, implementação, acompanhamento e avaliação do PPRA são feitas pelo SESMT
ou por pessoa ou equipe de pessoas capazes de desenvolver o disposto na NR-09. A
antecipação envolve a análise dos métodos de trabalho das instalações novas ou da
modificação dos existentes, identificando os riscos e introduzindo medidas para sua
eliminação.
O reconhecimento dos riscos ambientais consta de:
a) sua identificação;
b) determinação e localização das fontes geradoras;
c) identificação das trajetórias e dos meios de propagação dos agentes no ambiente de
trabalho;
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d) identificação das funções e do número de trabalhadores expostos;
e) caracterização das atividades e do tipo de exposição;
f) obtenção de dados existentes na empresa, que indicam comprometimento da saúde
decorrente do trabalho;
g) danos à saúde relacionados aos riscos identificados, disponíveis na literatura técnica;
h) descrição das medidas de controle existentes.
A avaliação quantitativa é realizada para:
a) comprovar o controle da exposição ou a inexistência dos riscos identificados na etapa
de reconhecimento;
b) dimensionar a exposição dos trabalhadores;
c) subsidiar o equacionamento das medidas de controle.
São adotadas medidas para a eliminação ou a minimização dos riscos ambientais sempre que
verificadas uma das seguintes situações:
a) identificação, na fase de antecipação, de risco potencial à saúde;
b) constatação, na fase de reconhecimento, de risco evidente à saúde
c) quando os resultados das avaliações quantitativas excedem os valores previstos na NR-
15 ou, na ausência destes, os valores de exposição adotados pela American
Conference of Governmental Industrial Higyenists, ou aqueles que forem
estabelecidos, desde que mais rigorosos;
d) quando fica caracterizado o nexo causal entre danos à saúde dos trabalhadores e o
trabalho desenvolvido.
O estudo, desenvolvimento e implantação de medidas de proteção coletiva obedece à
seguinte hierarquia:
a) medidas que eliminam ou reduzem a formação de agentes prejudiciais à saúde;
b) medidas que previnem a liberação desses agentes no ambiente;
c) medidas que reduzem a concentração desses agentes no ambiente.
A implantação de medidas de caráter coletivo deve ser acompanhada do treinamento dos
trabalhadores quanto aos procedimentos que asseguram a sua eficiência e de informação
sobre as limitações de proteção que oferecem. Quando comprovada a inviabilidade técnica da
adoção de medidas de proteção coletiva, ou quando estas não forem suficientes ou
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encontrarem-se em fase de estudo, planejamento ou implantação, ou ainda em caráter
complementar ou emergencial, devem ser adotadas outras medidas, obedecendo à seguinte
hierarquia:
a) medidas de caráter administrativo ou de organização do trabalho;
b) utilização de equipamento de proteção individual - EPI.
A utilização de EPI deve considerar as Normas Legais em vigor e envolver:
a) seleção de EPI adequado ao risco e à atividade exercida, considerando a eficiência e o
conforto oferecido, segundo avaliação do usuário;
b) treinamento dos trabalhadores quanto à utilização e às limitações de proteção do EPI;
c) estabelecimento de normas para o fornecimento, o uso, a guarda, a higienização, a
conservação, a manutenção e a reposição do EPI;
d) caracterização das atividades dos trabalhadores, com a identificação dos EPI's
utilizados para os riscos ambientais.
O PPRA estabelece critérios de avaliação da eficácia das medidas de proteção implantadas
considerando os dados obtidos nas avaliações realizadas e no PCMSO.
O empregador deve manter um registro de dados, de forma a constituir um histórico técnico e
administrativo do desenvolvimento do PPRA. Esses dados devem ser mantidos por um período
de 20 anos e estar sempre disponíveis aos trabalhadores ou seus representantes e às
autoridades competentes. É responsabilidade do empregador estabelecer, implementar e
assegurar o cumprimento do PPRA como atividade permanente da empresa.
É responsabilidade dos trabalhadores:
a) colaborar e participar na implantação e execução do PPRA;
b) seguir as orientações recebidas nos treinamentos do PPRA;
c) informar ao seu superior ocorrências que impliquem riscos à saúde.
Os trabalhadores têm o direito de apresentar propostas e receber informações que assegurem
proteção aos riscos ambientais identificados pelo PPRA.
Os empregadores devem informar aos trabalhadores dos riscos ambientais que possam
originar nos locais de trabalho e dos meios para preveni-los ou protegerem-se dos mesmos.
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Quando vários empregadores realizam simultaneamente atividades no mesmo local de
trabalho devem executar ações integradas para aplicar as medidas previstas no PPRA visando a
proteção de todos os trabalhadores expostos aos riscos ambientais gerados.
O conhecimento que os trabalhadores têm dos processos de trabalho e dos riscos ambientais
presentes devem ser considerados, assim como o Mapa de Riscos, na execução do PPRA.
O empregador deve garantir que, na ocorrência de riscos ambientais que coloquem em
situação de risco um ou mais trabalhadores, os mesmos possam interromper imediatamente
as suas atividades, comunicando o fato ao seu superior para as providências.
4.6 - INSPEÇÃO DE SEGURANÇA
Tipicamente preventiva, a inspeção de segurança é uma forma antiga e bastante eficaz de se
evitar acidentes. Ela possibilita a determinação dos riscos e de seus meios preventivos antes da
ocorrência dos acidentes, para podermos propor medidas que impeçam a ação desses riscos.
De acordo com a frequência, as inspeções podem ser:
a) Rotineiras, quando estabelecidas por normas de segurança ou por procedimentos de
trabalho. Ex.: Cordas, escadas, ferramentas manuais.
b) Periódicas, quando efetuadas, conforme prévia programação, em intervalos regulares.
Podem ser diárias, anuais, quinzenais, etc. Visam apontar riscos previstos que possam
surgir de quando em quando devido a desgastes, exposição, etc. Ex.: Extintores,
caldeiras, elevadores.
c) Eventuais quando caracterizadas por ato espontâneo, não planejado. Não têm dia
certo ou período estabelecido. Devem ser feitas em conjunto com o pessoal do SESMT.
Para impedir as situações de risco e as condições inseguras encontradas pelas inspeções de
segurança, elaboramos um Relatório de Inspeção. Neste relatório, que deve ser conciso, são
anotadas as condições inseguras e são abordados os pontos principais da inspeção: condições
de meio-ambiente, equipamentos de combate a incêndios, EPI’s, EPC’s, máquinas,
ferramentas, equipamentos, veículos, etc. O relatório aponta com clareza o tipo de risco a ser
corrigido. Riscos susceptíveis de correção imediata assim como os que implicam em perigo
imediato devem ser resolvidos no ato da inspeção.
Nunca deverá ser arquivado um Relatório de Inspeção que contenha recomendações ou
medidas pendentes de execução.
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4.7 - INVESTIGAÇÃO DE ACIDENTES
A CIPA tem como uma das mais importantes atribuições a de investigar os acidentes para que
eles não se repitam. Uma investigação de acidentes bem feita tem grande importância na
prevenção de acidentes futuros.
Para essa investigação os membros da CIPA devem estar aptos a apurar o que teria ocorrido
para provocar o acidente. A experiência dos membros do SESMT, bem como a de todos os
trabalhadores da empresa, ajudará, com certeza, a descobrir a melhor medida de controle a
ser adotada.
Quanto maior a quantidade das fontes de informação e pesquisa, melhor será o resultado da
investigação. Para isso as empresas devem manter arquivos de dados estatísticos sobre
segurança do trabalho para que todos tenham acesso às informações.
Quando investigamos um acidente devemos seguir algumas diretrizes: investigar o acidente
imediatamente após a sua ocorrência; obter os fatos; registrar o ocorrido em relatório,
analisar os fatos sem preconceitos, propor medidas para que o fato não se repita.
Para encontrar as causas dos acidentes devemos analisá-los com as seguintes perguntas: “o
que?”, “porque?”, “quando?”, “onde?”, “com quem?”, “como?” o acidente ocorreu e para isso
necessitamos saber: nome do acidentado; idade; ocupação; seção em que trabalha; descrição
do acidente; parte do corpo atingida.
Durante a investigação são apurados os fatores básicos: o agente da lesão, fatores pessoais, o
tipo de acidente, as condições inseguras e os atos inseguros.
Os agentes da lesão são as máquinas, peças ou materiais em processo, os produtos químicos, a
eletricidade, os pisos, as escadas, as ferramentas, etc. Os tipos de acidente são as batidas
contra, as batidas por, a queda de objetos ou de pessoas, os contatos com temperaturas
extremas ou com a eletricidade, a prensagem entre objetos, etc.
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COLETIVA e INDIVIDUAL
5.1 – DEFINIÇÃO
É importante observar que o E.P.I. não evita o acidente, mas impede ou atenua uma lesão
sofrida pelo trabalhador como consequência de um acidente.
O E.P.I. adequado ao risco e em perfeito estado de conservação e funcionamento, deve ser
fornecido pela empresa aos empregados, gratuitamente, nas seguintes circunstâncias:
a) sempre que as medidas de proteção coletiva forem tecnicamente inviáveis ou não
oferecerem completa proteção contra os riscos de acidentes do trabalho e/ou de
doenças profissionais e do trabalho;
b) enquanto as medidas de proteção coletiva estiverem sendo implantadas;
c) para atender às situações de emergência.
As recomendações ao empregador, quanto ao E.P.I. adequado ao risco existente em
determinada atividade, são de competência do SESMT ou da CIPA, caso a empresa esteja
desobrigada de manter o SESMT. Nas empresas desobrigadas de manterem CIPA, cabe ao
empregador, mediante orientação técnica, fornecer e determinar o E.P.I. adequado.
O E.P.I., de fabricação nacional ou estrangeira, só poderá ser colocado à venda, comercializado
ou utilizado, quando possuir Certificado de Aprovação – CA, expedido pelo Ministério do
Trabalho e da Administração – MTA. O fabricante é responsável pela manutenção da mesma
qualidade do E.P.I.- padrão que deu origem ao CA.
5.2 - EXIGÊNCIAS LEGAIS FEITAS À EMPRESA E AO EMPREGADO
Obriga-se a Empresa, quanto ao E.P.I., a:
a) adquirir o tipo adequado à atividade do empregado. Conforme estipulado na NR-06,
Equipamento de Proteção Individual é todo o dispositivo de uso individual, de
fabricação nacional ou estrangeira, destinado a proteger a saúde e a integridade física
do trabalhador.
b) fornecer ao empregado somente E.P.I. aprovado pelo MTA e de fabricantes
cadastrados no DNSST/MTA;
c) treinar o trabalhador sobre seu uso adequado;
d) tornar obrigatório o seu uso;
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e) substituí-lo, imediatamente, quando danificado ou extraviado;
f) responsabilizar-se pela sua higienização e manutenção periódicas;
g) comunicar ao MTA qualquer irregularidade observada no E.P.I..
Obriga-se o empregado, quanto ao E.P.I., a:
a) usá-lo apenas para a finalidade a que se destina;
b) responsabilizar-se por sua guarda e conservação;
c) comunicar ao empregador qualquer alteração que o torne impróprio para o uso.
5.3 - RELAÇÃO DOS E.P.I.s MAIS COMUNS E SUA UTILIZAÇÃO
5.3.1 - PROTEÇÃO PARA A CABEÇA
a) Protetores faciais destinados à proteção dos olhos e da face contra lesões ocasionadas
por partículas, respingos, vapores de produtos químicos e radiações luminosas
intensas;
b) Óculos de segurança para trabalhos em que haja o risco de ferimentos nos olhos,
provenientes de: impacto de partículas; respingos de líquidos agressivos e metais em
fusão; irritação por poeiras ou pela ação de radiações perigosas;
c) Máscaras para soldadores nos trabalhos de soldagem e corte ao arco elétrico;
d) Capacetes de segurança para proteção do crânio nos trabalhos sujeitos a: agentes
meteorológicos; impactos provenientes de quedas ou projeção de objetos;
queimaduras ou choque elétrico.
Óculos de Segurança, Protetores Faciais e Capacete de Segurança
5.3.2 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS SUPERIORES
Luvas e/ou mangas de proteção e/ou cremes protetores devem ser usados em trabalhos onde
haja perigo de lesão provocada por: materiais ou objetos escoriantes, abrasivos, cortantes ou
perfurantes; produtos químicos corrosivos, cáusticos, tóxicos, alergênicos, oleosos, graxos,
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solventes orgânicos e derivados de petróleo; materiais ou objetos aquecidos; choque elétrico;
radiações perigosas; frio e agentes biológicos.
5.3.3 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS INFERIORES
calçados de proteção contra riscos de origem mecânica; impermeáveis, para trabalhos em
locais úmidos, lamacentos ou encharcados; resistentes a agentes químicos agressivos;
contra riscos de origem térmica; contra radiações perigosas; contra agentes biológicos;
contra riscos de origem elétrica;
perneiras de proteção contra riscos de origem mecânica; contra riscos de origem térmica;
contra radiações perigosas;
A NR-06 determina ainda que todo o empregado deve trabalhar calçado, ficando proibido o
uso de tamancos ou chinelos. As sandálias só serão utilizadas, em casos especiais, quando a
autoridade do MTE permitir-lhes o uso e se comprovado que, pela atividade desenvolvida, não
oferecem riscos à integridade física do trabalhador.
5.3.4 - PROTEÇÃO CONTRA QUEDAS COM DIFERENÇA DE NÍVEL
a) Cintos de segurança para trabalhos realizados em altura superior a 2 (dois) metros,
onde haja risco de queda;
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b) Trava-quedas de segurança acoplado ao cinto de segurança ligado a um cabo de
segurança independente, para trabalhos realizados com movimentação vertical em
andaimes suspensos de qualquer tipo.
c) Cadeiras suspensas para trabalhos em alturas em que haja necessidade de
deslocamento vertical, quando a natureza do trabalho assim o indicar;
5.3.5 - PROTEÇÃO AUDITIVA
Protetores auriculares e abafadores, para trabalhos realizados em locais onde o nível de ruído
seja superior a 85 dB (A), para oito horas de exposição contínua. (NR-15, Anexos 1 e 2).
Protetor auricular e abafador de ruído
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5.3.6 - PROTEÇÃO RESPIRATÓRIA
Para exposições a agentes ambientais em concentrações prejudiciais à saúde do trabalhador,
de acordo com os limites estabelecidos na NR-15:
a) respiradores contra poeiras, para trabalhos que implicam na produção de poeiras;
b) máscaras para trabalhos de limpeza por abrasão, através do jateamento de areia;
c) respiradores e máscaras de filtro químico para a exposição a agentes químicos
prejudiciais à saúde;
d) aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar), para locais de trabalho
onde o teor de oxigênio seja inferior a 18% em volume.
5.3.7 - PROTEÇÃO PARA O TRONCO
Aventais, jaquetas, capas e outras vestimentas especiais de proteção para trabalhos nos quais
haja perigo de lesões provocadas por: riscos de origem térmica; riscos de origem radioativa;
riscos de origem mecânica; agentes químicos; agentes meteorológicos; umidade.
5.3.8 - PROTEÇÃO PARA O CORPO INTEIRO
Aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar) para locais de trabalho onde haja
exposição a agentes químicos absorvíveis pela pele, pelas vias respiratória e digestiva, ou
prejudiciais à saúde.
5.3.9 - PROTEÇÃO PARA A PELE
Cremes Protetores para prevenir contra riscos de agentes químicos absorvíveis pela pele.
Se você vir alguém preso num carro em chamas tente tirar a pessoa dali, desde que você
não corra perigo.
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Bibliografia
TELERJ. Primeiros Socorros. Telerj, 1974
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PHILCO. Segurança no Trabalho. Philco, 1980
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Lima, Sérgio de Assis. Organização e Segurança no Trabalho. ETER – Mecânica, 1997
Porto, João Venceslau. Organização e Segurança no Trabalho. ETER - Informática, 1998
Ministério do Trabalho. Normas de Higiene e Segurança no Trabalho, 2003.
Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Matemática Aplicada
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Unidades de Comprimento
A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em
que essa unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é
muito pequena, por outro lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a
unidade metro é muito "grande".
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de
comprimento.
Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor
correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a
10 vezes a unidade da comprimento imediatamente inferior (à direita). Em
conseqüência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade
imediatamente superior (à esquerda).
Quilômetro
km
Hectômetro
hm
Decâmetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 10.
Ex : 1 m = 10 dm
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos
fazer uma divisão por 10.
Ex : 1 m = 0,1 dam
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Ex : 1 m = 100 cm
1 m = 0,001 km
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Uidades de Área
Quilômetro
quadrado
km2
Hectômetro
quadrado
hm2
Decâmetro
quadrado
dam2
Metro
quadrado
m2
Decímetro
quadrado
dm2
Centímetro
quadrado
cm2
Milímetro quadrado
mm2
1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x10-2 m2 1x10-4 m2 1x10-6 m2
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 100.
Ex : 1 m2 = 100 dm2
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devmos
fazer uma divisão por 100.
Ex : 1 m2 = 0,01 dam2
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Uidades de Volume
Quilômetro
cúbico
km3
Hectômetro
cúbico
hm3
Decâmetro
cúbico
dam3
Metro
cúbico
m3
Decímetro
cúbico
dm3
Centímetro
cúbico
cm3
Milímetro cúbico
mm3
1x109 m3 1x106 m3 1x103 m3 1 m3 1x10-3 m3 1x10-6 m3 1x10-9 m3
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 1000.
Ex : 1 m3 = 1000 dm3
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos
fazer uma divisão por 1000.
Ex : 1 m3 = 0,001 dam3
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Litro
O litro( l ) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm3.
1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros
1 litro = 1 dm3
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1 litro = 1.000 cm3
1 litro = 1.000.000 mm3
Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A
unidade fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as
unidades secundárias, que são expressas através da adição de um prefixo ao nome
correspondente à unidade principal, de acordo com a proporção da medida.
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Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com
motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.
Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma
outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
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2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,
se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade
(Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma
outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
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Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5
horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término
(dias)
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo
para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de
mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem:
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Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número
de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na
1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª
coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.
Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
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Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto
a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo
necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente
proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
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Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair
5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir
um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando
9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a
uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta:
10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com
90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20
centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025
metros.
Exercícios de regra de três simples e composta
As respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de
trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá
podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão
necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para
atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes
?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg
dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas
serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá
em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais
necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá
em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
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10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos
litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo
levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54
dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de
forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto
ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o
lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades
diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35
m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade
permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de
30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por
24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-
Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de
música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas
estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos
diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que
cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que
tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova
fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse
mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio
?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80
cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de
12 m ?
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25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação
ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no
mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a
quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento.
Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual
será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem
40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m
de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam
usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a
212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos,
uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a
temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
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Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente
entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o
número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)
Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças
e rapazes.
Lendo Razões
Termos de uma Razão
Grandezas Especiais
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um
segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos
calcular a escala deste mapa.
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As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto.
(observe que neste caso as unidades são diferentes)
Exemplo:
Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro.
Velocidade= 320/4 = 80
Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.
Exemplo:
O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800
habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
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Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.
Observe que o conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1
Dizemos que as razões são inversas.
Proporções - Introdução
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu
cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que
a igualdade é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
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Questões
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Assunto: Razão e proporção.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de
comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
Resolução:
Escala: 1
20
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Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1 = 500 / 20 =
20
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do
desenho será 25 cm.
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se
o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa
quantas moças ficariam sem par ?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por
Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x 5
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45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças
que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma
professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
Assunto: Regra de três
Resolução:
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1 copo ---------------> 250 ml
48 copos ------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
1x = 48 x 250
X = 12000 ml
Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a
alternativa correta é a letra “a” = 12,00
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4
segundos, o disco dá :
a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas
Assunto: Regra de três
Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.
Resolução:
60 s ---------------> 45 voltas
4 s ----------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
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60x = 45 x 5
60x = 180
X = 180/60
X = 3 voltas
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
6) Do meu salário líquido dedico:
25% ao aluguel,
30% à alimentação,
5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que
meu salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
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e) R$ 650,00
Assunto: Porcentagem e regra de três
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X -------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.
7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado
tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a
porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5%
Assunto: Regra de três e noção de porcentagem
Resolução:
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Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
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23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma
sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o
número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente
evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1,
2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a
partir do primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-
1 ...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado
enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)n-1
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula,
obtemos:
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é
aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no
momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se
somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões
geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um
mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r >
0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão
crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão
negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez
com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor
absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a
velocidade de crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros
termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
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Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a
fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições,
podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula
anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo
na fórmula, vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
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Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo
retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também
dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do
Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade
já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas
por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito
simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a
trigonometria se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte,
o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma
montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele
demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
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Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede
noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos
medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois
ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são
dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo
reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os
catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto Cathetós:
(perpendicular)
Hipotenusa Hypoteinusa:
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa
A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao
ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto,
indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C,
indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
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Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos
no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e
trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e
minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos
agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade
num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que
este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas
no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura
(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura
relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à
base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB,
indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
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3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra
que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as
projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas
por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média
geométrica.
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Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo
ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A
será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando
c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
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Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
seno sen(x)
medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cosseno cos(x)
medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangente tan(x)
medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então
o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o
seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão
entre seno e cosseno desse ângulo.
sen(x)=
CO
H
=
CO
1
cos(x)=
CA
H
=
CA
1
tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante
relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
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PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns
exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o
total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exemplos:
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Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por
diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou
Lucro
Fator de
Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
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Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de
Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
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O que é o Teorema de Pitágoras?
O teorema diz basicamente o seguinte: A soma do quadrado dos catetos é igual ao
quadrado hipotenusa. Contudo, o que é hipotenusa e o que é cateto?
O lado em vermelho representa a hipotenusa, e os dois lados em azul são os
catetos.
Portanto, a fórmula fica da seguinte forma:
Como resolver exercícios
É importante ter em mente que o Teorema de Pitágoras se aplica apenas quando
temos um triângulo retângulo.
Vamos resolver o problema abaixo:
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10²= x² + 6²
100= x² + 36
-x²= -100 + 36
x²= 64
x=√64
x=8
Exercícios resolvidos
Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras", observas-te como se
enuncia o teorema. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do
mesmo e em seguida, irás resolver alguns exercícios propostos numa
ficha.
Exemplo 1:
Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo,
indica, justificando, aqueles que são rectângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de
Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos
triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)
logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.
b)
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logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)
b)
Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
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Exemplo 3:
Calcula as áreas das seguintes figuras.
a)
b)
Resolução:
a)
b)
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Exemplo 4:
a) Qual era a altura do poste?
Resolução:
h = 4 + 5 = 9
Resposta: A altura do poste era de 9 m.
b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
Resolução:
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Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:
265 cm = 2,65 m.
Exercício 5:
O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do balancé?
Resolução do exercício 5:
Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um
ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.
Então vem:
1,8 m = 180 cm
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Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é,
1,9 m.
Exercício 6:
A figura representa um barco à vela.
6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
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Números Inteiros
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos
números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este
conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode
ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Subconjuntos notáveis de Z
Z + = {0,1,2,3,4,...} Inteiros não negativos
Z - = { ..., - 3, -2, -1, 0} Inteiros não positivos
Z+* = {1,2,3,4,...} Inteiros positivos
Z-* = {...,-3,-2,-1} Inteiros negativos
Ausência do zero nos dois últimos e presença nos dois primeiros é por que são
nulos
Módulo (ou valor absoluto)
{+5} = 5 {-8}= 8
Adição
(- 5) + (-8) = -5-8 = -13
(+5) + (-8) = +5-8=-3
(-5) + (+8)= -5+8= +3
Simétrico (oposto)
Simétrico de X → - x → - x + x = 0
O Simétrico de – 3 é + 3 → (-3) + (+3) = 0
O Simétrico de 0 é 0 → 0 +0 = 0
Exemplo: a figura mostra a distância da escola a casa e papelaria
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Subtração:
(+5) – (-8) = + 5 + 8 = +13
(-5) –(+8)= -5 - 8 = -13
Multiplicação
Sinais Iguais → (+) sempre positivos
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(+5) x (+8) =+40
(- 5) x (- 8) = +40
Sinais contrários → ( - ) sempre negativo
(+5) x ( - 8) = - 40
(- 5) x (+ 8) = - 40
Comparação de números inteiros
˂ Menor que
˃ Maior que
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NÚMEROS FRACIONARIOS E DECIMAIS
Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem
utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais
difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo
eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e
demarcavam os terrenos.
Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos
casos, principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que
não fossem apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários
ou racionais.
Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a
fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por
b com o símbolo a : b ou, ainda a/b
Chamamos o símbolo a/b de fração.
Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2
Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador
Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.
Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.
Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. Logo ¾ não é
um número natural. A fração envolve a ideia de alguma coisa que foi dividida em
partes iguais.
Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate Agenor
comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?
Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;
Agenor comeu ¾ , portanto sobrou ¼
LEITURA DE UMA FRAÇÃO
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores
2,3,4,5,6,7,8,9
½ um meio
¼ um quarto
1/6 um sexto
1/8 um oitavo
2/5 dois quintos
9/8 nove oitavos
1/3 um terço
1/5 um quinto
1/7 um sétimo
1/9 um nono
4/9 quatro nonos
16/9 dezesseis nonos
as que tem denominadores 10, 100, 1000, etc.............
1/10 um décimo
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo
7/100 sete centésimos
as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos :
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1/11 um onze avos
7/120 sete cento e vinte avos
4/13 quatro treze avos
1/300 um trezentos avos
5/19 cinco dezenove avos
6/220 seis duzentos e vinte avos
EXERCÍCIOS
1) indique as divisões em forma de fração:
a) 14 : 7 =
b) 18 : 8 =
c) 5 : 1 =
d) 15 : 5 =
e) 18 : 9 =
f) 64 : 8 =
2) Calcule o quociente das divisões
a) 12/3 =
b) 42/21 =
c) 8/4 =
d) 100/10 =
e) 56/7 =
f) 64/8 =
3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6
a) Em quantas partes o todo foi dividido?
b) Quantas partes do todo foram consideradas?
4) Escreva como se lêem as seguintes frações:
a) 5/8
b) 9/10
c) 1/5
d) 4/200
e) 7/1000
f) 6/32
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.
Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do
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denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7
EXERCÍCIO
1) Classifique as frações em própria, imprópria ou aparente:
a) 8/9
b) 10/10
c) 26/13
d) 10/20
e) 37/19
f) 100/400
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele
comeu?
Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que
Cláudio comeu 2/4 da pizza.
A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração
equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma
de fração de denominadores iguais
Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
c) 3/5 – 1/5 = 2/5
Exercícios
1) Efetue as adições
a) 3/6 + 2/6 =
b) 13/7 + 1/7 =
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 =
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d) 4/10 + 1/10 + 3/10 =
e) 5/6 + 1/6 =
f) 8/6 + 6/6 =
g) 3/5 + 1/5 =
2) Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 =
b) 9/5 -2/5 =
c) 2/3 – 1/3 =
d) 8/3 – 2/3 =
e) 5/6 – 1/6 =
f) 5/5 – 2/5 =
g) 5/7 – 2/7 =
3) Efetue as operações:
a) 5/4 + ¾ - ¼ =
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 =
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 =
e) 1/8 + 9/8 -3/8=
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 =
2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma
de fração de denominadores diferentes
conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos
denominadores .
exemplo:
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ---2 . 3 = 6
b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12
3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12
Exercícios
1) Efetue as adições:
a) 1/3 + 1/5 =
b) ¾ + ½ =
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c) 2/4 + 2/3 =
d) 2/5 + 3/10 =
e) 5/3 + 1/6 =
f) ¼ + 2/3 + ½ =
g) ½ + 1/7 + 5/7 =
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 =
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 =
j) 1/3 + 5/6 + ¾ =
k) ½ + 1/3 + 1/6 =
l) 10 + 1/8 + ¾ =
m) 1/3 + 3/5 =
n) ¾ + 6/7 =
o) 5/7 + ½ =
p) ½ + 1/3 =
q) 3/14 + 3/7 =
r) 3/5 + ¾ + ½ =
s) 1/12 + 5/6 + ¾ =
t) 8 + 1/5 + 4/5 =
2) Efetue as subtrações
a) 5/4 – ½ =
b) 3/5 – 2/7 =
c) 8/10 – 1/5 =
d) 5/6 – 2/3 =
e) 4/3 – ½ =
f) 13/4 – 5/6 =
g) 7/8 – 1/6 =
h) 4/5 – 1/3 =
i) 3/5 – ¼ =
j) 10/11 – ½ =
l) 6/4 – 2/3 =
m) 5/8 – ½ =
n) 4/5 – ¼ =
o) ¾ - 5/8 =
p) 9/11 – ½ =
q) 7 – 2/3 =
r) 4/2 - 2/3 =
s) 3/2 - 2/3 =
t) 1/2 - 1/3 =
u) 3/2 - 1/4 =
3) Efetue
a) 2 + 5/3 =
b) 7 + ½ =
c) 3/5 + 4 =
d) 6/7 + 1 =
e) 8 + 7/9 =
f) 5 – ¾ =
g) 2 – ½ =
h) 7/2 – 3 =
i) 11/2 – 3 =
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j) 7/4 – 1 =
l) ½ - 1/3 =
m) ½ + ¼ =
n) 1 + 1/5 =
o) 1 – 1/5 =
4) Calcule o valor das expressões:
a) 3/5 + ½ - 2/4 =
b) 2/3 + 5/6 – ¼ =
c) 4/5 – ½ + ¾ =
d) 5/7 – 1/3 + ½ =
e) 1/3 + ½ - ¼ =
f) ¾ - ½ + 1/3 =
g) 5/6 – ½ + 2/3 =
h) 4/5 – ¾ + ½ =
i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 =
j) 6/5 – ¾ + ½ - 2/3 =
l) 1/6 + 5/4 + 2/3 =
MULTIPLICAÇÃO
Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15
Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) ½ x 8/8 =
b) 4/7 x 2/5 =
c) 5/3 x 2/7 =
d) 3/7 x 1/5 =
e) 1/8 x 1/9 =
f) 7/5 x 2/3 =
g) 3/5 x ½ =
h) 7/8 x 3/2 =
i) 1/3 x 5/6 =
j) 2/5 x 8/7 =
k) 7/6 x 7/6 =
l) 3/7 x 5/2 =
m) 3/10 x 5/9 =
n) 2/3 x ¼ x 5/2 =
o) 7 x ½ x 1/3 =
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2) Efetue as multiplicações
a) 4/3 x ½ x 2/5 =
b) 1/5 x ¾ x 5/3 =
c) ½ x 3/7 x 1/5 =
d) 3/2 x 5/8 x ¼ =
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 =
3) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 =
b) 3 x 2/5 =
c) 1/8 x 5 =
d) 6/7 x 3 =
e) 2 x 2/3 x 1/7 =
f) 2/5 x 3 x 4/8 =
g) 5 x 2/3 x 7 =
h) 7/5 x 2 x 4 =
i) 8 x 2/3 =
j) 5/9 x 0/6 =
k) 1/7 x 40 =
l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 =
m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 =
DIVISÃO
Vamos calcular ½ : 1/6
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa
da segunda
Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3
Exemplos:
a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28
Exercícios
1) Efetue as divisões
a) ¾ : 2/5 =
b) 5/7 : 2/3 =
c) 4/5 : 3/7 =
d) 2/9 : 7/8 =
e) 1/6 : 5/3 =
f) 7/8 : ¾ =
g) 8/7 : 9/3 =
h) 4/5 : 2/5 =
i) 5/8 : ¾ =
j) 2/9 : 4/7 =
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2) Efetue as divisões :
a) 5 : 2/3 =
b) 4 : 1/7 =
c) 8/9 : 5 =
d) 3/7 : 3 =
e) 7/3 : 4/7 =
f) 2/3 : ½ =
g) 4/5 : 2/3 =
h) 2/7 : 5/3 =
i) 3/7 : 2 =
j) 3/2 : 5/7 =
k) 3/8 : 4/7 =
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Elimine os parênteses
a) -(+5) =
b) -(-2) =
c) - (+4) =
d) -(-7) =
e) -(+12) =
f) -(-15) =
g) -(-42) =
h) -(+56) =
2) Calcule:
a) (+7) - (+3) =
b) (+5) - (-2) =
c) (-3) - ( +8) =
d) (-1) -(-4) =
e) (+3) - (+8) =
f) (+9) - (+9) =
g) (-8) - ( +5) =
h) (+5) - (-6) =
i) (-2) - (-4) =
j) (-7) - (-8) =
l) (+4) -(+4) =
m) (-3) - ( +2) =
n) -7 + 6 =
o) -8 -7 =
p) 10 -2 =
q) 7 -13 =
r) -1 -0 =
s) 16 - 20 =
t) -18 -9 =
u) 5 - 45 =
v) -15 -7 =
x) -8 +12 =
z) -32 -18 =
3) Calcule:
a) 7 - (-2) =
b) 7 - (+2) =
c) 2 - (-9) =
d) -5 - (-1) =
e) -5 -(+1) =
f) -4 - (+3) =
g) 8 - (-5) =
h) 7 - (+4) =
i) 26 - 45 =
j) -72 -72 =
l) -84 + 84 =
m) -10 -100 =
n) -2 -4 -1 =
o) -8 +6 -1 =
p) 12-7 + 3 =
q) 4 + 13 - 21 =
r) -8 +8 + 1 =
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s) -7 + 6 + 9 =
t) -5 -3 -4 - 1 =
u) +10 - 43 -17 =
v) -6 -6 + 73 =
x) -30 +30 - 40 =
z) -60 - 18 +50 =
4) Calcule:
a) (-4) -(-2)+(-6) =
b) (-7)-(-5)+(-8) =
c) (+7)-(-6)-(-8) =
d) (-8) + (-6) -(+3) =
e) (-4) + (-3) - (+6) =
f) 20 - (-6) - (-8) =
g) 5 - 6 - (+7) + 1 =
h) -10 - (-3) - (-4) =
i) (+5) + (-8) =
j) (-2) - (-3) =
l) (-3) -(-9) =
m) (-7) - (-8) =
n) (-8) + (-6) - (-7) =
o) (-4) + (-6) + (-3) =
p) 15 -(-3) - (-1) =
q) 32 - (+1) -(-5) =
5) Calcule:
a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) =
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) =
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) =
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) =
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) =
f) 9 - (-7) -11 =
g) -2 + (-1) -6 =
h) -(+7) -4 -12 =
i) 15 -(+9) -(-2) =
j) -25 - ( -5) -30 =
l) -50 - (+7) -43 =
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) =
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) =
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 =
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 =
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) =
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 =
ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES
1) parênteses precedidos pelo sinal +
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os
sinais dos números contidos nesses parênteses.
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exemplo
a) + (-4 + 5) = -4 + 5
b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7
2) Parênteses precedidos pelo sinal -
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os
sinais dos números contidos nesses parênteses.
exemplo
a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3
b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1
EXERCICIOS
1) Elimine os parênteses:
a) +(-3 +8) =
b) -(-3 + 8) =
c) +(5 - 6) =
d) -(-3-1) =
e) -(-6 + 4 - 1) =
f) +(-3 -2 -1) =
g) -(4 -6 +8) =
h) + (2 + 5 - 1) =
2) Elimine os parênteses e calcule:
a) + 5 + ( 7 - 3) =
b) 8 - (-2-1) =
c) -6 - (-3 +2) =
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) =
e) 30 - (6 - 1 +7) =
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) =
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) =
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) =
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) =
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) =
3) Calcule:
a) 10 - ( 15 + 25) =
b) 1 - (25 -18) =
c) 40 -18 - ( 10 +12) =
d) (2 - 7) - (8 -13) =
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 =
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 =
g) -32 -1 - ( -12 + 14) =
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) =
i) -(+4-6) + (2 - 3) =
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 =
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Disciplina: Matemática instrumental
Exercícios de revisão
Adição
6683
4172
5441
1514
5689
108
9108
880
5432
6936
6168
5848
8799
6265
11
6613
Subtração
1262
4990
5788
3786
219
3632
3571
341
7445
4344
100
3959
2679
126
89
673
9603
1290
3459
2345
8869
2343
1023
5435
Multiplicação
63 x 4=
60x94=
70x83=
60x91=
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13x13=
61x81=
67x11=
30x96=
45x89=
8765x6785=
345436x7866=
8987x765=
Divisão
885 / 295=
429 /143=
536 / 268 =
660 / 220=
256 / 64=
648 / 54 =
910 / 70=
998 /1=
750 /30=
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 – Calcule:
2 – Calcule:
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
Questões
1 – José depositou em sua conta bancária as importâncias de R$ 300,00 e R$
200,00. Posteriormente, retirou R$ 350,00 e R$ 250,00. O saldo de sua conta
corrente representado com números relativos é de quanto?
2 – Uma pessoa tem R$ 500,00 na sua conta bancária e faz, sucessivamente, as
seguintes operações bancárias:
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Coloca R$ 200,00
Retira R$ 900,00
Coloca R$ 600,00
Retira R$ 700,00
Qual é o seu saldo final?
Multiplicação e divisão em Z
1 – Calcule os seguintes produtos:
a) ( (
b) ( (
c) ( (
d) ( (
e) ( ( (
f) ( ( (
2 – Calcule o valor das expressões:
a)
b) (
c) (
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d) ( (
e) ( (
f) ( (
3 – Calcule:
a) ( (
b) ( (
c) ( (
d) ( (
e) ( (
f) ( (