UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE GRADUACAO EM ENGENHARIA CIVIL

ANALISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUCAO DEVIBRACOES ESTRUTURAIS

Catarina Vieira Nagahama

JUIZ DE FORAFACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF

2011

ANALISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUCAO DE VIBRACOESESTRUTURAIS

Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado doCurso de Engenharia Civil da Universidade Federal deJuiz de Fora, como requisito parcial a obtencao do tıtulode Engenheiro Civil.

Area de Conhecimento: Dinamica das Estruturas

Orientador: Prof. Flavio de Souza Barbosa, D.Sc.

JUIZ DE FORAFACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF

2011

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ANALISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUCAO DE VIBRACOESESTRUTURAIS

Catarina Vieira Nagahama

Trabalho Final de Curso submetido a banca examinadora constituıda de acordo com oArtigo 9o do Capıtulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas peloColegiado do Curso de Engenharia Civil, como parte dos requisitos necessarios para aobtencao do grau de Engenheiro Civil.

Aprovado em: 13/01/2011

Por:

———————————————————Profo. Flavio de Souza Barbosa,D.Sc.

———————————————————Profa. Patrıcia Habib Hallak,D. Sc.

———————————————————Profo. Francisco Jose Gomes,D.Sc.

———————————————————Engo. Eduardo da Silva Castro

JUIZ DE FORAFACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF

2011

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Agradecimentos

Dedico meus sinceros agradecimentos:

• Ao professor Flavio, pelos ensinamentos transmitidos, pela dedicacao e empenhocomo meu orientador neste trabalho, por sua amizade, por seu incentivo, por seusconselhos e pelos anos de orientacao como tutor do grupo PET-Civil;

• Ao Thiago, por sua contribuicao no desenvolvimento do algoritmo genetico utilizadoneste trabalho e pela amizade sincera ao longo desses anos;

• Ao Eduardo, por suas valiosas sugestoes na elaboracao de algoritmos e pelo tempodisponibilizado;

• Aos meus pais e a minha irma, por todo apoio e amor;

• Ao Leandro, por seu companheirismo, sua paciencia e por todo carinho;

• A todos os meus queridos amigos, por tornarem esta caminhada muito mais alegree prazerosa.

• Ao Programa de Educacao Tutorial da Engenharia Civil, por ter me proporcionadouma formacao mais completa.

• A todos os professores da Faculdade de Engenharia de Juiz de Fora que tive aoportunidade de conhecer e que contribuıram para a minha formacao.

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Resumo do Trabalho de Final de Curso apresentado a Faculdade de Engenharia - UFJFcomo parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Bacharel em EngenhariaCivil

ANALISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUCAO DE VIBRACOESESTRUTURAIS

Catarina Vieira Nagahama

JANEIRO/2011

Orientador: Flavio de Souza BarbosaDepartamento: Mecanica Aplicada e Computacional

Uma das formas de se atenuar problemas dinamicos em estruturas e atraves do uso desistemas passivos e ativos de controle de vibracao. Um tipo de sistema de controle passivoe o sistema com frequencia sintonizada. Estes sistemas, quando instalados em estruturas,normalmente produzem resultados eficientes no controle de vibracoes. Outra maneira deatenuar vibracoes e atraves do uso de controladores ativos com retroacao. Estes atenu-adores possuem como caracterıstica o fato de que o calculo das forcas de controle dependeda resposta sensoriada da edificacao, o que pode minimizar incertezas inerentes as es-truturas no que se refere ao seu comportamento dinamico. Desta forma, faz-se nestetrabalho uma avaliacao numerica do comportamento dinamico de estruturas com contro-ladores passivos ou ativos acoplados, buscando evidenciar as vantagens e desvantagens douso destes dispositivos de controle de vibracoes estruturais.

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Sumario

1 Introducao 11.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Escopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Dinamica e Controle de Estruturas 32.1 Sistema Estrutural Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Sistema de Controle Passivo (SCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Sistema de Controle Ativo (SCA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A) . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Equacoes Diferenciais de Movimento paraSistemas Discretos com Multiplos GLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Sistema de Controle Passivo (SCP) de Ciclo Fechado Nao Sensoriado 93.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Descricao do Sistema Dinamico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Equacoes de Equilıbrio Dinamico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Sistema de Controle de Frequencia Sintonizada: . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4.1 Estrutura Sujeita a Vibracoes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4.2 Carregamentos Harmonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Sistema de Controle Ativo (SCA) 184.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Equacoes Diferenciais do Movimento para

Estruturas Discretizadas em Elementos de Viga via Metodo dos ElementosFinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Equacoes de Estado do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Controle Otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4.1 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4.2 Determinacao da Forca de Controle Otimo . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Controle com o Uso de Observadores de Estado . . . . . . . . . . . . . . . 234.5.1 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5.2 Observadores de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5.3 Calculo da Forca de Controle Otimo com o Uso de Observadores de

Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6.1 Descricao do Sistema Estrutural Dinamico . . . . . . . . . . . . . . 264.6.2 Resposta Nao-Controlada do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6.3 Resposta do Sistema com o Uso do Controle Ativo . . . . . . . . . 27

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4.7 Respostas do Sistema Controlado com o Uso de Observadores de Estado . 284.7.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7.3 Comparacoes Entre os Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Conclusoes e Comentarios Finais 34

A Algoritmo Numerico para Controle Ativo Otimo de Estruturas de Vigacom o Uso de Observadores de Estado 35A.1 Arquitetura do Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.2 Descricao Simplificada do Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.2.1 Arquivo de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.2.2 Gerador de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2.3 Controlador Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Lista de Figuras

2.1 Esquema de Controle Passivo adaptado de Barbosa (1996). . . . . . . . . . 42.2 Esquema de Controle Ativo de Ciclo Aberto adaptado de Barbosa (1996). . 62.3 Esquema de Controle Ativo de Ciclo Fechado adaptado de Barbosa (1996). 6

3.1 SCP do Edifıcio Taipei 101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 SCP da Ponte Rio-Niteroi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Esquema de um sistema massa-mola com dois graus de liberdade. . . . . . 103.4 Respostas para vibracoes livres nao controlada e controlada com m2 = 50,8

kg e k2 = 2.100,8 N/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Respostas para vibracoes livres nao controlada e controlada com m2 = 13,2

kg e k2 = 221,1 N/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6 Respostas para o carregamento harmonico fe1 = 10.000 sen(3t) nao con-

trolada e controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m. . . . . . . . . . 163.7 Respostas para o carregamento harmonico fe2 = 10.000 sen(8t) nao-controlada

e controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.204 N/m. . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Elemento de Viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Esquema de Discretizacao do Sistema Dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Respostas controlada e nao controlada do no 3. . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Respostas do no 3 nao controlada, controlada com todos os estados senso-

riados e controlada com o uso de um estado estimado. . . . . . . . . . . . . 294.5 Comparacao entre estado medido e estimado no Caso 1 referente ao no 3. . 304.6 Respostas do no 3 nao controlada, controlada com todos os estados senso-

riados e controlada com o uso de tres estados estimados. . . . . . . . . . . 314.7 Comparacao entre estado medido e estimado no Caso 2 referente ao no 3. . 324.8 Comparacao entre as forcas de controle calculadas com todos os graus de

liberdade medidos, calculadas no Caso 1 e no Caso 2. . . . . . . . . . . . . 334.9 Comparacao entre as respostas controladas obtidas quando todos os graus

de liberdade eram medidos, no Caso 1 e no Caso 2. . . . . . . . . . . . . . 33

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Lista de Tabelas

3.1 Calibracao do SCP para Vibracoes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequencias naturais

em torno de 90% da frequencia natural de vibracao da estrutura sujeita avibracoes livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Calibracao do SCP para o Carregamento Harmonico fe1 = 10.000 sen(3t) . 153.4 Calibracao do SCP para o Carregamento Harmonico fe2 = 10.000 sen(8t) . 153.5 Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequencias naturais

em torno de 90 % da frequencia natural de vibracao da estrutura sujeita acarregamentos harmonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Comparacao de valores de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Magnitudes maximas de fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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Capıtulo 1

Introducao

Os avancos tecnologicos em areas como materiais, equipamentos eletronicos e com-putacao, aliado a fatores economicos e de criatividade, tem levado a uma tendencia de seprojetar estruturas cada vez mais leves, esbeltas e, portanto, flexıveis.

Estruturas flexıveis possuem forte propensao a sofrer problemas dinamicos e a maioriadas medidas corretivas sao conservadoras e pesadas, como a tecnica de enrijecimento daestrutura.

Tais estruturas podem ser alternativamente projetadas de maneira segura com o auxıliode sistemas de reducao e/ou controle das amplitudes de vibracoes induzidas pelas cargasdinamicas atuantes, atendendo assim aos criterios de seguranca, funcionalidade e conforto.Esses sistemas auxiliares tambem podem ser utilizados para solucionar problemas emestruturas ja existentes.

Dessa forma, limites praticos usualmente considerados, tais como altura de edifıcios,vao de pontes e esbeltez de equipamentos, podem ser ultrapassados com a utilizacao desistemas de controle dinamico (Barbosa, 1996), que podem ser classificados como sistemasde controle passivo e ativo.

Varios trabalhos ja foram publicados apresentando conceitos e tecnicas de sistemasde controle, formas de implementacao e exemplos de aplicacoes, como Moutinho (1998) eVarela (2003) .

Os sistemas de controle passivo sao muito empregados em estruturas e possuem avantagem de nao dependerem de energia externa ao sistema. Um exemplo bastante simplese o amortecedor do tipo frequencia sintonizada, que para obter resultados satisfatoriosdeve ser calibrado corretamente. Battista (1993) sugere que a frequencia natural doamortecedor de frequencia sintonizada deve estar em torno de 90% da frequencia naturalda estrutura que se deseja controlar.

Neste trabalho e avaliado numericamente um sistema de frequencia sintonizada. Atra-ves de algoritmos de otimizacao sao obtidas as relacoes entre as frequencias naturais daestrutura e do dispositivo de controle que conferem ao conjunto estrutura/dispositivo decontrole o melhor desempenho em termos de reducao das amplitudes de vibracoes.

Muitas vezes na elaboracao de um sistema de controle dinamico, nos deparamos comvarias incertezas provenientes das caracterısticas fısicas da estrutura ou do carregamentosolicitante, que por vezes podem inviabilizar esta concepcao. Para contornar os problemasoriundos dessas incertezas, utiliza-se um sistema dinamico de controle ativo com retroacao,que minimiza tais incertezas, pois a sua forma de atuacao depende da resposta sensoriadado sistema.

Umas das dificuldades de aplicacao desse tipo de controle, esta na necessidade de

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monitoramento de um grande numero de graus de liberdade.Este trabalho apresenta uma analise numerica da utilizacao de estimadores de estado

em problemas de controle ativo de estruturas. Com o uso de observadores de estado epossıvel reduzir o grande numero de pontos monitorados na estrutura, pois atraves demodelos numericos pode-se estimar de maneira precisa os deslocamentos e velocidades empontos nao sensoriados, contribuindo assim para viabilizar a aplicacao pratica do controleativo estrutural com retroacao.

1.1 Objetivo

Avaliar atraves de analises numericas a eficiencia dos controladores passivos defrequencia sintonizada, bem como analisar computacionalmente o desempenho de umsistema controlado ativamente atraves de algoritmos que utilizam estimadores para ve-locidades e/ou deslocamentos e/ou aceleracoes nao monitorados.

1.2 Escopo

O presente trabalho esta dividido em 5 capıtulos e 1 apendice, incluindo essa introducaoque procura melhor apresentar o tema desenvolvido sobre Analise de Sistemas de Controlepara Reducao de Vibracoes Estruturais.

• Capıtulo 2 - Dinamica e Controle de Estruturas

Neste capıtulo sao apresentados alguns conceitos sobre sistemas estruturais dinamicose os tipos de sistemas de controle. Tambem sao definidas as equacoes diferenciaisde movimento.

• Capıtulo 3 - Sistema de Controle Passivo (SCP)

Apresenta-se aqui o desenvolvimento das equacoes diferenciais de equilıbrio dinamicopara um problema com dois Graus de Liberdade (GL). A formulacao apresentadapermite a simulacao de um sistema controlado onde a estrutura e modelada por1 GL generalizado e o controlador por outro GL. Os resultados para este tipo decontrole sao tambem aqui apresentados.

• Capıtulo 4 - Sistema de Controle Ativo (SCA)

Este capıtulo procura apresentar de maneira sucinta a teoria de controle ativo otimo,o conceito de observador de estado e sua aplicacao em um sistema dinamico comnumero reduzido de sensores. Ao final deste capıtulo apresenta-se um exemplo deaplicacao.

• Capıtulo 5 - Conclusoes

Neste capıtulo sao apresentadas as conclusoes gerais sobre os resultados obtidosatraves das simulacoes dos controles passivo e ativo.

• Apendice A - Algoritmo para Simulacao de um Sistema de Controle Ativo

Neste apendice e feita uma breve descricao do codigo computacional desenvolvidoneste trabalho para simular o comportamento de uma estrutura de viga submetidaa excitacao dinamica e controle ativo com o uso de observadores de estado.

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Capıtulo 2

Dinamica e Controle de Estruturas

2.1 Sistema Estrutural Dinamico

Um problema dinamico e caracterizado por um carregamento que varia com o tempoe pelo aparecimento de forcas inerciais contrarias as aceleracoes. Um sistema estruturaldinamico e caracterizado pela estrutura e pelas forcas dinamicas que sobre ela atuam. Umavez solicitado, o sistema apresenta uma resposta descrita pelas aceleracoes, velocidades edeslocamentos dos seus pontos caracterısticos. A resposta estrutural de um carregamentodinamico tambem varia com o tempo.

As propriedades fısicas essenciais de um sistema estrutural sujeito a uma fonte ex-terna de excitacao ou carregamento dinamico sao: massa, propriedades elasticas comoflexibilidade ou rigidez e o amortecimento ou perda de energia mecanica (Barbosa, 2006).

Em diversos problemas de engenharia, a modelagem do comportamento dinamico deuma estrutura pode ser obtida atraves da analise de apenas um grau de liberdade (GL)generalizado. Nestes casos, a Equacao (2.1), que representa a equacao de movimento deum sistema dinamico de um GL com amortecimento viscoso, pode estar associada a ummodelo que simula o comportamento dinamico de uma estrutura real.

mq(t) + cq(t) + kq(t) = fe(t), (2.1)

onde:

• t e o tempo;

• q(t) e a resposta do sistema em termos de deslocamentos;

• q(t) = d2

dtq(t);

• q(t) = ddt

q(t);

• m, c e k sao respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema; e

• fe(t) e a resultante das forcas de excitacao.

Para obter reducao nas amplitudes de vibracoes em um sistema natural (nao contro-lado), sao necessarias alteracoes em uma ou mais propriedades estruturais (massa, rigidezou amortecimento).

A alteracao destes parametros nem sempre e viavel, ou por questoes tecnicas, ou porquestoes praticas. Nestes casos, para obter reducao na amplitude de resposta, deve-seoptar por sistemas de controle auxiliares.

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2.2 Sistemas de Controle

A equacao diferencial que descreve a resposta do sistema estrutural controlado e obtidaa partir da Equacao (2.1) atraves da consideracao de que as forcas que agora atuam naestrutura sao fe(t) e fc(t), onde fc(t) e a resultante das forcas de controle. Assim, aEquacao (2.1) fica:

mq(t) + cq(t) + kq(t) = fe(t) + fc(t). (2.2)

Os sistemas de controle podem ser divididos em tres grupos:

• Sistema de Controle Passivo (SCP)

• Sistema de Controle Ativo (SCA)

• Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A)

2.2.1 Sistema de Controle Passivo (SCP)

Neste tipo de controle, a introducao de forcas dissipativas e feita por meio de sistemasauxiliares. Essas forcas tem magnitudes dependentes das amplitudes de resposta e naosao aplicadas por meio de atuadores.

Figura 2.1: Esquema de Controle Passivo adaptado de Barbosa (1996).

Conforme representada na Figura (2.1), no SCP fc(t) e a forca gerada no sistemaauxiliar que altera as propriedades do sistema estrutural.

O SCP e geralmente um sistema de controle de ciclo fechado, pois a magnitude daforca de controle depende diretamente das amplitudes de resposta q(t).

A performance de um SCP esta diretamente ligada a calibracao previa entre sistemaauxiliar e estrutura (relacao entre massas, frequencias naturais, etc).

Existem dois tipos de Controle Passivo, sao eles:

• SCP Nao Sensoriado

Trata as propriedades dinamicas da estrutura e do sistema auxiliar como invari-antes no tempo.

O SCP Nao Sensoriado possui as seguintes caracterısticas:

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– A forca de controle fc(t) gerada pelo sistema auxiliar e funcao da respostada estrutura e tambem das propriedades caracterısticas do proprio sistemaauxiliar, propriedades estas que dependem do sistema dinamico que se desejacontrolar e dos nıveis desejaveis de reducao de vibracao.

– Nao possui regulador automatico, nao podendo, portanto, compensar per-turbacoes inesperadas do sistema dinamico.

– A ausencia de um regulador automatico pode resultar em perda de eficiencia dosistema de controle, visto que a resposta da estrutura esta diretamente ligadaao ajuste entre sistema auxiliar e estrutura.

• SCP Sensoriado

Atraves do sensoriamento da estrutura, pode-se introduzir um sistema auxiliarcom parametros como massa, rigidez e/ou amortecimento variantes com o tempo.Esta flexibilidade dos parametros estruturais do sistema auxiliar possibilita ajustesnas relacoes entre seus parametros dinamicos e os da estrutura, viabilizando umaboa calibracao a cada instante de tempo.

O SCP Sensoriado possui as seguintes caracterısticas:

– A forca de controle gerada pelo sistema auxiliar tambem e funcao da respostada estrutura e das propriedades caracterısticas do proprio sistema auxiliar,porem as caracterısticas do sistema auxiliar nao sao invariantes.

– A calibracao ajustavel permite ao SCP Sensoriado um melhor desempenhoem relacao ao Nao Sensoriado, pois o sistema e capaz de compensar pequenasincertezas e pertubacoes provenientes tanto do carregamento quanto da propriaestrutura principal.

Neste trabalho sera analisado um SCP de ciclo fechado nao sensoriado.

2.2.2 Sistema de Controle Ativo (SCA)

Neste tipo de sistema, as forcas de controle sao introduzidas por meio de atuadorestais como macaco hidraulico, motor eletrico, etc.

Sao apresentados a seguir dois tipos de controle ativo:

• Controle de Ciclo Aberto ou “Open-loop Control”

Esse sistema e chamado de ciclo aberto porque a forca de controle fc(t) nao efuncao direta das amplitudes de resposta, conforme esquema apresentado na Figura(2.2).

Neste caso tem-se uma forca de controle que depende apenas do tempo e de umsinal de referencia r(t).

O SCA com Ciclo Aberto possui as seguintes caracterısticas:

– A funcao do sinal de referencia r(t) e pre-programada e nao depende de q(t).

– O atuador depende de uma fonte de energia externa.

– Nao permite correcao da forca de controle se o sistema estrutural e/ou forcade controle forem alterados.

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Figura 2.2: Esquema de Controle Ativo de Ciclo Aberto adaptado de Barbosa (1996).

– A forca de controle e determinada previamente em funcao das caracterısticasdinamicas das estruturas, da forca de excitacao e do estado inicial do sistema.

O controle de ciclo aberto apresenta bons resultados em sistemas estruturaiscuja forca de excitacao tenha um comportamento conhecido e bem definido. Casoocorra alguma variacao significativa no comportamento da forca de excitacao comoalteracao do perıodo de oscilacao para carga harmonica, retardo, etc, a forca de con-trole perde sua eficiencia no que diz respeito a reducao das amplitudes de resposta,podendo ate mesmo causar instabilidade do sistema.

• Controle de Ciclo Fechado ou “Closed-loop Control”

Este sistema e chamado de ciclo fechado porque a forca de controle fc(t) efuncao direta das amplitudes de resposta do sistema estrutural que por isso deve sersensoriado. A forca de controle e funcao da diferenca entre um sinal de referenciar(t), resposta desejada, e a resposta real q(t), ou seja: fc(t) = fc[r(t)−q(t)], conformerepresentado na Figura (2.3).

Figura 2.3: Esquema de Controle Ativo de Ciclo Fechado adaptado de Barbosa (1996).

O SCA com Ciclo Fechado possui as seguintes caracterısticas:

– A estrutura necessita ser sensoriada para obtencao do sinal de sua respostareal.

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– A forca de controle e calibrada automaticamente, pois o sensoriamento daestrutura permite a reanalise da medida de erro dada por e(t) = r(t) − b(t),onde b(t) e o sinal sensoriado da estrutura, a cada instante de tempo, fatoressencial para sua determinacao.

– Tambem como no SCA com Ciclo Aberto, a resposta desejada r(t) e progra-mada em funcao dos nıveis de deslocamentos, velocidades e aceleracoes de-sejaveis.

O SCA com Ciclo Fechado tambem conhecido como Sistema de Controle comRetroacao e capaz de compensar:

– Possıveis pertubacoes ou disturbios na forca de excitacao.

– Incertezas inerentes as propriedades e caracterısticas dinamicas da estruturabem como nas medidas dos sensores e atuadores.

Neste trabalho sera abordado um sistema de controle ativo de ciclo fechado ondeapenas uma parte da estrutura e sensoriada.

2.2.3 Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A)

Sao sistemas de controle que possuem caracterısticas hıbridas, pois possuem simul-taneamente atuadores e dissipadores de energia.

A funcao do sistema de controle passivo e, nesse caso, a de reduzir as amplitudes deresposta da estrutura sob acao de forcas dinamicas mais frequentes em um estado normalde utilizacao em servico, enquanto a funcao do sistema de controle ativo e manter reduzidae controlada a resposta da estrutura sob acao de forcas excepcionais, evitando que ela sejalevada a um estado limite ultimo.

Neste trabalho nao sera abordado este tipo hıbrido de sistema de controle. Esta secaofoi incluıda no texto de forma a torna-lo mais abrangente.

2.3 Equacoes Diferenciais de Movimento para

Sistemas Discretos com Multiplos GLs

Apos realizar a identificacao das propriedades da estrutura, investigar o comporta-mento da mesma e fazer as devidas consideracoes teorico-praticas para avaliar que tipode controle deve ser adotado, passa-se entao para a formulacao das equacoes diferenciaisque regem o movimento da estrutura modelada atraves de multiplos GLs.

Para pequenas amplitudes de vibracao em torno de uma configuracao de equilıbrio ecom a hipotese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar as equacoes de movimentolinearizadas em torno de um estado de equilıbrio.

As equacoes de movimento podem entao ser escritas na forma matricial, usualmenteutilizada na dinamica estrutural conforme a Equacao (2.3):

Mq(t) + Cq(t) + Kq(t) = fe(t) + fc(t) (2.3)

onde:

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• q(t), q(t) e q(t) sao respectivamente o vetor de deslocamentos, o vetor de velocidadese o vetor de aceleracoes dos GLs;

• M, C e K sao respectivamente a matriz de massa, a matriz de amortecimento e amatriz de rigidez;

• fe(t) e o vetor de forcas externas atuantes na estrutura excetuando as forcas decontrole (vetor de forcas de excitacao); e

• fc(t) e o vetor de forcas de controle.

Neste trabalho, sistemas com multiplos GLs serao analisados no Capıtulo 4 onde seraoabordados topicos complementares a presente secao.

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Capıtulo 3

Sistema de Controle Passivo (SCP)de Ciclo Fechado Nao Sensoriado

3.1 Introducao

Muitas estruturas reais utilizam sistemas de controle do tipo passivo para atenuar vi-bracoes. Conforme descrito anteriormente, nesse tipo de sistema de controle a introducaodas forcas dissipativas ocorre por meio de sistemas auxiliares, nao sendo necessario o usode energia externa ao sistema, o que pode representar um grande benefıcio.

Como exemplo de utilizacao do SCP pode-se citar o Edifıcio Taipei 101 (Massocaet al., 2010), localizado em Taipei (Taiwan). Essa estrutura possui um pendulo de 800toneladas para absorver vibracoes causadas pela acao de terremotos e ventos. Esse penduloe apresentado na Figura (3.1). A dissertacao de mestrado de Pinheiro (1997) faz um estudodetalhado deste tipo de sistema de controle.

Figura 3.1: SCP do Edifıcio Taipei 101.

No Brasil, em 2004 foram instalados Multiplos Atenuadores Dinamicos Sincronizados(MADS’s) na Ponte Rio-Niteroi (Battista, 2006) para controlar as amplitudes de oscilacoesinduzidas pelo vento, que chegaram a 60 cm. Esses atenuadores sao constituıdos por caixasde aco com 2 t, penduradas em seis molas em espiral, com capacidade de se alongaremate 3,5 m. O esquema e apresentado na Figura (3.2).

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Figura 3.2: SCP da Ponte Rio-Niteroi.

Os MADS’s vem apresentando um bom desempenho com reducao das amplitudes dedeslocamento vertical no meio do vao central da ponte, onde foram instalados, em tornode 75% (Battista (2006)).

Tais exemplos demonstram a aplicacao e eficiencia dos sistemas de controle do tipopassivo para melhorar o desempenho de estruturas novas ou ja existentes.

A seguir serao apresentadas algumas simulacoes computacionais da aplicacao de umsistema de controle do tipo passivo. Trata-se de um sistema de amortecimento do tipofrequencia sintonizada onde a estrutura e modelada por 1 GL generalizado.

3.2 Descricao do Sistema Dinamico:

O modelo adotado para simular o SCP neste trabalho foi o sistema com dois graus deliberdade representado na Figura (3.3), onde:

Figura 3.3: Esquema de um sistema massa-mola com dois graus de liberdade.

• m1, k1 e c1 sao respectivamente a massa, a rigidez e a constante de amortecimentoviscoso da estrutura cujos deslocamentos deseja-se controlar; e

10

• m2, k2 e c2 sao respectivamente a massa, a rigidez e a constante de amortecimentoviscoso do absorsor.

3.3 Equacoes de Equilıbrio Dinamico:

Para este sistema as equacoes diferenciais de equilıbrio dinamico podem ser escritasna forma matricial da seguinte maneira:

[m1 00 m2

]{q1

q2

}+

[c1 + c2 −c2

−c2 c2

] {q1

q2

}+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2

]{q1

q2

}=

{fe

0

}

(3.1)Escrevendo-se as derivadas de q1(t) e q2(t) atraves de aproximacoes expressas por

diferencas finitas mostradas nas Equacoes (3.2) e (3.3) (Ruggiero and Lopes, 2006), pode-se reescrever a Equacao (3.1) na forma discreta e uma vez explicitando os valores deq1(ti+1) e q2(ti+1) chega-se a Equacao (3.4).

qj∼= qj(ti+1)− 2qj(ti) + qj(ti−1)

∆t2(3.2)

qj∼= qj(ti+1)− qj(ti−1)

2∆t(3.3)

onde:

• i = 1 ... n;

• j = 1, 2;

• tf = n∆t e o tempo final da analise; e

• ti = i∆t.

m1

∆t2+ c1

2∆t+ c2

2∆t− c2

2∆t

− c22∆t

m2

∆t2+ c2

2∆t

q1(ti+1)

q2(ti+1)

=

f ie +

(2m1

∆t2− k1 − k2

)q1(ti) +

(− m1

∆t2+ c1

2∆t+ c2

2∆t

)q1(ti−1) + k2x

i2 +

(− c22∆t

)q2(ti−1)

q1(ti) +(− c2

2∆t

)q1(ti−1) +

(2m1

∆t2− k2

)q2(ti) +

(− m2

∆t2+ c2

2∆t

)q2(ti−1)

(3.4)

Da Equacao 3.4 e possıvel atraves de um procedimento incremental partindo-se dosvalores iniciais de q1(t0), q2(t0), q1(t0) e q2(t0), calcular os deslocamentos q1 e q2 do sistemaem funcao do tempo.

11

3.4 Sistema de Controle de Frequencia Sintonizada:

Para que o absorsor de massa m2 funcione de forma eficiente e necessario calibra-lo emrelacao a estrutura. Para isso foi desenvolvido um algoritmo cujo objetivo e, apos definidasas propriedades fısicas m1, k1 e c1 da estrutura cujos deslocamentos deseja-se controlare c2 do absorsor, determinar dentro de um intervalo de valores pre-definidos quais aspropriedades fısicas m2 e k2 do absorsor (SCP) que resultam nos menores deslocamentosda estrutura. Isto foi feito atraves da utilizacao de algoritmos geneticos (Martins et al.,2008).

O algoritmo genetico utilizado neste trabalho foi desenvolvido por Martins, T. V..Foi utilizado como parametro a ser minimizado o valor de υ dado por:

υ =n∑

i=0

q21(ti). (3.5)

O absorsor foi testado em duas situacoes:

• Estrutura sujeita a vibracoes livres; e

• Estrutura sujeita a carregamentos harmonicos.

Em ambos os casos as propriedades da estrutura fictıcia foram definidas como:

• m1 = 100kg;

• c1 = 100Ns/m; e

• k1 = 104N/m,

e a constante de amortecimento viscoso do absorsor foi fixada como:

• c2 = 100 Ns/m.

3.4.1 Estrutura Sujeita a Vibracoes Livres

Para simular a estrutura sujeita a vibracoes livres, foram fixados como deslocamentosiniciais os seguintes valores:

• q1(t0) = 1 m; q1(t0) = 0 ⇒ q1(t0 + ∆t) = 1 m; e

• q2(t0) = 1 m; q2(t0) = 0 ⇒ q2(t0 + ∆t) = 1 m.

A resposta nao controlada do sistema esta apresentada na Figura (3.4) atraves dalinha fina (Sem absorsor) e o valor do parametro υ calculado atraves da Equacao (3.5)para este caso e:

υvl sem controle = 1011, 0m2.

Em seguida, foram definidos alguns intervalos de busca para as propriedades massa erigidez do absorsor que resultassem no menor valor para o parametro υ. Os resultadosobtidos atraves do algoritmo genetico estao apresentados na Tabela (3.1):

12

Tabela 3.1: Calibracao do SCP para Vibracoes LivresIntervalo de busca de m2 Intervalo de busca de k2 m2 k2 υ

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2)0,5 - 30 1 - 104 50,8 2.100,8 386,11480,5 - 20 1 - 104 25,9 1.040,0 499,09950,5 - 10 10 - 104 13,2 221,1 672,1833

Resultados

Analisando a Tabela (3.1) conclui-se que as menores oscilacoes de m1 foram obtidasquando m2 = 50,8 kg e k2 = 2.100,8 N/m. Nesta situacao, a frequencia natural devibracao do absorsor e de 6,43 rad/s, o que corresponde a 64,3 % da frequencia natural devibracao da estrutura, que e de 10 rad/s. A comparacao entre as respostas nao-controladae controlada pode ser feita atraves da Figura (3.4).

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (s)

Des

loca

men

to x

1 (m

)

Sem absorsorCom absorsor

Figura 3.4: Respostas para vibracoes livres nao controlada e controlada com m2 = 50,8kg e k2 = 2.100,8 N/m.

Neste caso, porem, foi necessaria uma massa m2 muito grande, correspondente a 50.8%de m1. Na pratica, um SCP como este poderia ser inviavel por ser muito pesado.

Um resultado mais proximo de uma aplicacao pratica e m2 = 13,2 kg e k2 = 221,1N/m.Nesta situacao, a frequencia natural de vibracao do absorsor e de 4,09 rad/s, o que cor-responde a 40,9 % da frequencia natural de vibracao da estrutura. A resposta controladacom esse absosor esta apresentada na Figura (3.5).

E possıvel observar que as menores amplitudes de vibracao da estrutura foram al-cancadas com um amortecedor cuja frequencia natural de vibracao corresponde a 64,3 %

13

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (s)

Des

loca

men

tos

x1 (

m)

Sem absorsorCom absorsor

Figura 3.5: Respostas para vibracoes livres nao controlada e controlada com m2 = 13,2kg e k2 = 221,1 N/m.

da frequencia natural de vibracao da estrutura.Foram feitas algumas tentativas para controle de vibracao da mesma estrutura com o

uso de amortecedores com frequencias naturais em torno de 90 % da frequencia natural devibracao da estrutura como sugere Battista (1993), porem, nestes casos nao foram obtidosbons resultados, conforme apresentado na Tabela (3.2).

Tabela 3.2: Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequencias naturais emtorno de 90% da frequencia natural de vibracao da estrutura sujeita a vibracoes livres

m2 k2 υ(kg) (N/m) (m2)

5 405,0 1,0173×103

10 810,0 0,962×103

15 12150,0 2,2641×103

3.4.2 Carregamentos Harmonicos

Para simular a estrutura sujeita a carregamentos harmonicos foram aplicadas em mo-mentos distintos duas forcas de excitacao de mesma intensidade e frequencias diferentes:

• fe1 = 10.000 sen(3t) (frequencia de excitacao ω = 3 rad/s); e

• fe2 = 10.000 sen(8t) (frequencia de excitacao ω = 8 rad/s, proxima da frequencianatural de vibracao da estrutural de 10 rad/s).

14

Para esses carregamentos foram respectivamente obtidas as respostas dinamicas naocontroladas apresentadas nas Figuras (3.6) e (3.7) atraves das linhas finas (Sem controle).Os valores do parametro υ obtidos para estes casos sao:

υfe1 sem controle = 1, 7999× 104m2; e

υfe2 sem controle = 1, 1297× 105m2.

Em seguida, foram definidos alguns intervalos de busca para as propriedades massa erigidez do absorsor que resultassem no menor valor para o parametro υ para os dois casos.Os resultados obtidos atraves do algoritmo genetico estao apresentados nas Tabelas (3.3)e (3.4):

Tabela 3.3: Calibracao do SCP para o Carregamento Harmonico fe1 = 10.000 sen(3t)Intervalo de busca de m2 Intervalo de busca de k2 m2 k2 υ

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2)0,5 - 30 1 - 104 1 13.107,0 3,0179 × 103

0,5 - 20 1 - 104 1 13.110,0 3,0171 × 103

0,5 - 10 10 - 104 1 13.114,0 3,0160 × 103

Tabela 3.4: Calibracao do SCP para o Carregamento Harmonico fe2 = 10.000 sen(8t)Intervalo de busca de m2 Intervalo de busca de k2 m2 k2 υ

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2)0,5 - 10 10 - 104 1 13.065,0 5,4648 × 103

0,5 - 10 10 - 104 1 13.193,0 5,3815 × 103

0,5 - 10 102 - 104 1 13.204,0 5,3744 × 103

Resultados

Para a estrutura sujeita a forca de excitacao fe1 = 10.000 sen(3t), as menoresoscilacoes foram obtidas quando m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m. Nesta situacao, afrequencia natural de vibracao do absorsor e de 114,52 rad/s, mais de 10 vezes maior quea frequencia natural de vibracao da estrutura.

A comparacao entre as respostas controlada e nao controlada pode ser feita atravesda Figura (3.6).

Para a estrutura sujeita a forca de excitacao fe2 = 10.000 sen(8t), as menores oscilacoesforam obtidas quando m2 = 1,0 kg e k2 = 13.204 N/m. Nesta situacao, a frequencianatural de vibracao do absorsor e de 114,91 rad/s, tambem mais de 10 vezes maior quea frequencia natural de vibracao da estrutura.

A comparacao entre as respostas controlada e nao controlada pode ser feita atravesda Figura (3.7).

15

0 5 10 15−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (s)

Des

loca

men

to x

1 (m

)

Sem controleCom controle

Figura 3.6: Respostas para o carregamento harmonico fe1 = 10.000 sen(3t) nao controladae controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m.

Pode-se observar que o SCP apresentou uma grande eficiencia em reduzir as amplitudesde vibracao provocadas pelos carregamentos harmonicos. Bons resultados foram obtidoscom a utilizacao de um absorsor com massa m2 correspondente a apenas 1% da massa daestrutura m1.

Novamente foram feitas algumas tentativas para controle de vibracao da mesma estru-tura com o uso de amortecedores com frequencias naturais em torno de 90 % da frequencianatural de vibracao da estrutura e nestes casos os resultados obtidos nao foram tao efi-cientes quanto os anteriores, conforme apresentado na Tabela (3.5).

Tabela 3.5: Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequencias naturais emtorno de 90 % da frequencia natural de vibracao da estrutura sujeita a carregamentosharmonicos

Forca de Excitacao m2 k2 υ(N) (kg) (N/m) (m2)fe1 1 81,0 1,7722 × 104

fe1 5 405,0 1,6576 × 104

fe2 1 81,0 1,1208 × 105

fe2 5 405,0 1,0833 × 105

16

0 5 10 15−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Des

loca

men

to x

1 (m

)

Sem controleCom controle

Figura 3.7: Respostas para o carregamento harmonico fe2 = 10.000 sen(8t) nao-controladae controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.204 N/m.

17

Capıtulo 4

Sistema de Controle Ativo (SCA)

4.1 Introducao

Muitas estruturas fazem uso de controladores ativos para solucionar problemasdinamicos. A maioria delas esta localizada no Japao, como o Edifıcio Kyobashi Seiwa(Jr. and Sain, 1997) e a Ponte Rainbow (Tanida, 2002), ambos situados em Toquio.

Os sistemas de controle ativo sao compostos por:

• Sensores: que registram informacoes como deslocamentos, velocidades e/ou ace-leracoes de pontos da estrutura;

• Controladores: que realizam os calculos das forcas de controle; e

• Atuadores, que aplicam as forcas de controle.

Conforme descrito anteriormente, neste trabalho sera estudado um sistema de controleativo com ciclo fechado. Neste tipo de controle, o calculo das forcas depende das respostasda estrutura. Porem, na pratica, apenas um numero reduzido de pontos sao monitorados.Busca-se, portanto, avaliar a qualidade do controle ativo nestas situacoes. Para isso, foiutilizada a tecnica dos observadores de estado.

Neste capıtulo sao apresentados alguns conceitos e ferramentas utilizadas para simulara acao do controlador ativo com ciclo fechado em uma viga e em seguida serao apresentadosos resultados obtidos atraves das simulacoes desse SCA.

4.2 Equacoes Diferenciais do Movimento para

Estruturas Discretizadas em Elementos de Viga

via Metodo dos Elementos Finitos

O Metodo dos Elementos Finitos (MEF) aplicado a Analise Estrutural e basicamente,um procedimento de discretizacao de uma estrutura complexa atraves da montagem deelementos estruturais finitos. Tais elementos sao tratados como contınuos e os desloca-mentos em qualquer ponto no interior de um elemento sao funcoes dos deslocamentosnodais dos extremos do mesmo. Na Figura (4.1) esta representado um elemento de viga,que possui dois graus de liberdade por no: uma translacao e uma rotacao. Aplicando osfundamentos do MEF (Bathe, 1982) a problemas modelados por vigas, chega-se a Equacao(4.1).

18

Figura 4.1: Elemento de Viga.

Melq + Celq + Kelq = fele + fel

c , (4.1)

onde:

• Mel e a Matriz de Massa do Elemento de Viga no referencial local:

Mel =mL

420

156 22L 54 −13L

22L 4L2 13L −3L2

54 13L 156 −22L

−13L −3L2 −22L 4L2

,

sendo:

– m a massa por metro linear do elemento; e

– L o comprimento do elemento;

• Kel e a Matriz de Rigidez do Elemento de Viga no referencial local:

Kel =

12EIL3

6EIL2 −12EI

L36EIL2

6EIL2

4EIL

−6EIL2

2EIL

−12EIL3 −6EI

L212EIL3 −6EI

L2

6EIL2

2EIL

−6EIL2

4EIL

,

sendo:

– E o modulo de elasticidade do material constitutivo do elemento;

– A a area da secao transversal do elemento; e

– I o momento de inercia da secao transversal do elemento;

19

• Cel e a Matriz de Amortecimento do Elemento de Viga no referencial local,

geralmente tomada como: Cel = αMel + βKel (α e β sendo sao numeros reais);

• fele sao as Forcas Externas atuantes no elemento, em um referencial local, excetuando

as forcas de controle, associadas aos elementos dinamicos q(t) = [q1(t), q2(t), q3(t),q4(t)]

T ; e

• felc sao as Forcas de Controle atuantes no elemento, em um referencial local, ssociadas

aos elementos dinamicos q(t) = [q1(t), q2(t), q3(t), q4(t)]T .

As matrizes de Massa, Rigidez e Amortecimento de uma estrutura, discretizada emelementos finitos, sao obtidas pelo somatorio das contribuicoes de cada elemento, tomadasem um referencial global.

De forma simbolica:

M =N∑

i=1

Meli ; (4.2)

K =N∑

i=1

Keli ; e (4.3)

C =N∑

i=1

Celi . (4.4)

Da mesma maneira, obtem-se os vetores contendo as forcas de excitacao e de controleda estrutura:

fe =N∑

i=1

felei

; e (4.5)

fc =N∑

i=1

Felci

. (4.6)

4.3 Equacoes de Estado do Sistema

A fim de atender as exigencias de desempenho dos sistemas de controle e ao aumentoda complexidade dos sistemas, tem sido empregada a teoria do controle moderno. Essateoria e aplicada a sistemas de entradas e saıdas multiplas, que podem ser lineares ounao-lineares. E essencialmente uma abordagem no domınio do tempo, e tem como base oconceito de estado.

A seguir sao definidos estado, variaveis de estado, vetor de estado e espaco de estados,segundo Ogata (2003).

• Estado: O estado de um sistema dinamico e o menor conjunto de variaveis (chamadasde variaveis de estado), tais que o conhecimento dessas variaveis em t = t0, jun-tamente com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente ocomportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0.

20

• Variaveis de Estado: As variaveis de estado de um sistema dinamico sao aquelasque constituem o menor conjunto de variaveis capaz de determinar o estado dessesistema dinamico. Se pelo menos n variaveis x1, x2, ..., xn sao necessarias para des-crever todo o comportamento de um sistema dinamico (de tal modo que sendo dadaa entrada para t ≥ t0 e especificado o estado inicial t = t0, o estado futuro dosistema fique completamente determinado), entao n variaveis formam um conjuntode variaveis de estado.

• Vetor de Estados: Se forem necessarias n variaveis de estado para descrevercompletamente o comportamento de um dado sistema, entao essas n variaveis deestado poderao ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor echamado de vetor de estado. Assim o vetor de estado e aquele que determinaunivocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t ≥ t0, uma vez dadoo estado em t = t0 e especificada a entrada u(t) para t ≥ t0.

• Espaco de Estados: O espaco n-dimencional, cujos eixos coordenados sao for-mados pelos eixos de x1, x2, ..., xn onde sao x1, x2, ..., xn as variaveis de estado, echamado de espaco de estados. Qualquer estado pode ser representado por umponto no espaco de estados.

Utilizando estes princıpios, pode-se observar que as coordenadas qi(t)(i = 1, 2, ..., n)que definem o vetor n-dimensional (n −→ numero de graus de liberdade da estrutura)q(t), cuja ponta descreve uma trajetoria denominada caminho dinamico, nao representamum sistema unico, visto que um mesmo caminho dinamico, considerando-se apenas deslo-camentos generalizados, pode ser descrito de diversos modos. Torna-se necessaria, entao,a introducao de mais uma grandeza para bem definir o estado de um sistema. De formaclassica, as velocidades generalizadas (q(t)) sao utilizadas para definir completamente ovetor de estado (x(t)):

x(t) =

[q(t)q(t)

]. (4.7)

Pode-se escrever entao:

x(t) =

[q(t)q(t)

]. (4.8)

Pode-se observar que para um vetor q(t) n-dimensional, tem-se um vetor de estadox(t) 2n-dimensional.

Feitas as necessarias consideracoes sobre o vetor de estado do sistema, chega-se aEquacao (4.9), que e a equacao de estado de um sistema linear invariante no tempo:

x(t) = Ax(t) + Bu(t), (4.9)

onde:

• A =

[0 I

−M−1K −M−1C

], com dimensao (2n, 2n);

• B =

[0

M−1

], com dimensao (2n, n);

21

• u(t) = fe(t)+fc(t), e o vetor de forcas atuantes no sistema estrutural, com dimensaon;

• I −→ e uma matriz identidade n-dimensional; e

• 0 −→ e uma matriz de zeros n-dimensional.

4.4 Controle Otimo

4.4.1 Aspectos Gerais

Em um sistema dinamico controlado ativamente por meio de forcas de controlefc(t), que alteram sua resposta no tempo, o desempenho do sistema de controle e medidosegundo alguns criterios de seguranca, ligada as amplitudes de resposta em termos dedeslocamentos, conforto do usuario, relacionado com as amplitudes de resposta em termosde velocidade e/ou aceleracoes, e praticidade, referente a limitacoes economicas e/oufısicas na concepcao do sistema de controle.

Conceitua-se entao um controle otimo como sendo:

“A determinacao de um controle admissıvel fc que leve o sistema a um estado desejadox(t) e que minimize uma certa medida de desempenho”

4.4.2 Determinacao da Forca de Controle Otimo

A determinacao da forca de controle otimo e feita tomando-se como medidas dedesempenho as amplitudes dos estados e da propria forca de controle atuante em umsistema ativo de ciclo fechado.

A minimizacao das amplitudes dos estados em um perıodo de tempo compreendidoentre t0 e tf pode ser feita tomando-se um funcional quadratico que inclui a parcelarelativa as de controle como o escrito na Equacao (4.10) (Barbosa (1996))

J =1

2xT (tf )Hx(tf ) +

1

2

∫ tf

t0

[xT (t)Qx(t) + fcT (t)Rfc(t)]dt, (4.10)

onde:

• J e o funcional a ser minimizado atraves da determinacao da funcao fc(t)

• H, Q e R sao matrizes de ponderacao com dimensao (2n, 2n), (2n, 2n) e(n, n), respectivamente.

Para a minimizacao do funcional J e necessario obter a solucao da Equacao Matricialde Riccati dada por:

PA + ATP−PBR−1BTP + Q = 0. (4.11)

Apos determinar a Matriz de Riccati (P), com dimensao (2n, 2n), pode-se determinara Matriz de Ganho da forca de controle (G), que possui dimensao (n, 2n) e e definida daseguinte maneira:

G = −R−1BTP. (4.12)

22

A forca de controle e dada, entao, pela Equacao (4.13) :

fc(t) = Gx(t). (4.13)

Chega-se, assim, ao controle otimo do regulador linear com utilizacao de funcionalquadratico.

4.5 Controle com o Uso de Observadores de Estado

4.5.1 Aspectos Gerais

A ideia do uso dos observadores de estado esta na divisao da resposta dos sistemasestruturais em 3 tipos de estados:

• Estados sensoreados ou medidos: sao os estados cujos valores sao determinadosdiretamente atraves do uso de equipamentos de sensoreamento.

• Estados observados: sao os estados dos graus de liberdade da estrutura que naosao acessıveis por medicao direta.

• Estados estimados: sao os estados resultantes das estimativas dos estados obser-vados.

Os estados sensoreados em composicao com os estados observados descrevem o compor-tamento dinamico das estruturas. Porem, quando ocorre a incapacidade da determinacaodos estados observados, faz-se uso dos estados estimados para a solucao do problema.

4.5.2 Observadores de Estado

Um sistema e dito observavel em um instante t0 se, com o sistema no estado x(t0),for possıvel determinar esse estado a partir da observacao da saıda durante um intervalode tempo finito.

O conceito de observabilidade e utilizado na solucao de problemas de reconstrucaode variaveis de estado nao mensuraveis, a partir de variaveis mensuraveis, ja que napratica, a dificuldade encontrada com o controle por realimantacao de estado e que algu-mas das variaveis nao sao acessıveis por medicao direta, tornando necessario estima-laspara construir os sinais de controle. A estimativa de variaveis de controle e de variaveis deestado nao mensuraveis e denominada observacao e o dispositivo que estima ou observaas variaveis de estado e denominado observador de estado ou simplesmente observador.

Para um sistema com o comportamento dinamico dado pela Equacao (4.9) e com vetorde estado x(t) 2n-dimensional, a resposta pode ser escrita com o auxılio das seguintesequacoes (Meirovitch, 1990):

y(t) = Cx(t) (4.14)

e

p(t) = C’x(t), (4.15)

onde:

23

• y(t) e o vetor de estados sensoriados com dimensao m, sendo m o numero de variaveisde estado sensoriadas;

• p(t) e o vetor de estados observados com dimensao (2n−m); e

• C e C’ sao matrizes de dimesoes (m, 2n) e (2n−m, 2n) respectivamente.

Pode-se, entao, escreve-las em formato matricial:

[y(t)p(t)

]=

[CC’

]x(t). (4.16)

Assumindo que a matriz composta pelas matrizes C e C’ e uma matriz nao singular,o vetor de estado pode ser obtido da seguinte forma:

x(t) =

[CC’

]−1 [y(t)p(t)

]= L1y(t) + L2p(t). (4.17)

Logo:

[CC’

]−1

= [L1 L2], (4.18)

onde as matrizes L1 e L2 possuem dimensao (2n,m) e (2n, 2n−m) respectivamente.Derivando as equacoes de resposta do sistema (Equacoes (4.14) e (4.15)) em relacao

ao tempo e substituindo a equacao de estado (Equacao (4.9)) sao obtidas:

y(t) = C x(t) = C [Ax(t) + Bu(t)]; e (4.19)

p(t) = C’ x(t) = C’ [Ax(t) + Bu(t)]. (4.20)

Expandindo as Equacoes (4.19) e (4.20) e substituindo as relacoes dadas pela Equacao(4.17) podemos escreve-las da seguinte maneira:

y(t) = CAL1y(t) + CAL2p(t) + CBu(t); e (4.21)

p(t) = C’AL1y(t) + C’AL2p(t) + C’Bu(t). (4.22)

Conforme descrito anteriormente, o observador e um reconstrutor do vetor de estadoque e utilizado quando nao e possıvel monitorar todas as variaveis de estado. O modelomatematico do observador e basicamente o mesmo do sistema, porem, para estima-lo enecessario incorporar o erro de estimacao.

O erro de estimacao e definido como a diferenca entre a saıda medida (y(t)) e a saıdaestimada (p(t)).

Dessa forma, o vetor de estados estimados ˙p(t), que possui a mesma dimensao dovetor p(t), e definido pela seguinte equacao:

˙p(t) = C’AL1y(t)+C’AL2p(t)+C’Bu(t)+G0[y(t)−CAL1y(t)−CAL2p(t)−CBu(t)].(4.23)

onde G0 e a matriz de ganho do observador de estado. Trata-se de uma matriz depenalizacao do termo de correcao que envolve a diferenca entre a saıda medida e a saıda

24

estimada (erro de estimacao), corrigindo continuamente a saıda do modelo e aumentando,assim, o desempenho do observador.

Substituindo a Equacao (4.21) na Equacao (4.23) e simplificando-a, pode-se escreve-lada seguinte forma:

˙p(t) = C’AL1y(t) + G0CAL2p(t) + (C’ −G0C )AL2p(t) + C’Bu(t). (4.24)

Combinando as Equacoes (4.21), (4.22) e (4.24) e possıvel escreve-las em um unicosistema da seguinte maneira (Castro et al., 2010):

y(t)p(t)˙p(t)

=

CAL1 CAL2 0C’AL1 C’AL2 0C’AL1 G0CAL2 (C’ −G0C )AL2

y(t)p(t)p(t)

+

CBu(t)C’Bu(t)C’Bu(t)

.

(4.25)Sao definidos assim, os vetores de estados sensoriados, observados e estimados.

4.5.3 Calculo da Forca de Controle Otimo com o Uso de Obser-vadores de Estado

A forca de controle otima e obtida segundo a Equacao (4.13). Porem, com o uso datecnica dos observadores de estado e possıvel determina-la de duas maneiras distintas.

A primeira maneira e dada pela Equacao (4.26):

fc(t) = G

{y(t)p(t)

}, (4.26)

onde o vetor de estado e obtido atraves da composicao dos estados sensoriados e dosestados observados. Dessa forma, a forca de controle e calculada como se todos os estadosfossem sensoriados, pois o erro de estimacao nao e considerado.

A segunda maneira e dada pela Equacao (4.27):

fc(t) = G

{y(t)p(t)

}, (4.27)

onde o vetor de estado e obtido atraves da composicao dos estados sensoriados e dosestados estimados.

Como na maioria dos casos, nao e possıvel monitorar todos as variaveis de estado deum sistema estrutural, essa segunda forma e a mais utilizada em aplicacoes reais.

4.6 Aplicacao

Apresenta-se a seguir um exemplo de aplicacao do algoritmo apresentado no ApendiceA para controle ativo otimo com o uso de observadores de estado.

Sera estudada uma viga bi-apoiada submetida a um carregamento harmonico, situacaosimilar a apresentada em Bourquin et al. (1999b) e Bourquin et al. (1999a).

O objetivo e reduzir os deslocamentos com o uso do controle ativo otimo e analisar aqualidade do controle quando o numero de sensores usados para fornecer os deslocamentosutilizados no calculo das forcas de controle e reduzido.

25

4.6.1 Descricao do Sistema Estrutural Dinamico

O sistema dinamico em estudo e composto por uma viga de perfil metalico W150×14bi-apoiada submetida a uma forca vertical dinamica harmonica fe(t) de magnitude 1000Ne frequencia ωe = 50 rad/s:

fe(t) = 1000[sen(50t)]N.

A viga possui 14 m de comprimento e foi discretizada em 4 elementos com 3,5 m decomprimento, totalizando 5 nos. A forca de excitacao fe(t) esta agindo no no de numero2 e o atuador esta posicionado no no de numero 3 (meio do vao) e e capaz de aplicar umaforca de controle fc(t) na direcao vertical (y).

Esse esquema esta representado na Figura (4.2) e as propriedades do perfil que compoea viga sao:

• Modulo de Elasticidade = 2,1 × 1011 N/m2;

• Area da Secao = 1,73 × 10−3 m2;

• Massa Especıfica = 7850 kg/m3; e

• Momento de Inercia = 6,84 × 10−6.

Figura 4.2: Esquema de Discretizacao do Sistema Dinamico.

A matriz de amortecimento da viga foi adotada como uma proporcao da matriz demassa dada pela seguinte equacao:

C = 0, 2M. (4.28)

As matrizes de ponderacao utilizadas para o controle ativo sao:

Q = 106I(2n,2n); e (4.29)

26

R = I(2n,2n). (4.30)

Serao apresentadas a seguir as respostas dinamicas do sistema obtidas atraves desimulacoes feitas com o algoritmo descrito no Apendice A.

4.6.2 Resposta Nao-Controlada do Sistema

Os maiores deslocamentos no sistema sem a atuacao do controle ocorreram no node numero 3, localizado no meio do vao da viga. A resposta nao-controlada desse no eapresentada na Figura (4.3) atraves da linha azul (Sem controle).

Foi obtido como pico extremo ± 14 mm de deslocamento.

4.6.3 Resposta do Sistema com o Uso do Controle Ativo

Com a introducao do controle ativo na estrutura sem o uso da tecnica de observadoresde estado, simulando uma estrutura com todos os graus de liberdade sensoriados, situacaobastante difıcil de ser encontrada na realidade, foram obtidas reducoes significativas paraa amplitude de deslocamentos do no 3.

A comparacao entre as respostas dinamicas controlada e nao controlada pode ser feitaatraves da Figura (4.3).

0 0.5 1 1.5−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

Sem controleCom controle

Figura 4.3: Respostas controlada e nao controlada do no 3.

Apos controlada, a estrutura apresenta como deslocamento maximo ± 3,5 mm.Neste caso, a forca de controle foi calculada segundo a Equacao (4.26) e sua maior

magnitude foi 234,33 N .

27

4.7 Respostas do Sistema Controlado com o Uso de

Observadores de Estado

Para avaliar o controle ativo quando o numero de sensores usados para forneceros deslocamentos utilizados no calculo das forcas de controle e reduzido, foi utilizada atecnica dos observadores de estado, descrita anteriormente.

Foram simulados dois diferentes casos:

• Caso 1: viga com apenas 1 grau de liberdade estimado, o de numero 4; e

• Caso 2: viga com 3 graus de liberdade estimados, os de numero 2, 4 e 6.

Para ambos os casos foi adotado como erro inicial de estimacao o valor de 0,05 m.Para a avaliacao da tecnica dos observadores de estado na estrutura foi utilizado como

criterio de desempenho o valor de η dado pela Equacao (4.31):

η =

∫ tf

0

[xT (t)Qex(t)]dt, (4.31)

onde Qe = 10−5 × I(2n,2n).Quanto menor o valor de η, melhor e o desempenho do controle da estrutura.Os valores de η obtidos para a estrutura nao controlada e controlada com todos os

deslocamentos sensoriados sao respectivamente:

ηsem controle = 4, 0923; e

ηcom controle = 3, 7072.

4.7.1 Caso 1

Na simulacao do Caso 1, situacao em que nao ha o sensoriamento do grau de liberdadede numero 4 da viga, as forcas de controle sao calculadas com o vetor de estado compostopelos estados medidos e estados estimados, conforme apresentado na Equacao (4.27).

A resposta dinamica controlada referente aos deslocamentos estimados do no 3 da vigae apresentada na Figura (4.4) atraves da linha de cor verde (Caso 1).

A comparacao das respostas obtidas com as simulacoes do sistema nao controlado,controlado com todos os graus de liberdade sensoriados e com forca de controle calculadaatraves da Equacao (4.26) e no Caso 1 tambem pode ser feita atraves da Figura (4.4).

Observa-se que a resposta dinamica controlada obtida atraves do uso do observadorde estado para um grau de liberdade e bastante proxima da resposta obtida quando todosos estados sao monitorados. O valor de η para o Caso 1 foi bastante proximo do valorencontrado no calculo de ηcom controle:

ηCaso 1 = 3, 7074.

Este fato pode ser explicado devido a rapida aproximacao entre estados medidos eestimados, que pode ser observada atraves da Figura (4.5). Nesta figura, a linha de cor

28

0 0.5 1 1.5−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

Sem controleCom controleCaso 1

Figura 4.4: Respostas do no 3 nao controlada, controlada com todos os estados sensoriadose controlada com o uso de um estado estimado.

vermelha representa a resposta dinamica do no 3 sensoriada e controlada com a forca decontrole calculada atraves da Equacao (4.27) para o Caso 1, enquanto a linha tracejadade cor verde representa a resposta dinamica do no 3 estimada e controlada com a mesmaforca de controle.

4.7.2 Caso 2

Na simulacao do Caso 2, situacao em que nao ha o sensoriamento dos graus de liberdadede numero 2, 4 e 6 da viga, as forcas de controle tambem sao calculadas com o vetor deestado composto pelos estados medidos e estados estimados, conforme apresentado naEquacao (4.27).

A resposta dinamica controlada referente aos deslocamentos estimados do no 3 da vigano Caso 2 e apresentada na Figura (4.6) atraves da linha de cor azul claro (Caso 2).

A comparacao entre as respostas obtidas com as simulacoes do sistema nao controlado,controlado com todos os graus de liberdade sensoriados e com a forca de controle calculadaatraves da Equacao (4.26) e no Caso 2 pode ser feita atraves da Figura (4.6).

Observa-se que a resposta dinamica controlada obtida atraves do uso dos observadoresde estado para tres grau de liberdade tambem e bastante proxima da resposta obtidaquando todos os estados sao monitorados, o que pode ser comprovado pelo valor de ηpara o Caso 2:

ηCaso 2 = 3, 7082. (4.32)

Neste caso, tambem ocorre uma rapida rapida aproximacao entre estados medidos e

29

0 0.5 1 1.5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

SensoriadoEstimado

Figura 4.5: Comparacao entre estado medido e estimado no Caso 1 referente ao no 3.

estimados, que pode ser observada atraves da Figura (4.7). Nesta figura, a linha de corvermelha representa a resposta dinamica do no 3 sensoriada e controlada com a forca decontrole calculada atraves da Equacao (4.27) para o Caso 2, enquanto a linha tracejadade cor azul claro representa a resposta dinamica do no 3 estimada e controlada com amesma forca de controle.

4.7.3 Comparacoes Entre os Resultados Obtidos

Para melhor avaliar o desempenho do controle ativo com o uso de observadoresde estado sao apresentados na Tabela (4.1) os valores de η para as diferentes situacoessimuladas:

Tabela 4.1: Comparacao de valores de ηSituacao η

Sem controle 4,0923Com controle 3,7072

Caso 1 3,7074Caso 2 3,7082

Analisando a Tabela (4.1), podemos observar que os valores de η para todas assituacoes com controle ativo ficaram muito proximos, o que indica que as respostas con-troladas obtidas no Caso 1 e no Caso 2 com o uso de observadores de estado ficou muito

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0 0.5 1 1.5−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

Sem controleCom controleCaso 2

Figura 4.6: Respostas do no 3 nao controlada, controlada com todos os estados sensoriadose controlada com o uso de tres estados estimados.

proxima da resposta controlada obtida quando todos os graus de liberdade da viga eramsensoriados.

Percebe-se tambem, que o aumento do numero de graus de liberdade estimados resultaem uma pequena queda no desempenho do sistema de controle. Mesmo assim, como ob-servado anteriormente, e obtido um resultado bastante proximo do obtido para a estruturatotalmente sensoriada.

Para avaliar as diferencas entre as forcas de controle calculadas com todos os graus deliberdade monitorados e com o uso de observadores de estado no Caso 1 e no Caso 2, eapresentada a Figura (4.8) e a Tabela (4.2).

Tabela 4.2: Magnitudes maximas de fc

Situacao fc (N)Com controle 234,33

Caso 1 230,12Caso 2 228,37

Pode-se observar que as magnitudes das forcas de controle calculadas nas tres situacoestambem sao bastante semelhantes.

Para comparar as respostas controladas obtidas atraves das tres situacoes descritasneste capıtulo, e apresentada a Figura (4.9).

31

0 0.5 1 1.5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

SensoriadoEstimado

Figura 4.7: Comparacao entre estado medido e estimado no Caso 2 referente ao no 3.

E possıvel inferir que os a qualidade do controle quando o numero de sensores usadospara fornecer os deslocamentos utilizados no calculo das forcas de controle e reduzido, ebastante satisfatoria, visto que os resultados ficam muito proximos aos obtidos quandotodos os graus de liberdade da estrutura sao sensoriados.

32

0 0.5 1 1.5−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

Tempo (s)

For

ça d

e C

ontr

ole

(N)

Todos os graus de liberdade medidosCaso 1Caso 2

Figura 4.8: Comparacao entre as forcas de controle calculadas com todos os graus deliberdade medidos, calculadas no Caso 1 e no Caso 2.

0 0.5 1 1.5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to T

rans

vers

al n

ó 3

(m)

Com controleCaso 1Caso 2

Figura 4.9: Comparacao entre as respostas controladas obtidas quando todos os graus deliberdade eram medidos, no Caso 1 e no Caso 2.

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Capıtulo 5

Conclusoes e Comentarios Finais

Atraves da analise dos resultados obtidos pelas simulacoes dos sistemas de controle pas-sivo e ativo, pode-se concluir que ambos reduziram de maneira significativa as amplitudesde vibracao sofridas pelas estruturas.

De maneira particular, os amortecedos do tipo frequencia sintonizada (SCP) se mos-traram mais eficientes na reducao de vibracoes provocadas por carregamentos harmonicosquando se compara com as reducoes obtidas para a estrutura oscilando em vibracoeslivres.

Quanto ao controle ativo com retroacao em estruturas com o numero reduzido desensores, o uso da tecnica dos observadores de estado se apresentou muito eficiente, vistoque as respostas obtidas atraves do controle com o uso dos estados estimados ficou muitoproxima da resposta obtida quando todos os graus de liberdade eram sensoriados.

Foi percebido tambem, que o aumento do numero de graus de liberdade estimadosresulta em uma pequena queda no desempenho do sistema de controle ativo. Apesardisso, como ja destacado anteriormente, foi obtido um resultado bastante proximo doobtido para a estrutura totalmente sensoriada.

Este trabalho, portanto, apresentou atraves de analises numericas a eficiencia dossistemas de controle do tipo passivo e ativo para reducao das amplitudes de vibracoesestruturais, demonstrando assim, que a utilizacao desses sistemas de controle e um boaalternativa para solucionar problemas dinamicos em estruturas.

Como trabalhos futuros sao sugeridos:

• Introducao de ruıdos nos sinais analisados;

• Desenvolvimento de modelos experimentais; e

• Avaliacao de controladores hıbridos.

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Apendice A

Algoritmo Numerico para ControleAtivo Otimo de Estruturas de Vigacom o Uso de Observadores deEstado

Este apendice tem por objetivo apresentar de maneira bastante sucinta os algorit-mos empregados no desenvolvimento do programa que simula a resposta de estruturasdiscretizadas em elementos de viga submetidas a uma forca de excitacao dinamica e aum controle ativo, com sensoriamento de apenas alguns graus de liberdade utilizado nestetrabalho.

A.1 Arquitetura do Programa

O programa foi implementado com o uso do software MATLAB r© e e compostobasicamente por um arquivo de dados e duas subrotinas: um gerador de matrizes e umcontrolador dinamico.

Pode-se resumi-lo da seguinte maneira:

• Arquivo de Dados: onde a estrutura e discretizada e caracterizada;

• Gerador de Matrizes: onde as matrizes e vetores caracterısticos de uma estruturade viga sao montadas; e

• Controlador Dinamico: onde a forca de controle e calculada e a resposta controladae determinada.

A.2 Descricao Simplificada do Programa

A.2.1 Arquivo de Dados

Contem todas as informacoes necessarias para caracterizar a estrutura.

1. Dados gerais

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• Numero de nos

• Numero de elementos

• Numero de nos de cada elemento

• Numero de nos com deslocamentos impedidos

• Numero de nos com forcas nodais aplicadas

• Numero de graus de liberdade estimados

2. Matriz de coordenadas nodais

• Matriz composta pelas coordenadas (x, y) de todos os nos que compoem aestrutura.

3. Matriz de conectividades

• Matriz que determina as ligacoes entre todos os elementos que compoem aestrutura.

4. Matriz de propriedades dos elementos

• Matriz composta pelos valores do Modulo de Elasticidade e da Massa Especıficado material, e da Area e do Momento de Inercia da secao transversal doselementos que compoem a estrutura.

5. Matriz de posicionamento do carregamento externo (excitacao)

• Matriz que determina em quais nos e em quais direcoes o carregamento seraaplicado.

6. Matriz de posicionamento da forca de controle

• Matriz que determina em quais nos e em quais direcoes a forca de controle seraaplicada. Em outras palavras, determina em quais graus de liberdade existiraoatuadores.

7. Matriz de condicoes de contorno

• Matriz que determina em quais nos e em quais direcoes havera restricao aodeslocamento ou a rotacao.

8. Matriz de graus de liberdade observados ou estimados

• Matriz que determina em quais nos e em quais direcoes os deslocamentos ourotacoes serao observados ou estimados.

9. Dados utilizados para a integracao numerica

• Valor do tempo final

• Valor do intervalo de tempo (∆t)

10. Valor do erro inical para os estados estimados

11. Matrizes de ponderacoes de deslocamentos (Q) e de forca de controle (R)

36

A.2.2 Gerador de Matrizes

Subrotina cuja funcao e montar as matrizes de rigidez e de massa da estrutura, alem dovetor de forcas de excitacao.

1. Leitura de dados

• Numero de nos e numero de elementos

• Coordenadas nodais e conectividades

• Modulo de Elasticidae e massa especıfica do material

• Area e Momento de Inercia da secao transversal dos elementos

• Posicionamento da forca de excitacao

• Condicoes de contorno

2. Montagem das matrizes de rigidez e de massa da estrutura

• Montagem das matrizes de rigidez e de massa dos elementos no referencial local

• Rotacao das matrizes para o referencial global

• Espalhamento das matrizes de elementos no referencial global nas respectivasmatrizes de rididez (K) e de massa (M) da estrutura

3. Montagem do vetor de forcas de excitacao atuantes na estrutura

4. Imposicao das condicoes de contorno

• Para o k-esimo deslocamento impedido faz-se:

– Retirada da k-esima linha e coluna da matriz de rigidez

– Retirada da k-esima linha e coluna da matriz de massa

– Retirada da k-esima linha do vetor de forcas de excitacao

A.2.3 Controlador Dinamico

Subotina onde as forcas de controle otimo sao calculadas, sao obtidos os estados senso-riados, observados e estimados, e determina-se a resposta controlada da estrutura.

1. Leitura de dados

• Graus de liberdade controlados

• Graus de liberdade observados ou estimados

• Tempo final e intervalo de tempo para a integracao numerica

• Erro inicial dos estados estimados

• Matrizes de ponderacao dos deslocamentos e forcas de controle.

2. Montagem das matrizes A e B

3. Calculo da matriz de ganho da forca de controle (G)e da matriz de ganho do ob-servador de estado (G0)

37

• As matrizes de ganho G e G0 sao obtidas utilizando o comando LQR(regulador linear-quadratico) do MATLAB r©

4. Determinacao da resposta do sistema e da forca de controle

• Utilizado o metodo de integracao numerica de Runge-Kutta

• Para cada instante de tempo ∆t:

• Calculo do vetor de estado

– Calculo do vetor de estados sesoriados

– Calculo do vetor de estados observados

– Calculo do vetor de estados estimados

– Montagem do vetor de estado pela composicao dos estados sensoriados,observados e estimados

• Calculo do vetor da forca de controle

– Fc = Gx(t)

– Zeragem das forcas de controle nos graus de liberdade onde nao existamatuadores.

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