análise da dinâmica de um rotor de jeffcott com selo...

ANÁLISE DA DINÂMICA DE UM ROTOR DE JEFFCOTT COM SELO

INTERNO

João Rego Monteiro Barreto

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Thiago Ritto

Rio de Janeiro

Abril de 2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia MecÃ¢nica

DEM/POLI/UFRJ


INTERNO


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovada por:

Prof. Thiago Ritto,

Prof. Marcelo Savi,

Prof. Gustavo Bodstein,

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL

ABRIL DE 2016

Rego Monteiro Barreto, João

Análise da Dinâmica de um Rotor de Jecott com Selo

Interno/ João Rego Monteiro Barreto. Rio de Janeiro:

UFRJ/Escola Politécnica, 2016.

XII, 63 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Mecânica, 2016.

Referências Bibliográcas: p. 54 55.

1. Selos. 2. Jecott. 3. Análise Dinâmica. I. Ritto,

Thiago. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ,

Curso de Engenharia Mecânica. III. Análise da Dinâmica

de um Rotor de Jecott com Selo Interno.

iii

A meus pais.

iv

Agradecimentos

Agradeço aos meus amigos que me ajudaram a cada passo nesse caminho educacio-

nal.

Ao professor Thiago Ritto pela orientação ao longo de todo o projeto.

v

Resumo da Projeto apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Engenheiro em Ciências (M.Sc.)


INTERNO


Abril/2016


Programa: Engenharia Mecânica

Com o intuito de prever instabilidades no sistema ou encontrar falhas em sua

utilização, esse projeto tem como objetivo fazer essa análise da dinâmica do sistema

através de simulações numéricas. Conseguindo mapear o comportamento dinâmico

de uma máquina rotativa quando considerados os selos no conjunto em um modelo

global com variações de temperatura e pressão nos permite ter uma análise mais

completa do conjunto, podendo ser aplicado a condições diversas. Essa análise nos

mostrará a amplitude de vibração do sistema quando adicionados os selos, além da

variação das constantes dos selos com a alteração de diversos parâmetros. Veremos

como o sistema reage a mudanças de rotação, e veremos as diferentes frequências

naturais encontrados com diferentes comprimentos do eixo do sistema. Palavras-

chave: Máquinas rotativas, Selos, simulações numéricas, Vibração.

vi

Abstract of Project presented to COPPE/UFRJ as a partial fulllment of the

requirements for the degree of Engineer of Science (M.Sc.)

ANALYSIS OF THE DYNAMICS OF A JEFFCOTT ROTOR WITH AN

INTERNAL SEAL


April/2016

Advisor: Thiago Ritto

Department: Mechanical Engineering

In order to predict instabilities in the system or nd fault with their use, this

project aims to make this system dynamics analysis through numerical simulations.

Mapping the dynamic behavior of a rotating machine when considering the ow

seals as a whole on a global model with temperature and pressure variations allows

us to have a more complete analysis of the whole, which can be applied to various

conditions. This analysis will show the amplitude of the system's vibration with

the seals, and also how the constants of the seal vary with the variation of dier-

ent parameters. We will see how the system reacts to dierent rotational speeds,

and the dierent natural frequencies found with variating axial lengths. Keywords :

Rotordynamics, Seals, Numerical simulations, Vibration.

vii

Sumário

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xii

1 Introdução 1

1.1 Objetivo do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Revisão Bibliográca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organização do Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Selos 6

2.1 Selos Labirinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Tipos de Selos Labirinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Selos Damper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Selo Colmeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Pocket Damper Seal (PDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Selo de Cerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Freio de Turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Modelo Matemático 13

3.1 Rotor de Jecott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Cinemática e Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Equações de Força Dinâmica do Selo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Estimativa dos Coecientes Dinâmicos dos Selos . . . . . . . . . . . . 17

3.6 Cálculo da Resposta do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

viii

4 Simulações e Análises Numéricas 22

4.1 Dados Iniciais do Rotor de Jecott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Comportamento dos Coecientes do Selo . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Análise do Rotor de Jecott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Conclusões e Trabalhos Futuros 52

Referências Bibliográcas 54

ix

Lista de Figuras

1.1 Detalhamento de uma máquina rotativa, [18] . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Exemplo de Selo Labirinto [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Exemplo de Selo de Intertravamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Exemplo de selo colmeia [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Exemplo de PDS Convencional [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Exemplo de PDS Totalmente Dividido [11] . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Exemplo de Selo de Cerdas [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Precessão Direta e Inversa [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Rotor de Jecott [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 (a) Precessão Síncrona e (b) Precessão Não-Síncrona [15] . . . . . . . 15

3.4 Movimento de Precessão realizada pelo Rotor de Jecott [15] . . . . . 16

3.5 Anel com uido entre parte rotativa e parte estática para a análise

da lubricação turbulenta [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Variação da rigidez direta kd do selo com a rotação . . . . . . . . . . 25

4.2 Variação da rigidez direta kc do selo com a rotação . . . . . . . . . . 26

4.3 Variação da rigidez direta cd do selo com a rotação . . . . . . . . . . 27

4.4 Variação da rigidez direta cc do selo com a rotação . . . . . . . . . . 28

4.5 Variação da rigidez direta kd do selo com a variação do comprimento

do selo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.6 Variação da rigidez direta kc do selo com a variação do comprimento

do selo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.7 Variação da rigidez direta cd do selo com a variação do comprimento

do selo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

x

4.8 Variação da rigidez direta cc do selo com a variação do comprimento

do selo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.9 Variação da rigidez direta kd do selo com a variação de pressão . . . . 37

4.10 Variação da rigidez direta kc do selo com a variação da pressão . . . . 38

4.11 Variação da rigidez direta cd do selo com a variação da pressão . . . . 38

4.12 Variação da rigidez direta cc do selo com a variação da pressão . . . . 39

4.13 Variação da rigidez direta kd do selo com a variação de folga . . . . . 41

4.14 Variação da rigidez direta kc do selo com a variação da Folga . . . . . 41

4.15 Variação da rigidez direta cd do selo com a variação da folga . . . . . 42

4.16 Variação da rigidez direta cc do selo com a variação da folga . . . . . 42

4.17 Deslocamento do eixo em função da rotação para 3 comprimentos de

eixo diferentes, sem o selo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.18 Valores experimentais das constantes do selo encontrados em [14] . . 45

4.19 Deslocamento do eixo em função da rotação para 3 comprimentos de

eixo diferentes, com o selo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.20 Deslocamento do eixo em função da rotação sem o selo, com o selo,

apenas com a constante "kc"e apenas com "kd". . . . . . . . . . . . . 48

4.21 Amplitude do movimento do eixo em função do tempo. . . . . . . . . 50

4.22 Deslocamento do centro geométrico do disco, sem a presença dos selos. 51

xi

Lista de Tabelas

4.1 Dados do Rotor de Jecott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

xii

Capítulo 1

Introdução

Máquinas rotativas estão presentes em diversos aspectos de nossas vidas no

mundo moderno. Essas máquinas se encontram no sistema d'água do prédio para

bombear água aos apartamentos, no sistema de refrigeração do ar-condicionado ou

da geladeira. Por conta disso, existe um foco muito grande em aumentar a eciência

de máquinas rotativas, já que uma maior eciência implica um consumo menor de

energia para realizar o mesmo trabalho.

Os selos são essenciais no funcionamento de máquinas rotativas de grande

e médio porte, pois são utilizadas para controlar o vazamento do uido de traba-

lho e exercem uma inuência signicativa na dinâmica das máquinas rotativas de

uxo devido à queda de pressão entre a entrada e saída do selo. Essa inuência é

representada no modelo matemático do sistema através de coecientes dinâmicos de

rigidez, amortecimento e inércia. Nesse projeto, o selo estudado será o selo labirinto,

que possui espaçamentos que geram turbulências no uido, dicultando sua passa-

gem. O modelo desse selo especíco, porém, é a mesma para qualquer tipo de selo.

A Figura 1.1 mostra um exemplo de uma máquina rotativa com seus componentes

detalhados.

1

Figura 1.1: Detalhamento de uma máquina rotativa, [18]

1.1 Objetivo do Trabalho

O presente trabalho tem como objetivo principal a análise da resposta dinâmica

de uma máquina rotativa, quando adicionado um selo ao sistema global em condi-

ções pré-determinadas de temperatura e pressão. A máquina rotativa é analisada

considerando o modelo do rotor de Jecott.

Esse estudo irá analisar as constantes do selo e como elas são afetadas pela

variação de diversos parâmetros, incluindo a folga entre o selo e o eixo, pressão,

comprimento do selo. Veremos gracamente como essa variação se dá, seja ex-

ponencialmente, linearmente, ou inexistente. Faremos a comparação dos valores

encontrados em ordem de grandeza com os valores experimentais que temos em [14].

Veremos também como o sistema se porta sem a presença do selo, para

depois compará-lo ao sistema com o selo. Esse contraste facilitará a visualização

das diferenças geradas pela presença do selo no sistema.

Por m, veremos como se move o sistema em regime transiente, além da

movimentação do centro geométrico do disco apenas com a resposta particular da

equação.

1.2 Revisão Bibliográca

O primeiro estudo a respeito dos selos mecânicos foi feito por Lomakin (1958).

Através dele, foi descoberto a força centralizadora que é produzida quando há um

uxo radial de uido passando entre um componente rotativo e outro estacionário.

Como o eixo central não está preso, o uido passa livremente em sua volta. O eixo,

porém, tende a gerar uma excentricidade, ou seja, é gerado folgas diferentes em

cada lado da passagem de uxo. Com essa folga maior, há mais uido passando,

2

resultando em uma pressão menor. Já no outro lado, com uma menor folga e me-

nos uido passando, a pressão aumenta. Essa diferença de pressão cria uma força

direcionada ao centro geométrico inicial do eixo. Essa força gerada pela distribuição

de pressão ao longo do eixo é conhecida como rigidez radial, ou "Efeito Lomakin".

Esse efeito é descrito no livro de Maurice L. Adams, Jr. [1].

Black (1969) [4] supos que o deslocamento do eixo não ocorre ao redor do

ponto de equilíbrio incial do eixo. Sendo assim, as forças de restituição são criadas

por componentes de inércia e amortecimento, além da rigidez. Com essas hipóteses,

foi desenvolvido um modelo linear para a obtenção das forças em selos curtos.

Hirs (1973) [12] se aprofundou no assunto utilizando a pesquisa de Black

(1969), teorizando um modelo de cálculo da tensão cisalhante de um líquido em

relação à sua velocidade. Esse estudo pode ser utilizado no escoamento do líquido

entre o eixo de rotação e o selo mecânico para melhor compreender o comportamento

do mesmo.

Utilizando o estudo de Hirs (1973), Childs (1983) [7] constrói equações bá-

sicas para o cálculo dos coecientes do selo. Essas fórmulas serão a base para nosso

estudo.

Benckert e Wachter (1980) [3] se aprofundaram nos coecientes de rigidez

dos selos labirintos na dinâmica dos rotores.

Joseph K. Scharrer e Joseph M. Pelletti (1995) [16] estudaram as diferenças

entre os diferentes tipos de selos labirinto, "honeycomb", entre outros, analisando

a rigidez e o amortecimento em função da folga de cada selo, além da análise do

"whirl"apresentado por cada tipo de selo em função da pressão dada pela máquina

rotativa.

R. Nordmann (1987) [14] nos dá as fórmulas teóricas para o cálculo dos co-

ecientes dos selos mecânicos: inércia, rigidez e amortecimento. Para os uidos que

serão utilizados nesse experimento (ár ambiente, CO2 e NO2), podemos desprezar os

efeitos da inércia no sistema. Essas fórmulas serão utilizadas para o cálculos diretos

dos valores dos coecientes.

Para a caracterização dos diferentes tipos de selos, Childs [6] faz um es-

tudo importante a respeito de alterações que podem ser feitas para melhorarem o

desempenho dos selos.

3

Eldin (2007) [11] explica a diferença entre diversos tipos de selos labirinto

em seu artigo .

Childs e Vance [8] escreveram sobre os diferentes tipos de selos, e quais

são os efeitos de utilizar selos diferentes nas máquinas rotativas. Através desse

estudo, foi possível constatar que as forças desestabilizadoras desenvolvidas nos selos

labirinto são causadas pela rotação do uido dentro do selo. Essa rotação que surge

é proveniente ou da pré-rotação do mesmo ou pelas forças cisalhantes encontradas

nas paredes internas do selo.

Bruno Dutra (2015) [10] detalhou e equacionou o funcionamento do rotor de

Jecott, que será utilizado como base para o estudo dinâmico dos efeitos dos selos

em uma máquina rotativa.

Continuando o trabalho da Daniela Camara [13], o trabalho visa analisar

o sistema com os parâmetros do rotor de Jecott utilizado no laboratório. Além

disso, são utilizadas as equações de Nordmann [14], além dos dados experimentais

do mesmo. Por m, as últimas análises das resposta dinâmicas do sistema são

distintas das análises realizadas em [13].

1.3 Organização do Estudo

No primeiro capítulo, é feito uma abordagem geral do trabalho realizado e citado

publicações e estudos já publicados sobre os componentes e sistemas em questão ao

longo do tempo.

O segundo capítulo apresenta informações a respeito dos diferentes tipos

de selos, mais especicamente sobre os selos labirinto. Essa análise constituirá na

comparação dos diferentes tipos de selos labirinto, além das vantagens e desvanta-

gens de cada um. Será comentado algumas normas que são necessárias seguirem,

dependendo do ramo em que a máquina rotativa será utilizada.

O capítulo 3 descreve o funcionamento do rotor de Jecott, modelo que

será utilizado como base para o estudo da dinâmica das máquinas rotativas quando

adicionado o selo. Esse tipo de rotor é a representação mais simples de uma máquina

rotativa, utilizada com o intuito de facilitar as simulações feitas. Nesse capítulo, é

realizado também um detalhamento da estimativa dos coecientes dinâmicos de um

4

selo à partir das equações de Nordmann.

No capítulo 4, aplicamos os coecientes encontrados no capítulo anterior

no modelo de Jecott, gerando assim os resultados desejados para a análise. Além

disso, é aplicado os mesmos valores dos coecientes em um programa baseado em

elementos nitos para uma representação mais verídica da dinâmica das máquinas

rotativas quando acoplado um selo.

5

Capítulo 2

Selos

Selos são elementos de máquina cuja principal função é reduzir ao máximo o

vazamento em equipamentos rotativos. O selo deve controlar esse uxo de vaza-

mento entre uma parte estacionária e outra rotativa do equipamento, com certa

conabilidade e vida útil. A criticidade desse elemento depende da importância do

equipamento rotativo na cadeia produtiva e qual produto está sendo transportado

pelo equipamento.

2.1 Selos Labirinto

Dentre os selos existentes, temos os selos labirinto. Os selos labirinto foram

uma das primeiras congurações de selos utilizadas em turbo-máquinas modernas.

São, também, os mais utilizados atualmente. Ele funciona através de depressões no

selo com obstáculos, gerando quedas de pressão que desaceleram o uido. A Fig.

2.1 mostra um exemplo clássico de selo labirinto. No caso abaixo, o selo se encontra

xado à parte estacionária do rotor.

2.1.1 Tipos de Selos Labirinto

Os selos labirinto possuem diversas variações em sua geometria, como uma an-

gulação mais acentuada, tamanho dos dentes do selo variável, selo de intertrava-

mento, ou até a xação na parte móvel ou estática do rotor. Cada alteração dessas

afeta a dinâmica do sistema em diferentes formas, modicando o amortecimento

e/ou a rigidez que o selo impõe sobre a máquina rotativa.

6

Figura 2.1: Exemplo de Selo Labirinto [16]

Selo Labirinto "Transparente"

O selo labirinto "transparente", ou See-Through Labyrinth Seal, é o tipo mais

básico dos selos labirinto. Ele é feito com apenas uma seção de "dentes"que pode

ser acoplada na parte estacionária ou rotativa do equipamento.

Se o selo é xado na parte estacionária, temos assim o Teeth-On-Stator

Seal (TOS), ou "dentes no estator". Caso o selo seja xado na parte rotativa do

equipamento, é denominado Teeth-On-Rotor Seal (TOR), ou "dentes no rotor".

Através do estudo de Child e Vance [8], temos que o selo labirinto transparente

desestabiliza mais o sistema quando acoplado ao rotor, ou seja, funciona melhor

quando preso na parte estática do sistema.

Selo de Intertravamento

O selo de intertravamento, ou Interlocking Seal, funciona com ambas as partes

do equipamento rotativo, estacionária e rotativa, com os "dentes"acoplados a elas.

Cada "dente"de uma entra na depressão da outra, com um leve espaçamento para

que não haja contato.

Esse tipo de selo possui o mesmo coeciente de rigidez de acoplamento Kc

quando comparado ao selo labirinto transparente, porém possui um coeciente

de amortecimento direto Cd menor. Podemos ver um exemplo de um selo de

intertravamento na Fig. 2.2 abaixo.

7

Figura 2.2: Exemplo de Selo de Intertravamento

2.2 Selos Damper

Além dos selos labirinto, existe também os Damper Seals, com diferenças mais

chamativas em seu desenho. Selos como o honeycomb, ou colmeia, e os Pocket

Damper Seals, ou PDS são alguns exemplos que veremos com mais detalhe.

A característica mais chamativa desse tipo de selo é a existência de inúmeras

entradas ao longo do selo, que geram quedas de pressão para dicultar a passagem

do uido em questão. São essas entradas que podem ser alteradas, gerando selos

distintos.

2.2.1 Selo Colmeia

Os selos colmeia, ou Honeycomb, são feitos de diversos orifícios com o formato

hexagonal, como uma colmeia de abelhas. Um dos benefícios de utilizar esse tipo de

selo é o fato do selo inibir a pré-rotação do uido, melhorando o amortecimento do

mesmo para o sistema. Esse tipo de selo é afetado diretamente pelas mudanças de

abertura e profundidade de cada entrada do selo. Uma das maiores vantagens desse

tipo de selo é o baixo vazamento apresentado.

Os selos colmeia, quando presos na parte estacionária do rotor, não dimi-

nuem os valores da rigidez, Kc e Kd, quando comparados aos selos labirinto

presos na parte móvel do rotor.

A utilização de selos colmeia está ligada diretamente ao comprimento L a

ser estudado. Childs e Vance [8] explicam que, para L < 25mm, o selo Honeycomb

não apresenta melhor desempenho do que um selo labirinto convencional. Para L >

50mm, porém, o vazamento apresentado por esse tipo de selo se mostra bem mais

vantajoso.

Podemos ver um exemplo do selo colmeia na Fig. 2.3 abaixo.

8

Figura 2.3: Exemplo de selo colmeia [20]

2.2.2 Pocket Damper Seal (PDS)

Existem 3 tipos diferentes de Pocket Damper Seals : O convencional, Furos-

Padrão e totalmente dividido.

PDS Convencional

O PDS original é feito à partir de uma série de lâminas que dividem o selo em

cavidades ativas e inativas. Além disso, existe também pequenas barreiras circunfe-

renciais que cortam as cavidades ativas, formando espaços menores. Essa montagem

é conhecida como PDS convencional, como vemos na Fig. 2.4 abaixo. Quando com-

parados a selos labirinto e colmeia, esses selos apresentam uma taxa de vazamento

parecido ou até menor, dependendo do comprimento do selo. As constantes de amor-

tecimento e estabilidade desses selos também são melhores do que os selos labirinto

e comparável aos outros tipos de PDS.

PDS Furos-Padrão

Os selos conhecidos como Hole-Pattern Damper Seals, ou Furos-Padrão, são

parecidos aos selos colmeia, com entradas radiais ao longo de toda a extensão do

selo. Segundo o fabricante "Dresser-Rand", esse tipo de selo proporciona um ganho

de 5% ou até mais na eciência, quando comparado ao selo colmeia.

9

Figura 2.4: Exemplo de PDS Convencional [11]

PDS Totalmente Dividido

Os Fully-Partitioned Damper Seals, ou Totalmente Dividido, é semelhante ao

PDS Convencional, porém as barreiras circunferenciais se encontram ao longo do

comprimento inteiro do selo. Isso gera "bolsos"circunferenciais chamados de primá-

rios e secundários, em vez de ativos e inativos. A Fig. 2.5 abaixo nos mostra em

detalhe um PDS Totalmente Dividido.

2.3 Selo de Cerdas

O Brush Seal, ou Selo de Cerdas, é um selo com inúmeras cerdas presas em

sua parte xadora, seja no rotor ou na parte estacionária. O outro lado das cerdas

encontra-se solta, evitando o travamento do eixo rotativo, ao mesmo tempo em que

as cerdas se mantem em contato com o lado oposto ao xado no selo. Geralmente

essas cerdas são xadas a um ângulo entre 35°e 60°. A angulação das cerdas deter-

mina quanto da carga das cerdas é carregada pelo dobramento das mesmas e quanto

é carregada pela compressão da coluna. Devido à fragilidade estrutural apresentada

pelas cerdas desse tipo de selo, o Selo de Cerdas é utilizado apenas para o bloqueio de

10

Figura 2.5: Exemplo de PDS Totalmente Dividido [11]

gases. Segundo o fabricante [19], é possível obter entre 20% e 40% menos vazamento

em condições ótimas, quando comparado a um selo labirinto.

O Selo de Cerdas foi testado e descoberto uma limitação de uso por estágio

de uma diferença de pressão de até 4,8 bar. Podemos ver um exemplo de Selo de

Cerdas na Fig. 2.6 abaixo.

Figura 2.6: Exemplo de Selo de Cerdas [19]

11

2.4 Freio de Turbulência

Além dos diferentes tipos de selos, existe a possibilidade de pôr um freio de

turbulência no selo labirinto, ou Swirl Brake. Os efeitos desse acoplamento foram

mais bem explicados no artigo de Childs [6].

12

Capítulo 3

Modelo Matemático

Para a simulação numérica dos efeitos dinâmicos de um selo no rotor, simpli-

quemos o sistema para que seja composto apenas por eixo, disco e mancais. Os

movimentos do sistema também são xados em duas rotações: a rotação propria-

mente dita do disco, ou spin, e a rotação do eixo deetido em torno da linha de

centro não-deetida, ou precessão ou whirl.

As rotações descritas acima podem ter o mesmo sentido de rotação ou sen-

tidos contrários de rotação. Se ambas tiverem o mesmo sentido de rotação, temos

o movimento caracterizado como precessão direta, ou forward whirl. Se os sentidos

forem opostos, temos a precessão inversa, ou backward whirl. Os maiores problemas

destrutivos em máquinas rotativas aparecem com a precessão inversa, já que esse

movimento alterna as tensões normais na seção transversal do eixo, podendo levá-lo

a falha por fadiga. A Fig. 3.1 detalha esses movimentos distintos.

Figura 3.1: Precessão Direta e Inversa [15]

13

3.1 Rotor de Jecott

O modelo que será utilizado é o Rotor de Jecott, idealizado por Henry Ho-

man Jecott (1919) [10]. O rotor de Jecott possui o esquema descrito abaixo na

Fig. 3.2. Os mancais rígidos impedem o deslocamento dos dois pontos no eixo, en-

quanto o eixo elástico proporciona uma deexão por conta da massa desbalanceadora

presente no disco rígido.

Figura 3.2: Rotor de Jecott [15]

Além de precessões direta ou inversa, o sistema pode ter seus movimentos

de precessão sincronizados com a rotação do rotor ou não. Sendo φ o ângulo de

precessão, β o ângulo entre os vetores de velocidade de precessão V e força de exci-

tação U e Ω a velocidade de rotação do eixo, temos a precessão não síncrona quando

há variação de β, ou seja, existe uma velocidade de rotação além da velocidade da

precessão. Dessa forma, temos:

Ω = β + φ (3.1)

Observamos com maior clareza essas precessões na Fig. 3.3 abaixo:

Para a precessão síncrona, temos β = 0, ou seja, o vetor U se mantém

sempre estático em relação à rotação da precessão.

14

Figura 3.3: (a) Precessão Síncrona e (b) Precessão Não-Síncrona [15]

3.2 Hipóteses

Para o cálculo da dinâmica do rotor de Jecott, utilizaremos o caso de precessão

síncrona, já que esse caso nos dá uma análise mais simplicada do sistema. Dessa

forma, temos a velocidade de rotação como:

Ω = φ (3.2)

Vamos considerar para o estudo o modelo com mancais rígidos, eixo exível

e rolamentos sem atrito com o eixo. O disco está sempre girando no mesmo plano,

só existindo o movimento de precessão. Na condição de regime estacionário, temos

Ω = constante e Ω = 0.

Além disso, temos o problema uido-dinâmico desacoplado, analisando ape-

nas a parte dinâmica do problema. Será considerado a variação da pressão sempre

a mesma, independente da rotação do eixo, e a velocidade do uido também se

mantendo constante.

3.3 Cinemática e Equações de Movimento

A Fig. 3.4 abaixo nos mostra a vista de frente do rotor de Jecott. Podemos

observar que o disco está desbalanceado a uma distância d do centro de massa e

a deexão do rotor devido ao movimento é de r. Desprezamos a gravidade nesse

15

sistema.

Figura 3.4: Movimento de Precessão realizada pelo Rotor de Jecott [15]

O eixo do rotor é considerado tendo rigidez k, o disco tem massa m, o

amortecimento viscoso do conjunto é c e a velocidade de rotação do rotor é Ω . As

equações abaixo fornecem o movimento do centro disco em X e Y são encontradas

abaixo:

mx+cx+ kx = mΩ2d sin Ωt (3.3)

m¸+cy + kx = mΩ2d cos Ωt (3.4)

Temos, também, que r é a deexão do rotor proveniente da oscilação gerada

pelo movimento rotativo. Assim, através da gura acima, temos a fórmula:

r =√x2 + y2 (3.5)

A Equação Resultante do Rotor de Jecott está representada no modelo

linear na equação abaixo:

k 0

0 k

xy

+

c 0

0 c

xy

+

m 0

0 m

xy

=

mω2d cos θ

mω2d sin θ

(3.6)

16

Para encontrarmos o valor k, utilizaremos [9]:

Ω = θ;

F = ky, sendo F a força resultante do peso do disco no centro da barra;

F = mdg;

y = PL3/48EIf ,

Onde L = Comprimento do eixo;

E = Módulo de Elasticidade do material do eixo e

If = Momento de Inércia da seção.

Para um eixo cilíndrico de diâmetro D, temos o momento de inércia sendo:

If =πD4

64(3.7)

Sabendo as informações acima, temos k como:

k =48EI

L3(3.8)

A seguir, introduziremos os efeitos do selo na dinâmica do rotor.

3.4 Equações de Força Dinâmica do Selo

Quando existe vibração do rotor, aparece uma força de reação do uido entre

o selo e o rotor que atua. Considerando que essa vibração gera deexões pequenas,

ou seja, ∆x e ∆y são desprezíveis, a força do uido pode ser linearizada. A equação

geral das forças do lme de uido no selo, considerando a suposição anterior, é dada

pelo modelo linear força-deslocamento representado na equação abaixo:

kd kc

−kc kd

xy

+

cd cc

−cc cd

xy

+

md 0

0 md

xy

= −

FxFy (3.9)

3.5 Estimativa dos Coecientes Dinâmicos dos Se-

los

Para encontrarmos estimativas compatíveis com as equações que temos, utili-

zaremos as equações de Childs ([7]) para o modelo de uxo de massa. Dessa forma,

17

consideremos a geometria de um anel de vedação cheio de uido, como mostra a Fig.

3.5 abaixo. Nas equações que utilizaremos, as coordenadas do meridiano da folga

entre a parte rotativa e a parte estática são dadas por z(s) e R(s), onde 0 < s < L.

Esse s é medido ao longo desse meridiano e temos t como o tempo. O selo, para

efeitos de simplicação, será o selo plano.

Figura 3.5: Anel com uido entre parte rotativa e parte estática para a análise da

lubricação turbulenta [7]

A folga entre as partes rotativa e estática é dada por h(s,θ,T), onde o valor

de h é ζ(s). As equações que governam o uxo de massa são todas em função da

folga, nos dando a equação abaixo:

δh

δt+

δ

δs(huθ) +

1

R

δ

δθuθ = 0 (3.10)

onde uθ e us são velocidades médias locais.

As equações dos momentos axial e circunferencial são, respectivamente:

−1

ρ

δP

δs=τssρh

+τsrρh

− uθ2

ρh

dR

ds+δusδt

+uθR

δusδθ

+ usδusδθ

(3.11)

e

− 1

ρR

δP

δθ=τθsρh

+τθrρh

+uθ

2

R

dR

ds− δuθ

δt+uθR

δuθδθ

+ usδuθδs

(3.12)

Resolvendo as equações acima, podemos obter as fórmulas das pressões. A

partir dessa resolução e utilizando as equações encontradas no [5], a seguir, podemos

18

obter os valores de rigidez e amortecimento do selo:

Kd =∫ L0

∫ 2π

0px cos θRBdθdz (3.13)

Kc =∫ L0

∫ 2π

0py cos θRBdθdz (3.14)

Cd =∫ L0

∫ 2π

0px cos θRBdθdz (3.15)

Cc =∫ L0

∫ 2π

0py cos θRBdθdz (3.16)

sendo:

RB o raio do selo;

L o comprimento do selo;

θ o ângulo de rotação do eixo e

z a direção axial.

Embora as equações acima possam nos dar valores mais precisos, a comple-

xidade da formulação nos impossibilita momentaneamente de fazer nossos cálculos

dessa forma. Por conta disso, será utilizado uma metodologia diferente dessa des-

crita acima para o cálculo das constantes do selo. Através de [14], [4], e [7],

temos as equações para o cálculo teórico das constantes kd, kc, cd e cc:

cd =πR∆Pµ1T

λ(3.17)

cc =πR∆Pµ2ωT

2

λ(3.18)

kd =πR∆P (µ0 − µ2ω

2T 2)

4λ(3.19)

kc =πR∆Pµ2T

2λ(3.20)

µ0 =9σ

1.5 + 2σ(3.21)

19

µ1 =(3 + 2σ)2(1.5 + 2σ) − 9σ

(1.5 + 2σ)2(3.22)

µ2 =19σ + 18σ2 + 8σ3

(1.5 + 2σ)3(3.23)

σ =λL

y0(3.24)

T =L

V(3.25)

V =

√2∆P

(ρ(1 + E + 2σ))(3.26)

Re =ρV y0µ

(3.27)

sendo:

λ = Coeciente de fricção entre o uido e o eixo;

y0 = Folga do selo;

E = Erro de Childs;

V = Velocidade do uido.

Sabendo como calcular esses valores, podemos fazer as análises propostas.

3.6 Cálculo da Resposta do Sistema

Tendo os valores calculados na seção anterior, podemos montar a função de

resposta do sistema com as equações abaixo:

H = (−ω2M + iωC +K)−1 (3.28)

F =

mω2µ

mω2µ

(3.29)

X = HF (3.30)

20

sendo:

X o deslocamento da vibração do eixo;

M, C e K as matrizes da massa, amortecimento e rigidez, respectivamente;

µ o desbalanceamento do sistema.

O código utilizado para a modelagem do sistema em Matlab se encontra no

Apêndice B.

21

Capítulo 4

Simulações e Análises Numéricas

Sabendo o funcionamento do sistema e das fórmulas por trás da teoria, podemos

começar a analisar a bancada que temos em nossa disposição. Temos como objetivo

estuda como diversos fatores inuenciam na rigidez e no amortecimento dos selos,

além das inuências na frequência natural do sistema e o deslocamento do eixo em

função da rotação imposta no mesmo. Para isso, é necessário realizar alguns cálculos

para encontrarmos os valores das constantes desejadas da bancada.

Após os cálculos desses valores, serão modicadas as constantes de folga,

rotação, comprimento do selo e variação da pressão para analisar o comportamento

da rigidez e amortecimento do selo.

22

4.1 Dados Iniciais do Rotor de Jecott

Tabela 4.1: Dados do Rotor de JecottDensidade do Material: Aço 1020 7,5 g

cm3

Comprimento do Eixo 0,8m

Módulo de Elasticidade 207 GPa

Raio do Disco 140 mm

rC/M (d) 30 mm

Raio do Eixo 40 mm

Rotação do Eixo 60 Hz

Massa do Eixo 6,15 kg

Rigidez do Eixo 1,7 × 106 N/m

Amortecimento do Eixo 323,3 Ns/m

Momento de Inercia 8,8 × 10−8 m4

É necessário calcularmos os valores da rigidez, amortecimento e momento de

inércia do eixo. Como podemos ver no Apêndice, temos 3 diâmetros diferentes ao

longo do eixo. Para calcular o momento de inércia, iremos utilizar a Eq. (3.7) e uma

média ponderada, como podemos ver abaixo. Utilizando fundamentos da mecânica

dos sólidos, é possível encontrar valores mais precisos para o momento de inércia e,

consquentemente, para a rigidez do eixo com diâmetro variável. Para o intúito desse

trabalho, porém, a forma utilizada será o suciente:

IEixo =LD1ID1 + LD2ID2 + LD3ID3

LTotal(4.1)

Tendo D1 como 0.032m, L1 como 376mm, D2 como 0.036m, L2 como 40mm,

D3 como 0.040m, L3 como 380mm e LTotal como 800mm, temos:

IEixo = 8,80 × 10−8m4

Tendo o valor acima para o momento de inércia total do eixo e tendo a Eq.

(3.8), podemos calcular a rigidez total da bancada. Sendo assim, temos que:

k = 1,7 × 106N/m

Para o cálculo da massa m, é necessário encontrarmos o volume do eixo.

Dessa forma, utilizando novamente o Apêndice, temos:

23

V = πR21L1+πR2

2L2+πR23L3

V = 820,6 cm3

Tendo o volume do eixo e a densidade do material, temos a massa como:

m = V ρ

m = 6,15 kg

Através de [2], temos as Eq. (4.2), (4.3) e (4.4) abaixo:

ζ =c

ccritico(4.2)

ccritico = 2mωn (4.3)

ωn =√k/m (4.4)

Tendo os valores já calculados, as equações acima, e sabendo que ζ = 0.05,

temos o valor do amortecimento do eixo "c"como:

ccritico = 6, 5x103 Ns/m

c = ζccritico

c = 323,3 Ns/m

Tendo os valores de c e k do eixo, adicionamos na equação do selo. Substi-

tuindo os dados gerais e sabendo que a massa do selo é desprezível, temos a equação

nal na forma:

kd + k kc

−kc kd + k

xy

+

cd + c cc

−cc cd + c

xy

+

md 0

0 md

xy

=

mdω2d cos θ

mdω2d sin θ

(4.5)

24

4.2 Comportamento dos Coecientes do Selo

Com as equações (3.17) a (3.27) e sabendo que o uido que passará pelo selo é

o ar, podemos vizualizar os grácos a seguir, considerando:

∆P = 80 bar;

Comprimento do selo L = 0.030 m;

Raio do eixo R = 0.032 m;

Folga y0 = 0.0003 m;

Densidade do ar ρ = 1.18 kg/m3;

Viscosidade dinâmica do ar µ = 18.27 x 10−6 kg/ms;

Coeciente de fricção λ = 0.01;

Erro de Childs "E"= 0.5.

Utilizando o código encontrado no Apêndice B, podemos ter a visualização

dos grácos abaixo. Os grácos foram montados a partir de um passo de 1 Hz:

Figura 4.1: Variação da rigidez direta kd do selo com a rotação

Observemos no gráco acima que, embora tenha uma queda exponencial

do valor de kd , o valor de fato não sofre grandes alterações, ou seja, se mantém

relativamente constante.

25

Figura 4.2: Variação da rigidez direta kc do selo com a rotação

Vemos no gráco de kc que temos uma variação linear crescente em relação

à rotação do eixo, coerente com a formulação utilizada.

26

Figura 4.3: Variação da rigidez direta cd do selo com a rotação

Vemos que o valor de cd se mantém constante, independente da rotação.

Novamente, esse resultado é condizente com a equação de Nordmann que utilizamos.

27

Figura 4.4: Variação da rigidez direta cc do selo com a rotação

Temos novamente um valor linearmente crescente, dessa vez com cc. Esse

gráco possui a forma coerente com a análise feita.

Podemos observar, também, como essas constantes variam com a mudança

do comprimento do selo, tendo ω = 60 Hz:

28

Figura 4.5: Variação da rigidez direta kd do selo com a variação do comprimento do

selo

Através da variação do comprimento do selo L, temos que o valor de kd tende

a se estabilizar depois de aproximadamente 100mm de comprimento.

29

Figura 4.6: Variação da rigidez direta kc do selo com a variação do comprimento do

selo

30

No gráco acima, kc cresce de forma exponencial em relação ao comprimento

do selo, ou seja, quanto maior for o selo, maior será a rigidez de acoplamento.

31

Figura 4.7: Variação da rigidez direta cd do selo com a variação do comprimento do

selo

32

No gráco acima, cd cresce de forma exponencial em relação ao comprimento

do selo, ou seja, quanto maior for o selo, maior será o amortecimento direto do selo.

33

Figura 4.8: Variação da rigidez direta cc do selo com a variação do comprimento do

selo

34

No gráco acima, cc cresce de forma exponencial em relação ao comprimento

do selo, ou seja, quanto maior for o selo, maior será a rigidez de acoplamento.

35

Observemos, agora, como a variação da pressão ∆P afeta as constantes kc,

kd, cc e cd do selo:

36

Figura 4.9: Variação da rigidez direta kd do selo com a variação de pressão

37

Figura 4.10: Variação da rigidez direta kc do selo com a variação da pressão

Figura 4.11: Variação da rigidez direta cd do selo com a variação da pressão

38

Figura 4.12: Variação da rigidez direta cc do selo com a variação da pressão

39

Com exceção do amortecimento de acoplamento cruzado cc, podemos ob-

servar que a variação de pressão tem um grande impacto nas constantes do selo,

consequentemente, afeta fortemente o sistema.

Observemos, agora, como a variação da folga entre o eixo e o selo afeta os

valores das constantes:

40

Figura 4.13: Variação da rigidez direta kd do selo com a variação de folga

Figura 4.14: Variação da rigidez direta kc do selo com a variação da Folga

41

Figura 4.15: Variação da rigidez direta cd do selo com a variação da folga

Figura 4.16: Variação da rigidez direta cc do selo com a variação da folga

42

Podemos analisar que, com exceção da rigidez direta do selo kd, a folga

entre o eixo e o selo impacta fortemente as constantes caso ela seja muito pequena,

tendendo a zero. Após esse rápido início, as constantes tendem a se estabilizarem.

4.3 Análise do Rotor de Jecott

Iremos analisar o comportamento do sistema primeiramente sem o selo. A

seguir, temos o deslocamento do eixo em função da rotação, ou seja, a distância

que a vibração desloca o eixo para cada rotação imposta no sistema. Nos picos

observados, a rotação é igual à frequência natural do sistema, resultando no maior

deslocamento. Utilizaremos um desbalanceamento do sistema como 0.01% para que

a vibração não seja maior que a folga entre o selo e o eixo.

Figura 4.17: Deslocamento do eixo em função da rotação para 3 comprimentos de

eixo diferentes, sem o selo.

43

Como podemos observar nos grácos da seção anterior, os valores encon-

trados dos coecientes do selo para o método descrito não possuem uma ordem de

grndeza coerente com os valores medidos em [14]. Sendo assim, utilizaremos os

valores experimentais adquiridos em [14] para adicionar ao sistema. Dessa forma,

podemos analisar o rotor de Jecott, agora com os selos alocados nele. Os valores

experimentais estão na gura abaixo:

44

Figura 4.18: Valores experimentais das constantes do selo encontrados em [14]

45

Figura 4.19: Deslocamento do eixo em função da rotação para 3 comprimentos de

eixo diferentes, com o selo.

46

Podemos analisar separadamente cada constante de rigidez do selo e seus

efeitos no deslocamento do eixo do sistema:

47

Figura 4.20: Deslocamento do eixo em função da rotação sem o selo, com o selo,

apenas com a constante "kc"e apenas com "kd".

48

Caso seja de interesse observar o regime transiente da resposta, é necessário

integrar a resposta do sistema em função do tempo, utilizando o método de Runge-

Kutta de 4a ordem [17] com o Matlab.

Dessa forma, temos os grácos abaixo, sendo o gráco 4.21 da amplitude

do movimento no tempo e o 4.22 o gráco do movimento do centro geométrico do

disco. Esses grácos são calculados sem a presença dos selos, com rotação de 60

Hz. O movimento do centro geométrico do disco é calculado apenas através da

solução particular do sistema, não considerando o início do movimento proveniente

da solução homogênea.

49

Figura 4.21: Amplitude do movimento do eixo em função do tempo.

50

Figura 4.22: Deslocamento do centro geométrico do disco, sem a presença dos selos.

51

Capítulo 5

Conclusões e Trabalhos Futuros

Neste trabalho foram apresentados diversos tipos de selos, assim como um breve

comparativo entre eles. A partir dessa apresentação inicial, foi mostrado a base

teórica para o cálculo teórico dos coecientes dos selos, assim como a base teórica

do sistema que utilizamos, o Rotor de Jecott. Tendo as duas bases, juntamo-as

para obter uma estimativa teórica da movimentação do sistema completo, quando

adicionado selos.

A partir da simulação numérica, chegamos a valores teóricos para os co-

ecientes dinâmicos dos selos para diversas condições de trabalho. Os efeitos da

velocidade de rotação do rotor, das dimensões do selo e das condições de operação

nos coecientes dinâmicos de selos também foram analisados. Para comparação,

pudemos observar os valores teóricos encontrados por Nordmann [14], o que nos

mostrou uma diferença de grandeza de 102 para a rigidez direta e 103 para o amor-

tecimento de acoplamento cruzado.

Através da comparação dos dois grácos, observamos que, adicionando os

selos, a frequência natural do sistema diminui, porém a amplitude de vibração tam-

bém sofre uma grande queda. O comprimento do eixo também afeta diretamente a

amplitude da vibração. Com o desbalanceamento igual a 0.01%, conseguimos man-

ter a vibração menor do que a folga do selo, impedindo que haja impacto entre o

selo e o eixo.

Ao observar os efeitos separados das constantes do selo no sistema, vemos que

a rigidez de acoplamento cruzado mantém o deslocamento do eixo baixo, enquanto

a rigidez direta aumenta exponencialmente esse deslocamento.

52

Analisando o gráco em regime transiente, após o início proveniente da

solução homogênea do sistema, o rotor entra em regime permanente, mantendo o

deslocamento do eixo constante.

Por m, concluímos que, para a determinação do comportamento dinâmico

de uma máquina rotativa com a presença de selos, é necessário inclui-los no modelo

do sistema para torná-la mais completa possível. Com a inclusão dos selos, torna-se

mais viável a previsão de condições geradores de instabilidades no sistema, facili-

tando a prevenção de falhas inesperadas. Podemos observar também a complexidade

do comportamento de rotores e como cada elemento e condição de trabalho pode

ter um impacto signicativo no comportamento do sistema.

Recomenda-se a utilização de mais testes e ajustes nos modelos utilizados

para encontrar resultados mais alinhados, ressaltando que o uso de um modelo

experimental é essencial para a validação dos resultados teóricos.

53

Referências Bibliográcas

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ting, 2nd edition, CRC Press, 2001.

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4th Edition, McGraw Hill, 2012.

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Seals for Application in Rotor Dynamics, 1980.

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tions of Centrifugal Pumps, Journal of Mechanical Engineering Science,

Vol 11, no 2., 206213, 1969.

[5] BETTIG B., Rotordynamics - Unit 5: Modeling Journal Bearings.

[6] CHILDS D., Seal-Rotordynamic-Coecient Test Results for a Model SSME

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Lubrication Equation. Journal of Tribology, v. 105, n. 3, p. 429436, 1983.

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N. C. An Introduction to the Mechanics of Solids, McGraw-Hill, 1978.

[10] DUTRA B., Modelagem e Simulação de uma Turbina Geradora, 2015.

54

[11] ELDIN A., Leakage and Rotordynamic Eects of Pocket Damper Seals and

See-Through Labyrinth Seals, 2007.

[12] HIRS G. G., A Bulk-Flow Theory for Turbulence in Lubricant Films, 206213,

1973.

[13] GONÇALVES D. C., Análise da Dinâmica de Selos Mecânicos em Compresso-

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[14] NORDMANN R., Rotordynamics 2: Problems in Turbomachinery, CISM Cour-

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[15] PEREIRA J. C., Introdução à Dinâmica de Rotores, 2005.

[16] SCHARRER J. K. AND PELLETTI J. M., Proceedings of the Twenty-Fourth

Turbomachinery Symposium, 175190, 1995.

[17] VULPIANI A., Numerical Recipes in C: The Art of Scientic Computing, Cam-

bridge University Press, Chapter 16, 710714, 1988.

[18] http://du-o-lap.com.br/noticias/?p=4, 2016.

[19] www.eaton.com, 2016.

[20] www.indyhoneycomb.com/products/engine-seal-honeycomb-2/, 2016.

[21] DRESSER-RAND, http://www.enginuityinc.com/upgrades/turbo/n-2034.pdf,

2016.

55

17

32

36

40

36

32

17

50 188

20 380 20

188 120

800

970

A B

2

2

45°

DETAIL ASCALE 1 : 2

2

2

45°

DETAIL BSCALE 1 : 2

O s mancais ficarão nas seções de 17mm. A parte de 800mm entre eles que provavelmente será de interesse para vocês.

SolidWorks Student Edition. For Academic Use Only.

Apêndice A

Desenho Detalhado do Eixo

Apêndice B

Códigos Matlab Utilizados

%Funcao baseada nas equacoes de Nordmann para o calculo dos coeficientes do

%selo

clear all;

deltaP = 8000000; %Queda de pressno selo [Pa ou kg/m^2*s]

L = 0.030; %Comprimento do selo [m]

R = 0.032; %Raio do eixo

omega = 0; %Velocidade de rota do eixo [Hz ou rad/s]

y0 = 0.0003; %Folga [m]

%Dados do fluido

rho = 1.18; %densidade do fluido [kg/m] Ar

xi=0.5; %coeficiente de perda de entrada Childs [Sem Unidade]

mu=18.27*10^-6; %viscosidade dinca do fluido [Kg/ms]

e = 1; %Erro

E = 0.5; %Erro de Childs (1983)

lambda = 0.01; %[Sem unidade] ou = 0.079/(Re^(1/4))

sigma = lambda*L/y0;

V = sqrt(2*deltaP/(rho*(1 + E + 2*sigma))); %Velocidade ma axial do fluido [m/s]

Re = rho*V*y0/mu; %Nmero de Reynolds

57

T = L/V;

mi0 = 9*sigma/(1.5+2*sigma);

mi1 = ((3+2*sigma)^2*(1.5+2*sigma)-9*sigma)/(1.5+2*sigma)^2;

mi2 = (19*sigma+18*sigma^2+8*sigma^3)/(1.5+2*sigma)^3;

omegaMax = 60000; %Velocidade de rotacao maxima [RPM]

for i=1:omegaMax/60

cd1(i) = pi*R*deltaP*mi1*T/lambda;

cc1(i) = pi*R*deltaP*mi2*omega*T^2/lambda;

kd1(i) = pi*R*deltaP*(mi0-mi2*omega^2*T^2)/(4*lambda);

kc1(i) = pi*R*deltaP*mi2*omega*T/(2*lambda);

omega = omega+1;

w(i) = i;

end

figure('name','Constante Cd x ega')

axes('fontsize',16)

plot(w*60,cd1,'k','linewidth',2)

xlabel('\Omega [RPM]','fontsize',14)

ylabel('Cd [Ns/m]','fontsize',14)

grid on

figure('name','Constante Cc x ega')

plot(w*60,cc1,'k','linewidth',2)


ylabel('Cc [Ns/m]','fontsize',14)

grid on

58

figure('name','Constante Kd x ega')

plot(w*60,kd1,'k','linewidth',2)


ylabel('Kd [N/m]','fontsize',14)

grid on

figure('name','Constante Kc x ega')

axes('fontsize',16)

plot(w*60,kc1,'k','linewidth',2)


ylabel('Kc [N/m]','fontsize',14)

grid on

59

%Codigo para obter a resposta do deslocamento do sistema

clear all;

%Dados da bancada

wmax = 1000; %Frequencia maxima [rad/s]

u = 0.0001; %Desbalanceamento do eixo

zeta = 0.05;

md = 6.15; %Massa do disco de Jeffcott [kg]

E = 207000000000; %Constante do Material: Aco Padrao 1020 [Pa]

L1 = 0.376; %Comprimento do eixo com D = 32mm [m]



LE = L1 + L2 + L3; %Comprimento do eixo [m]

I = (L1*(pi*(.032)^4/64) + L2*(pi*(.036)^4/64) + L3*(pi*(.040)^4/64))/LE ;%Momento de inercia [m^4]

k = 48*E*I/LE^3; %Rigidez do eixo [N/m]

c = zeta*2*sqrt(k*md); %Amortecimento do eixo [Ns/m]

deltaP = 8000000; %Queda de pressao no selo [Pa ou kg/m^2*s]

L = 0.030; %Comprimento do selo [m]

R = 0.032; %Raio do eixo

omega = 60; %Velocidade de rota do eixo [Hz ou rad/s]

y0 = 0.0003; %Folga [m]

%Dados do fluido

rho = 1.18; %densidade do fluido [kg/m] Ar

xi=0.5; %coeficiente de perda de entrada Childs [Sem Unidade]

mu=18.27*10^-6; %viscosidade dinamica do fluido [Kg/ms]

e = 1; %Erro

EC = 0.5; %Erro de Childs (1983)

lambda = 0.01; %[Sem unidade] ou 0.079/(Re^(1/4))

60

sigma = lambda*L/y0;

V = sqrt(2*deltaP/(rho*(1 + EC + 2*sigma))); %Velocidade ma axial do fluido [m/s]

Re = rho*V*y0/mu; %Numero de Reynolds

wn = sqrt(k/md);

T = L/V;

for j=1:wmax

cd(j) = 1350-(3/80)*omega*60;

cc(j) = 0.15*omega*60;

kd(j) = (1/600)*(omega*60)^2-25*(omega*60) + (730000/3);

kc(j) = 17.5*omega*60;

C = [c + cd(j) cc(j); -cc(j) c + cd(j)];

K = [k + kd(j) kc(j); -kc(j) k + kd(j)];

M = [md 0; 0 md];

H = inv((1i*omega)^2*M + 1i*omega*C + K);

F = [md*u*omega^2; md*u*omega^2];

X = H*F;

x(j) = sqrt((abs(X(1)))^2+abs(X(2))^2);

omega = omega+1;

w(j) = j;

end





61

I = (L1*(pi*(.032)^4/64) + L2*(pi*(.036)^4/64) + L3*(pi*(.040)^4/64))/LE ;%Momento de inia [m^4]



omega = 0;

for j=1:wmax

cd(j) = 1350-(3/80)*omega*60;

cc(j) = 0.15*omega*60;

kd(j) = (1/600)*(omega*60)^2-25*(omega*60) + (730000/3);

kc(j) = 17.5*omega*60;



M = [md 0; 0 md];



X = H*F;

x2(j) = sqrt((abs(X(1)))^2+abs(X(2))^2);

omega = omega+1;

w(j) = j;

end





I = (L1*(pi*(.032)^4/64) + L2*(pi*(.036)^4/64) + L3*(pi*(.040)^4/64))/LE ;%Momento de inercia [m^4]



omega = 0;

62

for j=1:wmax

cd(j) = 1350-(3/80)*omega*60;

cc(j) = 0.15*omega*60;

kd(j) = (1/600)*(omega*60)^2-25*(omega*60) + (730000/3);

kc(j) = 17.5*omega*60;



M = [md 0; 0 md];



X = H*F;

x3(j) = sqrt((abs(X(1)))^2+abs(X(2))^2);

omega = omega+1;

w(j) = j;

end

figure('name','Deslocamento do Eixo x ega')

axes('fontsize',16)

plot(w*60,x*1000,'b','linewidth',2)


ylabel('X [mm]','fontsize',14)

grid on

hold on

plot(w*60,x2*1000,'r','linewidth',2)

hold on

plot(w*60,x3*1000,'y','linewidth',2)

63

análise da dinâmica de um rotor de jeffcott com selo...

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