ap.mat.cic.aplic2012.1

5/14/2018 Ap.Mat.CiC.Aplic2012.1. - slidepdf.com

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Acadêmico: ..................................................................................................

MATEMÁTICACE 423

Ciências Contábeis

Turma : CIC – 312

JOINVILLE



1. CONJUNTOS

1.1 Definição

Conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos, denominadoselementos do conjunto e sem ordem alguma associada.

Em geral indica-se um conjunto por uma letra latina maiúscula, representando uma coleção de objetos indicados por letras latinas minúsculas,(ou algarismos), escritas entre chaves, sem nenhuma ordem, separadas porvirgulas e sem repetição , mas veremos que há outras representações .

NOÇÕES PRIMITIVAS

São três considerações iniciais aceitas como conceitos nãodefinidos, dos quais supõe-se que todos têm idéia clara

::

a) conjunto - A = { d,x,a,e,h,b,-2,-3}



1.2 DECRIÇÃO DE UM CONJUNTO a) listagem - escrever os elementos ou indicá-los de modo claro

b) recorrência - indicar os elementos por fórmula de recorrência

c) descrição - descrever uma propriedade que caracteriza os elementos

1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS

N = { 0, 1, 2, 3, ...} ........................................................................



I = Conjunto dos números Irracionais, são decimais não exatase não periódicas

C = { ( a ; b ) | a ϵ R b ϵ R } ...................................................

1.4 Intervalos Reais



1.4.2 Propriedades para trabalhar com desigualdades

Se a, b, c e d são números reais, então:

1. a < b implica que () a + c < b + c

2. a < b e c < d a + c < b + d

3. a < b e c > 0 a c < b c e a c < b c

4. a < b e c < 0 a c > b c e a c > b c

5. a < b e b < c a < c (transitividade)



Relacionando os conceitos de intervalo aberto e de intervalo fechado, interprete e representeno eixo real os seguintes conjuntos:

a) (-3,5) = { x R } _________ __________ _________

b) [-2,7] = { } _________ __________ _________

c) [-4,1) = { } _________ __________ _________

d) (-1,6] = { } _________ __________ _________

1.4.4 Intervalos não limitados

Os símbolos + (mais infinito) e - (menos infinito) não são números, sãorepresentações de intervalos infinitos. Assim, se a é um número real, definimos:

1. Intervalo aberto de a até + é o conjunto, denotado (a, +)=]a, +[, de todos os númerosreais estritamente maiores do que a, isto é:

]a, +[ = {



1.4.7 Subconjunto (INCLUSÃO)

Um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, isto é, B é uma partecontida em A, que indica-se por B A , quando e somente quando, todoelemento de B pertence a ANota: o símbolo “está contido”, ( ) é denominado sinal de inclusão

PROPRIEDADES DA INCLUSÃO ( Iezzi, p. 26, V1)

Se A, B e C são quaisquer conjuntos, então

1) A B C



Pleno ou UniversoUniverso é o conjunto de todos os elementos que estão sendo estudados

Nota:“todo conjunto é subconjunto pleno dele mesmo”

Conjunto das PartesO conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado

conjunto das partes do conjunto e indica-se por (A)

Conjunto finitoÉ todo conjunto cujos elementos podem ser listados, de alguma forma.Uma lista é uma sequência de elementos em correspondência um a um comalguma parte própria dos números naturais.



1.4.9 INTERSEÇÃO A interseção de dois conjuntos A e B, indicado por A B, é o conjunto

dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, isto é:

A B = { x | x A e x B }

1.4.10 DIFERENÇAA diferença entre um conjunto A e um conjunto B é o conjunto de todos

os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, istoé: A – B = { x | x A e x B }

1.4. 11 COMPLEMENTAR

Definição



EXERCÍCIOS COM OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

1.Considerando os conjuntos A, B e C, representados a seguir, e sabendo que :n ( A B ) = 24 , n ( A B ) = 4 , n ( B C ) = 16, n ( B – C ) = 10, n ( A – C ) = 11,

Mostre o cálculo do número de elementos de cada conjunto abaixo e escreva naregião correspondente do diagrama o valor encontrado:

1) n(B) =

2) n( C ) =

B

A

C



2. Uma população consome três marca de sabão em pó: A, B e C. Feita umapesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo

marca A B C A e B B e C C e A A, B e C nenhumaconsumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

Forneça:a) o número de pessoas consultadas;.........................................................................b) o número de pessoas que só consomem a marca A;.............................................c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C;...............................d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas..............................

A

B C

3. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seiscondições:a) A B C = { z, x, v, u, t, s, r, q, p } A A={



5. Em uma classe de Ensino Médio há 50 estudantes. Sabe-se que 8 jogambasquete, 15 jogam vôlei e 1 joga basquete e vôlei. Quantos destes 50 estudantesnão jogam nem basquete e nem vôlei?

6. Numa Universidade são lidos dois jornais, X e Y. 80 % dos alunos damesma lêem o jornal X e 60 % o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de

pelo menos um dos dois jornais, qual o percentual de alunos que leem ambos?



Exercícios com as noções primitivas sobre conjuntos

1) Dados A = { x N* / -1 x 4 } , B = { x Z / (x - 2)(x - 3) = 0 } e C = { x Z - / 4x - 12 = 0 } , classifiqueem verdadeiras V ou falsas F as afirmações abaixo :

A: B: C:

a) A B b) B A c) A C

d) C B e) C B A f) C

2) Dado o conjunto A = { 1 , 3 , { 3 } , { 8 } } , estabeleça as relações , , , com V ou F :

a) 1 A e) A i) { 2 , 3 , 4 } A

b) { 1 } A f) { 8 } A j) { 3 , { 8 } } A

c) { 3 } A g) 8 A l) { 2 , 3 } A

d) 3 A h) { 3 , { 3 } } A m) { { 3 } } A

3) Relacione usando ou e decida se V ou F

a) – 5 N d) 11

4 R – Q g) 856,1 R * j) 361 = 19 I



6) Dados 50,...,6,5,4,3,2,1 A e Aacoma x N x B , / 3, quais elementos tem o conjunto B?

7) Considere

2

1,

3

1,0,1,

2

1 A e K o conjunto dos quadrados dos elementos de A que são racionais e não são

inteiros. Escreva o conjunto K .

8) Dados 8,6,5,1 A e

Aacoma

xQ x B ,12

/ , determine o conjunto B.

9) Dados 9,6,2,1,0,1,4 A e Aacoma x I x B , / , quais elementos tem o conjunto B?



c) 034 / 2 x xQ xC

d)

x x

x

x R x D

3

4

2

1

3

10 /

22

e)

32

4

2

3 /

x x

x R x E



13. Escreva os conjuntos a seguir listando seus elementos :

a) dos múltiplos inteiros de 3, entre –10 e + 10

b) dos divisores inteiros de 42

c) dos múltiplos inteiros de zero

d) das frações com numerador e denominador entre 0 e 3

14. Descreva por meio de pelo menos uma propriedade:

a) A = { +1, -1, +2, -2,+3, -3, +6,-6}



16. Explicite quais são os conjuntos abaixo .

a) A = { x | 0.x = 0}

b) B = x | x > e x <

}

c) C = { x | x é divisor de zero}

c) D = { x | x é divisível por zero}

2. POTÊNCIAS E RAÍZES

2.1 POTENCIAÇÃO

Definição de potência de expoente natural

Seja b um número real e n um número natural. Diremos que a é a n-ézimapotência de base b e expoente n, escrevendo a = b n e significando que



2.1.3 Potência de potência a) =

b)

c)

2.1.4 Potência do produto

a)

b)

c)

2.1.5 Potência do quociente

a)



2.2 RADICIAÇÃO

Como vimos, se b n = a , diremos que b é raiz n-ézima de a , escrevendo

a)

b)

c)

Propriedades

2.2.1 Raiz do produto =



2.2.2 Raiz do quociente

a)

=

b) =

2.2.3 Raiz da potência =

a)

b)



3. Polinômios3.1 – Monômios

Monômios, (termos ou parcelas), são expressões matemáticas querepresentam o produto de números reais e podem ser reduzidas a um número ouproduto de um número por pelo menos uma letra. O número é denominadocoeficiente do monômio e as letras são a parte literal. Cada letra é uma variável.

Exemplos: Coeficientes Partes literais2.x0=

2.x =

2.x.x=

3.a.a.b.b.b=

- 5.x.x=

=

3.1.1 – Termos semelhantes



3.1.2.- Soma ou Subtração de Termos semelhantes

Para somar ou subtrair termos semelhantes, adicionamos oscoeficientes e conservamos a parte literal.

Exemplos :6ab menos -2ab

3x mais 7x

4abc menos -2abc x4 mais 12x4

2pq2 menos pq2

mais

3.2 Binômios, Trinômios, PolinômiosUm polinômio é uma expressão algébrica racional inteira, isto é, é uma



5) 2x2 + 5x – 3 + 6x2 + 4x + 4 – x2 – x + 3 =

6) ax + by + cz + 2ax + 3by – 4cz + 6ax – cz =

7) 3x2 – x2 + 3x – 1 – x3 + x2 – 3x – 1=

8) a2 – b2 – 2ª -2b + 3 – a2 + 2b2 + 2ª -2b – 3 =



4) Suponhamos que A, B, C, D e E representem os seguintespolinômios:

A = 2x2 – x – 1 B = - 3 x2 + 3x C = 4x2 – 3

D = x2 + 7x + 1 E = 2x + 6

Calcule o resultado das seguintes operações:a) A + B =

b) A + B – C =



4.4 4.3. RELAÇÕES

4.1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL O (procurar naUm Sistema Cartesiano Ortogonal é um plano no qual se considera um para de eixos

perpendiculares entre si, Ox e Oy, uma unidade igual para ambos, de tal modo que a cada pontoP deste plano esteja em correspondência bijetora , (ou bi-unívoca) com o par ordenado (x,y) ,onde x é o número associado `a interseção do eixo Ox com a perpendicular a ele que passa porP e y é o número associado `a interseção do eixo Oy com a perpendicular a ele que tambémpassa por P.

PAR ORDENADODaremos o nome de par ordenado (ou dupla) de primeiro elemento x e

segundo elemento y a toda seqüência indicada por ( x , y ) , de modo que setenha ( a , b ) = ( c , d , ) a = c e b = d



4.2 Relação Binária

Denomina-se relação Binária de um conjunto A em um conjunto B, qualquer partedo produto cartesiano A X B.

ExemplosA X B 1 2

abc

ENDORELAÇÃO OU Auto-RelaçãoUma relação de A em A é denominada uma endorelação < A,R >, ourelação em A

Domínio D ( R ) de uma relação R ( contido na partida) Denomina-se domínio de uma relação R , de um conjunto A em um

conjunto B, o subconjunto de A formados pelos primeiros elementos dos pares que

AxA a b ca

bc

BxB 1 21

2



Imagem Im ( R ) de uma relação R (contido no contra domínio)

Denomina-se imagem de uma relação R , de um conjunto A em umconjunto B, o subconjunto de B formados pelos segundos elementos dos paresque determinam a relação R isto é: Im ( R ) = { y B | x A com ( x , y ) R }

ilustração

EXERCÍCIO PARA ESTUDO E REVISÃO1. Escreva o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto E = { , O }

2. Ponha V (verdadeiro) ou F (falso), nas seguintes afirmações:

a) a { a } b) a { a } c) { a } { {a} } d) { a } { {a} } e) { a } {a}



7. Dados os conjuntos A = { 1,2,4,5,8,11,12} , B= { 2,3,4,6,9,11,12} eC = { 4,5,6,7,10,11,12}, conte o número de elementos do conjuntointersecção da união de A com B com a união de B com C.

8. Numa classe de 50 alunos, 25 tiraram nota máxima em Cálculo, 15 emÁlgebra e 5 em Cálculo e Álgebra. Quantos não tiraram nota máxima emCálculo ou Álgebra?



DOMÍNIO E CONTRADOMÍINIO

S é o domínio da aplicação f e T é o contradomínio da aplicação fIlustração

IMAGEM DE UM ELEMENTO

Se ( s , t ) é um elemento de f, diremos que a ordenada t é a imagem daabscissa s pela função f, escrevendo que t = f ( s ), lê-se “ t igual a f de s” ,significando que f é um comando que leva ou associa s a t, isto é:

( s , t ) f S x T t = f ( s )

CONJUNTO IMAGEM ou Imagem de uma aplicação f é o conjunto dos segundos elementos

dos pares que pertencem a f , isto é: m ( f ) = f ( S ) = { t S | s S e t = f ( s ) }

ILUSTRAÇÃO



4. Piso – y = f(x) = x = maior inteiro menor ou igual a x em R, é omaior inteiro que não supera x em R.

5. Teto – y = f ( x ) = x = menor inteiro maior ou igual a x em R, é omenor inteiro não menor que x em R.



Nota: Figura é qualquer conjunto de pontos. Curva é a figura que constitui o gráfico deuma função.

5.4 Principais Funções elementares: Exemplos5.4.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS

5.4.1.1 Constante k

5.4.1.2 Identidade

x real y = f ( x ) = x- 3- 2- 1

x real y = f ( x ) = 3-2 y = f ( -2 ) = 3

-1 y = f ( -1 ) = 30 y = f ( 0 ) = 312

f : x R y R y = f ( x ) = k

f : x R y R y = f ( x ) = x



5.4.1.4 Linear

x real y = f ( x ) = 2 . x- 2- 1012

5.4.1.5 Função do primeiro grau

( a 0 )

x real y = f ( x ) = 2 . x + 4

- 2

f : x R y R y = f ( x ) = a . x

f : x R y R y = f ( x ) = a . x + b



5.4.1.7 Cúbica

x R y = f ( x ) = x3

-1

- 1 / 2

0

1 / 2

2

5.4.3 Recíproca

x 0 y = f ( x ) = 1 / x

f : x R y R y = f ( x ) = x 3

f : x R y R y = f ( x ) =

x

1



Ilustração: encontre a função inversa da função f ( x ) = 1 + x 2 , e nomesmo gráfico cartesiano desenhe as curvas das duas funções, f e f –1. Façatambém um diagrama de Euler-Venn.

A função exponencial definida é bijetora e sua inversa é denominada função logarítmica.

5.4.4.1 Exponencial

x R y = f ( x ) = 2 x - 3- 2- 1

f : R R

+ y = f ( x ) = ax

0 < a 1



5.4.1.8 Polinomial do terceiro grau (Fazer no Excel)

5.4.5 APLICAÇÃO COMPOSTA

x Y=f(x)=4x3- 4x2+x

0

1/4

1/2

3/4

1/4

1/6

-1/4

f : R R y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d a 0



Exercícios com Aplicações Exercícios sobre Composição

Ex-1 Seja A = { a, b, c, d }

Definição f : A A tal que f={(a,b);(b,c);(c,a);(d,d)}

1) Imagens dos elementos de A por f :

f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) = f ( d ) =

2) Imagem de A por f : Im ( A ) = Im ( f ) =

3) Diagrama de Euler - Venn



Ex – 4 Obtenha a aplicação composta de f com g pela definiçãodada:

( f o g )( x ) = f [ g ( x ) ]

a) ( f o g )( a ) = f [ g ( a ) ] = f [ ] =

b)

c)

d)

5.4.7 FUNÇÃO EXPONENCIAL



c) a função exponencial é decrescente se a base estiver entre zero e um

5.4.7.2 Equações exponenciaisDefinição: equações com incógnita no expoente são chamadas de

equações exponenciais.Exercícios (Iezzi, p.32. Vol.2)

1) 2x=64



5)

6) 2x-1+2x+2x+1-2x+2+2x+3=120

7) 4x-2x=56



5.4.8 FUNÇÃO LOGARÍTMICADefinição: se a é um número real , 0<a≠1, a função f que associa a cada x

real positivo o número y=f(x)=logax , tal que ax=y, é denominada funçãologarítmica de base a. Diz-se também que x=antilogay.Exemplos

5.4.8.1 –PROPRIEDADES

a) se 0<a≠1, as funções exponencial e logarítmica definidas em R+*são

funções inversas, uma da outra.



c) se 1<a a função logarítmica é crescente.

d) loga1=0 e)logaa=1 f) g) logab=logac↔b=c

k) Se 0<a≠1, b>o e α é real, então logabα= α.logab



1. Matrizes

Questão motivacionalQuando trabalhamos com o Excel, frequentemente precisamos informar aocomputador onde se encontra um determinado dado que será utilizado em alguma fórmula.Para tanto, cliclamos na célula onde o dado se encontra e o computador registra alocalização da mesma. Qual a convenção utilizada para tal registro?

1.1Definição e representação de Matriz

Por conveniência diremos que Matriz é uma tabela retangular com m x nelementos

Cada elemento do conjunto imagem é denotado por a i j e é escrito naintersecção da linha i com a coluna j , sendo que i varia de 1 a m, e j varia de 1 a n,isto é:

a...aa



c) C= ( cij ) 3 onde cij = i2 – j3

C=

1.2 Tipos de Matrizes

1.2.1 Matriz Quadrada de Ordem n é toda matriz cujo número de linhas é igual ao decolunas, m = nOs elementos aij com i = j constituem a diagonal principal e os elementos aij com

i + j = n + 1, a diagonal secundária.Exemplos:

1) A =

33

22

11

1087

654

321

2) A =

1087

654

321

31

22

13

1.2.7 Matriz identidade é toda matriz escalar cuja diagonal principal é formada só porelementos unitários.



Exercício- verifique se os seguintes pares de matrizes A e B são equivalentes:

a) A =

3463

2242

0321

B =

1000

1200

0321

b) A =

20000

52300

65432

B =

10000

03 / 2100

06 / 702 / 31



1.4 Adição de Matrizes

1.4.1 DefiniçãoDenomina-se soma de duas matrizes do mesmo tipo m x n , uma terceiramatriz ainda do mesmo tipo m x n , cujos elementos são as somas dos elementoscorrespondentes nas duas primeiras matrizes.

Definição: A – B =A + ( - B)

1.5 Multiplicação de Matriz por Escalar

Exercício motivacional

Suponha que a empresa XIPE vai cria duas novas filiais, com estoque depeças idênticos. Utilize matrizes para explicar como o total de peças dessas novas



2) resolver o sistema X + Y = 2 A e X – Y = 3 B

1.6.1 Definição de Produto de Matriz por Matriz

Problema motivacionalUm grupo de pessoas combina reunir-se em uma manhã e uma tarde para

discutir um assunto , fazendo uma parada em cada período para um lanche rápido,preparado por uma lanchonete.



DefiniçãoSe uma matriz, tipo m x p, tem o número de colunas p igual ao número de

linhas p de uma segunda, matriz tipo p x n, denomina-se produto da primeira matriz pela

segunda, uma terceira matriz, tipo m x n, com o número de linhas m da primeira e o decolunas n da segunda, tal que qualquer elemento de posição i j é a soma dos produtosentre os elementos da linha i, da primeira matriz com correspondentes da coluna j dasegunda matriz.

Exercício. Se existir, calcule o produto dos seguintes pares de matrizes:

1.

21

103

52

25

32

2.

01

21

27

54

3.

32

05

14

321



Exercício. Dadas as matrizes A =

43

21e B =

14

15,

a) verifique que não vale a propriedade comutativa,isto é, A x B B x A ;

b) determine uma matriz tal que A . = A e que . B = B



1.7 Matrizes Especiais

1.7.1Matriz InversívelDiz-se que uma matriz quadrada A é inversível se existe uma matriz B que

comuta com A, isto é, A . B = B . A = , e neste caso diremos que B é a matrizinversa de A , escrevendo B = A - 1 , e portanto

A . A - 1= A - 1 . A = .

Se uma matriz não é inversível, diz-se que é singular.Exercício:

a) determine, se existir, a inversa da matriz A =

25

13



1.7.1.2 Algoritmo para obter a matriz inversa de uma matriz A

Escreve-se a matriz A e a matriz justapostas, de modo a formar a matriz [

A ] Se A for equivalente por linha à , então [ A ] será equivalente por linha à matrizdas matrizes justapostas [ A-1 ] , ou não existe a matriz inversa da matriz A .

Exercícios. Determine, se existir, a inversa das seguintes matrizes:

a) A =

13

27

b) B=

250

130

721



Exercício- APLICAÇÃO DO PRODUTO DE MATRIZES

A transformação da linha perimetralcontínua em azul, na linha perimetral pontilhada

em vermelho, é denominada transformação por cisalhamento.Vamos atribuir coordenadas aos vértices do retângulo e descobrir uma matriz detransformação que associe a cada vetor coordenada um ponto correspondente noparalelogramo.

Exercício



7.1 Equação linearDenomina-se equação linear a n variáveis ou Incógnitas, toda equação com n

incógnitas do primeiro grau do tipo:

( I )

onde ( a 11 , a 12 , a 13 , ... , a 1n ) é a seqüência dos coeficientes , b é o termo independente e estáescrito como combinação linear da seqüência das incógnitas ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) se aigualdade for verdadeira. Se b =0 a equação é denominada homogênea.

Exemplos: 1) 2 x = 4 2) 2x+3 y = 5 3) 2x +3 y + 4z = 9

2.1.1 Solução de uma equaçãoSolução ou raízes da equação ( I ) é toda seqüência de valores das variáveis que

torna verdadeira a igualdade ( I ).

Exemplos: 1) ( 2 ) 2) (

2

5, 0 ) 3) ( 1 , 1 , 1 )

2 . 2 = 4 2 .2

5+ 0 = 5 3 .1 + 3 . 1 + 4 . 1 = 9

2.1.2 Conjunto verdade ou conjunto solução de uma equaçãoÉ o conjunto de todas as soluções de uma equação.

Exemplos: 1) V = { 2 }

a11 x1+a12 x2+a13 x3+...+a1n xn = b



Diz-se que um sistema é compatível ou possível quando admite pelo menos uma soluçãocomum a todas as suas equações.

Sistema Incompatível ou Impossível

Um sistema que não admite solução é denominado incompatível ou impossível

Sistema determinado ou indeterminado

É todo sistema compatível que possui uma única solução, caso contrário ele possuivárias soluções e é indeterminado.

Exemplos: 1) determinado 2) indeterminado 3) incompatível ou impossível

5y3x

23y4x

102y6x

5y3x

6y3x

5y3x

3x6y

3x5y



7.3.3 Matriz escalonada ou em forma de escada

Quando se transforma em 1, por meio de operações elementares adequadas, cadaelemento a

ij, para i = j, e em zeros todos os demais elementos das colunas em que se situam

esses ai j = 1, diz-se que a matriz dada foi transformada para a forma escalonada equivalente, eque pela definição possui a mesma característica.

Exemplos

1)

100

010

001

2)

000

010

001

010

0013)

50100

20010

30001

Exercício – determine o posto de cada uma das seguintes matrizes:

1)

221

511

321

2)

5221

7511

6321



7.3.4 Matrizes de um sistema

Matriz incompleta ( Mi ), é a matriz formada pelos coeficientes das equações de umsistema linear com a mesma disposição que estes comparecem no sistema, e por isto tambémdenominada matriz dos coeficientes.

Matriz completa ( Mc ), é a matriz formada pela Mi com mais uma coluna, o vetorcoluna dos termos independentes.

Ilustração

(S)

2b2x22a1x21a1b2x12ax11a 1 (Mi)

22a21a12a11a

(Mc)

2b22a12a1b12a11a

7.4 Sistemas equivalentes e operações

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmoconjunto solução.

Pode-se transformar um sistema linear em outro sistema equivalente operandoelementarmente com as linhas da matriz completa, isto é:

a) trocando de lugar, entre si, duas linhas;

b) multiplicando uma linha por um número real não nulo;

c) substituindo uma linha por sua soma com outra linha multiplicada por umconstante não nula

Ilustração



7.5 Sistema Linear HomogêneoQuando o vetor coluna dos termos independentes de um sistema linear é nulo o

sistema é denominado homogêneoIlustraçõesSteinbruch, p. 544

1.

02z4y4x

0z3y2x

0zyx

2.

02z2y4x

03z5y6x

0z3y2x

Exercícios – Resolva por escalonamento e classifique os seguintes sistemas de

equações lineares:

1.

02z4y4x

0z3y2x

0zyx

0z3y2x



7.6 Estudo e Solução de Sistemas de Equações lineares

2.7.1 Estudo comparativo da característica com o número de incógnitas do sistemaInicialmente vamos determinar a característica da matriz incompleta C ( Mi ) = q e a

característica da matriz completa C ( Mc ) = p, de cada um dos sistemas da pág.72 e relacioná-las de alguma forma com as classificações feitas.

1.

2.

3.

Do estudo comparativo das características p e q com o número de variáveis, ouincógnitas n, podemos inferir empiricamente a seguintes correspondências:

( 1 ) S p d p = q = n ( neste caso diz-se que o sistema é normal ou de Cramer)

( 2 ) S p i p = q < n

( 3 ) S p q



7.8 Discussão de um sistema de equações lineares

Discutir um sistema significa determinar os “ possíveis valores dos coef icientesliterais existentes no sistema “ através de matrizes associadas a ele, para classificar e resolver omesmo. Para proceder tal discussão utilizaremos o conceito de posto ou característica de umamatriz.

Ilustrações1. Qual o valor do parâmetro a para o qual o sistema (S) é determinado? Escreva o

conjunto solução neste caso.

(S)

7az2y3x

14zy2x

6zyx

SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA



SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA

INSTITUTO SUPERIOR TUPY

RQ 0509 Rev. 03Página 60 de 67

A

INFORMAÇÕES DO PROFESSOR E COORDENADOR DO CURSOANO/SEMESTRE

Professor:Eliseu Fragoso Tavares

E-mail: [email protected] Ano/Semestre 2012 / 01

Coordenador/Líder: Juliane E-mail: [email protected] Turma: CIC 312

Objetivo da disciplinaO que se pretende com a disciplina nesse curso? Ao final do programa, o que será esperado?Proporcionar ao aluno a oportunidade para adquirir e aplicar os conceitos referentes ao estudo de Matemática que ajudarão a entender as leisque regem diversos acontecimentos ligados ao contexto do bacharel em contábeis.Desenvolver o raciocínio lógico e quantitativo.Reconhecer e utilizar conjuntos e funções matemáticas , suas representações gráficas e adquirir habilidade com cálculos pertinentes.

Justificativa da disciplina na formação do profissionalPorque esta disciplina é dada no curso? Permitir um contato prévio com conceitos que são presentes na futura atividade em empresas do ramo de contábeis, com as quais o profissionaldeverá estar envolvido.Porque é necessário trabalhar os assuntos da ementa nesse curso, para esse profissional? Dar fundamentação matemática para entender, avaliar, modificar ou inovar processos. Porque o futuro profissional precisa saber/conhecer o que se propõe com esta disciplina? Proporcionar o entendimento e o domínio de fenômenos matemáticos relativos à atuação do bacharel em contábeis.

O que aluno quando profissional irá fazer com os conhecimentos adquiridos nesta disciplina?Aperfeiçoar a análise de fenômenos do cotidiano, particularmente na área de contábeisl.É muito importante? Porquê? Defenda a necessidade da disciplina no cursoÉ primordial ter um conhecimento de matemática básica para adquirir autoconfiança em cálculos com Ciências Contábeis.




Habilidade e Competências a serem desenvolvidas pela disciplina Durante o programa da disciplina o aluno irá desenvolver algumas habilidades e competências. Quais são elas?Identificar situações onde o uso de funções matemáticas se faz necessário para resolver problemas de aplicação da atividade; Capacitar oacadêmico a reconhecer conceitos matemáticos para interpretar e resolver problemas de Ciências Contábeis sob o rigor dos cálculos inerentes. Desenvolver no acadêmico a capacidade de observar e interpretar dados quantitativos ou qualitativos;Criar autonomia para resolver problemas de aplicação matemática, como por exemplo: custo, receita, lucro, demanda, ponto de equilíbrio, customarginal, receita marginal, lucro marginal, custo mínimo, receita máxima e lucro máximo.

AgendaPrevista

ConteúdoProgramáticoTema – Assunto

Objetivo de EnsinoAprendizagemCapacidades a seremdesenvolvidas(competências ehabilidades)

MetodologiaEstratégias didáticasRecursos

EAD

AvaliaçãoFormas e Critérios

CH

Quando? O Quê? Para quê? Como? * Verificação da

eficácia

27 / 03

Apresentação doplano de ensino econstrução de umacordo pedagógico

● Compreender os objetivosda disciplina e a metodologia

utilizada.● Entender a importância dostemas abordados em suaformação.● Compreender as formas ecritérios de avaliação.

●Breve apresentação entre

acadêmicos e professor● Conversa sobre expectativasquanto à disciplina.

Participação,sugestões,questionamento ecomprometimentodos acadêmicos

2

De

01 / 04

até

26/04

Conjuntos

- Noções deConjuntos

- Conjuntos

- Operar com a álgebra deconjuntos;- Identificar e representar os

conjuntos numéricos;-Representar conjuntosolução por meio deintervalos na reta real;- Operar com potências,

Aula Interativa (AI )- Apresentação e explicação doconteúdo com exemplos e

problemas pertinentes, utilizandomultimídia ou não.Aula de Exercícios (AE)- Leitura, interpretação,reconhecimento de teorias

- Estudo dirigido:orientação dosacadêmicos enquanto

resolvem osexercícios

- Avaliação porescrito, individual ou

16




numéricos

- Potenciação eradiciação

- Polinômios- Sistema Cartesiano

- Relações

raízes e polinômios;- Identificar pontos no planocom relações matemáticas.

subjacentes na resolução deproblemas modelos deraciocínios.- Exercícios individuais ou emgrupos

em grupo.

Verificação do Plano deEnsino em 03/10/2011.

P-1

29/03

Conjuntos:

assuntos atérelações

Alertar as principaisdificuldades daaprendizagem

Questões objetiva e questõesdissertativas

02

De

02 / 04

até

26/04

- Funções -conceitos

- Função potência

- Função do 1º

grau

- Função do 2º

grau

- Entender a relação entre asvariáveis das funçõeslistadas.- Analisar alguns ereconhecendo funçõesmatemática presentes;- Descrever eventos docotidiano profissional atravésde funções matemáticas

elementares.

Aula Interativa- Apresentação e explicação doconteúdo com exemplos eproblemas pertinentes, utilizandomultimídia ou não.Aula de Exercícios- Leitura, interpretação,reconhecimento de teoriassubjacentes e resolução deproblemas para modelos deraciocínios.

- Exercícios individuais e emgrupos

- Estudo dirigido:orientação dosacadêmicos enquantoresolvem osexercícios

- Avaliação porescrito, individual ouem grupoVerificação do Plano deEnsino em 03/10/2011.

16

P-230/04 Assuntos

Alertar as principaisdificuldades da


A nota da P-2substituirá a nota da

02




trabalhados atéfunção do 2

0

grau

aprendizagem P-1 se for maior

De03 / 05até28/05

Funções

- Função

composta

- Função inversa;

- Função exponencial- Função logarítmica

- Entender a relação entre as

variáveis das funçõescompostas- obter a função inversa- Resolver problemas quedependem de funçõesexponenciais ou logarítmicas.

Aula Interativa- Apresentação e explicação doconteúdo com exemplos eproblemas pertinentes, utilizandomultimídia ou não..Aula de Exercícios- Leitura, interpretação,reconhecimento de teoriassubjacentes e resolução deproblemas para modelos deraciocínios..- Exercícios individuais e emgrupos

- Estudo dirigido:orientação dosacadêmicos durante

a resolução deexercícios.- Avaliação porescrito, individual ouem grupo

Verificação do Plano deEnsino em 11/11/2011.

16

P-3 ou

T-331 / 05

Alertar as principais

dificuldades daaprendizagem

Questões objetiva e questõesdissertativas 02

De04 / 06

até02 / 06

- Matrizes

- Sistemas

Lineares

- Compreender a notaçãomatricial.- Realizar operações com aspropriedades da álgebra dematrizes.- Conhecer o método deescalonamento para ainversão de matrizes.- Resolver sistemas atravésdo método deescalonamento.

Aula Interativa- Apresentação e explicação doconteúdo com exemplos eproblemas pertinentes, utilizandomultimídia ou não. Aula de Exercícios- Leitura, interpretação,

reconhecimento de teoriassubjacentes e resolução deproblemas para modelos deraciocínios.- Exercícios individuais e em

- Estudo dirigido:orientação dosacadêmicosenquanto resolvemos exercícios

- Avaliação porescrito, individualou em grupo

16




grupos

Prv.Sem14 / 06

Assuntostrabalhados atésistemas lineares

Alertar as principaisdificuldades daaprendizagem


02

Carga Horária Total: Σ 74h

Dd/mmAVALIAÇÃO

Estratégia para Estudo Assuntos para Estudar

P-1.1

19 / 03

Conjuntos

- Noções de

Conjuntos

- Conjuntosnuméricos

- Potenciação eradiciação- Polinômios

- Os acadêmicos deverãodesenvolver um resumo

de cada aula, incluindotodas as fórmulasque desejarem, paraconsultar durante asprovas parciais.

a) Identificar e representarconjuntos.

b) Utilizar a Álgebra deConjuntos para resolverproblemas específicos;c) Representar conjuntossoluçãod) Calcular potências e Raízes

e) operar com polinômios

a) 20%b)20%c)20%d)20%e)20%

P-1.223 / 04

Conjuntos,Relações efunções, até estadata

- Nas provas parciais serápermitida a consulta doformulário em A-4 elaboradomanualmente por cadaacadêmico.

a) Conjuntos: operações

b) Relações e Funções -

a) 20%b)20%c)20%d)20%e)20%




conceitos

c) Polinômios - operações

d) Função do 1º grau -aplicação

e) Função do 2º grau -aplicação

P-1.304 / 06

Conjuntos,Relações e funçõese matrizes

Será permitida a consulta doformulário em A-4

a) Conjuntosb) Relaçõesc) Funçõesd) Matrizes

a)25%b)25%c)25%d)25%

Prv.

Sem14 / 06 Conjuntos,Relações, Funções,Matrizes e Sistemas

Não haverá consulta, asfórmulas necessáriasestarão na prova.

- Mostrar conhecimento detécnicas para operar

utilizando conjuntos,relações, funções e matrizesQuestões objetivas equestões dissertativas

20% F

60% M20% D

Prv.Final28 / 06

Conjuntos,Relações, Funções,Matrizes e Sistemas

Não haverá consulta, asfórmulas necessáriasestarão na prova.

- Mostrar conhecimento detécnicas para operarutilizando conjuntos,relações, funções e matrizes

24/05 Prova de segunda chamada de uma parcial

25/06 Prova de segunda chamada da semestral

Sábados letivos 8h




CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO

No início do período letivo será disponibilizada na intranet IST uma apostila-interativa para a disciplina em apreço.Tal apostila devera ser impressa frente e verso, contendo o presente planejamento com o calendário acadêmico; serencadernada com capa transparente e espiral para facilitar consultas rápidas.

Para tornar compreensível a grafia de matemática é imprescindível a utilização de grafite bem escuro, réguatransparente, e caligrafia zelosa.

Recomenda-se ao acadêmico que continuamente prepare manualmente, em papel A-4, resumos/formulário paraestudo de cada aula, assistida ou não. Este procedimento manterá o domínio dos conhecimentos adquiridos para sucessonas avaliações e poderá ser consultado durante as provas parciais.

As provas para avaliação dos conhecimentos produzidos serão escritas, individuais, sendo permitida a consultasomente do formulário elaborado manualmente pelo acadêmico .

Sem data estabelecida, poderão ser realizados exercícios individuais que, estando corretos, contarão pontospara notas das parciais.

Se for maior, a nota da P-2 substituirá a nota da P-1 , e a da P-3 substituirá a da P-1 e a da P-2. ( T-3 não substituinota alguma)

CÁLCULO DA MÉDIA PARA APROVAÇÃO

P = Ms

MR [10 -




fe v qua q ui se x s ab dom se g te r q ua q ui s ex sab dom se g te r q ua q ui se x s ab dom se g te r q ua q ui s ex sab dom se g te r q ua

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

mar qui se x s ab dom se g t er qua qui s ex sab dom s eg te r q ua qui se x s ab dom se g t er qua qui s ex sab dom se g t er qua q ui se x s ab

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

abr dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

mai t er qu a q ui s ex s ab dom s eg te r q ua qu i s ex s ab do m s eg te r q ua q ui s ex s ab do m se g t er qu a q ui s ex s ab dom s eg te r q ua q ui

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

jun se x sab dom se g te r qua qui sex s ab dom seg te r qua qui se x sab dom se g ter qua qui sex s ab dom seg te r qua qui se x sab

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

jul dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg ter qua qui s ex sab dom seg t er

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2012.1 Calendário Pedagógico Matemática CIC

ap.mat.cic.aplic2012.1

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