2. métodos de elementos finitos
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Introduccion a los elementos finitosTRANSCRIPT
ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS
Ing. William Venegas, MSc.
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
2014
“Una estructura esta en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores, si al imponer a la misma unos desplazamientos arbitrarios (virtuales), compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales, es igual al trabajo realizado por las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales”.
El PTV es condición suficiente y necesaria para el equilibrio de toda la
estructura o cualquiera de sus partes.
ANALISIS MATRICIAL DE UNA BARRA
2 1
e ee e
e
u uE E
L
2
(
2
) 1 11 1
1 1
e ee e
e e
R uF K
R u
( ) e e eF K U
Principios de los Trabajos Virtuales (PTV)
Se denomina movimiento virtual en una estructura a todo movimiento (desplazamiento o giro) considerado en ella que sea compatible con las restricciones cinemáticas de la estructura. Por ser “compatible” se entiende que:
(a) es continuo, es decir, produce deformaciones (elongaciones, distorsiones, curvaturas y giros específicos de torsión) acotadas.
(b) satisface las condiciones de apoyo y
(c) no modifica el estado real de reacciones, es decir, los movimientos virtuales son pequeños.
Mientras la teoría de MEF puede ser presentada en perspectivas diferentes, su desarrollo para el análisis estructural sigue el enfoque más tradicional vía el principio de trabajo virtual o el principio de energía potencial total mínimo. El enfoque de principio de trabajo virtual es más general ya que es aplicable tanto a comportamientos materiales lineales como a no lineales.
Trabajo y Energía- Segundo Teorema de Castigliano´s
La energía de deformación en el sólido no puede ser distribuida uniformemente en todas partes del sólido. Introducimos el concepto de la densidad de energía de deformación, que es la energía de deformación por unidad de volumen (Uo). Entonces la energía de deformación en el cuerpo puede ser obtenida por la integración como sigue:
, , oU U x y z dV
1
2 oU
1
2 V
U dV
Donde la integración es realizada sobre el volumen V del sólido. En el caso de estado de esfuerzo uniaxial, la densidad de energía de deformación es igual al área bajo la curva de esfuerzo versus deformación.
u
x ,
Trabajo interno
0
eL
oU U A dx
1
2interno
V
W U dV
Potencial Total de energía
Potencial total o Trabajo conservativo
0externo internoW W W 1 1 1
2 2 2 externo
iiL A
W u q dr u p dA u R
1 1 1
2 2 2 i
iV L A
dV u q dr u p dA u R0 0
1 1 2( )
2( )
e
e e
V
e edV u R u R
1
2externoW R u
Potencial de cargas puntuales
Considere el trabajo externo por la acción de cargas puntuales externas, mientras que las cargas distribuidas por longitud y superficie son no existen.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
2 1. .e e
e e e ee
u uuE E E
dx L
, desplazamientos virtuales1 2, u u
e
e
V dA dx
V A dx
, volumen de la barra
, deformación virtual
2 1
e e
e
u u
L
,e eE A , constantes
( (1
)1 2
)2eL
e e e eE A dx u R u R
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1 e
ee e e e e e e ee e
L
u u EA u u dx u R u RL L
2 1 2 1 1 1 2 2
ee e e e e e e eEA
u u u u u R u RL
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2
ee e e e e e e e e eEA
u u u u u u u R u RL
2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2
ee e e e e e e e e e e eEA
u u u u u u u u u R u RL
1 1 2 2 2 1 1 1 2 2
e ee e e e e e e e e eEA EA
u u u u u u u R u RL L
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
Los términos que multiplican a cada desplazamiento virtual en los dos términos son iguales.
1 1 2 1
2 2 1 2
ee e e e
ee e e e
EAPara u u u R
L
EAPara u u u R
L
Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Análisis Matricial de barras.
1 1
2 2
1 1
1 1
e e e
e e
u RE A
L u R
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGÍA
Potencial total o Trabajo conservativo
externo internoW W W
21 1
2 2oeU E
Trabajo interno
internointern o o
eaW U U V U A L
Energía de deformación
Otra consideración para demostrar el análisis matricial en barras.
Primera ley de la termodinámica.
U W Q 0
1 1 2 2eext e e eernoW R u R u
1 1 2 221
2e e e e e eW R u R u E A L
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGÍA
2 11 1
2
2 2
1
2
e ee e e e e e
e
u uW R u R u E A L
L
1 2 11
1 0e
e e ee e
W E AR u u
u L
2 2 12
1 0e
e e ee e
W E AR u u
u L
1 1
2 2
1 1
1 1
e e e
e e
u RE A
L u R
Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Análisis Matricial de barras.
Derivadas parciales para1 2,e eu u para la condición del trabajo conservativo
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe decide utilizar funciones de interpolación polinómicas definidas localmente para
2 11 2 3 1
1
...... an
n in i
i
u x a a x a x x a x
n: es el número de puntos del elemento donde se supone conocido el desplazamiento.
1 2 3 1, , ......ana a a Constantes que dependen únicamente de los desplazamientos
u(x) en los nodos.
En la practica conviene escribir la ecuación como:
1 1 2 2
1
( ) e e en
n n i ii
e e e e eu x N x u N x u N x u N x u
:ieu Valor del desplazamiento en el nodo i
:ieN x Función de forma del nodo i, vale 1 en el nodo i y 0 en el resto
de nodos
1 11 1
1 1 1 12 1
1 2
2 1 1 2
x x x x
u x u ux x x x
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALFunción de base con soporte local
1,
0
j j ij
Si i ju x
Si i j
La función iu posee la propiedad kronecker-delta,
Lo cual facilita la imposición de las
condiciones de contorno esenciales (Diriechlet)
j j i jj
u x u x u
Con la expresión aproximada de u(x) y el PVT, se llega a obtener las ecuaciones algebraicas de equilibrio.
K u R
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
La solución de esta ecuación proporciona los desplazamientos nodales y luego se puede encontrar la deformación y esfuerzos
:K Matriz de rigidez de la malla de elementos finitos
:u Campo vectorial de desplazamientos
:R Campo vectorial de fuerzas en los nodos
Forma débil
1 11 1,x u
2 21 1,x u
1 21
Función exactaFunciones de forma
1 11 1
1 1 12 1
1 2
2 1 21
1
x x x xu x u u
x x x x
1L
1 112 1
1 21
1 1
x x x xu x u u
L L
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
1 11
1 211 2( )
xx
dN x dN xdu xu u
dx dx dx
Derivadas de las funciones de forma
1 1
11 1 2
1 1 du
u udx L L
Por ser las funciones de forma lineales, la deformación es constante sobre el elemento
Aplicando el PVT para el elemento
1 1
1 1
2 2
1 1
(1) (1) (1)1 2
(2
1)1
u u
u uE A dx u q x dx u R u R
El desplazamiento virtual iu , puede interpolarse en función de los
desplazamientos virtuales de los nodos
1 12
11 1 2
1 u N u N u
1 11 11 2
1 2
d u dN dN
u udx dx dx
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
Reemplazando en
21
11
1 2 1 21 2 1 2
1 1 1 11 1 1 1
u
u
dN dN dN dNu u E u u A dx
dx dx dx dx
1 2, u uAgrupamos términos por las coordenadas generalizadas
21
11 1
1 1 1 1 (1) (1) (1) (11 2 2 1 1 2
)2
u
uN u N u q x dx u R u R
1
12
1
1 1 11 1 11 1 2
1 1 2
u
u
dN dN dNu E u u A dx
dx dx dx
1
1
2
1
1 1 (11 1
)1
u
uu N q x dx R
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
1 2, u uAgrupamos términos por las coordenadas generalizadas
1
12
1
1 11 22
21
1 2
11 1
u
u
dN x dN xdNu E u u A dx
dx dx dx
1
1
2
1
1 1 (12 2
)2
u
uu N q x dx R
Los desplazamientos virtuales son arbitrarios, para cualquier valor de , los valores de los corchetes deben ser nulos.
1 2, u u
1
11
21
1
2
1
1 11 1 1 1
1 1 1 (1)1 21 2 1 1
u u
u u
dN dN dN dNE A u u dx N q x dx R
dx dx dx dx
1
11
21
1
2
1
2 11 1 1 1
1 1 1 (1)2 21 2 2 2
u u
u u
dN dN dN dNE A u u dx N q x dx R
dx dx dx dx
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALDel sistema anterior se deduce los valores de y en forma matricial
2 2
11
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1 (1)
(1)1 11 1 1 1
1 1 1 2
1 1 1
22 22 1 2 2
u u
u u
dN dN dN dNEA u N Rdx dx dx dx dx q x dx
Ru NdN dN dN dN
dx dx dx dx
)1(1R )
2(1R
De la ecuación matricial anterior puede escribirse en forma simplificada
2
1
e
e
eei
uj
ij
u
dNdNK EA dx
dx dx
2
1
e
e
ie
u
u
iq N q x dx
Matriz de rigidez
Campo vectorial por cargas distribuidas