analise e controle multivariavel robusto d-lqi otimizado via lmis

7/23/2019 AN ALISE E CONTROLE MULTIVARI AVEL ROBUSTO D-LQI OTIMIZADO VIA LMIS

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ANALISE E CONTROLE MULTIVARIAVEL ROBUSTO D-LQI OTIMIZADO VIALMIS

M. V. S. Costa, J. C. T. Campos, O. M. Almeida V. P. Pinto

Universidade Federal do Ceara

Depto. de Engenharia Eletrica - Campus do Pici

Fortaleza, Ceara, BrasilUniversidade Federal do Piau

Depto. de Engenharia Eletrica

Teresina, Piau, Brasil

Universidade Federal do Ceara

Depto. de Engenharia Eletrica - Campus Sobral

Sobral, Ceara, Brasil

Email: [email protected], [email protected], [email protected],[email protected],

Abstract This paper shows the robust D

-LQI concepts using multivariable models also considering thesuitability solution to robust design parameters. This work shows that it is possible to use the D-LQI MIMO

models taking into account constraints obtained commonly criteria known in classical control. The example

application is the linear dual tank. The simulation results are obtained using MATLAB and optimization tools

SEDUMI and Yalmip.

Keywords Multivariable Control, Robust Control, D-Stability, LMIs Optimization.

Resumo Este artigo mostra a aplicacao dos conceitos de D-LQI robusto em modelos multivariaveis conside-

rando tambem a adequacao da solucao robusta aos parametros de projeto. Este trabalho mostra que e possvel

utilizar o D-LQI em modelos MIMO levando-se em consideracao restricoes obtidas por meio de criterios simples

amplamente conhecidos no controle classico. O exemplo de aplicacao e o tanque duplo linear. Os resultados de

simulacao sao obtidos via MATLAB atraves das ferramentas de otimizacao SEDUMI e Yalmip.

Palavras-chave Controle Multivariavel, Controle Robusto, D-Estabilidade, Otimizacao LMIs.

1 Introducao

A teoria de controle robusto via LMIs esta re-cebendo cada vez mais atencao nos ultimos con-gressos e simposios brasileiros, apresentando so-lucoes para varios tipos de problemas de analise,desempenho e sntese de sistemas lineares incer-tos. As desigualdades matriciais lineares (LMIs),como sao conhecidas, podem ser trabalhadas atra-ves de diversos metodos de otimizacao. Podem sercitadas como exemplo a programacao quadraticasemi definida e a otimizacao convexa.

O trabalho de Ghaoui et al. (1992) faz a ana-

lise do processo de otimizacao via LMIs do LQR.Tal processo de otimizacao e utilizado nos traba-lhos de Ko et al. (2006),Olalla et al. (2009) e Leiteet al. (2011). O conceito de LMIs e classicamenteconhecido em Boyd et al. (1994), que e a principalreferencia no assunto juntamente com o livro deGahinet et al. (1995), publicada logo depois.

O artigo de Chilali and Gahinet (1996) propoeo uso do controle H com uso de restricoes viaD-estabilidade, permitindo assim a adequacao deuma solucao robusta aos parametros desejados deprojeto.

O trabalho de Costa, Pinto, Campos anddo Nascimento (2012) faz o uso da D-Alocacaode polos robusta numa planta multivariavel, ade-

quando o modelo robusto as condicoes desejadasde projeto.

O artigo de Costa, Campos, Reis, Bascopeand Pinto (2012) aplica os conceitos do D-LQIrobusto em conversores de potencia tipo dc-dc.

Este trabalho visa a aplicacao dos conceitos deD-LQI robusto em modelos multivariaveis consi-derando tambem a adequacao da solucao robustaaos parametros de projeto de acordo com o traba-lho de Costa, Pinto, Campos and do Nascimento(2012). O exemplo de aplicacao e feito por simu-lacao no tanque duplo linear, que e utilizado por

Leite et al. (2011). Este trabalho mostra que epossvel utilizar o D-LQI em modelos MIMO le-vando em consideracao restricoes que facam o mo-delo atender especificacoes de desempenho comoovershoot e tempo de estabilizacao por meio decriterios simples amplamente conhecido no con-trole classico.

2 Estrategia de controle proposta

2.1 Conceitos de dinamica de estabilidade dese-

jada

Seja uma funcao de transferencia de 2a ordem dotipo


2/6

G(s) = 2n

s2 + 2ns + 2n, (1)

que e o modelo da funcao de transferencia dese-jada em malha fechada no modelo SISO. O mo-delo (1) define uma funcao de transferencia esta-vel e desejada, em que n e a frequencia naturale e o coeficiente de amortecimento. A obten-cao de n e de e alcancada com as seguintesexpressoes(Shahian and Hassul, 1993):

= ln

POS100

2 +

lnPOS100

2 e n= 4Ts , (2)em que P OS e a Porcentagem de Overshoot, Tse o tempo de estabilizacao em 98%. Alem disso,(2) definem as razes do modelo desejado em (1),tal que s1,2 = p jd, sendo que p = ne d = n

1 2. Alem disso, outra notacao

bastante conhecida das razes de (1), e a nota-

cao fasorial, em que s1,2 = nej , sendo que = cos1(), que sao utilizadas para definiros limites da regiao de estabilidade otimizada pordesigualdades matriciais lineares (LMIs), alem deexpandir o conceito da regiao de estabilidade parao sistema MIMO.

3 Estrategia de controle aplicado ao

modelo

A Figura 1 mostra o diagrama de blocos da to-pologia de controle no espaco de estados do servo-

mecanismo com acao integral (Ogata, 2011), (Dorfand Bishop, 2008).

Figura 1: Servomecanismo de acao integral.

Com base na Figura 1 e Ko et al. (2006), tem-

se o seguinte modelo no espaco de estados:

x= Ax + Bu, (3)

sendo

A=

A 0C 0

, (4)

B=

BD

, (5)

x=

x

. (6)

As expressoes (4) e (5) sao necessarias para ob-tencao do controlador de realimentacao de esta-dos expandido, de acordo com a Fig. 1, o sinal de

controle e dado por

u= Kx+KI=

K KI x

= Kx.

(7)A representacao em malha fechada e formada por

x= Amfx + Bmfr,

y= Cmfx, (8)

em que

Amf =

ABK BK I (C DK) DKI

,

Bmf =

0I

,

Cmf =

(C DK) DKI

.

(9)

Em (8),re a entrada de referencia ou rastreio.A variavel u e a variavel de controle.

3.1 Analise politopica e incertezas no processo

Para se entender como a estrategia de controle iraagir na resposta do sistema controlado, deve-seconsiderar a existencia das incertezas dominantesno processo. Tais incertezas podem ser modeladasutilizando a modelagem politopica, em que os pa-rametros do processo variam de acordo com umafaixa definida em projeto.

Segundo Palhares and Goncalves (2008), poli-topos consistem num conjunto poliedral limitado.Politopo e uma casca convexa de um conjunto fi-

nito de vertices , sendo que todo elemento no poli-topo pode ser gerado pela combinacao convexa dosseus vertices. Para avaliar se o modelo politopicoe robusto, deve-se analisar o modelo controladocom as incertezas extradas no processo. Diz-seque a estabilidade do sistema e robusta se estee capaz de garantir a estabilidade mesmo diantedas incertezas existentes no processo. Para estecaso,o criterio usado e o de sensibilidade comple-mentar. Em Shahian and Hassul (1993), afirma-se que, para garantir a robustez as incertezas doprocesso, o sistema deve admitir a rejeicao de dis-

turbios e a supressao de rudos. As ferramentasutilizadas para fazer tais analises sao a funcao detransferencia de sensibilidade complementar e asincertezas multiplicativas. A funcao sensibilidadecomplementar e dada por

T(s) =G(s)K(s) (I+ G(s)K(s))1 , (10)

em que G(s) e funcao de transferencia do modelodo processo eK(s) e a funcao de transferencia docontrolador. A funcao T(s) e tambem conhecidacomo a funcao de transferencia de malha fechadade y(s)r(s) , sendoy(s) a sada er(s) e a referencia de

rastreio.Cita-se ainda que a analise de robustez em um

sistema incerto deve garantir a estabilidade das


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pertubacoes de incertezas aditivas ou multiplica-tivas. Isto e justificado pelo teorema do ganho m-nimo. Segundo Dorf and Bishop (2008) e Shahianand Hassul (1993), uma pertubacao multiplicativae dada por

m(s) =

G(s)

G(s) 1

, (11)

em que m(s) e o simbolo da incerteza multiplica-tiva e G(s) e o modelo com incertezas. Com baseem Dorf and Bishop (2008) e Shahian and Hassul(1993), a perturbacao e limitada em magnitude,supondo que G(s) e G(s) tenham o mesmo nu-mero de polos no semiplano s da direita. Logo aestabilidade nao se altera se

|m(j)| 0

(AiP+ P Ai)< Q, i [1, n] , n N

,

(14)em que P e a matriz de estabilidade simetrica.O processo de estabilizacao pode ser aplicado

fazendo-se a transformada de similaridade em P,substituindo-se A por A BK e fazendo-se Y =KPem (14).

A teoria de Lyapunov tambem e estendidapara tratar problemas de D-Estabilidade. Isto econhecido como regioes LMI (Chilali and Gahi-net, 1996). Uma regiao LMI e uma regiao convexano plano complexo, simetrica com respeito ao eixoreal, definida por:

D = {z C|L + zM+ zM


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min tr (QP) + (Z) ,

2h1P+

AiP BiY

+

AiP BiY

0, P >0,

(17)para i = 1 n, sendo n = 4, em que K=Y P1

e que

T1=

AiP BiY

+

AiP BiY

,

T2=

AiP BiY

AiP BiY

.

O modelo em malha fechada segue as expressoesmostradas em (9), sendo que a ordem da matrizde ponderacao Q e igual a matriz Ae a ordem da

matriz R e igual ao numero de colunas da matrizB.

4 Exemplo de Aplicacao

A Figura 3 mostra o modelo de um tanque duplolinear. As entradas do tanque sao variacoes dasvazoes medidas u1 e u2 em (m

3/s). As sadas doprocesso sao as variacoes de altura h1 e h2. H1 eH1 sao as alturas medias das colunas no tanqueem (m). Qu1 e Qu2 sao as vazoes medias de en-trada do tanque e Q1, Q2 sao as vazoes mediasde transicao nos tubos de conexoes. A expressao

do tanque segue o mesmo modelo apresentado porBachur et al. (2010).

Figura 3: Sistema de controle de nvel de 2 tan-ques.

O modelo matematico do duplo tanque da Fi-gura 3 e dado por:

h1h2

=

k1

A1

k2

A1

k1

A2

k1+k2A2

h1h2

+

1

A10

0 1A2

q1q2

(18)

e

y=

1 00 1

h1h2

+

0 00 0

q1q2

. (19)

Sabe-se que as areas das seccoes dos tanquessao A1 = A2 = 5m

2, segundo Bachur et al.(2010). Admite-se uma faixa de imprecisao de0, 15 k1 0, 25 e de 0, 2 k2 0, 3, comoapresentado tambem por Bachur et al. (2010). Es-sas faixas de imprecisao podem ser modeladas porincertezas politopicas. Deste modo, tais impre-cisoes sao incorporadas ao processo de resolucao

via LMIs. A estrategia de controleD-LQI visa aminimizacao do ndice de desempenho mediante aescolha dos parametros de ponderacao Q e R alemda restricao via D-estabilidade.

O tempo de simulacao do processo e de 400segundos. A altura de referencia h1 e escolhidade 0, 2m ate o tempo t = 200s.Em seguida, e re-duzida para 0, 15m de t = 200s em diante. Nomesmo instante, a altura de referencia h2 e esco-lhida de 0, 1m ate o tempo t= 200s, em seguida,e alterada para 0, 15mdo t = 200sem diante. Asmatrizes de ponderacao escolhidas foram:

Q=

1 0 0 00 1 0 00 0 0, 1 00 0 0 0, 1

e R=

100 0

0 100

.

(20)Para o dimensionamento do processo de restricoes,fez-se o P OS = 1% e o Ts = 60s, de modo queh1 = p = 0, 0667ras/s e = 34, 30

o. Do proce-dimento de otimizacao foram obtidos os seguintesganhos de realimentacao de estados:

KDLQI=

1, 2884 0, 1614 0, 1135 0, 00360, 1590 1, 0600 0, 0038 0, 1154

,

(21)em que

K=

1, 2884 0, 16140, 1590 1, 0600

(22)

e

Ki =

0, 1135 0, 0036

0, 0038 0, 1154

, (23)

conforme (17).

Observa-se ainda que os valores de dos auto-valores de malha fechada sao superiores, em mo-dulo, ao de p, em que 0, 144 > p e 0, 1408 >p respectivamente. Alem disso, os angulos defase sao inferiores ao limite projetado aos quais14, 59deg < e 23, 60deg < respectivamente,comprovando a factibilidade no processo de oti-mizacao.

Alem disso, atraves da analise de robustez doprocesso, foi obtido o modelo de incertezas atravesde (11), e utilizando a funcaosigmado MATLABsao obtidos as curvas via SVDs.

Na Figura 4, observa-se que a resposta ebem mais rapida que a restricao projetada comP OS= 1% e Ts = 60s. De acordo com a Figura


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4, o overshoot e de cerca de 1% e tempo de esta-bilizacao e de 40s, isso considerando uma pertur-bacao tanto no estado de medicao como na sadade 0, 1%, sendo entao o rudo tipo branco.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tempo(s)

Alturah

1(m)

ALTURAS DO TANQUE

ref

saida h1

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tempo(s)

Alturah2

(m)

ref

saida h2

Figura 4: Resposta de regime das curvas da vari-acao de altura.

A Figura 5 mostra o sinal de controle do tan-que duplo. Ve-se que os efeitos das perturbacoessao mais atuantes no sinal de controle que propri-amente na sada do processo. Observa-se aindaum sobressinal nos primeiros 50s do perodo desimulacao. Isto ocorre devido as caractersticasdo modelo e o esforco do atuador de garantir aresposta degrau desejada.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0

0.02

0.04

0.06

Tempo(s)

q1

(m3/s)

VAZES DO TANQUE

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0

0.02

0.04

0.06

Tempo(s)

q2

(m3/s)

Figura 5: Sinal de controle das vazoes do tanque.

Analisando-se a Figura 6, ve-se que o sistemae estavelmente robusto, pois nao existe nenhumcruzamento entre as incertezas multiplicativas e acurva do inverso da co-sensibilidade.

5 Conclusoes

Os resultados obtidos comprovaram que a estra-

tegia de controle D-LQI via LMIs e eficaz comocontrole robusto. Isto por que e capaz de incluircaractersticas referentes a imprecisao do processo,

104

103

102

101

100

100

80

60

40

20

0

20

40

60

80

100

Anlise de Robustez

Frequncia (Hz)

Amplitude(dB)

1/T

M(j)

Figura 6: Analise da estabilidade robusta do con-trolador via SVD.

alem de ser possvel o uso de restricoes que ga-rantam que o processo alcancara os parametros

desejados de projeto. Esta vantagem torna o con-trole D-LQI via LMIs uma poderosa estrategia naotimizacao de solucoes de controle robusto. Osresolvedores YALMIP e SEDUMI sao ferramen-tas conhecidas bastante eficazes para o processa-mento desses calculos no software computacionalMATLAB/Simulink.

Agradecimentos

Agradecemos a CAPES, pelo fomento financeiroe pelo PPGEE-UFC pelo suporte academico e re-

cursos de pesquisa.

Referencias

Bachur, W. E. G., Palhares, E. N. G. R. M. andTakahashi, R. H. C. (2010). Sntese de con-troladores robustos por realimentacao dina-mica de sada considerando modelo de re-ferencia baseada na otimizacao de parame-tros do controlador, Proceedings, CongressoBrasileiro de Automatica, SBA, Bonito, MS,Brasil, pp. 40624067.

Boyd, S., Ghaoui, L. E., Feron, E. and Balakrish-nan, V. (1994). Linear matrix inequalities insystem and control theory, SIAM studies inapplied mathematics, Society for Industrialand Applied Mathematics - SIAM - Phila-delphia, Philadelphia, USA.

Chilali, M. and Gahinet, P. (1996). H infin; designwith pole placement constraints: an lmi ap-proach,Automatic Control, IEEE Transacti-ons on41(3): 358 367.

Costa, M. V. S., Campos, J. C. T., Reis, F. E. U.,

Bascope, R. P. T. and Pinto, V. P. (2012).Analise teorico-experimental do controle d-lqi via lmis aplicado ao conversor boost ccte


6/6

42v-54v 500w, Proceedings, 10th IEEE/IASInternational Conference on Industry Appli-cations - INDUSCON, INDUCON2012, For-taleza, CE, Brasil.

Costa, M. V. S., Pinto, V. P., Campos, J. C. T.and do Nascimento, J. A. (2012). Controlepor d-alocacao robusta via lmi aplicado em

sistemas de geracao eolica,Proceedings, Sim-posio Brasileiro de Sistemas Eletricos - SBSE,SBSE2012, Goiania, GO.

Dorf, R. C. and Bishop, R. H. (2008). ModernControl Systems, Addison-Wesley.

Gahinet, P., Arkadi Nemirovski, A. J. L. and Chi-lali, M. (1995). LMI control toolbox usersguide, MathWorks Inc, Natick, MA.

Ghaoui, L. E., Feron, E., Balakrishnan, V. andBoyd, S. (1992). Numerical methods forh2 related problems, Proceedings, AmericanControl Conference, AACC, Chicago, IL,USA, p. 2. ref. 12.

Ko, H. S., Dumont, G. A., Jatskevich, J. andMoshref, A. (2006). A new lmi represen-tation of lqr based voltage control of grid-connected wind farm, Proceedings, AmericanControl Conference, AACC, IFAC, Minnea-polis, Minnesota, USA, p. 6. ref. 851856.

Leite, K., Campos, J. C. T. and Costa, M. V. S.(2011). Aplicacao e analise de controle lqrcom acao integral robusta multivariavel oti-mizado via desigualdades matriciais linea-res, Proceedings, X CONFERENCIA BRA-SILEIRA DE DINAMICA, CONTROLE EAPLICACOES - DINCON, DINCON2011,Aguas de Lindoia, SP.

Ogata, K. (2011). Engenharia de Controle Mo-derno, 5a edn, Prentice-Hall, Sao Paulo.

Olalla, C., Leyva, R., Aroudi, A. E. and Queinnec,I. (2009). Robust lqr control for pwm conver-ters: an lmi approach,IEEE Transactions onIndustrial Eletronics56(7): 25482558.

Palhares, R. M. and Goncalves, E. N. (2008). En-ciclopedia de automatica controle e automa-

cao, Vol. 1 of Enciclopedia de automatica,Blucher, Sao Paulo.

Shahian, B. and Hassul, M. (1993). Control sys-tem design using Matlab, Prentice Hall.

analise e controle multivariavel robusto d-lqi otimizado via lmis

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