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An�lise de Redes El�tricas

Djalma M� Falc�o

COPPE�UFRJPrograma de Engenharia El�trica

����

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Pref�cio

Estas notas de aula apresentam

i

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Conte�do

� Sistemas El�tricos de Pot�ncia ���� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Estrutura Funcional dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Sistema El�trico Brasileiro � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Planejamento e Opera��o de SEPs � � � � � � � � � � � � � � � ���� Estudos e Ferramentas Computacionais � � � � � � � � � � � � ��� Reestrutura��o dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro � � � � � � �

� Modelos de Componentes ����� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Linhas de Transmiss�o em CA � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Elos CC � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Transformadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari� vel sob carga � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Transformadores trif sicos � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Transformadores com tr�s enrolamentos � � � � � � � � ��

�� Geradores e Compensadores S�ncronos � � � � � � � � � � � � � ����� Bancos de Capacitores e Indutores � � � � � � � � � � � � � � � ���� Compensadores Est ticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Cargas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Modelo Composto � ZIP � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Modelo Exponencial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Fluxo de Pot�ncia ����� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Modelo da Rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Tipos de Barras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Conjunto B sico de Equa��es � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Solu��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

iii

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����� Crit�rio de Precis�o da Solu��o � � � � � � � � � � � � � ������� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ M�todo de Newton�Raphson � � � � � � � � � � � � � � � ������ M�todo Desacoplado R pido � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Controles e Limites na Solu��o do Fluxo de Pot�ncia � � � � � ������ M�todos de Implementa��o � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� C lculo de Perdas e Fluxos de Pot�ncia Ativa e Reativa � � � �

� Fluxo de Pot�ncia Linearizado ����� Equa��es B sicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Formula��o Matricial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Inclus�o de Perdas no Modelo Linearizado � � � � � � � � � � � ���� Rela��o de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� An lise de Altera��es no Modelo Linearizado � � � � � � � � � �

���� Altera��es na condi��o de carga�gera��o � � � � � � � � ����� Altera��es na rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� M�todo dos Fatores de Distribui��o � � � � � � � � � � � � � � � ������� Fator de Distribui��o para Deslocamento de Gera��o � ������� Fator de Distribui��o para Desligamento de Ramo � � ������� Fator de Distribui��o Combinado de Deslocamento de

Gera��o e Desligamento de Ramo � � � � � � � � � � � � ������� Fator de Distribui��o Combinado de Desligamento de

Dois Ramos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Fator de Distribui��o para Transfer�ncia de Pot�ncia � �

� Fluxo de Pot�ncia �timo ��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Aplica��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� M�todos de Solu��o� Hist�rico � � � � � � � � � � � � � �

�� Natureza do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Formula��o Matem tica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� Vari veis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � � � � � � ����� Fun��o Objetivo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� M�todo de Dommel � Tinney � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� FPO sem Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � ���� Restri��es de desigualdade nas vari veis de controle � ���� Restri��es de desigualdade funcionais e nas vari veis

de estado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M�todo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Formula��o B sica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Sele��o do Conjunto de Restri��es Ativas � � � � � � � ��

iv

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�� M�todo dos Pontos Interiores � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Avalia�o Est�tica da Estabilidade de Tens�o ���� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Caracter�sticas P�V e P�Q � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� An lise de Sensibilidade Q�V e P�V � � � � � � � � � � � � � � � ���� An lise Modal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� M�todo de Continua��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Reformula��o das Equa��es do Fluxo de Pot�ncia � � � ������ Etapa de Previs�o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Etapa de Corre��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

A Sistemas de Equa�es Alg�bricas Lineares ���A�� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A�� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���A�� M�todos Diretos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A���� Elimina��o de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A���� Fatora��o LU � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

A�� Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���A���� Ordena��o para Preservar a Esparsidade � � � � � � � � ���A���� Representa��o da Estrutura de Matrizes por Grafos � � ���A���� Esquemas de Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A� Armazenamento de Matrizes Esparsas � � � � � � � � � � � � � ��A�� M�todos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

A���� M�todo de Jacobi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���A���� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � ���A���� M�todo de Sobrerelaxa��o sucessiva �SOR� � � � � � � ���A���� Converg�ncia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���A��� M�todo do Gradiente Conjugado � � � � � � � � � � � � ���A���� M�todo do Gradiente Conjugado Pr��condicionado � � ��A��� M�todo do Gradiente Bi�Conjugado Estabilizado � � � ���

B Programa�o N�o�Linear ���B�� Enunciado Geral � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

B���� Casos Particulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���B�� Representa��o Gr �ca � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���B�� Condi��es de Otimalidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

B���� PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���B���� PPNL com Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � ���B���� PPNL com Restri��es de Igualdade e Desigualdade � � ���

B�� M�todos de Solu��o do PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � ���B���� Minimiza��o Unidirecional � � � � � � � � � � � � � � � � ���B���� M�todo do Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���B���� M�todo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

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B� M�todos de Solu��o do PPNL com Restri��es � � � � � � � � � ���B��� M�todo das Penalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

C Programa�o Linear ��C�� O Problema de Programa��o Linear � � � � � � � � � � � � � � ���C�� Caracteriza��o Alg�brica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��C�� O M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��C�� Forma Matricial do M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � �C� Dualidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��C�� An lise de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

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Cap�tulo �

Sistemas El�tricos de Pot�ncia

��� Introdu��o

Este cap�tulo apresenta uma vis�o geral do estudo de Sistemas El�tricos dePot�ncia �SEP� dos pontos de vista de sua estrutura funcional� planejamentoe opera��o� estudos e ferramentas computacionais� � tamb�m apresentadauma introdu��o ao processo de reestrutura��o do setor el�trico atualmenteem andamento�

��� Estrutura Funcional dos SEPs

De um ponto de vista funcional� os SEPs apresentam uma estrutura comomostrada na Figura ���� Seus principais componentes s�o os subsistemas de�

� Gera��o� composto pelas usinas ou centrais geradoras� Essas centraispodem ser do tipo hidrel�trica� t�rmica �carv�o� �leo� gas natural� etc��ou nuclear� As centrais hidrel�tricas� em geral� s�o localizadas em pon�tos distantes dos centros de consumo� exigindo sistemas de transmiss�ocomplexos e em tens�o elevada�

� Transmiss�o� constitu�do pelas linhas de transmiss�o e equipamentosauxiliares necess rios para transmitir a pot�ncia produzida nas cen�trais geradoras at� os centros de consumo� Os sistemas de transmiss�o

Gera��o Transmiss�o Distribui��o� � � �EnergiaPrim�ria Consumidores

Figura ���� Estrutura funcional de um SEP

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� An�lise de Redes El�tricas

podem ser em corrente alternada �CA� ou em corrente cont�nua �CC��sendo os �ltimos utilizados apenas no caso de transmiss�o de grandesblocos de pot�ncia a longas dist�ncias�

� Distribui��o� constitu�do pelas subesta��es e alimentadores respons �veis pela distribui��o da energia el�trica aos consumidores industriais�comerciais e residenciais� Em geral� incluem tamb�m uma parte localdo sistema de transmiss�o� em tens�o mais baixa� o qual recebe adenomina��o de subtransmiss�o�

Na �gura ��� � apresentado o diagrama uni�lar de um SEP onde s�oilustrados os subsistemas acima referidos� Nesse sistema hipot�tico� existemduas grandes centrais geradoras hidrel�tricas localizadas a grande dist�nciado centro de consumo� Uma delas � conectada ao sistema atrav�s de umalinha de transmiss�o em CC �� ��� kV� e a outra atrav�s de uma linha detransmiss�o em CA �� kV�� Parte da energia dessas centrais � utilizada porum sistema de distribui��o� constitu�do por linhas de subtransmiss�o ����kV� e por v rias subesta��es de distribui��o �apenas uma delas � mostrada na�gura�� Um grande consumidor industrial � alimentado diretamente do sis�tema de subtransmiss�o� Tamb�m existe nesse sistema uma central t�rmicade m�dio porte� A partir da subesta��o de distribui��o� partem alimenta�dores na tens�o de ���� kV� os quais alimentam consumidores industriaisnesse n�vel de tens�o e consumidores comerciais e residenciais atrav�s deuma rede secund ria de distribui��o em ������ V� Conectada diretamente� rede de distribui��o existe uma pequena central geradora de propriedadede um consumidor industrial a qual fornece energia ao sistema quando seupropriet rio pode dispor da mesma�

����� Sistema El�trico Brasileiro

O sistema el�trico brasileiro tem uma capacidade instalada de aproximada�mente ����� MW� predominantemente de origem hidrel�trica ����� e pos�sue um sistema de transmiss�o constitu�do por aproximadamente ������ kmde linhas de transmiss�o com n�veis de tens�o variando de ��� kV a � kV� Aenergia produzida anualmente nesse sistema � da ordem de ��� TWh� sendo�� de origem hidrel�trica� Existem cerca de �� milh�es de consumidoresconectados ao sistema dos quais ��� milh�es s�o consumidores residenciais�Para esses consumidores� o consumo de energia per capita � de ��� kWh�ano�

Existem presentemente dois subsistemas fracamente acoplados no Brasil�o sistema Sul�Sudeste�Centro�Oeste �S�SE�CO� e o sistema Norte�Nordeste�N�NE�� Esses sistemas foram interligados recentemenente atrav�s de um lin�ha de transmiss�o em �� kV ligando a subesta��o de Imperatriz �Maranh�o�com a usina de Serra da Mesa �Goi s�� Esta interconex�o tem como objeti�vo explorar a diversidade hidrol�gica entre os dois sistemas� permitindo umganho energ�tico da ordem de ��� MW�ano�

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COPPE�UFRJ �

���� ii ii

����

ii

ii

ii

ii

iiii ����

���� iiii

ii�

���� �

Transmiss�o

Subtransmiss�o

Distribui��o

� ��� kV DC

��� kV

�� kV

�� kV

������� V

��� kV

QQ

Figura ���� Diagrama uni�lar de um SEP t�pico

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� An�lise de Redes El�tricas

O sistema S�SE�CO tem uma capacidade instalada de ����� MW� con�siderando somente �� ������ MW� da capacidade instalada na usina deItaipu� possui �� usinas hidrel�tricas ������� MW � ������ e � usinas ter�mel�tricas ������ MW � ������ Neste sistema est localizada a maior centralhidrel�trica do pa�s �Itaipu� ������ MW� e tamb�m o �nico sistema de trans�miss�o em CC �Itaipu�Ibi�na� bipolo � ��� kV�� O sistema N�NE tem umacapacidade instalada de ����� MW� possui �� usinas hidrel�tricas ������MW � ����� e � usinas termel�tricas ���� MW � ������ Esse sistema englo�ba parte da regi�o amaz nica� Al�m desses dois sistemas principais� existempequenos sistemas isolados� particularmente na Amaz nia� A Figura ���apresenta a representa��o geogr �ca da malha principal de trasmiss�o dosistema brasileiro�

��� Planejamento e Opera��o de SEPs

As atividades da engenharia de SEPs podem ser classi�cadas em tr�s catego�rias principais baseando�se nos horizontes de tomada de decis�o consideradose as a��es permitidas no mesmo� Essas categorias s�o�

� Planejamento da Expans�o� tem como objetivo determinar� dentro deum horizonte de longo prazo �at� �� anos�� os novos equipamentos aserem instalados no sistema visando atender um aumento previsto dademanda de energia el�trica� Geralmente� o planejamento � realizadode forma mais ou menos independente nos diversos blocos funcionaisdo sistema� No caso da gera��o e transmiss�o� existe uma integra��omais forte do processo de planejamento�

� Planejamento da Opera��o� tem como objetivo estabelecer uma es�trat�gia de opera��o� incluindo planos de emerg�ncia� para um hori�zonte de m�dio prazo �por exemplo� at� anos para sistemas hidro�t�rmicos com regula��o plurianual como � o caso do Brasil�� Nor�malmente � subdividido em um planejamento da opera��o energ�tica�no qual se analisa a melhor estrat�gia para utiliza��o dos recurso en�erg�ticos � gua dispon�vel e prevista para a!uir aos reservat�rios� emcontraposi��o ao uso de combust�vel nas usinas t�rmicas� e um plane�jamento da opera��o el�trica� no qual s�o analisados os impactos dasdecis�es energ�ticas� do progrma de manuten��o� etc�� no desempen�ho do sistema de transmiss�o� visando garantir um n�vel adequado decon�abilidade�

� Opera��o em Tempo�Real� tem como objetivo atender � demanda ins�tant�nea do sistema� segundo as diretivas do planejamento da oper�a��o� com desvios m�nimos em rela��o �s tens�es e frequ�ncia nomi�nais e minimizando as interrup��es no fornecimento de energia� At�ualmente � realizado a partir dos Centros de Opera��o de Sistemas

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COPPE�UFRJ

Figura ���� Malha principal do sistema interligado brasileiro

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� An�lise de Redes El�tricas

os quais posuem facilidades para aquisi��o remota de dados e teleco�mando �SCADA� e sistemas computacionais capazes de fornecer aosoperadores condi��es mais adequada de tomadas de decis�es e a��esde controle�

��� Estudos e Ferramentas Computacionais

Para executar as tarefas relacionadas ao planejamento e opera��o de SEPsdescritas no item anterior� os engenheiros de SEP necessitam de ferramentascomputacionais para an lise� simula��o e controle� Essas ferramentas per�mitem aos engenheiros a tomada de decis�es com rela��o ao planejamento deexpans�o� � melhor estrat�gia de opera��o e ao efetivo controle do sistema�A seguir s�o listadas algumas ferramentas e tipos de estudos utilizados nosv rios est gios da engenharia de SEPs�

� Ferramentas B sicas de An lise e Simula��o�

� C lculo de Fluxo de Pot�ncia"

� C lculo de Curto�Circuito"

� Simula��o da Din�mica Eletromec�nica"

� An lise Modal"

� Simula��o de Transit�rios Eletromagn�ticos�

� Ferramentas de Otimiza��o e Avalia��o Probabil�stica�

� Fluxo de Pot�ncia #timo"

� Fluxo de Pot�ncia Probabil�stico"

� Avalia��o da Con�abilidade de Sistemas de Gera��o� Transmiss�oe Distribui��o"

� Avalia��o da Con�abilidade Composta de Sistemas de Gera��o�Transmiss�o�

� Estudos�Ferramentas de Planejamento da Expans�o�

� Previs�o de Carga a Longo Prazo"

� Expans�o do Sistema de Gera��o"

� Expans�o do Sistema de Transmiss�o"

� Expans�o do Sistema de Distribui��o�

� Estudos�Ferramentas de Planejamento da Opera��o�

� Previs�o de Carga a M�dio Prazo"

� Programa��o Hidrot�rmica"

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COPPE�UFRJ

� Programa��o da Manuten��o"

� Esquemas de Emerg�ncia"

� Determina��o da Reserva Operativa�

� Ferramentas da Opera��o em Tempo�Real�

� Sistema de Aquisi��o de Dados e Supervis�o �SCADA�"

� Estima��o de Estado e Con�gura��o da Rede"

� Previs�o de Carga a Curto�Prazo"

� Avalia��o Est tica e Din�mica da Seguran�a�

��� Reestrutura��o dos SEPs

As empresas de energia el�trica em quase todos os pa�ses do mundo est�opassando por um processo de reestrutura��o� Essas mudan�as iniciaram�sena d�cada de �� no Reino Unido �Inglaterra� Esc�cia e Pa�s de Gales� e emalguns pa�ses da Am�rica Latina �Chile� Bol�via� etc��� e foram estendidasa outros pa�ses na d�cada de ��� As motiva��es principais para o proce�so de reestrutura��o do setor el�trico n�o s�o necess riamente as mesmasem todos os pa�ses� Em alguns casos� como no Reino Unido e pa�ses daAm�rica Latina� a reestrutura��o acompanhou o processo de privatiza��o dosetor el�trico� direcionado para atrair capitais privados e liberar o governodos pesados investimentos necess rios � expans�o do setor� Nos pa�ses doLeste Europeu� o processo segue uma tend�ncia generalizada de privatiza��oe descentraliza��o administrativa� Nos Estados Unidos e em outros pa�ses�onde as empresas de energia el�trica em sua maior parte j eram empre�sas privadas� a reestrutura��o tem como objetivo aumentar a competi��o edesregulamenta��o� visando diminuir o custo da energia para o consumidor�nal e conduzir a uma utiliza��o mais e�ciente dos recursos energ�ticos emelhor preserva��o do ambiente�

No modelo antigo� as empresas de energia el�trica t�m uma estrutura ver�tical� englobando� na maioria dos casos� os segmentos de gera��o� transmiss�oe distribui��o� Essas empresas recebem uma concess�o para o fornecimen�to de energia para uma determinada regi�o do pa�s e atendem a demandanessa regi�o usando a energia gerada no seu pr�prio sistema� ou adquiridade empresas vizinhas� mediante contratos de longo ou curto prazos� Emalguns sistemas� contratos de fornecimento de energia entre empresas n�odiretamente conectadas eletricamente podem existir� exigindo a transfer�n�cia de energia atrav�s do sistema de transmiss�o de uma terceira empresa�wheeling�� O modelo � fortemente regulado e n�o existe a possibilidade deuma empresa comercializar energia diretamente a consumidores fora de sua rea de concess�o� Do ponto de vista econ mico� o sistema opera como um

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� An�lise de Redes El�tricas

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Coordenador

Figura ���� Opera��o do SEP como monop�lio regulado

monop�lio regulado� Em geral existe algum mecanismo coordenador da op�era��o do sistema interligado o qual orienta as diversas empresas com comrela��o ao melhor aproveitamento dos recurso energ�ticos e con�abilidade dosistema el�trico� Este modelo � ilustrado na �gura ����

Uma grande variedade de modelos de reestrutura��o do setor el�trico t�msido propostos� Na maioria desses modelos� o desmembramento �unbundling�dos segmentos de gera��o� transmiss�o e distribui��o em diferentes empresas�est presente� A transmiss�o e a distribui��o s�o consideradas monop�liosnaturais e� em geral� continuam reguladas de maneira a permitir um am�biente competitivo para empresas de gera��o e comercializa��o� As empre�sas de transmiss�o e distribui��o s�o obrigadas a permitir o acesso ao seusistema� mediante a cobran�a de um servi�o de transmiss�o �ped gio�� pos�sibilitando as transa��es de energia entre quaisquer empresas de gera��o ecomercializa��o� desde que as restri��es operativas do sistema assim o per�mitam�

Em v rios pa�ses� a opera��o do sistema � delegada a um ou mais Op�eradores Independentes do Sistema � OIS �Independent Systems Operators �ISO�� sem nenhum interesse �nanceiro no mercado de energia el�trica� O es�copo da atua��o do OIS� suas atribui��es e responsabilidades� variam de umpa�s para outro ou mesmo entre OISs de um mesmo pa�s� No m�nimo� o OISter um papel semelhante ao coordenador de opera��es do modelo antigo�No outro extremo da escala� o OIS pode ser respons vel pelo planejamentoda expans�o da transmiss�o� planejamento da opera��o el�trica e energ�ti�ca� e opera��o em tempo�real� O OIS poder ou n�o ser o propriet rio dossistemas de transmiss�o sob sua responsabilidade� Da mesma forma� o OISpoder ou n�o operar o mercado de energia el�trica� Em alguns casos� aopera��o do mercado � delegada a uma outra entidade denominada de Bolsade Energia �Power Exchange � PX�� Em muitos casos� o OIS � respons v�

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COPPE�UFRJ �

T T T���bb� � �

G GG G

Agregadores

D D D� � �

� � �

����

LLLL

AOS

�� ��Servi�osAncilares

�� ��AgenteRegulador

�����������������

��J

JJJJ

�����

������� ��Bolsa de

Energia

Figura ��� Opera��o do SEP em um ambiente competitivo

el por oferecer os chamados Servi�os Ancilares �Ancillary Services� os quaisincluem o controle autom tico de gera��o� suporte de reativos� reserva opera�tiva� etc� Em outros casos� o OIS coordena um mercado de Servi�os Ancilaresprovidos por outras empresas� Finalmente� o novo modelo geralmente inclueuma ag�ncia governamental �Agente Regulador� respons vel pelo controle esupervis�o do funcionamento do mercado de energia e o cumprimento dosdireitos dos consumidores� Uma tentativa de ilustrar o novo modelo dosSEPs � mostrado na Figura ���

����� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro

O setor el�trico brasileiro vem passando por um processo de privatiza��o ereestrutura��o com caracteristicas similares �quelas descritas na se��o ante�rior�

V rias empresas distribuidoras de energia el�trica e� pelo menos umadas empresas federais de gera��o� j foram privatizadas� V rios projetosde constru��o de novas usinas est�o em andamento com a participa��o dainiciativa privada�

Dentro do processo de reestrutura��o� v rias institui��es foram criadasentre as quais pode�se destacar�

ANEEL� Ag�ncia Nacional de Energia El�trica� #rg�o governamental res�pons vel pela regulamenta��o e �scaliza��o do setor el�trico�

ONS� Operador Nacional do Sistema El�trico� Empresa privada respos velpela opera��o do sistema interligado�

ASMAE� Mercado Atacadista de Energia� Entidade privada respons velpelo mercado de compra e venda de energia�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Informa��es detalhadas sobre o Projeto de Reestrutura��o do Setor El�tricoBrasileiro pode ser encontrada na Home Page do Minist�rio das Minas eEnergia no endere�o abaixo�

http���www�mme�gov�br�

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Cap�tulo �

Modelos de Componentes

��� Introdu��o

Este cap�tulo apresenta uma revis�o de modelos de componentes de SEP uti�lizados em estudos de regime permanente� particulamente no caso do c lculode !uxo de pot�ncia e estudos neste baseado� Na obten��o desses modelos�assume�se que os dispositivos s�o equilibrados e operados em regime perma�nente senoidal � freq$�ncia industrial ��Hz ou ��Hz�� Maiores detalhes comrela��o aos modelos apresentados neste cap�tulo podem ser encontrados em%�&� %�&� %�& e %��&�

Os modelos dos seguintes elementos s�o apresentados a seguir�

� Linhas de transmiss�o em CA"

� Elos CC"

� Transformadores"

� Geradores e Compensadores S�ncronos"

� Bancos de Capacitores e Indutores"

� Compensadores Est ticos"

� Cargas�

��� Linhas de Transmiss�o em CA

Nas aplica��es abordadas neste trabalho� as linhas de transmiss�o em CAs�o modeladas como um circuito ��equivalente %�& como mostrado na Figura��� cujos par�metros s�o dados por�

zkm � rkm � jxkm � zc senh��l� �����

yskm � gskm � jbskm ��

zctanh��l��� �����

��

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�� An�lise de Redes El�tricas

k mzkm � rkm�jxkm

yskm

�� yskm

��

Figura ���� Circuito equivalente de linha de transmiss�o

Tabela ���� Valores t�picos dos par�metros de linhas de transmiss�o

Par�� Linhas A�reas Cabosmetros ��� kV �� kV ��� kV �� kV

R ���km� ���� ����� ����� �����xL � �L ���km� ����� ���� ����� ����

bc � �C ������km� ���� ���� ���� ���

onde

l � comprimento da linha �km�"

zc �pz�y � imped�ncia caracter�stica ���"

� �pyz � constante de propaga��o"

z � R� j�L � imped�ncia s�rie ���km�"

y � G� j�C � admit�ncia shunt �����km��

R�G�L e C nas express�es acima representam� respectivamente� a re�sist�ncia� a condut�ncia� a reat�ncia e a capacit�ncia por km da linha� Oprocedimento para c lculo desses par�metros pode ser encontrado em v rioslivros textos� por exemplo na refer�ncia %�&� Na tabela ��� s�o apresentadospar�metros t�picos de linhas a�reas e cabos subterr�neos em CA para v riosn�veis de tens�o %��&�

��� Elos CC

Um sistema de transmiss�o em corrente cont�nua �CC�� ou simplesmente umelo CC� � basicamente constitu�do por�

� Sistema em corrente alternada �AC� supridor"

� Terminal conversor de corrente alternada em cont�nua �reti�cador�"

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COPPE�UFRJ ��

� Transformadores com comuta��o autom tica sob carga dos conver�sores"

� Linha de transmis�o em corrente cont�nua"

� Sistema de aterramento

� Terminal conversor de corrente cont�nua em alternada �inversor�"

� Sistema em corrente alternada �AC� receptor�

Os elos CC podem ser con�gurados de formas distintas sendo as seguintesas mais utilizadas na pr tica %��&�

� Elo Monopolar� a linha CC utiliza um �nico condutor� normalmentede polaridade negativa� com retorno pelo solo ou pela gua"

� Elo Bipolar� a linha CC possui dois condutores� um positivo e outronegativo" cada terminal tem dois conversores id�nticos conectados ems�rie e cuja jun��o � aterrada"

� Elo Homopolar� a linha CC possui dois ou mais condutores� todosde mesma polaridade� geralmente negativa� e opera sempre utilizandoretorno pelo solo ou pela gua�

A Figura ��� representa de forma esquem tica um elo monopolar e ser utilizada como base para a apresenta��o do modelo de elos CC� Nessa �gurao Sistema AC� � o supridor de pot�ncia e o sistema AC� � o receptor�

Figura ���� Representa��o esquem tica de um elo CC �monopolar�

O desenvolvimento de modelos de elos CC exige a representa��o detalha�da do funcionamento dos conversores e componentes auxiliares� Para efeitode estudos em regime permanente� � su�ciente utilizar um modelo do tipocircuito equivalente� como aquele desenvolvido em %�&� o qual � mostrado naFigura ���

O modo de opera��o mais comum de um elo CC � obtido con�gurando�se o reti�cador para manter a corrente na linha CC constante e o inversor

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�� An�lise de Redes El�tricas

Figura ���� Circuito equivalente da linha CC

operando com �ngulo de extin��o m�nimo� Nesta forma de opera��o� as re�la��es entre as vari veis do circuito equivalente do elo s�o as seguintes %��&�

Equa��es do Inversor

Vdi � KiEi cos�min �RciId �����

Ki ��p�

�biti �����

Rci ��

�Xcibi ����

�i � cos���Vdi�KiEi� �����

Pi � VdiId ����

Qi � Pitan�i �����

Equa��es do Reti�cador

Vdr � Vdi �RLId �����

� � cos���VdrKrEr

�XcrIdp�Ertr

�������

Kr ��p�

�brtr ������

Rcr ��

�Xcrbr ������

�r � cos���Vdr�KrEr� ������

Pr � VdrId ������

Qr � Prtan�r �����

onde

Vdi e Vdr � tens�es na linha CC nos terminais do inversor e do reti�cador"

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COPPE�UFRJ �

Ei e Er� valores rms das tens�es CA nos terminais do inversor e do reti��cador"

Id � corrente na linha CC"

RL � resist�ncia da linha CC"

�min � valor m�nimo do �ngulo de extin��o do inversor"

bi e br � n�mero de pontes de conversores em s�rie no inversor e no reti��cador"

ti e tr � posi��es dos taps dos transformadores do inversor e do reti�cador"

Xci e Xcr � reat�ncias de comuta��o� por ponte e por fase� do inversor e doreti�cador"

Pi e Pr � pot�ncia ativa retirada do inversor e injetada no reti�cador"

Qi e Qr � pot�ncia reativa demandada pelo conversor e reti�cador�

Equa��es similares �s mostradas acima podem ser desenvolvidas paraoutros modos de opera��o do elo CC e podem ser encontradas na refer�ncia%��&�

A solu��o conjunta dos sistemas CA e do elo CC � relizada de formaiterativa� processando�se alternadamente as equa��es do modelo AC e domodelo CC� considerando�se constantes as vari veis externas do modelos CCe CA� respectivamente� Nos sistemas CA� as vari veis externas consideradass�o as tens�es Ei e Er enquanto que no elo CC essas vari veis s�o Pi� Pr� Qi

e Qr�

��� Transformadores

Na representa��o de transformadores em estudos de regime permanente �usual desprezar�se as resist�ncias dos enrolamentos� as perdas no n�cleo e ain!u�ncia da corrente de magnetiza��o� Desta forma� o transformador � rep�resentado simplesmente por um transformador ideal� com rela��o de transfor�ma��o dada por Np�Ns� em s�rie com sua reat�ncia de dispers�o equivalentext� como mostrado na Figura ����� Esta reat�ncia � obtida atrav�s de ensaiosde curto�circuito nos terminais do transformador�

���������� ����������k m

xtNpNs

Figura ���� Circuito equivalente de transformador

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�� An�lise de Redes El�tricas

Na representa��o em pu� caso as bases de tens�o no prim rio e secund riodo transformador sejam escolhidas com rela��o igual a Np�Ns� o transfor�mador ideal desaparece do circuito equivalente o qual apresenta o aspectomostrado na Figura ���

k mxt�pu�

Figura ��� Circuito equivalente de transformador em por unidade �pu�

����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari�vel sob carga

Suponha uma rela��o de transforma��o gen�rica dada por�

t � Np�Ns � a ej� ������

Dependendo dos valores assumidos por a e � em ������� teremos a seguintecorrespond�ncia com o componente a ser representado�

� � � e a �� � � Transformador com varia��oautomatica de tap sob carga �LTC��"

a � � e � �� � � Transformador defasador��

Do circuito equivalente do transformador mostrado na Figura ���� onde areat�ncia xT foi substituida por uma admit�ncia gen�rica y� temos�

VpI�p � Es��I�s � �����

VpEs

� �I�s

I�p� t ������

�Load Tap Changer� s�o utilizados como elementos de controle de tens�o ou de �uxode reativos�

�Os transformadores defasadores s�o usados para controlar of �uxo de pot�ncia ativaem um circuito�

���������� ����������

y

���� ��������uu

u u u� �

u� �

Vp Es Vs

IsIp t��

Figura ���� Circuito equivalente do transformador

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COPPE�UFRJ �

k mya

��aa� y

a��a y

Figura ��� Circuito equivalente de transformador com varia��o autom ticade tap sob carga

Is � �y�Es � Vs� � �y�Vpt� Vs� ������

Ip �y

t��Es � Vs� �

y

t��Vpt� Vs� ������

as quais podemos reunir na forma matricial

�IpIs

�� y

���tt� ���t����t �

� �VpVs

�������

No caso dos LTC's �� � �� t � a�� temos

�IpIs

�� y

���a� ���a���a �

� �VpVs

�������

e no caso dos transformadores defasadores �a � �� t � ej��� temos

�IpIs

�� y

�� �ej�

�e�j� �

� �VpVs

�������

No caso dos LTC's� a partir da equa��o ������ � poss�vel sintetizar omodelo ��equivalente mostrado na Figura ��� O mesmo n�o � poss�velpara o caso dos transformadores defasadores devido � assimetria da matrizpresente na equa��o �������

����� Transformadores trifsicos

Os transformadores trif sicos� no caso de opera��o em condi��es equili�bradas� utilizam uma representa��o do modelo de sequ�ncia positiva id�ntico�quela mostrada nos itens anteriores�

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�� An�lise de Redes El�tricas

rk m

n

xp xs

xt

f

Figura ���� Circuito equivalente de transformador com tr�s enrolamentos

���� Transformadores com tr�s enrolamentos

Transformadores com tr�s enrolamentos s�o� normalmete� representados porcircuitos em estrela como mostrado na Figura ���� Essa representa��o in�troduz um n� �ct�cio na rede �n� f� o qual n�o existe �sicamente no trans�formador� Os par�metros do circuito equivalente da Figura ��� s�o obtidosa partir dos valores das reat�ncias de dispers�o entre os enrolamentos �xps�xpt e xst� as quais s�o obtidas atrav�s de ensaios de curto�circuito em paresde enrolamentos com o terceiro enrolamento aberto�

Os valores de xp� xs e xt s�o obtidas resolvendo�se o seguinte sistema deequa��es

xp � xs � xps ������

xp � xt � xpt �����

xs � xt � xst ������

�����

de onde resulta

xp ��

��xps � xpt � xst� ������

xs ��

��xps � xst � xpt� ������

xt ��

��xpt � xst � xps� ������

Deve�se notar que� de acordo com ������� ������ e ������� � poss�vel queexistam reat�ncias negativas na representa��o da Figura ����

��� Geradores e Compensadores S�ncronos

O circuito equivalente normalmente usado para representar uma m quinas�ncrona em an lise de regime permanente � uma fonte de tens�o constanteem s�rie com uma imped�ncia como mostrado na Figura ����a�� A Figura����b� apresenta o mesmo circuito equivalente usando uma fonte de corrente

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COPPE�UFRJ ��

i � i ��

��

�a� �b� �c�

Ek IkSk

zg

ygVk VkVk

k k

k

Figura ���� Modelo de gerador ou compensador s�ncrono

em paralelo com uma admit�ncia� A Figura ����c� apresenta o modelo degerador ou compensador s�ncrono normalmente utilizado em estudos de !uxode pot�ncia o qual � derivado do circuito equivalente da m quina s�ncronaatrav�s da rela��o�

Sk � VkI�k � Pk � jQk ������

Usando o modelo da Figura ����c� e equa��o ������� o gerador pode sermodelado como uma fonte de pot�ncia ativa e reativa constantes �Pk e Qk

especi�cados� ou como uma fonte de pot�ncia ativa constante e controladorideal de tens�o �Pk e Vk especi�cados�� Em ambas as situa��es� as vari veisn�o�especi�cadas do modelo� Vk no primeiro caso e Qk no segundo� somentepodem assumir valores em um intervalo �limites operativos�� No caso docompensador s�ncrono� adota�se a segunda formula��o com Pk � ��

�� Bancos de Capacitores e Indutores

Os bancos de capacitores e indutores s�o representados por valores �xos dereat�ncias indutivas ou capacitivas conectadas entre as barras e a refer�nciacomo mostrado na Figura �����

� ���������k k

jblk jbck

�a� �b�

Figura ����� Circuito equivalente de bancos de capacitores e indutores

�� Compensadores Est�ticos

Os compensadores est ticos s�o bancos de capacitores e�ou indutores chavea�dos eletronicamente� A denomina��o est tico vem do fato de� contrariamente

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�� An�lise de Redes El�tricas

� ��������� C

k

L

��

Vc

Ic

Ic

Vc

V�

�a� �b�

IndutorCapacitor

Figura ����� Compensador est tico ideal

ao que acontece com os compensadores s�ncronos� estes dispositivos n�o pos�suirem partes m�veis� Exemplos de compensadores est ticos s�o�

� Reator controlado por tiristores �TCR�"

� Capacitor chaveado por tiristores �TSC�"

� Reator chaveado por tiristores �TSR��

A combina��o de compensadores est ticos com bancos de capacitores e in�dutores chaveados mecanicamente produz os chamados sistemas de compen�sa��o est tica�

O desempenho de um compensador est tico ideal � mostrado na Figura����� As Figuras ���� e ���� mostram as caracter�sticas de funcionamentode um sistema de compensa��o est tica formado por um reator controlado eum capacitor �xo�

Em estudos de !uxo de pot�ncia� os compensadores est ticos s�o mode�lados da seguinte maneira %�&�

� Opera��o entre limites� fonte de tens�o �V�� em s�rie com reat�nciarepresentando a inclina��o da curva caracter�stica �Figura �����c��

� Opera��o fora dos limites� reator�capacitor �xo�

� ��������� C

k

L

�Is

�c�

� �Ck

�Ic

�b�

��������k

L

�IL

�a�

Figura ����� Compensador est tico real composto de reator controlado ecapacitor �xo

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COPPE�UFRJ ��

� �

� �

�V V V

IL IC IS

�c��b��a�

Lmax

Lmin

V�Ks

Figura ����� Caracteristica do compensador est tico composto

��� Cargas

As cargas conectadas a um sistema de pot�ncia s�o formadas por agregadosde milhares de dispositivos tais como motores �de indu��o� na maioria doscasos�� dispositivos de ilumin��o e aparelhos el�tricos em geral� Esses agre�gados s�o geralmente modelados como uma carga concentrada equivalenteem uma barra do sistema de transmiss�o� Nesta carga est�o representados�tamb�m� os efeitos do sistema de subtransmiss�o e distribui��o �linhas� ca�bos� dispositivos de compensa��o de reativos� etc��� A pot�ncia consumidapela carga varia com a tens�o e a frequ�ncia de maneira diferente para osdiversos componentes da mesma�

Em estudos de regime permanente� as cargas s�o geralmente represen�tadas pelos seguintes modelos %��&�

����� Modelo Composto � ZIP

A carga pode ser� tamb�m� representada por um modelo composto comdiferentes propor��es de carga dos tipos imped�ncia� corrente e pot�nciaconstantes� Esse modelo � conhecido como modelo ZIP �Z� impded�ncia� I�corrente e P� pot�ncia� e � de�nido por

P � P�

�p�

�V

V�

��� p�

�V

V�

�� p�

�������

Q � Q�

�q�

�V

V�

��� q�

�V

V�

�� q�

�������

������

onde pi� qi� i � �� �� � s�o pondera��es que de�nem a propor��o de cadacomponente do modelo�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Tabela ���� Modelos de cargas

Expoente Tipo de Carga Modelo

� Pot�ncia Constante P � P�� Corrente Constante P � V P�

V�� V I�

� Imped�ncia Constante P � V � P�V ��� V ��Z�

Tabela ���� Valores t�picos dos expoentes dos modelos de cargas

a b

Grande Motor ��� ���L�mpada Fluorescente ���� ����L�mpada Incandescente �� �

����� Modelo Exponencial

O modelo expenencial para as componentes ativa e reativa da carga � dadopor�

P � P�

�V

V�

�a�����

Q � Q�

�V

V�

�b������

onde P�� Q� e V� s�o valores nominais da carga ativa e reativa e da tens�o eP e Q s�o os valores dessas cargas para a tens�o V �

Dependendo do valor assumido pelos expoentes em ����� e ������ osmodelos t�m o signi�cado f�sico apresentado na Tabela ���� Os componentesreais da carga n�o se ajustam perfeitamente a esses modelos sendo t�picosovalores mostrados na Tabela ����

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COPPE�UFRJ ��

Exerc�cios

�� Para a linha de transmiss�o cujos dados s�o fornecidos a seguir�

�a� Estabele�a o circuito ��equivalente

�b� Calcule a tens�o no teminal receptor para valores crescentes dacarga supondo que a tens�o no terminal transmissor � �xa em ���pu� Considere um valor inicial da carga de ��� ( j � MVA eac�scimos de �� MW mantendo constante o fator de pot�ncia�

Dados da linha�

Base de pot�ncia do sistema� ��� MVAComprimento� �� kmTens�o nominal� �� kVResist�ncia ���km�� �����Reat�ncia indutiva ���km�� �����Suscept�ncia capacitiva �����km�� ���� ����

�� Estabele�a os modelo �em pu� dos transformadores cujos dados s�ofornecidos a seguir para utiliza��o em estudos de !uxo de pot�ncia�

Transformador �� LTC

Capacidade nominal� �� MVATens�o nominal do prim rio� ��� kVTens�o nominal do secund rio� ���� kVReat�ncia de dispers�o equivalente� �� �Base de pot�ncia do sistema� ��� MVAVaria��o de tap sob carga no enrolamento de baixa tens�o� � ���� kVem �� passos

Transformador �� Transformador defasador

Capacidade nominal� ��� MVATens�o nominal do prim rio� ��� kVTens�o nominal do secund rio� ��� kVReat�ncia de dispers�o equivalente� �� �Base de pot�ncia do sistema� ��� MVAVaria��o do defasamento angular� � ��� em �� passos

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�� An�lise de Redes El�tricas

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Cap�tulo �

Fluxo de Pot�ncia

��� Introdu��o

O estudo de !uxo de pot�ncia ou !uxo de carga consiste na solu��o de regimepermanente de uma rede el�trica de pot�ncia para uma dada condi��o decarga e gera��o� A solu��o do !uxo de pot�ncia corresponde a uma situa��ohipot�tica de carga constante a qual nunca acontece na opera��o do sistema�Entretanto� esse tipo de estudo � muito importante para a representa��ode condi��es limites na opera��o da rede tais como a opera��o em cargam xima� carga m�nima� etc�

A condi��o de carga e gera��o � caracterizada pela de�ni��o da cargaativa e reativa em todos os n�s ou barras da rede e correspondentes valoresde gera��o ativa e reativa naqueles n�s onde est�o dispon�veis equipamentosgeradores com excess�o de� no m�nimo� um n� ao qual s�o alocadas as perdasna transmiss�o� Limites na capacidade de componentes do sistema e novalor de algumas vari veis s�o tamb�m representados� assim como certosdispositivos de controle dos !uxos de pot�ncia ativa e reativa do sistema�

Por se tratar de uma solu��o em regime permanente� o problema de!uxo de pot�ncia � modelado por um conjunto de equa��es e inequa��esalg�bricas� Essas equa��es e inequa��es s�o n�o�lineares pelo fato da gera��oe cargas serem� em parte� modeladas como fontes de pot�ncia constante oupor fun��es das tens�es nodais�

O estudo de !uxo de pot�ncia tem aplica��o direta no planejamentoda expans�o� no planejamento da opera��o e no controle em tempo�real dosistema el�trico de pot�ncia� Nessas aplica��es se faz necess ria a obten��ode solu��es de regime permanente da rede para se avaliar o desempenho damesma com rela��o a n�veis de tens�es� !uxos nas linhas� etc�� tanto paraa con�gura��o normal quanto para casos de conting�ncias� O c lculo do!uxo da pot�ncia � tamb�m necess rio como elemento auxiliar em estudosde curto�circuito� estabilidade� otimiza��o� con�abilidade� etc�

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�� An�lise de Redes El�tricas

��� Formula��o do Problema

A formula��o do problema de !uxo de pot�ncia envolve aspectos de mode�lagem da rede de transmiss�o ou distribui��o� das cargas e gera��o e conside�ra��es sobre certas caracter�sticas operativas do sistema� O resultado dessacombina��o resulta em um conjunto de equa��es e inequa��es alg�bricasn�o�lineares�

���� Modelo da Rede

A rede el�trica �� para efeito de estudos de !uxo de pot�ncia� geralmenteconsiderada como sendo constitu�da por elementos trif sicos equilibrados�

�linhas� transformadores� etc��� O mesmo acontece com as cargas e a gera��o�Conseq$entemente� a rede pode ser analisada usando�se uma representa��omonof sica com os par�metros de seq$�ncia positiva�

Os elementos constituintes da rede t�m o formato geral mostrado na Figu�ra ��� e na Tabela ���� Atrav�s desse elemento gen�rico pode�se representarlinhas de transmiss�o� transformadores com ou sem comuta��o autom ticade tap� elementos shunt �reatores� capacitores� etc��� Os transformadoresdefasadores� por introduzirem assimetria na representa��o da rede� n�o seincluem nessa representa��o e devem receber um tratamento especial comovisto no Cap�tulo ��

k mykm

yk ym

Figura ���� Formato geral dos elementos da rede

Os elementos da Figura ��� e Tabela ��� t�m o seguinte signi�cado

ykm � gkm � jbkm � �� zkm �����

zkm � rkm � jxkm �����

onderkm resist�ncia da linha ou transformador"xkm reat�ncia da linha ou transformador"ys suscept�ncia total da linha ou do elemento shunt �reator ou capacitor�"t posi��o do tap do LTC�

�Em algumas aplica��es espec��cas importante a utiliza��o de uma modelagem trifsi�ca da rede eltrica permitindo a representa��o de elementos desequilibrados� Um exemploimportante o caso de redes de distribui��o de energia eltrica�

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COPPE�UFRJ �

Admit�ncia Linha Transformador Shuntgkm

rkmjzkmj�

rkmjzkmj� t �

bkm�xkmjzkmj�

�xkmjzkmj� t �

ykys�

�t��t�jzkmj� z

�km ys

ymys�

���t�jzkmj� z

�km ys

�O valor ser� ys ou zero dependendo do n� onde o elemento est� conectado

Tabela ���� Valor das imped�ncias do elemento gen�rico da rede

A rede constitu�da pelos elementos gen�ricos de�nidos acima �� ent�o�representada pelas Equa��es Nodais�

�I � Y �V �����

onde�I vetor das somas das correntes injetadas nos n�s pelas fontes

de corrente"�V vetor das tens�es nodais"Y matriz admit�ncia nodal� cujos elementos s�o� genericamente�

representados por Ykm � Gkm � �Bkm�

A pot�ncia aparente l�quida injetada em uma barra � relacionada com astens�es em todas as barras da rede atrav�s de

Pk � �Qk � Vk I�k � Vk

�� Xm�k

V �mY �km

�A k � �� �� � n �����

Pk � PGk� PLk ����

Qk � QGk�QLk �����

ondePk pot�ncia ativa l�quida injetada na barra k"Qk pot�ncia reativa l�quida injetada na barra k"PGk

pot�ncia ativa gerada na barra k"QGk

pot�ncia reativa gerada na barra k"PLk pot�ncia ativa consumida na barra k"QLk pot�ncia reativa consumida na barra k"Vk tens�o da barra k"�k conjunto das barras diretamente ligadas a k� incluindo k�

�Uma deriva��o das equa��es nodais pode ser encontrada� por exemplo� em ����

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�� An�lise de Redes El�tricas

���� Tipos de Barras

De�nidas as cargas e as gera��es em cada barra do sistema �condi��o de cargae gera��o� e o modelo da rede �matriz Y�� o problema de !uxo de pot�nciaestaria� em princ�pio� perfeitamente de�nido� Isto n�o acontece devido aofato das perdas n�o serem conhecidas exatamente antes de se conhecer asolu��o do !uxo de pot�ncia� A soma da gera��o em todas as barras dosistema deve ser igual � carga total do sistema mais as perdas� Como estasn�o s�o conhecidas� � necess rio prever uma folga na gera��o de maneiraa acomodar as perdas� Isto � obtido deixando n�o especi�cada a gera��oativa e reativa em pelo menos uma das barras do sistema a qual recebe adesigna��o de Barra Flutuante� Swing ou Slack� Esse fato � ilustrado noexemplo a seguir�

Exemplo ��� Considere o sistema de � barras mostrado na Figura ���� Asequa��es b�sicas do uxo de potncia nesse sistema s�o

PG� � � QG� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

PG� � � QG� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

�PL� � � QL� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

Nas equa��es acima� os elementos de Y e as cargas e gera��es �PG� � QG����� s�o conhecidos� As tens�es nodais � V�� V� e V� s�o as inc�gnitasdo problema� Existem� ainda� duas inc�gnitas impl�citas� as perdas ativas ereativas totais� Sem o conhecimento dessas� n�o � poss�vel �fechar� o balan�ode potncia no sistema� Isso �ca claro na equa��o abaixo correspondente aobalan�o de potncia ativa

PG� � PG� � PL� � PL

onde PL representa as perdas ativas totais do sistema� Para se conhecer osvalores das perdas� entretanto� precisamos conhecer a solu��o do uxo depotncia� Ou seja� para formular corretamente o problema seria necess�rioconhecer a solu��o do problema�

JJJJ

����

��������

� �

Figura ���� Sistema usado no Exemplo ���

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COPPE�UFRJ ��

A solu��o cl�ssica do �dilema� acima consiste na introdu��o do conceitode �Barra Flutuante�� isto �� uma barra onde deixa�se �em aberto� os valoresda potncia ativa e reativa injetadas na rede�� Em termos matem�ticos� istoequivale a retirar uma das equa��es do conjunto acima� Supondo que a barraescolhida como barra utuante seja a de n�mero �� ent�o o novo sistema deequa��es ser�

PG� � � QG� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

�PL� � � QL� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

Nesse novo sistema de equa��es o balan�o de potncia n�o precisa ser atendi�do� A diferen�a ser� suprida por PG� e QG�� Para compensar a diminui��ode uma equa��o� deve�se �xar o valor de uma das inc�gnitas� Por raz�es deordem pr�tica� a tens�o escolhida � a da barra utuante� Nessas condi��es� osistema de equa��es acima pode ser resolvido para as vari�veis V� e V�� Emseguida� podemos calcular as inje��es de potncia ativa e reativa na barrautuante usando a equa��o deixada de fora� ou seja�

PG� � � QG� � V� Y�� V� � Y�� V� � Y�� V� ��

Como mostrado no exemplo anterior� a tens�o �em m�dulo e �ngulo defase� da barra !utuante deve ser especi�cada� isto �� fornecida como um dadopara o problema de !uxo de pot�ncia� Por essa raz�o� e pelo fato das perdastotais serem alocadas � mesma� a barra !utuante deve ser uma barra naqual est conectada um gerador capaz de fornecer pot�ncia � rede e regulara tens�o em seus terminais� Como o �ngulo de fase da tens�o nessa barratamb�m � especi�cado� a tens�o da barra !utuante passa a exercer o papelde refer�ncia angular do sistema� � poss�vel� por�m nem sempre necess rio�utilizar�se mais de uma barra !utuante na formula��o do problema de !uxode pot�ncia� As situa��es que justi�cam a utiliza��o de m�ltiplas barras!utuantes ser�o abordadas em se��es seguintes destas notas de aula�

Al�m da barra !utuante� � usual introduzir�se um outro tipo especial debarra no estudo de !uxo de pot�ncia na qual o m�dulo da tens�o � especi��cado� Esse tipo de barra tem por �nalidade representar a a��o de equipa�mentos com capacidade de regula��o de tens�o �geradores� compensadoress�ncronos e est ticos� etc��� Esse tipo de barra recebe a denomina��o deBarra de Tens�o Controlada� As barras de tens�o controlada tem um papelimportante na determina��o do per�l de tens�o do sistema e� como veremosem se��es seguintes� in!uenciam de forma signi�cativa as caracter�sticas deconverg�ncia dos m�todos de solu��o do !uxo de pot�ncia�

A cada barra do sistema est�o associadas quatro vari veis� Pk� Qk� Vk� ek� Pk e Qk s�o� respectivamente� as componentes ativa e reativa da pot�ncia

�Nos casos prticos� o balan�o de pot�ncia reativa realizado de forma distribu�da pelaintrodu��o das chamadas Barras de Tens�o Controlada� como veremos a seguir�

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�� An�lise de Redes El�tricas

l�quida �gera��o menos carga� injetada na barra� Vk e k s�o� respectivamenteo m�dulo e �ngulo de fase da tens�o na k��sima barra do sistema� As tens�espodem tamb�m ser representadas na forma retangular e� neste caso Vk e kseriam substitu�dos por ek e fk� respectivamente� as partes reais e imagin riasda tens�o�

As quatro vari veis associadas a cada barra da rede est�o relacionadascom as demais vari veis do modelo atrav�s da equa��o ����� a qual de�ne umconjunto de �n �n ) n�mero de barras� equa��es em vari veis reais�� Comoexistem �n vari veis reais� para que o problema de !uxo de pot�ncia tenhasolu��o � necess rio especi�car o valor de �n dessas vari veis� Dependendoda escolha dessas vari veis� as barras do sistema� para efeito de estudo de!uxo de pot�ncia� s�o classi�cados de acordo com a Tabela ���� Nessa tabelatamb�m � apresentada uma denomina��o sint�tica para os diversos tipos debarras �V � PV e PQ� normalmente utilizada na pr tica e baseada nasvari veis especi�cadas em cada tipo de barra�

Tipo Nome Vari veis Vari veis Caracter�sticasEspeci�cadas Calculadas

Flutuante� Usada para o balan�oSlack V Vk� k Pk� Qk de pot�ncia�ou Swing Refer�ncia angular�

Barras de gera��oTens�o ou nas quais existeControlada PV Pk� Vk k� Qk algum dispositivo de

controle de tens�o�Carga PQ Pk� Qk Vk� k Demais barras�

Tabela ���� Tipos de barras

��� Conjunto Bsico de Equa� es

A equa��o ����� pode se reescrita� separando�se as componentes reais e imag�in rias� como

Pk � �� Vk

Xm�k

V �mY �km

� � k � �� �� � n ����

Qk � �� Vk

Xm�k

V �mY �km

� � k � �� �� � n �����

�A formula��o expl�cita dessas equa��es ser apresentada na se��o seguinte

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COPPE�UFRJ ��

Expressando as tens�es em sua forma polar� as equa��es ���� e �����podem ser representadas de forma compacta por

Pk � gpk���v� � VkXm�k

Vm�Gkm cos km �Bkm sen km� �����

Qk � gqk���v� � VkXm�k

Vm�Gkm sen km �Bkm cos km� ������

onde� vetor cujas componentes s�o os �ngulos de fase das tens�es

nodais"V vetor cujas componentes s�o os m�dulos das tens�es

nodais"k �ngulo de fase da tens�o da barra k"Vk m�dulo da tens�o da barra k"

e

km � k � m ������

No caso das tens�es nodais serem espressas em sua forma retangular� asexpress�es seguintes devem ser utilizadas

Pk � g�pk�e� f� �

�Xm�k

ek�Gkmem �Bkmfm� � fk�Gkmfm �Bkmem�� ������

Qk � g�qk�e� f� �

�Xm�k

fk�Gkmem �Bkmfm�� ek�Gkmfm �Bkmem�� ������

ondee vetor cujas componentes s�o a parte real das tens�es

nodais"f vetor cujas componentes s�o parte imagin ria das tens�es

nodais"ek parte real da tens�o da barra k"fk parte imagin ria da tens�o da barra k�

Os principais m�todos de solu��o do problema de !uxo de pot�ncia usa�dos atualmente dividem as equa��es de�nidas em ����� e ������ ou ������ e������ em dois subconjuntos %��&�

� Subconjunto �� cont�m as equa��es relativas �s inje��es de pot�nciaativa e reativa nas barras de carga e as equa��es correspondentes �sinje��es de pot�ncia ativa nas barras de tens�o controlada"

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�� An�lise de Redes El�tricas

� Subconjunto �� reune as demais equa��es� ou seja� aquelas n�o inclu�dasno primeiro subconjunto�

Essa divis�o � utilizado pelo fato de que no Subconjunto � as vari veis aserem calculadas s�o fun��es impl�citas das vari veis especi�cadas� Portanto�existe a necessidade de resolver esse conjunto de equa��es utilizando algumm�todo de solu��o de equa��es alg�bricas n�o�lineares� Isso n�o acontececom as equa��es do Subconjunto � nas quais� ap�s a solu��o do Subcon�junto �� as vari veis a serem calculadas s�o fun��es expl�citas das vari veisconhecidas� Esse fato ser ilustrado atrav�s do seguinte exemplo�

Exemplo ��� Considere o sistema de cinco barras dado na Figura ��� comas respectivas de�ni��es dos tipos de barras� Para esse exemplo� os vetores e v s�o de�nidos por

� � � � � �T

v � V� V� V� �T

A partir dessa de�ni��o de vari�veis� os subconjuntos de equa��es a seremresolvidos s�o estabelecidos como a seguir�

Subconjunto �

P� � gp����V�

P� � gp����V�

Q� � gq����V�

P� � gp����V�

Q� � gq����V�

P� � gp����V�

Q� � gq����V�

Subconjunto �

P� � gp����V�

Q� � gq����V�

Q� � gq����V�

Para efeito de ilustra��o� duas das fun��es utilizadas nas equa��es acimaser�o escritas por extenso�

gp����V� � V �� G�� � V�V��G�� cos �� �B�� sen ��� � V�V��G�� cos ��

� B�� sen ��� � V�V��G�� cos �� �B�� sen ���

gq����V� � �V �� B�� � V�V��G�� sen �� �B�� cos ��� � V�V��G�� sen ��

� B�� cos ��� � V�V��G�� sen �� �B�� cos ���

As fun��es acima foram simpli�cadas observando�se que �� � ��

��� Solu��o do Problema

A solu��o do problema de !uxo de pot�ncia consiste de duas fases�

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COPPE�UFRJ ��

��

��

��

���

�����

����

�V � PQ � PQ

PQ��PV

Figura ���� Sistema usado no exemplo ���

� Solu��o do Subconjunto � de equa��es por um processo iterativo visan�do o c lculo das componentes dos vetores e v"

� Substitui��o dos valores de e v nas equa��es do Subconjunto � como objetivo de se calcular os valores das inje��es l�quidas de pot�nciaativa e reativa na barra !utuante e das inje��es l�quidas de pot�nciareativa nas barras de tens�o contolada�

Devido � necessidade de se representar os limites operativos dos componentesdo sistema e dispositivos de controle� nos casos pr ticos existe� ainda� anecessidade de se realizar ajustes e mudan�as de vari veis durante o processode solu��o� Esses ajustes correspondem � implementa��o das inequa��espresentes na formula��o do problema de !uxo de pot�ncia como citado noin�cio desse cap�tulo� Esse fato ser descrito em se��es seguintes destas notasde aula�

��� M todos de Solu��o

Os m�todos de solu��o de !uxo de pot�ncia %��& podem ser classi�cados emtr�s categorias as quais� em ordem cronol�gica de aparecimento na literatura�s�o

�� M�todos Usando a Matriz YEsses m�todos s�o baseados na solu��o iterativa do sistema de equa��esde�nido em ������ A partir dos valores especi�cados das inje��es depot�ncia ativa e reativa e de uma estimativa inicial das tens�es nodais�calcula�se o vetor de correntes injetadas� A substitui��o desse vetor em����� produzir o novo valor das tens�es e assim sucessivamente� Dentreos algoritmos que utilizam Y� o mais conhecido � o de Gauss�Seidelque ser descrito na se��o seguinte� A converg�ncia desse m�todo �

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�� An�lise de Redes El�tricas

bastante lenta devido � fraca intera��o entre as vari veis �Y � esparsa�e �s vezes bastante dif�cil em sistemas mal�condicionados�

�� M�todos Usando a Matriz Z Para contornar os problemas de converg�n�cia dos m�todos baseados em Y foram testados� com sucesso� esquemasiterativos utilizando sua inversa Z� Esses m�todos t�m converg�nciar pida e con� vel para a maioria dos problemas pr ticos por�m intro�duzem o problema de se montar e armazenar a matriz Z� Al�m disso�o tratamento de barras de tens�o controlada � di�cil e ine�ciente doponto de vista computacional�

�� M�todo de Newton�RaphsonO m�todo de Newton�Raphson para solu��o de equa��es alg�bricasn�o lineares � um m�todo cl ssico de reconhecida e�ci�ncia no c lculonum�rico� Sua aplica��o na solu��o do problema de !uxo de pot�nciasomente tornou�se pr tica com a introdu��o dos m�todos de solu��ode sistemas de equa��es lineares com matrizes de coe�cientes esparsaspor fatoriza��o triangular otimamamente ordenada� %�� ��&� A partirdessa id�ia b sica� diferentes vers�es de algoritmos para o problemade !uxo de pot�ncia� baseados no m�todo de Newton�Raphson� foramdesenvolvidos e s�o considerados atualmente os mais e�cientes parasolu��o desse problema�

���� Crit�rio de Precis�o da Solu��o

Para se interromper o processo iterativo de solu��o do !uxo de pot�ncia �necess rio de�nir um crit�rio ou regra de parada o qual medir qu�o pr�ximoda solu��o exata se encontram os valores presentes das tens�es nodais�

O crit�rio normalmente utilizado na pr tica � o do Res�duo de Pot�ncia�Power Mismatches� o qual � de�nido por

Pk � P espk � gpk���V� k � �PQ �PV ������

Qk � Qespk � gqk���V� k � �PQ �����

onde�PQ conjunto das barras PQ"�PV conjunto das barras PV "P espk pot�ncia ativa l�quida especi�cada na barra k"

Qespk pot�ncia reativa l�quida especi�cada na barra k"�

�Esses mtodos s�o apresentados no Ap�ndice A dessas notas�

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COPPE�UFRJ �

O processo iterativo deve ser terminado quando�

k pk� �p ������

k qk� �q �����

onde

p �h P� P� � � �

iT������

q �h Q� Q� � � �

iT������

e �p e �q s�o toler�ncias tipicamente no intervalo de ���� a �� MW�MVAR�Em alguns m�todos de solu��o� por exemplo no m�todo de Gaus�Seidel�

onde o c lculo dos Res�duos de Pot�ncia implicaria em um aumento excessivode tempo por itera��o� testes baseados na varia��o do valor das tens�es s�outilizados�

���� M�todo de Gauss�Seidel

O m�todo de Gauss�Seidel para solu��o do !uxo de pot�ncia � um dos maisantigos encontrados na literatura� Sua import�ncia atual � apenas hist�ricae did tica pois� para sistemas de grande porte� sua e�ci�ncia computacional� muito inferior ao m�todo de Newton�Raphson�

O m�todo � formulado em termos de vari veis complexas e n�o utilizaa divis�o em subconjuntos descrita na se��o anterior� Suponha inicialmenteque todas as barras s�o do tipo PQ �carga� exceto� obviamente� a barra!utuante� Neste caso o algoritmo de Gauss�Seidel � derivado diretamente de����� e dado por

V i��k �

Ykk

��P esp

k � jQespk

� V ik �� �

k��Xm��

V i��m Ykm �

nXm�k��

V imYkm

��

k � �� � n� k �� �utuante ������

onde i � o contador de itera��es� A veri�ca��o da converg�ncia � realizadaatrav�s do m�dulo da diferen�a entre as componentes dos vetores das tens�esentre itera��es� isto �� o processo iterativo termina quando

k V i��k � V i

kk� �v

onde �v � a precis�o desejada no m�dulo das tens�es�

�A norma in�nita de um vetor de�nida como

kxk� � maxijxij

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�� An�lise de Redes El�tricas

O m�todo de Gauss�Seidel pode� tamb�m� ser formulado em formatomatricial como a seguir

I� �V� � Y �V ������

onde I � um vetor cujas componentes s�o dadas por

Ik� �V� �Pk � �Qk

V �k

� k � �� � n ������

A equa��o matricial ������ de�ne um conjunto de equa��es quase�linearesapesentando uma fraca n�o�linearidade diagonal representada pela depend�n�cia dos valores das correntes injetadas nas barras da rede em rela��o � tens�odessas mesmas barras� Para um dado valor de �v� por exemplo� o valor da ite�ra��o anterior� o sistema de equa��es ������ passa a ser um sistema linear oqual pode ser resolvido por qualquer um dos m�todos descritos no Ap�ndiceA� Em particular� pode�se utilizar um m�todo de fatora��o �LU� por exem�plo� no qual trabalha�se com a inversa impl�cita de Y� ou seja� Z� Essa � aforma usual de se implementar um m�todo de solu��o do !uxo de pot�nciausando a matriz Z�

Em uma barra PV os c lculos s�o um pouco diferentes desde que a inje��ode pot�ncia reativa n�o � especi�cada e o m�dulo da tens�o deve ser mantidoem um valor constante V esp� Devido a limita��es no equipamento geradorde reativos� a inje��o de reativos Qk em uma barra PV deve ser mantidaentre limites Qmin

k e Qmaxk �

Para simular essa situa��o� Qespk � substituido em cada itera��o por um

valor calculado por

Qcalk � �

� Vk

Xm�k

V �mY �km

� � ������

Com este valor de Qcalk � a tens�o V i��

k � calculada usando�se ������� Co�mo o m�dulo dessa tens�o deve ser mantido igual a V esp

k � as partes reais eimagin rias de V i��

k s�o ajustadas para satisfazer essa condi��o mantendo�se� por�m� o �ngulo de fase calculado� Esse processo � representado pelasequa��es

i��k � arctanf i��k

ei��k

������

V i��k � V esp

k cos i��k � � V espk sen i��k �����

onde f i��k e ei��k s�o� respectivamente� as partes real e imagin ria da tens�ona barra k calculadas na itera��o i� antes do ajuste�

Para se levar em considera��o os limites na inje��o de reativos� � utiliza�da uma estrat�gia de mudan�a de tipo de barra� sempre que a inje��o dereativos ultrapassar um dos limites� essa inje��o � �xada em um valor igual

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COPPE�UFRJ �

ao limite violado e a barra passa a ser tratada como uma barra de carga�Essa estrat�gia � resumida a seguir

Se Qcalk � Qmax

k �� Qcalk � Qmax

k

Se Qcalk Qmin

k �� Qcalk � Qmin

k

�� �� k �� fbarra PQg ������

Se nas itera��es seguintes Qk retornar a um valor entre os limites� ent�o abarra k volta a ser tratada como uma barra do tipo PV�

Exemplo ��� Suponha que no sistema da Figura ��� as barras s�o dosseguintes tipos� barra � � V � barra � � PV e barra � � PQ� Ent�o�algoritmo de Gauss�Seidel �

V i��� �

Y��

�P esp� � ��Qcal

� �i

� V i� �� � V�Y�� � V i

�Y��

V i��� �

Y��

�P esp� � �Qesp

� V i� �� � V�Y�� � V i��

� Y��

�Qcal� �i�� � �

nV i���

�V�Y�� � V i��

� Y�� � V i��� Y��

��o

onde i � o contador de itera��es e V�� Pesp� � P esp

� � Qesp� e V esp

� s�o dados�

��� M�todo de Newton�Raphson

O m�todo de Newton�Raphson� para o c lculo das ra�zes de uma equa��oalg�brica n�o�linear� baseia�se em lineariza��es sucessivas da fun��o a partirde uma condi��o inicial arbitr ria� Suponha a equa��o

f�x� � � �����

A expans�o pela s�rie de Taylor� e posterior elimina��o dos termos de ordemmaior ou igual a dois� produz

f�x� � f�x�� � f ��x��x� x�� ������

de onde se obtem

x � x� � f�x��

f ��x��������

O valor de x calculado por ������ � uma aproxima��o da solu��o de ����� aqual pode ser melhorada promovendo�se nova lineariza��o de f�x� em torno

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�� An�lise de Redes El�tricas

x

f�x�

�����

�� �

x

f�x�

x�x�x�x�

�b��a�

x�x�x�x�

Figura ���� Solu��o de equa��o n�o�linear pelo m�todo de Newton�Raphson

desse novo valor e assim por diante� O processo iterativo pode ser sintetizadona express�o

xi�� � xi � f�xi�

f ��xi�i � �� �� ������

A �gura ��� �a� ilustra este processo gra�camente� Na �gura ��� �b� � mostra�do que o processo pode convergir mesmo que f ��xi� seja mantida igual af ��x��� Esse valor pode at� ser diferente de f

�x�� desde que conveniente�mente escolhido�

O caso n�dimensional pode ser obtido como uma extens�o do anterior�Suponha a equa��o

f�x� � � ������

onde

f��� �hf���� f���� � � � fn���

iTx �

hx� x� � � � xn

iTA expans�o em s�rie de Taylor dessas fun��es produz

f��x� � f��x�� � �f��x�

�x�

��x�x� x

�� � � � �� �f��x�

�xn

��x�x� x

�n � �

f��x� � f��x�� � �f��x�

�x�

��x�x� x

�� � � � �� �f��x�

�xn

��x�x� x

�n � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

fn�x� � fn�x�� � �fn�x�

�x�

��x�x� x

�� � � � �� �fn�x�

�xn

��x�x� x

�n � �

������

ou em forma compacta

f�x�� � J�x�� x� � � ������

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COPPE�UFRJ ��

onde J�x�� � a matriz Jacobiana� associada ao sistema ������ calculada noponto x��

O processo iterativo no caso n�dimensional � dado� ent�o� por

xi�� � xi � xi ������

xi � �hJ�xi�

i��f�xi� �����

O processo iterativo termina quando kf�xi�k� � onde � � um valor quedetermina a toler�ncia aceit vel no erro cometido na solu��o�

� poss�vel demonstrar que o m�todo de Newton�Raphson apresenta umataxa de converg�ncia quadr tica� isto �� a norma do vetor de res�duos f�xi�diminui com o quadrado do n�mero de itera��es� Isto signi�ca que o m�to�do converge rapidamente para a solu��o� Entretanto� essa converg�ncia �fortemente dependente das condi��es iniciais �x��� Caso a condi��o inicialn�o esteja contida em uma regi�o pr�xima da solu��o procurada �regi�o deatra��o� o processo iterativo poder convergir para outra solu��o ou n�oconvergir�

Aplica�o ao Fluxo de Pot�ncia em Coordenadas Polares

Neste caso o sistema de equa��es a ser resolvido� extra�do de ������ e ������� dado por

Pk � P espk � gpk���V� � �� k � �PQ �PV ������

Qk � Qespk � gqk���V� � �� k � �PQ �����

O algoritmo iterativo � dado por��i��

Vi��

��

��i

Vi

��

� �i

Vi

�������

� Pi

Qi

��

�Hi Ni

Mi Li

� � i

vi

�������

onde P e Q s�o os vetores dos res�duos de pot�ncia ativa e reativa� respec�tivamente� e as submatrizes Hi� Ni� Mi� e Li t�m o seguinte signi�cado

�A matriz Jacobiana� ou o Jacobiano� de uma fun��o f � IRn � IRn de�nida como

J�x� �

����

�f��x�

�x�

�f��x�

�x�� � � �f��x�

�xn�f��x��x�

�f��x��x�

� � � �f��x��xn

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��fn�x��x�

�fn�x��x�

� � � �fn�x��xn

����

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�� An�lise de Redes El�tricas

Hi ��gpk �

i�Vi�

� Ni ��gpk �

i�Vi�

�V

Mi ��gqk �

i�Vi�

� Li ��gqk �

i�Vi�

�V

As componentes de H� N� M� e L s�o dadas por

Hkm ��Pk�m

� VkVm�Gkm sen km �Bkm cos km�

Hkk ��Pk�k

� �V �k Bkk � Vk

Xm�k

Vm�Gkm sen km �Bkm cos km�

Nkm ��Pk�Vm

� Vk�Gkm cos km �Bkm sen km�

Nkk ��Pk�Vk

� VkGkk �Xm�k

Vm�Gkm cos km �Bkm sen km� ������

Mkm ��Qk

�m� �VkVm�Gkm cos km �Bkm sen km�

Mkk ��Qk

�k� �V �

k Gkk � VkXm�k

Vm�Gkm cos km �Bkm sen km�

Lkm ��Qk

�Vm� Vk�Gkm sen km �Bkm cos km�

Lkk ��Qk

�Vk� �VkBkk �

Xm�k

Vm�Gkm sen km �Bkm cos km�

Os elementos Hkk� Nkk� Mkk e Lkk podem� ainda� ser colocados em fun��odas inje��es de pot�ncia ativa e reativa na barra k como a seguir

Hkk � �Qk � V �k Bkk

Nkk � �Pk � V �k Gkk��Vk

Mkk � Pk � V �k Gkk

Lkk � �Qk � V �k Bkk��Vk ������

Em geral� os elementos de v s�o divididos pelo valor das respectivas tens�es

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COPPE�UFRJ ��

para produzir termos similares emM e L� Neste caso ������ assume a forma�

� Pi

Qi

��

�Hi �N��i

Mi �L��i

� � �i

Vi�Vi

�������

onde os elementos de N� e L� s�o iguais aos de N e L multiplicados pelom�dulo das respectivas tens�es�

O m�todo de Newton�Raphson em coordenadas polares pode ser sinteti�zado no algoritmo� da Figura ��� Nesse algoritmo� os limites de gera��ode pot�ncia reativa em barras PV s�o tratados pela troca do tipo de barra�PV� PQ� sempre que um dos limites for ultrapassado� de maneira similarao procedimento adotado no m�todo de Gauss�Seidel� Neste caso� entre�tanto� essa modi�ca��o implica na altera��o da estrutura dos Subsistemasde equa��es � e �� ou seja� na inclus�o ou exclus�o de equa��es relativas �corre��o do m�dulo da tens�o e ao res�duo de pot�ncia reativa na barra emquest�o nos sistemas de equa��es de�nidas em ������ e �������

Inicialize os vetores e vFa�a�enquanto k pk� � �p e k qk� � �q

Calcule p e qCalcule o Jacobiano de�nido em ������Fatore o JacobianoResolva ������ obtendo e vAtualize o valor das tens�es atrav�s de

� v v � v

Implemente ajustes e controlesFim Fa�a�enquanto

Figura ��� Algoritmo de Newton�Raphson para solu��o do !uxo de pot�ncia

Aplica�o ao Fluxo de Pot�ncia em Coordenadas Retangulares

A vers�o do algoritmo de Newton�Raphson representando as tens�es em co�ordenadas retangulares � menos usada que aquela em coordenadas polares

Na equa��o ������ utilizada a nota��o �V�V para signi�car a divis�o de cadacomponentes de �V pelas respectivas components de V� Essa nota��o n�o correta deum ponto de vista estritamente matemtico porm usual na literatura sobre �uxo depot�ncia�

�Tcnicas de fatora��o de matrizes usadas na solu��o de sistemas de equa��es linearesassim como mtodos de implementa��o de ajustes e controles referidas nesse algoritmoser�o introduzidas em se��es seguintes dessas notas de aula�

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�� An�lise de Redes El�tricas

por incluir um n�mero maior de equa��es e por ser ligeiramente menos con�� vel� Neste caso o sistema de equa��es a ser resolvido� extra�do de ������ e������� � dado por

Pk � P espk � g�pk�e� f� � �� k � �PQ �PV ������

Qk � Qespk � g�qk�e� f� � �� k � �PQ ������

Vk � V espk � �ek � fk�

�� � �� k � �PV �����

O algoritmo iterativo � dado por�ei��

f i��

��

�ei

f i

��

� ei

f i

�������

��� Pi

Qi

Vi

��� �

��� J� J�J� J�J� J

���� ei

f i

������

Nas equa��es acima� os vetores e� f � P� Q e V t�m as componentes com os�ndices de�nidos como em ������ a ������

Exemplo ��� Para o sistema da Figura ���� o sistema de equa��es linearesa ser resolvido em cada itera��o do m�todo Newton�Raphson em coordenadaspolares �

������������

P� P� Q�

P� Q�

P� Q�

������������

������������

H�� j H�� N�

�� j j H�� N�

��

H�� j H�� N�

�� j H�� N�

�� jM�� j M�� L

�� j M�� L�

�� jj H�� N

�� j H�� N�

�� j H�� N�

��

j M�� L�

�� j M�� L�

�� j M�� L�

��

H�� j j H�� N�

�� j H�� N�

��

M�� j j M�� L�

�� j M�� L�

��

������������

������������

� �

V��V� �

V��V� �

V��V�

������������

O agrupamento dos elementos de H� N � M e L em blocos facilita a constru���o e fatora��o do Jacobiano�

���� M�todo Desacoplado Rpido

O m�todo de solu��o do problema de !uxo de pot�ncia conhecido como De�sacoplado R pido� desenvolvido por Stott e Alsac %��&� � derivado do m�todode Newton�Raphson pela introdu��o de duas aproxima��es�

� Ado��o de Jacobiano constante durante o processo iterativo"

� Desacoplamento das equa��es dos !uxos de pot�ncia ativa e reativadesprezando�se as submatrizes N e M da formula��o polar�

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COPPE�UFRJ ��

Ambos artif�cios j haviam sido utilizados anteriormente por outros pes�quisadores� na tentativa de tornar mais e�ciente o algoritmo de Newton�Raphson� sem grande sucesso� Neste caso� por�m� obteve�se um m�todoextremamente e�ciente devido a uma s�rie de simpli�ca��es adicionais in�troduzidas pelos autores as quais re!etem caracter�sticas f�sicas das redesel�tricas�

Suponha a formula��o b sica do algoritmo de Newton�Raphson dada por������� Devido � fraca intera��o existente entre as inje��es de pot�ncia ativae os m�dulos das tens�es e entre as inje��es de pot�ncia reativa e os �ngulosde fase das tens�es� os elementos de M e N s�o muito menores que os de He L��� Essas submatrizes podem� ent�o� ser desprezadas resultando em doissistemas independentes de equa��es dados por

P � H �

Q � L��VV

������

Estas equa��es podem� ainda� ser mais simpli�cadas se for levado em conside�ra��o o fato de que� particularmente em sistemas de transmis�o em EAT eUAT��� as rela��es abaixo s�o validas

cos km � ��

Gkm sen km � Bkm

Qk � BkkV�k

������

As duas primeiras rela��es em ������ s�o justi�cados pelo fato da rela��oBkm�Gkm ser elevada em linhas de transmiss�o em EAT e UAT� Essa re�la��o � geralmente maior que para linhas de ��� kV e pode atingir valoresda ordem de �� para linhas de �� kV� A terceira rela��o � justi�cado pe�lo fato das reat�ncias shunt �cargas� reatores� capacitores� shunt das linhas�etc�� serem� em geral� muito maiores que a reat�ncia s�rie de linhas e trans�fomadores�

Introduzindo as aproxima��es sugeridas por ������ nas express�es de He L

� obt�m�seHkk � L�kk � �V �

k Bkk

Hkm � L�km � �VkVmBkm

�����

��O fraco acoplamento entre as varia��es nos �ngulos de fase das tens�es e o �uxo depot�ncia reativa� assim como entre o m�dulo das tens�es e o �uxo de pot�ncia reativa� uma caracter�stica f�sica dos sistemas de pot�ncia utilizada correntemente na opera��odesses sistemas e re�etido no modelo matemtico do problema de �uxo de pot�ncia pelosvalores relativos dos elementos das submatrizes do Jacobiano�

��EAT� Extra Alta Tens�o� UAT� Ultra Alta Tens�o�

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�� An�lise de Redes El�tricas

As express�es linearizadas e desacopladas de Res�duos de Pot�ncia s�o dadas�ent�o� por�

���� P� P�� � � Pn

����� � �

�����V �� B�� V�V�B�� � � � V�VnB�n

V�V�B�� V �� B�� � � � V�VnB�n

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �V�VnB�n V�VnB�n � � � V �

nBnn

����������

� �� � � n

����� �����

�����

Q�

Q�

� � � Qn

����� � �

�����V �� B�� V�V�B�� � � � V�VnB�n

V�V�B�� V �� B�� � � � V�VnB�n

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �V�VnB�n V�VnB�n � � � V �

nBnn

����������

V��V� V��V�� � �

Vn�Vn

����������

ou ainda�����

P��V� P��V�� � �

Pn�Vn

����� � �

�����V�B�� V�B�� � � � VnB�n

V�B�� V�B�� � � � VnB�n

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �V�B�n V�B�n � � � VnBnn

����������

� �� � � n

����������

�����

Q��V� Q��V�� � �

Qn�Vn

����� � �

�����B�� B�� � � � B�n

B�� B�� � � � B�n

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �B�n B�n � � � Bnn

����������

V� V�� � � Vn

����� �����

Como o m�dulo das tens�es nodais t�m pouca in!u�ncia no !uxo depot�ncia ativa� n�o se comete grande erro aproximando�se o valor das tens�esnos elementos da matriz do sistema de equa��es ����� por ��� pu� Nestecaso obtem�se

P�V � B� � ����

Q�V � B�� V �����

onde B� e B�� diferem apenas com rela��o �s equa��es das barras de tens�ocontrolada� Os elementos dessas matrizes s�o as componentes imagin riasdos elementos correspondentes de Y� Alguma melhora no desempenho dom�todo � obtida desprezando�se a resist�ncia de linhas e transformadores noc lculo dos elementos de B�� Neste caso� os elementos de B� e B�� seriamdados por

B�km � ���xkm B�

kk �Xm�k

��xkm

B��km � �Bkm B��

kk � �Bkk

����

Aproxima��es adicionais que melhoram o desempenho do m�todo po�dem ser introduzidas excluindo�se da representa��o de B� e B�� os elementos

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COPPE�UFRJ �

da rede que afetam primordialmente os !uxos de pot�ncia ativa e reativa�respectivamente� Assim� no c lculo de B� n�o s�o inclu�dos suscept�nciasshunt e transformadores defasadores�

As matrizes B� e B� s�o reais� sim�tricas �com excess�o de B� no caso deincluir transformadores defasadores� e dependem apenas dos par�metros darede� Portanto� devem ser fatorados apenas uma vez no in�cio do processoiterativo�

O m�todo Desacoplado R pido pode ser sintetizado no algoritmo daFigura ���� Nesse algoritmo� a solu��o dos sistemas de equa��es linearesdesacoplados de�nidos em ���� e ����� � realizada de forma seq$encialiniciando�se pelo sistema de equa��es correspondente � parte ativa� A raz�oda escolha dessa ordem est relacionada � usualmente fraca n�o�linearidadeassociada �s equa��es do !uxo de pot�ncia ativa� Dessa forma� na primeiraatualiza��o dos valores dos �ngulos de fase das tens�es j se tem uma boaaproxima��o da solu��o para essas vari veis e� portanto� pode�se calcular�na seq$encia� um valor mais preciso dos res�duos de pot�ncia reativa�

Nesse algoritmo� a modi�ca��o da estrutura das equa��es de�nidas em���� e ������ para representar uma eventual troca de tipo de barra orig�inada por viola��o no limite de inje��o de reativos� implica em uma no�va fatora��o da matriz B��� Esse procedimento exige um esfor�o computa�cional consider vel� Em se��es seguintes� ser�o apresentadas outras formasde garantir uma solu��o do problema sem a necessidade de refatora��o�

Inicialize os vetores e vCalcule B� e B��

Fatore B� e B��

Fa�a �p � � e �q � �Fa�a�enquanto �p � � ou �q � �

Calcule pSe k pk� �p ent�o �p � �Se �p � � e �q � � ent�o PAREResolva ���� obtendo Atualize o valor dos �ngulos� � Calcule qSe k qk� �q ent�o �q � �Se �p � � e �q � � ent�o PAREResolva ����� obtendo vAtualize o valor dos m�dulos� v v � vImplemente ajustes e controles

Fim Fa�a�enquanto

Figura ���� Algoritmo do m�todo Desacoplado R pido

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�� An�lise de Redes El�tricas

��� Controles e Limites na Solu��o do Fluxo de

Pot�ncia

Os principais tipos de controles representados nos estudos de !uxo de pot�n�cia s�o�

� M�dulo da tens�o por inje��o de reativos �local ou remota�"

� M�dulo da tens�o por ajuste de taps"

� Fluxo de pot�ncia ativa usando transformadores defasadores"

� Controle de interc�mbio entre reas�

Os principais tipos de limites normalmente implementados nos programasde !uxo de pot�ncia s�o�

� Inje��o de pot�ncia reativa em barras PV"

� M�dulo da tens�o em barras PQ"

� Posi��o de taps de transformadores"

� Fluxo de pot�ncia nos ramos da rede�

���� M�todos de Implementa��o

�� Classi�ca�o do Tipo de Barra� Os controles e limites s�o imple�mentados pelo estabelecimento de tipos especiais de barras na formu�la��o do problema de !uxo pot�ncia� Durante o processo iterativo desolu��o das equa��es pode ocorrer a mudan�a do tipo de barra paraacomodar situa��es onde algumas vari veis atingem seus limites� Umexemplo t�pico j mencionado neste cap�tulo � o das barras de tens�ocontrolada �barras PV��

�� Ajustes Alternados� Consiste na reliza��o de ajustes nas vari veisde controle entre as itera��es da solu��o do Subsistema I� A vari vel aser controlada � mantida constante durante o c lculo de uma itera��oe ajustando entre as itera��es pela f�rmula�

yi � � xi � ��xesp � xi� �����

ondex� vari vel a ser controlada �dependente�"y� vari vel de controle �independente�"�� rela��o de sensibilidade entre x e y"xesp� valor especi�cado para x�

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COPPE�UFRJ �

�� Inclus�o de Vari�veis e Equa�es� Neste procedimento� vari veise equa��es adicionais s�o inclu�das nas equa��es do Subsistema I pararepresentar a a��o de dispositivos de controle e limitar o valor de algunspar�metros�

Detalhes relativos � implementa��o de limites e con�troles nos algoritmos e solu��o do !uxo de pot�nciapodem se encontrados em A� Monticelli� Fluxo de Car�ga em Redes de Energia El�trica� Ed� Edgar Bl$cher������ cap� �

�� C�lculo de Perdas e Fluxos de Pot�ncia Ativa

e Reativa

Ap�s a converg�ncia do processo iterativo de solu��o das equa��es e in�equa��es modelando o problema de !uxo de pot�ncia� as perdas e os !uxosde pot�ncia ativa e reativa em todos os ramos da rede devem ser calcula�dos� As perdas e os !uxos s�o fun��es das tens�es nodais nos terminais doselementos e dos par�metros dos mesmos�

As seguir s�o apresentadas express�es gerais para o c lculo dos !uxosnos v rios elementos da rede� Os !uxos de pot�ncia ativa e reativa em umelemento conectado entre as barras k e m s�o dados por

fPkm � �akmVk��gkm � �akmVk� Vm gkm cos �km � �km�

��akmVk� Vm bkm sen �km � �km� �����

fQkm � ��akmVk���bkm � ys�� �akmVk� Vm gkm sen �km � �km�

��akmVk� Vm bkm cos �km � �km� ������

As express�es dadas em ����� e ������ podem ser particularizadas para osdiversos elementos da rede como de�nido a seguir�

� Linhas de transmiss�o� akm � � e �km � �"

� Transformadores com tap �xo� akm � �� ys � � e �km � �"

� Transformadores com varia��o autom tica de tap sob carga �LTC's��ys � � e �km � �"

� Transformadores defasadores� akm � � e ys � ��

As perdas no elemento da rede podem ser calculadas somando�se os !uxosnos dois terminais da mesma� Para o caso de linhas de transmiss�o� as perdas

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�� An�lise de Redes El�tricas

s�o dadas por�

LPkm � fPkm � fPmk

� gkm �V �k � V �

m � �Vk Vm cos km� ������

LQkm � fQkm � fQmk

� ��bkm � ys� �V�k � V �

m� � �Vk Vm bkm cos km ������

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COPPE�UFRJ ��

Problemas

�� Estabele�a os dois subsistemas de equa��es utilizados na solu��o do!uxo de pot�ncia pelo m�todo de Newton�Raphson para o sistemada �gura abaixo� Indique como seriam resolvidos esses subsistemas�Assuma conhecidos os par�metros dos componentes que considere ne�cess rios�

����

SVC

� �

�� Para a rede da �gura abaixo� considerando a barra � como barra !utu�ante� use os seguintes m�todos para calcular duas itera��es da solu��odo !uxo de pot�ncia

�a� Gauss�Seidel"

�b� Newton�Raphson"

�c� Desacoplado R pido�

Dados Barras �pu�

Barra Gera��o Carga Limite Tens�oGer� Reat� Esp�

� � � � � � ���

� ��� � � � ��� ���

� � � ��� ��� � �

Dados de Ramos �pu�

Barra Resist�ncia Reat�ncia Suscept�nciade para

� � � ��� �

� � � ��� �

� � � ��� �

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� An�lise de Redes El�tricas

����

����� �

�� No sistema abaixo� a tens�o nos terminais dos geradores � mantidaigual � tens�o nominal ���� pu�� Calcule a defasagem angular entre astens�es nas barras � e � usando o M�todo de Newton�Raphson parasolu��o do problema de !uxo de pot�ncia�

����� �

����

��

� �

ya � �� � � � pu

yb � �� � � � pu

��� MW ��� MW

�� MVAR� MVAR SBASE � ��� MVA

��� MW

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Cap�tulo �

Fluxo de Pot�ncia Linearizado

Os sistemas de energia el�trica� em condi��es normais de opera��o� apresen�tam um per�l de tens�o plano� isto �� o m�dulo das tens�es nos barramentosest�o pr�ximas de seu valor nominal ���� pu� o que faz com que o !uxo depot�ncia reativa nas linhas e transformadores seja pequeno� Desta forma�o !uxo de pot�ncia nos ramos da rede �� praticamente� constitu�do apenaspelo !uxo de pot�ncia ativa� Al�m disso� as perdas no sistema de transmis�s�o s�o relativamente pequenas� Por essas raz�es� � comum utilizar�se emv rias aplica��es a formula��o linearizada do modelo de !uxo de pot�ncia�ou !uxo de pot�ncia DC��� Nessa formula��o� os m�dulos das tens�es s�oconsiderados iguais a ��� pu e os transformadores com tap vari vel s�o con�siderados operando em sua posi��o nominal� As vantagens dessa formula��os�o a robustez e os baixos requisitos computacionais para sua solu��o�

��� Equa��es B�sicas

O !uxo de pot�ncia ativa em uma linha de transmiss�o em corrente alterna�da� ou em um transformador com tap �xo� � dado pela seguinte express�o�como mostrado na se��o ����

fkm � V �k gkm � VkVmgkmcoskm � VkVmbkmsenkm �����

onde

gkm �rkm

r�km � x�km� bkm �

�xkmr�km � x�km

�����

onde

fkm� !uxo de pot�ncia ativa na linha conectada entre as barras k e m�saindo da barra k em dire��o � barra m"

�A denomina��o DC decorre do fato das equa��es do modelo de �uxo de pot�ncialinearizado serem semelhantes �s equa��es de um circuito de corrente cont�nua� Essemodelo n�o inclui a representa��o de linhas de transmiss�o em corrente cont�nua�

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� An�lise de Redes El�tricas

Vk� m�dulo da tens�o na barra k"km� defasagem angular entre as tens�es das barras k e m"rkm� resist�ncia s�rie da linha"xkm� reat�ncia s�rie da linha�

Desprezando�se as perdas �rkm � ��� e considerando

Vk � Vm � ��� senkm � km� bkm � ���xkm� �����

o !uxo de pot�ncia na linha pode ser aproximado por

fkm �kmxkm

�k � mxkm

�����

onde k e m s�o os �ngulos de fase das tens�es nas barras k e m� respec�tivamente� em rela��o � tens�o de uma das barras da rede tomada comorefer�ncia�

No caso dos transformadores defasadores� o !uxo de pot�ncia ativa �dado por

fkm � V �k gkm � VkVmgkmcos�km � �km�� VkVmbkmsen�km � �km� ����

onde �km � a defasagem angular introduzida pelo transformador defasador�Introduzindo�se as mesmas aproxima��es utilizadas no caso de linhas de

transmiss�o� o !uxo de pot�ncia ativa no transformador � dado� aproximada�mente� por

fkm �km � �km

xkm�����

��� Formula��o Matricial

Considerando inicialmente apenas linhas de transmiss�o e transformadoresem fase� a inje��o l�quida de pot�ncia ativa em uma barra da rede � dadapor

Pk �Xm��

k

kmxkm

� k � �� � n ����

onde

��k� conjunto das barras diretamente conectadas � barra k"n� n�mero de barras da rede�

A equa��o ���� pode ser escrita como a seguir

Pk �

�� Xm��

k

xkm

�A k �

Xm��

k

�� �

xkmm

�� k � �� � n �����

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COPPE�UFRJ �

Figura ���� Modelo do transformador defasador

Desta forma� pode�se chegar � representa��o matricial

�P � �B�� �����

onde�P� vetor cujas componentes s�o as inje��es l�quidas de pot�ncia ativaem todas as barras da rede"��� vetor cujas componentes s�o os �ngulos de fase das tens�es emtodas as barras da rede em rela��o � tens�o da barra de refer�ncia"�B� matriz de dimens�o n� n cujos elementos s�o dados por

Bkm ���xkm

� Bkk �Xm��

k

xkm ������

O sistema de equa��es lineares de�nido em ����� tem uma equa��o redun�dante devido ao fato da soma das inje��es em todas as barras da rede ser nula�as perdas s�o desprezadas�� Isto implica na singularidade de �B� Por outrolado� os �ngulos de fase s�o grandezas relativas as quais devem ser de�nidasem rela��o a uma refer�ncia �xa� Para resolver ambos os problemas� elimina�se uma das equa��es do sistema de equa��es e adota�se a tens�o da barracorrespondente como refer�ncia angular �k � ���� Desta forma chega�se aosistema de n� � equa��es

P � B� ������

onde foi eliminada a equa��o correspondente � barra de refer�ncia�No caso da rede conter transformadores defasadores� a representa��o �

id�ntica �quela mostrada em ������� exceto pelo vetor P o qual tem suascomponentes associadas aos n�s terminais dos transformadores alteradas pelaadi��o de parcelas correspondentes a gera��o e carga �ct�cias como mostradona Figura ��� %��&�

Exemplo ��� Seja o sistema de trs barras da Figura ���� no qual as reat�n�cias dos ramos da rede s�o dados em pu na base de ��� MVA ���� Os ele�mentos do modelo de uxo de potncia linearizado s�o dados por�

�P �

��� �� �

�� ���� �

��� � �� �

��� ���

��� � �B �

��� ��� � ���� � ���� ����� � ��� � ���� ����� � ���� � ��� �

���

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� An�lise de Redes El�tricas

Para se obter a solu��o do uxo de potncia � necess�rio de�nir�se umabarra de referncia� Suponha escolhida a barra � como referncia� Nestecaso temos � � �� e���

��

���� � ���� �

���� � ��� �

��� ��� �

��� �

��

��� ���� �� ������ ���� �� ����

� ��� �

��� �

��

���� ������� ����

�rad �

���� ����o��� ����o

O uxo de potncia nas linhas � dado por

f�� ��� ��� �����

�� ��� �� ����pu � �� �MW�

f�� ��� ��� �����

�� ��� �� ����pu � ��� �MW�

f�� ���� ���� � ���� �����

�� ��� �� ����pu � ��� �MW

Os resultados do c�lculo do uxo de potncia est�o resumidos na Figura���� Suponha� agora� que o ramo ��� � um transformador defasador o qualintroduz um defasamento angular � � ��� �������� rad no sentido de �para �� A nova solu��o do uxo de potncia ser� dada por�

��

��

��� ���� �� ������ ���� �� ����

� ��� � � �� ������� ��

��� �� �� ������� ��

��

��� ����

��� ����

�rad �

��� ����o

��� ����o�

o que produzir� a nova distribui��o de uxo na rede� mostrada na Figura����

�Observe que o �uxo no ramo contendo o transformador defasador dado por P�� ���� ���� � �� � � �� �������� � � �� ��

Figura ���� Sistema utilizado no exemplo �

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COPPE�UFRJ

Figura ���� Resultados do exemplo �

Figura ���� Resultados do exemplo � considerando um transformador de�fasador no ramo ���

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� An�lise de Redes El�tricas

��� Inclus�o de Perdas no Modelo Linearizado

As perdas no sistema de transmiss�o representam parcela importante da e�nergia disponibilizada em um sistema de energia el�trica� Sua inclus�o emmodelos de !uxo de pot�ncia � importante em v rios estudos� particular�mente naqueles envolvendo aspectos econ micos da opera��o desses sistemas�A representa��o das perdas ativas no modelo de !uxo de pot�ncia linearizadopode ser realizada de forma aproximada�

Como mostrado na se��o ���� as perdas ativas em um ramo da rede� comadmit�ncia s�rie dada por ykm � gkm � jbkm� s�o dadas por

Lkm � gkm�V�k � V �

m � �VkVmcos km� ������

Assumindo�se as seguintes aproxima��es

Vk � Vm � ��pu � cos km � �� �km�

� ������

obtem�se

Lkm � gkm�km ������

A inclus�o das perdas no modelo de !uxo de pot�ncia linearizado pode serrealizado� aproximadamente� pela adi��o de cargas �ct�cias nas barras termi�nais das linhas correspondentes � metade das perdas das linhas conectadasentre as barras� Assim� o modelo dado na equa��o ������ passa a ter oseguinte aspecto

P� L � B� �����

onde L � um vetor cujas componentes s�o dadas por

Lk �Xm��

k

�gkm

�km ������

A solu��o dos sistema de equa��es de�nido em ����� exige um processo itera�tivo pois os elementos de L dependem do conhecimento do vetor de solu��o�� Entretanto� na maioria das aplica��es� � su�ciente adotar o seguinteprocedimento %��&�

� Resolve�se o problema sem considerar as perdas ������"

� Utiliza�se esta solu��o para calcular os elementos de L"

� Resolve�se� ent�o� o sistema na forma dada em ������

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COPPE�UFRJ

Exemplo ��� Considere o sistema usado no Exemplo ���� acrescentandocomponentes resistivas �s imped�ncias das linhas de valores r�� � ����� pu�r�� � ����� pu e r�� � ����� pu� respectivamente�As perdas associadas aos ramos da rede s�o dadas por

L�� � �� � � �� � �� ������ � ��� �� � ����

L�� � �� � � �� � �� ������ � ���� �� � ����

L�� � �� � � ���� ���� � �� ������ � ���� �� � ����

A solu��o do sistema de equa��es� incluindo as perdas� � dada� ent�o� por���

��

��� ���� �� ������ ���� �� ����

� ��� �� ���� �� � ����

��� �� ���� �� � ����

��

���� ������� ����

�rad �

���� ��o��� ��o

o que produzir� a nova distribui��o de uxo na rede mostrada na Figura���� na qual as setas pontilhadas indicam a carga adicional em cada barracorrespondente �s perdas nos ramos da rede conectados �s mesmas�

Figura ��� Resultados do Exemplo ��� considerando as perdas

��� Rela��o de Sensibilidade

A partir do modelo linearizado de !uxo de pot�ncia� � poss�vel estabelecerrela��es de sensibilidade entre os !uxos de pot�ncia ativa nos ramos da redee as inje��es de pot�ncia ativa nas barras� Essas sensibilidades s�o �teisem v rios estudos e modelos� O balan�o de pot�ncia ��a Lei de Kircho*�estabelece que a soma alg�brica das pot�ncias que entram e saem de umabarra deve ser nula� ou ainda� que

Af � P �����

onde

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� An�lise de Redes El�tricas

A� matriz incid�ncia reduzida� barra � ramo� com dimens�o �n� ���m"

m� n�mero de ramos da rede"

f� vetor cujos elementos s�o os !uxos de pot�ncia nas linhas �m� ���

Os !uxos de pot�ncia nas linhas podem ser expressos pela equa��o abaixo��a Lei de Kircho*�

f � �A�T� ������

onde

�� matriz diagonal cujos elementos s�o as suscept�ncias dos ramos ���xj��com dimens�o m�m�

Substituindo ����� em ������� temos

A�A�T� � P ������

de onde se conclui� por compara��o com ������� que

B � A�A�T ������

De ������� obtem�se

f � �A�T B���P ������

f � �P ������

onde

� � �A�T B��� ������

A matriz � � a Matriz de Sensibilidades entre os !uxos nas linhas e as in�je��es nodais de pot�ncia� Seus elementos fornecem a rela��o entre varia��esde inje��es em barras e !uxos de pot�ncia em ramos da rede� Na matriz �n�o existe a coluna correspondente � barra de refer�ncia� Esses fatores s�oassumidos iguais a zero pois� no modelo de !uxo de pot�ncia linearizado�qualquer varia��o na inje��o de pot�ncia na barra de refer�ncia � absorvidapela pr�pria barra de refer�ncia n�o implicando� portanto� em varia��o do!uxo de pot�ncia nos ramos da rede�

�A matriz incid�ncia de�ne a conex�o dos ramos aos n�s da rede� Possui elementosiguais a � e �� na interse��o da coluna genrica j �ramo� com as linhas k e m �n�sterminais do ramo j�� respectivamente� Os demais elementos da matriz s�o nulos� Amatriz incid�ncia reduzida obtida pela elimina��o da linha correspondente � barra derefer�ncia da matriz incid�ncia�

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COPPE�UFRJ �

Exemplo ��� Para o sistema usado no Exemplo ���� a matriz de sensibili�dade � � dada por

� �

��� ��� �

��� ���� �

������ �� �

� ��� ��

������ ���� �� ������ ���� �� ����

��

��� ��� ���� ��� ������� ���� ��� ������ ���� ��� ����

���

Os elementos de � podem ser utilizados para calcular varia��es nos uxosdevido a varia��es nas inje��es� Por exemplo� suponha que a carga na barra� sofre um acr�scimo de �� passando ao valor !! MW� O novo valor douxo na linha ��� � dado por

fnovo�� � fvelho�� � ���� ��� � ���� ����� �� �� ���� � �� ���� � �� ���� � ��MW

��� An�lise de Altera��es no Modelo Linearizado

Em v rias aplica��es pr ticas� tais como an lise de conting�ncias� avalia��oda con�abilidade� etc�� s�o necess rias solu��es de seq$�ncias de sistemas deequa��es do modelo de !uxo de pot�ncia linearizado ������ correspondentes� simula��o de altera��es na condi��o de carga e gera��o ou na rede detransmiss�o� Esses sistemas de equa��es apresentam pequenas diferen�asentre si o que permite obter a solu��o dos mesmos com esfor�o computacionalreduzido� As seguir s�o apresentados procedimentos para a obten��o dessassolu��es a partir da solu��o do caso base� ou seja� da rede em sua con�gura��onormal�

����� Altera� es na condi��o de carga�gera��o

Suponha uma varia��o no vetor de inje��es de pot�ncia ativa a qual passariade uma condi��o inicial P para P � P� Isto acarreta uma varia��o nos�ngulos de fase do valor � para �� �� Supondo que n�o exista altera��ona rede� esta varia��o � dada por

P� P � B��� �� ������

de onde se conclui que

� � B�� P �����

Como pode�se observar de ���� o c lculo de � exige pouco esfor�ocomputacional adicional pois B�� j est dispon�vel� de forma expl�cita ouimpl�cita �fatores�� desde a solu��o do caso base�

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�� An�lise de Redes El�tricas

����� Altera� es na rede

O problema agora consiste em calcular as altera��es nos �ngulos de fase datens�es � causadas por altera��es no valor das reat�ncias dos ramos� ouequivalentemente� nos elementos de B a qual assumiria o valor B � B�Uma hip�tese usual nesta an lise � supor que n�o h altera��o nas inje��esl�quidas de pot�ncia� O novo valor de � pode ser calculado resolvendo�sea equa��o

P � �B� B��� � �� ������

a qual pode ser reescrita como

B �� B�� B � � � �����

A equa��o acima pode ser resolvida de forma aproximada ou exata como semostra nas se��es seguintes�

Em ������ a altera��o em B pode ser representada por

B � bkmekmeTkm ������

onde

eTkm � � � � � �k� � � � � � �m� � � � � � �

e bkm � a varia��o na suscept�ncia do ramo k�m�

Solu�o aproximada

� obtida desprezando�se o termo B � em ������ Neste caso� a solu��o �dada por

� � B�� B� ������

Introduzindo ������� a solu��o passa a ser dada por

� � � bkmXekm eTkm� ������

onde X � B��� Finalmente� a express�o acima pode ser colocada na forma

� � � bkmXkmkm ������

onde Xkm � a diferen�a entre a k��sima e a m��sima colunas de X e km �a defasagen angular no ramo k�m antes da altera��o na rede�

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COPPE�UFRJ ��

Solu�o exata

De ������ obtemos

� � �B�� B��� ��

� � �B�� bkmekmeTkm��� ��

� � � bkm��km � �km�B��ekm

� � � bkm��km � �km�Xkm ������

Na express�o acima � � dado em fun��o de �km� isto �� duas de suascomponentes� Para se obter o valor de �km� pr��multiplica�se a express�opor eTkm obtendo�se

eTkm � � �km � � bkm��km � �km�eTkmXkm

�km�� � bkm�� � � bkm�km�� � � eTkmXkm

�km � � bkm�km�

� � bkm�������

Substituindo ������ em ������� temos

� � � bkm��km � bkm�km�

� � bkm�

�Xkm

� � � bkm��km � �km � bkm�km�� bkm�km�

� � bkm�

�Xkm

� � � bkm �km

� � bkm�Xkm

De onde� �nalmente� conclui�se

� � �c Xkm�km ������

onde

c ��

��bkm

� eTkmXkm�����

�� M todo dos Fatores de Distribui��o

O m�todo dos fatores de distribui��o utiliza o modelo de !uxo de pot�ncialinearizado descrito nas se��es anteriores� Esses fatores representam rela��esde sensibilidade entre vari veis da rede e s�o usados em diversas aplica��es�Em particular� s�o utilizados na An lise Est tica de Conting�ncias� na formu�la��o linearizado do Fluxo de Pot�ncia #timo e na avalia��o da Capacidadede Transmiss�o Dispon�vel entre reas da rede� A seguir s�o apresentados osfatores de distribui��o mais utilizados na pr tica�

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�� An�lise de Redes El�tricas

�����

�Pkm��Pkm

Pi��Pi

i

k m

G

Figura ���� Fator de deslocamento de gera��o

����� Fator de Distribui��o para Deslocamento de Gera��o

Este fator relaciona varia��es no !uxo de uma ramo da rede devido � varia��oda inje��o de pot�ncia ativa em uma das barras da rede� Esta situa��o �ilustrada na Figura ���� O fator de distribui��o para deslocamento de gera��o� de�nido por

�Gkm�i � fkm Pi

������

onde fkm � a varia��o no !uxo de pot�ncia ativa em um ramo k�m devido� varia��o Pi na inje��o de uma barra gen�rica i�

Inicialmente� vamos considerar que a varia��o na inje��o de uma barraqualquer � compensada por uma varia��o igual e de sentido contr rio nainje��o da barra !utuante� Supondo a varia��o na barra i� temos�

k � Xki Pi

m � Xmi Pi

ou

km � �Xki �Xmi� Pi

fkm � kmxkm

de onde obtemos

�Gkm�i �Xki �Xmi

xkm�����

Caso se deseje relaxar a hip�tese de compensa��o da varia��o da inje��ona barra i pela varia��o na inje��o da barra !utuante� deve�se dispor de umaregra de distribui��o dessa varia��o pelas demais barras da rede de�nidapor fatores de absor��o �ji da varia��o da inje��o na barra i pelos demais

�Nas equa��es seguintes� o s�mbolo Xkm representa o elemento km da matriz X� N�odeve ser confundido com o s�mbolo Xkm� usado anteriormente� o qual denota a diferen�aentre as colunas k e m da mesma matriz X�

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COPPE�UFRJ ��

�xrsr s

Pkm��Pkm�

k m

�Figura ��� Fator de distribui��o para desligamento de ramo

geradores do sistema� Neste caso� a varia��o do !uxo em um ramo k�m darede� devido � varia��o da inje��o Pi na barra i ser dado por

fkm �Xj�G

�Gkm�i�ji Pi ������

onde �G � o conjunto de geradores da rede�

Os fatores de distribui��o para deslocamento de gera��o de�nidos nestase��o s�o iguais aos elementos da matriz de sensibilidade � de�nida na se��o����

����� Fator de Distribui��o para Desligamento de Ramo

Este fator relaciona varia��es no !uxo de um ramo da rede devido � varia��ona reat�ncia de um outro ramo da rede causado� por exemplo� pelo desliga�mento de um dos circuitos em paralelo que forma esse ramo� Esta situa��o� ilustrada na Figura ����

O fator de distribui��o para desligamento de ramo � de�nido por

�Dkm�rs � fkmfrs

������

onde fkm � a varia��o no !uxo de pot�ncia ativa em um ramo k�m devido �varia��o xrs na reat�ncia do ramo rs� no qual havia um !uxo de pot�nciaativa frs antes desta varia��o na reat�ncia�

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�� An�lise de Redes El�tricas

De ������ e ����� vem

� � � �

xrs � Xrr �Xrs �Xsr �Xss�

����������������������������

X�r �X�s���

Xkr �Xks���

Xmr �Xms

���Xrr �Xrs

���Xsr �Xss

���Xnr �Xns

����������������������������

rs

e

km � � �

xrs � Xrr �Xrs �Xsr �Xss�Xkr �Xks �Xmr �Xms�rs

O fator de distribui��o � calculado usando

�Dkm�rs � fkmfrs

� km�xkm rs� xrs

de onde� �nalmente� obtemos

�Dkm�rs � � xrsXkr �Xks �Xmr �Xms�

xkm xrs �Xrr �Xrs �Xsr �Xss�������

���� Fator de Distribui��o Combinado de Deslocamento deGera��o e Desligamento de Ramo

Este fator de distribui��o� ilustrado na �gura ���� indica a in!u�ncia davaria��o da gera��o em uma barra i no !uxo de pot�ncia de um ramo k�m

da rede quando j havia uma altera��o na reat�ncia de outro ramo r�s� Ofator � de�nido como

�GDkm�i�rs� � fkm fi

������

e pode ser calculado por

�GDkm�i�rs� � �Gkm�i � �Dkm�rs �Grs�i ������

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COPPE�UFRJ �

�xrsr s

Pkm��Pkm�

k m

�����G

i

Pi��Pi

Figura ���� Fator de distribui��o combinado para deslocamento de gera��oe desligamento de ramo

����� Fator de Distribui��o Combinado de Desligamento deDois Ramos

Este fator de distribui��o� ilustrado na �gura ���� indica a in!u�ncia davaria��o da reat�ncia de um ramo r�s da rede no !uxo de um ramo k�m�quando j havia uma altera��o na reat�ncia de outro ramo t�u� O fator �

�xrsr s

Pkm��Pkm�

k m

�xtut u

�Figura ���� Fator de distribui��o combinado de desligamento de dois ramos

de�nido como

�DDkm�rs�tu� � fkmfrs

������

e pode ser calculado por

�DDkm�rs�tu� ��Dkm�rs � �Dkm�tu�

Dtu�rs

�� �Drs�tu�Dtu�rs

������

����� Fator de Distribui��o para Transfer�ncia de Pot�ncia

Este fator relaciona a varia��o no !uxo de pot�ncia ativa de um ramo rs darede devido a uma nova transa��o� estabelecida entre os n�s k e m %�&� Estasitua��o � ilustrada na Figura �����

�Uma transa��o um valor especi�cado de pot�ncia a ser injetado �gerado� em umdeterminado n� da rede e retirado �consumido� em outro n� da rede� Esse tipo de anlise importante na opera��o de sistemas eltricos em ambiente competitivo para veri�ca��oda viabilidade tcnica de uma transa��o de compra e venda de energia�

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�� An�lise de Redes El�tricas

�frsr s

PTkm

�PTkm

� �k m

�Figura ����� Fator de distribui��o para transfer�ncia de pot�ncia

O fator de distribui��o para transfer�ncia de pot�ncia � de�nido por

�Tkm�rs � frsP Tkm

�����

onde frs � a varia��o no !uxo de pot�ncia ativa em um ramo rs devido �transa��o P T

km entre os n�s k e m�O fator pode ser obtido pela superposi��o dos efeitos das inje��es de

pot�ncia nas barras k e m� valendo�se das express�es j deduzidas para osfatores de deslocamento de gera��o� como a seguir

frs � �Gk�rsPTkm � �Gm�rs��P T

km�

� ��Gk�rs � �Gm�rs�PTkm

� �Tkm�rsPTkm

de onde se obtem

�Tkm�rs �Xkr �Xks �Xmr �Xms

xrs������

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COPPE�UFRJ �

Problemas

�� Para o sistema cujos dados s�o apresentados a seguir�

�a� Escreva os dois subsistemas de equa��es utilizados na solu��o doproblema de !uxo de pot�ncia pelo m�todo de Newton�Raphson�Explique como seriam resolvidos esses subsistemas�

�b� Apresente a estrutura dos sistemas de equa��es lineares a seremresolvidos em cada itera��o dos m�todos de Newton�Raphson eDesacoplado R pido�

�c� Resolva o problema de !uxo de pot�ncia pelo m�todo de Newton�Raphson� para valores crescentes da carga� Suponha um cresci�mento uniforme da carga e� correspondentemente da gera��o� emtodas as barras mantendo um fator de pot�ncia constante� Traceas curvas V�P e V�Q correspondentes � varia��o da tens�o nabarra �� Calcule os autovalores dos Jacobianos correspondentes�s sucessivas solu��es do !uxo de pot�ncia e comente sobre seusvalores�

�d� Resolva o problema de !uxo de pot�ncia� utilizando o modelo lin�earizado de !uxo de pot�ncia ativa� para a condi��o inicial e �nalde carregamento da sequ�ncia de casos de !uxo de pot�ncia cal�culados no item �c�� Compare os resultados com aqueles obtidoscom o modelo n�o�linear�

�e� Calcule a varia��o do !uxo de pot�ncia na linha ���� devida aodesligamento de uma das linhas do ramo ���� usando o m�tododos fatores de distribui��o�

�������

lll

����

��

����� �

��

Figura ����� Sistema de � barras

�Sugest�o� utilize o programa de clculo de �uxo de pot�ncia dispon�vel no PowerSystem Toolbox �MATLAB��

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�� An�lise de Redes El�tricas

Tabela ���� Dados de Barras

Barra Tipo Gera��o Carga Tens�oMW MVAR MW MVAR �pu�

� PV � � � � ����� V � � � � ���� PQ � � �� �� �� PQ � � �� �� �

Tabela ���� Dados de Linhas �Base� ��� MVA�

Linha Res� �pu� Rea� �pu� Sus� �pu�

� � � ����� ����� ������ � � ����� ����� ������ � � ����� ����� ������ � � ����� ����� ������ � � ���� ����� �����

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Cap�tulo �

Fluxo de Pot�ncia �timo

��� Introdu��o

O Fluxo de Pot�ncia #timo �FPO� tem como objetivo a otimiza��o dacondi��o est tica de opera��o de um sistema de gera��o�transmiss�o de ener�gia el�trica� Otimiza��o no sentido de maximizar ou minimizar um determi�nado crit�rio �fun��o� sujeito a algumas restri��es �equa��es e inequa��es��Por exemplo� a minimiza��o das perdas ativas na transmiss�o sujeita a limi�tes operacionais nos m�dulos das tens�es e !uxos nas linhas�

Em compara��o com o !uxo de pot�ncia convencional �FP�� pode�se pen�sar no FPO como sendo uma ferramenta de s�ntese enquanto o FP � utilizadopara an lise� Com o FP obtem�se a solu��o da rede el�trica �tens�es nodais�!uxos na linhas� etc�� para uma condi��o particular de opera��o �carga egera��o�� Com o FPO escolhe�se� entre as in�nitas condi��es de opera��oposs�veis para atender a demanda� uma que otimize o crit�rio escolhido�

����� Formula��o do Problema

O FPO � geralmente formulado como um problema de Programa��o N�o�Linear�� de acordo com o seguinte formato padr�o %��� ��&

minz

f�z� ����

s a g�z� � � ����

h�z� � ����

onde

z � IRm�n � o vetor de vari veis do problema o qual inclui o vetor x � IRn

de vari�veis de estado e o vetor u � IRm de vari�veis de controle talque z � xT uT �T "

�Uma introdu��o � Programa��o N�o�Linear apresentada no Ap�ndice B

��

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� An�lise de Redes El�tricas

f � IRm�n � IR � a fun��o objetivo"

g � IRm�n � IRp s�o as restri��es de igualdade" e

h � IRm�n � IRq s�o as restri��es de desigualdade�

Assumindo uma rede el�trica com ���� n�s ou barras� o problema de��nido em ������� apresentar cerca de ���� vari veis� ���� restri��es deigualdade e mais de ��� restri��es de desigualdade� Em problemas pr ticos�um n�mero pequeno de restri��es de desigualdade s�o ativas na solu��o� isto�� somente algumas poucas vari veis da rede atingem seus limites operativos�Este fato pode ser explorado para simpli�car o processo de solu��o do FPO�

����� Aplica� es

O FPO tem aplica��o em v rios problemas de planejamento da expans�o eopera��o e opera��o em tempo�real� tais como�

� Despacho econ mico e seguro �opera��o em tempo�real� simula��o dodespacho em estudos de planejamento da opera��o e expans�o�"

� Redespacho preventivo e corretivo �opera��o em tempo�real�"

� Minimiza��o de perdas"

� Aloca��o de fontes de pot�ncia reativa �planejamento da expans�o dosuporte de reativos�"

� Avalia��o da con�abilidade composta de sistemas gera��o e transmis�s�o"

� Planejamento da expans�o de sistemas de transmiss�o"

� Tarifa��o de servi�os de transmiss�o"

� Determina��o de pre�os nodais de energia�

���� M�todos de Solu��o� Hist�rico

Os primeiros estudos apresentando formula��es e m�todos de solu��o parao FPO foram publicados na decada de �� por Carpentier na Fran�a %& eDommel e Tinney nos EUA %��&� Na d�cada de �� v rios aperfei�oamen�tos foram propostos para essas formula��es originais sem� entretanto� pro�duzirem avan�os signi�cativos na velocidade e robustez dos algoritmos desolu��o� Uma proposta importante foi a introdu��o do conceito de FPOrestrito pela seguran�a� isto �� uma solu��o �tima levando em considera��oum conjunto de conting�ncias prov veis de ocorrer no sistema %�&�

No �nal da d�cada de � e in�cio dos ��s� come�aram a surgir novasformula��es e m�todos de solu��o para o FPO que iriam formar a base dos

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COPPE�UFRJ �

m�todos atualmente considerados como os mais adequados para utiliza��opr tica� Dentre esses m�todos devem ser citados�

� Programa��o Linear Seq$encial %��&"

� Programa��o Quadr tica Seq$encial %&"

� M�todo de Newton %��&"

� M�todo dos Pontos Interiores %��&�

��� Natureza do Problema

No FPO a demanda �� em geral� considerada conhecida e constante� Amelhor maneira de atender essa demanda � obtida resolvendo�se o problemade FPO� Tendo em vista o desacoplamento natural entre !uxos de pot�nciaativa e reativa� � comum considerar�se separadamente as fontes e grandezascontrol veis relacionadas ao atendimento da demanda ativa e da demandareativa e controle de tens�o�

��� Formula��o Matem�tica

���� Variveis

O conjunto de vari veis integrantes da formula��o do problema � divido emdois subconjutos�

Vari�veis dependentes ou de estado �x�

� um conjunto m�nimo de vari veis capazes de caracterizar unicamente oestado de opera��o da rede el�trica� Normalmente as vari veis escolhidass�o os m�dulos e �ngulos de fase das tens�es nas barras de carga e �ngulosde fase das tens�es em barras de gera��o �tens�o controlada�� S�o as vari veisobtidas na solu��o de um FP�

Vari�veis independentes ou de controle �u�

S�o as vari veis utilizadas para conduzir o processo de solu��o do FPO parauma solu��o �tima� Fisicamente� essas vari veis correspondem a dispositivosou processos de controle existentes na rede el�trica� As vari veis normal�mente utilizadas na pr tica s�o�

� Fluxo Ativo�

� Pot�ncia ativa gerada"

� +ngulo de fase de transformadores defasadores"

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� An�lise de Redes El�tricas

� Pot�ncia transmitida nos links DC"

� Fluxo de interc�mbio entre reas�

� Fluxo Reativo�

� M�dulo da tens�o em barras de gera��o"

� Pot�ncia reativa gerada ou alocada"

� Posi��o do tap de transformadores"

� Suscept�ncia shunt de bancos de capacitores" ou reatores�

No caso de uma barra de gera��o� a vari vel de controle associada ao !uxode reativos pode ser tanto o m�dulo da tens�o quanto a inje��o de pot�nciareativa� A escolha de um ou de outra depende do dispositivo de controleexistente na barra e do m�todo de solu��o adotado� Algumas vari veis decontrole somente podem assumir valores discretos� por exemplo� posi��o detaps de transformadores� suscept�ncia shunt de bancos de capacitores� etc�

���� Restri� es de Igualdade

A solu��o do FPO corresponde a uma solu��o do FP que otimiza o crit�rioescolhido� Portanto� esta solu��o deve satisfazer as equa��es que governamo !uxo de pot�ncia em uma rede el�trica as quais� em coordenadas polares�tem o aspecto seguinte�

Pk � PGk � PLk

� VkXm�k

Vm�Gkm cos km �Bkmsenkm�� k � �P ����

Qk � QGk �QLk

� VkXm�k

Vm�Gkmsenkm �Bkm cos km�� k � �Q ���

onde

km � k � m

f�kg � conjunto formado pela barra k e as barras conectadas � barra k"

�P e �Q� conjuntos de barras da rede cuja de�ni��o depende do m�todode solu��o do FPO escolhido"

Gkm � jBkm � elementos da matriz de admit�ncias nodal da rede"

PLk e QLk � carga ativa e reativa conectada � barra k�

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COPPE�UFRJ �

Em alguns casos� pode ser necess ria a introdu��o de restri��es de igual�dade adicionais na formula��o do FPO� Por exemplo� pode�se desejar que oo valor do interc�mbio de pot�ncia ativa entre duas reas seja �xo ou quea soma da gera��o de um grupo de usinas seja igual a um valor pr���xadopara satisfazer restri��es energ�ticas de m�dio ou longo prazos� Neste caso�equa��es representando essas restri��es devem ser adicionadas ao conjuntob sico dado em ���� a ����

��� Restri� es de Desigualdade

As restri��es de desigualdade s�o inequa��es representando limites f�sicosrelacionados com a capacidade t�rmica de transmiss�o de pot�ncia dos com�ponentes da rede ou limites operacionais relacionados com aspectos de segu�ran�a da opera��o do sistema de pot�ncia� As vari veis geralmente associ�adas a esses limites� agrupadas de acordo com sua maior in!u�ncia no !uxode ativos ou reativos� s�o listadas a seguir�

� Fluxo Ativo�

� Pot�ncia ativa gerada"

� +ngulo de fase de transformadores defasadores"

� Pot�ncia transmitida nos links DC"

� Fluxo de pot�ncia em ramos da rede �linhas ou transformadores�"

� Fluxo de pot�ncia ativa de interc�mbio entre reas

� Reserva girante em uma rea"

� Defasagem angular entre barras�

� Fluxo Reativo�

� M�dulo da tens�o"

� Pot�ncia reativa gerada"

� Posi��o do tap de transformadores"

� Suscept�ncia shunt de bancos de capacitores ou reatores"

� Fluxo de pot�ncia reativa em ramos da rede"

� Fluxo de pot�ncia reativa de interc�mbio entre reas

� Fluxo Ativo e Reativo�

� Gera��o complexa �MVA�"

� Corrente nos ramos�

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� An�lise de Redes El�tricas

���� Fun��o Objetivo

O estabelecimento de fun��es objetivo que consigam descrever adequada�mente a melhor condi��o operativa da rede el�trica � o aspecto mais com�plexo da formula��o do problema de FPO� Em muitos casos� a utiliza��o deuma simples express�o matem tica n�o consegue descrever adequadamentev rios objetivos con!itantes e n�o perfeitamente caracteriz veis por f�rmulasmatem ticas� Em outros casos� a satisfa��o das restri��es � mais importanteque a otimiza��o da fun��o objetivo� Neste caso� pode�se usar uma fun��oobjetivo �ct�cia �dummy� ou at� n�o de�nir nenhuma fun��o objetivo�

A seguir s�o apresentadas algumas fun��es objetivo usadas em aplica��espr ticas�

Custo de gera�o m�nimo

� a fun��o objetivo usada para modelar o problema de despacho econ mico�No caso de sistemas constituidos apenas por usinas t�rmicas� esta fun��oassume o aspecto seguinte�

f�z� �Xi�G

Ci�PG�i� ����

onde �G � o conjunto de barras de gera��o�

Perdas M�nimas

Esta fun��o pode ser representada de duas maneiras�

� Minimiza��o da inje��o de pot�ncia ativa na barra�s� !utuante�s�"

� Somat�rio das perdas ativas em todos os ramos da rede�

Esta fun��o � muitas vezes utilizada como uma fun��o objetivo �cit�cia quan�do o verdadeiro objetivo � se obter uma solu��o do !uxo de pot�ncia ondetodas as restri��es s�o satisfeitas�

M�nimo Custo de Alocac�o de Fontes de Reativos

Esta fun��o objetivo � utilizada no planejamneto da instala��o de novasfontes de pot�ncia reativa� O objetivo do problema � determinar a capacidadee local de instala��o das novas fontes que satisfa�am as restri��es de tens�odo sistema com custo m�nimo� Uma poss�vel fun��o objetivo �

f�z� �Xi�G

Ci�QG�i� ���

onde Ci�QG�i� � o custo de instala��o de uma fonte de capacidade QG�i�Dependendo do tipo de fonte de reativos �capacitores e indutores� por exem�plo�� a vari vel QG�i assume apenas valores discretos o que torna mais dif�cila solu��o do problema�

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COPPE�UFRJ

M�nimo Corte de Carga

Esta fun��o objetivo � utilizada para resolver situa��es de emerg�ncia nasquais o desligamento de parte da carga � a �nica solu��o poss�vel para aliviarsobrecargas e tens�es fora dos limites� Por�m� o corte de carga deve ser m��nimo ponderado pela import�ncia das cargas� Uma poss�vel func�o objetivonesse caso �

f�z� �Xi�L

�i�PL�i� ����

onde �L de�ne o conjunto de barras onde � admitido o corte de carga� PL�i� a parcela da carga a ser cortada na barra i e �i � uma pondera��o quede�ne a import�ncia da carga nessa barra�

Desvio M�nimo do Ponto de Opera�o

Esta fun��o tem como objetivo obter uma solu��o o mais pr�ximo poss�velde um ponto de opera��o previamente estabelecido em um outro estudo�otimiza��o energ�tica� seguran�a din�mica� etc�� por�m n�o poss�vel de serimplementado� A fun��o � de�nida por

f�z� �Xk�d

h�k�yk � y�k�

i����

onde �d � o conjunto de vari veis yk considerado� y� � o valor determinadopelo estudo anterior e �k � uma pondera��o�

��� M todo de Dommel � Tinney

O m�todo de Dommel � Tinney foi um dos primeiros m�todos propostospara a solu��o do FPO %��&� Atualmente esse m�todo tem apenas um valordid tico pois� nos �ltimos anos� foram propostos m�todos que apresentam de�sempenho computacional e algoritmico bastante superiores ao m�todo citado�Entretanto� o m�todo de Dommel � Tinney continua apresentando interessedo ponto de vista did tico pela sua simplicidade e desenvolvimento intuitivo�

����� FPO sem Restri� es de Desigualdade

De acordo com a formula��o geral do problema de FPO apresentada em ����a ����� o problema sem restri��es de desigualdade � dado por�

minu

f�x�u� �����

s� a g�x�u� � � �����

Nesta formula��o� os conjuntos de equa��es de�nindo as restri��es de igual�dade em ����� s�o

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� An�lise de Redes El�tricas

�P � Todas as barras da rede exceto a barra !utuante"�Q� Barras de carga�

Para o problema acima� a fun��o Lagrangeana � de�nida por�

L�x�u� �� � f�x�u� � �Tg�x�u� �����

A condi��o necess ria para que um ponto seja solu��o do problema de�nidoem ����� e ����� ��

�L

�x�

�f

�x�

��g

�x

�T� � � �����

�L

�u�

�f

�u�

��g

�u

�T� � � �����

�L

��� g�x�u� � � ����

De ������ obtemos�

� � ���

�g

�x

�T��� �f�x

�����

a qual� subsitu�da em ������ produz�

ruf�x�u� ��L

�u�

�f

�u���g

�u

�T ���g�x

�T��� �f�x

����

o qual � conhecido como o Gradiente Reduzido de f�x�u� em rela��o �s va�ri veis de controle �u�� Esse vetor indica a dire��o oposta �quela na qual asvari veis de controle dever�o ser alteradas para diminuir o valor da fun��oobjetivo� Essa altera��o nas vari veis de controle provoca uma correspon�dente altera��o nas vari veis de estado �x� determinada por �����

A partir de ���� e ����� podemos estabelecer o algoritmo abaixo oqual � similar ao algoritmo do M�todo do Gradiente visto no Ap�ndice B�

Algoritmo de Dommel � Tinney

Inicialize o contador� k � �Atribua valor inicial �s vari veis de controle� u�

Fa�a enquanto kruf�xk�uk�k � �

Resolva o !uxo de pot�ncia pelo m�todo de Newton�Raphson para uk obtendo como solu��o xk

Calcule ruf�xk�uk�

Calcule uk � ��kruf�xk�uk�

Calcule uk�� � uk � uk

Atualize o contador� k � k � �Fim,fa�a

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COPPE�UFRJ

O valor do passo �k no algoritmo acima pode ser estabelecido por umprocesso de minimiza��o de f�x�u� na dire��o contr ria a ruf�x�u� ou porprocedimentos heur�sticos�

����� Restri� es de desigualdade nas variveis de controle

Restri��es de desigualdade nas vari veis de controle� representando limitesoperativos dos dispositivos respons veis por a��es de controle� podem serfacilmente introduzidas no algoritmo apresentado na se��o anterior� No pas�so k do algoritmo� as vari veis de controle s�o atualizadas de acordo com aseguinte l�gica�

uk��j �

���

umaxj se ukj � ukj � umax

j

uminj se ukj � ukj umin

j

ukj � ukj em caso contr rio������

No caso de uma das vari veis de controle atingir um dos limites em umdos passos do algoritmo� essa vari vel deve continuar a ser atualizada nospr�ximos passos do algoritmo pois pode acontecer da mesma deixar de violarseu respectivo limite�

���� Restri� es de desigualdade funcionais e nas variveisde estado

A t�cnica descrita na se��o anterior para o tratamento de restri��es de de�sigualdade em vari veis de controle n�o se aplica ao caso desse tipo de res�tri��es na vari veis de estado ou restri��es funcionais� Neste caso� a viola��oda restri��o somente � detectada ap�s a solu��o do !uxo de pot�ncia e suacorre��o exige uma nova atualiza��o das vari veis de controle utilizando al�guma t�cnica de sensibilidade� seguida de nova solu��o do !uxo de pot�ncia�V rias t�cnicas de tratamento de restri��es de desigualdade poderiam serempregadas neste caso� Dentre as citadas em %��&� encontram�se t�cnicas deprograma��o linear� troca de vari veis e m�todo das penalidades� Esta �lti�ma � a recomendada em %��& por sua simplicidade e e�ci�ncia computacional�

Como descrito no Ap�ndice B� o m�todo das penalidades �exteriores�consiste em se adicionar termos � fun��o objetivo correspondentes a viola��esde restri��es� No caso de restri��es nas vari veis dependentes �x�� temos�

F �xk�uk� � f�xk�uk� �npXi��

�i pi�xk�uk� �����

onde �i � uma pondera��o e pi � de�nida� por exemplo� como

pi�xk� �

���

�xki � xmini �� se xki xmin

i

�xki � xmaxi �� se xki � xmax

i

� em caso contr rio������

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� An�lise de Redes El�tricas

Para as restri��es funcionais� a fun��o penalidade assume a forma

pi�xk� �

� se hi�xk� �h

hi�xk�i�

se hi�xk� � �

�����

Exemplo ��� Para o sistema da �gura abaixo� obtenha a solu��o do proble�ma de FPO pelo m�todo de Dommel " Tinney considerando como objetivo aminimiza��o do custo de opera��o e limites m�ximos e m�nimos na capaci�dade dos geradores� Assuma conhecidas as tens�es terminais dos geradorese da barra de carga�

JJJ

���

n�m�

� �

PD

P� P�

Dados�Custos de gera��o� C��P�� � �P �

� e C��P�� � �P �� #

Carga� PD#Par�meros das linhas�

A solu��o do problema pode ser obtida nos seguintes passos�

�� Formula��o do Problema�Considerando apenas o uxo de potncia ativa�� as vari�veis do prob�lema s�o

u �hP�

ie x �

���

A fun��o objetivo � de�nida como

f��� �� P�� � �� P���� ���� � ��P

��

onde

P���� �� � G�� �G�� cos � �B�� sen � �G�� cos � �B�� sen �

As restri��es de igualdade s�o dadas por

g���� �� P�� � P� �G�� �G�� cos � �B�� sen � �G�� cos �� � �� �

� B�� sen �� � �� � � �����

g���� �� P�� � �PD �G�� �G�� cos � �B�� sen � �G�� cos �� � �� �

� B�� sen �� � �� � � ������As tens�es nas tr�s barras s�o consideradas iguais a ��� pu e a barra � como barra

�utuante�

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COPPE�UFRJ �

e as de desigualdade por

P���� ��� Pmax� �

�P���� �� � Pmin� �

P� � Pmax� �

�P� � Pmin� �

�� Gradiente Reduzido�O gradiente reduzido em rela��o � vari�vel de controle P� � dado por

ruf�x�u� � �f�u �

h�g�u

iT �h�g�x

iT��� �f�x

onde

�g

�x�

�� �g�

����g����

�g����

�g����

�� � �g

�u�

�� �g�

�P�

�g��P�

�� �

�� �

��

�f

�x�

�� �f

���

�f���

�� �

�� ��

�P����

���P����

�� � �f

�u�

�f

�P�� ���P�

Portanto�

rP�f��� �� P�� � ���P� �h� �

i �� �g����

�g����

�g����

�g����

���� ��

�P����

���P����

��

� ���P� � ���g���

�P���

� ���g���

�P���

�� Solu��o pelo M�todo de Dommel " TinneyA solu��o do problema� usando o algoritmo de Dommel " Tinney�consiste em resolver o sistema de equa��es de�nido em ����� e ����� para um valor inicial de P�� ou seja� resolver um problema de uxo depotncia considerando apenas a parte ativa� e aplicar uma corre��o emP� usando a dire��o contr�ria a ruf�x�u� como dire��o de busca� Esseprocesso � repetido at� que um crit�rio de convergncia seja alcan�ado�Caso alguma restri��o de desigualdade seja violada durante o processoiterativo� fun��es penalidades correspondentes a essas viola��es devemser adicionadas � fun��o objetivo� o que produzir� altera��es nos ter�mos �f

�x e�f�u �

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�� An�lise de Redes El�tricas

��� M todo de Newton

O m�todo de Newton para solu��o do FPO %��& baseia�se na t�cnica doConjunto Ativo para o tratamento de restri��es de desigualdade� Supondoconhecido o conjunto de restri��es de desigualdade ativas na solu��o� o prob�lema pode ser transformado em um problema contendo apenas restri��es deigualdade� A determina��o do conjunto ativo � um problema complexo parao qual existem v rias estrat�gias de solu��o� Uma delas ser apresentada aseguir�

No m�todo de Newton n�o � necess rio uma divis�o das vari veis do prob�lema em vari veis independentes �ou de controle� e vari veis dependentes�como no caso do m�todo de Dommel � Tinney� Tampouco utiliza�se umsubsistema das equa��es de inje��o de pot�ncia ativa e reativa como restri���es de igualdade� Portanto� na formula��o desse m�todo� as vari veis doproblema ser�o representadas por um �nico vetor �z� e o conjunto comple�to de equa��es de inje��o de pot�ncia em todas as barras do sistema ser representado� genericamente� por g�z� � ��

����� Formula��o Bsica

Supondo conhecido o conjunto de restri��es de desigualdade ativo na solu��o�o problema de FPO pode ser formulado como

minz

f�z� �����

s a g�z� � � ����

ha�z� � � �����

onde ha � IRm�n � IRa representa as a restri��es de desigualdade ativas�Para o problema acima� a fun��o Lagrangeana � de�nida por

L�z� �� �� � f�z� � �Tg�z� � �Tha�z� ����

A condi��o necess ria para que um ponto seja solu��o do problema de��nido em ����� a ����� �

�L

�z�

�f

�z�

��g

�z

�T��

��ha�z

�T� � � �����

�L

��� g�z� � � �����

�L

��� ha�z� � � �����

As equa��es ����� a ����� constituem um sistema de equa��es n�o�li�neares� o qual representaremos de forma compacta por

��y� � � �����

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COPPE�UFRJ ��

onde y � zT �T �T �T �O sistema de equa��es ����� pode ser resolvido pelo m�todo de Newton�

Raphson atrav�s do seguinte processo iterativo

yk�� � yk � yk� k � �� �� �� �����

onde yk � obtido resolvendo�se o sistema de equa��es lineares�����

��L�zk��k��k��z�

h�g�zk��z

iT h�ha�zk�

�z

iT�g �zk�

�z � ��ha�zk�

�z � �

�������� zk

�k

�k

��� �

������f�zk�

�z �h�g�zk��z

iT�k �

h�ha�zk�

�z

iT�k

�g�zk��ha�zk�

���� �����

onde

��L�zk� �k� �k�

�z��

��f�zk�

�z��

���g�zk�

�z�

�T�k �

���ha�z

k�

�z�

�T�k

����� Sele��o do Conjunto de Restri� es Ativas

N�o existe uma maneira direta para determinar o conjunto ativo� Os m�to�dos utilizados para identi�car esse conjunto� em geral� utilizam um processoiterativo� Um conjunto inicial de restri��es ativas � escolhido� e ent�o� umasolu��o do problema de�nido em ����������� � obtida� Se o conjunto ativon�o for o correto� o mesmo ser atualizado pela adi��o de novas restri��es eretirada de restri��es antigas n�o mais consideradas ativas� O problema ��ent�o� resolvido novamente�

Uma das maneiras poss�veis de implementar essa estrat�gia� no caso doFPO� � a seguinte %��&�

�� Escolha um conjunto inicial de restri��es ativas� Em geral� as restri��esativas na solu��o do caso base �!uxo de pot�ncia convencional��

�� Resolva o sistema de equa��es de�nido em ������

�� Se alguma restri��o n�o inclu�da no conjunto ativo for violada� in�clua esta restri��o no conjunto ativo no pr�ximo ciclo do processo desolu��o�

�� Retire do conjunto ativo as restri��es representando limites superiores�inferiores� cujos multiplicadores de Lagrange obtidos neste ciclo doprocesso sejam negativos �positivos���

� Volte para o passo ���Uma justi�cativa para este procedimento derivada das condi��es de Karush�Kuhn�

Tucker como apresentado em ����cap�tulo ����

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�� An�lise de Redes El�tricas

�� M todo dos Pontos Interiores

Para solu��o do FPO pelo m�todo dos pontos interiores� a formula��o doproblema dada por ���� a ���� ser modi�cada para uma forma eq$ivalente�mais adequada para o desenvolvimento do citado m�todo� na qual as res�tri��es de desigualdade s�o do tipo restri��es canalizadas nas vari veis� Oproblema a ser resolvido passa� ent�o� a ter o seguinte enunciado�

minz

f�z� �����

s a g�z� � � ����

l z u �����

onde l e u s�o vetores em IRn de�nindo limites inferiores e superiores nasvari veis de estado� vari veis de controle e vari veis de folga associadas �srestri��es funcionais��

No desenvolvimento do m�todo dos pontos interiores primal�dual %��� �����&� os seguintes passos devem ser seguidos�

�� Transformar as restri��es de desigualdade de�nidas por ����� em res�tri��es de igualdade pela introdu��o de vari veis de folga

z� sl � l ����

z� su � u �����

sl � � �����

su � � �����

onde sl e su s�o vetores em IRn cujas componentes s�o as vari veis defolga associadas �s restri��es canalizadas nas vari veis�

�� Transformar o problema com restri��es de igualdade e desigualdade�n�o negatividade de sl e su� em uma seq$�ncia de problemas com res�tri��es de igualdade� mediante a adi��o � fun��o objetivo de fun��espenalidades do tipo barreira logaritmica associadas a sl e su� Cadaproblema dessa seq$�ncia� parametrizada pelo par�metro barreira � ��� � de�nido por

min f�z�� �mXj��

ln slj � �mXj��

ln suj �����

s a g�z� � � �����

z� sl � l �����

z� su � u ������As mesmas observa��es relativas a variveis e equa��es do �uxo de pot�ncia contida

na introdu��o ao mtodo de Newton s�o vlidas para o mtodo dos pontos interiores��As restri��es de desigualdade funcionais� do tipo hi�z� � �� podem ser transformadas

em restri��es de igualdade pela introdu��o de variveis de folga� passando a ter o aspectoseguinte� hi�z� � vi � �� vi � ��

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COPPE�UFRJ ��

�� Transformar cada problema da seq$�ncia de�nida acima em um pro�blema sem restri��es usando a seguinte fun��o Lagrangeana

L�z� �� �l� �u� sl� su� � f�z�� �mXj��

ln slj � �mXj��

ln suj � �Tg�z� �

��Tl �z� sl � l� � �Tu �z� su � u� ����

onde �� �l e �u s�o vetores de multiplicadores de Lagrange associados�s restri��es de igualdade �vari veis duais��

A fun��o Lagrangeana de�nida em ���� tem um ponto estacion riosatisfazendo as seguintes condi��es

�L

�z� rf�z� � �Trg�z� � �l � �u � � �����

�L

��� g�z� � � ����

�L

��l� z� sl � l � � �����

�L

��u� z� su � u � � �����

�L

�sl� ��S��l e� �l � � � ��e � Sl�l ����

�L

�su� �S��u e� �u � � � �e � Su�l ����

onde Sl e Su s�o matrizes diagonais cujos elementos s�o as componentes desl e su� respectivamente� e e � um vetor com todos os elementos iguais a ��

O sistema de equa��es de�nido por ����� a ���� pode ser resolvidopelo m�todo de Newton� Neste caso� o sistema de equa��es lineares a serresolvido em cada itera��o � dado porh

r�f�z� � �Tr�g�z�i z�rg�z� �� �l � �u � t ����

rg�z� z � �g�z� ����

��l sl � sl �l � ���e� sl�l� ����

��u su � su �u � ���e� su�u� ���

z� sl � ��z� sl � l� ����

z� su � ��z� su � u� ���

onde

t � �rf�z�� �Trg�z� � �l � �u ����

e �l��u s�o matrizes diagonais cujos elementos s�o os componentes de �l e�u� respectivamente�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Assumindo que ser mantida a viabilidade das aproxima��es da solu��odurante o processo iterativo� isto �� as parcelas �z� sl� l� e �z� su� u� s�onulas� de ���� e ���� obtem�se

skl � zk ����

sku � � zk �����

Substituindo essas equa��es ���� e ���� obtem�se

�l � �S��l ��e� Sl�l ��l z� �����

�u � �S��u ��e� Su�u ��u z� �����

Portanto� os acr�scimos skl � sku� �

kl � e �ku podem ser expressos em

fun��o de zk e �k� Desta forma� o sistema de equa��es ���� a ����pode ser reescrito como�

H �JT�J �

� � zk

�k

� �tk

g�zk�

������

onde

H � r�f�zk� � �Tr�g�zk� � S��l �l � S��p �p

J � rg�zk�Uma vez calculados zk e �k� os acr�scimos nas demais vari veis podemser obtidos a partir de ���� a ������

Ap�s a solu��o de ������ uma nova aproxima��o das vari veis � calculadapor

zk�� � zk � �p zk �����

�k�� � �k � �d �k ����

�k��l � �k � �d �k �����

�k��u � �ku � �d �ku ����

sk��l � skl � �p skl �����

sk��u � sku � �p sku �����

onde �p e �d s�o escolhidos de maneira a preservar a viabilidade �satisfa��odas restri��es� da solu��o� Isto � alcan�ado escolhendo�se �p e �d de acordocom %��&

�p � minf�� �� min�slj��

sljj sljj

� min�suj��

sujj suj j�g ����

�d � minf�� �� min��lj��

�ljj �ljj � min

��uj��

�ujj �uj j�g ����

onde � � �� � poss�vel� tamb�m� implementar o m�todo com �p � �d�

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COPPE�UFRJ �

Problemas

�� Apresente uma representa��o geom�trica �curvas de n�vel� para osseguintes problemas de otimiza��o� Se poss�vel� indique a solu��o des�ses problemas�

minf�x� � �x� � x�

s a �x� � x� � �

x� � �x� � �

x� �

x� � �

x� � �

minf�x� � x�� � x�� � �x�

s a x�� � x�� � �x� � �

�x� � x� � � � �

x� � �

x� � �

�� Usando as condi��es de Karush�Kuhn�Tucker� encontre o�s� valor�es�de � para os quais o ponto x� � � ��T ser a solu��o do problemaabaixo

max f�x� � �x� � �x�

s a x�� � x�� � � �

x� � x� � � �

�� O diagrama da �gura abaixo representa o equivalente de dois sistemasinterligados onde o atendimento � carga no sistema � pode ser realizadopor gera��o pr�pria e importa��o de energia do sistema �� Supondo ovalor das perdas na transmiss�o dado pela f�rmula abaixo �PL�� pede�se�

�a� Formular o problema de despacho econ mico �custo m�nimo degera��o� no formato padr�o de um problema de Programa��oN�o�Linear"

�b� Resolver o problema formulado em �a� atrav�s do estabelecimentodas condi��es necess rias de otimalidade e solu��o do respectivosistema de equa��es�inequa��es� Considere o caso com e semrestri��es de desigualdade �limites�"

�c� Id�ntico ao item �b�� por�m usando o m�todo do Gradiente"�d� Id�ntico ao item �b�� por�m usando o m�todo de Newton�

C��P�� � � � � � �P� � �� ���P �� ��h

C��P�� � � � �� �P� � �� ���P �� ��h

PL � �� ����P ��

PD � ��MW

� � P�� P� � ���MW

� �

��������

G�

G�

� �

P� PL

P� PD

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�� An�lise de Redes El�tricas

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Cap�tulo �

Avalia��o Est�tica daEstabilidade de Tens�o

�� Introdu��o

Modi�ca��es estruturais no setor el�trico� tais como aquelas causadas pelasprivatiza��es e reestrutura��o do setor� assim como a disponibilidade dedispositivos r pidos de controle e compensa��o de reativos� t�m levado ossistemas el�tricos de pot�ncia a operar pr�ximos � sua capacidade m ximade transmiss�o� Em decorr�ncia dessa pr tica operativa� a estabilidade detens�o tornou�se aspecto importante� sen�o decisivo� na determina��o doslimites m ximos de transfer�ncia de pot�ncia entre regi�es� superando� emmuitos casos� aqueles impostos pela estabilidade angular %�� ��&�

A estabilidade de tens�o est associada � capacidade do sistema de pot�n�cia em manter um per�l de tens�es adequado� tanto em condi��es normaisde opera��o quanto no caso de ocorr�ncia de perturba��es severas� Caso essacondi��o n�o seja satisfeita� ocorrer o fen meno da instabilidade de tens�o�caracterizado por uma redu��o progressiva e incontrol vel da magnitude datens�o em uma ou mais barras do sistema� podendo� caso n�o sejam tomadasmedidas corretivas� estender�se a regi�es vizinhas� resultando em um colapsoparcial ou total do sistema�

A instabilidade de tens�o est fortemente associada � de�ci�ncia no su�porte de reativos e limita��es na capacidade de transmiss�o do sistema� Essade�ci�ncia se manifesta� por exemplo� em uma situa��o na qual os principaistroncos de transmiss�o encontram�se operando pr�ximos aos seus limites dem xima transfer�ncia e as reservas de gera��o de pot�ncia reativa nos centrosde carga est�o praticamente esgotadas�

O fen meno da instabilidade de tens�o pode ser iniciado de duas maneiras�

� Grandes perturba��es no sistema provocadas� por exemplo� por curto�circuitos� desligamentos de linhas de transmiss�o� etc� Neste caso�a instabilidade de tens�o pode se manifestar imediatamente �poucos

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�� An�lise de Redes El�tricas

segundos� ap�s a perturba��o� de forma similar ao problema de ins�tabilidade angular �instabilidade de tens�o transit�ria�� ou decorridoalgum tempo �v rios minutos� ap�s a perturba��o� atrav�s da degra�da��o lenta do per�l de tens�es �instabilidade de tens�o de m�dio elongo prazos��

� Pequenas perturba��es causadas pela varia��o normal da carga� Estetipo de fen meno � normalmente tratado como um problema de esta�bilidade de tens�o est�tica�

A instabilidade de tens�o transit�ria � in!uenciada fortemente por com�ponentes da carga com din�mica r pida �motores de indu��o� por exemplo�e dispositivos r pidos de controle de tens�o� No caso da instabilidade detens�o de m�dio e longo prazos� os principais respons veis pelo fen menos�o os transformadores com comuta��o autom tica de tap sob carga �LTC��os limitadores de sobrexcita��o dos geradores �OEL�� e outros dispositivosde controle lentos�

Os m�todos de avalia��o da estabilidade de tens�o podem ser divididosem duas categorias� est ticos e din�micos� Os m�todos est ticos baseiam�sena an lise de sistemas de equa��es alg�bricas obtidas a partir do modelode !uxo de pot�ncia em sua vers�o convencional ou modi�cada� Os m�to�dos din�micos� em geral� baseiam�se em solu��es no tempo de sistemas deequa��es diferenciais e alg�bricas representando o desempenho din�mico doscomponentes do sistema� Embora o fen meno da instabilidade de tens�o sejaessencialmente din�mico� os m�todos est ticos s�o importantes pela sua e��ci�ncia computacional e pelas informa��es que produzem com rela��o a sen�sibilidades� graus de instabilidade e margens de estabilidade� Os m�todos desimula��o� por sua vez� reproduzem de forma mais precisa o comportamentodo sistema e s�o a �nica forma de se determinar a cronologia dos eventosque� eventualmente� conduzem a uma situa��o de instabilidade�

Os m�todos din�micos s�o indispens veis no estudo da instabilidade detens�o transit�ria pois somente com esse tipo de m�todo � poss�vel represen�tar� de forma precisa� o comportamento dos componentes do sistema comresposta r pida� Os m�todos est ticos s�o adequados para os estudos rela�cionados � instabilidade causada por pequenas perturba��es� nos quais oobjetivo principal � a determina��o dos limites m ximos de transfer�nciade pot�ncia e refor�os no suporte de reativos visando aumentar esses lim�ites� A instabilidade de tens�o de m�dio e longo prazos deve ser estudadapor m�todos din�micos� devido � necessidade da representa��o da cronologiados eventos� por�m n�o exige� necessariamente� uma representa��o precisados efeitos transit�rios mais r pidos� M�todos baseados em modelos simpli��cados da din�mica do sistema� levando em considera��o apenas os aspectosrelevantes � avalia��o da estabilidade de tens�o� t�m sido utilizados comsucesso nesse tipo de estudo %�&�

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COPPE�UFRJ ��

�� Caracter�sticas P�V e P�Q

Um forma usual de se introduzir os conceitos b sicos associados � avalia��oest tica da estabilidade de tens�o � atrav�s da an lise das caracter�sticas P�Ve P�Q de um sistema radial simples como aquele mostrado na Figura ����

����Zt � �

Zc � �

I� �s

ss

s(

-E � �o V �

�P � �Q

Figura ���� Sistema radial simples

A corrente no circuito da Figura ��� � dada por

I �E � �o

Zt � �� Zc � ������

ou

I �E � �o

Zt� cos�� � sen�� � Zc� cos �� � sen�������

de onde se obtem a magnitude da corrente

I �E

�Zt cos�� Zc cos��� � �Zt sen�� Zc sen�������

�����

De�nindo�

� �ZcZt

�����

vem

I �E

Ztp�

����

onde

� � � � �� � �� cos ��� �� �����

A tens�o na carga � dada por

V � ZcI �EZcZtp�

����

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�� An�lise de Redes El�tricas

ou ainda

V ��Ep�

�����

As pot�ncias ativa e reativa fornecidas � carga valem

P � V I cos� e Q � V I sen� �����

as quais� mediante a substitui��o de ���� e ������ produzem

P ��E� cos�

Zt�e Q �

�E� sen�

Zt�������

Os valores da corrente� tens�o na carga� pot�ncia ativa e reativa podem�ainda� ser normalizados pela corrente de curto�circuito �Icc � E�Zt�� tens�oda fonte �E� e pot�ncia m xima transferida �Pmax � E���Zt�� como a seguir

I

Icc�

�p�

�V

E�

�p�

������

P

Pmax�

�� cos �

��

Q

Pmax�

�� sen�

�������

Assumindo os valores tan� � �� e cos� � ��� �atrasado� para o circuitoda Figura ���� obtem�se as curvas mostradas na Figura ���� As curvas depot�ncia ativa e reativa podem� ainda� ser normalizadas com rela��o � m xi�ma pot�ncia ativa encontrada na caracter�stica� isto �� P�Pmax� resultandonas curvas mostradas na Figura ����

Das Figuras ��� e ���� pode�se observar que as pot�ncias m ximas trans�feridas � carga ocorrem quando � � � �Zt � Zc�� Para valores de � �� �Zc � Zt�� as pot�ncias transferidas aumentam com a eleva��o da carga�redu��o de Zc�� Por outro lado� para � � � �Zc Zt�� a eleva��o da car�ga produz uma redu��o nas pot�ncias transferidas� A segunda hip�tese ��claramente� uma situa��o inst vel�

Duas curvas caracter�sticas muito importantes no estudo da estabilidadede tens�o s�o as caracter�sticas P�V e P�Q� A caracter�stica P�V relaciona atens�o na barra de carga �V�E� com o valor da pot�ncia ativa consumida pelacarga �P�Pmax�� para diferentes valores de �� Essa curva pode ser obtida daFigura ��� para pares de valores da tens�o e pot�ncia ativa�

Para o circuito simples analisado nesta se��o� a caracter�tica P�V � dadana Figura ���� Nessa �gura o limite de transfer�ncia de pot�ncia �pontocr�tico�� correspondente � tens�o de ��� pu� determina a condi��o limitede estabilidade de tens�o� A parte superior da caracter�stica P�V mostraque o aumento da pot�ncia ativa transferida � carga causa uma redu��o natens�o� Por outro lado� na parte inferior da curva ocorre o efeito contr rio�caracterizando uma situa��o de instabilidade�

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COPPE�UFRJ ��

Figura ���� Caracter�sticas da corrente� da tens�o e das pot�ncias em fun��oda carga�

Figura ���� Caracter�sticas da corrente� da tens�o e das pot�ncias em fun��oda carga �com nova normaliza��o��

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�� An�lise de Redes El�tricas

Figura ���� Caracter�stica P�V�

A caracter�stica Q�V do circuito analisado nesta se��o� correpondente �condi��o de carga ativa P�Pmax � �� ��� � dada na Figura ��� Nessa �gura�a pot�ncia reativa Q correponde � pot�ncia entregue � carga� ou seja� � ovalor negativo da pot�ncia reativa consumida pela carga� Para condi��es deopera��o na parte � esquerda da carcter�stica Q�V� um aumento da pot�nciareativa injetada na barra produz redu��o da tens�o� Essa regi�o corresponde�portanto� a condi��es inst veis de opera��o�

A Figura ��� mostra a in!u�ncia da falha de um componente �conting�n�cia� do sistema de transmiss�o na caracter�stica P�V� Supondo que Zt re�presenta a imped�ncia equivalente do sistema de transmiss�o que conectaa gera��o � carga� o desligamento de um componente desse sistema tem oefeito de aumentar o valor de Zt� Esse fato ocasiona uma redu��o no limitede transfer�ncia de pot�ncia como mostrado pela curva P�V para a situa��op�s�conting�ncia�

Os modelo das cargas t�m uma in!u�ncia importante na avalia��o daestabilidade de tens�o� Para ilustrar essa in!u�ncia� suponha que no exemplodesta se��o a carga ativa seja representada por parcelas do tipo imped�nciaconstante e pot�ncia constante� ou seja� a carga ativa � dada por

P � P��a� b V �� ������

Suponha tr�s situa��es particulares t�picas de representa��o de cargas emsistemas reais�

� Carga Tipo �� a � ��� e b � ���"

� Carga Tipo �� a � ��� e b � ���"

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COPPE�UFRJ ��

Figura ��� Caracter�stica Q�V�

Figura ���� Caracter�sticas P�V para as condi��es normal e p�s�defeito�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Figura ��� Caracter�sticas das cargas�

� Carga Tipo �� a � ��� e b � ��

As caracter�sticas P�V desses tr�s modelos de carga s�o mostradas na Figura���

A intera��o dos modelos de carga acima descritos com o sistema de trans�miss�o � mostrada na Figura ���� Nessa �gura pode�se observar que para acarga do tipo � �pot�ncia constante� o sistema opera em condi��es limitesquando se considera o regime normal de opera��o �ponto a� e apresenta�se inst vel para a condi��o operativa p�s�conting�ncia �n�o h interse��oentre as caracter�sticas da carga e da con�gura��o p�s�conting�ncia�� Poroutro lado� se o sistema estiver operando com uma carga do tipo �� o mesmoapresenta�se est vel para a condi��o normal �ponto b� e condi��o limite deopera��o para a condi��o p�s�conting�ncia �ponto c�� Finalmente� para umacarga do tipo �� o sistema apresenta�se est vel tanto para a condi��o normal�ponto d� quanto na con�gura��o p�s�conting�ncia �ponto e� estando maispr�ximo� entretanto� do ponto de colapso nessa �ltima con�gura��o�

A Figura ��� mostra a in!u�ncia do fator de pot�ncia da carga na ca�racter�stica P�V� Dessa �gura pode�se concluir que quanto mais elevado � ofator de pot�ncia� maior ser o limite de pot�ncia que pode ser transferido dogerador � carga e mais elevado ser a tens�o correspondente ao ponto cr�ti�co� Portanto� o colapso de tens�o pode acontecer com magnitudes de tens�oconsideradas normais �� �� �� pu� quando as barras de carga apresentarem

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COPPE�UFRJ �

Figura ���� Caracter�stica composta carga�sistema de transmiss�o�

fatores de pot�ncia elevados� ou at� adiantados� devido� por exemplo� � uti�liza��o de capacitores shunt para compensa��o reativa�

No caso de redes com m�ltiplos geradores e cargas� as caracter�sticas P�V e Q�V podem ser obtidas resolvendo�se uma seq$encia de casos de !uxode pot�ncia para crescentes n�veis de carga� A partir dos resultados dessescasos de !uxo de pot�ncia� pode�se construir as curvas P�V e Q�V para asbarras de carga do sistema e determinar a aproxima��o do ponto de m ximatransfer�ncia de pot�ncia� Esse ponto � determinado pela primeira curva queatingir o ponto cr�tico e a barra correspondente a essa curva � denomininadabarra cr�tica�

�� An�lise de Sensibilidade Q�V e P�V

Conclus�es importante relativas � estabilidade de tens�o de um sistema depot�ncia podem ser obtidas a partir de uma an lise de sensibilidade dasvaria��es nos m�dulos das tens�es nas barras de carga em rela��o �s varia��esnas inje��es de pot�ncia ativa e reativa� Essa an lise pode ser relizada apartir do modelo linearizado das equa��es do !uxo de pot�ncia vistas nocap�tulo �� e reproduzidas a seguir com a nota��o ligeiramente modi�cada

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�� An�lise de Redes El�tricas

Figura ���� Caracter�sticas P�V para diversos fatores de pot�ncia da carga�

� P Q

��

�JP� JPVJQ� JQV

� � V

�������

onde JP�� JPV � JQ� e JQV s�o submatizes do Jacobiano�Supondo� inicialmente� P � �� ou seja� que existe somente varia��es na

demanda de pot�ncia reativa � Q �� ��� temos

� � JP� � JPV V �����

Q � JQ� � JQV V ������

de onde obtemos

Q � JQV � JQ�J��P�JPV � V �����

ou

Q � JRQ V ������

JRQ � JQV � JQ�J��P�JPV ������

onde JRQ � Matriz de Sensibilidade Q�V�Analogamente� pode�se supor Q � �� ou seja� que existe somente va�

ria��es na demanda de pot�ncia ativa � P �� ��� e obter

P � JPV � JP�J��Q�JQV � V ������

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COPPE�UFRJ �

ou

P � JRP V ������

JRP � JPV � JP�J��Q�JQV ������

onde JRP � a Matriz de Sensibilidade P�V�As matrizes JRQ e JRP podem ser vistas como equivalentes multi�di�

mensionais das inclina��es das curvas Q�V e P�V� respectivamente� no pontode opera��o considerado� Outra propriedade importante dessas matrizes �que elas se tornam singulares� assim como a matriz Jacobiano na equa��o������� quando o sistema atinge o seu limite de m ximo carregamento �pontocr�tico��

�� An�lise Modal

A Matriz de Sensibilidade Q�V pode ser decomposta na forma

JRQ � U�W ������

onde � � ��� ��� � � � � �n� � matriz diagonal dos autovalores de JRQ� enquantoque W � w��w�� � � � �wn�

T e U � u��u�� � � � �un� s�o� respectivamente� asmatrizes dos seus autovetores � esquerda e � direita�

Como � sempre poss�vel normalizar os autovetores de forma que U�� �W� substitutindo ������ em ������ e invertendo� temos

V � U���W Q ������

ou

V �nXi��

uiwTi

�i Q �

nXi��

Pi

�i Q �����

onde Pi � de�nida como a matriz dos Fatores de Participa��o associados aoao i��simo modo ��i��

De ������� obtem�se

W V � ���W Q ������

ou

v � ���q �����

com

v �W V� q �W Q ������

onde v e q s�o� respectivamente� os vetores de varia��o modal da tens�o eda pot�ncia reativa�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Para o i��simo modo� temos

vi ��

�iqi ������

Se ���i� � �� i � �� � � � � n� os i��simos componentes dos vetores da tens�omodal e da pot�ncia reativa modal estar�o na mesma dire��o� indicando queo sistema � est�vel� Em caso contr rio� se para algum i� ���i� �� o sistema� inst�vel� O ponto cr�tico � caracterizado por algum ���i� � � pois� nessecaso� qualquer varia��o na inje��o de pot�ncia reativa causa uma varia��oin�nita na tens�o�

A matriz de sensibilidade Q�V apresenta� para os sistemas de pot�nciareais� um alto grau de simetria� fazendo com que os seus autovalores e au�tovetores sejam� em geral� reais�

�� M todo de Continua��o

Os m�todos convencionais de solu��o do problema de !uxo de pot�ncia� taiscomo os m�todos de Newton�Raphson e Desacoplado R pido descritos ante�riormente� em sua formula��o b sica� apresentam di�culdades de converg�n�cia quando o sistema de transmiss�o aproxima�se de um ponto de m ximatransfer�ncia de pot�ncia �ponto cr�tico�� Em muitas situa��es� por exemplona an lise de estabilidade de tens�o� pode se tornar necess rio a obten��ode solu��es do !uxo de pot�ncia muito pr�ximas ao ponto cr�tico ou mesmoal�m do ponto cr�tico� ou seja� na parte inferior da curva P�V�

Existem v rios m�todos para resolver o problema descrito acima� Entreos mais conhecidos encontra�se o chamado M�todo de Continua��o �Contin�uation Power Flow� descrito em %�&� %�& e %��� pp� ����-����&� Este m�todo� capaz de produzir uma sequ�ncia de solu��es do problema de !uxo depot�ncia para um dado cen rio de varia��o de carga� O m�todo utiliza umesquema de previs�o�corre��o para encontrar uma trajet�ria de solu��es dosistema de equa��es de�nindo o problema de !uxo de pot�ncia� reformuladopara incluir um par�metro representando a varia��o da carga� A id�ia b sicado m�todo � ilustrado na Figura �����

����� Reformula��o das Equa� es do Fluxo de Pot�ncia

A varia��o da carga ativa e reativa nas barras do sistema � representada pelavaria��o de um �nico par�metro � da forma seguinte�

PLk � P �Lk � � �k S cos�k� ������

QLk � Q�Lk � � �k S sen�k� ������

onde

P �Lk� Q

�Lk� carga ativa e reativa inicial na barra k"

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COPPE�UFRJ ��

u eu eueu

SSSw

Previs�o

Corre��o

��Ponto Cr tico

V�pu�

P�MW�

Figura ����� Ilustra��o do esquema de previs�o�corre��o do M�todo de Con�tinua��o

�k� fator de varia��o da carga na barra k"

�k� fator de varia��o do fator de pot�ncia na barra k"

S� valor arbitr rio de pot�ncia aparente �MVAR� usado como refer�ncia parao escalamento do par�metro ��

Uma vers�o simpli�cada das express�es acima� supondo um crescimento uni�forme da carga com fator de pot�ncia constante� � dada por

PLk � P �Lk�� � �� ������

QLk � Q�Lk�� � �� ������

Para acompanhar o crescimento da carga� a gera��o de pot�ncia ativa deveser tamb�m ajustada de acordo com a express�o

PGk � P �Gk�� � ��k� ������

onde

P �Gk� gera��o ativa inicial na barra k"

�k� fator de varia��o da gera��o na barra k�

O Subsistema I de equa��es do !uxo de pot�ncia passa� ent�o� a ser escritona forma seguinte

P �Gk�� ���k��P �

Lk � � �k S cos�k�� gpk��v� � �� k � fPV� PQg �����

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��� An�lise de Redes El�tricas

Q�Gk �Q�

Lk � � �k S sen�k�� gqk��v� � �� k � fPV� PQg ������

onde

gpk��v� � VkXm�k

Vm�Gkmcoskm �Bkmsenkm�

gqrrk��v� � VkXm�k

Vm�Gkmsenkm �Bkmcoskm�

As equa��es ����� e ������ podem ser colocadas na forma compacta

f�x� � � �����

onde x � TvT�T �T e � � �critico� No caso de � � �� essas equa��es sereduzem �s equa��es usuais do !uxo de pot�ncia�

����� Etapa de Previs�o

A partir da solu��o do caso base� uma previs�o da pr�xima solu��o podeser obtida caminhando�se um certo passo na dire��o da tangente � curva� Ovetor tangente � obtido tomando�se a diferencial total de ambos os lados de�����

df�x� ��f�x�

���d �

�f�x�

��v�dv �

�f�x�

����d� � � ������

ou hF� Fv F�

i ��� ddvd�

��� � � ������

onde

F� ��f�x�

���� Fv �

�f�x�

��v�� F� �

�f�x�

����

Note que a parti��o F� Fv� em ������ � o Jacobiano do m�todo de Newton�Raphson�

O sistema de equa��es ������ tem uma inc�gnita a mais que o n�merode equa��es� Para resolver esse sistema� � necess rio que uma das inc�gnitastenha seu valor especi�cado �por exemplo� no valor ���� Esta vari vel recebeo nome de Par�metro de Continua��o� Neste caso� temos

�F� Fv F�

ek

� ��� ddvd�

��� �

��

��

�������

onde

ek � � � � � �k� � � � � � �

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COPPE�UFRJ ���

O par�metro de continua��o deve ser escolhido de maneira tal que tenhaa maior taxa de varia��o pr�ximo � solu��o em quest�o� Duas situa��esdevem ser observadas�

� Pr�ximo ao caso base �carga normal�� varia��es relativamente grandesna carga ��� produzem pequenas varia��es nas componentes de e v�Neste caso� � deve ser escolhido como par�metro de continua��o�

� Pr�ximo ao ponto cr�tico �carga pesada�� pequenas varia��es na carga��� produzem grandes varia��es em algumas componentes de e v�Neste caso� a componente de ou v com maior taxa de varia��o deveser escolhida como par�metro de continua��o�

Uma vez calculado o vetor tangente� a previs�o da solu��o � calculadapor �

�� p��

vp��

�p��

��� �

��� p

vp

�p

���� �

��� ddvd�

��� ������

onde � de�ne o passo a ser dado na dire��o do vetor tangente e p � o contadorde passos do processo de continua��o� A escolha de � afeta bastante odesempenho do m�todo� Se � for pequeno� o n�mero de passos necess riospara se alcan�ar a solu��o desejada � muito grande e� consequentemente� otempo de computa��o muito elevado� Se � for demasiadamente grande� aetapa de corre��o pode n�o convergir�

���� Etapa de Corre��o

Nesta etapa do processo� o sistema de equa��es de�nido em ����� � aumen�tado de uma equa��o que de�ne o valor da vari vel escolhida como par�metrode continua��o na etapa de previs�o� O valor atribu�do a esta vari vel � igualao valor previsto para esta vari vel de acordo com ������� O novo conjuntode equa��es tem o seguinte aspecto

�f��v� ��xk � �

��h�i

������

onde k � o �ndice da vari vel escolhida como par�metro de continua��o e �� o valor calculado para esta vari vel na etapa de previs�o�

O sistema de equa��es de�nido em ������ pode ser resolvido pelo m�todode Newton�Raphson com uma implementa��o muito semelhante ao caso do!uxo de pot�ncia convencional�

Exemplo ��� Seja o sistema simples mostrado na Figura $��� onde a barra� � uma barra in�nita �m�dulo e �ngulo de fase da tens�o constantes �

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��� An�lise de Redes El�tricas

� �

���� �o V � �

PL � j QLjx

Figura ����� Sistema para exemplo do M�todo de Continua��o

�� Varia��o da carga�

PL � P �L�� � ��

QL � Q�L�� � ��

�� Equa��es do uxo de potncia incluindo o par�metro �

fp�� V� �� � �P �L�� � ��� V B��sen � �

fq�� V� �� � �Q�L�� � ��� V �B�� � V B��cos � �

ou

f�x� � �

onde x � V ��T �

�� Vetor tangenteDe �$��% � obtemos para este caso particular

��fp��

�fp�V

�fp��

�fq��

�fq�V

�fq��

��p�V p��p

��� dp

dV p

d�p

��� � �

O sistema de equa��es acima tem � equa��es e � inc�gnitas� Umaterceira equa��o pode ser acrescentada ao sistema fazendo�se d� � ���O sinal na express�o anterior depende do fato de � estar crescendo �(�ou decrescendo ���� Assim� temos�

���

�fp��

�fp�V

�fp��

�fq��

�fq�V

�fq��

� � �

����p�V p��p

��� dp

dV p

d�p

��� �

��� �

���

���

Quando estivermos pr�ximos ao ponto cr�tico� devemos escolher outropar�metro de continua��o� Por exemplo� V � ��� Neste caso� tere�mos� �

���fp��

�fp�V

�fp��

�fq��

�fq�V

�fq��

� � �

����p�V p��p

��� dp

dV p

d�p

��� �

��� ����

���

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COPPE�UFRJ ���

Ambos os casos acima podem ser escritos� de forma compacta� como�J ��xp�ek

�dxp� �

h�eTk

i

ondeek �

h� � �

iou ek �

h� � �

ie

J ��xp� �hJ�xp� J���

p�i

onde

J�xp� �

��fp��

�fp�V

�fq��

�fq�V

��p�V p

� J���p� �

��fp���fq��

��p

Neste exemplo� as matrizes J�xp� e J���p� s�o dadas por

J�xp� �

��V pB��cos

p �B��senp

�V pB��senp ��V pB�� �B��cos

p

J���p� �

��PL��QL�

�� Etapa de Previs�oA previs�o da solu��o no passo p� � � dada por�

�� p��

V p��

�p��

��� �

��� p

V p

�p

���� �

��� dp

dV p

d�p

���

onde � � o escalar que determina o passo a ser dado na dire��o esco�lhida�

�� Etapa de Corre��oA etapa de corre��o consiste em resolver� pelo m�todo de Newton�Raphson� o sistema de equa��es �$��� � Em cada itera��o do processode solu��o� o sistema linear a ser resolvido �

�J ��x�

� � �

� �����V��

��� �

��� fp�� V� ��fq�� V� ������� ��

���

no caso em que o par�metro de continua��o escolhido � �� ou

�J ��x�

� � �

������V��

��� �

��� fp�� V� ��fq�� V� ���� �V � V �

���

no caso em que o par�metro de continua��o escolhido � V �

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��� An�lise de Redes El�tricas

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Ap�ndice A

Sistemas de Equa��esAlg�bricas Lineares

A�� Introdu��o

Um dos problemas num�ricos mais encontrados na an lise de sistemas mul�tivari veis � a solu��o do conjunto de equa��es de�nido por

Ax � b �A���

onde�A� matriz real ou complexa �n� n�b� vetor conhecido real ou complexo �n� ��x� vetor desconhecido ou procurado �n� ��

Com exce��o de problemas com dimens�es bastante reduzidas� o volumede c lculo necess rio para resolver o problema acima � muito elevado paraser realizado sem a ajuda de computadores� Problemas com centenas� eat� milhares� de equa��es s�o comuns na pr tica� Portanto� a e�ci�nciacomputacional� em termos do n�mero de opera��es aritm�ticas e mem�rianecess rios� � fator decisivo na escolha do m�todo de solu��o�

O problema acima ter solu��o sempre que A for n�o�singular� isto � A��

existir� Neste caso� se pelo menos uma das componentes de b for diferentede zero a solu��o ser �nica e dada por

x � A��b �A���

Em certas situa��es� muito embora A seja n�o�singular� a obten��o dasolu��o do sistema � dif�cil devido a problemas de precis�o� Neste caso�o sistema de equa��es �ou matriz de coe�cientes� � dito mal�condicionado�Este fato� bem como outros referidos acima� � ilustrado na �gura A���

��

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��� An�lise de Redes El�tricas

��������

AAAAAAAAAA

llllll

ccccccc

lllllll

������x� x� x�

x� x� x�

�a� �b� �c�

Figura A��� Exemplos de sistemas de equa��es �a� bem condicionado� �b�sem solu��o e �c� mal condicionado

A�� M todos de Solu��o

Os m�todos num�ricos de solu��o de sistemas de equa��es alg�bricas podemser classi�cados em tr�s grupos�

�� Invers�o Expl�cita� obten��o da inversa da matriz de coe�ci�ntes A emultiplica��o pelo vetor b�

�� M�todos Indiretos ou Iterativos� a solu��o � obtida atrav�s de aproxi�ma��es sucessivas a partir de uma condi��o inicial arbitr ria�

�� M�todos Diretos� o sistema original � transformado em um sistemaequivalente de solu��o imediata atrav�s de opera��es elementares delinha e coluna na matriz de coe�cientes e vetor de termos indepen�dentes�

A obten��o da inversa expl�cita de uma matriz � um processo num�ricotrabalhoso� envolvendo um n�mero elevado de opera��es aritm�ticas �� N�

para uma matriz cheia N�N�� Em sistemas de grandes dimens�es � poss�vela obten��o de resultados totalmente errados devido ao erro de arredonda�mento� Uma desvantagem adicional desse m�todo� importante nos problemasde uma matriz esparsa pode resultar em uma matriz cheia�

Os m�todos iterativos s�o facilmente implement veis� apresentam requi�sitos de mem�ria bastante modestos� s�o praticamente insens�veis � propa�ga��o de erros de arredondamento �os est gios iterativos s�o independentes�e� em geral� produzem a solu��o em um n�mero de opera��es menor que ainvers�o expl�cita �� N� para uma matriz cheia N �N�� Entretanto� apre�sentam grande desvantagem no caso de solu��es repetidas �mesma matriz decoe�cientes e diferentes vetores de termos independentes� pois exigem umarepeti��o total do processo iterativo em cada caso�

Os m�todos diretos� muito embora de implementa��o mais dif�cil queos m�todos indiretos� apresentam a grande vantagem de produzirem� aindaque implicitamente� a inversa da matriz de coe�cientes� No caso de matrizes

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COPPE�UFRJ ��

esparsas� desde que habilmente programados� esses m�todos podem se tornart�o e�cientes quanto os m�todos iterativos na solu��o se sistemas isolados ecertamente� muito mais e�cientes nas solu��es repetidas ou quando tamb�mse deseja a solu��o de sistemas como Atx � b� �At���x � b� etc�

A�� M todos Diretos

Maiores detalhes sobre os assuntos tratados nesta se��o podem ser encon�trados nas refer�ncias %��� �&�

A��� Elimina��o de Gauss

a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �an�x� � an�x� � � � � � annxn � bn

�A���

Assumindo que aii �� �

a��x� � a��x� � � � �� a�nxn � b�

a����� x� � � � �� a

����n xn � b

����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

a���n� x� � � � �� a

���nnxn � b

���n

�A���

onde

a���ij � aij � a�j

ai�a��

�A��

b���i � bi � b�

ai�a��

�A���

Aplicando�se o mesmo procedimento �s n� � equa��es restantes� obtem�se o seguinte sistema triangularizado�

a��x� � a��x� � � � �� a�nxn � b�

a����� x� � � � �� a

����n xn � b

����

� � � � � � � � � � � � �

a�n�nn xn � b

�n�n

�A��

O sistema de equa��es triangularizado dado por �A�� pode ser facilmenteresolvido atrav�s de um processo de substitui��o inversa ou retrosubstiuti��o�backward dubstituition��

xn �b�n���n

a�n���nn

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��� An�lise de Redes El�tricas

Para k � �� � n� �Para i � k � �� � n

lik �aikakk

Para j � k � �� � naij � aij � likakj

Fim,parabi � bi � likbk

Fim,paraFim,para

Figura A��� Algoritmo EG �Fase de Elimina��o�

�Para k � n� n� � � �xk � bkPara i � k � �� � n

xk � xk � akixiFim,paraxk � xk�akk

Fim,para

Figura A��� Algoritmo EG �Fase de Substitui��o�

xn�� �b�n���n � a

�n���n���nxn

a�n���n���n��

�A���

���

x� �b� � a��x�� � � a�nxn

a��

Exemplo A�� Suponha a solu��o do sistema de equa��es abaixo pelo m�todoEG� �

�� � �� �� �� �

�� � �

������ x�x�x�

��� �

��� �

��

���

Ap�s a fase de elimina��o� o sistema apresenta o aspecto seguinte���� � �� �

� �� �� � �

������ x�x�x�

��� �

��� �

���

���

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COPPE�UFRJ ���

A solu��o dos sistema� obtida na fase de retrosubstitui��o� produz os valoresx� � ���� x� � ��� e x� � �����O sistema triangularizado acima pode ser expresso de forma compacta

como Ux � b�� As opera��es realizadas na fase de elimina��o podem sersintetizadas na matriz triangular inferior

L �

��� � � �

�� � ����� ��� �

���

Obseve que o produto LU reproduz a matriz de coe�cientes do sistema orig�inal� Este resultado � v�lida para qualquer matriz n�o singular e servir� debase para o desenvolvimento de importante m�todo de solu��o de sistemasde equa��es lineares a ser apresentado na pr�xima se��o destas notas�

A��� Fatora��o LU

Qualquer matriz n�o�singular A pode ser decomposta no produto de duasmatrizes como a seguir

A � LU �A���

onde

U � matriz triangular superior"

L� matriz triangular inferior com diagonal unit ria�

Essa decomposi��o � �nica e� como mostrado no Exemplo A��� as matrizesfatores podem ser obtidas pelo processo de EG�

O sistema de equa��es poder � ent�o� ser resolvido em duas etapas�

Ly � b �A����

Ux � y �A����

A solu��o dos sistemas de equa��es acima� devido � sua estrutura particular�pode ser obtida de forma simples por processos de substitui��o direta einversa �forward and bakward substitution��

O c lculo dos elementos de L e U � a partir do processo de EG� podeser melhor entendido se representarmos cada passo deste processo atrav�s dematrizes� Seja o sistema de equa��es dado em �A���� A obten��o do sistemaequivalente �A��� pode se representado pela seguintes transforma��es�

L�x � L�b �A����

�No segundo loop desse algoritmo� para k � n� a varivel i apresentaria uma varia��oentre n� � e n� Evidentemente este loop n�o deve ser executado� Este fato previsto namaioria das linguagens computacionais utilizadas na implementa��o desses algoritmos

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��� An�lise de Redes El�tricas

onde

L� �

������

��l�� ����

� � ��ln� �

������ � li� �

ai�a��

� i � �� � n �A����

Os passos seguintes do processo de elimina��o podem� tamb�m� ser repre�sentados por matrizes L�� � Ln � �� com estrutura similar � de L�� ou seja�

Ux � �LAx � �Lb �A����

onde

�L � Ln��Ln��L�L�

Li �

�����������

�� � �

��li���i

���� � �

�ln�i �

������������ i � �� � n � � �A���

li� �ai�a��

� i � �� � n

De �A����� podemos concluir que�

U � �LA �A����

Multiplicando ambos os membros de �A���� sucessivamente por L��n��� L��n���

� L��� � L��� � obtemos �A��� onde

L � L��n��L��n��L

��� L��� �A���

A obten��o dos elementos de L e U pode ser realizada pelo algoritmo daFigura A�� onde os elementos de U s�o armazenados no tri�ngulo superiorde A� Observe que este algoritmo � o mesmo algoritmo usado para a EG amenos da opera��o realizada no vetor b� A solu��o dos sistema de equa��es�seguindo os dois passos representados por �A���� e �A����� � realizada peloalgoritmo da Figura A��

A�� Ordena��o

Nas se��es anteriores� a solu��o dos sistemas de equa��es pelos m�todosdiretos foram efetuadas escolhendo�se como piv s os elementos da diagonal

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COPPE�UFRJ ���

Para k � �� � n� �Para i � k � �� � n

lik �aikakk

Para j � k � �� � naij � aij � likakj

Fim,paraFim,para

Fim,para

Figura A��� Algoritmo para Fatora��o LU

Para k � �� � nyk � bkPara i � �� � k � �

yk � yk � lkiyiFimpara

Fim,paraPara k � n� n� �� � �

xk � ykPara i � k � �� � n

xk � xk � akixiFimparaxk � xk�akk

Fimpara

Figura A�� Algoritmo para Solu��o usando os fatores LU

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��� An�lise de Redes El�tricas

principal das matrizes de coe�cientes na ordem em que estes aparecem namatriz dada� Esta escolha natural n�o pode� em geral� ser seguida na pr ticadevido �s seguintes raz�es�

� Poss�vel exist�ncia de elemento diagonal nulo"

� Erros de arredondamento"

� Esfor�o computacional elevado�

Uma escolha de piv s completamente diferente pode ser obtida observando�se que a ordem referida acima como natural � fun��o da maneira comoas equa��es e vari veis s�o ordenadas� isto �� alterando�se esta ordena��oqualquer elemento da matriz de coe�cientes pode ser utilizado como piv �Com isto evita�se o problema de piv s nulos e pode�se otimizar o erro dearredondamento e esfor�o computacional�

Um crit�rio de escolha de piv s simples e com resultados pr ticos aceit veis�do ponto de vista do erro de arredondamento� consiste em selecionar em cadalinha ou coluna da matriz de coe�cientes o elemento com maior valor abso�luto� No caso dos problemas de redes el�tricas� em muiros casos� as matrizespossuem domin�ncia diagonal� isto �� os elementos da diagonal principals�o maiores� em valor absoluto� que os elementos fora da diagonal� Conse�quentemente� escolhendo�se estes elementos como piv s assegura�se uma boaprecis�o na solu��o de sistemas de equa��es� Uma vantagem adicional destaescolha � que a simetria em estrutura � preservada�

Uma vez escolhidos os elementos da diagonal principal como piv s� restaestabelecer qual a melhor ordem de processamento desses elementos� Quandose utiliza o m�todo nodal de an lise de redes� isto equivale na pr tica auma renumera��o dos n�s da rede� Esta escolha deve ser feita visando aminimiza��o do esfor�o computacional �tempo de processamento e mem�ria�necess rios � solu��o do sistema de equa��es�

A���� Ordena��o para Preservar a Esparsidade

No caso de matrizes de coe�cientes esparsas� o tempo de processamento emem�ria necess rios para a solu��o do sistema de equa��es podem ser re�duzidos drasticamente se forem armazenados e operados somente os elemen�tos n�o nulos da matriz original e das matrizes fatores usadas nos m�todosdiretos� Quanto menor for a porcentagem de elementos n�o nulos nessasmatrizes� menor ser o esfor�o computacional necess rio para a solu��o doproblema�

O n�mero de elementos n�o nulos nas matrizes fatores depende forte�mente de pivoteamento do sistema original� Uma ordena��o adequada poder gerar matrizes fatores com uma porcentagem de elementos n�o nulos pr�x�ima � da matriz original� O inverso poder conduzir a matrizes fatores

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COPPE�UFRJ ���

�����������������

� �

Figura A��� Rede exemplo

praticamente cheias� Para exempli�car o efeito da ordem de pivoteamentona esparsidade das matrizes fatores� considere o exemplo da �gura A��

Na �gura A� s�o mostradas as estruturas das matrizes admit�ncia debarras e suas formas triangulares obtidas atrav�s do processo de Elimina��ode Gauss� Estas estruturas correspondem � ordem da numera��o das bar�ras �Y e Uy� e uma outra ordem escolhida com o objetivo de minimizar oaparecimento de elementos n�o nulos na matriz triangularizada �Y

e U�

y�� Ofen meno da gera��o de elementos n�o nulos nas matrizes fatores em posi��esonde existiam elementos nulos na matriz original recebe o nome de �ll�in�

A���� Representa��o da Estrutura de Matrizes por Grafos

A estrutura das matrizes pode ser representada por grafos nos quais os n�srepresentam as linhas ou colunas e os ramos representam os elementos n�o�nulos fora da diagonal principal� No caso das matrizes sim�tricas em estru�tura� de particular interesse na an lise de redes el�tricas� os grafos possuemapenas um ramo ligando dois n�s e� em geral� n�o � necess rio associar�seuma dire��o aos ramos para os estudos de ordena��o� No caso particular dasmatrizes de admit�ncias� o grafo representativo da estrutura da matriz coin�cide com o grafo correspondente � rede que deu origem � matriz� excluindo�seas liga��es � refer�ncia� Na �gura A�� �a� � mostrado o grafo correspondente� matriz de admit�ncias da rede mostrada na �gura A���

No processo de Elimina��o de Gauss� a cada opera��o de pivoteamentocorresponde a elimina��o de um n� do grafo e a conex�o entre si de todosos n�s previamente conectados ao n� eliminado� O grafo assim obtido cor�responde � parte da matriz onde ainda n�o foi efetuado o processamento�Os ramos introduzidos no grafo quando da elimina��o de n�s correspondemaos elementos n�o nulos criados no processamento dos elementos da matrizcorrespondente�

Na �gura A�� �b� e �c� s�o mostrados os dois primeiros passos do pro�cesso de Elimina��o de Gauss aplicado ao grafo da matriz do exemplo da�gura A� utilizando as duas ordens de elimina��o usadas na se��o anterior�

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��� An�lise de Redes El�tricas

Y �

� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � �� � � �� � � �� � �

Uy �

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � �� � �� �

�Y �

� � � � � �� � �� � � �� � � �� � � �� � � � �� � � � � �

�Uy �

� � � � � �� � �� � � �� � � �� � � �� � �� �

� � posi��o dos elementos n�o nulos em Y e Uy� � elementos n�o�nulos introduzidos na triangulariza��o de Y

Figura A�� Exemplo do efeito da ordena��o no �ll in

qqq q

qqaaa�����

��

qqq q

q�����

q

q q

qq�

��

HHj

� qq q

q�����

q

q

q

� SSSSSS

�c��b��a�

Figura A���

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COPPE�UFRJ ��

Os elementos n�o nulos criados em cada passo do processo s�o representadospor linhas tracejadas�

A��� Esquemas de Ordena��o

Nos exemplos vistos nas se��es anteriores observa�se que a cria��o de ele�mentos n�o nulos no processo de Elimina��o de Gauss e seus derivados �tanto maior quanto for o n�mero de elementos n�o nulos na linha�colunaprocessada ou caso se utilize a representa��o por grafos� o n�mero de ramosconectados ao n� a ser eliminado� Assim� no exemplo da �gura A�� ao seeliminar o n� � no primeiro passo do processo s�o criados cinco novos ramos�ou elementos n�o nulos na matriz�� correspondentes � liga��o entre si dosquatro n�s conectados originalmente ao n� eliminado� Contrariamente� se on� � for o escolhido para o primeiro passo do processo� nenhum elemento n�onulo ser criado pois o referido n� possui somente um ramo a ele conectado�

Das observa��es acima� que embora obtidas de um exemplo particularpodem ser generalizadas para qualquer tipo de rede ou matriz� pode�se con�cluir que uma estrat�gia razo vel para ordena��o dos piv s seria escolherinicialmente as linhas da matriz com menor n�mero de elementos n�o nulos�Esta escolha produzir matrizes fatores mais esparsas que aquelas geradaspor uma ordena��o qualquer� Entretanto� n�o garante uma ordena��o �ti�ma� isto �� uma ordena��o que produzir matrizes com o menor n�meroposs�vel de elementos n�o nulos� Tal ordena��o somente poderia ser alcan�a�da se fossem analisadas todas as poss�veis ordens de elimina��o e escolhidaa melhor entre elas� Isto signi�caria simular� sem efetivamente resolver� oprocesso de Elimina��o de Gauss para todas as poss�veis combina��es de or�dem de elimina��o do sistema de equa��es dadas� Na �gura A�� uma rvoremostrando todas as combina��es poss�veis no caso de uma matriz � � � �mostrada� Nesta rvore os n�meros associados aos ramos correspondem �slinhas�colunas processadas� O n�mero de combina��es poss�veis � dado pornpara uma matriz n� n�

No caso de redes com dimens�es reais� a escolha da ordem �tima exi�giria um trabalho computacional excessivamente elevado o qual eliminariaas vantagens obtidas com a redu��o m xima na cria��o de elementos n�onulos� Na pr tica prefere�se trabalhar com uma ordena��o sub��tima querepresenta uma solu��o de compromisso entre o esfor�o computacional paraobter a ordena��o e a redu��o nos requisitos computacionais para a solu��opropriamente dita do sistema de equa��es�

Para aplica��o em problemas de an lise de redes el�tricas� tr�s esquemasde ordena��o s�o geralmente citados na literatura�

� Esquema �� Ordena��o em ordem crescente do n�mero de elementosn�o nulos fora da diagonal principal da matriz original�

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��� An�lise de Redes El�tricas

r rr

r

rrrrrr

������

�ZZZZZ�

�������

XXXXXXz

�������

XXXXXXz

�������

XXXXXXz

Figura A��� .rvore de decis�es no problema de ordena��o

r rr

r

rrrrrr

������

�a�

r rr

r

rrrrrr

������

�ZZZZZ�

�������

XXXXXXz�

�b�

Figura A���� .rvores de decis�es para os Esquemas de Ordena��o � e �

� Esquema �� Ordena��o tal que� em cada etapa do processo� a linha oucoluna da matriz a ser operada � aquela que cont�m o menor n�merode elementos n�o nulos�

� Esquema �� Ordena��o tal que� em cada etapa do processo� a linhaou coluna a ser operada � aquela que introduzir o menor n�mero deelementos n�o nulos nas matrizes fatores�

O esquema � � chamado de uma ordena��o est tica pois analisa a matrizde coe�cientes na sua forma original� Os esquemas � e � s�o classi�cadoscomo esquemas de ordena��o din�micos pois considera o efeito da cria��ode elementos n�o nulos em cada etapa do processo� Em compara��o com abusca de uma ordena��o �tima ilustrado na �gura A��� o esquema � analisaapenas o n� inicial da rvore enquanto os esquemas � e � analisam as por��esda rvore mostradas na �gura A��� �a� e �b�� respectivamente�

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COPPE�UFRJ ��

Estudos de simula��o realizados com redes reais demonstram que o es�quema � � aquele que produz os melhores resultados para as redes el�tricasencontradas na pr tica quando se leva em considera��o o esfor�o total deordena��o e solu��o do sistema de equa��es�

Em certas situa��es pode ser vantajoso posicionar certas linhas�colunasda matriz nas �ltimas posi��es da lista ordenada de processamento apesardisto contrariar a ordena��o segundo o crit�rio de cria��o m�nima de elemen�tos n�o nulos� Algumas dessas situa��es s�o�

� Quando sabe�se que modi�ca��es nos elementos da matriz originalv�o ocorrer apenas em algumas linhas�colunas" se estas linhas�colunasforem colocadas no �nal da lista� apenas os elementos desta parte damatriz fatores dever�o ser modi�cados�

� No caso de solu��es sucessivas onde alguns poucos elementos do vetorb s�o modi�cados" neste caso� se as linhas�colunas correspondentes aestes elementos s�o colocadas no �nal da lista� isto permite que� ap�s aprimeira solu��o� o processamento se restrinja � parti��o afetada pelasmudan�as�

� No caso de matrizes com pequena assimetria estrutural" se as lin�has�colunas s�o numeradas de maneira que a parte n�o sim�trica damatriz se localize nas �ltimas posi��es� vantagens podem ser obtidasda simetria existente at� este ponto�

A�� Armazenamento de Matrizes Esparsas

Para os programas computacionas baseados nos m�todos de solu��o de sis�temas de equa��es descritos nas se��es anteriores sejam e�cientes� � necess rioque t�cnicas especiais sejam empregadas no desenvolvimento dos mesmos�Estas t�cnicas t�m o objetivo de armazenar e operar apenas com os elemen�tos n�o nulos das matrizes de coe�cientes e matrizes fatores� A economia demem�ria resultante dessa metodologia � obvia� Quanto � redu��o no tempode processamento� este pode ser entendido observando�se que� deste modo�s�o evitadas a realiza��o de opera��es cujos resultados s�o previamente con�hecidos� tais como multiplica��es ou adi��es onde um dos operadores � nulo�Entretanto� os ganhos obtidos com estas t�cnicas tem como contrapartidauma programa��o complexa a qual requer habilidades especiais no desen�volvimento dos programas�

Para introduzir alguns esquemas de armazenamento de matrizes esparsas�a matriz Y correspondente � rede da �gura A�� ser utilizada como exemplo�Nesses exemplos a matriz ser � em princ�pio� considerada sim�trica apenasna estrutura e n�o no valor num�rico dos elementos� Para facilitar o entendi�mento� a matriz ser reescrita como�

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��� An�lise de Redes El�tricas

Y �

Y�� Y�� Y�� Y�� Y�Y�� Y�� Y�� Y��Y�� Y�� Y��Y�� Y�� Y��

Y�� Y�� Y��Y� Y

Esquema �

Este � um esquema de armazenamento muito simples e f cil de programarpor�m� como �car claro mais adiante� pouco e�ciente devido �s di�culdadesde localizar� recuperar e inserir novos elementos bem como � redund�nciade informa��es nele presentes� Os m elementos n�o nulos da matriz s�oarmazenados em tr�s vetores�

ILIN� �ndice de linhas �m�ICOL� �ndice de colunas �m�VAL� valor num�rico dos elementos �m�No caso da matriz Y dada acima� estes vetores seriam dados por�

� � � � � � � ��� ��ILIN � � � � � � � � � ��� �

ICOL � � � � � � � � ��� �

VAL Y�� Y�� Y�� Y�� Y� Y�� Y�� Y�� Y�� ��� Y�

Esquema �

� derivado do esquema � observando�se que o vetor ILIN cont�m informa��oredundante� Por exemplo� as cinco primeiras posi��es de ILIN s�o utilizadaspara indicar que os respectivos elementos de VAL pertencem a linha � damatriz� Neste bastaria indicar� de uma maneira mais compacta� que esteselementos pertencem � linha �� Isto pode ser obtido introduzindo�se o vetorINIL com o seguinte signi�cado�

INIL� apontador do in�cio de linha �n�Cada elemento de INIL indica a posi��o de ICOL e VAL onde se inicia

a seq$�ncia de elementos da linha correspondente� No caso do exemplo� osvetores seriam�

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COPPE�UFRJ ���

� � � � �INIL � �

� � � � � � � ��� ��ICOL � � � � � � � � ��� �

VAL Y�� Y�� Y�� Y�� Y� Y�� Y�� Y�� Y�� ��� Y�

No caso de matrizes sim�tricas em estrututa � conveniente armazenaros elementos da diagonal em um vetor � parte e desdobrar os elementosdos tri�ngulos superiores e inferiores em dois vetores contendo os elementossim�tricos em posi��es correspondentes� Assim� s�o introduzidos os vetoresseguintes�

DIAG� valor num�rico dos elementos da diagonal �n�

VALS e VALI� similares a VAL por�m apenas os elementos dos tri�ngulossuperiores e inferiores respectivamente�

Com esta nova estrutura� a matriz do exemplo seria armazenada daseguinte maneira�

� � � � �INIL �

DIAG Y�� Y�� Y�� Y�� Y�� Y

� � � � � ICOL � � � � �

VALS Y�� Y�� Y�� Y� Y�� Y�� Y��

VALI Y�� Y�� Y�� Y� Y�� Y�� Y��

O fato de tr�s �ltimas posi��es de vetor INIL neste exemplo permaneceremvazias � mera circunst�ncia da rede e da ordena��o dos n�s usados� No casode matrizes sim�tricas o vetor VALI � obviamente desnecess rio�

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��� An�lise de Redes El�tricas

Esquema �

Os esquemas � e �� como j citamos anteriormente� apresentam o inconve�niente de requerer deslocamentos de um grande n�mero de seus elementossempre que algum novo elemento tiver que ser inserido ou retirado da estru�tura de dados� Este inconveniente � grave no caso do m�todo de Elimina��ode Gauss e seus derivados pois� como visto em se��es anteriores� neste m�to�do s�o criados elementos n�o nulos� isto �� em determinadas posi��es ondeexistia um elemento nulo na matriz original� Como em geral utiliza�se amesma estrutura de dados para armazenar a matriz original e as matrizesfatores� a necessidade de inser��o de elementos � freq$ente�

A inconveni�ncia acima referida pode ser eliminada se ao inv�s de ar�mazenar os elementos da matriz na sua ordem natural for utilizado o con�ceito de listas encadeadas� Este conceito ser ilustrado inicialmente atrav�sdo problema de armazenamento de uma lista de n�mero na ordem crescentede seu valor� Considere a seguinte lista de n�meros a ser armazenada em umvetor VAL�

�� � �� � �� � �� � �� � �� �

O armazenamento desta lista em ordem crescente seria dado por�

� � � � � VAL ��� ��� �� �� �� ��� �

Caso se pretenda introduzir um novo elemento na lista� por exemplo on�mero ���� todos os elementos de VAL� a partir da quarta posi��o do vetor�devem ser deslocados um espa�o � frente para acomodar o novo elemento�gerando um novo vetor VAL como se segue�

� � � � � VAL ��� ��� �� ��� �� �� ���

A tarefa de inser��o ou retirada de elementos de uma lista pode serfacilidata se utilizarmos a estrutura de dados encadeada ilustrada a seguir�

� � � � � VAL � � � � �

VAL ��� �� �� �� ��� ���

Na estrutura de dados acima� o vetor IPROX tem o seguinte signi�cado�IPROX� indica a posi��o do pr�ximo elemento da listaA inclus�o de IPROX permite a indica��o da ordem desejada indepen�

dente da ordem real dos elementos de VAL� No caso foi utilizada a ordem emque foram fornecidos os n�meros� O valor zero de um elemento de IPROXindica o �nal da lista� A inser��o de um novo elemento na lista� no caso

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COPPE�UFRJ ���

o n�mero ���� seria realizada com a modi�ca��o�cria��o de apenas tr�s el�ementos da estrutura de dados� independente do tamanho da lista� como �mostrado abaixo�

� � � � � VAL � � �� � � ���

VAL ��� �� �� �� ��� ��� �����

A introdu��o da id�ia de encadeamento no esquema � de armazenamentode matrizes esparsas� produz o chamado esquema � o qual � usualmenteutilizado nos programas de an lise de redes el�tricas� Para o caso da matrizusado como exemplo nesta se��o� usando a ordem dos n�s como mostradana �gura A� a estrutura de dados seria�

� � � � �INIL � � � � �

DIAG Y�� Y�� Y�� Y�� Y�� Y

� � � � � IPROX � � � � � � �

ICOL � � � � � �

VAL Y� Y�� Y�� Y�� Y�� Y�� Y��

VALI Y�� Y�� Y�� Y� Y�� Y�� Y��

A� M todos Iterativos

Maiores detalhes sobre os assuntos tratados nesta se��o podem ser encon�trados nas refer�ncias %�� ��&�

A���� M�todo de Jacobi

Seja o sistema de tr�s equa��es

a��x� � a��x� � a��x� � b�a��x� � a��x� � a��x� � b�a��x� � a��x� � a��x� � b�

�A����

o qual pode ser reescrito como

x� � ��a�� �� a��x� � a��x� � b� �x� � ��a�� �� a��x� � a��x� � b� �x� � ��a�� �� a��x� � a��x� � b� �

�A����

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��� An�lise de Redes El�tricas

O sistema de equa��es na forma �A���� pode ser usado como um algoritmoiterativo para a solu��o do sistema original a partir de uma condi��o inicialarbitr ria x��� x

��� x

��� Este esquema iterativo � conhecido como M�todo de

Jacobi %�& e sua forma generalizada para n equa��es � mostrado a seguir�

xk��i ��

aii

���X

j ��iaijx

kj � bi

�A �A����

i � �� � n k � �� �� �

O m�todo de Jacobi pode ser� tamb�m� apresentado em um formatomatricial� Suponha a matriz A decomposta da maneira seguinte�

A � D �E � F �A����

onde�

D� matriz diagonal"

E� matriz triangular inferior com diagonal nula"

F � matriz triangular superior com diagonal nula�

No caso de tr�s equa��es� temos�

A �

��� a�� � �

� a�� �� � a��

����

��� � � ��a�� � ��a�� �a�� �

����

��� � �a�� �a��

� � �a��� � �

���

De�na�

L � D��E �A����

U � D��F �A����

No caso do M�todo de Jacobi� o processo iterativo � de�nido atrav�s daseguinte parti��o �spliting� da matriz de coe�cientes�

Dx � �E � F �x� b �A����

de onde se obtem o algoritmo�

xk�� � �I � L�xk � �D �E���b �A���

A matriz �I � L� � denominada Matriz de Itera��o�

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COPPE�UFRJ ���

A���� M�todo de Gauss�Seidel

O m�todo de Gauss�Seidel difere do m�todo de Jacobi pelo fato de usar noprocesso iterativo os valores atualizados das vari veis t�o logo estes estejamdispon�veis� O algoritmo de Gauss�Seidel � dado por %�&�

xk��i ��

aii

���X

j�i

aijxk��j �

Xji

aijxkj � bi

�A �A����

i � �� � n k � �� �� �

Na formula��o matricial� o processo iterativo � de�nido por

�D �E�x � Fx� b �A���

de onde se obtem o algoritmo

xk�� � �I � L�Uxk � �D �E���b �A����

A��� M�todo de Sobrerelaxa��o sucessiva �SOR�

� uma variante do m�todo de Gauss�Seidel na qual a atualiza��o das vari veis� realizada de acordo com %�&

xk��i � xki � ���xk��i � xki � �A����

onde �xk��i � o resultado da itera��o de Gauss�Seidel e � � o Fator de Sobre�relaxa��o�

A���� Converg�ncia

A forma geral dos m�todos iterativos �Jacobi e Gauss�Seidel� descritos nasse��es anteriores �

xk�� � Hxk � d k � �� �� �� �A����

De�ni�o � O raio espectral de uma matriz A � de�nido como o autovalorde maior valor absoluto de A� ou seja�

� �A� � max��i�n

j�ij �A����

onde �i� i � �� � n� s�o os autovalores de A�

Teorema � O m�todo iterativo na forma geral acima �A��� converge paraqualquer condi��o inicial x� se� e somente se� � �H� �� sendo � �H� o raioespectral da matriz de itera��o H� Ainda mais� quanto menor for a valor de� �H� mais r�pida ser� a taxa de convergncia�

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��� An�lise de Redes El�tricas

A demonstra��o do terorema acima pode ser encontrada nas refer�ncias %����&�

Exemplo A��

A �

��� � � ��

� � �� � �

���

A �

��� � � �� � �� � �

����

��� � � ��� � ��� �� �

����

��� � �� �

� � ��� � �

���

As matrizes de itera��o correspondentes aos m�todos de Jacobi e Gauss�Seidel� repectivamente� s�o

HJ � L� U �

��� � �� ��� � ���� �� �

���

e

HGS � L� U �

��� � �� �

� � ��� � �

���

cujos valores do raio espectral s�o� respectivamente� � �HJ� � � e � �HGS� ��� Esses valores indicam que� para este sistema de equa��es� o m�todo deJacobi converge enquanto o de Gauss�Seidel diverge�

A���� M�todo do Gradiente Conjugado

Om�todo do Gradiente Conjugado �GC� foi introduzido em ��� por Hestensand Stiefel� � baseado em t�cnicas de otimiza��o de fun��es� Aplicado� solu��o de sistemas de equa��es alg�bricas lineares �� em princ�pio� umm�todo direto� Por�m� sua grande vantagem aparece quando � utilizadocomo um m�todo iterativo�

Formula�o de Ax�b como um Problema de Minimiza�o

Consideremos inicialmente o caso de um equa��o dada por

ax � b �A����

a partir da qual podemo de�nir

q ��

�ax� � bx �A����

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COPPE�UFRJ ��

O valor m�nimo de q em �A���� � obtido resolvendo�se

dq

dx� ax� b � � �A����

De �A���� podemos concluir que resolver ax � b � equivalente a encontrar om�nimo de q� A extens�o para o caso multidimensional � obvia e a fun��o aser minimizada � dada por

Q ��

�xTA x� bTx �A���

Solu�o do Problema de Minimiza�o

Seja o problema

minx

f�x�� x � IRn� f�x� � IRn � IR �A����

A maioria dos m�todos de solu��o do problema de�nido em �A���� baseia�se na gera��o de uma sequ�ncia de pontos no IRn� a partir de um ponto inicialarbitr rio� tal que

f�xk��� f�xk� � k � �� �� �� �A���

Uma maneira de gerar uma sequ�ncia como a de�nida em �A���� � atrav�sda recorr�ncia

xk�� � xk � �k pk � k � �� �� �� �A����

onde

pk� dire��o conveniente"

�k� passo conveniente na dire��o pk�

Este procedimento � ilustrado na Figura A��� onde uma fun��o de duasvari veis � representada por suas curvas de n�vel� A forma de escolher pk

e �k determina o tipo de m�todo de otimiza��o� Um m�todo simples � oM�todo do Gradiente �Steepest Descent� o qual � de�nido por

pk � �rf�xk� �A����

�k � f� j f�xk � �k pk� � min

f�xk � � pk�g �A����

Aplicando �A���� e �A���� ao problema de�nido em �A���� temos %��&

pk � b�Axk �A����

�k ��pk�T �Axk � b�

�pk�TA pk�A����

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��� An�lise de Redes El�tricas

Figura A���� Representa��o geom�trica de um problema de minimiza��o

M�todo das Dire�es Conjugadas

De�ni�o � Um conjunto de dire��es �vetores pk� k � �� �� � n��� s�oconsiderados conjugadas� em rela��o a uma matriz A �n� n � se

�pi�TA pj � � � i �� j � � i� j �A����

Teorema � Se A � real� sim�trica e positiva de�nida� e pi� i � �� �� � pn��s�o vetores n�o nulos satisfazendo �A��� ent�o� para qualquer x�� o processoiterativo

xk�� � xk � �k pk � k � �� �� �� � �A����

onde �k � escolhido de acordo com �A��� � converge para a solu��o exata deAx � b em n�o mais que n passos�

A demonstra��o do teorema acima pode ser encontrada em %��&� Esteterorema � v lido se considerarmos uma aritm�tica com precis�o in�nita� isto�� um sistema de computa��o sem erro de arredondamento� Nesta situa��o�o m�todo das Dire��es Conjugadas� de�nido pelo teorema� � de fato umm�todo direto� Entretanto� a import�ncia pr tica deste m�todo reside nofato do mesmo poder ser utilizado como um m�todo iterativo pois� na maioriadas aplica��es pr ticas� o m�todo converge em um n�mero de itera��es muitomenor que n desde que a matriz A seja bem condicionada�

M�todo do Gradiente Conjugado

Se no m�todo das dire��es conjugadas escolhermos como dire��o inicial

p� � �rQ � ��Ax� b� �A���

teremos o m�todo do Gradiente Conjugado �GC�� O algortimo completo dom�todo CG � dado na Figura A��� onde � usada a nota��o �x� y� � xT y�produto escalar��

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COPPE�UFRJ ��

Escolha x�� fa�a p� � r� � b�Ax�

Para k � �� �� �� �k � �rk� rk���pk� A pk�xk�� � xk � �kpk

rk�� � rk � �kA pk

Se jjrk��jj�� �� � ent�o� PARE�Sen�o� fa�a

�k � �rk��� rk�����rk� rk�pk�� � rk�� � �kpk

Fim,seFim,para

Figura A���� Algoritmo do Gradiente Conjugado

A���� M�todo do Gradiente Conjugado Pr��condicionado

Uma estimativa da taxa de converg�ncia do m�todo GC � dada por %��&

jjxk � �xjj� �p� ���k jjx� � �xjj� �A����

onde

k� n�mero de itera��es"

�x� solu��o exata de Ax � b"

� �p���p���

"

� � cond �A� � �n���"

�n e ��� maior e menor autovalor de A� respectivamente�

O valor � � denominado N�mero de Condicionamento de A� De �A����conclui�se que

� � � � � � �� ��� � � �

ou seja� quanto maior for n�mero de condicionamento de A� mais pr�ximode � ser o valor de � e� portanto� mais lenta ser a converg�ncia do m�todo�

Baseado no resultado mostrado acima� introduz�se a id�ia do pr��condiconamentoa qual � implementada atrav�s de uma transforma��o de congru�ncia em A

�A � SAST �A���

tal quecond � �A� cond �A� �A����

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��� An�lise de Redes El�tricas

Essa transforma��o � obtida manipulando�se o sistema de equa��es orig�inal at� atingir a forma seguinte

�A�x � �bT �A����

onde

�A � SAST �A���

�x � S��x �A����b � Sb �A���

O m�todo do GC poderia� simplesmente� ser aplicado ao sistema trans�formado �A���� por�m� do ponto de vista computacional� � mais e�cientemanter o sistema original e modi�car os passos do algoritmo da maneiramostrada a seguir

�r�x � �b� �A�x� �A���

� Sb� SASTS�Tx� �A���

� S�b�Ax�� �A��

� Sr� �A���

e

�p�x � sr� �A��

��r�� r�� � �Sr��T �Sr�� � �STSr��r� �A���

r� � �STS����r� �M �r� �A���

A matriz M deve ser escolhida de maneira tal que

� O sistema de equa��es M �r � r seja de f cil solu��o�

� M seja uma boa aproxima��o de A�

Na Figura A���� � apresentado o algoritmo do Gradiente Conjugado Pr��condicionado �PGC��

A���� M�todo do Gradiente Bi�Conjugado Estabilizado

Para sistemas assim�tricos tem sido empregado o m�todo do Gradiente Bi�Conjugado �Precondicionado� ��P�Bi�CG� %�&� O m�todo Bi�CG � umageneraliza��o do CG� onde se trabalha tanto com a matriz A como comsua transposta At� gerando duas sequ�ncias de vetores an logos ao do CG�O esquema iterativo garante a m�tua ortogonalidade ou bi�ortogonalidadeentre os pares de vetores de dire��es e res�duos� O m�todo do PBi�CG� no

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COPPE�UFRJ ���

Escolha x�� fa�a r� � b�Ax�

Resolva M �r� � r�

Fa�a p� � �r�

Para k � �� �� �� �k � ��rk� rk���pk� A pk�xk�� � xk � �kpk

rk�� � rk � �kA pk

Se jjrk��jj�� �� � ent�o PARE�Sen�o�

Resolva� M �rk�� � rk��

Fa�a� �k � ��rk��� rk������rk� rk�pk�� � �rk�� � �kpk

Fim,seFim,para

Figura A���� Algoritmo Gradiente Conjugado Pr��condicionado

entanto� pode apresentar converg�ncia irregular e existe a possibilidade dom�todo falhar�

Com o objetivo de evitar o padr�o irregular de converg�ncia do Bi�CG� foidesenvolvido o m�todo do Gradiente Bi�Conjugado Estabilizado �Precondi�cionado� ��P�Bi�CGSTAB� %��& para solu��o de sistemas lineares assim�tri�cos� O m�todo Bi�CGSTAB � uma varia��o do Bi�CG� onde n�o se trabalhacom a transposta da matriz de coe�cientes e que apresenta uma velocidadede converg�ncia de aproximadamente duas vezes a do Bi�CG� com melhorescaracter�sticas de robustez de converg�ncia�

O algoritmo do m�todo PBi�CGSTAB aplicado ao sistema� com precondi�cionador M � mostrado na Figura A���

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��� An�lise de Redes El�tricas

Escolha x�

Calcule r� � b�Ax�

Fa�a �r � r�

p� � r�

Calcule �� � ��r� r��Para k � �� ��

Resolva M �p � pk

Fa�a vk � A�p�k � �k�����r� vk�s � rk�� � �kvk

Resolva M �s � sFa�a t � A�s

�k � �t� s���t� t�xk � xk�� � ak�p� �k�srk � s� �kt

Se jjrkjj�� � � ent�o PARESen�o�

Calcule �k � ��r� rk��k � ��k��k������k��k�pk�� � rk � �k�pk � �kvk�

Fim,seFim,para

Figura A���� Algoritmo Bi�CGSTAB Pr��condicionado

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Ap�ndice B

Programa��o N�o�Linear

B�� Enunciado Geral

O Problema de Programa��o N�o�Linear �PPNL� pode ser enunciado naseguinte forma geral

minx

f�x� �B���

s a g�x� � � �B���

h�x� � �B���

onde

x � IRn � o vetor de vari veis de decis�o"

f � IRn � IR � a fun��o objetivo"

g � IRn � IRp s�o as restri��es de igualdade" e

h � IRn � IRq s�o as restri��es de desigualdade�

As restri��es de igualdade e desigualdade delimitam um subconjunto Xdo IRn denominado Conjunto Vi vel e de�nido por

X � fx j g�x� � ��h�x� �g �B���

Exemplo B�� a seguir � apresentado um PPNL com duas vari�veis de de�cis�o e apenas restri��es de desigualdade�

minx

f�x� � x�� � x�� � �x�

s a h��x� � x�� � x�� � � �

h��x� � x� � x� � �� � � �

h��x� � x� � �

h��x� � x� � �

onde x � x� x��T �

���

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��� An�lise de Redes El�tricas

B���� Casos Particulares

Problema de Programa�o Linear�PPL�

Se todas as fun��es em �B��� a �B����� forem lineares� teremos um PPL oqual pode ser escrito como

minx

f�x� � cTx �B��

s a Ax � b �B���

x � � �B��

onde c � o vetor de custos associados �s vari veis de decis�o e A � uma matrizde coe�cientes representando as restri��es de igualdade�

Problema de Programa�o Quadr�tica�PPQ�

Neste caso� a fun��o objetivo � quadr tica enquanto as restri��es s�o lineares�O PPQ pode ser enunciado como a seguir

minx

f�x� � cTx� xTQx �B���

s a Ax � b �B���

x � � �B����

onde Q � uma matriz de�nida positiva�

B�� Representa��o Gr��ca

No caso de um problema com duas vari veis� � poss�vel representar o PPNLde forma gr �ca� Nessa representa��o� a fun��o objetivo � representadapor curvas de n�vel� as quais s�o proje��es dos contornos da interse��o deplanos paralelos ao plano onde ser realizada a representa��o gr �ca com asuperf�cie representando a fun��o objetivo�

Na representa��o gr �ca deve�se levar em considera��o duas propriedadesdo gradiente��

� O gradiente � perpendicular � curva de n�vel passando pelo ponto con�siderado"

� O gradiente aponta na dire��o de m�ximo crescimento local da fun��o�

�O gradiente de uma fun��o f � IRn � IR de�nido como

rf�x� � ��f�x���x� �f�x���x� � � � �f�x���xn�T

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COPPE�UFRJ ���

Exemplo B�� Seja o PPNL apresentado no Exemplo B��� A representa��ogr��ca desse problema � apresentada na Figura B��� A �gura �a apresentaum representa��o tridimensional da fun��o objetivo na qual observa�se queo m�nimo da fun��o� n�o considerando as restri��es� encontra�se no pontox� � ������� o qual situa�se no eixo vertical d e abaixo do plano de�nidopelos eixos x� e x�� Na �gura �b est�o indicados as curvas de n�vel dafun��o objetivo� para os valores �� ���� � e �� ����� respectivamente� e oconjunto vi�vel X delimitado pelas restri��es� Uma an�lise da �gura �b permite concluir que o m�nimo da fun��o objetivo� considerando apenas ospontos pertencentes ao conjunto vi�vel� ocorre no ponto x�� � �� � ��T �

Figura B��� Representa��o gr �ca de um PPNL com duas vari veis�

B�� Condi��es de Otimalidade

De�ni�o � �M�nimo Absoluto ou Global�Uma fun��o f�x�� de�nida em um subconjunto fechado S � IRn� assume seum�nimo absoluto ou global em um ponto x� � IRn se

f�x�� f�x� � x � IRn

De�ni�o � �M�nimo Relativo ou Local�Seja f�x� de�nida em uma vizinhan�a de raio � de x� � IRn� Ent�o� f�x�tem um m�nimo local em x� se existir um �� � � �� tal que para todo x�� jx� x�j �� tem�se f�x� � f�x���

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��� An�lise de Redes El�tricas

B��� PPNL sem Restri� es

Seja o PPNL de�nido por�

minx

f�x� �B����

A condi��o necess�ria %��& para que um ponto seja solu��o do problemaacima �

rf�x�� � � �B����

e a condi��o su�cienter�f�x�� � � �B����

A condi��o acima indica que a matriz Hessiana� deve ser de�nida positiva��

Exemplo B�� Considere o PPNL

minx

f�x� � x�� � x�� � �x�

Da condi��o necess�ria de otimalidade� obtemos

rf�x� ��

�f�x��x��f�x��x�

��

��x�

�x� � �

�� � �

�x�� � �x�� � ��

Para assegurar que o ponto acima � a solu��o do problema� testamos acondi��o su�ciente

r�f�x� �

�� ��f�x�

�x��

��f�x��x��x�

��f�x��x��x�

��f�x��x��

�� �

�� �� �

A matriz acima �� claramente� positiva de�nida� Portanto� o ponto x �� � ��T � a solu��o do problema�

B��� PPNL com Restri� es de Igualdade

Seja o PPNL de�nido por

minx

f�x� �B����

s a g�x� � � �B���

�A matriz Hessiana de uma fun��o f � IRn � IR de�nido como

H�x� � r�f�x� �

���

��f�x�

�x��

� � � ��f�x�

�x��xn

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���f�x�

�xn�x�� � � ��f�x�

�x�n

���

�Uma matriz A positiva de�nida se� a� xTAx � � � x �� �� b� ou todos os seusautovalores s�o positivos� c�ou todos os determinantes dela extraidos s�o positivos�

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COPPE�UFRJ ��

Seja a fun��o L�x� ��� denominada Fun��o Lagrangeana ou Lagrangeano�de�nida como

L�x� �� � f�x� � �Tg�x� �B����

� f�x� �pXi��

�i gi�x� �B���

onde � � �����p�T � o chamado vetor dos Multiplicadores de Lagrange�

Pode ser desmonstrado %��& que a condi��o necess ria para que x� seja asolu��o de �B���� e �B��� � que

rL�x�� �� � � �B����

ou seja�

�L�x�� ����xi

��f�x���xi

�pX

j��

��j�gj�x

��xi

� �� i � �� � n �B����

�L�x�� �����i

� gi�x�� � �� i � �� � p �B����

O conjunto de equa��es de�nido em �B���� e �B���� tem n� p equa��es emigual n�mero de vari veis� Pode� portanto� ser resolvido para calcular ascomponentes de x� e ���

As condi��es �B���� e �B���� podem ser expressas em forma compactapor

rf�x�� �pX

j��

��j rgj�x�� � � �B����

g�x�� � � �B����

A equa��o B��� indica que� na solu��o� o gradiente da fun��o objetivo podeser expresso como uma combina��o linear dos gradientes das fun��es repre�sentando as restri��es� Essa propriedade � ilustrada no exemplo B���

Condi��es su�cientes de otimalidade podem� tamb�m� ser derivadas nestecaso mas n�o apresentam interesse pr tico�

Exemplo B�� Considere o PPNL

minx

f�x� � x�� � x�� � �x�

s a g��x� � x� � x� � �� � � �

O Lagrangeano neste caso �

L�x� �� � x�� � x�� � �x� � ��x� � x� � �� ��

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��� An�lise de Redes El�tricas

Da condi��o necess�ria de otimalidade� obtemos

�L

�x�� �x� � � � �

�L

�x�� �x� � � � � � �

�L

��� x� � x� � �� � � �

De onde se obtem a solu��o do problema� x� � �� �� ��� ���T e �� � ��� ��A fun��o objetivo neste caso assume o valor f�x� � �� ����As propriedades geom�tricas do problema resolvido neste exemplo s�o

ilustradas na Figura B��� Nessa �gura� os vetores representando os gradi�entes da fun��o objetivo e restri��o de igualdade tm a dire��o correta por�mos m�dulos foram escalados para facilitar o entendimento da �gura� No casoda fun��o objetivo� por se tratar de um problema de minimiza��o� a �guramostra o negativo do vetor gradiente� Na solu��o �tima �x� os vetores gra�dientes est�o alinhados de acordo com a condi��o de otimalidade expressaem B���� Nesse ponto� qualquer deslocamento incremental da solu��o so�bre a restri��o implica em aumento da fun��o objetivo� Em qualquer outroponto da reta representando a restri��o de igualdade� como nos pontos xae xb� o gradiente da fun��o objetivo e da restri��o n�o est�o alinhados� oque permite redu��o no valor da fun��o objetivo para deslocamentos na di�re��o representada pela proje��o na restri��o da resultande da adi��o dosgradientes�

B�� PPNL com Restri� es de Igualdade e Desigualdade

Seja o PPNL de�nido por

minx

f�x� �B����

s a g�x� � � �B����

h�x� � �B���

Este problema pode ser reduzido ao problema do item anterior pela intro�du��o de vari�veis de folga como mostrado a seguir

minx

f�x� �B����

s a gi�x� � �� i � �� � p �B���

hi�x� � v�i � �� i � �� � q �B����

Neste caso� o Lagrangeano � dado por

L�x� �� ��v� � f�x� �pXi��

�i gi�x� �qXi��

�i hi�x� � v�i � �B����

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COPPE�UFRJ ��

Figura B��� Ilustra��o gr �ca do exemplo B��

onde v � v�v�vq�T �

A condi��o necess ria de otimalidade neste caso � dada por

�L

�xi�

�f�x���xi

�pX

j��

�j�gj�x

��xi

�qX

j��

�j�hj�x

��xi

� �� i � �� � n �B����

�L

��i� gi�x

�� � �� i � �� � p �B����

�L

��i� hi�x

�� � v�i � �� i � �� � q �B����

�L

�vi� �vi�i � �� i � �� � q �B����

No ponto x�� algumas restri��es de desigualdade ser�o ativas �hi�x�� � �� eoutras n�o�ativas �hi�x�� ��� No caso das restri��es ativas�� temos

vi � �� �i � �� i � �� � l

e para as n�o�ativas

vi �� �� �i � �� i � l � �� � q

�A condi��o �i � � para as resti��es ativas demonstrada em ���

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��� An�lise de Redes El�tricas

onde l q�Neste caso� as condi��es de otimalidade poderiam ser escritas como

�L

�xi�

�f�x���xi

�pX

j��

�j�gj�x

��xi

�qX

j��

�j�hj�x

��xi

� �� i � �� � n �B����

�L

��i� gi�x

�� � �� i � �� � p �B���

�L

��i� hi�x

�� � �� �i � �� i � �� � l �B����

�L

��i� hi�x

�� �� �i � �� i � �� � q �B���

As condi��es impostas �s restri��es de desigualdade ativas e n�o�ativas po�dem ser combinadas como a seguir

hi�x�� �� i � �� � p �B����

�i � �� i � �� � p �B����pXi��

�ihi�x�� � � �B����

Combinando�se os resultados mostrados acima chega�se �s chamadas condi��esde Karush�Kuhn�Tucker� as quais� em forma matricial� s�o dadas por

rf�x�� �pXi��

�irgi�x�� �qXi��

�irhi�x�� � � �B����

g�x�� � � �B����

h�x�� � �B����

� � � �B����

�Th�x�� � � �B���

Exemplo B�� Considere o PPNL

minx

f�x� � x�� � x�� � �x�

s a h��x� � x� � x� � �� � � �

h��x� � x� � �

h��x� � x� � �

o qual � similar ao problema do Exemplo B�� exceto pela ausncia da restri���o n�o�linear� Da geometria do problema� sabemos que as restri��es h� e h�s�o ativas na solu��o enquanto a restri��o h� � inativa� Portanto� podemos

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COPPE�UFRJ ���

estabelecer diretamente o Lagrangeano e derivar as condi��es necess�rias deotimalidade� O Lagrangeano neste caso �

L�x� ��� ��� � x�� � x�� � �x� � ����x� � x� � �� �� � �� ��x��

de onde obtemos

�L

�x�� �x� � �� � �

�L

�x�� �x� � �� �� � �� � �

�L

���� x� � x� � �� � � �

�L

���� x� � �

A solu��o do problema � x � �� � ��T � �� � �� e �� � ��As propriedades geom�tricas do problema resolvido neste exemplo s�o

ilustradas na Figura B����� Nesta �gura podemos observar que deslocamen�tos incrementais para reduzir a fun��o objetivo s� podem ser realizados emdire��es formando um �ngulo menor que ��o com �rfx� Desta �gura pode�mos tamb�m concluir que para que um ponto x� seja solu��o do problemaeste ponto dever ser tal que �rfx� estejam localizado no cone formado porrh�x� e rh�x�� Esta a�rma��o � eq&ivalente a

�rfx� � ��rh�x� � ��rh�x���� �� � �

B�� M todos de Solu��o do PPNL sem Restri��es

A solu��o do PPNL sem restri��es pode ser obtida resolvendo�se o conjuntode equa��es de�nidas pelas condi��es de otimalidade� Uma forma indiretade se obter a solu��o do PPNL � pela gera��o de uma seq$�ncia fxkg� apartir de um ponto inicial arbitr rio x�� tal que cada novo ponto geradoproduza uma redu��o no valor da fun��o objetivo�

Uma seq$�ncia fxkg� com a propriedade acima� pode ser gerada se� emcada ponto xk da seq$�ncia�

� escolhermos uma dire��o conveniente dk"

� determinarmos um passo conveniente �k a ser dado nessa dire��o�

Isto equivale a dizer que a seq$�ncia ser gerada de acordo com

xk�� � xk � �kdk� k � �� �� �� �B����

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��� An�lise de Redes El�tricas

Figura B��� Ilustra��o gr �ca do exemplo B�

Este procedimento � ilustrado na Figura B�� para uma fun��o objetivo comduas vari veis�

Os princ�pios ou m�todos usados para a escolha da dire��o e do passo car�acterizam diferentes m�todos de solu��o do PPNL� Uma forma convenientepara escolher o passo � obter um valor de �k que minimize f�x� na dire��oadotada� Este procedimento exige a solu��o de um problema de minimiza��ounidirecional�

B���� Minimiza��o Unidirecional

Um problema de minimiza��o unidirecional consiste na minimiza��o de umafun��o f � IRn � IR� em uma dire��o dk � IRn� a partir de um pontoxk � IRn� De forma compacta� este problema pode enunciado como

min�

f�xk � �dk� �B���

Na Figura B� o problema de mininimiza��o unidirecional � ilustrado gra��camente�

Exemplo B�� Considere a fun��o

f�x� � x�� � �x�� � �x�

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COPPE�UFRJ ���

Figura B��� Exemplo de m�todo indireto de solu��o do PPNL

a ser minimizada a partir do ponto x� na dire��o d� como de�nidos a seguir

x� �

���

�d� �

��

��

Cada ponto ao longo da dire��o considerada � representado por

�x� � �d�� �

���

�� �

��

��

��

�� � ��� ��

Substituindo na fun��o� temos

f�x� � �d�� � �� � ��� � ���� ���� � ��� � ��

� ���� � ���

O m�nimo encontra�se no ponto onde

df�x� � �d��

d�� ���� �� � �

de onde se obtem � � �� �� e

x� �

���

�� �� ��

��

��

��

��� ���� ��

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��� An�lise de Redes El�tricas

Figura B�� Representa��o gr �ca de um problema de minimiza��o unidire�cional�

Figura B��� M�todo de redu��o de intervalo

M�todo de Redu�o de Intervalo

Este m�todo determina a posi��o do ponto de m�nimo em um intervalo a b�de comprimento ��� O m�todo consiste na avalia��o da fun��o para valoresconsecutivos da vari vel �� espa�ados de um valor �� a partir de uma condi��oinicial ��� O intervalo a b� � encontrado quando

f��i��� � f��i� �B����

Neste caso� temos a � �i�� e b � �i��� O procedimento acima � ilustradona Figura B�� e o algoritmo para implementa��o deste m�todo � dado naFigura B�����

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COPPE�UFRJ ���

Fa�a i � �� �� � �Calcule f��i�Fa�a,enquanto f��i��� f��i�

Calcule �i�� � �i � �Calcule f��i���

Fim,fa�a,enquantoFa�a a � �i��

b � �i��

Figura B�� Algoritmo do M�todo de Redu��o de Intervalo

Figura B��� M�todo da Se��o .urea

M�todo da Se�o �urea

Este m�todo permite determinar o intervalo onde se encontra o m�nimo dafun��o� com uma precis�o arbitr ria �� dentro de um intervalo a b�� O m�to�do baseia�se na divis�o do intervalo em tr�s partes de�nidas pelos chamadosN�meros 'ureos� ������ e ������� A fun��o � avaliada nos novos dois pontos�� e �� e o novo intervalo determinado como a seguir�

Se f��� f��� � Novo intervalo � a� ��

Se f��� � f��� � Novo intervalo � �� b�

O m�todo da Se��o .urea � ilustrado na Figura B�� e o algoritmo corres�pondente � apresentado na Figura B�����

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��� An�lise de Redes El�tricas

Fa�a i � �� l� � b� a� a� � a e b� � bFa�a,enquanto li �

Calcule �i � ai � �� ���� liCalcule �i � ai � �� ���� liSe f��i� f��i�

Fa�a ai�� � ai� bi�� � �iSen�o�

Fa�a ai�� � �i� bi�� � biFim,seFa�a i � i� �� li � ai � bi

Fim,fa�a,enquantoFa�a �� � �ai � bi���

Figura B��� Algoritmo do M�todo da Se��o .urea

Interpola�o Quadr�tica

Este m�todo � aplic vel ao caso de fun��es duplamente diferenci veis� Baseia�se na aproxima��o da fun��o no ponto �� por uma fun��o quadr tica� obtidaa partir da expans�o da fun��o pela s�rie de Taylor� como mostrado a seguir

f��� � f���� � f �������� ��� ��

�f ��������� ���

� �B����

O m�nimo de B��� � obtido fazendo�se�

d f���

�� f ����� � f ��������� ��� � � �B���

de onde se obtem

�� � �� � f �����f ������

�B���

Caso n�o seja poss�vel calcular as derivadas da fun��o� ainda assim � poss�velestabelecer uma aproxima��o quadr tica da fun��o usando t�cnicas de ajustede fun��es�

B���� M�todo do Gradiente

Este m�todo baseia�se na propriedade j mencionada do gradiente de indicara dire��o de m ximo crescimento local da fun��o� � conhecido� tamb�m�pelas designa��es de Steepest Descent Method e M�todo de Cauchy� Nessem�todo� inicia�se o processo iterativo a partir de uma condi��o inicial x� egera�se uma seq$�ncia de acordo com a seguinte regra

xk�� � xk � �k rf�xk� �B���

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COPPE�UFRJ ��

Escolha x� e �Fa�a i � �Fa�a,enquanto krf�xi�k �

Calcule rf�xi�Fa�a di � �rf�xi�Calcule �i tal que

f xi � �i di� � min� f xi � � di�

Fa�a xi�� � xi � �idi

Fim,fa�a,enquanto

Figura B���� Algoritmo do M�todo do Gradiente

onde �k � o passo �timo na dire��o �rf�x�k� obtido resolvendo�se um prob�lema de minimiza��o unidirecional como mostrado nas se��es anteriores� �poss�vel utilizar�se estrat�gias heur�sticas na escolha do passo �k as quaispodem ser mais e�cientes do ponto de vista computacional�

Na Figura B���� � apresentado o algoritmo do M�todo do Gradiente�

B��� M�todo de Newton

A id�ia b sica do M�todo de Newton � aproximar a fun��o objetivo poruma fun��o quadr tica e achar o m�nimo dessa fun��o analiticamente� Navizinhan�a de um ponto xi� a fun��o f�x� pode ser aproximada por

f�x� � f�x�� �rf�x���x� x�� � �

��x� x��Tr�f�x���x� x�� �B���

Neste caso� o m�nimo de f�x� � obtido resolvendo�se

�f�x�

�x� rf�x�� �r�f�x���x� x�� � � �B���

de onde se obtem uma aproxima��o da solu��o �x�� dada por

x� � x� � r�f�x�����rf�x��� �B��

A partir de x�� a fun��o � novamente aproximada e assim por diante comono algoritmo a seguir

xi�� � xi � r�f�xi����rf�xi��� k � �� �� �� �B���

No caso de fun��es quadr ticas� pode�se mostrar �veja exemplo ��� que oM�todo de Newton converge em uma itera��o� Para fun��es n�o�quadr ticas�

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��� An�lise de Redes El�tricas

o algoritmo necessita de mais itera��es para obter a solu��o� O M�todo deNewton enquadra�se no princ�pio geral de funcionamento de m�todos desolu��o do PPNL� enunciado no in�cio dessa se��o� se consideramos

di � �r�f�xi����rf�xi� �B��

�i � � �B���

O m�todo apresenta uma converg�ncia muito r pida quando se aproximada solu��o pois� nessa regi�o� a fun��o � aproximadamente quadr tica� Emregi�es ainda distantes da solu��o� � mais conveniente utilizar

�i � min�f�xi � � di� �B���

Exemplo B�� Considere a minimiza��o da fun��o objetivo

f�x� � x�� � ��x��

a partir de um ponto x� � � � �T � O gradiente e matriz Hessiana calculadosem x� s�o dados por

rf�x� ��

�x���x�

�� r�f�x� �

�� �� ��

Aplicando o algoritmo de Newton temos

x� �

���

����� � �� �� ��

� �����

��

���

�����

��

���

Como a fun��o objetivo � quadr�tica� o processo de minimiza��o convergeem um passo�

B�� M todos de Solu��o do PPNL com Restri��es

B���� M�todo das Penalidades

Neste m�todo� o PPNL com restri��es de desigualdade � transformado emuma seq$�ncia de problemas sem restri��es atrav�s da adi��o de termos �fu��o objetivo� os quais penalizam solu��es que n�o satisfazem as restri��es�

Existem duas classes de m�todos de penalidades�

� Penalidades Exteriores"

� Penalidades Interiores ou Barreiras�

Esses dois m�todos s�o exempli�cados na Figura B����

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COPPE�UFRJ ��

Figura B���� Penalidades exteriores e interiores

Penalidades Exteriores

Para o exemplo da Figura B��� �esquerda�

F�x� � f�x� � �p�x� �B����

onde

p�x� �

���

� se x � a� b��x� a�� se x a�x� b�� se x � b

e � � uma pondera��o�No caso geral

F�x� � f�x� �npXi��

�ipi�x� �B����

pi�x� � min � � hi�pi�x�� �� �B����

Penalidades Interiores ou Barreira Logaritmica

Para o exemplo da Figura B��� �direita�

F�x� � f�x�� �ln�x� a� � ln��x� b�� �B����

onde � � o par�metro barreira�

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��� An�lise de Redes El�tricas

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Ap�ndice C

Programa��o Linear

A Programa��o Linear �PL� � uma das t�cnicas de otimiza��o mais utilizadasna solu��o de problemas de aloca��o de recursos� otimiza��o de estrat�gias�etc� Neste ap�ndice ser�o introduzidas as no��es b sicas relacionadas � for�mula��o e solu��o de problemas de PL assim como algumas interpreta��esecon micas do modelo de PL�

C�� O Problema de Programa��o Linear

O problema de PL tem como objetivo encontrar um conjunto de valoresdas vari veis do problema que maximizem �ou minimizem� o valor de umafun��o linear sujeito a um conjunto de restri��es representadas por equa��esou inequa��es lineares nessas mesmas vari veis� Esse problema pode serrepresentado por

Maximizar z � c�x� � c�x� � � � � � cnxn

sujeito a a��x� � a��x� � � � � � a�nxn b�

a��x� � a��x� � � � � � a�nxn b� �C���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �am�x� � am�x� � � � �� amnxn bm

xi � �� i � �� � n

Em aplica��es associadas a problemas de produ��o� a fun��o objetivo zrepresenta a renda obtida com a venda de quantidades x�� x������ xn de n pro�dutos� com pre�os unit rios c�� c������ cn� respectivamente� As restri��es dedesigualdade indicam que a fabrica��o dos produtos necessitam� no m ximo�quantidades b�� b������bm de m recursos sendo que� cada um dos n produ�tos� necessitam de quantidades aij dos m recursos� As restri��es de n�o�negatividade t�m justi�cativa �bvia neste caso�

O problema de PL pode ser colocado em forma matricial como a seguir

Max cTx

���

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�� An�lise de Redes El�tricas

sa Ax b �C���

x � �

onde

c � c�� c�� � cn�T "

x � x�� x�� � xn�T "

b � b�� b�� � bn�T "

A� matriz �m� n� com elementos aij �

Exemplo C�� Atrav�s deste exemplo ser� dada uma interpreta��o gr��cado problema de PL e uma indica��o das propriedades da solu��o do mesmo�Considere o problema em duas vari�veis abaixo

Max z � �x� � x�

sa x� � x� �

�x� � x� �

x� � �

x� � �

A Figura C�� apresenta uma representa��o gr��ca do problema acima�Nessa representa��o� a regi�o interna ao pol�gono com v�rtices nos pontosA� B� C e D representa o conjunto de pontos satisfazendo as restri��es� de�nominado Conjunto Vi vel� no qual est� contida a solu��o do problema� Afun��o objetivo � representada pelas retas pontilhadas para diferentes valoresde z �curvas de n�vel �A partir da observa��o da Figura C��� � f�cil concluir�se que a solu��o

�tima do problema� isto �� o ponto do conjunto vi�vel no qual a fun��o ob�jetivo atinge seu valor m�ximo� � o ponto D� Nesse ponto� a fun��o objetivoassume o valor z � �� Qualquer aumento incremental na fun��o objetivo s�pode ser alcan�ado por um deslocamento da solu��o para fora do conjuntovi�vel� O ponto D � um ponto extremo �v�rtice do conjunto vi�vel o qual�como pode�se concluir facilmente� ser� sempre um pol�gono �politopo no casogeral � A propriedade da solu��o do problema de PL de se localizar em umponto extremo �v�rtice do politopo � geral e usada em algoritmos de solu��odo problema de PL�

C�� Caracteriza��o Alg brica

O problema de PL � geralmente estudado a partir do chamado FormatoPadr�o� o qual � dado a seguir

Min cTx

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COPPE�UFRJ ��

Figura C��� Representa��o gr �ca de um problema de PL

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�� An�lise de Redes El�tricas

sa Ax � b �C���

x � �

Qualquer problema de PL pode ser colocado no formato padr�o atrav�sda inclus�o de vari veis arti�ciais �vari veis de folga�� O caso de interessepr tico � aquele no qualm n� isto �� o sistema de equa��es � indeterminadoapresentando in�nitas solu��es� O problema de PL consiste em achar umadessas solu��es� com todas as componentes n�o�negativas� para a qual afun��o objetivo alcance o valor m�nimo� A partir do formato padr�o� �poss�vel introduzir algumas de�ni��es que s�o utilizadas na caracteriza��oda solu��o do PL� Algumas dessas de�ni��es s�o�

� Matriz Base� matriz n�o�singular formada por m colunas de A"

� Solu��o B�sica� � o vetor xb determinado escolhendo�se uma ma�triz base� fazendo�se as n � m vari veis associadas �s colunas de An�o pertencentes � matriz base �vari veis n�o b sicas� iguais a zero eresolvendo�se o sistema de equa��es para as demais vari veis �vari veisb sicas�"

� Solu��o Vi�vel B�sica �svb � � um solu��o b sica onde todas as var�i veis s�o n�o nulas�

Essas de�ni��es s�o mais facilmente visualizadas quando o sistema deequa��es �C��� � colocado em sua Forma Can(nica� atrav�s de opera��eselementares em suas equa��es� a qual � mostrada a seguir�

x� �a�

��m��xm�� � a�

��m��xm�� � � � �� a�

�nxn � b�

x� �a�

��m��xm�� � a�

��m��xm�� � � � �� a�

�nxn � b�

�� � �

���xm �a

m�m��xm�� � a�

m�m��xm�� � � � �� a�

mnxn � b�

m

�C���e a Forma Can(nica Aumentada pela introdu��o da equa��o correspondente� fun��o objetivo

x� �a�

��m��xm�� � a�

��m��xm�� � � � �� a�

�nxn � b�

x� �a�

��m��xm�� � a�

��m��xm�� � � � �� a�

�nxn � b�

�� � �

���xm �a

m�m��xm�� � a�

m�m��xm�� � � � �� a�

mnxn � b�

m

�z �c�

m�m��xm�� � c�

m�m��xm�� � � � �� c�

mnxn � b�

z

�C��Os pontos extremos do conjunto vi vel s�o as solu��es vi veis b sicas

como de�nidas acima� Portanto� � poss�vel encontrar a solu��o do problemade PL comparando�se os valores da fun��o objetivo correspondentes a essas

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COPPE�UFRJ ��

solu��es� Entretanto� o n�mero de solu��es vi veis b sicas � muito eleva�do� e tornaria esse procedimento invi vel em problemas com as dimens�esencontradas na pr tica� Por outro lado� � tamb�m poss�vel demonstrar quea forma can nica aumentada� correspondente � solu��o �tima do problema�apresenta a seguinte propriedade�

c�

j � �� j � m� �� � n �C���

As propriedades acima descritas podem ser utilizadas para desenvolverm�todos de solu��o do problema de PL entre os quais se destaca o m�todoSimplex o qual ser apresentado na se��o seguintes�

Exemplo C�� O problema de PL mostrado no Exemplo C�� pode ser colo�cado no formato padr�o atrav�s da introdu��o de duas vari�veis de folga �x�e x� e da multiplica��o da fun��o objetivo por �� �minimiza��o � Destaforma� o problema passa ser escrito como

Max z � ��x� � x� � �x� � �x�sa x� � x� � x� � �

�x� � x� � x� � �xi � �� i � �� � �

Uma forma can(nica aumentada �bvia do problema � dada por

x� x� � x� � �x� �x� � x� � �

z ��x� � x� � �

e a solu��o b�sica vi�vel associada a essa forma can(nica � x� � x� � ��x� � �� x� � � e z � �� Esta solu��o n�o � a solu��o �tima pois existemcoe�cientes c

j �� Na Figura C�� esta solu��o corresponde ao v�rtice A�Na busca pela solu��o �tima� deve�se efetuar uma troca de base� ou seja�alguma vari�vel b�sica �x� ou x� deve ser trocada por uma das vari�veisn�o b�sicas �x� ou x� � Quais devem ser as vari�veis escolhidas para atroca de base) A vari�vel escolhida para entrar na base � aquela que produzo maior decr�scimo na fun��o objetivo� ou seja� aquela correspondente aomais negativo coe�ciente c

� No exemplo� a vari�vel escolhida � x��A vari�vel escolhida para sair da base deve ser tal que� ao atingir o val�

or nulo� sejam garantidos valores n�o negativos para as vari�veis b�sicasap�s a mudan�a de base� Essa mudan�a ser� realizada atrav�s de opera��es

�Em um problema de PL na forma padr�o� com n variveis e m restri��es de igualdade�o n�mero de solu��es bsicas dado por n���n �m��m�� Muitas dessas solu��es n�o s�oviveis �pelo menos um xi � �� porm� se um processo exaustivo de busca for utilizado�todas elas devem ser computadas�

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�� An�lise de Redes El�tricas

elementares no sistema de equa��es de forma a coloc��lo em outra formacan(nica aumentada tal que tenha coe�ciente unit�rio em uma das equa��ese nulo nas demais� Esta opera��o � chamada de pivoteamento� e produzir�modi�ca��es nas vari�veis b�sicas como a seguir�

x� � b�

� � a�

��x� � �� x�

x� � b�

� � a�

��x� � �� �x�

O maior valor que x� pode assumir� sem que x� ou x� se torne negativo�� x� � �� Por essa raz�o� a vari�vel escolhida para deixar a base � x��De forma geral� deve�se escolher para deixar a base a vari�vel b�sica cujarela��o b�r�a�is seja m�nima para os a�is � � onde r representa a vari�velcandidata a deixar a base e s a vari�vel que se tornar� b�sica� Se um dosa�is �� xs poder� ser aumentada inde�nidamente sem causar a perda dan�o�negatividade da correspondente vari�vel b�sica� Isto indica uma Solu��oIlimitada� Por outro lado� se algum a�is � �� podemos mudar a base semalterar a solu��o� Este caso � conhecido como uma Solu��o Degenerada esua ocorrncia � pouco freq&ente em problema reais�A nova forma can(nica aumentada tem o seguinte aspecto

x� ��x� � x� � �x� ��x� � x� � �

z � x� � x� � �

Como todos os c�j � �� esta forma can(nica corresponde � solu��o �timacom as vari�veis assumindo os valores x� � x� � �� x� � �� x� � � e z � ��Na Figura C�� esta solu��o corresponde ao v�rtice D�

C�� O M todo Simplex

As propriedades da solu��o do problema de PL introduzidas na se��o anteri�or� e as id�ias ilustradas no Exemplo C��� formam as bases do M�todo Sim�plex� Esse m�todo foi introduzido por G�B� Dantzig na d�cada de quarenta�M�todos mais e�cientes de solu��o do problema de PL foram introduzidosrecentemente� por�m o m�todo Simplex� e suas variantes� continua a ser uti�lizado em muitos c�digos usados comercialmente� A seguir � apresentado oprocedimento do m�todo Simplex de forma sintetizada� Esse procedimento

�A opera��o de pivoteamento em rela��o ao termo arsxs consiste em tornar unitrio ocoe�ciente de xs na r��sima equa��o e nulo os coe�cientes da mesma varivel nas demaisequa��es� Esse processo realizada atravs de opera��es elementares nas equa��es daforma can�nica aumentada�

�Os mais importantes desses mtodos s�o aqueles inclu�dos na categoria de Mtodos dosPontos Interiores os quais tiveram sua origem em um mtodo proposto por N� Karmarkarem �����

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COPPE�UFRJ �

inicia�se a partir de uma forma can nica vi vel aumentada��

Procedimento do M�todo Simplex

�� Se pelo menos um c�

j � �e o correspondente b�

j � ��� ent�o � poss�velobter uma outra svb com menor valor de z�

�� Se mais de um c�

j �� a vari vel �xs� a ser aumentada �entrar na base�deve ser escolhida pela regra

c�

s � minj�c�

j ��

�� A vari vel que deixar a base deve ser escolhida observando�se que asvari veis b sicas ser�o modi�cadas de acordo com as rela��es

x� � b�

� � a�

�sxs

x� � b�

� � a�

�sxs���

xm � b�

m � a�

msxs

z � b�

z � c�

sxs

�� Aumentando o valor de �xs�� o valor de z diminui� Entretanto� essadiminui��o � limitada pelas restri��es de n�o�negatividade nas var�i veis� No caso de a�is �� i � �� �m� xs pode se tornar t�o grandequanto se queira� o que indica uma solu��o ilimitada�

� Se pelo menos um a�is � �� a vari vel a deixar a base �xr� � escolhidade acordo com a seguinte regra

x�s �b�

r

a�rs� min

a�is�

�b�

i

a�is

onde x�s � o valor da nova vari vel b sica�

�� A nova forma can nica aumentada� com xr substitu�do por xs no con�junto de vari veis b sicas� � obtida realizando�se um opera��o de piv�oteamento no termo a

rsxs�

Na Figura C�� � apresentado um !uxograma do M�todo Simplex�

�Caso uma svb inicial n�o seja �bvia� poss�vel obter a svb inicial usando pr�prioalgoritmo Simplex� Esse procedimento normalmente referido como Fase I do Simplexenquanto a busca da solu��o �tima propriamente dita chamada de Fase II�

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�� An�lise de Redes El�tricas

Forma Can�nica Aumentada Vi�vel

Encontre s tal quemin c�jj � m� �� � n

PARESolu� o �tima

PARESol� Ilimitada

Obtenha nova forma can�nica au�mentada atravs da opera�o de

pivoteamento no elemento a�rsxrs

Obtenha r tal queb�ra�rs

� minhb�ia�is

ia�is � �

Calcule as rela�es b�ia�rs

� a�is � �

c�s �

ais �i � �� �m

N

S

S

N

Figura C��� Fluxograma do M�todo Simplex

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COPPE�UFRJ �

C�� Forma Matricial do M todo Simplex

Suponha as vari veis do problema agrupadas em um vetor de vari veis b si�cas �xB� e n�o�b sicas �xD� e a matriz a A particionada� respectivamente�como a seguir

A � B D� �C��

onde B � matriz base �m � m�� com colunas correspondentes �s vari veisb sicas� e D � uma matriz ��n �m� �m� com colunas correspondentes �svari veis n�o b sicas� Ent�o� o problema de PL no formato padr�o pode serescrito como

Max z � cTBxB � cTDxDsa BxB �DxD � b

xB � �� xD � ��C���

A solu��o b sica� a qual � assumida ser tamb�m vi vel� correspondente �matriz base B � dada por x � xTb �

T �T onde xB � B��b� De um modo geral�

xB � B��b�B��DxD �C���

a qual� substitu�da em �B��� produz

z � cTB�B��b�B��DxD� � cTDxD

� cTBB��b� �cTD � cTBB

��D�xD �C����

As componentes do vetor r � cTD�cTBB��D s�o os chamados Custos Relativose o produto � � cTBB

�� s�o chamados de Multiplicadores Simplex�Essa forma matricial pode ser compactada no chamado Tableau� O

tableau inicial � dados por�A bcT �

��

�B D bcTB cTD �

��C����

o qual n�o est na forma can nica e n�o corresponde a uma das solu��esdo procedimento Simplex� Uma forma can nica de tableau pode ser obtidaatrav�s de opera��es elementares atrav�s das quais a matriz B se transformana matriz identidade� Em forma matricial� a forma �nal � dada por

T �

�I B��D B��b� cTD � cTBB

��D cTBB��b

��C����

Outros pontos extremos do conjunto vi vel podem ser obtidos atrav�sde trocas de vari veis �b sicas e n�o�b sicas� e opera��es de pivoteamentoproduzindo um novo tableau com o mesmo aspecto daquele mostrado em�C����

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�� An�lise de Redes El�tricas

Exemplo C�� A solu��o do problema de PL apresentada no Exemplo C�� �reproduzido� na forma matricial a seguir� A primeira forma can(nica � dadapor

x� x� x� x� b��� � � � �� �

� � � � �

� � �� �� �

���

Ap�s a troca de vari veis b sicas �x� por x��� o novo tableau � dado por

x� x� x� x� b��� � �� � � �

� � � � �

� �� �� � �

���

Para colocar o novo tableau em sua forma can nica� � necess rio efetuar asopera��es indicadas em �C��� as quais produzem a forma can nica do novotableau� Essas opera��es s�o

cTD � cTBB��D �

h�� �

i�h� �

i � � �� �

��h� �

i

B��b �

�� �� �

� ���

��h� �

i

B��D �

�� �� �

� �� �� �

��

�� �� �

cTBB��b �

h� �

i � ��

�� �

e produzem o tableau mostrado a seguir

x� x� x� x� b��� � � � � �

� � � � �

� � � � �

���

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COPPE�UFRJ ��

A partir da formula��o matricial do procedimento de solu��o do proble�ma de PL pelo m�todo Simplex� � poss�vel estabelecer um novo procedimentopara solu��o dos problemas de PL� conhecido como M�todo Simplex Revisa�do o qual � apresentado a seguir�

M�todo Simplex Revisado

�� Compute o vetor linha � � cBB�� e o vetor de custos reduzidos r �

CD � �D"

�� Se r � �� PARE� a solu��o atual � �tima� Sen�o� se ri � o mais negativocomponente de r� ent�o escolha a coluna i de D para entrar na base�Denote essa coluna por u"

�� Compute v � B��u"

�� Calcule as rela��es de B��b com B��u� admitindo apenas as compo�nentes positivas de B��u� Se n�o existem componentee positivas� ocusto m�nimo � ��" se a menor rela��o ocorre para a componente k�ent�o a coluna k de B sai da base"

� Atualize a matriz B �ou B��� e a solu��o x � B��b� Retorne ao passo��

Diferentes implementa��es do m�todo Simplex Revisado podem ser obti�das dependendo da forma de implementa��o dos passos �� � e do procedi�mento acima� Nesses passos � necess rio efetuar�se opera��es com a inversada matriz base �B�� Essas opera��es podem ser realizadas a partir do

� C lculo da inversa expl�cita B��"

� Representa��o de B�� na forma da inversa na forma de produto"

� Fatora��o LU de B� ou seja� B � LU �

C�� Dualidade

Associado a cada problema de PL existe um outro problema de PL conheci�do como Problema Dual� Por analogia� o problema original � denominadoProblema Primal� O problema dual apresenta as seguintes caracter�sticas�o objetivo do dual � o reverso do primal �maximiza��o � minimiza��o�" asdimens�es do problema dual s�o as transpostas do primal �m vari veis e nrestri��es�" o sentido das inequa��es s�o inversos � � trocado por ��" oscoe�cientes da fun��o objetivo do dual s�o os recursos do primal" a exig�nciade n�o negatividade das vari veis � mantida no problema dual� Por exemplo�

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��� An�lise de Redes El�tricas

o problema dual daquele apresentado em �C��� � dada por

Minimizar z � b��� � b��� � � � �� bm�n

sujeito a a���� � a���� � � � �� am��m c�

a���� � a���� � � � �� am��m c� �C����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a�n�� � a�n�� � � � � � amn�m cn

�i � �� i � �� �m

Os problemas primal e dual t�m as seguintes propriedades %&�

� Se o problema primal ou o problema dual tem uma solu��o �tima�ent�o o outro �dual ou primal� tamb�m tem e a solu��o � a mesmapara ambos os problemas� ou seja� o m ximo de z � igual ao m�nimode w� Por outro lado� se n�o h solu��o �tima� duas possibilidadespodem ocorrer� ou ambos os conjuntos vi veis s�o vazios ou um deles� vazio e outro ilimitado�

� As vari veis do problema dual ���� ��� � �m� correspondem aos mul�tiplicadores simplex do problema primal �cTBB

���� Por essa raz�o� omesmo s�mbolo ��� foi escolhido para representar essas grandezas�

Exemplo C�� O problema dual correspondente ao problema de PL apresen�tado no exemplo C�� � dado por

Min w � �� � ���sa �� � ��� � �

��� � �� � ��� � ��� � �

A solu��o do problema acima � �� � �� �� � � e w � �� Como pode serobservado� o valor da fun��o objetivo � o mesmo do problema primal�

C� An�lise de Sensibilidade

A an lise de sensibilidade indica como o valor da fun��o objetivo z� obtidana solu��o de um problema de PL� varia quando existem varia��es pequenasno vetor de custos �c� ou no termo independente das restri��es de igualdade�b�� A exig�ncia de varia��es pequenas � para garantir que a solu��o �timacontinue localizada no mesmo ponto extremo do conjunto vi vel� O valor dafun��o objetivo correspondente � solu��o �tima � dada por

z� � cTB B���� b � � �C����

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COPPE�UFRJ ���

Uma varia��o b produz uma altera��o �� b� Os multiplicadores Simplex�ou a solu��o do problema dual� �� s�o os coe�cientes de sensibilidade davaria��o do valor da fun��o objetivo como resultado de varia��es no termoindependente b� isto ��

� ��z

�b� cTBB

�� �C���

Os multiplicadores Simplex s�o os Multiplicadores de Lagrange associa�dos �s restri��es de igualdade da formula��o padr�o do problema de PL� Emaplica��es econ micas do modelo de PL� esses multiplicadores est�o associ�ados aos Custos Marginais de produ��o�

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��� An�lise de Redes El�tricas

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