anÁlise e otimizaÇÃo de tubos compÓsitos … · ii iuri barcelos carneiro montenegro da rocha...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

IURI BARCELOS CARNEIRO MONTENEGRO DA ROCHA

ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMINADOS

FORTALEZA

2010

ii



Monografia submetida à Coordenação do

Curso de Engenharia Civil da Universidade

Federal do Ceará, como requisito parcial para a

obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. D. Sc. Evandro Parente

Junior

FORTALEZA

2010

iii

R573a Rocha, Iuri Barcelos Carneiro Montenegro da

Análise e otimização de tubos compósitos laminados / Iuri Barcelos

Carneiro Montenegro da Rocha. – Fortaleza, 2010.

71 f. il.; color. enc.

Orientador: Prof. Dr. Evandro Parente Junior

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de

Tecnologia. Depto. de Engenharia de Engenharia Estrutural e Construção

Civil, Fortaleza, 2010.

1. Tubos 2. Resinas compostas 3. Método dos elementos finitos

I. Parente Junior, Evandro (orient.) II. Universidade Federal do Ceará –

Graduação em Engenharia Civil. III.Título

CDD 620

iv



Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal

do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Aprovada em 03/12/10

v

Aos meus pais,

Paulo Montenegro e Maria das Graças Barcelos

Obrigado por todo o amor e também pela paciência.

vi

AGRADECIMENTOS

A meus pais, Paulo Augusto Montenegro da Rocha e Maria das Graças Barcelos

Carneiro, pelo amor, dedicação, estímulo e apoio nessa longa caminhada.

À minha tia Áurea Izabel da Silva, por ter sido tão importante quanto meus pais

em todas as etapas da minha formação.

Ao meu orientador, Evandro Parente Junior, por ser não apenas um modelo de

professor, mas também um modelo de dedicação, esforço e honestidade. Obrigado por ter

ajudado a formar o que eu vim a ser hoje.

À minha namorada, Rebeca Nolêto Antunes, por todos os momentos de felicidade

ao longo desses anos e por me apoiar em momentos difíceis.

Ao meu tio Eugênio Montenegro, exemplo de engenheiro civil e de ser humano,

no qual procuro me espelhar a cada dia.

Ao meu primo André Rocha Studart que, apesar de ter convivido comigo por

apenas alguns dias, é uma das pessoas mais especiais que já conheci e um exemplo de sucesso

acadêmico no qual me inspiro.

Ao meu grande amigo Rafael Fernandes, pelos momentos de descontração e por

me ajudar no desenvolvimento do trabalho.

Por fim, aos meus amigos, à minha irmã Katiucha Barcelos e à toda a minha

família, pela boa convivência que me impulsiona a cada dia na busca de meus ideais.

vii

RESUMO

Materiais compósitos, uniões de dois ou mais materiais com o objetivo de obter um material

cujas propriedades mecânicas são superiores às de suas partes componentes, são crescente

foco de estudo científico. Com a busca de estruturas mais leves e resistentes para atividades

industriais como a exploração de petróleo e a aeronáutica, materiais compósitos têm elevada

aplicabilidade. Porém, estes materiais apresentam comportamento mecânico complexo e,

portanto, de difícil análise. No caso de compósitos laminados, a manipulação das variáveis de

projeto permite adaptar a estrutura ao estado de cargas a ser suportado. Na análise de tais

tubos, ferramentas numéricas, como o Método dos Elementos Finitos, são utilizadas. No que

diz respeito à etapa de projeto, devido ao elevado número de variáveis, métodos de tentativa e

erro são árduos e dispendiosos. Assim, o uso de métodos computacionais de otimização,

como os de programação não-linear, vem se popularizando. Tais métodos são capazes de

fornecer informações sobre número e ângulo de enrolamento das lâminas de um tubo,

procurando um equilíbrio entre segurança e economia. Esta monografia apresenta

formulações de dois elementos finitos para análise de tais tubos, considerando seu material

ortotrópico e fazendo considerações de axissimetria e Estado Plano Generalizado de

Deformações. A implementação de uma das formulações em um programa de elementos

finitos de código-aberto é descrita em detalhes. A formulação do problema de otimização de

tubos laminados é descrita e sua solução é obtida por algoritmos de programação não-linear.

Exemplos numéricos tanto de análise quanto de otimização são apresentados e discutidos.

Palavras-chave: Materiais Compósitos, Tubos, Otimização, Elementos Finitos.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Classificação de materiais compósitos (BELO, 2006). .......................................... 7

Figura 2.2 – Esquema geral de laminação (REDDY, 1996). ..................................................... 7

Figura 2.3 – Coordenadas locais e globais em um laminado. .................................................... 9

Figura 2.4 – Parâmetros de resistência bidimensionais. ........................................................... 14

Figura 3.1 – Malha de elementos finitos axissimétricos bidimensionais. ................................ 19

Figura 3.2 – Sequência de obtenção de tensões e deformações. .............................................. 22

Figura 3.3 – Definição da orientação das lâminas. ................................................................... 24

Figura 3.4 – Definição da classe ElcSec. .................................................................................. 24

Figura 3.5 – Elemento unidimensional com interpolação quadrática. ..................................... 27

Figura 3.6 – Resultados do modelo cross-ply. ......................................................................... 32

Figura 3.7 – Resultados do modelo angle-ply. ......................................................................... 34

Figura 4.1 – Processo convencional de projeto. ....................................................................... 41

Figura 4.2 – Processo otimizado de projeto. ............................................................................ 42

Figura 4.3 – Regiões viáveis e inviáveis. ................................................................................. 44

Figura 4.4 – Esquema de laminação simétrico. ........................................................................ 51

Figura 4.5 – Evolução do processo de otimização (pint = 20 MPa, pext = 20 MPa). ................. 57

Figura 4.6 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, N = 30MN). ....................... 57

Figura 4.7 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, T = 9MN). ......................... 58

ix

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Cossenos diretores. ............................................................................................... 10

Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas do aço. ........................................................................... 31

Tabela 3.2 - Propriedades mecânicas do Carbono-Epoxi (REDDY, 1996). ............................ 31

Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas do Grafite-Epoxi T300. ................................................. 31

Tabela 3.4 - Esquema de Laminação do modelo cross-ply. ..................................................... 31

Tabela 3.5 - Tensões no sistema global no modelo cross-ply. ................................................. 32

Tabela 3.6 - Esquema de Laminação do modelo angle-ply. ..................................................... 33

Tabela 3.7 - Tensões no sistema global no modelo angle-ply. ................................................. 33

Tabela 3.8 - Cenários de carga no modelo de riser. ................................................................. 35

Tabela 3.9 - Esquema de laminação do modelo de riser. ......................................................... 35

Tabela 3.10 - Tensões máximas no sistema local no modelo de riser (MPa). ......................... 36

Tabela 3.11 - Tensões máximas no sistema global no modelo de riser (MPa). ....................... 36

Tabela 3.12 - Resultados da laminação [55/-55/55/-55] de Xia et al. (2001). .......................... 36

Tabela 3.13 - Resultados da laminação [55/-55/30/-30] de Xia et al. (2001). .......................... 37

Tabela 3.14 - Resultados da laminação [55/-30/30/-55] de Xia et al (2001). ........................... 37

Tabela 3.15 - Resultados da laminação [55/-55/-55/55/Liner] (105 kPa). ................................ 38

Tabela 3.16 - Resultados da laminação [90/0/0/90] (105 kPa). ................................................ 38

Tabela 3.17 - Resultados da laminação [45/-45/-45/45] (105 kPa)........................................... 38

Tabela 4.1 - Alguns algoritmos de otimização. ........................................................................ 46

Tabela 4.2 - Parâmetros de resistência tridimensionais do Grafite-Epoxi T300 (GPa). .......... 53

Tabela 4.3 - Resultados para casos de carga isolados. ............................................................. 54

Tabela 4.4 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Força axial variável. ........................................... 54

Tabela 4.5 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Pressão interna variável. ..................................... 55

Tabela 4.6 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Momento torsor variável. ................................... 55

Tabela 4.7 - Caso A: pint = 20 MPa; Caso B: Pressão externa variável.................................... 56

x

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

1.1 Objetivos ..................................................................................................................... 3

1.2 Metodologia ................................................................................................................ 4

1.3 Estrutura da monografia ............................................................................................. 4

2 MATERIAIS COMPÓSITOS ............................................................................................ 6

2.1 Definição e Classificação ........................................................................................... 6

2.2 Modelo Mecânico ....................................................................................................... 8

2.3 Critérios de Falha ..................................................................................................... 12

2.3.1 Critério da Máxima Tensão .............................................................................. 13

2.3.2 Critério da Máxima Deformação ...................................................................... 15

2.3.3 Critério de Tsai-Wu .......................................................................................... 16

3 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMINADOS ................................................. 18

3.1 Método dos Elementos Finitos ................................................................................. 18

3.2 Elemento Bidimensional .......................................................................................... 19

3.3 Elemento Bidimensional - Implementação Computacional ..................................... 22

3.4 Elemento Unidimensional ........................................................................................ 25

3.5 Elemento Unidimensional - Implementação Computacional ................................... 29

3.6 Exemplos Numéricos ................................................................................................ 30

3.6.1 Modelo cross-ply .............................................................................................. 31

3.6.2 Modelo angle-ply .............................................................................................. 33

3.6.3 Modelo de riser compósito ............................................................................... 35

3.6.4 Modelos de Xia et al. (2001) ............................................................................ 36

3.6.5 Comparação com a Teoria Clássica da Laminação (TCL) ............................... 37

4 OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMINADOS ................................................................... 40

4.1 Conceitos de Otimização .......................................................................................... 40

4.1.1 Variáveis de Projeto.......................................................................................... 42

4.1.2 Função Objetivo ............................................................................................... 43

4.1.3 Restrições ......................................................................................................... 43

4.1.4 Classificação de Problemas de Otimização ...................................................... 45

4.2 Condições de Otimalidade ........................................................................................ 46

4.2.1 Vetor Gradiente e Matriz Hessiana .................................................................. 46

4.2.2 Mínimos Locais e Globais ................................................................................ 47

4.2.3 Mínimos Locais - Condições Necessárias ........................................................ 47

4.2.4 Mínimos Locais - Condições Suficientes ......................................................... 48

4.3 Programação Não-Linear .......................................................................................... 49

4.4 Formulação do Problema de Tubos Compósitos ...................................................... 50

4.5 Exemplos .................................................................................................................. 53

5 CONCLUSÕES ................................................................................................................ 59

5.1 Sugestões para futuros trabalhos .............................................................................. 60

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 61

1

1 INTRODUÇÃO

O uso de materiais compósitos reforçados por fibras está cada vez mais difundido

nos diversos ramos da Engenharia. Estes materiais apresentam como principais vantagens as

elevadas resistência e rigidez específicas, o que permite a fabricação de componentes

estruturais de alta resistência e baixo peso. Estes materiais também apresentam alta resistência

à fadiga, bom isolamento térmico e elevado amortecimento estrutural.

Os compósitos laminados são formados pela superposição de várias lâminas, onde

cada lâmina é formada por um conjunto de fibras unidirecionais ou multidirecionais

embebidas em uma matriz polimérica (JONES, 1999). Neste trabalho, serão consideradas

apenas lâminas com fibras unidirecionais.

Uma das aplicações de compósitos laminados, e o foco deste trabalho, são tubos

laminados. Estes tubos são utilizados na indústria química e petroquímica, tendo crescido nos

últimos anos o interesse na indústria do petróleo. Sabe-se que, com o esgotamento das

reservas de petróleo e gás superficiais, juntamente com o aumento da demanda mundial por

combustíveis, houve um aumento da busca por novas reservas, cada vez mais profundas e de

maior dificuldade de exploração.

Neste contexto, tubos compósitos, devido a sua adaptabilidade e altas relações

resistência/peso e rigidez/peso, tem sido alvo de extensas pesquisas com o objetivo de

desenvolver novos projetos de risers de perfuração e de produção, isto é, tubos utilizados

tanto para a perfuração de poços quanto para o transporte de fluidos em exploração marítimas

(offshore). Estudos comparativos entre tubos de extração (risers) de aço e de compósito são

mostradas em Beyle et al. (1997). Além disso, as formulações descritas também podem ser

utilizadas no projeto de vasos de pressão para transporte e armazenamento de fluidos.

Dadas as várias possibilidades de arranjo de lâminas, tanto na sua sequência,

como na espessura e orientação das fibras em cada camada, é possível projetar estruturas

específicas para as ações externas (pressão, força axial e momento torsor) atuantes

(AZARAFZA et al., 1996). Tais projetos favorecem a economia de material e diminuição no

peso da estrutura. Porém, como vários parâmetros estão envolvidos no projeto, encontrar a

configuração ideal através do método da tentativa e erro é uma tarefa árdua. Neste caso, a

utilização de técnicas de otimização é a alternativa mais adequada (VANDERPLAATS,

2001).

2

Na análise de tubos laminados, geralmente se explora a simetria do problema. Em

modelos tridimensionais, geralmente apenas um oitavo do tubo é modelado

(SUNDARAMAN et al., 2007). Por outro lado, se o carregamento externo e as características

mecânicas são simétricas em relação ao eixo do tubo, a representação do problema em

coordenadas cilíndricas permite reduzir o problema para duas dimensões. Utilizam-se,

portanto, modelos axissimétricos, nos quais apenas a parede do tubo é modelada.

Além disso, se o tubo for infinitamente longo e submetido apenas a cargas

constantes ao longo do seu comprimento, então as deformações serão também constantes,

caracterizando um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD). Neste caso, um

modelo unidimensional pode ser utilizado. Soluções aproximadas ainda mais simplificadas

podem ser obtidas para tubos de parede fina utilizando a Teoria Clássica de Laminação

(TCL), como mostrado em Silva et al. (2009) e Teófilo (2010). Porém, as soluções

apresentadas no presente trabalho permitem a consideração também de tubos de parede

espessa.

Sherrer (1967) desenvolveu uma solução analítica para tal problema, levando em

consideração as deformações constantes advindas da consideração de um EPGD.

Posteriormente, tal solução foi computacionalmente implementada por Herakovich (1998),

permitindo a modelagem de tubos com número qualquer de camadas sujeitos à pressão

interna, externa, força axial a momento torsor. Além disso, Kress (1993) utilizou termos da

solução analítica como funções de forma em uma solução pelo Método dos Elementos

Finitos (MEF) computacionalmente eficiente. Soluções por Elementos Finitos utilizando

funções de forma convencionais são bastante difundidas, como pode ser visto em McVee

(2003), Guimarães (2006), Onder et al. (2009), entre outros.

O presente trabalho apresenta duas formulações de elementos finitos

axissimétricos para análise de tubos compósitos sujeitos a pressões interna e externa, força

axial e momento torsor. Inicialmente, uma formulação bidimensional mais geral é

apresentada, com elementos de 3 graus de liberdade por nó. Posteriormente, com a imposição

de um EPGD, simplificações adicionais são feitas, resultando numa formulação

unidimensional com 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais. Tal formulação

é então utilizada para resolver o problema de otimização de tubos laminados.

Na formulação do problema de otimização, é necessário escolher as variáveis de

projeto, afunção objetivo e as restrições a serem consideradas. As variáveis de projeto, no

3

caso do problema de tubos compósitos, são as espessuras e orientações das lâminas de cada

camada. Tais variáveis podem ser consideradas contínuas (PARK et al., 2001) ou discretas

(TOPAL, 2009). Em uma etapa inicial de projeto, é recomendado utilizar variáveis contínuas,

evitando introduzir novas restrições ao problema (ARORA, 2004). Como função objetivo,

geralmente o peso total da estrutura é considerado.

Como restrições, além de limites superiores e inferiores para todas as variáveis de

projeto, são consideradas também restrições de resistência, através de um Fator de Segurança,

e de estabilidade, através do cálculo da Pressão de Colapso do tubo. Para a avaliação do Fator

de Segurança, critérios de falha aplicáveis a materiais compósitos são utilizados, através da

obtenção de tensões e deformações em cada lâmina, provenientes da análise estrutural. Já para

avaliar a estabilidade de tubos sujeitos a pressão externa, coeficientes provenientes da análise

pela Teoria Clássica de Laminação (REDDY, 1996) são utilizados para o cálculo da pressão

de colapso.

Exemplos numéricos tanto dos elementos finitos implementados quanto da

formulação de otimização, são apresentados. Nos exemplos envolvendo os modelos de

análise, são comparados resultados obtidos pelos elementos implementados com soluções

analíticas e com o programa comercial de elementos finitos ABAQUS. São também

modelados tubos com camadas de aço (liner) e com laminações cross-ply e angle-ply.

Já nos exemplos de otimização, são tratados inicialmente casos isolados de carga

e, posteriormente, casos com múltiplos casos de carga. Em cada exemplo, o comportamento

das variáveis de projeto, assim como das restrições e da função objetivo, são observados à

medida que os valores de carga variam. Por fim, gráficos mostrando o progresso do processo

de otimização são apresentados, mostrando a variação da função objetivo e da violação de

restrições com o número de passos.

1.1 Objetivos

O objetivo geral do presente trabalho é formular elementos finitos para análise de

tubos laminados e, posteriormente, utilizá-los na otimização de tubos laminados. Como esse

processo envolve várias etapas, objetivos específicos foram traçados:

1. Formular e implementar um elemento finito axissimétrico com 3 graus de liberdade por nó

e material ortotrópico pelo Método dos Elementos Finitos;

4

2. A partir de simplificações adicionais, formular e implementar um elemento

unidimensional com 1 grau de liberdade radial por nó e 2 graus de liberdade globais;

3. Verificar a formulação e implementação destes elementos através da comparação com

resultados obtidos pelo MEF com soluções analíticas e outros tipos de elemento;

4. Apresentar uma formulação para o projeto ótimo de tubos laminados considerando

múltiplos casos de carga.

5. Determinar, no problema de otimização, as variáveis de projeto, função objetivo e

restrições;

1.2 Metodologia

Como o presente trabalho se propõe a desenvolver formulações de elementos

finitos, a maioria das rotinas e métodos foram implementadas computacionalmente. A

implementação do elemento bidimensional foi realizada no programa de elementos finitos

acadêmico de código-aberto FEMOOP (MARTHA & PARENTE, 2002). Para o elemento

unidimensional, as implementações foram realizadas no programa MATLAB.

De modo a verificar os elementos implementados, vários exemplos numéricos

serão desenvolvidos e seus resultados serão comparados com o programa de elementos finitos

ABAQUS e com uma solução analítica implementada por Herakovich (1998).

Por fim, para resolver o problema de otimização, um algoritmo de programação

matemática será utilizado através do programa MATLAB e com o auxílio de rotinas

computacionais implementadas e descritas por Silva et al. (2009).

1.3 Estrutura da monografia

A presente monografia é dividida em 6 capítulos. No capítulo 1 são apresentadas

as motivações para o trabalho e suas idéias principais. Trabalhos relevantes sobre análise e

otimização de compósitos laminados são citados. Além disso, apresentam-se também os

objetivos do trabalho e sua estrutura.

No capítulo 2, os conceitos principais sobre materiais compósitos são

apresentados. O modelo mecânico utilizado para tais materiais é também apresentado, além

de alguns dos critérios de falha disponíveis para uso.

5

No capítulo 3, uma breve revisão sobre o Método dos Elementos Finitos é

apresentada e os elementos axissimétricos bidimensional e unidimensional são formulados.

Por fim, exemplos numéricos são apresentados.

No capítulo 4, uma breve revisão sobre otimização de sistemas é realizada, com a

definição dos principais conceitos utilizados. A formulação do problema de otimização de

tubos laminados é então apresentada, com a definição das variáveis de projeto, função

objetivo e restrições. Por fim, exemplos numéricos são apresentados.

O capítulo 5 apresenta as principais conclusões do trabalho, ressaltando os

resultados obtidos remetendo aos objetivos traçados. Por fim, os trabalhos consultados são

listados no último capítulo, em ordem alfabética.

6

2 MATERIAIS COMPÓSITOS

Esta seção apresenta um breve estudo sobre materiais compósitos, englobando sua

definição e classificação, principais tipos e, por fim, os modelos utilizados para descrever seu

comportamento mecânico. Ao final, são apresentados também critérios de falha utilizados

para medir a segurança estrutural em materiais compósitos.

2.1 Definição e Classificação

Materiais Compósitos, ou compostos, como o nome sugere, resultam da

combinação de dois ou mais materiais, em uma escala macroscópica, com o objetivo de obter

um novo material melhor que cada uma das suas partes isoladamente (REDDY, 1996). O

novo material assim obtido deve possuir homogeneidade se analisado em nível macroscópico.

Portanto, devem ser utilizadas técnicas que proporcionem a correta combinação dos vários

componentes de um material compósito, de modo a fornecer homogeneidade e uniformidade

ao seu comportamento mecânico.

A utilização de combinações de dois ou mais materiais é intrínseca à história

humana. De acordo com Roylance (2000), no Egito antigo, já havia a combinação de palha e

barro para tornar os tijolos mais resistentes. Segundo Guimarães (2006), materiais compósitos

também eram usados para reforçar espadas medievais.

Segundo Jones (1999), materiais compósitos podem ser classificados de acordo

com a forma de combinação entre os dois ou mais materiais componentes. Assim, uma

primeira classificação seria:

a) Compósitos Particulados: São aqueles que apresentam partículas macroscópicas imersas

em uma matriz (Figura 2.1a). Um exemplo clássico de compósito particulado é o concreto;

b) Compósitos Fibrosos: São formados por fibras longas embebidas em uma matriz que atua

como transmissora de tensões e proteção para as fibras (Figura 2.1b). As fibras mais

utilizadas neste tipo de compósito são as de carbono e vidro, embebidas em matrizes

poliméricas, como o epóxi;

c) Compósitos Laminados: Compostos de várias camadas, ou lâminas, de comportamento

mecânico distinto, podendo, inclusive, serem de compósitos fibrosos ou particulados

(Figura 2.1c).

7

Figura 2.1 - Classificação de materiais compósitos (BELO, 2006).

Quando se trabalha com compósitos laminados, principalmente quando são

reforçados com fibras, é de suma importância escolher o esquema de laminação adequado ao

projeto. Para isso, deve-se saber representar e identificar os principais tipos de laminação. De

modo geral, uma laminação é representada por

/ / / . . ./ onde α representa o ângulo de

orientação das fibras (direção principal do material) da primeira camada, β representa o

ângulo da segunda camada, e assim por diante. Um esquema de laminação geral é mostrado

na Figura 2.2.

Figura 2.2 – Esquema geral de laminação (REDDY, 1996).

Os ângulos de orientação devem estar entre +90º e -90º. Pode-se então definir uma

classificação geral para laminados, dividindo-os em dois tipos:

1. Cross-ply: São laminados que apresentam ângulos de laminação iguais a 0º ou 90º. Por

exemplo, o laminado [0 / 90 / 0 / 90] é cross-ply.

2. Angle-ply: São laminados que podem apresentar qualquer valor para o ângulo de

orientação das camadas, sendo pelo menos um ângulo diferente de 0º e 90º. Por exemplo,

[45 / -45 / 0 / 90] é angle-ply.

Quanto à simetria, os laminados também podem receber três classificações:

8

a) Laminados Simétricos: São aqueles que possuem materiais, espessuras e orientações das

lâminas simétricos em relação à superfície média do laminado. Utiliza-se a letra ‘s’ para

indicar simetria. Assim, o laminado [0 / 90 / 0 / 90]s é igual a [0 / 90 / 0 / 90 / 90 / 0 / 90 /

0]. Do mesmo modo, um laminado com número ímpar de camadas pode ser simétrico, por

exemplo [0 / 90 / 0 / 90 / 0], ou [0 / 90 /

0]s no qual a superfície média divide a camada do

meio em duas.

b) Laminados Anti-Simétricos: São aqueles que possuem materiais e espessuras simétricas

mas orientações das lâminas anti-simétricas em relação à superfície média. Por exemplo, o

laminado [45 / -45]4, que é equivalente a [45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45], é anti-

simétrico.

c) Laminados Assimétricos: São aqueles que possuem materiais, espessuras ou orientações

das lâminas assimétricos em relação à superfície média. Por exemplo, o laminado [45/90]

é assimétrico, assim como qualquer dos laminados apresentados nos itens anteriores

seriam assimétricos caso possuíssem espessuras ou materiais assimétricos.

2.2 Modelo Mecânico

Em uma escala microscópica, cada lâmina de um compósito laminado, por ser

uma mistura de dois materiais, é considerada um material anisotrópico, com maior resistência

e rigidez na direção das fibras. Como a matriz polimérica pode ser considerada isotrópica, o

conjunto fibra+matriz pode ser modelado como um material ortotrópico, isto é, um material

cujas propriedades possuem três direções principais perpendiculares entre si.

Tendo em vista que várias lâminas são sobrepostas e que a orientação das fibras

varia de lâmina para lâmina, cada uma delas possui um sistema de coordenadas local, também

chamado de sistema do material (1, 2, 3) no qual a direção 1 é sempre a das fibras, a direção 2

é perpendicular às fibras e a direção 3 é perpendicular à lâmina.

Porém, na resolução das equações de equilíbrio globais do laminado, é necessário

definir um sistema de coordenadas global, no qual as propriedades de todas as lâminas devem

ser representadas. Tal sistema, no caso de tubos e vasos de pressão, é tomado como o sistema

de coordenadas cilíndrico (r, , z). Ambos os sistemas são mostrados na Figura 2.3. Nota-se

que os dois sistemas são relacionados pelo ângulo de enrolamento .

9

Figura 2.3 – Coordenadas locais e globais em um laminado.

Inicialmente, as propriedades de cada lâmina serão descritas em seu sistema local.

Em seguida, o procedimento de transformação para o sistema global será mostrado. O

procedimento oposto é realizado ao final da análise quando as tensões no sistema local são

utilizadas para avaliar a segurança de cada lâmina.

O comportamento de compósitos reforçados por fibras pode ser considerado linear

até muito próximo da ruptura (JONES, 1999). Deste modo, a Lei de Hooke Generalizada pode

ser utilizada para relacionar tensões () e deformações () no sistema local (1, 2, 3). Para um

material ortotrópico, tal relação é dada por

11

23

13

12

3

2

1

23

13

12

32

23

1

13

2

32

21

12

3

31

2

21

1

23

13

12

3

2

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

S

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(2.1)

10

onde S é a matriz de flexibilidade e o índice 1 indica que a relação está no sistema local (ou

do material). Como S é simétrica, possui apenas 9 constantes independentes. Deste modo, os

coeficientes de Poisson podem ser relacionados pela equação abaixo:

E jij Ei ji (2.2)

Invertendo a Eq. (2.1), a relação tensão-deformação é obtida:

11

2 3

1 3

1 2

3

2

1

6 6

5 5

4 4

3 32 31 3

2 32 21 2

1 31 21 1

2 3

1 3

1 2

3

2

1

00000

00000

00000

000

000

000

εCσ

C

C

C

CCC

CCC

CCC

(2.3)

onde C é a matriz constitutiva elástica do material, cujos coeficientes são dados por

1 33 22 11 33 13 22 32 11 2

2 36 61 35 51 24 4

2 11 2

33 3

3 11 23 2

22 3

3 11 3

22 2

3 22 13 1

11 3

2 33 12 1

11 2

3 22 3

11 1

21

; ;

;1

; ;1

;;;1

GCGCGC

ECECEC

ECECEC

(2.4)

Para a obtenção das deformações no sistema local, utiliza-se a matriz de

transformação T na relação (COOK et al., 2002):

εTε 1 (2.5)

onde T é dada por

233223322332323232

311331133113131313

122112211221212121

333333

2

3

2

3

2

3

222222

2

2

2

2

2

2

111111

2

1

2

1

2

1

222

222

222

nmnmlnlnmlmlnnmmll

nmnmlnlnmlmlnnmmll

nmnmlnlnmlmlnnmmll

nmlnmlnml

nmlnmlnml

nmlnmlnml

T

(2.6)

Na Eq. (2.6), os termos li, mi e ni são os cossenos diretores dos eixos locais em

relação aos globais. Observando a Figura 2.3, tais relações são resumidas na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 - Cossenos diretores.

l m n

1 0 sen α cos α

2 0 -cos α sen α

3 1 0 0

11

Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, mostra-se que as tensões podem ser

transformadas para o sistema global através da expressão:

TT 1 (2.7)

Utilizando as Eqs. (2.3), (2.5) e (2.7), a relação entre tensões e deformações no sistema global

pode ser escrita como

TCTCCT (2.8)

onde C é a matrix constitutiva no sistema global. Substituindo os valores dados na Tabela 2.1

na relação anterior, a Eq. (2.8) pode ser reescrita como

r

z

r

rz

z

C11 C12 C13 0 0 C14

C12 C22 C23 0 0 C24

C13 C23 C 33 0 0 C 34

0 0 0 C66 C56 0

0 0 0 C56 C55 0

C14 C24 C 34 0 0 C 44

r

z

r

rz

z

(2.9)

onde os coeficientes da matriz C são dados por

55

2

66

2

66

665556

55

2

66

2

55

44

44

44221211

22

44

442212

3

442211

3

34

442212

3

442211

3

24

231314

4412

22

22

4

11

4

33

12

44

442211

22

23

23

2

13

2

13

4412

22

22

4

11

4

22

23

2

13

2

12

3311

22

22

22

22

4

22

CsenCscoC

CCsenscoC

CscoCsenC

CscosenCCCCscosenC

CCCsenscoCCCscosenC

CCCsenscoCCCscosenC

CCscosenC

CCscosenCsenCscoC

CscosenCCCscosenC

CsenCscoC

CCscosenCscoCsenC

CscoCsenC

CC

)(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

)()(

)(

(2.10)

Analisando a matriz C na Eq. (2.9), vê-se que tensões normais e deformações de

cisalhamento γθz são acopladas. Quando a estrutura é submetida a forças normais, tal

12

comportamento ocasiona o surgimento de deformações torsionais fora do plano em laminados

angle-ply. Para captar tal efeito, são necessários graus de liberdade fora do plano, não

presentes em modelos axissimétricos convencionais. Porém, no caso de laminados cross-ply,

tal acoplamento não existe e modelos axissimétricos convencionais podem ser utilizados.

2.3 Critérios de Falha

Critérios de falha são procedimentos usados para, dado um estado de tensões,

avaliar a segurança estrutural e, muitas vezes, o modo pelo qual se dá a falha do material. No

caso de compósitos laminados, tal avaliação utiliza as tensões e deformações no sistema local

de cada lâmina. Tais critérios comparam as tensões ou deformações presentes nas lâminas

com as devidas tensões ou deformações de ruptura, obtidas por ensaios experimentais.

Para materiais isotrópicos, cujas propriedades mecânicas são iguais em qualquer

direção, alguns critérios de falha são amplamente utilizados e proporcionam bons resultados,

como o critério de Tresca e o de von Mises utilizados para metais (CHEN & HAN, 1998).

Para estes materiais, o critério de falha é definido a partir de um único parâmetro de

resistência, representado pela tensão de escoamento.

No caso de materiais compósitos laminados, os parâmetros de resistência de cada

lâmina variam conforme a direção de aplicação da tensão. Torna-se necessária, para a

definição de critérios de falha em lâminas compósitas, a definição da resistência da mesma a

partir de 3 direções principais, assim como são definidas suas propriedades mecânicas.

Há vários critérios de falha utilizados para materiais compósitos, sendo a maioria

extensão de critérios bem estabelecidos para materiais isotrópicos, adaptados para lidar com

materiais ortotrópicos (JONES, 1999; REDDY, 1996; DANIEL & ISHAI, 2005).

Critérios de falha em compósitos diferem entre si pela consideração da

interatividade entre tensões em direções diferentes. Assim, a seguinte classificação pode ser

feita (DANIEL & ISHAI, 2005):

a) Critérios não-interativos: Critérios nos quais as tensões ou deformações em cada direção

são consideradas isoladamente, sem interação. Métodos como o da Máxima Tensão e

Máxima Deformação são não-interativos;

13

b) Critérios interativos: São critérios que buscam analisar as tensões em todas as direções

através de um único índice, ao invés de considerá-las separadamente. Assim, são critérios

de formulação mais complexa, como os de Tsai-Hill e Tsai-Wu;

c) Critérios parcialmente interativos: São critérios nos quais as tensões em todas as direções

são analisadas conjuntamente, porém, as falhas da fibra e da matriz são analisadas

separadamente. Critérios como os de Hashin-Rotem e de Puck pertencem a esta categoria.

A seguir são apresentados, três dos principais critérios utilizados em compósitos.

Inicialmente serão apresentados os critérios não-interativos de máxima tensão e máxima

deformação. Posteriormente, será discutido o critério interativo de Tsai-Wu.

2.3.1 Critério da Máxima Tensão

Como estabelecido anteriormente, a resistência de uma lâmina na direção das

fibras é maior que na direção perpendicular às mesmas. Porém, em tais materiais, existe

também uma diferença entre tensões de tração e compressão. Assim, diferentes resistências

ocorrem para tração e compressão. No caso das tensões de cisalhamento, tensões positivas ou

negativas produzem as mesmas tensões normais em um plano a 45º do plano de aplicação das

cargas. Assim, seu sinal torna-se irrelevante.

Para problemas 2D, portanto, são necessários 5 parâmetros de resistência (F1t, F1c,

F2t, F2c, F6), como ilustrado na Figura 2.4. Já no caso 3D, são necessários 9 parâmetros (F1t,

F1c, F2t, F2c, F3t, F3c, F4, F5, F6). A figura a seguir mostra os parâmetros de resistência

bidimensionais para uma lâmina unidirecional. Em três dimensões, além das duas resistências

normais adicionais, aparecem mais duas resistências referentes ao cisalhamento.

14

Figura 2.4 – Parâmetros de resistência bidimensionais.

No critério da máxima tensão, a falha da lâmina ocorre quando a tensão em

qualquer uma das direções ultrapassar a resistência. Como mencionado, cada direção é tratada

separadamente. Assim, tem-se um conjunto de equações que determinam a envoltória de falha

da lâmina:

6,5,4

3,2,10

0

icomF

icomquandoF

quandoF

jj

iic

iit

i

(2.11)

De modo a avaliar a segurança estrutural, torna-se conveniente definir o Fator de

Segurança, dado pela relação entre a envoltória de falha do material e o estado atual de

tensões. Como neste critério cada direção é tratada separadamente, a expressão para o Fator

de Segurança (FS) é:

15

654

321

0

0

,,

,,

icomF

icom

quandoF

quandoF

nmiFS

i

i

i

i

ic

i

i

it

(2.12)

O Critério da Máxima Tensão é intuitivo e de simples implementação, além de

possibilitar a diferenciação entre tensões de tração e compressão. Porém, em estados de tensão

multi-axiais, devido à interação entre tensões não captada pela envoltória de falha adotada, o

critério pode apresentar resultados ruins.

2.3.2 Critério da Máxima Deformação

Assim como no critério da Máxima Tensão, as deformações são tratadas

isoladamente. Para expressar a resistência final em deformações usa-se a deformação última

em cada direção, representada pelo índice u. Assim, em um problema bidimensional, a

seguinte equação representa a envoltória de falha:

6,5,4

3,2,10

0

1

1

icom

icomquando

quando

u

ii

i

u

c

i

u

t

i

(2.13)

Porém, torna-se conveniente representar a envoltória de falha em função dos

parâmetros de resistência em tensões. Nesse caso, uma certa interação ocorre, devido ao efeito

de Poisson. Em termos de tensão, o critério de máxima deformação fornece as seguintes

equações:

654

0

0

0

0

0

0

33

33

1312323

22

22

3231212

11

11

3132121

,,

icomF

quandoF

quandoF

quandoF

quandoF

quandoF

quandoF

ii

c

t

c

t

c

t

(2.14)

Novamente, pode-se representar o critério em termos de um Fator de Segurança

(FS):

16

654

321

0

0

1

1

,,

,,

icom

icom

quando

quando

nmiFS

i

u

i

i

i

u

c

i

i

u

t

(2.15)

2.3.3 Critério de Tsai-Wu

O critério de Tsai-Wu baseia-se na teoria polinomial de falha proposta por

Gol’denblat e Kopnov, que utiliza tensores baseados nas resistências básicas do material para

ponderar os valores das tensões. A forma geral do critério polinomial de falha em notação

indicial é (DANIEL & ISHAI, 2005):

( fi i ) ( fij i j )

( fijk i j k ) ...1 (2.16)

Onde i, j, k = 1, 2,..., 6. Posteriormente, Tsai e Wu simplificaram o critério para

fi1 fij i j 1 (2.17)

Expandindo a expressão, variando os valores de i, j e k, tem-se:

f11 f2 2 f3 3 f4 4 f5 5 f6 6 f111

2 f22 2

2 f33 3

2 f44 4

2

f55 5

2 f66 6

2 2 f121 2 2 f131 3 2 f141 4 2 f151 5 2 f161 6

2 f23 2 3 2 f24 2 4 2 f25 2 5 2 f26 2 6 2 f34 3 4 2 f35 3 5

2 f36 3 6 2 f45 4 5 2 f46 4 6 2 f56 5 6 1

(2.18)

Os coeficientes f na Eq. (2.18) não são simplesmente os fatores de resistência

utilizados nos critérios anteriores, devido à consideração da interação entre tensões.

Considerando que as resistências ao cisalhamento não dependem do sinal, que tensões

cisalhantes e normais não interagem e que também não há interação entre tensões cisalhantes

em diferentes planos, vários termos se anulam. Os coeficientes restantes são obtidos a partir

de ensaios de tensão unidimensionais, exceto para tensões cisalhantes. Para tais, seria

necessário um ensaio biaxial e, assim, utilizam-se aproximações (DANIEL & ISHAI, 2005):

17

22

1

2

1

111

111

111111

442223331113221112

2

6

662

5

552

4

44

33

33

22

22

11

11

33

3

22

2

11

1

fffffffff

Ff

Ff

Ff

FFf

FFf

FFf

FFf

FFf

FFf

ctctct

ctctct

(2.19)

Novamente, torna-se conveniente definir o Fator de Segurança (FS) associado ao

critério, que é definido com o número que multiplicado pelo estado de tensões atual faz com

que o material falhe. Tal fator é obtido multiplicando todas as componentes de tensão com FS

e substituindo estes termos na Eq. (2.18). A expressão resultante é uma equação do segundo

grau, cuja raiz positiva fornece o fator de segurança

a

abbFS

2

42 (2.20)

onde

332211

322331132112

2

666

2

555

2

444

2

333

2

222

2

111 222

fffb

fffffffffa

(2.21)

Tal critério, além de considerar a interação entre tensões, resume toda a segurança

da lâmina em um parâmetro, que pode ser facilmente implementado computacionalmente.

Barbero (1999) mostra que tal critério possui boa concordância com dados experimentais.

Contudo, por representar toda a segurança por um único índice, não fornece informações

sobre o modo pelo qual se dá a falha.

18

3 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMINADOS

Este capítulo apresenta uma breve revisão sobre modelos de análise analíticos

para tubos compósitos. Em seguida, serão mostrados dois modelos baseados no Método dos

Elementos Finitos para análise de tubos compósitos submetidos a cargas axissimétricas.

Inicialmente, será mostrado um modelo bidimensional com 3 graus de liberdade por nó e,

posteriormente, simplificações adicionais serão realizadas, levando a um modelo

unidimensional com 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais. Finalmente,

uma série de exemplos numéricos será apresentada de forma a verificar e comparar os

modelos de análise propostos.

3.1 Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta de análise que produz

soluções numéricas para problemas de campo, isto é, a distribuição espacial de uma ou mais

variáveis dependentes (COOK et al., 2002). O campo em questão, na engenharia estrutural, é

o campo de deslocamentos em toda a estrutura. Conhecendo este campo e aplicando conceitos

da Teoria da Elasticidade pode-se obter as tensões e deformações em todos os pontos da

estrutura.

Inicialmente, deve-se elaborar um modelo matemático da estrutura a ser analisada.

Esta etapa é crucial à obtenção de bons resultados, fazendo-se necessário elaborar um modelo

matemático que represente bem as principais características da estrutura real. Deve-se, porém,

buscar um equilíbrio entre a simplicidade do modelo e a qualidade dos resultados. É

importante ressaltar que o refinamento da análise numérica nunca fornecerá uma resposta

mais próxima à realidade que a do modelo matemático adotado.

Em uma solução analítica, as condições de equilíbrio e compatibilidade devem ser

satisfeitas em todos os pontos da estrutura. Porém, muitas vezes as características geométricas

da estrutura e a complexidade dos materiais utilizados impedem a determinação analítica do

campo de deslocamentos. Assim, em uma análise usando elementos finitos, a estrutura é

dividida em uma série de elementos de geometria simples (e.g. triângulos e quadriláteros),

dentro dos quais o campo de deslocamentos é interpolado a partir dos deslocamentos nodais

19

utilizando funções simples, normalmente polinômios de baixa ordem. O conjunto de todos os

elementos de um modelo é denominado malha.

De modo a manter a continuidade da estrutura, elementos adjacentes são

conectados entre si por nós. Assim, nós comuns a vários elementos impõem o mesmo valor do

campo para todos eles, garantindo a continuidade. Os deslocamentos nodais são obtidos a

partir da solução das equações de equilíbrio, obtidas utilizando Princípios Variacionais ou

Métodos de Resíduos Ponderados (COOK et al., 2002).

Em uma solução por elementos finitos, as condições de equilíbrio e

compatibilidade são satisfeitas apenas nos nós, isto é, não são satisfeitas em todos os pontos

da malha. Assim, produz-se um erro ao tentar aproximar o campo de deslocamentos nos

elementos a partir de poucos valores nodais. Com o refinamento da malha ou o uso de funções

de interpolação mais completas, o campo de deslocamentos vai se aproximando da solução

exata e o erro de discretização vai diminuindo.

3.2 Elemento Bidimensional

A seguir, apresenta-se a formulação de elementos finitos axissimétricos

bidimensionais com 3 graus de liberdade por nó. Como já mencionado, apesar de plano, o

elemento necessita de um grau de liberdade adicional por nó para captar os efeitos de torção

gerados pelo acoplamento mencionado no Item 2.2. Uma malha formada por tais elementos é

mostrada na Figura 3.1.

Figura 3.1 – Malha de elementos finitos axissimétricos bidimensionais.

20

Inicialmente, consideram-se as relações deformação-deslocamento

tridimensionais em coordenadas cilíndricas (TIMOSHENKO & GOODIER, 1970):

r

vrv

u

rz

w

z

u

r

wu

v

r

w

rz

v

r

u

rz z

z r

zr r

1

1

1

(3.1)

Onde u representa o deslocamento radial, v representa o deslocamento fora do plano e w

representa o deslocamento axial. Como o modelo formulado lida apenas com pressão interna,

externa, força axial e momento torsor, considerações de simetria podem ser feitas. Assim,

como a geometria, propriedades dos materiais e carregamento independem da coordenada θ,

um modelo axissimétrico pode ser usado. Portanto, as relações deformação-deslocamento

podem ser simplificadas para:

r

v

r

v

z

u

r

w

z

v

z

w

r

u

r

u

rzrz

zzrr

(3.2)

No interior dos elementos, os deslocamentos são interpolados a partir dos

deslocamentos nodais:

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii wNwvNvuNu111

(3.3)

onde Ni são as funções de forma ou funções de interpolação, ui, vi, wi são os deslocamentos

nodais (graus de liberdade) e n é o número de nós. É importante notar apenas continuidade C0

é exigida das funções de forma, pois apenas derivadas de primeira ordem aparecem na

expressão das deformações, como mostrado na Eq. (3.2). Adotando uma formulação

isoparamétrica, a geometria do elemento é interpolada utilizando as mesmas funções de forma

n

i

ii

n

i

ii rNrzNz11

(3.4)

Matricialmente, tal campo pode ser representado por:

21

ni

w

v

u

N

N

N

w

v

u

u ii

i

i

i

i

i

i

...1,

00

00

00

uNu (3.5)

Expandindo a matriz Ni mostrada na Eq. (3.5) para todos os nós, tem-se:

nne NNNN 121 ... NNuu (3.6)

onde ue é o vetor dos deslocamentos nodais do elemento.

Derivando os deslocamentos expressos na Eq. (3.6) usando as relações da Eq.

(3.2), pode-se escrever as deformações no interior do elemento como:

iiuBεε

i

i

i

i

ii

ii

i

i

i

ii

ii

ii

iiii

ii

ii

ii

z

rz

r

zz

rr

w

v

u

z

Nr

N

z

N

Nrr

N

Nr

z

Nr

N

wz

N

uz

Nv

r

N

wNr

wr

N

ur

N

vz

N

ur

N

00

0

100

001

00

00

1

(3.7)

onde Bi é a matriz deformação-deslocamento correspondente ao i-ésimo nó. Expandindo a

matriz B para todos os nós, tem-se:

nne BBBBBuBε 121 (3.8)

É interessante notar que como a matriz B é o resultado da derivação da matriz N, ambas

possuem a mesma forma.

Com os campos de deslocamento e deformação definidos em todo o elemento,

pode-se aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Assim, aplicando um deslocamento virtual

pequeno e possível, a variação do trabalho de deformação é igual à variação do trabalho

produzido pelas cargas externas:

S

s

T

Vb

T

V

T

ext dSdVdVWW fufuσε int (3.9)

onde δu é o campo de deslocamentos virtual aplicado, δε é o campo de deformações

associado, fb representa as forças de corpo e fs as forças de superfície. Substituindo as

deformações e deslocamentos, dados pelas Eqs. (3.6) e (3.8), determinam-se a matriz de

rigidez (Ke) e o vetor de cargas externas (fe) de um elemento finito:

22

e e

e

V S

V

dSdV

dV

ST

S

bT

e

T

e

fNfNf

BCBK

(3.10)

Impondo o equilíbrio de trabalhos para qualquer deslocamento δu, o equilíbrio

nodal do elemento é encontrado. Somando as matrizes de todos os elementos pelo Método da

Rigidez Direta, obtém-se o sistema de equilíbrio nodal da estrutura:

fKu (3.11)

onde K é a matriz de rigidez global, u é o vetor de deslocamento nodais e f é o vetor de cargas

externas. Achados os deslocamentos nodais, utiliza-se a Eq. (3.8) para encontrar as

deformações no sistema global. Se as tensões no sistema global forem desejadas, usa-se a Eq.

(2.8). Já usando a Eq. (2.5), pode-se achar as deformações no sistema local e as tensões

usando a Eq. (2.3). Tal procedimento é resumido na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Sequência de obtenção de tensões e deformações.

3.3 Elemento Bidimensional - Implementação Computacional

A formulação descrita no Item 3.2 foi implementada no programa de elementos

finitos FEMOOP (MARTHA & PARENTE, 2002). Tal programa, por sua estrutura orientada

23

a objetos e pelo fato de ser voltado ao uso acadêmico, permite a implementação de novos

tipos de elemento ou modelos de análise para tratar problemas específicos.

No programa FEMOOP, a classe AnalysisModel cuida de aspectos relacionados à

montagem das matrizes que compõem a matriz de rigidez K. Tal classe é derivada da classe

Element, da qual também são derivadas as classes Shape e IntegrationPoint. A classe Shape

cuida dos aspectos de interpolação do elemento, fornecendo as funções de forma e suas

derivadas, além de calcular a matriz Jacobiana para interpolação geométrica. Por fim, a classe

IntegrationPoint é responsável pela resolução das integrais necessárias pelo método da

Quadratura de Gauss (COOK et al., 2002), armazenando as coordenadas dos pontos e o peso

de cada ponto para várias ordens de integração.

Na implementação realizada, utilizaram-se as funções de forma de elementos

isoparamétricos já implementadas no FEMOOP. Adicionalmente, não foi necessário

modificar nenhum aspecto da classe IntegrationPoint, pois utilizou-se as ordens de

integração já implementadas. Porém, como o elemento em questão apresenta mais graus de

liberdade que elementos axissimétricos comuns, a matriz B precisou ser implementada.

Assim, como o modelo de análise axissimétrico implementado possuía apenas 2

graus de liberdade por nó, foi necessário implementar um novo modelo de análise,

modificando a matriz B, adicionando o grau de liberdade fora do plano em cada nó. Assim,

foi criado o modelo de análise AxisymmetricTorsion.

Além de adicionar um grau de liberdade a mais por nó, foi necessário

implementar uma rotina de transformação da matriz C do sistema local para o global, de

acordo com o descrito no Item 2.2. Para isso, o arquivo de entrada de dados teve de ser

modificado, adicionando a seção %ORIENTATION.VECTORS, na qual o usuário deve

entrar com os três vetores de orientação, l, m e n, cujas componentes são mostradas na Tabela

2.1. Cada conjunto de vetores está também associado a um material. Isso permite tanto

adicionar vários ângulos diferentes como permite utilizar vários materiais diferentes no

mesmo modelo. Para acomodar esta mudança, o rótulo referente ao material em cada

elemento foi substituído pelo rótulo que representa o conjunto dos vetores associados a um

material. A figura a seguir mostra um trecho de um arquivo de entrada para o processador,

mostrando como deve ser feita a entrada da orientação:

24

Figura 3.3 – Definição da orientação das lâminas.

Como houve uma mudança considerável na etapa de leitura dos dados de cada

elemento, foi necessária uma modificação adicional na classe ElcParam, que lida com as

rotinas referentes a elementos paramétricos. Foi então criada a classe ElcSec, que,

dependendo do tipo de seção (laminada, homogênea isotrópica ou homogênea ortotrópica),

faz a leitura correta dos dados de cada elemento e os passa para ElcParam. A estrutura da

classe é mostrada a seguir:

Figura 3.4 – Definição da classe ElcSec.

Nota-se, portanto, que ElcSec é uma classe puramente virtual. Assim, na criação

de cada elemento da malha, utiliza-se polimorfismo para direcionar o ponteiro criado a uma

25

das três classes filhas de ElcSec, dependendo do tipo de seção do elemento. No caso do

elemento axissimétrico implementado, a leitura dos dados foi feita pela classe HomOrth.

3.4 Elemento Unidimensional

Na formulação do elemento bidimensional, um tubo de comprimento qualquer

pode ser modelado. Tal modelagem permite a avaliação dos chamados Efeitos de

Extremidade (SAYIR & MOTAVALLI, 1995), que levam a descontinuidades nas tensões em

regiões próximas aos apoios ou extremidades livres do tubo. Porém, os modelos analíticos

para tubos laminados consideram tubos de comprimento infinito, evitando considerar tais

efeitos de extremidade que tornariam a solução muito mais complexa. Assim, considera-se

um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD), no qual as deformações são

constantes ao longo do comprimento do tubo.

No modelo bidimensional apresentado anteriormente, o aumento do comprimento

do tubo e o uso de restrições de deslocamento nos nós superiores levam à diminuição dos

efeitos de extremidade e, por simular uma situação de EPGD, fornecem boa concordância

com resultados analíticos, como será mostrado no Item 3.6.

Porém, se um EPGD for imposto já durante a formulação do elemento, a

coordenada axial pode ser eliminada e apenas a coordenada radial precisa ser considerada,

obtendo-se, portanto, um problema unidimensional. De acordo com Sherrer (1967), Rizzo e

Vicario (1970), os campos de deslocamento são dados por

zzrw

zrzrv

ruzru

a

),(

),(

)(),(

(3.12)

onde β é a taxa de torção e εa é a deformação axial, ambos considerados constantes. Com tais

simplificações adicionais, as relações deformação-deslocamento mostradas na Eq. (3.2)

tomam a forma

rr u

r

u

rzz a z r (3.13)

Analisando as Eqs. (3.2) e (3.13), nota-se que zr =r = 0. Assim, alguns termos

da matriz C apresentada na Eq. (2.9) se anulam, e a matriz resultante é apenas 4x4:

26

r

z

z

C11 C12 C13 C14

C12 C22 C23 C24

C13 C23 C 33 C 34

C14 C24 C 34 C 44

r

z

z

(3.14)

Como β e εa são constantes em todo o tubo, serão tratados como graus de

liberdade globais (nodeless degrees of freedom), isto é, que não pertencem a nenhum nó.

Deste modo, o vetor de deslocamentos do modelo é dado por:

a

nu

u

1

u (3.15)

onde n é o número total de nós da malha de elementos finitos. Nota-se que o modelo possui,

portanto, 2n+2 graus de liberdade. Tais valores são usados para interpolar o campo de

deslocamentos no interior dos elementos, tal como mostrado na Eq. (3.3), mas, neste caso,

apenas os deslocamentos radiais são interpolados:

n

i

iiuNu1

(3.16)

Diferentemente do elemento bidimensional, a formulação unidimensional é

subparamétrica, isto é, utiliza funções de grau mais baixo na interpolação da geometria do

elemento, de maneira a simplificar a formulação e torná-la mais eficiente. Assim,

independente do grau das funções de forma utilizadas na interpolação dos deslocamentos, a

interpolação da coordenada radial é linear. Por conveniência, tal interpolação é feita na

coordenada paramétrica ξ:

r 1

2r1

1 2

r2 (3.17)

onde r1 e r2 são as coordenadas radiais do primeiro e último nós do elemento. Tais

coordenadas podem ser observadas na Figura 3.5.

27

Figura 3.5 – Elemento unidimensional com interpolação quadrática.

Usando as Eqs. (3.12), (3.13) e (3.16), as deformações podem ser calculadas de

modo similar ao mostrado na Eq. (3.7), mas com a presença de graus de liberdade globais:

e

a

n

n

n

a

ii

ii

z

z

r

u

u

r

r

N

r

Nr

N

r

N

r

ur

N

ur

N

Bu

1

1

1

000

0100

00

00

(3.18)

Aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, impõe-se que, no equilíbrio, os

trabalhos virtuais internos e externos ocasionados por um campo de deslocamentos virtual δu

sejam iguais:

r

T

V

Text drdVWW fuint σε (3.19)

O trabalho virtual interno é computado como a soma do trabalho interno em cada

elemento:

ne

eVe

T dVW1

int σε (3.20)

onde ne é o número de elementos do modelo. Considerando que o campo de deslocamentos é

dado pela Eq. (3.18) e que as tensões no sistema global são dadas pela Eq. (2.8), a expressão

da Eq. (3.20) pode ser reescrita como

dJrW Te

ne

e

eeT

e 21

11

int BCBKuKu

(3.21)

onde Ke é a matriz de rigidez do elemento e J é o jacobiano da transformação entre o sistema

de coordenadas radial (r) e paramétrico (ξ):

28

2

12 rrJ

d

drJ

(3.22)

Em termos dos deslocamentos globais, a Eq. (3.21) pode ser reescrita como

uKuuKuT

ne

eee

T

eW 1

int (3.23)

onde K é a matriz de rigidez global, que é somada por um procedimento tradicional de

montagem, mas observando as incidências de cada nó com relação aos graus de liberdade

locais e globais, tendo em vista as Eqs. (3.15) e (3.18).

O trabalho realizado pelas cargas externas depende das pressões interna (pi) e

externa (pe), da força axial (N) e momento torsor (T) aplicados. Assim, sua expressão será:

fuT

anneeiiext TNupruprW 22 1 (3.24)

Desta equação, extrai-se o vetor de cargas externas

T

N

pr

pr

ee

ii

2

0

0

2

f (3.25)

Finalmente, obtém-se a equação de equilíbrio global:

fKu (3.26)

Como a matriz de rigidez global K não depende das cargas aplicadas, é possível

realizar várias análises para diferentes casos de carregamento sem a necessidade de montar a

matriz K múltiplas vezes. Tal procedimento é computacionalmente eficiente e torna-se

importante em aplicações como em métodos de otimização, nos quais o laminado deve manter

sua segurança em todos os casos de carregamento simultaneamente. Assim, considerando m

casos de carga, a Eq. (3.26) toma a forma

29

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

m

m

meeee

miiii

m

maa

mnn

mnn

m

m

TT

NN

prpr

prpr

uu

uu

uu

uu

1

1

1

1

1

1

1

111

212

111

22

00

00

22

(3.27)

onde os números entre parênteses representam o caso de carregamento.

Para o cálculo das tensões e deformações locais, ressalta-se que, apesar da matriz

C no sistema global ser 4x4, quando se passa para o sistema local, podem aparecer

deformações também nas direções 12 e 13. Assim, o vetor de deslocamentos locais tem 6

componentes enquanto o global tem apenas 4. Portanto, após encontrar as deformações no

sistema global usando a Eq. (3.18), a seguinte transformação global-local deve ser realizada:

εTε

1

2332323232

1331313131

1221212121

33

2

3

2

3

2

3

22

2

2

2

2

2

2

11

2

1

2

1

2

1

23

13

12

33

22

11

222

222

222

z

z

r

nmnmnnmmll

nmnmnnmmll

nmnmnnmmll

nmnml

nmnml

nmnml

(3.28)

Por fim, as tensões no sistema local podem ser encontradas utilizando a Eq. (2.3).

De acordo com Cook et al. (2002), as respostas em tensões apresentam menor

precisão nas fronteiras dos elementos, isto é, em seus nós externos, onde geralmente as

tensões são máximas. Assim, adota-se a estratégia dos Pontos Superconvergentes, na qual as

tensões são calculadas no interior do elemento e extrapoladas para os nós. Para um elemento

com interpolação quadrática, as tensões são computadas nas coordenadas de uma quadratura

de Gauss de 2 pontos e extrapoladas utilizando a coordenada paramétrica ξ:

2

31

2

31)( 21

pps (3.29)

onde σp1 e σp2 são as tensões nos dois pontos de Gauss.

3.5 Elemento Unidimensional - Implementação Computacional

O elemento apresentado no item 3.4 foi implementado no programa comercial

MATLAB. A razão para a escolha de tal programa deveu-se ao fato da implementação de

30

otimização já haver sido feita, juntamente com a implementação do modelo de análise pela

Teoria Clássica de Laminação (SILVA et al., 2009) no mesmo programa. Assim, o uso da

formulação de otimização com o modelo de análise por elementos finitos foi facilitado.

Como dados de entrada, a implementação recebe as propriedades do material, o

raio interno do tubo, o esquema de laminação e as cargas a serem consideradas. Dentro do

esquema de laminação, explicita-se, além da espessura e do ângulo de cada camada, qual o

material a ser usado em tal camada e o número de elementos finitos de cada uma. Assim, a

geração da malha é feita diretamente.

Como o modelo permite a consideração de vários casos de carregamento

simultaneamente, a implementação faz apenas uma montagem da matriz de rigidez global K e

monta o vetor de cargas com o número de colunas igual ao número de casos de carga, como

mostrado na Eq. (3.27). Assim, obtém-se um vetor de deslocamentos u para cada caso de

carga.

3.6 Exemplos Numéricos

A presente seção apresenta exemplos numéricos para os modelos de análise

implementados. Inicialmente, exemplos utilizando o elemento bidimensional serão

apresentados. Tal elemento foi implementado no programa de código-aberto FEMOOP

(MARTHA & PARENTE, 2002). Para a validação dos resultados, foi utilizada a solução

analítica implementada por Herakovich (1998) e o pacote comercial de elementos finitos

ABAQUS (SIMULIA, 2007). Assim, apresenta-se um modelo cross-ply, um angle-ply e um

modelo de riser compósito com presença de Liner externo de aço.

Após esse primeiro conjunto de exemplos, a formulação unidimensional será

validada, utilizando as laminações apresentadas por Xia et al. (2001), comparando os

resultados também com o elemento bidimensional, e exemplos adicionais comparando os

resultados obtidos com o programa ABAQUS, com a formulação unidimensional e com uma

solução baseada na Teoria Clássica de Laminação (TCL) implementada por Silva et al.

(2009).

Os materiais utilizados nos exemplos são apresentados abaixo na Tabela 3.1,

Tabela 3.2 e Tabela 3.3. Para os exemplos de 3.6.1 a 3.6.3, o Carbono-Epóxi é utilizado,

enquanto que no restante dos exemplos, o Grafite-Epóxi T300 é utilizado.

31

Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas do aço.

E (GPa) v

200 0.3

Tabela 3.2 - Propriedades mecânicas do Carbono-Epoxi (REDDY, 1996).

E1(GPa) E2(GPa) E3(GPa) G12(GPa) G13(GPa) G23(GPa) ν12 ν13 ν23

137.9 9.0 9.0 7.1 7.1 6.2 0.30 0.30 0.49

Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas do Grafite-Epoxi T300.

E1(GPa) E2(GPa) E3(GPa) G12(GPa) G13(GPa) G23(GPa) ν12 ν13 ν23

141.6 10.7 10.7 5.7 5.7 3.4 0.268 0.268 0.495

Como mencionado no Item 3.3, as condições de contorno utilizadas para os

modelos bidimensionais simulam um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD).

Assim, os deslocamentos verticais são impedidos nos nós inferiores e apenas um grau de

liberdade circunferencial é restringido, para evitar torções de corpo rígido. Como o tubo é

longo, a condição de deformações constantes na direção axial é adequada. Com objetivo de

garantir esta condição, foi aplicada uma restrição adicional, igualando os deslocamentos

axiais de todos os nós da face superior da malha.

3.6.1 Modelo cross-ply

O modelo de validação apresenta 9 camadas de compósito cross-ply, sujeito a

pressão interna. O raio interno é de 0.1143m, com uma malha de 30 elementos quadrangulares

de 8 nós (Q8), cada um com 0.5 mm de espessura. A espessura total do tubo é de 15 mm. O

valor de pressão aplicado foi de 20.69 MPa. O esquema de laminação é mostrado na Tabela

3.4 e os resultados em tensões são apresentados na Tabela 3.5 e na Figura 3.6.

Tabela 3.4 - Esquema de Laminação do modelo cross-ply.

Camada Espessura

(mm) Ângulo

1 2.0 90°

2 2.0 0°

3 2.0 90°

4 2.0 0°

5 1.0 90°

6 2.0 0°

7 1.0 90°

8 2.0 0°

9 1.0 90°

32

Tabela 3.5 - Tensões no sistema global no modelo cross-ply.

Face

r z

(kPa) (kPa) (kPa)

Analítico Interna -2.0690E+04 -3.5731E+03 3.4842E+05

Externa 0.0000E+00 5.3706E+03 2.8741E+05

ABAQUS

(CAX8R)

Interna -2,0705E+04 -3,5835E+03 3,4841E+05

Externa 3,1678E+01 5,3836E+03 2,8743E+05

FEMOOP

(Q8)

Interna -2.0682E+04 -3.6799E+03 3.4838E+05

Externa 4.0000E+00 5.3723E+03 2.8739E+05

Nota-se, pelos resultados, que o elemento implementado forneceu bons resultados,

com erro máximo de 2,9% na tensão σz, concordando com a solução analítica. O resultado

obtido também concordou com o modelo gerado no programa ABAQUS. Quanto à

convergência, trabalhos anteriores mostram que um resultado similar é obtido com apenas 15

elementos. (ROCHA et al., 2008).

(a) Malha (b) Deslocamentos radiais

(c) Tensões radiais (d) Tensões circunferenciais

Figura 3.6 – Resultados do modelo cross-ply.

33

3.6.2 Modelo angle-ply

O modelo angle-ply possui as mesmas características geométricas do modelo

anterior, e o mesmo carregamento. Muda-se apenas o esquema de laminação, que é mostrado

na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 - Esquema de Laminação do modelo angle-ply.

Camada

Espessura

(mm) Ângulo

1 2.0 45°

2 2.0 -45°

3 2.0 45°

4 2.0 -45°

5 1.0 45°

6 2.0 -45°

7 1.0 45°

8 2.0 -45°

9 1.0 45°

Neste caso, não houve comparação com o elemento axissimétrico presente no

programa ABAQUS, pois nele só foi possível utilizar ângulos de 0º ou 90º. Isso aconteceu

pois eram necessárias duas rotações de coordenadas para definir um ângulo de 45º, mas o

programa só permitia fazer uma rotação. Supõe-se que tal definição seja possível se definidos

dois sistemas de coordenadas auxiliares e utilizando um deles para rotações cross-ply e o

outro para rotações angle-ply. Porém, tal investigação não foi realizada, em face da existência

da formulação implementada no FEMOOP já devidamente validada. Os resultados em tensões

no sistema global são mostrados na Tabela 3.7 e exibidos graficamente na Figura 3.7.

Tabela 3.7 - Tensões no sistema global no modelo angle-ply.

Face

r z τzθ

(kPa) (kPa) (kPa) (kPa)

Analítico Interna -2.0690E+04 1.6143E+04 1.8161E+05 9.3306E+04

Externa 0.0000E+00 -0.6303E+04 1.4429E+05 5.9308E+04

FEMOOP

(30 elem)

Interna -2.0688E+04 1.3241E+04 1.7873E+05 8.9994E+04

Externa 0.0000E+00 -0.4521E+04 1.4607E+05 6.1142E+04

34

(a) Malha (b) Deslocamentos radiais

(c) Tensões radiais (d) Tensões fora do plano

Figura 3.7 – Resultados do modelo angle-ply.

Os resultados obtidos no FEMOOP mostram boa concordância com a solução

analítica, com erros advindos apenas do curto comprimento do tubo. É importante ressaltar

que, principalmente em tubos angle-ply, o comprimento do modelo afeta os resultados. Em

tubos muito curtos, a hipótese de um Estado Plano Generalizado de Deformações perde a

validade, ocasionando variações nas tensões axiais. Portanto, a concordância nos resultados

melhora com o aumento do comprimento do tubo.

35

3.6.3 Modelo de riser compósito

Esse modelo procura simular um tubo de extração ou produção de poços de

petróleo. Nesse caso, uma laminação cross-ply mais complexa precisa ser utilizada, de modo

a resistir a esforços causados pelas altas pressões hidrostáticas encontradas em altas

profundidades, mas sendo também capaz de resistir à pressão exercida pelo óleo e às forças

axiais atuantes em risers. Adicionalmente, um liner de aço é utilizado para auxiliar na

estanqueidade do tubo.

Em uma etapa de pré-dimensionamento, que pode ser caracterizada pelo uso de

técnicas de otimização, os esforços de flexão podem ser desprezados, considerando apenas

pressões interna e externa e força axial. Assim, o modelo axissimétrico implementado pode

ser utilizado para calcular as tensões e deformações no tubo.

Devida à complexidade adicional trazida pela adição do liner de aço à análise, a

solução analítica de Herakovich (1998) não pode ser utilizada nesse caso. Assim, apenas

resultados no FEMOOP foram gerados. O raio interno do tubo é de 0.0873m, com uma

espessura total de 25 mm, dividido em 100 elementos quadrilaterais de 8 nós (Q8). Duas

hipóteses de carregamento foram analisadas, a primeira simulando o riser em operação e a

segunda simulando situações de implantação, quando o tubo estará vazio. Os dois cenários

são apresentados na Tabela 3.8 e o esquema de laminação na Tabela 3.9.

Tabela 3.8 - Cenários de carga no modelo de riser.

Cenário Pressão Interna (MPa) Pressão Externa (MPa) Força Axial (kN)

1 30 20 1500

2 0 20 -315

Tabela 3.9 - Esquema de laminação do modelo de riser.

Camada Material Espessura (mm) Ângulo

1 Liner de Aço 4.00 0º

2 Carbono-Epoxy 3.00 90º












36

Na Tabela 3.10 são apresentadas as tensões máximas em cada material no sistema

local, enquanto que na Tabela 3.11 são apresentadas as tensões máximas no sistema global.

Para a utilização de critérios de falha como os descritos no Item 2.3, as tensões no sistema

local são importantes.

Tabela 3.10 - Tensões máximas no sistema local no modelo de riser (MPa).

Cenário Aço Compósito 90º Compósito 0º

σ11 σ22 σ33 σ11 σ22 σ33 σ11 σ22 σ33

1 267.856 131.227 -29.999 -35.941 0.6428 -23.092 155.591 -8.073 -21.652

2 -66.611 -188.605 -8.081 -119.176 -12.5847 -20 -16.869 -15.862 -17.329

Tabela 3.11 - Tensões máximas no sistema global no modelo de riser (MPa).

Cenário Aço Compósito 90º Compósito 0º

σrr σzz σθθ σrr σzz σθθ σrr σzz σθθ

1 -29.999 267.856 131.227 -23.092 0.6428 -35.941 -21.652 155.591 -8.073

2 -8.081 -66.611 -188.605 -20 -12.5847 -119.176 -17.329 -16.869 -15.862

3.6.4 Modelos de Xia et al. (2001)

Nos modelos que seguem, o elemento unidimensional é comparado com o

elemento bidimensional já validado nos itens anteriores. Os resultados são também

comparados com a solução analítica (HERAKOVICH, 1998). O material utilizado nos

exemplos foi o Grafite-Epóxi T300, cujas propriedades são apresentadas na Tabela 3.3. Três

esquemas de laminação angle-ply diferentes são analisados, com 4 camadas de 2 mm de

espessura cada, raio interno de 50 mm, nos quais é aplicada uma pressão interna de 10 MPa.

Cada camada foi modelada utilizando 3 elementos finitos, totalizando 12 elementos. Os

resultados são apresentados na Tabela 3.12, na Tabela 3.13 e na Tabela 3.14.

Tabela 3.12 - Resultados da laminação [55/-55/55/-55] de Xia et al. (2001).

Laminação Face

σr σz σθ τzθ

[55/-55/55/-55] (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)

Analítica Interna -1.00E+04 1.46E+03 2.57E+05 1.23E+05

Externa 7.28E-12 -1.28E+03 2.44E+05 -1.12E+05

FEMOOP (2D) Interna -1.00E+04 1.47E+03 2.57E+05 1.23E+05

Externa 7.19E-01 -1.35E+03 2.44E+05 -1.12E+05

Unidimensional Interna -1.00E+04 1.46E+03 2.57E+05 1.23E+05

Externa 6.95E-01 -1.28E+03 2.44E+05 -1.12E+05

37

Tabela 3.13 - Resultados da laminação [55/-55/30/-30] de Xia et al. (2001).

Laminação Face

σr σz σθ τzθ

[55/-55/30/-30] (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)

Analítica Interna -1.00E+03 -7.51E+03 -1.84E+04 -6.73E+03

Externa -1.01E+04 7.49E+03 -4.98E+03 -5.53E+03


Externa 2.46E-01 -1.34E+05 5.31E+04 4.82E+04


Externa 2.37E-01 -1.34E+05 5.31E+04 4.81E+04

Tabela 3.14 - Resultados da laminação [55/-30/30/-55] de Xia et al (2001).

Laminação Face

σr σz σθ τzθ

[55/-30/30/-55] (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)

Analítica Interna -1.00E+04 1.38E+05 4.58E+05 2.52E+05

Externa -1.16E-10 1.29E+05 4.32E+05 -2.33E+05


Externa 1.20E+00 1.29E+05 4.32E+05 -2.33E+05


Externa 1.15E+00 1.29E+05 4.32E+05 -2.33E+05

Os resultados de Xia et al. (2001) foram apresentados por meio de gráficos,

dificultando uma comparação precisa com os obtidos pela solução analítica e por elementos

finitos. Porém, pôde-se observar boa concordância para as três laminações. Adicionalmente,

os resultados do elemento unidimensional foram quase idênticos aos do elemento

bidimensional.

Comparação com a solução analítica também forneceu bons resultados, com erros

nulos na maioria das tensões. Porém, os resultados obtidos pela solução analítica na

laminação [55/-55/30/-30] (Tabela 3.13) são claramente ilógicos. Além de não concordarem

com os resultados gráficos apresentados em Xia et al. (2001), as tensões radiais tanto na face

interna quanto externa não concordam com a Teoria da Elasticidade, que dita que a tensão

radial na face interna deve ser igual à pressão interna aplicada e na face externa deve ser nula,

pois nenhuma carga foi aplicada. Tal fenômeno deve ser investigado.

3.6.5 Comparação com a Teoria Clássica da Laminação (TCL)

O último conjunto de exemplos procura comparar os resultados do elemento

unidimensional com a Teoria Clássica da Laminação (TCL), implementada em Silva et al.

38

(2009). Como comparação adicional, o programa comercial de elementos finitos ABAQUS

(SIMULIA, 2007) também foi utilizado. Devido às dificuldades de modelagem utilizando o

elemento axissimétrico no programa ABAQUS, elementos de casca foram utilizados, fazendo

com que seus resultados sejam corretos apenas para tubos de parede fina.

Em todos os modelos, uma pressão interna de 20 MPa foi aplicada.

Adicionalmente, uma força normal N = piAi, onde pi é a pressão interna e Ai é a área da parede

do tubo, foi também aplicada. Com o elemento unidimensional, foram utilizados 3 elementos

por camada. Já no programa ABAQUS, elementos de casca espessa S8R foram usados para

modelar tubos de 3m de comprimento. Todos os resultados foram obtidos no sistema local e

são apresentados na Tabela 3.15, na Tabela 3.16 e na Tabela 3.17.

Tabela 3.15 - Resultados da laminação [55/-55/-55/55/Liner] (105 kPa).

H(m) (º) Teoria Clássica da Laminação MEF - ABAQUS MEF - Unidimensional

S11 S22 S12 S11 S22 S12 S11 S22 S12

0.002 55 5.780 0.427 0.215 5.730 0.424 -0.214 5.86 0.338 -0.230

0.002 -55 5.780 0.427 -0.215 5.730 0.424 0.214 2.81 0.349 0.226

0.002 -55 5.780 0.427 -0.215 5.730 0.424 0.214 5.76 0.360 0.223

0.002 55 5.780 0.427 0.215 5.730 0.424 -0.214 5.72 0.370 -0.220

0.002 Liner 7.180 13.40 0.000 7.120 13.30 0.000 6.97 13.20 0.000

Tabela 3.16 - Resultados da laminação [90/0/0/90] (105 kPa).


S11 S22 S12 S11 S22 S12 S11 S22 S12

0.004 90 7.360 1.030 0.000 7.300 1.020 0.000 7.480 0.939 0.000

0.001 0 11.00 0.796 0.000 10.90 0.789 0.000 10.90 0.746 0.000

0.001 0 11.00 0.796 0.000 10.90 0.789 0.000 10.90 0.743 0.000

0.004 90 7.360 1.030 0.000 7.300 1.020 0.000 7.200 0.984 0.000

Tabela 3.17 - Resultados da laminação [45/-45/-45/45] (105 kPa).


S11 S22 S12 S11 S22 S12 S11 S22 S12

0.004 45 5.490 1.460 1.510 5.530 1.450 -1.500 5.710 1.390 -1.540

0.001 -45 16.80 0.748 -1.510 16.70 0.742 1.500 16.80 0.690 1.530

0.001 -45 16.80 0.748 -1.510 16.70 0.741 1.500 16.70 0.699 1.520

0.004 45 5.490 1.460 1.510 5.360 1.460 -1.500 5.250 1.430 -1.510

Os resultados para as três laminações foram bons e mostraram que a Teoria

Clássica da Laminação (TCL), apesar de fazer várias simplificações adicionais, fornece bons

resultados para tubos de parede fina, com erros máximos da ordem de 4%. É importante

ressaltar que, com o aumento da espessura, os resultados obtidos pela TCL se tornam

39

insatisfatórios, enquanto que métodos de análise por elementos finitos fornecem bons

resultados também para tubos espessos.

A comparação com o elemento de casca espessa do programa ABAQUS também

forneceu boa concordância, mais notadamente com os resultados obtidos pela TCL. Vale

ressaltar que a diferença observada no sinal das tensões de cisalhamento S12 se deve à

convenção de sinais adotada no modelo de análise pela TCL. Tal diferença é irrelevante na

avaliação de critérios de falha, que desconsideram o sinal de tensões de cisalhamento.

40

4 OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMINADOS

Compósitos laminados apresentam alta adaptabilidade de projeto, tornando

possível a concepção de estruturas específicas para as cargas que irão receber (AZARAFZA

et al., 1996). Porém, tendo em vista o elevado número de variáveis de projeto presentes em

tubos compósitos, o número de lâminas e a espessura e orientação de cada lâmina, a

concepção de projetos pelo método convencional de tentativa e erro pode se tornar uma tarefa

árdua e demorada. Como exemplo de utilização do processo convencional de projeto em

tubos compósitos, cita-se o trabalho de Teófilo (2010), no qual um projeto de riser compósito

em catenária foi desenvolvido e várias laminações foram propostas antes que se chegasse a

uma com comportamento mecânico satisfatório.

Neste âmbito, o uso de técnicas de otimização de projetos torna-se importante,

notadamente com o atual avanço do poder computacional, permitindo a aplicação de

algoritmos não-lineares e iterativos, como os Algoritmos Genéticos e técnicas de

Programação Matemática. Assim, a presente seção faz uma revisão sobre otimização e

Programação Matemática e descreve a formulação do problema de otimização para tubos

compósitos. Para a análise estrutural de cada projeto, o elemento finito unidimensional

discutido na Seção 3 será utilizado. Ao final da seção, exemplos numéricos serão

apresentados.

4.1 Conceitos de Otimização

O uso de técnicas de otimização de sistemas busca racionalizar a etapa de projeto,

tradicionalmente deixada a cargo da experiência do projetista. No processo convencional de

projeto, apresentado na Figura 4.1, um projeto inicial é estimado, baseado em experiências

pessoais ou em regras de pré-dimensionamento. O projeto é então analisado e se for

satisfatório para as funções que exercerá, a etapa de projeto é finalizada. Caso não o seja, são

feitas mudanças também baseadas na experiência do projetista até que o projeto se torne

satisfatório.

41

Figura 4.1 – Processo convencional de projeto.

O projeto obtido pelo método tradicional, apesar de ser satisfatório, pode não ser o

mais econômico ou estruturalmente eficaz. Em um processo otimizado de projeto,

apresentado na Figura 4.2, um projeto inicial é também estimado, mas as mudanças no mesmo

são realizadas por algoritmos de otimização.

42

Figura 4.2 – Processo otimizado de projeto.

Nota-se que, em um processo otimizado, a participação do projetista e sua

experiência não são descartados. Sua participação é importante tanto na estimativa do projeto

inicial quando na avaliação do projeto final obtido. Nota-se que neste tipo de projeto, o

projetista é forçado a descrever minuciosamente o problema, através das variáveis de projeto,

função-objetivo e restrições. Tal formulação mais rígida ajuda a fornecer um melhor

entendimento do problema tratado (ARORA, 2004).

Assim, considera-se que a etapa mais importante em um projeto otimizado é sua

definição e formulação, isto é, a correta escolha das variáveis de projeto, restrições e função-

objetivo. Segundo Arora (2004), a validade e utilidade de um projeto ótimo têm relação direta

com a qualidade da formulação do problema. A seguir, os elementos de uma formulação de

otimização serão apresentados e discutidos.

4.1.1 Variáveis de Projeto

De modo a descrever e individualizar cada projeto concebido durante o processo

de otimização, um conjunto de variáveis de projeto é escolhido. Tais variáveis devem

descrever todas as características do sistema que sejam pertinentes para a etapa de projeto.

43

Durante o processo de otimização, valores quaisquer podem ser atribuídos a tais variáveis. Ao

atribuir valores a todas elas, obtém-se um projeto. O conjunto de variáveis de projeto pode ser

representado por

nxxx 21x (4.1)

As variáveis devem ser escolhidas de modo a evitar dependência com outras

variáveis. Caso duas variáveis sejam linearmente dependentes, uma delas pode ser removida

do conjunto ou uma restrição de igualdade pode ser estabelecida entre as duas. Ressalta-se

também que um número mínimo de variáveis de projeto deve ser utilizado. Caso alguma

variável importante seja omitida, o projeto final pode não ter a importância prática que se

deseja.

4.1.2 Função Objetivo

Com várias possibilidades de projeto, é necessário definir um parâmetro que

represente a qualidade de cada um. Tal parâmetro recebe o nome de Função Objetivo, ou

Função Custo, e é uma função escalar que depende dos valores escolhidos para as variáveis de

projeto. Tal função pode ser definida como

),,,((x) nxxxff 21 (4.2)

Tal função pode representar o custo total do projeto, o peso total de uma estrutura,

o lucro obtido, entre outros. O objetivo da otimização é, portanto, minimizar ou maximizar a

função objetivo, dependendo de como é definida. Assim, o peso de uma estrutura deve ser

minimizado enquanto que o lucro deve ser maximizado.

4.1.3 Restrições

Restrições são funções que dependem das variáveis de projeto e representam

requisitos de projeto ou limitações de fabricação. Em engenharia estrutural, restrições podem

ditar que o fator de segurança em tensões seja sempre maior que 1 ou que a frequência das

cargas não sejam próximas às frequências naturais da estrutura. Além disso, limites superiores

e inferiores de cada variável de projeto também podem ser tratados como restrições.

Restrições podem ser tanto relações de igualdade como de desigualdade:

micomxxxgg

pjcomxxxhh

nii

njj

..),,,((x)

..),,((x) ,

10

10

21

21

(4.3)

44

onde hj são as p restrições de igualdade e gi são as m restrições de desigualdade. Na forma

padrão de formulação de problemas de otimização, apenas restrições do tipo "≤" são

utilizadas. Caso existam restrições do tipo "≥", elas são multiplicadas por -1 e passam a ser do

tipo "≤".

Para um dado projeto x, uma restrição é considerada ativa se for satisfeita na

igualdade, isto é, se gi(x) = 0 ou hj(x) = 0. Por sua vez, uma restrição de desigualdade é

considerada inativa se possui valor negativo no dado ponto, ou seja, gi(x) < 0. Por fim, uma

restrição é considerada violada se possui valor positivo no ponto para restrições de

desigualdade ou valores não-nulos para restrições de igualdade, isto é, quando gi(x) > 0 ou

hj(x) ≠ 0.

Pode-se então definir região viável e inviável. A região inviável é composta por

todos os pontos x nos quais pelo menos uma restrição esteja violada. Qualquer projeto nessa

região é denominado Projeto Inviável. Analogamente, a região viável é composta por todos os

pontos x nos quais todas as restrições de igualdade estejam ativas e todas as restrições de

desigualdade estejam ativas ou inativas. Um projeto na região viável é denominado Projeto

Viável. A Figura 4.3 a seguir ilustra tais regiões, em um problema com duas variáveis de

projeto.

(a) Sem restrições de igualdade

(b) Com restrições de igualdade

Figura 4.3 – Regiões viáveis e inviáveis.

É importante ressaltar que, na Figura 4.3a, a região viável compreende um espaço

bem maior que a da Figura 4.3b. Com isso, pode-se concluir que restrições de igualdade

restringem mais a região viável que restrições de desigualdade.

45

Após a definição das variáveis de projeto, função objetivo e restrições, a forma

padrão de um problema de otimização pode ser dada por (ARORA, 2004):

nkxxx

mixxxgg

pjxxxhh

asujeito

xxxffnimizemique

xxxEncontrar

xmakknmik

nii

njj

n

n

..

..),,((x)

..),,((x)

:

),,((x):

),,,(x

)()( 1

10

10

21

21

21

21

(4.4)

Para problemas nos quais a função objetivo deva ser maximizada, pode-se

multiplicá-la por -1 e minimizá-la, deixando o problema na forma padrão.

4.1.4 Classificação de Problemas de Otimização

A partir da definição das variáveis de projeto, da função objetivo e das restrições

de um problema, é necessário escolher o método de otimização a ser utilizado para resolvê-lo.

Tal escolha, porém, depende da natureza da função objetivo e das restrições. Assim, tem-se:

a) Problemas Lineares: São problemas nos quais tanto a função objetivo quanto as restrições

possuem apenas termos lineares. Tais problemas são tratados pelos métodos de

Programação Linear;

b) Problemas Quadráticos: São problemas nos quais a função objetivo é quadrática e as

restrições são lineares. São resolvidos por métodos de Programação Quadrática;

c) Problemas Não-Lineares: São problemas nos quais a função objetivo ou pelo menos uma

restrição é não-linear. Tais problemas são mais complexos e devem ser resolvidos pelos

métodos de Programação Não-linear.

Como o problema de otimização de tubos compósitos é não-linear, as próximas

seções tratarão exclusivamente de métodos de Programação Não-linear. A Tabela 4.1 a seguir

mostra alguns métodos disponíveis para a resolução de problemas lineares e não-lineares.

46

Tabela 4.1 - Alguns algoritmos de otimização.

4.2 Condições de Otimalidade

A presente seção mostrará as definições de mínimo global e local, as condições de

existência de tais mínimos e as condições necessárias e suficientes para que um ponto seja

mínimo local.

4.2.1 Vetor Gradiente e Matriz Hessiana

Nas demonstrações que seguem, dois importantes operadores, vetor gradiente e

matriz Hessiana, devem ser formulados. O vetor gradiente, quando aplicado em otimização, é

o vetor de ordem n contendo as derivadas de primeira ordem de uma função em relação às

variáveis de projeto:

nx

f

x

f

x

ff

21

(4.5)

Já a matriz Hessiana é a matriz quadrada de ordem n contendo as derivadas de segunda ordem

da função em relação às variáveis de projeto:

nnn

n

n

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

f

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

12

21

2

21

2

1

2

2

2

(4.6)

47

4.2.2 Mínimos Locais e Globais

Para a definição de mínimos locais e globais, é necessário formalizar a definição

de espaço viável apresentada no Item 4.1. Segundo Arora (2004), tal espaço pode ser

representado por:

migpjhS ij ..,(x);..,(x)|x 1010 (4.7)

Um dado ponto x* dentro do espaço S é definido como mínimo global se, para

todos os pontos x de S:

(x)*)(x ff (4.8)

Já em uma vizinhança N do ponto x*, definida por:

x*xx|x comSN (4.9)

o ponto x* será um mínimo local se a Eq. (4.8) for satisfeita para todo x em N. As condições

de otimalidade apresentadas a seguir só garantem que o ponto em questão é um mínimo local.

Assim, não existem condições que garantam que um dado ponto é um mínimo global. Porém,

a existência de tais mínimos pode ser garantida. Segundo o Teorema de Weierstrass, se f(x)

for contínua, fechada e limitada em uma região viável não-vazia S, a função possui um

mínimo global em S. Adicionalmente, se f(x*) é um mínimo local de uma função f(x) em um

espaço S convexo, tal ponto é também um mínimo global (ARORA, 2004).

4.2.3 Mínimos Locais - Condições Necessárias

Para checar se um ponto é candidato a ponto de mínimo ou encontrar o conjunto

de candidatos a mínimo, utilizam-se as condições de Karush-Kuhn-Tucker, ou condições

KKT (ARORA, 2004). Inicialmente, todas as restrições de desigualdade são transformadas

em restrições de igualdade pela adição de variáveis de folga si:

misg ii .., 102 (4.10)

Define-se então a chamada Função Lagrangeana:

m

i

iii

p

j

jj sguhvfL1

2

1

)(x)((x)(x)s)u,v,(x, (4.11)

onde vj e ui são os multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade,

respectivamente. As condições KKT ditam que, se x* é o mínimo local da função f(x),

existem vetores v* e u* tais que:

48

000

10

0

1 1

1 1

jji

p

j

m

i

iijj

p

j

m

i k

ii

k

j

j

kk

s

L

u

L

v

L

nkguhvfL

x

gu

x

hv

x

f

x

L

..,**

**

(4.12)

Além disso, os multiplicadores de Lagrange uj* devem ser positivos e os gradientes das

restrições ativas devem ser linearmente independentes. É importante ressaltar que tal condição

não determina se um ponto é mínimo local, mas sim que o ponto é um candidato a mínimo,

isto é, as condições apresentadas na Eq. (4.12) são necessárias, mas não suficientes para dizer

que um dado ponto é mínimo local.

4.2.4 Mínimos Locais - Condições Suficientes

Para determinar se um ponto candidato a mínimo, isto é, que satisfaça as

condições necessárias mostradas na Eq. (4.12), é um mínimo local, condições adicionais

devem ser satisfeitas. Tais condições devem ser satisfeitas em uma vizinhança viável próxima

do ponto candidato, isto é, em um ponto genérico x tal que

dx*x (4.13)

onde d é uma direção não-nula qualquer em torno do ponto x*. Para garantir que o ponto x

também é viável, este deve respeitar todas as restrições ativas no ponto x*. Para isso, o vetor

d deve ser ortogonal ao gradiente de tais restrições. Para restrições de igualdade, tal condição

é representada por

pjhT

j ..,d 10 (4.14)

já para restrições de desigualdade, a condição será

0 dT

ig (4.15)

Tal condição deve ser satisfeita apenas para as restrições ativas com ui* > 0. Satisfeitas as

duas condições anteriores, d sempre levará a um ponto viável no espaço de projeto. No ponto

x*, a Hessiana da função Lagrangeana é:

m

i

i

p

i

i ghfL1

2

1

222 *

i

*

i uv (4.16)

Para que x* seja mínimo local, a seguinte condição deve ser satisfeita, isto é, a Hessiana da

função Lagrangeana deve ser positiva definida:

02 d*)(xd LT (4.17)

49

Satisfeitas as condições mostradas em (4.14), (4.15) e (4.17), um ponto x* que já tenha

satisfeito as condições mostradas no item 4.2.3, é um mínimo local de f(x). Caso f(x) seja

convexa, tal ponto será seu único mínimo global.

As condições necessárias e suficientes podem ser diretamente utilizadas para

encontrar os candidatos a mínimo e, posteriormente, o mínimo local de uma função. Porém,

com o aumento no número de restrições e não-linearidade tanto da função objetivo quanto das

restrições, tal procedimento é inviável na maioria dos casos. Recorre-se, portanto a métodos

de Programação Matemática, como exposto no item 4.1.4.

4.3 Programação Não-Linear

Métodos de Programação Não-Linear, como descrito no item 4.1.4, são utilizados

em problemas nos quais a função objetivo ou restrições apresentam não-linearidade. Tais

problemas seriam muito trabalhosos se as condições de otimalidade do item 0 fossem

utilizadas para encontrar diretamente os mínimos. Além disso, restrições implícitas, isto é,

que não podem ser representadas como funções diretas das variáveis de projeto, são de difícil

tratamento em métodos analíticos.

A solução encontrada foi resolver o problema de otimização numericamente e de

forma iterativa. Assim, parte-se de um ponto inicial e a solução é melhorada iterativamente

até que o mínimo seja encontrado. Em um dado passo da resolução, o processo pode ser

resumido por

)()()(xxx

kkk 1 (4.18)

onde x(k)

é a solução atual para o problema. O próximo ponto, x(k+1)

é encontrado adicionando

a esse ponto uma variação Δx(k)

, denominada passo. Tais passos são realizados até que as

condições de otimalidade sejam satisfeitas ou Δx(k)

seja menor que uma certa tolerância. O

passo Δx(k)

pode ainda ser decomposto em dois fatores:

)()(dx

k

k

k (4.19)

onde d(k)

é uma direção de busca que cause redução da função objetivo e αk é o tamanho do

passo dado em tal direção.

Assim, um problema de Programação Não-Linear é dividido em dois

subproblemas, encontrar a direção de busca e, posteriormente determinar o tamanho do passo,

isto é, o quanto a solução deve caminhar naquela direção. O que diferencia algoritmos de

programação matemática são os métodos utilizados para resolver tais subproblemas.

50

Geralmente, para encontrar a direção de busca e o tamanho do passo em cada

iteração, os algoritmos utilizam informações sobre a função objetivo e restrições. Algoritmos

de ordem zero são aqueles que utilizam apenas os valores da função objetivo e restrições. Já

algoritmos de primeira ordem utilizam também as derivadas de tais funções. Por fim,

algoritmos de segunda ordem utilizam as derivadas segundas das funções. Alguns algoritmos

são mostrados na Tabela 4.1.

Quanto maior a ordem do algoritmo, mais rápida será a convergência, mas mais

complexa será a obtenção das informações necessárias para sua resolução. De modo a

contornar tal dificuldade, métodos chamados de Quase-Newton foram desenvolvidos. Em tais

métodos a Hessiana não é calculada em cada ponto candidato, mas sim aproximada a partir

dos gradientes de passos anteriores. Assim, tais métodos retêm a boa convergência

característica de métodos quadráticos, sem considerável ganho na complexidade.

Na resolução do problema de tubos laminados, foi utilizado um algoritmo de

Programação Quadrática Sequencial (Sequential Quadratic Programming - SQP). Por serem

necessárias informações de segunda ordem, a matriz Hessiana é aproximada e atualizada a

cada passo. Utilizando os dados coletados sobre a função objetivo e restrições, um

subproblema quadrático é montado e resolvido para obter a direção d(k)

. Utiliza-se então a Eq.

(4.19) para encontrar um novo ponto e continuar o processo até que os parâmetros de

convergência sejam atingidos.

4.4 Formulação do Problema de Tubos Compósitos

A presente seção apresenta a formulação do problema de otimização de tubos

compósitos laminados, com a descrição das variáveis de projeto, função objetivo e restrições

escolhidas. Para a resolução de tal problema, qualquer método de programação não-linear

pode ser utilizado, além de outros tipos de solução, como os algoritmos genéticos. No

problema em questão, métodos de programação linear não podem ser utilizados, devido à

presença de restrições não-lineares.

Adicionalmente, as variáveis de projeto podem ser contínuas ou discretas. Todos

os casos tratados nos exemplos numéricos deste trabalho usam variáveis contínuas. Apesar de,

na realidade, os ângulos e espessuras de lâminas permitidas serem discretos, sua consideração

introduziria restrições adicionais ao problema de otimização. O ideal, portanto, é tratar

51

inicialmente o problema com variáveis contínuas e observar seu comportamento sem a

introdução de restrições adicionais (ARORA, 2004).

O problema em questão permite a consideração de cargas axissimétricas, por

utilizar o modelo de análise descrito no Item 3.3. Assim, podem ser consideradas pressões

interna e externa, força axial e momento torsor. Os dados de entrada do problema são o

número de camadas (n), raio interno (Ri), espessuras máxima (hmax) e mínima (hmin) de cada

lâmina e fator de segurança mínimo (FS). Apenas laminados simétricos são tratados na

presente formulação. Assim, observa-se um esquema de laminação simétrico genérico na

Figura 4.4.

Figura 4.4 – Esquema de laminação simétrico.

Assim, as variáveis de projeto do problema são as espessuras e ângulos de

orientação de cada camada:

2

21

2

21 nnhhh x (4.20)

Limites superiores e inferiores são impostos às variáveis de projeto, de acordo com os dados

iniciais do problema:

maxmin

ºº

hhh k

k

9090 , 2/...1 nk (4.21)

A formulação tem como objetivo minimizar o custo total do tubo, que pode ser

considerado proporcional ao volume total de material compósito. Como a seção transversal é

constante, o custo é proporcional à área de compósito. De modo a reduzir problemas

numéricos e melhorar a convergência do algoritmo, a função objetivo e as restrições foram

normalizadas para que seus valores sejam adimensionais e próximos à unidade. Assim, a

função objetivo é dada por

52

minmax

min)(AA

AAf

x (4.22)

onde os valores Amax e Amin são dados por:

minmin

22minmin

maxmax22

maxmax

,

,

hnRRRRA

hnRRRRA

ii

ii

(4.23)

De modo a garantir que o projeto seja estruturalmente seguro, são impostas

restrições de resistência e estabilidade. Tubos sujeitos a pressão externa podem flambar como

cascas devido a esforços de compressão circunferenciais. O valor da pressão de colapso para

tubos de parede fina laminados é dada por (WEINGARTEN et al., 1968, VINSON &

SIERAKOWSKI, 2002):

3

22

2

22223

A

BD

Rkp pcol (4.24)

onde R é o raio médio do tubo e D22, B22 e A22 são elementos da matriz de rigidez do tubo

calculadas pela Teoria Clássica de Laminação (REDDY, 1996; JONES, 1999). O fator kp é

um fator de redução usado para levar em consideração imperfeições geométricas. Geralmente,

é adotado para o mesmo um valor de 0.75 no caso de cascas laminadas.

Para checar a validade da restrição de flambagem, define-se o diferencial de

pressão (Δp), dado pela diferença entre as pressões interna e externa:

ei ppp (4.25)

A flambagem só ocorre se tal relação for negativa. Como o tubo pode estar sujeito a m casos

de carga, como mostrado no item 3.3, a restrição pode ser escrita como:

mlpppp lcol ,...),( 1MAXonde, maxmax (4.26)

Após normalizada, a restrição toma a forma:

01

maxp

pcol se 0 xmaP (4.27)

Para a definição da restrição de resistência, é considerado que o laminado falha

quando ocorre a falha da primeira lâmina. Tal metodologia é chamada de First Ply Failure

(FPF). Alternativamente, a redistribuição de tensões após a falha progressiva das lâminas

pode ser levada em consideração, metodologia chamada de Ultimate Laminate Failure.

Utilizando a metodologia FPF, o fator de segurança do laminado é definido como o menor

fator de segurança de todas as lâminas levando em conta todos os casos de carga:

ml

nkSFSF kl

,...,

,...,)(min

1

1onde,MIN (4.28)

Normalizada, a restrição toma a forma:

53

01 reqSF

SF (4.29)

onde SFreq é o fator de segurança requerido, definido inicialmente. Finalmente, o problema de

otimização pode ser escrito matematicamente como:

xmaknmi

k

req

col

nn

hhh

nk

SF

SF

p

p

AA

AAf

hhh

/21,..., ,º90º90

01

01

:a Sujeito

minimize que

Encontrar

min

2

21

2

21

max

minmax

)(

x

x

(4.30)

4.5 Exemplos

A formulação descrita anteriomente foi implementada no programa MATLAB por

Silva et al. (2009), sendo o modelo de elementos finitos 1D descrito no Capítulo 3 utilizado

para a análise estrutural dos tubos. Para a otimização foi utilizada a função fmincon, que

utiliza um algoritmo de Programação Quadrática Sequencial. Para avaliar o fator de segurança

de cada lâmina foi utilizado o Critério de Tsai-Wu, apresentado no Item 2.3.3.

Em todos os exemplos, o número máximo de camadas foi fixado em 4, com

espessura mínima de 1 mm e raio interno de 0.30m. O material utilizado foi o Grafite-Epoxi

T300, cujas propriedades mecânicas são mostradas na Tabela 3.3. Adicionalmente, a Tabela

4.2 mostra os parâmetros de resistência tridimensionais para tal material.

Tabela 4.2 - Parâmetros de resistência tridimensionais do Grafite-Epoxi T300 (GPa).

F1t F1c F2t F2c F3t F3c F4 F5 F6

1.64 1.28 0.08 0.25 0.08 0.25 0.1 10 10

Como o resultado de métodos de Programação Matemática dependem do ponto

inicial adotado, podendo convergir para mínimos locais diferentes do mínimo global, cada

caso foi executado 40 vezes com pontos iniciais gerados aleatoriamente e o resultado com

menor valor da função objetivo foi escolhido como uma aproximação do mínimo global.

54

Inicialmente, foram executados exemplos com casos de carga isolados, tanto para

validar o modelo utilizado quanto para analisar o comportamento dos ângulos de orientação e

espessuras do tubo para cada caso de carga. Foram então executados casos para força axial,

pressão interna, externa e momento torsor. Os resultados são apresentados na Tabela 4.3.

Tabela 4.3 - Resultados para casos de carga isolados.

Caso de Carga Variáveis de Projeto Restrições

Área (m2) Fobj

h (m) Ângulo (º) FS pcol

N = 20MN [0.002154 / 0.001046]s [0 / 0]s 1.000 - 0.0122 0.109

pi = 20MPa [0.002009 / 0.001915]s [63.626 / -45.669]s 1.000 - 0.0149 0.146

pe = 5MPa [0.008424 / 0.001000]s [90 / 90]s 5.506 1.000 0.0366 0.428

T = 3MNm [0.003386 / 0.002827]s [43.922 / -43.682]s 1.000 - 0.0239 0.263

Observa-se que, apenas no caso da pressão externa a restrição de pressão de

colapso está ativa. Tal fato era esperado, tendo em vista que a flambagem como casca só pode

ser gerada pela presença de pressão externa. Assim, em tal caso, os ângulos de orientação

tendem a 90º e as espessuras das camadas internas aumentam drasticamente. Em todos os

outros casos, a restrição de fator de segurança estava ativa.

Nota-se também que a função objetivo possui seu menor valor no caso da força

axial isolada, com as fibras se alinhando com a direção de aplicação da carga. Assim, a

espessura de tal caso diminui consideravelmente. Por fim, nos casos de pressão interna e

momento torsor, as fibras tendem a assumir ângulos de ±45º, com maiores espessuras no caso

de momento torsor isolado.

O próximo conjunto de exemplos trabalha com múltiplos casos de carga,

representados pelos Casos A e B. No primeiro exemplo, apresentado na Tabela 4.4, o Caso A

representa pressão externa fixada em 5 MPa enquanto o Caso B consiste numa força axial

variável.

Tabela 4.4 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Força axial variável.

N

(MN)

Variáveis de Projeto FS Pcol

Área

(m²) Fobj

h (m) Ângulo (°) Caso A Caso B

20 [0.005617 / 0.004039]s [90 / 0]s 16.042 1.0 1.0 0.0375 0.441

30 [0.003891 / 0.006393]s [90 / 0]s 10.308 1.0 1.0 0.0401 0.474

40 [0.002648 / 0.008730]s [90 / 0]s 7.080 1.0 1.0 0.0445 0.531

50 [0.005235 / 0.010000]s [44.690 / -2.487]s 4.462 1.0 1.0 0.0603 0.738

60 [0.008424 / 0.010000]s [-31.742 / 6.4560]s 5.115 1.0 1.0 0.0737 0.912

55

Inicialmente, o FS devido à pressão externa encontrava-se bem acima do

requerido. Porém, como o FS do Caso B está sempre ativo, a espessura do tubo vai

aumentando com o aumento da força axial, causando aumento na função objetivo. Com tal

aumento, o FS do Caso A vai diminuindo, mas não chega a se tornar ativo. A partir de 50 MN

de força axial, os ângulos de orientação começam a diminuir, aproximando-se de uma

situação com força axial isolada. Em todos os casos, a restrição de flambagem encontra-se

ativa.

No segundo exemplo, apresentado na Tabela 4.5, o Caso A continua sendo uma

pressão externa fixada em 5 MPa, com o Caso B sendo uma pressão interna variável.

Tabela 4.5 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Pressão interna variável.

pint

(Mpa)


Área

(m²) Fobj

h (m) Ângulo (º) Caso A Caso B

20 [0.008429 / 0.001000]s [90 / +20.497]s 7.162 1.0 1.0 0.0367 0.429

30 [ 0.008160 / 0.001265]s [90 / 0]s 10.797 1.0 1.0 0.0367 0.429

40 [ 0.007372 / 0.002086]s [90 / 0]s 14.966 1.0 1.0 0.0368 0.430

50 [0.005814 / 0.003936]s [±81.759 / 16.788]s 16.694 1.0 1.0 0.0380 0.446

60 [0.005752 / 0.005682]s [±62.408 / 47.258]s 18.639 1.0 1.0 0.0448 0.535

Novamente, a restrição de flambagem está sempre ativa, assim como o FS do

Caso B. Como tal fator está ativo, ocorre uma mudança na orientação das fibras com o

aumento da pressão interna, tendendo a um caso de pressão interna isolada. Com tal mudança,

o FS do Caso A aumenta gradualmente.

No terceiro exemplo, novamente manteve-se uma pressão externa constante de 5

MPa como o Caso A e variou-se o momento torsor no Caso B. Os resultados são apresentados

na Tabela 4.6.

Tabela 4.6 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Momento torsor variável.

T

(MNm)


Área

(m²) Fobj


3 [0.005213 / 0.004704]s [-75.694 / 58.635]s 7.737 1.0 1.0 0.0386 0.455

5 [0.006457 / 0.005321]s [55.599 / -56.472]s 18.426 1.0 1.0 0.0461 0.553

7 [0.008001 / 0.006495]s [42.605 / -41.857]s 6.513 1.0 1.0 0.0573 0.698

9 [0.001000 / 0.008584]s [41.667 / -40.563]s 7.636 1.0 1.926 0.0744 0.921

Neste caso, como o FS do Caso B manteve-se ativo, a espessura foi aumentando

com o aumento do momento torsor, ao mesmo tempo que os ângulos de orientação foram

56

tendendo ao caso de momento torsor isolado. Com tais modificações, no caso de T = 9 MNm,

a restrição de flambagem já se encontrava inativa. Nota-se também que a função objetivo

atingiu valores elevados devido ao aumento considerável na espessura do tubo.

No último exemplo, apresentado na Tabela 4.7, o Caso A corresponde a uma

pressão interna fixa de 20 MPa e o Caso B consiste numa pressão externa variável.

Tabela 4.7 - Caso A: pint = 20 MPa; Caso B: Pressão externa variável.

pext

(MPa)

Variáveis de Projeto FS Pcol Área Fobj


5 [0.008429 / 0.001000]s [90 / ±20.497]s 1.0 7.1622 1.0 0.0367 0.429

10 [0.010000 / 0.001988]s [±89.892 / 38.041]s 1.0 4.0048 1.0 0.0470 0.564

15 [0.010000 / 0.003845]s [±89.198 / 51.465]s 1.0 2.7035 1.0 0.0546 0.663

20 [0.010000 / 0.005326]s [±88.352 / 62.725]s 1.0 2.0658 1.0 0.0607 0.743

25 [0.010000 / 0.006546]s [±88.123 / 73.240]s 1.0 1.6907 1.0 0.0658 0.809

30 [0.008498 / 0.009081]s [90 / 90]s 1.002 1.4449 1.0 0.0702 0.866

Com o aumento da pressão externa, o FS do Caso B vai diminuindo, como era de

se esperar. Além disso, os ângulos de orientação tendem à situação de pressão externa isolada.

Durante todo o processo, a restrição de flambagem está ativa, assim como o FS do Caso A.

Nota-se que as espessuras das camadas internas aumentam para não violar o FS do Caso A e,

com isso, a função objetivo aumenta. Ressalta-se que os sinais positivos e negativos nos

ângulos de orientação indicam que tanto podem surgir ângulos positivos como negativos

como projetos ótimos.

De modo a observar a evolução do processo de otimização, estudam-se os valores

da função objetivo e da máxima violação de restrição a cada passo do mesmo. A Figura 4.5

mostra tais variações para um exemplo com pint = 20 MPa e pext = 20 MPa.

57

Figura 4.5 – Evolução do processo de otimização (pint = 20 MPa, pext = 20 MPa).

Para tal caso, nota-se que o ponto inicial, escolhido aleatoriamente, era inviável,

pois a violação de restrições é positiva. O algoritmo então corrige o ponto inicial, trazendo-o

para a região viável e tornando a violação nula a partir da terceira iteração. O processo então

converge rapidamente, com o valor ótimo encontrado por volta da décima iteração. O

próximo exemplo é de um caso com pext = 5 MPa e N = 30MN, mostrado na Figura 4.6.

Figura 4.6 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, N = 30MN).

58

Nesse exemplo, o ponto inicial é também inviável. Com a correção, o ponto passa

para o espaço viável e a violação diminui gradativamente. Na décima iteração, ocorre uma

súbita queda da função objetivo. Porém, como tal queda é acompanhada por uma violação de

restrição, até a iteração 15 o valor da função objetivo aumenta. Assim, embora o projeto

obtido na décima iteração tivesse menor custo total, sua viabilidade estava comprometida. Tal

fato demonstra o papel das restrições em diminuir o espaço viável de projeto. Por fim, analisa-

se um caso com pext = 5 MPa e T = 9 MNm, mostrado na Figura 4.7.

Figura 4.7 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, T = 9MN).

Nota-se que, neste exemplo, o algoritmo convergiu para um projeto inviável,

apesar do grande número de iterações. Tal fato é evidenciado pelo valor sempre positivo da

violação de restrição. Neste caso, ressalta-se a importância de escolher um bom ponto inicial

para o processo. Como os pontos escolhidos foram aleatórios, utilizam-se vários pontos

iniciais e considera-se que o ótimo seja o resultado com menor função objetivo, respeitadas

todas as restrições.

59

5 CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentadas duas formulações de elementos finitos distintas

para análise de tubos laminados de material compósito reforçados por fibras. A primeira

sendo um elemento axissimétrico bidimensional com 3 graus de liberdade por nó e a segunda

um elemento unidimensional de 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais.

Apesar de nenhuma das formulações apresentadas ser capaz de receber cargas de flexão, elas

são importantes no pré-dimensionamento de tubos compósitos, etapa na qual os esforços de

maior importância são pressões interna e externa, força axial e momento torsor.

A formulação unidimensional apresenta esforço computacional reduzido, devido à

consideração de um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD) e, assim, se mostra

eficiente no uso em métodos de otimização. Porém, o elemento bidimensional é importante

para se medir a influência de efeitos de extremidade em tensões, notadamente em laminados

angle-ply e analisar tubos curtos.

Vários exemplos numéricos de tubos cross-ply e angle-ply com e sem liner de aço

foram estudados e os resultados comparados tanto com soluções analíticas quanto com um

elemento tridimensional de casca. Os resultados obtidos pelos elementos implementados se

mostraram confiáveis em todos os exemplos. Porém, é importante ressaltar que, em um dos

tubos, a solução analítica implementada por Herakovich (1998) apresentou resultados

ilógicos, o que merece investigações adicionais.

A formulação do problema de otimização de tubos compósitos laminados foi

também apresentada, considerando como variáveis de projeto as espessuras e ângulos de

orientação das camadas do tubo e procurando minimizar o peso total do mesmo, suposto

proporcional à área de sua seção transversal. Foram impostas ao problema restrições de

resistência e estabilidade, na forma do Fator de Segurança e da Pressão de Colapso,

respectivamente.

Foram apresentados exemplos da formulação de otimização envolvendo tanto

cargas isoladas como cenários de carga combinados. Para todos os casos, a formulação

forneceu bons resultados e permitiu a observação do comportamento da resposta com a

variação nos cenários de carga. De modo geral, mantendo um dos casos de carga constante e

60

aumentando o outro, obtém-se gradualmente uma reposta que tende a uma situação de

aplicação da maior das cargas isoladamente.

Em alguns dos casos analisados, a espessura do tubo aumentou consideravelmente

em resposta ao aumento da carga. Já em outros, ocorreu a mudança na orientação das fibras

sem aumento considerável na espessura. Como a função objetivo depende diretamente das

espessuras das lâminas, a modificação dos ângulos, quando possível, permite adaptar o tubo

ao aumento das cargas sem aumentar significativamente o preço total do projeto.

Analisando os gráficos de progresso da otimização, que relacionam a função

objetivo e a violação máxima de restrição com o número de passos realizados, nota-se a

necessidade de se executar o processo de otimização várias vezes utilizando pontos iniciais

distintos.

Conclui-se que, atualmente, com o aumento no uso de materiais compósitos em

diversas aplicações de engenharia, o desenvolvimento de formulações de análise estrutural e

otimização de projetos para tais estruturas torna-se importante. Neste âmbito, espera-se que

este trabalho traga contribuições relevantes a esta área de pesquisa.

5.1 Sugestões para futuros trabalhos

A utilização das formulações implementadas neste trabalho pode levar a trabalhos

futuros. Como mencionado no Item 4.4, o uso de variáveis contínuas no problema de

otimização, apesar de representar uma situação com menos restrições, na qual se pode

observar o comportamento do problema com mais liberdade, não representa a situação real de

projeto, na qual as variáveis são discretas. Assim, futuros trabalhos podem tratar o problema

de otimização utilizando variáveis discretas.

Adicionalmente, o uso das formulações de análise implementadas podem levar a

trabalhos tratando de estruturas como vasos de pressão. Em tal caso, a consideração de

esforços devidos à mudanças de temperatura deve ser implementada.

61

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