anÁlise numÉrica e experimental de geradores...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ

CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA DE SISTEMAS DINÂMICOS E ENERGÉTICOS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DEGERADORES PIEZELÉTRICOS DE ENERGIA

MARCEL ARAUJO CLEMENTINO

FOZ DO IGUAÇU2013

Marcel Araujo Clementino

Análise Numérica e Experimental de Geradores Piezelétricosde Energia

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa dePós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmi-cos e Energéticos como parte dos requisitos para ob-tenção do título de Mestre em Engenharia de Siste-mas Dinâmicos e Energéticos. Área de concentração:Sistemas Dinâmicos e Energéticos.

Orientador: Samuel da Silva

Foz do Iguaçu2013

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Biblioteca do Campus de Foz do Iguaçu – Unioeste Ficha catalográfica elaborada por Miriam Fenner R. Lucas - CRB-9/268

C626 Clementino, Marcel Araujo Análise numérica e experimental de geradores piezelétricos de energia / Marcel Araujo Clementino. – Foz do Iguaçu, 2013. 75 p. : il. : tab. : graf.

Orientador: Prof. Dr. Samuel da Silva. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Enge- nharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos - Universidade Estadual do Oeste do Paraná.

1. Energy harvesting. 2. Eletrônica de potência. 3. Estruturas Inteligentes. 4. Geradores piezelétricos de energia – Modelagem e análise. I.Título.

CDU 621

Resumo

A utilização de dispositivos piezelétricos para reaproveitamento de energia vibratória tem en-contrado aplicações em várias áreas, sobretudo em monitoramento de integridade estrutural,seja para recarregar baterias ou alimentar diretamente sensores e outros dispositivos eletrôni-cos. Em geral, o uso prático da energia convertida por estes transdutores requer, primeiramente,a transformação da corrente alternada (CA) produzida em corrente contínua (CC). Isto é fre-quentemente obtido por meio da utilização de circuitos retificadores. Entretanto, utilizar omesmo pacote de software para modelar sistemas de energy harvesting, geralmente compostospor um sensor piezelétrico acoplado em uma microviga e conectados a um circuito retificador, éapontado por alguns autores como um grande desafio a ser superado, pois necessita de requisi-tos multidisciplinares que incluem tópicos de engenharia elétrica e mecânica. Neste sentido, oprincipal objetivo deste trabalho é apresentar uma estratégia de modelagem simples, que utilizeapenas uma plataforma computacional e considere, simultaneamente, os modelos de uma vigapiezelétrica e um circuito prático de extração/armazenamento de energia, buscando meios defacilitar a análise e o projeto de sistemas de energy harvesting. Simulações numéricas e testesexperimentais são realizados para ilustrar a abordagem proposta, considerando um circuito reti-ficador de onda completa e uma carga resistiva conectados diretamente a uma viga piezelétricasob condição engastada-livre. Além disso, são apresentados testes experimentais realizadoscom um sistema comercial de energy harvesting visando caracterizar e comparar seu desempe-nho frente aos circuitos retificadores de onda completa e resistivo, ambos confeccionados peloautor. Um modelo de um grau de liberdade deste sistema também é apresentado. Os resulta-dos mostraram que o modelo é adequado para realizar simulações de sistemas que possuam ascaracterísticas descritas neste trabalho e comprovaram a necessidade de se utilizar um circuitoativo para se ter um melhor reaproveitamento da energia gerada.

Palavras-chave: Energy harvesting, eletrônica de potência, estruturas inteligentes, abordagemunificada.

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Abstract

The use of piezoelectric devices to harvest vibration energy has found applications in severalareas, especially in structural health monitoring, either to recharge batteries or to directly feedsensors and also electronic devices. In general, the practical use of the energy converted bythese devices requires, first, converting the alternating current (AC) produced to direct current(DC). This is normally done by using rectifier circuits. However, modeling the harvesting sys-tem, usually a PZT sensor bonded on a cantilever micro-beam and coupled to a rectifier circuit,using the same software package is pointed out by some authors as a drawback to overcome,due to its multidisciplinary requirements, involving topics of both mechanical and electricalengineering. In this sense, the main goal of this dissertation is to describe a comprehensiveand simple modeling strategy, which considers a single computational platform and, simultane-ously, account for both the electromechanical model of a clamped piezoelectric beam and thepractical energy harvesting circuit, seeking ways to facilitate the analysis and design of energyharvesting systems. Numerical simulations and experimental tests are performed to illustratethe proposed approach, considering a full-wave diode bridge as the non-controlled rectifier cir-cuit and a resistive load, which are directly connected to the cantilevered piezoelectric beam.Additionally, experimental tests carried out with a commercial harvesting system are presented,aiming to characterize and compare its performance with a full-wave diode bridge and a resis-tive circuit, both developed by the author. A single degree of freedom model of this system isalso presented. The results showed that the model is suitable to perform simulations of systemshaving the characteristics described in this dissertation and confirmed the need of using activecircuits to better use the produced energy.

Keywords: Energy harvesting, power electronics, smart structures, unified approach.

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Este trabalho teve financiamento direto dos orgãos a seguir:

Agradecimentos

Gostaria de agradecer, primeiramente, por tudo que tenho e pelo que sou, agraciado porter uma família e amigos sempre ao meu lado, e principalmente saúde para ter chego à estemomento com êxito.

Agradeço também ao professor Samuel da Silva por ter me orientado desde os temposde iniciação científica, durante minha graduação, até o presente momento. Sempre acrescen-tando algumas tarefas aqui e ali, que no momento pareciam ser exageradas, mas que ao final,contribuíram bastante não só para o desenvolvimento deste trabalho, como também para meucrescimento pessoal, permitindo desenvolver meu senso crítico e me incentivando a fazer o quegosto.

Ao professor Michael J. Brennan pelas conversas, comentários e contribuições no meutrabalho, que me ajudaram a encarar os problemas e dificuldades por uma nova perspectiva,tentando formulá-los da maneira mais simples possível e desta forma, facilitar sua compreensão.

Aos membros do Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes (GMSINT) da UNESP/IlhaSolteira, por me terem me recebido muito bem e me auxiliado durante os 6 meses que fiquei emIlha Solteira. Este período foi fundamental para a conclusão da dissertação, pois possibilitoua realização de grande parte dos experimentos, mas principalmente por ter proporcionado umatroca mútua de conhecimentos e experiências.

Ao meu amigo Sidney, pelas conversas, passeios de bicicleta (às vezes, um tanto quantoinusitados), lanches, almoços, e as longas jornadas na UNESP, durante o tempo que fiquei emIlha Solteira. Sua companhia e nossas conversas, neste período, tornaram minha estadia muitomais agradável e foram muito importantes para eu tomar certas decisões.

Aos colegas do PGESDE pelo companheirismo, conversas, trocas de ideias e, principal-mente, as risadas, que nos distraiam em meio as correrias no final dos trimestres. A companhiade vocês nestes momentos foi essencial para seguir com foco até o final.

Ao professor Romeu Reginatto, por ter me auxiliado ao longo do Mestrado, tanto nasdisciplinas quanto na pesquisa da dissertação, muitas vezes com um ponto de vista que eu nãoestava acostumado a seguir.

À minha família, em especial, meus pais Rosemeri e Edson, e minha namorada Mariany,por terem sempre me apoiado nas decisões mais importantes, continuar incentivando a correr

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atrás dos meus sonhos e objetivos, e principalmente por estar ao meu lado não somente emminhas vitórias e conquistas, mas nos momentos de dificuldade, quando mais precisei.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), FundaçãoAraucária, Secretaria da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior do Paraná (SETI-PR) pelo apoiofinanceiro.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa deestudos que proporcionou dedicação integral ao curso.

Por fim, agradeço a todas as pessoas que contribuíram direta e indiretamente para a reali-zação deste trabalho.

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”The real voyage of discoveryconsists not in seeking new lands

but seeing with new eyes.”

Marcel Proust

Sumário

Lista de Figuras xiv

Lista de Tabelas xvi

Lista de Símbolos xvii

1 Introdução 1

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Contribuições da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Revisão Bibliográfica 7

2.1 Modelos de geradores piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Circuitos eletrônicos para extração de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Modelagem de sistemas acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Modelagem de Geradores Piezelétricos 15

3.1 Materiais piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Propriedades e relações constitutivas da piezeletricidade linear . . . . . 16

3.2 Modelo eletromecânico da viga piezelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Representação no espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Circuitos para extração de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Circuito retificador de onda completa em ponte com filtro capacitivo . . 30

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4 Resultados 35

4.1 Simulações numéricas e verificação do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Descrição das simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Verificação numérica e experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Otimização de um gerador piezelétrico acoplado a um circuito retificador . . . 44

4.2.1 Análise de sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.2 Descrição do problema de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Aplicação experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1 Descrição do sistema de Energy Harvesting . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.2 Descrição do experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 Modelo SDOF do gerador piezelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


5 Considerações Finais 67

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Referências Bibliográficas 69

Lista de Figuras

3.1 Comportamento do elemento piezelétrico enquanto sensor e atuador. . . . . . . 16

3.2 Eixos de polarização de um material piezelétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Deslocamento de pontos sobre a linha normal ao planos xz e yz (de Lima Jr.,1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Desenho esquemático de uma viga piezelétrica genérica. . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Desenho esquemático do acoplamento entre o gerador piezelétrico e um circuitoretificador com quatro diodos D1, D2, D3 e D4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Esquema de ligação dos PZTs com os circuitos retificadores em uma vigapiezelétrica, sendo CL e RL, respecitvamente, o filtro capacitivo e a carga resis-tiva do circuito e D1−4 os diodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7 Características do modelo linear de um diodo (Sedra e Smith., 2007). . . . . . . 30

3.8 Retificador de onda completa em ponte com filtro capacitivo e carga resistiva. . 31

3.9 Forma de onda na saída do retificador de onda completa com filtro capacitivo(Sedra e Smith., 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Fluxograma das etapas envolvidas na simulação de um gerador piezelétrico deenergia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Implementação do modelo unificado de um gerador piezelétrico conectado àum circuito retificador de onda completa com filtro capacitivo. . . . . . . . . . 37

4.3 Implementação de uma viga engastada, como dispositivo de Energy Harvesting,conectada à uma carga resistiva utilizando blocos do Simulink. . . . . . . . . . 39

4.4 Corrente gerada pela viga piezelétrica para uma carga resistiva R = 100 kΩ efrequência de excitação f = 25 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Desenho esquemático da viga piezelétrica utilizada no processo de verificaçãoexperimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Viga piezelétrica acoplada ao shaker sob condição engastada-livre. . . . . . . . 41

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4.7 Configuração dos equipamentos utilizada nos testes experimentais. . . . . . . . 42

4.8 Circuito retificador de onda completa experimental. . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.9 FRF experimental da viga piezelétrica em condição de circuito aberto. . . . . . 43

4.10 Comparação entre as tensões no PZT e na carga resistiva referentes aos resulta-dos numéricos e experimentais realizados com frequência de excitação de 58 Hz. 44

4.11 Sensibilidade da potência gerada com relação aos parâmetros geométricos daviga e do PZT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.12 Desenho esquemático do sistema de Energy Harvesting acoplado. . . . . . . . 47

4.13 Evolução dos parâmetros de otimização ao longo das iterações. . . . . . . . . . 48

4.14 FRF do sistema eletromecânico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.15 Comparação da potência (Pmed) transferida à carga para o caso ótimo e outrosimilar, com vfd = 38× 10−3 V e RD = 65 Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.16 Influência da carga resistiva sobre a potência extraída. . . . . . . . . . . . . . . 50

4.17 Influência de Lb, Lp, CL, RL e frequência de excitação (ω) sobre a potênciaextraída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.18 Sistema comercial de Energy Harvesting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.19 Desenho esquemático do sistema de Energy Harvesting. . . . . . . . . . . . . 53

4.20 Configuração dos equipamentos utilizados nos testes experimentais. . . . . . . 55

4.21 Sinais de entrada e saída utilizados para estimar a FRF do sistema eletromecânico. 57

4.22 Estimativa da FRF para PZTs em condição de circuito aberto. . . . . . . . . . . 58

4.23 Comportamento da variável de otimização ao longo da solução do problema. . 59

4.24 Influência da carga resistiva sobre a potência extraída para f = 70 Hz. . . . . . 59

4.25 Desenho esquemático do gerador piezelétrico conectado ao circuito resistivo. . 60

4.26 Sinais de entrada e saída para o caso resistivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.27 Circuito retificador de onda completa, em ponte, com filtro capacitivo. . . . . . 61

4.28 Resultados referentes ao circuito de onda completa. . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.29 Tensão na carga e filtro capacitivo para os cinco testes realizados. . . . . . . . 63

4.30 Comparação da tensão em RL para todos os circuitos estudados (f = 44.55 Hz

e R = 33 kΩ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Lista de Tabelas

1.1 Potência consumida por equipamentos eletrônicos (Kim, 2002). . . . . . . . . 2

1.2 Valores de aceleração e frequência de possíveis fontes de vibração para PowerHarvesting (Roundy et al., 2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.1 Parâmetros do gerador piezelétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Resultados da otimização do sistema acoplado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Parâmetros do sistema comercial de Energy Harvesting (Advanced Linear De-vices, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Casos analisados ao longo dos testes experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 Comparação dos resultados obtidos a partir dos testes experimentais. . . . . . . 64

xvii

Lista de Símbolos

CA Corrente alternada

CC Corrente contínua

DSSH Double Synchronized Switch Harvesting

ESSH Enhanced Synchronized Switch Harvesting

FEA Análise de elementos finitos (Finite Element Analysis)

FRF Função de Resposta em Frequência

MEF Método de Elementos Finitos (FEM - Finite Element Method)

PVDF Sensor piezopolímero (PoliVinyliDenoFloride)

PZT Atuador/sensor piezocerâmico (Lead Zirconate Titanate)

SDOF Refere-se à modelos de um grau de liberdade (Single Degree of Freedom)

SHM Monitoramento de integridade estrutural (Structural Health Monitoring)

SSH Synchronized Switch Harvesting

SSHI Synchronized Switch Harvesting on Inductor

SSHI-MR Synchronized Switch Harvesting on Inductor with Magnetic Rectif ier

Letras Gregas

α Constante referente ao amortecimento proporcional à massa

β Constante referente ao amortecimento proporcional à rigidez

δ Representa variação de uma variável qualquer

Θ Matriz de acoplamento eletromecânico

εS Matriz de constantes dielétricas para deformação mecânica constante

εT Matriz de constantes dielétricas para tensão mecânica constante

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xx

φ Modos de vibrar assumidos

ψ(z) Distribuição de potencial elétrico ao longo do PZT.

ρ Massa específica [kg/m3]

Letras Romanas

A Área [m2]

E Campo elétrico [N/C]

q(t) Corrente elétrica que circula pelo PZT/circuito de Energy Harvesting [A]

u Vetor de velocidade na direção x [m/s]

A Matriz dinâmica

B Matriz de entrada

Co Matriz de saída

Cp Matriz de capacitância piezelétrica

cE Módulo de elasticidade para campo elétrico constante

Do Matriz de transmissão direta

e Permissividade dielétrica [C/m2]

I Matriz identidade

Kp Matriz de rigidez do elemento piezelétrico

Ks Matriz de rigidez do elemento estrutural

KT Constante dielétrica relativa para tensão mecânica constante

Mp Matriz de massa do elemento piezelétrico

Ms Matriz de massa do elemento estrutural

n Número de modos de vibrar

q Vetor de carga elétrica [C]

sE Matriz de compliância elástica para campo elétrico constante [m2/N]

u Vetor de deslocamento na direção x [m]

ux Vetor de deslocamento axial, na direção x [m]

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uz Vetor de deslocamento transversal, na direção z [m]

v Vetor de tensão elétrica [V]

x Vetor de estados

y Vetor de saídas

CL Capacitância do circuito retificador [F]

D Deslocamento elétrico ou densidade de fluxo elétrico [C/m2]

d Constante piezelétrica

D1−4 Diodos do circuito retificador

Fc Força de corpo [N]

Fe Força externa [N]

Fs Força de superfície [N]

g Constante de tensão

icircuit Corrente que circula através do circuito retificador [A]

iPZT Corrente que circula pelo elemento piezelétrico [A]

L Função Lagrangeana

Lb Comprimento da viga [m]

Lp Comprimento do PZT [m]

Lx Distância do engaste até o PZT [m]

r(t) Coordenada temporal de deslocamento

RL Carga resistiva do circuito de Energy Harvesting [Ω]

S Deformação mecânica [m/m]

T Tensão mecânica [N/m2]

tb Espessura da viga [m]

Tc Energia cinética total [J]

tp Espessura do PZT [m]

U Energia potencial total [J]

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V Volume [m3]

vcircuit Fonte de tensão do circuito retificador [V]

vPZT Tensão produzida pelo elemento piezelétrico [V]

W Trabalho virtual realizado por forças externas, forças de superfície e forças de corpo

w Largura da viga e do PZT [m]

We Trabalho elétrico [J]

X Coordenada x do eixo de referência padrão

Y Coordenada y do eixo de referência padrão

Z Coordenada z do eixo de referência padrão

z Coordenada generalizada

()p Subscrito referente ao material piezelétrico (PZT)

()s Subscrito referente à estrutura base (viga)

Capítulo 1

Introdução

O desenvolvimento de dispositivos eletrônicos portáteis, em especial sensores wireless,geralmente envolve problemas relacionados à natureza de sua fonte de alimentação energética.A solução convencional adotada para tal problema propõe a utilização de baterias como fontede energia, apesar destas possuírem algumas desvantagens: tendem a ser um pouco volumosas,contêm uma quantidade finita de energia, possuem uma vida útil limitada e contêm produ-tos químicos prejudiciais ao meio ambiente (Williams e Yates, 1996). Ainda, uma situaçãoagravante ocorre quando estes sensores estão localizados em regiões remotas, onde a troca ourecarga destas baterias torna-se muitas vezes impraticável devido ao difícil acesso. Nestas oca-siões, pode ser viável utilizar um sistema autossuficiente, que possibilitaria recarregar a bateriasem a intervenção humana, como propõe o processo conhecido por Power Harvesting1, cujoconceito está baseado na extração e/ou armazenamento de energia, oriunda de diversas fontes,para posteriormente reutilizá-la na forma de energia elétrica.

Dentre as principais fontes de energia disponíveis para este processo, encontra-se a denatureza vibratória, cuja presença é inerente em diversos sistemas mecânicos e eletromecâni-cos. A vibração destes sistemas é simplesmente uma quantidade de energia, proveniente dedesbalanceamento ou desalinhamento, por exemplo, que é dissipada para o ambiente caso nãoseja aproveitada. Cada estrutura possui frequências de vibração características (denominadasfrequências naturais), sendo que sob a influência de alguma delas, as amplitudes de vibra-ção tornam-se consideravelmente elevadas. Deste modo, trabalhar nesta condição, conhecidacomo ressonância, é a situação ideal para tais transdutores de energia. Entretanto, na maio-ria das situações práticas, a frequência de vibração dos sistemas não é um parâmetro fácil deser modificado, o que leva, então, a outro cenário: a modificação do dispositivo de conversãode energia, que neste caso, por ser de natureza piezelétrica, é referenciado ao longo do textocomo dispositivo (ou gerador) piezelétrico. Em outras palavras, deve-se projetá-lo para quesua frequência natural coincida com a frequência de vibração do sistema em que estiver inse-rido para extração de energia (Sodano et al., 2004b; de Marqui Jr. et al., 2009; de Marqui Jr.et al., 2010).

1Este processo também é conhecido por Energy Harvesting ou Energy Scavenging.

1

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A utilização de materiais piezelétricos para Power Harvesting tem obtido grande destaqueao longo da última década, visto que tais dispositivos necessitam de poucos componentes adi-cionais e geometrias relativamente simples para serem construídos (Beeby et al., 2006). Alémdisso, o fato deles proporcionarem o reaproveitamento da energia vibratória por meio da con-versão direta de deformação mecânica em tensão elétrica, aliado à redução dos requisitos deenergia de alguns dispositivos eletrônicos de baixa potência (tabela 1.1), tem aproximado esteprocesso de aplicações mais reais, como apresentado, por exemplo, em Kymissis et al. (1998),Shenck e Paradiso (2001), Roundy et al. (2003), Sodano et al. (2005) e Feenstra et al. (2007). Atabela 1.2 mostra algumas fontes de vibração com potencial para Power Harvesting, ilustrandoa variedade de locais disponíveis para aplicação de dispositivos piezelétricos.

Tabela 1.1: Potência consumida por equipamentos eletrônicos (Kim, 2002).

Nível de Consumo energético Potência [W]Desktops (sem o monitor) 102

Notebooks 10Placas de CPU integradas 1

Chips microcontroladores de baixa potência 10−3

Tabela 1.2: Valores de aceleração e frequência de possíveis fontes de vibração para PowerHarvesting (Roundy et al., 2003).

Fonte de VibraçãoAceleração Frequência de pico

[m/s2] [Hz]

Compartimento do motor do carro 12 200

Base da ferramenta de 3 eixos para usinagem 10 70

Base do liquidificador 6, 4 121

Secadora de roupas 3, 5 121

Painel de instrumentação do carro 3 13

Moldura da porta logo após a porta fechar 3 125

Micro-ondas pequeno 2, 5 121

Saídas de climatização em edifício de escritórios 0, 2− 1, 5 60

Janelas próximas à ruas movimentadas 0, 7 100

Leitura de CDs em notebooks 0, 6 75

Piso do segundo andar de escritório movimentado 0, 2 100

Estes dispositivos são definidos basicamente por uma estrutura base, à qual são acopla-dos materiais piezelétricos (geralmente cerâmicas PZT) visando gerar energia elétrica. Umcircuito eletrônico é, então, conectado nos eletrodos das cerâmicas para converter a correntealternada (CA) produzida, em corrente contínua (CC). Diversos modelos têm sido utilizadospara prever a quantidade de energia que estes transdutores poderiam produzir e quanto desta

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energia poderia ser armazenada e/ou reutilizada. A modelagem do comportamento eletrome-cânico abrange desde modelos de um grau de liberdade (SDOF2) de parâmetros concentrados(Roundy et al., 2003) até modelos de parâmetros distribuídos com soluções analíticas (Chenet al., 2006; Erturk e Inman, 2009), aproximações de Rayleigh-Ritz (Sodano et al., 2004a)e elementos finitos (de Marqui Jr. et al., 2009). Em geral, estes trabalhos visam prever ascaracterísticas do dispositivo conversor que levariam à máxima potência gerada, enquanto aenergia produzida é dissipada por um resistor (representando a carga elétrica). Contudo, parao uso prático desta energia, torna-se necessário a utilização de circuitos de extração de energia,como circuitos retificadores. Lallart e Guyomar (2008), Guan e Liao (2007) e Ottman et al.(2002) são alguns autores que trabalham com estes circuitos e abordam técnicas avançadas paramodelar circuitos eletrônicos para Power Harvesting, além de utilizar capacitores ou bateriasrecarregáveis como meios de armazenamento.

Recentemente, pesquisadores têm concentrado seus esforços em desenvolver modeloscuja interação entre a estrutura eletromecânica e o circuito eletrônico é considerada. No en-tanto, muitos destes modelos simplificam ou o domínio mecânico, considerando um modelomassa-mola-amortecedor (SDOF) e/ou técnicas de circuito equivalente para modelar o sistemaeletromecânico (Yang e Tang, 2009; Elvin e Elvin, 2008; Elvin e Elvin, 2009), ou o domínioelétrico, usando um resistor (que representa a carga externa) ao invés de um circuito retificador.Logo, estes modelos podem não corresponder à realidade se apenas um dos domínios é mo-delado de forma adequada. Assim, embora na maioria dos casos se enfatize somente uma dasabordagens (estrutura ou circuito), há pesquisadores com interesse em maximizar a potência ge-rada, buscando valores ótimos tanto para os parâmetros estruturais (Franco et al., 2011), comopara os parâmetros do circuito de extração de energia (Wickenheiser e Garcia, 2010). Em geral,estes modelos são desenvolvidos em diferentes plataformas computacionais, que podem nãoser compatíveis. Consequentemente, o processo de otimização, uma etapa muito importante noprojeto de geradores piezelétricos, pode ser comprometido.

Neste contexto, percebe-se que a busca por dispositivos com alta eficiência sempre foialvo de estudo quando se trata de Power Harvesting. O desenvolvimento de modelos, tantopara o circuito de extração de energia quanto para os geradores piezelétricos, permitiu que taisdispositivos se tornassem mais adequados para aplicações de baixo nível energético, trazendo-osmais próximos da realidade. Entretanto, desenvolver um modelo que considere a interação entreambos os domínios, elétrico e mecânico, e admita simulações utilizando apenas um ambientecomputacional, facilitaria a execução das etapas de projeto, otimização e análise do sistema degeração e extração de energia. É neste sentido que o presente trabalho pretende contribuir parao desenvolvimento de geradores piezelétricos de energia.

2Single Degree of Freedom.

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1.1 Objetivo

O objetivo principal deste trabalho é propor um modelo matemático de parâmetros dis-tribuídos para um gerador piezelétrico de energia conectado a um circuito retificador não-controlado, que possa ser implementado na mesma plataforma computacional e permita simularcondições próximas da realidade, bem como realizar análises de caráter energético e procedi-mentos de otimização, buscando meios de maximizar a energia gerada. Ainda, apresenta-se aanálise de um gerador piezelétrico comercial, por meio de testes experimentais, com o objetivode caracterizar seu comportamento, obter um modelo simples para predição da energia geradae comparar, de maneira experimental, o desempenho do circuito comercial frente aos circuitosdesenvolvidos pelo autor.

1.2 Contribuições da dissertação

Este trabalho visa contribuir nos seguintes aspectos:

• Modelagem de geradores piezelétricos de energia:

Na comunidade acadêmica é notória e de senso comum a importância de se ter um de-senvolvimento progressivo de técnicas e métodos para realizar modelagens e análises mais cri-teriosas. Sendo assim, pretende-se colaborar com o aperfeiçoamento de modelos de geradorespiezelétricos de energia apresentando uma abordagem diferente para realizar a modelagem.Propõe-se a implementação unificada dos modelos de um gerador piezelétrico (composto porelementos piezelétricos acoplados à uma microviga engastada) e de um circuito retificador deonda completa, utilizando a mesma plataforma computacional. A modelagem possibilita consi-derar em ambos os domínios, elétrico e mecânico, sistemas de maior complexidade, sendo estesimplementados em um único software.

• Otimização de dispositivos de Energy Harvesting:

Uma vez que as condições de trabalho destes dispositivos dependem do ambiente em queestão inseridos, grande parte de suas aplicações exigem um projeto prévio visando otimizar osrecursos e maximizar a energia gerada. Uma das maneiras mais práticas de se alcançar esteobjetivo é utilizar processos de otimização para encontrar os parâmetros do sistema que forne-çam a máxima energia possível. Assim, a modelagem apresentada por este trabalho possibilitaa otimização do sistema de forma mais completa, visto que, diferentemente das modelagensconvencionais, considera-se os parâmetros do circuito eletrônico e do sistema eletromecânicosimultaneamente, sem a necessidade de se utilizar vários tipos de software. Além disso, de

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forma prática, esta abordagem pode fornecer meios de se facilitar o projeto de dispositivospiezelétricos.

• Análise experimental de geradores piezelétricos de energia:

Ao realizar uma breve pesquisa na área de Energy Harvesting observa-se que diversos dis-positivos já foram desenvolvidos visando as mais variadas aplicações, seja de caráter acadêmicoou comercial. Contudo, esta gama de dispositivos pode muitas vezes não abranger determinadaaplicação, ou de certo modo limitá-la, pois em geral, os fabricantes tendem à censurar algu-mas informações e/ou características. Assim, conforme apresentado neste trabalho, realizaruma análise a partir de testes experimentais pode ser útil para verificar o comportamento destesdispositivos e estimar os parâmetros desconhecidos. Além disso, ilustra-se tal procedimento,de prática comum nas áreas da engenharia, comparando três circuitos de Energy Harvesting eapresentando um modelo do gerador piezelétrico obtido a partir dos parâmetros estimados.

1.3 Organização do trabalho

O trabalho está organizado em cinco capítulos que abordam aspectos relevantes para amodelagem e análise de um gerador piezelétrico de energia, assim como testes experimentaisque caracterizam e validam seu comportamento real:

• Capítulo 1: introdução e apresentação do trabalho, incluindo o objetivo e as contribuiçõesda dissertação;

• Capítulo 2: revisão bibliográfica de geradores piezelétricos, apresentando trabalhos degrande contribuição para modelagem de estruturas inteligentes e circuitos eletrônicos paraextração de energia, assim como modelos acoplados, desenvolvidos até o momento, parasistemas de Energy Harvesting;

• Capítulo 3: descrição do modelo de parâmetros distribuídos para geradores piezelétricosacoplados a circuitos retificadores, desenvolvido utilizando aproximações de Rayleigh-Ritz. Além disso, aborda-se a teoria linear de materiais piezelétricos e outros conceitosimportantes para a elaboração do modelo;

• Capítulo 4: compreende os resultados da dissertação, os quais podem ser dividido emtrês partes. A primeira descreve a implementação do modelo proposto e sua validação,realizada de forma numérica, confrontando os resultados com um modelo similar da li-teratura, e experimental, comparando os resultados com um protótipo. A segunda parteenvolve uma análise de sensibilidade e um procedimento de otimização aplicado ao mo-delo proposto. E por fim, na terceira parte, apresentam-se alguns testes experimentais

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realizados com uma viga piezelétrica comercial acoplada a três circuitos diferentes: re-sistivo, retificador de onda completa e comercial. Esta parte ainda apresenta um modelode um grau de liberdade do gerador comercial, cujos parâmetros foram estimados expe-rimentalmente.

• Capítulo 5: apresenta as considerações finais do trabalho, abordando a conclusão e as-pectos importantes relativos ao desenvolvimento do trabalho, bem como sugestões e pro-postas para trabalhos futuros.

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Nos últimos dez anos, diversos trabalhos e artigos têm sido publicados na literatura,descrevendo dispositivos e técnicas de Energy Harvesting, principalmente para a extração daenergia vibratória do ambiente utilizando materiais piezelétricos (Sodano et al., 2004a; Pe-reyma, 2007; Anton e Sodano, 2007; Cook-Chennault et al., 2008a). Uma aplicação relevantee bastante atrativa para este grupo de dispositivos envolve sistemas de monitoramento de in-tegridade estrutural (ou do inglês, Structural Health Monitoring SHM), os quais visam desen-volver dispositivos wireless autossuficientes (Guyomar et al., 2007; Yuse et al., 2008; Armset al., 2009).

Com o avanço das pesquisas na área de Energy Harvesting e principalmente devido àredução do nível de energia exigido por alguns equipamentos eletrônicos, tem se tornado cadavez mais frequente o aparecimento de dispositivos piezelétricos aplicados à diversas situaçõescotidianas. Uma das aplicações mais conhecidas, é a utilização de dispositivos de Energy Har-vesting atuando em solas de calçados, possibilitando converter a energia gasta por uma pessoadurante uma caminhada, mais especificamente, no momento do impacto de seu tênis/sapatocom o chão. Kymissis et al. (1998) foram uns dos pioneiros a estudar este tipo de aplicação,e recentemente, Howells (2008) apresentou um dispositivo de mesmo princípio desenvolvidopelo exército americano. Este dispositivo é composto por 4 pilhas bimorphs 1 de cerâmicas pi-ezelétricas e é capaz de gerar em média 90 mW, energia suficiente para alimentar, por exemplo,um telefone celular básico em condição de Stand-by, que consome cerca de 42 mW. Ainda natentativa de aproveitar o movimento do corpo humano para gerar energia, Pozzi et al. (2012)desenvolveram um dispositivo, também com PZTs, que utilizaria a articulação do joelho paragerar energia. O dispositivo, que produzia em média 2 mW, foi testado em uma máquina quesimulava o movimento do joelho, considerando diversos padrões de caminhada de um individuoque carregava uma mochila com diferentes pesos.

Outra aplicação na mesma linha de desenvolvimento foi apresentada por Kalyanaramane Jaykrishna (2010) , que propuseram a utilização de materiais piezelétricos localizados sob as

1Estrutura base completamente envolvida por duas camadas piezocerâmicas, na face superior e inferior, for-mando um sanduíche.

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teclas de telefones celulares e laptops, visando produzir energia conforme o usuário as pressi-ona. Durante o procedimento de captação, a energia foi convertida por um circuito retificador earmazenada em um filtro capacitivo, para posteriormente carregar uma bateria secundária, queauxilia a bateria principal em uma situação de emergência. Os autores utilizam filmes PVDF,também dispostos em forma de pilha, para fazer a transdução de energia, e com isto conseguemgerar uma potência de 1, 2 W. Assim, pode-se perceber que o futuro promissor deste tipo detecnologia, previsto por muitos pesquisadores há algum tempo, parece não estar tão distante darealidade.

No entanto, ao analisar as pesquisas envolvendo o tema Power Harvesting, em particularaquelas relacionadas à modelagem, é possível observar duas tendências. A primeira se preo-cupa em propor modelos matemáticos capazes de prever a energia que poderia ser convertida apartir de fontes vibratórias (Sodano et al., 2004a; Sodano et al., 2004b; duToit et al., 2005; Liaoe Sodano, 2009; Erturk e Inman, 2008b; de Marqui Jr. et al., 2009). Neste caso, grande partedos pesquisadores estão interessados em representar, da melhor maneira, o comportamento di-nâmico dos geradores piezelétricos. Entretanto, a maioria dos trabalhos focados em modelar emelhorar a estrutura eletromecânica simplificam o circuito de extração de energia, considerandosomente elementos lineares (em geral resistores) que fornecem corrente alternada e portanto nãorepresentam corretamente sistemas reais de Power Harvesting, já que a energia, em seu destinofinal, deve ser fornecida por corrente contínua na maioria dos dispositivos eletrônicos de inte-resse.

Por outro lado, um segundo grupo de pesquisadores têm proposto circuitos eletrônicospara aumentar a quantidade de energia extraída ou armazenada usando circuitos retificadores.O objetivo é definir condições ótimas para controlar o fluxo de potência nos dispositivos deEnergy Harvesting, utilizando modelos eletrônicos não lineares que incluem diodos, transisto-res, chaves sincronizadas, etc. (Lefeuvre et al., 2007; Guan e Liao, 2007; Dhulst et al., 2010).Contudo, neste trabalhos os osciladores mecânicos são geralmente modelados como sistemas deum grau de liberdade (SDOF), com simplificações que fornecem bons resultados somente paraexcitações próximas à frequência de ressonância. O problema é que as fontes reais de vibração,além de possuírem características transientes, ocorrem em uma faixa de frequências (em vez deuma única frequência específica), sendo necessário, então, utilizar abordagens que consideremmodelos de parâmetros distribuídos com múltiplos modos de vibrar (Erturk e Inman, 2008b).Neste sentido, de acordo com Yang e Tang (2009), um dos maiores desafios na comunidade deEnergy Harvesting encontra-se em utilizar modelos matemáticos que considere tanto sistemasmecânicos complexos quanto circuitos não lineares.

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2.1 Modelos de geradores piezelétricos

Desenvolver modelos para predição e análise do comportamento de sistemas físicos éum trabalho presente em todas os ramos da engenharia. Do mesmo modo, pesquisas na áreade transformação e armazenamento de energia vibratória, que utilizam materiais piezelétricos,sempre abordaram e propuseram diversos modelos e protótipos visando compreender melhoros fenômenos presentes nestas aplicações.

Em geral, estruturas do tipo viga e placa, por serem simples e capazes de produzir defor-mações consideráveis, são alvos de estudo da grande maioria dos pesquisadores. Além disso,problemas envolvendo estes tipos de estruturas dificilmente não admitem solução analítica.Deste modo, vários autores têm proposto modelos analíticos de vigas piezelétricas, seja assu-mindo a teoria de Timoshenko para vigas espessas (Dietl et al., 2010; de Lima Jr., 1999) ou ateoria de Euler-Bernoulli para vigas finas (Chen et al., 2006; Eggborn, 2003).

Conforme assumiu-se nesta dissertação, Erturk e Inman (2008a) utilizaram a teoria deEuler-Bernoulli como uma de suas hipótese simplificadoras, e propuseram uma solução analí-tica para uma viga do tipo unimorph2 conectada à uma carga resistiva. Como é de interesse queo gerador piezelétrico opere em condição de ressonância (ou muito próximo desta), os auto-res apresentaram tanto uma solução exata, considerando múltiplos modos de vibrar, quanto ummodelo reduzido, considerando apenas um modo (modelos SDOF).

Recentemente, Miller et al. (2011) apresentaram um modelo para predizer a energiagerada por uma viga piezelétrica trapezoidal, sujeita à fontes reais de vibração presentes emuma sala de máquinas de um grande prédio. O modelo analítico foi modificado para conside-rar sinais reais (discretos) de aceleração e foi validado com resultados experimentais. Ly et al.(2011) também propuseram um modelo analítico, com validação experimental, para uma vigapiezelétrica sob excitação harmônica na base (engaste), visando predizer as características dogerador tais como geometria, peso da massa concentrada e sua capacidade de gerar tensão. Em-bora nenhuma informação adicional tenha sido fornecida, os autores afirmaram que o modelo,implementado utilizando Matlab, poderia ser conectado ao modelo de um circuito.

Entretanto, segundo Erturk e Inman (2008b) , a tentativa de obter modelos analíticos poderesultar em uma previsão errada do potencial elétrico gerado, caso a modelagem não seja reali-zada apropriadamente. Os autores atribuem alguns destes erros à desconsideração do fenômenode ressonância e expansão modal, assim como do acoplamento piezelétrico, considerado emalguns casos como amortecimento viscoso (hipótese válida somente quando se trabalha comsistemas eletromagnéticos). Ao longo do trabalho foram enfatizadas as formas de corrigir es-tes erros e os cuidados a serem tomados ao se abordar tal modelagem, evitando a propagaçãode modelos incorretos. Contudo, sabe-se que apesar de modelos SDOF apresentarem resulta-dos condizentes, eles não conseguem representar alguns aspectos importantes do sistema físico,

2Segundo os autores a abordagem poderia facilmente ser estendida para o caso bimorph

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como por exemplo, os modos dinâmicos de vibrar e a distribuição de deformação ao longo daestrutura base.

Desta forma, uma abordagem um pouco mais aprimorada, cuja utilização tem sido fre-quente nos últimos anos, considera modelos de parâmetros distribuídos, como a formulaçãodiscreta de Rayleigh-Ritz (duToit et al., 2005; Goldschmidtboeing e Woias, 2008). Apesar deresultar em uma solução aproximada, esta formulação permite, dentre outras coisas, conside-rar um número maior de modos de vibrar. Um dos primeiros à implementar as aproximaçõesdeste método em um modelo de viga piezelétrica, com parâmetros distribuídos, para aplica-ção em Power Harvesting foram Sodano et. al (2004a). Neste trabalho, modelou-se uma vigabimorph engastada, submetida a uma excitação senoidal aplicada na extremidade fixa. Alémdisso, considerou-se a inclusão de uma resistência elétrica no modelo, responsável por represen-tar uma característica intrínseca do gerador piezelétrico: a dissipação de energia por uma carga.Os autores realizaram simulações e testes experimentais, com os quais comprovaram o efeito dadissipação de energia para diferentes valores de resistências (carga resistiva) e mostraram a im-portância de se considerar o efeito dissipativo. Assim, a formulação de Rayleigh-Ritz tem sidoempregada em muitos trabalhos, incluindo este, pois permite uma modelagem mais completado que modelos SDOF sem apresentar uma formulação complexa, que pode ser obtida com aaplicação do Método de Elementos finitos (MEF, ou do inglês FEM - Finite Element Method).

O MEF, por sua vez utilizado em um grande número de artigos (de Lima Jr., 1999;de Abreu et al., 2004; Hwang e Park, 1993), apresenta, para aplicações envolvendo estruturassimples (vigas, por exemplo), resultados com um grau de exatidão muito semelhante àquelesobtidos pelo método anterior. Benjeddou (2000) realizou um trabalho bastante completo, emque reúne mais de cem artigos relacionados à modelagem de geradores piezelétricos utilizandoo MEF. Sua pesquisa mostrou, já naquela época, a popularidade deste método e discutiu as ten-dências sobre suas formulações e aplicações na modelagem de estruturas inteligentes. Piefort(2001), Wang (2004) e De Marqui Jr. (2009) foram alguns autores que seguiram esta tendênciae, de certa forma, são homólogos ao presente trabalho. Neste caso, De Marqui Jr. et al. (2009)destacam-se ao propor um modelo de elementos finitos para geradores piezelétricos, bimorphse unimorphs, comparando os resultados de ambos (por meio de suas Funções de Resposta emFrequência) com a solução analítica e um modelo experimental. Além disso, aplicaram o mo-delo desenvolvido na asa de um veículo aéreo não-tripulado, visando maximizar energia geradadurante seu voo por meio de um processo de otimização.

Contudo, utilizar a técnica de elementos finitos nestes sistemas pode causar complicaçõescom relação à discretização do elemento piezelétrico, se certos cuidados não forem tomados.Para representar este domínio, segundo as premissas do método, é comum discretizar o materialpiezelétrico e, deste modo, assumir que seja composto por vários eletrodos. Ou seja, admite-seque este possua vários graus de liberdade elétricos ao longo de seu comprimento. Esta não éuma consideração válida, visto que na prática, o elemento piezelétrico é composto por eletrodosinteiriços e, desta forma, apenas um grau de liberdade é suficiente para representar a resposta

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elétrica do mesmo. Então, conforme apresentam De Marqui Jr. et al. (2009), é necessário fazeruma transformação no vetor de DOFs elétricos, para que este seja representado apenas por umescalar, e assim, retrate a realidade dos geradores piezelétricos.

Por outro lado, apesar do desenvolvimento destes modelos lineares, sabe-se que a energiaextraída por tais dispositivos não é suficiente para ser utilizada diretamente. Assim, estudosrecentes têm incluído um comportamento não linear nestes osciladores (Masana and Daqaq,2012), seja modificando a rigidez (Quinn et al., 2011) ou utilizando mecanismos magnéti-cos (Erturk and Inman, 2011), para expandir a faixa de frequência de ressonância (Moehliset al., 2009; Morris et al., 2008), bem como melhorar a capacidade destes geradores em pro-duzir energia fora desta condição (Ramlan et al., 2010). Consequentemente, a energia vibrató-ria obtida é maior do que aquela proporcionada por mecanismos lineares, como detalhado emRanlam et al. (2010), Barton et al. (2010) e Sebald et al. (2011). Logo, conforme apresentaTang et al. (2010), com estas e outras técnicas é possível projetar dispositivos piezelétricos paratrabalharem em condição de ressonância, com fontes de vibração mais baixas, que podem serencontradas com maior facilidade em diversos locais.

2.2 Circuitos eletrônicos para extração de energia

Como já mencionado anteriormente, a tensão gerada por dispositivos piezelétricos possuicaracterística alternada e de baixa amplitude, o que torna imprópria a sua utilização direta comofonte de alimentação de dispositivos eletrônicos, em especial, os de baixa potência. Por estemotivo, torna-se necessária a utilização de circuitos eletrônicos para realizar o processamentodeste sinal, e assim, transformá-lo em contínuo. Os circuitos mais simples capazes de fazeresta conversão são os circuitos retificadores não-controlados. Este tipo de circuito é compostobasicamente por um diodo ou uma ponte retificadora de diodos, associado em paralelo à umcapacitor. Contudo, embora realizem a conversão CA/CC a partir de topologias simples e sema necessidade de fontes de energia externa, estes retificadores ainda não permitem extrair amáxima quantidade de energia possível.

Neste sentido, diversas técnicas e métodos têm sido utilizados para desenvolver circuitosretificadores controlados capazes de melhor gerenciar a energia convertida por dispositivos pie-zelétricos. Uma técnica bastante popular, conhecida na literatura por Synchronized Switch Har-vesting (SSH), tem se mostrado bastante promissora e, por isso, muitos pesquisadores têm inves-tigado variações da mesma, como a técnica Synchronized Switch Harvesting on Inductor (SSHI)(Guyomar et al., 2005; Lefeuvre et al., 2006; Shu et al., 2007; Lallart e Guyomar, 2008b). Nes-tes circuitos, de forte característica não linear, o diodo é acionado para extração nos instantesde amplitudes mínimas e máximas de deslocamento (ou da tensão gerada pelos PZTs). Isto é,a extração ocorre em sincronia com a vibração mecânica, e consequentemente, as fases paraextração da energia também são sincronizadas (Lallart e Guyomar, 2008b), o que maximiza a

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energia extraída. Segundo Lallart e Guyomar (2008), é possível aumentar a amplitude do sinalde saída em até 100% com a técnica SSHI padrão (Guyomar et al., 2005), e até 160% com atécnica proposta por eles (SSHI modificado). A diferença entre os dois circuitos se resume naquantidade de diodos presentes e na localização dos elementos de chaveamento. O primeiroapresenta quatro diodos (ponte completa) e as chaves conectadas em série com o indutor e osegundo apresenta dois diodos e as chaves conectadas em série com cada diodo.

Contudo, em alguns casos, aumentar a quantidade de energia convertida por estes cir-cuitos de Energy Harvesting pode não significar um aumento na energia final disponível. Istoporque tais retificadores controlados podem exigir uma quantidade de energia relevante paraexercerem sua função e esta energia pode ser maior do que aquela extraída. Deste modo,outros autores tem estudado modificações para aumentar a eficiência dos circuitos de extra-ção, como as técnicas Synchronized Switch Harvesting on Inductor with Magnetic Rectif ier(SSHI-MR) (Garbuio et al., 2009) e Double Synchronized Switch Harvesting (DSSH) (Lallarte Guyomar, 2008b), ou ainda trabalhando com o conceito de circuitos autossuficientes (Huet al., 2008b; Shen et al., 2010; Lallart et al., 2011; Liang e Liao, 2011; Liang e Liao, 2012).Shen et al. (2010) investigaram uma técnica para desenvolver um circuito mais eficiente (oqual possui um sistema de controle que dissipa, aproximadamente, 121 µW para funcionaradequadamente), chamada Enhanced Synchronized Switch Harvesting (ESSH). Assim, conse-guem atingir a máxima potência para qualquer carga conectada ao gerador e, se comparados àcircuitos retificadores padrão, aumentam a potência extraída em aproximadamente 300% sobressonância. Lallart et al. (2011) combinou duas destas técnicas, SSHI e SSHI-MR, desenvol-vendo uma abordagem diferente para aumentar em quase seis vezes a energia convertida pelocircuito, também atingindo a condição máxima independente da carga conectada. Como pode-se perceber, com uma simples mudança na disposição dos elementos do circuito, é possívelaumentar consideravelmente a energia na saída do mesmo (energia disponível para uso).

Nos casos citados até agora, foram estudados somente os meios de conversão de ener-gia, desconsiderando-se análises detalhadas com relação aos meios de armazenamento. Nestesentido, Ottman et al. (2002) apresentaram estudos em que propuseram a utilização de um con-versor CC-CC adaptativo. Este, era conectado entre o filtro capacitivo do circuito retificador euma bateria, visando aumentar a tensão produzida, e consequentemente, reduzir a potência per-dida pela bateria durante o processo de carga. Eles obtiveram com esta técnica, um aumento deaté 400% na potência produzida. Contudo, a adição destes componentes para maximização dapotência, gerava uma dissipação extra de energia, e por isso, para se ter um aumento favorávelna potência, o gerador piezelétrico deveria gerar no mínimo 10 V de tensão em circuito aberto,tornando esta técnica um pouco ineficiente.

Ainda nesta linha, porém agora utilizando outra forma de armazenamento, Sodano (2004b)e Sodano (2005) , investigaram a possibilidade de se utilizar baterias recarregáveis para armaze-nar a energia gerada por diversos geradores piezelétricos. Em um dos casos analisados, pôde-serecarregar a bateria de um relógio em menos de uma hora para um nível de frequência condi-

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zente com a realidade. Com esta abordagem, eles afirmam poder escolher o melhor dispositivoa ser utilizando (dentre os estudados) e estimar o tempo necessário para recarregar uma bateria.Segundo Sodano (2005), "sem um método mais efetivo para armazenar energia, o processo dePower Harvesting nunca será uma fonte de alimentação viável para aplicações comerciais.

2.3 Modelagem de sistemas acoplados

Por ser uma área que envolve essencialmente conhecimentos multidisciplinares relacio-nados à mecânica e eletricidade, recentemente alguns pesquisadores têm avançado em direçãoao desenvolvimento de modelos acoplados, que consideram a interação entre a estrutura e o cir-cuito. Um dos desafios a ser superado nesta vertente, compreende a possibilidade de utilizar omesmo pacote de software para analisar o comportamento unificado do sistema acoplado. Yange Tang (2009) propuseram uma ponte entre a análise de elementos finitos (FEA - Finite ElementAnalisys), para o domínio mecânico, e simulações no Spice, para o domínio elétrico, utilizandoa técnica de circuitos equivalentes. O modelo considerava múltiplos modos da estrutura e umretificador de onda completa para estimar com exatidão o desempenho do gerador piezelétrico.

Elvin e Elvin (2009) desenvolveram um modelo FEA-Spice acoplado para analisar ge-radores piezelétricos. Esta abordagem permite simular estruturas mecânicas e circuitos com-plexos, mas não exclui o uso de circuitos equivalentes para o domínio mecânico. Além disso,este procedimento pode demorar um tempo considerável para resolver o problema devido a suadependência de três plataformas de software diferentes, podendo aumentar se sistemas comple-xos estiverem envolvidos. A principal diferença entre as abordagens de Yang e Tang (2009)e Elvin e Elvin (2009) está no procedimento autônomo, descrito pelo último, para resolver oproblema sem intervenção humana ao logo do processo. De maneira similar, Zhu et al. (2009),Chen e Pan (2011) e Wang et al. (2012) também apresentaram uma análise acoplada, conhecidana literatura por coupled piezoelectric-circuit f inite element analysis (CPC-FEA). Apesar dapossibilidade de modelar estruturas complexas, estes trabalhos apenas consideram uma cargaresistiva, em vez de um circuito completo de extração/armazenamento de energia.

2.4 Considerações finais

Como pode-se perceber ao analisar os diversos trabalhos publicados na última década,torna-se cada vez mais frequente o desenvolvimento de estudos e pesquisas envolvendo a mo-delagem de geradores piezelétricos e circuitos de extração de energia, bem como a interaçãode ambos os domínios. Por consequência, tem-se obtido representações mais precisas, de talforma que, atualmente, o foco se encontra em desenvolver modelos e protótipos capazes de seadaptar às condições de trabalho estabelecidas por sistemas oscilatórios comuns ao cotidiano,

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geralmente capazes de fornecer excitações de baixa frequência. Assim, a partir do momentoem que a modelagem destes dispositivos estiver plenamente desenvolvida, unindo os modelosde geradores piezelétricos aprimorados, que incluem efeitos não-lineares, com os modelos decircuitos para extração, amplificação e armazenamento de energia, será possível popularizar ouso e a comercialização destes dispositivos para as mais variadas aplicações.

Capítulo 3

Modelagem de Geradores Piezelétricos

Este capítulo apresenta e revisa a modelagem clássica de um gerador piezelétrico utili-zando o princípio variacional de Hamilton e aproximações de Rayleigh-Ritz. Abordam-se aindaconhecimentos necessários para desenvolver um modelo adequado, envolvendo os princípiosfundamentais e relações constitutivas lineares de materiais piezelétricos, bem como circuitos re-tificadores de onda completa. Ambas as partes, mecânica e elétrica, do sistema de Energy Har-vesting são representados de forma apropriada para a realização de uma modelagem unificadaentre o circuito eletrônico e a viga piezelétrica.

3.1 Materiais piezelétricos

O efeito piezelétrico (do grego piezen, pressionar), demonstrado pela primeira vez em1880, por dois irmãos físicos, Jacques e Pierre Curie, pode ser definido como a capacidade dealguns materiais gerarem carga elétrica quando submetidos a esforços mecânicos, bem como acapacidade de se deformarem quando impostos à uma diferença de potencial (Cross e Heywang,2008).

Os primeiros estudos do fenômeno apresentado pelos irmãos Curie foram realizados comcristais de Quartzo, de maneira que no início da década de 1920 este material era utilizado emestabilizadores de frequência, e pouco tempo depois, na indústria naval, como elementos es-senciais em sonares. Entretanto, a grande expansão da tecnologia piezelétrica só viria a ocorrerapós o emprego de materiais ferroelétricos, como o titanato de bário (BaTiO3) e consequente-mente o Titanato Zirconato de Chumbo (cerâmica PZT), uma vez que estes admitem um pro-cesso de polarização com grande facilidade e baixo custo, diferentemente daqueles materiaispiezelétricos cuja direção dos dipolos não pode ser alterada. A grande vantagem da utilizaçãodestes novos materiais está no fato de que o efeito piezelétrico e a eficiência da conversão ele-tromecânica são bem maiores se comparado ao Quartzo (Wersing et al., 2008). Além disso,através de uma pequena mudança em sua composição química, as propriedades do PZT podemser facilmente alteradas para adaptá-lo à aplicação desejada.

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Desta forma, após a aplicação de um processo de polarização (ou poling, como encontradona literatura), estes materiais passam a exibir características excepcionais que possibilitam umagrande gama de aplicações, seja como sensor ou atuador. No primeiro caso, denominado efeitodireto, explora-se a capacidade de se converter energia de deformação mecânica em energiaelétrica. Logo, quando esforços de compressão são aplicados na mesma direção de polarizaçãodos cristais (ou esforços de tração aplicados perpendicularmente a esta direção), produz-se umadiferença de potencial com a mesma polaridade da tensão elétrica aplicada durante o processode polarização (figura 3.1(a)). A situação oposta (compressão aplicada em direção contrária àpolarização) também é válida, e a tensão elétrica gerada passa a ter polaridade contrária ao casoanterior, conforme ilustra a (figura 3.1(b)).

Figura 3.1: Comportamento do elemento piezelétrico enquanto sensor e atuador.

Em contrapartida, quando estes materiais são utilizados como atuadores eletromecânicos,sua capacidade de converter energia elétrica em energia mecânica (efeito inverso) é explorada.Assim, quando um potencial elétrico (de polaridade oposta à tensão de poling) é imposto namesma direção de sua polarização, o material tende a se alongar (figura 3.1(c)). Analogamenteao efeito direto, a condição contrária também é válida neste caso (figura 3.1(d)).

Dessa forma, ter conhecimento sobre a direção de polarização das cerâmicas piezelétricasé um fator crucial para a determinação de alguns parâmetros referentes à sua aplicação (na-tureza e direção do esforço aplicado, direção da deformação desejada, etc.) bem como suaspropriedades, visto que destas dependem as equações que regem a piezeletricidade1.

3.1.1 Propriedades e relações constitutivas da piezeletricidade linear

Materiais piezelétricos são cristais com propriedades anisotrópicas, o que significa dizerque elas variam de acordo com a direção em que são medidas. Portanto, torna-se necessárioestabelecer um sistema de referência padrão em relação a qual estas propriedades são definidas,

1Todas estas informações são fornecidas pelos fabricantes das cerâmicas.

17

de forma a facilitar sua identificação. Para identificar as direções em um elemento piezelétrico,três eixos ortogonais são designados como 1, 2 e 3; os quais são análogos ao conjunto de eixostridimensionais clássicos X , Y e Z (IEEE, 1987). Além disso, devido a possibilidade destesmateriais serem submetidos a esforços de cisalhamento, é necessário definir planos para taiscasos, representados por 4, 5 e 6, como pode ser visto na figura 3.2(b).

3

1

2

DipólosAlinhados

Direção da deformação

Materialpiezelétrico

Eletrodos

(a) Esquema de material piezelétrico após poling.

Y

Z

X

6

3

5

1

42

Polarização

(b) Eixo de referência padrão.

Figura 3.2: Eixos de polarização de um material piezelétrico.

Como mencionado anteriormente, as equações que regem o efeito piezelétrico estão in-timamente relacionadas às suas propriedades. Sendo assim, é conveniente apresentar e definiraquelas de maior relevância. Segundo Kim (2002, p. 11 ), "A relação mais importante paracaptura de energia piezelétrica é entre tensão mecânica e carga elétrica, e é def inida como aconstante d". Este coeficiente, também conhecido por constante de deformação, relaciona a de-formação mecânica produzida no material piezelétrico com a aplicação de um campo elétrico,sendo normalmente representado por dij (IEEE, 1987).

Di = dijTij (3.1)

Nesta equação, i e j correspondem às direções ilustradas pela figura 3.2, onde o primeirosubscrito indica a direção de polarização do material e o segundo indica a direção da força oucampo elétrico externo aplicado. D representa o campo de deslocamento elétrico ou densidadede fluxo elétrico [C/m2] e T é a tensão mecânica aplicada ao material [N/m2]. Assim, aequação 3.1 é aplicada da seguinte forma neste trabalho:

D3 = d31T11. (3.2)

De modo semelhante à constante de deformação, define-se como contante de tensão (gij) apropriedade piezelétrica que relaciona o campo elétrico produzido quando uma tensão mecânicaé aplicada ao material, sendo importante para aplicações sensoriais (IEEE, 1987):

18

E3 = g31T11 (3.3)

sendo E o campo elétrico [N/C] gerado quando o material é submetido a uma tensão mecânicaT .

Em geral, assume-se que materiais piezelétricos são transversalmente isotrópicos, sendocomum encontrar casos cuja direção de polarização se dá ao longo do eixo isotrópico transversal(eixo 3) (da Rocha, 2004). Logo, é provável que na maioria dos casos, encontre-se o subscritoi igual a 3, conforme apresentado nas equações 3.2 e 3.3. Com relação ao subscrito j, tem-se que para a presente aplicação este será igual a 1, pois a estrutura cujo material piezelétricoestá acoplado é submetida a esforços de flexão. Consequentemente, a cerâmica piezelétricaexperimenta deformações longitudinais.

Entretanto, sabe-se que a família dos piezelétricos, bem como a maioria dos materiais, exi-bem um comportamento não-linear quando são submetidos a elevados níveis de excitação (gran-des esforços e/ou solicitações). Porém, aproximações lineares podem ser realizadas quando setrabalham com aplicações estruturais, sendo que os limites deste comportamento variam deacordo com a composição de cada cerâmica PZT e estão relacionadas às forças coesivas do ma-terial (Helke e Lubitz, 2008). Assim, as equações constitutivas da piezeletricidade linear podemser descritas conforme mostram as equações a seguir (IEEE, 1987):

T = cE S− eT E (Efeito Inverso) (3.4)

D = e S + εS E (Efeito Direto) (3.5)

onde T é o tensor de tensões [N/m2], D é o vetor de deslocamento elétrico [C/m2], S é o tensorde deformações [m/m], E é o vetor de campo elétrico [N/C], cE é módulo de elasticidade paracampo elétrico constante [N/m2], e é a permissividade dielétrica [C/m2] e εS é a matriz deconstantes dielétricas para deformação mecânica constante.

De acordo com Tichý et al. (2010) , as constantes piezelétricas referentes a tensão mecâ-nica podem ser obtidas a partir das constantes de deformação piezelétrica através das seguintesrelações (IEEE, 1987):

cE = (sE)−1

εS = εT − dT cE d

e = cE d

KT = εTεo

(3.6)

19

sendo sE a matriz de compliância elástica para campo elétrico constante [m2/N], εT a matrizde constantes dielétricas para tensão mecânica constante e KT a constante dielétrica relativapara tensão mecânica constante.

Assim, as equações para o efeito direto e inverso podem ser reescritas (Preumont, 2006):

D = dT T− εT E (3.7)

S = sE T− dT E (3.8)

ou ainda na forma matricial de acordo com:

S11

S22

S33

2S23

2S31

2S12

D1

D2

D3

=

sE11 sE12 sE13 0 0 0 0 0 d31

sE12 sE11 sE13 0 0 0 0 0 d31

sE13 sE13 sE33 0 0 0 0 0 d33

0 0 0 sE44 0 0 0 0 0

0 0 0 0 sE55 0 0 d15 0

0 0 0 0 0 sE66 d15 0 0

0 0 0 0 0 d15 εT11 0 0

0 0 0 0 d15 0 0 εT11 0

d31 d31 d33 0 0 0 0 0 εT33

T11

T22

T33

T23

T31

T12

E1

E2

E3

(3.9)

visto que geralmente os fabricantes destes materiais fornecem a constante de deformação d. Aespecificação destas relações permite realizar a inclusão do efeito piezelétrico à modelagem.

3.2 Modelo eletromecânico da viga piezelétrica

A modelagem de sistemas dinâmicos, incluindo aqueles com características eletromecâ-nicas, é geralmente obtida a partir de métodos variacionais tais como o princípio de Hamilton.Segundo Preumont (2006, p. 11): "o princípio generalizado de Hamilton expressa o equilí-brio dinâmico na forma estacionária da integral def inida de uma função escalar da energia".Em outras palavras, este princípio, dependente de quantidades escalares de trabalho e ener-gia, afirma que de todos os caminhos possíveis para um sistema percorrer dada trajetória, elepercorrerá aquela que necessita da menor quantidade de energia 2. Assim, ao ser descrito porcoordenadas generalizadas (z), o principio de Hamilton é dado por:

2Por isso também é conhecido como princípio da mínima ação.

20

t2∫t1

L (z (t) , z (t) , t) dt =

t2∫t1

[δ (Tc − U +We) + δW ] = 0 (3.10)

sendo t1 e t2 dois instantes arbitrários, L a função Lagrangeana, z a coordenada generalizada,Tc a energia cinética total, U a energia potencial total, We o trabalho elétrico e δW a variaçãodo trabalho virtual3 realizado por forças externas Fe, forças de superfície Fs e forças de corpoFc. Estas variáveis são definidas da seguinte maneira:

Tc =1

2

∫Vs

ρsuT u dVs +

1

2

∫Vp

ρpuT u dVp (3.11)

U =1

2

∫Vs

STT dVs +1

2

∫Vp

STT dVp (3.12)

δW =

∫Vs

δuTFedV +

∫As

δuTFs dAs + δuTFc +

∫Ap

δvTq dAp (3.13)

sendo q o vetor de carga elétrica [C], v o vetor de tensão elétrica [V], V o volume [m3], A aárea [m2], u o vetor de deslocamentos [m], u o vetor de velocidades [m/s], ρ a massa específica[kg/m3] e os subscritos p e s referentes ao material piezelétrico e à viga, respectivamente.Contudo, para obter a equação do movimento do sistema eletromecânico utilizando o princípiovariacional de Hamilton, é necessário incluir as relações constitutivas da piezeletricidade linearnas equações 3.11, 3.12 e 3.13.

Assim, utilizando-se das propriedades piezelétricas para o efeito direto e considerando avariação (δ) do trabalho elétrico, das energias cinética e potencial, as equações 3.11, 3.12 e 3.13podem ser reescritas da seguinte forma:

δTc =1

2

∫Vs

ρs δuT u dVs +

1

2

∫Vp

ρp δuT u dVp (3.14)

δU =1

2

∫Vs

δST cs S dVs +1

2

∫Vp

δST cES dVp (3.15)

δWe =

∫Vp

δST eTE dVp +

∫Vp

δET eS dVp +

∫Vp

δETksE dVp. (3.16)

3Na definição desta variável, o último termo apresenta sinal positivo pois a carga é extraída do sistema.

21

Desta maneira, substituindo as equações 3.13-3.16 na equação 3.10 obtem-se:

t2∫t1

∫Vs

ρsδuT udVs+

∫Vp

ρpδuT udVp −

∫Vs

δST cs S dVs −∫Vp

δST cE S dVp+∫Vp

δST eT E dVp +∫Vp

δET εs E dVp +∫Vs

δET eS dVp +∫Vs

δuTFedVs+∫As

δuTFsdAs + δuTFc +∫Ap

δvT q dAp

dt = 0 (3.17)

A solução da equação 3.17 permite obter a equação (diferencial parcial) do movimentopara qualquer sistema mecânico que contenha elementos piezelétricos acoplados. Contudo,para resolvê-la é necessário fazer algumas considerações.

Em primeiro lugar, assume-se a teoria de viga de Euler-Bernoulli. Esta, afirma que umplano normal ao eixo neutro da viga permanece sem distorção após ser submetido a uma dadadeformação. Ou seja, a espessura da viga não varia enquanto está deformada e os efeitos dadeformação por cisalhamento, bem como a torção da seção transversal, são ignorados (Jalili,2010). Para a presente aplicação, esta é uma consideração válida, já que a espessura da estruturabase possui dimensão muito inferior ao seu comprimento.

Figura 3.3: Deslocamento de pontos sobre a linha normal ao planos xz e yz (de Lima Jr., 1999).

Portanto, ao assumir a teoria de Euler-Bernoulli, reduz-se o estado tridimensional de ten-sões ao estado plano de tensões. Além disso, uma vez que o elemento piezelétrico possui umpar de eletrodos que cobrem completamente a superfície perpendicular a direção 3, as compo-nentes elétricas (D e E) da equação 3.9 são desprezadas em outras direções além da 3. Destemodo, a equação 3.9 reduz-se à:

22

S1

D3

=

sE11 d31

d31 εE11

T1

E3

(3.18)

a qual pode ser expressa na seguinte forma, caso as relações apresentadas na equação 3.6 sejamutilizadas:

T1

D3

=

cE11 −e31

e31 εS11

S1

E3

(3.19)

sendo cE11 = (sE11)−1 e31 = d31(sE11)−1 e εE33 = εT33 − d312(sE11)−1.

Assim, a partir da figura 3.3, pode-se obter o deslocamento axial ux em função do deslo-camento transversal uz:

uxT =

−z∂uz

∂x

T

. (3.20)

Dessa forma, é possível escrever a deformação S da viga em termos de seu deslocamentotransversal e da distância z do eixo neutro à superfície externa da viga, conforme mostra aequação a seguir:

S = Sx Sy SxyT = −z∂2uz

∂x2

∂2uz

∂y22∂2uz

∂x∂y

T

. (3.21)

A segunda consideração refere-se ao potencial elétrico ser constante ao longo da espessurado elemento piezelétrico. Isto quer dizer que o campo elétrico gerado por cada PZT não agesobre a viga, de tal forma a ser descrito da seguinte maneira (configuração bimorph):

E = ψ(z)v(t) =

−v/tp

0

v/tp

tb/2 < z < tb/2 + tp

−tb/2 < z < tb/2

−tb/2− tp < z < −tb/2

(3.22)

sendo ψ(z) responsável por definir o campo elétrico ao longo da espessura do PZT.

Por fim, considera-se que a cerâmica piezelétrica está perfeitamente colada na superfícieda viga e o sistema é submetido a deslocamentos e deformações pequenos, ou seja, possuicomportamento linear (Erturk, 2009).

23

3.2.1 Método de Rayleigh-Ritz

Quando se deseja obter a solução para determinado problema é importante escolher ade-quadamente o método que melhor se ajusta à solução do sistema em questão, geralmenteconsiderando-se o menor tempo de processamento possível. O desenvolvimento no campo daanálise numérica permitiu, durante o século XX, o aparecimento de diversos métodos que for-necem, de maneira aproximada, excelentes soluções para equações diferenciais ordinárias e par-ciais. Assim, nos últimos anos, pesquisadores que têm trabalhado com modelos de parâmetrosdistribuídos, demonstram preferência em utilizar duas abordagens para obtenção da equação domovimento: o Método de Elementos Finitos (MEF) ou aproximações de Rayleigh-Ritz.

Segundo Meirovitch (1986) , o método de Rayleigh-Ritz, também chamado de métododos modos assumidos, é considerado como uma extensão do método de Rayleigh e é baseadona premissa de que se pode obter uma aproximação mais precisa do modo natural exato de umsistema pela superposição de várias funções φi(x) assumidas, equação 3.23, em vez de utilizaruma única, como ocorre no método de Rayleigh (Rao, 2009):

Φ(x) ≈ φ0(x) + c1φ1(x) + c2φ2(x) + · · ·+cNφN(x). (3.23)

Deste modo, caso as funções assumidas sejam escolhidas adequadamente, além de seobter as frequências naturais, o método de Rayleigh-Ritz pode fornecer as formas modais dosistema. Portanto, um grande número de funções modais4, embora aumente consideravelmenteo trabalho computacional, pode gerar resultados mais precisos.

Assim, aplicando este método ao problema proposto (figura 3.4), de acordo com So-dano (2003), pode-se aproximar o deslocamento transversal uz(x, t) da viga piezelétrica pelosomatório de seus modos de vibrar e uma coordenada temporal, conforme indica a equaçãoa seguir:

uz(x, t) ≈N∑i=1

φi(x)ri(t) = Φ(x)r(t) (3.24)

de forma que φi(x) representa as formas modais assumidas da estrutura eletromecânica, asquais devem satisfazer qualquer combinação das condições de contorno; ri(t) é a coordenadatemporal do deslocamento e N é o número de modos a ser incluído na análise.

Na figura 3.4 Lb representa o comprimento da viga, Lp o comprimento do PZT, tb a es-pessura da viga, tp a espessura do PZT, w a largura de ambos os elementos, Lx a distância doengaste até os PZTs e os subíndices 1 e 2 referentes aos PZTs superior e inferior, respectiva-mente.

Desta forma, utilizando as considerações feitas anteriormente em conjunto com as apro-

4Detalhes sobre estas funções para diferentes condições de contorno podem ser encontrados em Gonçalves etal. (2007).

24

Lx Lp1

Lb

Lp2

tb

w

z

y

z

x

Elementopiezelétrico Viga

tp1

tp2

uz

Figura 3.4: Desenho esquemático de uma viga piezelétrica genérica.

ximações de Rayleigh-Ritz, é possível simplificar a equação variacional (equação 3.17) e iden-tificar termos comuns às equações do movimento de um sistema dinâmico qualquer. Logoas matrizes do sistema podem ser escritas como (Hagood et al., 1990; Sodano, 2003; Elvin eElvin, 2008)5:

Ms =

∫Vs

ρs[φ(x)]T [φ(x)] dVs (3.25)

Mp =

∫Vp

ρp[φ(x)]T [φ(x)] dVp (3.26)

Ks =

∫Vs

z2[φ(x)]T [G] [φ(x)] dVs (3.27)

Kp =

∫Vp

z2[φ(x)]T[cE]

[φ(x)] dVp (3.28)

Θ = −∫Vp

z[φ(x)]T [e]T [ψ(z)] dVp (3.29)

Cp =

∫Vp

[ψ(z)]T[εS]

[ψ(z)] dVp. (3.30)

sendo Ms e Ks as matrizes de massa e rigidez do elemento estrutural, respectivamente; Mp

e Kp as matrizes de massa e rigidez do elemento piezelétrico, respectivamente; Θ = ΘT

a matriz de acoplamento eletromecânico e Cp a matriz de capacitância piezelétrica6. Nesteponto, deve-se ressaltar que, devido a possibilidade de se utilizar vários PZTs, é interessantedefinir se estes serão conectados (entre si) em série, quando se deseja maximizar a corrente

5Estas equações podem ser integradas de maneira analítica utilizando pacotes simbólicos no Matlab, WxMa-xima ou Mapple.

6Neste caso torna-se um escalar, Cp = Cp, pois o PZT apresenta somente um grau de liberdade elétrico.

25

(a capacitância equivalente torna-se Cp = Cp1 + Cp2 + · · · + Cpn), ou em paralelo, quandodeseja-se maximizar a tensão (a capacitância equivalente é Cp = ( 1

Cp1+ 1

Cp2+ · · · + 1

Cpn)−1).

Esta dissertação considera apenas a conexão em série, a qual foi realizada para o caso bimorph,conforme descrito no capítulo 4.

Logo, substituindo as matrizes definidas anteriormente na equação 3.17 pode-se reescre-ver a equação do princípio variacional:

t2∫t1

δrT (Ms + Mp)r(t)− δrT (t)(Ks + Kp)r(t) + δrTΘv(t)+

δv(t)ΘT r(t) + δv(t)Cp v(t) +N∑i=1

δr(t)φ(xi)Tfi(t) +

N∑i=1

δvqj(t)

dt = 0. (3.31)

Ao resolver esta integral, obtém-se duas equação resultantes, acopladas pela matriz deacoplamento Θ. A primeira correspondendo ao domínio estrutural e a segunda ao domínio pie-zelétrico. Além disso, inclui-se na primeira equação o efeito do amortecimento (C) da estruturamecânica, considerado como proporcional a massa (Ms + Mp) e rigidez (Ks + Kp):

(Ms + Mp) r(t) + C r(t) + (Ks + Kp) r(t)−Θ v(t) = F (3.32)

ΘT r(t) + Cp v(t) = −q(t) (3.33)

C = α (Ms + Mp) + β (Ks + Kp) (3.34)

sendo α e β as constantes de proporcionalidade.

Assume-se ainda, que o sistema é excitado pela base, ou seja, uma força de excitação éaplicada no engaste da viga:

F(t) =

∫V

ρAω2 sin(ωt) dV = sin(ωt)F. (3.35)

A partir das equações 3.32 e 3.33, pode-se encontrar o deslocamento transversal da viga e,consequentemente, o potencial elétrico gerado pelos PZTs quando o sistema eletromecânico éexcitado por uma força externa. Entretanto, para aplicações de Energy Harvesting, este sistemasempre estará conectado a um elemento que dissipa ou armazena energia, algo que a equaçãodo movimento encontrada ainda não considera. Desta forma, é necessário adicionar na equaçãodo movimento uma variável que considere esta dissipação. Alguns trabalhos consideram umelemento resistivo (Sodano et al., 2004a; Erturk e Inman, 2009) e baseiam-se na lei de Ohm:

v(t) = Ri(t) = Rq(t) (3.36)

sendo R a resistência conectada ao gerador piezelétrico e q(t) a corrente que circula por R.

26

Assim, a equação do movimento pode ser reescrita como (Sodano et al., 2004a):

Mr(t) + Cr(t) +(K + ΘC−1

p ΘT)

r(t)−ΘC−1p q(t) = F(t) (3.37)

Rq(t)− C−1p Θtr(t) + C−1

p q(t) = 0. (3.38)

No entanto, esta equação ainda não representa um sistema eletromecânico adequado para EnergyHarvesting, pois a corrente (e tensão) que circula através da carga externa (representada pelaresistência R) possui característica alternada. Conforme comentado anteriormente, baterias edispositivos eletrônicos que deveriam ser alimentados por esta energia necessitam de um sinalcontínuo, isto é, tensão/corrente contínua. Assim, para que o modelo represente um dispositivoreal de Energy Harvesting, é indispensável incluir um circuito retificador à esta modelagembem como seu efeito sobre equação do movimento, sem restringir o modelo a apenas um cir-cuito resistivo. A seção 3.2.2 discute a modificação a ser realizada no modelo padrão do geradorpiezelétrico para considerar o efeito do acoplamento do circuito eletrônico.

3.2.2 Representação no espaço de estados

A metodologia proposta neste trabalho apresenta uma modelagem acoplada do geradorpiezelétrico com o circuito de extração de energia, considerando desta forma, a interação entreos dois domínios (figura 3.5). De acordo com (Rupp et al., 2010), os sistemas são acopladosassumindo-se uma condição de continuidade entre a corrente e tensão de ambos:

vcircuit = vPZT (3.39)

icircuit = iPZT . (3.40)

CL RL

D1 D2

D3 D4

Gerador piezelétrico

V = VPZT circuit

-

+

i = iPZT circuit

Figura 3.5: Desenho esquemático do acoplamento entre o gerador piezelétrico e um circuitoretificador com quatro diodos D1, D2, D3 e D4.

Portanto, devido a esta interface, a corrente que circula pelo circuito retificador tam-bém circula pelo elemento piezelétrico, sendo necessário considerar, no modelo, a corrente derealimentação dos PZTs.

27

Por outro lado, problemas que abordam modelos de parâmetros distribuídos, em muitoscasos, podem apresentar um grande número de graus de liberdade (DOF - Degrees of Freedom),dificultando, muitas vezes, a manipulação das variáveis que representam estes DOFs. Destemodo, é conveniente utilizar técnicas que permitam representar o sistema de maneira maisprática, como a representação no espaço de estados. Além disso, por se tratar de um modelomultifísico, é apropriado utilizar-se de pacotes numéricos que possibilitem modelar a interaçãoentre o sistema eletromecânico e o circuito para extração de energia de modo unificado, sem anecessidade de trabalhar com pacotes de software que podem não ser compatíveis. Consequen-temente, o processo de otimização, uma etapa muito importante no projeto destes dispositivos,pode ser comprometida.

Desta forma, de maneira geral, para conectar o gerador piezelétrico (viga + PZT) à umcircuito retificador, a equação do movimento do sistema eletromecânico pode ser escrita demaneira diferente:

(Ms + Mp) r(t) + C r(t) + (Ks + Kp) r(t)−Θ v(t) = F (3.41)

ΘT r(t) + Cp v(t) = −q(t). (3.42)

Ao diferenciar a equação que modela a parcela elétrica do sistema eletromecânico, equa-ção 3.33, nota-se o aparecimento do termo q(t), responsável por representar a corrente quecircula no circuito retificador e, consequentemente, realimenta o PZT.

Deste modo, tomando-se como exemplo o caso em que dois PZTs são colados em umaviga, cada qual conectado à um circuito retificador diferente (figura 3.6), pode-se escrever aseguinte realização no espaço de estados:

x = Ax + B1u1 + B2u2 + B3u3 (3.43)

y = Cox + D1u1 + D2u2 + D3u3 (3.44)

onde o vetor de estados x é dado por x = r(t) r(t) v1(t) v2(t)t e r representa a coorde-nada temporal da velocidade do sistema eletromecânico. As matrizes dinâmica A, de entradaB, de saída Co e de transmissão direta Do são definidas como:

A =

0n×n In×n 0n×1 0n×1

−M−1K −M−1C M−1Θ1 M−1Θ2

01×n −C−1p1

Θ1t 0 0

01×n −C−1p2

Θ2t 0 0

(3.45)

28

B = [B1 B2 B3] =

0n×1 0n×1 0n×1

M−1Fo 0n×1 0n×1

0 C−1p1 0

0 0 C−1p2

(3.46)

Co =

01×n 01×n 1 0

01×n 01×n 0 1

Φ 01×n 0 0

(3.47)

D = [D1 D2 D3] =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

(3.48)

sendo n o número de modos de vibrar Φ = Φ1(x) Φ2(x) · · · Φn(x) usados para aproximaro deslocamento transversal u(x, t), 0 a matriz nula, I a matriz identidade, Cp1 e Cp2 as capaci-tâncias piezelétricas dos PZTs 1 e 2, respectivamente. A matriz de saída Co fornece a saída dosistema eletromecânico y = v1(t) v2(t) u(x, t)t.

Figura 3.6: Esquema de ligação dos PZTs com os circuitos retificadores em uma vigapiezelétrica, sendo CL e RL, respecitvamente, o filtro capacitivo e a carga resistiva do circuitoe D1−4 os diodos.

Os vetores de entrada são definidos por u1 = sin(ωt), u2 = −q1(t) e u3 = −q2(t),onde u1 deve ser multiplicado por Fo para gerar a força externa aplicada no engaste da viga.As correntes elétricas i1(t) = q1(t) e i2(t) = q2(t), provenientes dos circuitos acopladosaos eletrodos dos PZTs 1 e 2, respectivamente, são realimentadas nos PZTs, como mostra afigura 3.6. Com isto, é possível observar que, caso sejam adicionados k elementos piezelétricos

29

ao sistema eletromecânico, existem duas possibilidades para a extração de energia: fazendoa conexão dos PZTs em série ou em paralelo, e/ou conectando cada elemento piezelétrico àum circuito de extração. Esta abordagem é apresentada no capítulo 4, onde descreve-se assimulações realizadas com o modelo desenvolvido em um único pacote de software.

3.3 Circuitos para extração de energia

Desenvolver circuitos para extrair e/ou armazenar a energia gerada por dispositivos pieze-létricos sempre foi uma tarefa bastante evidenciada por pesquisadores desta área. A necessidadede se utilizar um circuito conversor CA/CC, bem como a possibilidade de maximizar a potênciaextraída utilizando-se técnicas para aumentar a eficiência de tais circuitos, mostra o motivo dagrande importância de se trabalhar este tema. Sendo assim, apesar de muitos trabalhos con-duzirem a um modelo elétrico simplificado (considerando apenas uma carga resistiva externa,ou seja, um resistor), utilizar dispositivos piezelétricos para alimentação de equipamentos debaixa-potência exige circuitos um pouco mais elaborados.

Conforme apresentado anteriormente, diversos autores já desenvolveram trabalhos emque abordam os mais variados circuitos para Power Harvesting, abrangendo tanto circuitoscontrolados (ativos) como os não-controlados (passivos). Recentemente, tem havido uma ten-dência de pesquisadores trabalharem com circuitos controlados para extração de energia de-vido ao aumento de eficiência que eles podem proporcionar durante a conversão do sinal al-ternado. Contudo, além de exigir um sistema de controle, sua utilização geralmente ocasionaum consumo extra de energia no circuito, reduzindo a quantidade de energia que de fato é ex-traída/armazenada. Assim, é necessário a adição de energia externa para que se tenha um ganhopositivo sem comprometer o aumento de eficiência do circuito. Esta situação não acontece comcircuitos retificadores não-controlados, visto que estes não possuem dispositivos de controle(que consomem energia para seu funcionamento) em sua topologia. Assim, caso o empregode circuitos controlados cause um consumo considerável de energia, pode ser mais viável, emalgumas ocasiões, utilizar circuitos retificadores não-controlados.

Neste sentido, esta seção revisa informações relevantes e clássicas sobre a modelagem decircuitos retificadores passivos para extrair e converter a tensão alternada fornecida pelo geradorpiezelétrico em tensão contínua visando, posteriormente, acoplar o circuito ao sistema eletro-mecânico. Contudo, é importante ressaltar que a abordagem proposta neste trabalho possibilitaa conexão de qualquer circuito, não se restringindo apenas a classe de retificadores passivos.

O modelo adotado para representar a característica exponencial da relação tensão-correntedo diodo é o modelo de segmentos de reta. Isto é, assume-se a linearização da curva exponencial(não-linear), como mostra a figura 3.7.

Nesta aproximação, a inclinação da reta é função de RD, a resistência equivalente que

30

(a) Circuito equivalente dodiodo.

(b) Curva i-v linearizada na região de polarização di-reta.

Figura 3.7: Características do modelo linear de um diodo (Sedra e Smith., 2007).

representa o diodo neste modelo linearizado, e VT é a tensão limiar do diodo (ou ThresholdVoltage, em inglês). Em geral, o valor desta tensão é referido como a "queda de tensão"sobre odiodo, e por isso, é representado por vfd (do inglês, Forward Voltage Drop).

Deste modo, de acordo com o modelo linear assumido para o diodo, pode-se escrever suarelação i− v da seguinte forma:

iD =

0 se vD ≤ vfd (3.49)(vD − vfd)

RD

se vD > vfd. (3.50)

Ou seja, se a tensão vD sobre o diodo for maior que sua queda de tensão vfd, o diodoconduz corrente. Caso contrário, não há passagem de corrente.

A seção seguinte trata de circuitos retificadores de onda completa, onde são descritas suasprincipais características, equações e formas de onda resultante.

3.3.1 Circuito retificador de onda completa em ponte com filtro capacitivo

O circuito que retifica a tensão alternada produzida pelo gerador piezelétrico é apresen-tado na figura 3.8. Assim, como citado anteriormente, a tensão v(t) e a corrente i(t) = q(t)

representam a tensão e corrente do dispositivo piezelétrico, respectivamente. A figura aindamostra iC a corrente que circula pelo capacitor CL, iR a corrente que circula pelo resistor RL eiL definido por:

iL = iC + iR. (3.51)

31

iL

+

-

v(t) CL RL

D1 D2

D3 D4

i

+

-

iC iR

vL

+

-

Figura 3.8: Retificador de onda completa em ponte com filtro capacitivo e carga resistiva.

Dessa forma, durante o período em que o material piezelétrico está sendo excitado, acorrente passa por dois caminhos: atravessando D1 e D4 durante o semiciclo positivo e D2 eD3 durante o semiciclo negativo. Portanto, esta topologia exige a presença de dois diodos nocaminho de condução da corrente, causando, consequentemente, o dobro da queda de tensão deum circuito que possui apenas um diodo (retificador de meia onda, por exemplo).

Em contrapartida, devido à presença do filtro capacitivo, se |v(t)| < 2vfd + vL(t) nãohá circulação de corrente no retificador. Isto é, i(t) é igual à zero e a tensão sobre o capacitor,vL(t), decai enquanto o capacitor alimenta a carga resistiva de acordo com:

CLvL(t) +vL(t)

RL

= 0. (3.52)

Quando |v(t)| ≥ 2vfd + vL(t), a corrente i(t) que circula pelos diodos D1 e D4 é definidapor:

i(t) =v(t)− vL(t)− 2vfd

2RD

. (3.53)

Logo, a tensão sobre a carga resistiva resulta em:

CLvL(t) +

(1

RL

+1

2RD

)vL(t) =

v(t)− 2vfd2RD

. (3.54)

O processo ocorre de maneira análoga para o semiciclo negativo, sendo que a correnteque circula pelos diodos D2 e D3 é representada por:

i(t) =−v(t) + vL(t) + 2vfd

2Rd

. (3.55)

Consequentemente, a tensão resultante sobre a carga resistiva é dada por:

CLvL(t) +

(1

RL

+1

2RD

)vL(t) =

−v(t)− 2vfd2RD

. (3.56)

32

Estas equações representam o comportamento do circuito retificador com relação a v(t),i(t) e, consequentemente, vL(t), variável de maior interesse para esta aplicação. A figura 3.9ilustra a forma de onda resultante deste processo, onde VP é o valor da tensão de pico do sinalde entrada, Vr a oscilação do sinal retificado, denominado de Ripple, ∆t o intervalo de tempoem que o diodo conduz corrente e VL o sinal retificado.

Figura 3.9: Forma de onda na saída do retificador de onda completa com filtro capacitivo (Sedrae Smith., 2007).

Assim, com as equações 3.52 à 3.56, a dinâmica do processo de retificação torna-se co-nhecida e a corrente contínua iR pode ser usada para carregar algum dispositivo de armaze-namento ou alimentar diretamente um equipamento eletrônico de baixa potência. Além disso,é interessante notar também que, quando se trabalha com circuitos retificadores, o projeto dofiltro capacitivo é uma etapa importante a ser realizada, uma vez que as características do si-nal de saída (nível de tensão DC e Ripple) é extremamente dependente do capacitor (Sedra eSmith., 2007). Neste trabalho, o valor médio da potência instantânea (Pmed), em regime perma-nente, é utilizado para quantificar a potência na carga resistiva e é calculado por

Pmed =v2rms

RL

(3.57)

sendo vrms =

√∫ tf0 vL(t) dt

tfe tf o tempo durante o qual o cálculo foi feito.


Os tópicos abordados neste capítulo retrataram os principais pontos para o desenvolvi-mento do modelo de um gerador piezelétrico conectado à um circuito de extração de energia.

33

Como pôde-se perceber, para a realização de pesquisas nesta área, é imprescindível ter conhe-cimentos multidisciplinares que envolvam a mecânica de estruturas e circuitos retificadores.Além disso, modelar estes dispositivos de maneira adequada, para compreender os fenômenospresentes no processo de interação entre ambos os domínios, elétrico e mecânico, é um dosgrandes desafios desta tecnologia e vêm sendo bastante discutido na comunidade de EnergyHarvesting.

Desta maneira, percebe-se que a evolução e consolidação de tecnologias nesta área de-pendem do desenvolvimento de técnicas que permitam aumentar a eficiência na conversão daenergia fornecida por geradores piezelétricos, sendo indispensável a utilização de modelos paraprevisão do comportamento destes novos dispositivos. Conforme Erturk e Inman (2008b), "...nodesenvolvimento de novas tecnologias, engenheiros começam, legitimamente, a investigar no-vas possibilidades utilizando modelos primitivos. Assim que as ideias amadurecem, torna-senecessário utilizar modelos de maior f idelidade, visando capturar sutilezas e fenômenos físicosimportantes.".

Capítulo 4

Resultados

Este capítulo apresenta os resultados da dissertação. Assim, são descritas detalhadamenteas simulações numéricas realizadas com o modelo desenvolvido, o procedimento de verificaçãodo mesmo e os resultados obtidos. Além disso, são apresentados os testes experimentais rea-lizados com um gerador piezelétrico comercial e os resultados obtidos a partir de um modelosimplificado (massa-mola-amortecedor) deste mesmo gerador, os quais são confrontados comos resultados experimentais.

4.1 Simulações numéricas e verificação do modelo

A modelagem do capítulo anterior, envolvendo o circuito e o gerador piezelétrico de ener-gia (modelo no espaço de estados), foi implementada no ambiente principal do MATLAB (ver-são R2011b) e no Simulink. Logo, inicialmente descreve-se de forma geral como as simulaçõesforam implementadas. Em seguida, apresenta-se o procedimento de verificação do modelo, re-alizado a partir de testes experimentais com o protótipo de uma viga bimorph. Os resultadosapresentados nesta seção deram origem a um artigo já aceito para publicação no Journal of theBrazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering (Clementino et al., 2013).

4.1.1 Descrição das simulações

O desenvolvimento de modelos para geradores piezelétricos por meio de diversas técni-cas e métodos é um assunto que já foi exaustivamente estudado. Com isto, muitos trabalhosforam realizados visando simular vários casos e condições em que estes geradores poderiam sersubmetidos. Uma das estruturas que está sempre em evidência quando se trata da conversão deenergia de vibração em energia elétrica é a viga engastada1, devido a possibilidade de se ob-ter deformações consideravelmente grandes através de pequenas excitações e por possuir umageometria simples, fácil de se acoplar a sistemas vibratórios.

1A mesma estrutura utilizada neste trabalho.

35

36

Deste modo, com as equações que representam o sistema previamente determinadas, arealização de simulações é importante para prever a quantidade de energia gerada, bem comoo comportamento do sistema em função de algumas condições de operação. Dessa forma,para cumprir tal objetivo dividiu-se, neste trabalho, o procedimento de simulação numérica emquatro etapas (figura 4.1):

1. Implementar o modelo do sistema eletromecânico no MATLAB®;

2. Implementar o modelo do circuito retificador no Simulink, utilizando a biblioteca Sim-PowerSystems;

3. Conectar os modelos implementados no ambiente do Simulink;

4. Simular o modelo unificado para as condições desejadas e extrair os resultados obtidos.

Figura 4.1: Fluxograma das etapas envolvidas na simulação de um gerador piezelétrico deenergia.

Na primeira etapa, é de interesse encontrar as matrizes que caracterizam a equação domovimento, apresentada no capítulo 3, para que se possa obter, então, a realização no espaçode estados deste sistema. Esta realização é de extrema importância para a implementação domodelo, pois é ela que permite a conexão entre o modelo da viga piezelétrica e o modelo docircuito retificador.

Em um segundo momento, é necessário obter o modelo do circuito retificador. Para estaetapa, utiliza-se a toolbox Simulink/SimPowerSystems onde se encontram todos os elementos

37

essenciais para a modelagem de sistemas de potência, incluindo circuitos eletrônicos. O pro-cedimento para obter este modelo é simples, pois basta conectar os elementos que compõem ocircuito e definir seus respectivos parâmetros característicos. Neste ponto, é interessante ressal-tar que apesar da versão do Matlab utilizada possuir tanto modelo linear quanto exponencial dodiodo, o último (localizado em uma biblioteca denominada Simscape) não possui conectividadecom outros elementos (blocos) do Simulink/SimPowerSystems, sendo este um dos motivos peloqual o modelo de segmentos de reta foi adotado. Contudo, versões mais atuais do Matlab per-mitem considerar tais modelos de maior complexidade utilizando um bloco de interface2 entreelementos do SimPowerSystems e Simscape. Assim, ao modelar o diodo de forma linear, torna-se necessário determinar, primeiramente, algumas características como sua resistência interna(RD) e queda de tensão (vfd). Neste trabalho, estas grandezas foram definidas utilizando-se aabordagem experimental exposta em Motter et al. (2012), onde várias medições para tensão ecorrente foram feitas sobre o diodo (considerando uma faixa de operação específica), visandodeterminar a curva i− v que representa o seu comportamento.

Após inserir todos os componentes necessários para a modelagem do circuito retificadorna área de trabalho do Simulink, parte-se para a terceira etapa: conectar os dois sistemas nomesmo ambiente computacional. Para isto, deve-se utilizar o modelo de espaço de estadosresultante da primeira etapa, que contém todas as informações do sistema eletromecânico (for-mado pela viga e pelos elementos piezelétricos). O Simulink contém um bloco, cuja função éimplementar a representação no espaço de estados de um sistema linear. Logo, fornecendo asmatrizes A, B, Co e D, o modelo da viga piezelétrica é inserido no Simulink, conforme mostraa figura 4.2, onde um circuito retificador de onda completa com filtro capacitivo é conectadoao modelo do sistema eletromecânico.

Figura 4.2: Implementação do modelo unificado de um gerador piezelétrico conectado à umcircuito retificador de onda completa com filtro capacitivo.

2Maiores informações podem ser encontradas no manual de usuário do Matlab R2012a (ou superior), ao pro-curar pelo bloco Current-Voltage Simscape interface.

38

Observando a figura 4.2, percebe-se que a entrada do bloco de espaço de estados, de-nominado "Smart Structure", é composta por um sinal senoidal, representando a excitação dosistema, e pela corrente que circula no circuito retificador, realimentando os PZTs. O númerode saídas deste bloco depende da maneira em que a matriz de saída Co é estruturada. Nestecaso, obtém-se como saída, o deslocamento transversal u(t) e o potencial elétrico v(t) geradopelos PZTs. Além disso, é importante ressaltar a adição do bloco Controlled Voltage Source,que representa uma fonte de tensão controlada e possibilita, desta maneira, considerar a reali-mentação de corrente nos PZTs. Informações adicionais sobre a utilização e o funcionamentodo Simulink/SimPowerSystems podem ser encontradas em Bozin (1998) e Shaban (2009).

Ao final do processo, na quarta etapa, devem ser definidos os parâmetros do solver uti-lizado, tais como método numérico para resolver as equações que regem o problema, taxa deamostragem ou passo de integração, condições iniciais (se existirem), dentre outras. Assim,as simulações podem ser realizadas e os resultados, por sua vez, extraídos para posterior aná-lise. Este trabalho apresenta um processo de otimização como exemplo de simulação numéricapara ilustrar o potencial da abordagem apresentada. Contudo, antes de descrever o processode otimização e os procedimentos envolvidos na seleção dos parâmetros a serem otimizados, éimportante validar os resultados obtidos com o modelo.

4.1.2 Verificação numérica e experimental

O modelo apresentado neste trabalho propõe utilizar o Simulink como um software eficazpara simular os componentes mecânicos e elétricos de um sistema de Power Harvesting. Sendoassim, é fundamental verificar se o modelo fornece resultados condizentes com a realidade.Primeiramente, realiza-se uma comparação desta metodologia utilizando o mesmo modelo pro-posto por Sodano et al. (2004b), sem o circuito retificador. Um segundo teste é realizado emuma viga piezelétrica conectada diretamente em um circuito retificador de onda completa, comfiltro capacitivo e carga resistiva. Os resultados numéricos obtidos são comparados com asmedições de tensão aferidas sobre a carga e sobre o PZT.

Caso 1 - Carga resistiva

Sodano et al. (2004b) modelaram um dispositivo piezelétrico Quick Pack QP40N com-posto por elementos piezelétricos acoplados à uma viga de dimensões 100, 6 mm× 25, 4 mm×0, 762 mm de comprimento, largura e espessura, respectivamente. Em seu trabalho, conside-raram o efeito dissipativo, utilizando a Lei de Ohm (equação 3.36), e obtiveram as equaçõesdo movimento para o sistema eletromecânico, equações 3.37 e 3.38, que podem ser resolvi-das utilizando o comando lsim do Matlab ou uma realização no espaço de estados, conformeapresentado no capítulo anterior. Para comparar tal resultado com o modelo apresentado nestetrabalho (equações 3.41 e 3.42) implementou-se um diagrama no Simulink, figura 4.3, o qual

39

considera somente a tensão sobre o PZT como saída (primeira linha da matriz Co e D = 0, naequação 3.44).

Discrete,Ts = Ts s.

powergui

volt

Voltage in Vpzt

v+-

VoltageMeasurement

iL

Vload2

vL

Vload

t1

To Workspace1

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

Smart Structure

Sine Wave

+

Ru

Input signal

-1

Gain

i+

-

CurrentMeasurement

I

Current

s

-+

ControlledVoltage Source

Clock

Figura 4.3: Implementação de uma viga engastada, como dispositivo de Energy Harvesting,conectada à uma carga resistiva utilizando blocos do Simulink.

As simulações numéricas em ambos os modelos foram computadas usando um tempode amostragem de 10−5 segundos e 16000 amostras. No Simulink, a solução numérica foiobtida a partir do solver ode23t, Stiff/Trapezoidal, com passo variável. Utilizou-se tambémuma resistência R = 100 kΩ, a mesma utilizada em Sodano et al. (2004b), e uma frequênciade excitação f = 25 Hz. Os sinais de corrente alternada obtidos por ambos os métodos sãoapresentados na figura 4.4.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo [s]

Co

rren

te[m

A]

Sodano et al. 2004a

Simulink

Figura 4.4: Corrente gerada pela viga piezelétrica para uma carga resistiva R = 100 kΩ efrequência de excitação f = 25 Hz.

Os resultados apresentados na figura 4.4 são similares e suas diferenças se devem, pro-vavelmente, à divergências numéricas entre os comandos e métodos do Matlab. Contudo, o

40

aspecto importante a ser observado é que a simulação numérica foi realizada em um único am-biente computacional, permitindo considerar outros circuitos eletrônicos complexos em vez deuma simples carga resistiva, como é apresentado a seguir.

Caso 2 - Circuito retificador de onda completa

O protótipo da viga piezelétrica utilizada neste caso possui a mesma geometria apresen-tada na figura 4.5, com Lb = 78mm, Lp1 = 45mm, Lp2 = 46mm, Lx = 20mm, tb = 0, 91mm

e tp1 = tp2 = 0, 191 mm. A diferença é que neste protótipo os PZTs (modelo PSI-5H4E, fa-bricados pela Piezo Systems) não possuem a mesma largura da viga (w = 21 mm), sendowp1 = 15 mm e wp2 = 17 mm as larguras do PZT1 e PZT2, respectivamente.

Lx Lp1

Lb

Lp2

tb

w

z

y

z

x

Elementopiezelétrico Viga

tp1

tp2

uz

Figura 4.5: Desenho esquemático da viga piezelétrica utilizada no processo de verificação ex-perimental.

A base (engaste) da viga piezelétrica é diretamente conectada ao excitador eletrodinâmico(shaker, em inglês) da TMC modelo TJ 50, conforme mostra a figura 4.6. Neste caso, o engastefoi realizado utilizando duas pequenas chapas metálicas, cada uma localizada nas superfíciesinferior e superior da viga. Assim, uma vez que a haste disponível para conectar a viga noshaker é provida de roscas, utilizou-se um par de porcas e arruelas3 para pressionar as chapascontra a viga. Ainda, para evitar um possível movimento relativo entre a viga e as chapas, oconjunto foi envolvido por uma fita isolante. Deste modo, garantia-se que a base da viga fossesubmetida apenas ao deslocamento transversal.

Ao observar a Figura 4.6, percebe-se que os PZTs não se encontram engastados e muitomenos próximos ao engaste (região da viga que apresenta maior deformação e, portanto, émais adequada para o acoplamento dos PZTs). Desta forma, é importante ressaltar os motivospelos quais tal posicionamento (Lx = 20 mm) foi adotado. Este assunto já foi discutido em umtrabalho anterior (Motter et al., 2012) e, portanto, faz-se apenas uma breve descrição dos fatoresque ocasionaram a utilização desta configuração:

3Utilizadas para distribuir em maior área de contato a pressão resultante do aperto.

41

Figura 4.6: Viga piezelétrica acoplada ao shaker sob condição engastada-livre.

(i) Esta é uma viga que já havia sido confeccionada no laboratório;

(ii) Devido a falta de ferramentas adequadas, o acoplamento da viga ao shaker seria dificultadose os PZTs estivessem colados muito próximos da extremidade fixa;

(iii) A viga foi elaborada para mostrar que a topologia e os componentes, capacitivo e resis-tivo, do circuito retificador foram selecionados de forma apropriada, resultando no melhordesempenho do circuito.

Uma vista completa dos equipamentos utilizados nos testes é ilustrada na figura 4.7 eincluem um gerador de sinais TE 1311E da TMC, um amplificador de potência TE 5874A daTMC, uma placa de aquisição DSpace 1104 controlada pelo Simulink e pelo software ControlDesk e um protoboard, onde o circuito retificador foi implementado.

A figura 4.8 mostra detalhes do circuito retificador utilizado, com RL = 1 MΩ e CL =

1 µF. O projeto da carga capacitiva (CL) e resistiva (RL) foi baseado no tempo de descarga,nível de tensão obtido na carga e quantidade de energia armazenada no capacitor. Detalhesadicionais sobre esta escolha podem ser encontrados em Motter et al. (2012).

Para se determinar a frequência natural da viga estimou-se a Função de Resposta emFrequência (FRF) experimental do sistema. Assim, aplicou-se uma varredura senoidal de 0 até2 kHz como sinal de excitação no PZT inferior (atuador) e mediu-se a resposta da viga, isto é,a tensão gerada, com o PZT superior (sensor). A taxa de amostragem utilizada foi de 8 kHz etodas as aquisições fora realizadas com a placa de aquisição DSpace 1104. A figura 4.9 mostrao resultado da FRF experimental estimada usando o estimador H1, com o método de Welch,com 1500 amostras, 50% de overlap e janela retangular.

42

(a) Ilustração dos equipamentos utilizados.

(b) Desenho esquemático.

Figura 4.7: Configuração dos equipamentos utilizada nos testes experimentais.

Figura 4.8: Circuito retificador de onda completa experimental.

43

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

−2

10−1

Frequency [Hz]

FR

F−

Am

plitu

de [

V/V

]

Figura 4.9: FRF experimental da viga piezelétrica em condição de circuito aberto.

Após analisar a figura 4.9, selecionar algumas frequências próximas aos picos de ampli-tude e verificar o comportamento (experimental) da viga diante destas frequências, observou-seque a estrutura apresentou o mais alto nível de vibração para a frequência de 58 Hz. Esta,por sua vez, corresponde à primeira frequência natural e foi aplicada ao shaker como frequên-cia de excitação nos testes experimentais realizados. O nível da força aplicada foi monitoradoqualitativamente utilizando uma célula de carga modelo TF-YD-312 da TMC.

Uma vez determinada a frequência natural da viga (protótipo), definiu-se os parâmetrosnecessários para realizar a simulação com o modelo considerando uma excitação de 58 Hz e asmesmas propriedades e geometria da viga utilizada nos testes experimentais. Além disso, foramusados quatro modos de vibrar para aproximar (numericamente) a estrutura eletromecânica nafaixa de frequências de interesse e os valores das constantes de amortecimento α e β, fixadosem 10−4 e 10−6, respectivamente, foram determinados a partir de tentativa e erro visando obteruma matriz de amortecimento subamortecida.

Para confeccionar a ponte retificadora utilizou-se diodos Schottky 1N5817, cuja curvai − v foi experimentalmente identificada em testes anteriores utilizando uma resistência de10kΩ e uma fonte de corrente contínua. Os resultados mostraram que, para um nível de correntegeralmente produzido em testes de Energy Harvesting, cada diodo possuía uma queda de tensãovfd = 50 mV e uma resistência interna Ron = 280 Ω. Maiores informações sobre este testetambém podem ser encontradas em Motter et al. (2012).

A figura 4.10 mostra os resultados, em regime estacionário, da tensão sobre os PZTs esobre a carga resistiva, obtidos por simulação numérica e teste experimental. O valor de picoda tensão senoidal gerada pelos PZTs, medido experimentalmente, atingiu aproximadamente0, 43 V. Novamente, o comando ode23t (Mod. stiff/Trapezoidal) com passo variável foi uti-lizado como solver. Os resultados, numérico e experimental, para a tensão contínua (medida)sobre a carga resistiva também apresentaram coerência.

44

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo [s]

Te

ns

ão

[V]

PZT

Carga resistiva

(a) Simulação numérica.

Tempo [s]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Te

ns

ão

[V]

PZT

Carga Resistiva

(b) Teste experimental.

Figura 4.10: Comparação entre as tensões no PZT e na carga resistiva referentes aos resultadosnuméricos e experimentais realizados com frequência de excitação de 58 Hz.

Desta forma, o processo de verificação dos resultados obtidos com o modelo proposto evi-denciam uma concordância satisfatória, apresentando boa predição da tensão gerada pelos PZTse da corrente na carga resistiva, de modo similar à outros modelos encontrados na literatura.

4.2 Otimização de um gerador piezelétrico acoplado a umcircuito retificador

Esta seção apresenta o procedimento de otimização realizado com o intuito de ilustraro potencial da modelagem proposta neste trabalho. A otimização é aplicada em uma viga bi-morph conectada à um circuito retificador de onda completa visando maximizar a potênciaextraída considerando os parâmetros mecânicos e elétricos do sistema acoplado. Deste modo,a seguir apresenta-se uma análise de sensibilidade sobre os parâmetros geométricos da viga,visando selecionar, para o processo de otimização, aqueles que possuem maior influência sobrea potência gerada. Por fim, é feita a descrição do problema de otimização e a discussão dosresultados obtidos, os quais deram origem à artigos apresentados e publicados nos anais do VIICongresso Nacional de Engenharia Mecânica - CONEM 2012 (Clementino e da Silva, 2012) edo 10th World Congress on Computational Mechanics - WCCM 2012 (Clementino et al., 2012).

4.2.1 Análise de sensibilidade

Uma das etapas que pode auxiliar na busca de valores máximos/mínimos é a escolha ade-quada de quais parâmetros se deve otimizar. Neste sentido, deve-se priorizar a utilização deparâmetros que possuam maior influência sobre a função objetivo. Assim, realizou-se uma aná-

45

lise de sensibilidade sobre as variáveis geométricas da viga e do PZT visando estabelecer umarelação entre a resposta dinâmica e a variação de certos parâmetros envolvidos no problema.Do ponto de vista matemático, esta análise corresponde ao cálculo das derivadas parciais dasrespostas do modelo relativas a cada parâmetro de interesse (Haug et al., 1986). Assim, a sen-sibilidade da resposta dinâmica r em relação a um certo parâmetro zi, avaliado em zi = z0

i , édefinida por:

∂r

∂zi

∣∣∣∣z0i

= lim∆zi→0

r(Pmed(z0i + ∆zi))− r(Pmed(z

0i ))

∆zi. (4.1)

Segundo Zivanovic et al. (2007), em vez de resolver a Eq. (4.1), esta derivada pode seraproximada usando o método das diferenças finitas para representar a sensibilidade normali-zada, calculada para facilitar a comparação entre os diferentes parâmetros:

Sn,ij =∆Qi/∆Zj

Qi/Zj

=∆Qi

∆Zj

Zj

Qi

(4.2)

sendo ∆Qi a variação da resposta dinâmica, ∆Zj a variação do parâmetro, Zj o valor do parâ-metro cuja sensibilidade foi calculada e Qi sua respectiva resposta.

Neste trabalho calculou-se a sensibilidade dos parâmetros geométricos da viga piezelé-trica (Lb, Lp, tb, tp e w) em relação a potência instantânea4 transferida à carga resistiva (Pmed),variando-se em 1 % cada parâmetro. Para tanto, uma configuração base foi definida para osistema de Energy Harvesting (composto por um gerador piezelétrico acoplado a um circuitoretificador), de maneira que, mantendo a mesma amplitude e frequência de excitação (excitandosomente o primeiro modo do gerador), cinco simulações foram realizadas, cada uma conside-rando a variação de apenas um parâmetro dentre aqueles analisados (enquanto os outros erammantidos iguais à configuração base).

Os resultados da análise de sensibilidade são apresentados na figura 4.11, onde é possivelperceber que os parâmetros de maior sensibilidade são os comprimentos da viga e do PZT.Isto ocorre pois na formulação do modelo do sistema eletromecânico, a excitação da base geraefeitos de força inercial distribuída ao longo da viga. Em outras palavras, a massa do sistemapor unidade de comprimento tem grande influência sobre o sistema e, consequentemente, Lb

e Lp também. Deste modo, os dois parâmetros geométricos foram selecionados o processo deotimização juntamente com os parâmetros do circuito.

4Esta variável foi quantificada considerando seu valor médio após atingir a condição de regime permanente.

46

w Lb Lp tb tp0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sen

sibi

lidad

e no

rmal

izad

a

Parâmetros geométricos

Figura 4.11: Sensibilidade da potência gerada com relação aos parâmetros geométricos da vigae do PZT.

4.2.2 Descrição do problema de otimização

Para realizar este processo utilizou-se a Programação Sequencial Quadrática (do inglês,Sequential Quadratic Programming - SQP) como método de otimização. A função objetivo,definida pelo inverso de Pmed, foi minimizada considerando como parâmetros de otimização ocomprimento da viga (Lb) e do elemento piezelétrico (Lp), a carga resistiva (RL), a capacitância(CL) e os parâmetros do diodo RD e vfd.

Por outro lado, uma vez que o armazenamento da energia requer a inclusão do capaci-tor no circuito retificador, esta energia também precisa ser maximizada e portanto, deve serconsiderada no processo de otimização. Logo, a energia armazenada no capacitor, dada por

EC =1

2CLv

2L (4.3)

também torna-se uma função objetivo. Contudo, é importante destacar que, em geral, circuitosde Energy Harvesting utilizam capacitores visando duas funções distintas: atenuar oscilaçõescaracterísticas (conhecida como Ripple) que surgem após o processo de retificação e armazenara energia gerada pelo sistema de Energy Harvesting. Neste trabalho, utiliza-se o capacitor so-mente como meio de armazenamento de energia, desconsiderando a nível de Ripple das análisesque se seguem. Sendo assim, um problema de minimização multiobjetivo pode ser escrito daseguinte maneira:

Minimizar f(x) =1

Pmed

e h(vL, CL) =1

EC

(4.4)

onde o vetor das variáveis a serem otimizadas é

47

x =Lb Lp RL CL RD vfd

T

(4.5)

sujeito às seguintes restrições:

g1(x) : Lminb ≥ Lb ≥ Lmax

b g2(x) : Lminp ≥ Lp ≥ Lmax

p

g3(x) : RminL ≥ RL ≥ Rmax

L g4(x) : CminL ≥ CL ≥ Cmax

L

g5(x) : RminD ≥ RD ≥ Rmax

D g6(x) : vminfd ≥ vfd ≥ vmax

fd .

(4.6)

Os parâmetros de otimização foram restritos a um intervalo de valores plausíveis con-forme apresentado a seguir. Porém, tais valores podem variar de acordo com as característicase limitações do ambiente em que o gerador piezelétrico está inserido.

4.2.3 Resultados

O processo de otimização foi aplicado ao sistema eletromecânico viga/PZT/circuito (figura4.12), considerando uma excitação harmônica na base da estrutura. A tabela 4.1 mostra as di-mensões e propriedades do sistema modelado. As simulações foram realizadas considerandoquatro modos de vibrar (N = 4) da viga, definindo f = 70 Hz como frequência de excitaçãoe A = 1, 53x10−4 m como amplitude de deslocamento. Ou seja, o sistema foi otimizado paraesta excitação, sendo que tais parâmetros (f e A) foram escolhidos para representar condiçõesreais de operação, uma vez que os geradores piezelétricos são geralmente acoplados em locaiscom características similares à estas. A evolução dos parâmetros de otimização é apresentadana figura 4.13.

Figura 4.12: Desenho esquemático do sistema de Energy Harvesting acoplado.

48

Tabela 4.1: Parâmetros do gerador piezelétrico.

Domínio Parâmetros Valores

Elemento estrutural

Espessura (tb) 0, 91 mm

Largura (w) 21 mm

Massa específica (ρb) 2700 kg/m3

Módulo de elasticidade (Eb) 70 Gpa

Material Alumínio

Elemento piezelétrico

Espessura (tp) 0, 191 mm

Massa específica (ρp) 7750 kg/m3

Módulo de elasticidade (Ep) 60.6 Gpa

Modelo PZT-5HConstante dielétrica (K33) 3400

Constante piezelétrica (d31) 274× 10−12 m/V

0 5 10 15 20 25 30

10

20

30

40

50

60

Iterações

Parâ

metr

os o

tim

izados

CL

RL

Lp

Lb

RD

vfd

Figura 4.13: Evolução dos parâmetros de otimização ao longo das iterações.

A figura 4.13 mostra os parâmetros otimizados, em escala, pois as magnitudes envol-vidas eram muito diferentes. Assim, para que os parâmetros permanecessem com a mesmaordem de grandeza, os mesmos foram adimensionalizados de acordo com: CL = 1x10−5 F,RL = 1x103 Ω, Lb = Lp = 2x10−3 m, RD = 5 Ω, vfd = 1x10−3 V. Além disso, pode-severificar que os parâmetros otimizados atingiram o valor ótimo em, aproximadamente, 20 ite-rações. Com estes valores, conforme apresenta a tabela 4.2, a potência (média) transferida acarga resistiva aumentou em 5,3% da condição inicial.

Como já discutido anteriormente, atingir a condição de ressonância é o fator principalpara maximizar a energia gerada pela estrutura eletromecânica. Assim, visando verificar se ovalor ótimo das variáveis mecânicas (Lb = 130, 20×10−3 m e Lp = 66, 4×10−3 m) resultaramem um gerador que atendesse à esta condição (ω = ωn), examinou-se a Função Resposta emFrequência (FRF) do sistema eletromecânico (figura 4.14).

49

Tabela 4.2: Resultados da otimização do sistema acoplado.

Parâmetros Limite inferior Limite superiorConfiguração

Inicial ÓtimaLp [m] 50, 00× 10−3 150, 00× 10−3 53, 00× 10−3 66, 4× 10−3

Lb [m] 50, 00× 10−3 150, 00× 10−3 127, 50× 10−3 130, 20× 10−3

RL [Ω] 1, 00× 103 1, 00× 105 15, 00× 103 62, 52× 103

RD [Ω] 50, 00 500, 00 280, 00 280, 66

vfd [V] 30, 00× 10−3 100, 00× 10−3 50, 00× 10−3 48, 40× 10−3

CL [F] 1, 00× 10−6 1, 00× 10−3 0, 17× 10−3 0, 201× 10−3

Potência RMS [W] - - 88, 04× 10−3 92, 95× 10−3

101

102

103

−150

−100

−50

0 X: 69.96Y: −29.6

Frequência [Hz]

|H| [

m/N

]

101

102

103

−500

0

500

Frequência [Hz]

∠ H

[rad

/s]

Figura 4.14: FRF do sistema eletromecânico.

A partir da FRF é possível perceber que ω e ωn possuem valores muito próximos, comuma diferença de 0, 05%, e logo, atendem a condição de ressonância.

Por outro lado, para vfd e RD, os valores ótimos apresentaram pouca diferença da condi-ção inicial escolhida, sugerindo que o algoritmo de otimização pode não ter buscado a soluçãoótima ao longo de todo o domínio ou que os valores selecionados para condição inicial poderiamestar muito próximos do valor ótimo. Comparando a configuração ótima com outra similar, mo-dificando somente vfd = 38× 10−3 V e RD = 65 Ω, pôde-se observar que a solução realmentenão é um máximo global (figura 4.15). Entretanto, é importante ressaltar novamente que esteprocedimento de otimização foi aplicado apenas com o intuito de demonstrar o potencial damodelagem apresentada, de modo que o método de otimização, bem como seus parâmetros ca-racterísticos, não foram selecionados por meio de uma análise criteriosa, uma vez que isto fogeao escopo do trabalho.

50

0 10 20 30 40 50 60 700

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Tempo [s]

Pot

ênci

a in

stan

tâne

a [W

]

RD = 65 Ω e v

fd = 38 mV

Caso ótimo

Figura 4.15: Comparação da potência (Pmed) transferida à carga para o caso ótimo e outrosimilar, com vfd = 38× 10−3 V e RD = 65 Ω.

Para conferir se o algorítimo encontrou, de fato, a resistência ótima deste sistema deEnergy Harveting (considerando a mesma frequência de excitação, f = 70 Hz) estimou-se,numericamente, a curva que descreve a influência da carga resistiva sobre a potência extraída.A figura 4.16 mostra esta curva, onde é possível verificar que o valor ótimo encontrado peloalgorítimo de otimização, RL = 62, 52 kΩ, apesar de não ser o máximo global, encontra-sepróximo deste.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Carga resistiva [k ]Ω

Po

[W]

tên

cia

Figura 4.16: Influência da carga resistiva sobre a potência extraída.

A figura 4.17 mostra a maneira cujos parâmetros de otimização e a frequência de excitaçãoafetam a potência extraída, ou seja, apresenta uma forma de verificar se os parâmetros ótimosestão de fato em regiões de máximo valor. Ao examiná-la, pode-se notar que Lb, Lp, CL e RL

têm seus valores ótimos localizados em regiões onde a potência é máxima, isto é, próximo a70 Hz. Além disso, percebe-se que a potência varia drasticamente com o comprimento devido

51

aos efeitos da força de inercia distribuída gerada pela excitação da base. Como pode ser visto nafigura 4.17(a), existem várias pequenas regiões de máxima potência, cada qual referente a umcomprimento da viga e uma frequência de excitação. Tais regiões apareceram pois a quantidadede pontos utilizada para gerar tal gráfico foi relativamente pequena e, caso o número de pontosconsiderados aumentasse, as regiões localizadas dariam lugar à uma faixa contínua de potênciamáxima. Apesar disso, a figura 4.17(a) apresenta resultados condizentes com a literatura, elogo, é suficiente para comprovar que o comprimento ótimo resulta em uma frequência naturaligual à frequência de excitação. O mesmo ocorre com a figura 4.17(b), onde o comprimentodos elementos piezelétricos é analisado e a região de máximo também encontra-se ao redor de70 Hz. Os valores ótimos dos parâmetros elétricos também ocorreram em torno da frequênciade excitação. As figuras 4.17(c) e 4.17(d) mostram que CL e RL têm grande efeito sobre apotência que pode ser extraída, sendo importante considerá-los no processo de otimização.

Frequência [Hz]

Co

mp

rim

en

to d

a v

iga (Lb)

[m

]

45 50 55 60 65 70 75 800.11

0.115

0.12

0.125

0.13

0.135

0.14

0.145

0.15

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(a) Potência em função do comprimento da viga e dafrequência de excitação.

Frequência [Hz]

Co

mp

rim

en

to d

o P

ZT

(Lp)

[m

]

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

(b) Potência em função do comprimento do PZT e dafrequência de excitação.

Frequência [Hz]

Cap

acit

ân

cia

(C

L)

[F]

60 65 70 75 80

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(c) Potência em função da capacitância e da frequên-cia de excitação.

Frequência [Hz]

Resis

tên

cia

(R

L)

[Ω]

55 60 65 70 75 801

2

3

4

5

6

7x 10

4

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

(d) Potência em função da carga resistiva e dafrequência de excitação.

Figura 4.17: Influência de Lb, Lp, CL, RL e frequência de excitação (ω) sobre a potência ex-traída.

52

4.3 Aplicação experimental

Esta seção apresenta alguns testes experimentais realizados com um sistema comercialde Energy Harvesting que compreende um gerador piezelétrico e um circuito para extração earmazenamento de energia. Diferentemente do sistema apresentado na seção anterior, este ge-rador piezelétrico não possui uma estrutura base de alumínio, sendo composto apenas por doiselementos piezelétricos conectados em paralelo entre si. Um modelo massa-mola-amortecedorde um grau de liberdade referente à este gerador também é apresentado e os resultados obtidoscom o modelo foram confrontados com resultados experimentais. A modelagem foi realizadautilizando os parâmetros modais do sistema (frequência natural e fator de amortecimento), esti-mados de forma experimental, considerando apenas uma carga resistiva para o domínio elétrico.Além disso, comparou-se por meio de testes experimentais o comportamento do circuito comer-cial frente aos circuitos resistivo e retificador de onda completa, ambos desenvolvido pelo autore facilmente encontrados na literatura. Para verificar o comportamento destes dois circuitosanalisou-se as características da tensão produzida (forma de onda, valores de pico e/ou RMS), epara o circuito comercial, em especial, analisou-se também o tempo de carga/descarga do bancode capacitores. Logo, alguns testes foram realizados variando-se a amplitude e frequência deexcitação, bem como o valor da carga resistiva utilizada para simular o consumo externo deenergia.

4.3.1 Descrição do sistema de Energy Harvesting

O sistema comercial considerado neste trabalho, denominado Piezoelectric Energy Har-vesting Kit, é fabricado pela Piezo Systems, Inc. e compreende uma viga piezelétrica do tipobimorph, composta somente de cerâmicas PZTs (sem a viga como estrutura base), e um circuitode armazenamento e extração de energia, conforme apresenta a figura 4.18. Na configuração bi-morph, os PZTs são conectados em paralelo entre si, visando aumentar a capacidade de produzircorrente, visto que o gerador tem o propósito de carregar um dispositivo de armazenamento deenergia, neste caso, um banco de capacitores.

A figura 4.18(a) mostra a viga piezelétrica engastada, a qual durante os testes foi sub-metida a uma excitação harmônica aplicada em sua extremidade fixa, isto é, no engaste. Umacelerômetro foi posicionado sobre o engaste para se ter controle da quantidade de vibração(energia) que excita o sistema mecânico. Além disso, adicionou-se uma massa concentradana extremidade livre da viga, para reduzir suas frequências naturais e melhorar sua flexibili-dade, uma vez que as fontes vibratórias disponíveis para Energy Harvesting possuem frequênciarelativamente baixa.

Já o circuito de extração, apresentado na figura 4.18(b), é composto por um circuito re-tificador, para realizar a conversão CA/CC, e por um banco de capacitores, para armazenamentoda energia. Deste modo, a partir do momento que o sistema eletromecânico é excitado, a viga

53

Acelerômetro

Engaste

GeradorPiezelétrico

MassaConcentrada

(a) Viga piezelétrica engastada.

Saída

Entrada

(b) Circuito de extração de energia.

Figura 4.18: Sistema comercial de Energy Harvesting.

piezelétrica converte a energia vibratória em energia elétrica e a tensão (elétrica) alternada pro-duzida é transformada em tensão contínua por um circuito eletrônico, cujos terminais estão co-nectados aos terminais elétricos do PZT, como mostra o desenho esquemático na figura 4.19(a).Assim, a energia é armazenada nos capacitores para ser utilizada de acordo com a aplicação e ademanda de carga.

CIRCUITO

APLICAÇÃO

Força

SAÍDA

ENTRADAGERADOR

PIEZELÉTRICO

(a) Sistema acoplado.

VERMELHO

VERDE

AMARELO

PRETO

1

2

3

4

1

2

J2 J1

MARROM

CABO DESAÍDA

CABO DEENTRADA

+ IN

CIRCUITO - MÓDULO EH301

- IN

V+

VP

VR

GND

(b) Conexões do circuio.

Figura 4.19: Desenho esquemático do sistema de Energy Harvesting.

A figura 4.19(b) mostra um esquema do circuito de extração, onde percebe-se a existênciade dois terminais de entrada, o positivo e o negativo, e quatro terminais de saída: V+, VP, VR(positivos) e GND (referência); sendo VR e V+ utilizados para monitoramento e VP utilizadopara a extração da energia armazenada.

Inicialmente, a tensão no banco de capacitores, V+, é nula e aumenta conforme o forne-cimento da fonte de tensão, neste caso, a viga piezelétrica. Logo, quando V+ atinge um valorpredeterminado, VH, a saída do circuito é habilitada. Consequentemente, utiliza-se esta energiapara alimentar a carga e três situações podem ocorrer:

54

• A energia fornecida pelos PZTs é suficiente para manter os capacitores carregados e ali-mentar a carga. Logo, a tensão V+, sobre a carga, permanece constante;

• A energia proveniente da fonte é superior àquela exigida pela carga. Neste caso, a tensãoarmazenada nos capacitores aumenta até uma tensão máxima de corte, VC, e o circuitocontrolador interno cessa, então, o fornecimento de tensão dos PZTs para o banco decapacitores. Assim, a tensão V+ passa a diminuir.

• A energia da fonte não é suficiente para manter a alimentação da carga e V+ passa adecrescer no instante que a energia é liberada para consumo na carga.

Em todos os casos cuja energia fornecida não é suficiente para manter o capacitor car-regado, a tensão diminui até um valor limite, VL. A partir daí, o circuito controlador cessa ofornecimento de tensão do banco de capacitores para a carga e o ciclo de recarga dos capacito-res se inicia novamente. Enquanto o fornecimento de energia para a carga não ocorre, a tensãose mantém ao nível VL devido a presença de um circuito interno que acrescenta histerese ao sis-tema eletrônico. A tabela 4.3 apresenta as principais características deste circuito e da viga, demaneira que informações mais detalhadas podem ser encontradas em seu catálogo (AdvancedLinear Devices, 2012).

Tabela 4.3: Parâmetros do sistema comercial de Energy Harvesting (Advanced Linear Devices,2012).

Circuito VigaModelo EH301A Modelo do PZT 5A4E

Tensão limite inferior (Vi) 3, 10 V Comprimento (Lp) 76, 20 mm

Tensão limite superior (Vs) 5, 20 V Largura (w) 31, 80 mm

Tensão de corte (VC) 6, 80 V Espessura (tp) 0, 508 mm

Potência dissipada 3, 00 µW Capacitância (Cp) 232, 00 nF

Energia útil disponível 55, 00 mJ Massa concentrada (Mc) 2, 33 g

Corrente máxima fornecida 1, 00 A - -

4.3.2 Descrição do experimento

Para realização dos testes, a viga piezelétrica (figura 4.18(a)), teve sua base conectadadiretamente à um excitador eletrodinâmico (Shaker) para a aplicação da força de excitação. Osinal senoidal, gerado com o software LabView, era enviado para um amplificador de potênciautilizando uma placa de aquisição National Instruments USB-6251; e o amplificador, por suavez, enviava o sinal amplificado para o Shaker. Além disso, para medir a aceleração da base,utilizou-se um acelerômetro ICP, modelo 352C22, juntamente com um condicionador sinais,ICP Sensor Signal Conditioner - MODEL 480E09, ambos fabricados pela PCB Piezotronics.A figura 4.20 mostra a configuração do experimento e os equipamentos utilizados nos testes.

55

Ampli!icadorde

PotênciaComputador

Placade

Aquisição

Condicionadorde

Sinais

VigaPiezelétrica

Circuitoeletrônico

Shaker

(a) Vista dos equipamentos utilizados.

Amplificador de Potência

Computador

Shaker

Viga Piezelétrica

D3 D4

D2D1

v

i

CL RL

VL

Power

V A

NATIONALINSTRUMENTS

1

2

3

4.

.

.

.

.

16

17

18

19

20.

.

.

.

.

32

65

66

67

68.

.

.

.

.

80

81

82

83

84.

.

.

.

.

96

XCR SCOPE

1

10

100

Condicionadordo

Acelerômetro

Placa de Aquisição

(b) Diagrama esquemático.

Figura 4.20: Configuração dos equipamentos utilizados nos testes experimentais.

Ao acionar o Shaker, o PZT passa a produzir uma tensão elétrica e, dessa forma, três tiposde testes puderam ser realizados com relação a conexão dos PZTs com o circuito de extração:

• conexão em circuito aberto;

• conexão em circuito fechado utilizando-se apenas uma carga resistiva;

• conexão em circuito fechado utilizando-se o circuito de extração e armazenamento deenergia;

56

Em todos os casos, os valores de tensão e aceleração foram medidos com a placa deaquisição USB-6251 da National Instruments, sendo o processamento e a aquisição dos sinaisrealizados com o software Matlab.

4.3.3 Modelo SDOF do gerador piezelétrico

Como mencionado anteriormente, os resultados experimentais obtidos para o caso resis-tivo foram confrontados com os resultados do modelo de um grau de liberdade da viga pi-ezelétrica. Por ser um assunto consolidado e bastante discutido na literatura, a modelagemde sistemas de Energy Harvesting por meio de modelos SDOF não será tratada em detalhesneste trabalho. Assim, uma vez que a equação do movimento de um sistema eletromecânico(eqs. 3.32 e 3.42) para múltiplos graus de liberdade (MDOF - Multiple Degree of Freedom)já foi apresentada, basta substituir, nestas equações, as variáveis vetoriais por escalares (duToitet al., 2005)5:

r + 2ξωnr + ωn2r − Θ

Mv = µ1|abase|M sin (ωt) (4.7)

Θr + Cpv + vRL

= 0 (4.8)

sendo ωn2 = M

K, C = 2Mξωn, abase a aceleração da base e µ1 o fator de correção para uma viga

uniforme, com massa concentrada (Mc) na extremidade livre e sujeita a vibrações transversais,dado por (Erturk e Inman, 2008c):

µ1 =(Mc/M)2 + 0, 603 (Mc/M) + 0, 08955

(Mc/M)2 + 0, 4637 (Mc/M) + 0, 05718. (4.9)

Segundo Erturk and Inman (2008c), este fator considera a contribuição da massa distri-buída sobre a amplitude de excitação, algo que deve ser considerado caso a massa concentradanão seja muito grande. Como neste trabalho a razão Mt/M = 0, 22 é baixa, deve-se considerarna modelagem o fator de correção µ1 = 1, 3.

Além disso, para obter o modelo foi necessário identificar os parâmetros modais do sis-tema: frequência natural (ωn) e fator de amortecimento (ξ). Para tanto, utilizou-se a Funçãode Resposta em Frequência (FRF) do sistema eletromecânico, calculada com o sinal de tensãoque alimenta o Shaker (entrada) e a tensão gerada pelos PZTs (saída). A FRF foi estimada paracondição de circuito aberto dos PZTs a partir de uma entrada pseudoaleatória (ruído gaussi-ano), a qual foi filtrada por um filtro Butterworth passa-baixa, de quarta ordem e frequênciade corte fc = 100 Hz, visando limitar a banda de frequência que excita o sistema à um valor

5Nesta referência a equação representa um sistema sob deformação ao longo do eixo 3 e portanto considera aconstante piezelétrica d33 na definição do fator de acoplamento eletromecânico (Θ). Contudo, nesta dissertaçãoΘ foi estimado por um procedimento de otimização, baseado em dados experimentais, e portanto, não é definidopela constante piezelétrica.

57

que compreendia somente a primeira frequência natural. A figura 4.21 apresenta os sinais deentrada e saída utilizados.

0 50 100 150 200 250−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

Ten

são

de e

ntra

da [V

]

(a) Tensão de entrada (fornecida para o Shaker).

0 50 100 150 200 250−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Ten

são

de s

aída

(P

ZT

) [V

](b) Tensão de saída (gerada pelo PZTs).

Figura 4.21: Sinais de entrada e saída utilizados para estimar a FRF do sistema eletromecânico.

A aquisição dos dados foi feita com uma taxa de amostragem de 400 amostras/s e umtotal de cem mil amostras, permitindo calcular a FRF utilizando o estimador H1, com 50% deoverlap, janela Hanning e a realização de cem médias. Analisando a FRF é possível determinarωn, que corresponde à frequência para a qual ocorre o maior pico em amplitude; e ξ, utilizandoo método da meia potência (Quadrature peak picking, em inglês). Este método consiste emmedir duas frequências, ω1 e ω2, em torno de um pico de ressonância com frequência ωn quandoa amplitude da FRF, em ω1 e ω2, é igual à 70, 7% da frequência de pico, ou seja,−3dB do valorde pico (conhecido como ponto de meia potência). Logo, o fator de amortecimento pode sercalculado pela seguinte equação (Inman, 2001):

ξ =ω2 − ω1

2ωn

(4.10)

A figura 4.22 mostra a FRF estimada e a caracterização do ponto de meia potência. Osvalores encontrados a partir da FRF foram: ω1 = 277, 720 rad/s, ω2 = 574, 780 rad/s, ωn =

562, 970 rad/s (circuito aberto) e ξ = 0, 017. Com os parâmetros modais estimados, restadeterminar o fator de acoplamento eletromecânico Θ. Como este fator não é fornecido pelofabricante, decidiu-se estimar o acoplamento eletromecânico por meio de um procedimento deotimização. Neste caso, a variável de otimização é x = Θ e a função objetivo (f(x)) a serminimizada é a diferença entre o valor predito (vpred) e o valor experimental (vexp) da tensãoRMS (calculados a partir do sinal temporal da tensão em regime permanente). Logo, o problemade otimização pode ser escrito da seguinte forma:

Minimizar f(x) =√

(vpredrms − vexprms)2 (4.11)

58

onde a variável de otimização é

x = Θ (4.12)

sujeita à seguinte restrição:

j(x) : Θ ≤ Θmin. (4.13)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

30

Frequência [Hz]

FR

F −

Mag

nitu

de [V

/V]

Ponto de meia potência

Figura 4.22: Estimativa da FRF para PZTs em condição de circuito aberto.

Para implementar este procedimento utilizou-se as funções fmincon, para obter uma es-timativa inicial, e GlobalSearch, para buscar um mínimo global do problema, considerando aprogramação sequencial quadrática como método de otimização, de modo similar ao que foiapresentado na seção 4.2. Contudo, em vez do Simulink, utilizou-se a função lsim para simularo sistema dinâmico, também representado no espaço de estados. A função GlobalSearch testavárias condições iniciais e encontra o máximo global dentro do conjunto de cada máximo localreferente a uma dada condição inicial6. Deste modo, limitando-se a variável de otimização ape-nas a Θ ≤ 10−7 e utilizando xo = 1, 4191 × 10−4 como condição inicial, obteve-se um valorestimado Θ = 1, 3508 × 10−5 para o acoplamento eletromecânico (figura 4.23). Adotou-secomo critério de parada uma variação menor que 1× 10−10 no parâmetro de otimização, o queresultou ao final do processo em f = 3, 1746× 10−5.

Por outro lado, uma vez que a potência máxima é extraída somente quando as impe-dâncias do gerador piezelétrico e do circuito de extração são iguais (situação conhecida como"casamento de impedância"), deve-se determinar qual carga resistiva proporciona tal condição.Desta maneira, estimou-se uma curva de comportamento da potência com relação à carga resis-tiva (considerando a frequência de excitação f = 70 Hz) e verificou-se uma resistência ótima

6Maiores informações podem ser encontradas no manual do usuário do Matlab/Global Optimization Toolbox.

59

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001.3502

1.3503

1.3504

1.3505

1.3506

1.3507

1.3508x 10

−5

Número de soluções locais

Var

iáve

l de

otim

izaç

ão

Figura 4.23: Comportamento da variável de otimização ao longo da solução do problema.

Ropt = 33 kΩ, como mostra a figura 4.24. Esta curva foi estimada realizando-se mediçõesda tensão na carga resistiva, para diferentes resistências, de modo que o valor RMS do sinalalternado em regime permanente foi utilizado para calcular a potência transferida à carga.

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Resistência [k Ω]

Pot

ênci

a [m

W]

Figura 4.24: Influência da carga resistiva sobre a potência extraída para f = 70 Hz.

4.3.4 Resultados

Após obter as estimativas para as parâmetros modais foi possível estabelecer os valoresde cada variável considerada nos testes experimentais, conforme descreve a tabela 4.4. Alémdos parâmetros ótimos foram utilizados outros dois valores, selecionados aleatoriamente, tantopara a frequência de excitação quanto para a carga resistiva, visando comparar com os valoresótimos.

60

Tabela 4.4: Casos analisados ao longo dos testes experimentais.

Testes ParâmetrosTipo de circuito

Resistivo Retificador de onda completa EH301A (comercial)1 f = 44, 80 Hz, RL = 33, 00 kΩ X X X2 f = 21, 50 Hz, RL = 33, 00 kΩ X3 f = 67, 00 Hz, RL = 33, 00 kΩ X4 f = 44, 80 Hz, RL = 10, 00 kΩ X5 f = 44, 80 Hz, RL = 80, 00 kΩ X X

Caso A - Circuito resistivo

Conforme apresentado na tabela 4.4, para o caso resistivo (ilustrado na figura 4.25),realizou-se somente o teste 1 (f = 44, 8 Hz e R = 33 kΩ). Neste teste, caracterizou-se aaceleração da base (figura 4.26(a)) por um valor arms = 0.073 g. Logo, os resultados para osoutros dois casos, referentes ao teste 1, também foram realizados para esta mesma excitação.

Força

RL

+

-

VigaPiezelétricavL(t)

Figura 4.25: Desenho esquemático do gerador piezelétrico conectado ao circuito resistivo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[g]

(a) Sinal senoidal de aceleração na base.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Ten

são

[V]

ExperimentalModelo SDOF

(b) Tensão gerada pelo PZT - comparação entre mo-delo SDOF e teste experimental.

Figura 4.26: Sinais de entrada e saída para o caso resistivo.

Como era de se esperar, sem a presença do circuito retificador, a tensão na carga (figura4.26(b)) permanece com característica alternada e, portanto, não é adequada para utilização

61

prática, como por exemplo, a alimentação de um dispositivo eletrônico de uso comum. Estafigura compara ainda, os resultados obtidos a partir da simulação e do modelo SDOF, sendopossível verificar que os parâmetros do modelo foram ajustados corretamente.

Caso B - Retificador de onda completa

Neste caso, um circuito retificador de onda completa (em ponte) com filtro capacitivo foiconfeccionado, como mostra a figura 4.27.

+

-

CLRL

D1 D2

D3 D4

VigaPiezelétrica

Força

v(t)vL(t)

(a) Desenho esquemático.

(b) Circuito real.

Figura 4.27: Circuito retificador de onda completa, em ponte, com filtro capacitivo.

Neste circuito, foram utilizados 4 diodos Schottky modelo 1N5817, um resistorRL = 33 kΩ,simulando a carga externa, e um filtro capacitivo, composto por um banco de capacitores emparalelo, de capacitância equivalente CL = 2 × 220 µF + 3 × 470 µF = 1850 µF . Para estecircuito, foram realizados apenas os testes 1 e 5, sendo que a aceleração da base manteve-se amesma, arms = 0.073g, uma vez que esta depende da frequência de excitação (a = Aω2), a qualnão foi alterada. A figura 4.28 mostra a tensão em circuito aberto gerada e uma comparação datensão retificada e da potência instantânea para duas cargas resistivas diferentes, Ropt = 33 kΩ

e RL = 80 kΩ.

Analisando as figuras 4.26(b) e 4.28(a) percebe-se que a tensão em circuito aberto é maiorque a tensão medida na carga, para o caso A. De fato, a presença de uma resistência em um

62

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tempo [s]

Ten

são

[V]

(a) Tensão gerada pelos PZTs em circuito aberto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo [min]

Ten

são

[V]

Caso 1 − R = 33 k ΩCaso 5 − R = 80 k Ω

(b) Tensão contínua sobre a carga resistiva.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tempo [min]

Pot

ênci

a [m

W]

Caso 1 − R = 33 k ΩCaso 5 − R = 80 k Ω

(c) Potência instantânea sobre a carga resistiva.

Figura 4.28: Resultados referentes ao circuito de onda completa.

circuito de malha fechada gera uma queda de tensão, como previsto na literatura básica decircuitos elétricos. Além disso, existe um fenômeno característico, denominado efeito shuntdamping, que ocorre quando o PZT é conectado a um circuito resistivo. Tal fenômeno causauma dissipação adicional no sistema e deste modo, reduz a amplitude de vibração do geradorpiezelétrico. Por outro lado, apesar da tensão retificada ser maior para a resistência de 80 kΩ

(figura 4.28(b)), a potência fornecida à carga é maior para RL = 33 kΩ devido ao casamento deimpedância, como mostra a figura 4.28(c).

Caso C - Circuito comercial (EH301A)

Neste circuito, todos os cinco testes foram realizados de modo que tanto o banco decapacitores como a carga resistiva tiveram suas tensões monitoradas. Assim, o tempo decarga/descarga para cada teste pôde ser avaliado, como mostra a figura 4.29.

63

0 5 10 15 20 25 30−1

0

1

2

3

4

5

6

Tempo [min]

Ten

são

[V]

CapacitorCarga

(a) Teste 1 - f = 44.8 Hz e R = 33 kΩ.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [min]

Ten

são

[V]

CapacitorCarga

(b) Teste 2 - f = 21.5 Hz e R = 33 kΩ.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [min]

Ten

são

[V]

CapacitorCarga

(c) Teste 3 - f = 67.0 Hz e R = 33 kΩ.

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

Tempo [min]

Ten

são

[V]

CapacitorCarga

(d) Teste 4 - f = 44.8 Hz e R = 10 kΩ.

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

Tempo [min]

Ten

são

[V]

CapacitorCarga

(e) Teste 5 - f = 44.8 Hz e R = 80 kΩ.

Figura 4.29: Tensão na carga e filtro capacitivo para os cinco testes realizados.

64

Para os testes 2 e 3, cujas frequências de excitação são diferentes da condição de resso-nância, a tensão nos capacitores não atinge a tensão limite VH e, consequentemente, a energiaarmazenada não é liberada para a carga. Já para os testes 1, 4 e 5, a energia passa a ser consu-mida pela carga resistiva e os resultados dos três testes diferem apenas no tempo de descarga7

(td) dos capacitores. Ao manter a mesma excitação e capacitância nestes testes obtém-se umadiferença miníma sobre os tempos de recarga, possivelmente devido à mudanças no amorte-cimento causado pelo efeito shunt. Além disso, como a corrente na carga diminui conformeaumenta-se a resistência à sua passagem, percebe-se um maior tempo de descarga para o teste 5,como mostra a tabela 4.5.

Tabela 4.5: Comparação dos resultados obtidos a partir dos testes experimentais.

Testes abase (RMS) [g] vca (pico) [V] td [min] Potência (pico) [mW]1 0, 75 8, 76 4, 07 0, 82

2 0, 71 0, 27 - -3 0, 96 0, 24 - -4 0, 75 8, 76 0, 86 2, 72

5 0, 75 8, 76 > 15 0, 34

Entretanto, os resultados apresentados mostram que a maior potência ocorre para a me-nor resistência utilizada, RL = 10 kΩ, no teste 4. Isto acontece pois, diferente de um circuitoretificador convencional, o circuito EH301A apresenta elementos de chaveamento e controleque contribuem para a impedância total do circuito, sendo necessário então, igualar a impedân-cia dos PZTs e do circuito de extração, em vez da carga resistiva. Logo, a potência na carga,calculada por P = vL

2/RL, é inversamente proporcional a resistência, confirmando o resul-tado obtido. Ainda, por ser um circuito comercial, usuários não tem acesso a sua topologia,bem como componentes e características. Portanto, não há como ter certeza se a condição demáxima extração é satisfeita. Em relação ao tempo de descarga, tem-se que quanto maior RL,maior será td (mantendo a capacitância constante). Assim, deve-se encontrar uma condiçãobalanceada entre P e td de acordo com a demanda e aplicação exigida.

A figura 4.30 mostra uma comparação entre as tensões medidas na carga resistiva paracada circuito estudado, considerando a configuração do teste 1 (f = 44, 80Hz,RL = 33, 00kΩ).Uma vez que a topologia dos circuitos apresentam elementos que resultam em característicasdiferentes, a aplicação de cada circuito também é diferente. Como sugere sua forma de onda na(figura 4.30(a)), o módulo comercial EH301A poderia ser aplicado em situações onde a cargaexterna (dispositivo eletrônico à ser alimentado) tem seu funcionamento em curtos intervalosde tempo, por exemplo. Já a ponte retificadora não-controlada poderia ser utilizada em ocasiõesopostas, quando necessita-se de um funcionamento ininterrupto de tal dispositivo eletrônico.Por fim, e conforme esperado, a figura 4.30(b) mostra que o circuito resistivo não possui osrequisitos necessários para fornecer energia adequada para o reaproveitamento, visto que estefornece um sinal alternado de tensão enquanto precisa-se de um sinal continuo.

7Intervalo de tempo entre as tensões VH e VL.

65

0 5 10 15 20 25 30−1

0

1

2

3

4

5

6

Tempo [min]

Ten

são

[V]

EH301APonte retificadora

(a) Circuitos retificadores.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Ten

são

[V]

(b) Circuito resistivo.

Figura 4.30: Comparação da tensão em RL para todos os circuitos estudados (f = 44.55 Hz eR = 33 kΩ).


O estudo de dispositivos piezelétricos para reaproveitamento de energia tem se difundidobastante nas últimas décadas, o que tem proporcionado uma rápida evolução no desenvolvi-mento desta área, sobretudo quando se trata da modelagem destes dispositivos. Além disso,embora a modelagem conjunta seja um assunto muito discutido em pesquisas recentes, a uti-lização de apenas um software para realizá-la não tem sido muito abordada. Este capítuloapresentou os resultados da dissertação, os quais incluem as simulações numéricas realizadascom o modelo acoplado de um gerador piezelétrico e um circuito retificador de onda completa,implementado no Simulink. Sendo assim, é interessante ressaltar os pontos principais sobre aabordagem unificada apresentada neste trabalho:

• O modelo da parte mecânica deve ser implementado por meio da representação no espaçode estados, para facilitar a conexão com o modelo do circuito;

• A conexão entre o modelo mecânico e o circuito é feita por uma fonte de tensão contro-lada;

• O solver deve ser selecionado de acordo com os componentes presentes no sistema mode-lado, pois sistemas que possuem elementos com características não-lineares, por exemplo,se resolvidos com solver de passo fixo, podem fornecer resultados incoerentes.

O modelo, devidamente validado, apresentou resultados condizentes, os quais foram com-parados à trabalhos clássicos já publicados, bem como testes experimentais sendo, portanto,adequado para realizar simulações de sistemas que possuam as características descritas nestetrabalho. Como exemplo de tal simulação, aplicou-se um procedimento de otimização sobre o

66

modelo acoplado, com o objetivo de maximizar a potência gerada e a energia armazenada.

A otimização considerou parâmetros do circuito retificador e do gerador piezelétrico, se-lecionados a partir de uma análise de sensibilidade, a qual mostrou os parâmetros de maiorinfluência sobre a potência. Esta é uma etapa muito importante pois pode evitar trabalho desne-cessário caso o número de parâmetros otimizados seja grande e dentre eles estejam aqueles quenão possuam influência considerável sobre a função objetivo, por exemplo. Outro fator funda-mental é a definição dos limites de busca (restrições dos parâmetros de otimização) e critériosde parada que podem estender a duração do procedimento se não forem selecionados de maneiraconveniente. Em geral, o critério de parada é baseado na variação dos parâmetros de otimizaçãoe/ou da função objetivo ao longo das iterações do processo. Ou seja, um valor limítrofe é esta-belecido para esta variação de modo que ao atingi-lo, o procedimento é finalizado. Já os limitesde busca são escolhidos de acordo com o ambiente cujo gerador é inserido, onde a geometriaé o principal fator limitante. Os resultados do procedimento de otimização apresentaram-se nointerior das regiões de máximo, conforme descrito anteriormente, e deste modo, foram satisfa-tórios. Contudo, como a otimização foi aplicada apenas com o intuito de ilustrar o potencialda modelagem, o método de otimização e algoritmo utilizados na solução do problema podenão ter sido a melhor escolha. Sendo assim, os resultados obtidos podem melhorar caso outrométodo mais adequado seja utilizado.

Por fim, apresentou-se testes experimentais realizados com um sistema comercial deEnergy Harvesting e obteve-se um modelo de um grau de liberdade, para o mesmo sistema,a partir da estimativa experimental de alguns parâmetros (frequência natural, fator de amorteci-mento e fator de acoplamento eletromecânico). Estes testes, assim como a correlação modelo-experimento, podem ser muito úteis para caracterizar o comportamento do sistema e obter ummodelo do mesmo, nos casos em que informações sobre o sistema não são fornecidas. A mode-lagem ainda permite realizar simulações para diversas condições e determinar, por exemplo, oslimites de operação do sistema sem prejudicá-lo. Este capítulo ainda apresentou a comparaçãoentre o circuito comercial de Energy Harvesting e os circuitos (não controlados) desenvolvi-dos pelo autor (circuito resistivo e retificador de onda completa). Por permitir um controle daenergia gerada, o circuito comercial possibilita uma gama maior de aplicações dentre os trêscircuitos estudados. Contudo, vale ressaltar mais uma vez que a falta de informações a respeitoda produção e requisitos de operação do sistema comercial deixa margens para incertezas so-bre o seu funcionamento, como por exemplo, saber se existe uma carga resistiva ótima para ocircuito ou se este sistema independe de tal parâmetro e maximiza a energia fornecida sem anecessidade do "casamento de impedância"com RL. Estes fatores são indispensáveis quando setrata de Energy Harvesting e, deste modo, devem ser considerados.

Capítulo 5

Considerações Finais

Neste capítulo são feitas as conclusões gerais obtidas com desenvolvimento desta disser-tação de mestrado. Além disso, também são apresentadas propostas e sugestões para trabalhosfuturos.

5.1 Conclusões

Este trabalho apresentou como principal contribuição um modelo de gerador piezelétricoconectado à um circuito de extração de energia, implementado em uma única plataforma com-putacional, tendo em vista os problemas e as dificuldades que podem surgir quando se trabalhacom modelos padrões, os quais muitas vezes abordam o problema multifísico usando pacotesde software diferentes. Para ilustrar e apontar o potencial deste tipo de modelagem, foram re-alizadas algumas simulações numéricas e um procedimento de otimização, que apresentaramresultados satisfatórios, conforme discutido anteriormente. O Dessa forma, após passar por umprocesso de validação, o modelo mostrou-se capaz de simular condições características de umambiente propício para Power Harvesting, sendo então, uma ferramenta útil que pode facilitaro projeto de geradores piezelétricos de energia.

Por outro lado, pesquisas recentes apontam para a necessidade de se utilizar estruturasnão-lineares em dispositivos piezelétricos com o objetivo de aumentar a quantidade de energiaextraída, algo que não pode ser representado por este modelo, visto que somente estruturas deviga lineares foram consideradas na modelagem. Além disso, o circuito retificador modeladonão é o mais adequado para manutenção da energia extraída. Entretanto, é importante destacarque o ponto forte desta abordagem está na possibilidade de se acoplar, em um único software,diversas topologias de circuitos retificadores (até mesmo aqueles que possuem controle por cha-veamento) a um modelo de múltiplos graus de liberdade de uma estrutura que é frequentementeabordada pelos pesquisadores da área.

Os testes experimentais realizados com o sistema comercial de Energy Harvesting foramapresentados com o intuito de comparar o comportamento do circuito comercial com os circui-

67

68

tos resistivo e retificador de onda completa (ambos confeccionados pelo autor) com relação aenergia extraída. Os resultados obtidos confirmam a necessidade de se ter um controle da ener-gia fornecida pelo gerador piezelétrico, e portanto, são condizentes com a bibliografia. Ainda,buscou-se enfatizar a importância de caracterizar o comportamento destes sistemas comerciais,principalmente em situações que se desconhece alguns parâmetros do gerador e do circuito,bem como informações específicas sobre o seu funcionamento. Neste sentido, apresentou-seuma correlação modelo-experimento, a qual pode auxiliar na solução deste problema em certoscasos.

Deste modo, é importante ressaltar a necessidade de se realizar estudos como este, visandodesenvolver e projetar geradores piezelétricos para trabalharem em condições de máximo de-sempenho pois, ao final, é este objetivo que proporciona o desenvolvimento das pesquisas emEnergy Harvesting.

5.2 Trabalhos futuros

Tendo em vista o que foi discutido, percebe-se que ainda há uma série de melhorias ecasos a serem explorados por esta abordagem. Assim, a seguir são feitas algumas sugestõespara trabalhos futuros:

• Considerar outras topologias para os circuitos de extração de energia, as quais incluemelementos para controle da energia gerada, como os métodos SSHI1, ESSH2, DSSH3, porexemplo;

• Modificar o gerador piezelétrico, realizando algumas alterações em sua estrutura comoutilizar uma viga com seção transversal variável e/ou acrescentar elementos que alteremsua rigidez;

• Comparar diversos métodos e algoritmos de otimização visando determinar qual a melhoropção para o modelo abordado neste trabalho. Seria interessante abordar este tópicoapós considerar alguma das melhorias dos itens anteriores visto que o método deve serescolhido de acordo com o sistema a ser otimizado;

• Estudar a possibilidade de se utilizar sinais de entrada com característica aleatória, ou quepossuam diversas componentes de frequência, visto que esta é uma situação comum emEnergy Harvesting.

Ao desenvolver estas propostas, a modelagem conjunta apresentada neste trabalho podeser aperfeiçoada, abrangendo uma gama maior de aplicações e contribuindo de forma maisampla e efetiva nesta área.

1Synchronized Switch Harvesting on Inductor2Enhanced Synchronized Switch Harvesting3Double Synchronized Switch Harvesting

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