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Amuleto Mgico

Srie Matemtica na Escola

Objetivos

1. Apresentar os quadrados mgicos, suas

propriedades e curiosidades;

2. Trabalhar noes de equivalncia algbrica

e simetrias;

3. Utilizar raciocnio matemtico e mtodos

algbricos para obter a constante mgica.

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Amuleto mgico

Srie

Matemtica na Escola

Contedos

Simetria; propriedade comutativa da soma; progresso aritmtica simples; valor mdio.

Durao

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Apresentar os quadrados mgicos, suas propriedades e curiosidades;

2. Trabalhar noes de equivalncia algbrica e simetrias;

3. Utilizar o raciocnio matemtico e mtodos algbricos para obter a constante mgica.

Sinopse

Uma jovem recebe um belo amuleto de presente de um amigo que explica algumas propriedades do quadrado mgico que o amuleto ostenta.

Material relacionado

Vdeos: Para correr a So Silvestre; Experimento: Padres no plano, Quadrado mgico aditivo,

Quadrado mgico multiplicativo;

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Introduo

Sobre a srie

A srie Matemtica na Escola aborda o contedo de matemtica do ensino mdio atravs de situaes, fices e contextualizaes. Os programas desta srie usualmente so informativos e introdutrios de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas so ricos em representaes grficas para dar suporte ao contedo mais matemtico e pequenos documentrios trazem informaes interdisciplinares.

Sobre o programa

O amuleto dado de presente um ba Gu, ou Lo-Shu cujo o centro possui um quadrado mgico. Esse quadrado formado pela disposio de nmeros como numa matriz, de forma que a soma dos nmeros de cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

esq.: Ba Gu com quadrado mgico, o nmero 5 est representado pelo simbolizado pelo yin yang (equilbrio). dir.: O quadrado com as somas das linhas, das colunas e das diagonais, que so sempre iguais. A disposio dos nmeros est espelhada em relao do ba Gu.

Segundo uma lenda chinesa, o imperador Yu, em 2200 a.C. vislumbrou o quadrado mgico equivalente nas costas de uma tartaruga divina que saa do rio Amarelo. H inscritos com a seguinte figura.

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O vdeo mostra a construo de um quadrado mgico de ordem 3 e mostra que essa disposio a nica possvel para os nmeros um a nove, a menos de variaes por rotao e espelhamento. Isto , h vrias possibilidades de disposio na matriz, mas todas elas so equivalentes do ponto de vista algbrico (comutatividade da soma). Para mostrar que essa disposio nica, so feitos diversos somatrios, mostrando essa equivalncia algbrica, isto considerando a propriedade comutatividade da soma.

Tendo como motivao a gravura de Albrecht Durer chamada "Melancolia", na qual um quadrado mgico de ordem quatro faz parte do desenho, outros conceitos e curiosidades so apresentados: a constante mgica e como obt-la; um modo de construir esse quadrado atravs de operaes semelhantes da construo do de ordem 3, isto por inverses das diagonais e troca de simtrica de colunas; o detalhe genial de Drer mostrando ano do desenho (1514) inserido na gravura; a grande quantidade de quadrados de ordem maior que 4 e no equivalentes que se pode obter; e a simetria por inverso.

Para obter a constante mgica so utilizados os seguintes contedos: progresso aritmtica simples e o clculo de um valor mdio.

Algumas curiosidades dos quadrados mgicos de ordens superiores so citadas, como por exemplo, a grande quantidade de quadrados no equivalentes de ordens maiores que 3, que os astrlogos europeus da idade mdia descobriram vrios destes quadrados mgicos e os associavam aos astros: de ordem 3, Saturno; de ordem 4, Jpiter; de ordem 5, Marte; de ordem 6, Sol; de ordem 9, Lua.

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Existem alguns algoritmos para se obter quadrados mgicos de uma infinidade de ordens. O jovem do vdeo apresentou um algoritmo para colocar os nmeros de um a nove no quadrado de ordem trs e outro para colocar os nmeros de um a 16 no de ordem quatro.

O clculo da chamada Constante Mgica facilmente obtida, pensando-se em termos de mdia aritmtica da,seguinte maneira. Os quadrados mgicos normais de ordem n tm os nmeros de 1 a n2 para serem colocados no quadrado. Este quadrado tem n linhas, n colunas e duas diagonais com n elementos cada uma que somam exatamente o mesmo valor. Em outras palavras deve haver 2n+2 somas iguais.

A soma total da P.A. {1,2, ...,n2}

( )2 2

total

12

n nS

+= .

O valor mdio para cada clula do quadrado mgico ser

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Vm = S

total /n2 =(n2 +1)/2

Como temos para cada soma de linhas, colunas e diagonais n termos, ento a Constante Mgica dada por

Smgica

= nVm

Ou seja, ( )2

mgica

12

n nS

+= .

Observe que este nmero sempre natural. Alm disso, se n for mpar, ele tambm ser mpar.

Sugestes de atividades

Antes da execuo

Recomendamos que os alunos desenvolvam a atividade Quadrado mgico aditivo antes de assistir esse vdeo, caso contrrio eles tero a resposta ao desafio sem ter percebido as possibilidades, as dificuldades e as equivalncias do quadrado de ordem 3. Dessa forma, o vdeo pode servir de recordao da atividade feita e ponto de partida para explorar Quadrados mgicos de ordem maiores que 3.

Durante a execuo

Quando o vdeo estiver tratando do quadrado mgico normal de ordem 3, reforar, escrevendo no quadro por exemplo, a constante mgica 15, e que o quadrado nico. Igualmente quando tratar do quadrado de ordem 4, reforar a constante mgica 34 e que h 880 quadrados algebricamente distintos.

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Depois da execuo

Estimular os alunos a construir quadrados mgicos com outras seqncias de nmeros.

No caso de um quadrado mgico de ordem 3, os experimentos Quadrado mgico aditivo e Quadrado mgico multiplicativo, devem ter mostrado, antes do vdeo, que a construo do quadrado por tentativa e erro pode ser demorada, mesmo o mais simples de ordem 3 com nmeros de um a nove.

Exerccio. Mostre que um quadrado mgico normal de ordem trs no pode ter o nmero 1 nos cantos.

Soluo. Basta observar que os nmeros dos cantos devem entrar em trs somas, a saber, a da linha, da coluna e da diagonal. No entanto a decomposio da constante mgica 15 em trs nmeros de um a nove s tem o nmero 1 em duas somas: 9+5+1=15 e 8+6+1=15. Desta forma sabemos que o nmero 1 no pode estar nos cantos. Pelo mesmo motivo, no pode estar no centro, pois o nmero central participa da soma da sua linha, da sua coluna e das duas diagonais, isto de mais de duas somas.

Podemos preencher um quadrado mgico com os termos de uma P.A. qualquer. Vejamos o de ordem 3. Sejam a

1, a

2, at o ltimo termo

a9 os nmeros da P.A. A soma dela vale S

9=9(a

1+a

9)/2. O termo

central da P.A. (o quinto termo) tambm deve ocupar o centro do quadrado mgico. E a constante mgica dever ser, pela demonstrao apresentada acima, C=3(a

1+a

9)/2. Assim, o quadrado

mgico ser equivalente ao seguinte:

a4 a

9 a

2

a3 a

5 a

7

a8 a

1 a

6

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Observe que os ndices dos termos so exatamente os nmeros do quadrado mgico de ordem 3. Da fica bem fcil construir as outras disposies equivalentes do quadrado mgico de ordem 3.

Quadrado mgico normal de ordem 4

Para um quadrado mgico normal de ordem 4, a dificuldade ainda maior. O professor pode dar um tempo para os alunos tentarem outro quadrado mgico que no seja o mostrado no vdeo. Se conseguirem, provavelmente uma variao de disposio do visto no vdeo.

Em seguida o professor deve aproveitar para fazer algumas tentativas ele mesmo para enfatizar que no uma tarefa simples obter um quadrado mgico normal de ordem quatro. Ou seja, no existe um mtodo simples geral (um algoritmo geral) para se obter qualquer quadrado mgico. No entanto as observaes abaixo podem ajudar nesta tarefa. Vamos considerar o caso do quadrado normal de ordem 4.

Temos os nmeros 1,2,3,...,15,16 para colocar no quadrado. A soma total destes nmeros (soma de uma P.A.) 8x17 e as somas de cada linha, coluna ou diagonais devem ser 8x17/4=34. Esta a constante mgica. Isto significa que devemos pegar quatro nmeros distintos de 1 a 16, tais que a soma 34.

Quantos arranjos de quatro nmeros podemos formar a partir dos dezesseis nmeros?

41616! 16 15 14 13 4368012!

A = = =

Obviamente s precisamos de quatro arranjos (um para cada linha) e nem todos estes 43680 somam exatamente 34. A ordem dos nmeros importante no quadrado mgico, mas para a soma no, pois a ordem dos fatores no altera a soma. Por isto calculamos a combinao de 16, 4 a 4.

41616! 16 15 14 13 1820

12!4! 4 3 2 1C = = =

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A menor soma possvel, de quatro nmeros dentre os 16, que podemos fazer 1+2+3+4=10, e a maior 13+14+15+16=58. Podemos dizer que a soma de quatro nmeros vai variar de 10 a 58, isto , 49 valores, mas s queremos a soma 34 que exatamente a mediana do intervalo das somas. Algumas das somas tm vrias combinaes possveis, enquanto outras s tm uma, como por exemplo, so as somas extremas 10 e 58. No entanto, em mdia h 1820/49 V 37 combinaes possveis para cada soma. Por outro lado, temos que fazer apenas 10 somas, das quatro linhas, das quatro colunas e das duas diagonais.

Com tantas possibilidades precisamos fazer algumas limitaes para facilitar a descoberta de um quadrado mgico de ordem quatro ou recorrer ao computador para tal. O vdeo apresenta um algoritmo simples, sem justific-lo matematicamente. Fazemos aqui uma breve explicao.

A disposio inicial a tabela com a lista de quatro em quatro nas linhas:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

As somas dessas linhas so 10, 26, 42 e 58; das colunas so 28, 32, 36 e 40; e das diagonais so 34. As diagonais somam 34, pois os seus nmeros so os nmeros a cada quatro elementos da P.A. comeando pelo um na diagonal principal e pelo quatro na diagonal secundria formando duas outras P.A. de razo 5 e 3 respectivamente. Para compensar as linhas de cima que somam menos de 34 e as linhas de baixo que somam mais de 34, feita a troca da ordem das diagonais. Isto no altera o valor das somas das diagonais.

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

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Pronto! Agora todas as linhas e colunas tambm somam 34. O quadrado mgico da gravura Melancolia tem as colunas internas trocadas, o que no altera as somas. Alis, h vrias outros quadrados mgicos obtidos a partir do acima fazendo transformaes como a troca de quadrantes, de linhas etc.

Exerccio. Verificar que os sub quadrados de ordem 2 dos quatro quantos e do centro tm clulas que somam 34, a mesma constante mgica do quadrado normal de ordem 4. Esta uma propriedade particular deste quadrado mgico, isto , nem todos os quadrados mgicos de ordem quatro tm esta propriedade.

Quadrado mgico normal de ordem 5

O quadrado mgico normal de ordem 5 tem um procedimento (algoritmo) descoberto por de La Loubre em 1687 para quadrados de ordem mpar. Comeando pelo nmero 1 no topo central do quadrado, visualizamos o quadrado como se fosse um toro, identificando a fronteira de cima com a de baixo e a fronteira direita com a esquerda e preenchemos um percurso (1-->2-->3....-->25) em diagonal. Ao encontrar uma clula j preenchida, recomear a diagonal na clula abaixo. Veja a quadrado abaixo. Alguns nmeros ao redor do quadrado mgico servem para mostrar as identificaes de fronteiras:

18 25 2 9 11

17 24 1 8 15 17

16 23 5 7 14 16 23

22 4 6 13 20 22 4

3 10 12 19 21 3 10

9 11 18 25 2 9

17 24 1 8

Este procedimento pode ser feito para qualquer quadrado mgico de ordem mpar com os nmeros em progresso aritmtica. Observe que o termo central da P.A., 13, est no centro deste quadrado mgico.

Exerccio. Verificar que todos os nmeros deste quadrado mgico diametricamente opostos ao centro somam exatamente 26.

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Bibliografia

H. EVES, Introduo Histria da Matemtica, Editora da Unicamp, 1995. R.M. BARBOSA, Aprendendo com padres mgicos, SBEM-SP, N 1, 2000.

E. Lucas, Quadrados mgicos de Fermat (Jogos Matemticos III), Editec, 2008.

M. TAHAN, As maravilhas da matemtica, Bloch Editoras, 2 edio, 1973.

Ficha tcnica

Autores: Waldeci Ribeiro do Nascimento, Gilberto Jos Soares e Samuel Rocha de Oliveira Reviso Adolfo Maia Jr. Coordenao de Mdias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenador acadmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pr-Reitor de Ps-Graduao Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira