aula - empuxo de terra bom

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS E GEOLOGIA APLICADA - DRHGA MECÂNICA DOS SOLOS II MSC. ENG. CIVIL EVANDRO DE CARVALHO RIBEIRO

EMPUXO DE TERRA DEFINIÇÃO Empuxo de terra é a resultante das pressões laterais exercidas pelo solo sobre uma estrutura de arrimo1, podendo ser passivo ou ativo. A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental para a análise e o projeto de obras como muros de arrimo, cortinas de estacas-prancha, construção de subsolos, encontro de pontes, etc. O valor do empuxo de terra, assim como a distribuição de tensões ao longo do elemento de contenção, depende da interação solo-elemento estrutural durante todas as fases da obra. O empuxo atuando sobre o elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez, alteram o valor e a distribuição do empuxo, ao longo das fases construtivas da obra. O assunto é dos mais complexos da Mecânica dos Solos. Até hoje nenhuma teoria geral e rigorosa pôde ser elaborada, apesar do grande número de pesquisas já realizadas. Todas as teorias propostas admitem hipóteses simplificadoras mais ou menos discutíveis conforme as condições reais. TIPOS DE EMPUXO • Empuxo ativo Desenvolve-se quando o solo age sobre a estrutura de contenção, porém, cede com um pequeno deslocamento (ver Figuras 1.1a e 1.2). Neste caso, o maciço sofre uma distensão em virtude do deslocamento relativo que tende a ocorrer. • Empuxo passivo Desenvolve-se quando a estrutura de contenção age pressionando o solo, provocando o seu deslocamento em sentido contrário ao caso ativo (ver Figuras 1.1b e 1.2). É o caso, por exemplo, da ação de tirantes executados para conter o deslocamento de um talude em corte. O tirante “puxa” a face do talude, comprimindo-o. • Estado de equilíbrio Existe quando não o maciço se encontra na situação de deslocamento nulo. Por exemplo, se na escavação de uma vala não há necessidade de escoramento, há indicações de que o maciço escavado se encontra em estado de repouso (ver Figura 1.2). As tensões horizontais atuantes são denominadas tensões de repouso. As três situações descritas estão bem ilustradas na Figura 1. 1 Estruturas de contenção ou de arrimo são obras civis construídas com a finalidade de prover estabilidade contra a ruptura de maciços de terra ou rocha. São estruturas que fornecem suporte a estes maciços e evitam o escorregamento causado pelo seu peso próprio ou por carregamentos externos. Exemplos típicos de estruturas de contenção são os muros de arrimo, as cortinas de estacas prancha e as paredes diafragma. Embora a geometria, o processo construtivo e os materiais utilizados nas estruturas citadas sejam muito diferentes entre si, todas elas são construídas para conter a possível ruptura do maciço, suportando as pressões laterais exercidas por ele. (Fonte: Obras de Contenção – Manual Técnica – MACCAFERRI).


O gráfico abaixo mostra a variação dos empuxos em função dos deslocamentos. A pressão horizontal diminui ou aumenta, conforme o muro se afasta do maciço ou se desloca contra o maciço.

Figura 1 – Estado de repouso e desenvolvimento de empuxo ativo e passivo.

Exemplos:

Figura 2 – Exemplo empuxo ativo – Muro de arrimo e cortina de estacas (Moliterno, 1980)


Figura 3 – Exemplo empuxo passivo – Muro de arrimo, escoramento de vala e atirantamento de encosta (Moliterno, 1980)

Figura 4 – Muro-cais ancorado – caso em que se desenvolvem pressões ativas e passivas (UERJ)

COEFICIENTE DE EMPUXO - K Em todos os casos apresentados acima existe uma relação entre as tensões horizontais efetivas (σ´h) e as tensões verticais efetivas (σ´v) atuantes. A relação entre estas tensões denomina-se coeficiente de empuxo (K). No caso ativo, tem-se o coeficiente de empuxo ativo (Ka). No caso passivo, recebe o nome coeficiente de empuxo passivo (Kp), enquanto que na situação de repouso a denominação é coeficiente de empuxo em repouso (K0).

''h

v

K σσ

=


COEFICIENTE DE EMPUXO NO REPOUSO – K0 Consideramos, neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de solo se

mantém absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura do solo, isto é, está

num equilíbrio elástico.

Quanto a K0, que age sobre estruturas que não permitem qualquer deslocamento, o valor

depende de vários parâmetros geotécnicos do solo, dentre os quais: ângulo de atrito, índice

de vazios, razão de pré-adensamento, etc. A determinação do coeficiente de empuxo no

repouso pode ser feita a partir ensaios de laboratório e ensaios de campo, teoria da

elasticidade ou correlações empíricas.

As proposições empíricas (Tabela 1) valem para solos sedimentares. Solos residuais e solos

que sofreram transformações pedológicas posteriores, apresentam tensões horizontais que

dependem das tensões internas da rocha ou do processo de evolução sofrido. Nestes solos

o valor de K0 é muito difícil de ser obtido.


Tabela 1. Correlações empíricas para estimativa de K0

O Professor Caputo (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para K0 apresentados na Tabela 2.

Tabela 2. Valores genéricos de K0

SOLO K0 Argila 0,70 a 0,75 Areia solta 0,45 a 0,50 Areia compacta 0,40 a 0,45


ESTADOS DE EQUILÍBRIO PLÁSTICO Diz se que a massa de solo esta sob equilíbrio plástico quando todos os pontos estão em

situação de ruptura.

Seja uma massa semi-infinita de solo, não coesivo, mostrada na Figura 4. O elemento está

sob condição geostática e as tensões atuantes em uma parede vertical imaginária serão

calculadas com base em:

Figura 4 Onde:

σ'h= tensão efetiva horizontal inicial; σ'v = tensão efetiva vertical inicial; K0 = coeficiente de empuxo no repouso; γ = peso específico do solo; z = profundidade do ponto considerado.

Como não existem tensões cisalhantes, os planos vertical e horizontal são planos principais.

Supondo que haja um deslocamento do elemento de contenção, haverá uma redução da

tensão horizontal (σ’h), sem que a tensão vertical sofra qualquer variação. Se o

deslocamento do elemento de contenção prosseguir, a tensão horizontal irá diminuir até que

ocorra a condição de ruptura do material. Neste caso, diz-se que a região esta em equilíbrio

plástico e σ’h atingirá seu limite inferior (condição ativa).

Caso o elemento de contenção se desloque em direção oposta, a tensão horizontal irá

aumentar até atingir seu valor máximo na ruptura (condição passiva).

contenção


• Estado limite ativo: mantendo-se a tensão efetiva vertical constante e diminuindo-se

progressivamente a tensão efetiva horizontal.

• Estado limite passivo: mantendo-se a tensão efetiva vertical constante e

aumentando-se progressivamente a tensão efetiva horizontal.

A Figura seguinte mostra os estados limites em termos de círculos de Mohr correspondentes

à mobilização dos estados limites ativo e passivo.

Figura 4a - Círculos de Mohr representativos dos estados limites e de repouso

Figura 4b – Planos de ruptura para os casos de empuxo ativo e passivo

c


Critérios de ruptura: A lei que determina a resistência ao cisalhamento do solo é o critério de

ruptura ou de plastificação do material. Trata-se de um modelo matemático aproximado que

relaciona a resistência de cisalhamento ao estado de tensão atuante. No caso dos solos, o

critério de plastificação mais amplamente utilizado é o critério de Mohr-Coulomb, que

estabelece uma relação entre a resistência ao cisalhamento do material e a tensão normal.

O critério de Mohr-Coulomb se baseia na lei de Coulomb e no critério de ruptura de Mohr.

Critério de Mohr: supõe que a tensão de cisalhamento, correspondente à ruptura do material

ou ao início do seu comportamento plástico, é função de uma combinação crítica de tensões

normais.

τr = f(σ)

O diagrama de Mohr apresenta o estado de tensões em torno de um ponto da massa de

solo. Para determinar a resistência ao cisalhamento do solo (τ), são realizados ensaios com

diferentes pares de tensões principais (σ3, σ1) causadores da ruptura do material, conforme

representado na Figura 5. Cada círculo de Mohr representa o estado de tensões na ruptura

de cada ensaio. A linha que tangência estes círculos é definida como envoltória de ruptura

de Mohr.

Figura 5 – Envoltória de ruptura de Mohr.


Figura 5

Assim, para que um corpo resista, é suficiente que o círculo de Mohr (C'), correspondente às

tensões principais atuantes, fique no interior da curva intrínseca. Se o círculo (C) é tangente

à curva AB, há a possibilidade de ruptura do material, por deslizamento, ao longo do plano

que forma um ângulo α com o plano horizontal maior. Nesse caso, a tensão de cisalhamento

atingiu a resistência ao cisalhamento do material (τ = τr). Critério de Mohr-Coulomb: é na realidade um caso particular do critério de Mohr, supondo-se

na equação τr = f(σ) uma variação linear entre esses esforços.

Segundo este critério haverá ruptura do solo quando em cada ponto “P” ao longo da

superfície de ruptura (reta de Coulomb) a tensão de cisalhamento iguala a resistência ao

cisalhamento do material (τ = τr).

O critério de Mohr-Coulomb assume que a envoltória de resistência ao cisalhamento do solo

tem a forma de uma reta dada por:

s = c + σ.tan φ

onde “s” é a resistência ao cisalhamento, “c” é chamada de coesão e “φ” o ângulo de atrito

interno.


Figura 6

Determinação da equação de ruptura de Mohr – Condição analítica de ruptura

Reconsideraremos a equação de Coulomb, representada pela reta MN, a qual tangencia o

círculo de Mohr de centro “C” e caracterizador das condições de tensões em torno de um

ponto “P” do solo solicitado.

Sendo “T” o ponto de tangência, isto indica que no plano que forma o ângulo α com o plano

principal maior, a tensão de cisalhamento atingiu a resistência ao cisalhamento (τ = τr). Nessas condições, a ruptura do material está iminente no ponto “P”, e segundo o plano que

forma o ângulo α.

Se esta condição de ruptura existe em todos os pontos da massa do solo, diz-se que ela

está em um estado de equilibro plástico.


Figura 7


Onde: σ1, σ3: tensões principais φ: ângulo de atrito interno do solo c: coeficiente de coesão do solo fino


NOTA: COESÃO E ÂNGULO DE ATRITO INTERNO A coesão “c” e o ângulo de atrito interno φ são parâmetros da resistência ao cisalhamento

do solo, segundo este critério de ruptura, e a sua determinação é fundamental na

determinação do empuxo. Esta determinação pode ser feita por ensaios de laboratório,

como o ensaio de cisalhamento direto e o ensaio de compressão triaxial.

É importante notar que “c” e “φ” não são parâmetros intrínsecos do solo, mas parâmetros do

modelo adotado como critério de ruptura. Além disso, o valor desses parâmetros depende

de outros fatores, como teor de umidade, velocidade e forma de carregamento e condições

de drenagem. Estes valores podem, inclusive, variar com o tempo, o que leva à conclusão

de que o valor do empuxo também pode variar com o tempo. Isto torna a análise muito mais

complexa e cabe ao projetista identificar o momento em que as condições do problema são

mais desfavoráveis.

A resistência ao cisalhamento dos solos é essencialmente devido ao atrito. Entretanto, na

coesão a atração química entre partículas (potencial atrativo de natureza molecular e

coloidal), principalmente, no caso de estruturas floculadas, e a cimentação de partículas

(cimento natural, óxidos, hidróxidos e argilas) pode provocar a existência de uma coesão

real. Segundo Vargas (1977), de uma forma intuitiva, a coesão é aquela resistência que a

fração argilosa empresta ao solo, pelo qual ele se torna capaz de se manter coeso em forma

de torrões ou blocos, ou pode ser cortado em formas diversas e manter esta forma. Os solos

que têm essa propriedade chamam-se coesivos. Os solos não-coesivos, que são areias

puras e pedregulhos, esborroam-se facilmente ao serem cortados ou escavados.

Os principais fatores que determinam o valor do ângulo de atrito interno “φ” são:

1. Compacidade: é o principal fator. Quanto maior a compacidade (ou menor índice de

vazios), maior o esforço necessário para se romper a estrutura das partículas e,

conseqüentemente, maior o valor de “φ”. Por exemplo, para uma mesma areia o ângulo de

atrito No estado compacto é maior do que no estado fofo (φ densa > φ fofa).

2. Granulometria: nas areias bem graduadas as partículas menores ocupam os vazios

formados pelas partículas maiores, conduzindo a um arranjo mais estável, com maior


resistência. Além disso, as areias mais grossas tendem a se dispor naturalmente de forma

mais compacta, devido ao peso próprio de cada partícula. Isto faz com que, em geral, o valor

de “φ” seja um pouco maior nas areias grossas e pedregulhos.

3. Forma das partículas: partículas mais arredondadas oferecem menos resistência do que

partículas mais irregulares. Assim, estas últimas apresentam “φ” maior.

4. Teor de umidade: a umidade do solo tem pequena influência na resistência das areias.

Isto se deve ao fato de a água funcionar como um lubrificante nos contatos entre as

partículas, diminuindo o valor de “φ”. Além disso, quando a areia está parcialmente saturada,

surgem tensões capilares entre as partículas, o que provoca o aparecimento de uma

pequena coesão, chamada de coesão aparente. No entanto esta coesão desaparece

quando o solo é saturado ou seco.

Na tabela seguinte estão mostrados valores típicos do ângulo de atrito interno “φ” de alguns

materiais granulares.


CONDIÇÕES DE DESENVOLVIMENTO DOS ESTADOS DE EQUILÍBRIO PLÁSTICO Resultados experimentais mostraram que os estados de equilíbrio plástico se desenvolvem quando o deslocamento do muro é uniforme ou quando há rotação pela base (Figura). Por outro lado, se a rotação for pelo topo haverá possibilidade de formação de uma superfície não planar, sem que toda região atinja equilíbrio plástico. O tipo de deslocamento afeta a forma da superfície de plastificação e conseqüentemente interfere na distribuição de tensões.

Figura - Condições de deformação compatíveis com estados plásticos

Figura – Rotação pelo topo.

A Figura abaixo mostra os diagramas de empuxo para o caso de solos não coesivos, para

diferentes condições de deslocamento. Observa-se que sempre que a superfície for plana a

distribuição também é linear. Para outros casos a distribuição de empuxos passa a ter a

forma parabólica.


Condição de deformação compatível com o estado plástico

(c) Rotação pelo topo.

(b) Rotação pela base.


RESULTADOS EXPERIMENTAIS POR TERZAGHI Segundo ensaios realizados por Terzaghi em 1929 no MIT (Massachusetts Institute of

Technology), com paredes de grandes dimensões, conduziram às seguintes conclusões:

1. Só há distribuição de pressões lineares ao longo do elemento de contenção, tal como

prevê a teoria de Coulomb, quando este gira em torno de sua aresta inferior (Figura a);

2. Se o suporte desloca-se por translação, o diagrama de pressões tende para a forma

parabólica e o ponto de aplicação do empuxo sobe;

3. Se o suporte gira em torno da sua aresta superior, o diagrama das pressões torna-se

ainda sensivelmente parabólico, com aumento de intensidade na parte superior (Figura b).

4. Se o suporte está impedido de se deslocar, tanto na parte superior como na inferior, o

diagrama das pressões será do tipo representado na Figura c.

As conclusões 2, 3 e 4 correspondem ao chamado efeito de arco ou arqueamento que tão

frequentemente ocorre nos solos.

Figura 4 – Resultados experimentais Terzaghi (Moliterno, 1980)

Do que foi exposto conclui-se que a posição do ponto de aplicação do empuxo depende do

tipo de deslocamento do suporte. Assim, para o primeiro caso, o empuxo localiza-se 1/3h

caso em que é aplicável a teoria de Coulomb. Já para o caso Figura b, o empuxo localiza-se

0,50h. Para outras condições de deformação prevêem-se localizações intermediárias em

torno de 0,4h.


TEORIA DE RANKINE (1857) Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra são métodos

de equilíbrio limite. Nestes métodos admite-se que a cunha de solo situada em contato com

a estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação, ativo ou passivo.

Esta cunha tenta deslocar-se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises

de equilíbrio dos corpos rígidos (indeformável). A análise de Rankine se apóia nas equações

de equilíbrio interno do maciço. Estas equações são definidas para um elemento infinitesimal

do meio e estendida a toda a massa plastificada através de integração.

O equilíbrio de tensões entre os campos externos e internos se estabelece sobre a cunha

plastificada. As tensões externas são despertadas por solicitações aplicadas na superfície

do terreno pela ação do peso próprio da cunha. As solicitações internas são as reações que

se desenvolvem na cunha, em conseqüência das solicitações externas. Para resolução das

equações de equilíbrio, todos os pontos dentro da cunha de ruptura são supostos em estado

limite e as tensões se relacionam pelo critério de ruptura de MÖHR – COULOMB.

A solução de Rankine, estabelecida para solos granulares e estendida para solos coesivos,

constitui a primeira contribuição ao estudo das condições de equilíbrio limite dos maciços,

tendo em conta as equações de equilíbrio interno do solo. Em razão disso, essas equações

são conhecidas como estados de plastificação de Rankine.

O método de Rankine, que consiste na integração, ao longo da altura do elemento de

suporte, das tensões horizontais atuantes, calculadas a partir do sistema de equações

estabelecido para o maciço, fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

• Solo isotrópico; • Solo homogêneo; • Superfície do terreno plana; • A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço simultaneamente; • A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação; • Muro perfeitamente liso, ou seja, não admite atrito entre o solo e o muro; • Os empuxos de terra atuam paralelamente à superfície do terreno; • A parede da estrutura em contato com o solo é vertical. Embora teoricamente a solução de Rankine só seja válida para muro de parede vertical,

perfeitamente lisa, que é quando se atingem os estados de plastificação (superfície de

escorregamento fazendo um ângulo igual a 45°+φ/2 ou 45°-φ/2 com o plano principal maior,


para as condições ativa e passiva, respectivamente, conforme mostrado na Figura 8a), ela é

estendida também aos casos em que o tardoz do muro faz um ângulo β com a vertical.

Figura 8a – Condições para aplicação da Teoria de Rankine. Quando a superfície do terreno é inclinada de um ângulo β com a horizontal, há que se

considerar o muro com uma rugosidade suficiente para inclinar as tensões resultantes do

mesmo valor. À medida que se afasta das hipóteses fundamentais, o método fornece

valores que se distanciam cada vez mais dos valores práticos observados. A presença do

atrito na interface solo–muro gera tensões tangenciais que contribuem para resistir ao

deslocamento da cunha plastificada. Neste caso, a utilização da teoria de Rankine torna

superestimado o valor do empuxo ativo e subestimado o do empuxo passivo. Além disso, o

atrito propicia uma redução da componente horizontal do empuxo (menor quanto maior for o

valor do coeficiente de atrito entre o solo e o muro, δ) e provoca o encurvamento das

superfícies de escorregamento.

A Figura 8a anterior mostra cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine (onde não se

considera a interação solo-estrutura), enquanto na Figura 8b são mostradas as formas das

cunhas de ruptura dos estados ativo e passivo, na consideração da existência do atrito na

interface solo–muro.

o ϕ+45

2

o ϕ−45

2


Figura 8b – Efeito do atrito solo–estrutura sobre as direções das cunhas de plastificação.


COEFICIENTES DE EMPUXO ATIVO E PASSIVO

No interior de uma massa de solo – considerada como um semi-espaço infinito (limitada

apenas pela superfície do solo e sem nenhuma sobrecarga) – uma das tensões principais

tem direção vertical e o seu valor é dado pelo peso próprio do solo. A direção da outra

tensão principal será, consequentemente, horizontal.

CASO ATIVO Admitindo-se que a parede AB da Figura 9 se afaste do solo, a tensão horizontal diminuirá

até alcançar um valor mínimo e a tensão vertical será a tensão principal maior:

Tensão principal maior: σv = σ1

Tensão principal menor: σh = σ3

Continuando o deslocamento de AB, deixará de haver continuidade das deformações e se

produzirá o deslizamento ao longo da linha BC que, como sabemos, forma um ângulo de

45°-φ/2 com a direção da tensão principal maior ou 45°+φ/2 com a da tensão principal

menor.

σv

σh


Figura 9

Da relação: σh = K σv → K = σh /σv → Ka = σ3 / σ1 Pela equação de ruptura de Mohr, temos que: σ1 = σ3Nφ + 2c Nφ

c = 0 → Nϕσσ

=1

3

Nϕ

σσ

=3

1

1 → temos que:

senN tgsenϕ

ϕ ϕϕ

+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠2 01 45

1 2

tgsensen

σ ϕσ ϕ

ϕ

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎛ ⎞+ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 03

1

1 4521

1

aKσσ

=3

1

Coeficiente de empuxo ativo:

oaK tg ( 45 )

2ϕ

= −2


CASO PASSIVO Admitindo o caso inverso, a parede se desloca contra o solo, o empuxo deverá ser maior do

que o peso do maciço de solo. Assim, pode-se supor que a tensão principal maior é a

horizontal, e a menor, a vertical.

Tensão principal maior: σh = σ1

Tensão principal menor: σv = σ3

Figura 10

Da relação: σh = K σv → K = σh /σv → Kp = σ1 / σ3 Pela equação de ruptura de Mohr, temos que: σ1 = σ3Nφ + 2c Nφ

c = 0 → Nϕσσ

=1

3

temos que: senN tgsenϕ

ϕ ϕϕ

+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠2 01 45

1 2

sen tgsen

σ ϕ ϕσ ϕ

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠2 01

3

1 451 2


pKσσ

=1

3

Coeficiente de empuxo passivo:

opK tg ( 45 )

2ϕ

= +2


SOLO NÃO COESIVO (c = 0) – SUPERFÍCIE PLANA A expressão do empuxo ativo total, Ea, igual à área do triângulo ABD, compreendendo solo

não-coesivo e superfície plana, será:

Como: σh = Ka γ h σv = γ h Temos:

h

a h

h

a a0

2a a

E dz

E K z dz

1E K γ h2

σ

γ

=

=

=

∫

∫

0

com ponto de aplicação no terço inferior da altura do arrimo. A expressão do empuxo passivo total, Ep, compreendendo solo não-coesivo e superfície

plana, será:

Como: σ1 = σh = Kp γ h σ3 = σv = γ h Temos:


h

p h

h

p p0

2p p

E dz

E K z dz

1E K γ h2

σ

γ

=

=

=

∫

∫

0

No quadro abaixo, indicam-se os valores dos coeficientes de empuxo ativo e passivo para

diferentes valores do coeficiente de atrito interno (φ).

Na Figura 11, representamos, segundo o critério de ruptura de MOHR, os três estados: em

repouso, ativo e passivo.

Partindo da tensão vertical σv = γz observa-se que o maciço expandindo-se (caso ativo), a

tensão horizontal σh decresce até que o círculo torne-se tangente à reta de Coulomb; neste

ponto, ocorre a ruptura e o valor de σh é dado por Ka .γ.z. Quando ao contrário, o solo é

comprimido lateralmente, cresce até que a ruptura atinja o valor Kp .γ.z. Assim, os pontos

de tangência representam estados de tensão sobre planos de ruptura.


Figura 11

Observa-se, assim, que no estado ativo a plastificação do maciço dá-se ao longo de planos

definidos por um ângulo de o452ϕ

+ com a horizontal e, no estado passivo, segundo um

ângulo de o452ϕ

− .

Figura 12 – Superfícies de ruptura para o estado ativo e estado passivo. Exemplo:


Figura 13 – Regiões de ruptura de uma sapata


SOLO NÃO COESIVO (c = 0) – SUPERFÍCIE INCLINADA Se a superfície do terreno tem uma inclinação β com o solo, os valores dos empuxos serão,

segundo dedução analítica de Rankine, respectivamente:

(φ - ângulo de atrito interno)

Coeficiente e Empuxo Ativo:

aEa h K cosγ β= 212

cos cos cosKacos cos cos

β β φβ β φ− −

=+ −

2 2

2 2

Coeficiente e Empuxo Passivo:

pEp h K cosγ β= 212

cos cos cosKpcos cos cos

β β φβ β φ+ −

=− −

2 2

2 2

Em ambos os casos a direção do empuxo será paralela à da superfície do solo arrimado.

E


SOLO COESIVO (c ≠ 0) – SUPERFÍCIE INCLINADA

Para o caso de solo coesivo (c ≠ 0), não há uma expressão analítica simples quando a

superfície do solo não é horizontal, sendo necessária a determinação da pressão lateral

graficamente com o uso dos círculos de Mohr correspondentes aos estados ativo e passivo,

ou se desenvolvendo as equações analíticas correspondentes. Para isto utiliza-se a

construção mostrada na Figura abaixo.

Inicialmente determina-se o ponto “M” dado por:

O centro “0” e o raio “r” do círculo que passa por “M” e é tangente à envoltória de resistência

são dados por:


onde o sinal positivo se refere ao estado passivo e o sinal negativo, ao estado ativo e:

As coordenadas dos pontos “A” e “P” serão dadas, finalmente, por:


Os valores das tensões laterais ativa e passiva, para a profundidade “z”, serão dados por:

Integrar


Também neste caso ocorrem fendas de tração no estado ativo até a profundidade ”Z0”

dada por:


SOLO COESIVO (c ≠ 0) – SUPERFÍCIE PLANA CASO ATIVO Para solos coesivos, partindo da equação de Mohr podemos escrever, considerando o

estado ativo de equilíbrio limite:

h

v zσ σσ σ γ

== =

3

1

Substituindo na equação de ruptura de Mohr, temos:

v h

vh

h a a

N c N

ou

c NN N

ou :

z K c K

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

σ σ

σσ

σ γ

= +

= −

= −

2

2

2

O empuxo total é calculado a partir da integral da distribuição de tensões horizontais:

h

h

a a

Ea dz

Ea h K ch K

σ

γ

=

= −

∫0

21 22

Ocorre, porém, que o solo normalmente não resiste a tensões de tração. Assim, abrem-se

fendas na superfície até esta profundidade. Sendo assim, não se pode contar com estas

tensões que diminuiriam o valor do empuxo ativo resultante. Além disso, estas fendas

podem estar preenchidas com água proveniente de chuvas, o que pode aumentar ainda


mais o valor do empuxo. O resultado é a distribuição de tensões mostrada na Figura

seguinte. Pode-se adotar para efeito de cálculo uma distribuição aproximada como a

mostrada na mesma figura e sugerida por Bowles.

Estas tensões de tração não ocorrem, porém, no estado passivo, como se pode ver na

Figura anterior. Assim, não há a formação de fendas de tração no estado passivo.

Devido ao caso ativo, no solo coesivo podem ocorrer fendas provocadas por tensões de

tração, sendo sua profundidade calculada quando a tensão horizontal se anula σh= 0. A

altura z0 corresponde altura até a qual ocorrem fendas de tração no solo.

No caso ativo, a distribuição de tensões anula a uma determinada profundidade z0. As

tensões horizontais acima dessa profundidade são negativas, conforme mostra a Figura

abaixo. Como o solo não resiste a tensões de tração, surgem trincas nesta região.


h a a

h

a a

a

z K c K

z K c K

czK

σ γ

σ

γ

γ

= −

=

− =

=0

2

0

2 0

2

Pelo fato da região superficial apresentar tensões negativas (z < z0), haverá uma

profundidade em que a resultante de empuxo ativo será nula. Até esta profundidade (hcr) a

escavação vertical é estável. Para esta altura o maciço se mantém estável sem necessidade

de nenhuma contenção.

Quando o valor do empuxo se anula Ea=0, temos:

a a

a a

cr a

cr

Ea

Ea h K ch K

h K ch K

ch h K

h z

γ

γ

γ

=

= −

− =

= =

=

2

2

0

0

1 22

1 2 02

4

2

VER APLICAÇÃO.


Para solos moles coesivos, onde o ângulo de atrito interno φ é zero, têm-se:

cr

Ea h ch

ch h

γ

γ

= −

= =

21 22

4

CASO PASSIVO Para solos coesivos, partindo da equação de Mohr podemos escrever, considerando o

estado passivo de equilíbrio limite, temos:

h

zσ σσ γ

==

1

3

Substituindo na equação de ruptura de Mohr, temos:

h v

h p p

N c N

ou

z K c K

ϕ ϕσ σ

σ γ

= +

= +

2

2


O empuxo total é calculado a partir da integral da distribuição de tensões horizontais:

h

h

p p

Ep dz

ou

Ep h K ch K

σ

γ

=

= +

∫0

21 22

PONTO DE APLICAÇÃO: O ponto de aplicação do empuxo, em todos esses casos, está

localizado no centro de gravidade dos diagramas de pressão lateral descritos. Assim, no

caso de solo não coesivo e sobrecarga nula, o diagrama de pressão lateral é triangular, e o

ponto de aplicação do empuxo, tanto ativo como passivo, está localizado a uma altura igual

a “H/3” da base do anteparo.


EFEITO DE SOBRECARGA – SUPERFÍCIE PLANA Se existe uma sobrecarga uniformemente distribuída, q, aplicada na superfície do terreno, a

tensão vertical em qualquer ponto do maciço aumenta naturalmente de igual valor. Assim:

v' z qσ γ= +

Caso o maciço se encontre em equilíbrio limite, a tensão horizontal (ativa ou passiva) sobre

a parede a uma profundidade z passa a ser:

h v' K ' K z Kqσ σ γ= = +

Sendo K igual a Ka ou Kp conforme o caso considerado.

Conclui-se então, que a existência de uma sobrecarga uniformemente distribuída na

superfície do terreno implica, em uma situação de equilíbrio limite de Rankine, a existência

de um diagrama retangular de pressões.

O efeito da sobrecarga pode ser também considerado como uma altura equivalente de

aterro (ho):

0qhγ

= sendo γ o peso específico do solo.


EFEITO DE SOBRECARGA – SUPERFÍCIE INCLINADA

Se existe uma sobrecarga uniformemente distribuída, q, aplicada na superfície do terreno, a

tensão vertical em qualquer ponto do maciço aumenta naturalmente de igual valor. Assim:

v' z q cosσ γ β= +

Caso o maciço se encontre em equilíbrio limite, a tensão horizontal (ativa ou passiva) sobre

a parede a uma profundidade z passa a ser:

h v' K ' K z Kq cosσ σ γ β= = +

Sendo K igual a Ka ou Kp conforme o caso considerado.

Quanto ao efeito de sobrecarga q aplicada sobre o terreno, ele pode também ser

considerado como uma altura equivalente de terra, h0, onde γ é o peso específico do

terreno.

n

n 0

0

qh

h h cosqh

cos

γβ

γ β

=

=

=


SOLO (MACIÇO) ESTRATIFICADO Considere o maciço estratificado apresentado na Figura. Cada estrato apresenta um valor de peso específico (γ) e ângulo de atrito ( 'φ ), consequentemente, cada estrato apresenta um valor de coeficiente de empuxo (K) distinto. A tensão horizontal no ponto imediatamente acima da superfície de separação dos estratos é calculada por K1 γ1 h1. No cálculo das tensões para as profundidades correspondentes ao estrato 2, o estrato 1 pode ser considerado como uma sobrecarga uniformemente distribuída de valor γ1 h1, dando origem a um diagrama retangular de valor K2 γ1 h1. Este diagrama soma-se ao das tensões associadas ao estrato 2, que, a uma profundidade h2 valem K2 γ2 h2. Ressalta-se que, pelo fato de K1 e K2 serem diferentes, o diagrama resultante apresenta uma descontinuidade à profundidade de separação dos estratos. Neste caso, o ponto de aplicação do empuxo deve ser calculado a partir do equilíbrio das forças resultantes de cada um dos diagramas.


INFLUÊNCIA DO LENÇOL D'ÁGUA No caso de existência de um lençol d'água, o problema pode ser resolvido como se

houvessem dois estratos, um acima do nível freático, de peso específico γ, e outro abaixo do

nível freático, de peso específico γ sub.

A Figura esquematiza o processo de cálculo:

• O diagrama (1) é referente ao solo acima do nível freático. A tensão horizontal cresce

com a profundidade até a altura do nível d’água. A partir daí, o diagrama permanece

constante, já que o estrato superior pode ser considerado como uma sobrecarga

uniformemente distribuída de valor γ (h-hw).

• O diagrama (2) refere-se ao solo abaixo do nível freático.

• O diagrama (3) é o das pressões hidrostáticas.

Ressalta-se que, uma vez que se trata do mesmo solo, o diagrama resultante apresenta

uma quebra no nível freático, mas não uma descontinuidade.

NA


FACE DO MURO INCLINADA COM SUPERFÍCIES INCLINADAS As equações apresentadas nos itens anteriores são válidas para situações em que o

empuxo atua em superfícies verticais, isto é, estruturas de contenção com face interna

vertical. Caso esta face não seja vertical os valores do coeficiente de empuxo ativo e passivo

são alterados. A Tabela seguinte mostra os valores de coeficiente de empuxo para varias

situações.

Tabela. Valores de Ka e Kp para muros e retroaterros inclinados e φ=30º.


TEORIA DE COULOMB (1776) A Teoria de Coulomb (1776) de empuxo de terra baseia-se na teoria de equilíbrio limite, isto

é, na existência de uma superfície de ruptura, e, ao contrário da teoria de Rankine, admite a

existência de atrito solo-muro.

A Teoria de Coulomb baseia-se na hipótese de que o esforço exercido pelo paramento é

proveniente da pressão do peso parcial de uma cunha de terra (corpo rígido - indeformável),

mas que se rompe segundo superfícies curvas. O deslizamento ocorre frequentemente ao

longo de uma superfície de curvatura em forma de espiral logarítmica. Nos casos práticos, é

válido substituir esta curvatura por uma superfície plana, que chamamos de plano de ruptura

ou plano de deslizamento.

A vantagem deste método reside no fato de que se pode considerar a ocorrência de atrito

entre a estrutura de arrimo e o solo, além de possibilitar a análise de estruturas com o

paramento não vertical.

Em resumo são consideradas as seguintes hipóteses: • Solo homogêneo e isotrópico; • A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação, ou seja, a ruptura é tratada como

um problema bidimensional; • Forças de atrito uniformemente distribuídas ao longo da superfície de ruptura (atrito solo-

muro); • Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em estado de equilíbrio

limite (critério de Mohr-Coulomb), ou seja, o estado de equilíbrio plástico é proveniente do peso de uma cunha de terra.


O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendo-se as equações de equilíbrio das forças

atuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética. Uma das forças atuantes é o

empuxo, que no estado ativo corresponde à reação da estrutura de arrimo sobre a cunha de

solo e, no passivo, à força que a estrutura de arrimo exerce sobre ela. O empuxo ativo será

o máximo valor dos empuxos determinados sobre as cunhas analisadas. O passivo será o

valor mínimo dos empuxos. Assim, nos casos de geometria mais simples, será possível

estabelecer uma equação geral para o problema e encontrar o seu valor máximo, ou

mínimo, correspondente às situações ativa e passiva, respectivamente.

Na mobilização do empuxo ativo, o muro se movimenta de modo que o solo é forçado a

mobilizar a sua resistência ao cisalhamento, até a ruptura iminente. A ativação da resistência

ao cisalhamento do solo pode ser entendida como o fim de um processo de expansão que

se desencadeia no solo a partir de uma posição em repouso. Isto significa que o valor do

empuxo sobre a estrutura de contenção vai diminuindo, com a expansão, até que se atinge

um valor crítico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificação. Quando as análises de

equilíbrio são efetuadas para as diversas cunhas hipotéticas, supõe-se que esse limiar da

ruptura tenha sido alcançado em todas elas. Portanto, o maior valor de empuxo estabelecido

na análise destas cunhas será o crítico, pois no processo de ativação ele será atingido em

primeiro lugar, ocasionando o empuxo ativo. Isto significa que o empuxo ativo é um ponto de

máximo dentre os valores determináveis de empuxo. O contrário ao descrito nos dois últimos

parágrafos ocorrerá para o caso passivo.

Haverá, portanto rotação das tensões principais, que antes atuavam nas direções vertical e

horizontal (Figura acima). Adicionalmente, a superfície de ruptura passa a ser curva, como mostra

a Figura abaixo. Nesta figura, observa-se que a curvatura é mais acentuada para situação passiva.


EQUILÍBRIO DA CUNHA DE RUPTURA COMO UM CORPO RÍGIDO • Solo não coesivo Para o caso de solo não coesivo, as forças que agem sobre a cunha de solo formada no

estado ativo estão mostradas na Figura abaixo. Estas forças são o seu peso próprio “W”, a

reação do maciço “R”, que devido ao ângulo de atrito interno do solo tem uma obliquidade

“ϕ” em relação à superfície de ruptura, e o empuxo ativo “Ea”, que exibe também uma

obliqüidade “δ“ em relação ao paramento da estrutura de arrimo. Esta última obliqüidade é o

ângulo de atrito entre o solo e a estrutura de arrimo. A superfície potencial de ruptura forma

um ângulo “ρ” com a direção horizontal.

A direção e o sentido das forças W e R são conhecidos, mas se desconhece suas

magnitudes. A resultante atuante na superfície potencial de deslizamento apresenta

inclinação ϕ e a resultante de empuxo ativo inclina-se do ângulo δ. Sendo assim, a partir de

um simples polígono de forças pode-se determinar o valor da força “Ea” que o paramento

tem que exercer para evitar o escorregamento da cunha ABC. O empuxo ativo neste caso é

a reação do paramento sobre a cunha de solo.

O empuxo deve ser calculado para diferentes inclinações AE, até que se determine o

máximo valor de Ea. As inclinações ϕ e δ são normais às superfícies do paramento e a de

ruptura, respectivamente.


• Empuxo ativo


O método de Coulomb admite que as superfícies de ruptura sejam planas e o empuxo é aquele que age sobre a mais crítica das superfícies de ruptura planas. A superfície mais crítica, no caso ativo, é aquela que leva o valor de “Ea” a um máximo, ou seja, é obtida da derivada da expressão anterior em relação ao ângulo da superfície de ruptura “ρ”:

Daí se obtém o valor máximo de “Ea”:

onde:


• Empuxo passivo Desenvolvimento análogo ao empuxo ativo.

Daí se obtém o valor máximo de “Ep”:

onde:

As equações anteriores, para α = 900 e β δ= =00, transformam-se nas conhecidas expressões de Rankine.

2 2

2 2

1 (45 )2 2

1 (45 )2 2

Ea H tg

Ep H tg

ϕγ

ϕγ

= −

= +


Como neste processo não há determinação da pressão lateral, e sim a determinação direta

do empuxo total, não é possível a determinação do ponto de aplicação do empuxo pelo

centro de gravidade do diagrama de pressão lateral como na teoria de Rankine.

No entanto, as expressões obtidas mostram claramente que o empuxo é resultado de uma

distribuição triangular das pressões laterais tanto no estado ativo quanto no passivo. Então o

ponto de aplicação do empuxo está localizado, também neste caso, a uma altura igual a

“H/3“ da base da estrutura.


Solo com sobrecarga uniforme distribuída

Caso haja uma sobrecarga “q” uniforme distribuída sobre o maciço, esta provocará um

aumento no valor do empuxo. Este aumento pode ser determinado considerando a parte da

sobrecarga sobre a cunha de solo delimitada pela superfície de ruptura. Esta parcela

resultante “Q” se somará ao peso da cunha “P” e, assim, provocará um aumento

proporcional nas outras forças que agem sobre a cunha.

Então, o empuxo “Ea” será dado por:

21 ( ). . . . ( ) . . .2 ( )

senEa H Ka sen i q H Kasen i

αγα

= ++

Dessa expressão percebe-se que o efeito da sobrecarga distribui-se de maneira uniforme ao

longo do paramento, o que permite a determinação do ponto de aplicação do empuxo sobre

a estrutura de arrimo. A primeira parcela da expressão acima ”½.γ.H2.Ka“ é devida apenas

ao solo, e, portanto, está aplicada a “H/3” da base da estrutura, enquanto a segunda parcela

“q.H.Ka.sen(α)” é devida à sobrecarga e estará aplicada a uma altura igual a “H/2”. O ponto

de aplicação do empuxo total pode, então, ser obtido do centro de gravidade das duas

parcelas.

i


A Tabela seguinte mostra valores de ângulos de atrito interno - δ entre solo e o material do paramento para diferentes materiais.


Limitações da Teoria de Coulomb:

• Hipóteses quanto às propriedades do solo, tais como homogeneidade, isotropia,

plano bidimensional e à superfície de ruptura plana;

• Incerteza quanto ao valor do ângulo de atrito entre o solo e o material do muro (δ);

• Ângulo de atrito interno do solo (ϕ) considerado como em uma situação de repouso.


Solo coesivo

A teoria de Coulomb pode ser estendida para solos coesivos, introduzindo a parcela de

adesão cw. Assume-se que trincas de tração possam se desenvolver até uma profundidade

zo, a qual é estimada de acordo com a teoria de Rankine.

e as superfícies potenciais de ruptura se desenvolvem conforme mostra a Figura 28. As

forças atuantes na cunha ABCD são:

i) peso da cunha W;

ii) reação entre a parede e o solo (P), com inclinação δ;

iii) força devido a componente de adesão: Cw = cw.EB

iv) reação R no plano potencial de deslizamento, atuando a um ângulo de atrito interno ϕ;

v) forca no plano potencial de deslizamento devido à coesão C = c.BC

As direções de todas as componentes são conhecidas, assim como as magnitudes de W,

Cw e C. Com o traçado do polígono de forças, determina-se o valor de P.

Se a trinca for preenchida por água, esta parcela deve ser acrescida no polígono de forças.


MÉTODO DE EQUILÍBRIO LIMITE Caso o solo seja coesivo ou a superfície do maciço não seja plana, não há como aplicar diretamente a teoria de Coulomb. Nestes casos pode-se adotar um método de análise semelhante ao de Coulomb, mas voltado ao problema específico em questão. INFLUENCIA DA COESÃO NO CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO A coesão ao longo da superfície de ruptura e no contato terrapleno-maciço pode ser levada em conta nos métodos gráficos de cálculo do empuxo. MÉTODOS GRÁFICOS São procedimentos gráficos baseados na hipótese de Coulomb, na qual o plano em que ocorre o deslizamento é aquele que limita um prisma de empuxo máximo sobre o suporte. Nesses métodos encontra-se uma relação geométrica entre a área da seção do prisma deslizante e a área de um triângulo definido por três retas traçadas no problema, cujas direções dependem da inclinação do terreno, da existência de sobrecarga, da inclinação do tardoz, de φ e δ. Os métodos mais comuns são os de Poncelet, Culmann, Engesser e método das cunhas. COMENTÁRIOS SOBRE OS MÉTODOS DE RANKINE E COULOMB Tanto a equação de Rankine quanto a de Coulomb são amplamente usadas para problemas envolvendo empuxos de terra. A solução de Rankine é, talvez, a mais empregada por causa da sua simplicidade e por ser mais conservativa que a de Coulomb (por exemplo, Rankine despreza o atrito solo-muro). Ressalta-se em relação que o método de Rankine, que desconsidera o atrito entre o solo e o muro, fornece soluções do lado da segurança. Entretanto, o método de Coulomb considera o atrito e fornece soluções mais realistas. O emprego de uma ou de outra teoria está associado, inclusive, à geometria do problema. As obras dimensionadas pelo método de Rankine tendem a ser mais caras em razão deste método fornecer valores mais conservativos do empuxo.

aula - empuxo de terra bom

Documents