2. métodos de elementos finitos

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ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS Ing. William Venegas, MSc. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 2014

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Introduccion a los elementos finitos

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Page 1: 2. Métodos de Elementos Finitos

ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS

Ing. William Venegas, MSc.

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

2014

Page 2: 2. Métodos de Elementos Finitos

“Una estructura esta en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores, si al imponer a la misma unos desplazamientos arbitrarios (virtuales), compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales, es igual al trabajo realizado por las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales”.

El PTV es condición suficiente y necesaria para el equilibrio de toda la

estructura o cualquiera de sus partes.

ANALISIS MATRICIAL DE UNA BARRA

2 1

e ee e

e

u uE E

L

2

(

2

) 1 11 1

1 1

e ee e

e e

R uF K

R u

( ) e e eF K U

Page 3: 2. Métodos de Elementos Finitos

Principios de los Trabajos Virtuales (PTV)

Se denomina movimiento virtual en una estructura a todo movimiento (desplazamiento o giro) considerado en ella que sea compatible con las restricciones cinemáticas de la estructura. Por ser “compatible” se entiende que:

(a) es continuo, es decir, produce deformaciones (elongaciones, distorsiones, curvaturas y giros específicos de torsión) acotadas.

(b) satisface las condiciones de apoyo y

(c) no modifica el estado real de reacciones, es decir, los movimientos virtuales son pequeños.

Mientras la teoría de MEF puede ser presentada en perspectivas diferentes, su desarrollo para el análisis estructural sigue el enfoque más tradicional vía el principio de trabajo virtual o el principio de energía potencial total mínimo. El enfoque de principio de trabajo virtual es más general ya que es aplicable tanto a comportamientos materiales lineales como a no lineales.

Page 4: 2. Métodos de Elementos Finitos

Trabajo y Energía- Segundo Teorema de Castigliano´s

La energía de deformación en el sólido no puede ser distribuida uniformemente en todas partes del sólido. Introducimos el concepto de la densidad de energía de deformación, que es la energía de deformación por unidad de volumen (Uo). Entonces la energía de deformación en el cuerpo puede ser obtenida por la integración como sigue:

, , oU U x y z dV

1

2 oU

1

2 V

U dV

Donde la integración es realizada sobre el volumen V del sólido. En el caso de estado de esfuerzo uniaxial, la densidad de energía de deformación es igual al área bajo la curva de esfuerzo versus deformación.

u

x ,

Trabajo interno

0

eL

oU U A dx

1

2interno

V

W U dV

Page 5: 2. Métodos de Elementos Finitos

Potencial Total de energía

Potencial total o Trabajo conservativo

0externo internoW W W 1 1 1

2 2 2 externo

iiL A

W u q dr u p dA u R

1 1 1

2 2 2 i

iV L A

dV u q dr u p dA u R0 0

1 1 2( )

2( )

e

e e

V

e edV u R u R

1

2externoW R u

Potencial de cargas puntuales

Considere el trabajo externo por la acción de cargas puntuales externas, mientras que las cargas distribuidas por longitud y superficie son no existen.

Page 6: 2. Métodos de Elementos Finitos

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)

2 1. .e e

e e e ee

u uuE E E

dx L

, desplazamientos virtuales1 2, u u

e

e

V dA dx

V A dx

, volumen de la barra

, deformación virtual

2 1

e e

e

u u

L

,e eE A , constantes

( (1

)1 2

)2eL

e e e eE A dx u R u R

Page 7: 2. Métodos de Elementos Finitos

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1 e

ee e e e e e e ee e

L

u u EA u u dx u R u RL L

2 1 2 1 1 1 2 2

ee e e e e e e eEA

u u u u u R u RL

1 2 1 2 2 1 1 1 2 2

ee e e e e e e e e eEA

u u u u u u u R u RL

2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2

ee e e e e e e e e e e eEA

u u u u u u u u u R u RL

1 1 2 2 2 1 1 1 2 2

e ee e e e e e e e e eEA EA

u u u u u u u R u RL L

Page 8: 2. Métodos de Elementos Finitos

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)

Los términos que multiplican a cada desplazamiento virtual en los dos términos son iguales.

1 1 2 1

2 2 1 2

ee e e e

ee e e e

EAPara u u u R

L

EAPara u u u R

L

Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Análisis Matricial de barras.

1 1

2 2

1 1

1 1

e e e

e e

u RE A

L u R

Page 9: 2. Métodos de Elementos Finitos

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGÍA

Potencial total o Trabajo conservativo

externo internoW W W

21 1

2 2oeU E

Trabajo interno

internointern o o

eaW U U V U A L

Energía de deformación

Otra consideración para demostrar el análisis matricial en barras.

Primera ley de la termodinámica.

U W Q 0

1 1 2 2eext e e eernoW R u R u

1 1 2 221

2e e e e e eW R u R u E A L

Page 10: 2. Métodos de Elementos Finitos

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGÍA

2 11 1

2

2 2

1

2

e ee e e e e e

e

u uW R u R u E A L

L

1 2 11

1 0e

e e ee e

W E AR u u

u L

2 2 12

1 0e

e e ee e

W E AR u u

u L

1 1

2 2

1 1

1 1

e e e

e e

u RE A

L u R

Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Análisis Matricial de barras.

Derivadas parciales para1 2,e eu u para la condición del trabajo conservativo

Page 11: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe decide utilizar funciones de interpolación polinómicas definidas localmente para

2 11 2 3 1

1

...... an

n in i

i

u x a a x a x x a x

n: es el número de puntos del elemento donde se supone conocido el desplazamiento.

1 2 3 1, , ......ana a a Constantes que dependen únicamente de los desplazamientos

u(x) en los nodos.

En la practica conviene escribir la ecuación como:

1 1 2 2

1

( ) e e en

n n i ii

e e e e eu x N x u N x u N x u N x u

:ieu Valor del desplazamiento en el nodo i

:ieN x Función de forma del nodo i, vale 1 en el nodo i y 0 en el resto

de nodos

1 11 1

1 1 1 12 1

1 2

2 1 1 2

x x x x

u x u ux x x x

Page 12: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALFunción de base con soporte local

1,

0

j j ij

Si i ju x

Si i j

La función iu posee la propiedad kronecker-delta,

Lo cual facilita la imposición de las

condiciones de contorno esenciales (Diriechlet)

j j i jj

u x u x u

Con la expresión aproximada de u(x) y el PVT, se llega a obtener las ecuaciones algebraicas de equilibrio.

K u R

Page 13: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

La solución de esta ecuación proporciona los desplazamientos nodales y luego se puede encontrar la deformación y esfuerzos

:K Matriz de rigidez de la malla de elementos finitos

:u Campo vectorial de desplazamientos

:R Campo vectorial de fuerzas en los nodos

Forma débil

1 11 1,x u

2 21 1,x u

1 21

Función exactaFunciones de forma

1 11 1

1 1 12 1

1 2

2 1 21

1

x x x xu x u u

x x x x

1L

1 112 1

1 21

1 1

x x x xu x u u

L L

Page 14: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

1 11

1 211 2( )

xx

dN x dN xdu xu u

dx dx dx

Derivadas de las funciones de forma

1 1

11 1 2

1 1 du

u udx L L

Por ser las funciones de forma lineales, la deformación es constante sobre el elemento

Aplicando el PVT para el elemento

1 1

1 1

2 2

1 1

(1) (1) (1)1 2

(2

1)1

u u

u uE A dx u q x dx u R u R

El desplazamiento virtual iu , puede interpolarse en función de los

desplazamientos virtuales de los nodos

1 12

11 1 2

1 u N u N u

1 11 11 2

1 2

d u dN dN

u udx dx dx

Page 15: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Reemplazando en

21

11

1 2 1 21 2 1 2

1 1 1 11 1 1 1

u

u

dN dN dN dNu u E u u A dx

dx dx dx dx

1 2, u uAgrupamos términos por las coordenadas generalizadas

21

11 1

1 1 1 1 (1) (1) (1) (11 2 2 1 1 2

)2

u

uN u N u q x dx u R u R

1

12

1

1 1 11 1 11 1 2

1 1 2

u

u

dN dN dNu E u u A dx

dx dx dx

1

1

2

1

1 1 (11 1

)1

u

uu N q x dx R

Page 16: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

1 2, u uAgrupamos términos por las coordenadas generalizadas

1

12

1

1 11 22

21

1 2

11 1

u

u

dN x dN xdNu E u u A dx

dx dx dx

1

1

2

1

1 1 (12 2

)2

u

uu N q x dx R

Los desplazamientos virtuales son arbitrarios, para cualquier valor de , los valores de los corchetes deben ser nulos.

1 2, u u

1

11

21

1

2

1

1 11 1 1 1

1 1 1 (1)1 21 2 1 1

u u

u u

dN dN dN dNE A u u dx N q x dx R

dx dx dx dx

1

11

21

1

2

1

2 11 1 1 1

1 1 1 (1)2 21 2 2 2

u u

u u

dN dN dN dNE A u u dx N q x dx R

dx dx dx dx

Page 17: 2. Métodos de Elementos Finitos

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALDel sistema anterior se deduce los valores de y en forma matricial

2 2

11

1

1 1

1

1 1 1 1

1 1 (1)

(1)1 11 1 1 1

1 1 1 2

1 1 1

22 22 1 2 2

u u

u u

dN dN dN dNEA u N Rdx dx dx dx dx q x dx

Ru NdN dN dN dN

dx dx dx dx

)1(1R )

2(1R

De la ecuación matricial anterior puede escribirse en forma simplificada

2

1

e

e

eei

uj

ij

u

dNdNK EA dx

dx dx

2

1

e

e

ie

u

u

iq N q x dx

Matriz de rigidez

Campo vectorial por cargas distribuidas