anotações de elementos finitos para análise estrutural_v06

7/21/2019 Anotaes de Elementos Finitos Para Anlise Estrutural_V06

1/42

Figura 9.1 e 9.2 Trabalho virtual de uma partcula.

- Aula do dia 18/03/2013

- Contedo do curso

1. Princpio do trabalho virtual

2. Problemas com molas

- Conceito de matriz de rigidez

- Soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos (M.E.F.)

- Montagem direta da matriz de rigidez

3.

Trelias

4. Vigas

5.

Prticos planos (Trelia + Viga)

6. Toro

7. Grelha (Flexo + Toro)

8. Prticos espaciais

9. Membranas triangulares

-Soluo de Problemas Estruturais-

1) Equaes de equilbrio

0 , 0 , 2) Equaes de compatibilidade

Estabelecem as relaes entre deformaes e deslocamentos conhecidos

3) Equaes constitutivas

Relacionam tenses e deformaes

- Princpio dos Trabalhos Virtuais

Mtodo das foras para elementos finitos:

Foras do sistema real (internas e externas).

Deslocamentos virtuais (internos e externos).

O Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) fornecem as equaes de equilbrio para a soluo dos

problemas estruturais.

Dada a partcula em repouso com foras reais atuando. Odeslocamento o deslocamento imaginrio e o

deslocamento imaginrio resultante.

O trabalho realizado por uma partcula pode ser virtual ou real e observvel. Para uma partcula em

repouso, o trabalho realizado por todas as foras que atuam nela, na direo do deslocamento virtual

nulo. Sendo o deslocamento virtual qualquer deslocamento imaginrio compatvel.


2/42

=

= Onde:

cos

Sendo:

Princpio do Trabalho Virtual:

=

0*Obs.: Para deslocamento virtual na direo

= 0Como qualquer (deslocamento imaginrio):

= 0Similarmente, para:

= 0E para:

= 0- Princpio dos Trabalhos Virtuais Complementares -

Foras virtuais autoequilibradas (internas e externas). Deslocamentos reais (internos e externos).


3/42

- Princpio do Trabalho Virtual para corpos rgidos -

- Exemplo 1 -

= 0 = 0

0

Sendo:

Ento:

0 0

Como virtual e de qualquer valor (pequeno):

- Exemplo 2-

Pelo P.V.T.,

Figura 10.1

Sistema real e virtual

Figura 11 Sistema real e deslocamento virtual


4/42

0Ento:

0Como qualquer, tem-se que: - Exemplo 3-

Pelo P.V.T.:

0

2 0

Como qualquer: 2 - P.T.V. para corpos deformveis

Uma mola que sofre uma fora externa possui uma fora internade mesmo mdulo. 0

Definies:

Figura 12.1 - Sistema Real e deslocamento virtual

Figura 13.4

Sistema real, foras internas e deslocamento virtual.


5/42

Pelo Princpio do Trabalho Virtual:

Como virtual e qualquer, as foras internas se igual s foras externas:

Princpio do Trabalho Virtual em Elementos Discretos de Mola

.

W fu u fu u fu uW Trabalho virtual

u Deslocamento virtual

k rigidez da mola

Mas:

f ku uf ku uf ku u

Logo:

W

k

u

u

u

u

k

u

u

u

u

k

u

u

u

u

W uku u ku uuku u ku uuku u uku uW Ru Fu Fu Ru

Pelo P.T.V.:

W W uku ku ku ku Fuku ku ku ku Fu ku ku R

u

k

u

k

u

R

0

Como u, u, u, uso independentes e quaisquer:

Figura 1 - Sistema Real e deslocamentos virtuais


6/42

k ku ku ku 0u Fku k ku 0u ku Fku 0u k 0u R0uku 0 ku RAs equaes acima so as Equaes de equilbrio. Portanto, a partir do P.T.V., obtm-se:

k k kk k k k 00 kk 00 k k 00 k uuuu

FFRRComo ue uso nulos encontra-se as reaes de apoio e o sistema deixa de ser 4x4.

R

k

R

k

u

k k kk k k uu FFInvertendo a matriz, obtm-se:

k k kk k k FF uuResolvendo o sistema, obtm-se:

u k kF kF

k kk k k

u kF k kFk kk k kComo:

f ku uf ku uf ku u

Temos:

f kk kF kFk kk k kf kkF kFk kk k kf kkF k kFk kk k k

Caso

Fseja nulo, teremos.


7/42

f kk kFk kk k kf kkF

k

k

k

k

k

f kkFk kk k kSe k 0, ento:

f 0f f kkFkk F

Pode-se reduzir uma estrutura a um conjunto de molas. Quanto maior a rigidez de uma das molas, mais

carga passar por este local. Por exemplo, edifcios normalmente possuem rigidez maior em colunas e

vigas, que conduziro a carga base. A alvenaria, por possuir menor rigidez, no suportar grandes

esforos.

Trabalhos Virtuais em Sistemas Estruturais de Barras

A partir das expresses gerais do trabalho virtual, podem-se desenvolver expresses para os trabalhos

virtuais no interior de corpos deformveis.

Assim, o trabalho virtual interno pode ser escrito como:

2 2 Onde, na expresso acima, os termos com acento circunflexo representam componentesvirtuais de

tenso e deformao. Os superescritos, , indicam componentes de tenso ou deformao iniciaisenquanto que o superescritos, , utilizado para identificar componentes de tenso e/ou deformaode origem trmica.

Trelias

Em trelias, a nica componente do tensor de tenses atuante na seo normal ao eixo da barra a

componente normal. Portanto, para barras tracionadas ou comprimidas na direo x, os tensores de

tenso e deformao podem ser representados por:

0 00 0 00 0 0 0 00 00 0

Assim, a expresso do trabalho virtual interno dada por:


8/42

Onde a componente de tenso normal , atuante na seo transversal, pode ser expressa por: E E E T

Escrevendo a deformao virtual em termos de deslocamentos,

, na expresso do trabalho

virtual interno, tem-se:

W E A dudx dudx d E dudx d E T dudx dComo e

e so funo apenas de x, segue que:W dudx dudx E dE d dudx E T d dudx dx

Supondo que o mdulo de elasticidade, E, seja homogneo na rea da seo transversal,

, , o

trabalho virtual interno pode ser reescrito como:

Onde:

E d e E T d

Vigas

No caso de vigas, o tensor de tenso pode genericamente ser representado por:

0 0 0 0 0 0 Portanto, o trabalho virtual pode ser expresso por:

2

A componente de tenso normal atuante na seo transversal dada por:

Onde:

, ,

Assim:


9/42

, As componentes de tenso de cisalhamento so representadas por:

2 2 Considerando o material como isotrpico, no haver cisalhamento por variao da temperatura.

Embora varie ao longo da seo transversal, conveniente considera-la constante na seo. Ocisalhamento na seo transversal da viga simplificado de acordo com o modelo proposto por

Timoshenko, em que se adiciona uma constante para represent-lo, de modo que a energia de

deformao no modelo real e simplificado se mantm. A constante de Timoshenko se torna relevante

em vigas de alma grande ou estruturas como as hlices de um helicptero.

Timoshenko, S.P, On the Correction for Shear of the Differential Equation for Transverse Vibration

of Prismatic Bars,Philosophical Magazine, vol. 41, 1921, pp. 733-746.

Assim:

12 , 12 Onde k um fator de correo de distribuio de cisalhamento e (x) representa a distoro da seo

devido ao cisalhamento.

Assim, a componente de tenso de cisalhamento na seo transversal pode ser reescrita como:

Adotando , , , e substituindo na expresso do trabalho virtual, segue que:

, , ,, , , ,,

, ,

,

,

, , , ,

Onde:


10/42

A expresso acima representa o trabalho virtual interno em vigas.

Figura 2.22: (a) Linha elstica, Momento de flexo e esforo cortante ao longo de uma viga. (b)

Momento esttico em vigas de seo transversal qualquer da viga. (c) Momento esttico em viga de

seo retangular.

Barras solicitadas por toro

Embora inicialmente considere-se barras de seo circular, essa formulao pode ser facilmente

extendida para barras prismticas de seo quaisquer.

Figura 2.23: (a) Barra de seo circular submetida a esforo de toro. (b) Toro em barra de seo

qualquer.

Para barras de seo circular, a expresso do trabalho virtual interno pode ser escrito, em coordenadas

polares, como segue:

2

Onde:


11/42

2 2 e 21A componente de deformao de cisalhamento, , na toro de barras circulares, figura (2.23), dada por:

Portanto:

2 A deformao virtual tambm pode ser expressa em termos do ngulo de rotao da seo, ou seja:

2

2

Assim, o trabalho virtual interno pode ser reescrito como:

Definindo:

2

Tem-se:

Pode-se demonstrar, para outras formas de seo transversais, que o trabalho virtual interno em barras

solicitadas por toro genericamente expresso por:

Onde:

{

4 13 3

Rivello,R.M.,TheoryandAnalysisofFlight

Structures,McGraw

Hill,1969.


12/42

As componentes de tenso de cisalhamento na toro de barras de seo circular so dadas por:

, 1 2 (Tem que ver como vai continuar com a parte do elemento. Se junta o tipo de barra com o elemento ou

deixa assim. Tem coisa que repete).

- Matriz de rigidez da trelia -

W E A dudx dudx d x E A dudx dudx d x E A dudx dudx dxOu:

W E A dudx dudx dudx dudx

dx

Onde:

TDeformao trmica Dilatao trmica linear

Deformao inicial- Elemento de trelia -

Elemento de trelia no possui momento aplicado, uma vez que todas as barras so ligadas por rtulas.

Designando como o campo de deslocamento nas coordenadas locais da barra, supe-se que sepode expressar o campo de deslocamentos real por:

O campo de deslocamento virtual compatvel

dado por:

.Substitui-se no trabalho virtual para obter o trabalho virtual interno de e .-Escolha de :O tem que proporcionar as seguintes condies:

1) Ser compatvel

2)

Permitir deslocamento de corpo rgido

3) Deve, no mnimo, conter um estado de Deformao Constante.

Figura 3.1Elemento de trelia


13/42

*Conter um estado de deformao constante equivale a dizer que contm a soluo da

equao diferencial do problema para cargas aplicadas somente nos ns.

Funo Compatvel uma funo contnua e que respeite as condies de contorno.

No caso da trelia, a equao a ser satisfeita obtida como se segue:

Para cargas aplicadas nas extremidades, constante. Neste caso, derivando a equao, tem-se:

0Para constante, forma-se a equao de uma reta:

0Portanto, precisa conter no mnimo a funo linear, de forma a satisfazer a condio 3).

Para atender a compatibilidade de (condio 1), utilizam-se as condies de contorno: 0

Substituindo as condies de contorno na expresso de , tem-se: 0 0

Substituindo a e b em , tem-se: 1

Observe que, na equao do campo de deslocamentos:

1 O que satisfaz a primeira condio (ser compatvel).

-Verificando o deslocamento de corpo rgido (segunda condio)-

Para:

Sendo assim o deslocamento total do elemento.


14/42

Ou seja, se

, ento a barra ter o deslocamento de corpo rgido, satisfazendo a condio 2).

Substitui-se nas expresses de e , e derivando e substituindo na expresso dotrabalho virtual. Observe que correspondem a e e:

Substituindo no W :

W EAl dxW EAl 1 11 1 W

EAl 1 11 1 Sendo:

EAl 1 11 1 matriz de rigidez da treliaA partir de:

W e W W Tem-se:

EAl 1 11 1 0

Como

virtual e qualquer:

EAl 1 11 1 Incluindo o termo relativo temperatura:

1l 11 dx d x

11 Incluindo o termo relativo deformao inicial:

d x

1

l

1

1 dx

1

1

Figura 4- Deslocamento de corpo rgido


15/42

Considerando os trabalhos virtuais gerados pelas foras oriundas de variao de temperatura e

deformao inicial, tem-se:

EA

l 1 11 1

1

1 1

1

0

Como o deslocamento virtual qualquer:

EAl 1 11 1 11 Sendo: k EAl 1 11 1 Matriz de rigidez da trelia

- Matriz de rigidez da trelia no plano-

Pelo princpio do trabalho virtual:

W W

EAl 1 11 1 11

Observe que o deslocamento

e fora

esto expressas em coordenadas locais (x,y) da barra.

Para expressar o campo de deslocamento em coordenadas globais ,, segue:Expressando em direes ,, tem-se:

1 0 0 00 0 1 0 { }

Transpondo:

Figura 10 - Representao da trelia no

plano em coordenadas locais e globais


16/42

(

1 0 0 00 0 1 0 { }

)

ABCD DCBA

{ }

1 00 00 10 0

Substituindo na equao acima (i), tem-se:

{ }

1 00 00 10 0EAl 1 11 1 1 0 0 00 0 1 0 {

}

{ }

1 00 00 10 0F F 11

Onde: F ETdA e F E dA

{ }

EAl 1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0 { } {

} (F F 1010

00 ) iiaPara expressar esta equao no sistemade eixos globais (X,Y), necessrio expressar os deslocamentos

locais em funo do deslocamentos globais como a seguir:

{

}

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos

{

}

{ }

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos { }

Substituindo em ii, tem-se:


17/42

{ }

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos

EAl 1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos { }

{ }

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos (F F 1010 00 )

Efetuando os produtos matriciais, tem-se:

{

}

EAl cos cossen cos cossencossen sen cossen sencos cossen cos cossen

cossen sen

cossen sen

{

}

(F F cossencossen

cossencossen )

Como

{ }

qualquer (virtual), ento a identidade somente ser satisfeita se, e somente se:

EAl cos cossen cos cossencossen sen cossen sencos cossen cos cossencossen sen cossen sen { }

(F F cossencossen {

cossencossen})

Sendo a matriz de rigidez da trelia no plano:

Kp EAl cos cossen cos cossencossen sen cossen sencos cossen cos cossencossen sen cossen sen As foras devido a variao trmica e deformao inicial so expressas por:

F cossencossen e F cossencossen


18/42

-Trelia no espao tridimensional-

Para o caso tridimensional, a matriz de transformao de coordenadas pode ser expressa por:

L l l ll l ll l l Onde:

l X X l , l Y Yl , l Z Z l ,

l X X Y Y Z Z O deslocamento expresso em coordenadas locais (x, y, z)como:

l l l 0 0 00 0 0 l l l ddddd

d

e

{

ddddd

d

}

[

l 0l 0l 00 l0 l

0 l

]

Aplicado a equao da trelia:

W EAl 1 11 1

W

{

dddd

d

d }

[

l 0l 0l 00 l

0 l

0 l ]

EAl 1 11 1 l l l 0 0 00 0 0 l l l

{

dddd

d

d }

Figura 1- Elemento de trelia espacial


19/42

W ddddd

d

EAl

[

l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l ]

d1xid1yid1zid2xid2yid2zi

lllll

l

W {

dddddd }

[

l 0l 0l 00 l0 l0 l ]

{

dddddd }

{

llllll }

Pelo Princpio dos Trabalho Virtual:

W W Logo:

{

dddddd }

{

EAl

[

l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l ] {d1xid1yid1zid2xid2yid2zi }

{

llllll }

{

llllll }

}

0

Como

{dddddd }

qualquer (virtual):

EAl

l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l {

dddddd }

{

llllll }

{

llllll }

-Carga distribuda na trelia-

Caso a carga sobre um elemento seja distrubuda, calcula-se o

carregamento equivalente em cada n.

Figura 14- Carga distribuda q(x)

sobre um elemento de treliai


20/42

W q xd xdx dd

q x NN dx

W dd q x 1 xlxl dx dd { q

x1 xl dx q x

xl dx }dx

W dd ff

Sendo ff o carregamento nodal equivalente.Para um elemento de trelia no espao com carga nos ns e carga distribuda, a equao da trelia se

torna:

EAl l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l l

dddddd

llllll

flflflf lf lf l

f lf lf lf lf lf l

Onde:

ff {

q xN dx q xN dx}

Sendo:

NN 1 xlxl -Toro-

Sendo:

Figura 17Toro nos ns


21/42

Condio deformao constante para barras submetidas toro.

0Ou seja, existe toro aplicada somente nos ns. Portanto,

0Assim,

Condio de contorno, que indica a condio de compatibilidade:

0 Resulta em:

1

Verificao do deslocamento de corpo rgido.

Fazendo: Verifica-se que:

1

Usando o campo de deslocamento virtual:

1 Observe que o campo deslocamento virtual possui as mesmas funes de forma dos deslocamentos

reais. Substituindo no trabalho birtual, tem-se:

ura 18Toro distribuda


22/42

Ou, na forma matricial:

1 11 1

Pelo P.V.T.:

Logo:

1 11 1 0Sendo o deslocamento virtual qualquer, tem-se:

1 11 1

-Toro-

2 2 2

Portanto:

2 2 2

Figura 2 - Toro


23/42

Figura 21 - Seo fechada de

parede fina

2 2 22 2 2 22 2

2 Definindo:

2

Como:

Pode-se demonstrar (Rivello, R.M., Theory and analysis of flight structures, McGraw-Hill, 1969) que

para outras sees transversais (diferente da circular), o trabalho virtual interno em barras solicitadas

por toro genericamente expresso por:

Onde:

4

13

3

Figura 20 - Toro inicial


24/42

Exemplo: Seo aberta de parede fina:

3

-Toro em um elemento-

Estado de deformao constante:

0

0Para:

Tem-se:

0

Condio de estabilidade:

0 1

Verificao de corpo rgido:

Para:

Figura 23 - Toro

Figura 22 - Seo

aberta de parede fina


25/42

1 Ou seja:

Sendo assim, satisfaz todos os requisitos para que a soluo de elementos finitos convirjapara a soluo do problema.Usando as mesmas funes de forma para os deslocamentos virtuais, tem-se:

1

Ou:

1 11 1

11 Ou:

1 11 1 11

Sendo o trabalho virtual externo:

Para toro distribuda na barra:

1 1

Ou:

{

1

}

Ou:

Figura 24 - Toro Distribuda


26/42

Onde:

1

Sendo:

Pelo P.T.V:

1 11 1 11

Ou:

1 11 1 11 0

Como

qualquer, pode-se igualar o termos entre parenteses a 0, ou seja:

1 11 1 11 -Exemplo (carga distribuda):

1) Para:

0 0

Figura 3 - Exemplo

(Toro distribuda)


27/42

Tem-se:

{

1

}

{

1

}

{ 3

}

1613

Sendo:

2

3

2

3

6

2) Para:

Tem-se:

{ 1 }

1212-Elemento de Viga-

Trabalho virtual interno

O tensor tenso pode ser genericamente representado por:

0 0 0 0 0 0

2

Onde:

,

,

Ento:

Figura 26 - Deflexo na viga


28/42

, 2 2 Considerando o material como isotrpico, no haver cisalhamento por variao da temperatura.

Embora

varie ao longo da seo transversal, conveniente consider-la constante (conforme

proposto por *Timoshenko, S. P.).

*Extra?Timoshenko

Figura 27 - Constante de Timoshenko

O cisalhamento na seo transversal da viga simplificado de acordo com o modelo proposto por

Timoshenko, em que se adiciona uma constante para representa-lo, de modo que a energia dedeformao no modelo real e simplificado se mantm. A constante de Timoshenko se torna relevante

em vigas de alma grande ou estruturas como as hlices de um helicptero.

12 , 12

Adotando:

,

Substituindo na expresso do Trabalho Virtual:

, , ,,

, , ,, , , , , , , , ,

Onde


29/42

A constante de Timoshenko deve ser utilizada apenas quando ela se torna relevante, o que deve ser

analisado caso a caso. Este termo ser abordado mais adiante.

Estado de deformao constante

Para o estado de deformao constante, tem-se:

0Ou seja, todas as cargas so aplicadas nos ns.

Considerando:

Ou seja, elemento de seo e material constante, tem-se: 0

Assim, pelo estado de deformao constante:

Similarmente, o deslocamento virtual posto como:

Condio de estabilidade:

Condies de contorno:

|0 1| 2|0 1|0 2

Figura 29 - Flexo em uma Viga


30/42

Conveno de sinais positivos em uma viga:

A flexo considerada positiva ao comprimir o lado superior da viga e

tracionar o lado inferior.


|= |= |= |= 2 3

Em 0, tem-se: 0 0 00 0 2030

Em , tem-se: 2 3 2 3

Calculando:

2 Tem-se:

2 2 2 2 2 2 32 2 2 2

Calculando:

3

Figura 28

Conveno de sinais positivos


31/42


32/42

A primeira expresso, , calculada por:

[

12 6 12 66 4 12 6 6 1 2 12 66 212 66 4 6 4 6 4 6 1 2 6 46 212 6 6 1 2 6 4 6 1 2 6 12 6 1 2 6 212 66 2 6 46 2 6 12 6 2 6 2 ] d

xl

Sendo que esta a matriz acima simtrica.

d xl

Resolvendo cada termo da integral acima:

6 1 2 12 312 6 1 2 36 6 6 12

4 6 4 6 36

218 418 4

1 6 1 2 12 2 6 2 6

36 418 218 4

6 1 2 4 6 2 4 8 4 7 2 2 4

8 4

7 2

6

4 6 6 1 2 1 612 4 6 6


33/42

6 1 2 6 1 2 1 6 1 2 1 2 6 1 2

2 6

1 2 6 0

7 2

1 2 3 0 2 4 6 4 6 2 6 8 3 6 3 6 8 1 8 1 2 2A expresso toma a forma de:

{

}

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

{ }

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

O trabalho interno devido deformao inicial calculado por:

Onde:

Para:

Tem-se:

0 Para:

Tem-se:


34/42

Substituindo em , tem-se:

6 1 2 4 6 6 1 2 2 6 612 4 6 6 1 2 2 6

1{

0 6 1 2 0 0 4 6 0

0

6 1 2

0 0 2 6 0 }

Para: Calculando as integrais, encontra-se:

0 6 1 2 0 0 6 122 6 6 0

0 4 6

0 0 462

4 3 0 0 6 1 2 0 0 6 122 6 6 0 0 2 6 0 0 2 62 0

2 3 0Assim:

{

}

1

0000

{ }

0 0101

Ou seja, caso o momento inicial seja constante, s haver trabalho interno referente ao ngulo .O trabalho interno devido variao de temperatura na barra calculado por:


35/42

Onde:

O

pode ser encontrado de forma similar ao trabalho interno virtual devido deformao inicial,

considerando constante. Assim: {

}

0101 Assim como a deformao inicial devido a um raio de curvatura constante na barra, a variao de

temperatura entre as faces da barra ir gerar trabalho interno referente ao ngulo .Considerando que a temperatura varia apenas na seo da barra, na direo z, tem-se:

A diferena de temperatura entre as faces da barra ir gerar uma

curvatura devido expanso diferente na seo.

Estando a transferncia de calor no sistema em regime permanente e

estacionrio, a distribuio de temperaturas ser linear.


= 1=+ 2Pela equao de fourier:

? ? ?

Pelas condies de contorno, tem-se:

2 2 Calculando:

1 2 2 1 22 2 1 2 2 2 1

Figura 304 - Variao

de temperatura na

Figura 5 - Distribuio de

temperatura.


36/42

2 Assim:

2 2 2 2 2 2

No elemento de trelia, a temperatura pode variar ao longo de x e constante na seo. Desta forma, a

variao de temperatura pode ocasionar tenso normal seo da barra.

2 2 O Trabalho interno total em uma viga ento passa a ser:

{

}

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

{

}

0 010

1

{

}

010

1

Ou:

{ }

{

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

0 0101 }

-Funes de forma-

O estado de deformao constante na viga encontrado por:

1 3 2 2 3 2 As funes de forma so:

Figura 6 - Funes de forma


37/42

1 3 2 2

3

2

Sendo , , relativos , , , respectivamente. A equao do estado de deformaoconstante pode ento ser escrito como:

Cada funo de forma a participao do termo na deformada do elemento, para qualquer elemento

obtido pelo estado de deformao constante ( 0) e compatibilidade.Tais funes devem satisfazer o deslocamento de corpo rgido:

1O trabalho virtual externo em uma viga :

{ }

{ }

O carregamento distribudo em uma viga :

{ }

{

}

Para:


38/42

{

1 3 2

2

3 2 }

{

33 24

l 2 3 4

33 24 3 4

} {

2l

122 l12}

Logo:

{

}

{

{

2l 12

2 l 12 }}

Pelo P.T.V., tem-se:

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

0101

{

2l 12 2

l

12 }

Sendo o deslocamento virtual e qualquer:

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

0101 {

2l 12 2 l 12 }

-Prticos-

Trelia:

K EAl 1 11 1

Viga:

K 12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4


39/42

Matriz de rigidez prtico plano (coordenadas locais):

K

EAl 0 0 EAl 0 0

012

6

012

6

0 6 4 0 6 2 EAl 0 0 EAl 0 00 12 6 0 12 60 6 2 0 6 4

K KK K

Transformao de coordenadas locais para globais

Trabalho virtual interno:

Ento:

{

}

K

{

}

Onde:

{

}

cos sen 0 0 0 0sen cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sen 00 0 0 sen cos 0

0 0 0 0 0 1 {

}

ra 33Elemento prtico plano


40/42

Similarmente:

{

}

{

}

cos sen 0 0 0 0sen cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sen 00 0 0 sen cos 00 0 0 0 0 1

Ento:

{

}

00

K 00 {

}

Onde:

cos sen 0sen cos 00 0 1- Matriz de rigidez do elemento de prtico expressa no sistema de eixo global () -

KP

00 K 00 00 00 00

cos sen 0 sen cos 00 0 1

[

EAl 0 00 12

6

0 6 4 ]

cos sen 0sen cos 0

0 0 1

EAl cos 12 sen 6 sen EAl sen 12 cos 6 cos0 6 4

cos sen 0sen cos 00 0 1

Figura 34Transformao de coordenadas


41/42

EAl cos 12 sen EAl cos sen 12 cossen 6 sen EAl cos sen 12 cossen EAl sen 12 cos 6 cos6

sen6 cos

4

[

EAl cos 12 sen 12 cos sen EAl cos sen 6 sen12 cos sen EAl cossen EAl sen 12 cos 6 cos 6 sen 6 cos 4 ]

cos sen 0 sen cos 00 0 1

EAl 0 00 12

6

0 6 2

cos sen 0sen cos 0

0 0 1

[

EAl cos 12 sen 6 sen EAl sen 12 cos 6 cos0 6 2 ]cos sen 0sen cos 00 0 1

EAl cos 12 sen 12 cos sen EAl cos sen 6 sen12 cos sen EAl cossen EAl sen 12 cos 6 cos6 sen 6 cos 2

[

EAl cos 12 sen EAl cos sen 12 cossen 6 senEAl cos sen 12 cos sen EAl sen 12 cos 6 cos 6 sen 6 cos 2 ]

Similarmente:

EAl cos 12 sen EAl cos sen 12 cos sen 6 senEAl cos sen 12 cos sen EAl sen 12 cos 6 cos6 sen 6 cos 2

Matriz de rigidez global do prtico plano:


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{

}

{

}

anotações de elementos finitos para análise estrutural_v06

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