anÁlise dinÂmica de sistemas contÍnuos · vibraÇÕes transversais de cabos procuram-se...

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS CONTÍNUOS

INTRODUÇÃO

Ø Sistemas discretos e sistemas contínuos representam modelos matemáticos distintos de sistemas fisícos semelhantes, com características dinâmicas semelhantes

Ø Os sistemas discretos têm um número finito de graus de liberdade e os sistemas contínuos têm infinitos graus de liberdade

Ø Os sistemas discretos são governados por equações diferenciais ordinárias, e os sistemas contínuos são governados por equações diferenciais parciais

Ø Os sistemas contínuos têm soluções exactas apenas em casos especiais, essencialmente quando os parametros que caracterizam o sistema são uniformemente distribuidos

Ø Neste caso as equações do movimento diferencias de 2ª ordem reduzem-se à chamada equação de onda

q Neste capítulo estuda-se o comportamento dinâmico de componentes de geometria prismática: cabos, barras, vigas, e veios

q Componentes estas sujeitas apenas a: forças axiais, esforços de flexão, esforços de torção

NESTE CAPÍTULO

VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS

Considere-se o sistema contínuo e elástico da figura onde:

• F (x,t) é uma força exterior

• ρ(x) é a densidade

• T(x) é a tensão no ponto x

• Existe apenas tensão axial, pois o cabo não tem rigidez à flexão

y(x,t)

x dx

ρ(x), T (x) f (x,t )

x x+dx

f (x,t)dx

T (x)

( )x

txy∂

∂ ,( ) ( )

dxxxT

xT∂

∂+

( ) ( )dx

xtxy

xtxy

2

2 ,,∂

∂+∂

∂


Aplicando a 2ª lei de Newton ao elemento de corda do diagrama de corpo livre obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2 ,,

,,,t

txydxxdxtxf

xtxy

xTdxx

txyx

txydx

xxT

xT∂

∂ρ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂ ==+−

+

+ (5.1)

Desenvolvendo a expressão anterior e desprezando os termos de 2ª ordem em dx, e dividindo a equação resultante por dx chega-se a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lx t

txyxtxfx

txyxTx

<<=+

0 ,,,

2

2

∂∂ρ

∂∂

∂∂

(5.2)

Oscilações livres - Problema de valores próprios

No caso das oscilações livres tem-se que f (x,t) = 0, e o problema de condição fronteira reduz-se à seguinte equação diferencial e condições de fronteira:

( ) ( ) ( ) ( )Lx

ttxy

xx

txyxT

x<<=

0

,,2

2

∂∂

ρ∂

∂∂∂

( ) ( ) 0,,0 == tLyty

(5.3)

(5.4)


Procuram-se soluções de movimento síncrono, ou seja, movimento em que todas as partículas têm movimento vertical com a mesma forma (mesma dependencia do tempo), mas amplitudes diferentes.

Matemáticamente o movimento síncrono implica que a função que descreve o deslocamento é separavel no espaço e no tempo:

( ) ( ) ( )tFxYtxy =, (5.5)

Introduzindo (5.5) em (5.3) e rearranjando obtém-se:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2

211dt

tFdtFdx

xdYxTdxd

xYx=

ρ(5.6)

Na eq. anterior as derivadas parciais foram substituidas por derivadas totais porque Ydepende apenas de x e F depende apenas de t.

O lado esquerdo da eq. (5.6) depende apenas de x e o lado direito depende apenas de t. Conclui-se que para a igualdade se manter para todos os x e t então os dois lados representam uma constante. Definindo esta constante por –ω2 (5.6) resulta em:

( ) ( ) 022

2

=+ tFdt

tFdω

( ) ( ) ( ) ( ) LxxYxdx

xdYxT

dxd

<<=

− 0 2ρω

(5.7)

(5.8)


Onde –ω2 representa uma solução de movimento estável (não divergente). Se o movimento síncrono existe a função que representa a dependencia do tempo deve ser harmónica, peloque a solução de (5.7) é:

( ) ( )φω −= tCtF cos (5.9)

As constantes C, ω e φ são iguais para qualquer função Y(x) que seja solução de (5.8).

Relativamente à configuração do deslocamento síncrono, Y(x), esta solução deve satisfazer (5.8) em todo o domínio e tb as condições fronteira seguintes:

( ) ( ) 00 == LYY (5.10)

ü Problema de valores próprios: determinação dos valores de ω2 para os quais existem soluções não triviais , Y(x), de (5.8). Os ω2 são os valores próprios

ü As funções correspondentes , Y(x), são as funções próprias ou funções características ou modos próprios

ü Existem infinitas frequências naturais ωr e infinitas funções próprias Yr(x)

ü A resposta livre do sistema no caso geral é dada pela sobreposição dos modos naturais e em termos das coordenadas naturais ou coordenadas normais vem:

( ) ( ) ( )∑∞

==

1

,r

rr txYtxy η (5.11)


Em cada um dos modos naturais o movimento tipo harmónico podeser representado em termos das coordenadas naturais ou coordenadas normais ηr(t):

( ) ( ) nrtt rrr ,...,2,1 02 ==+ ηωη&&

( ) ( )rrrr tCt φωη −= cos

Cujas soluções são dadas por:

(5.13)

(5.12)

Onde Cr e φr são constantes que dependem das condições iniciais e ωr é a frequência natural do modo r.

Cabo Uniforme e Fixo em x = 0 e x = L (solução do problema de valores próprios)

Introduzindo ρ(x)=ρ =cte e T(x)=T=cte na eq.(5.8) então tem-se a seguinte eq diferencial para o deslocamento transversal:

( ) ( )T

xYdx

xYd ρωββ2

222

2

0 ==+ (5.14)

Adicionalmente como os extremos estão fixos então a equação anterior está sujeita às seguintes condições fronteira:

( ) ( ) 00 == LYY (5.15)


A equação diferencial (5.14) tem soluções do tipo harmónicas:

( ) xBxAxY ββ cossin += (5.16)

Introduzindo a primeira condição fronteira em (5.16) conclui-se que B = 0, logo a solução é:

( ) xAxY βsin=

Introduzindo a segunda condição fronteira em (5.17) obtém-se:

(5.17)

0sin =Lβ

Que é a equação característica, e cujas soluções são são os valores característicos:

,...2,1 == rrLr πβAos quais corresponde o conjunto infinito de funções próprias:

( )L

xrAxY rrπsin=

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Onde as amplitudes Ar são indeterminadas logo apenas a forma do movimento é conhecida nesta fase. Da segunda das eqs (5.14) calculam-se as frequências naturais do sistema:

....2,1 2

=== rLT

rT

rr ρπ

ρβω

A primeira frequência é chamada de frequência fundamental ou primeira harmónica e as outras são chamadas de harmónicas de ordem superior

(5.21)


Os 4 primeiros modos naturais estão desenhados na figura seguinte, onde foram normalizados fazendo Ar = 1:

-1.2

0

1.2

0 10

x

y(x)

modo º2

-1.2

0

1.2

0 10

x

y(x)

modo º3

-1.2

0

1.2

0 10

x

y(x)

modo º4

ρ , T

0

1.2

0 10x

y(x)

modo º1

21 LT

ρπω =

22 2LT

ρπω =

23 3LT

ρπω =

24 4LT

ρπω =

nó

nós

VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE BARRAS

As vibrações longitudinais de barras esbeltas satisfaz um problema de condição fronteira semelhante ao do cabo elástico sob tensão,

para obter a equação parcial diferencial que representa o movimento basta substituir em (5.2) os parametros ρ(x) e T(x) por m(x) e EA(x) repectivamente.:

u(x,t) é o deslocamento segundo o eixo-xm(x) é a massa por unidade de comprimentoEA(x) é a rigidez axialE é o módulo de elasticidadeA(x) é a área da secção transversal

então

( ) ( ) ( ) ( ) Lx t

txuxmx

txuxEAx

<<=

0 ,,

2

2

∂∂

∂∂

∂∂ (5.22)

Pelas razões apontadas acima, a estrutura do problema de valores próprios é semelhante à do cabo elástico, pelo que no movimento síncrono a função que descreve o deslocamento é separavel no espaço e no tempo:

( ) ( ) ( )tFxUtxu =,

onde F(t) é harmónica no tempo.

(5.24)


Por analogia com o caso do cabo elástico, o problema de valores próprios toma a forma:

(5.25)( ) ( ) ( ) ( ) LxxUxmdx

xdUxEAdxd

<<=

− 0 2ω

A equação diferencial (5.26) tem soluções do tipo harmónica:

( ) ( )0 00 ==

dxLdU

U

(5.26)

Se a barra for uniforme, ou seja, m(x) = m = cte e EA(x) = EA = cte, (5.25) reduz-se a:

( ) ( )EAmxU

dxxUd 222

2

2 0 ωββ ==+

(5.27)

Barra encastrada em x = 0 e livre em x = L, neste caso as condições de fronteira são:

( ) xcxcxU ββ cossin 21 +=

(5.28)

x

u (x,t )

L

m (x), EA (x)

x


Introduzindo a primeira condição fronteira na solução (5.27) resulta c2 = 0, pelo que a solução se reduz a:

0cos =Lβ

Que é a equação característica, e cujas soluções são os valores característicos dados por:

Aos quais corresponde o conjunto infinito de funções próprias:

( ) ,...2,1 , 2

12 =−= rL

rrπβ

Da segunda condição fronteira obtém-se:

( ) xcxU βsin1=

( ) ( ) ,...2,1 , 2

12sin =

−= r

LxrcxU rr

π

Finalmente as frequência naturais obtêm-se da segunda equação em (5.26):

( )22

12mLEArr

πω −=

(5.30)

(5.29)

(5.31)

(5.32)

(5.33)


Modos Naturais: os 3 primeiros modos naturais estão desenhados na figura seguinte, onde foram normalizados fazendo cr = 1:

x

0

1.2

0 10

x

U(x

)

L0

modo º1

-1.2

0

1.2

0 10

x

U(x

)

L0

modo º2

-1.2

0

1.2

0 10

x

U(x

)

L0

modo º3

21 21

mLEA

πω =

22 23

mLEA

πω =

23 25

mLEA

πω =

Barra livre nas duas extremidadesVIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE BARRAS

( ) ( )0 , 0

0==

dxLdU

dxdU

m (x), EA (x)

L

x u (x,t )

x

Neste caso as condições de fronteira são:

As condições fronteira introduzem-se em (5.27). Aplicando a c.f. em x = 0 resulta c1=0, pelo que a forma das funções próprias passa a ser:

0sin =Lββ

Cujas soluções são os valores característicos dados por:

,...2,1 , 00 === rL

rr

πββ

(5.36)

(5.35)

(5.34)

Aplicando a c.f em x = L resulta na equação característica:

( ) xcxU βcos2=

(5.37)


Que tem como solução:

A aplicação das condições fronteira a esta solução implica que b0 = 0, logo o movimento da barra é constante e independente de x

Movimento de corpo rígido

( ) xbaxU 000 +=

então

Substituindo os valores característicos (5.37) em (5.35) resulta num conjunto infinito de funções próprias:

(5.39)

(5.40)

( )0

2

2

=dx

xUd

Onde β0 corresponde ao movimento de corpo rígido. Substituindo na eq. diferencial (5.26):

(5.38)

( ) ,...2,1 cos =

= rx

LrcxU rrπ

2mLEA

rr πω =

As frequência naturais obtêm-se da segunda equação em (5.26):

(5.41)


Modos Naturais: 4 primeiros modos naturais, normalizados fazendo cr = 1:

x

0

1.2

0 10

x

U(x

)

0

0 modo

-1.2

0

1.2

0 10

x

U(x

)

0

modo 1º

-1.2

0

1.2

0 10

x

U(x

)

0

modo 2º

-1.2

0

1.2

0 10

x

U(x

)

0

modo 3º

00 =ω

21 mLEA

πω =

22 2mLEA

πω =

23 3mLEA

πω =

VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS

Considere-se:

o Uma barra não uniforme com o eixo – x ao longo do eixo neutro

o As características da barra são tais que o movimento de rotação não tem empenoo GJ(x) é a rigidez à torcional e I(x) é o momento polar de inércia da massa por unidade de

comprimento

I (x), GJ (x)

L

x

x

θ(x)

( )tx,θ

( ) ( )dx

xtx

tx∂

∂+ ,

,θ

θ

( )txM ,

( ) ( )dx

xtxM

txM∂

∂+ ,

,

( )dxtxmT ,


Estabelecendo o equilibrio dinâmico do elemento de troço tem-se:

Por outro lado, num elemento de barra de comprimento dx o momento torçor MT(x) a que corresponde um deslocamento angular dθ é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,,,

,,t

txdxxIdxtxmdxx

txMtxMtxM T

TTT ∂

θ∂∂

=+∂

++−

Ou simplificando:( ) ( ) ( ) ( )

2

2 ,,,t

txxItxmx

txMT

T

∂θ∂

∂=+∂

( ) ( ) ( )x

txxGJtxMT ∂

∂θ ,, =

Substituindo a expressão anterior em (5.43) resulta na equação diferencial do movimento que governa as vibrações torcionais de barras:

(5.42)

(5.43)

(5.44)

(5.45)( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,,,t

txxItxmx

txxGJx T ∂

θ∂∂

∂θ∂∂ =+


Onde a função F(t) é harmónica.

No caso das oscilações livres a eq. difrencial é:

Exemplo: Oscilações livres do veio uniforme encastrado num extremo e com disco rígido no outro extremo

x

L

I , GJ

I D

E mais uma vez, no movimento síncrono a função que descreve o deslocamento é separavelno espaço e no tempo:

( ) ( ) ( )tFxtx Θ=,θ

(5.46)

(5.47)

( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,,t

txxIx

txxGJx ∂

∂=

∂∂ θθ

∂∂


Deste modo e por analogia com o caso do cabo elástico, o problema de valores próprios toma a forma:

( ) ( ) ( ) ( )xxIdx

xdxGJdxd

Θ=

Θ− 2ω

Que no caso da barra uniforme conduz a:

( ) ( ) 022

2

=Θ+Θ xdx

xd λGJ

I22 ωλ = (5.49)

(5.48)

A solução de (5.49) é harmónica:

( ) xCxCx λλ cossen 21 +=Θ

Neste caso as condições fronteira são:

(5.50)

(5.52)

(5.51)( ) 0,0 =tθ

( ) ( ) ( )Lx

DLx t

txI

xtx

xGJ== ∂

∂−=

∂∂

2

2 ,, θθ


Substituindo a 1ª cond. fronteira na eq. solução de movimento síncrono (5.50) vem C2=0 logo:

( ) xCx λsen 1=Θ

A 2ª condição fronteira pode-se apresentar na seguinte forma:

( ) ( )LxD

Lx

xIdx

xdGJ=

=

Θ=Θ 2ω (5.54)

(5.53)

Combinando (5.53) e (5.54) obtém-se:

( )2

tanωλ

λDIGJ

L =

Substituindo na equação anterior a segunda expressão de (5.49) chega-se a:

(5.55)

(5.56)

Que é a equação característica a ser resolvida numericamente para se obterem os valores caracteristicos. A cada solução corresponde uma função própria e uma frequência natural:

( ) xCx rrr λsen =Θ (5.57)

( ) ( ) ( )LI

ILILxI

IxIL

D

V

DD λλλλ ===tan ( )

D

V

IILL =λλ tan

VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS

Ø Vibrações Transversais dum Cabo ElásticoØ Vibrações Lingitudinais de uma Barra Fina

Ø Vibrações Torcionais dum Veio de Secção Circular

Problemas de Condição Fronteira• Eq. diferencial parcial de 2ª ordem• Uma c.f. em cada extremidade (2 c.f.)

Vibrações Transversais de Vigas

Problemas de Condição Fronteira• Eq. diferencial parcial de 4ª ordem• Duas c.f. em cada extremidade (4 c.f.)


x

x

xL

dx

m(x), EI(x)f (x,t)

z

f (x,t)dx

( )txM ,

( ) ( ) dxx

txMtxM

∂∂

+,

,

( )txQ ,

( ) ( ) dxx

txQtxQ

∂∂

+,

,

o y(x,t) deslocamento transversal em x

o f(x,t) força impressa por unidade de comp.

o m(x) massa por unidade de comprimentoo EI(x) rigidez à flexão

o I(x) momento de área da secção transversal

Teoria da Viga Simples

§ Considera-se a rotação do elemento de viga insignificante comparada com o deslocamento vertical

§ A deformação de corte é pequena comparada com a deformação devido à flexão

§ Teoria válida se L / h for grande (>10)§ As simplif. acima implicam que se despreza a

inércia à rotação e a deformação devido ao corte

z


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,,,,,t

txydxxmdxtxftxQdxx

txQtxQ∂

∂=+−

∂∂+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02

,,,,,, =∂+

∂∂++−

∂∂+

xdxtxfdxdxx

txQtxQtxMdxx

txMtxM

( ) ( ) 0,,

=+∂

∂ txQx

txM

( ) ( ) ( ) ( )Lx

ttxyxmdxtxf

xtxM <<

∂∂=+

∂∂− 0 , ,,,

2

2

2

2

Do diagrama de corpo livre conclui-se que a equação do movimento do elemento de barra na direcção vertical é:

(5.58)

Ignorando o momento de inércia associado à rotação do elemento, o equilíbrio de momentos em torno do eixo perpendicular a x e y e que passa pelo centro de área da secção transversal é:

Ignorando os termos de segunda ordem em dx a equação anterior vem:

Simplificando tb a expressão (5.58) e combinando com (5.60) resulta:

(5.59)

(5.60)

(5.61)

A equação anterior relaciona o momento flector M(x,t), a força exterior impressa ao sistema f(x,t) e a deformada em flexão y(x,t).


( ) ( ) ( )2

2 ,,x

txyxEItxM∂

∂=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lx

ttxy

xmtxfx

txyxEI

x<<

∂∂=+

∂∂

∂∂− 0

,,

,2

2

2

2

2

2

( ) ( ) ( )tFxYtxy =,

( ) ( ) ( ) ( ) Lx xYxmdx

xYdxEIdxd

<<=

0 2

2

2

2

2

ω

Por outro lado, para uma viga, a relação entre o momento flector e deformada em flexão é dada por:

Introduzindo (5.62) em (5.61) obtém-se a equação diferencial das vibrações transversais de vigas:

(5.63)

(5.62)

Problema de Valores Próprios – Oscilações livres

Movimento síncrono implica que a função que descreve o deslocamento é separável no espaço e no tempo:

Neste caso a função F(t) é harmónica e se a sua frequência for ω então o problema de valores próprios toma a forma:

(5.64)

(5.65)


( ) 0,0 =ty

( )0

,

0=

∂∂

=xxtxy

( ) ( )0

,2

2

=∂

∂

= Lxx

txyxEI

( ) ( ) 0,2

2

=

∂∂

∂∂

= Lxx

txyxEIx

( ) ( )EI

m xYdx

xYd 244

4

4 0 ωββ ==−

Viga Uniforme, encastrada numa extremidade e livre na outra

Sendo a viga uniforme, I(x) = I = cte, m(x) = m = cte, então a equação das vibrações transversais é:

(5.66)

Resolver o problema de valores próprios consiste agora em resolver o problema de condição fronteira, que satisfaz a equação diferencial (5.66) e as c.f. apropriadas, que neste caso são:

(5.67)

(5.68)

Encastramento: deslocamento zero e declive zero

Extremidade livre: momento flector e esforço de corte são nulos

(5.69)

(5.70)


( ) xcxcxcxcxY ββββ coshsinhcossin 4321 +++=

A solução geral da equação (5.66) é:

(5.71)

A aplicação das condições fronteira conduz à equação característica:

( ) ( )( )( )( )

,...2,1 , coshcoscoshcos

sinhsinsinhsin=

+++−−

= rxxLL

xxLLAxY

rrrr

rrrrrr ββββ

ββββ

1coshcos −=LL ββ

Que tem que ser resolvida numéricamente para se obter os valores βr, aos quais correspondem modos naturais dados por:

(5.72)

(5.73)

MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS

v Este método apróximado é adequado para vigas com características não uniformes acentuadas, ou sistemas com um número grande de massas concentradas.

v Substitui-se o sistema contínuo por um sistema discreto

v O sistema é representado por um conjunto de n massas discretas e rígidas concentradas em n pontos chamados de estações

v Os segmentos de veio entre as massas discretas assumem-se sem massa e com rigidez uniforme e chama-se de campos

v A equação do movimento que relaciona força com a deformação (ou deslocamento) é substituida equações de diferenças finitas correspondentes

v A solução obtém-se passo a passo


A relação entre o deslocamento angular e o momento torçor é dada por:

( ) ( )( )xJG

txMx

tx T ,, =∂

θ∂

( ) ( ) ( )2

2 ,,t

txxIx

txMT

∂θ∂

∂=∂

(6.1)

(6.2)

Por outro lado, deduziu-se anteriormente a equação diferencial que governa as vibrações torcionais livres de vigas:

Como as vibrações livres do movimento síncrono são harmónicas então tem-se que o deslocamento angular e o momento torçor são representados por:

( ) ( ) ( )φωθ −Θ= txtx cos,

( ) ( ) ( )φω −= txMtxM cos,

( ) ( )( )xJGxM

xdxd

=Θ

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Eliminando a dependência do tempo, pode-se substituir (6.1) e (6.2) por:

( ) ( ) ( )xxIxdxdM Θ−= 2ω (6.6)

As equações anteriores são a base do método de diferenças finitas a deduzir


Represente-se a viga não uniforme da figura por n+1 discos rígidos ligados por veios circulares, sem massa e com rigidez uniforme.

Os discos têm momentos polares de inércia dados por:

( )( ) ( ) nixxIxxxII iiii ,...,2,1 21

1 =∆≅∆+∆= −

( ) ( ) nnn xxIIxxII ∆=∆= ++ 11111 21

21

(6.7)

(6.8)

Onde os incrementos ∆xi são suficientemente pequenos para que as aproximações em (6.7) e (6.8) sejam válidas.


nixxGJGJ iii ,...,2,1 21

=

∆+=

Adicionalmente usa-se a notação:

(6.9)

Diagrama de corpo livre da estação i e do campo i

o Os índices R e L referem-se respectivamente aos lados direitos e esquerdo da estaçãoo O lado esquerdo do campo i usa a notação correspondente ao lado direito da estação io O lado direito do campo i usa a notação correspondente ao lado esquerdo da estação i+1

estação campo


iLi

Ri Θ=Θ=Θ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiiii xxxIxxxxIxM ∆Θ−≅∆+∆Θ−=∆ −2

12

21 ωω

Lii

Li

Ri IMM Θ−= 2ω

Ri

Li MM =+1

Vão ser utilizadas as equações (6.5) e (6.6) para relacionar os deslocamentos angulares e os momentos torçores nos dois lados da estação i e do campo i.

Como os discos são rígidos os deslocamentos nos dois lados da estação são iguais:

(6.10)

Por outro lado a equação (6.6) na forma incremental é:

Utilizando (6.7), (6.8) e (6.10), a expressão anterior vem:

Como o segmento de veio associado ao campo i não tem massa, tem-se que:

A equação (6.5) na forma incremental e quando aplicada ao campo i é:

( )i

iRi

Li

ii

iiiii GJ

xMM

xxGJ

xxxMxx ∆

+≅

∆+

∆

∆+=

∆+∆Θ +++ 111 2

1

212

121

(6.13)

(6.12)

(6.11)

(6.14)


Rii

Ri

Li Ma+Θ=Θ +1

i

ii GJ

xa ∆

=

−

=

Li

Li

iRi

Ri

MIMθ

ωθ

1

012

Utilizando a equação (6.13) a expressão (6.14) reduz-se a:

onde:

Representa o coeficiente de influência da flexibilidade torcional. Pode ser intrepertado como o deslocamento angular do disco i + 1 devido a um momento unitário na estação i + 1, mantendo o disco i sem rotação.

(6.16)

(6.15)

As equações (6.10) e (6.12) podem ser representadas na forma matricial:

e representam o deslocamento e torque no lado direito da estação i em termos de quantidades semelhantes no lado esquerdo.

(6.17)


L

iLi

Li

R

iRi

Ri

MMMM

Θ

=

Θ

Θ

=

Θ

[ ]

−

=101

2i

iE IT

ω

[ ]L

iiE

R

MT

M

≡

θθ

1

[ ]R

iiC

L

iM

TM

=

+

θθ

1

(6.18)

Definem-se as seguintes quantidades como vectores de estado, que são os deslocamentos angulares e torques nos lados direito e esquerdo da estação i :

Define-se ainda a matriz de transferência da estação que relaciona os dois vectores de estado (6.16):

(6.19)

Deste modo a equação (6.17) pode ser escrita numa forma mais compacta:

(6.20)

De forma semelhante as equações (6.13) e (6.15) podem ser representadas por:

onde:

(6.21)


[ ]

=

101 i

iC

aT

[ ]L

ii

L

iM

TM

=

+

θθ

1

[ ] [ ] [ ]iEiCi TTT =

[ ] [ ] [ ] [ ] niM

TTTTM

L

ii

L

i

,...,2,1 ...1

1211

=

Θ

=

Θ

−+

Onde se define a matriz de transferência do campo:

(6.23)

(6.25)

(6.24)

(6.22)

Introduzindo (6.20) em (6.21) obtém-se:

Onde:

Representa a matriz de tranferência que relaciona o vector de estado no lado esquerdo da estação i + 1 com o vector de estado no lado esquerdo da estação i.

Pode-se provar que começando com o primeiro disco i = 1, se tem a seguinte relação:

Adicionalmente, observando a última figura apresentada, conclui-se que:

[ ]LR

nM

TM

11

Θ

=

Θ

+

(6.26)


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 ... TTTTTT nnnE −+=

LLRn

LLRn MTTMMTT 12212111121111 +Θ=+Θ=Θ ++

0 0 11 == +Rn

L MM

(6.27)

Onde a matriz de transferência global é:

e relaciona o vector de estado no lado esquerdo da estação 1 com o vector de estado no lado direito da estação n + 1.

A equação (6.26) escrita na forma explícita é:

Onde os elementos Tij (i,j= 1,2) da matriz de transferência global [T] representam polinómios em ω2. A equação do sistema em ordem à frequência obtém-se fazendo um dos elementos desta matriz, ou uma combinação de elementos, igual a zero através das c.f. nos extremos da viga.

A - Veio livre nas duas extremidades

Como não existem momentos torçores nas extremidades, as condições fronteira são:

(6.28)

(6.29)

Introduzindo as c.f. na segunda equação de (6.26) conclui-se que:

021 =T


0 0 11 ==Θ +Rn

L M

0 0 11 =Θ=Θ +Rn

L

B - Veio encastrado numa extremidade e livre na outra

Na extremidade esquerda o deslocamento é zero e no lado direito o torque é zero:

(6.30)

Neste caso tem-se que substituindo em (6.26) resulta:

022 =T

C - Veio encastrado nas duas extremidades

Neste caso as condições fronteira são:

O que resulta em:

012 =T

(6.31)

anÁlise dinÂmica de sistemas contÍnuos · vibraÇÕes transversais de cabos procuram-se...

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