análise da mandala de nazca: algumas considerações ... · interessantes no livro de henrique...

Análise da Mandala de Nazca ... - Luna

Revista Diálogos – mar./ abr. – 2017 – n.° 17 373

Análise da Mandala de Nazca: Algumas Considerações

Matemáticas e Outras nem tanto...

d.o.i. 10.13115/2236-1499.v1n17p373

Jairo Nogueira Luna – UPE1

RESUMO:

Neste artigo se busca analisar a enigmática figura da “Mandala de

Nazca” que difere do padrão das demais figuras do platô de Nazca, por

não ser figurativa nem antropomórfica ou zoomórfica. Apresenta-se

interpretações matemáticas e geométricas referente à estrutura da figura

bem como aspectos ligados à significação esotérica da figura. O artigo

é, ainda, um resultado parcial de pesquisas feitas sobre o tema, mas já

possui elementos suficientes para este texto de modo apresenta-lo com

substância acadêmica e científica. Neste artigo também se faz a análise

e a crítica de interpretações que foram tentadas para um entendimento

da figura. Como requisito para entendimento do que o que aqui se

expõe é necessário certa familiaridade com o significado matemático e

esotérico dos quadrados mágicos.

Palavras-chave: Platô de Nazca, Mandala de Nazca, Neo-

estruturalismo Semiótico, Quadrados Mágicos, Esoterismo.

ABSTRACT:

In this article, we analyze the enigmatic figure of the "Nazca Mandala"

that differs from the standard of the other figures of the Nazca plateau,

because it is neither figurative nor anthropomorphic or zoomorphic. It

presents mathematical and geometrical interpretations regarding the

structure of the figure as well as aspects related to the esoteric meaning

of the figure. The article is still a partial result of research done on the

subject, but already has sufficient elements for this text so as to present

1 Professor Doutor e Adjunto da Universidade de Pernambuco.



it with academic and scientific substance. In this article we also analyze

and critique interpretations that have been tried for an understanding of

the figure. As a requisite for understanding what is set forth here, a

certain familiarity with the mathematical and esoteric meaning of the

magic squares is necessary.

Keywords: Nazca Plateau, Nazca Mandala, Semiotic Neo-

structuralism, Magic Squares, Esotericism.

1. Introdução

O platô de Nazca é um local mundialmente conhecido, localizado

no sul do Peru, cortado pela estrada pan-americana. O local, de

característica desértica tornou-se famoso pelas figuras desenhadas no

solo de tamanho tal que se só podem ser entendidas a partir de uma

posição no céu, ou seja, voando. Figuras que lembram animais diversos

(cachorro, beija-flor, macaco, baleia, etc..) e outras representações (o

astronauta, p.ex.) provocam a imaginação de estudiosos, cientistas e

curiosos em busca de seu real significado, do propósito de sua feitura e

de quem efetivamente as teria feito.

Aqui nos deteremos numa figura em particular cuja natureza

foge ao padrão das inscrições de Nazca, trata-se da figura comumente

denominada de “Mandala de Nazca”, também conhecida como

“Estrela” ou “Cruz de Nazca”.

A região é dividida em dois conjuntos de figuras, uma, maior e

localizada na parte mais plana, denominada “Platô de Nazca” por

situar-se na direção da cidade de Nazca. Um segundo conjunto, menor,

em terreno mais acidentado e elevado, chamada “Palpa” por situar-se

próximo a este povoado. A Mandala localiza-se neste segundo

conjunto.



Fig.1

O Mapa acima é relativamente simplificado, não mostrando

todas as figuras, o mapa a seguir, mais detalhado, refere-se apenas à

Palpa, para que possamos, perceber o conjunto de figuras em que se

localiza a mandala:

Fig.2



Notemos a posição da Mandala (“La Estrela”). O conjunto de

Palpa em relação ao de Nazca, possui mais figuras antropomórficas

(Família Paracas, O Viajante, A Mulher, a Fertilidade). Não nos

deteremos aqui nas questões antropológicas acerca das teorias que

determinam o modo de feitura, ou que povo as fez e porque, nem

tampouco enveredaremos pelas suposições fantásticas sobre viajantes

extraterrestres. É fácil encontrar vídeos, documentários e outros

materiais sobre estas suposições. Nosso objetivo é tão somente mostrar

algumas observações que fizemos acerca da estrutura da Mandala de

Nazca, que a nosso ver, apresenta algumas peculiaridades muito

específicas correlacionadas com pesquisas que desenvolvemos acerca

da natureza e das características dos denominados “quadrados

mágicos”. Também não daremos explicações básicas sobre os

quadrados mágicos, tidos – via de regra – como curiosidades

matemáticas ou como um tipo muito peculiar de matriz. Enfim, iremos

direto ao assunto.

2. A Estrutura da Mandala de Nazca

A Mandala de Nazca diferencia-se das demais figuras do local

pela sua constituição não antropomórfica nem zoomórfica. É uma

grande de quadrados e linhas que cruzam esta grade em diferentes

angulações. Outro aspecto também é que suas linhas, embora visíveis,

são mais tênues do que as linhas que compõem as outras figuras.

Situada na parte denominada de Palpa está localizada um pouco acima

do terreno das linhas de Nazca.

Joseph E. Mason2 num artigo de internet publicado em página

não acadêmica apresenta uma observação interessante sobre a estrutura

da mandala em questão, observando sua semelhança com um quadrado

mágico 8x8, conhecido nos textos cabalísticos e alquímicos como

2 MASON, Joseph E. The Naza Sun-Star as the Magic Square of Mercury.

Disponível em: http://www.greatdreams.com/numbers/nazca/nazca.htm

http://www.greatdreams.com/numbers/nazca/nazca.htm



“quadrado mágico de Mercúrio”. De fato, é fácil reconhecer uma grade

de 8x8 na Mandala de Nazca:

Fig.3

Acima (fig.3), temos uma vista aérea da Mandala de Nazca,

abaixo (fig.4) estão marcadas as linhas da grade, incluindo as linhas

que cortam a grande em diferentes angulações:

Fig.4



A figura pode desnortear um pouco nossa percepção, mas uma

observação contínua nos permite ver vários aspectos da figura. A grade

8x8 tem quadrados marcados em tom mais escuro, pois no chão de

Palpa eles aparecem em toma mais claro que os demais. São três para

cada canto da grade e doze quadrados centrais que formam uma cruz.

A associação com da Mandala de Nazca com o quadrado mágico de

Mercúrio se dá tão somente, em princípio, pelo número de quadrados

da grade (64), já que não estão inscritos em cada quadrado os numerais

correspondentes ao quadrado mágico de Mercúrio. Sendo, assim,

inserimos os numerais e partir das próprias indicações das linhas e das

cores dos quadrados comprovamos que de fato se trata de um quadrado

mágico 8x8:

Fig.5



O quadrado mágico de Mercúrio – doravante aqui o

denominaremos assim – dá como soma de cada coluna, linha ou

diagonal o valor 260. Mas esta é uma condição básica do quadrado

mágico. Este, como os de outra ordem, guarda uma série de relações

internas envolvendo 4, 8 ou 16 números que somam em cada relação

específica 260. Os antigos sabiam destas propriedades intrínsecas dos

quadrados mágicos. No caso do de Mercúrio a seguinte figura é bem

ilustrativa destas relações internas:

Fig.6

A explicação detalhada do significado desta ilustração daria um

outro artigo, mas o leitor pode conseguir algumas informações

interessantes no livro de Henrique Cornelio Agrippa de Nettesheim3,

páginas 945, 946 e 950.

No caso dos numerais marcados na Mandala de Nazca, notemos

que se somamos dois conjuntos opostos de trios de número marcados,

mais os dois números centrais perpendiculares a diagonal formada

pelos dois conjuntos, obtemos 260. Exemplo:

3 NETTESHEIM, Cornelio Agrippa de. Três Livros de Filosofia Oculta. São Paulo,

Madras, 2012.



a) 9 + 2 + 64 = 75

b) 1+ 63 + 56 = 120

c) 29 + 36 = 65

d) 75 + 120 + 65 = 260

Se o leitor quiser exercitar sua capacidade de fazer conta de

cabeça, tente com os outros números do outro conjunto. Na cruz central,

a haste vertical soma 260, assim como a barra horizontal da cruz. Por

estes aspectos, nos parece patente que a grade 8x8 da Mandala de Nazca

não é apenas uma grade de quadrados vazios, mas uma matriz de

quadrado mágico.

Mas a seguir, demonstraremos como o conhecimento de quem

fez essa figura em Nazca ia além dos conhecimentos até hoje

divulgados acerca do uso dos quadrados mágicos. Esperamos poder,

talvez, colocar no leitor um ponto de interrogação sobre a utilidade

acerca desta figura bem como da quantidade de conhecimento

requerido para produzi-la e, principalmente, do que ela pode significar

de fato.

3. As intersecções de quadrados mágicos e a dinamicidade de

suas transformações.

O que vamos destacar nessa secção deste texto envolve as

marcações que existem na Mandala de Nazca nos referidos quatro

cantos e nas unidades centrais. Existem vários artigos não acadêmicos

na internet sobre a interpretação destas marcações, porém, a nosso ver,

elas ficam em conjecturas sem muita sustentação, fazendo constantes

referências a simbologia da cruz e as relações astronômicas que se pode

tirar da interpretação dos ângulos formados pelas linhas que cruzam a

grade.

Notemos que se observamos com atenção a figura, existem duas

grades superpostas, a segunda, tendo com relação à primeira um ângulo

de 45.° de inclinação no sentido sudoeste-nordeste. A partir desta

orientação é perfeitamente identificável uma grade central menor de



extensão 4x4. No âmbito esotérico, conhecida como “quadrado mágico

de Júpiter”. Um quadrado básico deste tipo tem 16 unidades ao todo e

a soma de cada linha, coluna ou diagonal dá 34. Se voltamos a observar

o quadrado mágico de Mercúrio, a referida cruz se transforma num

quadrado mágico de 4x4 se apenas acrescentamos as unidades dos

cantos (valores: 19, 22, 43 e 46). Ao analisarmos esse novo quadrado

mágico contido na grade de Mercúrio observamos que guarda as

mesmas propriedades do quadrado mágico de Júpiter, no sentido de que

cada linha, coluna ou diagonal soma a mesma quantidade, só que agora

o valor é de 130:

22 44 45 19

35 29 28 38

27 37 36 30

46 20 21 43

Fig.7

O quadrado mágico assim obtido, guarda também todas

as relações intrínsecas a um típico quadrado mágico de Júpiter, no

sentido de que todas as relações existentes internamente entre

conjuntos de 4 e 8 unidades do quadrado estão mantidas. Elas

podem ser exemplificadas pelo seguinte conjunto de diagramas

(fig.9):



Fig.09



A maioria das relações internas cujo resultado de 4 unidades

somadas dá 34 estão aí colocadas, mas existem outras ainda, não

pretendemos nos estender nesse ponto, isto é apenas para dar uma

idéia do que chamamos de relações internas. Observemos que o

quadrado mágico 4x4 obtido a partir do quadrado mágico de

Mercúrio na Mandala de Nazca, mantém todas estas propriedades,

só que agora com o valor de 130, ou seja, metade do valor obtido

por conjunto de 8 unidades no quadrado de Mercúrio.

Mas o mais interessante, ao nosso entendimento, vem agora,

pois observemos as três unidades colocadas nos cantos do quadrado

de Mercúrio. Não nos parece que seu objetivo seja apenas o de

compor valores dentro do quadrado de Mercúrio. Pois, assim como

podemos obter um quadrado mágico 4x4 da parte central do de

Mercúrio, também podemos obter um quadrado de ordem 6x6, se

seguimos as orientações da própria Mandala de Nazca.

Agrippa apresenta um método para construção de um quadrado

do Sol (6x6) baseado numa série de inversões a partir de um vetor

retirado de um sinal encontrado no quadrado de Saturno (3x3).

Fig. 10 - Selo de Saturno

Esta gravura denominada selo de saturno é resultado da

marcação nas células de um quadrado 3x3. A diagonal soma 15, os

dois sinais em forma de compasso, somam valores diferentes (6 e

24, respectivamente a menor e a maior soma possíveis de 3 células),

mas cuja média é 15. Observe na figura a seguir, como Agrippa

utiliza este “selo” para promover inversões numa grade 6x6, em que



as células estão preenchidas em ordem de 1 a 36 partindo da célula

do canto inferior esquerdo, e após ele promoveu a inversão das

diagonais4.

Fig.11

No caso da Mandala de Nazca, temos uma grade 8x8 e

queremos produzir uma grade de um quadrado mágico 6x6. Assim

aplicamos a solução de Agippa na grade de Mercúrio, observando

o limite de 6x6 e depois invertemos apenas as pontas das diagonais

do quadrado do Sol:

Fig.12

4 Para uma explicação mais detalhada indicamos: AGRIPPA, H. C. Três Livros de

Filosofia Oculta. São Paulo, Madras, 2012, p. 938.



Ou apresentando de outra forma as alterações feitas, para uma

mais objetiva apresentação:

Fig.13

Notemos que o quadrado do Sol agora formado dá como soma

de cada linha, coluna ou diagonal o valor 195 (3/4 da soma 260 de

Mercúrio). O quadrado do Sol padrão dá como soma 111. A grade

agora formada começa no número 10 e vai pulando de seis em seis

números dois números (10, 11, 12, 13, 14, 15, -, - , 18, 19, 20...).

Agora, acerca das três células marcadas em cada canto da grade

de Mercúrio, bem como da cruz formada por doze células ao centro,

podemos perguntar qual a razão disso, haja vista que ao que se sabe

a Mandala tenha sido produzida numa época anterior à colonização

e à cristianização. Nesse sentido, a comunidade que a produziu, em

princípio não tinha a cruz como um símbolo religioso. Suposições

foram levantadas por estudiosos, acadêmicos e não acadêmicos.

Mas a observação atenta das propriedades da Mandala 8x8 resolve

o problema de uma forma que não se exige qualquer interpretação

simbólica que as próprias características matemáticas da grade de

Mercúrio.

Num primeiro passo aproximemos as três células de cada canto

(soma 130 cada conjunto) de tal forma que fechem um quadrado

4x4:



8 58 63 1

49 56

9 16

64 2 7 57

Fig.14

Temos uma grade 4x4 (Júpiter) que nos falta os valores das

quatro células centrais. Cada diagonal dá como valor 65 (1/4 de

Mercúrio), as duas colunas laterais e a primeira e última linhas,

completas que estão, somam 130 (1/2 de Mercúrio). Somos de

imediato tentados a colocar nas quatro células centrais os valores

das centrais de Mercúrio e ao fazermos obtemos:

130

8 58 63 1 130

49 29 28 56 162 260

9 37 36 16 98

64 2 7 57 130

130 126 134 130 130

260 Fig.15

A soma da segunda e terceira linhas não dá 130, mas a soma das

duas dá 260, assim como a segunda e terceira colunas somadas



também dá 260. E se substituímos as quatro células centrais pelos

valores adjacentes a elas nas diagonais da grande de Mercúrio

mantemos o mesmo padrão, até se alcançar os cantos:

130

8 58 63 1 130

49 22 19 56 146 260

9 46 43 16 114

64 2 7 57 130

130 128 132 130 130

260

130

8 58 63 1 130

49 15 10 56 130 260

9 55 50 16 130

64 2 7 57 130

130 130 130 130 130

260 Fig.16



Quanto à figura da cruz central, se agora, substituímos

as quatro células centrais pelos números situados acima e abaixo

das células centrais e, depois, pelos números situados à direita e

esquerda destas células temos o mesmo padrão:

130 120

8 58 63 1 130 8 58 63 1 130

49 44 45 56 194 260 49 35 38 56 168 260

9 20 21 16 66 9 27 30 16 82

64 2 7 57 130 64 2 7 57 130

130 124 136 130 130 130 122 128 130 130

260 260 Fig.17

Desse modo, surge a figura da cruz, pois se referem aos

números que completam essa grade 4x4. Bem como a marcação dos

números dos cantos da grade 8x8. Os produtores dessa figura

observaram uma propriedade intrínseca à grade. Para melhor

visualização do que foi feito, vejamos a grade esquematizada a

seguir:

Fig.18



Agora observando a figura da Mandala de Nazca de outro

ângulo, notemos que sob a grade de Mercúrio está uma outra, que

com ela se localiza a 45.° no sentido NE-SO (fig.4). A grade que

agora se apresenta é formada pelo quadrado mágico de ordem

12x12, contendo assim 144 células. Destas são facilmente

observáveis, pois estão mais destacadas uma parte central,

formando um novo quadrado de Júpiter (4x4) e na parte externa,

contíguo a esta grade 12x12, localizado no âmbito das duas linhas

e colunas centrais, duas células, formando assim uma espécie de

cruz. Este quadrado mágico de Júpiter encontra-se totalmente

inserido na área do quadrado mágico de Júpiter anterior, uma vez

que a dimensão de suas células é menor. O quadrado mágico de

Júpiter maior, cuja soma dá 130, em termos de ordem numérica

crescente, começa pela célula de número 19, e a cada quatro

números, salta outros quatro, daí recomeçando a contagem

(19,20,21,22, -, -, -, -, 27,28,29,30...) terminando no número 46. Um

quadrado mágico com ordem regular que some 130 começaria pelo

número 30 e terminaria em 45. Observemos que 45 é número de

graus da inclinação deste segundo quadrado de Júpiter. Vejamos

qual é a numeração regular de um quadrado de ordem 12x12:

Fig.19



A soma de cada linha, coluna ou diagonal principal dá 870. Na

figura acima já dividimos a grade 12x12 em 9 quadrados de Júpiter

(4x4), sendo que o centro dá 290 para cada linha, coluna ou

diagonal principal. Os demais embora tenham sempre o mesmo

valor (290) para linha ou coluna, variam o valor das diagonais

principais, para menos, ou para mais do valor 290. Ocorre que se

somamos e tiramos a média de 2 quadrados de Júpiter opostos

(p.ex., o azul claro do canto superior direito da figura e o branco do

canto inferior esquerdo) temos como média o valor 290. Por isso,

nos parece, o destaque dado ao quadrado 4x4 central.

Observemos agora, as duas células acrescidas nas colunas e nas

linhas centrais exteriores à grade 12x12 (fig.5). O que nos parece

sugerir os acréscimos é análogo ao que ocorre com a grade 8x8 e as

células dos quatro cantos. Aqui, porém, invertendo-se a proposição,

não são os cantos, mas as linhas e colunas centrais.

91 90 181

80 66 67 77 290

68 78 79 65 290 290

55 54 109

148 290 290 142 290

290 290

Fig.20

A partir das células centrais, somando-se as células que se

colocam adjacentes das colunas e linhas centrais, obtém-se

somando-se linhas e colunas o valor de 290. E, mais, somando-se

lateralmente estas células adjacentes (as quatro das colunas ou as

quatro das linhas), temos também 290 (1/3 da soma da grade

12x12).



Desse modo, temos exposto aqui neste texto como as grades da

Mandala de Nazca parecem ser produzidas a partir de um profundo

conhecimento das propriedades dos quadrados mágicos.

O último ponto que abordaremos neste texto, refere-se ao

círculo duplo circunscrito na grade de 8x8, conforme se pode

observar na figura a seguir:

Fig.21

O círculo, ou roda, como podemos chamá-la, pode ser

representada por uma sequência de doze células da grade 8x8, a

saber:



Fig.22

As doze células selecionadas se inscrevem na roda, a soma delas

dá 390 (ou 260 +130) e se quisermos soma-las em grupos de 4,

alternando a sequência, obteremos 130 para cada grupo. Outras

opções de formação das células que compõem a roda podem ser

tentadas, mas obteremos resultados condizentes com estes valores

(130, 260, 390).

Temos ainda muito a falar sobre a Mandala de Nazca, por

exemplo, sobre as várias linhas que saem do centro, inclusive e

principalmente as linhas curvas que formam rosáceas, velica pisces,

estrelas e que a partir da análise de células das duas grandes grades

superpostas (Mercúrio – 8x8 e a de 12x12) podemos definir sua

origem com relação às mesmas grades.

E, ainda, todas as figuras antropomórficas e zoomórficas do

platô de Nazca (incluindo Palpa) podem ser entendidas a partir da

formulação de grifos circunscritos à Mandala. Neste sentido,

supomos que a Mandala tenha sido a primeira figura a ser

construída no local, ou pelo menos a primeira a ser planejada. Mas

isto é assunto para outros textos.

8 58 59 5 4 62 63 1

49 15 14 52 53 11 10 56

41 23 22 44 45 19 18 48

32 34 35 29 28 38 39 25

40 26 27 37 36 30 31 33

17 47 46 20 21 43 42 24

9 55 54 12 13 51 50 16

64 2 3 61 60 6 7 57



4. Referências:

FARRAR, Mark S. Magic Square. USA, ed. Author, 2007

MASON, Joseph E. The Nazca Sun-Star as the Magic Square of

Mercury. Disponível em:


LUNA, Jayro. “Alguns Apontamentos Semióticos Breves Sobre a

Obra Esotérica de Raji Guenol: Selos de Planetas e Quadrados

Mágicos” em: Revista Diálogos, Garanhuns (PE), n.° 10, nov. 2013,

p. 119-144. Disponível em:

http://www.revistadialogos.com.br/Dialogos_10/Luna_Guenol_Se

los.pdf

NETTESHEIM, Cornelio Agrippa de. Três Livros de Filosofia

Oculta. São Paulo, Madras, 2012

PASLES, Paul C. Benjamin Franklin's Numbers: An Unsung

Mathematical Odyssey. New Jersey, Princeton University Press,

2003.


http://www.revistadialogos.com.br/Dialogos_10/Luna_Guenol_Selos.pdf

http://www.revistadialogos.com.br/Dialogos_10/Luna_Guenol_Selos.pdf

análise da mandala de nazca: algumas considerações ... · interessantes no livro de henrique...

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