ANÁLISE COMBINATÓRIA - ASPECTOS HISTÓRICOS E

ATIVIDADES INVESTIGATIVAS

Aluna: Cristiane Maria Roque VazquezPrograma de Pós-Graduação no Ensino de Ciências Exatas – PPGECE – UFSCar (2010)Orientador: Prof. Dr. Pedro Malagutti

JUSTIFICATIVA

ANÁLISE COMBINATÓRIA: • assunto considerado “polêmico", devido às dificuldades apresentadas pelos alunos na sua aprendizagem;

• muitas vezes é relegada ao esquecimento ou, então, é trabalhada apenas por meio do uso de fórmulas;

• mecanicamente tentam descobrir a que tipo de agrupamento – arranjo, permutação ou combinação – o problema pertence, para depois resolvê-lo utilizando a fórmula adequada.

• As aplicações e a utilização de atividades podem servir para a melhor compreensão da teoria da análise combinatória.

• A história da matemática pode contribuir com o ensino da análise combinatória, quando inserimos datas, personagens, e situações que levem o aluno a pensar no conteúdo a ser estudado.

ASPECTOS HISTÓRICOS• Importância de conhecer o conteúdo matemático e sua história;

• Segundo BARONI(1999) : “História do conteúdo não é apenas um elemento motivador para seu ensino ,engloba elementos cujas naturezas estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade educacional e essa interligação se fortalece quando o professor de matemática tem o domínio da história do conteúdo que ele trabalha em sala de aula”;

• PCN’s(2000): “ao mostrar as necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno frente ao conhecimento matemático”.

Desenvolvimento Histórico da Análise Combinatória:

Há três passagens importantes que servem para introduzir o campo de problemas combinatórios:

Problema 79 do Papiro de Ahmes (ou Rhind) escrito por volta de 1650 a.C.;

Problema escrito por Leonardo de Pisa em 1202;

Uma poesia infantil que data de mais ou menos 1730.

Poesia Infantil: Quando eu estava indo para Santo Ivo,Eu encontrei um homem com sete mulheres,Cada mulher tem sete sacos,Cada saco tem sete gatos,Cada gato tem sete gatinhos,Gatinhos, gatos, sacos e mulheres,Quantos estavam indo para Santo Ivo?

Problema 79: Casas 7Gatos 49Ratos 343Trigo 2401Hekat* 16807 19607

A primeira ocorrência da Combinatória

O sistema “I Ching”(1182-1135 a.C.), um dos trabalhos mais antigos dos chineses, é baseado em 2 símbolos: Yang ( )̶̶ Yin ( )̶̶combinados da seguinte maneira: Trigramas (conjunto de três símbolos):

Hexagramas (conjunto de seis símbolos):

Combinações com repetição: 2³ = 8 trigramas e 26 = 64 hexagramas.

Tratado Médico de Susruta (~ século IV a.C.)

Foram encontradas discussões sobre as várias espécies de demonstração que podem ser feitas pela combinação entre: doce, ácido, salino, pungente, amargo e adstringente.

6 tomadas separadamente;15 de dois em dois;20 de três em três;15 de quatro em quatro;6 de cinco em cinco;1 tomadas todas juntas.

Combinações sem repetição!

VARAHAMIHIRA (505, 587) em seu trabalho “BRIHATSAMHITA”

número de perfumes que podem ser feitos escolhendo-se 4 ou 5 dados ingredientes e misturando-os em várias proporções;

há uma afirmação clara de que existem 1820 possibilidades de se escolher 4 ingredientes num total de 16;

não apresentado a listagem dos casos, o que permite conjecturar que a resposta era obtida pelo uso de uma fórmula.

BHASKARA II em seu trabalho “LILAVATI” (1150)

“Em um agradável, espaçoso e elegante palácio, com oito portas, construído por um habilidoso arquiteto para o Príncipe do Reino, conte-me as combinações de aberturas tomadas de uma a uma, duas a duas, três a três etc.” 8 28 56 70 56 28 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8As chances de abertura das portas do palácio chegam a 255.

“Diga matemático, quantas são as combinações em uma composição, com ingredientes de seis diferentes sabores, doce, amargo, adstringente, ácido, salgado e picante, tomando-os um a um, dois a dois, três a três etc.” 6 15 20 15 6 1 1 2 3 4 5 6Aí estão os números das várias preparações com os seis ingredientes.

ATIVIDADES - OBJETIVOS

Utilizar atividades diferenciadas para trabalhar a Análise Combinatória em sala de aula buscando despertar a curiosidade e a investigação matemática numa área que usualmente é pouco explorada;

Observar como o aluno desenvolve as atividades propostas a fim de explorar aspectos matemáticos para a construção de conceitos básicos da Análise Combinatória.

Turmas

Estudantes de 4 classes do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública de Descalvado.

Atividades

Serão aplicadas no 3º bimestre – momento em que a AC é vista nos caderninhos.

Metodologia

Filmagem e anotações das atividades propostas que serão analisadas posteriormente.

ATIVIDADESATIVIDADE 1Essa atividade consiste em pensarmos nas diferentes formas de fazermos uma deliciosa salada de frutas utilizando maçãs, peras e laranjas.

De quantas maneiras diferentes você pode fazer uma salada de frutas utilizando duas dessas frutas? Mostre as possibilidades!

• E se fossem três? Ou seja, se você utilizasse todas as frutas disponíveis! De quantas maneiras diferentes você poderia montar essa salada?

• Um feirante possui, em sua banca, maçãs, peras e laranjas em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de modo que cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantos diferentes tipos de pacotes poderá o feirante oferecer à sua clientela?

ATIVIDADE 2Essa atividade tem por objetivo construir semáforos que não se preocupam com as facilidades visuais dos motoristas considerando que a ordem em que as cores aparece é importante.

• Quantos e quais são os diferentes sinais de trânsito que podemos construir com três cores, respeitando a ordem e sem repeti-las?

• Agora responda, quantos semáforos poderíamos formar se pudéssemos repetir as cores? Você conseguiria construí-los?

ATIVIDADE 3A atividade consiste em dobrar a fita nas linhas marcadas, sobrepondo um quadrado sobre o outro com um efeito sanfona e através de dobras e sobreposições formar padrões ordenados pré-definidos com algumas das quatro cores.

Quantas são as configurações potencialmente possíveis para a obtenção de padrões na fita, sujeitas às restrições de contagem e simetria - número fixado de quadrados, utilização no máximo de duas vezes das quatro cores e identificação por rotações de 180º?

Referências Bibliográficas

BARONI, R. L. S.; NOBRE, S. R. A pesquisa em História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática. In: Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. Rio Claro: Ed. UNESP, 1999.

BIGGS, N. L. The roots of combinatorics. Revista Historia Mathematica, vol. 6, p.109-136, 1979.

BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 2000.

WIELEITNER, H. Historia de la Matematica. Barcelona: Labor, 1932. p.134 WILSON, R. J.; LLOYD, E. K. Combinatorics. Geometries and Topology, p.952-965, 1990.