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e portanto, tenha um perodo T = (b-a) diferente de2 , necessrio fazer a mudana de varivel (isso muitoimportante e no pode ser esquecido)

x = [ (b-a)/ 2 ] t + a , tno intervalo [0, 2 ]

assim, trabalhamos com f(x(t)) = F(t).

A segunda, pelo fato de estarmos com o caso discreto, os pontos tabelados devem estar igualmente espaadosem [ 0, 2 ], ou seja, para um inteiro N,

, ondej=1,...,2N.

Completamos lembrando que dados 2N pontos tabelados, a maior freqncia da aproximao ser n, com n < N.

Aproximao de Fourier - caso discreto

Queremos aproximar a funo f, tabelada em 2N pontos equidistantes

, que denotaremos por fj,j = 1,...,2N, tal que

Vamos determinar a funo aproximadora gdada no segundo membro da expresso acima, pelo MMQ.

Considerando que nessas condies vale a ortogonalidade para o caso discreto:

o sistema normal do MMQ resolvido imediatamente e os coeficientes da gso dados pelas expresses

e para os outros valores de k entre 1 e N,

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25/10/2008http://map2121.ime.usp.br/file.php/8/aprox_funcoes/analise_harmonica.htm


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Vamos fazer esses clculos explicitamente para o caso da funo f

f = 0.2 + 0.62 cos(x) +4 sen(x) +5.5 sen(2x) + 4.5 cos(3x)

representada no grfico acima, considerando dois casos, no primeiro onde foram tabelados 10 pontos, portanto N= 5 e no segundo N = 2.

Caso 1: N = 5

O grfico mostra os 10 pontos que foram tabelados e utilizados na aproximao. Em vermelho afuno foriginal.

Os coeficientes calculados foram:

que coincidem com os da funo f , para a preciso d = 10 -15que foram calculados. De fato, ogrfico do erro absoluto (g(t)-f(t)) mostra exatamente isso

Caso 2: N = 2

Neste caso temos apenas 4 pontos tabelados. Os coeficientes encontrados foram

Observamos que o grfico do erro absoluto traz valores da ordem da dezena




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e ao compararmos as duas funes vemos que a aproximao realmente muito ruim para N = 2:

Idealizamos o problema para podermos comparar os resultados da aproximao com os da prpria funo e bvio que, no caso real no ser possvel fazer isso pois no conhecemos de fato a funo f ,mas apenas algunsde seus valores (e com distorses). O resultado "prtico"do teorema de Fourier, que podemos garantir quequanto maior o nmero de pontos, mais freqncias podero ser incorporadas na soluo numrica, resultandonuma aproximao mais fiel da funo original.

Aproximao de Fourier - caso contnuo

Queremos aproximar a funo f, definida num intervalo [a,b]por uma funo tal que,

Caso b-a no seja igual a 2 , a primeira coisa a fazer uma mudana de variveis, pois seno, no teremos aortogonalidade.

Para o caso contnuo, a anlise a mesma feita anteriormente, apenas a definio de produto interno definidacomo a integral em um intervalo de tamanho 2 , no importando o incio, ou seja poderia estar definido em [a,

a+2 ]. Usualmente a=0 ou a=- .

Os produtos internos das funes que compem a funo aproximadora:

Como a matriz do sistema normal diagonal, os coeficientes que definem a combinao linear das gk's so dadospor




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Observe que o clculo dos ak's e dos bk's envolvem o clculo de uma integral, a qual nem sempre facilmentecalculada. Mtodos numricos para calcular integrais sero em breve estudados e devero ser implementadospara resolver estas integrais. Por enquanto, utilizem seus conhecimentos do Clculo I para resolv-las.

Exerccios

(I) Considere a funo, definida no intervalo [0,4]

f = 0.2 + 0.62 cos(x) +4 sen(x) +5.5 sen(2x) + 4.5 cos(3x)

1) faa a anlise harmnica at o harmnico de ordem 10 (isto significa que vamos at cos(10x) sen(10x);2) qual o erro absoluto entre a funo f e a aproximadora;3) repita so exerccios 1 e 2 para a funo

f(x) = 1, em [0,1[, e nula em [1,2[.

(II) Represente a expresso do segundo membro de

g(x) = .

em funo de senos de kx e uma fase, como

Sugesto: Defina

(III) Qual a vantagem desta ltima forma de representao?

Referncias bibliogrficas especficas

[1] Abdounur, O. J.: 1997, "O pensamento analgico na construo/reconstruo de significados: um estudo no mbito dasrelaes entre a Matemtica e a Msica", tese de Doutorado, Faculdade de Educao, USP.

[2] Davis, P.J., Hersh, R.: 1985, "A experincia Matemtica", ed. Francisco Alves, pag, 289-297.

[3] Gerald, C.F., Wheatley, P.O.: 1994, Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

Este texto foi retirado do Coletneas de Modelos Matemticos, desenvolvido sob a coordenao das profas. Cristina Cerri eJoyce Bevilacqua, dentro do projeto SIAE/9899.




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