análise de custos dos elementos estruturais viga e laje

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - ECV

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Andressa Aires da Fraga Cunha

Análise de custos dos elementos estruturais viga e laje maciça, considerando diferentes

métodos de pré-dimensionamento

Florianópolis

2021




Trabalho de Conclusão do Curso de Graduação em

Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade

Federal de Santa Catarina como requisito para a obtenção

do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. Wellison José de Santana Gomes, Dr.

Florianópolis

2021




Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do Título de

Engenheira Civil e aprovado em sua forma final pelo Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal de Santa Catarina.

Florianópolis, 21 de setembro de 2021.

________________________

Prof.ª Liane Ramos da Silva, Dr.ª

Coordenadora do Curso

Banca Examinadora:

________________________

Prof. Wellison José de Santana Gomes, Dr.

Orientador

Universidade Federal de Santa Catarina

________________________

Prof.ª Daiane de Sena Brisotto, Dr.ª

Avaliadora


________________________

Prof. Roberto Caldas de A. Pinto, Dr.

Avaliador


RESUMO

Toda edificação requer um projeto estrutural que considere todos os elementos de fundação e

todos os elementos estruturais, tais como as lajes, vigas e pilares, seus dimensionamentos e

detalhamentos. Na prática, o dimensionamento de estruturas de concreto armado requer que o

projetista estabeleça a priori as dimensões dos elementos estruturais, para depois verificar se

estes elementos satisfazem os requisitos de segurança e funcionalidade. Caso não satisfaçam,

ou caso haja uma margem muito grande que leve a custos desnecessários, é preciso modificar

uma ou mais dimensões e refazer as análises estruturais e os cálculos de custos. Neste contexto,

surgem métodos de pré-dimensionamento, usualmente simples, mas que tentam indicar

dimensões iniciais o mais próximas possível às necessárias. No presente trabalho, diferentes

métodos de pré-dimensionamento indicados na literatura, para vigas retangulares e lajes

maciças de concreto armado, são comparados. Para isso, é feita uma análise paramétrica

considerando-se quatro situações distintas. Para as vigas, varia-se o comprimento do vão e a

relação entre as cargas permanente e acidental. Para as lajes, são alterados os tipos de apoio e a

relação entre os vãos efetivos. Os cálculos da área de aço e dos custos foram desenvolvidos em

planilhas, implementadas no software Excel. Também foram utilizados os programas AutoCAD,

para ilustrar as seções transversais das vigas, e Ftool, para obtenção dos máximos momentos

fletores e esforços cortantes das vigas hiperestáticas consideradas. Dentre os métodos

considerados, na primeira análise das vigas, o método de Lança mostrou ser o mais econômico

enquanto que, na segunda, os métodos de Giongo e Cunha foram os menos dispendiosos. Por

outro lado, para os casos das lajes nenhum método se sobressaiu, em termos de custos, em

relação aos outros. Os resultados obtidos mostraram que não há consenso quanto ao método

mais econômico, revelando a importância de se manter pesquisas relacionadas ao

desenvolvimento de programas computacionais de pré-dimensionamento estrutural, com base

em otimização estrutural, e/ou de propor novos métodos analíticos simplificados.

Palavras-chave: Pré-dimensionamento. Custo econômico. Vigas. Lajes maciças.

ABSTRACT

Under a structural point of view, every building requires the design, dimensioning and

detailing of all its structural elements, including, for example, its foundations, slabs, beams and

columns. In practice, during the dimensioning of reinforced concrete structures, the designer

must establish a priori the dimensions of the structural elements, and then verify if the

corresponding safety and functionality requirements are met. If this is not the case, or if there

is a very large margin leading to unnecessary costs, it is necessary to modify one or more

dimensions of the structural elements and repeat the structural and cost analyses. In this context,

some methods appear with the purpose of providing first guesses for these dimensions. These

methods are called herein ‘pre-dimensioning methods’ and, although usually simple, they try

to indicate initial dimensions as close as possible to those required. In the present study,

different pre-dimensioning methods for reinforced concrete rectangular beams and solid slabs

are taken from the literature and compared. To do that, four different situations are considered.

For the beams, different span lengths and different ratios between the permanent and variable

loads are considered. For the slabs, the types of support and the ratio between the effective

spans are changed. The cost analysis is developed by using Microsoft Excel spreadsheets, while

structural detailing is done using the Autodesk Autocad software. Maximum bending moments

and shear forces for the hyperstatic beams are obtained by employing the Ftool software. In the

first analysis of the beams, the method by Lança proved to be the most economical, while in

the second one the methods by Giongo and Cunha led to the least expensive structural elements.

On the other hand, for the cases concerning the slabs no method stood out in terms of costs in

comparison with the others. The results obtained herein showed that there is no consensus as to

the most economical method. This reveals the importance of developing new research on pre-

dimensioning of structural elements, where structural optimization could take place, leading to

new computer programs for this purpose and/or new simplified analytical methods.

Keywords: Pre-dimensioning. Economic cost. Beams. Solid slabs.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama tensão x deformação para o concreto. ....................................... 21

Figura 2 - Diagrama tensão x deformação para o aço. ............................................... 22

Figura 3 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio I. ........ 23

Figura 4 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio II........ 23

Figura 5 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio III. ..... 23

Figura 6 - Ilustração da linha neutra. .......................................................................... 24

Figura 7 - Domínios de deformação do concreto armado. ......................................... 25

Figura 8 - Ilustração do critério de concentração de armadura. ................................. 28

Figura 9 - Treliça de Morsch. ..................................................................................... 31

Figura 10 - Redução de Vc com o aumento de Vsd. .................................................. 32

Figura 11 - Seção transversal de viga genérica com armadura de pele. ..................... 34

Figura 12 - Área do concreto de envolvimento da armadura, Acr. ............................ 35

Figura 13 - Disposições dos comprimentos da laje estudada e adjacente de acordo com

a posição do engaste a ser realizado. ........................................................................................ 40

Figura 14 - Viga central, biapoiada, isostática. Situação 01, estudo de vigas. ........... 58

Figura 15 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos

de pré-dimensionamento........................................................................................................... 60

Figura 16 - Relação entre as alturas, áreas de aço longitudinal, transversal e total,

versus vão livre. ........................................................................................................................ 62

Figura 17 - Relação entre o vão livre e o custo total da viga para os diferentes métodos

de pré-dimensionamento........................................................................................................... 65

Figura 18 - Viga externa, contínua, hiperestática que serve de suporte a outras vigas.

Situação 02, estudo de vigas. .................................................................................................... 66

Figura 19 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos

de pré-dimensionamento, referente às cargas G = 5, 15 e 60 kN/m. ........................................ 68

Figura 20 - Relação entre o coeficiente χ e as áreas de aço longitudinal e transversal

da viga, para os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ................................................ 69

Figura 21 - Relação entre o coeficiente χ e o custo total da viga para os diferentes

métodos de pré-dimensionamento. ........................................................................................... 71

Figura 22 - Relação entre o caso e o custo total, por m2, da laje para os diferentes

métodos de pré-dimensionamento. ........................................................................................... 84

Figura 23 - Altura da laje e área de aço total, para os casos 01 e 09, conforme o valor

do coeficiente 𝛾. ....................................................................................................................... 88

Figura 24 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2

de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 01.

.................................................................................................................................................. 90

Figura 25 - Relação entre o coeficiente γ e o custo total, por m2, da laje nos casos 01 e

09 para os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ......................................................... 92

Figura 26 - Valor percentual do custo total das vigas, referente aos materiais fôrmas,

aço e concreto, de acordo com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente

trabalho. .................................................................................................................................... 95

Figura 27 - Valor percentual do custo total das lajes, referente aos materiais fôrmas,

aço e concreto, de acordo com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente

trabalho. .................................................................................................................................... 96

Figura 28 - Definição dos casos de lajes para o cálculo da flecha imediata, momentos

fletores e esforços cortantes. ................................................................................................... 103

Figura 29 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto na seção de uma viga

submetida à flexão simples. .................................................................................................... 108

Figura 30 - Forças resistentes e diagrama simplificado de tensão do concreto na seção

de uma viga submetida à flexão simples. ............................................................................... 108

Figura 31 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto, na seção de uma viga

submetida à flexão simples com armadura dupla. .................................................................. 110

Figura 32 - Diagrama de deformação do concreto para seção com armadura dupla.

................................................................................................................................................ 112

Figura 33 - Forças resistentes e diagrama de tensão no estádio II do concreto, na seção

de uma viga submetida à flexão simples. ............................................................................... 113

Figura 34 - Diagrama de deformações no estádio II. ............................................... 114

Figura 35 - Disposições construtivas da armadura longitudinal em vigas. .............. 123

Figura 36 - Distância 𝑦 para o cálculo do centro geométrico da armadura longitudinal.

................................................................................................................................................ 124

Figura 37 – Ilustração do cálculo do critério de concentração de armadura. ........... 126

Figura 38 - Seção transversal da viga duplamente armada, considerada para o cálculo

do centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida. ............................................. 131

Figura 39 - Disposições construtivas da armadura transversal em vigas. ................ 135

Figura 40 - Viga contínua hiperestática, elaborada no software Ftool. Situação 02,

estudo de vigas. ...................................................................................................................... 137

Figura 41 - Cálculo da armadura longitudinal positiva para o maior vão, no

dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 146

Figura 42 - Cálculo da armadura longitudinal negativa para o menor vão, no


Figura 43 - Cálculo da armadura longitudinal negativa para o maior vão, no

dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel ..................... 147

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Pré-dimensionamento da base da viga, proposto por CUNHA (2014). .... 51

Tabela 2 - Pré-dimensionamento da altura de viga, método do vão ponderado, proposto

por CUNHA (2014). ................................................................................................................. 51

Tabela 3 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por LANÇA (2006). .. 51

Tabela 4 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por GIONGO (2006). 52

Tabela 5 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por DI PIETRO (2000).

.................................................................................................................................................. 52

Tabela 6 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por REBELLO (2007).

.................................................................................................................................................. 53

Tabela 7 - Relação entre os tipos de carga e o ambiente a ser construído. ................ 53

Tabela 8 - Valor dos insumos utilizados no cálculo do custo do metro de viga. ....... 57

Tabela 9 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento. .......................................................................... 60

Tabela 10 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de

viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................... 64

Tabela 11 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores distintos de carga acidental. .............. 67

Tabela 12 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de

viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores do coeficiente 𝜒.

.................................................................................................................................................. 70

Tabela 13 - Pré-dimensionamento da altura de laje, proposto por LANÇA (2006). . 73

Tabela 14 - Pré-dimensionamento da altura de laje, método do vão ponderado,

proposto por CUNHA (2014). .................................................................................................. 74

Tabela 15 - Relação entre os tipos de carregamento e o ambiente a ser construído. . 75

Tabela 16 - Classificação para condições de apoio. ................................................... 75

Tabela 17 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje, com γ=1,5 e área de

24m2, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ................................... 79

Tabela 18 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2

de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamentos ................................ 82

Tabela 19 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 01, de

acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................................. 86

Tabela 20 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 09, de

acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................................. 87

Tabela 21 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2

de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 09.

.................................................................................................................................................. 91

Tabela 22 - Coeficiente para cálculo de flechas imediatas em lajes isoladas

retangulares submetidas a carregamentos uniformemente distribuído. .................................. 104

Tabela 23 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes

isoladas retangulares uniformemente carregadas (casos 1,2 e 3). .......................................... 104





Tabela 26 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas

retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3). ....................................................... 106





Tabela 29 – Dados de entrada para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.

................................................................................................................................................ 116

Tabela 30 – Carregamento distribuído, momento fleto e esforço cortante para o

dimensionamento de vigas, na planilha Excel. ....................................................................... 117

Tabela 31 – Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas,

na planilha Excel. ................................................................................................................... 119

Tabela 32 - Área de aço de acordo com o diâmetro e quantidade de barras. ........... 121

Tabela 33 - Centro de gravidade da armadura longitudinal para o dimensionamento de

vigas, na planilha Excel. ......................................................................................................... 123

Tabela 34 – Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal no


Tabela 35 - Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas

duplamente armadas, na planilha Excel. ................................................................................ 128

Tabela 36 - Disposições construtivas das armaduras longitudinais de vigas duplamente

armadas, na planilha Excel. .................................................................................................... 129

Tabela 37 - Centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada para o

dimensionamento de vigas duplamente armadas, na planilha Excel. ..................................... 130

Tabela 38 - Centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida para o


Tabela 39 - Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal tracionada no


Tabela 40 - Verificação no estado limite de serviço de abertura de fissuras para o


Tabela 41 - Área de aço da armadura transversal para o dimensionamento de vigas, na

planilha Excel. ........................................................................................................................ 134

Tabela 42 - Área de aço mínima para armadura transversal no dimensionamento de

vigas, na planilha Excel. ......................................................................................................... 136

Tabela 43 – Dados de entrada para o dimensionamento de lajes maciças armadas em

2 direções, na planilha Excel. ................................................................................................. 138

Tabela 44 – Vãos efetivos para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2

direções, na planilha Excel. .................................................................................................... 139

Tabela 45 - Coeficiente 𝜆 para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2

direções, na planilha Excel. .................................................................................................... 140

Tabela 46 – Carregamento distribuído para o dimensionamento de lajes maciças

armadas em 2 direções, na planilha Excel. ............................................................................. 140

Tabela 47 – Verificações do estado limite de serviço de deformação excessiva para o


Tabela 48 - Verificações no estado limite de serviço de fissuração para o


Tabela 49 - Cálculo da armadura longitudinal positiva para o menor vão, no


Tabela 50 - Verificações para a dispensa de armadura transversal no dimensionamento

de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................................................. 150

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 15

2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO .................................................. 17

2.1 CONCRETO, AÇO E CONCRETO ARMADO .................................................. 17

2.2 CLASSES DE AGRESSIVIDADE E COBRIMENTO NOMINAL .................... 18

2.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) E ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)

18

2.4 AÇÕES .................................................................................................................. 19

2.5 DIAGRAMA DE TENSÃO × DEFORMAÇÃO ................................................. 20

2.6 ESTÁDIOS ............................................................................................................ 22

2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................ 24

2.8 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS .................................................................... 25

2.8.1 Armadura longitudinal (ELU)............................................................................ 26

2.8.2 Armadura longitudinal dupla (ELU) ................................................................. 29

2.8.3 Armadura transversal (ELU) ............................................................................. 30

2.8.4 Armadura de pele (ELS-F) ................................................................................. 33

2.8.5 Controle de abertura de fissuras (ELS-W) ....................................................... 34

2.9 DIMENSIONAMENTO DE LAJES ..................................................................... 37

2.9.1 Características construtivas: altura, vãos efetivos, tipo de armação e apoios 38

2.9.2 Controle de deformações excessivas (ELS – DEF) ........................................... 40

2.9.3 Controle de fissuração (ELS – F) ....................................................................... 43

2.9.4 Armadura longitudinal (ELU)............................................................................ 45

2.9.5 Armadura transversal (ELU) ............................................................................. 47

2.9.6 Armadura de borda (ELS-F) .............................................................................. 49

3 VIGAS ................................................................................................................... 50

3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA .............................. 50

3.2 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 54

3.2.1 Métodos da literatura .......................................................................................... 54

3.2.2 Características do concreto e do aço .................................................................. 54

3.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal ............................... 55

3.2.4 Carga ..................................................................................................................... 55

3.2.5 Custos .................................................................................................................... 56

3.2.6 Planilha ................................................................................................................. 57

3.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS ............................................................................ 58

3.3.1 Situação 01 ............................................................................................................ 58

3.3.1.1 Resultados e Discussões ........................................................................................ 59

3.3.2 Situação 02 ............................................................................................................ 66

3.3.2.1 Resultados e discussões ......................................................................................... 66

4 LAJES ................................................................................................................... 72

4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA .............................. 72

4.2 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 75

4.2.1 Métodos da literatura .......................................................................................... 75

4.2.2 Características do concreto e aço ....................................................................... 76

4.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal ............................... 76

4.2.4 Carga ..................................................................................................................... 76

4.2.5 Custos .................................................................................................................... 77

4.2.6 Planilha ................................................................................................................. 77

4.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS ............................................................................ 78

4.3.1 Situação 01 ............................................................................................................ 78


4.3.2 Situação 02 ............................................................................................................ 85


5 COMPOSIÇÃO DOS CUSTOS CONFORME LITERATURA ..................... 94

6 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 97

REFERÊNCIAS ................................................................................................... 98

ANEXO A - Tabelas utilizadas para a determinação de esforços, em lajes

armadas nas duas direções ................................................................................ 103

APÊNDICE A – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal .... 108

APÊNDICE B – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal dupla

............................................................................................................................. 110

APÊNDICE C – Dedução para a tensão de tração do aço e altura da linha

neutra, no estádio II ........................................................................................... 113

APÊNDICE E – Desenvolvimento da planilha no Excel para o

dimensionamento de vigas ................................................................................ 116

APÊNDICE F – Desenvolvimento da planilha no Excel para o

dimensionamento de lajes maciças ................................................................... 138

15

1 INTRODUÇÃO

Toda edificação requer um projeto estrutural que especifique o dimensionamento e

detalhamento dos aspectos construtivos, abrangendo as fundações e elementos estruturais como

lajes, vigas e pilares. Atualmente existem diversos softwares que auxiliam o engenheiro

calculista, responsável por elaborar o projeto estrutural. Contudo, independentemente da

metodologia utilizada, necessita-se estabelecer, previamente, as dimensões a serem adotadas

pelo elemento estrutural.

No Brasil, a norma NBR 6118 estabelece os requisitos básicos exigíveis para o projeto

de estruturas de concreto simples, armado e protendido. Sua versão de 1980 apresentava

algumas expressões para o cálculo do pré-dimensionamento das estruturas, entretanto, as

atualizações que se seguiram excluem tal auxílio. A versão vigente, de 2014, nada menciona

sobre as dimensões estimadas dos elementos estruturais.

Diversos estudos vêm sendo realizados a fim de se determinar modelos de cálculo, seja

analítico ou empírico, para o pré-dimensionamento estrutural, facilitando a obtenção das

dimensões finais de vigas, lajes e pilares. Neste aspecto, são autores de destaque CUNHA

(2014), GIONGO (2007), LANÇA (2006), REBELLO (2007), DI PIETRO (2000), CHING et

al. (2010).

Além de restrições impostas pelo projeto arquitetônico, deve-se avaliar o custo da

estrutura, buscando minimizá-lo, favorecendo a viabilidade econômica da edificação e

atratividade no mercado. Na prática, o dimensionamento de estruturas de concreto armado

requer que o projetista estabeleça a priori as dimensões dos elementos estruturais, para depois

verificar se estes elementos satisfazem os requisitos de segurança e funcionalidade. Caso não

satisfaçam, ou caso haja uma margem muito grande que leve a custos desnecessários, é preciso

modificar uma ou mais dimensões e refazer as análises estruturais e os cálculos de custos. Dessa

forma, surgem os métodos de pré-dimensionamento, usualmente simples, mas que tentam

indicar dimensões iniciais o mais próximas possível às necessárias.

Nesse contexto, busca-se aqui estudar os diferentes métodos de pré-dimensionamento

existentes na literatura. O objetivo geral deste trabalho é analisar o impacto que a altura

estimada, para vigas e lajes, provoca nos custos da estrutura.

O trabalho é organizado conforme segue. O capítulo 2 traz uma revisão de literatura

sucinta sobre os principais conceitos e definições relacionados a estruturas de concreto armado.

Os capítulos 3 e 4 discutem vigas e lajes, respectivamente, descrevendo os métodos de pré-

16

dimensionamento abordados, as considerações assumidas para o desenvolvimento do

dimensionamento das estruturas, bem como a discussão dos resultados obtidos. Por fim, o

capítulo 5 apresenta a conclusão sobre o estudo feito no presente trabalho.

17

2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

Neste capítulo é feita uma breve recapitulação sobre os principais conceitos e

definições relacionados a estruturas de concreto armado para melhor compreensão de seu

dimensionamento.

2.1 CONCRETO, AÇO E CONCRETO ARMADO

No Brasil, o material mais utilizado na elaboração dos elementos estruturais de

edificações e grandes obras viárias é o concreto armado (COUTO et al. 2013). Dessa forma, é

necessário entender seus principais componentes, suas vantagens e desvantagens.

O concreto é uma mistura de agregados miúdo e graúdo, aglomerante e água, podendo-

se citar como exemplo de materiais usualmente utilizados, respectivamente, areia, brita e

cimento. O principal atributo que caracteriza o concreto é sua alta resistência a esforços de

compressão, entretanto, deve-se ressaltar que a capacidade quanto aos esforços de tração é

bastante limitada. A resistência à compressão aumenta quanto maior for a qualidade dos

materiais, quanto maior for a idade do concreto e quanto menor for a relação água/cimento

utilizada. O concreto pode sofrer deformações próprias devido à retração, variação de umidade

ou de temperatura. As deformações também podem ocorrer devido às cargas externas, sendo

imediatas ou lentas (MEHTA e MONTEIRO, 1994). Devido às limitações do material quanto

a esforços de tração, é comum combiná-lo ao aço, o que resulta no chamado concreto armado.

O aço é uma liga metálica formada principalmente por ferro e carbono. Destacam-se

como propriedades, sua boa ductilidade e resistência a esforços de tração (PADARATZ e

PINTO).

A combinação do concreto com as barras de aço, chamadas de armaduras neste

contexto, permite que se tenha boa resistência a esforços de compressão e de tração. O concreto

é responsável por suportar os esforços de compressão e proteger a armadura contra as

intempéries do meio ambiente, enquanto que a armadura suporta os esforços de tração e ajuda

a controlar a abertura de fissuras do concreto. Essa combinação só é possível devido a aderência

recíproca entre o concreto e aço, bem como ambos possuírem valores de coeficientes de

dilatação térmica muito próximos (PADARATZ e PINTO).

Dentre as principais vantagens do concreto armado pode-se citar o custo econômico

relativamente baixo, fácil moldagem, monolitismo da estrutura, além de apresentar boas

18

resistências: ao fogo, influências atmosféricas, desgaste mecânico, choque e vibrações.

Contudo, apresenta como inconvenientes o elevado peso próprio, menor proteção térmica e a

demolição de uma estrutura de concreto armado é de difícil execução e alto custo econômico

(PARARATZ e PINTO).

2.2 CLASSES DE AGRESSIVIDADE E COBRIMENTO NOMINAL

A fim de garantir que a armadura seja protegida pelo concreto e não sofra com os

possíveis agentes degradantes do meio, é estipulado um cobrimento nominal, isto é, uma

espessura mínima de concreto que recubra as barras de aço.

O risco de deterioração da estrutura varia de acordo com o tipo de ambiente que, para

efeito de projeto, é categorizado em classes de agressividade, conforme a Tabela 6.1 da norma

NBR 6118:2014. Dessa forma, o cobrimento nominal modifica-se de acordo com o tipo de

estrutura e classe de agressividade ambiental, como mostrado na Tabela 7.2 desta mesma

norma.

Os valores do cobrimento nominal apresentados, consideram um cobrimento mínimo

de 10mm relativo à tolerância de execução. A extensão do cobrimento é contada a partir da

face externa do estribo, que consiste nas armaduras transversais do elemento estrutural, e

sempre deve ser igual ou superior: ao diâmetro da barra de aço longitudinal, ao diâmetro do

feixe e à metade do diâmetro da bainha (NBR 6118:2014).

2.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) E ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)

Estado limite é a circunstância que paralisa o uso da construção. O estado limite último

(ELU) está relacionado à não utilização da estrutura decorrente de seu colapso. Esta ruína pode

ser devido à deformação plástica excessiva da armadura ou ruptura do concreto (NBR 6118:

2014).

No estado limite de serviço (ELS) essa inviabilização ocorre pelo comprometimento

da durabilidade da estrutura ou falta de conforto ao usuário, frente às condições inadequadas

para utilização que podem ser causadas por fissuras, deformações ou vibrações excessivas

(NBR 6118: 2014).

A determinação da área de aço, longitudinal e transversal, dos elementos estruturais é

feita no ELU, mas deve respeitar as restrições impostas pelo ELS. Os estados limites de serviço

19

usualmente verificados, em estruturas que não utilizam protensão, são: formação de fissuras

(ELS – FIS), abertura de fissuras (ELS – W) e deformações excessivas (ELS – DEF).

No ELS – FIS verifica-se a existência de fissuras. A norma NBR 6118:2014 permite a

ocorrência de fissuras no concreto desde que sua incidência não seja excessiva, pois elas levam

à perda de rigidez da estrutura. Uma vez que seja constatada a presença destas anomalias, deve-

se verificar o ELS – W garantindo que a abertura das fissuras não comprometa a estabilidade

do elemento estrutural. Por fim, o ELS-DEF impõe limites para a deformação máxima, também

denominada de flecha, assegurando a aceitabilidade sensorial visual, bem como evitando

vibrações indesejadas no piso. Ressalta-se que a presença de fissuras aumenta a

deformabilidade e deformações excessivas induzem à ocorrência de fissuras.

2.4 AÇÕES

Ações, ou cargas, são as forças que atuam na estrutura produzindo efeitos

significativos para a segurança estrutural. Classificam-se, no ELU, em permanentes, variáveis

ou excepcionais (NBR 6118: 2014).

As permanentes ocorrem quando o carregamento é praticamente constante ao longo

do período de vida da estrutura, enquanto que as ações variáveis alteram, significativamente,

sua intensidade. As ações excepcionais são aquelas cuja probabilidade de ocorrência é muito

pequena e não há outros meios de controlar seus efeitos (CAMACHO, 2005).

No ELS, as ações dividem-se em quase permanente, atuando em grande parte do

período de vida da estrutura, ou frequentes, repetindo-se diversas vezes. Há, ainda, as ações

raras, quando ocorrem poucas vezes ao longo do tempo. Na verificação quanto à deformação

da estrutura utilizam-se as ações quase permanentes enquanto que, nas investigações referentes

às fissuras, usam-se ações frequentes.

As ações são combinadas de modo a obter a força solicitante de cálculo que é utilizada

no projeto para o dimensionamento das estruturas. O modo como se combinam as ações

depende de qual estado limite a análise está sendo feita. As Tabelas 11.3 e 11.4 da norma NBR

6118:2014 mostram as fórmulas a serem utilizadas.

No presente trabalho, para combinações normais últimas a carga pode ser calculada,

simplificadamente, conforme Equação 1.

20

𝐹𝑑 = 𝛾𝑓𝑔 ∙ Σ𝐺 + 𝛾𝑓𝑞 ∙ 𝑄 (1)

onde:

𝐹𝑑: carga de projeto;

Σ𝐺: somatório das cargas permanentes;

𝑄: valor da carga acidental;

𝛾𝑓𝑔, 𝛾𝑓𝑞: coeficientes de majoração da carga permanente e acidental, respectivamente, devido à

variabilidade das ações, dos desvios gerados nas construções e aproximações de projeto. Seus

valores são mostrados na Tabela 11.1 da norma NBR 6118:2014. Para as ações permanentes

desfavoráveis, 𝛾𝑓𝑔 assume valor igual a 1,4. Para ações variáveis em geral, 𝛾𝑓𝑞 também assume

valor igual a 1,4.

Em combinações frequentes de serviço a carga é obtida pela Equação 2, enquanto para

combinações quase permanente de serviço a carga é calculada conforme Equação 3.

𝐹𝑑 = Σ𝐺 + Ψ1 ∙ 𝑄 (2)

𝐹𝑑 = Σ𝐺 + Ψ2 ∙ 𝑄 (3)

onde Ψ1 e Ψ2 são os fatores de redução de combinação frequente e quase permanente,

respectivamente, para o ELS, considerando-se a baixa probabilidade de simultaneidade de

ações. Seus valores são mostrados na Tabela 11.2 da norma NBR 6118:2014. Para edifícios

residenciais, Ψ1 assume valor igual a 0,4 e Ψ2 valor igual a 0,3.

2.5 DIAGRAMA DE TENSÃO × DEFORMAÇÃO

O diagrama de tensão × deformação permite caracterizar determinado material ao

representar a variação de comprimento, em comparação ao comprimento total, quando alteram-

se os valores de tensão. Esse tipo de diagrama apresenta muitas aplicações em engenharia visto

que permite obter dados sobre a resistência à compressão, ou tração, sem considerar o tamanho

ou geometria do material (HIBBELER, 2010).

O comportamento idealizado, para efeito de dimensionamento e dado pela norma NBR

6118:2014, do concreto é apresentado no diagrama da Figura 1.

21

Figura 1 - Diagrama tensão x deformação para o concreto.

Fonte: NBR 6118:2014.

onde:

𝜀𝑐2: deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico. Para

concretos com resistência de até 50MPa este valor é igual a 2‰;

𝜀𝑐𝑢: deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura. Para concretos com

resistência de até 50MPa este valor é igual a 3,5‰;

𝑓𝑐𝑘: resistência característica à compressão do concreto. É o valor mínimo estatístico obtido por

95% dos resultados dos corpos de prova experimentais;

𝑓𝑐𝑑: resistência de projeto do concreto. É o valor de resistência do concreto efetivamente

utilizada nos cálculos em projeto. Considera-se que podem haver desvios no processo de

fabricação do material, dessa forma, a fim de se garantir os requisitos de segurança, reduz-se a

resistência característica através do coeficiente de ponderação da resistência do concreto, 𝛾𝑐.

Ou seja, a resistência de projeto do concreto pode ser obtida por:

𝑓𝑐𝑑 =

𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐 (4)

Os valores de 𝛾𝑐, de acordo com as combinações de ações, são mostrados na Tabela

12.1 da norma NBR 6118:2014. Para combinações normais, assume valor igual a 1,4.

O coeficiente (0,85) acompanhando o valor de 𝑓𝑐𝑑 no diagrama considera os aspectos

como dimensão do corpo de prova padrão, crescimento da resistência com a idade e,

principalmente, o Efeito Rush, que representa a redução de resistência do concreto pela atuação

de cargas de longa duração.

O comportamento do aço é apresentado no diagrama da Figura 2.

22

Figura 2 - Diagrama tensão x deformação para o aço.

Fonte: NBR 6118:2014.

onde:

𝜀𝑠: deformação específica de alongamento do aço na ruptura. Para armaduras, o valor adotado

é igual a 10‰.

𝑓𝑦𝑘: resistência característica ao escoamento do aço. É o valor mínimo estatístico obtido por

95% dos resultados dos corpos de prova experimentais;

𝑓𝑦𝑑: resistência de projeto do aço. Analogamente ao concreto, a resistência característica do aço

é reduzida por meio do coeficiente de ponderação da resistência do aço, 𝛾𝑠. Os valores de 𝛾𝑠,

de acordo com as combinações de ações, são mostrados na Tabela 12.1 da norma NBR

6118:2014. Para combinações normais, assume valor igual a 1,15. Observa-se que 𝛾𝑠 < 𝛾𝑐 pois

o processo de fabricação do aço apresenta controle de qualidade superior ao do concreto. A

resistência de projeto do aço pode ser obtida por:

𝑓𝑦𝑑 =

𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠 (5)

2.6 ESTÁDIOS

Estádios são as diferentes fases pelas quais o concreto passa no decorrer da aplicação

de um carregamento, relacionadas à capacidade resistente da seção.

No Estádio I o concreto é capaz de resistir tanto à compressão quanto à tração sem

formação de fissuras, como ilustrado na Figura 3.

23

Figura 3 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio I.

Fonte: Adaptado de BOTELHO e MARCHETTI, 2015.

onde:

𝜎𝑐𝑐: tensão de compressão do concreto;

𝜎𝑡𝑐: tensão de tração do concreto;

𝜎𝑡𝑠: tensão de tração do aço;

No Estádio II o concreto deixa de resistir à tração, apresentando fissuras e

necessitando de armadura para contê-las, mas a tensão de compressão limite ainda se encontra

na fase elástica como mostrado na Figura 4.

Figura 4 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio II.


No Estádio III a tensão de compressão limite do concreto encontra-se na fase plástica,

como exibido na Figura 5. O dimensionamento nesse estádio proporciona maior economia

financeira visto que se aproveita melhor a capacidade dos materiais (BOTELHO e

MARCHETTI, 2015).

Figura 5 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio III.


Neste contexto, a superfície que separa as regiões tracionada e comprimida é

denominada linha neutra, como ilustrado na Figura 6.

24

Figura 6 - Ilustração da linha neutra.

Fonte: SCHNEIDER, 2019.

Observa-se que a linha neutra do Estádio III, contada a partir da borda mais

comprimida, é menor que a do Estádio II, que é menor que a do Estádio I (SCHNEIDER, 2019).

Utilizam-se os Estádios I e II nas verificações quanto ao ELS e o Estádio III quanto ao

ELU (MOURA, 2019).

2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO

Os domínios de deformação são as possíveis combinações das deformações do

concreto e do aço, são situações de ruína e, portanto, ocorrem no Estádio III.

No Domínio I a seção está totalmente tracionada, o aço encontra-se com deformação

máxima e a linha neutra está localizada fora da seção transversal. No Domínio II, o aço

encontra-se com deformação máxima e o concreto absorve esforços de compressão sem se

romper. No Domínio III, o aço está em escoamento e o concreto apresenta deformação máxima.

No domínio IV, o aço está em regime elástico e o concreto encontra-se com máxima

deformação. Nos domínios II, III e IV, a linha neutra corta a seção transversal que pode estar

sofrendo flexão simples ou composta. Nos domínios IVa, acima da armadura, e V, a seção não

sofre com esforços de tração, abrangendo as situações de flexão composta com armaduras

comprimidas e compressão não uniforme (SILVA, 2001). A Figura 7 exemplifica o exposto.

25

Figura 7 - Domínios de deformação do concreto armado.

Fonte: NBR 6118:2014.

onde:

𝑑: altura útil da armadura tracionada;

𝑑′: altura útil da armadura comprimida;

ℎ: altura da seção do elemento estrutural.

Observa-se que nos domínios I e II a ruína se dá por deformação plástica excessiva da

armadura enquanto que nos demais, ocorre o esmagamento do concreto. O dimensionamento

das estruturas de concreto armado vigas e lajes, é feito no domínio II e em parte do domínio III,

pois a ocorrência de uma possível falha deve se manifestar na armadura. Ao contrário do aço,

o concreto apresenta ruptura caracterizada como frágil, ocorrendo de forma abrupta. Assim, em

espaços situados na área de alcance dos danos proporcionados pelo rompimento de um

elemento estrutural, não haveria oportunidade de uma possível evacuação, comprometendo a

segurança dos usuários (BOTELHO e MARCHETTI, 2015).

2.8 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS

Vigas são elementos lineares, com duas dimensões de tamanho significativamente

menor que a terceira dimensão, onde se predomina o esforço de flexão. Nas construções, as

vigas funcionam como ponto de apoio para as lajes, transmitindo usualmente aos pilares os

esforços recebidos. Também podem ser parte integrante de pórticos, ajudando a preservar a

estabilidade global da estrutura (PELIZARO e CUNHA).

No dimensionamento de uma viga, determinam-se as áreas de aço que compõem as

armaduras e o comprimento das barras longitudinais, respeitando-se os critérios de

26

espaçamentos máximo e mínimo, bem como as taxas de armadura máxima e mínima. Também

são feitas as verificações referentes ao ELS.

Conforme a NBR 6118:2014, é sempre necessário avaliar as flechas nos elementos

estruturais. Contudo, no presente trabalho, por simplificação, o deslocamento excessivo é

analisado somente nos elementos estruturais lajes. Neste capítulo, estuda-se exclusivamente o

controle de abertura de fissuras (ELS-W). Também, por simplificação, não se realiza o cálculo

do comprimento das barras longitudinais e sua ancoragem.

As hipóteses básicas consideradas pela norma NBR 6118:2014 na análise dos esforços

resistentes de uma seção de viga são: as seções transversais se mantêm planas após a

deformação; a deformação das barras deve ser a mesma do concreto em seu entorno; as tensões

de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas no ELU.

2.8.1 Armadura longitudinal (ELU)

A área de aço da armadura longitudinal de uma viga, submetida a flexão simples, pode

ser obtida através do equilíbrio de forças, utilizando-se de conceitos da física como momento e

tensão (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). As deduções das expressões da altura da linha

neutra e área de aço longitudinal de vigas podem ser vistas no APÊNDICE A – Dedução para

a área de aço da armadura longitudinal.

A altura da linha neutra, para concretos de até 50MPa, é calculada pela seguinte

equação:

𝑥 = 1,25𝑑 ∙ (1 − √1 −𝑀𝑠𝑑

0,425 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2

2

) (6)

onde:

𝑥: altura da linha neutra contada a partir da borda mais comprimida;

𝑑: altura útil. Distância entre o centro de gravidade da armadura e a borda mais comprimida;

𝑏: largura da base da viga;

𝑀𝑠𝑑: momento fletor solicitante de projeto;

𝑓𝑐𝑑: resistência de projeto do concreto.

Como explicitado anteriormente no item 2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO, o

dimensionamento é feito nos domínios II e III. Para isto, a NBR 6118:2014 estabelece uma

relação máxima entre a altura da linha neutra, 𝑥, e a altura útil, 𝑑, denominada critério de

ductilidade, expressa pela Equação 7. Assim, tenta-se garantir que o dimensionamento não seja

27

feito em parte do domínio III e nem no domínio IV, para concretos de até 50MPa, evitando-se

a possibilidade de ruptura frágil.

𝑥

𝑑 ≤ 0,45 (7)

Nota-se então, que a linha neutra sempre estará mais próxima da borda comprimida do

que da tracionada. Quando a relação 𝑥

𝑑 é menor que 0,01, desperdiça-se capacidade do concreto,

pois boa parte dele não é necessária para absorver os esforços solicitantes (BOTELHO e

MARCHETTI 2015). Quando a relação 𝑥

𝑑 é maior que 0,45, a estrutura encontra-se acima do

limite de ductilidade apresentado pela norma, o que significa que a seção poderá apresentar

ruptura frágil, em caso de colapso.

A área de aço, 𝐴𝑠, é dada por:

𝐴𝑠 =

𝑀𝑠𝑑

𝜎𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (8)

Pelo raciocínio estabelecido no critério de ductilidade, onde o aço encontra-se com máxima

deformação ou em escoamento (domínios II e III), induz-se que 𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑.

Deve-se verificar, de acordo com a NBR 6118: 2014, se o valor da área da armadura

𝐴𝑠 está abaixo do valor correspondente a 4% da área total de concreto da seção da viga, 𝐴𝑠𝑀Á𝑋.

Também é necessário que 𝐴𝑠 seja superior ao valor de armadura mínima, 𝐴𝑠𝑀𝐼𝑁, que tem por

objetivo evitar rupturas frágeis e absorver pequenos esforços não considerados no cálculo. A

Tabela 17.3 da norma NBR 6118:2014 mostra a taxa de armadura mínima, 𝜌𝑚í𝑛, de acordo com

a resistência à compressão do concreto numa seção retangular. Para concretos C25, 𝜌𝑚í𝑛

assume valor igual a 0,150%.

As Equações 9 e 10 exemplificam as exigências a serem respeitadas quanto aos valores

limites para área de aço longitudinal.

𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 = 4% 𝐴𝑐 (9)

𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑀𝐼𝑁 = 𝜌𝑚í𝑛 ∙ 𝐴𝑐 (10)

onde 𝐴𝑐 é a área da seção transversal da viga.

Uma vez determinada a área de aço, deve-se escolher a quantidade, n, e o diâmetro,

∅𝑙, das barras da armadura longitudinal, conforme disponibilidade do mercado. Na escolha,

consideram-se diversos fatores, tais como: fissuração, facilidade de execução, porte da obra,

número de camadas de barras, exequibilidade, etc.

28

A norma NBR 6118:2014 estabelece os critérios de espaçamento mínimo, entre as

faces das barras, horizontal, 𝑒ℎ, e vertical, 𝑒𝑣, conforme Equação 11 e Equação 12,

respectivamente.

𝑒ℎ ≥ 2𝑐𝑚; ∅𝑙; 1,2 ∙ ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (11)

𝑒𝑣 ≥ 2𝑐𝑚; ∅𝑙; 0,5 ∙ ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (12)

onde ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 é o diâmetro do maior agregado utilizado na constituição do concreto.

Para que a armadura possa ser calculada admitindo-a concentrada em seu centro de

gravidade, a distância ao centro da barra mais afastada, 𝑎, deve ser menor que 10% do valor da

altura da seção transversal, h, (NBR 6118:2014), conforme Figura 8 e Equação 13. Este critério

é comumente denominado de concentração da armadura.

Figura 8 - Ilustração do critério de concentração de armadura.

Fonte: Elaborado pela autora.

𝑎 ≤ 0,1 ∙ ℎ (13)

Detalhamentos com uma única camada resultam em seções relativamente mais

resistentes, pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à borda

tracionada, maior será a altura útil e, consequentemente, a resistência da seção (BASTOS,

2021).

Deve-se atentar para a minoração das resistências características do aço e do concreto

quando as fórmulas usarem os valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e

5.

29

2.8.2 Armadura longitudinal dupla (ELU)

No caso onde o concreto não consegue suportar os esforços à compressão, isto é,

quando 𝑥

𝑑 > 0,45, e não se deseja modificar as dimensões da viga, deve-se empregar também

armadura no banzo comprimido da seção (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). O cálculo

para a determinação dessa área de aço é análogo ao feito para obtenção da área de aço

tracionada, 𝐴𝑠, e sua dedução pode ser vista no APÊNDICE B.

Limitando-se 𝑥 = 0,45𝑑, para se atender o critério de ductilidade, a área de aço

longitudinal tracionada, de uma seção duplamente armada, é obtida pela seguinte expressão:

𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 (14)

onde:

𝐴𝑠: área de aço longitudinal tracionada;

𝐴𝑠1: parcela da área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀1. Calculada segundo Equação

15.

𝐴𝑠1 =

𝑀1

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (15)

em que:

𝑀1: momento gerado pelo binário de forças de resistência do concreto à compressão e do aço à

tração. Calculado conforme Equação 16.

𝑀1 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8(0,45𝑑)𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (16)

𝐴𝑠2: parcela da área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀2. Obtida de acordo com a

Equação 17.

𝐴𝑠2 =

𝑀2

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (17)

em que:

𝑑′: distância entre a borda mais comprimida e o centro da armadura resistente à compressão;

𝑀2: momento induzido pelo binário de forças de resistência do aço à compressão e do aço à

tração. Calculada pela Equação 18.

𝑀𝑠𝑑 = 𝑀1 + 𝑀2 ∴ 𝑀2 = 𝑀𝑠𝑑 − 𝑀1 (18)

O valor encontrado para a área de aço tracionada necessita estar em concordância com

os valores limites estabelecidos nas Equações 9 e 10. Os espaçamentos mínimos, horizontal e

vertical, entre as faces das barras de aço devem respeitar o exposto pelas Equações 11 e 12.

30

A área de aço longitudinal comprimida, de uma seção duplamente armada, é obtida

pela seguinte expressão:

𝐴𝑠′ =

𝑀2

𝜎𝑠′ ∙ (𝑑 − 𝑑′) (19)

onde:

𝜎𝑠′: tensão do aço resistente à compressão. Calculada conforme Equação 20.

𝜎𝑠′ = 𝜀𝑠′ ∙ Ε𝑠 (20)

em que:

Ε𝑠: módulo de elasticidade do aço. Pode ser admitido igual a 210 GPa na falta de ensaios ou

valores fornecidos pelo fabricante, de acordo com a NRB 6118:2014;

𝜀𝑠′ : deformação específica do aço comprimido. Calculada de acordo com a Equação 21.

𝜀𝑠′ =

3,5‰ ∙ (x − d)

𝑥 (21)

Deve-se atentar para o fato que, quando 𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦𝑑 o aço se encontra no patamar de

escoamento e, portanto, 𝜎𝑠′ = 𝑓𝑦𝑑 .

2.8.3 Armadura transversal (ELU)

Para o cálculo da armadura transversal, comumente chamada de estribo, resistente

basicamente aos esforços de cisalhamento, utiliza-se como base a denominada Treliça de

Morsch. Neste modelo, a viga se comporta como uma treliça onde o banzo superior e a biela,

que forma um ângulo 𝜃 com o banzo inferior, resistem à compressão, enquanto o banzo inferior

e a escora ou tirante, que forma um ângulo 𝛼 com o mesmo, resistem à tração. A Figura 9 ilustra

a treliça de Morsch.

31

Figura 9 - Treliça de Morsch.


onde:

𝑅𝑐𝑐: força resultante de compressão no concreto;

𝑅𝑠𝑡: força resultante de tração no aço.

O esforço cortante solicitante de projeto, 𝑉𝑠𝑑, é resistido por uma parcela referente aos

mecanismos complementares, 𝑉𝑐, e pela armadura transversal, 𝑉𝑠. Sendo 𝑉𝑅𝑑2 a força cortante

resistente referente ao esmagamento das bielas e 𝑉𝑅𝑑3 a força cortante resistente referente à

ruína por tração diagonal, tem-se que (NBR 6118:2014):

𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 (22)

𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 (23)

𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (24)

Para o cálculo da área de aço do estribo pode-se utilizar, de acordo com a norma NBR

6118:2014, dois modelos. O Modelo I admite que as bielas comprimidas tem inclinação 𝜃 =

45º e que a parcela resistida pelos mecanismos complementares, 𝑉𝑐, apresenta valor constante

e independente do valor de esforço cortante solicitante de projeto, 𝑉𝑠𝑑.

Inicialmente verifica-se se as bielas comprimidas resistem o suficiente para não serem

esmagadas, conforme Equação 22. A resistência 𝑉𝑅𝑑2 é obtida pela seguinte expressão:

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (25)

onde:

𝛼𝑣2 = 1 −

𝑓𝑐𝑘

250 (26)

𝑓𝑐𝑘 expresso em MPa.

Em seguida, a área de aço do estribo, para cada metro de viga, é calculada pela Equação

27:.

𝐴𝑠90/𝑚 =

𝑉𝑠

0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 (27)

32

onde:

𝑉𝑠 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 (28)

𝑉𝑐 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (29)

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘2/3

(30)

O Modelo II admite que as diagonais de compressão têm inclinação diferente de 45º,

arbitrada livremente no intervalo 30º ≤ 𝜃 ≤ 45º, e a parcela 𝑉𝑐 sofre redução com o aumento

de 𝑉𝑠𝑑.

Assim como no Modelo I, inicialmente realiza-se a verificação do esmagamento das

bielas. A Equação 31 fornece o valor da força cortante resistente referente à essa ruína:

𝑉𝑅𝑑2 = 0,54 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ sin 𝜃 ∙ cos 𝜃 (31)

onde 𝛼𝑣2 é dado pela Equação 26.

Em seguida, a área de aço do estribo, para cada metro de viga, é calculada pela Equação

32:

𝐴𝑠90/𝑚 =

𝑉𝑠

0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ cot 𝜃 (32)

onde:

𝑉𝑠 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐1 (33)

O valor de 𝑉𝑐 diminui com o aumento de 𝑉𝑠𝑑, dessa forma 𝑉𝑐1 é a parcela de 𝑉𝑐 que é

considerada nos cálculos. Ela é obtida por semelhança de triângulos, conforme Figura 10,

Equação 34 e Equação 35.

Figura 10 - Redução de Vc com o aumento de Vsd.


𝑉𝑐

𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐=

𝑉𝑐1

𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑 (34)

𝑉𝑐1 =

𝑉𝑐 ∙ (𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑)

𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐 (35)

33

O termo 𝑉𝑐 é calculado conforme a Equação 29.

Após estipulada a área de aço, verifica-se se esta é maior que área de aço mínima,

𝐴𝑠90𝑀𝐼𝑁 /𝑚, dada pela Equação 36.

𝐴𝑠90𝑀𝐼𝑁 /𝑚 =

0,2𝑏 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 ∙ 100

𝑓𝑦𝑘 (36)

O espaçamento entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento

estrutural, deve ser menor que o valor máximo, 𝑠𝑚á𝑥, segundo Equação 37 e Equação 38. O

espaçamento mínimo deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um

bom adensamento da massa.

𝑠𝑚á𝑥 ≤ 0,3𝑑; 20𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑠𝑑 > 0,67𝑉𝑅𝑑2 (37)

𝑠𝑚á𝑥 ≤ 0,6𝑑; 30𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑠𝑑 ≤ 0,67𝑉𝑅𝑑2 (38)

Devem ser previstas armaduras construtivas nos elementos estruturais de concreto

armado, auxiliando na confecção e montagem das armaduras resistentes aos esforços de tração,

compressão e cisalhamento. Embora colaborem com a resistência da peça, não são consideradas

nos cálculos de projeto. Assim, dispõem-se duas barras longitudinais, no mínimo, chamadas de

porta-estribos, na borda superior da seção colaborando para a amarração dos estribos da viga

(BASTOS, 2021).

2.8.4 Armadura de pele (ELS-F)

Quando a altura da viga for superior a 60cm deve-se empregar a armadura de pele,

também chamada de armadura lateral ou costelas, com o intuito de limitar as fissuras. A Figura

11 apresenta uma seção transversal genérica com armadura de pele.

34

Figura 11 - Seção transversal de viga genérica com armadura de pele.


A área de aço é empregada nas duas faces laterais da viga respeitando-se as áreas

mínima, 𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐼𝑁, e máxima, 𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐴𝑋, conforme a Equação 39 e a Equação 40,

respectivamente.

𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐼𝑁 = 0,1%𝐴𝑐 , 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 (39)

𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐴𝑋 = 5𝑐𝑚2/𝑚 , 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 (40)

Além disso, o espaçamento entre eixos das barras deve ser menor que o espaçamento

máximo, 𝑠𝑀𝐴𝑋, dado pela Equação 41 (NBR 6118:2014).

𝑠𝑀𝐴𝑋 ≤

𝑑

3; 20𝑐𝑚; 15𝜙𝑙 (41)

Devido à reduzida área de aço necessária para a armadura de pele, os resultados da

área de aço longitudinal e custo da viga não são significativamente impactados. Assim, no

presente estudo optou-se por não adotar armadura de pele, embora se atente para o processo de

fissuração.

2.8.5 Controle de abertura de fissuras (ELS-W)

Uma vez definida a bitola usada na armadura longitudinal, e na armadura de pele

quando necessária, verifica-se o estado limite de serviço referente à abertura de fissuras.

Segundo a NBR 6118:2014, para cada barra da armadura que controla a fissuração do elemento

estrutural, é considerada uma área de concreto que envolve a barra de aço, 𝐴𝑐𝑟. Esta área é

35

delimitada por um retângulo cujos lados estejam no máximo, a 7,5𝜙𝑖 do eixo da armadura,

conforme ilustrado na Figura 12, onde 𝜙𝑖 é o diâmetro da barra analisada.

Figura 12 - Área do concreto de envolvimento da armadura, Acr.

Fonte: NBR 6118:2014.

Para cada área 𝐴𝑐𝑟 há um correspondente valor característico da abertura de fissuras,

𝑤𝑘, sendo este o menor resultado calculado pelas Equações 42 e 43:

𝑤𝑘 =

𝜙𝑖

12,5 ∙ 𝜂1∙

𝜎𝑠𝑖

Ε𝑠𝑖∙

3 × 𝜎𝑠𝑖

𝑓𝑐𝑡𝑚 (42)

𝑤𝑘 =

𝜙𝑖

12,5 ∙ 𝜂1∙

𝜎𝑠𝑖

Ε𝑠𝑖∙ (

4

𝜌𝑟𝑖+ 45) (43)

onde:

𝜙𝑖: diâmetro da barra que protege a região analisada;

𝜂1: coeficiente de conformação superficial da armadura. Seu valor varia de acordo com o tipo

de superfície, conforme Tabela 8.3 da norma NBR 6118:2014.

𝜎𝑠𝑖: tensão de tração, calculada no estádio II, no centro de gravidade da armadura considerada;

Ε𝑠𝑖: módulo de elasticidade do aço da barra considerada;

𝑓𝑐𝑡𝑚: resistência média à tração no concreto. Segundo a norma NBR 6118:2014, para concretos

de classes até C50, pode ser estimado por meio da expressão:

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘2/3

(44)

𝜌𝑟𝑖: taxa de armadura em relação a área de envolvimento que está sendo analisada. É a razão

entre a área de aço da barra considerada e a sua respectiva área de concreto, calculada conforme

equação:

𝜌𝑟𝑖 =

𝐴𝑠𝑖

𝐴𝑐𝑟 (45)

Os valores limites de 𝑤𝑘, de acordo com o tipo de concreto estrutural, classe de

agressividade e tipo de protensão, são mostrados na Tabela 13.4 da norma NBR 6118:2014.

36

Para concreto armado em classe de agressividade ambiental II, 𝑤𝑘 deve ser igual ou inferior a

0,3mm. Quando 𝑤𝑘 ultrapassa o valor máximo, deve-se alterar o diâmetro da barra e verificar

novamente se o limite é atendido. A fissuração reduz-se quanto mais barras de menor diâmetro

são utilizadas. Contudo, deve-se atentar para o aumento do trabalho na montagem da armadura

(BASTOS, 2021).

Para o estádio II a posição da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão 𝜎𝑠𝑖 são calculadas de acordo

com as Equações 46 e 47, respectivamente. As deduções das expressões podem ser vistas no

APÊNDICE C.

𝑥𝐼𝐼 = Ε𝑠

Ε𝑐∙

𝐴𝑠

𝑏∙ (1 − √1 +

2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑

Ε𝑠

Ε𝑐∙ 𝐴𝑠

2 (46)

A relação entre os módulos de elasticidade do concreto e aço, Ε𝑠

Ε𝑐, no estádio II pode ser

considerada, de acordo com a NBR 6118:2014, igual a 15.

𝜎𝑠𝑖 =

𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒

𝐴𝑠 ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼

3 ) (47)

Em que 𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 é o momento fletor solicitante de projeto para combinação de ação frequente,

cuja a carga é calculada segundo Equação 2.

O controle da fissuração dispensa a verificação da abertura de fissuras quando:

𝜎𝑠𝑖 < 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 (48)

𝑠 < 𝑠𝑀Á𝑋 (49)

onde 𝑠 é distância entre eixos das barras, obtida pelo maior valor calculado nas Equações 50 e

51.

𝑠 = 𝑒ℎ + 𝜙𝑖 (50)

𝑠 = 𝑒𝑣 + 𝜙𝑖 (51)

em que:

𝑒ℎ: espaçamento horizontal entre faces das barras longitudinais;

𝑒𝑣: espaçamento vertical entre faces das barras longitudinais.

Os valores de 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 e 𝑠𝑀Á𝑋 são mostrados na Tabela 17.2 da norma NBR 6118:2014,

de acordo com o diâmetro da barra tracionada.

37

2.9 DIMENSIONAMENTO DE LAJES

Lajes são elementos planos e laminares, cuja dimensão perpendicular à superfície é

relativamente pequena quando comparada às demais, e onde se predominam as ações normais

ao seu plano (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2014). Apresentam comportamento de

placa, associado à flexão local devido ao carregamento vertical aplicado diretamente sobre a

laje, ou de chapa, relacionado ao contraventamento da estrutura quando se admite atuação de

carregamento horizontal advindo de ventos (PERLIN et al. 2019).

Nas construções, as lajes usualmente compõem os pavimentos, podendo ser projetadas

com elementos pré-moldados ou moldados no local. Dentre as diversas metodologias

construtivas, são consideradas neste trabalho somente as lajes maciças atuando como placas

delgadas, com altura menor que 1/3 do vão.

As lajes maciças caracterizam-se por serem construídas em concreto armado,

apresentar altura constante e distribuir suas reações em todas as vigas em que estão apoiadas,

obtendo maior resistência às cargas laterais e tornando a estrutura mais rígida (CHING et al.

2010).

Todos os exemplos de lajes considerados no presente trabalho se referem a lajes

bidirecionais. Portanto, apenas detalhes a respeito deste tipo de laje são apresentados daqui em

diante.

No dimensionamento de uma laje determinam-se as áreas de aço que compõem as

armaduras longitudinais e transversais, quando houver, respeitando-se os critérios de

espaçamento máximo, as taxas de armadura máxima e mínima, bem como realizam-se as

verificações relacionadas ao ELS.

Neste capítulo, estuda-se exclusivamente o controle de deformações excessivas (ELS

– DEF) e fissuração (ELS-F). Por simplificação, o controle de abertura de fissuras (ELS-W) é

somente tratado no elemento estrutural viga. Também não se realiza o cálculo do comprimento

das barras longitudinais e sua ancoragem, por simplificação.

Embora a concretagem de lajes e vigas seja, geralmente, realizada em uma única etapa,

não se considera como monolítica a ligação entre estes elementos estruturais, desprezando-se

os efeitos das interações com as vigas. De fato, as flechas e rigidez à torção apresentadas pelas

vigas de apoio são significativamente menores que as flechas e rigidez à flexão das lajes.

Contudo, para lajes em balanço é imprescindível a consideração dos esforços de torção gerados

na viga, responsáveis pelo equilíbrio da laje (FORMAGINI, 2013).

38

As hipóteses básicas consideradas pela norma NBR 6118:2014 na análise de estruturas

de placas, como são abordadas comumente as lajes, são: as seções inicialmente planas se

mantêm planas após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; os elementos são

representados por seu plano médio.

2.9.1 Características construtivas: altura, vãos efetivos, tipo de armação e apoios

O dimensionamento de lajes maciças inicia estimando-se sua altura ℎ, muitas vezes

denominada de espessura, na literatura. O item 13.2.4.1 da norma NBR 6118:2014 determina

os valores mínimos para a altura da seção, ℎ𝑀Í𝑁. Para lajes de piso que não estejam em balanço,

a altura mínima é de 8cm.

Nos cálculos para determinação da área de aço e verificações quanto aos estados

limites último e de serviço, utiliza-se o valor do vão efetivo, 𝑙𝑒𝑓𝑒, como medida para os

comprimentos da laje. De acordo com a norma NBR 6118:2014 seu valor é obtido pela equação:

𝑙𝑒𝑓𝑒 = 𝑎1 + 𝑙0 + 𝑎2 (52)

onde:

𝑙0: comprimento do vão na planta de fôrmas;

𝑎1, 𝑎2: menor valor entre os resultados das Equações 53 e 54.

𝑎1 =

𝑡1

2; 𝑎2 =

𝑡2

2 (53)

𝑎1, 𝑎2 = 0,3 ∙ ℎ (54)

onde:

𝑡: espessura da viga que suporta a laje na direção ortogonal à analisada;

ℎ: altura da laje.

Uma laje pode ter as barras de aço dispostas paralelamente a somente uma de suas

direções, ou então apresentar armação bidirecional. A relação entre as suas dimensões, 𝜆, pode

ser calculada através da equação (PERLIN et al. 2019):

𝜆 =

𝑙𝑦

𝑙𝑥 (55)

onde:

𝑙𝑦: comprimento do maior vão efetivo;

𝑙𝑥: comprimento do menor vão efetivo.

39

Quando o valor de uma das dimensões é maior que o dobro do valor da outra dimensão,

a laje é armada somente na direção do menor vão. Caso contrário, as barras de aço são

posicionadas em ambas as direções da laje. As expressões 56 e 57 resumem o exposto.

𝜆 > 2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (56)

𝜆 ≤ 2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (57)

Embora os pavimentos sejam constituídos por painéis de lajes, o dimensionamento

pode ser realizado discretizando-se as lajes, delimitando-as de acordo com as disposições das

vigas, e as tratando como elementos isolados. Assim, é necessário definir a vinculação para

cada laje.

As condições de apoio são determinadas de acordo com os comprimentos e altura das

lajes em estudo e adjacentes. Obtém-se vinculação do tipo engaste somente quando as

expressões 58, 59 e 60 são satisfeitas simultaneamente (PERLIN et al. 2019).

𝑙𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ≥

2 ∙ 𝑙

3 (58)

𝑣ã𝑜𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ≥

2 ∙ 𝑣ã𝑜

3 (59)

ℎ𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 − ℎ ≥ 2𝑐𝑚 (60)

onde:

𝑙: comprimento da laje estudada, na direção do bordo que se deseja realizar o engaste;

𝑙𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: comprimento da laje adjacente, na mesma direção da laje estudada;

𝑣ã𝑜: comprimento da laje estudada, ortogonal à direção onde se deseja realizar o engaste;

𝑣ã𝑜𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: comprimento da laje adjacente, paralelo ao vão da laje estudada;

ℎ: altura da laje estudada;

ℎ𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: altura da laje adjacente.

Além disso o carregamento da laje considerada deve ser semelhante ao da laje

adjacente.

A Figura 13 mostra, simplificadamente, as direções dos comprimentos da laje estudada

e adjacente de acordo com a posição do engaste desejado.

40

Figura 13 - Disposições dos comprimentos da laje estudada e adjacente de acordo com a posição do engaste a ser

realizado.


Caso alguma condição seja violada impossibilitando o engaste, a vinculação será do

tipo apoio simples, ou bordo livre na ausência de vigas.

Uma vez determinado o tipo de armação e condições de apoio, verifica-se se a altura

da laje atende os estados limites de serviço referentes à deformação excessiva e fissuração, bem

como o estado limite último de flexão. Se todos os critérios forem respeitados, prossegue-se

para o cálculo da área de aço, caso contrário, deve-se alterar a altura adotada para a laje e realizar

novamente as verificações.

2.9.2 Controle de deformações excessivas (ELS – DEF)

Para a verificação dos estados limites de deformações excessivas, devem ser

analisadas, além das combinações de ações a serem empregadas, as características geométricas

das seções, os efeitos da fissuração, fluência do concreto e as flechas limites. A deformação

real da estrutura depende também do processo construtivo e das propriedades dos materiais

(principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua

solicitação. Dessa forma, devido à grande variabilidade desses parâmetros, os deslocamentos

calculados por processos analíticos não fornecem resultados precisos (CARVALHO e

FIGUEIREDO FILHO, 2014).

Os limites de deslocamento são previstos e mostrados na Tabela 13.3 da norma NBR

6118:2014. Para que a estrutura tenha condições aceitáveis e possa ser utilizada, sua

deformação deve apresentar valor inferior aos determinados por norma. No presente trabalho,

41

são avaliados os limites sensoriais visual e de vibração, de acordo com as Equações 61 e 62,

respectivamente. A aceitabilidade sensorial está relacionada aos efeitos que causam desconforto

ao usuário.

𝑓∞ ≤

𝑙𝑥

250 (61)

𝑓0(𝑞) ≤

𝑙𝑥

350 (62)

onde:

𝑓∞: flecha total do elemento analisado, considerando-se todas as cargas;

𝑓0(𝑞): flecha total do elemento analisado, considerando-se somente as cargas acidentais;

𝑙𝑥: menor vão efetivo da laje, em mm.

Neste estudo, a determinação das deformações máximas desenvolvidas pela laje

considera que a mesma esteja no estádio I, não apresentando fissuras. Caso seja constatada a

presença de fissuras, cálculos mais precisos devem ser empregados. Por exemplo, a norma NBR

6118:2014 apresenta equação desenvolvida por BRANSON (1965), para seções que trabalham

parcialmente nos estádios I e II.

A flecha total é obtida a partir da flecha imediata considerando-se o efeito da fluência

do concreto. Assim, a laje apresenta deformações imediatamente após a aplicação de cargas

uniformemente distribuídas e sofre continuamente acréscimos de deformação, sob tensão

constante. De acordo com a NBR 6118:2014, a flecha total (diferida no tempo) é calculada

pela seguinte equação:

𝑓∞ = (1 + 𝛼𝑓) ∙ 𝑓0, (63)

na qual 𝑓0 corresponde à flecha imediata e 𝛼𝑓 é o fator de fluência, obtido pela Equação 64.

𝛼𝑓 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡0)

1 + 50𝜌′ (64)

onde:

𝜌′: taxa de armadura resistente à compressão.

Diferentemente de vigas, as lajes não podem ser dimensionadas com armadura comprimida pela

dificuldade ocasionada no processo de concretagem e devido à complexidade do detalhamento.

Dessa forma, a Equação 64 pode ser simplificadamente escrita como:

𝛼𝑓 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡0) (65)

onde:

𝑡: tempo, em meses, que se deseja o valor da flecha total;

42

𝑡0: tempo, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. Na prática, pode-

se assumir o valor do tempo em que a laje permanece sobre o escoramento.

𝜀: coeficiente em função do tempo 𝑡, que pode ser obtido diretamente na Tabela 17.1 da norma

NBR 6118:2014, ou ser calculado pelas expressões seguintes:

𝜀 = 0,68 ∙ 0,996𝑡 ∙ 𝑡0,32 𝑡 < 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (66)

𝜀 = 2 𝑡 ≥ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (67)

Em lajes armadas nas duas direções, a obtenção do valor da flecha envolve cálculos

mais complexos de acordo com a Teoria Matemática da Elasticidade. Esse método se baseia

nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e nas relações de

compatibilidade das deformações do mesmo. Seus resultados apresentam valores menores de

estimativa de flecha, pois se considera que o concreto encontra-se ainda íntegro (Estádio I), e

se supõe que os esforços na ruptura são proporcionais aos obtidos em serviço (PERLIN et al.

2019).

Para lajes retangulares isoladas submetidas a carregamento vertical uniformemente

distribuído, existem diversos métodos na literatura que determinam as deformações máximas

por meio de expansões em séries, e comumente tabelando-se os valores obtidos. CARVALHO

e FIGUEIREDO FILHO (2014) apresentam os quadros desenvolvidos por BARES (1972), cuja

flecha é calcula através da seguinte equação:

𝑓0 =

𝛼

100∙

𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥4

Ε ∙ ℎ3 (68)

onde:

𝑓0: flecha imediata para lajes armadas em duas direções com carregamento uniforme;

𝛼: coeficiente extraído da Tabela 22, presente no ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de

acordo com a Equação 55 e o caso é definido por meio da Figura 28, também presente no

ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje apresenta;

𝑝𝐸𝐿𝑆: carga de projeto no ELS com combinação quase permanente de serviço. Calculada

conforme a Equação 3.

𝛦: módulo de elasticidade do concreto. Conforme a NBR 6118:2014, para o cálculo da rigidez

dos elementos estruturais, permite-se, como aproximação, tomar o módulo de elasticidade

secante, Ε𝑠𝑒𝑐 . Deve ser obtido segundo o método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522,

norma que estabelece os métodos de ensaio para a determinação dos módulos estáticos de

elasticidade e de deformação à compressão do concreto endurecido, em corpos de prova

43

cilíndricos; ou, quando não forem realizados ensaios, estima-se seu valor pela seguinte

expressão:

Ε𝑠𝑒𝑐 = 𝛼𝑖 ∙ Ε𝑐𝑖 (69)

onde:

𝛼𝑖 = 0,8 +

0,2 ∙ 𝑓𝑐𝑘

80 ≤ 1 (70)

em que:

Ε𝑐𝑖: módulo de elasticidade inicial. Na ausência de ensaios, é calculado pela equação:

Ε𝑐𝑖 = 𝛼𝑒 ∙ 5600 ∙ √𝑓𝑐𝑘2

(71)

em que:

𝛼𝑒 = 1,0 granito e gnaisse (72)

A Tabela 8.1 da norma NBR 6118:2014, apresenta valores estimados, na ausência se

ensaios, do módulo de elasticidade do concreto de acordo com sua resistência característica,

que podem ser usados no projeto estrutural.

A flecha total do elemento analisado considerando-se somente as cargas acidentais,

𝑓0(𝑞), pode, simplificadamente, ser obtida pela equação:

𝑓0(𝑞) =

𝑓0 ∙ 𝑄

𝑝𝐸𝐿𝑆 (73)

2.9.3 Controle de fissuração (ELS – F)

Considera-se que não há formação de fissuras quando o maior momento solicitante a

ser suportado pela laje é menor que o momento de fissuração, conforme estabelecido pela

norma NBR 6118:2014. O estado limite de serviço de fissuração é atendido desde que:

𝑀𝑠𝑑 ≤ 𝑀𝑟 (74)

onde:

𝑀𝑠𝑑: momento solicitante de projeto;

𝑀𝑟: momento de fissuração, responsável por diferenciar os estádios I e II. Conforme a norma

NBR 6118:2014, é calculado como:

𝑀𝑟 =

𝛼′ ∙ 𝑓𝑐𝑡 ∙ 𝐼

𝑦𝑡 (75)

onde:

𝐼: momento de inercia da seção bruta do concreto;

44

𝑦𝑡: distância do centro de gravidade da seção à borda mais tracionada;

𝛼′: fator que correlaciona a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta. Para

seções retangulares assume valor igual a 1,5.

𝑓𝑐𝑡: resistência à tração direta do concreto. Para determinação do momento de fissuração, deve

ser usado o fctk,inf no estado-limite de formação de fissuras, segundo Equação 76, ou o fctm no

estado-limite de deformação excessiva, de acordo com a Equação 44.

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝐶50) (76)

Substituindo o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑚 na Equação 76, tem-se que para o estado limite de

fissuração:

𝑓𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21 ∙ √𝑓𝑐𝑘

23 (77)

Em lajes armadas nas duas direções, a obtenção do valor do momento de serviço

envolve cálculos mais complexos de acordo com a Teoria Matemática da Elasticidade, assim

como o da flecha. CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2014) apresentam os quadros

desenvolvidos por BARES (1972), cujos momentos solicitantes, de acordo com a direção e

sentido de tração das fibras, são calculados por meio das seguintes equações:

𝑀𝑥+ =

𝜇𝑥+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2

100 (78)

𝑀𝑥− =

𝜇𝑥− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2

100 (79)

𝑀𝑦+ =

𝜇𝑦+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2

100 (80)

𝑀𝑦− =

𝜇𝑦− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2

100 (81)

onde:

𝑀𝑥+: momento solicitante positivo do menor vão efetivo da laje;

𝑀𝑥−: momento solicitante negativo do menor vão efetivo da laje;

𝑀𝑦+: momento solicitante positivo do maior vão efetivo da laje;

𝑀𝑦−: momento solicitante negativo do maior vão efetivo da laje.

𝑝𝐸𝐿𝑆: calculado conforme Equação 2;

𝜇𝑥+ 𝜇𝑥−, 𝜇𝑦+, 𝜇𝑦− : coeficientes extraídos da Tabela 23, Tabela 24 e Tabela 25, presentes no

ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de acordo com a Equação 55 e o caso é obtido através

da Figura 28, também presente no ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje

apresenta.

45

Ressalta-se que o momento negativo ocorre na região dos apoios engastados e tem

pouco impacto na fissuração, devido à região reduzida na qual o mesmo atua.

A norma NBR 6118:2014 permite a abertura de fissuras desde que as espessuras das

mesmas não ultrapassem os valores indicados em sua Tabela 13.4. No caso em questão, para

laje de concreto armado em classe de agressividade II, o limite é de 0,3mm. Dessa forma, o

cumprimento da expressão 74 dispensa o controle de abertura de fissuras, contudo, quando não

atendida, ainda se pode considerar o valor da altura adotado desde que análises mais criteriosas

sejam realizadas quanto ao ELS – DEF e ELS-W.

No presente trabalho, apenas são indicados os métodos de pré-dimensionamento cujo

o limite de formação de fissuras é ultrapassado sem, contudo, examinar mais atentamente a

deformação e abertura das fissuras.

2.9.4 Armadura longitudinal (ELU)

No estado limite último calcula-se a área de aço necessária para suportar os máximos

momentos fletores. Em lajes armadas nas duas direções, o momento é obtido pelas Equações

78, 79, 80 e 81 substituindo-se a carga de projeto no ELS pela carga de projeto no ELU com

ações normais, conforme Equação 1.

Lajes adjacentes, que compartilham o mesmo apoio engastado, podem apresentar

valores diferentes para os momentos fletores negativos. Como as lajes são contínuas, torna-se

necessária a compatibilização dos momentos, garantindo um mesmo valor para ambas as lajes.

Partindo da premissa que as lajes apresentam vãos teóricos e rigidezes similares, são

carregadas simultaneamente e as cargas acidentais não são maiores que as permanentes, o

momento fletor negativo compatibilizado, 𝑀𝑐−, assume o maior dos valores calculados pelas

Equações 82, 83 e 84 (PERLIN et al. 2019).

𝑀𝑐− = 0,8 ∙ 𝑀𝐴− (82)

𝑀𝑐− = 0,8 ∙ 𝑀𝐵− (83)

𝑀𝑐− =

𝑀𝐴− + 𝑀𝐵−

2 (84)

Em que 𝑀𝐴− e 𝑀𝐵− são os momentos fletores negativos das lajes adjacentes a serem

compatibilizados.

Quando o momento fletor negativo assume menor valor após a compatibilização,

consequentemente o momento positivo, na direção deste momento negativo, passa a apresentar

46

valor maior, pois o gráfico de momento fletor se desloca por inteiro para baixo. Assim, deve-

se corrigir o momento fletor positivo. Quando o momento fletor negativo assume maior valor

após a compatibilização, o gráfico de momento fletor se desloca por inteiro para cima e o

momento fletor positivo passa a apresentar valor menor. Entretanto, neste caso, não se realiza

a correção, pois ao assumir o maior valor trabalha-se a favor da segurança.

A correção é feita adicionando-se ao momento fletor positivo a metade da variação do

momento fletor negativo, na direção considerada, conforme Equação 85 (PERLIN et al. 2019).

𝑀𝑐+ = 𝑀𝐴+ +

𝑀𝐴− − 𝑀𝑐−

2 (85)

onde:

𝑀𝑐+: momento fletor positivo corrigido;

𝑀𝑐−: momento fletor negativo compatibilizado;

𝑀𝐴−: momento fletor negativo cujo valor decresceu após compatibilização;

𝑀𝐴+: momento fletor positivo na direção de 𝑀𝐴−.

Uma vez obtidos todos os valores de momento fletor atuantes na laje, calcula-se a área

de aço longitudinal resistente à tração. A área de aço longitudinal, por m2 de laje, é obtida pelas

Equações 6 e 8 deduzidas no capítulo 2.8.1 Armadura longitudinal. Caso o critério de

ductilidade, conforme Equação 7, não seja atendido, deve-se aumentar a espessura da laje e

realizar todas as verificações novamente pois, em lajes, não se emprega armadura resistente à

compressão.

As áreas de aço da armadura positiva e negativa utilizam o mesmo procedimento.

Contudo, em lajes adjacentes engastadas deve-se considerar, no cálculo da armadura negativa,

a situação mais crítica, empregando-se a altura útil referente à laje de menor altura.

Segundo a norma NBR 6118:2014, qualquer barra da armadura longitudinal deve ter

diâmetro, ϕl, limitado por:

𝜙𝑙 ≤

ℎ

8 (86)

Após escolha do diâmetro, verifica-se se a área de aço empregada é maior que a área

de aço mínima e menor que a máxima.

A área de aço máxima a ser respeitada é calculada pela Equação 9.

A área de aço mínima, 𝐴𝑠 𝑀Í𝑁, é obtida através da seguinte expressão:

𝐴𝑠 𝑀Í𝑁 = 𝜌𝑠 ∙ 𝐴𝑐 (87)

onde:

𝐴𝑐: área da seção transversal da laje;

47

𝜌𝑠: valor mínimo para armadura, apresentado na Tabela 19.1 da norma NBR 6118:2014. Para

armaduras negativas, assume o valor calculado pela Equação 88 enquanto que para armaduras

positivas, de lajes armadas nas duas direções, é obtido pela Equação 89.

𝜌𝑠 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 (88)

𝜌𝑠 ≥ 0,67𝜌𝑚𝑖𝑛 (89)

Para concretos C25, 𝜌𝑚í𝑛 assume valor igual a 0,150%.

O espaçamento entre faces das barras de aço não deve ultrapassar o valor máximo,

𝑒𝑀Á𝑋, obtido pelo menor dos resultados calculados pelas Equações 90 e 91.

𝑒𝑀Á𝑋 ≤ 20𝑐𝑚 (90)

𝑒𝑀Á𝑋 ≤ 2 ∙ ℎ (91)

2.9.5 Armadura transversal (ELU)

A área de aço da armadura transversal a ser empregada, os critérios de área de aço

mínima e espaçamento máximo entre estribos são calculados conforme explicitado no capítulo

2.8.3 Armadura transversal. Contudo, as lajes, em particular, podem mobilizar resistência ao

esforço cortante de maneira que seu efeito não seja crítico. Assim, normalmente apenas o

concreto é suficiente para resisti-lo. Segundo a norma NBR 6118:2014 pode ser dispensado o

uso de armadura de cisalhamento quando:

𝑉𝑅𝑑1 ≥ 𝑉𝑠𝑑 (92)

onde:

𝑉𝑠𝑑: esforço cortante solicitante de projeto, assume o maior valor das reações de apoio. Em lajes

armadas nas duas direções, a obtenção do valor das reações de apoio das lajes, nas vigas que a

suportam, envolve, por exemplo, o método das charneiras plásticas, considerando o regime de

ruptura. Contudo, neste método as informações sobre o comportamento da estrutura em serviço

não são precisas, devido à dificuldade em se determinar os deslocamentos. Para lajes

retangulares isoladas submetidas a carregamento uniforme, CARVALHO e FIGUEIREDO

FILHO (2014) apresentam os quadros desenvolvidos por BARES (1972), cujo esforço cortante

solicitante de projeto é o maior dos esforços calculados pelas seguintes equações:

𝑉𝑥+ =

𝜈𝑥+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥

10 (93)

𝑉𝑥− =

𝜈𝑥− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥

10 (94)

48

𝑉𝑦+ =

𝜈𝑦+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥

10 (95)

𝑉𝑦− =

𝜈𝑦− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥

10 (96)

onde:

𝑉𝑥+: esforço cortante solicitante positivo do menor vão efetivo da laje;

𝑉𝑥−: esforço cortante solicitante negativo do menor vão efetivo da laje;

𝑉𝑦+: esforço cortante solicitante positivo do maior vão efetivo da laje;

𝑉𝑦−: esforço cortante solicitante negativo do maior vão efetivo da laje.

𝑝𝐸𝐿𝑈: carga de projeto no ELU para ações normais. Calculado segundo a Equação 1;

𝜈𝑥+, 𝜈𝑥−, 𝜈𝑦+, 𝜈𝑦− : coeficientes extraídos da Tabela 26, Tabela 27 e Tabela 28, presentes no

ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de acordo com a Equação 55 e o caso é obtido através

da Figura 28, também presente no ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje

apresenta.

Prosseguindo-se com a explanação das demais variáveis necessárias ao cálculo para

dispensa da armadura transversal:

𝑉𝑅𝑑1: esforço cortante resistente de projeto, obtido pela seguinte expressão:

𝑉𝑅𝑑1 = (𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝) ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (97)

onde:

𝜏𝑅𝑑: tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada por:

𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 (98)

𝑓𝑐𝑡𝑑: calculado conforme Equação 30.

𝑘: coeficiente que assume os seguintes valores:

𝑘 = 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜𝑛𝑑𝑒 50% 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎

𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑛ã𝑜 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎 𝑎𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜

𝑘 = 1,6 − 𝑑 ≥ 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑑 𝑒𝑚 𝑚)

(99)

𝜌1: razão entre a área de aço longitudinal efetivamente utilizada e a área de concreto da seção

bruta, como segue:

𝜌1 =

𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑏 ∙ 𝑑 (100)

𝜎𝑐𝑝: tensão normal na seção devida à protensão ou carregamento, obtida por:

𝜎𝑐𝑝 =

𝑁𝑠𝑑

𝐴𝑐 (101)

𝑁𝑠𝑑: força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

49

Em lajes maciças normalmente não há necessidade de armadura de cisalhamento.

Geralmente, as limitações quanto à deformação excessiva e armadura de flexão são mais

restritivas.

Adotando-se, ou não, armadura transversal, deve-se realizar a verificação referente ao

esmagamento das bielas de concreto, conforme Equação 22.

2.9.6 Armadura de borda (ELS-F)

A norma NBR 6118:2014 exige a utilização de armadura negativa de borda nos apoios

de lajes que não apresentem lajes adjacentes, a fim de se evitar a ocorrência de fissuras e trincas,

visto que não se considera, nos cálculos do dimensionamento da área de aço longitudinal, o

desenvolvimento de momento negativo nas ligações entre viga e laje.

Respeitando-se os limites estabelecidos pela Tabela 19.1 da norma NBR 6118:2014,

deve-se adotar área de aço igual ou superior à mínima, 𝐴𝑠 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑀𝐼𝑁, de acordo com a equação:

𝐴𝑠 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑀𝐼𝑁 = 0,67 ∙ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑏 ∙ ℎ (102)

Para concretos C25, aqui considerados, 𝜌𝑚í𝑛 assume valor igual a 0,150%.

50

3 VIGAS

Este capítulo aborda o estudo referente ao dimensionamento de vigas, em análises

paramétricas.

A largura da viga muitas vezes é escolhida com base no projeto arquitetônico, de forma

que esta fique embutida na alvenaria. A norma NBR 6118:2014 especifica um valor mínimo de

largura de 12 cm podendo ser reduzido para 10 cm, em casos excepcionais, desde que se respeite

os espaçamentos e cobrimentos estabelecidos na mesma norma e sejam atendidos os critérios

de lançamento e adensamento, conforme a NBR 14931:2004.

Quando possível, a altura da viga normalmente é padronizada em dimensões múltiplas

de 5cm e adota-se a mesma seção transversal para os diferentes tramos de uma viga contínua

(PELIZARO e CUNHA). A norma NBR 6118:2014 especifica um valor mínimo de 20 cm de

altura.

O cálculo da área de aço, disposições construtivas e verificações das normas foram

executados numa planilha utilizando-se o software Excel. Com os resultados obtidos, realizou-

se o desenho da seção da viga com o auxílio do software AutoCAD.

A seguir, são apresentados os métodos da literatura quanto ao pré-dimensionamento

de uma viga, as considerações assumidas para o cálculo do dimensionamento e as situações de

estudo.

3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA

É discutido nesse capítulo o pré-dimensionamento de uma viga, no que diz respeito à

determinação de sua altura e largura, utilizando alguns métodos da literatura.

CUNHA (2014) indica que a largura da viga, b, depende do comprimento do vão, L,

conforme Tabela 1. A altura, h, também considera diferentes situações de arranjo da viga na

estrutura. O método apresentado é denominado “método do vão ponderado”, conforme Tabela

2.

51

Tabela 1 - Pré-dimensionamento da base da viga, proposto por CUNHA (2014).

Fonte: PELIZARO E CUNHA.

Tabela 2 - Pré-dimensionamento da altura de viga, método do vão ponderado, proposto por CUNHA (2014).

Fonte: CUNHA (2014).

LANÇA (2006) estima a altura da viga, h, entre pilares e viga em balanço de acordo

com o comprimento do vão, L, utilizando coeficientes. A Tabela 3 apresenta o método.

Tabela 3 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por LANÇA (2006).

Fonte: Adaptado de LANÇA (2006).

onde:

𝑍1: pode variar de 10 a 12. PEREIRA (2015) sugere adotar 𝑍1 = 10, para vigas isostáticas, e

𝑍1 = 12, para vigas hiperestáticas.

𝑍2: pode variar de 6 a 10.

Além disso, recomenda-se valor mínimo entre 30 e 40cm para a altura. Este último em

vigas com particular relevância na resistência à ação sísmica (apud REIS).

GIONGO (2006) estipula a altura da viga de acordo com sua posição, como indicado

na Tabela 4.

Caso Largura do vão Fórmula

1 vão ≤ 4m b = 12cm

2 4 < vão ≤ 8m b = 20cm

3 8m < vão b = 25 a 30cm

Caso Apoio da viga Fórmula

1 entre pilares h = L/Z1

2 em balanço h = L/Z2

52

Tabela 4 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por GIONGO (2006).

Fonte: Adaptado de GIONGO (2006).

onde:



DI PIETRO (2000) sugere que o pré-dimensionamento da altura da viga seja feito de

acordo com a condição de apoio, como segue na Tabela 5.

Tabela 5 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por DI PIETRO (2000).

Fonte: Adaptado de DI PIETRO (2000).

onde:




REBELLO (2007) propõe o pré-dimensionamento da altura da viga, conforme Tabela

6. A base, b, deve variar entre 1/4 e 1/3 da altura h, respeitando-se a largura máxima de 12cm,

quando a viga for embutida em alvenaria de 1/2 tijolo (bloco posicionado com os furos na

vertical), ou de 20-22 cm, para alvenaria de 1 tijolo (bloco posicionado com os furos na

horizontal).

Caso Posição da viga Fórmula

1 externa h = L/Z3

2 interna h = L/Z4

Caso Apoio da viga Fórmula

1 biapoiada h = L/Z5

2 contínua h = L/Z6

3 em balanço h = L/Z7

53

Tabela 6 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por REBELLO (2007).

Fonte: Adaptado de REBELLO (2007).

onde:

𝐿: comprimento do maior vão.

𝐿𝐵: comprimento do balanço.

Para as vigas que possuírem balanço, a altura da viga é verificada tanto pelo vão quanto

pelo balanço, adotando-se o maior dos dois valores. O vão deve ser examinado de acordo com

as fórmulas de vigas biapoiada ou contínua, sem balanço.

A definição dos carregamentos pequeno, médio e grande foi sugerida por MELO

(2013) de acordo com a nomenclatura utilizada por REBELLO (2007) e está exposta na Tabela

7.

Tabela 7 - Relação entre os tipos de carga e o ambiente a ser construído.

Fonte: MELO (2013).

Caso Apoio da viga Carga Fórmula

1 pequena h = 8% L

2 média h = 10% L

3 grande h = 8% L

4 pequena h = 16% LB

5 média h = 20% LB

6 grande h = 24% LB

7 pequena h = 6% L

8 média h = 8% L

9 grande h = 10% L

10 h = 6% L

11 h = 16% LB

biapoiada sem balanço

biapoiada com balanço

contínua sem balanço

contínua com balanço pequena

h = 12% L

Caso Apoio da viga Carga Fórmula

1 pequena h = 8% L

2 média h = 10% L

3 grande h = 8% L

4 pequena h = 16% LB

5 média h = 20% LB

6 grande h = 24% LB

7 pequena h = 6% L

8 média h = 8% L

9 grande h = 10% L

10 h = 6% L

11 h = 16% LB

biapoiada sem balanço

biapoiada com balanço

contínua sem balanço

contínua com balanço pequena

10

11

12

54

3.2 CONSIDERAÇÕES

Algumas ponderações são feitas, no presente estudo, para o dimensionamento de vigas

e apresentadas nas seções a seguir. São relacionadas aos métodos da literatura, bem como

características dos materiais de construção civil e do meio.

3.2.1 Métodos da literatura

Para os métodos de pré-dimensionamento onde não se discute a base da viga, é adotado

no presente trabalho o valor de 12cm para vigas internas e 14cm para vigas externas. Estes

valores tem como referência as espessuras de blocos cerâmicos disponíveis no mercado. Para

parede de alvenaria interna, normalmente utiliza-se tijolo com dimensões de 9x19cm

(espessura, altura), contudo, o valor mínimo da base de uma viga permitido pela norma NBR

6118:2014 é de 12cm. Já alvenarias de vedação externa apresentam maior espessura, assim, foi

escolhido bloco cerâmico com dimensões de 14x19cm (espessura, altura).

Nas fórmulas para o cálculo da altura da viga que apresentam coeficientes, 𝑍𝑥,

explicitados anteriormente no item 3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME

LITERATURA, utiliza-se o maior valor do intervalo a fim de se obter vigas com menores

alturas. A escolha baseia-se numa possível redução de custo, apesar de haver uma relação não

linear entre o custo e a altura, com as reduções das dimensões da seção transversal levando a

menores cargas relacionadas ao peso próprio, porém podendo requerer maiores taxas de

armadura.

A fim de se diversificar os resultados, os valores encontrados para a altura da viga

foram arredondados para o número inteiro imediatamente superior, na primeira análise

paramétrica, ou para o número inteiro mais próximo, na segunda análise paramétrica. Visando

a comparação entre os métodos de pré-dimensionamento, optou-se por não efetuar

arredondamento das alturas para múltiplos de 5, o que levou à possibilidade de se ter diferenças

maiores entre os resultados.

3.2.2 Características do concreto e do aço

É considerado concreto com 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎, por ser o concreto mais utilizado em meio

urbano, recomendado para pequenas residências até grandes construções e resistente à

55

agressividade moderada do meio (TECNOSIL). O mínimo permitido pela norma NBR

8953:2015 para fins estruturais, é de 20MPa. O maior agregado graúdo considerado na

constituição do concreto é a brita 1, de diâmetro igual a 1,9cm.

Para as armaduras, adota-se o aço mais utilizado na construção civil, o CA-50

(ROSSI). Sua fabricação se dá pelo processo de laminação a quente apresentando capacidade

de soldabilidade, ótimo dobramento e resistência. Além disso, apresenta superfície nervurada

que promove maior aderência ao concreto (IMIANOWSKY e WALENDOWSKY). Embora

seja possível adotar diâmetros menores, optou-se por empregar bitola de 8mm como menor

valor para a armadura longitudinal, pois barras com maiores diâmetro são menos sujeitas a

entortamentos (BASTOS, 2021). Para a armadura transversal o diâmetro, 𝜙𝑡, escolhido foi o

de 6,3mm, por ser a menor bitola disponível no mercado.

3.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

A classe de agressividade ambiental empregada foi a urbana, por representar grande

parte das situações existentes na cidade de Florianópolis. Assim, o cobrimento nominal é de

3,0cm.

3.2.4 Carga

As cargas suportadas por uma viga geralmente referem-se ao seu peso próprio, o peso

de parede de alvenaria, as cargas concentradas aplicadas por outras vigas ou pilares e parte da

carga suportada pelas lajes que se apoiam na viga (MOLINARI).

No presente trabalho, é considerado apenas o peso próprio e de parede de alvenaria

como carga permanente. A carga transmitida à viga pela laje é tida como acidental, decorrente

das condições de uso da laje, e assume valor arbitrário, somente para efeito didático, de 10

KN/m, nenhum cálculo mais detalhado foi feito para esta determinação. Por simplificação, não

foram calculadas cargas concentradas nem cargas permanentes provenientes das lajes.

Para a definição da fórmula a ser utilizada na metodologia de REBELLO (2007), foram

considerados locais cujas cargas são pequenas, conforme classificação da Tabela 7.

56

3.2.5 Custos

No presente trabalho, estudou-se o custo por metro de viga, considerando seus

materiais constituintes, com contribuições da fôrma, do concreto e do aço.

Embora se necessite da estrutura suporte para a execução de vigas, admite-se somente

a superfície moldante, desconsiderando-se os sarrafos de madeira, por simplificação. A fôrma

cobre todo o perímetro da viga, com exceção do topo. Desse modo, o custo de fôrma, CF, é

calculado pela equação:

𝐶𝐹 = 𝐹 × (2 × ℎ + 𝑏) (103)

onde F é o preço da chapa de madeira por m2.

A concretagem de lajes e vigas costuma ser realizada de uma única vez, definindo-se

um só elemento. Dessa forma, em cálculos mais precisos, desconta-se a altura das lajes

adjacentes, pois a própria laje fará o fechamento da viga. Contudo, no presente trabalho, o

volume de concreto é considerado, por praticidade, como sendo igual ao volume da viga,

considerando-se também que os volumes ocupados pelas barras de aço não interferem

significativamente no resultado final. O custo de concreto, CC, é obtido pela equação:

𝐶𝐶 = 𝐶 × 𝑏 × ℎ (104)

onde C é o preço do volume de concreto por m3.

O custo de aço, CA, é dado por:

𝐶𝐴 = 𝐴 × 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 × 𝜌𝑎ç𝑜 (105)

onde A é o preço do aço por quilo, 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 toda a área de aço existente na seção transversal da

viga e 𝜌𝑎ç𝑜 o peso específico do aço.

A Tabela 1 da norma NBR 6120:2019, apresenta o peso específico do aço. Optou-se

por se utilizar o valor de 77,8KN/m3 equivalente a, aproximadamente, 7 780Kg/m3.

Dessa forma, a Equação 105 pode ser escrita como:

𝐶𝐴 = 𝐴 × 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 × 7 780 (106)

Os valores do preço da chapa de madeira, volume de concreto e quilo de aço foram

obtidos pelo Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil (SINAPI)

para a cidade de Florianópolis (SC), referente aos insumos, não-desonerado, no mês de maio

de 2021. Adotou-se chapa de madeira compensada plastificada para fôrma de concreto de

2,20x1,10m e espessura de 10mm (não considerando-se a reutilização); concreto usinado

bombeável, classe de resistência C25, com brita 0 e 1, slump = 100 +/- 20mm, inclui serviço de

57

bombeamento; aço CA-50 10mm, ou 12,5mm, ou 16mm, ou 20mm, dobrado e cortado. Os

preços utilizados são mostrados na Tabela 8.

Tabela 8 - Valor dos insumos utilizados no cálculo do custo do metro de viga.


3.2.6 Planilha

A planilha desenvolvida para o cálculo da área de aço, verificações referentes à norma

NBR 6118:2014, e características quanto às disposições das barras de aço, foi validada de

acordo com os exercícios em notas de aula, referentes à disciplina de Concreto Armado I do

curso de graduação em engenharia civil, cursado pela autora deste trabalho.

A planilha não determina o diâmetro da barra de aço que resultará em menor área de

aço total. Assim, embora se tenha buscado o valor mínimo de área de aço que atenda as

restrições impostas por norma, não é possível afirmar que os resultados apresentados neste

estudo são certamente os menores valores possíveis.

O desenvolvimento da planilha do Excel pode ser visto no APÊNDICE A – Dedução

para a área de aço da armadura longitudinal.

Para se alcançar a área de aço longitudinal calculada buscou-se utilizar diâmetros de

forma que a área real fosse o mais próximo possível daquela calculada. Notou-se que nem

sempre o menor diâmetro resulta em menor área. Além disso, para que o critério de

concentração da armadura fosse respeitado, frequentemente foram empregadas áreas reais

muito superiores às áreas calculadas necessárias.

Quando se acusava excesso de concentração de armadura, buscava-se reduzir o

número de camadas. Normalmente adotava-se diâmetro superior, reduzindo o número de barras

a serem empregas e, consequentemente, o número de camadas necessárias. Contudo, algumas

vezes observou-se que a redução do diâmetro permite alocar maior número de barras em uma

mesma camada, diminuindo o número total de camadas, provocando o efeito desejado.

Além disso, no caso de seção duplamente armada, quanto maior a área adotada para a

armadura resistente à tração, considerando os diâmetros de barras disponíveis, menor é o

Insumo Preço (R$) Unidade

Chapa de madeira (F) 34,51 m2

Concreto usinado (C) 384,28 m3

Aço (A) 10,78 kg

58

esforço a ser resistido pela armadura de compressão. Contudo, salienta-se que é necessário

observar o critério de concentração em ambas as armaduras, o que muitas vezes impossibilita a

utilização de pequenos diâmetros, sobretudo nas barras de aço que resistem à compressão.

3.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS

São realizadas duas análises paramétricas visando identificar o efeito que os diversos

métodos de pré-dimensionamento provocam no custo por metro de viga. Na primeira análise,

investiga-se a variação do comprimento do vão efetivo, enquanto que na segunda análise,

examina-se a relação entre as cargas permanente e acidental.

3.3.1 Situação 01

Numa primeira situação, tem-se uma viga interna (central), ilustrada na Figura 14,

biapoiada em pilares e sem trechos em balanço. A viga é isostática e não serve de suporte para

outras vigas. O comprimento do vão efetivo varia de um em um metro, no intervalo de 3 a 7m,

totalizando 5 cenários.

Figura 14 - Viga central, biapoiada, isostática. Situação 01, estudo de vigas.


Para o método de CUNHA (2014), a base resulta em 12cm para vão menor ou igual a

4m e 20cm para os demais vãos considerados, conforme a Tabela 1. Todas as demais bases

foram adotadas com o valor de 12cm, conforme explicitado no item 3.2.1 Métodos da literatura.

A altura pelo método de CUNHA (2014) é determinada pelo caso 2 da Tabela 2, para

LANÇA (2006), caso 1 da Tabela 3, para GIONGO (2006), caso 2 da Tabela 4, para DI PIETRO

(2000), caso 1 da Tabela 5 e para REBELLO (2007), caso 1 da Tabela 6.

59

3.3.1.1 Resultados e Discussões

Os resultados da área de aço obtidos para cada vão e as respectivas ilustrações da seção

transversal da viga, são apresentados na tabela e figura a seguir.

60

Tabela 9 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-

dimensionamento.

Figura 15 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento.

Cunha Lança Di Pietro Rebello Giongo

Largura 12 12 12 12 12

Altura Indicada 30 30 25 24 23,08

Altura Adotada 30 30 25 24 24

φl 1 1 1 e 1,6 2 2

Arm. Longitudinal 3,14 3,14 6,38 9,42 9,42

Estribo 4,36 4,36 5,61 6,23 6,23

Área de aço 7,50 7,50 11,99 15,65 15,65

Largura 12 12 12 12 12

Altura Indicada 40 40 33,33 32 30,77


φl 1 1 2 e 1 2 e 0,8 2 e 1


Estribo 3,12 3,12 4,36 4,36 4,36

Área de aço 7,05 7,05 11,43 12,65 13,78

Largura 20 12 12 12 12

Altura Indicada 50 50 41,67 40 38,46


φl 0,8 1 1 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2


Estribo 2,49 2,49 3,12 3,12 3,74

Área de aço 8,02 7,20 10,19 10,91 11,53

Largura 20 12 12 12 12

Altura Indicada 60 60 50 48 46,15


φl 0,8 1 0,8 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2


Estribo 2,49 2,49 3,12 3,12 3,12

Área de aço 9,53 7,99 13,55 14,55 14,55

Largura 20 12 12 12 12

Altura Indicada 70 70 58,33 56 53,85


φl 0,8 1 0,8 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2


Estribo 2,49 2,49 2,49 2,49 2,49

Área de aço 10,53 9,56 12,92 13,42 14,42

7m

*Larguras, alturas e φ l são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.

Métodos

3m

Vão Parâmetro

4m

5m

6m

/m.

61

*Larguras, alturas e φl são dados em cm, enquanto os vãos são apresentados em m.

**As seções com somente uma única barra na primeira camada foram aceitas para fins

didáticos, corroborando com o objetivo do trabalho.

62

Nas ilustrações das seções transversais não se considerou as armaduras construtivas.

Ressalta-se, também, que as seções com uma barra na primeira camada foram aceitas para fins

didáticos, corroborando com o objetivo do trabalho. Na prática da construção civil, utiliza-se

no mínimo duas barras na primeira camada, facilitando o processo de armação.

Conforme esperado nota-se que, para um mesmo vão, à medida que a altura aumenta

a área de aço longitudinal diminui.

Na ausência de cargas concentradas nas vigas em questão, o espaçamento adotado para

os estribos resultou em todos os casos no valor máximo estabelecido pela norma, conforme

Equações 37 e 38, acarretando em acréscimo na área de aço.

Os métodos de Cunha e Lança resultaram em alturas iguais e significativamente

superiores aos demais métodos. As propostas de Di Pietro, Rebello e Giongo obtiveram alturas

próximas e, conforme o vão vai aumentando, os métodos diferenciam-se.

A Figura 16 mostra o comportamento da altura da viga, área de aço total, área de aço

longitudinal e área de aço transversal conforme o comprimento do vão.

Figura 16 - Relação entre as alturas, áreas de aço longitudinal, transversal e total, versus vão livre.


De acordo com as fórmulas de pré-dimensionamento, conforme o comprimento do vão

aumenta, a altura estimada também cresce de maneira linear.

(a) (b)

(c) (d)

63

Nota-se que pequenas reduções no valor da altura podem acarretar em grande

acréscimo da área de aço longitudinal e, consequentemente, total. Nos vãos de 5, 6 e 7m em

que a altura calculada pelo pré-dimensionamento dos métodos de Cunha e Lança apresentam

mesmo valor, mas as bases das vigas assumem valores distintos, a redução da base acarreta

também na redução da área de aço longitudinal devido a diminuição dos esforços referentes ao

peso próprio da viga e ao peso das paredes.

Observa-se que a armadura longitudinal pode crescer ou decrescer com o aumento do

vão livre, enquanto a armadura transversal diminui. Ocorre redução da área de aço total quando

o aumento da área de aço referente à armadura longitudinal é menor do que a diminuição da

área de armadura transversal ou quando ambas as armaduras, longitudinal e transversal,

diminuem.

Os resultados em termos de custos, por material e total, são apresentados na Tabela

10.

64

Tabela 10 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de viga, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento.

Cunha Lança Di Pietro Rebello Giongo

Largura 12 12 12 12 12


24,85 24,85 21,40 20,71 20,71

(24,46%) (24,46%) (16,04%) (12,70%) (12,70%)

13,83 13,83 11,53 11,07 11,07

(13,62%) (13,61%) (8,63%) (6,78%) (6,78%)

62,90 62,90 100,56 131,25 131,25

(61,92%) (61,92%) (75,33%) (80,51%) (80,51%)

Custo total 101,58 101,58 133,48 163,03 163,03

Largura 12 12 12 12 12


31,75 31,75 27,61 26,23 25,54

(29,04%) (29,04%) (19,84%) (17,83%) (16,43%)

18,45 18,45 15,68 14,76 14,30

(16,87%) (16,87%) (11,26%) (10,03%) (9,19%)

59,10 59,10 95,86 106,09 115,57

(54,07%) (54,07%) (68,89%) (72,13%) (74,36%)

Custo total 109,30 109,30 139,15 147,08 155,40

Largura 20 12 12 12 12


41,41 38,65 33,13 31,75 31,06

(28,15%) (31,65%) (24,01%) (22,40%) (21,31%)

38,43 23,06 19,37 18,45 17,98

(26,12%) (18,88%) (14,03%) (13,01%) (12,33%)

67,26 60,39 85,46 91,50 96,70

(45,72%) (49,45%) (61,94%) (64,57%) (66,34%)

Custo total 147,10 122,09 137,96 141,70 145,74

Largura 20 12 12 12 12


48,31 45,55 38,65 37,27 36,58

(27,71%) (32,48%) (22,04%) (20,54%) (20,29%)

46,11 27,67 23,06 22,13 21,67

(26,44%) (19,73%) (13,14%) (12,19%) (12,02%)

79,93 67,01 113,64 122,03 122,03

(45,84%) (47,78%) (64,80%) (67,25%) (67,68%)

Custo total 174,35 140,23 175,35 181,43 180,28

Largura 20 12 12 12 12


55,22 52,46 44,86 42,79 41,41

(27,98%) (31,80%) (24,86%) (23,62%) (22,11%)

53,80 32,28 27,21 25,82 24,90

(27,26%) (19,57%) (15,07%) (14,25%) (13,29%)

88,31 80,18 108,36 112,55 120,94

(44,75%) (48,61%) (60,05%) (62,12%) (64,58%)

Custo total 197,33 164,91 180,43 181,17 187,25

*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$.

6m

Fôrma

Concreto

Aço

7m

Fôrma

Concreto

Aço

4m

Fôrma

Concreto

Aço

5m

Fôrma

Concreto

Aço

Vão ParâmetroMétodos

Fôrma

Concreto

Aço

3m

/m.

65

Percebe-se que em todos os métodos o maior percentual do custo total por metro de

viga refere-se ao custo de aço, seguido do custo com as fôrmas. O custo relacionado ao concreto

é o que menos impacta no custo total.

Há uma tendência significativa de se obter menores custos totais, quanto maior for a

altura da peça. Sobretudo porque maiores áreas de concreto tendem a reduzir a necessidade de

aço, e este último material é o que tem maior impacto nos custos. Entretanto, as dimensões

ótimas da peça seriam adequadamente abordadas aplicando-se otimização estrutural (ARORA,

2016) o que está fora do escopo deste trabalho.

A Figura 17 ilustra a relação entre o vão livre e o custo total de 1m de viga para os


Figura 17 - Relação entre o vão livre e o custo total da viga para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.


O método que se mostrou mais econômico foi o de Lança, que levou a maiores alturas

e menores bases para as vigas e, portanto, a menores áreas de aço requeridas. Isso está de acordo

com uma tendência de maximização do momento de inércia da seção, o que tem grande impacto

nos casos analisados uma vez que o momento fletor é preponderante nos mesmos. Entretanto,

na prática restrições arquitetônicas, por exemplo, relacionadas à altura máxima das vigas,

tendem a reduzir as diferenças entre os resultados obtidos pelos diferentes métodos.

A diferença entre custos chegou a ser de 60,5%, aproximadamente, entre os métodos

propostos por Cunha/Lança e Rebello/Giongo, para vão de 3m.

66

3.3.2 Situação 02

No segundo exemplo, tem-se uma viga externa (periférica), contínua e sem trechos em

balanço. A viga é hiperestática, dá apoio a outras vigas e está apoiada em pilares. O

comprimento do maior vão efetivo é de 5m. Neste exemplo, estudou-se a mudança do

dimensionamento de acordo com a variação das cargas permanente, 𝐺, e acidental, 𝑄. São

analisados 3 cenários nos quais ambos os carregamentos são tratados como uniformes, de

acordo com a Figura 18.

Figura 18 - Viga externa, contínua, hiperestática que serve de suporte a outras vigas. Situação 02, estudo de

vigas.


O valor do carregamento permanente, G, é fixo e vale 15kN/m enquanto a carga

acidental, Q, assume os valores de 5, 15 e 60kN/m, diferenciando os cenários. O

dimensionamento da área de aço é feito de acordo com o maior momento positivo referente ao

vão de comprimento igual a 5m, conforme o corte S representado na Figura 18.

A base calculada por CUNHA (2014) está de acordo com o caso 2 da Tabela 1. Todas

as demais bases foram adotadas com o valor de 14cm, conforme explicitado no item 3.2.1

Métodos da literatura.

A altura pelo método de CUNHA (2014) é determinada pelo caso 3 da Tabela 2, para

LANÇA (2006), caso 1 da Tabela 3, para GIONGO (2007), caso 1 da Tabela 4, para DI PIETRO

(2000), caso 2 da Tabela 5 e para REBELLO (2007), caso 7 da Tabela 6.

3.3.2.1 Resultados e discussões

Os resultados obtidos, para cada valor diferente de carga acidental, e as respectivas

ilustrações da seção transversal da viga, são apresentados na tabela e figura a seguir.

s

67

Tabela 11 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-

dimensionamento e valores distintos de carga acidental.

Fonte: Elaborada pela autora.

Cunha Giongo Lança Rebello Di Pietro

Largura 20 14 14 14 14

Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25


φl 1 1,25 1 1 1,6 e 1,25


Estribo 2,49 3,12 3,74 4,36 6,23

Área de aço 5,63 6,8 8,45 9,07 16,72

Largura 20 14 14 14 14

Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25


φl 1 1,25 2 1 e 1,25

Arm. Longitudinal 4,71 6,14 6,28 8,93

Estribo 3,74 6,23 6,23 7,48

Área de aço 8,45 12,37 12,51 16,41

Largura 20 14 14 14 14

Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25


φl 1 e 1,6

Arm. Longitudinal 17,21

Estribo 14,96

Área de aço 32,17

*Larguras, alturas e φ l são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.

Q (kN/m) ParâmetroMétodos

5

15

60

X

X

/m.

68

Figura 19 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento,

referente às cargas G = 5, 15 e 60 kN/m.


Nas ilustrações das seções transversais não se considerou as armaduras construtivas.

Com a redução da altura, a área de aço longitudinal cresce. Contudo, a área de aço

varia de maneira não linear com a carga.

A altura estabelecida pelo método de Di Pietro não permite a inserção das barras

longitudinais necessárias para suportar o momento fletor quando Q = 15kN/m. Da mesma

*Larguras, alturas e φl são dados em cm, enquanto os vãos são apresentados em m.

69

forma, o único dimensionamento possível, quando Q = 60kN/m, foi o proposto por Cunha, pois

a base adotada, mais larga que a dos demais métodos, permitiu a disposição de maior número

de barras.

A altura pelo método de Cunha é a de valor mais elevado, seguida pela proposta de

Giongo, que na Situação 01 apresentava o menor valor. Os métodos de Lança e Rebello

resultaram em valores próximos e o método de Di Pietro é o de menor altura.

A fim de se analisar melhor os efeitos das ações, definiu-se a relação entre as cargas

permanente e variável de acordo com a seguinte equação (SANTOS et al. 2014):

𝜒 =

𝑄

𝐺 + 𝑄 (107)

A Figura 20 ilustra a correspondência entre o coeficiente 𝜒 e as áreas de aço

longitudinal e transversal para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.

Figura 20 - Relação entre o coeficiente χ e as áreas de aço longitudinal e transversal da viga, para os diferentes

métodos de pré-dimensionamento.


A área de aço longitudinal e transversal aumenta com o crescimento da carga acidental

e, consequentemente, crescimento do coeficiente 𝜒. Aduz-se que a área de aço total apresenta

o mesmo comportamento.

Muitos dos métodos indicam pré-dimensionamentos que precisam ser modificados

para valores de 𝜒 maiores que 0,5.

Com o intuito de se estudar melhor o impacto que os diferentes materiais apresentam

no custo total de 1m de viga, foi elaborada a tabela a seguir.

(a) (b)

70

Tabela 12 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de viga, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores do coeficiente 𝜒.


Percebe-se que em todos os métodos o maior percentual do custo total do metro de

viga refere-se ao gasto com aço, seguido do gasto com as fôrmas e, por último, o gasto do

concreto. Os custos referentes aos materiais de fôrma e concreto permanecem constantes,

independentes do valor de 𝜒, pois as dimensões da seção transversal da viga não se alteram.

Conforme a altura adotada para a viga diminui, os valores percentuais dos custos

referentes à fôrma e ao concreto também reduzem enquanto o do aço aumenta. Além disso, para

Cunha Giongo Lança Rebello Di Pietro

Largura 20 14 14 14 14


41,41 35,89 33,82 32,44 26,23

(32,59%) (30,64%) (26,57%) (24,94%) (14,32%)

38,43 24,21 22,60 21,52 16,68

(30,24%) (20,66%) (17,75%) (16,55%) (9,10%)

47,22 57,03 70,87 76,07 140,23

(37,16%) (48,68%) (55,67%) (58,50%) (76,57%)

Custo total 127,06 117,13 127,28 130,03 183,13

Largura 20 14 14 14 14


41,41 35,89 33,82 32,44 31

(27,47%) (21,90%) (20,96%) (16,93%)

38,43 24,21 22,60 21,52

(25,49%) (14,77%) (14,00%) (11,23%)

70,87 103,75 104,92 137,63

(47,02%) (63,31%) (65,03%) (71,83%)

Custo total 150,71 163,85 161,33 191,59

Largura 20 14 14 14 14


41,41

(11,84%)

38,43

(10,99%)

269,80

(77,16%)

Custo total 349,64

15

60

X

X


Fôrma

Concreto

Aço

Fôrma

Concreto

Aço

Q (kN/m) ParâmetroMétodos

5

Fôrma

Concreto

Aço

/m.

71

um mesmo método, o aumento do valor do coeficiente 𝜒 eleva o valor percentual do custo

referente ao aço.

A Figura 21 ilustra a relação entre o coeficiente 𝜒 e o custo total de 1m de viga para

os diferentes métodos de pré-dimensionamento.

Figura 21 - Relação entre o coeficiente χ e o custo total da viga para os diferentes métodos de pré-

dimensionamento.


Como o custo do aço tem maior impacto no resultado do custo total, vigas com

menores alturas apresentam custos totais mais elevados. Mostram-se exceções, o método de

Cunha para 𝜒 = 0,25, onde a dimensão mais elevada da base elevou os custos referentes as

fôrmas e concreto, e o método de Lança para 𝜒 = 0,50, pois apresenta valor da área de aço total

apenas ligeiramente maior que o método de Giongo enquanto sua altura proporciona menor

gasto com as fôrmas e concreto, resultando em menor custo total de viga.


propostos por Di Pietro e Giongo, para 𝜒 = 0,25.

72

4 LAJES

Este capítulo aborda o estudo referente ao dimensionamento de lajes maciças armadas

nas duas direções, em análises paramétricas.

Nas lajes maciças, um pequeno aumento da altura da seção da laje intensifica,

consideravelmente, a carga a ser suportada pelos elementos estruturais vigas, pilares e

fundações (PERLIN et al. 2019). Assim, busca-se a menor espessura que atenda os limites de

serviço.

O cálculo da área de aço, disposições construtivas e verificações das normas foram

executados numa planilha utilizando-se o software Excel.

A seguir, são apresentados os métodos da literatura quanto ao pré-dimensionamento

de uma laje, as considerações assumidas para o cálculo do dimensionamento e as situações de

estudo.

4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA

É discutido nesse capítulo o pré-dimensionamento de lajes, na determinação de sua

altura ou espessura, utilizando alguns métodos da literatura.

FORMAGINI (2013) indica que a altura útil da laje em cm, 𝑑, pode ser estimada pela

seguinte expressão empírica:

𝑑 = (2,5 − 0,1 ∙ 𝑛𝑒𝑛𝑔) × 𝑙 (108)

onde:

𝑛𝑒𝑛𝑔: número de bordas engastadas da laje;

𝑙: menor valor calculado pelas Equações 109 e 110.

𝑙𝑥 (109)

0,7 × 𝑙𝑦 (110)

𝑙𝑥: menor vão efetivo da laje, em m;

𝑙𝑦: maior vão efetivo da laje, em m.

Assim, pode-se obter o valor da altura da laje, ℎ, adicionando-se o valor do cobrimento

e da bitola utilizada na armadura longitudinal, conforme:

ℎ = (2,5 − 0,1 ∙ 𝑛𝑒𝑛𝑔) × 𝑙 + 𝑐 +

𝜙𝑙

2 (111)

73

De acordo com LANÇA (2006) a altura, ℎ, é calculada em função do maior

comprimento do vão efetivo, utilizando-se coeficientes. Depende do tipo de laje e se as

armaduras são dispostas uni ou bidirecionalmente, segundo a Tabela 13.

Tabela 13 - Pré-dimensionamento da altura de laje, proposto por LANÇA (2006).

Fonte: Adaptado de LANÇA (2006).

onde:

𝐿: maior vão efetivo da laje;

𝑍8: valor entre 25 a 35;

𝑍9: valor entre 30 e 40;



𝑍12: valor entre 10 a 12.

CUNHA (2014) defende que a altura, h, também considera os diferentes tipos de laje.

O método apresentado é denominado “método do vão ponderado”, conforme Tabela 14.

Caso Tipos de armação e laje Fórmula

1Laje armada em 1

direçãoh = L/Z8

2Laje maciça armada em

2 direçõesh = L/Z9

3 Laje cogumelo maciça h = L/Z10

4Laje cogumelo

nervuradah = L/Z11

5 Laje em balanço h = L/Z12

74

Tabela 14 - Pré-dimensionamento da altura de laje, método do vão ponderado, proposto por CUNHA (2014).

Fonte: Adaptado de CUNHA (2014).

onde:

𝐿: para lajes armadas em duas direções assume a média dos vãos enquanto que, em lajes

armadas em uma direção, L será o vão correspondente à direção das armaduras (menor vão);






𝑍18: valor igual a 18;




𝑍22: valor entre 25 a 35.

Na escolha dos coeficientes deve-se considerar o carregamento a ser suportado pela

laje bem como os tipos de apoio que a mesma apresenta. Quanto maior o carregamento ou

menor o número de vínculos do tipo engaste, maior será sua altura. CUNHA (2014) também

apresenta a Tabela 15, associando o nível de carregamento ao do uso do local, e a Tabela 16,

relacionando à favorabilidade das condições de apoio.

Caso Tipos de armação e laje Fórmula


1 direçãoh = L/Z13


2 direçõesh = L/Z14

3 Laje nervurada h = L/Z15

4 Laje lisa h = L/Z16

5 Laje cogumelo h = L/Z17

6Laje para apoio à

reservatório d'águah = L/Z18

7Laje maciça protendida

armade em 2 direçõesh = L/Z19

8Laje maciça protendida

armade em 1 direçãoh = L/Z20

9Laje nervurada

protendidah = L/Z21

10Laje cogumelo

protendidah = L/Z22

75

Tabela 15 - Relação entre os tipos de carregamento e o ambiente a ser construído.


Tabela 16 - Classificação para condições de apoio.


CHING, ONOUYE e ZUBERBUHLER (2010) propõem que a altura da laje, h, seja

obtida através de seu perímetro, como apresentado na Equação 112, não sendo admitido valor

menor que 10cm.

ℎ =

2𝑃

180 (112)

em que 2𝑃 é o perímetro da laje, em cm.

4.2 CONSIDERAÇÕES

Algumas ponderações são feitas, no presente estudo, para o dimensionamento de lajes

e apresentadas nas seções a seguir. São relacionadas aos métodos da literatura bem como

características dos materiais de construção civil e do meio.

4.2.1 Métodos da literatura

Nas fórmulas para o cálculo da altura da laje que apresentam coeficiente, 𝑍𝑥,

explicitados anteriormente no item 4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME

76

LITERATURA, quando não há orientações sobre a escolha do coeficiente utiliza-se o maior

valor do intervalo, a fim de se obter lajes com menores alturas pensando-se numa possível

redução de custo.

A fim de se diversificar os resultados, os valores encontrados para a altura da laje

foram arredondados para o número inteiro imediatamente superior, quando apresentam casa

decimal com valor superior a 3, ou para o número inteiro imediatamente inferior, nas demais

situações.

4.2.2 Características do concreto e aço

As resistências características do concreto e aço são as mesmas usadas para o

dimensionamento de vigas, apontadas no capítulo 3.2.2 Características do concreto e do aço.

O agregado graúdo, que constitui o concreto, foi considerado proveniente de material

granítico.

4.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

A classe de agressividade ambiental empregada foi a urbana, por representar grande

parte das situações existentes na cidade de Florianópolis. Assim, o cobrimento nominal é de

2,5cm. Segundo observações da Tabela 7.2 na norma NBR 6118:2014, o cobrimento nominal

adotado para a face superior da laje é de 1,5cm pois será executado revestimento cerâmico no

piso.

4.2.4 Carga

Na determinação dos esforços nas lajes, considera-se como carga permanente os pesos

próprios do concreto armado que constitui o elemento estrutural, paredes de alvenaria, reboco

na face inferior da laje, contrapiso e peças de revestimento cerâmico na face superior. Supõe-

se que as espessuras do reboco, contrapiso e placas cerâmicas para o revestimento são,

respectivamente, 1,5cm, 3cm e 1cm.

A carga acidental também é considerada uniformemente distribuída e obtida de acordo

com o uso do ambiente, conforme Tabela 10 da norma NBR 6120:2019. Neste trabalho, o

ambiente analisado trata-se de um escritório, assim, a carga acidental adotada é igual a 2kN/m2.

77

4.2.5 Custos

O custo, por metro quadrado de laje, é feito considerando-se seus materiais

constituintes. De maneira análoga ao cálculo para vigas, é obtido pelo somatório dos custos: de

fôrma, de concreto e de aço.

Embora se necessite da estrutura suporte para a execução de lajes maciças, é

considerado somente a superfície moldante. Assim, o custo de fôrma, CF, de uma laje maciça

isolada é obtido pela seguinte equação:

𝐶𝐹 = 𝐹 × 𝑙0𝑥 × 𝑙0𝑦 (113)

onde:

𝑙0𝑥, 𝑙0𝑦: comprimentos dos vãos na planta de fôrma;

F: preço da chapa de madeira por m2.

Como no presente estudo busca-se o preço por metro quadrado de laje, a Equação 113

pode ser, simplificadamente, escrita como:

𝐶𝐹 = 𝐹 (114)

O custo de concreto, CC, é calculado pela Equação 104, utilizando-se 𝑏 com valor

igual a 1m. O custo de aço, CA, é dado pela Equação 106.

Os valores dos insumos utilizados são apresentados na Tabela 8.

4.2.6 Planilha

A planilha desenvolvida para o cálculo da área de aço, verificações referentes à norma

NBR 6118:2014, e características quanto às disposições das barras de aço, foi validada de

acordo com os exercícios das notas de aula, referentes à disciplina de Concreto Armado II do

curso de graduação em engenharia civil, cursado pela autora deste trabalho.

A planilha não determina o diâmetro da barra de aço que resultará em menor área de

aço total. Assim, embora se tenha buscado o valor mínimo de área de aço que atenda as

restrições impostas por norma, não é possível afirmar que os resultados apresentados neste

estudo são certamente os menores valores possíveis.

78

4.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS

São realizadas duas análises paramétricas visando identificar o efeito que os diversos

métodos de pré-dimensionamento provocam no custo por metro quadrado de laje. Na primeira

análise, investiga-se a variação do caso da laje, de acordo com seus tipos de apoio, enquanto

que na segunda análise, examina-se a variação do coeficiente 𝛾, dado pela Equação 55,

alterando-se as dimensões da laje.

4.3.1 Situação 01

Inicialmente analisa-se uma laje de dimensões 4x6m, com lajes adjacentes em todos

os bordos. Dessa forma, não é necessária a utilização de armadura de bordo. Realiza-se o

dimensionamento para as diferentes situações de apoio, conforme Figura 28 presente no

ANEXO A, totalizando 9 cenários.

Nos casos que apresentam borda engastada, desconsidera-se a compatibilização do

momento fletor negativo e a correção do momento fletor positivo. Embora se admita a

existência de lajes adjacentes, por simplificação o dimensionamento considera apenas lajes

isoladas, com vigas de apoio de grande rigidez para o bordo engastado e rigidez normal para

bordo simplesmente apoiado.

O valor de 𝜆 =607,8

407,8= 1,49 também é arredondado para 𝜆 = 1,5 facilitando a

obtenção dos demais coeficientes tabelados.

A altura pelo método de FORMAGINI (2013) é determinada pela Equação 111

variando conforme o caso estudado. Ignorou-se a parcela referente ao diâmetro da barra

longitudinal, assim, o resultado de h obtido é arredondado para o valor inteiro imediatamente

superior, como compensação. Para LANÇA (2006), utiliza-se o caso 2 da Tabela 13. Para

CUNHA (2014), usa-se o caso 2 da Tabela 14 considerando, de acordo com a Tabela 15 e

Tabela 16, coeficiente 𝑍14 igual a 37 para os casos 1 a 3, e 𝑍14 igual a 40 para os demais casos.

No método de CHING et al. (2010) a altura é obtida pela Equação 112.


Os resultados da área de aço longitudinal obtidos, para cada caso, são apresentados na

tabela a seguir.

79

Tabela 17 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje, com γ=1,5 e área de 24m2, de acordo com os


Lança Cunha Formagini Ching et al.

Altura Indicada 15,00 13,51 12,50 11,11

Altura Adotada 15 14 13 11

φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,49 2,81 2,81 3,43

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,87

Área de aço (Mx-) 0 0 0 0

Área de aço (My-) 0 0 0 0

Área de aço total 4,05 4,37 4,37 5,30

Altura Indicada 15,00 13,51 12,10 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,18 2,18 2,49 2,81

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,87


Área de aço (My-) 3,43 3,43 3,74 4,36

Área de aço total 7,17 7,17 7,79 9,04

Altura Indicada 15,00 13,51 12,10 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 1,87 2,18 2,18 2,49

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 3,43 3,43 3,74 4,36


Área de aço total 6,86 7,17 7,48 8,41

Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63, 0,8 e 1

Área de aço (Mx+) 1,56 1,87 1,87 2,18

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 3,12 3,43 3,74 3,93

Área de aço (My-) 2,49 2,81 2,81 3,02

Área de aço total 8,73 9,67 9,98 10,69

Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 1

Área de aço (Mx+) 1,87 2,18 2,18 2,49

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,87 1,87


Área de aço (My-) 6,24 6,86 7,48 7,86

Área de aço total 9,67 10,6 11,53 12,22

3

4

5

Caso ParâmetroMétodos

1

2

80


Somente os métodos cuja altura está grifada em verde, atenderam o critério de

formação de fissuras. Ainda que não se tenha descartado nenhum resultado, é imprescindível

que sejam utilizados métodos mais avançados para obtenção da flecha com maior precisão bem

como realização do controle de abertura de fissuras.


Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,87

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 4,98 5,62 5,62 6,04


Área de aço total 8,1 8,74 8,74 9,47

Altura Indicada 15,00 12,50 11,30 11,11


φl 0,63 0,63 e 0,8 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,87 1,87

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 2,81 3,02 3,43 3,43

Área de aço (My-) 4,98 4,98 5,62 5,62

Área de aço total 10,91 11,12 12,48 12,48

Altura Indicada 15,00 12,50 11,30 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 4,98 5,62 5,62 6,04

Área de aço (My-) 2,49 2,18 2,18 2,18

Área de aço total 10,59 10,92 10,92 11,34

Altura Indicada 15,00 12,50 10,90 11,11


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 4,98 4,98 5,62 5,62

Área de aço (My-) 4,98 4,36 4,36 4,36

Área de aço total 13,08 12,46 13,1 13,1

8

9

*Alturas e φl são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.


6

7

/m2.

81

Ocorre fissuração no vão central, para o caso 01, e nas bordas engastadas, para os

demais. Nos casos com engaste nas duas direções, normalmente o momento negativo referente

ao menor vão foi o responsável pela fissuração.

A área de aço é inversamente proporcional ao valor da altura adotada, isto é, quanto

maior a altura da laje, menor será a área de aço empregada, conforme explicitado nos resultados

das situações de estudo em vigas. Assim, os métodos que apresentam menor e maior área de

aço foram os de Lança e Ching et al. respectivamente. Excetua-se somente, o método de Lança

para o caso 09, pois se adota a área de aço mínima para o momento fletor negativo do maior

vão, que é superior ao método de Cunha.

Em diversos métodos foi necessário aumentar a área de aço para atender o critério de

espaçamento máximo e área de aço mínima.

A Tabela 18 mostra o impacto que os diferentes materiais apresentam no custo total

de 1m2 de laje.

82

Tabela 18 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamentos



Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(27,36%) (27,61%) (28,49%) (28,46%)

Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27

(45,70%) (43,05%) (41,24%) (34,86%)

Aço 33,97 36,65 36,65 44,45

(26,93%) (29,32%) (30,26%) (36,66%)

Custo total 126,12 124,96 121,12 121,23


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(22,66%) (23,24%) (23,03%) (22,61%)

Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27

(37,85%) (36,24%) (33,34%) (27,70%)

Aço 60,13 60,13 65,33 75,82

(39,48%) (40,50%) (43,61%) (49,68%)

Custo total 152,29 148,44 149,80 152,60


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(23,05%) (23,24%) (23,44%) (23,42%)

Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27

(38,50%) (36,24%) (33,93%) (28,69%)

Aço 57,53 60,13 62,73 70,53

(38,43%) (40,50%) (42,61%) (47,87%)

Custo total 149,69 148,44 147,20 147,31


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(20,86%) (20,84%) (21,00%) (20,73%)

Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27

(34,85%) (30,17%) (28,06%) (25,39%)

Aço 73,22 81,10 83,70 89,66

(44,27%) (48,98%) (50,93%) (53,86%)

Custo total 165,37 165,57 164,32 166,44


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(19,91%) (19,90%) (19,46%) (19,25%)

Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27

(33,27%) (28,81%) (26,00%) (23,57%)

Aço 81,10 88,90 96,70 102,49

(46,81%) (51,27%) (54,53%) (57,16%)

Custo total 173,25 173,37 177,32 179,27

1

2

3

4

5


83


Percebe-se que em todos os casos o menor percentual do custo total do metro quadrado

de laje refere-se ao gasto com fôrmas. Para o caso 01, o custo com concreto se sobressai, pois

a ausência de momento fletor negativo reduz consideravelmente a área de aço total, enquanto

nos demais casos, o custo com o aço é preponderante.



Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(21,55%) (21,87%) (22,42%) (22,09%)

Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27

(36,00%) (31,66%) (29,95%) (27,06%)

Aço 67,93 73,30 73,30 79,42

(42,43%) (46,46%) (47,62%) (50,84%)

Custo total 160,09 157,77 153,92 156,20

Altura Adotada 15 13,00 12,00 11,00

Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(18,79%) (19,41%) (18,62%) (19,01%)

Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27

(31,38%) (28,10%) (24,88%) (23,29%)

Aço 91,50 93,26 104,67 104,67

(49,82%) (52,47%) (56,48%) (57,68%)

Custo total 183,65 177,73 185,29 181,45

Altura Adotada 15,00 13,00 12,00 11,00

Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(19,06%) (19,60%) (20,03%) (20,07%)

Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27

(31,85%) (28,37%) (26,77%) (24,59%)

Aço 88,82 91,58 91,58 95,11

(49,07%) (52,02%) (53,18%) (55,33%)

Custo total 180,97 176,05 172,21 171,89


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(17,09%) (18,26%) (18,48%) (18,48%)

Concreto 57,64 49,96 42,27 42,27

(28,55%) (26,43%) (22,64%) (22,64%)

Aço 109,70 104,50 109,87 109,87

(54,34%) (55,30%) (58,86%) (58,86%)

Custo total 201,85 188,97 186,65 186,65


7

8

9

6

*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$./m2.

84

Observando-se o caso 01, menores alturas levam a menores custos. Já no caso 02,

menores alturas não necessariamente levam a menores custos. Isto indica que existe um valor

ótimo de altura para cada caso, a partir do qual e também abaixo do qual os custos passam a

aumentar. As dimensões ótimas da peça seriam adequadamente abordadas aplicando-se

otimização estrutural (ARORA, 2016), o que está fora do escopo deste trabalho.

A Figura 22 ilustra a relação entre o caso e o custo total de 1m2 de laje para os


Figura 22 - Relação entre o caso e o custo total, por m2, da laje para os diferentes métodos de pré-

dimensionamento.


Observa-se que um mesmo método pode se apresentar como o mais econômico e o

mais dispendioso em diferentes casos.

O método mais econômico foi, para os casos 01, 03, 04 e 06, Formagini, para os casos

02 e 07, Cunha, para o caso 05, Lança, e para os casos 08 e 09, Ching et al.

O método menos econômico foi, para os casos 01, 03, 06, 08 e 09, Lança, para os casos

02, 04, e 05, Ching et al. para o caso 07, Formagini.


propostos por Lança e Ching, para o caso 9.

85

4.3.2 Situação 02

Na segunda análise, tem-se uma laje com apoio simples em todas as suas bordas e

outra completamente engastada, sinalizando os casos 01 e 09, respectivamente, apresentados

na Figura 28 do ANEXO A. Em cada laje, um dos comprimentos do vão efetivo assume valor

igual a 4m enquanto o outro varia, de modo que se estuda a mudança do dimensionamento de

acordo com a alteração do coeficiente 𝛾. São analisados 4 cenários referentes a 𝛾 =

1,00; 1,25; 1,75; 2,00 (valores arredondados).

Não são considerados, por simplificação, armadura de bordo, compatibilização do

momento fletor negativo e correção do momento fletor positivo.

O pré-dimensionamento é realizado para cada caso e cenário, de acordo com as

mesmas instruções realizadas na Situação 01, item 4.3.1 deste trabalho.


Os resultados da área de aço longitudinal obtidos, para os dois casos e diferentes

coeficientes 𝛾, são apresentados nas tabelas a seguir.

86

Tabela 19 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 01, de acordo com os diferentes




Altura Indicada 10,00 10,81 9,50 8,89


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,18 1,87 2,18 2,18

Área de aço (My+) 2,18 2,18 2,18 2,49

Área de aço total 4,36 4,05 4,36 4,67

Altura Indicada 12,50 12,16 11,25 10,00


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,18 2,49 2,49 2,81

Área de aço (My+) 1,87 1,87 1,87 2,18

Área de aço total 4,05 4,36 4,36 4,99

Altura Indicada 17,50 14,86 12,50 12,22


φl 0,63 0,63 e 0,8 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,81 3,02 3,43 3,43

Área de aço (My+) 1,87 1,56 1,56 1,56

Área de aço total 4,68 4,58 4,99 4,99

Altura Indicada 20,00 16,22 12,50 13,33


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 2,81 3,12 3,74 3,74

Área de aço (My+) 2,18 1,87 1,56 1,56

Área de aço total 4,99 4,99 5,30 5,30

1,75

2,00


1,00

Métodosϒ Parâmetro

CASO 01

1,25

/m2.

87

Tabela 20 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 09, de acordo com os diferentes



Lança Cunha Ching et al. Formagini

Altura Indicada 10,00 10,00 8,38 8,89


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,87 1,87

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,87 1,87

Área de aço (Mx-) 4,36 4,36 4,36 4,36

Área de aço (My-) 4,36 4,36 4,36 4,36

Área de aço total 11,84 11,84 12,46 12,46

Altura Indicada 12,50 11,25 10,00 9,85


φl 0,63 0,63 0,63 0,63

Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 4,36 4,98 5,62 5,62

Área de aço (My-) 4,36 4,36 4,36 4,36

Área de aço total 11,84 12,46 13,1 13,1

Altura Indicada 17,50 13,75 12,22 10,90


φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8

Área de aço (Mx+) 1,87 1,56 1,56 1,56

Área de aço (My+) 1,87 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 5,62 4,98 5,62 6,04

Área de aço (My-) 5,62 3,74 4,36 4,36

Área de aço total 14,98 11,84 13,1 13,52

Altura Indicada 20,00 15,00 13,33 10,90


φl 0,63 e 0,8 0,63 0,63 0,63 e 0,8

Área de aço (Mx+) 2,18 1,56 1,56 1,87

Área de aço (My+) 2,18 1,56 1,56 1,56

Área de aço (Mx-) 6,04 4,98 5,62 6,04

Área de aço (My-) 6,04 4,98 4,36 4,36

Área de aço total 16,44 13,08 13,1 13,83


CASO 09

ϒ ParâmetroMétodos

1,00

1,25

1,75

2,00

/m2.

88

Assim como na Situação 01 de estudo, diversos métodos apresentam a ocorrência de

fissuras no vão central e na borda engastada, na direção do maior vão. Salienta-se que, nestas

situações é imprescindível a utilização de métodos mais avançados para obtenção da flecha com

maior precisão bem como realização do controle de abertura de fissuras.

Alguns métodos, no caso 01, e todos os métodos, no caso 09, tiveram a armadura

longitudinal recalculada, aumentando-se o valor, para satisfazer o critério de espaçamento

máximo entre barras ou para atender à área de aço mínima. Para Lança em 𝛾 = 1,75 𝑒 2,00, no

caso 09, foi necessário utilizar área de aço mínima em todas as armaduras, tornando-o o método

com maior área de aço.

A Figura 23 ilustra a relação entre a altura da laje, área de aço total e o coeficiente 𝛾

para os casos 01 e 09.

Figura 23 - Altura da laje e área de aço total, para os casos 01 e 09, conforme o valor do coeficiente 𝛾.


Em ambos os casos a altura cresce com o aumento do coeficiente 𝛾. A maior altura é

obtida pelo método de Cunha, em 𝛾 = 1,00, e Lança, para os demais valores de 𝛾. Para o caso

01, Ching apresenta menor altura enquanto para o caso 09, Formagini.

A área de aço total não apresenta comportamento definido, aumentando quando a área

de aço paralela ao menor vão cresce mais que a redução da área de aço paralela ao maior vão,

ou, caso contrário, diminuindo. Por possuir dois tipos de armaduras a mais, referentes aos

(a) (b)

(c) (d)

89

momentos negativos nos engastes nas duas direções, nota-se que a área de aço total do caso 09

é muito superior à do caso 01.

Com o intuito de se estudar melhor o impacto que os diferentes materiais apresentam

no custo total de 1m2 de laje, foram elaboradas tabelas, para os dois casos e diferentes valores

do coeficiente 𝛾, apresentadas a seguir.

90

Figura 24 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 01.




Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(31,51%) (31,16%) (31,51%) (31,87%)

Concreto 38,43 42,27 38,43 34,59

(35,09%) (38,16%) (35,09%) (31,94%)

Aço 36,57 33,97 36,57 39,17

(33,39%) (30,67%) (33,39%) (36,17%)

Custo total 109,50 110,75 109,50 108,26


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(29,13%) (29,44%) (29,44%) (30,06%)

Concreto 49,96 46,11 46,11 38,43

(42,18%) (39,34%) (39,34%) (33,47%)

Aço 33,97 36,57 36,57 41,85

(28,68%) (31,20%) (31,20%) (36,45%)

Custo total 118,43 117,19 117,19 114,79


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(24,14%) (26,43%) (27,32%) (28,17%)

Concreto 69,17 57,64 49,96 46,11

(48,39%) (44,14%) (39,54%) (37,65%)

Aço 39,25 38,41 41,85 41,85

(27,46%) (29,41%) (33,13%) (34,17%)

Custo total 142,93 130,56 126,32 122,47


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(22,52%) (25,03%) (26,76%) (26,76%)

Concreto 76,86 61,48 49,96 49,96

(50,16%) (44,60%) (38,75%) (38,75%)

Aço 41,85 41,85 44,45 44,45

(27,31%) (30,36%) (34,47%) (34,47%)

Custo total 153,22 137,85 128,92 128,92


1,25

1,75

2,00

CASO 01


1,00

/m2.

91

Tabela 21 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os

diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 09.


Lança Cunha Ching et al. Formagini


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(20,03%) (20,03%) (19,87%) (19,87%)

Concreto 38,43 38,43 34,59 34,59

(22,31%) (22,31%) (19,92%) (19,92%)

Aço 99,30 99,30 104,50 104,50

(57,65%) (57,65%) (60,19%) (60,19%)

Custo total 172,24 172,24 173,60 173,60


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(18,77%) (19,03%) (18,87%) (18,87%)

Concreto 49,96 42,27 38,43 38,43

(27,18%) (23,31%) (21,02%) (21,02%)

Aço 99,30 104,50 109,87 109,87

(54,03%) (57,64%) (60,10%) (60,10%)

Custo total 183,77 181,28 182,81 182,81


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(15,04%) (18,39%) (18,11%) (18,14%)

Concreto 69,17 53,80 46,11 42,27

(30,16%) (28,67%) (24,20%) (22,22%)

Aço 125,63 99,30 109,87 113,39

(54,78%) (52,92%) (57,67%) (59,62%)

Custo total 229,32 187,61 190,49 190,17


Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51

(13,84%) (17,09%) (17,75%) (17,90%)

Concreto 76,86 57,64 49,96 42,27

(30,83%) (28,55%) (25,70%) (21,92%)

Aço 137,88 109,70 109,87 115,99

(55,31%) (54,34%) (56,53%) (60,16%)

Custo total 249,25 201,85 194,33 192,77

2,00


CASO 09


1,00

1,25

1,75

/m2.

92

Percebe-se que nos dois casos o menor percentual do custo total do metro quadrado de

laje refere-se ao gasto com fôrmas. Para o caso 01, o custo com concreto é o mais relevante,

exceto para Ching et al. em 𝛾 = 1,00; 1,25 𝑒 1,50, onde o percentual referente ao custo com a

área de aço é ligeiramente maior, devido a dimensão reduzida da seção transversal que,

consequentemente, reduz o gasto com concreto. Conforme o valor de 𝛾 aumenta, o percentual

relativo ao custo do concreto se sobressai cada vez mais.

No caso 09, por apresentar área de aço consideravelmente superior ao caso 01,

conforme explicitado anteriormente, o custo com a área de aço é sensivelmente mais

preponderante em relação aos demais custos.

A Figura 25 ilustra a relação entre o coeficiente 𝛾 e o custo total de 1m2 de laje nos

dois casos, para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.

Figura 25 - Relação entre o coeficiente γ e o custo total, por m2, da laje nos casos 01 e 09 para os diferentes



Para o caso 01, o custo total cresce com o aumento da altura e, consequentemente,

coeficiente 𝛾, pois a altura tem forte impacto no custo do concreto que é o mais significativo

dentre os custos parciais. Dessa forma, os métodos de Lança, e Cunha em 𝛾 = 1,00, foram os

mais dispendiosos enquanto Ching et al. mostrou-se ser o mais econômico.

Para o caso 09, onde a área de aço tem maior impacto, analisando-se os diferentes

métodos para o mesmo coeficiente 𝛾, o custo total cresce com a redução da altura, pois a área

de aço tende a aumentar quanto menor a altura, conforme explicitado anteriormente. Contudo,

em algumas situações, é possível observar que os métodos de maiores alturas necessitam

empregar armadura mínima, elevando a área de aço total e, consequentemente, o custo em

comparação aos métodos que obtiveram menores alturas. Examinando-se os diferentes valores

de 𝛾, os custos tendem a aumentar ou diminuir conforme a variação da área de aço total. O

(a) (b)

93

método mais dispendioso foi Lança, com exceção em 𝛾 = 1,00 onde Ching et al. se sobressai;

os mais econômicos foram Lança e Cunha em 𝛾 = 1,00, Cunha em 𝛾 = 1,25 𝑒 1,75 e

Formagini 𝛾 = 1,50 𝑒 2,00.

A diferença entre custos chegou a ser de 18,85% aproximadamente, entre os métodos

propostos por Lança e Ching, para o caso 01, e de 29,3%, entre os métodos de Lança e

Formagini, para o caso 09, ambos em 𝛾 = 2,00.

94

5 COMPOSIÇÃO DOS CUSTOS CONFORME LITERATURA

Na literatura é possível encontrar diversos estudos a respeito dos custos das estruturas

de concreto armado, contudo, cada pesquisador conduz seus experimentos de acordo com o

objetivo de seu trabalho. Dessa forma, observa-se diferentes composições, relacionadas aos

custos dos materiais de fôrmas, concreto e aço, para o custo total dos elementos estruturais.

Ao analisar o custo total de uma edificação, considerando os elementos viga, laje e

pilar, PEREIRA (2019) obteve 40% do custo para o material aço, 36% para o material concreto,

e 24% para o sistema de fôrmas, enquanto ANDRADE (2013) apresentou 39 a 41% para o aço,

33 a 35% para as fôrmas e 25 a 26% para o concreto. Já SILVA (2002), analisando o custo total

por pavimento tipo da edificação, apontou 42 a 43% para o concreto, 31 a 33% para as fôrmas

e 25 a 26% para o aço. ASSAHI (2005) indica que o sistema de fôrmas representa de 25 a 40%

do custo da superestrutura de um edifício de porte médio, equivalente a 5 a 8% do custo total

da edificação.

Para o elemento estrutural viga, DELLATORRE (2014) ao analisar o custo total de

uma edificação excluindo determinados sistemas, como fundações, lajes, entre outros, obteve

36,5% do custo para o aço, 33% para as fôrmas e 30,5% para o concreto. Por outro lado,

ARCARI (2010) estudando o pavimento tipo, obteve 54% do custo total referente ao material

aço, 40% para o concreto e apenas 6% para as fôrmas, pois considerou reaproveitamento de até

10 vezes das mesmas.

Os artigos de otimização de viga não apresentam consenso quanto à distribuição dos

custos, muito provavelmente devido à aplicação ou não das várias restrições construtivas e das

demais restrições apresentadas nas normas técnicas. Em alguns casos, é o custo da forma que

se sobressai, em outros o do concreto ou o do aço. Além disso, as configurações ótimas são

bastante dependentes dos valores empregados para os custos unitários, conforme esperado.

JUNIOR E OLIVEIRA (2014) obtiveram para as seções de viga otimizada, 45% a

54%, do custo total, referente às fôrmas, 26% a 31% para o concreto e 20% a 24% para o aço.

MEDEIROS e KRIPKA (2010), 37 a 44% do custo total para o material concreto, 33 a 41%

para o aço e 19 a 24% para as fôrmas. LEITE e JUNIOR (2019) 43 a 51% para as fôrmas, 28 a

34% para o aço e 21 a 23% para o concreto. MAGALHÃES et al. (2017), 48% para as fôrmas,

26% para o aço e 26% para o concreto. CORREIA et al. (2019), 50% a 79% para as fôrmas,

12% a 41% para o aço e 7% a 13% para o concreto.

95

No presente trabalho, para a Situação 01 as médias percentuais para os materiais aço,

fôrma e concreto foram, respectivamente, 62%, 23% e 15% enquanto para a Situação 02, 60%,

23% e 17%.

A Figura 26 ilustra a composição do custo da viga obtida pelos diferentes métodos da

literatura, bem como os resultados obtidos no presente estudo.

Figura 26 - Valor percentual do custo total das vigas, referente aos materiais fôrmas, aço e concreto, de acordo

com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente trabalho.


Para o elemento estrutural laje, ARCARI (2010) estudando um pavimento tipo de um

edifício, obteve 60% do custo total referente ao material concreto, 33% para o aço e apenas 7%

para as fôrmas, pois considerou reaproveitamento de até 10 vezes. BRANDALISE e

WESSLING (2015) considerando composição própria de custos unitários, atingiu 44%, do

custo total de um metro quadrado de laje, para o material concreto, 35% para as fôrmas e 21%

para o aço. OLIVEIRA (2020), levando em conta planilhas orçamentárias já existes, alcançou

42% para o aço, 41% para o concreto e 17% para as fôrmas enquanto ZANCHIN e SANTOS

(2019), 57% para o aço, 28% para o concreto e 15% para as fôrmas.

No presente trabalho, para a Situação 01 as médias percentuais para os materiais aço,

concreto e fôrma foram, respectivamente, 48%, 31% e 21% enquanto para a Situação 02, 32%,

40% e 28% para o caso 01 e 58%, 24% e 18% para o caso 09.

96

A Figura 27 ilustra a composição do custo da laje obtida pelos diferentes métodos da

literatura, bem como os resultados obtidos no presente estudo.

Figura 27 - Valor percentual do custo total das lajes, referente aos materiais fôrmas, aço e concreto, de acordo

com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente trabalho.


97

6 CONCLUSÃO

No presente trabalho, foram comparados diferentes métodos de pré-dimensionamento

de vigas e de lajes maciças de concreto armado. Para isso foram considerados 2 casos

relacionados a vigas, alterando-se os valores do comprimento do vão e carga acidental, e 2 casos

relacionados a lajes, modificando-se as condições de apoio e comprimento do vão efetivo.

Na Situação 01 de estudo das vigas, o método de Lança mostrou-se ser o mais

econômico, com diferenças de até 60,5% em comparação com os outros métodos considerados.

Na Situação 02, os métodos de Giongo e Cunha apresentam menores custos, com diferenças

chegando a ser de 56,3%, a depender da relação entre as cargas permanente e acidental.

Por outro lado, para os casos das lajes investigadas e considerando ainda diferentes

valores do coeficiente 𝛾, relacionado a razão entre os comprimentos efetivos, nenhum método

se sobressaiu em termos de custos em relação aos outros.

Os exemplos investigados no presente trabalho indicaram, para as vigas, um maior

custo médio do aço, com até 80,5% do custo total, seguido pela fôrma e tendo-se uma menor

contribuição do concreto. Por outro lado, para as lajes o maior percentual do custo da estrutura

se refere ao aço ou ao concreto, a depender do caso analisado, e o material de menor impacto

no custo foi a fôrma.

Os resultados obtidos mostram que não há consenso quanto ao método mais

econômico ou dispendioso, variando muito de acordo com a situação de estudo. Ressalta-se,

entretanto, que algumas simplificações foram feitas, conforme indicado ao longo do texto.

Porém, acredita-se que as conclusões aqui levantadas se manteriam mesmo sem estas

simplificações.

A relação não-linear entre altura e custos notada nas análises paramétricas ressalta que

métodos de otimização poderiam ser empregados na determinação das dimensões ótimas,

conforme vem sendo desenvolvido em vários trabalhos na literatura. Os resultados ótimos

podem servir de base para propor metodologias simplificadas de pré-dimensionamento que

levem a elementos estruturais mais próximos das configurações ótimas. Dessa forma, sugere-

se, para trabalhos futuros, o desenvolvimento de programa computacional de pré-

dimensionamento, utilizando-se da otimização estrutural e vinculado à análise de custos,

facilitando e automatizando a etapa de pré-dimensionamento.

98

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103

ANEXO A - Tabelas utilizadas para a determinação de esforços, em lajes armadas nas

duas direções

Figura 28 - Definição dos casos de lajes para o cálculo da flecha imediata, momentos fletores e esforços

cortantes.

Fonte: PERLIN et al. 2019.

As hachuras indicam engaste enquanto o contorno representado por linha simples

indica borda simplesmente apoiada.

104

Tabela 22 - Coeficiente para cálculo de flechas imediatas em lajes isoladas retangulares submetidas a

carregamentos uniformemente distribuído.


Tabela 23 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes isoladas retangulares

uniformemente carregadas (casos 1,2 e 3).


105







106

Tabela 26 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas retangulares

uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3).





107




108

APÊNDICE A – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal

A Figura 29 ilustra as forças resistentes e tensão do concreto que atuam numa seção

da viga. A norma NBR 6118:2014, para concretos com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎, permite a simplificação

do diagrama de tensão do concreto como apresentado na Figura 30.

Figura 29 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto na seção de uma viga submetida à flexão

simples.

Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014.

Figura 30 - Forças resistentes e diagrama simplificado de tensão do concreto na seção de uma viga submetida à

flexão simples.

Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014. onde:

𝑥: altura da linha neutra contada a partir da borda mais comprimida;

𝑑: altura útil. Distância entre o centro de gravidade da armadura e a borda mais comprimida;

𝑅𝑐𝑐: resistência do concreto à compressão;

𝑅𝑠𝑡: resistência do aço à tração.

Como o somatório de forças na seção é nulo, o módulo da resistência do concreto à

compressão é igual ao módulo da resistência do aço à tração. Quando duas forças paralelas de

mesma intensidade, F, sentidos opostos e separadas por uma distância, d, atuam num sistema,

109

define-se um binário que produz momento, M. O momento induzido pelo binário pode ser

calculado por (HIBBELER, 2005):

𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 (115)

O momento resistente na seção, 𝑀𝑟𝑑, deve ser igual ou superior ao momento

solicitante, 𝑀𝑠𝑑. Chamando-se de 𝑀𝑑 o momento desenvolvido pelo binário de forças de

resistência do concreto e de resistência do aço, quando 𝑀𝑟𝑑 = 𝑀𝑠𝑑, pode-se escrevê-lo

conforme Equação 116 e Equação 117:

𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (116)

𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (117)

Sabendo-se que tensão, 𝜎, é a distribuição de uma força, 𝑅, sobre uma área, 𝐴, (BEER

et al. 2011), tem-se que:

𝜎 =

𝑅

𝐴∴ 𝑅 = 𝜎 ∙ 𝐴 (118)

Assim, a partir da Equação 118 e da Figura 30 as resistências do concreto à compressão

e do aço à tração podem ser escritas como:

𝑅𝐶𝐶 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8𝑥 ∙ 𝑏) (119)

𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (120)

Substituindo a Equação 119 na Equação 116:

𝑀𝑑 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8𝑥 ∙ 𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (121)

Isolando a altura da linha neutra, x:

𝑥 = 1,25𝑑 ∙ (1 − √1 −𝑀𝑑

0,425 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2

2

) (122)


𝑀𝑑 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (123)

Finalmente, obtém-se a área de aço, 𝐴𝑠, isolando-a da Equação 123:

𝐴𝑠 =

𝑀𝑑

𝜎𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (124)

Pelo raciocínio estabelecido no critério de ductilidade, onde o aço encontra-se com

máxima deformação ou em escoamento (domínios II e III), induz-se que 𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑.

110

APÊNDICE B – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal dupla

No caso onde o concreto não consegue suportar os esforços à compressão, isto é,

quando 𝑥

𝑑 > 0,45, e não se deseja modificar as dimensões da viga, deve-se empregar também

armadura no banzo comprimido da seção (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). O cálculo

para a determinação dessa área de aço é análogo ao feito para obtenção da área de aço

tracionada, 𝐴𝑠.

Limitando-se 𝑥 = 0,45𝑑, para se atender o critério de ductilidade, e denominando 𝑀1,

o momento gerado pelo binário de forças de resistência do concreto à compressão, 𝑅𝑐𝑐, e

resistência do aço à tração 𝑅𝑠𝑡1; 𝑀2, o momento induzido pelo binário de forças de resistência

do aço à compressão 𝑅𝑠𝑡′, e resistência do aço à tração 𝑅𝑠𝑡2; e d’, a distância entre a borda mais

comprimida e o centro da armadura resistente à compressão, tem-se a situação apresentada na

Figura 31.

Figura 31 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto, na seção de uma viga submetida à flexão

simples com armadura dupla.

Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014.

O momento solicitante ao qual a seção deve resistir, 𝑀𝑑, é:

𝑀𝑑 = 𝑀1 + 𝑀2 (125)

Do que foi deduzido para o cálculo de 𝐴𝑠, sabe-se que a área de armadura calculada

pelo momento 𝑀1 é:

𝐴𝑠1 =

𝑀1

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (126)

onde, substituindo 𝑥 = 0,45𝑑 na Equação 121:

111

𝑀1 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8(0,45𝑑)𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (127)

Da Equação 118 tem-se que:

𝑅𝑠𝑡2 = 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠2 (128)

𝑅𝑠𝑡′ = 𝜎′ ∙ 𝐴𝑠′ (129)

em que:

𝐴𝑠2: área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀2;

𝐴𝑠′: área de aço comprimida, referente ao momento 𝑀2;

𝜎′: tensão do aço resistente à compressão.

Substituindo-se as Equações 128 e 129 e a distância entre 𝑅𝑠𝑡′ e 𝑅𝑠𝑡2 na Equação 115,

obtém-se:

𝑀2 = (𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠2) ∙ (𝑑 − 𝑑′) (130)

𝑀2 = ( 𝜎′ ∙ 𝐴𝑠′) ∙ (𝑑 − 𝑑′) (131)

Dessa forma, isolando-se as áreas de aço das Equações 130 e 131:

𝐴𝑠2 =

𝑀2

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (132)

𝐴𝑠′ =

𝑀2

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (133)

onde, reordenando a Equação 18:

𝑀2 = 𝑀𝑑 − 𝑀1 (134)

A área de aço resistente à compressão, 𝐴𝑠′, é dada pela Equação 19 enquanto a área de

aço resistente à tração, 𝐴𝑠, é:

𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 (135)

A área de aço tracionada é dividida em 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2 para se manter o equilíbrio de forças

na seção resistente aos momentos 𝑀1 e 𝑀2.

A tensão, 𝜎, pode ser obtida pelo produto da deformação específica, 𝜀, e módulo de

elasticidade, Ε, conforme a Lei de Hook (BEER et al. 2011):

𝜎 = 𝜀 ∙ Ε (136)

Assim, a tensão do aço resistente à compressão, 𝜎′, é dada por:

𝜎𝑠′ = 𝜀𝑠′ ∙ Ε𝑠 (137)

onde:

𝜀𝑠′ : deformação específica do aço comprimido;

112

Ε𝑠: módulo de elasticidade do aço. Pode ser admitido igual a 210 GPa na falta de ensaios ou

valores fornecidos pelo fabricante, de acordo com a NRB 6118:2014.

A Figura 32 mostra o diagrama de deformação, destacando-se a região comprimida da

seção resistente ao momento 𝑀2. A Equação 138 apresenta o equacionamento da semelhança

de triângulos, utilizado na obtenção do valor de 𝜀𝑠′.

Figura 32 - Diagrama de deformação do concreto para seção com armadura dupla.


𝜀𝑠′

𝑥 − 𝑑=

3,5‰

𝑥 (138)

Isolando 𝜀𝑠′ da Equação 139:

𝜀𝑠′ =

3,5‰ ∙ (x − d)

𝑥 (139)

Deve-se atentar para o fato que, quando 𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦𝑑 o aço se encontra no patamar de

escoamento e, portanto, 𝜎𝑠′ = 𝑓𝑦𝑑 .

113

APÊNDICE C – Dedução para a tensão de tração do aço e altura da linha neutra, no

estádio II

Para o estádio II a posição da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão 𝜎𝑠𝑖 são calculadas de forma

semelhante ao mostrado no cálculo da área de aço da armadura longitudinal, isto é, por meio

do equacionamento de equilíbrio de forças na seção transversal da viga. Adaptando a Figura 30

para o estádio II, tem-se:

Figura 33 - Forças resistentes e diagrama de tensão no estádio II do concreto, na seção de uma viga submetida à

flexão simples.


Ajustando a Equação 118 para o estádio II, as resistências do concreto à compressão e

do aço à tração são:

𝑅𝐶𝐶 = 𝜎𝑐 ∙ (

𝑥𝐼𝐼 ∙ 𝑏

2) (140)

𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (141)

A relação entre as deformações específicas do aço e do concreto no estádio II é

mostrada na Figura 34 onde se depreende, por semelhança de triângulos, a Equação 142 e,

consequentemente, a Equação 143.

114

Figura 34 - Diagrama de deformações no estádio II.


𝜀𝑐

𝑥𝐼𝐼=

𝜀𝑠

𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 (142)

𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼

𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 (143)

Dessa forma, substituindo a Equação 143 na Equação 118, a tensão no concreto pode

ser escrita como:

𝜎𝑐 = 𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼

𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 ∙ Ε𝑐 (144)

Enquanto a tensão no aço, de acordo com a Equação 118, é:

𝜎𝑠 = 𝜀𝑠 ∙ Ε𝑠 (145)

Realizando manipulação matemática, divide-se a Equação 145 pela Equação 144:

𝜎𝑠

𝜎𝑐=

𝜀𝑠 ∙ Ε𝑠

𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼

𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 ∙ Ε𝑐

(146)

Isolando 𝜎𝑠 da Equação 146:

𝜎𝑠 = 𝜎𝑐 ∙

Ε𝑠

Ε𝑐∙

𝑑 − 𝑥𝐼𝐼

𝑥𝐼𝐼 (147)


𝑅𝑠𝑡 = (𝜎𝑐 ∙

Ε𝑠

Ε𝑐∙


𝑥𝐼𝐼) ∙ 𝐴𝑠 (148)

Do equilíbrio de forças:

𝑅𝐶𝐶 = 𝑅𝑠𝑡 (149)

Substituindo as Equações 140 e 148 na Equação 149:

𝜎𝑐 ∙ (

𝑥𝐼𝐼 ∙ 𝑏

2) = (𝜎𝑐 ∙

Ε𝑠

Ε𝑐∙


𝑥𝐼𝐼) ∙ 𝐴𝑠 (150)

Isolando 𝑥𝐼𝐼 da Equação 150 encontra-se a equação de segundo grau:

115

𝑏 ∙ 𝑥𝐼𝐼

2 + 2 ∙ 𝐴𝑠 ∙Ε𝑠

Ε𝑐∙ 𝑥𝐼𝐼 − 2 ∙ 𝐴𝑠 ∙

Ε𝑠

Ε𝑐∙ 𝑑 = 0 (151)

Cuja solução é dada por:

𝑥𝐼𝐼 = Ε𝑠

Ε𝑐∙

𝐴𝑠

𝑏∙ (1 − √1 +

2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑

Ε𝑠

Ε𝑐∙ 𝐴𝑠

2 (152)

A relação entre os módulos de elasticidade do concreto e aço, Ε𝑠

Ε𝑐, no estádio II pode

ser considerada, de acordo com a NBR 6118:2014, igual a 15.

Substituindo o valor da distância entre as forças de resistência à compressão do

concreto e à tração do aço na Equação 115, o momento de cálculo para o estádio II, 𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 é:

𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 = (𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠) ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼

3) (153)

A combinação de ações em serviço que deve ser utilizada é a combinação frequente,

de acordo com a Equação 2.

Finalmente, isolando-se a tensão da Equação 153:

𝜎𝑠 =

𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒

𝐴𝑠 ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼

3 ) (154)

116

APÊNDICE E – Desenvolvimento da planilha no Excel para o dimensionamento de

vigas

As áreas de aço e restrições impostas pelas normas foram calculadas e verificadas

através de uma planilha elaborada no Excel. As fórmulas utilizadas, dados e variáveis são

explicados nos próximos subitens.

As células destacadas em vermelho devem ter o valor inserido, as destacadas em

amarelo são verificações que necessitam atender a norma, as que já apresentam valores

específicos são medidas fixas e explicitadas no item 3.2 CONSIDERAÇÕES, as em branco tem

o valor calculado pelo Excel por meio de fórmulas mostradas a seguir.

Dados de entrada

Os dados de entrada utilizados são ilustrados na Tabela 29.

Tabela 29 – Dados de entrada para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.


Os valores de resistência característica do concreto à compressão, resistência

característica do aço à tração e cobrimento nominal, 𝑓𝑐𝑘, 𝑓𝑦𝑘 𝑒 𝑐, respectivamente, são valores

previamente definidos e explicitados nos subcapítulos 3.2.2 e 3.2.3.

A base e altura, 𝑏 𝑒 ℎ, da viga são valores a serem inseridos nas células, obtidos pelo

cálculo do pré-dimensionamento dos diversos autores, de acordo com o estabelecido no

subcapítulo 3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA.

Carregamento distribuído

As cargas permanente e variável uniformemente distribuídas, máximos momento

fletor e esforço cortante solicitantes de projeto são calculados pela Tabela 30.

fck = 25 MPa

fyk = 500 Mpa

c = 3 cm

b = cm

h = cm

DADOS DE ENTRADA

117

Tabela 30 – Carregamento distribuído, momento fleto e esforço cortante para o dimensionamento de vigas, na

planilha Excel.


O comprimento do vão, 𝐿, é variável conforme o cenário que se estuda.

O valor da carga acidental transmitida à viga pela laje, 𝑙, é definido e explicitado no

item 3.2.4.

O peso próprio, 𝑃𝑝, de um elemento é calculado de acordo com o peso específico de

seu material constituinte, 𝛾, espessura, 𝑒, e altura, ℎ, de sua seção transversal, segundo a

equação:

𝑃𝑝 = 𝛾 ∙ 𝑒 ∙ ℎ (155)

A norma NBR 6120:2019 estabelece as ações mínimas a serem consideradas no

projeto de estruturas de edificações. A Tabela 1, desta mesma norma, expõe os pesos

específicos dos materiais de construção civil. Foram consideradas lajotas cerâmicas para a

execução da alvenaria de vedação, cujo o peso específico pode ser considerado como 18 kN/m3.

O peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3.

Admitindo-se a espessura da parede como sendo igual a base da viga e pé direito com

altura de 2,50m, tem-se que, de acordo com a Equação 155, o peso próprio da parede de

alvenaria, 𝑝, é:

𝑝 = 18 ∙

𝑏

100∙ 2,50 (156)

O peso próprio da viga, 𝑔, é obtido conforme seguinte equação:

𝑔 = 25 ∙

𝑏

100∙

ℎ

100 (157)

L = m

l = 10 KN/m

p = 0 KN/m

g = 0 KN/m

Msd = 0 KN.m

Vsd = 0 KN

CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO

118

Nota-se que, por simplificação, foi desconsiderada a carga proveniente do

revestimento argamassado executado sobre as paredes de alvenaria e viga. Ressalta-se também,

que embora a espessura da parede tenha sido adotada com o mesmo valor da base da viga, sabe-

se que em alvenarias internas a espessura do bloco cerâmico é de apenas 9cm, conforme

anteriormente exposto no item 3.2.1.

O momento máximo, 𝑀𝑀Á𝑋, de uma viga bi-apoiada isostática sob carregamento

uniforme é dado pela Equação (BEER et al. 2011):

𝑀𝑀Á𝑋 =

𝑤 ∙ 𝐿2

8 (158)

onde:

𝑤: valor da carga uniformemente distribuída;

𝐿: comprimento do vão;

Dessa forma, o momento solicitante de projeto, 𝑀𝑠𝑑, calculado para combinações

últimas de ações normais (no ELU), conforme Equação 1 é:

𝑀𝑠𝑑 =

1,4 ∙ (𝑙 + 𝑝 + 𝑔) ∙ 𝐿2

8 (159)

O esforço cortante máximo, 𝑉𝑀Á𝑋, de uma viga bi-apoiada isostática sob carregamento

uniforme é dado pela Equação (BEER et al. 2011):

𝑉𝑀Á𝑋 =

𝑤 ∙ 𝐿

2 (160)

onde:

𝑤: valor da carga uniformemente distribuída;

𝐿: comprimento do vão;

Substituindo na Equação 160 o valore calculado para combinações últimas de ações

normais (no ELU), conforme Equação 1, tem-se que:

𝑉𝑠𝑑 =

1,4 ∙ (𝑙 + 𝑝 + 𝑔) ∙ 𝐿

2 (161)

Armadura longitudinal

A área de aço da armadura longitudinal e as disposições construtivas são calculadas

pela Tabela 31.

119

Tabela 31 – Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.


O processo de dimensionamento da armadura longitudinal começa estimando-se a

altura útil, 𝑑𝑒𝑠𝑡. Como ponto de partida, este valor poderia ser estipulado de acordo com a

equação:

𝑑𝑒𝑠𝑡 = ℎ − 𝑐 − 𝜙𝑡 −

𝜙𝑙

2 (162)

onde a altura, ℎ, foi inserida nos dados de entrada. Os valores de cobrimento nominal e diâmetro

do estribo, 𝑐 𝑒 𝜙𝑡, são 3cm e 0,63cm, respectivamente, conforme explicitado nos itens 3.2.3 e

3.2.2. O diâmetro da armadura longitudinal, 𝜙𝑙, é arbitrário, podendo assumir qualquer valor.

Entretanto, a determinação da área de aço é um processo iterativo. A partir do valor

estimado da altura útil, calcula-se a altura útil real e então substitui o valor da altura útil

estimada pelo calculado. Este processo é realizado manualmente e prossegue-se até que as

alturas úteis estimada e real assumam o mesmo valor. Empiricamente, observou-se que o

d esti.= 10000 cm

x = 0,10 cm

x/d = 0,00 OK!

As = 0,03 cm2

φl = 3,2 cm

n = 1 barras

As real = 8,04 cm2

eh1 = 2 cm

eh2 = 3,2 cm

eh3 = 2,28 cm

eMÍN = 3,2 cm

eh1cam nece = 6,4 cm

eh1cam disp = 1,54 cm

barracamada = 1 barra/camada

Camadas = 1 camadas

eh = 0,77 cm

ev1 = 2 cm

ev2 = 3,2 cm

ev3 = 0,95 cm

ev = 3,2 cm

ARMADURA LONGITUDINAL

120

número de iterações é menor quanto se estipula um valor inicial extremamente alto. Assim,

rotineiramente adotou-se 𝑑𝑒𝑠𝑡 = 1000 como primeiro valor estimado.

Em seguida, calcula-se a distância da linha neutra à borda mais comprimida, 𝑥, de

acordo com a Equação 6.

O limite de ductilidade 𝑥 𝑑⁄ é verificado conforme Equação 7. Se for respeitado, surge

a escrita “OK!” entendendo-se que se pode prosseguir com os cálculos. Caso contrário, a escrita

“ARMADURA DUPLA!” indica que a seção deve ser dimensionada como armadura dupla e

não simples, utilizando-se outro quadro da planilha (explicado no próximo item). Outra solução,

não considerada no presente trabalho, seria alterar as dimensões da viga.

A armadura longitudinal, 𝐴𝑠, é calculada conforme Equação 8. Deve-se atentar para a

minoração das resistências características do aço e do concreto quando as fórmulas usam os

valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e 5.

O diâmetro da armadura longitudinal, 𝜙𝑙, é inserido podendo assumir qualquer valor

conforme disponibilidade no mercado.

O número de barras, 𝑛, necessário para se alcançar o valor de 𝐴𝑠, é obtido pela razão

entre a área de aço calculada e a área de aço de uma única barra, com o diâmetro escolhido.

Assim, assume o valor inteiro, imediatamente superior caso haja casa decimal, ao obtido pela

seguinte equação:

𝑛 =

𝐴𝑠

(𝜋 ∙ 𝜙𝑙

2

4 )

(163)

Observando-se a área de aço encontrada e o número de barras necessário, analisa-se

melhor se o diâmetro 𝜙𝑙 escolhido é coerente, podendo-se altera-lo ou não. Foi consultada a

Tabela 32, que torna mais visível as possíveis combinações ao mostrar a área obtida, para

diferentes diâmetros, de acordo com a quantidade de barras.

121

Tabela 32 - Área de aço de acordo com o diâmetro e quantidade de barras.

Fonte: Guia da Engenharia.

A área de aço que será realmente empregada na armadura, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, é calculada pelo

produto do número de barras empregadas pela área de aço de uma única barra, com o diâmetro

escolhido, de acordo com a equação:

𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑛 ∙

𝜋 ∙ 𝜙𝑙2

4 (164)

O espaçamento horizontal mínimo, 𝑒𝑀Í𝑁, é determinado pelo maior dos valores

referentes às três condições de espaçamento horizontal, 𝑒ℎ1, 𝑒ℎ2 𝑒 𝑒ℎ3, conforme Equação 11.

Assim, 𝑒ℎ1 assume o valor de 2cm, 𝑒ℎ2 é atribuído conforme a escolha do diâmetro 𝜙𝑙, e 𝑒ℎ3

apresenta valor de 2,28cm de acordo com o diâmetro do maior agregado utilizado na

constituição do concreto, explicitado no item 3.2.2.

O espaçamento necessário para se posicionar uma única barra numa camada,

𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐𝑒, é dado pela equação:

𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐 = 𝑒𝑀Í𝑁 + 𝜙𝑙 (165)

O espaçamento disponível após alocar uma única barra numa camada, 𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝, é

obtido pela equação:

𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏 − 2 ∙ (𝑐 + 𝜙𝑡) − 𝜙𝑙 (166)

122

Substituindo na Equação 166 os valores explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3, tem-se:

𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏 − 7,26 − 𝜙𝑙 (167)

O número de barras que podem ser posicionadas numa única camada, 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎,

é o valor inteiro imediatamente inferior ao calculado pela equação:

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 = 1 + 𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝

𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐 (168)

O número de camadas, 𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠, necessário para alocar todas as barras

empregadas é o valor inteiro imediatamente superior ao obtido pela equação:

𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑛

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 (169)

O espaçamento horizontal entre as faces das barras é calculado pela equação:

𝑒ℎ =

𝑏 − 2 ∙ (𝑐 + 𝜙𝑡) − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙

𝑛 − 1 (170)

Substituindo na Equação 170 os valores explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3, tem-se:

𝑒ℎ =

𝑏 − 7,26 − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙

𝑛 − 1 (171)

Se houver somente uma barra de armadura longitudinal na seção transversal da viga,

a Equação 171 pode simplificadamente ser escrita como:

𝑒ℎ =

𝑏 − 7,26 − 𝜙𝑙

2 (172)

O espaçamento vertical entre faces da armadura, 𝑒𝑣, é determinado pelo maior dos

valores referentes às três condições de espaçamento vertical mínimo, 𝑒𝑣1, 𝑒𝑣2 𝑒 𝑒𝑣3, conforme

Equação 12. Assim, 𝑒𝑣1 assume o valor de 2cm, 𝑒𝑣2 é atribuído conforme a escolha do diâmetro

𝜙𝑙, e 𝑒𝑣3 apresenta valor de 0,95cm de acordo com o diâmetro do maior agregado, conforme

explicitado no item 3.2.2.

A Figura 35 ilustra as disposições construtivas da armadura longitudinal.

123

Figura 35 - Disposições construtivas da armadura longitudinal em vigas.


Definida as disposições das barras, calcula-se o centro de gravidade da armadura

longitudinal, segundo Tabela 33.

Tabela 33 - Centro de gravidade da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.


O centro geométrico de uma seção pode ser calculado pela seguinte equação

(HIBBELER, 2005):

𝑌 =

∑(�̌� × 𝐴)

∑ 𝐴 (173)

onde:

Camada n barras y

1 3 13,29

2 3 24,09

3 1 11,63

4 0 0,00

5 0 0,00

Y = 7,00 cm

d real = 43,00 cm

dafa-Y = 0,37 OK!

dest-drea = 2 RECALCULAR!

CENTRO DE GRAVIDADE

124

𝑌: coordenada do centro de gravidade do sistema de pontos materiais;

�̌�: coordenada de cada ponto material no sistema;

𝐴: área de cada ponto material no sistema.

Desta forma o centro de gravidade da armadura longitudinal, 𝑌, pode ser calculado

através da equação:

𝑌 =

∑(�̌� ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎)

∑(𝑛 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) (174)

𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é a área de uma única barra com o diâmetro escolhido.

Simplificando a equação 174 obtêm-se:

𝑌 =

∑ �̌� ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠

∑ 𝑛 (175)

𝑌 =

Σ𝑦

𝑛 (176)

onde y é o produto do número de barras existente na camada analisada, 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠, e a distância

da borda mais tracionada da seção até o centro geométrico da armadura,�̌�, como ilustrado na

Figura 36.

Figura 36 - Distância �̌� para o cálculo do centro geométrico da armadura longitudinal.


Para a primeira camada o valor y é calculado pela equação:

𝑦 = (𝑐 + 𝜙𝑡 +

𝜙𝑙

2) ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (177)

Para as demais camadas, quando houver:

𝑦 = (�̌� 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) ∙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (178)

125

�̌� 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 pode ser obtido pela razão entre 𝑦 e 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (da camada

anterior), assim a Equação 178 pode ser reescrita como:

𝑦 = (

𝑦 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+ 𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (179)

O número de barras, 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠, da primeira camada é sempre igual ao 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎

ou igual a 𝑛, quando 𝑛 < 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎. Para as camadas seguintes analisa-se, primeiramente:

𝑛 > Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (180)

Em caso negativo, significa que não há mais barras para serem alocadas e, assim, o

𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 da camada atual e seguintes é igual a 0. Em caso afirmativo, verifica-se:

𝑛 − Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 > 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 (181)

Se for verdadeiro, significa que o número de barras a serem alocadas é maior que o

número de barras que podem ser inseridas numa única camada, então 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 assume o valor

de 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎. Se for falso, 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 assume o valor de 𝑛 − Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 correspondente ao

número de barras que faltam ser inseridas.

Uma vez obtido Y, calcula-se a altura útil real pela equação:

𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 = ℎ − 𝑌 (182)

A altura útil estimada deve sempre ser menor ou igual à altura útil real, como mostrado

na Equação 183. A área de aço foi deduzida assumindo que o momento resistente seria igual ao

momento solicitante, caso a altura útil e, consequentemente, o braço de alavanca (a distância

entre as forças resistentes de compressão do concreto e de tração do aço) fossem realmente

menores do que a o suposto, o momento resistente real também seria menor que o hipotético (o

módulo do momento e o braço de alavanca são grandezas diretamente proporcionais, conforme

Equação 115, pondo a estrutura em risco.

𝑑𝑒𝑠𝑡 − 𝑑𝑟𝑒𝑎 ≤ 0 (183)

Se esta condição não for atendida, o texto “RECALCULAR!” aparece indicando que

se deve alterar a 𝑑𝑒𝑠𝑡 e/ou o 𝜙𝑙. Outra solução, não considerada no presente trabalho, seria

alterar as dimensões da viga.

Também se verifica a concentração da armadura, conforme

Figura 37 e Equação 184, obedecendo ao exposto na Equação 13. Ressalta-se que na

prática da construção civil, a barra da última camada seria locada próxima ao estribo, facilitando

o processo de armação.

126

𝑑𝑎𝑓𝑎 − 𝑌 = 0,1ℎ − (𝑐 + 𝜙𝑡 +

𝜙𝑙

2 + (𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 − 1) ∙ (𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) − 𝑌) > 0 (184)

Figura 37 – Ilustração do cálculo do critério de concentração de armadura.


Se esta condição não for atendida, o texto “RECALCULAR!” aparece indicando que

se deve alterar 𝜙𝑙, diminuindo o número de camadas. Outra solução, não considerada no

presente trabalho, seria modificar as dimensões da viga.

Observa-se que este quadro do Excel foi desenvolvido para somente até 5 camadas.

Embora não tenha sido necessário, ele poderia ter sido implementado possibilitando maior

número de camadas.

A área de aço da armadura longitudinal é verificada pela Tabela 34.

Tabela 34 – Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal no dimensionamento de vigas, na

planilha Excel.


AsMÍN = 1,5 cm2

Asreal - AsMÍN = 12,57 OK!

AsMÁX = 40 cm2

AsMÁX - Asreal = 26,04 OK!

ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA

127

As áreas de armadura mínima e máxima longitudinal, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 𝑒 𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋, são calculadas

conforme Equação 10 e Equação 9, respectivamente. O valor de 𝜌𝑚í𝑛, utilizado para concreto

de 25MPa, é de 0,15% .

Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for maior que 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 então:

𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 ≥ 0 (185)

O texto “OK!” aparece indicando que se está de acordo com a norma. Caso a Equação

185 não seja respeitada, deve-se empregar 𝐴𝑠 como sendo o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 e recalcular o valor

de 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑛 e 𝑌.

Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for menor que 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 então:

𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋 − 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 ≥ 0 (186)

Analogamente, o texto “OK!” aparece. Caso a Equação 186 não seja atendida, deve-

se reduzir 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙. Salienta-se que esta hipótese não seria aplicável visto que já se está

dimensionando a viga com a menor área de aço, visando minimizar os custos. Outra solução

seria aumentar as dimensões da seção transversal da viga, entretanto, também não é viável sua

aplicação no presente trabalho pois contraria o objetivo do mesmo.

Armadura dupla

Quando for indicado armadura dupla na Tabela 31, aumenta-se o valor de 𝜙𝑙. Se até o

diâmetro de 3,2cm não for satisfeito o critério de ductilidade, então emprega-se armadura dupla.

As áreas de aço, tracionada e comprimida, da armadura longitudinal de uma seção

duplamente armada são calculadas pela Tabela 35.

128

Tabela 35 - Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas duplamente armadas, na

planilha Excel.


O valor de x é calculado de forma que o limite de ductilidade seja respeitado, assim:

𝑥 = 0,45 ∙ 𝑑 (187)

Conforme explicitado anteriormente, observou-se que assumindo um valor inicial

excessivamente alto, o número de iterações é menor. Utiliza-se o valor de 1000, como primeiro

valor estimado da altura útil, 𝑑𝑒𝑠𝑡.

Os momentos fletores solicitantes, 𝑀1 e 𝑀2, são calculados de acordo com as

Equações 16 e 18, respectivamente.

A altura entre a borda mais comprimida e o centro de gravidade da armadura

longitudinal de compressão, 𝑑′, tem seu primeiro valor estimado como sendo:

𝑑′ = 𝑐 + 𝜙𝑡 +

𝜙𝑙′

2 (188)

Uma vez realizado todo o processo, substitui-se o valor de 𝑑′ pelo valor de 𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙

calculado, sucessivamente até que assumam os mesmos valores.

d esti.= 43,77 cm

x = 19,70 cm

M1 = 171,68 KN.m

M2 = 39,42 KN.m

d' = 4,13 cm

As1 = 11,00 cm2

As2 = 2,29 cm2

es = 2,77 %ₒ

σ' = 500,00 MPa

As = 13,29 cm2

As' = 2,29 cm2

φl = 2 cm

φl' = 1 cm

n = 5 barras

n' = 3 barras

As real = 15,71 cm2

As' real = 2,36 cm2

ARMADURA DUPLA

129

As áreas de aço 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2 são obtidas conforme Equações 15 e 17, respectivamente.

O valor de deformação específica do aço, 𝑒𝑠′ é alcançado pela Equação 21.

A tensão do aço a compressão, 𝜎′, assume o valor de 500MPa quando 𝜀𝑠′ ≥ 10‰.

Caso contrário, é obtida pela Equação 20.

As áreas de aço 𝐴𝑠 e 𝐴𝑠′ são obtidas conforme Equações 14 e 19, respectivamente.

Os diâmetros da armadura longitudinal tracionada, 𝜙𝑙, e comprimida, 𝜙𝑙′, são

inseridos podendo assumir quaisquer valores conforme disponibilidade no mercado.

O número de barras de aço tracionada e comprimida, 𝑛 e 𝑛′, bem como as áreas reais

de aço resistentes à tração e à compressão, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝐴𝑠′ 𝑟𝑒𝑎𝑙, respectivamente, são calculados

pelas Equações 163 e 164, respectivamente.

As disposições construtivas das armaduras longitudinais de uma seção duplamente

armada são calculadas pela Tabela 36.

Tabela 36 - Disposições construtivas das armaduras longitudinais de vigas duplamente armadas, na planilha

Excel.


eh1 = 2 cm

eh2 = 2 cm

eh3 = 2,28 cm

eMÍN = 2,28 cm




Camadas = 2 camadas

eh = 3,37 cm

ev1 = 2 cm

ev2 = 2 cm

ev3 = 0,95 cm

ev = 2 cm

ARMADURA TRACIONADA

eh1 = 2 cm

eh2 = 1 cm

eh3 = 2,28 cm

eMÍN = 2,28 cm




Camadas = 1 camadas

eh = 2,91 cm

ev1 = 2 cm

ev2 = 1 cm

ev3 = 0,95 cm

ev = 2 cm

ARMADURA COMPRIMIDA

130

Todas as informações necessárias para a disposição das barras de aço, das armaduras

tracionada e comprimida, para o detalhamento da seção, são calculadas como explicitado no

item anterior, Armadura longitudinal.

O centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada é calculado pela Tabela 37.

Tabela 37 - Centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada para o dimensionamento de vigas

duplamente armadas, na planilha Excel.


Todas as informações necessárias para a determinação do centro de gravidade da

armadura tracionada, verificando-se a concentração de armadura e comparando-se as alturas

úteis estimada e real, são calculadas como explicitado no item anterior, Armadura longitudinal.

O centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida é calculado pela Tabela

38.

Camada n barras y

1 3 13,89

2 2 17,26

3 0 0,00

4 0 0,00

5 0 0,00

Y = 6,23 cm

d real = 43,77 cm

dafa-Y = 2,60 OK!

dest-drea = 0,00 OK!

ARMADURA TRACIONADA

CENTRO DE GRAVIDADE

131

Tabela 38 - Centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida para o dimensionamento de vigas



Para a armadura comprimida o centro de gravidade é obtido analogamente à armadura

tracionada, entretanto, considera-se a seção da viga disposta ao avesso, conforme Figura 38.

Ressalta-se que na prática da construção civil, a barra da última camada (armadura de

compressão) seria locada próxima ao estribo, facilitando o processo de armação.

Figura 38 - Seção transversal da viga duplamente armada, considerada para o cálculo do centro de gravidade da

armadura longitudinal comprimida.


Desta forma:

𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑌′ (189)

Camada n barras y

1 3 12,39

2 0 0,00

3 0 0,00

4 0 0,00

5 0 0,00

Y '= 4,13 cm

d' real = 4,13 cm

dafa-Y = 5,00 OK!

dest-drea = 0,00 OK!

ARMADURA COMPRIMIDA

CENTRO DE GRAVIDADE

132

Além disso, o valor de 𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙 deve ser menor que o de 𝑑′ pelo mesmo motivo que o

𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 necessita ser maior que o 𝑑𝑒𝑠𝑡 na armadura de tração, conforme explicitado no item

anterior, Armadura longitudinal.

A área de aço da armadura longitudinal tracionada é verificada pela Tabela 39.

Tabela 39 - Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal tracionada no dimensionamento de vigas



Todas as informações necessárias para a determinação das áreas de aço mínima e

máxima da armadura tracionada, são calculadas como explicitado no item anterior, Armadura

longitudinal.

Controle de abertura de fissuras

A verificação referente ao limite de abertura de fissura é efetuada pela Tabela 40.

Tabela 40 - Verificação no estado limite de serviço de abertura de fissuras para o dimensionamento de vigas, na

planilha Excel.


AsMÍN = 1,5 cm2


AsMÁX = 40 cm2

AsMÁX - Asreal = 26,65 OK!

ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA

Msdfre = 20,66 KN/m

xII = 14,83 cm

σsi = 123,3 MPa

σsiMÁX = 360 MPa

σsiMÁX - σsi = 236,7 OK!

s = 6,40 cm

smax = 8 cm

smax - s = 1,60 OK!

ABERTURA DE FISSURAS

133

O momento solicitante de projeto, 𝑀𝑠𝑑 𝑓𝑟𝑒, calculado para combinações frequentes de

serviço (no ELS), conforme Equação 2, é:

𝑀𝑠𝑑 𝑓𝑟𝑒 =

((𝑝 + 𝑔) + 0,4 ∙ 𝑙) ∙ 𝐿2

8 (190)

No estádio II, a altura da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão de tração no centro de gravidade

da armadura, 𝜎𝑠𝑖, são calculadas pelas Equações 46 e 47, respectivamente.

Analisa-se então, se o controle da fissuração pode dispensar a verificação de abertura

de fissuras seguindo os critérios explicitados nas Equações 48 e 49. O espaçamento e a tensão

máximos na barra, 𝑠𝑀Á𝑋 𝑒 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋, são encontrados na Tabela 17.2 da norma NBR 6118:2014

de acordo com o diâmetro 𝜙𝑙 adotado. O espaçamento entre eixos das armaduras, 𝑠, é calculado

conforme Equações 50 e 51. Dessa forma, verifica-se:

𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 − 𝜎𝑠𝑖 > 0 (191)

𝑠𝑀Á𝑋 − 𝑠 > 0 (192)

Se ambas as Equações 191 e 192 forem verdadeiras, aparece o texto “OK”

dispensando-se o cálculo da abertura da fissura. Caso contrário, deve-se calcular o valor de 𝑤𝑘,

conforme Equações 42 e 43, para comparação com o valor de 𝑤𝑘 limite, obtido da Tabela 13.4

da norma NBR 6118:2014.

Armadura transversal

A área de aço da armadura transversal (estribos) e as disposições construtivas são

calculadas pela Tabela 41, adotando-se o Modelo I.

134

Tabela 41 - Área de aço da armadura transversal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.


O valor de 𝛼𝑣2 é calculado conforme Equação 26, de acordo com a resistência

característica do concreto.

O valor de 𝑉𝑅𝑑2 é obtido pela Equação 25.

A verificação do esmagamento das bielas, apresentada na Equação 22, é feita

analisando-se a equação:

𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑 > 0 (193)

Respeitando-se a Equação 193, surge a escrita “OK!” indicando que se pode

prosseguir com os cálculos. Caso contrário, a viga em questão deverá ser desconsiderada deste

estudo pois deve-se alterar as dimensões da seção transversal, aumentando-a.

O valor de 𝑓𝑐𝑡𝑑 é calculado conforme Equação 30, de acordo com a resistência

característica do concreto.

Os valores de 𝑉𝑐, 𝑉𝑠 𝑒 𝐴𝑠90/𝑚 são obtidos, respectivamente, pelas Equações 29, 28, e

27.

αv2 = 0,9

VRd2 = 247,70 KN

VRd2 - Vsd = 164,01 OK!

fctd = 1282,48 KN

Vc = 43,93 KN

Vs = 39,77 KN

As90/m = 2,14 cm2/m

nestribos/m = 4 estribos

As90/m real = 2,49 cm2/m

s = 25 cm

sMÁX = 29 cm

sMÁX - s = 4 OK!

nestribos/m = 4 estribos

As90/m real = 2,49 cm2/m

ARMADURA TRANSVERSAL

135

O número de estribos por metro de viga, 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚, necessário para se alcançar o

valor de 𝐴𝑠90/𝑚, é obtido pela razão entre a área de aço calculada e a área de aço de um estribo.

Ressalta-se que, um estribo apresenta dois ramos. Assim, 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 assume o valor inteiro,

imediatamente superior caso haja casa decimal, ao obtido pela seguinte equação:

𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 =

𝐴𝑠90/𝑚

2 ∙ 𝜋 ∙ 0,632

4

(194)

A área de aço que será realmente empregada na armadura transversal por metro de

viga, 𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙, é calculada pelo produto do número de estribos empregados e área de aço de

um estribo, conforme seguinte equação:

𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 ∙

2 ∙ 𝜋 ∙ 0,632

4 (195)

O espaçamento entre estribos, por metro de viga, é o número inteiro imediatamente

inferior ao calculado pela equação:

𝑠 =

100

𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 (196)

A Figura 39 ilustra as disposições construtivas da armadura transversal.

Figura 39 - Disposições construtivas da armadura transversal em vigas.


O espaçamento máximo entre estribos, 𝑠𝑀Á𝑋, é obtido pelas Equações 37 e 38.

Verifica-se, então:

136

𝑠𝑀Á𝑋 − 𝑠 > 0 (197)

Se a Equação 197 não for verdadeira aparece o texto “REC N ESTRIBOS!” indicando

que o número de estribos deve ser recalculado de forma a respeitar o espaçamento máximo.

Assim, o novo valor de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 é o número inteiro imediatamente superior ao calculado

pela equação:

𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 =

100

𝑠𝑀Á𝑋

(198)

Uma vez que o valor de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 é alterado, a área de aço realmente utilizada para

a armadura transversal também deve ser recalculada utilizando-se a Equação 195. As duas

últimas linhas deste quadro são dedicadas ao recálculo do número de estribos e área real da

armadura transversal, por metro de viga, caso o espaçamento seja menor que o espaçamento

mínimo, entre estribos, necessário.

A área de aço da armadura transversal é verificada pela Tabela 42.

Tabela 42 - Área de aço mínima para armadura transversal no dimensionamento de vigas, na planilha Excel.


A área de aço mínima para armadura transversal por metro de viga, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚, é

calculada conforme Equação 36.

Assim, deve-se atender:

𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚 ≥ 0 (199)

O texto “OK!” surge indicando que a verificação foi atendida. Caso contrário, 𝐴𝑠90/𝑚

assume o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚 e deve-se recalcular os valores de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 e 𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙,

segundo Equações 194 e 195, respectivamente.

Alterações na planilha do Excel para a Situação 02 de estudo de vigas

Devido à complexidade de se elaborar fórmulas para o cálculo dos momentos e esforço

cortante máximos, optou-se por se utilizar o software Ftool extraindo diretamente estes valores.

AsMÍN 90/m = 1,23 cm2/m

As90/m real - AsMÍN 90/m = 1,26 OK!

ARMADURA MÍNIMA

137

Como não é possível a inserção de dois carregamentos uniformes, desenhou-se a estrutura da

viga conforme Figura 40.

Figura 40 - Viga contínua hiperestática, elaborada no software Ftool. Situação 02, estudo de vigas.


Dessa forma, o valor para o carregamento foi calculado manualmente utilizando as

combinações últimas normais, segundo Equação 1, e combinações de serviço com ações

frequentes, conforme Equação 2.

Sendo G e Q os valores pré-estabelecidos das cargas permanente e acidental,

respectivamente, o valor da carga P a ser inserida no Ftool para obtenção do momento fletor e

esforço cortante máximos no ELU, 𝑀𝑠𝑑 e 𝑉𝑠𝑑, bem como da carga 𝑃𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎çã𝑜 para mensuração

do momento fletor máximo no ELS-W, 𝑀𝑠𝑑𝑓𝑟𝑒, podem ser calculadas de acordo com as

Equações 200 e 201.

𝑃 = 1,4 ∙ (𝐺 + 𝑄) (200)

𝑃𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = 𝐺 + 0,4 ∙ 𝑄 (201)

Além disso, para o correto funcionamento do software é necessário estabelecer os

parâmetros do material e as propriedades da seção. Foi utilizado ‘Concreto isotópico’ como

material e seção retangular com 𝑏 = 200𝑚𝑚 e 𝑑 = 500𝑚𝑚. Ressalta-se que tais dados não

influenciam nos resultados dos momentos e esforço cortante!

Assim, as células que antes calculavam o momento e esforço cortante máximos no

Excel de acordo com as cargas aplicadas e comprimento do vão, pertencentes aos quadros

“Carregamento distribuído” e “Controle de abertura de fissuras”, devem ser preenchidas com

os valores obtidos pelo Ftool.

138

APÊNDICE F – Desenvolvimento da planilha no Excel para o dimensionamento de lajes

maciças

As áreas de aço e restrições impostas pelas normas para lajes armadas em duas

direções, foram calculadas e verificadas através de uma planilha elaborada no Excel. As

fórmulas utilizadas, dados e variáveis são explicados nos próximos subitens.

As células destacadas em vermelho devem ter o valor inserido, as destacadas em

amarelo são verificações que necessitam atender a norma, as que já apresentam valores

específicos são medidas fixas e explicitadas no item 4.2 CONSIDERAÇÕES, as em branco tem

o valor calculado pelo Excel por meio de fórmulas mostradas a seguir.

Dados de entrada

Os dados de entrada utilizados são ilustrados na Tabela 43.

Tabela 43 – Dados de entrada para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha

Excel.


Os valores de resistência característica do concreto à compressão, resistência

característica do aço à tração e cobrimento nominal, 𝑓𝑐𝑘, 𝑓𝑦𝑘 𝑒 𝑐, respectivamente, são valores

previamente definidos e explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3.

O valor da altura, ℎ, da laje deve ser inserido na célula e é obtido pelo cálculo do pré-

dimensionamento dos diversos autores, de acordo com o estabelecido no capítulo 4.1 PRÉ-

DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA.

fck = 25 MPa

fyk = 500 Mpa

c = 2,5 cm

h = 10 cm

l0y = 600 cm

l0x = 400 cm

CASO = 4

DADOS DE ENTRADA

139

Os valores do maior e menor vão, de acordo com a planta de fôrmas, devem ser

introduzidos nas células 𝑙0𝑦 𝑒 𝑙0𝑥, respectivamente.

Por fim, deve-se inserir o número referente ao caso, segundo a Figura 28, de acordo

com os tipos de apoio que a laje apresenta.

Vãos efetivos

Os vão efetivos são calculados pela Tabela 44.

Tabela 44 – Vãos efetivos para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.


Todas as vigas de apoio apresentam base de 12cm. Dessa forma, os valores de 𝑡1

2 e

𝑡2

2

são iguais a 6cm.

A célula 0,3ℎ calcula o valor correspondente a 30% da altura ℎ adotada.

t1 /2 = 6 cm

0,3h = 0 cm

a1 = 0 cm

t2 /2 = 6 cm

0,3h = 0 cm

a2 = 0 cm

ly = 10 cm

t1 /2 = 6 cm

0,3h = 0 cm

a1 = 0 cm

t2 /2 = 6 cm

0,3h = 0 cm

a2 = 0 cm

lX = 10 cm

VÃOS EFETIVOS

Maior vão

Menor vão

140

O valor de 𝑎1 assume o menor resultado entre 𝑡1

2 𝑒 0,3ℎ, enquanto 𝑎2 assume o menor

resultado entre 𝑡2

2𝑒 0,3ℎ, conforme indicado nas Equações 53 e 54.

Os valores do menor e maior vãos efetivos, 𝑙𝑥 𝑒 𝑙𝑦, respectivamente, são calculados

segundo Equação 52.

Coeficiente 𝝀

O coeficiente 𝜆 é determinado pela Tabela 45.

Tabela 45 - Coeficiente 𝜆 para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.


O coeficiente 𝜆 é calculado conforme Equação 55.

Conforme as Equações 56 e 57, quando 𝜆 assume valor menor ou igual a 2, o texto

“BIDIRECIONAL!” aparece indicando que a laje deve ser armada nas duas direções. Caso

contrário, surge o texto “UNIDIRECIONAL” evidenciando que a armação deve ser feita em

apenas uma direção. No presente trabalho, somente será estudado lajes armadas nas duas

direções.

Carregamento distribuído

As cargas uniformemente distribuídas são apresentadas e calculadas pela Tabela 46.

Tabela 46 – Carregamento distribuído para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na

planilha Excel.


λ = 1

TIPO DE ARMAÇÃO

BIDIRECIONAL!

g laje = 0 KN/m2

g reboco = 0,285 KN/m2

g contrapiso = 0,63 KN/m2

g cerâmica = 0,18 KN/m2

G = 1,095 KN/m2

Q = 2 KN/m2

CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO

141

As cargas por m2 advindas dos pesos próprios, 𝑔, do concreto armado que constitui o

elemento estrutural, do reboco existente na face inferior da laje, do contrapiso e placas cerâmica

do revestimento do piso, na face superior, são calculados a partir de sua espessura, 𝑒, e peso

específico, 𝛾 , de acordo com a seguinte equação:

𝑔 = 𝑒 ∙ 𝛾 (202)

As espessuras do reboco, contrapiso e placa cerâmica são especificadas no item 4.2.4.

Considerando-se que o reboco foi executado com argamassa de cal, cimento e areia, o

contrapiso com argamassa de cimento e areia e o revestimento é constituído de placa artificial

com material cerâmico, os pesos específicos segundo a Tabela 1 da norma 6120:2019 são,

respectivamente, 19 kN/m3, 21 kN/m3 e 18 kN/m3.

A espessura da laje é o valor da altura ℎ, obtida pelos diversos métodos de pré-

dimensionamento, e o peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3, conforme Tabela 1

da norma 6120:2019. Dessa forma, o peso próprio da laje é calculado de acordo com a equação:

𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 =

ℎ

100∙ 25 (203)

A carga permanente 𝐺 pode, então, ser obtida a partir do somatório das cargas

referentes ao peso próprio, conforme seguinte expressão:

𝐺 = 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 + 𝑔𝑟𝑒𝑏𝑜𝑐𝑜 + 𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑐𝑒𝑟â𝑚𝑖𝑐𝑎 (204)

De acordo com a Tabela 10 da norma 6120:2019, para ambiente utilizado como

escritório (definido no capítulo 4.2.4) a carga acidental, 𝑄, apresenta valor igual a 2 kN/m2.

Controle de deformações excessivas

As verificações referentes aos limites sensoriais visual e de vibração são efetuadas pela

Tabela 47.

142

Tabela 47 – Verificações do estado limite de serviço de deformação excessiva para o dimensionamento de lajes

maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.


O valor de 𝛼 é extraído automaticamente de uma planilha auxiliar contendo os dados

da Tabela 22, de acordo com o número do caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o

coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente 𝜆’.

O carregamento para o estado limite de serviço, 𝑝𝐸𝐿𝑆, é calculado conforme Equação

3.

O valor de 𝛼𝑖 é obtido pela Equação 70 de acordo com a resistência característica do

concreto.

O valor de 𝛼𝑒 é obtido pela Equação 72 para agregado graúdo em granito, conforme

especificação feita no item 4.2.2.

Os módulos de elasticidade inicial e secante do concreto, Ε𝑐𝑖 𝑒 Ε𝑠𝑒𝑐, são calculados de

acordo com as Equações 71 e 69, respectivamente.

A flecha imediata, 𝑓0, é calculada pela Equação 68.

α = 4,38

pELS = 4,395 kN/m2

αi = 0,863

αe = 1

Eci = 28000000 kPa

Esec = 24150000 kPa

f0 = 0,216581 cm

ε(t) = 2

ε(t0) = 0,592

αf = 1,408

f∞ = 0,521496 cm

fvisual = 1,624 cm

fvisual - f∞ = 1,102504 OK!

f0(q) = 0,098558 cm

fvibração = 1,16 cm

fvibração - f0(q) = 1,061442 OK!

ELS - DEF

143

Para o cálculo da flecha total, assume-se que o tempo 𝑡 apresenta valor superior a 70

meses, já que a estrutura deve ter vida útil (de projeto) no mínimo igual a 50 anos, segundo a

norma NBR 15575-1:2013. Dessa forma, o valor de 𝜀(𝑡) é 2, de acordo com a Equação 67.

O valor de 𝜀(𝑡0) é calculado conforme Equação 66 admitindo-se, simplificadamente,

𝑡0 como sendo o tempo de escoramento da laje, com valor igual a 21 dias (2130⁄ meses).

O coeficiente 𝛼𝑓 é obtido pela Equação 65.

A flecha total da laje, diferida no tempo, 𝑓∞, é calculada conforme Equação 63.

A flecha total considerando-se somente as cargas acidentais, 𝑓0(𝑞), é obtida pela

Equação 73.

Os valores dos limites admissíveis sensoriais, estabelecidos por norma, visual e de

vibração, 𝑓𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑒 𝑓𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜, são calculados de acordo com as Equações 61 e 62,

respectivamente.

Verifica-se então, se a flecha total apresenta valor inferior ao admissível. Caso a

diferença entre 𝑓𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑒 𝑓∞ seja positiva, o texto “OK!” indica que se pode prosseguir com os

cálculos. Se a diferença for negativa, surge “RECALCULAR!” evidenciando que é necessário

alterar o valor da altura da laje. Neste caso, seria descartado o referente método de pré-

dimensionamento. Analogamente, efetua-se a verificação entre 𝑓𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜 𝑒 𝑓0(𝑞).

Outras opções para a redução das deformações, não consideradas no presente estudo,

são a especificação de concreto com maior resistência, podendo ser inviável devido ao aumento

no custo, ou retardamento da retirada do escoramento, inexecutável a depender do cronograma

de obra.

Controle de fissuração

A verificação referente ao limite de formação de fissura é efetuada pela Tabela 48.

144

Tabela 48 - Verificações no estado limite de serviço de fissuração para o dimensionamento de lajes maciças

armadas em 2 direções, na planilha Excel.


O coeficiente 𝛼′ é definido para seção retangular, e assume valor igual a1.5.

A resistência a tração direta do concreto 𝑓𝑐𝑡 é calculada segundo Equação 77, de acordo

com a resistência característica do concreto.

O momento de inércia, 𝐼, de uma seção retangular pode ser definido pela seguinte

expressão (HIBBELER, 2005):

𝐼 =

𝑏 ∙ ℎ3

12 (205)

𝑏: base da seção;

ℎ: altura da seção.

Adotando-se base igual a 1m, o momento de inércia pode ser, simplificadamente,

calculado como:

𝐼 =

(ℎ100⁄ )3

12 (206)

A altura do centro geométrico da seção até a borda mais tracionada, 𝑦𝑡, é:

α'= 1,5

fct = 1795,475 kPa

I = 8,33E-05 m4/m

yt = 0,05 m

Mr = 4,488687 kN.m/m

μx+ = 4,81

μx- = 10,62

μy+ = 2,47

μy- = 8,06

Mx+ = 3,484625 kN.m/m

Mx- = 7,693704 kN.m/m

My+ = 1,789402 kN.m/m

My- = 5,839101 kN.m/m

Msd= 7,693704 kN.m/m

Mr - Msd = 0 OK!

ELS - F

145

𝑦𝑡 =

ℎ100⁄

2 (207)

O momento de fissuração, 𝑀𝑟, é calculado conforme Equação 75.

Os coeficientes 𝜇𝑥+, 𝜇𝑥−, 𝜇𝑦+, 𝜇𝑦− são extraídos automaticamente de uma planilha

auxiliar contendo os dados da Tabela 23, Tabela 24 e Tabela 25, de acordo com o número do

caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente

𝜆.

Os valores dos momentos de serviço positivos e negativos (quando houver) para cada

direção, 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−, são calculados segundo as Equações 78, 79, 80 e 81.

O momento solicitante, 𝑀𝑠𝑑, assume o maior valor dos resultados obtidos para os

momentos 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−.

Finalmente, verifica-se se o momento de serviço apresenta valor inferior ao momento

de fissuração. Caso a diferença entre 𝑀𝑟 𝑒 𝑀𝑠𝑑, seja positiva, o texto “OK!” indica que se pode

prosseguir com os cálculos. Se a diferença for negativa, surge “ATENÇÃO!” evidenciando que

é necessária uma análise mais cuidadosa quanto ao estado limite de serviço pois haverá a

formação de fissuras, aumentando o valor calculado para a flecha total laje.

Armadura longitudinal

A área de aço da armadura longitudinal é efetuada pela Tabela 48, conforme a direção

das barras e o sentido de tração das fibras.

146

Tabela 49 - Cálculo da armadura longitudinal

positiva para o menor vão, no dimensionamento de

lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha

Excel.

Figura 41 - Cálculo da armadura longitudinal positiva

para o maior vão, no dimensionamento de lajes

maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.


pELU = 7,833 kN/m2

Mx+ = 6,210481 kN.m

φlMAX= 1,25 cm

φlx+ = 0,63 cm

d = 7,185 cm

x = 0,742526 cm

x/d = 0,103344 OK!

As = 2,07377 cm2

n = 7 barras

As real = 2,18 cm2

e1 = 20 cm

e2 = 20 cm

eMÁX = 20 cm

eh = 13,65571 cm

eMÁX - e = 6,344286 OK!

n = 7 barras

As real = 2,18 cm2

AsMÍN = 1,005 cm2


AsMÁX = 40 cm2

AsMÁX - As real = 37,82 OK!

ELU - Aramadura longitudinal

POSITIVA - MENOR VÃOpELU = 7,833 kN/m2

My+ = 3,189166 kN.m

φlMAX= 1,25 cm

φly+ = 0,63 cm

d = 6,555 cm

x = 0,410974 cm

x/d = 0,062696 OK!

As = 1,147791 cm2

n = 4 barras

As real = 1,25 cm2

e1 = 20 cm

e2 = 20 cm

eMÁX = 20 cm

eh = 24,37 cm

eMÁX - e = 1 OK!

n = 4 barras

As real = 1,25 cm2

AsMÍN = 1,005 cm2


AsMÁX = 40 cm2



POSITIVA - MAIOR VÃO

kN.m/mkN.m/m

147

Figura 42 - Cálculo da armadura longitudinal

negativa para o menor vão, no dimensionamento de


Excel.

Figura 43 - Cálculo da armadura longitudinal

negativa para o maior vão, no dimensionamento de


Excel


O carregamento para combinações normais no ELU, 𝑝𝐸𝐿𝑈, é calculado conforme

Equação 1.

Os valores dos momentos solicitantes positivos e negativos (quando houver) para cada

direção, 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−, são calculados pelas Equações 78, 79, 80 e 81 substituindo o

valor de 𝑝𝐸𝐿𝑆 por 𝑝𝐸𝐿𝑈.

O diâmetro máximo, 𝜙𝑙𝑀Á𝑋, permitido por norma que pode ser empregado na

armadura longitudinal é obtido segundo Equação 86.

pELU = 7,833 kN/m2

Mx- = 13,71212 kN.m

φlMAX= 1,25 cm

φlx- = 0,63 cm

d = 8,185 cm

x = 1,487816 cm

x/d = 0,181774 OK!

As = 4,155258 cm2

n = 14 barras

As real = 4,36 cm2

e1 = 20 cm

e2 = 20 cm

eMÁX = 20 cm

eh = 6,512857 cm

eMÁX - e = 13,48714 OK!

n = 14 barras

As real = 4,36 cm2

AsMÍN = 1,5 cm2


AsMÁX = 40 cm2



NEGATIVA - MENOR VÃO

pELU = 7,833 kN/m2

My- = 10,40675 kN.m

φlMAX= 1,25 cm

φly- = 0,63 cm

d = 8,185 cm

x = 1,106952 cm

x/d = 0,135242 OK!

As = 3,09156 cm2

n = 10 barras

As real = 3,12 cm2

e1 = 20 cm

e2 = 20 cm

eMÁX = 20 cm

eh = 9,37 cm

eMÁX - e = 10,63 OK!

n = 10 barras

As real = 3,12 cm2

AsMÍN = 1,5 cm2


AsMÁX = 40 cm2



NEGATIVA - MAIOR VÃO

kN.m/m kN.m/m

148

Os diâmetros adotados para as armaduras longitudinais que suportam o momento

positivo na direção do menor e maior vão, bem como para as armaduras negativas de ambas as

direções, 𝜙𝑙𝑥+, 𝜙𝑙𝑦+, 𝜙𝑙𝑥−, 𝜙𝑙𝑦−, devem ser escolhidos e inseridos na célula correspondente.

O valor da linha neutra, 𝑥, é calculado conforme Equação 6.

A altura útil, 𝑑, assume diferentes valores de acordo com a direção e momento que se

está analisando. As Equações 208, 209, 210 e 211 apresentam as expressões de cálculo

utilizadas.

Para momento positivo na direção do menor vão:

𝑑 = ℎ − (𝑐 +

𝜙𝑙𝑥+

2) (208)

Para momento positivo na direção do maior vão:

𝑑 = ℎ − (𝑐 + 𝜙𝑙𝑥+ +

𝜙𝑙𝑦+

2) (209)

Para momento negativo na direção do menor vão:

𝑑 = ℎ − (𝑐′ +

𝜙𝑙𝑥−

2) (210)

Para momento negativo na direção do maior vão:

𝑑 = ℎ − (𝑐′ +

𝜙𝑙𝑦−

2) (211)

Os cobrimentos da face inferior e superior da laje, 𝑐 𝑒 𝑐′, assumem os valores de 2,5 e

1,5cm, respectivamente, conforme explicitado no item 4.2.3.

O critério de ductilidade deve ser verificado conforme a Equação 7. Se não for

respeitado, é necessário alterar o valor adotado da altura h pois em lajes não se emprega

armadura resistente a compressão, como no caso das vigas. Assim, no presente estudo, seria

descartado o referente método do pré-dimensionamento.

A área de aço necessária, 𝐴𝑠, é calculada conforme Equação 8. Deve-se atentar para a

minoração das resistências características do aço e do concreto quando as fórmulas usam os

valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e 5.

149

O número de barras de aço é obtido segundo Equação 163.

A área de aço realmente utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, é dada pela Equação 164.

Os espaçamentos entre barras 𝑒1 𝑒 𝑒2 assumem os valores das Equações 90 e 91,

respectivamente.

O espaçamento máximo entre barras, 𝑒𝑀Á𝑋, admitido por norma é o menor dentre os

valores de 𝑒1 𝑒 𝑒2.

O espaçamento horizontal entre as barras longitudinais, desconsiderando os extremos

da laje, pode ser calculado por:

𝑒ℎ =

100 − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙

𝑛 (212)

Quando a diferença entre o valor de 𝑒𝑀Á𝑋 𝑒 𝑒ℎ é positiva, respeita-se a norma e o texto

“OK!” indica que se deve prosseguir com os cálculos. Caso contrário, o número de barras é

recalculado assumindo o valor do número inteiro imediatamente superior ao calculado pela

expressão:

𝑛 =

100

𝑒𝑀Á𝑋

(213)

E a área de aço realmente utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, também é recalculada considerando o novo

número de barras.

As áreas de armadura mínima e máxima longitudinal, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 𝑒 𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋, são calculadas

conforme Equação 87 e Equação 9, respectivamente. O valor de 𝜌𝑚í𝑛, utilizado para concreto

de 25MPa, é de 0,15%. 𝜌𝑠 assume diferentes valores, conforme as Equações 214 e 215, segundo

a armadura em análise.

Para armadura positiva:

𝜌𝑠 = 0,67 ∙ 𝜌𝑚í𝑛 (214)

Para armadura negativa:

𝜌𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛 (215)

Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for maior que 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 então:

150

𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 ≥ 0 (216)

O texto “OK!” aparece indicando que se está de acordo com a norma. Caso a Equação

216 não seja respeitada, deve-se empregar 𝐴𝑠 como sendo o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 e recalcular o valor

de 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝑛.

Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for menor que 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 então:

𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋 − 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 ≥ 0 (217)

Analogamente, o texto “OK!” aparece. Caso a Equação 217 não seja atendida, deve-

se reduzir 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙. Salienta-se que esta hipótese não seria aplicável visto que já se está

dimensionando a lage com a menor área de aço, visando minimizar os custos. Outra solução

seria aumentar a espessura da laje, entretanto, também não é viável sua aplicação no presente

trabalho, pois contraria o objetivo do mesmo.


A desobrigação do emprego de estribos na laje é verificada pela Tabela 50.

Tabela 50 - Verificações para a dispensa de armadura transversal no dimensionamento de lajes maciças armadas

em 2 direções, na planilha Excel.


νx+ = 2,44

νx- = 4,23

νy+ = 1,83

νy- = 3,17

Vx+ = 7,759683 kN

Vx- = 13,45224 kN

Vy+ = 5,819762 kN

Vy- = 10,08123 kN

Vsd= 13,45224 kN

320,620 kPa

k = 1,52815 OK!

0,003037 OK!

VRd1 = 46,5205 kN

VRd1 - Vsd = 33,06826 OK!


151

Os coeficientes 𝜈𝑥+, 𝜈𝑥−, 𝜈𝑦+, 𝜈𝑦− são extraídos automaticamente de uma planilha

auxiliar contendo os dados da Tabela 26, Tabela 27 e Tabela 28, de acordo com o número do

caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente

𝜆’.

Os esforços cortantes solicitantes 𝑉𝑥+, 𝑉𝑥−, 𝑉𝑦+ 𝑒 𝑉𝑦− são calculados conforme

equações 93, 94, 95 e 96, respectivamente.

O esforço cortante solicitante, 𝑉𝑠𝑑, assume o maior valor dentre os resultados obtidos

para os esforços 𝑉𝑥+, 𝑉𝑥−, 𝑉𝑦+ 𝑒 𝑉𝑦−.

A tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, 𝜏𝑅𝑑, é calculada de acordo

com a Equação 98. Substituindo o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑑, dado pela Equação 30, encontra-se:

𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ √𝑓𝑐𝑘

23∙ 1000 (218)

Como se considera que as barras de aço da armadura longitudinal chegam ao apoio, o

valor de 𝑘, conforme Equação 99, é:

𝑘 = 1,6 −

𝑑

100 ≥ 1 (219)

onde se utiliza o valor da altura útil 𝑑 na mesma direção do 𝑉𝑠𝑑.

O coeficiente 𝜌1 é obtido pela Equação 100 empregando a área de aço realmente

utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, calculada para a mesma direção do 𝑉𝑠𝑑.

O esforço cortante resistente de cálculo, 𝑉𝑅𝑑1, é calculado pela Equação 97. Uma vez

que não se utiliza protensão e a base é de 1m, a expressão pode ser simplificadamente escrita

como:

𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (1,2 + 40𝜌1) ∙ 1 ∙

𝑑

100 (220)

152

Quando a diferença entre 𝑉𝑅𝑑1 e 𝑉𝑠𝑑 é positiva, o texto “OK!” indica que pode ser

dispensado o uso de estribos, conforme Equação 92. Caso contrário, deve-se dimensionar a

armadura transversal de acordo com o item Armadura transversal.

A verificação do esmagamento das bielas, apresentada na Equação 22, deve ser feita

conforme Equações 25 e 193.

análise de custos dos elementos estruturais viga e laje

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