análise comparativa de modelos de cálculo de estruturas de ... · estruturas de betão armado...

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo de Estruturas de Betatildeo ArmadoDissertaccedilatildeo apresentada para a obtenccedilatildeo do grau de Mestre em Engenharia Civilna Especialidade de Mecacircnica Estrutural

AutorVital Nai Quei Pereira ArauacutejoOrientadores

Carla Maria Arauacutejo Fernandes Costa PereiraMaria Helena Freitas Melatildeo Barros

Esta dissertaccedilatildeo eacute da exclusiva responsabilidade do seu autor natildeo tendo sofrido correcccedilotildees apoacutes a defesa em

provas puacuteblicas O Departamento de Engenharia Civil da

FCTUC declina qualquer responsabilidade pelo uso da

informaccedilatildeo apresentada

Coimbra Outubro 2013

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado AGRADECIMENTOS

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo i

AGRADECIMENTOS

Os meus agradecimentos agraves minhas orientadoras Professora Doutora Carla Ferreira e

Professora Doutora Helena Barros pelo tempo despendido acompanhamento e incentivo

durante o percurso de pesquisa e realizaccedilatildeo da tese

Um agradecimento especial aos meus amigos e colegas do Departamento de Engenharia Civil

e outros nomeadamente o Mestre e Engordm Rui Costa o Mestre e Engordm Vladimiro Vaz a

Mestre Engordf Sara Gomes pela ajuda no uso de softwares de Elementos Finitos entre outros

Um profundo e grato agradecimento aos meus queridos irmatildeos irmatildes e pais pelo apoio e

confianccedila demonstrados ao longo da minha vida acadeacutemica ateacute o fim do curso

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado RESUMO

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo ii

RESUMO

Nesta tese realizou-se uma abordagem natildeo linear de uma viga contiacutenua de betatildeo armado de

dois tramos de um trabalho experimental anteriormente feito por Ana Maria S Teixeira

Bastos (1997 FEUP) e compara-se os resultados com programas comerciais de caacutelculo de

elementos finitos Na anaacutelise natildeo linear utilizaram-se modelos elasto-plaacutesticos e fendilhaccedilatildeo

para betatildeo aplicados atraveacutes do Meacutetodo de Elementos Finitos (MEF)

Efectuou-se o dimensionamento de uma estrutura com modelos de anaacutelise-linear elaacutestica com

ou sem redistribuiccedilatildeo Comparou-se os resultados experimentais das vigas com os obtidos

com os programas comerciais de software midasreg FEA e Abaqusreg CAE 610-1 usando

elementos finitos bidimensionais modelo elasto-plaacutestico e modelo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda

(ldquoSmeared Crackrdquo) E obteve-se conclusotildees relativas aos modelos utilizados documentando

de forma conveniente os casos de aplicaccedilatildeo das ferramentas e modelos

Palavras-chave Fendilhaccedilao distribuiacuteda (ldquoSmeared Crackrdquo) Anaacutelise estrutural Anaacutelise

linear elaacutestica Anaacutelise natildeo-linear Lei constitutiva Elasto-plaacutestico Meacutetodos dos Elementos

Finitos (MEF) bidimensional

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado ABSTRACT

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo iii

ABSTRACT

This thesis made an approach to linear and non-linear analysis of a reinforced concrete beam

the two spans of structure an experimental work previously done by Ana Maria S Teixeira

Bastos (1997 FEUP) The results were compared with commercial softwarersquos of finite

elements calculations The elasto-plastic and smeared crack models are applied to two-

dimensional formulations of Finite Element Methods (FEM)

The design of the structure considering the linear elastic behaviour with or without

redistribution was made The comparison of experimental results of beams with midasreg FEA

and Abaqusreg CAE 610-1 commercial softwareacutes was made using two-dimensional finite

elements with elasto-plasticity and the Smeared Crack models The conclusions were made

about the results obtained with the models used in the cases of application of the tools were

documented in an appropriate way

Key-Words Smeared Crack Structural Analysis Linear Elasticity Analysis Non-Linear

Analysis Constitutive Law Elasto-Plastic two-dimensional of Finite Element Method

(EFM)

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado IacuteNDICE

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo iv

IacuteNDICE

1 INTRODUCcedilAtildeO 1

11 Consideraccedilotildees iniciais 1

12 Objectivo e trabalhos 2

13 Organizaccedilatildeo do trabalho 2

2 MODELOS DE FENDILHACcedilAtildeO 3

21 Modelos macromecacircnicos de fendilhaccedilatildeo do betatildeo 3

211 Fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda 4

212 A localizaccedilatildeo da fenda 6

213 A aderecircncia da fendilhaccedilatildeo de Modo I 6

214 Mecacircnica da fractura linear elaacutestica 7

215 Modelo de multifendas fixas 8

3 MODELOS DE ANAacuteLISE ESTRUTURAL 12

31 Anaacutelise linear elaacutestica 12

32 Anaacutelise natildeo linear 13

33 Anaacutelise plaacutestica 13

34 Ductilidade do das secccedilotildees 16

35 Lei constitutiva 17

36 Meacutetodo dos Elementos Finitos 20

37 A relaccedilatildeo constitutiva da elasticidade para estados planos de tensatildeo 20

4 AS VERIFICACcedilOtildeES AOS ESTADOS LIMITES DO EC 2 23

41 Bases para o caacutelculo 23

411 Estados limites 23

4111 Estado limite uacuteltimo (ELU) 23

4112 Estado limite de serviccedilo (ELS) 23

412 Materiais 23

413 Betatildeo 24


Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo v

414 Accedilo 25

415 A ductilidade e redistribuiccedilatildeo de esforccedilos 25

5 ESTUDO EXPERIMENTAL EXISTENTE SOBRE VIGAS 29

51 Caracteriacutesticas do modelo de ensaio 30

511 Propriedades dos materiais de ensaio 31

512 Instrumentos utilizados dos ensaios 32

513 Comportamento teoacuterico dos modelos dos ensaios 33

514 Descriccedilatildeo dos ensaios e resultados da viga V1 e V2 33

515 Esforccedilos em rotura (Viga V1) 35

516 Os valores das extensotildees meacutedias da armadura 37

517 Comparaccedilatildeo dos resultados obtidos nos ensaios das duas vigas V1 e V2 38

6 MODELACcedilAtildeO NUMEacuteRICA 40

61 Enquadramento 40

62 As propriedades dos materiais 40

621 Comportamento do betatildeo 41

622 Paracircmetros adoptados na modelaccedilatildeo do betatildeo 43

623 Comportamento do accedilo 43

63 Modelaccedilatildeo numeacuterica da viga 44

631 Tipo de elementos finitos adoptados de software midas FEA e Abaqus 610-144

632 Condiccedilotildees de carregamento e dos apoios 45

633 Definiccedilatildeo da malha da viga 46

64 Comparaccedilatildeo entre o estudo experimental e os programas 49

7 CONCLUSOtildeES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 54

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 55

ANEXO A 57

A1 - As tensotildees da viga 1 (midas FEA) 57

Deslocamento vertical (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus 58

Tensatildeo principal (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus 58

Extensatildeo principal (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus 58

Tensatildeo axial (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus 58


Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo vi

ANEXO B 59

B-1 As forccedilas e momentos do iniacutecio de fendilhaccedilatildeo 59

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado IacuteNDICE DE FIGURAS

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo vii

IacuteNDICE DE FIGURAS

Figura 11 - O Burj Dubai Skyscraper estruturas de betatildeo armado (Conundrum 2008) 1

Figura 21ndash Modelo de fendas distribuiacutedas (Gf ndash energia de fractura wu ndash abertura de fendas

distribuiacutedas) 4

Figura 22 - Sistema de eixos deslocamentos relativos e tensotildees numa fenda 5

Figura 23 ndash Aderecircncia da fendilhaccedilatildeo e curva de amolecimento para o Modo I de betatildeo 6

Figura 24 - Modos de fractura (ACI 1999) 7

Figura 25 ndash Lei de amaciamento ldquoSofteningrdquo 7

Figura 26 ndash Referencial local da fenda (Rots e Blaauwendraad 1989) 9

Figura 31- Distribuiccedilatildeo dos momentos numa viga contiacutenua a uma carga pontual segundo uma

anaacutelise linear elaacutestica e elasto-plaacutestica (Carmo 2004) 15

Figura 32 - Comportamento reoloacutegico elaacutestico perfeitamente plaacutestico 15

Figura 33 ndash Fissuraccedilatildeo em leque na zona de aplicaccedilatildeo da carga e diagrama dos esforccedilos na

armadura de tracccedilatildeo (Leondhardt 1979) 17

Figura 34 - Modelo fiacutesico para o comportamento elaacutestico e plaacutestico 18

Figura 35 - Modelo de comportamento elaacutestico perfeitamente plaacutestico 19

Figura 36 - Diagrama bilinear de tensotildees-extensotildees 19

Figura 41- Diagrama paraacutebola-rectacircngulo para o betatildeo comprimido 24

Figura 42 - Diagrama tensotildees-extensotildees para o accedilo (traccionado e comprimido) 25

Figura 43 - Redistribuiccedilatildeo dos momentos flectores num tramo contiacutenuo de viga (Gonccedilalves

2008) 27

Figura 51 ndash Anaacutelise de estrutura como viga contiacutenua (Carmo 2004) 29

Figura 52ndash Esquema do ensaio Diagrama dos momentos flectores elaacutesticos 30

Figura 53 - Armaduras das vigas dos ensaios 31

Figura 54 - Diagrama de traccedilatildeo da armadura de flexatildeo 31

Figura 55 - Aspecto de ensaio e instrumento utilizado para a viga V2 (Bastos 1997) 32

Figura 56 - Momentos resistentes uacuteltimos das vigas (Bastos 1997) 33

Figura 57- Aspecto do ensaio e rotura para a viga V1 (Bastos 1997) 34

Figura 58 - (a) Diagramas cargas-deslocamentos dos pontos de aplicaccedilatildeo das cargas da viga

V1 (b) Extensotildees (permil) na armadura superior (Bastos 1997) 35

Figura 59 - Aspecto da rotura de ensaio V2 (Bastos 1997) 35

Figura 510 ndash Extensotildees meacutedias entre as secccedilotildees S1 e S2 agrave carga de rotura experimental

(Bastos 1997) 36

Figura 511 ndash Diagrama dos momentos flectores elaacutesticos e momento meacutedio na zona central

obtido do ensaio de V1 (Fuexp = 150 kN e Melast=-384 kNm) (Bastos 1997) 36


Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo viii

Figura 512 ndash Verificaccedilatildeo do valor da extensatildeo meacutedia experimental (Viga V2) (Bastos 1997)

37

Figura 513 ndash Diagramas cargas-deslocamentos da secccedilatildeo de aplicaccedilatildeo da carga (Bastos

1997) 39

Figura 61 ndash Modelos ortogonais das fendas 41

Figura 62 ndash Lei constitutiva do betatildeo (a) tracccedilatildeo (b) compressatildeo e (c) elaacutestico (FEA

Analysis and Algorithm) 42

Figura 63 ndash O modelo de malha de elementos finitos (20x20 mm) de midas FEA para a viga

de ensaios 44

Figura 64 ndash O modelo de malha de elementos finitos (20x20 mm) de Abaqus para a viga de

ensaios 44

Figura 65 ndash Quatro noacutes de elementos contiacutenuos de isoparameacutetrico no espaccedilo XY (Essex

1995) 45

Figura 66- Estrutura da viga do ensaio experimental (mm) 45

Figura 67 ndash Esquema estrutural do ensaio numeacuterico frac12 de viga (mm) 46

Figura 68 ndash Divisatildeo das malhas em pequenas dimensotildees dominadas Elementos Finitos 46

Figura 69 ndash Diagrama de tensatildeo e extensatildeo para o betatildeo agrave compressatildeo (a) e agrave tracccedilatildeo (b)

(Gomes 2010) 47

Figura 610 - Diagrama Cargas-deslocamentos dos pontos de aplicaccedilatildeo das forccedilas no

programa de midas FEA e Abaqus para a viga V1 48

Figura 611 ndash Diagrama de comparaccedilatildeo (Cargas F-Deslocamentos) onde mostra as diferenccedilas

nos diagramas de deslocamentos pelo midas FEA Abaqus e trabalhos experimentais 49

Figura 612 ndash Iniacutecio da fendilhaccedilatildeo da flexatildeo para as vigas V1 e V2 (midas FEA) 50

Figura 613 - Iniacutecio da fendilhaccedilatildeo no apoio central da viga V1 (midas FEA) 51

Figura 614 ndash Iniacutecio da fendilhaccedilatildeo de flexatildeo na zona de aplicaccedilatildeo das cargas da viga V1

(midas FEA) 51

Figura 615 ndash Iniacutecio de fendilhaccedilatildeo no apoio central da viga V2 (midas FEA) 52

Figura 616 ndash Iniacutecio de fendilhaccedilatildeo de flexatildeo da viga V2 (midas FEA) 52

Figura 617 ndash Deformaccedilatildeo vertical de frac12 viga V1 (a) Momento inicial e (b) momento de

rotura (Abaqus) 53

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado IacuteNDICE DE QUADROS

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo ix

IacuteNDICE DE QUADROS

Quadro 41 ndash Coeficientes de redistribuiccedilatildeo segundo o Eurocoacutedigo-2 26

Quadro 42 ndash Valor reduzido do momento flector resistente de caacutelculo 28

Quadro 43 ndash Anaacutelise linear com redistribuiccedilatildeo dos momentos flectores num tramo contiacutenuo

de viga 28

Quadro 51 - A percentagem e os varotildees da armadura longitudinal das duas vigas ensaiadas 30

Quadro 52 - Caracteriacutesticas do accedilo utilizado nos varotildees longitudinais e transversais 31

Quadro 53 - A caracteriacutestica do betatildeo utilizado no ensaio 32

Quadro 54 ndash Dimensionamento segundo o diagrama elaacutestico 33

Quadro 55 ndash Resultados obtidos dos ensaios das vigas 34

Quadro 56 ndash Os valores das extensotildees na armadura de tracccedilatildeo 38

Quadro 57 ndash Valores da extensatildeo meacutedia na zona de referecircncia (entre as secccedilotildees S1 e S0) 38

Quadro 58 ndash Comparaccedilatildeo dos resultados e experimentais (Vigas V1 e V2) 38

Quadro 61 ndash Valores de Gf0 em funccedilatildeo de Dmaacutex 42

Quadro 62 ndash Propriedades do betatildeo usadas nas simulaccedilotildees numeacutericas 43

Quadro 63 ndash Propriedades do accedilo das armaduras 43

Quadro 64 ndash Tempo de caacutelculo na simulaccedilatildeo da viga numeacuterica da malha de 20 mm (midas

FEA e frac12 viga de Abaqus) 47

Quadro 65 ndash Os paracircmetros usados do betatildeo no modelo Dano Plaacutestico de Abaqus 47

Quadro 66 ndash Os paracircmetros de plasticidade do betatildeo (HKS Inc de Rhode Island) 47

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado SIMBOLOGIA

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo x

SIMBOLOGIA

Ac - Aacuterea da secccedilatildeo transversal

2D - Bidimensional

As - Aacuterea de secccedilatildeo de uma armadura para betatildeo armado

b - Largura da alma em viga

Dmaacutex - Dimensatildeo maacutexima do agregado

d - Altura uacutetil de secccedilatildeo transversal

E - Moacutedulo de elasticidade

ELU - Estado Limite Uacuteltimo

EC 2 - Eurocoacutedigo 2

ELS - Estado Limite de Serviccedilo

Ec - Moacutedulo de elasticidade do betatildeo

Ecm - Moacutedulo de elasticidade secante do betatildeo

Es - Valor de caacutelculo do moacutedulo de elasticidade do accedilo de armadura

F - Forccedila aplicada

Fc - Valor de caacutelculo da forccedila de compressatildeo no betatildeo

Fs - Valor de caacutelculo de tracccedilatildeo

L - Comprimento do vatildeo

LN - Linha neutra

Gf - Energia de fractura

Gf0 - Valor base de energia de fractura (dependente da dimensatildeo maacutexima do agregado)

FIB - Feacutedeacuteration Internationale du Beacuteton

fck -Valor caracteriacutestico da tensatildeo de rotura do betatildeo agrave compressatildeo aos 28 dias de

idade

fcd - Valor de caacutelculo de tensatildeo de rotura do betatildeo agrave compressatildeo

fcm - Tensatildeo meacutedia de rotura agrave compressatildeo dos provetes ciliacutendricos

fy - Tensatildeo de cedecircncia do accedilo

fyk -Valor caracteriacutestico da tensatildeo de cedecircncia agrave tracccedilatildeo do accedilo das armaduras de

betatildeo armado

ft -Tensatildeo uacuteltima do accedilo das armaduras para betatildeo armadorotura agrave traccedilatildeo do accedilo

das armaduras para betatildeo armado

ftk - Tensatildeo caracteriacutestica de rotura do accedilo

h - Largura das fendas (midas FEA) altura da secccedilatildeo


Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo xi

I - Momento de ineacutercia da secccedilatildeo

M - Momento flector

Mcr - Momento-curvatura

MC 90 - Coacutedigo Modelo 90

MEF - Meacutetodos dos Elementos Finitos

1R - Curvatura da seccedilatildeo

n - Expoente

w - Abertura das fendas

- Matriz de transformaccedilatildeo

ߚ - Acircngulo caracteriacutestico

ߝ - Extensatildeo

ߝ - Extensatildeo do betatildeo agrave compressatildeo correspondente ao iniacutecio da cedecircncia

ଶߝ - Extensatildeo necessaacuteria para se atingir a tensatildeo de rotura do betatildeo agrave compressatildeo

௨ߝ - Extensatildeo uacuteltima do betatildeo em compressatildeo

௨ଶߝ - Extensatildeo uacuteltima

ߝ - Extensatildeo elaacutestica de compressatildeo

ߝ - Extensatildeo plaacutestica equivalente de compressatildeo acccedilatildeo

௦ߝ -Extensatildeo meacutedia da armadura tendo em consideraccedilatildeo a contribuiccedilatildeo do betatildeo agrave

tracccedilatildeo entre fendas

௦ߝ -Extensatildeo da armadura calculada em secccedilatildeo natildeo fendilhada para a carga de

fendilhaccedilatildeo


ଵߚ - Coeficiente dependente das propriedades de aderecircncia do accedilo

ଶߚ - Coeficiente dependente da duraccedilatildeo das cargas

ߪ - Tensatildeo

௦ߪ - Tensatildeo na armadura em secccedilatildeo fendilhada sob a carga de fendilhaccedilatildeo

௦ߪ - Tensatildeo na armadura em secccedilatildeo fendilhada sob as cargas consideradas

ߜ - Coeficiente de redistribuiccedilatildeo

ߩ - Percentagem da armadura longitudinal de flexatildeo

- Coeficiente de Poisson

V1 - Viga 1

V2 - Viga 2

Xu - Profundidade do eixo neutro no estado limite uacuteltimo apoacutes a redistribuiccedilatildeo

z - Braccedilo binaacuterio das forccedilas interiores

empty - Diacircmetro do varatildeo

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 1 INTRODUCcedilAtildeO

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo 1

1 INTRODUCcedilAtildeO

11 Consideraccedilotildees iniciais

Os modelos teoacutericos e o recurso aos meacutetodos numeacutericos a par dos trabalhos experimentais

tecircm vindo a dar um grande contributo na anaacutelise das estruturas de modo a garantir que a

previsatildeo do comportamento em estado limite uacuteltimo se aproxime do valor das solicitaccedilotildees

maacuteximas que as estruturas podem suportar

Nas uacuteltimas deacutecadas o dimensionamento admitindo o regime linear elaacutestico das estruturas

mas com redistribuiccedilatildeo de esforccedilos devida agrave plastificaccedilatildeo da armadura a consideraccedilatildeo da natildeo

linearidade do betatildeo sob compressatildeo e a fendilhaccedilatildeo sob traccedilatildeo satildeo modelos frequentemente

utilizados na previsatildeo da capacidade resistente Estes modelos de anaacutelise natildeo linear assumem

maior relevacircncia com o aumento da capacidade resistente dos materiais como por exemplo

com o uso cada vez mais frequente de betotildees de alta resistecircncia empregues em estruturas de

grande dimensatildeo (Figura 11)

Figura 11 - O Burj Dubai Skyscraper estruturas de betatildeo armado (Conundrum 2008)



Nestes uacuteltimos anos tecircm sido desenvolvidos programas de caacutelculo automaacutetico de anaacutelise

linear e natildeo-linear e que satildeo utilizados pelos projetistas no dimensionamento O

comportamento do betatildeo armado eacute evidentemente natildeo linear e esta natildeo linearidade eacute

acentuada desde valores baixos das cargas aplicadas As tensotildees de compressatildeo no betatildeo

podem atingir um valor maacuteximo a partir do qual se verifica um amaciamento Como o betatildeo

tem uma resistecircncia agrave traccedilatildeo muito reduzida a natildeo linearidade devida agrave fendilhaccedilatildeo eacute um

factor importante na anaacutelise de vigas A utilizaccedilatildeo de modelos de fendilhaccedilatildeo que eacute

distribuiacuteda na presenccedila das armaduras implica o conhecimento dos paracircmetros utilizados

pelos modelos Por esta razatildeo eacute fundamental que os modelos numeacutericos sejam aferidos com

resultados experimentais

12 Objectivo e trabalhos

O objectivo principal desta tese eacute a utilizaccedilatildeo de modelos e programas de caacutelculo que

permitam o dimensionamento de estruturas de betatildeo armado em situaccedilotildees correntes e de

interesse praacutetico

Satildeo analisadas estruturas hiperestaacuteticas em que haacute resultados experimentais conhecidos

Efectua-se o dimensionamento de uma estrutura pelos modelos de anaacutelise linear elaacutestica com

e sem redistribuiccedilatildeo Analisam-se as vigas com o programa de Elementos Finitos Midas FEA

e Abaqus usando o modelo elasto-plaacutetico e de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda

13 Organizaccedilatildeo do trabalho

O trabalho eacute constituiacutedo por 7 capiacutetulos e anexos No primeiro capiacutetulo faz-se uma introduccedilatildeo

ao trabalho descrevem-se os assuntos tratados e os objectivos propostos No capiacutetulo 2 satildeo

expostos os principais modelos de fendilhaccedilatildeo dando-se destaque especial aos modelos base

implementados na modelaccedilatildeo numeacuterica utilizada No capiacutetulo 3 abordam-se os modelos de

anaacutelise estrutural e uma breve referecircncia ao Meacutetodo dos Elementos Finitos No capiacutetulo 4

expotildee-se as verificaccedilotildees aos estados limites uacuteltimos e de serviccedilo do EC 2 O capiacutetulo 5 expotildee

o procedimento experimental da anaacutelise de umas vigas da tese de doutoramento de Ana Maria

S Teixeira Bastos (DEC FEUP) Explicou-se todo o processo de experiecircncias elaboradas

nessa tese desde os materiais execuccedilatildeo dos modelos e meacutetodo para o ensaio experimental da

viga em betatildeo armado No capiacutetulo 6 fez-se a anaacutelise natildeo linear de vigas de betatildeo armado

usando programas computacionais e faz-se a anaacutelise comparativa com os resultados

experimentais No capiacutetulo 7 apresentam-se as conclusotildees e desenvolvimentos possiacuteveis em

trabalhos futuros

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 2 MODELOS DE FENDILHACcedilAtildeO


2 MODELOS DE FENDILHACcedilAtildeO

Os elementos de betatildeo armado com distribuiccedilatildeo das armaduras apresentam geralmente

comportamento natildeo linear Ao niacutevel granular o betatildeo eacute constituiacutedo por elementos com

diferentes propriedades Devido a esta heterogeneidade desenvolvem-se microfendas

(Mie1984) preponderantemente nas interfaces entre os inertes e a ligante de cimento

originando-se uma microestrutura anisotroacutepica com micro zonas de dano mais intenso que

acabam por degenerar em bandas de fendilhaccedilatildeo A fendilhaccedilatildeo eacute consequentemente uma

das principais fontes da natildeo linearidade apresentada pelas estruturas de betatildeo A simulaccedilatildeo

numeacuterica adequada do comportamento deste tipo de estruturas passa pela modelaccedilatildeo dos

fenoacutemenos associados agrave fendilhaccedilatildeo do betatildeo Por este facto tem-se assistido desde o fim da

deacutecada de sessenta a um consideraacutevel esforccedilo de desenvolvimento de modelos de fendilhaccedilatildeo

para a simulaccedilatildeo do comportamento de estruturas de materiais fraacutegeis

21 Modelos macromecacircnicos de fendilhaccedilatildeo do betatildeo

Numa escala macroscoacutepica o modelo macromecacircnico eacute um fenoacutemeno associado ao

comportamento do material Quando analisadas sob o ponto de vista macroscoacutepico podem ser

modeladas como um meio contiacutenuo e isotroacutepico sendo aplicaacuteveis leis constitutivas

formuladas em termos de tensotildees meacutedias e extensotildees meacutedias Existem dois modelos base

utilizados no Meacutetodo dos Elementos Finitos (MEF) que representam a fendilhaccedilatildeo em

estruturas de betatildeo a fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda (Rashid1968) e a fendilhaccedilatildeo discreta (Ngo e

Scordelis Nilson 1968 Hillerborg et al 1976)

1 Fendas discretas

2 Fendas distribuiacutedas (Figura 21)




distribuiacutedas)

Nos modelos de fendas distribuiacutedas quando num elemento finito o material fica fendilhado

(elemento m na Figura 21 (a)) as fendas consideram-se distribuiacutedas no volume do material

associado ao ponto de amostragem em causa A lei constitutiva apresentada na Figura 21 (b)

modela o comportamento macroscoacutepico do betatildeo fendilhado em termos de extensotildees totais

Caso se considere a deformaccedilatildeo do betatildeo fendilhado como a soma de deformaccedilatildeo do betatildeo

com a deformaccedilatildeo nas fendas teraacute de se ter em conta a lei constitutiva do betatildeo entre fendas

(Figura 21 (c)) com a lei constitutiva que descreve o comportamento da fenda (Figura 21

(d))

211 Fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda

Os dois deslocamentos relativos numa fenda estatildeo apresentados na Figura 22 onde s eacute o

escorregamento entre as duas faces do plano da fenda e w a abertura da fenda que surge sob a

tensatildeo normal agrave orientaccedilatildeo da fenda e a tensatildeo tangencial definidas num sistema de eixo

local Os deslocamentos satildeo transformados em extensotildees que dependem da aacuterea do elemento

finito em que se inserem (Garcia 2009)



Figura 22 - Sistema de eixos deslocamentos relativos e tensotildees numa fenda

O modelo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda tem como objectivo modelar o comportamento do betatildeo

traccionado quando o valor da tensatildeo ultrapassa o valor da resistecircncia agrave traccedilatildeo do betatildeo Este

modelo admite a fendilhaccedilatildeo uniformemente distribuiacuteda no elemento fendilhado Com esta

abordagem as descontinuidades locais satildeo distribuiacutedas por uma aacuterea de influecircncia dentro do

elemento finito (Blaauwendraad 1985) Embora na rotura se verifique a localizaccedilatildeo das

fendas e abertura das fendas localizadas a micro-fendilhaccedilatildeo eacute distribuiacuteda no betatildeo pelas

armaduras ateacute valores proacuteximos da rotura tornando o modelo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda

(nomenclatura inglesa ldquoSmeared Crackrdquo) (Rashid 1968 Suidan e Schnobrich 1973 Bazant

et al 1979-1983 Litton 1974 Bazant e Gambarova 1980 Borst e Nauta 1985 Rots et

al1985 Rots 1988) adequado na anaacutelise de vigas e foi o modelo escolhido para os casos em

estudo neste trabalho

A extensatildeo total eacute dividida em duas componentes uma correspondente ao betatildeo entre fissuras

e a outra correspondente agrave proacutepria fissura Esta decomposiccedilatildeo permite formular diretamente e

de forma consistente as leis do modelo da banda fendilhada a partir das relaccedilotildees abertura de

fendas determinadas a partir de resultado experimental respeitando integralmente a lei

constitutiva do betatildeo natildeo fendilhado jaacute que esta eacute formulada de forma independente A

fissuraccedilatildeo pode ser assim combinada de forma transparente com a elasticidade a plasticidade

ou a viscoelasticidade assim como com os efeitos da temperatura numa formulaccedilatildeo

unificada (Borst 1987)



Tal como nos modelos de extensatildeo total o iniacutecio do processo de fractura ocorre apoacutes a

violaccedilatildeo do criteacuterio da tensatildeo maacutexima estabelecido no espaccedilo das tensotildees principais

(Pimentel 2004)

212 A localizaccedilatildeo da fenda

O comportamento natildeo linear do betatildeo eacute frequentemente denominado pela abertura da fenda

previamente existente no elemento de betatildeo Neste contexto analisam-se as fendas diagonais

que ocorrem instantaneamente e determinam a rotura por tensatildeo de corte no betatildeo armado

A deformaccedilatildeo localizada na fendilhaccedilatildeo discreta inspirou investigadores para desenvolver o

modelo de fendilhaccedilatildeo discreta (eg Ngo e Scordelis 1967 Blaauwendraad e Grootenboer

1981 Ingraffea e Saouma1984) Com esta abordagem as descontinuidades geomeacutetricas

devidas agraves fendas satildeo incorporadas na idealizaccedilatildeo da estrutura

213 A aderecircncia da fendilhaccedilatildeo de Modo I

O modelo de aderecircncia da fendilhaccedilatildeo denominado modelo da fenda fictiacutecia (em

nomenclatura inglecircsa ldquofictitious crack modelrdquo (Hillerborg et al) foi bem sucedido na anaacutelise

da fractura do betatildeo pedra e materiais constituiacutedos por cimento A funccedilatildeo do amolecimento

ߪ ൌ ሺݓሻ eacute o principal componente do modelo de aderecircncia da fendilhaccedilatildeo Esta funccedilatildeo eacute

uma propriedade do material que relaciona a tensatildeo ߪ que actua nas faces das fendas

correspondendo agrave abertura da fenda w (ver Figura 23) No modo I da abertura das fendas a

tensatildeo ߪ eacute perpendicular agraves faces da fenda (Gaacutelves et al 2002)

Figura 23 ndash Aderecircncia da fendilhaccedilatildeo e curva de amolecimento para o Modo I de betatildeo



214 Mecacircnica da fractura linear elaacutestica

Apresentam-se os principais modos de fractura (ver Figura 24) que podem ocorrer em

estruturas de materiais fraacutegeis Os modos I e II de fractura satildeo submetidas a estado plano de

tensatildeo O modo I de fractura eacute a abertura relativa das faces da fenda no plano da estrutura e o

modo II de fractura eacute o deslizamento relativo das faces da fenda no plano da estrutura

Figura 24 - Modos de fractura (ACI 1999)

A lei representada na Figura 25 eacute a lei de amaciamento (ldquoSofteningrdquo na nomenclatura

inglesa) simula o modo I de fractura A energia de fractura eacute a energia despendida na

formaccedilatildeo de uma fenda de aacuterea unitaacuteria podendo ser quantificada a partir da aacuterea sob a curva

ߪ െ ݓ representada da Figura 25 (Barros 2012)

Figura 25 ndash Lei de amaciamento ldquoSofteningrdquo



A consideraccedilatildeo da relaccedilatildeo ߪ minus ݓ como uma propriedade do material leva agrave definiccedilatildeo de um

paracircmetro material definido pela aacuterea do diagrama ߪ minus Este eacute o paracircmetro que Hilleborg ݓ

denominou de energia de fractura Gf sendo wu eacute a abertura da fenda a partir da qual o

material deixa de transmitir tensotildees e a resistecircncia agrave traccedilatildeo fct

A anaacutelise comparativa entre resultados experimentais e resultados obtidos com modelos

numeacutericos demostra que os modelos de fendilhaccedilatildeo que utilizam a resistecircncia a energia de

fractura a forma da curva de amolecimento e a largura da banda de fendilhaccedilatildeo como

paracircmetros de fractura intriacutensecos ao material permitem obter resultados bastante satisfatoacuterios

em termos de previsatildeo do comportamento de estruturas constituiacutedas por materiais fraacutegeis

(Barros 2012)

215 Modelo de multifendas fixas

Este modelo conjuga o modelo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda com a localizaccedilatildeo da abertura de

fendas em funccedilatildeo das leis da mecacircnica da fratura A fendilhaccedilatildeo surge apoacutes violaccedilatildeo do

criteacuterio da tensatildeo maacutexima no betatildeo no referencial principal e essa direcccedilatildeo eacute a direcccedilatildeo da

fenda no elemento No caso tridimensional a extensatildeo total eacute decomposta por (expressatildeo 1)

ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)

Onde o expoente (cr) indica uma grandeza respeitante agraves fissuras e (co) uma grandeza

respeitante ao betatildeo natildeo fissurado Na expressatildeo (1) o vetor das extensotildees no sistema global

de eixos xyz vem dado por

ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)

Tradicionalmente a lei tensatildeo-extensatildeo em fendas distribuiacutedas apresenta os eixos de

ortotropia do material nos quais passam a ser estabelecidas as leis constitutivas (Figura 26)

o eixo n refere-se agrave direcccedilatildeo normal agrave fenda (associado ao modo I de fractura) e os eixos s t

agraves direcccedilotildees tangenciais agrave fenda (Modo II e Modo III)



Figura 26 ndash Referencial local da fenda (Rots e Blaauwendraad 1989)

As relaccedilotildees constitutivas relativas agrave evoluccedilatildeo da abertura das fissuras satildeo estabelecidas no

referencial local n s t Neste referencial define-se o vector das extensotildees locais da fissura

ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)

onde ߝ eacute a extensatildeo normal agrave fenda corresponde ao modo I (Figura 24) de fractura ߛ௦

e ߛ௧ satildeo as direcccedilotildees das fendas As extensotildees no referencial global podem ser obtidas a

partir das do referencial local atraveacutes de

ߝ ൌൈ (4)

em que eacute a matriz de transformaccedilatildeo que reflete a orientaccedilatildeo agrave fenda dada por

ൌ

ۏێێێێێۍ ଶ ௦ ௧

ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)

onde ௦ ௦ ௦ ௧ ௧ ௧ satildeo as coordenadas dos versores dos eixos locais n ݏǡ e

ݐ da fissura expressas no sistema global x y e z

No sistema de coordenada local a traccedilatildeo na fissura define-se atraveacutes do vetor ݐ

ݐ ൌ ሼݐݐ௦ݐ௧ሽ (6)

௧ݐ௦ݐ eacute a traccedilatildeo correspondente ao modo I de fratura na fissura eݐ satildeo as tensotildees de corte

na fissura correspondentes aos modos II e III de fractura respectivamente A relaccedilatildeo entre as

tensotildees no referencial local e no global eacute expressa por



ݐ = ܦ times (7)

com ܦ uma matriz de dimensatildeo 3 times 3 (cheia e natildeo simeacutetrica) a incorporaccedilatildeo dos trecircs

modos I II e III de fractura no caso mais geral eacute dada por

ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)

Desta forma a equaccedilatildeo (7) incorpora as relaccedilotildees entre a distorccedilatildeo e a tensatildeo normal agrave fenda

assim como a relaccedilatildeo entre a extensatildeo normal agrave fenda com a tensatildeo de corte (Borst1991)

A matriz ܦ pode ser simplificada quando se consideram apenas as componentes da

diagonal (38) que contecircm os moacutedulos de rigidez dos modos I II e III de fratura

ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)

Para completar o sistema de equaccedilotildees do modelo constitutivo eacute necessaacuteria uma relaccedilatildeo entre

as tensotildees e extensotildees no betatildeo intacto Essa relaccedilatildeo assume a forma

ߪ = ܦ times ߝ (10)

Tendo em atenccedilatildeo a igualdade (1) e (4) vem

ߪ = ߝܦ minus times ൧ (11)

Preacute-multiplicando (11) por e atendendo a (6) e (7) obteacutem-se a relaccedilatildeo entre as extensotildees

das fissuras no referencial local e as extensotildees totais no referencial global

ݐ = times ݐߪ = ܦ times ⟺ ߪ = ߝܦ minus times ൧

⟹ = ܦ + times ܦ times ൧ଵ times times ܦ times ߝ (12)

que uma vez substituiacuteda em (11) conduz agrave relaccedilatildeo geral entre as tensotildees e extensotildees totais




onde o expoente (crco) se refere ao betatildeo fendilhado A matriz ܦ vem expressa por

ܦ = ܦ ቂܫ minus times ܦ + times ܦ times ൧ଵ times times ቃܦ (14)

A implementaccedilatildeo computacional de (13) requer a sua formulaccedilatildeo em termos incrementais o

que pressupotildee uma linearizaccedilatildeo na vizinhanccedila do estado de tensatildeo corrente (Pimentel 2004

pp 98 -104)

Este modelo eacute o desenvolvido no software utilizado neste trabalho

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 3 MODELOS DE ANAacuteLISE ESTRUTURAL


3 MODELOS DE ANAacuteLISE ESTRUTURAL

A avaliaccedilatildeo da resistecircncia de estruturas de betatildeo armado eacute determinada pela verificaccedilatildeo ao

estado limite uacuteltimo da estrutura A regulamentaccedilatildeo do EC2 na secccedilatildeo 511 diz que o

objetivo de uma anaacutelise estrutural eacute o de determinar a distribuiccedilatildeo quer de esforccedilos quer de

tensotildees extensotildees e deslocamentos em toda ou parte da estrutura Sempre que necessaacuterio

deveraacute ser efectuada uma anaacutelise local complementar No dimensionamento de estruturas eacute

necessaacuterio considerar a relaccedilatildeo accedilotildees aplicadas-resposta da estrutura atraveacutes do

comportamento dos materiais e da geometria da estrutura O dimensionamento consiste na

caracterizaccedilatildeo final da estrutura garantindo a verificaccedilatildeo simultacircnea dos estados limites

uacuteltimos e de serviccedilo

Na anaacutelise estrutural eacute importante efectuar idealizaccedilotildees tanto ao niacutevel da geometria como do

seu comportamento da estrutura que devem ser ajustados ao problema em estudo Essas

idealizaccedilotildees originam vaacuterios meacutetodos de anaacutelise como anaacutelise linear elaacutestica anaacutelise natildeo

linear com redistribuiccedilatildeo de esforccedilos e anaacutelise plaacutestica Os meacutetodos de anaacutelise tecircm de

satisfazer as condiccedilotildees de equiliacutebrio e de compatibilidade e satildeo utilizados para verificaccedilatildeo aos

estados limites uacuteltimos

Eacute importante conhecer a ductilidade da estrutura atraveacutes da capacidade de rotaccedilatildeo plaacutestica nas

seccedilotildees para poder garantir a capacidade de deformaccedilatildeo necessaacuteria no meacutetodo de anaacutelise Para

a verificaccedilatildeo dos estados limites de serviccedilo de acordo com EC2 a anaacutelise linear elaacutestica eacute

suficiente Segundo o EC2 a anaacutelise linear deve ser aplicada na verificaccedilatildeo dos estados limites

de serviccedilo

31 Anaacutelise linear elaacutestica

Segundo o EC2 a anaacutelise linear elaacutestica pode ser utilizada na verificaccedilatildeo aos estados limites

uacuteltimos Esta anaacutelise estaacute baseada na hipoacutetese claacutessica da Resistecircncia de Materiais segundo a

qual existe uma proporcionalidade entre a solicitaccedilatildeo e a resposta tanto ao niacutevel da secccedilatildeo

como ao niacutevel da estrutura (proporcionalidade entre as accedilotildees e as flechas rotaccedilotildees reaccedilotildees e

esforccedilos) A anaacutelise com redistribuiccedilatildeo de esforccedilos eacute adequada para vigas contiacutenuas mas natildeo

deve ser utilizada no dimensionamento de pilares e poacuterticos No betatildeo armado os resultados



da anaacutelise linear elaacutestica soacute se aproximam da realidade fiacutesica se natildeo houver fendilhaccedilatildeo na

zona tracionada de betatildeo e na zona comprimida os niacuteveis de tensatildeo forem baixos o que

acontece apenas em serviccedilo e se a armadura se encontrar em fase elaacutestica Na fase de rotura

tanto o betatildeo como o accedilo jaacute teratildeo ultrapassado a sua fase elaacutestica sendo a anaacutelise natildeo linear

ou plaacutestica mais apropriada para a determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de esforccedilos Para efetuar esta

anaacutelise eacute soacute necessaacuterio conhecer as dimensotildees das seccedilotildees dos elementos que constituem a

estrutura e os materiais utilizados (Carmo 2004)

ldquoA anaacutelise elaacutestica admite um comportamento linear elaacutestico dos materiais com a manutenccedilatildeo

da rigidez constante em todo o processo e traduz muito aproximadamente o valor dos esforccedilos

instalados para niacuteveis de carga inferiores agrave carga de fendilhaccedilatildeo do betatildeo sendo aceitaacutevel a

sua aplicaccedilatildeo em fase de serviccedilo Jaacute em estado limite uacuteltimo fase em que tanto o accedilo como o

betatildeo ultrapassaram largamente o seu domiacutenio elaacutestico ou quase elaacutestico a anaacutelise natildeo linear

ou o caacutelculo plaacutestico parecem ser mais adequados agrave determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo dos esforccedilos

realmente produzidos nas secccedilotildees especiacuteficas A anaacutelise natildeo linear utiliza as leis constitutivas

reais dos materiais permitindo acompanhar a evoluccedilatildeo dos esforccedilos e deformaccedilotildees durante

todo o carregamento A sua aplicaccedilatildeo obriga no entanto a uma definiccedilatildeo rigorosa dos

paracircmetros envolvidos na anaacutelise sendo um processo delicado que como tal natildeo se justifica

nos dimensionamentos correntes O meacutetodo plaacutestico eacute particularmente simples possibilitando

natildeo soacute a verificaccedilatildeo da seguranccedila da estrutura como tambeacutem um preacute-dimensionamento das

estruturas correntesrdquo (Bastos 1997)

32 Anaacutelise natildeo linear

Aos materiais que tecircm comportamento natildeo linear eacute necessaacuterio caracterizar a relaccedilatildeo s-e O

comportamento de betatildeo armado eacute determinado pelo comportamento dos dois materiais

ߪ) minus ߝ do betatildeo e accedilo) que definem a relaccedilatildeo momento-curvatura (M-1r) das seccedilotildees e a

relaccedilatildeo carga-deslocamento

33 Anaacutelise plaacutestica

(Braestrup amp Nielsen 1993) concretizam os teoremas fundamentais da anaacutelise plaacutestica ldquoSe

existir uma possibilidade de uma estrutura romper sob uma solicitaccedilatildeo aplicada isso

verificar-se-aacute e poderaacute entatildeo concluir-se que a estrutura natildeo apresenta seguranccedilardquo (primeiro



princiacutepio) e ldquo se existir uma possibilidade da estrutura suportar uma determinada

solicitaccedilatildeo a Natureza encontraraacute a melhor forma de o conseguirrdquo (segundo princiacutepio)

ldquoAssim se o engenheiro encontrar um caminho uacutenico que seja de transferecircncia das acccedilotildees

aplicadas para os apoios poderaacute concluir da estabilidade da estruturardquo

A anaacutelise plaacutestica assume que os materiais tecircm um comportamento elasto-plaacutestico As

deformaccedilotildees elaacutesticas satildeo desprezaacuteveis quando comparadas com as deformaccedilotildees plaacutesticas ldquoA

definiccedilatildeo de comportamento plaacutestico surge quase como oposiccedilatildeo agrave definiccedilatildeo de

comportamento elaacutestico Comportamento elaacutestico pressupotildee que as deformaccedilotildees satildeo

proporcionais agraves acccedilotildees e que as deformaccedilotildees satildeo imediatamente anuladas quando as accedilotildees

satildeo retiradas da estrutura Comportamento plaacutestico pressupotildee que natildeo existe uma

proporcionalidade entre as deformaccedilotildees e as accedilotildees e que as deformaccedilotildees satildeo irreversiacuteveis

Um comportamento perfeitamente plaacutestico tem a particularidade das deformaccedilotildees plaacutesticas

aumentaram para uma accedilatildeo de valor constante Por simplificaccedilatildeo por vezes supotildee-se que os

elementos de betatildeo armado tecircm um comportamento elasto-plaacutestico perfeitordquo (Carmo 2004)

Figura 31 mostra uma anaacutelise elasto-plaacutestica de uma viga contiacutenua submetida a cargas

pontuais nos dois tramos Mapoio eacute o momento que provoca a plastificaccedilatildeo da secccedilatildeo sobre

apoio intermeacutedio e Mvatildeo eacute o momento que provoca a plastificaccedilatildeo das secccedilotildees a meio vatildeo do

tramo O primeiro diagrama resulta da consideraccedilatildeo de que os materiais tecircm um

comportamento linear elaacutestico enquanto que o segundo diagrama ocorre devido agrave formaccedilatildeo de

uma roacutetula plaacutestica na secccedilatildeo do apoio secccedilatildeo agora com um comportamento perfeitamente

plaacutestico e da consideraccedilatildeo de que a restante estrutura tem um comportamento linear elaacutestico

ateacute ao instante em que se formam mais duas roacutetulas plaacutesticas (mecanismo de colapso) Neste

modelo admite-se que para cargas superiores agrave que originou a formaccedilatildeo da primeira roacutetula

plaacutestica a viga comporta-se natildeo como uma viga contiacutenua mas sim como duas vigas

simplesmente apoiadas ligadas entre si por uma roacutetula de momento constante




anaacutelise linear elaacutestica e elasto-plaacutestica (Carmo 2004)

Em materiais duacutecteis com um pronunciado patamar de cedecircncia e uma tensatildeo limite de

proporcionalidade proacutexima da tensatildeo de cedecircncia como o accedilo macio pode admitir-se uma lei

constitutiva idealizada como se indica na figura (Figura 32) Um comportamento reoloacutegico

designado por elaacutestico perfeitamente plaacutestico

Figura 32 - Comportamento reoloacutegico elaacutestico perfeitamente plaacutestico

A extensatildeo correspondente ao patamar de cedecircncia eacute de uma maneira geral um muacuteltiplo da

extensatildeo maacutexima em regime elaacutestico Por exemplo num accedilo macio a cedecircncia inicia-se com

uma extensatildeo de aproximadamente 01 e o endurecimento comeccedila a verificar-se para

ߝ ͳǤͷΨǤ A extensatildeo de cedecircncia eacute neste caso 14 vezes superior agrave extensatildeo em regime



elaacutestico Devido a esta alteraccedilatildeo o comportamento da estrutura modifica-se ou seja nos

elementos em que a cedecircncia se atinge em primeiro lugar a tensatildeo manteacutem-se com esse valor

ateacute ao colapso da estrutura desde que natildeo haja decreacutescimo de deformaccedilatildeo (Silva 1999)

34 Ductilidade do das secccedilotildees

ldquoOs paracircmetros que influenciam a ductilidade das secccedilotildees satildeo

sect O grau de confinamento da zona comprimida de betatildeo introduzido pelos estribos

especialmente importante em betotildees de fraca resistecircncia (Rݑሷ sch e Stሷ ref em

(Leondhardt 1979)) exerce um efeito favoraacutevel na capacidade de rotaccedilatildeo das secccedilotildees

promovendo uma mais valia da extensatildeo maacutexima do betatildeo agrave compressatildeo depois de

atingida a tensatildeo de escoamento do accedilo sob carga quase constante o que corresponde

a uma deformaccedilatildeo de roacutetula ideal

sect A aderecircncia accedilo betatildeo a diminuiccedilatildeo da aderecircncia nas zonas em que o accedilo atinge a

cedecircncia ndash o aumento raacutepido da extensatildeo longitudinal e a contracccedilatildeo transversal do

varatildeo em cedecircncia originam uma diminuiccedilatildeo do atrito entre este e o betatildeo circundante

com reduccedilatildeo significativa da aderecircncia entre os dois materiais ndash produz uma raacutepida

progressatildeo da zona de cedecircncia que poderaacute afectar a capacidade de rotaccedilatildeo da secccedilatildeo

(Bigaj e Walraven 1993)

sect A altura da secccedilatildeo influencia por efeito de escala a capacidade de rotaccedilatildeo que

segundo Hillerborg (ref em Bigaj e Walraven 1993) vem inversamente proporcional

agrave altura da secccedilatildeo No entanto estudos mais recentes realizados por Alca et al (1997)

sobre vigas de altura varaacutevel de betatildeo de alta resistecircncia natildeo permitiram verificar tal

influecircncia

sect O efeito da deformaccedilatildeo por esforccedilo transverso nas zonas de aplicaccedilatildeo de cargas

concentradas (ou nos apoios) desenvolve-se uma fissuraccedilatildeo em forma de leque

decorrente do comportamento de treliccedila (Figura 33) que conduz a um aumento das

deformaccedilotildees da armadura de tracccedilatildeo deixando de se verificar a correspondecircncia

directa entre o momento flector na secccedilatildeo e o correspondente esforccedilo na armadura

longitudinal Leondhardt 1979 nos ensaios de Sttugart sobre vigas de dois tramos

verificou por mediccedilatildeo das extensotildees sobre os varotildees que a tensatildeo na armadura se

mantinha aproximadamente constante num comprimento igual agrave altura da secccedilatildeo para

cada lado da secccedilatildeo do apoio intermeacutedio (o que justifica a imposiccedilatildeo regulamentar da

translaccedilatildeo do diagrama da forccedila na armadura longitudinal de tracccedilatildeo) diminuindo

depois parabolicamente Este efeito daacute origem a um maior comprimento de



plastificaccedilatildeo da armadura o que eacute acompanhado de um estrangulamento da zona

comprimida de betatildeo com aumento da sua extensatildeo naquelas secccedilotildees


armadura de tracccedilatildeo (Leondhardt 1979)

sect A esbelteza da peccedila (relaccedilatildeo entre o comprimento e a altura da secccedilatildeo) que governa a

relaccedilatildeo entre as deformaccedilotildees das fibras a curvatura da secccedilatildeo e a rotaccedilatildeo global ndash

para vigas de altura constante o comprimento da roacutetula plaacutestica aumenta com o

aumento do vatildeo ( (Scholz 1993) Calvi et al 1993)

sect A forma do diagrama de momentos o comprimento da roacutetula seria teoricamente igual

ao da zona de momento constante Assim no caso de uma peccedila submetida a flexatildeo

circular a roacutetula estender-se-ia a todo o comprimento da peccedila Verifica-se na

realidade que as maiores rotaccedilotildees concentram-se nas zonas mais fissuradas formando-

se aiacute roacutetulas muacuteltiplas cujo comprimento segundo as observaccedilotildees de Dilger (ref em

Leonhardt 1979) eacute igual ou superior agrave altura da secccedilatildeordquo (Bastos 1997)

35 Lei constitutiva

A lei constitutiva define o comportamento reoloacutegico do material isto eacute estabelece as relaccedilotildees

entre os tensores das tensotildees e das extensotildees A reologia do material eacute condicionada pelos

complexos fenoacutemenos fiacutesicos que acontecem ao niacutevel do aacutetomo da moleacutecula do cristal etc



Uma vez que a quantificaccedilatildeo do comportamento do material ainda natildeo pode ser feita por via

dedutiva tem que utilizar-se a via fenomenoloacutegica baseada em ensaios experimentais A lei

constitutiva eacute a componente potencialmente mais complexa da relaccedilatildeo forccedila-deslocamento

uma vez que pode ser condicionada por diversos factores tais como plasticidade viscosidade

viscoelasticidade anisotropia etc Em Engenharia Civil os materiais mais utilizados satildeo os

materiais resistentes como accedilo e betatildeo que podem ser considerados de comportamento

isotroacutepico com as mesmas caracteriacutesticas em todas as direcccedilotildees ou satildeo simeacutetricas em relaccedilatildeo

a um plano de orientaccedilatildeo arbitraacuteriardquo (Silva 1999)

O conceito pode ser entendido com modelos fiacutesicos de comportamento O comportamento

elaacutestico pode ser facilmente entendido imaginando uma mola agrave qual se aplicou um esforccedilo

Quando se aplica a forccedila a mola deforma-se aumentando essa forccedila aumenta a deformaccedilatildeo e

retirando a forccedila a mola recupera as dimensotildees iniciais (Figura 34)

Figura 34 - Modelo fiacutesico para o comportamento elaacutestico e plaacutestico

A relaccedilatildeo entre a forccedila na mola e a sua deformaccedilatildeo eacute a mesma quer a forccedila esteja a aumentar

ou a diminuir isto eacute o seu comportamento eacute o mesmo em fase de carga e em fase de

descarga Se a forccedila for proporcional agrave deformaccedilatildeo a lei constitutiva do modelo eacute (K-

constante)

ܨ ൌ ܭ ൈ ߜ ߪ ൌ ߝܧ (Lei de Hooke) (15)

Um comportamento elaacutestico perfeitamente plaacutestico pode modelar-se juntando em seacuterie o

modelo elaacutestico com o modelo plaacutestico (Figura 35)



Figura 35 - Modelo de comportamento elaacutestico perfeitamente plaacutestico

As leis constitutivas unidimensionais agraves deformaccedilotildees instantacircneas (Figura 36 e 37)

Lei elaacutestica perfeitamente plaacutestica de accedilo de construccedilatildeo

(16)

Figura 36 - Diagrama bilinear de tensotildees-extensotildees

Lei natildeo linear (paraacutebola ndash rectacircngulo) para betatildeo comprimido

൜ ߪ ൌ ሺߝ െ ʹͷͲߝଶሻൈ ͳͲଷߝݏ ͲǤͲͲʹߪ ൌ ʹͲǤͲͲݏ ߝ ͲǤͲͲ͵ͷ (17)

icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy



36 Meacutetodo dos Elementos Finitos

O Meacutetodo dos Elementos Finitos (MEF) eacute um meacutetodo de anaacutelise matemaacutetica que consiste na

discretizaccedilatildeo de um meio contiacutenuo em elementos finitos cada um mantendo as mesmas

caracteriacutesticas originais Os elementos satildeo descritos por equaccedilotildees diferenciais e resolvidos

pelos modelos matemaacuteticos para que sejam obtidos os resultados desejados Este meacutetodo teve

origens no final do seacuteculo XVIII quando Gauss propocircs a utilizaccedilatildeo de funccedilotildees para a soluccedilatildeo

de problemas matemaacuteticos e pouco evoluiu devido agrave dificuldade e agrave limitaccedilatildeo existente no

processamento de equaccedilotildees algeacutebricas Mais tarde por volta de 1950 os avanccedilos tecnoloacutegicos

na computaccedilatildeo permitiram o desenvolvimento deste tipo de anaacutelise No ano de 1956 Ray

Clough Turner Topp e Martins trabalhando num projecto de aeronaves para a Boeing

sugeriram um meacutetodo de anaacutelise estrutural similar ao MEF Em 1960 estes autores

utilizaram pela primeira vez o nome de Meacutetodo dos Elementos Finitos descrevendo-o A

partir de entatildeo esta anaacutelise foi sendo aplicada em diversas aacutereas da Engenharia e outras afins

(Lotti et al 2006)

Actualmente verifica-se que a maioria dos projectistas em engenharia civil procuram um

software intuitivo para a obtenccedilatildeo de resultados crediacuteveis na anaacutelise dos elementos da

estrutura Uma introduccedilatildeo agrave correspondente programaccedilatildeo em software constitui certamente

um factor que conduziraacute um futuro projectista a uma utilizaccedilatildeo mais segura dos programas de

anaacutelise de estruturas

37 A relaccedilatildeo constitutiva da elasticidade para estados planos de

tensatildeo

As relaccedilotildees tensotildees - deformaccedilotildees deduzem-se da equaccedilatildeo constitutiva da elasticidade

tridimensional

௫ߝ = ఙఔtimes൫ఙାఙ൯ா ௬ߝ = ఙఔtimesሺఙାఙሻ

ா ௭ߝ = ఙఔtimes൫ఙାఙ൯ா

௫௬ߛ = ଶtimesሺଵାఔሻா ௫௬ ௫௭ߛ = ଶtimesሺଵାఔሻ

ா ௫௭ ߛ௬௭ = ଶtimesሺଵାఔሻா ௬௭ (18)

E ndash Moacutedulo de elasticidade ndash coeficiente de poisson



A relaccedilatildeo matricial entre tensotildees e deformaccedilotildees ߪ = ܦ times σߝ = D times ε onde D eacute a matriz

constitutiva que eacute simeacutetrica

ܦ = ଵଵ ଵଶ 0ଶଵ ଶଶ 00 0 ଷଷ

൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە

௫ߝۓ = ఙఔ(ఙ)

ா

௬ߝ = ఙజ(ఙ)ா

ఊݕݔୀమtimes(భషഌ)ಶ

ఌୀഔtimes൫శ൯ಶ

(20)

Resolvendo as trecircs primeiras equaccedilotildees anteriores (20) da relaccedilatildeo entre as trecircs tensotildees

(sxsysz) e as correspondentes deformaccedilotildees obtecircm-se

௫ߪ = ாtimes൫ఌାఔఌ൯ଵఔమ ௬ߪ = ாtimes൫ఌାఔఌ൯

ଵఔమ ௫௬ = ܧ2ߥminus1 ௫௬(21)ߛ

Modificando o valor de sx e sy na expressatildeo de ez obtida na equaccedilatildeo (20) conclui-se

௭ߝ = ߥminus times ൫ߝ௫ + ௬൯(22)ߝ

A deformaccedilatildeo transversal ez pode obter-se a partir da funccedilatildeo ex e ey Estados planos de

deformaccedilatildeo

ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە

ۓ ݔߝ = ൯ݖߪ+ݕߪ൫timesߥminusݔߪ

ܧݕߝ = ሻݖߪ+ݔߪሺtimesߥminusݕߪ

ܧ = 0ݖߝ = ൯ݕߪ+ݔߪ൫timesߥminusݖߪ

ܧ = 0ݕݔߛ = 2timesሺ1+ߥሻ

ܧ ݕݔݖݔ = ݖݕ = 0

(23)

Da condiccedilatildeo em ez deduz-se que ௭ߪ = ௫ߪ)ߥ + ௬) Ao substituir este valor nas equaccedilotildeesߪ



E resolvendo-as em funccedilatildeo de ex ey τxy chega-se a (24)

ە

௫ߪۓ = ாtimesሺଵఔሻሺଵାఔሻሺଵଶఔሻ times ቀߝ௫ + ఔ

ଵఔ ௬ቁߝ

௬ߪ = ாtimesሺଵఔሻሺଵାఔሻሺଵଶఔሻ times ቀߝ௬ + ఔ

ଵఔ ௫ቁߝ௫௬ = ா

ଶtimes(ଵାఔ)ߛ௫௬

(24)

Sendo assim obtida a matriz da elasticidade D para estado planos de deformaccedilatildeo (Simotildees

2006)

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 4 AS VERIFICACcedilOtildeES AOS ESTADOS LIMITES DO EC2


4 AS VERIFICACcedilOtildeES AOS ESTADOS LIMITES DO EC 2

As bases de caacutelculo utilizadas no dimensionamento e as verificaccedilotildees dos elementos de betatildeo

armado (vigas pilares e fundaccedilotildees) seguem o EC2 Projecto de estruturas de betatildeo ndash Parte 1-

1 Regras gerais e regras para edifiacutecios (Gonccedilalves 2008)

O regulamento permite ao projectista tirar partido da ductilidade do elemento de betatildeo armado

na anaacutelise e dimensionamento aos estados limites uacuteltimos ao considerar possiacutevel os vaacuterios

tipos de anaacutelise atraacutes mencionadas

41 Bases para o caacutelculo

411 Estados limites

Os dois tipos de estados limites satildeo considerados na verificaccedilatildeo de seguranccedila

4111 Estado limite uacuteltimo (ELU)

O estado limite uacuteltimo diz respeito ao colapso da estrutura ou outra forma de ruiacutena estrutural

que determine a paralisaccedilatildeo no todo ou em parte do funcionamento da mesma

4112 Estado limite de serviccedilo (ELS)

O estado limite de serviccedilo relaciona-se com a durabilidade da estrutura aparecircncia fiacutesica

conforto e boa utilizaccedilatildeo funcional da mesma

412 Materiais

A viga de betatildeo armado eacute constituiacuteda por betatildeo e accedilo As suas relaccedilotildees tensatildeo-extensatildeo satildeo

determinadas a partir dos valores caracteriacutesticos das tensotildees de rotura tensotildees de cedecircncia e

extensotildees desses materiais



413 Betatildeo

No dimensionamento de secccedilotildees transversais o Eurocoacutedigo-2 propotildee trecircs leis distintas para as

relaccedilotildees tensotildees-extensotildees ߪ െ ߝ de caacutelculo do betatildeo agrave compressatildeo No presente estudo

utilizou-se a relaccedilatildeo tensatildeo-extensatildeo paraacutebola-rectacircngulo (Figura 41) definida pelas

equaccedilotildees (25) e (26)

ߪ ൌ ௗ ቂͳ െ ቀͳ െ ఌఌమ

ቁቃ ݎͲ ߝ ଶߝ (25)

ߪ ൌ ௗ ߝݎଶ ߝ ௨ଶߝ (26)

O valor do paracircmetro ߝ௨ଶ depende da classe do betatildeo e encontra-se indicado no quadro do

EC2 do seu anexo Tendo em conta o valo de ௨ଶߝ ൌ ͵ǤͷΨo para classes inferiores a C5060

Figura 41- Diagrama paraacutebola-rectacircngulo para o betatildeo comprimido



414 Accedilo

Existem dois tipos distintos de diagramas tensatildeo-extensatildeo de caacutelculo para a armadura

ordinaacuteria ambos satildeo referidos no Eurocoacutedigo-2 (Figura 42)

sect Diagrama bi-linear com o segundo ramo horizontal

sect Diagrama bi-linear com o segundo ramo inclinado ateacute uma extensatildeo limite ߝ௨ௗ

O declive do segundo ramo eacute definido pelos pontos (ߝ௬ௗ ǡ ௬ௗሻሺߝ௨ǡ ௬ ௦ሻΤߛ

A forma analiacutetica para o diagrama tensatildeo-extensatildeo ߪ െ do accedilo para o primeiro caso eacute dada ߝ

por

ߪ ൌ ቊͲݏߝ௦ܧ ߝ ௬ௗߝ

௬ௗ ܧ൫ߝ െߝ௬ௗΤ ൯ߝݏ௬ௗ ߝ ௨ௗߝ(27)

Es eacute o moacutedulo de Young de accedilo igual a 200 GPa e ߝ௬ௗ eacute o valor de caacutelculo da extensatildeo

correspondente agrave tensatildeo de cedecircncia do accedilo dada pela relaccedilatildeo ௬ௗȀܧ௦ ߝ௨ௗ eacute o valor de caacutelculo

da extensatildeo limite que se assumiu ser igual a 90 do valor caracteriacutestico da extensatildeo uacuteltima

ie ͲǤͻߝ௨ ߛ௦ eacute o factor parcial para accedilo igual a 115

Figura 42 - Diagrama tensotildees-extensotildees para o accedilo (traccionado e comprimido)

415 A ductilidade e redistribuiccedilatildeo de esforccedilos

Os vaacuterios regulamentos (EC-2 e REBAP) permitem a utilizaccedilatildeo da anaacutelise linear elaacutestica

seguida de uma reduccedilatildeo dos momentos maacuteximos negativos por meio de coeficientes de

redistribuiccedilatildeo ߜ e de ajuste dos esforccedilos nas restantes secccedilotildees de modo a haver equiliacutebrio

estaacutetico A ductilidade depende fundamentalmente da percentagem das armaduras ou os

coeficientes de redistribuiccedilatildeo o paracircmetro xd distacircncia do eixo neutro agrave fibra mais



comprimida sobre altura uacutetil da secccedilatildeo e o efeito da geometria da secccedilatildeo inclui as

propriedades mecacircnicas dos materiais

As disposiccedilotildees regulamentares de dimensionamentos e disposiccedilotildees construtivas para

assegurar que a estrutura tenha o comportamento apropriado relativamente ao modelo

idealizado no dimensionamento consideram alguns criteacuterios

sect Determinem limites agrave profundidade da linha neutra xd em funccedilatildeo do niacutevel de

redistribuiccedilatildeo de esforccedilos que se pretende

sect Definem classes de ductilidade para os accedilos e condicionam o uso dos accedilos menos

duacutecteis a determinados tipos de anaacutelise

sect Determinem limites maacuteximo e miacutenimo agrave taxa de armadura longitudinal de tracccedilatildeo

relativamente ao comportamento duacutectil

No Eurocoacutedigo-2 secccedilatildeo 55 uma anaacutelise linear elaacutestica com redistribuiccedilatildeo limitada no caso

de vigas contiacutenuas que tecircm uma relaccedilatildeo entre vatildeos adjacentes entre 05 e 2 a redistribuiccedilatildeo

dos momentos fletores pode ser efetuada sem uma verificaccedilatildeo expliacutecita da capacidade de

rotaccedilatildeo desde que (Quadro 41)

Quadro 41 ndash Coeficientes de redistribuiccedilatildeo segundo o Eurocoacutedigo-2

Coeficiente de redistribuiccedilatildeo (ߜ) Resistecircncia do betatildeo Accedilo

ߜ ge ଵ + ଶݔ le ܯ50

ߜ ge ଷ + ସݔ gt ܯ50

ߜ ge ହ = 07 Armaduras da classe B e C

ߜ ge = 08 Armaduras da classe A

Os valores de ଵ ଶ ଷ ସ ହ satildeo dados no respectivo Anexo Nacional

ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054

Para o caacutelculo de redistribuiccedilatildeo de momentos de vigas de ensaios (Bastos 1997)



O EC2 permite o caacutelculo de redistribuiccedilatildeo o que implica multiplicar os momentos flectores de

cada extremidade por um coeficiente de redistribuiccedilatildeo (ߜ) pelo que o resultado eacute o momento

redistribuiacutedo variando o coeficiente de redistribuiccedilatildeo entre 07 e 1 o objectivo eacute reduzir o

valor do momento flector nos apoios e aumentar a meio vatildeo (Figura 43)


2008)

O coeficiente de redistribuiccedilatildeo a multiplicar pelo momento flector do respectivo apoio deve

ser

ߜ ଵܭ ܭଶ ൈ ೠௗ para ͷͲܯ (28)

Os valores de K1 e K2 a utilizar satildeo indicados no respectivo anexo Nacional (ver Figura 53)

ೠௗ ͲǤͶͷ (29)

ͲǤ ߜ ͳ (30)

Versatildeo de EC2-2009 natildeo tem a limitaccedilatildeo imposta na equaccedilatildeo (30)

Os passos de caacutelculo da distribuiccedilatildeo de uma forma iterativa satildeo

ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)

ௗ௦௧Ǥܯ ൌܯ௦ௗ ൈ ߜ (34)



No seguinte Quadro 42 representa os valores reduzidos calculados pela tabela e aacutebacos de

dimensionamento de acordo com o EC 2 (Helena Barros e Joaquim Figueiras)

Quadro 42 ndash Valor reduzido do momento flector resistente de caacutelculo

Flexatildeo simples duplamente armada Viga 1 Viga 2

Momento no apoio (Msd (kNm)) -490 -290

Aacuterea da secccedilatildeo rectangular (A (cm2)) 015 times 022 015 times 022Aacuterea das armaduras (As (cm2)) 402 804

Valor reduzido do momento flector

resistente de caacutelculo (ߤ)0366 0217

Altura reduzida da linha neutra (ߙ) 06034 03072

No quadro 43 obteve-se o valor de caacutelculo para o momento de redistribuiccedilatildeo pelo coeficiente

(ߜ) para as vigas de ensaios pelo EC 2


de viga

Vigas de ensaios Viga 1 Viga 2

Altura uacutetil da secccedilatildeo (d) 0185 0185

Profundidade do eixo neutro no estado limite

uacuteltimo apoacutes redistribuiccedilatildeo (௨)0112 0057

K1 044 044

Extensatildeo uacuteltima (ߝ௨ଶ) 35 o 35 o

K2 125 125

Coef Distribuiccedilatildeo (ߜ) 1194 082

Momento de redistribuiccedilatildeo

(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390

Para a viga V1 o coeficiente de distribuiccedilatildeo eacute maior que um logo natildeo se verifica a sua

capacidade de rotaccedilatildeo nesse apoio

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 5 ESTUDO EXPERIMENTAL EXISTENTE SOBRE VIGAS


5 ESTUDO EXPERIMENTAL EXISTENTE SOBRE VIGAS

O estudo pretende que as vigas contiacutenuas sejam representativas em termos de comportamento

estrutural de uma parte de estrutura de maior dimensatildeo apresentada como na Figura 51

Figura 51 ndash Anaacutelise de estrutura como viga contiacutenua (Carmo 2004)

Apresenta-se um resumo do estudo de um modelo experimental exposto na tese de

doutoramento intitulada ldquoAplicaccedilatildeo de teoria da plasticidade ao dimensionamento de peccedilas

lineares de betatildeo em estado uacuteltimo de resistecircnciardquo (Bastos 1997) Indica-se uma anaacutelise de

vigas contiacutenuas de betatildeo armado dimensionadas segundo os esforccedilos elaacutesticos e com uma

redistribuiccedilatildeo de 50 do momento flector de continuidade



51 Caracteriacutesticas do modelo de ensaio

A viga contiacutenua de dois tramos com o comprimento de 14 m entre apoios (Figura 52 e

Figura 53) de secccedilatildeo rectangular bx h = 015x022 m2 solicitada por duas cargas simeacutetricas

aplicadas a um terccedilo do comprimento do vatildeo relativamente ao apoio central que introduzem

momentos elaacutesticos no apoio de aproximadamente o dobro do valor dos correspondentes

maacuteximos nos vatildeos (Bastos 1997)

Figura 52ndash Esquema do ensaio Diagrama dos momentos flectores elaacutesticos

Realizaram-se os dois ensaios muito lentamente com vaacuterios incrementos de carga de valor

aproximadamente igual a 5 kN com intervalos aproximados no iniacutecio do carregamento para

detecccedilatildeo da carga de fendilhaccedilatildeo e na fase final para observaccedilatildeo do mecanismo de rotura

Ocorreram os dois ensaios de duas vigas V1 e V2 de caracteriacutesticas parecidas (Quadro 51)

diferindo apenas na armadura longitudinal na viga V1 concordando com o diagrama elaacutestico

No segundo modelo viga V2 as armaduras foram invertidas de modo a originar uma

redistribuiccedilatildeo de 50 no vatildeo e no apoio da viga (Figura 53)

Quadro 51 - A percentagem e os varotildees da armadura longitudinal das duas vigas ensaiadas

viga V1 viga V2

Armadura longitudinal (mm) 2Oslash16 4Oslash16

Percentagem da armadura longitudinal () 145 29

Armadura transversal nos dois segmentos centrais 2Oslash8 mm 5 cm

Armadura transversal entre as cargas e o apoio central 2Oslash6 mm12 cm



Figura 53 - Armaduras das vigas dos ensaios

511 Propriedades dos materiais de ensaio

O Quadro 52 representa as caracteriacutesticas das armaduras utilizadas nos ensaios de viga 1 e 2

Quadro 52 - Caracteriacutesticas do accedilo utilizado nos varotildees longitudinais e transversais

Accedilo fy (MPa) ft (MPa) ftfy Es (GPa) eu (o)

Varotildees longitudinais (Oslash16 mm) 440 827 18 200 157

Varotildees transversais (Oslash8 mm Oslash6 mm) 350 ou 370 455 ou 450 200

No comportamento agrave traccedilatildeo a armadura exibiu uma longa deformaccedilatildeo ateacute a rotura portanto de

caracteriacutesticas especialmente indicadas para o objectivo em causa isto eacute com uma ductilidade

suficiente para que fosse alcanccedilada a redistribuiccedilatildeo de momentos pretendida (Figura 54)

Figura 54 - Diagrama de traccedilatildeo da armadura de flexatildeo



As propriedades mecacircnicas do betatildeo usado no ensaio das vigas (Quadro 53) A resistecircncia do

betatildeo agrave compressatildeo (fck) tem um valor aproximado e a resistecircncia meacutedia do betatildeo agrave tracccedilatildeo

determinada a partir da resistecircncia agrave compressatildeo (fctm) (Bastos 1997)

Quadro 53 - A caracteriacutestica do betatildeo utilizado no ensaio

Betatildeo fck (MPa) fctm (MPa)

Resistecircncia agrave compressatildeo 2595 ---

Resistecircncia meacutedia agrave traccedilatildeo --- 827

512 Instrumentos utilizados dos ensaios

LVDT montados A determinaccedilatildeo das rotaccedilotildees no meio das secccedilotildees transversais distanciadas

de 565 cm o sistema foi localizado simetricamente em relaccedilatildeo agrave secccedilatildeo a meio vatildeo O tipo de

equipamento de laboratoacuterio de estruturas para os ensaios comparadores indutivos de

deslocamento (LVDT) ceacutelulas de carga e extensoacutemetros eleacutectricos de resistecircncia (Figura 44)

A instrumentaccedilatildeo ligada a um sistema de aquisiccedilatildeo multicanal de registo semi-contiacutenuo (HP

3497A) e ligado a um computador de acesso a toda informaccedilatildeo do processo Os

deslocamentos nas secccedilotildees criacuteticas e rotaccedilotildees no apoio entre os vatildeos foram medidos durante

os ensaios para a viga V2 (Figura 55) e para a viga V1 atraveacutes de ceacutelula de carga e as

extensotildees na armadura longitudinal superior a meio vatildeo por meio de extensoacutemetros

eleacutectricos colados nos varotildees antes da sua moldagem Na Figura 55 as abraccediladeiras

metaacutelicas transversais distanciadas de 565 cm ligadas por barras metaacutelicas proacuteximas das

faces superiores e inferior das vigas satildeo para a determinaccedilatildeo das rotaccedilotildees os comparadores

indutivos que foram integrados desse sistema Nas extremidades das barras tinham liberdade

de rodar no interior de dois veios possibilitando a mediccedilatildeo dos deslocamentos no meio das

secccedilotildees transversais pelos da viga

Figura 55 - Aspecto de ensaio e instrumento utilizado para a viga V2 (Bastos 1997)



513 Comportamento teoacuterico dos modelos dos ensaios

A viga V1 mostra a formaccedilatildeo quase simultacircnea das roacutetulas plaacutesticas nos vatildeos e no apoio Apoacutes

uma ligeira redistribuiccedilatildeo formar-se-ia a segunda roacutetula no vatildeo depois de um acreacutescimo de

carga (Quadro 54) para a carga uacuteltima (a) A viga V2 com armaduras dimensionadas para

uma redistribuiccedilatildeo de 50 do momento de continuidade a formaccedilatildeo da primeira roacutetula sobre

o apoio central (b)

Quadro 54 ndash Dimensionamento segundo o diagrama elaacutestico

1ordm Roacutetula (apoio central) Acreacutescimo de carga 2ordm Roacutetula (vatildeo)

F = F1ordfrot (kN) (apoio central) DF (kN) Fu (kN)

Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225

Figura 56 - Momentos resistentes uacuteltimos das vigas (Bastos 1997)

514 Descriccedilatildeo dos ensaios e resultados da viga V1 e V2

A viga V1 atingiu a rotura sob a carga Fuexp cerca de 75 do valor teoricamente esperado

por esgotamento da secccedilatildeo de um dos vatildeos (

Figura 57 (a)) Verificou-se a formaccedilatildeo de fendas obliacutequas que convergiam para o apoio

central acompanhadas de fendas verticais de flexatildeo sobre o apoio e nos vatildeos (

Figura 57 (b)) Na viga V2 a carga maacutexima foi de 224 kN o valor aproximou-se da carga

maacuteximateoacuterica (225 kN) obtida por caacutelculo plaacutestico traduzindo quase completa do

mecanismo A carga criacutetica Fcr = 415 kN a fendilhaccedilatildeo iniciou-se na viga V2 com as fendas



verticais de flexatildeo na secccedilatildeo do apoio central e prolongaram a toda altura da viga (Figura

59)

Quadro 55 ndash Resultados obtidos dos ensaios das vigas

Resultados obtidos

Fuexp (kN) Futeo(kN) Fuexp Futeo

Ensaio da viga V1 150 201 075


A rotura foi originada pela progressatildeo das fendas obliacutequas mais acentuadas no vatildeo direito

que se estenderam a toda a altura da viga fazendo diminuir drasticamente a altura do bloco

comprimido e conduzindo ao esgotamento da zona junto agrave aplicaccedilatildeo da carga desse vatildeo

(a) (b)

Figura 57- Aspecto do ensaio e rotura para a viga V1 (Bastos 1997)

Na figura (Figura 58 (a)) pode visualizar-se do comportamento da viga V1 pelo diagrama

cargas-flechas medidas nos pontos de aplicaccedilatildeo das cargas com valores superiores nas

flechas do vatildeo direito A diferenccedila encontrada a partir da ܨ ൎ ͵Ͳ faz pressupor um

assentamento inicial por ajuste dos dispositivos de apoio que depois deixou de se manifestar

Em cada tramo para a carga maacutexima atingida Fuexp = 150 kN verifica-se no apoio central os

valores das extensotildees medidas sobre varotildees da armadura obtidas por meio de extensoacutemetros

eleacutectricos neles instalados (Figura 58 (b))




V1 (b) Extensotildees (permil) na armadura superior (Bastos 1997)

Figura 59 - Aspecto da rotura de ensaio V2 (Bastos 1997)

Com o valor do esforccedilo transverso Vteor = 97 kN a plastificaccedilatildeo da secccedilatildeo do apoio central

iniciou-se e desenvolveu-se simetricamente para ambos os lados daquela secccedilatildeo

515 Esforccedilos em rotura (Viga V1)

Os deslocamentos relativos entre S1 e S2 foram calculados para a carga maacutexima atingida os

correspondentes valores meacutedios das extensotildees de tracccedilatildeo e de compressatildeo no betatildeo estatildeo

representados na Figura 510




(Bastos 1997)

Valores meacutedios das extensotildees de tracccedilatildeo ߝ௦ ൌ οೞబ

Valores meacutedios de compressatildeo no betatildeo ߝ ൌ οబ

ሺ ൌ ͷǤͷሻ


obtido do ensaio de V1 (Fuexp = 150 kN e Melast=-384 kNm) (Bastos 1997)

Momento maacuteximo no apoio ܯ௫ ൌܯௗ Ǥହସ ௦௧ ൌ Ͷ͵ǤʹO valor encontrado eacute superir (12) ao momento elaacutestico M = 384 kNm

O diagrama das deformaccedilotildees meacutedias (Figura 512) mostra o momento meacutedio entre as mesmas

secccedilotildees e as caracteriacutesticas mecacircnicas reais dos materiais vem Mumeacuted = 350 kNm o valor

superior ao momento meacutedio obtido a partir do diagrama experimental




A extensatildeo meacutedia obtida foi ߝ௦ǡplusmnௗ ൌ ͳǤͶ ௦ǡplusmnௗሺ୶୮ሻߝgt0 ൌ ʹǤͷpermil

516 Os valores das extensotildees meacutedias da armadura

A determinaccedilatildeo do valor mais correcto da extensatildeo meacutedia da armadura ߝ௦ cuja expressatildeo

indicada pelo EC2 traduz o diagrama ߪ െ ߝ do accedilo em betatildeo armado fendilhado e eacute dada por

௦ߝ ൌߝ௦ ൌ ఙೞாೞ

ͳ െ ଶߚଵߚ ቀఙೞఙೞ

ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)



Os novos valores das extensotildees meacutedias da armadura nas secccedilotildees mais significativas indicam-

se no Quadro 56

Quadro 56 ndash Os valores das extensotildees na armadura de tracccedilatildeo

M (kNm) ௦(0)ߝ - Sem contribuiccedilatildeo do betatildeo ௦(0)ߝ - Com contribuiccedilatildeo do betatildeo

-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381

No Quadro 57 resumem-se os valores da extensatildeo da armadura de flexatildeo entre secccedilotildees S1 (ou

S2) e S0 determinados para as diferentes hipoacuteteses consideradas

Quadro 57 ndash Valores da extensatildeo meacutedia na zona de referecircncia (entre as secccedilotildees S1 e S0)

௦eacuteௗߝ (permil) - Sem

contribuiccedilatildeo do betatildeo

௦eacuteௗߝ (permil) - Com contribuiccedilatildeo

do betatildeo

sem translaccedilatildeo de Mz 14 13

com translaccedilatildeo de Mz 32 29

517 Comparaccedilatildeo dos resultados obtidos nos ensaios das duas

vigas V1 e V2

Os valores da carga de rotura obtidos experimentalmente nos ensaios das vigas V1 e V2 satildeo

comparados com os valores teoacutericos no Quadro 58

Quadro 58 ndash Comparaccedilatildeo dos resultados e experimentais (Vigas V1 e V2)

Carga de rotura

experimental ()௨௫ܨCarga de rotura

teoacuterica ௨ܨ ௧oacute() ௨௧oacuteܨ௨௫ܨ

Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099



Na Figura 513 representam-se das curvas cargas-flechas das vigas V1 e V2


1997)

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 6 MODELACcedilAtildeO NUMEacuteRICA


6 MODELACcedilAtildeO NUMEacuteRICA

A modelaccedilatildeo numeacuterica das vigas descritas no capiacutetulo anterior eacute efectuada atraveacutes do

software midasreg FEA e Abaqusreg 610 O objetivo desta modelaccedilatildeo numeacuterica eacute simular os

resultados experimentais realizados feito por Bastos (1997)

61 Enquadramento

As simulaccedilotildees numeacutericas que utilizam o MEF pretendem resolver problemas reais que

envolvem condiccedilotildees fiacutesicas geomeacutetricas e de fronteiras complexas atraveacutes de meacutetodos

numeacutericos que aproximem a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees analiacuteticas capazes de os descrever

Os tipos de anaacutelises numeacutericas podem ser expliacutecitos ou impliacutecitos sendo a principal diferenccedila

entre estes o instante temporal Neste trabalho da tese optou-se pelo meacutetodo estaacutetico impliacutecito

que eacute conveniente nas anaacutelises natildeo lineares de deformaccedilotildees

O meacutetodo utilizado designa-se por meacutetodo Newton-Raphson que adopta um processo

incremental e iterativo em que o nuacutemero de iteraccedilotildees utilizadas em cada incremento deve ser

o necessaacuterio ateacute ocorrer a convergecircncia que se verifica com a condiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutetico

do elemento

O modelo numeacuterico foi definido no ambiente interactivo midas FEA que possibilita fazer a

modelaccedilatildeo com o recurso a ferramentas graacuteficas

62 As propriedades dos materiais

Uma correcta escolha dos modelos representativos do comportamento dos materiais eacute

fundamental para uma boa simulaccedilatildeo numeacuterica De seguida satildeo descritas as caracteriacutesticas

que descrevem o comportamento dos materiais utilizados no modelo numeacuterico Os materiais

satildeo o betatildeo e o accedilo das armaduras longitudinais das vigas dos ensaios (Bastos 1997)



621 Comportamento do betatildeo

Para traduzir a complexidade do betatildeo natildeo existe atualmente um soacute modelo que o consiga

simular perfeitamente O midas FEA que deteacutem um conjunto de modelos para o

comportamento dos materiais apresenta um modelo especiacutefico para betatildeo o Total Strain

Crack classificado dentro do modelo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda ldquoSmeared Crackrdquo

A Figura 61 indica a relaccedilatildeo de tensatildeo-extensatildeo do comportamento do betatildeo pode ser

analisada pelo midas FEA que se baseia no comportamento de material ortotroacutepico depois do

aparecimento de fendas A Figura 61 (a) indica-se a perpendicularidade da tensatildeo tangencial

e normal no modelo de fenda fixa e as extensotildees principais natildeo coincidentes com as direccedilotildees

das fendas Na Figura 61 (b) da nova direccedilatildeo das extensotildees resultam as novas fendas na

direcccedilatildeo das tensotildees principais original o modelo de fenda rotacional

Figura 61 ndash Modelos ortogonais das fendas

A lei constitutiva com modelos de fendilhaccedilatildeo por traccedilatildeo baseia-se na teoria proposta por

Veccio e Collins Esta teoria foi formulada em base de modelo bidimensional

Os paracircmetros necessaacuterios na definiccedilatildeo da fendilhaccedilatildeo do Modo I (ldquoStrain Crackrdquo) no modelo

de caacutelculo satildeo o tipo de modelo de fendilhaccedilatildeo as propriedades do betatildeo As resistecircncias

meacutedias agrave compressatildeo e agrave traccedilatildeo do betatildeo de acordo com o EC 2 e o CEB-FIB 1990 satildeo dadas

por

ൌ ο ൌ ͺሺܯሻ (36)



ܧ ൌ ʹʹ ቂଵ ቃଵȀଷ

(37)

௧ ൌ ͲǤ͵ ൈ ଶȀଷ ͷͲȀͲܥ (38)

A caracterizaccedilatildeo do comportamento do betatildeo apoacutes a tensatildeo de rotura ser atingida eacute definida

atraveacutes da energia de fractura (Gf) como indicando na equaccedilatildeo (39) Essa energia de fractura

define-se por ser a energia necessaacuteria para desenvolver uma unidade de aacuterea de fendas tendo

em consideraccedilatildeo as fendas no betatildeo com resistecircncias agrave compressatildeo e eacute fornecida por

ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)

onde fcm = 10 (Nmm2) O Quadro 61 mostra os valores de Gf correspondente agrave maacutexima

dimensatildeo dos agregados

Quadro 61 ndash Valores de Gf0 em funccedilatildeo de Dmaacutex

Dmaacutex (mm) Gf0 (Jmm2)

8 25

16 30

32 58

As leis constitutivas do betatildeo utilizadas no programa midas FEA satildeo as representadas na

Figura 62 A Figura 62 (a) eacute a exponencial que representa o comportamento do betatildeo em

traccedilatildeo a Figura 62 (b) eacute a curva tensatildeo-extensatildeo do betatildeo agrave compressatildeo e a Figura 62 (c)

traduz o comportamento linear elaacutestico

(a) - Exponencial(b) ndash Thorenfeldt (c) ndash Modulo elaacutestico


Analysis and Algorithm)



622 Paracircmetros adoptados na modelaccedilatildeo do betatildeo

Os paracircmetros que definem as caracteriacutesticas do betatildeo agrave compressatildeo e agrave tracccedilatildeo constam no

seguinte quadro e foram retirados de Bastos (1997) e obedecem agrave relaccedilatildeo de tensatildeo-extensatildeo

de compressatildeo para a anaacutelise estrutural natildeo linear prevista no EC 2

Quadro 62 ndash Propriedades do betatildeo usadas nas simulaccedilotildees numeacutericas

Coeficiente de Poisson ߥ = 02Moacutedulo de elasticidade ܧ = 30390 Nmm2

Valor meacutedio da tensatildeo de rotura do betatildeo agrave compressatildeo = 2995Energia de fractura Gf = 0053879 Nmm

Acircngulo caracteriacutestico ߚ = 005Largura das fendas h = 20 mm

623 Comportamento do accedilo

O comportamento dos dois tipos de accedilo referentes agraves armaduras eacute definido atraveacutes do elasto-

plaacutestico perfeito com as caracteriacutesticas do Quadro 63

Quadro 63 ndash Propriedades do accedilo das armaduras

E (GPa) ௬ (ܯ)Armadura principal (16) 200 440

Armadura principal (8) 200 440

௨(o)ߝ 157



63 Modelaccedilatildeo numeacuterica da viga

631 Tipo de elementos finitos adoptados de software midas FEA e

Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios

Neste trabalho de tese optou-se por escolher elementos bidimensionais (2D) a que

corresponde um tempo de caacutelculo inferior quando comparado com simulaccedilotildees que utilizam

elementos tridimensionais (3D) sem perda de precisatildeo pois a viga em flexatildeo estaacute sujeita a um

estado plano de tensatildeo A malha de elemento eacute suficientemente refinada para permitir a

localizaccedilatildeo muito aproximada das armaduras

Optou-se por elementos de 4 noacutes para o plano de estado de tensatildeo noacutes com dois graus de

liberdade nas duas direcccedilotildees X e Y por noacute Os elementos utilizados estatildeo representados na

Figura 65 e foram considerados 4 pontos de Gauss para a integraccedilatildeo numeacuterica (FEA





1995)

632 Condiccedilotildees de carregamento e dos apoios

As condiccedilotildees de apoios e de carregamento foram adoptadas de acordo com os ensaios

experimentais realizados por Bastos (1997) O esquema estrutural dos ensaios experimentais

encontra-se na Figura 66 e consiste numa viga continua simplesmente apoiada

Figura 66- Estrutura da viga do ensaio experimental (mm)

Pelo esquema estrutural da viga (Figura 66) eacute possiacutevel verificar que a estrutura eacute simeacutetrica

com dois tramos e cargas iguais o que permite considerar apenas metade da estrutura como

se representa na Figura 67



Figura 67 ndash Esquema estrutural do ensaio numeacuterico frac12 de viga (mm)

633 Definiccedilatildeo da malha da viga

Neste caso de elementos de 2D procedeu-se ao estudo da dimensatildeo da malha a adoptar no

elemento bidimensional que modela o betatildeo tendo-se executado anaacutelise da viga modelada

para as malhas na Figura 68 que eacute de 20x20 mm

Figura 68 ndash Divisatildeo das malhas em pequenas dimensotildees dominadas Elementos Finitos

A anaacutelise consiste na verificaccedilatildeo da influecircncia do refinamento da malha sobre os resultados

forccedilas-deslocamentos (Figura 611) para as vigas de ensaios pelo programa de caacutelculo

comercial midas FEA

Como o Meacutetodo dos elementos finitos eacute um meacutetodo de aproximaccedilatildeo para que possa fornecer

o melhor resultado dos padrotildees de fendilhaccedilatildeo eacute necessaacuterio a malha suficientemente refinada

o que implica tempos de caacutelculo maiores Os tempos de caacutelculo encontram-se no Quadro 64

para a malha de elementos utilizada




FEA e frac12 viga de Abaqus)

Anaacutelise Viga V1 Viga V2

Tempo de ocorrecircncia (midas FEA) 10543 min 10543 min

Tempo de ocorrecircncia (Abaqus) 30 min 30 min

A Figura 610 mostra as curvas de forccedilas-deslocamentos obtidos de dois sofwares midas FEA

e Abaqus para a viga do ensaio V1 A principal diferenccedila reside nos princiacutepios usados para a

fendilhaccedilatildeo distribuida No Abaqus usou-se o meacutetodo de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda com modelo

numeacuterico de betatildeo por modelo Dano Plaacutestico (em inglecircs Damaged Plasticity) com os

paracircmetros do betatildeo (Quadro 65 e no midas FEA usou-se o meacutetodo que foi referido no sub-

capiacutetulo de 722

Quadro 65 ndash Os paracircmetros usados do betatildeo no modelo Dano Plaacutestico de Abaqus

Ecm (GPa) fcm (MPa) 04 fcm (MPa) ߝ (mm) ଵߝ (mm) fctm (MPa) ߥ3039 2995 1198 00004 0002 2356 02


(Gomes 2010)

No comportamento natildeo linear do betatildeo foram considerados os paracircmetros definidos por

defeito em Habbitt (manual do Abaqus) e representados no Quadro 66

Quadro 66 ndash Os paracircmetros de plasticidade do betatildeo (HKS Inc de Rhode Island)

ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116



64 Comparaccedilatildeo entre o estudo experimental e os programas

Na Figura 611 representa a evoluccedilatildeo da carga F em funccedilatildeo do deslocamento obtido atraveacutes

dos programas comerciais e ensaios experimentais Constatou-se que ateacute 13 mm de

deslocamento as cargas obtidas pelos programas comerciais satildeo superiores aos obtidos pela

anaacutelise numeacuterica e aos resultados experimentais A partir do deslocamento de 13 mm os

resultados obtidos pelo Abaqus satildeo sempre superiores aos restantes De facto as vigas

experimentais tecircm uma rigidez menor que as vigas modeladas nos programas comerciais A

viga entra em rotura por cedecircncia das armaduras devido agraves cargas aplicadas combinadas com

a fendilhaccedilatildeo do betatildeo O andamento dos resultados experimentais eacute semelhante ao do

modelo numeacuterico


nos diagramas de deslocamentos pelo midas FEA Abaqus e trabalhos experimentais

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)

Viga 1 (midas FEA) Viga 2 (midas FEA) Viga 1 (Experimental)

Viga 1 (Abaqus) Numeacuterica (Viga 1) Viga 2 (Experimental)



A figura 612 apresenta o iniacutecio da fendilhaccedilatildeo e a plastificaccedilatildeo das armaduras para as vigas

V1 e V2 O iniacutecio da fendilhaccedilatildeo por flexatildeo que corresponde ao carregamento em cada tramo

ocorre para carga F = 443 kN para a viga V1 e de F = 437 kN para a viga V2 A cedecircncia das

armaduras para o carregamento em cada tramo eacute de F =113 kN para a viga V1 e de 131 kN

para a viga V2

Figura 612 ndash Iniacutecio da fendilhaccedilatildeo da flexatildeo para as vigas V1 e V2 (midas FEA)

Os diagramas carga-deslocamentos de viga V1 e V2 (Figura 612) apresentam o iniacutecio de

fendilhaccedilatildeo do apoio central e nos dois tramos inicia a fendilhaccedilatildeo com fendas verticais de

flexatildeo com inclinaccedilotildees semelhantes embora encontram-se diferentes valores na fase de

cedecircncia das armaduras longitudinais



Nos resultados obtidos experimentais da (Bastos 1997 no ponto 62321) a fendilhaccedilatildeo

iniciou-se sob carga Fcr = 415 kN e comparando com os modelos de caacutelculos conclui-se que

os resultados satildeo inferiores em relaccedilatildeo aos modelos de caacutelculos

Para avaliar o comportamento das vigas durante o desenvolvimento da fendilhaccedilatildeo apresenta-

se a distribuiccedilatildeo da fendilhaccedilatildeo obtida pelos programas de caacutelculo Na viga de ensaio V1 na

Figura 613 mostra a fendilhaccedilatildeo no apoio central com o carregamento de forccedilas F de 278 kN

em cada tramo

Figura 613 - Iniacutecio da fendilhaccedilatildeo no apoio central da viga V1 (midas FEA)

A Figura 614 (viga V1) representa a distribuiccedilatildeo das fendas na viga com o carregamento em

cada tramo de 443 kN com destaque para a zona de aplicaccedilatildeo das cargas no iniacutecio da

fendilhaccedilatildeo sob estas zonas


(midas FEA)



Na viga V2 a Figura 615 mostra o iniacutecio da fendilhaccedilatildeo no apoio central com o carregamento

em cada tramo de 281 kN

Figura 615 ndash Iniacutecio de fendilhaccedilatildeo no apoio central da viga V2 (midas FEA)

A Figura 616 (Viga V2) a distribuiccedilatildeo da fendilhaccedilatildeo nos tramos com o carregamento de 437

kN

Figura 616 ndash Iniacutecio de fendilhaccedilatildeo de flexatildeo da viga V2 (midas FEA)



A Figura 617 mostra a deformada da frac12 viga obtida com a modelaccedilatildeo pelo Abaqus

Normalmente os resultados numeacutericos mostram um comportamento mais riacutegido e

comparando com resultados experimentais pelos factores por exemplo a aderecircncia perfeita

entre o accedilo e o betatildeo a ponderaccedilatildeo de um betatildeo homogeacuteneo ou de uma estrutura de viga sem

imperfeiccedilotildees Sendo em consideraccedilatildeo que os resultados de modelaccedilatildeo de dois ensaios satildeo

semelhantes


rotura (Abaqus)

As tensotildees e extensotildees principais encontram-se no Anexo A

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado 7 CONCLUSOtildeES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS

FUTUROS


7 CONCLUSOtildeES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Atraveacutes dos modelos usados para os dois programas de fendilhaccedilatildeo distribuiacuteda obteve-se os

resultados de tensotildees e extensotildees maacuteximas e miacutenimas diferentes nos dois programas

comerciais Portanto as fendas provocadas pelos carregamentos satildeo diferentes porque os

programas recorrem a modelos distintos No Abaqus usou-se o modelo de dano plaacutestico

ldquoConcrete Damage Plasticityrdquo enquanto no midas FEA usou-se o modelo de ldquoStrain Crackrdquo

Analisando os resultados obtidos pelos dois programas comerciais para a fendilhaccedilatildeo

distribuiacuteda atraveacutes da observaccedilatildeo dos diagramas de cargas-deslocamentos concluiu-se que haacute

uma semelhanccedila entre o experimental e as modelaccedilotildees feitas nos programas convergindo para

o mesmo valor

Os resultados numeacutericos de modelos de caacutelculos mostram um comportamento mais riacutegido

quando comparado com resultados experimentais por diversos factores como por exemplo a

aderecircncia perfeita entre o accedilo e o betatildeo a ponderaccedilatildeo de um betatildeo homogeacuteneo ou de uma

estrutura de viga sem imperfeiccedilotildees As vigas experimentais tecircm uma rigidez menor que as

vigas modeladas nos programas comerciais

Na anaacutelise comparativa entre os modelos de caacutelculos e o experimental verificou-se que no

caso da flexatildeo o momento resistente teoacuterico eacute sempre maior que o de experimental Isto deve-

se ao facto da perda do betatildeo de recobrimento originado pela encurvadura das armaduras

comprimidas Conclui-se que os resultados teoacutericos dos modelos estatildeo mais do lado de

seguranccedila porque apresentam valores de esforccedilos maiores que os experimentais

Desenvolvimentos futuros

sect Verificar a rotaccedilatildeo plaacutestica das vigas ensaiadas pelos programas comerciais e

comparar com o trabalho experimental obtido

sect Calcular a capacidade de rotaccedilatildeo plaacutestica obtida pelos modelos de caacutelculos comerciais

e comparar com os ensaios experimentais

sect Desenvolver um modelo de escoras-tirantes

sect E para finalizar propor-se um estudo de efeito dos esforccedilos transversos ao modo tipo

de fractura II e III

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS


REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

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Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado ANEXOS


ANEXO A

A1 - As tensotildees da viga V1 (midas FEA)

Figura A1 ndash As tenccedilotildees segundo eixo x (00125)





Deslocamento vertical (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus

Figura A4 ndash Deformada vertical para a viga V1 (Abaqus)

Tensatildeo principal (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus

Figura A5 ndash Tensatildeo principal para a viga V1(Abaqus)

Extensatildeo principal (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus

Figura A6 ndash As extensotildees principais para a viga V1 (Abaqus)

Tensatildeo axial (Viga V1) do modelo dano plaacutesticoAbaqus

Figura A7 ndash Tensotildees axiais nas armaduras longitudinais para a viga V1 (Abaqus)



ANEXO B

B-1 As forccedilas e momentos do iniacutecio de fendilhaccedilatildeo

Momento de fendilhaccedilatildeo no apoio

Figura B1 ndash Esquema estrutural de vigas

௧ ൌ ʹǤ͵ܯ(tensatildeo de rotura do betatildeo agrave tracccedilatildeo)

ߪ ൌ ݓܯ ൌܯ ൈ ݒܫ ݓǣݎݑݐݎ shyݏ ൌ

ଶ

Logo o momento de fendilhaccedilatildeo eacute

ܯ ൌ ௧ ൈ ݓ ൌ ʹǤ͵ ൈ ͳͲଷ ൈ ͲǤͳͷ ൈ ͲǤʹʹଶ

ൌ ʹǤͺͷ

Carga F que provoca o iniacutecio da fendilhaccedilatildeo

ܯ ൌ͵ܮܨͳ ൌ ʹǤͺͷ ܨ ൌ ʹǤͺͷ ൈ ͳ

͵ ൈ ͳǤͶ ൌ ͳͲǤͺ



Esforccedilos e tensotildees na secccedilatildeo do apoio de betatildeo armado

Figura B2 ndash Secccedilatildeo transversal do meio vatildeo (Secccedilatildeo homogeneizada)

௦ܣ ൌ ͺǤͲͶଶ

ൌ ͲǤͳͺͷ௦ܧ ൌ ʹͲͲܩܧ ൌ ͵ͲǤ͵ͻܩ

Posiccedilatildeo da linha neutro (LN)

ൌσܣ ൈ ݔσܣ

ݔ ൈ ݔ ʹΤ ௦ܣ ൈ ௦ܧ Τܧ ൈ ݔ ௦ܣ ൈ ௦ܧ Τܧ ൈ ଶݔ

ʹ ൌ ௦ܣ ൈ ௦ܧܧ

ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ

ʹ ൌ ͺǤͲͶ ൈ ͳͲସ ൈ ʹͲͲ͵ͲǤ͵ͻ൫ሺͲǤʹʹ െ ͲǤͲ͵ͷሻ െ ൯ݔ ݔ ൌ ͲǤͲͺͶ

ൌ െݔ ͵Τ ൌ ͲǤͳͺͷ െͲǤͲͺͶ ͵Τ ൌ ͲǤͳ



Tensatildeo no betatildeo (ߪሻ

ܯ ൌ ௦ܨ ൈ ݖ ൌܨ ൈ ݖ ൌ ʹǤͺͷ ܨ ൌ ͳͺǤͳ

ܨ ൌߪ ൈ ݔ ൈ ʹ ߪ ൌʹ ൈ ܨ

ൈ ݔ ൌ ʹ ൈ ͳͺǤͳͲǤͳͷ ൈ ͲǤͲͺͶ ൌ ʹͺͺͶǤͳ͵ʹ ؆ ʹǤ ͺͺܯ

Tensatildeo nas armaduras ሺߪ௦ሻ௦ܨ ൌߪ௦ ൈ ௦ܣ

௦ߪ ൌ ௦ܣ௦ܨൌ ͳͺǤͳ

ͺǤͲͶ ൈ ͳͲସ ൌ ʹʹͷͻͻǤͷ ଶΤ ؆ ʹʹǤܯ

Extensotildees maacutexima no betatildeo e nas armaduras (ሻ

ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ

ߝ ൌ ߪ Τܧ ൌ ଶସǤଵଷଶଷǤଷଽൈଵల ൌ ͲǤͲͻΩ

ɂୱ ൌ ɐୱ ୱΤ ൌ ʹʹͷͻͻǤͷʹͲͲ ൈ ͳͲ ൌ ͲǤͳͳΩ

Curvatura

Figura B3 ndash momento da curvatura (Morchatildeo amp Appleton 2007)

ͳ Τ ൌ ሺߝ ሻݏߝ Τ ൌ ͲǤͲͻΩǤଵଵΩͲǤͳͺͷ ൌ ͲǤͲͲͳͳଵ

Anaacutelise Comparativa de Modelos de Caacutelculo deEstruturas de Betatildeo Armado AGRADECIMENTOS

Vital Nai Quei Pereira Arauacutejo i

AGRADECIMENTOS

Os meus agradecimentos agraves minhas orientadoras Professora Doutora Carla Ferreira e

Professora Doutora Helena Barros pelo tempo despendido acompanhamento e incentivo

durante o percurso de pesquisa e realizaccedilatildeo da tese

Um agradecimento especial aos meus amigos e colegas do Departamento de Engenharia Civil

e outros nomeadamente o Mestre e Engordm Rui Costa o Mestre e Engordm Vladimiro Vaz a

Mestre Engordf Sara Gomes pela ajuda no uso de softwares de Elementos Finitos entre outros

Um profundo e grato agradecimento aos meus queridos irmatildeos irmatildes e pais pelo apoio e

confianccedila demonstrados ao longo da minha vida acadeacutemica ateacute o fim do curso



RESUMO

















ABSTRACT














(EFM)



IacuteNDICE

























412 Materiais 23

413 Betatildeo 24



414 Accedilo 25












61 Enquadramento 40












ANEXO A 57








ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





RESUMO

















ABSTRACT














(EFM)



IacuteNDICE

























412 Materiais 23

413 Betatildeo 24



414 Accedilo 25












61 Enquadramento 40












ANEXO A 57








ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





ABSTRACT














(EFM)



IacuteNDICE

























412 Materiais 23

413 Betatildeo 24



414 Accedilo 25












61 Enquadramento 40












ANEXO A 57








ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





IacuteNDICE

























412 Materiais 23

413 Betatildeo 24



414 Accedilo 25












61 Enquadramento 40












ANEXO A 57








ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





414 Accedilo 25












61 Enquadramento 40












ANEXO A 57








ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





ANEXO B 59
























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

























2008) 27












(Bastos 1997) 36






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






37


1997) 39





de ensaios 44


ensaios 44


1995) 45





(Gomes 2010) 47








(midas FEA) 51




rotura (Abaqus) 53







de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura









de viga 28


















SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





SIMBOLOGIA


2D - Bidimensional
















LN - Linha neutra





idade





betatildeo armado








M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






M - Momento flector





n - Expoente




ߝ - Extensatildeo














ߪ - Tensatildeo






V1 - Viga 1

V2 - Viga 2





















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura




















































trabalhos futuros























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

























1 Fendas discretas





distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






distribuiacutedas)








(d))

































(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





























(Pimentel 2004)










































(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



























(Barros 2012)






ߝ(6times1) = ߝ

(6times1) + ߝ

(6times1) (1)




ߝ(6times1) = ൛ߝ௫௫ߝ௬௬ߝ௭௭ߛ௫௬ߛ௬௫ߛ௭௫ൟ

(2)










ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura








ൌ ሼߝ ௦ߛ

ߛ௧ሽ (3)




ߝ ൌൈ (4)


ൌ


ଶ ௦ ௧

ଶ

ʹʹʹ

௦௦ ௦௦ ௦௦ ௦

௧௧ ௧௧ ௧௧ ௧ ے

ۑۑۑۑۑې

(5)










ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





ݐ = ܦ times (7)



ܦ = ଵଵܦ

ଵଶܦ ଵଷܦ

ଶଵܦ ଶଶܦ

ଶଷܦ

ଷଵܦ ଷଶܦ

ଷଷܦ

(8)





ܦ = ூܦ

0 00 ூூܦ

00 0 ூூூܦ

(9)


















pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura










pp 98 -104)
























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

























de serviccedilo






































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

































































































influecircncia




























35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



















35 Lei constitutiva






















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





















constante)









(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura








(16)




icirciacuteigrave

sup3=lt=

0020

0020

esees

sef

seE

sy
















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura


















(Lotti et al 2006)







tensatildeo


tridimensional











൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura








൩ ௭ߪ = 0 ௭ߝ = 0௫௭ = ௬௭ = 0(19)

௭ߪ = 0 ௫௭ = ௬௭ = 0

ە


ா




(20)









ݖߝ = 0 ݖݔ = ݖݕ = 0 ⟹

ە






(23)





ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






ە


ଵఔ ௬ቁߝ




(24)


2006)











411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura













411 Estados limites








412 Materiais






413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





413 Betatildeo













414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





414 Accedilo







por






































ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



























ଵ 044

ଶ = ସ 125(06 + (௨ଶߝ00014

ଷ 054









2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura










2008)


ser




ͲǤ ߜ ͳ (30)



ߤ ൌ ௌమ

(31)

ൌ ೞௗ

ௗ (32)

ߙ ൌೠௗ (33)
















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

















de viga





K1 044 044


K2 125 125



(()ௗ௦௧ܯ)-5852 -2390































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura































viga V1 viga V2



















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

















































o apoio central (b)




Viga V1 191 10 201

Viga V2 113 112 225













59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






59)


Resultados obtidos







(a) (b)























(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

















(Bastos 1997)



ሺ ൌ ͷǤͷሻ
















ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura












ቁଶ൨ (A22 EC2) (35)




se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






se no Quadro 56



-54 (Mcr) 04 007

-148 110 110

-29 (My) 220 213

-372 (Mmaacutex) 414 381







do betatildeo




vigas V1 e V2




Carga de rotura



Viga V1 150 201 075

Viga V2 224 225 099





1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura







1997)







61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura









61 Enquadramento










do elemento



























por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






















por





(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






(37)






ܩ ൌ ܩ ቀబ

ቁǤ

(39)





8 25

16 30

32 58
























௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



















௨(o)ߝ 157





Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura







Abaqus 610-1


de ensaios


ensaios













1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura






1995)



















comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura













comercial midas FEA





















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



















(Gomes 2010)




ߝ Kc ߪȀߪ01 067 116















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura

















0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Carg

a F

(kN

)

Desclocamento (mm)









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura









para a viga V2














em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura











em cada tramo






(midas FEA)







kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura









kN









semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura










semelhantes


rotura (Abaqus)



FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura




FUTUROS











o mesmo valor
























Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura








Febpp40-49
















Delft





2054
























portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura


















portfolioabaquscae

















ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura





ANEXO A

















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura















ANEXO B






ଶ



ൌ ʹǤͺͷ











ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura










ൌσܣ ൈ ݔσܣ



ሺ െ ሻݔ

ͲǤͳͷ ൈ ଶݔ













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura













ߪ ൌ ܧ ൈ ߝ



Curvatura



análise comparativa de modelos de cálculo de estruturas de ... · estruturas de betão armado...

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