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Análise de FourierUm Livro Colaborativo

30 de julho de 2018

Organizadores

Esequia Sauter - UFRGS

Fabio Souto de Azevedo - UFRGS

ii

Licença

Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença,

iii

Nota dos organizadores

Estamos escrevendo este livro de forma colaborativa desde 2011 e, recente-mente, decidimos por abrir a colaborações externas. Nosso objetivo é produzirum material didático em nível de graduação de excelente qualidade e de acessolivre pela colaboração entre professores e alunos de universidades, institutos deeducação e demais interessados na análise, estudo e aplicação das transformadasintegrais nos mais diversos ramos da ciência e da tecnologia.

O sucesso do projeto depende da colaboração! Edite você mesmo o livro, dêsugestões ou nos avise de erros e imprecisões. Toda a colaboração é bem vinda.Saiba mais visitando o site oficial do projeto:

https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html

Nada disso estaria completo sem uma licença apropriada à colaboração. Porisso, escolhemos disponibilizar o material do livro sob licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgualOu seja, você pode copiar, redistribuir, alterar e construir um novo material paraqualquer uso, inclusive comercial. Leia a licença para maiores informações.

Desejamos-lhe ótimas colaborações!

iv

https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/


Prefácio

Este livro busca abordar os tópicos de um curso moderno de transformadasde Laplace oferecido a estudantes de matemática, física, engenharias e outros. Aênfase é colocada na formulação e resolução de problemas e interpretação de re-sultados. Estudam-se a propriedades da transformada de Laplace e seu uso naresolução de equações diferenciais. Evita-se sempre que possível o uso de conheci-mentos de variável compleza. Pressupõe-se que o estudante domine conhecimentose habilidades típicas desenvolvidas em cursos de graduação de cálculo, álgebra li-near e equações diferenciais.

v

Sumário

Organizadores ii

Licença iii

Nota dos organizadores iv

Prefácio v

1 Introdução 1

2 Revisão de números complexos e funções trigonométricas 2

2.1 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Números complexos e fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Séries de Fourier 12

3.1 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Representações da série de Fourier e diagramas de espectro 26

4.1 Forma harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Propriedades das Séries de Fourier 35

5.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Fenômeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Transformada de Fourier 40

6.1 Passagem do discreto para o contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vi

SUMÁRIO vii

7 Representações da transformada de Fourier e diagramas de espectro 46

7.1 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Propriedades da transformada de Fourier 51

8.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2 O teorema de Parseval e o princípio da Incerteza . . . . . . . . . . . 648.3 Passagem do contínuo para o discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4 Aplicação: Sinais Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Equações diferenciais parciais 74

9.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2 Equação do calor com termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.4 Vibrações livres transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A Tabelas 83

Respostas dos Exercícios 86

Referências Bibliográficas 103

Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: [email protected]


[email protected]

Capítulo 1

Introdução

Em construção ... Gostaria de participar na escrita deste livro? Veja como em:

https://www.ufrgs.br/reamat/participe.html

1

https://www.ufrgs.br/reamat/participe.html

Capítulo 2

Revisão de números complexos e

funções trigonométricas

2.1 Funções trigonométricas

Definição 2.1.1. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < π2, seno de θ (sen (θ)) é

definido pelo número real associado ao triângulo retângulo de ângulos θ rad, π2

− θrad e π

2rad como a razão do cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa. O cosseno

é a razão do cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa.

Definição 2.1.2. (Extensão das funções trigonométricas)

a) Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, as funções trigonométricas são esten-didas da seguinte forma:

cos(θ) = − cos(π − θ) se θ ∈(

π

2,π]

sen (θ) = sen (π − θ) se θ ∈(

π

2,π]

cos(θ) = − cos(θ − π) se θ ∈[

π,3π

2

)

sen (θ) = − sen (θ − π) se θ ∈[

π,3π

2

)

cos(θ) = cos(2π − θ) se θ ∈(3π

2,2π

]

sen (θ) = − sen (2π − θ) se θ ∈(3π

22π]

2

2.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 3

b) A extensão para todos os números reais se dá pela periodicidade:

cos(θ + 2kπ) = cos(θ), k ∈ Z

sen (θ + 2kπ) = sen (θ), k ∈ Z

Definição 2.1.3. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, define-se tangente de θpor

tan(θ) =sen (θ)cos(θ)

, θ 6= π

2e θ 6= 3π

2,

secante de θ por

sec(θ) =1

cos(θ), θ 6= π

2e θ 6= 3π

2,

cossecante de θ por

csc(θ) =1

sen (θ), θ 6= 0 e θ 6= π

e cotangente de θ por

cot(θ) =cos(θ)sen (θ)

, θ 6= 0 e θ 6= π.

Proposição 2.1.1. Dado x, y ∈ R, valem as seguintes afirmações:

a) sen 2(x) + cos2(x) = 1

b) sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x)

c) sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x)

d) sen (2x) = 2 sen (x) cos(x)

e) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (y) sen (x)

f) cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (y) sen (x)

g) cos(2x) = cos2(x) − sen 2(x)



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4 Análise de Fourier

h) tan(x + y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y)

, x 6= π2

+ kπ, k ∈ Z.

i) As séries de Taylor do seno e cosseno são dadas por

sen (x) =∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!= x − x3

3!+

x5

5!− · · · (2.1)

cos(x) =∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!= 1 − x2

2!+

x4

4!− · · · (2.2)

Exercícios

E 2.1.1. Relacione A e θ com os valores conhecidos de B e C que satisfazema identidade

A cos(x − θ) = B cos(x) + C sen (x), ∀x ∈ R (2.3)

sabendo que 0 ≤ θ < 2π e A ≥ 0.

E 2.1.2. Encontre A e θ com A ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π tal que

a) A cos(x − θ) = 3 cos(x) + 4 sen (x)

b) A cos(x − θ) = 3 cos(x) − 4 sen (x)

c) A cos(x − θ) = −3 cos(x) + 4 sen (x)

d) A cos(x − θ) = −3 cos(x) − 4 sen (x)

e) A cos(x − θ) = sen (x)

f) A cos(x − θ) = 2 cos(x)

g) A cos(x − θ) = −2 cos(x)

E 2.1.3. Deduza as seguintes identidades trigonométricas

a) cos(x) cos(y) = cos(x+y)+cos(x−y)2

b) sen (x) sen (y) = cos(x−y)−cos(x+y)2

c) sen (x) cos(y) = sen (x+y)+sen (x−y)2

E 2.1.4. Calcule as seguintes integrais onde n e m são inteiros não negativos.



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2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 5

a)∫ 2π

0 sen (nx)2dx

b)∫ 2π

0 sen (nx) sen (mx)dx, n 6= m

c)∫ 2π

0 cos(nx)2dx

d)∫ 2π

0 cos(nx) cos(mx)dx, n 6= m

e)∫ 2π

0 sen (nx) cos(mx)dx

2.2 Números complexos e fórmula de Euler

Definição 2.2.1. Um número complexo é definido pelo par ordenado (a,b) denúmeros reais que satisfazem as seguintes operações de adição e multiplicação:

(a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)

(a1,b1) · (a2,b2) = (a1a2 − b1b2,a1b2 + a2b1).

O conjunto dos números complexos é denotado por C.

Observação 2.2.1. (Números complexos)

a) Os números complexos da forma (a,0) são identificados com os números reais(a,0) ≡ a.

b) O número complexo (0,1) é chamado de unidade imaginária e denotada pori. Observe que i2 = −1

c) Os números complexos da forma z = (a,b) são rotineiramente denotados nasua forma retangular por z = a + bi, onde a é a parte real de z (Re (z) = a) e b é a parte imaginária de z (Im (z) = b ).

d) A representação geométrica do número z = a + bi no plano complexo é dadapor um plano cartesiano onde um eixo marca a parte real e o outro marca aparte imaginária (veja figura 2.1).

Definição 2.2.2. Dado um número complexo z = a + bi, definimos módulo dez (|z|) por |z| =

√a2 + b2. Também definimos argumento θ para z 6= 0 como

qualquer solução do sistema

cos(θ) =a√

a2 + b2, (2.4)

sen (θ) =b√

a2 + b2. (2.5)



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Observe que este sistema possui infinitas soluções. Ademais, se θ1 e θ2 são duassoluções, então diferem por um múltiplo inteiro de 2π, isto é, θ1 − θ2 = 2nπ, ninteiro.

Observe que uma possível solução, com −π2

< θ ≤ 3π2

é dada por

θ =

tan−1(

ba

)

se a > 0

π2

se a = 0 e b > 0

3π2

se a = 0 e b < 0

tan−1(

ba

)

+ π se a < 0

(2.6)

Se desejamos π2

≤ θ < π2, podemos usar a seguinte expressão:

θ =

tan−1( ba) se a > 0,

tan−1( ba) + π se a < 0 e b ≥ 0,

tan−1( ba) − π se a < 0 e b < 0,

+π2

se a = 0 e b > 0,

−π2

se a = 0 e b < 0,

(2.7)

A representação geométrica de |z| e θ está na figura 2.1.

Im

Re

a

b

θ

|z| =√a2 + b2

Figura 2.1:



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Definição 2.2.3. A forma trigonométrica de um número complexo z = a + bi é

z = |z| (cos(θ) + i sen (θ)) , (2.8)

onde |z| =√

a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)é o argumento.

Exemplo 2.2.1. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma trigonométrica,calculamos o módulo |z| =

√

22 + (−2)2 = 2√

2 e o argumento, que satisfaz

sen (θ) = − 22√

2= −

√2

2e cos(θ) = 2

2√

2=

√2

2, ou seja, θ = 7π

4. Logo, z =

2√

2(

cos(

7π4

)

+ i sen(

7π4

))

.

Definição 2.2.4. Dado z ∈ C, definimos exponencial de z por

ez = 1 + z +z2

2!+

z3

3!+

z4

4!+ · · · = 1 +

∞∑

k=1

zk

k!(2.9)

Proposição 2.2.1. (Fórmula de Euler) Dado θ ∈ R, vale a identidade

eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.10)

Demonstração. De fato,

eiθ = 1 + iθ +(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+

(iθ)4

4!+

(iθ)5

5!+ · · ·

= 1 + iθ − θ2

2!− i

θ3

3!+

θ4

4!+ i

θ5

5!+ · · ·

= 1 − θ2

2!+

θ4

4!+ · · · + i

(

θ − θ3

3!+

θ5

5!+ · · ·

)

= cos(θ) + i sen (θ)

Definição 2.2.5. A forma exponencial de um número complexo z = a + bi é

z = |z|eiθ, (2.11)

onde |z| =√

a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)é o argumento.

Exemplo 2.2.2. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma exponencial, calcu-lamos o módulo |z| = 2

√2 e o argumento θ = 7π

4e escrevemos z = 2

√2ei 7π

4 .



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Exemplo 2.2.3. Mostre que

sen (θ) =eiθ − e−iθ

2i(2.12)

e

cos(θ) =eiθ + e−iθ

2(2.13)

Observe que pela fórmula de Euler vale

eiθ = cos(θ) + i sen (θ) (2.14)

ee−iθ = cos(θ) − i sen (θ). (2.15)

A diferença das equações (2.14) e (2.15) nos dá a expressão para o seno e a somadelas nos dá a expressão para o cosseno.

Exemplo 2.2.4. Para calcular cos2(θ) usando as expressões do problema 2.2.3fazemos o seguinte:

cos2(θ) =

(

eiθ + e−iθ

2

)2

=

(

eiθ)2

+ 2eiθe−iθ +(

e−iθ)2

4

=2 + e2iθ + e−2iθ

4

=1 + e2iθ+e−2iθ

2

2

=1 + cos(2θ)

2

Exercícios

E 2.2.1. Escreva os seguintes números complexos na forma exponencial. Cal-cule também o complexo conjugado de cada um. Represente-os no plano complexoe identifique no gráfico as partes real e complexa, o argumento e o módulo.

a) 2 + 3i

b) −2 + 3i

c) 3 − 4i



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d) −3 − 4i

e) 4

f) 5i

g) −5

h) −4i

E 2.2.2. Escreva os seguintes números complexos na forma retangular. Represente-os no plano complexo e identifique no gráfico as partes real e complexa, o argu-mento e o módulo.

a) e5πi

b) e3πi+2

c) 4e2πi

d) 2eπ2 i+1e−2

e) 4e− π4 i

f) 5eπ4 i

E 2.2.3. Calcule e escreva na forma retangular.

a) (2 − 3i)(4 + 2i) − eiπ(2i + 1)

b)(√

22

+ i√

22

)3

c) 3−2i−1+i

d) 5+5i3−4i

+ 204+3i

e) 3i30−i19

2i−1

E 2.2.4. Mostre a identidade

[cos(θ1) + i sen (θ1)] · [cos(θ2) + i sen (θ2)] = cos(θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2) (2.16)

diretamente a partir das identidades trigonométricas para soma de ângulos.



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E 2.2.5. Use a identidade anterior e o princípio da indução matemática paramostrar a fórmula de De Moivre:

[cos(θ) + i sen (θ)]n = cos(nθ) + i sen (nθ) (2.17)

E 2.2.6. Use a identidade anterior para calcular a razão

1[cos(θ) + i sen (θ)]n

= cos(nθ) − i sen (nθ) (2.18)

sem usar a exponencial complexa.

E 2.2.7. Repita os três problemas anteriores usando a exponencial complexadada por

eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.19)

E 2.2.8. Calcule

a)cos(π

4 )+i sen (π4 )

cos(π6 )+i sen (π

6 )

b)[

cos(

π4

)

+ i sen(

π4

)] [

cos(

π6

)

+ i sen(

π6

)]3

E 2.2.9. Mostre as seguintes identidades:

sen 3θ =34

sen θ − 14

sen 3θ

cos4 θ =18

cos 4θ +12

cos 2θ +38

Dica: Expresse as funções trigonométricas em termos de exponenciais e use obinômio de Newton

E 2.2.10. Use o binômio de Newton para verificar que as funções sen n(t) ecosn(t) podem ser escritas na forma

a0

2+

n∑

k=1

[ak cos(kt) + bk sen (kt)] (2.20)

E 2.2.11. Entenda e familiarize-se com as seguintes identidades e observe aprimeira identidade implica todas as outras:

a) eix = cos(x) + i sen (x).



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a) e−ix = cos(x) − i sen (x).

c) |eiθ| = 1, ∀θ ∈ R.

d) eiθ = e−iθ, ∀θ ∈ R.

e) |ez| = eRe (z).

f) cos(x) = eix+e−ix

2

g) sen (x) = eix−e−ix

2i



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Capítulo 3

Séries de Fourier

Neste capítulo, apresentamos o conceito de Série de Fourier de uma funçãoperiódica f(t) e apresentamos exemplos de expansão. A brevidade da apresentaçãose deve ao fato que esperamos que o estudante já tenha tido um contato préviocom o conceito.

3.1 Funções periódicas

Definição 3.1.1. Uma função f : R → R é dita periódica de período T (tambémchamada de T-periódica) se existe uma constante positiva T tal que

f(t) = f(t + T ) (3.1)

para todo t ∈ R.

Observação 3.1.1. Se uma função f é periódica de período T , então, f tambémé periódica de período nT onde n ∈ N., já que

f(t) = f(t + T ) = f(t + 2T ) = f(t + 3T ) = · · · = f(t + nT ). (3.2)

Exemplo 3.1.1. As funções f(t) = sen (t) e g(t) = cos(t) são periódicas deperíodo 2π.

Exemplo 3.1.2. A função constante f(t) = 1 é periódica e admite qualquer T > 0como período.

Definição 3.1.2. Algumas funções periódicas admitem um menor período, cha-mado de período fundamental. A frequência fundamental é então dada por ff = 1

T

e a frequência angular fundamental é dada por wf = 2πT

.

Proposição 3.1.1. O período fundamental das funções f(t) = sen (wt) e g(t) =cos(wt) é 2π

w.

12

3.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 13

Demonstração. Para provar isso, supomos que T é um período de f(t), isto é,f(t + T ) = f(T ) para todo t. Em especial, para t = 0, temos:

sen (wT ) = sen (0) = 0. (3.3)

Logo, wT = nπ, onde n é um natural positivo. Observe que πw

não pode ser operíodo fundamental, pois tomando t = π

2w, temos

1 = sen(

w(

π

2w

))

6= sen(

w(

π

2w+

π

w

))

= −1. (3.4)

Como, por construção do círculo trigonomético, temos:

sen(

w(

t +2π

w

))

= sen (wt + 2π) = sen (wt), (3.5)

então 2πw

é o período fundamental. Observe que w é a frequência angular funda-mental. Um raciocínio análogo vale para g(t).

Exemplo 3.1.3. Vamos calcular o período fundamental da função f(t) = sen (w1t)+sen (w2t). Ambas as parcelas que compoem f(t) são periódicas, com períodosT1 = 2π

w1n e T2 = 2π

w2m, onde n e m são inteiros positivos. A função f(t) é perió-

dica se existirem m e n tais que T1 = T2, ou seja, 2πw1

n = 2πw2

m. Isso implica emw2w1

= mn

. Essa identidade só é possível se w1w2

for racional, pois m e n são inteiros.Por exemplo,

i) se w1 = 23

e w2 = 32, então 3/2

2/3= 9

4= m

ne os menores inteiros positivos que

satisfazem a identidade são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamentalda função f(t) = sen

(23t)

+ sen(

32t)

é 2π2/3

· 4 = 12π e a frequência angularfundamental é 2π

12π= 1

6;

ii) se w1 =√

3 e w2 =√

43, então

√4/3√3

= 23

= mn

e os menores inteiros positivosque satisfazem a identidade são m = 2 e n = 3. Logo, o período fundamentalda função f(t) = sen

(√3t)

+sen(√

43t)

é 2π√3

·3 = 6π√3

e a frequência angular

fundamental é√

33

;

iii) a função f(t) = sen (2t)+ sen (πt) não é periódica, pois não existem inteirospositivos n e m que satisfazem 2

π= m

n.

Teorema 3.1.1. Se f(t) é uma função integrável T -periódica, então o valor daintegral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, isto é:

∫ x+T

xf(t)dt (3.6)



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não depende do valor x. Em especial, vale a identidade:

∫ T

0f(t)dt =

∫ T/2

−T/2f(t)dt. (3.7)

Demonstração. Primeiro, escrevemos xT

= n + α, isto é, como um número inteiron mais uma parte fracionária α ∈ [0,1) e concluímos que podemos escrever x =nT + y, onde y = αT , isto é 0 ≤ y < T .

I :=∫ x+T

xf(t)dt =

∫ (n+1)T +y

nT +yf(t)dt

=∫ (n+1)T

nT +yf(t)dt +

∫ (n+1)T +y

(n+1)Tf(t)dt

Inserimos a mudança de variáveis t = nT + u e t = (n + 1)T + v:

I =∫ T

yf(u + nT )du +

∫ y

0f(v + (n + 1)T )dv (3.8)

Da periodicidade, temos que f(u) = f(u + nT ) e f(v) = f(v + (n + 1)T ):

I =∫ T

yf(u)du +

∫ y

0f(v)dv

=∫ y

0f(v)dv +

∫ T

yf(u)du

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas emtermos de t da seguinte forma:

I =∫ y

0f(t)dt +

∫ T

yf(t)dt

=∫ T

0f(t)dt

Exercícios

E 3.1.1. Verifique as seguintes afirmações são verdadeiras e justifique:

1. A soma de funções periódicas é uma função periódica.

2. Toda função periódica possui uma representação em série de Fourier.

3. Séries de Fourier convergentes são contínuas.



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3.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 15

4. Seja f(x) uma função real ímpar, então f(0) = 0.

5. Seja f(x) uma função real par, então f(0) = 0.

6. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(0) = 0.

7. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(0) = 0.

8. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(x) é uma função ímpar.

9. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(x) é uma função par.

10. Seja f(x) uma função real par integrável, então∫ x

0 f(s)ds é uma funçãoímpar.

11. Seja f(x) uma função real ímpar integrável, então∫ x

0 f(s)ds é uma funçãopar.

12. A única função real par e ímpar é a função f(x) = 0.

13. Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma funçãoímpar e outra par.

E 3.1.2. Identifique a paridade das sequintes funções. Verique quais delas sãoperiódicas.

1. f(x) = sen (x2).

2. f(x) = sen 2(x).

3. f(x) = cos(x) + esen (x)

4. f(x) = cos(πx) + esen (x)

5. f(x) = 2

6. f(x) = (sen (x) + cos(x) + 1)5

7. f(x) = (cos(2x) + 1)7

8. f(x) = sen 2(πx) + cos(πx)

9. f(x) = sen (x) cos(x)

10. f(x) = sen (1 + cos(x))



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E 3.1.3. Seja f(t) um função periódica integrável de período T e F (t) =∫ t

0 f(τ)dτ . Encontre uma condição necessária e suficiente para que F (t) seja pe-riódica de período T .

E 3.1.4. Encontre a frequência angular fundamental das seguintes funçõesperiódicas:

a) f(t) = sen (πt)

b) cos2(πt)

c) cos3(πt)

d) ecos(t)

e) cos(2t) + cos(4t)

f) cos(2t) + sen (3t)

h) cos(6t) + sen (10t) + sen (15t)

i) 2 + cos(3t)

3.2 Séries de Fourier

Definição 3.2.1. Seja T > 0, definimos polinômio trigonomético de grau N umafunção do tipo:

f(t) =a0

2+

N∑

n=1

[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.9)

onde wn = 2πnT

.

Definição 3.2.2. Seja T > 0, definimos série trigonométrica toda função do tipo:

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1


onde wn = 2πnT

.

Exemplo 3.2.1. Mostre que T é um período para séries e polinômios trigonomé-tricos acima definidos.



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3.2. SÉRIES DE FOURIER 17

Teorema 3.2.1 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométricas admi-tem as seguintes relações de ortogonalidade:

∫ T

0sen

(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

dt =

0, n 6= m

T2, n = m 6= 0

(3.11a)

∫ T

0cos

(2πnt

T

)

cos(2πmt

T

)

dt =

0, n 6= m

T2, n = m 6= 0

T, n = m = 0

(3.11b)

∫ T

0cos

(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

dt = 0 (3.11c)

aqui n e m são inteiros não negativos.

Demonstração. Para obter (3.11a), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

sen (a) sen (b) =cos(a − b) − cos(a + b)

2(3.12)

com a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

sen(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

=cos

(2π(n−m)t

T

)

− cos(

2π(n+m)tT

)

2(3.13)

Se n = m 6= 0, temos:∫ T

0sen

(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

dt =12

∫ T

0

[

1 − cos(4πnt

T

)]

dt =T

2(3.14)

Se n 6= m, temos:

∫ T

0sen

(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

dt =12

∫ T

0

[

cos

(

2π(n − m)tT

)

− cos

(

2π(n + m)tT

)]

dt = 0

(3.15)Para obter (3.11b), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

cos(a) cos(b) =cos(a − b) + cos(a + b)

2(3.16)

com a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

cos(2πnt

T

)

cos(2πmt

T

)

=cos

(2π(n−m)t

T

)

+ cos(

2π(n+m)tT

)

2(3.17)



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Se n = m 6= 0, temos:

∫ T

0cos

(2πnt

T

)

cos(2πmt

T

)

dt =12

∫ T

0

[

1 + cos(4πnt

T

)]

dt =T

2(3.18)

Se n 6= m, temos: Caso n = m = 0, então cos(

2πntT

)

= 1, isto é:

∫ T

0cos

(2πnt

T

)

cos(2πmt

T

)

dt =∫ T

01dt = T (3.19)

Para obter (3.11c), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

cos(a) sen (b) =sen (a + b) + sen (a − b)

2(3.20)

com a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

cos(2πnt

T

)

sen(2πmt

T

)

=sen

(2π(n+m)t

T

)

+ sen(

2π(n−m)tT

)

2(3.21)

E integrando conforme feito para os casos anteriores, temos o resultado.

Teorema 3.2.2. Seja f(t) uma função definida por uma série trigonométrica daforma

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1


Então sob determinadas hipóteses de convergência, os coeficientes an e bn sãodados pelas seguintes expressões:

a0 =2T

∫ T

0f(t)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t)dt (3.23a)

an =2T

∫ T

0f(t) cos(wnt)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t) cos(wnt)dt (3.23b)

bn =2T

∫ T

0f(t) sen (wnt)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t) sen (wnt)dt (3.23c)

onde wn = 2πnT

.

Demonstração. Multiplicamos a equação (3.22) por cos(wmt) e obtemos

cos(wmt)f(t) =a0

2cos(wmt) +

∞∑

n=1

[an cos(wnt) cos(wmt) + bn sen (wnt) cos(wmt)] .

(3.24)



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Seguimos integrando em [0,T ] e temos:∫ T

0cos(wmt)f(t)dt =

∫ T

0

a0

2cos(wmt)dt +

∞∑

n=1

[

an

∫ T

0cos(wnt) cos(wmt)dt

+ bn

∫ T

0sen (wnt) cos(wmt)dt

]

.

Pelo teorema 3.2.1, se m 6= n, as parcelas do lado direito são nulas. A única parcelanão nula é aquela onde m = n. Supondo m = n 6= 0, temos:

∫ T

0cos(wmt)f(t)dt = am

T

2, (3.25)

onde obtemos a expressão (3.23b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão(3.23a). Um argumento análoga para calcular bn.

Observação 3.2.1. Observe que como cos(0) = 1, a fórmula de an com n = 0recai na fórmula para a0.

Definição 3.2.3. Seja f(t) uma função T -periódica integrável em [0,T ]. Defini-mos como a série de Fourier associada à função f , a série trigonométrica cujoscoeficientes são dados por (3.23).

Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é necessariamente iguala função f(t). De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier associadaa uma função integrável seja convergente. Estas questões teóricas fogem do escopodo nosso curso e são normalmente tratadas em cursos de análise matemática (veja,por exemplo, [?], [?] e [?]).

Teorema 3.2.3. Seja f uma função periódica de período T , suave por partes edescontínua no máximo em um número finito de saltos dentro de cada intervalo,então a série de Fourier converge em cada ponto t para

f(t+) + f(t−)2

, (3.26)

onde f(t+) e f(t−) são os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente.Observe que nos pontos t onde f(t) é contínua, então f(t+) = f(t−) e a série deFourier converge para f(t).

Exemplo 3.2.2. Seja f(t) uma função dada por

f(t) = |t|, −1 ≤ t < 1

f(t + 2) = f(t), ∀t ∈ R.

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos. Portanto se aplicao teorema 3.2.3.



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1

1 2 3 4−1

y = f(t)

t

Observamos que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(−t). A fim de exploraressa simetria, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas, istoé,

a0 =2T

∫ T/2

−T/2f(t)dt

an =2T

∫ T/2

−T/2f(t) cos(wnt)dt

bn =2T

∫ T/2

−T/2f(t) sen (wnt)dt

onde T = 2 e wn = 2πnT

= πn. Logo,

a0 =∫ 1

−1|t|dt = 2

∫ 1

0tdt = 2

[

t2

2

]1

0

= 1

an =∫ 1

−1|t| cos(πnt)dt = 2

∫ 1

0t cos(πnt)dt

= 2

[

t sen (πnt)πn

]1

0

− 2∫ 1

0

sen (πnt)πn

dt

= 2

[

t sen (πnt)πn

+cos(πnt)

π2n2

]1

0

= 2(−1)n − 1

π2n2

bn =∫ 1

−1|t| sen (πnt)dt = 0.

onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sen (πnt) é ímpar emt. Assim, temos

f(t) =12

− 4π2

(

cos(πt) +132

cos(3πt) +152

cos(5πt) + · · ·)

(3.27)



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Observe que, quando t = 0, obtemos como subproduto da série de Fourier da f(t)a soma da seguinte série numérica:

1 +132

+152

+ · · · =π2

8. (3.28)

A figura 3.1 apresenta os gráficos da série que representa a função f(t) com umtermo, dois termos e três termos.

1

1 2 3 4−1

t

Figura 3.1: Gráficos de f0(t) = 12

(azul), f1(t) = 12

− 4π2 cos(πt) (verde) e f2(t) =

12

− 4π2

(

cos(πt) + 132 cos(3πt)

)

(vermelho).

Exemplo 3.2.3. Seja g(t) uma função dada por

g(t) = −1, −1 < t < 0

g(t) = 0, t = 0 ou t = 1

g(t) = 1, 0 < t < 1

g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos exceto por saltosnos inteiros, onde a função vale a média aritmética dos limites laterais. Portantose aplica o teorema 3.2.3. Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja,f(t) = −f(−t). Novamente, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integraissimétricas:

a0 =∫ 1

−1g(t)dt = 0

an =∫ 1

−1g(t) cos(πnt)dt = 0

bn =∫ 1

−1g(t) sen (πnt)dt = 2

∫ 1

0g(t) sen (πnt)dt = 2

∫ 1

0sen (πnt)dt

=2

πn[− cos(πnt)]10 = 2

1 − (−1)n

πn



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1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

Logo,

g(t) =4π

(

sen (πt) +13

sen (3πt) +15

sen (5πt) + · · ·)

. (3.29)

A figura 3.2 apresenta os gráficos da série que representa a função g(t) com umtermo, dois termos, três termos e quatro termos.

1

−1

1 2 3 4−1

t

Figura 3.2: Gráficos de g0(t) = 4π

sen (πt) (azul), g1(t) = 4π

(

sen (πt) + 13

sen (3πt))

(verde), g2(t) = g(t) = 4π

(

sen (πt) + 13

sen (3πt) + 15

sen (5πt))

(vermelho) e

g3(t) = g(t) = 4π

(

sen (πt) + 13

sen (3πt) + 15

sen (5πt) + 17

sen (7πt))

(preto).

Exemplo 3.2.4. Seja h(t) uma função dada por

f(t) = t, 0 < t < 1

f(t) =12

, t = 1

f(t + 1) = f(t), ∀t ∈ R.



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Essa função é suave por partes e contínua exceto por salto nos inteiros onde h(t)assume o valor médio dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.Utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais no intervalo [0,1], isto é,

1

1 2 3 4−1

y = h(t)

t

a0 = 2∫ 1

0tdt = 2

[

t2

2

]1

0

= 1

an = 2∫ 1

0t cos(2πnt)dt = = 2

[

t sen (2πnt)2πn

]1

0

− 2∫ 1

0

sen (2πnt)2πn

dt

= 2

[

t sen (2πnt)2πn

+cos(2πnt)

4π2n2

]1

0

= 0

bn = 2∫ 1

0t sen (2πnt)dt = = 2

[

−t cos(2πnt)2πn

]1

0

+ 2∫ 1

0

cos(2πnt)2πn

dt

= 2

[

−t cos(2πnt)2πn

+sen (2πnt)

4π2n2

]1

0

= − 1πn

Logo,

h(t) =12

− 1π

(

sen (2πt) +12

sen (4πt) +13

sen (6πt) + · · ·)

. (3.30)

Observação 3.2.2. Os coeficiente bn da série de Fourier de uma função par sãonulos bem como os coeficiente an da série de Fourier de uma função ímpar tambémo são.

Exemplo 3.2.5. Demonstre a observação 3.2.2.



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Exercícios

E 3.2.1. Considere a função periódica de período T dada na região (−T/2,T/2)por

f(t) =

0, −T/2 ≤ t < −d/2,

1, −d/2 ≤ t ≤ d/2,

0, d/2 < t ≤ T/2.

(3.31)

onde d é uma constante entre 0 e T . Estude a paridade desta função. Encontresua representação em série de Fourier.

E 3.2.2. Calcule a soma da série

f(t) =∞∑

n=0

bn sen (nt) (3.33)

onde 0 < b < 1 e mostre que

f(t) =b sen (t)

1 − 2b cos(t) + b2. (3.34)

Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por∫ 2π

0

b sen (t) sen (kt)1 − 2b cos(t) + b2

dt. (3.35)

E 3.2.3. Considere a função periódica de período T dada para −T/2 < t <T/2 por

f(t) =

t, |t| ≤ d/2,

0, d/2 < |t| < T/2,(3.36)

onde 0 < d ≤ T . Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o casoparticular d = T . Dica:

∫

u cos(u)du = cos(u) + u sen (u) + C e∫

u sen (u)du =sen (u) − u cos(u) + C

E 3.2.4. Trace o gráfico e obtenha a representação em série de Fourier dasseguintes funções:

a) f(t) = | sen (πt)|

b) g(t) =∑∞

n=−∞ δ(t − nT ) onde T > 0.



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E 3.2.5. Use o item a do exercício anterior para obter uma representação emSérie de Fourier da função

h(t) = | cos(πt)|. (3.37)



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Capítulo 4

Representações da série de

Fourier e diagramas de espectro

No capítulo anterior, vimos que uma função periódica pode ser representacomo uma série trigonométrica. No entanto, sobretudo em aplicações em Física eEngenharia, a série de Fourier é apresentada em outras formas, a forma harmônica(ou amplitude-fase) e a forma exponencial. Neste capítulo veremos como construirestas representações e introduziremos o conceito de diagramas de espectro de umafunção periódica.

4.1 Forma harmônica

A forma harmônica, também chamada de forma amplitude-fase, da série deFourier de uma função f(t) é dada conforme a seguir:

f(t) = A0 +∞∑

n=1

An cos(wnt − θn), (4.1)

onde wn = 2πnT

, An são constantes não negativas chamadas de amplitude e θn sãoângulos de fase. Para relacionar esta representação com a forma trigonométrica,usamos a identidade trigonométrica

cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen (a) sen (b), (4.2)

26

4.1. FORMA HARMÔNICA 27

com a = wnt e b = θn. Assim temos:

f(t) = A0 +∞∑

n=1

An cos(wnt − θn)

= A0 +∞∑

n=1

An [cos(wnt) cos(θn) + sen (wnt) sen (θn)]

= A0︸︷︷︸

a0/2

+∞∑

n=1

[An cos(θn)︸︷︷︸

an

cos(wnt) + An sen (θn)︸︷︷︸

bn

sen (wnt)]

Comparando os termos da representação trigonométrica, temos que:

a0

2= A0

an = An cos(θn)

bn = An sen (θn)

Observe quea2

n + b2n = A2

n (4.3)

e, como An ≥ 0 por hipótese, temos que

An =√

a2n + b2

n. (4.4)

Também temos

cos(θn) =an

√

a2n + b2

n

sen (θn) =bn

√

a2n + b2

n

Observe que sempre é possível converter uma forma na outra e os ângulos de faseestão unicamente definidos em cada volta do ciclo trigonométrico.

Exemplo 4.1.1. Considere um função periódica (T = 4) dada pelo gráfico Oscoeficientes de Fourier são dados por

a0

2=

14

∫ 4

0f(t)dt =

14

∫ 1

01dt =

14



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1

−1

1 2 3 4 5 6−1

y = f(t)

t

an =24

∫ 4

0f(t) cos(wnt)dt =

12

∫ 1

0cos

(πn

2t)

dt

=1

πn

[

sen(

πn

2t)]1

0

=

0, n par

1πn

(−1)n−1

2 n ímpar

bn =24

∫ 4

0f(t) sen (wnt)dt =

12

∫ 1

0sen

(πn

2t)

dt

=1

πn

[

− cos(

πn

2t)]1

0

=

1πn

, n ímpar

1πn

(

1 − (−1)n2

)

n par

Para escrever a forma harmônica da série de Fourier da função f(t) calculamos asamplitudes An e as fases θn. Para n = 0, temos a0 = 1

2e, portanto, A0 = a0

2= 1

4.

Para n = 1, temos a1 = b1 = 1π

e, consequentemente, A1 =√

1π2 + 1

π2 =√

2π

eθ1 = π

4. Os cálculos foram repetidos de forma análoga para n = 2, 3, 4 e 5 e

apresentados na tabela 4.1. Portanto,

f(t) =14

+1π

[√2 cos

(π

2t − π

4

)

+ cos(

πt − π

2

)

+

+

√2

3cos

(3π

2t − 3π

4

)

+

√2

5cos

(5π

2t − π

4

)

+ · · ·]



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4.2. FORMA EXPONENCIAL 29

4.2 Forma exponencial

A forma exponencial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem asfunções trigonométricas sen (wnt) e cos(wnt) por suas representações em termosde exponenciais complexos, isto é

cos(wnt) =eiwnt + e−iwnt

2e sen (wnt) =

eiwnt − e−iwnt

2i(4.5)

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos(wnt) +∞∑

n=1

bn sen (wnt)

=a0

2+

∞∑

n=1

an

(

eiwnt + e−iwnt

2

)

+∞∑

n=1

bn

(

eiwnt − e−iwnt

2i

)

Reagrupando os termos e usando o fato que 1i

= −i, temos:

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

an − ibn

2eiwnt +

∞∑

n=1

an + ibn

2e−iwnt (4.6)

Agora observamos que as definições 3.23 dadas por

a0 =2T

∫ T

0f(t)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t)dt

an =2T

∫ T

0f(t) cos(wnt)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t) cos(wnt)dt

bn =2T

∫ T

0f(t) sen (wnt)dt =

2T

∫ T/2

−T/2f(t) sen (wnt)dt

Embora estas expressões estejam definadas apenas para n > 0, elas fazem sentidospara qualquer n inteiro. Neste caso, valem as seguintes identidades:

a−n = an, b−n = −bn b0 = 0. (4.7)

onde se usou que w−n = 2π(−n)T

= −2πnT

= −wn e a paridade das funções cos-seno e seno. Estendendo estas definições para qualquer inteiro, introduzimos oscoeficientes Cn dados por:

Cn =an − ibn

2(4.8)

Observe que estes coeficientes estão definidos para para número inteiro n, assimtemos:

C0 =a0 − ib0

2=

a0

2(4.9)



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e

C−n =a−n − ib−n

2=

an + ibn

2(4.10)

Substituindo estas expressões para C0, Cn e C−n em (4.6), obtemos:

f(t) = C0 +∞∑

n=1

Cneiwnt +∞∑

n=1

C−ne−iwnt

Escrevemos agora esta última expressão em um único somatório:

f(t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt (4.11)

onde se usou que w−n = 2π(−n)T

= −2πnT

= −wn Observamos também que oscoeficientes Cn podem ser escritos das seguinte forma mais enxuta:

Cn =an − ibn

2

=1T

∫ T

0f(t) [cos(wnt) − i sen (wnt)] dt

=1T

∫ T

0f(t)e−iwntdt =

1T

∫ T/2

−T/2f(t)e−iwntdt

Exemplo 4.2.1. A função f(t) dada no exemplo 3.2.2 pode ser escrita na formaexponencial com os seguintes coeficientes:

C0 =a0

2=

12

(4.12)

Cn =an − ibn

2=

2 (−1)n−1π2n2 + 0

2=

(−1)n − 1π2n2

, n 6= 0 (4.13)

Exemplo 4.2.2. A função g(t),

g(t) =4π

(

sen (πt) +13

sen (3πt) +15

sen (5πt) + · · ·)

, (4.14)

calculada no exemplo 3.2.3 pode ser escrita na forma exponencial com os seguintescoeficientes:

C0 =a0

2= 0 (4.15)

e

Cn =an − ibn

2=

0 − i21−(−1)n

πn

2= i

(−1)n − 1πn

, n 6= 0. (4.16)

Logo,

g(t) = · · ·+ 2i

5πe−5iπt +

2i

3πe−3iπt +

2i

πe−iπt − 2i

πeiπt − 2i

3πe3iπt − 2i

5πe5iπt −· · · , (4.17)



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4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 31

Exercícios

E 4.2.1. Mostre que se f(t) =∑∞

n=−∞ Cneiwnt é uma função real, entãoC−n = Cn. Em especial, |C−n| = |Cn|.

4.3 Diagramas de espectro

Diagramas espectro são representações gráficas dos coeficientes de Fourier Cn

associados a uma função periódica f(t). Como os coeficientes Cn são númeroscomplexos, é comum representá-los na forma de módulo e fase, isto é:

Cn = |Cn|eiφn . (4.18)

O ângulo de fase assim definido coincide com o conceito de argumento do númeroCn.

Exemplo 4.3.1. A função

f(t) = −1 + 2 cos(t) + 4 sen (2t) (4.19)

é periódica com periodo fundamental 2π e pode ser escrita na forma exponencialda seguinte forma:

f(t) = −1 + 2

(

eit + e−it

2

)

+ 4

(

e2it − e−2it

2i

)

= 2ie−2it + e−it − 1 + eit − 2ie2it

Assim, identificamos cinco coeficientes não nulos:

C−2 = 2i = 2eiπ2 =⇒ |C−2| = 2, φ−2 = π

2

C−1 = 1 =⇒ |C−1| = 1, φ−1 = 0

C0 = −1 = 1eπ =⇒ |C0| = 1, φ0 = π

C1 = 1 =⇒ |C1| = 1, φ1 = 0

C2 = −2i = 2e−iπ

2 =⇒ |C2| = 2, φ2 = −π2

Os digramas de espectro de amplitude e fase são dados a seguir:

Exemplo 4.3.2. As primeiras raias do digrama de espectro da função do exemplo4.2.2,

g(t) = · · ·+ 2i

5πe−5iπt +

2i

3πe−3iπt +

2i

πe−iπt − 2i

πeiπt − 2i

3πe3iπt − 2i

5πe5iπt −· · · , (4.20)

são dados na figura a seguir



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1

2

1 2 3−1−2−3

|Cn|

wn

1 2 3−1−2−3

φn

wn

π

2

−π

2

π

−π

−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π

2

π

|Cn|

wn

−5π −4π −3π −2π −π

π 2π 3π 4π 5π

φn

wn

π

2

−π

2

π

−π

Exercícios

E 4.3.1. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro das seguintesfunções periódicas:

a) f(t) = sen (t)

b) f(t) = 3 cos(πt)

c) f(t) = 1 + 4 cos(πt)

d) f(t) = 2 cos2(2πt)



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e) f(t) = 8 sen 3(2πt) + 2 cos(6πt)

f) f(t) = sen (2πt) + cos(3πt)

Observação: Considere a fase φ no intervalo −π < φ ≤ π

E 4.3.2. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro, indicandopelo menos as cinco primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funçõesperiódicas:

a) f(t) =∑∞

n=−∞eiπnt

n2+1

b) f(t) =∑∞

n=1sen (nt)

n2

E 4.3.3. Esboce os diagramas de espectro das séries de Fourier dos problemas3.2.4 e 3.2.5 da página 24.

E 4.3.4. Mostre que se f(t) é um deslocamento no tempo de g(t), isto é,f(t) = g(t − k), então os coeficiente de Fourier Cf

n da função f e Cgn da função

g são iguais em módulo e, portanto, possuem o mesmo diagrama de espectro deamplitude.



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n an bn An θn

0 12

0 14

1 1π

1π

√2

ππ4

2 0 1π

1π

π2

3 − 13π

13π

√2

3π3π4

4 0 0 0

5 15π

15π

√2

5ππ4

Tabela 4.1:



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Capítulo 5

Propriedades das Séries de

Fourier

5.1 Teorema de Parseval

Definição 5.1.1. Define-se a potência média de um função periódica f(t) como

P f =1T

∫ T

0|f(t)|2dt (5.1)

Exemplo 5.1.1. A potência média da função f(t) = A cos(wt) é dada por

P f =1T

∫ T

0|f(t)|2dt

=1T

∫ T

0A2 cos

(2π

Tt)2

dt

=A2

T

∫ T

0

cos

(4πT

t)

+ 1

2

dt

=A2

2

onde se usou que w = 2πT

e identidade trigonométrica dada por:

cos2(x) =

(

eix + e−ix

2

)2

=e2ix + 2 + e−2ix

4=

cos(2x) + 12

. (5.2)

Exemplo 5.1.2. Seja V (t) = A cos(wt) uma fonte de tensão com frequência w =60Hz = 120πrad/s ligado a um resistor de resitência RΩ. A potência no resistor é

P (t) =V (t)2

R(5.3)

35


e a potência média Pm é

Pm =1T

∫ T

0P (t)dt =

1T

∫ T

0

V (t)2

Rdt, (5.4)

onde T = 160

s. Por outro lado, a potência média é calculada em termos da tensãomédia por

Pm =V 2

m

R, (5.5)

ou seja,

V 2m =

1T

∫ T

0V (t)2dt. (5.6)

O exemplo 5.1.1 nos dá o valor da potência média do sinal V (t) = A cos(wt). Logo,

Vm =A√2

. (5.7)

Se Vm = 127V , então a amplitude do sinal é aproximadamente A ≈ 180.

Observação 5.1.1. Na expressão (5.6), Vm também é chamado de valor RMS dosinal v(t) (Root mean square):

VRMS =

√

1T

∫ T

0V (t)2dt. (5.8)

Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função periódica represen-tável por uma série de Fourier, então vale a seguinte identidade.

1T

∫ T

0|f(t)|2dt =

∞∑

n=−∞|Cn|2. (5.9)

Demonstração.

1T

∫ T

0|f(t)|2dt =

1T

∫ T

0f(t)f(t)dt

Como f(t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt, temos

f(t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt =

∞∑

n=−∞Cn eiwnt =

∞∑

n=−∞Cne−iwnt



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5.1. TEOREMA DE PARSEVAL 37

Substituindo esta expressão para f(t) na definição de potência média, temos:

1T

∫ T

0|f(t)|2dt =

1T

∫ T

0f(t)f(t)dt =

1T

∫ T

0f(t)

[ ∞∑

n=−∞Cne−iwnt

]

dt

=1T

∞∑

n=−∞

[

Cn

∫ T

0f(t)e−iwntdt

]

Como Cn = 1T

∫ T0 f(t)e−iwntdt, temos:

1T

∫ T

0|f(t)|2dt =

∞∑

n=−∞CnCn =

∞∑

n=−∞|Cn|2

Exemplo 5.1.3. Seja g(t) um função dada no exemplo 3.2.3, isto é,

g(t) = −1, −1 < t < 0

g(t) = 0, t = 0 ou t = 1

g(t) = 1, 0 < t < 1

g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.

Vimos no exemplo 3.2.3 que sua expansão em série de Fourie é da forma:

1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

g(t) =4π

(

sen (πt) +13

sen (3πt) +15

sen (5πt) + · · ·)

. (5.10)

Calcularemos agora a potência média desta função através de sua representaçãono tempo e depois em frequência:

Pf =1T

∫ T

0|g(t)|2dt =

12

∫ 2

0|g(t)|2dt =

12

∫ 2

01dt = 1



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Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval:

Pf =∞∑

n=−∞|Cn|2 =

∞∑

n=−∞

∣∣∣∣∣

an − ibn

2

∣∣∣∣∣

2

=14

∞∑

n=−∞|bn|2

Como b−n = bn, temos que |b−n| = |bn| e ainda temos que b0 = 0, portanto:

Pf =12

∞∑

n=1

|bn|2 =12

( 4π

)2 (

1 +132

+152

+172

+ · · ·)

usando a equação (3.28) da página 21, temos:

Pf =12

( 4π

)2 π2

8= 1

Exercícios

E 5.1.1. Dado o diagrama de espectro de amplitude de uma função periódicaf(t), marque as alternativas que representam, respectivamente, o módulo do valormédio e a potência média da função

(∣∣∣

1T

∫ T0 f(t)dt

∣∣∣ e 1

T

∫ T0 |f(t)|2dt

)

.

1

2

3

1 2 3−1−2−3

|Cn|

wn

Valor Médio

a) 0

b) 0.5

c) 1

d) 1.5

e) 2

f) 2.5

g) 3

Potência Média

a) 11.5

b) 10

c) 8.5

d) 6

e) 4.5

f) 3

g) 0.5



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5.2. FENÔMENO DE GIBBS 39

5.2 Fenômeno de Gibbs

A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave porpartes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergempara zero. A convergência ponto a ponto acontece, mas se olharmos para o valorabsoluto da diferença entre a função e soma parcial sempre encontramos um pontoonde esse valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto. Esse fenômeno échamado de Fenômeno de Gibbs

1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

1

0.1 0.2 0.3 0.4



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Capítulo 6

Transformada de Fourier

A série de Fourier é uma ferramenta para representar funções periódicas. Comoos problemas de interesse podem envolver funções não periódicas, neste capítulodefiniremos uma representação para essas funções que possuem interpretação comoextensão do conceito de série de Fourier.

6.1 Passagem do discreto para o contínuo

Podemos construir uma representação em séries de Fourier para um funçãof(t) não-periódica sempre que nos restringimos a um intervalo finito [−T/2,T/2],isto é, construímos a função fT (t) T-periódica que coincide com f(t) no intervalocitado:

fT (t) = f(t), −T/2 ≤ t < T/2

fT (t + T ) = fT (t), ∀t ∈ R

(6.1)

Exemplo 6.1.1. Considerando a função f(t) = e−|t|, definimos funções fT (t) comona equação (6.1) e apresentamos os gráficos de f(t) e fT (t) para T = 2 e T = 4na figura 6.1. Observe que a função fT (t) carrega consigo informação sobre afunção f(t). Naturalmente, gostaríamos de poder obter o limite T → ∞, a fim deaproximar fT (t) tanto quando possível de f(t). Como T representa o período dafunção fT (t), quando T cresce a frequência fundamental wF descresce. A funçãofT (t) possui série de Fourier da forma

fT (t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt, (6.2)

40

6.1. PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO 41

y = f(t) = e−|t|

t

y = fT (t), T = 2

t

y = fT (t), T = 4

t

Figura 6.1:

onde

Cn =1T

∫ T/2

−T/2e−|t|e−iwntdt =

1T

∫ T/2

−T/2e−|t| (cos(wnt) − i sen (wnt)) dt

=2T

∫ T/2

0e−|t| cos(wnt)dt =

2T

∫ T/2

0e−t cos(wnt)dt

=2T

[

wn sen (twn) − cos(twn)w2

n + 1e−t

]T/2

0

=2T

[

wn sen(

T wn

2

)

− cos(

T wn

2

)]

e− T2 + 1

w2n + 1

=2T

[wn sen (nπ) − cos (nπ)] e− T2 + 1

w2n + 1

=2T

1 − (−1)ne− T2

w2n + 1

(6.3)

Observemos os diagramas de especto para fT (t) multiplicado por T quando T = 2,T = 4 e T = 8 na figura 6.2.

Como a distância entre duas raias espectrais é igual a frequência fundamentalwF = w1, a densidade de raias aumenta, tornando mais densa na reta. A serie deFourier da função fT (t) é dada por

fT (t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt, (6.4)

onde

Cn =1T

∫ T/2

−T/2fT (τ)e−iwnτ dτ =

1T

∫ T/2

−T/2f(τ)e−iwnτ dτ. (6.5)



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1

2

|TCn|

wn

T = 2

π 2π 3π−π−2π−3π

1

2

|TCn|

wn

T = 4


1

2

|TCn|

wn

T = 8


Figura 6.2:

Definimos agora a função

FT (w) =∫ T/2

−T/2f(τ)e−iwτdτ (6.6)

e escrevemos fT (t) em termos de FT (w):

fT (t) =∞∑

n=−∞

1T

FT (wn)eiwnt

=∞∑

n=−∞

wF

2πFT (wn)eiwnt (6.7)

=∞∑

n=−∞

∆w

2πFT (wn)eiwnt

=1

2π

∞∑

n=−∞FT (wn)eiwnt∆w (6.8)

Observe que a função FT (w) converge para cada frequência w para a função

F (w) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt. (6.9)

Fazendo T → ∞, a soma a direita na equação (6.8) é uma soma de Riemann queconverge para uma integral:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw, (6.10)

ondeF (w) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt (6.11)



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6.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 43

Exemplo 6.1.2. Continuamos com o exemplo 6.1.1. Dada a função f(t) = e−|t|,podemos escrever

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw, (6.12)

onde

F (w) = limT →∞

∫ T/2

−T/2e−|t|e−iwtdt

= limT →∞

2(−1)ne− T

2 + 1w2 + 1

=2

w2 + 1,

onde usamos a expressão para TCn dada por (6.3). De fato, usando uma tabelade integrais (ou método dos resíduos), temos

12π

∫ ∞

−∞

2w2 + 1

cos(wt)dw =1π

∫ ∞

0

1w2 + 1

cos(wt)dw (6.13)

= e−|t| (6.14)

6.2 Transformada de Fourier

Definição 6.2.1. Seja f(t) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-mada de Fourier F (w) de f(t) como:

F (w) = Ff(t) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt. (6.15)

Definição 6.2.2. Seja F (w) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-mada inversa de Fourier f(t) de F (w) como:

f(t) = F−1F (w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw. (6.16)

Observação 6.2.1. É costumeiro em Física e Engenharia usar a variável k natransformada de Fourier de função em x, isto é,

F (k) = Ff(x) =∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx

f(x) = F−1F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k)eikxdk.

Os pares de variáveis t-w e x-k são chamados de pares de variáveis recíprocas. Aletra k é o número de onda, conceito análogo no espaço ao conceito de frequênciaangular no tempo, isto é, enquanto w = 2π

T, k = 2π

λ, onde λ é o comprimento de

onda.



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Exemplo 6.2.1. Seja

f(t) =

eat se t < 0

e−bt se t > 0(6.17)

onde a e b são constantes positivas. A figura 6.3 mostra o gráfico de f(t) paraa = 1 e b = 3. A transformada de Fourier de f(t) é calculada da seguinte forma:

1

1 2 3−1−2−3

y = f(t)

t

Figura 6.3: Gráfico de f(t) = et, se t < 0 ou f(t) = e−3t se t > 0.

F (w) = Ff(t) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=∫ 0

−∞eate−iwtdt +

∫ ∞

0e−bte−iwtdt

=∫ 0

−∞eat (cos(wt) − i sen (wt)) dt +

∫ ∞

0e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt

=∫ ∞

0e−at (cos(wt) + i sen (wt)) dt +

∫ ∞

0e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt

=a

a2 + w2+

iw

a2 + w2+

b

b2 + w2− iw

b2 + w2

=a

a2 + w2+

b

b2 + w2+ i

(w

a2 + w2− w

b2 + w2

)

onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.

Exemplo 6.2.2. Calculamos a transformada de Fourier do delta de Dirac δ(t−a),a ∈ R da seguinte forma:

F (w) = Fδ(t − a) =∫ ∞

−∞δ(t − a)e−iwtdt

= e−iwa

Exemplo 6.2.3. Considere a função dada por

f(x) =

1 se |x| < ℓ

0 se |x| ≥ ℓ(6.18)



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6.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 45

A transformada de Fourier desta função é dada por:

F (k) =∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx =

∫ ℓ

−ℓe−ikxdx

=∫ ℓ

−ℓ(cos(kx) − i sen (kx)) dx

= 2∫ ℓ

0cos(kx)dx

=2k

sen (kx)|x=ℓx=0 =

2 sen (kℓ)k

Exercícios

E 6.2.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positivae u(t) é a função Heaviside. Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformadade Fourier (use a = 1 no gráfico).

E 6.2.2. Considere a função f(t) = e−at2onde a é uma constante positiva.

Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier (use a = 1 nográfico).

E 6.2.3. Calcule a transformada inversa da função F (w) = δ(w −w0) + δ(w +w0)

E 6.2.4. Calcule a transformada inversa da função F (k) = e−k2

E 6.2.5. Mostre que se f(t) é uma função real par, então sua transformadade Fourier é uma função real.

E 6.2.6. Mostre que se f(t) é uma função real ímpar, então sua transformadade Fourier é uma função imaginária.

E 6.2.7. Mostre que se f(t) é uma função real, então sua a parte real datranformada de Fourier de f(t) é uma função par e a parte imaginária é ímpar.

E 6.2.8. Calcule a transformada de Fourier da função

f(t) =∞∑

j=0

δ(t − j)e−j. (6.19)



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Capítulo 7

Representações da transformada

de Fourier e diagramas de

espectro

Neste capítulo apresentaremos as representações da transformada de Fourier eintroduziremos o conceito de diagramas de espectro.

7.1 Forma trigonométrica

A forma exponencial da transformada de Fourier de uma função f(t) foi definidano capítulo 6 e é dada por

F (w) = Ff(t) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt. (7.1)

Se f(t) é uma função real, então podemos separar a parte real e imaginária datransformada de Fourier, conforme a seguir:

F (w) = Ff(t) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞f(t) (cos(wt) − i sen (wt)) dt

=∫ ∞

−∞f(t) cos(wt)dt − i

∫ ∞

−∞f(t) sen (wt)dt

:= A(w) − iB(w),

onde

A(w) =∫ ∞

−∞f(t) cos(wt)dt

B(w) =∫ ∞

−∞f(t) sen (wt)dt

46

7.1. FORMA TRIGONOMÉTRICA 47

Nesses termos, a função f(t) pode ser escrita como:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞(A(w) − iB(w)) (cos(wt) + i sen (wt)) dw

=1

2π

∫ ∞

−∞(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw

+i

2π

∫ ∞

−∞(A(w) sen (wt) − B(w) cos(wt)) dw

Usando o fato que A(w) é uma função par e B(w) é uma função ímpar, temos:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw

=1π

∫ ∞

0(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw

A tabela abaixo compara as formas trigonométrica e exponencial das séries e trans-formadas de Fourier

Forma exponencial Forma trigonométrica

Série de Fourier f(t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt f(t) =

a0

2+

∞∑

n=1

(an cos(wnt) + bn sen (wnt))

Transformada de Fourier f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw f(t) =

1π

∫ ∞

0(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw

(7.2)

Exemplo 7.1.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constantepositiva e u(t) é a função Heaviside. A transformada de Fourier F (w) de f(t) foicalculada no exercício 6.2.1 da página 45 e é dada por:

F (w) =a

a2 + w2− iw

a2 + w2.



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Usando representação trigonométrica da transformada de Fourier, temos:

f(t) =1π

∫ ∞

0(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw,

onde

A(w) =a

a2 + w2

B(w) =w

a2 + w2

Exercícios

E 7.1.1. Mostre que a representação trigonométrica da transformada de Fou-rier F (w) de uma função real f(t) separa-a em parte ímpar e parte par. Istoé,

1π

∫ ∞

0A(w) cos(wt)dw =

f(t) + f(−t)2

e

1π

∫ ∞

0B(w) sen (wt)dw =

f(t) − f(−t)2

.

E 7.1.2. Mostre que se f(t) é real, F (−w) = F (w).

7.2 Diagramas de espectro

Diagrama de espectro da transformada de Fourier é a representação gráfica datransformada de Fourier F (w) associadas a uma função f(t). Da mesma formacomo o diagrama de espectro da série de Fourier se divide em amplitude e fase, odiagrama de espectro da transformada de Fourier se divide em magnitude e fase.Ou seja, o gráfico de |F (w)| é a diagrama de magnitude e o gráfico de φ(w) é odiagrama de fase, onde

F (w) = |F (w)|eiφ(w), (7.3)

Exemplo 7.2.1. No exemplo 6.1.1 da página 40 calculamos a transformada deFourier da função f(t) = e−|t|:

F (w) =2

w2 + 1. (7.4)

O gráfico da magnitude |F (w)| é dado na figura 7.1. Devido o fato de F (w) serreal, a fase é uma função nula.



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|F (w)|

w

Figura 7.1:

Exemplo 7.2.2. O exemplo 7.1.1 da página 47 apresenta a transformada de Fou-rier da função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positiva e u(t) é a funçãoHeaviside:

F (w) =a

a2 + w2− iw

a2 + w2.

Observe que

|F (w)| =

√(

a

a2 + w2

)2

+(

w

a2 + w2

)2

=

√√√√

a2 + w2

(a2 + w2)2

=1√

a2 + w2

e, como a > 0, temos aa2+w2 > 0. Portanto,

φ(w) = tan−1

(− wa2+w2

aa2+w2

)

= − tan−1(

w

a

)

. (7.5)

A figura 7.2 apresenta o diagrama de espectro de magnitude e fase da transformadaF (w) de f(t) quando a = 1.

Exercícios

E 7.2.1. Calcule a transformada de Fourier e trace o diagrama de espectro dafunção f(t) = te−t2

. [Dica: Use integração por partes para transformar a integraldada numa integral tabelada.



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|F (w)|

w

1

−1

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

φ(w)

w

π

2

−π

2

Figura 7.2:



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Capítulo 8

Propriedades da transformada de

Fourier

8.1 Propriedades

Teorema 8.1.1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t)com transformadas de Fourier F (w) e G(w), respectivamente, e α e β duas cons-tantes reais ou complexas, então

F αf(t) + βg(t) = αFf(t) + βFg(t) = αF (w) + βG(w) (8.1)

Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:

F αf(t) + βg(t) =∫ ∞

−∞(αf(t) + βg(t)) e−iwtdt

=∫ ∞

−∞αf(t)e−iwtdt +

∫ ∞

−∞βg(t)e−iwtdt

= α∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt + β

∫ ∞

−∞g(t)e−iwtdt

= αF (w) + βG(w)

Exemplo 8.1.1. As transformadas das funções f(t) = e−|t| e g(t) = 12√

πe− t2

4 são

F (w) = 2w2+1

e G(w) = e−w2, respectivamente. Logo,

F 5f(t) − 3g(t) = 52

w2 + 1− 3e−w2

(8.2)

Teorema 8.1.2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferenciável f(t)tal que

limt→±∞

f(t) = 0 (8.3)

51


e sua transformada de Fourier F (w), então

Ff ′(t) = iwF (w) (8.4)

Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos

F f ′(t) =∫ ∞

−∞f ′(t)e−iwtdt

=[

f(t)e−iwt]∞

−∞−∫ ∞

−∞−iwf(t)e−iwtdt

= iw∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

= iwF (w)

Observação 8.1.1. Essa propriedade reflete o fato de que a transformada deFourier decompõe a função f(t) em funções do tipo eiwt cuja derivada é iweiwt. Defato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de f(t)em sua integral de Fourier, isto é:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw. (8.5)

Diferenciando em t, obtemos

f ′(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)iweiwtdw =

12π

∫ ∞

−∞[iwF (w)] eiwtdw. (8.6)

Exemplo 8.1.2. Considere a função f(t) = e−at2, a > 0, e sua transformada de

Fourier (ver exercício 6.2.2 da página 45):

F (w) =√

π√a

e− w2

4a (8.7)

Usando a propriedade 8.1.2, a transformada de Fourier da derivada f ′(t) = −2ate−at2

é dada por:

F−2ate−at2 = iwF (w) = iw

√π√a

e− w2

4a . (8.8)

Usando a linearidade, encontramos a transformada de Fourier da função te−at2:

Fte−at2 = −iw

√π

2a√

ae− w2

4a . (8.9)

Compare com o exercício 7.2.1 da página 49.



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8.1. PROPRIEDADES 53

Observação 8.1.2. As derivadas de ordem superior são calculadas a partir dapropriedade 8.1.2:

Ff ′′(t) = F

d

dt(f ′(t))

= iwF f ′(t)= (iw)2F f(t)= (iw)2F (w).

De modo geral,

Ff (n)(t) = (iw)nF (w).

Teorema 8.1.3 (Deslocamento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua trans-formada de Fourier F (w), então

F

eatf(t)

= F (w + ia). (8.10)


F

eatf(t)

=∫ ∞

−∞f(t)eate−iwtdt

=∫ ∞

−∞f(t)e(a−iw)tdt

=∫ ∞

−∞f(t)e−i(ia+w)tdt

= F (w + ia)

Exemplo 8.1.3. Do exemplo 8.1.2 temos que a transformada de Fourier da funçãof(t) = te−at2

, a > 0, é dada por

F (w) = −iw

√π

2a√

ae− w2

4a . (8.11)



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Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebt−at2, b > 0, é dada por

G(w) = F

tebt−at2

= F

ebtte−at2

= F (w + ib)

= −i(w + ib)√

π

2a√

ae− (w+ib)2

4a

= (b − iw)√

π

2a√

ae− w2+2wib−b2

4a

=√

w2 + b2e−i arctan(wb )

√π

2a√

ae− w2−b2

4a e−i(wb2a )

=√

w2 + b2

√π

2a√

ae− w2−b2

4a e−i(wb2a

+arctan(wb ))

= |G(w)|eiφ(w),

onde

|G(w)| =√

π

2a√

ae− b2

4a

√w2 + b2e− w2

4a e φ(w) = −(

wb

2a+ arctan

(w

b

))

Veja os diagramas de espectro de G(w) quando a = b = 1 na figura 8.1.

Teorema 8.1.4 (Deslocamento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transfor-mada de Fourier F (w), então

F f(t − a) = e−iawF (w). (8.12)


F f(t − a) =∫ ∞

−∞f(t − a)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞f(s)e−iw(s+a)ds

=∫ ∞

−∞f(s)e−iwae−iwsds

= e−iwa∫ ∞

−∞f(s)e−iwsds

= e−iawF (w)

Exemplo 8.1.4. Do exemplo 6.1.1 da página 40 temos que a transformada deFourier da função f(t) = e−|t| é dada por F (w) = 2

w2+1. Logo, a transformada de

Fourier da função g(t) = e−|t−2| é

G(w) =2

w2 + 1e−2iw (8.13)



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1

|G(w)|

w

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

φ(w)

w

π

−π

Figura 8.1:

Observação 8.1.3. Um deslocamento real no tempo não altera o módulo datransformada de Fourier, pois |e−iaw| = 1 sempre que a e w são reais.

Teorema 8.1.5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) talque sua transformada de Fourier F (w) satisfaça F (0) = 0, então

F∫ t

−∞f(τ)dτ

=1

iwF (w). (8.14)

Demonstração. Definimos g(t) =∫ t

−∞ f(τ)dτ e, usando o teorema fundamental docálculo, temos g′(t) = f(t). Aplicamos a transformada de Fourier na igualdade etemos:

Fg′(t) = Ff(t), (8.15)

ou seja,Fg′(t) = F (w). (8.16)

Observe que

limt→∞

g(t) =∫ ∞

−∞f(τ)dτ =

∫ ∞

−∞f(τ)ei·0·τ dτ = F (0) = 0 (8.17)



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elim

t→−∞g(t) =

∫ −∞

−∞f(τ)dτ = 0, (8.18)

portanto, podemos usar a propriedade 8.1.2 da transformada de Fourier da deri-vada e obter:

Fg′(t) = iwFg(t). (8.19)

Assim,

F (w) = iwF∫ t

−∞f(τ)dτ

. (8.20)

Portanto,

F∫ t

−∞f(τ)dτ

=1

iwF (w). (8.21)

Teorema 8.1.6 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transfor-mada de Fourier F (w), então

F f(t) cos(w0t) =12

F (w − w0) +12

F (w + w0), (8.22)

para w0 ∈ R.


F f(t) cos(w0t) = F

f(t)

(

eiw0t + e−iw0t

2

)

=∫ ∞

−∞f(t)

eiw0t + e−iw0t

2e−iwtdt

=12

∫ ∞

−∞f(t)e−i(w−w0)tdt +

12

∫ ∞

−∞f(t)e−i(w0+w)tdt

=12

F (w − w0) +12

F (w + w0)

Exemplo 8.1.5. Considere a função f(t) = cos(w0t)e−a|t|, a > 0. Podemos obtera transformada de Fourier de f(t) a partir da transformada de Fourier da funçãog(t) = e−a|t|. Basta aplicar o teorema da modulação à função g(t), cuja transfor-mada de Fourier é dada por G(w) = 2a

w2+a2 :

F g(t) cos(w0t) =12

G(w − w0) +12

G(w + w0)

=12

2a

(w − w0)2 + a2+

12

2a

(w + w0)2 + a2

=a

(w − w0)2 + a2+

a

(w + w0)2 + a2



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Teorema 8.1.7 (Teorema da convolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) comsuas respectivas transformadas de Fourier, F1(w) e F2(w), então

a) (Convolução no tempo)

F(f1 ∗ f2)(t) = F1(w)F2(w), (8.23)

b) (Convolução na frequência)

(F1 ∗ F2)(w) = 2πFf1(t)f2(t) (8.24)

ouF−1(F1 ∗ F2)(w) = 2πf1(t)f2(t), (8.25)

onde ∗ indica a convolução de duas funções:

(f1 ∗ f2)(t) =∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t − τ)dτ (8.26)

Demonstração. a) Usando as definições de transformada de Fourier e convolu-ção de duas funções, temos:

F(f1 ∗ f2)(t) =∫ ∞

−∞(f1 ∗ f2)(t)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t − τ)dτ

)

e−iwtdt

=∫ ∞

−∞

[

f1(τ)∫ ∞

−∞f2(t − τ)e−iwtdt

]

dτ (8.27)

Uma das integrais pode ser calculada fazendo uma mudança de variável:∫ ∞

−∞f2(t − τ)e−iwtdt =

∫ ∞

−∞f2(s)e−iw(s+τ)ds

= e−iwτ∫ ∞

−∞f2(s)e−iwsds

= e−iwτF2(w) (8.28)

Substituindo a equação (8.28) na equação (8.27), temos

F(f1 ∗ f2)(t) =∫ ∞

−∞

[

f1(τ)∫ ∞

−∞f2(t − τ)e−iwtdt

]

dτ

=∫ ∞

−∞

[

f1(τ)e−iwτ F2(w)]

dτ

= F2(w)∫ ∞

−∞

[

f1(τ)e−iwτ]

dτ

= F1(w)F2(w)



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b) Analogamente, usando as definições, temos:

F−1(F1 ∗ F2)(w) =1

2π

∫ ∞

−∞(F1 ∗ F2)(w)eiwtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞F1(v)F2(w − v)dv

)

eiwtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞

[

F1(v)∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw

]

dv (8.29)

Também,∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw =

∫ ∞

−∞F2(y)ei(y+v)tdy

= eivt∫ ∞

−∞F2(y)eiytdy

= 2πeivtf2(t) (8.30)

Substituindo a equação (8.30) na equação (8.29), temos

F−1(F1 ∗ F2)(w) =1

2π

∫ ∞

−∞

[

F1(v)∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw

]

dv

=1

2π

∫ ∞

−∞F1(v)eivt2πf2(t)dv

= f2(t)∫ ∞

−∞F1(v)eivtdv

= 2πf1(t)f2(t)

Exemplo 8.1.6. Considere as funções f(t) = te−t2e g(t) = e−a|t|, a > 0 e suas

respectivas transformadas de Fourier F (w) = −iw√

π2

e− w2

4 e G(w) = 2aw2+a2 . A

transformada de Fourier da função

h(t) =∫ ∞

−∞f(t − τ)g(τ)dτ =

∫ ∞

−∞(t − τ)e−(t−τ)2

e−a|τ |dτ (8.31)

é calculada usando o teorema da convolução e é dada por

H(w) = F (w)G(w) = −iwa

√π

w2 + a2e− w2

4 (8.32)

Teorema 8.1.8 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada deFourier F (w), então

F (w) = F (−w) (8.33)



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F (w) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt, pois f(t) = f(t)

=∫ ∞

−∞f(t)eiwtdt

=∫ ∞

−∞f(t)e−i(−w)tdt

= F (−w)

Observação 8.1.4. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se aplica.

Exemplo 8.1.7. Considere as funções f(t) = te−t2e sua transformada de Fourier

F (w) = −iw√

π2

e− w2

4 . Então,

F (−w) = iw

√π

2e− w2

4 (8.34)

e

F (w) = −iw

√π

2e− w2

4 = iw

√π

2e− w2

4 . (8.35)

Teorema 8.1.9 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformadade Fourier F (w), então

F f(−t) = F (−w). (8.36)

Demonstração.

F f(−t) =∫ ∞

−∞f(−t)e−iwtdt

procedemos com a mudança de variáveis τ = −t:

F f(−t) =∫ ∞

−∞f(−t)e−iwtdt

=∫ −∞

∞f(τ)eiwτ (−dτ)

=∫ ∞

−∞f(τ)eiwτ dτ

=∫ ∞

−∞f(τ)e−i(−w)τ dτ

= F (−w)



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Teorema 8.1.10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transfor-mada de Fourier F (w), então

f(−w) =1

2πFF (t) (8.37)

Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw (8.38)

Podemos trocas t e w e calcular f(w) em função de F (t):

f(w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (t)eitwdt. (8.39)

Ou seja,

f(−w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (t)e−itwdt =

12π

FF (t). (8.40)

Teorema 8.1.11 (Mudança de escala). Dada uma função f(t) e sua transformadade Fourier F (w), então

Ff(at) =1

|a|F(

w

a

)

, ∀a 6= 0. (8.41)

Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos

Ff(at) =∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt (8.42)

Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois casos: a > 0 e a < 0. Para o casoa > 0, temos:

Ff(at) =∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞f(τ)e− iwτ

adτ

a

=1a

∫ ∞


a dτ

Para o caso a < 0, temos:

Ff(at) =∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt

=∫ −∞

∞f(τ)e− iwτ

adτ

a

= −1a

∫ ∞


a dτ



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Em ambos os casos, temos:

Ff(at) =1

|a|∫ ∞


a dτ

=1

|a|F(

w

a

)

Observação 8.1.5. A propriedade da inversão temporal (propriedade 8.1.9) é umcaso particular desta propriedade quando a = −1.

Exercícios

E 8.1.1. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F (w) deuma função f(t) é dado na figura (8.2). Esboce o diagrama de magnitudes datransformada de Fourier da função f ′(t).

1

|F (w)|

w

Figura 8.2:

E 8.1.2. Faça o diagrama de espectro da transformada de Fourier do exemplo8.1.4 da página 54.

E 8.1.3. Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dosmódulos, isto é, |x + y| = |x| + |y|, x,y ∈ C.

a) Encontre um caso particular onde |x + y| = |x| + |y| com |x| 6= 0 e |y| 6= 0.

b) Encontre um caso particular onde |x + y| = 0 com |x| 6= 0 e |y| 6= 0. Mostreque, nesse caso, x = −y.

c) Encontre um caso particular onde |x + y| = 1 com |x| = |y| = 1.

d) Mostre que |x + y| = |x| + |y| sempre que xy = 0.



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Observe que não é possível, em geral, conhecer o diagrama de magnitudes da somade duas funções, F (w) e G(w), conhecendo apenas seus diagramas de magnitudes.As fases precisam ser levadas em conta. Um exceção é quando, para todos w, ouF (w) = 0 ou G(w) = 0.

E 8.1.4. Mostre que, dada uma função f(t) e sua transformada de FourierF (w), então

F f(t) sen (w0t) =i

2F (w + w0) − i

2F (w − w0), (8.43)

para w0 ∈ R.

E 8.1.5. Considere uma função real f(t) tal que o diagrama de magnitude édado na figura abaixo.

5

10

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|F (w)|

w

a) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t − a) onde a é umaconstante real.

b) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(2t).

c) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(−t).

d) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = 3f(t).

e) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos(1000t).

f) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos2(1000t).

g) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) sen (1000t).

h) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t)| sen (1000t)|.[Dica: Use a expansão em Série de Fourier do retificador de onda completa1]

i) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f ′(t).

j) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) ∗ f(t).

1| sen (x)| = 2π − 4

π

(cos(2x)

1·3 + cos(4x)3·5 + cos(6x)

5·7 + · · ·)



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k) Calcule o valor da energia do sinal dada por

∫ ∞

−∞f(t)2dt. (8.44)

l) Calcule o módulo do valor médio do sinal dado por∣∣∣∣

∫ ∞

−∞f(t)dt

∣∣∣∣ . (8.45)

E 8.1.6. Considere o sinal f(t) associado ao seguinte diagrama de espectro:

25

50

75

100

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)a) Calcule o valor de∫∞

−∞ f(t)dt.

b) Obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em Hz e identifiquea nota.

c) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f ′(t)5000

d) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(−t).

e) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t − 2).

f) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(1.12t), obtenha o valoraproximado da frequência fundamental em Hz e identifique a nota.

g) Calcule o valor da "taxa de aceleração", a > 0, para que o sinal g(t) = f(at)represente a nota sol na mesma oitava.

E 8.1.7. Trace o gráfico das seguintes funções, calcule sua transformada deFourier e trace o diagrama de magnitudes:

a) f(t) = e−|t| cos(10t).

b) g(t) = e−t2/2 cos(10t).



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c) h(t) =

0, t < −4,

cos(10t), −4 ≤ t ≤ 4,

0, t > 4.

E 8.1.8. Considere uma aproximação do diagrama de espectro de magnitudesde uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma funçãof(t):

0.5

1.0

220π 440π 660π 880π w (rad/s)

|F (w)|

a) Identifique a frequência fundamental wf (em rad/s) e ff (em Hz).

b) Identifique a nota musical correspondente a acelerar em 1,5 a velocidade dereprodução do sinal.

c) Identifique a nota musical correspondente a modular o sinal na frequência1110π rad/s (f(t) cos(1100πt)).

d) Identifique a nota musical correspondente à função f(2t).

e) Identifique a nota musical correspondente à função g(t) = f(t)+f(2t). Quala sensação fisiológica produzida?

8.2 O teorema de Parseval e o princípio da In-

certeza

Teorema 8.2.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função real ou complexa eF (w) sua transformada de Fourier, então vale a identidade:

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

12π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw (8.48)



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8.2. O TEOREMA DE PARSEVAL E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA65

Demonstração. Partimos da representação de f(t) em sua integral de Fourier:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

e consequentemente:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)e−iwtdw

e inserimos essa expressão na integral envolvida:∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞f(t)f(t)dt

=1

2π

∫ ∞

−∞f(t)

∫ ∞

−∞F (w)e−iwtdwdt

=1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)F (w)e−iwtdwdt

=1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)F (w)e−iwtdtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞F (w)

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞F (w)F (w)dw

=1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw

Observação 8.2.1. Esta integral está associada ao conceito de energia total deum sinal.

Exemplo 8.2.1. Considere a função f(t) = e−a|t|, a > 0, e sua transformada deFourier F (w) = 2a

w2+a2 . A energia associada a essa função pode ser calculada deduas maneiras distintas:

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|e−a|t||2dt

=∫ ∞

−∞e−2a|t|dt

= 2∫ ∞

0e−2atdt

= 2[

− 12a

e−2at]∞

0

=1a



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ou

12π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw =

12π

∫ ∞

−∞

( 2a

w2 + a2

)2

dw

=4a2

π

∫ ∞

0

1

(w2 + a2)2 dw

Usando o item 19 da tabela de integrais definidas A da página 83 com m = 0,temos:

∫ ∞

0

1

(w2 + a2)2 dw =π

4a3.

Portanto,

12π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw =

4a2

π

π

4a3=

1a

.

Teorema 8.2.2 (Princípio da Incerteza*). Seja f(t) uma função real que satisfazlimt→±∞ f(t) = 0 e F (w) = Ff(t) sua transformada de Fourier. Então vale aseguinte estimativa:

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|wF (w)|2 dw ≥ π

2

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

Demonstração. Primeiro observamos que∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞f(t)f(t)dt

Procedemos com intregação por partes onde u(t) = f(t)f(t), du(t) = f ′(t)f(t) +f(t)f ′(t), v(t) = t e dv(t) = dt.

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt = −

∫ ∞

−∞t(

f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t))

dt

= −∫ ∞

−∞tf ′(t)f(t)dt −

∫ ∞

−∞tf(t)f ′(t)dt

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz2 temos∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣

∫ ∞


∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫ ∞


∣∣∣∣

≤[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

+[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

= 2[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

.

2∣∣∫

f(x)g(x)dx∣∣ ≤

[∫|f(x)|2dx ·

∫|g(x)|2dx

]1/2



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8.3. PASSAGEM DO CONTÍNUO PARA O DISCRETO 67

Agora, usando o teorema de Parseval (ver propriedade 8.2.1), temos∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

≤ 4∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

= 4∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt · 1

2π

∫ ∞

−∞|F f ′(t)|2 dw

=2π

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|iwF (w)|2 dw

e, finalmente,∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|wF (w)|2 dw ≥ π

2

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

8.3 Passagem do contínuo para o discreto

Nesta seção vamos calcular a transformada de Fourier de uma função periódicaf(t) que possui representação em série de Fourier. Para esse propósito, observeque, colocando F (w) = 2πδ(w − w0), temos

f(t) = F−12πδ(w − w0) =2π

2π

∫ ∞

−∞δ(w − w0)eiwtdw = eiw0t.

ou seja,Feiw0t = 2πδ(w − w0). (8.49)

Agora, considere uma função f(t) que possui representação em série de Fourier:

f(t) =∞∑

n=−∞Cneiwnt. (8.50)

A definição de transformada de Fourier nos dá:

Ff(t) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=∫ ∞

−∞

( ∞∑

n=−∞Cneiwnt

)

e−iwtdt

=∞∑

n=−∞Cn

(∫ ∞

−∞eiwnte−iwtdt

)

= 2π∞∑

n=−∞Cnδ(w − wn),

onde usamos a equação (8.49) na última passagem.



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Exemplo 8.3.1. Dada a função f(t) = cos(w0t), sua representação em série tri-gonométrica exponencial é

f(t) =12

ew0it +12

e−w0it. (8.51)

Logo, a sua transformada de Fourier F (w) é dada por:

F (w) = πδ(w − w0) + πδ(w + w0) (8.52)

Exemplo 8.3.2. Considere a função não periódica g(t) = e−a|t| cos(w0t), a > 0.A transformada de Fourier de g(t) é dada por G(w) = a

(w−w0)2+a2 + a(w+w0)2+a2 (ver

exemplo (8.1.5)). Observe que

lima→0

g(t) = lima→0

e−a|t| cos(w0t) = cos(w0t). (8.53)

Comparando com o exemplo 8.3.1, é esperado que G(w) convirja para F (w). Defato, observe que a área abaixo da curva é constante com respeito a a:

∫ ∞

−∞G(w)dw = a

∫ ∞

−∞

(

1(w − w0)2 + a2

+1

(w + w0)2 + a2

)

dw

= a[1a

tan−1(

w − w0

a

)

+1a

tan−1(

w + w0

a

)]∞

−∞

=π

2−(

−π

2

)

+π

2−(

−π

2

)

= 2π

e a curva G(w) converge para 0, exceto em w = w0 e w = −w0. Portanto o limitede G(w) é F (w). Os diagramas de magnitude de F (w) e de G(w) para algunsvalores de a > 0 e w0 = 1 são apresentados na figura 8.3.

8.4 Aplicação: Sinais Discretos

Nessa seção vamos discutir sobre discretização de sinais, em especial, preten-demos responder com que frequência precisamos amostrar um sinal real para po-dermos reconstruí-lo. Vamos considerar que o espectro da função f(t) é compostoapenas por frequências inferiores a wc, onde wc é chamado de frequência de corte.Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de f(t) para t = kT , k ∈ Z,onde T é o período de amostragem e wa := 2π

T> 2wc é a frequência de amostra-

gem, então podemos reconstruir exatamente f(t) em todos instantes de tempo.Considere f(t) uma função real, definiremos fT (t) uma versão discretizada destesinal da seguinte forma:

fT (t) =∞∑

k=−∞f(kT )δ(t − kT ), (8.54)



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8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 69

1

2

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 1

1

2

3

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 0.5

1

2

3

4

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 0.25

1

2

3

1 2−1−2

|F (w)|

w

Figura 8.3:

assim fT (t) é um trem de Dirac’s cujas amplitudes coincidem com o valor dafunção f(t) nos pontos de amostragem kT . Veja um exemplo na figura 8.4. A fimde calcularmos a transforma de Fourier de fT (t), observamos que:

fT (t) =∞∑

k=−∞f(kT )δ(t − kT )

=∞∑

k=−∞f(t)δ(t − kT )

= f(t)∞∑

k=−∞δ(t − kT )

= f(t)δT (t)

onde δT (t) =∑∞

k=−∞ δ(t−kT ) é uma função periódica cuja série de Fourier é dadapor:

δT (t) =∞∑

k=−∞δ(t − kT ) =

∞∑

n=−∞Cneiwnt (8.55)

e

Cn =1T

∫ T/2

−T/2δT (t)e−iwntdt =

1T

(8.56)



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t

f(t), fT (t)

T

2T 3T

4T 5T

−T

−2T−3T

−4T−5T

Figura 8.4:

assim,

δT (t) =1T

∞∑

n=−∞eiwnt (8.57)

e, portanto:

fT (t) = f(t)δT (t)

= f(t)1T

∞∑

n=−∞eiwnt

=1T

∞∑

n=−∞f(t)eiwnt

e finalmente:

FT (w) = F fT (t)

=1T

F ∞∑

n=−∞f(t)eiwnt

=1T

∞∑

n=−∞F (w − wn)

onde se usou a propriedade do deslocamento no eixo w (8.1.3). Veja um exemplona figura 8.5.



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|F (w)|

wc−wc

w

|FT (w)|

w

wc−wc wa−wa

1

T

wa−wa

Figura 8.5:

Observação 8.4.1. Observamos que se a frequência de amostragem wa for su-perior a 2wc, então FT (w) = 1

TF (w) no intervalo [−wc,wc] e, portanto, toda a

informação de f(t) é preservada. De fato, neste caso, podemos escrever:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wc

−wc

F (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wc

−wc

TFT (w)eiwtdw

Como FT (w) pode ser calculada apenas com base nos pontos de amostragem,f(t) pode ser reconstruída. Se wa < 2wc, então existe superposição espectral, oque impede a reconstrução da f(t). Este resultado é conhecido como teorema daamostragem de Nyquist-Shannon ou teorema cardinal da interpolação.

Teorema 8.4.1. Suponha que f(t) é uma função real cujo espectro é limitado pelafrequência wc, isto é, F (w) = 0 se |w| > wc, e T < π

wc, então

f(t) =∞∑

n=−∞f(nT )

2 sen(

wa

2(t − nT )

)

wa(t − nT )(8.58)

Demonstração. Seja FT (w) a transformada de Fourier do sinal amostrado, con-forme vimos, vale a expressão:

TFT (w) =∞∑

n=−∞F (w − wn). (8.59)



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Observe que TFT (w) é uma função periódica de período wa (veja figura 8.5), deforma que TFT (w) admite uma representação em série de Fourier:

TFT (w) =∞∑

−∞Dneivnw =

∞∑

−∞DneinT w, (8.60)

onde usamos que vn = 2πnwa

= Tn e

Dn =1

wa

∫ wa/2

−wa/2TFT (w)e−inT wdw

=1

wa

∫ wa/2

−wa/2F (w)e−inT wdw

=1

wa

∫ ∞

−∞F (w)e−inT wdw, pois F (w) = 0 se |w| >

wa

2> wc

=2π

waf(−nT ) = Tf(−nT ), usando a transformada inversa.

Logo,

TFT (w) = T∞∑

n=−∞f(−nT )einT w. (8.61)

Usando a transformada inversa, temos:

f(t) =1

2π

∫ wa/2

−wa/2TFT (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wa/2

−wa/2T

∞∑

n=−∞f(−nT )einT weiwtdw

=T

2π

∫ wa/2

−wa/2

∞∑

n=−∞f(−nT )eiw(t+nT )dw

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

∫ wa/2

−wa/2eiw(t+nT )dw

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

∫ wa/2

−wa/2cos(w(t + nT ))dw, pois o seno é ímpar

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

[

sen (w(t + nT ))t + nT

]wa/2

−wa/2

=∞∑

n=−∞f(−nT )

2 sen(

wa

2(t + nT )

)

wa(t + nT )

Substituindo n por −n obtemos a expressão:

f(t) =∞∑

n=−∞f(nT )

2 sen(

wa

2(t − nT )

)

wa(t − nT ). (8.62)



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Capítulo 9

Equações diferenciais parciais

9.1 Equação do Calor

Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinita,dado pela equação de calor

∂u

∂t(x,t) = µ

∂2u

∂x2(x,t), x ∈ (−∞,∞), t > 0, (9.1a)

u(x,0) = f(x) (9.1b)

Tomando a transformada de Fourier desse problema na variável x, obtemos

∂(Fxu(x,t))∂t

= −µk2(Fxu(x,t))

Fxu(x,0) = Fxf(x),

onde se usou a propriedade 8.1.2 da transformada da derivada. Denotando Fxu(x,t) :=U(k,t), podemos escrever o problema de uma forma mais limpa:

∂U

∂t= −µk2U

U(k,0) = F (k),

Essa é uma equação que pode ser resolvida por vários métodos, entre eles separaçãode variáveis:

1U

∂U

∂t= −µk2

⇓ln(U) = −µk2t + C

⇓U = e−µk2t+C = Ke−µk2t

74

9.1. EQUAÇÃO DO CALOR 75

onde K = eC é uma constante de integração que é calculada com a condição inicial:

U(k,0) = Ke−µk2·0 = F (k) ⇒ K = F (k), (9.2)

Logo,U(k,t) = Fxu(x,t) = F (k)e−µk2t. (9.3)

Agora, precisamos calcular a transformada inversa de U(k,t) para obter a soluçãou(x,t) do problema original. O resultado do exercício 6.2.4 da página 45, temosque

F−1k e−k2 =

12√

πe− x2

4 (9.4)

Usando a propriedade de mudança de escala 8.1.11 com a =√

µt, temos

F−1k e−µtk2 = F−1

k e−(√

µtk)2 =1

2√

π

1√µt

e− (x/√

µt)2

4 (9.5)

ou seja,

F−1k e−µtk2 =

1√4πµt

e− x2

4µt . (9.6)

Aplicando esse resultado juntamente com o teorema da convolução descrito napropriedade 8.1.7 na equação (9.3), obtemos

u(x,t) =1√

4πµt

∫ ∞

−∞f(y)e− (x−y)2

4µt dy. (9.7)

Exemplo 9.1.1. Considere o caso particular da equação do calor (9.1) onde

f(x) =

u0, |x| ≤ 1

0, |x| > 1.(9.8)

Então,

u(x,t) =u0√4πµt

∫ 1

−1e− (x−y)2

4µt dy.

Fazendo a mudança de variável z = y−x2√

µte definindo z1 = −1−x

2√

µte z2 = 1−x

2√

µt, temos:

u(x,t) =u02

√µt√

4πµt

∫ z2

z1

e−z2dz =

u0√π

∫ z2

z1

e−z2dz.

Essa expressão pode ser escrita da forma:

u(x,t) =u0√

π

∫ 0

z1

e−z2dz +

u0√π

∫ z2

0e−z2

dz

=u0√

π

∫ z2

0e−z2

dz − u0√π

∫ z1

0e−z2

dz

=u0

2erf (z2) − u0

2erf (z1),



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onde erf (z) é a função erro dada por

erf (x) =2√π

∫ x

0e−z2

dz (9.9)

Exemplo 9.1.2. Considere o fenômeno de difusão de sal ao longo de um cano longoe fino. Suponha que no tempo t = 0 uma quantidade Q de sal foi introduzida noponto x0. A equação que modela esse fenômeno é

∂ρ

∂t= µ

∂2ρ

∂x2, − ∞ < x < ∞, t > 0

ρ(x,0) =Q

Aδ(x − x0),

onde A é a área da seção transversal do cano e ρ(x,t) é a concentração de salno ponto x e tempo t. A solução desse problema é dada pela equação (9.7) comf(x) = Q

Aδ(x − x0):

ρ(x,t) =Q

A√

4πµt

∫ ∞

−∞δ(y − x0)e− (x−y)2

4µt dy.

Usando a propriedade da filtragem, temos:

ρ(x,t) =Q

A√

4πµte− (x−x0)2

4µt .

Exercícios

E 9.1.1. No exemplo 9.1.2, mostre que a solução satisfaz a condição inicial:

limt→0

u(x,t) =Q

Aδ(x − x0) (9.10)

e, como esperado, vale zero nos limites para infinito:

limx→±∞

u(x,t) = 0. (9.11)

9.2 Equação do calor com termo fonte

Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinitacom um termo fonte

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2+ f(x,t), x ∈ (−∞,∞), t > 0.

u(x,0) = 0



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9.2. EQUAÇÃO DO CALOR COM TERMO FONTE 77

Tomando a transformada de Fourier na variável x obtemos

∂Fxu(x,t)∂t

= −µk2(Fxu(x,t)) + Fxf(x,t)Fxu(x,0) = 0.

Denotando Fxu(x,t) := U(k,t), podemos escrever o problema de uma formamais limpa:

∂U

∂t= −µk2U + F

U(k,0) = 0.

Essa equação pode ser resolvida pelo método do fator integrante:

∂U

∂t+ µk2U = F

⇓

eµk2t ∂U

∂t+ eµk2tµk2U = eµk2tF

⇓∂

∂t

(

Ueµk2t)

= eµk2tF

⇓U(k,t)eµk2t − U(k,0)eµk2·0 =

∫ t

0eµk2τ F (k,τ)dτ

⇓U(k,t) = e−µk2t

∫ t

0eµk2τ F (k,τ)dτ

ou seja,

U(k,t) = Fxu(x,t) =∫ t

0e−µ(t−τ)k2

F (k,τ)dτ.

Agora, precisamos obter a solução do problema original u(x,t), que é a transfor-mada inversa de U(k,t). Usando a equação (9.6), temos que

F−1k e−µ(t−τ)k2 =

1√

4πµ(t − τ)e− x2

4µ(t−τ) .



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Usando o teorema da convolução dado na propriedade 8.1.7, temos

u(x,t) =∫ t

0

(

F−1k

e−µk2(t−τ)

∗ f(x,τ))

dτ

=∫ t

0

1

√

4πµ(t − τ)e− x2

4µ(t−τ)

∗ f(x,τ)

dτ

=1√4πµ

∫ t

0

1

√

(t − τ)

∫ ∞

−∞e− (x−y)2

4µ(t−τ) f(y,τ)dy

dτ.

Exercícios

E 9.2.1. Um fluido se desloca em um tubo termicamente isolado com veloci-dade constante v de forma que a evolução da temperatura u(x,t) como uma funçãoda coordenada x e do tempo é descrita pelo seguinte modelo simplificado:

ut − vux − uxx = 0. (9.13)

Sabendo que no instante t = 0, a temperatura foi bruscamente aquecida em umaregião muito pequena, de forma que podemos considerar

u(x,0) = 500δ(x). (9.14)

Use a técnica das transformadas de Fourier para obter a solução desta equaçãodiferencial quando v = 1m/s.

9.3 Equação da Onda

Considere a equação da onda dada por

1c2

∂2y

∂t2=

∂2y

∂x2, − ∞ < x < ∞, t > 0

y(x,0) = f(x)∂y

∂t(x,0) = g(x).

Usando a notação

Y (k,t) = Fy(x,t)Y (k,0) = Ff(x)dY

dt(k,0) = Fg(x).



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9.3. EQUAÇÃO DA ONDA 79

e tomando a transformada de Fourier da equação, temos

d2Y

dt2(k,t) + c2k2Y (k,t) = 0

Y (k,0) = Ff(x) = F (k)dY

dt(k,0) = Fg(x) = G(k).

A solução desse problema é dada em termos de senos e cossenos:

Y = A cos(ckt) + B sen (ckt). (9.21)

Impondo as condições de contorno, temos:

Y (0) = A = F (k)

Y ′(0) = ckB = G(k).

ou seja, A = F (k) e B = G(k)ck

. Portanto,

Y = F (k) cos(ckt) +G(k)

cksen (ckt).

ou

Y =12

F (k)(eickt + e−ickt) +G(k)2ick

(eickt − e−ickt).

Tomando a transformada de Fourier inversa obtemos

y(x,t) =12

( 12π

∫ ∞

−∞F (k)(eik(x+ct) + eik(x−ct))dk

)

+

+12c

(

12π

∫ ∞

−∞

G(k)ik

(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk

)

.

Sabemos que

f(x ± ct) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k)eik(x±ct)dk,

g(x) =1

2π

∫ ∞

−∞G(k)eikxdk

e∫ x+ct

x−ctg(η)dη =

12π

∫ ∞

−∞

G(k)ik

(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk.

Portanto,

y(x,t) =12

(f(x + ct) + f(x − ct)) +12c

∫ x+ct

x−ctg(η)dη.



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Exercícios

E 9.3.1. Enconte a solução da equação da onda dada

∂2y

∂t2=

∂2y

∂x2, − ∞ < x < ∞, t > 0

y(x,0) = f(x)∂y

∂t(x,0) = g(x).

a) Dados f(x) = e−|x| e g(x) = 0.

b) Dados f(x) = e−3|x| e g(x) = e−x2.

9.4 Vibrações livres transversais

Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinitagovernada por

∂4y

∂x4+

1a2

∂2y

∂t2= 0, t > 0, x ∈ (−∞,∞)

y(x,0) = f(x)∂y

∂t(x,0) = ag′′(x).

Tomando a transformada de Fourier e pondo Y (k,t) = Fy(x,t), obtemos

∂2Y

∂t2+ k4a2Y = 0

Y (0) = Ff = F (k)∂Y

∂t(0) = −ak2G(k).

tendo a solução

Y (k,t) = F (k) cos(ak2t) − G(k) sen (ak2t).

Tomando a transformada inversa de Fourier

y(k,t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k) cos(ak2t)eikxdk − 1

2π

∫ ∞

−∞G(k) sen (ak2t)eikxdk.



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9.4. VIBRAÇÕES LIVRES TRANSVERSAIS 81

Usando o fato que,∫ ∞

−∞e−k2aeikxdk =

√π√a

e− x2

4a

e1

(ai)12

=1√a

e−i 14 π,

trocamos a por ai para obter

12π

∫ ∞

−∞(cos(ak2t) − i sen (ak2t))eikxdk =

12√

πae

i

(x2

4a− π

4

)

.

Tomando as partes real e imaginária nesta equação obtemos que

12π

∫ ∞

−∞cos(ak2)eikxdk =

√2

4√

πa

(

cos

(

x2

4a

)

+ sen

(

x2

4a

))

e1

2π

∫ ∞

−∞sen (ak2)eikxdk =

√2

4√

πa

(

cos

(

x2

4a

)

− sen

(

x2

4a

))

.

Utilizando o resultado sobre convoluções dado na propriedade 8.1.7, obtemos que

12π

∫ ∞

−∞F (k) cos(ak2t)eikxdk =

√2

4√

πat

∫ ∞

−∞f(x − y)

[

cos

(

y2

4at

)

+ sen

(

y2

4at

)]

dy

e

12π

∫ ∞

−∞G(k) sen (ak2t)eikxdk =

√2

4√

πat

∫ ∞

−∞g(x − y)

[

cos

(

y2

4at

)

− sen

(

y2

4at

)]

dy

ou seja,

y(x,t) =1

2√

2πat

∫ ∞

−∞f(x − y)

(

cos

(

y2

4at

)

+ sen

(

y2

4at

))

dy −

− 1

2√

2πat

∫ ∞

−∞g(x − y)

(

cos

(

y2

4at

)

− sen

(

y2

4at

))

dy.

Escrevendo u2 =y2

4at, obtemos:

y(x,t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x − 2ua

12 t

12 )(

cos(u2) + sen (u2))

du −

− 1√2π

∫ ∞

−∞g(x − 2ua

12 t

12 )(

sen (u2) − cos(u2))

du.



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Exercícios

E 9.4.1. Considere uma viga infinita repousada sobre um suporte elástico ey(x) seu deslocamento vertical em cada ponto x. Suponha que o suporte exerceuma força de reação proporcional ao deslocamento y(x) e que a viga é carregadaem x = 0 por um força concentrada P δ(x). A equação que modela o fenômeno édada por:

EId4y

dx4= P δ(x) − Cy(x), − ∞ < x < ∞, (9.22)

onde C é uma constante de proporcionalidade relacionada ao suporte, E é o módulode Young e I é o momento de inércia da viga. Calcule o deslocamento y(x) daviga.



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Apêndice A

Tabelas

Tabela de integrais definidas, ver [?]):

1.∫ ∞

0e−ax cos(mx)dx =

a

a2 + m2(a > 0)

2.∫ ∞

0e−ax sen (mx)dx =

m

a2 + m2(a > 0)

3.∫ ∞

0

cos(mx)a2 + x2

dx =π

2ae−ma (a > 0, m ≥ 0)

4.∫ ∞

0

x sen (mx)a2 + x2

dx =π

2e−ma (a ≥ 0, m > 0)

5.∫ ∞

0

sen (mx) cos(nx)x

dx =

π2, n < m

π4, n = m, (m > 0, n > 0)

0, n > m

6.∫ ∞

0

sen (mx)x

dx =

π2, m > 0

0, m = 0

−π2, m < 0

7.∫ ∞

0e−r2x2

dx =√

π

2r(r > 0)

8.∫ ∞

0e−a2x2

cos(mx)dx =√

π

2ae− m2

4a2 (a > 0)

9.∫ ∞

0xe−ax sen (mx)dx =

2am

(a2 + m2)2(a > 0)

10.∫ ∞

0e−ax sen (mx) cos(nx)dx =

m(a2 + m2 − n2)(a2 + (m − n)2)(a2 + (m + n)2)

(a > 0)

11.∫ ∞

0xe−ax cos(mx)dx =

a2 − m2

(a2 + m2)2(a > 0)

83


12.∫ ∞

0

cos(mx)x4 + 4a4

dx =π

8a3e−ma(sen (ma) + cos(ma))

13.∫ ∞

0

sen 2(mx)x2

dx = |m|π2

14. erf (x) =2√π

∫ x

0e−z2

dz

15.∫ ∞

0

sen 2(ax) sen (mx)x

dx =

π4, (0 < m < 2a)

π8, (0 < 2a = m)

0, (0 < 2a < m)

16.∫ ∞

0

sen (mx) sen (nx)x2

dx =

πm2

, (0 < m ≤ n)

πn2

, (0 < n ≤ m)

17.∫ ∞

0x2e−ax sen (mx)dx =

2m(3a2 − m2)(a2 + m2)3

(a > 0)

18.∫ ∞

0x2e−ax cos(mx)dx =

2a(a2 − 3m2)(a2 + m2)3

(a > 0)

19.∫ ∞

0

cos(mx)(a2 + x2)2

dx =π

4a3(1 + ma)e−ma

(a > 0,

m ≥ 0)

20.∫ ∞

0

x sen (mx)(a2 + x2)2

dx =πm

4ae−ma (a > 0, m > 0)

21.∫ ∞

0

x2 cos(mx)(a2 + x2)2

dx =π

4a(1 − ma)e−ma

(a > 0,

m ≥ 0)

22.∫ ∞

0xe−a2x2

sen (mx)dx =m

√π

4a3e− m2

4a2 (a > 0)



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85

Dó 2 - Si 2

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 65,41 15289

Dó ♯ 69,30 14431

Ré 73,42 13621

Ré ♯ 77,78 12856

Mi 82,41 12135

Fá 87,31 11454

Fá ♯ 92,50 10811

Sol 98,00 10204

Sol ♯ 103,8 9631

Lá 110,0 9091

Lá ♯ 116,5 8581

Si 123,5 8099

Dó 3 - Si 3

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 130,8 7645

Dó ♯ 138,6 7215

Ré 146,8 6810

Ré ♯ 155,6 6428

Mi 164,8 6067

Fá 174,6 5727

Fá ♯ 185,0 5405

Sol 196,0 5102

Sol ♯ 207,7 4816

Lá 220,0 4545

Lá ♯ 233,1 4290

Si 246,9 4050

Dó 4 - Si 4

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 261,6 3822

Dó ♯ 277,2 3608

Ré 293,7 3405

Ré ♯ 311,1 3214

Mi 329,6 3034

Fá 349,2 2863

Fá ♯ 370,0 2703

Sol 392,0 2551

Sol ♯ 415,3 2408

Lá 440,0 2273

Lá ♯ 466,2 2145

Si 493,9 2025

Dó 5 - Si 5

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 523,3 1911

Dó ♯ 554,4 1804

Ré 587,3 1703

Ré ♯ 622,3 1607

Mi 659,3 1517

Fá 698,5 1432

Fá ♯ 740,0 1351

Sol 784,0 1276

Sol ♯ 830,6 1204

Lá 880,0 1136

Lá ♯ 932,3 1073

Si 987,8 1012

Dó 6 - Si 6

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 1047 955,6

Dó ♯ 1109 901,9

Ré 1175 851,3

Ré ♯ 1245 803,5

Mi 1319 758,4

Fá 1397 715,9

Fá ♯ 1480 675,7

Sol 1568 637,8

Sol ♯ 1661 602,0

Lá 1760 568,2

Lá ♯ 1865 536,3

Si 1976 506,2

Dó 7 - Si 7

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 2093 477,8

Dó ♯ 2217 451,0

Ré 2349 425,7

Ré ♯ 2489 401,8

Mi 2637 379,2

Fá 2794 357,9

Fá ♯ 2960 337,8

Sol 3136 318,9

Sol ♯ 3322 301,0

Lá 3520 284,1

Lá ♯ 3729 268,1

Si 3951 253,1

Tabela A.1: Tabela de notas musicais



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Resposta dos Exercícios

Recomendamos ao leitor o uso criterioso das respostas aqui apresentadas. De-vido a ainda muito constante atualização do livro, as respostas podem conterimprecisões e erros.

E 2.1.1. A =√

B2 + C2 e θ satisfaz simultaneamente cos(θ) = B√B2+C2

e sen (θ) = C√B2+C2

.

E 2.1.2.

a) A = 5, θ = ϕ

b) A = 5, θ = 2π − ϕ

c) A = 5, θ = π − ϕ

d) A = 5, θ = π + ϕ

e) A = 1, θ = π2

f) A = 2, θ = 0

g) A = 2. θ = π

onde ϕ = cos−1(

35

)= sen −1

(45

)= tan−1

(43

)≈ 0.9272952rad

E 2.1.4.

a) π se n > 0 e 0 se n = 0.

b) 0.

c) π de n > 0 e 2π se n = 0.

d) 0

e) 0

E 2.2.1.

a)√

13eiθ , θ = tan−1(

32

)

b)√

13eiθ , θ = π − tan−1(

32

)

c) 5eiθ , θ = 2π − tan−1(

43

)

86

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 87

d) 5eiθ , θ = π + tan−1(

43

)

e) 4(

4e0)

f) 5ei π

2

f) 5eiπ

g) 4ei 3π

2

E 2.2.2.

a) −1

b) −e2

c) 4

d) 2e−1i

e) 2√

2 (1 − i)

f) 5√

22

(1 + i)

E 2.2.3.

a) 15 − 6i

b)(

ei π

4

)3= e

i 3π4 = −

√2

2+ i

√2

2

c) −5−i2

d) 3 − i

e) 3i2−i3

2i−1= −3+i

2i−1= 1 + i

E 2.2.8.

a) cos(

π12

)+ i sen

(π12

)

b) cos(

3π4

)+ i sen

(3π4

)

E 2.2.11.

b) e−ix = cos(−x) + i sen (−x) = e−ix = cos(x) − i sen (x)

c) |eiθ | = | cos(x) + i sen (x)| =√

cos2(θ) + sen 2(θ) = 1

d) eiθ = cos(x) + i sen (x) = cos(x) − i sen (x) = e−iθ .

e) |ez | = |eRe (z)eIm (z)| = |eRe (z)| |eIm (z)| = eRe (z)., pois ex > 0 para todo x real.

f) Considere eix + e−ix.

g) Considere eix − e−ix.



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88 Cálculo Numérico

E 3.1.1. São verdadeiras: 4, 7, 8,9,10,11,12 e 13.

E 3.1.2. São pares: 1,2,5,7, 8 e 10. É ímpar: 9. São periódicas: 2,3,5,6,7,8, 9 e 10.

E 3.1.3. A condição é∫ T

0f(τ)dτ = 0. Lembre-se que você deve verificar que esta condição é necessária e suficiente.

E 3.1.4. π, 2π, π, 1, 2, 1, 1, 3

E 3.2.1.

a0

2=

1

T

∫ T /2

−T /2

f(t)dt =1

T

∫ d/2

−d/2

dt =d

T

an =2

T

∫ T /2

−T /2

f(t) cos(wnt)dt =2

T

∫ d/2

−d/2

cos(wnt)dt =2

T

sen (wnt)

wn

∣∣∣

d/2

−d/2

=4

wnTsen (wnd/2)

Como wn = 2πnT

, temos an = 2πn

sen(

πn dT

)e, portanto

f(t) =d

T+

∞∑

n=1

an cos(wnt) =d

T+

2

π

∞∑

n=1

1

nsen

(πnd

T

)

cos(wnt) (3.32)

E 3.2.2. Dica: Lembre que sen (x) = eix−e−ix

2i

E 3.2.3. bn = 4T

∫d/2

0t sen (wnt)dt =

T sen

(πdn

T

)−dnπ cos

(πdn

T

)

π2n2

E 3.2.4.

a) f(t) = 2π

− 4π

∑∞n=1

cos(2nπt)

4n2−1

1

1 2 3 4−1

y = f(t)

t

b) g(t) = 1T

+ 2T

∑∞n=1

cos(

2πnT

t)

1

y = g(t)

t

−T T 2T 3T



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E 3.2.5.

h(t) = f

(1

2− t

)

=2

π−

4

π

∞∑

n=1

cos (nπ − 2nπt)

4n2 − 1=

2

π−

4

π

∞∑

n=1

(−1)n cos (2nπt)

4n2 − 1

E 4.3.1.

a) Observe que

sen (t) =1

2i

(e

it − e−it)

=i

2e

−it −i

2e

it (4.21)

e a frequência angular fundamental é wF = 1. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

1

2

1 2 3−1−2−3

|Cn|

w

1 2 3−1−2−3

φn

wn

π

−π

b) Observe que

3 cos(πt) =3

2

(e

iπt + e−iπt)

=3

2e

−iπt +3

2e

iπt (4.22)

e a frequência angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

1

2|Cn|

w−2π −π π 2π



[email protected]


φn

wn

π

−π

−2π −π π 2π

c) Observe que

1 + 4 cos(πt) = 1 + 2(

eiπt + e

−iπt)

= 1 + 2e−iπt + 2e

iπt (4.23)

e a frequência angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

1

2|Cn|

−2π −π π 2πφn

wn

π

−π

−2π −π π 2π

d) Observe que

2 cos2(2πt) = 2

(e2iπt + e−2iπt

2

)2

=e−4iπt + 2 + e4iπt

2=

1

2e

−4iπt + 1 +1

2e

4iπt (4.24)

e a frequência angular fundamental é wF = 4π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

1

|Cn|

−4π −2π 2π 4π



[email protected]


φn

wn

π

−π

−4π −2π 2π 4π

e) Observe que

8 sen 3(2πt) + 2 cos(6πt) = 8

(e2iπt − e−2iπt

2i

)3

+ 2

(e6iπt + e−6iπt

2

)

= (i + 1)e6iπt − 3ie

2iπt + 3ie−2iπt + (1 − i)e

−6iπt

=√

2eπ4

ie

6iπt + 3e− π

2ie

2iπt + 3eπ2

ie

−2iπt +√

2e− π

4ie

−6iπt

e a frequência angular fundamental é wF = 2π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

1

2

3|Cn|

−6π −4π −2π 2π 4π 6πφn

wn

π

−π

−6π

−4π −2π

2π

4π 6π

f) Observe que

sen (2πt) + cos(3πt) =

(e2iπt − e−2iπt

2i

)

+

(e3iπt + e−3iπt

2

)

= −i

2e

2iπt +i

2e

−2iπt +1

2e

3iπt +1

2e

−3iπt

e a frequência angular fundamental é wF = π (ver exercício 3.1.4 na página 16). Veja os diagramas de espectro na figura



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abaixo.

1|Cn|

wn−3π −2π −π π 2π 3π

φn

wn

π

−π

−3π

−2π −π

π

2π 3π

E 4.3.2.

a) Observe que f(t) já está na forma exponencial e a frequência fundamental é wF = π. Também temos:

n ωn |Cn| φn

−5 −5π 1(−5)2+1

= 126

0

−4 −4π 1(−4)2+1

= 117

0

−3 −3π 1(−3)2+1

= 110

0

−2 −2π 1(−2)2+1

= 15

0

−1 −π 1(−1)2+1

= 12

0

0 0 1(0)2+1

= 1 0

1 1π 112+1

= 12

0

2 2π 122+1

= 15

0

3 3π 132+1

= 110

0

4 4π 142+1

= 117

0

5 5π 152+1

= 126

0

(4.25)

Veja o diagrama de amplitude na figura abaixo.

1|Cn|

w−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π

b) Começamos escrevendo a função f(t) =∑∞

n=1

sen (nt)

n2 na forma exponencial:

∞∑

n=1

sen (nt)

n2=

∞∑

n=1

1

n2

(eint − e−int

2i

)

=

∞∑

n=1

1

2in2e

int +

∞∑

n=1

(

−1

2in2e

−int

)

=

∞∑

n=1

(

−i

2n2e

int

)

+

−∞∑

n=−1

i

2n2e

int.



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A frequência angular fundamental é wF = 1 e as amplitudes e fases são dados na tabela abaixo.

ωn = n |Cn| φn

−5 150

π2

−4 132

π2

−3 118

π2

−2 18

π2

−1 12

π2

0 0 −1 1

2− π

2

2 18

− π2

3 118

− π2

4 132

− π2

5 150

− π2

(4.26)

Veja os diagramas de espectro na figura abaixo. 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

|Cn|

wn

1

2

φn

wn

1 2 3 4 5

−1−2−3−4−5

π

−π

E 4.3.3.

a) Problema 3.2.4 item a:

f(t) =2

π−

4

π

∞∑

n=1

cos(2nπt)

4n2 − 1

=2

π−

4

π

∞∑

n=1

1

4n2 − 1

(e2nπit + e−2nπit

2

)

=2

π−

∞∑

n=1

2

π(4n2 − 1)e

2nπit −

−∞∑

n=−1

2

π(4n2 − 1)e

2nπit



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Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

|Cn|

wn

2

π

2π 4π 6π−2π−4π−6π

−2π−4π−6π

π

−π

b) Problema 3.2.5 item

h(t) =2

π−

4

π

∞∑

n=1

(−1)n cos(2nπt)

4n2 − 1

=2

π−

4

π

∞∑

n=1

(−1)n

4n2 − 1

(e2nπit + e−2nπit

2

)

=2

π−

∞∑

n=1

2(−1)n

π(4n2 − 1)e

2nπit −

−∞∑

n=−1

2(−1)n

π(4n2 − 1)e

2nπit

Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.

|Cn|

wn

2

π

2π 4π 6π−2π−4π−6π

−2π−4π−6π

π

−π

E 6.2.1.

1

1 2 3

y = f(t)

t



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F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞

f(t)e−iwt

dt

=

∫ ∞

0

e−at

e−iwt

dt

=

∫ ∞

0

e−at (cos(wt) − i sen (wt)) dt

=a

a2 + w2−

iw

a2 + w2

onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.

E 6.2.2.

1

1 2 3−1−2−3

y = f(t)

t

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞

f(t)e−iwt

dt

=

∫ ∞

−∞

e−at2

e−iwt

dt

=

∫ ∞

−∞

e−at2

(cos(wt) − i sen (wt)) dt

= 2

∫ ∞

0

e−at2

cos(wt)dt

=

√π

√a

e− w2

4a

onde se usou o item 8 da tabela A.

E 6.2.3. f(t) = 1π

cos(w0t)

E 6.2.4. f(x) = 12

√π

e− x2

4

E 6.2.8.



[email protected]


F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞

f(t)e−iwt

dt

=

∫ ∞

−∞

[∞∑

j=0

δ(t − j)e−j

]

e−iwt

dt

=

∞∑

j=0

∫ ∞

−∞

δ(t − j)e−j

e−iwt

dt

=

∞∑

j=0

e−j

e−iwj =

∞∑

j=0

e−(1+iw)j

=1

1 − e−(1+iw)=

1

1 − e−1 (cos(w) − i sen (w))

=1

1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)

=1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)(

1 − e−1 cos(w))2

+ e−2 sen 2(w)

=1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)

1 − 2e−1 cos(w) + e−2

E 7.2.1.

F (w) =

∫ ∞

−∞

te−t2

e−iwt

dt = −2i

∫ ∞

0

te−t2

sen (wt)dt

= −2i

[

−e−t2

2sen (wt)

]∞

0

+ 2i

∫ ∞

0

(

−e−t2

2

)

w cos(wt)dt

= −iw

∫ ∞

0

e−t2

cos(wt)dt

= −iw

√π

2e

− w2

4 = |F (w)|eiφ(w)

onde

|F (w)| = |w|√

π

2e

− w2

4 e φ(w) =

− π

2, w > 0,

π2

, w < 0.

Veja o diagrama de espectro na figura abaixo.



[email protected]


1

|F (w)|

w

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

φ(w)

w

π

2

−π

2

E 8.1.2.Ver figura abaixo.

|F (w)|

w

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

φ(w)

w

π

−π

E 8.1.5.



[email protected]


a)

F g(t) = F f(t − a) = F f(t) e−iaw

|F g(t)| = |F (w)| |e−iaw | = |F (w)|

Onde se usou a propriedade 8.1.4 Logo o diagrama de magnitude é o mesmo do de f(t).

b)

F g(t) = F f(2t) =1

2F

(w

2

)

|F g(t)| =1

2

∣∣∣F

(w

2

)∣∣∣ .

Onde se usou a propriedade 8.1.11.

5

10

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

c)

F g(t) = F f(−t) = F (−w)

|F g(t)| = |F (−w)| =∣∣F (w)

∣∣ = |F (w)| .

Onde se usou a propriedade 8.1.9 e, depois, 8.1.8.

10

20

30

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

d)

F g(t) = F 3f(t) = 3F (w)

|F g(t)| = 3 |F (w)| .

Onde se usou a propriedade 8.1.1.

e)

F g(t) = F f(t) cos(1000t)

=1

2[F (w − 1000) + F (w + 1000)]

5

10

500 1000−500−1000−1500

|G(w)|

w



[email protected]


f)

F g(t) = F

f(t) cos2(1000t)

= F

f(t)(1 + cos(2000t))

2

=1

2F (w) +

1

4[F (w − 2000) + F (w + 2000)]

2.5

5.0

500 1000 1500 2000−500−1000−1500−2000−2500

|G(w)|

w

g)

F g(t) = F f(t) sen (1000t)

=i

2[F (w + 1000) − F (w − 1000)]

Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

h)

g(t) = f(t)| sen (1000x)| = f(t)

[2

π−

4

π

(cos(2000x)

1 · 3+

cos(4000x)

3 · 5+

cos(6000x)

5 · 7+ · · ·

)]

(8.46)

Fg(t) =2

πF (w) −

2

3π(F (w + 2000) + F (w − 2000))

−2

15π(F (w + 4000) + F (w − 4000)) −

2

35π(F (w + 6000) + F (w − 6000)) + · · ·


5

2000 4000 6000−2000−4000−6000

|G(w)|

w

i) Usamos a propriedade 8.1.2 para obter

Fg(t) = iwF (w).


500

500 1000−500−1000

|G(w)|

w



[email protected]


j)

Fg(t) = Ff(t) ∗ f(t) = F (w)2

|G(w)| = |F (w)|2.

Onde se usou a propriedade da convolução 8.1.7. Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

25

50

75

100

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

k)

∫ ∞

−∞

f(t)2dt =

∫ ∞

−∞

|f(t)|2dt

=1

2π

∫ ∞

−∞

|F (w)|2dw

=1

π

∫ 250

0

10

(

1 −w

250

)2

dw

=100

π

∫0

1

u2 (−250) du

=25000

π

∫ 1

0

u2

du

=25000

π

[u3

3

]1

0

dw

=25000

3π

l)

∫ ∞

−∞

f(t)dt = F (0)

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞

f(t)dt

∣∣∣∣

= |F (0)| = 10

E 8.1.6.

a) 0

b) ff = 2070rad/s = 329.6Hz, equivalente à nota mi.

c) O diagrama é dada na figura abaixo.

25

50

75

100

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: [email protected]


[email protected]


d) Idêntico ao original.

e) Idêntico ao original.

f) Veja o diagrama abaixo.

25

50

75

100

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)g)

a =392

329.6= 1.19 (8.47)

E 8.1.7. Use o teorema da modulação. No caso c), considere h(t) = [u(t − 4) − u(t + 4)] cos(10t).

E 8.1.8.

a) wf = 220π rad/s e ff = 110 Hz, equivalente ao Lá da escala 1.

b) Mi da escala 2.

c) Lá da escala 1.

d) Lá da escala 2.

e) Lá da escala 1. Percebe-se alteração na composição harmônica da nota, isto é, identicamos como uma alteração de timbre.

E 9.1.1.

limt→0

u(x,t) =Q

Alim

t→0

1√

4πµte

− (x−x0)2

4µt

=

0, x 6= x0

∞, x = x0

Como,

∫ ∞

−∞

1√

4πµte

− (x−x0)2

4µt dx =2

√4πµt

∫ ∞

0

e− x2

4µt dx

=2

√4πµt

√π

√4µt

2= 1,

onde se usou item 8 da tabela de integrais A com a = 1√4µt

, então

limt→0

u(x,t) =Q

Aδ(x − x0) (9.12)



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E 9.2.1. Aplicamos a transforma de Fourier na variável x, obtemos a seguinte expressão para a equação transformada

Ut(k,t) − v(ik)U(k,t) − (ik)2U(k,t) = 0 (9.15)

onde foi usada a propriedade da derivada. A condição inicial se torna:

U(k,0) = 500

∫ ∞

−∞

δ(x)e−ikx = 500 (9.16)

Portanto temos o seguinte problema de valor inicial:

Ut(k,t) = (−k2 + ivk)U(k,t) (9.17)

U(k,0) = 500 (9.18)

cuja solução é

U(k,t) = 500e(−k2 +ivk)t = 500e

ivkte

−k2t (9.19)

A multiplicação por eivtk indica um deslocamento no eixo x. Logo precisamos calcular:

F−1x

e−k2t

=1

2π

∫ ∞

−∞

e−k2t

eikx

dk =1

π

∫ ∞

0

e−k2t cos(ikx)dk

=1

π

√π

2√

te

− x2

4t =1

2√

πte

− x2

4t

Portanto

u(x,t) =250√

πte

− (x+vt)2

4t =250√

πte

− (x+t)2

4t (9.20)

E 9.3.1.

a)

y(x,t) =1

2

(e

−|x+t| + e−|x−t|

).

b)

y(x,t) =1

2

(e

−3|x+t| + e−3|x−t|

)+

1

2

∫x+t

x−t

e−η2

dη.

E 9.4.1.

y(x) =P

EI

√2

8a3e

−ax sen

(

ax +π

4

)

,

onde a =(

C4EI

) 14 .



[email protected]

Referências Bibliográficas

[1] I. Strauch. Análise de Fourier em 9 aulas. Notas de aula, Porto Alegre, 2006.

[2] D. G. Zill. Equações Diferenciais. CENGAGE Learning, São Paulo, 2012.

103

análise de fourier - ufrgs.br · estamos escrevendo este livro de forma colaborativa desde 2011 e,...

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