apostila biofísica

8/14/2019 Apostila Biofsica

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Bertolo BIOFSICA PARA BIOLOGIA 1

Captulo 01Terminologia, Crescimento e DecaimentoExponencial, Atividade Radioativa.

1.1 - TERMINOLOGIAA Fsica uma cincia. Isto significa um conjunto organizado de conhecimentos relativos a um

determinado objeto obtidos por meio de observao, experimentaoe raciocnio lgico(componentes domtodo cientfico). O seu objeto de estudo a natureza.A Biofsica de uma maneira genrica estuda a Fsica do ecossistema, onde existem os seres vivos

(inclusive o homem) sofrendo a influncia de diversos fatores tais como luz, temperatura, umidade e presso.

1.2 - MODELAGEM NA BIOFSICA Apesar dos fsicos acreditarem que o mundo fsico obedea s leis fsicas, eles sabem que a descrio

matemtica de algumas situaes so muito complexas para permitirem solues. Por exemplo, se vocarrancar um pequeno canto desta pgina e o deixar cair at o cho, ele girar vrias vezes at chegar l. Suatrajetria ser determinada pelas leis da fsica, mas ser quase impossvel escrever a equao que descreva estatrajetria. Os fsicos concordam que a fora da gravidade o obrigar a ir em direo ao cho, se nenhumaoutra fora interferir. Correntes de ar e eletricidade esttica afetariam sua trajetria.

Da mesma forma embora as leis da fsica estejam envolvidas em todos os aspectos da funo do corpohumano, cada situao to complexa que quase impossvel predizer o comportamento exato a partir doque sabemos da fsica. Contudo, um conhecimento das leis da fsica ajuda o nosso entendimento da fisiologiaanimal e vegetal e do ambiente onde os seres vivos esto envilvidos

Algumas vezes na tentativa de entender um fenmeno fsico o simplificamos, selecionando suascaractersticas principais e ignoramos aquelas que acreditamos serem menos importantes. Nossa descrio

poderia ser apenas parcialmente correta, mas provavelmente melhor do que absolutamente nada. Tentandoentender os aspectos fsicos do corpo humano, freqentemente recorremos a analogias. Tenha em mente queanalogias nunca so perfeitas. Por exemplo, de certa maneira o olho anlogo a uma cmara de vdeo aanalogia pobre quando o filme, que pode ser substitudo, comparado retina, o detetor de luz do olho.

Neste curso freqentemente usaremos analogias para ajudar a explicao de alguns aspectos da fsica docorpo. Esperamos ter sucesso, mas, por gentileza, lembrem-se que todas as explicaes, em certo grau, soincompletas. A situao real sempre mais complicada do que aquela que descrevemos.

Muitas das analogias usadas pelos fsicos empregam MODELOS. Fazer modelos muito comum nasatividades cientficas. Um famoso fsico do sculo dezenove, Lorde Kelvin, disse: Eu nunca me satisfao atconseguir um modelo mecnico de uma coisa. Se eu puder fazer um modelo mecnico eu a entendi. Alguns modelosenvolvem fenmenos fsicos que parecem no estar completamente relacionado ao objeto que est sendoestudado, por exemplo, um modelo em que o fluxo de sangue representado pelo fluxo de eletricidade(corrente eltrica) muito usado no estudo do sistema circulatrio do corpo humano. Este modelo eltrico

pode muito bem simular muitos fenmenos do sistema cardiovascular. claro que se voc no entendeu osfenmenos eltricos, o modelo no o ajudar muito. Tambm, como mencionado antes, todas as analogias tmsuas limitaes. O sangue feito de clulas vermelhas (glbulos vermelhos) e plasma (parte lquida), e a

porcentagem no sangue ocupada pelos glbulos vermelhos (hemcias ou eritrcitos) varia quando o fluxosangneo vai at as extremidades do corpo. Este fenmeno (discutido posteriormente) difcil para sersimulado com modelos eltricos.


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Outros modelos so matemticos: equaes so modelos matemticos que podem ser usadas paradescrever e predizer o comportamento fsico de alguns sistemas. No mundo real da fsica temos muitas de taisequaes. Algumas so de uso to geral que so referidas como leis. Por exemplo, a relao entre fora F,massa m, e acelerao a, usualmente escrita como F = ma, conhecida como 2. Lei de Newton. Existemoutras expresses matemticas desta lei que podem parecer bem diferentes para uma pessoa leiga, mas soreconhecidas por um fsico como outras maneiras de se dizer a mesma coisa. A segunda lei de Newton usadano Captulo 2 na forma F = D(mv)/Dt, onde v a velocidade, t o tempo e D indica uma pequena variao daquantidade. A quantidade mv o momento linear, e a parte da equao D/Dt significa razo de variao (domomento) com o tempo.

Uma das palavras favoritas dos fsicos funo. O smbolo para funo (f) no deve ser confundidocom o smbolo para fora F. A equao W = f(H) significa que o peso W uma funo da altura H. Ela nodiz como o peso e a altura esto relacionados ou quais outros fatores esto envolvidos. uma espcie detaquigrafia matemtica. No campo mdico podemos escrever R = f(P) para indicar que a razo de pulsao R uma funo da potncia P produzida pelo corpo. O prximo passo - omitir o f e escrever uma equao quediz como as coisas esto relacionadas umas com as outras - difcil.

Um pesquisador mdico pode usar um modelo de alguma funo do corpo para predizer propriedadesque no so originalmente imaginadas. Por outro lado, alguns modelos so to grosseiros que so somenteteis para servirem de guias a modelos melhores.

Muitas funes do corpo so controladas porhomeostasia, que anlogo ao controle de feedback(realimentao) na engenharia. Um engenheiro que quer controlar alguma quantidade que varia com o tempotomar uma amostra do que est sendo produzido e usar esta amostra como um sinal para controlar a

produo em algum nvel desejado. Isto , algumas das sadas realimentam a fonte para regularem a suaproduo. Se o sistema projetado de modo que um acrscimo na quantidade em que realimentado diminuia produo e um decrscimo na amostra aumenta a produo, o feedback negativo. Feedback negativo

produz um controle estvel, enquanto o feedback positivo, no qual uma variao no feedback da amostracausa uma variao na mesma direo, produz um controle instvel.

Um exemplo simples de feedback negativo o controle da temperatura de uma casa por umtermostato. O forno produz calor, e o termostato, via um termmetro, controla o calor que sai. Quando atemperatura atinge um valor acima de um ponto fixo, o termostato envia um sinal ao forno para desligar a

produo de calor. Quando o calor perdido na casa, a temperatura cai at que o termostato atinge o valorpresente e ento envia um sinal para ligar o calor novamente.

Controle de feedback negativo comum no corpo humano. Por exemplo, uma importante funo docorpo controlar o nvel de clcio no sangue. Se o nvel ficar muito baixo, o corpo libera clcio dos ossos

para aumentar o nvel no sangue. Se muito clcio liberado, o corpo abaixa o nvel no sangue removendo-ovia rins.

Enquanto muitos mecanismos de controle do corpo no so ainda entendidos, vrias doenasencontram-se diretamente relacionadas ao fracasso desses mecanismos. Por exemplo, quando o corpo cresce,suas clulas mantm-se aumentando em nmero at ele atingir o tamanho adulto, e ento o corpo permanecemais ou menos constante no tamanho sob algum tipo de controle de feedback. Ocasionalmente algumasclulas no respondem a este controle e tornam-se tumores.

QUESTIONRIO 011. D trs exemplos do uso da palavra fsicana medicina.2. Pode um engenheiro mdico ser sempre chamado de engenheiro clnico?3. O que voc entende por homeostasia? Sugesto: Fisiologia Humana do Guyton, pg. 34. Explique em que sentido o alcoolismo uma doena que envolve feedbackpositivo

1.3 - FUNO EXPONENCIAL muito comum em Fsica aparecer este tipo de funo.


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Chamamos de funo exponencial qualquer funo de |R em |R definida por f(x) = ax, onde a umnmero real positivo e diferente de 1.EX:- f(x) = 2x f(x) = ()x f(x) = ex onde e @ 2,718 (neperiano)

Vamos agora esboar o grfico das seguintes funes:

y = 2x

y = ()x

EXERCCIOS1. a. Construa uma tabela x versus y para a seguinte funo y = 3x

b Esboce o grfico correspondente.2. Repita o exerccio anterior para y = (1/3)x.

1.3.1 CRESCIMENTO EXPONENCIALApresentaremos agora algumas aplicaes a funo exponencial na Biofsica. Comecemos discutindo o

crescimento de uma populao. Para isso clique aqui.EXERCCIOS1. O crescimento de uma certa cultura de bactrias obedece funo:

N(t) = 200 . 3 kt

N: representa o nmero de bactrias no instante t.t: o tempo em horas.k: constante.

A produo tem incio para t = 0. Decorridas 12 horas h um total de 600 bactrias.a. Calcule a constante K.

b. Qual o nmero de bactrias, 36 horas depois que se iniciou a produo?

x y

-2 2-2 = 1/4-1 2-1 = 0 20 = 11 21 = 22 22 = 4

x y-2 ()-2 = 4-1 ()-1 = 20 ()0 = 11 ()1 = 1/22 ()2 = 1/4


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2. Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colnia de bactrias. Na primeira observao, constatou-se um total de 1.500bactrias. Observaes subseqentes revelaram que a populao da colnia dobrava sempre em relao observaoimediatamente anterior. Em que observao a colnia alcanou 375 . 255bactrias?

1.4 - FUNO LOGARTMICAConsidere os seguintes problemas:

1. Qual o expoente que se deve dar ao 2 para se obter 8?Passando para a linguagem matemtica e resolvendo:2

x= 8 2

x= 2

3 x = 3

2. Qual o expoente que se deve dar ao 10 para se obter 100?10x = 100 10x = 102 x = 2Esse expoente x que se deve dar a uma base positiva e diferente de 1, chamamos de logartmo.De um modo genrico, definimos:Dados dois nmeros reais e positivos a e b, sendo a 1, chama-se logartmo de b na base a o expoente que sedeve dar base a de modo que a potncia obtida seja igual a b.Indicamos: logab = x a

x = bChamamos b: logaritmando

a: basex: logartmo

PROPRIEDADESP-1: O logartmo de 1 em qualquer base a zero: loga1 = 0P-2: O logartmo da prpria base 1: logaa = 1P-3: Dois logartmos numa mesma base so iguais se e somente se os logaritmandos so iguais logab = logac b = cP-4: O logartmo do produto b . c na base a igual soma dos logartmos dos fatores b e c na base a

loga(b . c) = logab + logac

P-5: O logartmo de um quociente (b/c) na base a igual ao logartmo do dividendo menos o logartmo do divisor, os dois na basea.

loga (b/c) = logab - logac

P-6: O logartmo de uma potncia bn na base a igual ao produto do expoente pelo logartmo da base da potncia.Logab

n = n . logab

log39 = 2

log101000 = 3log51 = 0log1/22 = -1log2 =-2

EX

EMPLOS

x y = log2x log21/4 = -2 log21/2= -1

1 log21= 02 log22= 14 log24= 2

x y = log2x log 1/4 = -2 log 1/2= -11 log 1= 02 log 2= 14 log 4= 2

Vamos agora esboar os grficos:1. da funo f(x) = log2x

2. da funo f(x) = log =x


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EXERCCIOS1. O nvel de intensidade b do som chamado decibel para um som de intensidade I e dado por:

onde I0 = 10-12 W/m2 a intensidade de referncia padro.

Numa conversao normal I = 10-6 W/m2. A quantos decibis corresponde essa intensidade sonora?

2. Calcule a intensidade do som de um avio a jato a 30 m de distncia, sabendo que o nvel de intensidade correspondente de140 decibis.

3. A densidade ptica (DO) de um absorvedor ptico definida como:

onde I0 a intensidade luminosa sem o absorvedor, e I a intensidade luminosa com o absorvedor.Qual a densidade ptica de um filme que transmite 10% da luz incidente?

4. Qual a densidade ptica de um filme que absorve 99% da luz incidente

5. Encontrou-se para a densidade ptica o valor de 0,2227 quando a luz de 575 nm passou atravs de uma cuba de 5 cm de leovegetal. Qual a percentagem da luz absorvida?

1.5 - DECAIMENTO EXPONENCIALA relao exponencial usada em vrias situaes da Fsica (e da cincia de um modo geral). O

decaimento exponencial talvez a aplicao mais comum deste tipo de relao. Ele pode ser encontrado nafsica nuclear, na biofsica, na inflao e nos jogos de dados, etc.

Vamos estudar o decaimento exponencial na fsica nuclear, mais especificamente na desintegraonuclear.

Um ncleo atmico constitudo de prtons e nutrons. Cada elemento qumico tem um nmeroespecfico de prtons no ncleo assim, por exemplo, o carbono tem 6 prtons, o nitrognio tem 7 prtons, e

o oxignio 8 prtons. Entretanto o nmero de nutrons dentro do ncleo pode variar para cada elemento.Os ncleos de um dado elemento com nmero diferente de nutrons so chamados istoposdoelemento. Estes podem ser estveis ou instveis.

Os ncleos dos istopos instveisesto em nveis energticos excitados e eventualmente podem darorigem emisso espontnea de uma partcula do ncleo, passando, ento, de um ncleo pai para outrofilho em nvel energtico menos excitado ou fundamental. Essa partcula pode ser alfa, eltron, psitron oufton da radiao gama. A esse fenmeno d-se o nome de desintegraoou decaimento nuclear. Osistopos instveis so portanto radioativos e tambm conhecidos porradioistopos1.

Os istopos estveisno sofrem desintegrao radioativa e so portanto no-radioativos.O carbono, por exemplo, tem dois istopos estveis ( 126C e

136C) e diversos radioistopos (

116C,

146C,

156C, etc.). O ndice superior indica o nmero de massaA (n de prtons + n de nutrons). O ndice inferior,

muitas vezes omitido, representa o nmero de prtons no ncleo, e chamado nmero atmicoZ.Os elementos com nmero atmico 1 (hidrognio) a 92 (urnio) so encontrados na natureza,

enquanto que aqueles com Z entre 93 e 103 so produzidos artificialmente. Todos os elementos com Zsuperior a 82 (chumbo) so entretanto, radioativos e se desintegram, passando de um ncleo a outro, atravsde uma srie, at se transformar num istopo estvel de chumbo.

Com o desenvolvimento de reatores nucleares e aceleradores de partculas, tornou-se possvel aproduo de grandes quantidades de istopos radioativos artificiais, que so usados em pesquisas nas diversasreas da Cincia, na Medicina, na Agricultura e na Indstria.

1 Eles so encontrados na forma mineral, nos alimentos, no ar e na gua.

b = 10 log10I

I0

DO = log10I

I0


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Numa desintegrao radioativa, o ncleo emite espontaneamente uma partcula a(um ncleo de 42He),uma partcula b (um eltron ou um psitron) ou um raio g (um fton) adquirindo, assim, uma configuraomais estvel.

Uma fonte radioativa contm muitos tomos e no h modo de dizer quando um dado ncleo ir sedesintegrar. Entretanto, em mdia, pode-se predizer que aps um dado intervalo de tempo, chamado meia-vidat, metade dos ncleos (portanto, metade dos tomos) ter-se- desintegrado. Na prxima meia-vida,metade dos tomos remanescentes ir sofrer decaimento. Cada radioistopo tem uma meia-vida caracterstica.

Um radioistopo com uma meia-vida longa decai mais lentamente que aquele com uma meia-vida curta.As meias-vidas t dos radioistopos variam de um segundo a muitos milhes de anos. Entretanto, ameia-vida dos radioistopos com aplicao na Biologia deve estar dentro de um certo intervalo de tempolimitado. Por exemplo, a meia-vida do 13153I, usado no estudo do funcionamento da tireide, de 8 dias,enquanto que a do 158O, empregado na investigao respiratria, de 2,1 minutos e a do

146C, utilizado na

pesquisa de comportamento metablico de protenas, acares e gorduras, de 5.760 anos.

EXEMPLOSeja uma fonte de ouro radioativo (198Au), inicialmete, com 100 x 106 tomos. Sua meia-vida de 2,7 dias. Portanto,

passados 2,7 dias, a fonte radioativa ter 50 x 106 tomos aps 2 x 2,7 dias 25 x 106 tomos aps 3 x 2,7 dias 12,5 x 106 tomose assim por diante. Faa um grfico num papel milimetrado com os dados acima referidos.Soluo

Na figura acima, pode ser visto o decaimento exponencial da fonte.

Diz-se que este tipo de curva apresenta um decaimento exponencial com o tempo. O fato de adesintegrao radioativa seguir a lei exponencial uma indicao de que tal fenmeno de naturezaestatstica: cada ncleo em uma amostra de material radioativo possui uma certa probabilidade dedesintegrao, mas no h um meio de se conhecer, antecipadamente, qual ncleo se desintegrar num dadointervalo de tempo.

Uma maneira de representar matematicamente o decaimento exponencial, conhecendo-se aprobabilidade de desintegrao por unidade de tempo, chamada constante de decaimentol, atravs daequao

onde N0 o nmero de tomos inicialmente presentes, N o nmero de tomos que ainda no se desintegraramaps um intervalo de tempo t e e a base dos logartmos neperianos.

Cada radioistopo possui um l caracterstico.Sabendo-se que, para t = t, N ser igual a N0/2, teremos

N = N0 e-lt

N0/2 = N0 e-l t


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Uma vez que N0 diferente de zero, pode ser eliminado de ambos os membros,

Calculando o logartmo neperiano de ambos os membros, obtemos

EXERCCIOS1. Calcule o nmero de tomos de 198Au aps 12,15 dias se, inicialmente, a amostra era constituda de 10 8 tomos? Dado: Ameia-vida do 198Au de 2,7 dias.2. Uma criana com leucemia aguda tem, aproximadamente, 1012 clulas leucmicas quando a doena clinicamente aparente.A cura requer a eliminao de todas essas clulas. O tempo de duplicao para as clulas de 5 anos. Se todas so mortas, excetouma, em quanto tempo a doena ser novamente aparente?3. Uma cultura de bactrias, com crescimento exponencial, aumenta de 106 clulas par 5 . 106 clulas, em 6 horas. Qual o tempoentre as sucessivas duplicaes? (Se no houver mortalidade).

1.6 ATIVIDADE RADIOATIVAA atividadeA de uma amostra de qualquer material radioativo definida como sendo o nmero dedesintegraes dos ncleos de seus tomos constituintes por unidade de tempo, isto , a velocidade dedesintegrao dos tomos. Esse conceito til, uma vez que no h modo direto para se determinar o nmerode tomos presentes numa amostra, exceto atravs da radioatividade desses tomos. Existem equipamentos,como contadores Geiger, que medem diretamente a atividade de uma amostra.

A atividade A de uma amostra radioativa num dado instante pode ser expressa porSubstituindo-se o N da equao acima pela primeira equao temos

onde A0 = l N0 a atividade inicial.A unidade da constante de desintegrao l e a da atividade A a mesma , isto , s -1, embora l seja

uma caracterstica de cada radioistopo e a atividade de uma amostra radioativa depende do nmero N deseus tomos constituintes com uma l prpria.

Visto que a atividade de uma amostra radioativa diretamente proporcional ao nmero de tomospresentes, os grficos destas duas ltimas equaes so os mesmos daquele do exemplo, diferindo apenas naconstante l. A passagem de um grfico a outro feita multiplicando-se a escala do eixo vertical pela constante l, caracterstica de cada radioistopo.

Uma das unidades de atividade utilizada o curie (Ci)

sendo seus submltiplos o milicurie e o microcurie.1 mCi = 3,7 x 107 s-1 1 m Ci = 3,7 x 104 s-1

Em 1975, a Comisso Internacional de Unidades e Medidas Radiolgicas (ICRU) recomendou o uso dobequerel (Bq) como unidade de atividade no S.I. de unidades. A sua definio

Portanto, 1 Ci = 3,7 x 1010 Bq.

EXERCCIOS1. A constante de decaimento l do 131I 0,083 dias-1. Qual o valor de sua meia-vida t?

1/2= N0 e-l t

ln 2 = l t 0,693 = l t

A = l N

A = l N0 e-l t = A0 e

-l t

1 Ci = 3,7 x 1010 desintegraes / segundo

1 becquerel (Bq) = 1 desintegrao /segundo


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2. A meia vida t do istoipo de carbono 14C de 5.600 anos. Qual o valor de sua constante de decaimento l?3. Uma amostra radioativa tem 2,5 mCi. Qual a sua atividade em Bq?4. Uma amosta tem 630 MBq. Qual a sua atividade em Ci e em mCi?5. A constante de decaimento do 131I de 0,083 dias-1. Qual o porcentual de decaimento por dia?6. O iodo125 (125I) tem meia vida de 60 dias. Uma amostra, no tempo zero, tem 370 MBq de desintegrao. Ao fim de 35 dias,

qual ser sua atividade em mCi?7. Um bilogo est estudando o metabolismo de uma protena marcada com 131I, cuja meia vida t de 8,3 dias. A dose inicial

injetada em um rato tinha 15,6 mCi de atividade incorporada protena. Ao final de 20 dias, uma contagem mostra 1,25 mCide atividade. Que percentual dessa atividade devida ao catabolismo da protena?

8. Uma amostra radioativa foi contada diariamente, durante 5dias, mesma hora. Os valores obtidos, esto abaixo1 2 3 4 5 Dia65.700 62.600 59.600 56.800 54.100 CPM

Qual a meia vida desta amostra?9. Uma amostra de 32P chegou ao laboratrio 12 dias depois de seu ensaio na fonte produtora. A atividade inicial era de 10 mCi.

Qual a atividade atual?10. Um bilogo dispe de um aminocido (Massa Molar de 137 g) marcado com atividade de 51,6 mCi por mili mols. Quantos

pulsos p0or minuto tem a amostra?11. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lanou para a atmosfera grande quantidade de 38Sr

90 radioativo, cujameia vida de 28 anos. Supondo ser este istopo a nica contaminao radioativa e sabendo que o local poder consideradoseguro quando a quantidade de 38Sr

90 se reduzir, por desintegrao, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderser habitado novamente a partir do ano de:

a. 2014 b. 2098 c. 2266 d. 2986 e. 300012. Protestos de vrias entidades ecolgicas tm alertado sobre os danos ambientais causados pelas experincias nuclearesfrancesas no Atol de Mururoa. Istopos radioativos prejudiciais aos seres vivos, como o 90Sr, formam o chamado lixonucleardesses experimentos. Quantos anos so necessrios para que uma amostra de 90Sr, lanada no ar, se reduza a 25% damassa inicial? Dado: meia vida do 90Sr = 28,5 anos.a. 28,5 b. 57,0 c. 85,5 d. 99,7 114

13. O gs carbnico da atmosfera apresenta uma quantidade pequena de 14C e que permanece constante na assimilao docarbono pelos seres vivos a relao 14C/12C mantida constante. Contudo, aps cessar a vida, o 14C comea a diminuirenquanto o 12C permanece inalterado, o que possibilita o clculo da data em que isso ocorreu. Considere que numa peaarqueolgica encontrou-se a relao 14C/12C igual metade do seu valor na atmosfera> A idade aproximada dessa amostra,em anos, igual a:(Dado: meia vida do 14C = 5570 anos)a. 2.785 b. 5.570 c. 8.365 d. 11.140 e. 13.925

EXERCCIOS EXTRAS14. A meia-vida de um dado istopo radioativo de 6,5 horas. Se existirem inicialmente 48 x 1019 tomos deste istopo, quantostomos deste istopo restaro aps 26 horas? SOLUOt= 6,5 horas N0 = 48 10

19tomos N = ? t = 26 horas

t = (0,693)/l l= (0,69315)/t = (0,69315)/6,5 = 0,1067 h-1

.

N = N0 e-l t

= 48 1019

e-(0,1067) 26

= 2,995 1019

tomos

Ou seja,

N

N

x

x0

1 9

19

3 1 0

4 8 1 0

1

1 6

0 0 6 2 5= = = , ou ainda 6,25% dos tomos iniciais15. A meia-vida de um istopo radioativo de 140 dias . Quantos diasseriam necessrios para que a atividade A de uma amostradeste istopo casse a um quarto de sua taxa inicial de decaimento?SOLUOt = 140 dias

t = (0.693)/l l= (0,69315)/t = (0,69315)/140 = 4,95 10-3

dias-1

(1/4)A0 = A0 e-l t (1/4) = e-l t ln (1/4) = -l t

-1,3863 = - 4,95 10-3

t t = 0,280 103 dias ou t = 280 dias16. O oxignio radioativo 158O tem uma meia-vida de 2,1 minutos.

a. Quanto vale a constante de decaimento radioativo l ?


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b. Quantos tomos radioativos existem numa amostra com uma atividade de 4 mCi ?c. Qual o tempo necessrio para que a atividade seja reduzida por um fator 8?

SOLUOa. t = 2,1 min = 126 s

l . t = ln 2 l . 126 = 0,693 l = 0,693/126 = 0,0055 s-1

l = 5,5 . 10-3

s-1

b. N = ? A = 4 mCi

A = l N 4 . 10-3

. 3,7 . 1010

= 0,0055 . NN = (4 . 3,7 . 10

7)/0,0055 = 2690,91 . 10

7desintegraes

N = 2,69 . 1010

desintegraes

c. A = (1/8) A0

(1/8)A0 = A0 e-l.t

(1/8) = e-l . t

ln (1/8) = -l . t

-2,0794 = - l .t t = (2,0974/0,0055) = 378,08 s17. Calcular a taxa de desintegraonum organismo vivo, por grama de carbono, admitindo que a razo 14C/12C seja 1,3 x 10 - 12.SOLUOln 2 = 0.693

l = (ln 2)/t = (0,693)/tO nmero N de ncleos de

12C em 1 g de carbono :

6,02 1023

(ncleos/mol) 12 g/mol

N 1 g N = (6,02 1023

)/12 =

5,02 1022

ncleos/g

O nmero de ncleos de14

C radioativo ento igual a razo 1,3 10-12

vezes N, ou seja,

5,02 1022

(ncleos/g) x 1,3 10-12

= 6,526 1010

ncleos/g

A atividade por grama, ser

A = 0 6 9 3

5 7 3 06 5 2 6 1 0 7 8 9 3 1 01 0 6

., , in t /

a n o s x x x d es eg r a co es a n o =

1 ano = 3,16 107

s = 0,053 107

min = 5,3 105

min

A = 1,499 101

desintegraes/min = 15 desintegraes/min.18. Um osso, contendo 200g de carbono, tem uma atividade beta de 400 desintegraes por minuto. Qual a idade do osso?SOLUOSe o osso fosse um organismo vivo 15 desintegraes/min g.Como temos 200 g,A0 = 3 000 desintegraes/min

A

A0

4 0 0

3 0 0 0

1

7 5

= =

,

Depois de n meia-vida A diminui por (1/2)n. Assim, temos(1/2)

n= (1/7,5) ou 2

n= 7,5

ln 2n

= ln 7,5 n ln 2 = ln 7,5 n = (ln 7,5/ln 2) = 2,91 3 meias-vidas = 3 x

5730 anos = 16 700 anos \ idade do osso = 16 700 anos19. Um certo elemento radiotivo tem uma meia-vida de 20 dias.

a. Qual o tempo necessrio para que dos tomos inicialmente presentes se desintegrem?b. Quanto vale a constante de desintegrao e a vida mdia?


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Bertolo BIOFSICA PARA BIOLOGIA 10SOLUO t = 20 dias l . 20 = 0,693 l = (0,693)/20 = 0,0347 dias

-1

a. (3/4)N0 tomos desintegrando ficaremos com N = (1/4)N0

(1/4)N0 = N0 e-l.t ln 0,25 = - 0,0347 t t = (1,3863/0,0347) = 40 dias

b. l = 0,0347 dias-1 T = (1/l) = (1/0,0347) = 28,86 dias

20. Na desintegrao do

226

Ra emitida uma partcula alfa. Se essa partcula se chocar com uma tela de sulfeto de zinco,produzir-se- uma cintilao. Desse modo possvel contar diretamente o nmero de partculas alfa emitidas por segundo por umgrama de 226Ra, tendo sido determinado esse nmero por Hess e Lawson como sendo igual a 3,72 x 1010. Use esses dados e onmero de Avogadro - 6,02 x 1023 molculas por mol - para calcular a meia-vida do rdio.SOLUO226 g ..... 6,02 10

23

1 g ..... x x = 0,02664 1023

tomos

1 g de226

Ra contm 2,664 1021

tomos

N0 = R0 x 1,44 t t = (2,664 1021

)/(3,72 x 1,44 1010

) = 0,4973 1011

s = 0,016 105

tomost = 1 600 anos21. A atividade de um certo fssil diminui de 1530 desintegraes por minuto para 190 desintegraes por minuto j comcorreo da radiao de fundo, durante o processo de fossilizao. Sendo a meia-vida do istopo radioativo do 14C de 5.760 anos,determine a idade do fssil. SOLUO1530 desintegraes/s 190 desintegraes/s

t = 5760 anos

l = (0,693)/t = (0,693/5760) anos-1

= 2,33 10-10

min-1

A = A0 e-l t

190 = 1530 e- l t

ln 190 = ln 1530 2,33 10-10

t

5,25 = 7,33 2,33 10-10

t t = (2,083/2,33) 1010

min = 0,894 1010

min = 1,7246 104

anos

= 17 246 anos

22. O carvo do fogo de um antigo acampamento indgena apresenta uma atividade devida ao 14C de 3,83 desintegraes porminuto por grama de carbono da amostra. A atividade do 14C na madeira das rvores vivas independe da espcie vegetal e vale15,3 desintegraes por minuto por grama de carbono da amostra. Determine a idade do carvo.SOLUOA = 3,83 desintegraes/(min g) A0 = 15,3 desintegraes/(min g)

t = 5 760 anos (problema anterior) l = 0,693/t = 1,203 10-4 anos-1

A = A0 e-l t A/A0 = e

-l t ln (3,83/15,3) = e- l t

- 1,385 = - 1,203 10-4

t t = 1,1513 10 anos ou t = 11 513 anos23. Uma amostra de 128I contm 2,0 x 1010 tomos radioativos. Sendo a meia-vida desse istopo de 25 minutos, calcule onmero de tomos que decaem por segundo.

SOLUON = 2 x 10

10tomos t = 25 min = 1500 s

l . t = 0,693 l = 0,693 / 1500 = 0,00046 s-1

A0 = l . N0 = 0,00046 . 2 . 1010

= 0,00092 . 1010

desintegraes/s


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ou seja 9,2 . 106

tomos (= 9,2 milhes de tomos)

24. O volume de um fluido extracelular pode ser medido injetando-se sulfato de sdio marcado com 35S. Uma tal fonte tem umaatividade inicial de 2 mCi. Sabendo-se que este istopo tem uma meia-vida de 87 dias, calcule a atividade da fonte aps 60 diasem Ci e em Bq.Aps quanto tempo a atividade cai a 0,5 mCi?

SOLUOA0 = 2 . 10

-3Ci t = 87 dias t = 60 dias A = ?

l . 87 = 0,693 l = 0,693/87 = 0,00797 dias-1

A = A0 e-l.t A = 2 . 10-3 e- 0,00797 . 60 A = 1,24 . 10-3 Ci

A = (1,24 . 10-3

)(3,7 . 1010

) = 4,59 . 107

Bq

25. Um material radioativo contm inicialmente 3 mg de 234U, cuja meia-vida de 2,48 . 105 anos.a. Quantos miligramas de 234U existiro aps 4,96 . 105 anos?

b. Calcule a atividade inicial e a final no perodo citado no tem a.

SOLUOm0 = 3 mg

234U t = 2,48 . 105 anos t = 4,96 . 105 anos = 2 . t

a. Decorridas 2 meia-vidas a amostra cai a do original. Assim, restaro 0, 75 mg.

b. A = l . N l = 0,693/(2,48 . 105

)

234 g 6,02 . 1023

tomos

3 mg N0

N0 = (3 . 10-3

).(6,02 . 1023

)/234

A0 =

0 693

2 4810

3 10 6 02 10

234 0 0216 105

3 2315,

, .

. , .

, .

in t-

=

des egracoes

s = 2,16 . 1013

Bq

A0= (2,16 . 1013

)/(3,7 . 1010

)= 0,0058 . 105

Ci = 580 Ci

26. O sdio radioativo 24 Na que tem uma meia-vida de 15 horas enviado de um laboratrio para um hospital, gastando nopercurso 3 horas. Sabendo-se que sua atividade deve ser de 10 mCi ao chegar ao hospital, calcule a atividade da fonte na sada dolaboratrio. SOLUOt = 15 h t = 3 h A = 10 mCi A0 = ?

A = A0 e-lt

10 = A0 e-l 3

l = 0,693/15 = 0,0462 h-1

A0 = 10 / e-0,0462 3

= 10 / 0,87058 = 11,48665 mCi

27. Uma fonte de 131I com vida-mdia de 11,52 dias tem uma atividade inicial de 3 mCi. Encontre a meia-vida e o nmero totalde desintegraes da fonte. SOLUOT = 11,52 dias A0= 3 mCi t = ? N = ?

T = 1/l l = 1/T = 1/11,52 = 0,0868 dias-1

= 0,000001 s-1


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l . t = 0,693 t = 0,693/0,0868 = 7,98 dias

A = l N 3 . 10-3 . 3,7 . 1010 = 0,000001 . N

N = 1,105 . 1014

desintegraes

28. Clulas cancerosas so as mais vulnerveis a radiaes X e gama do que as clulas sadias. Apesar de haver atualmente

aceleradores lineares que o substituem, no passado a fonte padro de terapia por radiao era o radionucldeo 60Co, que decai em beta num estado nuclear excitado 60 Ni, que, imediatamente, decai no estado fundamental, emitindo dois ftons de raios-gama,cada um com energia de aproximadamente 1,2 MeV. A meia-vida do decaimento beta, que o controlador do processo, de 5,27anos. Quantos ncleos ra dioativos60Co esto presentes em uma fonte de 6.000 Ci usada num hospital?(1 Ci = 1 Curie = 3,7 x 1010 desintegraes/s = 3,7 x 1010 Bq)SOLUOClulas cancerosas so vulnerveis a raios -X e raio -g60

Co o padro de terapia por radiao.A reao nuclear

60Co 60Ni* + e- 60Ni + 2 g

Eg = 1,2 MeV meia-vida tCo = 5,27 anos

1 ano = 31 104 000 s = 3,1 x 107

s

NCo60

= ? A = 6 000 Ci = 6 000 x 3,7 1010

desintegraes/s = l N

l = (ln 2)/t = (0,693)/(5,27 anos) = 0,132 anos-1

= (0,132)/(3,1 x 107

) = 4,2 x 10-9

s-1

A = l N = 6 x 3,7 x 1013

= 4,2 x 10-19

NN = 5,3 x 10 2 tomos

29.Depois de longo esforo, em 1902, Marie e Pierre Curie conseguiram separar do minrio de urnio a primeira quantidade

substancial de rdio, um decigrama de RaCl2puro. O rdio era o istopo radioativo226Ra, que tem uma meia-vida de 1.600 anos.

a. Quantos ncleos de rdio eles isolaram?b. Qual a taxa de decaimento da amostra, em desintegraes/s? Em Curies?

A unidade Curie (abreviadamente Ci) foi adotada em homenagem aos Curie, que receberam, em 1903,o Prmio Nobel de Fsica por seus trabalhos nos fenmenos de radiao. Um Curie igual a 3,7 x10

10desintegraes/s. SOLUO

(1/10)g de RaCl2 t = 1 600 anos

a. 1 mol de226

Ra 6,02 1023

ncleos

1 mol de226

Ra 226 g

1 mol de RaCl2 tem 226 g + 2 x 35,453 297 g

(1/10) g de RaCl2 tem 2,03 x 1020

molculas de RaCl2 ou2,03 x 10 0 tomos (ncleos) de Ra

b. A taxa de desintegrao por grama ser:

A = (0,693/1600) 2,03 x 1020

= l N

A = 8,79 x 1016

desintegraes/ano


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1 ano = 3,16 x 107

s

A = (8,79 1016

)/(3,16 107

) = 2,78 x 109

desintegraes/s

1 Ci = 3,7 x 1010

desintegraes/s ento

A = (2,78 109

)/(3,7 1010

) = 0,075 Ci30. Um dos perigos dos resduos radioativos de uma bomba nuclear o 90Sr, que sofre decaimento beta com meia-vida de 29

anos. Por ter propriedades qumicas muito parecidas com as do clcio, o estrncio, se consumido por uma vaca, concentra-se noleite e termina nos ossos de qualquer pessoa que tomar o leite. Os eltrons de alta energia de decaimento prejudica a medulassea, impedindo, assim, a produo de hemcias. Uma bomba de 1 megaton produz aproximadamente 400g de 90Sr. Se osresduos se dispersarem uniformemente sobre uma rea de 2.000 Km2, que poro desta rea teria uma radioatividade igual a0,002 mCi, que a dose mxima de radioatividade suportada pelos ossos de uma pessoa? 1 Ci = 3,7 x 10 10desintegraes/s.SOLUOHemcias = glbulos vermelhos do sangue

90Sr t = 29 anos l= (0,693)/29 = 0,024 anos-1

1 Mton 400 g 90Sr

90 g90

Sr contm 6,02 x 1023

tomos de90

Sr.

400 g de 90Sr conter x

x = (2400,08/90) 1023

= 2,67 1024

tomos

A = l N = 0,024 x 2,67 x 1024 desintegraes/ano

A = 0,064 1024

desintegraes/ano

A = (0,064 1024

)/(3,16 107

)= 0,02 1017

desintegraes/s

A = (0,02 1017

)/ (3,7 1010

) = 5,41 104

Ci

5,41 104

Ci .....2 000 km2

x .....1 km2

x = 2,705 10 Ci/km2

1 km2

..... 27,05 Cix .... 0,002 10

-3Ci

x = 0,074 10-6

km2

= 0,074 m2

= 740 cmA cada 740 cm

2teremos a mxima dose de radioatividade suportada pelos ossos de uma

pessoa.

31. Vinte milicuries de 99Tc (Tecncio, est entre o Molibdnio e o Rutnio na Tabela Peridica) so injetados num paciente quefaz um mapeamento cerebral. Em cada desintegrao desse radioistopo cuja meia-vida de 6 horas emitido um raio gama de

0,143 MeV. Admitindo que metade dos raios gama escapa do corpo sem interagir, calcule a DOSE ABSORVIDA por um pacientede 60 Kg, e a quantidade em gramas de 99Tc injetada. SOLUOA = 20 mCi = 20 x 3,7 10

7desintegraes/s = 7,4 10

8desintegraes/s

l = (0,693)/6 horas = 0,1155 h-1

A vida-mdia (no a meia-vida) de um tomo dada por

= 1/l = soma das idades de todos os tomos dividido pelo nmero total de tomos. = 1/ 0,1155 = 8,66 horasO nmero de desintegraes N sofrida pela amostra ser:


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N = A = 7,4 108

desintegraes/s x 8,66 x 3 600 s = 2,31 x 1013

desintegraes

Como metade dos raios - g escapam sem interagir com o corpo somente

(1/2) N = 1,15 1013

raios - g interagiro com o corpo.

Cada raio - g tem energia de 0,143 MeV, ou

0,143 MeV = 0,143 106

eV = 0,143 106

x 1,6 10-19

J = 0,23 x 10-13

J

As mudanas qumicas e biolgicas que ocorrem, pr exemplo, no tecido exposto radiao dependem da energia absorvida pelo mesmo. Dessa forma, foi introduzida a

grandeza DOSE ABSORVIDA D, definida como

D = E / m

A unidade de D 1 rad = 10

-2J/kg

D = (1,15 x 1013

x 0,23 x 10-13

J)/60 kg = 4,4 x 10-3

J/kg

D = 0,44 rad

A quantidade de99

Tc injetada igual ao nmero de tomos que desintegraram, ou seja,2,31 x 10

13tomos.

Agora6,02 x 10

23tomos ..... 99 g

2,31 x 1013

tomos ..... x

x = 37,99 x 10-20

gx = 3,8 x 10 9 g ou seja quase 4 bilionsimos de grama foram injetados!!!!32. O istopo 197Hg emite radiao gama de 77 KeV por desintegrao. Uma quantidade de 1,97 x 10 -9 g desse material administrada a um paciente de 74 Kg, na deteco de um tumor. Se a meia-vida desse istopo no organismo do paciente for de

51,1 horas, calcule:a. a atividade inicial da amostra no corpo em microCi (mCi)b. o tempo necessrio para que a atividade seja reduzida a 1/32 do seu valor inicialc. a dose total absorvida pelo paciente. SOLUOEg = 77 KeV = 77 10

3x 1,6 10

-19J = 77 x 1,6 x 10

-16J = 123,2 10

-16J = 1,232 10

-14J

1,97 10-9

g...... N0

197 g ..... 6,02 1023

N0 = 6,02 1012

a. N0 = A0 6,02 1012

= A0

= 1/l = t/0,693 = 1,44 t = 1,44 x 51,1 h = 73,6 h = 73,6 x 3 600 = 264 902,4 s

A0 = (6,02 x 1012

)/ = (6,02 1012

)/2,65 105

) = 2,27 107

desintegraes/s

A0 = (2,27 107

)/(3,7 1010

) = 0,613 10-3

Ci = 613 10-6

Ci = 613 mCiA0 = 613 mCib. (1/32) A0 = A0 e

-lt (1/32) = e-lt -lt = ln(1/32)

t = [ln(1/32)]/-l

t = (-3,466)/(-3,775 10-6

) = 0,918 106

s = 255 h = 10,62 diasc. D = E/m = (6,02 10

12)x(1,232 10

-14)/74 = 0,1 10

-2J/kg = 0,1 rad


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nmero de dados restantes ser a metade do nmero de dados inicial calcule a probabilidade de sair o nmero 6 em cadajogada.

d. Com quais grandezas cada um dos resultados do item anterior se relacionara, caso a tabela acima se referisse aistopos ao invs de dados.

36. Suponha que voc tenha 20 anos de idade e uma renda anual de 20.000 reais. Voc planeja trabalhar por 40 anos. Se ainflao for de 10% ao ano, que renda voc deve ter com 60 anos para ter o mesmo poder aquisitivo que tem hoje? Faa osclculos assumindo que:

a.) a inflao de 10% e ocorre uma nica vez no ano.b.) a inflao contnua a uma taxa anual de 10%.

37. Uma criana com leucemia aguda tem, aproximadamente, 1012 clulas leucemicas quando a doena clinicamenteaparente.

a.) Se uma clula tem dimetro aproximado de 8 mm, estime a massa total de clulas leucemicas.b.) A cura requer a eliminao de todas as clulas leucemicas. O tempo de duplicao para as clulas de 5 anos.

Se todas so mortas exceto uma, em quanto tempo a doena ser novamente aparente.

38. Suponha que clulas cancergenas no interior do corpo reproduzem-se a uma razo r, tal que o nmero dado por: y= y0er t. Em determinado tempo um agente quimioterpico dado para destruir uma frao fde clulas existentes. Faaum grfico semilogaritmico mostrando y como funo do tempo para vrias administraes da droga, separada por umtempo t. Que diferentes casos podem ser considerados para a relao entre t e r ?6. Uma cultura de bactrias, com crescimento exponencial, aumenta de 106 clulas para 5x106 clulas em 6 horas. Qual otempo entre sucessivas fisses?

a.) Se no h mortalidade?b.) Se 10% das clulas originrias de uma fisso morrem antes da prxima fisso?

39. Uma dose D de droga dada provocando um aumento da concentrao de plasma de 0 para C o.A concentrao de

plasma comea ento a diminuir de acordo com C=Coe-bt. Num certo tempo T qual dose deve ser dada para elevar a

concentrao de plasma novamente a Co? O que acontecer se a dose original for administrada sempre nos intervalos T?

40. Numa discusso sobre o cncer de mama, o jornal Tribuna de Mineapolis forneceu o seguinte levantamento:

Plote estes dados em papel semilog ediscuta-os.

41. Num coelho normal injetou-se 1 cm3 de uma cultura de staphylococcus aureus contendo 108 organismos. Aps vrios

intervalos de tempo, 0,2 cm3 de sangue foi retirado do ouvido do

coelho. O nmero de organismos por cm3 foi calculado peladiluio do material, em placas de cultura, e contando-se o nmerode colonias formadas. Os resultados foram os seguintes:

Plote estes dados e verifique se eles podem ser fitados poruma exponencial simples. Voc pode estimar o volume de sangue

no coelho?

42. A taxa de mortalidade em certas populaes (mortes por unidade de populao por unidade de tempo) aumentalinearmente com a idade: taxa de mortalidade = a + b t

Encontre a populao como uma funo do tempo se a populao inicial y0

% de sobr eviventes5 anos 10 anossem ndulo 75 67com ndulo 50 25

t (min) Bactrias por cm30 5x105

3 2x105

6 5x104

10 7x103

20 3x102

30 1,7x102


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11.) Os dados da tabela ao lado so para aconcentrao de etanol no sangue com o tempo apsa ingesto de etanol (L.J. Bennison and T.K. Li,

New Engl. J. Med. 294:9-13 (1976)). Plote estesdados e discuta o processo de metabolismo do lcool.

12.) Seja uma fonte de ouro radioativo (198Au),

inicialmente, com 100 x 106 tomos, passados 2,7 dias a fonteradioativa ter 50 x 106 tomos, aps 5,4 dias 25x106 tomos,

aps 8,1 dias 12,5x106 tomos e assim por diante. Faa um grfico com os dados acima e determine a meia-vida desteelemento.

43 O ncleo radioativo de 64Cu decai independentemente por trs caminhos diferentes. A razes de decaimento relativasdesses trs modos esto na razo de 2:2:1. A meia-vida de 12,8 horas. Calcule a razo total de decaimento e as trsrazes parciais b1, b2 e b3..

44. Sejam os seguintes dados:

Plote estes dados em papel semilog. Esta uma exponencial simples?

So duas exponenciais? Plote 1/Y em funo de X. Isto altera sua resposta?

t(min) Concentr ao deetanol (mg Dl-1)

90 134120 120150 106180 93210 79

240 65270 50

X Y0 1.0001 0.8002 0.6673 0.5714 0.5005 0.4446 0.4007 0.3648 0.3339 0.30810 0.286


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BIBLIOGRAFIA Okuno, E., Caldas, I.L., Chow, C., Fsica para Cincias Biolgicas e Biomdicas, Ed. Harbra, 1986Duran, J. E. R., Biofsica Fundamentos e Aplicaes, Prentice Hall, 2003Heneine, I. F. Biofsica Bsica, Atheneu, 1996Garcia, E. A. C., Biofsica, Sarvier, 1998Cameron, J. R., Skofronick, J.G., Medical Physics, John Wiley & Sons, New York, 1978

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apostila biofísica

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