anÁlise de vibraÇÕes em sistemas mecÂnicos com materiais...
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ANÁLISE DE VIBRAÇÕES EM SISTEMAS MECÂNICOS COM MATERIAIS
MAGNETO-REOLÓGICOS
Marcelo de Souza Gomes
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Rio de Janeiro
Abril de 2013
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES EM SISTEMAS MECÂNICOS COM MATERIAIS
MAGNETO-REOLÓGICOS
Marcelo de Souza Gomes
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Marcelo Amorim Savi, D. Sc.
________________________________________________ Prof. Daniel Alves Castello, D. Sc.
________________________________________________ Prof. Alberto Paiva, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2013
iii
Gomes, Marcelo de Souza
Análise de Vibrações em Sistemas Mecânicos com
Materiais Magneto-Reológicos/ Marcelo de Souza Gomes. –
Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.
X, 80 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2013.
Referências Bibliográficas: p. 78-80.
1. Fluidos e Amortecedores Magneto-Reológicos. 2.
Sistema Dinâmico. 3. Controle do Sistema Dinâmico. I. Savi,
Marcelo Amorim. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.
Título.
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SALMO 23
IAHWEH é meu pastor, não me faltará.
Em verdes pastagens me fará descansar.
Para a tranquilidade das águas me conduzirá.
Fará meu espírito retornar,
e me guiará por caminhos justos,
por causa do Seu nome.
Ainda que eu caminhe pelo vale da morte,
não temerei nenhum mal, pois Tu estarás comigo.
Teu bastão e teu cajado me confortarão.
Diante de mim prepararás uma mesa,
na presença dos meus provocadores.
Tu ungirás minha cabeça com óleo; minha taça transbordará.
Certamente, bondade e benevolência me seguirão,
todos os dias das minhas vidas.
E voltarei à casa de IAHWEH por longos anos.
(Tradução do Salmo 23 retirada da obra “Analisando as Traduções Bíblicas”, de autoria
do Prof. Severino Celestino da Silva, especialista na língua hebraica)
v
À minha esposa Karina, pelo amadurecimento espiritual que me tem proporcionado,
à minha filha Ana Beatriz
e ao meu “sobrinho-filho” Kauã
vi
AGRADECIMENTOS Agradeço ao meu Orientador, Prof. Marcelo Amorim Savi, pela paciência que
demonstrou em todas as etapas desta dissertação. Sua experiência, sua visão crítica e
seu conhecimento profundo acerca do tema foram determinantes para a prontificação do
presente trabalho.
Meus cumprimentos, também, ao Engenheiro de Tecnologia Militar Harolds
Wilson Lourenço Silva, do Centro de Projetos de Navios da Marinha do Brasil, pelos
sábios conselhos que me transmitiu durante os últimos dois anos, que muito me
ajudaram a organizar as ideias que permeiam o estudo que ora se apresenta.
Agradeço cordialmente ao Vice-Almirante (EN) Francisco Roberto Portella
Deiana, Diretor de Engenharia Naval, por quem tive a imensa satisfação de ter minhas
platinas trocadas por ocasião de minha promoção a Capitão-de-Corveta, em dezembro
de 2012, e a todos os companheiros daquela Diretoria, pelo apoio prestado tanto do
ponto de vista técnico como do administrativo.
Meus agradecimentos a todos aqueles que não foram citados, mas que, de uma
forma ou de outra, contribuíram para o sucesso desta obra. É exatamente nesses
momentos que percebemos o valor dos amigos e da família e aprendemos que, por mais
que saibamos, jamais podemos dizer que não precisamos de ninguém.
vii
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES EM SISTEMAS MECÂNICOS COM MATERIAIS
MAGNETO-REOLÓGICOS
Marcelo de Souza Gomes
Abril/2013
Orientador: Marcelo Amorim Savi Programa: Engenharia Mecânica Este trabalho tem como propósito basilar introduzir um estudo do
comportamento de sistemas mecânicos que possam ser representados por um oscilador
simples com amortecedor dotado de fluido magneto-reológico. Inicialmente, é
apresentado um conceito global sobre materiais inteligentes, conjunto ao qual os fluidos
magneto-reológicos pertencem, para então o texto adentrar em uma discussão mais
específica a respeito desses fluidos, suas principais formas de aplicação e sua
importância para a engenharia contemporânea, principalmente nos processos de
controle. É apresentado o modelo de Bouc-Wen, adotado para descrever o
comportamento do fluido magneto-reológico por possuir a capacidade de reproduzir o
efeito de histerese magnética, típico dessa categoria de fluido. Simulações numéricas
são realizadas para estudar o comportamento de um amortecedor magneto-reológico
sujeito a um pequeno deslocamento harmônico e explicitar a sua histerese típica. A
seguir, é feito um estudo do sistema dinâmico completo, avaliando-se os resultados
obtidos ao se variar a corrente elétrica que circula nas bobinas do amortecedor; para
isso, utilizam-se diagramas força-velocidade e os espaços de fase do sistema para
diferentes valores de corrente elétrica. Um estudo das características de ressonância
desses sistemas é realizado para estabelecer uma comparação entre o sistema em estudo
e os casos clássicos de oscilação não-amortecida e amortecimento viscoso linear. A
última etapa consiste em estabelecer algumas metodologias de controle de amplitude de
vibração. A primeira baseia-se nos controladores PID. A segunda baseia-se na lógica
fuzzy, utilizada em processos não-lineares.
viii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
VIBRATION ANALYSIS OF MECHANICAL SYSTEMS WITH
MAGNETORHEOLOGICAL FLUIDS
Marcelo de Souza Gomes
April/2013
Advisor: Marcelo Amorim Savi Department: Mechanical Engineering The main objective of this work is to introduce a study on the behavior of
mechanical systems that are able to be depicted by a simple oscillator linked to a
damper endowed with magnetorheological fluid. At first, a global explanation about
intelligent materials, which includes magnetorheological fluids, is presented so that a
more specific discussion about what these fluids are, its main ways of application and
its importance to the contemporaneous engineering, mainly in control processes, can be
initiated The Bouc-Wen model is adopted to describe the behavior of
magnetorheological fluids due to its capability to reproduce the magnetic hysteresis
effect that is characteristic of this fluid category. Numerical simulations are provided in
order to study the behavior of a magnetorheological damper subject to a small and
harmonic displacement and make its typical hysteresis explicit. Besides, a study of the
complete dynamic system is made, evaluating the gotten results by varying the electrical
current that flows in the damper coils; for this purpose, force-velocity diagrams and
space states of the system are utilized for different electrical current values. A study of
the resonance characteristics of these systems is provided so that a comparison between
the system at issue and the classical cases of non-dampened vibrations and viscous
linear damping can be established. The last stage consists of establishing some
methodologies to control vibrations amplitudes. The first one is based on traditional PID
controllers. The second one is based on fuzzy logic, which is used in non-linear
processes.
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ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................................1 2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................6 3. FLUIDOS E AMORTECEDORES MAGNETO-REOLÓGICOS .......................7 3.1. Modos de Operação dos FMR ...................................................................................8
3.2. Princípio de Funcionamento de um Amortecedor MR ............................................11
3.3. Histerese Magnética ............................................................................................... .12
3.3.1. Substâncias Magnéticas ...................................................................... ......12
3.3.2. Correntes de Magnetização ............................................................. .........13
3.3.3. O Campo H ........................................................................................... ....15
3.3.4. Ferromagnetismo e Histerese .................................................................. .16
3.4. Modelo Constitutivo ............................................................................................... 18
3.5. Simulações Numéricas ............................................................................................21
4. SISTEMA DINÂMICO ...........................................................................................25 4.1. Oscilações Livres ................................................................................................. ..27
4.2. Oscilações Forçadas .............................................................................................. .32
4.3. Ressonância ......................................................................................................... ..36
5. CONTROLE DO SISTEMA DINÂMICO ...........................................................42 5.1. Controlador PID .....................................................................................................42
5.1.1. Efeito Proporcional ............................................................................ .....43
5.1.2. Efeito Integral (ou Reset) .................................................................... ....43
5.1.3. Efeito Derivativo .....................................................................................44
5.1.4. Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID) .................. .....44
5.2. Controlador Fuzzy ..................................................................................................44
5.2.1. Graus de Pertinência e Variáveis Linguísticas ........................................46
5.2.2. Regras de Inferência ............................................................................... 48
5.2.3. Conjuntos Fuzzy ..................................................................................... 49
5.2.4. Controle Fuzzy no Detalhe ......................................................................49
x
5.3. Controle do Sistema Massa-Mola-Amortecedor MR ..............................................52
5.3.1. Estabilização do Curso por Controlador PID ........................................... 52
5.3.2. Estabilização do Curso por Controlador Fuzzy ........................................ 60
6. CONCLUSÕES ........................................................................................................75 7. BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................... 77
1
1. INTRODUÇÃO Materiais inteligentes são aqueles materiais dos quais uma ou mais propriedades
podem ser alteradas significativamente, de forma controlada, por estímulos externos,
tais como tensão, temperatura, umidade, pH, campos elétricos e campos magnéticos. Há
vários tipos de materiais inteligentes, alguns dos quais bastante comuns.
Os chamados materiais piezoelétricos são materiais que geram diferença de
potencial ao sofrerem a aplicação de uma tensão mecânica. Esse efeito dá-se, também,
no caminho inverso, significando que a aplicação de uma diferença de potencial em uma
amostra produzirá uma tensão mecânica. Estruturas adequadamente projetadas com esse
tipo de material podem ser capazes de se curvar, se expandir ou se contrair sob efeito de
uma diferença de potencial.
As ligas com memória de forma e os polímeros com memória de forma são
materiais capazes de sofrer grandes deformações e recuperar sua forma por meio de
alterações na temperatura e na tensão. No caso das ligas com memória de forma, a
grande deformação deve-se a uma mudança na fase martensítica.
Os materiais magnetorrestritivos apresentam mudança na forma quando
submetidos à ação de um campo magnético e também apresentam mudança em sua
magnetização quando estão sob influência de tensão mecânica. Nesse sentido, também
há as ligas de memória de forma magnéticas, que são materiais que mudam de forma
em resposta a uma mudança significativa no campo magnético.
Polímeros sensíveis ao pH têm a propriedade de mudar de volume quando o pH
do meio se altera. Esses materiais incham ou sofrem constrição dependendo do valor do
pH. Tal comportamento ocorre devido à presença de certos grupos funcionais na cadeia
polimérica.
Existem, também, os polímeros sensíveis à temperatura, que experimentam uma
mudança física quando submetidos a estímulos externos de temperatura. A capacidade
de se submeterem a tais mudanças de forma controlada coloca esses materiais na
categoria dos materiais inteligentes.
Os materiais halocrômicos são comumente usados e possuem a característica de
mudar de cor quando a acidez varia. Um exemplo de aplicação desses materiais são os
indicadores que mudam de cor quando há presença de corrosão na região de um metal
onde eles são aplicados.
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Os sistemas cromogênicos mudam de cor em resposta a mudanças elétricas,
óticas ou térmicas. Incluem os materiais eletrocrômicos, que mudam sua cor ou
opacidade quando há aplicação de diferença de potencial (por exemplo, telas de cristal
líquido), os materiais termocrômicos, que alteram sua cor dependendo da temperatura, e
os materiais fotocrômicos, que mudam de cor em resposta à luz – por exemplo, as lentes
dos óculos de sol, que escurecem quando expostas à luz solar.
Materiais fotomecânicos são materiais que mudam de forma quando expostos à
luz. O efeito fotomecânico foi originalmente documentado por Alexander Graham Bell
em 1880 e, mais recentemente, UCHINO e CROSS (1980) mostraram que um material
fotorrestritivo poderia ser usado como pernas na construção de uma miniatura de
andador opticamente comandado.
Materiais autorreparáveis são uma classe de material inteligente que possuem,
estruturalmente incorporada, a habilidade de se auto repararem quando sofrem danos
causados pelo trabalho mecânico ao longo do tempo. Materiais dessa natureza podem
reduzir custos de produção em uma grande quantidade de processos industriais
diferentes por causa do tempo de vida mais longo das peças, reduzir a ineficiência dos
processos causada pela degradação, bem como prevenir custos adicionais decorrentes de
falhas de material. Nessa linha, os chamados elastômeros dielétricos possuem a
capacidade de reparar danos decorrentes do uso normal, além de expandir seus tempos
de vida.
Os materiais magnetocalóricos são compostos que se submetem a uma mudança
reversível na temperatura quando expostos a campos magnéticos variáveis.
Os materiais termoelétricos são utilizados para construir dispositivos que
convertem diferenças de temperatura em eletricidade e vice-versa. Esses fenômenos são
especificamente conhecidos como efeito Seebeck (conversão de temperatura em
corrente), efeito Peltier (conversão de corrente em temperatura) e efeito Thomson
(aquecimento ou resfriamento de condutores).
O foco do presente trabalho são os fluidos magneto-reológicos (FMR), também
chamados ferrofluidos. Esses fluidos se tornam fortemente magnetizáveis quando na
presença de um campo magnético. A sensibilidade de tais fluidos à presença de campos
magnéticos constitui o princípio de funcionamento dos amortecedores magneto-
reológicos.
A proposta é estudar o comportamento de um sistema mecânico envolvendo
materiais magneto-reológicos. Para isso, considera-se um sistema massa-mola-
3
amortecedor, onde o amortecedor é composto por um material magneto-reológico. Em
essência, pretende-se investigar a dinâmica do sistema, analisando a influência do
campo magnético aplicado.
TSOUROUKDISSIAN et al (2009) sustentam que, para se utilizar
amortecedores magneto-reológicos de forma eficiente, é necessário elaborar modelos
capazes de descrever o seu comportamento com precisão suficiente. No entanto,
reconhecem que ainda não existe um consenso em relação à modelagem dos FMR. Os
autores utilizam os modelos de Bouc-Wen e de fricção de Dahl para descrever o
comportamento dos FMR.
O estudo de suspensões ativas dotadas de amortecedores com fluidos MR tem
sido objeto de uma série de pesquisas. SHEN et al (2005), PRABAKAR et al, (2009),
TSAMPARDOUKAS et al (2008), GAO e YANG (2008) e YAO et al (2002)
estudaram sistemas de suspensão com um grau de liberdade utilizando amortecedor
magneto-reológico. O modelo de histerese de Bouc-Wen foi utilizado nesses trabalhos
para representar a força histerética não-linear de amortecimento.
LIU et al (2011) propuseram o método quantitativo chamado SPAM (single
parameter adjustment method) para que a seleção dos parâmetros de controle de
modelos de amortecedores magneto-reológicos seja a mais precisa possível. Usando o
SPAM, apenas um parâmetro é identificado de cada vez, e os parâmetros de
amortecimento controlados são selecionados de acordo com a maior ou menor
facilidade de controle. As relações entre os parâmetros selecionados e as correntes
aplicadas são determinadas por ajustagem de curvas. Os conceitos de GA (genetic
algorithm) e PS (pattern search) são utilizados para identificar valores dos parâmetros
dos modelos de amortecedor MR. Foi considerado o modelo de Bouc-Wen modificado
e os parâmetros foram obtidos pelos métodos acima. Dados experimentais com
diferentes frequências, amplitudes e correntes foram utilizados para verificar e validar o
SPAM.
SARIGUL-KLIGIN et al (2007) modelaram e testaram um sistema isolador de
vibrações que utilizava um amortecedor magneto-reológico de espuma, submetendo
esse sistema a excitações harmônicas e aleatórias. Os resultados deste experimento
podem ser considerados valiosos para o entendimento das características do
amortecedor MR de espuma e incluem observações sobre reduções de vibração a
frequências de até 2000 Hz. As equações constitutivas do modelo de Bouc-Wen são
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utilizadas para validar e caracterizar o amortecedor MR de espuma. Neste trabalho, as
características de movimento do amortecedor também são estudadas.
VAVREK et al (2005) empregaram o modelo de Bouc-Wen para modelar um
freio à base de fluido magneto-reológico comercial modificado. Também foram usados
valores experimentais do torque de resposta do freio, coletados ao submeterem o
sistema a oscilações. Foi empreendido um processo de otimização utilizando-se dados
de torque e de deslocamento ao longo do tempo, no sentido de determinar os parâmetros
do modelo de freio proposto. Foram feitas comparações entre respostas de torque
teóricas e dados experimentais.
YU et al (2009) estudaram a estabilidade de um veículo de passageiros que
apresenta suspensões magneto-teológicas. O primeiro passo executado por eles foi
formular um amortecedor MR e avaliar sua força de amortecimento como resposta ao
campo magnético experimentalmente. Um modelo de carro completo equipado com o
modelo de amortecedor MR projetado foi estabelecido, levando em conta os
movimentos de curva, que estão relacionados à estabilidade do veículo. Um controlador
fuzzy de redes neurais (fuzzy network neural controller – FNNC) incorporado ao sistema
de autoaprendizado foi então formulado a fim de melhorar a estabilidade. Além disso,
objetivando eliminar efeitos adversos oriundos do acoplamento do sistema, não
linearidades e atrasos, foi projetado um componente de correção para atualizar a matriz
de carregamento e as saídas do controle de ajustagem. Simulações computacionais e
testes de estrada foram executados para demonstrar a efetividade do método de controle
proposto.
GUO et al (2008) mostraram que amortecedores MR podem ser usados para
reduzir a vibração ou a resposta dinâmica de sistemas controlados. Seu trabalho
demonstra que os parâmetros do amortecedor podem ser ajustados em tempo real por
meio da atualização da corrente de controle; portanto, necessário é determinar a corrente
de controle de forma rápida e precisa. Eles propõem uma estratégia de controle fuzzy
baseada em uma rede neural cujo objetivo é prever as respostas dinâmicas do sistema
com amortecedores MR, sendo utilizado, também, um controlador fuzzy para determinar
a corrente de controle dos amortecedores MR. Uma estrutura de aço de cinco andares
com amortecedores MR, utilizando a estratégia de controle fuzzy proposta, teve seu
comportamento simulado com o auxílio do Simulink. Os resultados mostraram que a
estratégia de controle fuzzy pode determinar a corrente de controle com rapidez e
precisão, além de reduzir efeitos sísmicos de forma efetiva.
5
XU e GUO (2006) demonstram que os amortecedores MR possuem uso
potencial no controle de vibrações de grandes estruturas devido à sua baixa energia de
entrada e à sua capacidade de mitigar efeitos de terremotos. A fim de escolher a corrente
de controle de maneira rápida e precisa, um novo método que utiliza o controlador
fuzzy, chamado método de controle de estado total fuzzy (fuzzy full-state control
method), é proposto. Respostas dinâmicas a diferentes entradas no controlador fuzzy são
comparadas. Por meio de simulações numéricas, eles concluem que a técnica de
controle fuzzy é capaz de perceber mudanças na corrente que circula no amortecedor
MR rapidamente e de forma acurada, possuindo bom efeito de controle.
O trabalho de ZAPATEIRO et al (2009) analisou o fato de que o uso dos
amortecedores MR para reduzir efeitos de vibrações causadas por abalos sísmicos em
estruturas de engenharia civil tem sido alvo de muito interesse na comunidade
científica, por causa das vantagens dessa classe de dispositivo. Segundo eles, é notório o
fato de que os amortecedores MR podem produzir altas forças de amortecimento com
baixa energia requerida e baixo custo de produção. No entanto, salientam que a
dinâmica complexa que caracteriza um amortecedor MR dificulta a elaboração de um
controle eficiente visando à redução de vibrações. No referido trabalho, é proposto um
controlador semiativo baseado em uma técnica chamada backstepping e na lógica fuzzy.
O controlador foi colocado no primeiro andar de um prédio de três andares e foi
submetido a movimentos sísmicos. A performance desse controlador foi avaliada
experimentalmente.
ATRAY e ROSCHKE (2004) descrevem um novo método para reduzir
vibrações verticais em um vagão de setenta toneladas usando um controlador neuro-
fuzzy e um amortecedor magneto-reológico. Uma técnica de controle semiativo foi
desenvolvida adotando-se um modelo de um quarto de carro com dois graus de
liberdade, considerando-se um amortecedor MR. Um controlador fuzzy atualizava
continuamente as propriedades de amortecimento do dispositivo. O controlador
utilizava o feedback da aceleração da massa da carga para especificar um sinal de
voltagem para o amortecedor MR. Correlações entre aceleração (entrada do
controlador) e voltagem (saída do controlador) foram desenvolvidas utilizando um
controlador neuro-fuzzy (NEFCON). Os resultados indicam que amortecedores MR
semiativos podem reduzir as vibrações a níveis aceitáveis, considerando-se que o
amortecedor tenha capacidade suficiente em termos de força.
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Diante do exposto, depreende-se que muitos trabalhos que envolvem o estudo
dos fluidos magneto-reológicos em amortecedores levam em consideração,
basicamente, duas correntes teóricas: o modelo de Bouc-Wen para descrever o
comportamento do amortecedor e a lógica fuzzy para estabelecer o controle do
amortecedor com o intuito de reduzir os efeitos das vibrações.
O presente trabalho segue essa tendência, utilizando o modelo de Bouc-Wen
para descrever o comportamento constitutivo de um amortecedor MR e, posteriormente,
aplicando a lógica fuzzy ao controle de um sistema dinâmico compreendido por um
oscilador de um grau de liberdade com um amortecedor MR.
Simulações numéricas são desenvolvidas mostrando o comportamento geral do
sistema, analisando a influência do campo magnético aplicado.
Após essa análise, consideram-se dois sistemas de controle visando à regulação
do nível das vibrações. O primeiro deles é baseado nos controladores tradicionais PID;
o segundo utiliza a lógica fuzzy. Os resultados dos dois sistemas são comparados,
mostrando as vantagens do uso de controladores fuzzy em relação aos controladores PID
para sistemas com características não-lineares.
2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Após essa introdução, o capítulo 3 apresenta o conceito de fluido magneto-
reológico, discutindo suas principais características e a influência de um campo
magnético. Além disso, discute-se a modelagem constitutiva, dando ênfase ao modelo
de Bouc-Wen. Simulações numéricas são desenvolvidas para algumas situações em que
um amortecedor magneto-reológico é submetido a um deslocamento senoidal,
explorando as curvas força-velocidade, onde se mostra a influência do campo
magnético nas histereses.
O capítulo 4 apresenta simulações numéricas envolvendo o sistema dinâmico,
que consiste em um oscilador com um amortecedor MR. Vibrações livres e forçadas são
tratadas. Apresentam-se as curvas de ressonância do sistema, avaliando a resposta para
diferentes campos magnéticos e comparando com o oscilador linear.
No capítulo 5, são propostos dois métodos para controlar o movimento do
oscilador: controlador PID e controlador fuzzy. De início, os dois métodos são aplicados
individualmente para buscar manter o curso do movimento próximo de um valor
desejado, fazendo-se uma comparação entre os resultados. Ruídos são impostos ao
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sistema para estudar a capacidade de resposta de cada um a situações imprevistas. O
objetivo é mostrar que o controlador fuzzy possui desempenho melhor que o do
controlador PID, tanto na ausência como na presença de ruído.
Finalmente, o capítulo 6 apresenta as conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
3. FLUIDOS E AMORTECEDORES MAGNETO-REOLÓGICOS Um fluido magneto-reológico (FMR) pertence à família dos materiais
inteligentes, apresentando um acoplamento magneto-mecânico. Quando submetido a
um campo magnético, esse fluido sofre grande acréscimo em sua viscosidade aparente,
a ponto de se tornar um sólido viscoelástico. Em seu estado ativo, o fluido apresenta
uma grande resistência à deformação, adquirindo notável capacidade para transmitir
força. Esse comportamento controlado pelo campo magnético faz com que os fluidos
magneto-reológicos possuam uma vasta variedade de aplicações, especialmente em
sistemas de controle.
As propriedades magneto-reológicas dos FMR são devidas à presença de
micropartículas ferromagnéticas dispersas no óleo portador (carrier oil), que, sob a ação
do campo magnético, se rearrumam de tal forma que causam um aumento significativo
da viscosidade aparente do fluido.
As partículas magnéticas são tipicamente esferas ou elipsoides de escala
nanométrica ou micrométrica (geralmente na faixa de 0,1 a 10 µm), permanecendo
suspensas dentro do óleo portador e distribuídas aleatoriamente sob circunstâncias
normais, como mostra a Figura 1.
Figura 1 – FMR entre Placas Paralelas A partir da aplicação de um campo magnético, as micropartículas alinham-se
com as linhas de fluxo magnético, como mostra a Figura 2. Dessa forma, as correntes de
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partículas resultantes restringem o movimento do fluido perpendicularmente ao fluxo
magnético, aumentando efetivamente a sua viscosidade. As propriedades do fluido,
quando em seu estado ativo, são anisotrópicas. Ao projetar um dispositivo magneto-
reológico, é crucial que se assegure que as linhas de fluxo permaneçam perpendiculares
à direção do movimento que se deseja restringir.
Um FMR típico contém de 20% a 40% de seu volume de partículas férreas,
como o ferro-carbono. Essas partículas podem estar suspensas em óleo mineral, óleo
sintético, água ou glicol.
Figura 2 – FMR sob a ação de um campo magnético
3.1. Modos de Operação dos FMR Há três formas principais de se utilizar um FMR: modo de escoamento, modo de
cisalhamento e modo de pressão-escoamento. Esses modos de operação envolvem,
respectivamente: fluido escoando em consequência do gradiente de pressão entre duas
placas estacionárias; fluido entre duas placas que se movem uma em relação à outra;
fluido entre duas placas que se movem na direção de seus planos perpendiculares. Em
qualquer dos casos, o campo magnético é perpendicular aos planos das placas,
justamente para restringir o movimento do fluido na direção paralela às placas.
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Figura 3 – FMR Operando entre Placas Estacionárias
Quando o FMR opera entre placas estacionárias, seu movimento ocorre em
virtude de um diferencial de pressão, que faz com que o fluido escoe entre as placas.
Quando aparece, na região do escoamento, um campo magnético, o movimento do
fluido é restringido pelo alinhamento das partículas ferromagnéticas dispersas,
ocasionado pelo momento de dipolo que elas adquirem.
Figura 4 – FMR Operando entre Placas com Movimentos Paralelos
Quando ocorre movimento relativo entre as placas, paralelamente uma à outra, o
movimento do fluido se dá por força de arrasto: a camada de partículas que está em
contato com a placa de maior velocidade (ou com a placa em movimento, no caso da
outra estar em repouso) “arrasta” as camadas adjacentes, provocando um movimento
sucessivo que vai perdendo intensidade à medida que as camadas se afastam para o
interior do fluido. A aplicação de um campo magnético e o consequente aparecimento
dos momentos de dipolo nas partículas ferromagnéticas faz com que o movimento do
fluido se torne restrito.
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Figura 5 – FMR Operando entre Placas com Movimentos Perpendiculares a seus Planos
O movimento relativo das placas paralelamente a seus respectivos planos
acarreta o escoamento do fluido por compressão. Sendo assim, enquanto estiver sendo
comprimido, o fluido escoa paralelamente às placas. Quando o movimento é no sentido
de afastamento das placas, a velocidade de escoamento se reduz. Ao ser aplicado um
campo magnético à região de escoamento, o movimento do fluido se restringe pelo
alinhamento das partículas dispersas.
As aplicações desses três modos de operação são numerosas. O modo de
escoamento pode ser utilizado em amortecedores e absorvedores de choque, utilizando-
se o movimento a ser controlado para forçar a passagem do fluido através de canais, nos
quais é aplicado um campo magnético. O modo de cisalhamento é particularmente útil
em embreagens e freios, em locais onde o movimento rotativo possa ser controlado. O
modo de pressão-escoamento é mais adequado para controle de movimentos da ordem
de milímetros, mas que envolvam grandes esforços.
Amortecedores magneto-reológicos vêm sendo desenvolvidos visando a diversas
aplicações. Esses amortecedores são empregados principalmente na indústria pesada,
em aplicações como amortecimento de grandes motores e amortecimento de cabines de
veículos de construção, entre outras aplicações.
Amortecedores para abalos sísmicos têm motivado diversas pesquisas, visando à
absorção de ondas de choque.
11
3.2. Princípio de Funcionamento de um Amortecedor MR Na Figura 6 é mostrado o corte transversal de um amortecedor MR típico. Não
são necessárias válvulas mecânicas para controlar vazão. Usualmente, utilizam-se
bobinas eletromagnéticas presas aos pistões e reservatórios cheios de fluido MR.
Fazendo circular uma corrente elétrica nas bobinas (eletroímã), gera-se um campo
magnético.
Figura 6 – Amortecedor MR típico Fonte: Koo (2003)
Quando o pistão desliza para dentro do amortecedor, ele divide o reservatório
em dois lados; assim, o fluido MR atravessa o orifício anular, passando de um lado para
o outro. Note que existem duas regiões de ativação, onde ocorre uma resistência à vazão
do fluido de um lado do pistão para outro quando é aplicado um campo magnético. Com
o aumento da força magnética, a resistência contra o fluxo de fluido nas regiões de
ativação também aumenta, até ser atingida uma corrente de saturação. O acumulador
tem a função de acomodar mudanças de volume resultantes da movimentação da haste
do pistão. O pistão do acumulador provê uma barreira entre o fluido MR e um gás
comprimido, o que acomoda as mudanças de volume devidas ao movimento do pistão.
O gás usado é normalmente o nitrogênio.
A corrente de saturação ocorre quando aumentos no valor da corrente elétrica
não são acompanhados por aumentos na força de amortecimento.
O mecanismo de um amortecedor MR é semelhante ao mecanismo dos
amortecedores hidráulicos, nos quais a força é causada pela passagem do fluido por um
orifício. Essa resistência variável para o fluxo de fluido permite usar o fluido MR em
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amortecedores viscosos e em outros dispositivos eletricamente controláveis (TUSSET,
2003).
Dessa forma, as propriedades magnéticas do fluido permitem seu uso como um
amortecedor controlado por tensão elétrica ou corrente.
3.3. Histerese Magnética Uma das características marcantes dos fluidos magneto-reológicos é a ocorrência
do efeito da histerese magnética, provocado pela magnetização das partículas dispersas
na matriz de óleo que compõe esses fluidos.
3.3.1. Substâncias Magnéticas JUNIOR et al (1993) propõem uma esclarecedora experiência, ilustrada pelas
Figuras 7 a 10.
Experiência envolvendo substâncias magnéticas
A Figura 7 apresenta três solenoides idênticos, , e , ligados em série aos
terminais de um gerador e próximos a pregos de ferro colocados num plano horizontal.
Quando chave Ch é fechada, a passagem de uma corrente i origina, no interior
dos solenoides, um campo magnético . Como o campo magnético externo dos
solenoides é de baixa intensidade, o mesmo não é suficiente para atrair pregos de ferro.
13
Coloquemos no interior de , e , respectivamente, barras de ferro, de aço
temperado e de cobre, denominadas núcleos dos solenoides. Observa-se na Figura 8 que
apenas o ferro e o aço atraem os pregos de ferro.
Abrindo-se a chave Ch, os pregos se desprendem do núcleo de ferro, mas ficam
retidos no núcleo de aço, conforme se verifica na Figura 9.
A seguir, invertamos os terminais do gerador e façamos a intensidade da
corrente aumentar lentamente, a partir de zero, em sentido contrário. Em pouco tempo,
os pregos no núcleo de aço se desprenderão (Figura 10)
Pode-se calcular a intensidade do vetor indução magnética , resultante no
interior dos solenoides da experiência anterior, com núcleos de diferentes substâncias.
Comparando-se a intensidade B do campo resultante com a intensidade do campo
sem os núcleos, as substâncias podem ser classificadas em três grupos:
a) diamagnéticas: substâncias em que B é ligeiramente menor que ; essas
substâncias, como, por exemplo, o cobre e o bismuto, contribuem para o
enfraquecimento do campo gerado pelo solenoide;
b) paramagnéticas: substâncias em que B é apenas um pouco maior que . Elas
contribuem muito pouco para o valor do campo; é o caso da maioria das substâncias,
como, por exemplo, manganês, cromo, estanho, alumínio, ar e platina, dentre outros;
c) ferromagnéticas: substâncias em que B é muito maior que ; são elas: ferro,
cobalto, níquel, gadolínio, disprósio e ligas especiais, em particular o aço temperado;
essas substâncias, imantadas, contribuem enormemente para o aumento da intensidade
do campo, verificando-se que pode ser aumentado centenas de milhares de vezes.
3.3.2. Correntes de Magnetização Após a descoberta dos efeitos magnéticos das correntes, foi sugerido por
Ampère -- André-Marie Ampère (1775-1836) -- que a magnetização de muitos
materiais (como os ímãs permanentes) deveria originar-se de correntes microscópicas,
que foram denominadas correntes de Ampère. Assim, todos os fenômenos magnéticos
seriam gerados por correntes.
Abstendo-nos de discutir a origem dessas correntes na escala atômica,
admitamos a sua existência e vejamos como ela se reflete na escala macroscópica.
14
Figura 11 – Correntes de Ampère em material magnético
A Figura 11 representa uma barra cilíndrica uniformemente imantada.
Imaginemos que a magnetização resulta de correntes microscópicas circulares. Os
efeitos das correntes microscópicas circulares adjacentes, em pontos internos, se
cancelam dois a dois, de forma que o fluxo através do interior do cilindro é zero.
Entretanto, isso não vale na superfície do cilindro, pois não há elementos de
corrente adjacentes externamente. O efeito resultante equivale, portanto, a uma corrente
superficial, representada pela linha interrompida.
Considerando a Figura 11 como a seção transversal reta de um cilindro que se
estende ao longo de um eixo z, podemos definir como a densidade de corrente
superficial correspondente, de forma que = , onde é a intensidade de
corrente em um anel de altura . Logo:
= (1) Da teoria do Eletromagnetismo, sabe-se que uma espira anular de altura dz
percorrida por uma corrente de intensidade di tem um momento de dipolo magnético:
mmmm = () = ()zzzz(2) onde S é a área orientada correspondente e a é o raio do cilindro. Logo, |mmmm| = () = (3) onde dv é o volume do cilindro de altura dz.
15
A magnetização MMMM é, por definição, o momento de dipolo magnético por
unidade de volume:
MMMM = mmmm (4) 3.3.3. O Campo H O campo magnético B produzido pelas correntes de magnetização se soma
àquele devido às correntes j geradas pelo transporte de portadores de carga, chamadas
correntes livres (as correntes de magnetização, jjjj, são “ligadas”).
Na presença de magnetização, a lei de Ampère, conhecida da teoria do
Eletromagnetismo, fica:
!"BBBB = $(jjjj + jjjj&) = $jjjj + $ !"MMMM(5) onde $ é a permeabilidade magnética no vácuo.
Assim, desenvolvendo a equação (5) e sabendo que $ é constante, vem: !" BBBB$ = jjjj + !"MMMM(6)
Fazendo: HHHH = BBBB$ − MMMM,
concluímos que: !"HHHH = jjjj(7) Essa é a lei de Ampère para H, assim como é definida para B por uma das
equações de Maxwell em sua forma diferencial.
Da teoria do Eletromagnetismo, sabe-se que:
HHHH = −MMMM(8) Se tivermos um meio magnético linear, homogêneo e isotrópico, a magnetização
M é proporcional ao campo B (ou, equivalentemente, H) no interior do meio:
MMMM = .HHHH(9) onde . chama-se susceptibilidade magnética do meio. Daí resulta:
16
BBBB = $(HHHH+ MMMM) = $(1 + .)HHHH = $HHHH(10) onde $ = $(1 + .). 3.3.4. Ferromagnetismo e Histerese Num metal ferromagnético, |MMMM| é várias ordens de grandeza maior do que em
materiais paramagnéticos e diamagnéticos, e a relação entre M e H é não-linear.
Graficamente, pode ser representada por uma curva de magnetização. A natureza dessa
curva depende não só do material, mas do tratamento a que esse material foi submetido,
ou seja, da história anterior.
Figura 12 (a) Curva de magnetização Figura 12 (b) Ciclo de histerese de um material ferro- magnético
Fonte: Nussenzveig (1997) Consideremos primeiro um material como o ferro doce, em geral preparado por
aquecimento até uma temperatura elevada, seguido de resfriamento lento (processo de
recozimento). Se submetermos uma amostra, inicialmente desmagnetizada, a um campo
H crescente, a curva de magnetização tem tipicamente o aspecto indicado na Figura
12(a), onde valores negativos de H correspondem à inversão de sentido de H.
O coeficiente angular inicial, dM / dH, que define uma “susceptibilidade inicial” ., é extremamente elevado, com valores da ordem de 102 a 103, contrastando com os
valores muito próximos de 1 encontrados em materiais diamagnéticos e paramagnéticos.
Entretanto, à medida que H cresce, M vai crescendo mais lentamente, tendendo a
atingir um patamar após o qual se mantém praticamente constante, efeito conhecido por
saturação. Se continuarmos definindo $ = /2 (que passa a ser uma função de H), a
17
permeabilidade magnética relativa $/$ atinge valores típicos de aproximadamente 104
e o campo B de saturação chega a aproximadamente 104 Gauss, ou seja, 1 T.
Examinemos o comportamento de M quando H é um campo oscilante,
invertendo-se periodicamente (corrente alternada).
Para um material magneticamente “duro”, como o aço temperado da experiência
do item 3.3.1., produzido por aquecimento seguido de resfriamento rápido, o
comportamento típico está ilustrado na Figura 12(b). Se começarmos com o material
desmagnetizado, ele segue inicialmente uma curva de magnetização como 3 → 5, do
tipo da já discutida.
Entretanto, se diminuirmos H a partir de A, M não volta pelo mesmo caminho 5 → 3: decresce mais lentamente, segundo a curva 5 → 6. No ponto C, em que 2 = 0, M é diferente de zero; o material permanece imantado na ausência do campo
magnetizante externo. O valor de M no ponto C chama-se magnetização residual, e o
fenômeno é conhecido como remanência.
Invertendo o sentido de H e aumentando |HHHH|, a magnetização segue o trajeto 6 → 7: é preciso atingir um valor negativo de H suficientemente grande, associado ao
ponto D, para que M volte a se anular. O valor de |HHHH| no ponto D chama-se
coercividade do material.
Continuando com 2 < 0 e |HHHH| crescente, |MMMM| volta à região de saturação no
ponto E. Repetindo o ciclo em sentido inverso a partir de E, a magnetização segue o
caminho 9 → : → ; da Figura 12(b) e daí volta para A, fechando o ciclo, que daí em
diante vai sendo percorrido periodicamente para uma corrente alternada.
O fato de que a curva de magnetização não é unívoca, dependendo da história
anterior, chama-se histerese (do grego hysteresis, “atraso”), e o ciclo fechado que
acabamos de descrever chama-se ciclo de histerese. No caso do ferro doce, também há
um ciclo de histerese, mas a “largura” (distância entre D e G na Figura 12(b)) é muito
menor, podendo aparentar uma curva unívoca em forma de “S”.
Os resultados acima descritos para materiais ferromagnéticos valem somente
para temperaturas T abaixo de uma temperatura Θ característica de cada material,
chamada ponto de Curie. NUSSENZVEIG (1997) cita os valores 1043 K para o ferro,
1388 K para o cobalto e 627 K para o níquel. Para < > >, o material torna-se
paramagnético, e sua susceptibilidade magnética ., como função de T, obedece à lei
de Curie-Weiss, conhecida da teoria do Eletromagnetismo:
18
. = 6< − >(11) onde C é a constante de Curie do material, quando paramagnético. Quando < → > por
valores superiores, verifica-se que:
1< − >
deve ser substituído por 1(< − >)?
onde γ é um expoente crítico característico da substância. Por exemplo, para o ferro,
tem-se @ = 1,33.
3.4. Modelo Constitutivo O comportamento magneto-mecânico do amortecedor MR pode ser descrito a
partir do modelo constitutivo de Bouc-Wen, apresentado por WEN (1976) e
representado por meio da Figura 13. Este modelo é constituído por uma mola de
constante elástica A, um amortecedor viscoso linear de coeficiente de amortecimento B e um elemento indicado na figura como “Bouc-Wen”. Esses três elementos, dispostos
em paralelo, sofrem a ação de uma força :, adquirindo um deslocamento C.
O elemento “Bouc-Wen” tem a função de descrever o efeito de histerese
magnética, provocado pela presença de partículas ferromagnéticas dispersas no óleo.
19
Figura 13 – Modelo de Bouc-Wen Fonte: Spencer et al (1997)
A força F no sistema original de Bouc-Wen é obtida por meio das equações a
seguir, onde C [m] é o deslocamento inicial, B [Ns/m] é um coeficiente de
amortecimento viscoso, A [N/m] é um coeficiente de rigidez e α [N/m] também é um
coeficiente de rigidez. Os coeficientes γ [m-2], β [m-1], n e A dependem das
características do amortecedor, sendo n e A constantes.
:DE = BCF + A(C − C) + G (12) F = −@|CF || || |HI − JCF | |H + 5CF (13) A variável histerética z define o efeito da histerese na formulação matemática,
estando associada a uma força definida pelo termo G .
Visando a obter um modelo mais realista para o amortecedor MR, SPENCER et
al (1997) propuseram um modelo modificado que acopla outros elementos ao elemento
MR. A Figura 14 mostra um amortecedor viscoso linear de coeficiente B ligado em
série com um conjunto de três outros elementos acoplados em paralelo. Além disso,
existe uma mola de constante elástica A associada em paralelo com os elementos
supracitados.
20
Figura 14 – Modelo de Bouc-Wen modificado Fonte: Liao e Lai (2002)
A força total gerada neste novo modelo é::
:DE = G + A(C − K) + B(CF − KF ) + A(C − C)(14) As equações de evolução das variáveis internas são dadas por: BKF = G + A(C − K) + B(CF − KF )(15) F = @|CF − KF || |HI − J(CF − KF )| |H + 5(CF − KF )(16) Resolvendo-se a (15) para KF , obtém-se: KF = 1B + B LG + A(C − K) + BCF M(17) Combinando as equações (14) e (15), pode-se reescrever a força de
amortecimento da seguinte forma:
:DE = BKF + A(C − C)(18) sendo α um coeficiente de rigidez [N/m], B um coeficiente de amortecimento viscoso
[Ns/m], B outro coeficiente de amortecimento viscoso [Ns/m], A um coeficiente de
rigidez [N/m], A outro coeficiente de rigidez [N/m] e C a posição inicial [m]. Os
coeficientes γ [m-2], β [m-1], n e A dependem das características do amortecedor, sendo n
e A constantes.
21
A variável interna K, bem como os elementos internos de coeficientes B e A,
que não existem no sistema de Bouc-Wen original (Figura 13), têm como função
aumentar a fidelidade entre o sistema modelado e o fluido MR real.
LIU et al (2011) propuseram um modelo dependente do campo magnético
aplicado, que, por sua vez, depende diretamente da corrente que o gera. A dependência
do campo é obtida através da dependência da corrente aplicada por parte dos
coeficientes α, B, β e A, que podem ser obtidos por meio das equações a seguir, onde I
representa a corrente elétrica geradora do campo magnético.
G = GNO + GP(19) B = BNQRSTU(20) J = JNQVTU(21) 5 = 5N + 5PO + 5RO(22) LIU et al (2011) utilizaram o método SPAM (single parameter adjustment
method) para fazer ajustes com curvas experimentais. A Tabela 1 reproduz os
parâmetros do modelo constitutivo obtidos a partir do referido estudo.
TABELA 1 – Parâmetros Constitutivos para o Amortecedor MR.
Parâmetros Valores GN 15940 Nm-1
A-1
GP 15060 Nm-1
BN 1979 Nsm-1
BP 0,4844 Nsm-1
A-1
A 762,1 Nm-1
B 1,783 x 106 Nsm
-1 A 348,6 Nm
-1 @ 2802 m
-2 JN 1415 m
-2 JP - 0,7522 m
-2A
-2 5N - 4,367 A
-2 5P - 12,99 A
-1 5R 462,3 W 0,5055 C 0,006778 m
22
3.5. Simulações Numéricas Neste ponto, simulações numéricas são realizadas visando a mostrar o
comportamento constitutivo do modelo de Bouc-Wen modificado. O procedimento
numérico adotado é o de Runge-Kutta de quarta ordem.
A ideia central é promover um carregamento com deslocamento prescrito,
avaliando as forças associadas. Considera-se uma função senoidal no deslocamento do
tipo C = Xsen(\"), em que C denota a posição da haste do amortecedor.
Portanto, simula-se o seguinte sistema:
] F = @|CF − KF || |HI − J(CF − KF )| |H + 5(CF − KF )(16)KF = 1B + B LG + A(C − K) + BCF M(17) (23)
O diagrama de blocos Simulink construído para resolver o sistema de equações
diferenciais (23) é mostrado na Figura 15. As simulações são realizadas com passos
inferiores a 0,001 s. O diagrama utiliza os resultados obtidos para calcular a força de
amortecimento :DE.
No diagrama proposto, os três grandes blocos da direita, designados por “dx”,
“dy” e F, representam, respectivamente, os termos F, KF e :DE. Os blocos menores,
ligados a essas funções, representam os parâmetros inerentes a elas. Os termos
dependentes da corrente, cujos blocos são designados por “A”, “beta”, “c0” e “alpha”,
por sua vez, recebem seus próprios parâmetros, os mesmos apresentados nas equações
(19) a (22). Para cada iteração, os valores de e K são calculados pelos blocos
integradores, designados por “Integrator”. O sinal de entrada está representado pelo
shaker (C) e sua derivada (CF ) é calculada no bloco intitulado Derivative. Repare no
diagrama que a função F depende de e de KF e que KF depende de e de K. A força
gerada :DE, por sua vez, depende de KF .
23
Figura 15 – Diagrama de blocos Simulink para o modelo de Bouc-Wen modificado
Inicialmente, consideram-se simulações para X = 0,01^, \ = e O = 05. A
Figura 16 mostra os diagramas força-deslocamento e força-velocidade. Note que existe
uma histerese típica dos materiais MR na curva força-velocidade.
Figura 16 – (a) Força-deslocamento para (b) Força-velocidade para I = 0 A I = 0 A Aumentando a corrente para O = 15, mantendo-se as demais condições, existe
um aumento da histerese e consequente aumento da dissipação. A Figura 17 mostra as
curvas as curvas força-deslocamento e força-velocidade para este caso.
24
Figura 17 – (a) Força-deslocamento para (b) Força-velocidade para I = 1 A I = 1 A Aumentando ainda mais o valor da corrente para O = 25, obtêm-se os resultados
apresentados na Figura 18. Note que existe um aumento ainda maior da histerese.
Figura 18 – (a) Força-deslocamento para (b) Força-velocidade para I = 2 A I = 2 A Levando finalmente O ao valor de 3 A, os resultados são mostrados na Figura 19,
onde se constata que o efeito de histerese é ainda maior do que nos demais casos.
25
Figura 19 – (a) Força-deslocamento para (b) Força-velocidade para I = 3 A I = 3 A
Note que o efeito da histerese tende a aumentar na medida em que se aumenta o
valor da corrente elétrica. Isso se traduz fisicamente em um efeito dissipativo crescente
com o aumento da corrente elétrica e, consequentemente, do campo magnético.
Pode-se concluir, portanto, que quanto maior a corrente que circula no
dispositivo magneto-reológico, maior o efeito do amortecimento, já que a energia
envolvida na movimentação do amortecedor MR modelado é puramente cinética.
4. SISTEMA DINÂMICO
Este trabalho se propõe a analisar o comportamento dinâmico de um sistema
mecânico envolvendo um amortecedor com FMR. Para isso, considere o dispositivo
apresentado na Figura 20, composto por uma mola, um amortecedor MR e uma massa
m submetido a um forçamento harmônico.
Esse sistema pode ser o protótipo de um mecanismo oscilatório de máquina, de
um carro de laboratório para estudo das características de amortecimento dos FMR, de
uma parede estrutural ou das vigas de uma ponte, por exemplo, dentre outras aplicações.
26
Figura 20 – Sistema mecânico em estudo
A equação de movimento desse sistema dinâmico é dada por: ^C_ + AC + :DE = :sen(`")(24) O termo :DE é descrito através do modelo constitutivo tratado na seção anterior.
O lado direito da equação, por sua vez, representa um forçamento harmônico de
frequência angular Ω e magnitude máxima :.
As simulações aqui apresentadas utilizam o método de Runge-Kutta de quarta
ordem. O diagrama de blocos está apresentado na Figura 21.
Além dos parâmetros apresentados na Tabela 1, considera-se ainda que:
^ = 20Aa; e A = 7000 c.
A equação (24), que governa o sistema, pode ser reescrita como: C_ = : sen`" − :DE − A C
Na Figura 20, a seguir, o bloco “F x 1/m” calcula o valor de FMR / m e o leva
para o bloco “Add1”, que lhe atribui o sinal de “--“. O bloco “k x 1/m” calcula o valor
de k/m e o leva ao bloco “k/m . x”, que também recebe a saída do bloco “Posição (x)” e
executa o produto de k/m por x. A saída do bloco “k/m . x” é levada ao bloco “Add1”
com o sinal de “--“. O bloco “F Periódica” calcula o valor da função de forçamento 700
sen (Ωt) e o leva ao bloco “F Periódica / m”, que divide o valor da função por m. Esse
resultado é levado ao bloco “Add1”, que lhe atribui o sinal de “+”. No bloco “Add1”, é
calculado o segundo membro da equação reescrita acima, ou seja, o bloco “Add1”
calcula o valor de C_ . A saída de “Add1” é integrada no bloco “Velocidade” e integrada
novamente no bloco “Posição (x)”, que finalmente gera o valor atual de x.
27
Figura 21 – Diagrama de blocos Simulink para sistema com forçamento periódico 4.1. Oscilações Livres Para um estudo das vibrações livres do sistema, as equações de governo são as
apresentadas a seguir.
^C_ + AC + :DE = 0(25) :DE = G + A(C − K) + B(CF − KF ) + A(C − C)(14) F = @|CF − KF || |HI − J(CF − KF )| |H + 5(CF − KF )(16) KF = 1B + B LG + A(C − K) + BCF M(17) .
Para a análise de vibrações livres, consideram-se diferentes valores da corrente
elétrica. Portanto, considera-se um deslocamento inicial C da massa igual a 10 mm e a
velocidade inicial igual a zero. A massa adotada para o bloco foi 20 kg. A constante
elástica da mola externa foi considerada igual a 7000 N/m.
Aplicando uma corrente de 1 A, o sistema fornece uma resposta apresentada nas
Figuras 22, 23 e 24.
28
Figura 22 – Força-velocidade para corrente de 1 A
A figura anterior apresenta o diagrama força resultante – velocidade do bloco. A
forma espiral da curva significa que força e velocidade vão-se reduzindo até a parada do
bloco. Note que, quando o bloco para (velocidade zero), cessa a ação de forças.
Figura 23 – História temporal da força para corrente de 1 A
29
Figura 24 – História temporal da velocidade para corrente de 1 A As Figuras 23 e 24 mostram que força e velocidade partem de um valor máximo
no instante t = 0 e sofrem decaimento em seu valor absoluto até que atinjam o valor
zero, o que concorda com a Figura 22. Tais resultados já eram de se esperar, pois a força
somente é definitivamente zerada quando o bloco atinge uma posição em que não mais
se move; qualquer movimento do bloco, neste ponto, perturba o equilíbrio de forças,
demonstrando que a velocidade também deve ser nula.
Repare, também, na rapidez da resposta do amortecedor, que faz com que o
bloco pare em questão de milissegundos após o deslocamento inicial.
Vejamos, agora, os comportamentos dos termosC, K, KF e ao longo do tempo de
simulação, até a parada efetiva do bloco. Esses resultados são mostrados nas Figuras 25,
26, 27 e 28. Foi mantido o valor de 1 A para a corrente elétrica.
Figura 25 – Evolução de x no tempo Figura 26 – Evolução de y no tempo
30
Figura 27 – Evolução de KF no tempo Figura 28 – Evolução de z no tempo
Para entender a forma do gráfico força resultante-velocidade, recorramos à
equação (18):
:DE = BKF + A(C − C)(18)
Examinemos, primeiramente, a segunda parcela da soma que constitui o segundo
membro da equação. Pela análise da Figura 25, percebemos que o valor de x varia muito
pouco no decorrer do tempo de parada, o que reflete a grande capacidade de
amortecimento dos FMR. Como C e A são constantes, podemos considerar o termo A(C − C) praticamente constante, sem significativa perda de precisão na análise.
A explicação do parágrafo precedente permite-nos deduzir que a variação da
força magneto-reológica no decorrer do tempo será ditada pela primeira parcela do
segundo membro da equação (18), em que B é uma constante de altíssimo valor
(1,783 ×10fcg^I, conforme Tabela 1) e KF varia no tempo de acordo com a Figura
27. A força resultante é igual a :DE + AC = BKF + A(C − C) + AC. Como A é
constante e C quase nada varia, assumimos que também a força resultante sobre o bloco
praticamente varia apenas com KF . Logo, podemos dizer que temos uma função de
aspecto senoidal como ordenada (força resultante, conforme Figura 23) e outra função
de aspecto senoidal como abscissa (velocidade, conforme Figura 24). Sabemos que o
gráfico de uma função seno por outra função seno, ambas de amplitude constante, é uma
elipse ou uma circunferência. Portanto, quando essas duas funções apresentam
amplitudes decrescentes ao longo do tempo, o gráfico esperado é algo parecido com a
espiral da Figura 22.
31
Aumentando o valor da corrente para 3 A, os resultados estão apresentados nas
Figuras 29, 30 e 31.
Figura 29 – Força-velocidade para corrente de 3 A
Figura 30 – História temporal da força para corrente de 3 A
32
Figura 31 – História temporal da velocidade para corrente de 3 A
Comparando esses últimos resultados com os obtidos para a corrente de 1 A,
percebe-se uma significativa redução do tempo de amortecimento, que, para uma
corrente de 3 A, é de aproximadamente 20 ms.
Considerando deslocamentos iniciais de 20 mm, 21 mm e 22 mm, com uma
corrente de 0 A, o gráfico força magneto-reológica – velocidade adquire os aspectos
mostrados nas Figuras 32, 33 e 34, respectivamente.
Figura 32 – Força-velocidade para deslocamento inicial de 20 mm
33
Figura 33 – Força-velocidade para deslocamento inicial de 21 mm
Figura 34 – Força-velocidade para deslocamento inicial de 22 mm
Nas últimas três figuras, nota-se uma tendência maior à formação de curvas
típicas de histerese, o que não ocorre devido ao forte amortecimento proporcionado pelo
fluido MR modelado, que reduz drasticamente as intensidades da velocidade e da força
resultante atuantes no bloco.
Conclui-se, portanto, que quando o sistema é submetido a oscilação livre, a
dissipação de energia aumenta com o aumento da corrente elétrica.
4.2. Oscilações Forçadas Para a análise do mesmo sistema em situação de oscilação forçada, continuará
sendo utilizada a equação (24), mas sem zerar o termo ::
34
^C_ + AC + :DE = :sen(`")(26) Mantendo os valores de massa e de constante elástica da mola utilizados no caso
das oscilações livres e fazendo:
: = 700c; e ` = g ou2 g , é possível utilizar o diagrama de blocos Simulink da Figura 16, para a simulação da
situação proposta.
Variando-se o valor da corrente e alternando-se o valor da frequência de
forçamento entre π rad/s e 2π rad/s para cada valor de corrente, foram obtidos os
resultados a seguir apresentados.
As Figuras 35, 36, 37 e 38 mostram os resultados para I = 0 A.
Figura 35 – Curva força-velocidade para Figura 36 – Curva força-velocidade Ω = π rad/s para Ω = 2π rad/s As duas figuras anteriores ilustram o processo de acomodação das curvas de
histerese do sistema em torno de uma órbita. O que ocorre é que, com o passar do
tempo, as variações da força e da velocidade tendem a se estabilizar em torno de um
determinado caminho, nele permanecendo enquanto durar o forçamento.
35
Figura 37 – Espaço de fase para Ω = π rad/s Figura 38 – Espaço de fase para Ω = 2π rad/s As Figuras 37 e 38 ilustram o espaço de fase do sistema para as frequências de π
rad/s e 2π rad/s, respectivamente. Note que a órbita que configura o espaço de fase, em
ambos os casos, tende a se estabilizar em torno de um caminho. Tais órbitas
permanecerão inalteradas até que o forçamento seja interrompido.
Fazendo I = 0,5 A, obtêm-se os resultados apresentados nas Figuras 39, 40, 41 e
42.
Figura 39 – Curva força-velocidade para Figura 40 – Curva força-velocidade Ω = π rad/s para Ω = 2π rad/s Comparando as Figuras 39 e 40 com as Figuras 35 e 36, respectivamente,
percebe-se uma clara diminuição da área interior aos gráficos de histerese quando a
corrente passa do valor de 0 para 1 A. Isso se explica pelo fato de que, se por um lado o
efeito de amortecimento aumenta com o aumento da corrente, por outro a amplitude de
movimento e a velocidade diminuem bastante; pesando um e outro efeito, conclui-se
que, se movimentando menos e com menos velocidade, o carro acaba dissipando menos
energia. As figuras 41 e 42 corroboram essa constatação.
36
Figura 41 – Espaço de fase para Ω = π rad/s Figura 42 – Espaço de fase para Ω = 2π rad/s Comparando as Figuras 41 e 42 com as Figuras 37 e 38, percebe-se que o curso
do bloco passou de – 0,067 m a + 0,067 m a uma corrente de 0 A para – 0,028 m a +
0,028 m a uma corrente de 0,5 A, para uma frequência de forçamento de π rad/s, e de –
0,030 m a + 0,030 m a uma corrente de 0 A para – 0,018 m a + 0,018 m a uma corrente
de 0,5 A, para uma frequência de forçamento de 2π rad/s.
O mesmo ocorreu com o espectro de velocidades, que passou de – 0,19 m/s a +
0,19 m/s a uma corrente de 0 A para – 0,10 m/s a + 0,10 m/s a uma corrente de 0,5 A,
na frequência de forçamento de π rad/s, e de – 0,25 m/s a + 0,25 m/s para – 0,15 m/s a +
0,15 m/s na frequência de 2π rad/s.
Aumentando o valor da corrente para I = 1 A, verificam-se os resultados
apresentados nas Figuras 43, 44, 45 e 46.
Figura 43 – Curva força-velocidade para Figura 44 – Curva força-velocidade Ω = π rad/s para Ω = 2π rad/s
37
As Figuras 43 e 44 mostram um efeito ainda maior na diminuição da energia
dissipada do sistema, o que fica evidente nas Figuras 45 e 46 a seguir, que representam
os espaços de fase do carro para uma corrente de 1 A.
Figura 45 – Espaço de fase para Ω = π rad/s Figura 46 – Espaço de fase para Ω = 2π rad/s A análise dos espaços de fase obtidos para os diferentes valores de corrente
conduz à conclusão esperada de que tanto a amplitude do movimento como o espectro
de velocidades ficam bastante restringidos quando se passa o valor de corrente de 0 para
1 A. Isso se traduz nas configurações das curvas força-velocidade respectivas, que
demonstram uma redução da energia dissipada conforme se aumenta a corrente e,
consequentemente, se reduz a amplitude do movimento. Considerando, por exemplo,
Ω= π rad/s, é notório o fato de que, para uma corrente de 0 A, a posição do bloco
alterna-se entre os valores – 0,067 m e + 0,067 m, enquanto para uma corrente de 1 A, a
posição situa-se entre – 0,010 m e + 0,010 m. Da mesma forma, para uma corrente de 0
A, a velocidade alterna-se entre os valores – 0,19 m/s e + 0,19 m/s, enquanto para uma
corrente de 1 A, o valor gira entre – 0,06 m/s e + 0,06 m/s.
Do exposto, é imediato concluir que, para a situação de oscilação forçada,
conforme se aumenta a corrente que circula no amortecedor, diminui-se a quantidade de
energia dissipada, fato esse ocasionado pelas reduções da amplitude do movimento e do
espectro de velocidades.
4.3. Ressonância Neste item, discute-se a ressonância do oscilador, considerando diferentes
condições.
38
Inicialmente, traçam-se curvas de ressonância a partir da avaliação do
deslocamento máximo para cada frequência. . Isso é conseguido fazendo-se variar a
frequência de forçamento Ω de 0 a 1 rad/s, com incrementos de 0,01 rad/s, e
registrando-se os valores máximos de deslocamento dessa forma obtidos.
Diferentes correntes são tratadas: 0 A, 1 A e 3 A. A função de forçamento é
mantida em Fp = 700 sen (Ωt), com Fp em metros e t em segundos.
As curvas de ressonância para os três valores de corrente mencionados são
mostradas na Figura 47.
Figura 47 – Curvas de ressonância para correntes de 0 A (azul), 1 A (verde) e 3 A (vermelho) Nota-se que o modelo de amortecedor MR com os parâmetros propostos por
LIU et al (2011), constantes da Tabela 1, possui fortes características de amortecimento,
visto que a frequência de ressonância verificada na Figura 47, para os três valores de
corrente simulados, situa-se muito perto de zero.
Considere então um sistema com um grau de dissipação menor. Para isso
adotam-se os seguintes parâmetros: B = 80 Ns/m; A = 20 N/m; A = 20 N/m.
Nessas condições, para uma corrente de 0 A, a nova curva de ressonância tem a
configuração mostrada na Figura 48.
39
Figura 48 – Curva de ressonância obtida com alteração de parâmetros
Pela análise da Figura 48, percebe-se que a frequência de ressonância do sistema
situa-se aproximadamente em 5,7 rad/s.
O diagrama força-velocidade mostrado na Figura 49 denota a histerese associada
ao amortecedor MR.
Figura 49 – Curva de histerese para o sistema obtido com a alteração de parâmetros
Para a realização de uma análise mais detalhada acerca do comportamento do
sistema massa-mola-amortecedor MR proposto, cuja curva de ressonância consta da
Figura 48, torna-se interessante confrontá-lo com os casos massa-mola (sem
amortecimento) e massa-mola-amortecedor viscoso linear. Isso pode ser conseguido
40
fazendo-se algumas adaptações no sistema de Bouc-Wen modificado ilustrado na Figura
14, que foi tomado como referência para a modelagem do amortecedor MR do
dispositivo estudado neste trabalho.
Para a simulação de um sistema massa-mola com frequência de ressonância
próxima de 5,7 rad/s, por exemplo, 2π rad/s, fazemos, na Figura 14, B = 0, A = 0, A = 0 e G = 0, e alteramos o valor da constante elástica da mola do sistema da Figura
20 para 788,768 N/m. Fazendo isso, torna-se possível gerar a curva de ressonância
desse sistema, mostrada na Figura 50, onde a cor azul denota a curva teórica e a cor
vermelha denota os resultados obtidos por simulação numérica com o auxílio do
Simulink.
Figura 50 – Curva de ressonância para sistema massa-mola (azul: curva teórica; vermelho: simulação), mantendo-se ^ = 20Aa. A curva de ressonância teórica do sistema linear é dada pela seguinte equação: j(`) = k
lm1 − n\Hop + n2q`\H or/
(27) Para obter um sistema com amortecimento viscoso linear a partir da Figura 14,
devem ser zerados os coeficientes A, A, G, J, @ e 5 nas equações constitutivas. Os
coeficientes B e B podem ser obtidos através da equação (28), válida para associações
de amortecedores em série:
1Bst = u 1BvH
vw ,(28)
41
onde Bst é o coeficiente de amortecimento do amortecedor que substitui a associação
em série e Bv é o coeficiente do i-ésimo amortecedor da associação.
Como os coeficientes relativos ao elemento “Bouc-Wen” e os coeficientes A e A são zerados, sobram, em série, os amortecedores de coeficientes B e B. Tomando
esses dois coeficientes iguais a B e aplicando a equação (28), vem:
1Bst = 1B + 1B = 2B (29) Escolhemos Bst de modo que o sistema formado por um bloco de massa
^ = 20Aa, uma mola de constante elástica A = 788,768c/^ e um amortecedor
viscoso linear de coeficiente de amortecimento Bst tenha frequência de ressonância
aproximadamente igual a 5,7 rad/s. O valor escolhido para A garante uma frequência
natural \H igual a 2π rad/s, como no caso do sistema com amortecedor MR analisado
anteriormente.
Para garantir uma frequência de ressonância de 5,7 rad/s, recorre-se à equação
(30), conhecida da teoria das vibrações:
\H = x1 − 2q(30) Fazendo ` = 5,7 /g e \H = 2 /g, obtemos o valor de ζ. Como B/^ = 2q\H, a obtenção do valor de B é imediata, de onde obtemos o valor B/^ =3,73cg^IAaI.
Tomando esse valor de B para Bst, obtém-se:
Bst = 3,73cg^IAaI. 20Aa ⇔ Bst = 74,6cg^I(31) Levando o valor de Bst para a equação (29), obtemos: 174,6cg^I = 2B ⇔ B = 149,2cg^I(32) Sendo assim, para obter um sistema com frequência natural \H igual 2π rad/s e
frequência de ressonância Ω igual a 5,7 rad/s, podemos fazer B=B = 149,2cg^I.
Com o auxílio do Simulink, simulou-se o sistema proposto, obtendo-se a curva
de ressonância mostrada na Figura 51. A curva teórica, traçada de acordo com a
42
equação (27), tem cor azul. Os pontos marcados em vermelho foram obtidos por
simulação numérica.
Figura 51 – Curva de ressonância para o sistema massa – mola – amortecedor viscoso linear proposto (azul: curva teórica; vermelho: simulação). O resultado mostrado na Figura 51 possibilita confrontar o comportamento do
sistema dotado de amortecedor viscoso linear com o do sistema dotado de amortecedor
MR para alguns valores de corrente. Lançando mão do diagrama de blocos Simulink
mostrado na Figura 21, simula-se o comportamento do sistema com parâmetros
modificados para o amortecedor MR, para correntes de 0 A e 10 A. Os resultados são
mostrados na Figura 52
43
Figura 52 – Curvas de ressonância. Azul: amortecimento viscoso linear. Vermelho: amortecimento magneto-reológico a 0 A. Verde: amortecimento magneto- reológico a 10 A.
Note a redução da amplitude do movimento quando se passa da condição de
amortecimento viscoso linear para a condição de amortecimento magneto-reológico na
ausência de corrente, bem como quando o sistema proposto deixa de operar a 0 A e
passa a operar a 10 A.
5. CONTROLE DO SISTEMA DINÂMICO
Neste trabalho, pretende-se controlar a amplitude do movimento de um sistema
mecânico, através de atuações no amortecedor MR. Dois controladores são
considerados: o controlador PID (proporcional-integral-derivativo), mais adequado
para sistemas lineares, porém de larga aplicação em escala industrial, e controlador
fuzzy, que vem ganhando cada vez mais espaço em sistemas não-lineares.
Este capítulo apresenta uma discussão sobre cada um dos controladores,
demonstrando posteriormente algumas aplicações deles ao oscilador MR. A ideia
central é analisar a resposta do sistema sem controle durante um período de tempo e
depois ligar o controlador visando a manter a resposta em níveis de vibração
determinados. A robustez dos controladores é avaliada considerando diferentes níveis
de ruído.
44
5.1. Controlador PID A Figura 53 apresenta uma representação esquemática da forma de atuação de
um controlador PID. O objetivo é ajustar uma determinada característica do sistema
para um valor desejado v (set point). O valor real, gerado pelo processo, é comparado
com o valor desejado, sendo a diferença entre os dois denominada erro (e). Esse erro é
“trabalhado” no regulador, que gera uma variável manipulada (), que entra no
processo com o objetivo de corrigir a variável controlada (R), que por sua vez é o valor
da característica que se deseja ajustar.
Figura 53 – Esquema de atuação de um controlador PID
Para entender o comportamento do controlador PID, devem-se analisar os seus
três efeitos sobre o erro gerado no processo: proporcional, integral e derivativo.
5.1.1. Efeito Proporcional No efeito proporcional, a resposta (ou o sinal de saída) do regulador é
proporcional ao erro existente entre o valor desejado e o valor medido, ou seja:
(") = zQ(")(33) Realizando uma transformação de Laplace, vem: |(g) = z9(g)(34) O ganho do sistema é, portanto:
;(g) = |(g)9(g) = z(35)
45
5.1.2. Efeito Integral (ou Reset) Na ação integral (ou reset), a velocidade de variação do sinal de saída é
proporcional à grandeza do erro, isto é:
(")" = zvQ(")ou(") = zv Q(")" (36) ondezvéumaconstantedeproporcionalidade. Por outro lado, o teorema da integração da transformada de Laplace diz:
L Q(")" = 9(g)g + 6(37)
onde C depende das condições iniciais, o que equivale a zero nesse caso particular.
Portanto, das equações (36) e (37), obtém-se:
|(g) = zv 9(g)g (38) A função de transferência do regulador integral é, portanto:
;(g) = |(g)9(g) =
zvg (39)
5.1.3. Efeito Derivativo No efeito derivativo, o sinal de saída é proporcional à velocidade de variação do
erro, isto é:
(") = z Q(")" (40) onde z é uma constante de proporcionalidade. Aplicando uma transformada de Laplace à equação (40), obtém-se: |(g) = z g9(g)(41) Da equação (41), a função de transferência do regulador é:
;(g) = |(g)9(g) = z g(42)
46
5.1.4. Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID) Combinando as três ações descritas anteriormente, obtém-se a função de
transferência do regulador:
;(g) = |(g)9(g) =
zvg + z +zg(43)
5.2. Controlador Fuzzy Um sistema de inferência fuzzy é um sistema de controle baseado na chamada
lógica fuzzy (nebulosa) – um conjunto matemático de regras que analisa valores de
entrada analógicos em termos de variáveis lógicas que podem assumir valores
compreendidos entre 0 e 1, em contraste com a lógica digital, que opera com valores
discretos (1 ou 0, ou seja, verdadeiro ou falso).
A lógica fuzzy é largamente usada para controlar máquinas. O temo em si inspira
um certo ceticismo, soando como algo equivalente a “lógica semiartificial”, porém o
termo fuzzy não se refere a uma falta de rigor no método. O que ocorre é que o tipo de
lógica envolvida pode lidar com conceitos que não podem ser expressos como
“verdadeiros” ou “falsos”, mas sim como “parcialmente verdadeiros”. Apesar dos
algoritmos genéticos e as redes neurais poderem funcionar tão bem quanto a lógica
fuzzy em muitos casos, a lógica fuzzy possui a vantagem de que a solução para o
problema pode ser dada em uma linguagem que os operadores humanos podem
entender, possibilitando que sua experiência possa ser utilizada no projeto do
controlador. Isso torna mais fácil a mecanização de tarefas que já são facilmente
desempenhadas por seres humanos.
O método foi originalmente proposto por Lofti A. Zadeh, da Universidade da
Califórnia, em Berkeley, em um artigo publicado em 1965. Ele organizou as suas ideias
em um outro artigo, publicado em 1973, que introduziu o conceito de “variáveis
linguísticas”, que no artigo em questão equivalem a um tipo de variável definido como
conjunto fuzzy. Outras pesquisas se seguiram, culminando com a primeira aplicação
industrial, em 1975: um forno de cimento construído na Dinamarca.
O interesse pela lógica fuzzy foi inflamado pelos japoneses Seiji Yasunobu e Soji
Miyamoto, da Hitachi, que em 1985 realizaram simulações que demonstraram a
superioridade dos sistemas de controle fuzzy para a ferrovia Sendai. Suas ideias foram
aceitas e os sistemas fuzzy passaram a ser usados para controlar aceleração, frenagem e
parada a partir da inauguração da ferrovia, em 1987.
47
Seguindo essa linha, engenheiros japoneses desenvolveram uma larga faixa de
sistemas fuzzy, tanto para consumo como para aplicação industrial. Em 1988, os
japoneses estabeleceram o Laboratory for International Fuzzy Engeneering (LIFE), um
acordo cooperativo entre 48 companhias com o objetivo de fomentar a pesquisa fuzzy. A
companhia de automóveis Volkswagen foi o único membro estrangeiro do LIFE.
Produtos japoneses para consumo frequentemente incorporam a tecnologia fuzzy.
Como exemplos, podem-se citar aspiradores, máquinas de lavar, câmeras digitais e
aparelhos de ar-condicionado.
O entusiasmo dos japoneses pela lógica fuzzy se reflete no vasto campo de
aplicações que eles investigaram ou implementaram: reconhecimento de caligrafia,
sistemas ópticos, robôs, helicópteros, sistemas de elevação, dentre outros.
Trabalhos envolvendo sistemas fuzzy também estão em andamento nos Estados
Unidos, porém não com o mesmo entusiasmo mostrado no Japão. A Agência de
Proteção Ambiental dos Estados Unidos tem investigado sistemas de controle fuzzy para
uso eficiente de energia em motores. A NASA tem estudado sistemas de controle fuzzy
para atracação espacial automatizada: simulações mostram que um sistema de controle
fuzzy pode reduzir bastante o consumo de combustível. Empresas como Boeing, General
Motors, Allen-Bradley, Chrysler, Eaton e Whirlpool têm trabalhado com a lógica fuzzy
para uso em refrigeradores de baixa potência, melhoramentos em transmissões
automotivas e motores econômicos em energia elétrica.
Pesquisas em aplicação da lógica fuzzy também vêm ocorrendo na área de
softwares, incluindo os sistemas inteligentes e a integração da lógica fuzzy com as redes
neurais. Também vêm sendo desenvolvidos os chamados softwares “genéticos”, com o
objetivo principal de construir sistemas de controle fuzzy com autoaprendizado.
5.2.1. Graus de Pertinência e Variáveis Linguísticas A lógica fuzzy e a probabilística são matematicamente similares – ambas
apresentam valores lógicos variando entre 0 e 1 --, mas conceitualmente distintas,
devido a diferentes interpretações dadas a uma determinada situação.
Tanto os graus de pertinência quanto as probabilidades variam entre 0 e 1 e,
desta forma, podem parecer similares à primeira vista. Por exemplo, considere um
recipiente com volume de 100 ml contendo 30 ml de água. Então consideremos dois
conceitos: cheio ou vazio. O significado de cada um deles pode ser representado por um
determinado conjunto fuzzy. Dessa forma, alguém pode considerar o recipiente como
48
estando 70% (ou 0,7) cheio ou 30% (ou 0,3) vazio. Note que o conceito de
preenchimento poderia ser subjetivo e, dessa forma, dependeria do observador ou do
designer. Um outro designer poderia muito bem, igualmente, definir um conjunto fuzzy
(conjunto de funções de pertinência) no qual o copo seria considerado cheio para
volumes de água acima de 50 ml. É essencial entender a lógica fuzzy e os graus de
pertinência como um modelo matemático para ideias vagas, enquanto a probabilidade é
um modelo matemático para o desconhecimento.
Uma aplicação básica pode caracterizar subintervalos para uma variável
contínua. Por exemplo, uma medição de temperatura para um anti-lock brake system
(sistema de freios ABS, como é conhecido) deve ter algumas funções de pertinência
definindo intervalos particulares de temperatura necessários para controlar os freios
adequadamente. Cada função mapeia o mesmo valor de temperatura para um valor
lógico compreendido entre 0 e 1. Esses valores lógicos podem então ser usados para
determinar como os freios podem ser controlados.
Figura 54 – Funções de pertinência relacionadas às expressões frio, morno e quente Na Figura 54, os significados das expressões frio, morno e quente são
representados por funções que mapeiam uma escala de temperaturas. Um ponto
qualquer nessa escala tem três “valores lógicos” – um para cada uma das três funções. A
linha vertical na imagem representa uma temperatura particular que as três funções
“cortam”. Uma vez que a seta vermelha (correspondente à função de pertinência quente)
aponta para zero, este valor de temperatura deve ser interpretado como “não quente”. A
seta laranja, que aponta para um valor aproximado de 0,2, mostra que o referido valor
também deve ser interpretado como “levemente morno”. A seta azul (que aponta para
um valor aproximado de 0,8) informa que o valor de temperatura pode ser interpretado
como “bem frio”.
Enquanto as variáveis matemáticas normalmente assumem valores numéricos,
nas aplicações da lógica fuzzy as variáveis linguísticas não numéricas são
frequentemente usadas para facilitar a expressão de regras e de fatos.
49
Uma variável linguística tal como idade pode ter um valor como “jovem” ou
“idoso”. No entanto, a grande utilidade das variáveis linguísticas é que elas podem ser
modificadas através de rodeios linguísticos aplicados a termos primários. Os rodeios
linguísticos podem ser associados a certas funções (por exemplo: temperatura não muito
alta; viscosidade não média, etc.)
5.2.2. Regras de Inferência A teoria dos conjuntos fuzzy define operadores fuzzy em conjuntos fuzzy. O
problema de aplicar a teoria consiste no fato de que o operador fuzzy apropriado pode
não ser conhecido. Por esta razão, a lógica fuzzy usualmente utiliza regras do tipo SE-
ENTÃO, ou construções equivalentes, tais como as chamadas matrizes associativas
fuzzy.
As regras são usualmente expressas na forma:
SE variável É propriedade ENTÃO ação
Por exemplo, um regulador simples de temperatura que utiliza um ventilador
poderia parecer com isto:
SE temperatura É muito fria ENTÃO pare o ventilador
SE temperatura É fria ENTÃO reduza a ventilação
SE temperatura É normal ENTÃO mantenha o nível de ventilação
SE temperatura É quente ENTÃO aumente a ventilação
Não faz sentido o uso de SENÃO (ELSE), pois uma temperatura pode ser
“quente” e “fria” simultaneamente, embora em diferentes proporções.
Os operadores AND, OR e NOT da álgebra booleana também existem na lógica
fuzzy, normalmente definidos como mínimo, máximo e complemento, respectivamente.
Quando são definidos dessa forma, são chamados operadores de Zadeh. Assim, para as
variáveis fuzzy x e y, temos:
NOT x = 1 -- p(x)
x AND y = mínimo (p(x),p(y))
x OR y = máximo (p(x),p(y))
onde p(x) e p(y) são os graus de pertinência (valores entre 0 e 1) para as variáveis x e y.
50
Há também outros operadores, mais linguísticos em sua natureza, chamados
hedges, que podem ser aplicados. Eles consistem geralmente em advérbios como
“muito” e “significativamente”, que modificam o significado de um conjunto utilizando
uma fórmula matemática.
5.2.3. Conjuntos Fuzzy As variáveis de entrada em um sistema de controle fuzzy são normalmente
mapeadas por conjuntos de funções de pertinência, conhecidos como conjuntos fuzzy.
Dados os mapeamentos das variáveis de entrada na forma de funções de
pertinência, com seus respectivos valores lógicos (graus de pertinência) compreendidos
entre 0 e 1, o microcontrolador fuzzy toma então decisões sobre que ações tomar,
baseado em um conjunto de regras como as mostradas no item precedente.
Essas regras, por si sós, são muito confusas, pois soam como se pudessem ser
utilizadas sem que se importe com a lógica fuzzy. Deve-se ressaltar, entretanto, que as
decisões são tomadas de acordo com um conjunto de regras:
• todas as regras formuladas são usadas, usando as funções de pertinência e os
graus de verdade obtidos através das variáveis de entrada, para se determinar o
resultado da regra;
• este resultado, por sua vez, será mapeado para uma função de pertinência e um
valor lógico, que controlarão a variável de saída;
• esses resultados são combinados para gerar uma resposta determinada, em um
processo chamado defuzzificação.
Essa combinação de operações fuzzy e inferências baseadas em regras descreve
um sistema inteligente fuzzy.
5.2.4. Controle Fuzzy no Detalhe
Os sistemas de controle tradicionais são baseados em modelos matemáticos nos
quais o sistema é descrito utilizando uma ou mais equações diferenciais que definem a
resposta do sistema para suas entradas. No entanto, em muitos casos, o modelo
matemático do processo de controle pode não existir, ou ser muito dispendioso em
termos de processamento computacional, fazendo com que um sistema baseado em
regras empíricas seja mais eficiente. Além disso, a lógica fuzzy é bem adequada para
51
implementações de baixo custo, baseadas em sensores baratos, conversores analógico-
digitais de baixa resolução e chips microcontroladores de 4 ou 8 bits. Esses sistemas
podem ser facilmente aperfeiçoados adicionando novas regras para melhorar o
desempenho ou novas características. Em muitos casos, o controle fuzzy pode ser usado
para melhorar sistemas de controle tradicionais já existentes.
Controladores fuzzy são conceitualmente muito simples. Eles consistem em um
estágio de entrada, um estágio de processamento e um estágio de saída. O estágio de
entrada mapeia o sensor e outras entradas, como interruptores, chaves rotativas e outros
dispositivos, para as funções de pertinência apropriadas e seus respectivos valores
lógicos. O estágio de processamento invoca cada regra apropriada e gera um resultado
para cada uma, combinando por fim os resultados das regras. Finalmente, o estágio de
saída converte o resultado da combinação novamente em um valor de saída específico
de controle.
O formato mais comum para funções de pertinência é o triangular, apesar do
formato trapezoidal e as curvas em sino serem também utilizadas. A forma é geralmente
menos importante do que o número de curvas e suas localizações. Três a sete curvas são
suficientes para cobrir o intervalo requerido de valores de entrada, ou o “universo de
discurso”, no jargão fuzzy.
O estágio de processamento é baseado num conjunto de regras como aquelas
mostradas no item 5.2.2.
Na prática, os conjuntos de regras fuzzy possuem alguns antecedentes que são
combinados usando operadores fuzzy, como AND, OR e NOT, apesar das definições
tenderem a variar: AND, normalmente, usa o valor mínimo entre todos os antecedentes;
OR normalmente usa o máximo. Também há o operador NOT, que subtrai uma função
de pertinência de 1 e obtém a função de pertinência “complementar”.
Há algumas maneiras de se definir o resultado de uma regra, sendo um dos mais
simples e populares o método de inferência “max-min”, no qual a função de pertinência
de saída informa o valor gerado pela premissa (valor de entrada).
Existem dois métodos de inferência principais conhecidos: o de Mamdani e o de
Sugeno. No controlador de Mamdani, é adotado um método para o processo de decisão
baseado nas regras SE-ENTÃO tratadas no item 5.2.2., nas quais tanto o antecedente
como o consequente são valores de variáveis linguísticas, expressos por meio de
conjuntos fuzzy. No controlador de Sugeno, é adotado um método de tomada de decisão
simplificado, baseado na lógica fuzzy, onde somente o antecedente das regras é formado
52
por variáveis fuzzy. O consequente de cada regra, no controlador de Sugeno, é expresso
por uma função linear dos valores observados das variáveis que descrevem o estado do
sistema (variáveis de entrada).
O resultado da aplicação de todas as regras deve ser defuzzificado para um valor
determinado. Na teoria, existem dezenas de métodos para se conseguir isso, cada um
com vantagens e desvantagens.
Um dos métodos mais populares é o do centroide, no qual o “centro de massa”
do resultado informa o valor exato. Outra aproximação é o chamado método da altura,
que toma o valor do elemento de contribuição mais alto.
No presente trabalho, utiliza-se o controlador de Mamdani associado ao método
do centroide.
O diagrama a seguir mostra a inferência “max-min” e o método de
defuzzificação do centroide para um sistema com variáveis de entrada “x”, “y” e “z” e
uma variável de saída “n”. Note que “mu” é a nomenclatura padrão para valor lógico
(entre 0 e 1).
Figura 55 – Demonstração do método do centroide
53
Note que cada regra fornece como resultado um valor lógico de uma função de
pertinência particular para a variável de entrada. Na defuzzificação pelo método do
centroide, os resultados são combinados por meio de um cálculo geométrico de
centroide.
O design de um sistema de controle fuzzy é baseado em métodos empíricos,
basicamente uma aproximação metódica do procedimento chamado “tentativa e erro”.
O processo geral é abaixo descrito:
• informe as especificações operacionais do sistema, bem como as entradas e
saídas;
• informe os conjuntos fuzzy para as entradas;
• informe o conjunto de regras;
• informe o método de defuzzificação;
• execute uma sequência de testes para validar o sistema e ajuste os detalhes
conforme necessário;
• execute o procedimento.
5.3. Controle do Sistema Massa-Mola-Amortecedor MR Nesta seção aplicam-se os controladores PID e fuzzy para controlar a amplitude
de vibração de um oscilador MR.
O sistema sem controle é analisado durante 50 s, e depois o controlador é ligado
com o objetivo de estabilizar as vibrações em comprimentos de curso determinados
dentro de uma faixa de 8 a 10 mm.
5.3.1. Estabilização do Curso por Controlador PID Neste tópico, é analisado o comportamento do oscilador MR quando submetido
à ação de um controlador do tipo PID, Uma análise preliminar avaliou diversas
combinações dos ganhos do controlador Kp, Ki e Kd, mas os seguintes valores foram
adotados:
Kp = 15,0; Ki = 0,27; Kd = 4,00.
54
A equação de governo do sistema é a própria equação (24), onde o termo :DE
depende de x, y, z, Kp, Kd e Ki:
^C_ + AC + :DEC, K, , z, zv , z = :sen(`")(24) O controle da amplitude do movimento da massa é feito através de variações no
valor da corrente elétrica que circula no amortecedor MR. Define-se, portanto, a
variável controlada como sendo a amplitude do movimento e a variável manipulada
como sendo a corrente.
Para um comprimento de curso estipulado em 10 mm, por exemplo, o método de
controle PID proposto é ilustrado na Figura 56 a seguir.
Figura 56 – Método de controle proposto Antes de comentar o sinal de controle, cabe notar, na Figura 52, que a entrada do
controlador PID é a diferença entre os valores máximo e mínimo das posições do bloco
dentro de um intervalo de tempo (" − <, "), em que " é o instante considerado e < é um
valor ligeiramente superior ao período de oscilação do bloco. Essa diferença é
comparada com o set point de 10 mm, e o erro é processado no controlador, o que dá
origem ao sinal de saída (corrente), que visa a corrigir a amplitude de movimento do
bloco.
A Figura 57 mostra a arquitetura do controlador PID considerado.
55
Figura 57 – Arquitetura do controlador PID A saída do controlador PID (variável manipulada, ou sinal de controle),
considerando os controladores proporcional, integral e derivativo dispostos em paralelo
e com fulcro na equação (43), é dada por:
O(") = LI mzvg + z + zgp 5(g)(44)
onde g é a variável transformada, quando se passa do domínio do tempo para o domínio
de Laplace, e 5(g) é a transformada da amplitude de entrada do controlador, ("). Esse é o valor instantâneo de corrente gerado no controlador PID, que vai
alimentar os parâmetros das equações constitutivas dependentes dessa variável, dados
pelas equações (19) a (22), alterando por fim o termo :DE da equação (24), que é dado
pela equação (14).
Figura 58 – Influência da corrente gerada no controlador PID na equação de governo Inicialmente, considere F0 = 550 N, Ω = 3,85 rad/s e I = 0 A. A resposta do
oscilador está apresentada na Figura 59.
56
Figura 59 – Resposta do sistema para controlador PID com F0 = 550 N e Ω = 3,85 rad/s
O sistema possui um set point de comprimento de curso (10 mm), que deve ser
seguido pelo controlador. A correção do valor de corrente é realizada a cada iteração do
processo de simulação. A figura 60 mostra o comportamento do sinal de controle até a
estabilização da amplitude de curso do oscilador. Quando o controlador é ligado, a
corrente elétrica de controle atinge um máximo de aproximadamente 0,96 A, para
finalmente decair lentamente até o valor aproximado de 0,75 A. O aumento da corrente
elétrica nos 30 s finais é coerente com a gradual diminuição da amplitude de curso do
movimento do carro.
Figura 60 – Sinal de controle para controlador PID com F0 = 550 N e Ω = 3,85 rad/s
57
Diferentes níveis de ruído podem ser simulados, com o objetivo de verificar a
robustez do sistema quando submetido a controle PID. Simulações que levam em conta
os efeitos do ruído no sistema original fazem com que o estudo se aproxime
efetivamente de um caso real, em que os ruídos são frequentes.
No caso particular do sistema em estudo, esse ruído pode consistir em variações
bruscas e aleatórias nos valores da frequência de forçamento Ω ou na amplitude da força
periódica F0, dentro de uma faixa de tolerância em torno de um valor de referência
arbitrariamente adotado.
No presente trabalho, o ruído se traduz em variações aleatórias dos valores da
amplitude de forçamento da massa, :.
Em linguagem matemática, os efeitos do ruído no valor da amplitude de
forçamento podem afetar a equação de governo do sistema da seguinte maneira:
^C_ + AC + :DE(C, K, , z, zv, z) = (: ± ∆:)sen(`")(45)
Note a presença do termo ∆: no segundo membro, representando as variações
de força que surgem no oscilador, devido ao efeito do ruído. O controle do espaço de
fase do sistema é feito mediante alterações na corrente, sendo, portanto, o termo :DE
variável ao longo do tempo.
Partindo para a próxima etapa da análise, o sistema será submetido a diferentes
níveis de ruído, para que possamos estudar a resposta do controlador PID a essa
situação.
De início, é considerado um nível de ruído de 5% para um valor de referência : = 550c para a amplitude máxima de forçamento. A frequência de forçamento
adotada será mantida em 3,85 rad/s. A Figura 61 ilustra a resposta do controlador PID a
essa condição.
58
Figura 61 – Resposta do sistema submetido a controlador PID e sujeito a ruído de 5% Observando a figura acima, constata-se uma significativa dificuldade do
controlador PID em estabilizar o comprimento de curso do bloco em 10 mm quando
submetido a ruídos. No momento em que o ruído é introduzido no sistema, a amplitude
logo cai para um valor insignificante, indicando que o carro praticamente para. O
comprimento do curso somente começa a se tornar significativo por volta dos 55 s, ou
seja, cerca de 5 segundos depois da introdução do ruído e do início do controle.
O sinal de controle correspondente é mostrado na Figura 62. Após atingir o pico
inicial de 0,96 A, a corrente cai abruptamente para cerca de 0,63 A, oscilando
irregularmente a partir desse instante até atingir o valor aproximado de 0,78 A. A
oscilação do valor da corrente corrobora com as mudanças de amplitude de movimento
verificadas na Figura 61
59
Figura 62 – Sinal de controle para controlador PID com nível de ruído de 5%
Elevando o nível de ruído para 10%, a resposta do controle PID proposto é
mostrada no gráfico da Figura 63. Repare que, para esse nível de ruído, torna-se ainda
mais difícil estabilizar o comprimento do curso do carro no valor desejado de 10 mm.
Note que há vários pontos em que o comprimento do curso fica bem abaixo do
desejado.
Figura 63 – Resposta do sistema submetido a controlador PID e sujeito a ruído de 10% O sinal de controle correspondente a um nível de ruído de 10% é mostrado na
Figura 64.
60
Figura 64 – Sinal de controle para controlador PID sujeito a nível de ruído de 10%
Na figura anterior, percebe-se que a variação do valor da corrente é ainda mais
irregular do que se verificou nas Figuras 60 e 62. Há uma maior oscilação do sinal, em
virtude da amplitude de forçamento não ser constante, como no caso na Figura 60, e
apresentar variações maiores do que no caso da Figura 62, que reflete um nível de ruído
menor. O valor final da corrente, para um nível de ruído de 10%, é cerca de 0,8 A.
Levando finalmente o nível de ruído para 25%, o resultado é o mostrado na
Figura 65.
Figura 65 – Resposta do sistema submetido a controlador PID e sujeito a ruído de 25%
61
Percebe-se com clareza que é impraticável estabilizar o comprimento do curso
do bloco em 10 mm. Conclui-se, dessa forma, que o controlador PID não é eficaz para
controlar a amplitude do movimento do bloco com esse nível de ruído.
O sinal de controle correspondente a um nível de ruído de 25% é mostrado na
Figura 66.
Figura 66 -- Sinal de controle para controlador PID sujeito a nível de ruído de 25%
Notamos uma variação ainda maior do sinal de controle ao longo do tempo para
um nível de ruído de 25%, devido às maiores magnitudes das variações do valor da
amplitude de forçamento.
Pela análise das Figuras 65 e 66, percebemos que, apesar do esforço do
controlador PID no sentido de estabilizar o comprimento do curso no valor desejado, o
controle passa a não ser eficaz para níveis de ruído altos.
5.3.2. Estabilização do Curso por Controlador Fuzzy O sistema tomado como referência para controle é o bloco da Figura 20, ligado a
uma mola de constante elástica 7000 N/m e ao amortecedor MR modelado com os
dados da Tabela 1, sendo submetido a forçamento harmônico.
O primeiro passo para se estabelecer um controle por meio da lógica fuzzy é a
geração das funções de pertinência inerentes às variáveis de entrada e saída envolvidas.
Como a amplitude do movimento do bloco da Figura 20 depende do grau de
amortecimento e o grau de amortecimento no amortecedor MR é controlado pela
62
corrente elétrica que nele circula, conclui-se que a variável de saída do sistema de
inferência deve ser necessariamente a corrente.
Há três variáveis de entrada capazes de influir significativamente na amplitude
do movimento do bloco: a amplitude da força periódica aplicada (:), a frequência de
forçamento (`) e o comprimento de curso desejado (). Para um dado trio (:,`,),
deve ser gerada uma corrente adequada, para que o curso do bloco se mantenha bem
próximo de um valor desejado (por exemplo, 10 mm)
Para a geração das funções de pertinência relativas às duas variáveis de entrada,
foi considerada uma faixa de 400 a 700 N para a amplitude da força periódica, uma
faixa de π a 3π rad/s para a frequência de forçamento e uma faixa de 8 a 10 mm para o
comprimento desejado de curso. A variável de saída (corrente) foi mapeada de acordo
com os valores de corrente que acarretam comprimentos de curso de 8, 9 e 10 mm para
cada par (:,`) tomado como referência, de acordo com as Tabelas 2, 3 e 4.
TABELA 2 – VALORES DE CORRENTE PARA ESTABILIZAÇÃO DO CURSO EM TOENO DE 8 MM (REGRAS DE INFERÊNCIA)
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
W1 C24 C38 C53 C70 C84 C94 C99
W2 C17 C31 C45 C61 C76 C88 C96
W3 C11 C26 C39 C52 C67 C82 C91
W4 C07 C20 C33 C47 C60 C75 C87
W5 C04 C15 C28 C41 C54 C68 C80
TABELA 3 – VALORES DE CORRENTE PARA ESTABILIZAÇÃO DO CURSO
EM TORNO DE 9 MM (REGRAS DE INFERÊNCIA)
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
W1 C22 C36 C50 C66 C81 C92 C98
W2 C14 C29 C43 C57 C73 C85 C95
W3 C09 C23 C35 C49 C63 C78 C89
W4 C05 C16 C30 C42 C56 C71 C83
W5 C02 C10 C25 C37 C49 C62 C77
63
TABELA 4 – VALORES DE CORRENTE PARA ESTABILIZAÇÃO DO CURSO EM TORNO DE 10 MM (REGRAS DE INFERÊNCIA)
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
W1 C19 C34 C48 C64 C79 C90 C97
W2 C12 C27 C40 C55 C69 C83 C93
W3 C06 C18 C32 C46 C59 C74 C86
W4 C03 C13 C27 C39 C51 C65 C79
W5 C01 C08 C21 C32 C44 C58 C72
Os valores das amplitudes de forçamento F1 até F7 são dados pela Tabela 5:
TABELA 5 – VALORES DE REFERÊNCIA PARA AMPLITUDE DE
FORÇAMENTO
Símbolo Valor (N) F1 400 F2 450 F3 500 F4 550 F5 600 F6 650 F7 700
Os valores das frequências W1 até W5 são dados pela Tabela 6:
TABELA 6 – VALORES DE REFERÊNCIA PARA FREQUÊNCIA DE FORÇAMENTO
Símbolo Valor (rad/s)
W1 π W2 3π/2 W3 2π W4 5π/2 W5 3π
Os valores das correntes (variáveis de saída) são finalmente dados pela Tabela 5:
TABELA 7 – VALORES DE CORRENTE PARA ESTABILIZAÇÃO DO CURSO
NO VALOR DESEJADO
Símbolo Corrente (A) C01 0,163 C02 0,193 C03 0,212 C04 0,227 C05 0,238 C06 0,264
64
TABELA 7 (continuação)
Símbolo Corrente (A) C07 0,270 C08 0,280 C09 0,288 C10 0,311 C11 0,314 C12 0,321 C13 0,330 C14 0,343 C15 0,345 C16 0,358 C17 0,365 C18 0,385 C19 0,387 C20 0,390 C21 0,392 C22 0,404 C23 0,410 C24 0,423 C25 0,424 C26 0,436 C27 0,444 C28 0,460 C29 0,467 C30 0,474 C31 0,489 C32 0,501 C33 0,505 C34 0,513 C35 0,527 C36 0,531 C37 0,533 C38 0,550 C39 0,555 C40 0,563 C41 0,570 C42 0,585 C43 0,586 C44 0,605 C45 0,610 C46 0,613 C47 0,616 C48 0,634 C49 0,640 C50 0,654 C51 0,662
65
TABELA 7 (continuação)
Símbolo Corrente (A) C52 0,669 C53 0,673 C54 0,677 C55 0,678 C56 0,693 C57 0,702 C58 0,707 C59 0,723 C60 0,726 C61 0,727 C62 0,743 C63 0.751 C64 0,754 C65 0,766 C66 0,773 C67 0,781 C68 0,783 C69 0,790 C70 0,793 C71 0,798 C72 0,809 C73 0,817 C74 0,830 C75 0,834 C76 0,842 C77 0,844 C78 0,859 C79 0,870 C80 0,886 C81 0,891 C82 0,892 C83 0,902 C84 0,913 C85 0,928 C86 0,936 C87 0,940 C88 0,954 C89 0,965 C90 0,985 C91 0,999 C92 1,008 C93 1,010 C94 1,029
66
TABELA 7 (continuação)
Símbolo Corrente (A) C95 1,038 C96 1,066 C97 1,100 C98 1,123 C99 1,147
Várias configurações para funções de pertinência foram testadas e escolheu-se
aquela que proporcionou os menores desvios entre os valores de amplitude obtidos e o
valor desejado.
As Figuras 67, 68 e 69 mostram os conjuntos fuzzy (conjuntos de funções de
pertinência) para as variáveis de entrada:
Figura 67 – Funções de pertinência para a frequência de forçamento
67
Figura 68 – Funções de pertinência para a amplitude da força periódica
A Figura 69 mostra as funções de pertinência para os valores do curso selecionado.
Figura 69 – Funções de pertinência para o curso selecionado
As funções de pertinência para os valores de corrente necessários para estabilizar
a amplitude do movimento próxima aos comprimentos de curso selecionados são
mostradas na Figura 70:
68
Figura 70 – Funções de pertinência para a corrente elétrica (variável de saída) O diagrama mostrado na Figura 71 ilustra o processo geral de inferência.
Figura 71 – Diagrama geral do processo de inferência, mostrando três variáveis de en- trada, uma de saída e 105 regras de inferência (Simulink Fuzzy Toolbox) A Figura 72 ilustra a arquitetura do controlador fuzzy proposto.
Figura 72 – Arquitetura do controlador fuzzy adotado A equação de governo para o sistema dotado de controlador fuzzy é a própria
equação (24), mas desta vez o termo :DE depende de :, Ω e :
69
^C_ + AC + :DE(:, `, ) = :gQW(`")(24) O sinal de controle para o controlador fuzzy continua sendo a corrente. A Figura
68 mostra que os valores de :, ` e definem a corrente pelas regras de inferência das
Tabelas 2, 3 e 4, e também deixa claro como o valor de corrente gerado dessa forma
afeta o termo :DE e a equação de governo.
Figura 73 – Influência da corrente gerada no controlador fuzzy sobre a equação de governo
Considerando a vibração do oscilador MR com uma frequência inicial de
forçamento Ω = 3,85 rad/s, uma amplitude inicial de forçamento F0 = 550 N e uma
corrente inicial de 0 A, foi gerado o gráfico abaixo, com o auxílio do Matlab Simulink,
para um comprimento de curso selecionado de 10 mm.
Figura 74 – Sistema submetido a controle com Ω = 3,85 rad/s e F0 = 550 N
70
Como se nota claramente, a partir do instante t = 50 s, o curso do movimento do
bloco passa a ser de aproximadamente 0,01 m, como desejado. O resultado mostra a
grande efetividade da aplicação da lógica fuzzy a este sistema com características
fortemente não lineares.
A resposta do sistema, quando submetido a controle fuzzy, é visivelmente mais
rápida do que no caso em que é submetido a controle PID. Além disso, fazendo uma
comparação entre as Figuras 59 e 74, é possível notar que, além de oferecer uma
resposta mais rápida, o controle fuzzy confere maior estabilidade ao sistema.
A maior estabilidade proporcionada pelo controle fuzzy em relação ao controle
PID deve-se ao fato do controlador fuzzy ser proativo, isto é, a corrente necessária para
manter o curso do bloco em 10 mm é previamente calculada pelo controlador ao receber
as informações instantâneas de amplitude e frequência de forçamento. Esse valor de
corrente será mantido até que o sistema sofra uma perturbação, quando será calculado
um novo valor adequado de corrente de acordo com as novas informações.
O sinal de controle para a situação da Figura 74 é mostrado na Figura 75.
Figura 75 – Sinal de controle para controlador fuzzy com F0 = 550 N e Ω = 3,85 rad/s
Note que a Figura 75 confirma o fato de que o controlador fuzzy é proativo, ou
seja, a partir de determinada configuração de amplitude de forçamento e frequência, ele
calcula a corrente necessária para estabilizar o curso do carro em aproximadamente 10
mm. Para a situação proposta, a corrente gerada foi de aproximadamente 0,75 A.
71
Percebe-se que esse resultado coincide com o valor final da corrente gerada pelo
controlador PID para a mesma situação (Figura 60).
A equação de governo do sistema para o caso mostrado nas Figuras 74 e 75 é a
própria equação (24), porém desta vez o termo :DE é alterado exatamente no instante
t=50s pelo conjunto de regras de inferência mostrado na Tabela 2. No caso do
controlador PID, o termo :DE é alterado durante todo o período de simulação, com o
objetivo de ir aproximando ao máximo o comprimento do curso para 10 mm.
Com o auxílio do Simulink, podem-se simular algumas situações em que o
sistema seja submetido a ruído e verificar como o controlador fuzzy age no sentido de
amenizar os efeitos desse fator indesejável.
Nesse caso, a equação de governo do sistema é semelhante à equação (45). Mas
o termo :DE, nesta situação, é gerado pelas regras de inferência das Tabelas 2, 3 e 4
cada vez que o ruído alterar o valor da amplitude de forçamento:
^C_ + AC + :DE(:, `, ) = (: ± :)sen(`")(46) Suponhamos que o sistema da Figura 19, sujeito a forçamento periódico dado
pela expressão :gQW(`"), inicialmente com : = 550c, ` = 3,85 /g e O = 05,
seja submetido a um nível de ruído de 5%. A resposta do sistema é mostrada no gráfico
da Figura 76.
Figura 76 – Resposta do sistema submetido a controlador fuzzy e sujeito a ruído de 5%
72
Para um nível de ruído de 5%, o controlador fuzzy continua sendo mais eficiente
do que o controlador PID. A superioridade do primeiro fica evidente ao se compararem
as Figuras 61 e 76. Nota-se que o comprimento do curso do bloco permanece próximo a
10 mm durante todo o tempo de simulação, o que não ocorreu quando o controlador
PID foi utilizado no mesmo sistema e nas mesmas condições.
O sinal de controle correspondente à situação de 5% de ruído é mostrado na
Figura 77.
Figura 77 – Sinal de controle para controlador fuzzy com nível de ruído de 5% Fazendo uma comparação entre as Figuras 62 e 77, percebemos de forma clara
que o controlador fuzzy é mais efetivo nos momentos em que é necessário corrigir a
corrente para manter a amplitude de movimento do carro em torno do valor desejado.
Tal fato explica a maior eficiência do controlador fuzzy em relação ao controlador PID
na presença de ruído. Nota-se, também, que para esse nível de ruído, tanto o controlador
PID como o fuzzy estabilizam a corrente em torno de 0,75 A.
Aumentando o nível de ruído para 10%, a resposta do sistema submetido a
controle fuzzy é mostrada na Figura 78.
73
Figura 78 – Resposta do sistema submetido a controlador fuzzy e sujeito a ruído de 10% Observando a figura anterior, notamos que o sistema continua se comportando
muito bem mesmo com um nível de ruído de 10%. Os desvios de amplitude em relação
ao valor desejado não são significativos, o que comprova a boa eficiência dos
controladores fuzzy ainda que na presença de ruído.
O sinal de controle para o nível de ruído considerado é mostrado na Figura 79.
Figura 79 – Sinal de controle para controlador fuzzy com nível de ruído de 10%
A Figura 79 comprova a maior efetividade do controlador fuzzy nas alterações de
corrente elétrica necessárias para estabilizar o comprimento do curso do carro no valor
desejado. Os valores variam em torno de 0,7 A na simulação executada.
74
Levando finalmente o nível de ruído para 25%, o resultado é o mostrado na
Figura 80.
Figura 80 – Resposta do sistema submetido a controlador fuzzy e sujeito a ruído de 25% Embora o sistema submetido a controle fuzzy ainda se comporte relativamente
bem a um nível de ruído de 25%, já podem ser percebidos alguns pontos onde o
comprimento do curso fica bem distante do valor desejado de 10 mm. Por volta dos 75s,
a amplitude cai para menos que a metade do desejado; aos 70 s e aos 140 s, a amplitude
é aproximadamente o dobro do desejado; em muitos outros pontos, a amplitude é
significativamente superior ao desejado; em alguns outros, inferior. Podemos dizer que
a um nível de ruído de 25% o sistema apresenta boa robustez, mas é desaconselhável a
sua operação a níveis de ruído superiores.
O sinal de controle inerente a esse nível de ruído está mostrado na Figura 81.
Repare que o controlador “trabalha” mais, no sentido de procurar manter o
comprimento do curso do carro no valor desejado de 10 mm. Comparando as Figuras 66
e 81, percebe-se que o controlador fuzzy continua bem mais eficiente do que o
controlador PID, pois consegue atuar com maior rapidez e efetividade do que este
último.
75
Figura 81 – Sinal de controle para controlador fuzzy com nível de ruído de 25%
Conclui-se que o controlador fuzzy provê boa robustez ao sistema para níveis de
ruído até aproximadamente 25%, enquanto que para o controlador PID, o nível de ruído
aconselhável fica pouco abaixo dos 10%, mesmo assim sendo necessário um tempo para
que o controlador comece a manter a amplitude próxima de um valor aceitável.
Nas mesmas condições, podem ser simulados outros comprimentos de curso
além dos 10 mm anteriormente estipulados. As Figuras 82 e 83 mostram os resultados
obtidos para comprimentos selecionados de 8 e 9 mm, respectivamente.
Figura 82 – Curso de 8 mm Figura 83 – Curso de 9 mm
76
6. CONCLUSÕES Os fluidos magneto-reológicos se revelam uma excelente opção para sistemas
que requerem resposta rápida de amortecimento e boa capacidade de controle. Os
resultados mostram que o tempo de resposta desses fluidos à aplicação de um campo
magnético é da ordem de milissegundos. Além disso, para pequenas variações nos
valores dos campos magnéticos aplicados, a viscosidade aparente desses materiais
aumenta significativamente.
Mostrou-se que quanto maior o módulo da corrente elétrica que circula no
amortecedor MR, maior o efeito do amortecimento, fato evidenciado pelo crescimento
da área interna das curvas de histerese quando a corrente elétrica é aumentada. Esse
resultado evidencia a eficiência do modelo de Bouc-Wen para descrever o
comportamento dessa categoria de fluido.
Por outro lado, quando o sistema é submetido a forçamento harmônico, o
aumento da corrente diminui a área interna da curva de histerese inerente ao
movimento, como mostram as Figuras 35, 36, 39, 40, 43 e 44, o que acarreta menor
dispêndio de energia. Tal fato se explica pelos menores deslocamentos e menores
velocidades alcançados pelo oscilador conforme se aumenta a corrente.
Aplicando ao oscilador um controlador fuzzy, os resultados são superiores aos
proporcionados por um controlador PID, uma vez que o controlador fuzzy é próprio para
uso em sistemas não-lineares, ao contrário do PID.
Como sugestões para trabalhos futuros, podemos citar:
estudo de modelos com mais de um grau de liberdade e que envolvam o efeito
da gravidade, como seria o caso de uma cabine de veículo pesado, por exemplo,
dotados de amortecedores MR;
aproveitamento dos resultados obtidos para o oscilador estudado para
construção, em laboratório, de um oscilador composto por um carro ligado em
paralelo a uma mola e a um amortecedor MR, dotado de mecanismo de seleção
de corrente (que pode ser um reostato), sendo o carro equipado com um
servomotor para lhe imprimir forçamento harmônico;
utilizar, no oscilador, uma mola não-ideal, que escape à lei de Hooke para
grandes deformações;
77
implementar uma arquitetura para um controlador fuzzy-PID, em que a função
do módulo fuzzy seja ajustar as constantes z, zv e z do módulo PID, de
acordo com as condições de oscilação, conforme esquema a seguir:
testar, no oscilador estudado ou, se possível, em sistemas mais complexos,
outros métodos de controle além da lógica fuzzy e do controlador PID, o que
seria o caso do sliding mode, por exemplo, ou combinações do sliding mode ou
algum outro método com os controles PID ou fuzzy;
utilizando os conceitos descritos neste trabalho, projetar um dispositivo que
permita escolher um valor de comprimento de curso, mais amplo que os 8 a 10
mm ora estipulados, que varie a intensidade da corrente no sentido de manter o
comprimento de curso no valor escolhido;
utilizar outros modelos constitutivos para os fluidos MR, como o de fricção de
Dahl, o de Bingham e o de Milecki e Sedziak, e comparar os resultados por eles
proporcionados com aqueles obtidos com o modelo de Bouc-Wen.
78
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