anÁlise da influÊncia da funÇÃo de mutaÇÃo do...
TRANSCRIPT
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FUNÇÃO
DE MUTAÇÃO DO ALGORITMO
GENÉTICO NA SOLUÇÃO DE UM
PROBLEMA MULTIOBJETIVO
Taynara Incerti de Paula (UNIFEI)
Patricia Agnes Pereira da Silva (UNIFEI)
Jose Henrique de Freitas Gomes (UNIFEI)
DANIELLE MARTINS DUARTE COSTA (IFSULDEMINA)
Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI)
Este artigo aborda a complexidade de problemas de otimização
multiobjetivo. A complexidade do problema de otimização
multiobjetivo pode aumentar dependendo da distribuição de pesos
atribuída às funções objetivo originais. Logo, pressupõe-se que os
parâmetros do algoritmo utilizado para a solução deste problema de
otimização devam ser adequados para uma tarefa mais complexa.O
método proposto por este trabalho visa avaliar a influência da função
de mutação utilizada pelo Algoritmo Genético na solução do problema
multiobjetivo e determinar qual das funções testadas oferece os
melhores resultados. O método proposto neste trabalho será aplicado
ao processo de soldagem com arame tubular no revestimento de
chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço inoxidável
austenítico ABNT 316L, onde as características de qualidade do
processo constituem um problema de otimização multiobjetivo.
Palavras-chave: Otimização Multiobjetivo, Algoritmo Genético,
arranjo de misturas
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
2
1. Introdução
Uma grande variedade de problemas de engenharia, entre outras áreas, envolvem
problemas de otimização multiobjetivo. A complexidade deste tipo de problema leva vários
pesquisadores a desenvolver métodos e algoritmos que permitam que estes problemas sejam
solucionados de maneira correta.
Este artigo aborda a complexidade de problemas de otimização multiobjetivo, em
relação à determinação dos pesos aplicados às funções objetivo e a interação que pode haver
entre os pesos e os parâmetros do algoritmo utilizado na solução deste problema. O objetivo
deste trabalho é avaliar a influência da função de mutação do algoritmo genético no resultado
obtido na otimização de um processo de soldagem de revestimento, onde as características de
qualidade do processo constituem um problema de otimização multiobjetivo.
O artigo está estruturado da seguinte forma: Seção 2 apresenta uma visão geral de
Otimização Multiobjetivo e o Método do Critério Global, método de otimização que será
utilizado neste trabalho. Seção 3 apresenta os conceitos fundamentais de Algoritmos
Genéticos, como o algoritmo funciona e apresenta alguns operadores e parâmetros genéticos.
Seção 4 apresenta uma introdução sobre planejamento de experimentos e arranjo de misturas,
principal técnica utilizada neste trabalho. Seção 5 apresenta o método proposto. Já a seção 6
apresenta a aplicação do método proposto em um processo de soldagem de revestimento,
apresentando e discutindo os resultados. Finalmente, a seção 7 apresenta as conclusões finais
desta pesquisa.
2. Otimização Multiobjetivo
Um problema de otimização multiobjetivo é aquele em que se deseja a otimização de
múltiplas características, que são situações comuns à maioria dos processos industriais. Para
Baril et al. (2011), o problema de otimização multiobjetivo consiste em determinar o vetor de
variáveis de decisão x = {x1, x2, ..., xn} que otimiza o vetor de funções objetivo F(x) = {f1(x),
f2(x), ..., fm(x)}, dentro de uma região de solução viável. O problema multiobjetivo pode ser
formulado da seguinte maneira:
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
3
maxmin
21
,,2,1 ,0)(
,,2,1 ,0)( :a. s.
)(, ),(),()(
xxx
x
x
xxxx
qjg
pih
fffFMin
j
i
m
(1)
Onde hi (x) são restrições de igualdade, gj (x) são restrições de desigualdade e xmin
e
xmax
são, respectivamente, os limites mínimo e máximo para o vetor das variáveis de decisão.
O principal objetivo da otimização multiobjetivo é encontrar um conjunto de soluções
(denominadas Pareto-ótimas), que minimize todas as funções simultaneamente. Inúmeros
métodos para otimização multiobjetivo podem ser encontrados na literatura. Dentre esses
métodos está o Método do Critério Global, definido por Rao (2009).
O Método do Critério Global (MCG) é uma técnica de programação de múltiplos
objetivos que utiliza a estratégia de “aglutinação”, considerando alvo e o escalonamento das
funções objetivo individuais. A função global G(x) pode ser escrita como:
qjg
xfxf
xfxfwGMin
j
p
i ii
iii
,,2,1 ,0)( :a. s.
)()(
)()()(
2
1*max
*
x
x (2)
Onde )( *xfi é o valor alvo estabelecido em função da otimização individual de cada
função objetivo e max)(xf i é o valor que mais se distancia de )( *xfi .
A estratégia de aglutinação fica clara quando os desvios relativos das funções objetivo
são combinados para compor a função global G(x). Além disso, o escalonamento dos mesmos
desvios pelos alvos faz com que respostas de unidades e magnitudes diferentes possam ser
tratadas num mesmo problema. Estas características fazem do MCG uma técnica eficiente e,
portanto, aplicável a diferentes tipos de processos (GOMES, 2013).
3. Algoritmo Genético
O algoritmo genético (AG) foi inicialmente proposto por Holland (1975), inspirando-
se no mecanismo da evolução das espécies, tendo como base os trabalhos de Darwin sobre a
origem das espécies e a genética natural devida principalmente a Mendel (FRAILE-
ARDANUY e ZUFIRIA, 2007; PINHO, 2008).
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
4
Através de um procedimento passo a passo, este algoritmo imita o processo de
evolução natural, baseando-se nos princípios de seleção e sobrevivência do mais apto.
Partindo de uma população de soluções ao invés de uma única solução, é então capaz de
encontrar ótimos globais para problemas de otimização restritos e irrestritos, assim como para
uma ou múltiplas funções objetivo (JIN e WONG, 2010; ZAIN et al., 2010; GOMES, 2013).
O Algoritmo Genético trabalha com uma coleção (população) de possíveis soluções.
Cada solução (cromossomo) é composta por valores aleatórios para cada uma das variáveis de
otimização (genes). O cromossomo é geramente codificado em séries binárias (0-1), apesar de
poderem ser representados por valores reais (COSTA et al., 2007).
O procedimento para identificação do ponto de ótimo ocorre em três estágios:
reprodução, crossover e mutação. A população aleatória inicial é avaliada em termos da
função objetivo de otimização. Se o melhor resultado não é obtido pela primeira avaliação,
pares dos melhores indivíduos são selecionados como “pais”. Estes pais são combinados,
criando uma nova geração de soluções (“filhos”) que substitui a primeira população
(GOMES, 2013).
A operação de crossover é responsável pela troca parcial dos genes dos pais, que gera
uma descendência criada a partir de uma seleção aleatória das informações genéticas,
enquanto a mutação consiste em uma mudança aleatória de 1 para 0 (ou vice-versa) do valor
binário do gene.
A cada nova solução x proposta pelo algoritmo, a função objetivo é avaliada e uma
ordem dos indivíduos mais aptos é estabelecida. Esta ordem é utilizada no processo de
seleção, que determina que os melhores indivíduos devam ser selecionados como pais,
semelhantemente ao princípio natural de sobrevivência do mais apto. Da mesma forma, a
ordem dos indivíduos é utilizada no procedimento de substituição para decidir quem, entre
pais e filhos, deve sobreviver para a próxima população (BUSACCA et al., 2001; ZAIN et al.,
2010).
A sequência de gerações populacionais é interrompida quando se atinge um dos
seguintes critérios de convergência: o número de gerações alcança o valor pré-estabelecido, o
tempo de processamento atinge o valor previsto, o fitness do indivíduo mais fraco atinge um
mínimo pré-estabelecido ou o fitness do indivíduo mais forte atinge um valor desejado
(GOMES, 2013). Nestas condições, chega-se ao ponto de ótimo.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
5
Goldberg (1989) afirma que, no AG, o operador de mutação, executa um papel
secundário, porém muito importante, possibilitando a restauração da diversidade do código
genético que foi eventualmente perdida durante a evolução (PINHO, 2008). Na figura X
pode-se ver um exemplo de funcionamento do operador de mutação.
Figura 1 - Etapa de mutação do Algoritmo Genético (GOMES, 2013)
Existem diferentes funções de mutação que podem ser utilizadas no AG, como as
funções uniforme, gaussiana, adaptive feasible e não uniforme. Neste trabalho testaremos
duas dessas funções, a gaussiana e a adaptive feasible.
A mutação gaussiana substitui todos os genes de um cromossomo, seguindo uma
distribuição Gaussiana, centrada em 0. A função adaptive feasible gera direções de busca
aleatórias, respeitando a última geração bem sucedida ou não. Um comprimento de passo é
escolhido ao longo de cada direção para que as restrições sejam satisfeitas.
4. Arranjo de Misturas
Planejamento de experimentos (DOE - Design of Experiments) é uma metodologia de
planejamento experimental que combina técnicas matemáticas e estatísticas para o
desenvolvimento de arranjos experimentais eficientes, balanceados e econômicos, a partir dos
quais, o experimentador pode inferir com elevado nível de confiança. Usado de maneira
concatenada com os métodos de otimização, o DOE permite a criação de funções objetivo e
restrições para diversos processos industriais, o que justifica sua grande utilização em
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
6
diversos processos, tais como: usinagem, soldagem, conformação, fabricação, metrologia,
desenvolvimento de produtos, metamodelagem, etc. Com relação aos tipos de arranjos
experimentais, os mais utilizados são os fatoriais (completos ou fracionados), os arranjos de
Taguchi, as superfícies de resposta e os arranjos de misturas.
Os arranjos de misturas fazem parte de uma classe especial de experimentos do tipo
superfície de resposta nos quais os fatores independentes são proporções de diferentes
componentes, e a otimização da propriedade desejada dependerá das proporções de cada
elemento no conjunto. A soma das diferentes proporções de cada componente deve sempre
totalizar uma unidade (ou 100%). A existência dessa característica torna necessário que os
experimentos de misturas sejam planejados e conduzidos através de arranjos específicos
(MONTGOMERY, 2009).
O sistema triangular de coordenadas permite que os relacionamentos entre os
componentes de uma mistura de três elementos sejam visualizados. Em uma mistura, os
componentes se restringem mutuamente, uma vez que a sua soma deve ser igual à unidade.
Este sistema, portanto, permite que os valores mínimos e máximos dos três elementos da
mistura (x1, x2 e x3) sejam mostrados.
Figura 2 – Configuração de um arranjo de Misturas
Os principais arranjos de misturas são: simplex-lattice, simplex-centroid, e extreme-
vertices. Cada qual, de acordo com suas peculiaridades, é adequado a uma situação
experimental. O Simplex-lattice design é o arranjo que será utilizado neste trabalho. A
principal característica deste tipo de design para mistura é que os pontos são distribuídos
uniformemente por toda a região compreendida pelo simplex. Um simplex-lattice para q
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
7
componentes está associado a um polinômio de grau m, e pode ser denotado como um
Simplex-Lattice Design {q, m}. As proporções para cada um dos q componentes assumem os
possíveis (m+1) valores igualmente espaçados entre 0 e 1, tal que: xi = 0, 1/m; 2/m; ... ;1.
Todas as possíveis combinações das proporções totalizam 1 e definem os pontos a serem
usados no design.
Este tipo de design é restrito por fronteiras, isto é, todos os pontos do design estão nas
faces da região simplex. Para se pesquisar o comportamento da mistura no interior da região
simplex, o design precisa ser incrementado com “pontos interiores”.
Quanto aos modelos matemáticos utilizados para a representação das respostas, verifica-
se que os modelos de misturas apresentam algumas diferenças em relação aos polinômios
empregados na Metodologia de Superfície de Resposta. Tais diferenças se devem à existência
da restrição 11
k
i
ix (GOMES, 2013). Dependendo do comportamento da resposta
analisada, o modelo pode ser linear, quadrático, cúbico ou quártico. A figura 3 representa a
configuração dos pontos do arranjo, se acordo com o grau do polinômio, também chamado de
grau lattice.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
8
Figura 3 - Configurações de arranjos de mistura
Existem algumas variações do experimento de misturas original. Em alguns problemas
de mistura, existem variáveis de processo em adição a mistura de componentes (MYERS,
R.H.; MONTGOMERY, D.C. e ANDERSON-COOK, 2009). Adicionar variáveis de
processo a um arranjo de misturas pode aumentar muito o escopo do esperimento, fornecendo
respostas sobre o que é afetado quando se faz alterações em uma ou mais variáveis do
processo, se o valor da resposta é afetado, se as propriedades da mistura muda e até mesmo se
essas variáveis podem alterar ou não a mistura ótima (CORNELL, 2011).
O tipo mais comum de arranjo de mistura combinado a variáveis de processo é um
arranjo comum de mistura configurado em cada ponto de um arranjo fatorial nos níveis das
variáveis de processo. O modelo mais completo deste arranjo combinado pode ser expresso
como o produto dos termos no modelo de componentes de mistura e os termos do modelo de
variáveis de processo (CORNELL, 2011).
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
9
5. Método proposto
A complexidade do problema de otimização multiobjetivo pode aumentar dependendo
da distribuição de pesos atribuída às funções objetivo originais. Logo, pressupõe-se que os
parâmetros do algoritmo utilizado para a solução deste problema de otimização devam ser
adequados para uma tarefa mais complexa. Este trabalho tem como proposta provar que pode
haver interação entre os pesos das funções objetivo e os parâmetros utilizados no algoritmo de
solução do problema, através da utilização de um arranjo de misturas combinado a variáveis
de processo.
O método proposto por este trabalho visa avaliar a influência da função de mutação
utilizada pelo Algoritmo Genético na solução do problema multiobjetivo e determinar qual
das funções testadas oferece os melhores resultados. Neste caso, a função de mutação será a
variável de processo. Para isso, a estratégia utilizada neste trabalho foi desenvolvida de acordo com
o seguinte procedimento, dividido em oito passos:
Figura 4 - Resumo da metodologia aplicada
No passo 1 as funções objetivo são modeladas através da metodologia de superfície de
resposta. No passo 2 o arranjo de misturas é definido para que os pesos das funções objetivo
sejam determinados. No passo 3 o problema de otimização multiobjetivo é definido aplicando
o Método do Critério Global, com as funções modeladas no passo 1 e os pesos determinados
no passo 2. No passo 4 é realizada a otimização da função definida no passo 3, alterando-se
os pesos e as funções de mutação como estabelecido no arranjo de misturas do passo 2, para
um determinado número de réplicas. No passo 5 é realizada uma análise de cluster para
determinar quais as réplicas apresentam maior similaridade. No passo 6 a função Erro
Percentual Global (EPG) é modelada, de maneira semelhante à modelagem das funções
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
10
objetivo. Por fim, no passo 8 é realizada a otimização final, onde são determinados os pesos
ótimos das funções objetivo e a função de mutação mais adequada para este problema
multiobjetivo. Avalia-se também o efeito da função de mutação sobre a função EPG
6. Aplicação do método proposto
O método proposto neste trabalho será aplicado ao processo de soldagem com arame
tubular no revestimento de chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço inoxidável
austenítico ABNT 316L, realizado por Gomes (2013). O trabalho em questão realizou o
planejamento de experimentos, a coleta de dados e a modelagem das funções objetivo deste
processo de soldagem de revestimento, através da metodologia de superfície de resposta. Os
parâmetros de soldagem selecionados como variáveis de entrada foram velocidade de
alimentação do arame (Va), tensão (T), velocidade de soldagem (Vs) e distância bico de
contato peça (N). As respostas analisadas incluíram a largura do cordão (W), penetração (P),
reforço (R) e diluição (D), que representam as características geométricas do cordão de
revestimento. Mais detalhes sobre o procedimento experimental podem ser encontrados em
Gomes (2013).
6.1 Modelagem das funções objetivo
As funções objetivo para a otimização das características dos revestimentos do processo
de soldagem foram determinadas levando-se em consideração o modelo de superfície de
resposta de segunda ordem, que quando escrita como função dos quatro parâmetros de
soldagem relacionados neste estudo, chega-se ao seguinte polinômio:
VsNTNTVsVaNVaVsVaT
NVsTVaNVsTVay
342423141312
2
44
2
33
2
22
2
1143210
(3)
A estimação dos coeficientes i, ii e ij foi realizada através do software estatístico
Minitab®, que utiliza, para esta finalidade, o método dos Mínimos Quadrados Ordinários
(OLS). Após estes cálculos, obtiveram-se os coeficientes indicados na Tabela 1, que
representam os modelos quadráticos completos desenvolvidos para as respostas.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
11
Tabela 1 - Coeficientes estimados para os modelos quadráticos completos
Coeficiente Respostas
W P R D
0 10,700 1,619 2,590 31,219
1 0,797 0,122 0,192 -0,282
2 0,656 0,122 -0,105 2,493
3 -1,451 0,093 -0,223 3,679
4 -0,629 -0,241 0,116 -4,250
11 -0,003 0,027 0,007 -0,230
22 -0,024 -0,030 0,035 -0,742
33 0,264 -0,116 0,020 -1,249
44 -0,044 0,019 0,037 0,031
12 0,266 0,034 -0,031 0,771
13 -0,114 0,076 -0,015 0,497
14 -0,031 -0,100 -0,022 -0,418
23 -0,102 0,000 -0,005 0,226
24 -0,006 0,005 0,015 -0,199
34 0,067 0,005 -0,014 -0,771
Fonte: Gomes (2013)
A adequação dos modelos foi verificada através da Análise de Variância (ANOVA),
feita também pelo software Minitab®. Os modelos encontrados foram adequados, pois
apresentaram p-values inferiores a 5% de significância e os valores de R2(adj.) foram
superiores a 80%. Os modelos para a largura do cordão e a diluição apresentaram falta de
ajuste (Lack-of-fit < 0,05). No entanto, estes dados puderam ser corrigidos através do
procedimento de redução dos modelos. Após a verificação da adequação dos modelos, estes
foram reduzidos através da remoção dos termos não significativos. O critério adotado para
esta remoção foi o aumento do valor de R2(adj.) e a redução da variância S dos modelos.
Assim, os modelos finais apresentaram os formatos descritos pelas equações 4-7
VsNTVsVaVs
VaTVsNVsTVaW
067,0102,0114,0
266,0270,0629,0451,1656,0797,0640,10 2
(4)
VaNVaVsVaTVs
TVaNVsTVaP
100,0076,0034,0118,0
032,0025,0241,0093,0122,0122,0639,1
2
22
(5)
VaNVaTN
VsTNVsTVaR
023,0030,0036,0
019,0034,0115,0223,0104,0191,0597,2
2
22
(6)
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
12
VsNVaNVaVsVaT
VsTNVsTVaD
771,0418,0497,0769,0
229,1723,0251,4679,3493,2282,0034,31 22
(7)
6.2 Definição do arranjo de misturas
Foi criado um arranjo de misturas simplex lattice de grau 4, para 4 respostas (W, P, R e
D) e uma varável de processo (função de mutação), que resultou em 70 experimentos, com 35
combinações de peso para cada uma das funções de mutação, como apresentado na tabela 2.
As proporções mínimas e máximas para cada peso foram definidas em 0 e 1.
Tabela 2 – Configuração do arranjo de misturas
w1 w2 w3 w4 w1 w2 w3 w4
1 1 0 0 0 Gaussiana 36 1 0 0 0 Adaptive Feasible
2 0,75 0,25 0 0 Gaussiana 37 0,75 0,25 0 0 Adaptive Feasible
3 0,75 0 0,25 0 Gaussiana 38 0,75 0 0,25 0 Adaptive Feasible
4 0,75 0 0 0,25 Gaussiana 39 0,75 0 0 0,25 Adaptive Feasible
5 0,5 0,5 0 0 Gaussiana 40 0,5 0,5 0 0 Adaptive Feasible
6 0,5 0,25 0,25 0 Gaussiana 41 0,5 0,25 0,25 0 Adaptive Feasible
7 0,5 0,25 0 0,25 Gaussiana 42 0,5 0,25 0 0,25 Adaptive Feasible
8 0,5 0 0,5 0 Gaussiana 43 0,5 0 0,5 0 Adaptive Feasible
9 0,5 0 0,25 0,25 Gaussiana 44 0,5 0 0,25 0,25 Adaptive Feasible
10 0,5 0 0 0,5 Gaussiana 45 0,5 0 0 0,5 Adaptive Feasible
11 0,25 0,75 0 0 Gaussiana 46 0,25 0,75 0 0 Adaptive Feasible
12 0,25 0,5 0,25 0 Gaussiana 47 0,25 0,5 0,25 0 Adaptive Feasible
13 0,25 0,5 0 0,25 Gaussiana 48 0,25 0,5 0 0,25 Adaptive Feasible
14 0,25 0,25 0,5 0 Gaussiana 49 0,25 0,25 0,5 0 Adaptive Feasible
15 0,25 0,25 0,25 0,25 Gaussiana 50 0,25 0,25 0,25 0,25 Adaptive Feasible
16 0,25 0,25 0 0,5 Gaussiana 51 0,25 0,25 0 0,5 Adaptive Feasible
17 0,25 0 0,75 0 Gaussiana 52 0,25 0 0,75 0 Adaptive Feasible
18 0,25 0 0,5 0,25 Gaussiana 53 0,25 0 0,5 0,25 Adaptive Feasible
19 0,25 0 0,25 0,5 Gaussiana 54 0,25 0 0,25 0,5 Adaptive Feasible
20 0,25 0 0 0,75 Gaussiana 55 0,25 0 0 0,75 Adaptive Feasible
21 0 1 0 0 Gaussiana 56 0 1 0 0 Adaptive Feasible
22 0 0,75 0,25 0 Gaussiana 57 0 0,75 0,25 0 Adaptive Feasible
23 0 0,75 0 0,25 Gaussiana 58 0 0,75 0 0,25 Adaptive Feasible
24 0 0,5 0,5 0 Gaussiana 59 0 0,5 0,5 0 Adaptive Feasible
25 0 0,5 0,25 0,25 Gaussiana 60 0 0,5 0,25 0,25 Adaptive Feasible
26 0 0,5 0 0,5 Gaussiana 61 0 0,5 0 0,5 Adaptive Feasible
27 0 0,25 0,75 0 Gaussiana 62 0 0,25 0,75 0 Adaptive Feasible
28 0 0,25 0,5 0,25 Gaussiana 63 0 0,25 0,5 0,25 Adaptive Feasible
29 0 0,25 0,25 0,5 Gaussiana 64 0 0,25 0,25 0,5 Adaptive Feasible
30 0 0,25 0 0,75 Gaussiana 65 0 0,25 0 0,75 Adaptive Feasible
31 0 0 1 0 Gaussiana 66 0 0 1 0 Adaptive Feasible
32 0 0 0,75 0,25 Gaussiana 67 0 0 0,75 0,25 Adaptive Feasible
33 0 0 0,5 0,5 Gaussiana 68 0 0 0,5 0,5 Adaptive Feasible
34 0 0 0,25 0,75 Gaussiana 69 0 0 0,25 0,75 Adaptive Feasible
35 0 0 0 1 Gaussiana 70 0 0 0 1 Adaptive Feasible
TestePesos das Respostas
Função de MutaçãoPesos das Respostas
Teste Função de Mutação
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
13
6.3 Definição do problema de otimização
Após a modelagem das equações para W, P, R e D, os valores para os pontos de ótimo
( ) e os pontos de máximo ( max)(xf i ) para as quatro respostas foram estabelecidos
através da maximização individual restrita das mesmas. Os valores encontrados nas
otimizações individuais estão apresentados na tabela 3.
Tabela 3 - Resultados das otimizações individuais
i DeltaW 15,576 12,451 -3,125P 0,828 1,411 0,584R 3,342 3,055 -0,287D 16,275 24,071 7,796
max)(xf i)( *xfi
Tendo o Método do Critério Global como técnica de programação matemática, de
acordo com a Equação (2) e os resultados das otimizações individuais, pode-se escrever o
problema de otimização como:
0,4NVsTVa :. .
796,7
275,16
287,0
342,3
584,0
828,0
125,3
576,15
2222
2
4
2
3
2
2
2
1
as
Dw
Rw
Pw
WwGMin
(8)
6.4 Otimização pelo Método do Critério Global
Nesta etapa, o algoritmo genético foi empregado para solucionar a Equação (8),
levando em consideração cada combinação de pesos e funções de mutação estabelecidos pelo
arranjo de misturas definido anteriormente.
O problema foi programado no Matlab®, e o Algoritmo Genético foi aplicado através
do Optimization Toolbox. Em cada cenário de otimização, foram observados os valores
ótimos para as variáveis Va, T, Vs e N, assim como o resultado da função G e das respostas W,
P, R e D. O erro percentual global foi então calculado conforme estipulado pela Equação (9).
m
i i
i
T
y EPG
1
*
1 (9)
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
14
onde: EPG – Erro percentual global das respostas Pareto-ótimas em relação aos alvos
yi* – Valores das respostas Pareto-ótimas
Ti – Alvos definidos
m – Número de objetivos
Devido ao fato da variação das respostas determinadas pelo GA, para garantir um
modelo mais representativo, o arranjo foi replicado cinco vezes. Os resultados encontrados
para o EPG para as cinco réplicas estão apresentados na Tabela 4.
Tabela 4 – Resultados calculados para o Erro Percentual Global
1ª réplica 2ª réplica 3ª réplica 4ª réplica 5ª réplica Teste 1ª réplica 2ª réplica 3ª réplica4ª réplica5ª réplica
1 1,3395 1,4366 1,1283 1,1878 1,1370 36 1,352 1,443 1,248 1,282 1,337
2 0,5258 0,5085 0,5608 0,5282 0,4597 37 0,484 0,542 0,484 0,514 0,496
3 0,6161 0,4528 0,7684 0,7871 0,7227 38 0,677 0,667 0,634 0,634 0,695
4 0,5119 0,4915 0,4924 0,5365 0,5660 39 0,479 0,490 0,478 0,479 0,483
5 0,4265 0,4639 0,3765 0,4551 0,4166 40 0,379 0,399 0,381 0,381 0,396
6 0,4322 0,4159 0,3801 0,3937 0,4757 41 0,389 0,401 0,389 0,395 0,405
7 0,3786 0,3827 0,3804 0,4120 0,3889 42 0,368 0,371 0,368 0,370 0,369
8 0,4643 0,6470 0,4488 0,5061 0,4221 43 0,582 0,562 0,527 0,532 0,529
9 0,3655 0,3298 0,4193 0,5013 0,5018 44 0,410 0,420 0,408 0,405 0,430
10 0,4537 0,4403 0,3851 0,3655 0,4126 45 0,365 0,371 0,372 0,378 0,369
11 0,3204 0,3466 0,2784 0,3343 0,3688 46 0,302 0,301 0,299 0,300 0,299
12 0,2691 0,2917 0,3355 0,2728 0,2981 47 0,286 0,301 0,302 0,329 0,285
13 0,3010 0,2700 0,3304 0,3476 0,2768 48 0,287 0,288 0,293 0,288 0,283
14 0,3009 0,2968 0,3075 0,2483 0,2748 49 0,318 0,318 0,319 0,320 0,325
15 0,4003 0,3179 0,3237 0,2948 0,2765 50 0,290 0,290 0,291 0,292 0,301
16 0,2774 0,3386 0,2968 0,2786 0,2668 51 0,277 0,286 0,288 0,285 0,298
17 0,3263 0,3139 0,5530 0,4643 0,6049 52 0,486 0,470 0,547 0,460 0,539
18 0,2929 0,3556 0,3963 0,3936 0,4462 53 0,381 0,355 0,355 0,358 0,349
19 0,2818 0,2657 0,2476 0,3200 0,3396 54 0,310 0,318 0,310 0,329 0,310
20 0,3054 0,2378 0,3465 0,4248 0,2866 55 0,292 0,292 0,291 0,290 0,298
21 0,2071 0,2865 0,2182 0,2052 0,2548 56 0,221 0,221 0,224 0,222 0,203
22 0,2515 0,2066 0,3534 0,3138 0,2439 57 0,235 0,252 0,235 0,243 0,255
23 0,1929 0,2067 0,2778 0,2157 0,2269 58 0,202 0,216 0,217 0,202 0,235
24 0,2424 0,2555 0,2807 0,3700 0,2812 59 0,254 0,291 0,254 0,248 0,292
25 0,3004 0,2752 0,2867 0,2392 0,2766 60 0,250 0,254 0,349 0,237 0,237
26 0,3441 0,2003 0,2230 0,2791 0,2456 61 0,212 0,207 0,209 0,209 0,235
27 0,4182 0,3857 0,2640 0,3795 0,3539 62 0,274 0,264 0,267 0,294 0,276
28 0,2668 0,2721 0,2214 0,2630 0,3004 63 0,279 0,273 0,259 0,263 0,264
29 0,2777 0,2566 0,2441 0,3396 0,2575 64 0,243 0,246 0,256 0,250 0,258
30 0,3881 0,2864 0,2281 0,2153 0,1964 65 0,204 0,212 0,217 0,217 0,237
31 0,3833 0,6037 0,4458 0,4043 0,4327 66 0,443 0,430 0,489 0,409 0,435
32 0,4117 0,4441 0,2457 0,3724 0,3273 67 0,340 0,318 0,307 0,293 0,317
33 0,2638 0,2613 0,3002 0,4266 0,3783 68 0,289 0,291 0,299 0,305 0,291
34 0,3070 0,2688 0,3216 0,3010 0,2835 69 0,288 0,273 0,275 0,273 0,275
35 0,2903 0,2333 0,2922 0,3317 0,2313 70 0,244 0,232 0,243 0,239 0,239
Teste
EPG calculado EPG calculado
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
15
6.5 Análise de Cluster
Visando verificar a similaridade entre as respostas obtidas para o EPG nas cinco
réplicas, realisou-se uma análise de cluster, que agrupa as respostas com maior similaridade
entre si. Segundo a análise, as réplicas mais similares são as réplicas número 3, 4 e 5, como
pode-se perceber pela Figura 5:
5ªRéplica4ªRéplica3ªRéplica2ªRéplica1ªRéplica
94,18
96,12
98,06
100,00
Variables
Sim
ila
rity
Figura 5 - Análise de Cluster
Portanto, para que a modelagem do EPG não leve a um modelo com falta de ajuste
devido à grande diferença entre algumas réplicas, no próximo passo serão utilizados somente
os dados das réplicas com maior similaridade.
6.6 Modelagem do Erro Percentual Global
Com os dados para as 3ª, 4ª e 5ª réplicas, apresentados na Tabela 4 e utilizando o
método dos Mínimos Quadrados Ordinários, através do Minitab®, para a estimação dos
coeficientes, desenvolveu-se um modelo de misturas de quarta ordem para o erro percentual
global. O modelo quártico genérico para um arranjo de misturas é expresso pela Equação
(10). O modelo encontrado, após redução dos termos não-significativos é expresso pela
Equação (11). Os resultados da ANOVA para a Equação (11) também se mostraram
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
16
significativos, com um p-value de regressão inferior a 5% de significância e o R2(adj.)
indicando uma representatividade de 96,87% para o modelo.
6.7 Determinação dos pesos ótimos
Tendo-se realizado todas as etapas anteriores, o procedimento para a identificação dos
pesos ótimos na otimização global da soldagem de revestimento, foi concluído resolvendo-se
o problema formulado de acordo com a Equação (12) Esta otimização foi programada em
uma planilha do Microsoft Excel® e o algoritmo GRG foi utilizado para a determinação do
ponto de ótimo.
11
1
95,0,,,
05,0,,, :a. .
1
4321
4321
4321
X
wwww
wwww
wwwws
EPGMin
(12)
Feito isso, foram obtidos os valores ótimos de 0,058 para w1, 0 para w2, 0,062 para w3,
0,88 para w4 e 1 para X1, o que significa que a solução Pareto-ótima mais eficiente para a
otimização do processo de revestimento do aço carbono ABNT 1020 com o aço inoxidável
(10)
(11)
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
17
ABNT 316L ocorre para esta combinação de pesos e que a melhor função de mutação para a
utilização do GA é a adaptive feasible.
A influência da função de mutação pode é demonstrada pela Figura 6, que mostra a
diferença entre o EPG médio encontrado para as diferentes funções de mutação, onde gaus é a
função gassiana e adp é a função adaptive feasible.
adpgaus
0,380
0,375
0,370
0,365
0,360
Mutação
EP
G M
éd
io
Figura 6 - Gráfico de efeitos principais
Os gráficos de contorno para a função EPG (figuras X e X) também mostram como o
comportamento da função muda de acordo com a configuração dos pesos das funções e da
função de mutação utilizada. Percebe-se claramente que dependendo da configuração de
pesos e da função de mutação escolhidos o valor encontrado para o EPG poderá ser maior ou
menor.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
18
w1
0
1
w2
1
0
w3
1
0
w1
0
1
w2
1
0
w4
1
0
w1
0
1
w3
1
0
w4
1
0
w2
0
1
w3
1
0
w4
1
0
w1 0
w2 0
w3 0
w4 0
Mutação adp
>
–
–
–
–
–
–
< 0,30
0,30 0,45
0,45 0,60
0,60 0,75
0,75 0,90
0,90 1,05
1,05 1,20
1,20
EPG
Figura 7 - Gráficos de contorno para a função adaptive feasible
w1
0
1
w2
1
0
w3
1
0
w1
0
1
w2
1
0
w4
1
0
w1
0
1
w3
1
0
w4
1
0
w2
0
1
w3
1
0
w4
1
0
w1 0
w2 0
w3 0
w4 0
Mutação gaus
>
–
–
–
< 0,4
0,4 0,6
0,6 0,8
0,8 1,0
1,0
EPG
Figura 8 - Gráficos de contorno para a função Gaussiana
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
19
Apesar de o método proposto ter avaliado apenas a função de mutação, muitos outros
parâmetros do algoritmo genético podem ser avaliados da mesma maneira, pois o método se
mostrou eficiente em provar que pode existir interações entre os parâmetros do algoritmo e os
pesos das funções objetivo e que a utilização dos parâmetros corretos pode influenciar a
eficiência da otimização do processo.
7. Conclusão
Este artigo investigou a influência da função de mutação na solução de um problema
multiobjetivo que utilizou o Algoritmo Genético na sua otimização, através da análise da
função Erro Percentual Global, modelada através de um arranjo de misturas. A principal
contribuição desta pesquisa consistiu na identificação da interação entre os pesos das funções
objetivo e a função de mutação utilizada. Além disso, foi possível identificar qual função de
mutação testada leva aos melhores resultados na otimização do processo de soldagem com
arame tubular no revestimento de chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço
inoxidável austenítico ABNT 316L.
É importante acrescentar que os resultados encontrados neste trabalho não podem ser
generalizados, porém espera-se que esta metodologia possa ser aplicada em outros processos e
para avaliação de outros parâmetros e operadores do algoritmo genético, para que se possa
obter o melhor setup destess parâmetros, que levará a resultados mais adequados a cada tipo
de aplicação.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer a FAPEMIG, CNPq e CAPES pelo suporte nesta
pesquisa.
Referências
BARIL, C.; YACOUT, S.; CLÉMENT, B. Design for Six Sigma through collaborative multiobjective
optimization. Computers and Industrial Engineering, v. 60, p. 43–55, 2011.
BUSACCA, G. P., MARSEGUERRA, M. e ZIO, E. Multi-objective optimization by genetic
algorithms: application to safety systems. Reliability Engineering & System Safety, v. 72, n. 1, p. 59-74, 2001.
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
20
CORNELL, J. A Primer on Experiments with Mixtures. New Jersey, 2011.
COSTA, C. B. B.; RIVERA, E. A C.; REZENDE, M. C. A. F.; MACIEL, M. R. W.; FILHO, R. M. Prior
detection of genetic algorithm significant parameters: Coupling factorial design technique to genetic algorithm.
Chemical Engineering Science, v. 62, p. 4780–4801, 2007.
FRAILE-ARDANUY, J.; ZUFIRIA, P. J. Design and comparison of adaptive power system stabilizers based on
neural fuzzy networks and genetic algorithms. Neurocomputing, v. 70, p. 2902–2912, 2007.
GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithm in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley
Publishing Company, INC. United States of America, 1989.
GOMES, J. H. F. Método dos polinômios canônicos de misturas para otimização multi-objetivo, 2013.
Itajubá, Minas Gerais, Brazil: Federal University of Itajubá.
HOLLAND, J. H. Adaptation in Natural and Artificial Systems, 1975. University of Michigan Press.
JIN, H. e WONG, M. L. Adaptive, convergent, and diversified archiving strategy for multiobjective evolutionary
algorithms. Expert Systems with Applications, v. 37, n. 12, p.
8462-8470, 2010
MYERS, R.H.; MONTGOMERY, D.C.; ANDERSON-COOK, C. M. Response Surface Methodology. 3rd ed.
2009, Wiley & Sons.
PINHO, A. F. DE. Metodologia para utilização de Algoritmos Genéticos em modelos de simulação
computacional em ambientes de manufatura, 2008. Universidade Estadual Paulista.
RAO, S. S. Engineering optimization: theory and practice. 4th ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 2009.
ZAIN, A. M.; HARON, H. e SHARIF, S. Application of GA to optimize cutting conditions
for minimizing surface roughness in end milling machining process. Expert Systems with Applications, v. 37, n.
6, p. 4650-4659, 2010.
MONTGOMERY, D. C. Design and Analysis of Experiments. 7 ed. New York: John Wiley &
Sons, 2009, 665 p.