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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

APLICAÇÃO DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA-PAREDECOM UMA

ABERTURA

RAFAEL ARAÚJO GUILLOU

Trabalho Final do Curso de Sistemas Estruturais em Concreto Armado

Professor: Prof. Dr. Wayne Santos de Assis

Maceió

2013

RESUMO

Elementos convencionais de concreto armado são estudados baseados na hipótese

simplificadora de Bernoulli, a qual assume que as deformações ao longo da altura do

elemento fletido são mantidas lineares e por consequência, a seção transversal permanece

reta. Para determinados elementos esta hipótese não é válida, seja por motivos de estaticidade

ou geométricos. Entre outros exemplos, um muito usual é a viga-parede, por conta da sua

elevada altura em relação a um pequeno vão. Este elemento que é considerado descontínuo se

torna mais complexo ainda com a existência de uma abertura com grandes dimensões. Assim,

justifica-se a necessidade de um modelo especial para seu dimensionamento, sendo uma das

possibilidades a utilização de um modelo de bielas e tirantes. Sendo assim, este trabalho tem

como objetivo estudar um modelo de bielas e tirantes desenvolvido a partir de um estudo

elástico de tensões, desenvolvido com o auxilio do programa computacional ABAQUS, e

tendo como referência bibliografias já consagradas. Como resultado obteve-se o

dimensionamento e detalhamento de um exemplo de viga-parede.

Palavras-chave: concreto armado; viga-parede; abertura; modelo de bielas e tirantes.

Abstract

Conventional reinforced concrete elements are studied based on Bernoulli simplifying

assumption which assumes that the strains along the height of the bent element is kept linear

and therefore the cross section remains straight. For certain elements this assumption is not

valid, either for static or geometrical reasons. Among other examples, a common one is the

deep-beam, because of its great height for a small span. This element is considered

discontinuous becomes even more complex with the existence of a gap with large dimensions.

This justifies the need for a special assembly for its designing, and one possibility is to use a

model of strut and tie. Thus, this paper aims to study a strut and tie model developed from a

study of elastic stresses, developed with the help of the software ABAQUS, and with well-

known reference bibliographies. As a result there was obtained the design and detail of an

example of beam-wall.

Keywords: reinforced concrete; deep-beam; gap; strut and tie model.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 10

1.1 COMENTÁRIOS INICIAIS ...................................................................................... 10

1.2 JUSTIFICATIVA ...................................................................................................... 11

1.3 OBJETIVOS .............................................................................................................. 11

1.4 DELIMITAÇÃO DO TRABALHO .......................................................................... 12

1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO .............................................................................. 12

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 13

2.1 VIGAS-PAREDE ...................................................................................................... 13

2.1.1 Definições e Aspectos Normativos..................................................................... 13

2.1.2 Comportamento Estrutural ................................................................................. 14

2.1.3 Mecanismos de Ruptura de Vigas-Parede .......................................................... 15

2.2 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES ................................................................... 17

2.2.1 Dimensionamento dos Tirantes .......................................................................... 21

2.2.2 Dimensionamento das Bielas.............................................................................. 21

2.2.3 Dimensionamento dos nós .................................................................................. 25

2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) .................................................... 31

3. ANÁLISES NUMÉRICAS .............................................................................................. 33

3.1 METODOLOGIA ...................................................................................................... 33

3.1.1 Geometria ........................................................................................................... 33

3.1.2 Elemento Finito e Malha .................................................................................... 34

3.1.3 Propriedades do Material .................................................................................... 36

3.1.4 Ações e Condições de Contorno ......................................................................... 36

3.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 36

4. MODELO DE BIELAS E TIRANTES ............................................................................ 41

4.1 ELABORAÇÃO DO MODELO ............................................................................... 41

4.2 ANÁLISE DO MODELO ......................................................................................... 45

5. DIMENSIONAMENTO DA VIGA-PAREDE ................................................................ 48

5.1 DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES ............................................................... 48

5.2 VERIFICAÇÃO DAS BIELAS E REGIÕES NODAIS ........................................... 49

5.3 DETALHAMENTO .................................................................................................. 51

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES ............................................................ 53

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Empenamento da seção transversal devido ao cisalhamento (Fusco, 2008)............. 10

Figura 2: Exemplos de utilização das vigas parede (Silva & Giongo, 2000) ........................... 11

Figura 3: Abertura em vigas-parede (NBR 6118, 2003) .......................................................... 14

Figura 4: Distribuições de tensões em vigas biapoiadas Leonhardt & Mönnig (1978) (apud

Silva & Giongo, 2000) ............................................................................................................. 15

Figura 5: Ruptura por flexão de vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012) 16

Figura 6: Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud

Nepomuceno, 2012) ................................................................................................................. 16

Figura 7: Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud

Nepomuceno, 2012) ................................................................................................................. 17

Figura 8: Ruptura por flexão-cisalhamento em vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud

Nepomuceno, 2012) ................................................................................................................. 17

Figura 9: Regiões B (Bernoulli) e D (Descontínua) (Silva & Giongo, 2000) .......................... 18

Figura 10: Posição das bielas e tirantes a partir dos diagramas de tensão (Schlaich et. al.,

1987) ......................................................................................................................................... 20

Figura 11: Configurações típicas de distribuições de tensão de compressão ........................... 22

Figura 12: Falha do elemento devido a não consideração das tensões transversais (Schlaich et.

al., 1987) ................................................................................................................................... 22

Figura 13: Representação de uma biela com configuração curvilínea (adaptado de Schlaich et.

al., 1987) ................................................................................................................................... 23

Figura 14: Exemplos de nós contínuos (A) e singulares (B) (adaptado de Schlaich et. al.,

1987) ......................................................................................................................................... 26

Figura 15: Classificação dos nós (ACI 318, 2005) ................................................................... 26

Figura 16: Nó-CCC em estado hidrostático plano (ACI 318, 2005) ........................................ 27

Figura 17: Caso de nó-CCC em estado hidrostático (Bergmeister et. al., 1993) ...................... 28

Figura 18: Zona nodal estendida e caso de nó-CCT (ACI 318, 2005) ..................................... 28

Figura 19: Zona nodal estendida e caso de nó-CTT (ACI 318, 2005) ..................................... 29

Figura 20: Parâmetros de resistência das regiões nodais, segundo a CSA-A23.3, 1994 (apud

Silva & Giongo, 2000) ............................................................................................................. 31

Figura 21: Malha de elementos finitos (Liu & Quek 2003) ..................................................... 32

Figura 22: Geometria da viga-parede estudada (Medidas em cm) ........................................... 34

Figura 23: Quadrilateral, “serendipity”, de oito nós ................................................................. 34

Figura 24: Padrões de malhas estruturadas em duas dimensões .............................................. 35

Figura 25: Ações e condições de contorno no sistema ............................................................. 36

Figura 26: Tensões principais mínimas ou de compressão ...................................................... 37

Figura 27: Tensões principais máximas ou de tração ............................................................... 37

Figura 28: Tensões principais mínimas, médias e máximas .................................................... 38

Figura 29: Tensões de cisalhamento e linha fictícia para divisão do modelo (kN/cm) ............ 39

Figura 30: Tensões na direção x (kN/cm) ................................................................................ 39

Figura 31: Diagrama de tensões transversais na seção de corte característica ......................... 40

Figura 32: Regiões B1 e B2 do modelo .................................................................................... 40

Figura 33: Diagrama de tensões transversais característica da região B2 ................................ 41

Figura 34: Esquema inicial do modelo (medidas em cm) ........................................................ 42

Figura 35: Modelo de bielas e tirantes do lado direito (medidas em cm) ................................ 43

Figura 36: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E1) .................................... 44

Figura 37: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E2) .................................... 44

Figura 38: Modelo completo de bielas e tirantes ...................................................................... 45

Figura 39: Modelo 1 de treliça. ................................................................................................ 46

Figura 40: Modelo 2 de treliça ................................................................................................. 46

Figura 41: Esforços axiais do Modelo 1 (kN) .......................................................................... 47

Figura 42: Esforços axiais do Modelo 2 (kN) .......................................................................... 47

Figura 43: Detalhamento da viga-parede (medidas em cm) ..................................................... 52

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Valores de βs, para as bielas, de acordo com a situação (ACI 318, 2005) ............... 24

Tabela 2: Valores de βn de acordo com a situação (ACI 318, 2005) ........................................ 30

Tabela 3: Valores de α de acordo com a situação (CSA-A23.3, 1994) (apud Silva & Giongo,

2000) ......................................................................................................................................... 30

Tabela 4: Dimensionamento dos tirantes.................................................................................. 48

Tabela 5: Resistência do nó CCC ............................................................................................. 49

Tabela 6: Resistências para nós do tipo CCT ........................................................................... 50

Tabela 7: Resistências para nós do tipo CTT ........................................................................... 51

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACI: American Concrete Institute........................................................................................ 28

CEB:Comite Euro-International du Beton........................................................................... 29

CSA: Canadian Standards Association................................................................................ 29

FIB: International Federation for Structural Concrete…………………………………… 29

MEF: Método dos Elementos Finitos.................................................................................. 36

NBR: Norma Brasileira........................................................................................................ 21

10

Rafael Araújo Guillou ([email protected]). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

1. INTRODUÇÃO

1.1 COMENTÁRIOS INICIAIS

Há muito tempo se estuda o comportamento do concreto armado sob tensões de cisalhamento

e ainda existe a dificuldade de se determinar a resistência do material sob tal solicitação.

Segundo Bentz et al. (2006) (apud Nepomuceno, 2012), a maior parte dos códigos normativos

apresenta formulações que predizem a carga última de flexão com erros máximos em torno de

10%, já no caso do cisalhamento, os erros chegam até uma razão de 2.

A hipótese simplificadora de Bernoulli assume que as deformações ao longo da altura do

elemento fletido são mantidas lineares e por consequência, a seção transversal permanece

reta. No entanto, sabe-se que o cisalhamento provoca uma distorção nestas deformações,

causando um chamado “empenamento” Figura 1), impossibilitando assim, a utilização da

mecânica dos sólidos e as propriedades das seções transversais no cálculo dos esforços

internos.

Figura 1: Empenamento da seção transversal devido ao cisalhamento (Fusco, 2008)

A partir de ensaios experimentais, verifica-se que esta simplificação é válida em vigas de

qualquer material, quando o comprimento do vão é suficientemente maior que a altura da

viga. Este não é o caso de vigas-parede, as quais se caracterizam justamente por sua elevada

altura em relação ao vão.

11

Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

1.2 JUSTIFICATIVA

As vigas-parede são comumente utilizadas nas estruturas de concretos armado,

independentemente de sua complexidade. Em estruturas de edifícios residenciais e

comerciais, por exemplo, a utilização das vigas paredes é evidenciada nos reservatórios de

água, em vigas de transição ou em paredes de contenção (Figura 2).

Figura 2: Exemplos de utilização das vigas parede (Silva & Giongo, 2000)

Sabendo da vasta utilização de vigas-parede na construção e da problemática envolvendo a

utilização de métodos convencionais de cálculo, vê-se a necessidade de se conhecer modelos

alternativos para dimensionamento e verificação de tais elementos.

1.3 OBJETIVOS

Por ser um elemento diferenciado e complexo, uma das soluções adotadas para o

dimensionamento do das vigas-parede é por meio de análises numéricas. Neste contexto o

presente trabalho tem como objetivos:

Objetivo principal:

12


Estudar um modelo de bielas e tirantes, definido a partir de análises numéricas, aplicados ao

comportamento das tensões em vigas-parede.

Objetivo Secundário:

Disseminar o conhecimento adquirido sobre vigas paredes e a teoria de bielas e tirantes com o

restante dos discentes da disciplina Sistemas Estruturais em Concreto Armado.

1.4 DELIMITAÇÃO DO TRABALHO

O presente trabalho é delimitado pelas seguintes características:

- Não será contemplado neste trabalho a não-linearidade geométrica ou física,

considerando o concreto um material elástico linear e as deformações e deslocamentos

do sistema insuficientes para gerar efeitos de segunda ordem.

1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO

O tema em estudo no presente trabalho será apresentado em capítulos considerando-se os

objetivos e as etapas de desenvolvimento.

Capítulo 1 – Introdução

Nesse capítulo é feita uma breve introdução sobre o tema em estudo. Além disso, são

apresentadas as justificativas para o desenvolvimento do estudo, bem como definidos os

objetivos buscados com o mesmo.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica

Nesse capítulo serão descritos os fundamentos teóricos a serem considerados para

desenvolvimento do estudo.

Capítulo 3 – Análises numéricas

Neste capítulo será elaborado um exemplo de viga-parede com uma abertura na seção

transversal e serão realizadas simulações numéricas com o programa computacional Abaqus®

para visualização do mapa de distribuição de tensões.

13


Capítulo 4 – Elaboração do modelo de bielas e tirantes

A partir das análises numéricas dos modelos processados será estudado um modelo de bielas e

tirantes para a distribuição de tensões.

Capítulo 5 – Dimensionamento da viga-parede.

Neste capítulo será feito o dimensionamento da viga-parede segundo recomendações

normativas.

Capítulo 6 – Considerações Finais e Conclusões

Nesse capítulo são apresentados os comentários finais do trabalho e as conclusões obtidas

com o estudo desenvolvido. Além disso, apresentam-se algumas sugestões para continuidade

da pesquisa.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 VIGAS-PAREDE

2.1.1 Definições e Aspectos Normativos

Sendo chapas elementos estruturais submetidos a ações atuando em seu plano médio, as

vigas-paredes podem se consideradas como tais chapas sobre apoios discretos, cuja altura é

grande em relação ao vão.

A NBR 6118 (2003) trata as vigas-parede como elementos especiais de concreto armado,

possuindo características específicas, como a ineficiência à flexão e ao cisalhamento quando

comparadas com vigas usuais. Segundo a norma brasileira, são consideradas vigas-parede,

vigas altas em que a relação entre o comprimento do vão e a altura é inferior a 2 quando

biapoiadas ou inferior a 3 em vigas contínuas.

Schlaich et. al. (1987) afirma que uma simples relação entre o comprimento do vão e a altura

para classificar elementos especiais, inclusive vigas-parede, pode levar a enganos. Este diz

que além da geometria deve-se considerar ainda o carregamento aplicado ao elemento.

14


O ACI 318 (2005) segue esta mesma ideia em suas recomendações. Segundo esta norma,

vigas paredes são elementos carregados em uma face e apoiada na face oposta, de forma que

bielas comprimidas sejam desenvolvidas entre o carregamento e os apoios. Além disso, a

relação entre o comprimento do vão e a altura útil da viga deve ser inferior a 4 ou existir uma

carga concentrada a uma distância do apoio menor que duas vezes a altura útil.

Para o cálculo e dimensionamento de vigas-paredes, a NBR 6118 (2003) permite a utilização

de um modelo plano elástico ou não linear e modelos de bielas e tirantes. Já o ACI 318 (2005)

descarta a possibilidade de utilizar uma análise elástica.

Silva & Giongo (2000) afirmam que a vantagem de se utilizar um modelo de bielas e tirantes

é que o mesmo modelo pode ser utilizado para uma análise elástica quanto plástica, desde que

se adapte a geometria do modelo.

Quanto à existência de aberturas nas vigas-parede, a NBR 6118 (2003) recomenda que se o

furo se localizar em regiões pouco solicitadas e não modificarem significativamente o

funcionamento do elemento estrutural, basta apenas colocar uma armadura de

compatibilização da abertura com o conjunto. Caso contrário, deve ser adotado um modelo

específico para o cálculo em questão (Figura 3).

Figura 3: Abertura em vigas-parede (NBR 6118, 2003)

2.1.2 Comportamento Estrutural

Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000) apresentam, na (Figura 4), as

variações de tensões tranversais a um carregamento distribuído, na seção central de vigas-

parede variando-se a altura das mesmas.

15


Figura 4: Distribuições de tensões em vigas biapoiadas Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000)

Observa-se que quando a altura e igual a um quarto do comprimento do vão, a distribuição de

tensões é linear e as seções permanecem plana após a deformação. Já quando a viga passa a

ter altura igual metade do comprimento do vão as seções já não permanecem plana após a

deformação e a linha neutra se aproxima da borda inferior. Quando a altura é igual ao

comprimento do vão a linha neutra desce mais ainda e o braço de alavanca “z” diminui. E por

fim, quando a altura é maior que o comprimento do vão surge uma zona morta em que não

existe tensão, funcionando apenas como uma carga distribuída.

Sendo assim, é possível concluir que a ineficiência quanto à capacidade de absorver momento

fletor se deve ao pequeno braço de alavanca em relação a altura e a ineficiência à absorção de

força cortante, se deve à concentração de tensões de cisalhamento próximo à face inferior,

junto ao apoio.

2.1.3 Mecanismos de Ruptura de Vigas-Parede

Nepomuceno (2012) descreve quatro mecanismos básicos de ruptura. O primeiro é a ruptura

por flexão (Figura 5). Esta se caracteriza pelo escoamento do aço no meio do vão, surgindo

fissuras que se prologam por quase toda sua altura e podendo ocorrer também o esmagamento

do concreto.

16


Figura 5: Ruptura por flexão de vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012)

O segundo é a ruptura por cisalhamento, que em caso de vigas biapoiadas se subdivide em

duas. Compressão diagonal (Figura 6), que após o aparecimento da primeira fissura entre o

apoio e o ponto de aplicação de carga, surgem novas fissuras paralelas à primeira. Tração

diagonal ou fendilhamento (Figura 7), que ocorre pelas forças transversais de tração que

aparecem no concreto comprimido.

Figura 6: Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012)

17


Figura 7: Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012)

Descreve também a ruptura por flexão-cisalhamento (Figura 8), que inicia-se pelo escoamento

do aço seguido pelo esmagamento do concreto na zona comprimida. No entanto, a resistência

última ao cisalhamento é atingida antes do esmagamento total do concreto.

Figura 8: Ruptura por flexão-cisalhamento em vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012)

E por fim a ruptura por esmagamento do concreto sobre o apoio ou sob os pontos de

aplicações das cargas concentradas. O estado de tensões nestes locais é tal que pode gerar

esmagamento local do concreta antes que a viga tenha toda sua capacidade esgotada.

2.2 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Modelos de bielas e tirantes são representações discretas dos campos de tensão encontrados

em elementos estruturais de concreto armado, como afirmam Silva & Giongo (2000). São

18


modelos de treliça genéricos, utilizados como base racional para o dimensionamento e

detalhamento de qualquer elemento de concreto armado.

Bergmeister et. al. (1993) diz que qualquer estrutura pode ser classificada subdividindo-a em

regiões B (Bernoulli, bending, beam) e D (Descontínua, distúrbio, detalhe), como ilustra a

Figura 9.

Figura 9: Regiões B (Bernoulli) e D (Descontínua) (Silva & Giongo, 2000)

As regiões B são denominadas contínuas, nas quais a hipótese simplificadora de Bernoulli é

válida. Estas regiões podem ser dimensionadas, quando não fissuradas, a partir de parâmetros

da seção transversal (área, momento de inércia, etc.) e as leis usuais da mecânica dos sólidos.

Para elementos fissurados pode-se utilizar a treliça de Mörsch, sendo esta, um caso especial

de modelo de bielas e tirantes.

Já as regiões D são descontínuas, geometricamente ou estaticamente, e a hipótese

simplificadora deixa de ser válida. Para estas regiões é possível a utilização de modelos de

bielas e tirantes, porém ainda hoje estes elementos são detalhados a partir de experimentos ou

práticas usuais.

Segundo Silva & Giongo (2000), nos modelos de bielas e tirantes, os campos de tensão de

compressão no concreto são representados pelas bielas e os campos de tensão de tração pelos

tirantes, que são absorvidos pela armadura. Tanto as bielas como os tirantes são representados

por barras, sendo estas ligadas por nós.

Os modelos de bielas e tirantes podem ser projetados a partir do fluxo de tensões da estrutura.

É possível determinar a direção e o módulo das tensões elásticas a partir de análises

numéricas como o método dos elementos finitos, e assim desenvolver o modelo. Conhecendo-

19


se um modelo adequado as forças nas bielas e tirantes são calculadas automaticamente por

meio de equilíbrio de forças internas e externas. A partir das forças resultantes faz-se o

dimensionamento seguido do detalhamento.

Schlaich et. al. (1987) afirma que para a elaboração do modelo, a orientação da geometria

pode ser determinada a partir de campos elásticos de tensões, enquanto que o

dimensionamento pode ser realizado utilizando a teoria da plasticidade.

O mesmo autor explica que métodos plásticos de análises são os mais adequados para a

determinação da capacidade última, enquanto que métodos elásticos são melhores sob

condições de serviço. Entretanto, afirma que uma análise linear ou não linear elástica é

aceitável e segura para os dois casos. Isto se torna então, uma vantagem, já que é possível

utilizar o mesmo modelo de bielas e tirantes tanto para o estado limite último como para o de

utilização. Porém, a análise elástica é considerada conservativa, negligenciando parte da

capacidade última da estrutura.

Quanto ao dimensionamento, Schlaich et. al. (1987), indica a utilização do limite inferior da

teoria da plasticidade. Já que o concreto possui certa ductilidade, o modelo escolhido não

deve apresentar deformações que excedam a limite. Nas regiões de altas tensões este requisito

é atendido ao orientar a geometria do modelo utilizando a teoria da elasticidade. Já as regiões

de médias e baixas tensões não precisam ser fielmente reproduzidas pelo modelo de bielas e

tirantes, já que a estrutura consegue se adaptar à estrutura interna modelada. Para regiões de

médias e baixas trações, o reforço pode ser reproduzido a partir de considerações práticas,

como a utilização de armaduras mínimas. Estas armaduras podem ser recomendadas a partir

de experimentação ou de cálculos sofisticados de fissuração. O presente trabalho não

contempla este estudo.

O Teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade estabelece que um campo tensorial

que satisfaz as condições de equilíbrio e de contorno e que não viole o critério de escoamento

em nenhum ponto da estrutura fornece um limite inferior para a estimativa da capacidade de

materiais eslasto-plásticos perfeitos.

Bergmeister et. al. (1993) diz que é importante ter conhecimento das suposições utilizadas

para o método, e lista as mais importantes:

20


- A falha é devido à formação de um mecanismo resultante do escoamento de um ou mais

tirantes;

- O esmagamento das bielas de concreto não devem ocorrer antes do escoamento dos tirantes.

Isto é evitado limitando o nível de tensões no concreto;

- Existem apenas esforços uniaxiais nas bielas ou tirantes;

- Todos os carregamentos externos devem ser aplicados nos nós do modelo. Caso haja

carregamento distribuído, este deve ser substituído por forças concentradas equivalentes que

represente adequadamente o modelo.

- A armadura deve ser adequadamente detalhada, prevenindo assim falhas na ligação local ou

na ancoragem.

Para desenvolver modelos de bielas e tirantes em casos que se possui a direção e o módulo

das tensões elásticas, segundo Schlaich et. al. (1987), pode-se orientar as bielas de acordo

com as principais tensões de compressão. Também é possível posicionar as bielas ou tirantes

mais importantes no centro de gravidade dos correspondentes diagramas de tensões como

ilustra a Figura 10.

Figura 10: Posição das bielas e tirantes a partir dos diagramas de tensão (Schlaich et. al., 1987)

Silva & Giongo (2000) destacam alguns aspectos para a definição geométrica do modelo. São

eles: os tipos de ações atuantes, diretamente relacionados com a distribuição de tensões

elásticas; os ângulos entre bielas e tirantes, determinados a partir da análise elástica; a área de

21


aplicação das ações e reações; número de camadas da armadura; e o cobrimento da armadura.

Os últimos três aspectos são utilizados para o dimensionamento das bielas e dos nós.

2.2.1 Dimensionamento dos Tirantes

Os esforços no tirante geralmente são absorvidos pelas barras da armadura. Segundo Silva &

Giongo (2000), o eixo da armadura deve coincidir com o do tirante do modelo. A área de aço

necessária para resistir o esforço do tirante é determinada a partir da Equação 1, considerando

o Estado Limite Último.

( Equação 1 )

onde:

As – área da seção transversal de aço;

Fst – esforço resultante de tração;

fyd – resistência, de cálculo, ao escoamento do aço (fyk/1,15).

A utilização de bitolas menores e consequentemente um maior número de camadas

contribuem com a resistência nas regiões nodais. Também é necessário verificar as condições

de ancoragem nestas regiões. O comprimento de ancoragem pode ser calculado, por exemplo,

utilizando os parâmetros encontrados na NBR 6118 (2003), porém deve-se considerar a

geometria dos nós.

2.2.2 Dimensionamento das Bielas

As bielas são discretizações dos campos de compressão no concreto. Estas são idealizadas em

formatos característicos, dependendo de como a distribuição de tensões ocorre no elemento.

Silva & Giongo (2000) enumeram três configurações típicas de distribuições de tensões de

compressão (Figura 11):

- Radial (“Leque”): idealização de um campo de tensão com curvatura desprezível, e

consequentemente não se desenvolvem tensões de tração transversais.

- Linhas curvilíneas com afunilamento da seção (“Garrafa”): propagação de tensões por

meio de curvaturas acentuadas, provocando tensões transversais consideráveis.

- Paralela (“Prisma”): As tensões se distribuem uniformemente, sem perturbação.

22


Figura 11: Configurações típicas de distribuições de tensão de compressão

Como afirma Schlaich et. al. (1987), a resistência do concreto à compressão depende de seu

estado multiaxial de tensões. As tensões transversais de compressão que surgem são

favoráveis, principalmente se acontecer nas duas direções, enquanto que as de tração são

desfavoráveis. Como já dito, a configuração curvilínea é caracterizada por apresentar tensões

transversais devido a sua acentuada curvatura. É necessário então considerar estas tensões

transversais, principalmente as de tração, para evitar o aparecimento de fissuras indesejáveis

ou o esmagamento prematuro da seção. A Figura 12 apresenta a falha no concreto ao

considerar-se uma configuração de tensões paralelas quando ocorre na verdade uma

configuração curvilínea.

Figura 12: Falha do elemento devido a não consideração das tensões transversais (Schlaich et. al., 1987)

Segundo Bergmeister et. al. (1993) as tensões de tração transversais podem ser resistidas pelo

próprio concreto, caso tenham um valor menor que a resistência à tração deste material, ou

por armaduras inseridas como reforço. Para determinar o valor de tais tensões é possível

representar uma biela de configuração curvilínea a partir de um modelo de bielas e tirantes

secundário. A Figura 13 ilustra a situação.

23


Figura 13: Representação de uma biela com configuração curvilínea (adaptado de Schlaich et. al., 1987)

Como qualquer elemento estrutural de concreto, o dimensionamento da biela parte do

princípio que a solicitação de cálculo deve ser menor que a resistência do elemento, como

indica a Equação 2.

( Equação 2 )

onde:

Rd – resistência de cálculo;

Sd – solicitação de cálculo.

A resistência da biela é calculada a partir da Equação 3, dependendo então, de duas variáveis:

a área da seção transversal e a resistência efetiva à compressão da biela.

( Equação 3 ) onde:

Rds – resistência de cálculo da biela comprimida;

Acs – área da seção transversal da biela;

fcu – resistência efetiva à compressão da biela.

A área da seção transversal da biela é determinada na elaboração do modelo da treliça. De

acordo com a ACI 318 (2005), caso a seção da biela seja variável, pode-se idealizar a

mudança de seção de forma linear. Obviamente, se por toda a biela a resistência é igual, a pior

situação irá ocorrer na extremidade com menor área.

A resistência efetiva da biela é menor do que a resistência efetiva dos banzos comprimidos,

devido a diversos fatores, entre eles, os efeitos de tração da armadura que a atravessa. O

procedimento para se determinar a resistência efetiva das bielas variam conforme a referência

24


adotada. Neste trabalho utilizaremos os procedimentos indicados pelo CEB-FIP (1990) e

CSA-A23.3 (1994) (apud Silva & Giongo, 2000), e também pelo ACI 318 (2005).

ACI 318-05:

A resistência efetiva do concreto é calculada a partir da Equação 4.


f’ c – resistência característica do concreto.

O valor de βs varia de acordo com a Tabela 1.

Tabela 1: Valores de βs, para as bielas, de acordo com a situação (ACI 318, 2005)

Situação βs

Bielas com seção transversal uniforme ao longo do seu comprimento 1,00

Bielas em que a largura da seção mediana seja maior que a largura nos nós (configuração curvilínea)

Com armadura satisfazendo a tração transversal 0,75

Sem armadura satisfazendo a tração transversal 0,60λ

Bielas em membros de tração 0,40

Para todos os demais casos 0,60

Os valores de λ podem ser encontrados no item 11.7.4.3 do ACI 318 (2005) e não serão

abordados neste texto, pois no presente trabalho será considerada a armadura para resistir aos

esforços transversais, em todos os casos.

CEB-FIP (1990):

A resistência de projeto de uma região sob compressão uniaxial é determinada pela Equação 5

caso esteja em uma zona não-fissurada, ou pela Equação 6 se estiver localizada em uma zona

fissurada.

( Equação 5 )

( Equação 6 )

onde:

25


fck – resistência característica do concreto (em MPa);

fcd – resistência de cálculo do concreto (fck/γc);

γc – coeficiente de ponderação da resistência do concreto (γc = 1,4).

CSA-A23.3 (1994):

Os valores sugeridos para a resistência das bielas são determinados pela Equação 7, Equação

8 e Equação 9.

( Equação 7 )

( Equação 8 )

( Equação 9 )

onde:

ε1 – deformação de tração na direção perpendicular à biela;

εs – deformação média na barra de armadura que atravessa a biela;

θ – ângulo entre a biela e a barra de armadura que a atravessa;

Es – módulo de elasticidade do aço.

Importante ressaltar que o valor de fcu ainda deve ser multiplicado pelo fator de segurança do

concreto, ϕc = 0,60.

2.2.3 Dimensionamento dos nós

No modelo, os nós são utilizados para conectar as barras de bielas e tirantes, além de ser o

local de aplicação das forças concentradas. Porém estes são apenas simplificações do que

ocorre da realidade. Enquanto no modelo de bielas e tirantes há uma abrupta mudança de

direção das forças, em um elemento estrutural de concreto armado, esta mudança ocorre ao

longo de certo comprimento e largura.

Schlaich et. al. (1987) classifica os nós em dois tipos, contínuos e singulares. Os nós

contínuos são aqueles que ligam campos de tensão amplos no concreto ou tração em tirantes

que representam barras de aço estreitamente distribuídas. Nestes o desvio das forças acontece

26


em certo comprimento, tornando a mudança de direção mais suave. Já os nós singulares, são

aqueles onde as bielas ou tirantes representam campos de tensão concentrados. Nestes o

desvio das forças acontece localmente e de forma concentrada. Na Figura 14 verificamos

exemplos destes tipos de nós.

Figura 14: Exemplos de nós contínuos (A) e singulares (B) (adaptado de Schlaich et. al., 1987)

As regiões D geralmente apresentam os dois tipos de nós. Segundo Schlaich et. al. (1987), é

desnecessária a verificação das tensões no concreto em nós contínuos, caso seja garantida

uma ancoragem segura. O CEB-FIP (1990) (apud Silva & Giongo, 2000) compartilha desta

idéia e afirma que verificação das tensões no nó dentro da estrutura só é necessária em casos

de descontinuidades geométricas. Afirma ainda que as tensões de compressão nos nós só

precisam ser verificadas onde forças concentradas são aplicadas à superfície do elemento

estrutural.

Os nós também podem ser classificados quanto aos campos de tensão que neles atuam. A

Figura 15 ilustra os tipos de nós de acordo com tal classificação.

Figura 15: Classificação dos nós (ACI 318, 2005)

27


O dimensionamento dos nós singulares acontece de forma semelhante ao dimensionamento

das bielas. Calcula-se a resistência nas faces do nó a partir da Equação 10 e verifica-se a

integridade da região nodal a partir da Equação 2.


Rdn – resistência de cálculo da região nodal;

Acn – área da face da região nodal;

fcn – resistência efetiva à compressão da região nodal.

As faces da região nodal que precisam ser verificadas e as suas respectivas áreas são

determinadas na etapa de definição da geometria do modelo, de acordo com o tipo de nó que

está sendo verificado.

Nó-CCC:

Para o dimensionamento de um nó do tipo CCC, Schlaich et. al. (1987) recomenda a

idealização de um estado hidrostático plano. Este estado se caracteriza por apresentar forças

perpendiculares às faces dos nós e tensões uniformes e iguais em todas as faces carregadas,

como ilustra a Figura 16. Neste caso seria apenas necessário verificar uma face do nó, já que

nas outras as tensões seriam iguais, porém, nem todas as geometrias se comportam desta

forma. Schlaich et. al. (1987) diz que esta idealização é satisfatória desde que a relação entre

as tensões nas faces não seja menor que 0,50.

Figura 16: Nó-CCC em estado hidrostático plano (ACI 318, 2005)

Então, em casos semelhantes ao da Figura 17, a área utilizada para dimensionar o nó é igual à

área de aplicação da carga. Schäfer & Schlaich et. al. (1988), propõe também, analisar a

tensão σb, considerando a largura “b” a partir da Equação 11.

28


Figura 17: Caso de nó-CCC em estado hidrostático (Bergmeister et. al., 1993)

( Equação 11 )

em que:

b - altura dos nós limitada por fissuras ou pela largura das bielas adjacentes;

ao – largura do carregamento aplicado;

ϕ2 e ϕ3 – ângulos entre as bielas e o plano vertical.

Nó-CCT:

Para o dimensionamento de nós do tipo CCT, ao contrário do tipo CCC, são consideradas

tensões com valores diferentes nas faces. Para isto é considerada a zona nodal estendida que

representa os limites da espessura efetiva da biela, ws, e do tirante, wt, como ilustra a Figura

18. A espessura da biela pode ser calculada a partir da Equação 12.

Figura 18: Zona nodal estendida e caso de nó-CCT (ACI 318, 2005)

29



lb - largura do apoio;

θ – ângulo entre a biela e a barra de armadura que a atravessa.

Os demais tipos de nós não serão abordados neste trabalho. O procedimento de

dimensionamento destes nós pode ser encontrado nas referências citadas ao longo deste texto.

Os procedimentos para se determinar a resistência efetiva dos nós também variam conforme a

referência, porém são diferentes dos utilizados para as bielas. Os parâmetros de resistência

nos nós, adotados neste trabalho, são retirados das mesmas referências utilizadas para as

bielas.

Nó-CTT:

Assim como no nó CCT, deve-se considerar a zona nodal estendida, utilizando a Equação 12

nas e nas duas direções considerara faixa de distribuição dos ferros, assim como mostra a

Figura 19. A ancoragem da armadura deve ser considerada a partir da interseção do centro de

gravidade da armadura e a zona nodal estendida.

Figura 19: Zona nodal estendida e caso de nó-CTT (ACI 318, 2005)

ACI 318-05:


30


( Equação 13 )

O valor de βn varia de acordo com a Tabela 2.

Tabela 2: Valores de βn de acordo com a situação (ACI 318, 2005)

Situação βn

Zonas nodais limitadas por bielas ou apoios 1,00

Zonas nodais ancorando um tirante 0,80

Zonas nodais ancorando dois ou mais tirantes 0,60

CEB-FIP (1990):

O código modelo recomenda a utilização da Equação 5 para nós aonde chegam apenas bielas

e a Equação 6 para nós onde barras tracionadas são ancoradas.

CSA-A23.3 (1994):


( Equação 14 )

O valor de α varia de acordo com a Tabela 3 e as situações descritas são ilustradas na Figura

20.

Tabela 3: Valores de α de acordo com a situação (CSA-A23.3, 1994) (apud Silva & Giongo, 2000)

Situação α

Zonas nodais limitadas por bielas ou áreas de aplicação de ação ou reação 0,85

Zonas nodais ancorando um tirante em uma única direção 0,75

Zonas nodais ancorando tirantes em mais de uma direção 0,65

31


Figura 20: Parâmetros de resistência das regiões nodais, segundo a CSA-A23.3, 1994 (apud Silva & Giongo, 2000)

2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

Conforme a literatura, muitos fenômenos em engenharia podem ser descritos em termos de

equações diferenciais parciais. Em muitos casos, solucionar essas equações analiticamente se

torna quase impossível. O MEF é uma aproximação numérica com a qual essas equações

diferenciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Este é utilizado em casos da

engenharia tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e

eletromagnetismo, por simulações computacionais.

O procedimento de cálculo utilizando o método dos elementos finitos segue os seguintes

passos: Pré-processamento; Formulação dos elementos; Montagem; Resolução das equações;

Pós-processamento.

A idéia básica do MEF é dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas

de elementos, conectados por nós, e obter uma solução aproximada. Esta é chamada de malha

de elementos finitos e o processo para a sua construção é conhecido como geração de malha

(Figura 21). Quanto mais refinada ou densa é a malha mais aproximado será o resultado. A

etapa em que é realizada a subdivisão do domínio do problema em elementos finitos é

chamada de pré-processamento.

32


Figura 21: Malha de elementos finitos (Liu & Quek 2003)

Após esta etapa são formuladas as equações para os elementos finitos. Os sólidos são regidos

por sistemas de equações diferenciais parciais, chamadas de formulação forte, sendo difícil

encontrar soluções analíticas. Estas devem ser reformuladas em uma forma integral

equivalente, chamada de formulação fraca, para assim desenvolver as equações dos elementos

finitos, como afirmam Belytschko & Fish (2009). A formulação fraca possui nomes

específicos para determinadas disciplinas, como por exemplo, o principio do trabalho virtual

em análise de tensões.

Liu & Quek (2003) afirmam que formulações fracas adequadas para problemas de mecânica

dos sólidos e estruturas são obtidas utilizando princípios de energia, como o da energia

potencial mínima, ou o método dos resíduos ponderados.

Após adotar a formulação fraca que rege o problema em questão, deve-se conhecer o

comportamento do elemento em função da grandeza em estudo, por exemplo, o deslocamento.

Este comportamento é determinado de forma aproximada utilizando-se funções de forma, ou

aproximadoras. Estas funções são polinomiais e definidas a partir da interpolação de valores

conhecidos nos nós, no caso, os deslocamentos. O grau do polinômio será determinado de

acordo com o número de nós do elemento.

Com a formulação do elemento desenvolvida, é necessário transformar o sistema de

coordenadas local para global, utilizando uma matriz de transformação. Esta etapa é chamada

de montagem.

A resolução das equações pode ser realizada de modo direto ou iterativo. Esta escolha

influencia diretamente no tempo de processamento, assim como o processador utilizado. Por

fim é desenvolvida uma forma de ilustrar os resultados, por exemplo, a partir de gráficos e

tabelas.

33


O MEF vem sendo bastante utilizado em análises de estruturas complexas devido à sua

praticidade e versatilidade. Vários programas computacionais são comercializados com o

intuito de facilitar a modelagem assim como a visualização de resultados.

O procedimento de modelagem utilizando estes programas segue as seguintes etapas:

Modelagem da geometria; geração de malhas; especificação das propriedades do material; e

especificação das condições de contorno e carregamento.

3. ANÁLISES NUMÉRICAS

As análises foram realizadas utilizando o programa computacional Abaqus®. Foi adotado um

programa comercial por possuir uma interface gráfica versátil, ajudando na modelagem do

sistema, e também poderosos recursos visuais na a saída de dados facilitando a ilustração das

análises realizadas e resultados obtidos.

3.1 METODOLOGIA

Os elementos estruturais foram modelados contemplando as seguintes características.

3.1.1 Geometria

A viga estudada é biapoiada com um comprimento de vão igual a 700,00 cm e uma altura de

470,00 cm, sendo a relação do comprimento do vão pela altura próximo a 1,50,

caracterizando-se uma viga-parede.

As larguras dos apoios são de 50,00 cm e a espessura da viga é de 40,00 cm. Há uma carga

concentrada aplicada a 250,00 cm da borda direita, em uma placa de 70,00 cm de largura. A

viga possui uma abertura de 150,00 cm x 150,00 cm, locada a 50,00 cm da borda inferior e

50,00 cm da borda esquerda (Figura 22).

34


Figura 22: Geometria da viga-parede estudada (Medidas em cm)

3.1.2 Elemento Finito e Malha

O elemento finito adotado é identificado como CPS8R (Continuum Plane Stress, 8 nodes,

reduced integration) e é um quadrilátero, também denominado como quadrilateral pelo

programa, pertencente à família Plane Stress. (Figura 23).

Figura 23: Quadrilateral, “serendipity”, de oito nós

Segundo Liu & Quek (2003) o resultado de simulações utilizando elementos quadriláteros é

mais preciso do que com elementos triangulares, porém é mais difícil a geração de malhas em

geometrias mais complexas. Como o sistema modelado tem forma simples, a escolha de um

elemento quadrilátero para a simulação foi imediata.

35


O programa oferece a opção de utilizar interpolação de primeira ou segunda ordem. De

acordo com o Hibbitt et. al. (2003) os elementos de segunda ordem são capazes de representar

todos os campos de deformação lineares, ao contrário dos elementos de primeira ordem. Por

isso, em caso de problemas elípticos, como elasticidade, esse é o mais recomendado. O

manual esclarece também, que ordens maiores que a segunda não oferecem ganhos

representativos, com exceção de casos especiais.

Não foi necessária a utilização de formulação hibrida, pois o coeficiente de Poisson do

material é menor que 0,49999. No programa computacional também está disponível a opção

de utilizar integração completa ou reduzida para esse tipo de elemento, onde as maiores

vantagens da segunda é o menor custo computacional e a flexibilização da matriz de rigidez.

Optou-se por utilizar a integração reduzida.

Para a geração da malha de elementos finitos, utilizou-se o gerador do Abaqus/CAE®. Foi

adotado um tamanho global aproximado de 5,00 cm para os elementos, considerado suficiente

para conceber resultados satisfatórios. A técnica utilizada para a geração da malha é chamada

de Structured.

Esta técnica gera malhas estruturadas a partir de malhas pré-definidas de elementos simples,

como um quadrado ou um cubo (Figura 24). Esta técnica dá um maior controle sobre a malha,

porém a maior parte dos sólidos tem formas muito complexas para utilizar as malhas pré-

estabelecidas. A solução para tal problema é a partição do sistema em modelos mais simples.

Para a geração da malha dos modelos deste trabalho, foi necessário particionar a viga-parede

no entorno da abertura.

Figura 24: Padrões de malhas estruturadas em duas dimensões

36


3.1.3 Propriedades do Material

Considerou-se um material elástico linear isotrópico, e as suas propriedades foram adotadas

conforme a NBR 6118 (2003). O coeficiente de Poisson (ν) de 0,2 e o módulo de elasticidade,

Ec, a partir da Equação 15, considerando fck = 30MPa.

→ ( Equação 15 )

3.1.4 Ações e Condições de Contorno

Foi considerada um esforço (Fu) de 530,00 kN, aplicando no modelo como um carregamento

do tipo Pressure, uniformemente distribuída na placa de 70,00 cm. O valor do esforço

resultou em 7,56 kN/cm.

Quanto às condições de contorno, nas placas de apoio foram impedidos os deslocamentos em

todas as direções. A Figura 25 ilustra as condições de contorno assim como as cargas

aplicadas na geometria modelada.

Figura 25: Ações e condições de contorno no sistema

3.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Após o processamento do modelo, verifica-se o caminhamento das cargas a partir da

visualização por vetores, que o programa computacional oferece. Na Figura 26 tem-se as

tensões principais mínimas, na Figura 27 as tensões principais máximas e na Figura 28 tem-se

todas as tensões principais.

37


Figura 26: Tensões principais mínimas ou de compressão

A partir da Figura 26, percebe-se claramente o caminho da carga concentrada aos apoios, com

uma maior parte da carga indo para o apoio à direita, como esperado, já que está mais

próximo do ponto de aplicação de carga e não tem a perda de rigidez devido à abertura.

Percebe-se ainda, que em ambos os lados os vetores resultam em um formato de garrafa

(bottle), gerando por consequência tensões transversais de tração.

Figura 27: Tensões principais máximas ou de tração

38


Na Figura 27 vê-se que as tensões de tração transversal são maiores no lado esquerdo, à 135º,

próximo ao canto esquerdo da abertura. Isto já era esperado, pois, por causa da abertura, as

tensões têm de se espraiar mais, resultando em maiores trações transversais. Vê-se também

claramente a formação de um tirante horizontal nas fibras inferiores da viga.

Figura 28: Tensões principais mínimas, médias e máximas

Já na Figura 28 percebe-se que as tensões máximas são transversais às tensões mínimas, o que

já era esperado em um modelo de deformações elásticas. A figura também mostra o

surgimento de tensões de compressão transversal próximo a aplicação do carregamento. Este

efeito de confinamento é usual e regiões de aplicação de cargas concentradas ou distribuídas

em pequenas regiões e por conta dele, há um ganho de resistência do concreto nesta região. O

oposto ocorre próximo aos apoios, onde existem tensões transversais de tração, sendo

necessária a redução de resistência do concreto.

Sendo o modelo tão diferente do lado esquerdo e direito, é inteligente elaborar modelos de

bielas e tirantes isoladamente, e depois fazer a compatibilização entre os dois. Para isto é

necessário encontrar uma seção onde seria interessante realizar o corte fictício. Schlaich et. al.

(1987) afirma que esta linha fictícia deve ficar onde as tensões de cisalhamento são próximas

39


ao nulo e consequentemente as tensões principais seriam máximas. Na Figura 29 temos as

tensões cisalhantes da viga-parede e a linha fictícia de divisão dos modelos.

Figura 29: Tensões de cisalhamento e linha fictícia para divisão do modelo (kN/cm)

Como Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000), avaliamos as tensões

transversais ao longo da altura de uma seção característica da viga. A Figura 30 mostra as

tensões tranversais na viga-parede e a Figura 31 mostra a distribuição de tensões ao longo da

altura da seção que neste caso optou-se pela seção cortada pela linha fictícia.

Figura 30: Tensões na direção x (kN/cm)

40


Figura 31: Diagrama de tensões transversais na seção de corte característica

Vê-se claramente que as tensões não se distribuem linearmente ao longo da altura e por

consequência a deformação também não. Assim, não é possível a utilização da hipótese

simplificadora de Bernoulli neste exemplo.

A partir da análise elástica, percebe-se que a estrutura toda é uma região do tipo D, exceto por

duas pequenas regiões, abaixo e do lado esquerdo da abertura, que possuem características de

deformações planas, ou seja, são regiões do tipo B (Figura 32). Isto é comprovado analisando

as tensões ao longo da altura de uma seção nesta região, como mostra a Figura 33.

Figura 32: Regiões B1 e B2 do modelo

+

-

41


Figura 33: Diagrama de tensões transversais característica da região B2

Observe que as delimitações das regiões B1 e B2 se afastam dos vértices da abertura, pois

nestes existem efeitos de canto, que distorcem as tensões na região. Na Figura 33 se vê que o

diagrama pode facilmente ser aproximado por uma reta, idealizando-se uma seção plana.

4. MODELO DE BIELAS E TIRANTES

4.1 ELABORAÇÃO DO MODELO

Como indicado anteriormente vamos dividir o modelo em dois: o da esquerda (Modelo E) e o

da direita (Modelo D), mas primeiro deve-se fazer algumas considerações: As reações nos

apoios são estimadas pelo equilíbrio externo de ações; o braço de alavanca “z” será

aproximado como 90% da altura da viga-parede; a armadura do tirante inferior deverá estar

disposta de tal forma que fique limitada pelo fundo da viga e o fundo da abertura.

Calculando as reações tem-se:

O braço de alavanca “z” será igual a:

42


Sendo o centro de gravidade da armadura inferior, distante 25,00 cm do fundo da viga, por

consequência, o centro de gravidade da biela comprimida na parte superior estaria distante

22,00 cm do topo da viga. A Figura 34 mostra o esquema.

Figura 34: Esquema inicial do modelo (medidas em cm)

O Modelo D é imediato, pois as tensões caminham do local de aplicação da carga ao apoio B

diretamente. Sabe-se, porém, que possui um formato característico de “garrafa” já citado

anteriormente e isto leva a surgir trações transversais. Será feito então um modelo secundário

de bielas e tirantes como mostra a Figura 35.

43


Figura 35: Modelo de bielas e tirantes do lado direito (medidas em cm)

Já o Modelo E é um pouco mais complexo. É necessário imaginar que as tensões principais

mínimas devem arrodear a abertura para chegar ao apoio A. É feita uma simplificação ao

adotar que as cargas vão ser transferidas ao apoio diretamente pela região B1, funcionando

como uma coluna sob carregamento concentrado . Observe que seria possível considerar que

parte da carga iria atravessar a região B2 através de momentos fletores e esforços cisalhantes,

porém Schlaich et. al. (1987), afirma que comparando a rigidez axial da região B1 à rigidez à

flexão da região B2, esta é obviamente negligenciável. Obviamente que deve ser previsto

parte da armadura passando pela região B2, para evitar fissuração acentuada.

O modelo do lado esquerdo da viga-parede, também foi dividido em dois: Modelo E1 e

Modelo E2. O Modelo E1 é composto por bielas e tirantes à 45º umas com as outras e ao

redor da abertura, facilitando a montagem das armaduras Figura 36. Vê-se certa similaridade

com os modelos utilizados para vigas com dentes Gerber. Foi considerado que o centro de

gravidade das armaduras estaria a 16 cm das faces da abertura.

44


Figura 36: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E1)

Já o Modelo E2 simula as trações à 135º já citadas anteriormente, próximas ao vértice direito

e superior da abertura Figura 37. Cada modelo separadamente seria suficiente, porém uma

união dos dois modelos parece mais adequada, definindo então que cada modelo será

carregado com a metade da carga A.

Figura 37: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E2)

45


A Figura 38 mostra o modelo de bielas e tirantes completo.

Figura 38: Modelo completo de bielas e tirantes

4.2 ANÁLISE DO MODELO

Utilizou-se o programa computacional FTOOL para processar os modelos. Foram feitos dois

modelos, cada um com metade das cargas. Verificaram-se problemas de hipoestaticidade nos

modelos, por isso foram acrescentadas barras de compatibilidade, apenas para garantir a

convergência dos cálculos (Figura 39 e Figura 40).

46


Figura 39: Modelo 1 de treliça.

Figura 40: Modelo 2 de treliça

As Figura 41 e Figura 42 mostram os resultados dos modelos a partir da saída gráfica que o

programa computacional fornece. É constatado que as barras de compatibilização apresentam

insignificantes interferências no modelo. É confirmada também a natureza dos esforços nas

barras, onde foi previsto tirantes existe tração e onde forma previstas bielas existe

compressão.

47


Figura 41: Esforços axiais do Modelo 1 (kN)

Figura 42: Esforços axiais do Modelo 2 (kN)

48


5. DIMENSIONAMENTO DA VIGA-PAREDE

O dimensionamento foi feito considerando o somatório dos esforços de cada modelo. Foram

realizados os dimensionamento dos tirantes, em seguida a verificação das bielas e das regiões

nodais e por fim o detalhamento das armaduras.

5.1 DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES

Com os esforços axiais obtidos e aplicando a Equação 1, montou-se a Tabela 4, com os

valores dos esforços considerados, as áreas de aço calculadas e a configuração de bitolas

adotadas. Foi adotado o aço comercial do tipo CA50, tendo como resistência característica

500 Mpa. A configuração das bitolas foi definida levando em conta os centros de gravidade

adotados para os tirantes.

Tabela 4: Dimensionamento dos tirantes

Tirante Esforço

(kN)

As_calc

(cm²) Config.

T 191.40 4.40 8 φ 10

T1 95.70 2.20 4 φ 10

T2 95.70 2.20 4 φ 10

T3 94.70 2.18 2x4 φ 10

T4 94.70 2.18 2x5 φ 6.3

T5 189.40 4.36 2x4 φ 10

T6 191.40 4.40 2x4 φ 10

T7 95.70 2.20 2x5 φ 6.3

T8 95.70 2.20 2x4 φ 10

T9 117.40 2.70 4 φ 10

T10 (Horiz) 93.27 2.15 Arm. de

pele mín. e

estribos

mín.

T10 (Vert) 24.38 0.56

T11 (Horiz) 93.27 2.15

T11 (Vert) 24.38 0.56

As configurações de bitolas foram escolhidas em função de um detalhamento mais prático e

simétrico. Os tirantes T10 e T11, que simulam o espraiamento da biela de compressão do tipo

“garrafa”, foram decompostos em horizontal e vertical, multiplicando os valores por seus

cossenos em relação ao plano horizontal e vertical. Como os valores de aço desses tirantes

foram muito pequenos, serão supridos pela armadura mínima de cisalhamento e de pele.

49


5.2 VERIFICAÇÃO DAS BIELAS E REGIÕES NODAIS

Geralmente esta verificação é feita em conjunto, pois quase sempre é possível otimizar a

quantidade de verificações fazendo-se uma análise prévia. Por exemplo, no caso estudado, é

possível concluir que os casos mais desfavoráveis ocorrem nos nós.

Como já comentado, as tensões principais mínimas no exemplo modelado, são consideradas

do formato “garrafa”, por se espraiarem e depois se concentrarem no apoio. Logo é possível

concluir que as menores áreas, ou seja, as maiores tensões estarão próximas às regiões nodais.

Assim como, utilizando as equações normativas descritas em 2.2.2 e 2.2.3, é facilmente

verificado que as menores resistências também serão encontradas próximas aos nós.

Assim, verificaram-se as regiões nodais características, enumeradas nas figuras dos modelos,

assim como fizeram Schäfer & Schlaich et. al. (1988), e montou-se a ().

Nó 1:

O nó 1 é do tipo CCC e deve ser considerado como um nó hidrostático, ou seja, as tensões em

todas as faces são iguais. Por tanto é necessário verificar apenas a tensão na placa de

aplicação de carga.

Schäfer & Schlaich et. al. (1988) afirma que também deve-se verificar a tensão no

comprimento “b”como indicado na Figura 17.

Utilizando as equações encontradas em 2.3, monta-se a Tabela 5 que contém as resistências

de cada norma para este tipo de nó. Vê-se que este nó resiste com folga à tensão solicitante.

Tabela 5: Resistência do nó CCC

Resistência (MPa)

ACI 18.21

CEB 16.03

CSA 10.93

50


Nó 2 e 3:

Estes nós são do tipo CCT e deve-se considerar a zona nodal estendida. Utilizando a Equação

12 tem-se:

Num nó CCT as tensões nas faces não são iguais, logo deve se fazer a verificação, para este

caso, nas duas faces comprimidas.

A Tabela 6 mostra a resistência de cada norma para este tipo de nó. Novamente verifica-se

que os nós passaram com folgas.

Tabela 6: Resistências para nós do tipo CCT

Resistência (MPa)

ACI 14.57

CEB 11.31

CSA 9.64

Nó 4:

Este é um nó do tipo CTT e o comprimento da zona nodal estendida é dado abaixo, além da

tensão a ser verificada.

51


A Tabela 7 mostra a resistência de cada norma para este tipo de nó. Novamente verifica-se

que os nós passaram com folgas.

Tabela 7: Resistências para nós do tipo CTT

Resistência (MPa)

ACI 10.93

CEB 11.31

CSA 8.36

5.3 DETALHAMENTO

Para o detalhamento considerou-se as armaduras mínimas de pele e de cisalhamento para

vigas-parede, presentes na NBR 6118 (2003). Estes valores são calculados abaixo, e após

comparação, as armaduras calculadas que foram inferiores a estas foram substituídas. Foram

adicionadas ao detalhamento, armaduras construtivas, nos cantos da abertura para distribuir as

tensões após fissuração.

O detalhamento da viga pode ser visto na Figura 43. Importante ressaltar que a armadura dos

pilares deve ser estendida até o topo da viga.

52


Figura 43: Detalhamento da viga-parede (medidas em cm)

53


6. CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES

A partir do modelo elástico estudado foi possível verificar que o modelo de bielas e tirantes

propostos por Schäfer & Schlaich et. al. (1988) se adequa realmente ao problema proposto. O

trabalho limitou-se a fazer uma análise elástica o que impossibilitou de fazer uma avaliação

do estado limite de serviço e carga última. A partir de uma análise não linear seria possível

determinar o momento de fissuração, os limites de fissuração e deformação além da carga

última admissível para tal configuração, porém a falta de conhecimento sobre a teoria da

plasticidade tornou impossível a utilização neste trabalho, ficando como sugestão para futuros

estudos.

No dimensionamento verificou-se que a carga adotada para realizar a análise foi baixa

comparada à rigidez e resistência da viga, resultando um afastamento muito grande entre a

resistência e a solicitação. Faltou uma análise prévia da carga e da resistência, porém nada que

interferisse no objetivo do trabalho.

Após os estudos ficou claro que a elaboração de um modelo de bielas e tirantes não é algo

simples e que exige muito conhecimento teórico e prático, além de resultados experimentais,

inclusive em laboratórios. Por isso é recorrente a utilização de modelos já propostos e já

estudados, realizando apenas adaptações, para o problema a ser estudado.

Viu-se também que apesar dos métodos para o cálculo da resistência, existentes nas normas

estudadas, levarem em contas os mesmos parâmetros, os resultados divergem

consideravelmente. Para avaliação destes valores vale a continuação deste trabalho,

aumentando-se a carga aplicada e realizando uma análise não linear.

54


REFERÊNCIAS

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

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HIBBITT, KARLSSON & SORENSEN. ABAQUS/CAE User's Manual, Version 6.4, Pawtucket, 2003.

HIBBITT, KARLSSON & SORENSEN. ABAQUS Theory Manual, Version 6.4, Pawtucket, 2003.

LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construções de Concreto. 1ª ed. Rio de Janeiro: Editora Interciência, v. II, 1978.

LEU L.J.; HUANG C.W.; CHEN C.S.; ASCE M.; LIAO Y.P. Strut-and-Tie Design Methodology for Three-Dimensional Reinforced Concrete Structures. Journal of Structural Engineering, Junho 2006, p. 929-938.

LIU, G.R.; QUEK, S.S. The Finite Element Method - A practical course. 1ª ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2003.

MUNHOZ, F. S. Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada. Universidade de São Paulo. São Carlos. 2004.

SCHÄFER, K.; SCHLAICH, J. Consistent Design of structural Concrete Using Strut and Tie Model. 5º Colóquio Sobre Comportamento e Projeto de Estruturas, Rio de Janeiro, 1988, PUC/Rio.

SCHLAICH, J.; SCHÄFER, K.; JENNEWEIN, M. Toward a Consistent Design of Structural Concrete, PCI Journal, V. 32, No. 3, Maio-Junho, 1987, p. 74-150.

SILVA, R. C.; GIONGO, J. S. Modelos de Bielas e Tirantes Aplicados a Estruturas de Concreto Armado. 1ª ed. São Carlos: EESC-USP, 2000.

aplicaÇÃo do modelo de bielas e tirantes … · dimensionamento do das vigas-parede é por meio...

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