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CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1

Objetivo:

O objetivo fundamental desta atividade é colocar o aluno em contato com o ambiente

computacional que será usado durante o semestre, informar sobre as ferramentas: HP48 ,

MATLAB V , VCN.

1 a Parte : informações gerais

1 - formar grupos de dois alunos por micro

2 - informações:

a)Unidade de entrada de dados . . . . . Teclado

b) Unidade de processamento . . . . . Pentium 133 mhz

c)Unidade de saída de dados . . . . . Vídeo.

d)"Driver" (A e C)

e)Disquete (3 pol., dupla face, alta densidade, 1.44 Mbytes).

f)Sistema Operacional Windows

g)Linguagem: HP48 , MATLAB V , DELPHI

3 - Algumas expressões matemáticas.

MATEMÁTICA DELPHI OU MATLAB V

exp(x)

ln x ln(x)

ln(a)/ln(b)

sen x sin(x)

cos x cos(x)

tg x tan(x)

arctg x arctan(x)

y^x

sqr(x) ou x^2

x^(1/n)

abs(x)

76

Nota: expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com auxílio

de parênteses: deve ser codificada (a+b)/(a*b).

2 a Parte : Erros de Arredondamento e truncamento.

Nota: ler "introdução" nas páginas 5 e 6.

Tarefa

1 - Use o MatLab V e / ou HP48 para calcular os valores:

Nota: no MatLab V, para fixar o número de dígitos usa-se o comando vpa: vpa(z^(1/2), 10) e

aparece a resposta com 10 dígitos: ans = 1.414213562

a)

b)

c)

d)

e)

2 - Calcule das seguintes formas:

a) Calcule, inicialmente, cada radical e anote com 5 casas decimais. Efetue numerador,

denominador e a divisão.

b) Use todo o potencial da calculadora: entre na "equation" , edite a fórmula, passe-a para

pilha, efetue.

Compare os resultados obtidos. (Nota: o 2o resultado estará certo até a última casa decimal)

3 - A fórmula de Maclaurim para a função f(x) = sen x é :

a) Você sabe como foi obtida esta fórmula?

b) Calcule sen 2 usando os 6 primeiros termos da fórmula e deixando o resultado com todas

as casas decimais.

c) Calcule sen 2 direto na calculadora.

77

d) Compare os resultados obtidos. (o 2o resultado estará certo até a última casa decimal).

4 - Use o programa VCN

A função pode ser aproximada pela expressão:

.

Para verificar a presença do erro de truncamento preencha a tabela, anotando os valores com

.

x y-f(x)

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

Parece uma boa aproximação.

5 - Repita novamente o exercício 4 , agora com novo intervalo para x .

x y-f(x)

50,3

50,8

51,3

51,8

52,3

Veja como a aproximação piorou.

Respostas:78

1)a)17,7870 b)31,559885 c)1,46 d) 1,25874 e) 1,155...772

2)a)757,46739 b)757,79259

3)a)0,909296135966 b)0,909297426826

4)y(0,8) - f(0,8) = 0,000002

5)y(50,3) - f(50,3) = -8.552.845,55270

CÁLCULO NUMÉRICO - ATIVIDADE 2

79

Objetivo: tabelar uma função, num intervalo dado, com um erro de arredondamento específico,

somar as imagens da função obtida, multiplicar as imagens da função obtida.

Notas:

1 - Vários métodos numéricos só se aplicam a funções dadas na forma discreta (função tabelada

num intervalo)

2 - Na aplicação desses métodos são necessários ainda multiplicar ou somar as imagens obtidas.

3 - Ao escrever uma função na forma discreta(tabelada) é necessário, na maioria dos casos,

abandonar parte decimal dos números e surge aí o erro de arredondamento.

4 - Acompanhe os exemplos e faça a tarefa solicitada.

Exemplo 1: Dada a função

a) tabele a função com espaçamentos iguais e b) calcule a soma e o produto das imagens

Solução:

1 - Usando o "software" MatLab V

a) entre no Matlab V

crie o vetor x ...... x = [1 : 0.1 : 2]

crie vetor y com as imagens da função ...... y = (sin(x)^2 + 1). / (x + 3)

b) para somar as imagens basta digitar: sum(y)

para multiplicar as imagens basta digitar: prod(y)

2 - Usando a HP48

a) ligue a calculadora (virtual ou física)

pressione a tecla MODES , coloque a calculadora para trabalhar em radianos e fixe a saída

em 4 casas decimais.

Gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos:

Função '(sin(x)^2 + 1) / (x+3)' ENTER

Variável 'x' ENTER

Valor inicial 1 ENTER

Valor final 2 ENTER

Passo 0.1 ENTER

PRG LIST PROC(next) SEQ aparecerá a lista das imagens

b) calcule a soma e o produto dos elementos da lista.

80

MATH LIST LIST LIST

(COMPARE OS RESULTADOS COM OS JÁ OBTIDOS EM 1)

3 - Usando o VCN

a) entre no VCN e vá para o menu utilitários - procure ''tabelar função''

b) entre com: valor inicial, valor final, passo ou número de pontos

c) entre com a função e mande ''calcular'' - - - aparecerá a tabela da função e a soma e o

produto das imagens. (Nota: o número de dígitos de cada número é o da saída padrão do

Delphi(Pascal ou C++).


Exemplo 2 : a) Tabele 15 pontos da função y = (tgx + lnx). / (ex + 2) no intervalo

b) Calcule a soma das 10 últimas imagens e o produto das 9 imagens centrais

Nota: neste caso não foi fornecido o , mas poderá ser calculado pela fórmula:

Xfinal = Xinicial + (n - 1)h , onde n é o número de pontos e h é o constante.

Solução:

1 - Usando o ''software'' Matlab V

a) gere o vetor x e o vetor y com as imagens. (Nota: para gerar o vetor x foi usado

outro recurso, utilizando o número de pontos conhecido. Compare com o exemplo

anterior).

x = linspace(1.3 : 2.4 : 15) , y = (tan(x) + ln(x)) / (exp(x) + 2)

b) calcule a soma e o produto

sum(y(6:15)) % soma das 10 últimas imagens (da 6a até a 15a)

prod(y(4:12)) % produto das 9 imagens centrais (da 4a até a 12a)

ANOTE OS RESULTADOS COM 2 CASAS DECIMAIS)

2 - Usando a HP48 (fixe a calculadora em duas casas decimais

a) gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos

função ' (tan(x) + ln(x)) / (exp(x) + 2) ' ENTER

Nota: antes de continuar grave a função para uso posterior: 'A' STO

Chame a função A ENTER e continue:

Variável 'x ' ENTER

Valor inicial 1.3 ENTER

81

Valor final 2.4 ENTER

Passo (2.4 - 1.3) / 14 (efetue) ENTER

PRG LIST PROC (next) SEQ aparecerá a lista das imagens.

b) calcule a soma e o protudo dos elementos pedidos. (Nota: como foi pedido para somar e

multiplicar apenas alguns elementos da lista, gere novamente, para cada caso uma nova

lista apenas com os elementos pedidos, e a seguir use os comandos:

MATH LIST LIST ou LIST


3 - Usando o VCN

Basta proceder como no exemplo 1 e para calcular a soma e o produto de apenas alguns

elementos, siga as recomendações da nota anterior.


Tarefa : Use VCN, a HP48 ou o Matlab V para resolver os problemas a seguir:

1 - Calcule 8 pontos da função , no intervalo [1 , 2] , .

2 - Calcule: a)

b)

3 - Faça as tabelas

a) ; x(inicial) = 1 ; passo = 0,1 ; 10 pontos,

b) ; t(final) = 2,09 ; passo = 0,01 ; 10 pontos e

c)

d) ;

e) ;

f) com x5 = 3,1 , passo = 0,2 , 10 pontos ,

82

4 - Tabele 200 valores de cada função abaixo:

a) ;

b) e h = 0,2 ;

c)

5 - Tabele 1000 pontos da função dada por f(x)=x + sen(3x2) com valor inicial 1, valor final = 2 ; e .

6 - Calcule os somatórios para o índice variando de 1 até 10 , dados os temos gerais abaixo:

a) b)

7 - Calcule a soma e o produto das imagens das funções a partir das informações dadas:

a) sen(cosx) , x1 = 1 , xf = 2 e h = 0,1

b)

8 - Dada a função

Calcule:

a) b)

Respostas:

1) y(1) = 0,9207

2)a)-2,06735 b)y = 0 e y = -0,00135

3)a)y(1)=0,28 b)w(2,03)=16,5125 c)z(1,5)=-0,002 d)y(3,2)=0,12599 e)(1,95)=0,4328159 f)f(2,5)=6,8820x10-9

4)a)y(5,9)=0,0062 b)y(20,8)=32859,62571 c)f(149)=595.867,60

5)y500=1,946 6)a)53,6903 b)1,059512x107

7)a) y=0,7064 b) y=208,7635 8)a)820,7049 b)1,022x1022

y=0 y=4,7635x1014


Objetivo: usar as ferramentas Matlab V, HP48 e VCN para fazer tabelas dos operadores diferença

finita.

83

Nota: Informações, teóricas ver capítulo 2 , pag. 5 à pag. 16

Exemplo 1: (Função tabelada)

Faça a tabela das potências de para a função:

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2y 1,234 2,597 3,016 5,214 7,956 10,842

1 - No Matlab V

a)quarde as imagens num vetor de nome y

y = [1.234,2.597,3.016,5.214,7.956,10.842]

b)execute o comando abaixo (cada linha do resultado será uma potência)

for i = 1 : length(y) - 1 , y = diff(y) , end (ENTER)

(anote 3y4 = para conferir)

2 - Na HP48

a)guarde as imagens numa lista diretamente na pilha:

{1.234 2.597 3.016 5.214 7.956 10.842} ENTER

b)pressione MATH e LIST. Aparecerá um menu onde o primeiro item é LIST.

c)vá pressionando LIST e cada vez aparece uma potência (confira o 3y4)

3 - No programa VCN (Cálculo Numérico)

(tem-se aí a opção para todas as tabelas)

a)entre com os limites, número de pontos, passo e as imagens

b)faça a opção (delta) e pressione "calcular"

(confira 3y4 = -0,400)

Exemplo 2: (Função dada por uma equação)

Faça a tabela das potências de para a função y = cos x ; 1,3x2,5 ; h = 0,2 ; .

Solução:

1 - No Matlab V

a)gere os vetores x e y:

x = [1.3:0.2:2.5]

y = cos(x)

b)use o mesmo comando do exemplo anterior.

(anote 3y2 = para conferir)

84

2 - Na HP48 (Coloque em modo RADIANO e FIX 4)

a)gere uma sequência ( SEQ ) com as imagens.

'cos(x)' ENTER

'x ' ENTER

1.3 ENTER

2.5 ENTER

0.2 ENTER

b)proceda agora como no exemplo anterior

MATH LIST LIST (confira 3y2 = )

3 - No VCN (Cálculo Numérico)

Aqui tem-se também a facilidade de obter todas as tabelas:

a)entre com os limites, o passo e a função.

b)escolha a opção e leia a tabela. (Confira 3y2 = )

Tarefa:

1 - Calcule a potência 2 do operador diferença finita ascendente em y(0,6).

Sendo a função:

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0y 0,345 1,279 2,516 4,671 8,054

2 - Calcule

a)

b)

x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6y 2,35 3,27 5,21 6,78 7,77 8,18

3 - Calcule 3y(2,6) sendo:

4 - Faça as tabelas das potências do operador diferença finita ascendente para a função:

; xinicial = 3,1 ; passo 0,15 ; usando 8 pontos da função:

5 - Dada a função

6 - Dada a função abaixo calcule:85

a)

x 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9f(x) 0,345 0,578 0,912 1,547 1,988 2,458 3,851

7 - Construir a tabela das diferenças finitas ascendentes da função:

8 - Construir a tabela de da função abaixo:

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6f(x) 2,35 3,27 5,21 6,78 7,77 8,17

9 - Dada à função abaixo, calcular a tabela das diferenças finitas centrais:

x 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6y 0,324 0,576 0,896 0,987 1,067 1,259 1,349 1,479

10 - Dada à função tabelada abaixo, calcular as diferenças finitas ascendentes (delta),

Descendentes (del) e Central (delta e midelta) na posição x = 2,0 ; x = 3,5 ; x = 2,9

respectivamente.

x 2,0 2,3 2,6 2,9 3,2 3,5y 17,5 13,2 15,8 21,6 18,4 22,1

11 - Fazer as tabelas de diferenças finitas das seguintes funções

a)

b)

c)

d)

12 - Relação entre a potência dos operadores numéricos e funções polinomiais. Informe em qual

potência as funções polinomiais abaixo tiveram todos os elementos da coluna zerados, na

tabela de diferenças finitas ascendente, descendente e central, quando tabelados de xinicial = 0,3

; xfinal = 0,5 e passo(h) = 0,05

a)y = 2 + x b)y = 2 +x2 c)y = 2 + x3 d)y = 2 + x4 e)y = 2 + x5

Preencha a tabela

86

a) b) c) d) e)

Anote aqui o no da coluna onde todos os elementos são zeros.

13 - Calcule os valores abaixo para

a)

Respostas:

1) 1,228 2)a)0,000883 ; 0,096146 ; -0,019212 b) 1,18 ; 1,57 ; -0,58

3) 0,0158 4) 3y5 = 1,124176 5) 6,705x10-6 6)a)0,029 b)-0,136 c)1,413

7) 3y2 = 0,0033 8) 4y5 = 1,18 9) 10)a)-4,3 b)3,7 c)1,3

11)a) y1 = -0,0029 b) 2y2 = 0,0006 c) d)

12) 13)a) 9428,4812 b) 128,9946 c) 13622,7766 d) 21703,6072


Objetivo: Usar o Matlab V, HP48 , VCN para fazer interpolação pelas fórmulas de Gregory-

Newton, Stirling, Lagrange.

Nota: para informações teóricas ver capítulo 3 (pag.17-pag.23)

Exemplo 1:

87

Dada função w(y) tabelada, calcule a imagem em 1,37

w -0,36 0,86 1,37 3,16 4,81

y 1,27 1,58 1,89 2,20 2,51

Notas:

a)A notação w(y) informa que y é a variável independente (domínio) e que w é a variável

dependente (imagem).

b)Verifica-se que o passo y é constante e igual a 0,31. (confira).

1 - Usando o Matlab V

a)Defina vetor x : x = [1.27 , 1.58 , 1.89 , 2.20 , 2.51]

b)Defina vetor y : y = [-0.36 , 0.86 , 1.37 , 3.16 , 4.81]

c)Use o comando interp1:

z = interp1(x,y,1.37 , 'spline')

ans: z = 0, 2848 (o resultado é ligeiramente diferente dos obtidos pelo VCN

2 - No VCN

a)Acione o menu Interpolação , pois o passo é constante

b)Use Gregory-Newton e Stirling.

c)Entre com os dados e o valor a ser interpolado.

d)Leia o valor interpolado w(1,37) = 0,3721

Exemplo 2: Complete a tabela

A 1,3276 1,4958 ? 2,1744B 0,83 2,75 5,45 7,18

1o)o que se quer achar é a imagem em 5,45 logo os valores de B são do domínio (x) e os de A

são as imagens (y).

2o)x é variável, deve-se usar o polinômio de Lagrange. O número de pontos é 3.

3o)entrar com os pares (0,83 ; 1,3276) , (2,75 ; 1,4958) , (7,18 ; 2,1744)

4o)entre com a abscissa 5.45 e leia a imagem

a)No VCN A(5,45) = 1,8612 b)No Matlab V A(5,45) = 1,8612

Tarefa:

1 - Dada a função x(w) calcule as imagens em 1,28 ; 1,96 ; 2,45.

x -1,47 0,36 1,28 1,96 2,45 4,07 6,3988

w 1,24 1,46 1,68 1,90 2,12 2,34 2,56

2 - Usando apenas os pontos fornecidos, complete a tabela:

A 1,23 1,47 2,75 3,28 ?

B 3,16 5,41 ? 6,38 6,07

3 - Dada a tabela, calcule y(1,45). {Nota: use apenas 6 pontos da tabela, deixando 1,45

aproximadamente no centro}.

x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

y 3,004 3,320 3,669 4,055 4,482 4,953 5,474 6,050 6,686

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

7,389 8,166 9,035 9,974 11,023 12,182 13,464 14,880 16,445 18,174

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8

20,086 22,198 24,533 27,113 29,964 33,115 36,598 40,447 44,701

4 - Obtenha o polinômio interpolador de maior grau para a tabela.

x 1,2 1,3 1,4

y 2,161 3,912 4,871

(ver notas 1 , 2 , 3 pag. 23)

5 - Dada à função tabelada abaixo calcule:

a) y(1,31) b) y(1,87) c) y(2,13) d) y(2,52)

x 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6y 0,324 0,576 0,896 0,987 1,067 1,259 1,349 1,479

6 -

7 - Sendo f(x) dada pela tabela abaixo, calcule:

a) f(0,21) b) f(0,47) e c) f(0,68)

89

x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7y 1,352 4,730 6,327 8,431 9,275 12,016

8 - Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao logo do cano de um

canhão em t segundos. Encontre a distância percorrida pela bala 5 segundos após Ter sido

disparada, usando todos os dados abaixo.

t(s) 0 2 4 6 8d(km) 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

9 - Calcule y(7,5) sendo:

x 0 2 4 6 8y 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

10 - Sendo a temperatura T de uma partícula dada em função do tempo t , determine a

temperatura para a) t = 0,60 b) t = 0,18 c) t = 1,55

T 250 380 472 689 927 1038 1326t 0,10 0,23 0,57 0,68 0,97 1,31 1,72

11 - A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da tabela abaixo,

determine o valor aproximado da velocidade do som na água a 100oC.

Temperatura (oC) Velocidade (m/s)

86,0 1.552

93,3 1.548

98,9 1.544

104,4 1.538

110,0 1.532

12 - Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto,

2 horas e 20 minutos. A tabela a seguir dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns

pontos entre duas cidades.

Tempo(min) Distância (km)

0 0,00

10 8,00

30 27,00

90

60 58,00

90 100,00

120 145,00

140 160,00

Determine:

a)Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos

de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

b)Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?

13 - A temperatura de uma chapa metálica varia conforme a tabela:

Temperatura (oC) 3,8 4,1 5,2 6,1 7,2

Tempo(s) 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Calcule o tempo necessário para a chapa atingir 3,9oC

A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso para

homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura

ambiente média de 20 oC.

Determinar a cota aproximada de calorias para:

a)Um homem de 30 anos que pesa 70 quilos

b)Um homem de 45 anos que pesa 62 quilos

c)Um homem de 50 anos que pesa 78 quilos

d)Uma mulher de 25 anos e 46 quilos

e)Uma mulher de 30 anos e 50 quilos

f)Uma mulher de 52 anos e 62 quilos

(Use o polinômio de Lagrange)

Peso

(kg)

Cota de Calorias (em kcal)

Idade (em anos ) Homens Idade (em anos) Mulheres

25 45 65 25 45 65

91

40 - - - 1750 1650 1400

50 2500 2350 1950 2050 1950 1600

60 2850 2700 2250 2350 2200 1850

70 3200 3000 2550 2600 2450 2050

80 3550 3350 2800 - - -

15 - (Nota: Barroso, Cálculo Numérico, pag. 198)

Um fazendeiro, verificando a necessidade de construir um novo estábulo, escolheu um local

próximo a uma nascente, de forma que, perto do estábulo, pudesse ter também um

reservatório de água. Junto à nascente ele construiu uma barragem e instalou um carneiro,

para que a água pudesse chegar ao reservatório.

Verificou-se que:

a) A vazão da fonte de alimentação era aproximadamente de 30 litros por minuto.

(Quantidade de água que aflui ao carneiro).

b) A altura de queda era de 6 metros. (Altura entre o carneiro e o nível da água da fonte de

alimentação).

O reservatório se encontra a uma altura de recalque de 46 metros.

(Altura entre o carneiro e o nível da água no reservatório).

Munido destes dados, o fazendeiro gostaria de saber quantas vacas leiteiras poderiam ocupar

o estábulo, sabendo que o consumo diário de cada uma, incluindo asseio do estábulo, é de 120

litros.

nível da água

reservatário

fonte de alimentação H

92

carneiro

h

nível da água

Modelo Matemático

Para resolver o problema deve-se calcular a vazão de recalque, que é a quantidade de água

elevada. Para isso tem-se de aplicar a fórmula:

Onde: q - vazão de recalque

Q - vazão da fonte de alimentação

h - altura de queda

H - altura de recalque

R - rendimento do carneiro

Conclui-se, portanto, que para determinar o valor de q é necessário conhecer o rendimento do

carneiro

A tabela abaixo relaciona a razão entre as alturas H/h e o rendimento do carneiro instalado.

H/h 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

R 0.6728 0.6476 0.6214 0.5940 0.5653 0.5350 0.5029

Como H = 46 m e h = 6 m, têm-se H/h = 46/6 = 7,67.

Consultando-se a tabela verificaou-se que para calcular o R associado ao valor de H/h

encontrado deve ser feita uma interpolação.

Respostas:

1) -0,88 ; 2,08 ; 5,42 2) 9,02 ; 2,59 3) 4,263

4) p(x) = -39,600x2 + 116,510x - 80,627 5)a) 0,404 b) 1,004 c) 1,194 d) 1,346

6)a) 1,422 b) 2,268 c) 3,718 7)a) 2,064 b) 7,773 c) 10,770

8) 0,078 9) 0,100 10)a) 530 b) 398 c) 1922 11) 1543

12)a) 42,56 b) 78 13) 1,3 14)a) 3173 b) 2761 c) 3171 d) 1927

93

e) 2048 f) 2147 15) 27

CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 5

Objetivo: Usar Matlab V , HP48 e VCN para cálculo de derivada de funções dadas na forma

discreta(tabelada|).

Nota: para informações teóricas leia capítulo 4 , pag.24

Exemplo 1 :

94

Dada a função tabelada

x 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7y 0,347 1,208 1,896 2,764 4,035

Calcule y´(0,3) e y´´(0,5)

1 – No Matlab V :

gere o polinômio interpolador

x = [0.3 0.4 0.5 0.6] , y = [0.347 1.208 1.896 2.764 4.035] , z = polyfit(x , y)

ache a derivada 1a e 2a do polinômio:

d1 = polyder(z , x)

d2 = polyder(d1 , x)

substitua os valores de x

polyval(d1 , 0.3) , polyval(d2 , 0.5)

2 – No VCN

entre no menu DERIVADA

verifique se x é constante

entre com a tabela e o valor onde se quer derivar.

(compare com resultado anterior)

Tarefa :

1 – Calcule a derivada da função no ponto xi = 1,2

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2y -3,27 -1,28 0,001 2,18 5,71 8,63

2 – Calcule y´´(2,7)

x 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 3,0 3,2y 5,42 6,21 7,71 7,85 8,26 9,31 11,43

3 – Calcule a potência (em watts) de um motor elétrico no instante t = 0,5 s dada a tabela abaixo:

(Sugestão: )

E(Joules) 3,01 3,04 3,16 3,25 3,49 3,64t(s) 0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8

4 – Calcule a velocidade e a aceleração de um foguete no instante t = 2,7 nada a tabela do espaço

em função do tempo.

95

t 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6s(t) 150 187 195 205 289 371 428

5 – Calcule sendo dada a tabela:

{(2,2 ; 1,5042),(2,7 ; 6,1973),(2,4 ; 2,6791),(2,8 ; 8,1640),(2,5 ; 4,0023)}.

6 – (Atenção: este exercício não deve ser usado como modelo prático. Se for conhecida a equação

da função, para calcular derivadas, usam-se as regras do Cálculo Diferencial e Integral. A

tarefa aqui é apenas um teste.)

Calcule a derivada Segunda de no ponto de abscissa x = 1,5.

Siga os passos:

a)tabele 5 pontos da função, com h = 0,05 e deixando 1,5 no meio da tabela;

b)anote os valores com ;

c)entre com a tabela no programa VCN e calcule y´´(1,5). (anote)

d)use os comandos, a seguir, do Matlab V para conferir.

sym x y

t = (sin(x) / (x^2 + 1))^(1/2)

d2 = diff(f,2)

subs(d2,x,1.5)

7 – No movimento de um corpo de massa de 5 kg , calcule a força (N) sobre o corpo em, t = 0,4 s

com os dados abaixo: (Sugestão: onde p é a quantidade de movimento)

t(s) 0,0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8v(m/s) 7,0 7,007 7,064 7,125 7,216 7,512

8 - Calcule a força em Newton aplicada a um foguete que perda parte de sua massa com a queima

do combustível (velocidade de escape do gás Ve = 75 m/s no instante t = 0,3 s com tabela

abaixo: (Sugestão:

Tempo(s) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Massa(kg) 3,0 2,99930 2,98884 2,94443 2,83158 2,62162

Altura(m) 1 1,20001 1,40032 1,6024 1,81024 2,03125

96

9 – Calcule a derivada Quarta, Quinta e Sexta para a função (y) tabelada abaixo, quanto x vale

2,56

x 2,2 2,43 2,56 2,65 2,7d3y/dx3 3,0400 3,1849 3,3136 3,4225 3,4900

10 - Determine a aceleração da gravidade (g) em um satélite, sabendo-se que um corpo de 5 kg na

sua superfície, em queda livre a altura de 10 metros apresenta o seguinte movimento:

t(s) 0,000 0,300 0,600 0,700 0,800 1,200 1,700S(m) 10,000 9,820 9,280 9,020 8,720 7,120 4,220

Respostas:

1)5,53 2)41,86 3)1,00 4)v=158 , a = 959 5)y´´(2,5)=-28,1171

6)-0,0800 7)2,406 8)-51,1322 9)1,1200 ; 2,0000 ; 0,0000 10)-4m/s2


Objetivo: Usar o Matlab V , a HP48 e o VCN para processar os métodos de integração:Regra dos Trapézios, 1a e 2a Regras de Simpson.

Formulário básico: onde y está tabelado com h constante.

a)Regra dos Trapézios

b)1a Regra de Simpson

97

c)2a Regra de Simpson

Nota: Para outras informações teóricas leia o capítulo 5.

Exemplo 1 : Calcule sendo

x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

y 1,27 3,21 4,59 6,18 8,86

1 – No VCN

entrar em INTEGRAL, FUNÇÃO TABELADA

o programa escolhe o método

anote a resposta:___________________Nota: max

2 – Na HP48 e no Matlab V não há fórmula pronta, mas é fácil editar diretamente a 1a Regra de

Simpson :

No Matlab V tem-se:

i = 0.1*(1.27+4*3.21+2*4.59+4*6.18+8.86)/3

anote a resposta com 2 casas decimais: __________________ (compare com a anterior)

Exemplo 2 : Calcule , com h = 0,1.

1 – No VCN menu INTEGRAL, FUNÇÃO DADA POR EQUAÇÃO.

O programa escolhe o método: como h = 0,1 e o no de subdivisões é 10 , será usada a 1a

Regra de Simpson e .

Anote resposta: ______________________ (com 4 casas decimais)

2 – Na HP48 : Não é possível usar h = 0,1 diretamente, mas como pode-se fixar a

precisão em 4 casas decimais.

symbolic ; Integrate ; Result: numeric, number format: 4 (precisão de 4 decimais)

3 – No Matlab V

1o)existe um comando direto mas não usa a informação h = 0,1 (quadratura gaussiana)

98

2o)para usar a informação h = 0,1 deve-se editar diretamente a fórmula. Sabe-se que será

usada a 1a Regra de Simpson com 11 pontos.

a) gere os valores de x : x = [1 : 0.1 : 2]

b) gere as imagens: y = sin(x)./x

c) gere o vetor dos coeficientes: co = [1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1]

d) multiplique termo à termo: t = y.*co e some cada termo: s = sum(t)

e) plique a fórmula: integral = h*s/3

anote a resposta com 4 decimais:_______________(compare com a anterior)

Tarefa :

1 – Calcule a integral sendo dada a função tabelada e sem usar a Regra dos Trapézios.

x 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0y -2,37941 -0,01649 1,172904 3,91236 7,16429 9,03728

2 – Calcule a integral sendo dada a função tabelada:

a)

x 0,37 0,53 0,69 0,85 1,06 1,27 1,48y 0,370 0,555 0,740 0,920 1,110 1,295 1,480

b)(0,370 ; 1,46) ; (1,110 ; 5,05) ; (0,740 ; 2,69) ; (0,555 ; 1,53) ; (1,480 ; 8,73) ; (0,925 ;

3,85) ; (1,295 ; 7,05)

3 – Calcule a integral da função usando a Regra dos Trapézios e

tabelando 1000 pontos da função no intervalo, com x constante. (veja exemplo 2)

4 – Calcule as integrais:

a) tabelando apenas 11 pontos da função.

b) com h = 0,16 , sem usar Regra dos Trapézios.

c) , e dê o resultado com 20 dígitos.

99

d) , com h = 0,1

e) , com h = 0,21

5 – Calcule o comprimento do arco da curva com h = 0,01.

Nota:

6 – De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade

instatânea:

T(min) V(km/h)0 235 2510 2815 3520 4025 4530 4735 5240 6045 6150 6055 5460 50

Calcule a distância em quilômetros percorrida pelo automóvel.

7 – Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B.

Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em

relação à AB com um intervalo de 0,05 km. Qual é esta área?

Perpendiculares Comprimento(km)A 3,28B 4,02C 4,64D 5,26E 4,98F 3,62G 3,82H 4,68I 5,26J 3,82K 3,24

100

8 – A figura a seguir representa a fotografia aérea de um lago, com as medidas em km. Use

método numérico para calcular, aproximadamente, o valor da área do lago.

E D F

B C G

A x x y y y y z z

A’ C’ G’

B’ D’ F’

E’

X = 0,8 AA’ = 10,71 DD’ = 15,47 GG’= 11,32

Y = 0,6 BB’ = 13,87 EE’ = 18,46

Z = 0,7 CC’ = 11,52 FF’ = 16,81

9 - Calcule:

a) , tabelando apenas 10 pontos da função.

b) dx , com h = 0,5 e usando a 1a Regra de Simpson

c) , com h = 0,01 e com 50 dígitos.

10 - Resolva as integrais com erro inferior à 10-5

a)

b)

c)

d)

Respostas:101

1) 3,173 2) a)1,068 b) 4,65 3) 2,16954 4) a)1,140 b) 0,2586

c) 2,296...773 d) 0,0000 e) se você achou 73,279 está errado, pois a integral não existe !

5) 43 km 6) 2,37km2 7) 2,37 km2 8) 65,9 km2

9)a) 0,558 b) 14,20 c) 3,141...751 10)a) -0,063310 b) 1,757672

c) 1,786487 d) 2,064649


Objetivo : Fazer revisão geral sobre as atividades anteriores

Tarefa :

1 – Calcule:

a)

2 – Sendo , 5 . Calcule:

a) c) a área entre a curva e o eixo x.

3 – Tabele 5 pontos da função

4 – Calcule sendo

a)

102

b)

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4y 0,379 1,161 2,347 4,051 6,182 11,417 16,663

5 – Dada a função do exercício 4b calcule: a) y(1,31)

b) dada a função do exercício 4 a) calcule

6 – Complete a tabela:

x 0,17 0,25 0,89 1,43y 2,741 3,045 ? 7,834

7 – Escreva o polinômio interpolador de maior grau para a função r(z) tabelada

x 0,321 0,887 1,549 2,962y 1,534 2,059 4,167 6,749

8 – Dada a função do exercício 4b calcule:

a) y’(0,2) b) y’’(0,8) c)

9 – Calcule a velocidade e a aceleração de uma partícula em t = 0,3 s sendo dada a tabela do

espaço em função do tempo:

S(m) 20,31 23,49 28,63 34,18

t(s) 0,1 0,3 0,4 0,6

Respostas:

1)a) 4822,2241 b) 1047,2798 2)a) –2278,1219 b) 0,7171x1047 c)3764,55

3)w(1,71) = 17,794 4)a) 0,008053 b) 0,013222 5)a) 15,234 b)4,0184

6) 5,572 7) P(x) = 0,652x3 – 0,796x2 + 3,302x – 3,107

8)a)15,912 b) 1,7108 c)6,635 9) v = 47,45 a = 157,80

Nota: Na próxima aula haverá prova individual e sem consulta.

103

CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 8

Objetivo: Usar o VCN , Matlab V e HP48 nas aplicações da integral definida e integral dupla.

Nota: para informações teóricas ler 5.4 pág.38 a 40.

Exemplo: Calcule com hx = 0,2 e hy = 0,1

No VCN : integral

integral dupla dada a função

entre com limites de x e hx

entre com limites de y e hy

entre com a função.

CALCULA.

Nota: o programa informa que foi usada regra dos Trapézios em x e 1a Regra de Simpson em y ,

logo o maior erro de truncamento é da ordem de (hx)2 = (0,2)2 = 0,04 , ou seja ,

Por isso a resposta deve ser dada com apenas duas casas decimais, ou seja: 0,28.104

Tarefa:

1 - Calcule , tabelando apenas 8 pontos da função, com h constante,

e usando:

a)Regra dos Trapézios

b)Regra de Simpson

2 - Desconsiderando o número de pontos, calcule a integral anterior usando:

HP48 , com precisão de 5 casas decimais.

3 - Calcule a área limitada pelas curvas

4 - Calcule a área da região limitada pela reta e a curva, sendo dados:

x f x = 0,32 x a = 0,86

e b = 1,75 x c = 3,16

d d = 4,89 x e = 5,38 c f = 4,63

x b

x a

5 - Calcule a integral da função no intervalo tabelado:

(1,3 ; 3,27),(1,4 ; 1,42),(1,8 ; -6,76),(1,6 ; -1,04),(1,9 ; -9,76),(1,5 ; 0,06),(1,7 ; -3,95)

6 - Calcule o comprimento do arco da curva

Nota:

7 - Calcule a integral de

8 - Calcule a integral dupla da função z = f(x , y) na região tabelada.

y 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

105

x0,1 0,352 0,489 0,750 0,981 1,234 0,887 0,4510,2 0,465 0,888 0,978 1,223 2,451 1,789 0,8050,3 0,897 1,238 2,899 3,005 2,876 1,555 0,9890,4 0,468 0,667 1,290 0,997 0,651 0,321 0,219

9 - Para calcular o volume de um tanque de fundo irregular, foram tomadas medidas nos pontos

indicados na figura e anotadas na tabela abaixo. Calcule o volume.

A E I N RB F J O SC G L P TD H M Q U

Obs.: A distância entre os pontos, em cada linha, é de 0,25 metros.

Tabela:

Pontos A B C D E F G H IProfundidade 1,3 1,6 2,4 3,2 1,7 1,4 1,5 1,9 2,3

J L M N O P Q R S T U1,8 2,2 2,7 2,9 2,0 1,6 1,4 1,7 2,1 1,6 1,2

10 - Resolva usando o VCN , com hx = hy = 0,1 :

11 - Calcule a integral dupla da função z = f(x ,y) na região tabelada.

y x

0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4

1,2 5,82 6,47 7,18 8,45 7,02 6,44 5,011,4 4,03 5,43 6,95 9,19 6,18 5,16 4,391,6 3,16 4,89 7,81 12,45 8,09 6,91 5,661,7 4,87 5,47 8,19 11,07 9,96 7,18 4,361,8 6,96 7,31 9,04 10,31 11,04 8,88 6,18

Respostas:

1)a)2,80 b)2,8044 2)a)2,80239 b)2,8023...326 3)3,7987106

4)6,65 5)-1,3598 6)297,086 7)0,474 8)0,260

9)1,36 10)a)1/3 b)1,61773 c)0,0641661 d)2,9739 e)-0,1483

f)3,4290

11)1,66


Objetivo: Usar o Matlab V , VCN e a HP48 para resolver equações diferenciais do tipo

, pelos métodos de Taylor e de Runge-Kutta.

Nota: para informações teóricas leia capítulo 6.

Exemplo: Resolva o PVI (problema de valor inicial) ,

, com h = 0,1 .

a)No VCN

Menu : equação diferencial, RungeKutta

entre com : c(inicial) = 1,4 ; y(inicial) = 0.371 ; no de pontos = 2 ; passo = 0,1

entre com f(x,y) : (explicite e escreva o lado direito da equação) sen(x*y) – y + x + 3.

calcule : (só aparecem as imagens em 1,5 e 1,6 ). Anote-as : y(1,5) = y(1,6) =

(anote com apenas 3 casas decimais que corresponde ao erro do y(inicial).

Nota: 1)para calcular a imagem em 1,3 , antes da condição inicial, deve-se repetir o processo

mas com h negativo , h = -0,1 ... y(1,3) = (anote)

2)a solução do PVI é a tabela obtida: x 1,3 1,4 1,5 1,6

y -0,069 0,371 0,831 1,277

b)Na HP48

107

coloque a calculadora para operar em Radiano

selecione SOLVE , EQ.DIFERENCIAL

use EDIT para colocar f(x,y) (lado direito da equação na forma explícita)

coloque x(inicial) e y(inicial) (use as setas para mover de um campo para outro)

coloque x(final) = 1.5 e pressione solve para obter a imagem y(1,5)

coloque x(final) = 1.6 e pressione solve solve para obter a imagem y(1,6)

coloque x(final) = 1.3 e pressione solve para obter a imagem y(1,3)

(compare com os resultados obtidos em a) . . . a calculadora usa método de Runge-Kutta).

Tarefa:

1 – Dada a equação diferencial :

a)

b)

2 – Resolva o PVI :

3 – Calcule

4 – A equação diferencial para a corrente i num instante t , num circuito LR , em série é :

Determine 5 valores de i a partir da condição inicial.

5 – Resolva o PVI com h = 0,1 e 15 pontos a partir da condição inicial:

a)

b)

6 – Use o polinômio de Taylor de grau 5 para resolver o PVI :

; considerando que no ponto inicial

tem-se e as demais derivadas são constantes e

iguais à .

(siga os passos)

a)defina o polinômio de Taylor de grau 5 no Matlab V

p .

b)substitua os valores das derivadas e do ponto inicial

c)calcule as imagens procuradas: p(1.0) ; p(1.1) ; p(1.3);

(repita o método usado aqui para resolver a questão 1 a)).

108

7 – Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da

população é proporcional ao número de bactérias e no instante t = 0 há 2000 bactérias na

colônia, calcular o número de bactérias quando t = 0,9 dados:

8 – Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água. A

concentração da solução, c , em percentagem, a qualquer instante t é expressa como:

sendo k o coeficiente de transferência de

massa, igual a 0,0589 e com a condição inicial de t = 0 e c = 0 , calcule a concentração em

t = 1,2 , com h = 0,2 .

9 – A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que uma chave é ligada em

t = 0 pode ser expressa pela equação:

Onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é que para t = 0

tem-se i = 0 . complete a tabela

i 0

t 0 0,2 0,4

Respostas:

1)a)3,4365 b)0,0914 ; 1,5328

2) x 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3

y 1,892 2,327 1,374 0,577 -1,028 -6,002

3)2,998 ; 3,681 4)i(0) = 0,00000 ; i(0,1) = 0,00261 ; i(0,2) = 0,00981 ; i(0,3) = 0,02077...

5)a) ...y(1,3) = 0,71548 ... b) ... y(2,7) = 1,368 ...

6) y(1,0) = 0,2189 ; y(1,1) =0,2853 y(1,2) = 0,3752 y(1,3) =0,4922

7)4919 8)5,7042 9)i(0,2) = -56,49

i(0,4) = -16282,67

109


Objetivo: Usar VCN , Matlab V e HP48 para resolver sistemas, calcular determinante e

calcular matriz inversa.


Exemplo 1: Resolver o sistema :

Nota: primeiro organizar o sistema

a) No VCN

sistemas, métodos diretos, gauss com pivotação parcial.

digite matriz A , matriz B

pressione passos até obter a matriz X

x = 0 y =

b) No Matlab V

entre com a matriz A : a = [1 3 ; 2 -4]

entre com a matriz B : b = [6 -1]

use a divisão à esquerda a\b , ans:

c) Na HP48

entre com matriz B : matrix . . . digitar matriz e ENTER

entre com matriz A : matrix . . . digitar matriz e ENTER

110

divida: /

Exemplo 2: sendo calcule det A e A-1.

a) No VCN

sistemas, matriz inversa

entre com a matriz A

a matriz inversa e o det A são calculados.

b) No Matlab V

entre com a matriz A : a = [2 3 -1 ; 0 5 4 ; 1 -1 3]

det(a) , inv(a)

c) Na HP48

matrix . . . digitar . . . ENTER

A (calcula a inversa)

A Math . . . vect . . . norm . . . (next) . . . det (calcula determinante)

Tarefa :

1 – Resolva o sistema linear



4 – Resolva o sistema linear complexo: (ver teoria pag. 63)

111

5 – Resolva o sistema linear abaixo:

6 – Resolva

7 – Resolva por Pivotação Parcial

8 – Resolva pelo método iterativo de Jacobi os sistemas:

9 – Resolva pelo método iterativo de Gauss-Seidel:

10 – Calcule a matriz inversa e o determinante de:

112

Respostas:

1) {y = 2 , x = 1} 2) {y = 2 , x = 1 , x = 3 3) {x1 = -0.2496398725,

x2 = -1.359149420,

x3 = 1.321294958,

x4 = 0.9419338220}

4) {x1 = -5/51+1/17*I , x2 = 8/3 , x3 = 58/51+19/17*I}

5) a = 10,551 ; b = -17,486 ; c = 17,765 ; d = 21,132 ; e = 3,264 ; f = -11,433 ; g = -16,654

6) x = 1 ; y = 1 ; z = 1 ; w = 1

7) x = 1 ; y = -1,333 ; z = 6,666 ; w = -3,333

8) a) x = 2 , y = 5 e z = 7

9) a) x = 2 , y = 2 , z = 0 , w = 1 e t = 1.

b)x1 = 10 ; x2 = 9 ; x3 = 8 ; x4 = 7 ; x5 = 6 ; x6 = 5 ; x7 = 4 ; x8 = 3 ; x9 = 2 e x10 = 1.

10) a)A-1(1,1) = 0,6667 Det A = 9

b) A-1(3,3) = 0,1290 Det A = -279

c) A-1(2,4) = -0,1269 Det A = -1044

d) A-1(2,2) não existe A-1 Det A = 0

e) A-1(3,2) = -0,0550 Det A = -362,22

f) A-1(2,3) = 0,2857 Det A = 70


Objetivo: Usar VCN , Matlab V e HP48 para resolver equações algébricas e não algébricas.


Exemplo: Obtenha a raiz da equação no intervalo (0 ; 0,3) com

Solução:

a) No Matlab v

digits(6)

a = solve(sin(5*x)+exp(x^2+1)-3)

ans: a = 0,055379

b) Na HP 48

113

solve , solve equation

entre com a equação

pressione solve:

Resp: 0,055379

c) No VCN

zero de função.

cordas.

entre com equação , valor inicial e final do intervalo e a precisão

Resp: 0,055379

Tarefa:

1 – Calcule a raiz da equação, com precisão de 0,00001 , no intervalo indicado, usando o método

das Cordas:

2 – Determine a raiz com precisão de 0,0001, pelo método da Bisseção:

3 – Calcule a raiz positiva com da equação, usando método de Newton:

, (2 , 3) e outra entre (-1 , 0)

4 – Resolver a equação ecosx+ x3 – 3 = 0 , (1 , 2) , com precisão de 0,000001.

5 – Resolver a equação algébrica no intervalo (3 , 4) com

, usando qualquer método:

6 – Resolver , pelo método das Cordas, com precisão de 0,00001 :

Resposta: 8,46889

7 – A Tabela Price trata-se de um sistema de pagamento de dívida onde as prestações tem o

mesmo valor, ou seja, o somatório de amortização mensal do capital mais juros mensais é

constante (igual) ao longo do período do contrato. Tem como fórmula básica:

, onde PMT = valor da prestação periódica, pv = valor do capital

financeiro, i = taxa de juros contratada (ao período), n = prazo (no de períodos). Calcular o

114

juro (i), de um empréstimo de R$100.000,00 com parcelas de R$12.950,46 em 10 meses.

(Sugestão: juros entre 0,01 e 10,00).

8 – Calcule o valor de x em: .

9 – Encontre todas as raízes da equação

Resposta: + 0,82415.

Respostas:

1)3,72513 2)-0,6486 3)a)2,24163 b)-0, 4)1,1400566 5)3,29996

6)8,46889 7)4,93% 8)0,15645 9)a)0,82415 b)-0,82415


Objetivo: Revisão geral.

1 - Sendo , x0 = 0,2 ; h = 0,1 . Calcule

Resposta:___________________

2 - Calcule Determinante A , sendo:

Resposta:______________________

3 - Calcule x com , ex - 2cosx - 4 = 0 ; x (0 ; 6)

Resposta:____________________

115

4 - Resolver o sistema:

Resposta:_____________________

5 - Calcular o valor exato de y(0,12) da função polinomial

xi 0,1 0,2 0,3 0,4

yi 8,01 8,04 8,09 8,16

Resposta:_____________________

6 - Resolver por Gauss-Seidel com o sistema

Calcule o valor de y na 5a iteração

Resposta:_____________________

7 - Resolver pelo método da Bisseção com a equação transcendente

sen(cos(x)) -2x2 = 0. Calcule o valor de x na 3a iteração.

Resposta:_____________________

8 - Resolver com 01 (uma) casa decimal

Resposta: x =_______________ y = _______________ z = _________________

9 - Resolver o sistema:

116

Resposta: x =_____________________ y = _____________________

10 - Dados

, resolver por Gauss-

Seidel com

Resposta: x = __________________ y = _________________ z = ________________

117

apostcnl

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