* Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Análise de Materiais Utilizados na Indústria de Construção e Decoração

Residencial

Victor V. de Castro* Faculdade de Engenharia - PUCRS

90619-900, Porto Alegre, RS

E-mail: victor.castro@acad.pucrs.br

Eliete B. Hauser Faculdade de Matemática - PUCRS

90619-900, Porto Alegre, RS

E-mail: eliete@pucrs.br

RESUMO

As situações que ocorrem na natureza são complexas e difíceis de serem analisadas de

forma exata. Utilizando hipóteses simplificadoras é possível construir um modelo matemático, que

aproxima a realidade do problema. No Método de Diferenças Finitas (MDF) as derivadas parciais

que aparecem na equação diferencial são substituídas por diferenças finitas. Uma malha é gerada,

subdividindo o domínio, e a equação diferencial é aproximada em cada ponto dessa malha. Assim, a

equação diferencial é transformada em um sistema linear (ou não-linear) de equações algébricas. O

principal objetivo deste trabalho é validar o MDF na escolha de materiais adequados na realização

de experimentos reais, minimizando custos.

O processo de conversão da equação diferencial numa equação de diferenças finitas é

chamado de discretização. No presente estudo foi utilizado o MDF com derivadas parciais da função

temperatura u(x,t), aproximadas por diferenças finitas centradas para a variável posição ,x , e

progressivas para a variável tempo, t.

( )k

uutx

t

u jiji

ji

,1,,

−=

∂

∂ +

( )2

,1,,1

2

2 2,

h

uuutx

x

u jijiji

ji

−+ +−=

∂

∂ (1)

Desta forma a equação do calor ( ) ( )txx

utx

t

u,,

2

22

∂

∂=

∂

∂α é aproximada pela equação de diferenças

finitas:

(2)

A difusividade térmica é definida por:

(3)

onde k é a condutividade térmica do material, ρ é a massa específica e Cp é o calor específico.

Problema Ilustrativo

Consideramos o problema de condução de calor transiente num fio (corpo de prova) de 50 cm

de comprimento, imerso em vapor até que sua temperatura seja de 100ºC (ao longo de todo

comprimento). No instante t=0, sua superfície lateral é isolada e as duas extremidades são enterradas

no gelo 0ºC. Nosso objetivo é determinar u(25,1800), a temperatura no ponto médio do fio após

trinta minutos, considerando dois tipos de materiais: alumínio, caracterizado pela difusividade

térmica α2 = 0,85cm

2/s e azulejo, com α

2 = 0,00149cm

2/s. Esse problema é modelado

matematicamente por:

(4)

( )jijijiji uuh

ki

h

ku ,1,12

2

,2

2

1,

21 −++ ++

−=

αα

<

=

==

<<>∂

∂=

∂∂

Mtxu

xu

tutu

xttxx

utx

t

u

),(

100)0,(

0),50(),0(

500,0),,(),(2

22α

,2

pC

k

ρα =

838

ISSN 1984-8218

As equações de diferenças finitas para o problema (4) são apresentadas na tabela I:

Tabela I Equações de Diferenças Finitas

Material Equação de Diferenças Finitas

Alumínio

Azulejo

Utilizando o método de separação de variáveis, a solução exata do problema (4) é

(5)

ilustrada graficamente na Figura I, para os materiais alumínio e azulejo, respectivamente.

Figura 1 Representação gráfica da solução exata (5) para alumínio e azulejo respectivamente.

Com o auxílio do sistema de computação algébrica e simbólica Maple e do software Microsoft

Excel, com espaçamento de malha definida por h=5cm na variável x e k=10 segundos para o tempo

t, obtivemos os resultados que constam na tabela II.

Tabela II Temperatura no centro do fio após 30 minutos de resfriamento

Os dados tabelados comprovam as características de condutividade térmica dos dois materiais

trabalhados. A variação de temperatura encontrada através do MDF, no ponto de vista físico,

coincide com o esperado, nos dois materiais. O alumínio é um condutor de calor mais eficiente que o

azulejo.

Trata-se de trabalho de pesquisa em fase inicial. O principal objetivo é validar a técnica de

diferenças finitas para escolher o material adequado para experimentos reais, minimizando custos

Palavras-chave: Método de Diferenças Finitas, Transferência de Calor, Categorias 1.

Referências

[1] BOYCE, William E. DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de

Valores de Contorno. 7, Guanabara Dois, Rio de Janeiro:, 2005.

[2] STROUD, K.A, BOOTH, Dexter J., Advanced Engineering Mathematics, Palgrave

Macmillan, New York, 2003.

Método Aplicado Temperatura para Alumínio

u (25, 1800) - (ºC)

Temperatura para Azulejo

u (25, 1800) - (ºC)

Solução Numérica

(MDF) 0,29 99,85

Solução Separação de

Variáveis 0,30 99,99

Erro Relativo 0,0333 0,0014

( )jijijiji uuuu

,1,1,1, .340.320−++ ++=

,50

1400),( 9

1

222

=−∞

=∑

xnsene

ntxu

tn

imparnn

ππ

πα

( )jijijiji uuuu

,1,1,1, 000596,0.99880−++ ++=

839

ISSN 1984-8218