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ANA MARIA PEREIRA PINTO POGGIO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UM DIAGNÓSTICO SOBRE O CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE DE ALUNOS DO ENSINO MÉDIO NA PERSPECTIVA DOS TRÊS
MUNDOS DA MATEMÁTICA
Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, para obtenção do título de MESTRE em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
SÃO PAULO 2012
P81a Poggio, Ana Maria Pereira Pinto
Um diagnóstico sobre o conceito de proporcionalidade de alunos do Ensino Médio na perspectiva dos Três Mundos da Matemática / Ana Maria Pereira Pinto Poggio. São Paulo: [s.n.], 2012.
239f: il; 30cm. Dissertação – Universidade Bandeirante de São Paulo, Mestrado em Educação Matemática. Orientadora: Prof.ª Dr.ª Vera Helena Giusti de Souza 1. Proporcionalidade Direta 2. Proporcionalidade Inversa 3. Definição de Conceito 4. Imagem de Conceito 5. Três Mundos da Matemática
CDD: 372.7
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________________ Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza (Presidente - Orientadora)
______________________________________________________________ Profa. Dra. Iranete Maria da Silva Lima (1º Membro Titular – UFPE)
______________________________________________________________ Profa. Dra. Tânia Maria Mendonça Campos (2º Membro Titular – UNIBAN)
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação, por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:________________________________________________________
Local e Data: ______________________________________________________
Para Laura, Lu,
Marcia, Bel e Vera.
Por estarem
sempre presentes.
AGRADECIMENTOS
À minha orientadora Prof.ª Dr.ª Vera Helena Giusti de Souza, com quem
muito aprendi, pela extrema competência, dedicação, carinho, amizade e infinita
paciência.
Aos membros da banca examinadora Prof.ª Dr.ª Iranete Maria da Silva Lima,
Prof.ª Dr.ª Tânia Maria Mendonça Campos e Prof.ª Dr.ª Vera Helena Giusti de
Souza, pelas valiosas contribuições para o aprimoramento deste trabalho e pelo
carinho.
Ao Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo que me recepcionou e me acompanhou
neste novo caminho, minha eterna admiração e gratidão.
À Capes/Prosup e à UNIBAN, pela concessão da bolsa de estudos para a
realização desse curso.
A todos os professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNIBAN-SP, em especial à Professora Verônica, pelo
sorriso confiante, à Professora Rosana, pelo entusiasmo e ao Guilherme sempre
pronto a ajudar.
A todos os colegas, em especial, Mercedes Ramires, pela amizade e
oportunidade, Renato Mineiro e Marcelo Dias, pelo carinho e ajuda.
À direção da escola na qual esta pesquisa foi realizada e aos alunos 01 a 51,
que me receberam e colaboraram para o desenvolvimento desta pesquisa.
À querida Olga Corbo, que tenho orgulho em ter como amiga.
Às minhas queridas irmãs, companheiras de todas as horas, Ana Lúcia,
Isabel e Márcia.
A minha mãe Zélia, que entendeu minha ausência.
Ao Horácio e à Magali, pela paz e serenidade e à Adriana, pelo cuidado.
Ao Paulo, marido e ao Paulo, filho, pelo apoio e estímulo.
À minha querida filha Laura, que me deu coragem para iniciar e esteve
comigo nos momentos mais importantes dessa caminhada.
Obrigada!
“O acaso ajuda aqueles que são bem preparados.”
Marcelo Gleiser (A Dança do Universo)
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi investigar quais são as definições que alunos do Ensino
Médio dão sobre proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa, bem como
analisar com que características trabalham questões que envolvem tais conceitos.
Escolhemos como fundamentação teórica os Três Mundos da Matemática (TALL,
2004) e as ideias de definição de conceito e de imagem de conceito (TALL; VINNER,
1981) para elaborar um questionário que aplicamos a 51 alunos de duas turmas de
uma 3ª série do Ensino Médio da rede pública do Estado de São Paulo. À luz desse
quadro teórico, analisamos os protocolos obtidos para responder nossas questões
de pesquisa: “Qual a definição de conceito que alunos do Ensino Médio dão da
proporcionalidade direta?”; “Qual a imagem de conceito que alunos do Ensino Médio
têm sobre proporcionalidade direta?”; “Qual a definição de conceito que alunos do
Ensino Médio dão da proporcionalidade inversa?”; “Qual a imagem de conceito que
alunos do Ensino Médio têm sobre proporcionalidade inversa?”; “Com que
características, entre formais, simbólicas e corporificadas, esses alunos trabalham
questionamentos que envolvem a proporcionalidade direta?” e “Com que
características, entre formais, simbólicas e corporificadas esses alunos trabalham
questionamentos relacionados à proporcionalidade inversa?”. A análise dos
protocolos mostrou que as definições de conceito de proporcionalidade desse grupo,
direta e inversa, têm características do mundo corporificado e não apresentam as do
mundo simbólico, podendo ser resumidas, respectivamente, por “quando uma
grandeza aumenta a outra também aumenta” e “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. As características do mundo formal foram explicitadas em poucas
respostas, que exibiram a constante de proporcionalidade. As imagens de conceito
mostram essencialmente características do mundo corporificado e quando esses
sujeitos mobilizam as do mundo simbólico, estas não correspondem ao conceito, o
que mostra que não transitam pelos Três Mundos da Matemática. Em nossa visão,
isto poderá causar dificuldades futuras na aplicação e no reconhecimento de
problemas que envolvam proporcionalidade ou não, tanto na vida profissional como
na social.
Palavras-chave: Proporcionalidade Direta, Proporcionalidade Inversa, Definição de
conceito, Imagem de conceito, Três Mundos da Matemática
ABSTRACT
The purpose of this study was to investigate the definitions that high school students
have on direct and inverse proportionality, and analyze with which characteristics
they work the questions involving such concepts. We chose the theoretical
framework of the Three Worlds of Mathematics (TALL, 2004) and the ideas of
concept definition and concept image (TALL; VINNER, 1981) to elaborate a
questionnaire that was applied to 51 students from two classes of third graders of
High School of a public School in São Paulo. In the light of this theoretical framework,
we analyzed the obtained protocols to answer our research questions: "What is the
concept definition that high school students give about direct proportionality?", "What
is the concept image that high school students have about direct proportionality?";
"What is the concept definition that high school students give about inverse
proportionality?", "What is the concept image that high school students have about
inverse proportionality?", "What characteristics between formal, symbolic and
embodied, these students work questions related to direct proportionality?" and
"What characteristics between formal, symbolic and embodied these students work
questions related to inverse proportionality?". The analyses of the protocols showed
that the concept definitions of direct and inverse proportionality of this group have
characteristics of embodied world and do not show characteristics of the symbolic
world, and can be summarized, respectively, by: “when a quantity increases the other
also increases” and “when a quantity increases the other decreases”. The features of
formal world were explained in few answers, which displayed the constant of
proportionality. The concept images show primarily characteristics of embodied world
and when the students use characteristics from the symbolic world, those do not
correspond to the concept, which shows that they do not pass through the Three
Worlds of Mathematics. In our view, this may cause future difficulties in the
application and recognition of problems involving proportionality or not, either on
professional or social life.
Keywords: Direct proportionality, inverse proportionality, concept definition, concept image, Three Worlds of Mathematics
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 - Exemplos de possíveis respostas equivocadas ............................... 75 Quadro 02 - Categorias de análise da Questão 1 ................................................ 100 Quadro 03 - Classificação da definição de conceito de proporcionalidade direta de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ..... 101 Quadro 04 - Classificação geral da definição de conceito de proporcionalidade direta na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................. 104 Quadro 05 - Categorias de análise da Questão 2 ................................................ 104 Quadro 06 - Classificação da Questão 2 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 105 Quadro 07 - Classificação geral da Questão 2 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ................................................................................ 108 Quadro 08 - Categorias de análise da Questão 3 ................................................ 108 Quadro 09 - Classificação da Questão 3 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 109 Quadro 10 - Classificação geral da Questão 3 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................................. 112 Quadro 11 - Categorias de análise da Questão 4 ................................................ 112 Quadro 12 - Classificação da Questão 4 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 112 Quadro 13 - Classificação geral da Questão 4 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................................. 113 Quadro 14 - Categorias de análise da Questão 5 ................................................ 115 Quadro 15 - Classificação da Questão 5 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 115 Quadro 16 - Transcrição e Análise da Questão 5 de todos os Alunos ................ 123 Quadro 17 - Classificação geral da Questão 5 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................... 124 Quadro 18 - Categorias de análise da Questão 6 ................................................ 125 Quadro 19 - Classificação da Questão 6 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ........................................................... 125 Quadro 20 - Método utilizado por cada aluno na Questão 6 ................................ 128 Quadro 21 - Classificação geral da Questão 6 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................... 128 Quadro 22 - Categorias de análise da Questão 7 ................................................ 129 Quadro 23 - Classificação da definição de conceito de proporcionalidade inversa de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ....................................................................................... 129 Quadro 24 - Classificação geral da Questão 7 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................... 132 Quadro 25 - Categorias de análise da Questão 8 ................................................ 132 Quadro 26 - Classificação da Questão 8 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ........................................................... 132 Quadro 27 - Classificação geral da Questão 8 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 135 Quadro 28 - Categorias de análise da Questão 9 ................................................ 136
Quadro 29 - Classificação da Questão 9 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 136 Quadro 30 - Classificação geral da Questão 9 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 139 Quadro 31 - Categorias de análise da Questão 10 .............................................. 139 Quadro 32 - Classificação da Questão 10 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 139 Quadro 33 - Classificação geral da Questão 10 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 140 Quadro 34 - Categorias de análise da Questão 11............................................... 142 Quadro 35 - Classificação da Questão 11 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 142 Quadro 36 - Transcrição e Análise da Questão 11 de todos os Alunos ............ 148 Quadro 37 - Classificação geral da Questão 11 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 148 Quadro 38 - Categorias de análise da Questão 12 .............................................. 149 Quadro 39 - Classificação da Questão 12 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 149 Quadro 40 - Classificação geral da Questão 12 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 152 Quadro 41 - Categorias de análise da Questão 13 .............................................. 152 Quadro 42 - Classificação da Questão 13 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 153 Quadro 43 - Classificação geral da Questão 13 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 155 Quadro 44 - Categorias de análise da Questão 14 .............................................. 156 Quadro 45 - Classificação da Questão 14a de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 156 Quadro 46 - Classificação da Questão 14b de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 157 Quadro 47 - Classificação da Questão 14c de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 157 Quadro 48 - Classificação geral da Questão 14 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 159 Quadro 49 - Categorias de análise da Questão 15 .............................................. 159 Quadro 50 - Classificação da Questão 15 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 160 Quadro 51 - Classificação geral da Questão 15 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 161 Quadro 52 - Categorias de análise da Questão 16 .............................................. 161 Quadro 53 - Classificação da Questão 16 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática ............................................................ 162 Quadro 54 - Classificação geral da Questão 16 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática .................................................................. 164 Quadro 55 - Resposta das alternativas (a) e (e) da Questão 17 .......................... 165 Quadro 56 - Resposta das alternativas (b) e (f) da Questão 17 ........................... 165 Quadro 57 - Características dos Três Mundos da Matemática de cada Participante da Pesquisa em cada Questão ................................... 168
Quadro 58 - Síntese da Definição de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de cada Aluno ........................................ 198 Quadro 59 - Síntese dos Gráficos na Imagem de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de cada aluno ................................................................................................ 199 Quadro 60 - Comparativo definição de conceito de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa ................................................... 205 Quadro 61 - Comparativo imagem de conceito de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa ............................................................. 205
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Três Mundos da Matemática .......................................................... 44 Figura 02 - Exemplo de jornada pelos Três Mundos da Matemática ............... 100 Figura 03 - Resposta do Aluno 29 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 105 Figura 04 - Resposta do Aluno 10 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 106 Figura 05 - Resposta do Aluno 14 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 106 Figura 06 - Resposta do Aluno 30 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF) ..................................... 106 Figura 07 - Resposta do Aluno 01 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 109 Figura 08 - Resposta do Aluno 12 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 110 Figura 09 - Resposta do Aluno 23 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas simbólicas (CS) ................................ 110 Figura 10 - Resposta do Aluno 34 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 111 Figura 11 - Resposta do Aluno 06 para a Questão 3 ......................................... 111 Figura 12 - Resposta do Aluno 31 para a Questão 6, utilizando método do fator de mudança, classificada como com características corporificadas (C) ............................................................................. 126 Figura 13 - Resposta do Aluno 04 para a Questão 6 classificada como com características corporificadas simbólicas (CS) ................................. 127 Figura 14 - Resposta do Aluno 24 para a Questão 6 classificada como com características corporificadas simbólicas formais (CSF) .................. 128 Figura 15 - Resposta do Aluno 10 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 133 Figura 16 - Resposta do Aluno 24 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 133 Figura 17 - Resposta do Aluno 27 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*) .............................. 134
Figura 18 - Resposta do Aluno 6 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*) .............................. 134 Figura 19 - Resposta do Aluno 2 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*) .............................. 135 Figura 20 - Resposta do Aluno 40 para a Questão 9 classificada como com características corporificadas formais (CF) ...................................... 137 Figura 21 - Resposta do Aluno 36 para a Questão 9 ......................................... 137 Figura 22 - Resposta do Aluno 01 para a Questão 9 ......................................... 138 Figura 23 - Resposta do Aluno 30 para a Questão 9 ......................................... 138 Figura 24 - Resposta do Aluno 10 para a Questão 10 classificada como com características corporificadas formais (CF) ..................................... 140 Figura 25 - Resposta do Aluno 45 para a Questão 12 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 149 Figura 26 - Resposta do Aluno 42 para a Questão 12 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 150 Figura 27 - Resposta do Aluno 46 para a Questão 12 ....................................... 150 Figura 28 - Resposta do Aluno 23 para a Questão 12 ....................................... 151 Figura 29 - Resposta do Aluno 25 para a Questão 13 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 153 Figura 30 - Resposta do Aluno 30 para a Questão 16 classificada como com características corporificadas (C) ..................................................... 164
SUMÁRIO
1 JUSTIFICATIVA ........................................................................................... 29
2 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ................................................................... 39 2.1 Imagem de Conceito e Definição de Conceito ......................................... 39 2.2 Os Três Mundos da Matemática ............................................................. 43 2.2.1 Mundo Conceitual Corporificado .................................................... 45 2.2.2 Mundo Proceitual Simbólico ............................................................. 46 2.2.3 Mundo Axiomático Formal ............................................................... 47 2.3 Considerações Matemáticas sobre a Proporcionalidade e sobre seu Ensino ....................................................................................................... 48 2.3.1 Proporcionalidade na Educação Matemática .................................. 49 2.3.2 Proporcionalidade na Matemática .................................................... 52 2.3.3 Proporcionalidade na Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática, Ensino Médio, Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009) ........................................................................ 56 2.3.4 Proporcionalidade na Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática, Ensino Médio, Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2010) 57 2.4 Pensamento Proporcional ou Raciocínio Proporcional ............................ 58
3 REVISÃO DE LITERATURA ....................................................................... 61
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ..................................................... 71 4.1 A Pesquisa ................................................................................................ 71 4.2 O Questionário........................................................................................... 72 4.3 Análise Preliminar...................................................................................... 74 4.4 Coleta Dos Dados ..................................................................................... 96
5 ANÁLISE DOS DADOS ............................................................................... 99 5.1 Análise por Questão ................................................................................. 99 5.1.1 Análise da Questão 1 ...................................................................... 100 5.1.2 Análise da Questão 2 ....................................................................... 104 5.1.3 Análise da Questão 3 ....................................................................... 108 5.1.4 Análise da Questão 4 ....................................................................... 112 5.1.5 Análise da Questão 5 ....................................................................... 113 5.1.6 Análise da Questão 6 ....................................................................... 124 5.1.7 Análise da Questão 7 ....................................................................... 129 5.1.8 Análise da Questão 8 ....................................................................... 132 5.1.9 Análise da Questão 9 ....................................................................... 135 5.1.10 Análise da Questão 10 ..................................................................... 139 5.1.11 Análise da Questão 11 ..................................................................... 140 5.1.12 Análise da Questão 12 ..................................................................... 148 5.1.13 Análise da Questão 13 ..................................................................... 152 5.1.14 Análise da Questão 14 ..................................................................... 155 5.1.15 Análise da Questão 15 ..................................................................... 159 5.1.16 Análise da Questão 16 ..................................................................... 161 5.1.17 Análise da Questão 17 ..................................................................... 164
5.2 Análise por Aluno ..................................................................................... 166 5.2.1 Análise do Aluno 01 ......................................................................... 168 5.2.2 Análise do Aluno 02 ......................................................................... 169 5.2.3 Análise do Aluno 03 ......................................................................... 169 5.2.4 Análise do Aluno 04 ......................................................................... 170 5.2.5 Análise do Aluno 05 ......................................................................... 171 5.2.6 Análise do Aluno 06 ......................................................................... 171 5.2.7 Análise do Aluno 07 ......................................................................... 172 5.2.8 Análise do Aluno 08 ......................................................................... 172 5.2.9 Análise do Aluno 09 ......................................................................... 173 5.2.10 Análise do Aluno 10 . ....................................................................... 173 5.2.11 Análise do Aluno 11 ......................................................................... 174 5.2.12 Análise do Aluno 12 ......................................................................... 174 5.2.13 Análise do Aluno 13 ......................................................................... 175 5.2.14 Análise do Aluno 14 ......................................................................... 176 5.2.15 Análise do Aluno 15 ........................................................................ 176 5.2.16 Análise do Aluno 16 ........................................................................ 177 5.2.17 Análise do Aluno 17 ......................................................................... 177 5.2.18 Análise do Aluno 18 ......................................................................... 177 5.2.19 Análise do Aluno 19 ......................................................................... 178 5.2.20 Análise do Aluno 20 ......................................................................... 178 5.2.21 Análise do Aluno 21 ......................................................................... 179 5.2.22 Análise do Aluno 22 ......................................................................... 179 5.2.23 Análise do Aluno 23 ......................................................................... 180 5.2.24 Análise do Aluno 24 ........................................................................ 180 5.2.25 Análise do Aluno 25 ........................................................................ 182 5.2.26 Análise do Aluno 26.......................................................................... 182 5.2.27 Análise do Aluno 27 ........................................................................ 183 5.2.28 Análise do Aluno 28 ........................................................................ 183 5.2.29 Análise do Aluno 29 ........................................................................ 183 5.2.30 Análise do Aluno 30 ........................................................................ 184 5.2.31 Análise do Aluno 31 ........................................................................ 185 5.2.32 Análise do Aluno 32 ........................................................................ 186 5.2.33 Análise do Aluno 33 ........................................................................ 186 5.2.34 Análise do Aluno 34 ........................................................................ 186 5.2.35 Análise do Aluno 35 ........................................................................ 187 5.2.36 Análise do Aluno 36 ......................................................................... 188 5.2.37 Análise do Aluno 37 ......................................................................... 188 5.2.38 Análise do Aluno 38 ......................................................................... 188 5.2.39 Análise do Aluno 39 ......................................................................... 189 5.2.40 Análise do Aluno 40 ......................................................................... 190 5.2.41 Análise do Aluno 41 ......................................................................... 191 5.2.42 Análise do Aluno 42 ......................................................................... 191 5.2.43 Análise do Aluno 43 ......................................................................... 192 5.2.44 Análise do Aluno 44 ......................................................................... 192 5.2.45 Análise do Aluno 45 ......................................................................... 193 5.2.46 Análise do Aluno 46 ......................................................................... 193 5.2.47 Análise do Aluno 47 ......................................................................... 194 5.2.48 Análise do Aluno 48 ......................................................................... 194
5.2.49 Análise do Aluno 49 ......................................................................... 195 5.2.50 Análise do Aluno 50 ......................................................................... 195 5.2.51 Análise do Aluno 51 ......................................................................... 196 5.3 Síntese da definição de conceito de cada aluno ..................................... 197 5.4 Síntese dos gráficos na imagem de conceito de cada aluno .................. 198 6 CONCLUSÕES ............................................................................................ 201 7 CONSIDERAÇÕES GERAIS ...................................................................... 209 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 215 ANEXOS ..................................................................................................... 219
29
1 JUSTIFICATIVA
Dentre os conceitos do currículo de Matemática escolhemos trabalhar com o
conceito1 de proporcionalidade por ser um tema de considerável relevância quanto a
sua aplicabilidade em problemas práticos e no contexto matemático. À medida que
avançamos em nossa pesquisa confirmamos ser este um dos mais importantes
conceitos da Educação Básica, não só por si mesmo – definição formal - como
também por todas as ideias que lhe são subjacentes, pois é amplamente abordado
na Matemática elementar, e dá sustentação para muitos tópicos da Matemática, da
Física e de outras áreas. Passamos a vê-lo como um possível fio condutor que
passa pelo Ensino Fundamental - nos estudos de fração, semelhança, regra de três,
porcentagem, grandezas direta e inversamente proporcionais - atravessa o Ensino
Médio - em problemas que envolvem razão e proporção, semelhança ou
representação gráfica de funções que relacionam grandezas diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais – e tem aplicações no Ensino Superior
– no estudo de objetos matemáticos como função e derivada ou no estudo de
modelos matemáticos - tanto na Matemática como em outros componentes
curriculares. É útil na interpretação de fenômenos da Física (nos movimentos com
velocidade ou aceleração constantes), da Química (no balanceamento de equações)
e do cotidiano das pessoas (nos problemas de juros simples ou mesmo nas receitas
caseiras).
Com a constatação da considerável importância do conceito de
proporcionalidade entendemos que o ensino de Matemática da Educação Básica
contemple situações, que possibilitem sua efetiva aprendizagem e perguntamo-nos
se o conceito de proporcionalidade, direta ou inversa, permanece nos alunos, depois
de terem passado pelo seu ensino; quais são as ideias que têm sobre
proporcionalidade; e como as aplicam em algumas situações.
Lesh, Post e Behr (1988), em publicação citada na maioria dos trabalhos que
consultamos, consideram que a aprendizagem da proporcionalidade deve ser vista
1 Neste trabalho, utilizamos a palavra conceito para designar uma definição formal, que seja aceita pela
comunidade matemática como tal (ver mais detalhes no Capítulo 2).
30
como um dos principais objetivos do ensino de Matemática, argumentando que o
raciocínio proporcional abarca toda a Aritmética, bem como representa o alicerce da
Matemática dos anos seguintes.
Vemos o raciocínio proporcional como um conceito fundamental. De um lado, é o ponto culminante da Aritmética das crianças no 1º ciclo do Ensino Fundamental; de outro, é a pedra fundamental de tudo o que se segue.
2
(LESH; POST e BEHR, 1988, p. 94, tradução nossa).
Em outra pesquisa conjunta, Post, Behr e Lesh (1995)3 voltam-se para a
importância do raciocínio proporcional no aprendizado de Álgebra e apontam que,
até os resultados dessa pesquisa (1988), eram considerados capazes de raciocinar
proporcionalmente, os alunos que respondiam corretamente a problemas de valor
ausente - aqueles em que são conhecidos três valores e deseja-se encontrar o
quarto – em situações consideradas numericamente difíceis, ou seja, envolvendo
números não inteiros. Para estes pesquisadores, esta é uma visão limitada, pois
estes problemas prestam-se apenas a resoluções algorítmicas.
Post, Behr e Lesh (1995) apresentam três razões da importância do raciocínio
proporcional no aprendizado de Álgebra. A primeira é que a representação algébrica
das proporções - no caso da proporcionalidade direta é y = mx e no da inversa,
x
my
- cria uma ponte adequada entre experiências (ou modelos numéricos) e
relações simbólicas algébricas. A segunda razão, é que as proporções – igualdade
entre duas razões - são úteis na resolução de problemas que envolvem taxas e
taxas de variação, como velocidade, densidade, consumo e outras formas de
comparação. E a terceira razão, é que diferentes modos de representação, como
tabelas, gráficos, símbolos, desenhos e diagramas, são essenciais não apenas na
Álgebra, mas também em outras áreas da Matemática.
Post, Behr e Lesh (1995) afirmam que o raciocínio proporcional é um dos
componentes do raciocínio formal matemático, passível de ser adquirido na
2 We view proportional reasoning as a pivotal concept. On the one hand, it is the capstone of children’s
elementary school arithmetic; on the other hand, it is the cornerstone of all that is to follow. (LESH; POST e BEHR, 1988, p. 94).
3 Proportionality and the Development of Prealgebra Understandings foi publicado em 1988 no The Idea of
Algebra K-12: Yearbook National Council of Teachers of Mathematics (pp. 78-90) pela editora A. Coxford & A. Shulte.
31
adolescência e “está muito ligado à inferência e à predição e envolve métodos de
pensamento qualitativos e quantitativos”. (POST, BEHR e LESH, 1995, p. 90).
O pensamento qualitativo exige a capacidade de interpretar a viabilidade de
uma resposta, ou seja, é necessário para reconhecer se uma resposta a um
problema faz sentido. Diante de um problema de movimento retilíneo uniforme, por
exemplo: “Se um automóvel percorre em duas horas 48 quilômetros, quantos
quilômetros ele percorrerá em seis horas?”, com o raciocínio qualitativo um indivíduo
é capaz de concluir que sua resposta não pode ser um número inferior a 48 e ainda
mais, sabe que tem que ser um múltiplo de 48.
O pensamento quantitativo trabalha com comparações numéricas, isto é,
envolve a capacidade de um sujeito de interpretar o significado de duas taxas,
guardar essa informação e então compará-las de acordo com algum critério pré-
determinado, como: “são iguais?”, “qual é maior?”, “qual é menor?”. Esse processo
requer um raciocínio comparativo, que vai além de simplesmente utilizar um
algoritmo, como por exemplo, “multiplicar em cruz” ou “comparar quocientes” e que
deve ir além de um cálculo com valores específicos.
Post, Behr e Lesh (1995) acrescentam que, para raciocinar
proporcionalmente, um indivíduo precisa ter o domínio de vários conceitos sobre
números racionais, tais como ordem e equivalência, relação entre a unidade e suas
partes, interpretação de uma razão e questões envolvendo a divisão. Por fim,
concluem que, para raciocinar proporcionalmente
é preciso ter a flexibilidade mental para abordar os problemas por vários ângulos e, ao mesmo tempo, ter noções suficientemente sólidas para não se deixar afetar por números grandes ou ‘complicados’ ou pelo contexto em que se insere o problema. (...) a pessoa precisa ser capaz de distinguir entre situações proporcionais e não proporcionais. Isso tem implicações diretas para o ensino. (POST, BERH, LESH, 1995, p. 91)
Estas afirmações corroboram nosso ponto de vista de que o raciocínio
proporcional engloba aspectos cognitivos muito mais complexos do que
simplesmente “fazer contas” e é um conceito importante no aprendizado de
Matemática.
No Brasil, segundo as orientações curriculares, o desenvolvimento do
raciocínio proporcional é um dos objetivos do ensino da Matemática, sendo o ensino
32
da proporcionalidade muito valorizado, por ser uma ideia Matemática fundamental.
Assim, trazemos aqui algumas informações que consideramos importantes nos
documentos: Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino
Fundamental (BRASIL, 1998); Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+)
(BRASIL, 2002); Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) (BRASIL,
2006); e Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino
Fundamental (BRASIL, 1998) (referentes aos 3º e 4º ciclos) anunciam que o
currículo de Matemática está organizado em quatro blocos - Números e Operações;
Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação. A ideia de
proporcionalidade é trabalhada no bloco Grandezas e Medidas que permite
interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria e de outros
campos do conhecimento.
Segundo este documento, no 3º ciclo4 o ensino de Matemática tem como
objetivo o desenvolvimento do raciocínio proporcional, explorando situações de
aprendizagem que levem o aluno a “observar a variação entre grandezas,
estabelecendo relação entre elas e construir estratégias de solução para resolver
situações que envolvam a proporcionalidade” (BRASIL, 1998, p. 65) e sugere como
forma de abordagem explorar
problemas que levem os alunos a fazer predições por meio de questões que envolvam aspectos qualitativos e quantitativos (O número encontrado deveria ser maior ou menor? Quanto maior? Essa resposta faz sentido?). (BRASIL, 1998, p. 67).
No 4º ciclo5, o ensino de Matemática tem como objetivo o desenvolvimento do
raciocínio proporcional, explorando situações de aprendizagem que propiciem ao
aluno
representar em um sistema de coordenadas cartesianas a variação de grandezas, analisando e caracterizando o comportamento dessa variação em diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não-proporcional; resolver situações-problema que envolvam a variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais, utilizando estratégias não-convencionais e convencionais, como as regras de três. (BRASIL, 1998, p. 82).
4 O 3º ciclo do Ensino Fundamental corresponde às 5ª e 6ª séries (6º e 7º anos atuais)
5 O 4º ciclo do Ensino Fundamental corresponde às 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos atuais)
33
Para tanto os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o
Ensino Fundamental (BRASIL, 1998) apontam que o aluno poderá desenvolver a
noção de proporcionalidade ao analisar a natureza da variação de duas grandezas
diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais,
expressando esta relação na forma algébrica e no plano cartesiano. E acrescentam
que para a compreensão da proporcionalidade é preciso explorar situações em que
as relações não sejam proporcionais, os contra exemplos.
Na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) os
conteúdos disciplinares fundamentais de Matemática, tanto no Ensino Fundamental
quanto no Ensino Médio abrangem quatro blocos temáticos: Números; Geometria;
Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação. Segundo esta proposta, a ideia
de proporcionalidade, direta ou inversa, é trabalhada inicialmente em uma 6ª série
(atual 7º ano) do Ensino Fundamental, com a construção de uma maquete, por
exemplo, com a qual o aluno poderá utilizar redução e ampliação de medidas,
escalas e frações equivalentes, com o intuito de despertar interesses sem uma
preocupação formal com o uso de uma representação simbólica. Visando ampliar os
horizontes do aluno, no Ensino Médio o ensino da proporcionalidade é retomado no
“estudo das funções linear e afim, seja em contexto puramente matemático ou
aplicado ao estudo da cinemática apresentado na Física” (SÃO PAULO, 2008, p.
49).
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), no que se
refere ao estudo sobre funções, observa:
As ideias de crescimento, modelo linear e proporcionalidade direta devem ser colocadas em estreita relação, evidenciando-se que a proporcionalidade direta é um particular e importante modelo de crescimento. Nesse momento, também é interessante discutir o modelo de decrescimento com proporcionalidade inversa . O professor deve estar atento ao fato de que os alunos identificam sistematicamente, de forma equivocada, crescimento com proporcionalidade direta e decrescimento com proporcionalidade inversa, e aqui é interessante trazer situações do quotidiano para ilustrar diferentes tipos de crescimento/decrescimento de grandezas em relação. (BRASIL, 2006, p. 72)
Este documento traz, de maneira explícita, nossa preocupação pela possível
forma equivocada com que os alunos identificam uma relação de proporcionalidade
direta ou de proporcionalidade inversa e que, em algumas oportunidades, nos fez
34
manter conversas informais com professores de Matemática. Confirmaram este
equívoco, com algumas experiências vividas em sala de aula, com frases utilizadas
por alguns alunos para a proporcionalidade direta: “Se uma grandeza cresce a outra
também cresce” e para a inversa: “Quando uma variável cresce, a outra decresce”.
Esta nossa afirmação é corroborada por Bisognin, Fioreze e Cury (2007), que
descrevem a fala de um aluno ao explicar porque escolheu o gráfico de uma função
linear como representativo de uma relação entre duas grandezas diretamente
proporcionais dizendo: “sendo x=y, se x cresce, y também cresce e, se x decresce, y
também decresce na mesma proporção” (BISOGNIN, FIOREZE e CURY, 2007, p.
34).
Sierpinska (1992), no artigo “On understanding the notion of function”, traz à
tona outra dificuldade associada ao entendimento da ideia de proporcionalidade e
que, segundo ela constitui-se em um obstáculo epistemológico, entendido como
formas de compreensão baseadas em alguns esquemas inconscientes de pensamento, adquiridos culturalmente ou em crenças não questionadas sobre a natureza da matemática e sobre as categorias fundamentais, tais como número, espaço, causa, probabilidade, infinito, ... inadequados em relação à teoria atual
6 (SIERPINSKA, 1994, p. xi, tradução nossa).
Esta pesquisadora categoriza dezesseis obstáculos epistemológicos
associados ao conceito de função e o de número 9 é especialmente ligado à ideia de
proporcionalidade: “(Um esquema inconsciente de pensamento) Proporção é uma
forma privilegiada de relação”7 (SIERPINSKA, 1992, p. 43, tradução nossa).
Por muito tempo a proporção foi uma relação que manteve um lugar
privilegiado entre as outras relações, com uma sólida base teórica desenvolvida nos
Elementos de Euclides e por esta razão as proporções eram vistas por toda parte.
Além disso, Sierpinska (1992) observou que “há, na proporcionalidade, uma espécie
de simplicidade, de obviedade, que se impõe sobre nós, às vezes até mesmo contra
os fatos... pelo menos em pequenos intervalos” (GRIZE, 1968, p. 171, apud
SIERPINSKA, 1992, p. 42). Como a "lei algébrica" não aparece explicitamente na
definição formal isto, pode ser considerado como um obstáculo.
6 ways of understanding based on some unconscious, culturally acquired schemes of thought and unquestioned
beliefs about the nature of mathematics and fundamental categories such as number, space, cause, chance, infinity,…inadequate with respect to the present day theory. (SIERPINSKA, 1994).
7 (An unconscious scheme of thought) Proportion is a privileged kind of relationship.
35
Por esta razão, podemos ousar a dizer que todos os sujeitos enfrentam tal
dificuldade e isso explicaria o equivoco em definir uma relação como de
proporcionalidade direta quando duas grandezas aumentam ou de proporcionalidade
inversa quando uma variável aumenta e a outra diminui ou mesmo em considerar
sempre proporcional uma relação entre duas grandezas.
Por fim, reforçou a nossa vontade em trabalhar com o conceito de
proporcionalidade o comentário de Lima (2011), no capítulo Grandezas
Proporcionais, de que a definição de grandezas proporcionais é clara, simples e
elementar, ao discorrer sobre a obra “Aritmética Progressiva”, de Antônio Trajano (2ª
edição em 1884).
Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando elas se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada ou dividida pelo mesmo número. No primeiro caso, a proporcionalidade se chama direta e, no segundo, inversa; as grandezas se dizem diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. (TRAJANO,1959, p.142 apud LIMA, 2011, p. 125).
Entretanto, mais adiante acrescenta:
Infelizmente, mais de 100 anos depois da primeira edição de Trajano, vários autores contemporâneos de livros usados em nossas escolas ainda fazem confusão acerca de grandezas direta ou inversamente proporcionais, especialmente quando uma grandeza depende de várias outras. (LIMA, 2011, p.125).
Tendo em mente que a proporcionalidade é um conceito dos mais
importantes da Educação Básica, com essas leituras atentamos para os vários
alertas sobre os possíveis equívocos na sua compreensão. Assim alguns
questionamentos começaram a emergir: “Será que alunos do Ensino Médio têm
presentes, na estrutura cognitiva, os conceitos de proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa?”; “Como trabalham com esses conceitos?”; “Utilizam
gráficos, tabelas, textos ou símbolos?”; “Sabem reconhecer se uma relação é
diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional?”,
“Reconhecem (ou conhecem) as expressões correspondentes?”. E de uma maneira
particular nos perguntamos se um indivíduo utiliza e reconhece a representação
gráfica, quando trabalha com a proporcionalidade, pois consideramos importante
36
que um sujeito saiba associar gráficos com as ideias de proporcionalidade direta e
de proporcionalidade inversa.
Deste modo, para obter resposta a estes questionamentos optamos por
estruturar um questionário diagnóstico sobre o conceito de proporcionalidade e
aplicá-lo a alunos do 3º ano do Ensino Médio.
Com o intuito de escolher uma fundamentação teórica, que pudesse dar
embasamento, tanto para a formulação de nossas questões de pesquisa, como para
a estruturação da pesquisa como um todo, realizamos várias leituras que nos
proporcionaram tomar contato com teorias relacionadas com o ensino e a
aprendizagem de Matemática, utilizadas por outros pesquisadores em suas
dissertações e teses. Dentre estas teorias, escolhemos os Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004), uma teoria que está preocupada em entender o
desenvolvimento cognitivo do ser humano, em Matemática, desde a infância até a
idade adulta. A nossa decisão em utilizar esta teoria foi reforçada principalmente ao
conhecer suas ideias subjacentes de imagem de conceito e de definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981). Segundo estes pesquisadores, para o desenvolvimento
cognitivo de um indivíduo são necessárias atividades que englobem diferentes tipos
de pensamento matemático, que categorizam em três diferentes mundos: mundo
conceitual corporificado, mundo proceitual simbólico e mundo axiomático formal.
Escolhido o quadro teórico (ver descrição mais detalhada no capítulo
seguinte) e após seu estudo, pudemos reformular nossos questionamentos
apresentados anteriormente e elaborar nossas questões de pesquisa, quais sejam:
1. Qual a definição de conceito que alunos do Ensino Médio dão de
proporcionalidade direta?
2. Qual a imagem de conceito que alunos do Ensino Médio têm da
proporcionalidade direta?
3. Qual a definição de conceito que alunos do Ensino Médio dão de
proporcionalidade inversa?
4. Qual a imagem de conceito que alunos do Ensino Médio têm da
proporcionalidade inversa?
37
5. Com que características, entre formais, simbólicas e corporificadas, esses
alunos trabalham questionamentos que envolvem a proporcionalidade
direta?
6. Com que características, entre formais, simbólicas e corporificadas esses
alunos trabalham questionamentos relacionados à proporcionalidade
inversa?
38
39
2 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
No capítulo anterior, descrevemos a importância da aprendizagem do
conceito de proporcionalidade, segundo nosso entendimento e no entendimento de
outros pesquisadores, bem como a preocupação observada por estudiosos da área
de Educação Matemática e pelos documentos oficiais, no que concerne ao
aprendizado desse conceito e também nossas questões de pesquisa, apesar de não
termos ainda introduzido o referencial teórico que as sustentou, pois consideramos
importante apresentá-las no inicio da nossa dissertação.
Neste capítulo, apresentamos o quadro teórico dos Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004) e as definições de imagem de conceito e de definição de
conceito (TALL e VINNER, 1981) no qual fundamentamos nossa pesquisa. Mais do
que expor toda a teoria, que está bem apresentada em inúmeros
trabalhos ( (GIRALDO, 2004); (LIMA, 2007); (TALL, 2004)) damos alguns exemplos
e algumas ideias, que consideramos importantes para nosso trabalho ou que se
aplicam a ele.
Buscamos aporte na teoria dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) e
principalmente nas suas ideias subjacentes de imagem de conceito e definição de
conceito (TALL e VINNER, 1981) na perspectiva de embasar nossa pesquisa:
formular as questões de pesquisa; elaborar o instrumento de coleta de dados; e
analisar os protocolos gerados pelos participantes, a saber, alunos do 3º ano do
Ensino Médio, referentes ao pensamento proporcional (ver Seção 2.4).
2.1 Imagem de conceito e definição de conceito
Tall e Vinner (1981) consideram que o desenvolvimento cognitivo de um
indivíduo em relação a um conceito matemático é dado pela diversidade das ideias,
isto é, das experiências relacionadas a este conceito que o indivíduo acumula e que,
a compreensão da própria definição do conceito só é possível, quando estas ideias
são ricas e variadas. Neste caso, a aprendizagem é favorecida pela multiplicidade
de representações presentes na abordagem pedagógica escolhida pelo professor, o
40
que quer dizer que um conceito matemático não deve ser introduzido ou trabalhado
tendo como única referência pedagógica sua definição formal, ou seja, aquela que é
aceita pela comunidade acadêmica da Matemática.
Para que um conceito matemático seja satisfatoriamente compreendido pelo
indivíduo é pedagogicamente aconselhável que sua definição seja acompanhada por
uma ampla gama de ideias, todas associadas a ele e que irão formar o que Tall e
Vinner (1981) chamam de imagem de conceito.
Usaremos o termo imagem de conceito para descrever a estrutura cognitiva total associada a um conceito, que inclui todas as imagens mentais, propriedades e processos associados. Ela é construída ao longo dos anos por meio de experiências de todos os tipos, mudando à medida que o indivíduo encontra novos estímulos e amadurece
8 (TALL; VINNER,1981, p.
152, tradução nossa).
Um indivíduo, ao interagir com determinado conceito matemático, processa as
ideias e as incorpora, ou não, à sua estrutura cognitiva, de forma pessoal. Deste
modo, só é possível falar de imagem de conceito individual e não imagem de
conceito de um conceito.
A imagem de conceito não é uma estrutura estática e pode modificar-se ao
longo do tempo, de acordo com o desenvolvimento cognitivo individual, com novas
concepções incluídas e antigas excluídas ou modificadas. Por exemplo, no momento
em que aprende que a proporcionalidade direta pode ser representada graficamente
por meio de uma reta com coeficiente angular positivo e passando pela origem, um
aluno pode ampliar a imagem de conceito associada à regra de três, anteriormente
estudada apenas algebricamente.
Faz parte da imagem de conceito o que Tall e Vinner (1981) denominam
definição de conceito, que é o conjunto de palavras utilizadas por um indivíduo para
definir um conceito matemático. A definição de conceito é, portanto, individual e
pode ter sido decorada ou construída a partir das ideias presentes na imagem de
conceito e pode estar relacionada, em maior ou menor grau, a uma definição de
conceito formal, como a que é aceita pela comunidade matemática (TALL; VINNER,
1981). Assim como a imagem de conceito, a definição de conceito pode mudar ao
8 We shall use the term concept image to describe the total cognitive structure that is associated with the concept,
which includes all the mental pictures and associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of all kinds, changing as the individual meets new stimuli and matures. (TALL e VINNER, 1981)
41
longo do tempo, à medida que o indivíduo incorpora novas ideias, relacionadas ao
conceito.
Vinner (1991) ainda acrescenta que tanto a definição de conceito como a
imagem de conceito, ou mesmo as duas, podem ser inexistentes, se “nenhum
significado é associado ao nome do conceito” 9. (VINNER, 1991, p. 70, tradução
nossa) e isto pode ocorrer por várias razões: quando a definição de um conceito é
memorizada, sem que lhe seja atribuido um significado; quando um conceito é
introduzido utilizando apenas sua definição; ou ainda quando a definição permanece
desativada, podendo até ser esquecida. Para que uma definição de conceito faça
sentido para um indivíduo e possa ser convertida em pensamento matemático, deve
haver uma imagem de conceito pré-existente.
A definição de um conceito pode ser criada pelo indivíduo quando solicitado a
explicar este conceito. Por exemplo, se perguntarmos “O que é proporcionalidade
direta?”, um sujeito pode dar uma definição formal, como a instituida pela
comunidade científica ou ainda descrever uma das concepções presentes na sua
imagem de conceito, como “Duas quantidades são diretamente proporcionais se o
gráfico cartesiano for uma reta com inclinação positiva e que passa pela origem”.
Uma definição de conceito, mesmo aquela que corresponda à definição
formal, sem uma imagem de conceito rica, pode ser inútil. As ideias de imagem de
conceito e de definição de conceito apresentadas por Tall e Vinner (1981) sugerem
que a compreensão de um conceito matemático acontece pelo enriquecimento das
ideias associadas a ele e os autores sugerem que a abordagem pedagógica para
um conceito matemático deve objetivar não somente a compreensão da definição
formal, mas também o enriquecimento das imagens de conceito desenvolvidas pelos
alunos. Desta maneira, pensamos que o professor deve evitar, por exemplo, um
ensino baseado apenas em representações algébricas e explorar outras formas de
representação, como gráficos, tabelas, exemplos numéricos ou qualquer experiência
associada ao conceito.
Um sujeito que tem uma ideia de proporcionalidade direta correta pode ter
uma imagem mental: de um gráfico com uma reta com coeficiente angular positivo e
que passa pela origem do sistema de coordenadas; de uma expressão algébrica do
9... some meaning is not associated with the concept name. (VINNER, 1991).
42
tipo ; ou de algum exemplo numérico. E, ter uma ideia de
proporcionalidade inversa correta, com uma imagem mental: de um gráfico com uma
hipérbole; de uma expressão algébrica do tipo ⁄ ; ou de algum exemplo
numérico.
Por outro lado, quando pensar em uma relação de proporcionalidade direta,
um sujeito pode ter concepções equivocadas emergindo ideias do tipo: uma tabela
onde as variáveis aumentam, mas não existe uma razão constante entre elas; um
gráfico com uma parábola do tipo ; ou uma frase do tipo “quando uma
grandeza aumenta a outra também aumenta”. E no caso da proporcionalidade
inversa emergir de modo equivocado uma tabela onde os valores de uma variável
aumentam e os da outra diminuem, mas não existe um produto constante entre elas;
um gráfico com uma reta com coeficiente angular negativo; ou uma frase do tipo:
“quando uma grandeza aumenta a outra diminui”. Nestes casos, pode construir uma
imagem de conceito com propriedades incorretas como “uma função polinomial de
2º grau exprime uma relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas”; ou
“toda função crescente é diretamente proporcional”; ou “toda função decrescente é
inversamente proporcional”.
O instrumento de coleta de dados desta pesquisa diagnóstica foi desenvolvido
de modo a obter respostas às nossas questões de pesquisa verificando, por meio
das definições de conceito e das imagens de conceito, quais e quão variadas são as
imagens mentais, propriedades e processos, presentes na estrutura cognitiva do
sujeito, referentes ao conceito de proporcionalidade. Este instrumento verificou as
definições que indivíduos apresentam sobre proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa; como reconhecem situações de proporcionalidade direta
ou proporcionalidade inversa, tanto algébrica como graficamente; e se estes
conceitos estão presentes e como estão presentes. Se o aluno não sabe: dar
exemplo de proporcionalidade; o que é a constante de proporcionalidade;
reconhecer um gráfico de proporcionalidade direta ou de proporcionalidade inversa;
nem associar a esses gráficos as expressões algébricas correspondentes, este
aluno não mostra ter na imagem de conceito características variadas e necessárias
para favorecer a aprendizagem.
43
2.2 Os Três Mundos da Matemática
No quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, Tall (2004) afirma que
para o aprendizado são necessárias atividades que englobem diferentes tipos de
pensamento matemático e os categoriza em três distintos, porém relacionados
mundos: Mundo Corporificado, Mundo Simbólico e Mundo Formal. Estes não são
nem hierárquicos nem obrigatórios e cada indivíduo traça o próprio caminho entre
eles. À medida que cada indivíduo “viaja” pelos mundos, surgem dificuldades, que
necessitam de ideias anteriores para serem superadas, de modo que a viagem é
individual e não é a mesma para cada viajante. Ao contrário,
diferentes indivíduos lidam com os vários obstáculos de modos diferentes, que acarretam uma variedade de desenvolvimentos pessoais, alguns dos quais permitem que o indivíduo progrida com sofisticação crescente, de forma significativa, enquanto outros acarretam concepções alternativas, ou mesmo fracassos
10 (TALL, 2004, p.286, tradução nossa).
A presença simultânea de características do mundo corporificado, do mundo
simbólico e do mundo formal é que garantirá uma imagem de conceito rica o
suficiente para que possamos afirmar que houve aprendizagem (TALL, 2004).
A Figura 1 apresenta a integração entre os três mundos de acordo com Tall
(2004), que considera que num determinado ponto do desenvolvimento cognitivo um
indivíduo pode estar entre dois mundos: "simbólico corporificado", onde as
características são símbolos e corporificações e o próprio simbolo pode ser
corporificado; "corporificado formal”, onde o pensamento formal é sustentado pelas
corporificações e ainda onde as idéias corporificadas são traduzidas em estruturas
formais; e "simbólico-formal”, onde as idéias simbólicas são traduzidas em
formalismo.
10
different individuals handle the various obstacles in different ways that lead to a variety of personal developments, some of which allow the individual to progress through increasing sophistication in a meaningful way while others lead to alternative conceptions, or even failure. (TALL, 2004)
44
Figura 1 - Três Mundos da Matemática Fonte: Lima e Tall (2010, tradução e adaptação nossa)
Dado um problema no qual desejamos saber o que acontece com a área de
um quadrado quando dobramos o seu lado, um sujeito para chegar à resposta pode
utilizar como imagem mental um quadrado de lado decomposto em quatro
quadrados de lado . Neste caso, estará mostrando características corporificadas e
formais, pois utiliza a imagem de quadrados decompostos, que o leva a pensar
corretamente.
Segundo a teoria dos Três Mundos da Matemática, para haver aprendizado
são necessárias atividades que englobem os diferentes tipos de pensamento
matemático, por meio de uma ampla gama de experiências, imagens mentais,
procedimentos, processos, com características as mais ricas possíveis. Como cada
indivíduo reage a uma determinada situação de acordo com as características da
sua imagem de conceito, o sucesso depende do tipo de situação e de como é essa
reação.
Por cooptarmos com a teoria dos Três Mundos da Matemática, ao
elaborarmos nosso questionário diagnóstico, colocamos questões que nos
propiciaram identificar as possíveis características presentes na imagem de conceito
de proporcionalidade do participante.
45
2.2.1 Mundo Conceitual Corporificado
No mundo conceitual corporificado, ou somente mundo corporificado,
observamos e descrevemos as propriedades que conseguimos perceber e sentir de
um objeto. O mundo corporificado “cresce a partir de nossas percepções do mundo
e consiste no nosso pensamento sobre as coisas que percebemos e sentimos, não
só no mundo físico, mas em nosso próprio mundo mental dos significados” 11 (TALL,
2004, p. 285, tradução nossa). No mundo corporificado ocorrem as experiências que
envolvem objetos físicos: observação, manipulação, descrição de propriedades,
embora o indivíduo não precise manipular fisicamente o objeto, pois pode fazê-lo em
pensamento.
Assim, ao pensar numa relação entre duas grandezas diretamente
proporcionais, podemos corporificar este conceito, mesmo que mentalmente,
“vendo” o gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo e que passa pela
origem. Ou, ao pensar numa relação entre duas grandezas inversamente
proporcionais, podemos corporificar este conceito, mesmo que mentalmente,
“vendo” uma tabela que apresenta o resultado de uma loteria onde o valor do prêmio
de cada ganhador diminui à medida que o número de ganhadores aumenta.
De acordo com Lima (2006) o mundo corporificado surge a partir das nossas
percepções e das ações sobre objetos tanto físicos como mentais.
Pela observação e manipulação dos objetos, é possível compreender os conceitos matemáticos que estão associados a eles. Com a experiência, o individuo pode também desenvolver experimentos mentais e extrair significados deles em vez de apenas relatar suas características físicas. Este é o mundo onde ações são executadas a fim de dar significado matemático às propriedades dos objetos.
12 (LIMA, 2006, p. 139, tradução
nossa)
No mundo corporificado, entendemos (e aceitamos) que o conceito de
proporcionalidade direta e inversa pode ser representado por gráficos, tabelas,
exemplos numéricos ou ainda por um texto na língua materna, no qual o sujeito
descreve sua imagem mental, sem se preocupar com uma linguagem formal.
11 grows out of our perceptions of the world and consists of our thinking about things that we perceive and sense,
not only in the physical world, but in our own mental world of meaning. (TALL, 2004). 12
By observing and manipulating objects, it is possible to grasp mathematical concepts which are related to them. With experience, the individual can also develop mental experiments and extract meaning from them instead of only rely on physical ones. This is the conceptual-embodied world, where actions are performed in order to give mathematical meaning to properties of objects. (LIMA, 2006).
46
2.2.2 Mundo Proceitual Simbólico
O mundo proceitual simbólico ou apenas mundo simbólico é aquele no qual
os símbolos matemáticos são usados não só para representar e efetuar ações, mas
também para representar o produto que é resultado dessas ações. Segundo Tall
(2004), o mundo simbólico é composto por símbolos matemáticos que representam
as ações e as percepções do mundo corporificado.
À medida que o indivíduo evolui, sente necessidade de representar de outra
forma as ações que experimenta no mundo corporificado e, para isso, usa símbolos
matemáticos, que são característicos do mundo simbólico e exigem uma linguagem
um pouco mais precisa do que a utilizada no mundo corporificado.
Os símbolos têm significados precisos, que devem ser respeitados tanto ao serem ditos, quanto ao serem escritos. Logo, a linguagem nesse mundo deve levar em conta os termos apropriados para as manipulações simbólicas e os cálculos a serem usados para validações. (LIMA, 2007, p.79).
Como no caso do indivíduo que sabe que a expressão algébrica para calcular
a área do circulo é e ainda que o símbolo é um número real irracional,
vale 3,14159... e que, na verdade, quase sempre trabalhamos com um valor
aproximado.
No mundo corporificado duas grandezas proporcionais podem ser
representadas, por exemplo, por uma tabela ou por um exemplo numérico. No
mundo simbólico são dadas propriedades matemáticas corretas a esta relação,
transformando sua linguagem em uma expressão do tipo ou
ou ainda
(que se traduz por
e pode ser conhecido por regra de três).
Utilizamos símbolos para representar conceitos matemáticos e, segundo Lima
(2007), estes carregam uma dualidade entre processo e conceito. O amálgama entre
processo e conceito, representado num mesmo símbolo, é o que Gray e Tall (1994)
chamam de procept (process+concept). Por exemplo, o conjunto de símbolos 5+4
representa ambos, o processo utilizado na adição de dois números naturais e, ao
mesmo tempo, o conceito de adição.
47
Esta dualidade dos símbolos como processo e conceito é chamada procept
13 por Gray e Tall (1994) e eles entendem que a flexibilidade de
passar do processo para o conceito ajuda os indivíduos a dar sentido aos símbolos matemáticos
14 (LIMA, 2006, p.139, tradução nossa)
No caso da proporcionalidade direta, o conjunto de símbolos , que
já foi utilizado para expressar “a está para b assim como c está para d” pode ser
olhado como um proceito, pois encerra um conceito, o de proporcionalidade direta, e
um processo, de que temos que fazer para calcular qualquer um deles,
dados os outros três.
2.2.3 Mundo Axiomático Formal
O mundo axiomático formal ou apenas mundo formal é o mundo das
definições, axiomas, teoremas e demonstrações, que constituem o sistema
axiomático da Matemática.
Segundo Lima (2007), o trabalho no mundo formal, diferentemente do que
pode ocorrer nos outros dois mundos, é caracterizado pela utilização de linguagem
formal, com definições formais e axiomas para explicar um conceito matemático e a
partir dos quais são feitas deduções e demonstrações.
Em Lima et al. (2006) a definição de grandezas proporcionais é apresentada
com característica do mundo formal:
Uma proporcionalidade é uma função tal que, para quaisquer
números reais c, x tem-se )(.)( xfccxf (proporcionalidade direta) ou
c
xfcxf
)()( , se c 0 (proporcionalidade inversa). (LIMA et al., 2006)
Em Lima (2011) a definição de grandezas proporcionais é apresentada com
características corporificadas formais:
13
O termo “procept” foi traduzido por Lima (2007) para proceito. 14
This duality of symbols as processes and concepts is called procept by Gray and Tall (1994) and they
hypothesise that the flexibility of moving from the process to the concept helps individuals to give meaning to mathematical symbols. (LIMA, 2007).
48
Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando elas se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada ou dividida pelo mesmo número. No primeiro caso, a proporcionalidade se chama direta e, no segundo, inversa; as grandezas se dizem diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. (TRAJANO, 1959, p.142 apud LIMA, 2011, p. 125).
O indivíduo, ao definir o conceito de proporcionalidade inversa, com
características corporificadas formais, pode apresentar algo do tipo: “Seja a
grandeza uma função da grandeza , isto é, Dizemos que é
inversamente proporcional a quando: é uma função decrescente de e, se for
multiplicado por um número real , o valor correspondente de fica dividido por .
Logo: ⁄ para todo valor de e r ”.
2.3 Considerações matemáticas sobre a proporcionalidade e
sobre o seu ensino
A elaboração de uma pesquisa, qualquer que seja, requer conhecimento
sobre o tema pesquisado, tanto para elaborar o instrumento de coleta de dados da
pesquisa, como para analisar seus protocolos e tirar conclusões. No caso desta
pesquisa procuramos obter o suporte teórico sobre a ideia Matemática de
proporcionalidade, não só nas leituras de dissertações e teses de outros
pesquisadores, mas também em livros de autores que consideramos
matematicamente consagrados.
Escolhemos um artigo de um grupo da Educação Matemática, Post, Behr e
Lesh (1995), por ser referência na área sobre raciocínio proporcional e cujos
resultados têm servido de base para pesquisas, propostas curriculares e elaboração
de aspectos importantes para o ensino de proporcionalidade e que nos ajudou na
análise dos protocolos dos alunos.
Consultamos também duas publicações produzidas por matemáticos e
dirigidas a professores de Matemática: o artigo Grandezas Proporcionais publicado
no livro Meu Professor de Matemática e outras histórias (LIMA, 2011), que é uma
coleção de ensaios sobre Matemática Elementar; e o volume 1 da coleção A
Matemática do Ensino Médio (LIMA et al., 2006). Com elas pretendemos colocar
uma definição formal do conceito de proporcionalidade (características formais) e
49
resultados matemáticos decorrentes dela e que, na verdade, servem como base
para pensarmos numa transformação deste conceito, para que chegue à sala de
aula.
E analisamos a Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática,
Ensino Médio, o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009) e o Caderno do Aluno
(SÃO PAULO, 2010), por serem fontes confiáveis do ponto de vista de uma prática
educativa, para verificar a forma como o conceito de proporcionalidade é
apresentado ao professor e ao aluno nas escolas públicas do Estado de São Paulo.
No que segue, fazemos um relato das ideias que nos ocorreram com essas
leituras.
2.3.1 Proporcionalidade na Educação Matemática
Post, Behr e Lesh (1995) apontam a importância do raciocínio proporcional no
aprendizado de Álgebra, no caso especifico da proporcionalidade direta,
apresentando três razões para o ensino da proporcionalidade. A primeira é que, na
introdução à Álgebra o professor deve trabalhar com os alunos a ideia de
dependência de variáveis, como uma forma de manipular aspectos do mundo real.
Como tal, a proporcionalidade é um exemplo simples, mas importante, de função em
Matemática, à medida que serve como uma ponte entre experiências (ou modelos
numéricos) e relações simbólicas algébricas. A segunda razão é que as proporções,
como igualdade entre duas razões, são úteis na resolução de problemas que
envolvem taxas e taxas de variação, como velocidade, densidade e consumo. Neste
caso, o método da taxa unitária é uma técnica que tira proveito do pensamento
considerado natural dos alunos, para construir novas maneiras de conhecer e de
interpretar a conhecida “regra de três” e que vão além do simples algoritmo de
resolução. A terceira razão é que a proporcionalidade envolve diferentes formas
pelas quais as ideias algébricas podem ser representadas: tabelas, gráficos,
símbolos, equações, desenhos e diagramas.
Concordamos com essas três razões e fazemos uma ligação com a nossa
fundamentação teórica: apresentar o conceito de variável está ligado ao Mundo
Formal, pois a ideia da existência de uma relação entre grandezas prepara o aluno
para o ensino de função, que aparece explicitamente na primeira parte da definição
50
do conceito de proporcionalidade “proporcionalidade é uma função f: “ (ver
definição dada por Lima et al. ( 2006) na página 53).
Quando estes autores sugerem aproveitar a ideia de taxa unitária, que as
crianças já possuem, para construir outra interpretação da regra de três, estão
utilizando o que Vinner (1991) recomenda quando se refere a usar experiências
anteriores presentes na imagem de conceito de um sujeito, pois para que uma
definição de conceito faça sentido para um indivíduo - e possa ser convertida em
pensamento matemático - deve haver uma imagem de conceito pré-existente
(VINNER, 1991).
E por fim, ao sugerir abordagens diversas para a proporcionalidade, Post,
Behr e Lesh (1995) concordam com Tall e Vinner (1981) que para um conceito
matemático ser satisfatoriamente compreendido por um sujeito, é pedagogicamente
aconselhável que sua definição seja acompanhada por uma ampla gama de ideias,
todas associadas a ele, o que quer dizer que não devemos nos ater a trabalhar
apenas uma definição formal, como a que é aceita pela comunidade acadêmica da
Matemática.
Por exemplo, em geral o primeiro tipo de problema relacionado com a
proporcionalidade é o do valor ausente: dados a, b e c, determine x tal que
Este algoritmo é um método eficaz, cujo processo de resolução consiste em
multiplicar em cruz e achar o , que depende de operações que podem ser
consideradas simples (multiplicação e divisão), porém pode tornar-se um processo
mecânico, viciado, sem ligação com o contexto em que foi colocado; portanto, deve-
se evitar introduzi-lo no início do ensino sobre proporcionalidade e fazê-lo somente
após desenvolver abordagens mais amplas, para que os alunos percebam as
relações de proporcionalidade envolvidas.
A abordagem que Post, Behr e Lesh (1995) consideram de maior apelo
intuitivo para resolver este tipo de problema é o método da taxa unitária ou “quantos
por um”, pois segundo eles as crianças já compraram uma ou muitas coisas e
tiveram oportunidade de calcular preços unitários – taxa unitária, o que quer dizer
que esta ideia está na imagem de conceito de multiplicação. Por exemplo, dado o
valor de um objeto, deseja-se saber o valor de vários (problema da multiplicação); ou
dado o valor de vários objetos, deseja-se saber o valor de um (problema da divisão).
51
Modificando as condições do problema, pode-se alterar o nível de dificuldade:
por exemplo, com situações de proporção em que a taxa unitária não é conhecida e
dado o valor de uma determinada quantia (não unitária) de objetos, deseja-se saber
o valor de outra quantia (não unitária). Estes problemas são protótipos da
propriedade das proporções, também têm relação com os problemas de
multiplicação e de divisão e podem ser pensados como uma proporção com um
valor ausente.
Outro método para resolver problemas de valor ausente é o do fator de
mudança, utilizado para resolver problemas envolvendo um raciocínio do tipo “outras
tantas vezes” que em situações proporcionais, quer dizer: se uma variável é múltipla
de outra num determinado par-taxa (par-taxa é o quociente entre a variável
dependente e variável independente) “ essa variável deverá ser igualmente x vezes
a outra no par-taxa equivalente” (POST, BEHR, LESH, 1995, p.95).
A facilidade do uso desse método depende da relação entre os valores
envolvidos no problema, isto é, serão muito provavelmente utilizados apenas quando
os valores forem múltiplos inteiros. Os autores constataram que muitos professores
têm dificuldade com a interpretação, quando os números não são múltiplos inteiros e
também quando as relações são genéricas, isto é, por meio de parâmetros “... se
Sally pagou a centavos por b disquetes, quanto pagaria pelo quádruplo desse
número (4b)?” (POST, BEHR e LESH, 1995, p.96). Os autores concluem que este
método constitui uma interpretação útil da proporcionalidade e deve fazer parte do
aprendizado de todo aluno da Educação Básica. Em consideração às ideias postas
por Post, Behr e Lesh (1995), colocamos no nosso questionário duas questões
envolvendo valor ausente, utilizando valores múltiplos inteiros e solicitamos ao
participante que explicasse o procedimento adotado, de modo a podermos
diferenciar uma resolução baseada apenas na aplicação mecânica de um algoritmo
de uma não.
O segundo tipo de problemas relacionados com proporção são os problemas
de comparação numérica, que envolvem comparar duas taxas e determinar qual é a
maior ou menor. Uma forma de lidar com esse tipo de problema é achar cada uma
das taxas unitárias e então compará-las. Por esse motivo, o método da taxa unitária
“deveria ter um papel de destaque nos currículos pré-álgebra”. (POST, BEHR e
LESH, 1995, p.97).
52
Às situações de proporcionalidade do tipo “problemas de valor ausente”, que
podem ser repensadas a partir de perspectivas de multiplicação e de divisão,
podemos acrescentar a interpretação gráfica da proporcionalidade, em que a taxa
unitária pode ser interpretada como a taxa de variação (m) de uma função linear
e cujas coordenadas dos pontos podem ser associadas a frações, razões ou
pares-taxa (onde o numerador é a variável dependente e o denominador a variável
independente) equivalentes. O gráfico pode ser utilizado para produzir as razões
equivalentes e para identificar a incógnita no segundo membro da equação de um
problema do valor ausente, pois o gráfico que é uma reta define completamente a
relação entre todos os pares-taxa equivalentes.
Por exemplo, em um gráfico no qual os eixos representam quantidades de um
objeto (eixo x) e valores pagos por esses objetos (eixo y), a reta passa pelo
ponto (0,0) e pelo ponto correspondente ao primeiro par-taxa. Com este gráfico,
podemos achar a o preço de qualquer quantidade de objetos. Primeiro levantando
uma vertical pelo ponto que corresponde a essa quantidade, no eixo x, até encontrar
a reta e deste ponto seguir uma horizontal até o eixo y onde será encontrado
o valor correspondente. O processo para encontrar a quantidade de objetos
correspondente a um determinado valor é realizado de modo inverso. Neste caso,
representa a inclinação da reta, a taxa unitária e a constante de
proporcionalidade. A taxa unitária é sempre o coeficiente angular da reta, quando se
expressa essa inclinação com denominador 1.
2.3.2 Proporcionalidade na Matemática
Lima (2011) introduz definições formais tanto da proporcionalidade direta
como da proporcionalidade inversa, que conforme a Teoria dos Três Mundos da
Matemática estão no mundo formal, pois é nele que uma definição tem que estar de
acordo com a definição formal aceita pela comunidade Matemática.
Segundo Lima et al. (2006), a definição de grandezas proporcionais dada por
Antonio Trajano (ver página 35) que é uma definição formal na língua materna, ao
ser escrita com a ajuda da linguagem simbólica fica:
53
Uma proporcionalidade é uma função f: , tal que, para quaisquer
números reais c, x tem-se )(.)( xfccxf (proporcionalidade direta) ou
c
xfcxf
)()( , se c 0 (proporcionalidade inversa). (LIMA et al., 2006,
p.93).
Na prática, fica difícil trabalhar com esta definição, pois não conhecemos a
função f e teríamos que verificar que se multiplicarmos uma grandeza por um
número real a outra também é multiplicada (ou dividida) por este mesmo número,
racional ou irracional, então Lima (2011) propõe outra definição, a partir da qual, por
uma sequência de proposições e teoremas, chega a uma definição mais útil para o
uso corrente e em sala de aula. A definição inicial é a seguinte:
Suponhamos que a grandeza y seja função da grandeza x, isto é, y=f(x). Diremos que y é diretamente proporcional a x quando as seguintes condições forem satisfeitas: 1ª) y é uma função crescente de x; 2ª) se multiplicarmos x por um número natural n, o valor correspondente de y também fica multiplicado por n. Em termos matemáticos: para todo valor de x e todo n . Analogamente, diz-se que y é inversamente proporcional a x quando y=f(x) é uma função decrescente de x e, além disso, ao se multiplicar x por um número natural n, o valor correspondente de y fica dividido por n, isto é,
para todo valor de x e todo n . (LIMA, 2011, p.127).
Com esta definição, em que o valor de c é um número natural e a função f é
crescente, Lima (2011) se restringe a estudar apenas grandezas positivas para, sem
perda de generalidade, simplificar o caminho teórico escolhido.
Nessa definição inicial, tanto a proporcionalidade direta como a inversa são
dadas por duas condições e cabe aqui um alerta: y pode ser uma função crescente
de x sem que haja proporcionalidade direta entre x e y, como por exemplo, é o caso
da área de um quadrado que é uma função crescente do lado, mas se dobrarmos o
lado, a área fica multiplicada por quatro e, portanto, não existe uma relação de
proporcionalidade direta. O mesmo pode ser dito quando uma função é decrescente,
pois pode não existir uma relação de proporcionalidade inversa. Assim, a primeira
condição apenas não é suficiente para garantir a proporcionalidade. Com alguns
exemplos mais elaborados, como a quebra da continuidade da função, podemos
mostrar que apenas a segunda condição também não garante a proporcionalidade.
Tendo em mente que a existência da relação de proporcionalidade direta
entre duas grandezas só é possível por meio dessas duas condições, colocamos no
54
nosso questionário diagnostico uma questão cobrando do participante reconhecer a
existência ou não, da proporcionalidade direta entre a área do quadrado e seu lado.
Como salienta Lima (2011), apenas a primeira condição - a função ser crescente -
não é suficiente e, portanto a área do quadrado não é diretamente proporcional ao
lado. A nossa preocupação em colocar uma questão deste tipo foi exatamente
verificar se na imagem de conceito do participante da pesquisa existe esse
“conhecimento”, ou seja, não basta se limitar a verificar “se uma grandeza cresce, a
outra também cresce” ou “se uma grandeza cresce, a outra decresce” para afirmar
que existe, respectivamente, proporcionalidade direta ou proporcionalidade inversa.
Para verificar que como afirma Antonio Trajano em
sua definição de proporcionalidade direta, Lima (2011) mostra inicialmente um lema,
qual seja:
Lema. Se para todo x>0 e todo n , então
para todo número racional
, onde p, q .
Demonstração: Temos: (
)
Logo
, como queríamos demonstrar. (LIMA, 2011, p.
129).
E coloca a seguinte proposição:
(...) sabendo que f(n.x)=n.f(x) para todo número natura n, podemos provar que f(r.x)=r.f(x) para todo número racional r, mas só conseguimos provar que f(c.x)=c.f(x) para c irracional quando sabemos também que y=f(x) é uma função crescente de x. (LIMA, 2011, p. 130).
A demonstração depende essencialmente do fato de f ser crescente e de que
todo número irracional pode ser escrito como limite de sequências crescente e/ou
decrescentes de números racionais. A partir desses resultados tomando k=f(1)
podemos escrever . Deste modo, provamos que a
função f que aparece na definição dada por Lima et al. (2006) (página 49) de
grandezas diretamente proporcionais é a função linear onde
representa a taxa unitária ou o coeficiente angular da reta do gráfico ou o “quantos
por um”. O teorema a seguir, que segundo Lima (2011) é o resultado fundamental a
respeito de grandezas proporcionais, no nosso entender fecha a transformação
ocorrida entre uma definição formal Matemática de proporcionalidade direta e a
forma como pode ser trabalhada em sala de aula:
55
Teorema 1. As seguintes afirmações a respeito de são equivalentes: 1) y é diretamente proporcional a x; 2) para todo número real c >0, tem-se ; 3) existe um número k, chamado “constante de proporcionalidade” entre x e y, tal que para todo x. (LIMA, 2011. p.129).
A demonstração é feita de modo que 1) ⇒2), 2) ⇒3) e finalmente 3) ⇒1) e
depende essencialmente da definição dada por Lima et al. (2006) (página 49) de
proporcionalidade direta, do Lema e do Teorema 1, enunciados anteriormente.
O mesmo caminho pode ser seguido para grandezas inversamente
proporcionais. Neste caso, a função f que aparece na definição é
, para
valores de x e y estritamente positivos:
Teorema 2. As seguintes afirmações a respeito de Com isso tem-
se que equivalentes: 1) y é inversamente proporcional a x;
2) para todo número real c >0, tem-se
;
3) existe um número k, chamado “constante de proporcionalidade” entre x e
y, tal que
para todo x. (LIMA, 2011. p.130).
Ainda segundo Lima (2011) os teoremas 1 e 2 significam que, do ponto de
vista estritamente matemático, tanto faz escolhermos a definição dada pelo autor,
como a de Trajano (que corresponde à condição 2 dos teoremas) ou aquela dada
pela condição 3: “y é diretamente (ou inversamente) proporcional a x quando existe
uma constante tal que (ou
)”.
Concluímos que o professor, em sala de aula, ao dizer que “duas grandezas
e são diretamente proporcionais quando existe uma constante de
proporcionalidade tal que ” está colocando para os alunos o último passo
de um longo caminho teórico e, talvez, seja saudável pesquisar uma abordagem
menos direta e que não dependa exclusivamente de uma expressão algébrica (do
mundo simbólico) que pode “esconder” muitas informações preciosas e que
perpassasse características do mundo corporificado e do mundo formal .
56
2.3.3 Proporcionalidade na Proposta Curricular do Estado de São Paulo:
Matemática, Ensino Médio, Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009)
O volume 2 dessa Proposta Curricular (SÃO PAULO, 2009) retoma a noção
de função, apresentando um caso simples de relação de interdependência que
ocorre quando duas grandezas são proporcionais:
Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem simultaneamente, e na mesma proporção, ou seja,
a razão
é constante, e resulta que y=kx (k é uma constante). Quando x e y
são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o
produto das duas permanece constante: x.y=k, ou seja,
onde k é uma
constante não nula. (SÃO PAULO, 2009, p.11)
Após a definição o documento apresenta um alerta: ao conhecer diferentes
funções o aluno começa a ter um entendimento sobre a relação de crescimento e de
decrescimento entre variáveis; é então necessário chamar a atenção desse aluno
para o fato de que a ideia de proporcionalidade direta não deve ser associada
apenas à ideia de crescimento, nem a ideia de proporcionalidade inversa ser
relacionada apenas à ideia de decrescimento. Tais afirmações nem sempre são
suficientes uma vez que a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento
simultâneo das grandezas e , é preciso que a razão
seja constante. De modo
análogo a proporcionalidade inversa exige mais do que uma diminuição em uma de
suas grandezas enquanto a outra aumenta, é preciso que o produto seja
constante. O modelo de função que representa uma relação diretamente
proporcional entre duas grandezas e é a função linear e o modelo de
função que representa uma relação inversamente proporcional entre duas
grandezas é a função hiperbólica f
.
Dois pontos nos fazem refletir sobre esta definição de proporcionalidade
direta e de proporcionalidade inversa. Inicialmente é o uso da palavra “proporção”,
pois em Matemática, proporção é uma igualdade entre duas razões, isto é, dados
quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o
4º. Em segundo lugar é o alerta quanto à necessidade em chamar a atenção do
aluno para o fato de que a ideia de proporcionalidade direta não deve ser associada
57
apenas à ideia de crescimento, nem a ideia de proporcionalidade inversa apenas à
ideia de decrescimento. Disto fica uma pergunta: porque ao ser dado ao aluno a
definição de proporcionalidade, não se apresenta apenas a ideia formal, que para
existir uma relação diretamente proporcional entre duas grandezas x e y, a razão
entre elas deve ser constante, e resulta que y=k.x (k é uma constante não nula)? E
para existir uma relação inversamente proporcional entre duas grandezas x e y, o
produto das duas deve ser constante e resulta que x.y=k, ou seja,
(k é uma
constante não nula)? Por que favorecer com esta definição, que o aluno
“corporifique” apenas a ideia que “se uma grandeza aumenta a outra aumenta” ou
“se uma grandeza aumenta a outra diminui”?
2.3.4 Proporcionalidade na Proposta Curricular do Estado de São Paulo:
Matemática, Ensino Médio, Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2010)
O volume 2 do Caderno do Aluno da Proposta Curricular do Estado de São
Paulo (SÃO PAULO, 2010) no nosso entender traz a definição de grandezas
proporcionais com características corporificadas (texto em língua materna) e
simbólicas (a relação entre as grandezas), da seguinte forma:
Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas
aumentam ou diminuem simultânea e proporcionalmente, ou seja, a razão
é constante, e resulta que ( é uma constante). Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o
produto das duas permanece constante: , ou seja,
onde é
uma constante não nula. (SÃO PAULO, 2010, p. 3, destaque em negrito do autor)
Este documento alerta o aluno para um possível equivoco provocado pelos
valores das duas grandezas interdependentes x e y, se um aumento no valor de x
acarretar um aumento no valor de y, ou então, um aumento no valor de x provocar
uma diminuição no valor de y, pois somos tentados a dizer que x e y variam de
modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional, no
segundo. A proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultâneo das
grandezas x e y, é preciso que a razão
seja constante e resulte em (k é
uma constante). De modo análogo a proporcionalidade inversa exige mais do que
58
uma diminuição em uma de suas grandezas enquanto a outra aumenta, é preciso
que o produto seja constante, ou seja, x . y = k (k e constante).
Entendendo este alerta, perguntamo-nos por que não colocar na primeira
parte da definição o que traz a formalidade do conceito, ou seja, que a condição da
proporcionalidade direta é que a razão
seja constante, ou seja, (k é uma
constante) e que a condição da proporcionalidade inversa é que o produto seja
constante, ou seja, (k e constante).
2.4 Pensamento proporcional ou raciocínio proporcional
Ao longo da nossa revisão de literatura encontramos a utilização de duas
formas de expressão, raciocínio proporcional e pensamento proporcional. Isto nos
fez sentir a necessidade de verificar se existe e porque esta diferenciação no uso de
cada um dos termos e se o uso de um ou de outro influenciaria a nossa pesquisa.
Realizamos novas leituras, com a preocupação de distinguir onde cada um dos
termos foi utilizado e como o foi.
O primeiro trabalho no qual percebemos a preocupação em diferenciar esses
termos foi o de Miranda (2009), que esclarece não ter encontrado uniformidade
quanto à utilização das definições de pensamento proporcional e de raciocínio
proporcional.
Mesmo no campo da psicologia não há um consenso quanto ao uso dos termos pensamento e raciocínio. Manktelow (1999) afirma que numa visão tradicional, o pensamento pode ser dedutivo ou indutivo, sendo o pensamento indutivo frequentemente equiparado ao raciocínio. Porém, segundo o autor esta divisão não deve ser considerada como rígida. (MIRANDA, 2009, p. 20)
Pensando em encontrar mais informação sobre possíveis diferenças entre
pensamento e raciocínio proporcional, encontramos a pesquisa de Silva (2007), na
área de Educação Estatística, na qual a autora verificou como raciocinam sobre
variação e variabilidade alunos de graduação e traz uma distinção entre
pensamento, raciocínio e letramento estatísticos.
De acordo com as definições dadas por vários autores para o pensamento
estatístico, Silva (2007) conclui:
59
pode-se entender o pensamento estatístico como as estratégias mentais utilizadas pelo indivíduo para tomar decisão em toda a etapa de um ciclo investigativo. (SILVA, 2007, p. 30) ...sempre que está se fazendo uma pesquisa, está sendo usado o pensamento estatístico, mesmo de forma inconsciente. (SILVA, 2007, p. 31)
Baseando-se em várias leituras sobre o raciocínio estatístico, Silva (2007)
apresenta inicialmente o que entende por raciocínio. “... raciocínio é um processo
interno, mental, cujo argumento (ou entendimento de uma explicação, ou uma ação
numa situação) permite inferi-lo.” (SILVA, 2007, p. 32), e especificamente sobre o
raciocínio estatístico “Garfield e Gal apud Garfield (2002, p.1) explicam que ‘é a
maneira com que as pessoas raciocinam com ideias estatísticas e como percebem a
informação estatística’”. (SILVA, 2007, p.33).
Para concluir a autora acrescenta que
o raciocínio e o pensamento estatísticos são mutuamente relacionados. À medida que um indivíduo apresenta um raciocínio estatístico mais avançado, pode desenvolver também o pensamento estatístico. Do mesmo modo, desenvolvendo o pensamento estatístico pode elevar seu raciocínio estatístico a um nível mais avançado. (SILVA, 2007, p. 35)
Com essas leituras, passamos a refletir sobre o que significam para nós,
neste trabalho, pensamento proporcional e raciocínio proporcional. Entendemos que
o pensamento proporcional envolve uma ideia geral, ampla, segundo a qual o
individuo tem à sua disposição informações para tomada de decisão. E o raciocínio
proporcional envolve a avaliação que o indivíduo aplica diante de um problema, o
que chamamos de raciocínio típico de proporcionalidade, com o qual ele avalia o
que vai usar para resolver tal problema.
Entendemos que a proporcionalidade direta e a proporcionalidade inversa
fazem parte do pensamento proporcional. Cada uma delas possui um raciocínio
proporcional típico, isto é como são utilizados seus conceitos e propriedades. Na
proporcionalidade direta o indivíduo precisa saber que a razão entre as grandezas é
constante. A proporcionalidade inversa envolve outro tipo de raciocínio, o individuo
precisa saber que o produto entre as grandezas é constante.
Analisando as questões de nosso diagnostico, vemos que além de pedirmos a
definição de conceito de cada uma dessas ideias e a resolução de problemas onde o
participante precisa decidir que tipo de estratégia vai utilizar, pedimos também que o
participante reconheça e classifique situações onde existe ou não a
60
proporcionalidade. Por isso, concluímos que nosso instrumento está voltado para o
pensamento proporcional. Se o individuo não tem o pensamento proporcional, ele
não consegue resolver situações que envolvem proporção. Se não tem o
pensamento proporcional, entendemos que também não tem o raciocínio
proporcional. É necessário desenvolver o pensamento proporcional e as ideias
inerentes a ele, tais como conceitos e propriedades típicos, para ter, por
consequência, o raciocínio proporcional.
61
3 REVISÃO DE LITERATURA
No capítulo anterior, apresentamos nosso referencial teórico, baseado nos
Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), as ideias subjacentes de imagem de
conceito, de definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) e algumas ideias
Matemáticas de proporcionalidade e considerações sobre o pensamento
proporcional e o raciocínio proporcional.
Neste capítulo, apresentamos algumas das leituras que realizamos, para
conhecer resultados de pesquisas relevantes para o desenvolvimento desta, as
contribuições de outros autores e pesquisadores, bem como os quadros teóricos por
eles utilizados, que nos ajudaram a verificar a maneira pela qual o conceito de
proporcionalidade é tratado, suas diferentes abordagens e escolhas pedagógicas em
diversos contextos e perspectivas. Pretendemos na medida do possível apresentar
nossas leituras na ordem em que se realizaram.
A dissertação de Mestrado de Miranda (2009) trouxe ao nosso conhecimento
22 trabalhos, com enfoque no pensamento proporcional, realizados no Brasil, no
período entre 1971 e 2007. A autora chegou a este número buscando trabalhos que
trazem no título o termo “proporção”, “proporcionalidade” ou “proporcional”.
A pesquisa de Miranda (2009) caracteriza-se como um estudo documental do
tipo metanálise qualitativa, pois a autora se propôs a fazer uma revisão sistemática
de outras pesquisas sobre o pensamento proporcional, com o intuito de produzir
novos resultados. Ao responder a sua primeira pergunta “Quais questões têm sido
colocadas nas dissertações e teses do Estado de São Paulo sobre o tema?”
(MIRANDA, 2009, p.15) encontrou seis pesquisas de Mestrado e uma de Doutorado,
que foram classificadas segundo suas similaridades entre os objetivos de pesquisa
como: uma pesquisa trabalha com análise de conteúdo de livro didático; três
pesquisas trabalham com sugestão de caminhos para os professores; uma pesquisa
avalia aprendizagem; e duas pesquisas propõem atividades para a expressão e o
desenvolvimento do pensamento proporcional. Miranda (2009) selecionou estas
duas últimas, de Ruiz (1985), que trabalhou com atividades para introduzir o
conceito de proporcionalidade em alunos do Ensino Fundamental e de Perotti
(1999), que trabalhou com atividades para o estudo da reta a partir de grandezas
62
diretamente proporcionais em alunos do Ensino Médio, para desenvolver seu
trabalho e responder as perguntas “A realização de atividades propostas em
dissertações e teses do Estado de São Paulo tem favorecido a expressão e o
desenvolvimento do pensamento proporcional em estudantes? Quais aspectos do
pensamento proporcional têm sido privilegiados nestas pesquisas?” (MIRANDA,
2009, p.15).
Como sua pesquisa tem a intenção de produzir novos resultados, com o
intuito de transcender aqueles obtidos pelas duas pesquisas que analisou, definiu e
utilizou descritores relacionados ao pensamento proporcional e que julgou
essenciais, sob três pontos de vista: um teórico, para o qual utilizou as ideias de
Behr, Lesh e Post (1995), que descrevemos na seção 2.3.1 (página 49); um
curricular, baseado numa proposta curricular americana elaborada pelo National
Council of Teachers of Mathematics (NCTM) em 200615 e nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática: Ensino de primeira a quarta séries
(BRASIL, 1997) e Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática: Ensino quinta
a oitava séries (BRASIL, 1998); e um histórico, inspirado em Radford (2001).
Esses descritores propostos por Miranda (2009) foram importantes para
nossa pesquisa, porque sintetizaram aspectos do pensamento proporcional que
utilizamos na análise que fizemos de nossas atividades, seja para verificar se
estavam presentes e deviam ser mantidos, seja para verificar que não estavam
presentes, mas não eram de nosso objetivo. Por exemplo, não utilizamos a ideia de
porcentagem em nossas questões, porque consideramos que é uma forma particular
de expressar uma razão.
Em sua dissertação, Ruiz (1985, apud MIRANDA, 2009, p.100) propõe por
meio de nove atividades introduzir o conceito de proporcionalidade para alunos da 7ª
série do Ensino Fundamental (atual 8º ano, 13-14 anos de idade). Nestas atividades
explora situações manipulativas com palitos, retângulos de cartolina, mapas,
bastões de várias alturas (com nossa fundamentação teórica, estariam no mundo
corporificado) para introduzir ideias de equivalência de frações, semelhança de
figuras, escalas, razão, função linear (com nossa fundamentação teórica, estariam
no mundo corporificado, mundo simbólico e mundo formal) o que, segundo ele,
15
National Council of Teachers of Mathematics
63
possibilitou aos alunos: perceber que duas grandezas a e b são diretamente
proporcionais, quando a razão entre a e b é constante; e identificar esta relação
como uma função linear, que ele utiliza como base para o ensino de proporções,
pela sua representação gráfica (reta que passa pela origem do sistema cartesiano).
Perotti (1999, apud MIRANDA, 2009, p.96) elaborou uma “sequência didática”
para a aprendizagem da equação da reta, com ênfase no conceito de coeficiente
angular, calculado pela taxa de variação. Para formular a sequência, considerou três
condições: 1. a sequência deve ser iniciada com questões contextualizadas; 2. a
sequência “deve partir do conceito de grandezas diretamente proporcionais, por ser
esta uma ideia simples e provavelmente do domínio dos alunos” (PEROTTI, 1999,
apud MIRANDA, 2009, p. 96); 3. o coeficiente angular da reta deve ser trabalhado
por meio da taxa de variação,
. O desenvolvimento do trabalho foi baseado na
Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986) e as seis atividades foram
aplicadas em um grupo de 14 alunos da 1ª e da 2ª séries do Ensino Médio (15 a 17
anos de idade).
Por meio dos descritores, Miranda analisou quais aspectos do pensamento
proporcional Ruiz (1985) e Perotti (1999) privilegiaram ao elaborarem suas
atividades e concluiu que Ruiz privilegiou os descritores “utilizar multiplicação ou
divisão para resolver problemas envolvendo ideias de razão e ou proporção”, “utilizar
ideias centrais associadas aos sentidos do número racional, ou de relações e
operações entre eles, além de suas representações, para resolver problemas
envolvendo funções ou ideias associadas às funções e suas representações” e
“representar situações proporcionais por meio de gráficos, tabelas, símbolos,
desenhos ou diagramas” e Perotti, este último.
No nosso diagnóstico, de certa forma também privilegiamos o descritor
“representar situações proporcionais por meio de gráficos, tabelas, símbolos,
desenhos ou diagramas”, pois, das 17 questões, colocamos 6 questões que cobram
a existência e o reconhecimento de representações gráficas na imagem de conceito
dos sujeitos da pesquisa. Esta nossa escolha é corroborada pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental (1998), segundo os
quais conceitos como variável e função são fundamentais no trabalho com a Álgebra
e devem ser desenvolvidos em “situações-problema” com grandezas diretamente
64
proporcionais, inversamente proporcionais ou não-proporcionais, como uma forma
de expressar a variação por meio da expressão algébrica e do gráfico no plano
cartesiano (BRASIL, 1998, página 85).
Interessamo-nos especialmente pela pesquisa de Perotti (1999), porque
realizou uma intervenção de aprendizagem com alunos do 1º e 2º anos do Ensino
Médio e as atividades propostas por ele privilegiaram o descritor “representar
situações proporcionais por meio de gráficos, tabelas, símbolos, desenhos ou
diagramas”. Desenvolvemos nosso trabalho diagnóstico com alunos do 3º ano e
nossas questões cobram a ideia de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa por meio dessas representações, pensando na nossa fundamentação
teórica, pois quanto mais rica e diversificada e consistente com a definição formal a
imagem de conceito de um sujeito, mais podemos dizer que houve aprendizagem.
As atividades de Perotti (1999) começam com “situações-problema”
(BROUSSEAU, 1986, apud PEROTTI, 1999, página1), com o objetivo de reconhecer
relações de proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa e não proporcionais.
Em nossa pesquisa, colocamos duas questões contextualizadas, com o objetivo de
verificar com que características dos Três Mundos da Matemática o participante as
resolve e se explicita reconhecer a relação de proporcionalidade existente.
Seguindo as atividades, o aluno é levado a preencher tabelas a partir de
valores dados, encontrar a constante de proporcionalidade e entender seu
significado e então representar algebricamente e graficamente esses valores e, por
fim, através da reta achar o coeficiente angular que é associado à constante de
proporcionalidade. Assim trabalha em praticamente todas as suas atividades com
representação gráfica e algébrica das grandezas proporcionais. Em nosso
questionário cobramos reconhecimento de situações de proporcionalidade direta, de
proporcionalidade inversa e de situações não proporcionais. E consideramos
importante que o sujeito tenha uma imagem de conceito representações variadas.
Com gráficos, tabelas, expressões algébricas, todas consistente com a definição,
reconhecendo a constante de proporcionalidade e o que ela significa.
Estes dois trabalhos abordam a proporcionalidade e inicialmente queríamos
verificar o que os mesmos podem trazer de contribuição para o nosso: há
possibilidade de uma comparação?; em que são iguais?; em que são diferentes?
Esses dois trabalhos são intervenções criadas para o ensino de proporcionalidade,
65
foram feitos há bastante tempo e não utilizam o mesmo quadro teórico que o nosso.
Com os descritores comuns, tentamos responder a pergunta: “Se aplicarmos o
nosso diagnóstico em alunos que passaram pelas atividades de Ruiz (1985) ou de
Perotti (1999), será que conseguiríamos medir os aspectos que eles privilegiaram?”.
Em suas conclusões Ruiz (1985) e Perotti (1999) consideram ter elaborado
sequências eficientes para a aprendizagem da ideia de proporcionalidade. Se
aplicássemos o nosso diagnóstico nos alunos que passaram por essas atividades,
qual seria o resultado? Não podemos ter essa resposta, mas deixamos a pergunta.
Ou então, será que elas seriam úteis nas dificuldades eventualmente apontadas no
nosso diagnóstico? Em qualquer desses dois casos, defendemos a nossa pesquisa
como uma continuação do trabalho deles ou uma antecipação.
Decidimos ler trabalhos realizados após 1998, época que estamos
considerando pós Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998). Desta relação
selecionamos Barreto (2001), uma pesquisa com caráter diagnóstico, que analisou
os procedimentos de resolução de problemas verbais multiplicativos de quarta
proporcional com números naturais com 119 alunos de 5ª série (Atual 6º ano, 11 a
12 anos de idade) do Ensino Fundamental e a aplicação de seu instrumento foi
seguido de uma entrevista individual.
Para fundamentar sua pesquisa, a autora utilizou a Teoria dos Campos
Conceituais (VERGNAUD, 1991, apud BARRETO, p.16) para entender uma
preocupação, que se os alunos não conseguem resolver os problemas mais
elementares do raciocínio multiplicativo, então não conseguirão resolver os
problemas cuja relação de proporcionalidade é de n1 para n2, ou seja, a relação em
que o valor unitário não faz parte do problema. Como conclusão Barreto (2001)
constatou um elevado grau de dificuldade na resolução dos problemas que
requerem um raciocínio multiplicativo.
Consideramos que nossa pesquisa se caracteriza diferente da de Barreto
(2001) porque apesar das duas terem o objetivo de avaliar a aprendizagem por meio
de um diagnóstico, a nossa está voltada para alunos do Ensino Médio, enquanto que
a de Barreto (2001) teve seus instrumentos diagnósticos construídos para serem
aplicados em alunos da 5ª série do Ensino Fundamental. Enquanto nos apoiamos
nas ideias de imagem de conceito e de definição de conceito (TALL; VINNER, 1981)
66
e da teoria dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) para elaborarmos o nosso
instrumento diagnóstico e analisar os protocolos, Barreto (2011) utilizou a teoria dos
Campos Conceituais das estruturas multiplicativas de Gerard Vergnaud.
O objetivo da pesquisa de Floriani (2004) é descrever e caracterizar as várias
estratégias que estudantes do ensino fundamental e médio utilizam para resolver
problemas multiplicativos. Deste modo, busca identificar aspectos da compreensão
do conceito de proporcionalidade nas estratégias que os alunos utilizam na
resolução de problemas multiplicativos por meio de um questionário aplicado em 82
alunos da 6ª e 8ª série (atual 7º e 9º ano) do Ensino Fundamental e alunos da 2ª
série do Ensino Médio, com faixa etária de 12 a 17 anos. Este questionário consiste
de nove problemas multiplicativos do “tipo isomorfismo de medidas, adaptados de
(VERGNAUD, 1991 apud FLORIANI, 2004)”. As análises das estratégias adotadas
pelos alunos revelaram que é possível identificar elementos que demonstram a
compreensão do conceito de proporcionalidade. Os resultados demonstraram em
vários problemas que alunos muitas vezes não conseguem reconhecer a
proporcionalidade como uma relação multiplicativa, por outro lado, houve tentativa
no sentido de utilizar relações aditivas para resolver estes problemas.
Para complementar o levantamento de dissertações e teses em Educação
Matemática no Brasil, realizamos uma busca nos mesmos moldes da de Miranda
(2009), para encontrar trabalhos referentes ao período de 2008 e 2009. Utilizamos
as listagens do Banco de teses Edumat da Faculdade de Educação da Universidade
Estadual de Campinas (FE-UNICAMP), publicadas na revista Zetetiké e
encontramos mais um trabalho, Silva (2008).
O objetivo da pesquisa de Silva (2008) é saber se, por meio das estratégias
que utilizam na resolução de problemas de proporção, os alunos de 6.ª e 8.ª séries
do Ensino Fundamental, demonstram compreensão do raciocínio proporcional
utilizando o quadro teórico A Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1981,
apud SILVA, 2008) e acrescenta que a leitura dessa obra
muito contribuiu com esta pesquisa comprovando a importância do aluno desenvolver por meio das tarefas escolares o pensamento proporcional, principalmente no caso de problemas do tipo multiplicativo. (SILVA, 2008, p. 33)
67
Bisognin, Fioreze e Cury (2007) descrevem resultados parciais do projeto de
pesquisa ’Análise de Erros em Disciplinas Matemáticas de Cursos Superiores’ que
trabalhou com alunos de oito instituições de ensino superior do Rio Grande do Sul.
Este projeto está dividido em três partes e na primeira parte, cujo objetivo foi analisar
e classificar erros, foi aplicado um teste a 368 calouros das áreas de Ciências
Exatas, tais como Matemática, Engenharia e Informática, abordando conteúdos do
Ensino Fundamental e Médio, especialmente temas requeridos para o estudo de
conceitos do Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear. A segunda parte,
após a análise dos erros cometidos pelos participantes, teve como objetivo elaborar
e desenvolver atividades em sala de aula com o intuito de explorar as dificuldades
detectadas. Por fim, a terceira e última parte, teve como objetivo
avaliar os resultados da experiência e a possibilidade de reaplicação em diferentes Instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul e do Pais. (BISOGNIN, FIOREZE e CURY, 2007, p. 32)
Neste artigo, Bisognin, Fioreze e Cury (2007) descrevem os resultados
parciais desse projeto de pesquisa ao analisar erros de uma questão que trata do
conceito de proporcionalidade (1ª parte do projeto) e a atividade posteriormente
desenvolvida para auxiliar os alunos a superar suas dificuldades (2ª parte do
projeto), trabalhando com alunos do curso de Licenciatura de Matemática e com
professores em formação continuada, em um curso de Mestrado em Ensino de
Física e Matemática, da UNIFRA – Centro Universitário Franciscano.
A questão com o enunciado “Duas grandezas representadas por x e y são
diretamente proporcionais. Um modelo gráfico para a representação dessa relação
é” (BISOGNIN, FIOREZE, CURY, 2007, p 33) é seguida por cinco gráficos de
funções variadas. A alternativa (a) é o gráfico da função , a alternativa (b)
é o gráfico da função ; a alternativa (c), o gráfico da função √ ; a
(d), o gráfico da função e por fim a (e), o gráfico da função .
Segundo as autoras a resposta correta teve o maior porcentual de acertos,
52,5%, mas isso era esperado, como as mesmas esclarecem, pois o assunto já era
conhecido dos calouros. A surpresa foi que 17% das respostas apontaram um
gráfico de função do tipo y=x2. Uma das hipóteses sobre este equívoco é que o erro
se deve ao fato de que a função quadrática mais estudada na Educação Básica é
68
aquela cujo vértice passa pela origem dos eixos cartesianos. O aluno pode ter se
confundido entre esta função e a linear que passa pela origem.
Nesta questão os alunos precisavam justificar suas respostas e os autores
verificaram que embora a maioria tenha escolhido a alternativa correta ( ),
como exemplo gráfico de proporcionalidade direta, as justificativas mostraram que
esses alunos não tinham o conceito correto de proporcionalidade, pois utilizaram
frases como “sendo x=y, se x cresce, y também cresce e, se x decresce, y também
decresce na mesma proporção” (BISOGNIN, FIOREZE e CURY, 2007, p. 34), o que
elas, baseadas em Brousseau, interpretaram como “os erros não são simplesmente
ausência de conhecimento, mas expressam conhecimentos mal formados que,
depois, tornam-se resistentes.” (BISOGNIN, FIOREZE, CURY, 2007, p 34).
Depois de terem analisado os erros desta questão, a fim de dar continuidade
à pesquisa, contemplando a segunda parte do projeto, uma equipe estabeleceu um
plano para implementar uma estratégia para o estudo da proporcionalidade e
trabalharam com os alunos do curso de Licenciatura de Matemática e com
professores em formação continuada e o objetivo desta fase da pesquisa era realizar
uma comparação entre o conceitos que alunos dominavam em relação ao que era
conhecido por professores. A esses dois grupos foi apresentada uma questão na
qual era dado o gráfico de duas retas passando pela origem, com inclinações
diferentes, que fornecia os alongamentos de duas molas (mola 1 e mola 2) em
função das massas. A massa é representada pelo eixo x e o alongamento pelo eixo
y. A seguir foram feitas 8 perguntas que buscavam obter informações, se o aluno
estava totalmente errado, parcialmente errado ou não apresentava erro em sua
resposta, na análise e interpretação do gráfico, na identificação das coordenadas
(massa, alongamento), na formulação do conceito de proporcionalidade e na
formulação do modelo matemático. Na análise das respostas de doze alunos,
quanto à formulação do conceito de proporcionalidade, oito erraram totalmente, 3
parcialmente e 1 não errou.
Na análise de erros da primeira parte deste projeto Bisognin, Fioreze e Cury
(2007) não puderam se aprofundar na causa do erro cometido pelo aluno. Para
discutir suas hipóteses “seria necessário aprofundar a investigação, entrevistando os
alunos que cometeram erros ou que não responderam as questões” (BISOGNIN,
FIOREZE e CURY, 2007, p. 34). Na nossa pesquisa, estruturamos nossas questões
69
de forma que na análise dos protocolos será possível comparar para cada
participante cada uma de suas respostas, verificando haver ou não conflito entre
elas, pois as questões são relacionadas.
Em nossa busca por trabalhos que utilizaram o nosso quadro teórico, tivemos
contato com: (ANGELINI, 2010) que estudou o conceito de função e utilizou os Três
Mundos da Matemática e as ideias de definição de conceito e de imagem de
conceito, para realizar uma pesquisa diagnóstica com alunos da 2ª série do Ensino
Médio; (BADARÓ, 2010), que estudou significados para o símbolo de igualdade em
cada um dos Três Mundos da Matemática; e (FREIRE, 2011), que trabalhou com
números racionais na forma fracionária, junto a alunos de uma 5ª série do Ensino
Fundamental, tendo como fundamentação teórica os Três Mundos da Matemática.
Especificamente, com o conceito de proporcionalidade, não encontramos
nenhum trabalho, tão pouco nas publicações de David Tall, talvez porque este
quadro teórico seja ainda recente.
70
71
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
No capítulo anterior, apresentamos algumas das leituras relevantes para o
desenvolvimento desta dissertação, contribuições de outros autores e
pesquisadores, e os quadros teóricos por eles utilizados.
Neste capítulo, descrevemos nossas escolhas do público alvo e da escola; o
instrumento de coleta de dados, seguido de uma análise preliminar dos itens que o
compõem; e como foi desenvolvida a coleta dos dados.
4.1 A Pesquisa
Após as leituras dos trabalhos que nos ajudaram a verificar a maneira pela
qual o conceito de proporcionalidade é tratado em algumas pesquisas, suas
diferentes abordagens e escolhas metodológicas em diversos contextos e
perspectivas, decidimo-nos por desenvolver um estudo diagnóstico, com caráter
investigativo objetivando responder as nossas questões de pesquisa.
Para tal, elaboramos um questionário para a coleta dos dados com 17
questões (Anexo 1, página 219) abertas e semiabertas, envolvendo as definições de
proporcionalidade direta e inversa e problemas que nos permitam verificar com que
características dos Três Mundos os alunos trabalham questionamentos que
envolvem o raciocínio com proporções. Estas questões foram desenvolvidas
segundo as ideias de definição de conceito (TALL e VINNER, 1981), de imagem de
conceito (TALL e VINNER, 1981) e dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004).
Com este tipo de instrumento, pretendemos responder nossas questões de
pesquisa, ou seja, verificar se e como as ideias de proporcionalidade direta e
inversa, estão presentes nos participantes, por meio, respectivamente, das
definições de conceito, das imagens de conceito e das características dos Três
Mundos da Matemática.
Quanto à aplicação do instrumento de pesquisa, optamos por aplicá-lo a
alunos do 3º ano do Ensino Médio, pois estes passaram por todo o estudo de
grandezas direta e inversamente proporcionais no Ensino Fundamental e
72
trabalharam com problemas que envolvem razão, proporção e representação gráfica
de funções, que relacionam grandezas direta ou inversamente proporcionais, no
Ensino Médio. Por ser um tema com aplicações no Ensino Superior, tanto na
Matemática como em outros componentes curriculares, acreditamos ser o momento
oportuno para nosso diagnóstico, pois este pode fornecer subsídios para a
elaboração de abordagens de ensino baseadas nas ideias dos Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004), que sugerem que o professor traga para a sala de aula
situações que provoquem a presença simultânea de características do mundo
corporificado, do mundo simbólico e do mundo formal, garantindo uma imagem de
conceito rica o suficiente para se afirmar que houve desenvolvimento cognitivo e,
consequentemente, aprendizagem.
Escolhemos uma escola pública estadual do interior de São Paulo, com 2100
alunos e que funciona em três períodos, para alunos do 6º ano de Ensino
Fundamental até o 3º ano do Ensino Médio. Aplicamos nosso questionário em duas
classes do 3º ano noturno do Ensino Médio, num total de 51 alunos. Quando da
aplicação do questionário, penúltimo mês do ano letivo, esses alunos haviam
passado pelo Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e estavam se preparando
para enfrentar exames vestibulares para a Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho” (UNESP), a Faculdade de Tecnologia (FATEC) e Escola Técnica
Estadual (ETEC).
Após a aplicação do questionário, com os protocolos em mão, iniciamos
nossas análises, que estão descritas no Capítulo 5. A princípio prevíamos a
realização de entrevistas semiestruturadas, no caso de surgirem dúvidas no
entendimento do protocolo de algum dos sujeitos, para que explicasse as ideias e o
raciocínio apresentados; entretanto, isto não ocorreu, pois não tivemos tempo hábil
para realizá-las, antes do final do ano letivo.
4.2 O questionário
As questões do nosso diagnóstico foram elaboradas para entender como
abordam situações de proporcionalidade direta ou proporcionalidade inversa,
sujeitos que, a princípio já tomaram contato com esses conceitos. Além de
diagnosticar se estes conceitos estão presentes, por meio das definições de
73
conceito, pretendemos também identificar como estão presentes, por meio das
imagens de conceito e pela análise das características dos Três Mundos da
Matemática com que trabalham as questões propostas.
Em todas as questões, pedimos aos participantes que justifiquem as
respostas dadas, pois acreditamos que as justificativas podem sugerir as
dificuldades de cada um e quais as características dos Três Mundos que estão
presentes nas respectivas definições de conceito e imagens de conceito. Deste
modo, nosso instrumento teve como meta verificar o que o nosso grupo pesquisado
apresenta na imagem de conceito de proporcionalidade direta e de
proporcionalidade inversa.
Das 17 questões do instrumento de pesquisa, três cobram as definições de
conceito: a Questão 1 envolve a definição de conceito de proporcionalidade direta
(ver página 221); a Questão 7 envolve a definição de conceito de proporcionalidade
inversa (ver página 223); e a Questão 17 pede que o participante reconheça, por
meio de textos, essas definições (ver página 229). Podemos verificar se os alunos
têm ou não essas definições e se, ao longo das questões seguintes, utilizam ou não
o que colocaram como definição de conceito.
No questionário, há algumas questões que têm como objetivo verificar se o
participante associa gráficos às ideias de proporcionalidade direta e de
proporcionalidade inversa. Consideramos que os gráficos são formas de representar
dados, que podem ser em grande quantidade e essenciais e nos auxiliam a entender
e a analisar o comportamento de variáveis que se relacionam, por condensar
informações, tornando-as mais visíveis e, portanto, mais simples e diretas. Ao
trabalhar com gráficos, o aluno revela se os tem na imagem de conceito de
proporcionalidade direta e inversa, que consideramos pertencer ao mundo
corporificado, pois podemos percebê-los, “vemos” uma imagem de um gráfico
específico, representando uma função específica ou genérica.
Assim, as Questões 3, 4, 5, 9, 10 e 11 tratam exclusivamente dos gráficos de
proporcionalidade direta e inversa, pois de acordo com os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1998) um dos objetivos do ensino da Matemática é desenvolver:
74
por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: * representar em um sistema de coordenadas cartesianas a variação de grandezas, analisando e caracterizando o comportamento dessa variação em diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não-proporcional. (BRASIL; 1998, p.82)
Destacamos que, com o nosso diagnóstico, pudemos verificar se alunos que
estão numa 3ª série do Ensino Médio e, portanto, já ultrapassaram o 3º e o 4º ciclos,
atingiram esses objetivos, pois colocamos questões para o aluno caracterizar, seja
por meio de expressões algébricas ou por representações gráficas, se a relação é
diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional.
Apresentamos também questões em que o aluno precisou construir estratégias de
solução para resolver situações que envolvem a proporcionalidade.
Seguindo Post, Behr e Lesh (1995), que acrescentam: “Finalmente, para
raciocinar com proporções, a pessoa precisa ser capaz de distinguir entre situações
proporcionais e não proporcionais. Isso tem implicações diretas para o ensino.”
(POST, BEHR e LESH, 1995, p.91), as questões de nosso diagnóstico, têm o intuito
de verificar se o aluno raciocina proporcionalmente, ou seja, se reconhece situações
proporcionais e não proporcionais, tanto em gráficos como com o uso de expressões
algébricas, explicitadas ou não, por meio das questões 13, 14, 15 e 16.
Elaboramos algumas questões que julgamos relacionadas para verificar, na
análise dos protocolos, se há ou não contradição entre as respostas, sejam estas
matematicamente corretas ou não. Nas análises preliminares das Questões 3, 4 e 5
e das Questões 9, 10 e 11 abordamos com mais detalhe estas nossas
considerações.
4.3 Análise Preliminar
Para nos ajudar na análise dos dados, elaboramos o que neste trabalho
chamamos de análise preliminar. Descrevemos o objetivo da escolha de cada uma
das questões do questionário, considerando sua importância na pesquisa e no
quadro teórico adotado e prováveis respostas, tanto corretas como nossas
conjecturas sobre possíveis erros. Na Questão 2 e na Questão 8, nas quais pedimos
que o participante apresentasse um exemplo de proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa respectivamente, tratamos esses possíveis erros como
75
respostas equivocadas que foram classificadas como com características
corporificadas equivocadas (C*) e/ou como com características simbólicas
equivocadas (S*) pois estas respostas também nos mostraram a trajetória pelos Três
Mundos da Matemática do sujeito e consideramos estas respostas parte de nossa
análise. Elaboramos o Quadro 1, a seguir, com o intuito de apresentar as possíveis
respostas equivocadas, que acreditamos pudessem aparecer nos protocolos.
Proporcionalidade Classificamos
por: Quando a resposta apresentar:
Direta
Características Corporificadas Equivocadas
C*
Gráficos de função decrescente.
Gráficos de função crescente, porém não linear.
Tabelas com valores das variáveis aumentando, porém não existindo razão constante entre elas.
Texto do tipo: ”quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta”, ou seja, definição incompleta.
Características Simbólicas
Equivocadas S*
ou qualquer outra expressão algébrica diferente de
Inversa
Características Corporificadas Equivocadas
C*
Gráfico de uma função crescente.
Gráfico de uma função decrescente, porém não uma hipérbole.
Tabelas com valores de variáveis, uma aumentando e a outra diminuindo, porém não existindo produto constante entre elas.
Texto do tipo: “quando uma grandeza aumenta a outra diminui”.
Características Simbólicas
Equivocadas S*
Qualquer expressão algébrica diferente de
Quadro 1 – Exemplos de Possíveis Respostas Equivocadas Fonte: Acervo pessoal
1. Escreva com suas palavras o que você entende por proporcionalidade direta.
Colocamos esta questão com o objetivo de identificar a definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981) do participante da pesquisa, relativa ao conceito de
proporcionalidade direta e pela maneira de se expressar identificar com que
características dos Três Mundos da Matemática ele define tal conceito.
Pedimos no enunciado que a resposta fosse escrita “com suas palavras”, para
que o sujeito exponha seus conhecimentos do que é proporcionalidade direta
76
escrevendo o que considera sua definição de conceito. Dependendo como enuncia
seu pensamento, podem surgir características do mundo corporificado, do mundo
simbólico ou do mundo formal.
As características do mundo corporificado podem estar presentes na definição
de conceito do participante da pesquisa se ele fizer uso de gráficos, de exemplos
numéricos, de tabelas ou mesmo de textos com características não formais.
Ao esboçar um gráfico, o sujeito pode apresentar de maneira correta o gráfico
de uma reta com coeficiente angular positivo e que passa pela origem do sistema de
coordenadas. No caso de exemplos numéricos, o participante pode apresentar um
texto como: “um trem a uma velocidade constante percorre em uma hora 100 km,
então, em duas horas ele percorre 200 km”, ou “um pedreiro constrói, em uma hora,
um 2 metros de muro, em duas horas, este mesmo pedreiro, constrói 4 metros deste
mesmo muro”.
O participante pode ainda trazer tabelas relacionando pares de grandezas
onde existe a proporcionalidade direta, como a tabela apresentada no Caderno da 1ª
série, volume 1, do Ensino Médio da Proposta Curricular do Estado de São Paulo,
que traz a produção de automóveis crescendo simultaneamente com a produção de
tratores, na qual a grandeza da primeira coluna, produção de automóveis, é
diretamente proporcional à grandeza da segunda coluna, produção de tratores.
Finalmente, o sujeito pode apresentar textos corretos com frases do tipo: ”dadas
duas quantias positivas, e , dizemos que é diretamente proporcional a se
existe uma constante estritamente positiva tal que a razão entre , e é ”.
Ou então, a definição de conceito de proporcionalidade direta do sujeito pode
conter ideias equivocadas (ver possíveis respostas no Quadro 1 da página 75).
As características do mundo simbólico podem estar presentes na definição de
conceito do participante da pesquisa se ele utilizar expressões que representam a
proporcionalidade direta, como as do tipo: ; ; . Entretanto
o aluno pode apresentar nesta questão uma definição de conceito equivocada como,
por exemplo, algo do tipo (ver Quadro 1, página 75).
As características do mundo formal podem estar presentes na definição de
conceito de proporcionalidade direta do sujeito se ele apresentar, por exemplo, um
texto do tipo: “Seja a grandeza uma função da grandeza , isto é, . é
77
diretamente proporcional a quando: é uma função crescente de e, se for
multiplicado por um número real , também será multiplicado por .
Logo: . “ Neste caso, o sujeito se expressa por meio de
texto e por meio de símbolos. Para tanto está apresentando que a definição de
conceito de proporcionalidade direta tem características do mundo corporificado, do
mundo simbólico e do mundo formal.
Se na definição de conceito o participante da pesquisa se expressar com
características do mundo corporificado ao trazer ideias corretas da
proporcionalidade direta, podemos situá-lo no mundo corporificado formal e com as
respostas das questões seguintes confirmar esta afirmação.
Quando o participante da pesquisa se expressar com características do
mundo simbólico, ao trazer ideias corretas da proporcionalidade direta e
acrescentar, por exemplo, que é uma constante real, podemos situá-lo no mundo
simbólico formal e com as respostas das questões seguintes confirmar esta
afirmação.
2. Dê um exemplo de proporcionalidade direta.
Colocamos esta questão com o objetivo de identificar se o sujeito tem o
conceito de proporcionalidade direta e, neste caso, que características dos Três
Mundos (presentes na sua imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981)) mobiliza ao
trabalhar com problemas que o envolvem. Pretendemos verificar ainda se, além da
definição, o participante tem na imagem de conceito um exemplo atrelado a ela e se
o mesmo ratifica a definição dada na Questão 1. É importante para nossa pesquisa
e consideramos importante do ponto de vista matemático.
Ao dar um exemplo, o participante pode apontar caraterísticas dos Três
Mundos que estão presentes na imagem de conceito e pode dar respostas
semelhantes às que previmos na Questão 1 (ver página 75)
Se o participante não expressou formalmente a definição na Questão 1, mas
nesta questão traz um exemplo que mostra o uso da ideia de maneira correta,
podemos situar que ele está no mundo corporificado ou no mundo simbólico,
dependendo do exemplo, mas com características do mundo formal. Por exemplo,
se a definição de conceito apresenta um texto que “para haver proporcionalidade
78
direta o gráfico precisa ser uma reta” e nesta questão dá como exemplo um gráfico
de uma reta com coeficiente angular positivo e que passa pela origem, podemos
classificá-lo como no mundo corporificado formal.
Caso o sujeito repita a definição de conceito ou deixe a questão em branco
(interpretamos uma resposta em branco como “não sei”), podemos conjecturar “Por
quê?”. “Será que a aprendizagem ficou restrita a uma definição ‘decorada’?”. São
perguntas que nos ocorrem e para as quais, pensamos, seria importante realizar
uma pesquisa.
A Questão 3, a Questão 4 e a Questão 5, a seguir, têm como objetivo verificar
se o participante da pesquisa associa gráficos, de forma correta ou não, com a ideia
de proporcionalidade direta. Ao trabalhar com gráficos, o aluno mostra que possui na
imagem de conceito características do mundo corporificado. Ao apresentar, de
maneira correta, na Questão 3, um gráfico que representa duas grandezas
diretamente proporcionais, na Questão 4, um gráfico que não representa uma
relação de proporcionalidade direta e na Questão 5, reconhecer corretamente se a
relação existente entre e é de proporcionalidade direta ou não, este sujeito
mostra também se expressar com características do mundo formal.
A análise destas três questões, junto com a da Questão 1 e da Questão 2,
permite comparar as respostas para verificar possíveis contradições, sejam elas
matematicamente corretas ou não.
3. Esboce um gráfico que represente duas grandezas diretamente proporcionais. Explique.
Na Questão 3, pedimos que o participante esboce um gráfico de
proporcionalidade direta.
Se apresentar, como resposta, gráficos de funções do tipo com
, podemos afirmar, por meio da análise de outras questões, que o
participante além de características corporificadas, também apresenta
características formais, mostrando que sua “trajetória” passa pelo mundo
corporificado e pelo mundo formal.
O participante pode apresentar uma reta com coeficiente angular positivo,
passando pela origem, mas na nossa análise vamos nos perguntar se o gráfico
apresentado é o único que este associa à proporcionalidade direta ou será que
79
qualquer reta serve? Ou ainda, serve qualquer gráfico de função crescente? Nas
outras questões teremos a oportunidade de dirimir esta dúvida.
4. Esboce um gráfico que não represente uma relação de proporcionalidade direta.
Explique:
Na Questão 4, pedimos que o participante esboce um gráfico que não
representa uma relação de proporcionalidade direta. Com esta resposta verificamos
se o sujeito tem, em sua imagem de conceito, gráficos que não representam
proporcionalidade direta e a utilizamos na comparação com a Questão 3 e com a
Questão 5, de modo a verificar se o participante ratifica as respostas dadas.
Com respostas em branco, ou respostas do tipo “não conheço” ou “não sei”,
pensamos, seria importante, no nosso entender, investigações posteriores que
busquem o porquê disto acontecer.
5. A seguir são apresentados gráficos que relacionam as grandezas e . Em cada um
deles, explique, com suas palavras, se a relação existente entre e é de
proporcionalidade direta ou não.
(a) (b)
(c) (d)
Na Questão 5, pedimos ao participante que aponte qual (ou quais) gráficos
representam ou não, proporcionalidade direta.
Com as justificativas dadas na Questão 5, identificamos características dos
Três Mundos da Matemática que estão presentes na imagem de conceito dos
sujeitos da pesquisa, quando trabalham com gráficos que representam relação de
proporcionalidade direta, ou não. Para responder esta questão é preciso analisar
cada um dos gráficos, que são típicos do mundo corporificado, pensar na relação
apresentada entre as grandezas e e decidir se é ou não de proporcionalidade
direta e podem justificar sua decisão com características do mundo simbólico e/ou
80
do mundo formal. Assim é possível verificar se o participante confirma o que
escreveu nas Questões 3 e 4; se não há contradição com a definição apresentada
na Questão 1 (ver considerações a seguir) e também se apontam apenas a
alternativa (a), como a única em que o gráfico representa proporcionalidade direta
entre as grandezas e , representadas pelos eixos horizontal e vertical,
respectivamente.
O sujeito pode apresentar uma resposta equivocada (ver Quadro 1, página
75), mas que não apresente conflito com sua resposta anterior. Por exemplo, na
Questão 1 pode ter dado sua definição de proporcionalidade direta como “duas
grandezas que quando uma aumenta a outra também aumenta”. Se na Questão 5
apontar a alternativa (b) como correta, que é uma parábola, as respostas não são
conflitantes, mas apontam que a sua definição de conceito de proporcionalidade
direta está matematicamente incompleta.
O sujeito pode apresentar uma resposta equivocada (ver Quadro 1, página
75) e que apresente conflito com uma resposta anterior. Por exemplo, na Questão 1
pode ter dado sua definição de proporcionalidade direta como “é uma reta que
quando uma aumenta a outra também aumenta”. Esta é uma definição de conceito
incompleta e podemos analisá-la em conjunto com outra resposta. Se na Questão 5
apontar a alternativa (c) como correta, que é uma reta com coeficiente angular
negativo ou apontar a alternativa (b) que é uma parábola, as respostas são
conflitantes, o que no caso interpretamos como falta de características formais na
imagem de conceito de proporcionalidade direta.
Vamos descrever, de forma sucinta, nossa escolha dos gráficos desta
questão. Na alternativa (a), o gráfico é de uma função linear com coeficiente angular
positivo, que representa a proporcionalidade direta entre as grandezas e e é a
única resposta correta para esta questão. Na (b), o gráfico não é uma reta, portanto
não representa proporcionalidade direta entre e . Na (c), a reta tem coeficiente
angular negativo, logo não representa proporcionalidade direta entre e . Na
alternativa (d), o gráfico é de uma hipérbole, o que quer dizer que temos
proporcionalidade inversa entre e .
A partir destas considerações, pontuamos algumas das respostas possíveis
de acontecer nos protocolos. No questionário é pedido ao participante para
81
considerar apenas grandezas estritamente positivas, trabalhando com os gráficos
apenas no primeiro quadrante (ver página 221). Nas alternativas, foi colocado
apenas um gráfico que representa proporcionalidade direta, alternativa (a). Se,
entretanto, na imagem de conceito de proporcionalidade direta do participante tiver
algo do tipo “se uma grandeza aumenta a outra também aumenta”, pode aparecer,
como respostas, além da opção (a) a opção (b). Neste caso não há contradição,
mas mostra que a definição de conceito está matematicamente deficiente. Faltam
“características” que fazem parte da definição, que torna uma imagem de conceito
com características do mundo formal.
Na alternativa que representa proporcionalidade direta, alternativa (a),
, se o sujeito apontá-la justificando que “a razão entre e é constante”;
“para haver proporcionalidade direta, o gráfico deve ser o de uma função linear
crescente”; “a razão entre as grandezas e deve ser constante”; “ e são tais
que com ” e; “para haver proporcionalidade direta, o gráfico da
função deve ser uma reta com inclinação positiva e que cruza a origem” ele estará
mostrando uma imagem de conceito rica, com caracteristicas dos Três Mundos da
Matemática, mundo corporificado, mundo simbólico e mundo formal.
Na alternativa (b), a relação de proporcionalidade direta é entre
e , pois o que é constante é a razão entre e e não entre e . Se esta
alternativa é apontada como uma relação de proporcionalidade direta entre x e y,
colocamos algumas questões: “Será que o participante entende que essa relação
não é a que a questão está pedindo, entre e ?”. “Será que por ser o gráfico de
uma função crescente vamos induzi-lo que existe proporcionalidade direta, porque
‘quando uma aumenta a outra também aumenta’?”.
Na alternativa (c), , a proporcionalidade direta é entre e
e não entre e . Por ser o gráfico de uma reta, o participante pode apontar que
existe proporcionalidade direta entre e . Ou então, por ter inclinação negativa,
apontar que existe proporcionalidade inversa.
Na alternativa (d),
existe proporcionalidade inversa entre e . O
participante pode deixar a questão em branco ou utilizar expressões do tipo “Nunca
vi”, “Não sei”. Será que nunca viu um gráfico como este? Se for este o caso, com
82
alunos da 3ª séries do Ensino Médio, uma questão vem à tona “Por que isto
acontece?”, o que nos remete a pesquisas futuras.
6. Escreva com suas palavras qual sua primeira ideia para resolver o seguinte problema:
“Um automóvel percorre uma distância de 48 quilômetros em 02 horas. Quantos quilômetros
percorrerá em 06 horas?”. Explique o porquê desta ideia.
O objetivo desta questão é identificar algumas características que estão
presentes na imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) do participante da
pesquisa e que sejam as primeiras a emergir diante do questionamento. Com a
explicação dada, pretendemos identificar se ele associa a ideia de proporcionalidade
direta ao enunciado e por que o faz.
Neste problema existe uma propriedade básica, presente nas variações da
proporcionalidade, a qual pode ser formulada assim: “a iguais variações de uma
grandeza correspondem iguais variações da outra grandeza”. Esta é a propriedade
presente no movimento retilíneo uniforme, pois nele o espaço percorrido é
diretamente proporcional ao tempo gasto em percorrê-lo, a uniformidade significa
precisamente que, em intervalos de tempos iguais são percorridos espaços iguais.
Num problema de proporcionalidade há sempre a hipótese de regularidades
implícitas. A velocidade é a constante de proporcionalidade. Sendo (distância
percorrida) função de (quantidade de horas), , verificamos que
aumentando a distância aumenta a quantidade de horas e, portanto este problema é
de proporcionalidade direta.
Para resolver o problema, o sujeito pode utilizar o método de redução à
unidade/taxa unitária, ou seja, achar a constante de proporcionalidade, encontrando
a distância percorrida em 1 hora e então multiplicar por 6 horas. Neste caso, vamos
considerar esta resposta com características formais (F), pois encontrando a
distância percorrida em 1 hora é possível calcular a distância em qualquer tempo.
Este problema também pode ser resolvido pelo método do fator de
mudança/decomposição em parcelas: “se em 02 horas o automóvel percorre 48 km,
mais 02 horas percorrerá 96 km e mais 02 horas percorrerá 144 km”. Neste caso, o
sujeito estará apresentando características corporificadas (C). Para ser categorizada
com características formais (F) a resolução por meio deste método, necessitará que
83
se verifique, por meio da explicação do porquê desta ideia, se o participante
consegue resolver o problema com um tempo diferente, por exemplo, 7 horas.
Ou então para resolver o problema, o sujeito pode aplicar a noção de
proporcionalidade direta por meio da regra de três, onde a grandeza (distância) é
diretamente proporcional à grandeza (horas):
. Consideraremos esta
resolução com características simbólicas (S), pois este método pode ser olhado
como um proceito, que encerra o conceito de proporcionalidade direta e o processo,
de que temos que fazer para calcular o
Utilizando qualquer um destes métodos o sujeito sabe justificá-los?
7. Escreva com suas palavras o que você entende por proporcionalidade inversa.
Colocamos esta questão com o objetivo de identificar a definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981) de cada participante da pesquisa, relativa ao conceito de
proporcionalidade inversa e pela maneira de se expressar identificar com que
características dos Três Mundos da Matemática ele define tal conceito.
Pedimos no enunciado que a resposta fosse escrita “com suas palavras”.
Para que o sujeito exponha seus conhecimentos do que é proporcionalidade inversa
escrevendo o que considera sua definição de conceito. Dependendo como enuncia
seu pensamento, podem surgir características do mundo corporificado, do mundo
simbólico ou do mundo formal.
As características do mundo corporificado podem estar presentes na definição
de conceito do participante da pesquisa se ele fizer uso de gráficos, de exemplos
numéricos, de tabelas ou mesmo de textos com características não formais.
Ao esboçar um gráfico, o sujeito pode apresentar de maneira correta o gráfico
de uma hipérbole. No caso de exemplos numéricos, o participante pode apresentar
um texto como: “Um carro leva 1 hora para ir de uma cidade a outra distante 87
quilômetros. Quanto maior for sua velocidade, menor será o tempo que ele levará
para percorrer essa distância”, ou “15 pedreiros em 10 dias constroem 10 metros de
um muro, quantos dias seriam necessários para 9 pedreiros construírem 18 metros
desse mesmo muro?”.
84
O participante pode trazer ainda uma tabela relacionando pares de grandezas
onde existe a proporcionalidade inversa, como a tabela do Caderno da 1ª série,
volume 1, do Ensino Médio da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, que traz
a divisão de um prêmio da loteria entre os ganhadores, sendo que a medida que o
número de ganhadores aumenta o valor do prêmio individual diminui
proporcionalmente. Finalmente, o sujeito pode apresentar textos corretos com frases
do tipo: ”dadas duas quantias positivas, e , dizemos que é inversamente
proporcional a se existe uma constante estritamente positiva tal que o produto
entre e é ”.
Ou a definição de conceito de proporcionalidade inversa do sujeito pode
conter ideias equivocadas (ver possíveis respostas no Quadro 1 da página 75).
As características do mundo simbólico podem estar presentes na definição de
conceito do participante da pesquisa se ele utilizar expressões que representam
proporcionalidade inversa, como as do tipo:
, ou
. Nestes
casos, o participante traz ideias corretas da proporcionalidade inversa e se
acrescentar, por exemplo, que é uma constante real, podemos situá-lo no mundo
simbólico formal.
As características do mundo formal podem na definição de conceito de
proporcionalidade inversa do sujeito se ele apresentar, por exemplo, alguma
definição do tipo: “Seja a grandeza uma função da grandeza , isto é, é
inversamente proporcional a quando: é uma função decrescente de e, se for
multiplicado por um número real , o valor correspondente de fica dividido por .
Logo: ⁄ para todo valor de e IR”. Neste caso, o sujeito se
expressa por meio de texto e por meio de símbolos e apresenta uma definição de
conceito de proporcionalidade inversa com características do mundo corporificado,
do mundo simbólico e do mundo formal.
8. Dê um exemplo de proporcionalidade inversa.
Colocamos esta questão com o objetivo de identificar se o sujeito tem o
conceito de proporcionalidade inversa e, neste caso, que características dos Três
Mundos (presentes na imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981)) mobiliza ao
trabalhar com problemas que o envolvem. Pretendemos verificar ainda se, além da
85
definição, o participante tem na imagem de conceito um exemplo, e se o mesmo
ratifica a definição dada na Questão 7. É importante para nossa pesquisa e
consideramos importante do ponto de vista matemático.
Ao dar um exemplo, o participante pode apontar caraterísticas dos Três
Mundos que estão presentes na imagem de conceito pode dar respostas
semelhantes às que previmos na Questão 7 (página 83).
Se o participante não expressa a definição na Questão 7 com ideias formais,
mas nesta questão traz um exemplo que mostra o uso da ideia de maneira correta,
podemos situar que ele está no mundo corporificado ou no mundo simbólico,
dependendo do exemplo, mas com características do mundo formal. Por exemplo,
se a definição de conceito apresenta um texto que “existe proporcionalidade inversa
se uma grandeza aumenta e a outra diminui” e nesta questão dá como exemplo um
gráfico de uma hipérbole, podemos classificá-lo como no mundo corporificado
formal.
Caso o sujeito repita a definição de conceito ou deixe a questão em branco
(interpretamos uma resposta em branco como “não sei”), podemos conjecturar “Por
quê?”. “Será que a aprendizagem ficou restrita a uma definição ‘decorada’?”. São
perguntas que nos ocorrem e para as quais, pensamos, seria importante realizar
uma pesquisa.
A Questão 9, a Questão 10 e a Questão 11, a seguir, têm como objetivo
verificar se o participante da pesquisa associa gráficos, de forma correta ou não,
com a ideia de proporcionalidade inversa. Ao trabalhar com gráficos, o aluno mostra
que possui na imagem de conceito características do mundo corporificado. Ao
apresentar, de maneira correta, na Questão 9, um gráfico que represente duas
grandezas inversamente proporcionais, na Questão 10, um gráfico que não
represente nem uma relação de proporcionalidade direta e nem de
proporcionalidade inversa e na Questão 11, reconhecer corretamente se a relação
existente entre e é de proporcionalidade inversa ou não, este sujeito mostra
também se expressar com características do mundo formal.
A análise destas três questões, junto com a da Questão 7 e a da Questão 8,
permite comparar as respostas para verificar possíveis contradições, sejam elas
matematicamente corretas ou não.
86
9. Esboce um gráfico que represente duas grandezas inversamente proporcionais.
Explique.
Na questão 9, pedimos que o participante esboce um gráfico de
proporcionalidade inversa de modo a verificar se o participante tem, na imagem de
conceito, gráficos como forma de trabalho com a proporcionalidade inversa, que são
gráficos de funções do tipo
com ).
10. Esboce um gráfico que não represente nem a proporcionalidade direta nem a
proporcionalidade inversa. Explique.
Na Questão 10, pedimos que o participante esboce um gráfico que não
represente nem a proporcionalidade direta nem a proporcionalidade inversa de
modo a verificar se o indivíduo tem em sua imagem de conceito, gráficos que não
representem relação de dependência proporcional, tanto direta como inversa. Com
esta questão teremos a disposição dados que analisados, mostrem se o participante
ratifica as respostas dadas nas questões 1 e 2 e nas questões 7 e 8.
11. A seguir são apresentados gráficos que relacionam as grandezas x e y. Em cada um
deles, explique, com suas palavras, se a relação existente entre x e y é de
proporcionalidade inversa ou não.
a. a b. c. d. d
Na Questão 11, pedimos ao participante que aponte (qual ou) quais gráficos
representam ou não, proporcionalidade inversa.
Com as justificativas dadas na Questão 11, identificamos características dos
Três Mundos da Matemática que estão presentes na imagem de conceito dos
sujeitos da pesquisa, quando trabalham com gráficos que representam relação de
proporcionalidade inversa, ou não. Para responder esta questão é preciso analisar
cada um dos gráficos, que são típicos do mundo corporificado, pensar na relação
apresentada entre as grandezas e e decidir se é ou não de proporcionalidade
87
inversa e podem justificar sua decisão com características do mundo simbólico e/ou
do mundo formal. Assim é possível verificar se o participante confirma o que
escreveu nas questões 9 e 10; se não há contradição com a definição apresentada
na Questão 7 (ver considerações a seguir) e se aponta apenas a alternativa (c),
como a única em que o gráfico representa proporcionalidade inversa entre as
grandezas e , representadas pelos eixos horizontal e vertical, respectivamente.
O sujeito pode apresentar uma resposta não correta, mas que não apresente
conflito com uma resposta anterior. Por exemplo, um sujeito pode responder na
Questão 7, que proporcionalidade inversa “são duas grandezas que quando uma
aumenta a outra diminui”. Se na Questão 11 este mesmo sujeito apontar a
alternativa (b) como correta, que é uma parábola com a concavidade voltada para
baixo, ou a alternativa (d), que é uma reta com coeficiente angular negativo, as
respostas não são conflitantes, mas apontam que a definição de conceito de
proporcionalidade inversa está matematicamente incompleta.
O sujeito pode apresentar uma resposta não correta e que apresente conflito
com uma resposta anterior. Por exemplo, um sujeito pode responder na Questão 7
que a proporcionalidade inversa “é uma reta que quando uma aumenta a outra
diminui”. Se na Questão 11 este mesmo sujeito apontar a alternativa (a) como
correta, que é uma reta com coeficiente angular positivo as respostas são
conflitantes, o que interpretamos como falta de características formais (F) na
imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Vamos descrever, de forma sucinta, nossa escolha dos gráficos desta
questão. Na alternativa (a), o gráfico é de uma função linear com coeficiente angular
positivo, que representa proporcionalidade direta entre as grandezas e . Na (b), o
gráfico é uma função decrescente, mas é uma parábola e, portanto, não representa
proporcionalidade inversa entre e . Na (c), o gráfico é de uma hipérbole, o que
quer dizer que temos proporcionalidade inversa entre e . Na alternativa (d), o
gráfico é uma função decrescente, mas não é uma hipérbole e, portanto, não
representa proporcionalidade inversa entre e .
A partir destas considerações, pontuamos algumas das respostas possíveis
de acontecer nos protocolos que vamos analisar. No questionário é pedido ao
participante para considerar apenas grandezas estritamente positivas e trabalhar
88
com os gráficos apenas no primeiro quadrante (ver página 221). Nas alternativas, foi
colocado apenas um gráfico que representa proporcionalidade inversa, alternativa
(c). Se na imagem de conceito de proporcionalidade inversa do participante tiver
algo do tipo “se uma grandeza aumenta, a outra diminui”, podem aparecer, como
respostas, além da opção (c), as opções (b) e (d). Neste caso, não há contradição,
mas mostra que a definição de conceito está matematicamente deficiente. Faltam
“características” que fazem parte da definição, que torna uma imagem de conceito
mais próxima do mundo formal.
Na alternativa (a), o gráfico é de uma reta e portanto não é
proporcionalidade inversa. Na nossa análise é possível comparar a resposta dada
pelo participante a esta pergunta com a dada por ele no item (a) da Questão 5 , se
ele apontar que este gráfico é de proporcionalidade inversa, escrever algo como
“não sei” ou deixar em branco.
No caso da alternativa (b), não existe proporcionalidade
inversa entre e . O gráfico apresenta uma parábola com a concavidade voltada
para baixo, pois . Por ser o gráfico de uma função decrescente o participante
pode achar que existe proporcionalidade inversa, porque “quando uma grandeza
aumenta a outra diminui”. O participante pode deixar esta alternativa sem
explicação, em branco ou expressões do tipo “Nunca vi”, “Não sei”. Será que nunca
viu um gráfico como este? Se for este o caso, com alunos da 3ª série do Ensino
Médio, uma questão vem à tona “Por que isto acontece?”, o que nos remete a
pesquisas futuras.
Na alternativa (c),
existe proporcionalidade inversa entre e e o
participante pode dar justificativas do tipo: ”porque o produto entre e é
constante”; “para haver proporcionalidade inversa o gráfico da função deve ser uma
hipérbole”; “ e são tais que
, com e ”. Neste caso estará
mostrando uma imagem de conceito rica, com características dos Três Mundos da
Matemática, corporificado, simbólico e formal. Do mesmo modo que a alternativa (b)
se o participante deixar esta alternativa em branco ou expressar justificativas do tipo
“Não sei”, “Nunca vi”, consideraremos a necessidade de pesquisa posterior para
encontrar o porquê disto acontecer.
89
Na alternativa (d), a função é dada pela expressão Por ser
o gráfico de uma função afim, não existe proporcionalidade inversa entre e . Será
que o participante da pesquisa pode entender que, por ser um gráfico de uma reta
com a inclinação negativa, existe proporcionalidade inversa?
12. Escreva com suas palavras qual sua primeira ideia para resolver o seguinte problema:
“Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos
homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?”
Explique o porquê desta ideia.
O objetivo desta questão é identificar algumas características que estão
presentes na imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) do indivíduo e que sejam
as primeiras a emergir diante do questionamento. Com a explicação dada,
pretendemos identificar se o aluno associa a ideia de proporcionalidade inversa ao
enunciado e porque o faz.
Neste problema existe uma propriedade básica, inerente à ideia de
proporcionalidade, que mostra como regularidade que “todos os homens trabalham
de maneira igual”. A grandeza que queremos descobrir, a variável dependente,
aquela que vai interferir no processo, é (quantidade de trabalhadores) e é por meio
dela que analisamos a relação de proporcionalidade com as outras grandezas.
Como “todos os homens trabalham de maneira igual”, (quantidade de
trabalhadores) é função de (comprimento, em metros, do muro a ser construído) e
função de (dias trabalhados), . Isto pode estar subentendido quando
pensamos (ou dizemos) que: “se a quantidade aumenta, o comprimento
aumenta” e concluímos que “a grandeza é diretamente proporcional à grandeza
”; e “se a quantidade aumenta, o número diminui” e afirmamos que “a
grandeza é inversamente proporcional à grandeza “. É importante ressaltar que
estas afirmações só são corretas porque está subentendido no problema que “todos
os homens constroem o mesmo número de metros de muro por dia”, isto é, “todos
têm o mesmo rendimento diário”.
Mantendo (dias trabalhados) fixo podemos concluir que (comprimento do
muro a ser construído) é diretamente proporcional à (quantidade de trabalhadores)
e mantendo (comprimento do muro a ser construído) fixo podemos concluir que
90
(dias trabalhados) é inversamente proporcional a (quantidade de trabalhadores).
Assim podemos escrever
, ou seja,
.
Uma estratégia possível pode ocorrer se o aluno sabe que existe uma
constante de proporcionalidade que é a mesma para quaisquer outros valores e,
assim, achar o valor desta constante por meio dos dados iniciais,
. Com este
valor, obtém o número de trabalhadores
. Neste caso, o sujeito
mostra características do mundo formal.
Será que o sujeito tem clareza dessas relações quando trabalha com a regra
de três, simples ou composta? Será que o sujeito tem na sua imagem de conceito
características formais que o possibilitem trabalhar com proporcionalidade com
várias variáveis e chegar em
?
13. Podemos calcular o comprimento de uma circunferência se conhecermos o seu raio r.
Assinale a alternativa que você acha correta, se quisermos dobrar o comprimento desta
circunferência. Explique deixando suas contas.
a. O valor do raio r deve ser multiplicado por 4
b. O valor do raio r deve ser dividido por 2
c. O valor do raio r deve ser multiplicado por 2
d. Não é possível dobrar o comprimento de uma circunferência
Na Questão 13, os participantes precisam ler e interpretar um texto em língua
materna (características corporificadas (C)) para encontrar suas respostas e então
justificá-las.
Colocamos esta questão por considerar importante que o sujeito tenha, em
sua imagem de conceito, ideias de proporcionalidade com características simbólicas
(S), por meio de expressões algébricas, pois concordamos com a teoria dos Três
Mundos da Matemática, que segundo Tall (2004), à medida que o indivíduo evolui,
sente necessidade de representar de outra forma, as ações que experimenta no
mundo corporificado e, para isso, usa símbolos matemáticos, que são característicos
do mundo simbólico e exigem uma linguagem um pouco mais precisa do que a
utilizada no mundo corporificado.
91
Na Questão 13, colocamos um exemplo em que há proporcionalidade direta
entre o comprimento da circunferência e o raio . Não cobramos explicitamente a
expressão algébrica, pedimos que justifique a resposta deixando as contas, de
maneira a mostrar com que características dos Três Mundos da Matemática se
expressa ao resolver esta questão. Além disso, não foi mencionada a ideia de
proporcionalidade direta, mas o intuito é verificar se na resposta o sujeito traz esta
ideia. Para responder corretamente a Questão 13, o sujeito pode usar exemplos
numéricos (mundo corporificado), fórmulas algébricas (mundo simbólico).
A Questão 13 traz dados relativos à variável dependente (comprimento da
circunferência ) e pede informações sobre a variável independente (raio da
circunferência ). O comprimento de uma circunferência é uma função crescente
do raio e temos portanto, o comprimento da circunferência é diretamente
proporcional ao raio e a constante de proporcionalidade direta é Deste modo
para dobrar o comprimento de uma circunferência será preciso dobrar o seu raio.
14. Em cada um dos casos abaixo, verifique se há (S) ou não (N) proporcionalidade direta.
Se sim, indique o valor da constante de proporcionalidade K. Justifique sua resposta.
a. ( ) O perímetro P de um quadrado e seu lado
b. ( ) A diagonal D de um quadrado e seu lado
c. ( ) A área de um quadrado e seu lado .
Na Questão 14, os participantes precisam ler e interpretar um texto em língua
materna (características corporificadas (C)) para encontrar suas respostas, que
podem trazer expressões algébricas (características simbólicas (S)) ou ideias
formais (características formais (F)) e então justificá-las.
Pensando no referencial teórico da nossa pesquisa, na Questão 14, não foi
pedida explicitamente a expressão algébrica, mas ao pedirmos a constante de
proporcionalidade, o participante pode apresentá-la na sua resposta, mostrando
trabalhar com o processo e o conceito de cada expressão. A resposta pode mostrar
características dos Três Mundos, tanto corporificada, simbólica e formal.
Para responder cada um dos itens da Questão 14, o sujeito precisa identificar
a expressão relacionada a cada alternativa, analisar se há proporcionalidade direta e
calcular a constante de proporcionalidade. Colocamos esta questão, pois
consideramos importante que um sujeito tenha, em sua imagem de conceito, algo do
92
tipo ”numa relação de proporcionalidade direta deve haver uma constante de
proporcionalidade, que é a razão entre as duas grandezas”, apontando deste modo
características formais (F).
Na alternativa (a), o perímetro de um quadrado é função de seu lado , no
caso . Se o lado aumenta, o perímetro aumenta e a razão
é
constante, igual a , portanto é diretamente proporcional a e a constante de
proporcionalidade direta é . Na alternativa (b), a diagonal do quadrado é
diretamente proporcional ao lado , porque √ e a constante de
proporcionalidade direta é √ . Na alternativa (c) - um exemplo em que não há
proporcionalidade direta entre a área e o lado , embora haja proporcionalidade
direta entre e (com constante de proporcionalidade ) -, a área de um
quadrado é função do quadrado de seu lado no caso .
No caso do participante apontar que na alternativa (c) há relação de
proporcionalidade direta, podemos lembrar Sierpinska (1992), quando explicita o 9º
obstáculo epistemológico, ligado à noção de função, de que: “(Um esquema
inconsciente de pensamento) Proporção é uma forma privilegiada de relação”16
(SIERPINSKA, 1992, p. 43, tradução nossa), ou seja, o sujeito pode ter naturalmente
a ideia de que em toda relação, existe proporcionalidade direta.
15. Podemos calcular a área de um retângulo se conhecermos sua base e sua altura .
Mantendo a área do retângulo constante, responda sim (S) ou não (N) cada um dos itens
abaixo. Justifique sua resposta.
a. ( ) Se dobrarmos o valor da altura , o valor da base dobra?
b. ( ) Se dobrarmos o valor da altura , o valor da base é dividido por 2?
c. ( ) Existe proporcionalidade direta entre a altura e a base ?
d. ( ) Existe proporcionalidade inversa entre a altura e a base ?
Na Questão 15 os participantes precisam ler e interpretar um texto em língua
materna (características corporificadas (C)) para encontrar suas respostas e então
justificá-las.
Nesta questão, não cobramos explicitamente a expressão algébrica e o
participante pode não utilizá-la para responder. Também é possível verificar
16
(An unconscious scheme of thought) Proportion is a privileged kind of relationship
93
(alternativa (c) e alternativa (d)) se o participante distingue proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa na relação e se na resposta da alternativa (a) e da
alternativa (b) o sujeito traz esta ideia.
Na Questão 15, colocamos um exemplo de um retângulo com área constante
(constante de proporcionalidade ) e, portanto, temos proporcionalidade inversa
entre a altura e a base . Para responder corretamente esta questão o sujeito
pode usar exemplos numéricos (mundo corporificado) ou fórmulas algébricas
(mundo simbólico). Ou ainda, responder simplesmente que, dobrando o valor da
altura de um retângulo e mantendo a área constante, a base vai ser dividida pela
metade, sem testar com valores (características formais (F)).
O participante pode deixar explícita a expressão algébrica , mas não
identificar esta relação como proporcionalidade inversa e, por exemplo, responder
na alternativa (a) que também dobra. Será que neste caso podemos conjecturar
que sua definição de conceito sobre a área do retângulo é decorada, sem outras
concepções na imagem de conceito, como geométricas ou de proporcionalidade
inversa? Ou lembrando Sierpinska (1992), quando explicita o 9º obstáculo
epistemológico, ligado à noção de função, de que: “(Um esquema inconsciente de
pensamento) Proporção é uma forma privilegiada de relação”17 (SIERPINSKA, 1992,
p. 43, tradução nossa), ou seja, o sujeito pode ter naturalmente a ideia de que em
toda relação, existe proporcionalidade direta.
Novamente, queremos dizer que o mundo simbólico pode existir
independente dos demais. É importante que um sujeito, ao trabalhar com
características do mundo simbólico, mostre uma coerência em suas respostas que
indique que na sua imagem de conceito existem também características do mundo
formal. Assim é possível verificar se o participante interage entre os mundos.
16. Nos itens a seguir são apresentadas algumas relações algébricas entre duas grandezas.
Aponte as alternativas nas quais existe relação de proporcionalidade direta ou de
proporcionalidade inversa e nestes casos, indique a constante de proporcionalidade.
a. c. e.
b. d.
17
(An unconscious scheme of thought) Proportion is a privileged kind of relationship
94
Esta questão, de certa forma, completa a anterior, pois são dadas as
expressões algébricas e buscamos verificar se o individuo tem na imagem de
conceito de proporcionalidade, características do mundo simbólico e também do
mundo formal ao apontar a constante de proporcionalidade. Assim, o objetivo desta
questão é verificar se tais características existem e se os participantes conseguem
utilizá-las para responder a questão.
No item (a), existe proporcionalidade direta e a constante de
proporcionalidade é . No (b), não existe proporcionalidade direta entre y e x e sim
entre e . No (c) e no (d), existe proporcionalidade inversa e as constantes de
proporcionalidade são respectivamente e
. No item (e), existe proporcionalidade
direta e a constante de proporcionalidade é
.
Em todos os itens, são apresentados apenas as letras e , representando
as duas grandezas e os valores e
, (tentando evitar que expressões com valores
diferentes interfiram na resposta do aluno). Para responder esta questão o sujeito
precisa ter na imagem de conceito, que para haver proporcionalidade direta entre
duas grandezas é preciso que a razão entre elas seja uma constante e que para
haver proporcionalidade inversa entre duas grandezas o produto entre eles seja
constante.
17. Aponte se verdadeiro (V) ou falso (F). Explique e comente cada resposta.
a. Podemos definir proporcionalidade direta como: “... relação entre duas grandezas que
quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta”.
V/F ( ) Justifique______________________________________________________
b. Podemos definir proporcionalidade inversa como: “... relação entre duas grandezas que
quando uma grandeza aumenta a outra diminui”.
V/F ( ) Justifique _____________________________________________________
c. Dadas duas grandezas positivas quaisquer, uma grandeza só pode ser diretamente
proporcional à outra.
V/F ( ) Justifique _____________________________________________________
d. Dadas duas grandezas positivas quaisquer, uma grandeza só pode ser diretamente
proporcional ou inversamente proporcional à outra.
V/F ( ) Justifique _____________________________________________________
95
e. Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou
diminuem simultaneamente de modo que a razão
é constante e resulta que (k
é a constante de proporcionalidade).
V/F ( ) Justifique ______________________________________________________
f. Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas
aumenta a outra diminui, e vice-versa, de modo que o produto das duas permanece
constante: ( ou
) e é a constante de proporcionalidade.
V/F ( ) Justifique _____________________________________________________
O objetivo desta questão é verificar se o participante sabe decidir, entre as
seis alternativas apresentadas, quais são verdadeiras e quais são falsas, além de
explicar suas escolhas.
Os textos da alternativa (a) e da alternativa (b), embora estejam “próximos” da
definição Matemática de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa
respectivamente, não são suficientes para definir cada um dos conceitos e interessa-
nos verificar como os sujeitos as classificam.
A alternativa (a) é falsa. O fato de estar escrito que “quando uma grandeza
aumenta a outra também aumenta” não é suficiente para que exista
proporcionalidade direta. Consideramos importante que na imagem de conceito haja
algo do tipo: “uma grandeza y pode ser uma função crescente de x sem que seja
diretamente proporcional a x”. Além disso, podemos conjecturar que, conforme
afirma Sierpinska (1992), há uma dificuldade associada ao entendimento da ideia de
proporcionalidade, pois em toda relação a primeira ideia do sujeito é achar que há
proporcionalidade.
A alternativa (b) é falsa. O fato de estar escrito que “quando uma grandeza
aumenta a outra diminui” não é suficiente para que exista proporcionalidade inversa.
Consideramos importante que na imagem de conceito do participante haja algo do
tipo: “uma grandeza y pode ser uma função decrescente de x sem que seja
inversamente proporcional a x”. Se o participante indicar a alternativa (b) como
verdadeira, podemos conjecturar que faz parte da imagem de conceito que apenas
esta condição garante a existência da proporcionalidade inversa entre duas
grandezas.
A alternativa (c) também é falsa. O participante pode entender que se duas
grandezas são positivas, então existe uma relação de proporcionalidade direta entre
96
elas. O individuo pode entender que, se existe relação, a mesma é de
proporcionalidade direta, o que nos remete à afirmação de Sierpinska(1992)
mencionada no item anterior.
A alternativa (d) também é falsa. Consideramos importante que na imagem de
conceito do participante haja algo do tipo: “duas grandezas podem estar
relacionadas sem que haja proporcionalidade direta ou proporcionalidade inversa
entre elas”. Se responder como verdadeira a alternativa (d), o participante estará
sinalizando que faz parte da imagem de conceito que “quando houver uma relação
entre duas grandezas, sempre vai existir proporcionalidade, ou direta ou inversa”.
A alternativa (e) e a alternativa (f) são verdadeiras e apresentam uma
definição matemática, formal, com texto na língua materna de proporcionalidade
direta e de proporcionalidade inversa respectivamente. Estas alternativas
apresentam estas definições com características dos Três Mundos da Matemática,
características corporificadas (C), características simbólicas (S) e características
formais (F).
4.4 Coleta dos Dados
O convite aos alunos para a participação na pesquisa foi feito pela própria
professora de Matemática, que explicou que só participaria da pesquisa o aluno, que
trouxesse o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo 2, página 231)
assinado (se menor de idade, o responsável) até o dia da aplicação do questionário,
que foi marcado para dai a duas semanas. Neste mesmo dia foi informado, que a
participação seria voluntária e que a identidade do aluno, assim como da instituição
em que estuda, seria mantida em sigilo e que os protocolos gerados seriam
identificados por um número ou um apelido. Também foi informado que os dados
coletados, juntamente com a gravação de eventual entrevista, seriam utilizados
exclusivamente como instrumento de análise e que os participantes teriam pleno
acesso aos resultados da pesquisa.
No dia agendado compareceram 51 alunos de duas turmas da 3ª série do
Ensino Médio do curso noturno. Alguns se mostraram inseguros quanto à “prova”
que iriam fazer e sobre qual seria o tema, pois o mesmo não foi comunicado
anteriormente. Inicialmente esclarecemos que nosso questionário não era “prova
97
para nota” e sim uma pesquisa que estávamos desenvolvendo no nosso curso de
pós-graduação. Pedimos a colaboração do grupo no sentido de, ao responder cada
uma das questões, tomassem o cuidado de justificar e explicar aquelas que a
solicitassem. A professora solicitou bom comportamento da classe, pedindo silêncio
e que todos arrumassem as cadeiras de modo a ficarem longe um do outro. Antes
de iniciarem o questionário agradecemos a participação de todos, salientando sua
importância. As questões foram respondidas no período de duas aulas.
98
99
5 ANÁLISE DOS DADOS
No capítulo anterior, descrevemos: o público alvo e a escola; o instrumento de
coleta de dados, seguido de uma análise preliminar dos itens que o compõem; e
como foi desenvolvida a coleta de dados.
Neste capítulo, relatamos a análise dos protocolos, na busca das definições
de conceito, imagens de conceito e características dos Três Mundos da Matemática
do grupo pesquisado. Fizemos uma análise de cada questão em relação ao grupo
(Análise por Questão) e uma análise das 17 respostas de cada um dos 51
participantes (Análise por Aluno).
5.1 Análise por Questão
Na análise dos protocolos, utilizamos nosso referencial teórico para
diagnosticar qual a imagem de conceito e a definição de conceito (TALL; VINNER,
1981), sobre proporcionalidade direta e inversa, de cada sujeito pesquisado e que
características - entre simbólicas (S), formais (F) e corporificadas (C) (TALL, 2004) –
utiliza ao resolver problemas relacionados a este conceito. Apossamo-nos da figura
que representa a integração entre os Três Mundos da Matemática de acordo com
Tall (2004) e acrescentamos alguns exemplos, para tornar mais compreensível como
foram classificadas algumas respostas encontradas nos protocolos, em que mundo
– ou intersecção de quais mundos - as mesma se situam (Figura 2).
A transcrição de todas as respostas dos participantes da pesquisa,
acompanhada da respectiva análise, resultou num texto muito extenso, pois foram
51 alunos e 17 questões e optamos por encadernar este material separadamente.
No texto principal de nossa dissertação, colocamos um resumo que
consideramos qualificado dessa análise e apontamos as respostas mais frequentes,
os equívocos que consideramos recorrentes (ver Quadro 1 – Exemplos de Possíveis
Respostas Equivocadas, página 75) e as informações que julgamos relevantes.
Acrescentamos três quadros, um com uma síntese das respostas por categorias de
análise (como classificamos um determinado tipo de resposta); um com a respectiva
100
classificação de cada um dos 51 alunos; e um com a classificação geral (quantas
respostas foram classificadas com cada característica dos Três Mundos da
Matemática).
Figura 2 - Exemplo de jornada pelos Três Mundos da Matemática Fonte: Lima e Tall (2010, tradução e adaptação nossa)
5.1.1 Análise da Questão 1
Questão 1: Escreva com suas palavras o que você entende por
proporcionalidade direta.
Classificamos por Quando a resposta apresentou, em língua materna
Relação entre duas grandezas ou dois valores
características corporificadas (C) Uma reta
Imagem mental de uma figura
características corporificadas formais (CF)
Dá a entender a relação entre duas grandezas explicitando que a razão entre as mesmas é constante.
Quadro 2 – Categorias de análise da Questão 1
101
1 C 11 - 21 C 31 - 41 C 51 C
2 - 12 - 22 C 32 n/r 42 C
3 C 13 C 23 - 33 C 43 -
4 C 14 C 24 C 34 C 44 -
5 C 15 C 25 C 35 CF 45 C
6 C 16 n/r 26 - 36 C 46 C
7 C 17 n/r 27 - 37 n/r 47 C
8 C 18 C 28 - 38 C 48 -
9 - 19 C 29 C 39 - 49 -
10 C 20 C 30 CF 40 CF 50 CF
Quadro 3 - Classificação da definição de conceito de proporcionalidade direta de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
47 participantes responderam esta questão. Destes, 25 se referem a duas
grandezas (ou dois valores) com frases do tipo: “quando uma aumenta a outra
aumenta”, “crescem de maneira igual”, “crescem juntas”, “crescem o mesmo tanto”,
ou se referem a uma reta, o que classificamos como textos com características
corporificadas (C). Estas ideias não garantem a existência de uma relação de
proporcionalidade direta, pois estão relacionadas a qualquer função crescente e as
consideramos destituídas de características formais (F), pois não são suficientes
para definir o conceito. É preciso que a razão entre as duas grandezas seja
constante ou que a reta possua coeficiente angular positivo e que passe pela
origem.
O Aluno 18 trouxe sua definição de proporcionalidade direta conforme
apresentado acima: “Diretamente Proporcional. Relação entre duas grandezas que
quando uma grandeza aumenta e a outra também aumenta”. Interpretamos que este
participante tem presente na imagem de conceito, características corporificadas (C).
Com a análise de suas outras respostas, podemos verificar a qual função se refere.
29 participantes usaram os verbos aumentar, crescer ou subir e não pudemos
perceber, só com esta resposta, se querem dizer adicionar um valor ou multiplicar
por um valor, como é o caso da resposta do Aluno 20: “Quando dois valores sobem
ao mesmo tempo em constante valor numérico” e do Aluno10: “É quando dois
valores aumentam ou diminuem na mesma quantia”
5 participantes usaram na definição de proporcionalidade direta os verbos
aumentar e diminuir, como por exemplo o Aluno 13: “Eu entendo como
proporcionalidade direta quando duas grandezas aumentam ou diminui em ambas
as partes”. Do ponto de vista formal matemático falar que “duas grandezas
aumentam na mesma razão” é o suficiente e não é preciso acrescentar “ou
102
diminuem”, pois o importante é ser uma função crescente. O problema é o texto que
vem depois. Na análise das outras questões talvez possamos verificar se esses
alunos reconhecem uma função linear (ou não) decrescente como diretamente
proporcional.
8 participantes se referiram à proporcionalidade direta como uma reta, sem
mencionar que a mesma passa pela origem do sistema cartesiano, como o Aluno
33: “Eu entendo que a proporcionalidade direta é uma reta subindo constantemente
em linha reta.” Classificamos esta definição com características corporificadas (C),
pois consideramos que este aluno tem na imagem de conceito de proporcionalidade
direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo. Ao longo de suas
outras respostas é possível confirmar se esta reta passa pela origem do sistema
cartesiano.
Consideramos definições com características corporificadas formais (CF)
respostas que, embora não apontem características dos Três Mundos, permitem que
o sujeito trabalhe com o conceito, pois mostram existir relação entre as grandezas e
explicitam que a razão entre elas é constante.
Na Proporcionalidade direta existem duas grandezas. Se pode descobrir se a grandeza é diretamente proporcional quando se divide os valores das duas grandezas, assim se obtendo uma K -> constante. E sempre os gráficos de proporcionalidade direta constituem-se por uma reta. (Aluno 30) Quando duas grandezas aumentam, uma dividida pela outra mantem a mesma constante. (Aluno 35) Ocorre quando pares de números aumentam numa constante, constante essa que pode ser encontrada através da divisão das grandezas. (Aluno 40) Proporcionalidade direta são grandezas que se relacionam e uma vez analizadas percebe-se que quando almentada ou diminuída, na mesma proporção a outra grandeza modifica-se; além disso sempre há uma constante entre elas, e é o que justamente quassifica-a como proporcionalidade direta. Acha-se a constante dividindo uma grandeza pela outra. (Aluno 50)
Entre estas definições com características corporificadas formais (CF), o
Aluno 30 e o Aluno 35 utilizaram a língua materna de forma correta, dentro da
Matemática. Este grupo passa a ideia de que não foi habituado a expressar-se com
uma linguagem matemática correta, até mesmo na língua materna.
A definição de proporcionalidade direta, apresentada no Caderno do Aluno da
Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010): “Quando x e y
103
são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem
simultânea e proporcionalmente, ou seja, a razão
é constante, e resulta que
( é uma constante)” (SÃO PAULO, 2010, página 3, destaque em negrito
do autor) nos fez pensar se favoreceu o uso indevido de termos como “proporção”,
“proporcionalmente”, utilizado por 17 alunos em suas definições, como o Aluno 14:
“Quando duas grandezas crescem ou diminuem em uma só proporção18”. Afinal,
proporção é uma igualdade entre duas razões, isto é, dados quatro números
racionais a, b, c, d, não-nulos, dizemos que eles formam uma proporção quando a
razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º.
Entre as respostas apresentadas, 14 não apontaram na definição de conceito
de proporcionalidade direta características nem formais, nem simbólicas e nem
corporificadas, como o Aluno 31: “Proporcionalidade direta é uma sequência de
números que vai aumentando proporcionalmente, ou seja, uma sequência que vai
aumentando sempre o mesmo número.”.
Nenhum sujeito deste grupo apresentou características simbólicas (S) na sua
definição de conceito de proporcionalidade direta, ou seja, nenhum sujeito
expressou a definição por meio de símbolos, o que nos fez conjecturar se este
resultado se deve à maneira como foi enunciada a questão, dando liberdade ao
aluno para apresentá-la na língua materna, o que classificamos como com
características corporificadas (C). Nenhum sujeito deste grupo apresentou
simultaneamente características dos Três Mundos da Matemática, ou seja,
apresentou simultaneamente características formais, simbólicas e corporificadas
(CSF).
18
Sublinhado nosso.
104
Definição de Conceito
Características corporificadas (C) 29
Características corporificadas
formais (CF)
04
Ausência de características (-) 14
Respostas dadas 47
Não responderam (n/r) 04
Quadro 4 – Classificação geral da definição de conceito de proporcionalidade direta na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.2 Análise da Questão 2
Questão 2: Dê um exemplo de proporcionalidade direta.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas
(C)
Tabela com a ideia de proporcionalidade direta correta, ou seja, dados corretos, mas sem justificativa. Assim não podemos afirmar que este participante tenha características formais
Gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo que está de acordo com a proporcionalidade direta, mas sem justificativas. Ideias corretas.
Texto com exemplo na língua materna, com ideias corretas
Características simbólicas
(S)
Forma algébrica e não trouxe nenhum componente formal, pois não justifica a resposta. Expressão algébrica com a ideia de proporcionalidade direta correta.
Características corporificadas formais
Explicitou semelhança de figuras e valor de ampliação com características corretas.
(CF) Tabela com ideias corretas que representa a proporcionalidade direta e acrescentando haver uma constante de proporcionalidade direta dando seu valor.
Características corporificadas simbólicas
(CS)
Gráfico de uma reta que está de acordo com a proporcionalidade direta com características corretas e a expressão algébrica, não generalizada, da função.
C* ou S* Respostas equivocadas (ver Quadro 1, página 75)
Quadro 5 - Categorias de análise da Questão 2
105
1 CF 11 - 21 n/r 31 - 41 CF 51 C
2 C 12 S 22 C 32 n/r 42 CF
3 C 13 n/r 23 C 33 C 43 S*
4 C 14 CF 24 CF 34 C 44 -
5 S 15 n/r 25 C* 35 CF 45 C*
6 C 16 n/r 26 - 36 C* 46 C
7 CS 17 n/r 27 C 37 C* 47 C*
8 C* 18 n/r 28 S 38 C* 48 S*
9 C* 19 n/r 29 C 39 - 49 C
10 CF 20 C 30 CF 40 C 50 C
Quadro 6 – Classificação da Questão 2 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
43 participantes responderam esta questão. Destes, 8 deram como exemplo
de proporcionalidade direta uma tabela com dados corretos, mas sem explicitar o
porquê dos valores, como o Aluno 29 (Figura 3); 6 apresentaram gráficos de acordo
com a proporcionalidade direta, mas sem justificar o porquê deste gráfico; e 2
apresentaram um exemplo na língua materna, como o Aluno 50, que escreveu: “1 kg
de maçãs custa R$ 2,00, logo 2 kg de maçãs custa R$ 4,00 e 20kg custa R$ 40,00”.
Todos estes 16 exemplos possuem ideias corretas sobre a proporcionalidade direta
e os classificamos como com características corporificadas (C).
Figura 3 – Resposta do Aluno 29 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas (C)
Dos 8 participantes que apresentaram uma tabela como exemplo de
proporcionalidade direta, 2 deram uma tabela com os dados da Questão 6, embora
não esteja explícito que se trata de um problema envolvendo a proporcionalidade
direta. Perguntamo-nos: será que estes alunos não conhecem nenhum exemplo
novo? Podemos conjecturar que os alunos não sabiam dar um exemplo, mas
quando chegaram à Questão 6, reconheceram-na como de proporcionalidade direta
e se apropriaram de seus dados? Apesar de ser esta uma pesquisa diagnóstica,
ousamos perguntar: “Será que estes alunos ampliaram a própria imagem de
conceito com uma ideia com características corporificadas (C)?”.
5 participantes apresentaram o conceito de semelhança de figuras (fotos,
figuras geométricas) com características corretas, explicitando o fator de ampliação,
106
que consideramos respostas com características corporificadas formais (CF) como o
Aluno 10 (Figura 4) e o Aluno 14 (Figura 5). Observamos que, em nossa Análise
Preliminar (Seção 4.3, página 74), não previmos figuras, mas elas ocorreram.
Figura 4 – Resposta do Aluno 10 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF)
Figura 5 - Resposta do Aluno 14 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF)
Consideramos também com características corporificadas formais (CF) 3
respostas com tabelas com ideias corretas, que explicitaram a constante de
proporcionalidade e seu valor, como é o caso do Aluno 30 (Figura 6).
Figura 6 – Resposta do Aluno 30 para a Questão 2 classificada como com características corporificadas formais (CF)
107
3 participantes apresentaram características do mundo simbólico, com
exemplos específicos, como o Aluno 28: “Uma proporcionalidade direta 2y=4x essas
duas grandezas são diretamente proporcional”. Classificamos esta resposta com
características simbólicas (S), mesmo não sabendo se o que o sujeito quis expressar
foi uma equação ou indicar que dobrando o y, o x fica multiplicado por 4.
1 participante (Aluno 07) deu como exemplo de proporcionalidade direta o
gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo passando pela origem do
sistema de coordenadas e identificou-a como “y=2x”, que classificamos com
características corporificadas simbólicas (CS).
10 participantes apresentaram respostas não corretas (ver Quadro 1 –
Exemplos de Possíveis Respostas Equivocadas, página 75), que foram classificadas
dentro dos Três Mundos: 4 gráficos de reta com coeficiente angular negativo; 4
tabelas ou exemplos numéricos com dados incorretos, que classificamos como com
características corporificadas equivocadas (C*); e 2 equações algébricas não
representativas de uma relação de proporcionalidade direta, que classificamos como
com características simbólicas equivocadas (S*).
Entre as respostas apresentadas, 5 não apontaram características nem
formais, nem simbólicas e nem corporificadas, ou porque não trouxeram dados
suficientes para as classificarmos, como o Aluno 26: “Proporcionalidade direta pra
mim é a valorização de uma grandeza” ou porque trouxeram um exemplo que foge
da ideia de proporcionalidade direta, como o Aluno 31: “4-8-12-16-20-24-28-32-36-
40-44...”, aparentemente um exemplo de PA.
Nenhum participante apresentou em sua resposta características simbólicas
formais (SF), explicitando algo do tipo “y=k.x k>0”.
Nenhum sujeito deste grupo apresentou simultaneamente características dos
Três Mundos da Matemática, ou seja, apresentou características formais, simbólicas
e corporificadas (CSF).
108
Questão 2
Características corporificadas (C) 16
Características corporificadas
equivocadas (C*)
08
Características corporificadas
formais (CF)
08
Características simbólicas (S) 03
Características simbólicas
equivocadas (S*)
02
Características corporificadas
simbólicas (CS)
01
Ausência de características (-) 05
Respostas dadas 43
Não responderam (n/r) 08
Quadro 7 – Classificação geral da Questão 2 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.3 Análise da Questão 3
Questão 3: Esboce um gráfico que represente duas grandezas diretamente
proporcionais. Explique.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Gráfico que corresponde à proporcionalidade direta.
Características corporificadas simbólicas (CS)
Junto com o gráfico uma equação algébrica correta, ou seja, que corresponde ao gráfico apresentado.
Características corporificadas formais (CF)
Uma justificativa que complete o conceito, dando a entender que o sujeito é capaz de esboçar outro gráfico de proporcionalidade direta.
Ausência de características Gráficos que não correspondem a uma relação de proporcionalidade direta.
Quadro 8 – Categorias de Análise da Questão 3
109
1 C 11 C 21 n/r 31 - 41 C 51 C 2 - 12 C 22 - 32 n/r 42 C
3 C 13 n/r 23 CS 33 C 43 - 4 C 14 - 24 C 34 CF 44 n/r
5 C 15 C 25 C 35 C 45 C
6 - 16 C 26 - 36 - 46 C 7 - 17 n/r 27 C 37 C 47 -
8 - 18 n/r 28 - 38 C 48 -
9 - 19 n/r 29 n/r 39 C 49 - 10 C 20 C 30 CF 40 C 50 CF
Quadro 9 – Classificação da Questão 3 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
43 participantes responderam esta questão. Destes, 24 apresentaram o
gráfico da proporcionalidade direta correto, que classificamos como respostas com
características corporificadas (C), como o Aluno 1 (Figura 7), que aparentemente
traz sua explicação associada a uma parte da definição de grandezas diretamente
proporcionais; e o Aluno 12 (Figura 8), que esboça o gráfico de uma função y=x e
justifica “Porque y=2x”, que por não corresponder ao gráfico não consideramos com
características simbólicas (S).
Figura 7 – Resposta do Aluno 1 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas (C)
1 participante, o Aluno 23, apresentou o gráfico da proporcionalidade direta
com a respectiva equação algébrica, que classificamos uma resposta com
características corporificadas simbólicas (CS) (Figura 9).
110
Figura 8 – Resposta do Aluno 12 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas (C)
Figura 9 – Resposta do Aluno 23 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas simbólicas (CS)
3 participantes apresentaram um gráfico que representa uma relação de
proporcionalidade direta e acrescentaram a existência de uma constante de
proporcionalidade, como o Aluno 34 (Figura 10), cuja resposta classificamos como
com características corporificadas formais (CF), embora possamos questionar se
este participante só atribui à reta y=x a proporcionalidade direta.
111
Figura 10 – Resposta do Aluno 34 para a Questão 3 classificada como com características corporificadas formais (CF)
Entre as respostas apresentadas, 15 não apontaram características nem
corporificadas, nem simbólicas, nem formais, pois os gráficos não correspondem a
uma relação de proporcionalidade direta, como o Aluno 6 (Figura 11), que podemos
interpretar como: cada reta representa uma das grandezas e não há relação entre
elas.
Figura 11 - Resposta do Aluno 6 para a Questão 3
Ao analisarmos os tipos de gráficos apresentados, verificamos que os
participantes desta pesquisa mostraram ter na imagem de conceito, como gráfico de
proporcionalidade direta: 27 referem-se a uma reta com coeficiente angular positivo
e passando pela origem (uma função linear); 2 referem-se a uma função afim com
112
coeficiente angular positivo; 1, a uma função afim com coeficiente angular negativo;
e 1, a uma parábola de boca para baixo.
Questão 3
Características corporificadas (C) 24
Características corporificadas
formais (CF)
03
Características corporificadas
simbólicas (CS)
01
Ausência de características (-) 15
Respostas dadas 43
Não responderam (n/r) 08
Quadro 10 – Classificação geral da Questão 3 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.4 Análise da Questão 4
Questão 4: Esboce um gráfico que não represente uma relação de
proporcionalidade direta. Explique.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Um gráfico que não corresponde à proporcionalidade direta.
Características corporificadas simbólicas (CS)
Junto com o gráfico uma equação algébrica correta, ou seja, que corresponde ao gráfico apresentado.
Características corporificadas formais (CF)
Junto com o gráfico uma justificativa que complete o conceito.
Ausência de características (-) Gráficos que não correspondem a uma função
Quadro 11 – Categorias de Análise da Questão 4
O gráfico apresentado nesta questão será utilizado, junto com o gráfico da
Questão 3 e as respostas da Questão 5, para verificar se há alguma contradição
nessas respostas, para cada um dos alunos.
113
1 C 11 C 21 n/r 31 - 41 C 51 C
2 - 12 C 22 n/r 32 n/r 42 C
3 C 13 n/r 23 C 33 C 43 -
4 C 14 - 24 CF 34 C 44 n/r
5 C 15 C 25 C 35 C 45 -
6 C 16 C 26 - 36 C 46 -
7 C 17 n/r 27 C 37 C 47 -
8 C 18 n/r 28 C 38 C 48 -
9 C 19 n/r 29 n/r 39 CS 49 C
10 C 20 - 30 CF 40 C 50 CF
Quadro 12 – Classificação da Questão 4 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
42 participantes responderam esta questão. Destes, 32 representaram
corretamente um gráfico que não é de proporcionalidade direta: 28 apresentaram
respostas classificadas como com características corporificadas (C), 3 com
características corporificadas formais (CF) e 1 com características corporificadas
simbólicas (CS).
Entre os esboços, tivemos: 14 com curvas não retas (inclusive parábolas), 11
com função linear por partes e 5 com retas com coeficiente angular negativo.
Três alunos acrescentaram, junto ao gráfico esboçado, uma expressão
algébrica diferente daquela relacionada ao gráfico: o Aluno12 esboçou a reta
e a identificou como “ ”; o Aluno 28, que esboçou a reta
e a identificou como “ ” e o Aluno 04, que esboçou uma
curva e a identificou como “ ”.
Entre as respostas apresentadas, 10 não apontaram características nem
corporificadas, nem simbólicas, nem formais, pois os gráficos não correspondem a
uma função.
Questão 4
Características corporificadas (C) 28
Características corporificadas
formais (CF)
03
Características corporificadas
simbólicas (CS)
01
Ausência de características (-) 10
Respostas dadas 42
Não responderam (n/r) 9
Quadro 13 – Classificação geral da Questão 4 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
114
5.1.5 Análise da Questão 5
A Questão 5 envolve quatro itens e em cada um o participante tinha que
reconhecer se o gráfico é ou não de proporcionalidade direta e acrescentar uma
explicação para sua escolha. Por envolver informações que consideramos
importantes para nossa pesquisa, decidimos colocar as respostas no corpo da
dissertação (Quadro 16 – Transcrição e Análise da Questão 5 de todos os Alunos).
A primeira coluna refere-se aos alunos (A) (enumerados de 01 a 51) e abaixo do
número do aluno colocamos como foi classificada sua resposta na perspectiva dos
Três Mundos da Matemática; na segunda coluna, transcrevemos cada uma das
respostas; e na terceira coluna, as análises que fizemos de cada uma.
Questão 5:. A seguir são apresentados gráficos que relacionam as grandezas
e . Em cada um deles, explique, com suas palavras, se a relação existente entre
e é de proporcionalidade direta ou não.
(a) (b)
(c) (d)
115
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Alternativas corretas, com justificativa aparentemente visual e não formal ou sem justificativa.
Características corporificadas (C)
Ter selecionado as alternativas (a) e (b) de maneira a dar entender que tem na imagem de conceito de gráfico da proporcionalidade direta uma função crescente. Justificativas
visuais, não formais.
Ter selecionado as alternativas (a) e (c) de maneira a dar entender que tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade direta uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0. Justificativas visuais, não
formais.
Características corporificadas formais (CF)
As alternativas corretas e a justificativa com alguma ideia formal sobre o gráfico da proporcionalidade direta, como por exemplo, “a razão entre as grandezas deve ser constante”.
Ausência de características (-) Justificativas que não concordam entre si e que não vimos pontos em comum, do tipo é direta porque é crescente, etc. Ou não respondeu todas as alternativas.
(E) Casos que não compreendemos a resposta do participante e pensamos seria interessante realizar uma entrevista.
Quadro 14 – Categorias de Análise da Questão 5
1 C 11 C 21 n/r 31 C 41 C 51 C
2 C 12 C 22 C 32 n/r 42 C
3 C 13 n/r 23 n/r 33 C 43 E
4 C 14 n/r 24 CF 34 C 44 C
5 C 15 n/r 25 C 35 C 45 C
6 E 16 E 26 - 36 - 46 C
7 E 17 n/r 27 C 37 - 47 C
8 C 18 n/r 28 C 38 C 48 C
9 C 19 n/r 29 C 39 C 49 -
10 C 20 E 30 C 40 C 50 C
Quadro 15 – Classificação da Questão 5 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
116
A Transcrição Análise
01 C
a. Há proporcionalidade direta entre x e y porque ambos os eixos apresentam crescimento de modo igual b. Não há proporcionalidade alguma pois as medidas crescem totalmente sem conexão alguma c. Não há proporcionalidade direta pois as grandezas crescem de maneira inversa, ou seja, enquanto uma aumenta outra diminui
a. d. Não há proporcionalidade pois ambas as
grandezas crescem de modo diferenciado, ou seja, não utilizam-se das mesmas medidas.
(a) certo – “crescimento de modo igual” quer dizer
um ponto na reta tem o mesmo valor da abscissa e da ordenada. E se este gráfico tivesse a mesma escala, ou seja, 1 para 1, isso seria diferente, ao invés do ponto ser como ele imagina (x,x) seria (x,2x) e ai como seria sua justificativa? Boa questão para um diagnostico ou intervenção. (b) certo - sem proporcionalidade (por que os pontos
do gráfico têm valores diferentes) (c) certo – embora tenha reconhecido como
proporcionalidade inversa (d) certo - não vê proporcionalidade (idem)
Por meio de suas contas e suas marcações das cotas no gráfico aparentemente, não teve dificuldade em trabalhar com os gráficos (a), (b) e (d). No gráfico (c) ao achar os valores de y quando x= 1, 2 e 3 obteve respectivamente y=0, -2 e -4. Considera a reta com coeficiente angular positivo
o gráfico que representa a proporcionalidade direta, mas não monstra características formais. Considera a reta com coeficiente angular negativo
o gráfico que representa a proporcionalidade inversa. (Ver outras questões)
02 C a. a. A relação entre x e y é proporcional, pois o
gráfico representa uma reta crescente. b. b. Não é um gráfico de proporcionalidade direta,
porque o esboço do gráfico é uma parábola. c. c. Esse gráfico não é de proporcionalidade direta,
pois passa por um valor negativo. d. d. Não é de proporcionalidade direta, pois é um
gráfico decrescente.
(a) certo (b) certo (c) certo - o que significa passar por um valor
negativo? Será o c.a=-2? (a reta passa para o 4º quadrante) (d) certo – não associa à proporcionalidade inversa.
Associa a proporcionalidade direta a uma reta com coeficiente angular positivo, mas não mostra
características formais.
03 C a. a. É um gráfico diretamente proporcional porque
está crescendo junto os dois pontos. b. b. R: Diretamente proporcional porque o x e o y
estão crescendo juntos. c. c. R: Este gráfico não é diretamente proporcional
porque o ponto x e y está decrescente. d. d. R: O gráfico não é diretamente porque o x e o
y não está nos mostrando uma proporcionalidade direta.
(a) certo – o valor da ordenada e o da abscissa
aumentam e são iguais (motivo: a escala, pois as coordenadas são diferentes (x,2x) (b) errado – vê proporcionalidade direta quando os
valores aumentam (c) certo – proporcionalidade direta não pode ser
uma função decrescente (d) certo –
Assinalou a (a) e a (b). Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas) e não formais. Este participante tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente.
04 C
a. a. A letra A e a letra b e uma proporcionalidade direta pois o x e o y representam uma reta, o que levam b e d não sendo uma proporcionalidade direta por seus gráficos x e y apresentarem um curva.
b.
Assinalou a (a) e a (c). (Interpretamos letra A e letra C). Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas) e não formais. Este participante tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0.
117
A Transcrição Análise
05 C a. a. Sim, pois é uma reta e, as grandezas são
positivas. b. b. Não, pois o gráfico não é uma reta. c. c. Não, pois a reta está para baixo. d. d. Não, pois o gráfico não é uma reta e, x não
pode ficar y=2/x.
(a) certo – grandezas positivas - observação feita no
inicio do questionário, relativa a todas questões. (b) certo – reconhece proporcionalidade direta como
uma reta (c) certo – reconhece proporcionalidade direta como
uma reta com c.a.>0 (d) certo – reconhece que proporcionalidade direta é
uma reta. Tem na imagem de conceito a proporcionalidade direta associada à reta com coeficiente angular positivo.
06 E
a. a. É uma proporcionalidade direta mais não se relacionam x e y.
b. b. A proporcionalidade não é reta pois ela está em curva, mais esta relacionado certo x e y que resta na reta com o 2.
c. c. A proporcionalidade é reta, está relacionado de forma errado.
d. d. A proporcionalidade não é reta mais o x e o y está relacionado corretamente.
O que quis dizer ao escrever que x e y não se relacionam ou se relacionam,?
07 E a. a. Direta, pois o número é inteiro. b. b.Direta, pois o numero é inteiro. c. c. Não. d. d. Direta, pois o número é inteiro.
Não é possível analisar, pois não sabemos o que ele quis dizer com número inteiro.
08 C a. a. Bom eu acho que essa questão é de
proporcionalidade direta. b. b. Essa já não é proporcionalidade direta não. c. c. Essa é proporcionalidade direta. d. d. Não é proporcionalidade direta.
Pelas respostas interpretamos que suas justificativas são visuais. Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0.
09 C a. a. Sim e as medidas do x e y e propõe a reta. b. b. Não. c. c. Sim são medidas que se resultam uma
proporcionalidade direta. d. d. Não.
Interpretamos que suas justificativas são visuais. Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0.
10 C a. a. Sim, pois o gráfico é uma reta e as medidas
aumentam juntas na mesma proporção. b. b. Não, pois os valores crescem em proporções
diferentes. c. c. Sim, pois o gráfico é uma reta, e as grandezas
diminuem na mesma proporção. d. d. Não, pois o gráfico não é uma reta, e os
valores são inversamente proporcionais.
(a) certa – acresce o mesmo valor em x e em y (b) certa – acresce valores diferentes em x e em y (c) errado – justificativa falha “as grandezas
diminuem na mesma proporção”: o x está indo para a direita, aumentando e o y está diminuindo. (d) certa
Assinalou (a) e (c). Aparentemente suas justificativas são visuais (retas-corporificadas) e não formais. Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0. Reconheceu
corretamente o gráfico da inversa. Vamos verificar suas outras questões.
11 C a. a. Direta. b. b. Não. c. c. Não. d. d. Não.
Alternativas corretas, mas não justificou. Só pelas alternativas considera uma reta com coeficiente angular positivo o gráfico da proporcionalidade
direta.
12 C a. a. Existe proporcionalidade. b. b. Existe proporcionalidade. c. c. Não existe proporcionalidade. d. d. Não existe proporcionalidade.
Assinalou a (a) e a (b). Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente.
13-
Não me lembro como se faz. -
14 - a. Não sei.
-
118
A Transcrição Análise
15 - -
-
16 E a. a. Sim porque aumenta na seqüência. b. b. Não porque está fora da proporcionalidade
direta. c. c. Não porque está inversa. d. d. Não está inversa.
(a) certa – “aumenta na sequência”, o que quis dizer (b) certa – o que quer dizer “está fora da
proporcionalidade”? Não tem proporcionalidade? (c) certo – “estar inversa” para ele é uma reta com
c.a.<0? (d) certo – “está inversa” é uma função
decrescente? Apesar das alternativas estarem corretas, considera reta com coeficiente angular positivo de
proporcionalidade direta, não classificamos. Analisar as outras questões para verificar a que se refere.
17 -
Eu não sei veio -
18 -
- -
19 -
- -
20 E a. a. Proporcionalidade direta com crescimento
constante de x e y. b. b. Não proporcio... os valores param e apenas
um aumenta. c. c. Propor.. direta com os dois valores
aumentando. d. d. Não proporcional os valores param de crescer
em igual e seguem em um valor.
(a) certo – proporcionalidade direta tem crescimento
(que não sabemos se por adição) ou porque o gráfico “visualmente” tem o x e o y com a mesma distancia da origem? (b) certo – O que é “os valores param e apenas um aumenta”? (c) errado – (d) certo – param de crescer igual? Interpretamos que para este aluno o gráfico que representa a proporcionalidade direta é uma reta com coeficiente angular>0 ou com coeficiente angular<0
21 - -
-
22 C a. a. Sim, porque está aumentando. b. b. Sim, porque está aumentando. c. c. Não, porque está diminuindo. d. d. Não, porque está diminuindo.
Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente.
23 -
- -
24 C F
(Deixou várias contas) a. a. Há uma constante e o gráfico é uma reta
sendo a operação realizada à divisão. (calculou a razão = 2)
b. c.
(a) certa – calculou a constante de
proporcionalidade (achou dois pontos - deu valores para x calculando o y e depois achou o quociente entre y e x – razão, sempre o mesmo valor=2) (b) certa – não tem uma constante de
proporcionalidade (mesmo processo da anterior e chegou a valores diferentes) (c) certo – estes gráficos não tem escala, pois para
o reconhecimento da proporcionalidade direta só o gráfico é suficiente. Acreditamos que isto – falta da escala – tenha ocasionado insegurança pois os valores de y que obteve foram negativos e ai ele não tentou verificar se a razão entre y e x é a mesma para os dois valores, mas afirmou não haver proporcionalidade.
119
d. b. O gráfico não é uma reta e as duas grandezas (x,y) não crescem na mesma proporção (calculou a razão = 4 e 6)
e. c. Não há uma proporcionalidade.
f. d. O gráfico é uma curva, identificando que não há proporcionalidade direta.
(d) certo – fez os cálculos do quociente de y e x para
dois pontos e constatou que não eram constante. Alternativas corretas proporcionalidade direta é uma reta com coeficiente angular positivo
Em cada gráfico trabalhou com o valor de x e de y para verificar se a razão entre eles é constante. Mostra características formais.
120
A Transcrição Análise
25 C a. a. Sim, pois o crescimento tem sempre uma
constante que não se altera pra cada grandeza.. b. b. Não pois não há um crescimento uniforme
para as duas grandezas. c. c. Não pois uma grandeza diretamente
proporcional não decresce. d. d. Não pelo mesmo motivo da questão c.
(a) certo – o que é “que não se altera para cada
grandeza” (b) certo – uma curva não tem crescimento uniforme (c) certo – reconhece proporcionalidade direta uma
função crescente (d) certo - uma curva não tem crescimento uniforme
Crescimento uniforme se refere à reta. Alternativas corretas proporcionalidade direta é uma reta com coeficiente angular positivo.
Não sabemos o que quer dizer “Uma constante para cada grandeza”. Verificar suas outras questões e considerar características corporificadas. Ver se usa soma ou multiplicação.
26 -
Na minha opinião não por que as demarcações estão de forma diferente.
-
27 C a. a. Proporcionalidade direta. b. b. Proporcionalidade direta. c. c. Não diretamente proporcional. d. d. Não diretamente proporcional.
Assinalou (a) e (b). Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente.
28 C a. a. É diretamente proporcional. b. b. É diretamente proporcional. c. c. Não é diretamente proporcional. d. d. Não é diretamente proporcional.
Assinalou (a) e (b). Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente.
29 C a. a. É proporcionalidade direta porque ele tá
subindo direto. b. b. E c. c. Não é proporcionalidade direta. d. d. Não é proporcionalidade direta.
(a) certa – reconhece proporcionalidade direta uma
reta crescente Assinalou (a) e (b) como de proporcionalidade direta. Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Tem na imagem de conceito uma função crescente.
30 C
a. a. Sim, pois o gráfico é uma reta. b. b. Não pois o gráfico é uma parábola. c. c. Sim, pois o gráfico é uma reta. d. d. Não pois o gráfico está inclinado.
(a) certa – reconhece proporcionalidade direta por
uma reta (b) certa – reconhece que uma parábola não
representa a proporcionalidade direta. (c) errado – reconhece proporcionalidade direta uma
reta com c.a.<0 (d) certo – não reconhece a parábola, definiu como
um gráfico inclinado Assinalou a (a) e a (c) como gráfico de proporcionalidade direta. Tem na imagem de conceito uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0. Ver se considera a
inversa como reta com coeficiente angular <0.
31 C a. a. Direta. b. b. Não direta. c. c. Não direta. d. d. Não direta.
Alternativas corretas, mas não justificou. Este aluno tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade direta uma reta com coeficiente angular.>0
32 -
- -
33 C a. a. Sim porque a reta tá subindo em linha reta. b. b. Não porque não esta subindo em linha reta. c. c. Não porque a reta está inversamente
proporcional. d. d. Não.
(a) certo – reconhece proporcionalidade direta como
uma reta com c.a.>0 (b) certo – não reconhece parábola (c) certo – quer dizer que a reta tem c.a.<0? (d) certo – não justifica Considera uma reta com coeficiente angular positivo o gráfico da proporcionalidade direta. Mas não mostra características formais.
34 C a. a. Gráfico de proporcionalidade direta. b. b. Não há proporcionalidade. c. c. Proporcionalidade inversa. d. d. Não tem nenhuma proporcionalidade.
Assinalou a (a). Tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade direta uma reta com coeficiente angular positivo. A reta com c.a.<0 considera proporcionalidade
inversa. (Ver outras questões)
121
A Transcrição Análise
35 C a. a. Diretamente as duas grandezas aumentão b. b. Não há proporcionalidade. c. c. Inversamente uma grandeza aumenta outra
diminui. d. d. Inversamente
(a)certo – reconhece proporcionalidade direta
quando as duas grandezas aumentam, parte da definição. (b) certo – não justifica o porquê (c)certo – a reta com c.a.<0 reconhece como
proporcionalidade inversa. (d) certo – não justificou Considera uma reta com coeficiente angular positivo proporcionalidade direta. Justificativa tendo como definição de conceito para a
proporcionalidade direta “quando um aumenta a outra também aumenta” e para proporcionalidade inversa “quando uma aumenta a outra diminui”
36 - a. a. O gráfico a é de proporcionalidade direta, pois
a reta cartesiana segue reto. b. b. O gráfico b não é uma proporcionalidade direta
pois a reta cartesiana forma uma curva. c. c. O gráfico c é uma reta cartesiana pois segue
reto. d. d. O gráfico d é uma reta cartesiana pois forma
curva mais permanece na mesma relação entre o x e y.
(a) certo – reconhece proporcionalidade direta uma
reta (b) certa – é curva, não reconhece a parábola
(c) Não dá para entender se reconheceu ou não a proporcionalidade direta. (d) idem Faltam respostas, não classificamos nos Três Mundos da Matemática.
37 - a. a. É direta porque é uma reta que vai pra cima. b. c. É uma reta proporcional.
Não classificamos, pois não respondeu todas alternativas.
38 C a. a. Sim, pois é uma reta. b. b. Não, pois está aumentando e diminuindo. c. c. Sim, pois estão no mesmo lugar. d. d. Não, pois não estão iguais.
(a) certo – reconhece a proporcionalidade direta
como uma reta (b) certo –não reconhece a parábola e o
reconhecimento da proporcionalidade direta é visual, pois tem que ser algo que “cresce” e o gráfico da parábola no 2º quadrante tem uma parte que “decresce”. (c) errado – o que é está no mesmo lugar? (d) certo – “não estão iguais”?
Assinalou (a) e (c). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0
39 C a. a. R: Sim a uma proporcionalidade dividuo a
linha que está subindo ela sempre manterá constante.
b. b. Aqui neste gráfico a nem um tipo de proporcionalidade porque ela começou alta depois abaixou e depois ela subiu.
c. c. R: Aqui a linha está dessendo mas vai se manter constante e sim é uma proporcionalidade.
d. d. R: Aqui não a nenhum tipo de proporcionalidade porque ela está em curva.
(a) certo – reconhece a proporcionalidade direta por
uma reta com ca >0 (b) certo – não reconhece a parábola e vê a função
decrescer e depois crescer, consequentemente para ele não pode ser uma proporcionalidade direta (c) errado – reconhece uma reta com ca <0 como
uma proporcionalidade direta (d) certo – não é proporcionalidade direta porque é
curva. A proporcionalidade direta tem que ser uma reta Assinalou (a) e (c). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular >0 ou com coeficiente angular <0.
40 C e. a. É direta, pois o gráfico é uma reta que segue
uma constante e o gráfico sobe. f. b. Não é, pois não é uma reta. g. c. Não há proporcionalidade direta pois o gráfico
não é uma reta que sobe. h. d. Não há proporcionalidade pois o gráfico não é
uma reta.
(a) certa – reconhece proporcionalidade direta como
uma reta com ca positivo. “seguir uma constante” significa o mesmo valor para x e y? (b) certo – proporcionalidade direta deve ser uma
reta. Não identificou a parábola (c) certo – proporcionalidade direta é uma reta com
ca positivo (d) certo – proporcionalidade direta é uma reta . não
reconheceu o gráfico de proporcionalidade inversa. Alternativa corretas. Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com ca>0
122
A Transcrição Análise
41 C a. a. Diretamente proporção. A linha almenta então
é diretamente. b. b. Não há proporcionalidade. c. c. Inversamente proporção. A linha dese então é
inversamente. d. d. Não há proporcionalidade.
(a) certo – a reta aumenta (b) certo – quando é uma curva não tem nenhum
tipo de proporcionalidade. não identifica a parábola (c) certo – proporcionalidade inversa é uma reta com
ca negativo (d) certo
Alternativas corretas Considera uma reta com coeficiente angular positivo com proporcionalidade direta. Mas não
mostra características formais. Considera proporcionalidade inversa a reta com c.a.<0. (Ver outras questões)
42 C a. a. Sim, pois as grandezas envolvida existe uma
constante b. b. Sim. c. c. Não. d. d. Não.
(a) certo – o que quer dizer que existe uma
constante? (b) errado – não justificou (c) certo – não justificou (d) certo - não justificou
Assinalou a (a) e a (b). Este participante tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade direta uma função crescente.
43 E a. a. Direta, pois número é inteiro iguais. b. b. Direta pois o número é inteiro são diferente c. c. Direta pois o número é inteiro são iguais. d. d. Porque não dá o numero inteiro fica em fração
indireta são diferente. e.
Não é possível analisar pois não sabemos o que ele quer dizer com inteiros iguais e inteiros diferentes
44 C a. a. Há uma proporcionalidade direta, pois o
gráfico é uma reta em que o valor somente aumenta.
b. b. Há proporcionalidade direta pois há uma variação nos valores em que o gráfico mostra a subida e a caída da função que terá o mesmo período o tempo todo.
c. c. - d. d. Não há proporcionalidade direta. e.
(a) certo – reconhece proporcionalidade direta uma
reta com ca>0 (b) errado – reconheceu como proporcionalidade
direta apesar de ver uma parte do gráfico “cair” (c) – (d) certo – não justificou
Assinalou (a) e (b). Tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma função crescente. Ver outras questões.
45 C a. a. Há proporção direta. b. b. Não há proporção. c. c. Há proporção inversa d. d. Não há proporção
Quando o gráfico é uma reta com c.a.>0 há proporcionalidade direta. Quando a reta tem c.a.<0 há proporcionalidade inversa. Há proporcionalidade direta quando reta com coeficiente angular positivo. A reta com ca<0 é
proporcionalidade inversa. Verificar suas outras respostas
46 C a. a. É proporcionalidade direta porque o número é
positivo e está subindo. b. b. É proporcionalidade direta porque o número
está subindo. c. c. Não porque na proporcionalidade direta os
números são positivos não há números negativos. Está descendo.
d. d. Não porque está caindo.
(a) certo – número subindo são os valores
aumentando (b) errado – reconhece proporcionalidade direta
como algo que aumenta (c) certo – proporcionalidade direta os valores não
podem diminuir. (d) certo – proporcionalidade direta os valores
precisam aumentar Aparentemente suas justificativas são visuais (corporificadas). Assinalou a (a) e a (b). Para este participante o gráfico da proporcionalidade direta tem que ser uma função crescente e envolver números
positivos.
123
A Transcrição Análise
47 C a. a. É D.P o x e o y aumentaram na mesma
proporcionalidade. b. b. Não é D. P. por causa que o x aumentou e
diminuiu e o y se manteve constante. c. c. Não é porque um aumentou e o outro diminuiu. d. d. Não é D.P. eles aumentaram e diminuíram em
proporcionalidades diferentes.
(a) certo – proporcionalidade direta quando x e y
aumentam e aparentemente tem a mesma cota (b) certo – não reconhece a parábola.
Aparentemente trabalha com as cotas do x e do y. (c) Certo – para ele a proporcionalidade direta é
quando x e y aumentam (d) certo – Aparentemente trabalha com as cotas do
x e do y e elas aumentam e diminuem com cotas diferentes. Aparentemente a justificativa do item (a) é baseada na definição de conceito que “quando uma aumenta a outra aumenta” .Verificar as outras questões. Aparentemente proporcionalidade direta associa uma reta com coeficiente angular positivo.
48 C a. a. Sim, é proporcionalidade direta. b. b. Não é proporcionalidade direta. c. c. Sim, é proporcionalidade direta. d. d. Não é proporcionalidade direta.
Pelas respostas interpretamos que suas justificativas são visuais (retas). Assinalou a (a) e a (c). Este participante tem na imagem de conceito de proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com ca >0 ou com ca <0.
49 - a. a. Sim, é de proporcionalidade direta b. b. Não. c. c. Sim. d. d. Sim.
Interpretamos que suas justificativas não concordam entre si. Não vemos pontos em comum, do tipo é direta pois é crescente, etc..
50 C a. a. Sim, primordialmente formou-se uma reta e
nota-se que a abscisa encontra-se com a ordenada, obviamente porque aumentam na mesma proporção (constante).
b. b. Pode-se afirmar que não, já que de primeira vista nota-se que não é uma reta.
c. c. Confesso que houve dúvida, mas ao analisar minha conta anexa a esta, no retângulo superior, logo cheguei a conclusão que não são grandezas diretamente proporcionais.
d. d. Pode-se afirmar que não, já que de primeira
vista nota-se que não é uma reta.
(a) certo – reconhece proporcionalidade direta por
uma reta com ca positivo – “constante” quer dizer cotas iguais x=y? (b) certo – reconhece a proporcionalidade direta
como uma reta (c) certo - diz ter tido dúvida, pois substituiu o x por
2 e o resultado deu -2. Isso foi motivo para considerar que a alternativa (c) não é uma proporcionalidade direta e não porque a reta possui c.a.<0. Os gráficos podem ser analisados sem que se conheça a escala dos eixos. (d) certo – reconhece a proporcionalidade direta
como uma reta. Aparentemente este sujeito tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade direta uma reta com coeficiente angular positivo. Mas não mostra características formais.
51 C a. a. proporcionalidade direta pois o valor estão na
mesma proporção que é o 2. b. b. proporcionalidade indireta pois as valores não
se batem com a quantia certa. c. c. proporcionalidade indireta, pelo os valores
diminui. d. d. proporcionalidade indireta, pois os resultados
não darão o mesmo resultado.
(a) certo – aparentemente quer dizer que y/x (pares
taxa) todos tem o mesmo valor, 2 (b) certo – considera uma curva uma
proporcionalidade que não é direta (c) certo – considera uma reta com ca negativo uma
proporcionalidade que não é direta (d) certo - ? Aparentemente considera uma reta com ca>0
proporcionalidade direta .
Quadro 16 – Transcrição e Análise da Questão 5 de todos os Alunos
124
42 participantes responderam esta questão. Destes, 32 respostas
classificamos como com características corporificadas (C) e 1, como com
características corporificadas formais (CF).
Interpretamos que 17 participantes têm na imagem de conceito de
proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo, 9,
uma função crescente e 9, uma reta com coeficiente angular positivo ou negativo.
Questão 5
Características corporificadas (C) 32
Características corporificadas
formais (CF)
01
Ausência de características (-) 04
Respostas dadas 42
Entrevista (E) 05
Não responderam (n/r) 09
Quadro 17 – Classificação geral da Questão 5 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.6 Análise da Questão 6
Questão 6: Escreva com suas palavras qual sua primeira ideia para resolver
o seguinte problema: “Um automóvel percorre uma distância de 48 quilômetros em
02 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 06 horas?”. Explique o porquê desta
ideia.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
A resolução pelo método do fator de mudança/decomposição em parcelas, sem dar a entender haver uma relação de proporcionalidade direta .
Características simbólicas (S)
Reconhecimento por meio do símbolo, do processo e do conceito, que representa (proceito), ou seja, manipulou os símbolos (processo) corretamente e mostrou o entendimento do conceito.
Características corporificadas formais (CF)
A constante de proporcionalidade pelo método de redução à unidade/taxa unitária, encontrando a distância percorrida em 1 hora e multiplicou por 6 horas. Dá a entender que encontrando a distância percorrida em 1 hora é possível calcular a distância em qualquer tempo
Características corporificadas simbólicas (CS)
O algoritmo da regra de três de maneira correta (S) e uma imagem corporificada.
125
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Ausência de características (-)
Apresentou uma conta não relacionada a um problema de proporcionalidade direta, que só pode ser resolvido porque existe uma regularidade: em intervalos de tempos iguais são percorridos espaços iguais.
Entrevista (E) Casos que não compreendemos a resposta do participante e pensamos seria interessante realizar uma entrevista.
Quadro 18 – Categorias de Análise da Questão 6
1 CF 11 CF 21 C 31 C 41 CS 51 C
2 CF 12 C 22 C 32 n/r 42 C
3 CS 13 C 23 CS 33 n/r 43 -
4 CS 14 - 24 CSF 34 CF 44 C
5 - 15 C 25 E 35 C 45 -
6 C 16 - 26 C 36 S 46 C
7 C 17 C 27 C 37 C 47 CF
8 n/r 18 n/r 28 C 38 CF 48 CF
9 - 19 n/r 29 CF 39 - 49 C
10 CF 20 CF 30 CF 40 CF 50 CF
Quadro 19 - Classificação da Questão 6 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
46 participantes responderam esta questão.
O que inicialmente chamou nossa atenção foi que: apenas 11 participantes
explicitaram a primeira ideia para resolver o problema, que é o que a questão pede,
como o Aluno 34: “A minha primeira ideia foi dividir o 48 por 2 e o resultado foi 24
então multipliquei o 24 por 6. Porque foi a ideia que achei mais lógica.”; os outros 10
explicitaram a primeira ideia e também resolveram o problema, dando um valor
como resposta, como o Aluno 12: “144. É só multiplicar por 3. 48x3=14. 2x3=6”; e o
restante resolveu o problema.
Quando o participante utilizou o método do fator de mudança, nem sempre
pudemos ter certeza se o problema foi resolvido com características formais (F),
relacionadas à proporcionalidade, pois ficou a dúvida: se os dados do problema não
fossem números múltiplos, como será que ele resolveria? (Figura 12). Se invés de
6h, tivéssemos usado 7horas? Na nossa análise, um fator que influenciou para
considerarmos a resposta com características formais (F) foi julgar se o participante
resolveria o problema mesmo se o valor pedido da distância fosse o correspondente
a 7 horas.
126
Figura 12 – Resposta do Aluno 31 para a Questão 6, utilizando método do fator de mudança, classificada como com características corporificadas (C)
Interpretando as respostas obtidas, julgamos que se este questionário
diagnóstico for aplicado novamente, deveríamos: não utilizar valores múltiplos;
colocar exemplos em que o valor a ser obtido seja menor do que o dado, isto é,
conhecendo a distância percorrida em 7 horas, determinar a percorrida em 3 horas,
por exemplo. Ficamos com uma pergunta: será que o possível equívoco da grande
maioria desses participantes em ter definido a proporcionalidade direta como
“quando um aumenta o outro aumenta” os induziu a tratar o problema como de
proporcionalidade direta e consequentemente utilizar um “procedimento”?
Embora estivessem respondendo um questionário que envolve a ideia de
proporcionalidade direta, somente 3 participantes associaram explicitamente essa
ideia ao enunciado do problema e nenhum explicitou que a velocidade do automóvel
é constante, o que no caso desta questão é uma condição necessária para existir a
proporcionalidade direta entre as grandezas, pois é a própria constante de
proporcionalidade. Se o participante argumentou que em 1 hora o carro anda 24 km,
dando a entender ser esta a constante de proporcionalidade, consideramos sua
resposta com características formais (F), como o Aluno 01:
A primeira ideia seria dividir o nº de quilômetros percorridos em 2 horas por 2 para se obter o nº de kms percorridos em 1 hora. Logo após, multiplicar esse valor por 6, que é o solicitado no exercício. Eu pensei nesta ideia para resolver o exercício porque essa é a maneira mais fácil para se achar o nº de kms percorridos seja qual for o tempo. (ALUNO 01).
Na análise desta questão, em algumas respostas surgiu uma dúvida, a
mesma que tivemos quando da análise da Questão 1, em que a palavra “aumenta”
parece estar ligada à operação adição e não à multiplicação. Em algumas respostas,
fica subentendido que a proporcionalidade direta existe porque aos valores de uma
grandeza somam um determinado valor e aos valores da outra também, como é o
caso do Aluno 04 (Figura 13). Este participante utilizou o algoritmo da regra de três
127
com processo e conceito corretos, mas ao apresentar os valores em uma tabela
menciona que “soma 2 nas horas e soma 48 nos quilômetros”.
Figura 13 – Resposta do Aluno 04 para a Questão 6 classificada como características corporificadas simbólicas (CS)
Será que se este aluno visse a tabela que segue, consideraria existir uma
relação de proporcionalidade direta entre as grandezas x e y? Na linha de cima são
somados 2 e na de baixo 4 e ambas ‘aumentam”.
Uma resposta, a do Aluno 24 (Figura 14), foi classificada com as
características dos Três Mundos da Matemática simultaneamente, ou seja,
interpretamos que nesta questão o participante transitou pelo mundo corporificado,
pelo mundo simbólico e pelo mundo formal (CSF), pois utilizou o método da regra de
três ao escrever a equação das grandezas diretamente proporcionais, manipulou os
números de maneira correta e mencionou ser este um problema de
proporcionalidade direta.
x 2 4 6
y 5 9 13
128
Figura 14 – Resposta do Aluno 24 para a Questão 6 classificada como com características corporificadas simbólicas formais (CSF)
Dos alunos que responderam a questão, deixando suas contas e justificando
seus resultados, 8 mostraram explicitamente que não têm, na imagem de conceito,
que este tipo de problema só pode ser resolvido porque existe uma regularidade: em
intervalos de tempos iguais são percorridos espaços iguais, isto é, a velocidade é a
constante de proporcionalidade.
3 alunos acharam a resposta multiplicando 48 quilômetros por 6 horas, como
o Aluno 39: “Ele percorrerá 288 quilómetros em 6 horas. Este problema foi criado
para saber quanto o carro percorrerá e para saber-se nós estamos bom na
multiplicação.”
Das 46 respostas dadas, 8 utilizaram o método da taxa unitária (TU); 22, o
fator de mudança (FM); e 6, a regra de três (RT) (Quadro 20).
1 TU 11 FM 21 FM 31 FM 41 RT 51 -
2 TU 12 FM 22 FM 32 - 42 FM
3 RT 13 FM 23 RT 33 - 43 -
4 RT 14 - 24 RT 34 TU 44 FM
5 - 15 FM 25 - 35 FM 45 -
6 FM 16 - 26 FM 36 RT 46 FM
7 FM 17 FM 27 FM 37 FM 47 TU
8 - 18 - 28 FM 38 FM 48 TU
9 - 19 - 29 FM 39 - 49 -
10 TU 20 TU 30 TU 40 FM 50 FM
Quadro 20 – Método de Resolução utilizado por cada aluno na Questão 6
129
Questão 6
Características corporificadas (C) 19
Características corporificadas
formais (CF)
13
Características simbólicas (S) 01
Características corporificadas
simbólicas (CS)
04
Características corporificadas
simbólicas formais (CSF)
01
Ausência de características (-) 07
Respostas dadas 46
Não responderam (n/r) 05
Entrevista (E) 01
Quadro 21 – Classificação geral da Questão 6 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.7 Análise da Questão 7
Questão 7: Escreva com suas palavras o que você entende por
proporcionalidade inversa.
Classificamos por: Quando a resposta apresentou, em língua materna
Relação entre duas grandezas ou dois valores.
Características corporificadas (C) Valores obtidos através de uma divisão.
Gráfico de uma função decrescente, porem não afim.
Características corporificadas formais (CF)
Dá a entender a relação entre duas grandezas explicitando que o produto entre as mesmas é constante.
Quadro 22 – Categorias de análise da Questão 7
1 C 11 C 21 C 31 - 41 C 51 C
2 C 12 C 22 - 32 n/r 42 C
3 - 13 C 23 - 33 - 43 -
4 C 14 - 24 CF 34 C 44 -
5 - 15 C 25 C 35 C 45 -
6 - 16 - 26 - 36 - 46 C
7 C 17 n/r 27 - 37 n/r 47 -
8 n/r 18 n/r 28 - 38 C 48 -
9 - 19 n/r 29 C 39 - 49 -
10 C 20 C 30 C 40 CF 50 CF
Quadro 23 – Questão 7 Classificação da definição de conceito de proporcionalidade inversa de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática.
130
45 participantes responderam esta questão. Destes, 19 se referem a duas
grandezas (ou dois valores) com frases do tipo: “quando uma aumenta a outra
diminui”, “quando uma sobe a outra desce” ou se referem a uma função
decrescente, sem explicitar qual, que consideramos textos com características
corporificadas (C). Estas ideias não garantem a existência de uma relação de
proporcionalidade inversa, podendo estar relacionada a qualquer função
decrescente e, as consideramos destituídas de características formais (F), pois não
são suficientes para definir o conceito. É preciso que o produto entre as duas
grandezas seja constante ou que o gráfico seja uma hipérbole.
O Aluno 34 trouxe sua definição de proporcionalidade inversa conforme
apresentado acima: “Eu entendo que proporcionalidade inversa é aquele gráfico ou
valor que quando um aumenta o outro diminui”. Interpretamos que este sujeito
mostra, na imagem de conceito, características corporificadas (C) e com a análise de
suas outras respostas, podemos verificar a qual função se refere.
As respostas com os verbos “aumentar” e “diminuir”, “subir” e “descer” não
deixam claro, ao longo do texto, se estão se referindo às operações adição e
subtração ou multiplicação e divisão. A resposta do Aluno 01 exemplifica o uso
desses verbos: “Proporcionalidade inversa é quando duas grandezas crescem de
modo inverso, ou seja, enquanto uma cresce a outra diminui, porem na mesma
medida”. Esta resposta traz a definição de conceito sem características formais nem
simbólicas, mas expressa, em língua materna, uma relação entre as grandezas, com
crescimento ou decrescimento simultâneo e a classificamos com características
corporificadas (C).
1 participante se referiu à proporcionalidade inversa como uma função
decrescente, sem explicitar qual, como o Aluno 46: “Proporcionalidade inversa é
quando o gráfico está caindo ou seja está tendo uma queda onde diminui”, que
classificamos como com características corporificadas (C). Ao longo de suas outras
respostas é possível verificar se o gráfico ao qual se refere é uma hipérbole ou não.
Consideramos definições com características corporificadas formais (CF)
respostas que, embora não apontem características dos Três Mundos, permitem que
o sujeito trabalhe com o conceito, pois mostram existir relação entre as grandezas e
explicitam que o produto entre elas é constante.
131
Quando uma grandeza aumenta a outra diminue, havendo uma constante, utilizando a multiplicação, para identificar se há ou não proporcionalidade. (Aluno 24) Ocorre quando uma grandeza aumenta e outra diminui, gerando uma constante através da multiplicação das mesmas. (Aluno 40) Proporcionalidade inversa é usado para calcular duas grandezas que quando uma aumenta, na mesma proporção a outra diminui. Deve haver também uma constante, que é encontrada através da multiplicação de uma grandeza pela outra. (Aluno 50)
A definição de proporcionalidade inversa apresentada no Caderno do Aluno
da Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010):
“Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o produto das duas permanece constante: , ou seja,
onde é uma constante não nula. (SÃO PAULO, 2010, p. 3, destaque
em negrito do autor)
nos fez pensar se favoreceu o uso indevido da palavra “proporção”, utilizado por 6
alunos em suas definições, como o Aluno 10: “É quando um valor aumenta e o outro
diminui na mesma proporção”.
Entre as respostas apresentadas, 21 não mostraram na definição de conceito
de proporcionalidade inversa características nem formais, nem simbólicas e nem
corporificadas. Dentre estas, 4 se referem a uma reta, como a do Aluno 05: “É
proporcionalidade inversa quando a reta está para baixo; e o número que
acompanha o x é negativo” e 8 não deixam claro uma relação entre as grandezas
como a do Aluno 16: “É quando ao invés de aumentar está diminuindo”.
Nenhum sujeito deste grupo apresentou características simbólicas (S) na sua
definição de conceito de proporcionalidade inversa, ou seja, nenhum sujeito
expressou a definição por meio de símbolos, o que nos leva a conjecturar se este
resultado se deve à maneira como foi enunciada a questão, dando liberdade ao
aluno para apresentá-la na língua materna, o que classificamos como com
características corporificadas (C).
Nenhum sujeito deste grupo apresentou simultaneamente características dos
Três Mundos da Matemática, ou seja, características corporificadas, simbólicas e
formais (CSF).
132
Definição de Conceito
Características corporificadas 21
Características corporificadas
formais
03
Ausência de características 21
Respostas dadas 45
Não responderam (n/r) 06
Quadro 24 - Questão 7 Classificação geral da definição de conceito de proporcionalidade direta na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.8 Análise da Questão 8
Questão 8: Dê um exemplo de proporcionalidade inversa.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas
(C)
Gráfico de uma hipérbole de acordo com a proporcionalidade inversa. Ou uma curva que se assemelhe a uma hipérbole, sem justificativa que mostre se ideia é equivocada (ver Quadro 1, página 75).
Texto na língua materna, com ideias da definição mesmo que incompletas. Não é possível verificar se a ideia é equivocada (ver Quadro 1, página 75) ou não.
(Características corporificadas formais CF)
Tabela com valores corretos que representa a proporcionalidade inversa, explicitando ou não a constante de proporcionalidade.
C* ou S* Respostas equivocadas (ver Quadro 1, página 75
Quadro 25 – Categorias de análise da Questão 8
1 n/r 11 C 21 n/r 31 - 41 C* 51 C*
2 C* 12 S* 22 C 32 n/r 42 -
3 C 13 n/r 23 C* 33 C* 43 S*
4 n/r 14 C* 24 C F 34 n/r 44 -
5 S* 15 n/r 25 n/r 35 C 45 -
6 C* 16 C* 26 C* 36 C* 46 -
7 C*S* 17 n/r 27 C* 37 n/r 47 C*
8 C 18 n/r 28 S* 38 C 48 S*
9 C*S* 19 n/r 29 C* 39 C 49 C
10 C F 20 C* 30 C F 40 C F 50 C*
Quadro 26 - Classificação da Questão 8 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
39 participantes responderam esta questão. Destes, 5 apresentaram textos
na língua materna, trazendo ideias incompletas da definição, como o Aluno 03:
133
“Tenho uma quantidade x de terra quanto mais pessoas para dividir a terra, menas
quantidade de terra irão ficar.” Este texto traz a definição de conceito de
proporcionalidade inversa, com a ideia de “se uma aumenta a outra diminui”. Se, ao
dar este exemplo, o sujeito imaginou que todas as pessoas vão receber a mesma
área, então a ideia de proporcionalidade inversa está correta. Classificamos com
características corporificadas (texto na língua materna), embora não tenha sido
possível verificar se é uma noção da proporcionalidade inversa equivocada (Quadro
1, página 75) ou não.
3 participantes esboçaram ou descreveram gráficos de uma hipérbole ou
curva semelhante, sem justificativa para que pudéssemos confirmar ser um gráfico
equivocado (ver Quadro 1, página 75) ou não. Estas respostas também foram
classificadas como com características corporificadas (C).
4 participantes apresentaram tabelas com valores corretos, como o Aluno 10
(Figura 15), que não explicitou a constante de proporcionalidade e o Aluno 24
(Figura 16), que explicitou. Estas 4 respostas classificamos como com
características corporificadas formais (CF).
Figura 15 – Resposta do Aluno 10 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas formais (CF)
Figura 16 – Resposta do Aluno 24 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas formais (CF)
134
22 participantes apresentaram respostas não corretas (Quadro 1 – Exemplos
de Possíveis Respostas Equivocadas, página 75). Entre as respostas com gráficos
equivocados, 5 apresentaram uma reta com coeficiente angular negativo, como o
Aluno 27 (Figura 17), cujo gráfico não representa uma proporcionalidade inversa e
nos leva a conjecturar que associa a proporcionalidade inversa a uma reta com
coeficiente angular negativo ou a uma das grandezas com valores negativos e o
Aluno 06 (Figura 18), cujo gráfico não representa uma proporcionalidade inversa e
conjecturamos que associa a proporcionalidade inversa a um dos valores negativo
pois o y está diminuindo, mas o x está aumentando (em valor absoluto), o que faz
surgir a pergunta: será que para este sujeito -6 é maior que -5?
Figura 17 – Resposta do Aluno 27 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*)
Figura 18 – Resposta do Aluno 06 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*)
5 participantes apresentaram tabelas com dados incorretos, ou seja, com
características corporificadas com a ideia equivocada, como o Aluno 02, cuja tabela
não representa uma relação de proporcionalidade inversa porque adicionou 2 horas
à grandeza tempo e subtraiu 48 km da grandeza distância. Aqui fica a pergunta: será
que para este sujeito “aumentar” significa adicionar e “diminuir” significa subtrair?
135
Figura 19 – Resposta do Aluno 02 para a Questão 8 classificada como com características corporificadas equivocadas (C*)
5 participantes apresentaram equações algébricas não representativas de
uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, mostraram preocupação em se
expressar com características simbólicas, mas estas não são corretas, como o Aluno
05: “y = -6x+3” e o Aluno 12: “y = -5x+5”. Estas duas respostas fazem surgir a
pergunta: será que para estes sujeitos uma expressão algébrica que representa a
proporcionalidade inversa é aquela onde o coeficiente angular da reta é negativo?
Entre as respostas apresentadas, 5 não apontaram características nem
formais, nem simbólicas e nem corporificadas, pois ou não trouxeram dados
suficientes para podermos classificar, como o Aluno 45: “3x7=21 para obter esse
resultado seria necessário multiplicar 3 vezes mais” ou trouxeram um exemplo que
foge da ideia de proporcionalidade inversa, como o Aluno 31: “40-36-32-28-24-20-
16-12-8-4”, que apresenta uma PA com razão negativa.
Questão 8
Características corporificadas (C) 08
Características corporificadas
equivocadas (C*)
15
Características corporificadas
formais (CF)
04
Características simbólicas
equivocadas (S*)
05
Características corporificadas
simbólicas equivocadas (C*S*)
02
Ausência de características (-) 05
Respostas dadas 39
Não responderam (n/r) 12
Quadro 27 - Classificação geral da Questão 8 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
136
Nenhum sujeito deste grupo apresentou simultaneamente características dos
Três Mundos da Matemática, ou seja, apresentou características corporificadas,
simbólicas e formais (CSF).
5.1.9 Análise da Questão 9
Questão 9: Esboce um gráfico que represente duas grandezas inversamente
proporcionais. Explique.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Gráfico que corresponde à proporcionalidade inversa.
Características corporificadas simbólicas (CS)
Junto com o gráfico uma equação algébrica correta, ou seja, que corresponde ao gráfico apresentado.
Características corporificadas formais (CF)
Justificativa que complete o conceito, dando a entender que o sujeito é capaz de esboçar outro gráfico de proporcionalidade inversa.
Ausência de características Gráficos que não correspondem a uma relação de proporcionalidade inversa.
Quadro 28 – Categorias de Análise da Questão 9
1 - 11 - 21 n/r 31 - 41 - 51 n/r
2 - 12 - 22 - 32 n/r 42 -
3 - 13 n/r 23 n/r 33 - 43 -
4 n/r 14 - 24 - 34 n/r 44 n/r
5 - 15 - 25 n/r 35 - 45 -
6 - 16 - 26 - 36 - 46 n/r
7 - 17 n/r 27 - 37 n/r 47 -
8 - 18 n/r 28 - 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 n/r 39 - 49 -
10 - 20 - 30 - 40 CF 50 -
Quadro 29 - Classificação da Questão 9 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
35 participantes responderam esta questão. Destes, apenas um, o Aluno 40,
apresentou características corporificadas formais (CF), pois esboçou o gráfico de
uma hipérbole e fez uma tabela com os pontos marcados no gráfico, (1,8), (2,4),
(4,2) e (8,1) (Figura 20).
137
Figura 20 - Resposta do Aluno 40 para a Questão 9 classificada como com características corporificadas formais (CF)
Entre as respostas apresentadas, 34 não apontaram características nem
corporificadas, nem simbólicas, nem formais, pois os gráficos não correspondem a
uma relação de proporcionalidade inversa. Dentre estas, 9 mostram uma curva,
como a do Aluno 36, (Figura 21), que justificou ser um gráfico de proporcionalidade
inversa por ser uma curva.
Figura 21 – Resposta do Aluno 36 para a Questão 9
18 participantes apresentaram retas com coeficiente angular negativo e
mostraram que a definição de conceito de proporcionalidade inversa está ligada a
“quando uma aumenta a outra diminui” como o Aluno 01 (Figura 22).
138
Figura 22– Resposta do Aluno 01 para a Questão 9.
Chamou-nos a atenção o gráfico do Aluno 30 (Figura 23). Observando sua
definição de conceito: “Proporcionalidade inversa é quando os valores de uma
grandeza aumentam e os da outra diminuem, também possuindo uma constante de
proporcionalidade“ e os pares de pontos, (3,4) e (2,6), escolhidos na tabela da
Questão 8, podemos dizer que se baseou apenas nesses pontos para traçar o
gráfico de uma reta com coeficiente angular negativo, que parece ser a ideia dele de
proporcionalidade inversa. Podemos conjecturar que este aluno não generaliza, ou
seja, não transita pelo mundo simbólico, pois se baseia em dois pontos para validar
sua ideia de proporcionalidade inversa, “quando uma grandeza aumenta a outra
diminui”.
Figura 23 – Resposta do Aluno 30 para a Questão 9
139
Questão 9
Características corporificadas
formais (CF)
01
Ausência de características 34
Respostas dadas 35
Não responderam (n/r) 16
Quadro 30 – Classificação geral da Questão 9 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.10 Análise da Questão 10
Questão 10: Esboce um gráfico que não represente nem a proporcionalidade
direta nem a proporcionalidade inversa. Explique.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Gráfico correto.
Características corporificadas simbólicas (CS)
Junto com o gráfico uma equação algébrica correta, ou seja, que corresponde ao gráfico apresentado.
Características corporificadas formais (CF)
Junto com o gráfico uma justificativa Matemática.
Ausência de características Gráficos que não correspondem a uma função.
Quadro 31 – Categorias de Análise da Questão 10
1 C 11 C 21 n/r 31 - 41 - 51 n/r
2 CF 12 C*S* 22 n/r 32 n/r 42 -
3 C 13 n/r 23 C 33 C 43 -
4 n/r 14 C 24 C 34 n/r 44 n/r
5 C 15 C 25 n/r 35 C 45 -
6 C* 16 - 26 - 36 C 46 -
7 n/r 17 n/r 27 n/r 37 n/r 47 -
8 n/r 18 n/r 28 n/r 38 C 48 -
9 n/r 19 n/r 29 n/r 39 - 49 C*
10 C F 20 n/r 30 C 40 C 50 C
Quadro 32 - Classificação da Questão 10 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
31 participantes responderam esta questão: 14 apresentaram gráficos
corretos, mas sem justificativa formal, o que classificamos como com características
corporificadas (C); 1 esboçou o gráfico da função (proporcionalidade direta) e
a identificou como “ ”, mostrando características corporificadas simbólicas
equivocadas (C*S*) (Quadro 1, página 75); e 2 esboçaram um gráfico correto como
140
contra exemplo, com justificativa formal, o que classificamos com características
corporificadas formais (CF), como o Aluno 11 (Figura 24).
11 participantes utilizaram um gráfico linear por partes para representar uma
relação que não é de proporcionalidade direta nem proporcionalidade inversa.
Entre as respostas apresentadas, 13 não apontaram características nem
formais, nem simbólicas e nem corporificadas.
03 participantes apresentaram gráficos de proporcionalidade direta e 01 de
proporcionalidade inversa, de onde nos vem a pergunta: Por que?
.
Figura 24 – Resposta do Aluno 10 para a Questão 10
Questão 10
Características corporificadas (C) 15
Características corporificadas
equivocadas (C*)
02
Características corporificadas
formais (CF)
02
Características corporificadas
simbólicas equivocadas(C*S*)
01
Ausência de características 11
Respostas dadas 31
Não responderam (n/r) 20
Quadro 33 - Classificação geral da Questão 10 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
141
5.1.11 Análise da Questão 11
A Questão 11 envolve quatro itens e em cada um o participante tinha que
reconhecer se o gráfico é ou não de proporcionalidade inversa e acrescentar uma
explicação para sua escolha. Por envolver informações que julgamos importantes
para nossa pesquisa, decidimos colocar todas as respostas no corpo da dissertação
(Quadro 34 – Categorias de Análise da Questão 11): na primeira coluna,
designamos cada participante da pesquisa (A) (com números de 01 a 51) e como
sua resposta foi classificada na perspectiva dos Três Mundos da Matemática; na
segunda coluna, as transcrições de cada uma das respostas; e na terceira coluna,
as análises que fizemos de cada uma.
Questão 11: A seguir são apresentados gráficos que relacionam as
grandezas e . Em cada um deles, explique, com suas palavras, se a relação
existente entre e é de proporcionalidade inversa ou não.
a. b. c. d.
142
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Alternativas corretas, com justificativa aparentemente visual e não formal ou sem justificativa.
Características corporificadas (C)
Selecionou alternativas (b), (c) e (d) de maneira a dar entender que tem na imagem de conceito de gráfico da proporcionalidade inversa uma função decrescente. Justificativas visuais, não
formais.
Selecionou alternativas (b) e (c) de maneira a dar entender que tem na imagem de conceito de gráfico da proporcionalidade inversa uma curva não reta. Justificativas visuais, não formais.
Selecionou alternativa (d) de maneira a dar entender que tem na imagem de conceito de gráfico de proporcionalidade inversa uma reta com coeficiente angular <0. Justificativas visuais, não
formais.
Características corporificadas formais (CF)
As alternativas corretas e a justificativa com alguma ideia formal sobre o gráfico da proporcionalidade inversa, como por exemplo, “o produto entre as grandezas deve ser constante”.
Ausência de características (-) Justificativas que não concordam entre si e que não vimos pontos em comum, do tipo é inversa porque é decrescente, etc. Ou não respondeu todas as alternativas.
(E) Casos que não compreendemos a resposta do participante e pensamos seria interessante realizar uma entrevista.
Quadro 34 – Categorias de Análise da Questão 11
1 C 11 C 21 n/r 31 - 41 C 51 n/r
2 C 12 E 22 E 32 n/r 42 n/r
3 C 13 n/r 23 n/r 33 - 43 -
4 C 14 n/r 24 C 34 - 44 n/r
5 C 15 n/r 25 n/r 35 C 45 C
6 E 16 C 26 - 36 - 46 C
7 - 17 n/r 27 - 37 n/r 47 C
8 C 18 n/r 28 C 38 - 48 C
9 E 19 n/r 29 C 39 E 49 E
10 C 20 - 30 C 40 C 50 n/r
Quadro 35 – Classificação da Questão 11 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
143
A Transcrição Análise
01 C
a. Não ,pois cresce diretamente b. Não, pois não há proporcionalidade c. Não há proporcionalidade d. Sim, pois uma aumenta enquanto a outra
diminui
(a) certo - (b) certo (c) errado (d) errado Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo Justificativas visuais.
02 C
a. Não é de proporcionalidade inversa pois é uma reta crescente
b. É de proporcionalidade inversa pois é decrescente e os eixos marcados são negativos
c. É inversamente proporcional porque o gráfico é decrescente
d. É inversamente proporcional porque o gráfico apresentado mostra que o valor do eixo x é negativo
(a) certo – proporcionalidade inversa não é uma reta com c.a.>0 (b) errado – reconhece como proporcionalidade inversa, “eixos negativos” ele está se referindo ao -2 da equação? (c) certo – reconhece porque a função é decrescente (d) errado – reconhece como proporcionalidade inversa, pois “o eixo x é negativo” será que é o coeficiente angular da reta que é -2? O que é eixo x negativo? Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente.
03 C
a. Não é inversa porque a relação entre o x e o y estão crescendo
b. Este gráfico é inverso porque quanto mais o x aumenta o y diminui
c. É um gráfico com proporcionalidade inversa d. Este gráfico é inverso porque sua linha está
de uma forma que não é um gráfico diretamente proporcional
(a) certo - proporcionalidade inversa não é crescente (b) errado – definição de conceito “quando um aumenta o outro diminui” (c) certo (d) errado – é inversa porque é diferente do gráfico de proporcionalidade direta Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente.
04 C
a. Proporção d b. N c. N d. Desses gráficos apresentados a letra d é uma
proporcionalidade inversa, quando um aumenta outro diminui.
Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo Justificativas visuais.
05 C
a. Não, pois a reta está para cima b. Não, pois não é uma reta c. Não, pois y=2/x não pode ficar assim d. Sim, pois a reta está para baixo e o número
que acompanha x é negativo
Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo Justificativas visuais. Inversamente
proporcional é quando o número que acompanha o x é negativo.
06 E
a. O gráfico não se relaciona x e y é de proporcionalidade reta e é inversa, pois há continuidade na linha.
b. O gráfico relaciona x e y é de proporcionalidade não reta e é inversa, pois há continuidade na linha
c. O gráfico relaciona x e y é de proporcionalidade não reta e não é inversa pois há linha não continua
d. O gráfico relaciona x e y é de proporcionalidade reta e é inversa, pois há continuidade na linha
Seria necessário uma entrevista para entendermos o que é “não se relaciona x e y” e “relaciona x e y”?
07 -
a. Não b. Inversa c. Não d. Inversa
(a) certo (b) errado (c) errado (d) errado Justificativas que não concordam entre si
144
A Transcrição Análise
08 C
a. Não é proporcionalidade inversa b. Isso é proporcionalidade inversa c. É proporcionalidade inversa d. Não é inverso
(a) certo (b) errado (c) certo (d) certo Selecionou alternativas (b) e (c). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma curva não reta.
Justificativas visuais.
09 E
a. Sim porque ocorre o alinhamento do x e y b. Sim ocorreu a forma das retas que são
ligadas c. Proporcionalidade inversa sim porque ocorre
o ligamento do x e y d. Não teve o resultado na figura
Este é um caso que seria interessante entrevistar.
10 C
a. Não, pois é uma reta e os 2 aumentam proporcionalmente
b. Sim, pois enquanto o valor x aumenta o y diminui
c. Sim, pois é uma curva e enquanto x cresce o y diminui
d. Não, pois é uma reta e os 2 diminuem proporcionalmente
(a) certo – aparentemente sua definição de conceito de proporcionalidade direta (b) errado – aparentemente sua definição de conceito de proporcionalidade inversa (c) certo - aparentemente sua definição de conceito de proporcionalidade inversa (d) certo – para ele proporcionalidade inversa não é reta Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente. Justificativas visuais, não formais.
Verificar se nas questões sobre proporcionalidade direta ele a reconhece como uma reta.
11 C
a. Proporcional b. Não c. Inversa d. Não proporcional
(a) consideramos que quis dizer diretamente proporcional. (b) certo (c) certo (d) não há proporcionalidade Alternativas corretas sem justificativas.
12 E
a. Há proporcionalidade porque y e x são 2 b. Há proporcionalidade y=2x
2ficaria 4 x positivo
e x=2 c. Proporcionalidade inversa porque y=2/x d. Proporcionalidade inversa porque y=-2 e
x=+2
Fala em proporcionalidade nos itens (a) e (b) e fala em proporcionalidade inversa nos itens (c) e (d). Seria interessante uma entrevista.
13 -
Não consigo lembrar como se faz -
14 -
a. Estou b. Desapontada c. Em escrever d. Esta mais
Já que não posso entregar em branco porque a senhora gostaria de saber o que pensamos, então estou escrevendo...
-
15 - -
-
16 C
a. Não proporcional b. Sim inversa diminui c. Sim inversa diminui d. Sim inversa diminui
(a) certo (b) errado (c) certo (d) errado Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente.
17 -
- -
145
A Transcrição Análise
18 -
- -
19 -
- -
20 -
a. Não inversa b. Inversa c. Não inversa d. Inversa
a) certo (b) errado (c) errado (d) errado Justificativas que não concordam entre si.
21 - -
-
22 E
a. Não, porque começa do eixo x. b. Sim, porque o eixo começa no y. c. Não, porque o eixo é no x. d. Sim, porque o eixo é no y.
(a) certo (b) errado (c) errado (d) errado Justificativas que não concordam entre si. Seria interessante uma entrevista para explicar o que é “começa do eixo x”
23 -
- -
24 C
a. Não há proporcionalidade inversa, pois ambas as grandezas estam aumentando na mesma proporção, sendo assim diretamente proporcional.
b. (Deixou várias contas) Não há uma constante de proporcionalidade
c. Há proporcionalidade inversa, pois o gráfico é uma curva e quando uma grandeza aumenta a outra diminui. ↑ ↓
d. O gráfico é uma reta, não havendo uma proporcionalidade inversa.
(a) certo- aparentemente sua definição de conceito de proporcionalidade direta (b) certo - fez várias contas e colocou valores de y negativo no eixo positivo (c) certo - aparentemente sua definição de conceito de proporcionalidade inversa (d) certo - Dá a entender que para haver proporcionalidade inversa o gráfico não pode ser uma reta. Reconhecimento correto. Justificativas visuais. Na (b) manipulou números não de forma correta.
25 -
- -
26-
sim por que as demarcações são inversas. Sem características dos Três Mundos.
27 -
a. Não inversa, é direta b. Inversamente proporcional c. Não inversa, é direta d. Inversamente proporcional
(a) certo reconheceu a proporcionalidade direta (b) errado (c) errado (d) errado Justificativas que não concordam entre si.
28 C
a. Não é inversamente proporcional b. Inversamente proporcional c. É inversamente proporcional d. É inversamente proporcional .
(a) certo (b) errado (c) certo (d) errado Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente.
29 C
a. Não é de proporcionalidade inversa b. É inversamente proporcional c. É inversamente proporcional d. Não é de proporcionalidade inversa
(a) certo (b) errado (c) certo (d) certo Selecionou alternativas (b) e (c). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma curva não reta.
Justificativas visuais.
146
A Transcrição Análise
30 C
a. Proporcionalidade direta b. Não há proporcionalidade c. Não há proporcionalidade d. Sim, é proporcionalidade inversa .
(a) certo (b) certo – reconhece não haver proporcionalidade (c) errado – reconhece não haver proporcionalidade Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo Justificativas visuais.
31 -
a. Não inversa b. Inversa c. Não inversa d. inversa.
(a) certo (b) errado (c) errado (d) errado As alternativas selecionadas não concordam entre si.
32 -
- -
33 -
a. não ,porque este gráfico representa uma proporcionalidade direta
b. c. d. Sim porque a reta esta desendo
constantemente para baixo
Não assinalou todos os itens.
34 -
a. Proporcionalidade direta não existe a inversa b. Não há proporcionalidade c. Existe proporcionalidade inversa d. Existe proporcionalidade inversa
(a) certo (b) certo - não vê nenhuma proporcionalidade. (c) certo (d) errado As alternativas selecionadas não concordam entre si.
35 C
a. Proporcionalidade direta b. Não há proporcionalidade c. Inversa d. Não há proporcionalidade
Alternativas corretas sem justificativas.
36 -
a. A relação entre x e y é proporcional pois a reta cartesiana segue reto
b. O gráfico representa uma proporcionalidade inversa pois a linha cartesiana indica que ele esta desc
c. O gráfico representa uma proporcionalidade inversa pois a linha cartesiana forma uma curva
d. A relação entre o x e y é de proporcionalidade pois a linha segue reto
Aparentemente “x e y é proporcional” e “x e y é de proporcionalidade” está se referindo a proporcionalidade direta. (a) certo – reconhece como proporcionalidade direta uma reta com c.a. >0 (b) errado – reconhece como proporcionalidade inversa uma função decrescente (c) certa - reconhece como proporcionalidade inversa um gráfico não afim (d) certo –reconhece como proporcionalidade direta pois é uma reta. As alternativas selecionadas não concordam entre si. A reta é proporcionalidade direta.
37 -
- -
38 -
a. Não, pois há um ponto no gráfico e ele esta aumentando
b. Sim, pois aumentou e diminuiu, sem um ponto exato
c. Sim, pois quando um almenta o outro diminui d. Não,pois é uma reta
A proporcionalidade inversa não pode ser uma reta. As alternativas selecionadas não concordam entre si. A proporcionalidade direta é uma reta.
39 E
a. Esta formula é diretamente proporcional porque sempre vai seguir em linha reta
b. Esta figura é inversamente proporcional porque a linha esta desendo mas é ao contrario era para ela estar subindo
c. Esta figura é inversamente proporcional porque os números estam ao contrario
d. Esta figura é diretamente proporcional porque ela é uma reta
(a) certo - reconhece reta como proporcionalidade direta (b) errado - ? (c) certo – ? (d) errado = reconhece uma reta como diretamente proporcional A proporcionalidade inversa não pode ser uma reta. As alternativas selecionadas não concordam entre si. A proporcionalidade direta é uma reta. Seria interessante uma entrevista para as explicações das alternativas (b) e (c).
147
A Transcrição Análise
40 C
a. Não é, pois o gráfico correto seria uma curva b. Não é, pois o gráfico não segue uma
constante c. É proporcional, pois o gráfico é uma curva e
segue uma constante (marcou valores errados nos eixos)
d. Não há proporcionalidade, pois o gráfico não é uma curva
(a) certo – reconhece a proporcionalidade inversa como uma função não afim (b) certo - (c) certo - (d) certo – reconhece a proporcionalidade inversa uma função não afim. Reconhecimento correto. A proporcionalidade inversa não é uma reta e a proporcionalidade inversa segue uma constante. O que quer dizer com isso? Constante pode ser: o valor que aumenta (adiciona) a x é o mesmo que adiciona a y, tornando o gráfico simétrico.
41 C
a. Proporção diretamente a linha sobe b. Não há proporção a linha nem desse nem
sobe c. Não há proporção a linha não sobe nem
desse d. Inversamente proporcional a linha desse
(a) certo (b) certo – reconhece a proporcionalidade tanto direta como inversa uma reta. (c) errado - idem (d) errado Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo Justificativas visuais.
42 -
- -
43 -
a. Essa não é pois a seta não desse b. Ela desse inversa c. Essa ceta não esta dessendo d. Proporcionalidade inversa por que ela desse
(a) certo-proporcionalidade inversa é uma função decrescente (b) errado – idem (a) (c) Aparentemente não reconhece este gráfico como uma função decrescente (d) errado – idem (a) O gráfico da proporcionalidade inversa não pode ser crescente, mas não vê a hipérbole como uma função decrescente.. As alternativas selecionadas não concordam entre si.
44 -
- -
45 C
a. Não é inversa e direta b. Não há proporção c. Não d. Inversa
(a) certo (b) certo (c) errado (d) errado Assinalou a (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma reta com coeficiente angular negativo.
46 C
a. Não, porque o gráfico esta subindo b. Proporcionalidade inversa por esta
diminuindo e há número negativo c. Proporcionalidade inversa porque esta caindo
abaixando d. Proporcionalidade inversa porque está
diminuindo
(a) certo –o gráfico estar subindo não pode ser uma proporcionalidade inversa (b) errado –função decrescente indica proporcionalidade inversa e o número -2 (negativo) tambem (c) certo – função decrescente é proporcionalidade inversa (d)errado – idem (c) Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente. Justificativas visuais.
47 C
a. Não é inversa porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção
b. É inversamente porque uma aumenta a outra diminui
c. É inversamente porque as suas proporcionalidades foram diferente uma diminui mais do que a outra
d. É inversamente porque uma aumentou e a outra diminuiu
(a) certo – quando as duas grandezas aumentam é proporcionalidade direta (b) errado – (c) certo (d) errado – Justificativas estão baseadas na definição de quando “uma aumenta a outra diminui” Assinalou (b), (c) e (d). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma função decrescente.
148
A Transcrição Análise
48 C
a. Não é inversa b. É inversa c. É inversa d. Não é inversa
(a) certo (b) errado (c) certo (d) certo Selecionou alternativas (b) e (c). O gráfico da proporcionalidade inversa é uma curva não reta.
49 E
a. Não, pois ele não ultrapassou a linha b. Sim, pois está somando -2x
2 é uma
proporcionalidade inversa. c. Não, ele não tem proporcionalidade inversa d. Sim, -2x ele passa a ser um
proporcionalidade inversa
(a) certo - ? (b) errado - ? (c) errado (d) errado - ? Alternativas selecionadas não concordam entre si. Seria interessante uma entrevista.
50 -
- -
51 -
- -
Quadro 36 – Transcrição e Análise da Questão 11 de todos os Alunos
36 participantes responderam esta questão e classificamos 19 respostas
como com características corporificadas (C).
Nesta questão, interpretamos que: 6 participantes têm, na imagem de
conceito de proporcionalidade inversa, o gráfico de uma reta com coeficiente angular
negativo; 7, uma função decrescente; e 3, uma curva não reta. 4 participantes
reconheceram a hipérbole como o gráfico que representa a proporcionalidade
inversa, mas nenhum deles apresentou uma justificativa matemática.
Questão 11
Características corporificadas (C) 20
Ausência de características (-) 10
Respostas dadas 36
Entrevista (E) 06
Não responderam (n/r) 15
Quadro 37 – Classificação geral da Questão 11 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.12 Análise da Questão 12
Questão 12: Escreva com suas palavras qual sua primeira ideia para
resolver o seguinte problema: “Se 20 homens trabalhando durante 15 dias
constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para
construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?”. Explique o porquê desta
ideia.
149
Classificamos por Quando a resposta
Características corporificadas (C)
Apresentou manipulação dos dados, mas não considerou a proporcionalidade inversa entre o número de trabalhadores e a quantidade de dias.
Características corporificadas formais (CF)
Considerou a proporcionalidade direta e a proporcionalidade inversa.
Ausência de características (-) Não considera um problema envolvendo grandezas proporcionais ou resolveu como um problema de proporcionalidade direta.
Quadro 38 – Categorias de Análise da Questão 12
1 - 11 - 21 CF 31 n/r 41 CF 51 n/r
2 C 12 - 22 C 32 - 42 C
3 - 13 CF 23 C 33 n/r 43 CF
4 C 14 C 24 C 34 - 44 -
5 - 15 n/r 25 CF 35 CF 45 C
6 - 16 CF 26 - 36 - 46 -
7 CF 17 CF 27 - 37 - 47 CF
8 - 18 C 28 CF 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 CF 39 - 49 -
10 - 20 CF 30 C 40 - 50 -
Quadro 39 – Classificação de cada aluno para a Questão 12 segundo os Três Mundos da Matemática
Chamou nossa atenção que apenas 5 participantes explicitaram a primeira
ideia para resolver o problema, que é o que a questão pede, como o Aluno 45
(Figura 25), que utilizou a regra de três simples, com processo equivocado; 6
participantes explicitaram a primeira ideia e resolveram o problema dando um valor
como resposta, como o Aluno 42 (Figura 26), que resolveu o problema como
proporcionalidade direta usando regra de três entre o número de homens e o
comprimento do muro, sem considerar a variável dias
Figura 25 – Resposta do Aluno 45 para a Questão 12 classificada como características corporificadas (C)
150
Figura 26 – Resposta do Aluno 42 para a Questão 12 classificada como características corporificadas (C)
Das 45 respostas dadas, em 22 não identificamos características dos Três
Mundos da Matemática, como a do Aluno 46 (Figura 27), que somou todas as
variáveis. Desta forma, este participante aponta a possibilidade de pensar em adição
quando escreve “aumentar” ou “crescer” uma grandeza e esclarece em parte a
dúvida explicitada por nós nas questões 1 e 7.
Figura 27 – Resposta do Aluno 46 para a Questão 12
10 participantes tentaram manipular os dados, ou na disposição dos valores,
como se fossem utilizar o método da regra de três, ou em uma tabela e estas
respostas classificamos com características corporificadas (C), mesmo com o
resultado do problema não correto, pois entendemos que estes participantes têm na
imagem de conceito um procedimento, como o Aluno 23 (Figura 28).
Nenhum aluno explicitou o fato que existe uma propriedade básica, inerente à
ideia de proporcionalidade, que mostra uma regularidade: “todos os homens
trabalham de maneira igual”, sendo possível afirmar que existe uma relação de
151
proporcionalidade entre estas grandezas. Em particular, nesta questão temos uma
grandeza proporcional a várias outras.
Figura 28 – Resposta do Aluno 23 para a Questão 12
Ao finalizar a análise desta questão, pudemos responder a pergunta que
fizemos no nosso trabalho quando da Análise Preliminar (ver seção 4.3) de cada
questão: Será que o sujeito tem clareza dessas relações quando trabalha com a
regra de três, simples ou composta? Será que o sujeito tem na sua imagem de
conceito características que possibilitem trabalhar com proporcionalidade com várias
variáveis e chegar em
?
Por estes resultados, a resposta é negativa, pois nenhum aluno calculou
inicialmente a constante de proporcionalidade. Acrescentamos mais uma pergunta,
também proveniente de nossa análise: “Será que se o problema tivesse mais
variáveis ou se os valores não fossem múltiplos, estes alunos conseguiriam resolvê-
lo?”
13 respostas foram classificadas como com características corporificadas
formais (CF) como a do Aluno 28, que explica seu problema da seguinte forma: ”R:
20 mesmo, porque em 15 dias eles construíram 500 metros em 30 dias eles iram
construir 1000 metros eles iram ter que construir o dobro mas também vão utilizar o
dobro de dias”. Interpretamos que este aluno considera a proporcionalidade direta
entre homens e muro e a proporcionalidade inversa entre homens e dias, pois ao
dobrar o comprimento do muro, dobra o número de homens e ao dobrar a
quantidade de dias, divide por dois o número de homens.
Nenhum participante menciona a proporcionalidade inversa e 5 trabalham o
problema deixando explícito que o tratam como um problema que envolve apenas a
proporcionalidade direta.
152
Questão 12
Características corporificadas (C) 10
Características corporificadas
formais (CF)
13
Ausência de características (-) 22
Respostas dadas 45
Não responderam (n/r) 06
Quadro 40 – Classificação geral da Questão 12 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.13 Análise da Questão 13
Questão 13: Podemos calcular o comprimento de uma circunferência se
conhecermos o seu raio Assinale a alternativa que você acha correta, se
quisermos dobrar o comprimento desta circunferência. Explique deixando suas
contas.
a. O valor do raio deve ser multiplicado por
b. O valor do raio deve ser dividido por
c. O valor do raio deve ser multiplicado por
d. Não é possível dobrar o comprimento de uma circunferência.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
A alternativa correta e uma imagem associada à circunferência.
Características corporificadas equivocadas (C*)
A alternativa errada e uma imagem associada à circunferência.
Características simbólicas equivocadas (S*)
Justificativas com símbolos, que não a expressão algébrica do comprimento da circunferência.
Características corporificadas formais (CF)
Alternativa correta com justificativa explicitando a proporcionalidade direta entre o comprimento da circunferência e o raio.
Ausência de características (-) Qualquer alternativa, mesmo a correta, porém sem justificativas ou com justificativas não relacionadas à circunferência.
Quadro 41 – Categorias de Análise da Questão 13
153
1 n/r 11 C 21 - 31 n/r 41 C 51 n/r
2 C 12 - 22 - 32 - 42 C*
3 n/r 13 n/r 23 - 33 n/r 43 -
4 S* 14 - 24 C 34 n/r 44 C*
5 C* 15 - 25 C 35 - 45 -
6 - 16 - 26 - 36 - 46 -
7 - 17 n/r 27 - 37 n/r 47 C
8 - 18 n/r 28 - 38 C 48 C
9 n/r 19 n/r 29 C 39 C* 49 -
10 C 20 - 30 C 40 - 50 C*
Quadro 42– Classificação de cada aluno para a Questão 13 segundo os Três Mundos da Matemática
Decidimos não classificar as respostas, mesmo que corretas, que não tragam
a justificativa do aluno, pois são essas explicações que permitem verificar com quais
características dos Três Mundos da Matemática trabalham um problema que pode
ser resolvido com características simbólicas (S), por meio de uma expressão
algébrica ou com características corporificadas (C), por meio de uma imagem mental
ou um gráfico.
39 participantes responderam esta questão. Destes, 11 marcaram a
alternativa correta e as justificativas apresentaram uma imagem (corporificada)
associada à circunferência, que classificamos como com características
corporificadas (C), como a resposta do Aluno 25 (Figura 29), que assinalou a
alternativa (c) e justificou com o desenho de duas circunferências concêntricas, uma
com o raio igual a 5 m e outra com o raio igual a 10 m. Embora este aluno não tenha
explicado porque se dobrarmos o raio, o comprimento da circunferência dobra,
identificamos que sua resposta apresenta características do mundo corporificado.
Figura 29 – Resposta do Aluno 25 para a Questão 13 classificada como características corporificadas (C)
Na análise desta questão, identificamos 5 respostas que não assinalaram a
alternativa (c), mas as justificativas continham uma imagem associada à
circunferência que classificamos como respostas equivocadas com características
154
do mundo corporificado, como a resposta do Aluno 50, que assinalou a alternativa
(d) e escreveu: “Quando se quer saber o dobro de algo, basta que se multiplique por
2, mas visto que todos r da circunferência é fixo, não se pode dobrar seu
comprimento, pois formaria outra circunferência e não à em questão”. Estas
respostas foram classificadas como com características corporificadas equivocadas
(C*).
Foi identificada uma resposta cuja justificativa trouxe símbolos matemáticos,
mas não a expressão algébrica do comprimento da circunferência, resposta do
Aluno 04, que assinalou a alternativa (d) e escreveu “C2.r2”. Esta resposta foi
classificada como com características simbólicas equivocadas (S*).
9 participantes apontaram o raio com características corporificadas, ao
apresentar um segmento e não um valor. Para eles, a circunferência é fixa e a
pergunta matemática sobre dobrar o valor do comprimento não faz sentido.
Dos que assinalaram a alternativa (c), 8 participantes se expressaram com
algo do tipo: dobrar é multiplicar por dois. Pode ser que associaram o dobrar com o
texto da alternativa (c) “o valor do raio r deve ser multiplicado por 2”.
Nenhum dos 51 alunos mencionou o ou seu valor, assim como nenhum
mostrou a expressão do comprimento da circunferência . Não encontramos,
explicitamente nas respostas, o reconhecimento da proporcionalidade direta entre o
comprimento C da circunferência e o raio r, mesmo aqueles que afirmaram que para
dobrar o comprimento da circunferência é suficiente multiplicar o raio por 2. Nenhum
participante deu uma justificativa algébrica e não pudemos encontrar características
formais nem simbólicas em suas respostas.
Respostas que explicitaram a relação do raio com o comprimento da
circunferência o fizeram de forma corporificada, com um desenho ou com a
descrição de uma imagem mental. Em nenhum caso explicitaram a expressão
algébrica. No caso particular do assunto funções, este grupo pode até ter a ideia de
função, mas não mostrou saber trabalhar com a ideia generalizada, pois não deram
a entender que reconhecem que o comprimento da circunferência pode ser escrito
como função do raio.
Entre as respostas apresentadas, 22 não mostraram características nem
formais, nem simbólicas, nem corporificadas, como a resposta do Aluno 14, que
155
assinalou a alternativa (d): “Eu nunca que me lembre uma professora dizer que é
possível dobrar o comprimento de uma circunferência. Posso estar enganada!”.
Com a análise das respostas desta questão, concluímos que seria
interessante para o professor, em sala de aula, trabalhar com o aluno a conexão
entre a álgebra, a geometria e a ideia de função. Por exemplo, elaborar o gráfico do
comprimento da circunferência C em função do raio r e mostrar ao aluno que a reta
gerada passa pela origem e tem coeficiente angular igual a 2π. Vale a pena ressaltar
ainda que, neste caso, a constante de proporcionalidade é um número irracional e
temos uma questão que relaciona o assunto geometria com o assunto
proporcionalidade direta.
Questão 13
Características corporificadas (C) 11
Características corporificadas
equivocadas (C*)
05
Características simbólicas (S) 00
Características simbólicas
equivocadas (S*)
01
Ausência de características (-) 22
Respostas dadas 39
Não responderam (n/r) 12
Quadro 43 – Classificação geral da Questão 13 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.14 Análise da Questão 14
Questão 14: Em cada um dos casos abaixo, verifique se há (S) ou não (N)
proporcionalidade direta. Se sim, indique o valor da constante de proporcionalidade
k. Justifique sua resposta.
a. ( ) O perímetro de um quadrado e seu lado
b. ( ) A diagonal de um quadrado e seu lado
c. ( ) A área de um quadrado e seu lado
156
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Alternativa (a): que existe a proporcionalidade direta e não justificou matematicamente. Alternativa (b): que existe a proporcionalidade direta e não justificou matematicamente. Alternativa (c): que não existe a proporcionalidade direta e não justificou matematicamente.
Características simbólicas (S) Em qualquer alternativa sua justificativa se baseia em uma expressão algébrica correta.
Características corporificadas formais (CF)
Alternativa (a): que existe a proporcionalidade direta e justificou matematicamente, ou seja, k=4. Alternativa (b): que existe a proporcionalidade direta e justificou
matematicamente, ou seja, k=√
Alternativa (c): que não existe a proporcionalidade direta e justificou matematicamente, ou seja, não existe uma constante entre A e l.
Ausência de características (-) Sem justificativa ou com justificativa não de acordo com a proporcionalidade.
Quadro 44 - Categorias de Análise da Questão 14
Demos uma classificação somente para questões com justificativas, pois
queremos verificar se o participante sabe reconhecer, numa relação dada, se existe
proporcionalidade direta ou não entre as duas grandezas e, caso exista, qual a
constante de proporcionalidade.
Decidimos analisar cada alternativa em separado, porque envolvem,
respectivamente, uma constante de proporcionalidade inteira (a), uma irracional (b) e
uma proporcionalidade direta entre uma grandeza e a outra ao quadrado (c).
1 - 11 n/r 21 n/r 31 n/r 41 CF 51 n/r
2 - 12 - 22 n/r 32 - 42 -
3 - 13 n/r 23 n/r 33 n/r 43 n/r
4 n/r 14 n/r 24 S 34 - 44 -
5 - 15 n/r 25 - 35 S 45 -
6 - 16 - 26 CF 36 - 46 -
7 - 17 n/r 27 n/r 37 - 47 -
8 n/r 18 n/r 28 - 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 n/r 39 - 49 n/r
10 S 20 - 30 C 40 CF 50 n/r
Quadro 45 – Classificação da Questão 14a de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
30 participantes responderam a alternativa (a), sendo que 24 responderam
corretamente que existe proporcionalidade direta entre o perímetro do quadrado e o
lado. Destes, 5 não indicaram o valor da constante nem justificaram, como o Aluno
10, que acrescentou “P=l+l+l+l”, o que consideramos uma resposta com
157
características simbólicas e os outros 4, consideramos respostas com ausência de
características. 13 apresentaram o valor da constante incorreto, como o Aluno 12,
“k=l”, o Aluno 16, “k=soma”, e o Aluno 20, “k=l+l+l+l” – ausência de características. 6
trouxeram informações corretas: 2 alunos, o Aluno 24 e o Aluno 35, “K=P/L” –
características simbólicas; 1 aluno, o Aluno 30, “Pois quanto maior o quadrado maior
será seu perímetro” – características corporificadas; e 3 alunos, o Aluno 26, o Aluno
40 e o Aluno 41, “k=4” –características corporificadas formais.
1 - 11 n/r 21 n/r 31 n/r 41 - 51 n/r
2 - 12 - 22 n/r 32 - 42 -
3 n/r 13 n/r 23 n/r 33 n/r 43 n/r
4 n/r 14 n/r 24 - 34 - 44 -
5 - 15 n/r 25 n/r 35 S 45 -
6 - 16 - 26 - 36 - 46 -
7 - 17 n/r 27 n/r 37 - 47 n/r
8 n/r 18 n/r 28 - 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 n/r 39 C 49 n/r
10 - 20 - 30 - 40 - 50 n/r
Quadro 46 – Classificação da Questão 14b de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
27 participantes responderam a alternativa (b). Destes, 18 não reconheceram
a proporcionalidade direta entre a diagonal do quadrado e o lado e 4 responderam
corretamente que existe proporcionalidade direta, mas não indicaram o valor da
constante nem justificaram – ausência de características. Das 5 respostas restantes,
que apontaram a proporcionalidade direta e justificaram: 3 apresentaram o valor da
constante incorreto, o Aluno 34 “k=7”, o Aluno 36, “k=2” e o Aluno 45, “k=92” -
ausência de características; e 2 trouxeram informações corretas, o Aluno 35, “k=D/L”
–características simbólicas e o Aluno 39, “R. porque se medirmos a diagonal de um
quadrado com seu lado saberemos que ele é uma proporcionalidade” –
características corporificadas.
1 - 11 n/r 21 n/r 31 n/r 41 - 51 n/r
2 - 12 - 22 n/r 32 - 42 -
3 n/r 13 n/r 23 n/r 33 n/r 43 n/r
4 n/r 14 n/r 24 - 34 - 44 S
5 - 15 n/r 25 n/r 35 - 45 -
6 - 16 26 - 36 - 46 -
7 - 17 n/r 27 n/r 37 - 47 -
8 n/r 18 n/r 28 - 38 C 48 -
9 n/r 19 n/r 29 n/r 39 - 49 n/r
10 S 20 - 30 40 C 50 n/r
Quadro 47 – Classificação da Questão 14c de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
158
28 participantes responderam a alternativa (c). Destes, 20 responderam de
maneira errada que existe proporcionalidade direta entre a área do quadrado e o
lado, que consideramos ausência de características. O Aluno 10 acrescentou “A=l.l”,
e o Aluno 44, “O valor de L x L equivale a área do quadrado.” que consideramos
respostas com características simbólicas. O Aluno 38, “k=L Se algo do quadrado
aumenta a área será aumentada”, que consideramos uma resposta, que apesar de
incorreta, corporifica uma relação entre a área do quadrado e o lado, pois se algo do
quadrado aumenta a área também aumenta, que interpretamos estar baseada na
sua definição de conceito, que consideramos uma resposta com características
corporificadas. 8 participantes responderam corretamente que não existe
proporcionalidade direta, sendo que 7 respostas consideramos com ausência de
características e 1 com características corporificadas. 7 respostas consideramos
com ausência de características porque: 5 não justificaram; e 2, a do Aluno 16:
“k=multiplica” e a do Aluno 30: “Um lado sozinho não possui área”, o texto
apresentado por eles não explica nem justifica a afirmação de que não existe
proporcionalidade direta. A resposta com características corporificadas, do Aluno 40,
porque trabalhou apenas com exemplos numéricos na sua justificativa, colocando
uma tabela com os valores “1, 2, 3, 4” para o lado do quadrado e “1, 4, 9, 16” para
as áreas, sem explicitar se existe ou não uma constante entre estes valores.
Nesta Questão 14, chamou-nos a atenção que a quase totalidade dos
participantes não soube achar a constante de proporcionalidade das alternativas (a)
e (b). Na alternativa (a), 3 participantes apontaram k=4 e na alternativa (b) nenhum
apontou k=√ . Podemos conjecturar que ou não sabem as equações algébricas do
perímetro do quadrado e da diagonal, ou não associaram que os valores 4 e √ são
as constantes de proporcionalidade dessas relações.
Concluímos que este grupo não tem na sua imagem de conceito a expressão
algébrica do perímetro, da diagonal e da área do quadrado e tão pouco reconhecem
existir uma relação de proporcionalidade direta entre o perímetro do quadrado e o
lado e entre a diagonal do quadrado e o lado.
159
Questão 14 (a) (b) (c)
Características corporificadas (C) 01 01 02
Características corporificadas
formais (CF)
03 00 00
Características simbólicas (S) 03 01 02
Ausência de características (-) 23 25 24
Respostas dadas 30 27 28
Não responderam (n/r) 21 24 23
Quadro 48 – Classificação geral da Questão 14 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.15 Análise da Questão 15
Questão 15: Podemos calcular a área de um retângulo se conhecermos
sua base e sua altura . Mantendo a área do retângulo constante, responda sim
(S) ou não (N) cada um dos itens abaixo. Justifique sua resposta.
a. ( ) Se dobrarmos o valor da altura , o valor da base dobra?
b. ( ) Se dobrarmos o valor da altura , o valor da base é dividido por 2?
c. ( ) Existe proporcionalidade direta entre a altura e a base ?
d. ( ) Existe proporcionalidade inversa entre a altura e a base ?
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
As alternativas corretas sem justificativa ou com justificativa visual, uma imagem associada ao retângulo.
Características simbólicas (S) Justificativa com símbolos relacionados à área do retângulo.
Características corporificadas formais (CF) Alternativa correta com justificativa matemática.
Ausência de características (-) Erro no reconhecimento da proporcionalidade inversa entre a base e a altura do retângulo quando a área é constante ou contradição entre as alternativas.
Quadro 49 – Categorias de Análise da Questão 15
160
1 C 11 - 21 n/r 31 n/r 41 CFS 51 n/r
2 - 12 C 22 n/r 32 - 42 -
3 n/r 13 - 23 n/r 33 n/r 43 -
4 n/r 14 - 24 - 34 n/r 44 CF
5 - 15 n/r 25 n/r 35 - 45 -
6 - 16 - 26 - 36 - 46 -
7 - 17 n/r 27 n/r 37 C 47 -
8 n/r 18 n/r 28 - 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 - 39 - 49 n/r
10 C 20 - 30 - 40 CF 50 -
Quadro 50 – Classificação da Questão 15 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
Com esta questão, pudemos verificar com que características dos Três
Mundos da Matemática cada um dos participantes desta pesquisa resolveu um
problema que requer o reconhecimento da relação de proporcionalidade inversa
entre a base e a altura do retângulo, quando a área é constante.
33 participantes responderam esta questão. Destes, 4 apontaram
corretamente a proporcionalidade inversa entre a base e a altura do retângulo,
quando a área é constante e consideramos respostas com características
corporificadas. E 3 participantes, Aluno 40, Aluno 41 e Aluno 44, reconheceram a
proporcionalidade inversa e apresentaram justificativas matemáticas, que
consideramos respostas com características corporificadas formais. O Aluno 41
acrescentou à sua justificativa a equação algébrica da área do retângulo, apontando
transitar também pelo mundo simbólico.
16 participantes responderam “não” no item (d) e “sim” no item (c), ou seja,
para eles existe proporcionalidade direta e não inversa, o que consideramos com
ausência de características. Dentre estes, destacamos o Aluno 02, que explicitou a
expressão algébrica da área do retângulo “A=b.h”, na língua materna traduziu como
”lado vezes lado” e menciona que é preciso fazer “uma conta”. Não sabemos se este
aluno consegue transitar pelo mundo simbólico, pois parece não relacionar
devidamente os símbolos que aparecem na expressão dada por ele, os dados do
problema e a geometria. Este participante não utilizou a expressão algébrica da área
do retângulo para justificar sua decisão. 10 participantes apresentaram contradições
entre suas respostas, assinalando “Sim” nas alternativas (c) e (d), ou seja,
assinalaram que existe simultaneamente proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa.
161
Nenhum participante reconheceu a existência da proporcionalidade inversa
entre a base e a altura do retângulo de maneira consistente. Aparentemente não
relacionaram que a constante de proporcionalidade, que mencionaram nas
respostas anteriores, aparece nesta questão de modo explícito: a área A do
retângulo.
Questão 15
Características corporificadas (C) 04
Características corporificadas
formais (CF)
02
Características corporificadas,
simbólicas e formais (CFS)
01
Ausência de características (-) 26
Respostas dadas 33
Não responderam (n/r) 18
Quadro 51 – Classificação geral da Questão 15 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.16 Análise da Questão 16
Questão 16: Nos itens a seguir são apresentadas algumas relações
algébricas entre duas grandezas. Aponte as alternativas nas quais existe relação de
proporcionalidade direta ou de proporcionalidade inversa e nestes casos, indique a
constante de proporcionalidade.
a.
b. c.
d.
e.
Classificamos por Quando a resposta apresentou
Características corporificadas (C)
Alternativas com justificativas numéricas.
Características formais
(F)
O reconhecimento da proporcionalidade direta nas alternativas (a) e (e) e da proporcionalidade inversa nas alternativas (c) e (d), com justificativa matemática, ou seja dando o valor da constante de proporcionalidade.
Ausência de características (-) Uma alternativa contradizendo a outra.
Quadro 52 – Categorias de Análise da Questão 16
162
1 n/r 11 - 21 n/r 31 n/r 41 - 51 n/r
2 n/r 12 - 22 n/r 32 n/r 42 C
3 n/r 13 n/r 23 n/r 33 n/r 43 -
4 n/r 14 n/r 24 - 34 - 44 -
5 - 15 n/r 25 n/r 35 - 45 -
6 n/r 16 - 26 n/r 36 C 46 -
7 - 17 n/r 27 n/r 37 n/r 47 n/r
8 n/r 18 n/r 28 - 38 - 48 -
9 n/r 19 n/r 29 - 39 - 49 -
10 - 20 - 30 C 40 - 50 n/r
Quadro 53 – Classificação da Questão 16 de cada aluno na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
Não classificamos dentro dos Três Mundos da Matemática cada uma das
alternativas distintamente e sim, trabalhamos com as 5, com o objetivo de analisar
se o participante reconhece a expressão algébrica da proporcionalidade direta e
inversa, bem como suas respectivas constantes de proporcionalidade. Para tanto, na
nossa análise, verificamos se o sujeito tem na imagem de conceito, que para haver
proporcionalidade direta entre duas grandezas é preciso que a razão entre elas seja
uma constante e que para haver proporcionalidade inversa entre duas grandezas o
produto entre elas deve ser constante.
Esta análise completa a análise da questão anterior, pois nesta são dadas as
expressões algébricas e buscamos verificar se o individuo tem na imagem de
conceito de proporcionalidade, características do mundo simbólico, ao reconhecer a
expressão e também do mundo formal, ao apontar a constante de
proporcionalidade.
25 participantes responderam esta questão.
O Aluno 46 apontou as alternativas (a) e (e) como de proporcionalidade direta
e também a alternativa (b). Aceitamos que este aluno reconheceu a
proporcionalidade direta entre y e x2, entretanto apontou também a alternativa (c).
Deste modo não consideramos que este participante tenha na imagem de conceito
de proporcionalidade direta, características simbólicas, nem formais.
Na análise das alternativas (a) e (e) referentes à proporcionalidade direta,
verificamos que 17 participantes reconheceram a alternativa (a) como de
proporcionalidade direta e a alternativa (e) não e nenhum reconhece a alternativa (e)
como de proporcionalidade direta e a alternativa (a) não.
163
Entre todas as respostas, apenas o Aluno 39, o Aluno 40 e o Aluno 45,
apontaram as alternativas (c) e (d) como de proporcionalidade inversa, mas
apontaram também a alternativa (e), mostrando que na imagem de conceito de
proporcionalidade inversa a equação algébrica é do tipo “xy=(nº)” ou quando a
constante é um número não inteiro. Deste modo não consideramos que estes
participantes tenham na imagem de conceito de proporcionalidade inversa,
características simbólicas, nem formais.
Na análise das alternativas (c) e (d), referentes à proporcionalidade inversa,
verificamos que 8 participantes reconheceram a alternativa (d) como de
proporcionalidade inversa e a alternativa (c) não e nenhum participante reconhece a
alternativa (c) como de proporcionalidade inversa e a alternativa (d) não.
Aparentemente, estes participantes reconhecem como uma relação de
proporcionalidade direta apenas expressões algébricas com constante de
proporcionalidade um número natural e como de proporcionalidade inversa
expressões algébricas com constante de proporcionalidade um número racional não
inteiro. Deste modo, conjecturamos: “Um número racional não inteiro para a
constante de proporcionalidade induz um aluno, que não tem na imagem de conceito
de proporcionalidade direta características formais, a identificá-la como uma relação
de proporcionalidade inversa?”.
Apenas 3 respostas foram classificadas com características corporificadas
(C), pois apresentaram alguma manipulação com números, como o Aluno 30 (Figura
30) que para verificar a existência da proporcionalidade atribuiu valores a x, 3 e 4 e
obteve valores de y, 6 e 8, na alternativa (a), e 18 e 42, na alternativa (b). Nestes
dois casos concluiu a não existência de proporcionalidade, pois não resultou uma
constante. Este participante mostrou não reconhecer em equações algébricas nem o
valor da constante.
164
Figura 30 – Resposta do Aluno 30 para a Questão 16 classificada como características corporificadas (C)
Interpretamos na análise desta questão que nenhuma das 51 respostas
apresentou características simbólicas (S) e/ou características formais (F) de
proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa.
Questão 16
Características corporificadas (C) 03
Ausência de características (-) 22
Respostas dadas 25
Não responderam (n/r) 26
Quadro 54– Classificação geral da Questão 16 na perspectiva dos Três Mundos da Matemática
5.1.17 Análise da Questão 17
Diferentemente das outras 16 questões, nesta não fizemos uma análise
vertical. Ela foi usada somente para verificar se o participante sabe decidir se
verdadeira ou falsa as alternativas para comparar com as outras respostas.
42 protocolos tinham respondidas as alternativas (a) e (e), as quais
analisamos em conjunto (Quadro 55). 24 participantes apresentaram a ideia
equivocada, que para existir uma relação de proporcionalidade direta, a ideia da
alternativa (a) é equivalente à definição da alternativa (e), pois consideraram como
verdadeiras ambas as alternativas. Apenas 3 respostas consideraram a alternativa
(a) falsa e a alternativa (e) verdadeira apontando que y/x ser uma constante é
condição de existência da proporcionalidade direta.
165
(a) (e)
V V 24
V F 13
F F 1
F V 3
42
Quadro 55 – Resposta das alternativas (a) e (e) da Questão 17
40 protocolos tinham respondidas as alternativas (b) e (f), as quais
analisamos em conjunto (Quadro 56). 30 participantes apresentaram a ideia
equivocada, que para existir uma relação de proporcionalidade inversa, a ideia da
alternativa (b) é equivalente à definição da alternativa (f), pois consideraram como
verdadeiras ambas as alternativas. Nenhuma resposta considerou a alternativa (b)
falsa e a alternativa (f) verdadeira apontando que y.x ser uma constante é condição
de existência da proporcionalidade inversa.
(b) (f)
V V 30
V F 08
F F 02
F V 00
40
Quadro 56 – Resposta das alternativas (b) e (f) da Questão 17
30 participantes apresentaram a ideia equivocada de que para existir uma
relação de proporcionalidade inversa, a ideia da alternativa (b) é equivalente à
definição da alternativa (f), pois consideraram como verdadeiras ambas as
alternativas.
13 participantes apresentaram a ideia equivocada de que sempre há uma
relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas, pois consideraram como
verdadeira a alternativa (c), onde podemos entender que se duas grandezas são
positivas, então existe uma relação de proporcionalidade direta entre elas, o que nos
remete à Sierpinska (1992), quando afirma que a relação de proporcionalidade é
166
simples e vista em toda parte: se há relação entre duas grandezas então elas são
proporcionais (ver página 34).
12 participantes apresentaram a ideia equivocada de que se há relação entre
duas grandezas, então elas são de proporcionalidade direta ou de proporcionalidade
inversa, pois consideraram como verdadeira a alternativa (d), o que também nos
remete à afirmação de Sierpinska (1992) (ver página 34).
5.2 Análise por Aluno.
Para nos ajudar na análise das respostas de cada aluno e com a
preocupação em apresentar ao leitor uma visão global das características que cada
participante apontou ao longo deste questionário, elaboramos o Quadro 57 –
Características dos Três Mundos da Matemática de cada Participante da Pesquisa.
Dividimos a nossa análise em três grupos: da Questão 1 à Questão 6, analisamos as
respostas que cada aluno deu para a proporcionalidade direta; da Questão 7 à
Questão 12, para a proporcionalidade inversa; e da Questão 13 à Questão 16, que
chamamos de problemas de aplicação, analisamos as respostas de questões
associadas à Geometria e a equações algébricas. Por fim, fora destes 3 grupos,
colocamos as respostas da Questão 10, utilizadas em conjunto com a Questão 5 e a
Questão 11, para identificar quais gráficos o participante relaciona à
proporcionalidade direta e à proporcionalidade inversa.
(C) indica respostas com características corporificadas, (S) com
características simbólicas, (CF) com características corporificadas formais, (CS) com
características corporificadas simbólicas e (CSF) com características corporificadas
simbólicas formais. Questões não respondidas pelo participante estão identificadas
por cinza escuro e questões respondidas, mas nas quais não identificamos
características dos Três Mundos da Matemática, por cinza claro.
167
P D P I
ALUNO
Q 1
Q 2
Q 3
Q 4
Q 5
Q 6
Q 7
Q 8
Q 9
Q 11
Q 12
Q 13
Q 14a
Q 14b
Q 14c
Q 15
Q 16
Q 10
1 C C F C C C C F C C
C
2 C C C F C C* C C C
C F
3 C C C C C C S C C C
4 C C C C C C S C -
C C S*
5 C S C C C S* C C* C
6 C C C E C C* E - C*
7 C C S C E C C C*S* C F
8 C C* C C C C
9 C* C C C*S* E
10 C C F C C C C F C C F C C S S C C F
11 C C C C F C C C C
C
12 S C C C C C S* E C C*S*
13 C C C C F
14 C CF C* C C
15 C C C C C C
16 C C E C* C C F
17 C C F
18 C C
19 C
20 C C C
E C F C C* C F
21 C C C C F
22 C C C C C E C
23 C C S C
C S C* C C
24 C C F C C F C F CSF CF C F C C C S C
25 C C* C C C E C C F C
26 C C* CF
27 C C C C C C*
28 S C C C S* C C F
29 C C C C F C C* C C F C
30 C F C F C F C F C C F C C F C C C C C C
31 C C
32
33 C C C C C C* C
34 C C C F C C C F C
35 C F C F C C C C C C
C C F S S
C
36 C C* C S
C* C C
37 C* C C C C
38 C C* C C C C F C C C
C C
39 C C S C C
E C* C
40 C F C C C C CF CF C F C F C C F C C F C
41 C CF C C C C S C C*
C C F C C F
C FS
42 C CF C C C C C C C* C
43 S* E
S* C F
44
C C C* S C F
45 C C* C C
C C
46 C C C C C C
C
47 C C* C C F C* C C F C
48 S* C C F S* C C
49 C C
C C E C*
50 C F C C F C F C C F CF C* C*
C
51 C C C C C C C C*
168
Legenda
Questão não respondida
Não foram identificadas características dos Três Mundos da Matemática
( C ) Características corporificadas
(C*) Características corporificadas equivocadas
( S ) Características simbólicas
(S*) Características simbólicas equivocadas
( CS ) Características corporificadas simbólicas
( CF ) Características corporificadas formais
(CSF) Características corporificadas simbólicas formais
(E) Entrevista
Quadro 57 – Características dos Três Mundos da Matemática de cada Participante da Pesquisa em cada Questão
Fonte: Acervo pessoal
5.2.1 Análise do Aluno 1
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra também aumenta” e seu exemplo dá a entender que aumentar significa
multiplicar. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e (e)
confirmando que sua definição de conceito apresenta apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito. A imagem de
conceito de proporcionalidade direta apresenta características corporificadas (C) e
características formais (F), com exemplo que traz semelhança de figuras e a
constante de ampliação das mesmas e também no problema da proporcionalidade.
Considera a reta com coeficiente angular positivo o gráfico que representa a
proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa apresenta
características corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza
aumenta a outra diminui”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as
alternativas (b) e (f) confirmando que sua definição de conceito apresenta apenas
características corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito. A
imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra características
corporificadas (C) e considera a reta com coeficiente angular negativo o gráfico que
representa a proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
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5.2.2 Análise do Aluno 2
Não identificamos características dos Três Mundos da Matemática na
definição de conceito de proporcionalidade direta. A imagem de conceito de
proporcionalidade direta mostra características corporificadas (C) com o exemplo de
uma tabela e considera a reta com coeficiente angular positivo o gráfico que
representa a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas e equivocadas, com uma tabela com valores que não
representam a proporcionalidade inversa, pois os valores de uma variável são
adicionados e os da outra subtraídos. Considera uma função decrescente o gráfico
que representa a proporcionalidade inversa.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas (C) ao relacionar o comprimento da
circunferência e o raio. Ao trabalhar com a área do retângulo, coloca a expressão
algébrica correspondente, mas não reconhece a relação de proporcionalidade
inversa.
5.2.3 Análise do Aluno 3
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra também aumenta”. A imagem de conceito de proporcionalidade direta mostra
características corporificadas (C) em exemplo que traz uma tabela, que dá a
entender a existência de uma regularidade e aponta características corporificadas e
simbólicas na resolução do problema da proporcionalidade utilizando explicitamente
a regra de três. Considera uma função crescente o gráfico que representa a
proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
aponta características corporificadas (C), pois traz um exemplo contextualizado e
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considera uma função decrescente o gráfico que representa a proporcionalidade
inversa.
A imagem de conceito de proporcionalidade direta não mostra características
formais, apresenta essencialmente características corporificadas (C) e algumas
características simbólicas (S) e a imagem de conceito de proporcionalidade inversa
não mostra características simbólicas nem formais, apresentando essencialmente
características corporificadas (C), que nos leva a concluir que as características
corporificadas e simbólicas que apresenta não são suficientes para ajudá-lo a
resolver os problemas que propusemos e que envolvem a constante de
proporcionalidade.
5.2.4 Análise do Aluno 4
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em uma reta. A imagem de conceito de
proporcionalidade direta mostra características corporificadas (C) e se fundamenta
em uma tabela. Considera tanto a reta com coeficiente angular positivo, como com
coeficiente angular negativo, gráficos da proporcionalidade direta, mas esta
afirmação não se mantém, pois aponta como contra exemplo, na Questão 4, um
gráfico de reta com coeficiente angular negativo e na Questão 11, considera a reta
com coeficiente angular negativo como gráfico de proporcionalidade inversa.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada. Na Questão 11, considera uma reta com
coeficiente angular negativo como o gráfico que representa a proporcionalidade
inversa, entretanto contradiz isto na resposta da Questão 5.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
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5.2.5 Análise do Aluno 5
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em uma reta com coeficiente angular positivo. A
imagem de conceito de proporcionalidade direta mostra características simbólicas
(S) e considera a reta com coeficiente angular positivo como o gráfico que
representa a proporcionalidade direta. Não apresentou ideia de proporcionalidade na
Questão 6. Apontou corretamente as alternativas referentes à proporcionalidade
direta na Questão 17, embora, ao longo de suas respostas, não mostre
características formais.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características simbólicas e equivocadas, pois apresenta a equação de uma
função afim decrescente e características corporificadas (C), pois considera uma
reta com coeficiente angular negativo, o gráfico que representa a proporcionalidade
inversa.
Ao resolver os problemas de aplicação apresenta características
corporificadas (C) ao explicitar que o comprimento da circunferência é fixo e não
existe relação de interdependência com o raio. Reconhece apenas a expressão
“y=2x” como de proporcionalidade direta e aponta a constante como igual a 2.
Aparentemente tem na imagem de conceito a equação da proporcionalidade direta
algo do tipo “y=(número inteiro).x”.
5.2.6 Análise do Aluno 6
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em uma reta. A imagem de conceito de
proporcionalidade direta mostra haver contradição entre suas respostas.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito e na
imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
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5.2.7 Análise do Aluno 7
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. A imagem de conceito de proporcionalidade direta mostra haver
contradição entre as respostas, quando trabalha com o gráfico da proporcionalidade
direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Na imagem de conceito mostra características simbólicas que não
representam a proporcionalidade inversa e suas respostas apresentam contradição
quanto ao gráfico da proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de aplicação. Na Questão 16, não identificou em nenhuma alternativa o
valor da constante de proporcionalidade, mas com suas respostas interpretamos que
para este aluno existe a proporcionalidade direta quando a constante de
proporcionalidade é um número inteiro e existe a proporcionalidade inversa quando
a constante de proporcionalidade é um número racional não inteiro.
5.2.8 Análise do Aluno 8
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em uma imagem mental. Na imagem de conceito
apresenta como gráfico de proporcionalidade direta uma reta com coeficiente
angular positivo ou reta com coeficiente angular negativo.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas e considera o gráfico de uma
curva não reta representativo da proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
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5.2.9 Análise do Aluno 9
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito de proporcionalidade direta. Não apresentou ideia de proporcionalidade
na Questão 6. Nestas respostas mostrou não ter ideias corporificadas, simbólicas ou
formais, que o ajudem a trabalhar com a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito e na
imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.10 Análise do Aluno 10
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia em “quando uma grandeza aumenta a outra também
aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e (e)
confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito. Aceita como
verdadeira a alternativa (a), pois está de acordo com a sua definição de conceito e
como verdadeira a alternativa (e). A imagem de conceito de proporcionalidade direta
mostra características corporificadas (C) e características formais (F) e se
fundamenta em semelhança de figuras e considera tanto a reta com coeficiente
angular positivo, como a reta com coeficiente angular negativo, gráficos que
representam a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) e características formais (F) fundamentadas em
uma tabela com os dados corretos, onde o produto entre as grandezas x e y é
constante e considera uma curva não reta o gráfico que representa a
proporcionalidade inversa.
Ao resolver os problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa, transita pelo mundo corporificado (C) ao desenhar duas circunferências
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para visualizar seu comprimento, quando dobra o raio. Mostra características
simbólicas (S) nas expressões do perímetro e da área do quadrado, mas dá a
impressão que as expressões algébricas das figuras geométricas são estanques,
sem conexão com o conceito de função, base da noção de proporcionalidade. Não
reconheceu a proporcionalidade direta ou a proporcionalidade inversa em
expressões algébricas.
5.2.11 Análise do Aluno 11
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito. Na imagem de conceito apresenta características corporificadas (C) e
considera a reta com coeficiente angular positivo o gráfico que representa a
proporcionalidade direta. Na Questão 6 apresentou ideia de proporcionalidade com
características formais (F).
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) e reconhece a hipérbole como o gráfico da
proporcionalidade inversa.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa transita pelo mundo corporificado (C) ao relacionar o comprimento da
circunferência e o raio. Com as respostas da Questão 16, interpretamos que para
este aluno para existir proporcionalidade a equação deve ter o y de um lado do sinal
de igual e o x do outro, algo do tipo “y=(nº).x”. É proporcionalidade direta quando a
constante de proporcionalidade é um número inteiro e proporcionalidade inversa
quando a constante de proporcionalidade é um número racional não inteiro.
5.2.12 Análise do Aluno 12
Não mostra características dos Três Mundos da Matemática na definição de
conceito de proporcionalidade direta. Nas suas respostas apresenta contradição
entre os gráficos de proporcionalidade direta.
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A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade apresenta características
simbólicas e equivocadas, apresentando a equação de uma reta com coeficiente
angular negativo.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa, reconhece a proporcionalidade inversa entre a base e a altura do retângulo
quando a área é constante, mas não apresenta justificativas de modo a trazer
informação quanto a características dos Três Mundos. Na Questão 16, não
identificou em nenhuma alternativa o valor da constante de proporcionalidade, mas
com suas respostas interpretamos que para este aluno existe a proporcionalidade
direta quando a constante de proporcionalidade é um número inteiro e existe a
proporcionalidade inversa quando a constante de proporcionalidade é um número
racional não inteiro.
5.2.13 Análise do Aluno 13
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
(e) confirmando que sua definição de conceito apresenta apenas características
corporificadas, o que não garante trabalhar com este conceito. Aceita como
verdadeira a alternativa (a), pois está de acordo com a sua definição de conceito e
como verdadeira a alternativa (e), pois aparentemente não consegue perceber a
diferença entre as duas alternativas. Não apresenta características dos Três Mundos
da Matemática na imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não
ter mostrado características formais na sua definição de conceito ou porque a
mesma se restringiu a uma definição decorada.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
176
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.14 Análise do Aluno 14
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Apesar de sua resposta na Questão 2 ser uma ideia com
características formais, este participante apresentou, ao longo das outras respostas,
que a imagem de conceito de proporcionalidade direta mostra apenas características
corporificadas (C) e se fundamenta em semelhança de figuras.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas, fundamentadas em
semelhança de figuras com medidas que não correspondem à proporcionalidade
inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.15 Análise do Aluno 15
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Apresenta ideia de proporcionalidade com características
corporificadas na imagem de conceito, mas apresenta contradição nas suas
respostas, quando trabalha com gráficos.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
177
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.16 Análise do Aluno 16
A definição de conceito e a imagem de conceito de proporcionalidade direta
não apresentam características dos Três Mundos.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas. Aceita o gráfico de uma reta
com coeficiente angular negativo e considera uma função decrescente como
representativos da proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.17 Análise do Aluno 17
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito e na
imagem de conceito de proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito e na
imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.18 Análise do Aluno 18
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Não apresenta características dos Três Mundos na imagem de
conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado características
178
formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se restringiu a uma
definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.19 Análise do Aluno 19
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em uma imagem. Não apresenta características
dos Três Mundos da Matemática na imagem de conceito, o que nos faz conjecturar
se a causa é não ter mostrado características formais na sua definição de conceito
ou porque a mesma se restringiu a uma definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.20 Análise do Aluno 20
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeira a alternativa (a)
e falsa a alternativa (e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas
características corporificadas, de forma a não garantir o trabalho com este conceito.
A imagem de conceito de proporcionalidade direta tem características corporificadas
(C) e se baseia em um exemplo que traz tabelas; e características corporificadas e
formais no problema da proporcionalidade. Mostra conflito quando trabalha com
gráficos.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Na Questão 17 responde como verdadeira a alternativa (b) e falsa a
179
alternativa (f) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, o que não garante trabalhar com este conceito. A imagem de
conceito de proporcionalidade inversa mostra características corporificadas e
equivocadas, fundamentadas em uma tabela com dados não totalmente corretos e
características corporificadas e formais no problema da proporcionalidade.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.21 Análise do Aluno 21
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
(e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito, pois parece não
perceber a diferença entre as duas alternativas. Não apresenta características dos
Três Mundos da Matemática na imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a
causa é não ter mostrado características formais na sua definição de conceito ou
porque a mesma se restringiu a uma definição decorada.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.22 Análise do Aluno 22
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
180
(e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito. Aceita como
verdadeira a alternativa (a), pois está de acordo com a sua definição de conceito e
como verdadeira a alternativa (e), pois parece não perceber a diferença entre as
duas alternativas. A imagem de conceito de proporcionalidade direta apresenta
características corporificadas (C) fundamentadas em um exemplo contextualizado e
considera uma função crescente o gráfico que representa a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e se fundamenta em exemplo contextualizado.
Não exibiu um gráfico de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.23 Análise do Aluno 23
A definição de conceito de proporcionalidade direta não apresenta
características dos Três Mundos. A imagem de conceito traz tabelas e apresenta
características corporificadas (C) e características simbólicas (S).
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas, fundamentadas em uma tabela
com dados não totalmente corretos e não apresenta o gráfico de proporcionalidade
inversa na imagem de conceito.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.24 Análise do Aluno 24
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
(e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
181
corporificadas que não garantem trabalhar com este conceito, pois parece não
perceber a diferença entre as duas alternativas. Apresenta na imagem de conceito
características corporificadas (C) e características formais (F) e se fundamenta em
uma tabela com dados corretos, pois explicita a constante de proporcionalidade
direta. Considera a reta com coeficiente angular positivo o gráfico que representa a
proporcionalidade direta e utiliza a constante de proporcionalidade para identificar
esse gráfico. Apesar de ter buscado a constante de proporcionalidade em cada
gráfico apresentado, pela divisão entre valores de y e valores de x, na Questão 17
aponta como verdadeiras tanto a alternativa (a) como a (e), o que interpretamos falta
de características formais na definição de conceito.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e características formais (F) e se baseia na ideia de que “quando
uma grandeza aumenta a outra diminui existindo uma constante que é o produto das
duas grandezas”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) e características formais (F) fundamentadas em
uma tabela com os dados corretos, explicitando que o produto entre as grandezas x
e y é constante. Embora tenha apresentado ideias formais ao elaborar a tabela do
seu exemplo, não mostra, na imagem de conceito, gráfico que representa a
proporcionalidade inversa.
Ao resolver os problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa transita pelo mundo corporificado (C), ao relacionar o comprimento da
circunferência e o raio. Apresenta características simbólicas (S) quando mostra a
expressão do perímetro do quadrado e deduz que é de proporcionalidade direta,
pois há um quociente entre o perímetro e o lado, resultando “uma constante”, mas
não mostra que esta constante é 4. Não mostra reconhecer que a expressão do
perímetro pode ser vista como uma função, base da noção de proporcionalidade. Na
Questão 16, não identificou em nenhuma alternativa o valor da constante de
proporcionalidade, mas com suas respostas interpretamos que para este aluno
existe a proporcionalidade direta quando a constante de proporcionalidade é um
número inteiro e a proporcionalidade inversa quando a constante de
proporcionalidade é um número racional não inteiro.
182
5.2.25 Análise do Aluno 25
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
(e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas que não garantem trabalhar com este conceito. Aceita como
verdadeira a alternativa (a), pois está de acordo com a sua definição de conceito e
como verdadeira a alternativa (e), pois parece não perceber a diferença entre as
duas alternativas. Apresenta na imagem de conceito características corporificadas
(C), com um exemplo fundamentado em uma tabela com valores, pois o “aumentar”
utilizado na definição de conceito quer dizer adicionar. Reconhece a reta com
coeficiente angular positivo como gráfico que representa a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
imagem de conceito, o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas (C) com o desenho de duas
circunferências concêntricas, uma com o raio igual a 5 m e outra com o raio igual a
10 m.
5.2.26 Análise do Aluno 26
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas, com um exemplo
contextualizado, que não traz a ideia da proporcionalidade inversa e não mostra ter
gráfico de proporcionalidade inversa na imagem de conceito.
183
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.27 Análise do Aluno 27
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito. Na imagem de conceito apresenta características corporificadas (C)
relacionadas com um gráfico e considera uma função crescente o gráfico que
representa a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito e na
imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.28 Análise do Aluno 28
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito. Na imagem de conceito apresenta características simbólicas (S) ao dar
como exemplo da proporcionalidade direta uma expressão algébrica correta e
considera uma função crescente o gráfico que representa a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características simbólicas e equivocadas apresentando a expressão
algébrica de uma reta com coeficiente angular negativo que passa pela origem e
considera uma função decrescente, representativa da proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.29 Análise do Aluno 29
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na imagem de conceito apresenta características corporificadas
184
(C) fundamentadas em uma tabela com dados corretos, sem explicitar uma
constante de proporcionalidade e considera uma função crescente o gráfico que
representa a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) fundamentadas em uma tabela com os dados não
totalmente corretos e em uma curva não reta, como o gráfico que representa a
proporcionalidade inversa.
Ao resolver os problemas, na Questão 13, relaciona o comprimento da
circunferência e o raio, mas não conseguimos definir se pela figura ou se pela
expressão algébrica e classificamos como características corporificadas (C).
Aparentemente, este aluno tem expressão algébrica na imagem de conceito do tipo:
é proporcionalidade direta quando a constante é um número natural e é inversa
quando é um número racional não inteiro ou o x é elevado a alguma potência.
5.2.30 Análise do Aluno 30
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e características formais (F). Na imagem de conceito apresenta
características corporificadas formais quando trabalha com uma tabela, pois
reconhece nela a constante de proporcionalidade; entretanto, considera tanto a reta
com coeficiente angular positivo, como com coeficiente angular negativo, gráficos
que representam a proporcionalidade direta. Na Questão 17, aponta como
verdadeira a alternativa (a), justificando que o texto representa um gráfico, e a
alternativa (e), justificando que a existência da proporcionalidade direta “se obtém
pela divisão tendo como resultado uma constante”. Interpretamos que, quando
trabalha com tabela, utiliza a constante de proporcionalidade, mas com gráfico não.
Na imagem de conceito as características estão associadas a tabelas e números.
Apesar de apresentar características formais, estas não se mostram suficientes para
fazer a conexão entre os dois assuntos.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando os valores de uma grandeza
185
aumentam e os da outra diminuem, também possuindo uma constante de
proporcionalidade”, o que não esclarece como a mesma é obtida. A imagem de
conceito de proporcionalidade inversa mostra características corporificadas e
características formais fundamentadas em tabela com os dados corretos, onde o
produto entre as grandezas x e y é constante. Ao representar os pares de pontos,
(3,4) e (2,6), escolhidos na tabela da Questão 8, podemos dizer que se baseou
apenas nesses pontos para traçar o gráfico de uma reta com coeficiente angular
negativo, que parece ser a ideia dele de proporcionalidade inversa. Podemos
conjecturar que este aluno não generaliza, ou seja, não transita pelo mundo
simbólico, pois se baseia em dois pontos para validar sua ideia de proporcionalidade
inversa (“quando uma grandeza aumenta a outra diminui”).
Embora tenhamos considerado características corporificadas e características
formais na sua imagem de conceito e na definição de conceito, este aluno não
transita pelo mundo simbólico. Por isso, ou mesmo por suas características formais
não serem suficientes, este aluno não apresenta respostas corretas ao resolver os
problemas de aplicação, que apresentamos neste questionário. Na Questão 13,
apoia-se no corporificado, desenhando uma circunferência e o raio. Na Questão 14,
aponta que existe a proporcionalidade direta entre o perímetro e o lado do quadrado,
justificando com sua ideia da definição de conceito que “quando um aumenta o outro
aumenta”, mas não mostra a existência de uma constante. Na Questão 16, não
reconheceu proporcionalidade direta ou proporcionalidade inversa em nenhuma
expressão algébrica.
5.2.31 Análise do Aluno 31
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito. Na imagem de conceito de proporcionalidade direta a parte associada
ao gráfico é correta mostrando características corporificadas (C), pois apresenta o
gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
186
5.2.32 Análise do Aluno 32
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.33 Análise do Aluno 33
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia em uma reta. Na imagem de conceito apresenta
características corporificadas (C), se fundamenta em gráficos corretos e considera
uma reta com coeficiente angular positivo como um gráfico que representa a
proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas e equivocadas C* e considera uma reta com
coeficiente angular negativo, um gráfico que representa a proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.34 Análise do Aluno 34
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se fundamenta em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Apresenta na imagem de conceito características corporificadas
(C) por meio de um gráfico e reconhece o gráfico de uma reta com coeficiente
angular positivo como de proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na
187
imagem de conceito o que nos faz conjecturar se a causa é não ter mostrado
características formais na sua definição de conceito ou porque a mesma se
restringiu a uma definição decorada.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.35 Análise do Aluno 35
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e características formais (F). Entretanto, na Questão 17, responde
como verdadeiras as alternativas (a) e (e), que não garantem trabalhar com este
conceito, pois parece não perceber a diferença entre as duas alternativas. Na
imagem de conceito apresenta características corporificadas formais (F) quando
trabalha com uma tabela, pois reconhece nela a constante de proporcionalidade.
Considera a reta com coeficiente angular positivo como gráfico que representa a
proporcionalidade direta.
Na definição de conceito de proporcionalidade inversa apresenta
características corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza
aumenta a outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa
mostra características corporificadas (C) não totalmente corretas e se baseia em
exemplo contextualizado, ao relacionar a velocidade de um carro e o tempo de
viagem e apresenta contradição nas suas respostas, quando trabalha com gráficos.
Ao resolver os problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa, interpretamos, na Questão 13, que o termo “dobrar” induziu este aluno a
responder a alternativa (c): multiplicar por 2, não apresentando a relação entre o
comprimento da circunferência e o raio. Apresenta características simbólicas (S) ao
explicitar as expressões do perímetro e da diagonal do quadrado (o único que
apontou que k=P/L e k=D/L), mostra que as constantes são o quociente entre o
perímetro e o lado e entre a diagonal e o lado, mas não mostra que estas constantes
são 4 e √ respectivamente. Nestes casos, não mostra ter percebido que são
funções, base da noção de proporcionalidade.
188
5.2.36 Análise do Aluno 36
Na definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) fundamentadas em uma reta. Na imagem de conceito apresenta
características corporificadas e equivocadas por meio de um gráfico.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. Na imagem de conceito apresenta características
corporificadas e equivocadas por meio de um gráfico e traz respostas contraditórias
ao reconhecer o gráfico da proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.37 Análise do Aluno 37
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito de proporcionalidade direta. Na imagem de conceito apresenta
características corporificadas e equivocadas por meio de um gráfico e aponta tanto a
reta com coeficiente angular positivo como a reta com coeficiente angular negativo
como gráficos da proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
Ao resolver os problemas de aplicação, apontou corretamente a
proporcionalidade inversa entre a base e a altura do retângulo, quando a área é
constante, o que consideramos uma resposta com características corporificadas (C),
pois não justificou suas escolhas.
5.2.38 Análise do Aluno 38
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia em “quando uma grandeza aumenta a outra também
aumenta” e apresenta contradição nas suas respostas, quando trabalha com
gráficos.
189
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) não totalmente corretas, fundamentadas em um
exemplo contextualizado relacionando a velocidade de uma moto e o tempo e
apresenta contradição nas suas respostas, quando trabalha com gráficos.
Ao resolver os problemas de aplicação, apoia-se no corporificado,
desenhando duas circunferências para visualizar o dobro do raio. Na Questão 14,
reconhece erroneamente como de proporcionalidade direta a relação entre área do
quadrado e o seu lado, pois se “algo aumenta, a área aumenta” que é a sua
definição de conceito com características essencialmente corporificadas.
5.2.39 Análise do Aluno 39
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e se baseia em um exemplo contextualizado. Não apresenta
características na imagem de conceito de proporcionalidade direta e considera tanto
a reta com coeficiente angular positivo, como a reta com coeficiente angular
negativo, gráficos que representam a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. Na imagem de conceito apresenta características
corporificadas (C) descrevendo um gráfico e considera uma curva não reta e
decrescente o gráfico da proporcionalidade inversa.
Ao resolver os problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa, apoia-se no corporificado, tratando a circunferência como uma figura fixa.
Foi o único participante cuja resposta à questão relacionada à diagonal do quadrado
trouxe características corporificadas (C) ao escrever “R. porque se medirmos a
diagonal de um quadrado com seu lado saberemos que ele é uma
proporcionalidade”.
190
5.2.40 Análise do Aluno 40
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e características formais (F) e se baseia na ideia “quando uma
grandeza aumenta a outra também aumenta” existindo uma constante que é razão
entre elas. Entretanto, na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas
(a) e (e), que não garantem trabalhar com este conceito, pois parece não perceber a
diferença entre as duas alternativas. A imagem de conceito tem características
corporificadas (C) mostradas em uma tabela com valores corretos, mas que não
pudemos afirmar ter características formais. Considera uma reta com coeficiente
angular positivo como um gráfico que representa a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e características formais (F) e se baseia na ideia de que “quando
uma grandeza aumenta a outra diminui” e de uma constante que é o produto das
duas grandezas. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas (C) e características formais (F) fundamentadas em
tabela com os dados corretos, onde o produto entre as grandezas x e y é constante,
embora sua definição de conceito tenha apresentado características formais (F)
aponta, na Questão 17, as alternativas (b) e (f) como verdadeiras. Considera uma
hipérbole o gráfico que representa a proporcionalidade inversa.
A imagem de conceito de proporcionalidade direta não mostrou
características simbólicas, apresentou essencialmente características corporificadas
(C) e algumas características formais (F) e a imagem de conceito de
proporcionalidade inversa não mostrou características simbólicas e apresentou tanto
características corporificadas (C) quanto formais (F). Na resolução dos problemas de
aplicação, mostrou haver relação: de proporcionalidade direta, entre o perímetro do
quadrado e o lado, pois “o resultado da divisão será uma constante” e apontou “k=4”
(fez uma tabela atribuindo valores ao lado, obtendo os perímetros); e de
proporcionalidade inversa, entre a base e a altura do retângulo, quando a área é
mantida constante. Na Questão 16, considera de proporcionalidade direta a
expressão algébrica do tipo “y=(número inteiro).x” e de proporcionalidade inversa
“y=(número racional não inteiro). x” ou quando x e y estão do mesmo lado da
equação. A isso atribuímos a falta de características do mundo simbólico em sua
definição de conceito e imagem de conceito.
191
5.2.41 Análise do Aluno 41
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se baseia em uma imagem mental. Apresenta na imagem de
conceito características corporificadas (C) e características formais (F) baseada em
semelhança de figura e considera uma reta com coeficiente angular positivo como
um gráfico que representa a proporcionalidade direta.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui” com ideia de divisão. A imagem de conceito de proporcionalidade
inversa mostra características corporificadas e equivocadas (C*) baseadas em uma
imagem com tamanho reduzido, isto é se fundamenta em semelhança de figura
(Proporcionalidade direta) e considera a reta com coeficiente angular negativo, um
gráfico que representa a proporcionalidade inversa.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas formais (CF), mostrando haver uma
relação: de proporcionalidade direta, entre o perímetro do quadrado e o lado, pois há
um valor constante obtido pelo quociente que é 4; por outro lado, não enxerga esta
mesma relação entre a diagonal e o lado, mostrando fragilidade ao generalizar uma
expressão. Faz conexão entre a figura do retângulo, a expressão da área e o
conceito de função, base da noção de proporcionalidade.
5.2.42 Análise do Aluno 42
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) e se baseia em uma imagem mental. A imagem de conceito de
proporcionalidade direta apresenta características corporificadas (C) e
características formais (F), em exemplo que traz semelhança de figuras e a
constante de ampliação das mesmas. Na Questão 17, responde como verdadeiras
as alternativas (a) e (e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas
características corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito, pois
parece não perceber a diferença entre as duas alternativas. Considera uma função
crescente o gráfico que representa a proporcionalidade direta.
192
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (b) e (f)
confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito. A imagem de
conceito de proporcionalidade inversa mostra características corporificadas (C) ao
considerar a reta com coeficiente angular negativo o gráfico que representa a
proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.43 Análise do Aluno 43
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito de proporcionalidade direta. Apresenta na imagem de conceito
características simbólicas e equivocadas, pois escreveu “x=-5” e “y=9”.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito de proporcionalidade inversa. Apresenta na imagem de conceito
características simbólicas e equivocadas, pois escreveu “y=-5” e “x=8”.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa e,
aparentemente, este aluno tem expressão algébrica na imagem de conceito do tipo:
é proporcionalidade direta quando a constante é um número natural e é inversa
quando é um número racional não inteiro ou o x é elevado a alguma potência.
5.2.44 Análise do Aluno 44
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade direta e reconhece uma
função crescente como o gráfico que representa a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito de proporcionalidade inversa.
193
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas (C) e características formais (F) na
Questão 15, ao trabalhar com a base e a altura do retângulo, quando a área é
mantida constante. Suas justificativas mostram conexão com figuras geométricas,
pois não apresenta expressões algébricas e o conceito de função, base da noção de
proporcionalidade.
5.2.45 Análise do Aluno 45
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C), baseadas em semelhança de figura. Apresenta na imagem de
conceito características corporificadas e equivocadas, quando se refere a uma
figura, que traz uma ampliação incorreta, multiplicando um dos lados por 3 e o outro
por 4, mas considera uma reta com coeficiente angular positivo como um gráfico que
representa a proporcionalidade direta.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito e na imagem de conceito. Reconhece a reta com coeficiente angular
negativo como de proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.2.46 Análise do Aluno 46
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) fundamentadas em uma reta. Apresenta na imagem de conceito
características corporificadas (C) baseadas em um gráfico e considera uma função
crescente o gráfico que representa a proporcionalidade direta. Parece associar a
proporcionalidade direta a números positivos.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de um gráfico e considera uma função
decrescente um gráfico que representa a proporcionalidade inversa.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
194
5.2.47 Análise do Aluno 47
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) fundamentadas em um exemplo contextualizado e na ideia de
“quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta”. Apresenta na imagem
de conceito características corporificadas e equivocadas, pois traz um exemplo onde
o “aumentar” é uma adição. Considera uma reta com coeficiente angular positivo
como um gráfico que representa a proporcionalidade direta, mas esta afirmação é
contraditória, pois esboça um gráfico diferente, quando solicitado na Questão 3.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. Apresenta na imagem de conceito características
corporificadas (C) considerando uma função decrescente um gráfico de
proporcionalidade inversa.
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas (C) ao relacionar o comprimento da
circunferência e o raio.
5.2.48 Análise do Aluno 48
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito. Apresenta na imagem de conceito características simbólicas
equivocadas, pois traz como exemplo uma expressão algébrica que não representa
a proporcionalidade direta. Considera uma reta com coeficiente angular positivo ou
uma reta com coeficiente angular negativo, gráficos que representam a
proporcionalidade direta, mas esta afirmação é contraditória, pois esboça um gráfico
diferente, quando solicitado na Questão 3.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. Na imagem de conceito apresenta características
simbólicas, mas não totalmente corretas, pois apresenta uma equação algébrica que
representa a proporcionalidade inversa e a equação de uma reta com coeficiente
angular negativo e suas respostas apresentam contradição quanto ao gráfico da
proporcionalidade inversa.
195
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa apresenta características corporificadas (C) ao relacionar o comprimento da
circunferência e o raio, por meio de um desenho e considera a expressão algébrica
da proporcionalidade inversa, algo do tipo: é proporcionalidade direta quando a
constante é um número natural e é inversa quando é um número racional não inteiro
ou o x é elevado a alguma potência.
5.2.49 Análise do Aluno 49
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática na definição
de conceito de proporcionalidade direta. Apresenta na imagem de conceito
características corporificadas (C) dando como exemplo um gráfico.
Não apresenta características dos Três Mundos na definição de conceito de
proporcionalidade inversa. Apresenta na imagem de conceito características
corporificadas (C) dando como exemplo um gráfico.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa. Para este aluno
a circunferência é fixa e não pode ter seu comprimento alterado e considera a
expressão algébrica da proporcionalidade inversa, algo do tipo: é proporcionalidade
direta quando a constante é um número natural e é inversa quando é um número
racional não inteiro ou o x é elevado a alguma potência.
5.2.50 Análise do Aluno 50
A definição de conceito de proporcionalidade direta tem características
corporificadas (C) e características formais (F) e se baseia na ideia “quando uma
grandeza aumenta a outra também aumenta” existindo uma constante que é razão
entre elas; embora tenhamos considerado características corporificadas e formais na
sua definição de conceito, na Questão 17, responde como verdadeira a alternativa
(a) e falsa a alternativa (e). Na imagem de conceito, mostra características
corporificadas (C) com um exemplo contextualizado e características corporificadas
e formais ao trabalhar com as questões relativas aos gráficos e considera uma reta
com coeficiente angular positivo um gráfico que representa a proporcionalidade
direta. Chama-nos a atenção sua justificativa ao considerar que o gráfico da
196
alternativa (c) da Questão 5 não representa uma relação de proporcionalidade
direta, pois atribuiu valor 2 ao x e obteve -2 no y (ver página 123). Isso foi motivo
para considerar que o gráfico da alternativa (c) não é de proporcionalidade direta e
não porque a reta possui coeficiente angular negativo. Os gráficos das alternativas
foram colocados sem escala, podendo ser analisados sem elas.
A definição de conceito de proporcionalidade inversa apresenta
características corporificadas (C) e características formais (F) e se baseia na ideia
de que “quando uma grandeza aumenta a outra diminui” e de uma constante que é o
produto das duas grandezas; entretanto, aponta como verdadeira a alternativa (b) e
falsa a alternativa (f) da Questão 17, o que interpretamos como falta de
características formais. Deste modo, este participante apresenta uma definição de
conceito com características corporificadas (C). A imagem de conceito de
proporcionalidade inversa mostra características corporificadas e equivocadas e se
baseia em um exemplo contextualizado relacionando velocidade de um carro e
tempo (Proporcionalidade direta).
Ao resolver problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade
inversa mostra características corporificadas (C), pois explicitou que cada
circunferência tem seu próprio raio, é fixa, o raio não funciona como uma variável.
Não parece ter percebido que o comprimento da circunferência pode ser visto como
uma função do raio. Não mostra conhecer a expressão algébrica do comprimento da
circunferência.
5.2.51 Análise do Aluno 51
A definição de conceito de proporcionalidade direta apresenta características
corporificadas (C) fundamentadas em “quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta”. Na Questão 17, responde como verdadeiras as alternativas (a) e
(e) confirmando que sua definição de conceito tem apenas características
corporificadas, que não garantem trabalhar com este conceito, pois não perceber a
diferença entre as duas alternativas. Na imagem de conceito apresenta
características corporificadas (C) fundamentadas em tabela com dados corretos e
considera uma reta com coeficiente angular positivo como um gráfico que representa
a proporcionalidade direta.
197
A definição de conceito de proporcionalidade inversa tem características
corporificadas (C) e se baseia na ideia de que “quando uma grandeza aumenta a
outra diminui”. A imagem de conceito de proporcionalidade inversa mostra
características corporificadas e equivocadas, fundamentadas em uma tabela que
não representa nem a proporcionalidade direta nem a proporcionalidade inversa.
Não mostra ter um gráfico de proporcionalidade inversa na imagem de conceito.
Não apresenta características dos Três Mundos da Matemática ao resolver os
problemas de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.
5.3 Síntese da definição de conceito de cada aluno
Após a análise das respostas, elaboramos o Quadro 58 – Síntese da
Definição de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de
cada Aluno, que apresenta em que se baseia a definição de conceito de
proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa de cada sujeito da pesquisa e
como foi classificada na perspectiva dos Três Mundos da Matemática.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
PROPORCIONALIDADE INVERSA
Aluno 01 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 02
C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 03 C "um aumenta o outro aumenta"
Aluno 04 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 05 C Reta
Aluno 06 C Reta
Aluno 07 C um aumenta o outro aumenta C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 08 C Imagem mental
Aluno 09
Aluno 10 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 11
C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 12
C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 13 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 14 C "um aumenta o outro aumenta"
Aluno 15 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 16
Aluno 17
Aluno 18 C "um aumenta o outro aumenta"
Aluno 19 C Imagem mental
Aluno 20 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 21 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 22 C "um aumenta o outro aumenta"
198
PROPORCIONALIDADE DIRETA
PROPORCIONALIDADE INVERSA
Aluno 23
Aluno 24 C "um aumenta o outro aumenta" C F "uma aumenta outra diminui", constante
Aluno 25 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 26
Aluno 27
Aluno 28
Aluno 29 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 30 C F "um aumenta o outro aumenta", cte, Reta C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 31
Aluno 32
Aluno 33 C Reta
Aluno 34 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 35 C F "um aumenta o outro aumenta", cte razão
entre grandezas C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 36 C Reta
Aluno 37
Aluno 38 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 39
Aluno 40 C F "um aumenta o outro aumenta", cte razão
entre grandezas C F "uma aumenta outra diminui" constante
Aluno 41 C Imagem mental C Imagem mental
Aluno 42 C Imagem mental C "uma aumenta outra diminui"
Aluno 43
Aluno 44
Aluno 45 C Semelhança de figuras
Aluno 46 C Reta C Gráfico
Aluno 47 C Exemplo contextualizado
Aluno 48
Aluno 49
Aluno 50 C F "um aumenta o outro aumenta", cte razão
entre grandezas C F "uma aumenta outra diminui", constante
Aluno 51 C "um aumenta o outro aumenta" C "uma aumenta outra diminui"
Quadro 58 – Síntese da Definição de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de cada Aluno
Fonte: Acervo pessoal
5.4 Síntese dos gráficos na imagem de conceito de cada aluno
Após a análise das respostas, elaboramos o Quadro 59 - Síntese dos
Gráficos na Imagem de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade
Inversa de cada Aluno, que apresenta o gráfico que cada sujeito da pesquisa tem na
imagem de conceito de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa.
199
PROPORCIONALIDADE DIRETA PROPORCIONALIDADE INVERSA
1 Reta com coeficiente angular>0 Reta com coeficiente angular<0
2 Reta com coeficiente angular>0 Função Decrescente
3 Função Crescente Função Decrescente
4
5 Reta com coeficiente angular>0 Reta com coeficiente angular<0
6
7
8 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0 Curva não Reta Decrescente
9
10 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0 Curva não Reta Decrescente
11 Reta com coeficiente angular>0 Hipérbole
12
13
14
15
16 Função Decrescente
17
18
19
20
21
22 Função Crescente
23
24 Reta com coeficiente angular>0
25 Reta com coeficiente angular>0
26
27 Função Crescente
28 Função Crescente Função Decrescente
29 Função Crescente Curva não Reta Decrescente
30 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0 Reta com coeficiente angular<0
31 Reta com coeficiente angular>0
32
33 Reta com coeficiente angular>0 Reta com coeficiente angular<0
34 Reta com coeficiente angular>0
35 Reta com coeficiente angular>0
36
37 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0
38 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0
39 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0 Curva não Reta Decrescente
40 Reta com coeficiente angular>0 Hipérbole
41 Reta com coeficiente angular>0 Reta com coeficiente angular<0
42 Função Crescente
43
44 Função Crescente
45 Reta com coeficiente angular>0 Reta com coeficiente angular<0
46 Função Crescente Função Decrescente
47
Função Decrescente
48 Reta com coefic.angular>0 ou coefic.angular<0
49
50 Reta com coeficiente angular>0
51 Reta com coeficiente angular>0
Quadro 59 - Síntese dos Gráficos na Imagem de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de cada Aluno
Fonte: Acervo Pessoal
200
201
6 CONCLUSÕES
Começamos este estudo buscando entender se alunos do Ensino Médio têm
presentes, na estrutura cognitiva, os conceitos de proporcionalidade direta e
proporcionalidade inversa e como trabalham com esses conceitos: utilizam gráficos,
tabelas, textos, símbolos? Nossa preocupação também foi verificar se estes alunos
reconhecem se uma relação é diretamente proporcional, inversamente proporcional
ou não proporcional e se reconhecem (ou conhecem) as expressões
correspondentes.
Para atingir estes objetivos, apoiamo-nos nas ideias de definição de conceito,
imagem de conceito (TALL e VINNER, 1981) e no quadro teórico dos Três Mundos
da Matemática (TALL, 2004) para elaborar um questionário com 17 questões,
envolvendo 40 itens e o aplicamos a um grupo de 51 estudantes de uma 3ª série do
Ensino Médio.
Com a análise dos protocolos (ver Capítulo 5, página 99), podemos responder
nossas questões de pesquisa, que são: “Qual a definição de conceito que alunos do
Ensino Médio dão de proporcionalidade direta?”; “Qual a imagem de conceito que
alunos do Ensino Médio têm da proporcionalidade direta?”; “Qual a definição de
conceito que alunos do Ensino Médio dão de proporcionalidade inversa?”; “Qual a
imagem de conceito que alunos do Ensino Médio têm da proporcionalidade
inversa?”; “Com que características, entre formais, simbólicas e corporificadas,
esses alunos trabalham questionamentos que envolvem a proporcionalidade
direta?”; e “Com que características, entre formais, simbólicas e corporificadas esses
alunos trabalham questionamentos relacionados à proporcionalidade inversa?”.
A definição de conceito que esses alunos deram de proporcionalidade direta
tem essencialmente características do mundo corporificado, não apresenta
características simbólicas e pode ser resumida por “quando uma grandeza aumenta
a outra também aumenta”: 29 participantes apresentaram em suas respostas
apenas características corporificadas, dos quais 18 trouxeram a ideia “quando uma
grandeza aumenta a outra também aumenta”; 5 mencionaram uma “reta”; 4
descreveram uma imagem; 1 deu um exemplo com a ideia de semelhança de
figuras; e 1, um exemplo contextualizado.
202
Apenas 4 participantes apresentaram características corporificadas formais,
pois explicitaram, além da ideia “quando uma grandeza aumenta a outra também
aumenta”, que existe nesta relação uma constante de proporcionalidade, dada pela
razão entre as duas grandezas. Entretanto, ao analisar a Questão 17, que também
envolve a definição de conceito, pudemos verificar que estes 4 participantes aceitam
como verdadeira a alternativa (a): “Podemos definir proporcionalidade direta como:
‘... relação entre duas grandezas que quando uma grandeza aumenta a outra
também aumenta’.”, que está de acordo com a sua definição de conceito e também
como verdadeira a alternativa (e): “Quando x e y são duas grandezas diretamente
proporcionais, elas aumentam ou diminuem simultaneamente de modo que a razão
é constante e resulta que ( é a constante de proporcionalidade).”. Nossa
interpretação é que estes 4 participantes não percebem a diferença entre as duas,
uma vez que passam essencialmente pelo mundo corporificado. Com essa
concepção fortemente arraigada: “proporcionalidade direta: quando uma grandeza
aumenta, a outra também aumenta” não percebem que esta definição pode trazer
exemplos que não são de proporcionalidade direta.
A definição de conceito que os participantes desta pesquisa, deram de
proporcionalidade inversa tem características do mundo corporificado, não
apresenta características simbólicas e pode ser resumida por “quando uma
grandeza aumenta a outra diminui”: 19 participantes trouxeram a ideia “quando uma
grandeza aumenta a outra diminui”; 1 descreveu um gráfico; e 1, uma imagem.
Apenas 3 participantes apresentaram características corporificadas formais,
pois explicitaram, além da ideia “quando uma grandeza aumenta a outra diminui”,
que existe nesta relação uma constante de proporcionalidade, que é o produto entre
as duas grandezas. Entretanto, ao analisar a Questão 17, que também envolve a
definição de conceito, pudemos verificar que estes 3 participantes aceitam como
verdadeira a alternativa (b): “Podemos definir proporcionalidade inversa como: ‘...
relação entre duas grandezas que quando uma grandeza aumenta a outra diminui’.”,
que está de acordo com a sua definição de conceito e também como verdadeira a
alternativa (f): “Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais,
sempre que uma delas aumenta a outra diminui, e vice-versa, de modo que o
produto das duas permanece constante: ( ou
) e é a constante de
203
proporcionalidade.”. Nossa interpretação é que estes 3 participantes não percebem
a diferença entre as duas, uma vez que transitam essencialmente pelo mundo
corporificado. Com essa concepção fortemente arraigada: “proporcionalidade
inversa: quando uma grandeza aumenta, a outra diminui” não percebem que esta
definição pode trazer exemplos que não são de proporcionalidade inversa.
Uma leitura que podemos fazer dos resultados obtidos com a Questão 1 e a
Questão 7 é que este grupo de alunos não foi habituado, ao longo da escolaridade
básica, a expressar-se com uma linguagem matemática correta, até mesmo na
língua materna.
A quase totalidade destes alunos mostra falta de uma definição de conceito
com características formais, tanto para a proporcionalidade direta como para a
proporcionalidade inversa e acreditamos que este seja um dos motivos possíveis
pelos quais, nas questões que propusemos no questionário, não conseguiram
trabalhar bem os problemas que envolvem tais conceitos. Não tivemos nenhum caso
em que um participante, sem uma definição de conceito de proporcionalidade direta
ou proporcionalidade inversa com características formais, mostrasse, ao longo das
questões, apresentar uma imagem de conceito rica que nos convencesse que
desenvolveram o pensamento proporcional.
A imagem de conceito de proporcionalidade direta dos participantes desta
pesquisa apresenta características essencialmente corporificadas. Num total de 255
possíveis respostas, referentes a questões nas quais deram exemplos, resolveram
um problema de proporcionalidade e/ou trabalharam com gráficos, 119
apresentaram características corporificadas. As respostas restantes ficam assim
distribuídas: 7 apresentaram características corporificadas simbólicas; 4,
características simbólicas; 28, características corporificadas formais; 1,
características corporificadas simbólicas e formais; e em 96, não conseguimos
identificar características dos Três Mundos da Matemática.
No que diz respeito à representação da variação de grandezas diretamente
proporcionais em um sistema de coordenadas cartesianas (representação gráfica),
presente na imagem de conceito: 15 participantes têm o gráfico de uma reta com
coeficiente angular positivo passando pela origem; 8 têm o gráfico de uma função
crescente; 8, uma reta com coeficiente angular positivo ou com coeficiente angular
204
negativo; e os restantes, 20 participantes, não conseguimos concluir, pois ou não
responderam as questões especialmente elaboradas para tal, ou deram respostas
contraditórias (ver Quadro 59 - Síntese dos Gráficos na Imagem de Conceito de
Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade Inversa de cada Aluno, página 199)
A imagem de conceito de proporcionalidade inversa dos participantes desta
pesquisa apresenta características essencialmente corporificadas. Num total de 204
possíveis respostas, referentes a questões nas quais deram exemplos, resolveram
um problema de proporcionalidade e/ou trabalharam com gráficos, 38 apresentaram
características corporificadas. Das demais respostas, 17 apresentaram
características corporificadas formais e 159 não apresentaram características dos
Três Mundos da Matemática.
No que diz respeito à representação da variação de grandezas inversamente
proporcionais em um sistema de coordenadas cartesianas (representação gráfica),
presente na imagem de conceito: 2 participantes têm o gráfico de uma hipérbole; 7,
o gráfico de uma função decrescente; 6, uma reta com coeficiente angular negativo;
4, uma curva não reta decrescente; e os restantes, 32 participantes, não
conseguimos concluir, pois ou não responderam as questões especialmente
elaboradas para tal, ou deram respostas contraditórias (ver Quadro 59 - Síntese dos
Gráficos na Imagem de Conceito de Proporcionalidade Direta e Proporcionalidade
Inversa de cada Aluno, página 199).
Ressaltamos que a definição de conceito que este grupo dá de
proporcionalidade inversa, mostra que esses sujeitos perpassam pelos Três Mundos
da Matemática muito menos do que no caso da definição de conceito de
proporcionalidade direta (ver Quadro 60) e por isso ousamos conjecturar que esta
pode ser uma razão pela qual isso também ocorre com a imagem de conceito de
proporcionalidade inversa (ver Quadro 61).
205
DEFINIÇÃO CONCEITO
Respostas com P D P I
Características corporificadas (C)
29 57% 21 41%
Características corporificadas formais (CF)
4 8% 3 6%
Ausência de características (-)
18 35% 27 53%
51 100% 51 100%
Quadro 60 – Comparativo definição de conceito de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa
IMAGEM CONCEITO
Respostas com P D P I
Características corporificadas (C)
119 47% 38 19%
Características corporificadas simbólicas (CS)
7 3% 0 0%
Características simbólicas (S) 4 2% 0 0%
Características corporificadas formais (CF)
28 11% 17 8%
Características corporificadas simbólicas formais (CSF)
1 0% 0 0%
Ausência de características (-)
96 38% 149 73%
255 100% 204 100%
Quadro 61 - Comparativo imagem de conceito de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa
Para verificar com que características esse grupo trabalha questionamentos
que envolvem a proporcionalidade direta e a inversa, analisamos problemas de
aplicação, que são questões que propusemos com o intuito de verificar se o
participante reconhece a existência, ou não, da proporcionalidade em expressões
algébricas e se associa essa ideia com outros conteúdos da Matemática – no nosso
caso são questões de área e perímetro em Geometria – e pudemos concluir que
mais da metade dos participantes (28 alunos) não mostrou passar por nenhum dos
Três Mundos da Matemática, ou seja, não apresentou características corporificadas,
nem características simbólicas e nem características formais.
O Quadro 57 – Características dos Três Mundos da Matemática de cada
Participante da Pesquisa em cada Questão, na página 168, pode ser utilizado para
206
que se tenha uma ideia das jornadas, ou não, pelos Três Mundos da Matemática,
desses participantes. Entre as 306 respostas aos problemas de aplicação, da
Questão 13 até a Questão 16, com a Questão 14 desdobrada em 3 – Questão 14a,
Questão 14b e Questão 14c - encontramos: 21 com características corporificadas; 6
com características simbólicas; 5 com características corporificadas formais; e 1 com
características corporificadas simbólicas e formais. As demais, 273 respostas, ou os
participantes não responderam ou não conseguimos classificá-las dentro dos Três
Mundos da Matemática. Em resumo, podemos dizer que, com as respostas às
questões 13, 14a, 14b, 14c, 15 e 16, obtivemos características dos Três Mundos da
Matemática em 33 respostas (10,8% do total). Este panorama nos fez formular pelo
menos três perguntas: “Existe um Quarto Mundo da Matemática?”; “O problema está
na formulação das questões que propusemos?”; “O problema está na forma como a
Matemática tem sido ensinada em nossas escolas?”.
Na Questão 13, ao trabalhar com o problema do comprimento da
circunferência, 15 participantes associaram o raio com o comprimento de forma
corporificada, o que nos fez conjecturar se não vivenciaram um ensino que propicie
a conexão entre a Álgebra e a Geometria. Em nenhum caso explicitaram a
expressão algébrica e tão pouco mostraram que, por ser esta uma relação de
proporcionalidade direta, se dobrarmos o raio, o comprimento da circunferência
dobra, mesmo com características corporificadas. Nenhum mencionou o número
ou seu valor. No caso particular do assunto funções, este grupo pode ter a ideia de
função, mas não mostrou saber trabalhar com a ideia generalizada, pois não deram
a entender que reconhecem que o comprimento da circunferência pode ser escrito
como função do raio.
Na Questão 14, a quase totalidade dos participantes não identificou a
constante de proporcionalidade na alternativa (a) (46 participantes) nem na
alternativa (b) (50 participantes). Na alternativa (a), 3 participantes escreveram “k=4”
e 2 participantes, “k=P/L”; e na alternativa (b), um participante escreveu “k=D/L” e
nenhum participante identificou k=√ . Podemos conjecturar que estes participantes
mostraram, nesta questão, que não transitam pelo mundo simbólico e não possuem
características formais, pois não associaram que os valores 4 e √ são as
constantes de proporcionalidade dessas relações. Vale a pena ressaltar que apenas
2 alunos exprimiram corretamente a equação algébrica do perímetro de um
207
quadrado e nenhum aluno exprimiu a equação algébrica da diagonal de um
quadrado, mostrando que também aí não transitaram pelo mundo simbólico da
Geometria métrica básica.
Na Questão 15, ao trabalhar com a área de um retângulo, 7 participantes
reconheceram a proporcionalidade inversa e 12, erroneamente, a proporcionalidade
direta e apenas um utilizou a fórmula da área do retângulo para justificar a
proporcionalidade inversa, mostrando ser a única resposta com características
simbólicas. Nenhum participante acrescentou, em sua justificativa, que a constante
de proporcionalidade - que apenas 3 participantes mencionaram em suas definições
de conceito de proporcionalidade inversa - é a área A do retângulo, embora isso
apareça de modo explícito nesta questão.
Com a Questão 16, que trabalha com a expressão algébrica no mundo
simbólico, quando solicitados a responder problemas envolvendo o reconhecimento
da proporcionalidade direta e da inversa, só obtivemos 3 respostas, todas com
características corporificadas, embora com ideias equivocadas, quanto à
manipulação dos números. Nenhuma resposta a esta questão mostrou
características simbólicas, o que nos leva a refletir sobre o baixo índice de respostas
com características do mundo simbólico, nos resultados obtidos com este
questionário: nenhuma nesta questão, que teve como objetivo especificamente
verificar se o individuo tem, na imagem de conceito de proporcionalidade,
características do mundo simbólico; e apenas 18 nas demais questões (não
contabilizamos as respostas equivocadas (ver Quadro 1 – Exemplos de Possíveis
Respostas Equivocadas, página 75)), num total de 918 respostas. Assim, colocamo-
nos as seguintes perguntas: Por que quase não emergiram características
simbólicas nas respostas deste grupo? O problema está no grupo, na formação do
grupo ou no nosso questionário? Poderíamos ter trazido outras questões que
provocassem mais respostas com características do mundo simbólico?
Nesta mesma questão, interpretamos, por meio das respostas dadas às
alternativas propostas que, quando a constante de proporcionalidade é um número
natural, associam a expressão à proporcionalidade direta e quando é um número
racional, associam a expressão algébrica à proporcionalidade inversa, pois 13
participantes, mais que a metade dos que responderam esta questão, indicaram que
com a constante de proporcionalidade igual a 2 a relação é de proporcionalidade
208
direta e com a constante de proporcionalidade igual a ½ a relação é de
proporcionalidade inversa. Deste modo, conjecturamos: “Quando a constante de
proporcionalidade em uma expressão algébrica é um número não inteiro, um aluno
que não apresenta na imagem de conceito de proporcionalidade direta,
características formais, identifica-a como uma relação de proporcionalidade
inversa?”.
Por fim, podemos resumir este nosso diagnóstico afirmando que, em relação
às respostas dadas sobre a proporcionalidade direta, estas apontaram que estes
alunos possuem uma imagem de conceito que classificamos como pobre,
apresentando exclusivamente características corporificadas, baseadas em um
gráfico de “reta com coeficiente angular positivo”; e quando mostram características
do mundo simbólico, estas não correspondem a este conceito. Em relação às
respostas apresentadas sobre a proporcionalidade inversa, estas sugerem que estes
alunos não fazem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática e apresentam
essencialmente características corporificadas ao longo do trabalho. A definição de
conceito deste grupo, tanto para a proporcionalidade direta como para a
proporcionalidade inversa, mostra essencialmente características corporificadas,
com textos muitas vezes equivocados, insuficientes para serem aceitos como uma
boa definição, que pudesse ser utilizada como uma substituta da usualmente dada
pela comunidade Matemática.
Por fim, ao responder nossas questões de pesquisa, interpretamos que os
participantes deste grupo não desenvolveram o pensamento proporcional, pois não
mostraram em suas respostas uma imagem de conceito de proporcionalidade direta
e proporcionalidade inversa, rica e diversificada, com características dos Três
Mundos da Matemática, pois segundo esta teoria, para haver desenvolvimento
cognitivo, é necessário que o sujeito transite pelos Três Mundos, por meio de uma
ampla gama de experiências, imagens mentais, procedimentos e processos, com
características as mais ricas possíveis.
209
7 CONSIDERAÇÕES GERAIS
A definição de conceito deste grupo causou-nos preocupação, pois não
conseguimos detectar características dos Três Mundos da Matemática: nas
respostas de 18 participantes, para a definição de conceito de proporcionalidade
direta; e nas respostas de 27 participantes, para a proporcionalidade inversa. Como
a teoria dos Três Mundos da Matemática considera que o desenvolvimento cognitivo
de um indivíduo passa pelos Três Mundos, o que podemos dizer sobre estes
participantes? O que pode ter acontecido? Será que os alunos não sabem estas
definições ou será que não souberam se expressar? Será que estes alunos não
entenderam a pergunta ou será que não estão acostumados a dar definições?
Entendemos que o motivo precisaria ser investigado, inclusive com a possibilidade
de mudança do texto da questão ou mesmo por meio de outras questões com o
mesmo propósito.
Em 31 definições de conceito de proporcionalidade direta e em 28 de
proporcionalidade inversa foram usados os verbos “aumentar, subir, diminuir ou
descer” e não conseguimos constatar se se referiam à adição - e não à multiplicação
– no caso da proporcionalidade direta, e à subtração - e não à divisão – no caso da
proporcionalidade inversa, Em nossa análise preliminar não levantamos esta
possibilidade e esta dúvida poderia ser dirimida em uma entrevista ou mesmo em
outra pesquisa.
Os alunos que deram sua definição de conceito de proporcionalidade direta e
de proporcionalidade inversa, mas na imagem de conceito não apresentaram
características dos Três Mundos da Matemática, deixaram-nos esta pergunta: “Será
que a causa é não ter mostrado características formais na definição de conceito ou
porque a mesma se restringiu a uma definição decorada?”.
Com a análise da Questão 17, constatamos que para 13 participantes sempre
existe uma relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas positivas e
para 12, se há relação entre duas grandezas, então elas são de proporcionalidade
direta ou de proporcionalidade inversa. Estes resultados nos remetem às afirmações
de Sierpinska (1992) de que por muito tempo a proporção foi uma relação que
manteve um lugar privilegiado entre as demais, com uma sólida base teórica
210
desenvolvida nos Elementos de Euclides. Por esta razão, são vistas por toda parte,
principalmente porque, como essa pesquisadora bem observa, há nesta relação
uma simplicidade e uma obviedade que podem provocar estes equívocos.
Com a Questão 5 e a Questão 11, os participantes da pesquisa trabalharam
com gráficos e depois de analisarmos suas respostas repetimos aqui algumas das
perguntas que formulamos na seção 4.3, Análise Preliminar. O gráfico da função
foi apontado por 11 participantes como uma relação de proporcionalidade
direta entre x e y e nenhum participante desta pesquisa mencionou que nesta função
a proporcionalidade direta é entre e . Será que o participante não entendeu que
essa relação não é a que a questão está pedindo, entre e ? Será que por ser o
gráfico de uma função crescente, este induziu-o que existe proporcionalidade direta,
porque “quando uma aumenta a outra também aumenta”?
O gráfico da função foi apontado por 21 participantes como de
proporcionalidade inversa e entre as justificativas, além das já mencionadas “função
decrescente” e “quando uma grandeza aumenta a outra diminui”, encontramos o que
depois viemos a constatar ser recorrente ao longo de outras respostas: “número
negativo”. Para 8 participantes, a proporcionalidade inversa é representada pela
expressão algébrica que contém um número negativo no coeficiente de x ou no de
x2. Interpretamos que, para estes sujeitos, como um coeficiente negativo pode tornar
essas funções decrescentes, então relaciona essas expressões com a
proporcionalidade inversa. Analogamente, encontramos como justificativas, para a
proporcionalidade direta, a existência de um número positivo como o coeficiente de x
ou de x2.
Na Questão 5, de reconhecimento do gráfico da proporcionalidade direta, pelo
fato de termos colocado apenas o gráfico de uma reta com coeficiente angular
positivo e que passa pela origem e não termos acrescentado outras alternativas,
como por exemplo, o gráfico de uma função do tipo f(x)=ax+b (com b diferente de 0)
e o gráfico de uma função linear por partes e crescente, ficamos na dúvida se
realmente seriam 15 participantes a mostrar ter na imagem de conceito de
proporcionalidade direta o gráfico de uma reta com coeficiente angular positivo e que
passa pela origem. Como esta dúvida nos ocorre pensamos seria importante, numa
outra pesquisa, acrescentar mais estas alternativas, de modo a buscar esta
resposta.
211
Notamos a dificuldade que alguns participantes tiveram ao trabalhar com as
questões relacionadas a gráficos de função. Ao esboçarem um gráfico de
proporcionalidade direta, apenas 8 participantes o identificaram por meio da
expressão algébrica, entretanto 5 o fizeram de modo equivocado. Ao esboçar um
gráfico de proporcionalidade inversa, apenas 6 participantes apresentaram uma
expressão algébrica, entretanto nenhuma dessas correspondeu ao gráfico. Pudemos
perceber que alguns alunos só trabalham com gráficos com pontos isolados, alguns
têm dificuldade em lidar com eixos com escalas diferentes e também deixam
entrever que precisam que os números nos eixos estejam indicados.
A pesquisa realizada por Angelini (2010), que trabalhou com o conceito de
função com 8 alunos do 2º ano do Ensino Médio, ajudou-nos a entender essas
possíveis dificuldades, pois este pesquisador pode concluir que todos os
participantes de sua pesquisa apresentaram sérias dificuldades na utilização de
gráficos e de suas escalas “limitando-se a identificar alguns pontos no gráfico
quando as escalas eram ‘bem comportadas’, isto é, as coordenadas deveriam ser
números inteiros, preferencialmente positivos, além de estarem bem evidentes nas
escalas dos gráficos” (ANGELINI, 2010, p.168).
Quanto às respostas da Questão 6 e da Questão 12, analisando a totalidade
dos protocolos, percebemos que nestes problemas obtivemos um número maior de
respostas com características dos Três Mundos da Matemática do que com as
demais questões. A análise da quantidade e da qualidade dessas respostas nos fez
repensar os enunciados e verificamos que neles não está claro que estamos lidando
com a proporcionalidade direta e inversa e os alunos podem ter respondido não
porque têm familiaridade com a ideia de grandezas proporcionais e sim porque
sabem aplicar um método – ou da taxa unitária ou da regra de três ou da
decomposição em parcelas - e não os associam à proporcionalidade direta e/ou
inversa. Além disso, não pedimos para resolver a questão e sim qual a primeira ideia
a aflorar diante do enunciado. Nossa intenção era provocar uma resposta que
deixasse claro que o participante associou estas questões à proporcionalidade direta
e à proporcionalidade inversa e não estávamos preocupados com a resolução.
Como o índice de respostas foi alto, em relação a outras questões, onde o
contexto de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa é explícito, surgiu a
dúvida: “Será que esses alunos deram mais respostas porque este é um problema
212
que eles sabem responder e não precisam fazer conexão com a proporcionalidade
direta e/ou inversa?”. Acreditamos que, pelo menos o problema da Questão 6, estes
participantes aprenderam sob o título Razões e Proporções e não Grandezas
Proporcionais. Deste modo, concluímos que num outro questionário questões como
estas precisam ser reavaliadas, talvez porque seus enunciados não falam em
grandezas proporcionais.
Nas questões que envolvem problemas típicos de proporcionalidade e que
pediram, no enunciado, que o aluno apresentasse sua primeira ideia de resolução,
ou seja, a ideia Matemática que tiveram, somente 11 na Questão 6 e 5 na Questão
12, a explicitaram. Podemos interpretar que um aluno não se sente seguro em
responder uma questão que não tenha um número no final, pois entendemos que
talvez não estejam acostumados a expor suas ideias, antes de procurar uma
solução: verificar se o problema faz sentido e o que é preciso para resolvê-lo, ou
seja, pensar numa estratégia e conjecturar sobre ela, para depois resolver o
problema. Com isso nos perguntamos: “Será que nas aulas de Matemática estes
alunos não foram incentivados a descrever uma estratégia de resolução e discuti-la
antes de elaborar a solução?”. “Será que não seria interessante esta abordagem em
Matemática?”.
Ao resolver a Questão 6, os participantes estão num contexto de
proporcionalidade direta, mas nenhum deles respondeu que é um problema de
proporcionalidade direta. Responderam que é um problema de regra de três.
Perguntamos: “Estes alunos perceberam que a proporcionalidade direta e a regra de
três estão ligadas?”.
Considerando as respostas obtidas, julgamos que se este diagnóstico for
repetido, deveríamos: não utilizar valores múltiplos e; colocar exemplos em que o
valor a ser obtido seja menor do que o dado, por exemplo, conhecendo a distância
percorrida em 7 horas, determinar a percorrida em 3 horas. Ficamos com uma
pergunta: “Será que o possível equívoco da grande maioria desses participantes em
ter definido a proporcionalidade direta como ‘quando um aumenta o outro aumenta'
os induziu a tratar o problema como de proporcionalidade direta e
consequentemente utilizar um ‘procedimento’?”.
Com a análise das respostas da questão que trata do comprimento da
circunferência, concluímos que seria interessante o professor, em sala de aula,
213
trabalhar com o aluno a conexão entre a Álgebra, a Geometria e a ideia de função.
Por exemplo, elaborar o gráfico do comprimento da circunferência C em função do
raio r e mostrar ao aluno que a reta gerada passa pela origem e tem coeficiente
angular igual a 2π. Vale a pena ressaltar ainda que, neste caso, a constante de
proporcionalidade é um número irracional e temos um problema, que consideramos
rico, do assunto Geometria ligado ao de proporcionalidade direta, em um contexto
de Matemática. Sugerimos também trabalhar com o perímetro e a diagonal do
quadrado, que são diretamente proporcionais ao lado; com a área do quadrado, que
é diretamente proporcional a l2; e com a área da circunferência, que é diretamente
proporcional a r2.
Por fim, repetimos aqui algumas considerações, uma delas feita quando das
análises da Questão 1 e da Questão 7, no que se refere às definições de conceito
apresentadas pelos participantes desta pesquisa. A primeira diz respeito ao uso das
palavras “proporção” e “proporcionalmente” que encontramos em 17 respostas na
proporcionalidade direta e 6 na proporcionalidade inversa. Será que este equívoco
pode ter sido induzido pelo texto dado no Caderno do Aluno da Proposta Curricular
do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010):
Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas
aumentam ou diminuem simultânea e proporcionalmente, ou seja, a razão
é constante, e resulta que ( é uma constante). Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o
produto das duas permanece constante: , ou seja,
onde é
uma constante não nula. (SÃO PAULO, 2010, p. 3, destaque em negrito do autor)
A segunda consideração refere-se às definições de conceito e imagens de
conceito destes participantes, que se mostraram destituídas de características
formais. Entendemos que um conceito matemático pode tornar-se familiar ao aluno
se não for dada inicialmente sua definição formal e por isso surge a pergunta: “Por
que não apresentar a própria definição de grandezas proporcionais de Antonio
Trajano, que traz características do mundo corporificado e características do mundo
formal?
214
Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando elas se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada ou dividida pelo mesmo número. No primeiro caso, a proporcionalidade se chama direta e, no segundo, inversa; as grandezas se dizem diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. (TRAJANO,1959, p.142 apud LIMA, E., 2011, p. 125).
E então trazer a ideia formal, acompanhada de características simbólicas, que
para existir uma relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas x e y, a
razão entre elas deve ser constante e resulta que y=k.x (k é uma constante não
nula) e que para existir uma relação de proporcionalidade inversa entre duas
grandezas x e y, o produto das duas deve ser constante e resulta que x.y=k, ou seja,
(k é uma constante não nula).
A terceira consideração diz respeito ao alerta dado no Caderno do Professor
da Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2009) sobre a
necessidade de chamar a atenção do aluno para o fato de que a ideia de
proporcionalidade direta não deve ser associada apenas à ideia de crescimento,
nem a ideia de proporcionalidade inversa apenas à ideia de decrescimento e que, no
nosso entender, pode entrar em contradição com a definição dada no Caderno do
Aluno (ver página anterior). Disto fica uma pergunta: porque ao ser dada ao aluno a
definição de proporcionalidade, não se apresenta apenas a ideia formal, que para
existir uma relação diretamente proporcional entre duas grandezas x e y, a razão
entre elas deve ser constante e resulta que y=kx (k é uma constante não nula)? E
para existir uma relação inversamente proporcional entre duas grandezas x e y, o
produto das duas deve ser constante e resulta que x.y=k, ou seja,
(k é uma
constante não nula)? Por que favorecer, com a definição dada no Caderno do Aluno,
que o aluno “corporifique” apenas a ideia que “se uma grandeza aumenta a outra
aumenta” ou “se uma grandeza aumenta a outra diminui”?
Finalmente, com os dados analisados, as questões de pesquisa respondidas
e as perguntas que apresentamos neste capítulo – e que constituem um fruto
indireto de nossa investigação – damos um fecho a este trabalho, com a esperança
de ter contribuído para o processo de ensino de proporcionalidade e, portanto, para
o de Matemática; para o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática; bem como
para a área de Educação Matemática, com ideias que, entendemos, podem e
precisam ser objeto de outras pesquisas.
215
8 BIBLIOGRAFIA
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218
219
ANEXO 1
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221
222
223
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ANEXO 2
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TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
O(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar, como voluntário, desta pesquisa que tem
como finalidade investigar questões relacionadas ao ensino de um conceito da Matemática. Tal
investigação é, por nós, considerada de fundamental importância, uma vez que poderá contribuir para
a compreensão das dificuldades enfrentadas por um estudante no processo de construção desse
conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias no sentido de amenizar tais dificuldades e
oferecer ajuda para a superação das mesmas.
Ao participar desta pesquisa, o(a) senhor(a) permitirá que a pesquisadora tenha a
oportunidade de ampliar e aprofundar os estudos que vêm sendo desenvolvidos por outros
pesquisadores das linhas de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações do Programa
de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN-SP,
Após ser esclarecido(a) sobre as informações a seguir, no caso de aceitar fazer parte do
estudo, assine ao final deste documento, que está em duas vias. Uma delas é sua e a outra é da
pesquisadora responsável. Em caso de recusa, o(a) senhor(a) não será penalizado(a) de forma
alguma. O(a) senhor(a) tem liberdade de interromper sua participação, em qualquer fase do estudo,
sem prejuízo algum. Sempre que quiser ou necessitar poderá solicitar informações sobre a pesquisa
por meio do telefone da pesquisadora do projeto. Se o(a) senhor(a) tiver alguma consideração ou
dúvida sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a Comissão de Ética.
1. Durante a pesquisa, será solicitado que cada participante responda um questionário
sobre o tema em estudo. Cada participante será identificado por um apelido, a ser
utilizado caso haja necessidade de uma eventual entrevista.
2. Na análise dos protocolos obtidos, se houver dificuldade no entendimento do texto escrito
por algum participante, será realizada uma entrevista semi-estruturada pela pesquisadora
para esclarecer dúvidas que por ventura possa ter surgido. Essa entrevista será áudio-
gravada e eventualmente registrada por escrito por um observador neutro. Dos protocolos
serão tirados os dados qualitativos.
3. Os dados analisados são estritamente confidenciais e serão de estrito conhecimento da
pesquisadora e de sua orientadora. As gravações serão utilizadas de forma sigilosa pela
pesquisadora, para esclarecer dúvidas que possam surgir durante a análise dos
protocolos e das observações escritas. As informações obtidas serão analisadas no
conjunto de participantes, não sendo divulgada a identificação de nenhum destes.
4. Em qualquer etapa do estudo, o(a) senhor(a) terá acesso aos profissionais responsáveis
pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas.
5. A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os procedimentos adotados
nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos
conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos
procedimentos que serão utilizados oferece riscos à sua dignidade.
6. Ao participar desta pesquisa o(a) senhor(a) não terá nenhum benefício direto. Entretanto,
esperamos que este estudo traga informações importantes a respeito das dificuldades
inerentes ao processo de construção do conceito em estudo, de forma que o
234
235
7. conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa contribuir para o seu
ensino. Para isso, a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados obtidos.
8. O(a) senhor(a) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa, bem
como nada será pago por sua participação.
9. Direito de ser mantido atualizado – Os resultados parciais das análises serão
compartilhados, à medida que forem obtidos.
10. Os dados analisados serão utilizados somente para esta pesquisa.
Pesquisadora: Ana Maria Pereira Pinto Poggio
RG: 5.890.984
Tel.: (11) 5594-1018
e-mail: [email protected]
Orientadora: Profª Drª Vera Helena Giusti de Souza
Av. Braz Leme, 3029 – 1º andar , tel. (11) 2972-9045 UNIBAN – Campus MR
Tel.: (11) 3743-7240
e-mail: [email protected]
Comissão de Ética: Av. Braz Leme, 3029 – 1º andar
Tel.: 2972-9020 / 9021, Fax.: 2972-9028
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
______________________________ _______________________________
Pesquisadora Orientadora
Ana Maria Pereira Pinto Poggio Profª Drª Vera Helena Giusti de Souza
Se após esses esclarecimentos o(a) senhor(a) consentir, de forma livre, em participar desta
pesquisa, assine, por favor, a folha que segue:
236
237
Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li ou que foram
lidas para mim, descrevendo o estudo desta pesquisa. Eu discuti com a mestranda Ana Maria Pereira
Pinto Poggio a minha decisão em participar desse estudo. Ficaram claros para mim quais são os
propósitos do estudo, os procedimentos a serem realizados, seus desconfortos e riscos, as garantias
de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes. Ficou claro também que minha participação
é isenta de despesas. Concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou prejuízos ou
perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido, ou no meu atendimento nesta unidade de
ensino.
______________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
(Somente para o responsável do projeto)
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido
deste paciente ou representante legal para a participação neste estudo.
Assinatura do responsável pelo estudo Data / /