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ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FORMA DA PROA NOS MOVIMENTOS VERTICAIS DA PROA

DO NAVIO

Victor de Oliveira Petrus Levy

Rio de Janeiro

Março/2014

Projeto de Graduação apresentado

ao Curso de Engenharia Naval e

Oceânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro

Orientador:Sergio Hamilton Sphaier

ii

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FORMA DA PROA NOS MOVIMENTOS VERTICAIS DA PROA

DO NAVIO


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHERIA

NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMPARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO

Examinada por:

___________________________________________

Prof° Sergio Hamilton Sphaier, D.Sc.

___________________________________________

Prof° Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.

___________________________________________

Prof° Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARÇO de 2014

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Levy, Victor de Oliveira Petrus

Análise da Influência da Forma da Proa nos

Movimentos Verticais da Proa do Navio/ Victor de Oliveira

Petrus Levy. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2013

VII, 51p: il: 29,7cm

Orientador: Sergio Hamilton Sphaier

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Naval e Oceânica. 2013.

Referencias Bibliográficas: p. 52

1 Problema de Valor de Contorno 2. Teoria das Faixas

3. Petroleiro 4. PSV I Sphaier, Sergio Hamilton II

Universidade Federal do Rio de Janeiro III Título

iv

Resumo do Projeto de graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

Análise da Influência da Forma da Proa nos Movimentos Verticais da Proa Do Navio


Março/2014

Orientador: Sérgio Hamilton Sphaier

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Navios petroleiros de grande porte apresentam baixo número de Froude, visto que estes

são navios de grandes comprimentos e navegam e velocidades relativamente baixas.

Entretanto, é comum vermos este tipo de navios com proa bulbosa, mesmo esta não sendo

interessante do ponto de vista da resistência ao avanço visando à redução do empuxo

necessário para propelir a embarcação. Neste sentido uma investigação sobre a influência

do bulbo nos movimentos verticais do corpo de proa se torna interessante. Além de uma

comparação entre proas de navios com bulbo e sem bulbo, buscaram-se outras concepções

de geometria a serem estudadas, e uma geometria que se mostrou atraente para o estudo

foi a proa do tipo X-Bow comum em navios de apoio offshore, portanto buscou-se fazer

uma análise comparativa entre a proa do tipo X-Bow com proas com bulbo e sem bulbo.

Além do estudo de caso proposto, foram abordadas duas linhas de métodos para a solução

do problema hidrodinâmico, o método bidimensional e o método tridimensional, bem

como os princípios e hipóteses que balizam cada um.

Palavras Chaves: Bulbo, X-Bow, Petroleiro, PSV, Tridimensional, Bidimensional, Teoria das

Faixas.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Engineer

Analysis of the Influence of the Bow Shape on Vertical Motions of the Ship’s Bow


March/2014

Advisor: Sérgio Hamilton Sphaier

Course: Marine and Ocean Engineering

Large oil tankers have low Froude number , as these vessels are large in length and

navigate at relatively low speeds . However, it is common to see this type of ship with

bulbous bow , even this is not interesting from the point of view of resistance to progress

in order to reduce the thrust needed to propel the craft . In this sense, an investigation into

the influence of the bulb on the vertical motons of the body of the bow becomes

interesting. In addition to a comparison between prows of ships with bulb and without

bulb, were sought other conceptions of geometry to be studied , and a geometry that has

proven attractive for the study was the bow of the type X- Bow common in offshore

support vessels , so we tried to make a comparative analysis between the bow of the type

X- Bow with prows with bulb and without bulb . In addition to the proposed case study ,

two lines of methods for the solution of the hydrodynamic problem, the two-dimensional

and three-dimensional method as well as the principles and assumptions that guide each

were addressed.

Keywords: Bulbous Bow, X-Bow, Oil Tanker, PSV, three-dimensional, two-dimensional,

Strip Theory.

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CONTEÚDO 1 Introdução .................................................................................................................................................... 1

2 Motivação ...................................................................................................................................................... 1

3 Formulação do Problema Hidrodinâmico .................................................................................. 3

3.1 Os Princípios Básicos da Hidrodinâmica ................................................................................. 3

3.2 Os Potenciais de Velocidades ....................................................................................................... 6

3.3 O Problema de Valor de Contorno .............................................................................................. 7

3.3.1 O Domínio Fluido ..................................................................................................................... 7

3.3.2 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Com Velocidade de Avanço ...... 8

3.3.3 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Sem Velocidade de Avanço .... 19

3.4 As Equações do Movimento ........................................................................................................ 23

3.5 Método Bidimensional - Teoria das Faixas ........................................................................... 29

4 Método Bidimensional X Método tridimensional ................................................................ 33

5 Estudo de caso .......................................................................................................................................... 36

5.1 O Petroleiro ........................................................................................................................................ 41

5.2 O PSV ..................................................................................................................................................... 46

5.3 Comparativo Petroleiro x PSV .................................................................................................... 51

6 Conclusão .................................................................................................................................................... 54

7 Bibliografia ................................................................................................................................................ 55

1

1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo estudar o comportamento dinâmico de um

navio com as mesmas dimensões, porém com variações da geometria do seu corpo. Para

investigar a influencia da geometria do corpo de proa nos movimentos verticais da

embarcação foram escolhidos dois objetos de análise, um petroleiro de grande porte e

uma embarcação de apoio offshore.

Para o estudo do comportamento dinâmico do petroleiro de grande porte serão

analisadas duas concepções de geometrias do corpo de proa, o estudo pretende comparar

os movimentos de verticais do navio com proas com bulbo e sem bulbo. O estudo dos

movimentos da embarcação de apoio offshore também será feito a variação da geometria

com polpa bulbosa e do navio sem bulbo, porém, também serão avaliados os movimentos

verticais do mesmo com a proa com geometria X-BOW.

A escolha por dois tipos de embarcações com dimensões significativamente diferentes

se deu para se poder ter a sensibilidade de quanto à geometria da proa influencia nos

movimentos verticais de uma embarcação em função das suas dimensões, pois é sabido

que as forças e momentos de excitação devido às ondas são relativamente maiores para

navios de pequeno porte do que para aos navios de grande porte. Assim espera-se que a

variação da geometria da proa do navio de apoio offshore influencie mais na amplitude

dos movimentos verticais do corpo de proa do que a variação da geometria do petroleiro.

Para a formulação do problema hidrodinâmico a ser aplicada para se obter os

movimentos dos corpos flutuantes citados existem diversos métodos, que podem ser

subdivididos em duas categorias, os métodos bidimensionais, que usam a teoria de corpos

esbeltos para obter os coeficientes hidrodinâmicos tridimensionais, e os métodos

tridimensionais, cuja precisão dos coeficientes hidrodinâmicos calculados dependem

apenas do tipo de aproximação numérica utilizada (em geral elementos finitos ou o

método da equação integral), do grau e tipo das funções de interpolação e do refinamento

da discretização do domínio.

A fim de se obter resultados acurados para o estudo de caso proposto iremos

primeiramente fazer uma apresentação e discussão do uso de cada tipo de método bem

como os princípios que balizam o desenvolvimento de cada um a fim de escolher o método

que mais se adéqua ao estudo de caso.

2 MOTIVAÇÃO

Não há dúvidas sobre o a influência do bulbo em uma embarcação nas diferentes

componentes da resistência ao avanço do mesmo, a principal componente da resistência

ao avanço afetada pela presença do bulbo é a resistência de ondas, porém, segundo

2

KRATCH [1] para navios com número de Froude

menor do que 0,2 a

resistência em ondas do mesmo é uma parte desprezível da resistência total do navio.

Gráfico 1 - Influencia do Bulbo da Potência Requerida em Função do Número de Froude

Navios petroleiros de grande porte apresentam baixo número de Froude, visto que

estes são navios de grandes comprimentos e navegam e velocidades relativamente baixas.

Entretanto, é comum vermos este tipo de navios com proa bulbosa, mesmo esta não sendo

interessante do ponto de vista da resistência ao avanço visando à redução do empuxo

necessário para propelir a embarcação. Neste sentido, achou-se interessante avaliar a

influencia do bulbo para este tipo de embarcação nos movimentos verticais do corpo de

proa, pois, foi a única razão encontrada para a presença do mesmo em petroleiros, pois

construtivamente, um bulbo não se apresenta interessante para o projeto deste tipo de

embarcação

O estudo de caso da embarcação de apoio offshore foi direcionado no mesmo sentido

do apresentado para o petroleiro, pois estas, apesar de apresentarem número de Froude

relativamente maior do que uma embarcação de grande porte, este ainda é baixo, porém o

grande interesse deste estudo é analisar a vantagem do uso da proa do tipo X-BOW,

desenvolvida pela ULSTEIN [2] em 2005, comparada ao navio com bulbo e sem bulbo.

De acordo com o ULSTEIN [2] a proa do Tipo X-BOW garante ao navio uma entrada

suave em ondas, ocasionando uma redução do spray gerado e baixos níveis de acelerações

verticais. Vamos então comparar as acelerações do proa X-BOW com as demais citadas e

avaliar qual gera menores movimentos verticais. Abaixo pode ser vista uma imagem

interessante comparando um navio com proa X-BOW à outro navio com proa convencional

ensaiados em um tanque de prova. Pode-se notar uma notável diferença no spray gerado

dos diferentes tipos de proa.

3

Figura 1 – Ensaio Comparativo entre a Proa X-BOW e Proa Convencional de um Navio de Apoio

Ofsshore ref [2]

O estudo de caso do PSV também nos permite fazer uma análise comparativa em

relação ao Petroleiro a fim de se observar o comportamento das respostas às forças de

excitação em relação ao comprimento do navio. Sabendo que as forças e momentos de

excitação devido às ondas são relativamente maiores para navios de pequeno porte do que

para aos navios de grande porte, esperamos respostas com maiores amplitudes de

resposta para o PSV do que para o Petroleiro, porém, vamos investigar como o

comportamento oscilatório destas respostas se comporta ao adimensionalizarmos as

mesmas em função da razão comprimento do navio por comprimento de onda.

3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA HIDRODINÂMICO

Neste capítulo apresenta-se a formulação matemática do problema hidrodinâmico de

navios com e sem velocidade de avanço. Serão abordados os princípios básicos da

Hidrodinâmica, os potenciais de velocidades envolvidos no problema, o problema de valor

de contorno para corpo com e sem velocidade de avanço, e as equações do movimento.

3.1 OS PRINCÍPIOS BÁSICOS DA HIDRODINÂMICA

Um conhecimento profundo da mecânica dos fluidos não é requisito para o

entendimento da teoria do comportamento dinâmico, todavia, um conhecimento básico de

determinados aspectos é necessário para ter as bases do entendimento das equações do

movimento de navios. Nesta seção iremos discutir os princípios básicos da hidrodinâmica

que governam as equações do movimento de corpos flutuante. Os princípios a serem

discutidos aqui são:

Principio da impenetrabilidade

Principio da Conservação de Massa

A segunda Lei de Newton

Vamos então a estes:

4

PRINCIPIO DA IMPENETRABILIDADE

O principio da impenetrabilidade define uma relação entre as componentes das

velocidades das partículas fluidas e do corpo na direção normal ao corpo. No caso de

corpos não porosos essas componentes devem ser iguais:

Ou:

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA

O principio da conservação da massa é dado pela equação da continuidade dada por:

Assumindo que estamos tratando de fluidos incompressíveis, ou seja, cuja massa

específica permanece constante com o tempo, temos que a equação da continuidade pode

ser escrita na seguinte forma:

Considerando que os efeitos viscosos são desprezíveis, que não há criação de vorticidade e

que as forças de corpo derivam de um potencial podemo tratar o fluido como

irrotacional de forma que pode-se verificar que o escoamento é descrito por uma função

potencial de velocidades tal que:

Substituindo a equação acima na equação da conservação de massa para fluidos

incompressíveis chegamos a:

5

que é a equação de Laplace que governa o comportamento dos escoamentos potenciais

A SEGUNDA LEI DE NEWTON

O movimento de uma partícula fluida, sujeita a ação de forças externa é descrito pela

segunda lei de Newton:

Onde

é o operador derivada substantiva;

é a massa específica do fluido;

representa o campo vetorial de velocidades;

é o volume elementar da partícula fluida;

são as forças ;

são as forças de corpo;

são as forças de superfície;

A derivada substantiva da velocidade define o campo vetorial que representa as

acelerações das partículas fluidas,

Assim aplicando a segundo Lei de Newton ao estudo do movimento de um fluido

incompressível cuja relação entre tensão cisalhante e movimento siga a equação

constitutiva de Stokes chegamos a equação de Navier-Stokes:

Ou

Onde:

6

é a pressão;

é a viscosidade cinemática;

é o operador gradiente;

é o laplaceano;

Assumindo que os efeitos viscosos são desprezíveis, as partículas fluidas passam a

deslizar pelo corpo, permanecendo somente no contorno e a equação de Navier-

Stokes pode ser escrita como:

Supondo que o fluido é incompressível e que os efeitos viscosos são desprezíveis e

as forças de corpo derivam de um potencial temos que não há a criação de vorticidade e

sendo o escoamento inicialmente irrotacional, este permanecerá irrotacional assim:

Que é a equação da Integral da equação de Euler

3.2 OS POTENCIAIS DE VELOCIDADES

Os movimentos dos navios em ondas são decorrentes das pressões atuantes no casco. As

ondas em torno do navio são separadas em três componentes:

Ondas incidentes: são as ondas que incidem sobre o corpo. Podemos representar

estas ondas a partir do seu campo de velocidades dado pelo potencial

representativo das ondas incidentes .

Ondas difratadas: quando as ondas incidentes chegam ao corpo, este não permite

que estas ondas ultrapassem seus limites. Sendo assim, é gerado um escoamento

junto ao casco que neutraliza as ondas incidentes gerando velocidades que se

contraponham às velocidades das ondas incidentes. Assim o potencial de difração

gera velocidades cujas componentes na direção normal ao casco anulem as

componentes das velocidades da onda incidente sobre o casco:

7

Ondas Radiadas: o corpo, além de impedir a passagem das partículas fluidas

através de si, se move, impondo movimento às partículas fluidas gerando assim as

ondas radiadas. Para representá-las, introduzimos um potencial de velocidades, o

potencial de radiação .

Contabilizando então os potenciais apresentados temos o potencial dependente do

tempo que engloba o potencial representativo das ondas incidentes, difratadas e

radiadas pelo corpo:

3.3 O PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO

3.3.1 O DOMÍNIO FLUIDO

Para tratarmos o domínio fluido de interesse que está interagindo com o corpo imerso no

mesmo é conveniente definimos os contornos de tal domínio.

Dividiremos então o domínio fluido em quatro contornos para trabalhar o problema:

1. Contorno na Superfície Livre

2. Contorno na Superfície do Corpo

3. Contorno do Fundo

4. Contorno em uma Superfície muito longe do Corpo

Uma representação esquemática dos contornos pode ser vista na figura abaixo:

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Figura 2 – Os Contornos do Domínio

3.3.2 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA CORPOS COM VELOCIDADE DE

AVANÇO

Tendo definido os princípios básicos e os potenciais de velocidades vamos então ao

equacionamento do problema para o corpo tridimensional com velocidade de avanço, com

geometria similar a de um navio e simetria em relação ao eixo y=0

As hipóteses simplificadoras básicas, como apresentadas anteriormente, são:

1. Efeitos viscosos desprezíveis

2. Fluido Incompressível

3. Forças do Corpo Derivam de um Potencial

4. Potenciais de Velocidades que Satisfazem a equação de Laplace

Para um navio com velocidade de avanço, é intuitivo pensar que este, ao encontrar

ondas pelo proa (sendo para este estudo as ondas monocromáticas) não oscilará na

frequência das ondas. O navio então oscilará em uma frequência dada como frequência de

encontro com as ondas que é dada pela seguinte expressão:

Onde:

é a frequência da onda

9

é o número de onda

é a velocidade de avanço do navio

é o ângulo que a direção de propagação das ondas faz com o eixo longitudinal do navio

3.3.2.1 O potencial de Velocidades de um Corpo Com Velocidade de

Avanço

O potencial de velocidade, que foi apresentado anteriormente agora irá apresentar duas

novas parcelas devido à velocidade de avanço. Uma parcela devido ao potencial

representativo da perturbação devida a presença do corpo quando em avanço uniforme

em ondas ( )(potencial representativo das ondas geradas pelo corpo) e outro devido

propriamente a velocidade de avanço em sua direção de propagação:

Onde:

é o potencial total de um corpo como velocidade de avanço

é a velocidade de avanço do corpo

é o potencial representativo da perturbação devida a presença do corpo quando

em avanço uniforme sem ondas ( )

potencial dependente do tempo que engloba os potencial representativo das ondas

incidentes, difratadas e radiadas pelo corpo.

é o potencial representativo das ondas incidentes

é o potencial representativo das ondas difratadas

potencial representativo das ondas radiadas

3.3.2.2 Condição de Contorno na Superfície Livre

A superfície livre do domínio fluido pode ser descrita pela seguinte função:

10

Onde representa a elevação da superfície livre.

As condições que devem ser satisfeitas na superfície livre são:

1. Condição de contorno dinâmica o fluido deve ser capaz de “sustentar” a

pressão atuante por agentes externos

2. Condição de contorno cinemática: deve haver a concordância entre os

movimentos da superfície e da partícula fluida

Condição de Contorno Dinâmica

Esta condição determina que a pressão na superfície livre seja constante e igual a pressão

dos agente externos. A pressão dos “agentes externos” neste caso pode ser descrita como a

pressão atmosférica. Esta condição de contorno é definida pela integral da equação de

Euler:

Sendo:

= pressão atmosféfica

= Massa especifica do meio fluido

= aceleração da gravidade

A ser satisfeita em:

Podemos observar que a o conjunto de equações acima apresenta uma nova incógnita

além do potencial de velocidades que é dada por e soma ao nosso problema uma

condição não linear uma vez que a equação acima terá de ser avaliada em ,

que desconhecemos.

Para equacionar o problema de valor de contorno a fim de determinar a função potencial

de velocidades iremos então fazer algumas simplificações. Estas serão:

A grandeza da amplitude dos movimentos descritos pelo corpo é muito inferior

à ordem de grandeza das seções transversais do corpo de forma que a

perturbação imposta às partículas fluidas pode ser considera muito pequena e

os termos de ordem superior podem ser considerados desprezíveis.

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Assumiremos também que a pressão atmosférica será constante e igual a zero

As amplitudes das ondas possuem ordem de grandeza inferior ao

comprimento destas avaliaremos as equações em seu ponto médio, ou seja em

z=0.

Com, estas simplificações, as quais chamaremos de linearização do problema, e avaliando

na superfície z=0 a expressão da Integral da Equação de Euler pode ser reescrita na

seguinte forma:

A partir da equação acima conseguimos então descrever a expressão da superfície livre em

função do potencial de velocidades avaliado na superfície z =0:

Condição de Contorno Cinemática

A condição de contorno cinemática é presente porque deve haver concordância entre os

movimentos da superfície livre e da partícula fluida, ou seja, uma partícula que pertence a

superfície livre em um determinado instante continuará pertencendo a esta superfície. Em

outras palavras, a componente da velocidade da partícula na direção normal ao perfil da

onda é igual a componente da velocidade do perfil de onda nesta direção. De forma

matemática temos:

Que também pode ser escrita como:

A ser satisfeita em

Desenvolvendo a equação acima e lembrando que:

Temos:

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Lembrando que:

Temos:

Analogamente ao caso da condição dinâmica, a equação acima apresenta uma nova

incógnita além do potencial de velocidades que é dada por e soma ao nosso

problema uma condição não linear uma vez que a equação acima terá de ser avaliada em

.

Linearizando e avaliando na superfície z=0 temos então:

Com as equações das condições dinâmicas e cinemáticas podemos então por fim montar e

condição de contorno da superfície livre. Atentando para a equação cinemática podemos

ver que esta depende da equação que descreve o contorno da superfície livre, equação esta

que foi formulada em função do potencial de velocidades quando desenvolvemos e

condição de contorno dinâmica. Assim, substituindo a equação do contorno da superfície

livre formulada a partir da condição dinâmica na condição cinemática temos por fim a

condição de contorno na superfície livre.

As equações a serem manipuladas são:

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Então a condição de superfície livre será:

A ser satisfeita em z=0

3.3.2.3 Condição de Contorno na Superfície do Corpo

No caso do problema do movimento de um corpo flutuante em ondas, a condição de

contorno na superfície do corpo impõe que a velocidade do fluido na direção normal a

superfície do seja igual a velocidade do corpo nesta direção. Assim, descrevendo a

superfície do corpo por a condição de impenetrabilidade do fluido através dela

é satisfeita se:

Válida na posição instantânea do corpo

onde

- velocidade linear do centro do sistema fixo ao corpo

- velocidade angular do corpo

- vetor normal à superfície do corpo, voltado para fora do domínio fluido

- raio vetor de um ponto da superfície do corpo


Esta condição de contorno tem que ser aplicada na superfície do corpo que

desconhecemos a princípio. O objetivo do estudo é obtermos os movimentos do corpo.

Esta formulação se baseia no principio da impenetrabilidade apresentado a na hipótese de

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que a amplitude de movimentos realizados pelo corpo é muito inferior ao seu tamanho,

então poderemos considerar que o corpo realiza pequenos deslocamentos.

O desenvolvimento da condição de contorno junto à superfície possui um

desenvolvimento um pouco mais complexo que a condição de contorno na superfície livre

apresentada por isso será apresentado somente o resultado desta formulação.

Assim a condição de contorno junto a superfície do corpo é dada por:

Onde:

= deslocamento linear do corpo

= deslocamento angular do corpo

Como estamos tratamos de pequenos deslocamentos, podemos então trabalhar os

deslocamentos angulares como vetores, então o vetor deslocamento pode ser tratado aqui

como:

Assim a condição de contorno na superfície do corpo pode ser escrita na seguinte forma:

Pode-se perceber que foi inserido um novo vetor na expressão acima, o vetor m. Este

vetor, para os seis graus de liberdade que o corpo possui dado por:

Vetor m para os deslocamentos lineares:

Vetor m para os deslocamentos angulares:

Assim para os 6 graus de liberdade temos:

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3.3.2.4 Condição de Contorno do Fundo

Nesta condição de contorno iremos assumir o fundo da região fluida como sendo plano e

horizontal. Assim, podemos descrevê-lo como:

A condição de contorno do fundo é regida pelo princípio da impenetrabilidade abordado

anteriormente. Assim, a condição de contorno do fundo implica que a velocidade das

particular na direção perpendicular ao fundo seja igual a velocidade normal ao fundo.

Assim, como o fundo não apresenta velocidade, temos que a velocidade das partículas na

direção normal ao fundo da região fluida deve ser nula. Matematicamente esta condição é

expressa por:

3.3.2.5 Condição de Contorno de Radiação

Esta condição de contorno garante que a perturbação produzido sobre o meio fluido pelos

movimentos de corpo desaparece em regiões afastadas do corpo. A condição de contorno

de radiação permite que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno

no fundo e na superfície livre até o infinito. Seguindo o Principio de SOMMERFELD [3] “as

fontes devem ser fontes e não sumidouros de energia. A energia que é irradiada das fontes

deve ser dissipada no infinito, nenhuma energia deve ser irradiada do infinito à região

considerada”. A tradução matemática para esta condição de contorno desenvolvida por

Sommerfeld é dada por:

16

Onde:

é o número de onda

é o raio vetor posição

3.3.2.6 Problema de Valor de Contorno para Corpos Com Velocidade de

Avanço Para os Diversos Potenciais

A partir do problema de valor de contorno estabelecido é possível então obter a solução

para os diversos potenciais de velocidades apresentados, lembrando que estes devem

satisfazer a equação de Laplace, vamos resolver então o problema de valor de contorno

para os diversos potenciais para corpos com velocidade de avanço como se segue:

Potencial do Problema Estacionário

O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:

A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é:


Para que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno na

superfície livre até o infinito, inserimos também a condição de contorno radiação a

fim de truncar a nossa avaliação a uma distância do corpo grande o suficiente para

não sentirmos mais o efeito das ondas radiadas. Assim a condição de contorno a

ser respeitada é:

A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do Fundo é:

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A ser satisfeita em z=-h

A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:

Potencial da onda Incidente


A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :

Sendo o potencial de ondas incidentes uma função harmônica no tempo, podemos

escrever:

Como discutido anteriormente, um corpo dotado com velocidade de avanço não

oscilará na frequência da onda e sim em uma frequência dada como frequência de

encontro com as ondas que é dada pela seguinte expressão:

Assim temos que a condição de contorno da superfície livre pode ser escrita como:


A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:



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Potencial de Difração



Analogamente ao potencial de ondas incidentes, o potencial das ondas difratadas é

uma função harmônica no tempo e pode ser escrito na seguinte forma:

Sendo a frequência de oscilação do corpo a frequência de encontra com as ondas

dada por:

Temos que a condição de contorno da superfície livre pode ser escrita como:


Para que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno na

superfície livre até o infinito, inserimos também a condição de contorno radiação a

fim de truncar a nossa avaliação a uma distância do corpo grande o suficiente para

não sentirmos mais o efeito das ondas radiadas. Assim a condição de contorno a

ser respeitada é:



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Como discutido é gerado um escoamento junto ao casco que neutraliza as ondas

incidentes gerando velocidades que se contraponham às velocidades das ondas

incidentes. Assim o potencial de difração gera velocidades cujas

componentes na direção normal ao casco anulem as componentes das velocidades

da onda incidente sobre o casco. Assim, a condição de contorno na superfície do

corpo a ser respeitada pelo potencial das ondas difratadas é:

Potencial de Radiação



Para truncar a solução a uma distancia grande o suficiente do corpo a condição de

contorno de radiação implica que:




3.3.3 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA CORPOS SEM VELOCIDADE DE

AVANÇO

Após apresentar as condições de contorno para corpos com velocidade de avanço vamos

agora apresentá-las para corpos estacionários. As leis e princípios aplicados

anteriormente são igualmente válidos para os corpos estacionários e a única modificação

nas condições de contorno do apresentado anteriormente é que os ternos onde a

velocidade de avanço estava presente agora serão nulos, assim temos:

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O potencial de Velocidades será:

Onde:

é o potencial total de um corpo estacionário

é o potencial representativo das ondas incidentes

é o potencial representativo das ondas difratadas (perturbação das ondas

incidentes pela presença do corpo)

é o potencial representativo das ondas radiadas ( ondas que se radiam para o

fluido pelos movimentos do corpo)

Condição de Contorno na Superfície Livre

A condição de contorno a ser satisfeita na superfície livre será:


Condição de Contorno na Superfície do Corpo

A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do corpo será:

Válida na posição instantânea do corpo


Condição de Contorno na Superfície do Fundo

A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo permanece

inalterada sendo esta:

Condição de Contorno na Superfície de Radiação

21

A condição de contorno de radiação permanece inalterada:

3.3.3.1 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Sem Velocidade de

Avanço Para os Diversos Potenciais Tendo apresentado a solução do problema de valor de contorno para os diversos

potenciais para corpos com velocidade de avanço, vamos agora apresentar a mesma para

corpos sem velocidade de avanço, para não tornar a leitura deste trabalho exaustiva,

temos que as únicas diferenças da solução apresentadas são:

O corpo não oscilará na frequência de encontro com as ondas e sim na frequência

das mesma;

O potencial do problema estacionário não estará mais presente na solução;

Os termos onde a velocidade de avanço estava presente agora serão nulos

Assim, assim a solução do problema de valor de contorno para corpos sem velocidade de

avanço, para os diversos potenciais pode ser vista a seguir:

Potencial da onda Incidente







Potencial de Difração


22



A condição de contorno de radiação a ser respeitada será:




Potencial de Radiação



Para truncar a solução a uma distancia grande o suficiente do corpo a condição de

contorno de radiação implica que:




23

3.4 AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

Antes de entrarmos na discussão das equações do movimento propriamente ditas vamos

primeiramente estabelecer o sistema de coordenadas a ser utilizado. De acordo com

FALTINSEN [4], quando analisamos o movimento de um corpo flutuante é conveniente

utilizar no mínimo dois sistemas de coordenadas.

O primeiro sistema de coordenadas a ser definido é o solidário (oxyz) que é fixo ao navio,

ou seja, move-se de acordo com o movimento do corpo. È conveniente considerar a origem

deste sistema coincidindo com o centro de gravidade (CG). O eixo x tem direção

longitudinal do navio, positivo à vante, o eixo y é positivo para bombordo e o eixo z é

positivo orientado de baixo para cima.

Outro sistema a ser definido é o sistema OXYZ que encontra-se na superfície livre com Z=0

sobre a superfície livre. O eixo OZ aponta verticalmente pra cima

Tendo definido os sistemas de coordenadas a serem utilizados, vamos então a definição

dos movimentos do navio. Os movimentos de um navio, assim como qualquer outro corpo

rígido pode ser dividido em três deslocamentos lineares e três movimentos rotacionais. Os

seis graus de liberdade do navio estão apresentados a seguir:

1. Surge ( ) – Movimento Linear na direção longitudinal (x) da embarcação;

2. Sway ( ) – Movimento Linear na direção do eixo transversal (y) da embarcação;

3. Heave ( ) – Movimento Linear na direção do eixo vertical (z) da embarcação;

4. Roll ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo longitudinal (x) da

embarcação;

5. Pitch ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo transversal (y) da

embarcação;

6. Yaw ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo vertical (z) da embarcação;

Tendo definido todos os movimentos que um navio pode descrever e determinado os

sistemas de referência vamos agora determinar a equação do movimento. De acordo com

LEWANDOWSKI [5] quando estamos tratando do comportamento dinâmico de um corpo

rígido é vantajoso assumir a origem do sistema de coordenadas no centro de massa do

corpo, assim usaremos para a definição das equações do movimento o sistema solidário

(oxyz) com origem no centro de gravidade da embarcação. O motivo para definir a

referencia do sistema do centro de massa é pelo fato de que o centro de massa de qualquer

sistema de partículas sofrendo a ação de quaisquer forças externas acelera como se fosse

uma partícula com a massa de todo o sistema sofrendo a ação das forças externas.

Assim, a segunda lei de Newton para uma partícula pode ser aplicada diretamente ao

corpo rígido se a referência estiver em seu centro de gravidade. Temos então:

24

Sendo:

é o somatório de todas as forças externas

é a massa do corpo rígido

é a aceleração instantânea do centro de gravidade

Sendo assim, para determinar a equação completa do movimento vamos agora

contabilizar as forças externas atuando sobre o corpo. Para obtermos as forças atuando

sobre o corpo, devemos primeiramente determinar todos os campos de pressões atuantes

no mesmo. Os campos de pressões a serem determinados são:

Campo de pressão hidrostática decorrente somente da posição vertical do ponto

da superfície do corpo

Campo de pressão dinâmica decorrente da onda incidente

Campo de pressão dinâmica decorrente da onda difratada

Campos de pressões dinâmicas decorrentes dos seis movimentos do corpo

A partir deste campos de pressões pode se então determinar as forças e os momentos

atuantes sobre o corpo, estes são:

Forças e momentos hidrostáticos

Forças e momentos decorrentes das ondas incidentes (normalmente refrenciados

como forças e momentos de Froude-Krylov)

Forças e momentos decorrentes da onda difratada

Forças e momentos decorrentes das ondas radiadas

Vamos então a determinação dos campos de pressões citados. A partir da Integral da

Equação de Euler e o potencial de velocidades. Temos a pressão em qualquer parte do

domínio

Onde:

Podemos então separar esta pressão em parte dinâmica e parte estática:

A parte estática pode ser dividia ainda em uma parte dependente do tempo e uma

independente, desta forma, podemos escrever a equação acima com um termo estático

independente do tempo, um tempo estacionário e outro termo dependente do tempo:

25

Sendo a pressão dependente do tempo dada por:

A pressão dinâmica é dada por:

Linearizando esta expressão obtermos:

A pressão estática é dada por:

Após determinarmos a pressão no domínio fluido, a integral da pressão ao longo da

superfície do corpo fornece a força total atuando sobre o corpo:

Podemos separar esta força em duas partes, a parte Hidrostática:

E a parte hidrodinâmica:

Multiplicando-se vetorialmente o vetor posição dos pontos da superfície do corpo pelo

produto pressão vezes vetor normal e integrando-se sobre a superfície do corpo, pode-se

obter os momentos em relação aos eixos do sistema de referência:

Assim é possível obter as forças e os momentos que o escoamento fluido faz sobre o corpo

para os diversos campos de pressão.

26

Forças e Momentos Hidrostáticos

Quando um corpo flutuante abandona sua posição de equilíbrio estático, a ação do seu

peso e das reações de origem hidrostática tendem a restaurar sua posição original. A estas

reações dá-se o nome de forças de restauração. Assim para determinarmos as forças e

momentos de restauração devemos proceder a integração das pressões hidrostáticas ao

longo da superfície instantânea do corpo:

Como a pressão hidrostática é dada por temos que:

Procedendo as integrações, aplicando o teorema de Gauss e sabendo que a superfície

molhada do corpo oscila chegamos então na equação na forma matricial das

forças de restauração. De acordo com FALTINSEN [4] podemos escrever as forças de

restauração na forma matricial da seguinte forma:

Forças e Momentos de Excitação

As forças de excitação podem ser subdivididas em duas partes,uma devido à onda

incidente, também chamada de força de Froude-Krylov, outra relativa ao potencial de

difração. Assim as forças e momentos de excitação são:

Forças e Momentos de Radiação

As forças e momentos originados da radiação de ondas são:

27

Em notação matricial tomam a forma:

Onde são os termos da matriz de massa adicional e são os termos da matriz de

amortecimento hidrodinâmico devido à energia cedida para a formação de ondas .As

forças e momentos e são os seis componentes para os seis graus de liberdade

do vetor de forças e momentos.

Aplicando a segunda lei de Newton e reunindo-se as forças citadas acima, pode-se obter as

equações de movimento na forma matricial:

Onde:

é a matriz de massa:

é a matriz de massa adicional

é a matriz de amortecimento (vale ressaltar que um termo referente ao amortecimento

viscoso pode ser adicionado a esta matriz, porém ao tratarmos de fluidos sem viscosidade

estamos o desprezando)

é a matriz de restauração hidrostática

é o vetor de Força de excitação

é o vetor posição

Fisicamente de acordo com FALTINSEN [4] a expressão acima pode ser ilustrada com a

seguinte figura:

28

Figura 3- Superposição da forças de excitação de onda, Massa Adicional, Amortecimento e Restauração

Sendo as forças de excitação dadas por forças harmônicas e tratando-se de um sistema

linear, temos que o corpo também responderá harmonicamente à excitação. Sendo as

forças de excitação e as respostas de forma harmônica temos então:

Assim a equação do movimento pode ser escrita:

Ou:

Vemos que a partir da equação acima que a dependência do tempo se concentra na função

exponencial pode ser cancelada na equação, sendo assim pode-se obter uma equação para

obtenção da resposta para cada frequência:

De acordo com SPHAIER [6] a força da onda pode ser escrita da seguinte forma:

Sendo:

é a função de transferência entre a onda e a força sobre o corpo

é a amplitude da onda

29

Sendo assim chegamos a um expressão que relaciona os seis movimentos do corpo e a

amplitude da onda em função da frequência:

Esta função é chamada de função de transferência, fatos de amplificação e operador de

resposta de amplitude (RAO – Response Amplitude Operator).

3.5 MÉTODO BIDIMENSIONAL - TEORIA DAS FAIXAS

A hipótese de corpo esbelto nos permite imaginar na possibilidade de tratarmos um

problema tridimensional aproximado a uma série de problemas bidimensionais estudados

em planos transversais que foi o desenvolvido por SALVESEN [7] . Em decorrência deste

resultado, esta forma de estudo é chamada de teoria das faixas. A hipótese de corpo

esbelto significa que as relações entre boca–comprimento (B/L) e calado-comprimento

(T/L) são pequenas e que:

Sendo assim, o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras

componentes e podemos aproximar a equação de Laplace tridimensional pela sua

expressão bidimensional.

Entretanto, a integral para determinação da parte hidrodinâmica das forças apresenta

uma derivada em x como pode ser visto a seguir:

Isto significa que temos que resolver um problema de valor de contorno tridimensional

para obtermos o potencial tornando inviável a aproximação do problema tridimensional

por uma série de problemas bidimensionais. Assim é conveniente aproximar esta integral

da seguinte forma:

Com isso podemos determinar as propriedades hidrodinâmicas em cada seção do corpo e

posteriormente proceder a derivação.

A única simplificação feita até agora foi a de corpo esbelto, porém para a aplicação desta

teoria o corpo deve ser considerado como um corpo rígido, flutuando na superfície de um

fluido ideal, este homogêneo, incompressível, irrotacional, sem viscosidade e livre de

tensões na superfície. É assumido que o problema dos movimentos do corpo flutuante é de

pequenas amplitudes e pode ser linearizado, como discutido anteriormente.

30

Para o uso da teoria das faixas é assumido que a frequência das ondas incidentes é alta

com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio. Assim, temos que as

ondas radiadas e difratadas terão pequenos comprimentos de onda e se propagarão

paralelamente ao eixo longitudinal do navio.

Reunindo todas as hipóteses citadas temos as seguintes modificações das equações

apresentadas para o problema de valor de contorno:

1. A equação de Laplace tridimensional pode ser aproximada pela sua expressão

bidimensional:

2. o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras

componentes:

Assim, na condição de contorno na superfície do corpo, podemos utilizar o vetor

unitário no plano x constante e igual a zero de tal forma que:

E a condição de contorno sobre cada seção fica reduzia a:

Onde:

3. A condição de contorno na superfície livre em z=0 fica reduzida a:

31

Reunindo as pressões das forças hidrostáticas, hidrodinâmicas e do peso e aplicando a

segunda lei de Newton temos então a equação do movimento:

Sendo os coeficientes de massa adicional e os de amortecimento dados por:

33

4 MÉTODO BIDIMENSIONAL X MÉTODO TRIDIMENSIONAL

A determinação teórico-numérica do comportamento do navio no mar tem evoluído

consideravelmente nos últimos 50 anos. Atualmente temos duas linhas de métodos para a

determinação da resposta do navio em mar, o método bidimensional e o método

tridimensional.

O método bidimensional, referenciado como teoria das faixas [7] foi a primeira

metodologia a descrever adequadamente os movimentos de navios esbeltos. Porém, o

efeito da tridimensionalidade dos navios não foi adequadamente representado por essa

teoria.

O método tridimensional permite capturar melhor a influencia da geometria do navio.

Para o método tridimensional existem algumas variações em relação ao tratamento

34

matemático do problema que foram surgindo ao longo do tempo. A formulações

tridimensionais podem ser divididas em dois grupos: as que são baseadas na função de

Green e as baseadas nas fontes de Rankine.

A fim de comparar os dois métodos propostos para a resposta de um corpo rígido sujeito a

forças de excitação do mar achou-se conveniente plotar as respostas (RAO) a partir dos

dois métodos para uma mesma embarcação e fazer uma análise crítica das mesmas.

Para o método tridimensional usou-se do software comercial WAMIT, baseado na teoria

potencial tridimensional. No caso do cálculo pela teoria das faixas, será utilizado um

código de avaliação dos movimentos de heave e pitch de um navio em ondas regulares,

desenvolvido internamente, a partir de códigos abertos publicados na literatura.

Neste sentido, o gráfico abaixo apresenta uma comparação de RAOs levantados a partir

dos dois códigos citados:

Gráfico 2 - RAO método bidimensional x Método tridimensional

Como podemos observar as duas curvas se comportam de forma igual ao observarmos o

trecho compreendido pelas baixas e altas frequências:

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 0,5 1 1,5 2

RA

O (

M/M

)

FREQUÊNCIA(RAD/S)

RAO HEAVE

2D

3D

35

Gráfico 3 - RAO método bidimensional x Método tridimensional - Faixa de Frequências

O comportamento em altas frequências similar ao método 3D já era esperado, pois como

discutido quando abordado a teoria das faixas, assumimos que as frequência das ondas

incidentes é alta com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio, assim, o

resultado da teoria das faixas para altas frequências é bastante satisfatório.

O comportamento em baixas frequências é explicado a partir da equação do movimento:

Ao tratarmos então de baixas frequências, os 2 primeiros termos da equação tendem a

zero:

Restando apenas a parcela hidrostática da força:

Temos assim:

Como a parcela hidrostática da força é, praticamente, precisamente calculada pela teoria

das faixas, temos bons resultados para baixas frequências com o uso do método

bidimensional.

36

Assim, para obtermos resultados acurados para todas as frequências e poder capturar a

tridimensionalidade do casco, visto que o estudo de caso objetiva observar a influencia da

geometria do casco nos seus movimentos verticais, iremos usar o método tridimensional

para o nosso estudo.

Uma ressalva a ser feita nessa seção é que a prática comum da hidrodinâmica é comparar

resultados teóricos à experimentais a fim de fazer a validação de uma teoria, entretanto, o

método baseado na teoria potencial tridimensional implementado no software comercial

WAMIT, há anos apresenta bons resultados ao tratar da hidrodinâmica de corpos

flutuantes.

Outra discussão sobre o confronto entre o método bidimensional e tridimensional é em

relação à velocidade de avanço. Ao inserirmos a velocidade de avanço no potencial de

velocidades, como discutido anteriormente, temos o seguinte potencial:

Sendo o potencial – o potencial representativo do efeito da velocidade de avanço e é

potencial de velocidade quando o corpo é forçado a oscilar na frequência de encontro.

Usando a integral da equação de Euler, desconsiderando o termo de pressão hidrostática, e

mantendo os termos do potencial de velocidades linearizados, temos que a pressão

atuando no corpo é:

A parcela da pressão proporcional à velocidade de avanço U gerará termos de massa

adicional e amortecimento dependentes da velocidade de avanço. A condição de contorno

da superfície do corpo também sofre alterações pela presença da velocidade de avanço,

como visto.

Assim, uma análise de corpos com velocidade de avanço pelo método tridimensional é

complicada. Para fins práticos, o uso da teoria das faixas é recomendado quando se trata

de corpos com velocidade de avanço e em muitos casos a mesma mostra uma boa

concordância com resultados experimentais.

5 ESTUDO DE CASO

Como mencionado no início deste trabalho, o estudo de caso proposto pretende

analisar a influencia da geometria em dois tipos de embarcações diferentes em seus

movimentos verticais, uma de grande porte, que chamaremos de Petroleiro, e outra de

médio porte, que chamaremos de PSV.

Para o estudo do comportamento dinâmico do petroleiro de grande porte serão

analisadas duas concepções de geometrias do corpo de proa, o estudo pretende comparar

os movimentos de verticais do navio com proas com bulbo e sem bulbo. O estudo dos

37

movimentos da embarcação de apoio offshore (PSV) também será feito a variação da

geometria com polpa bulbosa e do navio sem bulbo, porém, também serão avaliados os

movimentos verticais do mesmo com a proa com geometria X-BOW.

Para a modelagem dos bulbos em ambas embarcações utilizou-se as recomendações

feitas por KRATCH [1] em sua publicação “Design of Bulbous Bow”. Já para modelagem da

proa do tipo X-Bow para o PSV, utilizou-se das recomendações e de imagens disponíveis

da ULSTEIN [2].

Após termos todas as geometrias feitas, foram geradas as malhas a serem analisadas

no WAMIT e por fim levantados sistematicamente RAOs para todas as embarcações. A

apresentação e discussão dos resultados obtidos podem ser vistas nas duas próximas

seções deste trabalho.

A partir dos RAOs plotados e feita a discussão particular sobre a variação da

geometria das duas embarcações partiu-se então para uma comparação entre as respostas

obtidas para o Petroleiro com as respostas obtidas para o PSV. A fim desta comparação

plotou-se as respostas obtidas em relação à razão comprimento do navio por

comprimento de onda

para poder observar se as duas embarcações se comportavam

de forma parecida após feita uma adimensionalização dos seus comprimentos em relação

ao comprimento de onda.

A faixa de frequências e os comprimentos utilizados para o estudo podem ser vistos a

seguir:

38

Figura 4 - Ondas do Estudo

Tendo definido a frequência e o comprimento de onda, temos então o mar ao qual

vamos estudar o comportamento das embarcações em questão.

De acordo com JOURNÉE [8] as ondas harmônicas podem ser vistas sobre duas

perspectivas:

a. A primeira perspectiva em que o perfil de onda é tratado em função do seu

comprimento ao longo da direção de propagação em um instante fixo no tempo. A

expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é:

b. A segunda perspectiva é um registro ao longo do tempo do perfil de onda. A

expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é dada por:

39

Figura 5 – Perfis de Onda

Ainda de acordo com JOURNÉE [8] uma onda se movendo ao longo da direção x,

pode ter seu perfil descrito em função da direção x e do tempo t da seguinte forma:

A partir da definição do mar de estudo vamos então discutir as equações do

movimento que estão envolvidas em nosso problema. Como estamos interessados nos

movimentos verticais das embarcações iremos apresentar portanto as equações acopladas

de Heave e Pitch que estão envolvidas em nossa análise, são estas:

Sendo os movimentos e as forças de excitação harmônicas temos que:

Assim as equações de Heave e Pitch podem ser escritas da seguinte forma:

Escrevendo a equação na forma matricial e cortando os termos a fim de retirar a

dependência do tempo das equações temos:

40

Ou:

Sabendo que a força de excitação de acordo com SPHAIER [6] pode ser escrita como:

Sendo:

é a função de transferência entre a onda e a força sobre o corpo

é a amplitude da onda

Temos então:

Chegamos então ao operador de resposta de amplitude (RAO) de Heave e Pitch:

Resolvendo esta expressão para diversas frequências podemos então plotar os RAOs de

Heave e Pitch.

A fim de se observar os movimentos e acelerações verticais no corpo de proa das

embarcações em questão, o mesmo foi generalizado pelo movimento de um ponto situado

na proa das embarcações, visto que não há razão para que pontos em sua vizinhança

tenham movimentos discrepantes do mesmo. A expressão que permite o cálculo dos

movimentos e acelerações verticais deste ponto situado no corpo de proa é a seguinte:

Como estamos trabalhando com pequenos deslocamentos demos que:

E a aceleração na proa é obtida por:

Ou:

41

5.1 O PETROLEIRO Antes de apresentarmos os resultados obtidos pelo WAMIT vamos primeiramente

apresentar as geometrias e respectivas malhas geradas para o petroleiro com bulbo e sem

bulbo. Estas podem ser vistas a seguir:

Petroleiro sem Bulbo

Figura 6 - (A) Forma gerada Petroleiro Sem Bulbo (B) Malha Petroleiro sem Bulbo

Petroleiro com Bulbo

Figura 7 - (A) Forma gerada Petroleiro Com Bulbo (B) Malha Petroleiro Com Bulbo

Após a geração das malhas foi possível então usar o WAMIT para gerar os RAOs de

Heave e Pitch a fim de se observar o influência do bulbo no petroleiro em seus

movimentos verticais.

Foram levantados RAOs para o Centro de Gravidade de embarcação e para um ponto

situado na proa da embarcação a fim de observar os movimentos verticais do corpo de

proa, para simplificação do estudo generalizamos os movimentos verticais deste ponto

situado no corpo de proa para o corpo inteiro, visto que não há razão para que pontos em

sua vizinhança tenham movimentos discrepantes do mesmo. Vale também a ressalva que

42

os movimentos angulares deste ponto não são apresentados, simplesmente pelo fato de

um simples ponto não apresentar deslocamento angulares.

Para fins do estudo foram plotados RAOs para aproamento de ondas de 180º e 135º

Figura 8 - Aproamentos Estudados

Os resultados e as discussões sobre os RAOs e os ângulos de fase levantados estão

apresentados a seguir:

Heave e Pitch para o centro de gravidade

Gráfico 4 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 135º

43

Gráfico 5 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 135º


Gráfico 7 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 180º

Como podemos ver nos gráficos acima, para os dois aproamentos estudados, o petroleiro

com bulbo e sem bulbo apresentam deslocamentos angulares e lineares praticamente

idênticos, tendo, o petroleiro com bulbo uma pequena diferença no deslocamento angular

na frequência natural de pitch, esta por sua vez pouca significativa, não transmitindo uma

vantagem.

Em relação à fase dos movimentos concordância entre o petroleiro com bulbo e o

petroleiro sem bulbo porém, é valido atentar que para as ondas com ângulo de incidência

de 180º e 135º observamos uma mudança de fase dos movimento de heave para altas

frequências. Em altas frequências, o comprimento da onda começa a se aproximar do

44

comprimento do bulbo, assim este começa a interferir na fase das ondas ocasionando uma

mudança de fase.

A coincidência entre os deslocamentos no centro de gravidade, principalmente os

angulares de pitch, refletem na igualdade dos deslocamentos verticais do corpo de proa,

como podemos ver a partir dois gráficos a seguir:

Heave para o Corpo de Proa

Gráfico 8 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 135º

Gráfico 9 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 135º

45

Gráfico 10 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 180º


Como previsto os deslocamentos verticais do corpo de proa tanto para o petroleiro com

bulbo quanto para o sem são praticamente idênticos para toda a faixa de frequência

estudada.

Ao contrário do que se pensava no início deste trabalho o bulbo em uma embarcação de

grande porte não é vantajoso para minimizar os movimentos verticais da mesma. Como

mencionado no inicio do trabalho, embarcações de grande porte possuem baixo número

de Froude e de acordo com KRATCH [1], o bulbo não se apresenta vantajoso em

embarcações com a fim de minimizar o empuxo requerido para propelir a

embarcação.

Entretanto, como estudado o bulbo em uma embarcação de grande porte, também não é

vantajoso em relação ao comportamento dinâmico da mesma. O volume deslocado pelo

bulbo no corpo de proa da embarcação não é suficiente para mudar significativamente a

inércia do mesmo em relação ao corpo total de proa, a inércia longitudinal do petroleiro

não é alterada significativamente e consequentemente as amplitudes dos movimentos de

pitch também não, para os casos do petroleiro com e sem o bulbo não modificando assim

os deslocamentos verticais do corpo de proa visto que a força de restauração do mesmo

não sofre significativas modificações.

46

5.2 O PSV As geometrias e respectivas malhas geradas para o estudo do PSV podem ser vistas a

seguir:

PSV sem Bulbo

Figura 9 - (A) Forma gerada PSV sem Bulbo (B) Malha PSV sem Bulbo

PSV com Bulbo

Figura 10 - (A) Forma gerada PSV com Bulbo (B) Malha PSV com Bulbo

PSV X-Bow

47

Figura 11 - (A) Forma gerada PSV X-Bow (B) Malha PSV X-Bow

Analogamente ao estudo feito do Petroleiro, após a geração das malhas foi utilizado o

WAMIT para gerar os RAOs de Heave e Pitch e observar a influência das geometrias

propostas nos movimentos verticais da embarcação. Foram levantados RAOs para o centro

de gravidade e para a proa da embarcação, os movimentos desta generalizados a partir de

um ponto situado na mesma.

Como feito para o Petroleiro, foram considerados aproamentos de ondas de 180º e

135º.

Os resultados e as discussões sobre os RAOs levantados estão apresentados a seguir:

Heave e Pitch para o centro de gravidade



48



Ao contrario do estudo feito para o Petroleiro, no PSV observar algumas

modificações nos deslocamentos lineares e angulares quando se varia a forma da proa.

Como o deslocamento das embarcações é praticamente o mesmo, o motivo destas

variações não pode ser devido à diferença entre as forças de restauração, por isso buscou-

se na literatura indicações de parâmetros de forma (que não as dimensões principais da

embarcação, visto que todas possuem as mesmas dimensões) que influenciam nos

movimentos verticais de embarcações.

A partir dos gráficos plotados acima podemos ver uma concordância entre os RAOs

do PSV sem bulbo e do PSV X-Bow. Esta concordância era de se esperar visto que a única

significativa diferença entre estas duas geometrias é devido ao ângulo de entrada da proa

na linha d’água. O PSV X-Bow possui um ângulo de entrada menor do que a PSV sem Bulbo.

A comparação entre os ângulos pode ser vista abaixo:

COMPARAÇÃO ENTRE OS ANGULOS DE ENTRADA NA LINHA D'AGUA

PSV X BOW 26,801 DEG

PSV SEM BULBO 39,01 DEG

PSV COM BULBO 42,85 DEG Tabela 1 - Comparação entre os ângulos de entrada em DWL

De acordo com BHATTACHARRYA [9], as amplitudes dos movimentos verticais

diminuem a medida que se diminui o ângulo de entrada na linha d’água, o que pode ser

comprovado a partir dos resultados obtidos.

49

O PSV com Bulbo apresentou maiores amplitudes tanto nos deslocamento

angulares, tanto nos deslocamentos lineares como pode ser visto. A presença do Bulbo

deslocou meio metro a posição longitudinal do centro de empuxo do navio quando

comparado ao navio sem bulbo, porém em relação ao PSV X-Bow, não há significativa

diferença entre os LCBs:

COMPARAÇÃO ENTRE LCBs (referência espelho de popa)

PSV X BOW 43.23 m

PSV SEM BULBO 42.87 m

PSV COM BULBO 43,37 m Tabela 2 - Comparação entre os LCBs das embarcações

De acordo com BHATTACHARRYA [9] a influencia da posição longitudinal do

centro de empuxo nos movimentos verticais da embarcação não é tão clara, porém, de

acordo com dados experimentais, ficou comprovado que navios recebendo ondas pela

proa, que é o aproamento estudado, têm maiores amplitudes de movimentos verticais ao

ter seu centro de empuxo deslocado mais a vante, o que esta acontecendo ao

compararmos o PSV com bulbo com o sem bulbo.

Apesar do X-Bow possuir um centro de empuxo próximo ao do PSV com bulbo o

seu baixo ângulo de entrada na linha d´água o permite entrar com uma maior “suavidade”

ao enfrentar ondas de proa, minimizando assim sua excitação em ondas e consequente

amplitude vertical dos movimentos.

A coincidência observada para a amplitude dos movimentos também se reflete nos

ângulos de fase dos movimentos do PSV X-Bow e do PSV sem bulbo, porém estes ângulos

se diferem dos ângulos de fase do PSV com bulbo à medida que a frequência de oscilação

aumenta e o comprimento de onda diminui. O bulbo altera a natureza da onda, “criando

sua própria onda”, mais a vante e com diferente fase da onda de excitação. Assim a partir

do estudo do PSV pôde- ter uma maior sensibilidade da influencia do bulbo na mudança da

fase dos movimentos da embarcação.

Heave para o Corpo de Proa

Os resultados abaixo transmitem a influencia do movimento de pitch nos

movimento verticais do corpo de proa. A discussão feita anteriormente é

igualmente válida para estes resultados visto que estes não são nada mais do que o

movimento heave somado ao de pitch no corpo de proa:

50

Gráfico 16 - RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 135º


Gráfico 18 - RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 180º

51


5.3 COMPARATIVO PETROLEIRO X PSV

Após a discussão particular sobre cada embarcação separadamente, vamos agora

fazer um comparativo entre as duas. Para fazer tal comparação é necessário uma

adimensionalização do comprimento do navio pelo comprimento de onda de forma a

poder se observar o comportamento oscilatório das amplitudes das forças de excitação em

relação ao comprimento da embarcação, visto que comparar as resposta em função da

frequência não teria muito sentido visto que o Petroleiro analisado possui comprimento

praticamente quatro vezes maior ao PSV, sendo assim, enquanto “passa uma onda pelo

PSV, quatro ondas passam pelo Petroleiro”.

A fim desta comparação plotou-se as respotas obtidas em relação à razão

comprimento do navio por comprimento de onda

para poder observar se as duas

embarcações se comportavam de forma parecida após feita uma adimensionalização dos

seus comprimentos em relação ao comprimento de onda.

Para inserir nos eixos das abscissas a razão

devemos primeiramente relacionar a

frequência com esta relação. O ponto de partida para fazer tal relação esta na equação da

dispersão vista abaixo:

Para águas profundas temos que então a equação da dispersão fica reduzida a:

Temos então uma relação entre o número de onda (k) e a frequência:

52

Sendo o número de onda dado por:

Sendo o comprimento da onda temos então uma relação entre a frequência e o

comprimento de onda:

Multiplicando a equação acima dos dois lados pelo comprimento entre perpendiculares do

navio temos então a relação entre a frequência e a razão

:

Fazendo esta relação plotou-se então a resposta à força de excitação contra a razão

para os movimentos verticais do corpo de proa com aproamento de ondas de 180º. O

resultado disto pode ser visto no gráfico abaixo:

Gráfico 20 - RAO de Heave adimensionalizado no corpo de proa para Aproamento de 180º

A partir do gráfico acima pode se então observar que ao plotarmos a resposta em

função da razão

o comportamento oscilatório das forças de excitação tende-se a se

comportar de forma parecida independente do tipo de embarcação. Esta normalização do

comportamento oscilatório entre o PSV e o Petroleiro acontece pois após a

adimensionalização do comprimento da embarcação em relação ao comprimento de onda

não se tem mais “uma onda passando pelo petroleiro, enquanto quatro ondas passam pelo

PSV”, as comprimentos de onda agora estão distribuídos em relação ao comprimento do

navio, assim para o PSV e para o Petroleiro temos o mesmo número de ondas por

comprimento do navio.

53

A partir deste estudo adimensional do comportamento oscilatório das forças de

excitação pode-se também perceber a grande influencia do comprimento de uma

embarcação em seu comportamento no mar, pois embarcações com comprimentos

diferentes tinham respostas diferentes ao serem excitadas ao terem seu comprimento

adimensionalizado em relação ao comprimento de onda passaram a ter resposta muito

parecidas. No gráfico abaixo pode ser vez a mesma resposta das embarcações plotadas em

função da frequência e pode-se então perceber a variação das mesma quando não há o

comprimento adimensionalizado:

Gráfico 21 - RAO de Heave no corpo de proa de todas as embarcações para Aproamento de 180º

54

6 CONCLUSÃO

A partir do trabalho proposto algumas conclusões podem ser tiradas. Estas são:

O método bidimensional é capaz de descrever a dinâmica de corpos flutuantes de

maneira precisa para altas e baixas frequências, porém em frequências

intermediarias a tridimensionalidade do corpo não é percebida pelo método e os

resultados são levemente discrepantes.

Em uma embarcação com uma grande inércia como um Petroleiro, a geometria de

seu corpo de proa não possui nenhuma influencia em seus movimentos verticais.

A variação da geometria de uma embarcação de médio porte como um PSV pode

sim implicar em variações em seu comportamento dinâmico, porém para se poder

fazer uma generalização de quais parâmetros de forma influenciam mais ou menos

em seu comportamento, um estudado mais aprofundado, com mais variações da

geometria deve ser feito. Porém dificilmente, uma geometria será tão vantajosa

como o X-Bow, pois esta além de minimizar os movimentos verticais, como visto,

tem implicações na resistência ao avanço da embarcação, minimizando a mesma.

O bulbo é capaz de se alterar a fase dos movimentos de resposta às forças de

excitação.

Ao adimesionalizarmos a resposta das embarcações em relação a razão

comprimento do navio por comprimento de onda 0percerbemos uma coincidência

entre as resposta, nos levando a concluir que o comportamento dinâmico de uma

embarcação depende consideravelmente da relação comprimento navio por

comprimento de onda

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7 BIBLIOGRAFIA

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[2] ULSTEIN, "X-BOW Hull Line Desing, Disponível em www.ulstein.com, Acesso em

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[8] J. Journée, "Introduction In Ship Hydromechanics," Delft University of Technology,

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[9] R. Bhattacharyya, Dynamics of Marines Vehicles, New York: John Willey & Sons, 1972.

anÁlise da influÊncia da forma da proa nos … · 6 conclusão ... interessante do ponto de vista...

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