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Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Desenho Técnico

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Muitas vezes palavras e gestos não são suficientes para explicar o que temos na

cabeça. Tem horas que a melhor maneira de conseguirmos fazer uma

representação do que temos em mente é utilizando o desenho.

Com isso podemos afirmar que o desenho é também uma forma de representar

ideias e de se comunicar.

Desde épocas muito antigas, o desenho é utilizado como forma de comunicação.

Sabemos da existência de desenhos desde a Pré-história.

DESENHO ARTÍSTICO E DESENHO TÉCNICO

Qual a diferença?

No Desenho Artístico, os artistas transmitem suas ideias e sentimentos, cada um

ao seu modo, dependendo do gosto e sensibilidade de quem o criou, depois cada

observador interpreta o desenho ou obra a sua maneira.

Mulher Chorando - Picasso



Já o Desenho Técnico deve transmitir com exatidão todas as características do

que foi desenhado, pois ele deve ser interpretado da mesma maneira, por qualquer

profissional da área.

Para isso, os Desenhos Técnicos devem seguir Normas Técnicas específicas, ou

seja, devem ser normatizados, para que possam ser interpretados com facilidade.

No Brasil, a entidade responsável pelas Normas Técnicas é a ABNT (Associação

Brasileira de Normas Técnicas).

O Desenho Técnico é considerado como uma área especializada do desenho, e é

caracterizado por sua normatização (como visto acima) e pela apropriação que ele

faz das regras da Geometria Descritiva que veremos mais para frente.

Em todos os Desenhos Técnicos, independente de qual área seja como:

Arquitetura, Marcenaria ou Mecânica, as representações são feitas por meio de

traços, símbolos, números e indicações escritas, tudo de acordo com as Normas

Técnicas.

MODALIDADES DO DESENHO TÉCNICO

Como afirmado anteriormente, para cada área de trabalho existe uma

especialização de Desenho Técnico, normalmente envolvendo normatizações

específicas.

Alguns exemplos são os que se seguem:

Desenho Arquitetônico: Voltado para projetos de arquitetura, desenho urbano,

paisagístico, etc.



Desenho Mecânico: Voltado para projetos de

máquinas, motores, peças mecânicas, etc.

O tipo de Desenho Técnico que aprenderemos é o

Desenho Técnico Mecânico Manualístico, que é o

desenho feito de forma manual com o uso de

instrumentos tradicionais como lapiseiras, par de

esquadros, régua, borracha e etc.

Este tipo de Desenho Técnico está baseado nos

Princípios da Projeção Ortográfica também

conhecida como Projeção Ortogonal, princípios esses

que veremos em breve, e que tiveram o início do seu

desenvolvimento no Século XVII através do

matemático francês GASPAR MONGE, que é

considerado o pai da Geometria Descritiva.

Antes de GASPAR MONGE, os métodos de representação gáfica que existiam, não

conseguiam passar a idéia completa da forma dos objetos, mas com MONGE tudo

mudou pois ele criou um método que permitiu representar com total precisão as

dimensões do objeto desenhado, e o que é funadmental, é que esta representação

é feita em uma superfície plana que é a folha de papel que só tem duas dimensões.

REVISÃO

Desenho é uma forma de representar ideias.

Desenho Artístico é diferente de Desenho Técnico.

Desenho Técnico precisa obedecer Normas Técnicas.

SEGUNDA PARTE

FORMAS GEOMÉTRICAS

Basta olhamos à nossa volta para percebermos que estamos rodeados de objetos

que tem formas geométricas:

Gaspar Monge

Janela

Lâmpada

Lousa

Pneu



RECORDANDO A GEOMETRIA FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTARES

O PONTO

A marca deixada por uma ponta de lápis quando pressionada a um papel é um

Ponto.

O Ponto é a Figura Geométrica mais simples que existe. Ele não tem dimensão,

pois não tem comprimento, largura e altura.

No desenho, o Ponto é determindo pelo cruzamento de duas linhas.

Para identificar um Ponto em um desenho, utilizamos “letras maíusculas” do nosso

alfabeto, como por exemplo:

ponto A ponto B ponto C

LINHA

É a união de Pontos, ou seja, é a sucessão de vários Pontos. Pode-se considerá-la

como um conjunto infinito de Pontos colocados um ao lado do outro como os

gomos de uma corrente de bicicleta.

Linha também pode ser entendida como um deslocamento de um Ponto, o rastro

que ele deixa é uma Linha.

Desta maneira podemos concluir que a Linha só tem uma dimensão: o

comprimento.

A Linha pode ser curva ou reta.

Esticando uma Linha nós temos uma Linha Reta, mais conhecida como Reta.



RETA

Linha Reta ou simplesmente Reta, não tem início ou fim: ela é ilimitada, por isso

as mesmas possuem setas em suas extremidades indicando que a Reta continua

infinitamente nos dois sentidos.

Toda a Reta deve ser identificada por uma “letra minúscula” do nosso alfabeto.

SEMI-RETA

Tomando um Ponto qualquer de uma Reta, dividimos a mesma em duas partes,

temos com isso duas Semi-retas.

A Semi-reta sempre tem um ponto de origem mas nunca tem um fim.

SEGMENTO DE RETA

Tomando dois Pontos distintos sobre uma Reta, obtemos um pedaço limitado de

Reta. A esse pedaço de Reta limitado por dois Pontos damos o nome de

Segmento de Reta.

Os Pontos dos Segmentos de Reta são chamados de extremidades.

Os Pontos B e C (extremidades) determinam o Segmento de Reta .



PLANO

Podemos ter uma idéia do que é um Plano observando uma parede ou um tampo

de mesa.

Outra maneira de imaginar um Plano é se colocar um conjunto de Retas uma ao

lado da outra, porém todas na mesma direção.

Também dá para imaginar um Plano, como o deslocamento de uma Reta em uma

mesma direção.

O Plano é ilimitado, isto é, não tem começo nem fim, apesar disso, no desenho,

costuma-se representá-lo delimitando-o por linhas fechadas.

Para identificar o Plano utilizamos “letras gregas”.

O Plano tem duas dimensões: comprimento e largura.

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Uma Figura é Plana, quando seus pontos situam-se no mesmo Plano.

Obs: As Figuras Planas com três ou mais lados, são chamadas de Polígonos.



SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Como foi explicado anteriormente, todos os pontos de uma Figura Plana

localizam-se no mesmo Plano. Quando uma Figura Geométrica tem pontos

situados em diferentes Planos, temos um Sólido Geométrico.

Analisando a ilustração a seguir, entenderemos bem a diferença entre Figura

Plana e Sólido Geométrico.

FIGURA GEOMÉTRICA SÓLIDO GEOMÉTRICO

TIPOS DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS COM SUPERFÍCIES PLANAS

PRISMAS

Prisma é um Sólido Geométrico limitado por Polígonos.

Pode-se imaginá-lo como uma pilha de polígonos iguais muito próximos uns dos

outros, como mostra a ilustração:

O prisma pode também ser imaginado como o resultado do deslocamento de um

polígono:



O sólido geométrico é constituído de vários elementos. Para quem lida com

desenho técnico é muito importante conhecê-los bem. Vejamos:

Note que a base do Prisma tem a forma de um retângulo. Por isso ele recebe o

nome de Prisma Retangular.

O Prisma que apresenta as seis faces formadas por quadrados iguais é conhecido

como Cubo.

Exemplos de Prismas:



PIRÂMIDES

É também um Sólido Geométrico limitado por Polígonos.

Pode ser imaginado como o resultado do empilhamento de semelhantes Polígonos,

porém de tamanhos cada vez menores.

É importante conhecer também os elementos da Pirâmide:

Exemplos de Pirâmides:

http://2.bp.blogspot.com/_HlTYx-4U23Y/TVHnT0zht9I/AAAAAAAAAQk/hMB82ngxdkU/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.gif



SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Alguns sólidos geométricos, chamados sólidos de revolução, podem ser formados

pela rotação de figuras planas em torno de um eixo. Rotação significa ação de

rodar, dar uma volta completa. A figura plana que dá origem ao sólido de revolução

chama-se figura geradora. A linha que gira ao redor do eixo formando a superfície

de revolução é chamada linha geratriz.

O cilindro, o cone e a esfera são os principais sólidos de revolução.

CILINDRO

Sólido Geométrico que pode ser imaginado como resultado da rotação de um

Retângulo.

CONE


Triângulo Retângulo.

ESFERA


Semicírculo.



SÓLIDOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS

São chamados de Sólidos Geométricos Truncados os Sólidos que foram cortados

em um Plano.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS VAZADOS

São chamados Sólidos Geométricos Vazados os Sólidos que apresentam partes

ocas.

http://2.bp.blogspot.com/_HlTYx-4U23Y/TVHpGJNBngI/AAAAAAAAAQw/7j12E6-EFpI/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.gif



COMPARANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS COM OBJETOS DA MECÂNICA

Há casos em que os objetos têm formas compostas ou apresentam vários

elementos. Nesses casos, para entender melhor como esses objetos se relacionam

com os sólidos geométricos, é necessário decompô-los em partes mais simples.

Analise cuidadosamente os próximos exemplos. Assim, você aprenderá a enxergar

formas geométricas nos mais variados objetos.

Examine este rebite de cabeça redonda:

Imaginando o rebite decomposto em partes mais simples, você verá que ele é

formado por um cilindro e uma calota esférica (esfera truncada).



EXERCÍCIOS

Escreva o nome destes sólidos geométricos, nos espaços indicados.

Ligue cada sólido geométrico à figura plana que lhe deu origem:

Observe a guia representada a seguir e assinale com um X os sólidos geométricos

que a compõem.

Escreva o nome dos sólidos geométricos em que pode ser decomposto da peça

abaixo:



Que sólido geométrico foi retirado deste bloco em forma de prisma retangular?

REVISÃO:

Figuras Geométricas Elementares: Ponto, Reta.

Figuras Geométricas Planas: Cilindro, Quadrado, Triângulo.

Sólidos Geométricos Planos: Prisma Triangular, Prisma Retangular, Cubo.

Sólidos Geométricos com Superfícies Curvas: Cone, Esfera.

Sólidos Geométricos Truncados: Sólido que foi cortado em um Plano.

Sólidos Geométricos Vazados: Sólido que apresenta partes ocas.

CLASSIFICAÇÃO E EMPREGO DAS LINHAS

As linhas empregadas no Desenho Técnico dividem-se em: Grossa, Média e Fina,

sendo uma a metade da espessura da outra.



Normas Básicas para o traçado das linhas:

1) Deve ser mantida a espessura da linha determinada.

2) As linhas contínuas não devem ultrapassar e nem deixar de encontrar a outra

linha contínua que lhe for perpendicular.

3) As linhas tracejadas devem possuir seus traços iguais e eqüidistantes.

Certo errado

4) Se duas ou mais linhas tracejadas possuem um vértice comum, elas devem

se encontrar nesse ponto. Caso não possuam pontos em comum, devem ser

interrompidas no cruzamento.

5) Toda linha traço-ponto deve começar e terminar por uma reta.

6) Quando duas ou mais linhas paralelas estão próximas, devem ser evitados

traços iguais lado a lado. Deve-se alterar ligeiramente esse posicionamento.

certo errado

7) Se uma linha contínua for limite de uma tracejada, esta deve tocá-la. No

caso de cruzamento, a linha tracejada não toca a contínua.



ESPESSURAS E DUREZAS DAS GRAFITAS OU DA GRAFITE

ESPESSURAS

DUREZAS

MUITO DURO MACIO MUITO MACIO

A Grafita ou a grafite é uma forma alotrópica do carbono.

H: Hard (Mina Dura)

B: Black (Mina Mole)

Mina: Mistura da Gratite (ou da Grafita), Barro e Água.

POSICIONAMENTO CORRETO DO LÁPIS / LAPISEIRA NA RÉGUA



PROCESSO PARA TRAÇAR PRALELAS A UM SEGMENTO DE RETA

1° passo:

Posicionar um dos

esquadros

alinhando ao

segmento e firmá-

lo.

2° passo:

Posicionar o outro

esquadro em um

das laterais do

anterior de modo a

deixar a reta

descoberta.

3° passo:

Firmar o segundo

esquadro e mover o

primeiro para cima

e para baixo,

sempre apoiado no

outro, traçando as

paralelas.



PROCESSO PARA TRAÇAR PERPENDICULARES A UM SEGMENTO DE RETA

1° passo:

Posicionar um dos esquadros

alinhando ao segmento e firmá-

lo.

2° passo:

Posicionar o outro esquadro em

um das laterais do anterior de

modo a deixar a reta

descoberta.

3° passo:

Firmar o segundo esquadro e

mover o primeiro para

baixo,apoiado no outro,

deixando o desenho livre..

4° passo:

Firmar o esquadro paralelo ao

segmento, retirar o segundo da

lateral e posicioná-lo sobre o

primeiro, formando um ângulo

reto (90°).

Movimentando o esquadro

superior para as laterais,

sempre apoiado no inferior,

traçamos as perpendiculares.



Exercícios



CALIGRAFIA TÉCNICA

A Caligrafia Técnica surgiu como uma necessidade para a padronização da

linguagem escrita, a fim de facilitar a comunicação entre os profissionais da área.

Esse tipo de caligrafia é simples e composto por caracteres sóbrios para que a

comunicação seja fácil e precisa.

As letras e os algarismos usados em legendas ou anotações podem ser verticais ou

inclinados (75° a esquerda), seguindo um único estilo adotado (vertical ou

inclinado).

Para se garantir uma uniformidade nas alturas das letras, deve-se traçar antes de

iniciar o letreiro, duas linhas auxiliares (finas e fracas), limitando a parte superior e

inferior das letras.

Exercício de caligrafia técnica

Escrever nas linhas abaixo as letras do nosso abecedário utilizando o padrão do tipo

vertical e inclinada:



Formato dos papéis

Os papéis a serem utilizados em desenho técnico deverão corresponder a um dos

formatos da ABNT. Todos os formatos desta série que iremos conhecer derivam do

formato A0, que possui as dimensões de 841 x 1189 mm (que tem área igual a

1,00 m²). Assim sendo, ao dividir-se ao meio o maior lado de um formato,

encontra-se o formato imediatamente abaixo.

PROJEÇÃO ORTOGÁFICA

A projeção ortográfica ou projeção ortogonal é uma forma de representar

graficamente objetos tridimensionais em superfícies planas, de modo a transmitir

suas características com precisão e demonstrar sua verdadeira grandeza.

Os métodos de representação de um objeto em uma superfície plana são

fundamentalmente três:

a) Projeção ortogonal;

b) Projeção axonométrica e oblíqua;

c) Perspectiva cônica.

Em desenho técnico mecânico, utiliza-se quase sempre as projeções ortográficas.



Projeção ortogonal

Na projeção ortogonal, o sólido a ser projetado tem contornos que são paralelos e

perpendiculares ao plano de projeções.

Projeção axonométrica ortogonal

Nesta projeção, o sólido não possui contornos nem paralelos nem perpendiculares

ao plano de projeção. As projetantes são perpendiculares ao plano de projeção e

oblíquas em relação ao sólido.

Projeção oblíqua

Na projeção oblíqua, o sólido tem contornos que são paralelos e perpendiculares ao

plano de projeção. As projetantes são oblíquas em relação ao plano de projeção.

PROJEÇÃO ORTOGÁFICA

É o método que tem como objetivo, mostrar as três dimensões de um objeto na

sua forma e medida exata.

Para entender bem como é feita a projeção ortográfica você precisa conhecer

três elementos: o modelo, o observador e o plano de projeção.



Modelo

É o objeto a ser representado em projeção ortográfica. Qualquer objeto pode

ser tomado como modelo: uma figura geométrica, um sólido geométrico, uma

peça de máquina ou mesmo um conjunto de peças.

Veja alguns exemplos de modelos:

Observador

É a pessoa que vê, analisa, imagina ou desenha o modelo.

Para representar o modelo em projeção ortográfica, o observador deve analisá-lo

cuidadosamente em várias posições.

As ilustrações a seguir mostram o observador vendo o modelo de frente, de cima e

de lado.

Em projeção ortográfica deve-se imaginar o observador localizado a uma distância

infinita do modelo. Por essa razão, apenas a direção de onde o observador está

vendo o modelo será indicada por uma seta, como mostra a ilustração abaixo:



Plano de projeção

É a superfície onde se projeta o modelo. A tela de cinema é um bom exemplo

de plano de projeção:

Os planos de projeção podem ocupar várias posições no espaço.

Em desenho técnico usamos dois planos básicos para representar as projeções de

modelos: um plano vertical e um plano horizontal que se cortam

perpendicularmente.

Esses dois planos, perpendiculares entre si, dividem o espaço em quatro regiões

chamadas diedros.

Diedros

Cada diedro é a região limitada por dois semiplanos perpendiculares entre si.

Chamaremos o semiplano vertical superior de plano vertical. O semiplano horizontal

anterior passará a ser chamado de plano horizontal.

Os diedros são numerados no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao

do movimento dos ponteiros do relógio.

Uma analogia simples ao diedro seria tentar visualizar um livro aberto tendo as

suas páginas um ângulo de 90º.

O método de representação de objetos em dois semiplanos perpendiculares entre

si, criado por Gaspar Monge, é também conhecido como método mongeano.



Atualmente, a maioria dos países que utilizam o método mongeano adotam a

projeção ortográfica no 1º diedro. No Brasil, a ABNT recomenda a representação no

1º diedro.

Entretanto, alguns países, como por exemplo os Estados Unidos e o Canadá,

representam seus desenhos técnicos no 3º diedro.

Neste curso, você estudará detalhadamente a representação no 1º diedro, como

recomenda a ABNT.

Das projeções ortogáficas surgem as seguintes conclusões:

Toda a superfície paralela a um plano

de projeção se projeta neste plano

exatamente na sua forma e em

verdadeira grandeza.

Quando uma superfície é perpendicular

ao plano de projeção, a projeção

resultante é uma linha.



As arestas resultantes das interseções

de superfícies, são representadas por

linhas.

Como utilizar as projeções ortográficas

Como os sólidos são constituídos de várias superfícies, as projeções ortográficas

são utilizadas para representar as formas tridimensionais através de figuras planas.

A projeção de um só plano (conforme figura abaixo) mostra a aplicação das

projeções ortográficas na representação de superfícies que compõem,

respectivamente, um cilindro, um paralelepípedo e um prisma de base triangular.

Pode-se observar que as projeções resultantes são constituídas de figuras iguais,

desta forma, não é possível identificar as formas espaciais representadas, pois cada

uma das projeções pode corresponder a qualquer um dos três sólidos.

Isto acontece porque a terceira dimensão de cada sólido não esta representada por

esta projeção ortográfica. Para fazer aparecer a terceira dimensão, é necessário

fazer uma segunda projeção ortogonal olhando os sólidos por outro lado.

Na figura abaixo, vemos os três sólidos anteriores sendo projetados nos planos

vertical e horizontal e fazendo-se o rebatimento do plano horizontal até a formação

de um único plano na posição vertical.



Os desenhos resultantes das

projeções nos planos vertical e

horizontal da figura ao lado, resultam

na representação do objeto visto por

lados diferentes e as projeções

resultantes, desenhadas em um único

plano, representam as mesmas

dimensões do objeto.

Na projeção feita no plano vertical, aparecem o comprimento e a altura do objeto, e

na projeção feita no plano horizontal, aparecem o comprimento e a largura do

mesmo objeto.

Assim sendo, pode-se concluir que duas vistas, apesar de representarem as três

dimensões, podem não ser suficientes para representar a forma do objeto

desenhado.

Como pôde ser visto

anteriormente (e na figura ao lado),

duas vistas podem não definir a

forma de uma peça, podendo a

projeção resultante corresponder a

formas espaciais completamente

diferentes, pois apesar de termos a

representação das três dimensões do

objeto, não se tem a garantia da

representação da forma da peça.

Desta forma se conclui que é

necessário a utilização da terceira

projeção.

Logo a utilização de um plano lateral para a obtenção de uma terceira projeção se

faz necessário.



Desdobrando



Definindo as Vistas

A projeção feita no plano frontal é considerada a principal vista e deve ser

executada de maneira a procurar mostrar a peça em sua posição de trabalho.

Esta vista também deve ser a que melhor caracterize a peça, mostrando o maior

número de detalhes.



Exercícios:

Desenhe manualmente as três vistas das peças abaixo.



Escalas

O desenho de uma peça, por diversas razões, nem sempre poderá ser executado

com as dimensões reais da mesma.

Tratando-se de uma peça grande, teremos que desenhá-la menor, conservando a

sua proporção, com igual redução de todas as medidas. Esta relação entre peça e

desenho tem o nome de escala e sempre é indicada nos desenhos.

Escala natural: ocorre quando a peça e desenhada em suas próprias dimensões, é

também conhecida como escala 1:1.

Escala de redução: é necessária quando é preciso produzir um desenho de uma

peça de tamanho grande. As normas técnicas recomendam as seguintes escalas de

redução:

1:2 1:20 1:200

1:2,5 1:25 1:250

1:5 1:50 1:500

1:10 1:100 1:1000



Escala de ampliação: utilizada para ampliar pequenas peças difíceis de interpretar

e cotar em escala natural. São empregadas principalmente as seguintes escalas de

ampliação:

2:1 100:1

5:1 200:1

10:1 500:1

20:1 1000:1

Dimensionamento

O desenho técnico, além de representar dentro de uma escala a forma

tridimensional, deve conter informações sobre as dimensões do objeto

representado.

Estas dimensões irão definir as características geométricas do objeto, dando

valores de tamanho a referida peça.

A forma mais utilizada em desenho técnico é a definição através de cotas que são

constituídas de linhas de chamada (ou linhas de aproximação), linhas de cota, setas

e valor numérico em uma determinada unidade de medida.



As cotas devem ser distribuídas pelas vistas e devem informarr todas as dimensões

necessárias para viabilizar a construção do objeto desenhado.

OBS.: Deve-se ter cuidado para não se colocar cotas desnecessárias.

As cotas devem ser colocadas de uma única vez em qualquer uma das vistas que

compõem o desenho, localizadas no local que representa mais claramente o

elemento que esta sendo cotado.

Todas as cotas de um desenho ou de um conjunto de desenhos de uma mesma

máquina ou de um mesmo equipamento devem ter os valores expressos em uma

mesma unidade de medida, sem indicação do símbolo da unidade de medida

utilizada.

OBS.: Normalmente a unidade de medida mais utilizada no desenho técnico é o

milímetro.

Quando houver necessidade

de utilizar outras unidades, além da

que esta se utilizando, o símbolo da

unidade deve ser indicado ao lado do

valor da cota.

As linhas de chamada assim

como as linhas de cota, são linhas

contínuas e feitas com traço fino.

As linhas de chamada devem

ultrapassar levemente as linhas de

cota, e também deve haver um

pequeno espaço entre a linha e o

elemento dimensionado, porém não

se pode esquecer de manter o

paralelismo entre si.

As medidas são escritas acima das linhas de cota, quando estas são horizontais ou

inclinadas; e à esquerda, quando são verticais.

OBS.: A base dos algarismos deve estar junto a linha de cota.

Quando o espaço a cotar for pequeno de modo que não permita desenhar as setas

e algarismos, as setas podem ser invertidas e colocadas exteriores à medida, na

direção da linha de cota. Os algarismos podem ser deslocados para junto da seta

direita externa ou para mais distante, desde que ligadas ao espaço medido por uma

pequena seta referencial.



Os elementos cilíndricos

sempre são dimensionados pelos seus

diâmetros e localizados pelas suas

linhas de centro conforme figura ao

lado.

Deve-se evitar colocar cotas dentro dos desenhos e principalmente cotas alinhadas

com outras figuras do desenho, conforme figura ao lado.

certo não recomendado errado

Outro cuidado que se deve ter para facilitar a interpretação do desenho é se evitar

o cruzamento de linha de cota com qualquer outra linha. As cotas de menor valor

devem ficar por dentro das cotas de maior valor, para se evitar o cruzamento de

linhas de cota com as linhas de aproximação, conforme demonstrado abaixo:

certo não recomendado



Sempre que possível, as cotas devem ser colocadas alinhadas, como por exemplo:



Símbolos convencionais de simplificação

Sinais indicativos de diâmetro e quadrado: as cotas de diâmetro e de lados de

um quadrado devem ser precedidas dos símbolos de e , respectivamente,

exceto nos casos em que o desenho esclarece, sem possibilidade de dúvidas que o

desenho representa um círculo ou um quadrado.



Exercícios:

Desenhe em folha A4 as Projeções ortogáficas das figuras abaixo e coloque as suas

dimensões:

Perspectiva Isométrica

Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As

partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes

aparentam ser menores.

A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano,

pois transmite a idéia de três dimensões: comprimento, largura e altura.

O desenho, para transmitir essa mesma idéia, precisa recorrer a um modo especial

de representação gráfica: a perspectiva. Ela representa graficamente as três

dimensões de um objeto em um único plano, de maneira a transmitir a idéia de

profundidade e relevo.

Existem diferentes tipos de perspectiva. Veja como fica a representação de um

cubo em três tipos diferentes de perspectiva:

perspectiva cônica perspectiva cavaleira perspectiva isométrica



Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito. Comparando as três formas

de representação, você pode notar que a perspectiva isométrica é a que dá a ideia

menos deformada do objeto.

Iso significa mesma; métrica significa medida. A perspectiva isométrica mantém

as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto

representado. Além disso, o traçado da perspectiva isométrica é relativamente

simples. Por essas razões, neste curso, você estudará esse tipo de perspectiva.

Em desenho técnico, é comum representar perspectivas por meio de esboços, que

são desenhos feitos rapidamente à mão livre. Os esboços são muito úteis quando

se deseja transmitir, de imediato, a idéia de um objeto.

Ângulos

Para estudar a perspectiva isométrica, precisamos saber o que é um ângulo e a

maneira como ele é representado.

Ângulo é a figura geométrica formada por duas semi-retas de mesma origem. A

medida do ângulo é dada pela abertura entre seus lados.

Uma das formas para se medir o ângulo consiste em dividir a circunferência em 360

partes iguais. Cada uma dessas partes corresponde a 1 grau (1º).

A medida em graus é indicada pelo numeral seguido do símbolo de grau.

Exemplo: 45º (lê-se: quarenta e cinco graus).



Eixos isométricos

O desenho da perspectiva isométrica é baseado num sistema de três semi-retas

que têm o mesmo ponto de origem e formam entre si três ângulos de 120°.

Veja:

Essas semi-retas, assim dispostas, recebem o nome de eixos isométricos.

Cada uma das semi-retas é um eixo isométrico.

Os eixos isométricos podem ser representados em posições variadas, mas sempre

formando, entre si, ângulos de 120°. Neste curso, os eixos isométricos serão

representados sempre na posição indicada na figura anterior.

O traçado de qualquer perspectiva isométrica parte sempre dos eixos isométricos.

Linha isométrica

Agora você vai conhecer outro elemento muito importante para o traçado da

perspectiva isométrica: as linhas isométricas.

Qualquer reta paralela a um eixo isométrico é chamada linha isométrica.

Observe a figura a seguir:

As retas r, s, t e u são linhas isométricas:

r e s são linhas isométricas porque são paralelas ao eixo y;

t é isométrica porque é paralela ao eixo z;

u é isométrica porque é paralela ao eixo x.



As linhas não paralelas aos eixos isométricos são linhas não isométricas. A

reta v, na figura abaixo, é um exemplo de linha não isométrica.

Verificando o entendimento

Analise a posição das retas p, q, r e s em relação aos eixos isométricos.

p:......................................................

q:......................................................

r:......................................................

s:......................................................

A resposta correta é: q (paralela ao eixo y) e s (paralela ao eixo x).

Papel reticulado

Você já sabe que o traçado da perspectiva é feito, em geral, por meio de esboços à

mão livre.

Para facilitar o traçado da perspectiva isométrica à mão livre, usaremos um tipo de

papel reticulado que apresenta uma rede de linhas que formam entre si ângulos de

120º. Essas linhas servem como guia para orientar o traçado do ângulo correto da

perspectiva isométrica.



Traçando a perspectiva isométrica do prisma

Para aprender o traçado da perspectiva isométrica você vai partir de um sólido

geométrico simples: o prisma retangular.

Prisma retangular

Dimensões básicas:

c = comprimento

l = largura

h = altura

O traçado da perspectiva será demonstrado em cinco fases apresentadas

separadamente. Na prática, porém, elas são traçadas em um mesmo desenho.

Aqui, essas fases estão representadas nas figuras da esquerda. Você deve repetir

as instruções no reticulado da direita. Assim, você verificará se compreendeu bem

os procedimentos e, ao mesmo tempo, poderá praticar o traçado. Em cada nova

fase você deve repetir todos os procedimentos anteriores.



1ª fase - Trace levemente, à mão livre, os eixos isométricos e indique o

comprimento, a largura e a altura sobre cada eixo, tomando como base as medidas

aproximadas do prisma representado na figura anterior.

2ª fase - A partir dos pontos onde você marcou o comprimento e a altura, trace

duas linhas isométricas que se cruzam. Assim ficará determinada a face da frente

do modelo.

3ª fase - Trace agora duas linhas isométricas que se cruzam a partir dos pontos

onde você marcou o comprimento e a largura. Assim ficará determinada a face

superior do modelo.



4ª fase - E, finalmente, você encontrará a face lateral do modelo. Para tanto,

basta traçar duas linhas isométricas a partir dos pontos onde você indicou a largura

e a altura.

5ª fase (conclusão) - Apague os excessos das linhas de construção, isto é, das

linhas e dos eixos isométricos que serviram de base para a representação do

modelo. Depois, é só reforçar os contornos da figura e está concluído o traçado da

perspectiva isométrica do prisma retangular.



Exercício 1

Escreva nas lacunas as letras que indicam as linhas isométricas do modelo

abaixo.

As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo x.

As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo y.

As linhas ............... e ............... são isométricas ao eixo z.

Perspectiva isométrica de modelos com elementos paralelos e oblíquos

Observe o modelo a seguir:

Trata-se de um prisma retangular com um elemento paralelo: o rebaixo.

O rebaixo é um elemento paralelo porque suas linhas são paralelas aos eixos

isométricos: a e d são paralelas ao eixo y; b, e e g são paralelas ao eixo x; c e f

são paralelas ao eixo z.



Perspectiva isométrica de elementos paralelos

A forma do prisma com elementos paralelos deriva do prisma retangular.

Por isso, o traçado da perspectiva do prisma com elementos paralelos parte da

perspectiva do prisma retangular ou prisma auxiliar.

Para facilitar o estudo, este traçado também será apresentado em cinco fases.

Mas lembre-se de que, na prática, toda a seqüência de fases ocorre sobre o mesmo

desenho. O traçado das cinco fases será baseado no modelo prismático indicado a

seguir:

Acompanhe as instruções:

1ª fase - Esboce a perspectiva isométrica do prisma auxiliar utilizando as

medidas do comprimento, largura e altura do prisma com rebaixo.

Um lembrete: aproveite o reticulado da direita para praticar.

2ª fase - Na face da frente, marque o comprimento e a profundidade do rebaixo e

trace as linhas isométricas que o determinam.



3ª fase - Trace as linhas isométricas que determinam a largura do rebaixo.

Note que a largura do rebaixo coincide com a largura do modelo.

4ª fase - Complete o traçado do rebaixo.

5ª fase (conclusão) - Finalmente, apague as linhas de construção e reforce os

contornos do modelo.




Este exercício o ajudará a fixar as fases do traçado da perspectiva de modelos com

elementos paralelos. Tente esboçar sozinho a perspectiva isométrica do prisma com

dois rebaixos paralelos representado a seguir.

Perspectiva isométrica de elementos oblíquos

Os modelos prismáticos também podem apresentar elementos oblíquos.

Observe os elementos dos modelos abaixo:

Esses elementos são oblíquos porque têm linhas que não são paralelas aos

eixos isométricos.

Nas figuras anteriores, os segmentos de reta: AB, CD, EF, GH, IJ, LM, NO, PQ e

RS são linhas não isométricas que formam os elementos oblíquos.

O traçado da perspectiva isométrica de modelos prismáticos com elementos

oblíquos também será demonstrado em cinco fases.

O modelo a seguir servirá de base para a demonstração do traçado. O elemento

oblíquo deste modelo chama-se chanfro.



Como o modelo é prismático, o traçado da sua perspectiva parte do prisma auxiliar.

Aproveite para praticar. Use o reticulado da direita!

1ª fase - Esboce a perspectiva isométrica do prisma auxiliar, utilizando as medidas

do comprimento, largura e altura do prisma chanfrado.

2ª fase - Marque as medidas do chanfro na face da frente e trace a linha não

isométrica que determina o elemento.



3ª fase - Trace as linhas isométricas que determinam a largura do chanfro.

4ª fase - Complete o traçado do elemento.

5ª fase - Agora é só apagar as linhas de construção e reforçar as linhas de

contorno do modelo.


Para aprender é preciso exercitar! Esboce a perspectiva do modelo prismático

abaixo obedecendo à seqüência das fases do traçado. Utilize o reticulado da direita.



Considere correto seu exercício se sua perspectiva estiver parecida com o desenho

da esquerda.

Exercício 1

Ordene as fases do traçado da perspectiva isométrica do modelo escrevendo de 1 a

5 nos círculos.

Exercício 2

Na seqüência abaixo a 3ª fase do traçado da perspectiva isométrica está

incompleta. Complete-a.



Exercícios 3

Esboce, na coluna da direita, a perspectiva isométrica do modelo representado à

esquerda.

Exercício 4

Na seqüência abaixo complete, à mão livre, o desenho da 4ª fase do traçado da

perspectiva isométrica.

Exercício 5

Ordene as fases do traçado da perspectiva isométrica, escrevendo de 1 a 5 nos

círculos.



Exercício 6

Na seqüência abaixo, desenhe as fases que faltam para chegar ao traçado completo

da perspectiva isométrica.

Perspectiva isométrica de modelos com elementos diversos

Algumas peças apresentam partes arredondadas, elementos arredondados ou

furos, como mostram os exemplos abaixo:

Mas antes de aprender o traçado da perspectiva isométrica de modelos com essas

características você precisa conhecer o traçado da perspectiva isométrica do

círculo. Dessa forma, não terá dificuldades para representar elementos circulares e

arredondados em perspectiva isométrica.

Perspectiva isométrica do círculo

Um círculo visto de frente, tem sempre a forma redonda. Entretanto, você já

observou o que acontece quando giramos o círculo?

É isso mesmo! Quando imprimimos um movimento de rotação ao círculo, ele

aparentemente muda, pois assume a forma de uma elipse.



O círculo, representado em perspectiva isométrica, tem sempre a forma parecida

com uma elipse. O próprio círculo, elementos circulares ou partes arredondadas

podem aparecer em qualquer face do modelo ou da peça e sempre serão

representados com forma elíptica.

Quadrado auxiliar

Para facilitar o traçado da perspectiva isométrica você deve fazer um quadrado

auxiliar sobre os eixos isométricos da seguinte maneira: trace os eixos isométricos

(fase a); marque o tamanho aproximado do diâmetro do círculo sobre os eixos z e

y, onde está representada a face da frente dos modelos em perspectiva

(fase b); a partir desses pontos, puxe duas linhas isométricas (fase c), conforme

mostra a ilustração abaixo:

Traçando a perspectiva isométrica do círculo

O traçado da perspectiva isométrica do círculo também será demonstrado em cinco

fases.

Não se esqueça: use o reticulado da direita para aprender e praticar!

1ª fase - Trace os eixos isométricos e o quadrado auxiliar.



2ª fase - Divida o quadrado auxiliar em quatro partes iguais.

3ª fase - Comece o traçado das linhas curvas, como mostra a ilustração.

4ª fase - Complete o traçado das linhas curvas.

5ª fase (conclusão) - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do

círculo.



Você deve seguir os mesmos procedimentos para traçar a perspectiva isométrica do

círculo em outras posições, isto é, nas faces superior e lateral.

Observe nas ilustrações a seguir que, para representar o círculo na face superior, o

quadrado auxiliar deve ser traçado entre os eixos x e y. Já para representar o

círculo na face lateral, o quadrado auxiliar deve ser traçado entre o eixo x e z.

Perspectiva isométrica de sólidos de revolução

O cone e o cilindro são sólidos de revolução que têm as bases formadas por

círculos. Portanto, o traçado da perspectiva isométrica desses sólidos parte da

perspectiva isométrica do círculo.

É importante que você aprenda a traçar esse tipo de perspectiva, pois assim será

mais fácil entender a representação, em perspectiva isométrica, de peças cônicas e

cilíndricas ou das que tenham partes com esse formato.

Traçando a perspectiva isométrica do cone

Para demonstrar o traçado da perspectiva isométrica tomaremos como base o cone

representado na posição a seguir.

Cone

h = altura

d = diâmetro

Para desenhar o cone nessa posição, devemos partir do círculo representado na

face superior.

O traçado da perspectiva isométrica do cone também será demonstrado em cinco

fases. Acompanhe as instruções e pratique no reticulado da direita.



1ª fase - Trace a perspectiva isométrica do círculo na face superior e marque um

ponto A no cruzamento das linhas que dividem o quadrado auxiliar.

2ª fase - A partir do ponto A, trace a perpendicular AB.

3ª fase - Marque, na perpendicular AB, o ponto V, que corresponde à altura

aproximada (h) do cone.

4ª fase - Ligue o ponto V ao círculo, por meio de duas linhas, como mostra a

ilustração.



5ª fase - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do cone.

Atenção: a parte não visível da aresta da base do cone deve ser representada com

linha tracejada.

Traçando a perspectiva isométrica do cilindro

O traçado da perspectiva isométrica do cilindro também será desenvolvido em cinco

fases. Para tanto, partimos da perspectiva isométrica de um prisma de base

quadrada, chamado prisma auxiliar.

A medida dos lados do quadrado da base deve ser igual ao diâmetro do círculo que

forma a base do cilindro. A altura do prisma é igual à altura do cilindro a ser

reproduzido.

O prisma de base quadrada é um elemento auxiliar de construção do

cilindro. Por essa razão, mesmo as linhas não visíveis são representadas por linhas

contínuas.

Observe atentamente as fases do traçado e repita as instruções no reticulado da

direita.

1ª fase - Trace a perspectiva isométrica do prisma auxiliar.



2ª fase - Trace as linhas que dividem os quadrados auxiliares das bases em quatro

partes iguais.

3ª fase - Trace a perspectiva isométrica do círculo nas bases superior e inferior do

prisma.

4ª fase - Ligue a perspectiva isométrica do círculo da base superior à perspectiva

isométrica do círculo da base inferior, como mostra o desenho.

5ª fase - Apague todas as linhas de construção e reforce o contorno do cilindro. A

parte invisível da aresta da base inferior deve ser representada com linha

tracejada.



Perspectiva isométrica de modelos com elementos circulares e

arredondados

Os modelos prismáticos com elementos circulares e arredondados também podem

ser considerados como derivados do prisma.

O traçado da perspectiva isométrica desses modelos também parte dos eixos

isométricos e da representação de um prisma auxiliar, que servirá como elemento

de construção.

O tamanho desse prisma depende do comprimento, da largura e da altura do

modelo a ser representado em perspectiva isométrica.

Mais uma vez, o traçado será demonstrado em cinco fases. Acompanhe

atentamente cada uma delas e aproveite para praticar no reticulado da direita.

Observe o modelo utilizado para ilustrar as fases:

Prisma com elementos arredondados

c = comprimento

l = largura

h = altura

Os elementos arredondados que aparecem no modelo têm forma de semicírculo.

Para traçar a perspectiva isométrica de semicírculos, você precisa apenas da

metade do quadrado auxiliar.

1ª fase - Trace o prisma auxiliar respeitando o comprimento, a largura e a altura

do prisma com elementos arredondados.



2ª fase - Marque, na face anterior e na face posterior, os semiquadrados que

auxiliam o traçado dos semicírculos.

3ª fase - Trace os semicírculos que determinam os elementos arredondados, na

face anterior e na face posterior do modelo.

4ª fase - Complete o traçado das faces laterais.

5ª fase - Apague as linhas de construção e reforce o contorno do traçado.

Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Introdução a Lógica de Programação



1 Introdução Nesta apostila estudaremos Lógica de Programação e, para isto, é importante ter

uma visão geral do processo de desenvolvimento de programas (softwares), visto

que o objetivo final é ter um bom embasamento para a prática da programação de

computadores [MAR03].

Para o desenvolvimento de qualquer programa, deve-se seguir basicamente as

seguintes etapas, conhecidas como Ciclo de Vida do Sistema [BUF03]:

1) Estudo da Viabilidade (Estudos Iniciais)

2) Análise detalhada do sistema (Projeto Lógico)

3) Projeto preliminar do sistema (Projeto Físico)

4) Projeto detalhado do sistema (Algoritmos)

5) Implementação ou Codificação do sistema (na Linguagem de Programação

escolhida)

6) Testes do sistema

7) Instalação e Manutenção do sistema

No desenvolvimento de um sistema, quanto mais tarde um erro é detectado, mais

dinheiro e tempo se gasta para repará-lo. Assim, a responsabilidade do

programador é maior na criação dos algoritmos do que na sua própria

implementação, pois quando bem projetados não se perde tempo tendo que refazê-

los, reimplantá-los e retestá-los, assegurando assim um final feliz e no prazo

previsto para o projeto [BUF03].

Pode-se encontrar na literatura em informática várias formas de representação das

etapas que compõem o ciclo de vida de um sistema. Essas formas de representação

podem variar tanto na quantidade de etapas quanto nas atividades a serem

realizadas em cada fase [MAR03].

Como pode-se observar, nesse exemplo de ciclo de vida de um sistema (com sete

fases) apresentado acima, os algoritmos fazem parte da quarta etapa do

desenvolvimento de um programa.

Na verdade, os algoritmos estão presentes no nosso dia-a-dia sem que saibamos,

pois uma receita culinária, as instruções de uso de um equipamento ou as

indicações de um instrutor sobre como estacionar um carro, por exemplo, nada

mais são do que algoritmos.

Um algoritmo pode ser definido como um conjunto de regras (instruções), bem

definidas, para solução de um determinado problema. Segundo o dicionário

Michaelis, o conceito de algoritmo é a "utilização de regras para definir ou executar

uma tarefa específica ou para resolver um problema específico."

A partir desses conceitos de algoritmos, pode-se perceber que a palavra algoritmo

não é um termo computacional, ou seja, não se refere apenas à área de

informática. É uma definição ampla que agora que você já sabe o que significa,

talvez a utilize no seu cotidiano normalmente.

Na informática, o algoritmo é o "projeto do programa", ou seja, antes de se fazer

um programa (software) na Linguagem de Programação desejada (Pascal, C,

Delphi, etc.) deve-se fazer o algoritmo do programa. Já um programa, é um

algoritmo escrito numa forma compreensível pelo computador (através de uma

Linguagem de Programação), onde todas as ações a serem executadas devem ser

especificadas nos mínimos detalhes e de acordo com as regras de sintaxe da

linguagem escolhida.



Sintaxe: segundo o dicionário Aurélio, é a parte da gramática que estuda a

disposição das palavras na frase e a das frases no discurso, bem como a relação

lógica das frases entre si. Cada Linguagem de Programação tem a sua sintaxe

(instruções, comandos, etc) que deve ser seguida corretamente para que o

programa funcione. O conjunto de palavras e regras que definem o formato das

sentenças válidas chama-se de sintaxe da linguagem.

Um algoritmo não é a solução de um problema, pois, se assim fosse, cada

problema teria um único algoritmo. Um algoritmo é um 'caminho' para a solução de

um problema e, em geral, existem muitos caminhos que levam a uma solução

satisfatória, ou seja, para resolver o mesmo problema pode-se obter vários

algoritmos diferentes.

Nesta disciplina estudaremos os passos básicos e as técnicas para a construção de

algoritmos através de três métodos para sua representação, que são alguns dos

mais conhecidos. O objetivo ao final da disciplina, é que você tenha adquirido

capacidade de transformar qualquer problema em um algoritmo de boa qualidade,

ou seja, a intenção é que você aprenda a Lógica de Programação dando uma base

teórica e prática suficientemente boa, para que você domine os algoritmos e esteja

habilitado a aprender uma Linguagem de Programação posteriormente [BUF03].

Para resolver um problema no computador é necessário que seja primeiramente

encontrada uma maneira de descrever este problema de uma forma clara e precisa.

É preciso que encontremos uma sequência de passos que permitam que o problema

possa ser resolvido de maneira automática e repetitiva. Esta sequência de passos é

chamada de algoritmo [GOM04].

A noção de algoritmo é central para toda a computação. A criação de algoritmos

para resolver os problemas é uma das maiores dificuldades dos iniciantes em

programação em computadores [GOM04].

Uma das formas mais eficazes de aprender algoritmos é através de muitos

exercícios. Veja na Tabela 1 algumas dicas de como aprender e como não aprender

algoritmos:

O aprendizado da Lógica é essencial para a formação de um bom programador,

servindo como base para o aprendizado de todas as Linguagens de Programação,

estruturadas ou não. De um modo geral esses conhecimentos serão de supra

importância, pois ajudarão no cotidiano, desenvolvendo um raciocínio rápido

[COS04].

2 Formas de Representação de Algoritmos Os algoritmos podem ser representados de várias formas, como por exemplo:

a) Através de uma língua (português, inglês, etc.): forma utilizada nos manuais

de instruções, nas receitas culinárias, bulas de medicamentos, etc.



b) Através de uma linguagem de programação (Pascal, C, Delphi, etc.): esta

forma é utilizada por alguns programadores experientes, que "pulam" a

etapa do projeto do programa (algoritmo) e passam direto para a

programação em si.

c) Através de representações gráficas: são bastante recomendáveis, já que um

"desenho" (diagrama, fluxograma, etc.) muitas vezes substitui, com

vantagem, várias palavras.

Cada uma dessas formas de representar um algoritmo, tem suas vantagens e

desvantagens, cabe a pessoa escolher a forma que melhor lhe convir. Nesta

disciplina serão apresentadas três formas de representação de algoritmos (que são

algumas das mais utilizadas), são elas:

Diagrama de Nassi-Shneiderman (Diagrama de Chapin)

Fluxograma (Diagrama de Fluxo)

Português Estruturado (Pseudocódigo, Portugol ou Pseudolinguagem)

Não existe consenso entre os especialistas sobre qual é a melhor maneira de

representar um algoritmo. Eu aconselho a utilização do Diagrama Nassi-

Shneiderman, mais conhecido como Diagrama de Chapin, por achar que é a forma

mais didática de aprender e representar a lógica dos problemas e durante a

disciplina usarei esse diagrama nos exemplos e exercícios. Mas, fica a critério de

cada um escolher a forma que achar mais conveniente ou mais fácil de entender.

Nos próximos capítulos são apresentadas breves explicações sobre cada uma

dessas três formas de representar algoritmos e alguns exemplos.

2.1 Diagrama Nassi-Shneiderman Os Diagramas Nassi-Shneiderman, também conhecidos como Diagramas de Chapin,

surgiram nos anos 70 [YOU04] [SHN03] [CHA02] [NAS04] como uma maneira de

ajudar nos esforços da

abordagem de

programação estruturada.

Um típico diagrama Nassi-

Shneiderman é

apresentado na Figura 1 ao

lado. Como você pode ver,

o diagrama é fácil de ler e

de entender, cada

"desenho" representa uma

ação (instrução) diferente.

A ideia básica deste

diagrama é representar as

ações de um algoritmo

dentro de um único

retângulo, subdividindo-o

em retângulos menores, que representam os diferentes blocos de sequência de

ações do algoritmo. Para saber mais sobre o histórico desses diagramas e conhecer

os seus criadores acesse o site:

http://www.cs.umd.edu/hcil/members/bshneiderman/nsd/. Para ter acesso ao

primeiro artigo elaborado pelos autores do Diagrama de Chapin, escrito em 1973,

acesse o seguinte endereço onde você pode fazer o download do artigo:

http://fit.faccat.br/~fpereira/p12-nassi.pdf.

http://fit.faccat.br/~fpereira/p12-nassi.pdf



2.2 Fluxograma Os Fluxogramas ou Diagramas de Fluxo, são uma

representação gráfica que utilizam formas

geométricas padronizadas ligadas por setas de

fluxo, para indicar as diversas ações (instruções) e

decisões que devem ser seguidas para resolver o

problema em questão.

Eles permitem visualizar os caminhos (fluxos) e as

etapas de processamento de dados possíveis e,

dentro destas, os passos para a resolução do

problema. A seguir, na Figura 2, é apresentado

um exemplo de fluxograma [GOM04] [MAR03].

2.3 Português Estruturado O Português Estruturado, é uma forma especial de

linguagem bem mais restrita que a Língua

Portuguesa e com significados bem definidos para

todos os termos utilizados nas instruções

(comandos).

Essa linguagem também é conhecida como

Portugol (junção de Português com Algol [ALG96]

[PRO04]), Pseudocódigo ou Pseudolinguagem. O Português Estruturado na verdade

é uma simplificação extrema da língua portuguesa, limitada a pouquíssimas

palavras e estruturas que têm significado pré-definido, pois deve-se seguir um

padrão. Emprega uma linguagem intermediária entre a linguagem natural e uma

linguagem de programação, para descrever os algoritmos.

A sintaxe do Português Estruturado não precisa ser seguida tão rigorosamente

quanto a sintaxe de uma linguagem de programação, já que o algoritmo não será

executado como um programa [TON04].

Embora o Português Estruturado seja uma linguagem bastante simplificada, ela

possui todos os elementos básicos e uma estrutura semelhante à de uma

linguagem de programação de computadores.

Portanto, resolver problemas com

português estruturado pode ser uma tarefa

tão complexa quanto a de escrever um

programa em uma linguagem de

programação qualquer só não tão rígida

quanto a sua sintaxe, ou seja, o algoritmo

não deixa de funcionar porque esquecemos

de colocar um ';' (ponto-e-vírgula) por

exemplo, já um programa não funcionaria.

A Figura 3 apresenta um exemplo de

algoritmo na forma de representação de

português estruturado.

3 Conceitos Importantes Neste capítulo são apresentados e explicados três conceitos fundamentais para a

construção de algoritmos, são eles: Constante, Variável e Atribuição.



3.1 Constantes São chamadas de constantes, as informações (dados) que não variam com o

tempo, ou seja, permanecem sempre com o mesmo conteúdo, é um valor fixo

(invariável). Como exemplos de constantes pode-se citar: números, letras, palavras

etc.

3.2 Variáveis O bom entendimento do conceito de variável é fundamental para elaboração de

algoritmos e, consequentemente de programas. Uma variável, é um espaço da

memória do computador que "reservamos" para guardar informações (dados).

Como o próprio nome sugere, as variáveis, podem conter valores diferentes a cada

instante de tempo, ou seja, seu conteúdo pode variar de acordo com as instruções

do algoritmo.

As variáveis são referenciadas através de um nome (identificador) criado por você

durante o desenvolvimento do algoritmo. Exemplos de nomes de variáveis:

produto, idade, a, x, nota1, peso, preço, etc. O conteúdo de uma variável pode ser

alterado, consultado ou apagado quantas vezes forem necessárias durante o

algoritmo. Mas, ao alterar o conteúdo da variável, a informação anterior é perdida,

ou seja, sempre "vale" a última informação armazenada na variável. Uma variável

armazena 'apenas' um conteúdo de cada vez.

Uma variável pode ser vista como uma caixa com

um rótulo (nome) colado nela, que em um dado

momento guarda um determinado objeto. O

conteúdo desta caixa não é algo fixo,

permanente. Na verdade, essa caixa pode ter seu

conteúdo alterado diversas vezes. No exemplo

abaixo, a caixa (variável) rotulada como FATOR,

contém o valor 5. Em outro momento essa caixa

poderá conter qualquer outro valor numérico.

Entretanto, a cada instante, ela conterá um, e

somente um, valor [TON04].

3.2 Atribuição A atribuição é uma notação utilizada para atribuir um valor a uma variável, ou seja,

para armazenar um determinado conteúdo em uma variável. A operação de

atribuição, normalmente, é representada por uma seta apontando para a esquerda,

mas existem outros símbolos para representar a atribuição, depende da forma de

representação do algoritmo. Na Tabela 2 a seguir, são apresentados alguns

exemplos de atribuições possíveis:

Uma observação importante a ser feita em relação a atribuições é que na parte

esquerda (a que vai "receber" algo) não pode haver nada além da variável, ou seja,

é só variável que "recebe" algum conteúdo, não é possível ter um cálculo por



exemplo, ou uma constante, recebendo alguma coisa. Veja por exemplo, esta

notação:

Esta operação apresentada acima não é possível, não está correta esta atribuição.

4 Instrução Escrever Existem basicamente duas instruções principais em algoritmos (e em programação

em geral) que são: Escrever e Ler. Neste capítulo veremos como funciona a

instrução Escrever.

A instrução Escrever é utilizada quando deseja-se mostrar informações na tela do

computador, ou seja, é um comando de saída de dados. Para simplificar, usa-se a

instrução Escrever, quando necessita-se mostrar algum dado para o usuário do

algoritmo (e posteriormente do programa).

Tanto no Diagrama de Chapin quanto em Português Estruturado representa-se a

saída de dados através da palavra Escrever (ou Escreva). Já em Fluxogramas a

representação da saída de dados é feita através de uma forma geométrica

específica [GOM04] [MAR03].

Exemplos:

1) Escreva um algoritmo para armazenar o valor 20 em uma variável X e o

valor 5 em uma variável Y. A seguir, armazenar a soma do valor de X com o

de Y em uma variável Z. Escrever (na tela) o valor armazenado em X, em Y

e em Z. (Capítulo 17: Respostas dos Exemplos).

2) Escreva um algoritmo para armazenar o valor 4 em uma variável A e o valor

3 em uma variável B. A seguir, armazenar a soma de A com B em uma

variável C e a subtração de A com B em uma variável D. Escrever o valor de

A, B, C e D e também escrever a mensagem 'Fim do Algoritmo'.

Observação: Note que quando queremos escrever alguma mensagem na tela

(letra, frase, número etc.) literalmente, devemos utilizar aspas para identificar o

que será escrito, pois o que estiver entre aspas no algoritmo, será exatamente o

que aparecerá na tela do computador. Diferente de quando queremos escrever o

conteúdo de uma variável, pois neste caso não utiliza-se aspas.

5 Operadores Aritméticos Muitas vezes, ao desenvolvermos algoritmos, é comum utilizarmos expressões

matemáticas para a resolução de cálculos. Neste capítulo são apresentados os

operadores aritméticos necessários para determinadas expressões. Veja a Tabela 3

a seguir.



Nas linguagens de programação e, portanto, nos exercícios de algoritmos que

iremos desenvolver, as expressões matemáticas sempre obedecem às regras

matemáticas comuns, ou seja:

As expressões dentro de parênteses são sempre resolvidas antes das

expressões fora dos parênteses. Quando existem vários níveis de

parênteses, ou seja, um parêntese dentro de outro, a solução sempre inicia

do parêntese mais interno até o mais externo (de dentro para fora).

Quando duas ou mais expressões tiverem a mesma prioridade, a solução é

sempre iniciada da expressão mais à esquerda até a mais à direita.

Desta forma, veja os seguintes exemplos e os respectivos resultados:

ExemploA: 2 + (6 * (3 + 2)) = 32

ExemploB: 2 + 6 * (3 + 2) = 32

6 Instrução Ler Como vimos no capítulo 4 Instrução Escrever, existem basicamente duas instruções

principais em algoritmos (e em programação em geral) que são: Escrever e Ler. No

capítulo 4, foi apresentada a instrução Escrever, agora, neste capítulo, veremos

como funciona a instrução Ler.

A instrução Ler é utilizada quando deseja-se obter informações do teclado do

computador, ou seja, é um comando de entrada de dados. Para simplificar, usa-se

a instrução Ler, quando necessita-se que o usuário do algoritmo digite algum dado

(e posteriormente do programa).

Tanto no Diagrama de Chapin quanto em Português Estruturado representa-se a

entrada de dados através da palavra Ler (ou Leia). Já em Fluxogramas a

representação da entrada de dados é feita através de uma forma geométrica

específica [GOM04] [MAR03].

Exemplo 3:

Escreva um algoritmo para ler dois valores e armazenar cada um em uma variável.

A seguir, armazenar a soma dos dois valores lidos em uma terceira variável.

Escrever o resultado da soma efetuada.

7 Horizontalização Para o desenvolvimento de algoritmos que possuam cálculos matemáticos, as

expressões aritméticas devem estar horizontalizadas, ou seja, linearizadas e

também não esquecendo de utilizar os operadores corretamente. Na Tabela 4 a

seguir, é apresentado um exemplo de uma expressão aritmética na forma

tradicional e como deve ser utilizada nos algoritmos e em programação em geral

(linearmente).



As expressões matemáticas na forma horizontalizada não são apenas utilizadas em

algoritmos, mas também na maioria das linguages de programação.

8 Algoritmos com Seleção Até agora estávamos trabalhando com algoritmos puramente sequenciais, ou seja,

todas as instruções eram executadas seguindo a ordem do algoritmo

(normalmente, de cima para baixo). Neste capítulo começaremos a estudar

estruturas de seleção. Uma estrutura de seleção, como o próprio nome já diz,

permite que determinadas instruções sejam executadas ou não, dependendo do

resultado de uma condição (teste), ou seja, o algoritmo vai ter mais de uma saída,

uma opção que será executada de acordo com o teste realizado.

Exemplo 4:

Escreva um algoritmo para ler um valor. Se o valor lido for igual a 6, escrever a

mensagem 'Valor lido é o 6', caso contrário escrever a mensagem 'Valor lido não é

o 6'.

Quando estivermos utilizando algoritmos com seleção, podemos utilizar dois tipos

de estruturas diferentes, dependendo do objetivo do algoritmo, chamadas de

"Seleção Múltipla", cujos tipos são:

Estrutura Aninhada e Estrutura Concatenada. Os capítulos 8.1 e 8.2 a seguir,

apresentam estas duas estruturas com suas características.

8.1 Estrutura de Seleção Aninhada A estrutura de seleção aninhada normalmente é utilizada quando estivermos

fazendo várias comparações (testes) sempre com a mesma variável. Esta estrutura

é chamada de aninhada porque na sua representação (tanto em Chapin quanto em

Português Estruturado) fica uma seleção dentro de outra seleção.

Vamos utilizar a resposta do exercício número 27 da nossa lista de exercícios como

exemplo destes dois tipos de estruturas. Abaixo é apresentada a resposta do

exercício 27 em Chapin utilizandose a estrutura aninhada:

8.2 Estrutura de Seleção Concatenada A estrutura de seleção concatenada normalmente é utilizada quando estivermos

comparando (testando) variáveis diferentes, ou seja, independentes entre si. Esta

estrutura é chamada de concatenada porque na sua representação (tanto em



Chapin quanto em Português Estruturado) as seleções ficam separadas uma da

outra (não existe o lado "falso" do Chapin, ou o "Senão" do Português).

Abaixo é apresentada a resposta do exercício número 27 da nossa lista de

exercícios, utilizando a estrutura de seleção concatenada em Chapin:

Como pode ser observado nessas duas respostas apresentadas para o exercício 27

(estrutura aninhada e estrutura concatenada), existe uma grande diferença entre

as duas estruturas, ou seja, uma característica de execução do algoritmo. Você

saberia dizer qual é esta diferença?

9 Operadores Relacionais Operações relacionais são as comparações permitidas entres valores, variáveis,

expressões e constantes. A Tabela 5 a seguir, apresenta os tipos de operadores

relacionais.



A seguir, na Tabela 6, são apresentados alguns exemplos de comparações válidas:

10 Operadores Lógicos Os operadores lógicos permitem que mais de uma condição seja testada em uma

única expressão, ou seja, pode-se fazer mais de uma comparação (teste) ao

mesmo tempo. A Tabela 7 a seguir, apresenta os operadores lógicos que

utilizaremos nesta disciplina.

Note que a Tabela 7 acima, apresenta os operadores lógicos já ordenados de

acordo com suas prioridades, ou seja, se na mesma expressão tivermos o operador

ou e o operador não, por exemplo, primeiro devemos executar o não e depois o ou.

De uma forma geral, os resultados possíveis para os operadores lógicos podem ser

vistos na Tabela 8 abaixo, conhecida como Tabela Verdade:



Exemplos de Testes utilizando Operadores Lógicos:



Exemplo utilizando Operadores Lógicos em Chapin:

5) Escreva um algoritmo para ler um valor e escrever se ele está entre os números

1 e 10 ou não está.

Ao verificar as respostas (errada e correta) do exemplo número 5 acima, pode-se

constatar que quando precisamos fazer mais de um teste ao mesmo tempo, deve-

se utilizar os operadores lógicos apresentados neste capítulo na tabela 7.

11 Algoritmos com Repetição Nos exemplos e exercícios que vimos até agora, sempre foi possível resolver os

problemas com uma sequência de instruções que eram executadas apenas uma

vez. Existem três estruturas básicas para a construção de algoritmos, que são:

algoritmos sequenciais, algoritmos com seleção e algoritmos com repetição. A

combinação dessas três estruturas permite-nos a construção de algoritmos para a

resolução de problemas extremamente complexos [MAR03]. Nos capítulos

anteriores vimos a estrutura puramente sequencial e algoritmos com seleção

(capítulo 8). Neste capítulo veremos as estruturas de repetição possíveis em

algoritmos e existentes na maioria das Linguagens de Programação.

Uma estrutura de repetição permite que uma sequência de instruções (comandos)

seja executada várias vezes, até que uma condição (teste) seja satisfeita, ou seja,

repete-se um conjunto de instruções sem que seja necessário escrevê-las várias

vezes. As estruturas de repetição também são chamadas de Laços ou Loops

[MAR03].

Para sabermos quando utilizar uma estrutura de repetição, basta analisarmos se

uma instrução ou uma sequência de instruções precisa ser executada várias vezes,

se isto se confirmar, então deve-se utilizar uma estrutura de repetição. As

estruturas de repetição, assim como a de decisão (seleção), envolvem a avaliação

de uma condição (teste). Então as estruturas de repetição permitem que um trecho

do algoritmo (conjunto de instruções) seja repetido um número determinado (ou

indeterminado) de vezes, sem que o código correspondente, ou seja, as instruções

a serem repetidas tenham que ser escritas mais de uma vez [TON04].

Exemplo 6:

Escreva um algoritmo para comer um cacho de uva.

Na solução do exemplo 6 apresentada na Seção de Respostas dos Exemplos

(Capítulo 17), não foi utilizada uma ‘estrutura de repetição’, por isto o algoritmo

não está correto. Nesse exemplo número 6 é necessária uma estrutura de

repetição, pois a instrução "comer 1 uva" precisa ser repetida várias vezes.

Existem três tipos de estruturas de repetição: Repita-Até, Enquanto-Faça e Para-

Até-Faça, cada uma com suas peculiaridades e apropriada para cada problema,

normalmente é possível resolver um mesmo problema usando qualquer uma das

estruturas de repetição, mas, na maioria das situações, haverá uma mais

adequada. Neste capítulo veremos as características de cada uma destas

estruturas.

Mas antes, veja a resposta do exemplo número 6 utilizando uma estrutura de

repetição (Repita-Até):



11.1 Estrutura de Repetição: REPITA-ATÉ Na estrutura Repita-Até as instruções a serem repetidas são executadas, no mínimo

uma vez, já que o teste (a condição) fica no final da repetição. Nesta estrutura, a

repetição é finalizada quando o teste for Verdadeiro (V), ou seja, o algoritmo fica

executando as instruções que estiverem dentro do laço até que o teste seja

verdadeiro. Nas Figuras 5 e 6 abaixo, é apresentada a forma geral da estrutura

RepitaAté em Chapin e em Português Estruturado, respectivamente.

Observações da estrutura de repetição REPITA-ATÉ:

1) A repetição (o laço) se encerra quando a condição (teste) for verdadeira.

2) As instruções a serem repetidas são executadas pelo menos 1 vez, porque o

teste é no final da repetição.

Pergunta: No exemplo 6 anterior, utilizando uma estrutura de repetição, que no

caso utilizou-se a estrutura Repita, o algoritmo ficou correto?

11.2 Estrutura de Repetição: ENQUANTO-FAÇA Na estrutura Enquanto-Faça as instruções a serem repetidas podem não ser

executadas nenhuma vez, pois o teste fica no início da repetição, então a execução

das instruções (que estão "dentro" da repetição) depende do teste. Nesta estrutura,

a repetição é finalizada quando o teste é Falso (F), ou seja, enquanto o teste for

Verdadeiro as instruções serão executadas e, quando for Falso, o laço é finalizado.

Veja nas Figuras 7 e 8 abaixo a forma geral da estrutura Enquanto-Faça em Chapin

e em Português Estruturado.



Observações da estrutura de repetição ENQUANTO-FAÇA:

1) A repetição (o laço) se encerra quando a condição (teste) for falsa.

2) As instruções a serem repetidas podem nunca ser executadas, porque o

teste é no início da repetição.

Atenção: Resolva o exemplo 6 anterior, utilizando a estrutura de repetição

Enquanto-Faça!

11.3 Estrutura de Repetição: PARA-ATÉ-FAÇA A estrutura de repetição Para-Até-Faça é um pouco diferente das outras duas

(Repita-Até e EnquantoFaça), pois possui uma variável de controle, ou seja, com

esta estrutura é possível executar um conjunto de instruções um número

determinado de vezes. Através da variável de controle, define-se a quantidade de

repetições que o laço fará.

Exemplo 7:

Escreva um algoritmo para escrever 5 vezes a palavra FACCAT na tela.

Funcionamento da estrutura PARA:

Na resposta do exemplo 7 acima, o X é a variável de controle, ou seja, uma

variável qualquer (com qualquer nome) que vai determinar o número de repetições

do laço. O valor 1 é o valor inicial que será atribuído à variável X e o valor 5 é o

valor final atribuído à variável X, com isto, tem-se 5 repetições da instrução (ou das

instruções) que estiver dentro do laço.

Cada vez que a variável é incrementada (aumenta +1) as instruções de dentro da

repetição são executadas, então a variável, no caso o X, inicia com o valor 1 e a

cada execução (repetição) ele aumenta +1 (é incrementado) até chegar ao valor

final, que também é determinado (no caso é o 5).

ATENÇÃO: Você saberia dizer qual é a grande diferença entre a estrutura de

repetição Para e as estruturas Repita e Enquanto?

12 Dizer SIM para Continuar ou NÃO para Finalizar

Exemplo 8:

Escreva um algoritmo para ler dois valores. Após a leitura deve-se calcular a soma

dos valores lidos e armazená-la em uma variável. Após o cálculo da soma, escrever



o resultado e escrever também a pergunta 'Novo Cálculo (S/N)?'. Deve-se ler a

resposta e se a resposta for 'S' (sim), deve-se repetir todos os comandos

(instruções) novamente, mas se a resposta for 'N' (não), o algoritmo deve ser

finalizado escrevendo a mensagem 'Fim dos Cálculos'.

13 Contadores e Acumuladores Em algoritmos com estruturas de repetição (Repita, Enquanto ou Para) é comum

surgir a necessidade de utilizar variáveis do tipo contador e/ou acumulador. Neste

capítulo são apresentados esses conceitos detalhadamente.

13.1 Contadores Um contador é utilizado para contar o número de vezes que um evento (uma

instrução) ocorre, ou seja, contar a quantidade de vezes que uma instrução é

executada.

Forma Geral: VARIÁVEL VARIÁVEL + CONSTANTE

Exemplo:

Explicação: um contador é uma variável (qualquer) que recebe ela mesma mais um

valor (uma constante), no caso do exemplo acima, a variável X está recebendo o

valor dela mesma mais 1.

Normalmente a constante que será somada no contador é o valor 1, para contar de

1 em 1, mas pode ser qualquer valor, como por exemplo 2, se quisermos contar de

2 em 2.

Observações dos Contadores:

1) A variável (do contador) deve possuir um valor inicial conhecido, isto é, ela deve

ser inicializada.

Normalmente inicializa-se a variável do contador com zero, ou seja, zera-se a

variável antes de utilizá-la. Para zerar uma variável basta atribuir a ela o valor

zero:

2) A constante (que é geralmente o valor 1) determina o valor do incremento da

variável (do contador), ou seja, o que será somado (acrescido) a ela.

Exemplo 9:

Escreva um algoritmo para ler a nota de 10 alunos e contar quantos foram

aprovados, sendo que, para ser aprovado, a nota deve ser maior ou igual a 6,0.

Escrever o número de aprovados.

ATENÇÃO: Se quiséssemos contar o número de reprovados também, no exemplo 9

acima, o que deveria ser feito?

13.2 Acumuladores (ou Somadores)

Um acumulador, também conhecido como Somador, é utilizado para obter

somatórios



Explicação: um acumulador (somador) é uma variável (qualquer) que recebe ela

mesma mais uma outra variável, no caso do exemplo acima, a variável X está

recebendo o valor dela mesma mais o valor da variável Y. A variável Y representa o

valor a ser somado, acumulado na variável X.

Observações dos Acumuladores:

1) A variável1 (do acumulador) deve possuir um valor inicial conhecido, isto é,

ela deve ser inicializada. Normalmente inicializa-se a variável do acumulador

com zero, ou seja, zera-se a variável antes de utilizá-la. Para zerar uma

variável basta atribuir a ela o valor zero:

2) A variável2 indica o valor a ser acumulado, somado e armazenado na

variável1.

Exemplo 10:

Altere o exemplo 9 para calcular também a média geral da turma e, depois de

calculada, escrever a média.

ATENÇÃO: Normalmente inicializa-se as variáveis que serão utilizadas como

contador ou como acumulador com o valor zero, mas pode-se inicializá-las com o

valor que desejarmos de acordo com a necessidade.

14 Determinação do MAIOR e/ou MENOR valor em um

Conjunto de Valores Em muitos algoritmos surge a necessidade de determinarmos qual o maior ou o

menor valor dentro de um conjunto de valores e, para isto, não existe uma

estrutura especial, apenas utilizamos os conhecimentos que já aprendemos, como

mostrado no exemplo a seguir.

Exemplo 11:

Escreva um algoritmo para ler a nota de 10 alunos e escrever a nota mais alta, ou

seja, a maior nota entre as 10 notas lidas.

IMPORTANTE: Quando sabe-se os limites dos valores possíveis, ou seja, por

exemplo com as notas sabemos que os valores serão de 0 a 10, então sabe-se

quais são os valores limites (o valor mínimo e o valor máximo), não teremos nota

menor que 0 e nem nota maior que 10. Nesses casos é mais fácil descobrir o maior

ou o menor valor, pois pode-se inicializar a variável Maior, por exemplo, com o

valor 0 e a variável Menor com o valor 10 que funcionará perfeitamente. Acontece

que se não sabe-se os valores dos limites aí complica um pouco, pois não sabemos

com que valor vamos inicializar as variáveis para comparação. Então temos que

inicializar tanto a variável Maior quanto a Menor com o “primeiro valor lido” e

depois vamos comparando os próximos valores lidos com o primeiro! (os nomes

“Maior” e “Menor”, são apenas exemplos, pode-se denominar as variáveis que

serão usadas para os testes como quiser).

15 Repetição Aninhada Assim como vimos que é possível ter uma Seleção dentro de outra, também

podemos ter uma Repetição dentro de outra, dependendo do problema a ser

resolvido. Pode ser necessária uma estrutura de Repita dentro de um Enquanto, por

exemplo, ou vice-versa. Ou um Repita dentro de outro Repita, enfim, as

combinações são inúmeras. A seguir veremos um exemplo de uma estrutura de

repetição Para dentro de outro Para, que é bastante utilizado para leitura e escrita

de Matrizes, por exemplo.



Exemplo 12:

Dado o algoritmo a seguir (Figura 9), representado em Chapin, diga o que ele faz,

ou seja, o que seria escrito na tela ao ser executado.

Funcionamento de "um PARA dentro de outro PARA":

1) A execução inicia pelo Para de fora (mais externo), depois desvia para o Para de

dentro e só volta para o Para de fora quando terminar toda execução do Para de

dentro (quando a variável de controle chegar no valor final).

2) Um Para fica "parado" enquanto o outro Para é executado, ou seja, enquanto

sua variável de controle varia até chegar no valor final determinado para ela.

16 Vetores Podemos definir um Vetor como uma variável dividida em vários "pedaços", em

várias "casinhas", onde cada pedaço desses é identificado através de um número,

referente à posição de uma determinada informação no vetor em questão. O

número de cada posição do vetor é chamado de índice.

Conceito: Vetor é um conjunto de variáveis, onde cada uma pode armazenar uma

informação diferente, mas todas compartilham o mesmo nome. São associados

índices a esse nome, que representam as posições do vetor, permitindo assim,

individualizar os elementos do conjunto.

Podemos imaginar que na memória do computador o vetor seja mais ou menos da

seguinte forma:



Exemplos de Manipulação de Vetores:

16.1 Como LER um Vetor (Preencher) Para Ler um vetor, ou seja, para preencher um vetor com informações (dados)

(armazenar informações em um vetor) é necessária uma estrutura de repetição,

pois um vetor possui várias posições e temos que preencher uma a uma. A

estrutura de repetição normalmente utilizada para vetores é o Para-Até-Faça,

então veja no exemplo abaixo como preencher (ler) um vetor de 10posições:

Na Figura 11, acima, está demonstrado como preencher um vetor chamado A de 10

posições, ou seja, serão lidas 10 informações (valores, nomes, letras, etc.) e cada

uma será armazenada em uma posição do vetor A. Sendo que utiliza-se a própria

variável da repetição Para para representar a posição (índice) do vetor.



16.2 Como ESCREVER um Vetor Para Escrever um vetor, ou seja, para escrever o conteúdo de cada posição de um

vetor, também precisamos utilizar uma estrutura de repetição, já que os vetores

possuem mais de um conteúdo (mais de uma posição). Como explicado no capítulo

anterior (16.1 Como Ler um Vetor), normalmente utiliza-se a estrutura Para-Até-

Faça também para escrever o vetor. Veja no exemplo abaixo, como escrever um

vetor de 10 posições, isto é, como escrever o conteúdo de cada uma das 10

posições do vetor:

Na Figura 12, acima, está demonstrado como escrever um vetor chamado A de 10

posições, ou seja, ao executar essa instrução seria escrito o conteúdo de cada uma

das 10 posições do vetor A na tela do computador.

Exemplo 13:

Escreva um algoritmo para ler a nota de 30 alunos, calcular a média geral da turma

e escrever quantos alunos tiveram a nota acima da média calculada.



17 Respostas dos Exemplos Neste capítulo são apresentadas as respostas de todos os exemplos encontrados no

decorrer da apostila.



Referências Bibliográficas Para elaboração e construção desta apostila foram consultados vários tipos de

materiais, como por exemplo: livros, outras apostilas, páginas web etc. Algumas

das referências consultadas estão apresentadas neste capítulo, mas grande parte

do material disponibilizado na apostila, como exemplos e exercícios foram utilizados

das aulas que tive na disciplina de Algoritmos e Programação durante a faculdade

de Análise de Sistemas, na UCPel - Universidade Católica de Pelotas, com o Prof.

Ricardo Andrade Cava (http://lp.ucpel.tche.br, http://cpu.ucpel.tche.br,

http://graphs.ucpel.tche.br).

[ALG96] The ALGOL Programming Language. Disponível em: http://www.engin.umd.umich.edu/CIS/course.des/cis400/algol/algol.html. Acesso em: Jun. 2006.

[BUF03] BUFFONI, Salete. Apostila de Algoritmo Estruturado - 4ª edição. Disponível em:

http://www.saletebuffoni.hpg.ig.com.br/algoritmos/Algoritmos.pdf. Acesso em: Mar. 2004.

[CHA70] CHAPIN, Ned. Flowcharting with the ANSI Standard: A Tutorial. ACM Computing

Surveys, Volume 2, Number 2 (June 1970), pp. 119-146.

[CHA74] CHAPIN, Ned. New Format for Flowcharts, Software—Practice and Experience. Volume 4, Number 4 (October-December 1974), pp. 341-357.

[CHA02] CHAPIN, Ned. Maintenance of Information Systems. Disponível em: http://www.iceis.org/iceis2002/tutorials.htm. Acesso em: Jun. 2006.

[COS04] COSTA, Renato. Apostila de Lógica de Programação - Criação de Algoritmos e Programas. Disponível em: http://www.meusite.pro.br/apostilas2.htm. Acesso em: Jun.

2006.

[GOM04] GOMES, Abel. Algoritmos, Fluxogramas e Pseudo-código - Design de Algoritmos.

Disponível em: http://mail.di.ubi.pt/~programacao/capitulo6.pdf. Acesso em: Jun. 2006.

[KOZ06] KOZAK, Dalton V. Técnicas de Construção de Algoritmos. Disponível em: http://minerva.ufpel.edu.br/~rossato/ipd/apostila_algoritmos.pdf. Acesso em: Jun. 2006.

[MAR03] MARTINS, Luiz E. G.; ZÍLIO, Valéria M. D. Apostila da Disciplina Introdução à Programação. Disponível em: http://www.unimep.br/~vmdzilio/apostila00.doc. Acesso em:

Jun. 2006.

[NAS73] NASSI, Ike; SHNEIDERMAN, Ben. Flowchart Techniques for Structured Programming. ACM SIGPLAN Notices, Volume 8, Number 8 (August 1973), pp.12-26.

[NAS04] NASSI, Ike. Ike Nassi's Home Page. Disponível em: http://www.nassi.com/ike.htm . Acesso em: Jun. 2006.

[PRO04] Programming Languages. Disponível em:

http://www.famed.ufrgs.br/disciplinas/inf_med/prog_ling.htm. Acesso em: Mar.2004.

[SAN04] SANTANA, João. Algoritmos & Programação. Disponível em: http://www.iesam.com.br/paginas/cursos/ec/1ano/aulas/08/joao/APunidade-1.pdf. Acesso em: Mar. 2004.

[SHN03] SHNEIDERMAN, Ben. A short history of structured flowcharts (Nassi-Shneiderman Diagrams). Disponível em: http://www.cs.umd.edu/~ben/ Acesso em: Jun. 2006.

[TON04] TONET, Bruno; KOLIVER, Cristian. Introdução aos Algoritmos. Disponível em:

http://dein.ucs.br/napro/Algoritmo/manuais/Manual 20Visualg.pdf. Acesso em: Mar. 2004.

[YOU04] YOURDON, Ed. Ed Yourdon's Web Site. Disponível em: http://www.yourdon.com/books/msa2e/CH15/CH15.html. Acesso em: Mar. 2004.

Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Física Aplicada



FÍSICA

Física é a ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais. O termo

vem do grego φύσις (physiké), que significa natureza. Atualmente, é dificílimo

definir qual o campo de atuação da física, pois ela aparece em diferentes campos

do conhecimento que, à primeira vista, parecem completamente

descorrelacionados.

Como ciência, faz uso do método científico. Baseia-se essencialmente na

matemática e na lógica quando da formulação de seus conceitos.

O que faz a Física

A física estuda a natureza. Entretanto, outras ciências também o fazem: a Química,

a Biologia, a Geologia, a Economia (ainda que seja a natureza humana), etc. Como

definir a área de atuação de cada uma delas? Esta é uma pergunta difícil, sem

resposta consensual. Ainda mais quando áreas interdisciplinares aparecem aos

montes: Físico-Química, Biofísica, Geofísica, Econofísica, etc.

Alguns dizem que físicos estão interessados em determinar a natureza do espaço,

do tempo, da matéria, da energia e das suas interações. Esta definição excluiria

certas áreas mais novas da física que trabalham com a biologia, por exemplo.

Outros dizem que Física é a única ciência fundamental e que estas divisões são

artificiais, ainda que tenham utilidade prática. Seu argumento é simples: a Física

descreve a dinâmica e configuração das partículas fundamentais do universo. O

universo é tudo que existe e é composto destas partículas. Então todos os

fenômenos, eventualmente abordados em outras ciências, poderiam ser explicados

em termos da física destas partículas. Seria como dizer que todos os resultados das

outras ciências podem ser derivados em bases físicas. Isso já contece com

explicações de fenômenos antes demonstrados pela Química e hoje explicados pela

Física (Veja Química Quântica). Entretanto, ainda não é muito fácil explicar a

grande maioria dos fenômenos de outros ramos da ciência, pois isto envolve

campos ainda não explorados e uma matemática muito elaborada.

Com base nisso, alguns chegam a sugerir que até mesmo o cérebro um dia poderá

ser descrito por uma equação ou um conjunto de equações matemáticas (muito

provavelmente envolvendo muitos argumentos de probabilidade).

Há os que argumentam que as divisões da ciência têm origem social e histórica e

que definições de física são forjadas para tentar reunir todas as pessoas que são

aceitas como físicos pela sociedade.

Talvez quem esteja certo seja quem acredite na máxima:

Físicos são pessoas diferentes, em lugares diferentes, fazendo coisas diferentes.

Divisões

Como outras ciências, a Física é dividida de acordo com diversos critérios. Em

primeiro lugar há uma divisão fundamental entre física teórica, física experimental

e física aplicada. (Os dois primeiros ramos se reúnem sob a denominação pesquisa

básica.)

* A física teórica procura definir novas teorias que condensem o conhecimento

advindo das experiências; também vai procurar formular as perguntas e os

experimentos que permitam expandir o conhecimento.



* A física experimental conduz experimentos capazes de validar ou não teorias

científicas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas teorias.

* A física aplicada trata do uso das teorias físicas na vida cotidiana.

Uma outra divisão pode ser feita pela magnitude do objeto em análise. A física

quântica trata do universo do muito pequeno, dos átomos e das partículas que

compõem os átomos; a física clássica trata dos objetos que encontramos no nosso

dia-a-dia; e a física relativística trata de situações que envolvem grandes

quantidades de matéria e energia.

Mas a divisão mais tradicional é aquela feita de acordo com as propriedades mais

estudadas nos fenômenos. Daí temos a Mecânica, quando se estudam objetos a

partir de seu movimento ou ausência de movimento, e também as condições que

provocam esse movimento; a Termodinâmica, quando se estudam o (calor), o

trabalho, as propriedades das substâncias, os processos que as envolvem e as

transformações de uma forma de energia em outra; o Electromagnetismo quando

se analisam as propriedades elétricas, aquelas que existem em função do fluxo de

elétrons nos corpos; a Ondulatória, que estuda a propagação de energia pelo

espaço; a Óptica, que estuda os objetos a partir de suas impressões visuais; a

Acústica, que estuda os objetos a partir das impressões sonoras; e mais algumas

outras divisões menores.

UNIDADES DE MEDIDAS

Para melhor conhecer as grandezas que interferem num fenômeno, a Física recorre

a medidas.

Unidade de medida é uma quantidade específica de determinada grandeza física

e que serve de padrão para eventuais comparações, e que serve de padrão para

outras medidas.

Sistema internacional de unidades (SI): Por longo tempo, cada região, país

teve um sistema de medidas diferente, criando muitos problemas para o comércio

devido à falta de padronização de tais medidas. Para resolver o problema foi criado

o Sistema Métrico Decimal que adotou inicialmente adotou três unidades básicas:

metro, litro e quilograma.

Entretanto, o desenvolvimento tecnológico e científico exigiu um sistema padrão de

unidades que tivesse maior precisão nas medidas. Foi então que em 1960, foi

criado o Sistema Internacional de unidades(SI). Hoje, o SI é o sistema de medidas

mais utilizado em todo o mundo.

Existem sete unidades básicas do SI que estão na tabela abaixo:

Grandeza Unidade Símbolo

Comprimento metro m

Massa quilograma q

Tempo segundo s



Corrente Elétrica Ampère A

Temperatura kelvin K

Quantidade de matéria mol mol

Intensidade luminosa candela cd

Segue abaixo as grandezas Físicas e suas unidades no sistema internacional. São

grandezas cujas unidades são derivadas das unidades básicas do SI.

Grandeza Unidade Símbolo Unidade

sintética UnidadesBásicas

Área — m² — —

Volume — m³ — —

Densidade — Kg/m³ — —

Concentração — mol/m³ — —

Aceleração — m/s² — —

Campo magnético — A/m — —

Velocidade — m² — —

Velocidade angular — Rad/s Hz 1/s

Aceleração angular — Rad/s² Hz² 1/s²

Calor específico — J/kg.K N.m/K.Kg m²/(s².K)

Condutividade térmica — W/m.K J/s.m.K Kg.m/

Momento de Força — N/m — Kg.m²/s²

Força Newton N — Kg.m/s²

Freqüência Hertz Hz — 1

Ângulo radiano rad m/m 1

Pressão Pascal Pa N/m² Kg/(m.s²)

Energia Joule J N.m Kg.m²/s²

http://www.infoescola.com/fisica/corrente-eletrica/

http://www.infoescola.com/fisica/campo-magnetico/

http://www.infoescola.com/fisica/velocidade-angular/

http://www.infoescola.com/fisica/calor-latente-e-calor-especifico/



Potência Watt W J/s Kgm²/s³

Carga elétrica Coloumb C — A.s

Tensão elétrica Volt V W/A Kg.m²/s³.A

Resistência elétrica Ohm Ώ V/A Kg.m²/(s³.A²)

Capacitância Farad F A.s/V A².(s^4)/kg.m²

Indutância Henry H Wb/A Kg.m²/(s².A²)

Fluxo magnético Webwe Wb V.s Kg.m²/s².A

Densidade do Fluxo mag. Tesla T Wb/m² Kg/s².A

Prefixos do Sistema Internacional: os principais prefixos são:

Nano(n): 10^-9

Micro(μ):10^-6

Mili(m): 10^-3

Kilo(k): 10^3

Mega(M): 10^6

Giga(G): 10^9

TRABALHO ENERGIA E POTENCIA

Energia é a capacidade que um corpo, uma substância ou um sistema físico têm

de realizar trabalho.

1) Trabalho de uma força

O trabalho de uma força é a sua componente, na direção do movimento,

multiplicado pela distância percorrida.

http://www.infoescola.com/fisica/carga-eletrica/

http://www.infoescola.com/fisica/tensao-eletrica/

http://www.infoescola.com/fisica/fluxo-magnetico/



trabalho será positivo se a componente da força for no mesmo sentido do

movimento e negativo se for no sentido contrário.

gráfico de uma força variável em função da distância

trabalho da força peso

trabalho da força elástica



2) Potência

3) Energia

TRABALHO

Para se colocar algum objeto em movimento, é necessária a aplicação de uma força

e, simultaneamente, uma transformação de energia. Quando há a aplicação de uma

força e um deslocamento do ponto de aplicação dessa força, pode-se dizer que

houve uma realização de trabalho.

Note que, para realizar-se um trabalho, existe a necessidade de um deslocamento.

Caso algum objeto esteja sob a ação de uma força, mas em repouso, não haverá a

realização de trabalho. As forças que atuam sobre uma pessoa parada segurando

uma mala não realizam trabalho pois não há deslocamento do ponto de aplicação

dessas forças.



Considere um objeto que está submetido a uma força e, devido a essa força,

esse objeto sofre um deslocamento , como se vê abaixo:

A força pode ser dividida em dois componentes, e , como se mostra a

seguir:

Observe que o componente de que realiza o trabalho é , pois é o que tem a

mesma direção do deslocamento. O componente não realiza trabalho, pois é

perpendicular ao deslocamento e, por isso, não interfere diretamente no

movimento.



O trabalho é definido como sendo o produto do componente pelo deslocamento

sofrido pelo objeto e como , teremos a seguinte definição matemática

para o trabalho:

No Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule (J).

No exemplo citado, a força mostrada é causadora do movimento do objeto, mas

existem casos em que a força é de oposição ao movimento, como por exemplo o

atrito. Nessas situações o trabalho será negativo. Observe o quadro abaixo:

Uma força que merece uma atenção especial, ao realizar trabalho, é a força da

gravidade. Considere um corpo que é abandonado de certa altura. Durante o

movimento de queda temos um deslocamento para baixo e uma força, a gravidade,

que também é direcionada para baixo. Sabemos que, se há uma força e um

deslocamento do ponto de aplicação, haverá a realização de trabalho. Nesse caso o

trabalho será determinado pelo produto da força da gravidade pela altura de queda

do objeto:

É importante salientar que o trabalho da força da gravidade independe da trajetória

descrita durante o movimento e por isso ela é classificada como força conservativa.

A força da gravidade também é conhecida como força peso que é constante quando

se está próximo da superfície da Terra e é calculada com o produto da massa do

objeto pela a aceleração da gravidade local.

http://educacao.uol.com.br/fisica/ult1700u19.jhtm





Em uma descida, o trabalho da força da gravidade é positivo, pois ela está

contribuindo com o movimento, mas, em uma subida, o trabalho da força da

gravidade será negativo, pois agora ela é de oposição ao movimento.

é o vetor que indica deslocamento.

ENERGIA CINÉTICA

Considere um corpo inicialmente em repouso, como por exemplo, uma bicicleta.

Para colocá-la em movimento será necessária a aplicação de uma força e, com isso,

a realização de trabalho. Se essa força for paralela ao deslocamento, o trabalho

será determinado pelo produto da força pelo deslocamento.

A força aplicada é determinada pela Segunda lei de Newton, ou seja:



Considerando que a força aplicada foi constante e que a bicicleta partiu do repouso,

então a ela realizará um movimento uniformemente variado e o seu deslocamento

e a sua velocidade serão determinadas da seguinte forma:

Substituindo as equações de força e deslocamento na definição de trabalho,

teremos:

Lembre que v = a.t e então chegaremos à equação que determina o trabalho

realizado pela força aplicada a essa bicicleta, para que ela atinja a velocidade v.

A expressão acima é definida como energia cinética, e expressa a capacidade de

um corpo em movimento para realizar trabalho.



ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Estamos todos submetidos a uma força da gravidade e essa força é praticamente

constante quando se está próximo à superfície do planeta. Agora, imagine-se

segurando uma pedra a certa altura do solo. Para fazê-la entrar em movimento,

basta largá-la e durante a queda haverá a realização de trabalho pela força

gravitacional.

Observe que quanto maior for a altura inicial da pedra, tanto maior será o trabalho

realizado pela força da gravidade, pois maior será o deslocamento realizado por ela.

É importante perceber que a pedra entra em movimento espontâneo, ou seja, você

não precisa forçar o movimento. Se isso ocorre, é porque na pedra existe uma

energia armazenada que será utilizada na realização de trabalho. Essa energia é

definida como energia potencial e, no caso descrito, isto é, em que a força da

gravidade realiza trabalho, essa energia é definida como energia potencial

gravitacional.

A energia potencial depende da posição do objeto. No caso da energia potencial

gravitacional a posição é definida pela a altura em que o objeto se encontra de um

nível horizontal definido como nível de referência.

Para determinar o valor da energia potencial gravitacional, basta sabermos o valor

do trabalho realizado pela força peso, ou seja, a energia potencial gravitacional é

numericamente igual ao trabalho da força peso.



ENERGIA MECÂNICA

Considere novamente um corpo em queda. Durante esse movimento, observamos

que, ao longo do trabalho realizado pela força peso, ocorre um aumento da energia

cinética, pois há um aumento de velocidade. O trabalho da força peso realizado

durante esse movimento pode ser determinado pela variação da energia cinética,

ou seja:

A expressão matemática anterior é conhecida como o Teorema da Energia Cinética.

Observe também, que durante a queda, a energia potencial do corpo diminui, pois

se tomarmos como nível de referência o solo, a altura do corpo em relação ao

mesmo, está diminuindo. Nesse caso, o trabalho realizado pela força peso pode ser

determinado pelo decréscimo da energia potencial, isto é:

As duas equações mencionadas aqui são usadas para o mesmo fim, que é a

determinação do trabalho da força peso, e por isso elas são iguais. Igualando a

primeira equação com a segunda, teremos:

Isolando os termos de energia cinética dos termos de energia potencial, chegamos

ao seguinte resultado:



A soma da energia cinética com a energia potencial é definida como energia

mecânica, e a expressão anterior mostra a sua conservação durante qualquer

movimento sob ação exclusiva de forças conservativas, como por exemplo, na

mecânica, a força peso e a força elástica. Sistemas físicos que se encontram sob

essa situação são definidos como sistemas conservativos.

No nosso dia-a-dia, é muito difícil encontrarmos um sistema conservativo. Em uma

queda real existe o atrito com o ar e isso fará com que a energia mecânica inicial

seja diferente da energia mecânica final, e tal diferença ocorre porque o atrito

provoca a dissipação em forma de calor. Essa energia dissipada tem o seu valor,

em módulo, igual à diferença da energia mecânica inicial pela energia mecânica

final.

CENTRO DE GRAVIDADE

Quando um objeto encontra-se numa região onde atua um campo gravitacional,

este sofre a ação da força peso, dada pelo produto de sua massa m pela respectiva

aceleração gravitacional local, g. Geralmente, usa-se o módulo da aceleração

gravitacional, uma vez que se sabe, a exemplo da Terra, que a aceleração

gravitacional tem direção radial e nos sistemas de referências utilizados as

grandezas positivas apontam do centro da Terra para fora, consequentemente, o

campo gravitacional g é negativo para baixo. Desta forma temos,

matematicamente, o módulo do peso do objeto dado pela equação:

P = m.g

Se considerarmos um objeto sobre uma superfície plana, teremos para cada

partícula que constitui o referido corpo, uma força peso atuante. É o que expressa a

equação:

ΣF = Σmi.g

Temos vários corpos de massa m. Mas podemos fazer o somatório de todas as

forças que atuam sobre o corpo, e deste modo teremos uma equação para a força

total atuante sobre o corpo em termos de sua massa total e a aceleração

gravitacional local, expressa a seguir:

ΣF = g.Σmi = M.g



Para que este corpo esteja em equilíbrio estático, é necessário que esteja suspenso

por uma tração T em algum ponto, ou com sua base apoiada sobre uma superfície,

ou seja, apoiada vários pontos, conforme mostra a figura 01.

Deste modo, na vertical, o somatório das forças seria nulo. Para um objeto sobre

uma superfície teremos:

ΣF = N – g.Σmi = N – M.g = 0

E para o caso de um objeto suspenso por uma força de tração teremos:

ΣF = T – g.Σmi = T – M.g = 0

O torque resultante sobre o corpo é dado por:

Στ = Σ(ri x mi.g) = Σ(mi.ri x g) = M.rcm x g = rcm x Mg

A quantidade mi.ri , expressa em função das massas das partículas que constituem

o corpo, mi, e das respectivas posições ocupadas por cada uma, ri, pode ser escrita

em função da massa total M e da posição do centro de massa rcm conforme

mostrado na figura 02.



Para uma condição de equilíbrio o somatório dos torques em relação ao centro de

massa tem de ser nulo. Ou seja, matematicamente, teremos:

Στ = rcm x Mg = 0

Desta forma, todas as porções de massa que estiverem fora da base de apoio,

aplicarão um torque sobre em torno extremidade da respectiva base de apoio.

Para determinar o centro de massa rcm de um objeto plano é muito simples: basta

suspendê-lo em um ponto, por uma força de tração criada por um fio, por exemplo

e riscar desde o ponto de suspensão até a extremidade inferior do objeto, como

para determinar o centro de gravidade. Depois, escolhe-se outro ponto de

suspensão em um dos lados, esquerdo ou direito do corpo, aproximadamente à

meia altura. Novamente, risca-se na vertical. Na intersecção entre os dois riscos,

ou seja, no cruzamento das linhas, localiza-se o centro de massa do objeto,

mostrado na figura 03.

Se for um objeto ao qual seja necessário considerar as três dimensões, é

necessário efetuar mais um risco, perpendicular aos outros dois, num terceiro eixo

de coordenadas considerado para aquele objeto. Neste caso, teremos um ponto

localizado no interior do objeto, dependendo de sua forma. Para alguns casos, o

centro de massa está fora do volume preenchido pelo objeto. Por exemplo, o centro

de gravidade de um objeto de determinada substância e em forma de anel é

localizado aproximadamente no centro, na região vazia.

CINEMÁTICA ESCALAR

É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos, sem se preocupar com

as causas destes movimentos.

CONCEITOS

Ponto material: na cinemática, em geral, não levamos em conta as dimensões do

corpo cujo movimento está em estudo e assim esse corpo é denominado ponto



material. Um automóvel é um ponto material em relação à Terra, que é um ponto

material em relação ao Universo.

Movimento: um corpo está em movimento quando sua posição varia em relação a

um referencial à medida que o tempo passa. Do contrário, o corpo está em

repouso.

Referencial: é o ponto ou conjunto de pontos usado para estudar o movimento de

um corpo. Exemplo: o motorista de um veículo numa estrada está em movimento

em relação à uma pessoa parada no acostamento, mas está parado em relação ao

banco do carro. Dependendo do referencial, o corpo pode estar em movimento ou

não. Daí dizermos que o movimento de um corpo é relativo ou dependente do

referencial.

Móvel: é o corpo que está em movimento

Trajetória: é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no

decorrer do tempo. A trajetória também depende do referencial. Por exemplo, um

objeto lançado por um avião, cai numa trajetória parabólica para um observador

terrestre, mas para um observador dentro do avião a trajetória é vertical.

Geralmente, o estudo dos movimentos contempla trajetória retilínea (linha reta) e

curvilínea (curva, incluindo o circular)

Distância percorrida (d): é o comprimento do percurso que um móvel realiza

num dado movimento.

Posição (x ou s – nós vamos usar a letra s para descrever a posição do corpo): é

uma medida que fornece a distância entre o ponto da trajetória em que o corpo

está e o ponto escolhido como referência). A unidade internacional de distância é o

metro (m).

Deslocamento: é a medida do segmento que representa a distância entre a

posição inicial e a posição final do movimento estudado.



Exercícios

A) Observe a figura e responda

Qual a posição do corpo no instante t=1h? e no instante t=2h? Qual ponto

representa a origem das posições ou dos espaços? Um carro partiu da origem

s0=0Km, foi até a posição s1=5km, voltou à origem e foi até a posição s2=-3Km.

Responda: a) qual a distância percorrida? B) qual o deslocamento realizado?

B) Um garoto percorre os lados de um terreno retangular de dimensões 40m e

80m. Qual a distância percorrida em duas voltas completas? Qual a distância

percorrida e o deslocamento no percurso

Velocidade Escalar Média: é a divisão do espaço percorrido pelo tempo gasto no

percurso. Exemplo: um atleta corre 18 Km em 1h e 30 min. Qual sua velocidade

escalar média? V=18 1,5 =12 Km/h. No Sistema Internacional de Medidas a

velocidade é dada em m/s. Calcule no exemplo acima a velocidade do atleta em

m/s.

Conversão de Km/h em m/s -> divide pelo fator 3,6 e para converter de m/s

em km/h multiplica por 3,6.

A fórmula clássica da velocidade escalar média é:

Vm=Δ𝑺 Δ𝒕=𝑺𝟐−𝑺𝟏 𝒕𝟐−𝒕𝟏 ,

onde ΔS é o espaço percorrido e Δt é o tempo gasto no percurso

Exercícios:

A) Um atleta percorre uma milha terrestre em 5 minutos. Sabendo que uma milha

terrestre equivale a 1609m, qual a velocidade escalar média desse atleta em:

milhas/hora? Em Km/h? Em m/s?

B) Quando se diz que a velocidade de um navio é 10 nós, queremos dizer que a sua

velocidade é de 10 milhas marítimas por hora. Sabendo-se que uma milha marítima

é igual a 1852m, qual a velocidade desse navio em km/h? e em m/s?



C) Um veículo percorre, inicialmente, 40 Km de uma estrada em 0,5h. A seguir

percorre mais 60Km, em 1h e 30 min. Determine a velocidade escalar média do

veículo, em km/h, durante todo o percurso.

D) A Figura representa a trajetória de um caminhão de entregas que parte de A, vai

até B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminhão mantém uma velocidade

escalar média de 30Km/h; na volta, de B até A gasta 6,0 minutos. Qual o tempo

gasto pelo caminhão para ir de A até B? Qual a velocidade escalar média do

caminhão quando vai de B para A?

Aceleração Escalar (a): é uma grandeza que representa a variação da

velocidade dividida pelo tempo em que esta variação acontece. É calculada por

a = Vinicial Vfinal

t

Exemplo: a) Uma aceleração de 2m/s2 significa que a velocidade do móvel

aumenta 2 m/s a cada segundo de movimento. Se ele parte do repouso, em dois

segundos sua velocidade será de 4m/s. E em 5s? b) Se um móvel possui uma

velocidade inicial de 20m/s e, de repente, passa a ter uma aceleração constante de

5 m/s2, podemos dizer que, em um segundo, a nova velocidade é de 25 m/s.

DINÂMICA - LEIS DE NEWTON

PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA: na ausência de

forças, um corpo em repouso permanecerá em repouso e um corpo em movimento

estará se movimentando em linha reta e com velocidade constante.

Exemplos: Um ônibus lotado com velocidade de 120Km/h. De repente ele pára. Os

passageiros são atirados para a frente como se uma força os empurrasse. Na

realidade, não há força atuando. O que ocorre é que os passageiros estavam com a

velocidade de 120 Km/h e a tendência deles é continuar nessa velocidade. Dizemos

que a tendência é manter-se em movimento. Isso se chama inércia. Os passageiros

somente irão parar se uma força atuar sobre eles, no caso o choque com a pessoa

da frente ou com os assentos do ônibus.

SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DAS MASSAS: a aceleração de um

corpo é proporcional à resultante das forças nele aplicada e tem a mesma direção e

sentido que esta resultante.

Então: F=m.a (onde F é a resultante das forças, m é a massa do corpo e a é a

aceleração).

A unidade de força no S.I é Newton (N), a massa é dada em Kg(quilogramas) e a

aceleração em m/s2.

Peso e massa: Peso ou força gravitacional é a força que o planeta aplica sobre os

corpos, puxando-os para baixo. O peso depende da aceleração da gravidade (g) no

local onde está o corpo. É uma grandeza vetorial cuja direção e sentido dirigem-se

ao centro de gravidade do corpo responsável pela gravidade. No caso da Terra, o

Peso sempre é aplicado no centro da Terra.

Peso=massa (Kg).aceleração da gravidade(m/s2) ou P=m.g

TERCEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO: sempre que

um corpo exerce uma força (ação) sobre outro, este exerce sobre o primeiro uma



força de mesmo valor em módulo, mesma direção e sentido contrário ao da força

original (reação). Algumas coisas a serem lembradas sobre os pares ação-reação:

As forças de ação e reação nunca se anulam pois são aplicadas em corpos

diferentes

Tem o mesmo valor numérico

Possuem sempre a mesma direção, mas sentidos contrários

Exemplos: Quando chutamos uma bola, ela exerce uma força igual em módulo no

nosso pé. Nos aviões a propulsão a jato, os gases saem pelas turbinas num sentido

(ação) e o avião se movimenta no sentido oposto (reação). Quando caminhamos

exercemos uma força sobre o chão e este exerce uma força igual em nossos pés. A

Terra atrai a Lua com uma força de intensidade igual à que a Lua atrai a Terra.

Exercícios:

A) Qual a aceleração adquirida por um móvel de 12Kg, submetido a uma força

constante de 45N?

B) Um corpo de massa 10Kg com movimento retilíneo e velocidade inicial de 3m/s

adquire em 5s a velocidade de 45 m/s. Qual o valor da força aplicada?

C) Num corpo colocado sobre uma superfície sem atrito, atuam duas forças, F1 e

F2, que valem respectivamente 12N e 4N. Sabendo-se que a massa do bloco vale

2Kg, calcular:

a. A força resultante

b. A aceleração do sistema

D) Considere dois blocos m1 e m2, respectivamente , com massas iguais a 6Kg e

4Kg, colocados num plano horizontal da figura. Sabendo-se que a força F aplicada

vale 50N, calcular:

a. A aceleração do sistema

b. A tensão no cabo que une os dois blocos

E) Na figura m1 e m2 valem, respectivamente, 8Kg e 2Kg. Sabendo-se que não

existe atrito, calcular:

a. A força resultante

b. A aceleração do sistema

c. A tensão da corda que une os blocos

F) Qual seria o peso de uma pessoa que tem massa de 60 Kg

Curso Técnico em Refrigeração e Climatização

SMS – Segurança, Meio Ambiente e Saúde



Histórico

Quando estudamos documentos relacionados à Segurança do Trabalho vemos algumas

referências aos riscos profissionais. Hipócrates, quatro séculos antes de Cristo, fez menção à

existência de moléstias entre mineiros e metalúrgicos. Plínio, o Velho, no início da Era Cristã,

descreveu moléstias do pulmão e envenenamento entre mineiros, pelo manuseio do enxofre e

do zinco. Galeno, no século II, citou moléstias profissionais entre trabalhadores das ilhas do

Mediterrâneo.

Georgius Agrícola (forma latina de Georg Bauer). Médico, era estudioso de todos os aspectos

da mineralogia e da indústria metalúrgica e iniciou um estudo de 25 anos que culminou na sua

obra-prima publicada postumamente: “De re metallica” (1556), um tratado de mineralogia e

metalurgia. O tratado, com doze capítulos, inclui 292 gravuras em madeira cuidadosamente

entalhadas e estuda problemas relacionados à extração e à fundição da prata e do ouro. A

obra discute acidentes do trabalho e doenças comuns entre mineiros, destacando-se a “asma

dos mineiros”, provocada por poeiras que Agrícola denominava “corrosivas”. A descrição dos

sintomas indica que se tratava de silicose.

Ainda no século XVI, Paracelso escreveu a primeira monografia sobre a relação entre trabalho

e doença: “Von Der Birgsucht Und Anderen Bergrank Heiten”. Nela foram mostrados os

sintomas da intoxicação pelo mercúrio.

Em 1700 publicou-se na Itália “De Morbis Artificum Dia Triba” do médico Bernardino

Ramazzini, “o pai da medicina do trabalho”. Nessa obra foram descritas cerca de cem

profissões e os riscos específicos de cada uma delas. Descrições baseadas nas observações

clínicas do autor que sempre perguntava aos pacientes: ”Qual a sua ocupação ?”.

Com a invenção da máquina de fiar, ocorreu na Inglaterra a Revolução Industrial. Até aí, o

artesão era dono dos seus meios de produção. O alto custo das máquinas não mais permitiu

que o artesão as possuísse. Quando os capitalistas viram as chances de lucro, decidiram

comprar máquinas e empregar pessoas para fazê-las funcionar. Surgiram assim as primeiras

fábricas de tecidos e, com elas, o Capital e o Trabalho.

Com o advento das máquinas a vapor, a indústria, que não precisava mais dos rios para fazer

as máquinas movimentarem-se, veio para as cidades, onde havia farta mão-de-obra. No

crescimento desenfreado das fábricas não havia cuidados quanto à saúde da mão-de-obra,



constituída de homens, mulheres e crianças. Chegou-se ao cúmulo de se vender crianças para

suprir a mão de obra. No final do século XVIII, a indústria inglesa ofereceu melhores salários

mas causou problemas ocupacionais sérios: altos índices de acidentes e de moléstias

profissionais eram causados pelo trabalho em máquinas sem proteção, pelo trabalho

executado em ambientes fechados onde a ventilação era precária e o ruído atingia limites

altíssimos e pela inexistência de limites de horas de trabalho.

Em 1802 o Parlamento Britânico aprovou a 1ª lei de proteção ao trabalhador: a “Lei de Saúde e

Moral dos Aprendizes”, que estabeleceu o limite de 12 horas de trabalho por dia, proibiu o

trabalho noturno, obrigou os empregadores a lavar as paredes das fábricas duas vezes por ano

e tornou obrigatória a ventilação destas.

Três décadas mais tarde, uma comissão parlamentar de inquérito sobre doenças do trabalho

elaborou um relatório que concluía: “Diante desta Comissão desfilou longa procissão de

trabalhadores - homens e mulheres, meninas, abobalhados, doentes, deformados, degradados

na sua qualidade humana. Cada um deles era a evidência de uma vida arruinada, um quadro

vivo de uma crueldade humana do homem para com o homem, uma impiedosa condenação

daqueles legisladores que, quando em suas mãos detinham poder imenso, abandonaram os

fracos à capacidade dos fortes”.

A denúncia da Comissão fez com que, em 1833, surgisse a 1ª lei realmente eficiente de

proteção ao trabalhador: a “Lei das Fábricas” (Factory Act). Criava restrições às empresas

têxteis em que fosse usada a força hidráulica ou a vapor; proibia o trabalho noturno aos

menores de 18 anos e limitava as horas de trabalho destes a 12 por dia e 60 por semana; as

fábricas eram obrigadas a ter escolas, que seriam freqüentadas pelos trabalhadores menores

de 13 anos; a idade mínima para o trabalho era de 9 anos, e um médico devia atestar que o

desenvolvimento físico da criança correspondia à sua idade.

Em 1867 incluiu-se nesta lei mais moléstias e estipulou-se a proteção das máquinas e a

ventilação mecânica para o controle de poeiras; proibiu-se a ingestão de alimentos nos

ambientes sob atmosferas nocivas da fábrica. Foi na Grã-Bretanha onde primeiro foram

registradas medidas em atenção à boa saúde do trabalhador. Lá foi criado o 1º órgão

fiscalizador do Ministério do Trabalho para apurar doenças profissionais e realizar exames

médicos pré-admissionais e periódicos.



A evolução da Revolução Industrial resultou no aparecimento dos serviços de saúde

ocupacional em vários países europeus. Na França, em 1946, tornou-se obrigatória a existência

de serviços de saúde ocupacional em estabelecimentos, industriais ou comerciais, onde

trabalhassem mais de dez pessoas. Mais recentemente, na Espanha e em Portugal, outras leis

obrigaram à criação de serviços de saúde ocupacional em empresas com mais de quinhentos

trabalhadores.

Nos Estados Unidos os serviços de saúde ocupacional não existiam até a entrada em vigor de

leis sobre indenizações em casos de acidente de trabalho. Por isso, os empregadores

estabeleceram, no início deste século, os primeiros serviços de saúde ocupacional com o

principal objetivo de reduzir o custo das indenizações.

Em meados do século a importância da proteção dos trabalhadores atingiu a Organização

Internacional do Trabalho (OIT) e a Organização Mundial de Saúde (OMS). Assim, a 43ª

Conferência Internacional do Trabalho estabeleceu a “Recomendação para os serviços de

saúde ocupacional, 1959” que determinava serem objetivos dos serviços de saúde ocupacional

instalados em um estabelecimento de trabalho, ou em suas proximidades:

1) Proteger os trabalhadores contra riscos à sua saúde, que possam decorrer do seu

trabalho ou das condições em que este é realizado.

2) Contribuir para o ajustamento físico e mental do trabalhador, obtido especialmente

pela adaptação do trabalho aos trabalhadores, e pela colocação destes em atividades

profissionais para as quais tenham aptidões.

3) Contribuir para o estabelecimento e a manutenção do mais alto grau possível de bem-

estar físico e mental dos trabalhadores.

No Brasil as estatísticas sobre doenças profissionais e sobre acidentes do trabalho eram tão

alarmantes que o Governo Federal baixou a portaria 3.237, de 17 de julho de 1972, que tornou

obrigatória a existência de Serviços de Medicina do Trabalho e de Engenharia de Segurança do

Trabalho em todas as empresas com mais de cem trabalhadores. A Lei nº 6.514, de 22 de

dezembro de 1977 e as normas regulamentadoras aprovadas pela portaria nº 3.214, de 8 de

junho de 1978 dão continuidade à legislação de proteção ao trabalhador brasileiro.

Atualmente são trinta e cinco as normas regulamentadoras do trabalho:

NR – 01 - Disposições GeraisNR – 02 - Inspeção Prévia NR – 03 - Embargo ou interdição



NR – 04 - Serviços Especializados em Engenharia de Segurança e Medicina do Trabalho – SESMT NR – 05 - Comissão Interna de Prevenção de Acidentes – CIPA NR – 06 - Equipamento de proteção Individual – EPI NR – 07 - Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional – PCMSO NR – 08 - Edificações NR – 09 - Programa de prevenção de riscos ambientais – PPRA NR – 10 –Segurança em instalações e serviços em eletricidade NR – 11 - Transporte, movimentação, armazenagem e manuseio de materiais NR – 12 –Segurança no trabalho em máquinas e equipamentos NR – 13 - Caldeiras e vasos de pressão NR – 14 - Fornos NR – 15 - Atividades e operações insalubres NR – 16 - Atividades e operações perigosas NR – 17 - Ergonomia NR – 18 - Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção. NR – 19 - Explosivos NR – 20 - Líquidos combustíveis e inflamáveis NR – 21 - Trabalho a céu aberto NR – 22 – Segurança e saúde ocupacional na mineração NR – 23 - Proteção contra incêndios NR – 24 - Condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho NR – 25 - Resíduos industriais NR – 26 - Sinalização de segurança NR – 27 - Registro profissional do técnico de segurança do trabalho no Ministério do Trabalho NR – 28 - Fiscalização e penalidades NR – 29 – Segurança e saúde no trabalho portuário NR - 30 – Segurança e saúde no trabalho aquaviário NR – 31 – Segurança e saúde no trabalho na agricultura, pecuária, silvicultura, exploração florestal e aquicultura NR – 32 – Segurança e saúde no trabalho em serviços de saúde NR – 33 – Segurança e saúde nos trabalhos em espaços confinados NR – 34 – Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção civil e reparação naval NR – 35 – Trabalho em altura

ACIDENTES DO TRABALHO

2.1 - ACIDENTES DO TRABALHO

Os acidentes no trabalho causam, em qualquer comunidade, prejuízos que são um sério

obstáculo ao desenvolvimento sócio-econômico de um país porque debilitam o trabalhador,

restringem a sua capacidade de produção além de poderem causar danos às máquinas,

equipamentos e instalações de uma empresa.



Para se determinar e combater as causas dos acidentes do trabalho é necessário,

primeiramente, conhecermos as definições de acidente do trabalho.

2.1.1 - CONCEITO LEGAL

No Brasil, o Decreto nº 61.784 de 28 de novembro de 1967, em seu Art. 3º assim define

acidente de trabalho:

2.1.2 - CONCEITO PREVENCIONISTA

De acordo com o conceito prevencionista: Ex.: A queda de um objeto do empilhamento mal

feito, sem vítima. No conceito legal o legislador se interessou em definir o acidente para

proteger o trabalhador acidentado garantindo-lhe o pagamento do salário enquanto estiver

impossibilitado de trabalhar, ou indenizando-o quando houver lesão incapacitante

permanente. O conceito prevencionista, alertanos que o ferimento é apenas uma das

conseqüências do acidente, pois o acidente pode ocorrer sem provocar lesões.

Estatísticas mostram que em cada 300 acidentes do trabalho, 272 são acidentes sem lesões, 27

são acidentes que causam lesões leves e apenas 1 causa lesões graves.

Acidente do Trabalho será aquele que ocorrer pelo exercício do trabalho, a serviço da empresa,

provocando lesão corporal, perturbação funcional ou doença que cause a morte ou a perda ou

redução permanente ou temporária, da capacidade para o trabalho.

Acidente do Trabalho é um fato inesperado, não planejado, que interrompe ou interfere num

processo normal de trabalho, resultando em lesão e/ou danos materiais e/ou perda de tempo.

Como não podemos prever se de um acidente vai resultar, ou não, uma lesão no trabalhador,

concluímos que devemos tentar evitar todo e qualquer tipo de acidente.

2.1.3 - CASOS CONSIDERADOS COMO ACIDENTES DO TRABALHO

O acidente sofrido no local e no horário do trabalho em consequência de:

ato de agressão, sabotagem ou terrorismo praticado por terceiros ou companheiros de

trabalho;

ofensa física intencional, inclusive de terceiro, por motivo de disputa relacionada ao

trabalho;

ato de imprudência, de negligência ou de imperícia de terceiros ou de companheiro de

trabalho;



ato de pessoa privada do uso da razão;

desabamento, inundações, incêndio e outros casos fortuitos ou decorrentes de força

maior;

A doença proveniente de contaminação acidental do empregado no exercício de sua

atividade;

O acidente sofrido pelo segurado, ainda que fora do local e horário de trabalho:

na execução de ordem ou na realização de serviço sob a autoridade da empresa;

na prestação espontânea de qualquer serviço à empresa para lhe evitar prejuízo ou

proporcionar proveito;

em viagem a serviço da empresa, inclusive para estudo quando financiada por estar

dentro de seus planos para melhor capacitação da mão-de-obra, independentemente

do meio de locomoção utilizado, inclusive veículo de propriedade do segurado;

no percurso da residência para o local de trabalho ou deste para aquela, qualquer que

seja o meio de locomoção, inclusive veículo de propriedade do segurado.

Entende-se como percurso o trajeto usual da residência ou do local de refeição para o

trabalho, ou deste para aqueles, locomovendo-se o empregado a pé ou valendo-se de

transporte da empresa ou próprio ou da condução normal. O Decreto estabelece ainda, que no

período destinado à refeição ou descanso, ou por ocasião de satisfação de outra necessidade

fisiológica, no local ou durante o horário de trabalho, o empregado será considerado a serviço

da empresa.

Para fins legais, equipara-se ainda ao acidente do trabalho:

doença profissional, assim entendida a produzida ou desencadeada pelo exercício do

trabalho peculiar a determinada atividade e constante da relação elaborada pelo

Ministério do Trabalho e da Previdência Social.

doença do trabalho, assim entendida a adquirida ou desencadeada em função de

condições especiais em que o trabalho é realizado e com ele se relacione diretamente.

Segundo a legislação em vigor, doença profissional é aquela inerente a determinado ramo de

atividade. Podem ser relacionadas como doenças do trabalho, resultantes das condições

especiais em que a atividade se realiza: a epilepsia, quando decorre de um acidente de

trabalho; a lepra, quando o trabalho obriga o contato permanente com hansenianos; o câncer,

quando o trabalhador está sujeito às poeiras ou trabalho em ambiente cancerígeno; a neurose,



quando a sua manifestação ocorre ao tempo do trabalho ou é atribuída às condições em que

ele se realiza.

A doença profissional ou do trabalho, para que se equipare a o acidente do trabalho, deverá

acarretar incapacidade temporária ou permanente para o trabalho.

Não são consideradas como doença do trabalho:

a doença degenerativa;

a inerente ao grupo etário;

a que não produza incapacidade laborativa;

a doença endêmica adquirida por segurado habitante de região em que ela se desenvolva

salvo comprovação de que é resultante de exposição ou contato direto determinado pela

natureza do trabalho.

IMPORTANTE: Todo o acidente do trabalho, por mais leve que seja, deverá ser comunicado à

empresa, que providenciará a CAT - Comunicação de Acidente do Trabalho, até o primeiro dia

útil seguinte ao da ocorrência e, em caso de morte, de imediato.

A CAT deverá ser preenchida em seis vias, com a seguinte destinação:

1ª via - ao INSS;

2ª via - à empresa;

3ª via - ao segurado ou dependente;

4ª via - ao sindicato de classe do trabalhador;

5ª via - ao Sistema Único de Saúde-SUS;

6ª via - à Delegacia Regional do Trabalho.

A entrega das vias da CAT compete ao emitente da mesma, cabendo a este comunicar ao

segurado ou seus dependentes em qual Agência da Previdência Social foi registrada. A

Comunicação de Acidente do Trabalho deverá ser feita pela empresa, ou na falta desta o

próprio acidentado, seus dependentes, a entidade sindical competente, o médico assistente

ou qualquer autoridade pública.

No caso de doença profissional ou do trabalho, considera-se como dia do acidente a data da

comunicação desta à empresa ou, na sua falta, a da entrada do pedido do benefício no INSS, a

partir de quando serão devidas as prestações cabíveis.



No final deste capítulo, você encontrará um formulário de CAT

2.1.3.1 - DIFERENÇA ENTRE DOENÇA E ACIDENTE DO TRABALHO

Entre o acidente do trabalho e a doença profissional há uma tênue diferença que, muitas

vezes, é impossível descobrir.

O acidente pode ser provocado intencionalmente pelo empregado.

O acidente acontece de modo instantâneo e violento.

A doença pode ser simulada mas não pode ser criada pelo empregado. Tem uma duração.

Não aparece num momento, provocando a lesão corporal, ou a perturbação funcional, ou

a morte. Ela se apresenta internamente num processo silencioso.

A causa do acidente-tipo é externa.

2.2 – CAUSAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO

Do ponto de vista prevencionista, causa de acidente é qualquer fator que, se fosse eliminado,

teria evitado o acidente. As causas dos acidentes podem decorrer de fatores pessoais ou

materiais.

O reconhecimento das causas pode ser fácil, como no caso de um degrau quebrado de uma

escada, ou difícil, quando se precisa determinar as causas de uma sequência em cadeia que

originaram o acidente. Pode-se dizer que a maioria dos acidentes tem mais de uma causa.

As causas fundamentais dos acidentes do trabalho são classificadas como atos inseguros,

condições inseguras e fatores pessoais de insegurança.

2.2.1 – ATOS INSEGUROS

Atos inseguros são as ações ou omissões, maneiras pelas quais o trabalhador se expõe,

voluntariamente ou não, a riscos de acidentes.

Responsáveis por 80% dos acidentes, os atos inseguros mais comuns são:

Brincadeiras em serviço (ofender, distrair, assustar, discutir, jogar objetos, gritar, etc.);

Desconhecimento das regras de segurança ou dos métodos seguros de trabalho;

Emprego incorreto das ferramentas ou de ferramentas sabidamente defeituosas;

Excesso de confiança dos que se julgam imunes a acidentes;

Fadiga física ou mental, que pode prejudicar os reflexos normais do trabalhador.



Falta de habilidade para o desempenho da atividade (pode ocorrer por treinamento

insuficiente);

Levantamento de cargas de forma imprópria;

Negligência, como no caso do trabalhador que não usa os EPI’s recomendados;

Permanecer sob cargas suspensas ou em locais perigosos, junto a máquinas ou à passagem

de veículos;

Remover dispositivos de proteção ou alterar o seu funcionamento, tornando-os

ineficientes;

Realizar operações para as quais não esteja devidamente autorizado;

Trabalhar, sem necessidade, com equipamento em movimento ou perigoso (manutenção,

reparo e lubrificação de máquinas em movimento e realização de trabalhos em

equipamentos elétricos energizados);

Usar vestimentas inadequadas (salto alto, mangas compridas, gravatas soltas, cabelos

compridos soltos, anéis, pulseiras, etc.);

Uso inadequado de equipamentos (sobrecarregar veículos, andaimes, etc.);

Velocidades perigosas (operar máquinas em suas velocidades limites ou em velocidades

inseguras, pular de locais elevados, atirar materiais ao invés de transportá-los, etc.).

Não são considerados como atos inseguros os que emanarem da chefia ou as ações realizadas

em obediência às instruções de superiores. Estes casos devem ser considerados como

condições inseguras.

2.2.2 – CONDIÇÕES INSEGURAS

São responsáveis por 18% dos acidentes.

Exemplos de condições inseguras:

Condições inseguras de um ambiente de trabalho são as falhas, defeitos, irregularidades

técnicas, carências de dispositivos de segurança, e outras que põem em risco a integridade

física ou a saúde do trabalhador ou a própria segurança das instalações e equipamentos.

Arranjos físicos e arrumações perigosas (empilhamento perigoso, armazenagem irregular

ou perigosa, passagens obstruídas, etc.);

Condições defeituosas dos equipamentos (grosseiro, cortante, corroído, fraturado, de

qualidade inferior, etc.);



Condições precárias das instalações físicas (escadas, tubulações, rampas, instalações e

pisos escorregadios, corroídos, sobrecarregados, mal conservados ou quebrados);

Construções ou projetos inseguros;

Equipamentos de proteção defeituosos ou mal sinalizados (extintores descarregados ou

com a carga vencida);

Iluminação ou ventilação incorreta ou inadequada;

Má distribuição de horários e tarefas;

Material mal identificado ou não identificado;

Proteção mecânica ou elétrica inadequada (falta de aterramento em instalações elétricas);

Operações e processos perigosos;

Riscos naturais provenientes de irregularidades e instabilidades dos solos, intempéries,

animais selvagens (nos trabalhos externos ou “a céu aberto”).

Importante: Não devemos confundir a condição insegura com o risco inerente de certas

operações industriais. Por exemplo: a corrente elétrica é um risco inerente aos serviços que

envolvem eletricidade. Instalações elétricas mal feitas ou improvisadas, fios expostos, etc., são

condições inseguras.

2.2.3 – FATOR PESSOAL DE INSEGURANÇA

A caracterização do fator pessoal de insegurança não é fácil, exigindo o exame apurado das

circunstâncias em que ocorreu o acidente. O fator pessoal de insegurança, como o ato

inseguro, não é necessariamente causado pelo trabalhador acidentado, podendo ser

provocado por terceiros.

Os fatores pessoais de insegurança predominantes são:

Alcoolismo ou uso de substâncias tóxicas ou de drogas;

Conhecimento ou treinamento insuficiente;

Defeito físico ou incapacidade física para o serviço executado (principalmente órgãos do

sentido);

Desconhecimento do risco ou de práticas seguras para a execução do serviço;

Desrespeito às instituições e normas de segurança;

Falta de interesse pela atividade que desempenha;

Má interpretação do perigo;

Nervosismo ou excesso de confiança;

Preocupação com outros problemas;



Problemas de saúde não tratados (mentais e nervosos);

Problemas diversos de ordem social;

Problemas familiares.

Fator pessoal de insegurança é a característica mental ou física que leva o trabalhador à

prática do ato inseguro.

2.3 - CONSEQÜÊNCIAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO

Muitas vezes, pior que o próprio acidente são as suas consequências. Todos perdem. Perde o

empregador, com a perda da mão-de-obra, de material, de equipamentos, de tempo, e,

consequentemente, com a elevação dos custos operacionais. Perde o governo, com o número

crescente de inválidos e dependentes da Previdência Social. Perde o empregado, que fica

incapacitado temporária ou permanentemente para o trabalho, de forma total ou parcial, e a

sua família que passa a ter o padrão de vida afetado pela falta dos ganhos normais.

Um acidente do trabalho pode levar o trabalhador a se ausentar da empresa por apenas

algumas horas, quando é chamado de acidente sem afastamento. É o que ocorre, por

exemplo, quando o acidente resulta num pequeno corte no dedo, e o trabalhador retorna em

seguida. Outras vezes, um acidente pode deixar o trabalhador impedido de realizar suas

atividades por dias seguidos, ou meses, ou de forma definitiva. Se o trabalhador não retornar

ao trabalho imediatamente ou até a jornada seguinte temos o chamado acidente com

afastamento, que pode resultar:

a) Na incapacidade temporária, que é a perda da capacidade para o trabalho por um

período limitado de tempo, após o qual o trabalhador retorna às suas atividades

normais.

b) Na incapacidade total e permanente, que é a invalidez para o trabalho.

c) Na incapacidade parcial permanente, que é a diminuição, para o resto da vida, da

capacidade física total para o trabalho desenvolvido. É o que acontece, por exemplo,

quando ocorre a perda de um dedo ou de uma vista.

2.3.1 - PREJUÍZOS IMEDIATOS PARA O GOVERNO

a) Pagamento, através do INSS, de benefícios previdenciários ao trabalhador acidentado

ou a seus dependentes.



b) pagamento de despesas médico-hospitalares no tratamento do acidentado, inclusive

com o fornecimento de próteses.

c) despesas com a reabilitação profissional do trabalhador acidentado.

d) assistência reeducativa e readaptativa profissional: Reeducativa quando, depois da

assistência, o funcionário retorna para a mesma função; Readaptativa quando, após a

assistência, o funcionário vai para outra função.

Os principais benefícios concedidos pela Previdência Social, através do INSS quando da

ocorrência de acidentes do trabalho são: (Regulamento dos “Benefícios da Previdência Social”

aprovado pelo decreto no. 2.172, de 05/03/97)

Reabilitação Profissional: Serviço que o INSS coloca à disposição de seus segurados,

inclusive aposentados e dependentes. Tem como objetivo proporcionar aos segurados e

dependentes incapacitados (parcial ou totalmente), os meios indicados para a

(re)educação e (re)adaptação profissional e social, de modo que possam voltar a participar

do mercado de trabalho. O atendimento é feito por uma equipe multidisciplinar, que

envolve médicos, assistentes sociais, psicólogos, sociólogos, fisioterapeutas, entre outros.

O serviço é extensivo aos dependentes, de acordo com as disponibilidades técnico-

financeiras do INSS.

Auxílio-doença: Beneficio previdenciário devido ao segurado que ficar temporariamente

incapacitado para o seu trabalho ou atividade habitual por mais de 15 dias consecutivos. A

empresa paga os primeiros 15 dias de afastamento. O INSS paga a partir do 16° dia de

afastamento. O valor do auxílio doença acidentário corresponde a 91% do salário de

benefício.

O auxílio-doença deixa de ser pago:

quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;

quando este benefício se transformar em aposentadoria por invalidez;

quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia do INSS;

quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho.

OBS.: Não são devidas as prestações relativas ao acidente do trabalho:

ao empregado doméstico;

ao contribuinte individual;



ao facultativo.

Auxílio-acidente: benefício que é concedido, como indenização, ao segurado empregado,

trabalhador avulso, segurado especial e ao médico residente que estiver recebendo

auxílio-doença, quando a consolidação das lesões decorrentes de acidente de trabalho

resultarem em sequela definitiva que implique redução da capacidade para o trabalho

e/ou impossibilite o desempenho da atividade exercida na época do acidente. O auxílio-

acidente será devido a partir do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença. O seu valor

corresponde a 50% do salário de benefício que deu origem ao auxílio doença do segurado,

corrigido até o mês anterior ao do início do auxílio acidente e será devido até a véspera de

início de qualquer aposentadoria ou até a data do óbito do segurado.

Aposentadoria por invalidez: É o benefício a que tem direito o segurado que, estando ou

não recebendo auxílio-doença, for considerado incapaz para o trabalho e não sujeito à

reabilitação para o exercício de atividade que lhe garanta a subsistência. Não é concedida

aposentadoria por invalidez ao segurado que, ao filiar-se ao Regime Geral de Previdência

Social, já era portador da doença ou da lesão que geraria o benefício, salvo quando a

incapacidade decorreu de progressão ou agravamento dessa doença ou lesão.

A aposentadoria por invalidez começa a ser paga:

A contar do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença, caso o segurado o esteja

recebendo.

Para o segurado que não recebe auxílio-doença:

para o segurado empregado a partir do 16º dia de afastamento da atividade ou a partir da

data da entrada do requerimento, se entre o afastamento e a entrada do requerimento

decorrerem mais de 30 dias.

para os demais segurados a partir da data do início da incapacidade ou;

a partir da data da entrada do requerimento, quando requerido após o 30º dia do

afastamento da atividade.

A aposentadoria por invalidez deixa de ser paga:

quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;

quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho;

quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia médica do INSS.



O valor da aposentadoria por invalidez é 100% do salário de benefício, caso o segurado não

estivesse recebendo auxílio-doença. Se o segurado necessitar de assistência permanente de

outra pessoa, a critério da perícia médica, o valor será aumentado em 25% a partir da data de

sua solicitação.

Aposentadoria especial - É o benefício a que tem direito o segurado, que tiver trabalhado

durante 15, 20 ou 25 anos, conforme o caso, sujeito a condições especiais que

prejudiquem a sua saúde ou integridade física. O segurado deverá comprovar, além do

tempo de trabalho, efetiva exposição aos agentes nocivos químicos, físicos, biológicos ou

associação de agentes prejudiciais a saúde ou integridade física, pelo período equivalente

ao exigido para a concessão do benefício.

Considera-se tempo de trabalho, os períodos correspondentes ao exercício de atividade

permanente e habitual (não ocasional nem intermitente), durante toda a jornada de trabalho.

A comprovação da efetiva exposição do segurado aos agentes nocivos será feita em formulário

próprio do INSS, preenchido pela empresa ou seu preposto com base em laudo técnico de

condições ambientais de trabalho, expedido por médico do trabalho ou engenheiro de

segurança do trabalho, nos termos da legislação trabalhista.

O INSS exige carência para este benefício:

180 contribuições mensais para o segurado inscrito a partir de 25.07.91;

Os inscritos até 24.07.91 devem obedecer a uma tabela progressiva de carência.

A aposentadoria especial começa a ser paga:

Para o segurado empregado:

a partir da data do desligamento do emprego, quando requerida até 90 dias após o

desligamento.

a partir da data da entrada do requerimento, quando não houver desligamento do

emprego ou quando for requerida após 90 dias do desligamento.

Para o trabalhador avulso:

a partir da data da entrada do requerimento.

O valor da aposentadoria especial é 100% do salário de benefício. O aposentado por tempo de

contribuição, especial ou idade pelo Regime Geral de Previdência Social que permanecer ou



retornar à atividade sujeita a este regime, não fará jus a prestação alguma da Previdência

Social em decorrência do exercício dessa atividade, exceto ao salário família, salário

maternidade e à reabilitação profissional.

Pensão por morte: É o benefício a que têm direito os dependentes do segurado que

falecer.

Há três classes de dependentes:

Classe I: o cônjuge, a companheira, o companheiro e o filho não emancipado, de qualquer

condição, menor de 21 anos ou inválido;

Classe II: os pais;

Classe III: o irmão, não emancipado, de qualquer condição, menor de 21 anos ou inválido.

Observações: Por determinação judicial proferida em Ação Civil Pública também fará jus a

pensão por morte quando requerida por companheiro ou companheira homossexual.

A condição de invalidez do dependente maior de 21 anos deverá ser atestada pela perícia do

INSS. Enteados e tutelados equiparam-se a filhos. Havendo dependentes de uma classe, os

dependentes da classe seguinte perdem o direito à pensão por morte. Também perde o direito

ao benefício o dependente que passar à condição de emancipado.

A pensão por morte começa a ser paga:

a partir da data do óbito do segurado, se requerida até 30 dias do falecimento;

a partir da data do requerimento, se requerida após 30 dias do falecimento;

a partir da data da decisão judicial, quando se tratar de morte presumida.

A pensão por morte deixa de ser paga:

Pelo falecimento do pensionista;

Pela extinção da cota do último pensionista;

Se quem recebe a pensão é o filho ou o irmão, o benefício deixa de ser pago quando esse

dependente se torna emancipado, ou completa 21 anos (a menos que seja inválido);

Se quem recebe a pensão é inválido, o benefício deixa de ser pago cessar a invalidez.

O valor da pensão por morte corresponde a 100% do valor da aposentadoria que o segurado

recebia quando faleceu ou 100% da aposentadoria por invalidez a que teria direito na data do

óbito.



Todos os benefícios baseiam-se no salário-beneficio (SB) que é igual:

à média aritmética simples dos 80% maiores salários de contribuição, corrigidos

monetariamente, a partir do mês 07/94 - para os inscritos até 28/11/99

à média aritmética simples dos maiores salários de contribuição correspondentes a 80% de

todo o período contributivo - para os inscritos a partir de 29/11/99

Observação: O trabalhador que sofrer acidente de trabalho tem garantia da manutenção do

contrato de trabalho até 12 meses após a cessação do acidente do trabalho.

2.3.1.1 – A DOENÇA E O ACIDENTE DO TRABALHO NO CONTRATO DE

EXPERIÊNCIA E NO AVISO PRÉVIO

Se, durante o contrato de experiência o empregado adoecer, a empresa pagará os primeiros

15 dias e ele entrará em auxílio-doença no INSS, do qual não sairá antes de vencidos os 90 dias

do contrato.

Se, a doença se aparecer no 80° dia do contrato, a empresa deverá pagar apenas os 10 dias

que faltam para o contrato terminar. O doente desempregado deverá passar a receber, de

imediato, o auxílio-doença.

De acordo com o Pleno do Tribunal Superior do Trabalho “O contrato por prazo determinado

não tem seu termo prorrogado em virtude de licença médica do empregado, salvo se houver

prévia estipulação das partes contratantes” (AC-TP 1975/85, DOU de 8/11/85).

Se, o empregado adoecer ou se acidentar no 20º dia do aviso prévio, a empresa deverá pagar-

lhe os 10 dias restantes e o contrato ficará rescindido. O INSS deverá, de imediato, conceder-

lhe o auxílio-doença. Porém, se a doença se apresentar no 10° dia do aviso prévio, a empresa

pagará os primeiros 15 dias e o empregado entrará em auxílio-doença. No trigésimo dia do

aviso prévio o contrato estará rescindido de acordo com o artigo 489 da CLT.



RISCOS AMBIENTAIS

Como visto no capítulo anterior, os riscos de operação, como por exemplo, máquinas

desprotegidas, pisos escorregadios e empilhamentos precários são chamados de condições

inseguras.

As condições inseguras relativas ao ambiente de trabalho, como por exemplo, a presença de

vapores tóxicos no processo de trabalho, o calor intenso ou o frio excessivo, são chamados de

riscos ambientais. Assim, definimos:

Estes riscos podem afetar o trabalhador de imediato ou a longo prazo, provocando acidentes

com lesões ou doenças do trabalho. A ocorrência das doenças do trabalho dependerá sempre

da ação simultânea de fatores relativos ao agente ambiental, à atividade profissional e a

susceptibilidade do indivíduo ao agente ambiental. Por causa disto, estes três fatores deverão

ser sempre estudados em conjunto para uma análise real do risco que os agentes ambientais

oferecem à saúde dos trabalhadores.

A legislação obriga que os riscos ambientais sejam eliminados ou minimizados em sua

intensidade ou exposição e assegura aos trabalhadores a percepção de adicionais por

insalubridade de até 40% sobre o salário mínimo sempre que a concentração, a intensidade ou

a exposição aos agentes nocivos exceder os limites de tolerância determinados na NR-15-

Atividades e Operações Insalubres.

3.1 – AGENTES AMBIENTAIS

Os fatores que originam as doenças do trabalho são chamados agentes ambientais e são

classificados, de acordo com a sua natureza e forma de atuação no organismo humano como

agentes físicos, agentes químicos, agentes biológicos, agentes ergonômicos e os riscos de

acidentes (mecânicos).

3.2 - RISCOS FÍSICOS

Os riscos físicos, causados pelos AGENTES FÍSICOS, normalmente estão relacionados com os

equipamentos utilizados no processo produtivo. São

RISCOS AMBIENTAIS são os riscos existentes nos ambientes de trabalho capazes de causar

danos à saúde do trabalhador em função de sua natureza, concentração ou intensidade e

tempo de exposição.



São eles: os ruídos, as vibrações mecânicas, as radiações ionizantes e as não ionizantes, o frio

ou o calor extremo, as pressões anormais e a umidade.

3.2.1 - O Ruído

Embora seja o risco profissional mais freqüente na indústria, nem sempre recebe a atenção

que merece. O ruído produz redução da capacidade auditiva do trabalhador e sua exposição

intensa e prolongada atua desfavoravelmente sobre o estado emocional do indivíduo.

3.2.2 - As Vibrações Mecânicas

De relativa freqüência na indústria, a vibração mecânica é subdividida em duas categorias:

vibrações localizadas e vibrações de corpo inteiro. As vibrações localizadas são características

de operações com ferramentas manuais elétricas ou pneumáticas e podem produzir, a longo

prazo, alterações neuro-vasculares nas mãos dos trabalhadores, problemas nas articulações

das mãos e braços além da osteoporose (perda da substância óssea).

As vibrações de corpo inteiro, a que estão sujeitos os operadores de grandes máquinas e

motoristas de caminhões e tratores, podem produzir problemas na coluna vertebral, dores

lombares, além de haver suspeita de causarem lesões nos rins.

3.2.3 - As Radiações ionizantes e não-ionizantes

As radiações são chamadas ionizantes porque produzem, nos materiais sobre os quais incidem,

a subdivisão de partículas inicialmente neutras em partículas eletricamente carregadas. São

provenientes de materiais radioativos como os raios Alfa, Beta e Gama ou são produzidas

artificialmente em equipamentos como o de raios X. A sua manipulação deve obedecer a

rigorosas normas de segurança e de proteção individual.

Os raios Alfa e Beta possuem menor poder de penetração nos organismos e oferecem menor

risco; mas os raios X e Gama, de natureza eletromagnética, possuem alto poder de penetração

e podem causar a anemia, a leucemia, o câncer e outras alterações genéticas que podem

comprometer fisicamente gerações futuras.

As radiações não-ionizantes são as de natureza eletromagnética e os seus efeitos dependem

de fatores como a duração, a intensidade de exposição, o comprimento de onda, etc.



Como exemplo temos:

Radiação infravermelha, ou calor radiante. É encontrada em siderúrgicas, metalúrgicas, na

fabricação do vidro e em trabalhos ao ar livre onde os operários ficam expostos à radiação

solar. Além da sobrecarga térmica imposta ao trabalhador pode causar queimaduras e

catarata.

A radiação ultravioleta é encontrada em operações com solda elétrica, fusão de metais e

no controle de qualidade de peças com lâmpadas especiais. Além de estar relacionada ao

câncer de pele, pode causar queimaduras, eritema e conjuntivite.

A radiação laser é utilizada largamente na indústria, nos trabalhos topográficos e

geodésicos, na medicina e nas telecomunicações. Os principais efeitos são as queimaduras

na pele e nos olhos que variam de gravidade de acordo com a intensidade e a duração da

exposição.

As micro-ondas são produzidas em instalações de radio transmissão e de radar e utilizadas

em telecomunicações, alguns processos de secagem de materiais. De acordo com a

intensidade das estações de transmissão ou com a energia liberada nos processos de

secagem, os operadores podem estar sujeitos à catarata, ao superaquecimento dos órgãos

internos, hipertensão, alterações no sistema nervoso central, aumento da atividade da

glândula tireoide, etc.

3.2.4 - Temperaturas extremas

São as condições térmicas rigorosas em que são realizadas diversas atividades profissionais.

O calor extremo é responsável por uma série de problemas que afetam a saúde e o

rendimento do trabalhador como a intermação ou insolação, a prostração térmica, a

desidratação e as câimbras de calor.

O frio intenso pode provocar o enregelamento dos membros, a hipotermia (queda da

temperatura do núcleo do corpo) além de lesões na epiderme do trabalhador, conhecidas

como ulcerações de frio.

3.2.5 - Pressões Anormais

Encontradas em trabalhos submersos ou realizados abaixo do nível do lençol freático. Dos

problemas que mais comumente afetam os trabalhadores sujeitos a pressões elevadas, está a

embolia. As principais medidas de controle aos riscos físicos são os Equipamentos de Proteção

Coletiva (EPC’s) e Individual (EPI’s) a sinalização eficiente.



3.3 - RISCOS QUÍMICOS

Os riscos químicos são causados por AGENTES QUÍMICOS, encontrados nas formas sólida,

líquida ou gasosa e que penetram no corpo humano por três vias básicas: a via respiratória, a

cutânea e a digestória.

O grau de toxidade de um agente químico vai depender do seu estado físico, da sua

solubilidade, do seu PH e da via de penetração no organismo. Algumas substâncias são

inflamáveis ou apresentam risco de explosão quando em determinada proporção no ar

atmosférico, ameaçando a integridade física do trabalhador.

Quanto ao seu estado físico, os agentes químicos podem ser:

Sólidos, como as poeiras, de origem mineral (a de sílica produz a silicose), vegetal (a fibra

de algodão produz a bissinose) ou animal, como as provenientes do pelo ou do couro de

animais.

Os agentes em estado líquido, constituídos por ácidos e solventes. Podem causar danos ao

sistema respiratório quando em suspensão no ar, além de queimaduras e irritações

quando em contato com a pele.

A maioria das exposições aos agentes químicos na indústria se dá quando estes se

encontram na forma gasosa. Os agentes mais comuns são o dióxido de enxofre, os óxidos

de nitrogênio, o monóxido de carbono e os vapores de solventes. De efeitos bastante

diversos, chegam a causar a morte, mesmo em pequenas concentrações, como no caso do

ácido cianídrico.

Quando em suspensão ou dispersão no ar, são chamados de contaminantes atmosféricos e são

classificados em:

Aerodispersóides, como são chamadas as poeiras, os fumos, as fumaças, as névoas e as

neblinas;

Gases;

Vapores.

Segundo a reação causada no organismo humano podemos dividir, a grosso modo, os

contaminantes atmosféricos em:

1) Irritantes, os que têm a propriedade de produzir inflamação nos tecidos com os quais

entram em contato (amônia, ácido sulfídrico e cloro);



2) Anestésicos, que apresentam ação depressiva no sistema nervoso central (acetona,

éteres e álcoois);

3) Asfixiantes, que podem provocar asfixia por reduzir a concentração de oxigênio no ar

ou por interferir no processo de absorção de oxigênio no sangue ou tecidos (Metano,

Hélio, Cianuretos, Hidrogênio e Nitrogênio);

4) Intoxicantes Sistêmicos, que tanto causam as lesões agudas como as crônicas:

a. podem causar lesões nos órgãos (tetracloreto de carbono e cloreto de vinila),

b. lesões no sistema formador do sangue (benzeno, tolueno e xileno),

c. lesões no sistema nervoso (álcoois metílico e etílico);

5) Compostos tóxicos inorgânicos, que são sais de não metais (cianureto de sódio ou de

potássio, compostos de arsênico, e fluoretos) e metais tóxicos, que podem produzir

dermatoses, alterações no sistema nervoso central, câncer, além de intoxicações

graves (chumbo, mercúrio, cádmio, manganês, cromo, etc).

6) Material particulado, que são as poeiras, fumos e névoas que não foram classificadas

como contaminantes sistêmicos. Podem ser classificadas como:

a. Poeiras produtoras de fibroses, que causam endurecimento e perda de

flexibilidade dos tecidos pulmonares como a poeira de sílica, que causa a

silicose, e a poeira de amianto, causadora de asbestose.

b. Poeiras inertes, as que ficam retidas nos pulmões e só apresentam problemas

quando presentes em grandes concentrações, como a dos sais complexos de

alumínio e a do carvão.

c. Partículas alergizantes e irritantes, podem atuar na pele, como a poeira da

caviúna, de partículas de óleo de castanha de caju, de cromatos, etc., ou no

sistema respiratório como pólens, e as poeiras das sementes de mamona.

Como principais medidas de controle temos a mudança de processo, a mudança de matérias-

primas, o enclausuramento do processo, a ventilação local adequada, os exames médicos

frequentes, os Equipamentos de Proteção Coletiva e Individual e a sinalização eficiente.

3.4 - RISCOS BIOLÓGICOS

Causadores dos riscos biológicos, os AGENTES BIOLÓGICOS são microrganismos invisíveis a

olho nu que podem estar presentes na atmosfera do ambiente de trabalho ou podem ser

transmitidos por outros seres vivos. Provocam doenças, mau cheiro, deterioração de

alimentos, etc.



São eles os Vírus, as Bactérias, os Protozoários, os Fungos, os Parasitas e os Bacilos.

Entre as doenças profissionais causadas por agentes biológicos estão a tuberculose, a

brucelose, o tétano, a malária, a febre tifoide, a febre amarela e o carbúnculo.

As medidas de controle mais comuns nos ambientes onde há o risco biológico são a vacinação;

a esterilização; o confinamento do processo; a rigorosa higiene pessoal, das roupas e dos

ambientes de trabalho; os Equipamentos de Proteção Coletiva; a ventilação adequada e o

controle médico permanente.

3.5 - RISCOS ERGONÔMICOS

Os RISCOS ERGONÔMICOS são aqueles relacionados a fatores fisiológicos e psicológicos.

Dentre eles destacamos o esforço físico intenso; o levantamento e o transporte manual de

cargas; a necessidade de posturas inadequadas; a atenção, a preocupação e a

responsabilidade; os controles rígidos de produtividade; os ritmos excessivos de trabalho; os

trabalhos em turnos e os noturnos; as jornadas de trabalho prolongadas; a monotonia; a

repetitividade além de outras situações causadoras de fadiga física e/ou psíquica.

Das medidas de controle no caso dos riscos ergonômicos citamos a conscientização dos riscos,

o projeto de máquinas e equipamentos perfeitamente adaptados ao operário, o treinamento

adequado, a assistência médico psicológica do empregado, a adoção de ritmos e posições

adequadas de trabalho, as pausas durante a jornada de trabalho, etc.

3.6 - RISCOS DE ACIDENTES

Os RISCOS DE ACIDENTES (mecânicos) estão relacionados aos equipamentos utilizados e às

condições físicas do local de trabalho, como por exemplo:

Arranjo físico inadequado,

A eletricidade,

Probabilidade de incêndio ou explosão,

Armazenamento inadequado,

Sinalização inadequada ou deficiente,

Animais peçonhentos e outras situações de risco que poderão contribuir para a ocorrência

de acidentes.

Para controlar os riscos de acidentes devemos estudar arranjos físicos mais adequados, utilizar

Equipamentos de Proteção Coletiva, só utilizar ferramentas na função para a qual elas foram



projetadas e eliminá-las quando defeituosas, determinar os níveis ideais de iluminamento de

cada ambiente de trabalho, treinar o pessoal no combate aos princípios de incêndio, além de

manter uma sinalização de segurança eficiente.

4.5 – PPRA - PROGRAMA DE PREVENÇÃO DE RISCOS AMBIENTAIS

A NR-09 obriga a elaboração do Programa de Prevenção de Riscos Ambientais – PPRA, através

da antecipação do reconhecimento, da avaliação e do controle da ocorrência de riscos

ambientais existentes, ou que venham a existir, no ambiente de trabalho, considerando a

proteção do meio ambiente e dos recursos naturais.

O PPRA é desenvolvido sob a responsabilidade do empregador, com a participação dos

trabalhadores e sua profundidade depende das características dos riscos e das necessidades

de controle.

A NR-09 considera riscos ambientais os agentes físicos, químicos e biológicos, existentes nos

ambientes de trabalho, que causam danos à saúde do trabalhador. Consideram-se agentes

físicos as formas de energia a que possam estar expostos os trabalhadores, como vibrações,

pressões anormais, temperaturas extremas, ruído, radiações ionizantes e não ionizantes, infra-

som e ultra-som.



Consideram-se agentes químicos as substâncias, compostos ou produtos que penetram no

organismo pela via respiratória, nas formas de poeiras, fumos, névoas, neblinas, gases ou

vapores, ou que sejam absorvidos através da pele ou por ingestão.

Consideram-se agentes biológicos as bactérias, fungos, bacilos, parasitas, protozoários, vírus,

entre outros. O PPRA deve conter a seguinte estrutura:

a) planejamento anual com metas, prioridades e cronograma indicando os prazos para

desenvolvimento das etapas e cumprimento das suas metas;

b) estratégia e metodologia de ação;

c) forma de registro, manutenção e divulgação dos dados;

d) periodicidade e forma de avaliação do seu desenvolvimento.

Deve ser efetuada, pelo menos uma vez ao ano, uma análise global do PPRA para avaliação do

desenvolvimento e estabelecimento de novas metas e prioridades.

O PPRA deve estar descrito num documento-base, cujas alterações e complementações são

discutidas na CIPA. O PPRA inclui as seguintes etapas:

a) antecipação e reconhecimento dos riscos;

b) estabelecimento de prioridades e metas de avaliação e controle;

c) avaliação dos riscos e da exposição dos trabalhadores;

d) implantação de medidas de controle e avaliação de sua eficácia;

e) monitoramento da exposição aos riscos;

f) registro e divulgação dos dados.

A elaboração, implementação, acompanhamento e avaliação do PPRA são feitas pelo SESMT

ou por pessoa ou equipe de pessoas capazes de desenvolver o disposto na NR-09. A

antecipação envolve a análise dos métodos de trabalho das instalações novas ou da

modificação dos existentes, identificando os riscos e introduzindo medidas para sua

eliminação.

O reconhecimento dos riscos ambientais consta de:

a) sua identificação;

b) determinação e localização das fontes geradoras;

c) identificação das trajetórias e dos meios de propagação dos agentes no ambiente de

trabalho;



d) identificação das funções e do número de trabalhadores expostos;

e) caracterização das atividades e do tipo de exposição;

f) obtenção de dados existentes na empresa, que indicam comprometimento da saúde

decorrente do trabalho;

g) danos à saúde relacionados aos riscos identificados, disponíveis na literatura técnica;

h) descrição das medidas de controle existentes.

A avaliação quantitativa é realizada para:

a) comprovar o controle da exposição ou a inexistência dos riscos identificados na etapa

de reconhecimento;

b) dimensionar a exposição dos trabalhadores;

c) subsidiar o equacionamento das medidas de controle.

São adotadas medidas para a eliminação ou a minimização dos riscos ambientais sempre que

verificadas uma das seguintes situações:

a) identificação, na fase de antecipação, de risco potencial à saúde;

b) constatação, na fase de reconhecimento, de risco evidente à saúde

c) quando os resultados das avaliações quantitativas excedem os valores previstos na NR-

15 ou, na ausência destes, os valores de exposição adotados pela American

Conference of Governmental Industrial Higyenists, ou aqueles que forem

estabelecidos, desde que mais rigorosos;

d) quando fica caracterizado o nexo causal entre danos à saúde dos trabalhadores e o

trabalho desenvolvido.

O estudo, desenvolvimento e implantação de medidas de proteção coletiva obedece à

seguinte hierarquia:

a) medidas que eliminam ou reduzem a formação de agentes prejudiciais à saúde;

b) medidas que previnem a liberação desses agentes no ambiente;

c) medidas que reduzem a concentração desses agentes no ambiente.

A implantação de medidas de caráter coletivo deve ser acompanhada do treinamento dos

trabalhadores quanto aos procedimentos que asseguram a sua eficiência e de informação

sobre as limitações de proteção que oferecem. Quando comprovada a inviabilidade técnica da

adoção de medidas de proteção coletiva, ou quando estas não forem suficientes ou



encontrarem-se em fase de estudo, planejamento ou implantação, ou ainda em caráter

complementar ou emergencial, devem ser adotadas outras medidas, obedecendo à seguinte

hierarquia:

a) medidas de caráter administrativo ou de organização do trabalho;

b) utilização de equipamento de proteção individual - EPI.

A utilização de EPI deve considerar as Normas Legais em vigor e envolver:

a) seleção de EPI adequado ao risco e à atividade exercida, considerando a eficiência e o

conforto oferecido, segundo avaliação do usuário;

b) treinamento dos trabalhadores quanto à utilização e às limitações de proteção do EPI;

c) estabelecimento de normas para o fornecimento, o uso, a guarda, a higienização, a

conservação, a manutenção e a reposição do EPI;

d) caracterização das atividades dos trabalhadores, com a identificação dos EPI's

utilizados para os riscos ambientais.

O PPRA estabelece critérios de avaliação da eficácia das medidas de proteção implantadas

considerando os dados obtidos nas avaliações realizadas e no PCMSO.

O empregador deve manter um registro de dados, de forma a constituir um histórico técnico e

administrativo do desenvolvimento do PPRA. Esses dados devem ser mantidos por um período

de 20 anos e estar sempre disponíveis aos trabalhadores ou seus representantes e às

autoridades competentes. É responsabilidade do empregador estabelecer, implementar e

assegurar o cumprimento do PPRA como atividade permanente da empresa.

É responsabilidade dos trabalhadores:

a) colaborar e participar na implantação e execução do PPRA;

b) seguir as orientações recebidas nos treinamentos do PPRA;

c) informar ao seu superior ocorrências que impliquem riscos à saúde.

Os trabalhadores têm o direito de apresentar propostas e receber informações que assegurem

proteção aos riscos ambientais identificados pelo PPRA.

Os empregadores devem informar aos trabalhadores dos riscos ambientais que possam

originar nos locais de trabalho e dos meios para preveni-los ou protegerem-se dos mesmos.



Quando vários empregadores realizam simultaneamente atividades no mesmo local de

trabalho devem executar ações integradas para aplicar as medidas previstas no PPRA visando a

proteção de todos os trabalhadores expostos aos riscos ambientais gerados.

O conhecimento que os trabalhadores têm dos processos de trabalho e dos riscos ambientais

presentes devem ser considerados, assim como o Mapa de Riscos, na execução do PPRA.

O empregador deve garantir que, na ocorrência de riscos ambientais que coloquem em

situação de risco um ou mais trabalhadores, os mesmos possam interromper imediatamente

as suas atividades, comunicando o fato ao seu superior para as providências.

4.6 - INSPEÇÃO DE SEGURANÇA

Tipicamente preventiva, a inspeção de segurança é uma forma antiga e bastante eficaz de se

evitar acidentes. Ela possibilita a determinação dos riscos e de seus meios preventivos antes da

ocorrência dos acidentes, para podermos propor medidas que impeçam a ação desses riscos.

De acordo com a frequência, as inspeções podem ser:

a) Rotineiras, quando estabelecidas por normas de segurança ou por procedimentos de

trabalho. Ex.: Cordas, escadas, ferramentas manuais.

b) Periódicas, quando efetuadas, conforme prévia programação, em intervalos regulares.

Podem ser diárias, anuais, quinzenais, etc. Visam apontar riscos previstos que possam

surgir de quando em quando devido a desgastes, exposição, etc. Ex.: Extintores,

caldeiras, elevadores.

c) Eventuais quando caracterizadas por ato espontâneo, não planejado. Não têm dia

certo ou período estabelecido. Devem ser feitas em conjunto com o pessoal do SESMT.

Para impedir as situações de risco e as condições inseguras encontradas pelas inspeções de

segurança, elaboramos um Relatório de Inspeção. Neste relatório, que deve ser conciso, são

anotadas as condições inseguras e são abordados os pontos principais da inspeção: condições

de meio-ambiente, equipamentos de combate a incêndios, EPI’s, EPC’s, máquinas,

ferramentas, equipamentos, veículos, etc. O relatório aponta com clareza o tipo de risco a ser

corrigido. Riscos susceptíveis de correção imediata assim como os que implicam em perigo

imediato devem ser resolvidos no ato da inspeção.

Nunca deverá ser arquivado um Relatório de Inspeção que contenha recomendações ou

medidas pendentes de execução.



4.7 - INVESTIGAÇÃO DE ACIDENTES

A CIPA tem como uma das mais importantes atribuições a de investigar os acidentes para que

eles não se repitam. Uma investigação de acidentes bem feita tem grande importância na

prevenção de acidentes futuros.

Para essa investigação os membros da CIPA devem estar aptos a apurar o que teria ocorrido

para provocar o acidente. A experiência dos membros do SESMT, bem como a de todos os

trabalhadores da empresa, ajudará, com certeza, a descobrir a melhor medida de controle a

ser adotada.

Quanto maior a quantidade das fontes de informação e pesquisa, melhor será o resultado da

investigação. Para isso as empresas devem manter arquivos de dados estatísticos sobre

segurança do trabalho para que todos tenham acesso às informações.

Quando investigamos um acidente devemos seguir algumas diretrizes: investigar o acidente

imediatamente após a sua ocorrência; obter os fatos; registrar o ocorrido em relatório,

analisar os fatos sem preconceitos, propor medidas para que o fato não se repita.

Para encontrar as causas dos acidentes devemos analisá-los com as seguintes perguntas: “o

que?”, “porque?”, “quando?”, “onde?”, “com quem?”, “como?” o acidente ocorreu e para isso

necessitamos saber: nome do acidentado; idade; ocupação; seção em que trabalha; descrição

do acidente; parte do corpo atingida.

Durante a investigação são apurados os fatores básicos: o agente da lesão, fatores pessoais, o

tipo de acidente, as condições inseguras e os atos inseguros.

Os agentes da lesão são as máquinas, peças ou materiais em processo, os produtos químicos, a

eletricidade, os pisos, as escadas, as ferramentas, etc. Os tipos de acidente são as batidas

contra, as batidas por, a queda de objetos ou de pessoas, os contatos com temperaturas

extremas ou com a eletricidade, a prensagem entre objetos, etc.



COLETIVA e INDIVIDUAL

5.1 – DEFINIÇÃO

É importante observar que o E.P.I. não evita o acidente, mas impede ou atenua uma lesão

sofrida pelo trabalhador como consequência de um acidente.

O E.P.I. adequado ao risco e em perfeito estado de conservação e funcionamento, deve ser

fornecido pela empresa aos empregados, gratuitamente, nas seguintes circunstâncias:

a) sempre que as medidas de proteção coletiva forem tecnicamente inviáveis ou não

oferecerem completa proteção contra os riscos de acidentes do trabalho e/ou de

doenças profissionais e do trabalho;

b) enquanto as medidas de proteção coletiva estiverem sendo implantadas;

c) para atender às situações de emergência.

As recomendações ao empregador, quanto ao E.P.I. adequado ao risco existente em

determinada atividade, são de competência do SESMT ou da CIPA, caso a empresa esteja

desobrigada de manter o SESMT. Nas empresas desobrigadas de manterem CIPA, cabe ao

empregador, mediante orientação técnica, fornecer e determinar o E.P.I. adequado.

O E.P.I., de fabricação nacional ou estrangeira, só poderá ser colocado à venda, comercializado

ou utilizado, quando possuir Certificado de Aprovação – CA, expedido pelo Ministério do

Trabalho e da Administração – MTA. O fabricante é responsável pela manutenção da mesma

qualidade do E.P.I.- padrão que deu origem ao CA.

5.2 - EXIGÊNCIAS LEGAIS FEITAS À EMPRESA E AO EMPREGADO

Obriga-se a Empresa, quanto ao E.P.I., a:

a) adquirir o tipo adequado à atividade do empregado. Conforme estipulado na NR-06,

Equipamento de Proteção Individual é todo o dispositivo de uso individual, de

fabricação nacional ou estrangeira, destinado a proteger a saúde e a integridade física

do trabalhador.

b) fornecer ao empregado somente E.P.I. aprovado pelo MTA e de fabricantes

cadastrados no DNSST/MTA;

c) treinar o trabalhador sobre seu uso adequado;

d) tornar obrigatório o seu uso;



e) substituí-lo, imediatamente, quando danificado ou extraviado;

f) responsabilizar-se pela sua higienização e manutenção periódicas;

g) comunicar ao MTA qualquer irregularidade observada no E.P.I..

Obriga-se o empregado, quanto ao E.P.I., a:

a) usá-lo apenas para a finalidade a que se destina;

b) responsabilizar-se por sua guarda e conservação;

c) comunicar ao empregador qualquer alteração que o torne impróprio para o uso.

5.3 - RELAÇÃO DOS E.P.I.s MAIS COMUNS E SUA UTILIZAÇÃO

5.3.1 - PROTEÇÃO PARA A CABEÇA

a) Protetores faciais destinados à proteção dos olhos e da face contra lesões ocasionadas

por partículas, respingos, vapores de produtos químicos e radiações luminosas

intensas;

b) Óculos de segurança para trabalhos em que haja o risco de ferimentos nos olhos,

provenientes de: impacto de partículas; respingos de líquidos agressivos e metais em

fusão; irritação por poeiras ou pela ação de radiações perigosas;

c) Máscaras para soldadores nos trabalhos de soldagem e corte ao arco elétrico;

d) Capacetes de segurança para proteção do crânio nos trabalhos sujeitos a: agentes

meteorológicos; impactos provenientes de quedas ou projeção de objetos;

queimaduras ou choque elétrico.

Óculos de Segurança, Protetores Faciais e Capacete de Segurança

5.3.2 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS SUPERIORES

Luvas e/ou mangas de proteção e/ou cremes protetores devem ser usados em trabalhos onde

haja perigo de lesão provocada por: materiais ou objetos escoriantes, abrasivos, cortantes ou

perfurantes; produtos químicos corrosivos, cáusticos, tóxicos, alergênicos, oleosos, graxos,



solventes orgânicos e derivados de petróleo; materiais ou objetos aquecidos; choque elétrico;

radiações perigosas; frio e agentes biológicos.

5.3.3 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS INFERIORES

calçados de proteção contra riscos de origem mecânica; impermeáveis, para trabalhos em

locais úmidos, lamacentos ou encharcados; resistentes a agentes químicos agressivos;

contra riscos de origem térmica; contra radiações perigosas; contra agentes biológicos;

contra riscos de origem elétrica;

perneiras de proteção contra riscos de origem mecânica; contra riscos de origem térmica;

contra radiações perigosas;

A NR-06 determina ainda que todo o empregado deve trabalhar calçado, ficando proibido o

uso de tamancos ou chinelos. As sandálias só serão utilizadas, em casos especiais, quando a

autoridade do MTE permitir-lhes o uso e se comprovado que, pela atividade desenvolvida, não

oferecem riscos à integridade física do trabalhador.

5.3.4 - PROTEÇÃO CONTRA QUEDAS COM DIFERENÇA DE NÍVEL

a) Cintos de segurança para trabalhos realizados em altura superior a 2 (dois) metros,

onde haja risco de queda;



b) Trava-quedas de segurança acoplado ao cinto de segurança ligado a um cabo de

segurança independente, para trabalhos realizados com movimentação vertical em

andaimes suspensos de qualquer tipo.

c) Cadeiras suspensas para trabalhos em alturas em que haja necessidade de

deslocamento vertical, quando a natureza do trabalho assim o indicar;

5.3.5 - PROTEÇÃO AUDITIVA

Protetores auriculares e abafadores, para trabalhos realizados em locais onde o nível de ruído

seja superior a 85 dB (A), para oito horas de exposição contínua. (NR-15, Anexos 1 e 2).

Protetor auricular e abafador de ruído



5.3.6 - PROTEÇÃO RESPIRATÓRIA

Para exposições a agentes ambientais em concentrações prejudiciais à saúde do trabalhador,

de acordo com os limites estabelecidos na NR-15:

a) respiradores contra poeiras, para trabalhos que implicam na produção de poeiras;

b) máscaras para trabalhos de limpeza por abrasão, através do jateamento de areia;

c) respiradores e máscaras de filtro químico para a exposição a agentes químicos

prejudiciais à saúde;

d) aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar), para locais de trabalho

onde o teor de oxigênio seja inferior a 18% em volume.

5.3.7 - PROTEÇÃO PARA O TRONCO

Aventais, jaquetas, capas e outras vestimentas especiais de proteção para trabalhos nos quais

haja perigo de lesões provocadas por: riscos de origem térmica; riscos de origem radioativa;

riscos de origem mecânica; agentes químicos; agentes meteorológicos; umidade.

5.3.8 - PROTEÇÃO PARA O CORPO INTEIRO

Aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar) para locais de trabalho onde haja

exposição a agentes químicos absorvíveis pela pele, pelas vias respiratória e digestiva, ou

prejudiciais à saúde.

5.3.9 - PROTEÇÃO PARA A PELE

Cremes Protetores para prevenir contra riscos de agentes químicos absorvíveis pela pele.

Se você vir alguém preso num carro em chamas tente tirar a pessoa dali, desde que você

não corra perigo.



Bibliografia

TELERJ. Primeiros Socorros. Telerj, 1974

Ribeiro Fº, Leonídio Francisco. Técnicas de Segurança do Trabalho. Cultura Editora, 1974

FINEP. Primeiros Socorros. Finep, 1979

PETROBRÁS. Primeiros Socorros. Petrobrás, 1979

PHILCO. Segurança no Trabalho. Philco, 1980

Universidade Santa Úrsula - Engenharia de Segurança do Trabalho - Conduta em Primeiros

Socorros. USU, 1982

Lima, Sérgio de Assis. Organização e Segurança no Trabalho. ETER – Mecânica, 1997

Porto, João Venceslau. Organização e Segurança no Trabalho. ETER - Informática, 1998

Ministério do Trabalho. Normas de Higiene e Segurança no Trabalho, 2003.

Curso Técnico em Refrigeração e Climatização Matemática Aplicada



Unidades de Comprimento

A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em

que essa unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é

muito pequena, por outro lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a

unidade metro é muito "grande".

Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de

comprimento.

Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor

correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a

10 vezes a unidade da comprimento imediatamente inferior (à direita). Em

conseqüência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade

imediatamente superior (à esquerda).

Quilômetro

km

Hectômetro

hm

Decâmetro

dam

Metro

m

Decímetro

dm

Centímetro

cm

Milímetro

mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Regras Práticas:

Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos

fazer uma multiplicação por 10.

Ex : 1 m = 10 dm

Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos

fazer uma divisão por 10.

Ex : 1 m = 0,1 dam

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas

vezes uma das regras anteriores.

Ex : 1 m = 100 cm

1 m = 0,001 km



Uidades de Área

Quilômetro

quadrado

km2

Hectômetro

quadrado

hm2

Decâmetro

quadrado

dam2

Metro

quadrado

m2

Decímetro

quadrado

dm2

Centímetro

quadrado

cm2

Milímetro quadrado

mm2

1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x10-2 m2 1x10-4 m2 1x10-6 m2

Regras Práticas:



Ex : 1 m2 = 100 dm2

Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devmos


Ex : 1 m2 = 0,01 dam2



Uidades de Volume

Quilômetro

cúbico

km3

Hectômetro

cúbico

hm3

Decâmetro

cúbico

dam3

Metro

cúbico

m3

Decímetro

cúbico

dm3

Centímetro

cúbico

cm3

Milímetro cúbico

mm3

1x109 m3 1x106 m3 1x103 m3 1 m3 1x10-3 m3 1x10-6 m3 1x10-9 m3

Regras Práticas:



Ex : 1 m3 = 1000 dm3

Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos


Ex : 1 m3 = 0,001 dam3



Litro

O litro( l ) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm3.

1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros

1 litro = 1 dm3



1 litro = 1.000 cm3

1 litro = 1.000.000 mm3

Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A

unidade fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as

unidades secundárias, que são expressas através da adição de um prefixo ao nome

correspondente à unidade principal, de acordo com a proporção da medida.



Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam

quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar

um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em

colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em

correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com

motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.

Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma

outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e

resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.



2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,

se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade

(Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:


coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar

que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma

outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e


Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se

comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e




Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou

determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5

horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término

(dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo

para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e


Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,

direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,

quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de

mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se

correspondem:



Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:


coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número

de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na

1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de

caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª

coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras

razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.

Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).



Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto

a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.

Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo

necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.

Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente

proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente

proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.



Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10

torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de

carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair

5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir

um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando

9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a

uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para

entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta:

10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com

90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20

centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025

metros.

Exercícios de regra de três simples e composta

As respostas estão no final da página.

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de

trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá

podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão

necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para

atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes

?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg

dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas

serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá

em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais

necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá

em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?



10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos

litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo

levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54

dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de

forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto

ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o

lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades

diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35

m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade

permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de

30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por

24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-

Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de

música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas

estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos

diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que

cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que

tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova

fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse

mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio

?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80

cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de

12 m ?



25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação

ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no

mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a

quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento.

Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?

28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual

será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem

40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m

de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam

usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a

212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos,

uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a

temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?



Razão

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente

entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:

Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o

número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)

Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças

e rapazes.

Lendo Razões

Termos de uma Razão

Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exemplo:

Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um

segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos

calcular a escala deste mapa.



As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto.

(observe que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo:

Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro.

Velocidade= 320/4 = 80

Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.

Exemplo:

O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800

habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.



Razões Inversas

Vamos observar as seguintes razões.

Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.

Observe que o conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.

O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1

Dizemos que as razões são inversas.

Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu

cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que

a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.



Questões

1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

Assunto: Razão e proporção.

Resolução:

Vamos igualar as razões.

8 = 2

X 7

2x = 8 x 7

2x = 56

X = 56/2

X = 28

Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7

2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de

comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:

Assunto: Escala e noção de proporção.

Resolução:

Escala: 1

20



Sabendo que 1m = 100 cm.

Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.

O comprimento no desenho será:

500 x 1 = 500 / 20 =

20

25 cm

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do

desenho será 25 cm.

3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se

o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa

quantas moças ficariam sem par ?

Assunto: Razão e proporção

Resolução:

Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por

Y.

x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)

x + y = 45 (Soma total de alunos)

x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)

x 5



45/x = 9/5

45 x 5 = 9x

225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças

Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :

25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes

Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças

que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças

Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.

4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma

professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:

a) 12,0

b) 15,2

c) 16,0

d) 20,4

e) 24,0

Assunto: Regra de três

Resolução:



1 copo ---------------> 250 ml

48 copos ------------> x

Resolvendo a regra de três acima :

1x = 48 x 250

X = 12000 ml

Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a

alternativa correta é a letra “a” = 12,00

Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.

5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4

segundos, o disco dá :

a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas

Assunto: Regra de três

Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.

Resolução:

60 s ---------------> 45 voltas

4 s ----------------> x

Resolvendo a regra de três acima :



60x = 45 x 5

60x = 180

X = 180/60

X = 3 voltas

Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.

6) Do meu salário líquido dedico:

25% ao aluguel,

30% à alimentação,

5% à compra de medicamento,

15% pagamento de mensalidades.

O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que

meu salário é no valor de :

a) R$ 1.200,00

b) R$ 785,00

c) R$ 2.200,00

d) R$ 2.250,00



e) R$ 650,00

Assunto: Porcentagem e regra de três

Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%

Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.

Montando uma regra de três:

550,00 -------> 25

X -------> 100

25x = 55000

X = 55000/ 25

X = 2200

Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.

7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado

tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a

porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :

a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5%

Assunto: Regra de três e noção de porcentagem

Resolução:



Cenário 1:

1m -------> R$ 5,52

X --------> R$ 126,96

5,52x = 126,96

X = 126,96 / 5,52

X = 23 m

Cenário 2:

1m --------> R$ 4,60

X ---------> R$ 126,96

4,60x = 126,96

X = 126,96 / 4,60

X = 27,60

Temos então:

23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)

27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)



23x = 100 x 27,6

23x = 2760

X = 2760 / 23

X = 120%

Desta forma: 120% - 100% = 20%

Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.



PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma

sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o

número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente

evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1,

2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a

partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-

1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado

enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula,

obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é

aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no

momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se

somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões

geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um

mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r >

0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão

crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão

negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez

com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor

absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a

velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros

termos Sn, vamos considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an



Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a

fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições,

podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula

anterior, encontraremos:

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo

na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.



Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo

retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também

dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do

Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade

já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas

por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito

simples.

Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a

trigonometria se torna simples.

Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte,

o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.

Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma

montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele

demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.



Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede

noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos

ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos

medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados

complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois

ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são

dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo

reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os

catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós:

(perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa:

Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa

A = Ângulo reto A=90°

b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao

ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto,

indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C,

indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm



Ângulo Lado oposto Lado adjacente

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos

no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e

trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e

minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos

agudos complementares.

2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa

(lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade

num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que

este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas

no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura

(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura

relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à

base.

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB,

indicada por a.

2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a

hipotenusa CB, indicada por a.



3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a

hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início

deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra

que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as

projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas

por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.

2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.

3. a = m+n.

4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média

geométrica.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm



Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo

ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A

será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor

ABC a b c

ADC b n h

ADB c h m

Assim:

a/b = b/n = c/h

a/c = b/h = c/m

b/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.m

a/b = b/n equivale a b² = a.n

a/c = b/h equivale a a.h = b.c

h/m = n/h equivale a h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando

c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.



Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do

triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da

trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Função Notação Definição

seno sen(x)

medida do cateto oposto a x

medida da hipotenusa

cosseno cos(x)

medida do cateto adjacente a x

medida da hipotenusa

tangente tan(x)

medida do cateto oposto a x

medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então

o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o

seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão

entre seno e cosseno desse ângulo.

sen(x)=

CO

H

=

CO

1

cos(x)=

CA

H

=

CA

1

tan(x)=

CO

CA

=

sen(x)

cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante

relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1



PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em

preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns

exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão

centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas

percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o

total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um

determinado valor.

Exemplos:



Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,

transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por

R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a

porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos

calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de

multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por

diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou

Lucro

Fator de

Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67



Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00



O que é o Teorema de Pitágoras?

O teorema diz basicamente o seguinte: A soma do quadrado dos catetos é igual ao

quadrado hipotenusa. Contudo, o que é hipotenusa e o que é cateto?

O lado em vermelho representa a hipotenusa, e os dois lados em azul são os

catetos.

Portanto, a fórmula fica da seguinte forma:

Como resolver exercícios

É importante ter em mente que o Teorema de Pitágoras se aplica apenas quando

temos um triângulo retângulo.

Vamos resolver o problema abaixo:



10²= x² + 6²

100= x² + 36

-x²= -100 + 36

x²= 64

x=√64

x=8

Exercícios resolvidos

Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras", observas-te como se

enuncia o teorema. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do

mesmo e em seguida, irás resolver alguns exercícios propostos numa

ficha.

Exemplo 1:

Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo,

indica, justificando, aqueles que são rectângulos:

a) a = 6; b = 7 e c = 13;

b) a = 6; b = 10 e c = 8.

Resolução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de

Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos

triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

a)

logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

b)



logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Exemplo 2:

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:

a)

b)

Resolução:

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:



Exemplo 3:

Calcula as áreas das seguintes figuras.

a)

b)

Resolução:

a)

b)



Exemplo 4:

a) Qual era a altura do poste?

Resolução:

h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

Resolução:



Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:

265 cm = 2,65 m.

Exercício 5:

O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:

A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento do balancé?

Resolução do exercício 5:

Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um

ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.

Então vem:

1,8 m = 180 cm



Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é,

1,9 m.

Exercício 6:

A figura representa um barco à vela.

6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.



Números Inteiros

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos

números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este

conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode

ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Subconjuntos notáveis de Z

Z + = {0,1,2,3,4,...} Inteiros não negativos

Z - = { ..., - 3, -2, -1, 0} Inteiros não positivos

Z+* = {1,2,3,4,...} Inteiros positivos

Z-* = {...,-3,-2,-1} Inteiros negativos

Ausência do zero nos dois últimos e presença nos dois primeiros é por que são

nulos

Módulo (ou valor absoluto)

{+5} = 5 {-8}= 8

Adição

(- 5) + (-8) = -5-8 = -13

(+5) + (-8) = +5-8=-3

(-5) + (+8)= -5+8= +3

Simétrico (oposto)

Simétrico de X → - x → - x + x = 0

O Simétrico de – 3 é + 3 → (-3) + (+3) = 0

O Simétrico de 0 é 0 → 0 +0 = 0

Exemplo: a figura mostra a distância da escola a casa e papelaria



Subtração:

(+5) – (-8) = + 5 + 8 = +13

(-5) –(+8)= -5 - 8 = -13

Multiplicação

Sinais Iguais → (+) sempre positivos



(+5) x (+8) =+40

(- 5) x (- 8) = +40

Sinais contrários → ( - ) sempre negativo

(+5) x ( - 8) = - 40

(- 5) x (+ 8) = - 40

Comparação de números inteiros

˂ Menor que

˃ Maior que



NÚMEROS FRACIONARIOS E DECIMAIS

Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem

utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais

difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo

eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e

demarcavam os terrenos.

Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos

casos, principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que

não fossem apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários

ou racionais.

Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a

fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por

b com o símbolo a : b ou, ainda a/b

Chamamos o símbolo a/b de fração.

Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2

Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador

Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.

Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.

Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. Logo ¾ não é

um número natural. A fração envolve a ideia de alguma coisa que foi dividida em

partes iguais.

Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate Agenor

comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?

Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;

Agenor comeu ¾ , portanto sobrou ¼

LEITURA DE UMA FRAÇÃO

Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores

2,3,4,5,6,7,8,9

½ um meio

¼ um quarto

1/6 um sexto

1/8 um oitavo

2/5 dois quintos

9/8 nove oitavos

1/3 um terço

1/5 um quinto

1/7 um sétimo

1/9 um nono

4/9 quatro nonos

16/9 dezesseis nonos

as que tem denominadores 10, 100, 1000, etc.............

1/10 um décimo

1/100 um centésimo

1/1000 um milésimo

7/100 sete centésimos

as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos :



1/11 um onze avos

7/120 sete cento e vinte avos

4/13 quatro treze avos

1/300 um trezentos avos

5/19 cinco dezenove avos

6/220 seis duzentos e vinte avos

EXERCÍCIOS

1) indique as divisões em forma de fração:

a) 14 : 7 =

b) 18 : 8 =

c) 5 : 1 =

d) 15 : 5 =

e) 18 : 9 =

f) 64 : 8 =

2) Calcule o quociente das divisões

a) 12/3 =

b) 42/21 =

c) 8/4 =

d) 100/10 =

e) 56/7 =

f) 64/8 =

3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6

a) Em quantas partes o todo foi dividido?

b) Quantas partes do todo foram consideradas?

4) Escreva como se lêem as seguintes frações:

a) 5/8

b) 9/10

c) 1/5

d) 4/200

e) 7/1000

f) 6/32

TIPOS DE FRAÇÕES

a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.

Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador

Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do



denominador

Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7

EXERCÍCIO

1) Classifique as frações em própria, imprópria ou aparente:

a) 8/9

b) 10/10

c) 26/13

d) 10/20

e) 37/19

f) 100/400

SIMPLIFICANDO FRAÇÕES

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele

comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que

Cláudio comeu 2/4 da pizza.

A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4

Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.

A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração

equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma

de fração de denominadores iguais

Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.

Exemplo:

a) 5/7 – 2/7 = 3/7

b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3

c) 3/5 – 1/5 = 2/5

Exercícios

1) Efetue as adições

a) 3/6 + 2/6 =

b) 13/7 + 1/7 =

c) 2/7+ 1/7 + 5/7 =



d) 4/10 + 1/10 + 3/10 =

e) 5/6 + 1/6 =

f) 8/6 + 6/6 =

g) 3/5 + 1/5 =

2) Efetue as subtrações:

a) 7/9 – 5/9 =

b) 9/5 -2/5 =

c) 2/3 – 1/3 =

d) 8/3 – 2/3 =

e) 5/6 – 1/6 =

f) 5/5 – 2/5 =

g) 5/7 – 2/7 =

3) Efetue as operações:

a) 5/4 + ¾ - ¼ =

b) 2/5 + 1/5 – 3/5 =

c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =

d) 7/3 – 4/3 – 1/3 =

e) 1/8 + 9/8 -3/8=

f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =

g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =

h) 5/7 – 2/7 – 1/7 =

2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma

de fração de denominadores diferentes

conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos

denominadores .

exemplo:

a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I ---2 . 3 = 6

b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12

3, 4 I 2

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12

Exercícios

1) Efetue as adições:

a) 1/3 + 1/5 =

b) ¾ + ½ =



c) 2/4 + 2/3 =

d) 2/5 + 3/10 =

e) 5/3 + 1/6 =

f) ¼ + 2/3 + ½ =

g) ½ + 1/7 + 5/7 =

h) 3/7 + 5/2 + 1/14 =

i) 4/5 + 1/3 + 7/6 =

j) 1/3 + 5/6 + ¾ =

k) ½ + 1/3 + 1/6 =

l) 10 + 1/8 + ¾ =

m) 1/3 + 3/5 =

n) ¾ + 6/7 =

o) 5/7 + ½ =

p) ½ + 1/3 =

q) 3/14 + 3/7 =

r) 3/5 + ¾ + ½ =

s) 1/12 + 5/6 + ¾ =

t) 8 + 1/5 + 4/5 =

2) Efetue as subtrações

a) 5/4 – ½ =

b) 3/5 – 2/7 =

c) 8/10 – 1/5 =

d) 5/6 – 2/3 =

e) 4/3 – ½ =

f) 13/4 – 5/6 =

g) 7/8 – 1/6 =

h) 4/5 – 1/3 =

i) 3/5 – ¼ =

j) 10/11 – ½ =

l) 6/4 – 2/3 =

m) 5/8 – ½ =

n) 4/5 – ¼ =

o) ¾ - 5/8 =

p) 9/11 – ½ =

q) 7 – 2/3 =

r) 4/2 - 2/3 =

s) 3/2 - 2/3 =

t) 1/2 - 1/3 =

u) 3/2 - 1/4 =

3) Efetue

a) 2 + 5/3 =

b) 7 + ½ =

c) 3/5 + 4 =

d) 6/7 + 1 =

e) 8 + 7/9 =

f) 5 – ¾ =

g) 2 – ½ =

h) 7/2 – 3 =

i) 11/2 – 3 =



j) 7/4 – 1 =

l) ½ - 1/3 =

m) ½ + ¼ =

n) 1 + 1/5 =

o) 1 – 1/5 =

4) Calcule o valor das expressões:

a) 3/5 + ½ - 2/4 =

b) 2/3 + 5/6 – ¼ =

c) 4/5 – ½ + ¾ =

d) 5/7 – 1/3 + ½ =

e) 1/3 + ½ - ¼ =

f) ¾ - ½ + 1/3 =

g) 5/6 – ½ + 2/3 =

h) 4/5 – ¾ + ½ =

i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 =

j) 6/5 – ¾ + ½ - 2/3 =

l) 1/6 + 5/4 + 2/3 =

MULTIPLICAÇÃO

Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15

Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si

Exemplo:

a) 4/7 x 3/5 = 12/35

b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando

EXERCICIOS

1) Efetue as multiplicações

a) ½ x 8/8 =

b) 4/7 x 2/5 =

c) 5/3 x 2/7 =

d) 3/7 x 1/5 =

e) 1/8 x 1/9 =

f) 7/5 x 2/3 =

g) 3/5 x ½ =

h) 7/8 x 3/2 =

i) 1/3 x 5/6 =

j) 2/5 x 8/7 =

k) 7/6 x 7/6 =

l) 3/7 x 5/2 =

m) 3/10 x 5/9 =

n) 2/3 x ¼ x 5/2 =

o) 7 x ½ x 1/3 =




a) 4/3 x ½ x 2/5 =

b) 1/5 x ¾ x 5/3 =

c) ½ x 3/7 x 1/5 =

d) 3/2 x 5/8 x ¼ =

e) 5/4 x 1/3 x 4/7 =


a) 2 x 5/3 =

b) 3 x 2/5 =

c) 1/8 x 5 =

d) 6/7 x 3 =

e) 2 x 2/3 x 1/7 =

f) 2/5 x 3 x 4/8 =

g) 5 x 2/3 x 7 =

h) 7/5 x 2 x 4 =

i) 8 x 2/3 =

j) 5/9 x 0/6 =

k) 1/7 x 40 =

l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 =

m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 =

DIVISÃO

Vamos calcular ½ : 1/6

Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa

da segunda

Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3

Exemplos:

a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15

b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9

c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28

Exercícios

1) Efetue as divisões

a) ¾ : 2/5 =

b) 5/7 : 2/3 =

c) 4/5 : 3/7 =

d) 2/9 : 7/8 =

e) 1/6 : 5/3 =

f) 7/8 : ¾ =

g) 8/7 : 9/3 =

h) 4/5 : 2/5 =

i) 5/8 : ¾ =

j) 2/9 : 4/7 =



2) Efetue as divisões :

a) 5 : 2/3 =

b) 4 : 1/7 =

c) 8/9 : 5 =

d) 3/7 : 3 =

e) 7/3 : 4/7 =

f) 2/3 : ½ =

g) 4/5 : 2/3 =

h) 2/7 : 5/3 =

i) 3/7 : 2 =

j) 3/2 : 5/7 =

k) 3/8 : 4/7 =



Elimine os parênteses

a) -(+5) =

b) -(-2) =

c) - (+4) =

d) -(-7) =

e) -(+12) =

f) -(-15) =

g) -(-42) =

h) -(+56) =

2) Calcule:

a) (+7) - (+3) =

b) (+5) - (-2) =

c) (-3) - ( +8) =

d) (-1) -(-4) =

e) (+3) - (+8) =

f) (+9) - (+9) =

g) (-8) - ( +5) =

h) (+5) - (-6) =

i) (-2) - (-4) =

j) (-7) - (-8) =

l) (+4) -(+4) =

m) (-3) - ( +2) =

n) -7 + 6 =

o) -8 -7 =

p) 10 -2 =

q) 7 -13 =

r) -1 -0 =

s) 16 - 20 =

t) -18 -9 =

u) 5 - 45 =

v) -15 -7 =

x) -8 +12 =

z) -32 -18 =

3) Calcule:

a) 7 - (-2) =

b) 7 - (+2) =

c) 2 - (-9) =

d) -5 - (-1) =

e) -5 -(+1) =

f) -4 - (+3) =

g) 8 - (-5) =

h) 7 - (+4) =

i) 26 - 45 =

j) -72 -72 =

l) -84 + 84 =

m) -10 -100 =

n) -2 -4 -1 =

o) -8 +6 -1 =

p) 12-7 + 3 =

q) 4 + 13 - 21 =

r) -8 +8 + 1 =



s) -7 + 6 + 9 =

t) -5 -3 -4 - 1 =

u) +10 - 43 -17 =

v) -6 -6 + 73 =

x) -30 +30 - 40 =

z) -60 - 18 +50 =

4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6) =

b) (-7)-(-5)+(-8) =

c) (+7)-(-6)-(-8) =

d) (-8) + (-6) -(+3) =

e) (-4) + (-3) - (+6) =

f) 20 - (-6) - (-8) =

g) 5 - 6 - (+7) + 1 =

h) -10 - (-3) - (-4) =

i) (+5) + (-8) =

j) (-2) - (-3) =

l) (-3) -(-9) =

m) (-7) - (-8) =

n) (-8) + (-6) - (-7) =

o) (-4) + (-6) + (-3) =

p) 15 -(-3) - (-1) =

q) 32 - (+1) -(-5) =

5) Calcule:

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) =

b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) =

c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) =

d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) =

e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) =

f) 9 - (-7) -11 =

g) -2 + (-1) -6 =

h) -(+7) -4 -12 =

i) 15 -(+9) -(-2) =

j) -25 - ( -5) -30 =

l) -50 - (+7) -43 =

m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) =

n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) =

o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 =

p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 =

q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) =

r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 =

ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parênteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os

sinais dos números contidos nesses parênteses.



exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal -

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os

sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses:

a) +(-3 +8) =

b) -(-3 + 8) =

c) +(5 - 6) =

d) -(-3-1) =

e) -(-6 + 4 - 1) =

f) +(-3 -2 -1) =

g) -(4 -6 +8) =

h) + (2 + 5 - 1) =

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + ( 7 - 3) =

b) 8 - (-2-1) =

c) -6 - (-3 +2) =

d) 18 - ( -5 -2 -3 ) =

e) 30 - (6 - 1 +7) =

f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) =

g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) =

h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) =

i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) =

j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) =

3) Calcule:

a) 10 - ( 15 + 25) =

b) 1 - (25 -18) =

c) 40 -18 - ( 10 +12) =

d) (2 - 7) - (8 -13) =

e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 =

f) -15 - ( 3 + 25) + 4 =

g) -32 -1 - ( -12 + 14) =

h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) =

i) -(+4-6) + (2 - 3) =

j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 =



Disciplina: Matemática instrumental

Exercícios de revisão

Adição

6683

4172

5441

1514

5689

108

9108

880

5432

6936

6168

5848

8799

6265

11

6613

Subtração

1262

4990

5788

3786

219

3632

3571

341

7445

4344

100

3959

2679

126

89

673

9603

1290

3459

2345

8869

2343

1023

5435

Multiplicação

63 x 4=

60x94=

70x83=

60x91=



13x13=

61x81=

67x11=

30x96=

45x89=

8765x6785=

345436x7866=

8987x765=

Divisão

885 / 295=

429 /143=

536 / 268 =

660 / 220=

256 / 64=

648 / 54 =

910 / 70=

998 /1=

750 /30=



EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1 – Calcule:

2 – Calcule:

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Questões

1 – José depositou em sua conta bancária as importâncias de R$ 300,00 e R$

200,00. Posteriormente, retirou R$ 350,00 e R$ 250,00. O saldo de sua conta

corrente representado com números relativos é de quanto?

2 – Uma pessoa tem R$ 500,00 na sua conta bancária e faz, sucessivamente, as

seguintes operações bancárias:



Coloca R$ 200,00

Retira R$ 900,00

Coloca R$ 600,00

Retira R$ 700,00

Qual é o seu saldo final?

Multiplicação e divisão em Z

1 – Calcule os seguintes produtos:

a) ( (

b) ( (

c) ( (

d) ( (

e) ( ( (

f) ( ( (

2 – Calcule o valor das expressões:

a)

b) (

c) (



d) ( (

e) ( (

f) ( (

3 – Calcule:

a) ( (

b) ( (

c) ( (

d) ( (

e) ( (

f) ( (

apostila completa refrigeracao.e.climatizacao modi

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