anÁlise da influÊncia da dependÊncia em temperatura...

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA

VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Luciana Ferreira Lage

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientadores: Renato Machado Cotta

João Nazareno Nonato Quaresma

Rio de Janeiro

Outubro de 2011




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO

ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE

ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________ Prof. João Nazareno Nonato Quaresma, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

OUTUBRO DE 2011

Lage, Luciana Ferreira

Análise da Influência da Dependência em

Temperatura da Viscosidade na Convecção Forçada

com Nanofluidos/ Luciana Ferreira Lage. – Rio de

Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.

XVII, 80 p.: il.; 29,7 cm.



Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/

Programa de Engenharia Mecânica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 74-80.

1. Convecção forçada. 2. Nanofluidos. 3.

Transformada integral. I. Cotta, Renato Machado et

al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Título.

iv

Ao meu filho, Emanuel, por me mostrar a mais fascinante forma de Amar.

Ao meu marido, Carlos Erli, pela compreensão e apoio, o meu eterno amor.

Aos meus pais, José Manuel e Conceição, pelo estímulo dado

desde sempre, entrego a alegria desta conquista.

Ao meu irmão, Eduardo, pelo incentivo, o mais sincero afeto.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por sempre estar ao meu lado, principalmente nos

momentos mais difíceis, por ter sido Ele o grande responsável pela motivação

de sempre continuar lutando por tudo aquilo que acredito e por ter me dado a

oportunidade de conhecer pessoas tão especiais e brilhantes.

Ao meu filho Emanuel pela transformação em minha vida.

Ao meu marido Carlos Erli por nossa união e por todos os instantes

compartilhados, minha admiração e gratidão eternas.

Aos meus pais e ao meu irmão por todos os momentos de nossas vidas,

pelo apoio e ensinamentos que contribuíram para a realização deste sonho.

Ao Grande Mestre e Orientador Renato Machado Cotta pela confiança,

competência, paciência e conhecimento compartilhado, suas sugestões e

discussões foram indispensáveis para a realização desta conquista.

Ao Grande Mestre e Co-orientador João Nazareno Nonato Quaresma

pelo seu apoio, colaboração, compreensão e sugestões tornando possível a

realização deste trabalho.

Aos Meus Orientadores e aos Professores Antônio José da Silva Neto,

Carolina Palma Navieira Cotta e Helcio Rangel Barreto Orlande pela amizade e

pelo carinho.

A todos os meus amigos pelo companheirismo e força, em especial, à

Rayana Larissa Vasconcelos e à Vera Lúcia Pinheiro Santos Noronha.

À doutoranda Ivana Gabriela dos Santos Cerqueira pela colaboração.

A todos os citados e aos que involuntariamente tenham sido esquecidos,

do fundo do meu coração – Muito Obrigada.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Outubro/2011



Programa: Engenharia Mecânica

O termo nanofluido é comumente empregado para caracterizar suspensões de

nanopartículas de metais ou óxidos metálicos em líquidos normalmente utilizados

como fluidos térmicos, visando a intensificação da transferência de calor. Esta

dissertação analisa e avalia a influência da variação da viscosidade com a temperatura

no problema de convecção forçada interna de nanofluidos, em regime de escoamento

laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento

térmico no interior de tubos circulares, a partir de comparações entre resultados

teóricos e experimentais, próprios e disponíveis na literatura, das quantidades de

interesse prático como temperaturas de parede, temperaturas médias de mistura e

números de Nusselt. O modelo proposto admite a variação da viscosidade com a

temperatura na equação de momentum longitudinal simplificada, desprezando-se os

termos de inércia, a partir de um escoamento desenvolvido na entrada da seção

aquecida. O campo de velocidades então obtido desta formulação diferencial ordinária

é introduzido na equação de energia referente à região de entrada térmica ao longo do

duto. A metodologia aplicada na solução desta equação de energia não-linear consiste

vii

na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). Esta técnica híbrida

numérico-analítica propõe a expansão do campo de temperaturas no fluido em

autofunções ortogonais na direção transversal do duto e permite obter um sistema

transformado de equações diferenciais ordinárias na direção longitudinal, que é

resolvido numericamente através do uso da subrotina IVPAG da biblioteca IMSL, a

partir da implementação de um código computacional em Fortran 95. Os resultados

obtidos foram inicialmente verificados com outras implementações teóricas disponíveis

na literatura, para condições de contorno de temperatura e fluxo uniformes prescritos,

e subsequentemente validados com resultados experimentais obtidos no Laboratório

de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, para um

nanofluido comercial de água-óxido de silício.

viii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF TEMPERATURE DEPENDENCY OF

THE VISCOSITY ON FORCED CONVECTION OF NANOFLUIDS


October/2011

Advisors: Renato Machado Cotta


Department: Mechanical Engineering

The term nanofluid is commonly used to characterize suspensions of

nanoparticles of metals or metal oxides in liquids normally used as heat transfer fluids,

aiming at the intensification of heat transfer. This dissertation examines and evaluates

the influence of the viscosity with the temperature in the internal problem of forced

convection of nanofluids in laminar flow regime and incompressible, hydrodynamically

developed and developing heat inside circular tubes, based on comparisons between

theoretical results and experimental, fit and available in the literature, the quantities of

practical interest such as wall temperatures, average temperatures of mixing and

Nusselt numbers. The proposed model admits the change in viscosity with temperature

in the longitudinal momentum equation simplified by neglecting the terms of inertia,

from a developed flow at the entrance of the heated section. The velocity field obtained

then this formulation is introduced into the ordinary differential equation of energy on

the thermal entry region along the pipeline. The methodology applied in the solution of

energy equation is nonlinear in the Generalized Integral Transform Technique

(GITT). This hybrid numerical-technical analytics proposes expanding the field in the

fluid temperature in orthogonal eigenfunctions in the transverse direction of the pipeline

and allows for a transformed system of ordinary differential equations in the longitudinal

ix

direction, which is numerically solved by using the IMSL subroutine library IVPAG from

the implementation of a computer code in Fortran 95. The results were first checked

with other theoretical implementations available in the literature for boundary conditions

of prescribed uniform temperature and flow, and subsequently validated with

experimental results obtained at the Laboratório de Transmissão e Tecnologia de

Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, for nanofluid a commercial water-oxide silicon.

x

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO........................................................................... 1

CAPÍTULO 2 - REVISÃO DA LITERATURA...................................................... 5

2.1 – CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS...................................... 5

2.2 – A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA............ 11

CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO......................................................................................................... 13

3.1 – METODOLODIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL................................................................................................................

13

3.2 – ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE.......................... 22

3.2.1 - Metodologia de Solução.......................................................................... 23

3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE....................... 26

3.3.1 - Metodologia de Solução.......................................................................... 28

3.3.2 - Solução pelo Código UNIT (“Unified Integral Transforms”)..................... 31

CAPÍTULO 4 - DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL ....................... 36

CAPÍTULO 5 – RESULTADOS E DISCUSSÃO.............................................. 41

5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA................................................................... 41

5.1.1 – Análise da Convergência........................................................................ 41

5.1.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([10] e [68])............... 46

5.2 - FLUXO PRESCRITO.................................................................................. 51

5.2.1 – Análise da Convergência........................................................................ 52

5.2.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([9] e [10]) ................ 54

5.2.2.1 – Verificação da Importância dos Termos Convectivos na Formulação do Problema para Fluxo Prescrito.......................................................................

56

5.2.3 – UNIT para Óleo Térmico LUBRAX OT-68-OF........................................ 59

5.2.4 – Comparação com os Resultados Experimentais.................................... 65

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES.......................................................................... 72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................... 74

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.2.1 Representação esquemática do problema de convecção

forçada em tubo circular para temperatura prescrita uniforme na

parede........................................................................................... 22

Figura 3.3.1 Representação esquemática do problema de convecção

forçada em tubo circular para fluxo de calor prescrito uniforme

na parede...................................................................................... 26

Figura

4.1a,b

Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de

convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ).......... 37

Figura 4.2 Disposição esquemática do aparato experimental....................... 37

Figura 4.3 Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro)

(Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA).................... 38

Figura

5.1.2.1

Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura

prescrita e conforme Yang [10]..................................................... 46

Figura

5.1.2.2

Comparação do número de Nusselt local para o caso da

temperatura prescrita e ��=9,0 para ambas as formas de cálculo

e conforme referência [10]............................................................ 47

Figura

5.1.2.3


temperatura prescrita e ��=-0,9 para ambas as formas de

cálculo e conforme referência [10]................................................ 49

Figura

5.1.2.4

Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da

temperatura prescrita e ��=-0,9 conforme referência [68]............. 50

Figura

5.2.2.1

Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo

prescrito e l= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]............. 55

Figura

5.2.2.1.1

Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada

térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo

prescrito e l= 0,721295................................................................ 58

Figura

5.2.3.1.a

Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico

(Re=2000, ∆Tb=20°C).................................................................. 61

Figura

5.2.3.1.b

Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=2000, ∆Tb=20°C) .................................................................... 62

Figura

5.2.3.2.a

Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico

(Re=1200, ∆Tb=10°C) ................................................................... 63

Figura

5.2.3.2.b

Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo

(Re=1200, ∆Tb=10°C) ................................................................... 63

xii

Figura

5.2.3.3

Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em

diferentes posições............................................................................... 64

Figura

5.2.3.4

Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes

posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C

(pontos - presente simulação, linha continua - correlação de

Churchill & Ozoe).................................................................................. 65

Figura

5.2.4.1

Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e

médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as

propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 1 –

SiO2 [75])............................................................................................... 70

Figura

5.2.4.2




SiO2 [75])............................................................................................... 70

Figura

5.2.4.3




SiO2 [75])............................................................................................... 71

Figura

5.2.4.4




SiO2 [75]).............................................................................................. 71

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante 38

Tabela

5.1.1.1

Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de

temperatura prescrita e ��=9,0.................................................... 42

Tabela

5.1.1.2

Convergência da temperatura média no tubo para o caso de

temperatura prescrita e ��=9,0..................................................... 43

Tabela

5.1.1.3

Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa)

para o caso de temperatura prescrita e ��=9,0............................. 44

Tabela

5.1.1.4

Convergência do número de Nusselt local (equação de energia)

para o caso de temperatura prescrita e ��=9,0............................. 45

Tabela

5.1.2.1


temperatura prescrita e ��=9,0 para ambas as formas de cálculo

e conforme referência [10]........................................................... 47

Tabela

5.1.2.2


temperatura prescrita e �� = -0,9 para ambas as formas de


Tabela

5.1.2.3


temperatura prescrita e �� = -0,9 para ambas as formas de


Tabela

5.1.2.4

Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da

temperatura prescrita e �� = -0,9 conforme referência [68]............ 50

Tabela

5.2.1.1

Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de

fluxo prescrito e ��= -0,3................................................................. 52

Tabela

5.2.1.2

Convergência da temperatura média no tubo para o caso de

fluxo prescrito e ��= -0,3............................................................... 53

Tabela

5.2.1.3

Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo

prescrito e ��= -0,3........................................................................ 54

Tabela

5.2.2.1

Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo

prescrito e ��= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]............. 55

Tabela

5.2.2.2

Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso

de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e

conforme referência [9]................................................................. 56

xiv

Tabela

5.2.3.1

Análise de convergência do número de Nusselt local para o

caso de viscosidade constante (l= 0) e comparação com

resultados de referência [9].......................................................... 60

Tabela

5.2.3.2

Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não

linear l= -0,3: Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina

dedicada e diferenças finitas [10]................................................. 60

Tabela

5.2.4.1

Consolidação de parâmetros relacionados aos casos

experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as

comparações................................................................................ 65

Tabela

5.2.4.2

Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios

considerando-se as propriedades constantes para a condição

de fluxo prescrito.......................................................................... 66

Tabela

5.2.4.3

Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios

considerando-se a viscosidade variável para a condição de

fluxo prescrito................................................................................ 67

Tabela

5.2.4.4

Convergência do número de Nusselt médio para os dois

ensaios considerando-se as propriedades constantes para a

condição de fluxo prescrito.......................................................... 67

Tabela

5.2.4.5

Convergência do número de Nusselt médio para os dois

ensaios considerando-se a viscosidade variável para a

condição de fluxo prescrito.......................................................... 68

Tabela

5.2.4.6

Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental

(medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo

prescrito......................................................................................... 69

Tabela

5.2.4.7

Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental

(medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo

prescrito........................................................................................ 69

xv

NOMENCLATURA

Letras Latinas

A Coeficientes da expansão em autofunções

Bk

Operador linear da condição de contorno

d Termo de dissipação linear

D Diâmetro do tubo [m]

f Distribuição inicial do potencial

g Termo fonte

h Coeficiente de transferência de calor [W/m2ºC]

k Condutividade térmica [W/mºC]

L Comprimento do tubo [m]

N Norma (integral de normalização)

Nu Número de Nusselt

NuZ Número de Nusselt local

Nuav Número de Nusselt médio

P Termo fonte

qw Fluxo de calor prescrito [W/m2]

Re Número de Reynolds

t Variável temporal

T Temperatura [ºC]

Ti Temperatura de entrada do canal [ºC]

Tw Temperatura prescrita uniforme [ºC]

u Velocidade do fluido [m/s]

uav Velocidade média do fluido [m/s]

U Velocidade adimensional

R Coordenada radial adimensional

r Coordenada radial dimensional

rw Raio interno da parede do tubo

S Superfície de contorno

V Volume do meio

x Coordenada espacial

Z Coordenada axial adimensional

xvi

z Coordenada axial dimensional

w Coeficiente do termo convectivo ou transiente

Letras Gregas

α Difusividade térmica [m2/s]

αk Coeficientes da condição de contorno

βk Coeficientes da condição de contorno

φ Termo fonte da condição de contorno

� Constante que relaciona a variação da viscosidade com a

temperatura definida na Eq. (3.2.b)

η Coordenada radial do problema de Graetz

ϕ Concentração volumétrica de nanopartículas

� Constante que relaciona a variação da viscosidade com a

temperatura definida na Eq. (3.13.b)

� Viscosidade dinâmica [m2/s]

ν Viscosidade cinemática [m2/s]

θ Temperatura adimensional

ξ Coordenada axial do problema de Graetz

ψ Autofunções

ζ Autovalores

ζ k Autovalores do problema auxiliar

Subscrito

av “average” - médio

i inicial

f índice que representa filtro

i índice de autovalores e quantidades relacionadas

j índice de autovalores e quantidades relacionadas

k índice de autovalores e quantidades relacionadas

xvii

l local

w “wall” - parede

0 condição de entrada

Sobrescrito

- Relativo a transformada

~ Relativo a autofunção normalizada

* Relativo a solução homogênea

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

O advento da nanotecnologia proporcionou grandes oportunidades na engenharia

moderna ao processar e produzir materiais com tamanho médio menor que 50 nm [1].

Dentre várias outras descobertas em diversos campos, Choi [1] reconheceu uma

oportunidade de se aplicar a nanotecnologia então emergente na engenharia térmica.

Em 1993, Choi propôs que partículas metálicas nanométricas, com tamanho médio

menor que 50 nm, fossem suspensas em fluidos de transferência de calor industriais,

como água, etileno glicol ou óleo, para produzir uma nova classe de fluidos projetados

com alta condutividade térmica. O autor deu a essa nova classe de fluidos o nome de

nanofluidos [2]. Experimentos subsequentes com nanofluidos indicaram aumentos

significativos na condutividade térmica, quando comparados com líquidos sem

nanopartículas ou partículas grandes [3], e variações significativas das propriedades

com a temperatura.

O nanofluido é uma suspensão de partículas ultrafinas em um fluido base

convencional que utilizado para melhorar as características de transferência de calor

do fluido original. Além disso, espera-se que os nanofluidos não sejam inviabilizados

em aplicações práticas, pelo aumento em perda de carga, apesar das nanopartículas

serem ultrafinas, aparentando comportamento como um fluido monofásico de uma

mistura sólido-líquido [4].

A fabricação de nanofluidos por processos simplificados com nanopartículas de

óxidos metálicos [5], tornou viável a extensão dessa tecnologia para diferentes

aplicações científicas e industriais.

A literatura científica já reporta algumas aplicações de nanofluidos diretamente

no setor de energia, como no caso de transformadores de energia elétrica [5] e em

sistemas híbridos de condicionamento de ar com desumidificação a partir de

dessecantes líquidos [6]. Entretanto, pode-se vislumbrar uma série de outras

possibilidades em processos e equipamentos de transferência de calor que afetam o

aumento da eficiência energética, como no caso da energia. Para tanto, é necessária

a consolidação da análise da variação das propriedades termofísicas com a

2

temperatura a fim de possibilitar a correta aplicação desses nanofluidos nos diferentes

sistemas de transferência de calor para que os equipamentos tenham a melhor

relação custo/benefício aliada ao desempenho e eficiência.

As pesquisas em transferência de calor convectiva utilizando suspensões de

partículas nanométricas sólidas em líquidos base começaram a apenas duas décadas.

As investigações recentes sobre nanofluidos indicam que as nanopartículas

suspensas ocasionam alterações nas propriedades de transporte e nas características

da transferência de calor da suspensão. Wang e Mujumdar [7] revisaram as recentes

pesquisas teóricas e investigações numéricas de várias propriedades térmicas e

aplicações de nanofluidos. Os mesmos autores também revisaram o comportamento

do escoamento e da transferência de calor de nanofluidos em situações de convecção

forçada e livre e as potenciais aplicações de nanofluidos [8].

Como a razão área superficial volume de partículas nanométricas é muito

maior que a de partículas de tamanhos convencionais (micropartículas), não só as

propriedades termofísicas podem ser melhoradas, mas também a estabilidade da

suspensão. Metais nanométricos podem ser apropriados para aplicações na qual o

fluido passa por pequenos orifícios, pois as nanopartículas metálicas são pequenas o

bastante para se comportarem como moléculas de líquidos. Dessa maneira, as

nanopartículas não obstruem os pequenos orifícios e melhoram a condutividade

térmica dos fluidos. Isso abriu a possibilidade de se usar nanopartículas mesmo em

microcanais para várias aplicações com altas taxas de transferência de calor [1].

O estudo teórico-experimental da convecção forçada com nanofluidos é um

assunto ainda pouco explorado, mas que despertou o interesse e a dedicação de

alguns pesquisadores devido à sua relevância. Até aqui, pode-se dizer que um dos

focos principais de pesquisa tem sido a análise teórica e experimental das

propriedades termofísicas inerentes ao nanofluido proposto.

O presente trabalho objetiva a comparação crítica entre modelos teóricos e

resultados experimentais, visando contribuir à avaliação da importância da variação

das propriedades termofisicas com a temperatura, no comportamento da convecção

forçada interna com nanofluidos. Para tanto, desenvolveu-se um modelo

matemático e uma solução híbrida numérico-analítica baseada na Técnica da

Transformada Integral Generalizada para o problema de convecção forçada interna

com propriedades variáveis em tubos circulares. O código computacional construído

em Fortran 95 foi inicialmente verificado através de uma solução onde se considerou

as propriedades constantes e, em outra etapa, apenas com a viscosidade variável,

3

para comparação com os resultados disponíveis na literatura, nas referências [9] e

[10], respectivamente.

Além da análise dos resultados obtidos em relação aos já disponíveis na

literatura, realizou-se também uma comparação com os dados experimentais obtidos

recentemente no Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC,

Engenharia Mecânica, POLI & COPPE/UFRJ, objetivando consolidar os estudos

experimentais realizados com nanofluidos comerciais de água-sílica e evidenciar a

influência da viscosidade variável no comportamento da transferência de calor em

regime laminar.

Este trabalho faz parte de um projeto que vem sendo desenvolvido pela equipe

do LTTC, iniciado em 2006, com apoio do CENPES/Petrobras. Como parte dos

trabalhos já produzidos nesse esforço mais amplo, pode-se citar:

− A medição de propriedades termofísicas de diferentes nanofluidos através de

técnicas experimentais e a comparação dos resultados experimentais com

modelos e correlações disponíveis na literatura para prever o aumento da

condutividade térmica de nanofluidos [11];

− A análise experimental da convecção forçada com nanofluidos de alumina, em

diferentes frações volumétricas, no aumento da taxa de transferência de calor

no escoamento em regime laminar em tubos, para o problema de convecção

forçada interna [12];

− A avaliação da intensificação térmica, através da simulação computacional, de

diferentes nanofluidos em tubos circulares para o problema da convecção

forçada turbulenta com propriedades constantes, ao longo da região de

desenvolvimento térmico [13];

− A análise dos efeitos da intensificação térmica advindos da utilização de

nanofluidos comerciais de alumina e óxido de titânio dispersos em água, em

convecção forçada laminar em tubos circulares aquecidos eletricamente,

incluindo os efeitos de perdas de calor pelo isolamento térmico [14];

Este trabalho apresentará a análise da variação de propriedades termofísicas

com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de nanofluidos, no

regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e

em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares. Os tópicos a serem

explorados são os seguintes:

4

− Simular a convecção forçada laminar para nanofluidos com variação da

viscosidade com a temperatura, considerando um modelo para a equação de

momentum na direção longitudinal que desconsidera os termos de inércia, a

partir de uma condição de entrada de escoamento desenvolvido, e avaliando-

se comparativamente com resultados de referência para o caso de viscosidade

constante;

− Verificar a solução obtida com resultados teóricos disponíveis na literatura para

os casos de temperatura e fluxo de calor uniforme prescritos;

− Validar o modelo e solução propostos com resultados experimentais

recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES para

nanofluidos comerciais de água-sílica.

De forma a elucidar os primeiros estudos para implementação do circuito

termohidráulico para altas temperaturas que será construído no LTTC, serão

analisados também neste trabalho uma simulação utilizando o código UNIT e

aplicando a metodologia de solução aqui descrita para o óleo térmico LUBRAX OT-68-

OF. Conforme realizado anteriormente, a formulação com o código UNIT será validada

a partir dos resultados deste trabalho.

Será apresentada a seguir uma revisão bibliográfica, com foco na análise da

variação de propriedades termofísicas com a temperatura para nanofluidos.

5

CAPÍTULO 2

REVISÃO DA LITERATURA

2.1 - CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Segundo Hwang et al. [15], em seu recente estudo, diversas nanopartículas, em

nanotubos de carbono de paredes múltiplas (MWCNT), como, por exemplo, fulereno,

óxido de cobre e dióxido de silício têm sido usados para produzir nanofluidos, cujos

líquidos bases mais utilizados foram água destilada, etileno glicol e óleo. Os autores

realizaram medidas da condutividade térmica e avaliaram a estabilidade do nanofluido

através do espectrofotômetro UV-vis. De acordo com suas análises, a condutividade

térmica do nanofluido aumenta com a fração de volume crescente de nanopartículas

exceto para o nanofluido à base de água e fulereno, pois este tem menor

condutividade térmica do que o fluido base. A estabilidade de nanofluido é fortemente

influenciada pelas características da interação entre o fluido base e as nanopartículas

suspensas, como por exemplo, pela morfologia das partículas, pela estrutura química

das partículas e o fluido base. Além disso, a adição de surfactante, SDS, pode

melhorar a estabilidade das suspensões. Em suma, a melhora da condutividade

térmica depende da fração de volume das partículas em suspensão, da condutividade

térmica das partículas e do fluido base.

Nguyen et al. [16] investigaram experimentalmente o comportamento e o

aumento da transferência de calor de um nanofluido com nanopartículas de alumina

(Al2O3) dispersas em água, fluindo dentro de um sistema fechado que é destinado à

refrigeração de microprocessadores e outros componentes eletrônicos. Os autores

obtiveram dados experimentais para o regime de escoamento turbulento, e tais

resultados mostraram que a inclusão das nanopartículas em água destilada, produziu

uma melhora no coeficiente de transferência de calor convectivo do bloco refrigerado.

Além disso, os autores atestaram que um aumento da concentração de partículas

produziu uma clara diminuição da temperatura do componente aquecido.

Kwak e Kim [17] estudaram a relação entre as propriedades reológicas de

nanofluidos de óxido de cobre (CuO) com partículas de 10-30 nm, em etileno glicol,

com o aumento da condutividade térmica. De acordo com os autores, a melhora

6

substancial da condutividade térmica é atingível somente quando a concentração de

partículas é inferior ao limite de solubilidade. O estudo também sugere que, para um

nanofluido ser eficiente, as partículas devem ter formato esférico para promover um

limite de diluição crítico alto.

Mintsa et al. [18] apresentaram medidas de condutividade térmica efetiva dos

nanofluidos de alumina/água e de óxido de cobre/água. Também investigaram os

efeitos da fração de volume das partículas, da temperatura e do tamanho das

partículas, através de experimentos com leituras à temperatura ambiente e variando-

se a temperatura para várias frações volumétricas de partículas. Segundo os autores,

o efeito global prevê um aumento efetivo da condutividade térmica com o aumento da

fração volumétrica de partículas e com uma diminuição no tamanho das partículas.

Além disso, ocorreu um aumento relativo da condutividade térmica que se mostrou

mais significativo em altas temperaturas.

Palm et al. [19] promoveram um estudo do escoamento radial em sistemas de

refrigeração, incluindo propriedades dependentes da temperatura, mais

especificamente, a viscosidade dinâmica e a condutividade térmica foram analisadas

para distribuições dependentes da temperatura com concentrações de nanopartículas

de 1% a 4%. Os resultados confirmaram que o uso de nanopartículas aumentou a

capacidade de transferência de calor para o escoamento radial do sistema de

arrefecimento, porém ocorreram aumentos similares para a tensão de cisalhamento na

parede. A inclusão da dependência da temperatura mostrou um aumento na taxa de

transferência de calor quando comparado com a análise sob uma propriedade

constante.

Namburu et al. [20] analisaram numericamente o escoamento turbulento e a

transferência de calor de três diferentes nanofluidos fabricados com óxido de cobre

(CuO), alumina (Al2O3) e óxido de silício (SiO2), em uma mistura de etileno glicol e

água que flui através de um tubo circular sob condição de fluxo de calor prescrito

constante. Os autores apresentaram uma revisão de novas correlações para a

viscosidade para até 10% em fração volumétrica para estes nanofluidos, como uma

função da fração volumétrica e da temperatura, que foram desenvolvidas a partir dos

experimentos. Conforme o estudo numérico realizado, todas as propriedades

termofísicas de nanofluidos dependem da temperatura. Além disso, verificou-se que

nanofluidos contendo nanopartículas de menor diâmetro apresentaram maior

viscosidade e maiores valores de números de Nusselt. Portanto, constatou-se que a

viscosidade de nanofluidos aumenta à medida que diminui o diâmetro da partícula. O

coeficiente de transferência de calor de nanofluidos aumenta com o aumento da

concentração volumétrica de nanopartículas e do número de Reynolds. A operação de

7

nanofluidos a temperaturas elevadas produz um maior aumento percentual na taxa de

transferência de calor. Já o número de Prandtl dos nanofluidos aumenta com a

diminuição da temperatura de operação, uma vez que a viscosidade desempenha um

papel dominante. Para a mesma concentração de nanopartículas a um dado número

de Reynolds, os nanofluidos de óxido de cobre obtiveram um desempenho superior no

que diz respeito à transferência de calor, seguidos pelo de alumina e do de óxido de

silício. A perda de carga aumenta com o aumento na fração volumétrica de partículas

dos nanofluidos.

Cotta et al. [21] investigaram aspectos da modelagem e simulação em

convecção forçada laminar relacionada com a melhoria da eficiência energética pelo

aumento da transferência de calor no escoamento laminar em dutos. Três linhas de

pesquisa complementares foram exploradas, considerando-se a modificação do fluido

base com a dispersão de nanopartículas de óxido metálico (nanofluidos), a análise

conjugada dos efeitos de transferência de calor em microcanais e o estudo do

aumento de transferência de calor em dutos de parede ondulada na microescala.

Segundo os autores, foi observado que a dependência da temperatura com a

condutividade térmica e com a viscosidade desempenham algum papel na previsão do

comportamento convectivo dos nanofluidos, mas, além disso, é necessário levar em

consideração as variações da concentração de nanopartículas nos fluidos ao longo da

operação dos equipamentos de troca de calor.

Mansour et al. [22] pesquisaram o efeito das incertezas nos valores das

propriedades físicas da dispersão de água com alumina gama (γ-Al2O3), sobre o seu

desempenho termohidráulico para convecção forçada com escoamento plenamente

desenvolvido, laminar e turbulento, em um tubo com fluxo de calor prescrito uniforme.

Os autores analisaram dois tipos de problemas: a substituição de um fluido simples

por um nanofluido em uma determinada instalação e o projeto de uma instalação

elementar de transferência de calor. Segundo eles, as condições operacionais e os

parâmetros de projeto variam de forma significativa com as propriedades termofísicas

do nanofluido. No entanto, visto que, os efeitos de certas características do nanofluido,

tais como, o tamanho médio das partículas e a distribuição espacial de nanopartículas,

sobre estas propriedades não são atualmente conhecidas com precisão, é muito difícil

concluir sobre as vantagens estimadas dos nanofluidos sobre fluidos de transferência

de calor convencionais.

Yang [10] obteve soluções analíticas para convecção laminar forçada de

líquidos escoando em tubos circulares com viscosidade dependente da temperatura

8

para duas condições de contorno: temperatura prescrita na parede do tubo e fluxo de

calor na parede prescrito e uniforme. A acurácia deste procedimento analítico foi

demonstrada através da comparação com resultados obtidos para problemas

isotérmicos cuja solução exata era possível.

Ferrouillat et al. [23] investigaram experimentalmente a transferência de calor

convectiva de suspensões coloidais SiO2/água (5-34 wt.%) em um circuito com uma

seção de testes de tubo horizontal cuja temperatura da parede foi imposta.

Experimentos foram realizados em diferentes temperaturas de entrada (20, 50, 70 °C)

no resfriamento e / ou nas condições de aquecimento para várias vazões (200 <Re

<10000). Os resultados indicaram que utilizando-se o nanofluido, os valores dos

coeficientes de transferência de calor aumentaram entre 10% a 60% em comparação

com aqueles de água pura. Eles também mostraram que a tendência geral dos

padrões das correlações foram respeitados.

Escher et al. [24] apresentaram uma caracterização sistemática de suspensões

de nanopartículas de sílica em água até uma concentração volumétrica de 31%. Eles

determinaram a morfologia das nanopartículas através de imagens microscópicas e a

condição da dispersão pelas medidas dos dispersantes. Também obtiveram medidas

experimentais das propriedades termofísicas dos fluidos, a saber, calor específico,

densidade, condutividade térmica e viscosidade dinâmica. O número de Nusselt foi

extraído dos resultados experimentais e comparados com as previsões teóricas,

considerando-se as propriedades da mistura. Através destas análises eles

demonstraram um desvio menor que 10%. Concluíram que as correlações usuais

podem ser utilizadas para estimar a transferência de calor por convecção dos

nanofluidos. Também variaram as propriedades termofísicas individualmente no

circuito refrigerante e estudaram estes impactos na performance da transferência de

calor no canal submerso. Eles demonstraram que o aumento da condutividade térmica

relativa deve ser maior que o aumento da viscosidade relativa a fim de conseguir um

considerável benifício na performance. Além disso, eles mostraram que é preferível

aumentar o calor específico volumétrico do nanofluido do que aumentar a

condutividade térmica.

Heidary e Kermani [25] estudaram numericamente a transferência de calor e o

campo do escoamento no microcanal de parede ondulada. A temperatura do fluido de

entrada introduzido no canal era menor que a temperatura da parede. O sistema de

equações governantes foi resolvido numericamente no domínio através de uma

aproximação por um volume de controle baseado na técnica SIMPLE. O nanofluido

considerado na simulação é uma mistura de cobre e água. Um amplo espectro de

9

simulações foram realizadas com um intervalo de Reynolds entre 5 e 1500, com fração

volumétrica do nanofluido entre 0 e 20% e amplitude da onda entre 0 e 0,3. Os efeitos

desses parâmetros foram investigados através dos números de Nusselt local e médio

e do fator de fricção. Os autores concluíram que a transferência de calor nos canais

pode aumentar em 50% pela adição das nanopartículas e utilizando-se a parede

horizontal ondulada.

Anoop et al. [26] investigaram experimentalmente as características da

transferência de calor por convecção forçada em um duto com escoamento em

desenvolvimento e com fluxo de calor constante, realizado com nanofluido alumina-

água. O objetivo principal era avaliar o efeito do tamanho das nanopartículas na

transferência de calor por convecção na região de escoamento laminar. Foram

utilizadas nos experimentos duas nanopartículas, uma com média menor que 45 nm e

outra com aproximadamente 150 nm. Os autores observaram que ambos os

nanofluidos mostraram alta capacidade de transferência de calor comparando-se com

o fluido base e o nanofluido com as nanopartículas de menor tamanho apresentou

maior coeficiente de transferência de calor que o nanofluido com nanopartículas de

150 nm. Eles também notaram que na região em desenvolvimento, os coeficientes de

transferência de calor mostraram-se maiores que na região de escoamento

completamente desenvolvido.

Kakaç e Pramuanjaroenkij [27] revisaram e resumiram as mais importantes

publicações sobre a intensificação da transferência de calor por convecção forçada

com nanofluidos. Este levantamento mostrou que os nanofluidos melhoram

significativamente a capacidade de transferência de calor em comparação com a

utilização dos fluidos convecionais, tais como óleo e água com nanopartículas

suspensas nestes fluidos base. Adicionalmente, modelos teóricos e trabalhos

experimentais sobre condutividade térmica efetiva e difusividade aparente são

necessários para demonstrar o completo potencial dos nanofluidos para a melhoria da

convecção forçada.

Vajjha e Das [28] investigaram experimentalmente, através da determinação da

condutividade térmica, três nanofluidos contendo óxido de alumínio, óxido de cobre e

óxido de zinco em nanopartículas dispersas no fluido base feito de uma mistura de

etileno glicol e água, na proporção (em massa) de 60 para 40. A concentração

volumétrica de nanopartículas dos nanofluidos testados foram de até 10% e o intervalo

de temperatura nos experimentos foi de 298 a 363K. O resultados mostraram um

aumento na condutividade térmica dos nanofluidos comparados com o fluido base

bem como com o aumento da concentração volumétrica das nanopartículas. A

10

condutividade térmica também aumenta substancialmente com o aumento da

temperatura. Os autores compararam vários modelos existentes para estimar a

condutividade térmica com dados experimentais obtidos para estes nanofluidos, no

entato eles não mostraram boa concordância. Logo, um modelo foi desenvolvido, o

qual tratava-se de um refinamento de um modelo já existente e que incorporava o

modelo clássico de Maxwell e o efeito do movimento Browniano para representar a

condutividade térmica de nanofluidos como função da temperatura, da concentração

volumétrica das nanopartículas, das propriedades das nanopartículas e do fluido base,

o qual concorda com os dados experimentais.

Mirmasoumi e Behzadmehr [29] estudaram numericamente a convecção mista

em regime laminar de um nanofluido de água e Al2O3 em um duto horizontal. Um

modelo para mistura bifásica foi empregado para investigar o comportamento térmico

e hidrodinâmico do nanofluido para uma elevada gama de números de Grashof e

Reynolds. As comparações com trabalhos de análises experimentais e numéricas para

convecção mista em dutos horizontais ofereceram boa concordância entre os

resultados. Foram apresentados os parâmetros térmicos e hidrodinâmicos, para um

determinado diâmetro de nanopartículas, em relação ao efeito da fração volumétrica

de nanopartículas. Os resultados mostraram que na região de escoamento

completamente desenvolvido a concentração de nanopartículas não influencia

significativamente os parâmetros hidrodinâmicos. No entanto, os efeitos sobre os

parâmetros térmicos foram relevantes. A concentração das nanopartículas é maior na

parte inferior do duto e próxima à parede.

Raisee e Moghaddami [30] examinaram os efeitos da melhora da transferência

de calor por convecção forçada a partir da adição de nanopartículas metálicas de

alumina gama (γ-Al2O3) na água no escoamento em duto circular avaliando-se,

conforme o caso, duas condições de contorno distintas, ou seja, temperatura na

parede constante ou fluxo de calor na parede uniforme. Dois modelos de nanofluidos

foram utilizados nas simulações. O primeiro modelo (simpler model) foi desenvolvido

por Maiga et al. [31], enquanto o segundo modelo, o qual considerou-se o movimento

Browniano das nanopartículas, foi proposto por Koo e Kleinstreuer [32] baseados nos

dados experimentais de Das et al. [33]. Os resultados foram obtidos utilizando-se um

código de volumes finitos bidimensionais. O campo de pressões foi obtido através do

algoritmo SIMPLE. O fluxo advectivo do volume de controle foi aproximado utilizando-

se o esquema QUICK. As comparações entre os resultados obtidos numericamente e

os dados experimentais de Zeinali et al. [34] mostraram que o segundo modelo previa

com maior confiabilidade os níveis de transferência de calor. Além disso, o primeiro

11

modelo também apresentava maior perda de carga que o segundo. Como esperado, a

adição de nanopartículas melhora a transferência de calor. Segundo os autores, a

menor melhora da transferência de calor foi de aproximadamente 10% para uma

fração volumétrica de nanopartículas 1%, enquanto que a maior ficou em torno de

30%, considerando-se uma fração de 4%. Eles também concluíram que a utilização de

nanofluidos produz uma melhora mais significante para menores números de

Reynolds.

Chen et al. [35] realizaram experimentos para investigar a condutividade

térmica efetiva, o comportamento reológico e a transferência de calor por convecção

forçada com nanofluidos. Nanotubos de titânio foram sintetizados, caracterizados e

preenchidos com água para formar nanofluidos estáveis na proporção de 0.5, 1.0 e

2.5 (wt.%) dos nanotubos. Os resultados mostraram uma pequena melhora da

condutividade térmica em torno de 3% em 25ºC e aproximadamente 5% para 40ºC,

considerando-se o nanofluido de (2.5 wt.%). Os nanofluidos encontrados eram fluidos

não-Newtonianos com comportamento pseudoplástico, ou seja, a viscosidade diminuiu

com o aumento da tensão de cisalhamento para baixas taxas de cisalhamento. Apesar

da pequena melhora em relação a condutividade térmica, segundo os autores,

observou-se uma excelente melhora do coeficiente de transferência de calor por

convecção. Conforme os autores, comparando-se com nanofluidos contendo

nanopartículas esféricas de TiO2 sob condições similares, constatou-se que a melhora

de ambos os parâmetros (condutividade térmica e coeficiente de transferência de calor

por convecção) em relação ao nanofluido do nanotubo de titânio foi consideravelmente

maior; indicando, inclusive, o papel primordial que o formato da nanopartícula exerce

na melhora da transferência de calor.

2.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Métodos numéricos discretos para formulações diferenciais parciais em convecção-

difusão pertencem hoje em dia ao trabalho rotineiro dos engenheiros térmicos

envolvidos em tarefas de projeto e desenvolvimento, e não são mais restritos aos

ambientes de pesquisa científica. Os diferentes métodos e enfoques estão fartamente

discutidos em livros texto e de referência [36] e muitos estão disponíveis na forma de

aplicativos comerciais. No entanto, e não apenas por curiosidade científica, existe

ainda uma forte motivação para a otimização das técnicas já existentes, bem como,

para o desenvolvimento de novas técnicas de simulação que se beneficiem dos

progressos mais recentes em análise numérica e computação mista simbólica-

numérica.

12

Nesse contexto, técnicas de solução para equações diferenciais parciais que

exploram a base de conhecimento em métodos analíticos e se apoiam em plataformas

de computação simbólica, têm chamado muita atenção da comunidade científica e

oferecido algumas vantagens sobre as técnicas numéricas clássicas em diversas

aplicações. Dentro desta ampla frente de pesquisa pode-se situar os avanços na

Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) [37-42], empregada na solução

híbrida numérico-analítica de problemas de convecção-difusão ao longo de cerca de

30 anos. Neste caso, a ênfase é a extensão do método clássico de transformação

integral para tratar problemas não transformáveis a priori, permitindo flexibilidade

suficiente para tratar mesmo problemas com coeficientes não lineares nas

formulações [43-50]. Várias classes de problemas em transferência de calor e em

mecânica dos fluidos foram tratados pela GITT, incluindo formulações baseadas nas

equações de camada limite e de Navier-Stokes para escoamentos externos, em

cavidades e canais, aqui revisados apenas para escoamentos em dutos em função do

interesse mais próximo da presente aplicação [51-67]. No entanto, apenas em

algumas poucas situações [59-60] a natureza totalmente não linear dessas equações

foi tratada, incluindo-se não apenas os termos convectivos não lineares usuais, mas

também a variação das propriedades físicas com a temperatura em particular.

Segundo Oliveira Filho et al. [68] a variação da viscosidade com relação a

temperatura do fluido influencia fortemente os perfis de velocidade e de temperatura e,

às vezes, apresentam desvios significativos no problema típico de propriedades

constantes. Um dos pesquisadores pioneiros na indentificação desta característica foi

Yang [10] e em reconhecer estas diferenças no estudo da convecção forçada laminar

de líquidos com dependência da viscosidade em temperatura [68]. Objetivando

explorar mais profundamente o problema da convecção forçada interna nas situações

onde a variação da viscosidade com a temperatura é levada em consideração, os

autores, também aplicaram a GITT para a formulação apresentada por Yang [10], no

entanto, o trabalho consistiu somente na análise do caso da temperatura prescrita na

parede. Embora estes autores tenham utilizado a mesma metodologia proposta neste

trabalho, a formulação aqui empregada é distinta e mais abrangente pois contempla

ambos os casos abordados por Yang [10]. Contudo, faremos aqui uma comparação

entre os resultados obtidos nestas publicações e àqueles apresentados neste trabalho.

Esta análise é bastante enriquecedora dadas as similaridades entre as metodologias

face às diferenças nas formulações.

13

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO

A solução da formulação matemática adimensional do problema de convecção forçada

laminar em tubo circular considerado neste trabalho, baseou-se na Técnica da

Transformada Integral Generalizada (GITT). A Técnica da Transformada Integral

Generalizada foi introduzida por Özisik e Murray [69] e Mikhailov [70], a partir da

Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT), desenvolvida entre outros por

Mikhailov & Özisik [71], a fim de possibilitar a solução analítica de um maior número de

problemas de engenharia. Nesta técnica aplica-se o operador de transformação

integral no sistema diferencial parcial mesmo que contendo termos não

transformáveis, ao contrário do procedimento aplicando-se a CITT. Dependendo da

classe do problema e da rigidez das EDOs (Equações Diferencias Ordinárias), pode-

se resolver estes problemas através da solução analítica aproximada ou empregando-

se uma solução híbrida numérico-analítica.

3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL

Na presente seção apresenta-se um procedimento de tranformação integral geral que

evita a construção de um sistema transformado com acoplamento do termo transiente

a partir de uma matriz de coeficientes não linear, que exigiria tediosas inversões ao

longo do processo de integração do sistema diferencial ordinário para o campo

transformado. Assim, uma formulação do problema original é preferida, trazendo

vantagens na computação dos potenciais transformados.

Para permitir uma análise acurada dos modelos teóricos de convecção forçada

de nanofluidos a serem aqui considerados, foi proposta uma extensão da Técnica da

Transformada Integral Generalizada (GITT) para tratar de forma unificada formulações

bem gerais não lineares de convecção-difusão, em que se permitem coeficientes

dependentes da temperatura em cada termo da equação de energia e das condições

de contorno. A metodologia híbrida numérico-analítica proposta é aplicável tanto a

situações em regime permanente quanto transiente, e o processo de transformação

integral é promovido de forma a se obter um sistema transformado explícito, evitando-

se assim permitir coeficientes não lineares no termo transiente (ou variável espacial

14

equivalente), e com isso reduzir o custo computacional na solução numérica do

sistema transformado a partir de rotinas de solução de problemas de valor inicial. Para

demonstrar os passos da técnica de solução, considera-se uma formulação

suficientemente geral de convecção-difusão, que inclui os problemas não lineares em

convecção de calor interna de interesse no presente estudo. Um conjunto de

potenciais, ( ),kT tx , , 1,2, ,k l M= … , dependentes da posição x e do tempo t (ou

variável espacial equivalente) como temperatura, concentrações, componentes de

velocidade, pressão, etc., encontra-se definido na regiãoV com superfície de contorno

S , e obedece a seguinte formulação com coeficientes não lineares em todos os

coeficientes da equação e das condições de contorno:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

* *

,, , , , , , ,

, , , , , , , 0, , 1,2, ,

k

k l l k k l k

k l k k l

T tw T u t T T t k t T T t

t

d t T T x t P t T t k l M

∂+ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ −

∂

+ ∈ > = …

xx x x x x

x x x V

(3.1.a)

com condições iniciais e de contorno

( ) ( ), , k kT t f= ∈x x x V (3.1.b)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )* * * *,

, , , , , , , , , , k

k l k k l k l k l

T tt T T t t T k t T t Tα β φ

∂+ = ∈

∂

xx x x x x x S

n (3.1.c)

O procedimento híbrido baseado em transformação integral se inicia com a

proposição de uma solução formal em termos de uma expansão em autofunções para

os potenciais desejados, ( ),kT tx , com os coeficientes dependentes de t

correspondentes a ser determinados:

( ) ( ) ( ), ,

1

, k k i k i

i

T t A t ψ∞

=

=∑x x (3.2)

onde as autofunções, ( ),k iψ x , são obtidas de um problema de autovalor

representativo que contém tanta informação quanto possível do problema original, na

forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* 2

, , ,0, , 0

k k i k i k k k ik w d tψ ζ ψ∇ ⋅ ∇ + − = ∈ >x x x x x x V (3.3.a)

( ) ( ) ( ) ( )( )

0k ,i

k k ,i k k

ψψ k , α β

∂+ = ∈

∂

xx x x x x S

n (3.3.b)

15

Os coeficientes ( ) ( ) ( ) ( ), , ,k k k kw k d αx x x x e ( )kβ x do problema auxiliar (3.3)

são esperados incluir informações relacionadas aos coeficientes não lineares originais

das Eqs. (3.1). Note que o termo convectivo na Eq. (3.1.a) não foi representado no

problema auxiliar (3.3), uma vez que assim resultaria um problema de autovalor não

auto-adjunto.

Embora esta situação tenha sido considerada com alguma vantagem na

literatura de GITT, pelo objetivo de unificação da presente solução, somente

problemas de Sturm-Liouville de comportamento espectral bem estabelecido serão

aqui considerados. Assim, o problema (3.3) oferece uma propriedade de

ortogonalidade das autofunções que é muito relevante na aplicação desta

metodologia, a qual é escrita como:

( ) ( ) ( )kd

k ,i k , j i, j k,i

V

w ψ ψ v δ N=∫ x x x (3.4.a)

onde o delta de Kronecker

i, jδ é igual a 1 para i j= ou 0 para i j≠ e

,k iN são as

integrais de normalização que são calculadas por:

( ) ( )d2

k,i k k,i

V

N w ψ v= ∫ x x (3.4.b)

Com ajuda da Eq. (3.4.a), pode-se operar na expansão proposta, Eq. (3.2),

com o operador integral ( ) ( ) _dk k,i

V

w ψ v∫ x x , para obter os coeficientes da expansão:

( ) ( ) ( )k

1d

k,j

*

k,j k,j k

V

A (t) w ψ vN

T ,t= ∫ x x x (3.5)

Uma vez que todos os termos da soma infinita da Eq. (3.2) são anulados,

exceto aquele para o qual i j= . Então, as Eqs. (3.2) e (3.5) fornecem o par de

fórmulas de transformação integral, chamadas de transformada e inversa,

respectivamente:

( ) ( ) ( )kd

k ,i k,i k

V

T (t) w ψ T , t v= ∫ �x x x , transformada (3.6.a)

( ) ( ), ,

1

, ∞

=

=∑ �k k i k i

i

T t T (t)ψx x , inversa (3.6.b)

16

Nas Eqs. (3.6.a,b) acima adotou-se uma autofunção normalizada, repartindo a

contribuição da norma entre as duas fórmulas, transformada e inversa, na forma:

( )( )

=�k,i

k,i

k,i

ψψ

N

xx (3.6.c)

O próximo passo na GITT é então a transformação integral das Eqs. (3.1.a)

fazendo uso do par transformada-inversa definido acima. O procedimento tradicional

envolveria a operação de transformação integral, com ajuda da fórmula da

transformada, Eq. (3.6.b), em ambos os lados da Eq. (3.1.a), o que para essa

formulação totalmente não linear resultaria em uma matriz de coeficientes não lineares

no lado esquerdo do sistema transformado, devido à natureza não linear do coeficiente

do termo transiente no problema original, *

k lw ( ,T )x . Sob o ponto de vista

computacional, essa formulação explícita não linear iria requerer que a matriz de

acoplamento fosse invertida diversas vezes ao longo do processo de integração

numérica do sistema transformado, como inerente aos procedimentos das rotinas de

solução de problemas de valor inicial, resultando em custos computacionais

consideráveis. Entretanto, antes de prosseguir nesse caminho, mostra-se vantajoso

reescrever a formulação do problema de forma a oferecer uma transformação linear

explícita para a transformação integral do termo transiente. Como o resultado final da

transformação integral será a construção de um problema de valor inicial para se obter

os potenciais transformados, k,i

T (t) , é sem dúvida mais interessante para o algoritmo

de solução numérica dessas equações diferenciais ordinárias, lidar com um sistema

explícito e linear no operador transiente, evitando-se assim inversões da matriz não

linear que seria usualmente obtida. Desta forma, o coeficiente do termo transiente

pode ser reescrito na forma:

( )( )

( ) 1

** k lk l k k k l

k

w ( ,T )w ( ,T )= w w C ( ,t,T )

w

−=x

x x x xx

(3.7)

Que resulta na seguinte versão da equação (3.1a):

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

*

,, , [ , , , , , ,

, , , , , ], , 0

k

k k l k l k k l k

l k k l

T tw C t T k t T T t d t T T x t

t

u t T T t P t T t

∂= ∇ ⋅ ∇ −

∂

− ⋅∇ + ∈ >

xx x x x x

x x x x V (3.8)

17

,ou simplesmente:

( )( )

( ),

, , 0, , 1, 2,...,k

k k l

T tw H t T t l k M

t

∂= > =

∂

xx x

(3.9.a)

onde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

*

, , , , [ , , , , , ,

, , , , , ]

k l k l k l k k l k

l k k l

H t T C t T k t T T t d t T T x t

u t T T t P t T

= ∇ ⋅ ∇ −

− ⋅∇ +

x x x x x

x x x (3.9.b)

com as condições iniciais dadas pelas equações (3.1.b) e condições de contorno

também reescritas na forma:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ),

, , , , k

k k k k k l

T tT t k t Tα β φ

∂+ = ∈

∂

xx x x x x x S

n (3.9.c)

onde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

* *

* *

, , , , , , ,

,, , , ,

k l k l k k l k

k

k k k l k l

t T t T t T T t

T tk t T k t T

φ φ α α

β β

= + − +

∂ − ∂

x x x x x

xx x x x

n

(3.9.d)

O processo de transformação integral é então realizado operando-se a

equação (3.9.a) com o operador ( ) _dk,i

V

ψ v∫ � x , para obter:

( )( ) ( ),

, , dk i

k,i k l

V

dT tψ H t T v, t > 0,i = 1,2,...

dt= ∫ � x x (3.10.a)

A princípio, a integração direta do lado direito da eq. (3.10.a) forneceria um

vetor, a partir da substituição da fórmula da inversa, eq. (3.6.a), nos termos não-

lineares, que no entanto não traria nenhuma informação sobre os termos fonte da

condição de contorno, ( ), , k lt Tφ x . Assim, para levar em conta a contribuição da

condição de contorno, primeiro dividimos o lado direito da equação acima em dois

termos, como se segue:

18

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, *

* *

, , , , , d

, , , , , , , , , , d

k i

k,i k l k l k

V

k,i k l k l k l k l k

V

dT tψ C t T k t T T t v+

dt

ψ C t T P t T d t T T t u t T T t v

= ∇ ⋅ ∇

− − ⋅∇

∫

∫

�

�

x x x x

x x x x x x x

(3.10.b)

O primeiro termo no lado direito pode ser avaliado empregando-se a 2ª fórmula

de Green, para obter-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

* *

*

, , , , , d , , , , ,

, , ,, , , , , d

k,i k l k l k k k l k,i k l

V V

k,i k lk

k l k,i k l k

S

ψ C t T k t T T t v = T t k t T ψ C t T dv

ψ C t TT tk t T ψ C t T T t s

∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ +

∂∂ − ∂ ∂

∫ ∫

∫

� �

�

�

x x x x x x x x

x xxx x x x

n n

(3.10.c)

ou,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

* * *

*

, , , , , d ,

, , , , , , , , , d

k,i k l k l k k k k,i k k k k,i

V V

k k,i k l

k l k l k,i k k k,i

S

ψ C t T k t T T t v = T t k ψ C k C ψ dv

T t ψ C t Tk t T C t T ψ T t T t ψ s

∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ +

∂ ∂ ∂ − −

∂ ∂ ∂

+∫ ∫

∫

� � �

��

x x x x x

x x xx x x x x x

n n n

(3.10.d)

Desta forma, o sistema transformado pode ser escrito na forma sintética

abaixo:

(3.11.a)

onde o vetor ( ), ,,

k i l jh t T é formado pelas seguintes contribuições:

( ) ( ) ( ) ( )*

, , , , , , , ,, , , ,

k i l j k i l j k i l j k i l jh t T h t T q t T g t T= + + (3.11.b)

com,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *

, ,, , , , , , , , , , ,k i l j k,i k l k l k l k l k

V

h t T ψ C t T P t T d t T T t u t T T t dv = − − ⋅∇ ∫ � x x x x x x x

(3.11.c)

( )( ),

, ,, , 0, 1,2,..., , 1, 2,...

k i

k i l j

dT th t T t k M i

dt= > = =

19

( ) ( ) * *

, ,, ,

k i l j k k k,i k k k k,i

V

q t T T t k ψ C k C ψ dv = ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ + ∫ � �x (3.11.d)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

*

, ,

,, , ,

, , , ds

, , ,

k k,i

k l k,i k

k i l j k l

Sk l

k k,i

T t ψC t T ψ T t

g t T k t TC t T

T t ψ

∂ ∂−

∂ ∂ = ∂

− ∂

∫

��

�

x xx x x

n nx

xx x

n

(3.11.e)

O vetor de coeficientes contendo a contribuição do divergente da autofunção

pode também ser reescrito de forma mais conveniente para fins computacionais como:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

, ,, ,

, 2 ,

k i l j k k k k k k,i

V

k k k k k k k,i k k k k k,i

V V

q t T T t k C k C ψ dv

T t C C k ψ dv T t C k ψ dvγ γ γ

= ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅∇ +

∇ ∇

+

⋅ ∇ + ∇ ⋅ ∇+

∫

∫ ∫

�

� �

x

x x

(3.11.f)

O problema de autovalor, eq.(3.3.a), pode ser empregado para simplificar mais

esse vetor, fornecendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

* *

, ,

2

, ,

, 2 ,

k i l j k k k k k k k k k,i

V

k k k k k k k,i i k k k k k,i

V V

q t T T t k C k C C d ψ dv

T t C C k ψ dv T t C w ψ dv

γ

γ γ ζ γ

= ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅∇ +

∇ ∇ ⋅ ∇ − ∇

+ +

+

∫

∫ ∫

�

� �

x x

x x x x

(3.11.g)

onde,

( )( )

( )

*,

, ,k l

k l

k

k t Tt T

kγ =

x,x

x (3.11.h)

A contribuição do termo fonte do contorno pode ser reescrita explicitamente

manipulando-se as duas condições de contorno, do problema original e do problema

auxiliar, eqs.(3.9.d) and (3.3.b), respectivamente, obtendo-se:

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

, ,

*

, , , ds

, , , , ,

k,i

k,i k

k i l j k k k l

k kS

k l

k l k k,i

S

ψψ k

g t T C t T

C t Tk t T T t ψ ds

γ φα β

∂−

∂= +

∂−

∂

∫

∫

��

�

xx x

nxx x

xx x x

n

(3.11.i)

20

Embora formal e exata, a manipulação acima para levar em conta os termos

fonte da condição de contorno introduz complexidade adicional à solução ao requerer

a avaliação de derivadas dos coeficientes não-lineares, como ( ), , k lC t Tx .

Alternativamente, pode-se preferir um procedimento mais direto de incluir a

contribuição do contorno, como agora descrito. Partindo da eq. (3.10.b), somamos e

subtraimos a contribuição do termo do divergente do fluxo, ou seja:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

, *

*

* *

, , , , ,

, , ,

1

, , , , ,, ,

, , ,

k i

k,i k l k l k

V

k,i k l k

V

k l k l k

k,i k l

V l k

dT tψ C t T k t T T t

dt

ψ k t T T t

P t T d t T T tψ C t T

dv

dvt T T t

dv

u

−

+

= ∇ ⋅ ∇

−+

−

∇ ⋅ ∇

⋅ ∇

∫

∫

∫

�

�

�

x x x x

x x x

x x xx x

x x

(3.11.j)

Agora, a Segunda formula de Green é aplicada somente ao segundo termo do

lado direito da equação, que corresponde à transformação integral do termo de

divergência do fluxo original, na forma:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

, *

*

*

* *

, , , , ,

, , ,

,, , ,

, , , , ,, ,

, ,

1

,

k i

k,i k l k l k

V

k k l k,i

V

k k,i

k l k,i k

S

k l k l k

k,i k l

V l k

dT tψ C t T k t T T t

dt

T t k t T ψ

T t ψk t T ψ T t ds+

P t T d t T T tψ C t T dv

dv

v

u T t

d

t T

= ∇ ⋅ ∇

∇ ⋅ ∇

∂ ∂−

∂ ∂

− +

+ +

− −

⋅ ∇

∫

∫

∫

∫

�

�

��

�

x x x x

x x x

x xx x x

n n

x x xx x

x x

(3.11.k)

Logo, o sistema transformado alternativo pode ser escrito em forma sintética como:

( )( )*,

,, 0, 1,2,..., 1

ˆ, 2,, ...

k i

k,i l jt

dT th t

tkT

dM= > = = (3.11.l)

21

onde o vetor , ( )*

,

ˆ,

k,i l jh t T

, é agora formado pelas três novas contribuições abaixo:

( ) ( ) ( ) ( )*

, , , , , , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,k i l j k i l j k i l j k i l j

h t T h t T q t T g t T= + + 3.11.m)

com,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

, ,

* *

ˆ, , , 1 , , ,

, , , , , , , , , ,

k i l j k,i k l k l k

V

k,i k l k l k l k l k

V

h t T ψ C t T k t T T t dv

ψ C t T P t T d t T T t u t T T t dv

= − ∇ ⋅ ∇ +

− − ⋅∇

∫

∫

�

�

x x x x

x x x x x x x

(3.11.n)

( ) ( ) ( ) ( )*

, ,ˆ , , , ,

k i l j k k l k,i

V

q t T T t k t T ψ dv= ∇ ⋅ ∇∫ �x x x (3.11.o)

( ) ( ) ( )( )

( )( )*

, ,

,ˆ , , , , ds

k k,i

k i l j k l k,i k

S

T t ψg t T k t T ψ T t

∂ ∂= −

∂ ∂ ∫

��

x xx x x

n n (3.11.p)

O sistema transformado alternativo, eqs.(3.11.l)-(3.11.p), apresenta expressões

finais mais simples, especialmente ao evitar derivadas dos coeficientes não-lineares

originais.

As eqs.(3.11.a) ou (3.11.l) requerem condições iniciais transformadas para

cada potencial, a partir da transformação integral da eq.(3.1.b) com

( ) ( ) _dk k,i

V

w ψ v∫ �x x ∫ (x), resultando em:

( ) ( ) ( ) ( )0 dk ,i k k,i k

V

T w ψ f v= ∫ �x x x (3.11.q)

As eqs. (3.11.l) a (3.11.q) formam um sistema infinito acoplado de equações

diferenciais ordinárias não-lineares para os potenciais transformados, ( )k ,iT t, que

dificilmente permitiria a obtenção de uma solução analítica. Entretanto, algoritmos

confiáveis para a solução numérica de tais sistemas encontram-se disponíveis, após o

truncamento em uma ordem suficientemente grande para a precisão final desejada

pelo usuário. O sistema Fortran 95 oferece a subrotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]

para resolver sistemas rígidos de EDO´s como aquele aqui obtido, com controle

automático do erro relativo. Uma vez que o sistema tenha sido resolvido, o Fortran

22

também prove funções de interpolação para aproximar o comportamento dos campos

transformados na variável t em forma contínua. A fórmula de inversão pode então ser

chamada para reconstruir o potencial desejado em forma implícita e analítica nas

variáveis espaciais.

Para os estudos e análises específicos deste trabalho foram utilizados dois

casos distintos de condições de contorno, ou seja, temperatura prescrita uniforme na

parede (caso 1) e fluxo de calor prescrito uniforme na parede (caso 2).

3.2 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE

TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE

Figura 3.2.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular

para temperatura prescrita uniforme na parede.

Considera-se escoamento laminar incompressível na região de entrada térmica

de um tubo circular onde as paredes do mesmo estão sujeitas a uma temperatura

prescrita uniforme Tw, enquanto na entrada a temperatura é admitida ser constante e

dada por T0. Ainda, considera-se que o escoamento seja completamente desenvolvido

com propriedades físicas constantes, exceto a viscosidade que varia com a

temperatura numa forma funcional dada por Yang [10]. Com essas hipóteses, a

formulação matemática desse problema na forma adimensional é dada por:

( )( , ) 1 ( , )

, 0<R<1, Z, >0

=

T R Z T R ZU R

Z R RR Z

R

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ (3.12.a)

( ,0) 1, 0 R 1= ≤ ≤T R (3.12.b)

(0, )0; (1, ) 0, Z>0= =

T ZT Z

R

∂

∂ (3.12.c,d)

u0

T0

T = Tw = constante

T = Tw = constante

23

Despreza-se então o termo de convecção na direção radial. Na Eq. (3.12.a)

U(R,Z) é o perfil de velocidade completamente desenvolvido, porém com dependência

na variável axial Z, devido à consideração de variação de viscosidade com o campo de

temperatura. Este perfil é obtido ao integrar-se duas vezes a componente axial da

equação de conservação de quantidade de movimento linear, resultando em:

( )

1

1 1

0

1 ( )

2

(

,

)

=

∫

∫ ∫

R

R

dT

U

R

R

d dRT

Z

ηη

µ

ηη

µ

(3.13.a)

A forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a

mesma do trabalho de Yang [10] e é dada por:

* *

*

( ) 1( )

1 ( , )w

TT

T R Z

µµ

µ γ= =

+ (3.13.b)

onde, γ é um parâmetro de viscosidade, o qual assume um valor positivo para

resfriamento e negativo para aquecimento.

Na obtenção da formulação matemática do problema acima, os seguintes

grupos adimensionais foram introduzidos:

*

2

( , )( , ); ; ( , ) ; ( , ) w

w w av av i w

T r z Tr z u r zR Z U R Z T R Z

r r u u T T

α −= = = =

− (3.14.a-d)

3.2.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO

Seguindo o formalismo da GITT [51-67] o primeiro passo nesta técnica consiste na

definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o seguinte

problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:

2( )( ) 0 , 0<R<1i

i i

d RdR R R

dR dR

ψζ ψ

+ =

(3.15.a)

(0)0; (1) 0= =i

i

d

dR

ψψ (3.15.b,c)

24

O problema definido pelas Eqs. (3.15) acima é resolvido analiticamente para

fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,

ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:

0 0( ) 0; ( ) ( );

i i iJ R J Rζ ψ ζ= = (3.16.a,b)

21

2 1

0

( )( ) ,

2

ii i

JN R R dR i = 1,2,3,...

ζψ= =∫ (3.16.c)

1

0

( ) ( )

,

≠=

=∫ i j

i

0, i jR R R dR

N i jψ ψ (3.16.d)

O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.15) permite a definição do

seguinte par transformada-inversa:

1

0( ) ( ) ( , )= ∫ �

i iT Z R R T R Z dRψ , transformada (3.17.a)

1

( , ) ( ) ( )∞

=

=∑ � i i

i

T R Z R T Zψ , inversa (3.17.b)

onde, ( ) ( ) /=�i i i

R R Nψ ψ , são as autofunções normalizadas.

A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.17.b), nas Eqs. (3.13) para

o campo de velocidade, obtém-se:

( )

2

1

1

2(1 ) 4 ( ) (

1 8 ( )

,

)∞

=∞

=

− +

=

+

∑

∑

i i

i

i i

i

R A R T Z

U

Z

Z

BT

R

γ

γ

(3.18.a)

1 1

0( ) ( ) ; ( )= =∫ ∫�

i i i iR

A R d B RA R dRηψ η η (3.18.b,c)

O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da

EDP (Equação Diferencial Parcial) original. Para isso, a Eq. (3.12.a) é multiplicada por

( )�i

R Rψ e integrada no domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada

pela Eq. (3.17.b) nos termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o

25

cálculo dos potencias transformados, ( )i

T Z . Similarmente, o mesmo procedimento é

realizado na condição de entrada dada pela Eq. (3.12.b), resultando finalmente:

1

( )( ) ( ),

∞

=

=∑ j

ij i

j

dT ZC Z D Z Z > 0

dZ (3.19.a)

(0) =i i

T f (3.19.b)

onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.19) são dados por:

1 13 3

0 01

( ) 2 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

= − + ∑∫ ∫� � � �

ij ij i j i j k k

k

C Z R R R dR R R R A R dR T Zδ ψ ψ γ ψ ψ (3.20.a)

2

1

( ) ( ) 1 8 ( )i i i j j

j

D Z T Z B T Zζ γ∞

=

= − +

∑ (3.20.b)

1

0( )

i if R R dRψ= ∫ � (3.20.c)

O sistema definido pelas Eqs. (3.19) constitui-se em um problema de valor

inicial não linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos

computacionais, é necessário truncar as expansões infinitas em um número de termos

NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais transformados ( )i

T Z . Na

solução deste sistema, devido à sua característica de rigidez (problema stiff) sub-

rotinas apropriadas devem ser empregadas, como a rotina IVPAG da biblioteca IMSL

[72]. Esta sub-rotina fornece uma característica importante de controle automático do

erro relativo na solução do sistema de equações diferenciais ordinárias, possibilitando

ao usuário estabelecer a princípio o erro de interesse para obter os potenciais

desejados. Então, uma vez solucionado este sistema, a fórmula de inversão dada pela

Eq. (3.17.b) é utilizada para fornecer o campo de temperatura T(R,Z), bem como o

campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.18.a).

A partir do campo de temperatura, quantidades de interesse prático podem ser

calculadas, tais como a temperatura média de mistura e números de Nusselt local e

médio. Portanto, de suas definições usuais, tem-se:

1

0( ) 2 ( , ) ( , )

avT Z RU R Z T R Z dR= ∫ (3.21.a)

26

(1, )2

( )( )

( )av

T Z

h z D RNu Zk T Z

∂−

∂= = (3.21.b)

0

1( ) ( )

Z

avNu Z Nu d

Zξ ξ= ∫ (3.21.c)

Portanto, introduzindo-se a fórmula de inversão dada pela Eq. (3.17.b) e a Eq.

(3.18.a) para o campo de velocidade nas Eqs. (3.21.a,b), obtém-se

1 1

1

8 ( ) ( )

( )

1 8 ( )

i ij j i

i j

av

i i

i

E F T Z T Z

T Z

BT Z

γ

γ

∞ ∞

= =

∞

=

+

=

+

∑ ∑

∑ (3.22.a)

1

(1)2 ( )

( )( )

ii

i

av

dT Z

dRNu Z

T Z

ψ∞

=

−

=∑

�

(3.22.b)

12

04 (1 ) ( )

i iB R R R dRψ= −∫ � (3.22.c)

1

0( ) ( )

ij i jF R R A R dRψ= ∫ � (3.22.d)

3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE

FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE

Figura 3.3.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular

para fluxo de calor prescrito uniforme na parede.

q = qw = constante

q = qw = constante

u0

T0

27

As hipóteses para este caso são similares ao do caso de temperatura prescrita

uniforme, entretanto na parede do tubo circular aplica-se um fluxo de calor uniforme

qw. A viscosidade também varia com a temperatura numa forma funcional dada no

trabalho de Yang [10]. Com essas hipóteses, a formulação matemática desse

problema na forma adimensional é dada por:

( )( , ) 1 ( , )

, 0<R<1, Z, >0

=

T R Z T R ZU R

Z R RR Z

R

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ (3.23.a)

( , 0) 0, 0 R 1T R = ≤ ≤ (3.23.b)

(0, ) (1, )0; 1, Z>0

T Z T Z

R R

∂ ∂

∂ ∂= = (3.23.c,d)

O perfil de velocidade completamente desenvolvido, U(R,Z), para este caso é

dado por:

( )

1

1 1

0

1 ( ),

2

( )

R

R

dT

U

R d dR

R

T

Z

ηη

µ

ηη

µ

=

∫

∫ ∫ (3.24.a)

* *

*

( ) 1( )

1 ( , )i

TT

T R Z

µµ

µ λ= =

+ (3.24.b)

Onde a forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a

também dada no trabalho de Yang [10]. Na Eq. (3.24.b), λ é um parâmetro de

viscosidade, o qual assume um valor positivo para aquecimento e negativo para

resfriamento.

Na obtenção da formulação matemática do problema desta seção, os mesmos

grupos adimensionais dados pelas Eqs. (3.14) foram introduzidos, exceto a

temperatura adimensional, a qual para este caso é dada por:

*( , )

( , )( / )

i

w w

T r z TT R Z

q r k

−= (3.25)

Neste ponto, a fim de se homogeneizar a condição de contorno dada pela Eq.

(3.23.d), o seguinte filtro é proposto:

28

2

( , ) ( , )2

RT R Z R Zθ= + (3.26)

Portanto, introduzindo-se a Eq. (3.26) nas Eqs. (3.23), o seguinte problema

homogeneizado é obtido:

( )( , ) 1 ( , )

2, 0<R<1, Z>0, R Z R Z

U RZ R R R

R Z∂θ ∂ ∂θ

∂ ∂ ∂

= +

(3.27.a)

2

( , 0) , 0 R 12

RRθ = ≤ ≤ (3.27.b)

(0, ) (1, )0; 0, Z>0

Z Z

R R

∂θ ∂θ

∂ ∂= = (3.27.c,d)

3.3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO

Da mesma forma como no caso anterior, aplicando-se a metodologia da GITT [51-67]

temos a definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o

seguinte problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:

2( )( ) 0 , 0<R<1i

i i

d RdR R R

dR dR

ψζ ψ

+ =

(3.28.a)

(0) (1)0; 0i i

d d

dR dR

ψ ψ= =

(3.28.b,c)

O problema definido pelas Eqs. (3.28) acima é resolvido analiticamente para

fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,

ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:

1 0( ) 0; ( ) ( );

i i iJ R J Rζ ψ ζ= = (3.29.a, b)

21

2 0

0

( )( ) ,

2

ii i

JN R R dR i = 1,2,3,...

βψ= =∫

(3.29.c)

1

0

( ) ( )

,

≠=

=∫ i j

i

0, i jR R R dR

N i jψ ψ (3.29.d)

29

O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.28) permite a definição do

seguinte par transformada-inversa:

1

0( ) ( ) ( , )= ∫ �

i iT Z R R T R Z dRψ , transformada (3.30.a)

1

( , ) ( ) ( )∞

=

=∑ � i i

i

T R Z R T Zψ , inversa (3.30.b)

onde, ( ) ( ) /=�i i i

R R Nψ ψ , são as autofunções normalizadas.

A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.30.b), nas Eqs. (3.26) para

o campo de velocidade, obtém-se:

( )

24

1

1

(1 )(1 ) ( ) ( )

1 2 8

12( )

8 2

,

4

i i

i

i i

i

R

RR F R T Z

G T Z

ZU

λλ

λλ

∞

=∞

=

−+ − −

=

+ +

∑

∑ (3.31.a)

onde:

2

01

2

1( 1)1;( ) 1;

82

( )( )1.( ) 1.

ii

ii

iiii

i ii i

RG para iF R para i

NN

JRJ RG para iF R para i

NN

ζζ

ζζ

− = == =

= >= >

(3.31.b,c)

Utilizidando-se a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da

continuidade, após que integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,

obtém-se a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,z):

( )

2 4

1 1

2

1

1

1

( )(1 ) (1 ) ( ) ( )

4 2 16 31

2 1( )

8

,

24

( )( )

1

( )8 2

4

ii i i

i i

i i

i

ii

i

i i

i

dT ZR R R RH R T Z G

dZV

G T Z

dT ZH R

dZ

G T Z

R Z

λλ λ

λλ

λ

λλ

∞ ∞

= =

∞

=

∞

=

∞

=

− + − +

= + +

−

+ +

∑ ∑

∑

∑

∑

(3.32.a)

onde:

2

0 12

(2 )( ) 1;

8

1 2( ) ( ) ( ) 1.

i

i

i i i

ii i

R RC R para i

N

F R RJ R J R para iN

ζ ζζζ

−= =

= − >

(3.32.b)

30

O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da

EDP original. Para isso, a Eq. (3.25.a) é multiplicada por ( )�i

R Rψ e integrada no

domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) nos

termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o cálculo dos potencias

transformados, ( )i

T Z . Similarmente, o mesmo procedimento é realizado na condição

de entrada dada pela Eq. (3.25.b), resultando:

1

( )( ) ( ),

j

ij i

j

dT ZA Z B Z Z > 0

dZ

∞

=

=∑ (3.33.a)

(0)i i

T g= (3.33.b) onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.33) são dados por:

( ) ( ) ( )2

( )( )1( ) ( )

2 8 2

ijkiij ij ij ij ij ij ij k

ki k k

C ZT ZA Z a b a T Z

N N

λ λδ δ δ λ

ζ

∞

=

= − + − + − − ∑ (3.34.a)

2 01

221

( )( )1( ) ( ) ( ) 2 ( )

4 12 4

ki i i i k

k k k

JT ZB Z T Z g R T Z

N N

µλ λζ λ

ζ

∞

=

= − + + + +

∑ (3.34.b)

1 13 5

0 0( ) ( ) , ( ) ( )

ij i j ij i ja R R R dR b R R R dRψ ψ ψ ψ= =∫ ∫� � � � (3.34.c,d)

12

10

( ) ( ) ( )ijk i j k

C R R R J R dRψ ψ ζ= ∫ � � (3.34.e)

1

0

11;

( ) 2 ( )

0 1.

ii i

para iNg R R R dR

para i

ψ

=

= = >

∫ � (3.34.f)

O sistema definido pelas Eqs. (3.33) constitui um problema de valor inicial não

linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos computacionais,

conforme já explicado anteriormente, é necessário truncar as expansões infinitas em

um número de termos NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais

transformados ( )i

T Z . Na solução deste sistema, também, devido à sua característica

de rigidez (problema stiff) sub-rotinas apropriadas devem ser empregadas, como a

rotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]. Logo, uma vez solucionado este sistema, a

fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) é utilizada para fornecer o campo de

temperatura T(R,Z), bem como o campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.31.a).

A partir do campo de temperaturas, as mesmas quantidades de interesse

prático podem ser calculadas, de forma equivalente ao exposto anteriormente.

31

3.3.2 – SOLUÇÃO PELO CÓDIGO UNIT (“Unified Integral Transforms”)

A versão 1D - Mathematica do código UNIT [73-74] utilizado pelo presente trabalho

inclui todos os cálculos simbólicos necessários que foram descritos para a solução

formal via Técnica da Transformada Integral Generalizada para o caso unidimensional,

além de todos os cálculos numéricos envolvidos na solução do problema de autovalor

escolhido e do sistema de EDO's para os potenciais transformados resultantes. De

fato, o usuário essencialmente necessita especificar a formulação do problema,

escolher os coeficientes a serem utilizados no problema de autovalor e determinar

como apresentar os resultados. A seguir é feita uma descrição do algoritmo

implementado no código UNIT 1D utilizado neste trabalho para a solução formal do

problema geral de convecção-difusão.

O código trata a seguinte formulação matemática unidimensional transiente:

0 1

( , )( ) ( , , ), , 1, 2,..., , , 0k

k k j P

T x tw x G x t T k j M x x x t

t

∂= = < < >

∂ (3.35.a)

( ,0) ( ), 0 1k k

T x f x x x x= ≤ ≤ (3.35.b)

0 1

( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ), , , 0k

k k k k k j

T x tx T x t x k x x t T x x x tα β φ

∂+ = = >

∂n (3.35.c)

onde PM é a quantidade de potenciais presentes no sistema modelado. Em todos os

resultados apresentados neste trabalho o único potencial da formulação é o campo de

temperatura e, portanto, 1P

M = .

No módulo “Input & Problem Definition” do código UNIT, os seguintes termos

devem ser definidos pelo usuário de acordo com o modelo físico em análise:

( , , )k jG x t T que deve incluir os termos de difusão, dissipação e fonte, lineares ou não-

lineares. Também devem ser definidos pelo usuário a forma funcional de ( )k

f x , que é

a condição inicial do modelo; os coeficientes ( )k

xα , ( )k

xβ e ( )k

k x , que permitem

várias combinações, definindo diferentes tipos de condições de contorno e, finalmente,

( , , )k jx t Tφ , que é o termo-fonte do contorno, podendo ser linear ou não-linear.

32

Definida a formulação matemática do problema como supracitado, o usuário

deve fornecer valores para a seguinte lista de parâmetros, ainda no módulo “Input &

Problem Definition”:

− M, que corresponde ao PM na formulação do problema, sendo o número de

potenciais envolvidos no modelo. Como já destacado, neste trabalho o único

potencial presente na formulação é o campo de temperatura e M =1;

− Neig, que corresponde à ordem de truncamento na expansão em autofunções

do campo de temperatura;

− Ifilter, este parâmetro pode ter os valores 0 ou 1, sendo 0 para ativar o filtro

linear automático ou 1 quando o usuário pretende fornecer o filtro

manualmente.

− Iintegral, que permite ao usuário escolher a maneira como serão executadas as

integrações de transformação dos termos-fonte. Os valores possíveis são: 0

para a integração semi-analítica automática, 1 para a integração através de

quadraturas gaussianas, 2 para integração analítica (função Integrate) ou 3

para integração numérica automática intrínseca ao Mathematica (função

NIntegrate);

− Intorder, o valor deste parâmetro deve ser definido caso o usuário opte pela

integração semi-analítica automática, neste caso, o valor deste parâmetro

define a forma funcional do integrando de cada sub-região, sendo 0 para ordem

zero, 1 para aproximação linear (1ª ordem) e 2 para aproximação quadrática

(2ª ordem);

− Mreg, que também deve ser definido caso o usuário opte pela integração semi-

analítica automática. Este parâmetro define o número de sub-regiões utilizados

na integração. Também pode ser definido como Mregauto, neste caso o

número de regiões é definido automaticamente;

− ngauss, que define a ordem da integração Gaussiana, caso o usuário opte por

este tipo de integração. Também pode ser definido como ngauto, neste caso o

valor é escolhido automaticamente;

− tfinal, que corresponde ao maior tempo de interesse na solução do problema;

− Nerror, que corresponde à quantidade de termos que aproximam o resíduo na

análise de convergência da expansão do potencial em autofunções.

Ainda os parâmetros a seguir, que na realidade são opções da função NDSolve

utilizada na solução do sistema transformado, podem ser definidos manualmente.

33

Entretanto, ressalta-se que a configuração default deve funcionar para a maior parte

dos problemas.

− maxstepsize, que é o tamanho máximo do passo no tempo na solução

numérica do problema transformado;

− startingstepsize, é o tamanho inicial do passo no tempo na solução numérica

do problema transformado;

− accuracyODE, acurácia desejada na solução numérica do problema

transformado;

− precisionODE, precisão desejada na solução numérica do problema

transformado;

− methodODE, método para a solução numérica do problema transformado .

Neste momento o problema já está devidamente formulado, mas o usuário

ainda deve fornecer qual deve ser a escolha do problema auxiliar de autovalor através

da definição dos coeficientes k*(x), w*(x) e d*(x), todos devidamente indicados no

módulo “Input & Problem Definition”, que devem ser especificados e então o problema

auxiliar de autovalor é automaticamente gerado. A partir deste ponto começa a

solução propriamente dita do problema.

Primeiro, o módulo de filtragem automático é iniciado e utiliza ou o filtro

fornecido pelo usuário ou o filtro linear automático, dependendo de qual foi a escolha

do usuário.

Na sequência, o problema auxiliar de autovalor é resolvido empregando a

função DSolve do Mathematica, e a equação transcendental que gera os autovalores e

as respectivas autofunções normalizadas são determinados analiticamente pela

plataforma de computação simbólica.

Então, a condição inicial transformada é calculada. Como já destacado nesta

seção, o código utiliza a forma de integração definida pelo usuário no parâmetro

Iintegral, que pode ser a integração analítica automática (função Integrate), a

integração numérica automática (função NIntegrate), a integração semi-analítica ou

ainda a integração numérica com quadraturas gaussianas. O mesmo acontece para

obtenção dos coeficientes do sistema de EDO's para o potencial transformado, onde

integrações devem ser efetuadas. A importância da opção de utilização da integração

semi-analítica reside principalmente na sua maior eficácia na integração destes

termos-fonte, que usualmente exigem integrações numéricas internas à rotina de

34

solução do problema de valor inicial, especialmente em formulações não-lineares. Na

opção de integração semi-analítica a transformação integral do termo-fonte se dá da

seguinte maneira:

1

ˆ( , ) ( ) ( , ,T) ( ) ( , ,T)m

M

i j i i mv v

m

g t T G t dv G t dvψ ψ=

= =∑∫ ∫x x x x� �

(3.36)

onde ˆ ( , ,T)mG tx são formas funcionais mais simples analiticamente integráveis do

termo-fonte, definas em M sub-regiões Vm. A escolha mais simples é a utilização de

valores uniformes dentro de cada sub-região (aproximação de ordem zero), mas

aproximações lineares (primeira ordem) e quadráticas (segunda ordem) também estão

implementadas no código e o usuário deve optar por uma delas no caso de escolha da

utilização da integração semi-analítica, como já citado, através da escolha adequada

do parâmetro Intorder no módulo “Input & Problem Definition”.

A esta altura o sistema de EDO's para o potencial transformado é montado e o

próximo passo é a sua solução. Como discutido anteriormente, este sistema é

resolvido numericamente através da função NDSolve, intrínseca à plataforma

Mathematica. O código UNIT em sua configuração default utiliza o método BDF,

intrínseco à função NDSolve.

Com o sistema de EDO's para o potencial transformado resolvido, o campo de

temperatura é calculado a partir da expansão em autofunções. Neste ponto o usuário

deve verificar se a convergência da expansão está satisfatória e eventualmente

diminuir/aumentar a ordem de truncamento N de modo a atender seus requisitos. Por

exemplo, pode ser usada a seguinte fórmula para este teste de convergência:

* 1

1

( )

( ) max

( )

( )

( ; ) ( )

N

i

i N

N

i

i

i

f i

T

t

T T

t

t t

ψ

ε

ψ

= +

=

=

+

∑

∑

x

xx

�

�

(3.37)

O numerador na Eq. 3.37 diz respeito aos termos que a princípio poderiam ser

extraídos da expansão da temperatura, para fornecer uma estimativa do resíduo da

solução, e verificar o atendimento da tolerância admitida pelas especificações do

usuário. O número de termos usados para este teste de convergência é controlado

35

pelo parâmetro Nerror. Neste trabalho foram sempre escolhidos alguns pontos

diferentes do domínio de modo a se avaliar qual o maior erro de truncamento dentre

estes pontos. Ressalta-se que não está disponível um sistema automático de

convergência e o usuário deve observar se a convergência está dentro de suas

pretensões e então aumentar/diminuir a ordem de truncamento, conforme suas

necessidades de precisão e custo computacional.

Finalmente, a expansão em autofunções é realizada e o usuário então dispõe

de uma função contínua em x e t para os potenciais e então, no módulo “Results”,

pode utilizar as ferramentas do Mathematica para apresentar os resultados de acordo

com suas necessidades, como gráficos, tabelas, comparações, etc.

36

CAPÍTULO 4

DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL

Para validação dos resultados obtidos através deste estudo teórico e contribuir mais

efetivamente com o avanço das pesquisas nesta linha, utilizou-se dados experimentais

próprios aquisitados no LTTC para um nanofluido comercial água-sílica, no contexto

do projeto COPPE-CENPES [75]. Portanto, para um entendimento adequado sobre os

resultados experimentais obtidos, far-se-á uma breve descrição a respeito do aparato

experimental e dos experimentos correspondentes.

O aparato experimental para estudos de convecção forçada com nanofluidos

objetiva a determinação de coeficientes de transferência de calor locais e médios para

escoamento em tubos retos de seção circular, em função do número de Reynolds,

variando-se a vazão do escoamento, bem como em função da posição axial ao longo

do tubo e da concentração de nanopartículas no fluido.

No desenvolvimento deste trabalho, foram considerados alguns aspectos

relevantes em função das mais recentes inovações e modificações na bancada

experimental já disponível no LTTC, originalmente projetada e construída no projeto

precursor junto ao CENPES/Petrobras [76]. O histórico de todas estas melhorias no

circuito termohidráulico estão amplamente abordadas e justificadas nos relatórios de

progressos e podem ser disponibilizados para consulta [75].

O circuito termohidráulico, mostrado nas Figuras 4.1 a,b e esquematizado na

Figura 4.2 abaixo, está dividido em cinco partes: Aquecimento, Seção de Testes,

Circuito Hidráulico, Sistema de Rejeição de Calor e Aquisição de Dados [14].

37

Figura 4.1.a,b – Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ).

Figura 4.2 – Disposição esquemática do aparato experimental.

38

Para os estudos inerentes a este trabalho foi utilizado e avaliado um nanofluido

comercial de óxido de silício (SiO2)-água [45, 50 e 53], o qual foi adquirido da empresa

americana Nanostructured & Amorphous Materials, Inc. A ficha técnica fornecida pelo

fabricante do nanofluido utilizado é apresentada na tabela 4.1 mostrada abaixo e o

recipiente comercializado é ilustrado na Figura 4.1.

Tabela 4.1 – Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante.

Tipo da nanopartícula SiO2

Tamanho da nanopartícula 30 nm

Densidade da nanopartícula 2.2 g/cm3

pH 6-7

Concentração de nanopartículas 25 % em massa

Figura 4.3 – Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro) (Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA).

Foram empregados 2,5 litros do nanofluido no circuito, com uma concentração

volumétrica nominal, antes da realização do experimento, de 12,794% de

39

nanopartículas de óxido de silício (25% em massa), posteriormente avaliada mais

adequadamente de acordo com as medidas de fração volumétrica efetuadas no

laboratório, com auxílio da estufa e da balança de precisão.

O sistema de aquisição de dados é responsável pela aquisição e

armazenamento dos dados, a partir do processamento automático das informações

proveniente de sensores, bem como pelo monitoramento nos componentes de suporte

dos equipamentos do aparato experimental.

A aquisição de dados em um experimento típico do circuito térmohidráulico de

convecção forçada inclui os arquivos de aquisição de vazão produzidos pelo programa

“GramaTempo”, o arquivo de aquisição de temperaturas e voltagens gerado pelo

Agilent, e outros dados de controle anotados pelo operador (temperatura ambiente,

corrente na resistência aquecedora, etc.).

O programa “GramaTempo” é um aplicativo em C construído no LTTC, que

permite a comunicação com a balança de precisão e o computador, registrando as

medidas de tempo e massa e oferecendo ao operador o controle do início e final da

operação enquanto estima a vazão durante a aquisição. Um grande volume de dados

é gerado pela aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, que captura todo o

processo transiente desde o ligamento do circuito térmico até o estabelecimento do

regime permanente, requerendo um tratamento estatístico seguido pela apresentação

gráfica e devidas comparações com previsões teóricas. Para tal fim foi construído um

notebook* na plataforma Mathematica [77] “ExperimentoNanofluido”. Este notebook é

modular podendo ser executado na íntegra ou apenas nos conjuntos de células de

interesse para uma dada situação. Os grupos de células mais importantes podem ser

assim descritos: * notebook – terminologia utilizada para designar o código computacional no

Mathematica.

a. Propriedades Termofísicas da Água e do Nanofluido

A partir de dados da literatura, efetuam-se interpolações para as propriedades

termofísicas da água e empregam-se as fórmulas de correção para o nanofluido

correspondente; pode-se também empregar os dados próprios de propriedades para o

nanofluido.

b. Parâmetros Experimentais: Vazão, Temperaturas, Voltagens e Outros Dados

O Módulo principal que lê os dados aquisitados de vazão, temperaturas e

voltagens, tratando esses dados a seguir. Para o tratamento dos dados de vazão

despreza-se 10% das medidas no início e final do processo, empregando-se a rotina

40

Regress* do Mathematica para análise estatística desses dados e obtenção da

estimativa da vazão. São efetuadas em geral seis réplicas para obtenção de médias,

desvios-padrão e incertezas (intervalo de confiança de 95%). A utilização da função

Regress forneceu excelente concordância, o que foi observado na totalidade dos

experimentos aqui observados, e a incerteza associada, por exemplo, à vazão média

permaneceu em torno de 3%. * Regress – função padrão do Mathematica que faz uma estimativa para os

coeficientes de curvas a partir de um conjunto de dados, neste caso a curva é linear.

Já da aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, é selecionada uma

janela de tempo dentro do período constatado como em regime permanente para

obtenção das médias e incertezas de cada medida. Foi adotada aqui uma janela de

cinco minutos em todas as estimativas, que se mostrou representativa em todos os

experimentos, cujo tempo para atingir regime permanente variou de 15 minutos até

cerca de 120 minutos em alguns casos, dependendo da vazão, condição inicial e

potência fornecida.

Por fim, os resultados experimentais são consolidados pelo Mathematica, onde

a primeira linha corresponde à temperatura de entrada do fluido e as demais

correspondem aos termopares posicionados na parede externa do tubo nas posições

axiais ali apresentadas. Observou-se que as incertezas destas medidas eram

inferiores a 0,1 ºC em todas as posições.

41

CAPÍTULO 5

RESULTADOS E DISCUSSÃO

A seguir serão apresentados os resultados numéricos a partir da solução proposta,

obtidos através de uma implementação computacional em Fortran 95. Ambas as

condições de contorno, de temperatura ou fluxo de calor prescritos, foram simuladas e

seus resultados comparados com a literatura e, no caso específico do fluxo de calor

prescrito, foi efetuada a validação com resultados experimentais obtidos no LTTC para

um nanofluido comercial de água-sílica.

Para a efetiva verificação do código computacional construído, foram

considerados diferentes casos com variação de � e �, parâmetros que caracterizam a

variação da viscosidade com a temperatura, definidos, respectivamente, na Eq.

(3.13.b) e na Eq. (3.24.b), conforme apresentado na literatura [10]. Além disso,

buscou-se realizar uma análise da convergência dos resultados a fim de avaliar a

incerteza dos resultados.

5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA

5.1.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA

No presente estudo, para confirmar a convergência dos resultados variou-se o número

de termos da expansão, até que os resultados obtidos fossem considerados

convergidos. Observou-se, como esperado, que quanto menor a distância axial

considerada, ou seja, quanto mais próximo da entrada do tubo, mais termos na

expansão são necessários para atingir a convergência em um dado número de dígitos

significativos.

Caso analisado: �� = 9,0

Para as análises apresentadas nas tabelas 5.1.1 - 4 abaixo, optou-se por uma

variação de 10 em 10 termos na expansão. Das Tabelas 5.1.1 e 5.1.2 pode-se

observar que a velocidade no centro do tubo e a temperatura média na seção atingem

convergência em cinco dígitos significativos em todas as posições axiais

apresentadas, para NT<80. Claramente, ordens de truncamento bem menores podem

ser empregadas para critérios de convergência menos rígidos, ou seja, convergência

42

em quatro dígitos significativos pode ser obtida mesmo com ordens de truncamento

NT<40.

Tabela 5.1.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de temperatura

prescrita e ��=9,0. VELOCIDADE NO CENTRO

Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80

0,0001 0,00005 2,1042 2,1278 2,137 2,1377 2,1381 2,1383 2,1384 2,1384

0,0002 0,0001 2,1305 2,1717 2,1727 2,1735 2,1737 2,1738 2,1739 2,1739

0,0003 0,00015 2,1553 2,1967 2,1978 2,1983 2,1985 2,1986 2,1986 2,1986

0,0004 0,0002 2,1784 2,2161 2,2175 2,2179 2,2180 2,2181 2,2182 2,2182

0,0005 0,00025 2,1997 2,2325 2,234 2,2343 2,2345 2,2345 2,2346 2,2346

0,0006 0,0003 2,2192 2,2470 2,2483 2,2487 2,2488 2,2488 2,2488 2,2489

0,0007 0,00035 2,2370 2,2599 2,2611 2,2614 2,2615 2,2615 2,2616 2,2616

0,0008 0,0004 2,2531 2,2716 2,2726 2,2729 2,2730 2,2730 2,2731 2,2731

0,0009 0,00045 2,2677 2,2822 2,2832 2,2834 2,2835 2,2836 2,2836 2,2836

0,001 0,0005 2,2808 2,2921 2,293 2,2932 2,2933 2,2933 2,2933 2,2933

0,002 0,001 2,3633 2,3647 2,3652 2,3653 2,3654 2,3654 2,3654 2,3654

0,003 0,0015 2,4116 2,4139 2,4143 2,4144 2,4144 2,4144 2,4145 2,4145

0,004 0,002 2,4495 2,4521 2,4524 2,4524 2,4525 2,4525 2,4525 2,4525

0,005 0,0025 2,4811 2,4835 2,4838 2,4838 2,4839 2,4839 2,4839 2,4839

0,006 0,003 2,5083 2,5104 2,5106 2,5106 2,5107 2,5107 2,5107 2,5107

0,007 0,0035 2,5321 2,5339 2,5341 2,5341 2,5341 2,5342 2,5342 2,5342

0,008 0,004 2,5532 2,5548 2,5550 2,5550 2,5550 2,5551 2,5551 2,5551

0,009 0,0045 2,5723 2,5737 2,5738 2,5739 2,5739 2,5739 2,5739 2,5739

0,01 0,005 2,5896 2,5909 2,5910 2,5910 2,5911 2,5911 2,5911 2,5911

0,02 0,01 2,7082 2,7088 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089

0,03 0,015 2,7776 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781

0,04 0,02 2,8240 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243

0,05 0,025 2,8565 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567

0,06 0,03 2,8797 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799

0,07 0,035 2,8963 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964

0,08 0,04 2,9077 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078

0,09 0,045 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153

0,1 0,05 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197

0,2 0,1 2,8741 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740

0,3 0,15 2,7698 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697

0,4 0,2 2,6540 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539

0,5 0,25 2,5392 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391

0,6 0,3 2,432 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319

0,7 0,35 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367

0,8 0,4 2,2561 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560

0,9 0,45 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906

1 0,5 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394

2 1 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041

3 1,5 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001

4 2 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000

43

Tabela 5.1.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de temperatura prescrita e ��=9,0.

TEMPERATURA MÉDIA (Tav)


0,0001 0,00005 0,9985 0,9968 0,9968 0,9968 0,9968 0,9968 0,9967 0,9967

0,0002 0,0001 0,9960 0,9950 0,9949 0,9948 0,9948 0,9948 0,9948 0,9948

0,0003 0,00015 0,9939 0,9934 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932

0,0004 0,0002 0,9922 0,9919 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917

0,0005 0,00025 0,9906 0,9905 0,9904 0,9903 0,9903 0,9903 0,9903 0,9903

0,0006 0,0003 0,9893 0,9892 0,9891 0,9891 0,9890 0,9890 0,9890 0,9890

0,0007 0,00035 0,9880 0,9880 0,9879 0,9878 0,9878 0,9878 0,9878 0,9878

0,0008 0,0004 0,9869 0,9868 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867

0,0009 0,00045 0,9859 0,9857 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856

0,001 0,0005 0,9849 0,9846 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845

0,002 0,001 0,9759 0,9752 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751

0,003 0,0015 0,9678 0,9672 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671

0,004 0,002 0,9606 0,9600 0,9600 0,9600 0,9600 0,9599 0,9599 0,9599

0,005 0,0025 0,9539 0,9534 0,9534 0,9533 0,9533 0,9533 0,9533 0,9533

0,006 0,003 0,9476 0,9472 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471

0,007 0,0035 0,9417 0,9413 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412

0,008 0,004 0,9361 0,9357 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356

0,009 0,0045 0,9306 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302

0,01 0,005 0,9254 0,9250 0,9250 0,9250 0,9250 0,9249 0,9249 0,9249

0,02 0,01 0,8799 0,8796 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795

0,03 0,015 0,8417 0,8415 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414

0,04 0,02 0,8079 0,8077 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076

0,05 0,025 0,7771 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769

0,06 0,03 0,7486 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484

0,07 0,035 0,7220 0,7218 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217

0,08 0,04 0,6969 0,6967 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966

0,09 0,045 0,6731 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729

0,1 0,05 0,6505 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503

0,2 0,1 0,4686 0,4685 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684

0,3 0,15 0,3389 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388

0,4 0,2 0,2439 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438

0,5 0,25 0,1743 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742

0,6 0,3 0,1238 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237

0,7 0,35 0,0874 0,0874 0,0874 0,0874 0,0874 0,0873 0,0873 0,0873

0,8 0,4 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614

0,9 0,45 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430

1 0,5 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300

2 1 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008

3 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 0 0 0 0 0 0 0 0

44

Tabela 5.1.1.3 – Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa) para o caso de

temperatura prescrita e ��=9,0.

Número de Nusselt local (Nu) – Fórmula da Inversa


0,0001 0,00005 35,4863 35,3665 28,4273 28,3543 28,0278 27,9216 27,8727 27,8504

0,0002 0,0001 31,5665 22,9289 22,4788 22,1675 22,0902 22,0625 22,0518 22,0468

0,0003 0,00015 28,1472 19,4849 19,4361 19,2875 19,2526 19,2412 19,2362 19,2337

0,0004 0,0002 25,1889 17,7480 17,5642 17,4895 17,4705 17,4639 17,4608 17,4590

0,0005 0,00025 22,6500 16,4888 16,2622 16,2169 16,2049 16,2003 16,1980 16,1967

0,0006 0,0003 20,4879 15,4899 15,2802 15,2488 15,2403 15,2368 15,2349 15,2339

0,0007 0,00035 18,6598 14,6751 14,5002 14,4769 14,4703 14,4674 14,4660 14,4651

0,0008 0,0004 17,1239 13,9985 13,8587 13,8407 13,8353 13,8329 13,8317 13,8310

0,0009 0,00045 15,8400 13,4275 13,3177 13,3033 13,2988 13,2967 13,2957 13,2951

0,001 0,0005 14,7709 12,9387 12,8526 12,8407 12,8368 12,8351 12,8341 12,8336

0,002 0,001 10,2131 10,2052 10,1874 10,1832 10,1816 10,1809 10,1806 10,1804

0,003 0,0015 8,9340 8,9129 8,9033 8,9009 8,9000 8,8996 8,8993 8,8992

0,004 0,002 8,1639 8,1040 8,0976 8,096 8,0954 8,0951 8,0949 8,0948

0,005 0,0025 7,5936 7,5321 7,5274 7,5261 7,5257 7,5255 7,5254 7,5253

0,006 0,003 7,1497 7,0981 7,0944 7,0935 7,0931 7,0929 7,0928 7,0928

0,007 0,0035 6,7938 6,7532 6,7503 6,7495 6,7492 6,7490 6,7490 6,7489

0,008 0,004 6,5014 6,4701 6,4676 6,4669 6,4667 6,4666 6,4665 6,4665

0,009 0,0045 6,2563 6,2319 6,2298 6,2292 6,2290 6,2289 6,2288 6,2288

0,01 0,005 6,0470 6,0277 6,0258 6,0253 6,0251 6,0251 6,0250 6,0250

0,02 0,01 4,8822 4,8761 4,8754 4,8752 4,8752 4,8751 4,8751 4,8751

0,03 0,015 4,3465 4,3430 4,3425 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424

0,04 0,02 4,0244 4,0220 4,0218 4,0217 4,0217 4,0216 4,0216 4,0216

0,05 0,025 3,8064 3,8047 3,8045 3,8045 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044

0,06 0,03 3,6487 3,6474 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472

0,07 0,035 3,5297 3,5286 3,5285 3,5285 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284

0,08 0,04 3,4373 3,4364 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363

0,09 0,045 3,3642 3,3635 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634

0,1 0,05 3,3057 3,3051 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050

0,2 0,1 3,0934 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932

0,3 0,15 3,1084 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082

0,4 0,2 3,1703 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701

0,5 0,25 3,2427 3,2425 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424

0,6 0,3 3,3154 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151

0,7 0,35 3,3836 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832

0,8 0,4 3,4441 3,4438 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437

0,9 0,45 3,4954 3,4950 3,4950 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949

1 0,5 3,5370 3,5365 3,5368 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364

2 1 3,6537 3,6532 3,6531 3,6519 3,6531 3,6522 3,6496 3,6538

3 1,5 3,6639 3,6568 3,6567 3,6870 3,6567 3,6567 3,6567 3,6507

4 2 3,6578 3,6645 4,1313 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568

45

Tabela 5.1.1.4 – Convergência do número de Nusselt local (equação de energia) para o caso

de temperatura prescrita e �� = 9,0.

Número de Nusselt Local(Nu) – Balanço de Energia


0,0001 0,00005 27,2681 30,9964 27,9788 28,0033 27,9064 27,8723 27,8538 27,8432

0,0002 0,0001 24,7322 22,2936 22,2044 22,1018 22,0718 22,0577 22,0504 22,0462

0,0003 0,00015 22,5170 19,2951 19,3194 19,2663 19,2483 19,2401 19,2358 19,2333

0,0004 0,0002 20,5954 17,5775 17,5141 17,4813 17,4690 17,4634 17,4605 17,4588

0,0005 0,00025 18,9396 16,3262 16,2373 16,2133 16,2042 16,2000 16,1978 16,1966

0,0006 0,0003 17,5213 15,3496 15,2660 15,2469 15,2398 15,2365 15,2348 15,2338

0,0007 0,00035 16,3125 14,5623 14,4914 14,4757 14,4699 14,4672 14,4658 14,4650

0,0008 0,0004 15,2863 13,9116 13,853 13,8399 13,835 13,8327 13,8316 13,8309

0,0009 0,00045 14,4173 13,3624 13,3139 13,3027 13,2985 13,2966 13,2956 13,295

0,001 0,0005 13,6821 12,8906 12,85 12,8402 12,8366 12,8349 12,8341 12,8336

0,002 0,001 10,1977 10,2014 10,1868 10,1830 10,1815 10,1809 10,1805 10,1803

0,003 0,0015 8,9372 8,9115 8,903 8,9007 8,8999 8,8995 8,8993 8,8992

0,004 0,002 8,1455 8,1032 8,0974 8,0959 8,0953 8,095 8,0949 8,0948

0,005 0,0025 7,5703 7,5315 7,5272 7,5261 7,5256 7,5254 7,5253 7,5253

0,006 0,003 7,1294 7,0976 7,0943 7,0934 7,0931 7,0929 7,0928 7,0928

0,007 0,0035 6,7784 6,7529 6,7501 6,7494 6,7492 6,7490 6,7490 6,7489

0,008 0,004 6,4905 6,4698 6,4675 6,4669 6,4667 6,4666 6,4665 6,4665

0,009 0,0045 6,2488 6,2316 6,2297 6,2292 6,229 6,2289 6,2288 6,2288

0,01 0,005 6,0420 6,0274 6,0257 6,0253 6,0251 6,0250 6,0250 6,0250

0,02 0,01 4,8813 4,8760 4,8754 4,8752 4,8752 4,8751 4,8751 4,8751

0,03 0,015 4,3458 4,3429 4,3425 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424

0,04 0,02 4,0239 4,0220 4,0217 4,0217 4,0217 4,0216 4,0216 4,0216

0,05 0,025 3,8060 3,8047 3,8045 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044

0,06 0,03 3,6483 3,6473 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472

0,07 0,035 3,5293 3,5286 3,5285 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284

0,08 0,04 3,4370 3,4364 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363

0,09 0,045 3,3640 3,3635 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634

0,1 0,05 3,3055 3,3051 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050

0,2 0,1 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932

0,3 0,15 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082

0,4 0,2 3,17 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701

0,5 0,25 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424

0,6 0,3 3,3150 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151

0,7 0,35 3,3831 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832

0,8 0,4 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437

0,9 0,45 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949

1 0,5 3,5364 3,5364 3,5368 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364

2 1 3,6531 3,6531 3,6531 3,6530 3,6531 3,653 3,6527 3,6531

3 1,5 3,6624 3,6567 3,6567 3,6664 3,6567 3,6567 3,6567 3,6492

4 2 3,6571 3,6644 4,0295 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568

46

Na avaliação do número de Nusselt local, para o caso de temperatura prescrita

na parede, foram utilizadas duas formas de cálculo, uma através do balanço integral

da equação de energia e outra pelo cálculo direto da derivada da temperatura na

parede a partir da fórmula da inversa. Claramente, como ilustrado nas Tabelas 5.1.1.3

e 5.1.1.4 abaixo, o cálculo baseado na integração da equação de energia apresenta

uma convergência melhor que no caso da substituição direta da fórmula da inversa

para estimar o fluxo de calor na parede. Não obstante, ambas formas de cálculo levam

ao mesmo resultado final para ordens de truncamento suficientemente grandes.

5.1.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([10] e [68])

A seguir apresentamos uma breve verificação do código implementado, a partir de

comparações com resultados numéricos apresentados por Yang [10]. Para ajudar a

visualizar as sensíveis variações da viscosidade nos casos apresentados em [10],

mostramos na Figura 5.1.2.1 abaixo, as diferentes curvas para a viscosidade em

função da temperatura, para os valores de � utilizados por Yang [10], tanto positivos

quanto negativos.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1T

0.1

1

10

µ(T

)

Casos de Yang [10]γ = -0,3

γ = -0,6

γ = -0,9

γ = 3,0

γ = 6,0

γ = 9,0

Figura 5.1.2.1 – Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura prescrita e conforme Yang [10].

47

Caso analisado: �� = 9,0 ([10])

Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.1 foram considerados 80 termos

na expansão do campo de temperaturas.

Tabela 5.1.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita

e �� = 9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].

Z X Nu1 Nu2 Nu [10]

0,0008 0,0004 13,8310 13,8309 14,203

0,0086 0,0043 6,3193 6,3193 6,382

0,0342 0,0171 4,1905 4,1905 4,231

0,0812 0,0406 3,4266 3,4266 3,531

0,2 0,1 3,0932 3,0932 3,115

0,3 0,15 3,1082 3,1082 3,193

0,4 0,2 3,1701 3,1701 3,276

0,5 0,25 3,2424 3,2424 3,360

0,6 0,3 3,3151 3,3151 3,438 (1) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)

0 0.2 0.4 0.6Z

0

4

8

12

16

20

24

Nu

(Z)

Nusselt Local (γ = 9,0)Yang [10]Nu(Z) - InversaNu(Z) - Energia

Figura 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ��=9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].

48

As duas formas de calcular o número de Nusselt aqui adotadas, a partir do

balanço integral e da fórmula da inversa, apresentam total concordância entre si, após

ser atingida a convergência (como esperado), como mostrado na Tabela 5.1.2.1, e tem

uma razoável concordância com os resultados pioneiros de Yang [10], como também

pode ser observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.2.

Caso analisado: �� = -0,9 ([10] e [68])

De forma análoga ao caso anterior, na sequência é apresentada uma nova

verificação do código implementado, a partir de comparações com resultados

numéricos apresentados por Yang [10], bem como com resultados mais recentes de

Oliveira Filho et al. [68]. Estes autores consideraram para esta publicação resultados

com erro relativo de 10-6 na obtenção dos campos transformados e ordem de

truncamento de 40 termos.

Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.2 foram considerados 80 termos

na expansão do campo de temperaturas. As duas formas de calcular o número de

Nusselt aqui empregadas, a partir do balanço integral e da fórmula da inversa,

apresentam total concordância entre si, após ser atingida a convergência, como

mostrado nas Tabelas 5.1.2.2 e 5.1.2.3, e não apresentam concordância com os

resultados mais recentes Oliveira Filho et al. [68], Tabela 5.1.2.2, no entanto

apresentam boa concordância com Yang [10], Tabela 5.1.2.3, como também pode ser

observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.3.

Tabela 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita

e �� = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [68].

Z=X Nu1 Nu2 Nu [68]

0,0001 59,268 59,126 372,296

0,001 24,287 24,283 94,251

0,005 12,740 12,740 33,428

0,01 9,664 9,664 21,232

0,05 5,364 5,364 8,065

0,1 4,429 4,429 5,833

0,2 3,944 3,944 4,646

0,3 3,812 3,812 4,243

0,5 3,721 3,721 3,907

1,0 3,661 3,662 3,694

1,6 3,764 3,750 3,661

2,0 3,773 3,757 3,657 (1) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)

49

Tabela 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e �� = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].

Z X Nu1 Nu2 Nu [10]

0,003 0,0015 15,646 15,645 16,004

0,0188 0,0094 7,570 7,570 7,685

0,052 0,026 5,298 5,298 5,317

0,0988 0,0494 4,441 4,441 4,447

0,2 0,1 3,944 3,944 3,912

0,3 0,15 3,812 3,812 3,829

0,4 0,2 3,754 3,754 3,781

0,5 0,25 3,721 3,721 3,752

0,6 0,3 3,700 3,700 3,734

(2) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)

0 0.2 0.4 0.6Z

0

4

8

12

16

20

Nu

(Z)

Nusselt Local (γ = -0,9)Yang [10]Nu(Z) - InversaNu(Z) - Energia

Figura 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ��=-0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].

50

Por outro lado, através da Tabela 5.1.2.4 e da Figura 5.1.2.4 as comparações

considerando-se a velocidade no centro do tubo demonstrou excelente concordância

com os resultados de Oliveira Filho et al. [68]. Aparentemente houve um equívoco nos

resultados reportados para o número de Nusselt na ref.[68], sendo este o único

conjunto de dados disponível para comparação direta naquela referência.

Tabela 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura

prescrita e �� = -0,9 conforme referência [68].

Z=X U U [68]

0,0001 1,606 1,609

0,001 1,433 1,433

0,005 1,372 1,371

0,01 1,377 1,377

0,05 1,504 1,504

0,1 1,620 1,620

0,2 1,763 1,763

0,3 1,847 1,846

0,5 1,931 1,931

1,0 1,990 1,990

1,6 1,999 1,999

2,0 2,000 2,000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1Z

1.4

1.6

1.8

2

U(Z

)

Velocidade no centro (γ = -0,9)Oliveira Filho et al. [68]GITT

Figura 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura

prescrita e ��=-0,9 conforme referência [68].

51

5.2 - FLUXO PRESCRITO

5.2.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA

Para este caso foi realizado procedimento semelhante ao descrito anteriormente, para

o caso da temperatura na parede prescrita, quanto à variação do número de termos na

expansão, no entanto, observou-se uma maior rigidez deste problema em relação ao

anterior, e que quanto maior o valor absoluto de �� , menor a taxa de convergência e

maior o custo computacional requerido.

Caso analisado: ��= -0,3

Para as análises apresentadas nas tabelas 5.2.1 - 3 abaixo, optou-se por uma

variação de 10 em 10 termos na expansão. Observa-se uma excelente convergência

para a velocidade no centro do tubo, para a temperatura média na seção, bem como

para o número de Nusselt local. Pelo menos quatro dígitos significativos encontram-se

convergidos para o número de Nusselt com NT=80.

52

Tabela 5.2.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de fluxo prescrito e

��= -0,3.

VELOCIDADE NO CENTRO


0,0001 0,00005 2,0008 2,0011 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012

0,0002 0,0001 2,0014 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019

0,0003 0,00015 2,0021 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025

0,0004 0,0002 2,0026 2,003 2,003 2,0031 2,0031 2,0031 2,0031 2,0031

0,0005 0,00025 2,0032 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035

0,0006 0,0003 2,0037 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040

0,0007 0,00035 2,0042 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044

0,0008 0,0004 2,0046 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048

0,0009 0,00045 2,0050 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052

0,001 0,0005 2,0054 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056

0,002 0,001 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087

0,003 0,0015 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112

0,004 0,002 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134

0,005 0,0025 2,0153 2,0153 2,0153 2,0154 2,0154 2,0154 2,0154 2,0154

0,006 0,003 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171

0,007 0,0035 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187

0,008 0,004 2,0202 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203

0,009 0,0045 2,0216 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217

0,01 0,005 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230

0,02 0,01 2,0337 2,0337 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338

0,03 0,015 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416

0,04 0,02 2,0479 2,0479 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480

0,05 0,025 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532

0,06 0,03 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578

0,07 0,035 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617

0,08 0,04 2,0652 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653

0,09 0,045 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684

0,1 0,05 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712

0,2 0,1 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898

0,3 0,15 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012

0,4 0,2 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116

0,5 0,25 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230

0,6 0,3 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366

0,7 0,35 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534

0,8 0,4 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749

0,9 0,45 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035

1 0,5 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433

53

Tabela 5.2.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de fluxo prescrito e

��= -0,3.

TEMPERATURA MÉDIA (Tav)


0,0001 0,00005 1,41E-04 1,93E-04 1,98E-04 1,99E-04 1,99E-04 1,99E-04 1,99E-04 2,00E-04

0,0002 0,0001 3,41E-04 3,92E-04 3,97E-04 3,98E-04 3,99E-04 3,99E-04 3,99E-04 3,99E-04

0,0003 0,00015 5,40E-04 5,91E-04 5,96E-04 5,97E-04 5,98E-04 5,98E-04 5,98E-04 5,98E-04

0,0004 0,0002 7,39E-04 7,90E-04 7,95E-04 7,96E-04 7,97E-04 7,97E-04 7,97E-04 7,97E-04

0,0005 0,00025 9,38E-04 9,89E-04 9,94E-04 9,95E-04 9,96E-04 9,96E-04 9,96E-04 9,96E-04

0,0006 0,0003 1,14E-03 1,19E-03 1,19E-03 1,19E-03 1,20E-03 1,20E-03 1,20E-03 1,20E-03

0,0007 0,00035 1,34E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03

0,0008 0,0004 1,53E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03

0,0009 0,00045 1,73E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03

0,001 0,0005 1,93E-03 1,98E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03

0,002 0,001 3,92E-03 3,97E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03

0,003 0,0015 5,90E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03

0,004 0,002 7,89E-03 7,94E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03

0,005 0,0025 9,87E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03

0,006 0,003 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02

0,007 0,0035 1,38E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02

0,008 0,004 1,58E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02

0,009 0,0045 1,78E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02

0,01 0,005 1,98E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02

0,02 0,01 3,96E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02

0,03 0,015 5,95E-02 5,95E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02

0,04 0,02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02

0,05 0,025 9,92E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02

0,06 0,03 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01

0,07 0,035 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01

0,08 0,04 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01

0,09 0,045 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01

0,1 0,05 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01

0,2 0,1 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01

0,3 0,15 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01

0,4 0,2 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01

0,5 0,25 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01

0,6 0,3 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00

0,7 0,35 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00

0,8 0,4 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00

0,9 0,45 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00

1 0,5 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00

54

Tabela 5.2.1.3 – Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -0,3.

Número de Nusselt local (Nu)


0,0001 0,00005 62,9132 53,1291 49,2223 49,0226 48,9521 48,9155 48,8975 48,8875

0,0002 0,0001 48,1523 38,4086 37,7176 37,6496 37,6189 37,6057 37,599 37,5952

0,0003 0,00015 39,8168 32,5545 32,3923 32,3439 32,3269 32,3194 32,3156 32,3134

0,0004 0,0002 34,4725 29,1787 29,1022 29,0695 29,0581 29,0530 29,0505 29,0490

0,0005 0,00025 30,7604 26,8618 26,798 26,7743 26,7659 26,7622 26,7603 26,7593

0,0006 0,0003 28,0349 25,1205 25,061 25,0426 25,0361 25,0332 25,0318 25,0309

0,0007 0,00035 25,9502 23,7409 23,6866 23,6717 23,6665 23,6641 23,6629 23,6623

0,0008 0,0004 24,3045 22,6097 22,5612 22,5489 22,5445 22,5425 22,5415 22,541

0,0009 0,00045 22,9719 21,6588 21,616 21,6055 21,6018 21,6001 21,5993 21,5988

0,001 0,0005 21,8702 20,8441 20,8064 20,7973 20,7941 20,7927 20,7919 20,7915

0,002 0,001 16,3772 16,243 16,2283 16,2247 16,2235 16,2229 16,2226 16,2225

0,003 0,0015 14,1290 14,0731 14,0646 14,0626 14,0618 14,0615 14,0613 14,0612

0,004 0,002 12,7729 12,7275 12,7217 12,7203 12,7198 12,7196 12,7195 12,7194

0,005 0,0025 11,8214 11,7824 11,7781 11,7771 11,7767 11,7766 11,7765 11,7764

0,006 0,003 11,1018 11,069 11,0656 11,0648 11,0645 11,0644 11,0643 11,0643

0,007 0,0035 10,5318 10,5042 10,5015 10,5008 10,5006 10,5005 10,5004 10,5004

0,008 0,004 10,0654 10,0420 10,0397 10,0392 10,039 10,0389 10,0388 10,0388

0,009 0,0045 9,6743 9,6542 9,6522 9,6517 9,6516 9,6515 9,6514 9,6514

0,01 0,005 9,3399 9,3223 9,3206 9,3202 9,3201 9,3200 9,3200 9,3199

0,02 0,01 7,4691 7,4619 7,4612 7,4610 7,4610 7,4610 7,4609 7,4609

0,03 0,015 6,6078 6,6035 6,6031 6,6030 6,6029 6,6029 6,6029 6,6029

0,04 0,02 6,0880 6,0850 6,0847 6,0847 6,0846 6,0846 6,0846 6,0846

0,05 0,025 5,7335 5,7312 5,731 5,731 5,7309 5,7309 5,7309 5,7309

0,06 0,03 5,4741 5,4723 5,4721 5,4721 5,4720 5,4720 5,4720 5,4720

0,07 0,035 5,2755 5,2739 5,2738 5,2738 5,2737 5,2737 5,2737 5,2737

0,08 0,04 5,1185 5,1172 5,1171 5,1170 5,1170 5,1170 5,1170 5,1170

0,09 0,045 4,9916 4,9904 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903

0,1 0,05 4,8872 4,8861 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860

0,2 0,1 4,4127 4,4121 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120

0,3 0,15 4,2906 4,2901 4,2901 4,2900 4,2900 4,2900 4,2900 4,2900

0,4 0,2 4,2495 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490

0,5 0,25 4,2288 4,2284 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283

0,6 0,3 4,212 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115

0,7 0,35 4,1935 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931

0,8 0,4 4,171 4,1706 4,1706 4,1705 4,1705 4,1705 4,1705 4,1705

0,9 0,45 4,1418 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414

1 0,5 4,1021 4,1018 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017

5.2.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([9] e [10])

A seguir, efetua-se a verificação do código construído, por comparação direta com

alguns resultados apresentados nos trabalhos de Quaresma [9] e Yang [10]. Nos

55

resultados apresentados na Tabela 5.2.4 abaixo foram considerados 80 termos na

expansão, comparando-se o número de Nusselt local em algumas posições axiais. Os

resultados tem uma razoável concordância com Yang [10], como também confirmado

pela comparação gráfica apresentada na Figura 5.2.1.

Tabela 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -

0,3 pela GITT e conforme referência [10]. Z X Nu Yang [10]

0,0082 0,0041 9,9561 9,754

0,015 0,0075 8,1683 8,024

0,0242 0,0121 7,0382 6,918

0,0356 0,0178 6,2859 6,170

0,0494 0,0247 5,7490 5,647

0,0652 0,0326 5,3628 5,277

0 0.02 0.04 0.06Z

0

10

20

30

40

Nu

(Z)

Nusselt Local (λ= -0,3)Yang [10]GITT

Figura 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -

0,3 pela GITT e conforme referência [10].

A seguir apresentamos uma verificação da solução aqui proposta, para o caso

de viscosidade constante, comparada aos resultados de referência obtidos por

Transformação Integral Clássica (CITT) por Quaresma [9], no qual o respectivo autor

considerou 50 termos na expansão. Para a análise dos resultados apresentados na

Tabela 5.2.5 foram considerados 25 termos na expansão da presente solução. A

presente solução com um número relativamente menor de termos permitiu verificar a

56

boa aderência com a solução benchmark da ref. [9], e serviu para definir um limite da

ordem de truncamento a ser utilizada nos exemplos subsequentes da formulação não

linear.

Tabela 5.2.2.2 – Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e conforme referência [9].

Z z Nuz Quaresma [9] Nuav Quaresma [9]

0,0004 0,0001 27,357 27,276 38,111 38,405

0,0008 0,0002 21,591 21,557 31,070 31,191

0,0012 0,0003 18,809 18,790 27,404 27,477

0,0016 0,0004 17,062 17,095 25,023 25,074

0,002 0,0005 15,823 15,813 23,300 23,339

0,0024 0,0006 14,880 14,872 21,972 22,003

0,0028 0,0007 14,129 14,123 20,904 20,929

0,0032 0,0008 13,511 13,506 20,017 20,038

0,0036 0,0009 12,990 12,985 19,264 19,283

0,004 0,0010 12,542 12,538 18,614 18,630

0,008 0,0020 9,988 9,986 14,840 14,846

0,012 0,0030 8,773 8,772 13,001 13,005

0,016 0,0040 8,021 8,020 11,844 11,847

0,02 0,0050 7,494 7,494 11,024 11,026

0,024 0,0060 7,099 7,099 10,401 10,403

0,028 0,0070 6,788 6,788 9,906 9,908

0,032 0,0080 6,536 6,536 9,500 9,502

0,036 0,0090 6,326 6,326 9,159 9,160

0,04 0,0100 6,148 6,148 8,867 8,868

0,08 0,0200 5,198 5,198 7,227 7,228

0,12 0,0300 4,816 4,816 6,479 6,473

0,16 0,0400 4,621 4,621 6,037 6,037

0,2 0,0500 4,514 4,514 5,742 5,742

0,24 0,0600 4,452 4,452 5,532 5,532

0,28 0,0700 4,416 4,416 5,375 5,375

0,32 0,0800 4,399 4,399 5,253 5,253

0,36 0,0900 4,382 4,382 5,157 5,157

0,4 0,1000 4,375 4,375 5,079 5,079

0,8 0,2000 4,364 4,364 4,723 4,723

5.2.2.1 - VERIFICAÇÃO DA IMPORTÂNCIA DOS TERMOS CONVECTIVOS NA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA FLUXO PRESCRITO

A fim de verificar a importância dos termos convectivos no cálculo do campo de

temperatura para o problema com condição de contorno de fluxo prescrito, deve-se,

primeiramente, calcular a componente radial do campo de velocidade. Para esse

propósito, se utiliza a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da

57

continuidade, em seguida integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,

obtendo-se assim a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,Z):

( )

2 4

1 1

2

1

1

1

( )(1 ) (1 ) ( ) ( )

4 2 16 31

2 1( )

8

,

24

( )( )

1

( )8 2

4

ii i i

i i

i i

i

ii

i

i i

i

dT ZR R R RH R T Z G

dZV

G T Z

dT ZH R

dZ

G T Z

R Z

λλ λ

λλ

λ

λλ

∞ ∞

= =

∞

=

∞

=

∞

=

− + − +

= + +

−

+ +

∑ ∑

∑

∑

∑

(5.1.a)

onde:

2

0 12

(2 )( ) 1;

8

1 2( ) ( ) ( ) 1.

i

i

i i i

ii i

R RH R para i

N

H R RJ R J R para iN

ζ ζζζ

−= =

= − >

(5.1.b)

As Eqs. (5.1) acima juntamente com a componente axial de velocidade dada

pelas Eqs. (3.31) e o campo de temperatura dado pelas Eqs. (3.26) e (3.30.b) servem

para calcular os termos convectivos e verificar as suas respectivas importâncias para

esse problema de entrada térmica com condição de contono de fluxo prescrito.

Neste ponto, antes de prosseguir com as análises será feita uma verificação da

importância dos termos convectivos ( ) ( ,,

)T R ZU R

ZZ

∂∂ e ( ) ( ,

, )T R Z

V RR

Z∂

∂ no

campo de temperatura e quantidades de interesse prático, tais como números de

Nusselt. Para esse propósito, observou-se a variação desses referidos termos ao

longo da entrada térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo calo

prescrito constante e adotando-se λ=0,721295. Observa-se das Figuras 5.2.2.1.1 que o

termo ( ) ( ,,

)T R ZU R

ZZ

∂∂ é sempre superior ao ( ) ( ,

, )T R Z

V RR

Z∂

∂ para quase

todas as posições axiais, exceto para Z=0,0001, onde a ordem de magnitude desses

termos são bem próximas em uma determinada faixa de posição radial, embora

próximo da parede R=1, os gradientes de ( ) ( ,,

)T R ZU R

ZZ

∂∂ sejam bem maiores, o

que influenciará diretamente os valores de números de Nusselt. À medida que Z

aumenta, a importância do termo convectivo radial vai diminuindo consideravelmente.

58

Dessa forma, justifica-se a hipótese adotada no presente trabalho de se desprezar o

termo convectivo radial face à importância do termo convectivo axial.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Term

os

Con

vec

tivos

Z=0.0001

U(∂T/∂Z)

V(∂T/∂R)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Term

os

Co

nv

ecti

vo

s

Z=0.001

U(∂T/∂Z)

V(∂T/∂R)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Term

os

Co

nv

ecti

vo

s

Z=0.01

U(∂T/∂Z)

V(∂T/∂R)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Term

os

Co

nv

ecti

vo

s

Z=0.1

U(∂T/∂Z)

V(∂T/∂R)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Term

os

Co

nv

ecti

vo

s

Z=1.0

U(∂T/∂Z)

V(∂T/∂R)

Figura 5.2.2.1.1 – Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada térmica como

função da coordenada radial para o caso de fluxo prescrito e l= 0,721295.

59

5.2.3 – UNIT PARA ÓLEO TÉRMICO LUBRAX OT-68-OF

Inicialmente será apresentada uma breve verificação da solução obtida pelo código

UNIT para a convecção forçada laminar, utilizando o valor l= 0, correspondente à

situação de viscosidade constante, para o qual resultados benchmark estão

disponíveis a partir da solução exata por transformada integral [9]. A tabela 5.2.3.1

abaixo apresenta uma análise de convergência para o número de Nusselt local da

solução híbrida proposta, que deve ser comparada em sua ordem de truncamento

mais elevada, N=30, com a solução de referência em [9], apresentada na última

coluna. Apresentamos também a solução por GITT acima detalhada, como obtida pela

rotina dedicada escrita em Fortran 95 do presente trabalho. A solução pelo código

UNIT foi obtida com um máximo de 30 termos na expansão em autofunções,

empregando o filtro automático acima definido, e evitando-se o sistema transformado

implícito, levando-se o campo de velocidades U(R,Z) para o denominador do termo

fonte geral. Foi empregada integração numérica por Gauss não adaptatitiva com 464

pontos nodais. Claramente, a solução obtida pelo UNIT encontra-se convergida em

pelo menos três dígitos significativos, em toda a faixa de variável dependente

considerada. Pode-se também observar que a solução automática concorda pelo

menos em mais ou menos um nesse mesmo dígito em relação às duas soluções

apresentadas, a solução exata na ref.[9] e o algoritmo dedicado deste trabalho. Essa

comparação fornece a necessária confiança para empregar esse conjunto de

parâmetros na obtenção dos resultados para o caso específico do óleo térmico.

Já a Tabela 5.2.3.2 apresenta uma comparação específica dos números de

Nusselt locais para o caso não-linear apresentado por Yang [10] com l= -0,3. Além dos

resultados de Yang na última coluna, apresentamos os resultados da simulação com o

código UNIT e com a rotina dedicada por GITT deste trabalho. Pode-se observar uma

maior discrepância entres os resultados da presente análise e o trabalho pioneiro e

aproximado de Yang [10], mas uma diferença apenas no terceiro dígito entre a

presente simulação e o código dedicado do presente trabalho.

60

Tabela 5.2.3.1 - Análise de convergência do número de Nusselt local para o caso de

viscosidade constante (l= 0) e comparação com resultados de referência [9].

Número de Nusselt local (Nu)

Z N=5 N=10 N=15 N=20 N=25 N=30 Nuz Ref. [9]

0,0012 20,0317 18,8936 18,6568 18,6288 18,6151 18,6034 18,809 18,790

0,0016 18,1671 17,0779 16,9452 16,9249 16,9154 16,9074 17,062 17,095

0,002 16,7967 15,8107 15,7282 15,7122 15,7050 15,699 15,823 15,813

0,0024 15,734 14,8569 14,8004 14,7873 14,7817 14,7769 14,880 14,872

0,0028 14,8789 14,1021 14,0601 14,0492 14,0446 14,0406 14,129 14,123

0,0032 14,1718 13,4834 13,4501 13,4408 13,4369 13,4336 13,511 13,506

0,0036 13,5745 12,9631 12,9352 12,9272 12,9238 12,921 12,990 12,985

0,004 13,0615 12,5165 12,4923 12,4853 12,4824 12,4799 12,542 12,538

0,008 10,1816 9,97263 9,96148 9,95855 9,9573 9,95625 9,988 9,986

0,012 8,86583 8,76196 8,75504 8,75324 8,75248 8,75184 8,773 8,772

0,016 8,07336 8,01148 8,00656 8,00528 8,00474 8,00428 8,021 8,020

0,02 7,52877 7,48642 7,48263 7,48165 7,48123 7,48087 7,494 7,494

0,024 7,12441 7,0923 7,08922 7,08841 7,08807 7,08779 7,099 7,099

0,028 6,80862 6,78247 6,77988 6,7792 6,77891 6,77867 6,788 6,788

0,032 6,55316 6,53083 6,52858 6,5280 6,52775 6,52751 6,536 6,536

0,036 6,34109 6,32142 6,31944 6,31892 6,3187 6,31849 6,326 6,326

0,04 6,16154 6,14385 6,14208 6,14161 6,14142 6,14123 6,148 6,148

0,08 5,2053 5,19587 5,19495 5,19471 5,19461 5,19452 5,198 5,198

0,12 4,82069 4,8138 4,81314 4,81296 4,81289 4,81282 4,816 4,816

0,16 4,62554 4,61978 4,61922 4,61908 4,61902 4,61896 4,621 4,621

0,2 4,51774 4,51256 4,51206 4,51193 4,51187 4,51182 4,514 4,514

0,24 4,4559 4,45105 4,45058 4,45045 4,4504 4,45036 4,452 4,452

0,28 4,41976 4,4151 4,41461 4,41452 4,41448 4,41443 4,416 4,416

0,32 4,39844 4,39388 4,3934 4,39332 4,39327 4,39323 4,399 4,399

0,36 4,38578 4,38128 4,38081 4,38074 4,38068 4,38064 4,382 4,382

0,4 4,37824 4,37378 4,37332 4,37324 4,37319 4,37315 4,375 4,375

0,8 4,36713 4,36273 4,36227 4,36219 4,36214 4,3621 4,364 4,364

Tabela 5.2.3.2 - Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não linear l= -0,3:

Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina dedicada e diferenças finitas [10].

Z UNIT Nuz GITT/Fortran Yang [10]

0,0082 9,93846 9,9561 9,754

0,015 8,18838 8,1683 8,024

0,0242 7,0665 7,0382 6,918

0,0356 6,31145 6,2859 6,17

0,0494 5,76738 5,749 5,647

0,0652 5,37234 5,3628 5,277

61

A seguir serão apresentados resultados referentes ao óleo térmico LUBRAX

OT-68-OF, cujas propriedades podem ser consultadas na ref. [75]. O primeiro caso

considerado refere-se a uma temperatura de entrada de 150°C, uma variação de

temperatura média de 20°C na seção térmica, e um número de Reynolds de Re=2000,

praticamente no limite superior do regime laminar. Para o comprimento aquecido de

L=4,95m e o raio interno da tubulação de rw=0,0079m, prescreve-se então uma

potência total (desprezando as perdas) de Qw=3077,4 W, distribuídos nas doze

resistências que compõem a seção de testes. O ajuste do parâmetro da variação de

viscosidade fornece o valor l= 18,99 nesse caso, a uma velocidade média de

um=0,394 m/s. Este caso foi rapidamente descartado, pois observou-se os altos

valores da temperatura da parede alcançados, chegando-se a 369,6°C na saída da

seção de testes, bem acima das temperaturas de fulgor VA (254°C), do ponto de

combustão (284°C) e quase até de auto-ignição do óleo (366°C). Esse resultado é

ilustrado nas Figuras 5.2.3.1.a,b abaixo que ilustram a distribuição espacial da

temperatura do fluido e os gráficos das temperaturas na parede, média e no centro

para esta situação, respectivamente. Outro aspecto importante observado é que o

comprimento de entrada de Le=0,51 m seria insuficiente para o desenvolvimento

hidrodinâmico do escoamento até a entrada da seção térmica, e que seria necessário

um comprimento de 1,77m.

Figura 5.2.3.1.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico

(Re=2000, ∆Tb=20°C)

62

1 2 3 4 5z @mD

200

250

300

350

Tb, T0 & Tw @ºC D

Figura 5.2.3.1.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo

(Re=2000, ∆Tb=20°C)

Em função dessas considerações, optou-se então por considerar um aumento

menos acentuado na temperatura média do fluido ao longo da seção, bem como uma

redução no número de Reynolds para Re=1200, e considerando-se um ∆Tb=10°C.

Nesse caso, a potência pré-dimensionada resultou em Qw=974,2 W, desta feita

distribuídos entre apenas 10 resistências. As duas primeiras resistências são então

desconectadas para prover um comprimento de desenvolvimento hidrodinâmico

adequado. Estima-se que nesse caso o comprimento de entrada Lh seria de 1,06m e

portanto, com a distância disponível e o comprimento das duas resistências

desligadas, chega-se ao valor novo disponível de Le=1,3m. O comprimento de

desenvolvimento térmico estimado é de cerca de 62m tendo em vista o alto número de

Prandtl do óleo térmico. O parâmetro de viscosidade então assume o valor l= 7,105 e

a velocidade média é um=0,252 m/s e a vazão cerca 2,4 kg/min.

As Figuras 5.2.3.2.a,b então ilustram a distribuição espacial da temperatura no

fluido e as temperaturas na parede, média de mistura e no centro do canal,

respectivamente. Neste caso, chega-se à temperatura máxima de parede de 248,1°C,

portanto abaixo da temperatura de fulgor VA de 254°C. Naturalmente, essa estimativa

é conservativa, porque há perdas térmicas pelo isolamento, mas é possível reduzir o

número de Reynolds para definir um caso teste ainda mais conservativo. Pela

distribuição espacial na saída observa-se claramente que um termopar posicionado no

fluido não efetuaria uma medida representativa da temperatura média de mistura, o

que demonstra a necessidade de um misturador adiabático na saída para que a

estimativa da temperatura média tenha aplicabilidade.

63

Figura 5.2.3.2.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico (Re=1200,

∆Tb=10°C)

1 2 3 4z @mD

160

180

200

220

240

Tb , T0 & Tw @ºCD

Figura 5.2.3.2.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=1200,

∆Tb=10°C)

64

A Figura 5.2.3.3 apresenta os perfis da componente longitudinal da velocidade

na seção do tubo ao longo da dimensão axial, nas posições z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m a

partir da entrada, confirmando a importância de se levar em consideração a variação

da viscosidade para esse fluido. Já a Figura 5.2.3.4 apresenta a variação do

coeficiente de transferência de calor local ao longo do tubo, mostrado em forma de

pontos, nas mesmas posições axiais onde estão previstos os termopares, ou seja, três

termopares equiespaçados na terceira resistência (primeira resistência ativa nesse

caso), e um termopar central nas demais 9 resistências, perfazendo um total de 12

medidas. Evita-se assim que os termopares estejam próximas às extremidades das

resistências, bem como da entrada e da saída do tubo. Vale comentar que o

coeficiente de transferência de calor na saída do tubo é de 53,89 W/m2°C, ainda bem

distante do valor assimptótico de de 24,28 W/m2°C. Por outro lado, o coeficiente de

transferência de calor médio na saída da seção térmica é de 77,84 W/m2°C. Esses

valores podem ser diretamente comparados com aqueles previstos pelas correlações

teórica de Shah [78], hS(L)=74,22 W/m2°C, e empírica de Churchill & Ozoe [79],

hC(L)=75,34 W/m2°C. A correlação de Churchill & Ozoe também permite uma correção

do valor do número de Nusselt em função da variação da viscosidade, o que nesse

caso resulta em um valor majorado do coeficiente de transferência de calor médio,

igual hC(L)=81,18 W/m2°C. A comparação entre os coeficientes locais de transferência

de calor aqui calculados e aqueles previstos pela correlação de Churchill & Ozoe (linha

vermelha) é mostrada na Fig.5.2.3.4, com excelente concordância, oferecendo uma

verificação do modelo aqui adotado.

2 4 6 8r @mm D

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

uHr,zL @mêsD

Figura 5.2.3.3 - Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em diferentes posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C

65

0 1 2 3 4z @mD

50

100

150

200

250

h @Wêm2C D

Figura 5.2.3.4 - Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes posições

axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C (pontos - presente simulação, linha

continua - correlação de Churchill & Ozoe).

O presente caso servirá como caso-teste após a montagem e testes de funcionamento do circuito termohidráulico para altas temperaturas.

5.2.4 – COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Esta seção é dedicada à comparação da presente simulação com resultados

experimentais recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES, para

um nanofluido comercial de água-sílica [75]. Quatro ensaios com o nanofluido

comercial foram selecionados para esta comparação, e seus dados principais são

consolidados na Tabela 5.2.4.1 abaixo, observando-se a ampla faixa de números de

Reynolds selecionada, de cerca de 1200 a 1900.

Tabela 5.2.4.1 – Consolidação de parâmetros relacionados aos casos experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as comparações.

Medição l Vazão T0 [°C] qw [W/m2] Reynolds Prandtl Peclet

1 0,721295 876 25,06 5295 1458 9,87802 14401

3 0,784579 720 25,58 5733 1237 9,53625 11796

7 0,728404 973 26,19 5286 1654 9,64812 15957

9 0,926381 1093 26,26 6723 1876 9,54910 17914

66

As tabelas 5.2.4.2 e 5.2.4.5 abaixo apresentam uma análise de convergência,

através de uma variação de 5 em 5 termos na expansão. A tabela 5.2.4.2 apresenta os

resultados referentes ao número de Nusselt local no caso de propriedades constantes,

enquanto a tabela 5.2.4.3 ilustra a convergência do caso com variação da viscosidade

com a temperatura. Praticamente quatro dígitos significativos encontram-se

convergidos nessa faixa de ordem de truncamento da expansão, mais que suficiente

para as comparações com resultados experimentais que se seguirão. As posições

axiais mostradas correspondem às posições onde estão instalados os termopares ao

longo do tubo de teste. Observa-se um aumento no número de Nusselt ao considerar-

se o modelo com variação da viscosidade, ao longo do tubo aquecido, exceto na

primeira posição próxima à entrada do canal. Vale lembrar que o presente modelo não

leva em consideração a variação da componente transversal da velocidade, que pode

ter alguma importância nas posições mais próximas à entrada do canal.

Além do cálculo do número de Nusselt local, inclui-se também a convergência

do número de Nusselt médio, ilustrada nas tabelas 5.2.4.4 e 5.2.4.5, respectivamente

para os casos de propriedades constantes e viscosidade variável. Nesse caso, uma

convergência de cerca de três dígitos significativos foi observada nas posições

correspondentes aos termopares instalados no experimento. Aqui fica evidente o

maior desvio entre os números de Nusselt médio para propriedades constantes e

viscosidade variável, na região mais próxima à entrada do canal.

Tabela 5.2.4.2 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.

Nuz

Caso Z z (m) NT=5 NT=10 NT=15 NT=20 NT=25

Medição 1 - SiO2

8,32624 E-04 0,019 29,013 22,664 21,348 21,328 21,299

1,87559 E-02 0,428 7,6973 7,6491 7,6428 7,6413 7,6408

3,44882 E-02 0,787 6,4328 6,4054 6,4024 6,4017 6,4014

5,20171 E-02 1,187 5,7650 5,7463 5,7445 5,7440 5,7439

7,23506 E-02 1,651 5,3279 5,3147 5,3134 5,3131 5,3130

8,86964 E-02 2,024 5,1011 5,0904 5,0894 5,0891 5,0890

9,71541 E-02 2,217 5,0103 5,0005 4,9996 4,9993 4,9993

Medição 7 - SiO2

7,51973 E-04 0,019 30,033 23,764 22,105 22,083 22,051

1,69392 E-02 0,428 7,9493 7,8909 7,8838 7,8821 7,8815

3,11475 E-02 0,787 6,6201 6,5904 6,5871 6,5863 6,5860

4,69785 E-02 1,187 5,9177 5,8969 5,8949 5,8944 5,8942

6,53425 E-02 1,651 5,4536 5,4389 5,4375 5,4371 5,4370

8,01049 E-02 2,024 5,2105 5,1986 5,1974 5,1971 5,1971

8,77433 E-02 2,217 5,1123 5,1015 5,1004 5,1002 5,1001

67

Tabela 5.2.4.3 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.

Nuz


Medição 1 - SiO2 (l= 0,721295)

8,32624 E-04 0,019 27,964 19,873 19,247 19,231 19,209

1,87559 E-02 0,428 7,7515 7,7100 7,7038 7,7023 7,7018

3,44882 E-02 0,787 6,5486 6,5208 6,5178 6,5171 6,5168

5,20171 E-02 1,187 5,8999 5,8804 5,8785 5,8781 5,8779

7,23506 E-02 1,651 5,4708 5,4568 5,4554 5,4551 5,4550

8,86964 E-02 2,024 5,2467 5,2352 5,2340 5,2338 5,2337

9,71541 E-02 2,217 5,1566 5,1460 5,1449 5,1447 5,1446

Medição 7 - SiO2 (l = 0,728404)

7,51973 E-04 0,019 28,982 20,642 19,768 19,766 19,741

1,69392 E-02 0,428 7,9867 7,9387 7,9318 7,9301 7,9296

3,11475 E-02 0,787 6,7300 6,7003 6,6970 6,6961 6,6958

4,69785 E-02 1,187 6,0500 6,0286 6,0264 6,0259 6,0257

6,53425 E-02 1,651 5,5957 5,5802 5,5787 5,5784 5,5782

8,01049 E-02 2,024 5,3561 5,3433 5,3421 5,3418 5,3417

8,77433 E-02 2,217 5,2590 5,2473 5,2462 5,2459 5,2458

Tabela 5.2.4.4 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.

Nuav


Medição 1 - SiO2

8,32624 E-04 0,019 36,161 37,913 33,676 31,512 30,692

1,87559 E-02 0,428 12,456 11,622 11,395 11,292 11,251

3,44882 E-02 0,787 9,9542 9,4849 9,3592 9,3029 9,2806

5,20171 E-02 1,187 8,6434 8,3247 8,2405 8,2031 8,1882

7,23506 E-02 1,651 7,7677 7,5341 7,4732 7,4461 7,4354

8,86964 E-02 2,024 7,2959 7,1032 7,0533 7,0312 7,0224

9,71541 E-02 2,217 7,1008 6,9240 6,8783 6,8581 6,8501

Medição 7 - SiO2

7,51973 E-04 0,019 36,873 39,491 34,959 32,564 31,660

1,69392 E-02 0,428 12,953 12,036 11,784 11,671 11,626

3,11475 E-02 0,787 10,322 9,8056 9,6667 9,6045 9,5798

4,69785 E-02 1,187 8,9442 8,5934 8,5004 8,4589 8,4425

6,53425 E-02 1,651 8,0228 7,7656 7,6983 7,6684 7,6565

8,01049 E-02 2,024 7,5256 7,3135 7,2583 7,2338 7,2242

8,77433 E-02 2,217 7,3197 7,1250 7,0746 7,0522 7,0433

68

Tabela 5.2.4.5 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.

Nuav


Medição 1 - SiO2 (l = 0,721295)

8,32624 E-04 0,019 35,385 32,582 26,450 24,783 24,918

1,87559 E-02 0,428 12,200 11,170 10,880 10,800 10,804

3,44882 E-02 0,787 9,8573 9,2819 9,1222 9,0782 9,0800

5,20171 E-02 1,187 8,6220 8,2327 8,1259 8,0966 8,0978

7,23506 E-02 1,651 7,7915 7,5069 7,4297 7,4085 7,4093

8,86964 E-02 2,024 7,3420 7,1075 7,0443 7,0270 7,0276

9,71541 E-02 2,217 7,1555 6,9405 6,8828 6,8669 6,8675

Medição 7 - SiO2 (l= 0,728404)

7,51973 E-04 0,019 36,118 33,842 27,115 25,293 25,452

1,69392 E-02 0,428 12,663 11,524 11,203 11,116 11,120

3,11475 E-02 0,787 10,202 9,5663 9,3895 9,3414 9,3437

4,69785 E-02 1,187 8,9057 8,4760 8,3579 8,3258 8,3272

6,53425 E-02 1,651 8,0339 7,7199 7,6344 7,6112 7,6122

8,01049 E-02 2,024 7,5613 7,3025 7,2326 7,2136 7,2144

8,77433 E-02 2,217 7,3650 7,1277 7,0637 7,0464 7,0471

A comparação com os resultados experimentais é agora consolidada nas

Tabelas 5.2.4.6 a 5.2.4.7, respectivamente, para os mesmos dois casos acima do

nanofluido comercial. Para os resultados apresentados nessas tabelas foram

considerados 25 termos na expansão, conforme já explicitado anteriormente. As

tabelas apresentam os resultados da simulação para os números de Nusselt local e

médio, com propriedades constantes e viscosidade variável, bem como o resultado

experimental estimado para o número de Nusselt local nas posições dos termopares.

Para determinação do número de Nusselt experimental, é necessário estimar

teoricamente a temperatura média de mistura a partir da hipótese de fluxo de calor

prescrito uniforme e desconsiderando perdas ao longo do tubo. Apresenta-se também

os valores do número de Nusselt local obtidos a partir da correlação empírica de

Churchill e Ozoe, que apresenta uma excelente concordância com os resultados de

propriedades variáveis aqui produzidos, exceto no ponto mais próximo da entrada do

canal, possivelmente pelo presente modelo não levar em conta a a convecção na

direção transversal na equação de energia nem os termos de inércia na equação de

momentum.

As Figuras 5.2.4.1 e 5.2.4.4 ilustram os resultados de números de Nusselt em

forma gráfica, para permitir também uma análise comparativa de todos os quatro

casos considerados.

69

Em geral, os resultados teóricos com o modelo de viscosidade variável

reproduzem melhor os resultados experimentais, embora a diferença entre os dois

resultados teóricos seja menor que o desvio entre os resultados teórico e

experimental. Claramente, há um comportamento sistemático do segundo ponto

experimental, de subestimar o número de Nusselt, e portanto superestimar a

temperatura, que pode estar relacionado a um mau posicionamento deste termopar.

Po outro lado, o último termopar, localizado muito próximo ao final da seção quente,

mostra uma tendência a superestimar o número de Nusselt, tendo em vista o aumento

da perda de calor para a seção fria do tubo nessa posição, que reduz o valor da

diferença de temperaturas entre a parede e a temperatura média do fluido.

Tabela 5.2.4.6 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.

Z z (m)

Nuz

(l= 0,721295) Nuz (Props. Constantes) Nuexp Nuz [79]

Nuav

(l= 0,721295) Nuav (Props. Constantes)

8,32624 E-04 0,019 19,209 21,299 17,857 25,952 24,918 30,692

1,87559 E-02 0,428 7,7018 7,6408 6,6610 7,7039 10,804 11,251

3,44882 E-02 0,787 6,5168 6,4014 6,3234 6,4253 9,0800 9,2806

5,20171 E-02 1,187 5,8779 5,7439 5,7470 5,8058 8,0978 8,1882

7,23506 E-02 1,651 5,4550 5,3130 5,3782 5,4268 7,4093 7,4354

8,86964 E-02 2,024 5,2337 5,0890 5,1551 5,2380 7,0276 7,0224

9,71541 E-02 2,217 5,1446 4,9993 5,3859 5,1635 6,8675 6,8501

Tabela 5.2.4.7 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.

Z z (m) Nuz

(l= 0,728404) Nuz (Props. Constantes) Nuexp Nuz [79]

Nuav

(l= 0,728404) Nuav (Props. Constantes)

7,51973 E-04 0,019 19,741 22,051 19,520 27,180 25,452 31,660

1,69392 E-02 0,428 7,9295 7,8815 7,1992 7,9718 11,120 11,626

3,11475 E-02 0,787 6,6958 6,5860 6,8390 6,6110 9,3437 9,5798

4,69785 E-02 1,187 6,0257 5,8942 6,5202 5,9456 8,3272 8,4425

6,53425 E-02 1,651 5,5782 5,4370 6,4965 5,5354 7,6122 7,6565

8,01049 E-02 2,024 5,3417 5,1971 5,8128 5,3299 7,2144 7,2242

8,77433 E-02 2,217 5,2458 5,1001 6,0786 5,2485 7,0471 7,0434

70

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1Z

0

10

20

30

40

50

Nu

SiO2 - Reynolds = 1458Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantes

Nuav(Z) - Viscosidade variável

Nuav(Z) - Propriedades constantes

Figura 5.2.4.1 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de

fluxo prescrito (medição 1 – SiO2 [75]).

0.02 0.04 0.06 0.08Z

0

10

20

30

40

50

Nu

SiO2 - Reynolds = 1654Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantesNuav(Z) - Viscosidade variável


Figura 5.2.4.2 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de

fluxo prescrito (medição 7 – SiO2 [75]).

71

0.02 0.04 0.06 0.08Z

0

10

20

30

40

50

Nu



Figura 5.2.4.3 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio

teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 9 – SiO2 [75]).

0.04 0.08 0.12Z

0

10

20

30

40

50

Nu



Figura 5.2.4.4 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e

médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o

caso de fluxo prescrito (medição 3 – SiO2 [75]).

72

CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES

Este trabalho teve como ênfase apresentar a análise da variação de propriedades

termofísicas com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de

nanofluidos, no regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente

desenvolvido e em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares.

A partir da avaliação dos resultados obtidos pode-se verificar que a

metodologia de solução empregada neste trabalho representa adequadamente o

desenvolvimento térmico no escoamento laminar incompressível em um tubo circular,

considerando-se variações da viscosidade com a temperatura, para ambos os casos

de condições de contorno estudados, ou seja, temperatura prescrita uniforme e fluxo

de calor prescrito. A análise de convergência efetuada permitiu identificar os limites de

ordens de truncamento a serem utilizados nas comparações, e consolidou os valores

convergidos que foram efetivamente comparados com resultados da literatura para

ambas as situações.

Na sequência, o código construído foi empregado para comparações críticas

dos resultados teóricos com resultados experimentais recentemente obtidos para um

nanofluido comercial de água-sílica. Embora a concordância entre resultados teóricos

e experimentais não seja uniforme ao longo do duto, os resultados referentes à

situação com viscosidade variável se aproxima mais das medidas. Além de melhorias

eventualmente possíveis na aquisição de dados e na estimativa das perdas de calor, o

modelo aqui proposto deve também ser estendido para incluir a componente

transversal da velocidade na equação de energia, bem como a variação com a

temperatura em particular da condutividade térmica do nanofluido, permitindo uma

investigação mais definitiva sobre a importância da variação dessa propriedade nas

previsões da convecção forçada com nanofluidos. Sem prejuízo dessas extensões, o

presente estudo também demonstrou que a correlação empírica de Churchill & Ozoe,

construída a partir de experimentos com fluidos ordinários, tem uma concordância

bastante razoável com a presente simulação, exceto na posição do primeiro termopar

bem próximo à entrada do canal, confirmando que não há nenhum comportamento

não previsível na convecção forçada do nanofluido água-sílica aqui ensaiado, podendo

ser analisada a partir das correlações clássicas.

73

A avaliação para o óleo térmico LUBRAX OT-68-OF mostrou-se satisfatória e,

portanto, o caso analisado neste trabalho servirá como caso-teste para estudos de

performance do circuito termohidráulico para altas temperaturas que será construído

no LTTC e, também, para verificação da intensificação térmica das propriedades

termofísicas no óleo a partir da dispersão de partículas metálicas na escala

nanométrica que aqui denominaremos, a priori, de nanofluido de óleo.

74

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anÁlise da influÊncia da dependÊncia em temperatura...

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