aplicaÇÃo de autÔmatos celulares para ......mineração, como walker lake dataset (isaaks e...

ANTONIO CARLOS DA COSTA MARTINS

APLICAÇÃO DE AUTÔMATOS CELULARES PARA MODELAGEM DE VARIÁVEIS REGIONALIZADAS NA MINERAÇÃO

São Paulo 2013



Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral

São Paulo 2013



Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral Área de Concentração: Engenharia Mineral Orientador: Prof. Dr. Giorgio de Tomi

São Paulo 2013

FICHA CATALOGRÁFICA

Martins, Antonio Carlos da Costa Aplicação de autômatos celulares para modelagem de variá-

veis regionalizadas na mineração / A.C.C. Martins. -- São Paulo, 2013.

92 p.

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo.

1.Autômatos celulares (Aplicações; Modelagem) 2.Mineração

I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo II.t.

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador. São Paulo,........ de ...................de 2013 Assinatura do autor Assinatura do orientador

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus.

Agradeço ao Prof. Dr.Giorgio de Tomi por ter proporcionado a oportunidade dessa

conquista e me manter sempre motivado.

Agradeço ao meu irmão Francisco Roberto (em memória), que sempre me

incentivou nos meus estudos e projetos.

Agradeço aos professores Ricardo Martins e Ricardo Cabral pela contribuição na

revisão do texto da dissertação.

Agradeço ao Fabio Colombo e ao Prof. Dr. Marcelo Careño da engenharia elétrica

por contribuírem na confecção do software.

Agradeço a Cristina, coordenadora da biblioteca que me orientou nas referências

bibliográficas.

Agradeço a minha sobrinha Karina Martins (matemática) que me orientou nas

dúvidas relacionadas a métodos de interpolação

Agradeço ao Alexandre Passos (Geólogo) que muito me ajudou nas análises dos

resultados

Em fim, agradeço a todos os meus amigos do Lapol que de uma forma ou de outra

contribuíram para o meu trabalho.

RESUMO O trabalho proposto considerou o desenvolvimento de uma abordagem por autômatos celulares para modelagem de recursos minerais. De uma maneira geral, os autômatos celulares permitem a modelagem de sistemas e fenômenos levando em conta parâmetros de forma, dimensão, geometria, regras de evolução, regras de vizinhança e estado inicial. Para a aplicação dos autômatos celulares, foi desenvolvida uma ferramenta de software com apoio do Núcleo de Desenvolvimento de Software, do Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. A ferramenta de modelagem desenvolvida foi aplicada para modelar um banco de dados conhecido na mineração, como Walker Lake Dataset (Isaaks e Srivastava, 1989). The results showed that the approach has potential for CAs to the area of modeling of mineral resources and indicated the importance of defining an interpolation method most appropriate for evolutionary change of ACs for the dataset studied Palavras-chave: Autômatos Celulares, Estimativa de Teores de Minério, Modelagem de Recursos Minerais.

ABSTRACT

This research project proposes a new approach for modeling geological resources using cellular automata. In general, cellular automata allow modeling systems taking into account parameters of shape, dimensions, evolution rules, neighboring rules and initial state of the cells. For the application of cellular automata in this project, a new tool has been developed in conjunction with the Software Development Group of the Department of Electronics of University of São Paulo. The modeling tool has been applied to model a popular dataset in mining which is the Waker Lake dataset (Isaaks e Srivastava,1989). The results showed that the approach has potential for ACs to the area of modeling of mineral resources and indicated the importance of defining an interpolation method most appropriate for evolutionary change of ACs for the dataset studied. Keywords: Cellular automat. Ore Grade Estimation. Modeling of Mineral Resources.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama de captura de dados geológico por krigagem e ACs........ 16

Figura 2 - Variograma típico e suas propriedades............................................ 22

Figura 3 - Modelos de variogramas teóricos mais utilizados ............................ 24

Figura 4 -

Representação de variograma com os passos e tolerância

angular...............................................................................................

25

Figura 5 - Modelo de blocos tri-dimensional de uma jazida hipotética ............ 25

Figura 6 - Exemplo de distribuição de amostras para estimativas de teores de

krigagem ..........................................................................................

26

Figura 7 - Fluxograma de atividades para estimativa de recursos e reservas

minerais ...........................................................................................

27

Figura 8 - Gráfico no plano cartesiano do método de interpolação ................. 28

Figura 9 -

Figura 10 -

Representação no plano cartesiano do ponto P a ser interpolado....

Representação das moléculas de gás e estrutura tridimensional de

caixas pretas ....................................................................................

29

36

Figura 11 - Representação esquemática do comportamento dos gases em

uma dimensão .................................................................................

37

Figura 12 - Configurações de forma .................................................................. 41

Figura 13 - Dimensão dos ACs ........................................................................... 41

Figura 14 - Representação de transição de estado no AC com seis estados.... 42

Figura 15 - Tipos de vizinhança dos ACs .......................................................... 43

Figura 16 -

Figura 17 -

Evolução com reprodução de estado................................................

Fluxograma da metodologia para avaliação do uso de ACs para

44

44

Figura 18 -

Distribuição espacial das 470 e 150 amostras .................................

47

Figura 19 - Mapa de variograma para 470 amostras, parâmetros do RMP.par

e anisotropias...................................................................................

50

Figura 20 - Parâmetros adotados no VRMP.par para a construção do mapa de

variograma ......................................................................................

50

Figura 21 - Mapa de variograma para 150 amostras, parâmetros do VRMP.par

..........................................................................................................

51

Figura 22 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma

nas três direções...............................................................................

51

Figura 23 - Modelo de variograma experimental de 470 amostras nas direções

0º, 250º e 340º..................................................................................

52

Figura 24 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma

nas três direções .............................................................................

53

Figura 25 - Modelo de variograma experimental na direção 0º, 250º e 340º

..........................................................................................................

53

Figura 26 - Parâmetros adotados no GMV.par para a construção do

variograma nas três direções ..........................................................

54

Figura 27 - Modelo teórico esférico, exponencial, e gaussiano para 470

amostras...........................................................................................

55

Figura 28 - Parâmetros adotados para o variograma esférico 470 amostras

...........................................................................................................

55

Figura 29- Parâmetros adotados para o variograma exponencial 470

amostras...........................................................................................

55

Figura 30 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano 470

amostras..........................................................................................

56

Figura 31 - Modelo teórico esférico, exponencial e gaussiano para 150

amostras...........................................................................................

57

Figura 32 - Parâmetros adotados para o variograma esférico 150

amostras...........................................................................................

57

Figura 33 - Parâmetros adotados para o variograma Exponencial 150

amostras............................................................................................

58

Figura 34 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano para 150

amostras............................................................................................

58

Figura 35 - Valores de teores em ouro em ppm determinados por krigagem

para 470 amostras baseados nos variogramas teóricos esféricos

..........................................................................................................

59

Figura 36 - Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem

470 amostras baseados nos variograma teórico exponencial.........

59

Figura 37 -

Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem

para 470 amostras baseado no variograma teórico

gaussiano..........................................................................................

60


para 150 amostras baseado nos variograma teórico esférico...........

60

Figura 39 - Valores de teores de ouro PPM determinados por krigagem para

150 amostras baseados nos variogramas teórico exponencial.........

61


para 150 amostras baseados nos variogramas teórico gaussiano

.........................................................................................................

61 Figura 41 - Valores determinados por meio do ACIPD interpolação com

vizinhança retangular para 470 amostras..........................................

62

Figura 42 - Valores determinados por meio do ACIPD interpolação com

vizinhança retangular para 150 amostras........................................

62

Figura 43 - Valores determinados por meio do AC interpolação bilinear para

470 amostras...................................................................................

63

Figura 44 - Valores determinados através do AC interpolação bilinear para 150

amostras...........................................................................................

63

Figura 45 - Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre

variável Krigagem ordinária com base no variograma esférico e

AC- IPD para 470 amostras.............................................................

65

Figura 46 -

Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre

variável de krigagem ordinária com base no variograma esférico e

AC-IPD para 150 amostras...............................................................

67

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Parâmetros para análise da correlação ...................................................... 2

67

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 13

MOTIVAÇÃO ............................................................................................................. 13

JUSTIFICATIVA ........................................................................................................ 15

OBJETIVOS .............................................................................................................. 16

1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 17

1.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS .................................. 17

1.1.1 Geoestatística ................................................................................................ 19

1.1.1.1 Conceituação da função variograma ............................................................ 20

1.1.1.2 Características do variograma....................................................................... 21

1.1.1.3 Variograma experimental e teórico ............................................................... 22

1.1.1.4 Anisotropia ................................................................................................... 23

1.1.1.5 Tolerância linear e angular ........................................................................... 23

1.1.1.6 Krigagem ...................................................................................................... 24

1.2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO ..................................................................... 26

1.2.1 Interpolação bilinear ..................................................................................... 28

1.2.2 Interpolação com média ponderada pelo inverso distância..................... 31

1.3 AUTÔMATO CELULAR ..................................................................................... 32

1.3.1 Comportamento do cérebro e comportamento dos gases ........................ 33

1.3.2 Aplicabilidade dos ACs no estudo dos gases – espaço tridimensional .. 35

1.3.3 Aplicabilidade do ACs no estudo dos gases – espaço unidimensional ... 36

1.3.4 Conceito e definição de ACs ........................................................................ 39

1.3.5 Formato, geometria e dimensão dos ACs ................................................... 40

1.3.6 Regras de evolução dos ACs ....................................................................... 41

1.3.7 Configuração de vizinhança dos ACs ......................................................... 42

1.3.8 Estado inicial dos ACs .................................................................................. 43

2 MATERIAIS E MÉTODOS .................................................................................... 45

2.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL.................................................................. 46

2.2 FERRAMENTAS UTILIZADAS ........................................................................... 48

2.2.1 GSLIB ............................................................................................................. 48

2.2.2 Plataforma de modelagem em C++ .............................................................. 48

3 RESULTADOS .................................................................................................... 50

3.1 VARIOGRAFIA PRELIMINAR E KRIGAGEM .................................................. 50

3.1.1 Distribuição espacial dos variogramas ........................................................ 50

3.1.2 Mapa de distribuição das 470 amostras ...................................................... 50

3.1.3 Mapa de distribuição das 150 amostras ...................................................... 51

3.1.4 Variogramas experimentais .......................................................................... 52

3.1.4.1 Variograma experimental para 470 amostras. ............................................. 52

3.1.4.2 Variograma experimental para 150 amostras. ............................................. 53

3.1.5 Variogramas teóricos .................................................................................... 54

3.1.5.1 Variograma esférico, exponencial, gaussiano para 470 e 150 amostras ..... 54

3.1.6 Krigagem ordinária para 470 e 150 amostras .............................................. 59

3.1.7 Estimativa ACs para 470 e 150 amostras ................................................... 62

4. ANÁLISE DE RESULTADOS .............................................................................. 64

4.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS 470 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB...... 66

4.2 ANÁLISE DOS RESULTADOSA 150 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB..... 68

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................................................. 70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 70

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ......................................................................... 73

ANEXOS .................................................................................................................. 74

ANEXO A -Tabela-2 variancia de dispersão para 150 e 470 amostras .................... 75

ANEXO B - Gráficos de dispersão e correlação linear krigagem x AC - IPD ........... 76

ANEXO C - Ggráficos de dispersão com a correlação linear krigagem x AC-IB ...... 77

ANEXO D - Tabela 2 - tendência central e erro quadrático AC-IB e AC-PD........... 78

ANEXO E - Krigagem 470 amostras, baseado no variograma teórico esférico........ 79

ANEXO F - AC- IB para 470 amostras...................................................................... 80

ANEXO G - Krigagem 150 amostras, baseado no variograma teórico esférico........ 81

ANEXO H - AC-IB para 150 amostras....................................................................... 82

ANEXO I - Escoamento de Fluídos.......................................................................... 83

ANEXO J - Desenvolvimento e Lógica do Software Cellular Automata 3D...............86

ANEXO K - Instruções de utilização do sofware Cellular Automata 3D.................... 88

13

INTRODUÇÃO

A economia mundial mantém uma relação direta com as atividades de

mineração, podendo-se afirmar que a intensidade de aproveitamento dos recursos

minerais é fator relevante para avaliar o nível social e econômico da sociedade. O

produto da atividade da mineração atinge os mais diversos segmentos da

sociedade, tais como setores industriais, automobilísticos, eletroeletrônico, entre

outros.

Os sistemas comerciais atuais utilizados para estimativas de recursos

geológicos atendem de forma adequada aos requisitos da mineração, mas o

processo de estimativa de teores pode ser aprimorado por meio de técnicas mais

avançadas, identificadas em outros ramos de engenharia e ciência. Esta pesquisa

propõe o estudo de Autômatos Celulares (“AC” ou “ACs”) como ferramenta para

estimativa de teores de recursos minerais. Os Autômatos Celulares têm

demonstrado um excelente desempenho e aproveitamento em diversas aplicações

científicas e tecnológicas nos últimos anos; exemplo disso é a sua utilização como

ferramenta de simulação para previsão da evolução de sistemas reais, como é o

caso das simulações de incêndios florestais. Os Autômatos Celulares também são

utilizados na compreensão dos mecanismos básicos evolutivos, contextualizados no

desenvolvimento de sistemas vivos e em outros sistemas naturais, como é o caso do

Jogo da Vida (CONWAY, 1970 apud MELLOTTI, 2009) e na implantação dos

autômatos de Wolfram (2002, p.15) que geram os padrões fractais.

14

MOTIVAÇÃO

Atualmente, o procedimento padrão para estimativa de teores de recursos

minerais é realizado com os recursos da geoestatística. Um dos grandes desafios

para o uso apropriado das ferramentas geoestatísticas é o gerenciamento das

informações e sua estruturação num banco de dados para posterior acesso e

análise. Um dos maiores desafios para geoestatística atualmente, são processos

relativos a estruturação de dados para análise e estimativa de teores e de outros

atributos para estimativa que demandam muito trabalho e esforço do usuário.

O grande inconveniente nesse contexto diz respeito à atualização dos

dados, etapa que em muitas situações acaba não sendo realizada, em decorrência

da necessidade de compartilhamento imediato com outros setores da empresa que

utilizam as mesmas informações, bem como os erros cometidos em consequência

do grande esforço dedicado a atualização das informações. É importante destacar,

contudo, que a geoestatística, atualmente, é bastante utilizada na mineração para

estimativas de teores, com resultados muito precisos. Embora essa ferramenta

mostre-se satisfatória, é necessário também avaliar o impacto da complexidade no

contexto de atualização de dados para o devido aproveitamento das estimativas

atualizadas por outros setores da empresa. Os dados amostrais, que normalmente

são disponibilizados em grande número, seguem um processo bastante amplo,

iniciando-se na sondagem e/ou na amostragem das frentes de lavra, passando pelo

galpão e laboratório até a sua disponibilização no banco de dados. No banco de

dados, as informações são utilizadas para as estimativas que incluem os diversos

processos de um estudo geoestatístico, entre os quais a geração de modelos de

blocos, estimativa por krigagem e avaliação final. O setor de planejamento de lavra,

por exemplo, cuja atribuição é analisar as informações e tomar decisões sobre as

frentes de minério a serem lavradas, depende do sucesso desse processo para dar

andamento a seus trabalhos.

O Objetivo neste trabalho consiste em testar o Autômato Celular como

ferramenta de estimativa de teores de recursos minerais para minimizar os desafios

enfrentados pelo processo tradicional baseado em métodos geoestatísticos.

15

JUSTIFICATIVA

Um dos maiores desafios no planejamento de lavra é fazer a estimativa de

teores de minério de forma dinâmica e reproduzir os resultados em tempo hábil para

que os demais setores da empresa possam utilizar essas informações para a

tomada de decisões. A abordagem padrão utilizada atualmente esbarra nesse

problema, ou seja, o processo de atualização de informações muitas vezes é

comprometido, pois a geoestatística exige um processo detalhado e demorado de

manuseio de informações para produzir novas estimativas.

O aspecto dinâmico, nesse ponto, consiste basicamente em absorver novas

informações sobre teores durante o processo de mineração e aproveitar as análises

já realizadas com os dados antigos.

Esta pesquisa tem como objetivo introduzir um método de aproveitamento

das análises já realizadas, superando em eficiência a atual prática, e ao mesmo

tempo garantir maior facilidade para o usuário. Os ACs permitem a atualização das

informações sem um manuseio especial dos dados. O AC é uma ferramenta

computacional moderna já utilizada com sucesso em outras ciências, tais como a

Física, a Química, e, principalmente, na Matemática. O seu aspecto modelador

somado à grande velocidade de processamento dos dados são as principais

características do AC. Essas características, quando direcionadas à avaliação de

recursos geológicos, devem apoiar significadamente a tomada de decisões na

cadeia de produção mineral como um todo. Outra vantagem dos ACs é o seu

“aspecto evolutivo”, cujo comportamento automático e natural dispensa a utilização

de convenções para o seu desempenho, permitindo a simulação ou modelagem bem

próxima da realidade. Por se tratar de um tipo de ferramenta de modelagem de

sistemas naturais, os ACs reúnem ótimas condições de modelagem geológica bem

próximas da realidade representada pela amostragem de jazidas.

16

A figura 1 apresenta o Diagrama de captura de dados geológico que envolve

a o processo de krigagem e o processo por ACs

OBJETIVOS

Estudar a aplicação de ACs para avaliar os benefícios e as limitações da

representação dos atributos geológicos de jazidas minerais;

Aplicar ACs na estimativa de teores em jazidas minerais, utilizando diferentes

métodos de interpolação como regra de mudança de estado;

Avaliar os ACs como mecanismo de atualização de dados geológicos;

Comparar o desempenho dos ACs em 2D com o método de Krigagem Ordinária;

DIAGRAMA DE CAPTURA DE DADOS GEOLÓGICOS / KRIGAGEM

DIAGRAMA DE CAPTURA DE DADOS GEOLÓGICOS / ACs

Figura 1 Diagrama de captura de dados geológico por krigagem e ACs

17

1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

1.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS

O trabalho de avaliação e classificação de reservas minerais tem como

objetivo a estimativa de jazidas em depósitos minerais e para isso utiliza os métodos

científicos já conhecidos: variograma e krigagem.

“O processo de avaliação de um depósito inicia-se com a sua amostragem

e tem como objetivo a determinação da extensão da mineralização e,

consequentemente, a geometria do corpo mineralizado, os seus teores e sua

distribuição espacial” (YAMAMOTO, 2001, p.15). O cálculo de reservas minerais é

baseado nos dados coletados nos pontos de amostra obtidos por meio do processo

de sondagem, ou seja, amostras recolhidas em furos de sonda nos depósitos. O

material coletado sujeita-se à análise que visa o conhecimento da geologia e

geometria do minério em questão. Assim, as informações provenientes dos pontos

de amostras são a base para a determinação dos parâmetros geológicos. Durante

as análises, os parâmetros geológicos e geométricos começam a tomar corpo,

culminando no modelo geológico.

Definido um modelo geológico, obtido por meio de dados coletados nos

furos de sonda, o objetivo seguinte é o cálculo de reservas. Para isso, os dados

assim coletados devem ser de extrema confiabilidade e refletir com fidelidade

teores, densidade e quantidade do minério nos pontos de amostra. O passo

seguinte prevê a subdivisão do depósito em blocos de cubagem no domínio dos

pontos de amostragem, ressaltando-se que essa medida levará ao modelo de

bloco.

A análise geoestatística é de fundamental importância no processo de

cálculo de reservas, pois é com ela que se determina a variabilidade do depósito, por

meio do variograma. Caracterizada como ferramenta básica para o cálculo de

reservas, o variograma utiliza as variáveis regionalizadas, local onde se originam os

dados para os cálculos variográficos. O variograma teórico finaliza o processo de

estimativa geoestatística, fornecendo subsídios suficientes para o desenvolvimento

do processo de krigagem. A krigagem consiste em um método de interpolação e

permite estimar, a partir dos dados obtidos do variograma, os valores de variáveis

18

regionalizadas como teores e densidade nos pontos onde não existem amostras. O

processo é normalmente aplicado ao modelo de blocos geológicos que representa a

jazida mineral. Para serem avaliados, os blocos geológicos devem ter amostras

próximas. Nessa fase estão previstos segundo Popoff, 1966 apud Yamamoto,

(2001), ações de caráter técnico, que envolvem as seguintes atividades:

Avaliações Geológicas

Avaliações do método de pesquisa e amostragem;

Avaliações dos dados da pesquisa e

Delineação do corpo mineral.

Ainda nessa fase são feitas considerações a respeito do corpo de minério

(estruturais, litológicos, minerológicos); técnicas de sondagem adequadas; técnicas

de amostragem, densidade das amostras (para garantir ou não a continuidade da

mineralização); recuperação do testemunho na zona mineralizada, densidade

aparente e quantidade das análises. Na etapa seguinte do processo como um todo,

a geoestatística manipula esses dados assim analisados e produz mais um conjunto

de informações que servirá de base para os cálculos finais do processo. O objetivo

do método consiste em proporcionar um produto final de estimativas que represente

a jazida.

1.1.1 Geoestatística

“Um fenômeno mineralizado pode ser caracterizado por uma distribuição

espacial de um certo número de quantidades mensuráveis chamado variáveis

regionalizadas” (JOURNEL e HUIJBREGTS, 1978, p.10). Segundo Landim (2003) a

geoestatística teve inicio com o matemático Daniel G. Krige, a partir de 1951, que

tinha o objetivo de avaliar e classificar reservas minerais. As observações e posterior

análise a respeito de dados de concentração de ouro levaram-no a concluir que as

variâncias obtidas não teriam sentido estatístico sem considerar a distância entre as

amostras (VIEIRA, 1995, apud GUIMARÃES, 2004). Entretanto, foi com Matheron

(1971) que a Geoestatística teve um grande impulso com o desenvolvimento da

Teoria das Variáveis Regionalizadas. O termo variável regionalizada foi escolhido

por (MATHERON, 1965, apud ANDRIOTTI, 2003) com o intuito de alertar sobre o

aspecto aleatório e estruturado do fenômeno natural que apenas aparentemente são

19

contraditórios. O aspecto aleatório é determinado pelo valor numérico ou medições

feitas que possam variar entre si, e o aspecto estruturado e, portanto, regionalizado,

é determinado pelo caráter de dependência existente entre os pontos onde a

variável é considerada, isto é, não são completamente independentes da sua

localização geográfica.

As variáveis regionalizadas são aleatórias e consideram aspectos espaciais,

ou seja, as posições relativas onde foram observados os diversos valores amostrais

que devem ser consideradas parametricamente nos modelos. Possuem também

características estritamente ligadas à estrutura do fenômeno natural que

representam, tais como a localização, a continuidade e a anisotropia direcional. Para

determinar se a estatística clássica ou a geoestatística deve ser usada para

representar um fenômeno específico, utiliza-se a função variograma que expressa a

dependência espacial entre os pontos amostrais. Havendo dependência espacial, as

técnicas geoestatísticas são utilizadas para estimar os valores da propriedade em

estudo em locais não amostrados, sem tendenciosidade e com variância mínima,

por algum método geoestatístico, entre os quais o mais popular é a krigagem

(VIEIRA, 2000),

Nas últimas décadas, a geoestatística tem se popularizado como o método

padrão para estimativas e cálculos de recursos minerais. O campo de aplicação é

bastante extenso e abrange outras áreas relacionadas a estudos ambientais,

hidrologia, agricultura, meteorologia, e mais recentemente, à indústria de petróleo

(YAMAMOTO e PARISI, 1996).

1.1.1.1 Conceituação da função variograma

O variograma é uma ferramenta de análise geoestatística necessária para a

krigagem. O cálculo do variograma utiliza um conjunto de dados de amostragem

sobre o espaço amostral. Sua equação geral expressa a medida de variância dos

diferentes valores da variável regionalizada, representada por pares de amostras

separados por uma distância “h”.

O variograma, como uma função da distância, representa quantitativamente

as variáveis regionalizadas. Observa-se que o variograma resultante leva em

consideração as distâncias em que pares de pontos mais próximos, por estarem

20

mais correlacionados, resultam em variância menor, aumentando à medida que a

distância entre os pares de pontos aumenta, diminuindo a correlação. O variograma

permite representar matematicamente a correlação entre pares de amostras e

também a natureza regional do fenômeno.

O grau de relação entre pares de amostras do depósito pode ser expresso

estatisticamente pela covariância entre as amostras. No entanto, para representar

essa grandeza no variograma, é necessário agrupar os pares de amostras em

intervalos regulares de múltiplos de inteiros de .

1.1.1.2 Características do variograma

Como indicado acima, a função variograma, também denominada

“variograma”, é uma ferramenta de análise geoestatística que permite avaliar o

comportamento regionalizado das propriedades de uma jazida. O cálculo do

variograma é feito a partir de um conjunto de dados obtidos nos pontos amostrais.

Sua equação geral expressa a medida da variância dos diferentes valores da

variável regionalizada, representada pelos pontos de amostra separados por uma

distância “h”.

A bibliografia especializada Andriotti (2003, p.104) utiliza com muita

frequência os vocábulos variograma e semivariograma, como referência à mesma

quantidade, porém o mais comum é o uso do primeiro vocábulo.

Na apresentação gráfica do variograma observam-se algumas propriedades

que descrevem o comportamento espacial das variáveis regionalizadas.

21

A figura 2 apresenta o variograma típico e suas propriedades.

Figura 2 - Variograma típico e suas propriedades Fonte: Yamamoto, 2001, p.78

Uma descrição dos elementos principais do variograma é resumida a seguir:

Amplitude: Distância a partir da qual as amostras se tornam independentes.

Reflete o grau de homogeneidade entre amostras. A amplitude é a distância que

separa as amostras correlacionadas da área independente.

Patamar: Expressa o valor da variância onde o variograma se estabiliza (área

aleatória)

Efeito Pepita: h=0 O valor da variância deveria ser zero (amostras no mesmo

ponto); atribui-se a esse fato erros de análise de amostragem (variância

aleatória).

Variância espacial: Diferença entre a variância e o efeito pepita.

Em termos computacionais, a representação da função variograma é

apresentada a seguir:

Onde:

é a função variograma;

é o numero de pares de pontos separados por uma distância ;

é o valor da variável regionalizada no ponto ; e

é o valor da variável regionalizada no ponto

22

São duas quantidades diferentes:

7 2 variograma;

8 semivariograma.

Segundo Myers apud Andriotti, (2003), a quantidade 1 é o parâmetro natural

que se deve estimar a partir das diferenças quadráticas médias. No entanto, para

krigagem, necessita-se da quantidade 2, que é a metade da quantidade 1. Ainda de

acordo com Myers apud Andriotti, (2003), o termo variograma é o mais utilizado.

Neste trabalho optou-se por utilizar o termo variograma, devido à sua forma

sintética, e também como forma de adequação à grande maioria da bibliografia

especializada.

O variograma é a ferramenta básica para representar graficamente a função

variograma. Essa função possibilita a representação adequada da variabilidade ou

correlação espacial existente nos dados.

1.1.1.3 Variograma experimental e teórico

A geoestatística tem como objetivo analisar os fenômenos naturais como já

citado anteriormente e sua característica é tratar o fenômeno natural levando em

conta o aspecto espacial. Faz uso das variáveis regionalizadas na qual se baseia e

tenta extrair dos dados assim disponíveis, a variabilidade do fenômeno e correlação

existente entre pares de pontos através do variograma. O variograma na prática é a

ferramenta de analise que determina a medida de dispersão da variável

regionalizada e o grau de continuidade na mineralização. De modo geral a

geoestatística prevê um o variograma experimental obtido a partir das amostras

provenientes do campo e o variograma teórico que representa o variograma

experimental matematicamente e assim permite a correção do erro de estimativa. O

variograma teórico tem que ser na sua essência o mais ajustado possível ao

variograma experimental. De acordo Landim (2003) as equações mais utilizadas

para o ajuste do modelo teórico de variogramas são as seguintes:

Modelo esférico

Modelo exponencial

23

Modelo gaussiano

A figura 3 mostra a representação gráfica dos modelos teóricos de

variograma.

Figura 3 - Modelos de variograma teóricos mais utilizados Fonte: Landim, 2003, p.181

1.1.1.4 Anisotropia

A anisotropia é uma característica das variáveis regionalizadas que aponta

em uma direção privilegiada ou tendência eventualmente presente no depósito

mineral. Dessa maneira, é possível representar diversos variogramas direcionais, ou

seja, associados em uma determinada direção. Quando não há anisotropia, o

fenômeno regionalizado é considerado isotrópico. Quando os dados forem

coletados em uma transeção (linha), o variograma é unidimensional e não são feitas

considerações sobre anisotropia.

1.1.1.5 Tolerância linear e angular

O que caracteriza uma situação de distribuição irregular é a disposição dos

pares de amostras, cuja posição espacial não apresenta um alinhamento regular, e,

portanto, diferente do espaçamento h necessário para o cálculo do variograma.

Nesse caso, para o cálculo do variograma, determina-se uma distância de tolerância

para o espaçamento entre pares de amostras na direção e para o caso de

variogramas direcionais na direção . Assim consideram–se todos os pares de

24

amostras que se encontram no setor e para os pares de amostras . As

direções e os setores considerados devem cobrir a área toda.

A figura 4 ilustra os conceitos de tolerância linear e angular para malhas irregulares.

Figura 4 - Representação de variograma com os passos e tolerância angular

Fonte: Yamamoto, 2001, p.84

1.1.1.6 Krigagem

A krigagem é o processo de estimativa do comportamento de variáveis

regionalizadas, que utiliza dados obtidos do variograma para estimar atributos como

teores, espessura e densidade nos pontos onde não existem amostras. O processo

é normalmente aplicado ao modelo de blocos geológicos que representa a jazida

mineral. Cada bloco geológico tem a forma de paralelepípedo, cujas dimensões

devem ser compatíveis com a distribuição das amostras como indicado na figura 5.

Figura 5 - Modelo de blocos tri-dimensional de uma jazida hipotética Fonte: Yamamoto, 2001, p.123

25

As amostras próximas aos blocos a serem estimados devem ser escolhidas

a partir de um critério de seleção para proporcionar uma quantidade mínima de

informações para a krigagem. A seleção das amostras vizinhas de cada bloco deve

prever uma cobertura de área, com abrangência adequada, evitando situações de

agrupamento de amostras.

Uma das principais vantagens da krigagem sobre todos os demais métodos

de estimativa está no fato do processo de krigagem permitir avaliar o nível de

confiança nos valores já estimados, através da variância de krigagem (BROOKER,

1979 apud YAMAMOTO, 2001). A equação geral da krigagem permite calcular os

ponderadores associados a cada amostra, conforme definido a seguir.

Onde: é o valor desconhecido, é o ponderador, e é ponto da amostra

i, conforme o arranjo geral exemplificado na figura 6.

Figura 6 - Exemplo de distribuição de amostras para estimativas de teores de krigagem

A equação geral da krigagem está representada a seguir, para um sistema

de n amostras:

26

Como se pode perceber o processo de estimativa de recursos e reservas

minerais consiste em uma série de atividades a serem realizadas, cuja etapa

seguinte depende exclusivamente dos resultados adquiridos na etapa anterior.

Abaixo, na figura 7, o fluxograma de atividades a serem realizadas para a

estimativa de recursos e reservas minerais.

Figura 7 - Fluxograma de atividades para estimativa de recursos e reservas minerais Fonte: Agra (2011)

1.2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

A interpolação é um método de cálculo numérico que tem como objetivo a

determinação de valores em pontos desconhecidos e cuja função é desconhecida na

sua forma analítica. Em engenharia e ciências, a interpolação é utilizada para

modelar sistemas em casos onde se conhecem apenas um conjunto de valores

obtidos através de experimentos ou amostragem. A interpolação permite utilizar

funções de aproximação e de simples manuseio. A técnica consiste em substituir

uma função, por exemplo, f(x) por outra g(x) que satisfaça algumas propriedades

relevantes do sistema em estudo. A função resultante garantidamente terá que

passar pelos pontos amostrados. As funções de substituição podem ser de vários

tipos:

27

Polinomiais;

Trigonométricas;

Exponenciais;

Logarítmicas.

Por exemplo, dados os pontos: nós da interpolação e os valores

de f( nesses pontos: f( f( )

A forma geral de uma função de interpolação de f( ) consiste em uma

determinada função tal que:

;

A figura 8 apresenta o gráfico representativo dessa função.

Figura 8 - Gráfico no plano cartesiano do método de interpolação

Fonte: Ruggiero e Lopes (2004)

1.2.1 Interpolação bilinear

Em matemática a interpolação bilinear é uma extensão de interpolação linear

para interpolação bilinear para a função de duas variáveis, em uma grade regular. A

função de interpolação não deve usar o termo x² ou y², mas xy, que é forma bilinear de x

e y.

28

A idéia principal é realizar uma interpolação linear em uma direção e depois

novamente em outra direção. (Chang, 2009). Apesar de cada passo ser linear nos

valores amostrados e na posição, a interpolação como um todo não é linear, mas

sim quadrática no local da amostra. A figura 9 representa o ponto P a ser

interpolado, detalhado no plano carteziano.

Figura 9 – Representação no plano carteziano do ponto P a ser interpolado Fonte: Chang (2009)

Dados quatro pontos e

Primeiro fazemos uma interpolação linear na direção

isso gera:

onde

onde Seguimos com a interpolação na direção

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bilinear_interpolation.png

29

isto nos dá a estimativa desejada de

O que equivale em matriz:

Ao contrário do que o nome sugere, a interpolação bilinear não é linear, é um produto de

duas funções lineares

Alternativamente a interpolação pode ser escrita como:

Onde:

Em ambos os casos, o numero de contantes (quatro) corresponde ao

numero de pontos de dados, onde f é dado. A interpolação é linear ao longo das

linhas paralelas, quer na direção de x ou na direção de y, equivalentemente se x ou

30

y está definido como constante. Ao longo de qualquer outra linha, a interpolação é

quadrática.

O resultado de interpolação bilinear é independente da ordem (ordem aqui significa

que eixo é interpolado em primeiro lugar e em segundo) de interpolação. Se

tivessemos apresentado pela primeira vez a interpolação na direção y e depois na

direção x, a aproximação resultante seria o mesmo.

1.2.2 Interpolação com média ponderada pelo inverso da distância

A interpolação por média ponderada é um método, cujo valor de cota de

cada elemento da grade é definido pela média ponderada dos valores de cota das

amostras vizinhas. A ponderação mais usada na prática é o inverso da distância

euclidiana do ponto da grade à amostra considerada (Landim, 2000 ) (, isto é,

calcula-se o valor de um ponto através da média dos pontos mais próximos. A média

é ponderada pelo inverso da distância entre os pontos, a formulação para esse

método pode ser observada na Equação que se segue:

Em que: : é o valor interpolado para o nó da grade;

: é o valor do ponto amostrado vizinho ao nó;

: distância entre o nó da grade e ;

: expoente de ponderação (peso);

: número de pontos amostrados utilizados para interpolar cada nó.

O inverso da distância é utilizado para atenuar a influência de pontos distantes, e é

fundamentado no pressuposto de existência de correlação espacial positiva. Dentre

as características do método pode-se listar que:

31

a) É o método mais utilizado dentre os métodos de média ponderada;

b) É bastante utilizado para a geração de modelos digitais de terreno;

c) O peso dado na interpolação influencia um ponto amostrado, com relação a outro,

diminuindo-o quando a distância entre eles aumenta;

d) Pontos mais próximos do ponto a ser estimado, recebem ponderação maior que

os pontos locados a uma maior distância;

Análise Estatística e Geoestatística dos Dados

e) A soma de todos os pesos dados aos pontos vizinhos é igual a um, isto é,

atribuído um peso proporcional para a contribuição de cada ponto vizinho quando se

calcula o valor de um ponto;

f) A posição de uma observação é coincidente com um ponto, quando o seu valor

recebe peso um, e os pesos dos pontos vizinhos recebem valor zero, com isso o

resultado será o próprio nó recebendo o valor exato da observação;

g) Pode-se escolher o expoente de ponderação.

Apesar de apresentar vantagens esse método apresenta algumas limitações. A

Tabela 4.1, definida por (Landim, 2000) mostra esse comparativo do método do

inverso da distância com os demais métodos.

Intuitivamente pode-se notar que quanto maior a distância que uma amostra se

encontra do ponto da grade, menor deve ser a sua influência (ponderação) na

apuração final do valor de cota do ponto da grade.

32

1.3 AUTÔMATOS CELULARES

Os autômatos celulares (“ACs”) foram introduzidos nos anos 50 por John

Von Neumann, levando em conta sugestões de Stanislaw Ulam, numa tentativa de

modelar processos naturais de auto-reprodução (TOFFOLI; MARGOULOS, 1987).

Ulam, que estava estudando a formação de cristais por meio de um modelo de uma

malha e células, sugeriu-lhe usar esse tipo de modelo, conforme descrito por Castro

e Castro (2008). Utilizado como ferramenta de modelagem, comprovadamente

aprovada na Física, Química, e principalmente na Matemática, surgiu, sobretudo

devido a sua flexibilidade e capacidade de produzir resultados, previsões e gerar

simulações não obtidas por outros métodos (GREMONINI; VICENTINI, 2008). É um

conjunto de células que interagem entre si dentro de um sistema através de regras

simples, mas que produzem sistemas altamente complexos. Com regras simples os

ACs podem ser incorporados nos tipos mais simples de programas de computador.

O estudo de fenômenos coletivos pode ser simplificado com a utilização dos ACs.

A ideia básica desses modelos está em considerar cada posição (ou região)

do domínio espacial como sendo uma célula, à qual é atribuído um estado. O estado

de cada célula é modificado de acordo com o seu estado e o de suas vizinhas na

etapa de tempo anterior, por meio de uma série de regras simples que tentam imitar

as leis físicas ou biológicas, que regem o sistema. São as interações e estrutura

interna similar, os fatores mais importantes nos ACs, ou seja, um sistema formado

por células idênticas representativas que interagem, não importando o seu conteúdo

interno (microscópico) ou qual a sua dinâmica interna. Dessa forma, cada célula tem

uma estrutura que independe do meio ao qual está inserida e reage sempre da

mesma maneira a estímulos idênticos, produzindo um comportamento automático e

universal, o que o caracteriza como um autômato celular. Partindo de um sistema

complexo, com efeito coletivo, o que é mais relevante na sistematização e

implementação no âmbito dos ACs, são necessariamente os elementos externos

em escala macroscópica,o que significa dizer que o cenário passa de uma descrição

microscópica para uma macroscópica.

Na natureza, existem fenômenos que são modelados por equações, mas na

grande maioria dos casos segundo Melotti (2009, p.1) não é possível a utilização do

método por equações. Os sistemas complexos não possuem ainda uma definição

33

formal, o que pode ser visto como uma consequência da ausência de um tratamento

analítico dentro da teoria geral dos sistemas dinâmicos (NUSSENZVEIGA apud

ALONSO, 2008, p.1).

O estudo dos gases, de terremoto e dinâmica de populações são exemplos

típicos dessa situação. A matemática, frequentemente, nessas situações, faz uso de

equações diferenciais com elevado número de variáveis. No entanto, essa

abordagem matemática, de acordo com Dilão (1993) torna sua resolução

extremamente trabalhosa e impraticável. Ainda segundo Dilão (1993) uma

alternativa seria a limitação do número de variáveis consideradas, mas nesse caso

os resultados alcançados são limitados em relação ao fenômeno estudado. Quando

um sistema contém um número elevado de variáveis, ele é denominado de Sistema

Complexo. Esse tipo de cenário mostra a necessidade de estudo com uma forma

mais simples, e o caráter evolutivo, característica própria dos ACs apresenta uma

forma de linguagem mais adequada e simplificada para resolver esse impasse.

Sobre esse aspecto, a indicação de utilização dos ACs mostra-se totalmente

relevante, porque, além de sistemas virtuais, eles geram padrões gráficos que

tornam as estruturas dos sistemas mais adaptadas à sua descrição. Além de

servirem para simular vários sistemas físicos, biológicos, econômicos, os ACs

trabalham a uma velocidade de processamento superior aos métodos

convencionais. Para poder construir um AC é necessário apenas saber como se dá

a interação entre as unidades básicas.

1.3.1 Comportamento do cérebro e comportamento dos gases

O cérebro e os gases apresentam em seu interior unidades estruturais

básicas. Na sua composição, aparecem as células (neurônios) e seus elementos

microscópicos como a membrana e o núcleo celular. O núcleo celular e a

membrana, por sua vez, são constituídos por átomos e moléculas. Esses elementos

desempenham funções específicas, produzindo como resultado efeitos coletivos

globais no sistema como um todo; por exemplo, o controle do fluxo sanguíneo ou

sensibilidade auditiva. O principal responsável pelo efeito coletivo do cérebro e que

34

resulta em um comportamento global ou macroscópico são as interações entre as

células.

No comportamento dos gases no interior de um recipiente, o efeito coletivo

ou comportamento global macroscópico é representado pela sua temperatura,

pressão e densidade; a interação entre as moléculas é a responsável pelo

comportamento global ou macroscópico destas últimas que, por sua vez, são obtidas

pelas leis microscópicas, isto é, de partículas ainda menores que elas. No âmbito da

física, esse aspecto denota um cenário termodinâmico, cuja temperatura, densidade

e pressão são os representantes reais.

Dessa forma, cada sistema caracterizado por sua estrutura interna similar

reage sempre aos mesmos estímulos. No entanto, segundo Dilão (1993), os

aspectos químicos e físicos de escala microscópica não são suficientes para uma

explicação em termos de descrição de sistemas complexos. Na verdade, o mais

importante são as interações entre os elementos macroscópicos, obtidas das leis

microscópicas que resultam em fenômenos globais. No caso dos neurônios, os

efeitos coletivos globais não são caracterizáveis pela interação das moléculas que

compõem a célula, mas sim as interações das próprias células. Nos gases, as

interações ocorrem entre as moléculas, que fazem o papel das células e que

determinam o resultado coletivo global. Nos neurônios, o efeito global é

representado pelo controle do fluxo sanguíneo ou sensibilidade auditiva, e, nos

gases, pela sua termodinâmica. Dessa forma, em um sistema complexo aparecem,

associados, efeitos coletivos, que são os resultados observáveis sobre a visão do

comportamento global do sistema, quer seja um sistema biológico quer físico.

Ao se comparar os fenômenos coletivos de um gás aos fenômenos coletivos

do cérebro, o comportamento coletivo dos neurônios, fluxo sanguíneo ou

sensibilidade auditiva correspondem à termodinâmica do gás.

O que de fato existe em comum nos dois sistemas é que ambos são regidos

por suas interações macroscópicas que evoluem para efeitos coletivos globais. Em

outras palavras, o comportamento macroscópico coletivo não é caracterizado pelos

mesmos parâmetros individuais à escala microscópica; e embora essa visão pareça

limitada, porque isola a natureza das interações da dinâmica interna dos elementos

dos sistemas, ela tem sido a abordagem da ciência moderna quando sistemas

manifestam comportamentos que se realizam em diferentes escalas (DILÃO, 1993).

Mas existem sistemas, Dilão (1993), cuja capacidade de descrição é muito reduzida

35

no âmbito das variáveis coletivas. São os chamados sistemas caóticos e não

lineares passiveis de simulação somente em laboratório.

Em principio, a simulação em laboratório parece ser a solução final e

definitiva. No entanto, o maior limitador nesses sistemas físicos está no fato de que

nem todos são passiveis de aplicabilidade em laboratório, porque o nível de

complexidade foge totalmente ao controle. Como, por exemplo, as previsões

climáticas no nível da atmosfera terrestre. Assim, os sistemas complexos exigem um

aprimoramento de estudo que apresentem uma forma de linguagem mais adequada

e com um formato mais simplificado.

Nesse cenário, a utilização e aplicabilidade dos ACs como modeladores de

sistemas, com alto nível de complexidade, aparecem como um facilitador e podem

ser uma alternativa de aplicabilidade, devido à ligação direta entre autômatos e

teoria da computação.

1.3.2 Aplicabilidade dos ACs no estudo dos gases- espaço

tridimensional

A utilização dos ACs para o estudo de fenômenos coletivos mostra o quanto

um sistema complexo pode ser simplificado para constituir-se em um modelo

simples para modelagem de fenômenos coletivos. Um exemplo que ilustra bem

esse cenário é representado na figura 8 que simula os gases aprisionados em um

recipiente. Na figura 10, abaixo, exibem-se as moléculas de um gás em um

recipiente com uma estrutura espacial constituída por caixas negras ligadas entre si.

Figura 10 - Representação das moléculas de gás e estrutura tridimensional de caixas preta Fonte: O Autor – adaptado de Dilão

36

Podemos imaginar, então, a construção e esquematização de uma estrutura

espacial, cujas moléculas do gás seriam representadas por caixas pretas, isto é,

elementos internos idênticos, que por meio das conectividades interajam pautados

em um modelo matemático (regra adequada ou algoritmo), não importando o seu

conteúdo interno ou a sua dinâmica interna. Nesse caso, as caixas pretas

correspondem às células, onde, cada uma, independe do meio onde está inserida e

reage sempre de forma idêntica. Um sistema com uma configuração espacial desse

tipo tem uma estrutura celular que produzirá um comportamento automático. Tem-se

então uma estrutura celular de autômato ou um autômato celular para simulação do

comportamento dos gases em recipiente.

1.3.3 Aplicabilidade do ACs no estudo dos gases- espaço

unidimensional

Para simplificar ainda mais o modelo apresentado anteriormente, vamos

torná-lo um sistema unidimensional. O texto a seguir tem a intenção de elucidar e

explicar o mecanismo dos ACs por meio de demonstração simples do

comportamento de um gás aprisionado em um recipiente. O texto é adaptado de

Dilão (1993) e gerou uma publicação na Colóquio Ciências Revista de cultura

científica. Lisboa, número 12 (Dilão, 1993 p.3–20.)

Na figura 11, abaixo, estão representados as interações e evolução dos

gases em recipiente e o seu comportamento global em uma dimensão.

Figura 11 - Representação esquemática do comportamento dos gases em uma dimensão Fonte: (Dilão, 1993 p.6)

37

“A estrutura do AC agora está inserida em um espaço unidimensional, isto é,

uma linha de caixas equidistantes em que cada caixa vê apenas ou interage

diretamente com seus vizinhos mais próximos”.

Na figura, o modelo do AC, é representado pelas caixas pretas e em cada

uma ele deverá encontrar-se num certo estado. Em acordo com o esquema: o

estado vazio corresponde à cor amarela, e os estados ocupados correspondem às

cores vermelho, verde e azul.

Como o sistema está identificado como uma estrutura unidimensional, os

átomos podem se deslocar ao longo de uma linha reta. Quando uma caixa encontra-

se no estado amarelo, nessa posição não existe nenhuma partícula. Se uma caixa

encontra-se no estado vermelho ou verde, então existe aí um átomo que se desloca,

respectivamente, para a direita ou esquerda. O estado azul representa a ocupação

da célula por duas partículas com a mesma velocidade, mas sentido oposto. Esse

sistema, de acordo com Dilão (1993), vai evoluir no tempo conforme as leis dos

choques de partículas e, em cada instante, a posição de uma partícula vai depender

do seu estado de movimento e também do estado de movimento das partículas

vizinhas. Vão existir no total 64 estados locais possíveis. Na Figura 9 a, estão

representados alguns dos 64 estados locais possíveis das partículas, assim como o

resultado da sua evolução temporal. Na Figura 9 b, está representado o estado

coletivo de um conjunto de partículas ao longo da linha.

Como o gás de partículas está contido num recipiente, quando a partícula

mais à esquerda atinge o limite do contentor com uma velocidade dirigida no sentido

direito-esquerda, a colisão muda o sentido da velocidade, ficando a célula mais à

esquerda no estado azul, ou seja, ocupada por duas partículas, pois as partículas

imediatamente a seguir deslocam-se apenas da direita para a esquerda, figura 9 c.

No instante zero, as partículas encontram-se num certo estado caracterizado

pela cor das caixas. Num instante seguinte, digamos, tempo um, todas as partículas

se moveram com a mesma velocidade e interagiram com as partículas vizinhas.

O estado do autômato, no instante um, é determinado pelas regras

exemplificadas na figura 9 a, sendo todos os estados das caixas analisados

simultaneamente. A pergunta que se faz agora é se o sistema evolui para um estado

bem determinado e facilmente caracterizável macroscopicamente. Na figura 9 d,

está representada a evolução temporal do autômato, para condições iniciais

diferentes. Nota-se que o comportamento dos gases, nesse caso, é dependente das

38

condições iniciais escolhidas. Verifica-se também que o comportamento final do gás

não é o de um gás em equilíbrio termodinâmico.

De fato, nesse sistema, a evolução temporal vai ser fortemente dependente

das condições iniciais, no sentido em que, ao longo do tempo, posições de

moléculas localizadas mantêm-se localizadas e posições iniciais aleatórias mantêm-

se com o mesmo tipo de complexidade. Um gás em equilíbrio termodinâmico tem

configurações espaciais aleatórias mesmo que as condições iniciais correspondam a

uma configuração inicial ordenada. Assim, para se obter um modelo de AC com as

características de um gás, é necessário analisar quais os mecanismos físicos

responsáveis pelas interações e implementá-los na lei de evolução.

Esse modelo de AC, para a simulação da evolução temporal de um gás,

exemplifica como construir as regras de evolução temporal ou de interação

implementada na rede de autômatos. Por outro lado, esse tipo de modelo é muito útil

para selecionar os mecanismos mínimos que originam um certo fenômeno. De fato,

foi a análise detalhada da versão contínua desse modelo que levou Lee e Yanga,

1952 apud Dilão, 1993 formular a teoria das transições de fase de condensação

(transições líquido-gás). Por exemplo, esses autores concluíram que, para se

obterem simulações realistas de um gás, são importantes: a possibilidade de existir

um conjunto muito grande de velocidades diferentes, o fato de as interações se

realizarem a três dimensões e de as partículas serem consideradas como pontuais.

“No exemplo que acabamos de apresentar, existe apenas uma velocidade

possível para as partículas, as interações estão constrangidas a uma rede

unidimensional e as leis locais de interação são apenas compatíveis com partículas

de dimensões finitas”. Um exemplo de AC bidimensional ser observado no ANEXO I.

1.3.4 Conceito e definição de ACs

O AC é uma ferramenta de modelagem e simulação composta por células

dispostas em um ser a malha com um número finito de dimensões.

As células que então compõem a malha se encontram em um estado finito

que varia de acordo com uma regra e evolui em tempo discreto. O estado de uma

célula no tempo t depende diretamente do estado no tempo t-1 de um número finito

39

de células na sua vizinhança. Essa vizinhança corresponde a uma determinada

seleção de células próximas (podendo eventualmente incluir a própria célula). Todas

as células evoluem segundo a mesma regra para atualização, baseada, essa regra,

nos valores das suas células vizinhas. Cada vez que as regras são aplicadas à

malha completa, uma nova geração de valores das células é produzida. Os ACs são

sistemas distribuídos espacialmente, consistindo de um grande número de

componentes simples, idênticos, e com conectividade local. Eles são de implantação

extremamente simples e permitem a manipulação direta de seus parâmetros para o

estudo de seu comportamento. Assim, os ACs tornaram-se importantes ferramentas

para o estudo e modelagem de sistemas complexos reais nas mais diversas áreas.

Uma célula do sistema de ACs é caracterizada por seu espaço celular e por

sua regra de transição. O espaço celular é um reticulado de N células idênticas

dispostas em um arranjo d-dimensional, cada uma com um padrão idêntico de

conexões locais para outras células, e com condições de contorno. Além de

possuírem o potencial de modelar o comportamento de sistemas complexos na

natureza, os ACs também são capazes de executar computações complexas com

um alto grau de eficiência e robustez (OLIVEIRA, 1999).

Podemos representar computacionalmente um AC como sendo U = (L, R, f),

ou por quatro partes U = (L, Q, R, f), onde L é o tipo de estrutura conhecida como

“lattice” (tipo da rede de contato entre os componentes do sistema), Q o conjunto de

estados, R a vizinhança de uma determinada célula e f a regra de transição local ou

conhecida como função de transição local. (ADAMATZAKY, 1994 apud MELOTTI,

2009, p.10).

Uma célula arbitrária do “lattice” L será denotada por x, x ∈ L. Algumas

vezes pode-se explicitamente especificar as coordenadas das células (índices

inteiros), por exemplo, xi significa uma célula de um “lattice” de uma dimensão e xi, j

uma célula de um “lattice” de duas dimensões.

Os valores que as células assumem são conhecidos como estados e o

conjunto de estados que uma célula pode assumir é representado por Q. O conjunto

Q pode consistir de objetos arbitrários, mas por simplicidade são usados

principalmente símbolos ou números inteiros que são compostos por k estados

(quantidade de estados que o AC possui). O estado da célula x no instante t é

indicado por e o estado da vizinhança por ou (

,) em que vt é o

comprimento total da vizinhança. Além disso, assume-se que o ∈ Q.

40

A célula x tem o seu estado alterado no próximo instante dependendo do

estado das células vizinhas e em alguns autômatos incluem-se o estado atual da

célula: (

,) (ADAMATZAKY, 1994 apud MELOTTI, 2009,

p.10).

1.3.5 Formato, geometria e dimensão do ACs

Os ACs possuem forma, dimensão e geometria específicas. Para sua

configuração, é necessária uma geometria regular, com células do mesmo tamanho,

contidas em uma rede ou malha regular. O formato das células pode ser triangular,

quadrangular, hexagonal e podem ser multidimensionais. De forma geral:

O AC de uma dimensão possui uma sequência (infinita ou não) de autômatos

justapostos em linha;

O AC de duas dimensões é composto por autômatos postos lado a lado,

formando um plano;

O AC de três dimensões é composto por autômatos distribuídos

tridimensionalmente, ou seja, uma distribuição no espaço;

O AC de n dimensões é composto por autômatos distribuídos n-

dimensionalmente.

A figura 12 ilustra diferentes configurações de forma, como tamanho e

dimensão de ACs.

Figura 12 - Configurações de forma: a) quadrada, b) triangular e c) hexagonal.

Fonte: Leite et al., 2007

41

A figura 13 mostra as diferentes dimensões dos ACs

Figura 13 - Dimensão: a) uma, b) duas e c) três. Fonte: Leite et al., 2007

1.3.6 Regras de evolução dos ACs

Os ACs evoluem de acordo com regras que valem para todas as células. A

partir de uma regra adequada, como um mecanismo de operação simples, é

possível apoiar toda uma hierarquia de estruturas e fenômenos de alto grau de

complexidade.

As regras podem ser determinísticas ou probabilísticas. Normalmente, os

ACs são inicialmente modelados a partir de regras determinísticas com estados

definidos e finitos. A partir do estado de uma célula, pode-se saber o estado da

célula vizinha. Na situação de uma regra não determinística, o sistema se apoia em

uma função de caráter probabilístico para definir o próximo estado da célula vizinha.

Também existem regras temporais que se baseiam no fator tempo.

A figura 14 mostra a transição de estado, em que a AC possui seis estados

(valores: 1, 2, 3, 4, 5 e vazio), Vizinhança de Moore e “lattice” quadrado.

42

Figura 14 - Representação de transição de estado no AC com seis estados Fonte: Mellotti, 2009

Observando a figura 14, nota-se que a célula, no estado 4, necessita que as

oito células vizinhas estejam no estado 3, no próximo instante, para que essa

mesma célula mude para o estado 2. Para que a célula, no estado 1, mude para o

estado 5, conforme mostrado na figura 14, as duas células vizinhas necessitam estar

no estado 3 com o restante da vizinhança vazio.

1.3.7 Configuração de vizinhança dos ACs

Para representar a evolução característica de um determinado sistema, o AC

necessita que seja estabelecida a configuração de vizinhança. Quando o AC é

unidimensional, as células estão dispostas de forma a possuírem duas células

vizinhas, uma de cada lado.

Em duas dimensões, é possível definir várias configurações de vizinhança,

como, por exemplo, a vizinhança de Von Newman e suas alternativas, conforme

ilustrado na figura 15. Já em três dimensões, as células estão dispostas vertical,

horizontal e diagonalmente adjacentes à célula de referência.

43

Figura 15 - (a) Vizinhança de Von Newman; (b) Vizinhança de Moore; (c) Vizinhança de Moore estendida

Fonte: Melotti, 2009

A figura 15 (a), com a Vizinhança de Von Newman, apresenta quatro células

como vizinhança, a figura 15 (b) com Vizinhança de Moore apresenta oito células, e

a figura 15 (c) Vizinhança de Moore Estendida considera um raio de vizinhança igual

a dois, ou seja, duas camadas (linhas e colunas) são consideradas; assim, a

vizinhança da célula que será atualizada será igual a 25 células. Outros tipos de

vizinhanças podem ser considerados para aumentar a faixa de vizinhos ou escolher

vizinhos aleatórios.

Os raios de vizinhança das figuras 15 (a) e 15 (b) possuem nível um, que

significa que ambas possuem apenas uma camada (coluna e linha); no entanto, a

figura 15 (c) possui duas camadas (duas linhas e duas colunas).

1.3.8 Estado inicial dos ACs

A evolução de um autômato celular também depende do seu estado inicial.

Pequenas variações no estado inicial podem causar grandes variações nos estados

subsequentes, ou seja, os ACs são normalmente muito sensíveis às variações no

seu estado inicial.

44

Na figura abaixo 16, um exemplo de evolução com reprodução de estado.

Figura 16 - Evolução com reprodução de estado Fonte: Melotti, 2009

Os quatro ACS em destaque na figura X evidenciam como o estado inicial

podem provocar grandes mudanças. São ACS de uma dimensão com uma regra de

transição definida como

com “lattice” quadrado, dois

vizinhos (uma célula a direira e uma a esquerda), limite periódico e estados das

células com valores Q = {0,1}.

Os quatro ACS possuem estados iniciais diferentes e evoluem para estados

posteriores diferentes; os ACs da figura 13a) e 13b) repetem as condições iniciais

no instante t = 4 e t = 2 respectivamente, O AC da figura 13 c) permanece constante

a partir do instante t = 2 e o AC da figura 13d) repete a condição inicial no instante t

= 3.

45

2 MATERIAIS E MÉTODOS

2.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

A figura 16 apresenta o fluxograma da metodologia desenvolvida para

avaliação.

Figura 16 - Fluxograma da metodologia para avaliação do uso de ACs para estimativas de recursos minerais

46

Como discutido nos capítulos anteriores, os ACs utilizam regras que servem

para comandar e orientar seu aspecto evolutivo para geração de resultados.

A proposta de pesquisa deste trabalho consiste na proposição de um

procedimento experimental para identificação de regras que representem os

fenômenos naturais relacionados à formação de depósitos minerais. Com isso, um

modelo de AC foi desenvolvido e utilizado no processo de estimativa de atributos na

avaliação de recursos minerais. A pesquisa se concentrou no estudo de alguns

métodos de interpolação que pudessem ser utilizados como regra de mudança de

estado do AC; tais métodos deveriam atender a esse aspecto de caráter

fundamental e inerente ao AC e também desencadear um desempenho satisfatório,

levando em conta alguns bancos de dados utilizados como exemplos de aplicação.

Várias etapas foram necessárias para se atingir um resultado final a partir

dos dados amostrais. Após a escolha das amostras e definição das ferramentas,

procurou-se, em primeiro lugar, trabalhar a geração de resultados sob a visão da

geoestatística e krigagem. Sob esse aspecto, foram gerados sequencialmente os

mapas de distribuição dos variogramas para as 470 e 150 amostras, essa ultimas

foram escolhidas aleatoriamente e distribuídas numa malha irregular de dimensão

260 x 300 m². A análise de variogramas serviu para identificação de possíveis

anisotropias ou isotropia para a geração dos variogramas experimentais.

Com a identificação de anisotropias para 470 e para 150 amostras, partiu-se

para a construção dos variogramas experimentais em três direções que possibilitou

a confecção dos variogramas teóricos, esférico, exponencial e gaussiano, que

forneceram as bases para a krigagem.

Concluída a geração de resultados no âmbito da geoestatística, a atenção

voltou-se para a produção de resultados na visão dos ACs, que incluiu resultados a

partir das 470 e 150 amostras. A utilização dos ACs baseou-se nos métodos de

interpolação bilinear AC IB e interpolação com média ponderada do inverso da

distância AC IPD como regra de mudança de estado.

Após a conclusão dos trabalhos no âmbito da geoestatística e krigagem,

bem como os ACs, iniciaram-se as análises de comparações dos resultados obtidos,

método este adotado como princípio de mensuração do desempenho dos ACs. Ao

término das comparações, desenvolveu-se uma argumentação sobre as conclusões

e considerações.

47

Como mencionado, o trabalho foi realizado dentro do universo de 470

amostras originais do banco de dados de Walker Isaaks e Srivastava (1989), que

foram escolhidas, de forma aleatória e 150 amostras das 470, com o objetivo de

verificar aderência das estimativas realizadas por krigagem e AC. Na realidade, a

escolha é aleatória, mas baseada na sua distribuição espacial, ou seja, foram

escolhidas amostras suficientemente distantes umas das outras em toda área de

interesse.

Desta forma, foram eliminados possíveis agrupamentos de amostras. As 150

amostras selecionadas foram consideradas representativas do universo original de

470 amostras, pois seus variogramas resultaram compatíveis.

A proposta para avaliar a aderência das estimativas utilizou o método de

comparação entre os resultados das estimativas com as 470 amostras e os

resultados das estimativas com 150 amostras obtidas por krigagem Ordinária a

seguir: (470 esférico, 470 exponencial, 470 Gaussiano, 150 esférico, 150

exponencial e 150 gaussiano) e por ACs: (470 AC IPD, 470 AC IB, 150 AC IPD e

150 AC IB).

A figura 17 apresenta a distribuição espacial das 470 e 150 amostras

Figura 17: distribuição das 470 e 150 amostras

48

2.2 FERRAMENTAS UTILIZADAS

2.2.1 GSLIB

Para a geração de resultados por krigagem Ordinária, foi utilizado o

programa GSLIB-Geostatistical Software Library (LANDIN; MONTEIRO, 2000)

O GSLIB é um pacote de programas desenvolvido na Universidade de

Stanford pelo Dr. Clayton Deutsch, sob a direção do Prof. André G. Journel. O

software é voltado para tratamento geoestatístico de dados e se mostra bastante

completo para a utilização em investigações complexas e que exijam técnicas

geoestatísticas mais avançadas.

2.2.2 Plataforma de modelagem em C++

Para alcançar os objetivos deste trabalho, foi desenvolvida uma plataforma

de modelagem de ACs chamada CellularAutomata3D que permitisse testar os

diversos métodos de interpolação como regra de evolução a serem estudados nos

bancos de dados utilizados como exemplos de aplicação. Para isso, criou-se

exclusivamente para este trabalho uma ferramenta básica de modelagem de ACs

com apoio da equipe do GNPD (Grupo de Novos Materiais e Dispositivos) junto ao

NDS (Núcleo de Desenvolvimento de Software), do Departamento de Engenharia de

Sistemas Eletrônicos da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP).

Essa ferramenta foi confeccionada especificamente para as aplicações deste

trabalho e foi baseado na metodologia apresentada por Colombo e Carreño (2008)

.O banco de dados utilizado como exemplo de aplicação foi o Waker Lake Dataset,

publicado por Isaaks e Srivastava (1989), contendo 470 amostras com valores da

variável de interesse do depósito. A ferramenta foi desenvolvida em linguagem C++

para evolução do AC, foram implantadas opções de interpolação AC IPD e AC IB. O

software foi construído de modo a permitir a incorporação futura de outros métodos

de interpolação. No ANEXO J encontra-se o Desenvolvimento e Lógica do Software

do Cellular Automata 3D e no ANEXO K as instruções de uso.

49

3 RESULTADOS

3.1 VARIOGRAFIA PRELIMINAR E KRIGAGEM

A análise variográfica incluiu construção do mapa de distribuição espacial de

variogramas para 470 e 150 amostras, construção do variograma experimental,

construção dos variogramas teóricos esférico, exponencial e Gaussiano, e por fim

estimativa por Krigagem ordinária.

3.1.1 Distribuição espacial dos variogramas

Para o ajuste do variograma teórico, existe a necessidade de visualização

espacial dos variogramas para que sejam identificadas possíveis continuidades

espaciais do fenômeno estudado e a ocorrência de anisotropias. Foram gerados

mapas, referentes à variância de dispersão da variável na área. O VRMP. par é a

rotina do GSLIB responsável por efetuar a distribuição e produção da imagem

gráfica, isto é, a produção do mapa de variograma que permite a visualização e

identificação de anisotropias.

3.1.2 Mapa de distribuição das 470 amostras

Para as 470 amostras, o VRMP. par foi configurado já com os dados

normalizados, obedecendo a uma distribuição irregular de amostras. Portanto, o

mapa de variogramas sendo um gráfico 2-D torna evidente a presença de isotropia

ou anisotropia. No mapa contendo as 470 amostras percebeu-se anisotropia.

50

A seguir na figura 18 mapa de variogramas para 470 amostras.

Figura 18 - Mapa de variograma para 470 amostras, parâmetros do VRMP.par e anisotropias.

Na figura 19, são indicados os parâmetros adotados para sua construção.

Figura 19 - Parâmetros adotados no VRMP.par para a construção do mapa de variograma

Parâmetros para o lag de 470 amostras:

xmx = 260.0 xmn = 0.0

ymx = 300.0 ymn = 0.0

xmx - xmn = 260 (tamanho da área em relação ao eixo x)

ymx - ymn = 300 (tamanho da área em relação ao eixo y)

Escolhendo-se lags de tamanho igual a 10, tem-se:

dxlag = 10 ............. logo, nxlag = 26

dylag = 10 ............. logo, nylag = 30

Parameters for VARMAP *********************

START OF PARAMETERS:

nscr.out -file with data 1 4 - number of variables; column numbers-1.0e21 1.0e21 - trimming limits 0 -1=regular grid, 0=scattered values 50 50 1 -if =1: nx, ny, nz 1.0 1.0 1.0 - xsiz, ysiz, zsiz 1 2 0 -if =0: columns for x,y, z coordinates vrmp.out -file for variogram output 26 30 0 -nxlag, nylag, nzlag 10.0 10.0 1.0 -dxlag, dylag, dzlag 3 -minimum number of pairs 1 -standardize sill? (0=no, 1=yes) 1 -number of variograms 1 1 1 -tail, head, variogram type

51

3.1.3 Mapa de distribuição das 150 amostras

Para as 150 amostras, o VRMP.par foi configurado com base nos dados

normalizados, obedecendo a uma distribuição irregular de amostras. No mapa

contendo as 150 amostras percebeu-se anisotropia.

A seguir na figura 20, mapa de variogramas para as 150 amostras.

Figura 20 - Mapa de variograma para 150 amostras, parâmetros do VRMP.par

Na figura 21, os parâmetros adotados para sua construção.

Figura 21 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma nas três direções

Parameters for VARMAP ********************* START OF PARAMETERS:

nscr.out -file with data 1 4 - number of variables; column

numbers -1.0e21 1.0e21 - trimming limits 0 -1=regular grid, 0=scattered values 50 50 1 -if =1: nx, ny, nz 1.0 1.0 1.0 - xsiz, ysiz, zsiz 1 2 0 -if =0: columns for x,y, z coordinates vrmp.out -file for variogram output 26 30 0 -nxlag, nylag, nzlag 10.0 10.0 1.0 -dxlag, dylag, dzlag 3 -minimum number of pairs 1 -standardize sill? (0=no, 1=yes) 1 -number of variograms 1 1 1 -tail, head, variogram type

52

3.1.4 Variogramas experimentais

Após observação da continuidade espacial do fenômeno estudado e a

ocorrência fez-se então o desenvolvimento dos variogramas experimentais para 470

e 150 amostras. No ANEXO A, a tabela da variância de dispersão em função das

distâncias para 470 e 150 amostras

3.1.4.1 Variograma experimental para 470 amostras.

Feitas as devidas observações no mapa de variograma, construiu-se o

variograma experimental nas três direções que representasse o fenômeno estudado

para as 470 amostras, utilizando a Rotina GAM. par do GSLIB.

A seguir, na figura 22, o gráfico representativo do variograma na direção 0º

(azul), 250º (vermelho), 340º (azul claro) para 470 amostras.

Figura 22 - Modelo de variograma experimental de 470amostras na direção 0º, 250º e 340º.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 50 100 150 200 250 300

Var

iân

cia

de

Dis

per

são

Variogramas Experimentais

Serie 3

Serie 1

Serie 2

53

Na figura 23, relacionam-se os parâmetros utilizados.

Figura 23 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma nas três direções.

3.1.4.2 Variograma experimental para 150 amostras.

Para obtenção do variograma experimental para 150 amostras, observou-se

o mapa gerado por VRMP.par onde, igualmente ao de 470 amostras, pode-se

constatar a existência de anisotropia. Dessa forma, construiu-se o variograma

experimental nas três direções que representasse o fenômeno estudado para as 150

amostras. Novamente com utilização da Rotina GAM.par do GSLIB, construiu-se o

variograma experimental nas três direções.

A figura 24 representa os modelos experimentais observados para as 150

amostras nas três direções 0º (azul), 250º (vermelho) e 340º (azul claro). (DEUSTCH

e JOURNEL, 1992).

Figura 24 - Modelo de variograma experimental na direção 0º, 250º e 340º

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 50 100 150 200 250 300

Vari

ân

cia

de D

isp

ers

ão

Distância (m)

Variogramas Experimentais

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Parameters for GAMV ******************* START OF PARAMETERS: nscr.out \file with data 1 2 0 \ columns for X, Y, Z coordinates 1 4 \ number of variables,column numbers -1.0e21 1.0e21 \ trimming limits gmv.out \file for variogram output 70 \number of lags 5.0 \lag separation distance 2.5 \lag tolerance 3 \number of directions 0.0 360.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv 250.0 30.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv

340.0 30.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv 1 \standardize sills? (0=no, 1=yes) 1 \number of variograms

1 1 1 \tail var., head var., variogram type

54

Na figura 25, são exibidos os parâmetros utilizados.

Figura 25 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma nas três direções.

3.1.5 Variogramas teóricos

Com os resultados obtidos do variograma experimental de 470 e 150 amostras,

pode-se fazer o ajuste do variograma teórico, ou seja, pôde-se estimar um modelo

teórico que se ajustasse de maneira melhor possível aos resultados obtidos. No

ajuste do variograma teórico, foram considerados parâmetros essenciais, tais como:

número de direções — que, nesse caso, privilegiou direções — lags, azimute,

distância entre os lags e efeito pepita entre outros. Vale lembrar de que os

parâmetros do variograma experimental foram sendo alterados objetivando um

melhor ajuste ao variograma experimental. Segundo Mello (2004, p.41) escolher o

modelo mais adequado não é um procedimento automático e em Geoestatística, é

comum o ajuste visual do modelo selecionado aos pontos do semivariograma

experimental.

3.1.5.1 Variograma esférico, exponencial, gaussiano para 470 e 150 amostras

No desenvolvimento dos variogramas esférico, exponencial e gaussiano,

para 470 e 150 amostras, adotou-se as três direções porque em ambos os casos a

distribuição espacial das amostras mostrou situação de anisotropia.

Parameters for GAMV *******************

START OF PARAMETERS: nscr.out \file with data 1 2 0 \ columns for X, Y, Z coordinates 1 4 \ number of variables,column numbers -1.0e21 1.0e21 \ trimming limits gmv.out \file for variogram output

70 \number of lags 5.0 \lag separation distance 2.5 \lag tolerance 3 \number of directions 0.0 360.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv 250.0 30.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv 340.0 30.0 25.0 0.0 0.0 25.0 \azm,atol,bandh,dip,dtol,bandv 1 \standardize sills? (0=no, 1=yes) 1 \number of variograms 1 1 1 \tail var., head var., variogram type

55

A seguir, na figura 26, modelo teórico esférico (verde), exponencial (azul), e

gaussiano (laranja) para 470 amostras.

Figura 26 - Modelo teórico: esférico, exponencial, e gaussiano para 470 amostras

Na figura 27, são exibidos os parâmetros adotados para o variograma

esférico.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 50 100 150 200 250 300

Vari

ân

cia

de D

isp

ers

ão

Distância (m)

(Var. Exp. x Modelo Teórico) - Caso Anisotrópico (45 graus)

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Serie 4

Parameters for VMODEL ********************* START OF PARAMETERS: vmdl.var \file for variogram output 1 70 \number of directions and lags 250.0 0.0 5.0 \azm, dip, lag distance 1 0.04 \nst, nugget effect 1 0.90 0.0 0.0 0.0 \it,cc,ang1,ang2,ang3 60.0 30.0 40.0 \a_hmax, a_hmin, a_vert

56

Na figura 28, são exibidos parâmetros adotados para o variograma

exponencial.

Figura 28 - Parâmetros adotados para o variograma exponencial 470 amostras


gaussiano 470 amostras.

Figura 29 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano 470 mostras

Parameters for VMODEL *********************


vmdl.var \file for variogram output 1 70 \number of directions and lags

250.0 0.0 5.0 \azm, dip, lag distance 1 0.04 \nst, nugget effect

2 0.98 0.0 0.0 0.0 \it,cc,ang1,ang2,ang3 80.0 50.0 65.0 \a_hmax, a_hmin, a_vert



vmdl.var \file for variogram output 1 70 \number of directions and lags 250.0 0.0 5.0 \azm, dip, lag distance 1 0.04 \nst, nugget effect 3 0.90 0.0 0.0 0.0 \it,cc,ang1,ang2,ang3 80.0 40.0 60.0 \a_hmax, a_hmin, a_vert

57

Na figura 30, apresenta-se o modelo teórico esférico (verde), exponencial

(azul), e gaussiano (Laranja) para 150 amostras.

Figura 30 - Modelo teórico: esférico, exponencial, e gaussiano para 150 amostras


esférico 150 amostras.




vmdl.var \file for variogram output 1 70 \number of directions and lags 250.0 0.0 5.0 \azm, dip, lag distance 1 0.04 \nst, nugget effect 1 0.90 0.0 0.0 0.0 \it,cc,ang1,ang2,ang3 60.0 30.0 40.0 \a_hmax, a_hmin, a_vert

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 50 100 150 200 250 300

Vari

ân

cia

de D

isp

ers

ão

Distância (m)

(Var. Exp. x Modelo Teórico) - Caso Anisotrópico

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Serie 4

58


exponencial para 150 amostras.

Figura 32 - Parâmetros adotados para o variograma exponencial 150 amostras


gaussiano 150 amostras.

Figura 33 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano para 150 amostras.

3.1.6 Krigagem ordinária para 470 e 150 amostras

Com os variogramas teóricos ajustados, procedeu-se à krigagem para cada

situação — esférico, exponencial e gaussiano — considerando a situação de 470 e

150 amostras. Na construção da krigagem, os parâmetros adotados seguiram as



59

mesmas configurações para os dois casos, considerando sempre a malha de

260x300m². Dessa forma, na adoção dos parâmetros, foram levados em conta, entre

outros, valores específicos de feito pepita, alcance e modelo teórico.

Abaixo, na figura 34, são indicados os valores da krigagem para 470

amostras, baseado no variograma teórico esférico.

Figura 34 - Valores de teores em ouro em ppm determinados por krigagem para 470 amostras baseado no variograma teórico esférico.

Abaixo, na figura 35, são indicados os valores krigados para 470 amostras

baseado no variograma teórico exponencial.

Figura 35 - Valores de teores de ouro em ppm determinados por krigagem para 470 amostras baseado no variograma teórico exponencial.

60

Abaixo, na figura 36, são indicados os valores krigados para 470 amostras

baseado no variograma teórico gaussiano.

Figura 36 - Valores de teores de ouro em ppm determinados por krigagem para 470 amostras baseado no variograma teóricos gaussianos.

Abaixo, na figura 37, são indicados os valores determinados por krigagem

para 150 amostras baseado no variogramas teórico esférico.

Figura 37 - Valores de teores de ouro em ppm determinados por krigagem para 150 amostras baseado nos variograma teórico esférico.

61

Abaixo na figura 38, são indicados os valores determinados por krigagem

para 150 amostras baseados nos variogramas teóricos exponenciais.

Figura 38 - Valores de teores de ouro ppm determinados por krigagem para 150 amostras baseado no variograma teórico exponencial.

Abaixo, na figura 39, são indicados os valores determinados por krigagem

para 150 amostras baseado no variograma teórico gaussiano.

Figura 39 - Valores de teores de ouro em ppm determinados por krigagem para 150 amostras baseado no variograma teórico gaussiano.

3.1.7 Estimativa AC para 470 e 150 amostras

Para criar um modelo de AC, no software desenvolvido pelo NDS/EPUSP,

foi necessário selecionar inicialmente a regra de vizinhança a ser utilizada. As

opções mais relevantes incorporadas no software e que serviram como regras na

evolução do AC são: AC IPD e AC IB.

Para a produção dos resultados desejados, foram também considerados

alguns parâmetros que fossem compatíveis com a proposta de comparação entre

62

AC e a krigagem; por exemplo: a determinação do número de células no eixo X e no

Y que coincidem com os parâmetros adotados na krigagem, parâmetros mínimos da

base X e da base Y, local de localização da primeira célula e tamanho da célula.

Também foram considerados o número de passos, adotando-se para esse caso

2000 passos de evolução. Um dos recursos do programa permite determinar, ainda,

o quanto os valores da células com valores novos se diferenciam dos valores já

existentes, estabelecendo um tipo de consistência. Esse recurso não foi incluído na

dissertação. A partir de uma alimentação de dados simples, o programa, seguindo o

conceito de AC, produziu os resultados para 470 e 150 amostras com método AC

IPD e AC IB, os quais puderam ser comparados conforme a propostas desse

trabalho.

Abaixo, na figura 40, são indicados os valores determinados pelo método de

AC interpolação com vizinhança retangular para 470 amostras.

Figura 40 - Valores determinados por meio do AC IPD para 470 amostras.


AC interpolação com vizinhança retangular para 150 amostras.

Figura 41 - Valores determinados por meio do AC IPD para 150 amostras.

63


AC IB para 470 amostras.

Figura 42 - Valores determinados por meio do AC IB para 470 amostras.



Figura 43 - Valores determinados através do AC IB para 150 amostras.

64

4 ANÁLISE DE RESULTADOS

Os métodos utilizados para obtenção de resultados consideraram os

cenários de 470 e 150 amostras para a Krigagem ordinária com base na situação

dos variogramas teóricos, esféricos, exponenciais e gaussianos e AC IPD e AC IB.

Na análise dos resultados para 470 amostras, privilegiou-se o método

krigagem ordinária baseado no variograma teórico esférico que, segundo Armstrong

(1998, p.37) é provavelmente o mais comumente usado. Ele tem uma expressão

polinomial simples e sua forma corresponde bem com o que é frequentemente

observado: um crescimento quase linear até uma certa distância, em seguida, uma

estabilização. Especificamente esse resultado plotado pode ser mais bem

visualizado no ANEXO E. Para o AC, foi selecionado o método de AC IB para 470

amostras porque o resultado foi mais satisfatório. Especificamente esse resultado

plotado pode ser mais bem visualizado no ANEXO F. Para a análise das 150

amostras o procedimento foi o mesmo, seguindo o mesmo critério anterior. Os

resultados para 150 amostras podem ser mais bem visualizados, para krigagem no

ANEXO G e para o AC IB no ANEXO H. Portanto, todas as análises estão pautadas

na comparação entre a krigagem ordinária baseado no variograma teórico esférico e

AC IB para 470 e 150 amostras. Para as demais análises, como medidas de

tendência central e erro quadrático, consultar o ANEXO D.

A análise dos resultados foi efetuada com a utilização da medida da relação

entre duas variáveis, isto é, a correlação linear entre os resultados encontrados do

teor de ouro para krigagem ordinária baseado no variograma teórico esférico e o teor

de ouro encontrado por AC IB. Os demais resultados de correlação linear estão no

ANEXO B e ANEXO C.

Para avaliar o grau de correlação linear entre as duas variáveis, isto é, medir

o grau de ajustamento dos valores em torno da reta, usou-se o coeficiente de

correlação linear ou de Pearson Andriotti, (2003), porque na representação gráfica

das variáveis em estudo, o diagrama de dispersão resultou em pontos ajustados na

reta. O modelo de correlação linear simples pode ser utilizado quando se está

interessado nas relações entre duas variáveis ou mesmo entre dois eventos que se

quer predizer (LANDIM, 2003). Esse modelo mede o grau de relacionamento linear

65

entre os dados emparelhados das variáveis X e Y em uma amostra e é chamado de

momento-produto de Pearson (ANDRIOTTI, 2003).

O coeficiente de correlação r da amostra, o qual é uma estimativa do

coeficiente populacional, é dado por:

Onde n é o número de pares de valores para e , variáveis com distribuição

normal, e e para os valores médios.

4.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS 470 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB.

A figura 44, a seguir, apresenta o gráfico de dispersão com a correlação

linear entre as variáveis de krigagem ordinária com base no variograma esférico e


Figura 44 - Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre variável Krigagem

ordinária com base no variograma esférico e AC IB 470 amostras.

66

Analisando o gráfico plotado da figura 42, observa-se que pontos se

dispõem nas proximidades da reta, formando uma elipse na diagonal, portanto, uma

situação de correlação e, nesse caso, correlação direta que é atribuída pelo

crescimento das duas variáveis. Ainda no gráfico, nota-se também pequena

dispersão em torno da reta de regressão. O valor obtido r² (coeficiente de

determinação) é igual a 0,878 e o valor de r coeficiente de correlação igual a

0,93700, o que significa dizer que o valor de 87,8% da variação explicada é maior do

que a variação não explicada com 12,2%.

O cenário mostra que a variação explicada, sendo maior que a não

explicada, faz com que a dispersão em torno da reta de regressão seja pequena em

relação à variação total dos valores no eixo Y em torno de sua média. Isso significa

que a variação explicada responde por um alto percentual da variação total e que,

então, a variação total está próximo de 1.

Abaixo, na tabela 1, Tabela de Pearson, encontram-se os parâmetros para

análise da correlação.

Tabela 1 - Parâmetros para analise da correlação

Tabela 1 – Parâmetros para analise da correlação linear (Pearson)

Correlação Linear r

Nula Zero

Fraca (0 - 0,3)

Regular (0,3 - 0,6)

Forte (0,6 - 0,9)

Perfeita 1

Com os valores de r coeficiente de correlação e r² coeficiente de

determinação calculados e comparados com a tabela 1, pode-se determinar o nível

de correlação existente entre as duas variáveis, e, dessa forma, determinar à qual

faixa pertence.

Fazendo–se:

Obtém-se:

67

r = 0,93700 e r² = 0,878

Comparando os valores obtidos com a tabela de Pearson, percebe-se que

estes se encaixam no nível de correlação entre a faixa 0,6 e 0,9, ou seja, com

correlação linear forte.

Os identificadores, portanto, mostram que o resultado alcançado para 470

amostras por AC IB, quando comparados com a krigagem ordinária com base no

variograma esférico, ficaram na faixa de forte, ou seja, acima do valor regular e

abaixo do valor muito forte, mostrando, dessa forma, não haver uma divergência

acentuada.

4.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS 150 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB.

A figura 45, a seguir, apresenta o gráfico de dispersão com a correlação

linear entre as variáveis de krigagem ordinária com base no variograma esférico e


Figura 45 - Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre variável de krigagem ordinária com base no variograma esférico e AC IPD 150 amostras.

Para as 150 amostras, os procedimentos foram os mesmos. Observou-se na

análise do gráfico de dispersão, as mesmas características da análise para 470

68

amostras. Nesse caso, o valor ficou bem próximo do resultado para 470 amostras. O

valor obtido r² (coeficiente de determinação) ficou igual a 0,866 com r coeficiente de

correlação igual a 0,93059 — com 86,6% da variação explicada sendo maior do que

o da variação não explicada com 13,4%.

Observando-se pelo mesmo prisma do caso com 470 amostras, pode-se

afirmar que a variação explicada, uma vez maior que a não explicada, também faz

com que a dispersão em torno da reta de regressão seja pequena em relação à

variação total dos valores no eixo Y em torno de sua média. Isso significa que a

variação explicada responde por um alto percentual da variação total e que, então, a

variação total está próximo de 1.

Com os valores de r coeficiente de correlação e r² coeficiente de

determinação r calculados para 150 amostras, determinou-se à qual faixa

pertenciam.

Obtém-se:

r = 0,93059 e r² = 0,866

Os identificadores mostraram que o resultado alcançado para 150 amostras

por AC IB, quando comparados com a krigagem ordinária com base no variograma

esférico, ficaram igualmente ao caso de 470, na faixa de forte; acima do valor regular

e abaixo do valor muito forte mostrando não existir divergência acentuada.

69

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

A pesquisa teve sucesso no sentido de desenvolver uma aplicação prática de

ACs para estimativa de teores de recursos minerais. Foi desenvolvida uma

ferramenta específica para aplicação de ACs num banco de dados padrão da

mineração e os resultados foram comparados com os métodos tradicionalmente

utilizados na mineração, com resultados considerados compatíveis para a

análise proposta.

Foram feitas duas abordagens com regra de mudança de estado dos ACs na

modelagem de recursos minerais para 470 e 150 amostras: AC IPD e AC IB

sendo que os resultados mais satisfatórios na aplicação prática foram

conseguidos para AC IB.

A pesquisa atingiu o seu objetivo ao permitir uma avaliação dos ACs como

mecanismo de armazenamento de dados geológicos, mas não o suficiente para

se ter resultados conclusivos para grandes bancos de dados, já que a aplicação

prática foi limitada a um banco de dados bidimensional e com um atributo único.

A pesquisa poderá ser estendida no futuro para testar ACs que representem

bancos de dados tridimensionais e com múltiplos atributos, que é o caso mais

comum na mineração.

Os resultados da aplicação prática de estimativa com ACs no banco de dados

padrão da mineração foram comparados com estimativas por krigagem

ordinária. As comparações foram consideradas compatíveis entre os dois

métodos, ressaltando o potencial dos ACs como ferramenta de estimativa de

teores de recursos minerais especialmente em função de sua praticidade para

obtenção das estimativas e sua facilidade para atualização dos modelos.

70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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74

ANEXOS

75

ANEXO A

Tabela 2 - Variância de dispersão para 150 e 470 amostras

Variância de dispersão 150 amostras

Variância de dispersão 470 amostras

Dir.: 0 Dir.: 250 Dir.: 340 Dir.: 0 Dir.: 250 Dir.: 340

h (m) Var. h (m) Var. h (m) Var. h (m) Var. h (m) Var. h (m) Var.

17,00000 0,36043

7,05300 0,17112

7,28000 0,38845 2,00000 0,00037

2,07900 0,13609

2,00000 0,00037

20,29600 0,65487

9,70000 0,67079

10,17600 0,40888 7,00000 0,37499

5,43600 0,47158

6,11400 0,34389

23,00000 0,49533

15,79800 0,59979

15,17300 0,57347 9,96100 0,46369

10,32900 0,61408

10,46000 0,43643

37,00000 0,83640

20,00500 0,42408

20,41900 0,63185 14,14300 0,39176

15,09600 0,77245

14,44200 0,56593

39,93300 0,69073

25,60600 0,54162

25,30900 0,74114 20,04500 0,53649

20,02200 0,83730

20,29200 0,57962

43,00000 0,00190

29,31500 0,69937

29,41200 0,61387 24,71400 0,43617

25,15800 1,02154

24,80300 0,71390

49,00000 0,38742

35,15800 0,88787

34,97800 0,44361 29,91900 0,64160

29,88100 1,03540

30,02500 0,71687

57,00000 4,03077

40,14800 0,74253

40,06900 0,88863 34,71400 1,10255

34,96000 1,27536

34,71200 0,84438

59,76500 1,59599

44,78400 0,72731

44,89700 0,62105 39,90700 0,58394

40,24200 1,13571

40,28400 0,85484

63,00000 0,68349

50,21800 0,93242

50,25700 1,02579 45,22200 0,32839

44,97800 1,15603

44,75000 0,76037

69,00000 0,50597

55,79300 0,92147

55,42600 0,83464 50,07100 0,97913

49,99500 1,30577

50,20700 0,90378

77,00000 1,28749

60,09800 0,87487

60,19500 1,21635 56,50000 1,09580

55,13000 1,16687

54,94100 0,78476

79,84600 0,38003

64,58800 0,73222

64,13200 0,65234 60,23200 0,97450

60,01900 1,06005

60,23300 0,90967

83,00000 0,16274

70,23900 1,16792

70,58100 0,87723 65,00000 1,04505

64,80600 1,01898

64,71800 0,92729

92,00000 1,69124

74,56900 1,11051

74,18500 0,75204 70,31300 1,07741

70,00900 1,10631

70,28200 0,96230

100,60000 0,72604

79,93600 0,88052

80,85800 0,68504 75,28600 1,44464

74,74900 0,97508

74,62900 0,81472

110,00000 0,41833

85,01200 1,03917

84,42600 0,61725 80,00000 0,73476

80,02100 1,00303

80,24400 0,91121

117,00000 0,25530

89,93500 1,13074

89,89300 0,79301 83,00000 0,57384

84,94600 0,99761

84,76800 0,82836

120,11100 0,80844

94,64300 1,21589

94,97900 0,34195 90,40900 1,68486

90,02400 1,04799

90,19900 0,94630

123,00000 0,01808

100,68900 1,23818

100,77000 0,84518 97,00000 1,13925

94,69400 1,05554

94,65100 0,90677

137,00000 1,94633

104,81000 1,10970

104,86100 0,74243 99,94700 0,66472

100,14700 1,03835

100,32800 0,95737

139,88900 0,20213

109,58200 1,16681

109,51400 0,69862 109,82800 1,22523

104,95300 1,05611

104,66600 0,93532

150,00000 1,23943

115,45000 1,45469

115,74100 0,69285 116,42900 1,18521

109,91700 1,12036

110,13000 0,98950

159,00000 0,47992

119,81100 1,25434

120,40000 0,72195 120,15000 1,28598

115,06800 1,06892

114,88500 0,91194

163,00000 0,30302

124,92900 0,93832

124,46800 0,74837 124,33300 0,12451

120,07700 1,02654

120,30700 0,87891

170,00000 4,14572

129,06500 1,30680

129,63700 0,48774 129,88900 1,04467

124,85600 0,95523

124,87700 0,79130

179,42900 0,72385

135,03300 1,24385

134,68200 0,63638 136,20000 0,72981

129,84600 1,00144

130,16700 1,03460

183,00000 0,57934

139,87100 1,25682

140,25700 1,64377 139,73500 0,76027

134,81800 0,95211

134,85200 0,83129

199,66700 0,54066

144,79600 1,20323

145,10600 0,60820 145,33300 1,16215

139,97600 1,05552

140,10200 0,96685

203,00000 0,00737

150,33000 0,96047

150,13000 0,72122 150,11800 1,33636

144,95700 0,91144

145,04700 0,83673

217,00000 0,08705

154,50400 0,85112

154,34300 0,68376 155,66700 1,77478

149,97900 0,91067

149,90300 0,87922

221,20000 0,24783

160,08500 1,30739

160,30900 1,00591 159,95000 1,03764

154,89900 0,83994

154,80400 0,84721

237,00000 0,21530

165,18200 1,20930

165,18700 0,76640 164,33300 0,39439

160,06600 1,08397

159,81000 0,94990

240,50000 0,85341

170,03400 1,42814

169,96100 0,57864 169,90000 1,36509

165,13800 0,93737

165,19000 0,81730

257,00000 0,02054

175,13600 1,14118

174,25000 1,15133 177,00000 1,64032

170,00900 0,99183

169,78300 0,84160

258,00000 2,17395

179,96900 1,30155

179,69900 0,90609 179,59100 0,95755

175,03600 0,95723

175,02000 0,81653

263,00000 0,07040

185,25100 1,72589

184,89500 0,68971 184,60000 1,12368

179,96500 1,00940

179,65900 0,83439

282,00000 0,83402

190,31000 2,00121

190,14400 0,55282 189,63600 0,69111

184,91900 1,02749

185,08600 0,81958

283,00000 0,13676

194,42200 1,11304

196,16600 1,25046 200,12500 0,45774

190,05500 1,12855

189,80100 0,83534

200,02900 0,87807

198,69200 0,77794 204,33300 0,07492

195,06800 1,05787

195,32800 0,89217

205,30400 1,01185

206,29900 1,16493 210,27300 0,77388

199,87100 1,29286

199,75400 0,70039

209,23100 0,98346

209,36000 0,43796 217,00000 0,13425

204,83800 1,47717

205,37300 0,74582

215,38600 1,56760

215,27100 0,88547 220,33300 0,49271

209,61800 1,39643

209,78500 0,64413

220,57000 0,89417

220,06200 0,33676 230,33300 0,66668

214,91500 1,17356

215,13500 0,65137

224,13700 4,14132

225,29700 0,81366 237,00000 0,20524

219,88400 1,44301

219,92900 0,52753

229,03800 3,88448

228,89900 0,71130 240,33300 0,92634

224,73200 1,37042

225,20900 0,62734

234,07000 0,40317

234,65800 0,79833 249,00000 1,31502

229,68400 1,28330

229,80400 0,62461

239,82700 0,42768

239,99300 0,60225 257,00000 0,10315

234,64600 1,18201

234,82100 0,58115

244,65300 0,67964 259,22200 0,91480

240,30400 1,36099

240,20400 0,65597

250,08300 0,95171 265,00000 0,07237

244,82600 0,56349

244,68100 0,79882

254,91000 0,56390 272,00000 0,03164

249,12100 1,09854

249,85100 0,84986

259,83600 0,70365 279,66700 0,93812

254,49200 0,67227

254,80000 0,88259

263,15400 0,43341 283,00000 0,14801

259,84500 0,75054

259,83100 0,69634

270,03500 0,51902

263,00800 0,11562

264,83000 1,05267

274,75600 0,43575

270,08600 0,51181

278,84900 0,65580

275,06300 0,60929

285,27300 0,51642

279,91556 0,78382

290,40400 0,23110

284,91355 0,79582

294,92200 1,43415

289,91154 0,80782

300,51000 0,59142

294,90953 0,81982

304,32900 0,38318

299,90752 0,83182

304,90551 0,84382

309,90349 0,85582

76

ANEXO B

Gráficos de dispersão com a correlação linear entre as variáveis Krigagem

ordinária com base no variograma esférico, exponencial e gaussiano e AC-IPD para

470 e 150 amostras.

77

ANEXO C

Gráficos de dispersão com a correlação linear entre as variáveis Krigagem

ordinária com base no variograma esférico, exponencial e gaussiano e AC-IB para

470 e 150 amostras.

78

ANEXO D

470 KRI ESF 470 KRI EXP 470 KRI GAU 470 AC Bilinear 150 KRI ESF 150 KRI EXP 150 KRI GAU 150 AC Bilinear

Nº DE DADOS 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00

SOMA 843.676,99 841.765,50 833.088,80 913.834,30 919.079,97 919.568,26 833.011,60 997.634,55

MÉDIA 260,96 260,37 257,68 282,66 284,28 284,43 257,66 308,58

DESVIO 219,75 217,7 222,53 195,14 216,96 214,24 222,55 179,83

KRIG-ESF/ACBIL

470 KRIG-EXP/ACBIL

470 KRIG-GAU/ACBIL

470 KRIG-ESF/ACBIL

150 KRIG-EXP/ACBIL

150 KRIG-GAU/ACBIL

150

DIVERGÊNCIA/MÉD. 7,68% 7,89% 8,84% 7,87% 7,83% 16,50%

DIVERGÊNCIA/DESV. 11,20% 10,36% 12,31% 17,11% 16,06% 19,20%

EMQ 1,413910527 1,329647623 1,572027291 1,509442396 1,30506215 2,828530075

470 KRI ESF 470 KRI EXP 470 KRI GAU 470 AC IPD 150 KRI ESF 150 KRI EXP 150 KRI GAU 150 AC IPD

Nº DE DADOS 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00 3.233,00

SOMA 843.676,99 841.765,50 833.088,80 1.056.648,27 919.079,97 919.568,26 833.011,60 1.043.119,16

MÉDIA 260,96 260,37 257,68 326,83 284,28 284,43 257,66 322,65

DESVIO 219,75 217,7 222,53 160,83 216,96 214,24 222,55 148,09

KRIG-ESF/AC IPD

470 KRIG-EXP/AC IPD

470 KRIG-GAU/AC IPD

470 KRIG-ESF/AC IPD

150 KRIG-EXP/AC IPD

150 KRIG-GAU/AC IPD

150

DIVERGÊNCIA/MÉD. 20,16% 20,34% 21,16% 11,90% 11,85% 20,15%

DIVERGÊNCIA/DESV. 26,82% 26,13% 27,73% 31,75% 30,88% 33,46%

EMQ 2,524776737 2,469942372 2,673180278 2,263772698 2,084580474 3,363896505

Tabela 2 - Medidas de tendência central e erro quadrático para a krigagem baseada

nos variogramas esféricos, exponencial e gaussiano e AC-IB e AC IPD para 470 e

150 amostras.

79

ANEXO E

Krigagem para 470 amostras, baseado no variograma teórico esférico

302,5 276,3 237,6 189,4 154,5 172,2 205,1 244,8 348,0 355,7 244,6 149,3 78,8 37,7 23,5 15,7 18,1 28,9 59,5 100,2 147,0 167,1 197,4 233,7 206,0 168,3 114,7 86,7 90,2 97,4 96,1 99,4 94,1 76,6 39,2 29,3 28,5 25,3 14,3 7,6 12,9 22,2 27,8 26,9 25,1 18,3 12,6 4,1 8,6 17,7 27,6 37,8 45,7 59,6

297,5 242,7 224,0 174,6 163,9 174,6 202,4 296,3 429,4 438,0 326,0 160,6 96,8 38,3 22,1 10,8 11,8 20,3 43,9 96,8 144,0 168,3 204,8 242,8 224,8 174,3 117,9 82,7 81,4 91,3 99,5 100,1 92,2 83,6 60,3 31,2 31,6 28,8 17,5 4,0 13,0 24,7 29,0 28,7 28,0 22,3 12,9 2,6 3,6 13,6 24,7 31,6 49,2 50,1

292,5 244,9 192,2 159,6 149,7 173,0 230,1 345,9 551,3 550,3 413,4 206,7 136,8 62,6 22,8 2,5 2,6 12,9 31,0 91,9 135,4 166,9 208,5 243,5 231,6 178,1 137,2 82,1 79,2 83,8 95,6 99,5 98,2 99,6 82,9 59,3 58,5 37,8 24,7 12,0 18,0 28,6 30,9 31,0 30,7 26,3 14,6 4,4 4,0 13,0 22,3 30,7 45,2 58,9

287,5 238,9 187,1 146,2 143,6 172,7 240,6 467,7 687,4 645,4 533,7 339,4 194,5 98,5 27,3 2,5 0,0 4,3 25,3 66,9 100,3 159,2 193,7 237,2 225,7 182,1 144,0 97,1 84,0 83,8 90,7 99,4 101,8 113,1 115,0 104,1 85,5 61,5 30,9 25,7 26,9 31,2 44,3 45,0 38,5 29,0 20,3 12,2 10,8 13,5 22,1 28,9 38,4 58,8

282,5 208,4 174,4 134,0 129,9 168,3 242,5 518,6 773,3 746,1 617,2 507,5 319,0 164,7 31,2 2,2 0,0 2,5 15,2 39,4 82,0 141,4 184,8 224,7 208,5 175,2 149,7 104,7 91,7 92,7 91,3 96,7 104,8 138,8 167,3 167,6 110,1 78,5 49,2 38,2 33,6 42,2 71,8 75,3 60,3 37,2 27,9 17,4 13,0 17,7 22,5 27,8 44,3 80,8

277,5 187,8 166,8 124,4 124,8 159,3 253,4 512,1 740,8 801,0 706,0 637,5 476,5 237,9 38,6 0,0 0,0 0,0 6,6 27,6 56,3 99,4 166,8 194,1 189,1 174,4 157,5 120,5 99,8 91,7 93,7 91,6 112,8 147,8 188,6 213,4 145,7 96,4 77,5 74,5 60,9 66,9 94,6 98,0 81,0 58,5 39,2 25,7 19,5 24,9 27,3 25,9 48,3 87,1

272,5 182,6 148,2 105,2 110,1 159,3 238,6 363,8 627,0 796,4 780,5 734,9 537,4 288,5 59,9 0,0 0,0 0,0 0,0 13,0 29,2 63,4 122,2 182,6 175,4 162,3 149,7 144,7 105,0 98,2 97,2 100,6 123,8 159,5 189,7 207,8 141,0 100,9 94,6 96,8 86,4 91,6 100,1 117,9 104,3 91,9 74,1 31,4 28,2 30,6 30,7 30,4 69,2 80,8

267,5 169,2 150,2 98,2 81,3 99,5 159,2 240,9 543,2 739,4 784,9 673,3 448,8 225,3 27,3 0,0 0,0 0,0 0,0 1,6 14,8 31,1 81,4 137,0 148,6 137,4 140,6 141,5 104,8 104,6 112,5 136,6 160,2 172,6 172,2 163,1 115,0 94,1 100,1 104,2 104,3 95,6 114,2 141,0 137,4 108,2 100,1 61,6 37,9 38,0 59,5 75,3 99,4 108,2

262,5 164,7 125,0 91,3 61,6 71,3 96,1 175,9 455,2 658,5 702,4 590,9 333,6 137,9 4,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,6 21,8 38,1 80,2 115,6 137,2 146,6 123,3 121,1 116,9 154,5 167,3 174,6 161,6 125,7 98,7 98,5 99,8 99,5 108,9 122,7 122,7 139,7 146,6 153,1 125,7 121,6 88,7 64,5 70,9 85,5 115,6 148,7 161,1

257,5 114,9 113,4 80,2 73,2 62,2 62,9 137,4 368,5 575,5 601,4 433,8 233,9 63,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 11,5 26,0 38,3 112,8 141,0 148,0 120,0 99,6 104,4 166,8 187,8 187,8 159,3 84,6 39,7 63,7 91,6 102,2 116,4 146,6 166,9 170,6 167,4 166,9 164,7 159,8 113,6 99,5 100,0 104,9 175,9 184,7 180,9

252,5 154,5 104,9 76,1 62,9 73,2 75,4 129,9 326,0 509,6 506,0 341,8 182,1 24,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,3 17,2 29,8 115,3 141,6 159,0 139,3 137,4 135,4 173,6 234,0 192,9 136,6 78,3 25,1 61,5 83,8 104,8 137,2 166,3 174,3 190,0 192,1 190,0 206,4 226,0 187,8 142,1 167,6 166,9 190,3 198,6 192,1

247,5 107,2 91,6 75,4 63,9 77,7 84,3 159,8 307,9 428,7 451,2 330,5 149,9 18,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,6 22,2 49,2 145,5 167,6 188,0 192,0 178,7 138,4 188,3 262,0 240,0 159,3 83,8 39,2 51,9 92,0 129,9 153,1 174,7 191,7 208,9 238,6 248,6 268,0 332,4 295,9 230,7 190,5 166,9 187,8 231,2 240,9

242,5 141,7 99,5 79,2 73,6 86,7 115,9 194,5 295,7 373,3 387,1 325,0 189,7 31,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5,0 30,8 93,7 149,7 188,0 249,9 325,9 259,6 187,9 236,5 340,3 324,2 223,5 146,4 91,8 84,6 116,4 147,8 166,9 186,7 224,6 245,2 324,9 342,7 350,1 431,6 445,6 363,8 259,0 177,5 184,4 232,5 243,8

237,5 137,9 102,2 81,0 91,7 97,2 166,8 235,0 340,3 483,0 472,0 339,5 163,9 22,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 11,9 46,9 131,3 169,8 237,9 339,9 437,4 385,6 357,6 315,7 425,4 376,5 334,3 224,2 152,4 158,0 170,2 189,4 175,7 193,3 240,9 321,4 395,8 422,4 430,4 590,1 607,6 530,0 440,0 208,9 187,8 235,1 183,0

232,5 145,7 104,9 93,2 88,7 101,8 174,5 332,9 442,6 567,0 543,2 378,8 209,5 38,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,9 61,2 159,5 149,1 173,1 329,2 480,3 505,9 521,6 386,2 543,2 424,7 474,5 334,6 224,9 233,9 240,0 238,6 196,4 234,7 284,1 333,3 471,9 516,0 476,5 672,7 702,2 602,9 597,4 259,0 201,4 189,1 156,6

227,5 180,7 141,5 97,8 83,8 99,6 155,2 311,7 502,4 607,7 603,8 511,2 326,0 78,5 3,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10,8 45,4 107,2 141,1 190,4 283,7 410,3 481,7 531,9 429,0 502,3 472,5 536,5 465,2 344,9 314,0 317,5 269,0 238,6 237,9 260,3 328,6 431,2 536,2 601,4 740,5 696,5 616,5 541,2 319,2 158,8 127,1 100,9

222,5 181,0 159,4 102,5 81,7 82,1 117,4 268,7 534,1 617,0 673,3 636,7 528,8 148,2 29,1 11,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10,2 29,4 78,1 108,9 148,3 207,1 324,2 424,9 504,0 429,1 421,0 447,1 553,2 520,4 462,7 367,8 363,8 321,4 268,7 246,1 257,3 299,8 371,3 512,2 703,3 762,5 662,9 603,3 478,7 224,3 88,7 47,2 60,4

217,5 208,7 174,7 124,9 97,2 82,9 81,4 208,6 588,5 607,1 636,5 812,8 672,3 327,5 93,2 31,6 10,9 0,0 0,0 0,0 0,0 2,5 18,3 37,9 72,3 81,6 142,1 234,4 350,6 426,1 409,4 394,6 437,1 543,3 581,6 564,8 430,9 376,5 333,3 300,7 258,6 239,8 240,8 326,0 482,6 665,3 696,8 617,4 541,5 370,7 190,3 31,6 13,5 75,5

212,5 205,7 186,7 144,4 106,9 86,1 62,6 105,0 590,1 628,9 639,3 927,4 815,1 533,2 225,3 107,2 38,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,9 25,5 30,7 29,6 59,5 115,8 192,0 268,5 369,1 342,4 385,8 509,6 555,7 601,0 376,0 325,0 292,8 272,8 230,1 156,6 190,4 235,4 396,8 613,4 632,2 581,6 428,4 267,6 187,8 31,5 2,5 62,0

207,5 217,5 187,8 152,4 99,4 92,0 81,4 159,1 541,8 644,1 762,3 971,2 913,3 735,0 424,7 245,1 100,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 11,1 15,1 15,9 10,8 13,3 30,5 62,2 134,0 184,3 207,1 235,8 377,0 447,1 504,0 317,5 219,6 190,3 187,9 163,9 150,2 147,9 184,8 314,0 442,6 510,1 433,5 332,8 268,8 176,5 68,0 25,0 81,6

202,5 191,0 185,9 142,8 102,9 96,6 99,7 191,7 543,6 706,0 801,1 1033,5 1057,2 959,9 693,2 531,0 209,6 10,8 0,0 0,0 0,0 0,0 1,7 11,9 11,9 0,0 0,0 0,0 17,8 37,9 77,3 97,4 137,0 226,0 333,0 372,8 235,1 137,9 124,7 105,0 99,6 99,4 91,8 147,1 240,4 341,0 376,5 324,9 260,5 238,6 194,1 159,8 104,1 114,7

197,5 207,4 183,5 174,8 141,7 95,1 158,8 272,0 602,5 771,3 792,2 1027,5 1307,7 1246,5 917,5 718,4 333,2 63,7 11,5 0,0 0,0 0,0 2,7 8,9 2,6 0,0 0,0 0,0 0,0 5,0 11,1 12,6 31,4 115,3 199,6 208,6 169,5 94,6 73,2 44,8 44,2 76,4 83,6 99,5 190,3 227,2 238,1 189,7 206,7 238,6 247,4 282,0 232,0 184,5

192,5 224,4 184,3 190,5 208,1 144,7 204,8 283,5 692,2 867,2 743,0 974,6 1404,2 1447,3 941,6 781,8 435,9 160,2 23,1 3,0 0,4 6,3 6,6 4,5 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 1,2 9,2 0,0 13,7 74,1 142,1 117,4 147,8 98,7 76,0 27,5 38,1 82,3 80,8 75,6 115,0 184,3 146,0 115,3 156,6 226,4 268,4 383,0 339,5 209,6

187,5 224,7 208,7 178,1 160,6 164,7 194,9 317,4 736,4 902,5 796,0 942,6 1239,9 1110,8 798,4 605,2 438,7 174,8 46,0 24,1 13,8 11,2 12,3 10,7 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 5,3 10,8 2,5 15,4 82,0 121,1 141,5 160,0 141,1 97,1 42,6 70,4 91,8 87,6 81,6 106,6 106,0 92,0 76,0 99,6 163,9 234,4 367,1 363,8 237,6

182,5 235,2 241,2 222,8 185,1 181,1 208,4 318,5 761,1 964,5 849,2 926,4 1105,1 971,5 654,8 534,1 395,1 235,4 122,2 44,8 16,2 5,3 15,2 12,4 2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 12,9 23,4 26,2 58,7 86,7 150,4 166,9 181,1 159,3 137,9 110,1 105,2 104,8 114,9 100,8 104,8 83,6 61,7 37,9 61,5 137,2 203,3 328,6 369,6 324,9

177,5 271,6 305,4 279,5 232,5 195,4 227,7 369,1 744,9 971,7 912,5 931,7 972,1 897,4 773,0 554,0 467,7 399,1 209,3 91,9 30,4 16,6 10,8 15,9 10,8 0,0 0,0 1,8 10,8 14,2 30,4 80,4 75,3 79,9 103,9 167,7 174,6 159,3 188,0 187,8 180,8 171,0 147,3 123,8 116,9 104,7 63,7 22,3 31,5 99,1 170,2 280,1 333,0 294,0

172,5 239,8 318,0 296,9 190,4 242,0 278,9 392,8 734,5 968,9 916,4 960,2 896,0 891,3 882,2 647,1 561,9 582,9 310,3 167,1 55,4 18,0 12,7 20,6 13,7 11,1 10,9 18,2 28,3 31,6 61,9 143,2 91,8 91,8 61,9 146,0 166,9 173,7 217,5 268,8 244,7 231,2 235,1 157,1 167,0 150,4 99,6 13,2 27,1 64,2 128,5 219,6 284,1 255,4

167,5 242,3 249,9 238,6 192,3 222,5 280,6 415,6 658,9 811,7 884,3 929,6 883,9 935,4 915,3 730,4 623,0 613,1 342,9 234,5 142,8 59,7 29,2 26,6 26,6 26,4 28,7 37,9 54,5 65,1 91,9 104,8 61,9 38,9 37,9 91,9 131,3 164,7 238,6 341,1 340,9 333,3 319,8 219,6 235,0 206,0 149,3 38,2 30,7 59,6 98,0 166,3 195,4 194,5

162,5 238,1 195,9 174,9 185,1 192,1 318,4 399,9 597,4 662,2 801,0 894,4 966,3 902,5 898,3 797,2 616,2 558,0 398,1 326,0 157,5 188,0 88,2 31,0 27,3 31,1 60,9 76,0 81,9 83,1 78,7 61,9 38,0 47,7 31,4 31,1 81,0 145,2 238,6 342,9 383,4 401,7 431,6 336,3 278,3 296,0 235,1 117,4 69,2 66,9 73,6 101,8 144,0 155,7

157,5 176,5 158,9 104,8 158,4 208,7 283,7 394,1 488,7 522,5 617,5 874,9 974,2 994,6 878,2 745,2 567,5 385,0 425,7 446,0 377,0 292,8 149,5 38,8 30,5 44,8 99,6 104,8 104,4 98,0 60,1 27,2 31,6 30,7 27,9 13,0 37,9 112,5 240,3 396,8 425,2 512,5 596,3 518,8 343,0 373,3 334,9 209,4 120,5 81,6 39,2 45,5 70,4 81,1

152,5 173,9 104,6 69,8 152,4 176,9 317,4 350,1 386,7 384,2 471,3 801,1 1010,7 1091,1 818,4 698,3 472,7 222,5 479,8 581,6 552,1 394,1 222,5 43,9 63,4 81,9 101,1 160,0 145,5 103,2 59,7 13,0 29,0 29,2 27,6 2,8 28,6 140,6 237,2 434,7 465,2 543,2 650,2 614,7 386,7 421,0 398,6 311,7 178,7 105,0 27,9 18,5 25,6 31,0

147,5 169,2 101,8 78,7 136,2 174,7 241,0 272,0 324,7 296,1 332,9 653,3 816,3 876,2 735,4 667,2 537,1 356,5 542,6 601,4 543,2 442,1 267,6 102,5 94,1 99,6 106,0 179,3 159,4 113,9 58,4 24,7 29,1 35,1 38,0 25,8 37,8 115,0 194,5 370,2 395,2 442,6 573,5 558,1 367,6 326,0 342,5 339,9 235,2 104,8 28,2 0,1 0,0 13,0

142,5 181,6 120,5 100,0 113,1 174,3 209,6 240,4 256,4 238,6 318,3 530,8 606,1 607,0 617,5 644,1 655,0 599,6 665,1 637,5 600,0 512,2 395,8 223,7 127,1 96,7 104,4 184,3 173,4 115,8 67,5 31,3 38,1 61,0 97,8 91,3 99,8 129,9 194,5 260,3 283,5 282,0 411,6 450,9 318,3 200,5 268,5 333,0 227,7 91,8 11,0 0,0 0,0 0,0

137,5 209,1 160,4 148,3 166,8 172,6 176,5 189,4 224,2 234,9 261,0 333,2 347,0 405,0 586,6 663,6 761,6 754,5 780,2 772,8 631,2 539,7 543,1 394,7 174,6 58,7 99,6 190,3 181,6 141,1 98,2 61,5 79,7 121,6 171,0 190,3 175,4 174,8 205,7 224,7 204,8 204,8 294,9 342,5 242,3 187,8 234,4 325,2 223,7 79,7 2,1 0,0 0,0 0,0

132,5 235,4 192,1 189,7 191,7 189,1 166,8 205,1 207,1 222,8 230,1 237,9 197,4 249,9 506,2 607,9 781,1 784,9 880,5 896,5 687,8 560,6 640,1 567,0 205,4 30,9 102,9 224,8 158,0 155,2 104,8 87,1 135,4 188,0 245,2 318,8 244,3 233,6 227,7 184,8 168,9 174,4 240,9 268,7 233,8 190,3 236,5 331,8 227,7 80,8 0,0 0,0 0,0 0,0

127,5 276,3 261,0 260,4 259,6 242,5 204,8 235,0 283,7 311,0 238,1 227,2 158,9 166,9 325,4 420,6 614,3 735,3 886,1 917,4 734,4 523,7 696,9 645,3 238,6 69,8 91,9 174,4 104,4 149,3 149,5 149,3 208,6 247,4 333,2 357,2 326,0 260,4 240,8 186,7 168,6 213,4 285,8 244,8 238,6 238,6 243,0 333,1 235,1 97,0 2,5 0,0 0,0 0,0

122,5 335,5 355,0 365,5 388,3 355,0 289,9 284,4 299,8 335,5 318,4 252,4 187,8 141,5 189,7 190,7 523,0 616,0 876,1 896,9 746,1 480,8 691,2 653,9 242,5 106,0 65,1 84,9 96,8 137,9 175,4 227,7 280,1 350,1 393,5 396,5 325,0 318,0 235,4 224,3 240,9 294,9 319,4 271,6 230,1 244,0 292,4 363,7 235,2 96,9 12,1 0,0 0,0 0,0

117,5 382,0 430,8 442,7 451,1 406,8 389,9 340,1 318,7 376,0 398,6 333,0 244,0 174,6 192,2 237,8 571,0 718,4 891,9 872,0 687,2 502,4 607,0 512,5 235,4 102,2 38,2 30,7 58,8 141,2 202,4 318,0 370,2 413,7 402,3 418,5 388,3 296,3 277,1 269,1 295,7 334,3 333,3 333,0 277,7 283,9 316,6 355,4 234,7 98,7 18,1 0,0 0,0 0,0

112,5 421,2 500,1 534,8 487,7 526,2 481,4 410,3 388,3 423,6 507,5 421,0 324,9 235,3 244,3 406,8 644,1 883,9 912,5 812,1 601,8 602,9 541,2 326,0 185,9 81,1 36,1 10,9 37,8 147,4 244,8 412,4 442,4 472,0 433,8 442,4 399,7 326,0 318,1 333,2 397,1 472,5 477,1 396,5 319,4 318,3 386,7 369,6 235,4 97,5 27,7 13,7 0,0 0,0

107,5 430,7 512,1 562,4 575,5 600,1 580,3 442,6 320,6 512,2 531,2 477,1 356,9 305,4 356,9 428,1 607,2 826,5 876,3 735,2 558,4 606,1 500,6 268,4 159,5 99,5 38,4 14,4 59,0 173,4 299,8 465,2 509,1 512,1 471,6 472,0 401,0 348,7 333,2 358,9 499,5 595,1 551,0 519,2 369,3 355,7 396,2 325,0 184,6 99,5 27,6 13,3 0,0 0,0

102,5 538,4 505,3 544,8 584,4 606,6 608,0 437,2 187,1 562,2 551,0 502,4 408,5 317,8 182,1 238,9 543,1 518,6 758,1 730,1 494,2 589,5 426,9 242,5 180,9 134,0 83,1 57,2 99,5 193,7 339,7 490,1 533,2 534,1 490,6 478,1 404,1 342,0 324,9 363,8 499,0 672,4 586,3 641,6 450,8 383,2 395,8 235,1 125,0 47,4 17,9 2,5 0,0 2,2

97,5 521,1 472,0 507,9 596,3 657,8 662,9 363,1 151,7 513,2 600,8 572,9 451,8 263,0 86,7 99,8 436,8 341,1 648,0 780,2 593,7 504,0 354,7 234,0 179,8 159,3 141,5 141,1 169,2 240,6 387,9 516,0 543,4 530,4 491,1 471,9 398,6 341,6 324,6 339,7 471,8 700,4 672,6 737,6 567,0 392,1 332,7 158,9 70,4 29,2 11,6 0,0 0,0 11,4

92,5 532,3 451,2 521,1 613,9 724,6 700,4 325,1 161,1 443,8 613,9 645,4 446,2 284,4 31,1 58,0 450,8 537,4 606,3 876,1 655,0 410,3 297,9 192,0 182,6 183,0 182,1 224,4 235,1 318,5 422,4 535,2 537,4 472,0 436,8 429,1 324,7 343,9 319,4 339,7 410,3 639,6 755,7 798,6 607,7 350,6 233,6 81,2 43,4 28,6 23,2 0,0 0,0 29,2

87,5 399,6 431,2 606,9 762,2 794,2 722,3 296,4 184,3 389,9 610,6 654,9 443,2 296,4 58,4 100,6 482,7 599,6 597,8 753,3 640,9 396,8 242,9 193,3 208,9 234,4 235,3 278,3 313,1 363,7 482,7 542,7 502,7 420,6 369,6 300,7 184,3 150,2 170,6 186,7 337,8 516,5 657,4 687,5 593,4 324,7 190,4 99,1 38,6 34,1 29,9 13,8 13,1 58,3

82,5 397,9 482,6 650,2 919,1 879,5 692,2 369,6 190,3 325,0 569,9 599,3 435,5 341,1 187,9 225,3 490,7 592,3 617,5 616,1 582,7 376,0 244,3 208,1 235,1 244,9 283,3 333,6 356,9 426,9 508,9 535,9 476,5 357,6 256,4 174,4 97,1 68,0 38,1 64,5 159,2 341,8 531,2 531,0 509,6 330,5 189,4 132,6 92,7 77,2 77,3 65,1 80,8 103,2

77,5 416,5 479,2 630,3 837,9 798,0 733,4 595,5 281,6 207,4 339,6 394,5 365,8 380,9 329,8 333,3 482,9 615,1 699,7 589,0 490,6 367,1 269,8 249,9 270,7 318,7 325,7 363,8 372,8 438,7 512,1 531,2 436,3 326,3 174,3 70,4 29,2 17,9 10,8 3,8 41,4 195,9 385,0 430,9 429,1 332,8 224,3 174,4 149,1 140,6 159,2 181,0 192,1 184,3

72,5 416,5 482,8 601,8 646,1 601,0 760,7 764,3 436,8 173,7 191,7 231,6 333,0 385,0 482,7 342,4 425,2 630,6 797,0 611,7 447,1 365,5 248,6 243,8 266,5 314,0 332,8 368,5 357,2 441,7 499,0 519,3 420,8 273,7 104,9 17,6 22,1 16,4 0,0 0,0 4,2 113,6 268,6 386,4 395,4 326,0 244,0 223,0 209,6 194,5 233,6 307,9 343,0 247,4

67,5 351,0 422,4 550,5 534,4 395,1 646,4 843,9 536,8 219,6 174,6 168,6 294,5 326,0 432,1 411,1 333,2 477,4 782,0 669,4 491,1 243,2 205,7 274,6 333,2 334,3 340,1 327,5 324,8 414,5 472,7 495,6 397,5 243,8 100,4 13,6 14,6 2,7 0,0 0,0 0,3 92,2 242,5 344,9 370,2 319,0 259,0 238,6 240,9 241,5 309,0 395,2 431,6 326,0

62,5 353,3 369,3 425,7 472,0 317,5 478,7 773,0 594,8 389,1 217,5 143,6 228,9 298,8 353,9 329,2 190,5 159,3 613,2 737,0 535,9 36,1 177,5 296,0 294,9 332,9 288,5 242,8 255,4 369,3 424,2 436,8 366,8 257,3 134,0 38,7 18,2 7,9 0,0 0,0 10,2 78,4 224,7 337,8 368,3 331,1 267,6 242,0 268,8 325,0 363,9 434,3 445,9 357,2

57,5 385,6 333,0 342,0 397,9 235,3 245,0 639,6 531,2 437,1 261,0 104,8 113,6 165,5 292,6 318,2 235,2 141,2 541,2 735,8 498,8 29,2 159,5 332,7 288,5 319,2 241,5 187,8 208,4 309,6 369,1 395,8 349,6 252,4 185,5 112,8 30,9 10,9 2,3 1,0 25,2 115,9 233,9 317,9 339,9 331,8 268,5 263,0 295,3 341,8 397,3 442,7 441,1 366,8

52,5 236,9 242,3 272,0 318,0 205,7 240,3 512,9 435,5 401,7 238,6 104,1 78,3 158,4 173,6 283,7 429,0 502,3 530,6 687,6 450,8 61,9 190,3 394,4 248,6 245,0 145,0 121,6 166,9 227,2 329,2 352,2 342,7 281,1 237,2 198,6 100,9 44,7 18,2 22,1 44,2 148,7 236,2 311,7 339,5 341,2 292,8 283,5 318,7 342,7 395,4 433,7 417,5 348,0

47,5 183,0 181,6 190,2 188,3 186,7 209,5 348,7 368,9 325,7 209,4 107,6 99,4 100,4 209,2 411,5 591,6 634,7 502,3 613,9 440,0 165,5 345,9 339,3 240,9 159,5 134,0 76,1 117,4 187,8 263,0 332,8 339,6 306,6 245,0 244,3 166,8 91,9 58,9 58,4 84,3 173,3 238,9 321,4 364,3 341,6 368,3 325,4 330,5 356,5 368,9 407,7 383,3 334,3

42,5 115,9 97,5 100,4 100,6 104,5 178,7 244,9 224,2 219,6 171,0 103,6 89,7 86,4 242,9 508,8 630,0 583,7 472,7 536,2 460,2 471,8 482,7 326,0 190,3 140,6 78,1 58,4 104,5 174,6 240,5 326,0 334,9 318,0 265,9 238,9 185,1 116,4 99,5 99,5 136,2 190,4 244,0 335,5 409,4 436,9 442,7 394,4 341,0 328,6 317,9 326,3 324,3 317,7

37,5 26,2 28,9 29,1 71,8 91,6 107,2 174,4 185,2 113,4 98,2 99,8 98,2 140,2 324,6 584,7 665,3 584,7 472,7 356,1 412,7 636,3 543,3 305,4 175,4 106,6 62,1 38,7 99,4 169,5 238,1 319,0 341,4 333,3 284,1 238,6 192,0 173,6 145,0 146,6 174,4 187,8 244,6 376,0 430,9 506,5 518,7 437,4 355,0 316,6 280,1 242,5 238,6 247,4

32,5 1,4 0,6 12,9 17,7 38,0 97,8 105,0 104,9 100,4 102,5 104,9 104,9 190,1 326,0 616,1 699,4 613,4 446,2 209,0 352,2 581,3 503,4 235,1 172,6 115,0 80,8 38,4 104,7 183,9 240,9 319,4 342,9 339,2 282,5 232,0 193,7 184,9 174,3 175,9 208,1 219,6 283,9 424,2 470,2 557,4 597,4 512,1 366,2 324,3 257,3 211,4 188,0 232,5

27,5 0,0 0,0 0,0 0,0 18,1 39,3 61,2 71,8 100,1 141,1 112,5 107,2 174,6 235,2 548,7 662,9 620,4 411,6 159,5 296,4 439,3 471,9 240,4 190,4 157,5 117,4 98,7 146,2 204,8 242,9 324,7 333,1 342,4 283,3 235,3 224,8 206,7 190,5 206,7 224,7 235,3 329,2 399,6 445,0 615,9 687,2 570,4 403,2 339,7 237,9 185,2 169,8 195,4

22,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 23,5 45,1 68,6 132,6 192,2 176,5 108,2 76,0 108,9 232,9 555,7 565,6 400,6 224,7 311,0 404,1 386,2 294,0 234,4 190,1 192,0 187,8 204,2 234,2 259,9 317,5 332,8 356,5 319,8 270,2 246,1 238,6 233,8 240,8 244,9 264,9 318,5 339,6 369,3 673,3 755,7 600,1 442,7 369,3 244,8 176,2 159,4 187,8

17,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,4 37,9 66,3 161,6 333,1 282,5 191,5 146,8 187,9 226,0 442,4 506,5 415,6 278,3 317,5 383,0 369,1 335,5 269,4 259,3 282,0 318,8 284,1 268,0 268,7 296,9 330,5 341,1 342,4 333,3 317,8 283,3 260,5 295,7 276,3 268,7 306,6 341,1 342,9 762,5 781,9 607,2 510,1 397,9 242,6 177,5 160,6 174,9

12,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,6 31,1 68,0 185,9 501,2 546,6 421,2 296,9 244,3 338,6 414,2 450,6 422,4 348,7 269,8 375,0 383,9 371,9 330,5 333,0 384,2 443,2 376,0 319,0 280,1 285,8 327,5 347,0 374,6 390,8 342,9 326,0 333,3 333,3 298,8 289,9 339,6 354,7 472,0 734,7 700,4 626,4 562,2 386,2 234,1 175,7 166,8 179,8

7,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 29,2 91,9 234,1 545,4 645,6 596,3 502,7 400,2 438,7 446,0 432,1 430,7 379,8 328,0 332,7 399,7 394,5 375,0 396,8 445,9 543,8 432,6 341,8 297,9 284,1 329,8 353,3 399,1 430,7 382,0 344,9 363,8 365,5 324,7 299,8 349,6 363,8 531,4 722,0 634,7 616,9 573,2 348,7 231,6 180,7 175,4 184,5

2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,6 30,1 124,9 269,2 536,5 654,9 636,7 591,9 513,6 512,1 489,1 429,7 428,9 389,5 337,0 366,5 395,5 398,6 397,1 434,0 504,7 543,2 474,5 368,0 321,4 313,1 326,0 352,7 399,8 436,9 425,2 397,3 399,7 383,9 342,4 332,8 349,6 404,1 551,0 649,6 613,2 606,5 551,0 366,2 235,0 190,0 187,8 209,5

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 97,5 102,5 107,5 112,5 117,5 122,5 127,5 132,5 137,5 142,5 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 202,5 207,5 212,5 217,5 222,5 227,5 232,5 237,5 242,5 247,5 252,5 257,5 262,5

80

ANEXO F


302,5 221,087 224,093 232,918 244,851 257,242 268,311 277,599 284,105 275,24 244,652 199,591 166,211 137,414 111,661 92,6931 86,0669 88,9531 99,1326 116,014 137,513 161,506 184,608 198,375 185,581 163,611 141,411 123,442 112,425 105,461 99,3867 91,4593 80,9535 67,8185 54,7719 49,6343 44,1183 35,9353 28,3094 29,6413 32,5433 34,0514 34,1113 33,6293 31,8616 28,401 23,8754 20,8354 24,6287 30,4657 36,1008 40,5565 42,8678 43,58297,5 218,081 221,184 231,365 244,622 257,903 269,202 278,989 291,791 286,102 251,889 193,75 163,92 135,891 108,268 86,5223 81,3107 85,3065 95,7815 113,706 136,266 161,951 189,276 211,655 190,168 163,727 139,295 119,967 110,398 105,017 100,313 92,7485 82,2681 67,7743 50,8174 49,8234 45,4518 35,6568 23,8306 28,8561 33,2403 34,7755 34,3822 34,2722 32,708 28,9334 23,1326 17,4187 23,6068 30,5667 36,6906 41,6286 43,6674 44,2921292,5 208,869 211,197 226,734 244,371 260,545 271,605 277,365 317,966 325,487 283,053 159,6 159,828 133,963 98,9992 63,8171 67,347 75,1807 84,9808 106,761 131,896 160,754 198,892 268,8 199,711 161,832 132,076 106,731 104,183 103,896 104,1 96,9535 87,5961 70,1931 30,9 53,3902 52,2088 37,4094 2,5 28,7124 36,7862 37,428 34,3699 36,3693 35,7649 31,4922 22,3027 2,1 21,8133 31,5036 38,4661 45,6 45,8812 46,2535287,5 195,001 188 220,003 245,581 268,301 279,308 240,9 377,223 414,826 395,236 277,564 181,831 141,131 89,9486 2,4 49,0796 63,0884 62,2 96,4618 123,803 150,277 176,736 198,291 178,044 151,812 120,448 70,7 95,7052 102,284 103,953 103,37 100,97 94,502 82,7618 80,6287 72,5837 59,272 44,5968 46,7073 47,7641 43,7806 29,3 41,0702 42,49 38,9678 32,4862 25,6031 30,0429 35,1682 40,0703 45,2488 48,004 48,9594282,5 195,134 198,848 219,698 249,65 287,771 336,427 405,272 535,201 561,357 605,5 373,591 148,8 158,783 117,264 68,933 63,4829 65,8935 72,5476 93,0825 116,579 139,815 159,485 169,582 162,363 146,926 127,202 106,475 105,654 105,583 106,057 111,602 118,411 124,083 125,016 113,779 98,2254 82,4981 69,9077 65,7559 63,7824 60,6302 55,6932 56,1213 54,1571 49,4029 43,071 37,7832 37,5872 39,0559 41,398 47,321 51,9267 53,576277,5 187,839 192,561 210,291 245,55 296,705 373,357 508,562 796,95 689,902 583 462,499 317,354 227,935 151,393 92,5847 70,0256 64,4548 69,0146 86,7417 109,614 132,919 151,806 158,191 154,899 146,327 134,959 122,343 114,853 108,337 103,091 118,57 136,99 158,404 179,441 151,246 124,041 102,587 86,7803 82,6262 80,9792 79,2647 76,7214 73,5648 68,6143 61,4158 52,6117 44,8715 43,4666 42,0703 39,1447 50,7107 58,8056 61,4914272,5 171,098 173,267 183,353 225,555 280,141 351,733 458,668 661,779 818,3 673,085 576,053 430,18 284,211 167,786 79,9878 59,5799 52,8858 52,314 75,2558 102,217 130,44 156,631 156,476 152,716 148,523 143,966 133,084 123,078 109,821 79,4 122,599 152,573 193,101 283,1 187,721 144,106 117,029 92 96,9895 98,2437 98,7278 98,3629 92,8023 85,3193 75,0344 61,0884 45,6244 49,3376 46,6138 22,4 57,5712 71,0938 74,7781267,5 150,018 146,057 124,3 193,177 246,57 294,767 312,6 573,197 683,208 714,986 738,45 543,1 310,944 155,554 0 35,4206 35,1943 12,1 59,7501 93,5583 129,994 187,8 158,368 150,965 151,081 159,3 142,947 134,556 128,468 124,228 139,851 157,603 178,327 199,494 172,432 147,631 129,424 116,843 115,088 116,278 119,04 125,2 113,962 104,826 92,3143 71,083 27,2 61,6457 72,6474 74,3007 86,0804 93,2204 95,4335262,5 136,86 136,643 140,436 176,282 218,195 268,165 357,429 635,2 626,351 765,2 670,7 417,403 260,912 143,485 63,1236 46,9083 40,3707 37,7583 58,0865 82,2718 108,179 134,165 138,23 141,694 145,538 148,529 144,851 143,729 145,267 149,191 154,976 159,661 163,109 164,119 154,881 144,565 136,192 130,859 130,243 132,74 135,955 137,652 133,02 127,709 118,314 103,729 88,3542 97,3978 108,029 116,075 119,229 120,274 120,515257,5 124,138 123,218 124,519 153,32 181,762 202,27 213,75 235 421,796 500,237 442,6 194,9 171,816 94,3506 62,1011 48,7181 41,622 40,4762 52,5656 69,2638 86,2833 102,45 118,693 132,044 140,847 144,427 144,198 150,241 159,681 172,293 171,201 162,955 150,329 138,992 138,408 139,555 139,921 140,158 142,283 148,486 154,386 156,433 152,757 154,676 149,502 137,167 125,09 131,562 145,998 162,74 154,488 148,131 146,079252,5 113,255 107,574 81,1 130,719 153,262 145,404 60,3 214,361 325,595 371,353 343 224,775 137,102 0 42,2119 44,2412 36,923 29,9588 42,4359 55,9346 65,2404 70,66 102,049 126,941 141,381 144,132 137,272 153,358 170,923 209,1 194,582 170,627 136,259 103,114 120,203 135,325 143,778 147,568 150,246 164,533 176,672 180,936 166,9 188,736 187,85 170,347 143,275 157,763 181,659 234,4 187,852 171,681 167,54247,5 113,734 112,721 112,757 135,194 155,163 165,782 171,069 236,55 294,87 316,58 291,523 224,099 151,817 80,8689 62,5054 49,1118 31,8699 0 31,2847 46,7982 48,0838 12,9 91,9026 132,289 153,605 153,449 107,4 154,994 161,554 207,798 227,398 188,713 120,968 17 103,967 137,763 152,3 156,091 146,6 182,728 206,833 223,74 233,629 245,517 242,816 213,097 119,9 174,555 188,477 201,418 190,839 183,201 180,721242,5 116,237 116,821 122,014 142,138 166,414 191,493 221,644 265,901 300,754 308,574 282,411 228,282 165,198 109,153 77,8291 57,8305 41,445 28,2206 35,9048 51,8898 67,3965 81,139 120,372 156,709 187,3 208,66 211,897 197,664 112,5 233,141 318,5 235,859 141,9 124,858 140,9 159,462 171,567 177,896 184,88 212,947 244,191 273,562 298,36 316,885 324,8 319,326 256,351 232,078 196,277 191,954 190,886 189,564 188,939237,5 117,571 116,313 116,339 144,929 176,862 212,131 258,113 304,656 333,671 334,553 301,265 241,42 171,541 112,716 81,8273 62,9361 47,8591 35,5327 32,2242 57,4595 88,4735 123,887 151,737 186,873 230,227 281,993 333,864 311,266 279,679 293,765 329,04 294,323 238,641 199,632 175,312 187,617 196,612 199,045 202,078 239,987 283,423 327,955 369,366 398,864 445,198 483,056 354,1 301,13 172,6 179,235 191,185 195,232 195,907232,5 121,422 114,52 82,1 144,379 183,974 222,057 294,022 360,937 394,721 394,7 346,678 264,591 166,829 88,3432 73,8278 64,2275 51,5226 33,8266 0 57,2503 105,151 174,2 175,817 208,819 264,742 355,221 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406,1 427,464 404,761 399,046 304,275 265,285 270,804 294,018 319,515 326,78 320,542 0 435,679 739,8 455,952 238,065 246,368 262,161 266,578 264,111 259,408 258,967 277,699 303,169 325,663 332,118 300,073 252,835 208,579 188,638 174,847 159,191 142,796 138,153 173,429 219,254 259,882 288,64 303,625 308,442 307,884 308,411 329,008 354,555 379,128 390,324 385,63 382,29852,5 295,7 298,673 311,218 320,617 314,204 292,1 326,817 323,434 303,148 252,587 211,402 222,736 245,973 276,624 252,6 498,7 433,929 479,614 576,949 417,283 249,943 295,722 284,577 264,943 242,745 217,607 195,661 230,872 268,219 298,199 314,52 295,064 267,566 242,549 213,652 190,042 167,848 145,031 129,292 174,883 224,185 264,826 293,15 310,335 317,11 314,212 295,7 335,268 365,316 392,49 382,817 372,182 368,13347,5 227,446 224,4 243,519 255,029 258,102 256,443 264,27 259,01 237,525 191,521 105 162,767 190,512 288,409 397,109 575,427 757,4 471,9 671,1 386,288 48,7 402 315,484 265,871 224,319 172,614 75,2 181,907 240,637 284,393 332,7 298,098 279,814 280,4 233,38 203,822 177,126 140,189 59,1 172,625 237,779 282,085 308,8 327,454 335,45 336,156 334,754 351,049 378,951 442,7 376,274 352,145 345,87242,5 165,285 167,693 183,429 197,877 206,734 211,299 214,809 210,811 196,421 170,974 140,067 132,82 64,9 289,392 472 648,5 411,4 449,875 395,5 408,069 376,817 376,697 309,488 258,738 216,044 173,332 139,136 180,918 228,03 266,037 290,448 284,815 273,192 260,458 235,644 214,741 196,646 179,499 169,48 218,738 272,221 316,934 341,127 355,233 361,078 360,209 356,109 355,222 356,741 357,761 327,433 314,254 311,06537,5 98,309 97,6578 124,629 146,314 159,658 167,209 172,857 173,003 166,375 155,886 151,475 163,546 199,026 332,258 473,146 560,841 513,735 520,7 431,817 473,673 673,8 418,485 287,031 243,551 207,786 165,535 127,093 174,6 224,527 261,276 278,24 277,522 267,68 252,597 233,997 222,85 215,218 211,682 220,582 260,626 315,435 372,302 383,539 391,274 393,42 387,491 374,253 356,989 335,028 304,169 261,443 266,371 269,88232,5 32,6352 0 71,1143 103,092 118,376 125,023 136,407 141,969 140,189 134,719 146,402 170,863 235,4 367,467 527,486 607,982 562 445,165 337,397 381,005 432,937 336,411 176,6 220,649 206,015 153,928 29,1 165,862 234,204 276,298 283,714 279,353 267,41 248,253 224,898 227,444 229,694 231,428 240,54 287,75 356,589 473,3 429,455 432,905 433,838 422,083 396,422 363,454 322,215 262,443 147,8 219,905 235,72127,5 32,2319 31,2968 56,7364 76,5647 85,7291 78,1 105,779 118,279 117,692 96,4 128,55 138,103 238,6 374,723 661,35 781,6 539,586 360,563 91,6 280,014 340,533 317,622 264,973 256,429 241,699 215,061 185,397 225,544 270,129 326 300,965 288,765 274,355 248,105 189,9 232,333 244,688 243,796 222,4 293,245 349,872 405,447 428,075 477,051 486,945 470,578 425,9 378,19 327,934 275,588 226,044 229,727 233,19422,5 33,6987 36,2188 47,9696 60,7014 69,8761 75,5682 90,3297 107,675 115,9 156,625 133,294 14,4 193,764 231,474 58,1 505,9 454,181 365,901 275,936 306,916 331,561 328,569 309,24 298,394 289,292 279,219 271,882 280,788 294,768 309,324 305,38 300,388 293,138 279,913 261,069 267,299 272,928 276,667 282,407 312,957 344,207 370,539 400,348 560,278 566,314 547,385 477,248 395,471 335,745 285,93 251,063 239,764 237,617,5 30,1254 31,9102 38,2218 48,3952 57,5055 63,9672 72,2969 106,191 150,599 280,906 233,6 247,935 290,58 299,311 283,787 398,123 405,335 372,925 339,328 340,152 350,226 355,855 345,023 338,616 337,855 340,64 342,126 330,96 318,83 311,147 310,842 314,27 317,896 317,341 307,164 302,865 303,059 307,539 317,603 331,968 343,461 332,156 242,5 797,4 670,648 675,4 540,237 390,7 333,644 281,324 252,515 240,665 237,67812,5 22,9826 23,0747 24,6121 37,152 47,7836 50,4983 28,7 94,1914 99,4 582,8 637,9 453,161 421,311 391,403 379,615 397,469 396,113 381,136 368,3 364,138 373,337 399,6 376,382 373,193 382,872 403,362 425,021 382,094 338,445 305,591 312,573 327,954 346,835 364,389 347,382 333,939 328,903 332,826 348,5 353,851 365,512 372,123 358,1 660,2 643,478 629,865 617,6 428,302 326,806 253,209 237,006 232,706 231,787,5 15,6554 12,7941 0 27,8171 45,9785 61,5425 82,7043 142,475 233,003 433,184 515,124 505,497 550,1 465,374 445,8 416,024 400,51 387,208 377,737 374,761 379,384 388,486 387,711 394,902 417,079 464,915 572,5 433,952 347,266 260,2 305,903 338,139 377,099 446 384,037 356,606 345,787 346,361 355,951 369,425 392,612 432,726 515,545 737,1 613,2 582,98 519,42 378,1 292,07 167,7 209,594 221,372 224,0292,5 14,0508 12,4463 10,146 28,1378 46,7709 66,9889 98,0996 160,001 256,954 401,809 483,915 503,602 519,499 474,194 446,528 420,318 402,696 389,447 380,677 377,788 380,951 387,25 391,075 401,626 425,625 466,718 511,416 433,947 356,468 297,392 312,699 341,6 377,424 413,895 386,158 362,662 351,279 350,879 359,517 375,288 402,783 450,623 534,256 655,311 612,787 569,436 498,999 387,719 295,676 210,843 212,297 219,159 221,594

2,50 7,50 12,50 17,50 22,50 27,50 32,50 37,50 42,50 47,50 52,50 57,50 62,50 67,50 72,50 77,50 82,50 87,50 92,50 97,50 102,50 107,50 112,50 117,50 122,50 127,50 132,50 137,50 142,50 147,50 152,50 157,50 162,50 167,50 172,50 177,50 182,50 187,50 192,50 197,50 202,50 207,50 212,50 217,50 222,50 227,50 232,50 237,50 242,50 247,50 252,50 257,50 262,50

81

ANEXO G

Krigagem para 150 amostras, baseado no variograma teórico esférico

302,5 0 0 0 281,936 186,355 186,355 173,181 187,4 241,675 295,347 311,741 208,606 112,846 66,0849 28,1486 27,3809 31,0589 81,094 130,972 108,79 153,025 184,457 208,606 184,868 154,89 109,527 95,9919 85,9673 97,6749 100,215 102,004 98,3374 78,3926 58,3016 31,2126 58,2193 65,3397 58,3838 58,3016 58,7129 55,0287 33,8917 29,4109 28,2079 26,0539 15,5613 7,11147 9,39569 17,4001 23,3219 27,9817 20,2929 0297,5 0 0 228,322 249,166 184,868 185,142 174,449 208,466 285,14 324,156 326 254,701 161,336 59,042 17,2921 17,1571 28,8339 65,3397 104,892 169,01 167,013 187,988 241,408 190,681 171,103 113,214 83,8993 79,0975 90,7552 99,7484 100,881 94,9696 81,7414 63,6265 36,0405 66,5816 73,5312 74,7092 59,2437 58,3016 58,6307 39,1102 29,4709 28,673 26,6351 14,6163 3,65183 6,78516 16,8606 27,3142 29,1602 29,0326 25,0888292,5 0 0 197,104 234,661 182,727 167,277 179,568 182,511 280,968 349,034 371,72 324,515 172,897 53,5305 4,11206 9,722 17,3191 30,9974 100,506 167,321 167,409 190,681 243,638 209,027 174,039 122,485 79,0387 78,3338 83,8993 97,4541 99,8944 98,6687 97,6749 80,6624 70,9788 79,7992 80,2308 78,6275 66,83 62,8961 63,6265 58,6307 31,0896 29,1821 27,9817 17,0221 4,45723 6,94833 17,3731 28,0818 29,1529 31,6428 29,4709287,5 0 184,549 184,914 212,554 177,603 167,189 144,227 188,108 325,38 443,591 471,742 343,686 175,966 41,545 4,57229 2,18518 13,317 31,3662 96,7585 90,0186 128,36 187,977 235,205 208,325 174,348 127,707 94,4585 82,3887 84,8624 92,9251 99,7776 100,245 107,198 108,053 104,398 100,274 95,7363 87,4405 76,9385 71,1751 72,7458 71,7641 58,7541 32,0499 28,9048 21,8074 11,6051 11,6051 17,859 28,3629 30,1906 31,6736 29,4109282,5 0 174,247 174,314 189,87 160,921 113,952 147,633 208,933 334,396 476,934 505,678 438,992 185,31 41,545 3,76688 0,04025 9,06936 29,4709 88,5454 82,8203 146,925 185,051 220,35 187,977 173,917 145,662 102,753 91,1234 94,7141 93,1807 98,0062 105,551 124,676 158 167,057 123,167 100,157 90,7552 80,4466 78,8038 78,6275 83,2519 78,1576 61,1916 30,936 27,8148 11,7706 11,7154 28,2252 62,4091 31,0282 33,8917 29,1821277,5 0 167,321 167,145 187,919 169,309 111,739 153,025 223,631 348,007 479,552 549,901 472,744 186,057 31,2433 2,17097 0 2,25622 28,9616 79,1562 78,0974 124,301 174,415 189,099 182,295 168,711 148,049 118,939 99,7776 93,1807 96,7585 93,1807 112,108 137,502 176,948 189,76 141,356 105,057 98,227 89,282 91,8601 92,414 100,099 99,7776 78,51 58,3427 29,1894 18,526 17,2111 28,9048 66,83 106,868 124,676 171,103272,5 0 166,926 163,824 187,908 124,817 108,053 152,403 224,807 332,759 481,875 565,488 478,505 174,752 28,8481 0 0 1,2103 28,3974 74,9055 79,0387 102,753 148,671 175,311 167,057 148,671 147,118 136,196 117,612 99,836 102,566 100,693 121,804 145,184 174,752 187,827 130,972 104,727 99,9527 98,3374 100,04 104,398 118,143 122,485 98,3374 74,5128 38,8032 28,7061 28,1486 31,3662 77,3248 136,196 184,503 208,372267,5 0 173,855 173,549 189,65 123,394 125,146 147,44 187,102 326 465,979 498,793 380,361 145,184 19,2833 0 0 0 19,0308 65,5881 73,1385 91,1234 105,551 122,939 123,167 124,075 126,402 124,441 124,394 106,374 123,394 124,911 130,972 136,849 147,633 145,184 109,159 100,04 100,04 101,255 106,703 121,122 127,054 136,196 108,053 88,5454 79,5834 31,6736 31,6736 75,1018 104,064 155,512 186,505 208,559262,5 0 185,005 184,914 214,113 120,895 124,582 177,603 272,45 374,367 496,505 499,01 340,019 104,064 2,31305 0 0 0 20,7977 49,036 70,7825 75,2644 78,4513 79,0387 100,07 118,408 127,054 122,485 124,075 127,054 158,622 166,97 166,726 149,915 105,88 92,1585 92,9251 98,5583 101,63 106,045 122,712 147,504 147,182 148,049 146,989 156,756 102,941 78,3926 76,2946 101,63 142,791 174,101 188,328 215,672257,5 0 208,419 208,325 236,021 184,731 167,145 230,471 324,574 374,896 482,625 475,362 324,634 91,1234 0 0 0 0 18,0212 38,8032 39,4171 69,0656 32,0499 31,0589 80,4466 117,612 135,543 120,895 151,159 187,884 187,251 185,758 183,159 154,268 92,9251 31,6736 72,1568 90,3869 104,064 118,939 143,748 173,365 174,651 171,402 174,247 187,942 167,673 114,32 106,374 174,039 181,431 187,884 208,559 223,778252,5 0 0 236,021 294,7 243,543 186,505 214,892 303,954 375,425 478,505 463,739 285,678 78,2751 0 0 0 0 19,2833 58,6307 36,6544 59,9741 29,2259 28,8197 78,8625 121,349 147,311 124,958 183,59 247,32 268,426 244,304 209,073 173,304 83,6835 27,0613 45,2905 90,7552 109,896 124,817 167,321 186,206 173,794 184,457 223,043 244,114 244,019 186,355 174,617 236,293 285,678 315,635 324,873 280,484247,5 0 0 309,146 366,614 203,526 209,435 189,65 264,836 368,227 472,22 451,036 281,291 78,2163 0 0 0 1,58471 27,8816 27,7814 58,9597 45,2905 31,5199 53,5305 100,011 149,293 184,022 187,965 246,398 329,088 334,396 332,747 281,452 187,85 100,319 36,9614 60,2176 98,5583 108,79 146,731 175,966 216,452 203,526 249,166 328,289 351,554 373,837 333,142 324,455 333,118 341,447 333,142 332,807 331,885242,5 0 239,806 239,54 437,479 208,886 208,793 184,022 255,624 367,959 479,029 471,98 281,775 76,037 0 0 0 3,47924 12,2672 28,182 49,036 54,2796 68,072 88,5454 120,214 175,966 234,117 326 336,739 369,602 446,044 448,099 337,208 238,197 147,182 83,2519 84,8624 104,563 127,707 167,013 186,505 188 250,088 335,334 442,322 484,284 520,053 499,613 478,505 475,362 443,966 367,555 342,299 333,023237,5 0 0 359,467 373,837 244,209 208,933 213,333 286,755 364,743 479,552 483,221 325,864 98,5583 0 0 0 9,06936 27,1 58,2193 71,1751 58,5072 86,3356 122,712 121,576 174,28 282,259 465,979 442,841 445,466 487,208 499,01 445,653 310,444 192,822 136,196 124,911 129,013 169,907 174,449 208,466 226,71 311,741 447,512 499,288 562,317 617,191 617,265 585,512 566,756 487,994 460,751 430,97 369,073232,5 0 0 465,232 471,92 199,245 174,651 168,412 295,131 366,211 355,071 341,305 231,008 77,7111 0 0 0 13,4351 58,5895 80,8782 79,7992 66,5816 97,0141 143,748 132,278 174,516 292,115 482,609 466,726 471,41 489,227 583,183 484,284 350,21 294,916 190,681 185,908 180,999 185,188 187,251 227,785 264,836 332,951 482,955 561,683 592,946 687,31 687,41 617,509 603,882 510,669 481,123 444,528 382,97227,5 0 481,123 445,841 449,568 268,426 228,322 186,355 266,374 344,406 449,861 472,744 350,063 157,378 17,805 0 1,53791 26,4413 74,5128 106,539 97,2697 82,3887 87,4405 121,349 127,054 168,412 244,685 384,274 446,044 470,812 488,268 566,122 499,288 450,155 369,602 329,488 293,623 242,209 236,293 228,859 266,887 306,55 349,181 486,677 549,333 597,645 660,045 667,133 617,397 601,568 530,392 482,524 447,806 384,274222,5 0 598,938 598,938 683,471 327,49 281,452 301,359 332,878 449,861 512,229 596,029 553,024 280,807 62,6526 11,7154 17,4001 30,7903 96,2474 127,707 99,7776 78,8038 70,9788 90,7552 103,503 146,86 188,989 315,635 346,566 423,921 486,677 503,656 471,942 440,203 471,144 471,914 399,93 332,854 323,671 280,645 254,701 326 366,883 482,038 498,762 571,231 611,375 612,107 599,055 579,278 511,841 480,6 445,278 374,367217,5 489,364 598,938 687,385 665,038 348,367 281,13 305,252 340,956 471,914 534,613 679,919 687,347 468,22 129,666 30,7903 30,6103 100,506 174,785 170,804 92,6696 75,6507 61,4351 57,276 76,4234 99,8652 145,184 190,681 289,446 329,887 399,93 451,693 362,984 363,863 453,062 542,246 475,362 348,593 326 322,067 244,685 224,513 321,666 375,425 482,63 499,195 527,506 557,245 531,025 515,582 488,542 470,812 436,912 367,018212,5 489,364 598,938 776,644 702,122 481,123 247,32 238,197 470,461 501,129 588,81 783,053 868,872 587,436 240,34 100,274 123,621 167,541 181,647 181,647 79,3324 99,7193 58,6718 27,9817 31,3662 48,2869 81,5256 123,621 180,999 208,653 284,064 332,842 301,359 307,848 426,349 583,112 498,917 423,921 319,26 292,977 213,333 186,654 263,297 333,459 452,378 471,742 471,997 482,614 471,991 472,22 468,967 441,716 377,752 167,541207,5 489,364 787,675 764,283 696,516 470,812 335,802 373,837 447,806 530,49 638,427 882,284 894,026 699,017 468,967 251,011 227,785 232,619 275,22 147,118 80,015 77,8399 49,036 26,7513 26,0926 27,8816 30,7303 65,3397 100,245 119,47 160,507 174,516 173,12 187,251 325,811 472,22 462,245 345,126 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34,5057 99,4416 166,926 173,304 185,051 243,543 303,954 330,686 362,105 455,801 456,485 335,80257,5 569,661 520,053 495,628 408,927 224,072 169,309 532,323 616,152 587,161 471,958 326 232,082 259,314 348,887 482,684 581,067 584,412 533,086 636,883 699,463 663,165 594,179 530,879 436,912 317,657 214,113 177,603 189,099 323,27 365,622 427,009 342,015 252,856 174,718 102,192 32,3569 17,4271 3,01901 0 2,29884 25,3412 55,7778 103,503 139,921 182,079 196,033 264,836 325,972 345,126 417,923 463,739 446,044 339,55152,5 549,617 487,858 379,057 275,912 167,057 187,549 468,967 577,041 531,073 444,716 292,546 187,908 179,896 281,291 471,808 509,644 524,056 499,102 616,613 698,749 663,79 600,334 530,636 377,752 256,546 174,213 114,958 160,507 243,258 331,086 343,686 340,488 287,832 227,785 185,005 96,503 31,4277 27,8148 19,5357 26,7901 28,3285 58,8363 125,146 181,215 208,606 224,219 285,14 324,335 363,863 431,63 447,512 425,42 339,08247,5 543,009 471,931 333,047 218,011 147,182 182,727 326 467,473 467,473 384,274 284,602 173,855 136,196 267,4 453,747 523,711 529,921 487,208 612,595 687,497 679,919 611,863 495,628 350,063 230,471 132,278 77,4536 109,159 188 272,45 332,285 333,118 319,26 244,495 243,258 154,268 95,2252 68,072 61,4351 58,2604 72,3532 98,1166 146,731 173,426 187,908 291,599 318,86 325,327 327,091 333,459 366,883 350,063 32642,5 483,753 349,769 265,349 114,958 99,836 143,27 244,019 341,944 363,863 338,145 232,082 174,785 97,4541 243,638 471,914 559,147 561,683 527,506 604,192 650,682 645,509 610,033 511,108 341,447 203,526 121,122 65,3397 81,3098 169,608 240,874 326 332,878 324,694 273,142 240,34 180,551 125,193 107,033 102,004 97,4541 102,192 122,939 174,752 220,35 307,848 325,649 326,691 331,486 326,691 326 325,811 324,215 325,21937,5 471,277 343,325 239,54 106,209 77,0672 105,88 189,32 322,468 337,676 324,215 242,475 176,621 121,576 208,98 367,555 490,048 521,171 523,366 601,239 630,186 614,001 599,408 498,948 346,566 232,619 121,804 58,7129 78,1576 163,409 232,082 324,814 333,261 332,735 294,27 242,209 188,218 178,586 167,233 149,915 146,86 147,44 165,482 187,699 307,848 326 335,334 347,287 339,551 328,689 297,465 244,304 237,109 265,86232,5 471,808 348,367 106,209 78,3338 71,1751 91,8601 149,293 223,925 216,452 226,71 210,994 187,85 174,752 183,374 280,484 413,425 482,614 489,911 551,32 597,88 592,637 574,357 491,247 350,504 243,163 147,246 58,425 93,4363 173,61 240,34 324,694 334,865 332,842 293,408 232,082 197,104 187,896 185,31 184,457 184,731 181,863 236,293 209,027 326 345,126 367,286 398,622 358,588 332,842 280,645 188,218 184,686 222,45427,5 268,987 187,896 122,939 80,8782 62,8961 69,0656 100,881 165,897 182,511 187,988 147,697 173,242 185,908 156,134 179,241 325,165 436,912 471,925 510,669 568,875 573,462 564,854 500,624 369,602 293,839 185,46 101,442 124,629 184,457 243,543 325,111 327,49 333,189 292,331 240,874 226,173 223,337 213,333 231,008 228,322 245,475 280,484 273,835 325,649 356,829 464,486 462,992 438,387 341,447 266,374 180,223 169,01 189,20922,5 64,357 167,101 148,049 76,9385 58,7129 52,7814 76,9385 82,6046 167,277 143,27 154,89 167,814 170,505 112,108 101,63 234,661 332,866 428,329 482,614 523,711 530,684 517,259 498,979 440,808 333,189 269,68 187,85 185,142 215,672 260,733 319,661 326 340,488 324,395 286,755 271,065 261,759 259,314 267,4 280,645 293,408 314,337 294,485 332,854 398,622 483,753 490,808 474,839 360,346 263,81 176,621 167,277 185,00517,5 64,357 61,4351 139,442 79,5834 58,5484 31,1204 55,0287 74,7092 146,796 145,662 167,233 168,711 143,27 96,503 95,9919 186,803 295,347 348,74 452,035 490,808 496,067 496,943 482,092 460,751 408,927 345,846 329,088 288,908 267,4 277,99 295,347 325,918 332,759 332,795 327,49 324,754 314,337 316,933 324,455 325,219 326 326 324,156 341,589 441,414 509,937 541,483 510,376 429,65 281,775 180,551 167,101 180,78412,5 118,408 59,042 58,425 78,5688 43,0432 29,8907 29,2697 62,6526 114,958 147,311 167,673 163,824 123,621 93,1807 102,004 179,568 262,272 332,759 388,187 479,029 473,791 482,63 454,774 477,981 471,909 471,675 480,076 359,467 324,873 287,832 287,832 325,434 332,831 342,157 355,95 334,865 331,486 331,885 337,208 334,396 333,284 325,434 332,878 348,007 448,98 531,268 587,986 568,875 451,693 294,7 182,079 167,541 181,4317,5 0 107,033 98,7791 99,8652 65,0913 30,936 29,1748 63,6265 117,346 167,277 172,299 159,677 118,939 95,9919 99,1104 181,647 241,141 325,434 366,749 455,458 447,219 460,004 456,143 485,082 491,247 503,151 549,901 468,22 336,271 306,55 285,14 325,38 332,878 366,346 436,251 350,652 341,66 341,518 355,95 344,766 342,299 326,691 333,459 439,598 452,378 551,32 599,525 583,254 471,543 324,455 186,206 173,855 187,9192,5 0 0 0 79,3912 78,51 38,1893 30,2505 49,7851 85,9673 173,181 174,28 163,824 120,441 99,6625 100,215 166,97 236,293 326 365,622 374,367 402,929 441,716 449,274 470,745 509,937 530,879 552,172 481,821 355,95 325,703 307,848 324,933 332,819 366,346 443,403 426,349 349,475 372,249 371,72 352,433 349,916 331,486 333,928 426,349 477,981 527,506 583,254 568,875 471,986 326,691 221,909 187,549 208,606

2,50 7,50 12,50 17,50 22,50 27,50 32,50 37,50 42,50 47,50 52,50 57,50 62,50 67,50 72,50 77,50 82,50 87,50 92,50 97,50 102,50 107,50 112,50 117,50 122,50 127,50 132,50 137,50 142,50 147,50 152,50 157,50 162,50 167,50 172,50 177,50 182,50 187,50 192,50 197,50 202,50 207,50 212,50 217,50 222,50 227,50 232,50 237,50 242,50 247,50 252,50 257,50 262,50

82

ANEXO H AC IB para 150 amostras.

302,5 201,193 202,44 206,114 211,228 216,676 221,354 224,123 223,796 219,182 209,248 193,466 172,332 147,94 124,435 108,274 106,033 113,487 126,385 142,372 160,301 179,202 196,668 205,485 190,401 167,191 144,092 125,441 114,036 106,937 101,076 94,0692 85,0018 74,0985 65,174 68,2742 72,9965 75,145 74,1001 70,337 64,5531 57,6993 51,2704 46,8482 42,8416 38,0751 32,9592 30,8171 39,1905 50,2479 60,1866 67,6682 72,2523 73,7924297,5 199,945 201,228 205,393 211,06 217,062 222,308 225,67 225,94 221,842 212,173 196,141 173,962 147,497 120,763 101,315 101,184 110,765 124,841 141,401 159,816 179,92 200,992 217,435 194,464 167,136 141,867 121,817 111,884 106,318 101,648 95,0997 85,9198 73,1091 59,1616 67,4632 74,2834 76,7418 75,4591 71,3474 65,088 57,4868 50,2671 46,6403 43,2216 38,2499 31,4722 25,5595 37,8484 50,8073 61,4151 69,117 73,7744 75,3324292,5 196,132 197,133 203,171 210,558 218,203 225,147 230,311 232,45 230,074 221,459 204,965 179,876 147,322 109,806 75,0365 86,6259 103,548 120,813 138,575 157,64 179,669 209,945 268,8 202,884 165,02 134,425 108,077 105,364 104,803 104,1 98,7612 90,4684 73,2567 30,9 68,1336 79,9321 82,0796 79,6473 74,5056 66,9648 56,8926 45,671 46,2244 45,1544 40,2306 29,1204 2,1 35,8366 53,7176 65,5496 73,6104 78,3956 79,9887287,5 190,317 188 199,599 209,798 220,047 229,765 237,976 243,474 244,546 238,625 222,383 193,257 152,109 96,1009 2,4 66,7347 95,9873 116,287 134,447 152,501 171,172 190,317 205,442 183,253 155,635 122,738 70,7 96,693 103,43 105,121 105,377 103,936 98,5493 88,7708 94,2389 95,2318 91,9972 86,5448 80,0627 71,3732 57,4478 29,3 47,432 50,9412 48,3975 42,6787 37,3487 49,6803 62,6769 73,4553 81,3792 86,2092 87,8309282,5 189,137 190,221 197,427 208,989 222,42 235,89 248,354 258,925 266,012 266,111 252,684 218,659 171,756 120,089 74,8482 81,9256 97,3798 113,9 130,426 146,745 162,202 174,711 179,398 169,05 151,529 130,191 108,259 107,278 107,103 107,576 113,69 121,349 128,234 131,395 124,82 114,759 104,132 94,4719 87,8274 81,0174 72,2253 62,0931 63,2622 62,7809 59,7396 55,8484 54,9357 62,859 73,8546 84,2156 92,2418 97,231 98,9166277,5 185,79 186,318 190,9 206,313 224,752 243,022 260,624 277,86 294,466 307,123 303,584 256,939 196,168 137,651 94,978 88,7398 97,7061 111,509 126,611 141,85 156,18 166,925 168,389 162,022 151,238 138,238 124,867 117,055 110,13 104,39 120,456 139,538 161,641 183,755 158,886 134,853 115,302 99,3828 95,7577 92,6435 88,3429 83,5851 80,7428 77,1805 71,9318 66,0394 63,6868 72,9653 85,6668 97,3107 106,142 111,556 113,374272,5 181,386 178,361 173,542 200,608 227,254 250,823 273,261 297,425 326,867 364,332 397,59 309,344 218,328 139,367 78,6736 80,3495 93,1961 107,817 122,66 137,863 153,744 168,42 165,211 159,412 153,164 146,655 135,917 125,947 111,97 79,4 124,206 154,705 195,039 283,1 192,114 150,464 122,839 92 103,177 105,456 104,918 103,162 98,9432 93,2666 84,7676 72,6908 60,8066 79,6487 98,5365 113,219 123,457 129,479 131,465267,5 183,034 172,197 124,3 195,325 232,833 259,754 284,172 311,713 351,245 425,747 613,1 364,519 228,433 122,815 0 60,7887 86,912 103,902 118,351 133,196 152,514 187,8 164,622 157,249 155,352 159,3 146,199 138,847 132,401 126,863 142,263 160,036 180,709 201,708 176,009 152,049 133,592 119,798 119,494 121,086 122,71 125,2 118,602 112,175 101,181 79,1497 27,2 86,2866 115,612 133,57 144,99 151,438 153,528262,5 206,354 203,095 197,527 223,557 249 271,187 291,961 314,011 340,652 374,311 402,364 307,201 208,068 123,461 69,3198 75,8933 89,7613 102,527 113,646 124,059 135,314 147,921 148,228 149,611 151,696 153,318 150,733 150,839 151,926 153,386 157,948 162,468 166,051 167,016 158,163 148,131 139,68 134,108 133,915 136,685 139,638 140,833 138,09 135,65 128,632 115,527 102,149 122,686 144,053 160,46 171,496 177,753 179,772257,5 236,193 236,3 239,156 252,377 268,424 284,031 298,473 311,718 323,042 328,481 314,844 253,851 173,179 93,6411 77,9248 83,7032 93,713 102,8 109,647 114,078 116,761 120,344 130,758 141,271 148,501 151,545 152,575 161,852 171,076 176,809 173,675 165,838 154,011 142,143 141,496 142,631 142,89 143,038 145,374 152,099 158,323 160,405 157,275 163,704 162,17 152,176 143,183 158,255 177,455 192,721 202,781 208,307 210,053252,5 265,819 266,756 270,421 278,37 288,289 298,041 306,183 311,346 311,315 301,729 274,68 220,182 137,154 0 65,035 87,2819 98,5876 105,311 108,065 105,845 97,3095 85,9354 113,188 136,213 149,495 151,784 146,169 172,919 193,716 209,1 194,104 173,198 142,011 106,05 123,045 138,009 146,211 149,781 152,442 168,015 181,148 185,191 166,9 199,72 204,168 187,826 160,151 189,696 214,791 230,189 238,6 242,641 243,827247,5 293,572 294,485 297,4 302,394 308,319 313,663 316,872 316,167 309,145 292,438 261,964 215,044 155,254 95,3696 94,9334 101,802 108,044 111,793 111,456 103,928 80,6964 12,9 99,8458 140,899 161,481 159,926 107,4 189,94 221,768 231,731 220,442 190,839 134,786 17 106,625 140,149 154,165 157,431 146,6 186,37 213,063 232,311 245,031 264,109 266,957 234,808 119,9 225,587 261,824 274,644 278,788 279,828 279,975242,5 319,499 320,21 322,302 325,487 328,929 331,418 331,476 327,304 316,661 296,915 265,694 222,777 173,447 131,292 117,527 116,948 119,995 122,361 122,037 117,714 108,648 99,4023 132,396 166,058 195,602 219,04 232,732 257,672 271,686 275,613 265,093 234,93 189,294 139,074 146,308 161,795 172,87 179,179 186,916 217,803 252,424 285,959 316,805 344,727 364,744 364,547 323,63 330,928 332,275 327,775 322,079 317,909 316,417237,5 344,004 344,555 346,11 348,321 350,494 351,604 350,31 344,912 333,278 312,868 281,118 236,924 184,464 138,823 126,935 128,467 132,625 135,62 136,618 136,243 136,781 143,665 164,277 195,334 235,829 287,901 346,816 336,33 331,69 333,944 329,386 294,496 248,386 203,692 177,738 187,852 196,342 199,499 204,08 245,504 292,869 342,296 391,505 433,249 482,743 535,008 479,144 442,22 408,574 382,101 363,846 353,31 349,877232,5 367,407 367,895 369,262 371,195 373,123 374,194 373,249 368,755 358,673 340,159 308,986 259,338 188,663 112,602 122,924 137,36 146,42 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376,765 437,56 507,348 518,93 537,427 559,417 559,034 553,028 496,976 450,652 419,887 402,697 397,188217,5 431,345 432,121 434,456 438,362 443,821 450,712 458,688 467,084 475,418 487,216 531,794 559,055 416,722 285,766 241,212 229,567 224,043 216,308 205,032 191,027 175,832 162,149 156,236 170,902 195,911 227,506 266,008 301,637 336,819 371,056 392,422 391,386 395,41 418,105 452,821 396,323 351,398 327,885 323,644 338,984 370,964 417,943 482,6 479,754 489,836 501,707 503,804 490,8 460,448 430,605 408,28 394,959 390,567212,5 449,919 450,835 453,644 458,529 465,776 475,677 488,244 502,478 514,342 509,2 651,462 889,5 520,528 292,144 264,881 263,472 257,963 245,216 226,575 203,269 175,546 143,348 112,429 132,233 153,837 174,657 216,987 259,153 300,995 341,299 350,744 360,103 386,157 454,241 636,6 444,023 365,79 332,9 321,316 328,817 350,164 380,647 413,27 427,65 440,456 453,772 463,675 445,922 423,408 403,041 387,668 378,293 375,16207,5 466,662 467,655 470,754 476,334 485,076 497,974 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683,58 702,6 543,221 418,889 454,365 496,654 526,269 548,587 568,018 586,302 603,006 615,345 616,084 582,4 673,754 625,805 564,951 508,254 456,127 407,609 362,912 327,381 335,341 358,374 393,7 446,934 547,2 462,139 426,786 409,372 366,055 331,297 308,682 301,68 326 267,571 237,834 217,685 199,396 178,174 150,621 120,117 134,532 144,14 142,784 130,395 111,557 126,893 133,66582,5 675,15 689,94 747,21 915,6 791,868 676,494 496,759 174,8 396,236 478,091 517,41 543,18 565,405 587,304 608,4 624,593 627,64 611,285 612,811 588,255 549,814 506,756 463,845 424,025 390,406 368,171 365,823 378,061 401,049 430,621 455,334 420,364 380,33 345,347 313,408 287,952 268,992 257,129 251,945 231,837 217,036 206,131 196,049 184,845 172,579 163,616 169,184 178,261 185,08 188,157 188,94 193,726 195,86977,5 661,04 674,76 720,057 804,826 891,8 714,748 592,521 461,677 477,687 502,064 522,1 541,318 563,119 589,109 618,697 646,987 658,598 622,291 577,948 564,59 539,294 505,113 468,471 434,239 406,515 389,076 381,717 386,998 401,812 419,167 423,151 383,652 328,825 278,277 254,279 238,113 222,203 205,9 192,815 190,797 192,341 193,755 193,823 192,579 191,235 192,585 200,327 214,64 231,12 248,213 262,319 263,203 262,35772,5 619,489 628,002 653,431 691,847 721,842 698,177 696,9 601,701 550,772 530,377 527,607 536,873 556,645 587,317 630,29 686,061 737,473 641,333 512,1 552,863 537,659 505,93 470,687 437,946 412,341 399,9 384,97 386,403 400,035 421,085 434,451 362,269 273,039 184,659 187,318 188,017 175,808 151,452 122,616 146,197 167,776 182,724 192,909 200,412 207,196 215,162 224,9 248,852 276,546 311,256 348,921 334,409 327,15567,5 560,914 564,328 573,817 587,29 605,545 659,218 895,2 697,456 593,323 541,064 521,08 521,921 539,27 573,222 629,087 729,493 963,9 693,469 645,343 597,102 552,551 510,26 470,401 434,518 405,001 384,382 371,861 373,61 390,838 430,688 531,3 357,933 216,405 0 122,317 150,829 141,559 101,486 0 103,597 149,844 176,457 194,675 208,965 221,975 235,965 253,46 279,321 314,958 371,342 487,7 398,358 377,44462,5 495,51 494,578 490,221 477,949 453,831 437,95 599,249 699,6 584 519,475 493,727 490,463 505,29 537,216 583,344 638,924 678,973 523,3 778,7 637,652 565,182 512,157 466,141 424,723 388,764 360,765 344,483 345,338 359,02 379,527 392,441 321,758 234,648 147,931 151,121 151,422 138,113 112,932 86,2068 118,346 151,546 178,585 200,37 218,799 235,773 253,266 273,652 300,013 332,624 371,454 409,653 393,879 385,90457,5 431,968 428,255 414,539 380,456 293,881 39,5 364,247 482,443 480,867 459,11 443,891 440,912 454,213 487,007 528,148 563,885 589,767 577,985 646,71 609,623 558,369 507,046 457,282 409,468 364,567 325,432 299,968 304,239 320,376 335,96 337,18 302,011 252,499 205,954 182,813 165,626 146,541 125,921 113,55 132,034 159,408 185,967 209,421 230,089 249,052 267,672 287,87 314,457 344,069 372,198 385,579 381,6 378,41652,5 375,854 371,934 359,225 335,453 301,736 292,1 335,796 385,057 397,916 392,205 381,817 375,08 383,642 428,453 478,357 498,7 538,227 552,161 620,533 595,762 551,626 500,374 446,472 391,302 334,602 276,429 225,718 251,273 282,285 306,755 318,31 296,605 267,382 240,572 208,552 181,729 156,502 130,662 110,036 136,834 168,084 196,455 221,257 243,083 262,676 280,498 295,7 325,874 356,999 387,69 378,864 368,527 364,55847,5 327,581 324,4 314,974 300,396 285,509 283,503 301,778 324,073 333,536 329,976 316,093 293,948 276,823 364,804 458,128 517,352 512,278 471,9 687,5 601,266 551,999 496,352 436,932 374,665 306,11 219,966 75,2 192,852 250,734 290,466 332,7 298,717 279,854 280,4 229,094 196,237 167,076 130,188 59,1 137,181 179,64 210,512 236,07 258,31 278,07 295,945 313,31 336,342 370,361 442,7 373,661 349,084 342,76442,5 285,668 283,112 275,876 265,649 256,401 254,625 263,741 275,922 282,178 278,072 258,629 207,796 64,9 295,81 472 600,3 521,634 511,34 571,174 569,802 558,751 496,103 430,239 364,316 295,207 222,124 159,714 194,201 237,335 271,674 292,709 285,708 272,917 258,797 231,185 207,048 185,377 163,915 146,625 173,149 202,783 229,882 254,202 276,015 295,35 311,903 325,253 335,821 345,405 352,493 323,997 311,385 308,32937,5 248,867 246,505 239,767 229,925 219,819 214,854 222,641 233,695 241,182 241,505 232,555 213,709 196,932 281,537 376,153 449,335 462,619 480,651 516,054 548,016 617,1 499,072 423,603 357,153 288,28 213,608 147,331 186,901 232,731 266,185 280,755 278,487 267,311 250,684 229,802 215,394 203,47 193,468 190,336 206,008 228,461 252,031 274,84 296,198 315,413 331,064 339,978 336,285 322,945 297,87 258,449 264,128 267,78332,5 216,792 214,271 206,764 194,463 178,098 162,331 178,273 195,036 207,349 214,21 216,376 217,552 227,584 257,251 301,74 358,27 398,855 432,59 464,376 489,109 503,121 459,48 407,95 352,412 287,152 196,697 29,1 173,344 240,502 279,582 285,639 280,176 267,154 246,828 221,946 221,255 219,642 216,15 215,243 232,086 253,024 274,939 296,932 318,522 339,04 356,963 367,309 346,395 312,219 257,592 147,8 218,897 234,54727,5 189,758 187,025 178,556 163,064 135,779 78,1 133,083 160,826 178,968 191,612 201,189 212,538 238,6 218,145 215,284 283,151 341,941 386,48 419,75 440,925 446,794 427,778 396,303 357,396 311,217 256,93 204,091 236,871 276,353 326 302,042 289,425 274,301 247,526 189,9 228,037 237,692 236,249 222,4 254,07 276,609 297,77 319,425 341,919 365,26 390,44 425,9 369,767 321,946 272,481 225,107 229,112 232,6122,5 168,191 165,514 157,37 143,458 123,852 103,171 115,134 136,217 156,086 172,08 184,229 192,812 194,056 161,446 58,1 217,108 299,277 351,638 387,22 408,045 415,351 408,534 392,088 369,65 343,391 315,714 293,465 293,694 302,039 312,467 307,103 301,179 293,1 279,076 259,311 263,301 266,84 268,753 271,227 285,184 301,571 320,109 341,077 364,471 389,642 413,635 425,043 384,828 333,316 285,278 251,034 239,835 237,6717,5 151,977 149,47 141,954 129,544 113,003 95,5976 88,0634 112,822 137,079 156,392 170,834 180,425 183,367 175,481 166,473 227,904 286,42 333,577 369,446 388,686 398,031 398,921 393,865 385,727 376,982 369,069 360,359 342,404 325,641 314,727 312,725 315,09 317,842 316,368 304,967 299,017 297,613 300,696 308,573 313,868 324,382 340,016 360,304 385,245 415,203 449,415 475,811 411,184 341,211 284,28 253,916 241,525 238,39912,5 140,777 138,436 131,431 119,763 103,016 78,1534 28,7 89,9297 123,016 145,576 162,292 174,686 183,505 190,64 204,405 241,614 284,924 326,803 368,3 379,222 389,167 395,253 398,724 402,41 409,742 423,221 436,5 389,92 343,394 308,075 313,979 328,613 346,811 363,588 345,172 330,187 323,899 327,845 348,5 337,333 342,072 355,27 374,879 401,002 436,508 493,013 617,6 442,888 336,065 256,717 238,823 233,95 232,8787,5 134,258 132,065 125,571 115,061 101,146 85,2997 73,121 95,1807 119,478 140,605 158,07 172,522 185,328 199,168 218,894 249,224 284,859 320,41 351,707 370,735 384,162 394,199 403,368 415,448 436,353 477,574 572,5 437,381 349,941 260,2 306,505 338,57 377,202 446 381,945 352,661 339,952 338,283 343,935 344,892 351,303 364,113 382,94 407,377 436,816 468,527 487,255 406,703 303,443 167,7 210,709 222,574 225,2112,5 132,127 129,996 123,725 113,764 101,209 88,7779 83,3035 98,1941 119,111 139,295 156,86 172,006 186,118 201,809 222,781 251,527 284,879 318,271 347,384 367,85 382,546 394,011 405,102 419,662 442,648 478,223 515,096 437,162 358,79 298,115 313,271 341,959 377,427 413,344 383,948 358,559 344,966 341,4 344,067 346,996 354,135 366,938 385,392 408,749 434,851 457,024 456,19 393,225 303,306 213,111 213,739 220,427 222,819

2,50 7,50 12,50 17,50 22,50 27,50 32,50 37,50 42,50 47,50 52,50 57,50 62,50 67,50 72,50 77,50 82,50 87,50 92,50 97,50 102,50 107,50 112,50 117,50 122,50 127,50 132,50 137,50 142,50 147,50 152,50 157,50 162,50 167,50 172,50 177,50 182,50 187,50 192,50 197,50 202,50 207,50 212,50 217,50 222,50 227,50 232,50 237,50 242,50 247,50 252,50 257,50 262,50

83

ANEXO I

Escoamento de Fluídos

Os modelos de autômatos celulares podem servir para a simulação em

tempo real de sistemas físicos. Pode-se nesse caso, considerar o sistema como uma

rede bidimensional de simetria triangular em que em cada ponto da rede pode ter

até seis partículas de massas iguais e com velocidades apontadas nas direções

definidas pelas ligações com os nós vizinhos.

A figura 1 Abaixo mostra um modelo da rede bidimensional para a simulação

do escoamento bidimensional de um fluído num recipiente de forma arbitrária, que

pode ser um contentor, um rio ou um estuário.

Figura 1 - Representação da rede bidimensional, com simetria retangular

Fonte: Dilão, ( 2003, p.11)

As partículas deslocam-se ao longo das ligações durante um tempo

constante e colidem com as que chegam aos nós. Por exemplo, quando se têm

uma colisão frontal de duas partículas, o resultado final da interação é compatível

com duas direções possíveis de saída e nesse caso pode-se escolher

aleatoriamente o resultado da colisão. Na figura 2 a seguir a representação da

interação das partículas com colisão frontal em que cada nó pode estar ocupado, no

máximo, por seis partículas,existindo estados possíveis.

Figura 2 - Representação da interação das partículas

Fonte: Dilão (2003 p.11)

84

Implementando essa regra de autômato celular na rede bidimensional e

impondo condições de fronteira (choque com paredes) de inversão do sentido da

velocidade, ocorre a simulação do escoamento que pode ser de um fluido ou de um

gás a duas dimensões. Como neste caso os observáveis macroscópicos são a

velocidade e a densidade local de partículas, podem-se calcular os valores médios

do número de partículas e das velocidades em sub-redes de dimensões menores.

A figura 3 apresenta uma imagem obtida experimentalmente de um fluxo de

partículas contra um obstáculo.

Figura 4 - Representação de uma imagem obtida experimentalmente de fluxo contra um obstáculo. Fonte :Dilão (2003, p.11).

Na figura 3a) estão representados os valores médios das velocidades no

escoamento de um fluido contra uma barreira, calculado com este modelo de

autômato celular. A figura 3b) apresenta uma imagem obtida experimentalmente de

um fluxo contra um obstáculo. Como se vê, o fluxo calculado pelo autômato celular

apresenta as mesmas características que o sistema real.

É precisamente devido a esse tipo de semelhança que se pensa que os

autômatos celulares poderão ajudar a explicar os mecanismos físicos que originam a

turbulência. Nesse caso simples, é possível construir computadores especialmente

dedicados para o cálculo rápido do autômato celular, tendo-se portanto uma

poderosa ferramenta para a simulação em tempo real do escoamento de fluidos em

85

regiões de forma arbitrária. Construindo um programa especialmente dedicado para

a simulação desse autômato celular, pode-se simular, por exemplo, o escoamento

de um fluido num estuário.

A figura 4 apresenta o resultado de uma simulação para o estuário do Tejo,

em que se introduziu como dado a imagem do estuário vista por um satélite.

Na figura 4 a) observam-se duas marcas vermelhas que significam

poluentes e na figura 4b) está representada a evolução, ao fim de algum tempo,

dessas manchas. A intensidade da cor é proporcional à concentração de poluente.

Figura 4: Imagem da simulação para o estuário do Tejo, com identificação de marcas de poluente.

Fonte: Dilão (2003, p.13)

Comparando essa regra de autômato celular com a introduzida

anteriormente para a simulação de um gás unidimensional como fora citado no

corpo deste trabalho, conclui-se que as simulações de escoamentos de fluidos

assim obtidas são mais realistas. Isso foi conseguido à custa do aumento da

dimensão da rede celular e da introdução de regras de colisão compatíveis com o

facto das partículas terem dimensões pontuais, fato esse não ocorrido com a

simulação dos gases em uma dimensão.

86

ANEXO J

Desenvolvimento e Lógica do Software Cellular Automata 3D

O programa foi preparado para receber os dados por meio da determinação

automática dos parâmetros da rede via arquivos ou por meio de entrada manual,

operação que deve ser realizada pela caixa de diálogo.

Cada tipo de autômato tem a sua própria caixa de diálogo, salvo algumas

situações em que a mesma caixa vale para outro diferente autômato, isto é, a

mesma caixa de diálogo atende outro tipo de autômato. Por exemplo, o autômato

com interpolação bi-linear usa a sua própria caixa de diálogo para introdução dos

dados, A interpolação cúbica usa o mesmo tipo de entrada da interpolação linear.

Para iniciar o programa deve-se escolher ou selecionar o tipo de autômato que se

pretende rodar, o que deve pode ser realizada por meio da interface gráfica no ícone

do lado extremo esquerdo onde então aparecem as opções de acesso.

Após a escolha do tipo de autômato no ícone LOAD, tem-se o aceso à caixa de

diálogo que, após acionada permite, a entrada de dados para que sejam

processados. Internamente, o programa executa uma rotina que questiona se a

entrada dos dados ou parâmetros de rede será introduzida manualmente, ou seja,

em programação este tipo de ação é denominado ”lopping” local onde são

programadas as tomadas de decisão.

A partir desse momento, o programa inicia a execução do processamento com

rotinas de cálculos ou qualquer determinação a que foi programado.

O programa foi concebido para dar maior evidência e compreensão do conceito

de autômato celular e, portanto dentro das características de programação foi criada

uma opção que permite a visualização por passos da evolução do autômato rodado,

internamente o programa questiona este aspecto através do looping e através do

acionamento com freqüência ícone Run Step pode-se visualizar a imagem passo a

passo da evolução do automoto e através Run pode determinar o numero de passos

que se quer rodar.

87

O programa foi trabalhado com a premissa de interatividade. Na sua construção

privilegiou-se um formato que pudesse evidenciar o funcionamento e evolução do

autômato celular e atender a exigência de imagem gráfica que esse tipo de trabalho

requer. Os programas atuais direcionados a Avaliação de recursos e reservas

minerais são dotados dessas características gráficas e produzem imagens claras e

explicativas. O “Cellular Automata 3D”, também produz imagem clara e explicativa,

bem como relatórios de resultados. A idéia é que num futuro próximo, seja

aperfeiçoado e que atenda e agregue valor aos processos de Avaliação geológica.

A seguir, na figura 7, fluxograma das atividades do Cellular Automata 3D

Figura 7: Fluxograma das atividades do Cellular Automata 3D

88

ANEXO K

Instruções de utilização do sofware Cellular Automata 3D

A tela principal do software é a interface gráfica e onde estão localizados todos os

botões de controle que permitem desde a introdução de dados até a geração de

relatórios e imagem gráfica.

O botão Run executa vários passos do autômato celular (AC).

O botão "Pause" executa AC,produzindo uma imagem gráfica do autômato

em toda sua totalidade.

O "Run Step" roda um único passo do autômato celular

O botão "Load" é utilizado para carregar a condição inicial do AC. Deve ser

acionado sempre que se deseja mudar o AC sendo executado.

O botão "Save" pode ser usado para salvar o resultado.

O botão "Axis" permite visualizar os eixos e o botão "View" escolher o ângulo de

visão do resultado; o mesmo pode ser feito clicando com o botão da esquerda e

arrastando o mouse. O resultado pode ser movido na tela através das teclas "q" e

"a" (direção X), "w" e "s" (direção Y) e "e" e "d" (direção Z). Finalmente a caixa na

direita permite escolher o AC a ser executado.

89

A seguir, na figura 8, a interface gráfica com todos os botões citados:

Figura 8: interface gráfica Cellular Automata 3D

Rodando um Autômato Celular

Para executar o AC, é preciso selecioná-lo na caixa de seleção no lado extremo

direito da interface gráfica. A escolha de entrada dos dados é diferente para cada

tipo de AC. A opções de ACs disponíveis são:

AC IB A interpolação bilinear usa a sua própria caixa de dialogo para introdução dos dados. Na figura 9, a seguir caixa de diálogo para dados de interpolação bi-linear.

90

O usuário seleciona o tamanho da rede através dos campos "Cells X" e "Cells Y".

A posição da célula inferior da esquerda é definida nos campos "Base X" e "Base Y".

O espaçamento entre células é definido no campo "Cell Spacing". A tabela "Fixed

Values" mostra apenas os valores da rede cujo valor não deve mudar. Para

adicionar um valor fixo, basta clicar o botão "Add Fixed Value" e mudar os valores da

tabela. A primeira coluna mostra a posição X do valor fixo (ou amostra); a coluna 2,

a posição Y do valor fixo e a coluna 3, o valor da amostra.

O botão "Load" permite carregar os dados de um arquivo”. dat". Os demais

campos são preenchidos automaticamente de maneira a minimizar o tamanho da

rede garantindo, ao mesmo tempo, que duas ou mais amostras não fiquem sobre

uma mesma célula.

AC IPD

Figura 9: Caixa de dialogo para interpolação bilinear Fonte: o autor

91

A entrada desses AC é idêntica à entrada para a interpolação bilinear. A

interpolação com vizinhança com variável permite a determinação do número de

células que irão interagir, mas essa particularidade envolve um gasto de tempo

processamento superior.

Formato de Saída para os Autômatos Bidimensionais.

A saída é forma de um arquivo CVS onde a primeira coluna é a posição X do

canto inferior esquerdo da célula, a segunda coluna é a posição Y do canto inferior

esquerdo da célula, e a terceira coluna contém o valor interpolado para a célula.

A figura 10; a seguir; ilustra uma saída de arquivo do tipo CSV.

X Y TEOR

0 0 78.6824

0 2 95.7675

0 4 119.096

0 6 133.557

0 8 142.789

0 10 148.139

0 12 150.263

0 14 149.589

0 16 146.179

0 18 138.719

0 20 118.576

Figura 10: Saída CSV Fonte: o autor

aplicaÇÃo de autÔmatos celulares para ......mineração, como walker lake dataset (isaaks e...

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