análse de segurança no projeto de estruturas - método dos estados limites

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002

ANLISE DA SEGURANA NO PROJETO DE ESTRUTURAS: MTODO DOS ESTADOS LIMITES

Leila A. de Castro Motta1 & Maximiliano Malite2

R e s u m o

Este trabalho aborda a introduo da segurana baseada em mtodos probabilsticos, aplicados nos clculos em estados limites, apresentando informaes com o objetivo de esclarecer o meio tcnico em geral a respeito dos fundamentos tericos e das vantagens que tal mtodo apresenta frente ao tradicional mtodo das tenses admissveis. Apresenta-se ainda alguns exemplos de clculo, mostrando a determinao do ndice de confiabilidade e dos coeficientes adotados no mtodo dos estados limites, os quais so calibrados em relao aos tradicionais coeficientes de segurana do mtodo das tenses admissveis. Palavras-chave: Estruturas; estruturas de ao; segurana; confiabilidade; estados limites.

1 INTRODUO

1.1 Avanos na engenharia estrutural

A dcada de 90 do sculo dezenove foi um perodo de progressos na construo de edifcios de ao, com o amadurecimento de muitos sistemas estruturais, mtodos de clculo e tecnologia, por exemplo, tecnologia de solda, construo composta ao-concreto, clculo de estruturas sismo-resistentes, pontes estaiadas, edifcios altos, estruturas de concreto de alta resistncia, e muito mais. Estes avanos na construo de edifcios, claro, no ocorrem isoladamente. Desenvolvimentos paralelos na cincia dos materiais, mecnica aplicada, metalurgia, matemtica, cincias da computao, qumica, fsica, e em muitos outros campos fizeram do sculo vinte talvez o mais excitante para todos os cientistas e engenheiros. As foras estimulantes destas mudanas so muitas e importante destacar que o aparecimento e evoluo das normas tcnicas direcionaram a construo civil, estabelecendo regras a serem cumpridas pelos projetistas e construtores. Buscou-se entender bem a resistncia ltima das estruturas sob carregamentos estticos e dinmicos. Este entendimento foi ento aplicado na prtica de uma forma direta para um projeto especfico ou em normas de clculo. O crescimento da pesquisa em comportamento no linear de estruturas, em anlise computacional, projeto timo (otimizao), anlise e clculo probabilstico tambm se mostrou intenso. Em particular, a pesquisa na aplicao de mtodos 1 Profa. da Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlndia, [email protected] 2 Prof. Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite


2

estocsticos tem representado, no tema segurana estrutural, um dos mais proveitosos esforos de pesquisa dos ltimos quarenta anos. Esta foi, certamente, uma poca de ouro da pesquisa em projeto e construo de edifcios. Os grandes avanos em normas durante os ltimos 40 anos foram:

- a nfase no controle e garantia de qualidade no escritrio de clculo, na fbrica e na obra;

- a emergncia de mtodos de introduo da segurana baseados em probabilidade;

- a mudana do mtodo de introduo da segurana, de tenses admissveis para estados limites;

- a progressiva internacionalizao do processo de elaborao de normas, como por exemplo, os cdigos europeus (EUROCODE).

O papel das normas de clculo garantir a segurana de todas as estruturas construdas sob sua jurisdio. A funo do calculista ento criar uma estrutura que atenda s exigncias mnimas das normas para a segurana e que seja ao mesmo tempo prtica e econmica. necessrio que a norma d ateno praticidade e economia, mas sua principal funo a garantia da segurana. A segurana estrutural pode ser definida pelas duas declaraes seguintes:

- no haver colapso ou outra m funo estrutural durante a construo; - no haver danos srios estrutura ou seus componentes, nem provocar

qualquer trauma fsico ou psicolgico para seus ocupantes durante a vida til da estrutura, como um resultado de eventos extraordinrios que podem ser esperados para ocorrer em intervalos raros;

Calculistas estruturais, guiados pelas normas de clculo e por sua percia e experincia, so cobrados pela sociedade para assegurar tais condies de segurana.

1.2 Segurana estrutural

Projetos sempre foram realizados sob condies de incertezas quanto s aes e resistncia e, as estruturas sempre foram projetadas para resistir a aes maiores do que as realmente esperadas. Historicamente havia dois mtodos bsicos de se impor esta condio de resistncia maior do que as solicitaes:

(1) Projeto em aes ltimas, em que a ao total majorada por um coeficiente de segurana e o projetista demonstra que a estrutura ou elemento estrutural considerado pode suportar esta ao majorada. Simbolicamente, isto pode ser expresso por:

RSS (1) onde: S um coeficiente de segurana aplicado ao carregamento S o carregamento (aes ou solicitaes) na estrutura R a resistncia da estrutura

(2) Projeto em tenses admissveis, em que a tenso do material limitada por alguma frao de sua tenso de falha e o projetista demonstra que, sob o carregamento esperado ou especificado, a tenso alcanada no excede o valor admissvel. Isto tem sido expresso simbolicamente por:

Anlise da segurana no projeto de estruturas: mtodo dos estados limites


3

mRS (2) onde: m um coeficiente de segurana aplicado tenso ltima do material

A equao 1 poderia tratar com diferentes nveis de incerteza das vrias aes atuantes na estrutura, aplicando-se coeficientes distintos a cada uma destas aes. Analogamente a equao 2 pode representar tambm o caso onde dois ou mais materiais diferentes so utilizados, como por exemplo o concreto armado, aplicando coeficientes diferentes nas tenses ltimas do ao e concreto, de acordo com o grau de incerteza associado a cada resistncia respectivamente. Do argumento anterior percebe-se um passo bvio para combinar estas duas aproximaes para introduo da segurana nas estruturas, que seria a introduo de coeficientes de segurana separados em cada tipo de ao e em cada material usado, sendo esta a aproximao adotada pelo novo mtodo de introduo da segurana que surgiria, o clculo em estados limites. Alm disto, j se havia percebido tambm a possibilidade de se quantificar probabilisticamente algumas das incertezas associadas a um projeto estrutural. Vale comentar que o conceito de que uma aproximao probabilstica poderia fornecer uma forma razovel para definir os coeficientes de segurana no era novo quando o mtodo dos coeficientes parciais de segurana foi criado e, foi somente natural que a possibilidade de definir estes coeficientes por meios estatsticos deveria ser considerada. importante ressaltar ainda que o mtodo dos coeficientes parciais a ferramenta utilizada para a aplicao do princpio dos estados limites, ou seja, os estados limites de cada projeto especfico so verificados com a aplicao de coeficientes de clculo individuais a cada varivel do problema (coeficientes parciais). As duas maiores causas de mau funcionamento estrutural so aquelas quantificveis por teoria probabilstica racional e aquelas devidas a causas irracionais.

Solicitao S Resistncia R

Probabilidade de Falha = P (R



4

As causas irracionais de falha so relacionadas a erro humano. Embora tenha havido vrios esforos para quantificar alguns aspectos do erro humano, as principais formas de evitar tal erro so: controle de qualidade no escritrio de clculo e local de construo, educao, desincentivos aos erros (leis e punies), e apontamento de honestidade e integridade de todos os participantes do processo. A maioria das falhas de estruturas so causadas por erro humano e a fuga de tais erros uma importante atividade dentro do processo de construo.

1.3 A evoluo das normas de clculo

A evoluo esquemtica das normas de clculo ilustrada na figura 2, onde o peso da estrutura, refletindo um aspecto do custo da construo, plotado versus o tempo. Quando uma certa estrutura usada pela primeira vez, ela em geral resulta pesada, pois h falta de experincia e confiana. Se experincias bem sucedidas so conseguidas, os calculistas ficam mais confiantes e o peso tende a cair. Esta tendncia s vezes continua at ocorrer uma falha, em reao, as exigncias de peso aumentam novamente, muitas vezes mais do que o necessrio. O peso eventualmente decresce gradualmente at que um nvel de clculo satisfatrio, testado com o tempo, seja alcanado. O processo descrito pelo esquema da figura 2 lento, caro e algumas vezes at mesmo trgico. Muitas das pesquisas em clculo probabilstico tm-se focalizado no alvio destas demoras e no desenvolvimento de esquemas de calibrao de normas que permitam evoluo mais rpida de otimizao.

desempenho testado

com o tempo

Tempo

desastre

Primeiras Utilizaes

Peso da Estrutura

satisfatoriamente

Figura 2 - Evoluo do peso de uma estrutura ao longo do tempo

partir de 1960 duas correntes poderosas de mudana no clculo estrutural comearam a se fazer sentir: a emergncia de clculo em estados limites e a idia de que os parmetros de clculo podem ser racionalmente quantificados atravs da teoria de probabilidade.

1.4 A emergncia de clculo em estados limites

O mtodo de clculo estrutural tradicional que dominou a maioria do sculo vinte foi o mtodo de clculo em tenses admissveis. Ele teve origem na metade do sculo anterior quando os princpios de mtodos viveis de anlise linear elstica foram formulados, o que levou convenientemente ao clculo de tenses. No mtodo das tenses admissveis a estrutura investigada sob aes de trabalho (nominais), impondo-se que uma tenso admissvel no seja excedida. As



5

aes de trabalho so as mximas aes esperadas para o tempo de vida til da estrutura. As tenses resultantes so calculadas admitindo comportamento elstico e linear. A tenso admissvel uma frao de alguma tenso limitante, tal como a tenso de escoamento ou a tenso crtica de flambagem. A relao da tenso limitante para a tenso admissvel denominada fator de segurana. Este fator prev a possibilidade de ocorrncia de valores desfavorveis das aes e propriedades dos materiais, assim como as incertezas do modelo terico. Os valores dos fatores de segurana representam o juzo e experincia coletiva da atividade do clculo estrutural. O clculo em tenses admissveis um mtodo de clculo muito atrativo, fcil de usar do ponto de vista computacional e de fcil compreenso. O calculista verifica que a estrutura segura sob aes que so fixadas em valores altos, usando uma tenso admissvel substancialmente abaixo de um valor limitante. O mtodo assegura que sob condies extremas de carregamento, que podem ser verificadas facilmente, a estrutura responde elasticamente. No h problemas com a presena de mltiplas aes, podendo haver a superposio de efeitos. Assegurando a no superao de uma tenso admissvel elstica, a maioria dos problemas de utilizao so tambm levados em conta automaticamente. Se tem-se um mtodo to prtico, por que a mudana? Inicialmente, o mtodo de clculo em tenses admissveis d pouca informao sobre a capacidade real da estrutura. Para diferentes tipos de estruturas, a relao da ao limite baseada em tenses admissveis para a resistncia ltima at certo ponto varivel. Isto especialmente verdade para estruturas indeterminadas estaticamente. Para muitas estruturas (por exemplo estruturas de concreto armado), a suposio de linearidade entre tenses e deformaes, esforos e aes, no muito realista at mesmo sob nveis de ao de trabalho. No comeo deste sculo, ficou tambm evidente para muitos engenheiros, que o mtodo de tenses admissveis no foi uma ferramenta de clculo muito econmica. Isto levou ao desenvolvimento de mtodos de clculo plstico para estruturas de ao no perodo de 1940 a 1950. Outros pesquisadores comearam a perceber a possibilidade de quantificar os juzos e incertezas que so a base dos fatores de segurana, usando teoria de probabilidade. Fora destas vrias razes tais como, teoria de probabilidade, de plasticidade e pesquisa extensa do comportamento de resistncia ltima de vrios tipos de estruturas e conexes, surgiu a primeira gerao de normas de clculo baseadas na capacidade ltima e, eventualmente, conhecidas como normas de clculo em estados limites.

1.5 Normas de clculo em estados limites baseadas em probabilidade

No incio dos anos 60, haviam duas normas de clculo em estados limites nos Estados Unidos. Em outros pases, especialmente no leste da Europa, normas semelhantes estavam em uso cerca de 10 a 15 anos antes. Mais normas surgiram nos anos posteriores, e estas normas formaram a primeira gerao de normas de clculo em estados limites, e foram colocadas em uso por volta de 1990 na maioria dos pases. As linhas comuns entre todas elas so: (1) modelos tericos para avaliao da capacidade de elementos estruturais baseados em pesquisas recentes; (2) os fatores que consideram as incertezas das variveis ao e resistncia so determinados por juzo (opinio) e calibrao com as normas correspondentes em tenses admissveis.



6

A idia de que as variveis ao e resistncia so quantidades aleatrias tem sido sempre aceita pelos engenheiros estruturais, e a base para a aceitao filosfica do conceito de fatores de segurana. Como foi difcil usar os preceitos probabilsticos explicitamente, estes foram aplicados implicitamente atravs do juzo coletivo dos engenheiros construtores e calculistas quando escolheram os fatores de segurana aplicveis. Quanto maior a incerteza suposta da ao ou resistncia, maior o fator de segurana. Os fatores de segurana flutuam acima ou abaixo, dependendo da experincia de insucesso ou sucesso. Dado o tempo suficiente, experincia e juzo produziro estruturas aceitveis que so, em mdia ou na maioria das vezes, seguras e econmicas. De alguma forma nos tempos modernos este processo emprico julgado no totalmente satisfatrio: ele leva muito tempo para adquirir a experincia para os esquemas estruturais novos. Para fazer a verificao da segurana de maneira mais cientfica, mtodos estatsticos e conceitos probabilsticos so mais convenientes. A idia de que esta aproximao forneceria ferramentas de clculo prticas foi adiantada nos anos de 1920 a 1930. Bolotin referiu-se a um livro alemo de 1926 por M. Maier, e a uma srie de publicaes russas, que afirmavam que a teoria de probabilidade poderia ser usada em clculo estrutural. Murzewiki afirmou que W. Wierzbicki (Polnia, 1936) e N. S. Streleckij (URSS, 1935) foram os propositores dos conceitos probabilsticos de segurana. Pouco depois do fim da segunda guerra mundial em 1945, os mtodos de clculo em estados limites com fatores mltiplos de ao, que eram baseados em teoria de probabilidade, comearam a aparecer na URSS e no leste europeu. No oeste, os dois maiores defensores (proponentes) da aproximao probabilstica na era imediata ps-guerra foram Pugsley e Freudenthal. O comit de Pugsley apresentou Instituio Britnica de Engenheiros Estruturais, em 1955, recomendaes que incluam uma srie de coeficientes de ponderao das aes e combinaes de ao que foram obtidos por consenso (opinio) de um conjunto de peritos. O uso de probabilidade foi feito somente de maneira indireta e subjetiva. O trabalho de Pugsley foi o precursor da primeira gerao de normas de clculo em estados limites. A estrutura prtica de criar normas baseadas em probabilidade foi desenvolvida nos anos 60 com os Mtodos de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM) por E. Basler, Benjamin, Cornell, Lind, Ang e outros. No comeo dos anos 70, ferramentas estavam disponveis para desenvolver realmente uma norma de clculo baseada em probabilidade e, a aproximao bsica adotada era considerar as propriedades estatsticas das variveis envolvidas. Duas linhas de trabalho probabilstico podem ser identificadas:

(a) desenvolvimento de mtodos de clculo completamente probabilstico; (b) calibrao de coeficientes parciais por meios probabilsticos.

Esta ltima a linha de maior interesse deste trabalho e tambm a linha com maior aplicao para as normas tcnicas de clculo desenvolvidas at ento.

1.6 As normas em estados limites

Esto listados a seguir os conceitos fundamentais, suposies e metodologias bsicas das normas de clculo em estados limites de segunda gerao:

(1) O formato do critrio de clculo mostrado na equao 3: ele usa a capacidade ltima nominal Rn, que reduzida pelo coeficiente de



7

resistncia , e as aes especificadas em normas, que so ampliadas pelos coeficientes de ponderao . O coeficiente de resistncia geralmente modifica a expresso toda para Rn, mas em algumas normas de clculo em estados limites estes coeficientes podem atuar nos componentes individuais da expresso para Rn.

(2) As especificaes em estados limites reconhecem que as aes, os efeitos das aes e as resistncias so todas quantidades aleatrias cujos valores reais so conhecidos somente atravs da distribuio de probabilidade das quantidades aleatrias individuais que constituem suas partes componentes. feito o uso de mtodos de confiabilidade de primeira ordem ou mtodos de confiabilidade de segunda ordem onde estes forem apropriados, para desenvolver os coeficientes de resistncia , dando confiabilidades aproximadamente uniformes em todo o domnio de clculo.

(3) Os ndices de confiabilidade so calibrados para resultar aproximadamente iguais queles das especificaes anteriores.

(4) Para evitar excessivas complicaes no clculo, o nmero de coeficientes de resistncia diferentes conservado relativamente pequeno.

(5) Os coeficientes de ponderao das aes, as aes propriamente ditas e combinaes destas devem ser indicadas em normas de aes e segurana para serem utilizadas nos clculos com as novas normas em estados limites.

(6) Os critrios de clculo so baseados nos estados limites alcanados pelos elementos estruturais (uma viga, pilar, solda individual, parafuso, metal base ou ligao) ou pela estrutura como um todo (plastificao, por exemplo). Ligaes (parafusos ou soldas) geralmente tm um maior ndice de confiabilidade do que as barras, para forar a falha na barra e no na ligao.

(7) No feita distino quanto s conseqncias de falha. No h qualquer considerao explcita dada estrutura como um sistema composto de barras e ligaes.

i ni j njR Q (3)

para i estados limite para j combinaes de aes onde: o coeficiente de resistncia Rn a resistncia nominal o coeficiente de ponderao das aes Qn o efeito da ao nominal

Fez-se necessrio tambm o desenvolvimento de um conjunto de coeficientes de ponderao das aes mais consistentes com o novo mtodo de clculo e que pudessem dar nova gerao de normas de clculo uma base mais ampla, sendo estes coeficientes aplicveis em estruturas de edifcios feitas de todos os materiais, por exemplo, ao, ao conformado a frio, alumnio, concreto armado e protendido, madeira, alvenaria, etc. As premissas bsicas deste trabalho, que resultaria nas normas de aes e segurana, foram as seguintes:



8

(1) Os coeficientes de ponderao das aes foram desenvolvidos usando FORM ou SORM por calibrao para casos padres de estruturas determinadas estaticamente, calculadas pelas ento correntes especificaes estruturais para ao, concreto armado e protendido, madeira, alumnio e estruturas de alvenaria, buscando um produto final com aproximadamente a mesma confiabilidade.

(2) Os coeficientes de clculo foram desenvolvidos para um tempo de vida til de 50 anos.

(3) As combinaes de aes obedecem regra que quando mais de uma ao varivel, isto , sobrecarga de utilizao, aes do vento, neve, gua ou terremoto, atuam na estrutura, ento somente uma destas toma o seu valor mximo e as outras assumem seus valores reduzidos. Estas aes variveis so ento alternadas para fornecer a combinao crtica para o calculista. O esquema ilustrado pela equao 4.

D D i ni j njQ Q Q+ + (4) onde: i o coeficiente de ponderao das aes para o mximo valor previsto da ao durante a vida til da estrutura. j o coeficiente de ponderao das aes para a ao varivel reduzida ou arbitrada em um certo tempo.

Em resumo, os aspectos de confiabilidade das normas mais recentes podem ser declarados como segue: so especificaes de clculo em estados limites em contedo e formato; seus estados limites aplicam-se aos elementos ou estrutura como um todo; os coeficientes de ponderao das aes e os coeficientes de resistncia so calibrados para dar aproximadamente as mesmas confiabilidades inerentes s especificaes anteriores, testadas na poca para elementos estruturais padres; e mtodos probabilsticos (FORM, SORM) e juzos foram usados em seu desenvolvimento.

2 CONFIABILIDADE DE SISTEMAS DE ENGENHARIA

2.1 Introduo

Um dos principais objetivos do clculo estrutural na engenharia assegurar o desempenho satisfatrio das estruturas com o mximo de economia possvel. Certamente a garantia de desempenho, incluindo a segurana, primeiramente (se no unicamente) responsabilidade de engenheiros. Atingir este objetivo, entretanto, geralmente no um problema simples, particularmente pelo grande nmero de sistemas estruturais existentes. Sistemas estruturais podem falhar ao desempenhar suas funes para as quais foram projetados, pois o risco est geralmente implcito nestes sistemas. No caso de uma estrutura, sua segurana , claramente, uma funo da mxima ao (ou combinao de aes) que lhe pode ser imposta durante seu tempo de vida til e depender tambm da resistncia ou capacidade desta estrutura ou seus componentes, de suportar estas aes. Como a mxima ao da vida til de



9

uma estrutura e sua capacidade real so difceis de serem previstas exatamente, e qualquer previso est sujeita a incertezas, a garantia absoluta da segurana de uma estrutura impossvel. Na realidade, segurana (ou desempenho) podem ser garantidos somente em termos da probabilidade de que a resistncia disponvel (ou capacidade estrutural) ser suficiente para resistir mxima ao ou combinao de aes que poder ocorrer durante a vida til da estrutura.

2.2 Anlise e verificao de confiabilidade

2.2.1 Problema bsico Problemas de confiabilidade em engenharia podem ser definidos como a determinao da capacidade de um sistema que atenda a determinadas condies (exigncias). Na considerao da segurana de uma estrutura, a preocupao assegurar que a resistncia da estrutura seja suficiente para suportar a atuao da mxima ao ou combinao de aes durante a sua vida til. Na realidade, a determinao da resistncia disponvel bem como da mxima solicitao da estrutura no so problemas simples. Estimativas e previses so sempre necessrias para estes tipos de problemas, incertezas so inevitveis pela simples razo de que as informaes relativas aos problemas de engenharia so invariavelmente incompletas. Diante de tais incertezas, a resistncia disponvel e a solicitao real no podem ser determinadas precisamente, elas podem ser descritas como pertencentes a determinados intervalos, podendo ser modeladas como variveis aleatrias. Nestes termos, portanto, a confiabilidade de um sistema pode ser mais realisticamente medida em termos de probabilidade. Para esta proposta, definem-se as seguintes variveis aleatrias:

X = resistncia

Y = solicitao

O objetivo da anlise de confiabilidade assegurar o evento ( )X Y> durante toda a vida til da estrutura. Esta garantia possvel somente em termos da probabilidade ( )P X Y> . Esta probabilidade, portanto, representa a medida realista da confiabilidade do sistema (da estrutura); a probabilidade do evento complementar ( )X Y< a correspondente medida da no confiabilidade. Assumindo no momento, que as distribuies de probabilidade necessrias de X e Y so disponveis, isto , ( )F xX ou ( )f X x e ( )F yY ou ( )f Y y so conhecidas. Se as variveis X e Y so contnuas e no correlacionadas, as probabilidades desejadas podem ento ser formuladas como segue:

( ) ( )p F y yF X=

f Y dy0

ou ( )[ ] ( )p F x xF Y= 10

f X dx (5)

A equao 4 pode ser interpretada graficamente pela figura 3. A correspondente probabilidade de bom desempenho, portanto, :

pS = 1 - pF (6)



10

Como interpretado graficamente na figura 3, a sobreposio das curvas ( )f X x e ( )f Y y representa uma medida da probabilidade de falha pF (CASTRO, 1997). Com isto, observa-se o seguinte:

(1) A regio sobreposta depende das posies relativas de ( )f X x e ( )f Y y , como pode ser visto na figura 4a; quando as duas curvas ficam mais afastadas, pF diminui, ao passo que pF aumenta quando as curvas ( )f X x e

( )f Y y ficam mais prximas. A posio relativa entre ( )f X x e ( )f Y y pode ser medida pela relao X Y/ , que pode ser chamada de fator de segurana central ou pela diferena ( ) X Y que a margem de segurana mdia.

(2) A regio sobreposta tambm depende do grau de disperso de ( )f X x e ( )f Y y , como mostra a figura 4b, comparando a sobreposio das curvas

de linhas pretas com a das curvas de linhas coloridas. Estas disperses podem ser expressas em termos dos coeficientes de variao X e Y.

x ou y

rea = FX(y)

y

fY(y)fX(x)

Figura 3 - Funes densidade de probabilidade ( )f X x e ( )f Y y

Y X2 X1 x ou y

fY(y)

fx1(x)

fx2(x)

Figura 4a - Efeito da posio relativa entre ( )f X x e ( )f Y y em pF



11

Em resumo:

( )p gF X Y X Y / ; , Portanto, qualquer medida de segurana confivel deve ser uma funo da posio relativa de ( )f X x e ( )f Y y , bem como do grau de disperso destas curvas. Na equao 5 assumido que X e Y so variveis aleatrias no correlacionadas. Em geral, entretanto, estas variveis podem ser correlacionadas e, para tais casos, a probabilidade de falha pode ser expressa em termos da funo densidade de probabilidade conjunta como segue:

( ) dydxy,xp0

y

0YX,F

= f (7)

ao passo que a confiabilidade correspondente :

( ) dxdyy,xp0

x

0YX,S

= f (8)

x ou yY X

fY(y)

fX(x)

Figura 4b - Efeito das disperses de ( )f X x e ( )f Y y em pF

2.2.2 Formulao de segundo momento O clculo da probabilidade de segurana ou probabilidade de falha, requer o conhecimento das funes densidade ( )f X x e ( )f Y y , ou da funo densidade conjunta ( )f X,Y x,y . Mas, mesmo quando as distribuies requeridas podem ser especificadas, o clculo exato das probabilidades exigindo uma integrao numrica das equaes 5 a 8 pode ser impraticvel. Como uma alternativa prtica, pode-se recorrer a aproximaes para as distribuies normais equivalentes. Freqentemente as informaes ou dados disponveis podem ser suficientes apenas para estimar os primeiros e segundos momentos; isto , os valores mdios e as varincias das respectivas variveis aleatrias e, talvez as covarincias entre pares de variveis. Medidas prticas de segurana e confiabilidade, portanto, devem ser limitadas a funes destes primeiros momentos. Sob esta condio, a implementao de conceitos de confiabilidade deve, necessariamente, ser limitada formulao



12

baseada nos primeiros e segundos momentos das variveis aleatrias, ou seja, restrita formulao de segundo momento. Pode ser enfatizado que a aproximao de segundo momento consistente tambm com a representao normal equivalente de distribuies no normais. Com a aproximao de segundo momento, a confiabilidade pode ser inteiramente medida como uma funo dos primeiros e segundos momentos das variveis de clculo atravs do ndice de confiabilidade , que definido como funo destes primeiros momentos e equivalente a uma distncia predeterminada da situao de falha.

2.2.2.1 Generalizao A confiabilidade de um sistema de engenharia pode envolver variveis mltiplas. Em particular, a resistncia e a solicitao podem ser, respectivamente, funes de vrias outras variveis. Para tais casos, o problema resistncia-solicitao do item 2.2.1 pode ser generalizado. Esta generalizao freqentemente necessria em engenharia, particularmente quando o problema deve ser formulado em termos das variveis bsicas de clculo. Num sentido mais amplo, a confiabilidade de um sistema de engenharia pode ser definida como a probabilidade que o mesmo apresenta de desempenhar suas funes ou misses pretendidas. O nvel de desempenho de um sistema, obviamente depender das propriedades deste sistema. Neste contexto e para a proposta de uma formulao geral, define-se uma funo desempenho ou funo estado:

g(X) = g(X1, X2, , Xn) (9)

onde X = (X1, X2, , Xn) um vetor de variveis de clculo bsicas do sistema. A exigncia de desempenho limitante pode ser definida como g( ) = 0X , que o chamado estado limite do sistema. Segue, portanto, que:

[g(X) > 0] = estado seguro e [g(X) < 0] = estado de falha

Geometricamente, a equao estado limite, ( ) 0g =X , uma superfcie n-dimensional que pode ser chamada de superfcie de falha. De um lado da superfcie de falha est o estado seguro, g( ) > 0X , ao passo que do outro lado est o estado de falha, g( ) < 0X .

2.2.2.2 Variveis no correlacionadas Introduzindo-se o conjunto de variveis reduzidas no correlacionadas (FREUDENTHAL, 1956):

XX

ii X

X

i

i

' = ; i = 1, 2, , n (10)

obviamente, o estado seguro e o estado de falha podem tambm ser interpretados no espao reduzido das variveis acima, separados pela equao estado limite apropriada. No caso de duas variveis, esta dever ser como mostrado na figura 5. Em termos das variveis reduzidas, Xi, a equao estado limite ser:



13

( )g X XX X X n Xi n n 1 1 0' , , '+ + =K (11) Pode-se observar na figura 5 que quando a superfcie estado limite (ou superfcie de falha), 0=)g(X , se afasta ou se aproxima da origem, a regio segura, g( ) > 0X , aumenta ou diminui. Portanto, a posio da superfcie de falha em relao origem das variveis reduzidas, determinar a segurana ou a confiabilidade do sistema. A posio da superfcie de falha pode ser representada pela distncia mnima da superfcie g( ) = 0X origem das variveis reduzidas; de fato, SHINOZUKA (1983) mostrou que o ponto na superfcie de falha com mnima distncia da origem o ponto mais provvel de falha. Assim, com algum sentido aproximado, esta distncia mnima pode ser usada como uma medida de confiabilidade.

0

x2

x1

g (x1, x2) > 0

g (x1, x2) < 0

g (x1, x2) = 0

Figura 5 - Estados de segurana e de falha no espao de variveis reduzidas

Seguindo SHINOZUKA (1983), a distncia mnima requerida pode ser determinada como segue. A distncia de um ponto X = (X1, X2, , Xn) na superfcie de falha g( ) = 0X origem de X :

( )D X X n= + + =' ' /12 2 1 2K X X' 't o ponto na superfcie de falha, ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K , tendo a mnima distncia da origem pode ser determinado pela minimizao da funo D, sujeita limitao 0=)g(X :

Minimize D, sujeito g(X) = 0. Para esta proposta, o mtodo de multiplicadores de Lagrange pode ser usado. Minimizando D (CASTRO, 1997), chega-se seguinte expresso para a mnima distncia que chamada de ndice de confiabilidade ( dmin = ):

=

xg

X

gX

iii

ii

''

'

*

*

*

2 (12)

onde as derivadas ( ) g X i' * so calculadas em ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K . O ponto mais provvel na superfcie de falha fica:



14

x i i'* *= ; i = 1,2, ,nK (13a)

em que:

i

i

ii

gX

gX

* *

*

'

'

=

2 (13b)

so os co-senos diretores ao longo do xi.

2.2.2.3 Interpretao de primeira ordem As equaes 12 e 13a podem ser interpretadas em bases de aproximaes de primeira ordem para a funo g(X) como segue. Expandindo a funo de desempenho g(X) em srie de Taylor em um ponto x*, que est na superfcie de falha g( *) = 0x , ou seja:

( ) ( ) ( )( )( )

g X X X g x x x X xgX

X x X xg

X X

n n i ii

n

i

i i j ji ji

n

j

n

1 2 1 21

2

11

, , , , , ,* * * **

* *

*

K K

K

= +

+ +

=

==

onde as derivadas so calculadas em ( )x x xn1 2* * *, , ,K . Mas g ( )x x xn1 2* * *, , ,K = 0 na superfcie de falha e, recordando que:

( ) ( ) ( )X x X x X xi i X i X X i X X i ii i i i i = + + = * * *' ' ' ' e

gX

gX

dXdX

gXi i

i

i X ii

= ='

''

1

Ento:

( ) ( )g X X X X x gXn i iin

i1 2

1, , , ' '

'*

*

K K= =

+

Em aproximao de primeira ordem, isto , truncando a srie acima no termo de primeira ordem, o valor mdio da funo g(X), (ANG; TANG, 1984):

g i iin

xg

X

' '* *1 (14)



15

ao passo que a correspondente varincia aproximada em primeira ordem (para variveis no correlacionadas) :

g X iin

ii

n

i

gX

gX

2 2

1

2

1

2

=

' * *' ' (15)

Das equaes 14 e 15, tem-se a relao:

g

g

iii

n

ii

n

xg

X

gX

''

'

*

*

*

1

1

2 (16)

Comparando as equaes 12 e 16, percebe-se que a relao acima a mesma da equao 12 e, assim g g tambm a distncia do plano tangente superfcie de falha em x* origem das variveis reduzidas. Portanto, o ndice de confiabilidade tambm:

= g g (17)

2.2.3 Funes lineares de desempenho Uma funo linear de desempenho pode ser representada como:

( )g a a Xi ii

X = + 0 onde a0 e ais so constantes. A equao estado limite correspondente :

a a Xi ii

0 0+ = (18) Em termos das variveis reduzidas a equao estado limite fica:

( )a a Xi X i Xi

i i0 0+ + = ' (18a) Em trs dimenses, a equao 18a :

( ) ( ) ( )a a X a X a XX X X X X X0 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3 0+ + + + + + = ' ' ' que uma superfcie plana no espao x1, x2, x3 como mostrado na figura 6. A distncia do plano de falha, equao 18a, origem das variveis reduzidas X :



16

( )

=

+

a a

a

i Xi

i Xi

i

i

0

2 (19)

x1

x3

x2

Plano da superfcieestado limite

0

Figura 6 - Superfcie estado limite no espao tridimensional x1, x2, x3

A equao 19 pode tambm ser obtida diretamente da equao 12. Se as variveis aleatrias X1, X2, , Xn so variveis normais no correlacionadas, a probabilidade do estado seguro , para este caso:

p P a a XS i i= + >

0 0

( )pa a

aS

i Xi

i Xi

i

i

= +

10

2

( )pa a

aS

i Xi

i Xi

i

i

=+

0

2

(20)

Comparando as equaes 19 e 20, percebe-se que o argumento entre colchetes da equao 20 a distncia . Portanto, a probabilidade pS uma funo da distncia do plano de falha ( )g X = 0 origem das variveis reduzidas. Portanto, no caso geral de n variveis normais no correlacionadas, a probabilidade de segurana :

( )pS = (20a)



17

Se as distribuies de probabilidade das variveis aleatrias X X Xn1 2, , ,L no so normais, a probabilidade pS pode ser calculada utilizando distribuies normais equivalentes (ANG; TANG, 1984). Com tais distribuies normais equivalentes, o clculo de pS segue o mesmo procedimento visto para as variveis normais. O procedimento descrito anteriormente para o clculo da probabilidade de segurana ou de falha baseado na suposio de que as variveis aleatrias X X Xn1 2, , ,L no so correlacionadas. Para variveis aleatrias correlacionadas, as variveis originais podem ser transformadas em um conjunto de variveis no correlacionadas. O procedimento descrito anteriormente, pode ento ser aplicado ao conjunto no correlacionado de variveis transformadas (CASTRO, 1997). Para funes de desempenho, g(X), que no so lineares, o clculo da probabilidade exata de segurana ou de falha geralmente ser envolvido. A equao estado limite, ( )g X = 0 , ser tambm no linear; ao contrrio do caso linear, no h uma nica distncia da superfcie de falha origem das variveis reduzidas. Como indicado no item 2.2.2, o clculo da probabilidade exata de segurana envolve a integrao da funo densidade de probabilidade conjunta sobre a regio no linear

( )g X > 0 . Para propsitos prticos, ser necessria uma aproximao para a probabilidade de falha ou de segurana. De acordo com os resultados do item 2.2.2, o

ponto ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K na superfcie de falha com mnima distncia origem das variveis reduzidas o ponto mais provvel de falha (SHINOZUKA, 1983). O plano

tangente superfcie de falha em ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K pode ento ser utilizado como aproximao para a superfcie de falha, e o ndice de confiabilidade ou a probabilidade de segurana procurada pode ser calculada como no caso linear do item 2.2.3. Se a superfcie de falha no linear exata for convexa ou cncava para a origem, esta aproximao ser segura ou insegura, respectivamente (CASTRO, 1997).

3 CRITRIO DE CLCULO BASEADO EM PROBABILIDADE

3.1 Critrio de clculo

O principal objetivo de projetos e clculos de engenharia garantir o desempenho do sistema ou produto de clculo. Como isto s pode ser alcanado sob condies de incertezas, a garantia de desempenho realmente possvel somente em termos de probabilidade, ou seja pS. Em geral, anlises probabilsticas sero necessrias para o desenvolvimento de tais clculos baseados em probabilidade. Entretanto, pode-se tambm desenvolver clculos satisfazendo tais condies de confiabilidade sem uma anlise probabilstica completa, isto alcanado atravs da adoo de critrios de clculos determinsticos apropriados (por exemplo, o uso de tradicionais "coeficientes de segurana"). De fato, bases probabilsticas para o clculo sero mais efetivas se implementadas desta forma, isto pode ser conseguido se os "coeficientes de segurana so pr-determinados por condies especficas baseadas em probabilidade. Em particular, para o propsito de clculos mais



18

rotineiros, os mtodos de clculo podem ser especificados em normas de clculo de estruturas, onde tais mtodos tambm devero ser desenvolvidos para satisfazer confiabilidades especificadas. Por razes bvias, os mtodos de clculo devero ser to simples quanto possvel, alm disto, eles devero ser desenvolvidos de uma forma familiar aos usurios ou calculistas. Uma aproximao tradicional e comum para a introduo da segurana atravs do uso de coeficientes de segurana. Estes coeficientes de segurana so utilizados na engenharia estrutural quando os clculos so feitos em tenses admissveis. Outra forma a utilizao de coeficientes de ponderao das aes e coeficientes de resistncia, ou seja, as aes nominais so majoradas pelos coeficientes de ponderao apropriados e as resistncias nominais so minoradas pelos correspondentes coeficientes de resistncia, e a segurana assegurada se a resistncia minorada for maior ou igual s solicitaes majoradas, que a forma mais consistente. 3.1.1 Problema bsico de clculo Com base na premissa de que um projeto de engenharia destinado a garantir a segurana ou o bom desempenho com uma dada confiabilidade pS, o problema bsico de clculo, portanto, envolve a determinao da posio da funo de distribuio de probabilidade da resistncia, como mostrado na figura 4.a, tal que esta esteja suficientemente separada da funo de distribuio de probabilidade das solicitaes para que a probabilidade de falha pF satisfaa a um valor aceitvel ou um valor alvo. Novamente, alm da separao entre ( )f X x e ( )f Y y , a probabilidade de falha, pF, tambm uma funo do grau de disperso ( X e Y ). Uma quantidade que representa estas duas influncias o ndice de confiabilidade ou ndice de segurana . Portanto, especificando um valor de equivalente a prescrever uma confiabilidade alvo, pS, ou uma probabilidade de falha aceitvel, pF. Para o propsito de clculo normalizado, isto , estabelecer previses de clculos em normas, a forma mais geral a utilizao de coeficientes mltiplos de aes e coeficientes de resistncia, como representado pela seguinte condio;

R Si ii

n

=

1 (21)

onde: = coeficiente de resistncia i = coeficiente de ponderao das aes para ser aplicado ao Qi ou solicitao Si.

3.2 Mtodos de segundo momento

No espao das variveis reduzidas, clculos em diferentes nveis de segurana podem ser vistos como correspondentes para satisfazer a diferentes superfcies de falha representadas pelas vrias distncias origem, . O desenvolvimento de um critrio de clculo essencialmente equivalente determinao dos coeficientes de clculo que resultaro em projetos com superfcies de falha que cumpram com um ndice de segurana exigido, isto , a distncia da



19

superfcie de falha origem das variveis reduzidas deve satisfazer a algum valor alvo previamente determinado. Como indicado anteriormente, a forma de clculo mais geral aplicar um coeficiente de clculo em cada uma das variveis bsicas de clculo, conhecido tambm como mtodo dos coeficientes parciais. Sem perda de generalidade, estes coeficientes podem ser aplicados aos respectivos valores mdios das variveis de clculo, assim:

( )g X X n Xn 1 2 21 0, , ,K = (22) Os valores i Xi da equao 22 devero estar na superfcie de falha, em particular, eles devem estar no ponto mais provvel de falha. Assim, os coeficientes parciais de clculo procurados so:

ii

X

x

i

=*

(23)

Portanto, a determinao dos coeficientes de clculo procurados tambm um problema de determinar o ponto mais provvel de falha, xi

* .

No espao das variveis reduzidas, o ponto mais provvel de falha :

x i i'* *=

onde:

i

i

ii

gX

gX

* *

*

'

'

=

2

As variveis originais podem ser obtidas de:

( )iiii X

*iXX

*iX

*i 1x ==

Portanto, os coeficientes de clculo procurados so:

iX*ii 1 = (24)

Na equao 24, os co-senos diretores, i* , devem ser calculados no ponto mais provvel de falha xi

* . Em geral, a determinao de xi* requer uma soluo

iterativa. Para este propsito, o algoritmo simples apresentado a seguir pode ser usado:

(1) Assume-se xi* e obtm-se:

xx

ii X

X

i

i

'**

=



20

(2) Calcula-se ( ) g X i' * e i* . (3) Obtm-se xi X i Xi i

* *= . (4) Repete-se os passos de (1) a (3) at atingir a convergncia.

Os coeficientes de clculo procurados so ento obtidos com a equao 24. Para variveis no normais, Xi e Xi devem ser substitudos pelas mdias e desvios padro normais equivalentes XNi e XNi no algoritmo acima.

4 COEFICIENTES DE CLCULO PARA AS NORMAS EM ESTADOS LIMITES

4.1 Introduo

Quando os critrios utilizados pelas normas de clculo estrutural para garantir o bom desempenho das estruturas so desenvolvidos para diferentes materiais e mtodos de construo, por grupos profissionais interessados e com diversas filosofias de clculo, isto no garante nveis consistentes de segurana e desempenho para diferentes estruturas. Esta diversidade considervel complica o processo de introduo da segurana no clculo. O diferente tratamento dado s aes em cada especificao (norma de clculo) tende a causar confuso e criar a necessidade de realizao de anlises separadas para a mesma estrutura, quando mais de um material estrutural for utilizado. Para simplificar estas anlises tornou-se desejvel o desenvolvimento de coeficientes de ponderao e regras de combinaes das aes que estivessem includas em normas governando aes e clculo geral para todos os materiais estruturais. Os grupos individuais de pesquisa e elaborao das normas tcnicas do material selecionariam ento critrios de resistncia compatveis com as condies gerais de aes. A tendncia contempornea em desenvolvimento de normas a utilizao de conceitos probabilsticos como a base para selecionar critrios de introduo da segurana no clculo. Se o elemento estrutural estiver submetido a somente uma ao varivel alm da ao permanente, a confiabilidade pode ser determinada considerando a combinao da ao permanente com a mxima ao varivel esperada durante algum perodo de referncia T, considerado apropriado para o projeto. Freqentemente, entretanto, mais de uma ao varivel atua em uma estrutura. Quando isto ocorre, extremamente improvvel que cada ao alcance seu valor mximo ao mesmo tempo. Conseqentemente, um elemento estrutural pode ser calculado sob uma ao total menor do que a soma das mximas aes individuais, isto correntemente reconhecido e adotado pelas atuais normas de aes e segurana. Conceitualmente, estas combinaes de aes deveriam ser tratadas com a utilizao da teoria de processos estocsticos que consideram a natureza estocstica e correlao das aes no espao e no tempo. Para anlises prticas de confiabilidade, entretanto, prefervel trabalhar com representaes de variveis aleatrias do que com representaes de processos aleatrios. Talvez a aproximao



21

mais simples para tratar combinaes de aes assumir que a mxima combinao das aes ocorrer quando uma das aes estiver com o seu valor mximo, enquanto as outras aes assumem seus valores instantneos ou arbitrados em um certo tempo. Em outras palavras, a mxima combinao S de uma soma de vrias aes, Xi, durante o perodo de referncia, T, :

+= ij

jiTiXXmaxmaxS (25)

4.2 Anlise dos nveis de confiabilidade do clculo em tenses admissveis

4.2.1 Anlise de dados estatsticos Para o desenvolvimento dos critrios de clculo baseados em probabilidade so requeridos dados das variveis ao e resistncia estrutural. A informao bsica requerida a distribuio de probabilidade de cada varivel ao e resistncia e estimativas de suas mdias e desvios padro ou coeficientes de variao. A mdia e o coeficiente de variao destas variveis bsicas devero ser representativos dos valores esperados para as estruturas reais. Enquanto frequentemente h dados suficientes para obter uma estimativa razovel da distribuio de probabilidade, em muitos outros casos esta pode ser assumida com base em argumentos fsicos ou por convenincia (GALAMBOS, 1982). No contexto da aproximao FOSM (mtodo de segundo momento de primeira ordem) para confiabilidade, o conceito de incerteza, exemplificado pela variabilidade ou disperso de uma varivel, exprimido atravs da varincia ou do coeficiente de variao (cov). As incertezas usadas nas anlises de confiabilidade poderiam incluir variabilidade estatstica dos parmetros da resistncia bsica e das aes, fontes adicionais de incertezas que surgem devido aos erros de previso e modelamento e informaes incompletas. Includos nestas incertezas de modelamento estariam erros em estimativas dos parmetros das funes de distribuio, idealizaes matemticas da capacidade estrutural e das aes reais, incertezas no processo de clculo e variaes nas aplicaes das vrias aes ou nas especificaes dos materiais dos casos idealizados em seu desenvolvimento. Embora ocasionalmente possa haver alguns dados disponveis com os quais estima-se estas ltimas medidas de incertezas, frequentemente elas devem ser estimadas com base em juzo e experincia profissional.

4.2.1.1 Resistncia Valores mdios, coeficientes de variao e distribuies de probabilidade para resistncias estruturais tm sido determinadas atravs de dados de ensaios de resistncia dos materiais, de testes de laboratrio de elementos em escala real sob condies de solicitao idealizadas, e em alguns casos, onde um modelo analtico definido existe claramente, atravs da simulao Monte Carlo. Uma amostra representativa destes dados apresentada na tabela 1 que, segundo GALAMBOS (1982), resume resultados de numerosos programas de pesquisa conduzidos durante vrios anos. Existe uma quantidade substancial de dados para elementos estruturais de ao e concreto armado.



22

Tabela 1 - Resumo dos dados estatsticos de resistncia (GALAMBOS, 1982)

Descrio

(1)

R Rn

(2)

VR

(3)

Distribuio de probabilidade

(4)

Concreto armado, flexo Grau 60 ( ksi 60fy = ) 1,05 0,11 Normal Grau 40 ( ksi 40fy = ) 1,14 0,14 Normal

Colunas curtas de conc. arm. 0,95 0,14 Normal Vigas de conc. arm., cisalhamento

Estribos mnimos 1,00 0,19 Normal Ao estrutural

Elementos tracionados, escoamento

1,05

0,11

Lognormal

Viga compacta, momento uniforme (clculo plstico)

1,07

0,13

Lognormal

Viga-coluna (clculo plstico) 1,07 0,15 Lognormal Ao conformado a frio (chapa dobrada)

Vigas travadas lateralmente 1,17 0,17 Lognormal Alumnio

Vigas travadas lateralmente 1,10 0,08 Lognormal Alvenaria estrutural no armada, compresso

Fabricao no inspecionada 5,30 0,18 Lognormal Nota: =R resistncia mdia

=nR resistncia nominal =RV coeficiente de variao da resistncia

4.2.1.2 Aes Esto resumidos na tabela 2 os valores mdios, coeficientes de variao e distribuies de probabilidade para efeitos das mximas aes em 50 anos e das aes reduzidas. De modo geral, estes estudos estatsticos so um resumo de valores relatados em vrios estudos anteriores de aes e modelos de aes estruturais, comportamento de elementos estruturais e clculo baseado em confiabilidade. Tanto quanto possvel, as estatsticas das aes so baseadas em pesquisas in loco, medidas de presso do vento em edifcios e modelamento probabilstico da converso de uma ao pesquisada em uma mxima ao usada para propsitos de anlise e clculo de confiabilidade. Alm da variabilidade bsica da ao, incertezas surgem do modelo que transforma a ao real varivel tanto no tempo quanto no espao, em uma ao esttica equivalente distribuda uniformemente que ser usada no clculo. Incertezas tambm surgem na anlise que transforma a ao uniformemente distribuda em efeito desta ao, incluindo idealizao bi-dimensional de estruturas tridimensionais, idealizao de apoios, rigidez de conexes e continuidade (GALAMBOS, 1982). Estas incertezas so includas nos coeficientes de variao listados na tabela 2. Segundo GALAMBOS, 1982, estatsticas das aes devidas a neve, vento e ao varivel de ocupao (sobrecarga de utilizao) foram determinadas atravs de



23

distribuies de valores extremos usados na anlise de confiabilidade usando as porcentagens superiores das distribuies obtidas atravs da simulao Monte Carlo ou integrao numrica.

Tabela 2 - Resumo de dados estatsticos das aes (GALAMBOS, 1982)

Ao

(1)

X Xn

(2)

VX

(3)

Distribuio de probabilidade

(4)

D (ao permanente) 1,05 0,10 Normal L (sobrecarga de utilizao) 1,00 0,25 Valor extremo tipo I LRED (sobrecarga reduzida) 0,25-0,50 0,60 Gama W (ao do vento) 0,78 0,37 Valor extremo tipo I S (ao da neve) 0,82 0,26 Valor extremo tipo II

4.2.2 Confiabilidades no clculo em tenses admissveis Confiabilidades alvos podem ser estabelecidas atravs de reviso de nveis de confiabilidade pertencentes s normas j existentes que conduziram a resultados satisfatrios no passado. Enquanto confiana absoluta nestes valores pode admitir inconsistncias e certas caractersticas indesejveis da prtica de clculo passada, eles so teis como guias para a seleo de confiabilidades alvos de um critrio baseado em probabilidade. O que se fez ento foi uma anlise dos nveis de confiabilidade que se obtinha com o clculo segundo as normas em tenses admissveis e, baseando-se nestes resultados, selecionou-se alguns valores alvos dos ndices de confiabilidade para situaes de projeto mais gerais e comuns. As mais importantes combinaes de aes envolvendo aes gravitacionais so as combinaes de ao permanente com mximas aes variveis de ocupao em pisos. Estes casos de aes gravitacionais governam os projetos em muitas situaes prticas e eles so casos particularmente importantes, quando so acumuladas experincias bem sucedidas no passado. Cada situao de clculo definida por um conjunto de valores nominais de aes e resistncia. Nas especificaes em tenses admissveis tinha-se:

RFS

D Ln n n= + (26a)

onde FS o fator de segurana. No clculo plstico de estruturas de ao segundo o AISC/78 tinha-se (GALAMBOS, 1982):

( )R D Ln n n= +17, (26b) Os ndices de confiabilidade associados ao clculo de vigas de ao submetidas a aes permanentes e varivel, so mostrados na figura 7 como funes da relao L Dn0 , numa anlise feita por GALAMBOS, 1982. Na figura 7 percebe-se que tende a decrescer quando a relao L Dn0 aumenta. Deve ser lembrado que vigas de ao tm intervalo prtico para L Dn0 de 1 a 2. Como mostrado na figura 7, valores representativos para so em torno de 2,5 para vigas de ao. A sobrecarga L0 a ao varivel uniforme sem reduo especificada pelo ANSI A58.1-1972 e sua



24

relao com a sobrecarga nominal dada pela seguinte expresso:

L L min ADLn T

n= +

0 0

1 0 0008 0 23 1 0 6, ; , ; , , em que AT a rea de influncia do

elemento carregado em ft2.

Intervalo tpico paraconcreto armado

Intervalo tpico para ao4

3

2

1

00,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

4

6

5

2

1

3

L D S Dn n n0 ou

Curva Descrio nRR Vn

5 ao (D+L) 1,07 0,13 6 ao (D+S) 1,07 0,13 AT = 37m2 (rea de influncia do elemento)

Figura 7 - ndices de confiabilidade para vigas de ao calculadas em tenses admissveis

Anlises semelhantes foram feitas para diferentes combinaes (CASTRO, 1997), chegando-se ento a valores de que serviriam como guias para o clculo dos coeficientes de ponderao das aes a serem utilizados pelas normas de aes e segurana.

4.3 Calibrao dos coeficientes de clculo dos estados limites

4.3.1 Seleo do formato Clculos em estados limites baseados em probabilidade empregam, tradicionalmente, aes ou efeitos de aes multiplicados pelos coeficientes de ponderao das aes e resistncias multiplicadas pelos coeficientes de resistncia, em um conjunto de equaes que tm a forma geral:

resistncia fatorada > efeitos das aes fatoradas (27)

Vrios formatos de equaes de verificao da segurana so possveis. (CASTRO, 1997) A seleo do formato dever ser guiada pela necessidade de simplicidade e continuidade em relao a formatos existentes, bem como pelas consideraes tericas. Com base em anlises de alguns formatos propostos e outros j utilizados por algumas normas (CASTRO, 1997) , uma forma que combina os melhores aspectos



25

destes formatos estudados pode ser analisado. Neste formato o efeito ltimo das aes fatoradas ficaria ento:

U D Q QD n Q n j nj= + + (28) em que Q nQ a ao varivel principal fatorada, e os termos j njQ so as aes nominais minoradas por um coeficiente j



26

coeficientes de ponderao das aes sejam calculados inteligentemente, isto , para assegurar que com o conjunto de coeficientes de ponderao das aes desenvolvidos, ser possvel desenvolver critrios de resistncia para alcanar projetos que so semelhantes, em um sentido global, queles obtidos usando a prtica anterior. O critrio de clculo prtico selecionar um conjunto de coeficientes de ponderao das aes para serem aplicados em todas as situaes de clculo, no entanto interessante, sempre que possvel, examinar como os coeficientes de ponderao das aes e de resistncia variam para diferentes estados limites e combinaes de aes. Este exame tornar possvel uma melhor apreciao de algumas das consideraes que guiaram a seleo do critrio de clculo dos coeficientes.

S

L

D

D+LD+S

0 1 2 3 4 5

(L/D) ou (S/D)

Coe

ficie

ntes

ou

2,0

1,5

1,0

0,5

Figura 8 - Coeficientes de ponderao das aes e de resistncia para vigas de ao

Exemplos de coeficientes de resistncia e coeficientes de ponderao de aes permanentes, variveis de ocupao e neve so mostrados na figura 8. Estes coeficientes foram calculados de acordo com o que foi exposto no captulo 3, com 0 3= , para a combinao de ao permanente mais sobrecarga mxima em vigas metlicas. Resultados semelhantes tm sido obtidos para outras combinaes e para outros materiais de construo, segundo ELLINWOOD, 1982. Note que o coeficiente de resistncia relativamente indiferente sobrecarga na combinao. Similarmente, os coeficientes de ponderao das aes no se apresentam sensveis s estatsticas da resistncia. O coeficiente de ponderao da ao permanente muito menor do que os valores comumente recomendados pelas normas. Isto porque a variabilidade de D muito pequena comparada com as variabilidades das outras aes. A magnitude de D aparece virtualmente independente da magnitude das sobrecargas, exceto para relaes L/D muito pequenas.

Estas observaes indicam que escolher D e constantes e separar especificaes de coeficientes de ponderao das aes e de resistncia, no causa significativos desvios de 0 . Por outro lado, o coeficiente de ponderao da ao varivel na combinao, aumenta quando a importncia desta ao na combinao aumenta por causa de sua maior variabilidade. Se os coeficientes de ponderao L S W, , ,K , para aes variveis so especificados como constantes, como



27

sempre foi feito, haver algum desvio da confiabilidade alvo (0 ) para certas situaes de carregamento. Assim h uma necessidade de selecionar um conjunto de coeficientes de ponderao das aes e combinaes que minimize a extenso deste desvio de 0 sobre todas as situaes possveis de projeto. Fazendo isto, chega-se ento aos valores dos coeficientes de clculo procurados (CASTRO, 1997).

Tabela 3 - Coeficientes de ponderao das aes e de resistncia para aes gravitacionais atuando com ao do vento

Valores timos (D=1,2) timo quando w=1,3 Material

(1)

(2) L (3)

W (4)

L1=0,3 (5)

L1=0,4 (6)

L1=0,5 (7)

Vigas de ao 1,11 0,61 1,71 0,85 0,87 0,89 0,93 1,97 0,08 --- 0,81 --- Vigas de concreto 1,06 0,49 1,76 0,82 0,83 0,84 armado 0,86 1,63 0,14 --- 0,81 --- 4.3.3 coeficientes de resistncia Com os coeficientes de ponderao das aes fixados, a confiabilidade pode ser ajustada variando o coeficiente e a especificao da resistncia nominal para diferentes materiais e estados limites. A escolha de para selecionar o coeficiente de resistncia dever considerar, entre outros fatores, a ductilidade associada a cada modo de resistncia, a freqncia relativa da ocorrncia de diferentes situaes de projeto e a conseqncia de falha. Para um determinado estado limite e material, o coeficiente no dever depender da combinao das aes.

Embora referidos s vezes como coeficientes do material, os coeficientes tambm devem considerar outras contribuies para a variabilidade da resistncia e no somente a variao da resistncia mecnica do material. Quando aplicados resistncia de sees transversais de ao, estes coeficientes devem cobrir as variaes nas dimenses dentro das tolerncias de laminao, as diferenas entre os valores da resistncia medida em um produto padro e a resistncia real dos perfis de um lote de laminao, e outros fatores como a possibilidade de correlao entre resistncia do material e tolerncias de laminao. Tratando-se de um material e estado limite, por exemplo, em que a capacidade descrita por R Rn = 110, e VR = 015, , os intervalos de , correspondentes ao intervalo para L Dn de 0,25 a 5 e vrios valores candidatos , so dados na tabela 4. Tendo a relao L Dn prevalecente para cada situao ou a freqncia relativa de cada L Dn , o valor de correspondente ao 0 desejado ento pode ser calculado.

Tabela 4 - Variaes de para valores tpicos de ( R Rn = 110, e VR = 015, )

(1) 0,70 (2)

0,75 (3)

0,80 (4)

0,85 (5)

3,3 - 3,8 3,0 - 3,4 2,8 - 3,1 2,6 - 2,8



28

5 EXEMPLO

A forma mais comum das normas atuais para o clculo de elementos estruturais a desigualdade linear abaixo:

R D Ln D n L n + Onde o subscrito n indica os valores nominais da resistncia e das aes. As relaes destes valores nominais para os seus respectivos valores mdios podem ser consideradas como os correspondentes fatores:

R n D n L nRR

DD

LL

= = =; ;

Seja por exemplo, determinar o coeficiente de resistncia () e os coeficientes de ponderao das aes (D e L) para alcanar projetos com uma confiabilidade de =2,50. Considera-se uma relao da ao varivel para a ao permanente de L D = 2 0, e que as variveis tm distribuio de probabilidade normal e so no correlacionadas. Admite-se tambm:

R D L= = =011 010 0 25, ; , ; , e

R D L= = =0 95 0 95 118, ; , ; , A equao de clculo anterior uma funo de desempenho linear, isto :

( )g X = R - D - L com derivadas parciais:

gR R'

= gD D'

= gL L'

=

Ento:

R D L

R D L

+ + = = 2 2 2 2 50,

Onde

L D= 2 e

D D= 0 1, ; ( ) L L LL D D= = =2 0 5, e R R= 011, Donde:



29

( ) ( ) ( )R D D

R D D

+ +

=20 11 0 10 0 50

2 502 2 2

, , ,,

resultando na seguinte equao quadrtica:

R RD2 6 491 7 978 0 + =, , A soluo de interesse para R : R D= 4 844,

logo, R D D= =4 844 0 11 0 533, , , Os co-senos diretores so:

( ) ( ) ( )

RR

R D L

D

D D D= + + = + +

=2 2 2 2 2 2

0 533

0 533 0 100 0 5000 722

,

, , ,,

DD

R D L

DD

= + + = =

2 2 2

01000 738

0136,

,,

LL

R D L

DD

= + + = =

2 2 2

0 5000 738

0 678,

,,

Donde, de acordo com a equao 24, os coeficientes mdios de resistncia e de ponderao das aes apropriados so:

( ) = =1 0 722 2 5 0 11 0 80, , , , ( ) D = + =1 0136 2 5 010 103, , , , ( ) L = + =1 0 678 2 5 0 25 142, , , ,

Estes coeficientes mdios devero ser usados com as correspondentes resistncias e aes mdias, isto , a exigncia de segurana ser:

0 80 103 142, , ,R D L + Observe que neste caso (linear), no necessrio processo iterativo para se obter os coeficientes de clculo. Para determinar os correspondentes coeficientes nominais de resistncia e de ponderao das aes, observa-se que:

R nRR

= = 0 95, ou R Rn=0 95,

Similarmente,

DDn=

0 95, e L

Ln=118,



30

Portanto, em termos dos valores nominais, a segurana exigida anteriormente fica:

0 800 95

1030 95

142118

,,

,,

,,

R D Ln n n

+

ou

0 84 108 120, , ,R D Ln n n +

6 CONCLUSES E COMENTRIOS FINAIS

A afirmao de que possvel separar coeficientes de segurana afirmando que cada coeficiente dependente somente da incerteza no parmetro a que ele aplicado e independente da incerteza em todas as outras variveis tem alguma carncia de rigor probabilstico, mas isto no condena o processo como intil, j que praticamente nenhum processo usado em projeto pode ser justificado rigorosamente. Algumas aproximaes so sempre necessrias at mesmo para assegurar outra caracterstica tambm importante em um processo de clculo, que a transparncia de lgica ou facilidade com que os princpios bsicos do modelo podem ser entendidos. Um dos principais fatores que atraiu a comunidade acadmica para a aproximao dos coeficientes parciais foi a clareza lgica do sistema: incerteza na ao permanente coberta por um coeficiente aplicado ao permanente, incerteza na sobrecarga por um coeficiente aplicado sobrecarga e assim por diante. Isto no poderia ser sustentado pelo mtodo das tenses admissveis. Esta aproximao tambm permite ao engenheiro julgar e tomar decises sobre o que poderia ser feito em situaes atpicas onde a variabilidade de um parmetro de clculo no for padro. Uma outra caracterstica importante de um processo de clculo a simplicidade com que ele pode ser aplicado. Inicialmente o mtodo dos estados limites foi criticado por introduzir uma complexidade adicional no clculo, argumento que foi perdendo fora com o passar do tempo, medida que os calculistas foram se familiarizando com o processo. O mtodo dos estados limites tem sido aplicado a uma vasta gama de situaes, por apresentar tambm flexibilidade e universalidade de aplicao, ou seja, pode ser adaptado com comodidade para a utilizao em diferentes reas. Entretanto, vale comentar que mtodos probabilsticos podem ser aplicados somente onde a informao estatstica existe e, reconhecimento devido tem que ser dado forma real das curvas de densidade de probabilidade. A princpio a idia simples: as incertezas que afetam o projeto estrutural so identificadas e suas variaes potenciais quantificadas estatisticamente, admitindo coeficientes de segurana parciais apropriados a serem calculados. Isto ento reunido para gerar projetos com uma probabilidade de falha aceitvel, previamente especificada. Portanto para que esta idia seja realmente efetivada, os dados utilizados para a determinao destes coeficientes de clculo devem ser resultados de pesquisas cientficas e no valores arbitrados convenientemente para conduzir a



31

projetos sobretudo mais econmicos, promovendo assim o uso das novas normas. O objetivo de escapar dos problemas do passado e obter resultados claramente mais racionais deve ser sempre mantido. No entanto, ressalta-se que o mtodo dos estados limites mais racional do que o das tenses admissveis, mesmo em se tratando de arbitrar valores

A maioria das normas em estados limites adotam valores menores de f para as aes permanentes do que para as sobrecargas afirmando que o peso prprio da estrutura pode ser determinado com maior preciso do que as sobrecargas. Entretanto muitos estudiosos do assunto contestam esta posio afirmando que o termo ao permanente inclui itens como acabamentos, divisrias, utilidades penduradas e forros que podem ocasionar uma variabilidade maior do que a prevista pelas atuais normas de clculo. Nas normas de hoje o menor f cobre quase todas as aes permanentes ou de longa durao, incluindo itens como presso de terra que so as aes com menos preciso dentre as que atuam nas estruturas. HEGER, 1993, afirma que existe significativamente mais incerteza nas aes permanentes do que assumido na escolha do corrente coeficiente de ponderao da ao permanente do LRFD, 1986, f=1,2. Segundo BEAL, 1994, estudos de falhas reais mostram que, exceto em casos evidentes de erros, estas so quase sempre causadas por resistncia inadequada ao invs de variabilidade das aes normais. Normas correntes recomendam f da ordem de 1,4 a 1,6 para as aes e m da ordem de 1,0 a 1,15 para o ao. Isto sugere que as margens de segurana dos materiais esto insuficientes, o que pode ser corrigido pela alterao dos dados estatsticos utilizados na anlise (relao resistncia mdia pela nominal e/ou coeficiente de variabilidade da resistncia). Pode-se concluir disto que o problema de introduo da segurana nas estruturas no estar resolvido apenas com boas formulaes probabilsticas, mas sobretudo, necessrio que se tenha dados confiveis das variveis envolvidas no clculo. De certa forma a revoluo tem ainda que comear, pois as primeiras normas em estados limites no apresentaram diferenas significativas em relao s normas em tenses admissveis, o que foi desejado realmente em um estgio inicial, para no introduzir mudanas muito bruscas em relao ao produto final, ou seja, os elementos estruturais projetados. Sabe-se que o que foi feito inicialmente foi uma calibrao, entretanto, espera-se naturalmente que isto mude com a evoluo das normas e com a obteno de mais dados experimentais.

7 BIBLIOGRAFIA

ANG, A.H-S.; TANG, W.H. (1975). Probability concepts in engineering planning and design: basic principles. New York, John Wiley & Sons, Inc. v.1.

ANG, A.H-S.; TANG, W.H. (1984). Probability concepts in engineering planning and design: decision, risk, and reliability. New York, John Wiley & Sons, Inc. v.2.

BEAL, A.N. (1994). Limit state at 40: new beginning or midlife crisis? The Structural Engineer, v.72, n.2, p.22-23.



32

CASTRO, L.A. (1997). Anlise da segurana no projeto de estruturas: mtodo dos estados limites. So Carlos. 119p. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

ELLINGWOOD, B.; MACGREGOR, J.G.; GALAMBOS, T.V.; CORNELL, C.A. (1982). Probability based load criteria: load factors and load combinations. Journal of the Structural Division, ASCE, v.108, n.ST5, p.978-997, May.

FREUDENTHAL, A.M. (1956). Safety and the probability of structural failure. ASCE Transactions, v.121, p.1337-1397.

FREUDENTHAL, A.M.; GARRELT, J.M.; SHINOZUKA, M. (1966). The analysis of structural safety. Journal of the Structural Division, ASCE, v.92, n.ST1, February, p.125-159.

GALAMBOS, T.V. (1990). Developments in modern steel design standarts. Journal of Construction Steel Research, v.17, n.1 e 2, p. 141-162.

GALAMBOS, T.V.; ELLINGWOOD, B.R.; MACGREGOR, J.G.; CORNELL, C.A. (1982). Probability based load criteria: assessment of current design practice. Journal of the Structural Division, ASCE, v.108, n.ST5, p.959-977, May.

HEGER, F.J. (1993). Public safety: is it compromised by new LRFD design standarts? Journal of Structural Engineering, ASCE, v.119, n.4, p.1251-1264, April.

ROSOWSKY, D.V.; HASSAN, A.F.; KUMAR, N.V.V.P. (1994). Calibration of current factors in LRFD for steel. Journal of the Structural Engineering, ASCE, v.120, n.9, p.2737-2746, September.

SHINOZUKA, M. (1983). Basic analysis of structural safety. Journal of the Structural Division, ASCE, v.109, n.3, p.721-740, March.

análse de segurança no projeto de estruturas - método dos estados limites

Documents