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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM

ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM EECCOONNOOMMIIAA

“ENSAIOS DE APREÇAMENTO EM MERCADOS INCOMPLETOS”.

TTAATTIIAANNAA OOHHAARRAA SSUUGGAA

ORIENTADOR: PROF. DR. JOSÉ VALENTIM MACHADO VICENTE

Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.

“ENSAIOS DE APREÇAMENTO EM MERCADOS INCOMPLETOS”

TATIANA OHARA SUGA

Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Economia

ORIENTADOR: Dr. JOSÉ VALENTIM MACHADO VICENTE

Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.

332.011 S947e

Suga, Tatiana Ohara. Ensaios de apreçamento em mercados incompletos. / Tatiana Ohara Suga. - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2012. 57f.; 29 cm. Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Economia das Faculdades Ibmec, como requisito parcial necessário para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças. Orientador: Dr. Prof. José Valentim Machado Vicente.

1. Apreçamento de ativos. 2. Mercados incompletos. 3. Precificação. 4. Good deal (limites superior e inferior). 5. Entropia. I. Suga, Tatiana Ohara. II. Dr. Prof. José Valentim Machado Vicente. III. Ensaios de apreçamento em mercados incompletos.

v

DEDICATÓRIA

Dedico aos meus pais que com grande sabedoria me incentivaram a fazer o meu melhor sempre.

vi

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador José Valentim pela disposição em me orientar neste projeto de

dissertação de mestrado. À minha mãe pelos incentivos diários mesmo de longe com muita

paciência e me fazendo sempre persistir, ao meu pai que compreende a minha constante

ausência devido aos estudos e trabalho e a todos meus grandes amigos que conheci no Rio de

Janeiro e que estão sempre me apoiando, em especial a Iris.

vii

RESUMO

Este trabalho foi motivado por dois artigos que analisam critérios do apreçamento de ativos

em mercados incompletos. Comparou-se empiricamente, os resultados da estrutura do critério

de entropia minimal do artigo de Marco Fritelli (1995) e os limites “good deal” do artigo de

Jesus Saá-Requejo e John H. Cochrane (1999). O primeiro acredita na aplicação da noção de

entropia relativa para avaliação financeira e sua conexão com a aproximação da maximização

da utilidade. O segundo procura os limites superior e inferior do preço da opção, por todas as

possíveis atribuições do preço de mercado do risco do resíduo, restringindo o preço do

mercado total do risco para um valor razoável e impondo não arbitragem. Com base nessas

análises, verificou-se que o preço de entropia, em geral, não pertence ao intervalo “good deal”

com os dados adotados.

Palavras Chave: Precificação; Good Deal (Limites Superior e Inferior); Entropia.

viii

ABSTRACT

This work was motivated by two articles that analyse criteria from pricing assets in

incomplete markets. We compared empirically, the results from the structure the Minimal

Entropy Criterion from the article by Marco Frittelli (1995) and the “good deal” bounds from

the article by Jesus Saá-Requejo and John H. Cochrane (1999). The first believes in the

application of the notion of relative entropy to financial valuation and its connection with

utility maximization approach. The second searches the upper and lower bounds on the option

price, for all possible assignments of the market price of risk of the residual, constraining the

total market price of risk to a reasonable value and imposing no arbitrage opportunitie. Based

on these analysis, we verified that in general the entropy pricing does not belong to the “good

deal” interval using adopted data.

Key Words: Pricing; Good Deal (upper and lower bounds); Entropy.

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Espaços de Payoffs gerados por um payoff x (à esquerda) em R2 ou dois payoffs, x1

e x2, (à direita) em R3....................................................................................................... 13

x

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Retornos positivos e volatilidade (ao ano e ao trimestre) de uma carteira de ações

da Petrobrás divulgadas em Out/11 ................................................................................. 25

Tabela 2 – Três casos para a taxa de juros livre de risco ......................................................... 28

Tabela 3 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 2 e estados

igualmente prováveis ....................................................................................................... 34

Tabela 4 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 3 e estados

igualmente prováveis ....................................................................................................... 35

Tabela 5 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 2 e estados com

probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008) ............................................................. 35

Tabela 6 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 3 e estados com

probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008) .............................................................. 36

Tabela 7 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para os 3 casos de taxas de

juros considerados e estados da natureza igualmente prováveis ..................................... 41


juros considerados e estados da natureza igualmente prováveis ..................................... 42


juros considerados e estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski

(2008) ............................................................................................................................... 42

xi

Tabela 10 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para os 3 casos de taxas

de juros considerados e estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski

(2008) ............................................................................................................................... 43

xii

LISTA DE ABREVIATURAS Petrobras Petróleo Brasileiro S/A

MVMM Minimal Variance Martingale Measure

xiii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1

2 REVISÃO DA LITERATURA ............................................................................... 5

2.1 Mercados Completos e Incompletos ...................................................................................................... 5

2.2 Visão Geral: Modelo de Consumo Básico e o Fator Estocástico de Desconto .................................... 8

2.3 Limites “Good Deal” Superior e Inferior de um período ................................................................. 16

2.4 Critério de Entropia Minimal ............................................................................................................. 19

3 RESULTADOS .................................................................................................. 25

4 CONCLUSÃO .................................................................................................... 37

APÊNDICE - RESULTADOS .................................................................................... 41

1

1 INTRODUÇÃO

A teoria de apreçamento em mercados completos foi amplamente desenvolvida a partir da

década de 50 por Arrow e Debreu (1954) nos problemas de equilíbrio geral. Na

Economia, um mercado completo é aquele em que um conjunto de apostas possíveis

distribuídas nos n estados da natureza pode ser construído pelos ativos existentes no

mercado sem fricção, ou seja, sem custos de transação. Assim, cada agente é capaz de

obter qualquer payoff que desejar.

Em contraste, mercados incompletos são aqueles em que o número de ativos é menor que

o número de estados da natureza. Ou seja, a escassez de ativos restringe aos indivíduos a

possibilidade de transferir o nível desejado de riqueza entre os estados.

Algumas formulações em mercados incompletos foram desenvolvidas na década de 70,

como o problema de escolha intertemporal em que o consumidor representativo maximiza

o bem-estar e utiliza ativos para transferir renda entre diferentes períodos e estados

(Lucas, 1978).

A incompletude dos mercados possui formulações baseadas na teoria de portfólio e média

variância (Mankiw, 1986). Muitos outros estudos investigaram o equilíbrio, que nem

sempre é garantido, em mercados incompletos (Hart, 1975).

2

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma revisão da literatura sobre a teoria de

apreçamento de ativos em mercados incompletos e mostrar a aplicabilidade das

contribuições de Frittelli (1995) e Cochrane e Saá-Requejo (1999).

Frittelli (1995) afirma que a não arbitragem muitas vezes não é suficiente para a

precificação em mercados incompletos e apresenta uma maneira para lidar com este

problema através da medida de probabilidade martingale da entropia relativa minimal.

Primeiramente, é introduzida a medida martingale de variância minimal em que é

selecionada a medida q do conjunto das medidas de probabilidade martingale,

{ }2 : 1 1, , 0n

nM q R q qa r q= ∈ = = ≥ , em que a representa o retorno, r é a taxa de juros

livre, que minimiza a variância de Q

P

∂

∂ (derivada de Radon-Nikodym). Este método é

proposto por Follmer e Schweizer (1986).

Em um segundo momento, define-se a medida de entropia minimal em que ( )1,..., nQ q q=

e ( )1,..., nP p p= são medidas de probabilidades (todas as componentes maiores do que

zero e soma igual a 1) e ( )1

, lnn

ii

i i

qI Q P q

p=

� �= � �

� �� é a medida de entropia relativa de Q com

respeito a P.

Assim, a medida de probabilidade martingale da entropia relativa minimal é a medida que

minimiza ( ),I Q P , ou seja, é o preço de entropia.

Nota-se que não existe preocupação com a questão da viabilidade do mercado, descrita,

por exemplo, por Harrison e Kreps (1979), em que se assume a não arbitragem, ou seja, a

3

existência de medidas martingale equivalentes, que determinam funcionais lineares

positivos compatíveis com a suposição de não arbitragem (Stricker – 1990, Delbaen e

Schachermayer – 1994 e Frittelli e Lakner – 1994).

Cochrane e Saá-Requejo (1999) abordam a precificação em mercados incompletos em um

período t0 e t1. A ideia básica é encontrar um intervalo de preços como o máximo e

mínimo da esperança do payoff 1c

tx + descontado pelo fator estocástico de desconto m.

Além disso, algumas restrições devem ser consideradas, tais como a não arbitragem,

0m ≥ , os preços tp de um conjunto de ativos 1tx + iguais a ( )p E mx= . A terceira e

última restrição, complementar às anteriores, é que ( ) f

hm

Rσ ≤ , em que h é um limite de

volatilidade pré-definido e fR é a taxa de juros livre de risco, ou melhor, o fator

estocástico de desconto m precifica um conjunto de ativos, é não negativo e impõe um

limite superior em sua volatilidade.

A restrição da volatilidade do fator estocástico de desconto é equivalente a um limite

superior para a razão de Sharpe (Hansen e Jagannathan, 1991). Assim, é interessante

participar na margem de uma carteira com razão de Sharpe maior que h, satisfazendo a

terceira restrição do intervalo do preço cujos extremos são denominados limites “good

deal”. Esses limites indicam que os investidores querem comprar ativos com razões de

Sharpe altos. Outras pesquisas realizadas sobre os limites “good deal” são encontradas em

Carr et al (2001), Staum (2004), Larsen (2005) e Staum (2008).

Apresentam-se, também, os resultados obtidos na comparação dos modelos de Cochrane e

Saá-Requejo (1999) e de Frittelli (1995), por meio de uma análise empírica supondo um

mercado incompleto de um período, com um único ativo e três estados da natureza

4

igualmente prováveis. Supôs-se também outras probabilidades para cada estado da

natureza de acordo com Clifford e Zaboronski (2008), além de fixar o limite de

volatilidade para h = 0,1. Finalmente, chega-se à conclusão de que o preço pela entropia

abordado por Frittelli (1995) não pertence ao intervalo “good deal” proposto por Cochrane

e Saá-Requejo (1999). Ressalta-se que os resultados dos limites “good deal” são os mais

favoráveis, pois as simulações mostram que o preço pela entropia possui quedas mais

bruscas com a variação da taxa de juros do que o limite “good deal” do preço do ativo.

A seguir, este trabalho será estruturado da seguinte forma: o capítulo 2 apresenta uma

revisão bibliográfica dos conceitos de mercados completos e incompletos, da definição do

fator estocástico de desconto e de um resumo dos artigos de Frittelli (1995) e Cochrane e

Saá-Requejo (1999). O capítulo 3 descreve os resultados da comparação do preço pelo

critério de entropia minimal com o intervalo de preços “good deal”. O capítulo 4 expõe as

conclusões da comparação empírica realizada.

5

2 REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo revisa-se a literatura da teoria de apreçamento de ativos baseada em

Cochrane (2000), Pennacchi (2008), Nascimento (2007) e Flood (1991) e na exposição

detalhada dos artigos de Frittelli (1995) e Cochrane e Saá-Requejo (1999).

Na primeira seção relata-se os conceitos fundamentais de Mercados Completos e

Incompletos e introduz-se o Fator Estocástico de Desconto que tem importante papel neste

trabalho. Na seção final apresentam-se as principais ideias de Frittelli (1995) sobre critério

de entropia minimal para precificação em mercados incompletos de um período e as de

Cochrane e Saá-Requejo (1999), colocando-se à vista os limites superior e inferior (good

deal) do preço de ativos em mercados incompletos.

2.1 MERCADOS COMPLETOS E INCOMPLETOS

Na literatura, um mercado é dito completo quando o número de ativos não redundantes é

igual ao número de estados da natureza. Ou seja, sempre existe um portfólio que permite

aos agentes fazerem qualquer transferência de renda entre os estados. As teorias de

mercados completos e de equilíbrio geral foram desenvolvidas especialmente por Arrow e

Debreu (1954) e Arrow (1964).

Considerando-se uma economia de um período, N ativos negociados em t0 e que vencem

em t1. Sejam q o vetor preço desses ativos e X = (X1, …, Xn) que representa o payoff

desses N ativos. Cada componente de X é uma variável aleatória que depende de qual

estado da natureza ocorrerá em t1. Seja um agente da economia que possua uma renda

6

inicial W0, uma renda contingente W em t1 e um portfólio de ativos z = (z1, …, zn), onde

zn representa o número de unidades do ativo n negociadas por este agente. Supondo-se que

a renda inicial W0 de um investidor i é oriunda de uma dotação inicial de ativos 0nz R∈ ,

ou seja, 0 0W qz= e que na economia existem I agentes.

Logo, o problema do investidor i é:

( ) ( ){ }0i

i i i i i i i

zMax u q z z E u W Xzβ� � − + + � �

Suponha-se agora que a incerteza na economia seja descrita por S estados da natureza em t

= 1 tendo como payoff Xn(s) do ativo n caso ocorra o estado s.

Define-se então o payoff de todos os ativos a matriz V de dimensão S x N:

( ) ( )

1

1

(1) (1)n

n

X X

V

X s X s

� �

= � � �

�

�

�

A linha s representa o payoff de todos os ativos caso ocorra o estado s da natureza, a

coluna n representa o payoff do ativo n em todos os estados da natureza.

Definição: Seja Y = {Y1, ... , Yk} um conjunto de vetores do sR . O span de Y é o

conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de Y, isto é, span(Y) = {a1 Y1 + ...

+ ak Yk, onde os a’s são números reais}.

7

Diz-se então que um mercado é completo se span (colunas de V) = sR , ou seja, sempre

existe um portfólio que permite aos agentes fazerem qualquer transferência de renda entre

os estados da natureza.

Se não existirem ativos redundantes e o mercado for completo, então a matriz de payoff V

é quadrada, isto é, N = S. De outra forma, o mercado é dito incompleto se não for

completo.

As ferramentas da teoria de mercados completos representam um dos mais significativos

desenvolvimentos da teoria econômica do século passado. Ao mesmo tempo, os conceitos

incorporados na teoria são bastante generalizados e têm sido utilizados em muitos outros

contextos econômicos como é descrito por Flood (1991).

Nascimento (2007) também aborda a teoria de mercados completos com a hipótese de

eficiência dos mercados e verifica se no mercado acionista português os preços seguem

um padrão random walk.

As pesquisas de mercados incompletos possuem contribuições de Staum (2008) que

enfatiza a precificação e o hedging de derivativos. Salienta-se que, apesar da sofisticação

cada vez maior dos mercados financeiros estes permanecem significativamente

incompletos, com inúmeras consequências para seus participantes, que continuam

expostos aos riscos, o que dificulta o equilíbrio, a otimização de portfólios e o

apreçamento de derivativos.

Destacam-se outros estudos importantes, como o de Skiadas (2006), que analisa a

otimização de portfólios em mercados incompletos, Jouini (2001), que apresenta a teoria

8

de precificação de derivativos considerando os limites de não arbitragem, a maximização

da utilidade e o equilíbrio geral. Aproximações como o critério de entropia quadrática

aparecem em Cont e Tankov (2004) e Staum (2008), que propõe metodologias e relações

entre elas para o apreçamento de derivativos.

2.2 VISÃO GERAL: MODELO BÁSICO DO CONSUMO E FATOR ESTOCÁSTICO DE DESCONTO

Hipoteticamente, um investidor decide quanto vai economizar, quanto vai consumir e qual

portfólio de ativos irá adquirir. A equação mais básica de apreçamento vem das condições

de primeira ordem deste problema, e diz-se que o preço deveria ser o payoff esperado

descontado, servindo-se da utilidade marginal do investidor. Assim, a perda de utilidade

marginal de se consumir um pouco menos hoje para investir o resultado deveria ser igual

ao ganho de utilidade marginal de se vender o investimento em algum momento no futuro.

Se o preço não satisfaz essa relação, o investidor deveria comprar mais do ativo.

A taxa de juros está relacionada com a média da utilidade marginal futura e com o

crescimento esperado do consumo. Com as altas taxas de juros, faz sentido economizar,

comprar títulos e consumir mais amanhã.

Encontrar o valor do payoff é questionar o que vale a pena para um típico investidor. É

necessário um formalismo matemático para capturar o que um investidor procura.

9

Modela-se isto com uma função utilidade definida pelos valores de consumo atual e

futuro,

( ) ( ) ( )1 1,t t t t tU c c u c E u cβ+ += + � � ,

onde tc denota o consumo no tempo t.

A função utilidade captura o desejo fundamental de consumo, ao invés de um desejo

positivo para objetivos intermediários como médias e variância do retorno de portfólios. O

consumo ct+1 é aleatório, o investidor não sabe qual será sua riqueza amanhã, e nem o

quanto ele decidirá consumir. A função utilidade u(.) é crescente, refletindo, assim, o

desejo de mais consumo, e a concavidade reflete a desvalorização marginal do consumo

adicional.

Esta formalização captura a impaciência e a aversão ao risco do investidor. β captura a

impaciência e é chamado de fator de desconto subjetivo. A curvatura da função utilidade

também gera aversão ao risco e substituição intertemporal, ou seja, o consumidor prefere

um fluxo de consumo constante ao longo do tempo e entre os estados da natureza.

Assumindo-se que o investidor pode comprar e vender livremente o quanto quiser do

payoff xt+1 pelo preço pt, para se encontrar a solução de quanto ele vai comprar ou vender,

denote-se e a dotação (se o investidor não comprou nenhum dos ativos) e ξ a quantidade

do ativo que ele escolhe comprar. Assim, o problema é:

{ }( ) ( )1max t t tu c E u c

ξβ ++ sujeito a t t tc e p ξ= − e 1 1 1t t tc e x ξ+ + += + .

10

Substituindo-se as restrições no problema e definindo-se a derivada com respeito a ξ

igual a zero, obtem-se a condição de primeira ordem para a escolha do portfólio e

consumo ideal,

( ) ( )1 1' 't t t t tp u c E u c xβ + += � � (1)

ou,

( )( )

11

'

't

t t t

t

u cp E x

u c

β ++

� = �

� (2)

O investidor compra mais ou menos do ativo até assegurar a condição de primeira ordem.

A equação (1) expressa a condição padrão marginal para o ótimo: ( )'t tp u c é a perda de

utilidade se o investidor compra uma unidade a mais do ativo e ( )1 1't t tE u c xβ + +� � é o

aumento (descontado, esperado) da utilidade que ele obtém do payoff extra em t+1. O

investidor continua comprando ou vendendo ativos até que a perda marginal seja igual ao

ganho marginal. A equação (2) é a fórmula central de apreçamento de ativos. Dado um

payoff xt+1 e dadas as escolhas de consumo dos investidores ct e ct+1, a fórmula explica

qual preço deve-se esperar. A maior parte da teoria de apreçamento de ativos consiste na

manipulação e nas especializações desta fórmula (Cochrane, 2000).

Uma maneira conveniente de simplificar a equação básica de apreçamento (2) é definir o

fator estócástico de desconto mt+1 :

11

( )( )

11

'

't

t

t

u cm

u cβ +

+ ≡ (3)

Assim, a fórmula (2) pode ser expressa por:

( )1 1t t t tp E m x+ += (4)

Quando não for necessário explicitar o período ou as diferenças entre esperança

condicional ou incondicional, escrever-se-á apenas ( )p E mx= .

O termo fator estocástico de desconto refere-se ao modo como m generaliza o conceito

padrão de fator de desconto. Se não existe incerteza, pode-se expressar os preços pela

seguinte fórmula:

1

1t tf

p xR

+= (5)

Onde Rf é a taxa livre de risco. 1/ Rf é o fator de desconto. Se as taxas de juros são

maiores que um, então o payoff xt+1 é vendido com desconto.

Neste contexto, a equação (4) é uma generalização, mas demonstra algo mais profundo ao

dizer que se pode incorporar todas as correções de risco definindo um único fator

estocástico de desconto e inserir na expectativa. O mt+1 é estocástico ou aleatório pois não

é conhecido no tempo t.

12

O fator estocástico de desconto será analisado com mais cuidado, apresentando-se dois

grandes teoremas da teoria de apreçamento de ativos que expõe a lei do preço único e a

existência do fator estocástico de desconto.

O espaço de payoff X é o conjunto de todos os payoffs que os investidores podem

comprar. Por exemplo, se existem ativos contingentes completos para S estados da

natureza, então sX R= . Porém, em geral, o ponto central é o de que os mercados são

incompletos, então X será um subconjunto próprio de mercados completos Rs. Este

espaço inclui alguns conjuntos de ativos primitivos, mas os investidores podem também

formar novos payoffs construindo portfólios. Assumindo-se que investidores podem

formar qualquer portfólio de ativos negociados: 1 2 1 2,x x X ax bx X∈ � + ∈ para quaisquer

,a b R∈ .

Trata-se de sX R= para mercados completos, satisfazendo a suposição de formação de

portfólio. Se existe um único payoff básico x, então o espaço do payoff deve ser, no

mínimo, o raio da origem através de x. Se existirem dois payoffs básicos em R3, então o

espaço do payoff deve incluir o plano definido por estes dois payoffs e a origem conforme

a Figura 1.

13

Figura 1 – Espaços de Payoffs gerados por um payoff x (à esquerda) em R2 ou dois payoffs, x1 e x2, (à direita) em R3.

Outra afirmação a considerar é a do preço único em que investidores não podem realizar

lucros instantâneos através da formação de portfólios. A lei se destina a descrever um

mercado que já tem equilíbrio alcançado. Se existir qualquer violação, os negócios não

sobrevivem em equilíbrio. Assim, vale o teorema a seguir:

Teorema: A existência de um fator de desconto implica na lei do preço único.

Prova: Para provas e maiores informações, veja-se Cochrane (2000).

Teorema: Dado a formação de portfólio e a lei do preço único, existe um único payoff

*x X∈ tal que ( ) ( )*p x E x x= para todo x X∈ .

O *x é um fator de desconto e X pode ser um subespaço do espaço original. A essência

da prova é a de que qualquer função linear no espaço X pode ser representada por

produtos internos com um vetor que pertence a X , conforme o livro “Asset Pricing” de

Cochrane (2000) em sua edição revisada.

14

Definição de Não Arbitragem: um espaço de payoff X e uma função de apreçamento p(x)

não deixam oportunidades de arbitragem se qualquer payoff x (sempre é não negativo),

0x ≥ , e positivo, x > 0, com alguma probabilidade positiva, possui preço positivo,

p(x)>0. Não arbitragem quer dizer que não se pode receber de graça um portfólio passível

de pagamento positivo.

Ausência de oportunidades de arbitragem é uma consequência de um fator de desconto

positivo que resulta da maximização da utilidade. Recorde-se que ( )( )

( )

'0

'

u c sm s

u cβ

� �= >

é uma caracterização sensível das preferências segundo as quais a utilidade marginal é

sempre positiva. Portanto, a taxa marginal de substituição é positiva. Sendo uma variável

aleatória, o termo “positivo” significa ser positivo em todos os estados da natureza em

qualquer possibilidade de realização.

Teorema: p = E(mx) então m > 0 se, e somente se, não existe arbitragem .


Como a propriedade da lei do preço único garante a existência de um fator de desconto m,

a não arbitragem garante a existência de um m positivo.

Teorema: Em mercados completos, não arbitragem implica em que existe um único m > 0

tal que p = E(mx).


15

Encontra-se maior dificuldade se os mercados forem incompletos. Existem muitos m’s

que precificam ativos. Qualquer m da forma *m x ε= + com ( ) 0E xε = vale e ao menos

um destes é positivo. Os fatores de desconto que não sejam *x e que não estejam no

espaço de payoff X , não poderão se enquadrar na construção deste último argumento,

pois esta pode produzir um ganho que não esteja em X e assim, não se sabe como atribuir

um preço. Para lidar com este caso, Cochrane (2000) utiliza uma estratégia diferente

segunda a qual de que para todo plano existe uma reta perpendicular, isso aplicado a um

espaço que inclui preços e payoffs juntos.

Teorema: A não arbitragem implica na existência de um fator de desconto estritamente

positivo, m > 0, p = E(mx) x X∀ ∈ .


O Teorema acima postula que existe 0m > , mas não que 0m > é único. Novamente,

( )p E m xε= +� � se ( ) 0E xε = . Em mercados completos, ele é único. O Teorema não

demonstra que todo fator de desconto deve ser positivo. Nota-se que um fator de desconto

não é único, e fatores de desconto podem existir mesmo não sendo estritamente positivos.

Em particular, *x não precisa ser positivo. Sendo assim, cada escolha de 0m > induz a

uma extensão livre de arbitragem de preços em X para todos os ativos contingentes.

16

2.3 LIMITES “GOOD DEAL” SUPERIOR E INFERIOR DE UM PERÍODO

Cochrane e Saá-Requejo (1999) expõem a precificação de ativos em mercados

incompletos, ou seja, quando não existe replicação perfeita de portfólios impondo

restrições econômicas para se encontrar limites que sejam úteis para os preços de ativos.

Esses limites indicam que os investidores desejam comprar ativos com índices de Sharpe

altos chamados de limites “good deal”.

Outros autores, tais como Bernardo e Ledoit (2000), desenvolvem uma aproximação para

apreçar ativos em mercados incompletos supondo válida a não arbitragem, impedindo

oportunidades de investimento cuja atratividade para um investidor excede um limite

especificado. A atratividade de uma oportunidade de investimento é medida pela relação

ganho – perda. Limitando a relação de ganho – perda máxima, restringe-se um conjunto

de fatores estocásticos de desconto que, por sua vez, permite restringir o conjunto de

preços que podem ser atribuídos aos ativos. Quando variar o máximo permitido da relação

ganho – perda, os limites de preços podem variar os preços exatos pelo modelo básico de

apreçamento para os limites de preços indicados pela hipótese de não arbitragem. Já no

artigo de Cochrane e Saá-Requejo (1999), a restrição adotada é a razão de Sharpe.

Em Jackwerth (1999), a abordagem da incompletude dos mercados é feita através da

precificação de opções baseadas em Rubinstein (1994) e Dupire (1994) que mostram

modelos envolvendo processos estocásticos de ativos de observações de preços de opções

com a viabilidade de apresentar árvores binomiais que incorporam a volatilidade

estocástica.

17

Bates (2003) discute a pesquisa da precificação de opções testando modelos teóricos e faz

uma reflexão sobre toda a teoria já consolidada. Percebe-se que alguns estudiosos tratam

os limites “good deal” como possíveis apostas e questionam os preços na incompletude

dos mercados, tais como Carr et al (2001), Staum (2004) e Larsen (2005).

Hansen e Jagannathan (1991) discutem relações entre média e variância do fator

estocástico de desconto conectando com a razão de Sharpe dos ativos, ou seja, uma das

aproximações a se adotar seria impor restrições nos retornos dos ativos.

Cochrane e Saá-Requejo (1999) adaptam estes resultados com limites “good deal” que são

os limites dos preços baseados no limite máximo da variância do fator estocástico de

desconto, limitando os preços dos payoffs com a suposição de que não se deveria ter

razões de Sharpe muito altas.

A ideia básica é explicada em um período, no qual se quer saber mais sobre o valor do

payoff 1c

tx + tomando como dados os preços tp de um conjunto de payoffs básicos ou

ativos 1tx + . Um fator de desconto 1tm + gera o valor tp de qualquer payoff 1tx + por

( )p E mx= . A existência de tal fator de desconto ou utilidade marginal permite a

interpretação de que seja equivalente à lei do preço único e que quaisquer das maneiras de

construir o mesmo payoff tem igual valor. Quando não se tem replicação perfeita, a

existência do fator de desconto ou da lei do preço único nada indica sobre o valor do ativo

e é necessário mais restrições no fator de desconto. Quanto mais o fator de desconto for

restrito, mais se pode aprender sobre valores de ativos. Cochrane e Saá-Requejo (1999)

insistem em que o fator de desconto precifique um conjunto de ativos que seja não

18

negativo e que imponha um limite superior em sua volatilidade. Assim, os limites “good

deal” resolvem o seguinte problema:

{ }( )min c

mC E mx= sujeito a ( )p E mx= , 0m ≥ e ( ) f

hm

Rσ ≤ (6)

{ }( )max c

mC E mx= sujeito a ( )p E mx= , 0m ≥ e ( ) f

hm

Rσ ≤ (7)

C é o limite inferior “good deal” , m é o fator de desconto, cx é o payoff focal, por

exemplo, ( )max , 0c

Tx S K= − como opção de compra, x é o payoff dos ativos e p é o

preço dos ativos, h é um limite de volatilidade pré definido, fR é a taxa de juros livre de

risco , E é a média e σ é a variância condicional e C é o limite superior “good deal”.

A primeira restrição ( )p E mx= reforça a idéia da precificação tendo como dados os

preços dos ativos. A segunda restrição 0m ≥ é uma caracterização da utilidade marginal,

que é o equivalente a não se ter oportunidades de arbitragem, ou seja, se um payoff é não

negativo em todos os estados da natureza, então o seu valor deve ser também não

negativo. A terceira restrição ( ) f

hm

Rσ ≤ é uma restrição na utilidade marginal, quando

somente a não arbitragem é insuficiente.

Hansen e Jagannathan (1991) demonstraram que a restrição da volatilidade do fator de

desconto é equivalente a um limite superior para a razão de Sharpe do excesso de retorno

médio e desvio padrão. Ou seja,

19

( ) 0eE mR = ⇔ ( )( )

( )( )

e

e

E R m

E mR

σ

σ≤ (8)

Portanto, talvez por uma atitude de risco, um investidor que vai participar na margem de

uma carteira que oferece razão de Sharpe maior que h, tem sua utilidade marginal

satisfazendo ( ) f

hm

Rσ ≤ (considerando ( )

1f

E mR

= ). Define-se limites “good deal” os

limites (7) e (8) calculados com essa restrição adicional, assumindo-se que os investidores

queiram trocar quaisquer bons negócios com grandes razões de Sharpe, bem como puras

oportunidades de arbitragem.

Ressalta-se que, assim como Cochrane e Saá-Requejo (1999), Garleanu et al (2009), Liu

(2003), Staum (2008), Skiadas (2006), Jouini (2001), Larsen (2005), Carr et al (2001),

Bernardo e Ledoit (2000) e muitos outros estudiosos do assunto continuam defendendo

contribuições valiosas da teoria de apreçamento em mercados incompletos.

2.4 MEDIDA DE PROBABILIDADE MARTINGALE DA ENTROPIA RELATIVA

O foco do artigo de Frittelli (1995) é fornecer refutações para problemas de precificação

em mercados incompletos, já que a não arbitragem é insuficiente. Diante disso, algumas

ferramentas devem ser introduzidas para lidar com este problema.

20

Pensa-se que a melhor maneira a ser adotada seria iniciar definindo a medida martingale

de variância minimal e que é equivalente à medida de martingale minimal proposta por

Folmer (1986) e Schweizer (1994).

Em mercados incompletos, especificamente, a não arbitragem é insuficiente para resolver

problemas de precificação de ativos. Sendo assim, considerando-se 2n ≥ , q, a e 1n

1

vetores de nR , np R∈ tal que 0p > (vetor que atribui a medida de probabilidade de

referência) e 1

1n

i

i

p=

=� e o conjunto { }0,1Τ = . Define-se ( ) ( )0 1, 1,B B B r= = e

0S s R= ∈ , 0s > , 1 1

1

... ...

n n

sa com probabilidade p

S

sa com probabilidade p

��

= ��

e assume-se que i ja a i j≠ ∀ ≠ e que

0a > , ou seja, i ja a i j> ∀ < . Definindo os seguintes conjuntos, temos:

{ }: 1 1, 0n

nP q R q q= ∈ = > é o conjunto das probabilidades equivalentes a P.

{ }1 : 1 1, n

nM q R q qa r= ∈ = = é o conjunto das medidas martingale Q (q pode ser positivo

ou negativo).

{ }2 : 1 1, , 0n

nM q R q qa r q= ∈ = = ≥ é o conjunto das medidas de probabilidades

martingale.

{ }: 1 1, , 0n

e nM q R q qa r q= ∈ = = > é o conjunto tal que 1eM M P= ∩ de medidas de

probabilidades martingale equivalente.

1 1n é o vetor unitário de nR .

21

Não existe oportunidade de arbitragem se, e somente se, 0eM ≠ ; ou seja,

10e nM a r a≠ ⇔ < < .

Definição: Entre todas as medidas do conjunto 1M , é selecionada uma medida Q que

minimiza a variância de dQ

dP (Radon-Nikodym):

1

: minQ M

dQ dQQ Var Var

dP dP∈

� � =� � � �

(9)

Chama-se Q de medida martingale da variância minimal (MVMM – Minimal Variance

Martingale Measure). Esta definição não corresponde à mesma definição proposta por

Folmer e Schweizer (1991), porém são equivalentes no contexto de Frittelli (1995).

Infelizmente, a MVMM nem sempre é equivalente a P. Assim, Frittelli (1995) introduz

outro critério.

Definição: Sejam ( )1,..., nQ q q= e ( )1,..., nP p p= > 0 medidas de probabilidades. Então a

entropia relativa ( ),I Q P de Q com respeito a P é definida por

( )1

, lnn

ii

i i

qI Q P q

p=

� �= � �

� �� (10)

É importante considerar que 0ln 0 0= . A propriedade mais relevante da entropia relativa

é que ( ), 0I Q P ≥ . A igualdade vale se, e somente se Q P= .

22

Assim, o critério a ser analisado segundo Frittelli (1995) é o de que, dentre todas as

medidas de probabilidade martingale, escolhe-se uma medida de probabilidade 2Q M∈��

que minimiza a entropia relativa ( ),I Q P de Q com respeito a P:

( ) ( )2

: , = min ,Q M

Q I Q P I Q P∈

�� (11)

Denomina-se medida de probabilidade Q��

a definida como Medida de Probabilidade

Martingale da Entropia Relativa Minimal (MEMP).

Assim, o problema é exposto como:

, 0 1

min lnn

ni

iq q

i i

qq

p∈ ≥=

� ��

� ��

sujeito a 1 1nq = e qa r= (12)

Seja ( ) ( ) ( )1

, , ln 1 1n

ii n

i i

qF q q q qa r

pλ γ λ γ

=

� �= + − + −� �

� �� o Lagrangiano. Da condição de

primeira ordem tem-se:

0i

F

q

∂=

∂

� ( ) ( )'

11 1 1 1

1

ln ... ln ... 1 ... 0nn n n n

n

qqq q q q q a q a r

p pλ γ

� �� + + + + + − + + + − =� ��

� � � ��

� 1

ln . 0ii i

i i

qq a

p qλ γ

� �+ + + =� �

� �

23

� ln 1ii

i

qa

pλ γ

� �= − − −� �

� �

� ( )1 iai

i

qe

p

λ γ− + +=

� ( )1. ia

i iq p eλ γ− + +

= .

Assim, tem-se como solução:

1

j j

i

a a

j j

j n aa

i

i

p e p eq

E ep e

γ γ

γγ

− −

−−

=

= =� ��

�� (13)

O preço de entropia de um ativo contingente ( )1,..., nC c c= é dado por

( )1

1 1 jan

j

jQ aj

p eC E C c

r r E e

γ

γπ

−

−=

� = =� � � �

�� (14)

Por fim, a medida de entropia minimal coincide com a medida martingale dotada por uma

função exponencial que se relaciona com o princípio da maximização da utilidade.

A utilidade exponencial marginal do preço é o payoff esperado e descontado sob uma

medida de distância mínima, que é a medida martingale de entropia minimal (Frittelli,

2000).

24

Delbaen et al (2002) exibem a maximização da utilidade exponencial com a medida

martingale de entropia minimal, atentando especialmente para um conjunto de estratégias

de portfólios viáveis, realizando a otimização. Mania et al (2003) discutem casos em que a

medida martingale de entropia minimal pode ser construída explicitamente.

Na mesma linha de raciocínio, porém mais aprofundada, Ssebugenyi (2008) investiga o

problema de avaliação de opções reais em árvores multinomiais, baseado na medida

martingale de entropia minimal e, em outro artigo, Ssebugenyi (2009) analisa o princípio

da minimização da entropia relativa para construir uma medida martingale de entropia

minimal para um modelo de mercado multiperíodo.

Frittelli e Bellini (1997) propõem um critério de apreçamento em mercados incompletos

que exige minimizar um funcional definido como a maximização da utilidade esperada, o

que um agente pode alcançar com uma dotação inicial e com preços de ativos dados por

uma medida de probabilidade definida para a existência da medida martingale, que

minimiza o funcional. Assim, percebe-se que vários artigos abordam a precificação pelo

critério de entropia e/ou a medida martingale como condições para se trabalhar com

mercados incompletos.

25

RESULTADOS

Tendo em vista o objetivo de apresentar uma análise empírica para a comparação da teoria

desenvolvida por Cochrane e Saá-Requejo (1999) e Frittelli (1995), considera-se uma

economia com período igual a um mês (t0 = hoje e t1 = 3 meses) e três estados da natureza

igualmente prováveis. Seja um fundo de investimento que tem como objetivo aplicar seus

recursos em uma carteira composta por ações de emissão da Petrobrás com os seguintes

dados divulgados do mês de Outubro de 2011:

��

��

��

Tabela 1 – Retornos positivos e volatilidade (ao ano e ao trimestre) de uma carteira de ações da Petrobrás divulgadas em Out/11

Além disso, considerem-se as seguintes informações: o preço da ação da Petr 4 no dia

15/08/2011 foi de p0 = R$ 20,61 e para cada estado da natureza igualmente provável

sejam os seguintes retornos:

- a1 = a + 3v = 14,21 + 3 . 8,12 = 38,56% ao trimestre. para o estado 1;

- a2 = a = 14,21% ao trimestre. para o estado 2;

26

- a3 = a – 3v = 14,21 – 3 . 8,12 = -10,15% ao trimestre para o estado 3.

Considerando-se o cenário de três desvios padrões de subida, vê-se que o estado 1 reflete

um retorno muito forte para cima, o estado 2 apresenta um cenário de estabelecimento que

considera apenas o retorno positivo ao trimestre e o último estado, 3, apresenta uma forte

queda da ação, considerando três desvios padrões de descida.

Caso ocorram quaisquer dos três estados da natureza, o preço no período t1 pode ser:

1 1

1 2 2

3 3

. 1 28,56

. 2 23,54

18,52. 3

p a caso ocorra o estado x

p p a caso ocorra o estado x

p a caso ocorra o estado x

� ��

= = =� � ��

��

.

Primeiramente, encontra-se os limites “good deal”, de acordo com Cochrane e Saá-

Requejo (1999). Considere-se o payoff ( )1 2 3, ,c c c cx x x x= onde cada ( )1max , 0c

ix p K= −

é uma opção de compra com preço de exercício K = R$ 20,00. Assim, encontra-se

( )8,56 , 3,54 , 0cx = .

Assim, encontra-se o fator estocástico de desconto ( )1 2 3, ,m m m m= que satisfaça às

restrições dos problemas (6) e (7).

A primeira restrição é ( )p E mx= , então tem-se que:

1 1 2 2 3 3 1 2 3. . . . 28,56 . 23,54 . 18,5220,61

3 3

m x m x m x m m m+ + + += = ,

em que ( ) ( )1 2 3, , 28,56 , 23,54 , 18,52x x x x= = .

27

Para o ativo sem risco, tem-se que,

1 2 3. 1 . 1 . 11

3

m m m+ += .

Chamando de Q e U as seguintes diferenças:

1 2 3. 31,9 . 23,54 . 15,1720,61

3

m m mQ

+ += −

e

1 2 3. 1 . 1 . 11

3

m m mU

+ += − ,

Numericamente, quer-se encontrar m tal que 2 2 0Q U+ → para a primeira restrição.

Supondo-se que o limite de volatilidade pré-definido seja 0,1h = . Sabendo-se que a

média do fator estocástico de desconto m é

1 2 3

3

m m mm

+ +=

e que a variância do fator estocástico de desconto m é dado por

( )( )

2

1

m mm

nσ

−=

−

�,

com três estados da natureza igualmente prováveis (n = 3), então serão consideradas três

faixas para a taxa de juros livre de risco a serem analisadas:

28

��

� ��

� ��

� ��

Tabela 2 – Três casos para a taxa de juros livre de risco

Caso 1: Rf = 1,44% ao trimestre..

A terceira restrição encontra-se na volatilidade do fator estocástico de desconto,

( ) f

hm

Rσ ≤ . Como ( )

1f

E mR

= , então

1 2 3

3fRm m m

=+ +

.

Utilizando o Solver, ferramenta do Microsoft Excel, são encontrados os valores máximo e

mínimo da função preço, ou seja, o valor esperado do payoff descontado pelo fator

estocástico de desconto. Assim, deseja-se encontrar numericamente os valores de

{ }( ) 1 1 2 2 3 3. . .

min min 3

c c cc

m

m x m x m xC E mx

� �+ += = � �

� �

e

{ }( ) 1 1 2 2 3 3. . .

max max 3

c c cc

m

m x m x m xC E mx

� �+ += = � �

� �,

tal que 2 2 0Q U+ → (primeira restrição), 0m ≥ (segunda restrição) e

( )2

0,1

3 1 1, 44

m m−≤

−

� (terceira restrição).

Com isso,

29

2,839791818C = com ( )0,6157 , 0,9188 , 1,2219m =

e

2,839797884C = com ( )0,6157 , 0,9187 , 1,2220m = .

Ou seja, o intervalo “good deal” é [ ], 2,839791818 , 2,839797884C C� = � .

Analisa-se empiricamente o preço da opção pela abordagem de Frittelli (1995) através da

medida de probabilidade martingale da entropia relativa minimal resolvendo o seguinte

problema:

, 0 1

min lnn

ni

iq R q

i i

qq

p∈ ≥=

� ��

� �� sujeito a 1 1nq = e qa r= .

Considerem-se os mesmos retornos do início do capítulo: 1 1,3856a = ao trimestre,

2 1,1421a = ao trimestre e 3 0,8985a = ao trimestre.

Sejam { }1

, 1,2,33ip i= ∀ ∈ , as probabilidades de cada um dos três estados da natureza.

Vamos então, resolver o Caso 1: Rf = 1,44% ao trimestre. = 1,0144 ao trimestre

Deseja-se encontrar numericamente

3

3

, 0 1

min ln ientropia i

q qi i

qC q

p∈ ≥=

� �� = � ��

� ��

.

30

Da mesma maneira que foram calculados os limites “good deal”, utiliza-se o Solver para

encontrar o valor mínimo do preço de entropia relativa com as restrições 1 1nq = e

qa r= . Assim,

( )0,1076 , 0,2607 , 0,6316q =

e

0,2181entropiaC = .

Comparando os resultados obtidos neste exemplo, vê-se que o preço de entropia não se

encontra no intervalo “good deal”, , entropiaC C C� ∉ � .

Considerando ainda o Caso 1 com outras probabilidades para cada estado da natureza,

veja-se a árvore trinomial de Clifford & Zaboronski (2008) em que tem-se o seguinte:

( )

( )

( )

( )

p = 1- -

u

m u d

d

S t u com probabilidade p

S t t S t com probabilidade p p

S t d com probabilidade p

��

+ ∆ = ��

,

em que 2u = e tσ ∆ e 2d = e tσ− ∆ , onde �t = 1/4 de ano,

31

2

22

2 2

e e

e - e

tr t

u t tp

σ

σ σ

∆∆−

∆ ∆−

� �−� �

= � ��

,

2

2 2

2 2

e e

e - e

t r t

d t tp

σ

σ σ

∆ ∆

∆ ∆−

� �−� �

= � ��

e 1m u dp p p= − − ,

onde up , dp e mp são as probabilidades.

Assim, u = 1,0337 ou 3,37% e d = 0,9674 ou -3,26%. Substituindo r, t∆ e σ encontra-

se, 0,264up = , 0,264dp = e 0,472mp = .

As restrições válidas a serem consideradas são:

1) ( )( )

( )1i r t

i

i

S tE e S t

S t

+ ∆�

=� �

;

2) ( )( )

( )21 2i

i

i

S tVar tS t

S tσ+

� = ∆�

�;

3) 1ud = .

Do mesmo modo do exemplo anterior, calculam-se os limites “good deal” conforme o

artigo de Cochrane e Saá-Requejo (1999):

{ }( ) { }1 1 2 2 3 3min min p . . p . . p . . c c c c

u m dm

C E mx m x m x m x= = + +

e

32

{ }( ) { }1 1 2 2 3 3max max p . . p . . p . . c c c c

u m dm

C E mx m x m x m x= = + + .

Considerando as restrições, tem-se que para ( )p E mx= ,

1 1 2 2 3 3p = p . . p . . p . . u m dm x m x m x+ + ,

1 2 320,61 0,264. . 28,56 0,472. . 23,54 0, 264. . 18,52m m m= + + ,

já que ( ) ( )1 2 3, , 28,56 , 23,54 , 18,52x x x x= = . Para o ativo sem risco, temos que,

1 2 3 1 2 31 . . 1 . . 1 . . 1 = 0,264. . 1 0,472. . 1 0, 264 . . 1u m d dp m p m p m m m p m= + + + + .

Assim, considere-se Q’ e U’,

1 2 3' 20,61 0,264. . 31,9 0,472. . 23,54 0,264. . 15,17Q m m m= − + +

e

1 2 3' 1 0,264. . 1 0,472. . 1 0,264 . . 1dU m m p m= − + + .

Deseja-se encontrar numericamente m tal que 2 2' ' 0Q U+ → . Mantendo a suposição de

que o limite de volatilidade pré-definido é 0,1h = , que a média de m é

33

1 2 3. . . u m dm p m p m p m= + + ,

1 2 3

1

. . . f

u m d

Rp m p m p m

=+ +

e que

( )( )

2

1

m mm

nσ

−=

−

� para 3n = ,

então para a terceira restrição na volatilidade, ( ) f

hm

Rσ ≤ , ou seja,

( )2

0,1

3 1 f

m m

R

−≤

−

�.

Portanto, novamente utilizando a ferramenta Solver do Excel, tem-se

0,68571C = para ( )1,2058 , 0,9391 , 0,8914m =

e

0,72712C = para ( )1,3096 , 0,9586 , 0,7442m = .

Semelhantemente ao exemplo anterior, utiliza-se os artifícios de Frittelli (1995), em que

os retornos são: 1 1,0337a = , 2 0,0 a = e 3 0,9674a = .

34

Neste item, vê-se que as probabilidades são 0,264up = , 0,264dp = e 0,472mp =

oriundas de Clifford e Zaboronski (2008). Vamos, então, resolver o Caso 1: Rf = 1,44%

ao trimestre = 1,0144 ao trimestre.

Deseja-se encontrar numericamente o preço,

3

31 21 2 3

, 0min ln ln lnentropia

q R qu m d

qq qC q q q

p p p∈ ≥

� �� = + +� ��

� � � � � �� ,

Novamente, pelo Solver, o intuito é determinar o valor do preço da ação minimizando a

entropia relativa. Entretanto, não foi possível determinar uma solução com os dados

informados, já que a solução para o problema apresentou uma das variáveis de q negativa,

contrariando a hipótese de que 0q ≥ . Portanto, o preço entropiaC não foi encontrado.

O próximo passo é resolver os casos 2 e 3. As tabelas 3 e 4 mostram os resultados para os

casos em que as taxas livres de risco são respectivamente, 11,55% e 17,32% a.a..:

��

��

��

��

Tabela 3 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 2 e estados igualmente prováveis

Esta tabela apresenta os preços para o caso 2, em que a taxa de juros livre de risco é de 11,55% a.a., são três estados da natureza igualmente prováveis mantendo o limite de volatilidade (h) constante igual a 0,1.

35

��

�� ! ��

�� !��

�� !��

Tabela 4 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 3 e estados igualmente prováveis

Esta tabela apresenta os preços para o caso 3, em que a taxa de juros livre de risco é de 17,32% a.a., são três estados da natureza igualmente prováveis mantendo o limite de volatilidade (h) constante igual a 0,1.

As tabelas 3 e 4 informam os intervalos “good deal” e o preço pela entropia relativa

minimal para os casos 2 e 3, respectivamente. Verificou-se que o preço pela entropia

relativa minimal apresenta-se muito distante dos valores máximo e mínimo, que por sua

vez são muito próximos (intervalo “good deal” estreito).

A seguir, seguem os resultados das tabelas 5 e 6 para os casos 2 e 3, respectivamente em

que as probabilidades e os retornos foram adotados pelo esquema de Clifford e

Zaboronski (2008). Note-se que o preço pelo critério da entropia relativa minimal não

conseguiu convergência novamente e os valores máximo e mínimo do “good deal”

permaneceram bem próximos.

��

�� !��

�� !��

�� "#$� ��

Tabela 5 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 2 e estados com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008)

Esta tabela apresenta os preços para o caso 2, em que a taxa de juros livre de risco é de 11,55% a.a., são três estados da natureza mantendo o limite de volatilidade (h) constante igual a 0,1. As probabilidades de cada estado da natureza foram adotadas com base no artigo de Clifford e Zaboronski (2008) que são

36

2

22

2 2

e e

e - e

tr t

u t tp

σ

σ σ

∆∆−

∆ ∆−

� �−� �

= � ��

,

2

2 2

2 2

e e

e - e

t r t

d t tp

σ

σ σ

∆ ∆

∆ ∆−

� �−� �

= � ��

e 1m u dp p p= − − . Assim, como no

caso 1, o preço de entropia não foi encontrado já que o valor de uma das componentes de m não satisfazia uma das hipóteses, ou seja, era negativo.

��

��

�� !��

�� "#$� ��

Tabela 6 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para o caso 3 e estados com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008)

Esta tabela apresenta os preços para o caso 3, em que a taxa de juros livre de risco é de 17,32% a.a., são três estados da natureza mantendo o limite de volatilidade (h) constante igual a 0,1. As probabilidades de cada estado da natureza foram adotadas com base no artigo de Clifford e Zaboronski (2008). Assim, como no caso 1, o preço de entropia não foi encontrado já que o valor de uma das componentes de m não satisfazia uma das hipóteses, ou seja, era negativo.

Foram realizadas outras simulações para verificar se o preço pelo critério da entropia

relativa minimal pertenceria ao intervalo compreendido pelos limites superior e inferior do

“good deal”, que se encontram no APÊNDIDE – RESULTADOS. Porém, percebeu-se

que, para todas as simulações realizadas, o preço pelo critério de entropia relativa

minimal, proposto por Frittelli (1995), não pertencia ao limite “good deal” proposto por

Cochrane e Saá-Requejo (1999).

37

3 CONCLUSÃO

A proposta deste trabalho foi apresentar a aplicabilidade das comparações do cálculo do

preço de um ativo através de uma medida de probabilidade da entropia relativa minimal e

de restrições na volatilidade do fator estocástico de desconto, com o intuito de encontrar o

limite superior e inferior, denominado “good deal”. Considerando uma carteira de ações

da Petrobras, do mês de Outubro de 2011, foram feitas simulações com configurações de

alta, de baixa e de estabilidade com restrições na volatilidade do fator estocástico de

desconto. Os ensaios mostram que o preço pelo critério de entropia relativa minimal não

pertence ao intervalo “good deal” e que existe um favorecimento nos resultados dos

limites “good deal”, pois as simulações mostram que o preço pela entropia possui quedas

mais bruscas com a variação da taxa de juros do que o limite “good deal” do preço do

ativo.

38

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARROW, K., DEBREU, G (1954) “Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy” In: Econometrica, v. 22, n.3, p. 265-290.

ARROW, K (1964) “The role of Securities in the Optimal Allocation of Risk-bearing” In: The Review of Economic Studies, v. 31, n.2, p. 91-96.

BATES, D. S. (2003) “ Empirical option pricing: a retrospection” In: Journal of Econometrics, v.116, p. 387-404.

BERNARDO, A.E., LEDOIT, O. (2000) “Gain, loss, and asset pricing” In: Journal of Political Economy, v.108, n.1, p. 144- 172.

CARR, P., GERMAN, H., MADAN, D.B. (2001) “ Pricing and hedging in incomplete markets” In: Journal of Financial Economics, v.62, p. 305-332.

COCHRANE, John H., SAA-REQUEJO, Jesus. (1999) “Beyond Arbitrage: Good-deal Asset Price Bounds in Incomplete Markets” In: The Journal of Political Economy v. 108, n.1, p. 79-119.

COCHRANE, John H. (2005) “Asset Pricing”, Revised Edition, Princeton University Press.

CONT, R., TANKOV, P. (2004) “ Financial Modelling with Jump Process” In: Financial Mathematics Series.

CLIFFORD, Paul, ZABORONSKI, Oleg. (2008) “ Pricing Options Using Trinomial Trees”, University of Warwick, United Kingdom.

DELBAEN, F., SCHACHERMAYER, W. (1994) “A general version of the fundamental theorem of asset pricing” In: Math Ann.

DELBAEN, F., GRANDITS, P., RHEINLANDER, T., SAMPERI, D., SCHWEIZER, M, STRICKER, C. (2002) “ Exponential hedging and entropic penalties” In: Mathematical Finance, v.12, n.2, p. 99-123.

FLOOD, M. (1991) “ An Introduction to Complete Markets” In: Federal Reserve Bank

39

FOLLMER, H., SONDERMANN, D. (1986) “Hedging of Non-Redundant Contingent Claims” In: W. Hildebrand e A. Mas Colell, Contributions to Mathematical Economics.

FOLLMER, H, SCHWEIZER, M. (1991) “Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information”, In: M. H. A. Davis e R. J. Elliott, Applied Stochastic Analysis, Stochastics Monographs v. 5, Gordon e Breach, London/New York.

FRITTELLI, M., LAKNER, P. (1994) “Almost sure characterization of martingales” In: Stoc & Stoc Rep. 49, p. 181-190.

FRITTELLI, Marco. (1995) “ Minimal Entropy Criterion for Pricing in One Period Incomplete Markets”, In: Technical Report, n. 99, University of Brescia.

FRITTELLI, M., BELLINI, F. (1997) “Certainty Equivalent and No Arbitrage: a Reconciliation via Duality Theory” In: Technical Report, n.139, p.01-22.

FRITTELLI, M. (2000) “Introduction to a theory of value coherent with the no-arbitrage principle” In: Finance and Stochastics, v.4, p.275-297.

GARLEANU, N., PEDERSEN, L.H. (2009) “Demand based option pricing” In: Soc Financial Studies, Review of Financial. HANSEN, Lars P., JAGANNATHAN, Ravi. (1991) “ Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies” In: The Journal of Political Economy v. 99, p. 225-262. HANSEN, Lars P., HEATON, John, LUTTMER, Erzo G. J. (1995) “ Econometric Evaluation of Asset Pricing Models” In: Rev. Financial Studies 8, p. 237-274. HARRISON, J., KREPS, D. (1979) “ Martingales and Arbitrages in Multiperiod Securities Markets” In: Stoc. Proc. Appl. v. 11, p. 215-260.

HART, Oliver. (1975) “ On the optimality of equilibrium when the market structure is incomplete” In: Journal of Economic Theory v. 11, p. 418-443.

JACKWERTH, J. C. (1999) “Option Implied Risk-Neutral Distribuitions and Implied Binomial Trees: A Literature Review” In: Journal of Derivatives, v.7, n.2, p. 66-82.

JOUINI, E. (2001) “ Arbitrage and control problems in finance: A presentation” In: Journal of Mathematical Economics, v.35, p. 167-183.

LARSEN, K., PIRVU, T.A., SHREVE, S.E., TUTUNCU, R. (2005) “ Satisfying convex risk limits by trading” In: Finance and Stochastics, v.9, n.2, p. 177-195.

LIU, J. (2003) “ Dynamic derivative strategies” In: Journal of Financial Economics.

LUCAS, Robert E. (1978) “Asset Pricing in an Exchange Economy” In: Econometrica v. 46, n. 6, p. 1429-1445.

40

MANIA, M., SANTACROCE, M., TEVZADZE, R. (2003) “A semimartingale BSDE related to the minimal entropy martingale measure” In: Finance and Stochastics, v.7, p. 385-402. MANKIW, N. (1986) “ The Equity Premium and the Concentration of Aggregate Shocks” In: J. Financial Economics v. 17, p. 211-229.

NASCIMENTO, V. (2007) “ Eficiência Informacional do Mercado de Ações” Dissertação de Mestrado da Universidade de Economia da Universidade do Porto, Portugal.

PENNACCHI, G (2008) “Theory of Asset Pricing”, Pearson Education.

RUBINSTEIN, M. (1994) “Implied Binomial Trees” In: The Journal of Finance, v.69, n.3, p.771-818.

SCHWEIZER, M. (1994), Discussion Paper, n. B-284, In: Stoc. Anal. Appl.

SKIADAS, C. (2006) “ Dynamic portfolio theory” In: Birge, J R, Linetsky Eds.

SSEBUGENYI, C. S. (2008) “ Valuation of Real Options Using the Minimal Entropy Martingale Measure” In: Applied Mathematical Sciences, v.2, n.58, p. 2875-2890.

SSEBUGENYI, C. S. (2009) “ Construction of the Minimal Entropy Martingale Measure in Finite Probability Market Models” In: Applied Mathematical Sciences, v.3, n.24, p. 1153-1170.

STAUM, J. (2004) “ Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds” In: Mathematical Finance, v. 14, n.2, p. 141-161.

STAUM, J. (2008) “Incomplete Markets” In: J.R. Birge and V. Linetsky Eds., v. 15, p.511-563

STRICKER, C. (1990) “Arbitrage et lois de martingale” In: Ann. Institute H. Poincarè, v. 26, p. 451-460

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APÊNDICE - RESULTADOS

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Tabela 7 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para os 3 casos de taxas de juros considerados e estados da natureza igualmente prováveis

Esta tabela apresenta os preços para as três faixas de juros, três estados da natureza igualmente prováveis mantendo o limite de volatilidade (h) igual a 0,1. Os retornos considerados neste caso foram: a1 = retornos positivos ao trimestre + 3,5.volatilidade ao trimestre, : a2 = retornos positivos ao trimestre, : a3 = retornos positivos ao trimestre - 3,5.volatilidade ao trimestre. Com todos esses dados, vê-se que o preço de entropia não pertence ao intervalo “good deal”.

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Tabela 8 – Preços pelo critério de entropia e pelo limite good deal para os 3 casos de taxas de juros

considerados e estados da natureza igualmente prováveis

Esta tabela apresenta os preços para as três faixas de juros, três estados da natureza igualmente prováveis mantendo o limite de volatilidade (h) igual a 0,1. Os retornos considerados neste caso foram: a1 = retornos positivos ao trimestre + 4.volatilidade ao trimestre, : a2 = retornos positivos ao trimestre, : a3 = retornos positivos ao trimestre - 4.volatilidade ao trimestre. Com todos esses dados, vê-se que o preço de entropia não pertence ao intervalo “good deal”.

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considerados e estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008)

Esta tabela apresenta os preços para as três faixas de juros, três estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008) semelhante à tabela 5 mantendo o limite de volatilidade (h) igual a 0,1. Os retornos considerados neste caso foram:

( )21 2 1ta eσ ∆= − , 2 0a = e ( )2

3 2 1ta e σ− ∆= − . Com todos esses dados, vê-se que o preço

de entropia não pertence ao intervalo “good deal”.

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considerados e estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008)

Esta tabela apresenta os preços para as três faixas de juros, três estados da natureza com probabilidades de Clifford e Zaboronski (2008) semelhante à tabela 5 mantendo o limite de volatilidade (h) igual a 0,1. Os retornos considerados neste caso foram:

( )21 3 1ta eσ ∆= − , 2 0a = e ( )2

3 3 1ta e σ− ∆= − . Com todos esses dados, vê-se que o preço

de entropia não pertence ao intervalo “good deal”.

“ensaios de apreÇamento em mercados...

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