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APLICAÇÃO DE MODELOS BIDIMENSIONAISAO ESTUDO DA GERAÇÃO E PROPAGAÇÃO

DE VIBRAÇÕES

João Miguel Gomes Pires Manso

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil

Júri Presidente: Professor Doutor Jaime Alberto dos Santos Orientador: Professor Doutor João Manuel Marcelino Mateus da Silva Co-orientador: Professora Doutora Laura Maria Mello Saraiva Caldeira Vogais: Professor Doutor Jorge Manuel Neto Pereira Gomes Professor Doutor Rui Pedro Carrilho Gomes

Junho de 2011

Resumo

Nos próximos anos, Portugal tem alguns desafios para atingir e, um deles, inclui a

modernização da sua rede ferroviária. As vibrações devidas ao tráfego de alta-velocidade,

são, entre outras, uma das questões que interessa estudar. Para esse efeito, concebeu-se

um modelo bidimensional de elementos finitos, que permite o estudo, dentro de

determinadas hipóteses (troços rectos, pequena variabilidade longitudinal das

características geométricas e mecânicas), da geração e da propagação dessas vibrações.

Apesar do fenómeno ser tridimensional, os modelos bidimensionais têm o atractivo de

serem mais rápidos e fáceis de implementar, obrigando, todavia, a ter certos aspectos em

atenção, como, por exemplo, o amortecimento geométrico. Para ultrapassar as limitações

do modelo, e comparando com resultados in situ, propõe-se neste trabalho um método de

correcção dos valores obtidos nos cálculos.

Na comparação realizada houve necessidade de recorrer a filtros para reduzir ruído

existente nos sinais resultantes de medições. Utilizou-se o filtro de média móvel, o que

mostrou dar bons resultados.

As irregularidades da linha e o comboio são, de entre as possíveis, as principais fontes de

excitação. O modelo usado teve em conta, tanto as principais características do comboio

(massas e geometria), como as referidas irregularidades da geometria da linha.

Deste trabalho retiram-se algumas conclusões que se prendem, nomeadamente, com as

características da resposta dos modelos bidimensionais às acções aplicadas. A

contabilização do amortecimento geométrico não é tido em conta de forma correcta por

estes modelos, propondo-se que a amplitude das ondas de superfície seja corrigida por um

determinado factor.

Palavras Chave

Comboios de alta-velocidade, cargas axiais, irregularidades da via, vibrações,

amortecimento material e geométrico, modelo numérico bidimensional.

I

Summary

In the years to come, Portugal has several challenges to overcome and one is to try to

modernize its train network. Among other issues, vibrations are a major concern, specially

due to high speed traffic. Therefore, a two-dimensional model has been designed,

considering some hypotheses (straight tracks, constant longitudinal geometric and mechanic

characteristics), to predict both generation and propagation of those vibrations.

Although the phenomena is three-dimensional, a two-dimensional model is less time

consuming and easier to implement, but there are some aspects to take into consideration,

like, for example, geometrical soil damping. To overcome and comparing them to in situ

values, a method that corrects the results has been proposed.

To compare the in situ results with the results from the model, there are several filters that

could be used to reduce random noise from a signal, while retaining a sharp step response,

but, for time domain analysis, moving average filters are the premier filter to use.

Both the train himself (weights and geometry) and track irregularities, are the most relevant

vibration sources from high speed traffic. So, taking into consideration the train weight, the

distances between axles and a stochastic process to model the rail roughness, those actions

could be predicted.

There are some conclusions, in this work, that should me mentioned referring to two-

dimensional model results. One is that they don't consider geometrical damping correctly, so,

surface wave vibrations should be corrected by a factor.

Keywords

High-speed trains, axle loads, track irregularities, vibrations, geometric and material

damping, two-dimensional numerical model.

III

Índice

1 Introdução...........................................................................................................................1

2 Geração de vibrações.........................................................................................................5

2.1 Caracterização do sistema infra-estrutura – veículo....................................................6

2.1.1 Veículo.................................................................................................................7

2.1.2 Estrutura da via - Fundação...............................................................................10

2.2 Caracterização das acções devidas às cargas axiais do comboio............................14

2.3 Caracterização das acções devidas às irregularidades.............................................18

2.4 Considerações finais.................................................................................................21

3 Propagação de vibrações.................................................................................................23

3.1 Ondas volumétricas (ondas P e S) ...........................................................................24

3.2 Ondas de superfície (ondas Rayleigh e Love)...........................................................25

3.3 Atenuação de vibrações............................................................................................27

3.3.1 Amortecimento geométrico................................................................................27

3.3.2 Amortecimento material.....................................................................................30


4 Modelo numérico..............................................................................................................33

4.1 Descrição do modelo.................................................................................................33

4.1.1 Representatividade do modelo..........................................................................33

4.1.2 Modelo das acções devidas à carga móvel.......................................................34

4.1.3 Amortecimento de Rayleigh: parâmetros a e b..................................................34

4.1.4 Coeficiente de Poisson......................................................................................37

4.1.5 Características geométricas e dos materiais do modelo....................................38

4.1.6 Condições de fronteira.......................................................................................42

4.1.6.1 Fronteiras elementares..............................................................................43

V

4.1.6.2 Fronteiras absorventes...............................................................................43

4.1.6.3 Fronteiras consistentes..............................................................................44

4.1.7 Acções aplicadas...............................................................................................45

4.1.8 Frequências próprias do modelo........................................................................46

4.2 Calibração.................................................................................................................46

4.2.1 Análise de bandas de oitava..............................................................................49

4.2.2 Aplicação de excitações harmónicas.................................................................49

4.2.3 Decréscimo da perturbação com a distância à fonte.........................................60

4.2.4 Comparação com os resultados obtidos in situ..................................................63


5 Conclusões e prospectivas futuras...................................................................................75

6 Bibliografia........................................................................................................................77

VI

Índice de Figuras

Figura 1 - Comboio KHST: a) vista panorâmica, b) bogie articulado entre duas carruagens,

c) bogie articulado (adaptado de Kwark et al., 2004)..............................................................8

Figura 2 - Geometria e características do comboio KHST......................................................8

Figura 3 - Geometria do comboio Thalys HST........................................................................8

Figura 4 - Contactos pontual ou duplo entre a roda e o carril: a) contacto pontual; b) duplo

contacto (forças devidas ao deslizamento em troços curvos – adaptado de Esveld, 2001)....9

Figura 5 - Elementos que constituem uma estrutura ferroviária em via balastrada (adaptado

de Ekevid et al., 2002)..........................................................................................................10

Figura 6 - Diferentes vias ferroviárias: a) via balastrada; b) via em laje rígida......................13

Figura 7 - Distribuição de forças para um eixo unitário.........................................................17

Figura 8 - Valores utilizados para modelar as irregularidades existentes na via...................20

Figura 9 - Irregularidades observadas nas diferentes classes de qualidade das vias: a)

classe 1, b) classe 2, c) classe 3, d) classe 4, e) classe 5 e f) classe 6...........................22

Figura 10 - a) Ondas de compressão ou ondas P; b) ondas de corte ou ondas S (adaptado

de Hall, 2000).......................................................................................................................25

Figura 11 - a) Ondas Rayleigh; b) ondas Love (adaptado de Hall, 2000)..............................26

Figura 12 - Amortecimento geométrico devido a uma carga em linha...................................28

Figura 13 - Amortecimento geométrico devido a uma carga pontual....................................29

Figura 14 - Representação gráfica do modelo das acções utilizado para as cargas do

comboio................................................................................................................................35

Figura 15 - Geometria global da via (adaptado de Correia et al., 2006)................................39

Figura 16 - Sistema de instrumentação utilizado na medição das acelerações “in situ”

(adaptado de Correia et al., 2006)........................................................................................40

Figura 17 - Modelo numérico com a localização (a vermelho) dos acelerómetros (A-1, à

esquerda, até ao A-12, à direita)...........................................................................................40

Figura 18 - Localização dos pontos de medição das vibrações “in situ” e indicação da via de

VII

passagem do comboio (Degrande e Schillemans, 2001)......................................................45

Figura 19 - Modos de vibração do modelo. a) 1º modo, f=3,141 Hz; b) 2º modo, f=4,152 Hz;

c) 3º modo, f=4,914 Hz; d) 4º modo, f=4,960 Hz; e) 5º modo, f=5,140 Hz; f) 6º modo,

f=5,169 Hz; g) 7º modo, f=5,231 Hz; h) 8º modo, f=5,245 Hz; i) 9º modo, f=5,508 Hz; j) e 10º

modo, f=6,035 Hz.................................................................................................................47

Figura 20 - Evolução dos deslocamentos após a aplicação de impulso de 1 kN..................48

Figura 21 - Espectro de Fourier de velocidades da acção devida às cargas por eixo do

comboio................................................................................................................................51

Figura 22 - Espectro de velocidades devido apenas às irregularidades existentes na

estrutura ferroviária...............................................................................................................52

Figura 23 - Evolução das velocidades ao longo do tempo, para uma excitação de 50 Hz. a)

Ponto 1; b) Ponto 3; c) Ponto 6; d) Ponto 12........................................................................53

Figura 24 - Análise espectral dos diagramas obtidos para as velocidades ao longo do tempo,

para uma excitação de 50 Hz. a) Ponto 1; b) Ponto 3; c) Ponto 6; d) Ponto 12....................55

Figura 25 - Comparação dos valores obtidos para os espectros de velocidade para três

frequências diferentes, 10, 20 e 50 Hz. a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12......56

Figura 26 - Comparação da evolução da velocidade ao longo do tempo nos vários pontos 1,

3, 6 e 12. a) frequência de 10 Hz; b) frequência de 20 Hz e c) frequência de 50 Hz............57

Figura 27 - Valores de velocidades obtidas para uma função harmónica constituída pela

soma de funções harmónicas com 10, 20 e 50 Hz: a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d)

ponto 12................................................................................................................................59

Figura 28 - Valores das coordenadas espectrais obtidas para uma função harmónicas

constituída pela soma de funções harmónicas com 10, 20 e 50 Hz: a) ponto 1; b) ponto 3; c)

ponto 6e d) ponto 12.............................................................................................................60

Figura 29 - Comparação dos valores RMS dos deslocamentos, para uma excitação de 10

Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) , b) e c) ...............................61

Figura 30 - Comparação dos valores RMS dos deslocamentos obtidos no modelo, para uma

excitação de 20 Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) , b) e c) .....61


excitação de 50 Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) , b) e c) .....61

VIII

Figura 32 - Comparação de valores das acelerações medidas “in situ” com valores do

modelo numérico afectados do factor correctivo e : a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d)

ponto 12................................................................................................................................64


modelo numérico afectados do factor correctivo e , análise de 1/3 de bandas de oitava: a)

ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12........................................................................66

Figura 34 - Valores RMS de resultados “in situ” versus valores RMS de resultados do

modelo corrigidos por e versus o respectivo valor proposto...............................................67

Figura 35 - Comparação de valores das velocidades medidas “in situ” com valores do

modelo numérico afectados do factor correctivo e . a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d)

ponto 12................................................................................................................................68


modelo numérico afectados do factor correctivo e , análise de 1/3 de bandas de oitava. a)



modelo corrigidos por e versus os respectivos valores teóricos.........................................70

Figura 38 - Comparação de valores dos deslocamentos medidos “in situ” com valores do

modelo numérico afectados do factor correctivo e . a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d)

ponto 12................................................................................................................................71


modelo numérico afectados do factor correctivo e , análise de 1/3 de bandas de oitava: a)



modelo corrigidos por e versus os respectivos valores teóricos.........................................73

IX

Índice de tabelas

Tabela 1 - Intervalos de frequências relativos às respectivas fontes de vibrações..................6

Tabela 2 - Fuso de aceitação sem restrições (granulometria) para o balastro tipo I e II,

segundo a norma IT.GEO.001.00 (2003)..............................................................................12

Tabela 3 - Vantagens e desvantagens das vias balastradas.................................................13

Tabela 4 - Vantagens e desvantagens das vias em laje de betão.........................................14

Tabela 5 - Parâmetro de rugosidade em função da classe de via, segundo a FRA..............19

Tabela 6 - Valores de “m” para vários tipos de onda, consoante o tipo de carga aplicada na

fonte (Hall, 2000)..................................................................................................................30

Tabela 7 - Valor das cargas e posição dos eixos do comboio Thalys HST............................35

Tabela 8 - Valores dos parâmetros relativos ao amortecimento dos diferentes materiais

geotécnicos...........................................................................................................................37

Tabela 9 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para a fundação (Correia et al.,

2006)....................................................................................................................................40

Tabela 10 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para o carril e para a travessa

(Correia et al., 2006).............................................................................................................41

Tabela 11 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para a estrutura ferroviária

(Correia et al., 2006).............................................................................................................42

Tabela 12 - Frequências próprias de vibração do modelo numérico.....................................46

Tabela 13 - Centros e extremos de bandas de oitava e 1/3 de oitava (os valores a negrito

indicam valores para bandas de oitava)................................................................................50

XI

Simbologia

Apresenta-se uma lista com as várias grandezas referidas no texto, com a indicação dos

símbolos habituais na bibliografia, no entanto, observa-se que algumas apresentam vários

significados.

Além destes significados que aqui se apresentam, por vezes existem outros, que surgem ao

longo do texto devidamente enquadrados nas matérias expostas.

Símbolo Significado

A Coeficiente de Fourier

A' Parâmetro de rugosidade para cada classe de via

Aciclo Área do ciclo da histerese

c Coeficientes de Fourier de raíz complexa

C Matriz de amortecimento, coeficiente de Fourier

E Módulo de elasticidade longitudinal ou de Young

f Frequência escalar

F Força

Fe Força imposta por um eixo do comboio

ĝ Força vertical de contacto entre uma roda do comboio e o carril

G Módulo de distorção

Ĝr/c Espectro de densidade de potência

Gsec Módulo de distorção secante

H Espessura de uma camada

I Momento de inércia

k Rigidez de uma mola elástica, quociente entre a velocidade das ondas de

Rayleigh e das ondas S

K Matriz de rigidez

ky Número de onda

XIII

L Comprimento do elemento

Lc Comprimento do comboio

m Massa, constante dependente do tipo de onda e do tipo de fonte de

excitação

M Matriz de massa

N Número de intervalos

ny Número de onda cíclico

O Coeficiente de Fourier

r Distância radial

s Abcissa do referencial em movimento

S Espectro de potência

t Tempo

T Período

ur/c Irregularidade combinada carril/roda

U Amplitude de deslocamento

v, v0 Velocidade de circulação

vcr Velocidade crítica

vP Velocidade de propagação das ondas P, de dilatação ou longitudinais

vL Velocidade das ondas Love

vS Velocidade de propagação das ondas S, de corte ou transversais

WD Densidade de energia dissipada por ciclo

Ws Densidade de máxima energia de deformação

x Abcissa do referencial estático

X, Y Espectros de resposta

y Posição num referencial artificial

XIV

Letras Gregas

α Coeficiente de atenuação, razão entre a velocidade das ondas S e P,

parâmetro de amortecimento de Rayleigh relacionado com a rigidez

β Parâmetro de amortecimento de Rayleigh relacionado com a massa

γχ Amplitude cíclica de deformação por corte

λ Comprimento característico, comprimento de onda

ν Coeficiente de Poisson

ω Frequência angular

ρ Massa volúmica

θ Ângulo de fase

ξ Coeficiente de amortecimento do material

Acrónimos e siglas

ASCE American Society of Civil Engineers

EDF Électricité de France

ERTMS European Rail Traffic Management System

ETCS European Train Control System

FEM Finite Element Method

FEUP Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

FRA Federal Railroad Administration

HST High-Speed Train

KHST Korean High-Speed Train

MEF Método de elementos finitos

PSD Power Spectral Density

RAVE Rede Ferroviária de Alta Velocidade, S. A.

REFER Rede Ferroviária Nacional, E. P. E.

XV

RMS Root Mean Square

SASW Spectral Analysis of Surface Waves Method

XVI

1 Introdução

As vias de comboios de alta-velocidade têm-se desenvolvido muito rapidamente, tanto na

Europa, como na América do Norte e no Este da Ásia. Com a necessidade de diminuir

tempos de viagem, tem-se verificado um aumento na velocidade de circulação dos

comboios, atingindo-se já velocidades superiores a 300 km/h.

Para estas velocidades, certo tipo de solos, que apresentam velocidades de propagação de

ondas muito reduzidas, são susceptíveis de sofrer vibrações excessivas pela passagem de

comboios de alta-velocidade. Segundo Kaynia et al. (2000), os problemas que surgem

associados a esse aspecto não são apenas preocupantes pelos impactes ambientais e

incómodo que provocam aos utilizadores e às populações, mas também pelas alterações

que originam em termos de:

● segurança da circulação de comboios;

● degradação (acelerada) do balastro e da fundação;

● rotura por fadiga dos carris.

A resposta do solo às cargas do comboio em movimento depende da relação entre a

velocidade do comboio e a velocidade da onda característica do solo. Tal como Yang et al.

(2003) referem, enquanto que, a baixas velocidades, a resposta é essencialmente estática,

com o aumento da velocidade do comboio os fenómenos dinâmicos rapidamente tendem a

dominar a resposta. É inevitável que, em alguns locais, surjam materiais na fundação de

muito reduzida rigidez e, consequentemente, velocidades de propagação de onda muito

baixas. À medida que a velocidade do comboio se aproxima ou excede a velocidade das

ondas no solo de fundação, geram-se grandes níveis de vibração na estrutura da via (carris,

balastro e fundação) e nas zonas circundantes. Segundo Ekevid e Wiberg (2002), este

fenómeno tem muitas semelhanças com a excedência da velocidade do som por um avião.

Os solos com muito reduzidas velocidades de propagação de ondas são mais

característicos de países do Norte da Europa (Suécia e Noruega), tendo sido formados

devido a ciclos de gelo-degelo. Em Portugal, esse tipo de solos tem pouca expressão e,

usualmente, são solos moles do tipo aluvionar, muitas vezes associados a ambientes

marinhos ou fluviais, os que podem causar os maiores problemas.

Nos últimos anos, tem crescido a preocupação com a circulação de comboios em meios

urbanos, não só pelas perturbações que provoca à superfície, mas também pelo ruído no

1

interior de edifícios, devido à vibração da estrutura. Em alguns locais este tipo de ruído,

essencialmente composto por baixas frequências, pode exceder o ruído aéreo provocado

pela passagem da composição.

Considera-se que, para conforto dos residentes próximos de vias de caminho de ferro, se

devem limitar as vibrações da circulação de comboios a 0,1 – 1,0 mm/s. Caso se queira

apenas evitar que surjam danos nos edifícios próximos de vias, esse valor poderá aumentar

para 1 – 20 mm/s (Unterberger, 2004).

De acordo com Schendelstraat (2000), é da maior importância utilizar métodos que

permitam avaliar o ruído estrutural e as vibrações, tanto devido a vias férreas existentes,

como àquelas que se irão construir, com recurso a modelos de comportamento destas infra-

estruturas. A validação de modelos teóricos deve, preferencialmente, basear-se na

comparação das suas previsões com os resultados obtidos por via experimental, ou seja, da

observação sistemática dos fenómenos físicos.

Neste trabalho, foi adoptada esta metodologia para, recorrendo ao modelo numérico, prever

o comportamento da estrutura ferroviária e da sua fundação, e proceder à sua comparação

com leituras reais.

No que respeita às leituras resultantes da instrumentação, a aquisição de informação útil

pode dividir-se em duas fases:

● medição, em registos contínuos ou descontínuos, de um determinado conjunto de

grandezas físicas, temporais e/ou espaciais;

● tratamento da informação adquirida, uma vez que, regra geral, os resultados obtidos

não se apresentam na forma mais conveniente, dividindo-se em processamento e

análise, em que o primeiro tem como principal função a eliminação das componentes

secundárias da informação (com pouca relevância para o estudo) e a segunda a

formatação da informação da forma mais indicada (Carvalhal et al., 2008).

O presente trabalho divide-se em três partes. A primeira consiste no estudo da geração de

vibrações de comboios de alta-velocidade e nela se incluem, como principais fontes de

geração de vibrações, o veículo propriamente dito, mas também a estrutura ferroviária e a

fundação onde este se desloca.

Através do estudo das características do comboio, nomeadamente, as forças intervenientes

na sua circulação e as respectivas alterações devido ao desgaste dos vários componentes,

2

procurou-se caracterizar a acção do comboio.

Na segunda parte, aborda-se a propagação das vibrações produzidas através da estrutura

ferroviária e da fundação, até distâncias consideráveis da fonte de excitação. Analisam-se

os vários tipos de onda intervenientes e o modo como estas se propagam, tanto em

profundidade, como à superfície.

Na última parte, apresenta-se uma proposta de abordagem do fenómeno, recorrendo a um

modelo numérico bidimensional. Para ultrapassar as limitações desta abordagem, propõe-se

uma metodologia capaz de melhorar os resultados obtidos. Assim, os resultados do modelo

numérico são devidamente corrigidos e analisados em termos de três diferentes grandezas:

acelerações, velocidades e deslocamentos.

Por fim, tendo em conta as dificuldades, a aplicabilidade do método, a análise dos

resultados e, principalmente, o conhecimento adquirido, tecem-se algumas considerações

finais e faz-se uma análise crítica do trabalho realizado, designadamente em termos de

objectivos atingidos e de desenvolvimentos futuros.

Atendendo à complexidade e actualidade dos temas abordados, apontam-se ainda outros

vectores de investigação, muitas vezes resultantes de questões levantadas durante o

desenvolvimento desta dissertação.

3

2 Geração de vibrações

As características das vibrações geradas pela passagem de um comboio, segundo Hall

(2002), são influenciadas por vários factores. Porém, as principais causas prendem-se com

o movimento do campo de tensões, resultante das cargas dos eixos dos comboios, e com a

resposta da superestrutura e da sua fundação, gerando-se ondas com frequências,

normalmente, compreendidas entre 0 e 2000 Hz (Nielsen, 2008).

Estas vibrações podem ser classificadas e tipificadas de acordo com a sua origem, de

acordo com:

● ondas de corte geradas pela resposta da estrutura da via de caminhos de ferro,

função:

○ da carga por eixo;

○ da geometria (espaçamento entre eixos e distribuição de cargas);

○ e da velocidade do comboio;

● vibração oriunda da interface rodados-carris, dependente:

○ da oscilação da composição;

○ das propriedades dinâmicas do bogie;

○ defeitos existentes nos rodados (excentricidade, desequilíbrio e afastamento da

forma circular);

○ do desalinhamento dos motores;

○ e da variação (positiva ou negativa) da aceleração do comboio;

● descontinuidades dos carris, provocadas:

○ pelos defeitos dos carris (troços empenados e presença de depressões ou de

lombas);

○ pelo espaçamento e abertura das juntas dos carris;

○ pelos dispositivos de mudança de via;

○ e pelas curvas e inclinação (geradoras forças centrífugas);

● variações espaciais e temporais na infraestrutura, caracterizadas:

5

○ pela geometria, rigidez e massa das travessas;

○ pelas características geométricas e mecânicas do balastro;

○ e pelas características mecânicas do solo de fundação.

Na Tabela 1 apresentam-se os intervalos de frequências associados às diferentes fontes de

geração, conforme proposta de Hall (2002).

Tabela 1 - Intervalos de frequências relativos às respectivas fontes de vibrações

Fontes de geração de vibrações Intervalos de frequências

Balastro e fundação 0,7 a 5 Hz

Bogie 5 a 20 Hz

Rodados 20 a 100 Hz

Contacto roda-carril 100 a 1000 Hz

O estudo da geração e da propagação de vibrações requer a consideração de vários

elementos, nomeadamente, do veículo, da via e da fundação. Devido à complexidade

inerente aos modelos que consideram conjuntamente estes elementos, recorre-se, muitas

vezes, à análise isolada dos seus componentes, procurando-se o método de cálculo que

melhor descreve o comportamento de cada componente.

2.1 Caracterização do sistema infra-estrutura – veículo

Para compreender a propagação e minimizar as vibrações produzidas pela passagem de

comboios, é necessário estudar a interacção entre o veículo e a estrutura ferroviária. Assim,

neste sub-capítulo, descreve-se esta interacção, durante a circulação de comboios, e

referem-se as características de duas tipologias de estruturas ferroviárias, nomeadamente,

as vias balastradas e as vias em laje de betão.

6

2.1.1 Veículo

O conceito de “linha de alta-velocidade” pode corresponder, segundo diversos autores, a

outras tantas definições. Na presente dissertação segue-se a Council Directive 96/48/EC

(1996), segundo a qual existem três categorias distintas para linhas de alta-velocidade:

● Categoria I – referente a tráfego em novas linhas de alta-velocidade, com uma

velocidade mínima de circulação de 250 km/h;

● Categoria II – referente a tráfego em linhas já existentes e que sofrem trabalhos de

melhoramento, permitindo, assim, a exploração a velocidades até 200 km/h, por

vezes menos, recorrendo, ou não, à tecnologia pendular (tilting trains, muito

utilizados, para obstar à construção de novas linhas, uma vez que exige curvas de

menor raio que os restantes);

● Categoria III – referente a ligações importantes e em que são impostas velocidades

máximas (zonas urbanas, túneis, pontes, ...).

São, assim, considerados comboios de alta-velocidade os capazes de circular a velocidades

superiores a 200 km/h.

Os comboios clássicos, constituídos por uma locomotiva e pelas respectivas carruagens,

não permitem a sua exploração a estas velocidades, sendo necessário recorrer a comboios

constituídos por máquinas de tracção (por vezes duas, uma em cada extremidade), com

condições aerodinâmicas especiais e com sistemas inteligentes de condução e de

segurança – sistema ETCS (European Train Control System), desenvolvido pelo European

Rail Traffic Management System (ERTMS - Angoiti, 2008).

Apresentam-se dois exemplos de comboios utilizados no transporte de alta-velocidade: um

utilizado na Coreia do Sul (Figura 1 e Figura 2) - Korean High-Speed Train (KHST) – e outro

utilizado no espaço europeu, mais propriamente, na Bélgica e em França – Thalys HST

(Figura 3).

7

Estes veículos são constituídos por um corpo, com uma massa elevada, ligado por

suspensões secundárias (que têm como finalidade reduzir as baixas frequências oriundas

do corpo do comboio) a um bogie, que, por sua vez, se liga às rodas, através de uma

suspensão primária (que pretende reduzir algumas das altas frequências produzidas e evitar

a transmissão destas para a infra-estrutura ferroviária).

As rodas utilizadas neste tipo de transporte apresentam uma forma cónica, em vez de

cilíndrica, e com flanges na parte interior da via. Graças à primeira característica, são

geradas forças centrífugas que, em troços rectos, são exercidas aquando da ocorrência de

pequenos deslocamentos laterais (forças de lacete) e que, em troços curvos, promovem um

8

Figura 3 - Geometria do comboio Thalys HST

Figura 1 - Comboio KHST: a) vista panorâmica, b) bogie articulado entre duas carruagens, c)

bogie articulado (adaptado de Kwark et al., 2004)

Figura 2 - Geometria e características do comboio KHST

melhor ajustamento radial das rodas. Com as flanges tenta-se prevenir o descarrilamento da

composição, devido a deslocamentos laterais excessivos. Estes podem surgir tanto na

circulação em troços curvos como em zonas de mudança de linha, materializadas por

aparelhos de mudança de via (designados por AMV). Caso haja contacto entre a flange e a

parte superior do carril, induzem-se grandes tensões laterais e o consequente desgaste de

ambas as peças. Segundo Nielsen (2008), o comportamento das rodas e do carril está

directamente ligado ao seu desgaste.

Inicialmente, a roda apresenta uma forma perfeitamente cónica e, num troço recto da via,

em teoria, está em contacto apenas com um ponto do carril (Figura 4-a)). A aproximação a

um troço curvo leva a que haja contacto em dois pontos no carril externo (Figura 4-b)),

podendo ocorrer algum impacto, caso o movimento lateral seja considerável. Assim, o

desgaste provocado pela normal circulação concentra-se, essencialmente, num ponto do

carril e, com o passar do tempo, a acção devida à carga do comboio e à força lateral actua

no mesmo ponto, como referem Jin et al. (2008) e Esveld (2001).

a) b)

Figura 4 - Contactos pontual ou duplo entre a roda e o carril: a) contacto pontual; b) duplo

contacto (forças devidas ao deslizamento em troços curvos – adaptado de Esveld, 2001)

Contudo, um comboio, para iniciar ou para continuar a sua marcha, sofre o efeito de outras

acções, além daquelas já referidas, tais como:

● a resistência ao arranque após a paragem e a travagem das várias carruagens,

proporcional à potência da máquina, à velocidade pretendida e ao atrito existente no

contacto entre as rodas de propulsão e os carris;

● a resistência do ar;

9

● a resistência em troços curvos e em troços com inclinação;

● a resistência em interruptores/desvios;

● a resistência em túneis.

2.1.2 Estrutura da via - Fundação

Na Figura 5 é possível observar os elementos que constituem uma estrutura ferroviária

corrente, em via balastrada. Uma via balastrada é constituída por:

● carris;

● travessas, ligadas aos carris através de fixações, tendo na interface um material

elastomérico;

● balastro;

● sub-balastro;

● e leito-de-via.

Figura 5 - Elementos que constituem uma estrutura ferroviária em via balastrada (adaptado

de Ekevid et al., 2002)

A “via balastrada”, também conhecida como via clássica ou convencional (Figura 6-a)), é

constituída por várias camadas, cada uma com funções e características específicas.

Manteve-se, em termos conceptuais, praticamente inalterada desde o início das vias

férreas, sendo que as alterações importantes ocorreram ao nível dos materiais empregues,

10

dos métodos de construção e do controlo da sua qualidade.

Para aumentar a fiabilidade e a segurança da circulação de comboios de alta-velocidade,

utilizam-se vias contínuas, soldando as extremidades dos carris. Apesar dos grandes

avanços no processo de soldadura, muitos dos problemas que estas vias apresentam têm aí

a sua origem. Outros dos problemas que surgem normalmente são a corrosão, a fissuração

e os defeitos de fabrico, entre outros.

As travessas podem ser constituídas por três materiais distintos: madeira, betão ou aço. As

primeiras podem ser feitas de várias espécies de árvores, como, pinheiros, faias, carvalhos

ou espécies tropicais. O tempo de serviço, em boas condições, deste tipo de material

depende, por um lado, da espécie escolhida e, por outro, dos efeitos mecânicos a que são

sujeitas. As travessas de betão começaram a ter maior expressão após a 2ª Grande Guerra

Mundial e apresentam vantagens como: maior tempo de serviço e relativa facilidade de

construção, porém, têm desvantagens como: o aumento de cargas dinâmicas e de tensões

no balastro e de serem menos elásticas que as de madeira. Por fim, as travessas de aço

são aquelas que existem em menor escala, devido a problemas relacionados com a maior

propagação de vibrações e custo elevado de aquisição, mas, por outro lado, apresentam

vantagens como o longo tempo de serviço e a grande precisão na sua construção.

O balastro é constituído por uma camada de material grosseiro solto e drenante, que, devido

à sua resistência mecânica e ao atrito entre grãos, absorve as tensões de compressão e

tangenciais que resultam da circulação dos comboios.

Algumas das exigências dos materiais do balastro são: durabilidade, resistência ao

desgaste (decorrente do carregamento cíclico) e granulometria entre limites bem definidos.

Segundo a norma REFER, IT.GEO.001.00 (2003), referente à definição das características

granulométricas dos balastros tipo I e tipo II (em que o de tipo I é utilizado em vias de alta

velocidade), para um material ser aceite sem restrições deve cumprir os limites indicados na

Tabela 2.

As camadas de sub-balastro e de leito-de-via têm como função promover uma boa transição

do balastro para a fundação, contribuindo para a distribuição das cargas provenientes da

circulação de comboios (Indraratna et al., 2006).

11

Tabela 2 - Fuso de aceitação sem restrições (granulometria) para o balastro tipo I e II,

segundo a norma IT.GEO.001.00 (2003)

Dimensão do peneiro (mm) Peso total que passa em cada peneiro (%)

80 100

63 97 – 100

50 70 – 99

40 30 – 70

31.5 1 – 25

22.4 0 – 3

Uma linha ferroviária, ao longo do seu percurso, apresenta fundações muito heterogéneas,

podendo ser constituídas por diversas camadas de solos com diferentes características.

Apesar da importante contribuição das camadas de sub-balastro e leito-de-via, por vezes a

fundação apresenta más características de suporte que têm de ser corrigidas por métodos

que permitam, por exemplo, aumentar a rigidez da fundação.

Para este tipo de vias, exige-se, para um adequado funcionamento da estrutura ferroviária à

passagem de comboios, que os assentamentos diferenciais sejam inferiores a 7 mm para

distâncias de 25 m (segundo indicação da RAVE).

Com o tráfego ferroviário, os materiais do balastro tendem a deteriorar-se, originando

irregularidades na via e, por vezes, produzindo-se a evolução granulométrica dos materiais,

com o preenchimento dos vazios da camada, induzindo assentamentos e criando problemas

de drenagem. Em alternativa a este tipo de vias, e com custos de manutenção mais

reduzidos, surgiram as vias em laje de betão (Figura 6-b)).

Actualmente, a maioria das linhas ferroviárias de alta-velocidade são constituídas por vias

em laje de betão. O seu dimensionamento pode ser dividido em vários grupos, consoante a

sua rigidez à flexão, o que se traduz em soluções com betão pré-fabricado ou in situ e

apresentando carris ou travessas embebidos no mesmo. Assim, a escolha da solução a

aplicar deve ter em conta aspectos como a fundação e as características dos solos

existentes.

12

a)b)

Figura 6 - Diferentes vias ferroviárias: a) via balastrada; b) via em laje rígida

Nas Tabelas 3 e 4 indicam-se as vantagens e as desvantagens dos dois tipos de vias.

De referir, ainda, que as transições entre vias balastradas e vias em laje de betão armado,

devido aos diferentes valores de rigidez presentes, levantam muitos problemas e requerem

ainda alguma investigação com vista à minimização dos seus efeitos durante a circulação

ferroviária.

Tabela 3 - Vantagens e desvantagens das vias balastradas

Vantagens Desvantagens

Custos de construção mais reduzidos

Fácil substituição dos elementos

constituintes da via

Correcção relativamente fácil da geometria

da via

Boas características de drenagem

Boa atenuação do ruído

Resistência lateral limitada, não permitindo

grandes acelerações laterais em curvas

Danos em rodas e carris provocados pelas

partículas resultantes do desgaste do

balastro

Redução da permeabilidade por

contaminação, desgaste do balastro e

migração de partículas da fundação

Maior peso próprio, o que exige viadutos e

pontes mais robustos

13

Tabela 4 - Vantagens e desvantagens das vias em laje de betão

Vantagens Desvantagens

Baixos custos de manutenção

Baixo peso da estrutura ferroviária

Menores desvios no alinhamento da via e

com menor probabilidade de ocorrência

Custos de construção elevados

Maior reflexão de ruído aéreo proveniente do

dos comboios

No caso de descarrilamento, trabalhos de

reparação muito dispendiosos e demorados

As vibrações originadas pela passagem das composições do comboio podem ser de

natureza determinística, como as induzidas pelas cargas por eixo e pela respectiva cadência

de passagem nas travessas, ou de natureza estocástica, devidas a irregularidades (sempre)

presentes na via e no veículo (por exemplo, quando as rodas apresentam defeitos).

Tendo em conta a importância dos vários componentes existentes no fenómeno de

circulação de comboios e a dificuldade de modelação de alguns deles, optou-se pela

consideração, em termos de acções, das cargas axiais do comboio e das irregularidades

roda-carril, omitindo outras acções como, por exemplo, a presença periódica das travessas.

2.2 Caracterização das acções devidas às cargas axiais do

comboio

As vibrações, devidas à passagem de comboios de alta-velocidade, são, como se referiu,

resultantes de vários mecanismos de excitação.

Factores, como a geometria da composição, a velocidade do comboio e o espaçamento das

travessas, têm de ser tidos em conta para permitir criar um modelo numérico que consiga

reproduzir, ainda que sempre de forma aproximada, os efeitos da passagem do comboio.

Directamente ligados à geometria da via, podem referir-se os seguintes mecanismos de

excitação:

● devido às irregularidades da via e das rodas (designadamente, aquando de

travagens ou de acelerações mais bruscas);

● pelo impacto devido às juntas entre carris (embora inexistente em linhas de alta-

14

velocidade dado que o carril é soldado (do tipo “barra-longa”) e as deformações por

dilatação são absorvidas por dispositivos próprios);

● excitação devido à periodicidade espacial das travessas.

Referindo apenas o parâmetro velocidade, é, ainda, possível considerar dois casos distintos,

consoante esta seja relativamente reduzida ou, pelo contrário, relativamente elevada.

No primeiro caso, trata-se de uma análise quasi-estática (i. e., em que não se fazem sentir

os efeitos de inércia), ou seja, em que as vibrações sentidas são apenas devidas às cargas

em movimento.

Porém, quando a velocidade de circulação aumenta, as cargas por eixo têm uma

intervenção activa na propagação das ondas na estrutura da via e na sua fundação

(Lombaert e Degrande, 2009). Nessa gama de velocidades, demonstra-se que as forças

dinâmicas produzidas pelo contacto comboio-via são tão, ou mais, importantes que as

cargas quasi-estáticas (Sheng et al., 2003).

O valor que permite distinguir estes dois tipos de comportamento é a chamada velocidade

crítica, vcr .

Com base no modelo dinâmico não amortecido da viga de Winkler, segundo Kenney (1954),

esta velocidade é a que provoca deformações infinitas na viga, ou seja, está associada à

ocorrência do fenómeno de ressonância. Deste modo, a velocidade crítica pode ser

calculada através da seguinte expressão (Marcelino, 2005):

vcr=4 4kEI

m2Eq. 2.1

em que:

● k – representa a rigidez equivalente da fundação da viga de Winkler;

● EI – representa a rigidez à flexão da viga;

● m – representa a massa da viga por unidade de comprimento.

De referir que, quando o solo se apresenta estratificado, a expressão anterior não é

aplicável de forma directa. Nesta situação uma solução passa por usar parâmetros

equivalentes à associação dos materiais.

Gutowski e Dym (1976) concluíram que, em determinadas condições, é possível recorrer a

15

simetrias planas para estudar os efeitos das vibrações, em particular, em estado plano de

deformação. Porém, os resultados obtidos são apenas válidos para velocidades do comboio

inferiores à crítica e para distâncias inferiores a Lc / , em que Lc representa o comprimento

total do comboio. Para o comboio Thalys HST, com 196,7 m de comprimento, ter-se-á

Lc /≈62,6m .

Apesar das cargas aplicadas no modelo numérico serem pontuais, a rigidez dos elementos

estruturais, presentes na estrutura ferroviária, faz com que o seu efeito seja sentido antes da

carga passar sobre o local em estudo.

A forma da curva de carga depende da velocidade do comboio, da resposta da estrutura

ferroviária e sua da fundação. Para valores de velocidade, v, inferiores à velocidade crítica,

vcr, a forma da curva é aproximadamente simétrica em relação ao eixo da carga. Ao

aproximar-se do valor da velocidade crítica perde-se a simetria e a deformação máxima

pode ocorrer aquém da posição da carga que lhe deu origem (Marcelino, 2006). Quando a

velocidade ultrapassa a velocidade crítica observa-se o que vulgarmente se chama efeito de

Doppler. As ondas que se propagam à frente da carga móvel, apresentam menores

comprimentos de onda (frequência mais elevada) e menores amplitudes, passando-se o

inverso com as ondas que se propagam atrás da carga.

Com base no modelo não amortecido de viga de Winkler para o movimento de uma carga, a

resposta quase estática, em termos de deslocamento, para uma velocidade inferior à

velocidade crítica, pode ser calculada através de:

F s=F e

2Le

−∣sL∣

cos ∣sL∣sin∣

sL∣ Eq. 2.2

em que:

● F(s) – representa a distribuição da força associada a um eixo, num referencial em

movimento definido pela abcissa s (s=0, sob o eixo);

● Fe – representa a força imposta por um eixo;

● L – representa o comprimento característico.

A mudança do referencial espacial, x, para o referencial que acompanha o movimento da

carga, s, faz-se recorrendo à relação:

16

s=1L

x−v0t Eq. 2.3

em que:

● v0 – representa a velocidade do comboio;

● t – representa o tempo.

O comprimento característico é obtido por aplicação de:

L=4 4EI

kEq. 2.4

De referir que a equação 2.2 não tem em consideração a velocidade crítica, sendo

necessário à priori confirmar se a velocidade é inferior à velocidade crítica.

Considerando a Eq. 2.2 e admitindo-se que, para s=0, a transmissão de cargas para as

travessas é de 60 %, obtém-se um comprimento característico de 0,83(3).

Tendo em conta as Eqs. 2.2 e 2.3, a distribuição de forças em função da variável tempo e da

posição do referencial espacial é dada por:

F t , x =F e

2Le

−∣x−v0 t

L2 ∣

cos ∣x−v0 t

L2 ∣sin ∣x−v0t

L2 ∣ Eq. 2.5

Com base nesta expressão, apresenta-se, na Figura 7, a distribuição de forças para um eixo

unitário que se desloca à velocidade de 314 km/h (87,2 m/s).

Figura 7 - Distribuição de forças para um eixo unitário

17

-0.05 0 0.05

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo (seg)

Fo

rça

(kN

)

Para obter o efeito da passagem do comboio é necessário sobrepor os diversos eixos, de

acordo com a sua distribuição, ou seja, admite-se que a resposta do sistema a cada eixo e

ao conjunto dos eixos é linear elástica, sendo válido o princípio da sobreposição dos efeitos,

de acordo com:

F=∑i=1

i=n

F iEq. 2.6

onde Fi representa a distribuição de cargas produzida pelo eixo i e F a distribuição devida

ao conjunto de todos os eixos do comboio.

Para ter em conta a transmissão de vibrações antes da chegada do comboio a uma

determinada secção, deve começar-se a modelação um pouco antes. Complementarmente,

deve-se terminar um pouco depois do eixo passar na secção de cálculo, de modo a permitir

a estabilização das vibrações.

2.3 Caracterização das acções devidas às irregularidades

As irregularidades na via (juntas e ondulações nos carris) e nas rodas da composição

(zonas planas, irregularidades na superfície ou excentricidade das rodas) apresentam um

papel relevante na geração de vibrações, segundo diversos autores (Gupta et al., 2007, e

Esveld, 2001).

Estas irregularidades podem ser caracterizadas, para uma dada velocidade, por um

determinado comprimento de onda, λ, e podem ser introduzidas no modelo somando a sua

acção com as restantes, desde que se assuma um comportamento elástico linear de todos

os materiais envolvidos.

Para estabelecer o carregamento equivalente às irregularidades, seguindo a proposta de

Gupta et al. (2007), admita-se uma força vertical de contacto entre a roda do comboio e o

carril, ĝ, em função da frequência angular, ω . Nestas condições pode-se escrever:

[K vK tr

] ĝ =ûr /c Eq. 2.7

em que:

● ûr/c(ω) – representa a rugosidade combinada do carril e da roda;

● Kv(ω) – representa a matriz de rigidez do veículo;

18

● Ktr(ω) – representa a matriz de rigidez da via.

A rugosidade da via, ûr/c(y), pode ser modelada recorrendo a um espectro de densidade de

potência, Ĝ'r/c(ny), que, por sua vez, pode ser escrito em função do inverso do comprimento

de onda, ny=f/v=1/λy, através de:

Ĝ ' r /c ny=A ' ny2

2n y

2ny1

2

ny4n y

2ny2

2

Eq. 2.8

em que:

● y – representa a posição de um observador num perfil artificial;

● f – representa a frequência linear;

● λy – representa o comprimento de onda;

● A' – representa uma constante, dependente da classe da via;

● ny, ny1 e ny2 – representam números de onda cíclicos.

Para ser função do número de onda, ky, basta dividir a expressão anterior por 2π, ou seja:

Gr /c k y =G ' r /cny

2Eq. 2.9

A Federal Railroad Administration (FRA) definiu 6 classes de vias, sendo que a classificação

é crescente em termos de qualidade, ou seja, as vias da classe 1 são as se pior qualidade e

as vias da classe 6 as de melhor qualidade. Segundo Gupta et al. (2007), ny1 e ny2 não

variam muito para as diferentes classes, podendo admitir-se, respectivamente, o valor de

0,0233 ciclos/m e de 0,1312 ciclos/m. A constante A', por seu lado, varia com a classe da

via de acordo com a Tabela 5.

Tabela 5 - Parâmetro de rugosidade em função da classe de via, segundo a FRA

Classe da via 6 5 4 3 2 1

A' [10-7 m/ciclo] 1,06 1,69 2,96 5,29 9,52 16,72

Definindo o espectro Gr/c(ky) para um intervalo [ky1, ky2], dependente das frequências

relevantes para o estudo e para a velocidade do comboio, e dividindo o intervalo anterior em

19

N intervalos, com ∆ky de largura e centro no número de onda kyi,é possível gerar um perfil

artificial, ur/c(y). Este perfil é obtido pela soma de funções co-seno com ângulos de fase, θi,

gerados aleatoriamente no intervalo [0, 2π], através de:

ur /c y =∑i=1

n

i cosk yi y−i Eq. 2.10

em que os parâmetros αi são obtidos impondo que a área sob o espectro de potência,

Gr/c(ky), para cada intervalo ∆kyi, com centro em kyi, seja igual à raiz quadrada do perfil

artificial, α:

i= 2Gr /c k yi k y Eq. 2.11

Tendo obtido o perfil artificial em função da posição y, é possível calcular o mesmo perfil

mas em função do tempo, de acordo com a velocidade do comboio. Gerando um vector com

as várias posições e, para cada uma destas, com as irregularidades correspondentes, ur/c(y),

altera-se esse vector para os instantes em que ocorrem as irregularidades, ur/c(t), tal como

ilustrado, a título de exemplo, na Figura 8.

Figura 8 - Valores utilizados para modelar as irregularidades existentes na via

A Figura 9 ilustra os cálculos efectuados para a velocidade de 314 km/h e para as diferentes

classes de via, sendo possível observar as diferenças em função das diversas classes de

20

qualidade de via.

2.4 Considerações finais

No presente capítulo foram descritos os factores intervenientes na geração de vibrações

devidas à passagem de comboios, quer as induzidas pelo veículo, quer as produzidas pela

estrutura ferroviária e respectiva fundação onde este se desloca.

Como referido, existem várias origens para as vibrações originadas pelo tráfico ferroviário

de alta-velocidade. Porém, devido a dificuldade de implementação num modelo

bidimensional, desejado simples, apenas foram consideradas duas das mais relevantes – as

cargas axiais e as irregularidades produzidas no contacto entre a roda e o carril, sendo

desprezadas as acções devidas à presença periódica das travessas.

Nos modelos de acções utilizados para as cargas axiais e para as irregularidades, as

acções são definidas, de um modo mais simples, num referencial espacial. Contudo, dadas

as características bidimensionais do modelo em estado plano de deformação, optou-se pela

sua definição num referencial temporal.

Adicionalmente, o modelo associado às cargas axiais é apenas válido para velocidades

inferiores à crítica, sendo necessário previamente à sua aplicação, determinar esta

velocidade e confirmar a sua validade.

Com vista à aferição do modelo numérico, abordar-se-á, seguidamente, a propagação de

vibrações geradas pela passagem do comboio, designadamente, os tipos de ondas

intervenientes no processo e, em particular, a sua atenuação.

21

a) b)

c) d)

e) f)

Figura 9 - Irregularidades observadas nas diferentes classes de qualidade das vias: a)

classe 1, b) classe 2, c) classe 3, d) classe 4, e) classe 5 e f) classe 6.

22

3 Propagação de vibrações

A passagem de um comboio produz vibrações na estrutura ferroviária, que se propagam

pelo solo, afastando-se da fonte, até locais circundantes à via (Xia et al., 2005). A

propagação das vibrações dar-se-á, não só na estrutura ferroviária e nas camadas de solo

sub e adjacentes, mas também em qualquer tipo de estrutura que se encontre a uma certa

distância do local de circulação dos comboios.

A propagação das ondas depende de inúmeros factores, dos quais se destacam, pela sua

relevância, a geometria, a rigidez e o amortecimento do sistema ferroviário, bem como a

rigidez e o amortecimento dos terrenos circundantes e das estruturas aí localizadas.

Os principais tipos de ondas geradas são:

● ondas volumétricas – ondas de compressão e de corte (Xia et al., 1999);

● ondas de superfície – ondas de Rayleigh e Love, das quais as primeiras são as mais

importantes em aplicações de engenharia sísmica, por apresentarem os menores

comprimentos de onda, para a mesma frequência de vibração (Yang et al., 2003).

Cada um destes tipos de ondas propaga-se de forma distinta, consoante as suas

características e as do solo. Por exemplo, as ondas volumétricas fazem-no em qualquer

direcção, superficialmente e em profundidade, enquanto que as ondas de superfície apenas

se propagam superficialmente. Pelo facto dos materiais geotécnicos apresentarem maior

rigidez à compressão, em qualquer ponto, as ondas de compressão (ondas primárias ou

ondas P) chegam primeiro, seguidas das ondas de corte (secundárias ou ondas S) e, quase

ao mesmo tempo, das ondas Love e, por fim, das ondas Rayleigh.

Na propagação de qualquer tipo de ondas, a transição entre materiais com diferentes

impedâncias gera fenómenos de reflexão e de refracção. Esta situação verifica-se, também,

na propagação de ondas devidas à circulação ferroviária, devido às diferenças entre a

rigidez das várias camadas de solo de fundação ou dos elementos da estrutura ferroviária.

Geralmente, a secção transversal da estrutura ferroviária é mais pequena que o

comprimento das ondas de corte que se espera virem a surgir no solo. Portanto, espera-se

que, para o caso de vibrações geradas pela circulação de comboios, sejam as ondas de

Rayleigh, aquelas que absorvem a maior parte da energia de excitação, dado o seu menor

comprimento de onda (Heckl et al., 1996).

Para compreender melhor o fenómeno de propagação de vibrações, considera-se

23

importante descrever as principais características das várias ondas intervenientes.

3.1 Ondas volumétricas (ondas P e S)

As ondas de compressão, também conhecidas como ondas P, propagam-se produzindo

sucessivamente a compressão e a descompressão do material. O movimento das

partículas processa-se segundo a direcção de propagação da onda elástica (ver Figura 10),

podendo a sua velocidade ser determinada pela expressão:

vP2 =

E 1−

11−2 Eq. 3.1

em que:

● vP – representa a velocidade de propagação da onda P;

● E – representa o módulo de Young do meio de propagação;

● ρ – representa massa volúmica do meio;

● ν – representa o coeficiente de Poisson do meio.

Uma vez que o solo é um meio multifásico e que as ondas P se propagam também através

da fase líquida e dado que a água é (praticamente) incompressível, com rigidez à

compressão muito superior à do solo, ao medir-se a sua velocidade em solos saturados

obtém-se um valor (da ordem dos 1525 m/s) que indica a presença de água e não revela

quaisquer características de deformabilidade do solo, excepto que se encontra saturado.

As ondas de corte, também conhecidas como ondas S, provocam deformações de corte à

medida que se propagam no meio, induzindo, nas partículas, um movimento transversal à

direcção de propagação (ver Figura 10). A velocidade com que estas se propagam pode ser

determinada pela expressão:

vs2=

G

Eq. 3.2

em que:

● vS – representa a velocidade da onda S;

● G – representa o módulo de distorção do meio de propagação.

As ondas S podem ainda ser divididas em duas componentes, consoante o movimento das

24

partículas é segundo o plano vertical (SV) ou segundo o plano horizontal (SH).

As ondas S não se propagam na fase líquida, uma vez que a água não exibe qualquer

rigidez distorcional ou resistência ao corte.

Tendo em conta a relação entre o módulo de distorção e o módulo de Young:

G=E

2 1 Eq. 3.3

obtém-se a relação entre as duas velocidades de propagação:

vP

vS

= 2 1−1−2

Eq. 3.4

Figura 10 - a) Ondas de compressão ou ondas P; b) ondas de corte ou ondas S (adaptado

de Hall, 2000)

3.2 Ondas de superfície (ondas Rayleigh e Love)

A interacção entre ondas volumétricas, as camadas superiores do solo e a superfície

originam o que se designa por ondas de superfície. Estas dividem-se em dois tipos de

ondas: Rayleigh e Love (Figura 11).

25

Figura 11 - a) Ondas Rayleigh; b) ondas Love (adaptado de Hall, 2000)

O primeiro tipo, ou seja, as ondas de Rayleigh (produzidas pela interacção das ondas P e

SV com a superfície), propagam-se na forma de uma frente de onda cilíndrica à medida que

se afastam da fonte (um pouco como as ondas, geradas na superfície da água, quando se

atira uma pedra), e são, dentro das ondas de superfície, as mais relevantes em termos de

energia (Hall, 2000). Contudo, sofrem uma diminuição exponencial de amplitude com a

profundidade, ou seja, apenas têm expressão até a uma profundidade igual a cerca de um

comprimento de onda. Segundo Mineiro (1981), pode obter-se a velocidade das mesmas

através da seguinte expressão:

k 6−8k4

24−162 k2

162−16=0 Eq. 3.5

em que:

● k=vR

vS

representa o quociente entre a velocidade das ondas de Rayleigh e das

ondas S;

● = 1−2

2−2representa o quociente entre a velocidade das ondas S e as ondas P

(Eq. 3.4);

concluindo-se, assim, que a velocidade das ondas de Rayleigh depende apenas da

velocidade das ondas S e do coeficiente de Poisson.

26

Por fim, as ondas Love podem ser geradas próximo da superfície quando a camada superior

apresenta uma reduzida velocidade das ondas de corte (SH). Graças a esta característica,

as partículas oscilam transversalmente à direcção de propagação da onda num plano

paralelo à superfície, não apresentando componente vertical do movimento.

As ondas Love existem em solos estratificados e em solos homogéneos cuja velocidade das

ondas de corte aumenta com a profundidade.

A velocidade de propagação das ondas Love, vL, varia desde a velocidade de propagação

das ondas de corte num espaço semi-infinito, vS2, até à velocidade de propagação das

mesmas ondas na camada superior, vS1, através da seguinte expressão:

tg 2 f 1

v S12 −

1

v L2 =

v S222 1

v L2 −

1

vS22

vS12

1 1

vS12

−1

v L2

Eq. 3.6

em que os índices 1 e 2 se referem, respectivamente, à camada superior e ao espaço semi-

infinito. Adicionalmente, deve verificar-se ainda que G1/ρ1<G2/ρ2.

3.3 Atenuação de vibrações

As vibrações que se propagam nos solos sofrem uma atenuação crescente com a distância,

devido a dois tipos de amortecimento: o material e o geométrico (Kim, 2000). Nos

parágrafos seguintes caracterizam-se os dois tipos de amortecimento.

3.3.1 Amortecimento geométrico

O amortecimento geométrico ocorre à medida que a frente de onda se afasta da fonte de

excitação, diminuindo a energia de vibração devido ao facto de a onda se propagar,

sucessivamente, em volumes maiores.

Este tipo de amortecimento é da maior importância, uma vez que provoca um decaimento,

tanto das ondas volumétricas, como das de superfície, mesmo em materiais perfeitamente

elásticos (Hall, 2000).

Lamb (1904) apresentou uma solução para a determinação, de forma analítica, da

27

atenuação das ondas num meio elástico e chegou às seguintes conclusões:

● numa excitação provocada por um carregamento linear (tipo carga de faca, Figura

12):

○ a amplitude da onda volumétrica em profundidade é inversamente proporcional à

raiz da distância, 1/r ;

○ o decaimento das ondas volumétricas à superfície é inversamente proporcional à

distância, 1/r ;

○ as ondas superficiais, designadamente as ondas Rayleigh, não experimentam

nenhuma diminuição de amplitude, ou seja, num sólido ideal, a onda propagar-

se-á até ao infinito com a amplitude inalterada.

Figura 12 - Amortecimento geométrico devido a uma carga em linha

● para uma excitação pontual (Figura 13):

○ a diminuição da amplitude das ondas volumétricas em profundidade é

inversamente proporcional à distância, 1/r ;

○ a diminuição de amplitude das mesmas ondas à superfície é inversamente

proporcional ao quadrado da distância, 1/r2 ;

○ nas ondas superficiais, a diminuição da sua amplitude ocorre num rácio igual a

1/r .

28

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Onda superficialOnda volumétrica à superfícieOnda volumétrica em profundidade

Distância à fonte (m)

Va

ria

ção

da

am

plit

ud

e d

e o

nd

a

Figura 13 - Amortecimento geométrico devido a uma carga pontual

Todas as relações acima descritas podem ser resumidas pela expressão seguinte, para um

meio perfeitamente elástico, sem amortecimento material:

v=v1r1

rm

Eq. 3.7

Em que:

● v – representa a velocidade de pico da partícula a uma distância r da fonte;

● v1 – representa a velocidade de pico da partícula a uma distância r1 da fonte;

● m – representa uma constante, dependente do tipo de onda e do tipo de fonte, cujo

valor é dado na Tabela 6.

29

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Onda superficialOnda volumétrica à superfícieOnda volumétrica em profundidade

Distância à fonte (m)

Va

ria

ção

da

am

plit

ud

e d

e o

nd

a

Tabela 6 - Valores de “m” para vários tipos de onda, consoante o tipo de carga aplicada na

fonte (Hall, 2000)

Local de propagação Tipo de fonte Tipo de onda m

Superfície Pontual Volumétrica 2

Superfície Pontual Superficial 0,5

Profundidade Pontual Volumétrica 1

Superfície Em linha Volumétrica 1

Superfície Em linha Superficial 0

Profundidade Em linha Volumétrica 0,5

3.3.2 Amortecimento material

O amortecimento material ou histerético tem a sua origem no atrito entre as partículas,

transformando a energia das ondas em calor.

É possível determinar o decaimento da amplitude de vibração em função da distância à

fonte, devido a ambos os amortecimentos (geométrico e material) através da seguinte

equação (Bornitz, 1931):

v=v1 r1

rm

e[−r−r1 ] Eq. 3.8

sendo o amortecimento material representado por e[−r−r 1] , em que α representa o

coeficiente de atenuação devido ao atrito entre partículas do material.

Esta grandeza pode ser obtida, para um dado solo, em função da frequência de vibração e

do amortecimento histerético, de acordo com a seguinte expressão (Barkan, 1962):

i=2 f

v i

=

v i

Eq. 3.9

em que:

● ξ – representa o coeficiente de amortecimento (histerético) do material;

● f – representa a frequência linear;

30

● vi – representa a velocidade de propagação da onda no solo.

Analisando esta equação é possível tirar as seguintes conclusões:

● o amortecimento material é maior para solos moles do que para solos rijos, uma vez

que a sua velocidade de propagação é inferior;

● as vibrações de alta frequência atenuam-se mais rapidamente com a distância do

que as de baixa frequência;

● as ondas de baixa frequência em solos rijos podem propagar-se até grandes

distâncias, uma vez que o valor do coeficiente de atenuação é reduzido.


No presente capítulo caracterizaram-se as principais ondas que intervêm na propagação

das vibrações originadas pela passagem de um comboio, em termos da sua geração, do

seu movimento de propagação e da sua velocidade de propagação. Estas dividem-se em

dois tipos principais: ondas volumétricas, das quais fazem parte as ondas P e S, e ondas de

superfície, das quais fazem parte as ondas de Rayleigh e Love.

As vibrações ao propagarem-se nos solos sofrem atenuação crescente com a distância

devido a dois tipos de amortecimento: o geométrico e o material. O primeiro deve-se ao

facto das ondas se propagarem sucessivamente em volumes maiores, enquanto que o

segundo deve-se à fricção entre as várias partículas.

Seguidamente, descrever-se-á o modelo numérico realizado, para estudar as vibrações

induzidas pela passagem de comboios de alta-velocidade, e proceder-se-á a sua calibração.

31

4 Modelo numérico

4.1 Descrição do modelo

Os cálculos numéricos, realizados para estudar as vibrações induzidas pela passagem de

comboios de alta-velocidade, foram realizados através de um modelo bidimensional de

elementos finitos. Nos pontos seguintes descrevem-se, em pormenor, a geometria, os

materiais, as condições de fronteira e as hipóteses simplificativas do modelo.

4.1.1 Representatividade do modelo

A estrutura ferroviária é constituída, tal como referido, pelos seguintes elementos:

● carris e travessas – constituídos por materiais que suportam tracções e

compressões;

● balastro, sub-balastro e leito-de-via – constituídos por partículas que, pela sua

natureza, apresentam resistência à tracção praticamente nula.

Ao utilizar um modelo bidimensional para modelar uma estrutura ferroviária, admite-se que o

carril e as travessas (via balastrada) são contínuos, com comprimento infinito, perpendicular

ao plano do modelo. Porém, enquanto que, no caso dos carris, esta hipótese corresponde à

realidade (tratam-se de elementos de grande comprimento), para as travessas já não é

verdade, uma vez que correspondem a elementos discretos, espaçados da ordem de

grandeza do próprio elemento.

Numa via em laje não existem travessas e pode considerar-se que, tal como os carris, a laje

é contínua e de grande comprimento.

No caso das camadas da estrutura ferroviária, nomeadamente, o balastro, o sub-balastro e

o leito-de-via, e das camadas da fundação, o problema é ligeiramente diferente. É

necessário admitir que a sua geometria se mantém inalterada na direcção perpendicular ao

modelo e que são meios contínuos.

Em termos práticos, considera-se ser possível admitir que a geometria se mantém

inalterada num comprimento compatível com o fenómeno em estudo, excepto, por exemplo,

numa zona em curva, na transição para uma obra de arte, numa zona de singularidade

33

geotécnica ou de outro tipo de singularidade. Assim, devido às condicionantes geométricas

apresentadas, o modelo plano apenas é geometricamente representativo de troços rectos

de grande comprimento.

4.1.2 Modelo das acções devidas à carga móvel

Para aferir e calibrar o modelo numérico, utilizam-se os dados relativos a medições levadas

a cabo, para homologação dum trecho da via que une as cidades de Paris e de Bruxelas,

pela Sociedade Belga de Caminhos de Ferro. Os equipamentos de medição foram

colocados a diferentes distâncias da via (de 4 m a 72 m) e permitiram a aquisição de

vibrações, tanto na superstrutura como no solo, aquando da passagem de comboios a

velocidades variáveis entre 223 e 314 km/h.

O comboio utilizado nas referidas medições foi do tipo Thalys HST, com a seguinte

constituição (Figura 3):

● 2 locomotivas de 4 eixos;

● 2 carruagens de 3 eixos, adjacentes às locomotivas;

● 6 carruagens de 2 eixos.

Tendo em conta as distâncias entre eixos e as cargas das várias composições foram

definidos os valores e as localizações das cargas para aplicação no modelo numérico

(Tabela 7), cuja representação gráfica se apresenta na Figura 14.

No estudo de homologação da linha foram efectuadas várias passagens, com velocidades

do comboio variáveis entre 223 e 314 km/h (Degrande e Schillemans, 2001). Na presente

dissertação, para a modelação foram seleccionados os resultados referentes à passagem

do comboio com a maior velocidade, ou seja, 314 km/h (87,2 m/s).

4.1.3 Amortecimento de Rayleigh: parâmetros α e β

Os solos apresentam alguma capacidade de dissipação de energia para ciclos de carga-

descarga, mesmo para reduzidas deformações.

34

Tabela 7 - Valor das cargas e posição dos eixos do comboio Thalys HST

x (m) F (kN) x (m) F (kN) x (m) F (kN) x (m) F (kN)

3,5 166,6 42,5 142,1 101,6 166,6 173,4 142,1

6,5 166,6 45,5 166,6 117,3 166,6 176,4 142,1

17,5 166,6 61,2 166,6 120,3 166,6 179,7 166,6

20,5 166,6 64,2 166,6 136 166,6 182,7 166,6

23,8 142,1 79,9 166,6 139 166,6 193,7 166,6

26,8 142,1 82,9 166,6 154,7 166,6 196,7 166,6

98,6 166,6 157,7 142,1

Figura 14 - Representação gráfica do modelo das acções utilizado para as cargas do

comboio.

O coeficiente de amortecimento viscoso, num modelo linear equivalente, é proporcional à

área do ciclo da histerese, podendo ser calculada através de (Hall, 2000):

35

=1

2

Aciclo

G secc2=

W D

4 W S

Eq. 4.1

em que:

● ξ – representa o coeficiente de amortecimento;

● WD – representa a energia dissipada por ciclo;

● WS – representa a máxima energia de deformação;

● Aciclo – representa a área do ciclo da histerese;

● Gsec – representa o módulo de distorção secante;

● γc – representa a amplitude cíclica de deformação por corte.

Em geral, o coeficiente de amortecimento nos solos varia entre os 2 a 6 %, no domínio das

pequenas deformações, dependendo do tipo de material constituinte. Por vezes, assume-se,

neste domínio, que o seu valor é independente da frequência, sendo função do

deslocamento e não da velocidade, designando-se, frequentemente, por amortecimento

histerético (Hall, 2000).

O amortecimento dos solos é introduzido de forma diferenciada pelos diferentes programas

de cálculo comerciais.

Na presente dissertação, para a modelação dinâmica da passagem do comboio, foi

escolhido o software Code-Aster, tratando-se de uma plataforma de cálculo pelo MEF,

desenvolvida pela EDF, e que permite a modelação conjunta de fenómenos térmicos,

hidráulicos e mecânicos.

Este programa de cálculo, Code_Aster, recorre ao amortecimento do tipo Rayleigh. De

acordo com este tipo de formulação, a matriz de amortecimento, [C], é obtida por

combinação linear das matrizes de massa, [M], e de rigidez, [K]:

[C ]=[K ][M ] Eq. 4.2

em que α e β são constantes. Numericamente, é vantajoso o uso destas constantes, mas o

amortecimento é, nestas condições, independente da frequência. Para utilizar esta

formulação procura-se relacionar α e β com o amortecimento histerético, para duas

frequências distintas, de acordo com Clough e Penzien (1975), tendo-se:

36

=12

Eq. 4.3

em que:

● ξ – representa o amortecimento histerético;

● =2 f – representa a frequência angular.

Sabendo que os primeiros modos de vibração são os que mais contribuem para a resposta

do sistema, optou-se por determinar os valores das constantes para os dois primeiros

modos de vibração do modelo numérico utilizado – 3,14 e 4,17 Hz, tal como adoptado por

Marcelino (2006). Os parâmetros de amortecimento de Rayleigh a considerar no modelo

constam da Tabela 8. Na secção referente às frequências próprias, do modelo numérico

utilizado, descreve-se o cálculo dos modos de vibração fundamentais da estrutura.

Tabela 8 - Valores dos parâmetros relativos ao amortecimento dos diferentes materiais

geotécnicos

Material ξ α β

Balastro, sub-balastro e leito de via 0,01 0,000437 0,224710

Estrato 1, 2 e 3 0,03 0,001027 0,870339

4.1.4 Coeficiente de Poisson

Segundo Hall (2000), os valores do coeficiente de Poisson dos solos envolvidos na

modelação podem ser calculados através da seguinte relação, que se deduz a partir da Eq.

3.4, tendo em conta a velocidade das ondas P e S:

=

1−2

21−

2

Eq. 4.4

em que κ representa a relação entre as velocidades das ondas P e S.

Porém, esta expressão deve ser utilizada com especial cuidado, uma vez que um pequeno

erro na determinação da velocidade das ondas S e/ou P produz um erro significativo no

37

coeficiente de Poisson, ν. Acresce que, devido à característica das ondas P de se

propagarem tanto na fase sólida como líquida, o coeficiente de Poisson depende do grau de

saturação do solo e das condições de drenagem. Este coeficiente é, por outro lado, menos

sensível a grandezas como o tipo de solo, a tensão de confinamento e o índice de vazios.

Nesta dissertação adoptam-se os valores indicados por Correia et al. (2006). Porém, em

desenvolvimentos futuros, pretende-se realizar um estudo paramétrico para determinar os

valores de coeficiente de Poisson que melhor se adequam ao caso em estudo.

4.1.5 Características geométricas e dos materiais do modelo

A infra-estrutura ferroviária, onde foram realizadas as medições usadas na calibração do

modelo, apresentava a seguinte constituição:

● carris soldados do tipo UIC60;

● sistemas de ligação carril/travessa do tipo Pandroll E2039;

● travessas do tipo mono-bloco de betão pré-esforçado;

● camada de balastro, com uma espessura de 0,30 m, de granulometria (25/50);

● camada de sub-balastro, com uma espessura de 0,20 m, de granulometria (0/32);

● camada de leito de via, com uma espessura 0,50 m, de granulometria (0/80 a 0/120).

Quanto à fundação da estrutura ferroviária, admitiu-se que esta era constituída por três

estratos, com propriedades geotécnicas distintas (caracterizados através de ensaios

geofísicos realizados in situ), tal como apresentado por Hussein et al. (2007).

Considerou-se, para efeitos de modelação numérica, que o estrato superficial (estrato 1)

tem uma espessura média de 1,5 m, o estrato 2 possui uma espessura da ordem de 2,4 m

e, por fim, o estrato inferior, representando a fundação remanescente, é um meio semi-

infinito.

A Figura 15 ilustra a geometria considerada no modelo, e as tabelas 9 a 11 contêm os

parâmetros necessários para definir as características geométricas e mecânicas dos

diversos elementos a considerar.

O sistema de instrumentação utilizado in situ era constituído por 14 acelerómetros,

distribuídos como se apresenta na Figura 16.

38

Figura 15 - Geometria global da via (adaptado de Correia et al., 2006)

Na Figura 17 apresenta-se a malha de elementos finitos utilizada, com a localização (a

vermelho) dos acelerómetros utilizados. A escolha dos pontos a analisar teve em

consideração o sistema de instrumentação adoptado, de modo a permitir a comparação

directa dos valores obtidos na modelação com os valores medidos. Na comparação, por

simplicidade, excluíram-se os 2 acelerómetros mais afastados, considerando-se que tal não

inviabiliza as conclusões obtidas (Figura 17).

39

Figura 16 - Sistema de instrumentação utilizado na medição das acelerações “in situ”

(adaptado de Correia et al., 2006)

Tabela 9 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para a fundação (Correia et al.,

2006)

Estrato 1

Velocidade da onda de compressão 187 m/s

Massa volúmica 1850 kg/m3

Espessura 1,4 m

Velocidade da onda de corte 100 m/s

Coeficiente de Poisson 0,3

Coeficiente de amortecimento 0,03

40

Figura 17 - Modelo numérico com a localização (a vermelho) dos acelerómetros (A-1, à

esquerda, até ao A-12, à direita).

Estrato 2



Espessura 1,9 m




Estrato 3



Espessura Semi-infinita




Tabela 10 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para o carril e para a travessa

(Correia et al., 2006)

Elemento Parâmetro Valor

Travessa

(monobloco em betão pré-esforçado)


Módulo de Young 30 GPa


Interface carril/travessaEspessura 0,01 m

Rigidez 100 MN/m

Carril (UIC60)

Área 76,84 cm2

Inércia à flexão (Ix) 3055 cm4

Inércia à flexão (Iy) 512,9 cm4

Inércia à torção 100 cm4



Módulo de Young 210 GPa

41

Tabela 11 - Parâmetros geométricos e mecânicos do modelo para a estrutura ferroviária

(Correia et al., 2006)

Balastro

(calibre 25/50)

Espessura 0,3 m



Módulo de Young 200 MPa


Sub-balastro

(calibre 0/32)

Espessura 0,2 m





Leito-de-via (calibre

0/80 a 0/120)

Espessura 0,5 m





4.1.6 Condições de fronteira

A modelação de um fenómeno físico através de modelos numéricos tem necessariamente,

de recorrer a diversas aproximações. Uma dessas aproximações consiste na utilização de

um modelo finito, sabendo-se que, na realidade, se pretende representar um espaço semi-

infinito.

Na definição da geometria do modelo, em particular da localização das suas fronteiras, é

necessário ter em consideração dois pormenores. Para reduzir o tempo e a capacidade

computacional, o número de elementos finitos deve ser o mínimo possível. Por outro lado,

para assegurar a correcta modelação da propagação de frequências mais altas (com menor

comprimento de onda), é necessário diminuir a dimensão dos elementos. Acresce-se que,

os limites da malha constituem zonas problemáticas, pois, se não se tiver cuidados

especiais, são zonas de reflexão de ondas, sem contrapartida física.

42

A estratégia, que normalmente se utiliza, corresponde a colocar as fronteiras

suficientemente longe da fonte de excitação, de modo a que não interfiram com os

resultados obtidos, no decurso do tempo de interesse da modelação. Para além deste

aspecto, há que ter em conta que, para as vibrações de menor frequência, as fronteiras

devem localizar-se o mais longe possível da fonte, uma vez que estas se propagam a

grandes distâncias.

Normalmente, as condições de fronteira dividem-se em 3 diferentes grupos:

● fronteiras elementares;

● fronteiras absorventes;

● e fronteiras consistentes.

4.1.6.1 Fronteiras elementares

As fronteiras elementares referem-se a locais onde sejam prescritos forças, deslocamentos

ou uma combinação destes dois.

Normalmente, a camada inferior de solo (fronteira horizontal do modelo), encontra-se

depositada sobre um maciço com um módulo de elasticidade muito mais elevado, que se

pode admitir como rígido, pelo que, na sua fronteira, se impõem deslocamentos nulos.

Para as fronteiras verticais do modelo, de forma a simular o meio infinito, restringem-se os

deslocamentos horizontais.

Este tipo de fronteiras foi utilizado tanto no limite horizontal como nos limites verticais do

modelo desenvolvido. Na fronteira horizontal, localizada sob a camada inferior (y=-20 m),

foram impostos deslocamentos nulos nas duas direcções, vertical e horizontal. Nas

fronteiras verticais (x=0 e x=104,5 m) apenas se limitaram os deslocamentos horizontais.

4.1.6.2 Fronteiras absorventes

Um fenómeno que importa, de todo, evitar designa-se por efeito de caixa, uma vez que pode

43

introduzir bastantes erros nas análises em modelos de elementos finitos. Este efeito é

eliminado através da colocação de fronteiras com elementos absorventes a uma distância

suficientemente afastada da zona que se pretende analisar, de modo a que as ondas

reflectidas (pelas fronteiras) sofram um amortecimento suficiente para que este fenómeno

não influencie os resultados.

Os elementos constituintes deste tipo de fronteiras caracterizam-se por possuírem

propriedades que permitem simular regiões infinitas. A quantidade de energia por eles

absorvida depende do ângulo de incidência das ondas na fronteira. Porém, como as ondas

incidem numa fronteira segundo variados ângulos, existe sempre alguma energia reflectida.

Daí que a distância a que a fronteira se localiza da zona de excitação desempenhe um

papel muito importante na diminuição do efeito de reflexão das ondas.

No modelo utilizado, tanto as fronteiras verticais (x=0 e x=104,5 m) como a horizontal (sob o

maciço inferior, y=-20 m) foram definidas como fronteiras absorventes.

4.1.6.3 Fronteiras consistentes

Dentro dos vários grupos de condições de fronteira indicados, as fronteiras consistentes são

as mais eficientes, uma vez que absorvem qualquer tipo de onda volumétrica e de

superfície, com qualquer ângulo de incidência ou frequência. Podem ser representadas por

matrizes de rigidez de fronteira dependentes da frequência. A desvantagem da sua

utilização é que apenas podem ser bem definidas no domínio da frequência, limitando,

assim, a resolução do problema dinâmico a este domínio.

Este tipo de fronteiras não foi aplicado no modelo, uma vez que os cálculos foram sempre

efectuados no domínio do tempo.

44

4.1.7 Acções aplicadas

As acções aplicadas no modelo numérico têm duas componentes: a devida às cargas por

eixo do comboio e a devida às irregularidades existentes na via. Uma vez que, para aferir o

modelo, se procurou simular a campanha de medições realizada na Bélgica (Degrande e

Schillemans, 2001), as acções foram aplicadas na Linha 2, ilustrada na Figura 18.

A consideração simultânea das cargas do comboio e das irregularidades implica algum

processamento prévio das acções. A parcela referente às cargas por eixo do comboio

apresenta-se com unidades de força (deriva do peso do comboio), enquanto que a parcela

relativa às irregularidades é expressa, pela formulação anteriormente apresentada, em

unidades de comprimento (aquela em que se medem os defeitos).

A solução passa por aplicar no modelo a acção conjunta de uma força nodal (relativa às

cargas por eixos) e de um deslocamento imposto (relativa às irregularidades). Dado que,

nos programas de cálculo, os deslocamentos impostos sobrepõem-se às forças, anulando

os seus efeitos, aplicaram-se acções equivalentes, ou seja, introduziram-se as cargas por

eixo e as irregularidades como forças.

Para poder obter a rigidez do sistema (relação entre as forças e os deslocamentos)

aplicou-se ao modelo uma carga de 1 kN e obteve-se o deslocamento correspondente. A

relação obtida e adoptada nos cálculos foi de 1,431*10-5 m/kN, ou seja, para converter as

irregularidades em cargas:

F r / c=6,988×104 ur /cEq. 4.5

Figura 18 - Localização dos pontos de medição das vibrações “in situ” e indicação da via de

passagem do comboio (Degrande e Schillemans, 2001)

45

4.1.8 Frequências próprias do modelo

Recorrendo ao programa de cálculo Code_Aster realizou-se uma análise modal do modelo e

determinaram-se os seus modos de vibração (fundação e estrutura ferroviária), cujas

frequências próprias são apresentadas na Tabela 12.

Na Figura 19 são apresentados os modos de vibração obtidos para cada uma das 10

frequências próprias, cujos valores vão desde os 3,141 Hz até aos 6,035 Hz.

Tabela 12 - Frequências próprias de vibração do modelo numérico

Modo de vibração Frequência (Hz)

1 3.141

2 4.152

3 4,910

4 4,960

5 5.140

6 5.169

7 5.231

8 5.245

9 5.508

10 6.035

4.2 Calibração

Tendo em atenção o que foi referido em relação a fronteiras absorventes, uma das

verificações a fazer consiste em perceber se, após uma excitação (aplicação de uma dada

acção bem definida), as deformações tendem a estabilizar ou se a deformação do modelo

perdura, com intensidade semelhante, após terminada a excitação.

46

a)b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)j)

Figura 19 - Modos de vibração do modelo. a) 1º modo, f=3,141 Hz; b) 2º modo, f=4,152 Hz;

c) 3º modo, f=4,914 Hz; d) 4º modo, f=4,960 Hz; e) 5º modo, f=5,140 Hz; f) 6º modo,

f=5,169 Hz; g) 7º modo, f=5,231 Hz; h) 8º modo, f=5,245 Hz; i) 9º modo, f=5,508 Hz; j) e 10º

modo, f=6,035 Hz.

47

Para a aplicação de um impulso de 1 kN no carril, o resultado obtido confirma que, após

alguns instantes, o deslocamento estabiliza com o valor de 1,431*10-5 m (Figura 20) - valor

do deslocamento determinado em condições estáticas. Esta verificação permitiu, por um

lado, confirmar o amortecimento geométrico do modelo.

Em relação à calibração do modelo numérico foram realizadas três verificações adicionais. A

primeira consistiu na aplicação de uma excitação harmónica, tal como Hussein e Hunt

(2009), com características bem definidas, e na análise da resposta espectral do sistema.

Figura 20 - Evolução dos deslocamentos após a aplicação de impulso de 1 kN

Outra verificação consiste na análise do decaimento da amplitude dos deslocamentos do

solo devidos a uma perturbação produzida por uma excitação harmónica. Por último,

simula-se a passagem de um comboio e comparam-se os resultados obtidos

numericamente com os valores medidos in situ.

Nestas verificações, além de se terem em conta os registos temporais das várias grandezas

(deslocamentos, velocidades e acelerações), foram realizadas ainda análises de bandas de

1/3 de oitava, cujo método se passa a explicar.

48

4.2.1 Análise de bandas de oitava

Um ruído raramente é composto por uma frequência apenas, sendo, normalmente

constituído por uma gama de frequências. Na análise de um som ou de uma vibração1, para

a concepção de medidas de mitigação, é necessário conhecer as frequências que são

relevantes, para se decidir o tipo de intervenção.

A análise de frequências de um som pode ser efectuada dividindo as componentes da

frequência em bandas, com larguras bem definidas, a que se chamam bandas de oitava.

A banda de frequência de uma oitava ou de 1/3 de oitava expressa-se na frequência central

da banda, fc, tendo como extremo inferior f1 e superior f2.

Numa banda, o nível de pressão sonora em toda a largura é igual ao valor do nível para a

frequência do seu centro. As seguintes expressões mostram as relações existentes entre as

frequências notáveis:

f c= f 1⋅f 2Eq. 4.6

Para o caso de bandas de oitava:

f 2=2 f 1Eq. 4.7

Para o caso de bandas de 1/3 de oitava:

f 2=32 f 1

Eq. 4.8

À medida que as bandas de oitava aumentam numa unidade, a sua largura aumenta

proporcionalmente (Tabela 13). Nesta tabela apenas se indicam os valores para frequências

de 1 a 100 Hz, espectro de frequências em que a análise foi feita.

4.2.2 Aplicação de excitações harmónicas

A escolha das frequências das excitações harmónicas teve por base a análise das respostas

espectrais das duas componentes das acções aplicada ao modelo (cargas dos eixos e

irregularidades).

1 O som também é uma vibração, mas é usual referir as frequências mais baixas como “vibração”

49

Tabela 13 - Centros e extremos de bandas de oitava e 1/3 de oitava (os valores a negrito

indicam valores para bandas de oitava)

Centros de

banda (Hz)

Extremos de

bandas (Hz)

Centros de

bandas (Hz)

Extremos de

bandas (Hz)

0,9 10.1

1,0 11.3

1,1 12.7

1.3 14.3

1,4 16,0

1,6 18,0

1,8 20,0

2,0 22.6

2,2 25.4

2,5 28.5

2,8 32.0

3.2 35.9

3.6 40.3

4,0 45.3

4.5 50.8

5,0 57

5.7 64.0

6.3 71.8

7.1 80.6

8,0 90.5

9,0 101.6

Isolando a acção das cargas por eixo do comboio, os valores mais significativos das

frequências são inferiores a 50 Hz, sendo que, alguns dos máximos relativos, que se

observam na análise espectral (Lin et al., 2005) do registo real, podem ser justificados pela

distância entre eixos e pela velocidade da composição (ver Figura 21). Assim, algumas

distâncias entre eixos repetem-se, nomeadamente, 3 m, referente aos boggies, e 15,7 m,

para cada carruagem. A frequência correspondente a cada uma destas distâncias, para uma

velocidade de 314 km/h é, respectivamente, igual a:

50

f 1=314/3,6

3=29,1 Hz Eq. 4.9

f 2=314 /3,6

15,7=5,6 Hz Eq. 4.10

as quais correspondem, respectivamente, terceiro e primeiro dos valores máximos relativos

do espectro de velocidade.

Figura 21 - Espectro de Fourier de velocidades da acção devida às cargas por eixo do

comboio

Quanto à análise devida apenas às irregularidades da estrutura ferroviária, o conteúdo de

frequências dispõem-se segundo uma gama de frequências mais alargada e com maior

incidência nos valores mais elevados (Figura 22).

Comparando as Figuras 21 e 22, pode concluir-se que, restringindo a análise ao intervalo de

frequências entre 0 e 50 Hz, as forças por eixo apresentam valores superiores, em termos

de valores absolutos de velocidade, às geradas pelas irregularidades. Contudo, para

frequências superiores a 50 Hz, as irregularidades dominam, com valores próximos de dois

terços do máximo observado (0,018 m/s/Hz, devido às forças por eixo, e 0,012 m/s/Hz,

devido às irregularidades).

Dado que o solo tende a filtrar as frequências mais elevadas, considerou-se relevante ter

apenas em conta frequências com valores inferiores a 100 Hz e utilizar excitações com

51

frequências inferiores a 50 Hz, para tentar verificar se:

● a propagação ao longo do terreno (no modelo) é também harmónica, como a fonte

de excitação;

● os espectros de deslocamento, de velocidade e de aceleração apresentavam

máximos relativos coincidentes com respectivas frequências de excitação.

Figura 22 - Espectro de velocidades devido apenas às irregularidades existentes na

estrutura ferroviária

São utilizadas três excitações distintas, variando, para cada uma, apenas a frequência -

10, 20 e 50 Hz.

Foram analisados 12 pontos a diferentes distâncias da fonte. Porém, apresentam-se apenas

os resultados de pontos notáveis capazes de capturar, em termos gerais, o comportamento

do modelo. Os pontos escolhidos foram quatro: dois localizavam-se na estrutura ferroviária

e os outros dois na fundação (ponto 1 – no carril não carregado pelo comboio; ponto 3 - no

carril carregado pelo comboio; pontos 6 e 12 - na fundação, próximo e afastado da estrutura

ferroviária, respectivamente, Figura 17).

Na análise espectral da resposta em termos de velocidade de todos os pontos em análise

(Figura 23) para uma excitação harmónica, com a força de 10 kN e frequência de 50 Hz,

foram obtidos picos de amplitude para o valor de 50 Hz, tal como era esperado.

52

a) b)

c) d)

Figura 23 - Evolução das velocidades ao longo do tempo, para uma excitação de 50 Hz. a)

Ponto 1; b) Ponto 3; c) Ponto 6; d) Ponto 12.

Para permitir a comparação dos resultados, para distâncias à fonte de excitação variáveis,

os diagramas indicados na Figura 23 e os espectros da Figura 24, encontram-se à mesma

escala.

Observando ambos os resultados chega-se às seguintes conclusões:

● a uma excitação harmónica o modelo responde, em todos os pontos, com uma

resposta harmónica;

● em cada ponto observado, no momento da chegada das ondas provenientes da

fonte de excitação, há uma resposta do modelo, que não é harmónica, à excitação a

53

que é sujeito, sendo que, passados uns instantes, ele estabiliza com uma resposta

cuja frequência é igual à que lhe deu origem2;

● é no ponto 3, onde é aplicada a fonte de excitação, que se observam os maiores

valores de velocidade, seguido do ponto 1 (localizado no outro carril, onde não passa

o comboio) e do ponto 6 (na fundação). Por fim, o ponto 12, aquele que fica mais

longe da fonte de excitação, parece não registar praticamente nenhum movimento (à

escala considerada);

● as distâncias em planta à fonte de excitação do ponto 1 e do ponto 6, diferem pouco

entre elas, respectivamente, 3,00 e 5,25 m. Passando-se o mesmo com a resposta

obtida, em que os valores observados variam na mesma proporção.

Para permitir uma melhor análise dos mesmos, apresentam-se, em seguida, algumas

figuras em que se procurou comparar, por um lado, a amplitude registada para uma

grandeza nos vários pontos e, por outro, a amplitude registada num mesmo ponto, mas para

frequências de excitação diferentes.

2 Trata-se da inércia do modelo

54

a) b)

c) d)

Figura 24 - Análise espectral dos diagramas obtidos para as velocidades ao longo do

tempo, para uma excitação de 50 Hz. a) Ponto 1; b) Ponto 3; c) Ponto 6; d) Ponto 12.

Tal como se pode observar (Figura 25), na fonte de excitação, aqui representada pelos

resultados obtidos no ponto 3, os valores espectrais das três frequências são semelhantes.

Nos pontos seguintes em termos de distância à fonte, ou seja, pontos 3 e 6, observa-se que

o valor da ordenada da frequência de 50 Hz sofre um amortecimento superior, quando

comparado com as outras frequências, situação que é ainda mais evidente tendo em conta

o resultado obtido no ponto 12. Já a frequência de 20 Hz tem um comportamento

semelhante à de 10 Hz, para pontos próximos da fonte, mas sofre um amortecimento

considerável quando essa distância aumenta, caso do ponto 12. No caso da frequência de

10 Hz é curioso reparar que esta sofre pouco o efeito do amortecimento, com o aumentar da

55

distância à fonte de excitação, em especial para o ponto 12. Tal pode dever-se ao facto

desta frequência ter um valor próximo das frequências próprias do modelo. Por outro lado,

como já se referiu acima, as frequências mais baixas propagam-se melhor a grandes

distâncias que as frequências mais altas.

a) b)

c) d)

Figura 25 - Comparação dos valores obtidos para os espectros de velocidade para três

frequências diferentes, 10, 20 e 50 Hz. a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12.

De referir que a duração da excitação da Figura 26 não foi igual para as três frequências,

mas optou-se, isso sim, por considerar o mesmo número de ciclos.

56

a) b)

c)

Figura 26 - Comparação da evolução da velocidade ao longo do tempo nos vários pontos 1,

3, 6 e 12. a) frequência de 10 Hz; b) frequência de 20 Hz e c) frequência de 50 Hz.

Apesar de não ser muito perceptível, os valores das velocidades entre o ponto 1 e o ponto 6

variam ligeiramente. Para as frequências de 10 e 20 Hz, os valores no ponto 6 são

superiores, para a frequência de 50 Hz as velocidades são maiores no ponto 1.

Como se pode observar na Figura 26, para o caso de uma frequência de excitação de

10 Hz, a amplitude dos valores de velocidade é pequena e o amortecimento que ocorre para

os restantes pontos também é pequeno. No caso da frequência de 20 Hz observa-se um

aumento de amplitude da velocidade, mas também uma maior diferenciação entre

amplitudes de pontos diferentes, indicando que ocorre um amortecimento crescente com a

distância à fonte. Situação que se intensifica no terceiro e último caso, para uma frequência

de 50 Hz.

57

Para a análise que se acabou de referir, as excitações harmónicas que foram utilizadas

continham o mesmo número de ciclos e o mesmo número de pontos por ciclo, o que

originou que, para cada frequência, o tempo de excitação fosse diferente.

Na análise seguinte optou-se por uma abordagem diferente, que consistiu em aplicar uma

carga harmónica constituída pela soma das cargas harmónicas com as três frequências

anteriormente analisadas. Assim, para as poder somar, foi necessário ter o mesmo número

pontos e nos mesmos instantes, optando-se, então, por uma acção aplicada durante apenas

1 segundo.

Como é possível observar, através das Figuras 27 e 28, o modelo identificou as três

frequências presentes na acção aplicada, notando-se, também, que existe alguma

interferência do comportamento da estrutura na resposta. É de referir ainda que, apesar de

uma maior amplitude, observada na fonte para a frequência de 50 Hz, a filtragem do solo

leva a que, no ponto 12, praticamente não exista outro máximo espectral que não o

correspondente a 10 Hz (frequência com um valor próximo das frequências próprias do

modelo).

Comparando as Figuras 25 e 28, observam-se ligeiras diferenças. Na primeira, o que foi

feito foi apresentar os resultados de três análises distintas, com excitação de forças com 10,

20 e 50 Hz. Na segunda, trata-se apenas de uma análise com uma excitação devida à soma

de forças com as mesmas de frequências. Assim, na primeira análise, os máximos dos

espectros apresentam-se mais definidos, perfeitamente simétricos em relação à frequência

que lhes deu origem. Porém, na segunda, tal não sucede, uma vez que se observa uma

interacção entre as ondas de frequências diferentes. Tal interacção faz com que deixe de

existir a referida simetria e ainda que, frequências próximas dos máximos, apresentem uma

maior relevância.

58

a) b)

c) d)

Figura 27 - Valores de velocidades obtidas para uma função harmónica constituída pela

soma de funções harmónicas com 10, 20 e 50 Hz: a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d)

ponto 12.

59

a) b)

c) d)

Figura 28 - Valores das coordenadas espectrais obtidas para uma função harmónicas

constituída pela soma de funções harmónicas com 10, 20 e 50 Hz: a) ponto 1; b) ponto 3; c)

ponto 6e d) ponto 12.

4.2.3 Decréscimo da perturbação com a distância à fonte

Neste ponto em particular, pretende-se determinar qual a atenuação que a vibração sofre à

medida que se afasta da fonte de excitação, tal como se observa em Xia et al. (2005).

Tendo em conta o que foi referido no capítulo sobre atenuação de vibrações, tentou-se,

ainda, identificar qual a curva de atenuação que melhor se aproxima da resposta, para,

assim, permitir a correcção dos valores obtidos no modelo numérico.

Uma vez mais, recorreu-se aos resultados da aplicação de uma acção harmónica, com a

60

frequência de 10, 20 e 50 Hz. Para o tratamento dos mesmos calculou-se a média

quadrática (RMS) dos valores obtidos para cada ponto, e o resultado obtido apresenta-se

nas Figuras 29 a 31.

a) b) c)

Figura 29 - Comparação dos valores RMS dos deslocamentos, para uma excitação de 10

Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) 1/r , b) 1/r 2 e c) 1/r .

a) b) c)


excitação de 20 Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) 1/r , b) 1/r 2

e c) 1/r .

a) b) c)


excitação de 50 Hz, com os valores teóricos de amortecimento geométrico: a) 1/r , b) 1/r 2

e c) 1/r .

61

Com base nas figuras anteriores, podem tirar-se algumas conclusões importantes:

● para a excitação de 10 Hz, não se observa nenhuma relação de redução evidente

das vibrações, com o aumentar da distância à fonte; esta situação está de acordo

com o que foi referido para as ondas Rayleigh, para o caso de cargas em linha, em

que se referiu que a sua amplitude é independente da distância à fonte de excitação;

nota-se ainda que as fronteiras não absorvem bem estas vibrações e,

aparentemente, há alguma reflexão para esta frequência;

● para o caso de 20 Hz a situação altera-se e observa-se uma atenuação das

vibrações, porém, para pequenas distâncias à fonte (0 – 15 m), as alternativas

apresentadas não aproximam de forma adequada essa atenuação; contudo, para

valores superiores a 15 m, as opções 1/r e, em especial, 1/r apresentam

valores bastante aproximados da atenuação evidenciada;

● para a excitação de 50 Hz observa-se, novamente, uma atenuação de vibrações

com a distância à fonte de excitação, contribuindo para isso o facto do solo filtrar as

frequências mais elevadas (como se constatou nestes três exemplos); porém, tal

como no caso anterior, para distâncias pequenas à fonte de excitação, as opções

apresentadas não aproximam convenientemente a atenuação; com o aumentar da

distância, neste caso para valores superiores a 5 m (contra os 15 m do caso

anterior), as três possibilidades indicadas ( 1/r , 1/r 2 e 1/r ) aproximam de

modo satisfatório essa atenuação.

Tendo em conta os resultados obtidos, conclui-se que as primeiras ondas a chegar, ao ponto

em consideração, são as ondas Rayleigh, tal como era esperado para o caso de uma carga

em linha, segundo Hall (2000). Porém, na realidade (fenómeno tridimensional), a carga

aplicada não é em linha, mas sim pontual, e existe amortecimento, que no caso do

amortecimento geométrico, é proporcional ao inverso da raíz quadrada da distância à fonte

de excitação. Assim, e tendo em conta que o modelo numérico utilizado é bidimensional e o

efeito tridimensional, considerou-se que os resultados devem ser corrigidos para ter em

conta o amortecimento geométrico. Foram comparadas duas alternativas, para estudar qual

a que melhor se aproximava dos resultados in situ. A escolha passou por:

• multiplicar os resultados pelo inverso da raíz quadrada da distância à fonte de

excitação, r, ou seja, 1/r ;

• multiplicar os resultados pelo inverso da distância à fonte de excitação, r, ou seja,

62

1/r .

4.2.4 Comparação com os resultados obtidos in situ

Finalmente, para o processo de calibração do modelo estar concluído, é necessário

comparar os resultados obtidos no modelo numérico com aqueles que foram obtidos in situ,

num troço da via que liga Paris a Bruxelas, como já foi referido. Os resultados in situ

utilizados foram obtidos através de leituras de acelerómetros, colocados nos pontos já

referidos. Segundo Degrande e Schillemans (2001), os valores das velocidades e dos

deslocamentos foram obtidos por integração das acelerações medidas, considerando ainda

filtros digitais para diminuir o ruído.

Na observação experimental existem dois conceitos que é necessário ter em consideração –

o sistema e o sinal. O conceito de sistema é bastante útil na análise do comportamento de

entidades físicas e concretas, uma vez que actua num sinal de entrada (“input signal”)

filtrando apenas os aspectos principais e produzindo um sinal de saída (“output signal”),

tentando assim obter um modelo de previsão do comportamento da mesma entidade em

diferentes situações (Carvalhal et al., 2008). Essa filtragem pode considerar-se, do ponto de

vista matemático, como um algoritmo, que poderá ter ou não contrapartida física. Por outro

lado, o sinal trata-se da variação de uma grandeza em função de uma ou mais variáveis

independentes (normalmente, o tempo e o espaço) sobre a qual incidem os diversos

procedimentos de tratamento da informação.

Ter conhecimento do sinal de saída permite obter informação sobre o sinal de entrada,

sobre o sistema de filtro aplicado e sobre uma eventual interacção que exista entre estes,

com as vantagens que daí advêm.

Neste trabalho procedeu-se, também, à integração dos valores das acelerações. Porém, o

filtro utilizado foi diferente ao do trabalho de Degrande e Schillemans (2001). Optou-se pela

utilização de um filtro de média móvel, de 100 pontos, que, para análises no tempo, retira o

ruído existente e, ao mesmo tempo, mantém um bom nível de fiabilidade. Comparando com

a integração utilizada em Degrande e Schillemans (2001), as diferenças foram mínimas e,

portanto, considerou-se ser uma boa alternativa.

Nas próximas figuras apresentam-se as comparações realizadas entre os resultados do

modelo numérico e os resultados in situ, para as acelerações, as velocidades e os

63

deslocamentos, de alguns pontos.

a) b)

c) d)


modelo numérico afectados do factor correctivo 1/r e 1/r : a) ponto 1; b) ponto 3; c)

ponto 6 e d) ponto 12.

Convém referir que os resultados apresentados referem-se apenas aos instantes em que

decorre a passagem do comboio pelo local, por um lado, para facilitar a comparação e, por

outro, porque é nesses instantes que ocorrem os máximos dos valores.

Para o caso das acelerações, observa-se na Figura 32, uma boa adequação do modelo,

quer em termos dos máximos obtidos, quer em termos de configuração da resposta, em

relação aos resultados in situ. Esta situação verifica-se, em especial, para os pontos mais

próximos, enquanto que, no ponto 12, o mais afastado da via, os máximos no modelo são

cerca do metade (valores corrigidos com 1/r ) e quatro vezes (valores corrigidos com

64

1/r ) a realidade. Note-se, porém, que se tratam de valores bastante mais reduzidos,

pelo que a comparação com o modelo se torna mais difícil.

A Figura 33 apresenta uma análise de bandas de 1/3 de oitava, solução adoptada por

alguns autores, como Ju e Lin (2004), Degrande et al. (2006) e Thompson e Jones (2000).

Analisando cada ponto em particular, tem-se:

● ponto 1 – na construção dos diagramas foram tidos em conta apenas os pontos

referentes à passagem do comboio, tanto nos resultados do modelo numérico como

dos resultados in situ; tal deveu-se, no modelo numérico, a razões computacionais e,

para facilitar a comparação de resultados, optou-se pela mesma solução no caso in

situ; analisando a Figura 33 a), observa-se uma predominância de pontos de baixa

frequência (valores inferiores a 3 Hz), que não existe no modelo, podendo ser

justificado pela existência de ruído ambiente e pela aproximação/afastamento do

comboio; os máximos dos vários diagramas localizam-se em redor da frequência de

10 Hz: 6 e 11 Hz, para os resultados in situ, 5 e 12 Hz, para os resultados do modelo

(onde são equivalentes aos resultados reais, para a solução corrigida pelo quociente

1/r ); na gama das frequências mais elevadas, os valores do modelo já são

mais relevantes, que para frequências mais baixas, porém ainda inferiores aos reais;

os resultados numéricos corrigidos pelo quociente 1/r apresentam valores

superiores aos resultados corrigidos por 1/r ; em termos de valores médios

absolutos, há uma redução de 10 vezes em relação à fonte, representada pelo ponto

3;

● ponto 3 – neste ponto observa-se, novamente, uma pequena relevância dos pontos

de baixas frequências do modelo (para valores inferiores a 3 Hz); porém, nos valores

com frequências mais elevadas a diferença em relação aos valores reais atenua-se;

em relação aos máximos observados, os resultados do modelo apresentam-nos para

as mesmas frequências, no ponto 3, contudo, surge um novo para a frequência de

10 Hz; uma vez mais, é quando ocorrem os máximos do modelo numérico que os

valores se aproximam dos reais, chegando mesmo a ser equivalentes; em relação

aos resultados in situ, os máximos surgem para valores próximos de 1 e 100 Hz;

neste ponto 3, localizado na zona da fonte de excitação, os valores corrigidos por

1/r são superiores aos corrigidos por 1/r , contrariando o que se observou

para o ponto 1;

65

● ponto 6 – praticamente deixa de existir a diferença que existia para baixas

frequências e os valores provenientes do modelo passam a ser superiores aos in

situ, para frequências superiores a 3 Hz; essa diferença evidencia o contributo do

solo (onde se localiza o ponto 6) na redução da componente de baixas frequências,

do ponto 3 até ao 6; os máximos no modelo voltam a ser os mesmos dos pontos 1 e

3, porém, os máximos dos resultados in situ centram-se em torno das frequências 2

e 40 Hz. Em termos de valores médios absolutos, há uma redução de 20 vezes em

relação à fonte, representada pelo ponto 3; tal como já se havia verificado para o

ponto 1, os resultados corrigidos por 1/r são superiores aos corrigidos por

1/r ;

a) b)

c) d)


modelo numérico afectados do factor correctivo 1/r e 1/r , análise de 1/3 de bandas de

oitava: a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12.

66

● ponto 12 – observa-se que os valores reais apresentam menos oscilações, para a

gama de frequências analisada, e que, em valor absoluto, são menores que os

resultados obtidos no modelo, contudo são muitas vezes coincidentes com os

valores corrigidos por 1/r ; o modelo apresenta, ainda, um máximo para valores

de frequência próximos de 10 Hz, numa situação semelhante ao que se observou

nas Figuras 25 e 28. Comparando com o ponto 3 (fonte de excitação), em termos

médios de valores absolutos, ocorre uma redução de 1 000 vezes.

Através da Figura 34, pode concluir-se que, em termos de acelerações, os valores in situ

situam-se entre as correcções realizadas aos valores obtidos no modelo.


modelo corrigidos por 1/r e 1/r versus o respectivo valor proposto.

Procede-se agora à mesma comparação, mas para as velocidades (Figura 35).

67

a)b)

c) d)


modelo numérico afectados do factor correctivo 1/r e 1/r . a) ponto 1; b) ponto 3; c)


No caso das velocidades, observa-se que os pontos 1, 3 e 6 apresentam valores

concordantes com o registado in situ, tanto em termos de máximos e mínimos, como de

evolução dos valores ao longo do tempo. A maior concordância ocorre para os valores

corrigidos por 1/r , para os três pontos, enquanto que os valores corrigidos por 1/r

apresentam valores 3 vezes superiores aos in situ, no ponto 6.

Para o ponto 12, o desenvolvimento é semelhante ao ponto 6, uma vez que os valores

corrigidos por 1/r são equivalentes aos reais, enquanto que os extremos apresentados

68

pelo modelo corrigido por 1/r são cerca de 4 vezes superiores à realidade.

Tal como o exemplo das acelerações, também nas velocidades para os pontos mais

próximos da via, ponto 1 e 3, surgem diferenças substanciais entre resultados do modelo

versus in situ, para os valores de frequências inferiores a 4 Hz (Figura 36). Quando essa

frequência é ultrapassada, os valores aproximam-se, sendo nalguns casos coincidentes,

para ambas as correcções.

a) b)

c) d)



oitava. a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12.

Considerando os restantes casos, nomeadamente, dos pontos 6 e 12, observa-se um

aumento dos valores do modelo numérico, chegando a ultrapassar os valores in situ,

69

principalmente para as correcções com 1/r , como seria de esperar pelo que foi referido

em relação à Figura 35. Nos pontos 1, 3 e 6, registam-se máximos para frequências de 4,

10 e 20 Hz, como no caso das acelerações, situação que não é tão evidente nos resultados

in situ. No ponto 12, os máximos concentram-se nas mesmas frequências, porém o maior

valor localiza-se nos 10 Hz e o menor nos 5 Hz, trocando de posições, em relação aos

restantes pontos. Tal situação pode ser devida ao maior amortecimento do solo, para

menores frequências (devendo ter-se em conta que os valores do ponto 12 diminuem cerca

de 10 vezes em relação aos do ponto 6 e 100 vezes em relação aos do ponto 3).

Novamente, observa-se na Figura 37 que, aplicando o factor correctivo, se obtêm bons

resultados, comparando com os valores obtidos in situ. Observa-se ainda que, a correcção

com 1/r apresenta valores praticamente coincidentes com os resultados in situ, situação

que se previa aquando da análise da Figura 35.


modelo corrigidos por 1/r e 1/r versus os respectivos valores teóricos.

70

Os deslocamentos apresentam os resultados mais díspares, em relação aos valores in situ,

tanto em relação aos extremos, como ao andamento dos valores ao longo do tempo (Figura

38). Porém, uma vez mais, os resultados corrigidos com o factor 1/r apresentam valores

muitas vezes coincidentes com os resultados in situ.

a) b)

c) d)


modelo numérico afectados do factor correctivo 1/r e 1/r . a) ponto 1; b) ponto 3; c)


Os resultados obtidos (Figura 39), no caso da análise de bandas de 1/3 de oitava,

apresentam talvez os resultados mais díspares, comparando com os exemplos das

acelerações e velocidades. Uma vez mais, até frequências de 4 Hz, os valores reais são

bastante superiores aos do modelo (corrigidos), para os pontos 1 e 3. A partir desta

frequência a diferença tende a atenuar-se.

71

a) b)

c) d)



oitava: a) ponto 1; b) ponto 3; c) ponto 6 e d) ponto 12.

Para os pontos 6 e 12, os valores do modelo, principalmente os corrigidos por 1/r ,

sobrepõem-se aos in situ, para frequências superiores a 3 Hz. Tal como nos casos das

acelerações e velocidades, os máximos apresentados pelo modelo numérico centram-se

nas frequências de 5 e 10 Hz, para os pontos analisados.

Por fim, analisando os valores RMS em função da distância à fonte de excitação (Figura 40),

observa-se uma concordância entre os valores in situ e os corrigidos por 1/r , tal como já

tinha acontecido para as velocidades. No caso da correcção com 1/r , esta apresenta

os melhores resultados para distâncias inferiores a 5 e superiores a 25 m.

72


modelo corrigidos por 1/r e 1/r versus os respectivos valores teóricos


No presente capítulo, pretendeu-se descrever e indicar as características do modelo

numérico utilizado para a análise da geração e da propagação de vibrações. Demonstrou-se

ainda a sua validade, campo de aplicação e limitações, através da realização de

calibrações, quer do ponto de vista teórico, quer do ponto de vista experimental, recorrendo

a resultados in situ.

Uma vez que o problema da propagação de vibrações é, essencialmente, tridimensional e,

visto que foi utilizado um modelo bidimensional, procurou-se encontrar uma metodologia

que melhorasse os resultados numéricos. Assim, tendo em conta essa metodologia, os

resultados do modelo numérico foram corrigidos e analisados para três grandezas

diferentes: acelerações, velocidades e deslocamentos, chegando-se à conclusão que a

correcção é eficiente e melhora os resultados obtidos, especialmente para a análise das

velocidades. Entre os factores correctivos aplicados, os valores corrigidos por 1/r

apresentam os melhores resultados quando comparados com os resultados in situ, para as

análises efectuadas: análise temporal das variáveis, análise de bandas de 1/3 de oitava e

73

análise dos valores RMS em função da distância à fonte de excitação.

No seu trabalho Hall (2000) construiu diversos modelos numéricos, nomeadamente,

bidimensionais (modelo perpendicular, modelo axissimétrico e modelo longitudinal) e

tridimensionais. Este autor chega às mesmas conclusões em relação ao modelo

bidimensional perpendicular: o carregamento pontual torna-se num carregamento em faca e,

por sua vez, a propagação geométrica da onda torna-se cilíndrica (modelo bidimensional)

em vez de esférica (fenómeno tridimensional). Assim, como o modelo bidimensional não tem

em conta o amortecimento geométrico do fenómeno tridimensional, apesar dos resultados

apresentarem uma boa adequação com a realidade, em termos de tempos de chegada e

forma das ondas, a amplitude das ondas sofre uma maior atenuação com a distância.

De referir ainda que, para as mesmas condições, o modelo bidimensional demorava 23 a

25 h para realizar uma análise de 4 s, com intervalos de 0,001 s, já no caso do modelo

tridimensional, a mesma análise prolongava-se durante 148 dias (Hall, 2000). Estes valores

foram obtidos com os computadores existentes no ano 2000, desde então estes têm vindo a

evoluir e a tornarem-se mais rápidos, fazendo com que, no presente trabalho, os cálculos do

modelo bidimensional, para o mesmo tipo de análise, demorassem cerca de 1 h, contando

com a compilação de resultados.

Tal como se demonstrou neste trabalho, a correcção dos valores obtidos no modelo

bidimensional por 1/r melhora, ainda que indirectamente, o problema do amortecimento

geométrico das ondas. Tem também a vantagem de ser possível aplicá-lo a qualquer

modelo bidimensional, bastando para isso saber a distância dos pontos analisados à fonte.

74

5 Conclusões e prospectivas futuras

Este trabalho, que agora se finaliza, teve como objectivo definir um sistema de geração e

propagação de vibrações de comboios de alta-velocidade. Para o atingir foram adoptados

vários métodos, nomeadamente, que tivessem em consideração as cargas por eixo de um

comboio e as irregularidades da via. Estudaram-se também as características das ondas

presentes na propagação de vibrações e como se manifestam a diversas distâncias da fonte

de excitação.

Durante a construção do modelo numérico foram vários os obstáculos que se

ultrapassaram, com maior ou menor sucesso, mas que permitiram, por um lado, conhecer

melhor as suas limitações e, por outro, encontrar soluções para melhorar a sua prestação.

Aquando dos primeiros resultados, utilizando um modelo bidimensional, observou-se uma

discrepância de valores em relação aos resultados in situ. Para pontos próximos da via

ferroviária, os resultados numéricos ficavam bastante aquém, mas, para pontos afastados

alguns metros, os papéis invertiam-se e os resultados numéricos apresentavam os maiores

valores. Através do estudo da propagação das ondas ao longo da fundação, para os casos

bidimensionais e tridimensionais, observou-se que o amortecimento variava numa

determinada proporção. Portanto, tendo em conta esta conclusão, corrigiram-se os

resultados numéricos obtidos (oriundos do modelo bidimensional) pelo inverso da raiz

quadrada da distância à fonte de excitação e pelo inverso da mesma distância, para se

comparar ambas as soluções e perceber qual era a que melhor aproximava os resultados in

situ.

Na calibração do modelo numérico usaram-se três grandezas: acelerações, velocidades e

deslocamentos. Como os resultados in situ foram obtidos recorrendo a acelerómetros, os

valores originais eram acelerações, tendo de se proceder à sua integração, para obter as

restantes grandezas. Ao realizar esta acção surge ruído nos resultados obtidos, que é

necessário retirar, o que é possível recorrendo a filtros digitais. Do seu estudo resulta que,

para análises no tempo, o método da média móvel é o mais simples e, porventura, mais

eficiente, sendo portanto este o escolhido. No final, comparando os resultados numéricos

com os resultados in situ, concluiu-se que a correcção efectuada nos resultados numéricos

foi apropriada.

O recurso a um modelo bidimensional, na modelação de um fenómeno tridimensional tem

algumas limitações. Porém considera-se que os resultados corrigidos constituem uma boa

75

aproximação. Para os pontos próximos, a aproximação é bastante melhor, piorando com o

afastar da fonte. No entanto, como os valores numéricos são relativamente superiores aos

reais, pode-se dizer que se está perante um método conservativo . Podendo ser aplicado

para o dimensionamento de medidas de mitigação para as vibrações em estruturas

próximas das vias ferroviárias.

No decorrer da realização deste trabalho, muitos foram os temas e ideias que surgiram e

que poderão ser alvo de atenção em trabalhos futuros. Desde logo, destaca-se a modelação

numérica. Como já se referiu, não foram adoptados simultaneamente deslocamentos

impostos e forças, devido à sua incompatibilidade. Assim, recorrendo a um sistema com

elementos de barra ligados por suspensões (primária e secundária), julga-se que poderia

ser possível impor irregularidades numa barra e forças noutra, aproximando assim o que se

passa na realidade. Complementarmente, o fenómeno de propagação das vibrações de

comboios de alta-velocidade é tridimensional. Portanto, uma evolução natural passará por

adoptar um modelo numérico tridimensional.

Apesar de fazer parte da ideia inicial, mas uma vez que tornava este trabalho muito extenso,

não foi abordada a questão da mitigação dos efeitos da vibração, quer nas estruturas

vizinhas à via, quer na própria via em si. Portanto, o estudo das várias medidas existentes,

da sua eficiência e aplicabilidade, quer para novas vias, quer na reabilitação de outras já

existentes, é um assunto de vital importância. Para este estudo, considera-se que a análise

de bandas de 1/3 de oitava representa um papel muito importante, dada a simplicidade de

emprego e a facilidade de comparação da eficiência das medidas com os resultados in situ.

Neste trabalho foram utilizadas medições realizadas na Bélgica. Porém, considera-se

importante o estudo, em trabalhos futuros, da realidade nacional, com ensaios

experimentais e medições realizados pelo LNEC e outras instituições em Portugal.

Por fim, durante o processo de integração das acelerações para obtenção dos valores das

velocidades e deslocamentos contactou-se com uma temática (filtros digitais), de grande

interesse na análise de sinais. Dada a sua importância no tratamento de sinais, considera-

se uma boa área para um estudo futuro, com vista a melhorar os resultados obtidos.

76

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