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Análise do caso de estudo
Farm Management
- Relatório -
Ana Luísa Pereira Rodrigues
Andreia Filipa Lourenço e Silva
Hermano Emanuel Rodrigues Maia
Grupo 5T1
Investigação Operacional I
Prof. Ana Maria Camanho
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Mestrado Integrado em Engenharia Industrial e Gestão
novembro de 2014
“Farm Management” – caso de estudo
i
Resumo
O presente trabalho visa a análise do caso de estudo “Farm Management” e envolve a
definição do planeamento da atividade de uma quinta, na próxima época agrícola, tendo
em vista a maximização do seu valor líquido, recorrendo para tal a modelos de
programação linear e ao add-in “Solver” do software Microsoft Office Excel.
O valor líquido da quinta, diretamente relacionado com a atividade desenvolvida na
mesma, depende da área afeta à plantação de feijão de soja, milho e trigo, da pecuária
(vacas leiteiras e galinhas poedeiras), mas também do ganho auferido pelo trabalho numa
quinta vizinha em dois períodos distintos (meses de inverno e primavera e meses de verão
e outono), o que leva à definição de sete variáveis de decisão.
Numa primeira fase, considerou-se que na próxima época agrícola se verificariam
condições meteorológicas favoráveis, como na época anterior. Neste cenário, a solução
ótima permitiria obter um valor líquido de $102117.
Seguidamente, foram analisados cinco cenários adversos (seca, cheia, geada precoce,
combinação de seca com geada precoce e de cheia com geada precoce) e, através de
algumas medidas estatísticas, procurou-se o cenário a adotar no planeamento da atividade
da quinta de forma a que se evite um valor líquido demasiado reduzido num cenário pior
e um valor relativamente elevado num cenário mais favorável. A solução de equilíbrio
encontrada baseia-se no cenário de combinação de cheia e geada precoce, o qual apresenta
um intervalo de variação do valor líquido entre $64990 e $81726.
Finalmente, e com base nos registos históricos das condições meteorológicas, pôde
estimar-se, com maior precisão, o valor líquido esperado para o acre de cada cultura. A
solução ótima encontrada proporciona um valor líquido de $81565, pressupondo a
plantação de 414 acres de soja, 42 acres de milho e 100 acres de trigo, a compra de 12
vacas, 368,2 horas de trabalho na quinta vizinha nos meses de inverno e primavera e 680
horas nos meses de verão e outono. Neste contexto, que se assume como o mais realista,
seria interessante aumentar a área da quinta, desde que a renda por acre não excedesse
$23,3.
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Abstract
This paper presents an analysis of the "Farm Management" case study. The purpose is
to plan the next agricultural season of a farm, in order to maximize its net value, using
linear programming models and the "Solver" add-in of Microsoft Office’s Excel.
The net value of the farm, strictly related to the activities developed herein, depends
on the area assigned to soybean, corn, and wheat plantation, on raising livestock (dairy
cows and laying hens) and on income resulting from providing labour to a neighbouring
farm in two different periods (winter and spring months, on the one hand, and summer
and autumn months, on the other), resulting in seven decision variables.
Initially, it is assumed that in next agricultural season there will be good weather
conditions, as in the former. In this scenario, the optimal solution would provide a net
value of $102,117.
Next, five unfavourable scenarios are considered (drought, flood, early frost, a
combination of drought and early frost, and a combination of flood and early frost) and,
using several statistical indicators, the best strategy is sought such as to avoid excessively
low net value in unfavourable scenarios but ensure a relatively high net value in a
favourable scenario. The equilibrium solution presented is based on the scenario that
combines flood and early frost that presents a variation for the net value in the range of
$64,990 to $81,726.
Finally, based on historical records for the weather conditions, the expected net value
per acre of each crop was estimated with greater precision. The optimal solution provides
an $81,565 net value, assuming the plantation of 414 acres of soybean, 42 acres of corn,
and 100 acres of wheat, together with the acquisition of 12 cows and labouring 368.2
hours in the neighbouring farm in winter and spring months and 680 hours during summer
and autumn months. In this setting, assumed to be the most realistic, it would be
interesting to increase the area of the farm, as long as the rent per acre did not exceed
$23.3.
“Farm Management” – caso de estudo
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Índice de conteúdos
1 Introdução .................................................................................................................... 1
1.1 Descrição do caso de estudo ............................................................................. 1
2 Análise do problema para condições meteorológicas favoráveis ................................ 3
2.1 Variáveis de decisão ......................................................................................... 3
2.2 Restrições ......................................................................................................... 3
2.3 Função objetivo ................................................................................................ 4
2.4 Solução ótima ................................................................................................... 5
2.5 Análise de sensibilidade ................................................................................... 5
3 Análise do problema para cenários meteorológicos adversos...................................... 8
3.1 Solução ótima para cada cenário adverso ........................................................ 8
3.2 Solução de equilíbrio a adotar .......................................................................... 9
4 Análise do problema baseada na ponderação da frequência dos diversos cenários
meteorológicos ................................................................................................................ 11
4.1 Solução ótima ................................................................................................. 11
4.2 Análise de sensibilidade ................................................................................. 12
5 Conclusões ................................................................................................................. 14
Bibliografia ..................................................................................................................... 16
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Índice de tabelas
Tabela 1. Trabalho necessário e valor líquido (condições favoráveis) por acre e cultura ............. 2
Tabela 2. Coeficientes da função objetivo e planeamento ótimo (condições favoráveis) ............. 5
Tabela 3. Custo reduzido e intervalos de variação admissíveis das variáveis de decisão ............. 5
Tabela 4. Folgas, preços sombra e intervalos admissíveis de variação dos recursos .................... 6
Tabela 5. Valor líquido por acre e cultura para cenários meteorológicos adversos ...................... 8
Tabela 6. Solução ótima para cada cenário meteorológico adverso .............................................. 8
Tabela 7. Cenário previsto versus Cenário que ocorre – valores líquidos ($) ............................... 9
Tabela 8. Estatísticas para cada cenário previsto (valores em dólares) ......................................... 9
Tabela 9. Frequência dos cenários meteorológicos e valor líquido esperado por acre e cultura . 11
Tabela 10. Coeficientes da função objetivo e planeamento ótimo (cenário ponderado) ............. 11
Tabela 11. Custo reduzido e intervalos de variação admissíveis das variáveis de decisão ......... 12
Tabela 12. Folgas, preços sombra e intervalos admissíveis de variação dos recursos ................ 13
“Farm Management” – caso de estudo
1
1 Introdução
O presente trabalho é desenvolvido no âmbito da unidade curricular de Investigação
Operacional I do 3.º ano do curso de Mestrado Integrado em Engenharia Industrial e
Gestão da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e visa analisar, através de
modelos de programação linear e de relatórios de sensibilidade, o caso de estudo “Farm
Management”, adaptado da versão original (Hillier 2011).
Este caso de estudo incide sobre a forma como uma quinta, propriedade da família
Ploughman, se deve organizar, de forma a que no final da próxima época agrícola possa
maximizar o seu valor líquido.
Inicialmente, serão definidas as variáveis de decisão, restrições e função objetivo,
pressupondo que se verificam condições meteorológicas favoráveis. Com recurso ao add-
in “Solver” do software Microsoft Office Excel, apresentar-se-á o plano de produção
ótimo que maximiza a função objetivo.
Ulteriormente, o modelo será adaptado a cenários adversos e será discutida uma
solução de compromisso que permita minimizar os riscos inerentes à decisão, diretamente
relacionados com a dificuldade de prever as condições meteorológicas que efetivamente
ocorrerão.
Finalmente, a partir de informação mais rigorosa no que respeita à frequência dos
diversos cenários meteorológicos, nos últimos anos, será encontrada e discutida a solução
ótima para o caso vertente.
1.1 Descrição do caso de estudo
Os Ploughman são proprietários de uma quinta de 640 acres que está na família há
várias gerações, tendo, por isso, passado por períodos difíceis como secas, cheias e outras
intempéries, que surgem como um fator adverso relevante.
John Ploughman é o gerente da quinta e, em conjunto com a sua mulher, Eunice, os
seus filhos, Frank, Phyllis e Carl, e o seu pai (o avô Ploughman), asseguram a totalidade
do trabalho necessário na sua propriedade, sendo capazes de suportar 4000 pessoas-hora
de trabalho nos meses de inverno e primavera e 4500 pessoas-hora nos meses de verão e
outono.
As atividades desenvolvidas diretamente na quinta relacionam-se com o cultivo de
feijão de soja, milho e trigo e com a criação de animais, especificamente de vacas leiteiras
e galinhas poedeiras.
Quando as atividades da quinta não exigem a capacidade máxima de trabalho da
família, Frank, Phyllis e Carl trabalham numa quinta vizinha, recebendo $5,00 por hora
nos meses de inverno e primavera e $5,50 por hora nos meses de verão e outono.
Na Tabela 1, apresentam-se, para cada cultura e por cada acre plantado, a quantidade
de pessoas-hora necessárias e o valor líquido da cultura, considerando um cenário de
condições meteorológicas favoráveis.
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Tabela 1. Trabalho necessário e valor líquido (condições favoráveis) por acre e cultura
Feijão de soja Milho Trigo
Inverno e primavera,
pessoas-hora 1,0 0,9 0,6
Verão e outono,
pessoas-hora 1,4 1,2 0,7
Valor líquido $75 $60 $45
Cada vaca exige 2 acres para pastar e 10 pessoas-hora de trabalho por mês,
proporcionando um valor líquido no final da época agrícola de $850; enquanto cada
galinha exige 0,05 pessoas-hora por mês e permite um valor líquido de $4,25, sendo
desprezável a área da quinta de que necessita.
A família já possui 30 vacas, avaliadas em $35000, e 2000 galinhas, avaliadas em
$5000, não pretendendo prescindir delas. Aliás, a família tem um fundo de $20000, na
sequência da colheita anterior, que foi particularmente bem sucedida, o qual pode ser
afeto à compra de animais, sendo que cada vaca custa $1500 e cada galinha custa $3. Há,
contudo, que atender ao facto do estábulo ter um limite de 42 vacas e do galinheiro estar
limitado a 5000 galinhas. Para prover o alimento dos animais, a família pretende plantar
pelo menos 1 acre de milho por cada vaca e pelo menos 0,05 acres de trigo por cada
galinha.
Deve-se, ainda, considerar um conjunto de despesas domésticas que se cifram em
$40000 e que no final de cada época existe uma diminuição de 10 por cento do valor das
vacas e de 25 por cento do valor das galinhas.
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2 Análise do problema para condições meteorológicas favoráveis
2.1 Variáveis de decisão
As principais atividades desenvolvidas na quinta são, por um lado, o cultivo de feijão
de soja, de milho e de trigo e, por outro, a criação de animais (vacas leiteiras e galinhas
poedeiras).
Relativamente à criação de animais, a família apenas admite a possibilidade de manter
ou aumentar o número de animais que possui, pelo que a formulação do problema deve
focar-se no número de animais que serão adquiridos. Definem-se, então, as primeiras 5
variáveis:
AS – Área da quinta, em acres, afeta ao cultivo de feijão de soja
AM – Área da quinta, em acres, afeta ao cultivo de milho
AT – Área da quinta, em acres, afeta ao cultivo de trigo
V – Número de vacas a adquirir
G – Número de galinhas a adquirir
Apesar de ser possível formular o problema considerando apenas as variáveis de
decisão inicialmente definidas, o facto de Frank, Phyllis e Carl trabalharem numa quinta
vizinha, quando não são necessários na propriedade da sua família, conduz à definição de
duas novas variáveis:
T1 – Número de horas trabalhadas na quinta vizinha nos meses de inverno e
primavera
T2 – Número de horas trabalhadas na quinta vizinha nos meses de verão e outono
Implementando as variáveis T1 e T2 no modelo, será possível saber diretamente o valor
das mesmas aquando da resolução do problema no sentido da determinação da solução
ótima.
2.2 Restrições
A quinta tem disponíveis 640 acres, os quais podem ser utilizados para plantação ou
para pastoreio. Quanto a esta segunda possibilidade é necessário observar que cada vaca
exige 2 acres para pastar, sendo desprezável a área agrícola necessária para as galinhas.
Desta forma e dado que já existem 30 vacas na quinta, que não serão vendidas, vem:
AS + AM + AT + 2(30 + V) ≤ 640
A atividade da quinta é assegurada unicamente pelos elementos da família, sendo que
estes podem suportar até 4000 pessoas-hora de trabalho nos meses de inverno e primavera
e até 4500 pessoas-hora nos meses de verão e outono. Além disso, sempre que a atividade
na quinta não consumir a totalidade de pessoas-hora que a família é capaz de trabalhar,
Frank, Phyllis e Carl despendem-nas numa quinta vizinha.
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São, então, consideradas duas restrições relativas às horas de trabalho (uma para cada
período de tempo), assumindo ambas a forma de uma igualdade, já que a família irá
sempre despender a totalidade das horas de que é capaz, seja na quinta de que é
proprietária ou na quinta vizinha:
10 × 6(30 + V) + 0,05 × 6(2000 + G) + 1,0AS + 0,9AM + 0,6AT + T1 = 4000
10 × 6(30 + V) + 0,05 × 6(2000 + G) + 1,4AS + 1,2AM + 0,7AT + T2 = 4500
A família tem disponível um fundo de $20000 que pode ser utilizado para a compra
de animais, sendo que cada nova vaca custa $1500 e cada nova galinha custa $3, vindo:
1500V + 3G ≤ 20000
O estábulo da quinta pode acomodar um máximo de 42 vacas, enquanto o galinheiro
tem uma capacidade máxima de 5000 galinhas, o que conduz a duas novas restrições:
30 + V ≤ 42
2000 + G ≤ 5000
Há também a considerar a necessidade de prover a alimentação dos animais, atendendo
à pretensão de plantar pelo menos 1 acre de milho por cada vaca e de plantar pelo menos
0,05 acres de trigo por cada galinha, o que leva às seguintes restrições:
30 + V ≤ AM
0,05(2000 + G) ≤ AT
Consideram-se também as restrições de não-negatividade, face à impossibilidade das
variáveis de decisão tomarem valores abaixo de zero:
AS, AM, AT, V, G, T1, T2 ≥ 0
2.3 Função objetivo
O objetivo da família é maximizar o valor líquido da quinta no final da época agrícola.
O valor líquido corresponde:
à soma do valor líquido proporcionado pelos animais
850(30 + V) + 4,25(2000 + G);
mais o valor líquido das colheitas
75AS + 60AM + 45AT;
mais o saldo remanescente do fundo da família
20000 − 1500V − 3G;
mais o valor dos animais no final da época
0,9(35000 + 1500V) + 0,75(5000 + 3G);
mais o rendimento auferido na sequência do trabalho na quinta vizinha
5T1 + 5,5T2;
deduzida das despesas domésticas de $40000.
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Assim, a função objetivo é:
max
𝑓 = max
(49250 + 75AS + 60AM + 45AT + 700V + 3,5G + 5T1 + 5,5T2)
2.4 Solução ótima
Na Tabela 2, apresentam-se os coeficientes da função objetivo e o plano de produção
ótimo (resultado) que proporciona o valor líquido máximo admitindo condições
meteorológicas favoráveis.
Tabela 2. Coeficientes da função objetivo e planeamento ótimo (condições favoráveis)
AS AM AT V G T1 T2
Coeficientes 75 60 45 700 3,5 5 5,5
Resultado 450 30 100 0 0 1063 1364
Para maximizar o valor líquido no final da época, a família deverá plantar 450 acres
de feijão de soja, 30 acres de milho e 100 acres de trigo, mantendo o número de vacas e
galinhas que já possui, isto é, não adquirindo mais animais. De notar que as culturas de
milho e de trigo serão totalmente consumidas pelos animais, pelo que apenas se venderá
feijão de soja.
Por outro lado, a solução indicada, ao não exigir da família a totalidade da mão de obra
de que a mesma seria capaz, conduz a que os filhos trabalhem 1063 horas e 1364 horas
na quinta vizinha nos meses de inverno e primavera e nos meses de verão e outono,
respetivamente.
O planeamento apresentado proporciona um valor líquido de $102117 no final da
época agrícola.
2.5 Análise de sensibilidade
Na Tabela 3, apresenta-se o custo reduzido das variáveis de decisão consideradas, bem
como o intervalo1 de variação admissível para que não haja alteração da solução ótima.
Tabela 3. Custo reduzido e intervalos de variação admissíveis das variáveis de decisão
Variável Custo
Reduzido
Admissível
Aumentar Diminuir
AS 0 +∞ 13,4
AM 0 13,4 +∞
AT 0 17,15 +∞
V -68 68 +∞
G -0,8575 0,8575 +∞
T1 0 60,375 1,174
T2 0 34,5 1,193
1 Face ao relatório de sensibilidade original, e dadas as limitações do software de cálculo, quando este
apresentava valores na ordem de 1030, estes foram substituídos por +∞.
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Na interpretação do relatório de sensibilidade, deve ter-se especial atenção ao contexto
em que o planeamento da atividade da quinta foi realizado. Como se pressupôs que a
próxima época agrícola se ia desenvolver num cenário de condições meteorológicas
favoráveis, não será expectável que o valor líquido por acre de cada cultura seja superior,
já que os outros cenários apresentam condições adversas. Consequentemente, a análise
deve incidir principalmente sobre quanto é que o valor líquido de cada variável de decisão
pode diminuir sem existir alteração do planeamento ótimo.
Relativamente à área de cultivo de milho e de trigo, o valor líquido pode descer
infinitamente continuando ótima a solução indicada. Esta situação prende-se com o facto
de tanto a variável “número de vacas a adquirir” como o “número de galinhas a adquirir”
não integrarem a solução (tomam valor zero) e, ao mesmo tempo, por estas culturas
tomarem o valor estritamente necessário para alimentar as vacas e galinhas que a quinta
já tem, e que não serão alienadas.
No caso da cultura de soja, uma diminuição do valor líquido além de $13,4 (isto é, se
o valor líquido por acre de soja for inferior a $61,6) implicaria a alteração do plano de
produção. Assim, este valor deve ser estimado com particular cuidado, uma vez que existe
uma probabilidade considerável de ser inferior mediante cenários meteorológicos
adversos, ou seja, por a tolerância ao decréscimo ser reduzida.
Em termos do extremo superior dos intervalos, o relatório indica que, sem alterar a
solução apresentada, o valor líquido por cada acre de soja pode subir infinitamente e que
os valores respeitantes às culturas de milho e trigo podem subir em $13,4 e em $17,15,
respetivamente.
Na Tabela 4, apresentam-se o preço sombra dos diversos recursos disponíveis e os
limites da variação do lado direito da restrição para que se mantenha válida a interpretação
e o valor desse conceito.
Tabela 4. Folgas, preços sombra e intervalos admissíveis de variação dos recursos
Recurso Folga Preço
sombra
Admissível
Aumentar Diminuir
Trabalho no inverno e primavera 0 5 +∞ 1063
Trabalho no verão e outono 0 5,5 +∞ 1364
Área da quinta 0 62,3 974,3 450
Fundo 20000 0 +∞ 20000
Capacidade do estábulo 12 0 +∞ 12
Capacidade do galinheiro 3000 0 +∞ 3000
Acres de milho para as vacas 0 -13,4 450 30
Acres de trigo para as galinhas 0 -24,15 450 100
Como as variáveis “número de vacas a adquirir” e “número de galinhas a adquirir”
tomam valor nulo no plano ótimo em análise, as folgas apresentadas nas restrições
relativas à capacidade do estábulo e do galinheiro correspondem ao limite do lado direito
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das mesmas (12 e 3000, respetivamente). O mesmo se verifica para o fundo que a família
tem, pois o seu valor destina-se exclusivamente à aquisição de animais.
O preço sombra associado ao fundo é de zero, o que decorre logicamente do facto de
este recurso apresentar folga. Desta forma, a possibilidade de a família contrair um
empréstimo bancário a uma taxa de juro de 6% para aumentar o fundo disponível para a
aquisição de animais, não faz sentido, pois o mesmo não seria utilizado. Seria até
negativo, uma vez que a família teria de suportar o encargo com os juros.
Um empréstimo bancário só será de ponderar se a família utilizar na totalidade o fundo
de $20000 que possui. Nesse contexto, a família tem que gerar valor suficiente para pagar
os juros e amortizar o capital, pressupondo que a maturidade do empréstimo é equivalente
à duração da próxima época agrícola.
Face aos pressupostos descritos, o preço sombra do fundo deverá assumir um valor,
no mínimo, de 1,06 para se considerar vantajoso, pois por cada dólar emprestado pelo
banco, a família deverá gerar um retorno suficiente para amortizar o capital e liquidar os
juros.
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3 Análise do problema para cenários meteorológicos adversos
A formulação inicial do problema teve por base o pressuposto de na próxima época
agrícola se verificarem condições meteorológicas favoráveis. No entanto, a história da
quinta é pontuada por várias intempéries, como secas, cheias, geadas precoces, e
combinação de secas com geadas e de cheias com geadas.
A alteração do cenário meteorológico tem implicação nos valores líquidos que cada
acre de cada cultura proporciona no final da época, os quais se apresentam na Tabela 5.
Tabela 5. Valor líquido por acre e cultura para cenários meteorológicos adversos
Feijão de soja Milho Trigo
Seca -$10 -$15 $0
Cheia $15 $20 $10
Geada Precoce $50 $40 $30
Seca e Geada Precoce -$15 -$20 -$10
Cheia e Geada Precoce $10 $10 $5
3.1 Solução ótima para cada cenário adverso
Na Tabela 6, apresenta-se, para cada cenário, a combinação ótima2 das variáveis
(resultado) e o valor líquido que a mesma proporciona. Note-se que, em termos da função
objetivo, cada cenário se diferencia apenas no que concerne aos coeficientes relativos ao
valor líquido das culturas.
Tabela 6. Solução ótima para cada cenário meteorológico adverso
AS AM AT V G T1 T2
Valor
líquido
Seca Coef. -10 -15 0 700 3,5 5 5,5
$67864 Res. 0 42 133,3 12 666,7 562,2 1036,3
Cheia Coef. 15 20 10 700 3,5 5 5,5
$74055 Res. 0 422,7 133,3 12 666,7 219,6 579,5
Geada Coef. 50 40 30 700 3,5 5 5,5
$88767 Res. 450 30 100 0 0 1063 1364
Seca e
Geada
Coef. -15 -20 -10 700 3,5 5 5,5 $66649
Res. 0 42 100 12 0 782,2 1259,6
Cheia e
Geada
Coef. 10 10 5 700 3,5 5 5,5 $69860
Res. 0 37,3 250 7,3 3000 76,4 540,2
Como decorre logicamente da diminuição do ganho líquido com a plantação das
culturas, a solução ótima para cada cenário adverso proporciona um valor líquido inferior
ao observado para condições meteorológicas favoráveis. Ainda assim, o cenário de uma
geada precoce é o cenário adverso que permite um valor líquido superior para a quinta.
2 Neste trabalho, o modelo determinístico adotado baseou-se na programação linear, contudo na
aplicação real da solução é necessário considerar que as variáveis V e G devem tomar valores inteiros, pelo
que, quando assim não se observar, os valores devem ser arredondados por defeito.
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O coeficiente relativo à produção de soja é superior no cenário de geada e observa-se
que apenas neste caso existe a produção desta cultura. No sentido oposto, a produção de
milho e trigo é sempre necessária, uma vez que além de servir para venda, é afeta ao
alimento das vacas e galinhas, respetivamente. Atente-se que apenas no cenário de cheia
existe venda de milho e em nenhum cenário existe venda de trigo.
O decréscimo do valor líquido do acre de cada cultura, que se verifica nos cenários
adversos, justifica, em parte, que na maioria daqueles cenários a aquisição de mais
animais integre a solução ótima, ao contrário do verificado para a situação inicial.
3.2 Solução de equilíbrio a adotar
A multiplicidade de cenários meteorológicos que podem ocorrer e a incerteza
associada à sua previsão aconselham a adoção de uma solução de compromisso e
equilíbrio que permita minimizar o risco e conciliar, por um lado, um valor líquido
elevado quando se verificam condições favoráveis e, por outro lado, evitar um valor
líquido muito reduzido em cenários adversos.
Na Tabela 7, apresentam-se os valores líquidos obtidos tendo em conta o cruzamento
entre o planeamento ótimo adotado, baseado numa previsão meteorológica (cenário
previsto), e o cenário que efetivamente se verifica (cenário que ocorre).
Tabela 7. Cenário previsto versus Cenário que ocorre – valores líquidos ($)
Cenário que ocorre
Cenário
previsto Favorável Seca Cheia Geada
Seca
e geada
Cheia
e geada
Favorável 102117 57117 70417 88767 53717 67367
Seca 77014 67864 70667 74174 66320 69580
Cheia 95628 57928 74055 85175 54482 69162
Geada 102117 57117 70417 88767 53717 67367
Seca e geada 75509 67859 70329 73169 66649 69409
Cheia e geada 81726 67676 71483 77230 64990 69860
Para tomar uma decisão sobre a solução de compromisso a adotar, o cálculo de
medidas estatísticas assume particular relevância. Apresentam-se, então, na Tabela 8, os
valores da média, desvio padrão amostral, mínimo e máximo.
Tabela 8. Estatísticas para cada cenário previsto (valores em dólares)
Cenário
previsto Média
Desvio
padrão Mínimo Máximo
Favorável 73250 18754 53717 102117
Seca 70937 4002 66320 77014
Cheia 72738 15785 54482 95628
Geada 73250 18754 53717 102117
Seca e geada 70487 3324 66649 75509
Cheia e geada 72161 6237 64990 81726
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A previsão de condições meteorológicas favoráveis e a previsão da ocorrência de
geada precoce manifestam igual comportamento, já que apresentam o mesmo plano de
produção ótimo.
A média pressupõe que todos os cenários têm igual probabilidade de ocorrer e os
valores obtidos sugerem que o plano que se adota quando se prevê a ocorrência de seca e
geada é o que regista um valor líquido médio inferior, enquanto o plano adotado
pressupondo condições favoráveis ou geada apresenta um valor superior.
Contudo, a média não permite medir o risco associado à previsão de cada cenário,
sendo, por isso, importante a análise do desvio padrão. A solução que se adota
considerando a previsão da ocorrência de seca e geada é a que regista um desvio padrão
inferior. Repare-se que para este cenário os valores líquidos obtidos variam entre $66649
e $75509, o que representa a menor oscilação. O mínimo deste intervalo é o mais elevado
quando comparado com os intervalos dos outros cenários.
São os cenários de condições favoráveis e de geada que, simultaneamente, apresentam
o valor máximo mais elevado e o valor mínimo mais reduzido, o que se traduz
logicamente no maior desvio padrão e num maior risco.
Uma vez que se pretende adotar uma solução de compromisso e malgrado o
planeamento adotado para a previsão de seca e geada ser o que apresenta menor oscilação
e o extremo inferior mais elevado, será de considerar com particular atenção a hipótese
de estabelecer o plano de produção pressupondo um cenário meteorológico de cheia e
geada. Este plano apresenta um intervalo que varia entre $64990 e $81726, e
comparativamente à previsão de seca e geada, o seu extremo inferior é menor em apenas
$1659 e o seu máximo é consideravelmente superior (em $6217).
“Farm Management” – caso de estudo
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4 Análise do problema baseada na ponderação da frequência dos
diversos cenários meteorológicos
O avô Ploughman reuniu um conjunto de informação sobre as condições
meteorológicas dos últimos anos, o que permitiu obter a frequência com que os diversos
cenários ocorreram, conforme documenta a Tabela 9.
Tabela 9. Frequência dos cenários meteorológicos e valor líquido esperado por acre e cultura
Soja Milho Trigo Frequência
Favorável $75 $60 $45 40%
Seca -$10 -$15 $0 20%
Cheia $15 $20 $10 10%
Geada $50 $40 $30 15%
Seca e geada -$15 -$20 -$10 10%
Cheia e geada $10 $10 $5 5%
Média ponderada $36 $27,5 $22,75
Assim, ao invés do cenário inicial que pressupunha que as boas condições
meteorológicas se mantinham para a época agrícola vindoura, a família decide que o valor
líquido a considerar por cada acre de cada cultura, deve corresponder à média ponderada
dos valores líquidos dos diversos cenários tendo por base a frequência com que ocorrem.
4.1 Solução ótima
A alteração na forma como as condições meteorológicas são consideradas tem impacto
unicamente nos coeficientes da função objetivo relativos à área das plantações de soja,
milho e trigo.
Na Tabela 10, indica-se o planeamento que proporciona a solução ótima em termos de
valor líquido da quinta, no final da época agrícola.
Tabela 10. Coeficientes da função objetivo e planeamento ótimo (cenário ponderado)
AS AM AT V G T1 T2
Coeficientes 36 27,5 22,75 700 3,5 5 5,5
Resultado 414 42 100 12 0 368,2 680
O plano apresentado conduz a um valor líquido da quinta de $81565, que compara
com os $102117 apurados aquando da situação inicial que admitia a continuidade das
condições meteorológicas favoráveis.
A nova solução ótima implica a compra de 12 vacas, quando na situação inicial a
família se limitava a manter as que já tinha. Assiste-se a uma diminuição ligeira do
número de acres de soja a plantar (de 450 para 414) e a um decréscimo acentuado do
número de horas de trabalho na quinta vizinha (de 1063 para 368,2 nos meses de inverno
e primavera e de 1364 para 680 nos meses de verão e outono).
Por outro lado, continua a não ser interessante adquirir mais galinhas e mantém-se a
afetação das culturas de milho e de trigo exclusivamente à alimentação dos animais.
“Farm Management” – caso de estudo
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4.2 Análise de sensibilidade
Na Tabela 11, apresenta-se o custo reduzido das variáveis de decisão consideradas,
bem como o intervalo de variação admissível para que não haja alteração da solução
ótima.
Tabela 11. Custo reduzido e intervalos de variação admissíveis das variáveis de decisão
Variável Custo
Reduzido
Admissível
Aumentar Diminuir
AS 0 5,5 0,4
AM 0 6,9 16,5
AT 0 0,4 +∞
V 0 +∞ 16,5
G -0,02 0,02 +∞
T1 0 0,285 0,071
T2 0 0,289 0,075
A partir destes resultados verifica-se que, sem alterar a solução ótima, o valor do lucro
de um acre utilizado para o cultivo de feijão de soja pode subir em $5,5 e descer em $0,4
(ou seja, o valor líquido por acre pode variar entre $35,6 e $41,5). Dada a baixa tolerância
ao decréscimo, é necessário algum cuidado na sua estimativa, para não colocar em causa
a solução ótima inicialmente encontrada.
No que concerne ao cultivo de milho, tem-se que o valor líquido por acre pode
aumentar em $6,9 e diminuir em $16,5, isto é, pode variar entre $11 e $34,4. Como esta
cultura, além da venda, tem como utilidade o provimento da alimentação das vacas, caso
o seu valor líquido por acre seja inferior a $11, a análise sugere implicações no número
de vacas a adquirir, isto é, levará à sua redução, já que a solução ótima recomenda que o
estábulo seja utilizado na sua capacidade máxima e que a cultura de milho seja afeta em
exclusivo à alimentação das vacas.
No caso do cultivo de trigo, o valor líquido por acre pode subir $0,4 ou descer
infinitamente, mantendo-se a solução ótima apresentada. A baixa tolerância à subida
implica que se estime com especial atenção o valor líquido desta cultura. O facto de o
relatório de sensibilidade sugerir que a solução ótima se mantenha independentemente da
descida que se verifique no valor líquido da cultura de trigo pode justificar-se por,
simultaneamente, a solução ótima não abranger a compra de galinhas e por a produção de
trigo estar a ser unicamente utilizada para alimentação das galinhas, isto é, tendo em conta
que a quinta já tem 2000 galinhas, que não serão alienadas, será sempre necessário
produzir pelo menos 100 acres de trigo para a sua alimentação.
Note-se que apesar de a compra de galinhas não estar incluída na solução ótima,
bastaria o valor líquido por galinha subir de $4,25 para $4,27, ou seja, aumentar $0,02,
para a situação se alterar.
“Farm Management” – caso de estudo
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Na Tabela 12, apresentam-se o preço sombra dos diversos recursos disponíveis e os
limites da variação do lado direito da restrição para que se mantenha válida a interpretação
e o valor desse conceito.
Tabela 12. Folgas, preços sombra e intervalos admissíveis de variação dos recursos
Recurso Folga Preço
sombra
Admissível
Aumentar Diminuir
Trabalho no inverno e primavera 0 5 +∞ 368,2
Trabalho no verão e outono 0 5,5 +∞ 680
Área da quinta 0 23,3 368,2 414
Fundo 2000 0 +∞ 2000
Capacidade do estábulo 0 16,5 1,33 12
Capacidade do galinheiro 3000 0 +∞ 3000
Acres de milho para as vacas 0 -6,9 414 42
Acres de trigo para as galinhas 0 -7,4 414 100
Na solução ótima em análise, a área da quinta está a ser utilizada na totalidade. A
possibilidade de aumentar a dimensão da quinta dos atuais 640 para 800 acres não excede
o limite apresentado no relatório de sensibilidade, pelo que é válida a análise do preço
sombra.
Cada acre a mais representa um aumento do valor líquido da quinta em $23,3,
constituindo este valor o máximo que a família deve estar disposta a pagar por acre
aquando da análise da hipótese de ampliar a área da quinta, através do arrendamento de
terreno.
Assim, se, por exemplo, o preço por acre arrendado for de $15, a família terá um lucro
de $8,3 com esse acre (valor que resulta da diferença entre o preço sombra e a renda).
“Farm Management” – caso de estudo
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5 Conclusões
Neste trabalho pretendeu-se estudar a forma como uma família devia gerir a quinta de
que é proprietária de forma a que, no final da próxima época agrícola, maximizasse o
valor líquido da mesma. O procedimento adotado implicou uma análise dividida em três
etapas principais, as quais sequencialmente se foram aproximando de um cenário mais
real, fiável e ponderado.
Na primeira fase, que pressupunha a continuidade das condições meteorológicas
favoráveis que haviam marcado a época anterior, a solução ótima encontrada apontava
para a afetação de 450, 30 e 100 acres à plantação de soja, milho e trigo, respetivamente.
Esta solução não incluía a aquisição de mais animais e, como as atividades da quinta não
exigiam a totalidade da mão de obra de que os proprietários eram capazes, levava a que
o trabalho na quinta vizinha fosse de 1063 horas nos meses de inverno e primavera e de
1364 horas nos meses de verão e outono.
A análise de sensibilidade revelou que caso o valor líquido por acre da soja diminuísse
em mais de $13,4, a solução ótima alterar-se-ia. Tendo em conta que se pressupôs um
cenário de condições meteorológicas favoráveis, a probabilidade desse valor líquido
diminuir é considerável face a eventuais cenários adversos, pelo que o mesmo deve ser
estimado mais cuidadosamente. Por outro lado, os valores líquidos respeitantes à
plantação de milho e trigo podem aumentar infinitamente sem existir alteração da solução
ótima, uma vez que estas plantações estão a ser exclusivamente usadas para alimentação
das 30 vacas e 2000 galinhas, que a família já possui e pretende manter.
Numa segunda etapa, estudaram-se as soluções ótimas para cada cenário adverso tido
como possível (seca, cheia, geada precoce, combinação de seca e geada precoce e
combinação de cheia e geada precoce). Neste ponto, pretendeu-se encontrar uma
abordagem equilibrada no que concerne ao cenário que devia ser pressuposto na definição
do planeamento ótimo, de forma a que, na eventualidade do cenário real ser diferente, o
valor líquido da quinta não seja demasiado reduzido se o cenário real for pior e seja o
mais elevado possível se o cenário real for melhor.
Nesta etapa, em que se privilegiou o cálculo de algumas medidas estatísticas,
nomeadamente do desvio padrão amostral, observou-se que se a análise incidisse apenas
na minimização do risco, a família deveria adotar o cenário que combina seca e geada
precoce, na definição da solução ótima, pois é o que apresenta um intervalo para o valor
líquido com menor amplitude (entre $66649 e $75509).
Contudo, o valor máximo deste intervalo revelou-se relativamente baixo, pelo que a
solução de compromisso proposta aponta para a consideração do cenário que combina
cheia com geada precoce cujo intervalo varia entre $64990 e $81726, que,
comparativamente à previsão de seca e geada, apresenta um extremo inferior menor em
apenas $1659 e um máximo consideravelmente superior (em $6217).
Na última etapa, e com base em informações mais completas sobre as condições
meteorológicas dos últimos anos, pôde estimar-se o valor líquido por acre de cada cultura
ponderando a frequência com que as mesmas têm ocorrido. As condições meteorológicas
“Farm Management” – caso de estudo
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são um fator não controlável, ainda assim, esta é a abordagem mais realista, pois tem em
conta o contexto e a história da quinta.
A solução ótima encontrada proporciona um valor líquido de $81565, implicando a
plantação de 414 acres de soja, 42 acres de milho e 100 acres de trigo, a compra de 12
vacas, e que se trabalhe na quinta vizinha durante 368,2 horas nos meses de inverno e
primavera e 680 horas nos meses de verão e outono. Novamente, as culturas de milho e
trigo, no planeamento ótimo, não são usadas para venda, mas sim para alimentação dos
animais.
A análise de sensibilidade aponta para a necessidade de estimar com particular cuidado
o valor líquido por acre de feijão de soja e de trigo, dada a sua baixa tolerância à
diminuição e ao aumento, respetivamente. Concretamente, para a solução ótima se
manter, o valor líquido da soja não pode diminuir além de 0,4$ e o valor líquido do trigo
não pode aumentar além de 0,4$.
Note-se, ainda, que na solução ótima, a área da quinta é totalmente utilizada, pelo que
se analisou a viabilidade de arrendar terreno adicional, tendo-se concluído que, se a renda
por cada acre adicional não exceder os $23,3 (valor que corresponde ao preço sombra),
esta opção será vantajosa.
Em suma, a família deve planear a atividade para a próxima época agrícola tendo por
base a frequência com que cada cenário tem ocorrido, uma vez que ao considerar, como
inicialmente, que as condições meteorológicas favoráveis se manteriam o valor líquido
proporcionado pela solução ótima poder-se-ia revelar ilusório e desajustado, acarretando
um valor muito reduzido perante cenários adversos. Por outro lado, o facto de a família
querer manter os animais que já possui revela-se uma condicionante importante na
afetação da área da quinta às diversas culturas, dada a necessidade de prover o seu
alimento.
Finalmente, e sob a forma de proposta de um trabalho futuro, destaque-se a relevância
de estudar o problema com base em previsões meteorológicas para a próxima época
agrícola realizadas por entidades idóneas e independentes.
“Farm Management” – caso de estudo
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Bibliografia
Camanho, Ana. 2010. Apontamentos da disciplina de Investigação Operacional I.
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
Hillier, Frederick S., and Mark S. Hillier. 2011. Introduction to Management Science:
A Modeling and Case Studies Approach with Spreadsheets. McGraw-Hill Education.