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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
CTC - Centro Tecnológico Disciplina de Circuitos Elétricos I
APOSTILA DE CIRCUITOS I Professor: Patrick Kuo Peng
Colaboradores: Júlio Trevisan Maurício Rigoni Willian Hamada
Florianópolis 2003
2
Sumário
Sumário ______________________________________________________________ 2
Plano de Ensino ________________________________________________________ 3
Análise de circuitos: Uma visão geral. ______________________________________ 4
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS __________________________________ 5
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17
CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS __________________ 26
CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53
CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS___________________ 78
CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93
CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS ______________________________ 107
CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS _____________________________________________________ 122
Bibliografia__________________________________________________________ 130
3
Plano de Ensino
Circuitos Elétricos I Capítulo I: Variáveis Elétricas Capítulo II: Elementos dos circuitos Capítulo III: Circuitos resistivos simples Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos Capítulo V: O amplificador operacional Capítulo VI: Indutores e Capacitores Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais Capítulo IX: Circuitos trifásicos Capítulo X: Respostas em freqüência
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Análise de circuitos: Uma visão geral.
Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real. Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e de seus componentes Roteiro para análise de circuito:
• Identificar claramente os dados e o que é pedido.
• Simplificar ou redesenhar o circuito.
• Escolher o método de análise mais simples.
• Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível.
5
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS
6
VARIÁVEIS ELÉTRICAS
1. O Sistema Internacional de Unidades
• Unidades de base
Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica Ampère A Temperatura Kelvin K Intensidade luminosa Candela cd • Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos
Grandeza Nome / Símbolo Fórmula dimensionalFreqüência Hertz (Hz) s-1
Força Newton (N) kg.m/s2
Energia ou trabalho Joule (J) N.m Potência Watt (W) J/s Carga elétrica Coulomb (C) A.s Potencial elétrico Volt (V) W/A Resistência elétrica Ohm (Ω) V/A Condutância elétrica Siemens (S) A/V Capacitância Farad (F) C/V Fluxo magnético Weber (Wb) V.s Indutância Henry (H) Wb/A • Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012
pico(p) nano(n) micro(μ) mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G) Tera(T)
7
2. Conceitos básicos de eletricidade
a) Cargas elétricas Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e elétrons→ carga negativa).
Unidade da carga elétrica = coulomb (C)
Átomos normalmente neutros ⇒ N° de elétrons = N° de prótons.
Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva.
Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa.
• Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...).
• Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...).
b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons.
dtdqi =
corrente elétrica em Ampère [A]
Relação de integral:
carga em Coulomb
tempo em segundos [s]
8
c) Tensão elétrica ou diferença de potencial : Energia usada para mover uma unidade de carga através do elemento.
d) Potencia e energia:
• Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo.
• Energia
dttitqtqt
t.)()()(
00 ∫=−
dqdWv =
Energia em Joule [J]
Carga em Coulomb [C]
Tensão em Volt [V]
dtdWp =
Potência em Watt [W] Energia em Joule [J]
Tempo em segundos [s]
vidtdqv
dtdWvdqdW ==⇒= vip =∴
dttitvtwtwdttptwt
t).(.)()()().()(
00∫ ∫=−⇒=
9
• Convenção de sinais
Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência
10
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS
11
Elementos dos circuitos
I. Introdução Os circuitos podem ter 5 elementos básicos:
• Fontes de tensão; • Fontes de corrente; • Resistores; • Indutores; • Capacitores.
II. Fontes ideais de tensão e de corrente
Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica Existem 2 categorias de fontes:
• Fontes independentes e • Fontes dependentes (fontes controladas).
1. Fontes independentes
• Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i.
• Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v.
A
B
12V
A
B
12V
i [A]
v [V]
12
Característica tensão/corrente Símbolos
ou
12
2. Fontes dependentes ou controladas Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito.
• Fonte de tensão controlada por tensão
• Fonte de tensão controlada por corrente • Fonte de corrente controlada por corrente
v [V]
i [A]
5
Característica tensão/corrente
A
B
5A
Símbolo
1v1v - tensão de controle
2v - tensão controlada α - ganho de tensão (adimensional)
12 vv ⋅=α
1i
β – ganho de corrente (adimensional) 12 ii ⋅= β
1i
1i - corrente de controle r – transresistência (Ω)
12 irv ⋅=
13
• Fonte de corrente controlada por tensão
III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 1. Resistência elétrica Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou especificamente a circulação das cargas. Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. Exemplos (resistor não linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ). 2. Lei de Ohm Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma:
1v g – transcondutância (S) 12 vgi ⋅=
S lS
R l⋅=
ρR – resistência (Ω ) ρ - resistividade do material ( m⋅Ω ) l - comprimento (m) S – seção transversal ( 2m )
Símbolo
14
∗ Condutância
GvvRR
vi ===1
; R
G 1= (condutância em mho ou S (siemens) )
∗ Potência num resistor
Outras expressões usuais: GvGi
RvP 2
22=== .
∗ Observações
Curto-circuito ⇔ resistência nula ⇔ tensão nula independente da corrente.
Riv +=
v
i ou
Riv −=
v
i
ivP ⋅=
v
i
ivP ⋅−=
v
i
Ora, Riv = . Então, 2RiiRiP =⋅=
Ora, Riv −= . Então, 2)( RiiRiP =⋅−−=
0== Riv ; i∀ v 0=R
15
Circuito aberto ⇔ resistência infinita ⇔ corrente nula, independente da tensão.
IV. Leis de Kirchhoff 1. Definições
Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida. Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro.
Exemplo:
2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula”
∑=
=N
nni
10
⇔ Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó.
0==Rvi ; v∀ v ∞=R
R1 I
E R2 R3
2
1
3 4
• 4 nós • 3 laços • 2 malhas
16
Convenção
Corrente entrando no nó, atribuir sinal + Corrente saindo do nó, atribuir sinal -
3. Lei de Kirchhoff para tensões
“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”.
∑=
=N
nnv
10
Convenção
Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão com o primeiro sinal encontrado.
Exemplo:
E 1
R1
R2
R3
1RV
2RV
3RV
01 321 =−++− RRR VVVE
17
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS
18
1. Resistores em série
Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos.
2. Resistores em paralelo
Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão.
IRRRIRIRIR
VVVV
n
n
n
)....(......
...
21
21
21
+++=+++=
+++= IRV eq .=
neq RRRR +++= ...21
1V 2V nV
V1R 2R
nR⇔ V
eqR
I I
19
Observação:
IRV eq .=
eq
n
n
n
R
VRRR
RV
RV
RV
IIII
1
.1...11
...
...
21
21
21
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
+++=
+++=
neq
neq
GGGGou
RRRR
+++=
+++=
...
1...111
21
21
1R
2R
3R21 // RR 31 // RRou
)//( 321 RRR + Ok!
V1R
2R nR ⇔ VeqR
I I
1I 2I nI
20
3. Associação de fontes 3.1. Fontes de tensão em série
3.2. Fontes de Tensão em paralelo Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.
⇔ 1R 2R
21
21.RR
RR+
1V
2V
3V
A
B
⇔321 VVV ++
B
A
V5 V5 V5V10
21
3.3. Fontes de corrente em série
Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.
A2 A2 A2A4
3.4. Fontes de corrente em paralelo
1I 2I 3I ⇔231 III −+
4. Divisão de tensão
De maneira geral
iRV .11 =
iRRV ).( 21 +=
⇒21
11
.RR
VRV+
=21
21
.GGVGV
+= ou
1R
2R
1V
2V
V
i
21
12
.GGVGV
+=
iRV .22 =
1R
2R
1V
2VV
i
nR
22
5. O circuito divisor de corrente
Mais geral
ou
nRRRVRV
+++=
....
21
11
1R 2RI
1I 2I
V1
1 RVI =
22 R
VI =
e IRR
RRV ..
21
21
+=
IRRR
RRI .)(
.
211
211 +
= e IRR
RI .)( 21
12 +
=
IGG
GI .)( 21
22 +
=IGG
GI .)( 21
11 +
=
ou
1 R 2RI 1 I 2I
V nR
IRR
RRRI
eq
n .//...////
1
321 +
=
IGGG
GIn
....21
11 +++
=
23
6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ
ABR
ACR BCR
ABR
BCRACR⇔
A B
C
A
C C
B
BRAR
A B
CR
C
AR BR
⇔
A
C
B
CR
24
Resistência equivalente entre A e B
BABCACAB
BCACAB RRRRR
RRR+=
+++ )(
(1)
Resistência equivalente entre B e C
CBBCACAB
ACABBC RRRRR
RRR+=
+++ )(
(2)
Resistência equivalente entre A e C
CABCACAB
BCABAC RRRRR
RRR+=
+++ )(
(3)
Transformação Δ → Υ
ACBCAB
ACABA RRR
RRR++
=.
ACBCAB
BCABB RRR
RRR++
=.
ACBCAB
BCACC RRR
RRR++
=.
Transformação Υ → Δ
ABR
ACRBCR
B
A
BR AR
A
CRC
B
C
25
C
CBCABAAB R
RRRRRRR ... ++=
B
CBCABAAC R
RRRRRRR ... ++=
A
CBCABABC R
RRRRRRR ... ++=
ABR
ACRBCRARBR
CR
AB
C
26
CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
CIRCUITOS
27
Técnicas de Análise de Circuitos
I. Definições Ramo: caminho que liga 2 nós. Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem. Exemplo:
Circuitos planares
1R
3R5R
2R
4R
1R
3R5R
2R
4R
Circuito não planar
II. Método das tensões de nó (análise nodal)
É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK).
Incógnitas são tensões. No de tensões incógnitas = No de nós – 1 .
28
Roteiro:
a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão
incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as
correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações.
1. Fontes do circuito: só fontes de corrente
a. Só fontes de corrente independentes
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−36
7224
2
1
VV
...
VVVV
12
2
1
==
Nó 1 0)(226 211 =−++− VVV
Nó 2 035)(2 212 =−+− VVV
...
1V 2V
Ω5,0 Ω2,0
Ω5,0
A6 A3−
0S2
S2S5
ABVA BG
ABVA BG
i
i
( )AB A Bi GV G V V= = −
( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V= − = − − = −
29
b. Incluindo também fonte de corrente controlada
2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes)
a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência
Nó 1 1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V− − + + − =
Nó 2 2 1 22( ) 5 2 3 0V V V i− + + − =
i 25i V= −
0,5Ω
Ω5,0
0,2Ω6A 3A−
2V1V
i25S
2S 2S
1 2 1
21 2
4 8 6 4 8 62 3 3 2 3 3V V V
VV V+ =⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⇒ ⇔ =⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩...
2
1
6212
V V
V V
=−
=
30
b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência
Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3.
VV 101 = Nó 2
2 1 22( ) 4 1 0aV V V I− − + + = Nó 3
32 2 0aI V− + + =
Problema: não se conhece a corrente aI na fonte de tensão
Nó 2 2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V− − + − =
Nó 3
3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V− − + − =
2
3
62
V VV V
=⎧⇒ ⎨ =⎩
1V 2V 3V S2S1S1
V2A4−A6V4
4V
1
4
42
V VV V
=⎧⎨ = −⎩
Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade
1V 2V aI 2xi
S2 A2S1A4V10xi
S2 3V
31
II. Método das correntes de malha (análise de malha)
É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). Incógnitas são correntes.
No de incógnitas = No de correntes de malha .
2
3
2
62
824
x
x
i
V VV Vi AP W
=⎧⎪ =⎪
⇒ ⎨ =⎪
=⎪⎩
2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V− − + + + =
No supernó, 232xiVV =−
)(2 21 VVix −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 10
2212
23
3
2
VV
32
Roteiro:
a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha.
1. Fontes do circuito: só fontes de tensão
a. Só fontes de tensão independentes
Correntes de ramo, em função das correntes de malha:
1 1
2 2
3 3
4 1 2
5 3 2
i Ii Ii Ii I Ii I I
== −=
= −= −
Correntes de malha: 1 2 3, ,I I I .
1I 2I 3I
1i 2i 3i
4i 5i
33
b. Incluindo também fontes de tensão controladas
Malha 1
1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i− + + = ⇔ − + + = Malha 2
3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ − = ⇔ + − = Mas
1 1
1 1 1 2 1 22 2
2 3 2 2 2 23 1 2
( ) 0( ) 0
i IV R I R I I
i IV R I R I I
i I I
= ⎫− + + − =⎧⎪= ⇒⎬ ⎨ + + − =⎩⎪= − ⎭
1 2 2 1 1
2 2 3) 2 2
( )(
R R R I VR R R I V+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ...
Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações.
2 equações, 2 incógnitas
3 malhas⇒ 3 correntes incógnitas
⇒1
2
3
25 5 20 505 10 4 05 4 9 0
III
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
... 1
2
3
29,62628
I AI AI A
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
1I 2I
3i
1V
1i
2V
2i 3R1R
2R2RV
2RV1RV
2 malhas⇒ 2 correntes incógnitas
V50 Ω20
ϕi Ω4Ω5
Ω1
ϕi151I 3I
2I
Malha 1: 1 2 1 350 5( ) 20( ) 0I I I I−− + − + = Malha 2: 2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ − + − = Malha 3: 3 2 3 14( ) 15 20( ) 0I I i I Iϕ− + + − =
1 3i I Iϕ = −
34
2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente
a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha
Calcular a potência na fonte de tensão:
Malha 2:
2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ − − + + − = ⇒ = Potência na fonte de tensão:
1 226( )26(5 4) 26
P V I I IW
= + ⋅ = − == − =
⇒ Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade.
3 malhas⇒ 3 incógnitas Do circuito, obtém-se imediatamente 1 5I A= e
3 2I A= − .
1Ii
V26
Ω2
Ω3
2I3I
Ω1
Ω2
35
b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha
Calcular 1V :
Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒ 2 incógnitas apenas.
1 4I A= Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + − = Malha 3: 3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I− + − − + = Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( 1v não é incógnita principal do sistema). Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha.
3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I− + + =
No interior da supermalha temos:
1 2 35V I I= −
ora 1 1 32( )V I I= − Assim 2 184I A= e 3 16I A= −
3 malhas ⇒ 3 incógnitas
supermalha
2I1v
Ω4
Ω1
Ω21V
1I
A4 Ω93I
15V
36
IV. Análise nodal ou análise de malhas?
a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. Análise Nodal Análise de Malha Incógnitas
Tensões de nó Correntes de malha
Número de incógnitas
Número de nós –1 Número de malhas
Critério para reduzir o número de incógnitas
Fonte de tensão ligada ao nó de referência
Fonte de corrente que pertence a uma única corrente de malha
Caso especial Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó
Fonte de corrente que pertence a duas correntes e malha ⇒ aplicar conceito de supermalha
Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele.
O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor número de equações.
37
Exemplo 1 Determinar a potência na fonte de tensão controlada
Ω300
Ω100 Ω250 Ω500
Ω400 V128V256 Ω200 i50
Ω150
i
38
Exemplo 2 Determinar 1V e 2V .
Ω4
Ω6
Ω5,2
141,0 V A5,0
2V
Ω5,7 Ω8
28,0 V
Ω2
V1931V
39
V. Transformações de fontes 1. Fonte real de tensão
L s V LV V R I= − 2. Fonte real de corrente
1
L s LI
I I VR
= −
Modelo Característica tensão-corrente
sI LV
b
a
LRLI
IRfonte real
fonte ideal de correnteLI
LV
VR
sV LV
b
a
LRLI
fonte real
fonte ideal de tensão
LI
LV
Característica tensão-corrente Modelo
40
3. Equivalência de fontes Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa.
• Fonte de tensão fonte de corrente
VR
sV LV
b
a
LR ⇒V
ss R
VI =
b
a
LRVI RR =
• Fonte de corrente fonte de tensão
VR
sIs IRV =LV
b
a
LR⇒sI
b
a
LRIR
Observações:
• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR . • A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão
equivalente.
b
a1R
2R ⇔
b
a
2R
b
a1R
2R ⇔
b
a1R
41
VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton
1. Circuito equivalente de Thèvenin
A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.
LV
LIa
b
⇔
a
b
LV
LI
THV
THR
Onde
THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada.
THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).
B. Determinação de THV e THR : 1o método
THV : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b)
CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a) (b)
CC
THTH i
VR =
42
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin
V2
a
b
Ω4
1I12I
Ω3
cargaR
43
C. Determinação de THR e THV : 2o método Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes.
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Redelinear
Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor TI nos dois circuitos, as tensões abV nos dois circuitos devem ser equivalentes.
Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que
XRTH = YVTH =
Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida,
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Redelinear
ABVTI ABV
TI
ab TV XI Y= + (1) ab TH T THV R I V= + (2)
44
a
b
THV
THR
ABVTI
a
b
ABVTIRede
linear
ab TH T THV R I V= − + TH
TH
R XV Y
= −=
45
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin.
V2
a
b
Ω4
1I12I
Ω3
cargaR
46
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes
a
b
cargaRRedelinear
• Determinação de THV : desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b).
• Determinação de THR : desconectar a carga e determinar a resistência
equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso.
Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto).
Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga LR .
a
b
LRΩ6
Ω3 Ω7
V12
47
2. Circuito equivalente de Norton
A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.
a
b
Redelinear
LI
LV ⇔
a
b
LV
LI
NI NR
Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito;
NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).
B. Determinação de NR e NI : 1o método Idem primeiro do Thèvenin:
CCN iI =
CC
THN i
VR =
C. Determinação de NR e NI : 2o método
De (1) e (2) ⇒ X
RN1
= e YI N =
a
b
Redelinear
abI
TV
a
b
NI NR
abI
TV
ab TI XV Y= + (1)1
ab T NN
I V IR
= + (2)
48
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes
Determinação de NR : idem a THR Determinação de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). Exemplo:
a
b
LRΩ6
Ω3 Ω7
V12
49
E. Determinação de NR e NI : 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes.
a
bTH
THN R
VI = NR LR
a
b
LRTHV
THR
⇒
VII. Transferência máxima de potência Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer.
LRRedelinear LR
LI
THV
THR
⇒ Determinar LR de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima:
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==LTH
THLLLR RR
VRIRPL
Maximizar LRP ⇔ 0=
L
R
dRdP
L ⇔ THL RR =
Então TH
TH
THTH
THTHmáxR R
VRR
VRPL 4
22
, =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
50
Rendimento
LTH
L
THL
THTH
LTH
THL
V
R
RRR
RRVV
RRVR
PP
TH
L
+=
+⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==
2
η
Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência
0,5
THR
THR
2
4TH
TH
VR
LR
LP
LR
η
51
VIII. O princípio da superposição Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. Observações: Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso.
Redelinear
V
I
i
Redelinear
Vi
Redelinear
I
i
52
Exemplo: obter XV por superposição.
V2 Ω4
1I12I
Ω3
XVA3
53
CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL
54
1. Introdução Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associação de transistores, capacitores, resistores etc... Funções:
• Associado aos resistores pode desempenhar operação tais como adição, subtração, troca de sinal e multiplicação por um fator constante;
• Associado aos capacitores e/ou indutores, realiza operações como integração e diferenciação;
• Comparadores; • Osciladores.
2. Terminais do Amplificador Operacional
Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais são mostrados a seguir:
1234
8765
Entrada inversora –Entrada não inversora +
VCC–
VCC+Saída
ua 741
Símbolo
+
_
Entrada NãoInversora
EntradaInversora
Saída
Alimentação+
_Alimentação
55
3. Tensões e correntes nos terminais do Amp. Op.
• Sentidos das correntes e polaridade das tensões no Amp. Op.
+
_
+
_ _
+
V+
V-+
+
__
Vcc
Vcc
pioi
ini
−ci
+ci
oVpV
nV
• Regiões de operação do Amp. Op.:
Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -Vcc Vo = A(Vp - Vn) se -Vcc ≤ A(Vp - Vn) ≤ Vcc Vo = Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc
Curva de transferência de tensão do Amp. OP. O Amplificador operacional opera na região linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A. Como A é um valor geralmente grande, então |Vp - Vn| deve ser pequeno.
Saturação positiva
Saturação negativa
Região
linea
r
ccV
ccV−
oV
AVcc−
AVcc
)( np VV −
56
No caso ideal: Vp = Vn ⇒ A = ∞ resistência de entrada elevada ⇒ ip = in = 0
De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente:
ip + in + io + ic- + ic+ = 0
i0 = - (ic+ + ic-) ora, ip = in = 0
Observações:
o ip = In = 0 não significa que i0 = 0; o As tensões de alimentação não precisam ser simétricas.
Ex.: V+ = 12V e V- = -8V Na região linear –8V ≤ Vo ≤ 12V
Exemplo 1:
12V
-12V
22k
220k
40k4,7k
12
Va
Vb
Vo
o Supondo o Amplificador ideal. Calcule Vo para: a) Va = 3V e Vb = 2V; b) Va = 1,5V e Vb = 2,5V. c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensão Va para que o amplificador não entre na região de saturação.
4. Modo de operação do amplificador operacional
57
4.1. Sem realimentação Este modo é denominado “operação em malha aberta”. Funciona sempre em modo saturação. Utilizado como circuito comparador. Ex. circuito de controle
ccV−
ccV
oVinV
pV
4.2. Com realimentação positiva Realimentação significa que uma fração da tensão de saída é reinjetada numa das entradas. Na realimentação positiva o sinal de saída é reinjetado na entrada não inversora. Muito instável, utilizado em osciladores. Ex. geradores de sinais.
gVoV
ccV
ccV−
4.3. Realimentação negativa
Este tipo é o mais importante meio de realimentação, pois estabiliza o sinal e tende a aproximar as características do amplificador ideal.
5. O circuito amplificador-inversor Hipótese: Amp. op. ideal Amp. op. operando na região linear
58
Objetivo: Vo = f(Vs)
No nó 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra ⇒ Vn = terra.
No nó 1: is + if = 0 ⇔ 0=−
+−
f
no
s
ns
RVV
RVV
Como o Amp. op. é ideal Vn = Vp, ip = in = 0
Ora, Vp = 0 ⇒ Vn =0
Logo ss
fo V
RR
V −= ; a tensão de saída é uma reprodução invertida do sinal
de entrada, multiplicada por uma constante ⇒ amp. inversor.
6. O circuito amplificador-somador
Hipótese: Amp. op. ideal ⇒ Vn = Vp; ip = in = 0 Amp. op. operando na região linear
ccV
ccV−
oVaV
bVcV
aR
bR
cR
1
fR
ai
bi
ci
fi
ni
ia + ib + ic + if = in = 0
0=−
+−
+−
+−
f
no
c
nc
b
nb
a
na
RVV
RVV
RVV
RVV
1ccV
ccV−
sR
sV nVpV oV
fR
si
fi
59
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= c
c
fb
b
fa
a
fo V
RR
VRR
VRR
V
⇒ tensão de saída = - (soma das tensões de entrada multiplicada por um fator de escala).
Se Ra = Rb = Rc = Rf ⇒ Vo = - (Va + Vb + Vc). Ex. misturador de áudio.
7. O circuito amplificador não inversor
Vn = Vp ip = in 0
fs
osn RR
VRV
+= ora, Vn = Vp
= Vg
fs
osg RR
VRV
+= ⇒
gs
fso V
RRR
V+
=
A tensão de saída é uma reprodução do sinal de entrada, multiplicada por uma constante.
8. O circuito amplificador diferença
gV
sR
gR
fR
oV
ccV
ccV−
60
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV−
dRaVbV nV
pV
1
2
No nó 1:
0=+−
+−
nb
on
a
an iR
VVR
VV
No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp
dc
bdpn RR
VRVV
+==
( )
( ) aa
bb
dca
bado V
RR
VRRRRRR
V −++
=
se
d
c
b
a
RR
RR
= ⇒ ( )aba
bo VV
RR
V −=
⇒ a tensão de saída é proporcional à diferença entre as tensões de entrada.
Uma característica importante de uma conexão de circuito diferencial é sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duas entradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas as entradas.
Vamos escrever as tensões de entrada em função de duas outras tensões chamadas de tensão do modo diferencial e de tensão do modo comum: Vdm = Vb – Va (tensão de modo diferencial) Vcm = ½ (Va + Vb) (tensão de modo comum) Então Va = Vmc – ½ Vmd Vb = Vmc + ½ Vmd
61
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV−
dR
mcV 2mdV
2mdV
( )( ) ( )
( ) mddca
dcbbadmc
dca
cbado V
RRRRRRRRR
VRRR
RRRRV ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=
2
Vo = Amc Vmc + Amd Vmd
ganho de ganho de modo
modo comum diferencial Fator de rejeição de modo comum é um parâmetro usado para indicar até que ponto um amplificador diferença se aproxima de um amplificador ideal.
CMRR = mc
md
AA ⇒ quanto maior CMRR, melhor o Amp. op.
No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado.
9. Modelo mais realista para o amplificador operacional
No Amp. Op não ideal, a resistência de entrada Ri é de valor finito, o ganho A é de valor finito e a resistência de saída R0 ≠ 0. Assim o circuito equivalente do Amp. Op. mais realista é apresentado abaixo.
62
iRoR
nioV
pi
oi
( )np VVA −pV
nV
Exemplo: Determinar Vo = f(parâmetros do circuito) Amplificador não ideal
sV
sR
fR
oV
ccV
ccV−
nó 1:
i
n
f
no
s
ns
RV
RVV
RVV
=−
+−
( )
0=−
+−−
f
no
o
npo
RVV
RVVAV
ora Vp = 0
então
( )s
f
o
i
s
i
o
f
s
fo V
RR
RR
RRA
RR
RRAV
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+−=
110
63
Obs.: Ro = 0 Ri → ∞ Amp. op. ideal A → ∞
⇒ ss
fo V
RR
V−
=
64
CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES
65
Indutores e Capacitores Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de
armazenar energia).
I. O Indutor 1. Características do indutor
Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor, enrolado em espiral.
O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos. A aplicação de uma corrente variável no indutor produz um campo magnético variável no seu redor. Um campo magnético variável induz uma tensão nos terminais do indutor e essa tensão é proporcional à taxa de variação de corrente que o atravessa.
Matematicamente:
div Ldt
=
Tensão em Volts Indutância em Henry [H]
Corrente [A]
Tempo [s]
Lidvdt
Φ = ⎫⎪ ⇒⎬Φ
= ⎪⎭
Fluxo magnético concatenado
Lei de Faraday {
)(tv
)(ti
66
)(tv
)(ti L
dttdi
Ltv)(
)( =
)(tv
)(ti L
dttdi
Ltv)(
)( −=
67
Observações: Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um
indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curto-circuito para corrente contínua.
A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente,
ou seja, existe inércia de corrente no indutor. Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita
(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do indutor.
2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor:
0 0) 0
00
( )
(
0 0
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i tt t
t i t t
t t
tt
di tv t L di t v t dtdt L
di t di v t dtL L
i t i t v t dt i t i t v t dtL L
= ⇔ =
⇒ = =
⇒ − = ⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3. Potência e energia nos indutores:
0 0
00 0
( ) ( ) ( )20 ( )
( ) ( )
2 20 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )2
1( ) ( ) ( ) ( )2
t t
t t
W t i t i t
i tW t i t
di tp t v t i t Li tdt
dW tp t dW t p t dtdt
di t di tdW t Li t dt dW t L i t dtdt dt
dW L idi W t W t L i
W t W t L i t i t
⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩
⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤⇒ = ⇒ − = ⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ − = −⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
68
Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , então 21( )2
W t Li= .
69
II. O Capacitor O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras separadas por um isolante.
O comportamento do capacitor se baseia em fenômenos associados ao campo elétrico. Os campos elétricos são produzidos por uma separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. Então a carga é proporcional à diferença de potencial e podemos escrever que q = C v. Ora sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensão-
corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: Observações: Quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula,
ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua.
A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar
instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta
por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de corrente passando pelo capacitor.
2. Relações integrais para o capacitor
dvi Cdt
=
Corrente [A] Tensão [V]
Capacitância, em Farads [F]
vΔ
70
0 0
0 0 0
( )
0( )
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
v t t t
v t t t
dv ti t C dv t i t dtdt C
dv i t dt v t v t i t dtC C
= ⇒ =
⇒ = ⇒ = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
71
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( )...
( )
...
n
n
eq
eq n
v t v t v t v tdi t di t di tL L Ldt dt dtdi tLdt
L L L L
= + + +
= + + +
=
∴ = + + +
Os indutores em série se associam como resistores em série.
3. Potência e energia nos capacitores
0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
2 20 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )2
W t v tt t
t t W t v t
dv tp t v t i t v t Cdt
dW tp t dW t p t dtdt
dv tdW t C v t dW C vdvdt
W t W t C v t v t
⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩
⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤⇒ = + −⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = , 21( ) ( )2
W t Cv t=
III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 1. Associações de indutores
A. Indutores em série
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
c
)(ti
)(tv
)(ti
1L 2L nL
eqL
72
B. Indutores em paralelo
nL2L1L
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv ⇔eqL
)(ti
)(tv
0 0 0
0 0
1 2
1 0 2 0 01 2
1 0 2 0 01 2 ( )
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
eq
nt t t
nnt t t
t
nn t i t
L
i t i t i t i t
v t dt i t v t dt i t v t dt i tL L L
i t v t dt i t i t i tL L L
= + + +
= + + + + + +
⎛ ⎞⇒ = + + + ⋅ + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ 14444244443144424443
neq LLLL1...111
21+++=
Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo.
Para 2 indutores, 21
21
LLLLLeq +
= .
73
2. Associações de capacitores A. Capacitores em paralelo
B. Capacitores em série
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
)(ti
)(tv
)(ti1C 2C eqCnC
⇔
nC2C1C
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv
eqC
)(ti
)(tv
c
dttdvC
dttdvCCC
dttdvC
dttdvC
dttdvC
titititi
eq
n
n
n
)(
)()...(
)(...)()()(...)()()(
21
21
21
=
=+++=
=+++
=+++=
neq CCCC +++= ...21
Os capacitores em paralelo se associam como condutâncias em paralelo.
74
4444 34444 21444 3444 21 )(
00201
1
21
0022
011
21
00
0 00
)(...)()()(1...11
)()(1...)()(1)()(1
)(...)()()(
tv
n
t
t
C
n
t
t
t
tn
n
t
t
n
tvtvtvdttiCCC
tvdttiC
tvdttiC
tvdttiC
tvtvtvtv
eq
++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
=++++++=
=+++=
∫
∫ ∫∫
neq CCCC1...111
21+++= . Os capacitores em série se associam como
condutâncias em série. IV. Dualidade
Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza o outro.
Grandeza Dual
Tensão Corrente Carga Fluxo
Resistência Condutância Indutância Capacitância
Curto-circuito Circuito aberto Impedância admitância
Nó (não-referência) Malha Nó de referência Malha externa (laço) Ramo de árvore Ramo de ligação
Série Paralelo LKT LKC
Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima
Capacitor
dtdvCi =
Indutor
dtdiLv =
⎭⎬⎫
↔↔
LCvi
Grandezas duais
75
V. Resposta natural de um circuito RL
O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chave passa da posição A para a posição B. Determine )(til para ≥t 0.
HLRRR
VE
542030
100
3
2
1
=Ω=
Ω=Ω=
=
c
1R C
2RLV
I 1G 2G
C
L
1. Colocar um nó em cada malha + um nó de referência
2. Aplicar as regras de dualidade
E
1R
0t =A B
2R 3R
L
1R
2R 3R
Li
⇔ 1R 2R 3R
Li
1
ER
eqR
t<0 (antes do chaveamento): regime permanente
76
3
3
3
3
3 3
3
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( )( ) ( )
ln( ( )) ( )
( )
L R
LL
L L
L LR t kL
L
R tk LL
V t V t
di tL R i tdt
R Rdi t di tdt dti t L i t L
Ri t t k i t e eL
K e i t Ke
−
−
+ =
+ =
= − ⇒ = −
⇒ = − + ⇒ = ⋅
⇒ =
∫ ∫
K depende das condições iniciais: 0(0 )Li Ke K+ = =
Como há inércia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K− += = =
45( ) 2,5
tLi t e
−⇒ =
1
32,5
(0 ) 2,5
eq
Leq
L
ERRi A
R R
i A−
⋅= =
+
=
t= 0+ ( logo depois do chaveamento)
E
1R
2R 3R
L
⇔ 3R
L( )LV t
( )Li t
3( )RV t
77
Calcular Ldidt
em 0t += e 0t −= :
a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+
0,8 0,8
0 0(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /
(0 ) 0
t tL t t
L
ddi e e A sdt
didt
+ − −
= =
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento
(0 ) (0 ) 4 2,5(0 ) (0 ) 2 /5
L LL L
di div L v A sdt dt
+ ++ + − ⋅
= ⇒ = = = −
Calcular 3
0
( )R
t
dV tdt +=
:
3
3
3
0,83 0
( )
(0 ) (0 ) 4 ( 0,8) 2,5 8 /
R L
R tLt
V R i t
dV diR e V sdt dt
+ +−
=
=
⇒ = = ⋅ − ⋅ = −
( )t s
( )( )Li t Ampères
2,5
0
78
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
79
1. Fontes senoidais. Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que
varia com o tempo.
wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( =
obs.:
• A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em intervalos regulares.
• Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude e termina na mesma amplitude.
• O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período.
• A freqüência é o número de ciclo por segundo ][1 HzT
f = ou ciclo/s.
• Freqüência angular ]/[22 sradT
wwt ππ =→=
• Função cosseno defasado )cos()( ϕ+= wtAtf Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente apresentado em graus. Ex.: )302cos(20)( o+= ttv rad/s
Transformação para radianos
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
v(t)Vp x
rad0 1.5708 3.1459 6.28324.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
i(t)1 ciclo
Ip x
rad
80
)180
.301.2cos(20)1( π+=v
• Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. Seja )cos()( 11 α+= wtVtv p e )cos()( 22 β+= wtVtv p
então, )(1 tv está adiantado de βα − em relação à )(2 tv Ex.: 1( ) 100 (7 30 )v t sen t= − o
)107cos(40)(2o+= ttv
)1207cos(100)90307cos(100)(1
ooo −=−−= tttv
)1007sen(40)10907cos(40)(2ooo +=++= tttv
)(1 tv está adiantada de ooo 13010030 −=−− em relação à )(2 tv .
ou )(1 tv está atrasada de o130+ em relação à )(2 tv .
2. Respostas senoidais
)()(cos tvtVwtV LRp +=
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a solução particular da equação diferencial (1).
RV
wtV p cosLV )(ti
LR Hipótese: circuito está em regime permanente
dttdiLtiRwtVp)()(.cos += (1)
81
A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte de excitação, então vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt ϕ= + .
Objetivo: determinar pI e ϕ .
o ABBABA cos.sencos.sen)sen( ±=± o BABABA sen.sencos.cos)cos( ±=±
)sen()()cos(.cos ϕϕ +−++= wtIwLwtIRwtV ppp
]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp ϕϕϕϕ +−−=wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ ϕϕϕϕ −−+−=
Por identificação de variável
ppp VwLIRI =− ϕϕ sencos (2)
0cossen =−− ϕϕ pp wLIRI (3)
fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos:
22222 )( ppp VIwLIR =+ ⇒ 22 )(LwR
VI p
p+
=
e da eq. 3 temos, ϕϕ cossen pp wLIRI −=
⇒ R
wLarctg−=ϕ
portanto,
)cos(.)(
)(22 R
wLarctgwtLwR
Vti p −
+=
podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão.
3. Fasores. Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou
uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal em t=0.
82
O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: θθθ sencos je j ±=± A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma:
{ }{ }
{ }jwtjp
jwtjwtp
wtjp
p
eeVe
eeeV
eeV
wtVv
ϕ
ϕ
ϕ
ℜ=
ℜ=
ℜ=
+=+ )(
)cos(
⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio da freqüência. Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V] o& 63202 −∠=V [V] 501001 ∠=V& [V] )63cos(20)(2
o−= wttv [V]
4. Excitação Complexa
v(t)
rede
lineari(t)
Fasor tensão
ϕϕ ∠== pj
p VeVV&
Forma retangular
Forma polar
83
)cos()(1 vp wtVtv θ+= ⇒ )cos()(1 ip wtIti θ+=
)sen()(2 vp wtjVtv θ+= ⇒ )sen()(2 ip wtjIti θ+= Utilizando o conceito de superposição [ ] )(
21 )sen()cos()()()( vwtjpvvp eVwtjwtVtvtvtv θθθ +=+++=+=
⇒ [ ] )(
21 )sen()cos()()()( iwtjpiip eIwtjwtItititi θθθ +=+++=+=
rede
linear
)( vwtjpeV θ+ )( iwtj
peI θ+
Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser suprimido ficando subentendido. Assim o circuito no domínio da freqüência é:
rede
linearvj
peV θ ijpeI θ
5. Elementos passivos no domínio da freqüência
5.1) Para o resistor.
84
)(tv
)(ti
R
Aplicando a Lei de Ohm )(.)( tiRtv = ⇒ )()( . iv wtj
pwtj
p eIReV θθ ++ = iv j
pj
p eIReV θθ .= ⇒ no domínio da freqüência: IRV && .= O circuito no domínio da freqüência é
V&I&
R
5.2) Para o indutor
)(tv
)(ti
L
Utilizando uma excitação complexa do tipo )()( vwtj
peVtv θ+= teremos uma corrente do tipo
)()( iwtjpeIti θ+=
Tensão e corrente em fase
dttdiLtv )()( =
)()( iv wtjp
wtjp eI
dtdLeV θθ ++ =
)( iwtjpejLwI θ+=
iv jp
jp eIjLweV θθ .=
V&
I&
jLw
85
No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão. 5.3) Para o capacitor
VjCwI && =
IjwC
V && 1=
o&
& 90−∠=CwIV
No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente.
wtV p cos
)(ti
LR
o&&& 90.. ∠== ILwIjLwV
dttdvCti )()( =
)()()( ][ vvi wtjp
wtjp
wtjp ejCwVeV
dtdCeI θθθ +++ ==)(tv
)(ti
C
vjp
jp ejCwVeI i θθ =
V&
I&
jCw1
86
Ω
No domínio da freqüência:
6. Impedância ( Z ) e admitância (Y )
a) Impedância( Z ) É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente.
(Ω)
{ }{ } reatânciaBZm
aresistênciAZe==Ι
==ℜ
As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. Série neq ZZZZ +++= ...21
Paralelo neq ZZZZ
1...111
21
+++=
b) Admitância (Y ) É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento.
( S ou )
o0∠pVI&
jLwR
RLwarctgwLR
VjwLR
VI pp
∠+
∠=
+
∠=
22 )(
00 oo
&
22 )(
0
wLRR
LwarctgVI
p
+
−∠∠=
o
&
)cos()(
)(22 R
LwarctgwtLwR
Vti p −
+=
IVZ&
&=
V&
I&
Z Z é um número complexo mas não é um fasor
jBAZZ +=∠= θ
VIY&
&=
V&
I&
Y
87
Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias.
Série neq YYYY
1...111
21
+++=
Paralelo neq YYYY +++= ...21 Observação: jbaZ +=
22
11bajbaBjG
jbaZY
+−
=+=+
==
aG ≠ 22 baaG+
=
bB ≠ 22 babB+
=
7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais.
Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do circuito estudado.
7.1) Análise nodal Mesmo procedimento que no capítulo 4. 7.2) Análise de malha Idem capitulo 4. 7.3) Transformação de fontes Ver capítulo 4. 7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton
VYI && = ZY 1
=
jBGYY y +=∠= θ
Condutância Susceptância
88
obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0.
o& 0∠= TT II 7.5) Superposição
)30
10cos(10o+
t
)(tvR Ω20
Ω5H2
V15 )60
20sen(20o+
t
sradw /10=
sradw /0=
o& 3010)20//20(5
51 ∠
+=
jV
VV o& 69,377,21 −∠=
′1V& Ω20
Ω5
V15
o3010∠
1V& Ω20
Ω5Ω20j
VV 151 −=′&
89
sradw /20=
″+′+≠ 111 VVVVR&&&& pois não estão na mesma freqüência.
VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)( oo −−−−=
8. Diagramas fasoriais
São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem entre os fasores tensões e correntes.
Regra para construção dos diagramas:
• No resistor a corrente está em fase com a tensão. • • No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. • • No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V.
″1V& Ω20
Ω40jo6020∠
o& 6020)40//5(20
40//51 ∠
+−
=″j
jV
VV o& 7,6598,31 −∠−=″
90
Exemplo 1:
LI CI RI
mH2,0 RFμ8000I V&
sradw /5000=
o L C RI I I I= + +& & & &
CI&SI&
LI&
LC II && +
RVI P
R =& V&
pV3
45
o45
P
P
VR
Vtg
345 =o ⇒
RVV P
P =3 ⇒ Ω= 333.0R
Use um ou mais diagramasfasoriais para determinar R paraque a corrente no resistor RIfique atrasada de 45° em relaçãoà corrente da fonte 0I .
oo&
& 90102,05000
03 −∠=
××
∠== − p
p
LL V
jV
ZVI
o&
& 904 ∠== pC
C VZVI
RV
I pR
o
&0∠
=
91
)2(1 AI&)20( VV&
)5(2 AI& I&
SV&
XV&
93,26=XV&
fRe65 65
38
iθ
Vθiθ iθ
50
Exemplo 2: No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& como referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& .
A
Ω5
Ω10Ω4j
SV&
I&
1I&
2I&
XV&
V&
VIjV 20544 2 =×=×= &&
AV
I 21020
101 ===&
& AI 52 =&
21 III &&& +=
39,525 2222
21 =+=+= III &&&
o
&
&2.68
25
1
2 −=−
== arctgI
Iarctgiθ
93,2639,555 =×== IVX&&
VVV XS&&& +=
Componente horizontal de
VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =−+=+= o&&& θ
Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen −=−== o&& θ
VVS 05,39)25(30 22 =−+=& ][8,3905,39 VVS
o& −∠=
92
o8,39
3025
−=−
= arctgSVθ
93
CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS
SENOIDAIS
94
1. Potência instantânea
( ) ( ) ( )p t v t i t=
2. Potência média
0
0
1 ( )t T
t
P p t dtT
+
= ∫
3. Valores eficazes de corrente e tensão
Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente.
0I R
( ) cos( )pI t I tω ϕ= +R
2
1 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I tω ϕ= +
0 2pI I= Verificação:
Potência no resistor alimentado por CC
redelinear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
95
21 0P R I=
Potência no resistor alimentado por CA
[ ]
2 2 2 2
2
1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )2
1 cos2( )2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R It
ω ϕ
ω ϕ
= = + = +
= + +
1 2P P= ⇔ 2
20 2
pR IR I =
0 0 22p
p
II I I= → =
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma
potência que uma corrente constante de valor 2pI
sobre um resistor.
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza
0
0
0
0
2
2 2
2
1 ( )2
1 ( )
t Tprms t
t T
rms t
IP R R I R i t dt
T
I i t dtT
+
+
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
∫
∫
Obs.: para senoide 2p
rms
II = ,
2p
rms
VV =
4. Potência em elementos passivos
96
4.1. Caso geral (impedância qualquer) v iϕ θ θ= −
( ) cospv t V tω=
0p pp
V VVI IZ ZZ
φ φϕ
°°
= = = − = −
( ) cos( )pi t I tω ϕ= −
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I tω ω ϕ= = −
1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2p pp t V I t t tω ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
,ora
[ ]1cos cos cos( ) cos( )2
A B A B A B= − + +
1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2p p p pp t V I V I tϕ ω ϕ= + −
( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I tϕ ω ϕ= + − ,ora
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = +
[ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t tϕ ω ϕ ω ϕ= + +
[ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I tϕ ω ϕ ω= + +
potência instantânea na potência instantânea na parte resistiva de Z parte reativa de Z
• Potência média:
0
1 ( ) cos( )T
rms rmsP p t dt V IT
ϕ= =∫ , [ W ]
• Potência reativa:
Vο
Iο
Z Z φ=
97
Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. sin( )rms rmsQ V I ϕ=
4.2. Circuito resistivo Tensão e corrente em fase.
0v iθ θ ϕ= ⇒ = .
[ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I tω= +
[ ]0
1 1 cos(2 )T
R rms rmsP V I t dtT
ω= +∫
2
2 rmsR rms rms rms
VP V I R IR
= = =
0RQ = 4.3. Circuito exclusivamente indutivo 0 90 90v iθ θ ϕ= = − ° ⇒ = °
( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω=
0LP =
2
2 rmsL rms rms L rms
L
VQ V I X IX
= = =
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo
0 90 90v iθ θ ϕ= = ° ⇒ = − °
( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= −
0CP =
2
2 rmsC rms rms C rms
C
VQ V I X IX
= − = − = −
98
5. Potência aparente e fator de potência
a) Potência aparente:
rms rmsS V I= , [VA] potência desenvolvida pela fonte. b) Fator de potência: Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente.
cos( ) cos( )p v iF ϕ θ θ= = − [adimensional]
Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i vθ θ θ θ− = − . Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. • Fluxo da potência num circuito:
Fonte
R
L
CCarga
• Relações adicionais:
cos( )P S ϕ= sin( )Q S ϕ=
2 2S P Q= +
tan( ) QP
ϕ =
99
6. Potência complexa
v iφ θ θ= − cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V Iφ θ θ= = −
{ }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV Iθ θ θ θ= ℜ − + −
{ }( )v ijrms rmsP V I e θ θ−= ℜ
{ }v ij jrms rmsP V e I eθ θ−= ℜ
{ }*
P V I° °
= ℜ
{ }P S= ℜ
Definindo a potência complexa *
S V I S φ° °
= =
Portanto { }P S= ℜ
{ }ImQ S S P jQ= = +
S S=
cos( )pF φ=
rms iI I θ°
=
rmsV V vθ°
= Z Z φ=
100
• Conservação da potência complexa:
*
S V I° °
=
( )* *
1 2S V I I° ° °
= +
* *
1 2S V I V I° ° ° °
= +
1 2S S S= + ⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento. • Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência
complexa):
0ϕ > → carga indutiva
• Relações adicionais:
V Z I° °
= 2
* *2 rmsrms
IS V I Z I I S Z I
Y
° ° ° °
= = ⇒ = =
* 2*
2* *
rmsrms
VVV S Y VZ Z
°°
= ⇒ = =
I°
V°
1I°
2I°
S
P
Q
ϕ
101
7. Correção do fator de potência
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga.
S
P
Q
ϕ'ϕ
Q'S'
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida.
c) Calcular a nova corrente da carga.
Solução:
a) 3
3
500 10 36,213,8 10 rms
SI AV
×= = =
×
b) 31 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA ϕ ϕ
°
= × ° = ⇒ = °
300 400k j k= + 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= = °
400Q kVAR= ' 333,33cos( ')
PS kVAϕ
= =
' 'sin( ') 145,3Q S kVARϕ= =
S
P
Q
ϕ'ϕ
Q'S'
102
Potência reativa do capacitor:
' 254,7CQ Q Q kVAR= − = − Potência complexa no capacitor:
*
CC CS V I P° ° °
= =0
C CjQ+
V°
C
*
CC CV I jQ° °
=
* 2
* *
C CC C C
CC
VVV jQ jQZZ
°°
= ⇒ =
*1 1
C CZ Zjc jcω ω
= ⇒ =−
22C
C
QCf Vπ
= −
3
3
254,7 10 3,552 60 13,8 10
C Fμπ
×= − =
× × − ×
c) 3
3
' 333,33 10' 24,1513,8 10
SI AV
×= = =
×
103
8. Transferência máxima de potência Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima.
SV°
L L LZ R jX= +
S S SZ R jX= +A
B
8.1 Carga puramente resistiva → L LZ R=
SV°
LR
SZ
LI°
S SL
S S LS L
V VIR jX RZ R
° °°
= =+ ++
2 2( )
SL
S L S
VI
R R X=
+ +
Potência na carga:
22
2 2( )L S
L L L
S L S
R VP R IR R X
= =+ +
max 0LL
L
dPP sedR
=
104
2 2L S S SR R X Z= + =
8.2 Carga com RL fixo e XL variável
SV° LR
SZ
LI°
A
B
LjX
( ) ( )
SL
S L S L
VIR R j X X
°°
=+ + +
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R X X
°
°
=+ + +
105
Potência na carga:
2
2
2 2max
( ) ( )L S
L L L L S L
S L S L
R VP R I P se X X
R R X X= = = −
+ + +
2
max 2( )L S
L
S L
R VP
R R=
+
8.3 Carga com RL variável e XL fixo
( ) ( )2 2
SL
S L S L
VI
R R X X=
+ + +
( ) ( )
2
2 2L S
L
S L S L
R VP
R R X X=
+ + + ; max 0L
L
L
dPP sedR
=
então ( )22L S S LR R X X= + +
SV LR
SZA
B
LjX
106
8.4 Carga com RL variável e XL variável
( ) ( )
2
2 2L S
L
S L L S
R VP
R R X X=
+ + +
Fazendo LX variar: maxLP para L SX X= − .
Então: ( )
2
2' L SL
S L
R VP
R R=
+.
Em seguida, fazendo LR variar: max
' 0LL L S
L
dPP se R RdR
= ⇔ = .
Então: *
L S S SZ R jX Z= − = .
SV° LR
SZ
LjX
107
CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS
108
1. Tensões trifásicas equilibradas • Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3
tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º.
• As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c. • Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase):
Seqüência abc, positiva ou direta 0an PV V
°= °
120bn PV V°
= − °
120cn PV V°
= + °
bnV°
cnV°
anV°
Seqüência acb, negativa ou indireta 0an PV V
°= °
120bn PV V°
= °
120cn PV V°
= − °
bnV°
cnV°
anV°
109
0an bn cnV V V
° ° °+ + =
• Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal:
caV°
bcV°
abV°
a
c
b
tipo Y tipo Δ 2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado)
anV°
cnV°
bnV°
a
c b
A
CB
n NNnI°
aAI°
bBI°
cCI°
Z
Z Z
• Tensões nas fases:
Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento.
Na fonte: anV°
, bnV°
, cnV°
Na carga: ANV°
, BNV°
, CNV°
• Tensões de linhas:
Tensões entre as linhas
anV°
cnV°
bnV°
a
c
b
110
Na fonte = na carga : abV°
, bcV°
, caV°
.
• Corrente no neutro:
Nn aA bB cCI I I I° ° ° °
= + +
1 0an bn cnNn an bn cn
V V VI V V V
Z Z Z Z
° ° °° ° ° °⎛ ⎞
= + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então:
⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito.
⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser
colocado no circuito para efeito de cálculo.
• Relação entre as tensões de fase e de linha:
Supondo seqüência ⊕ então: 0an PV V
°= °
120bn PV V°
= − °
120cn PV V°
= °
Sabendo que ab an nbV V V° ° °
= +
0 120an bn P PV V V V° °
= − = ° − − °
3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))2 2P P PV V j V j
⎡ ⎤= − − ° + − ° = +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Logo 3 30ab PV V
°= °
3 90bc PV V°
= − ° da forma mais geral fase PV V ϕ°
=
3 150ca PV V°
= ° 3 30linha PV V φ°
= + °
111
bnV°
cnV°
anV°30°
abV°
• Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema
equilibrado):
anV°
ZbnV°
cnV°
a,b,c A,B,C
n N 3. Análise do circuito Y-Δ (equilibrado)
112
anV°
cnV°
bnV°
a
c
b
A
CBn
aAI°
bBI°
cCI°
Z Δ
ABI°
BCI°
CAI°
Z Δ
Z Δ
Correntes de fase:
Na carga: , ,AB BC CAI I I° ° °⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
Na fonte: , ,aA bB cCI I I° ° °⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
Correntes de linhas:
Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I° ° °⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
• Determinação das correntes de linhas:
Ex.: anaA
Y
VI
Z
°°
= cncC
Y
VI
Z
°°
=
bnbB
Y
VI
Z
°°
=
Circuito monofásico equivalente
aAI°
3YZZ =
a,b,c A,B,C
n N
cCI°
bBI°
113
• Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase:
aA AB CAI I I° ° °
= −
Supondo seqüência ⊕: 0AB pI I° °
= °
120BC pI I°
= − °
120CA pI I°
= °
0 120aA p pI I I°
= ° − °
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j°
= − ° + °
3 32 2aA pI I j
° ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 30aA pI I°
= − °
3 150bB pI I°
= − °
3 90cC pI I°
= ° da forma mais geral,
0fase pI I°
= °
3 30linha pI I φ°
= − ° Observação: se o gerador estiver ligado em Δ, substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma.
a
c
b
220 903
°
220 303
− °
220 1503
− °
seqüência ⊕ 3 30 30
3linha
linha fase faseV
V V V= ° ⇒ = − °
220120°
a
c
b
220 0°
220 120− °
114
4. Circuitos 3φ desequilibrados 4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro
A
C
B
N
NI°
AI°
BI°
CI°
AZ
BZ
CZ
3 circuitos independentes. 0N A B CI I I I
° ° ° °= + + ≠
Neste caso ANA
A
VI
Z
°°
=
BNB
B
VI
Z
°°
=
CNC
C
VI
Z
°°
=
4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro
115
anV°
cnV°
bnV°
AI°
BI°
CI°
BZ
AZ
CZ
1I
2I
Utiliza-se o método das malhas. 1AI I
° °= 2 1BI I I
° ° °= − 2CI I
° °= −
4.3. Carga desequilibrada em Δ
• Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o circuito Δ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas.
⇔
• Conhece-se as tensões de linha na carga:
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
116
anV°
cnV°
bnV°
A
CB
aI°
1Z
ABI°
2Z
3Z
1
ABAB
VI
Z
°°
= 2
CACA
VI
Z
°°
= => a CA ABI I I° ° °
= −
5. Potência em sistema 3φ
A A AZ Z φ= B B BZ Z φ= C C CZ Z φ=
, , , ,, , A B C A B CA B C v iφ θ θ= −
Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas:
( ) cos( )AN Ap vAv t V tω θ= + ( ) cos( )
AN Ap iAi t I tω θ= + ( ) cos( )
BN Bp vBv t V tω θ= + ( ) cos( )BN Bp iBi t I tω θ= +
( ) cos( )CN Cp vCv t V tω θ= + ( ) cos( )
CN Cp iCi t I tω θ= + Sabendo que [ ]1cos cos cos( ) cos( )
2A B A B A B= + + −
Potências instantâneas em cada fase:
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
117
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC
A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t tφ ω θ φ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + + Potência ativa total:
cos cos cosrms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V Iφ φ φ= + + = + +
5.1. Para um sistema equilibrado
rms rms rmsA B C rmsV V V V= = =
A B C A B CZ Z Z Z φ φ φ φ= = = ⇒ = = =
rms rms rmsA B C rmsI I I I= = =
• Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I ϕ=
• Potência média: 3 cosrms rmsP V I ϕ= → Para carga ligada em Y fase linhaI I= 3 fase linhaV V=
3 cos 3 cos3
linhaY linha Y linha linha
VP I P V Iϕ ϕ= ⇒ =
→ Para carga ligada em Δ fase linhaV V=
3 fase linhaI I=
3 cos 3 cos3
linhalinha linha linha
IP V P I Vϕ ϕ= ⇒ =
YP P=
118
Resumo: V e I em valores eficazes. Por fase Total Potência ativa cosf f fP V I ϕ=
3 cos 3 cosT f f L LP V I V Iϕ ϕ= =
Potência reativa sinf f fQ V I ϕ=
3 sin 3 sinT f f L LQ V I V Iϕ ϕ= =
Potência aparente f f fS V I=
3 3T f f L LS V I V I= =
Potência complexa
*
ff fS V I° ° °
= *
3T f fS V I°° °
=
Fator de potência cospF ϕ=
cospF ϕ=
5.2. Para um sistema desequilibrado Potência ativa total: T A B CP P P P= + + Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q= + +
Potência aparente total: 2 2T T TS P Q= +
Fator de potência: cos TT
T
PS
ϕ =
Potência complexa total: T A B CS S S S° ° ° °
= + +
6. Medida da potência média em um circuito 3φ
6.1. O Wattímetro
119
I
V
CARGA
bobina da tensão(resistência alta)
bobina da corrente(resistência baixa)
Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga. cos( )v iW V I θ θ= − 6.2. O método dos dois Wattímetros
1 cos( )ac aac a v IW V I θ θ= −
2 cos( )
bc bbc b v IW V I θ θ= −
1 2P W W= + Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: Seqüência ⊕ 0anV V= °
ou
Y
a
c
b
1W
2W
120
120bnV V= − ° 120cnV V= ° Z Z ϕ= 3 30linha faseV V= °
3 30bc bnV V°
= °
3 120 30bcV V°
= − ° °
3 90bcV V°
= − ° ac caV V
° °= −
3 30ca cnV V°
= °
3 30 120caV V°
= ° °
3 150caV V°
= ° 3 150 3 330 3 30V V V V
°⇒ = − ° = ° = − °
0ana
V VI IZZ
ϕϕ
°° °
= = = −
120 120bnb
V VI IZZ
ϕϕ
°° − °
= = = − − °
1 3 cos( 30 ( ))W V I ϕ= − ° − − 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I ϕ= − ° − − ° 1 cos( 30 )L LW V I ϕ= − ° 2 cos( 30 )L LW V I ϕ= + °
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga.
[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° + ° [ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° − °
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I ϕ+ = ° 2 1
2 1
cos(30 ) cos( )sin( ) cos(30 )
W WW W
ϕϕ
+ °= −
− °
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I ϕ− = − °
121
2 1
2 1
3 cos( ) 321 tan( )sin( )2
W WW W
ϕ
ϕϕ
+ −= − =
−
1 2
1 2tan( ) 3
W WW W
ϕ−
=+
⇒ 1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W ϕ ϕ ϕ= = ⇒ = ⇒ = ⇒ carga resistiva 1 2W W= com sinais apostos → carga reativa pura 1 2 0W W ϕ> ⇒ > ⇒ carga indutiva 1 2 0W W ϕ< ⇒ < ⇒ carga capacitiva
122
CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS
CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
123
1. Introdução Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito ⇒ resposta em freqüência do circuito.
jLω
se ω = ∞ ⇔
0se ω = ⇔
1jCω
se ω = ∞ ⇔
0se ω = ⇔
Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa ⇒ circuitos de seleção de freqüência ou Filtros. Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc. Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição. Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos. 2. Filtros passa-baixas
124
iV oV
R
C
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de
freqüência no domínio da freqüência.
iV°
oV°
R
jLω
( )i oo
i
RV V RV H jR jL R jLV
ωω ω
° °° °
°= ⇒ = =
+ +
2
2
( ) ( )
R RL LH j H j
R RjL L
ω ωω ω
°= ⇒ =
+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) arctan Lj
Rωθ ω = −
Gráfico de amplitude:
Para freqüências altas o circuito deixa passar
pouco sinal.
iV oVR
L
0
1
12
( )H jω
ωcω
Bandarejeitada
Bandapassante
125
Gráfico de fase:
Tensão de saída
atrasada de 90º em relação à tensão de entrada.
A freqüência limite entre a banda rejeitada e
a banda passante é chamada freqüência de corte cω . Ela corresponde
à freqüência pela qual
max1( )2cH j Hω = .⇔
Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível.
Razão da escolha de max
2H para definir cω :
• Potência máxima na saída:
2max1
2R
RV
PR
=
• Potência na saída quando cω ω= :
max max1 1( ) ( )2 2c o R c RH j H V V j Vω ω= ⇒ ⇒ =
2
2 2maxmax
1( )1 1 12
2 2 2 2c
R
RRR c
P
V VV jP
R R Rωω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
123
12c RP Pω =
0( )jθ ω
90− ° ω
126
No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima.
cω = freqüência de meia potência. ⇒ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.
3. Filtros de banda de passagem Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. Exemplo:
No domínio da freqüência:
iV°
R
1jCωjLω
i°
1
VIR j L
Cω
ω
°°
=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
iV oVR
CL i
iV oV
R
C L
127
2
2
11 1( ) tan
1 1
LI CH j arcRV R j L R LC C
ωωω
ω ωω ω
°
°
⎛ ⎞−⎜ ⎟= = = − ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
22
1
1H j
R LC
ω
ωω
=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
1
( ) arctanL
CjR
ωωθ ω
⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
• Freqüência de ressonância 0ω :
128
Freqüência pela qual ( )H jω é máxima. max
1 IHR V
= = .
Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm módulos iguais e de sinais opostos. ⇒ a tensão de entrada e a corrente estão em fase.
1eqZ R j L
Cω
ω⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
, como na ressonância 0( )eqZ Rω =
⇒ 0 00
1 10LC LC
ω ωω
− = ⇒ =
• Freqüências de cortes 1ω e 2ω
Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância 2
0 max12 pP R I= .
Freqüências de cortes = Freqüência para max
2pI
I = =freqüência ½
potência.
1 2
2 2max max
01 1 12 2 2 22
p pI IP P R R Pω ω
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
max1 2 2 2 2
( ) ( )2 2 2
p p p pI V V VI I
R R R Rω ω= = = = =
+
22 1
pVI
R LC
ωω
=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
22 1 1R L R L
C Cω ω
ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = ± −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) 22 2 2
2
1 1 0R L L RC C
ω ω ωω
= − ⇒ − − =
2
2
4
2
LR RC
Lω
± +=
2
2
4
2
LR RC
Lω
+ +=
b) 2
1 1 11
1 1 0R L L RC C
ω ω ωω
= − ⇒ + − =
129
2
1
4
2
LR RC
Lω
− ± +=
2
1
4
2
LR RC
Lω
− + +=
• Banda passante ωΔ
Largura de banda da passagem:
2 1RL
ω ω ωΔ = − =
0 1 2ω ω ω=
• Fator de qualidade Q
0 0LQ
Rω ω
ω= =
Δ
Q maior, circuito mais seletivo.
130
Bibliografia
1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.
2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson,
John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7.
3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching
Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7.
4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7.
5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson
Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5.
6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.
7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.