vibracoes sistemas mecanicos resumo mhs
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MOV_HARMONICO_SIMPLES 10/09/2015
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VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS
Vibrações – Conceitos BásicosConceito: É qualquer movimento que se repete,
regular ou irregularmente, depois de um intervalo detempo.
O movimento de um pêndulo e da corda de umviolão são exemplos simples de vibrações.
Em engenharia estes movimentos ocorrem emelementos de máquinas e nas estruturas, quandoestes estão submetidos a ações dinâmicas.
Vibração livre é aquela produzida por umaperturbação inicial que não persiste durante omovimento vibratório. Como exemplo tem-se avibração do pêndulo simples. Depois de deslocado desua posição de equilíbrio, o pêndulo simplespermanece em movimento oscilatório sem quenenhum efeito externo intervenha.
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Vibrações – Conceitos BásicosVibração forçada é provocada por um efeito externo
que persiste durante o tempo em que o movimentovibratório existir. O movimento de um rotordesbalanceado é típico de uma vibração forçada.
Vibração amortecida é aquela em que a energiavibratória se dissipa com o transcorrer do tempo deforma que os níveis vibratórios diminuemprogressivamente.
Vibração não amortecida é aquela em que aenergia vibratória não se dissipa de forma que omovimento vibratório permanece imutável com opassar do tempo.
Vibrações – Conceitos BásicosVibração forçada é provocada por um efeito externo
que persiste durante o tempo em que o movimentovibratório existir. O movimento de um rotordesbalanceado é típico de uma vibração forçada.
Vibração amortecida é aquela em que a energiavibratória se dissipa com o transcorrer do tempo deforma que os níveis vibratórios diminuemprogressivamente.
Vibração não amortecida é aquela em que aenergia vibratória não se dissipa de forma que omovimento vibratório permanece imutável com opassar do tempo.
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Vibrações – Conceitos BásicosVibração linear é aquela que ocorre em um sistema
cujos componentes atuam linearmente (a força demola proporcional ao deslocamento, a força deamortecimento é proporcional à velocidade e a forçade inércia é proporcional à aceleração).
Vibração não linear é aquela em que um ou maiscomponentes do sistema não se comportalinearmente, ou seja a força produzida não apresentauma relação linear com a variável cinemática a que seassocia (relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas,exponenciais, senoidais, etc.
Vibração determinística é aquela em que se podeprever todas as características do movimentovibratório em qualquer instante de tempo.
Vibrações – Conceitos BásicosVibração aleatória ou não determinística é aquela
em que não é possível prever o que irá acontecer nomovimento vibratório.
Graus de Liberdade é o número mínimo decoordenadas independentes necessárias a descrevercompletamente o movimento de todas as partes quecompõem um sistema vibratório.
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Vibrações – Conceitos Básicos
Vibrações – Conceitos Básicos
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Vibrações – Conceitos BásicosSistemas Contínuos e Discretos - Sistemas que
podem ser separados em partes de forma que cadauma delas possua um determinado número de grausde liberdade e o sistema global tenha um número finitode graus de liberdade são sistemas discretos, sendotambém chamados de sistemas com parâmetrosconcentrados.
Um sistema contínuo não pode ser dividido,possuindo um número infinito de graus de liberdadesendo também conhecidos como sistemas comparâmetros distribuídos.
Vibrações – Conceitos BásicosMovimento HarmônicoO movimento harmônico é a forma mais simples
com que uma vibração se apresenta. A Figura ilustra ageração deste movimento. Pode ser representado pelaequação x = Asen(ωt) ou, se a origem do movimentonão coincidir com sen(ωt) = 0, x = Asen(ω t +φ ).
A forma do movimento harmônico não muda se aoinvés de seno se utilizar cosseno ou uma soma deseno e cosseno com o mesmo argumento. Estasformas apenas provocam um deslocamento da funçãono tempo, refletida no valor de φ .
As principais características do movimentoharmônico são:
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Vibrações – Conceitos BásicosAmplitude - A - é o máximo valor atingido por x. A unidade
utilizada é a mesma da variável x.Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se
repitaFrequência - f - é o número de repetições que ocorrem em
uma determinada unidade de tempo. É definida como o inversodo período,
Frequência angular - ω - é a velocidade angular com que umvetor de amplitude A gira, de forma que suas projeçõeshorizontal e vertical são movimentos harmônicos.
Relaciona-se com a frequência f por ω = 2πf.Fase inicial - φ - é o ângulo inicial do argumento da função
senoidal que descreve o movimento harmônico.
Vibrações – Conceitos Básicosimportante quando se compara dois movimentos
harmônicos não coincidentes no tempo. Ao seestabelecer um movimento como básico, uma escolhaadequada do início da observação do movimento farácom que o ângulo de fase represente o quanto ummovimento está adiantado ou atrasado em relação aooutro.
A velocidade e a aceleração com que semovimenta verticalmente a haste do mecanismo deScotch Yoke (Figura). São obtidos derivando-se aequação do movimento chegando-se a:
v = dx/dt=ωA.cos(ωt + φ)a = dv/dt=-ω2A.sen(ωt + φ)
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Vibrações – Conceitos Básicos
Vibrações – Conceitos Básicos
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Vibrações – Conceitos BásicosDecibelA unidade técnica decibel é utilizada para
expressar valores relativos da amplitude dodeslocamento, da velocidade e da aceleração. Édefinida: dB = 20log(z/zo), onde z é a quantidade emconsideração e zo um valor de referência para amesma quantidade. Alguns valores de referência emuso são vo = 10-8 m/s para a velocidade e ao = 9,81 x10-6 m/s2 para a aceleração e po = 2 x 10-5 N/m2 parapressão acústica, Io = 10-12 W/m2 para intensidadeacústica e W0 = 10-12 W para potência acústica. Estesúltimos valores correspondem aos limiares depercepção do ouvido humano. Importante quando secompara dois movimentos harmônicos nãocoincidentes no tempo.
Vibrações – Conceitos BásicosOitavaÉ a medida relativa geralmente utilizada para a
freqüência: se duas freqüências possuem a relação2:1 se diz que estão separadas por uma oitava.
Valor rmsUma medida de vibração muito utilizada é o valor
rms (root mean square = valor médio quadrático). Édefinido por:
X2 = 1/T∫ x2 (t)dt (integral de 0 a T).Para funções harmônicas x = A.sen(ωt) , X=
0,707.AO valor rms veio a ser utilizado porque os
instrumentos que medem vibrações convertemmovimento vibratório x(t) em um sinal elétrico V(t) =c.x(t) medindo a sua potência que é dada por : 1/T∫ V2
(t)dt = c2/T ∫ x2 (t)dt = c2.X
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Vibrações – Conceitos BásicosRepresentações Vetorial e ComplexaA manivela do mecanismo de Scotch Yoke, pode
ser interpretada como um vetor de módulo A cujadireção muda constantemente segundo o ângulo ωt.As projeções horizontal e vertical do vetor sãomovimentos harmônicos dados por: x = A.cos(ωt) e y =A.sen(ωt).
A mesma representação vetorial pode serexpressa na forma de números complexos. O planocomplexo é então utilizado para descrever omovimento. O vetor girante é representado por umaquantidade complexa, com os eixos x e y sendosubstituídos pelos eixos real e imaginário. O expressopor: X = A.e-iwt = A.[cos(ωt) +i.sen(ωt)]
Vibrações – Conceitos Básicos
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Vibrações – Conceitos BásicosO pêndulo simples, ou pêndulo matemático, constitui-se noexemplo mais simples de um sistema físico que exibemovimento harmônico quando oscila com pequenas amplitudes(até 30º). É formado por uma massa m, ligada à
extremidade de uma haste de comprimento l de massa
desprezível, que, em sua outra extremidade vincula-se a uma
articulação de forma que seu movimento é uma oscilação noplano vertical. A Figura mostra o modelo de umpêndulo simples. E em seguida apresenta um exemplo de umguindaste com uma carga pendurada que pode serconsiderado como um pêndulo simples quando se estuda omovimento da carga. Em um determinado instante de tempo t,
a haste forma um ângulo θ com a vertical. As forças que atuam
sobre a massa m são o seu peso W e a tensão na haste T
como ilustra a Figura.
Vibrações – Conceitos BásicosA massa apresenta uma aceleração com componentes radial
ar e tangencial at e a haste possui uma velocidade angular ωuma aceleração angular α.Aplicando a Lei de Newton para movimento de rotação para oconjunto de forças mostrado no diagrama de corpo livre daFigura, na forma da soma de momentos em relação àarticulação, obtém-se a seguinte relação− mgl senθ = I.d2θ/dt2 = ml2.d2θ/dt2 , dividindo tudo por ml2 earrumando os termos chega-se à conhecida equação dopêndulo simples: d2θ/dt2 + (g/l).sen(θ) = 0 para pequenasoscilações pode-se linearizar fazendo senθ ≅θ .Assumindo-se que a amplitude é pequena a equação podeser escrita na forma: d2θ/dt2 + ω2 . θ = 0, cuja solução é dadapor θ (t) = c1 (ωt) + c2.sen(ωt).
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Vibrações – Conceitos Básicos
Vibração Livre de Sist. c/Amortecimento Viscoso
O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissiparenergia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta oamortecimento viscoso, assim chamado por representar a forçadissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem comocaracterística principal ser proporcional à velocidade relativa entre assuperfícies em movimento quando existe um fluido separando-as.
A força de amortecimento viscoso tem como expressão Fa = -cdx/dt,onde c é a constante de amortecimento.
Ao se aplicar o 2°axioma da mecânica, temos a equação
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� Discutir a vibração de um grau de liberdade não amortecida de um
corpo rígido usando os métodos de equação de movimento e
energia.
Objetivos do capítulo – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
� Define-se vibração como o movimento periódico de um corpo ou
sistema de corpos conectados tirados de uma posição de
equilíbrio.
� Há dois tipos de vibração: livre e forçada, que podem ser
amortecidas ou não.
� A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças
restauradoras gravitacionais ou elásticas (exemplo: o movimento
de um pêndulo).
� A vibração forçada é causada por uma força intermitente ou
periódica externa aplicada ao sistema.
Vibração livre não amortecida
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� O tipo mais simples de movimento vibratório é a vibração livre
não amortecida, representada pelo modelo de bloco e mola
mostrado na Figura abaixo:
Vibração livre não amortecida
� O diagrama de corpo livre é mostrado na Figura abaixo:
Vibração livre não amortecida
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Modelo de Sistema Massa-Mola
1. Diagrama de corpo livre
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Sistema Massa-Mola
Domínio do Tempo Condições Iniciais
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A constante ωn é chamada de a frequência natural e, neste caso,
A primeira equação é uma equação diferencial linear, de segunda
ordem, homogênea com coeficientes constantes. Pode ser
demonstrado, usando os métodos de equações diferenciais, que a
solução geral é
Vibração livre não amortecida
A velocidade e aceleração do bloco são determinadas tomando
sucessivas derivadas de tempo, o que resulta em
Por exemplo, suponha que o bloco na figura ao
lado foi deslocado uma distância x1 para a
direita de sua posição de equilíbrio e submetido
a uma velocidade (positiva) inicial v1 direcionada
para a direita.
Vibração livre não amortecida
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A equação descrevendo o movimento torna-se
A equação apresentada anteriormente também pode ser expressa em
termos de movimento senoidal simples. Para demonstrar isso,
suponha
e
então,
Vibração livre não amortecida
Se esta equação é representada em um eixo x versus ωnt, o gráfico
mostrado na Figura abaixo é obtido.
Vibração livre não amortecida
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Observe que a curva do seno completa um ciclo no tempo t = τ
quando ωnτ = 2π, ou
o período também pode ser representado como
A frequência f é definida como o número de ciclos completados por
unidade de tempo, que é o recíproco do período; isto é,
Consequentemente, o movimento é descrito por:
Vibração livre não amortecida
� A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças
restauradoras elásticas ou gravitacionais.
� A amplitude é o deslocamento máximo do corpo.
� O período é o tempo necessário para completar um ciclo.
� A frequência é o número de ciclos completados por unidade de
tempo, onde 1 Hz = 1 ciclo/s.
� Apenas a coordenada de posição é necessária para descrever a
localização de um sistema de um grau de liberdade.
Pontos importantes
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Diagrama de corpo livre
� Trace o diagrama de corpo livre do corpo quando este é deslocado
uma pequena distância de sua posição de equilíbrio.
� Localize o corpo em relação à sua posição de equilíbrio utilizando
uma coordenada inercial q apropriada. A aceleração do centro de
massa do corpo aG ou a aceleração angular do corpo α devem ter
um sentido de direção presumido que está na direção positiva da
coordenada de posição.
Procedimento para análise
Diagrama de corpo livre
� Se a equação rotacional de movimento ΣMP = Σ(Mk)P deve ser
usada, então também pode ser benéfico traçar o diagrama cinético,
já que ele leva em consideração graficamente os componentes
m(aG)x, m(aG)y, e, IGα, e desse modo, torna conveniente para a
visualização os termos necessários na soma de momentos Σ(Mk)P.
Procedimento para análise
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Equação de movimento� Aplicar a equação de movimento para relacionar as forças
restauradoras elásticas ou gravitacionais e momentos acoplados
atuando sobre o corpo ao movimento acelerado do corpo.
Cinemática� Utilizando a cinemática, expresse o movimento acelerado do
corpo em termos da segunda derivada de tempo da coordenada de
posição, .
� Substitua o resultado na Equação de movimento e determine ωn
rearranjando os termos de maneira que a Equação resultante seja
na ‘fórmula-padrão’,
Procedimento para análise
Considere mais uma vez o modelo de bloco e mola na Figura abaixo:
Métodos de energia
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Já que a energia é conservada, é necessário que
A equação diferencial descrevendo o movimento acelerado do bloco
pode ser obtida diferenciando-se essa equação em relação ao tempo,
ou seja,
Já que a velocidade x não é sempre zero em um sistema vibratório,
Métodos de energia
.
Equação de energia
� Desenhe o corpo quando ele é deslocado por uma pequena
distância da sua posição de equilíbrio e defina a localização do
corpo a partir de sua posição de equilíbrio por uma coordenada de
posição apropriada q.
� Formule a conservação de energia para o corpo, T + V =
constante, em termos da coordenada de posição.
Procedimento para análise
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Equação de energia
� Em geral, a energia cinética tem de levar em consideração tanto o
movimento rotacional quanto o translacional do corpo.
� A energia potencial é a soma das energias potenciais elásticas e
gravitacionais do corpo, V = Vg + Ve. Em particular, Vg deve ser
medido a partir de um ponto de referência para o qual q = 0
(posição de equilíbrio).
Procedimento para análise
Derivada de tempo
� Tome a derivada de tempo da equação de energia usando a regra
de três composta do cálculo e remova os termos comuns. A
equação diferencial resultante representa a equação de movimento
para o sistema. A frequência natural de ωn é obtida após rearranjar
os termos na ‘fórmula-padrão’,
Procedimento para análise
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Rigidez do Material
• Segunda lei de Newton
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
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• Segunda lei de Newton
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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( )d d
M t Jdt dt
θ =
r&&r
( )d
M t J Jdt
θθ= =
rr&&r&& cteJ =
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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• Segunda lei de Newton
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
• Princípio de D’Alembert
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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• Princípio dos deslocamentos virtuais
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
• Princípio da conservação de energia
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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• Equação de movimento de um sistema massa-mola em posição vertical
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Solução• Substituindo na equação do movimento
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Solução (continuação)2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Movimento harmônico
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
0t
GJM
l=
4
032
dJ
π=
4
0
32
tt
M GJ Gdk
l l
π
θ= = =
,
Modelo Equivalente – Massa Mola
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Equação de movimento2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Solução2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
Slide 66
Solução2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
00( ) cos senn n
n
t t tθ
θ σ ω ωω
= +
&
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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Pêndulo composto – centro de percussão:
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
Slide 68
Pêndulo composto – centro de percussão:
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
Slide 69
Pêndulo composto – centro de percussão:
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido
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Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um
grau de liberdade
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2.5 Método de energia de Rayleigh
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Vibração Livre sem AmortecimentoVibração torsional é entendida como a oscilação deum corpo em relação a um eixo de referência. Omovimento é descrito por uma coordenada angular eos esforços atuantes se apresentam na forma demomentos. Desta forma o elemento elástico apresentaum momento de restauração, resultante da torçãodeste mesmo elemento. A figura apresenta o esquemade um disco sustentado por um eixo em torção.A torção de eixos circulares apresenta a relação entreo momento torsor e a deformação produzida naextremidade dada por:
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Sendo Mt o momento torsor aplicado na extremidadedo eixo, l o comprimento do eixo, G o módulo deelasticidade transversal do eixo, o momento deinércia polar da área da seção transversal do eixo e θa deformação produzida na extremidade do eixo. Arigidez torsional, Kt, pode então ser definida como:
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Vibração Livre sem AmortecimentoA vibração livre, gerada por uma condição inicial, éregida por uma equação resultante da aplicação dosegundo axioma da mecânica ao movimento angular,em que os esforços atuantes estão mostrados nodiagrama de corpo livre da figura, resultando em:em que I0 é o momento de inércia de massa do disco.A EDO é homogênea de segunda ordem. A solução édada por:
Aplicando as condições iniciais θ(0)=θ0 ea equação se transforma em:
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Vibração Livre sem AmortecimentoExemplo 16 - Qualquer corpo rígido pivotado em umponto que não seja o seu centro de gravidade oscilaráem torno do ponto de pivotamento, quando deslocadode sua condição de equilíbrio estático, em virtude daforça gravitacional. Este tipo de sistema (Figura) éconhecido como pêndulo composto. Determinar a suafreqüência natural.
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
O Segundo axioma da mecânica aplicado aomovimento em relação ao ponto de pivotamentoresulta em:que pode ser linearizada com senθ ≅θ , assumindo-sepequenas oscilações, resultando em:que é uma oscilação com frequência natural igual a:
Como a frequência natural do pêndulosimples é dada por: é possível se estabelecerum pêndulo simples equivalente ao pêndulo composto(com a mesma frequência natural) que deverá ter umcomprimento igual a: Se I0 = m(k0)2, onde k0 é oraio de giração em relação ao pivô O, a frequêncianatural e o comprimento do pêndulo simplesequivalente são dados por:
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
O teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos)permite que se relacione o raio de giração em relaçãoao pivô, k0 , e o raio de giração em relação ao centrode gravidade kG, na forma: usando a relaçãoentre o raio de giração em relação ao pivô e ocomprimento do pêndulo simples equivalente, estepode também ser dado por:Na figura, o comprimento do pêndulo simplesequivalente é: l = GA + d = AO.
O ponto A que é o ponto onde se deve concentrar todaa massa do corpo para que ele se transforme em umpêndulo simples de mesma freqüência natural éconhecido como centro de percussão, e tem algumasaplicações práticas, como por exemplo:
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
1. Um martelo deve ser construído de forma que oseu centro de percussão se localize na cabeça e ocentro de rotação na empunhadura para que aforça de impacto não produza reação normal naempunhadura;
2. Uma máquina de ensaio de impacto deve serprojetada de forma que o ponto de impacto nocorpo de prova seja o centro de percussão dopêndulo para que seja reduzida a deformação porflexão do braço do pêndulo;
3. Se as rodas dianteiras de um automóvel passampor um buraco, os passageiros não sentirão esteimpacto se o centro de percussão se localizarpróximo ao eixo traseiro. O ideal é que o centro deoscilação do veículo se localize em um eixo e ocentro de percussão no outro.
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
.
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
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Modelo Equivalente – Massa Mola
Modelo Equivalente – Massa Mola
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Onde I0 é o momento de inércia da massa do disco,é a velocidade angular e Kt é a constante de rigideztorsional do sistema (torque de restituição por unidadede deslocamento).
A solução dessa EDO pode ser obtida de formaanáloga àquela que utilizamos nos sistemas comvibração livre com amortecimento viscoso. Porexemplo, no caso de vibração sub-amortecida, afreqüência da vibração amortecida é dada por:
Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Exemplo 17 - Vibração rotacional de sólidos. Umdisco circular de raio R tem um furo de raio r a umadistância do seu centro. O disco está livre para girarno plano vertical em torno de um eixo perpendicular aoplano do disco e passando pelo seu centro.Determinar a freqüência natural de oscilação do disco.
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Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais
Exemplo 17 - Vibração rotacional de sólidos. Umdisco circular de raio R tem um furo de raio r a umadistância do seu centro. O disco está livre para girarno plano vertical em torno de um eixo perpendicular aoplano do disco e passando pelo seu centro.Determinar a frequência natural de oscilação do disco.
Se M é a massa que teria o disco se não tivesse oburaco e m a massa que preencheria o buraco então:
e como segue:
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
• SOTELO Jr, J.; FRANÇA, L. N. F. Introdução ás Vibrações Mecânicas. 1ª edição. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2006.
• BALACHANDRAN, B.; MAGRAB, E. B. Vibrações Mecânicas. Tradução da 2ª edição norte americana. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2011.
• RAO, S. Vibrações Mecânicas. 4ª edição. São Paulo: Editora Prentice Hall, 2008.
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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
• BEER, F. P.; Russell, J.E. Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Dinâmica. 7a edição. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006.
• HIBBELER, R. C. Mecânica – Dinâmica: mecânica para engenharia. 12ª edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
• MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: Dinâmica. 6ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científico, LTC, 2009.
• BORESI, A P., SCHIMIDT, R. J. Dinâmica. Editora Pioneira Thompson Learning, São Paulo, 2003.
• UICKER, J. J.; PENNOCK, G. N.; SHIGLEY J. E. Theory of Machines and Mechanisms. 4th Edition, Oxford, England: Oxford Press: 2010.
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