1

AULA 01

CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, .........} Atenção: Sempre que usamos o asterisco (*) junto ao nome do conjunto estamos dizendo que excluímos o zero (0) deste conjunto. Conjunto dos Números Inteiros Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,....} OBSERVAÇÃO Também temos os seguintes subconjuntos de Z: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}⇒ conjunto dos números inteiros não negativos. Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0}⇒ conjunto dos números inteiros não positivos.

*+Z = {1, 2, 3, 4, 5,...}⇒ conjunto dos números inteiros

positivos. *−Z = {..., -4, -3, -2, -1}⇒ conjunto dos números inteiros

negativos. Observe que Z+ = N, assim N também é subconjuntos de Z, ou seja, N ⊂ Z Conjuntos dos Números Racionais

Q =

qp

, com p ∈ Z e q ∈ Z*

OBSERVAÇÃO: São números racionais os números naturais, os números inteiros, as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas. São subconjuntos dos números racionais: • Q* = conjunto dos números racionais não nulos.

• Q+ = conjunto dos números racionais não negativos.

• Q - = conjunto dos números racionais não positivos.

• *+Q = conjunto dos números racionais positivos.

• *−Q = conjunto dos números racionais negativos.

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros também são subconjuntos do conjunto dos racionais. N ⊂⊂⊂⊂ Q e Z ⊂⊂⊂⊂ Q Conjunto dos Números Irracionais (I) São números irracionais os decimais, infinitos e não periódicos. Exemplos:

0,1234567... 5, 1010010001.. ππππ (pi 7

Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais, indicado pela letra R, é a união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. R = Q ∪∪∪∪ I Assim todos os conjuntos numéricos vistos são subconjuntos dos reais. N ⊂⊂⊂⊂ R Z ⊂⊂⊂⊂ R Q ⊂⊂⊂⊂ R I ⊂⊂⊂⊂ R

R

I

Q

Z

N

CONJUNTOS

CONCEITOS PRELIMINARES A idéia de conjuntos pode ser caracterizada por uma “coleção de objetos”. Os objetos componentes de um conjunto são denominados ELEMENTOS do conjunto. Tanto o conjunto quanto elemento são chamados de conceitos primitivos (não possuem definição) REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO I . Por extensão (ou tabular) Nessa representação os elementos são dispostos entre chaves e separados por ponto e vírgula. É utilizada para conjuntos finitos ou infinitos. Exemplos: e.1. Conjunto da vogais: A = {a; e; i; o; u} e.2. Conjunto dos números ímpares positivos menores que 100: B = {1; 3; 5; ...; 999} e.3. Conjunto dos números ímpares positivos: C = {1; 3; 5; 7; 9; ...} Representação por compreensão (ou propriedade) Quando é fornecida uma propriedade característica dos elementos e, pode ser escrito por: P = {x/x é equipe de fórmula 1} Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tal que x é equipe de fórmula 1. Nota: O símbolo ( / ) significa “tal que”. Representação por diagrama de Euler-Venn É uma forma de representar que permite a visualização das relações entre um elemento e um conjunto, entre conjunto e conjunto, etc. Nessa representação os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores de uma figura fechada. Pontos exteriores representam elementos que não pertencem ao conjunto.

2

• d • e

• c

• a • b

A

IMPORTANTE

Para indicar que um elemento pertence a um conjunto,

usamos o símbolo ∈∈∈∈ (pertence) e, em caso contrário,

utilizamos o símbolo ∉∉∉∉ (não pertence)

Para a figura anterior: a ∈ A e d ∉ A

Obs.: Os símbolos ∈∈∈∈ e ∉∉∉∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

CONJUNTO UNITÁRIO Possui um único elemento CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não possui nenhum elemento. Este conjunto é representado por: ∅ ou { } CONJUNTO UNIVERSO É conjunto ao qual pertencem todos os conjuntos considerados. Representamos o conjunto universo por U. SUBCONJUNTOS Consideremos dois conjuntos A e B, o conjunto A será subconjunto do conjunto B se qualquer elemento de A também pertencer a B. Nesse caso, dizemos que “A está contido em B” ou que A é subconjunto de B.

B A

Em símbolos teremos:

A ⊂ B � lê-se: A está contido em B ou B ⊃ A � lê-se: B contém A

Também utiliza-se os símbolos:

⊄ : não está contido ⊃ : não contém ⊇ : contém ou é igual ⊆ : está contido ou é igual

As relações entre “elementos e conjuntos” e entre “conjunto a conjunto”, ficam bem resumidas no esquema:

⊂ ou ⊂

⊄ ou ⊃

Elemento Conjunto

Conjunto Conjunto

∈ ou ∉

CONJUNTO DAS PARTES O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Representamos o conjunto das partes por: P(A). Exemplo: Considere o conjunto T = {1; 2; 3}, represente o conjunto P(T). P(T) = {∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}} Importante: note que todos os elementos de P(T) são conjuntos, portanto é necessário muita atenção ao emprego dos símbolos de pertinência e inclusão! Veja: a) {1; 2} ∈ P(T) b) {{1; 2}} ⊂ P(T) Para calcularmos o número de subconjuntos que um

conjunto possui, utilizamos a relação:

n[P(A)] = 2k

onde k é o número de elementos do conjunto

Exercícios de Sala � 1) Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = { {1}; {2} }, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) 1 ∈ A ( ) b) 1 ∈ B ( ) c) 2 ∉ A ( ) d) 2 ∉ B ( ) e) {1} ∈ A ( ) f) {1} ∈ B ( ) g) {2} ∉ A ( ) h) {2} ∉ B ( ) i) A = B ( ) 2) Classifique em verdadeiro ou falso: a) ∅ ⊂ {3} ( ) b) ∅∈ {3} ( ) c) ∅ ∈ {∅; {3}} ( ) d) ∅ ⊂ {∅; {3}}( ) e) {3} ⊂ {3} ( ) f) {3} ∈ {3} ( ) g) {3}∈ {∅;{3}} ( ) h) {3} ⊂ {∅; {3}} ( ) 3) Escrever todos os subconjuntos de A = {a, b, c}. 4) Qual o número de subconjuntos de B = {a, b, c, d}. 5) Qual o número de elementos de um conjunto que tem 1 024 subconjuntos? 6) Dados os conjuntos A = {5; 12; 4x} e B = {12; 28; 5}, calcule o valor de x para que

3

AULA 02

OPERAÇOES ENTRE CONJUNTOS INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS ( A ∩∩∩∩ B) Considere dois conjuntos quaisquer A e B, interseção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. A ∩ B (lê-se: “A inter B”).

A ∩ B

A

B

Se A ∩ B = ∅, isto é, os conjuntos A e B não têm elemento em comum dizemos que

eles são DISJUNTOS

PROPRIEDADES � A ∩ A = A � A ∩ ∅ = ∅ � A ∩ B = B ∩ A

UNIÃO (REUNIÃO) DE CONJUNTOS (A ∪∪∪∪ B) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B (lê-se: “A união B”).

PROPRIEDADES � A ∪ A = A � A ∪ ∅ = A � A ∪ B = B ∪ A

A

B

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS A diferença A – B é o conjunto dos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B! Observe o exemplo: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7} a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença. Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

CONJUNTO COMPLEMENTAR

Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto complementar de B em relação a A.

B

Exemplos: e.01. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e}

A

• i

• o

• u

• a • e

B

Teremos: A – B = {i; o; u} e.02. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i} Teremos: A – B = {o; u} e.03. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i; x; y} Poderemos ter: A – B = {o; u} B – A = {x; y} NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS Indicamos por n(A) o número de elementos do conjunto A; n(B) o número de elementos do conjunto B; n(A∩B) o número de elementos da interseção entre os conjuntos A e B e, n(A∪B) o número de elementos da união entre os conjuntos A e B, é válida a seguinte relação:

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

Muita atenção aos conectivos: � “e (símbolo: ∧∧∧∧)”, associamos à interseção. � “ou (símbolo: ∨∨∨∨)”, associamos à união.

Exercícios de Sala � 1) Considere os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, B = {3; 5; 7} e C = {5; 6; 7; 8; 9}, Determine: a) A – B = b) A – C = c) C – B = d) B – A = e) C – A = f) A ∩C = g) B∩C = h) A ∩ (B ∩ C) = i) (A – C) ∩ B = 2) . Sendo n(A∪B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule n(A∩B). 3) Numa pesquisa sobre emissoras de TV a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250, o canal B e 50 preferem outros canais diferentes de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assistem ao canal A? 4) . (FGV-SP) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) 286 5) (Fatec-SP) Se A = {2; 3; 5; 6; 7; 8}, B = {1; 2; 3; 6; 8} e C = {1; 4; 6; 8}, então:

4

a) (A – B) ∩ C = {2} b) (B – A) ∩ C = {1} c) (A – B) ∩ C = {1} d) (B – A) ∩ C = {2} e) n.d.a.

AULA 03

FUNÇAO Sistema Cartesiano Ortogonal È um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si.

x

y

0 a

b P (a, b)

1º Quadrante

2º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

Eixo da abscissa.

Eixo da ordenada.

Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano, P(a, b), denominado par ordenado e representam as coordenadas do ponto P. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B e indicamos A x B (lê-se: A cartesiano B). Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Vamos formar o conjunto dos pares ordenados: A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} Representação Gráfica Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, o produto cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} pode ser representado de duas formas: Representação por meio de Flechas.

A B

0

1

2

2

4

Representação no plano cartesiano

( 0, 2)

0 1 2 x

y

2

4

( 2, 2)

( 2, 4)

( 1, 2)

( 1, 4) ( 0, 4)

OBSERVAÇÃO Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no plano cartesiano. RELAÇÃO BINÁRIA Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de Ax B. Em termos simbólicos, sendo uma relação de A em B , podemos escrever: = { (x;y) Ax B ; x y } Ex: = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}. RELAÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, dá-se nome de relação R de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Representação Gráfica de uma relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, e a relação R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}, podemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:

A B

0

1

2

2

4

OBSERVAÇÃO 1) Os elementos de A associados com os elementos de B chamamos de Domínio. D = {1, 2} 2) Os elementos de B que foram associados com os elementos de A chamamos de Imagem. Im = {2, 4} FUNÇÕES

Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é

5

função de A em B se, e somente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B

f: A � B

lê-se: f é função de A em B

Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de correspondência através de uma expressão matemática:

y = f(x)

lê-se: y é função de x, com x ∈ A e y ∈ B

EXEMPLO Vamos considerar algumas relações representadas pelos diagramas de flechas e ver quais delas representam uma função: a)

R1 é função de A em B, pois a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B. b)

R2 não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do conjunto A possui dois correspondentes em B (2 e -2). c)

R3 é função de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B. d)

R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 6 do conjunto A não possui correspondente no conjunto B.

EXERCICIOS

1) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy. 2) Dados os conjuntos A = {3, 5, 6} e B = {1, 4}, determine a forma tabular dos produtos: a) A x B b) B x A 3) Quais das seguintes relações de A em B são funções? a)

6

b)

c)

d)

e)

f)

4) (PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma função?: a) b)

c) d)

e)

7

AULA 04

POTENCIAÇAO DEFINIÇÃO

Considere a potência na , sendo a um número real e n

um número inteiro. Estudaremos agora como determinar o valor dessa potência, caso o expoente n seja um número maior que 1, igual a 1, nulo ou negativo. Observe os seguintes casos: O EXPOENTE É UM INTEIRO MAIOR QUE 1

fatoresn

...a..........a.a.a.a...a n =

O EXPOENTE É 1

aa1 = O EXPOENTE É ZERO, COM BASE NÃO-NULA

0a 1,a 0 ≠=

O EXPOENTE É UM INTEIRO NEGATIVO, COM BASE NÃO-NULA

0a ,a

1a

nn ≠=−

EXERCICIOS

1) O valor da expressão 0323

1624

1

2

1+−

+

− é:

a) 33/16 b) 17/16 c) 15/16 d) -15/16 e) -17/16

2) ( MACK)

( )

2

1

5

13

3

235

2

022

++

+−−

−

é igual a :

a)17

3150 b)90 c)

73

1530 d)

3150

17 e) –90

3) (F.S.A.) O valor da expressão

E = 4,08

5:2.34 31 −+ −− é :

a) –226/5 b) –2/5 c) 2/9 d) 9/20 e) /35

4) O valor de 2

1

3

125,0 4816 −+

−

é igual a :

a) 1/8 b) 1/6 d) 4 d) 1 / 2 e) 1 PROPRIEDADES

MÚLTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE

O produto de potência de mesma base é igual à outra potencia de mesma base cujo expoente é a soma dos

expoentes dados. A expressão geral é: mnmn a.aa +=

Exemplo: 3222.22 53232 === + QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE

O quociente de potência de mesma base equivale à outra potência de mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes dados. A expressão geral

é: 0)(a aa

a mnm

n

≠= −

Exemplo: 4222

2 2767876

78

=== −

POTÊNCIA DE UM PRODUTO

A potência de um produto equivale ao produto dos fatores elevados ao mesmo expoente. A expressão geral

é: nnn .ba(a.b) = Exemplo: 222 .35(5.3) =

POTÊNCIA DE UMA DIVISÃO

A potência de uma divisão equivale à divisão de duas potências cujas bases são o numerador e o denominador da divisão inicial, elevadas ao mesmo expoente. A

expressão geral é: 0)(b b

a

b

an

nn

≠=

Exemplo:

3

33

3

4

3

4=

POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA

A potência de uma potência equivale à outra, cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes. A

expressão geral é: ( ) n.mmn aa = . Exemplo:

( ) 62.332 222 ==

EXERCICIOS

1) A metade de 104 é :

a) 192 b) 102 c) 52 d) 54 e) 84

2) Simplifique a expressão ( )[ ] 3329 222−

×÷

3) Simplifique: 7634

22

1

2

1

2

1 −+

−×

−÷

−

4) Simplifique a expressão3

4

2.2

2.22+

+ −n

nn

8

AULA 05

RADICIAÇAO DEFINIÇÃO De modo geral podemos escrever:

2)n e N(n abba nn ≥∈=⇔= .

No radical n a , o numero n é chamado de índice do radical e o número a, radicando. Na determinação da raiz enésima de um número real a,

ou seja, n a , podem ocorrer os seguintes casos.

1° Caso: 0a ≥ e o índice n é um número inteiro positivo, diferente de um.

Exemplos:

416 =

51253 =

Ou seja, sendo 0a ≥ e n um número inteiro positivo

deferente de um, dizemos que a expressão n a

corresponde ao número real não-negativo b tal que:

ab n = .

OBSERVAÇÃO

Não é correto escrever 525 ±= , pois o resultado de

cada operação deve ser única. O radical 25

corresponde ao número real não-negativo cujo quadrado é 25.

2° Caso: 0a < e o índice n um número inteiro positivo impar, diferente de um.

Exemplos:

3273 −=−

21287 −=−

Ou seja, sendo 0a < e n um número inteiro positivo impar, diferente de um, a raiz é um número real negativo.

3° Caso: 0a < e o índice n é um número inteiro positivo par.

Exemplos:

4− Não de define em R, pois nenhum numero real elevado ao quadrado é igual a – 4

Ou seja, sendo 0a < e n um inteiro positivo par, a

expressão n a não se define no conjunto dos reais.

EXERCICIOS

1) Calcular o valor da expressão: 33465 641258110 −−+−+

2) Determine o valor da expressão numérica:

3

1

4

13 27)2(168

−

+−−+−

3) Calcule o valor da expressão.

42222 ++++

4) Qual o valor de: ( ) 32

0

3

272

2

189

−+−

+−−

PROPRIEDADES

PROD UTO DE RADI CA IS DE MES MO I NDIC E

Para multiplicarmos dois radicais de mesmo índice, multiplicamos os radicandos e conservamos o índice.

A expressão geral desta propriedade é: nnn b.aa.b =

Exemplo: 101004.2525.4 === DIVISÃO DE RADICAL DE MESMO INDICE Para dividir dois radicais de mesmo índice, dividimos os radicandos e conservamos o índice.

A expressão geral desta propriedade é:n

n

n

b

a

b

a=

Exemplo: 4162

32

2

32===

POTÊNCIA DE UM RADICAL O resultado de elevar um radical a uma potência equivale a elevar o radicando a esta mesma potência.

A expressão geral é: ( ) n mmn aa =

Exemplo: ( ) 46422 33 663 ===

RAIZ DE UMA RAIZ Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os

índices.

9

A expressão geral é: n.mn m aa =

Exemplo: 2646464 62.33 ===

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar os denominadores de uma fração significa operar para que não fiquem números irracionais no denominador.

P ara racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1° Caso: O denominador é um radical de índice

2.2

25

2

25

2

2.

2

5

2

52

===

2° Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2

7

73

7

73

7

7.

7

3

7

3 3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

33===

3° Caso: O denominador é uma adição ou subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é um radical

( )( )( )

3 25 5.

3 2 3 2 3 2

−= =

+ + −

( )( )

5 3 25 3 2

3 2

−= = −

−

EXERCICIOS

1) Simplificando a expressão:

( ) ( ) 36 105,20049,0109 ×⋅⋅× − , obtém-se

a) 105 b) 10,5 c) 1,05 d) 0,105 e) 0,0105 2) (MACK) Se n é um número natural maior que 1, a

expressão nn 2 2n 2

20

4 2+ ++ é igual a?

3) (FUVEST) Calcule 2 3

3

+.

AULA 06

FATORAÇAO Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. FATOR COMUM Nesse tipo de fatoração, percebemos que há um termo, chamado de fator, que é comum a todos os elementos das operações iniciais. Ex.: 3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2) AGRUPAMENTO Nesse caso, não existe um fator comum entre todas as parcelas, por isso há uma espécie de duas operações de “termo em evidência”. Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento : • formamos grupos com os termos da expressão; • em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência; • colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir). Ex.: x² - ay + xy – ax = x (x + y) – a (y + x)

= (x + y) (x – a) QUADRADO PERFEITO Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)² = a² - 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos

(a - b)² = a² - 2ab + b²

DIFERENÇÃ DE QUADRADOS Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) . (a – b) = a² - b²

CUBO PERFEITO Cubo de uma soma

( ) 232233 b)b)(a(ab3abb3aaba ++=+++=+

10

CUBO DE UMA DIFERENÇA

( ) 232233 b)b)(a(ab3abb3aaba −−=−+−=−

S0MA E DIFERENÇA DE CUBOS

)babb)(a(aba 2233 +−+=+

)babb)(a(aba 2233 ++−=−

EXERCICIOS

1) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : a)(x + y)(3- 2a) b) ( x + 2y)( 3 - a ) c) ( x - 2y) ( 3 - a ) d) ( x + 2y) ( 3 + a ) e) ( x - 2y)( 3 + a ) 2) (METODISTA) Simplificar a expressão

−

−÷

+

+÷

−

ab2b

ab2a

ab2b

ab2a2b2a , onde ab ≠ 0

3) (FUVEST) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um do possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252 4) (PUC-SP) Simplificar a expressão

( )

+−

−

−

2x3x2x

12x2

2x2x

5) (MACK-02) O valor de 3223

44

yxyyxx

yx

−+−

− para

x = 111 e y = 112 é: a) 215 b)223 c)1 d) –1 e)214 6) (CEAG) Se a < -2, os valores de x tais que

ax a x

22( ) ( )− < − + são aquelas que satisfazem:

a) x < a-2 b)x < -2ª c) x > 2ª d) x > a-2 e) a - 2 < x < 2 - a

AULA 07

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax + b = 0 , com a e b ∈ IR e a ≠ 0

Resolução Resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor da incógnita que satisfaz à equação, tal valor é a raiz ou solução da equação. É muito simples encontrar a raiz, como se faz a seguir: 1º caso

Raizes:

Logo V = R 2° Caso

Raizes:

Logo V = 3º caso

Raizes:

Logo V =

EXERCICIOS

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolver, em ℜ , a equação:

0)4(23)1(2 =−−+−+ xxx

3)(ANPAD) A raiz da equação 56

1x2

4

1x3=

+−

−

é um número: a) Par b) Maior que 15 c) Não inteiro d) Primo e) Divisível por 3 5) (FUVEST) -Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você dobrar a quantia de dinheiro que eu

11

tenho, dou-lhe CR$ 20.000,00. Dito isto, o santo realizou o milagre e a pessoa, o prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta e o santo, o milagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja sem qualquer dinheiro. Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa possuía ao entrar na igreja? SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Um sistemas de duas equações de 1° grau, nas incógnitas ℜ∈ℜ∈ y e x é um conjunto de duas

equações do tipo:

=+

=+

pnymx

cbyax onde ℜ∈ p n, m, c, b, a,

PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO

Para resolver o sistema

=+

=+

7y2x

82yx isolamos uma das

incógnitas numa das equações e substituímos na outra equação o valor encontrado. Na 1° equação isolando x obtemos 2y8x −= ; a seguir substituímos esse valor na outra equação:

( )( )

=+

=+

II 7y2x

I 82yx

Substituindo (II) emx , temos:

3y-9-3y

7y4y-167y2y)2.(8

=⇒=⇒

=+⇒=+−

Substituindo y em (I), temos:

2x86x82(3)x =⇒=+⇒=+ .

Concluímos então que o par (2, 3) é solução do sistema; logo, S = (2, 3). PROCESSO DA ADIÇÃO

Para resolver o sistema

=−

=+

34y7x

53y2x

Escolhe uma das incógnitas para eliminar. Para isso multiplica-se cada equação pelo coeficiente que essa incógnita tem na outra equação e somam-se ( ou subtraem-se), membro a membro, as equações obtidas. No sistema proposto, vamos eliminar a incógnita y, multiplicando a 1° equação por 4 e a 2° por 3. Acompanhe:

( )( )

×=−

×=+

3 34y7x

4 53y2x

=−

=+⇒

91221

20128

yx

yx,

somando-se as duas equações temos: x = 1. Substituindo esse valor de x numa das equações do sistema, por exemplo, na 1°, obteremos: 2(1) +3y = 5 1y33y53y2 =⇒=⇒=+⇒ . Pronto! O conjunto solução é S = (1, 1).

EXERCICIOS

1) UNICAMP - Um copo cheio de água pesa 385g, com

3

2 da água pesa 310g. Qual é o peso do copo vazio?

2) UNI – RIO - André, Bento e Carlos têm juntos 41 anos. Calcular as idades de cada um sabendo que Bento é três anos mais velho que André e Carlos é quatro anos mais jovem que André 3) Num escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria, Cláudia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a? 4) (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

AULA 08

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax² + bx + c = 0, com a ,b e c ∈ IR e a ≠ 0

Temos que: x é denominado incógnita a é o coeficiente do termo em x2 b é o coeficiente do termo em x. c é denominado” termo independente” de x RESOLUÇÃO Resolver uma equação é determinar seu conjunto-solução; uma raiz é um número que transforma uma sentença aberta em sentença verdadeira. A equação na forma ax² + bx + c = 0, é também chamada de EQUAÇÃO REDUZIDA ou NORMAL EQUAÇÕES INCOMPLETAS

1° caso: b = 0 e c = 0

12

A equação fica reduzida a ax² = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira:

2 2 20ax 0 x x 0 x 0

a= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Portanto, a única solução possível para esse caso, é x = 0.

2° caso: b = 0

A equação fica reduzida a ax² + c = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira: 2x² - 50 = 0 � 2x² = 50 � x² = 50/2 � x² = 25 �

� x = 25± , assim teremos como solução x1= 5 e x2 = -5.

Resposta.: S = {-5, 5} Importante: Observe que nesse caso as duas raízes são “simétricas” (mesmo valor numérico, com sinais diferentes).

3° caso: c = 0

A equação fica reduzida a ax² + bx = 0, pode ser resolvida “fatorando” o termo comum x. Acompanhe o exemplo: x² - 4x = 0 � coloca-se x em evidência: x.(x – 4) = 0 x1 = 0 e x2 – 4 = 0 � x2 = 4 Resposta: S = {0; 4} Importante: Podemos observar que nesse caso a primeira raiz é sempre zero, a segunda é determinada a partir da expressão entre parênteses.

Um caso especial : (ax ±±±± b)2 = k

Para esse caso, extraimos a raiz quadrada do segundo membro da equação, teremos portanto, duas raízes simétricas, a partir daí resolvemos a equação em duas etapas (como no 3° caso). Acompanhe o exemplo:

(2x – 8)2 = 16 � (2x – 8) = 16± � 2x – 8 = ± 4 Observe que agora “abriremos” em duas resoluções:

I) 2x – 8 = 4 � 2x = 4 + 8 � 2x = 12 � x = 12/2 � x1 = 6

II)2x – 8 = −4 � 2x = −4 + 8 � 2x = 4 � x = 4/2 � x2 = 2

Resposta: S = { 2; 6} RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO COMPLETA DO 2° GRAU

1° PASSO

Calcular o valor do discriminante ( ∆ ) através da Expressão

2∆ b 4.a.c= −

Através desta expressão do discriminante, podemos fazer análises quanto ao número de raízes que a equação possui. O discriminante pode ser positivo (∆ > 0), nulo (∆ = 0) ou negativo (∆ < 0). É de extrema importância que você saiba o quadro seguinte pois servirá de apoio em diversas situações:

∆∆∆∆ < 0 ∆∆∆∆ = 0 ∆∆∆∆ > 0

A equação possui duas raízes reais

e desiguais (diferentes).

A equação possui duas raízes reais

e iguais.

A equação não possui raízes

reais.

3° PASSO

Aplicação da fórmula resolutiva

b ∆

x2a

− ±=

EXERCICIOS

1) (CEAG)O quadrado do triplo de um número positivo excede de 12 o triplo do quadrado desse número . Esse número a) é menor que 1 b) é ímpar c) está compreendido entre 7 e 10 d) é maior que 17 e) é irracional 2) (CEAG)A soma de um número inteiro positivo com o quadrado de seu sucessor é igual a 41. Qual é o produto deste número pelo seu antecessor ? a) 6 b) 12 c) 20 d) 30 e) 4 3) (CEAG) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades , é : a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 4) (CEAG)A equação do segundo grau x² - 8x + m + 1 = 0 , m∈R, admite raízes reais se , e somente se a) m≤-15 b) m≥-15 c)m≤15 d)m≥15 e) m<15

13

5)(CEAG) considere a equação do segundo grau x² + mx + m - 1 = 0 , onde m é um número real. Se para um determinado valor de m essa equação admite raízes iguais, então essas raízes são iguais a : a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 2

AULA 09

FUNÇÃO DO 1º GRAU 1)(CEAG) Analisando a função f(x) = -3x - 5, podemos concluir que : a) O gráfico da função é crescente. b) O ponto onde a função corta o eixo y é (0, -5).

c) x =5

2− é zero da função.

d) O gráfico da função é decrescente 2) (CEAG)Sabendo que a função f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8, calcule os valores de m e n: a) m = 4 e n = -12 b) m = -4 e n = 10 c) m = 3 e n = 4 d) m = 14 e n = 10 3) Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação C = 400t, em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias. Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 KWh? a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 23 4)O gráfico que melhor representa a função y = 3x – 2 é:

AULA 10

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

• a x + b ≥0;

• a x + b >0;

• a x + b ≤0;

• a x + b <0.

com a , b ∈ R e a ≠0.

EXERCICIOS

1) Resolver a inequação seguinte:

4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) 2) Resolver a inequação seguinte:

3

1−x+

2

14 )( x−>

4

x+

6

2 x−

3) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 4) Determinar o conjunto verdade da inequação:

6

2

42

)1(4

3

1 xxxx −+>

−+

−

AULA 11

FUNÇÃO DO 2º GRAU

É toda função do tipo cbxaxf(x) 2 ++= , onde a, b

e c são números reais, com a ≠ 0. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico dessa função é uma parábola. Para construirmos o gráfico da função quadrática devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes) da função em seguida fazer uma análise gráfica. Devemos considerar 3 possíveis casos. ∆∆∆∆ > 0 A equação ax² +bx + c = 0, possui duas

raízes reais e desiguais (x1 ≠ x2)

A PARÁBOLA INTERCEPTA O EIXO Ox EM DOIS PONTOS DISTINTOS

a > 0

x1 x x2 • •

a < 0

x x1 x2 • •

14

∆∆∆∆ = 0 A equação ax² +bx + c = 0, possui duas raízes reais e iguais (x1 = x2)

A PARÁBOLA TANGENCIA O EIXO Ox . ∆∆∆∆ < 0 A equação ax² +bx + c = 0,

não possui raízes reais.

A PARÁBOLA NÃO “TOCA” O EIXO Ox . ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU “São os valores de x que anulam a função”. Para descobrirmos as raízes (ou os zeros) da função

cbxaxf(x) 2 ++= , basta atribuirmos à variável y, o

valor zero. Ficaremos portanto com a equação de

segundo grau: 0cbxax 2 =++ , para resolvê-la utilizaremos a fórmula resolutiva da equação de segundo grau:

2a

∆bx1,2

±−=

Onde

2∆ b 4ac= −

O símbolo ∆∆∆∆ ( letra grega: delta), é o DISCRIMINANTE SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Para estudarmos o sinal da função cbxaxf(x) 2 ++=

devemos levar me consideração o discriminante ∆ e o sinal do coeficiente de x² (a), então temos; I) ∆ >0

a > 0 a < 0

-1 0 1

0

2

X1 + +

–

-2 -1 0 1

-4

-2

0

– – + X1 X2

II) ∆ =0 a > 0 a < 0

-1 0 1

0

2

X1=X2

+ +

-2 -1 0 1

-4

-2

0

X1=X2

– –

III) ∆ <0 a > 0 a < 0

+ + + -1 0 1

0

2

– – –

-2 -1 0 1

-4

-2

0

VÉRTICE DA PARÁBOLA

a

bxv 2

−=

ayv 4

∆−=

);( vv yxV =ABSCISSA

ORDENADA

IMPORTANTE: Dependendo das informações do exercício,

podemos determinar a abscissa do vértice por

221 xx

xv

+= (média aritmética das raízes)

PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO Caso a parábola tenha concavidade voltada para cima, o VÉRTICE é PONTO DE MÍNIMO.

x x1 = x2 •

a > 0

x

x1 = x2 •

a < 0

x

a > 0

x

a < 0

15

y

x 0

• V

• •

•

x1 xv

yv

c

x2

O VÉRTICE é PONTO DE MÍNIMO

a > 0

Se a concavidade da parábola for voltada para baixo, o VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO.

O VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO

y

x 0

V

• •

•

•

x1

x2 xv

yv

c

a < 0

EXERCICIOS

1) (CEAG)Qual a parábola abaixo que poderia representar uma função quadrática com discriminante negativo (D < 0 )?

2) (CEAG) As coordenadas do vértice da parábola y = x2 – 2x + 1 são: a) (1, 0) b) (0,1) c) (-1, 1) d) (-1, 4) e) N.D.A. 3) (CEAG)Um corpo lançado do solo verticalmente para

cima tem posição em função do tempo dada pela função f(t) = 40 t – 5 t2 onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. O tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima é: a) 2 segundos b) 3 segundos c) 8 segundos d) 4 segundos

AULA 12

Inequações do 2o grau Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

a 2x + b x + c ≥0;

a 2x + b x + c >0;

a 2x + b x + c ≤0;

a 2x + b x + c <0.

com a , b , c ∈ R e a ≠0.

EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes inequações do 2º Grau abaixo, sendo U = R: a) x2 – 5x + 6 > 0 b) – x2 – x – 6 ≥ 0 c) 3x2 – 2x + 1 < 0 d) – x2 + 4x – 4 ≤ 0 2) Quantos números inteiros satisfazem à seguinte condição : o quadrado de um número é menor que o seu quádruplo ? a)1 b) 3 c) 5 d) nenhum e) infinitos 3) Considere a inequação x² - 7x + 6 < 0. Quantos números inteiros pertencem ao conjunto solução dessa inequação ? a)3 b) 4 c) 5 c) 6 e) infinitos

AULA 13

EXPONENCIAL FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1). Chamamos de função exponencial de base a a função:

f: ℜℜℜℜ ���� ℜℜℜℜ+*, definida por f(x) = ax

Domínio: D = |R O domínio desta função é o conjunto dos números reais, pois não há restrição para os valores de x. Imagem: Im = |R+

*

16

A imagem desta função é o conjunto dos reais positivos pois como a é positivo, ax será sempre um número positivo para qualquer valor de x. GRÁFICO 1º)Para a > 1 Para a > 1 a função y = ax é crescente e o gráfico é:

0

1

x

2º)Para 0 < a < 1 Para 0 < a < 1 a função y = ax é decrescente e o gráfico é:

0

1

x

y

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

As equações que apresentam incógnitas como expoente são chamadas equações exponenciais. Na resolução de equações exponenciais, utilizamos todas as propriedades de potências. Mas partimos sempre da propriedade mais importante:

am = an ⇒ m = n (a> 0 e a ≠≠≠≠ 1)

EXERCICIOS

1) Resolver a equação 2 x = 128

2) Resolver a equação 2x = 1

16

3) Resolva a equação 2 5 2 4 06 3x x− + =.

4) (MACK) A solução da equação 9

16

12

9

3

=

−x x

é

um número racional x, tal que : INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. Como por exemplo 2x-1 > 128. Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes propriedades: 1) Quando a >1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade). 2) Quando 0 < a < 1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).

EXERCICIOS

1) Resolver a inequação: 22x − 1 > 2x + 1

2) Resolver a inequação: (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8

3) Resolva a inequação ( )5 0 22 1x ≤

−,

4) Resolva a inequação 082.64 <+− xx

5) (UNIMES) Resolva a inequação 1

12

9

13

+

− <x

x

AULA 14

LOGARITMOS

DEFINIÇÃO Seja a e b números reais positivos, com a ≠≠≠≠ 1. Chamamos de logaritmo de b na base a ao número real x tal que ax = b.

baondex, xb

alog ==

Onde b é o logaritmando a é a base e x é o logaritmo

EXERCICIOS

1) ( ANPAD ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é:

a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3

2) ( CEAG ) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01

valem respectivamente:

a)2, 1 e -3 b)1, 0 e -2 c)3, 1 e -2 d)4, -2 e -3 e)3, 0 e -2

3) ( ANPAD ) A expressão mais simples para alogax é:

a)a b)x ( x > 0 ) c)logax d) logxa e) ax

17

4) FV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a: a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4

1)(ANPAD ) O valor da expressão

8log.64

1log

01,0log1log

42

103 +

é: a) 4/15 b) 1/3 c)4/9 d)3/5

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE LOGARITMOS P.1 ► Logbb = 1

P.2 ► Logb1 = 0

P.3 ► Logbbc = c

P.4 ► bLogb a = a

P.5 ► Loga(b.c) = Logab + Logac

P.6 ► Loga(b/c) = Logab – Logac

P.7 ► Logabn = n.Logab

MUDANÇA DE BASE

Muitas vezes necessitaremos transformar o log de um número em uma certa base para outra base. Sendo a, b, c ∈ ℜ+*, com a ≠ 1 e c ≠ 1, temos:

loglog

log a

c

b

cb

a=

OBSERVAÇÃO Em alguns cálculos de logaritmo é conveniente

fixarmos sua base. Uma das bases “fixas” mais

conhecidas, e utilizadas, é a base ‘e’. O número ‘e’ é um

número irracional que pode ser expresso com qualquer

precisão. Recebeu esse nome em homenagem ao

Matemático Euler. Seu valor é, aproximadamente,

2,7182818. Se considerarmos o logaritmo com a base

e, temos:

ln b = x ⇔ ex = b

EXERCICIOS

1) ( ANPAD) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log

60 vale:

a)1,77 b)1,41 c)1,041 d)2,141 e)0,141

2) ( ANPAD)Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual

será

o valor de log 28 ?

a)1,146 b)1,447 c)1,690 d)2,107 e)1,107

3) ( CEAG ) Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:

a)0,6990 b)0,6880 c)0,6500 d)0,6770 e)0,6440

4) ( CEAG) Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a

vale:

a) 10 b)25 c)32 d)64 e)128

5) ( CEAG ) O valor de 3 . log 3 + log 5 é:

a)log 30 b)log 135 c)log 14 d)log 24 e)log 45

AULA 15

EQUAÇOES LOGARITMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que

envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no

logaritmando, na base ou ambos.

log b = log c ⇔ b = c

EXERCICIOS

1) (FGV) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1:

a) tem duas raízes opostas. b) tem uma única raiz maior que 7. c) tem uma única raiz irracional. d) tem conjunto solução vazio. e) tem uma única raiz menor que 3. 2) (FGV) O valor de x que satisfaz a equação log(2x + 7) = log2x + log7 é um número: a)menor que 1/2 b) entre ½ e 1 c)entre 1 e 3/2 d) entre 3/2 e 2 e) maior que 2 3) (FGV) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da

equação x5 = 60 vale aproximadamente: a) 2,15 b)2,54 c)2,28 d) 2,67 e) 41 4) (FGV) a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2

FUNÇÃO LOGARITMICA

Dado um número real *IRa +∈ chamamos de função

logarítmica de base a a função IRIR:f * →+ que

associa a cada x o número real ,log xa isto é,

18

IRIR:f * →+ tal que xlogf(x) a=

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para a > 1, teremos:

1

x

y

a 1 •

a²

2

C

D

-1

A

Para 0 < a < 1, teremos:

1

x

y

A

•

-1

1/a B 1

C

D 2

a

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades: 1) Quando a > 1 -> x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva o sentido da desigualdade) 2) Quando 0 < a < 1 -> x2 > x1 « log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)

EXERCICIOS

1) ( ANPAD) A desigualdade log2(5x-3) < log27 é verdadeira para: a)x > 0 b)X > 2 c)x < 3/5 d)3/5 < x < 2 e)0 < x < 3/5 2) ( ANPAD ) Qual o valor de x na inequação log1/2 x > log1/2 2 ? a)x > 1/2

b)x < 1/2 c)x > 2 d)x < 2 e x > 0 e)x = 2 3) ( ANPAD ) Se log1/3 (5x-2 ) > 0 então x pertence ao intervalo: ( 0, 1 ) ( - , 1 ) ( 2/5, 3/5 ) ( 2/5 , ) (- , 3/5 )

AULA 17

FUNÇAO MODULAR Definição Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou um número real denominado módulo de x

representado por x e obtido do seguinte modo:

0

0

<−=

≥=

xsexx

xsexx

1) Resolva a) |- 5| = b) |+0,34| =

c) | - 12 | = 2)Resolva as equações abaixo:

a) 212 +=− xx

b) 3223 −=+ xx

c) 31 =−x

3) (ANPAD) De acordo com sugestão do fabricante, o preço de venda p, em reais, de certo objeto deve ser tal que

1541p ≤− . A diferença entre o maior e o menor preço de

venda desse objeto é: a) R$15,00 b) R$20,00 c) R$25,00 d) R$30,00

4) (ANPAD) A solução da inequação 3)1x( 2 >− é:

a) 2x −≤ ou 4x ≥ b) x > 4 c) x > 0 d) −−−−2 < x < 4 e) x < −−−−2 ou x > 4

AULA 18

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número

19

total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

EXEMPLO O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? SOLUÇÃO Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000.

EXERCICIOS

01.Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 02.Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 03.Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 04.Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou? 05.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 06.De quantas maneiras distintas um aluno poderá responder um questionário de 12 perguntas, cujas respostas para cada pergunta é verdadeiro ou falso?

AULA 19 PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é,

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1

EXEMPLO Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. SOLUÇÃO P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 ANAGRAMA Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. EXEMPLO Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

c!...b!a!

n!P c,...)b,(a,

n =

EXEMPLO Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento) SOLUÇÃO Temos 10 elementos, alguns com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.

EXERCICIOS

1) De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? 2) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? 3) Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR? 4) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.

20

AULA 20 ARRANJOS SIMPLES Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

k)!(n

n!A kn,

−=

5-1 EXEMPLO: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ela deverá fazer, no máximo, para conseguir abri-lo? SOLUÇÃO As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.

EXERCICIOS

1) Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2) Quantas são as possibilidades de criar palavras de 3 letras, sem repetição, com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto? 4) De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas? 2) (ANPAD) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. O número de maneiras diferentes que essas 2 pessoas podem ocupar esses lugares é: a)21 b)84 c)120 d)42

3) (ANPAD) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 10. lugar, Brasil; 20. lugar, Nigéria; 30. lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 b) 2024 c)9562 d)12144 e) 13824

AULA 21 COMBINAÇÕES SIMPLES Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. 6-1.EXEMPLO No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

k)!(nk!

n!Cn

k−

=

EXERCICIOS

1) Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas? 2) (ANPAD) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem ser formadas? a) 40 b) 480 c) 3 150 d)380 e) 600 3)(ANPAD) Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a)52 b)86 c)24 d)32 e)48 03)(CEAG).Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? a) 5 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50 04) (ANPAD).Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou? a) 18 b) 27 c) 49 d) 56 e) 72

21

AULA 22

PROBABILIDADES ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}. No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}. EVENTOS É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S. Se E = S , E é chamado de evento certo. Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. Se E = Ø , E é chamado de evento impossível. PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

n( E )

P(A)n( S )

=

EXEMPLO Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: S = {cara, coroa} ⇒ n(S ) = 2 Evento E: E = {cara} ⇒ n( E ) = 1

Como n(S)

n(E)P(A) = , temos

2

1)( =AP ou 0,50 = 50%

EXERCICIOS

1) Jogando um dado, determine qual a probabilidade de sair na face de cima: O número 5 O número 4 Um número par Um número impar

Um número maior que 4 Um número menor que 4 2)(CEAG) Um livro tem 100 páginas numeradas de 1 a 100. Abrindo-se numa página ao acaso, a probabilidade de que o número da página contenha o número 2 é: a) 1% b) 10% c) 19% d) 28% e) 37% 3) (CEAG) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, qual é a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8? a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5

AULA 23 UNIÃO DE DOIS EVENTOS REGRAS DA ADIÇÂO União A ∪ B: implica na ocorrênciade pelo menos um dos eventos

A ΒΒΒΒ

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:

A Β Β Β Β

P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Se A B=φ∪ e A e B são chamados de eventos

mutuamente exclusivos, neste caso

Β Β Β Β A

P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Se A B=φ∩ e A B∪ = S , A e B são chamados

eventos exclusivos. Então:

22

A

B

S

P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1

PROBABILIDADE CONDICIONAL Esta probabilidade, como o próprio nome diz, está condicionada a um acontecimento que ocorreu anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade é escrita na forma P(A/B) que representa; “ probabilidade de ocorrer o evento A depois que eu já sei

que ocorreu o evento B

)B(n

)BA(n)B/A(P

∩====

EXERCICIOS

1) Se P(A)=0,6, P(A∩B)=0,2, P(A∪B)=0,8. Calcule P(B)

2)(ANPAD)Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1

a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior

que 40 ou número par é:

a. 60% b. 70% c. 80% d. 90% e. 50%

3)(ANPAD)Num único lance de um par de dados

honestos, a probabilidade de saírem as somas “múltiplo

de 4” ou “primo” é:

a. 1/3 b. ¼ c. 1/5 d. 2/3 e. 2/5

4) (ANPAD) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10

bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas

numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a

5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a

probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é:

a) 29/30 b) 7/15 c) 1/2 d) 11/15 e) 13/15

AULA 24

INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS

P(A B) P(B) P(A / B) P(A) P(B / A)= =∩

PROPRIEDADES

A e B eventos independentes

=∩P(A B) P(A) P(B)

A e B eventos dependentes

=∩P(A B) P(A) P(B)

LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE

Considere uma experiência sendo realizada diversas

vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os

resultados de cada experiência sejam

independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre,

obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou

o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

EXEMPLO

Realizando-se a seqüência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só K vezes

Resolução 1) Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer

exatamente n – k vezes o evento A . 2) Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do

evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de

ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A , ordenadamente, é:

3) As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. 4) Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é:

k n - kn,kC .p (1- p)

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 2) (CEAG) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é: a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/ 4 3) (ANPAD) Uma moeda viciada apresenta probabilidade de ocorrer face cara quatro vezes maior

23

que a probabilidade de ocorrer face coroa. Em 2 lançamentos consecutivos dessa moeda qual a probabilidade de ocorrer 2 vezes a face coroa? a) 0,2 b) 0,1 c) 0,01 d) 0,02 e) 0,04 4) (CEAG) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: a) 30 % b) 42 % c) 50 % d) 12 % e) 25 %

AULA 25

MATRIZ Chamamos de matriz de ordem m x n (lê-se: “m por n”) a toda tabela de números dispostos e m linhas e n colunas. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos

a) 2 1 0

4 2 3

− −

é uma matriz do tipo 2 x 3

b)

1 3

0 2

2 4

−

é uma matriz do tipo 3 x 2

Em uma matriz, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 34 3n

m1 m2 m3 mn

a a a a

a a a a

A= a a a a

a a a a

ou, abreviadamente, A = (aij)mxn, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o

elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, 23a

é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Seja X = (xij) uma matriz quadrada de

ordem 2, onde

i + j, se i = j

i - j, se i > j

1, se i < j

. A soma dos seus

elementos é igual a: a)-1 b) 1 c) 6 d) 7 e) 8 2) (ANPAD) A solução da equação matricial

2

-1 2

x x - 2

=x + 1 4

3x+4 2

x +

é um número:

a)Maior que -1 b)Menor que -1 c)Maior que 1 d)Entre -1 e 1 e)Entre 0 e 3 3) . ( ANPAD) Dadas as matrizes

1 3

2 4

3 0

A

=

e B =0 1 2

1 2 0

−

se At é a matriz

transposta de A, então ( At - B ) é:

a) 1 3 5

2 6 0

b)

1 4

1 2

1 0

c) 1 1 1

4 2 0

d) 1 2 2

3 2 3

e)

1 2

3 6

5 0

Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é

24

dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

EXERCICIOS

1) ( ANPAD ) Considere as matrizes

A=2 3 1

1 1 7

−

e B=

1 3

0 4

2 2

. A soma dos elementos

da primeira linha de A . B é: a)20 b) 21 c)22 d)23 e)24 2) (ANPAD) Observe que:

Se A=0 1

2 3

e B =4 5

6 7

, então A.B é a matriz:

a) 0 5

12 21

b) 6 7

26 31

c) 6 26

7 31

d) 0 12

5 21

e) 0 0

12 14

AULA 27

DETERMINANTES

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante

Determinante de primeira ordem

Dada uma matriz quadrada de −a

1 ordem M= [ ]11a ,

chamamos de determinante associado à matriz M o

número real 11a .

Notação: det M ou 11a = 11a

Exemplos:

[ ] 55ou 5Mdet5M 11 ==⇒=

[ ] 33-ou 3Mdet3M 12 −=−=⇒−=

Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M=

2221

1211

aa

aa, de ordem 2, por

definição, temos que o determinante associado a essa

matriz, ou seja, o determinante de −a

2 ordem é dado por:

( )211222112221

1211 aaaaaa

aaMdet −=

=

Assim: ( )21122211 aaaaMdet −=

Exemplo:

Sendo M=

54

32, então:

det M= 21210435254

32−=−=⋅−⋅=

Logo: det M = -2 Regra de Sarrus Dispositivo prático para calcular o determinante de

−a

3 ordem. Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.

D=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Solução:

−a

1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da

−a

3 :

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

−a

2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos

da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++=

−a

3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos

da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++−

Assim:

25

( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−=

( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++

EXERCICIOS

1) O conjunto solução de 1x

11

1x

11

11

x1

= é:

a) { }1x|Rx ≠∈ b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}

2) calcule

3 2 2

A 1 1 1

2 3 3

− −

= − −

− −

3) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz

A, em que:

3

2 2 0

x- 0 3

1 1- 1

, com base na fórmula p(x) =

det A, determine: o peso médio de uma criança de 7 anos

AULA 28

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Definição

É uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão.

an+1 = an + r ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N*

ou

a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r

Classificação de uma P.A. � Crescente: r > 0 � Decrescente: r < 0 � Constante: r = 0 Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita

Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Sn = ( )

2

naa n1 +

a1 = primeiro termo an = enésimo termo n = número de termos Sn = soma dos n termos.

EXERCICIOS

1) Determine o 4º termo da P.A. (6, 3,,...) 2) Numa P.A. de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o primeiro termo? 3) ( ANPAD ) Sabendo que a seqüência ( 1-3x, x-2, 2x+1

) é uma PA , o valor de2 21x + é:

a)5 b)3 c)4 d)6 e)8 4) . ( ANPAD ) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número de poltronas desse teatro é : a)92 b)150 c)1500 d)132 e)1320

AULA 28

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Termo Geral: an = a1 . qn-1 an = Termo geral

1a = 1º Termo

n = Número de termos q = Razão OBS: Propriedades: 1º) q = (a2 / a1 ) = (a3 / a2 ) = (a4 / a3) = constante 2º) a2

2 = a1 . a3

OBS: Se a1 = q temos ainda: a1 . a3 = a4

a1 . a3 . a4 = a8

1+3+4=8 8

( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais )

Fórmula da Soma dos termos de uma P.G a) P.G Finita: ( limitada)

n1

n

a (q - 1)S =

q - 1

26

b) Limite da soma de uma P.G infinita : (ilimitada)

1n

aS =

1- q

EXERCICIOS

1) ( ANPAD ) O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a3 = 1 e a5 = 9 é: a)1/27 b)1/9 c)1/3 d)1 e)0 2) ( ANPAD ) Se a seqüência ( 4x, 2x + 1, x-1 ) é uma PG, então o valor de x é: a)-1/8 b)-8 c)-1 d)8 e)1/8 3)(ANPAD) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência(1,2,4,8,...) é igual a: a)63 b)127 c)128 d)255 e) 511 4)(ANPAD) A soma dos infinitos termos da P.G.

1 1 1, , ,...

3 6 1 2

é igual a:

a) 2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/6 e) 1

AULA 29 PORCENTAGEM

Definição Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa “por cento”.

x

= x %100

(lê-se x por cento)

EXEMPLO

13% 0,1313

100= =

Noção Intuitiva “O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são analfabetos. Cálculo de uma porcentagem Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”

pois 25% = 100

25= 0,25

Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00

Nomenclatura Usual Em 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” Temos:

=

=

=

20 p é mporcentage a

25(%) i é taxaa

80 P é principalou todoo

ACRÉSCIMOS OU DECRÉSCIMOS

Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após um aumento de x% o valor final será

x

1+ .M100

Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após uma redução de x% o valor final será

x

1- .M100

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Quanto é 32% de R$ 25.000,00? a)R$ 5.500,00 b)R$ 7.500,00 c)R$ 8.000,00 d)R$ 10.000,00 e) R$ 12.000,00 2) (FGV-SP) Trinta por cento da quarta parte de 6 400 é igual a: a) 480 b)640 c) 160 d) 240 e) 360 3) (ANPAD) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de a) 24000 b) 30000 c) 136000 d) 160000 e) 184000 4) (ANPAD) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é: a) 10% b) 28% c) 15% d) 33% e) 23% 5) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de

27

R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 no ato da compra e R$ 100,00 trinta dias após essa data. Para pagamento á vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o preço total de R$ 200,00 anunciado na vitrine. Considerando o preço á vista como o preço real do vestido. Determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes. a) 10% b) 15% c) 25% d) 30% e) 50% 6) (ANPAD)João está à procura de um imóvel para adquirir. Após várias pesquisas de mercado, achou o imóvel de seus sonhos, porém, por não ter a quantia suficiente para pagar o valor solicitado, pechinchou com o vendedor, obtendo dois descontos sucessivos de 20% e 5% no valor inicial do imóvel. O valor da taxa única que representa esses dois descontos é a) 23%. b) 26%. c) 24%. d) 27%. e) 25%. 7) (UNESP) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitáriade um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos: – em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e – em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%. Em todo o período considerado, a variação foi de a) – 1%. b) – 0,1%. c) 0%. d) 0,1%. e) 1%.

AULA 30 JUROS Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma instituição financeira (por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro.

M = C + J

JUROS SIMPLES Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 12, e assim por diante.

CALCULO DOS JUROS: Valor dos juros é obtido da expressão

C.I.T

J = 100

M = C(1+I.T)

onde: j = valor dos juros C = valor do capital inicial ou principal i = taxa n = prazo M = montante final

EXERCICIOS

1)Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses. A taxa de juros utilizada foi de 1,5% a.m.. Qual o valor total retirado após essa aplicação?

2) Qual é a taxa anual de juros simples que faz um capital de R$ 9.500,00 produzir um montante de R$ 11.900,00 ao fim de 1 ano? 3) Patrícia aplicou R$ 800,00, a juros simples, a uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de um certo tempo, recebeu R$ 1.080,00. Quanto tempo ela deixou o dinheiro aplicado a essa taxa? 4) Um capital qualquer aplicado a juros simples, a uma taxa fixa de 4% ao mês, dobra seu valor ao fim de quantos meses? JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.

M = C(1+I)T

EXERCICIOS

1) Calcule o montante de um capital de r$ 6.000,00 , aplicado à taxa de 7% ao mês, durante 8 meses no regime de juros compostos. 2) Em regime de juro composto determine o capital resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 anos à taxa anual de 10%. ao ano.

28

3) Em regime de juro composto determine o capital resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 anos à taxa anual de 10%. ao ano.

4) Sabendo que 1,03641,0123 = , calcule o montante,

após 3 meses, de um capital de R$ 100,00 investido a juro composto de 1,2% ao mês. 5) Use a tabela abaixo para calcular o montante do capital de R$ 1000, 00, investido a juro composto de 2,5% ao mês, durante 5 meses.

n n(1,01) n(1,0457) n(1,025)

3 1,0303 1,0457 1,0769 4 1,0406 1,0613 1,1038 5 1,0510 1,0772 1,1314

AULA 31

GEOMETRIA ANALÍTICA 1. Distância entre dois pontos

d x x y yAB B A B A= − + −( ) ( )2 2

2. Ponto Médio de um Segmento

Mx x y yA B A B+ +

2 2,

Exercícios de Sala �

EXERCICIOS

1)(ANPAD) A distância do ponto A ( -1, 2 ) ao ponto B ( 2, 6 ) é: a)3 b)4 c)5 d)6 e)n.d.a

2) O valor de y , para qual e distância do ponto A ( 1, 0 ) ao ponto B ( 5, y ) seja 5 é:

a) 3 b) 4 c)3 d)2 e)-1 3)(ANPAD) A soma das coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades ( -1, 4 ) e ( 3, 10 ) é: a) 16 b) 18 c) 10 d) 8 e) 6

AULA 32

3. Área de um Triângulo

EXERCICIOS

1) Determine a área do triângulo de vértices A(1, 3); B(4, 6) e C(5, 2) 2) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se k for igual a:

AULA 33

4. ESTUDO DA RETA

Condição de alinhamento de três pontos

13

13

12

12

xx

yy

xx

yy

−

−=

−

− ⇔ D =

1yx

1yx

1yx

33

22

11

EXERCICIOS

1)Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados quando: a) A (0, 2), B (−3, 1) e C (4, 5) b) A (−2, 6), B (4, 8) e C (1, 7)

29

e) A (−1, 3), B (2, 4) e C (−4, 10) 2)Determine m para que os pontos A (0, −3), B (−2m, 11) e C (−1, l0m) estejam em linha reta. 3) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos

A(2

1, t), B(

3

2, 0) e c (−1, 6) são colineares.

5) Coeficiente angular Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação θ..

m = tg θ

Pode ocorrer:

tg θ > 0 ⇔ m > 0

tg θ < 0 ⇔ m < 0 θ = 90º ⇒ tg θ não é definida tg θ = 0º ⇔ m = 0 Cálculo do coeficiente angular 3.1- O ângulo θ é conhecido (m = tg θ)

Se θ = 45º, então: m = tg 45º= 1.

Se θ = 60º, então: m = tg 60º = 3

As coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas.

m = tg θ = AC

CB

m = AB

AB

xx

yy

−

−

A equação geral da reta é conhecida

ax + bx + c = 0

m = − b

a coeficiente angular

n = − b

c coeficiente linear

EXERCICIOS

1) Determine o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos A e B. a) A(−1, 4) e B(3, 2) b) A(4, 3) e B(−2, 3) c) A(2, 5) e B(−2, −1) d) A(4, −1) e B (4, 4) 2) Calcule a declividade da reta que passa pelos pontos P1 (1, 20) e P2 (7, 8). 3)Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00. Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos. 6-Equação da reta Equação de uma reta que passa por um ponto P(x, y) e cujo coeficiente angular é m.

30

Equação reduzida da reta Equação segmentária da reta Equação geral da reta Toda reta possui uma equação da forma ax + by + c = 0, onde a e b não são ambos nulos, que é chamada equação da reta.

EXERCICIOS

1) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: a)(−1, −2) e (5, 2) b)(2, −1) e (−3, 2) 2) Determine a equação da reta que passa pelo

ponto A (2, −3) e tem coeficiente angular 2

1.

3) Uma reta r passa pelo ponto P (2, 4) e tem coeficiente angular m = −3. Determine a equação da reta r. 4) Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 3) e B (−1, −4) é de 45º 5) Ache a equação da reta r em cada caso: 6) Determine a equação geral da reta r, em cada caso:

AULA 34 7-Posiçao relativa entre retas Posições relativas de duas retas - Paralelismo Duas retas, r e s, não-verticais, são paralelas se, e

somente se, têm coeficientes angulares iguais.

Se r // s

então:

mr = ms

Retas perpendiculares

Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente

se, mr = − sm

1.

EXERCICIOS

1)Qual é a posição da reta r, de equação 6x + 4y −3 =0, em relação à reta s, de equação 9x + 6y − 1 = 0?

\2) Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a equação da reta suporte do lado BC. 3) As retas de equações x + 2y – a = 0 e 4x + ay – 7 = 0 são perpendiculares. Determine a. 4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(−3, 2) e é perpendicular à reta de equação 3x + 4y = 4.

y = mx + n

y – y1 = m(x – x1)

1q

y

p

x=+

31

AULA 35 8-Distância entre ponto e reta

P(xP, yP)

r: ax + by + c = 0

d(P, r)

d(P, r) = 22

PP

ba

cbyax

+

++

EXERCICIOS

1) ) Calcule a distância do ponto P à reta r em cada caso: a) P(5,7) e r: 4x − 3y + 2 = 0

b) P(1, −2) e r: y = −4

3x + 1

2) Qual é a distância entre a origem e a reta r, que passa pelos pontos A (1, 1) e B (−1, 3)? 3) A distância entre o ponto P (0, k) e a reta r, de equação 4x + 3y − 2 = 0, é igual a 2 unidades. Determine o valor de k.

AULA 36

9-Estudo da Circunferência

EXERCICIOS

1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 7) e raio r = 2.

2) Dada a circunferência de equação

( ) ( ) 912 22=−+− yx , determine as coordenadas

do centro C (a, b) e o raio r. 3) Uma equação da circunferência de centro (-3,4) e que tangencia o eixo x é:

a) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16 b) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9 c) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16 d) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 9 e) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 4) Para que valores de k a equação:

( ) ( )2 2

x - 2 + y - 1 = 2K - 6 representa:

a) uma circunferência; b) um ponto; c) um conjunto vazio. 5) Verifique se as equações dadas representam uma circunferência:

a) 08422 =−++ yxyx

b) 03 22 =−−+ yxyx

c) 0288844 22 =−+−+ yxyx

d) 03041022 =+−−+ yxyx

e) 03712222 =+−++ yxyx

6) Na circunferência x2 + y2 – 8x –2y + 1 = 0, o centro e o raio valem, respectivamente: 7) (ANPAD) A área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0 é: a) 18π b) 24π c) 36π d) 49π e) 64π

AULA 37

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:

• ___

AB e AC____

são os catetos

• ___

BC é a hipotenusa

• C e ��

B são os ângulos agudos Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos

agudos são complementares, ou seja, C ��

+B = 90º RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

32

• SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre

o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. • CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre

o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. • TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente

entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que:

sen α = a

b cos α =

a

c tg α =

c

b

Observação: Se α + β = 90° tem-se que sen α = cos β Tabela de arcos notáveis Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Aplicando as relações trigonométricas, vem:

sen 30° = a

2

a

→ sen 30° = 2

1 = cos 60°

sen 60° = a

2

3a

→ sen 60° = 2

3 = cos 30°

tg 30° =

2

3a

2

a

→ tg 30° = 3

3

tg 60° =

2

a2

3a

→ tg 60° = 3

Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se dois triângulos retângulo isósceles

sen 45° = 2a

a → sen 45° =

2

2 = cos 45°

tg 45° = a

a → tg 45° = 1

Em resumo, temos: x sen x cos x tg x 30º

2

1

2

3

3

3

45º

2

2

2

2

1

60º

2

3

2

1 3

EXERCICIOS

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) b)

30°

X12

60°

X

6

c)

2) (FGV) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:

33

a) 2 km b) 3 km c) 4 km d) 5 km e) 6 km 3) (FGV) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°. Sabendo-se que a árvore está distante 100m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?

a) 100 m b) 50 m c) 300 m d) 200 m e) 400 m 4) (ANPAD) Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, e que o triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é

a) 30 3 b) 10 3 c) 10 3

3 d) 8 3 e)

3 3

2

AULA 38

GEOMETRIA PLANA 1. Ângulos entre Paralelas

EXERCICIOS

01) (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o

ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em graus do ângulo 3 é:

a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100 2) (ANPAD) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3α + β vale:

a) 225° b) 195° c) 215° d) 175° e) 185°

AULA 39 2. Ângulos num triângulo

Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles

CBA ˆˆˆ == = 60° CA ˆˆ =

EXERCICIOS

3) Nas figuras abaixo, o valor de x é: a)

34

b)

c)

d)

AULA 40 3. Polígonos

2

3)n(nd

−=

Si = 180°(n – 2) Se = 360°

Polígonos Regulares

ai = n

n

n

iS )2.(180 −=

ae = nn

eS�360

=

EXERCICIOS

04) (ANPAD) O número de diagonais de um hexágono, é: a)9 b)10 c)11 d)12 e)13

5) (ANPAD)O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a)hexágono b)pentágono c)triângulo d)heptágono e)não existe

6) ( ANPAD ) A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é: a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

AULA 41 4. Triângulos Semelhantes

EXERCICIOS

07) Na figura a seguir, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE?

8(Determine o valor de x na figuras a seguir.

AULA 42 5. Triângulo Retângulo

• a2 = b2 + c2 • a.h = b.c • b2 = a.n • c2 = a.m • h2 = m.n

35

EXERCICIOS

09) (ANPAD) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

a)12 m. b)30 m. c)15 m. d)17 m. e)20 m

10) No triângulo ABC retângulo em A , determine as medidas b, c, n e h.

AULA 43

6. Área de Quadriláteros

EXERCICIOS

11)(ANPAD) De uma chapa quadrada de papelão

recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a

medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em

cm2) não aproveitada da chapa?

a) 40 - 20 π b) 400 - 20 π c) 100 - 100 π

d) 20 - 20 e) 400 - 100 π 12) Na figura seguinte, estão representados um quadrado

de lado 4, uma de suas diagonais e uma

semicircunferência de raio 2. Então a área da região

hachurada é:

a) (π/2) + 2 b) π+ 2 c) π+ 3 d) π+ 4 e) 2π+ 1

13) (ANPAD)Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a

dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região

sombreada, em centímetros quadrados, é

(Use: π=3,1).

a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4

AULA 44

GEOMETRIA ESPACIAL 1. Prismas Especiais a) Paralelepípedo reto-retângulo

n

A

B C 20

c b

7,2

h

• •8 m

15 m

36

• ST = 2(ab + ac + bc) • V = a.b.c • D2 = a2 + b2 + c2

b) Hexaedro Regular (CUBO)

EXERCICIOS

01) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são 3 m, 4 m e 12 m. Calcular a área total, a diagonal e o volume desse sólido.

2) Calcular a aresta, a área total e o volume de um cubo

cuja diagonal mede. 2 3

3) Numa caixa de água em forma de

paralelepípedo reto-retângulo cujo comprimento é 6 m, a largura 5 m e altura 10 m, coloca-se um sólido de forma irregular que afunda ficando totalmente coberto pela água. Sabendo-se que o nível da água eleva-se de 20 cm sem derramar, calcular o volume do sólido.

AULA 45 2. Pirâmides Regulares

• SL = n. �....ap

2

• ST = SB + SL

• V = 3

.hSB

• ap2 = H

2 + ab

2

• a � 2 = H

2 + R

2

EXERCICIOS

04) Calcular a área total e o volume de uma pirâmide regular de base quadrada, cuja aresta da base mede 6 m e cuja altura mede 4 m.

AULA 46 3. Cilindro circular reto

37

EXERCICIOS

05) Determinar a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 5 m e a altura 3 m.

AULA 47

4. Cone circular reto

EXERCICIOS

06) Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone circular reto cujo raio da base mede 8 m e a geratriz 10 m.

AULA 48

5. Esfera

R2 = r2 + d2

• As = 4πR2

• V = 3πR

3

4

EXERCICIOS

07) Calcular o volume e a área total de uma esfera de raio 3 cm 08) Quanto mede, em centímetros, o raio da circun ferên Cia obtida pela intersecção de uma esfera de raio 13 cm com umplano que dista 5 cm do centro da esfera