andrés a. aristizábal p. [email protected] · propiedades de conjuntos numerables. utilizar...

Matemática Discreta

Andrés A. Aristizábal [email protected]

Departamento de Matemáticas y Estadística

2018-2

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Agenda del día

1 PresentaciónInformación del cursoObjetivosEstrategias PedagógicasReglas de juegoContenido temáticoEvaluaciónAplicaciones y relaciones de la Matemática Discreta

2 Métodos de DemostraciónObjetivos de la sesión de claseMapa conceptualEjerciciosPresentación del siguiente tema

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Presentación Información del curso

Agenda del día



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Presentación Información del curso

Información del curso

Código asignatura: 08276Prerequisito: Lógica FormalProgramas: Ingeniería de sistemasIntensidad semanal: 4 horasCréditos: 3Días de clase: Martes y Jueves 2:00PM - 4:00 PMSalón: 508EMonitor: Luis Miguel Paz

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Presentación Objetivos

Agenda del día



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Objetivo General

Objetivo GeneralUna vez culminado el curso, el estudiante estará en condiciones dereconocer y aplicar apropiadamente los elementos formales de lasmatemáticas discretas, necesarios en la formación en ingeniería desistemas y que no hacen parte de la presentación de las temáticas enlos cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales.

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Objetivos terminales

Analizar demostraciones de teoremas pertinentes al tema deestudio y proponer demostraciones propias para algunos de ellos.Reconocer la estructura de Álgebra Booleana y aplicar suspropiedades al campo de la Lógica Digital.Analizar una relación binaria y clasificarla como relación deequivalencia o relación de orden, establecer las implicaciones deserlo y aplicar estos conceptos a la solución de problemas.

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Objetivos terminales

Hacer uso de los conceptos fundamentales de la teoría denúmeros y su uso en la resolución de problemas computacionalesque lo requieran.Aplicar inducción matemática para la demostración depropiedades de conjuntos numerables.Utilizar definiciones recursivas para definir conjuntos y establecerpropiedades de estos, mediante la inducción estructural.Utilizar adecuadamente los elementos generales de grafos yutilizarlos en la solución de problemas.

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Presentación Estrategias Pedagógicas

Agenda del día



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Estrategias pedagógicas

EnfoqueEn concordancia con la misión de la Universidad, el aprendizaje de lostemas de este curso será el resultado del proceso de construcción delconocimiento, adelantado por el estudiante y guiado por el profesor.Parte fundamental de este proceso es el aprovechamiento del estudioprevio hecho por los estudiantes, como elemento generador depreguntas, discusiones y conclusiones.

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DiscusiónLa discusión, orientada por el profesor es el elemento central enla metodología del curso. Se fundamenta en el estudio preliminarde las secciones asignadas, en las preguntas de los estudiantes yen sus respuestas a sus preguntas y a las del profesor, quealimenten el proceso de aprendizaje activo.El profesor interviene esencialmente como guía y moderador delas discusiones, y se encarga de hacer la síntesis final parasocializar el conocimiento consolidado en clase y de indicar alestudiante la labor que debe realizar como preparación para laclase siguiente.

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Momentos de la claseRecordar los objetivos de la sesión de clase.Presentación y evaluación de la actividad de preparacióndesarrollada por el estudiante.Resolución de diversos ejercicios y problemas de aplicación quepermiten consolidar el tema asignado.Presentación del tema para la clase siguiente.

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Actividades del estudiante

Antes de clasePreparar, antes de la clase, los temas que asigne el profesor. Esdecir hacer una lectura crítica (análisis y síntesis en forma demapa conceptual y llevarlo a clase en forma digital) del temaasignado.Indagar sobre los aspectos desconocidos, resolver las preguntasy los ejercicios planteados.

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Actividades del estudiante

Durante la clase

Participar activamente en las discusiones del tema y en la formulación depreguntas orientadas a resolver las dudas que hayan surgido al realizar laslecturas previas; para esto, el estudiante deberá llevar a clase, en formatodigital, los mapas conceptuales de las lecturas asignadas.

Después de clase

Consolidar el nuevo conocimiento resolviendo ejercicios y problemas que en lafase de preparación no haya podido resolver, o que revisten mayor complejidad,relacionándolo con conocimientos previamente adquiridos.

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Estrategias Pedagógicas

Internacionalización

Con el propósito de incentivar el manejo del inglés en el aula de clase, se proponen almenos 3 sesiones en este idioma.

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Presentación Reglas de juego

Agenda del día



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Reglas de juegoNormas esperadas de comportamiento y conducta en la relación profesor-estudiante

Valores de la formación de la Universidad ICESIInvitación para asumir y mantener la actitud activa del estudiantey su responsabilidad y compromiso con su propio proceso deaprendizaje.Inculcar la preocupación permanente de su compromiso con elbienestar de la sociedad, de su responsabilidad social en elejercicio de su profesión.El papel del profesor es ser un guía para que el estudianteconstruya su conocimiento, y no el responsable del aprendizajedel estudiante.

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Motivación

Se espera que el factor de automotivación sea intrínseco a la condición deestudiante. Una persona convencida de que el estudio y la formación es la basede su realización no requiere que lo estén motivando, o dando razones paraestar motivado o para aprender.

Respeto

Respeto por la persona, sus opiniones, creencias y posturas en la vida. Estoimplica un uso adecuado del lenguaje y un trato respetuoso con los demás.

Cada estudiante es libre de preguntar lo que considere pertinente preguntar,independientemente de los comentarios o burlas de sus compañeros.

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Capacidades y valoresEjercicio y formación del análisis crítico y autocrítico frente a loque dicen los libros, internet, el profesor, sus compañeros, susamigos, y sobre todo, frente a lo que piensa y dice uno mismo.Curiosidad intelectual y por la solución de problemas.Planeación y perseverancia, relativas ambas a aquello que dévalor y contribuya eficazmente al objetivo que se persiga.

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Asistencia

La lista de asistencia se utilizará como mecanismo de familiarización con losnombres de los estudiantes.

La asistencia al curso se deja al criterio del estudiante, por lo que no se llevarácontrol de asistencia con fines de pérdida del curso por esta causa.

Todo estudiante que opte por no asistir a una o más sesiones de clase esresponsable de ponerse al día en los temas programados y de cumplir concualquier tipo de trabajo o tarea que se asigne.

Las pruebas de cualquier tipo que se realicen en dichas sesiones de clase no serepetirán, y la nota respectiva para los estudiantes que no hayan asistido a lasmismas, será de 0.0

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Exámenes

Durante la presentación de un examen no está permitido atender llamadas nienviar o recibir mensajes de ningún tipo a través del celular o de otros aparatos.

Durante la presentación de un examen no está permitido ausentarse del salón.

Las pruebas y exámenes son individuales. Se considera una falta grave elfraude o el intento de fraude. Copiar de internet o de trabajos de otroscompañeros para presentarlos como propios es fraude, así sea con el permisode los autores originales.

Las pruebas supletorias (que corresponden únicamente a EXAMENESPARCIALES según el reglamento estudiantil) se realizarán únicamente previaaprobación del Director de la Carrera o Programa.

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OtrasEl uso de celulares y aparatos de funciones similares interactivascomo localizadores están permitidos en clase, siempre y cuandopermanezcan en modo discreto y cuando se conteste para hablar,se haga por fuera del salón.Sólo pueden asistir a clase y presentar pruebas y exámenesquienes estén en las listas oficiales de curso, sin excepción.El principal medio de comunicación (fuera de las sesiones declase) es el correo electrónico.

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Otras

El resultado del desarrollo de las asignaciones de trabajo que se tengan comopreparación para clase, deben traerse a clase en medio digital, para exponer enel video-beam.

La forma de evaluación del curso es la presentada en el primer día de clases yno es modificable.

Además de lo expuesto en este documento, se deberá tener en cuenta loestablecido en el documento del Proyecto Educativo Institucional y delReglamento Estudiantil.

Las notas se entregan con una sola cifra decimal. Las definitivas estarán entre1.0 y 5.0 a no ser que se presenten casos de fraude u otras eventualidades.

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Presentación Contenido temático

Agenda del día



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Contenido (Sujeto a cambios) I

1 Métodos de demostración [2 sesiones]Método de demostración directaMétodos de demostración indirecta

2 Fundamentos de Teoría de Conjuntos [2 sesiones]Noción de conjunto y elementoRelación de pertenencia e inclusiónOperaciones entre conjuntosPropiedades de las operaciones entre conjuntos

3 Funciones [2 sesiones]Funciones de A en BFunciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivasÁlgebra de funcionesFunción inversaFunciones especiales en matemáticas discretas: Funciones piso,techo o función característica

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Contenido (Sujeto a cambios) II

4 Inducción y recursividad [4 sesiones]Inducción matemática débilInducción fuerteDefiniciones recursivasInducción estructuralAlgoritmos recursivosComprobación formal de algoritmos recursivos

5 Cálculo lambda [2 sesiones]Introducción al cálculo lambda.Estructura de términos y sustitución.Combinadores, funciones numéricas y recursiónFunciones computablesBeta reducción y beta equivalencia

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Contenido (Sujeto a cambios) III

6 Relaciones de recurrencia [2 sesiones]Definición y ejemplosResolución de relaciones de recurrencia lineales y no linealeshomogéneas con coeficientes constantes

7 Teoría de números [4 sesiones]DivisibilidadAlgoritmo de la divisiónLema de EuclidesTeorema de BezoutCongruencias y Teorema Chino del residuo

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Contenido (Sujeto a cambios) IV

8 Relaciones de equivalencia y Conjuntos parcialmenteordenados [3 sesiones]

RelacionesRelaciones n-ariasRelación de equivalenciaPartición y conjunto cocienteRelaciones de ordenElementos distinguidos en conjuntos parcialmente ordenados

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Contenido (Sujeto a cambios) V

9 Álgebras de Boole [2 sesiones]Operación binariaPropiedades de las operaciones binariasÁlgebras de BooleTeoremas fundamentalesFormas normalesCompuertas lógicas y circuitosSimplificación de circuitos

10 Introducción a la teoría de grafos [4 sesiones]Definiciones y terminología básicaRepresentación e isomorfismo de grafosConexidadCaminos Eulerianos y Hamiltonianos

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Presentación Evaluación

Agenda del día



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Presentación Evaluación

Evaluación

Control de Estudio Previo (CEP) 12%Primer examen parcial 22%Segundo examen parcial 22%Tercer examen parcial 22%Pruebas cortas (3) 22%

A tener en cuentaLos CEP pueden ser orales o escritos, individuales o en parejas.La evaluación de las presentaciones de mapas conceptuales yparticipación durante las discusiones y resolución de ejercicios enel tablero se incluirán en el el ítem CEP.

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Presentación Aplicaciones y relaciones de la Matemática Discreta

Agenda del día



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Matemática Discreta y su relación con otros cursos

Lógica Formal → Matemática Discreta

Lógica proposicional → reglas de inferencia → métodos de demostración →demostraciones de resultados y propiedades sobre estructuras discretas.

Matemática Discreta → Informática Teórica

Métodos de demostración → verificar propiedades y teoremas en informáticateórica.

Relaciones de equivalencia → autómatas.

Teoría de conjuntos → alfabetos, cadenas y lenguajes.

Teoría de conjuntos → autómatas.

Teoría de conjuntos → Lenguajes y gramáticas independientes de contexto.

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Matemática Discreta→ Informática TeóricaTeoría de conjuntos→ Máquinas de Turing.Teoría de conjuntos→ decidibilidad.Teoría de grafos→ autómatas.Teoría de grafos→ Máquinas de Turing.Inducción→ verificar propiedades y teoremas en informáticateórica.

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Matemática Discreta→ Inteligencia artificialTeoría de conjuntos→ representación del conocimientoFunciones→ algoritmos para la solución de problemas eninteligencia artificialRelaciones→ representación del conocimiento.

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Matemática Discreta→ Lógica Digital y laboratorioAlgebras de Boole→ estructura de circuitos digitales.Funciones Booleanas→ compuertas lógicas.Algebras de Boole→ minimización de circuitos.Algebras de Boole→ sistemas binarios de numeración.

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Matemática Discreta en la actividad profesional

CriptografíaBases de datosLogísticaAlgoritmosInvestigación científicaentre otros ...

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Métodos de Demostración Objetivos de la sesión de clase

Agenda del día



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Métodos de Demostración Objetivos de la sesión de clase

Objetivos de la sesión de clase

Saber que son:Reglas de inferenciaFalaciasArgumentos válidosArgumentos incorrectosDemostraciones

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Métodos de Demostración Mapa conceptual

Agenda del día



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Mapa conceptual¿Qué es una demostración? (Sección 1.5 páginas 52-58)

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Reglas de inferencia

Reglas de InferenciaRegla de inferencia Tautologia Nombre

p∴ p ∨ q p → (p ∨ q) Adición

p ∧ q∴ p (p ∧ q) → p Simplificación

pq∴ p ∧ q

((p) ∧ (q)) → (p ∧ q) Conjunción

pp → q∴ q

[p ∧ (p → q)] → q Modus ponens

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Reglas de inferencia

Reglas de InferenciaRegla de inferencia Tautologia Nombre

¬qp → q∴ ¬p

[¬q ∧ (p → q)] → ¬p Modus tollens

p → qq → r∴ p → r

[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Silogismo hipotético

p ∨ q¬p∴ q

[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo disyuntivo

p ∨ q¬p ∨ r∴ q ∨ r

[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] → (q ∨ r) Ley de resolución

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Reglas de inferencia para sentencias cuantificadas

Reglas de Inferencia para sentencias cuantificadasRegla de inferencia Nombre∀x P(x)∴ P(c) Particularización universal

P(c) para un c arbitrario∴ ∀x P(x) Generalización universal

∃x P(x)∴ P(c) para algún elemento c Particularización existencial

P(c) para algún elemento c∴ ∃x P(x) Generalización existencial

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Métodos de Demostración Ejercicios

Agenda del día



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Ejercicios

Ejercicio

¿Qué regla de inferencia se usa en el siguiente argumento?

a) Alicia estudia matemáticas. Por tanto Alicia estudia bien matemáticas obien ingeniería informática.

R:/ p = Alicia estudia matemáticas,q = Alicia estudia ingeniería informática.Tenemos p como premisa y p ∨ q como conclusión, entonces

p∴ p ∨ q (adición)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = Alicia estudia matemáticas,q = Alicia estudia ingeniería informática.

Tenemos p como premisa y p ∨ q como conclusión, entoncesp∴ p ∨ q (adición)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = Alicia estudia matemáticas,q = Alicia estudia ingeniería informática.Tenemos p como premisa y p ∨ q como conclusión, entonces

p∴ p ∨ q (adición)

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Ejercicios

Ejercicio


b) Jerry estudia matemáticas e ingeniería informática. Por tanto Jerryestudia matemáticas.

R:/ p = Jerry estudia matemáticas,q = Jerry estudia ingeniería informática.Tenemos p ∧ q como premisa y p como conclusión, entonces

p ∧ q∴ p (simplificación)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = Jerry estudia matemáticas,q = Jerry estudia ingeniería informática.

Tenemos p ∧ q como premisa y p como conclusión, entoncesp ∧ q∴ p (simplificación)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = Jerry estudia matemáticas,q = Jerry estudia ingeniería informática.Tenemos p ∧ q como premisa y p como conclusión, entonces

p ∧ q∴ p (simplificación)

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Ejercicios

Ejercicio


c) Si llueve se cierra la piscina. Llueve; por tanto, está cerrada.

R:/ p = llueve,q = se cierra la piscinaTenemos p → q y p como premisas y q como conclusión,entonces

p → qp∴ q

(modus ponens)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = llueve,q = se cierra la piscina

Tenemos p → q y p como premisas y q como conclusión,entonces

p → qp∴ q

(modus ponens)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = llueve,q = se cierra la piscinaTenemos p → q y p como premisas y q como conclusión,entonces

p → qp∴ q

(modus ponens)

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Ejercicios

Ejercicio


d) Si nieva hoy, se cerrará la universidad. La universidad no está cerradahoy. Por tanto no nieva hoy.

R:/ p = nieva hoy,q = hoy se cierra la universidadTenemos p → q y ¬q como premisas y ¬p como conclusión,entonces

p → q¬q∴ ¬p

(modus tollens)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = nieva hoy,q = hoy se cierra la universidad

Tenemos p → q y ¬q como premisas y ¬p como conclusión,entonces

p → q¬q∴ ¬p

(modus tollens)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = nieva hoy,q = hoy se cierra la universidadTenemos p → q y ¬q como premisas y ¬p como conclusión,entonces

p → q¬q∴ ¬p

(modus tollens)

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Ejercicios

Ejercicio


e) Si voy a nadar, entonces estaré al sol demasiado tiempo. Si estoy al soldemasiado tiempo, me quemaré. Por tanto, si voy a nadar me quemaré.

R:/ p = voy a nadar,q = estoy al sol demasiado tiempo,r = me quemoTenemos p → q y q → r como premisas y p → rcomo conclusión, entonces

p → qq → r∴ p → r

(silogismo hipotético)

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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = voy a nadar,q = estoy al sol demasiado tiempo,r = me quemo

Tenemos p → q y q → r como premisas y p → rcomo conclusión, entonces

p → qq → r∴ p → r


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Ejercicios

Ejercicio



R:/ p = voy a nadar,q = estoy al sol demasiado tiempo,r = me quemoTenemos p → q y q → r como premisas y p → rcomo conclusión, entonces

p → qq → r∴ p → r


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Ejercicios

EjercicioConstruya un argumento utilizando reglas de inferencia para mostrarque las hipótesis “Si no llueve o si no hace niebla, entonces secelebrará la competición de barcos y se hará una demostración de lossalvavidas”, “Si se celebra la competición de barcos, se entregará untrofeo” y “El trofeo no se ha entregado” implican la conclusión “Llovió”.

R:/ p = llueve, q = hace niebla, r = se celebra la competiciónde barcos, s = se hace una demostración de barcos,t = se entrega un trofeoTenemos (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s), r → t , ¬t

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Ejercicios


R:/ p = llueve, q = hace niebla, r = se celebra la competiciónde barcos, s = se hace una demostración de barcos,t = se entrega un trofeo

Tenemos (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s), r → t , ¬t

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Ejercicios


R:/ p = llueve, q = hace niebla, r = se celebra la competiciónde barcos, s = se hace una demostración de barcos,t = se entrega un trofeoTenemos (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s), r → t , ¬t

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis

2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis

3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 2

4. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 3

5. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 4

6. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis

7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 6

8. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 7

9. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Paso Razonamiento1. ¬t Hipótesis2. r → t Hipótesis3. ¬r Modus tollens usando paso 1 y 24. ¬r ∨ ¬s Adición usando el paso 35. ¬(r ∧ s) Ley de De Morgan usando el paso 46. ¬p ∨ ¬q → r ∧ s Hipótesis7. ¬(¬p ∨ ¬q) Modus tollens usando el paso 5 y 68. p ∧ q Ley de De Morgan usando el paso 79. p Simplificación del paso 8

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Ejercicios

Ejercicio

Construya un argumento utilizando reglas de inferencia para mostrar que“Ningún hombre es una isla. Manhattan es una isla. Por tanto Manhattan noes un hombre”.

R:/ P(x) = x es un hombre, Q(x) = x es una islaTenemos como premisas ∀x P(x) → ¬Q(x), Q(Manhattan)y como conclusión ¬P(Manhattan)

Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 13. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 35. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio



Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis

2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 13. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 35. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio



Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 1

3. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 35. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio



Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 13. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis

4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 35. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio



Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 13. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 3

5. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio



Paso Razonamiento1. Q(Manhattan) Hipótesis2. ¬¬Q(Manhattan) Doble negación usando 13. ∀x P(x) → ¬Q(x) Hipótesis4. P(Manhattan) → ¬Q(Manhattan) Particularización universal usando 35. ¬P(Manhattan) Modus tollens usando 2 y 4

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Ejercicios

Ejercicio


a) Los canguros viven en Australia y son marsupiales. Por tanto, loscanguros son marsupiales.

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Ejercicios

Ejercicio


b) Estamos a más de 40 ◦C hoy o la polución es peligrosa. Estamos amenos de 40 ◦C hoy. Por tanto, la polución es peligrosa.

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Ejercicios

Ejercicio


c) Linda es una excelente nadadora. Si Linda es una excelente nadadora,entonces puede trabajar como salvavidas. Por tanto, Linda puede trabajarcomo salvavidas.

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Ejercicios

Ejercicio


d) Susana trabajará en una compañía de informática en verano. Por tanto,este verano Susana trabajará en una compañía de informática odeambulará por la playa.

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Ejercicios

Ejercicio


e) Si trabajo toda la noche, podré resolver todos los problemas. Si puedoresolver todos los problemas, entenderé la asignatura. Por tanto, si trabajotoda la noche, entonces entenderé la asignatura.

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Ejercicios

EjercicioConstruya un argumento utilizando reglas de inferencia para mostrarque las hipótesis “Randy trabaja duro”, “Si Randy trabaja duro, será unchico soso”. “Si Randy es un chico soso, no conseguirá el trabajo”implican la conclusión “Randy no conseguirá el trabajo”.

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Ejercicios

EjercicioConstruya un argumento utilizando reglas de inferencia para mostrarque las hipótesis “Todos los hombres son mortales”, “Sócrates es unhombre”, implican que, “Sócrates es mortal”.

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Métodos de Demostración Presentación del siguiente tema

Agenda del día



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Sobre métodos de demostración

Preguntas de interés1 ¿Qué es una demostración?

Es un argumento en que se haempleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidadde algo.

2 ¿Cuándo un argumento es válido? Cuando las premisas ohipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera.

3 ¿Qué forma tiene un teorema? p → q4 ¿Qué tipo de demostraciones existen? Directas e Indirectas ...

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Preguntas de interés1 ¿Qué es una demostración? Es un argumento en que se ha

empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidadde algo.



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2 ¿Cuándo un argumento es válido?

Cuando las premisas ohipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera.


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3 ¿Qué forma tiene un teorema?

p → q4 ¿Qué tipo de demostraciones existen? Directas e Indirectas ...

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3 ¿Qué forma tiene un teorema? p → q

4 ¿Qué tipo de demostraciones existen? Directas e Indirectas ...

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3 ¿Qué forma tiene un teorema? p → q4 ¿Qué tipo de demostraciones existen?

Directas e Indirectas ...

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Método Directo

Se supone la(s) hipótesis y se emplea un proceso lógico deductivopara demostrar de manera directa la conclusión.

EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par.

Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → q

Si n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es par

Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros.

Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero.

Portanto n + m es par.

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Método Directo


EjemploLa suma de enteros pares es par. Escribimos este enunciado en laforma p → qSi n es par y m es par, entonces n + m es parSuponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k y m = 2l donde k y l son enteros. Se sigue quen + m = 2k + 2l = 2(k + l) y sabemos que k + l es un entero. Portanto n + m es par.

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Método Indirecto - Contrarecíproca

Para mostrar p → q se muestra ¬q → ¬p.

¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?

p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).

¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?

Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .

En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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¿Por qué es válido el método de la contrarecíproca?p → q es lógicamente equivalente a (¬q → ¬p).¿Qué significa que dos fórmulas sean lógicamente equivalentes?Los valores de verdad de ambas fórmulas siempre son iguales .En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que laimplicación inicial

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Método Indirecto - Contrarrecíproca

Ejemplo

Para todo entero n, si n2 es impar entonces n es impar.

Como p → q ≡ ¬q → ¬p lo anterior es equivalente a decir que paratodo entero n, si n es par, n2 es par.Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k donde k es un entero. Se sigue que n2 = 4k2 = 2(2k2).Por tanto n2 se puede representar como 2m donde m = 2k yconcluimos que n2 es par.

¿Porqué es necesario la contrarrecíproca para probar esta propiedad?En este caso la demostración directa no nos muestra un camino muyobvio.Si suponemos que n2 = 2k + 1 tenemos que n = ±

√2k + 1 lo cual no

es muy útil.

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Ejemplo

Para todo entero n, si n2 es impar entonces n es impar.Como p → q ≡ ¬q → ¬p lo anterior es equivalente a decir que paratodo entero n, si n es par, n2 es par.

Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k donde k es un entero. Se sigue que n2 = 4k2 = 2(2k2).Por tanto n2 se puede representar como 2m donde m = 2k yconcluimos que n2 es par.



es muy útil.

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Ejemplo

Para todo entero n, si n2 es impar entonces n es impar.Como p → q ≡ ¬q → ¬p lo anterior es equivalente a decir que paratodo entero n, si n es par, n2 es par.Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k donde k es un entero.

Se sigue que n2 = 4k2 = 2(2k2).Por tanto n2 se puede representar como 2m donde m = 2k yconcluimos que n2 es par.



es muy útil.

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Ejemplo

Para todo entero n, si n2 es impar entonces n es impar.Como p → q ≡ ¬q → ¬p lo anterior es equivalente a decir que paratodo entero n, si n es par, n2 es par.Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k donde k es un entero. Se sigue que n2 = 4k2 = 2(2k2).

Por tanto n2 se puede representar como 2m donde m = 2k yconcluimos que n2 es par.



es muy útil.

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Ejemplo

Para todo entero n, si n2 es impar entonces n es impar.Como p → q ≡ ¬q → ¬p lo anterior es equivalente a decir que paratodo entero n, si n es par, n2 es par.Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, esdecir n = 2k donde k es un entero. Se sigue que n2 = 4k2 = 2(2k2).Por tanto n2 se puede representar como 2m donde m = 2k yconcluimos que n2 es par.



es muy útil.

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Ejemplo


¿Porqué es necesario la contrarrecíproca para probar esta propiedad?

En este caso la demostración directa no nos muestra un camino muyobvio.Si suponemos que n2 = 2k + 1 tenemos que n = ±


es muy útil.

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Ejemplo


¿Porqué es necesario la contrarrecíproca para probar esta propiedad?En este caso la demostración directa no nos muestra un camino muyobvio.

Si suponemos que n2 = 2k + 1 tenemos que n = ±√

2k + 1 lo cual noes muy útil.

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Ejemplo




es muy útil.

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Método de Contradicción - Reducción al absurdo

Para probar que p es verdadero,

Suponemos que podemos encontrar una contradicción q tal que¬p → q es verdadera.Como ¬p → q ≡ ¬p → F ¬p debe ser falsa y por tal p esverdadera.Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar unacontradicción.Consecuentemente para probar p → q debemos probar que(p ∧ ¬q) → C, tal que C es una contradicción.

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Para probar que p es verdadero,Suponemos que podemos encontrar una contradicción q tal que¬p → q es verdadera.

Como ¬p → q ≡ ¬p → F ¬p debe ser falsa y por tal p esverdadera.Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar unacontradicción.Consecuentemente para probar p → q debemos probar que(p ∧ ¬q) → C, tal que C es una contradicción.

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Para probar que p es verdadero,Suponemos que podemos encontrar una contradicción q tal que¬p → q es verdadera.Como ¬p → q ≡ ¬p → F ¬p debe ser falsa y por tal p esverdadera.

Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar unacontradicción.Consecuentemente para probar p → q debemos probar que(p ∧ ¬q) → C, tal que C es una contradicción.

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Para probar que p es verdadero,Suponemos que podemos encontrar una contradicción q tal que¬p → q es verdadera.Como ¬p → q ≡ ¬p → F ¬p debe ser falsa y por tal p esverdadera.Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar unacontradicción.

Consecuentemente para probar p → q debemos probar que(p ∧ ¬q) → C, tal que C es una contradicción.

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Para probar que p es verdadero,Suponemos que podemos encontrar una contradicción q tal que¬p → q es verdadera.Como ¬p → q ≡ ¬p → F ¬p debe ser falsa y por tal p esverdadera.Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar unacontradicción.Consecuentemente para probar p → q debemos probar que(p ∧ ¬q) → C, tal que C es una contradicción.

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)

Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) .

Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1

ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1

por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k

entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar.

Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Ejemplo

Si n2 es par entonces n es par (p → q)Suponemos que n2 es par y n es impar (p ∧ ¬q) . Por lo tanto existeun entero k tal que n = 2k + 1 ahora,n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 por tal n2 = 2l + 1donde l = 2k2 + 2k entonces n2 es impar. Hemos llegado a unacontradicción pues n2 es par y n2 es impar

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Disyunción de Casos

Para demostrar una implicación de la forma,p = p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn → q.

Se demuestra que p1 → q ∧ p2 → q ∧ p3 → q ∧ . . . ∧ pn → q

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Ejemplo∀x , y ∈ R, |xy | = |x ||y |, donde x e y son números reales

Tenemos p = x e y son números reales, q = |xy | = |x ||y |Sabemos que p ≡ p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 donde p1 = x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,p2 = x ≥ 0 ∧ y < 0, p3 = x < 0 ∧ y ≥ 0, p4 = x < 0 ∧ y < 0Por tanto para demostrar p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 → q probamosp1 → q ∧ p2 → q ∧ p3 → q ∧ p4 → q

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Ejemplo∀x , y ∈ R, |xy | = |x ||y |, donde x e y son números realesTenemos p = x e y son números reales, q = |xy | = |x ||y |

Sabemos que p ≡ p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 donde p1 = x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,p2 = x ≥ 0 ∧ y < 0, p3 = x < 0 ∧ y ≥ 0, p4 = x < 0 ∧ y < 0Por tanto para demostrar p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 → q probamosp1 → q ∧ p2 → q ∧ p3 → q ∧ p4 → q

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Ejemplo∀x , y ∈ R, |xy | = |x ||y |, donde x e y son números realesTenemos p = x e y son números reales, q = |xy | = |x ||y |Sabemos que p ≡ p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 donde p1 = x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,p2 = x ≥ 0 ∧ y < 0, p3 = x < 0 ∧ y ≥ 0, p4 = x < 0 ∧ y < 0

Por tanto para demostrar p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 → q probamosp1 → q ∧ p2 → q ∧ p3 → q ∧ p4 → q

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Ejemplo∀x , y ∈ R, |xy | = |x ||y |, donde x e y son números realesTenemos p = x e y son números reales, q = |xy | = |x ||y |Sabemos que p ≡ p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 donde p1 = x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,p2 = x ≥ 0 ∧ y < 0, p3 = x < 0 ∧ y ≥ 0, p4 = x < 0 ∧ y < 0Por tanto para demostrar p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 → q probamosp1 → q ∧ p2 → q ∧ p3 → q ∧ p4 → q

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Ejemplop1 → q : suponemos p1, lo cual nos dice que x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,entonces xy ≥ 0 por lo que |xy | = xy = |x ||y |

p2 → q : suponemos p2, lo cual nos indica que x ≥ 0 ∧ y < 0,entonces xy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = x(−y) = |x ||y |p3 → q : suponemos p3, lo cual nos lleva a x < 0 ∧ y ≥ 0, entoncesxy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = (−x)y = |x ||y |p4 → q : suponemos p4, lo cual nos dice que x < 0 ∧ y < 0,entonces xy > 0 por lo que |xy | = (−x)(−y) = |x ||y |Hemos completado la demostración.

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Ejemplop1 → q : suponemos p1, lo cual nos dice que x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,entonces xy ≥ 0 por lo que |xy | = xy = |x ||y |p2 → q : suponemos p2, lo cual nos indica que x ≥ 0 ∧ y < 0,entonces xy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = x(−y) = |x ||y |

p3 → q : suponemos p3, lo cual nos lleva a x < 0 ∧ y ≥ 0, entoncesxy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = (−x)y = |x ||y |p4 → q : suponemos p4, lo cual nos dice que x < 0 ∧ y < 0,entonces xy > 0 por lo que |xy | = (−x)(−y) = |x ||y |Hemos completado la demostración.

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Ejemplop1 → q : suponemos p1, lo cual nos dice que x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,entonces xy ≥ 0 por lo que |xy | = xy = |x ||y |p2 → q : suponemos p2, lo cual nos indica que x ≥ 0 ∧ y < 0,entonces xy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = x(−y) = |x ||y |p3 → q : suponemos p3, lo cual nos lleva a x < 0 ∧ y ≥ 0, entoncesxy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = (−x)y = |x ||y |

p4 → q : suponemos p4, lo cual nos dice que x < 0 ∧ y < 0,entonces xy > 0 por lo que |xy | = (−x)(−y) = |x ||y |Hemos completado la demostración.

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Ejemplop1 → q : suponemos p1, lo cual nos dice que x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,entonces xy ≥ 0 por lo que |xy | = xy = |x ||y |p2 → q : suponemos p2, lo cual nos indica que x ≥ 0 ∧ y < 0,entonces xy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = x(−y) = |x ||y |p3 → q : suponemos p3, lo cual nos lleva a x < 0 ∧ y ≥ 0, entoncesxy ≤ 0 por lo que |xy | = −xy = (−x)y = |x ||y |p4 → q : suponemos p4, lo cual nos dice que x < 0 ∧ y < 0,entonces xy > 0 por lo que |xy | = (−x)(−y) = |x ||y |Hemos completado la demostración.

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Contraejemplo

Un teorema que tenga la forma ∀xP(x) y del cual tengamos duda quesea verdadero o que no se pueda encontrar una demostración, sehalla un elemento x ′ ∈ D, en donde P(x ′) sea falso.

Ejemplo“Todos los números primos son impares”

Podemos demostrar que esta sentencia es falsa si encontramos uncontraejemplo. Es decir, si encontramos un número primo que sea par.2 es un número par y es un número primo. Hemos probado que lasentencia “Todos los números primos son impares” es falsa.

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Contraejemplo


Ejemplo“Todos los números primos son impares”Podemos demostrar que esta sentencia es falsa si encontramos uncontraejemplo. Es decir, si encontramos un número primo que sea par.

2 es un número par y es un número primo. Hemos probado que lasentencia “Todos los números primos son impares” es falsa.

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Contraejemplo


Ejemplo“Todos los números primos son impares”Podemos demostrar que esta sentencia es falsa si encontramos uncontraejemplo. Es decir, si encontramos un número primo que sea par.2 es un número par y es un número primo. Hemos probado que lasentencia “Todos los números primos son impares” es falsa.

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Demostración por equivalencia

Un teorema que tenga la forma p ↔ q, siendo p,q proposiciones, sedemuestra empleando la tautología (p ↔ q)⇔ ((p → q) ∧ (q → p)). Cadaimplicación se demuestra de forma independiente, empleando métodos nonecesariamente iguales. En ocasiones la doble implicación se demuestra deforma similar de ida y vuelta.

Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2

Debemos probar p1 ↔ p2p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2Debemos probar p1 ↔ p2

p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2Debemos probar p1 ↔ p2p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.

Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2Debemos probar p1 ↔ p2p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.

p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2Debemos probar p1 ↔ p2p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.

Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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Ejemplo

Se p1 = n es un entero par y p2 = n + 1 es un entero impar, p1 ≡ p2Debemos probar p1 ↔ p2p1 → p2 : Suponemos p1 lo cual nos dice que n = 2k siendo k un entero.Se sigue que n + 1 = 2k + 1 luego n + 1 es un entero impar.p2 → p1 : Suponemos p2. Esto nos indica que n + 1 = 2k + 1 siendo k unentero.Se sigue que n = 2k luego n es un entero par.

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